- 98 -
Chap. 12 Orthogonal Functions and Fourier Series
*참고 <제 7장 벡터> 7.3. 내적(inner product)
정의 7.3 두벡터의 내적
332211 bababacosabbab),(a ++==⋅= θ
θ 는 두 벡터 사이의 각 πθ ≤≤0
kyibkyia
321
321
bbbaaa
++=++=
사잇각 θ
abkyic 321 −=++= ccc
k)(y)(i)( 332211 ababab −+−+−=
• 기하의 삼각형 코사인 법칙
θcosba2bac 222−+=
→ )cab(21cosba 222
−+=θ
2ab−=
here 23
22
21
2a aaa ++=
23
22
21
2b bbb ++=
233
222
211
2 )()()(ab ababab −+−+−=−
윗 식에 넣어서 정리
↓
332211cosba bababa ++=θ
∴ 332211cosbabab),(a bababa ++==⋅= θ
• 내적의 성질
1) 0ba =⋅ , if 0a = or 0b =
2) abba ⋅=⋅
3) cabac)a(b ⋅+⋅=+
4) b)(abab)a( ⋅=⋅= kkk here k는 스칼라
5) 0aa ≥⋅
6) 2aaa =⋅
• 두 벡터 사이의 각 θ → baba
bacos 332211 bababa ++=
⋅=θ
- 99 -
• b,a 가 영벡터가 아닐 때 , 사잇각 θ
1) 0ba >⋅ → θ 는 예각
2) 0ba <⋅ → θ 는 둔각
3) 0ba =⋅ → θ 는 직각 즉 2/'0'cos πθθ =→=
정리 7.1 직교 벡터의 판정
영벡터가 아닌 두 벡터 a 와 b가 직교하기 위한
필요 충분 조건은 0ba =⋅ 이다.
정의 12.1 함수의 내적
구간 ],[ ba 인 함수 1f 과 2f 의 내적
∫=b
adxxfxfff )()(),( 2121
정의 12.2 직교 함수
0)()(),( 2121 == ∫b
adxxfxfff 이면
],[ ba 구간에서 함수 1f 과 2f 는 직교
← 벡터에서의 “직교”는 기하학적 의미의 수직(perpendicular)이나
함수에서는 의미가 없음
ex) 21 )( xxf = , 3
2 )( xxf = , 구간[-1,1]
dxxxff ∫−= 1
132
21 ),(
061 1
1
6 =
=
−
x
• 직교 집합
정의 12.3 직교 집합
실수값 함수 집합 }),(),(),({ 210 Lxxx φφφ 이
0)()(),( == ∫ dxxx nb
a mnm φφφφ , nm ≠ 이면
구간 ],[ ba 에서 직교이다.
- 100 -
• 정규 직교 집합
⋅ 벡터 u의 노름(Norm) = 크기(스칼라) → u
⋅ 벡터 내적에서 θcosbab)(a, =
2a'0cos'aaa)(a, ==
∴ 2u)uu,( =
∴ )uu,(u =
⋅ 동일하게 ∫== b
a nnnn dxxx )(),()( 22 φφφφ
→ ∫== b
a nnnn dxxx )(),()( 2φφφφ
♣ 만일 함수 )}({ xnφ 가 구간 ],[ ba 에서 L,2,1,0=n 에서 1)( =xnφ 의 성질을 갖는
직교 집합이면 이 구간에서 정규 직교집합이라 함 Norm(크기)
ex1) 집합 { }.....,3cos,2cos,cos,1 xxx , 구간 ],[ ππ− 에서 직교집합?
Sol) nxxx n cos)(,1)(0 == φφ 가
0≠n 에서 0)()(0 =∫−π
πφφ dxxx n
nm ≠ 에서 0)()( =∫−π
πφφ dxxx nm 이어야 함
(1) For 0≠n ;
0sin1
cos1)()(0
=
=
⋅=
−
−− ∫∫π
π
π
π
π
πφφ
nxn
dxnxdxxx n
(2) For nm ≠ ;
[ ]
0)sin()sin(21
)cos()cos(21coscos)()(
=
−−
+++
=
−++=⋅=
−
−−− ∫∫∫π
π
π
π
π
π
π
πφφ
nmxnm
nmxnm
dxxnmxnmdxnxmxdxxx nm
조건을 만족하므로 ‘직교집합’이다.
