Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Funcion de particion“Partiendo” desde el principio
Investmat
A. FerreroI. GarcıaA. IdrissiA. Saez
Universitat de Valencia, 2013
A. Ferrero, I. Garcıa, A. el Idrissi, A. Saez Funcion de particion
Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
1 Definicion de la funcion particion
2 Propiedades funcion particion
3 Aplicaciones de la funcion particion
A. Ferrero, I. Garcıa, A. el Idrissi, A. Saez Funcion de particion
Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Introduccion
¿Como surgio p(n)?
Surge a raız del problema general de la Teorıa aditiva de numeros.
A. Ferrero, I. Garcıa, A. el Idrissi, A. Saez Funcion de particion
Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Introduccion
Problema general de la Teorıa de numeros
Si A = a1, a2, a3 . . . es un sistema de enteros dado. Consideramostodas las posibles representaciones de un entero arbitrario npositivo de la forma:
n = ai1 + ai2 + . . .+ ai`
donde pueden haber o no las siguientes restricciones:
` prefijado,
aj 6= at ∀j 6= t,
el orden de los enteros importa.
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Aplicaciones de la funcion particion
Introduccion
Problema general de la Teorıa de numeros
Si A = a1, a2, a3 . . . es un sistema de enteros dado. Consideramostodas las posibles representaciones de un entero arbitrario npositivo de la forma:
n = ai1 + ai2 + . . .+ ai`
donde pueden haber o no las siguientes restricciones:
` prefijado,
aj 6= at ∀j 6= t,
el orden de los enteros importa.
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Aplicaciones de la funcion particion
Introduccion
Ejemplo
A → conjunto de cuadrados.
Problema → Escribir n como suma de cuadrados:
n = b21 + b2
2 + . . .+ b2`
` = 2 y n = 2 o n ≡ 1 (mod 4) primo → Teorema de Fermat:n = x2 + y2.
` = 4 → Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange:n = a2 + b2 + c2 + d2.
` = 24 → Problema del cual surge la funcion τ de Ramanujan.
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Introduccion
Ejemplo
A → conjunto de cuadrados.
Problema → Escribir n como suma de cuadrados:
n = b21 + b2
2 + . . .+ b2`
` = 2 y n = 2 o n ≡ 1 (mod 4) primo → Teorema de Fermat:n = x2 + y2.
` = 4 → Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange:n = a2 + b2 + c2 + d2.
` = 24 → Problema del cual surge la funcion τ de Ramanujan.
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Introduccion
Ejemplo
A → conjunto de cuadrados.
Problema → Escribir n como suma de cuadrados:
n = b21 + b2
2 + . . .+ b2`
` = 2 y n = 2 o n ≡ 1 (mod 4) primo → Teorema de Fermat:n = x2 + y2.
` = 4 → Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange:n = a2 + b2 + c2 + d2.
` = 24 → Problema del cual surge la funcion τ de Ramanujan.
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Introduccion
Ejemplo
A → conjunto de cuadrados.
Problema → Escribir n como suma de cuadrados:
n = b21 + b2
2 + . . .+ b2`
` = 2 y n = 2 o n ≡ 1 (mod 4) primo → Teorema de Fermat:n = x2 + y2.
` = 4 → Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange:n = a2 + b2 + c2 + d2.
` = 24 → Problema del cual surge la funcion τ de Ramanujan.
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Introduccion
Es uno de los problemas no resueltos mas difıciles de la teorıa denumeros:
Ejemplo
A → conjunto de numeros primos.
` = 2 y n > 2 par → Conjetura de Goldbach (1742)
“Todo numero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dosnumeros primos”.Ası la conjetura lo que dirıa es que existe, al menos una forma deescribir los numeros pares mayores que 2 como suma de dos primos.
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Aplicaciones de la funcion particion
Introduccion
Nuestro caso
Imponemos las siguientes premisas:
A = N,
` arbitrario,
aj = at aunque j 6= t,
el orden no importa.
A raız de estas condiciones obtenemos la definicion de particion yfuncion particion.
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Introduccion
Nuestro caso
Imponemos las siguientes premisas:
A = N,
` arbitrario,
aj = at aunque j 6= t,
el orden no importa.
A raız de estas condiciones obtenemos la definicion de particion yfuncion particion.
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Introduccion
Nuestro caso
Imponemos las siguientes premisas:
A = N,
` arbitrario,
aj = at aunque j 6= t,
el orden no importa.
A raız de estas condiciones obtenemos la definicion de particion yfuncion particion.
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Definicion de particion
Definicion: particion de n
Una particion de n es una representacion de n como suma deenteros positivos.
Nota
Dos representaciones con los mismos sumandos pero en ordendistinto, representan la misma particion de n.
Para evitar confusion los elementos de la particion se ordenanen orden decreciente.
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Definicion de particion
Definicion: particion de n
Una particion de n es una representacion de n como suma deenteros positivos.
Nota
Dos representaciones con los mismos sumandos pero en ordendistinto, representan la misma particion de n.
Para evitar confusion los elementos de la particion se ordenanen orden decreciente.
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Aplicaciones de la funcion particion
Ejemplo: particiones del 5
Dado n = 5, aquı tenemos todas las posibles representaciones de 5:
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1,
5 = 2 + 1 + 1 + 1,
5 = 2 + 2 + 1,
5 = 3 + 1 + 1,
5 = 3 + 2,
5 = 4 + 1,
5 = 5.
