Download - Kompros scilab
![Page 1: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/1.jpg)
Computation Processusing
Scilab
![Page 2: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/2.jpg)
KomputasiKomputasi ProsesProses
1.1. PengenalanPengenalan ScilabScilab2.2. BahasaBahasa pemrogramanpemrograman dengandengan ScilabScilab3.3. MetodaMetoda NumerikNumerik4.4. AplikasiAplikasi KomputasiKomputasi ProsesProses dengandengan
ScilabScilab
![Page 3: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/3.jpg)
IntroductionIntroductionPhysical &
MathematicalMODELS
Simplified picture ofREALITY
Engineers are symbolic analysts
TOOL to solve PROBLEMS
•Forecasting•Controlling
Software
![Page 4: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/4.jpg)
Language Programme
Interactive program
Numerical computation & data visualization
![Page 5: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/5.jpg)
ScilabScilab
Software gratis: Software gratis: http://http://www.scilab.orgwww.scilab.orgOS: Windows OS: Windows dandan LinuxLinuxMiripMirip dengandengan program program MatlabMatlab
Tool Bar
Menu Bar
![Page 6: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/6.jpg)
-->r=6r =
6.-->luas=0.25*%pi*r^2luas =
28.274334
deff(‘(out1,out2,…)=modul(in1,in2,…)’,’persamaan’
Fungsi: mendefinisikan persamaan (rumus) pada jendela kerja
-->deff('A=luas(r)','A=0.25*%pi*r^2')-->ls=luas(3)
ls =7.0685835
-->
![Page 7: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/7.jpg)
Perintah membukaJendela Editor Hasil
Dari menu bar: (klik)EditorAtau tekan [alt – d]
Dari Tool bar: (klik)
Dari Jendela kerja:(ketik) scipad()
![Page 8: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/8.jpg)
Perlu di eksekusi: -->exec('c:\scinum\luasbs.sci');
![Page 9: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/9.jpg)
Tips:
Cara lebih mudah, dapat dilakukan (pilih salah satu):Pada menu bar “jendela editor”, pilih Execute (Alt+x) Load into ScilabPada menu bar “jendela editor”, Ctrl + lPada menu bar “jendela kerja”, pilih File Exec… pilih file yang akan dieksekusi
-->exec('c:\scilabc\luasbs.sci')-->function hsl=luasbs(r);--> hsl = 0.25*%pi*r^2;-->endfunction;-->
![Page 10: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/10.jpg)
getf() Fungsi: mengambil / mengaktifkan file *.scipada suatu fungsi yang lain
1 function V=volbs(h,r)2 getf('c:/scilabc/luasbs.sci')3 V=h*luasbs(r)4 endfunction
![Page 11: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/11.jpg)
ls file_dir Fungsi: menampilkan file pada‘direktori file’
-->ls c:/scinumans =!volbs.sci !! !!luasbs.sci !-->
Apabila fungsi atau modul yang akan digunakan cukupbanyak,maka penggunaan getf() tidak efektif
genlib(‘nama’,’file_dir’) Fungsi: membangun library dari fungsi (*.sci) pada‘direktori file’
-->genlib('libsbs','c:/scinum')
![Page 12: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/12.jpg)
load(’file_dir/lib’) Fungsi: memanggil library dari fungsipada ‘direktori file’
-->load('c:/scinum/lib')
![Page 13: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/13.jpg)
DIFFERENSIASI NUMERIK
Persamaan differensial merupakanmodel matematis yang paling seringmuncul dalam bidang keteknikanmaupun saintifikSalah satu penyelesaiannya denganmetode beda hingga (finite difference)
![Page 14: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/14.jpg)
Definisi turunan (derivatif)( ) ( ) ( ) ( )
0
0
xx0x xx
xfxflimx'f
dxxdf
00
−−
==→
Jika h = x – x0 = ∆x maka pendekatan turunan di atas adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
xfxfh
xfxfx'f 000 ∆
−=
−≈
Diketahui suatu fungsi y = f (x), ingin dicari pada x = x0.