- 101 -
ex2) ex1)의 노름(Norm)-자신의 크기=스칼라량
sol) (1) For 1)(0 =xφ
[ ] πφ ππ
π
π21)( 2
0 === −−∫ xdxx
πφ 2)(0 =∴ x
(2) For 0,cos)( >= nnxxnφ
[ ]
[ ] πππ
φ
π
π
π
π
π
π
=−−=
+=
+==
−
−− ∫∫
)(21
22sin
21
2cos121cos)( 22
nnxx
nxnxdxxn
πφ =∴ )(xn
정규화(normalize) : 자기 자신의 Norm으로 함수 자신을 나누라!
L,2cos,cos,21
πππxx
Norm이 ‘1’인 함수로 만들라!
↓ 이 함수의 Norm 즉 크기는 모두 ‘1’이다.
“정규 직교 집합”
• 벡터와의 유사성
321 v,v,v : 공간 좌표에서 ‘0’이 아닌 상수 직교 벡터로 가정
→ 벡터 해석에서 kj,i, ; 단위 벡터
332211 vvvu ccc ++=
내적 )v(vc)v(vc)v(vc)v(u 13312211111 ⋅+⋅+⋅=⋅
00v 322
11 ⋅+⋅+= ccc ( 직교성Q )
∴ 21
11
v
)v(u⋅=c
↓ 동일 방법으로
- 102 -
22
22
v
)v(u⋅=c , 2
3
33
v
)v(u⋅=c
∴ ∑=
⋅=
⋅+
⋅+
⋅=
3
1232
3
322
2
212
1
1 vv
)v(uv
v
)v(uv
v
)v(uv
v
)v(uu
nn
n
n
• 직교 급수 전개
)}({ xnφ : 구간 ],[ ba 에서의 무한 직교함수 집합
∑∞
==++++=
01100 )()()()()(
nnnnn xcxcxcxcxf φφφφ LL
함수의 내적 , 구간 ],[ ba
LL ∫∫∫∫ ++++= b
a mnnb
a mb
a mb
a m dxxxcdxxxcdxxxcdxxxf )()()()()()()()( 1100 φφφφφφφ
nm = LL +⋅++⋅+⋅= )()()( 21100 mnnm ccc φφφφφφ
* 함수의 직교성에 의하여 nm = 이외에는 모두 ‘0’
∴ ∫∫ = b
a nnb
a n dxxcdxxxf )()()( 2φφ
∴ L,2,1,0,)(
)()(2
0
==∫
∫ ndxx
dxxxfc b
a n
a nn
φ
φ ←
22 )()( xdxx nb
a n φφ =∫
∴ 계수 2)(
)()(
x
dxxxfc
n
b
a nn
φ
φ∫= ---(1)
∴ ∑∞
==
02 )()(
),()(
nn
n
n xx
fxf φ
φ
φ : 직교급수 전개 or 일반화된 Fourier함수
정의 12.4 직교함수/무게함수
함수의 집합 )}({ xnφ ),2,1,0( L=n , 구간 ],[ ba 에서 무게함수 )(xw 에 대해
직교이다.
∫ =b
a nm dxxxxw 0)()()( φφ , nm ≠
두 함수의 내적 계산에 )(xw 를 곱하여 계산해로 값이
‘0’로 변치 않는 함수 (내적의 직교성이 살아있는)
- 직교 구간 ],[ ba 에서 0)( >xw 로 가정
- ex 1)의 },2cos,cos,1{ Lxx 는 구간 ],[ ππ− 에서 1)( =xw 이다.
- 103 -
일반식 계산에서
계수 2)(
)()()(
x
dxxxfxwc
n
b
a nn
φ
φ∫= ---(2)
→ 위 식과 동일 의미!