Se observa que la cantidad de particiones es 7.
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Aplicaciones de la funcion particion
Ejemplo: particiones del 5
Dado n = 5, aquı tenemos todas las posibles representaciones de 5:
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1,
5 = 2 + 1 + 1 + 1,
5 = 2 + 2 + 1,
5 = 3 + 1 + 1,
5 = 3 + 2,
5 = 4 + 1,
5 = 5.
Se observa que la cantidad de particiones es 7.
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Definicion de la funcion particion
Definicion: funcion particion de n
La funcion particion de n, p(n), es el numero de veces diferentesque se puede escribir un numero dado n como suma de numerosenteros positivos.
Ası en el ejemplo anterior:
p(5) = 7.
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Definicion de la funcion particion
Definicion: funcion particion de n
La funcion particion de n, p(n), es el numero de veces diferentesque se puede escribir un numero dado n como suma de numerosenteros positivos.
Ası en el ejemplo anterior:
p(5) = 7.
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Aplicaciones de la funcion particion
Nota
Por convenio, se tiene que:
p(0) = 1,
p(m) = 0 con m entero negativo.
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Aplicaciones de la funcion particion
Ejemplos de la funcion particion
Calculando mas valores de la funcion particion, p(n) para n ≥ 0,obtenemos la siguiente sucesion de numeros:
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385,
490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604,
6482, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338,
44583, 53174, 63261, 75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525,
204226, 239943, 281589, 329931, 386155, 451276, 526823, 614154,
715220, 831820, 966467, 1121505, 1300156, 1505499, . . .
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Ejemplos de la funcion particion
Calculando mas valores de la funcion particion, p(n) para n ≥ 0,obtenemos la siguiente sucesion de numeros:
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385,
490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604,
6482, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338,
44583, 53174, 63261, 75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525,
204226, 239943, 281589, 329931, 386155, 451276, 526823, 614154,
715220, 831820, 966467, 1121505, 1300156, 1505499, . . .
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Aplicaciones de la funcion particion
Funcion particion
Como se observa, cada vez es mas alto el valor de p(n), lo cualdificulta su obtencion usando la definicion.
Cuestion
¿Hay alguna forma de obtener el valor exacto de p(n) para un ndado sin tener que calcular todas las posibles particiones de n?
Hasta hace apenas un ano, la respuesta era NO.
Vamos a ver primero resultados que ya se sabıan y que se usabanpara calcular los valores de la funcion.
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Funcion particion
Como se observa, cada vez es mas alto el valor de p(n), lo cualdificulta su obtencion usando la definicion.
Cuestion
¿Hay alguna forma de obtener el valor exacto de p(n) para un ndado sin tener que calcular todas las posibles particiones de n?
Hasta hace apenas un ano, la respuesta era NO.
Vamos a ver primero resultados que ya se sabıan y que se usabanpara calcular los valores de la funcion.
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Funcion particion
Como se observa, cada vez es mas alto el valor de p(n), lo cualdificulta su obtencion usando la definicion.
Cuestion
¿Hay alguna forma de obtener el valor exacto de p(n) para un ndado sin tener que calcular todas las posibles particiones de n?
Hasta hace apenas un ano, la respuesta era NO.
Vamos a ver primero resultados que ya se sabıan y que se usabanpara calcular los valores de la funcion.
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Funcion particion
Como se observa, cada vez es mas alto el valor de p(n), lo cualdificulta su obtencion usando la definicion.
Cuestion
¿Hay alguna forma de obtener el valor exacto de p(n) para un ndado sin tener que calcular todas las posibles particiones de n?
Hasta hace apenas un ano, la respuesta era NO.
Vamos a ver primero resultados que ya se sabıan y que se usabanpara calcular los valores de la funcion.
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1 Definicion de la funcion particion
2 Propiedades funcion particion
3 Aplicaciones de la funcion particion
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Aplicaciones de la funcion particion
Formula recursiva
¿Podemos calcular numeros como p(200)?
Mirando como van creciendo los numeros parece complicado.
La solucion a esta pregunta la dio Leonhard Euler:
Teorema (Euler (1700s))
p(n) = p(n− 1) + p(n− 2)− p(n− 5)− p(n− 7) + p(n− 12) + . . .
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Formula recursiva
¿Podemos calcular numeros como p(200)?
Mirando como van creciendo los numeros parece complicado.
La solucion a esta pregunta la dio Leonhard Euler:
Teorema (Euler (1700s))
p(n) = p(n− 1) + p(n− 2)− p(n− 5)− p(n− 7) + p(n− 12) + . . .
