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Diagrama de Nyquist
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Funciones
de
Variable Compleja
( ) ( )s je e e cos je sen
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Mapeo de contornos entre los planos s y F
Matlab grafica directamente los
puntos en el plano complejo¡¡¡
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% Ejemplo de gráfica de un punto s=3+4i:
clear,clc,close all
s=3+4i;
hold on
plot(s,'+','MarkerSize',10,'lineWidth',2
,'MarkerFaceColor','k')
ejex=linspace(-6,6,1000);
plot(ejex,zeros(1,1000),'k');
plot(eps+ejex*1i,'k') %Eje imaginario
axis([-6 6 -6 6])
legend('Punto en el s=3+4i'
,'Location','NorthWest')
hold off
Graficar un punto en el plano complejo s
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Graficar un punto en el plano complejo s
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%Recorrido en el plano s
s=[linspace(0,1,100)+eps*1i
1+linspace(0,1,100)*1i
linspace(1,0,100)+1i
linspace(1,0,100)*1i];
hold on
plot(s,'--k','lineWidth',3)
ejex=linspace(-6,6,1000);
plot(ejex,zeros(1,1000),'k');
plot(eps+ejex*1i,'k') %Eje imaginario
axis([-.5 1.5 -.5 1.5])
legend('Recorrido en el plano s'
,'Location','NorthEast')
hold off
Graficar un recorrido en el plano complejo s
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Graficar un recorrido en el plano complejo s
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%Recorrido en los planos s y F clear,clc,close all
s=[linspace(0,1,100)+eps*1i 1+linspace(0,1,100)*1i
linspace(1,0,100)+1i linspace(1,0,100)*1i];
N=length(s);F=.5*exp(s); %Contorno en el plano S
subplot(1,2,1), hold on, plot(s,'-r','lineWidth',2)
plot(s(150)+eps*1i,'o','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','g')
plot(s(50)+eps*1i,'>','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','r')
plot(s(250)+eps*1i,'<','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','r')
ejex=linspace(-3*pi,3*pi,N); plot(ejex,zeros(1,N),'k');
plot(eps+ejex*1i,'k') %Eje imaginario
axis([-.1 1.5 -.1 1.5])
legend('Recorrido de s en el plano S','Punto del recorrido en el
plano S','Location','NorthEast')
hold off, subplot(1,2,2),hold on
plot(F(1:N),'-k','lineWidth',2);
plot(F(150)+eps*1i,'o','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','g')
plot(F(50)+eps*1i,'>','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','k')
plot(F(250)+eps*1i,'>','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','k')
ejex=linspace(-3*pi,3*pi,N); plot(ejex,zeros(1,N),'k');
plot(eps+ejex*1i,'k'); axis([-.1 1.5 -.1 1.5])
legend('Recorrido de F(s) en el plano F','Punto del recorrido en
el plano F' ,'Location','NorthEast')
hold off
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Mapeo de contornos entre los planos s y F
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i ó j unidad imaginaria
* real
* imag
* conj
* abs
* angle
* unwrap
Operaciones de Matlab con complejos
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Ejemplo:
s=3+4i
real(s)=3
imag(s)=4
conj(s)=3-4i
abs(s)=5
angle(s)=0.9273 [radianes]
angle(s)*180/pi=53.1301 [grados]
angle(conj(s))=-0.9273
Operaciones de Matlab con complejos
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( )( )
Re( ( )) Im( ( ))
:
( )
( ) ( ) ( )
s j j j
F sF s
F s F s
Ejemplo
F s e e e e e
F s cos j sen
Mapeo de contornos entre los planos s y F
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clear,clc,close all
N=1000; rho=5; s=0+linspace(0,2*pi,N)*1i;
F=rho*exp(s); %Contorno en el plano S
hold on
plot(F(1)+eps*1i,'o','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','k')
plot(F,'-k','lineWidth',2); plot(s,'-r','lineWidth',2)
ejex=linspace(-3*pi,3*pi,N); plot(ejex,zeros(1,N),'k');
plot(eps+ejex*1i,'k') %Eje imaginario
axis([-1*2*pi 1.1*2*pi -1.1*2*pi 1.1*2*pi])
plot(F(400)+eps*1i,'>','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','k')
plot(F(850)+eps*1i,'>','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','k')
plot(s(500)+eps*1i,'^','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','r')
plot(s(1)+eps*1i,'or','MarkerSize',2,'MarkerFaceColor','r')
plot(s(N)+eps*1i,'or','MarkerSize',2,'MarkerFaceColor','r')
legend('F(0)','F(jw), w variando de 0 a 2pi',...
