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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
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Diseo de experimentos p. 1/111
Diseo completamente al azar
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Diseo de experimentos p. 2/111
Ejemplo
Suponga que tenemos 4 dietas diferentes que queremoscomparar. Las dietas estn etiquetadas A,B,C y D.Estamos interesados en estudiar si las dietas afectan la tasade coagulacin en conejos. La tasa de coagulacin es el
tiempo en segundos que tarda una cortada en dejar desangrar.Tenemos 16 conejos para el experimento, por lo que usaremos4 en cada dieta.
Los conejos estn en una jaula grande hasta que se inicie elexperimento, momento en que se transferirn a otras jaulas.
Cmo asignamos los conejos a los cuatro grupos
tratamiento?
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Diseo de experimentos p. 3/111
Mtodo 1
Supongamos que los conejos se atrapan "al azar". Atrapamoscuatro conejos y los asignamos a la dieta A. Atrapamos otroscuatro y los asignamos a la dieta B y as sucesivamente.
Dado que los conejos fueron "atrapados al azar", estoproducir un diseo completamente al azar.
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4/111Diseo de experimentos p. 4/111
Mtodo 1
No es necesariamente cierto.
Los primeros cuatro conejos atrapados pueden ser los ms
lentos y dbiles, aquellos menos capaces de escapar. Estopuede sesgar los resultados.
Si los resultados del experimento dan desventaja a la dieta A,no habr forma de determinar si los resultados son a
consecuencia de la dieta A o del hecho de haber asignado losconejos ms dbiles a esa dieta por nuestro "proceso dealeatorizacin".
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Diseo de experimentos p. 5/111
Mtodo 2
Atrape a todos los conejos y etiqutelos del 1 al 16.
Seleccione cuatro nmeros aleatorios (sin reemplazo) del 1 al
16 y ponga los conejos con esa etiqueta en una jaula querecibir la dieta A.
Entonces, seleccione otros cuatro nmeros aleatorios y pongalos conejos correspondientes en otra jaula que recibir la dieta
B.
As sucesivamente hasta tener cuatro jaulas con cuatroconejos en cada una.
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Diseo de experimentos p. 6/111
Mtodo 2
No hay repeticiones.
El diseo es un diseo completamente al azar pero no tiene
repeticiones.
Hay 16 conejos, pero los conejos en cada jaula no sonindependientes. Si un conejo come mucho, los otros en lajaula tienen menos para comer.
La unidad experimental es la menor unidad de materialexperimental a la cual se le aplica un tratamiento en formaindependiente. En este caso, las jaulas son las unidades
experimentales. Para un diseo completamente al azar conrepeticiones, cada conejo debe estar en su propia jaula.
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7/111
Diseo de experimentos p. 7/111
Mtodo 3
En una urna ponga las letras A,B,C y D en pedazos de papelseparados.
Atrape un conejo, saque un pedazo de papel al azar de la urna
y asigne el conejo a la dieta que indique el papel. Noreemplace el papel. Atrape el segundo conejo y seleccione alazar otro pedazo de papel de la urna de los tres que quedan.Asigne el conejo a la dieta correspondiente.Continue hasta que los primeros cuatro conejos seanasignados a una de las cuatro dietas. De esta manera, todoslos conejos lentos tienen diferentes dietas.
Coloque otra vez los cuatro pedazos de papel en la urna y
repita el procedimiento hasta que los 16 conejos estnasignados a una dieta.
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Diseo de experimentos p. 8/111
Mtodo 3
Este no es un diseo completamente al azar.
Ya que se seleccionaron los conejos en bloques de 4, y cadauno asignado a una de las dietas, el diseo es el bloques alazar.
El tratamiento es Dieta pero se ha bloqueado a travs delgrado de "atrapabilidad".
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Diseo de experimentos p. 9/111
Mtodo 4
Atrape a todos los conejos y mrquelos del 1 al 16. Ponga 16piezas de papel en una urna, con las letras A, B, C y Drepetidas cuatro veces cada una.
Ponga otros 16 pedazos de papel numerados del 1 al 16 enotra urna. Tome un pedazo de papel de cada urna. El conejocon el nmero seleccionado es asignado a la dietaseleccionada.
Para hacer ms fcil de recordar cul conejo tiene cul dieta,las jaulas se acomodan como se muestra abajo:
A A A A
B B B BC C C C
D D D D
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10/111
Diseo de experimentos p. 10/111
Mtodo 4
El mtodo 4 tiene algunas deficiencias. La asignacin de losconejos a los tratamientos es un diseo completamente alazar. Sin embargo, el arreglo de las jaulas crea un sesgo enlos resultados.
Puede haber cambios climticos y de luz que afecten de formadiferencial a los tratamientos, de tal manera que, cualquierdiferencia observada no puede ser atribuida a la dieta, sinoque podra ser resultado de la posicin de la jaula.
La posicin de la jaula no es parte del tratamiento, pero debeser considerada. En un diseo completamente al azar, todoslos conejos tienen la misma probabilidad de recibir cualquier
dieta y en cualquier posicin de la jaula.
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11/111
Diseo de experimentos p. 11/111
Mtodo 5
Marque las jaulas del 1 al 16.
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 154 8 12 16
Ponga 16 pedazos de papel en una urna, numerados del 1 al
16. En otra urna ponga 16 pedazos de papel, marcados conlas letras A, B C y D.
Atrape un conejo. Seleccione un nmero y una letra de cadaurna. Ponga el conejo en la jaula indicada por el nmero
escogido y asgnelo a la dieta indicada por la letra.Repita sin reemplazo hasta que todos los conejos hayan sidoasignados a una dieta y una jaula.
