Download - Cilamce2005-2
-
Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 2005Brazilian Assoc. for Comp. Mechanics & Latin American Assoc. of Comp. Methods in EngineeringGuarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th21st October 2005
Paper CIL0440
Mtodos de Elementos Finitos Contnuo e Descontnuo Combinados Aplicado aProblemas de Conveco-Difuso
Philippe R. B. DevlooTiago [email protected]@labmec.fec.unicamp.brFaculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo, Universidade Estadual de CampinasAv. Albert Einstein, 951 - CP 6021, 13083-852, Campinas - SP - Brasil
Sonia M. [email protected] de Matematica, Estatistica e Computacao Cientifica, Universidade Estadual deCampinas, Praca Sergio Buarque de Holanda, 651, 13083-859, Campinas - SP - Brasil
Abstract. Este trabalho foi desenvolvido no LabMeC utilizando-se o ambiente orientadoa objetos PZ. O trabalho consiste de implementao de um mtodo hp adaptativo quepermite combinar elementos finitos contnuo e descontnuo em uma mesma simulao.O ambiente PZ permite simulaes uni, bi e tridimensionais. O mtodo de Galerkin de-scontnuo (MGD) combina a vantagem de estabilidade do mtodo de volumes finitos ea preciso do mtodo de elementos finitos contnuo (MEF). O MGD particularmentevantajoso onde a soluo apresenta fortes gradientes ou descontinuidades, como prob-lemas de camada limite e problemas de choque. A desvantagem do MGD o seu altocusto computacional quando comparado com o mtodo de elementos finitos contnuo, de-vido ao seu maior nmero de graus de liberdade. Combinando-se o MEF com o MGDreduz-se o nmero de graus de liberdade e consequentemente o custo computacional.Adotam-se elementos contnuos nas regies em que a soluo detectada como suavee elementos descontnuos na vizinhaa de regies em que a soluo detectada comodescontnua. So apresentados exemplos para problemas de conveco-difuso com ca-mada limite. Devido a filosofia de programao orientada a objetos adotada no ambientePZ, a introduo de outras formulaes razoavelmente simples. As funcionalidadeshp adaptativas previamente existentes no PZ so disponveis para a implementao deelementos contnuos e descontnuos combinados.
Keywords: finite element method, discontinuous Galerkin, convection-diffusion, bound-ary layers
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
1. INTRODUOA abordagem de problemas de conveco enquadra-se na teoria das leis de conser-
vao LeVeque (1990). Tais problemas resultam em uma equao diferencial parcialhiperblica. Para problemas de interesse nas aplicaes, a formulao no apresentasoluo analtica, devendo portanto buscarem-se aproximaes da soluo.
Segundo Calle et al. (2002), existem vrios enfoques para resolver numericamenteequaes diferenciais parciais. Para leis de conservao so muito utilizados os mtodosde diferenas finitas e o mtodo de resduo ponderado Oden et al. (1981).
O mtodo de diferenas finitas baseia-se na substituio dos operadores diferenciaispor operadores em diferenas. Calle et al. (2002) explica que esse mtodo aplica-se emdomnios de geometria simples atingindo at segunda ordem de aproximao quando asoluo suave. O mtodo de diferenas finitas tem sido analisado e aplicado s leis deconservao durante dcadas, com muito esforo na obteno de esquemas com maiorordem de aproximao no clculo dos fluxos numricos.
Um enfoque mais abrangente o do mtodo do resduo ponderado. O princpio fun-damental o de aproximar a soluo da equao diferencial por uma funo pertencentea um espao aproximante de dimenso finita. O mtodo utiliza o conceito de projeoortogonal do resduo da equao diferencial sobre um espao expandido por funes testeadequadas. Isso significa que o mtodo de resduo ponderado fica caracterizado pela es-colha de dois espaos de funes, o espao de funes aproximantes (funo tentativa)e o espao de funes teste (ou funes peso), explica Calle et al. (2002). Denomina-se mtodo de Galerkin quando o espao de funes aproximantes e de funes peso soiguais. A aplicao direta do mtodo de Galerkin em problemas de fluidos tem mostradoser altamente instvel.
