Download - Limit Terjemahan
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
1/26
4.1. FUNGSI LIMIT
Definisi 4.1.1
A R. Titikc R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap > 0 ada paling
sedikit satu titik di xA, x c sedemikian sehingga | x c | < .
Definisi diatas dapat disimpulkan dengan cara lain :
Titik c adalah suatu titik limit di A, jika untuk setiap persekitaran- dari c atau
ditulis (c) yaitu :
(c) = { x
R ; | xc | < }= - < x c <
= c < x < c +
V(c) = ( c , c + ) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda
dengan c.
Catatan : A R, c titik limit dari A jika V(c) A yang berbeda dari c
Teorema 4.1.2
Bilangan real c adalah titik limit dari A, A R, jika dan hanya jika ada barisan
(an) dalam A dan an c, nN sedemikian hingga lim (an) = c
Bukti :
() A R. Bilangan real c adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan
ada barisan (an) dalam A dan an c, n N sedemikian hinggalim (an) = c
c adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n N, persekitaran
1/n dari c, yaitu V1/n(c) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang
berbeda dengan c. Jika an,n N merupakan titik-titik tersebut, maka an
A, an c, dan lim (an) = c. (terbukti)
() Jika ada barisan (an) dalam A dan an c, n N sedemikian hingga
lim (an) = c akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
2/26
(an) dalam A dan an c maka (an) dalam A berbeda {c}, dan lim (an) = c,
artinya untuk sembarang > 0, K N, sehingga jika n K(), maka an
(c). Dengan kata lain, terdapat persekitaran- dari c, (c) yang memuat
titik-titik an, n K(), an A dan an c. Jadi, c merupakan titik limit
dari A.
DEFINISI LIMIT
4.1.4. Definisi
A R, f : A R, dan c merupakan titik limit dari A. Bilangan real L merupakan
limit dari f di c, jika > 0 ada > 0 sedemikian hingga untuk sembarang x A
dan 0 < | xc | < maka | f(x) L | < .
Catatan :
a. Pengambilan nilai bergantung pada pengambilan , sehingga kadang-kadang ditulis dengan ().
b. Ketaksamaan 0 < | xc | adalah ekuivalen dapat dikatakan x cJika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan
ditulis :
)(xfLimLcx atau fLimL
cx
dikatakan f(x) menuju L untuk x menuju c
Teorema 4.1.5
Jika f : A R, dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c.
Bukti :
Andaikan f mempunyai dua nilai limit di c, yaitu L1 dan L2, L1 L2
Pilih > 0, sehingga
L1merupakan limit f di c maka ada 1(/2) > 0 dan 0 < | x c | < 1(/2) maka
| f(x)L1| < /2
L2merupakan limit f di c maka ada 2(/2) > 0 dan 0 < | x c | < 2(/2) maka
| f(x)L2| < /2
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
3/26
Ambil = min{ 1(/2), 2(/2) } maka jika x A dan 0 < | x c | < , dengan
ketaksamaan segitiga didapatkan :| L1L2| | L1f(x) | + | f(x) - L2| < /2 + /2 =
Karena > 0 dapat disimpulkan bahwa : L1L2 = 0 jadi L1 = L2
Definisi limit dapat dideskripsikan dalam bentuk persekitaran karena
V(c) = ( c, c + ) = { x R ; | xc | < }
Ketaksamaan segitiga 0 < | xc | < adalah ekuivalen dikatakan bahwa x c dan
x berbeda ke persekitaran V(c) dari c. sama dengan ketaksamaan | f(x)L1 | < adalah ekuivalen dikatakan bahwa f(x) berbeda ke persekitaran V(L) dari L.
y
x
((((
((((
( ( ( (((((
DiberikanV(L)
L
cadaV(c)
4.1.6 Teorema
Ambil f : A R, c titik limit dari A, maka ekuivalen dengan pernyataan dibawah
ini :
1. LxfLimcx
)(
2. Diberikan persekitaran- V(L) dari L, ada persekitaran- V(c) sedemikiansehingga jika x c adalah titik V(L) A, x c, maka f(x)V(L).