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12/111
Diseo de experimentos p. 12/111
Mtodo 5
Si, por ejemplo, el primer nmero seleccionado fu 7 y laprimera letra B, entonces el primer conejo se pone en la jaula7 y se alimenta con la dieta B.
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 B 11 15
4 8 12 16
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13/111
Diseo de experimentos p. 13/111
Mtodo 5
Un ejemplo de asignacin completa es el siguiente:
1 C 5 A 9 B 13 D
2 D 6 B 10 D 14 C
3 C 7 B 11 A 15 D4 A 8 A 12 C 16 B
Note que el diseo completamente al azar no toma en cuenta
las diferencias en la altura de las jaulas. Es solamente unaasignacin completamente al azar.
En este ejemplo vemos que la mayora de los conejos con ladieta A estn en jaulas de la parte de abajo y los de la dieta Destn en la parte superior. Un diseo completamente al azarsupone que estas posiciones no producen una diferenciasistemtica en la respuesta (tiempo de coagulacin).
Si creemos que la posicin afecta la respuesta, deberamosusar un diseo de bloques al azar.
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14/111
Diseo de experimentos p. 14/111
Diseo completamente al azar, un factor
Ejemplo: Disminucin del crecimiento de bacterias en carnealmacenada.
La vida en estante de carne almacenada es el tiempo en queel corte empacado se mantiene bien, nutritivo y vendible.
El empaque estndar con aire del medio ambiente tiene unavida de 48 horas. Despus se deteriora por contaminacin
bacterial, degradacin del color y encogimiento.
El empaque al vaco detiene el crecimiento bacterial, sinembargo, se pierde calidad.
Estudios recientes sugieren que al controlar ciertos gases dela atmsfera se alarga la vida en estante.
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
15/111
Diseo de experimentos p. 15/111
Diseo completamente al azar, un factor
Hiptesis de investigacin: Algunas formas de gasescontrolados pueden mejorar la efectividad delempacamiento para carne.
Diseo de tratamientos: Un factor con 4 niveles:
1. Aire ambiental con envoltura plstica2. Empacado al vaco
3. Mezcla de gases:s 1% CO (monxido de carbono)
s 40% O2 (oxgeno)
s 59% N (nitrgeno)
4. 100% CO2 (bixido de carbono)
Diseo experimental: Completamente al azar.
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16/111
Diseo de experimentos p. 16/111
Diseo completamente al azar, un factor
Tres bisteces de res, aproximadamente del mismo tamao (75grs.) se asignaron aleatoriamente a cada tratamiento. Cadabistec se empaca separadamente con su condicin asignada.
Variable de respuesta: Se mide el nmero debacterias psichnotropicas en la carne despus de 9das de almacenamiento a 4C.
Estas bacterias se encuentran en la superficie de lacarne y aparecen cuando la carne se ech a perder.La medicin fu el logaritmo del nmero debacterias por cm2.
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17/111
Diseo de experimentos p. 17/111
Diseo completamente al azar, un factor
Cmo aleatorizar?
Se obtiene una permutacin aleatoria de los nmeros 1 a 12. Para esto se
toma una secuencia de nmeros de 2 dgitos de una tabla de nmerosaleatorios y se les asigna el rango que les corresponda.Por ejemplo:
# aleatorio 52 56 20 99 44 34 62 60 31 57 40 78
rango 6 7 1 12 5 3 10 9 2 8 4 11
trat 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
u.e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
trat 1 3 2 4 2 1 1 4 3 3 4 2
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18/111
Diseo de experimentos p. 18/111
Diseo completamente al azar, un factor
Modelo estadstico para el experimento
El modelo estadstico para estudios comparativos supone quehay una poblacin de referencia de u.e. En muchos casos la
poblacin es conceptual. En el ejemplo, es posible imaginaruna poblacin de carne empacada.
Cada unidad de la poblacin tiene un valor de la variable derespuesta, y, la cual tiene media y varianza 2.
Se supone una poblacin de referencia para cada tratamientoconsiderado en el estudio, y las variables en el experimento sesuponen seleccionadas aleatoriamente de dicha poblacin de
referencia, como resultado de la aleatorizacin.
Nota. Para estudios observacionales, suponemos que lasunidades observadas se seleccionaron aleatoriamente decada una de las poblaciones.
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19/111
Diseo de experimentos p. 19/111
Diseo completamente al azar, un factor
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20/111
Diseo de experimentos p. 20/111
Diseo completamente al azar, un factor
Modelo estadstico lineal para un diseo completamente alazar.
Modelo de medias:
yij = i + ij i = 1, 2, . . . , t j = 1, 2, . . . , r
donde
yij es la observacin de la j-sima u.e. del i-simo tratamiento,i es la media del i-simo tratamiento,ij es el error experimental de la unidad ij.Suponemos que hay t tratamientos y r repeticiones en cada
uno.
En el ejemplo de la carne empacada, tenemos:
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21/111
Diseo de experimentos p. 21/111
Diseo completamente al azar, un factor
bistec trata obser log yij Modelo
miento vacin (conteo/cm2)
6 1 1 7.66 y11 1 + 11
7 1 2 6.98 y12 1 + 121 1 3 7.80 y13 1 + 13
12 2 1 5.26 y21 2 + 21
5 2 2 5.44 y22 2 + 22
3 2 3 5.80 y23 2 + 23
10 3 1 7.41 y31 3 + 31
9 3 2 7.33 y32 3 + 32
2 3 3 7.04 y33 3 + 338 4 1 3.51 y41 4 + 41
4 4 2 2.91 y42 4 + 42
11 4 3 3.66 y43 4 + 43
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24/111
Diseo de experimentos p. 24/111
Diseo completamente al azar, un factor
yij = + ij yij = i + ij
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
25/111
Diseo de experimentos p. 25/111
Diseo completamente al azar, un factor
Pregunta de investigacin: Hay ms crecimiento bacterialcon algunos mtodos de empacado que con otros?
