Clasificacion decapacidadessimplecticas
en superficies sinfrontera
Juliho Castillo
PreeliminaresGeometrıasimplectica
Capacidadessimplecticas
Clasificacion desuperficies sinfronteraClasificacion desuperficies cerradas
Fronteras ideales desuperficies abiertas
Clasificacion desuperficies abiertas
Teorema declasificacion decapacidades ensuperficiesResultados previos
Enunciado
Teorema deGreene-Shiohama
Demostracion
Contruccion decapacidades
Clasificacion de capacidades simplecticasen superficies sin frontera
Juliho Castillo
05/02/13
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Contruccion decapacidades
1 PreeliminaresGeometrıa simplecticaCapacidades simplecticas
2 Clasificacion de superficies sin fronteraClasificacion de superficies cerradasFronteras ideales de superficies abiertasClasificacion de superficies abiertas
3 Teorema de clasificacion de capacidades en superficiesResultados previosEnunciadoTeorema de Greene-ShiohamaDemostracionContruccion de capacidades
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Contruccion decapacidades
DefinicionDecimos que una variedad M es simplectica si existe una 2-formadiferencial cerrada no degenerada ω en M. Esto quiere decir que:
1 En cada punto p ∈ M, wp es una forma bilinear antisimetrica enTpM × TpM, de manera que ωp varıa de suavemente respectode p,
2 dω = 0, donde d es la derivada exterior y3 Si u ∈ TpM es tal que para toda v ∈ TpM, tenemos queω(u, v) = 0, entonces u = 0.
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DefinicionDecimos que una variedad M es simplectica si existe una 2-formadiferencial cerrada no degenerada ω en M. Esto quiere decir que:
1 En cada punto p ∈ M, wp es una forma bilinear antisimetrica enTpM × TpM, de manera que ωp varıa de suavemente respectode p,
2 dω = 0, donde d es la derivada exterior y
3 Si u ∈ TpM es tal que para toda v ∈ TpM, tenemos queω(u, v) = 0, entonces u = 0.
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Contruccion decapacidades
DefinicionDecimos que una variedad M es simplectica si existe una 2-formadiferencial cerrada no degenerada ω en M. Esto quiere decir que:
1 En cada punto p ∈ M, wp es una forma bilinear antisimetrica enTpM × TpM, de manera que ωp varıa de suavemente respectode p,
2 dω = 0, donde d es la derivada exterior y3 Si u ∈ TpM es tal que para toda v ∈ TpM, tenemos queω(u, v) = 0, entonces u = 0.
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Contruccion decapacidades
EjemploSea M = R2n y ω0 =
∑nk=1 dxk ∧ dyk . Decimos que (R2n, ω0) es la
estructura simplectica estandar.
Si definimosJ =
[0 −InIn 0
],
entonces para todo u, v ∈ R2n, ω0(Ju, v) = 〈u, v〉.
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Contruccion decapacidades
EjemploSea M = R2n y ω0 =
∑nk=1 dxk ∧ dyk . Decimos que (R2n, ω0) es la
estructura simplectica estandar.Si definimos
J =
[0 −InIn 0
],
entonces para todo u, v ∈ R2n, ω0(Ju, v) = 〈u, v〉.
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Contruccion decapacidades
Teorema (Darboux)Sea (M, ω) una estructura simplectica, y sea p ∈ M. Entonces,podemos encontrar un sistema coordenado
(U , x1, ..., xn, y1, ..., yn)
centrado en p, de manera que en U :
ω =n∑
k=1dxk ∧ dyk .
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Contruccion decapacidades
DefinicionSean (M, ω), (N, τ) variedades simplecticas. Recordemos que unencaje es una funcion φ : M → N suave, tal que
1 Para todo p ∈ M, dφ(p) es una aplicacion inyectiva y2 φ es un homeomorfismo sobre su imagen.
Decimos que este encaje es simplectico si φ∗τ = ω.
En este texto usaremos la notacion para un encaje simplectico:
φ : Usym−−→ V .
