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[LE,RO]1 [LO] [RE] plain
Lois generales dans le cadre de lapproximation des regimes quasi-permanents
Table des matie`res
1 Definitions 21.1 Approximation des regimes quasi-permanents A.R.Q.P . . . . . . . . . 21.2 Courant electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Types de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Effets de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Intensite du courant i(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Lois de Kirchhoff 32.1 Caracteristiques dun circuit electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Lois de Kirchhoff en regime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Lois des Noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Classification des dipoles electrocinetiques 53.1 Aspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.1 Convention algebrique thermodynamique . . . . . . . . . . . . . 53.1.2 Puissance electrique P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.3 Convention recepteur ou generateur . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Caracteristique tension courant dun dipole . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.2 Caracteristique statique ou dynamique . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Dipole actif ou passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Dipole lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
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Lors de letude des circuits electriques ,nous rencontrons : Regimes permanents : La grandeur physique G ne varie pas dans le temps :
G(t+ dt) = G(t) Gt
= 0
Regimes variables : La grandeur physique G varie en fonction du tempsG(t+ dt) 6= G(t)
donc on doit preciser la grandeur G en un point M du circuit G(M, t)On sinteresse dans ce chapitre aux regimes lentement variables,ou quasi-permanent .
1 Definitions
1.1 Approximation des regimes quasi-permanents A.R.Q.P
Il consiste a` negliger le temps de propagation devant un temps cracteristique de lavariation du signal . Exemples : Un circuit de longueur L = 1mLe temps de propagation est de lordre de : =
L
C=
1
3.108= 3.109s
Pour rester dans LA.R.Q.P,la periode du signal doit etre T >> f
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1.2.3 Effets de courants
On peut distinguer entre les :
I Effet thermique (effet Joule)I Effet magnetique (Champ magnetique produit par un circuit)I Effet chimique (electrolyse )
1.2.4 Intensite du courant i(t)
On appelle intensite du courant electrique traversant la section (S) dun conducteur ,la quantite delectricite dq traversant (S) par unite du temps dt .
i(t) =dq
dten ampe`re (A)
2 Lois de Kirchhoff
2.1 Caracteristiques dun circuit electrique
I Dipole electrocinetique : Il sagit dun composant electrique comportant dexbornes , lune dentree et lautre de sortie du courant .
A B
R
UAB = UA UBUAB est la difference de potentiel aux bornes du dipole
I Noeud : Borne commune a` plus de deux dipoles (N1, N2..).I Branche : portion de circuit entre deux noeuds consecutifs (N1N2) .I Maille : ensemble de branches successives definissant un circuit ferme qui passe
une seule fois par les noeuds rencontres (N1, N2, N3...).
D1
D2
D3
D4
D5
N1 N2
N3N4
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2.2 Lois de Kirchhoff en regime permanent
2.2.1 Lois des Noeuds
Considerons un conducteur filiforme de longueur tres grand devant son diame`tre sesepare au noeud N en deux autres conducteurs filiformes :
dq
dq1
dq2
N
La conservation de la charge entre les instant t et t+ dt se traduit par :
dqe = dqs dq = dq1 + dq2 dqdt
=dq1dt
+dq2dt
donc
i = i1 + i2
Generalisation au cas de N conducteurs : Loi de Kirchhoff
Nk=1
kik = 0
k = +1 pour un courant arrivant vers Nk = 1 pour un courant seloignant de N
2.2.2 Loi des mailles
Considerons la maille suivante :
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D3 D2
D1
U1
U3 U2
N1 N2
N3
+
VN3 VN1 + VN1 VN2 + VN2 VN3 = 0 U3 + U1 + U2 = 0 Generalisation : Loi de Kirchhoff relative a` une maille
k
kUk = 0
k = +1 pour Uk orientee dans le sens de la maillek = 1 pour Uk orientee dans le sens inverse de la maille
Remarque : Les lois de Kirchhoff sont valables en A.R.Q.P en remplacant ik et ukpar ik(t) et uk(t).
3 Classification des dipoles electrocinetiques
3.1 Aspect energetique
3.1.1 Convention algebrique thermodynamique
En thermodynamique par convention on compte positivement lenergie recue par unsyste`me detude et negativement lenergie cedee par le syste`me au milieu exterieur .
3.1.2 Puissance electrique P
La puissance electrique algebriquement recue par un dipole D est :
P = uAB.iAB en (W)
En peut distinguer entre deux types de dipoles :
I Dipole recepteur : P = uAB.iAB > 0 le courant et la difference de potentiel ontun sens inverse (car le sens reel du courant est celui des potentiels decroissant)le dipole recoit alors de lenergie electrique .
I Dipole generateur : P = uAB.iAB < 0 le courant et la difference de potentiel ontle meme sens , le dipole fourni de lenergie .
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3.1.3 Convention recepteur ou generateur
I Convention recepteur : P = uAB.iAB > 0I Convention generateur : P = uAB.iAB < 0
D
iAB
UAB
A BD
iABAB
UABconvention recepteur
convention generateur
3.2 Caracteristique tension courant dun dipole
3.2.1 Definition
Soit un dipole (D) quelconque etudie en convention recepteur . On appelle caracteristiquecourant tension du dipole D la courbe representant les variations du courant i en fonc-tion de la tension u
M
iM
uM
i
u
Tout point M(uM , iM) de la caracteristique est un point de fonctionnement du dipoleD
3.2.2 Caracteristique statique ou dynamique
I Caracteristique statique : Lensemble des points (u,i) obtenus en regime continu(permanent). Si la courbe obtenue est symetrique par rapport a` lorigine le dipole est ditsymetrique (on peut permuter ses bornes de connexion). Si la courbe obtenue est dissymetrique par rapport a` lorigine ,le dipole est ditnon symetrique ou polarisee.
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I Caracteristique dynamique : lensemble des points (u,i) obtenus en regime va-riable . En general elle ne correspond pas au deplacement du point de fonction-nement sur la caracteristique statique .
3.3 Dipole actif ou passif
I Dipole actif : sa caracteristique statique ne passe pas par lorigine (pile,alimentationstabilisee...)
I Dipole passif : Sa caracteristique statique passe par lorigine (toujours recepteur).
3.4 Dipole lineaire
Un dipole est lineaire si la tension u(t) entre ses bornes et le courant qui le traversei(t) sont liees par une equation differentielle a` coefficients constants :
Nn=0
andnu(t)
dtn+
Mm=0
bmdmi(t)
dtm= F (t)
En regime continu
a0u+ b0i = F
Cest une relation affine entre u et i la caracteristique statique dun dipole lineaireest une droite .Exemples :
I Ordre 0 : Resistance U(t) = R.i(t)
I Ordre 1 : Condensateur i(t) = cdu(t)dt
Bobine u(t) = Ldi(t)
dt
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Elements de circuits lineaires en regime continu ou quasi-permanent
Table des matie`res
1 Dipoles passifs lineaires fondamentaux : R,L,C 21.1 Conducteur ohmique ou resistor R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Loi dOhm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Mode`le microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Aspect energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Groupement de resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Aspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Groupement des condensateurs ideaux . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Aspect energetique pour une bobine ideale . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Groupement de bobines ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Diviseur de tension ou de courant 82.1 Pont diviseur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Diviseur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Dipoles actifs 93.1 Source de tension (source independante de tension) . . . . . . . . . . . 9
3.1.1 Source lineaire ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 Mode`le de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Source de courant (source independante de courant ) . . . . . . . . . . 93.2.1 Source ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Mode`le de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.3 Equivalence Thevenin-Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Groupement de dipoles actifs lineaires 114.1 Groupement serie : modelisation de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Groupement paralle`le : mode`le de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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1 Dipoles passifs lineaires fondamentaux : R,L,C
1.1 Conducteur ohmique ou resistor R
La resistance est constituee soit par un depot de carbone ou doxyde metallique sur unisolant soit par un enroulementdun fil conducteur.
1.1.1 Loi dOhm
un conducteur ohmique ou resistor satisfait a` la loi dOhm :
u = r.i ou i = G.u
R : resistance en ohm ()
G =1
Rconductance en Siemens(s)
i
u
R
i
u
Les caracteristiques statiques et dynamiques sont confondues . Il sagit dun dipolesymetrique .
1.1.2 Mode`le microscopique
La resistance R ne depend que de la nature du conducteur et ses caracteristiquesgeometriques et pas de son etat electrique (u,i) .Application : Resistance dun conducteur cylindrique homoge`neSoit un fil metallique cylindrique homoge`ne daxe (ox) de section s et de resistivite ,alimente par un courant continu I . resistance R dune longueur l du filOn admet
E = grad(V )
et
dV = E .dl
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V(x) V(x+l)
x
S
La loi dOhm local
E = .
j
j : densite volumique de courant
V (x) V (x + l) = x+lx
dv =
x+lx
E.dx = .j.l (en regime permanent E et j sont
des constantes)
or i = j.s u = v1 v2 = R.i avec R = . ls
ResultatPout tout conducteur de section s constante on a :
R = .l
s
avec R : resistance () : la resistivite (.m)l : la longueur du conducteur (m)s : la section du conducteur (m2) Remarque : La resistance dun conducteur metallique est une fonction croissante dela temperature.
1.1.3 Aspect energetiques
Le passage dun courant dans un resistor se manifeste par un echauffement du mi-lieu conducteur, ce phenome`ne est appele effet Joule,qui sinterpre`te par lechangesenergetiques entre les electrons mobiles (acceleres par le champ electrique) et les ionsfixes du reseau a` la suite des collisions.La puissance consommee par le resistor secrit :
P =W
dt= u.i = R.i2 =
u2
R
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1.1.4 Groupement de resistor
1. Groupement en serie
R1 R2 Rn Req
u1 u2 un u
u
A BA
Bi i
u =nk
uk =k
Rk.i = Req.i avec Req la resistance equivalente entre A et B .