De acordo com Calle et al. (2002), o nome de mtodo de elementos finitos est as-sociado ao mtodo de Galerkin com funes aproximantes contnuas e polinomiais porpartes. O grande sucesso do mtodo de elementos finitos deve-se s propriedades deconvergncia para problema elpticos, de continuidade e diferenciabilidade e definiosimples das funes polinomiais por partes.
Oden et al. (1981) introduzem o mtodo de elementos finitos como uma tcnica geralpara construo de solues aproximadas para problemas de valor de contorno. "A gen-eralidade e a riqueza dos conceitos so razes para o seu notrio sucesso em uma vastagama de problemas em, virtualmente, todas as reas da engenharia."
O mtodo de elementos finitos foi originalmente desenvolvido para anlise estruturalde avies, na dcada de 1950. Seus fundamentos tericos foram estabelecidos nas dcadasde 1960 e 1970. Posteriormente, foi aplicado, tambm com sucesso, em problemas noestruturais, como em aproximao de escoamento de fluidos.
O mtodo de resduo ponderado combinado com espaos de funes descontnuasgera esquemas numricos muito eficientes para resoluo de problemas de fluidos. Nocaso em que as funes aproximantes (funo tentativa) e peso (funo teste) so con-stantes sobre os elementos da discretizao, o mtodo conhecido como mtodo de vol-umes finitos ou volumes de controle.
O mtodo de Galerkin descontnuo, foco deste trabalho, pode ser considerado comouma generalizao do mtodo de volumes finitos em que as funes aproximantes e peso
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
so funes polinomiais sobre os elementos, sem restries de continuidade sobre a fron-teira entre elementos.
Para aproximao de problemas elpticos, como a difuso, de uso corrente o mtodode elementos finitos. Entetanto, para os problemas hiperblicos, como a conveco, omtodo de elementos finitos apresenta deficincias que motivam o uso do mtodo deGalerkin descontnuo. Assim, para problemas de conveco-difuso, faz-se necessria abusca de mtodos que sejam consistentes com as duas formulaes (hiperblicas e elpti-cas). Para tal, adota-se o mtodo de Galerkin descontnuo para toda a formulao.
Baumann (1997), em sua tese de doutorado, prope uma formulao variacional deGalerkin descontnuo para o problema elptico, a partir de uma formulao variacionalhbrida. Segundo Baumann (1997), o desenvolvimento de mtodos de elementos finitosdescontnuos para problemas elpticos data dos anos 1960 com os trabalhos sobre mto-dos hbridos de Pian e seus colaboradores. A anlise matemtica dos mtodos hbridosfoi feita por Babuska, Oden e Lee nos anos 1970. O princpio dos mtodos hbridos aimposio de certas restries de espao, em especial a continuidade das funes aprox-imantes e suas derivadas, atravs de multiplicadores de Lagrange. Em 1971, Nietscheintroduziu o conceito de substituio dos multiplicadores de Lagrange no contorno porfluxos normais e adicionou termos de estabilizao para obter taxas timas de convergn-cia.
Em 1979, Delves e Hall desenvolveram o chamado Global Element Method - GEM.O GEM consiste essencialmente na formulao hbrida clssica para o problema de Pois-son, em que o mulitplicador de Lagrange substitudo pela mdia do fluxo atravs dafronteira entre elementos. Baumann (1997) argumentam que a maior desvantagem doGEM que a matriz associada indefinida e no pode ser utilizada em problemas var-iveis no tempo.
Arnold (1982) utilizou a formulao do GEM adicionando um termo de penalidade nafornteira entre elementos. Baumann (1997) avalia que as desvantagens desse mtodo in-cluem a dependncia da estabilidade do mtodo em relao ao parmetro de penalizao,a perda da propriedade de conservao elemento a elemento e o mau condicionamentodas matrizes.