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Contruccion decapacidades
DefinicionSean (M, ω), (N, τ) variedades simplecticas. Recordemos que unencaje es una funcion φ : M → N suave, tal que
1 Para todo p ∈ M, dφ(p) es una aplicacion inyectiva y2 φ es un homeomorfismo sobre su imagen.
Decimos que este encaje es simplectico si φ∗τ = ω.
En este texto usaremos la notacion para un encaje simplectico:
φ : Usym−−→ V .
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Contruccion decapacidades
DefinicionSean (M, ω), (N, τ) variedades simplecticas. Recordemos que unencaje es una funcion φ : M → N suave, tal que
1 Para todo p ∈ M, dφ(p) es una aplicacion inyectiva y2 φ es un homeomorfismo sobre su imagen.
Decimos que este encaje es simplectico si φ∗τ = ω.
En este texto usaremos la notacion para un encaje simplectico:
φ : Usym−−→ V .
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Contruccion decapacidades
Una capacidad simplectica es una asignacion
c : Sym(2n)→ [0,∞], (M, ω) 7→ c(M, ω)
que satisface los siguientes axiomas:
1 (Monotonicidad) Sea φ : (M, ω)sym−−→ (N, τ). Entonces
c(M, ω) ≤ c(N, τ).
2 (Conformalidad) Para toda α ∈ R, c(M, αω) = |α| c(M, ω).3 (Normalizacion) Si definimos B(r) =
v ∈ R2n|‖v‖ < r
y
Z (R) =
(x1, ..., xn, y1, ...yn) ∈ R2n|x21 + y 2
1 < R2 ,entonces c(B(1)) = c(Z (1)) = π.
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Contruccion decapacidades
ProposicionUna capacidad simplectica es un invariante simplectico.
Teorema (Ekeland-Hofer, [10])Un difeomorfismo φ en (R2n, ω0) que preserva volumen es simplecticosi y solo si existe una capacidad c tal que c(φ(U)) = c(U), para todoabierto U ∈ R2n.
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Contruccion decapacidades
ProposicionUna capacidad simplectica es un invariante simplectico.
Teorema (Ekeland-Hofer, [10])Un difeomorfismo φ en (R2n, ω0) que preserva volumen es simplecticosi y solo si existe una capacidad c tal que c(φ(U)) = c(U), para todoabierto U ∈ R2n.
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Contruccion decapacidades
Observacion• Una superficie S es una variedad suave, conexa de dimension 2
sin frontera (eso ultimo, al menos que se indique lo contrario).
• Por convencion, se dice que una superficie compacta sin fronteraes cerrada, mientras que una superficie no compacta sin fronterase llama abierta.
• Si ω : M → M es una forma simplectica y 2n = dim M, entoncesωn es una forma de volumen. Por lo cual, cualquier superficiesimplectica es orientable.
• Las demostraciones de los resultados de esta seccion se puedeencontrar en el libro de L. Ahlfors y L. Sario, [14] y el articulo deI. Richards, [15].
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Contruccion decapacidades
Observacion• Una superficie S es una variedad suave, conexa de dimension 2
sin frontera (eso ultimo, al menos que se indique lo contrario).• Por convencion, se dice que una superficie compacta sin frontera
es cerrada, mientras que una superficie no compacta sin fronterase llama abierta.
• Si ω : M → M es una forma simplectica y 2n = dim M, entoncesωn es una forma de volumen. Por lo cual, cualquier superficiesimplectica es orientable.
• Las demostraciones de los resultados de esta seccion se puedeencontrar en el libro de L. Ahlfors y L. Sario, [14] y el articulo deI. Richards, [15].
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Observacion• Una superficie S es una variedad suave, conexa de dimension 2
sin frontera (eso ultimo, al menos que se indique lo contrario).• Por convencion, se dice que una superficie compacta sin frontera
es cerrada, mientras que una superficie no compacta sin fronterase llama abierta.
• Si ω : M → M es una forma simplectica y 2n = dim M, entoncesωn es una forma de volumen. Por lo cual, cualquier superficiesimplectica es orientable.
