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Captulo 1 - Matrizes
1.1 Definio
As matrizes so tabelas de nmeros reais utilizadas em quase todos os ramos da cincia e daengenharia. Vrias operaes realizadas por computadores so atravs de matrizes. Vejamos um exemplo.Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.
Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m)Ricardo 70 23 1,70
Jos 60 42 1,60
Joo 55 21 1,65
Pedro 50 18 1,72
Augusto 66 30 1,68
O conjunto ordenado dos nmeros que formam a tabela denominado matriz e cada nmero chamado elemento da matriz.
68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
ou
68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (l-se: cinco por trs), isto , uma matriz formada
por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parnteses ou entrecolchetes.
Exemplos:
8
1
6
3
7
2: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)
314 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
5
3
4,0
: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)
1.2 Representao Algbrica
Utilizamos letras maisculas para indicar matrizes genricas e letras minsculas correspondentespara os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por:
-
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*
21
22221
11211
...
nemcom
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n
Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m
aij = ilinha
jcoluna
a42 = 18 (l-se: a quatro dois igual a dezoito)
(na tabela significa a idade de Pedro 18)
Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3ij.
Resoluo: A representao genrica da matriz :
233231
2221
1211
xaa
aa
aa
A
jiaij 3
7233
8133
4223
5123
1213
2113
32
31
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
7
4
1
8
5
2
A
1.3 Matriz Quadrada
Se o nmero de linhas de uma matriz for igual ao nmero de colunas, a matriz dita quadrada.Exemplo:
01
43A uma matriz quadrada de ordem 2
Observaes:1) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que uma matriz
nula.2) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada
diagonal principal. A outra diagonal chamada diagonal secundria.
Resolva:1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que
22 jiaij
Resp.:
181310
1385
1052
-
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2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por
jise
jisea
ji
ij,0
,1
Resp.:
011
101
110
3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por
jiseji
jisejiaij
,
,
Resp.:
2
1
4
3
3
2
1
2
1.4 Matriz unidade ou matriz identidade
A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e osdemais elementos so iguais a 0, denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se amatriz unidade por In.
Exemplo:
10
012I
100
010
001
3I
1.5 Matriz tranposta
Se A uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtidapela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At.
Exemplo:
7
4
1
8
5
2
A a sua transposta
7
8
4
5
1
2t
A
1.6 Igualdade de Matrizes
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elementocorrespondente de B, as matrizes A e B so ditas iguais.
mxnijaA
mxnijbB
32232221
131211
xaaa
aaaA
32232221
131211
xbbb
bbbB
-
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ijij baBA
Exemplo: Dadas as matrizes
13
5
110
52
yx
yxBeA , calcular x e y para que A =B.
Resoluo:
13:
132233
124103
2
yexSoluo
yyyx
xyx
yx
Resolva:
1) Determine x e y, sabendo que
16
7
3
32
yx
yx
Resp: x = 5 e y = -1
2) Determine a, b, x e y, sabendo que
70
13
2
2
bayx
bayx
Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5
-
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3) Dada as matrizes
z
xBeyA
84
13
560
215
36
420
, calcule x, y e z para que B = At.
Resp: x = 2 , y = 8 e z = 2
4) Sejam
caBe
aA
b
3
3
2
92
81
1log27
16
1
calcule a, b e c para que A=B.
Resp: a = - 3 , b = c = - 4
1.7 Operaes com matrizes
Adio e Subtrao: a adio e subtrao de duas matrizes do mesmo tipo efetuada somando-seou subtraindo-se os seus elementos correspondentes.
Exemplo:
BAC
2221
1211
2221
1211
2221
1211
bb
bb
aa
aa
cc
cc
52
0cos
31
coscos
21
cos sensenC
52
01C
-
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Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz A cujos elementos so ossimtricos dos elementos correspondentes de A
Exemplo:
52
01
52
01AA
Propriedades da Adio:
Comutativa: A + B = B + A
Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C
Elemento Neutro: A + 0 = A
Elemento Oposto: A + (-A) = 0
Exemplo: Dadas as matrizes
16
03
52
10,
43
12CeBA , calcule:
a)
91
02
52
10
43
12
BA
b)
28
11
16
03
51
20
43
12CBA t
Exemplo: Dadas as matrizes
2
4
1
5
2
3
BeA , calcular a matriz X tal que 0 BAX
O segundo membro da equao uma matriz nula de ordem 3 x 1.