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Formula recursiva
Nota
Fue muy famoso en 1915 el calculo de los primeros 200 valores dela funcion particion, usando el teorema de Euler.
p(1) = p(1− 1) = p(0) = 1
p(2) = p(2− 1) + p(2− 2) = 1 + 1 = 2
p(3) = p(3− 1) + p(3− 2) = 2 + 1 = 3
p(4) = p(4− 1) + p(4− 2) = 3 + 2 = 5
p(5) = p(5− 1) + p(5− 2)− p(5− 5) = 5 + 3− 1 = 7
· · ·p(200) = 3972999029388
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Nota
Fue muy famoso en 1915 el calculo de los primeros 200 valores dela funcion particion, usando el teorema de Euler.
p(1) = p(1− 1) = p(0) = 1
p(2) = p(2− 1) + p(2− 2) = 1 + 1 = 2
p(3) = p(3− 1) + p(3− 2) = 2 + 1 = 3
p(4) = p(4− 1) + p(4− 2) = 3 + 2 = 5
p(5) = p(5− 1) + p(5− 2)− p(5− 5) = 5 + 3− 1 = 7
· · ·
p(200) = 3972999029388
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Formula recursiva
Nota
Fue muy famoso en 1915 el calculo de los primeros 200 valores dela funcion particion, usando el teorema de Euler.
p(1) = p(1− 1) = p(0) = 1
p(2) = p(2− 1) + p(2− 2) = 1 + 1 = 2
p(3) = p(3− 1) + p(3− 2) = 2 + 1 = 3
p(4) = p(4− 1) + p(4− 2) = 3 + 2 = 5
p(5) = p(5− 1) + p(5− 2)− p(5− 5) = 5 + 3− 1 = 7
· · ·p(200) = 3972999029388
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Aproximacion
Cuestion
¿Podemos aproximar el valor de la funcion de particion?
Teorema (Hardy-Ramanujan (1918))
Para n muy grande, se tiene:
p(n) ∼ 1
4n√
3· eπ√
2n/3
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Aproximacion
Cuestion
¿Podemos aproximar el valor de la funcion de particion?
Teorema (Hardy-Ramanujan (1918))
Para n muy grande, se tiene:
p(n) ∼ 1
4n√
3· eπ√
2n/3
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Aproximacion
Si denotamos Aprox := 14n√
3· eπ√
2n/3.
Veamos como aproxima:
n p(n) Aprox(n) Aprox(n)p(n)
1020304050· · ·200· · ·
42627560437338204226· · ·3972999029388· · ·
48,104 . . .692,384 . . .6080,435 . . .40080,080 . . .217590,501 . . .· · ·4100251432187,829 . . .· · ·
1,145 . . .1,104 . . .1,085 . . .1,073 . . .1,065 . . .· · ·1,032 . . .· · ·
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Aplicaciones de la funcion particion
Con lo visto hasta ahora seguimos sin solucionar nuestro problema:¿Hay alguna forma directa de calcular p(n) para un n dado?
Teorema (Rademacher (1943))
Si n es un entero positivo, entonces
p(n) = 2π(24n − 1)−34
∞∑k=1
Ak(n)
k· I 3
2
(π√
24n − 1
6k
),
donde
Ak(n) =∑
0≤m<k;(m,k)=1
eπi[η(m,k)− 1k
2nm],
I 32(z) =
√2zπ
ddz
(sinh zz
).
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Con lo visto hasta ahora seguimos sin solucionar nuestro problema:¿Hay alguna forma directa de calcular p(n) para un n dado?
Teorema (Rademacher (1943))
Si n es un entero positivo, entonces
p(n) = 2π(24n − 1)−34
∞∑k=1
Ak(n)
k· I 3
2
(π√
24n − 1
6k
),
donde
Ak(n) =∑
0≤m<k;(m,k)=1
eπi[η(m,k)− 1k
2nm],
I 32(z) =
√2zπ
ddz
(sinh zz
).
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Con lo visto hasta ahora seguimos sin solucionar nuestro problema:¿Hay alguna forma directa de calcular p(n) para un n dado?
Teorema (Rademacher (1943))
Si n es un entero positivo, entonces
p(n) = 2π(24n − 1)−34
∞∑k=1
Ak(n)
k· I 3
2
(π√
24n − 1
6k
),
donde
Ak(n) =∑
0≤m<k;(m,k)=1
eπi[η(m,k)− 1k
2nm],
I 32(z) =
√2zπ
ddz
(sinh zz
).
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Notas
La formula asintotica de Hardy y Ramanujan fueposteriormente perfeccionada por Rademacher para obteneruna formula “exacta”.
Para probar dicha formula, Rademacher uso principalmentelos cırculos de Ford (centro (p/q, 1/(2q2)) y radio1/(2q2),donde p y q son coprimos), series de Farey, simetrıamodular y la funcion η de Dedekind.
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Cuestiones
Nota
Como dijo Ken Ono en una de sus conferencias: “There are crazyinfinite sums of perfectly good integers”.
¿Podrıamos obtener el valor de p(n) truncando la suma?
¿Hay alguna suma finita con la que obtener el valor de p(n)?
La respuesta ahora es SI: usando la siguiente formula finitaalgebraica.
A. Ferrero, I. Garcıa, A. el Idrissi, A. Saez Funcion de particion
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Cuestiones
Nota
Como dijo Ken Ono en una de sus conferencias: “There are crazyinfinite sums of perfectly good integers”.
¿Podrıamos obtener el valor de p(n) truncando la suma?
¿Hay alguna suma finita con la que obtener el valor de p(n)?
La respuesta ahora es SI: usando la siguiente formula finitaalgebraica.
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Cuestiones
Nota
Como dijo Ken Ono en una de sus conferencias: “There are crazyinfinite sums of perfectly good integers”.
¿Podrıamos obtener el valor de p(n) truncando la suma?
