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Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering
Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering
O capítulo 3 trata de transformações de intensidade e filtragem espacial.
Os processos no domínio espacial são denotados por:
onde f(x,y) é a imagem de entrada, g(x,y) é a imagem de saída e T é um operador sobre f definido sobre uma vizinhança do ponto (x,y).
),(),( yxfTyxg
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Uma vizinhança 3x3 em torno de um ponto (x,y) numa imagem no domínio espacial. A vizinhança é movida pixel a pixel na imagem para gerar uma imagem de saída.
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• Quando a vizinhança é de tamanho 1x1, g depende somente do valor de f no único elemento em (x,y) e T é uma função de transformação de intensidade:
s = T(r).
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Funções de transformação de intensidade.(a) Extensão de contraste (constrast stretching function)(b) Limiar (thresholding function)
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Algumas funções básicas de transformação de intensidade.Todas as curvas foram escala- das para enquadrar no intervalo mostrado.
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(a) Mamografia digital original.(b) Imagem negativa obtida usando a trans- formação negativa.
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(a) Espectro de Fourier.(b) Resultado da aplicação da transformação log com c = 1.
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Gráficos da equação s = cr para valores de (c=1) em todos os casos.
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(a) Imagem rampa de intensidade.(b) Imagem vista num monitor com gamma de 2.5(c) Imagem com correção de gamma.(d) Imagem corrigida vista no monitor
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(a) Imagem MRI de uma espinha humana fraturada(b) – (d) Resultado da aplicação da eq. 3.2-3 com c = 1 e = 0.6, 0.4 e 0.3 respectivamente.
Eq. 3.2-3: s = cr
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(a) Imagem aérea.(b) - (d) Resultado da aplicação da eq. 3.2-3 com c = 1 e = 3.0, 4.0 e 5.0 respectivamente.
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• Função de transformação de intensidade por partes.
T(r)
r
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Extensão do contraste.(a) Forma da função de transformação.(b) Imagem de baixo contraste.(c) Resultado.(d) Resultado da limiarização (thresholding)
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(a) Essa transformação intensifica o intervalo de intensidade [A,B] e reduz todas as intensidades a um nível menor.(b) Essa transformação intensifica o intervalo de intensidade [A,B] e preserva todos os outros níveis de intensidade.
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(a) Angiograma aórtica. (b) Resultado usando a transformação da Fig. 3.11(a).(c) Resultado usando a transformação da Fig. 3.11(b)
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Representação plano-de-bits (bit-plane) de uma imagem de 8 bits.
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(a) Uma imagem de 8 bits de tamanho 500x1192.(b) - (i) plano-de-bits de 1 a 8, sendo o plano 1, menos signif.
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Imagens reconstruídas usando:(a) plano-de-bits 8 e 7(b) plano-de-bits 8, 7 e 6 e(c) plano-de-bits 8, 7, 6 e 5.
Comparar (c) com a imagem completa, Fig. 3.14(a)
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• PROCESSAMENTO DE HISTOGRAMA
O histograma de uma imagem digital com níveis de intensidade no intervalo [0, L-1] é uma função discreta h(rk ) = nk , onde rk é o k-ésimo valor de intensidade e nk é o número de pixels na imagem com intensidade rk .
Histograma normalizado: dividir cada um dos componentes pelo número total de pixels da imagem, denotado por MN, tal que p(rk ) = nk /MN, para k = 0, 1, 2, ..., L-1.
0 1 L-1rk
h(rk)=nk
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Quatro tipos básicos de imagem: escuro, claro, baixo contraste, alto contraste, e seus histogramas correspondentes.
escuro
claro
baixo contraste
alto contraste
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• EQUALIZAÇÃO DE HISTOGRAMA
A equalização de histograma ou linearização de histograma consiste numa transformação T(rk) em que a imagem original resulte numa imagem onde os níveis de intensidade são uniformemente distribuídos .
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(a) Função monotônica crescente, mostrando como múltiplos valores podem mapear a um único valor.(b) Função estritamente monotônica crescente (mapeamento um-a-um, em ambas as direções.
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• Os níveis de intensidade de uma imagem podem ser vistos como variáveis aleatórias no intervalo [0, L-1].
• Um descritor fundamental de uma variável aleatória é a função densidade de probabilidade (PDF, Probability Distribution Function).
• Sejam pr(r) e ps(s) a função PDF de r e s, respectivamente, onde s = T(r).