Se
3
2
4
2
4
1
5
2
3
0 BAXBAX
Resolva:
1) Dada a matriz
210
432
011
A , obtenha a matriz X tal que tAAX
Resp:
450
561
012
A
-
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2) Sendo A = (aij)1x3 tal que jiaij 2 e B = (bij)1x3 tal que 1 jibij , calcule A+B.
Resp: 222
3) Ache m, n, p e q, de modo que:
51
87
3
2
qq
nn
pp
mm
Resp: 12,2,5 qepnm
4) Calcule a matriz X, sabendo que BAXeBA T
2
3
0
1
2
5,
3
0
2
4
1
1
Resp:
1
0
4
1
2
4
-
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Multiplicao de um nmero real por uma matriz:
Para multiplicar um nmero real por uma matriz multiplicamos o nmero por todos os elementosda matriz, e o resultado uma matriz do mesmo tipo.
A = (aij)
K = nmero real
K por A
B = (bij), onde, bij = K.aiji{1, 2, ... , m}
j{1, 2, ... , n}
Exemplo:
1.
450
123A
113
024B
a) 02 BAX
2
2AB
XBAX
563
141.
2
1
450
123
113
024.
2
1X
2/532/3
2/12/2/1X
b) 023 BAX
BAXBAX 2.3
123
9113
262.
3
1
113
024
8100
246.
3
1X
33/111
3/223/2X
Resolva:
1) Para
450
123A
113
024B Resolva 02 BAX
-
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Resp:
9113
262
2) Para
450
123A
113
024B Resolva BA
X 2
3
Resp:
27339
6186
3) Resolva o sistema
BAYX
BAYX
2 , sendo
5
1
2
3
BeA .
Resp:
62
5
32
9YeX
Multiplicao de Matrizes
No uma operao to simples como as anteriores; no basta multiplicar os elementoscorrespondentes. Vejamos a seguinte situao.
Durante a 1 fase da Copa do Mundo de 1998 (Frana), o grupo do Brasil era formado tambm pelaesccia, Marrocos e Noruega. Os resultados esto registrados abaixo em uma matriz A, de ordem 4 x 3.
Pas Vitria Empate Derrota
Brasil 2 0 1
Esccia 0 1 2
-
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Marrocos 1 1 1
Noruega 1 2 0
Ento:
0
1
2
1
2
1
1
0
1
1
0
2
A
A pontuao pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1
Nmero de Pontos
Vitria 3
Empate 1
Derrota 0
Ento:
0
1
3
B
Terminada a 1 fase a pontuao obtida com o total de pontos feitos por cada pas. Essapontuao pode ser registrada numa matriz que representada por AB (produto de A por B).Veja como obtida a classificao:
5001231:
4011131:cos
1021130:
6011032:
Noruega
Marro
Esccia
Brasil
5
4
1
6
AB
Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicao de matrizes. Observe a relao que existeentre as ordens das matrizes:
141334 xxx ABBA
Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando o nmero de colunas de A for igualao de linhas de B; alm disso, notamos que o produto AB possui o nmero de linhas de A e o nmero decolunas de B.
pmpnnm ABBA
Exemplo 1:
32232
121
x
A
e
2312
41
32
x
B
A matriz existe se n = p ( o nmero de coluna de A igual o nmero de linha da B.)
-
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1.24.33.22.21.32.2
1.1423.12.11.22.1C
22203
102
x
C
Exemplo 2:Dada as matrizes:
12
01A
10
12B
20
02C
Calcule:
a) A.B =
34
12
1204
0102
10
12.
12
01
b)
B.A =
12
14
1020
1022
12
01
.10
12
c) A.C =
24
02
2004
0002
20
02.
12
01
d) C.A =
24
02
2040
0002
12
01.
20
02
Observao: 1Propriedade Comutativa A.B=B.A, no valida na multiplicao de matrizes.
Exemplo 3:
11
11A
11
11B
Calcule:
A.B =
00
00
1111
1111
11
11.
11
11
Observao: Se A e B so matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), no podemos garantir que umadelas (A ou B) seja nula.
Exemplo 4:
041
011
021
A
222
111
321
B
111
111
321
C
-
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a) A.B =
043042041
013012011
023022021
222
111
321
.
041
011
021
723
232
143
.BA
b) A.C =
043042041
013012011
023022021
111
111
321
.