Req =nk
Rk
2. Groupement pralle`le
R1
Rn
iReq
i
u
u
AB
A B
in
i1
La loi des noeuds : i =nk
ik =nk
u
Rk=
u
Req
1
Req=
nk=1
1
Rk
Application : ShuntUn shunt est une resistance de faible valeur s que lon monte en paralle`le avec uneresistance R
i
u
R
s
i
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i = Geq.u = (1
R+
1
s)u or s
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i
u
i
uumin umax Um
CUm
caracteristique statiquecaracteristique dynamique
1.2.2 Groupement des condensateurs ideaux
1. Groupement serie
A B A B
U1 U2 Un U
U
C1 C2 Cn Ceq
le courant traversant ces condensateurs i = Ckdukdt
= Ceqdu
dt
u =
k uk du
dt=
k
dukdt
=
k
i
Ck=
i
CeqDonc
1
Ceq=
k
1
Ck
2. Groupement paralle`le
A B A B
i1
i2
in
C1
C2
Cn
Ceq
U
U
ii
i =
k ik =
k(Ckdu
dt) = (
k Ck)
du
dt= Ceq
du
dt
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Ceq =
k Ck
1.3 Bobine
Cest un enroulement dun fil conducteur avec ou sans noyau , la bobine sans noyaupresnte une inductance L = ctePour une bobine
u = r.i+ Ldi
dt
L :inductance en Henry (H)r : resistance en Ohm ()Pour une bobine ideal
u = Ldi
dt
i i
u u
(L,r) L
Bobine Bibine ideale
1.3.1 Aspect energetique pour une bobine ideale
La puissance instantannee : P = u.i = Lidi
dt=
d
dt(1
2Li2) =
dEmdt
Em =1
2Li2
Em represente lenergie magnetique emmagasinee dans la bobine ideale . Le bilanenergetique exige la continuite de Em par consequent lintensite dun courant i tra-versant une bobine ideale reste toujours continue .
Remarque : En regime continu i = cte u = Ldidt
= 0 donc la bobine ideale se
comporte comme un court-circuit .La cracteristique dynamique dune bobine est une ellipse .
1.3.2 Groupement de bobines ideales
1. Groupement serie
L1 L2 Ln Leq
u1 u2 un u
u
i i
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u =
k uk =
k(Lkdi
dt) = (
k Lk)
di
dt= Leq
di
dt
Leq =
k Lk
2. Groupement pralle`leOn montre que
1
Leq=
k
1
Lk
2 Diviseur de tension ou de courant
2.1 Pont diviseur de tension
R1 R2
u
u
i
u
R1 +R2=
u
R2
u =R2
R1 +R2u
2.2 Diviseur de courant
R1 R2 R3u
i
i1 i2 i3
ik =u
Rk i1 = u
R1, i2 =
u
R2, i3 =
u
R3
i =
k ik = (
kGk)u = Gequ avec G =1
R
ik =GkGeq
i
Donc i1 =
1
R11
R1+
1
R2+
1
R3
i ;i2 =
1
R21
R1+
1
R2+
1
R3
i ;i3 =
1
R31
R1+
1
R2+
1
R3
i
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3 Dipoles actifs
3.1 Source de tension (source independante de tension)
3.1.1 Source lineaire ideale
Elle presente une force electromotrice constante e = cte quelque soit le courant
e
i
u = e
A B A B
u = e
e
i
u
regime variableregime continu caracteristique statique
3.1.2 Mode`le de Thevenin
Il tient compte les effets dissipatifs au sein de la source
e
R
u = eRi
3.2 Source de courant (source independante de courant )
3.2.1 Source ideale
Elle presente un courant constant quellque soit la tension u a` ses bornes i = = cte,u
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u
i
u
i=
3.2.2 Mode`le de Norton
Il tient compte des effets dissapatifs
r
i
u
i = ur
= gu
3.2.3 Equivalence Thevenin-Norton
En general :Les deux mode`les obtenus sont equivalent et lon exploitera lun ou lautre suivant lanature du circuit exterieur connecte.
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A
B
dipolelineaire
u0
u0i0
A
B
i0
u0i0
A
B
u0 : tension en circuit ouverti0 : courant de court circuit
4 Groupement de dipoles actifs lineaires
4.1 Groupement serie : modelisation de Thevenin
Considerons un groupement de deux generateurs :
i
e1
r1
e2
r2i
e1 e2r1 + r2
uu = (e1 e2) (r1 + r2)i
Plus generalement,un groupement de generateursDk(ek, rk) est equivalent a` un generateurDeq de :
I f.e.m eeq =
k kek avec :
k = +1 pour ek suivant le sens de uk = 1 pour le cas contraire
I de resistance interne : req =
k rk
4.2 Groupement paralle`le : mode`le de Norton
Quand les generateurs sont montes en paralle`le on utilise en pratique le mode`le deNorton
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A
B
1 2r1 r2 eq = 1 2 geq = g1 + g2
A
B
u
i i
i = 1 g1u 2 g2u avec (gk = 1rk
)
donc pour un groupement de generateurs (k, gk)
i =
k kk + (
k gk)u
eq =
k kk
geq =
k gk =
k
1
rk
avec :k =1 si k oriente suivant ik = 1 dans le cas contraire Application : modelisation dun groupement mixte
e
A C
r
r
2e
e
2rB
entre A et C les dipoles actifs sont en paralle`le on doit utiliser le mode`le de Norton
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A
=e
r
r
2 =2e
r
r
C B2r
e
A
3
r
2
e
C2r
3r
2=
3
2e r
2 e
2r
e
2 5
2r
B A C B
A B
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Theore`mes de base et modelisation des reseaux lineaires
Table des matie`res
1 Reseau a` une maille : Loi de Pouillet 2
2 Reseau quelconque : Lois de kirchhoff 2
3 Potentiel de noeud-theore`me de Millman 33.1 Loi des noeuds en termes de potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Theore`me de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Modelisation des reseaux lineaires : theore`mes de bases 54.1 superposition des etats-theore`me dHelmoltz . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Theore`me de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Theore`me de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.4 Application : pont de Wheatston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.4.1 Modelisation du pont par le generateur de Thevenin (eeq, Req) . 84.4.2 Modelisation de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
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Un reseau electrique est un syste`me de dipoles electrocinetiques,reliees entre eux par desfils conducteurs de resistance negligeable . Ce reseau est dit lineaire lorsquil ne fait in-tervenir que des dipoles actifs (source de tension ou de courant) et passifs (resistances...)lineaires .
1 Reseau a` une maille : Loi de Pouillet
Considerons la maille suivante :
+
R
e1
r1
e2
r2
u
u1
u2
i
Loi des mailles : u+ u1 + u2 e1 + e2 = 0 Ri+ r1i+ r2i e1 + e2 = 0
i =e1 e2
R + r1 + r2
Generalisation : Loi de PouilletPour une maille comportant Dk(ek, rk) generateurs et dautres resistors R la loi dePouillet secrit sous la forme :
i =
k kek
R +
k rk
k = +1 pour ek suivant le sens de ik = 1 pour le cas contraire
2 Reseau quelconque : Lois de kirchhoff
Pour determiner ik dans un reseau quelconque on utilise les lois de kirchhoff
I Loi des Noeuds :k
kik = 0
I Loi des mailles :k
kuk = 0
Application : Circuit comportant un transistor
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e
R1
R2
iB
B
Rc
C
E
RE
uc
B
C
E
BiB
rB iB
E
C
Exprimer la tension uc en fonction de e, , Rc, RE et rB
e R1R2
rB iB
RE
Rc
uc
iB
iE
A B C
E
M
La loi des Noeuds au point E : iE = iB + iB = ( + 1)iBLa maille ABEMA : e = rBiB +REiE = [rB + ( + 1)RE]iBuc = iBRc
uc = RcrB + ( + 1)RE
e
3 Potentiel de noeud-theore`me de Millman
3.1 Loi des noeuds en termes de potentiels
Considerons le montage suivant :
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e1
i1
i2
i3
2r1
A1 A2 A3
r3r2
(e1, r1) generateur de tension(2, r2)generateur de courantvN le potentiel au noeud N (commune entre les 3 branches)vk le potentiel au noeud Akon a v1 vN = r1i1 e1i1 = g1(e1 + v1 vN)i2 = 2 + g2(v2 vN))i3 = g3(v3 vN)la loi des noeuds au ptN : i1 + i2 + i3 = 0 g1(v1 vN) + g2(v2 vN) + g3(v3 vN) + g1e1 + 2 = 0 GeneralisationPour n branches (dindice k) parvenant en N et comportant eventuellement des sourcesde tension ou de courant la relation se generalise
k
gk[(Vk VN) + kek] +k
kk = 0
k = +1 si ek ou k oriente vers N .
3.2 Theore`me de Millman
Il sagit dune variante de la loi de des noeuds en terme de potentiel
(k
gk)VN =k
gk(Vk + kek) +k
kk
VN =
k gk(Vk + kek) +
k kk
k gk
k = 1 si ekou k orientes vers NEn pratique les points Ak sont relies a` la masse Vk = 0 donc le theore`me de Millmandevient :
VN = VN Vmasse =
k gkkek +
k kkk gk
ApplicationExprimer lintensite i traversant la resistance de charge R en fonction des composantesdu reseau
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R1
R1 R2 R3
N
M
R U
e1 e2
i
Theore`me de Millman u = VN VM =e1
2R1 e2R2
+
1
2R1+
1
R2+
1
R3+
1
R
= Ri
i =1
R
e12R1 e2R2
+
1
2R1+
1
R2+
1
R3+
1
R
4 Modelisation des reseaux lineaires : theore`mes de
bases
4.1 superposition des etats-theore`me dHelmoltz
Letat electrique dun reseau lineaire comportant une distribution quelconque de sources(tension ou courant) est obtenu en superposant les etats associes a` chaque source sup-posee seule dans le reseau .