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
4/26
Contoh :
1. bbLimcx
Bukti :
Tampak bahwa f(x) = bx R. akan ditunjukkan bbLimcx
Jika > 0, ambil = 1, sehingga jika 0 < |x - c| < 1 diperoleh |f(x) - b| = |b - b|
= 0 < . Terbukti karena > 0 maka dapat disimpulkan bbLimcx
2. cxLimcx
Bukti :
g(x) = x xR. Jika > 0, ambil = , sehingga jika 0 < |x - c| < maka
diperoleh
|g(x)c| = |x -c| < . Karena > 0 maka terbukti bahwa cxLimcx
.
3.22
cxLimcx
Bukti :
h(x) = x2
x R. Untuk menunjukkan22
cxLimcx , maka harus
ditunjukkan : |h(x)c2| = |x
2-c
2| <
Ambil sembarang > 0 dan x yang cukup dekat dengan c.
Dimana x2
- c2
= (x+c) (x-c) Jika |x - c| < 1.
Pergunakan teorema ketidaksamaan diperoleh :
|x| |c| + 1 sehingga |x + c| |x| + |c| 2|c| + 1
jika |x - c| < 1, maka akan diperoleh :
(*) | x2-c2| = |x+c||x-c| (2|c| +1) | xc |
dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari .
Hal tersebut akan dipenuhi jika |x - c| < /(2|c| + 1).
Oleh karena itu, pilih () = inf (1||2
,1c
)
sehingga jika 0 < |x - c| < () maka memenuhi:
|x - c| < 1 dan mengakibatkan (*) valid, dan diperoleh
| x2
-c2
| /(2|c| + 1) |x - c| < .
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
5/26
Karena nilai () > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai > 0,
maka terbukti bahwa
22
cxLimcx
4. tunjukkan 15)2(2
3
xxLimx
Bukti :
Ambil f(x) = x2+2x, Rx
Maka 15)(xf
Akdib : 35)3)(5(1522 xxxxxx
Misal =1 13 x atau )4,2(x
Jadi )9,7(5x atau 95 x
9)3)(5(1522 xxxx jika 30 x
Ambil sebarang > 0, pilih min
9,1
Jadi, 351522 xxxx
5.5
5
Jadi terbukti
Kriteria Barisan Untuk Limit
4.1.8 Teorema (Kriteria Barisan)
f : A R, dan c merupakan titik limit dari A; maka :
(i) LxfLimcx
)(
(ii) Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga
xn c, n N, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L
Bukti :
(i) (ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam
A dengan lim(xn) = c dan xn c, n N. Kita harus menunjukkan bahwa
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
6/26
barisan (f(xn)) konvergen ke L. f mempunyai limit L di c, (menurut definisi 4.1.4),
jika diambil sembarang > 0 akan terdapat > 0, sehingga jika x A memenuhi
0 0, K() N, sehingga untuk n
K() berlaku |xnc |. Tetapi setiap xn memenuhi |f(x) - L| < . Jadi, jika n
K() maka berlaku |f(xn) - L| < artinya barisan (f(xn)) konvergen ke L.
(ii) (i). Pembuktian akan menggunakan kontra positif, yaitu dengan
mengandaikan (i) tidak benar akan diperoleh juga bahwa (ii) tidak benar.Andaikan LxfLim
cx
)( maka akan ada persekitaran-0 dari L, V0(L) sehingga
untuk setiap persekitaran- dari c, V0(c) yang diambil, terdapat paling sedikit
satu nilai x A V0(c) dengan x c, f(x) V0(L). Oleh karena itu, n
N, persekitaran-(1/n) dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga
0 < | xn - c| < 1/n dan xn A Tetapi, |f(xn) - L| 0, n N.
Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A{c}
yang konvergen ke c, tetapi barisan (f(xn)) tidak konvergen ke L.
Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat
kontra positif, maka (ii) (i) bernilai benar.
Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit
fungsi dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan.
Contoh : Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu
bilangan c, maka (xn2) konvergen ke c2. Oleh karena itu, dengan menggunakan
Kriteria Barisan, fungsi h(x):= x2
mempunyai limit :2
)( cxhLimcx
Kriteria Divergensi
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
7/26
Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari
suatu fungsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada
suatu titik.
4.1.9 Kriteria Divergensi
A R, f : A R, dan c merupakan titik limit dari A.
a. Jika L R, maka f tidak mempunyai limit L di c, jika dan hanya jika adabarisan (xn) dalam A, xn c n N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c,
tetapi (f(xn)) tidak konvergen ke L.b. Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ada barisan (xn) dalam A, xn
c n N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi (f(xn)) tidak konvergen di
R.