041
011
021
723
232
143
.CA
Observao: A.B = A.C , B C.na lgebra a.b = a.c b = c
3 Propriedade: o cancelamento do produto de matrizes no vlido.
Propriedades:
- Distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C
- Associativa: A.(B.C) = (A.B).C
- Elemento neutro: A.In = A
Resolva:1) Efetue:
a)
2
3
41
35
Resp:
11
21
-
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b)
3
0
2
531
Resp: [17]
c)
30
12
41
25
Resp:
132
110
2) Dada a matriz
100
001
012
A , calcule A2.
Resp:
100
012
023
-
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3) Sabendo que
11
02
10
21NeM , calcule MN-NM.
Resp:
20
22
Matriz Transposta
Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se A t) a matriz n x mcujas linhas so ordenadamente, as colunas de A.
Exemplos
6
2
0
1
10
3
6
1
2
10
0
3
22
02
20
22
t
t
AA
AA
Propriedades da Transposta:
tt BABA AA tt tt AKAK .. (K real) ttt BABA
-
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ttt ABBA .. ( no produto de A.B, inverte a ordem)Resolva:
1) Sendo A =
43
21e B =
21
02, mostre que ttt ABBA .. .
Matriz simtrica
Quando A = At dizemos que A matriz simtrica.
Exemplo:
985
843
532
985
843
532tAA
Matriz anti-simtrica
Quando A = - At dizemos que A matriz anti-simtrica.
Exemplo:
085
804
540
085
804
540tAA
Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X uma matriz tal que AX = In e XA = In, entoX denominada matriz inversa de A e indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A,dizemos que A uma matriz inversvel ou no-singular.
-
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Exemplo: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A =
32
85.
Resoluo: Pela definio temos,
10
01
3232
8585
10
01
32
85
dbca
dbca
dc
ba
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas,
23032
185
cea
ca
ca
58132
085
deb
db
db
Ento X =
52
83, para AX = I2.
A seguir verificamos se XA = I2.
10
01
32
85
52
83
OK
10
01
3.58.22.55.2
3.88.32.85.3
Ento
52
83 a matriz inversa de
32
85.
A-1 =
5283
1) Determine a inversa das matrizes:
a)
01
43A
-
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18/49
Resp:
4
3
4
110
b)
021
131
001
B
-
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19/49
Resp:
2
31
2
1 2
10
2
1001
Equaes matriciais do tipo AX = B ou XA = B, para A inversvel.
Seja A uma matriz tal que exista A-1. Sabendo que AX = B, vamos demonstrar que X = A-1B.
BAX
BAIX
BAXAA
BAAXA
BAX
1
1
11
11
O mesmo tambm vlido para 1 BAXBXA
1) Sabendo que
13
52
01
01BeA
a) verifique se
11
011A
b) determine X tal que AX = B
-
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Resp: a) sim b)
45
52X
No deixe de resolver a lista de exerccios de matrizes!!!
Lista de Exerccios de Matrizes
1. Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por:
jij
jiaij
se1i
se2
2
ji
Resposta:
789
3234
1681
2. Sendo
534
201
321
M ,
100
010
001
N e
023
102
110
P , calcule:
a) NP + Mb) 2M3NPc) N2(MP)
Resposta: a)
65-7
3-11
232
b)
78-11
5-3-0
551-
c)
9-10-14-
612-
4-6-1-
3. Calcule a matriz X, sabendo que
34
01
21
A ,
202
315B e BAX t .
Resposta:
1-1-
02
4-4
X
4. Dadas as matrizes
a
aA
0
0e
1
1
b
bB , determine a e b, de modo que AB = I, em que I a
matriz identidade.
-
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Resposta:a = 1 e b = 0
5. Dadas as matrizes
30
21A e
02
31B . Calcule:
a) Ab) Ac) ABd)
A + 3B
Resposta: a)
90
8-1b)
270
26-1c)
018
3-15d)
96
17-4
6. Dadas as matrizes
13
21A e
34
12B , calculeAB + tB
Resposta:
39
118
7. Resolva a equao:
1122
3211
1
2
1
32
yx
yx
y
x.
yx
x
Resposta: V = {(2,3),(2,-3)}
8. Sendo
20
03A ,
53
12P e
b
aB
75
10
13
1, determine os valores de a e b, tais que
1 P.A.PB .
Resposta:a = 24 e b = -11
9. Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 x 2:
0
00
00
0
0
00
zy
yz
zx
yxx.
x
Resposta:x = 0,y = 0 ez = 0 oux = 3,y = 6,z = 9
10.