이러한 ))2()1(( orcn 식 을 가지는 함수를 “직교급수 전개”
or “일반화된 Fourier 급수”라 함
EX 12.1- 12)
x
pmx
pn ππ sin,cos,1 , L,3,2,1=n L,3,2,1=m
직교함을 보이고 Norm를 구하라.
sol) (1) 0sincos1 =
=⋅∫−
−
p
p
p
p
xpn
npxdx
pn π
ππ
0cossin1 =
−=⋅∫−
−
p
p
p
p
xpn
npxdx
pn π
ππ
(2) For nm ≠ ;
xdxpmx
pnxdx
pmx
pnp
p
p ππππ coscos2coscos0∫ ∫−
=⋅
∫
++
−= p dxx
pmnx
pmn
0
)(cos)(cos ππ
0)(sin)(
)(sin)( 00
=+
++
−−
=pp
xpmn
mnpx
pmn
mnp π
ππ
π
xdxpmx
pnxdx
pmx
pnp
p
p ππππ sinsin2sinsin0∫ ∫−
=⋅
∫
+−
−= p dxx
pmnx
pmn
0
)(cos)(cos ππ
0)(sin)(
)(sin)( 00
=+
+−
−−
=pp
xpmn
mnpx
pmn
mnp π
ππ
π
- 104 -
∫ ∫− −
++
−=⋅p
p
p
pdxx
pmnx
pmnxdx
pmx
pn ππππ )(sin)(sin2cossin
0)(cos)(2
)(cos)(2
=+
+−
+−
−−
=−−
p
p
p
p
xpmn
mnpx
pmn
mnp π
ππ
π
(3) For nm = ;
02cos4
2sin21cossin =−==⋅
−− −∫ ∫
p
p
p
p
p
px
pn
npxdx
pnxdx
pnx
pn π
ππππ
( AAA cossin22sin = )
∴ 직교 집합이다.
(4) Norm
dxxpnxdx
pnx
pnp
p
p
p
πππ∫ ∫− −
=⋅ 2coscoscos
AA
AA
AA
2cos21
21cos
1cos22cos
sin21cos
2
2
22
+=∴
−=
−=
dxxpnp
p∫−
+=
π2cos21
21
p
p
p
p
xpn
npx
−−
+=π
π2sin
)2(221
[ ] 0)(21
+−−= pp
2
coscoscos xpnx
pnx
pnp πππ
=
⋅==
dxxpnxdx
pmx
pnp
p
p
p
πππ∫ ∫− −
=⋅ 2sinsinsin
dxxpnp
p∫−
−=
π2cos21
21
p
p
p
p
xpn
npx
−−
−=π
π2sin
)2(221
2
sinsinsin xpnx
pnx
pnp πππ
=
⋅==
pdxp
p21)11( 2 ==⋅ ∫−
∴ pxpnp ==πcos,21 , px
pn
=πsin : ans.
- 105 -
(5) Normalize ;
L,)/sin(,)/cos(,
21
pxp
pxp
pππ
12.2 Fourier 급수
- 앞에서 }),(),(),({ 210 Lxxx φφφ 구간 ],[ ba 에서 직교 집합이면 동일 구간에서
L+++= )()()()( 221100 xcxcxcxf φφφ 로 표시(Fourier 급수) 가능!
계수 nc 은 “내적” 개념으로 결정 가능!
LL ,3sin,2sin,sin,,2cos,cos,1px
px
px
px
px πππππ
이 함수는 구간 ],[ pp− 에서 1 및 서로간에 “직교함수”이다.
→ 서로의 “내적”=’0’이다.
