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ING. JULIO MAMANI GUAYGUA CALCULO I
Tablas de integrales
1.- .Caxdxaadx∫ ∫ +==
2.- .1nsi,C1n
xdx x1n
n
∫ −≠++
=+
3.- ( )[ ] ( ) ( )[ ]
.1nsi,C1n
xfdx xf xf
1nn
∫ −≠++
=′+
4.-( )( )
( )[ ] .C xfLdx xf
xf+=
′∫
5.-∫ += .Cedxe x x
6.- ( ) ( ) ( )∫ +=′ .Cedx xfe xf xf
7.- ( ) ( )( )
∫ ≠>+=′ .1a,0asi,CLa
adx xfa
xf xf
8.-∫ +−= .C xcossenxdx
9.- ( )[ ] ( ) ( )[ ] .C xfcosdx xf xfsen +−=′∫
10.-∫ += .sencos C x xdx
11.- ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +=′ .C xfsendx xf xfcos
12.-( )
( )[ ] ( )[ ]∫ +=
′.C xftgdx
xfcos
xf2
13.-
( )
( )[ ] ( )[ ]∫ +−=
′.C xfgcotdx
xfsen
xf2
14.- ( )
( )[ ]( )[ ]∫ +=
−
′.C xfarcsendx
xf1
xf2
Tablas de integrales
15.-
( )
( )[ ] ( )[ ]∫ +=−
′−
.C xfarccosdx xf1
xf
2
1
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16.-( )
( )[ ] ( )[ ] .C xfarctgdx
xf1
xf2
+=+
′∫
17.- ( )∫ +−= .C xcosLtgxdx
18.- ( )∫ += .CsenxLgxdxcot
19.-
( )
∫
+
π
+
++=
.C42
xtgL
.Ctgx xsecL
xdxsec
20.- ( )∫
+
+−=
.C2
xtgL
.CgxcotecxcosLecxdxcos
21.-∫ += .Ctgx xdxsec2
22.-∫ +−= .Cgxcot xdxeccos 2
23.-∫ += .C xsec xtgxdxsec
24.-∫ +−= .Cecxcosgxdxcotecxcos
25.- ∫ += .C xsecdx xcos
senx2
26.-∫ +−= .Cecxcosdx xsen
xcos2
27.-( )
( )[ ]( ) ( )[ ]∫ +
−+=
−′ .Ca xf xfL
a xf
dx xf 22
22
Tablas de integrales
28.-( )
( )[ ]( ) ( )[ ]∫ +
++=
+
′.Ca xf xfL
a xf
dx xf 22
22
29.-∫ +=
−
.C xsecarc
1 x x
dx
2
2
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30.-( )
( ) ( )[ ]
( ).C
a
xfsecarc
a
1
a xf xf
dx xf
22+=
−
′∫
31.-∫ +=
−
−.Cecxarccos
1 x x
dx
2
32.- ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )
∫ ++−
=− .C2
a
xfarcsena
2
xfa xfdx xfa
222
22
33.- ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
.C2
a xf xfLa
2
a xf xfdxa xf
22222
22 +
−+
−−
=−∫
34.- ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
∫ +
++
++
=+ .C2
a xf xfLa
2
a xf xfdxa xf
22222
22
35.-INTEGRACIÓN POR PARTES:
Siu y v son funciones de x tales que [u = f(x), v = g(x)], por la fórmula dela diferencial de un producto de funciones, tendremos:
d(u·v) = u·dv + v·du⇒ u·dv = d(u·v) – v·du, de donde, integrando en
ambos miembros:
u·dv = d(u·v) - v·du, con lo que nos quedará la fórmula de la integraciónpor partes:
.
NOTA: Para la elección de las partes, podemos seguir el orden de las
reglas siguientes:
Tablas de integrales
( ) ( )
ALPES
ricatrigonomét
función xcos
senx
..
onencialexpfuncióna
..
polinómicafunción xf
.......
xlog xlogLx
x...arc
arctgx xarccos
arcsenx
SE
xf
PL
b
A
−= · v v·udv·u
3
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36.- INTEGRALES RACIONALES:
Son de la forma ∫ ,dx) x(Q
) x(P siendo ( ) ( ), xQ y xP polinomios de
coeficientes reales y exponentes naturales.
Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral
inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no ser deeste tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente:
A) El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces:
Proceso: Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar al resultado siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
( ) xQpormiembrosambosdividiendo.divisiónladestoRe xR.divisiónladeCociente xC
xR xC xQ xP ⇒
==+=
∫ ∫ ∫ += → += dx) x(Q
) x(Rdx) x(Cdx
) x(Q
) x(P
) x(Q
) x(R) x(C
) x(Q
) x(P miembrosambosenIntegrando
B) El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces:
Proceso: Se iguala el polinomio del denominador, Q(x), a cero y se obtienen sus raices.
Esto puede dar lugar a cuatro resultados diferentes: 1)RAICES REALES SIMPLES→ ( RRS ).
2)RAICES REALES MÚLTIPLES→ ( RRM ).
3)RAICES IMAGINARIAS SIMPLES→ ( RIS ).
4)RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES→ ( RIM ).
Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos aseguir así como las operaciones a realizar.
1)RAICES REALES SIMPLES:( RRS ).-Supongamos que resolvemos Q(x)=0:
( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )∫ ∫ ∫
+
−+
−+
−=
−−−=
===
= dx...c xC
b xB
a x A
dx...c x b xa x
xPdx
xQ xP
....c x b xa x
0 xQ
NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... seguiremos los pasos siguientes:
4
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Tablas de integrales
36.- INTEGRALES RACIONALES:(Continuación)
1) Descomposición de( )( ) xQ xP
en suma de fracciones simples ( )
( ) ...c xC b xBa x A xQ
xP
+++= −−−
2) Se expresan ambos términos con un común denominador que es Q(x).3) Se multiplican ambos miembros por Q(x).4) Se calculan los coeficientes A, B, C, ...mediante la identificación de los numeradores.5) Una vez obtenidos estos coeficientes, se integra en ambos miembros, quedando finalmente:
2)RAICES REALES MÚLTIPLES:( RRM ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0:
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )∫ ∫ ∫ =−−
=−−
=
===
= dx... b xa x
xPa1
dx... b xa xa
xPdx
xQ xP
.... b x b xa x
0 xQ2
02
0
( )
dx... b x
C
b x
B
a x
A
a
12
o∫
+
−+
−+
−=
NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... seguiremos los mismos pasos que en el
caso de ( RRS ).
a0es el coeficiente de la variable de mayor grado.
Finalmente, quedará:
3)RAICES IMAGINARIAS SIMPLES:( RIS ).- Supongamos que resolvemos la ecuación
Q(x)=0, sindo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose unaRRS, dosRRM, y unpolinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 :
( )∫ ∫ ∫ ∫ +
−+
−+
−= dx
Cdx
Bdx
Adx
xP
( )
(∫ ∫ ∫ ∫
+−
+−
+−
= .dx b x
Cdx
b x
Bdxa x
A
a
1dx
xQ
xP2
5
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( ) ( )
( ) ( )
( )( )( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −−
++
−+
−+
−=
−=
+====
=
4
21
3
21
2
1
1
1
2
1
1
1
1
z xz xdxNMx
b x
Cdx b xBdx
a x Adx
dx xQ xP
biaz
biaz b x b xa x
0 xQ
→ CONTINUA
Tablas de integrales
36.- INTEGRALES RACIONALES: (Continuación)
3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES:( RIS ).- (Continuación) Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial la
última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación deltipo siguiente:
(x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 = (x-a)2 +b2 .
Con lo cual, la 4, nos queda así:
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
==+−
=+−
=+−
=+−
−
=+−
=+−=
+−
+
32222
222
122
2222
22
I....................................... ba x
dxNdx
ba x
N
Idx ba x
a2
2
M
Idx ba x
a2 x2
2
M
dx ba x
xMdx
ba x
Mx
ba x
dxNMx
4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES:( RIM ).- Método de HERMITE:
( )a xLMI 2OLOGARÍTMIC TIPOINMEDIATA1 +−= →
( ) ( ) (
∫ −+
=−
+= → + b
xarctg
b
NMadxNMaII
22 TANGENTE ARCO TIPO
32
6
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La descomposición de)(
)(
xQ
x P según HERMITE, es tal como sigue:
1) − Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea,
coeficiente indeterminado entre x menos la raiz. − Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin
tener en cuenta el grado de multiplicidad). − Las raices imaginarias simples se descomponen igual que en el caso ( RIS ) visto
anteriormente. − Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen
simples, es decir como hemos indicado anteriormente (por lo tanto sin tener encuenta su grado de multiplicidad).