Penyelesaiannya dapat menggunakan 3 cara yaitu :1. Forward Difference (Beda Maju)2. Backward Difference (Beda Mundur) 3. Central Difference (Beda Pusat)
dxdy
![Page 15: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/15.jpg)
1. Metode Beda Maju(Forward Difference)
Beda hingga maju pertama dari y pada i atau x didefinisikan :
∆yi = yi+1 – yi
Beda maju kedua pada i atau x didefinisikan :∆2yi = yi+2 – 2yi+1 + yi
atau ∆2y(x) = y(x+2h) – 2y(x+h) + y(x)Sehingga penyelesaiannya bisa dituliskan :
atau ∆y(x) = y(x+h) – y(x)
x)x(f)xx(f
dxdy 00
0xx ∆
−∆+≅
=( )i1i
i yyh1
dxdy
−= + atau
![Page 16: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/16.jpg)
2. Metode Beda Mundur(Backward Difference)
Beda hingga mundur pertama dari y pada i atau x didefinisikan :
∇yi = yi – yi-1
Beda mundur kedua pada i atau x didefinisikan :∇2yi = yi – 2yi-1 + yi-2
atau ∇2y(x) = y(x) – 2y(x-h) + y(x-2h)Sehingga penyelesaiannya bisa dituliskan :
atau ∇y(x) = y(x) – y(x-h)
x)xx(f)x(f
dxdy 00
0xx ∆
∆−−≅
=( )1ii
i yyh1
dxdy
−−= atau
![Page 17: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/17.jpg)
3. Metode Beda Pusat(Central Difference)
Beda hingga terpusat pertama dari y pada i atau x didefinisikan :
atau δy(x) = y(x+1/2 h) – y(x-1/2 h)Turunan beda terpusat selanjutnya adalah :
21
21 iii yyy −+ −=∂
( )1i1ii yy
h21
dxdy
−+ −= ( )1ii1i22i
2
yy2yh1
dxyd
−+ +−=;
( )2i1i1i2i33i
3
yy2y2yh21
dxyd
−−++ −+−=
Penyelesaiannya dapat dituliskan
x2)xx(f)xx(f
dxdy 00
0xx ∆
∆−−∆+≅
=atau( )1i1i
i yyh21
dxdy
−+ −=
![Page 18: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/18.jpg)
Derivatif Orde Dua
Untuk penurunan (derivatif) pangkat dua denganmetode beda hingga terpusat digunakan rumusdengan bentuk :
( )1ii2i22i
2
yy2yh1
dxyd
−+ +−=
Atau dapat juga dituliskan :
2000
0
x)xx(f)x(f2)xx(f
dxyd
xx2
2
∆
∆−+−∆+≅
=
![Page 19: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/19.jpg)
INTEGRASI NUMERISINTEGRASI NUMERISJika ada fungsi sedangkan f(x) sulit sekaliuntuk diintegrasikan secara analitik, maka cara yang paling mudah adalah dengan mengintegrasikannyasecara numerik
∫=nx
0xdx)x(fY
f(x)
xx0 x1 x2 xn-1 xn
![Page 20: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/20.jpg)
Dalam perhitungan integrasi numerik, luasan di bawahkurva akan diubah dalam bentuk trapesium, dimanaruang kosong merupakan bagian dari kesalahan numerikUntuk mengatasi kesalahan dilakukan dengan caramembagi menjadi trapesium dengan segmen yang lebihkecilIntegrasi dilakukan dengan menggunakan interval ∆x yang sama (homogen) sepanjang batas integrasi dari x0sampai xnBatas/interval integrasi dibagi menjadi n interval
Batas interval diberi indeks 0, 1, 2, ….. , n sehingga
( )n
xxx 0n −=∆
x.ixx 0i ∆+=
![Page 21: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/21.jpg)
Penyelesaian numerik dapat dilakukandengan dua cara, yaitu
Trapezoidal Rule
Simpson Rule⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
=+∑+∆
∫ ≅ )x(f)x(f2)x(f2xdx)x(f n
1n
1i i0nx
0x
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
=
−
=+∑+∑+∆
∫ ≅ )x(f)x(f2)x(f4)x(f3xdx)x(f n
2n
6,4,2i i1n
5,3,1i i0nx
0x
![Page 22: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/22.jpg)
AKAR PERSAMAAN (PERSAMAAN NON LINIER)
Merupakan bentuk persamaanaljabar yang nilainya sama dengan nolUntuk satu variabel bebas x, makaf(x) ≅ 0Banyak digunakan dalam model keteknikan maupun saintis