Pregunta estadstica: Cul modelo describe mejor losresultados del experimento?
Se requiere un mtodo para estimar los parmetros de los dos
modelos y con base en algun criterio objetivo determinar culmodelo o hiptesis estadstica se ajusta mejor a los datos delexperimento.
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
26/111
Diseo de experimentos p. 26/111
Diseo completamente el azar, un factor
Los estimadores de mnimos cuadrados son aquellos queresultan de minimizar la suma de cuadrados de los erroresexperimentales.
Si los errores experimentales son independientes con mediacero y varianzas homogneas, los estimadores de mnimoscuadrados son insesgados y tienen varianza mnima.
Nota. El muestreo aleatorio en los estudios observacionales yla aleatorizacin en los experimentales aseguran la suposicinde independencia.
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
27/111
Diseo de experimentos p. 27/111
Estimadores para el modelo completo
yij = i + ij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , r
ij = yij i
SSEc =
ti=1
rj=1
2ij =
ti=1
rj=1
(yij i)2
La SSEc es una medida de qu tan bien se ajusta el modelo a
los datos.
Queremos determinar los estimadores i tales que seminimice esta SSEc.
Vamos a tener t ecuaciones normales, una para cadatratamiento, encontradas a partir de derivar la SSEc conrespecto a cada i e igualarlas a cero.
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
29/111
Diseo de experimentos p. 29/111
Estimadores para el modelo completo
Por lo tanto,
i = yi i = 1, . . . , t
Entonces,
SSEc =t
i=1
rj=1
(yij i)2
=t
i=1
rj=1
(yij yi.)2
=t
i=1
r
j=1
(yij
yi.
)2
E i d l d l l
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30/111
Diseo de experimentos p. 30/111
Estimadores para el modelo completo
La varianza muestral del i-simo tratamiento es:
S2i = rj=1 (yij yi.)2
r 1es una estimador de 2 de los datos del i-simo grupo.
S2 = ti=1 rj=1 (yij yi.)
2t(r 1) =
SSEct(r 1)
es un estimador combinado (pooled) de 2 de todos losdatos del experimento.
Es un buen estimador si podemos hacer la suposicin de que2 es homognea en todos los grupos.
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31/111
Estimadores para el modelo reducido
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
32/111
Diseo de experimentos p. 32/111
Estimadores para el modelo reducido
yij = + ij
ij = yij
SSEr =t
i=1r
j=1 2ij =t
i=1r
j=1 (yij )2
t
i=1
r
j=1
(yij
)2
=
2
t
i=1
r
j=1
(yij
)
igualando a cero
t
i=1
r
j=1
=t
i=1
r
j=1
yij
rt = y..
=y..rt
= y..
Estimadores para el modelo reducido
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
33/111
Diseo de experimentos p. 33/111
Estimadores para el modelo reducido
Entonces,
SSEr =t
i=1r
j=1 (yij )2
=t
i=1r
j=1 (yij y..)2
Para el ejemplo,
= y.. =70.80
12= 5.90
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
34/111
Diseo de experimentos p. 34/111
Modelo reducido Modelo completo
yij = + ij yij = i + ijObservado Estimado Diferencia Estimado Diferencia
Tratamiento y (yij ) i (yij i)Comercial 7.66 5.90 1.76 7.48 0.18
6.98 5.90 1.08 7.48 -0.507.80 5.90 1.90 7.48 0.32
Vaco 5.26 5.90 -0.64 5.50 -0.24
5.44 5.90 -0.46 5.50 -0.06
5.80 5.90 -0.10 5.50 0.30
Mezcla 7.41 5.90 1.51 7.26 0.15
7.33 5.90 1.43 7.26 0.07
7.04 5.90 1.14 7.26 -0.22CO2 3.51 5.90 -2.39 3.36 0.15
2.91 5.90 -2.99 3.36 -0.45
3.66 5.90 -2.24 3.36 0.30
SSEr = 33.7996 SSEc = 0.9268
Diseo completamente al azar un factor
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
35/111
Diseo de experimentos p. 35/111
Diseo completamente al azar, un factor
Siguiendo con el ejemplo:
Modelo completo yij = i + ij SSEc =
i
j(yij yi.)2 = 0.9268
Modelo reducido yij = + ij SSEr =ij(yij y..)2 = 33.7996
Diferencia:
SSEr SSEc =i j
(yij y..)2 i j
(yij yi.)2
haciendo lgebra
=i
j
(yi. y..)2 = ri
(yi. y..)2
En el ejemplo: SSEr SSEc = 32.8728
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36/111
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
37/111
Diseo completamente al azar, un factor
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
38/111
Diseo de experimentos p. 38/111
Diseo completamente al azar, un factor
Grados de libertad. Representan el nmero de piezas deinformacin independientes en las sumas de cuadrados.
En general, es el nmero de observaciones menos el nmerode parmetros estimados de los datos.
Sea n = rt, el tamao de muestra total.
As, SStotal =tirj(yij y..)2 donde y.. es el estimador de, tiene n 1 g.l.
SSE =
ti
rj(yij yi.)2 se estimaron t parmetros
(1
, 2
, . . . , t) por lo tanto tiene n
t g.l.
SSt = SStotal SSE = (n 1) (n t) = t 1 g.l.