Dada a matriz 22xijaA , tal que
se
se
2
jijcos
jiisen
aij , determine:
a) tA b) Ac) 1A
Resposta: a)
01
11b)
11
10c)
11
10
Testes:
-
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11. A uma matriz m x n e B uma matriz m xp. A afirmao falsa :a) A + B existe se, e somente se, n = p.b) tAA implica m = nc) A.B existe se, e somente se, n = pd) tB.A existe se, e somente se, n = p.e) B.At sempre existe.
Resposta: letra C
12. Seja ijaA a matriz real quadrada de ordem 2, definida por
jii
jia
ji
ijpara1
para2
2. Ento:
a)
55
82A b)
65
82A c)
58
42A d)
52
82A e) n.d.a.
Resposta: letra A
13. Dadas as matrizes
31
02A e
13
212
B , ento a matriz -2AB igual a:
a)
714
28b)
714
28c)
714
28d)
714
28e)
714
28
Resposta: letra E
14. Considere as matrizes: ijaA , 4 x 7 onde jiaij
ijbB , 7 x 9 onde ibij
ijcC , tal que C = AB.
O elemento 63C :a) -112.b) -18.c) -9.d) 112.e) no existe.
Resposta: letra E
15. Dadas as matrizes
00
11A e
10
10B , para A.B temos:
a)
00
10
b)
00
00
c)
10
10
d)
00
20
e)
1
1
Resposta: letra B
16. O produto M.N da matriz
1
1
1
M pela matriz 111N ;
a) no se define.b) a matriz identidade de ordem 3
-
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c) uma matriz de uma linha e uma coluna.d) uma matriz quadrada de ordem 3.e) No uma matriz quadrada.
Resposta: letra D
17. A inversa da matriz
11
34:
a)
113
1
4
1
b)
41
31c) Inexistente. d)
113
1
4
1
e)
11
34
Resposta: letra B
18. Se
3
9
21
12
y
x. , ento:
a) x = 5 ey = -7b) x = -7 ey = -5c)
x = -5 ey = -7d) x = -7 ey = 5
e) x = 7 ey = -5Resposta: letra B
19. Sendo
42
71A e
04
13B , ento a matriz X, tal que
3
2
2
BXAX
, igual a:
a)
73
41b)
80
97c)
94
21d)
1210
179e)
129
87
Resposta: letra D
20. Se A e B so matrizes tais que:
x
A 12
e
1
21
B , ento a matriz B.AY t ser nula para:
a) x = 0b) x = -1c) x = -2d) x = -3e) x = -4
Resposta: letra E
21. A Matriz
1
1
x
x, na qualx um nmero real, inversvel se, e somente se:
a) 0x b) 1x c)2
1x d)
2
1e
2
1 xx e) 1e1 xx
Resposta: letra E
22. A soluo da equao matricial
3
2
1
101
210
121
z
y
x
. a matriz:
-
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a)
1
2
3
b)
0
2
3
c)
2
0
3
d)
0
3
2
e)
3
0
2
Resposta: letra B
23.
Considere as seguintes matrizes:
45
100
734 xx
A ,
22
05
43
B ,
11
1
x
xx
C e
41
510
100
D . O valor dex para que se tenha: A + BC = D :
a) 1b) -1c) 2d) -2
Resposta: letra C
24. As matrizes abaixo comutam,
2a
aae
33
30. O valor de a :
a) 1b) 0c) 2d) -1e) 3
Resposta: letra A
-
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Captulo 2 - Determinantes
2.1 Definio
Determinante um nmero real que se associa a uma matriz quadrada.
2.2 Determinate de uma matriz quadrada de 2 ordem
Dada a matriz de 2 ordem 11 1221 22
a aAa a
, chama-se determinante associado a matriz A (ou
determinante de 2 ordem) o nmero real obtido pela diferena entre o produto dos elementos da diagonalprincipal e o produto dos elementos da diagonal secundria.
Ento, determinante de 11 22 12 21A a a a a
Indica-se 11 12 11 22 12 2121 22
deta a
A A a a a aa a
Observao: Dada a matriz A de ordem 1, define-se como determinante de A o seu prprioelemento, isto :
11det A A a
Exemplo:22
13
42
x
1224.31.2det A
10det A
Resolva:
1) Resolva a equao:3 2
01 5
x
x
Resp:17
3S
2) Resolva a equao: 011
53
x
x
-
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Resp: 4,2S
3) Resolva a inequao: 32
xx
x
Resp: 23| xouxRxS
4) Sendo
02
31
20
31BeA , calcule det(AB).