Baumann (1997) e Oden et al. (1998) apresentam uma variante do GEM que livredas deficincias do GEM e pode ser utilizado em problemas variveis no tempo. Adesvantagem da formulao de Baumann a no simetria de suas matrizes. Entretantoisso no de fato um defeito, visto que para problemas de conveco-difuso, que soas aplicaes de interesse, as matrizes j no so simtricas por causa da conveco. Aformulao conservativa globalmente e elemento a elemento.
2. EQUAO DE CONVECO-DIFUSOO problema de conveco-difuso enunciado como: encontrar u que seja soluo
do problema linear
(Au) + div(u) = S em u = f em D
(Au) n = g em N
(1)
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
em que: o domnio com fronteira Lipschitz;A a matriz difuso; o vetor de direo da velocidade de conveco;n a normal externa a ;S, f e g so funes conhecidas;D a parte do contorno com condies Dirichlet;N a parte do contorno com condies Neumann;D
N =
e D
N = .A formulao variacional do problema 1 ser construda por partes. Em primeiro, a
formulao variacional do termo elptico (Au) e em seguida o termo convectivodiv(u).
Antes, porm, interessante definir o espao de interpolao sobre o qual serodefinidas as funes teste e tentativa.
Seja Ph = e uma partio de de forma que =nele=1
e, em que e
f = para
e 6= f e nel o nmero de elementos da partio Ph. Em outras palavras, os elementosso definidos com fronteiras abertas, sem interseces entre elementos. Se dois elementostiverem fronteira comum, define-se nf = ne se e > f , em que ne a normal externa dafronteira e.
- Espao de Aproximao Seja o seguinte espao:
H1(Ph) ={v L2() : v | e H
1(e) e Ph}
Adota-se a notao Ph = D N int, em que D e N so as fronteiras de tipoDirichlet e Neumann e int a unio de todas as fronteiras entre dois elementos internosao domnio.
Define-se, ainda, os operadores [ ] e como sendo:
[] = | eT
ef | fT
ef , e > f
< >= 12
( | e
Tef | f
Tef
)em que ef se refere lateral comun aos elementos e e f .
2.1 EQUAO ELPTICAO problema elptico pode ser enunciado como abaixo.Encontrar u que seja soluo do problema linear e de segunda ordem
(Au) = S em u = f em Du = f em D
(2)
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
em que , A, n, S, f , g, D e N so os definidos no problema 1.A formulao variacional, base para o desenvolvimento da formulao do mtodo de
Galerkin descontnuo, proposta por Baumann em sua tese de doutorado Baumann (1997)pode ser interpretada como uma formulao hbrida em que o multiplicador de Lagrangep eliminado em termos da funo tentativa p = (Au) n. O problema variacional enunciado: determinar u H1(Ph) tal que
BH(u, v) = FH(v) v H1(Ph) (3)
BH(u, v) =Nelem
e=1
(
e
v (Au)dx) +
D
(u (Av) n v (Au) n)ds +
int
((Av) n [u] (Au) n [v])ds
LH(v) =Nelem
e=1
(
e
vSdx) +
D
f (Av) nds +
N
vgds.
2.2 EQUAO HIPERBLICA LINEARO problema hiperblico linear pode ser enunciado como: encontrar u que seja soluo
do problema linear
div(u) = S em u = f em
_
(4)
em que , S e f so os definidos no problema 1. o vetor de direo da velocidadede conveco,
_
= {x | ( n)(x) < 0} e + = _.Uma formulao fraca para o problema 4 pode ser obtida multiplicando-se a equao
por uma funo teste v H1(Ph), integrando-se no domnio e fazendo-se uma inte-grao por partes:
(v )u d +
(uv) n ds =
S v d,
ou, ainda, a forma sobre os elementos ( nel ) do domnio
nele=1
{e
(v )u d +
e
(uv) n ds
}=
nele=1
{e
S v d
}. (5)
O termo sobre o contorno da equao 5 ser substitudo por um fluxo numricoFN
(uv) n ds do tipo UpWind (ver LeVeque (1990)). O fluxo numrico serdefinido como
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
F eN =
e
+
v u( ne) ds +
e
_
v f ( ne) ds
em que e_
= e
_
e e+ = e e_
e
u = lim0+
u(x (.n ).n ), x e.