− El último término característico de esta descomposición de HERMITE es:
La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará eldenominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial
de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes
que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.
A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de
coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese
resultado en el denominador.
Tablas de integrales
36.- INTEGRALES RACIONALES: Método de HERMITE.-(Continuación)
2) − Se deriva a continuación este último término con respecto a x.
3) − Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).3
4) − Se multiplican ambos miembros por Q(x),
5) − Se calculan los coeficientes indeterminados.
6)− Se integra en la expresión de la descomposición inicial.
Notas: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó correctamente, nopueden aparecer nunca integrales inmediatas de tipo potencial.
El desarrollo de este método se ampliará en cursos superiores.
37.- INTEGRALES IRRACIONALES:
Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:
1.Si 0a> ⇒ se efectua el cambio: t x.ac bxax2 +=++ .
++ c bxax, xR 2
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2.Si 0a< ⇒ ( )( ) ( )
α−=β−α−=++⇒<
+=++⇒>
. xt x xac bxax:cambio0c
;c x.tc bxax:cambio0c2
2
Algunas de estas integrales, operando convenientemente, se pueden llevar a la forma del
número14.
38.-INTEGRALES BINOMIAS:
Son de la forma donde m, n, p∈ Q. Pueden ocurrir los casossiguientes:
1. Si p∈ Z⇒
α=⇒<
>α
.n ymdeadoresmindenolosde.m.c.melsiendo,t xCambio:0p .Newtonde binimioelporrDesarrolla:0p
De este modo se reduce el problema a una integral racional.
2. Si .pdeadormindenoelsiendo,t bxa:CambioZn
1m n α=+⇒∈
+ α
3. Si
α=+⇒∈
++ α
.pdeadormindenoelsiendo, x.t bxa:CambioZp
n
1m nn
Tablas de integrales
39.- INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS:
Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:
1. La funciónR(senx, cosx) esIMPAR en senx, es decir, si la función cambia de signo alsustituir (senx) por (-senx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
( )+ bxa x pnm
( ) xcos,senxR
−
−=
−=⇒= dt
dx
1senxt xcos
2
8
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2. La funciónR(senx, cosx)esIMPAR en cosx, es decir, si la función cambia de signo alsustituir (cosx) por (-cosx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
3.La funciónR(senx, cosx) esPAR en senx, cosx, es decir, si la función no se altera alsustituir (senx) y (cosx) simultáneamente por (-senx) y (-cosx) respectivamente, entonces,podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
4. La funciónR(senx, cosx) no obedece a ninguno de los 3 casos anteriores, entonces,
podemos realizar el cambio siguiente:
Tablas de integrales
RECORDATORIO:
.)(tg1
)(tg2
)(sen)(cos
)cos()(sen2senx
2 x2
2 x
2 x2
2 x2
2 x
2 x
+=
+=
.)(tg1
)(tg1
)(sen)(cos
)(sen)(cos xcos
2 x2
2 x2
2 x2
2 x2
2 x2
2 x2
+
−=+
−=
−=
−=
⇒= dtdx
1 xcos
tsenx2
=
+=
+
=
⇒=
.dt
dx
t1
1 xcos
t1
tsenx
ttgx
2
+=
+
−=
+=
⇒=
t1
dt2dx
t1
t1 xcos
t1
t2senx
t2
xtg
2
9
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40.-INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES:
Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:
1. Si m es IMPAR, entonces, se hace el cambio:
=−=
.dtsenxdx.t xcos
2.Si n es IMPAR, entonces, se hace el cambio:
==
.dt xdxcos.tsenx
3.Si m y n son de IGUAL PARIDAD, se hace :
=
=
.dt xcos
dx.ttgx
2
Notas: No siempre, en este tipo y mediante los cambios anteriores, se llega a una integral racional sencilla,
siendo entonces preciso resolverlas mediante fórmulas de integración por REDUCCIÓN. Veámoslas:
4.Cuando (m+n) 0 y los tres cambios anteriores no resultan eficaces:
(A)Reduciendo el exponente del seno:
∫ −
+−
+−
++
−== n,2m
1n1mnm
n,m Inm
1m
nm
xcos. xsendx. xcos. xsenI
(B)Reduciendo el exponente del coseno:
∫ −
−+
+−
++
== 2n,m
1n1mnm
n,m Inm
1n
nm
xcos. xsendx. xcos. xsenI
. xcos. xsen nm
10