I lintensite du courant circulant dans une branche est la somme des intensitesproduites par chaque source supposee seule (on eteint les autres sources) .
I la tension aux bornes dun dipole est la somme des tensions produites par chaquesource supposee seule .
Remarque : En pratique on eteint une source independante (libre) de manie`re sui-vante :
I source de tension est remplacee par un court circuit (fil conducteur)I source de courant est remplacee par un circuit ouvert(coupe-circuit)
ApplicationExprimer lintensite i du courant circulant dans la resistance R en superposant deuxetats electriques du reseau .
I Etat 1 (e1 = 0, 2) correspond au courant i1I Etat 2 (e1, 2 = 0) correspond au courant i2
i = i1 + i2
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e1
r1
2 r2
R
A
B
i
si on eteint la source e1 on obtient un diviseur de courant
r1r2 R
2
2 i1
i1 =
1
R1
R+
1
r1+
1
r2
i
pour letat 2 on utilise le mode`le de Norton
e1
r1
r2 R
i2
1 =e1r1
1
r1r2 R
i2
i2 =
1
R1
R+
1
r1+
1
r2
e1r1
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Donc
i = i1 + i2 =
1
R1
R+
1
r1+
1
r2
(e1r1
+ 2)
4.2 Theore`me de Thevenin
Un reseau dipolaire lineaire,entre deux bornes A et B,peut etre modelise par une sourcede tension ou generateur de Thevenin .
I de f.e.m eeq egale a` la tension en circuit ouvert entre A et B : eeq = (uAB)0I de resistance interne egale a` la resistance equivalente Req du reseau dipolaire
passif (apres extinction des sources) entre A et B .
4.3 Theore`me de Norton
Un reseau dipolaire lineaire,entre A et B,peut etre modelise par une source de courantou generateur de Norton :
I de C.e.m eq egale au courant de court-circuit,entrant en B dans le reseau,A etB etant reliees par un fil conducteur.
I de conductance Geq =1
Req(Req en paralle`le avec la source libre ) .
4.4 Application : pont de Wheatston
i1
B
i2
P
Q
e
X
i3
R
r
i4
i A
C
D
Le pont de Wheatston est dit equilibre lorsque le courant i qui circule dans le galva-nome`tre de resistance r est nul .
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4.4.1 Modelisation du pont par le generateur de Thevenin (eeq, Req)
eeq
Req
r
uAC
A
C
i
I Calcul de eeq eeq = (uAC)0 le circuit est ouvert entre A et C (en enle`ve la brancheAC)i2 = i4 et i1 = i3e = (P +X)i1 = (Q+R)i2
eeq = Pi1 + Qi2 = e( QQ+R
PP +X
) = eXQRP
(Q+R)(P +X)cest la f.e.m de
Thevenin
I Calcul de Req
A B
D
C
P
X
Q
R
Req = (P//X) + (Q//R) Req = PXP +X
+RQ
R +Q
Le courant i =eeq
Req + rloi de Pouillet
lequilibre du pont exige i = 0 Req = 0 doncXQ = PR
Utilite du pont : le pont permet de determiner la valeur de la resistance X inconue
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4.4.2 Modelisation de Norton
eq i A
C
rReqeq =eeqReq
i =eeq
Req + ri = 0 XQ = PR
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Regime transitoire
Table des matie`res
1 Circuit RC serie soumis a` un echelon de tension 21.1 Echelon de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Charge dun condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Expression de u(t) et i(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Regime transitoire-temps de relaxation . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Temps de monte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.5 Aspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Decharge dun condensateur - Regime libre . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Regime libre dun circuit R,C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Aspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Regime transitoire dun circuit RL 62.1 Reponse dun circuit RL a` un echelon de tension . . . . . . . . . . . . . 62.2 Regime libre du circuit RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Regime libre dun circuit RLC 93.1 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Equation differentielle - Facteur de qualite - Pulsation propre . . . . . . 93.3 Divers regimes de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.1 Regime aperiodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2 Regime critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.3 Regime pseudo-periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Reponse dun circuit RLC serie a` un echelon de tension 134.1 Regime transitoire-Regime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Aspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
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Dans ce chapitre on va sinteresser a` leffet dune brusque variation de tension sur unsyste`me lineaire . Cette variation sera modelisee par une fonction appelee echelon detension .
1 Circuit RC serie soumis a` un echelon de tension
1.1 Echelon de tension
Il sagit dun signal electrique produit par une source libre de tension de la forme :
u(t) =
{u0, t > 00, t < 0
On peut realiser cet echelon de tension par un basculement de linterrupteur K a` t = 0
e
K
u(t)
u(t)
t
u0
1.2 Charge dun condensateur
1.2.1 Conditions initiales
E
k
u(t)qC
i
R
Pour t < 0 linterrupteur k est ouvert et le condensateur est non charge .q(0) = 0, u(0) = 0, i(0) = 0on ferme linterrupteur k a` t = 0,la continuite de la tension aux bornes du condensateurse traduit par
u(0) = u(0+) = 0
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de meme la continuite de la charge
q(0) = q(0+) = 0
1.2.2 Expression de u(t) et i(t)
Pour t > 0 la loi des mailles : E = u+Ri avec i = Cdu
dtdonc
RCdu
dt+ u = E
On pose = RC : constante du temps du circuit RC
du
dt+ u = E
La solution de cette equation secrit sous la forme
u(t) = u1(t) + u2(t)
u1 : solution generale de lequation : equation sans seconde membreu2 : solution particulier de lequation comple`te
u1(t) = k exp( t
)
u2 = cte u2 = Edonc
u(t) = k exp( t
) + E
on determine la constante k par les conditions initalesa` t = 0 u(0) = 0 k + E = 0 k = E finalement
u(t) = E(1 exp( t
))
i(t) = Cdu
dt=E
Rexp( t
)
u
t
0,63E
0, 37E
R
i
t
E
RE
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Remarque :on observe :
I une continuite de la tension u(t) en t = 0I Une discontinuite du courant i(t) en t = 0
1.2.3 Regime transitoire-temps de relaxation
Pour t >> u E le syste`me se trouve alors en un regime etabli independant dutemps . Soit tn la duree necessaire au syste`me pour approcher le regime etabliut = E a` 10
n pres (n = 2.3...)ut u(tn)ut u(0) = 10
n =E u(tn)
E= exp(tn
)
tn = 2, 3n
: de lordre de grandeur du regime transitoire est appelee temps de relaxation ordre de grandeurR = 103, C = 0, 1F = 104s
1.2.4 Temps de monte
On appelle le temps de montee du signal la duree tm necessaire a` la tension pour passerde 100/0 a` 90
0/0 de sa valeur finale.
u(t)
t
tm
0, 9E
0, 1E
t1 t2
E
u(t1) = E(1 exp(t1
)) = 100/0E = 0, 1E exp(t1
) = 0, 9 t1 = 0, 1
u(t2) = E(1 exp(t2
)) = 900/0E = 0, 9E t2 = 2, 3
tm = t2 t1 = 2, 2
1.2.5 Aspect energetique
u+Ri = E en multipliant par i = Cdu
dt
d
dt(1
2Cu2) +Ri2 = Ei
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Ei : puissance fournie par le generateurRi2 : puissance liee a` leffet joule dans la resistance1
2Cu2 = Ee : energie electrique emmagasinee dans le condensateur E0
d(1
2Cu2) +
0
Ri2dt =
0
Eidt =
E0
ECdu = CE2
wJ =
0
Ri2dt = CE2 12CE2 =
1
2CE2
1.3 Decharge dun condensateur - Regime libre
1.3.1 Regime libre dun circuit R,C
Le regime libre (ou propre ) caracterise levolution du circuit RC en labsence de lasource .
R
E C
u
(1)
(2)k
a` t < 0 k se trouve dans la position (1) qui permet la charge du condensateur .Apresquelques u atteint la valeur de Ea` t = 0 k bscule vers la position (2) , le circuit RC se trouve dans le regime librela continuite de u aux bornes de C : u(0+) = u(0) = u0 = E
i = Cdu
dtet u+Ri = 0
u+ du
dt= 0
avec = RC
la solution de cette equation secrit sous la forme u(t) = k exp( t
) , avec u(0) = E = k
donc
u(t) = E exp( t
)
i = Cdu
dt= E
Rexp( t
)
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u
t
0, 37E
i
t
ER
0, 37ER
continuite de u en t = 0discontinuite de i en t = 0
1.3.2 Aspect energetique
En multipliant lequation u+Ri = 0 par idt = Cdu
Cudu+Ri2dt = d(1
2Cu2) +Ri2dt = 0
lintegration entre t = 0 et t = (quelques ) on obtient :
wJ =
0
Ri2dt =1
2CE2
Le condensateur restitue ,au cours de la decharge ,sous forme deffet Joule lenergiequil avait emmagasinee pendant la charge .
2 Regime transitoire dun circuit RL
2.1 Reponse dun circuit RL a` un echelon de tension
E
RK(1)
(2)
Lu
Pour t < 0,le courant circulant dans le circuit RL est suppose nul .k est place en position (1) a` t = 0
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la continuite du courant dans la bobine se traduit par i(0) = i(0+) = 0
pour t > 0 : E = Ri+ u = Ri+ Ldidt
i+ di
dt=E
R
avec =L
Rtemps de relaxation
la solution de cette equation secrit sous la forme
i(t) =E
R+ k exp( t
)
i(0) = 0 k = ER
i(t) =E
R(1 exp( t
))
u(t) = Ldi
dt= E exp( t
)
i
t
u
t
iM =E
R0, 63iM
E
continuite de i(t) en t=0 discontinuite de u(t) en t=0
Aspect energetiqueEn multipliant E = Ri+ L
di
dtpar idt
Eidt = Ri2dt+ d(1
2Li2)
0
Eidt =
0
Ri2dt+
d(
1
2Li2)
wg = wJ +1
2Li2M
avec : iM =E
Rwg : lenergie fournie par le generateurwJ : lenergie dissipee par effet Joule dans la resistance
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2.2 Regime libre du circuit RL
E
(1)
(2)
R
uL
i
a` t < 0 k est dans la position (1),on attend letablissement du courant iM =E
Rdans le
circuit .a` t = 0 on bascule linterrupteur k vers la position (2) , le circuit se trouve a` t > 0dans le regime libre .La continuite du courant en 0 : i(0) = i(0+) = iM .
u+Ri = Ldi
dt+Ri = 0 di
dt+ i = 0, =
L
R
i(t) = k exp( t
) avec i(0) = iM = k
i(t) = iM exp( t
)
u = Ldi
dt= RiM exp( t
)
i
t
u
t
RiM
iM
Bilan energetiqueMultiplions L
di
dt+Ri = 0 par idt on obtient d(
1
2Li2) +Ri2dt = 0
par integration entre t = 0 et t1 >> :
wJ =1
2Li2M
Lenergie electromagnetique initiale dans la bobine est totalement dissipee par effetJoule dans la resistance .
