Download - Lattices and Minkowski' Theorm
![Page 1: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/2.jpg)
סריג של שלמים )ממימד - ( d.
בחלק הזה נסתכל על נקודות בסריג השייכות בעלות קורדינטות שלמות. ל
מושגים יסודיים
dZ
dR
![Page 3: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/3.jpg)
2R
![Page 4: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/4.jpg)
תחום קמור, חסום נניח וסימטרי סביב הראשית ומתקיים
מכיל לפחות נקודה אחת Cאזי . 0מהסריג ששונה מ
dRC
dCvol 2)(
![Page 5: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/5.jpg)
טענה עזר:
כך ש 0קיים וקטור שונה מ .
זאת אומרת, והזזה של בוקטור נחתכים.
dZv0)'(' vCC
'C 'C
}:2
1{
2
1' CxxCC
הוכחה: נסתכל על הקבוצה
![Page 6: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/7.jpg)
דוגמא לשימוש במשפט
m26
0.16S
0.16
![Page 8: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/8.jpg)
שימוש נוסף בתורת המספרים:קירוב מספרים אי רציונאליים ע"י
שברים
:טענה
מספר טבעי. קיימים זוג N מספר ממשי, כך ש m,nמספרים טבעיים
ומתקיים:
)1,0(
nNn
m 1
Nn
![Page 9: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/10.jpg)
General lattices
וקטורים לינארים בלתי תלויים ב dיהיו ,
לאו דווקא שלמים.
נגדיר סריג בעל בסיס להיות כלהקומבינציות הלינאריות עם מקדמים שלמים :
dzzz ,...,, 21dR
dzzz ,...,, 21
ji
}),....,(|...{),...,,( 11121d
dddd Ziizizizzz
![Page 11: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/11.jpg)
בעלת עמודות dXd בגודל Zנגדיר מטריצה ,
דטרמיננטה של סריג מוגדרת להיות .
היא נפח של המקבילון detמבחינה גיאומטרית, ה הנוצר ע"י :
dzzz ,...,, 21
Zdetdet
),...,,( 21 dzzz
}1]1,0[|...{ 11 dmizizi mdd
![Page 12: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/13.jpg)
ו תחום סריג ב נניח קמור וסימטרי סביב הראשית
ומתקיים
מכיל לפחות נקודה אחת Cאזי . 0מהסריג ששונה מ
dRC dR
det2)( dCvol
תיאורית מינקובסקי :
![Page 14: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/14.jpg)
discrete subgroup
כך שלכל גם
והמרחק בין כל שתי נקודות
הוא לפחות עבור ממשי כלשהו.
yx, dR yx
0
yx,
![Page 15: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/15.jpg)
discrete subgroup
משפט:
של discrete subgroupנניח
שפורשת את כל . אזי ל יש בסיס,
וקטורים בל"ת dז"א קיימים
כך ש .
dRdR
dd Rzzz ,...,, 21
),...,,( 21 dzzz
![Page 16: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/16.jpg)
שימוש נוסף בתורת המספרים:
:טענה
כל מספר ראשוני ניתן לכתיבה כסכום של
שני ריבועים כך ש: . 4mod1P
22 baP Zba ,
![Page 17: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/17.jpg)
יהיF שדה מודולו P.
P . נקרא שארית ריבועית מודולו
אם קיים כך ש .
.P, אינו שארית ריבועית מודולו aאחרת
:למה
- הוא שארית ריבועית1 ראשוני אז Pאם
. Pמודולו
}0{\* FF *F*Fx
4mod1P
Pax mod2
![Page 18: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/18.jpg)
הוכחת המשפט:
),0(
),1(
),(
2
1
21
pZ
qZ
zz
לפי הלמה קייםq . כך ש :נסתכל על
Pq mod2 1
![Page 19: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/19.jpg)
לכל , וסריג ב קיים אלגוריתם שמחשב בזמן פולינומיאלי וקטור
ש"אורכו" לכל היותר פעמים "אורך" הוקטור הקצר ביותר .
מחשב לא רק את הוקטור LLLאלגוריתם הקצר ביותר אלא את כל הבסיס הקצר
ביותר שפורש את הסריג.
The LLL algorithm
0dR
d)1(
v0
![Page 20: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/20.jpg)
לשם פשטות נסתכל על פולינומים עם ב )p(x. )1מקדמים שלמים ומקדם מוביל
(Z[x] נניח שרוצים למצוא פולינום מינימלי שנותן את
.)q(x נסמנו )p(x ) של aאותו השורש ) q(x( הוא בעל דרגה מינימלית כך ש q(a(=0.q(x( מחלק את p(x(. והוא לא ניתן לצמצום
אפליקציה של האלגוריתם עבור פולינומים
![Page 21: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/21.jpg)
The LLL algorithm על שם ממציאיו LLLלאלגוריתם
((L.Lovasz, A.Lenstra & H.Lenstraקיימים יישומים רבים בתורת המספרים
ובקריפטוגרפיה. ומאפשר לפרק 1982הוא התגלה ב
לגורמים פולינומים מעל השלמים בצורה יעילה.
מערכות הצפנה רבות נפרצו ע"י שימוש באלגוריתם בפרט כאלה שמבוססות על
בעיית התרמיל.
![Page 22: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/22.jpg)
-1864קצת על הרמן מינקובסקי )1909(
![Page 23: Lattices and Minkowski' Theorm](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022062408/56813a27550346895da20908/html5/thumbnails/23.jpg)
-1864קצת על הרמן מינקובסקי )1909(
נולד בליטא למשפחה יהודית תרומתו העיקרית למדע המתמטיקה היתה
בתורת המספרים , ייסד את התחום שנקרא גיאומטריה של מספרים. המציא את גיאומטרית
נהגי המוניות. בפיסיקה תרם להבנת תורת היחסות , תרם
בתחום האלקטרומגנטיות. עזר לאיינשטיין בייסוד תורת היחסות.