Contoh :
1. x
xLim 1
0tidak ada di R.
Bukti :
Jika diambil barisan (xn) dengan xn = 1/n untuk n N, maka lim (xn) = 0,
tetapi (xn) = 1/ (1/n) = n, dan barisan ((xn)) =(n) merupakan barisan yang
tidak konvergen karena tidak terbatas Oleh karena itu menurut teorema 4.1.9
(b) disimpulkan bahwa x
xLim 1
0tidak ada di R.
2. )sgn(0
xLimx
tidak ada.
Bukti :
Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut :
01
00
01
)sgn(
xuntuk
xuntuk
xuntuk
x
Ingat bahwa sgn(x) = x / |x| untuk x 0 (lihat gambar 4.1.2). Akan
ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di x = 0. Karena akan
ditunjukkan )sgn(0
xLimx
tidak ada, maka harus ditunjukkan ada barisan (xn)
dan lim (xn) = 0, tetapi (sgn(xn)) tidak konvergen.
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
8/26
(
)
1
-1
Fungsi signum
Ambil xn = (-1)n /n untuk n N, maka lim (xn) = 0 dan
sgn(xn) = (-1)n untuk n N,
Lihat contoh 3.4.6(a) bahwa sgn(xn) tidak konvergen. Jadi, )sgn(0
xLimx
tidak ada.
3. x
xLim 1
0sin
tidak ada di R.
Bukti :
Jika g(x) = sin(1/n), untuk x 0. (lihat gambar 4.1.3) Akan ditunjukkan
bahwa g(x) tidak mempunyai limit di c = 0, dengan menetapkan dua barisan
(xn) dan (yn), dimana xn 0 dan yn 0, n N sedemikian hingga lim (xn)
= 0 dan lim (yn) = 0 tetapi lim (g(xn)) lim (g(yn)), hal itu menunjukkan
bahwa gLimx 0
tidak ada.
1
-1
1/3
1/2
1/
Fungsi g(x) = sin (1/x) (x 0)
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
9/26
Ingat : sin t = 0 jika t = n, dan sin t = + 1 jika t = + 2n untuk n Z.
Ambil xn = 1/n untuk nN, maka lim (xn) = 0 dan g(xn) = sin n = 0
n N, sehingga
lim (g(xn)) = 0 Ambil nny 21
2
1
untuk n N, maka lim (yn) = 0
dan 12sin)(21 nyg n n N sehingga lim (g(yn)) = 1
maka x
xLim 1
0sin
tidak ada di R.
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
10/26
4.2 TEOREMA LIMIT
4.2.1 Definisi
Diberikan RA , RAf : , dan diberikan Rc titik limit dari A . Kita
katakan bahwa f terbatas pada persekitaran c jika terdapat persekitaran
, )(cV dan konstanta 0M seperti yang kita miliki Mxf )( untuk semua
)(cVAx .
4.2.2 Teorema
Jika RA dan RAf : mempunyai sebuah limit di Rc , maka f
terbatas pada suatu persekitaran pada c
Bukti :
Jika fLcx lim: , maka untuk 1e , terdapat 0 sedemikian hingga jika
cx0 , kemudian 1)( xf ( oleh corollary 2.2.4(a)),
1)()( LxfLxf
Karena itu, jika cxcVAx , , maka 1 Lxf . Jika Ac , kita
ambil 1 LM , sementara jika Ac kita ambil 1,sup: LcfM . Maka
bila ada cVAx , kemudian Mxf . Ini menunjukkan bahwa
f terbatas pada suatu persekitaran pada c.
Berikut akan diberikan definisi, penjumlahan, selisih, perkalian dan pembagian
dari fungsi, seperti halnya dalam barisan.
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
11/26
4.2.3 Definisi
Diberikan RA , f dan g fungsi yang terdefinisi pada A ke R . Didefinisikan
jumlah gf , selisih gf dan perkalian fg pada A ke R dengan fungsi
xgxfxgf
xgxfxgf
xgxfxfg
untuk semua Ax . Selanjutnya jika Rb didefinisikan perkalian bf dengan
fungsi xbfxbf untuk semua Ax .