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3 Regime libre dun circuit RLC
3.1 Conditions initiales
Pour resoudre les equations dun circuit RLC il es necessaire dutilser les conditionsinitiales et les deux conditions suivantes :
I La continuite du courant i (circulant dans la bobine)I La continuite de la tension u aux bornes du condensateur
3.2 Equation differentielle - Facteur de qualite - Pulsationpropre
R
LCq
uc
uRuL
i
Ldi
dt+Ri+ u = 0; i = c
du
dtd2u
dt2+R
L
du
dt+
1
Lcu = 0
d2u
dt2+ 2
du
dt+ 20u = 0
=R
2L: Coefficient damortissement
0 =1Lc
: pulsation propre
On definit le facteur de qualite du circuit RLC par
Q =L0R
=1
Rc0=
1
R
L
c
d2u
dt2+0Q
du
dt+ 20u = 0
de meme lequation en charge q : q = cu
d2q
dt2+0Q
dq
dt+ 20q = 0
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3.3 Divers regimes de variation
lequation caracteristique de lequation differentielle r2 + 2r + 20 = 0 avec =02Q
= 2 20 = 20(1
4Q2 1)
3.3.1 Regime aperiodique
Pour un amortissement eleve > 0 > 0 Q < 12 R > 2
L
c
r1,2 = 2 20 donc
u(t) = exp(t)(a exp(2 20t) + b exp(
2 20t))
Portrait de phaseCest la representation de
du
dten fonction de u(t) .
Pour un signal sinusoidal le portrait de phase est un ellipse
du
dt
u
u(t)
t
Q1Q2
Q3
Q1 > Q2 > Q3
Les trajectoires de phase montrent un retour sans oscillation vers le point attracteur a`lorigine .
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Ordre de grandeur de la duree du regime librePour t suffisament eleve : u(t) a exp((
2 20)t) = a exp(
t
)
=1
2 20
=+
2 2020
La duree du regime libre est de quelques varie avec le facteur de qualite Q .
3.3.2 Regime critique
= 0, c = 0, Qc =1
2, Rc = 2
L
c
u(t) = (a+ bt) exp(0t) Ordre de grandeur du regime libre
c =1
0
u
t
du
dt
u
Portrait de phase
Qc =1
2 Qc =1
2
Le syste`me tente encore a` contourner lorigine dans le sens horaire mais ne peut yparvenir : il echoue rapidement au point o .
3.3.3 Regime pseudo-periodique
Pour un amortissement faible : < 0; < 0;Q >1
2;R < 2
L
c
r1,2 = i20 2 = i
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=20 2
: pseudo-pulsationla solution est :
u(t) = a exp(t) cos(t+ )a; sont des constantes dintegration
=02Q
= 0
1 1
4Q2< 0
Pseudo-periode Tla periode propre T0 =
2pi
0la pseudo-periode :
T =2pi
=
T01 1
4Q2
> T0
Decrement logarithmiqueu(t+ T ) = exp(T )u(t)
= T =02Q
T01 1
4Q2
=2pi
4Q2 1
= ln[u(t)
u(t+ T )]
la duree du regime pseudo-periodique
=1
=
2Q
0
Portrait de phase
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4 Reponse dun circuit RLC serie a` un echelon de
tension
4.1 Regime transitoire-Regime libre
E
R
Lu
i
lequation differentielle :
d2u
dt2+0Q
du
dt+ 20u =
20E
la solution de cette equation secrit sous la forme :
u(t) = u1(t) + E
avec :
I E : solution particulie`reI u1(t) : solution generale
u1(t) correspond au regime libre (aperiodique-critique-pseudo-periodique) . Pendantla duree de lexistence du regime libre le circuit RLC se trouve en regime transitoire,cependant au bout de quelques on parvient a` un regime etabli independant du tempsu1 = 0;u = E .Le regime etabli ne depend pas des conditions initiales (i0, u0) car u1(t) 0 lorsquet .
4.2 Aspect energetique
En multipliant lequation E = Ldi
dt+Ri+ u par idt = cdu
Eidt = d(1
2Li2 +
1
2cu2) +Ri2dt = dE + wJ
lintegration entre t = 0 et t =
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E
q()q(0)
dq =1
2L(i2 i2(0)) +
1
2c(u2() u2(0)) +
0
Ri2dt
avec : q(0) = u(0) = i(0) = 0 et q() = cE ;u() = E ; i() = 0
cE2 =1
2cE2 + wJ wJ = 1
2cE2
I La bobine nintervient pas dans le bilan energetique globale de la charge ducondensateur .
I Lenergie fournie par le generateur se repartit a` egalite entre la resistance (effetJoule) et le condensateur .
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Regime sinusoidal force dun circuit RLC
Table des matie`res
1 Diagramme de Fresnel 21.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Application : Etude dun circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Dipoles fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Groupement R,L,C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Methode des grandeurs complexes-Impedance complexe 52.1 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Preliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Application a` une grandeur alternative sinusoidale . . . . . . . . 62.1.4 Derivee et primitive en notation complexe . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Lois de Kirchhoff en notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Impedance complexe-Admittance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Dipoles fondamentales R,L,C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Groupement serie de dipoles passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.1 Impedance equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.2 Cas du RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Groupement paralle`le de dipoles passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Theore`mes generaux 9
4 Resonance dun circuit RLC 104.1 resonance en intensite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.1 Intensite efficace du circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.2 Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.3 Bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.4 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Resonance en tension aux bornes du condensateur . . . . . . . . . . . . 124.2.1 Tension efficace aux bornes du condensateur . . . . . . . . . . . 124.2.2 Resonance en tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.3 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
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On sinteresse a` un circuit RLC,soumis a` une tension sinusoidale . Le regime sinusoidalforce setablit rapidement apre`s extinction du regime transitoire .
1 Diagramme de Fresnel
1.1 Definitions
Diagramme de Fresnel : Il sagit dune representation vectorielle des grandeurs sinu-soidales . Vecteur de Fresnel : Il sagit dun vecteur representant une grandeur sinusoidale .Considerons un vecteur
OP de module Vm tournant autour du poit O dans le sens
trigonometrique avec une vitesse angulaire constante .
On choisit laxe OX de reference tq :(OX,
OP ) = a` t = 0
Y
X
P
O
t+
H
H la projection de P sur OX
OH = OP cos(t+ ) = Vm cos(t+ )
Resultat : a` toute grandeur sinusoidale on peut faire correspondre un vecteur deFresnel .v(t) = Vm cos(t+ ) OP tq :||OP || = Vm lamplitude de v(t)(OX,
OP ) = t+ la phase instantannee
I Somme de deux grandeurs sinusoidalesSoient : v1(t) = V1m cos(t + 1) et v2(t) = V2m cos(t + 2) des grandeurs
sinusoidales associees aux vecteursOP1 et
OP2
OP =OP1 +
OP2 donc
v = v1 + v2 = Vm cos(t+ )
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XO
P2
P1
P
2
1
I Derivee et primitive dune grandeur sinusoidalev(t) = Vm cos(t+ ) OPdv(t)
dt= Vm sin(t+ ) = Vm cos(t+ + pi
2) OP1
Resultat : la grandeur dvdt
est en quadrature avance par rapport a` v(t)vdt =
Vm
sin(t+ ) =Vm
cos(t+ pi2
) OP2 Resultat : la grandeur
vdt est en quadrature retard par rapport a` v(t)
O
P
P1
P2
X
pi
2
pi2
1.2 Application : Etude dun circuit RLC
1.2.1 Dipoles fondamentaux
Par analogie avec la loi dOhm :
Um = ZIm et Im = Y Um
Um : Amplitude de la tensionIm : Amplitude du courantZ : Impedance modulaire ()Y : Admittance modulaire (1 ou siemens s)
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I Resistance pure : u(t) = Um cos(t) = Ri(t) i(t) = UmR
cos(t)
En prenant comme axe de reference la tension,nous obtenons un diagramme tressimple .
Im
Um
= 0
Z = R
I Bobine pure : u(t) = Ldi(t)dt
= Um cos(t) i(t) = UmL
cos(t)dt =
UmL
sin(t)
i(t) =UmL
cos(t pi2
) Im = UmL
; = pi2
;Z = L
pi2
+
Im
Um
Z = L
= pi2
Resultat : Le courant est en quadrature retard par rapport a` la tension .I Condensateur : u(t) = q(t)
C= Um cos(t)
i(t) =dq
dt= CUm sin(t) = CUm cos(t+ pi
2)
On deduit : Im = CUm et = +pi
2
Im
Um
pi
2
+
Z =1
C =
pi
2
Resultat : Le courant est en quadrature avance par rapport a` la tension .