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
39/111
Tabla de Anlisis de Varianza
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
40/111
Diseo de experimentos p. 40/111
Si suponemos ij N ID(0, 2) i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ren el modelo completo yij = i + ij
Entonces, yij N ID(i, 2).Se puede demostrar que:
SStotal2
=
i
j(yij y..)2
2 2n1
SSE2
=ij(yij yi.)2
2 2nt
Cuando H0 : 1 = 2 = . . . = t es cierta
SSt2
=
i r(yi. y..)22
2t1
Tabla de Anlisis de Varianza
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
41/111
Diseo de experimentos p. 41/111
Por el Teorema de Cochran (Montgomery, 2001, pg. 69), SSty SSE son independientes, por lo tanto cuando H0 es cierta,
F0 =SSt/
2(t 1)SSE/2(n
t)
=CMt
CM E
Ft1,nt
Adems, E(CMt) = 2 + 2t =
2 cuando 2t = 0 que escuando H0 es cierta. Es decir,
E(CMt) = E(CM E) cuando H0 es cierta
E(CMt) > E(CM E) cuando H0 no es cierta
Entonces, si CMt > CM E, o sea, valores grandes de F0llevan a rechazar la hiptesis nula H0 : 1 = 2 = . . . = t.Por lo tanto, la regin de rechazo es:
F0 > F
t1,nt
Tabla de Anlisis de Varianza
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
42/111
Diseo de experimentos p. 42/111
ANOVA
F.V. g.l. SS CM F E(CM)
Tratamientos t 1 SSt CMt = SStt1 CMtCME 2 + 2t
Error n t SSE CM E = SSEnt 2
Total n
1 SStotal
SSt =
ti=1
r (yi. y..)2
SSE =t
i=1
rj=1
(yij yi.)2
SStotal =
t
i=1
r
j=1 (yij y..)
2
Tabla de Anlisis de Varianza
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
43/111
Diseo de experimentos p. 43/111
En el ejemplo de empacado de carne:
F.V. g.l. SS CM F P r > F
trat 3 32.8728 10.958 94.55 0.000error 8 0.9268 0.1159
total 11 33.7996
Por lo tanto, se rechaza la hiptesis H0 : 1 = 2 = . . . = 4,es decir, hay algn mtodo de empaque que tiene diferentecomportamiento en promedio.
Diseo completamente al azar, un factor
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
44/111
Diseo de experimentos p. 44/111
Se quieren comparar t niveles de un factor, lo que implica ttratamientos y se dispone de ni u.e. para el tratamiento i,i = 1, . . . , t. Hay dos situaciones:
1. Los t tratamientos son escogidos especficamente por elinvestigador. En esta situacin deseamos probar hiptesisacerca de las medias de los tratamientos y nuestrasconclusiones se aplicarn solamente a los niveles delfactor considerados en el anlisis. Las conclusiones no se
pueden extender a tratamientos similares que no fueronexplcitamente considerados. Este es el modelo deefectos fijos.
2. Los t tratamientos son una muestra aleatoria de una
poblacin de tratamientos. En esta situacin nos gustarapoder extender las conclusiones (las cuales estn basadasen la muestra de tratamientos considerada) a todos lostratamientos de la poblacin. Este es el modelo de
efectos aleatorios.
Diseo completamente al azar, un factor
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
45/111
Diseo de experimentos p. 45/111
A las cantidades n1, n2, . . . , nt se les llama repeticiones decada tratamiento.
Si ni = r
i se dice que el diseo es balanceado.
yij es la respuesta de la u.e. j del tratamiento i,i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni.
Diseo completamente al azar
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
46/111
Diseo de experimentos p. 46/111
Estructura de los datos.
tratamientos1 2 3 ... t
y11 y21 y31 ... yt1y12 y22 y32 ... yt2
y13 y23 y33 ... yt3
. . . ... .
. . . ... .
. . . ... .
y1n1 y2n2 y3n3 ... ytnt
y1. y2. y3. ... yt. totalesy1. y2. y3. ... yt. medias
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48/111
Diseo completamente al azar
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
49/111
Diseo de experimentos p. 49/111
Las observaciones en cada una de estas muestras se puedenrepresentar por el modelo lineal simple
yij = i + ij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni
con ij error experimental en la observacin j-sima deltratamiento i-simo.
Estamos suponiendo independencia entre y dentro de las
muestras, es decir, ij son independientes y ij N(0, 2).
Diseo completamente al azar
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
50/111
Diseo de experimentos p. 50/111
Otra forma de verlo
Como suponemos que las u.e. son homogneas, es decir, elpromedio de respuesta de todas las u.e. es el mismo () antesde aplicar los tratamientos, y si se observan en condicionessimilares, las respuestas las podemos modelar como
yij = + ij
Modelo de efectos
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
51/111
Diseo de experimentos p. 51/111
Entonces al aplicar el tratamiento i-simo a un grupo (detamao ni) de u.e. se introduce un efecto (i) de esetratamiento en las variables por observar.
El modelo se puede escribir como:
Modelo de efectos
yij = + i + ij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni
donde
es la media general, comn a todas las u.e.
i es el efecto del tratamiento i-simo
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
52/111
Modelo de efectos
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
53/111
Diseo de experimentos p. 53/111
El modelo de efectos implica que se empieza el experimentocon u.e. con la misma capacidad de respuesta () y con lamisma varianza (2).
La aplicacin de los tratamientos tiene el efecto de alterar lasmedias, que ahora son i = + i, pero supone que no semodifican las varianzas.