A figura 1 esquematiza o significado de u:
Figure 1: Ilustrao de u e u+
O problema variacional enunciado como: encontrar u H 1(PH) tal que
BC(u, v) = LC(v) v H1(Ph) (6)
BC(u, v) =nele=1
{e
(v )u d +
e
+
v u( ne) ds
}
LC(v) =
nele=1
{e
S v d
e
_
v f ( ne) ds
}.
2.3 FORMULAO FRACA DE CONVECO-DIFUSOA partir das formulaes fracas elpticas e hiperblica linear, pode-se construir a
formulao fraca de conveco-difuso: encontrar u H 1(PH) tal que
BDG(u, v) = LDG(v) v H1(Ph)
BDG(u, v) = BC(u, v) + BH(u, v)LDG(v) = LC(v) + LH(v).
(7)
B e L so as formas bilineares e lineares definidas anteriormente em que:
BC a forma bilinear da formulao de conveco;
BH da formulao de difuso;
e L suas respectivas forma lineares.
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
Difuso Artificial SUPG Segundo Santos et al. (2004), o mtodo de Galerkin sabida-mente instvel espacialmente quando aplicado a leis de conservao. Santos et al. (2004)e Calle et al. (2002) utilizaram difuso artificial sobre o mtodo de Galerkin descontnuode forma a previnir ou diminuir as oscilaes decorrentes de descontinuidades da solu-o capturadas no interior dos elementos. A difuso artificial tratada neste trabalho sera SUPG - Streamline Upwind Petrov-Galerkin Calle et al. (2002); Santos et al. (2004);Calle et al. (2004), posteriormente chamada de SD - Streamline Diffusion.
importante ressaltar que o SUPG no uma dissipao artificial. Denomina-sedissipao artificial a um termo adicionado formulao variacional que modifica o pro-blema para dar maior estabilidade. O SUPG construdo pela modificao do espao defunes teste da formulao variacional. Desse modo, o problema ganha estabilidade pormeio de uma difuso artificial, mas sem ser modificado, visto que ainda existe equivaln-cia entre a formulao variacional e a formulao forte do problema.
Considerando-se que o interesse deste trabalho o de estudar problemas de conveco-difuso em que a conveco dominante, utilizou-se o SUPG apenas no termo convec-tivo. A ausncia do termo SUPG no operador difuso modifica o problema e a formu-lao variacional no mais equivalente formulao forte. A escolha de no aplicar otermo SUPG no operador difuso influenciou negativamente nos resultados numricos.Acrescentaram-se os seguintes termos de SUPG equao 7:
BSUPG(u, v) =nele=1
h
2 ||||
e
(u.) (v.) de (8)
LSUPG(v) =
nele=1
h
2 ||||
e
S v. de
em que h a medida do elemento.Adicionando-se a equao 8 formulao variacional original do problema (equao
7), obtm-se a formulaao do mtodo de Galerkin descontnuo para conveco-difusocom SUPG.
3. IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL3.1 GEOMETRIA E ESPAOS DE INTERPOLAO
O ambiente PZ possui uma distino muito forte entre geometria e interpolao. Paraa definio da topologia da malha existem elementos geomtricos (TPZGeoEL) associ-ados a malhas geomtricas (TPZGeoMesh). Os elementos geomtrios compem a vizi-nhana de cada elemento e o mapeamento do elementro mestre (ou de referncia) para oelemento deformado na malha, bem como o clculo das restries de funes de formaentre elementos de malhas no conformes (com hangingnodes), para simulaes do m-todo de elementos finitos clssico.