¿Hay alguna suma finita con la que obtener el valor de p(n)?
La respuesta ahora es SI: usando la siguiente formula finitaalgebraica.
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Genialidad
Teorema (Bruinier-Ono (2013))
Tenemos una funcion llamada P(z) (la forma debil de Maass) talque:
p(n) =1
24n − 1· (P(αn,1) + P(αn,2) + · · ·+ P(αn,hn)) .
Los numeros P(αn,m) son algebraicos.
Notas
Los α′s son raıces de hn ∼√n ecuaciones cuadraticas.
La formula es una suma corta de numeros algebraicos.
Da un efectivo y eficiente metodo para obtener p(n).
A. Ferrero, I. Garcıa, A. el Idrissi, A. Saez Funcion de particion
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Genialidad
Teorema (Bruinier-Ono (2013))
Tenemos una funcion llamada P(z) (la forma debil de Maass) talque:
p(n) =1
24n − 1· (P(αn,1) + P(αn,2) + · · ·+ P(αn,hn)) .
Los numeros P(αn,m) son algebraicos.
Notas
Los α′s son raıces de hn ∼√n ecuaciones cuadraticas.
La formula es una suma corta de numeros algebraicos.
Da un efectivo y eficiente metodo para obtener p(n).
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Generatriz de la funcion particion
Dejando a un lado estas recientes formulas, vamos a hallar lafuncion generatriz de p(n) la cual fue hallada por Euler.
Queremos obtener la funcion F (x) tal que:
F (x) =∞∑n=0
p(n)xn
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Generatriz de la funcion particion
Dejando a un lado estas recientes formulas, vamos a hallar lafuncion generatriz de p(n) la cual fue hallada por Euler.
Queremos obtener la funcion F (x) tal que:
F (x) =∞∑n=0
p(n)xn
A. Ferrero, I. Garcıa, A. el Idrissi, A. Saez Funcion de particion
Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Generatriz de la funcion particion
Idea
Por definicion, toda particion de n contribuye con un 1 en elcoeficiente de xn.
Vamos a considerar el siguiente producto infinito:
F (x) =(1 + x1 + x2 + x3 + . . .
)·(1 + x2 + x4 + x6 + . . .
)·
·(1 + x3 + x6 + x9 + . . .
)· · · =
∞∏i=1
( ∞∑k=0
xk·i
)
donde en cada factor i (i.e. factor numero i), el exponente k · i dela x representa que i aparece k veces en una particion de un ciertonumero entero positivo n.
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Aplicaciones de la funcion particion
Generatriz de la funcion particion
Idea
Por definicion, toda particion de n contribuye con un 1 en elcoeficiente de xn.
Vamos a considerar el siguiente producto infinito:
F (x) =(1 + x1 + x2 + x3 + . . .
)·(1 + x2 + x4 + x6 + . . .
)·
·(1 + x3 + x6 + x9 + . . .
)· · · =
∞∏i=1
( ∞∑k=0
xk·i
)
donde en cada factor i (i.e. factor numero i), el exponente k · i dela x representa que i aparece k veces en una particion de un ciertonumero entero positivo n.
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Generatriz de la funcion particion
F (x) =(1 + x1 + x2 + x3 + . . .
)·(1 + x2 + x4 + x6 + . . .
)·
·(1 + x3 + x6 + x9 + . . .
)·(1 + x4 + x8 + x12 + . . .
)· · ·
= 1 · 1 · · · 1 + 1 · x2 · 1 · · · 1 + 1 · x4 · 1 · · · 1 + . . .
+ x · 1 · · · 1 + x · x2 · 1 · · · 1 + x · x4 · · · 1 + · · ·+ x2 · 1 · · · 1 + x2 · x2 · 1 · · · 1 + x2 · x4 · 1 · · · 1 + . . .
+ x3 · 1 · · · 1 + x3 · x2 · 1 · · · 1 + . . .+ x4 · 1 · 1 · · · 1 + . . .
+ 1 · 1 · x3 · 1 · · · 1 + x · 1 · x3 · 1 · · · 1 + · · ·+ 1 · 1 · 1 · x4 · · · 1 + · · ·= 1x0 + 1x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + . . .
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Aplicaciones de la funcion particion
Generatriz de la funcion particion
F (x) =(1 + x1 + x2 + x3 + . . .
)·(1 + x2 + x4 + x6 + . . .
)·
·(1 + x3 + x6 + x9 + . . .
)·(1 + x4 + x8 + x12 + . . .
)· · ·
= 1 · 1 · · · 1 + 1 · x2 · 1 · · · 1 + 1 · x4 · 1 · · · 1 + . . .
+ x · 1 · · · 1 + x · x2 · 1 · · · 1 + x · x4 · · · 1 + · · ·+ x2 · 1 · · · 1 + x2 · x2 · 1 · · · 1 + x2 · x4 · 1 · · · 1 + . . .
+ x3 · 1 · · · 1 + x3 · x2 · 1 · · · 1 + . . .+ x4 · 1 · 1 · · · 1 + . . .
+ 1 · 1 · x3 · 1 · · · 1 + x · 1 · x3 · 1 · · · 1 + · · ·+ 1 · 1 · 1 · x4 · · · 1 + · · ·= 1x0 + 1x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + . . .
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Generatriz de la funcion particion
Por tanto, escribiendo F (x) como una serie de Taylor serıa:
F (x) = ao + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + . . . =
= 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 + 11x6 + . . .
donde los coeficientes am son los valores de p(m).
Ası:
∞∏i=1
( ∞∑k=0
xk·i
)=∞∑n=0
p(n)xn
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Aplicaciones de la funcion particion
Generatriz de la funcion particion
Por tanto, escribiendo F (x) como una serie de Taylor serıa:
F (x) = ao + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + . . . =
= 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 + 11x6 + . . .
donde los coeficientes am son los valores de p(m).
Ası:
∞∏i=1
( ∞∑k=0
xk·i
)=∞∑n=0
p(n)xn
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Aplicaciones de la funcion particion
Generatriz de la funcion particion
Por otro lado, observamos que cada factor de F (x) es la sumainfinita de una serie geometrica de razon xk , con k = 1, 2, 3, . . ..Por tanto:
F (x) =1
1− x
1
1− x2
1
1− x3
1
1− x4· · ·
= (1− x)−1 ·(1− x2
)−1 ·(1− x3
)−1 · · · =∞∏n=1
(1− xn)−1
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Generatriz de la funcion particion
Por tanto, esta es la funcion generatriz de la funcion particion.
∞∑n=0
p(n)xn =∞∏n=1
(1− xn)−1
Ası p(n) es el coeficiente de xn cuando calculamos el productoinfinito de la derecha, lo que no soluciona nuestro problema,aunque sı nos da otro metodo para calcular p(n).
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Aplicaciones de la funcion particion
Generatriz de la funcion particion
Por tanto, esta es la funcion generatriz de la funcion particion.
∞∑n=0
p(n)xn =∞∏n=1
(1− xn)−1
Ası p(n) es el coeficiente de xn cuando calculamos el productoinfinito de la derecha, lo que no soluciona nuestro problema,aunque sı nos da otro metodo para calcular p(n).
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Propiedades de la funcion particion
¿Que propiedades aritmeticas se conocen sobre la funcion p(n)?
¿Sabemos si p(n) toma mas veces valores pares que impares?
¿Sabemos si p(n) toma 1/3 veces valores multiplos de 3?
¿Sabemos si p(n) toma 1/5 veces valores multiplos de 5?
· · ·
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Aplicaciones de la funcion particion
Propiedades de la funcion particion
¿Que propiedades aritmeticas se conocen sobre la funcion p(n)?
¿Sabemos si p(n) toma mas veces valores pares que impares?
¿Sabemos si p(n) toma 1/3 veces valores multiplos de 3?
¿Sabemos si p(n) toma 1/5 veces valores multiplos de 5?
· · ·
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Aplicaciones de la funcion particion
Propiedades de la funcion particion
¿Que propiedades aritmeticas se conocen sobre la funcion p(n)?
¿Sabemos si p(n) toma mas veces valores pares que impares?
¿Sabemos si p(n) toma 1/3 veces valores multiplos de 3?
¿Sabemos si p(n) toma 1/5 veces valores multiplos de 5?
· · ·
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Propiedades de la funcion particion
¿Que propiedades aritmeticas se conocen sobre la funcion p(n)?
¿Sabemos si p(n) toma mas veces valores pares que impares?
¿Sabemos si p(n) toma 1/3 veces valores multiplos de 3?
¿Sabemos si p(n) toma 1/5 veces valores multiplos de 5?
· · ·
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Aplicaciones de la funcion particion
Propiedades de la funcion particion
¿Que propiedades aritmeticas se conocen sobre la funcion p(n)?
¿Sabemos si p(n) toma mas veces valores pares que impares?
¿Sabemos si p(n) toma 1/3 veces valores multiplos de 3?
¿Sabemos si p(n) toma 1/5 veces valores multiplos de 5?
· · ·
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
¿Que esta probado al respecto?
Teorema (O.Kolberg (1959))
Hay una cantidad infinita de veces que p(n) toma valorespares.
Hay una cantidad infinita de veces que p(n) toma valoresimpares.
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Proporcion pares
Sea Pr2(N) := la proporcion de los primeros N valores que sonpares.
N Pr2(N)
200 000600 0001 000 000∞
0,5012 . . .0,5000 . . .0,5004 . . .12 ?
Conjetura
La mitad de los valores de p(n) son pares.
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Aplicaciones de la funcion particion
Proporcion pares
Sea Pr2(N) := la proporcion de los primeros N valores que sonpares.
N Pr2(N)
200 000600 0001 000 000∞
0,5012 . . .0,5000 . . .0,5004 . . .12 ?
Conjetura
La mitad de los valores de p(n) son pares.
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Aplicaciones de la funcion particion
Proporcion multiplos de 3
Sea Pr3(N) := la proporcion de los primeros N valores que sondivisibles por 3.
N Pr3(N)
800160024003200∞
0,334 . . .0,314 . . .0,319 . . .0,331 . . .13 ?
Conjetura
Un tercio de los valores de p(n) son divisibles por 3.
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Aplicaciones de la funcion particion
Proporcion multiplos de 3
Sea Pr3(N) := la proporcion de los primeros N valores que sondivisibles por 3.
N Pr3(N)
800160024003200∞
0,334 . . .0,314 . . .0,319 . . .0,331 . . .13 ?