En este caso, la hiptesis a probar es:H0 : 1 = 2 = . . . = t = 0
Ha : i = 0 para al menos una i
Modelo de efectos
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
54/111
Diseo de experimentos p. 54/111
Estimadores de mnimos cuadrados:
yij = + i + ij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni
SSE =t
i=1
nij=1
2ij =t
i=1
nij=1
(yij i)2
t
i=1
ni
j=1
(yij
i)2 =
2
t
i=1
ni
j=1
(yij
i)
i
t
i=1ni
j=1(yij i)2 = 2
ni
j=1(yij i) i = 1, . . . , t
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
55/111
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
56/111
Modelo de efectos
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
57/111
Diseo de experimentos p. 57/111
Hay un nmero infinito de posibles restricciones que sepueden usar para resolver las ecuaciones normales. Entonces
Cul usar?
No importa ya que en cualquier caso
+ i = yi.
Aunque no podemos obtener estimadores nicos de losparmetros del modelo de efectos, podemos obtenerestimadores nicos de funciones de estos parmetros.
A estas funciones se les llama funciones linealeslinealmente estimables.
Diseo completamente al azar, Tabla de ANOVA
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
58/111
Diseo de experimentos p. 58/111
F.V. g.l. SS CM F E(CM)
Tratamientos t 1 SSt CMt = SStt1 CMtCME 2 +
i ni(i)2t1
Error n t SSE CM E = SSEnt 2
Total n 1 SStotal
SSt =
t
i=1 ni (yi. y..)
2
=
t
i=1
y2i.
ni y2..
n
SSE =t
i=1ni
j=1(yij yi.)2 =
t
i=1ni
j=1y2ij
t
i=1y2i.ni
SStotal =t
i=1
nij=1
(yij y..)2 =t
i=1
nij=1
y2ij y2..n
n =
ti=1
ni
Intervalos de confianza
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
59/111
Diseo de experimentos p. 59/111
i = yi. S2yi. =
S2
nicon S2 = CM E = 2 Syi. =
CM E
ni
Como suponemos que
yij N
i, 2
entonces
yi.
Ni, 2/nicomo estimamos la varianza:
yi. iSyi.
tnt
Por lo tanto, un intervalo del (1 )100% de confianza para ies
yi. t1/2nt (Syi.)
Contrastes
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
60/111
Diseo de experimentos p. 60/111
En el ejemplo del empacado de carne tenamos:
Comercial Al vaco CO,O2,N CO2
i = yi. 7.48 5.50 7.26 3.36
S2 = CM E = 0.116 con 8 g.l.
Una vez que rechazamos la hiptesis H0 : 1 = 2 = 3 = 4
Qu sigue?
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
61/111
Contrastes
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
62/111
Diseo de experimentos p. 62/111
Los contrastes para las preguntas anteriores son:
s comercial vs. atmsfera artificial
C1 = 1 1
3 (2 + 3 + 4)
s vaco vs. gases
C2 = 2 1
2 (3 + 4)
s mezcla de gases vs. CO2 puro
C3 = 3
4
Contrastes
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
63/111
Diseo de experimentos p. 63/111
El estimador del contraste
C =
t
i=1kii es C =
t
i=1kii =
t
i=1kiyi.
Si suponemos que
yij N
i,
2
entoncesyi. Ni, 2/ni
Por lo tanto,
C =
ti=1
kiyi. Nt
i=1kii, 2
ti=1
k2ini
Contrastes
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
64/111
Diseo de experimentos p. 64/111
Ya que:
Et
i=1 kiyi. =t
i=1 kiE(yi.) =t
i=1 kii
Vt
i=1kiyi. =m.indep
t
i=1k2i V (yi.) =
t
i=1k2i
2
ni= 2
t
i=1k2ini
V
C
= 2
t
i=1k2ini
= CM E
t
i=1k2ini
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
65/111
Contrastes
Ad
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
66/111
Diseo de experimentos p. 66/111
Adems,
C C2t
i=1 k2i /ni
N(0, 1)
Si H0 :ti=1 kii = 0, es decir, H0 : C = 0 es cierta, entonces,C2
2
ti=1 k
2i /ni
21
Sea
SSc =C2
ti=1 k
2i /ni
entonces
SSc/2
SSE/2(n t) =C2/t
i=1 k2i /ni
CM E F1,nt
Por lo tanto, para probar H0 : C = 0 se rechaza si Fc > F1,n
t
Contrastes
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
67/111
Diseo de experimentos p. 67/111
El nmero de contrastes que se pueden hacer es muy grande,sin embargo, esta tcnica tiene su mayor utilidad cuando seaplica a comparaciones planeadas antes de realizar elexperimento.
Una clase de contrastes, conocida como Contrastesortogonales (como son los del ejemplo anterior) tienenpropiedades especiales con respecto a la particin de sumasde cuadrados y grados de libertad y con respecto a su relacin
entre ellos. La ortogonalidad implica que un contraste noaporta informacin acerca de otro.
Dos contrastes, con coeficientes {ki}, {li} son ortogonales si
ti=1
kilini
= 0
Contrastes
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
68/111
Diseo de experimentos p. 68/111
Para t tratamientos existe un conjunto de t 1 contrastesortogonales, los cuales hacen una particin de la suma decuadrados de tratamientos en t 1 componentesindependientes, cada uno con 1 g.l. Por lo tanto las pruebasrealizadas con contrastes ortogonales son independientes.
En el ejemplo anterior, los contrastes son ortogonales.
k1 k2 k3 k4C1 1 -1/3 -1/3 -1/3
C2 0 1 -1/2 -1/2
C3 0 0 1 -1
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
69/111
Otro ejemplo
Los siguientes datos son los tiempos de coagulacin de
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
70/111
Diseo de experimentos p. 70/111
Los siguientes datos son los tiempos de coagulacin de
sangre para 24 animales que fueron aleatoriamente asignadosa una de cuatro dietas (A,B,C,D)
Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D
62 63 68 5660 67 66 62
63 71 71 60
59 64 67 61
65 68 63
66 68 64
63
59
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
71/111
Comparaciones mltiples
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
72/111
Diseo de experimentos p. 72/111
En muchas situaciones prcticas, se desea comparar pares demedias. Podemos determinar cules medias difieren probandolas diferencias entre todos los pares de medias detratamientos.