![Page 23: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/23.jpg)
Metode Penyelesaian AkarPersamaan
1. Metode Pengurungan (bracketing method)
Memerlukan dua titik sebagai tebakan awal2. Metode Terbuka (open method)
Hanya memerlukan satu titik sebagaitebakan awal
![Page 24: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/24.jpg)
1. METODE PENGURUNGAN
Dilakukan dengan menebak 2 angkaa. Metode Bisection (bagi dua)b. Metode Regula Falsi (posisi palsu)
atau Metode Interpolasi Linier
![Page 25: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/25.jpg)
a. Metode Bisection (Bagi Dua)
Merupakan metode yang paling sederhanaDiawali dengan menebak dua nilai yaitu nilai bawah(sblm akar) xa dan nilai atas (stlh akar) xbTebakan benar jika f(xb) dan f(xa) mempunyaitanda yang berlawanan : f(xb) . f(xa) < 0Jika f(xb) . f(xa) > 0 maka tebakan awal diulangiNilai kedua tebakan dibagi dua, disebut xcNilai xc akan menggantikan posisi nilai lama.Jika xc berada pada posisi xb disebut dengan x’
bdan jika berada pada posisi xa akan diubah menjadix’
a
![Page 26: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/26.jpg)
Algoritma Bisection (Bagi Dua)1. Tebak akar atas, xa dan akar bawah, xb2. Periksa f(xa).f(xb)=0 stop didapat harga akar3. Periksa f(xa).f(xb)<0, jika tidak kembali ke-14. Periksa kriteria penghentian,
jika terpenuhi stop tulis akar5. Perkirakan akar yang dicari
xc = (xa + xb)/26. Evaluasi akar xc Hitung f(xc)
a. Jika f(xc).f(xa)>0, maka xc berada di subinterval bawah Atur xa = xc kembali ke-4
b. Jika f(xc).f(xa)<0, maka xc berada di subinterval atas Atur xb = xc kembali ke-4
c. Jika f(xb).f(xc)=0, maka didapat harga akar yang dicari: xc selesai
![Page 27: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/27.jpg)
b. Metode Regula Falsi (Posisi Palsu)
Merupakan perbaikan dari metodebisectionDilakukan dengan menarik garis lurus padakedua interval xb dan xa
Harga
Algoritma sama dengan metode bisection, hanya tahapan 5 diganti nilai xcnya
( )( )( ) ( )ab
abaac xfxf
xxxfxx−−
−=
![Page 28: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/28.jpg)
2. METODE TERBUKA
Dilakukan dengan menebak 1 angkaa. Metode Pertemuan Dua Grafikb. Metode Newton Raphsonc. Metode Secant
![Page 29: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/29.jpg)
b. Metode Newton Raphson
Mula-mula diperkirakan harga xi awalkemudian dipotongkan thd kurva danditarik garis singgungGaris singgung merupakan tangen atauslope.Slope merupakan turunan pertama darif(xi) sehingga didapat hubungan :
Persamaan Newton Raphson :
( ) ( )( )1ii
ii xx
xfx'f+−
=
( )( )i
ii1i x'f
xfxx −=+
![Page 30: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/30.jpg)
Algoritma Newton Raphson1. Tuliskan fungsi f(x)2. Cari harga f’(x)3. Masukkan tebakan awal x04. Masukkan parameter penghentian program :
Kesalahan relatif perkiraan EbsJumlah iterasi maksimum
5. Inisialisasi harga : iterasi = 0 dan Eas = 1.1 Ebs6. Jika kesalahan relatif (Eas > Ebs) dan (iterasi <
iterasi makasimum) maka :a. Harga
b. Cek harga Eas
c. Iterasi = iterasi + 17. Ulangi 6 sampai kondisi tercapai8. Tulis xiter = akar
( )( )i
ii1iiter x'f
xfxxx −== +
iter
1iteriteras x
xxE −−=
![Page 31: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/31.jpg)
c. Metode Secant