-
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Resp: -12
2.3 Menor Complementar
O menor complementar ijD do elemento ija da matriz quadrada A, o determinante que se
obtm de A, eliminandose dela a linha i e a coluna j, ou seja, eliminando a linha e a coluna quecontm o elemento ija considerado.
Exemplo:
Dada a matriz
125
410
312
A , calcular D11, D12, D13, D21, e D32.
Resoluo:
98112
4111
D 20
15
4012 D 5
25
1013
D
56112
3121
D 8
40
3232 D
2.4 Cofator
Consideremos a matriz quadrada de 3 ordem A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.
Chama-se Cofator do elemento ija da matriz quadrada o nmero real que se obtm multiplicando-
se ji1 pelo menor complementar de ija e que representado por ijji
ij DA .1 .
Exemplo: Dada a matriz
873
204
213
A , calcular:
a) A11 b) A13 c) A32
1414187
201
11
11
A
2828173
041
31
13
A
1486124
231
23
32
A
Resolva: Dada a matriz
172
543
210
A determine A13 , A21 , A32 e A33.
-
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Resp: A13 = 29, A21 = 15, A32 = 6 e A33 = 3.
2.5 Definio de Laplace
O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem 2n o nmero que se obtm pelasoma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.Exemplo:
Sendo
341
025
132
A uma matriz de ordem 3, podemos calcular o det A a partir de determinantes de
ordem 2 e da definio de Laplace. Escolhendo os elementos da primeira linha temos:
1518451218115362
41
2511
31
0513
34
0212
det
312111
131312121111
AaAaAaA
Observao: Para se aplicar esse mtodo melhor escolher a linha ou coluna que tiver o maior nmero de
zeros.
Resolva: Calcule o determinante da matriz A utilizando a definio de Laplace:
a)
301
430
112
A
-
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Resp: det A = 11
b)
126
540
312
A
Resp: det A = -74
2.6 Regra de Sarrus (regra prtica para calcular determinantes de ordem 3)
Seja a matriz
124
012
321
, repetimos as duas primeiras colunas direita e efetuamos as seis
multiplicaes em diagonal. Os produtos obtidos na direo da diagonal principal permanecem com omesmo sinal. Os produtos obtidos da diagonal secundria mudam de sinal. O determinante a soma dos
valores obtidos.
340121201
122201)413(223402)111(det
24124
12012
21321
124
012
321
A
Resolva:
-
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a) Calcule o determinante da matriz
341
025
132
A
Resp: det A = 15
b) Resolva a equao 0
423
121
53
x
x
Resp:4
23x
-
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c) Dada as matrizes
121
32
011
93
2xBe
xA , determine x para que det A = det B
Resp:2
13x
d) Resolva a equao 0
44
4
x
xx
xxx
Resp: 40,S
-
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e) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que:
jise,ji
jise,ji
jise,
mij
0
. Ache o valor do
determinante de M.
Resp: 48
f) Calcule o determinante da matriz P2 , em que P a matriz
220
112
112
P
Resp: 64
-
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2.7 Determinante de uma matriz quadrada de ordem n>3
Seja a matriz quadrada de ordem 4 A =
6230
1251
3124
0132
, vamos calcular o determinante de A. Para
tanto, aplicaremos o teorema de Laplace, at chegarmos a um determinate de 3 ordem, e depoisempregaremos a regra de Sarrus. Assim, desenvolvendo o determinate acima, segundo os elementos da 1
linha, temos:
)(AaAaAaAaAdet 11414131312121111
34172
623
125
312
1211
1111
)(Aa
132443
620
121314
1321
1212
)(Aa
1111111
630
151
324
1131
1313
)(Aa
0
230
251
124
1041
1414
)(Aa
Substituindo em (1) temos: 1311113234 Adet
Resolva: Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1 linha.
1231
1251
4134
1312
Resp: -180
-
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2.8 Propriedade dos Determinantes
1 propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem iguais a
zero, seu determinante ser nulo, isto , det A = 0.
Exemplo: 00483
1
03
10
480
2 propriedade: Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou de duas colunas) de uma matriz
quadrada A forem iguais, seu determinante ser nulo, isto , det A = 0
Exemplo: 0455454
54
3 propriedade: Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, seu
determinante ser nulo, isto , det A = 0
Exemplo: 097213219
73
4 propriedade: Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada so
multiplicados por um mesmo nmero real k, ento seu determinante fica multiplicado por k.