• Da teoria de probabilidade básica, se pr(r) e T(r) são conhecidos, e T(r) é contínua e diferenciável, no intervalo de interesse, então a função PDF da variável transformada s pode ser obtida pela equação
• A função de transformação de particular importância em processamento de imagens tem a forma
ds
drrpsp rs )()(
r
r dpLrTs0
)()1()( (Eq. 3.3-4)
(Eq. 3.3-3)
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• Sabe-se da regra de Leibniz de Cálculo Básico que a derivada de uma integral definida com respeito ao seu limite superior é o integrando avaliado no limite :
• Substituindo esse resultado na equação 3.3-3, tem-se:
101
1
)()1(
1)(
)()(
LsL
rpLrp
ds
drrpsp
rr
rs
)()1(
)()1(
)(
0
rpL
dwwpdr
dL
dr
rdT
dr
ds
r
r
r
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(a) Um PDF arbitrário. (b) Resultado da aplicação da transformação (eq.3.3-4) para todos os níveis de intensidade, r. As intensidades resultantes, s, tem um PDF uniforme, independente/ da forma da PDF de r’s.
r
r dpLrTs0
)()1()(
Eq. 3.3-4:
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• Para valores discretos lidamos com probabilidades e somatórios ao invés de funções de densidade de probabilidade e integrais. A probabilidade de ocorrência de nível de intensidade rk numa imagem digital é dada por
onde MN é o número total de pixels, nk é o número de pixels de intensidade rk e L é o número de possíveis níveis de intensidade.
• A forma discreta da transformação da equação 3.3-4 é
1,...,2,1,0)1(
)()1()(
0
0
LknMN
L
rpLrTs
k
jj
k
jjrk
1,...,2,1,0)( LkMN
nrp k
kr
Eq. 3.3-8
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Distribuição de intensidade e valores de histograma para uma imagem digital 64x64 de 3 bits.
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Ilustração da equalização de histograma de imagem de 3 bits.(a) Histograma original(b) Função de transformação(c) Histograma equalizado.
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Coluna a esquerda: imagens da Fig. 3.16.Coluna central: imagens com equalização de histogramaColuna direita: histogramas das imagens da coluna central.
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Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering
Funções de transformação para equalização de histograma.Transformações (1) a (4) foram obtidas dos histogramas das imagens do topo à base na coluna a direita da Fig. 3.20. usando eq.3.3-8.
1,...,2,1,0)1(
)()1()(
0
0
LknMN
L
rpLrTs
k
jj
k
jjrkk
Eq. 3.3-8
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Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering
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• Especificação de Histograma (matching).• A equalização de histograma visto anteriormente determina a função de
transformação que busca produzir uma imagem de saída que tenha um histograma uniforme.
• Existem aplicações em que é útil especificar a forma do histograma para a imagem processada.
• O método usado para gerar uma imagem processada que tenha um histograma especificado é chamado de matching de histograma ou especificação de histograma.
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Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering
Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering
• Voltando a idéia de intensidades contínuas r e z, e sejam pr(r) e pz(z), as PDFs respectivas.
• Aqui r denota níveis de intensidade da imagem de entrada e z denota níveis de intensidade da imagem processada de saída.
• Podemos estimar pr(r) de uma dada imagem de entrada, enquanto que pz(z) é a função PDF especificada.
• Seja s uma variável aleatória com a propriedade
• Definimos agora uma variável aleatória z com a propriedade
• Segue então que G(z)=T(r) e, portanto, z deve satisfazer
z
z sdttpLzG0
)()1()(
)()( 11 sGrTGz
r
r dpLrTs0
)()1()( eq. 3.3-10
eq. 23.3-11
eq. 3.3-12
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• As equações anteriores mostram que uma imagem cujos níveis de intensidade tem uma PDF especificada pode ser obtida de uma dada imagem usando o seguinte procedimento:
1. Obter pr(r) da imagem de entrada e usar a equação 3.3-10 para obter os valores de s.
2. Usar a PDF especificada em equação 3.3-11 para obter a função de transformação G(z).
3. Obter a tranformação inversa z= G-1(s); como z é obtido de s, este processo é um mapeamento de s a z, sendo o último, os valores desejados.
4. Obter a imagem de saída primeiro equalizando a imagem de entrada usando a eq. 3.3-10; os valores de pixels são os valores s. Para cada pixel com valor s realizar o mapeamento inverso z = G-1(s) para obter a imagem de saída.