Kelemahan metode Newton Raphson, harus mencari turunan pertama darifungsi f(xi)Metode secant untuk menghindariturunan pertama dengan turunannumerik mundur
( ) ( ) ( )i1i
i1ii xx
xfxfx'f−−
=−
−
![Page 32: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/32.jpg)
Sub Program PERSAMAAN NON LINEAR
Scilab menyediakan sub program untuk menyelesaikan satu ataubeberapa sistem persamaan non linear secara simultan denganmenggunakan perintah fsolve
x = fsolve(x0, persamaan)
Contoh :Akan dicari akar persamaan simultan non linear dari :
57xy3y10xyx
2
2
=+
=+
( )( ) 057xy3yy,xf
010xyxy,xf2
2
21
=−+=
=−+=Kedua persamaan diubah menjadi :
Persamaan ditulis dalam bentuk matrik dengan x sebagaix(1) dan y sebagai x(2)
![Page 33: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/33.jpg)
Contoh :
Diketahui persamaan Van der Waals untukmenggambarkan kondisi gas non-ideal :
Hitunglah volume molar udara (V) pada 50 atm dan suhu -100oC jika diketahui nilaikonstanta a = 1.33 atm.liter2/gmol, b = 0.0366 liter/gmol dan R = 0.08205 liter.atm/K.gmol
( ) RTbVVaP 2 =−+ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
![Page 34: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/34.jpg)
PERSAMAAN DIFERENSIAL1. Persamaan Diferensial Biasa (ODE), hanya
terdapat 1 variabel bebas
2. Persamaan Diferensial Parsial (PDE), terdapat lebih dari 1 variabel bebas
kxdxdyy
dxyd2
2=+
tT
xT2
2
∂∂
=∂∂
α
![Page 35: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/35.jpg)
Persamaan Diferensial Biasa (ODE)Berdasarkan pangkat (Orde) :• PDB Orde satu :• PDB Orde dua :• PDB Orde tiga :Berdasarkan kondisi batas :• IVP (Initial Value Problems), bila nilai variabel tak
bebas atau turunannya diketahui pada kondisi nilaimula-mula
• BVP (Boundary Value Problems), bila nilai variabeltak bebas atau turunannya diketahui lebih darisatu nilai variabel bebasnya
kxydxdy
=+
kxdxdyy
dxyd2
2
=+
kxdxdyb
dxyda
dxyd 2
2
2
3
3
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++
![Page 36: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/36.jpg)
Persamaan Diferensial Parsial (PDE)
• PDE Order satu :
• PDE Order dua :
• PDE Order tiga :
0yC
xC
=∂∂
α−∂∂
0yCD
xC
e2
2
=∂∂
+∂∂
0yu
yxu
xu 22
3
3
=∂∂
+∂∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
![Page 37: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/37.jpg)
Penyelesaian PersamaanDiferensial Biasa (ODE)
1. Metode Euler (Eksplisit)2. Metode Euler Modifikasi (Implisit)3. Metode Runge-Kutta
![Page 38: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/38.jpg)
1. Metode Euler (Eksplisit)Disebut juga metoda integrasi nilai awal
Kondisi awal : y(x0) = y0
( )y,xfdxdy
=
( ) dxy,xfdy1i
i
1i
i
x
x
y
y∫∫++
= ( )∫+
=−+
1i
i
x
xi1i dxy,xfyy
( )iii1i y,xfhyy +=+
![Page 39: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/39.jpg)
Perbandingan Analitis denganMetode Euler (Eksplisit)
Persamaan diferensial yang diselesaikan:
8x6x4dxdy 23 +−= Dimana x = 0, y = 2 (kondisi awal); xa=3, h=0.5
xi yanaltk yeuler % kslhan
0 2 2 -
0.5 5.81 6 3.27
1 9 9.5 5.56
1.5 12.31 12.5 1.54
2 18 16.5 8.33
2.5 29.81 24.5 17.81
3 53 41 22.64
![Page 40: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/40.jpg)
Algoritma Metode Euler (Eksplisit)1. Tentukan x = x0 dan y = y02. Tentukan nilai awal x0 dan nilai akhir xa
dari variabel bebas3. Tentukan nilai h4. Inisialisasi i = 05. Buat persamaan f(x,y), modul terpisah6. Vektor x(i)=[x0, x0+h, x0+2h,…,xa]7. Jumlah loop, n=(xa-x0)/h8. Untuk i=0 sampai n-1 maka :9. yi+1=yi + hf(xi,yi)10. x = x + h11. Simpan nilai xi, yi12. Lanjutkan i