Conjetura
Un tercio de los valores de p(n) son divisibles por 3.
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Aplicaciones de la funcion particion
Proporcion multiplos de 5
Sea Pr5(N) := la proporcion de los primeros N valores que sondivisibles por 5.
N Pr5(N)
500100015002000
0,336 . . .0,342 . . .0,348 . . .0,346 . . .
NO hay conjetura
En este caso no parece que una quinta parte vayan a ser numerosdivisibles por 5.
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Proporcion multiplos de 5
Sea Pr5(N) := la proporcion de los primeros N valores que sondivisibles por 5.
N Pr5(N)
500100015002000
0,336 . . .0,342 . . .0,348 . . .0,346 . . .
NO hay conjetura
En este caso no parece que una quinta parte vayan a ser numerosdivisibles por 5.
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Aplicaciones de la funcion particion
Propiedades de la funcion particion
Lo que sı se observa es esta curiosa secuencia:
4→p(4) = 5
9→p(9) = 30
14→p(14) = 135
19→p(19) = 490
24→p(24) = 1575
29→p(29) = 4565
· · ·99→p(99) = 169229875
104→p(104) = 304801365
· · ·
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Propiedades de la funcion particion
Se puede ver que cada 5 numeros, empezando por 4, el valor de lafuncion particion es un multiplo de 5.
Relaciones similares las observo Ramanujan, a partir de las cualesenuncio el siguiente teorema ∀n ∈ N :
Teorema (Ramanujan (1915))
p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5)
p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7)
p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11)
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Aplicaciones de la funcion particion
Propiedades de la funcion particion
Se puede ver que cada 5 numeros, empezando por 4, el valor de lafuncion particion es un multiplo de 5.
Relaciones similares las observo Ramanujan, a partir de las cualesenuncio el siguiente teorema ∀n ∈ N :
Teorema (Ramanujan (1915))
p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5)
p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7)
p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11)
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Aplicaciones de la funcion particion
Propiedades de la funcion particion
No solo afirmo esas tres famosas congruencias, sino que ademasRamanujan aseguraba que solo existıan esas tres relacionesde ese tipo.
Pero no fue hasta 2005 cuando se probo que la afirmacion deRamanujan era cierta:
Teorema (Ahlgren y Boylan (2005))
Los unicos pares (`, a) tal que
p(`n + a) ≡ 0 (mod `);
son (5, 4), (7, 5), y (11, 6).
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Propiedades de la funcion particion
No solo afirmo esas tres famosas congruencias, sino que ademasRamanujan aseguraba que solo existıan esas tres relacionesde ese tipo.
Pero no fue hasta 2005 cuando se probo que la afirmacion deRamanujan era cierta:
Teorema (Ahlgren y Boylan (2005))
Los unicos pares (`, a) tal que
p(`n + a) ≡ 0 (mod `);
son (5, 4), (7, 5), y (11, 6).
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Propiedades de la funcion particion
Teorema (Ken Ono (2000))
Para primos q ≥ 5, existen infinitas progresiones An + B tal que
p(An + B) ≡ 0 (mod q)
Ejemplos
p(48037937n + 1122838) ≡ 0 (mod 17),
p(1977147619n + 815655) ≡ 0 (mod 19),
p(14375n + 3474) ≡ 0 (mod 23),
p(348104768909n + 43819835) ≡ 0 (mod 29),
p(4063467631n + 1122838) ≡ 0 (mod 31).
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Propiedades de la funcion particion
Teorema (Ken Ono (2000))
Para primos q ≥ 5, existen infinitas progresiones An + B tal que
p(An + B) ≡ 0 (mod q)
Ejemplos
p(48037937n + 1122838) ≡ 0 (mod 17),
p(1977147619n + 815655) ≡ 0 (mod 19),
p(14375n + 3474) ≡ 0 (mod 23),
p(348104768909n + 43819835) ≡ 0 (mod 29),
p(4063467631n + 1122838) ≡ 0 (mod 31).
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Con esto concluimos la parte de presentacion de la funcionparticion.Hemos comentado gran parte de lo que se conoce sobre ella hastaahora.
A continuacion vamos a hablar de sus aplicaciones en otro ambitode las matematicas.
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Aplicaciones de la funcion particion
Con esto concluimos la parte de presentacion de la funcionparticion.Hemos comentado gran parte de lo que se conoce sobre ella hastaahora.
A continuacion vamos a hablar de sus aplicaciones en otro ambitode las matematicas.
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
1 Definicion de la funcion particion
2 Propiedades funcion particion
3 Aplicaciones de la funcion particion
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Nos podemos preguntar:
¿Donde podrıamos encontrar la funcion particion?
Una respuesta serıa:
En el algebra.
En particular,nos va a aparecer con los grupos simetricos.
Antes de nada, vamos a definir un par de nociones necesarias sobreesta parte del algebra.
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Aplicaciones de la funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Nos podemos preguntar:
¿Donde podrıamos encontrar la funcion particion?
Una respuesta serıa:
En el algebra.
En particular,nos va a aparecer con los grupos simetricos.
Antes de nada, vamos a definir un par de nociones necesarias sobreesta parte del algebra.
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Nos podemos preguntar:
¿Donde podrıamos encontrar la funcion particion?
Una respuesta serıa:
En el algebra.