Akhirnya, jika 0xh untuk Ax , kita definisikan pembagi hf / dengan
fungsi xhxf
xh
f
untuk semua Ax
4.2.4 Teorema
Diberikan RA , diberikan f dan g merupakan fungsi pada A ke R , dan
diberikan Rc tertimbun dari A . Lebih lanjut diberikan Rb .
a. Jika Lfcx
lim dan Mg
cx
lim , maka :
MLgfcx
lim , MLgf
cx
lim
LMfgcx lim bLbfcx lim
b. Jika RAh : , jika 0xh untuk semua Ax , dan jika 0lim
Hhcx
,
maka
H
L
h
f
cx
lim
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
12/26
Bukti
Salah satu bukti teorema ini persis sama dengan teorema 3.2.3. Alternatif , dapat
dibuktikan dengan menggunakan teorema 3.2.3 dan 4.1.8. Sebagai contoh,
biarkan nx menjadi urutan apapun di A sehingga cxn untuk Nn , dan
nxc lim . Mengikuti dari teorema 4.1.8 bahwa
Lxf lim , Mxg lim
Di sisi lain, definisi 4.2.3 menyiratkan bahwa
nnn xgxfxfg untuk Nn
Oleh karena itu aplikasi dari teorema 3.2.3 hasilnya
nnn xgxfxfg limlim
= LMxgxf nn limlim
Bagian lain dari teorema ini terbukti dengan cara yang sama. Kita meninggalkan
rincian untuk pembaca.
Komentar
1. Catatan kita, bahwa bagian b, asumsikan penjumlahan bahwa0lim
hHcx
dibuat. Jika diasumsikan ini tidak dipenuhi, maka limit
xhxf
cxlim
mungkin atau mungkin tidak ada. Tetapi bahkan jika limit ada, kita dapat
menggunakan teorema 4.2.4 b untuk mengevaluasinya.
2. Diberikan RA , dan nfff ,........, 21 dengan fungsi A ke R , dan diberikanc titik timbun dari A . Jika
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
13/26
kcx
k fL lim untuk nk .,.........1
Maka berikut teorema 4.2.4 oleh argumen induksi bahwa
ncx
n fffLLL .....lim..... 2121
Dan
n
cxn
fffLLL .....lim...... 2121
Khususnya, kami menyimpulkan bahwa jika fLcx lim dan Nn , maka
ncx
nxfL
lim
4.2.5 Contoh
i. Beberapa dari limit di bagian 4.1 dapat dibuktikan dengan menggunakanteorema 4.2.4. Sebagai contoh, mengikuti dari hasil ini bahwa cx
cx
lim ,
kemudian22
lim cxcx
dan jika 0c , maka
cxcx
cx
1
lim
11lim
ii. 2041lim 322
xxx
Ikuti dari teorema4.2.4 bahwa
4lim1lim41lim 32
2
2
32
2
xxxxxxx
= 4212 32
= 4814
= 45
= 20
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
14/26
iii.5
4
1
4lim
2
3
2
x
x
x
Jika berlaku teorema 4.2.4 b, maka
54
1lim
4lim
1
4lim
2
2
3
2
2
3
2
x
x
x x
x
x
x
Catatan bahwa limit dengan penyebut (i.e 51lim 22
x
x) tidak sama dengan 0,
maka teorema 4.2.b berlaku.
iv.3
4
63
4lim
2
2
x
x
x,
Jika diberikan 42 xxf dan 63 xxh untuk Rx maka tidak dapat
digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi xhxfx 2lim
karena
)63(limlim22
xxhH
xx
= 062.36lim32
x
x
Bagaimanpun, jika 2x , maka
)2(3
1
)2(3
)2)(2(
63
42
x
x
xx
x
x
Maka dari itu
3
42lim
3
1)2(
3
1lim
63
4lim
22
2
2
xx
x
x
xxx
Catatan bahwa fungsi )63()4()( 2 xxxg mempunyai limit di 2x
meskipun tidak ada definisinya.