Exemplo: 329477202774593794
537
32914018943592194
3521
5 propriedade: Se uma matriz quadrada A de ordem n multiplicada por um nmero real k, o seu
determinante fica multiplicado por kn, isto : nn
n Adetk)kAdet(
Exemplo:
7517520037552510
20155
781552
43
2
AdetA
AdetA
6 propriedade: O determinante de uma matriz quadrada A igual ao determinante de sua transposta, isto, det A = det At.
Exemplo:
db
caAe
dc
baA
t
bcdaAdetecbdaAdet t
-
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7 propriedade: Se trocarmos de posio entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada A, o
determinante da nova matriz obtida o oposto do determinante da matriz anterior.
Exemplo: 19500610015
522
035
121
AdetA
19150106050
522
053112
AdetA
8 propriedade: O determinante de uma matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal
principal.
Exemplo: 40425
413
021
005
AdetA
9 propriedade: Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, ento
BdetAdetABdet (teorema de Binet)
Exemplo:
61378423663
146
41030
8660
643
2013103
15
23
ABdetAB
BdetBAdetA
10 propriedade: Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou
coluna) pelo mesmo nmero e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou
coluna), formando uma matriz B, ento det A=det B (Teorema de Jacobi).
Exemplo: 1120994
51
AdetA
Multiplicando a 1 linha por -2 e somando os resultados 2 linha obtemos:
1110112
51
AdetA
-
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Exerccios de Reviso:
1. Dadas as matrizes
12
01A e
31
20B , calcule:
a) det (A)b)
det (B)
c) det (A + B) resp: a) 1 b) 4 c) 182. (FaapSP) Resolva a inequao 14
24
3
x
xx.
Resp: 71 x|Rx
3. Determine a soluo da equao 02
83
x
xResp: {-2,2}
4. Sendo
3121A e
1210B , d o valor de:
a) det (A). det(B)b) det (A.B) Resp: a) -10 b) -10
5. Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que:
jise1
ejise,
jise1,
ij Rkka . Calcule k, de
modo que o determinante da matriz A seja nulo. Resp: k= 0
6. (UFPR) Considere as matrizes
xzy
xyz
zyx
A e
xzyz
zxyxB e
42
64C . Sabendo
que a matriz B igual matriz C. Calcule o determinante da matriz A.
Resp: 72
7. Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo
3
2
1
A , 532B e
413
012
201
C . Resp: zero
-
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Teste:
1. (UELPR) A soma dos determinantesab
ba
ab
ba igual a zero.
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.b) se e somente se a = b.c)
se e somente se a = - b.
d) se e somente se a = 0.e) se e somente se a = b = 1.Resp: a)
2. (FMUSP) O determinante da matriz
xx
xx
sen2cos2
cossen igual a:
a) sen 2x b) 2 c) -2 d) 2 senx e) cos 2xResp: b)
3. (MackSP) A soluo da equao 002/13/2
51
321
x
a) 1 b) 58 c) -58 d) 967 e) 2Resp: d)
4. (Mack SP) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = ji, o determinante damatriz A :
a) 0 b) 11 c) 2 d) 3 e) 4Resp: d)
5. (FatecSP) Determine x, de modo que 094
32
111
2
x
x .
a) x < -3 oux > 2 b) -3
-
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6. (PUCRS) A equao 120
114
312
nn
n tem como conjunto verdade:
a) {-6, 2} b) {-2, 6} c) {2, 6} d) {-6, 6} e) {-2, 2}
Resp: b)
7. (PUCSP) O determinante da matriz
0412
5632
3221
1111
vale:
a) -3 b) 6 c) 0 d) 1 e) -1Resp: a)
8. (FGVSP) Seja a a raiz da equao 162000
302
211
000
x
x
x
; ento o valor de a :
a) 16 b) 4 c) 0 d) 1 e) 64Resp: b)
9. (PUCRS) A soluo da equaox
x
x
x
213
132
321
2
92:
a) {-11, 5} b) {-6, 3} c) {0, 3} d) {0, 6} e) {5, 11}Resp: {0,3}
-
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-
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BIBLIOGRAFIA:
DANTE, L. R. Matemtica: Contexto e Aplicaes. So Paulo: Editora tica, 1999.
GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemtica Fundamental. So Paulo: EditoraFTD Ltda, 1994.
LEITHOLD, L. Matemtica Aplicada Economia e Administrao. So Paulo: Editora Harbra Ltda,
1988.
MEDEIROS, Matemtica Bsica para Cursos Superiores. So Paulo: Editora Atlas S.A., 2002.
WEBER, J. E. Matemtica para Economia e Administrao. So Paulo: Editora Harbra Ltda, 2a ed. 1986.