• 삼각급수
f : 구간 ],[ pp− 에서 정의된 함수이면
∑∞
=
++=
1
0 sincos2
)(n
nn xpnbx
pna
axf ππ
: 직교함수
→ 임의로 지정된 ‘1’의 계수 → “Fourier 급수”
(1) 0a ; p− 에서 p까지 적분
∑ ∫∫∫∫∞
=−−−−
++=
1
0 sincos2
)(n
p
pnp
pnp
p
p
pxdx
pnbdxx
pnadx
adxxf ππ
=0 =0 ) 직교과1(Q
∴ ∫ ∫− − − ===p
p
p
ppp pax
adx
adxxf 0
00 ][22
)(
∴ ∫−= p
pdxxf
pa )(10
(2) na ; 원식에
pxmπcos 를 곱하여 적분 → 내적 : 직교성 → na 을 구함
∫ ∑ ∫ ∫
∫
−
∞
=− −
−
++= p
pn
p
p
p
pnn
p
p
xdxpmx
pnbxdx
pmx
pnaxdx
pma
xdxpmxf
1
0 sinsincoscoscos2
cos)(
πππππ
π
- 106 -
직교성에 의하여
∫ ∫
∫
− −
−
=⋅
>=
p
p
p
p
p
p
xdxpmx
pn
mxdxpm
0cossin
0,0cos
ππ
π
∫− =⋅p
pxdx
pmx
pn ππ coscos nm ≠,0 직교성
nmp =,
∫−= p
pxdx
pnπ2cos
22cos1cos2cos1
21 2 AAdxx
pnp
p
−=←
+= ∫−
π
[ ] ppp
npxnp
x
p
p
=−−=
+=
−
)(21
2
2sin
21
π
π
∴ ∫− =p
p n paxdxpntf πcos)(
∴ ∫−= p
pn xdxpnxf
pa πcos)(1
(3) nb ; 원식에
Pxmπsin 를 곱하여 적분 → 내적 : 직교성 → nb 구함
동일한 방식으로 계산하면
∫− =p
p n pbxdxpnxf πsin)(
∴ ∫−= p
pn xdxpnxf
pb πsin)(1
- 107 -
정의 12.5 Fourier 급수
구간 ),( pp− 정의된 함수 f 의 Fourier 급수는
∑∞
=
++=
1
0 sincos2
)(n
nn xpnbx
pna
axf ππ
where ∫−= p
pdxxf
pa )(10
∫−= p
pn xdxpnxf
pa πcos)(1
∫−= p
pn xdxpnxf
pb πsin)(1
ex 1) Fourier 급수 전개
=)(tf ππ
π<≤−
<<−xxx
0,0,0
sol) ),(),( ππ−=− pp → 주기 π22 == pT → π=p
∫ ∫ ∫− −−+== π
π π
π πππ
0
00 )(101)( dxxdxdxxfa
22
12
1 2
0
2 πππ
ππ
π
=
=
−=xx
[ ]∫∫∫ −+==−−
π
π
π
ππ
ππ 0
0 cos)(01cos)(1 nxdxxdxnxdxxfan
∫ −= π ππ 0
cos)(1 nxdxx
1'
sincos'
−=→−=
=→=
vxvnnxunxu
π
+−= ∫
ππ
ππ 0
0
sinsin)(1 dxnnx
nnxx
π
π
ππ 00
cos1sin11
−=
= ∫ n
nxn
nxdxn
π
πππ 2
cos11cos1n
nnn
n−
=
+−
=
∴π2)1(1
na
n
n−−
=
- 108 -
→ 동일 방식
∫−= π
ππnxdxxfbn sin)(1
[ ]∫ ∫−−+= 0
0sin)(01
π
π ππ
nxdxxdx
∫ −= π ππ 0
sin)(1 nxdxx
1'
cossin'
−=→−=
−=→=
vxvnnxunxu
π
ππ
π
ππ
00
0
cos1cos)(1
−−−= ∫ nxdxnn
nxx
−=
πππ 0
sin11nnx
nn
∴n
bn1
=
∴Fourier 급수 ∑∞
=
+−−
+=1
2 sin1cos))1(1(4
)(n
n
nxn
nxn
xfπ
π :ans
정의 12.1 수렴조건
함수 f , 구간 ),[ pp− 에서 구분적 연속
⋅ 연속인 점 : Fourier 급수 → )(xf 에 수렴
⋅ 불연속인 점 : 평균값에 수렴
2
)()( −++ xfxf
where 좌극한우극한 :)(:)( −+ xfxf
ex 2) 불연속점에서 수렴
ex 1)에서 =)(tf ππ
π<≤−
<<−xxx
0:0:0
sol) (1) 0=x 을 제외한 ),( ππ− 에서
- 109 -
Fourier 급수 ∑∞
=
+−−
+=1
2 sin1cos)1(14
)(n
n
nxn
nxn
tfπ
π에 수렴!
(2) 0=x 에서
22
02
)0()0()( ππ=
+=
−++=
fftf 에 수렴
불연속점의 평균값
• 주기적인 확장
⋅ 주기 함수 : )()( xfTxf =+
Fourier 급수는 ),( pp− 에서뿐만 아니라 이 구간 밖에서도
주기적 확장(periodic extension)도 가진다!