O espao de interpolao implementado pelos elementos computacionais, deriva-dos da classe base TPZCompEl. O mtodo de elementos finitos contnuo implemen-tado pelo objeto (classe) TPZInterpolatedElement derivado de TPZCompEl. O mtodo
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
de Galerkin descontnuo implementado pelos objetos TPZCompElDisc e TPZInterfa-ceElement, ambos derivados do TPZCompEl. O objeto TPZCompElDisc responsvelpela interpolao no interior dos elementos descontnuos e o objeto TPZInterfaceElement responsvel pelos clculos na interface entre elementos. A derivao dos elementos deGalerkin descontnuo (TPZCompElDisc e TPZInterfaceElement) da classe TPZCompElpermitiu que todas as funcionalidades do PZ disponveis para elementos finitos tambmestejam disponveis para o mtodo de Galerkin descontnuo.
Uma estratgia adotada neste trabalho a de combinar elementos descontnuos econtnuos em uma mesma simulao. A abordagem relativamente simples. Em umaregio do domnio, descreve-se o problema com elementos finitos e, em outra regio, comGalerkin descontnuo. Na fronteira entre essas duas regies so utilizados elementos deinterface entre elementos contnuos e descontnuos.
So necessrios elementos de interface entre elementos descontnuos e entre um ele-mento contnuo e outro descontnuo. Entretanto, poder-se-iam utilizar elementos de in-terface entre elementos contnuos. Isso, de fato, em nada modificaria o problema. Ascontribuies da interface sua esquerda e sua direita ocorreriam sobre os mesmosgraus de liberdade, anulando-se.
Foi necessria uma modificao na classe TPZInterfaceElement para permitir a suaincluso entre elementos contnuo e descontnuo. O elemento descontnuo define as fun-es de base sobre o elemento real. J o elemento contnuo, no PZ, define as funesutilizando-se mapeamento entre o elemento mestre e o elemento deformado real. Para oclculo da contribuio de interface, solicita-se ao elemento contnuo o valor de suas fun-es e derivadas restritas interface, a partir de um ponto de integrao em coordenadasparamtricas. As coordenadas paramtricas so mapeadas para coordenadas reais e essenovo ponto fornecido ao elemento descontnuo para o clculo de suas funes e deri-vadas restritas interface. De mo das funes e derivadas de seus vizinhos, a interfacecalcula a contribuio de seus termos para a matriz de rigidez e vetor de carga.
3.2 FORMULAO VARIACIONALA formulao variacional implementada em objetos derivados da classe TPZMate-
rial. A classe TPZMaterial implementa as interfaces para as suas classes derivadas. Sode especial importncia os mtodos Contribute e ContributeBC. O mtodo Contributecalcula a matriz de rigidez e o vetor de carga do elemento em um ponto de integrao. Omtodo ContributeBC calcula a matriz de rigidez e o vetor de carga do elemento tipo con-dio de contorno em um ponto de integrao. O PZ trabalha com condies de contornotipo Dirichlet, Neumann e mista.
A classe TPZDiscontinuousGalerkin derivada da classe TPZMaterial. A funoda classe TPZDiscontinuousGalerkin definir as interfaces necessrias para o mtodode Galerkin descontnuo. So de especial importncia o mtodo Contribute, j definidona classe TPZMaterial, e os mtodos ContributeInterface e ContributeBCInterface, res-ponsveis pelo clculo da matriz de rigidez e vetor de carga do elemento de interfacee interface de contorno, respectivamente, em um ponto de integrao. Os elementos deGalerkin descontnuo no utilizam o mtodo ContributeBC e sim o mtodo ContributeB-CInterface, em que a condio Dirichlet imposta de forma fraca.
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
4. PROBLEMA DE CONVECO-DIFUSONesse exemplo apresentado um problema com descontinuidade no meio do dom-
nio. O problema dado por:
(Au) + div(u) = 0 em (1, 1)2, = {1, 1}T , A = 1.e 6
e as condies de contorno so Dirichlet, com valores como na figura 2.
Figura 2: Condies de contorno do problema 4.
O mtodo de Galerkin descontnuo mostra-se bastante estvel e a utilizao de dissi-pao artificial colabora com a estabilidade. Nota-se ainda que, no mtodo de Galerkindescontnuo, as oscilaes em um elemento no se propagam para os elementos vizinhos,o que uma vantagem do mtodo com relao a elementos finitos contnuo.