's=jw variando entre 0 y 2pi' ,'Location','NorthEast')
( ) 5 jF s eEl siguiente script grafica para ω variando entre 0 y 2π
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Mapeo de contornos entre los planos s y F
Es importante analizar la evolución de la fase de F(s) ( ) en dos situaciones: a) F(s) rodea el origen de el plano F (izquierda). b) F(s) NO rodea el origen de el plano F (derecha).
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F(s) rodea el origen de el plano F
Si F(s) rodea el origen del plano F en sentido horario esto implica que el ángulo de F(s) ( ) a cambiado en -2π . La inversa es verdadera: Si el ángulo de F(s) cambia en -2π entonces F(s) rodea el origen del plano F en el sentido horario. Para sentido anti horario el cambio es de 2π.
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Como F(s) rodea el origen en sentido antihorario su fase al final del recorrido cambia en 2π.
Variación de la fase cuando F(s) rodea el origen de el plano F
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% Angulo que recorre F(s) clear,clc,close all
N=1000; rho=5;
s=0+linspace(0,2*pi,N)*1i;
F=rho*exp(s); %Contorno en el plano S
Angulo_F=angle(F);
subplot(2,1,1),hold
on,plot(linspace(0,2*pi,N),Angulo_F,'-b','lineWidth',2)
ejex=linspace(-3*pi,3*pi,N); plot(ejex,zeros(1,N),'k');
axis([0 2*pi -1.1*pi 1.1*pi])
legend('Angulo de F(s)','Location','NorthWest'), hold
off
subplot(2,1,2),hold
on,plot(linspace(0,2*pi,N),unwrap(Angulo_F),'-
b','lineWidth',2)
ejex=linspace(-3*pi,3*pi,N); plot(ejex,zeros(1,N),'k');
axis([0 2*pi 0 2*pi]),legend('Angulo de F(s)
"unwraped"','Location','NorthWest');hold off
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Variación de la fase cuando F(s) rodea el origen de el plano F
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Si F(s) NO rodea el origen del plano (como en la figura) la variación de la fase ( ) durante el recorrido ES CERO. Esto es, las fases al comienzo y al final del recorrido son las mismas
F(s) NO rodea el origen de el plano F
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Como F(s) no rodea el origen su fase al final del recorrido es la misma que al comienzo.
Variación de la fase cuando F(s) rodea el origen de el plano F
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Como F(s) no rodea el origen su fase al final del recorrido es la misma que al comienzo.
Variación de la fase cuando F(s) rodea el origen de el plano F
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Otro Ejemplo:
Como F(s) no rodea el origen su fase al final del recorrido es la misma que al comienzo.
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Variación de la fase cuando F(s) no rodea el origen de el plano F
![Page 25: Diagrama de Nyquist - UNSJdea.unsj.edu.ar/control2/Diagrama de Nyquist.pdf · Diagrama de Nyquist . Funciones de Variable Compleja e e e cos je sensj ( ) ( ) Mapeo de contornos entre](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050101/5f4064b15da64408a44e9de5/html5/thumbnails/25.jpg)
a) Si F(s) rodea el origen de el plano en sentido horario la fase de F(s) cambia en -2π. Si lo rodea en el sentido antihorario cambia en 2π . b) F(s) NO rodea el origen de el plano F la fase al final del recorrido es la misma que al principio, NO CAMBIA LA FASE.