En particular,nos va a aparecer con los grupos simetricos.
Antes de nada, vamos a definir un par de nociones necesarias sobreesta parte del algebra.
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Aplicaciones de la funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Nos podemos preguntar:
¿Donde podrıamos encontrar la funcion particion?
Una respuesta serıa:
En el algebra.
En particular,nos va a aparecer con los grupos simetricos.
Antes de nada, vamos a definir un par de nociones necesarias sobreesta parte del algebra.
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Aplicaciones de la funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Supongamos que Ω es un conjunto finito.
Definicion: permutacion
Una permutacion de Ω es una aplicacion biyectiva f : Ω→ Ω.
Nosotros vamos a tomar el grupo SΩ de permutaciones de Ω conla multiplicacion fg = g f . De hecho, vamos a trabajar con Sn.
Definicion: Sn
El grupo Sn es el conjunto de aplicaciones de 1, . . . , n en1, . . . , n. Recordamos que |Sn| = n!.
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Aplicaciones de la funcion particion
Supongamos que Ω es un conjunto finito.
Definicion: permutacion
Una permutacion de Ω es una aplicacion biyectiva f : Ω→ Ω.
Nosotros vamos a tomar el grupo SΩ de permutaciones de Ω conla multiplicacion fg = g f . De hecho, vamos a trabajar con Sn.
Definicion: Sn
El grupo Sn es el conjunto de aplicaciones de 1, . . . , n en1, . . . , n. Recordamos que |Sn| = n!.
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Aplicaciones de la funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Ası, por ejemplo, los elementos de S3 son las siguientes 6(= 3!)permutaciones:
Elementos de S3
σ1 = (1)(2)(3) = 1
σ2 = (1 2)(3) = (1 2)
σ3 = (1 3)(2) = (1 3)
σ4 = (2 3)(1) = (2 3)
σ5 = (1 2 3)
σ6 = (1 3 2)
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Aplicaciones de la funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Definicion: particion de n
Una particion de n es una tupla λ = (λ1, . . . , λ`) de numerosenteros positivos tal que:
λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λ`λ1 + λ2 + . . .+ λ` = n
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Aplicaciones de la funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Teorema
Salvo orden y ciclos de longitud 1, cualquier permutacion se puedeescribir de forma unica como producto de ciclos disjuntos dos ados.
Como aplicacion de este teorema podemos hablar de la estructurade ciclos de cualquier σ ∈ Sn.
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Teorema
Salvo orden y ciclos de longitud 1, cualquier permutacion se puedeescribir de forma unica como producto de ciclos disjuntos dos ados.
Como aplicacion de este teorema podemos hablar de la estructurade ciclos de cualquier σ ∈ Sn.
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Aplicaciones de la funcion particion
Definicion: Estructura de ciclos
La estructura de ciclos de una permutacion σ ∈ Sn es laparticion natural de n asociada a la permutacion σ.
La denotamos ası: type(σ)= (λ1, . . . , λ`) donde los λi son lostamanos de los ciclos de σ en orden decreciente.
Ejemplo en S11
type ((9 6 3 4 1)(11 2)(5 7)(8)(10)) = (5, 2, 2, 1, 1)
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Definicion: Estructura de ciclos
La estructura de ciclos de una permutacion σ ∈ Sn es laparticion natural de n asociada a la permutacion σ.
La denotamos ası: type(σ)= (λ1, . . . , λ`) donde los λi son lostamanos de los ciclos de σ en orden decreciente.
Ejemplo en S11
type ((9 6 3 4 1)(11 2)(5 7)(8)(10)) = (5, 2, 2, 1, 1)
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Definicion: Estructura de ciclos
La estructura de ciclos de una permutacion σ ∈ Sn es laparticion natural de n asociada a la permutacion σ.
La denotamos ası: type(σ)= (λ1, . . . , λ`) donde los λi son lostamanos de los ciclos de σ en orden decreciente.
Ejemplo en S11
type ((9 6 3 4 1)(11 2)(5 7)(8)(10)) = (5, 2, 2, 1, 1)
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Aplicaciones de la funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Sabemos por teorıa de grupos que:
Definicion: Clase de conjugacion:
Sea g ∈ G = Sn, se tiene que la clase de conjugacion de g es:
C`G (g) = g x | x ∈ G =x−1gx | x ∈ G
.
Ejemplo con G= S5
Algunos elementos de C`G (g) con g = (5 2)(3 4 1)
x1 = (1 3)→ g x1 = (1 3)(5 2)(3 4 1)(1 3) = (5 2)(1 4 3)
x2 = (5 3)(4 2)→
g x2 = (5 3)(4 2)(5 2)(3 4 1)(5 3)(4 2)
= (4 3)(5 2 1)
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Aplicaciones de la funcion particion
Sabemos por teorıa de grupos que:
Definicion: Clase de conjugacion:
Sea g ∈ G = Sn, se tiene que la clase de conjugacion de g es:
C`G (g) = g x | x ∈ G =x−1gx | x ∈ G
.