Es decir, estamos interesados en contrastes de la forma
= i j i = j
Lo primero que se nos viene a la mente es hacer una prueba tpara cada par de medias, es decir, probar
H0 : i = j
Ha : i = j i = j
Comparaciones mltiples
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
73/111
Diseo de experimentos p. 73/111
Si suponemos varianzas iguales, se tiene la estadstica deprueba
tc =yi. yj.
sp1ni
+ 1nj
y se rechaza H0 al nivel de significancia si
tc t/2ni+nj2 tc t1/2ni+nj2
Esto es equivalente a decir que se rechaza H0 si
|tc| = |yi. yj.|sp
1ni
+ 1nj
> t1/2ni+nj2
o equivalente a
|yi. yj.| > t1/2ni+nj2 sp1
ni
+1
nj
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
74/111
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
75/111
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
76/111
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
77/111
Comparaciones mltiples
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
78/111
Diseo de experimentos p. 78/111
La probabilidad de cometer al menos 1 error tipo I es
P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 (1 c)n
es decir, la mxima probabilidad de cometer al menos un errortipo I entre las n comparaciones es:
E = 1 (1 c)n de aquc = 1
(1
E)
1/n
Comparaciones mltiples
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
79/111
Diseo de experimentos p. 79/111
# de pruebas E cuando c cuandoindep. n c = 0.05 E = 0.05
1 0.05 0.05
2 0.098 0.025
3 0.143 0.017
4 0.185 0.013
5 0.226 0.010
10 0.401 0.005
Por el razonamiento anterior es que han surgido una serie depruebas de diferentes autores para hacer comparaciones
mltiples tratando de mantener laP(error tipo I del experimento) =
Bonferroni
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
80/111
Diseo de experimentos p. 80/111
E ncn comparaciones, la igualdad se d cuando las pruebas sonindependientes.
Entonces,
c = E/n
Si queremos E = 0.05 entonces, c = 0.05/n y se hacen las
pruebas t para los pares de medias con un nivel designificancia c en cada una de ellas.
Tukey
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
81/111
Diseo de experimentos p. 81/111
Conocida como la prueba de la Diferencia Mnima SignificativaHonesta (DMSH)
DMSH = q
t,glerrorCM Er si ni = r iDMSH = qt,glerror
CM E
2
1
ni+
1
nj
Si |yi. yj.| > DM SH se rechaza H0 : i = j .q1,2 se obtiene de las "tablas de rangos estudentizados".
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
82/111
Student-Newman-Keuls (SNK)
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
83/111
Diseo de experimentos p. 83/111
Se calcula un conjunto de valores crticos
kp = qp,fSyi. p = 2, 3, . . . , t
donde qp,f es el percentil 1 de la distribucin del rangoestudentizado para el nmero p de medias involucradas en lacomparacin y f g.l. del error, y Syi. =
CME
r
Para el ejemplo de la carne empacada:
p 2 3 4
q.05p,8 3.26 4.04 4.53
kp 0.642 0.796 0.892
Student-Newman-Keuls (SNK)
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
84/111
Diseo de experimentos p. 84/111
Comercial Al vaco CO,O2,N CO2
yi. 7.48 5.50 7.26 3.36
Medias ordenadas:
y4. = 3.36 y2. = 5.50 y3. = 7.26 y1. = 7.48
|y4. y1.| = 4.12 > k4|y4. y3.| = 3.90 > k3|y4. y2.| = 2.14 > k2
|y2.
y1.
|= 1.98 > k3
|y2. y3.| = 1.76 > k2|y3. y1.| = 0.22 < k2(N.S.)
Duncan
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
85/111
Diseo de experimentos p. 85/111
Es similar a la de SNK. Los promedios de los t tratamientos seordenan en forma ascendente y el error estndar de cadapromedio se determina con
Syi. =CM E
rsi ni = r i
Para muestras de diferente tamao, se reemplaza la r por lamedia armnica (nh) de los
{ni}
nh =t
ti=1
1ni
Duncan
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
86/111
Diseo de experimentos p. 86/111
De las tablas de Duncan de rangos significativos se obtienenlos valores de rp,f para p = 2, 3, . . . , t.
p es el nmero de medias involucradas en la comparacin, es el nivel de significancia y f los grados de libertad del error.
Se calculan
Rp = rp,fSyi. p = 2, 3, . . . , t
Para el ejemplo de la carne empacada:
p 2 3 4
r.05p,8 3.26 3.39 3.47
Rp 0.642 0.668 0.684
Duncan
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
87/111
Diseo de experimentos p. 87/111
Comercial Al vaco CO,O2,N CO2
yi. 7.48 5.50 7.26 3.36
Medias ordenadas:
y4. = 3.36 y2. = 5.50 y3. = 7.26 y1. = 7.48
|y4. y1.| = 4.12 > R4|y4. y3.| = 3.90 > R3|y4. y2.| = 2.14 > R2
|y2.
y1.
|= 1.98 > R3
|y2. y3.| = 1.76 > R2|y3. y1.| = 0.22 < R2(N.S.)
Dunnett
Para comparar las medias de los tratamientos con la media del
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
88/111
Diseo de experimentos p. 88/111
tratamiento control.Suponga que el tratamiento t es el control, queremos probarlas hiptesis
H0 : i = tHa : i = t i = 1, 2, . . . , t 1
H0 : i = t se rechaza si|yi. yt.| > D = d(t 1,glerror)CM E
r
con d(k, ) es el percentil 1 de las tablas de Dunnett.Para el ejemplo de la carne empacada, el tratamiento 1 es elcontrol.