RESUMEN
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Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales
1 2
1 2
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )m
n
s z s z s zF s
s p s p s p
De ahora en adelante solo consideraremos funciones complejas F(s) racionales (cociente de polinomios).
11
1 1
1( ) , ( ) , ( )
s zF s s z F s F s
s p s p
Empezaremos con casos particulares simples
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Función de Transferencia (función racional)
2
1 1( )
( 1 2 )( 1 2 )2 5
s sF s
s j s js sEjemplo:
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Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales
La fase de V(s) no cambia al recorrer todo el contorno A, entonces la de F(s) tampoco por lo que no rodea al origen.
1( ) ( )F s s z V s 1( ) ( )F s s z V s
1( ) ( ) ( )F s s z V s
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Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales
La fase de V(s) no cambia al recorrer todo el contorno A, entonces la de F(s) tampoco por lo que no rodea al origen.
1 11( ) ( )F s s p V s 1( ) ( )F s s p V s
11 1( ) ( ) , ( ) ( )F s s p V s s p
![Page 30: Diagrama de Nyquist - UNSJdea.unsj.edu.ar/control2/Diagrama de Nyquist.pdf · Diagrama de Nyquist . Funciones de Variable Compleja e e e cos je sensj ( ) ( ) Mapeo de contornos entre](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050101/5f4064b15da64408a44e9de5/html5/thumbnails/30.jpg)
Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales
La fase de V(s) cambia -2π, entonces la de F(s) cambiará también -2π por lo que rodea al origen en la dirección horaria.
1( ) ( )F s s z V s 1( ) ( )F s s z V s
1( ) ( ) ( )F s s z V s
![Page 31: Diagrama de Nyquist - UNSJdea.unsj.edu.ar/control2/Diagrama de Nyquist.pdf · Diagrama de Nyquist . Funciones de Variable Compleja e e e cos je sensj ( ) ( ) Mapeo de contornos entre](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050101/5f4064b15da64408a44e9de5/html5/thumbnails/31.jpg)
Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales
La fase de V(s) cambia -2π, entonces la de F(s) cambiará 2π por lo que rodea al origen en la dirección antihoraria.
1 11( ) ( )F s s p V s 1( ) ( )F s s p V s
11 1( ) ( ) , ( ) ( )F s s p V s s p
![Page 32: Diagrama de Nyquist - UNSJdea.unsj.edu.ar/control2/Diagrama de Nyquist.pdf · Diagrama de Nyquist . Funciones de Variable Compleja e e e cos je sensj ( ) ( ) Mapeo de contornos entre](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050101/5f4064b15da64408a44e9de5/html5/thumbnails/32.jpg)
La fase de F(s) no cambia ya que las fases del polo y del cero se cancelan, por lo tanto, F(s) no rodea al origen.
1 11 1 1 2( ) ( ) ( )F s s z s p V s V s
11 1 1 1 2 1( ) ( )( ) , ( ) ( ), ( ) ( )F s s z s p V s s z V s s p
1 1 1 2( ) ( ) ( ) 0F s s z s p V s V s
![Page 33: Diagrama de Nyquist - UNSJdea.unsj.edu.ar/control2/Diagrama de Nyquist.pdf · Diagrama de Nyquist . Funciones de Variable Compleja e e e cos je sensj ( ) ( ) Mapeo de contornos entre](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050101/5f4064b15da64408a44e9de5/html5/thumbnails/33.jpg)
Representación vectorial de mapas
1
1
( ) ( )( ) 1 ( ) ( )
( ) ( )m
n
s z s zF s G s H s
s p s p
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Contorno de Nyquist
La idea de Nyquist es realizar una trayectoria en el plano s que encierre todo el semi-plano derecho (SPD). Si hay polos o ceros de la función de transferencia F(s)=1+L(s) en el SPD entonces la trayectoria de F(s) en el plano F rodeará el origen.
¡ GRAN IDEA !