Ejemplo con G= S5
Algunos elementos de C`G (g) con g = (5 2)(3 4 1)
x1 = (1 3)→ g x1 = (1 3)(5 2)(3 4 1)(1 3) = (5 2)(1 4 3)
x2 = (5 3)(4 2)→
g x2 = (5 3)(4 2)(5 2)(3 4 1)(5 3)(4 2)
= (4 3)(5 2 1)
A. Ferrero, I. Garcıa, A. el Idrissi, A. Saez Funcion de particion
Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
Teorema
Dos permutaciones son conjugadas ↔ tienen la misma estructurade ciclo.
Dicho con otras palabras:
Teorema
Sea σ, τ ∈ Sn. Entonces σ es conjugada de τ ↔ type(σ) = type(τ)
Ejemplo con G= S5
Dado g = (5 2)(3 4 1)→ type (g) = (3, 2)
g x1 = (5 2)(1 4 3)→ type (g x1) = (3, 2)
g x2 = (4 3)(5 2 1)→ type (g x2) = (3, 2)
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Teorema
Dos permutaciones son conjugadas ↔ tienen la misma estructurade ciclo.
Dicho con otras palabras:
Teorema
Sea σ, τ ∈ Sn. Entonces σ es conjugada de τ ↔ type(σ) = type(τ)
Ejemplo con G= S5
Dado g = (5 2)(3 4 1)→ type (g) = (3, 2)
g x1 = (5 2)(1 4 3)→ type (g x1) = (3, 2)
g x2 = (4 3)(5 2 1)→ type (g x2) = (3, 2)
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Ejemplos, en S5
type (σ1) =type (1) = (1, 1, 1, 1, 1)
type (σ2) =type ((1 2)) = (2, 1, 1, 1)
type (σ3) =type ((1 2 3)) = (3, 1, 1)
type (σ4) =type ((1 2 3 4)) = (4, 1)
type (σ5) =type ((1 2 3 4 5)) = (5)
type (σ6) =type ((1 2) (3 4)) = (2, 2, 1)
type (σ7) =type ((1 2) (3 4 5)) = (3, 2)
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Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion
Aplicaciones de la funcion particion
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Notas
Por ejemplo, si tomamos τ = (5 2)(3 4 1)→type (τ) = (3, 2) = type (σ7) .
Se tiene que los 7 elementos de E = σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6, σ7son representantes de las distintas estructuras de ciclos de S5.
Se puede ver que los elementos de E estan en biyeccion conlas particiones del numero 5:1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 3 + 1 + 1
= 4 + 1 = 5 = 2 + 2 + 1 = 3 + 2
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Notas
Por ejemplo, si tomamos τ = (5 2)(3 4 1)→type (τ) = (3, 2) = type (σ7) .
Se tiene que los 7 elementos de E = σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6, σ7son representantes de las distintas estructuras de ciclos de S5.
Se puede ver que los elementos de E estan en biyeccion conlas particiones del numero 5:1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 3 + 1 + 1
= 4 + 1 = 5 = 2 + 2 + 1 = 3 + 2
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Notas
Por ejemplo, si tomamos τ = (5 2)(3 4 1)→type (τ) = (3, 2) = type (σ7) .
Se tiene que los 7 elementos de E = σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6, σ7son representantes de las distintas estructuras de ciclos de S5.
Se puede ver que los elementos de E estan en biyeccion conlas particiones del numero 5:1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 3 + 1 + 1
= 4 + 1 = 5 = 2 + 2 + 1 = 3 + 2
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Recapitulamos
Todos los elementos de Sn con la misma estructura de ciclopertenecen a la misma clase de conjugacion.
Hay tantas clases de conjugacion como estructuras de ciclo.
Cada representante de una clase de conjugacion tiene unaestructura de ciclo diferente del resto de representantes.
Cada representante de una clase de conjugacion esta enbiyeccion con una particion de n.
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Todos los elementos de Sn con la misma estructura de ciclopertenecen a la misma clase de conjugacion.
Hay tantas clases de conjugacion como estructuras de ciclo.
Cada representante de una clase de conjugacion tiene unaestructura de ciclo diferente del resto de representantes.
Cada representante de una clase de conjugacion esta enbiyeccion con una particion de n.
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Recapitulamos
Todos los elementos de Sn con la misma estructura de ciclopertenecen a la misma clase de conjugacion.
Hay tantas clases de conjugacion como estructuras de ciclo.
Cada representante de una clase de conjugacion tiene unaestructura de ciclo diferente del resto de representantes.
Cada representante de una clase de conjugacion esta enbiyeccion con una particion de n.
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Recapitulamos
Todos los elementos de Sn con la misma estructura de ciclopertenecen a la misma clase de conjugacion.
Hay tantas clases de conjugacion como estructuras de ciclo.
Cada representante de una clase de conjugacion tiene unaestructura de ciclo diferente del resto de representantes.
Cada representante de una clase de conjugacion esta enbiyeccion con una particion de n.
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Conclusion
El numero de clases de conjugacion en el grupo Sn es p(n).
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References I
Jan Hendrik Bruinier y Ken OnoAlgebraic formulas for the coefficients of half-integral weightharmonic weak Maass forms .Advances in Mathematics, (2013).
Scott Ahlgren y Matthew Boylan,Arithmetic properties of the partition function.Inventiones mathematicae, Springer, (2003).
Benjamin SteinbergRepresentation Theory of the Symmetric Group RepresentationTheory of Finite Groups.Springer, 2012.
A. Ferrero, I. Garcıa, A. el Idrissi, A. Saez Funcion de particion