• 부분합의 수열
ex 1)에서 ∑∞
=
+−−
+=1
2 sin1cos)1(14
)(n
n
nxn
nxn
tfπ
π
초항 = 4π
둘째 항 = xx sincos2+
π : 1=n 의 괄호안
셋째 항 = x2sin21
: 2=n 의 괄호안
∴수열
+ L,2sin
21,sincos2,
4xxx
ππ
4
)(1π
=xs
xxxs sincos24
)(2 ++=π
π
xxxxs 2sin21sincos2
4)(3 +++=
ππ
M M
)(xsn = (13)식
- 110 -
……; 불연속점(‘0’)에서 overshooting 현상 발생 → ‘Gibbs 현상’
← 주기적 확장
: N이 무한히 가면 함수에 접근
Fig 12.3 Fourier 급수의 부분합
12.3 Fourier 코사인 함수 and 사인급수
- 우함수(even function) : →=− )()( xfxf y축 대칭 ← 소(牛)뿔 연상
- 기함수(add function) : →−=− )()( xfxf 원점 대칭
• 예
(1) 2)( xxf =
22)()( xxxf =−=− : 우함수 →
)(xf=
(2) 3)( xxf =
33)()( xxxf =−=− : 기함수 →
)(xf−=
- 111 -
(3) 우함수:cos)cos( xx =−
기함수:sin)sin( xx −=−
(4) xexf =)( or xe − 는 우함수도 기함수도 아니다. 이럴 경우는 원래의
Fourier식 이용!
• 우함수와 기함수의 특징
정리 12.2 우함수, 기함수 특징
(a) 우함수×기함수=우 , 기함수×기함수=우
(b) 우함수×기함수=기 , 우함수 ± 우함수=우
(c) 기함수 ± 기함수=기
(f) 함수 f 가 우함수이면 ∫∫− = aa
adxxfdxxf
0)(2)( : y축 대칭이니까
(g) 함수 f 가 기함수이면 0)(∫− =a
adxxf : 원점 대칭이니까
• 코사인 급수와 사인 급수
정의 12.5 Fourier 급수를 우함수 , 기함수일 경우 정리
구간 ),( pp− 에서 )(xf
Fourier 급수 : ∑∞
=
++=
1
0 sincos2
)(n
nn xpnbx
pna
axf ππ
here ∫−= p
pdxxf
pa )(10
∫−= p
pn xdxpnxf
pa πcos)(1
∫−= p
pn xdxpnxf
pb πsin)(1
(1) )(xf 가 우함수이면
∫−= p
pdxxf
pa )(10 = ∫
p dxxfp 0
)(2
∫−= p
pn xdxpnxf
pa πcos)(1
= dxxpnxf
pp∫0 cos)(2 π
∫−= p
pn xdxpnxf
pb πsin)(1 0=
- 112 -
(2) )(xf 가 기함수이면
∫−= p
pdxxf
pa )(10 0=
∫−= p
pn xdxpnxf
pa πcos)(1 0=
∫−= p
pn xdxpnxf
pb πsin)(1
∫= p xdxpnxf
p 0sin)(2 π
정리 12.6 Fourier 코사인 및 사인 함수
i) ),( pp− , 우함수 )(xf 의 Fourier 급수 → cosine 급수
∑∞
=+=
1
0 cos2
)(n
n xpna
axf π
∫= p dxxfp
a00 )(2
∫= pn xdx
pnxf
pa
0cos)(2 π
ii) ),( pp− , 기함수 )(xf 의 Fourier 급수 → sine 급수
∑∞
==
1
2sin)(n
n xp
bxf π , ∫= p
n xdxpnxf
pb
0sin)(2 π
ex 2) 사인 급수로 전개
xxf =)( , 22 <<− x
sol) → )()( xfxxf −=−=− ∴기함수
Fourier sine 함수 이용 , 주기 42 == pT → 2=p
∫= 2
0 2sin
22 dxxnxbn
π
2cos2,1'
2sin',
xnn
uv
xnuxv
ππ
π
−==
==
∴
+
−= ∫
2
0
2
0 2cos2
2cos2 dxxn