1.2.2 Groupement R,L,C
En serie la grandeur commune est lintensite on la choisit comme axe de reference .i(t) = Im cos(t)
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u1 u2 u3
R L C
u
i
u1(t) = RIm cos(t) = U1m cos(t)
u2(t) = L cos(t+pi
2) = U2m cos(t+
pi
2)
u3(t) =ImC
cos(t pi2
) = U3m cos(t pi2
)
axe de reference
Im
U2m
U3m
U1m
Um
U3m U2m
U2m = U21m + (U3m U2m)2 = [R2 + (
1
C L)2]i2m
Z =
R2 + (
1
C L)2
tan =1C LR
cos =R
Z
2 Methode des grandeurs complexes-Impedance com-
plexe
2.1 Notation complexe
2.1.1 Preliminaire
En physique pour ne pas confondre le nombre dHamilton i tq i2 = 1 avec lintensitedu courant on note j2 = 1 .Un nombre complexe peut se mettre sous la forme
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z = a+ jb = r(cos + j sin ) = r exp j
a : partie reelleb : partie imaginairer : module : argument
On peut lui associer un vecteurOM dans le plan complexe (uX ,uY )
O
M
Y
Xa
b
uX
uY
r
r =a2 + b2
tan =b
a
2.1.2 proprietes
I z1 = z2 a1 = a2; b1 = b2 r1 = r2; 1 = 2I z = z1z2 r = r1r2; = 1 + 2I z = z1
z2 r = r1
r2; = 1 2
I z = a+ jb z = a jb; z = (r,)I Lexpression du module de z est r =
z.z
I La condition z reel se traduit par z = z
I La condition z imaginaire se traduit par z = z
2.1.3 Application a` une grandeur alternative sinusoidale
Considerons les grandeurs sinusoidales : u(t) = Um cos(t) et i(t) = Im cos(t+ )On peut leur faire correspondre les grandeurs complexes :u(t) = Um exp jt et i(t) = Im exp(jt+ )seules les parties reelles ont un sens physique .Usuellement on pose Im = Im exp j lintensite maximale complexe de i(t)
i(t) = Im exp jt avec|Im| = Im : intensite maximale de i
argIm = : phase a` lorigine de i(t)/u(t)
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2.1.4 Derivee et primitive en notation complexe
i(t) = Im exp jtdi
dt= jIm exp jt
di
dt= ji(t)
i(t)dt =1
jIm exp jt
i(t)dt =1
ji(t)
2.2 Lois de Kirchhoff en notation complexe
Dans le cadre de lARQP,en regime sinusoidal les lois de Kirchhoff se generalisent ennotation complexe :
I Loi des Noeuds k
kik = 0
I Loi des mailles k
kuk = 0
2.3 Impedance complexe-Admittance complexe
2.3.1 Definitions
D
i
u
Par analogie avec la loi dOhm :
u = Z.i i = Y .uZ : Impedance complexe
Y =1
Zadmittance complexe
u(t) = Um exp jt et i(t) = Im exp(jt+ ) = Im exp jtla relation precedente se simplifie en
Um = Z.Im
est le dephasage de i/u
I En modules Um = Z.ImI Le dephasage
0 = argZ +
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2.3.2 Dipoles fondamentales R,L,C
I Resistance pure : u(t) = R.i(t) u(t) = R.i(t) donc
ZR = R ; Y R =1
R
I Bobine pureu(t) = L
di(t)
dt u = Ldi
dt= jLi
ZL = jL;Y L =1
jL
|ZL| = L et i/u = argZ = arg Y = pi
2(quadrature retard)
I Condensateur u(t) = 1c
i(t)dt u = 1
c
idt =
1
jci
Zc =1
jc;Y c = jc
i/u =pi
2(quadrature avance)
2.4 Groupement serie de dipoles passifs
2.4.1 Impedance equivalente
Z1 Z2 ZN Zeq
u1 u2 uN u
u
u =k
Zki = Zeqi
Zeq =k
Zk
2.4.2 Cas du RLC serie
RL c
i
u
i(t) = Im cos(t+ ) et u(t) = Um cos(t+ )en utilisant les impedances complexes :Z = ZL + ZR + Zc
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Z = R + j(L 1c
)
Im =Um|Z| =
UmR2 + (L 1
c)2
tan = L 1
cR
avec cos > 0
2.5 Groupement paralle`le de dipoles passifs
i
u
D1
DN
i =k
ik =k
Y ku
Y eq =k
Y k;Zeq =1
Y eq
3 Theore`mes generaux
Les lois de kirchhoff et les theore`mes generaux qui decoulent de la linearite du syste`mese generalisent au regime sinusoidal dans le cadre de la representation complexe . Toutles theore`mes vu precedement restent valables a` condition de remplacer chaque dipolepar son impedance complexe ou son admittance complexe .
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4 Resonance dun circuit RLC
4.1 resonance en intensite
4.1.1 Intensite efficace du circuit
i
u(t)
L
R
c
u(t) = U
2 costi(t) = I
2 cos(t+ )
En notation complexeu = U
2 exp jt
i = I
2 exp(jt+ ) = I
2 exp jt
u = Z.i avec Z = R + j(L 1c
)
I exp j =U
R + j(L 1c
)et () = arctan
L 1c
R
On definit :
I Pulsation propre du circuit : 0 =1Lc
I Facteur de qualite du circuit : Q = L0R
=1
RC0
I Pulsation reduite du circuit : X = 0
I(X) =
U
R1 +Q2(X 1
X)
(X) = arctan (Q(X 1X
))
4.1.2 Resonance
Il se produit le phenome`ne de resonance en courant lorsque lintensite efficace I est
maximale Xr 1Xr
= 0 Xr = 1 r = 0 et (Xr) = 0 Resultat : La pulsation de resonance en intensite est egale a` la pulsation propre ducircuit, et le courant est en phase avec la tension a` la resonance quelque soit le facteurde qualite Q du circuit RLC serie .
r = 0 et (r) = 0
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4.1.3 Bande passante
A` la resonance lintensite efficace est maximale Imax =U
R.
On appelle bande passante en pulsation reduite lintervalle X = X2X1 pour lequelImax
26 I(X) 6 Imax
I(X) =Imax
2 1 +Q2(X 1
X)2 = 2 X 1
X= 1
Q X2 X
Q 1 = 0 on prend
les solutions positives
X1 = 12Q
+1
2
1
Q2+ 4
X2 =1
2Q+
1
2
1
Q2+ 4
La bande passante en pulsation reduite
X = X2 X1 = 1Q
La bande passante en pulsation
=0Q
=R
L
La bande passante est dautant plus etroite que le facteur de qualite est plus eleve .
4.1.4 Aspect graphique
I(x) 0 lorsque X 0 ou X cest le comportement limite du condensateur etdu bobine . Y c = jc 0 lorsque 0 un condensateur se comporte comme une coupe -circuit aux tres basses frequences .
Y L =1
jc 0 lorsque la bobine se comporte comme une coupe circuit aux
frequences eleves .
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I
Imax
Imax2
XX1 X21
pi
2 pi
4
pi4
pi2
X
4.2 Resonance en tension aux bornes du condensateur
4.2.1 Tension efficace aux bornes du condensateur
RL
Cu
i
uc
uc(t) = Uc
2 cos(t+ )i(t) = I
2 cos(t+ )
u(t) = U
2 cost
uc =ZcZu =
u
jc[R + j(L 1c
)]
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Uc exp j =U
1 Lc2 + jRc Uc =U
(1 Lc2)2 +R2c22
Uc =U
(1X2)2 + X2
Q2
4.2.2 Resonance en tension
Il existe une resonance en tension aux bornes du condensateur , lorsque la tensionefficace Uc aux bornes du condensateur passe par un maximum pour une certaine
valeur Xr =r0
(r pulsation de resonance ) .
A` la resonance la fonction f(X) = (1X2)2 + X2
Q2doit etre minimale
(df
dx)X=Xr = 0 2Xr[2(1 X2r ) +
1
Q2] = 0 X2r = 1
1
2Q2> 0 ce qui exige
Q >12
donc r = 0
1 1
2Q26= 0
Pour Q 12
La pulsation de resonance en tension r = 0
1 1
2Q2
Dephasage : U cm =1
jcIcm =
pi
2La courbe representant en fonction de se deduit directement a` partir de la courbe
= f() par un simple decalage vers le bas de pi2
.
4.2.3 Aspect graphique
Uc
X
X
1
pi2
piQ = 0, 5
Q = 1
Q = 1, 5
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Puissance en regime sinusoidal
Table des matie`res
1 Puissance instantanee 21.1 Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Puissance moyenne 22.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Puissance moyenne dun resistor - grandeurs efficaces . . . . . . . . . . 32.3 Puissance moyenne en regime sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Puissance en notation complexe 43.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Adaptation dimpedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
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1 Puissance instantanee
1.1 Expression
Di
u
Dans le cadre de la convention recepteur la puissance consommee par un dipole electrocinetique(D) est definie par :
P (t) = u(t).i(t)
En regime sinusoidal u(t) = Um cost et i(t) = Im cos(t+ )
P (t) = UmIm cost. cos(t+ ) =Um.Im
2[cos+ cos(2t+ )]
Donc la puissance P (t) est une fonction periodique de pulsation p = 2
La periode Tp =2pi
p=pi
=T
2
1.2 Aspect graphique
P
t
Um.Im2
cos
Tp
Au cours dune periode T le dipole se comporte reellement : Comme un recepteur si P > 0 comme un generateur si P < 0
2 Puissance moyenne
2.1 Definition
Dans le cas de signaux periodiques (u(t) et i(t)) on definit la puissance moyenneconsommee par un dipole electrocinetique par :
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Pm =1
T
T0
P (t)dt en watt : w
Remarque : En regime sinusoidal cette puissance est appelee puissance active .