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
15/26
v.xx
1lim
0tidak terdapat di R
Tentu saja 11lim1
xdan 0lim
0
xH
x. Bagaimanapun, ketika 0H , tidak
dapat digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi )1(lim0
xx
. Dalam
faktanya, lihat contoh 4.1.10a, fungsi xx 1)( tidak mempunyai sebuah
limit di 0x . Kesimpulan mengikuti juga dari teorema 4.2.2 ketika fungsi
xx 1)( tidak terbatas dipersekitaran 0x
vi. Jika p adalah sebuah fungsi polynominal, maka )()(lim cpxpcx Biarkan p menjadi fungsi polynominal diR maka
01
1
1 ....)( axaxaxaxpn
n
n
n
untuk semua Rx . Berdasarkan
teorema 4.2.4 dan fakta bahwakk
cxcx
lim , maka
01
1
1 ......[lim)(lim axaxaxaxpn
n
n
ncxcx
= 011
1 lim)(lim.....)(lim)(lim axaxaxacxcx
n
ncx
n
ncx
= 011
1 ..... acacacan
n
n
n
= )(cp
Karenanya )()(lim cpxpcx
untuk setiap fungsi polynominal p
vii.Jika p dan q adalah fungsi polynominal di R dan jika 0)( cq maka
)(
)(
)(
)(lim
cq
cp
xq
xp
cx
Ketika )(xq adalah sebuah fungsi polynominal, berdasarkan dari sebuah
teorema di aljabar bahwa ada paling banyak bilangan terbatas bilangan real
m ,.....1 [bilangan real nol di )(xq ] maka 0)( jq dan jika
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
16/26
),.....( 1 mx , maka 0)( xq . Karenanya, jika ),.....( 1 mx kita dapat
definisikan
)(
)()(
xq
xpxr
Jika c tidak nol di )(xq , maka 0)( cq , dan mengikuti dari bagian vi bahwa
0)()(lim
cqxqcx
. Oleh karena itu kita dapat menerapkan teorema 4.2.4b
untuk menyimpulkan bahwa
)(
)(
)(lim
)(lim
)(
)(lim
cq
cp
xq
xp
xq
xp
cx
cx
cx
Hasil berikutnya adalah analog langsung dari teorema 3.2.6
4.2.6 Teorema
Diberikan RA , RAf : , dan diberikan Rc titik limit dari A . Jika
bxfa )( untuk semua cxAx , dan jika terdapat fcx
lim , maka
bfacx
lim .
Bukti
Memang, jika fcx
lim , maka berdasarkan dari teorema 4.1.8 bahwa jika )( nx
adalah setiap barisan bilangan real berlaku bahwa Axc n untuk semua Nn
dan jika barisan )( nx konvergen ke c , maka barisan xf konvergen ke L .
Ketika bxfa )( untuk semua Nn , berdasarkan dari teorema 3.2.6 bahwa
bLa .
Sekarang kita bagian analog dari teorema squeeze 3.2.7. untuk
membuktikannya kita1 serahkan kepada pembaca.
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
17/26
4.2.7 Teorema Squeeze
Diberikan RA , RAhgf :,, , dan Rc titik limit di A . Jika
)()()( xhxgxf untuk semua cxAx , , dan jika hLfcxcx limlim , maka
Lgcx
lim
4.2.8 Contoh
0lim 23
x
cx )0( x
Diberikan 23
)( xxf untuk 0x sejak ketidaksamaan 121
xx memegang
untuk 10 x . Hal berikut bahwa xxxfx 23
2)( untuk 10 x . Maka
0lim2
0
x
xdan 0lim
0
x
x
Berdasarkan dari teorema 4.2.7 squeeze bahwa 0lim 23
x
cx
4.2.9 Teorema
Diberikan RA , RAf : dan diberikan Rc cmempunyai sebuah limit di A ,
jika 0lim
fcx
[masing-masing, 0lim
fcx
]. Maka terdapat sebuah
persekitaran )(cV di c sehingga 0)( xf [masing-masing, 0)( xf ] untuk
semua cxcVAx , .
Bukti
Diberikan fLcx lim dan menduga bahwa 0L . Kita ambil 0
2
1 L di
definisi 4.1.4, dan memperoleh sebuah 0 sehingga jika cx0 dan
Ax , maka LLxf2
1)( . Oleh karena itu berikut bahwa jika
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
18/26
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
19/26
4.3 Beberapa Tambahan Konsep Limit
4.3.1 Definisi
Diberikan RA dan RAf :
i. Jika Rc adalah titik limit dari bagian }:{),( cxAxcA maka kitakatakan bahwa RL adalah limit kanan f di c dan kita tulis
Lfcx
lim Lxf
cx
)(lim
Jika diberi 0 terdapat sebuah 0)( sehingga untuk semua Ax
dengan cx0 maka Lxf )( .
ii. Jika Rc adalah titik limit dari bagian }:{),( cxAxcA maka kitakatakan bahwa RL adalah limit kiri f di c dan kita tulis
Lfcx
lim Lxf
cx
)(lim
Jika diberi 0 terdapat sebuah 0 sehingga untuk semua Ax dengan
cx0 maka Lxf )( .