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• A formulação discreta da equação 3.3-10 é dada pela equação 3.3-8
• Similarmente, dado um valor específico de sk, a formulação discreta da eq.3.3-11 é dada por
para um valor de q, tal que
• Obtem-se o valor desejado zq pela transformação inversa:
kq szG )(
)()1()(0
q
iizq zpLzG
1,...,2,1,0)1(
)()1()(
0
0
LknMN
L
rpLrTs
k
jj
k
jjrk
)(1kq sGz
Eq.3.3-13
Eq.3.3-14
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• RESUMO DO PROCEDIMENTO:
1. Computar o histograma pr(r) da imagem de entrada e usar o resultado para realizar a transformação da eq. 3.3-13. Arredondar os valores resultantes sk, para inteiros no intervalo [0, L-1].
2. Computar todos os valores da função de transformação G usando a eq. 3.3-14 para q = 0, 1, 2,..., L-1, onde pz(zi) são os valores do histograma especificado. Arredondar os valores de G para inteiros no intervalo [0, L-1]. Guardar os valores de G numa tabela.
3. Para cada valor de sk, k = 0, 1, 2,..., L-1, usar os valores guardados de G do passo 2 para encontrar o valor correspondente de zq tal que G(zq) seja próximo de sk e guardar esse mapeamento de s para z. Quando mais que um valor de zq satisfaz o dado sk, escolher o menor valor por convenção.
4. Formar a imagem do histograma especificado, primeiro equalizando o histograma da imagem de entrada e então mapeando cada valor do pixel equalizado, sk, para o correspondente valor zq na imagem de histograma especificado usando o mapeamento do passo 3.
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(a) Histograma de imagem de 3 bits.(b) Histograma especificado(c) Função de transformação obtida do hist. especificado.(d) Resultado da realização da especificação.Comparar (b) e (d)
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Histogramas reais e especificados.Os valores da terceira coluna são das computações realizadas no exemplo 3.8 (anterior).
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Todos os possíveis valores da função de transformação G escalados, arredondados, e ordenados em relação a z.
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Mapeamento de todos os valores de sk
em valores correspondentes de zq.
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(a) Imagem da Lua de Marte Phobos.(b) Histograma.
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(a) Função de transformação para equalização de histograma(b) Imagem de histograma equalizado (notar o excesso de clareamento )(c) Histograma de (b)
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• Devido ao problema do excesso de clareamento da imagem resultante da equalização de histograma, será mostrada uma transformação a partir da especificação manual de uma função que preserva a forma geral do histograma original, mas tem uma transição de níveis suavizada na região escura de intensidade (Fig. 3.25 a).
• A função de transformação G(z) obtida do histograma usando a eq. 3.3-14 está rotulado como 1 na Fig. 3.25 b. A transformação inversa G-1(s) está rotulada como 2.
• A imagem da Fig. 3.25 c é resultante da aplicação da transformação 2 aos pixels da imagem resultante da equalização de histograma da Fig. 3.24 b.
• A Fig. 3.25d mostra o histograma da imagem melhorada da Fig. 3.25c.
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(a) Histograma especificado(b) Transformações: curva (1) = G(z) (2)= G-1(s)(c) Imagem melhorada usando mappings da curva (2)(d) Histograma de (c)
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• PROCESSAMENTO DE HISTOGRAMA LOCAL
• Os métodos de histograma vistos anteriormente são globais, ou seja, os pixels são modificados por uma função de transformação baseada na distribuição de intensidade da imagem inteira.
• Existem casos em que seja necessário melhorar detalhes sobre uma pequena área de uma imagem.
• O procedimento é definir uma vizinhança e mover o centro pixel a pixel. A cada posição, o histograma dos pontos da vizinhança é computado e uma função de transformação de equalização ou de especificação é obtida.
• Essa função é então usada para mapear a intensidade do pixel central da vizinhança.
• O centro da região de vizinhança é então movido a uma das posições adjacentes e o procedimento é repetido.
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(a) Imagem original. (b) resultado da equalização de histograma global(c) Resultado da equalização de histograma local em (a), usando uma vizinhança de tamanho 3x3.