• Las demostraciones de los resultados de esta seccion se puedeencontrar en el libro de L. Ahlfors y L. Sario, [14] y el articulo deI. Richards, [15].
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Observacion• Una superficie S es una variedad suave, conexa de dimension 2
sin frontera (eso ultimo, al menos que se indique lo contrario).• Por convencion, se dice que una superficie compacta sin frontera
es cerrada, mientras que una superficie no compacta sin fronterase llama abierta.
• Si ω : M → M es una forma simplectica y 2n = dim M, entoncesωn es una forma de volumen. Por lo cual, cualquier superficiesimplectica es orientable.
• Las demostraciones de los resultados de esta seccion se puedeencontrar en el libro de L. Ahlfors y L. Sario, [14] y el articulo deI. Richards, [15].
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Contruccion decapacidades
Teorema ([4], cap. 9, teorema 3.5)Sea S una superficie cerrada orientable. Entonces existe un unicoentero g ≥ 0 tal que S es una superficie orientable de genero g , esdecir, una esfera con g asas. La caracterıstica de Euler de S esta dadpor χ(S) = 2− 2g .
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Contruccion decapacidades
DefinicionUna exhausion compacta de una superficie S es una sucesion decompactos Ki∞i=0 , tales que Ki ⊂ Ki+1 y ∪∞i=0Ki = S.
Proposicion ([12], Teorema 5.2)Toda variedad diferenciable admite una exhausion por compactos.
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DefinicionUna exhausion compacta de una superficie S es una sucesion decompactos Ki∞i=0 , tales que Ki ⊂ Ki+1 y ∪∞i=0Ki = S.
Proposicion ([12], Teorema 5.2)Toda variedad diferenciable admite una exhausion por compactos.
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DefinicionSea Ki∞i=1 una exhausion compacta de una superficie abierta S. Uncomponente de la frontera ideal de S es una sucesion P1 ⊃ P2 ⊃ ...de regiones conexas tales que Pi ⊂ S\Ki .
Decimos que dos componentes de la frontera P1 ⊃ P2 ⊃ ... yP ′1 ⊃ P ′2 ⊃ ... son equivalentes si, para cada n existe uncorrespondiente N tal que PN ⊂ Pn y viceversa. Denotamos por p∗ laclase de equivalencia del componente frontera p y diremos que es unapunta de la superficie.
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DefinicionSea Ki∞i=1 una exhausion compacta de una superficie abierta S. Uncomponente de la frontera ideal de S es una sucesion P1 ⊃ P2 ⊃ ...de regiones conexas tales que Pi ⊂ S\Ki .Decimos que dos componentes de la frontera P1 ⊃ P2 ⊃ ... yP ′1 ⊃ P ′2 ⊃ ... son equivalentes si, para cada n existe uncorrespondiente N tal que PN ⊂ Pn y viceversa. Denotamos por p∗ laclase de equivalencia del componente frontera p y diremos que es unapunta de la superficie.
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Contruccion decapacidades
DefinicionLa frontera ideal B(S) de una superficie abierta S es el espaciotopologico que tiene por elementos las puntas de la superficie y estadotado de la siguiente topologıa:
Para cualquier abierto U ⊂ S cuya frontera sea compacta, definimosU∗ como el conjunto de todas las puntas p∗, tales que sip ∈ p∗, p = P1 ⊂ P2..., entonces Pn ⊂ U para n suficientementegrande. Elegimos el conjunto de tales U∗ como la base de latopologıa de B(S).
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Contruccion decapacidades
DefinicionLa frontera ideal B(S) de una superficie abierta S es el espaciotopologico que tiene por elementos las puntas de la superficie y estadotado de la siguiente topologıa:Para cualquier abierto U ⊂ S cuya frontera sea compacta, definimosU∗ como el conjunto de todas las puntas p∗, tales que sip ∈ p∗, p = P1 ⊂ P2..., entonces Pn ⊂ U para n suficientementegrande. Elegimos el conjunto de tales U∗ como la base de latopologıa de B(S).