![Page 41: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/41.jpg)
2. Metode Euler Modifikasi (Implisit)Untuk memperkecil kesalahanMerupakan gabungan antara beda majudan beda mundurBeda maju pertama dari y pada i samadengan beda mundur pertama dari y padai+1
sehingga
1ii1ii yyyy ++ ∇=−=∆ 1ii1i yyy ++ ∇+=
( )1i1ii1i y,xfhyy +++ +=
![Page 42: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/42.jpg)
Untuk memperbaiki metode Euler, maka metode Euler eksplisit digunakan untuk memprediksi nilai yi+1
Nilai prediksi pada persamaan di atas digunakan untukmengkoreksi metoda implisit
Persamaan di atas disebut dengan Metode PrediktorKorektor atau Metode HeunKombinasi metoda beda maju dan beda mundur dituliskandalam bentuk
( ) ( )iiipred1i y,xfhyy +=+
( ) ( )( )pred1i1iikork1i y,xfhyy +++ +=
( )1ii21
i1i yyyy ++ ∇+∇+=
( ) ( ) ( )1i1i21
ii21
i1i y,xfhy,xfhyy +++ ++=
fpred
fcorr
fpred fcorr
![Page 43: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/43.jpg)
Perbandingan dengan Analitis
xi yanaltk yeuler % kslhanEuler
yeuler-mod % kslhanEuler-mod
0 2 2 - 2 -0.5 5.81 6 3.27 5.75 1.031 9 9.5 5.56 9 0.0
1.5 12.31 12.5 1.54 12.5 1.542 18 16.5 8.33 18.5 2.78
2.5 29.81 24.5 17.81 30.75 3.153 53 41 22.64 54.5 2.83
![Page 44: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/44.jpg)
3. Metode Runge-Kutta
Merupakan metode untukmenyelesaikan persamaandiferensial dengan ketelitian dankestabilan yang cukup tinggi.Sangat umum digunakan untukmenyelesaikan bentuk PDB baiklinear maupun non linear denganproblema kondisi awal
![Page 45: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/45.jpg)
Bentuk penyelesaian berdasarkan orde (pangkat):Orde (pangkat) dua:
Dimana nilai dari ki adalah :
Orde (pangkat) tiga :Dimana nilai dari ki adalah :
Orde (pangkat) empat :Dimana nilai dari ki adalah :
( )2121
i1i kkyy ++=+
( )ii1 y,xfhk =
( )1ii2 ky,hxfhk ++=
( )32161
i1i kk4kyy +++=+
( )ii1 y,xfhk =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
2k
y,2hxfhk 1
ii2 ( )12ii3 kk2y,hxfhk −++=;
( )432161
i1i kk2k2kyy ++++=+
( )ii1 y,xfhk =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
2ky,
2hxfhk 1
ii2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
2k
y,2hxfhk 2
ii3
( )3ii4 ky,hxfhk ++=
![Page 46: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/46.jpg)
Perbandingan dengan Analitis
xi yanaltk yeuler
% kslhanEuler
yeuler-mod
% kslhanEuler-mod
yrk4
% kslhan
rk4
0 2 2 - 2 - 2 -0.5 5.8125 6 3.27 5.75 1.03 5.8125 01 9 9.5 5.56 9 0.0 9 0
1.5 12.3125 12.5 1.54 12.5 1.54 12.3125 02 18 16.5 8.33 18.5 2.78 18 0
2.5 29.8125 24.5 17.81 30.75 3.15 29.8125 03 53 41 22.64 54.5 2.83 53 0
![Page 47: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/47.jpg)
Sub Program PDBScilab menyediakan sub program siap pakai untukmenyelesaikan persoalan PDB
y=ode (y0,t0,t,fungsi)
fungsidtdy
=Bentuk persamaan :
Dimana :
y0 = kondisi awal dari variabel tak bebas (y)
t0 = kondisi awal dari variabel bebas (t)
t = batasan simulasi dari variabel bebas
![Page 48: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/48.jpg)
Persamaan Diferensial BiasaSimultan
Merupakan sekumpulan persamaan diferensial biasayang harus diselesaikan secara simultan
( )
( )
( )n21nn
n2122
n2111
y,...,y,y,xfdx
dy..