2.2 Puissance moyenne dun resistor - grandeurs efficaces
En regime continu (I = cte) la puissance moyenne consommee par effet Joule secritPm = U.I = R.I
2
En regime variable la puissance moyenne consommee :
Pm =1
T
T0
P (t)dt =1
T
T0
Ri2(t)dt
Definition : On appelle intensite efficace I la valeur de lintensite du courant continuqui produirait le meme effet Joule quen regime periodique .Pm = R.I
2 donc lintensite efficace est :
I2 =1
T
T0
i2(t)dt
Pour un courant sinusoidal i(t) = Im cos(t+ )
I2 =I2mT
T0
cos2(t+ )dt =I2m2T
T0
(1 + cos(2(t+ )))dt avec T = 2pi
I =Im
2
Valeur efficace dune tension sinusoidaleIl sagit de la valeur quadratique moyenne de la tension u(t) = Um cos(t+) sur uneperiode T .
U =Um
2
2.3 Puissance moyenne en regime sinusoidal
u(t) = Um cost et i(t) = Im cos(t+ )
P (t) = u(t).i(t) =Um.Im
2[cos+ cos(2t+ )]
Pm =1
T
T0
P (t)dt =Um.Im
2[cos+
1
T
T0
cos(2t+ )dt]
Pm =Um.Im
2cos
avec Um = U
2 et Im = I
2
Pm = U.I cos
I La puissance moyenne represente la puissance active consommeeI Le produit U.I designe la puissance apparente (V.A) du dipole
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I cos est appele facteur de puissance Exemples
I Puissance moyenne dun condensateur et dune bobinePour un condensateur le courant est en avance de
pi
2par rapport a` la tension
Pour une bobine le courant est en retard depi
2par rapport a` la tension
Donc cos(pi2
) = 0 donc Pm = 0
Le condensateur et la bobine emmagasinent de lenergie pendant une alternanceet restituent cette energie lors de lalternance suivante .
I Cas de RLC serie
RL C
uR uL uc
u
i
u = uR + uL + ucPm = PR + PL + Pc = PR = RI
2
La seule energie consommee lest par effet Joule dans la resistance .
3 Puissance en notation complexe
3.1 Definition
On definit la puissance complexe P consommee par le dipole par
P =1
2u.i
i complexe conjugue de iu = U
2 exp jt et i = I
2 expj exp jt = I
2 exp jt P = U.I = U.I exp j
P = UI(cos+ j sin)
I la puissance active ou moyenne (w)
Pm = Rel(P )
I la puissance reactive (V.A)
Im(P ) = pr
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3.2 Adaptation dimpedance
i
Zg
D
u
e
Considerons un dipole D dimpedance Z = R + jX,alimente par un generateur def.e.m e(t) = E
2 cost dimpedance interne Zg = Rg + jXg .
La puissance moyenne consommee par un dipole D est :Pm = Rel(Z).I
2 = R.I2
loi de Poouillet : i =e
Zg + Z=
e
Rg +R + j(Xg +X) I2 = E
2
(Rg +R)2 + (Xg +X)2
Pm =RE2
(Xg +X)2 + (Rg +R)2
Pm = f(R,X)
Pm est maximale : (PmR
)Xfixe = 0 et (PmX
)Rfixe = 0
Pour simplifier les calculs on utilise la derivee logarithmique1
Pm(PmX
)R = ( lnPmX
)R = 2(Xg +X)(Rg +R)2 + (Xg +X)2
= 0 donc X = Xg1
Pm(PmR
)X = ( lnPmR
)X =1
R 2(Rg +R)
(Rg +R)2 + (Xg +X)2=
Rg RR(Rg +R)
= 0 donc
R = Rg Resultat :Pm est maximum si
Z = Zg R = Rg;X = Xg
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Diagramme de Bode des filtres du premier et second ordre
Table des matie`res
1 Fonction de transfert dun circuit lineaire 21.1 Ordre dun circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Fonction de transfert harmonique H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Stabilite dun circuit lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Crite`re de stabilite en regime sinusoidal force . . . . . . . . . . . 31.3.3 Crite`re de stabilite en regime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Diagramme de Bode dun filtre 42.1 Gain en decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Pulsation de coupure c - bande passante a` 3dB . . . . . . . . 42.2.3 Diagramme asymptotique-diagramme reel . . . . . . . . . . . . 5
3 Filtre dordre un 53.1 Filtre passe bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Filtre passe haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Dephaseur ou filtre passe tout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Filtres dordre 2 84.1 Filtre passe bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Filtre passe haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Filtre passe bande dordre deux : resonance en intensite . . . . . . . . . 124.3.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Filtre coupe bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.5 Dephaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Filtres actifs 155.1 Proble`me des filtres passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
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Le filtrage est une forme de traitement de signal qui consiste :
I Selectionner une partie de linformation utile dans un signal et le transmettre(transmission de quelques frequences du signal et attenuation des autres)
I Eliminer les frequences parasites dans un signalI Un filtre est tout circuit lineaire realisant loperation filtrage
1 Fonction de transfert dun circuit lineaire
1.1 Ordre dun circuit
Circuitdetude
e(t) s(t)
Du fait de la linearite du syste`me les signaux e(t) et s(t) sont reliees par une equationdifferentielle de type :
a0s+ a1ds
dt+ ...+ an
dns
dtn= b0e+ b1
de
dt+ ...+ bm
dme
dtm
Definition : On appelle ordre du circuit lineaire,lordre de lequation differentielle lineaireassociee cest-a`-dire lordre de la derivation le plus eleve (n si n > m)
Exemples
e(t)
LR
Cus
e(t) = us +Rcdusdt
+ Lcd2usdt2
circuit dordre 2
1.2 Fonction de transfert harmonique H
Circuitlineaire
ue(t) us(t)
Le signal dentree est suppose sinusoidal, du fait de la linearite du syste`me le signal desortie est aussi sinusoidal .On definit la fonction de transfert harmonique par :
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H(j) =usue
cette fonction permet de determiner lamplitude et le dephasage du signal de sortieus(t) par rapport a` ue(t) .
H(j) = H() exp j avec = s e
Us = H()Ue
s = e + arg(H(j))
A` partir de lequation differentielle :
a0s+ a1ds
dt+ ...+ an
dns
dtn= b0e+ b1
de
dt+ ...+ bm
dme
dtm
En regime harmoniqued
dt j
H(j) =b0 + b1j + ...+ bm(j)
m
a0 + a1j + ...+ an(j)n
1.3 Stabilite dun circuit lineaire
1.3.1 Definition
un circuit est dit stable lorsque sa reponse s(t) , a` un signal dentree e(t) restantborne,ne diverge pas quelque soient les prame`tres du signal dentree et les conditionsinitiales du syste`me .
1.3.2 Crite`re de stabilite en regime sinusoidal force
Notons p = j , la fonction de transfert secrit sous la forme :
H(j) =N(j)
D(j)=b0 + jb1 + ...+ (j)
mbma0 + ja1 + ...+ (j)nan
=b0 + b1p+ ...+ bmp
m
a0 + a1p+ ...+ anpn
Definition : On appelle poles de fonction H(p)les racines de lequation D(p) = 0.Afin que H(p) ne diverge pas , il faut que les poles pk ne soient pas des imaginairespurs (si non pour k telle que pk = jk ,H devient infini).
Dautre part : lorsque H(p) bmanp(mn)
H(p) reste fini si m 6 n
1.3.3 Crite`re de stabilite en regime libre
I Syste`me du premier ordreEn regime libre : a0s+ a1
ds
dt= 0 s(t) = k exp(a0
a1t)
Lorsque t le signal diverge si a0 et a1 ont des signes contraires .
Resultat : Un syste`me du premier ordre est stable si les coefficients a0 et a1 de lequationdifferentielle ont le meme signe .
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I Syste`me du second ordrea0s+a1
ds
dt+a2
d2s
dt2= 0 on montre le syste`me est stable si les coefficients a0, a1, a2
ont le meme signe
2 Diagramme de Bode dun filtre
2.1 Gain en decibel
ue = Uem exp jt et us = Usm exp j exp jtOn appelle gain du filtre G() tq
G() = |H(j)|
() = argH(j)
Definition : On appelle gain en decibels (dB)(grandeurs electriques)
G(dB) = 20 logG()
Remarque : Pour des grandeurs energetiques (ou de puissance) le gain en decibelsest defini par :
X(dB) = 10 log(p1p2
)
2.2 Diagramme de Bode
2.2.1 Definition
On appelle diagramme de Bode dun filtre lensemble de deux graphes :
I G(dB) = f(log) : courbe de reponse en gainI = f(log) : courbe de reponse en phase
On appelle decade un intervalle de log egale a` 1 (2 = 101)
2.2.2 Pulsation de coupure c - bande passante a` 3dB La pulsation de coupure c dun filtre est definie par :
G(c) =Gmax
2
GdB(c) = GdB(max) 3 La bande passante dun filtre est lintervalle de pulsation qui satisfait a` :
Gmax26 G() 6 Gmax
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2.2.3 Diagramme asymptotique-diagramme reel
Il sagit de representer les asymptotes,associees a` 0 et ,des graphes GdB =f(log)On deduit ensuite le diagramme reel en faisant intervenir la pulsation de coupure .