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Contruccion decapacidades
DefinicionDecimos que una punta p∗ ∈ B(S) es de genero infinito si para algunp ∈ p∗, p = P1 ⊃ P2 ⊃ ..., todo Pn contiene al menos unasubsuperficie compacta de genero positivo.
DefinicionDefinimos B′(S) como el subespacio topologico de B(S), cuyoselementos son puntas de genero infinito
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DefinicionDecimos que una punta p∗ ∈ B(S) es de genero infinito si para algunp ∈ p∗, p = P1 ⊃ P2 ⊃ ..., todo Pn contiene al menos unasubsuperficie compacta de genero positivo.
DefinicionDefinimos B′(S) como el subespacio topologico de B(S), cuyoselementos son puntas de genero infinito
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Contruccion decapacidades
ProposicionCualquier espacio totalmente disconexo, separable y compacto eshomeomorfo a un subconjunto del conjunto de Cantor.
Proposicion ([14], cap. 1, parrafos 36 y 37)La frontera ideal de una superficie abierta S es un conjuntocompacto, separable y totalmente disconexo.
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ProposicionCualquier espacio totalmente disconexo, separable y compacto eshomeomorfo a un subconjunto del conjunto de Cantor.
Proposicion ([14], cap. 1, parrafos 36 y 37)La frontera ideal de una superficie abierta S es un conjuntocompacto, separable y totalmente disconexo.
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Contruccion decapacidades
Teorema ([15], teorema 1)Sean S y S ′ superficies orientables del mismo genero. Entonces S yS ′ son difeomorfas si y solo si (B(S),B′(S)) y (B(S ′),B′(S ′)) sonequivalentes como pares de espacios topologicos.
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Teorema ([15], teorema 2)Sean (X ,Y ) un par de espacios totalmente disconexos, separables ycompactos. Entonces existe una superficie abierta y orientable cuyafrontera ideal (B(S),B′(S)) es topologicamente equivalente a (X ,Y ).
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Teorema ([15], teorema 3)Toda superficie abierta y orientable es difeomorfa a una superficieformada de una esfera Σ al remover primeramente un conjunto Xcerrado totalmente disconexo de Σ; posteriormente, removiendo unasucesion (finita o infinita) de discos cerrados disjuntosD1,1,D1,2,D2,1,D1,2, ... en Σ\X y finalmente, identificando ∂Di,1 con∂Di,2 para obtener una asa.La sucecion D1,1,D1,2,D2,1,D1,2, ... aproxima a X, en el sentido deque para cada abierto U ⊂ Σ, todos los discos, salvo un numerofinito, estan contenidos en U.
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Contruccion decapacidades
• Por Σg denotaremos cualquier superficie cerrada de genero g(necesariamente finito).
• Por Σ(X ,Y , g) denotaremos cualquier superficie abierta tal queB(Σ(X ,Y , g)) = X ,B′(Σ(X ,Y , g)) = Y y que tenga genero g .
ObservacionB′(Σ(X ,Y , g)) = Y 6= ∅ si y solo si g =∞.
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Contruccion decapacidades
• Por Σg denotaremos cualquier superficie cerrada de genero g(necesariamente finito).
• Por Σ(X ,Y , g) denotaremos cualquier superficie abierta tal queB(Σ(X ,Y , g)) = X ,B′(Σ(X ,Y , g)) = Y y que tenga genero g .
ObservacionB′(Σ(X ,Y , g)) = Y 6= ∅ si y solo si g =∞.
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Contruccion decapacidades
Por |S|τ denotaremos el area de la superficie simplectica (S, τ), esdecir,
|S|τ =
∣∣∣∣∫Sτ
∣∣∣∣ ,la cual llamaremos τ−area de S.
ProposicionSi n = 1, entonces c(M, ω) =
∣∣∫M ω∣∣ es una capacidad.
Los resultados de esta subseccion se pueden encontrar originalmenteen [5, Seccion 4].
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Teorema deGreene-Shiohama
Demostracion
Contruccion decapacidades
Por |S|τ denotaremos el area de la superficie simplectica (S, τ), esdecir,
|S|τ =
∣∣∣∣∫Sτ
∣∣∣∣ ,la cual llamaremos τ−area de S.