COLGIO PEDRO IIUNIDADE SO CRISTVO III PROF. WALTER TADEU
NOME: GABARITO
DATA: 24 DE MARO DE 2008 TURMA: 2 SRIE
ATENO: Este teste pode ser realizado em grupo com at 5 alunos. O objetivo que vocs possam discutir, entresi, possibilidades de resoluo, dirimir dvidas que ainda possuam e que individualmente no foi possvel.Participem o mximo que puderem. No desperdicem a chance de aprender com o colega. De alguma forma,mostrem sempre o desenvolvimento ou argumento na soluo. Boa sorte!
TESTE SOBRE MATRIZESVALENDO 1,0 PONTO
01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.
Se a matrix 2x2 ento os valores de i e j variam de 1 a 2. Calculando os valores,temos:
A11 = 3 x 1 1 = 2
A12 = 3 x 1 2 = 1
A21
= 3 x 2 1 = 5
A22 = 3 x 2 2 = 4
02. Se A uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua transposta, determine A, de formaque A = 2 . At.
Temos as equaes:
A = e 2 x AT = a = 2a; b = 2c; c = 2b e d = 2d.
2 1
5 4
a b
c d
2a 2c
2b 2d
-
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Nessas condies s existe soluo se:
a = b = c = d = 0. Logo A a matriz nula.
03. Se uma matriz quadrada A tal que A t = -A, ela chamada matriz anti-simtrica.Sabe-se que M anti-simtrica e:
Se M anti-simtrica, ento:
=
SOLUO: a12 = 4; a13 = 2 e a23 = -404. Na confeco de trs modelos de camisas (A, B e C) so usados botes grandes (G) epequenos (p). O nmero de botes por modelos dado pela tabela:
Camisa A Camisa B Camisa C
Botes p 3 1 3
Botes G 6 5 5
O nmero de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, dadopela tabela:
Maio JunhoCamisa A 100 50
Camisa B 50 100
Camisa C 50 50
Nestas condies, obter a tabela que d o total de botes usados em maio e junho.
SOLUO: O problema se resume na multiplicao das matrizes:
X =
Maio Junho
Botes p 500 400
4+a a b
a12 b+2 c
a13 a23 2c-8
-4-a -a12 -a13
-a -b-2 -a23
-b -c -2c+8
1) 4+a = -4 a. Logo 2a = -8 indicando a = -4.
2) a12 = -a. Logo a12 = 4.
3) b+2 = -b -2. Logo 2b = -4 indicando b = -2.
4)a13 = b. Logo a13 = 2.
5) 2c-8 = -2c+8. Logo 4c=16 indicando c = 4 = -a23.
3 1 3
6 5 5
100 50
50 100
50 50
500 400
1100 1050
-
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Botes G 1100 1050
05. Sejam as matrizes: A = (aij)4x3, aij =j.i e B = (bij)3x4, bij =j.i . Seja C a matrizresultante do produto entre A e B. Calcule elemento c23 da matriz C.
Cada elemento calculado pelo produto de sua linha e coluna. Temos:
A X B= X
SOLUO: c23 = 2x3 + 4x6 + 6x9 = 6 + 24 + 54 = 84.
Websitegrafia:Tuna, Prof. Dr. Celso Eduardo. Apostila de Matrizes,
Determinantes e Sistemas. 1 Edio. 2008.
Anexos: Resoluo de alguns exerccios da prova:
1 2 3
2 4 6
3 6 9
4 8 12
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
No necessrio encontrartodos os resultados. Bastaprocurar o elemento c23 damatriz C que calculado pelaoperao da 2 linha de A com a3 coluna de B.
-
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15. (Fei 94) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversveis:
X = adbc
Y = -6ad + 6bc
x/y = (adbc)/( -6ad + 6bc)
x/y = (adbc)/6(-ad + bc)
x/y = (adbc)/(-1)6(ad - bc)
x/y = -1/6
podemos afirmar que x/y vale:
a) -12
b) 12
c) 36
-
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d) -36
e) -1/6 ~~~Resposta
-
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11. (Unitau 95) O valor do determinante
como produto de 3 fatores :
abc + ab + abab -baac =
abc + ab + abab -baac =
Eliminando os opostos (em negrito)
abc + ab -baac =
Colocando o a em evidncia:
a(bc + ab -bac) =
Como:
(bc + ab -bac) = a(b-c) + b (c - b)
(bc + ab -bac) = a(b-c) - b (b-c)
(bc + ab -bac) = (a+b)(b-c)
-
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Dessa forma:
abc + ab -baac = a*(a+b)*(b-c)
a) abc.
b) a (b+c) c.
c) a (a-b) (b-c).~~~> Resposta
d) (a+c) (a-b) c.
e) (a+b) (b+c) (a+c).