3 Filtre dordre un
3.1 Filtre passe bas
La fonction de transfert dun filtre passe bas secrit sous la forme :
H(j) =1
1 + j
c
avec c : la pulsation de coupure
G() =1
1 + (
c)2
= arctan( c
)
ExemplesR
Cue us
H(j) =usue
=zc
zR + zc
H(j) =1
1 + jRc=
1
1 + j
c
donc c =1
Rc
G() =1
1 +R2c22
G(0) = Gmax = 1 et G(c) =12
=Gmax
2
la bande passante du filtre passe bas tq :Gmax
26 G() 6 Gmax
donc la bande passante est [0, c]
Si >> c H(j) = 11 + j
c
cj
=usue dus
dt= cue
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us = c
uedt
Resultat : En haute frequence le filtre passe bas du premier ordre se comporte comme unintegrateur Diagramme de BodeG(dB) = 20 logG = 20 log
11 + (
c)2
= 20 log1
1 + x2avec x =
c
pour x 0+ ,G(dB) 0 asymptote horizontale . pour x + ,G(dB) 20 log x asymptote oblique de pente 20dB par decade
= argH(j) = arctanx pour x 0, 0 pour x +, pi
2
G(dB)
log x
log x
pi4
pi2
3dB20dB /decade
3.2 Filtre passe haut
La fonction de transfert dun filtre passe haut secrit sous la forme :
H(j) =j
c
1 + j
c
G =1
1 + (c
)2
G() = 1 = Gmax et G(c) = Gmax2
=12
la bande passante du filtre passe haut est : [c,] Pour
-
c Boukaddid Cours delectrocinetique sup TSI
us =1
c
duedt
Resultat : En basse frequence le filtre passe haut du premier ordre se comporte commeun derivateur
Exemple
ueus
C
R
H(j) =usue
=jcR
1 + jcR=
j
c
1 + j
c
c =1
Rc
Diagramme de Bode G(dB) = 20 log 1
1 + (c
)2= 10 log(1 + 1
x2)
x G(dB) 0 x 0 G(dB) 20 log x = pi
2 arctanx
x 0 pi2 x 0
G(dB)
log x
log x
20dB/decade
pi
2
pi
4
3.3 Dephaseur ou filtre passe tout
La fonction de transfert dun dephaseur secrit :
7 / 16
-
c Boukaddid Cours delectrocinetique sup TSI
H(j) =1 j
c
1 + j
c
G() = |H(j)| = 1
donc le dephaseur naffecte pas lamplitude quelque soit la frequence f .
= argH(j) = 2 arctan c
= 2 arctanx
x 0 0 x pi
log x
pi2
pi
4 Filtres dordre 2
4.1 Filtre passe bas
4.1.1 Definition
La fonction de transfert dun filtre passe bas dordre 2 secrit sous la forme :
H(j) =20
(j)2 +0Q
(j) + 20
Q : facteur de qualite du circuit0 : pulsation propre du circuitOn pose p = j
H(p) =20
p2 +0Qp+ 20
=1
1 + jx
Q+ (jx)2
avec x =
0 Exemple
8 / 16
-
c Boukaddid Cours delectrocinetique sup TSI
RL
Cue
us
ie
H(j) =usue
=
1
jc1
jc+ jL +R
=1
1 + jRc Lc2 =1
1 + jx
Q+ (jx)2
0 =1Lc
et Q =L0R
=1
Rc0
4.1.2 Aspect graphique
Conside`rons lequation p2 +0Qp+ 20 = 0 avec p = j
=20Q2 420 = 20(
1
Q2 4)
I Premier cas : > 0 Q < 12
p1 = 02Q
+02
1
Q2 4
p2 = 02Q 0
2
1
Q2 4
On pose
p1 = 1; p2 = 2On verifie que
1.2 = 20
H(j) =20
(j + 1)(j + 2)=
1
(1 + j
1)(1 + j
2)
G(dB) = 20 log1
1 + (
1)2
+ 20 log1
1 + (
2)2
= G1 +G2
() = arctan(H(j)) = 1 + 2
9 / 16
-
c Boukaddid Cours delectrocinetique sup TSI
G(dB)
log xlog
10
log20
40dB/decade
20dB/decade
log x
pi2
pi
log10
log20
I Deuxie`me cas : = 0 Q = 12
H(j) =1
(1 + j
0)2
G(dB) = 20 log1
1 + (
0)2
= 2G(filtre passe bas)
G(dB)
log x
log x
pi40dB/decade
I troisie`me cas : < 0 Q > 0 : Resonance en tension
H(j) =1
1 ( 0
)2 + j1
Q
0
G(dB) = 20 log1
(1 ( 0
)2)2 +1
Q2(
0)2
= 20 log1
(1 x2)2 + x2
Q2
> 0 ; G 40 log
0asymptote de pente 40dB /decade
G presente un maximum si : ddx
[(1 x2)2 + x2
Q2] = 0 x2r = 1
1
2Q2
= 0
1 1
2Q2
10 / 16
-
c Boukaddid Cours delectrocinetique sup TSI
= arctan1
Q
0
1 ( 0
)2
> 0 pi
G(dB)
log x
log x
pi40dB/decade
Q1 >12
Q2 > Q1
pi2
4.2 Filtre passe haut
4.2.1 Fonction de transfert
H(p) =p2
p2 +0Qp+ 20
H(j) = 2
20 2 + j0Q
=1
1 20
2 j 1
Q
0
=(jx)2
1 + jx
Q+ (jx)2
G(dB) = 20 log1
1 (0
)2 +1
Q2(0
)2
En remplacant
0par
0
on retrouve le G du filtre passe bas .
= (filtre passe bas)+ arg(2)=(filtre passe bas)+pi
11 / 16
-
c Boukaddid Cours delectrocinetique sup TSI
4.2.2 Aspect graphique
G(dB)
log x
log x
pi
2
pi
Q 1 : La courbe se trouve au dessus des asymptotes
= arctan[Q(x 1x
)] = (filtre passe bas)+pi
2
13 / 16
-
c Boukaddid Cours delectrocinetique sup TSI
G(dB)
log x
(1)
(2)
pente de 20dBpar decade
pente de 20dBpar decade
pi
2
pi2
log x
Q1 < 1 : courbe au dessous des asymptotesQ2 > 1 : courbe au dessus des asymptotes
Plus Q est grand plus le filtre est selectif
4.4 Filtre coupe bande
la fonction de transfert dun coupe bande
H(p) =p2 + 20
p2 +0Qp+ 20
H(j) =1
1 + j1
Q
0
20 2
G(dB) = 20 log1
1 +1
Q2(
020 2
)2
= (passe bas)+ arg(20 2)
0 = ; G > 0 ; G 0 (p.b) + pi
14 / 16
-
c Boukaddid Cours delectrocinetique sup TSI
G(dB)
log x
log x
pi
2
pi2
4.5 Dephaseur
H(p) =
p2 0Qp+ 20
p2 +0Qp+ 20
|H| = 1 pas dattenuation
= 2(passe bas)
log x
2pi
5 Filtres actifs
5.1 Proble`me des filtres passifs
Les impedances de sortie et dentre ne sont pas adaptees Le gain en bande passante ne depasse pas un
15 / 16
-
c Boukaddid Cours delectrocinetique sup TSI
I Les filtres actifs utilisent les amplificateurs operationnelsI Les filtres passifs sont utilisees en hautes frequences et puissance elevee (limita-
tion des O.A)
5.2 Exemple
ve
R
R
R C
rr
CA
B
vs
Millman en A et B
vB = v+ = v =1
1 + vs
H(j) = k
j0Q
(j)2 + j0
Q+ 20
0 =
2
Rc;Q =
2
4 ; k =1 +
4
16 / 16
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
Amplificateur operationnel en regime lineaire
Table des matie`res
1 AO reel - AO ideal 21.1 Description de lAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Fonctionnement lineaire dun AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Syste`me lineaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Cas du regime continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Comportements non lineaires dun AO : phenome`nes de saturations . . 31.3.1 Saturation en tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Limitation en courant de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.3 Vitesse de balayage : limitation en frequence (slew-rate) . . . . . 4
1.4 AO ideal en regime lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.1 AO ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Propriete fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Amplificateur non inverseur 52.1 Modelisation dun amplificateur lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Amplificateur ideal en regime continu . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Amplificateur reel-Resistance dentree et de sortie . . . . . . . . 62.1.3 Cas dun regime sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Amplificateur non inverseur a` AO en regime lineaire . . . . . . . . . . . 62.3 Stabilisation du montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Amplificateur ideal de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Amplificateur a` AO reel en regime sinusoidal . . . . . . . . . . . 7
3 Montages usuels a` AO ideal 83.1 Suiveur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Amplificateur inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Sommateur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Soustracteur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Integrateur simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6 derivateur simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
Lamplificateur operationnel,designe par AO dans la suite du cours,est un syste`meelectronique complexe,du type circuit integre compose de resistance , condensateurdiodes , transistors .
1 AO reel - AO ideal
1.1 Description de lAO
1 2 3 4
5678
1 : reglage de loffset2 : Entree inverseuse (-)3 : Entree non inverseuse (+)4 : Polarisation negative (Vcc = 15V )5 : Reglage de la tension de decalage (offset)6 : Sortie7 : Polarisation positive (+Vcc = 15V )8 : Borne non connecteeExemples : TL081 , CA741 , A741Shematiquement on represente AO par
+
(2)
(3)(2)
(3)
(6) (6)E+
Es
E+ : Entree non inverseuseE : Entree inverseuse
1.2 Fonctionnement lineaire dun AO
1.2.1 Syste`me lineaire du premier ordre
us
2 / 12
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
La tension de sortie us est reliee a` par lequation suivante :
dusdt
+ us =
: temps de relaxation du syste`me 102s : Coefficient damplification : gain en regime continue = 105
lequation precedente secrit sous la forme suivante
us
=
1 + j
0
avec 0 =1
1.2.2 Cas du regime continu
En regime continu lequation precedente devient
Us =
1.3 Comportements non lineaires dun AO : phenome`nes desaturations
1.3.1 Saturation en tension
En regime continue faisons varier entre 0 et +0 la reponse est comme suit :us
+
Usat
Usatsaturation basse
saturation haute
+0
0
En pratique Usat = Vsat = 15V Pour > M : saturation haute (phenome`ne non lineaire) Pour < M : saturation basse Dans le cas dun signal sinusoidal us(t) damplitude Usm superieur a` Usat
3 / 12
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
us
t
+Usat
Usat
saturation
Ordre de grandeur : Usat = 13V ,Vcc = 15V , = 105 M = Usat
104V
Conclusion : En regime lineaire dun AO reel,la tension est tres faible < M .