ProposicionSi n = 1, entonces c(M, ω) =
∣∣∫M ω∣∣ es una capacidad.
Los resultados de esta subseccion se pueden encontrar originalmenteen [5, Seccion 4].
Clasificacion decapacidadessimplecticas
en superficies sinfrontera
Juliho Castillo
PreeliminaresGeometrıasimplectica
Capacidadessimplecticas
Clasificacion desuperficies sinfronteraClasificacion desuperficies cerradas
Fronteras ideales desuperficies abiertas
Clasificacion desuperficies abiertas
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Contruccion decapacidades
Por |S|τ denotaremos el area de la superficie simplectica (S, τ), esdecir,
|S|τ =
∣∣∣∣∫Sτ
∣∣∣∣ ,la cual llamaremos τ−area de S.
ProposicionSi n = 1, entonces c(M, ω) =
∣∣∫M ω∣∣ es una capacidad.
Los resultados de esta subseccion se pueden encontrar originalmenteen [5, Seccion 4].
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Demostracion
Contruccion decapacidades
Sea Σ0 el conjunto Σ0 de subsuperficies simplecticas compactas de(R2, ω0) y m la medida de Lebesgue en el plano.
TeoremaEn Σ0, la unica capacidad simplectica es m.
CorolarioPara cualquier subsuperficie simplectica Ω ⊂ R2, no necesariamentecompacta, y cualquier capacidad c, tenemos que
c(Ω) ≥ m(Ω).
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Contruccion decapacidades
Sea Σ0 el conjunto Σ0 de subsuperficies simplecticas compactas de(R2, ω0) y m la medida de Lebesgue en el plano.
TeoremaEn Σ0, la unica capacidad simplectica es m.
CorolarioPara cualquier subsuperficie simplectica Ω ⊂ R2, no necesariamentecompacta, y cualquier capacidad c, tenemos que
c(Ω) ≥ m(Ω).
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Contruccion decapacidades
Sea Σ0 el conjunto Σ0 de subsuperficies simplecticas compactas de(R2, ω0) y m la medida de Lebesgue en el plano.
TeoremaEn Σ0, la unica capacidad simplectica es m.
CorolarioPara cualquier subsuperficie simplectica Ω ⊂ R2, no necesariamentecompacta, y cualquier capacidad c, tenemos que
c(Ω) ≥ m(Ω).
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Contruccion decapacidades
Denotaremos por Σ la clase de todas las superficies simplecticascompactas.
LemaPara toda superficie compacta M ∈ Σ, y cada capacidad simplecticac, tenemos que
c(M, ω) ≥∣∣∣∣∫
Mω
∣∣∣∣ .
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Contruccion decapacidades
Denotaremos por Σ la clase de todas las superficies simplecticascompactas.
LemaPara toda superficie compacta M ∈ Σ, y cada capacidad simplecticac, tenemos que
c(M, ω) ≥∣∣∣∣∫
Mω
∣∣∣∣ .
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Contruccion decapacidades
Sea c : Sym(2)∗ → [0,+∞] una capacidad simplectica en la categorıaSym(2)∗ de superficies simplecticas sin frontera, con una cantidadfinita (posiblemente cero) de puntas de genero infinito. Entonces:
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Demostracion
Contruccion decapacidades
1 Existe una sucesion de numeros no negativos % (0) = 1, % (1) ...,tales que para toda superficie simplectica abierta (Σ(X ,Y , g), τ)de τ−area finita, con X 6= ∅, |Y | = 0,
c(Σ(X ,Y , g), τ) = |Σ(X ,Y , g)|τ
( g∑k=0
% (k)
).
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Contruccion decapacidades
2 Existe una sucesion de numeros no negativos ς(0), ς(1), ..., talesque para toda superficie simplectica abierta (Σ(X ,Y ,∞), τ), deτ−area finita, con X 6= ∅, 0 < |Y | <∞
c(Σ(X ,Y ,∞), τ) = |Σ(X ,Y ,∞)|τ
|Y |∑k=0
ς(k)
.