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• USANDO ESTATÍSTICA DE HISTOGRAMA PARA MELHORAMENTO DE IMAGEM
• A estatística obtida de um histograma de imagem pode ser usada para melhoramento de imagem. Seja r uma variável aleatória discreta representando os valores de intensidade no intervalo [0, L-1], e seja p(ri) o componente do histograma normalizado correspondente ao valor ri.
• O n-ésimo momento de r sobre a sua média é definido como
onde m é o valor médio de r, ou intensidade média dos pixels na imagem.
1
0
)(L
iii rprm
1
0
)()()(L
ii
nin rpmrr
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• O segundo momento é particularmente importante:
• Essa equação é a variância, normalmente denotada por , e denota a medida de contraste numa imagem.
• Quando somente a média e a variância é estimada, pode-se obter esses valores diretamente:
1
0
1
0
22 ),(1 M
x
N
y
myxfMN
1
0
1
0
),(1 N
y
M
x
yxfMN
m
1
0
22 )()()(
L
iii rpmrr
e
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• Exemplo: Considerar uma imagem 5x5: 0 0 1 1 2 1 2 3 0 1 3 3 2 2 0 2 3 1 0 0 1 1 3 2 2
• Os pixels são representados por 2 bits; portanto, L= 4 e os níveis de intensidade ficam no intervalo [0,3]. O número total de pixels é 25, e o histograma tem os componentes
• Portanto, pode-se computar o valor médio das intensidades da forma:
• Esse resultado é o mesmo que calcular o valor médio usando a equação:
3
0
44.1)20.0)(3()28.0)(2()28.0)(1()24.0)(0()(i
ii rprm
20.025
5)(;28.0
25
7)(
28.025
7)(;24.0
25
6)(
32
10
rprp
rprp
4
0
4
0
44.1),(25
1
x y
yxfm
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• USO DO VALOR MÉDIO LOCAL E VARIÂNCIA LOCAL
• Sejam (x,y) as coordenadas de qualquer pixel e Sxy uma vizinhança de um determinado tamanho, centrada em (x,y). O valor médio dos pixels nessa vizinhança é dado pel expressão
• A variância dos pixels na vizinhança é dada por
)()(1
0
22i
L
iSSiS rpmr
xyxyxy
)(1
0i
L
iSiS rprm
xyxy
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• O problema da Fig. 3.27a, é que o filamento de tungstênio ao redor de um suporte, localizado no centro da imagem é visto nitidamente. Porém, existe um outro filamento no lado direito, que é imperceptível.
• O problema é de melhorar as áreas escuras sem alterar as áreas claras que não necessitam de melhoramento.
• A medida de se uma área é relativamente clara ou escura a um ponto (x,y) é comparar o valor médio de intensidade local, mSxy, ao valor médio de intensidade global, denotado aqui mG.
• Assim, temos o primeiro elemento de melhoramento: consideramos o pixel no ponto (x,y) como um candidato para o processamento se
onde k0 é uma constante positiva com valor menor que 1.0.
GS mkmxy 0
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• Como estamos interessados em melhorar áreas que tem baixo contraste, necessitamos também a medida para determinar se o contraste de uma área deve ser melhorado.
• Consideramos que o pixel em (x,y) deve ser melhorado se
onde G é o desvio padrão global e k2 é uma constante positiva. O valor dessa constante será maior que 1.0 se estamos interessados em melhorar áreas claras e menor que 1.0 para melhorar áreas escuras.
• Finalmente, devemos restringir os menores valores de contraste que desejamos aceitar, caso contrário o procedimento tentaria melhorar áreas constantes, com desvio padrão zero.
• Assim, definimos um limite inferior para o desvio padrão local
com k1 < k2.
• Um pixel em (x,y) que enquadra em todas as condições acima é processado multiplicando o seu valor de intensidade por uma constante E, para aumentar (ou diminuir) o seu valor.
xySGk 1
GS kxy
2
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• Resumindo, se f(x,y) representa o valor de uma imagem numa coordenada (x,y) e se g(x,y) representa o correspondente valor melhorado, então
• Para o caso da Fig. 3.27 os seguintes valores foram usados:
• A área da região foi de 3x3.
4.002.0,4.0,0.4 210 kekkE
contráriocasoyxf
kkemkmseyxfEyxg GSGGS xyxy
),(
),(.),( 210
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(a) Imagem SEM de filamento de tungstênio ampliado 130x.(b) Resultado da equalização de histograma global.(c) Imagem melhorada usando estatística de histograma local.