4.3.2 Teorema
Diberikan RA dan RAf : dan diberikan Rc titik limit di ),( cA .
Maka pernyataan berikut adalah ekuivalen :
i. Lfcx
lim
ii. Untuk setiap barisan )( nx konvergen ke c sehingga Axn dan cxn untuksemua Nn . Barisan )(xf konvergen ke L
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
20/26
4.3.3 Teorema
Diberikan RA , RAf : dan diberikan Rc merupakan titik limit dari
himpunan ),( cA dan ),( cA . Maka fLcx lim jika dan hanya jika
fLfcxcx limlim
BUKTI :
4.3.4 Contoh
(a).Diberikan )sgn()( xxf Kita telah melihat contoh 4.1.10(b) bahwa sgn tidak mempunyai limit di 0.
Jelas bahwa 1)sgn(lim0 xx dan 1)sgn(lim0 xx . Karena limit ini satu sisi
yang berbeda. Itu juga mengikuti dari teorema 4.3.3 bahwa )sgn(x tidak
mempunyai limit di 0.
(b).Diberikan 21)( exg untuk 0x ( lihat gambar 4.3.1)
Gambar 4.3.1 grafik 21
)( exg untuk 0x
Kami pertama menunjukkan g tidak mempunyai sebuah limit kanan
berhingga di 0c karena tidak dibatasi pada setiap persekitaran kanan
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
21/26
),0( di 0. kita wajib memanfaatkan ketidaksamaan (1) tet0 untuk
0t
Yang akan dibuktikan kemudian (lihat collary 8.3.3). mengikuti dari (1)
bahwa jika 0x , kemudian xex1
10 . Maka jika kita mengambil
nx
n1 , kemudian nxg n )( untuk semua Nn . Maka dari itu
x
xe
1
0lim
tidak terdapat di R .
Namun, 0lim
1
0 x
x e . Memang jika 0x dan kita ambil xt 1 di (1)
kita mendapatkan xex
110
. Ketika 0x , ini berarti xe x 1
0
untuk semua 0x . Mengikuti dari ketidaksamaan bahwa 0lim1
0
x
xe .
4.3.5 Definisi
Diberikan RA dan RAf : dan diberikan Rc titik limit di A .
(i) Kita katakan bahwa f cenderung sebagai cx , dan ditulis
f
cxlim
Jika untuk setiap R terdapat 0)( sehingga untuk semua Ax
dengan cx0 , maka )(xf
(ii) Kita katakan bahwa f cenderung sebagai cx , dan ditulis
f
cxlim
Jika untuk setiap R terdapat 0)( sehingga untuk semua Ax
dengan cx0 , maka )(xf
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
22/26
4.3.6 Contoh
(a).
)1(lim 20 xx
Jika 0 diberikan
1 maka bila ada x0 , maka
12 x
sehingga 21x
.
4.3.7 Teorema
Ambil A R dan ambil f,g : A R. dan ambil cR menjadi titik limit dari A.diduga f(x) g(x) untuk xA, x c :
1. Jika
fLimcx
maka
gLimcx
2. Jika
gLimcx
maka
fLimcx
Bukti :
a. Jika
fLimcx
dan R diberikan, maka ada () > 0 sedemikian
sehingga jika 0 < | xc | < () dan xA maka f(x) > a. tetapi karenaf(x) g(x) untuk semua x A, x c, berarti jika 0 < | xc | < () dan xA maka g(x) > . Terbukti
gLim
cx
b. Bukti sama seperti (a)4.3.8. Definisi
Ambil A R dan f : A R. Jika cR adalah titik limit dari himpunan A (c,) = { xA; x>c), maka dikatakan f cenderung ke seperti xc+ danditulis
fLimcx
(masing-masing
fLimcx
)
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
23/26
Jika untuk setiap R ada = () > 0 sedemikian sehingga untuk semua xA dengan 0 < x-c (masing-masing f(x) < )
Contoh :
1. Ambil g(x) = 1/x untuk x 0. Kita mempunyai catatan dari contoh4.3.6(b) bahwa gLim
x 0tidak ada. Contoh ini menunjukkan :
)/1(0 xLimx dan )/1(0 xLimx
2. Lihat contoh 4.3.4(b) bahwa fungsi g(x) = e1/xuntuk x 0 adalah tidakterbatas di interval (0,). Limit kanan dari e1/xseperti x 0+ tidak ada
definisi, karena
1/x 0
Maka
xeLimx
1
0dari definisi 4.3.8.