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Demostracion
Contruccion decapacidades
3 Existe una sucesion de numeros no negativos υ(0), υ(1)... talesque para toda superficie simplectica cerrada (Σg , τ) de τ−areafinita,
c(Σg , τ) = c(Σ∗g , τ |Σ∗g ) + |Σg |τ υ(g),
donde g es el genero y Σ∗g es una superficie obtenida al removerun punto de Σg .
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Contruccion decapacidades
De hecho, para cualquier sucesion de numeros% (0) = 1, % (1) , ..., ς(1), ς(2), ..., υ(0), υ(1), ... no negativos, hay unacapacidad c : Sym(2)∗ → [0,∞] tal que para X ⊃ Y totalmentedisconexos, separables y compactos, con X 6= ∅ y |Y | <∞ :
1 c(Σ(X , ∅, g), τ) = |Σ(X , ∅, g)|τ(∑g
k=1 % (k)),
2 c(Σ(X ,Y ,∞), τ) = |Σ(X ,Y ,∞)|τ(∑|Y |
k=1 ς(k))
y
3 c(Σg , τ) = c(Σ∗g , τ |Σ∗g ) + |Σg |τ υ(g).
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Contruccion decapacidades
Teorema (Moser-Dacorogna. [6])Si S es una superficie cerrada, y si ω y τ son formas simplecticas enS, de manera que
∫S ω =
∫S τ, entonces existe un difeomorfismo
simplectico φ : (S, ω)→ (S, τ).
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Contruccion decapacidades
Teorema (Teorema de Greene-Shiohama, [3])Si M es una superficie abierta y ω, τ son formas simplecticas en M,de manera que
1∫
M ω =∫
M τ,
2 Cada punta de la variedad tiene ω−area finita si y solo si tieneτ−area finita.
entonces existe un difeomorfismo simplectico φ : (M, ω)→ (M, τ).
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Contruccion decapacidades
ObservacionSi (S, τ) tiene τ−area infinita, entonces siempre sera posibleencontrar, para cualquier A > 0, un encaje simplectico φ : U → S, demanera que
A = |U| = c(U)
≤ c(φ(U), τ)
≤ c(S, τ),
por lo cual, c(S, τ) = +∞.Por tanto, ahora solo consideraremos superficies de area finita.
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Contruccion decapacidades
LemaSea (S, τ), (S ′, τ ′) dos superficies simplecticas difeomorfas tales que|S|τ , |S ′|τ ′ <∞ y c es cualquier capacidad simplectica, entonces
|S|τ c(S ′, τ ′) = |S ′|τ ′ c(S, τ).
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Contruccion decapacidades
DefinicionSea (S, τ) una superficie simplectica. Si |S|τ <∞, definimos
τ =τ
|S|τ,
de modo que |S|τ
= 1.
ObservacionSi definimos
c (S) := c(S, τ),
entonces
c(S, τ) = |S|τ c (S) .
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Contruccion decapacidades
DefinicionSea (S, τ) una superficie simplectica. Si |S|τ <∞, definimos
τ =τ
|S|τ,
de modo que |S|τ
= 1.
ObservacionSi definimos
c (S) := c(S, τ),
entonces
c(S, τ) = |S|τ c (S) .
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Contruccion decapacidades
LemaSean (Σ(X , ∅, g), ω) una superficies simplectica con estructuranormalizable.Entonces
c (Σ(X , ∅, g)) = c (Σ(X ′, ∅, g)) ,
donde |X | = 1.
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Contruccion decapacidades
LemaSean (Σ(X ,Y ,∞), ω) una superficies simplectica con estructuranormalizable.Entonces
c (Σ(X ,Y ,∞)) = c (Σ(Y ,Y ,∞)) ,
donde |X | = 1.
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Contruccion decapacidades
LemaSea c : Sym(2)→ [0,+∞] una capacidad simplectica. Entoncesexiste una sucesion de numeros no negativos % (1) , ..., % (k) , ..., talesque para toda superficie simplectica abierta (Σ(X , ∅, g), τ) deτ−area finita:
c(Σ(X , ∅, g), τ) = |Σ(X , ∅, g)|τ
( g∑k=1
% (k)
).