Comercial Al vaco CO,O2,N CO2
yi. 7.48 5.50 7.26 3.36
Dunnett
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
89/111
Diseo de experimentos p. 89/111
d0.05,3,8 = 2.42
D = 2.42CM E
r = 0.477|y2. y1.| = 1.98 > D|y3. y1.| = 0.22 < D(N.S.)|y4. y1.| = 4.12 > D
Scheff
Scheff (1953) propuso un mtodo para probar todos los
posibles contrastes
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
90/111
Diseo de experimentos p. 90/111
posibles contrastes.
Considere cualquier contraste
C =
ti=1
kii estimado con C =
ti=1
kiyi.
con error estndar
SC =CM E t
i=1
k2ini
La hiptesis nula pra el contraste H0 : C = 0 se rechaza si
|C| > S(E)donde
S(E
) = SC(t 1)FEt1,g.l.error
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
91/111
Anlisis de residuales
Si los errores experimentales estn correlacionados el error
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
92/111
Diseo de experimentos p. 92/111
Si los errores experimentales estn correlacionados, el errorestndar estar mal estimado. La independencia se justificaaleatorizando las u.e. a los tratamientos en experimentos yseleccionando muestras aleatorias en estudios
observacionales.
Si no hay homogeneidad de varianzas el estimador de 2 esmalo, aunque se ha visto en estudios que si el diseo es
balanceado no efecta mucho. Tambin si los tamaos demuestra mayores corresponden a las poblaciones con mayorvarianza.
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
93/111
Anlisis de residuales, Homogeneidad de varianzas
Prueba de Bartlett
2 2 2
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
94/111
Diseo de experimentos p. 94/111
H0 : 21 =
22 = . . . =
2t
Ha : no H0
Estadstica de Prueba:
U =1
C
(n t)ln(2) i
(ni 1)ln(2i )
donde 2 =i
(ni 1)2in t
2i =j
(yij yi.)2ni 1
C = 1 +
1
3(t 1) i
1
ni 1 1
n tH0 se rechaza si U >
2,t1 (prueba sensible a falta de
normalidad)
Anlisis de residuales, Homogeneidad de varianzas
Prueba de Levene
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
95/111
Diseo de experimentos p. 95/111
Se calcula
dij = |yij yi.| i = 1, . . . , t j = 1, . . . , nidonde yi. es la mediana de las observaciones en eltratamiento i.
Se evala si el promedio de estas observaciones dij es igual
para todos los tratamientos, es decir, se hace un ANOVA paraprobar igualdad de medias de dij .
Prueba de Welch
La prueba F usual es robusta ante heteroscedasticidad(varianzas diferentes) si los tamaos de muestra son muy
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
96/111
Diseo de experimentos p. 96/111
(varianzas diferentes) si los tamaos de muestra son muyparecidos o, si los tamaos de muestra ms grandescorresponden a las poblaciones con varianzas ms grandes.
Sin embargo, se han construdo algunas procedimientos deprueba de igualdad de medias (H0 : 1 = 2 = . . . = t) comopor ejemplo el desarrollado por Welch, conocido como laprueba de Welch, utilizada cuando no hay homoscedasticidad.
Sean Wi = ni/2i y
=
i Wiyi./
i Wi y
=i
(1 Wi/W.)2
ni 1donde W. =
i Wi.
Prueba de Welch
Entonces
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
97/111
Diseo de experimentos p. 97/111
Entonces
Fc =
i Wi
(yi.y)2t1
1 + 2(t 2)/(t2 1)
tiene aproximadamente una distribucin F con1 = t 1 y 2 = (t2 1)/3 grados de libertad.H0 : 1 = 2 = . . . = t se rechaza al nivel de significancia si
Fc > F1,2 .
Transformaciones
Se utilizan las transformaciones para cambiar la escala de lasobservaciones para que se cumplan las suposiciones del
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
98/111
Diseo de experimentos p. 98/111
observaciones para que se cumplan las suposiciones delmodelo lineal y dar inferencias vlidas del anlisis de varianza.
Cuando las transformaciones son necesarias, se hace elanlisis y se hacen las inferencias en la escala transformadapero se presentan tablas de medias en la escala de medicinoriginal.
1. Distribucin Poisson. Mediciones que son conteos(nmero de plantas en cierta rea, insectos en plantas,accidentes por unidad de tiempo) tienen distribucin Poisson.
La transformacin x =
y + a, a
es la adecuada.
Transformaciones
2. Distribucin binomial. Observaciones del nmero dexitos en n ensayos independientes tiene distribucin binomial
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
99/111
Diseo de experimentos p. 99/111
tos e n e sayos depe d e tes t e e d st buc b o a(proporcin de semillas germinadas, proporcin de plantascon flores en un transecto). = y/n
La transformacin x = sin1 es la adecuada.Las transformaciones del tipo potencia alteran la simetra oasimetra de las distribuciones de las observaciones.
Si suponemos que la desviacin estndar de y es proporcionala alguna potencia de la media, es decir,
y
Una transformacin de las observaciones, del estilo:
x = yp
Transformaciones
Da una relacin
x p+1
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
100/111
Diseo de experimentos p. 100/111
x
Si p = 1 entonces la desviacin estndar de la variabletransformada x ser constante, ya que p + 1 = 0 y x 0.
La transformacin de Box-Cox
x = (yp 1)/p p = 1x = logey p = 1
El estimador de p se encuentra maximizando
L(p) =
1
2loge [CM E(p)]
donde CM E(p) es el cuadrado medio del error del anlisis devarianza usando la transformacin x = (yp 1)/p para el valordado p.