1.3.2 Limitation en courant de sortie
Le courant de sortie is produit un echauffement des composantes internes en circulantdans lAO . Pour eviter la deterioration de leurs composants,les AO sont en generalmunis de limiteurs de courant de sortie is < Imax 20mA .
1.3.3 Vitesse de balayage : limitation en frequence (slew-rate)
Dans la structure des AO,il existe une vitesse limite de variation de tension us ditevitesse de balayage notee avec
|dusdt| 6 0, 5V.s1
La vitesse de balayage caracterise le temps de reponse t dun AO .
=ust
augmente t diminueus
t
us
t
tpas de limitation en frequence limitation en frequence
4 / 12
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
La vitesse de balayage est responsable sur la triangularisation de us .us(t) = Usm cos(t+ ) telque Usm. > .
Il existe un intervalle de temps pour laquelle |dusdt| = Usm| sin(t+ )| >
on doit poser |dusdt| = us(t) = .t+ cte variation affine de us(t) dans t .
1.4 AO ideal en regime lineaire
1.4.1 AO ideal
Un AO ideal est un amplificateur differentiel de tension :
I de gain infini : I de courants nuls en entree : i+ = i = 0
1.4.2 Propriete fondamentale
Pour eviter le phenome`ne de saturation en tension il faut que us < Usat
En regime lineaire us = on deduit que =us6 Usat
avec donc 0
En regime lineaire de lAO ideal = 0
us
Usat
+Usat
RemarqueI La puissance fournie en entree est nulle :i+ = i = 0 P+ = U+.i+ = 0, P = U.i = 0
I Lenergie consommee par la charge et par les composantes internes de lAO estpreleve des sources dalimentation (+Vcc et Vcc)
2 Amplificateur non inverseur
2.1 Modelisation dun amplificateur lineaire
2.1.1 Amplificateur ideal en regime continu
Un operateur qui amplifie la tension dentree (us > ue) sans prelever denergie en entreeest appele amplificateur ideal de tension .
Gain de lamplificateur G0 = usue
> 1
5 / 12
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
ueus
ie = 0
G0ue
2.1.2 Amplificateur reel-Resistance dentree et de sortie
ue us
ie
Rs
GueRe
2.1.3 Cas dun regime sinusoidal
ueus
ie
zs
H.ueze
Lamplificateur est conside`re comme ideal si : ze =, zs = 0
2.2 Amplificateur non inverseur a` AO en regime lineaire
Conside`rons le montage suivant
r
e
ve
i = 0
ie = i+ = 0
R
Ru
Rve
i
vs
is
i
operateur amplification
6 / 12
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
2.3 Stabilisation du montage
= ve ve est lie a` vs par : dvsdt
+ vs =
ie = i+ = i = 0 , ve = ve + = e rie = e ,ve = Ri =
R
R +Rvs on pose =
R
R +Rlequation devient
dvsdt
+vs
(1 + ) =e
la solution de lequation homoge`ne (regime transitoire)
vs = K exp[(1 + ) t
] 0, t donc loperateur a` AO est stable
2.3.1 Amplificateur ideal de tension
si on suppose que lAo est ideal = 0ve = v
e = vs G =
vsve
=1
=R +R
R
vsGveve
Operateur damplification
2.3.2 Amplificateur a` AO reel en regime sinusoidal
En regime sinusoidal lAo se comporte comme un filtre passe bas de fonction de transfert
h =vs
=
1 + j
0
avec 0 =1
0 represente la pulsation de coupure ou la bande passante de lAo
ve =R
R +Rvs =
vsG
, ve = + ve = vs(
1
h+
1
G)
vsve
=1
1
h+
1
G
=1
1
+
1
G+ j
0
=
G
(+G)
1 + j
0
G
(+G)
vsve
=
1 + j
0
avec =G
+Get 0 =
0(+G)
G
7 / 12
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
.0 = .0 = cte
Ce facteur est appele facteur de merite ou le produit gain x bande passante Resultat : Le produit gain x bande passante est le meme pour un AO en boucle fermeou en boucle ouverte .
3 Montages usuels a` AO ideal
3.1 Suiveur de tension
= 0
ve
vsRc
+
AO ideal : i = i+ = 0, = 0 v+ = v = ve or v = vs ve = vsve = vs
donc on peut modeliser le suiveur par un amplificateur ideal de tension de gain 1,dimpedancedentree infini et dimpedance de sortie nulle .
Suiveur
ve = e evs
La puissance delivree a` la resistance de charge Rc est
Ps =v2sRc
=e2
Rc= Pmax
Conclusion : En suiveur la puissance maximale disponible de la source de tension aete transmise integralement a` la resistance de charge . Le suiveur est un adaptateurdimpedance .
8 / 12
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
3.2 Amplificateur inverseur
-
+
R
R
us
ue
ie
ie
0
v+ = v = 0 et v =
ueR
+usR
1
R+
1
R
= 0
G =usue
= R
R
supposons que R > R donc on peut modeliser lamplificateur inverseur par le montageamplificateur non ideal de tension de gain G et de resistance dentree R =
ueie
ie
ueR Gue
us
cet operateur damplification consomme de lenergie en entree ce qui constitue un defautpar rapport a` lamplificateur non inverseur .Remarque : si R = R on obtient us = ue cest un changeur de signe .
3.3 Sommateur de tension
R
R
R
ve1
ve2
vs
-
+
ie
9 / 12
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
v+ = v = 0 et v =
vsR
+ve1R
+ve2R
1
R+
1
R+
1
R
= 0
vs = (ve1 + ve2) sommateur inverseur
3.4 Soustracteur de tension
R
vs
-
+
R
R
R
ve2ve1
AO ideal : v+ = v avec v+ =
ve1R
1
R+
1
R
et v =
vsR
+ve2R
1
R+
1
Rv = v+ vs + ve2 = ve1
vs = ve1 ve2
3.5 Integrateur simple
vs
-
+
R
ve
uc
k
ie
10 / 12
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
a` t = 0 on ouvre linterrepteur (k) uc(0) = 0
ue = Rie, ie =dq
dt= c
ducdt
et vs = ucie = cdvs
dt=veR
vs = 1RC
vedt
En regime sinusoidal ve = Vm exp(jt)
v = v+ =
vszc
+veR
1
zc+
1
R
= 0 vs = veRzc =
vejRc
donc vs = 1
Rc
vedt vs(t) =
1
Rc
ve(t)dt
Remarque : En pratique , il se produit le phenome`ne de derive en tension du auxcourants de polarisation dun AO reel,donc on realise le montage pseudo-integrateur
vs
-
+
R
ve
uc
ie
R
v = v+ =
vszc//R
+veR
1
zc//R+
1
R
= 0 vsve
=1
R(zc//R)
zc//R =
R
jc
R +1
jc
=R
1 + jRc
doncvsve
=R
R1 + jRc
=R
R
1 + j
0
Si >> 0 = 1Rc vs
ve R
R
1
j
0
11 / 12
-
c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI
vs =1Rc
vedt
3.6 derivateur simple
vs
-
+
ve
ie
R
Cie
ie = cduedt
= ueR us = Rcdue
dt
v = v+ = 0 =
vezc
+vsR
1
zc+
1
R
vs = R
zcve = jRcve
vs = Rcdvedt
En pratique on utilise le montage pseudo-derivateur
vs
-
+
ve
ie
R
C ieR
v = v+ = 0 =
veR + zc
+vsR
1
zc +R +
1
R
vs = RR +
1
jc
ve =jRc
1 + jRcve
si
-
c S.Boukaddid TP-Cours 3 delectronique sup TSI
Amplificateur operationnel en regime non lineaire
Table des matie`res
1 Comparateur a` AO 21.1 Comparateur simple en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Comparateur en boucle fermee : trigger de schmitt . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Stabilisation du montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Comparateur a` hysteresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Multivibrateur astable 42.1 Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Etude theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 / 6
-
c S.Boukaddid TP-Cours 3 delectronique sup TSI
1 Comparateur a` AO
Il sagit doperateur a` AO suppose ideal,en regime non lineaire ( 6= 0) on obtient a` lasortie Saturation basse si < 0 Saturation haute si > 0
1.1 Comparateur simple en boucle ouverte
Cet operateur a` AO va permettre de comparer une tension ve(t) appliquee sur uneentree (+) (par exemple) et une tension de reference vr sur lautre entree .
+
-
vevr vs
= v+ v = ve vrsi ve > vr > 0 saturation hautesi vr > ve < 0 saturation basse
vs
vevr
Remarque : Si lon permute les deux entrees,le comparateur est dit inverseur .En pratique la caracteristique de transfert est visualise en mode XY de loscilloscope.
2 / 6
-
c S.Boukaddid TP-Cours 3 delectronique sup TSI
1.2 Comparateur en boucle fermee : trigger de schmitt
1.2.1 Montage
+
-
ve
i
i
R1R2
vr
vs
On pose
=R1
R1 +R2
vr = (1 )vr =R2
R1 +R2vr
1.2.2 Stabilisation du montage
Pour montrer linstabilite du montage on conside`re que lAO est reel tq vs et sontrelies par lequation : on suppose que vr = 0
dvsdt
+ vs =
v+ = R1i =R1
R1 +R2vs = vs et = vs ve
dvsdt
+ (1 )vs = ve
>> 1 vs = k exp(t), t (solution de lequation SSM)
donc vs diverge et lAO sature en tension .
1.2.3 Comparateur a` hysteresis
v+ = vr +R1i = vr +R1vs vrR1 +R2
= vr + (vs vr) = vs + vr
= v+ v = vs + vr veI Saturation haute > 0 ve < vs + vr = Vsat + vr = ve2
3 / 6
-
c S.Boukaddid TP-Cours 3 delectronique sup TSI
I Saturation basse < 0 ve > Vsat + vr = ve1I Cycle dhysteresis
vs
veve1 ve2vr
A0
A1
A2
A0
+Vsat
Vsat
On part du point A0 tq vs = +Vsat > 0On augmente la tension jusqua` v