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Contruccion decapacidades
LemaSea c : Sym(2)→ [0,+∞] una capacidad simplectica. Entoncesexiste una sucesion de numeros no negativos υ1, ..., υk, ..., tales quepara toda superficie simplectica cerrada (Σg , τ) de τ−area finita,
c(Σg , τ) = c(Σ∗g , τ |Σ∗g ) + |Σg |τ υ(g),
donde g es el genero y Σ∗g es una superficie obtenida al remover unpunto de Sg .
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Contruccion decapacidades
LemaSea c : Sym(2)→ [0,+∞] una capacidad simplectica. Entoncesexiste una sucesion de numeros no negativos ς(1), ... tales que paratoda superficie simplectica abierta (Σ(X ,Y ,∞), τ) de τ−area finita:
c(Σ(X ,Y ,∞), τ) = |Σ(X ,Y ,∞)|τ
|Y |∑k=1
ς(k)
.
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Contruccion decapacidades
Consideremos una sucesion de numeros no negativos
% (0) = 1, % (1) , ..., ς(1), ς(2), ..., υ(0), υ(1), ...
y superficies abiertas de Σ∗g , Σ∗g ′ , g < g ′.
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ObservacionIndependientemente de numero de puntos que se remuevan paraconstruir Σ∗g , Σ∗g ′ a partir de Σ0, existe un encaje simplectico
φ : (Σ∗g , ω)→ (Σ∗g ′ , τ).
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1 (Monotonicidad)
c(Σ∗g ′ , τ) =∣∣Σ∗g ′ ∣∣τ g ′∑
k=0% (k)
≥∣∣Σ∗g ∣∣ω g∑
k=0% (k)
= c(Σ∗g , ω).
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Contruccion decapacidades
2 La conformalidad se sigue de la definicion de area, ya que paraα ∈ R,
|S|αω =
∣∣∣∣∫Sαω
∣∣∣∣ = |α| |S|ω .
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Contruccion decapacidades
3 Por ultimo, notemos que B(1) = Z (1) es difeomorfo a Σ∗0 yrecordando que pedimos que ρ(0) = 1,
c(B(1)) = |B(1)|ω0(ρ(0)) = π.
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La demostracion para superficies cerradas se sigue de estaconstruccion. Para superficies abiertas de genero infinito, la definicionrecursiva de la capacidad es semejante al caso de genero finito,haciendo esta recursion sobre |Y | en lugar de g .
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Demostracion
Contruccion decapacidades
Zehnder, Eduard; Lectures on Dynamical Systems; EuropeanMathematical Society, 2010.
Evans, Lawrence; Partial Differential Equations; AmericanMathematical Society, Vol. 19.
Greene, R.E. y Shiohama, K.; Diffeomorphism andVolume-Preserving Embeddings of Noncompact Manifolds;Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 255,1979.Hirsch, Morris; Differential topology; Springer-Verlag, 1976.
Siburg, K.; Symplectic Capacities in Two Dimensions;Manuscripta Mathematica, Springer-Verlag, 1993.
Dacorogna, B. / Moser, J.; On a Partial Differential Equationinvolving the Jacobian Determinant; Ann. Inst. Henri Poincare,Analyse non lineaire 7, 1-26 (1990).
Cielieback, K., et. al.; Quantitative symplectic geometry; Junio8, 2005.
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Contruccion decapacidades
Hofer, H., Zenhder, E.; Symplectic Invariants and HamiltonianDynamics; Birkhauser Verlag, 1994.
Arnold, V.; Mathematical Methods of Classical Mechanics;Springer, 2a Edicion, 1989.
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Sanchez Morgado, H., Palmas, O.; Geometrıa Riemanniana;UNAM, 1a Edicion, 2007.Ahlfors, L., Sario, L.,; Riemann Surfaces; Princeton UniversityPress, 1960.
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Contruccion decapacidades
Richards, I.; On the classification of noncompact surfaces;Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 106,No. 2 (Feb., 1963), pp. 259-269
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