(FUVEST-SP) Carlos e sua irm Andria foram com seu cachorro Bidu farmcia de seu av. L,encontraram uma velha balana com defeito, que s indicavam corretamente pesos superiores a 60 kg.
Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
-Carlos e o co pesam juntos 87 kg;
-Carlos e Andreia pesam juntos 123kg;
-Andreia e Bidu pesam juntos 66 kg.
Determine o peso de Carlos, Andreia e do cachorro Bidu.
RESOLUO
-
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Vamos pensar da seguinte forma
x = Andria, y = Bidu (co) e z = Carlos
Ento temos:
z + y = 87 (1)
z + x = 123 (2)
x + y = 66 (3)
(2) - (1) = (4)
(z + x) - (z + y) = 123 - 87
x - y = 36 (4)
(4) + (3) = (x - y) + (x + y) = 36 - 66
2x = 36 - 66
x = (36 - 66)/2
x = 51
x + y = 66
51 + y = 66y = 66 -51
y = 15
z + y = 87
z + 15 = 87
z = 87 -15
z = 72
Andria pesa 51 Kg, Carlos pesa 72 Kg e Bidu pesa 15 Kg
2)Por ocasio do natal, uma empresa gratificar seus funcionrios com um certo numero de cdulas de 50reais. Se cada funcionrio receber 8 cdulas sobraro 45 delas, se cada um receber 11 cdulas, faltaro 27.O montante a ser distribudo qual ser?
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7/31/2019 Determinantes - Janildo Da Silva Arantes
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Suponhamos que existam x funcionrios nessa empresa para receber este prmio.Se cada funcionrio receber 8 cdulas, ento 8x representa o total de cdulas distribudas aos funcionrios.Mas desta distribuio o problema diz que sobram 45 cdulas.Ento podemos concluir que o nmero total de cdulas :
8x + 45 (I)
Se cada funcionrio, por sua vez, receber 11 cdulas, ento 11x representa o total de cdulas distribudas
aos funcionrios.Mas desta distribuio o problema diz que faltam 27 cdulas.Ento podemos concluir que o nmero total de cdulas :
11x27 (II)
Igualando as expresses (I) e (II) temos:
8x + 45 = 11x27
45 + 27 = 11x8x
72 = 3x
x = 72/3
Resolvendo a equao temos que x = 24. Para descobrir o nmero de cdulas basta substituir o valor de xna equao (I) ou (II).
8x + 45 = 8.24 + 45 = 192 + 45 = 237 cdulas.
Montante = 237 x R$ 50,00 = R$ 11.850
QSL?
3) Perguntado sobre a idade de seu filho Jnior, Jos respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada idade de Jnior igual a 47 anos; e quando somada idade de Maria igual a 78 anos. As idades deMaria e Jnior somam 39 anos." Qual a idade de Jnior?
a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos
Minha idade: x.Idade de Jnior: y.
Idade de Maria: z.
Montagem do sistema:
"Minha idade somada idade de Jnior igual a 47 anos...": x + y = 47."...(minha idade) somada idade de Maria igual a 78 anos.": x + z = 78."...As idades de Maria e Jnior somam 39 anos.": z + y = 39.
x + y = 47 (I)x + z = 78 (II)
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7/31/2019 Determinantes - Janildo Da Silva Arantes
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z + y = 39 (III)
H vrias maneiras de resolver o sistema acima. Creio que a mais rpida somar e subtrair as equaesat que reste uma s varivel. Comecemos por subtrair (I) de (II) e repetir (III):
x + y = 47 (I)x + z = 78 (II)z + y = 39 (III)
(x - x) + (z - y) = (78 - 47)z + y = 39
z - y = 31 (IV)z + y = 39 (III)
Agora, soma-se (IV) com (III):
(z + z) + (- y + y) = (31 + 39)
2z = 70z = 35 (V) (Idade de Maria)
Substituindo (V) em (III), temos:
z + y = 39
35 + y = 39
y = 4 (VI) (Idade de Jnior)
Substituindo (VI) em (I), temos:
x + y = 47
x + 4 = 47
x = 43 (VII) (Minha idade)
Resposta: A idade de Jnior 4 anos.