y,...,y,y,xfdxdy
y,...,y,y,xfdxdy
=
=
=
![Page 49: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/49.jpg)
Penyelesaian dengan menggunakanmetode Runge Kutta orde empat
( )j4j3j2j161
j,ij,1i kk2k2kyy ++++=+
Dengan nilai k adalah :
( )
( )n,3n,i2,32,i1,31,iijj,4
n,2n,i
2,22,i
1,21,iijj,3
n,1n,i
2,12,i
1,11,iijj,2
n,i2,i1,iijj,1
ky,...,ky,ky,hxhfk2
ky,...,
2k
y,2
ky,
2hxhfk
2k
y,...,2
ky,
2k
y,2hxhfk
y,...,y,y,xhfk
++++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=
=
Dimana j = 1, 2, … , n → menunjukkan nomor persamaannya
![Page 50: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/50.jpg)
Jika dalam sistem terdapat dua persamaan diferensial biasadengan bentuk
( )
( )2122
2111
y,y,xfdxdy
y,y,xfdxdy
=
=
Maka penyelesaian persamaan diferensial biasa tersebutdengan menggunakan metode Runge Kutta orde 4 secarasimultan adalah :
( )( )2,42,32,22,16
12,i2,1i
1,41,31,21,161
1,i1,1i
kk2k2kyy
kk2k2kyy
++++=
++++=
+
+
![Page 51: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/51.jpg)
dimana :( )( )
( )( )2,32,i1,31,ii22,4
2,32,i1,31,ii11,4
2,22,i
1,21,ii22,3
2,22,i
1,21,ii11,3
2,12,i
1,11,ii22,2
2,12,i
1,11,ii11,2
2,i1,ii22,1
2,i1,ii11,1
ky,ky,hxhfkky,ky,hxhfk
2k
y,2
ky,
2hxhfk
2k
y,2
ky,
2hxhfk
2k
y,2
ky,
2hxhfk
2k
y,2
ky,
2hxhfk
y,y,xhfky,y,xhfk
+++=
+++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
=
=
![Page 52: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/52.jpg)
Akan diselesaikan dan divisualisasikan dua buahpersamaan diferensial biasa sebagai berikut :
122
11
y1.0y3.04dxdy
y5.0dxdy
−−=
−=
Dengan kondisi awal (batas) :
x = 0; y1 = 4; y2 = 2
![Page 53: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/53.jpg)
Contoh :Dua buah tangki air tersambung secara seri dan salingberinteraksi. Kecepatan aliran keluar merupakan fungsi akarkuadrat dari ketinggian air, jadi untuk tangki 1 kecepatanalirannya adalah sedangkan untuk tangki 2 sebagaifungsi . Akan ditentukan ketinggian h1 dan h2 sebagai fungsiwaktu dari t = 0 sampai t = 40 menit dengan interval 4 menit. Setelah disusun neraca bahan, diperoleh persamaan diferensialsimultan sebagai fungsi waktu :
;
Harga-harga parameter yang ada :β1 = 2,5 ft2,5/menit β2 = 5/√6 ft3/menitA1 = 5 ft2 A2 = 10 ft2 F = 5 ft3/menit
Dengan kondisi awal pada t = 0, h1 = 12 ft dan h2 = 7 ft
21 hh −
2h
211
1
1
1 hhAAF
dtdh −
β−= 2
2
221
2
22 hA
hhAdtdh β
−−β
=
![Page 54: Kompros scilab](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022042423/558506b4d8b42a8f078b5377/html5/thumbnails/54.jpg)
Uap campuran keluar dari kondensor parsial kolom destilasiyang beroperasi pada 1 atm dengan komposisi 47% mol air (1), 20% mol asam formiat (2) dan sisanya methanol (3). Padakondensor terjadi kesetimbangan antara uap dan cairannya danberlaku persamaan-persamaan berikut :
dimana, dan untuk P0i diperkirakan dengan
persamaan Antoine :
dengan i = 1, 2, 3 dan
Perkirakanlah suhu operasi pada operasi kondensor (=dewpoint uap campuran) dalam oC, dengan data konstanta
A1 = 18,304 A2 = 16,988 A3 = 18,510B1 = 3816,4 B2 = 3599,6 B3 = 3593,4C1 = -46,13 C2 = -26,09 C3 = -35,225
Po dalam mmHg dan T dalam Kelvin
i
ii K
yx =
PPK io
i =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−=
i
iiio
CTB
AexpP 1xi
i =∑