Figura 3: Evoluo da soluo para refinamento uniforme e p = 2 constante
Mtodo de Galerkin descontnuo de Baumann sem SUPG
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
Figura 4: Evoluo da soluo para refinamento uniforme e p = 2 constante
Mtodo de Galerkin descontnuo de Baumann com SUPG
Figura 5: Evoluo da soluo para refinamento uniforme e p = 2 constante
Mtodo de elementos finitos contnuo sem SUPG
Figura 6: Evoluo da soluo para refinamento uniforme e p = 2 constante
Mtodo de elementos finitos contnuo com SUPG
5. PROBLEMA DE CONVECO-DIFUSO - CAMADA LIMITEEste problema de camada limite foi extrado do artigo de Houston et al. (2002). A
equao diferencial a ser resolvida dada por
(Au) + div(u) = S em = (0, 1)2
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
S = 2 +(1 x)2 (1 x) (1 y) + (1 y)2
A (1 e1/A) e(1x) (1y)/A x y
A = 0.01, = {1, 1}T
u|D =
0 para x = 10 para y = 1
(1 + ey/A + y e1/Ay
) (1 + e1/A
)1
para x = 0
(1 + ex/A) + x e1/Ax
) (1 + e1/A
)1
para y = 0
A soluo analtica u(x, y) = x+ y (1x)+ (e1/A e(1x) (1y)/A) (1 e1/A)1 mostrada na figura 7. Neste problema, foram comparadas a soluo de Galerkin des-contnuo de Baumann e a de elementos finitos contnuo. Prope-se utilizar elementoscontnuos e descontnuos na mesma simulao. Na regio da camada limite utiliza-seGalerkin descontnuo, buscando-se a estabilidade da soluo. E na regio do domnio emque a soluo suave utiliza-se elementos finitos contnuo. Utilizou-se malha da figura 7.A partir dessa malha procedeu-se o refinamento uniforme para construir as demais malhasutilizadas. Os resultados com e sem SUPG so mostrados nas figuras 8, 9 e 10.
00.2
0.40.6
0.81 0
0.2
0.4
0.6
0.81
00.20.40.60.8
00.2
0.40.6
0.81
Figura 7: Soluo exata e malha para camada limite
Com SUPG, as taxas de convergncia ficaram em torno de 1.0 para os trs casostestados (elementos finitos, Galerkin descontnuo e contnuo-descontnuo). Essa taxa deconvergncia muito baixa se comparada com as taxas obtidas sem SUPG. Isso podeter ocorrido em consequncia do esquema SUPG ter sido aplicado apenas no termo con-vectivo. Embora o termo SUPG tenha estabilizado a soluo, a formulao variacionalno equivalente formulao forte do problema, influenciando negativamente a taxa deconvergncia.
As figuras 11, 12, 13, 14, 15 e 16 apresentam o valor das taxas de convergncia hpara norma L2 e seminorma de H1 das solues sem SUPG. Pode-se notar o crescimentoda taxa de convergncia em direo s taxas analticas esperadas.
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
Figura 8: Soluo camada limite - Elementos finitos contnuo
a) Com SUPG b) Sem SUPG - p = 2, 16 elementos - 81 equaes
Figura 9: Soluo camada limite - Galerkin descontnuo de Baumann
a) Com SUPG b) Sem SUPG - p = 2, 16 elementos - 144 equaes
Os resultados indicam que a taxa de convergncia vai em direo das taxas analticasdadas em Baumann (1997) e Prudhomme et al. (2000). O mtodo de elementos finitosdeve convergir a uma taxa p+1 para norma L2 e p para seminorma de H1. J a formulaodescontnua de Baumann deve convergir a uma taxa p para p par (sub-tima) e p + 1 parap mpar (tima) em norma L2. Em seminorma de H1 deve convergir a uma taxa p, comoelementos finitos. Nota-se que a combinao de elementos contnuos e descontnuos tima em seminorma de H1 e sub-tima para p par em norma L2, tal como Galerkindescontnuo. Entretanto, os valores so melhores que esse ltimo.