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Contornos de Nyquist con polos o ceros en el eje jw
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Contorno de Nyquist y Diagrama de Nyquist
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Ejemplos de Diagrama de Nyquist para sistemas simples
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( ) ( )( ) , ( )
( ) ( )G H
G H
N s N sG s H s
D s D s
Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales
1) Los polos de L(s) y F(s) son los mismos, son los polos de
lazo abierto del sistema.
2) Los ceros de F(s) son los polos de T(s), los polos de lazo
cerrado del sistema.
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )G H
G H
N s N sL s G s H s
D s D s
( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( )
( ) ( )G H G H
G H
D s D s N s N sF s G s H s
D s D s
( ) ( )( )( )
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G H
G H G H
N s D sG sT s
G s H s D s D s N s N s
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( ) ( )( ) , ( )
( ) ( )G H
G H
N s N sG s H s
D s D s
Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales
1) Los polos de L(s) y F(s) son los mismos, son los polos de
lazo abierto del sistema.
2) Los ceros de F(s) son los polos de T(s), los polos de lazo
cerrado del sistema.
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )G H
G H
N s N sL s G s H s
D s D s
( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( )
( ) ( )G H G H
G H
D s D s N s N sF s G s H s
D s D s
( ) ( )( ) ( )( )
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G H
G H G H
N s N sG s H sT s
G s H s D s D s N s N s
1( ) ( )F s S s
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Si el contorno de Nyquist en s que rodea a todo el SPD en el sentido
horario es mapeado a través de L(s)=G(s)H(s), entonces El número de
polos a lazo cerrado Z en el SPD (polos de T(s) que coincide con los
ceros de F(s)=1-L(s)) es igual al número de polos a lazo abierto en el
SPD, P menos el número de revoluciones del mapeo alrededor del
punto -1 en el sentido antihorario N, esto es,
Z = Nro. de ceros de L(s) en el SPD = Nro. de polos de T(s) en el SPD
P = Nro. de polos de L(s) y F(s) en el SPD (son los mismos polos)
N= Nro. de vueltas alrededor de -1
N>0 sentido antihorario
N<0 sentido horario
Criterio de estabilidad de Nyquist
Z P N
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Observación importante El criterio de estabilidad de Nyquist se aplica al producto L(s)=C(s)P(s) por lo tanto se requiere una condición adicional para aplicarlo “que no se hayan realizado cancelaciones de polos inestables entre el controlador C(s) y el proceso P(s)”
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Z=P-N
Z=0
P=0
N=0
Z=P-N
Z=2
P=0
N=-2
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2
( 0.5)( 1.75)( )
1.5 0.8125
s sL s
s s
0.5( 0.5)( 1.75)( )
( 0.25)( 0.125)
s sT s
s s
2
2( 0.25)( 0.125)( ) 1 ( )
1.5 0.8125
s sF s L s
s s
Z=P-N
Z=1
P=0
N=-1
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Ganancia Variable
Z=P-N
Z=0
P=2
N=2
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Ganancia Variable
Podemos imaginar que el diagrama de Nyquist permanece estacionario y que es el punto crítico -1 el que se mueve a lo largo del eje real. Para ver esto, ajustamos K=1 dibujamos el diagrama de Nyquist y reemplazamos en el punto crítico -1 por -1/K. Entonces el punto crítico parece que se acerca al origen cuando se incrementa K.
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500( )
( 1)( 3)( 10)L s
s s s
Criterio de estabilidad de Nyquist (Ejemplo)
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2 3
500 500( )
( 1)( 3)( 10) ( 14 30) (43 )s j
L js s s j
2 3
2 2 3 2
( 14 30) (43 )( ) 500
( 14 30) (43 )
jL j
2
2 2 3 2
( 14 30)Re ( ) 500
( 14 30) (43 )L j
2
2 2 3 2
(43 )Im ( ) 500
( 14 30) (43 )L j
Criterio de estabilidad de Nyquist (Ejemplo)
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Z=P-N
Z=0
P=0
N=0
500( )
( 1)( 3)( 10)L s
s s s
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Fin