INFINITI LIMIT
4.3.10. Definisi
Ambil A R dan f : A R. Jika cR. ada (a,) A untuk semua aR.dikatakan bahwa LR adalah limit dari f seperti x dan ditulis
LfLimx
atau LxfLim
x
Jika diberikan > 0 maka ada K = K() > a sedemikian sehingga untuk x > K
maka |f(x)L | <
4.3.11 Teorema
Ambil A R dan f : A R. Jika cR. ada (a,) A untuk semua aR.maka pernyataan dibawah ini ekuivalen :
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
24/26
1. LfLimx
2. Untuk barisan (xn) di A (a,) sedemikian sehingga limit (a,), barisan (f(xn))konvergen ke L.
Contoh :
1. Ambil g(x) = 1/x untuk x 0Jawab :
Ditunjukkan xLimxLimxx
/10/1
lihat 4.3.4
2. Ambil f(x) = 1/x2 untuk x 0Ditunjukkan bahwa 22 /10/1 xLimxLim
xx (lihat 4.3.3). Jika x 1
maka 0 1/x21/x. dari bagian (1) terbukti bahwa 0/1 2
xLim
x
4.3.13 Definisi
Ambil A R dan f : A R. Jika cR. ada (a,) A untuk semua aA.dikatakan bahwa f cenderung ke seperti x dan ditulis
fLim
x(masing-masing
fLim
x)
Jika diberikan R maka ada K = K() > a sedemikian sehingga untuk x > Kmaka f(x) > .
4.3.14 Teorema
Ambil A R dan f : A R. Jika cR. ada (a,) A untuk semua aA.pernyataan dibawah ini ekuivalen :
1. LfLimx
2. Untuk barisan (xn) di (a,), sedemikian sehingga lim (xn) = maka lim (f(xn)) =
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
25/26
4.3.15. Teorema
Ambil A R dan f : A R. Jika cR. ada (a,) A untuk semua aA.dimana g(x) > 0 untuk x > a dan untuk LR. L 0 maka
Lxg
xfLimx
)(
)(
1. Jika L > 0 maka fLim
x jika dan hanya jika
gLim
x
2. Jika L < 0 maka
fLimx
jika dan hanya jika
gLimx
Bukti :
Karena L > 0. Hipotesisi ini ada a1 > a maka :
Lxg
xfL
23
21
)(
)(0
untuk x > a1
Karena ( L)g(x) < f(x) < (3L/2) g(x) untuk x > a1 dari kesimpulan ini maka
terbukti.
Contoh :
1.
n
xxLim Untuk nN
Jawab :
Ambil g(x) = xn
untuk x(0,). Diberikan R, ambil K = sup [1,].Kemudian untuk semua x > K. maka g(x) = x
n
x > . Karena R maka
n
xxLim
2.
n
xxLim Untuk nN, n genap dan
n
xxLim Untuk nN, n ganjil
Jawab :
Karena n ganjil maka n = 2k+1 dengan k = 0,1,..
Diberikan R, ambil K = inf{,-1}. Untuk x
-
8/3/2019 Limit Terjemahan
26/26
xn
= (x2)k x < . Karena R maka
n
xxLim
3. Ambil p : R R adalah fungsi polinomial :p(x) = anx
n +an-1x
n-1 + + a1x + a0
kemudian pLim
xjika an
> 0 dan
pLim
x jika an
< 0
ambil g(x) = xn
dan gunakan teorema 4.3.15 karena
nnnnx
ax
ax
aaxg
xp 11...
1
)(
)(0111
sedemikian sehingga nx
axgxpLim
))(/)(( karena gLim
xberlaku
teorema 4.3.15
4. Ambil p fungsi polinom dari bagian (3). Ada pLim
x(masing-masing -)
Jika n genap dan an > 0.