Transformaciones
Se determina CM E(p) para un conjunto de valores de p, se
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
101/111
Diseo de experimentos p. 101/111
(p) p j pgrafica CM E(p) vs. p y se toma el valor de p que correspondeal valor mnimo de CM E(p).
JMP calcula la transformacin de Box-Cox, da una grfica de pvs. CM E y da la opcin de guardar los datos transformadosen el archivo.
La dificultad de utilizar esta transformacin es la interpretacin.
Ejemplo
Los siguientes datos son el nmero de errores en un examen
de sujetos bajo la influencia de dos drogas. El grupo 1 es unt l ( i d ) l j t d l 2 l di l
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
102/111
Diseo de experimentos p. 102/111
j j g g pgrupo control (sin droga), a los sujetos del grupo 2 se les di ladroga 1, a los del grupo 3 la droga 2 y a los del grupo 4 las dosdrogas.
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4(sin droga) (droga 1) (droga 2) (dos drogas)
1 12 12 13
8 10 4 14
9 13 11 14
9 13 7 17
4 12 8 11
1 10 10 141 12 13
5 14
Ejemplo
Correr el ejemplo con R y JMP.
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
103/111
Diseo de experimentos p. 103/111
1. Probar homogeneidad de varianzas. (Bartlett y Levene)
2. Hacer prueba de Welch
3. Probar con algunas transformaciones, checandonormalidad y homogeneidad de varianzas
ej2_1_messy.jmp
ej2_1_messy.txt
Relacin entre Regresin y ANOVA
Cualquier modelo de ANOVA se puede escribir como un
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
104/111
Diseo de experimentos p. 104/111
modelo de regresin lineal.
Suponga el ejemplo de la carne empacada
tratamiento comercial vaco mezcla CO2
7.66 5.26 7.41 3.51
6.98 5.44 7.33 2.91
7.80 5.80 7.04 3.66
Un diseo completamente al azar con un solo factor (mtodode empacado) con 4 niveles (4 tratamientos) y 3 repeticiones
en cada tratamiento (diseo balanceado).
Relacin entre Regresin y ANOVA
Modelo ANOVA completamente al azar un solo factorb l d
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
105/111
Diseo de experimentos p. 105/111
balanceado:
yij = i + ij = + i + ij i = 1, 2, 3, 4j = 1, 2, 3El modelo de regresin equivalente es:
yij = 0 + 1x1j + 2x2j + 3x3j + ij
i = 1, 2, 3, 4
j = 1, 2, 3
Relacin entre Regresin y ANOVA
Donde las variables x1j , x2j , x3j estn definidas como:
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106/111
Diseo de experimentos p. 106/111
x1j = 1 si la observacin j es del tratamiento 10 en otro casox2j =
1 si la observacin j es del tratamiento 2
0 en otro caso
x3j =
1 si la observacin j es del tratamiento 3
0 en otro caso
Relacin entre Regresin y ANOVA
La relacin entre los parmetros del modelo ANOVA y el
modelo de regresin es:
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107/111
Diseo de experimentos p. 107/111
Si la observacin viene del tratamiento 1, entoncesx1j = 1, x2j = 0, x3j = 0 y el modelo de regresin es
y1j = 0 + 1(1) + 2(0) + 3(0) + 1j
= 0 + 1 + 1j
y el modelo ANOVA es:
y1j = 1 + 1j = + 1 + 1j
Por lo tanto:
0 + 1 = 1 = + 1
Relacin entre Regresin y ANOVA
Similarmente, para las observaciones del tratamiento 2
y2j = 0 + 1(0) + 2(1) + 3(0) + 2j
-
7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
108/111
Diseo de experimentos p. 108/111
y2j 0 + 1(0) + 2(1) + 3(0) + 2j
= 0 + 2 + 2j
y la relacin entre los parmetros es:
o + 2 = 2 = + 2
Lo mismo para las observaciones del tratamiento 3
y3j = 0 + 1(0) + 2(0) + 3(1) + 3j
= 0 + 3 + 3j
y la relacin entre los parmetros es:
o + 3 = 3 = + 3
Relacin entre Regresin y ANOVA
Finalmente, considere las observaciones del tratamiento 4,para las cuales el modelo de regresin es:
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109/111
Diseo de experimentos p. 109/111
para las cuales el modelo de regresin es:
y4j = 0 + 1(0) + 2(0) + 3(0) + 4j
= 0 + 4j
entonces 0 = 4 = + 4
Por lo tanto,0 = 4
1 = 1 42
= 2
4
3 = 3 4
Relacin entre Regresin y ANOVA
Entonces, para probar la hiptesis H0 : 1 = 2 = 3 = 4
tendramos que probar H0 : 1 = 2 = 3 = 0, lo cual se puedehacer con cualquier paquete de cmputo estadstico.
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
110/111
Diseo de experimentos p. 110/111
q p q pPara el ejemplo de la carne empacada:
tratamiento y x1 x2 x3
1 7.66 1 0 01 6.98 1 0 0
1 7.80 1 0 0
2 5.26 0 1 0
2 5.44 0 1 0
2 5.80 0 1 0
3 7.41 0 0 1
3 7.33 0 0 1
3 7.04 0 0 1
4 3.51 0 0 0
4 2.91 0 0 0
4 3.66 0 0 0
Relacin entre Regresin y ANOVA
Si pedimos una regresin y = 0 + 1x1 + 2x2 + 3x3 + ypedimos una tabla de anlisis de varianza del modelo
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7/27/2019 Doe 3 Completamente Al Azar
111/111
Diseo de experimentos p. 111/111
pedimos una tabla de anlisis de varianza del modeloyij = + i + ij las dos tablas ANOVA son idnticas.