6. CONCLUSESO mtodo de Galerkin descontnuo mostrou-se bastante adequado para problemas de
conveco-difuso. Nos problemas testados, o mtodo dispensa o uso de termos de dis-sipao artificial (SUPG), necessrios para elementos finitos contnuo. Com elementosfinitos, as oscilaes esto presentes em uma grande regio do domnio, isso , as os-cilaes se propagam alm da regio de forte gradiente. J com Galerkin descontnuo,as oscilaes so restritas regio de forte gradiente, no se propagando pelo resto dodomnio. Alm disso, alinhando-se as interfaces entre elementos com a descontinuidade,nenhuma oscilao seria apresentada. Uma desvantagem do mtodo de Galerkin des-contnuo (MGD) o nmero de graus de liberdade do problema, muito maior que o de
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
Figura 10: Soluo camada limite - Elementos finitos contnuo e descontnuo
a) Com SUPG b) Sem SUPG - p = 2, 16 elementos - 133 equaes
Figura 11: Taxa de convergncia h em norma L2 - MEF sem SUPG
elementos finitos (MEF). Foi adotada a estratgia de combinar MGD e MEF para somara vantagem de cada um deles. Dessa forma, utiliza-se o MGD nas regies de forte gra-diente ou solues descontnuas buscando-se a estabilidade da soluo. E nas regies desoluo suave opta-se por utilizar o MEF, de modo a ter menos graus de liberdade. Essaabordagem mostrou-se adequada e a combinao dos mtodos mostrou-se consistente.
AGRADECIMENTOSOs autores agradecem Capes/Cnpq, Fapesp, Embraer e ao Cenapad-SP.
ReferencesArnold, D. N., 1982. An interior penalty finite element method with discontinuous ele-
ments. SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 19, pp. 742760.
Baumann, C. E., 1997. An HP-Adaptive Discontinuous Finite Element Method for Com-putational Fluid Dynamics. PhD thesis, University of Texas at Austin.
Calle, J. L. D., Devloo, P., & Gomes, S., 2002. O Mtodo de Galerkin Descontnuo comDifusividade Implcita e H-Adaptabilidade Baseada em Tcnicas Wavelet. PhD thesis,IMECC - Unicamp.
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
Figura 12: Taxa de convergncia h em seminorma H1 - MEF sem SUPG
Figura 13: Taxa de convergncia h em norma L2 - MGD de Baumann sem SUPG
Calle, J. L. D., Devloo, P. R. B., & Gomes, S. M., 2004. Stabilized discontinuous galerkinmethod for hyperbolic equations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engi-neering.
Houston, P., Schwab, C., & Sli, E., 2002. Discontinuous hp-finite element methods foradvection-diffusion-reaction problems. SIAM J. Numer. Anal.
LeVeque, R. J., 1990. Numerical Methods for Conservation Laws. Birkhuser Verlag.Oden, J. T., Babuska, I., & Baumann, C. E., 1998. A discontinuous hp finite element
method for diffusion problems. Journal of Computational Physics.Oden, J. T., Carey, Graham, F., & Becker, E. B., 1981. Finite Elements - An Introdution,
volume Vol. 1. Prentice Hall Inc., New Jersey - USA.
Prudhomme, S., Pascal, F., Oden, J. T., & Romkes, A., 2000. Review of a priori errorestimation for discontinuous galerhin methods. Technical report, Texas Institute forComputational and Applied Mathematics.
Santos, E. S. R., Devloo, P., & Gomes, S., 2004. Desenvolvimento de mtodo implc-ito para simulador numrico tri-dimensional de escoamentos compressveis. Mastersthesis, FEC - Unicamp.
-
CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005
Figura 14: Taxa de convergncia h em seminorma H1 - MGD de Baumann sem SUPG
Figura 15: Taxa de convergncia h em norma L2 - MEF e MGD combinados sem SUPG
Figura 16: Convergncia h em seminorma H1 - MEF e MGD combinados sem SUPG