nxn
nxbn
ππ
ππ
=
2
0
2
2sin2 xn
nπ
π
=0
- 113 -
∴ ππ
nn
bn cos4−= ← ):(1cos),:(1cos evennnaddnn +=−= ππ
πn
n 1)1(4 +−=
∴ ∑∞
==
1sin)(
nn x
pnbxf π
∑∞
=
+−=
1
1
2sin)1(4
n
n xnn
ππ
xnnn
n
2sin)1(4
1
1 ππ∑∞
=
+−= : Fourier 급수
주기 확장
ex 3) 사인 급수의 전개
=)(xf π
π<≤
<<−−x
x0,1
0,1
),( ππ− 에서 기함수, π=p
sol)
∴ ∫= pn xdx
pntf
pb
0sin)(2 π
← π=p
∫ ⋅= π
π 0sin12 nxdx
+−
=
−=
nn
nnx 1cos2cos2
0
πππ
π
−
=nnπ
πcos12
← =πncos ):(1),:(1
evennaddn−
∴
−−=
nb
n
n)1(12
π
∴ ∑∞
==
1sin)(
nn x
pnbxf π
∑∞
=
−−=
1sin)1(12
n
n
nxnπ
:ans
- 114 -
• Gibbs 현상 : overshooting 현상
* 불연속점 근처에서 ns 의 값이 ∞→n 로 가더라도
overshooting이 잔존하는 것!
• 반구간 전개
- 함수 )(xfy = 가 구간 Lx <<0 에서 정의
1) 함수의 그래프가 y축에 대하여 0<<− xL 으로 반사 → LxL <<− 에서 우함수
2) 함수의 그래프가 원점에 대하여 0<<− xL 으로 반사 → LxL <<− 에서 기함수
3) )()( Lxfxf += 로 0<<− xL 에서 함수 f 의 정의 → Fourier 원식전개
ex 4) 2)( xxf = , Lx <<0 → (a) cosine 급수 , (b) sine 급수 , (c) Fourier 급수
sol) )(xf 는 우함수이지만 구간이 Lx <<0 이므로 엄밀히 보면
우함수도 기함수도 아니다. 이러한 경우를 이용하여
1) Fourier 급수의 cosine 함수로 표현 )( LxL <<−
2) Fourier 급수의 sine 함수로 표현 )( LxL <<− 가능!
3) Fourier 급수의 원식으로 표현 )0( Lx <<
a) cosine 급수로 전개 : 주기 L2= =2L 즉 Lp = 로 보자
Lpdxxfp
a p =←= ∫00 )(2
32
32
322 23
0
3
02
0L
LLx
Ldxx
La
LL ==
== ∫
- 115 -
∫∫ == Lpn xdx
Lnx
Ldxx
pnxf
pa
02
0cos2cos)(2 ππ
Lxn
nLuxv
Lxnuxv
ππ
π
sin,2'
cos',2
==
==
−=
−= ∫∫
LLL
xdxLnx
nL
Lxdx
Ln
nLx
Lxn
nLx
L 000
2
sin22sin2sin2 ππ
ππ
ππ
Lxn
nLuv
Lxnuxv
ππ
π
cos,1'
sin',
−==
==
+−−= ∫
LL
xdxLn
nL
Lxn
nLx
nL
L 00
coscos22 ππ
πππ
=
−
−=
LL
Lxnx
nL
Lxn
nLx
LnL
022
0
cos4cos4 ππ
πππ
ππ
nnL cos422
2
= ← =πncos evennaddn
:,1:,1−
∴ nn n
La )1(422
2
−=π
∴ xpn
nLLx
pna
axf
n
n
nn
ππ
π cos)1(432
21cos
2)(
122
22
1
0 ⋅−
+⋅=+= ∑∑∞
=
∞
=
xpn
nLL
n
n
∑∞
=⋅
−+=
122
23
cos)1(43
ππ
→ 그림 12-14(a)
b) 사인급수. c) Fourier 원급수는 각자 해볼 것!
- 116 -
12.4 복소 Fourier 급수와 도수 스펙트럼
* 복소 Fourier 급수
∑∞
=
++=
1
0 sincos2
)(n
nn xpnbx
pna
axf ππ
---(1)
∫
∫
∫
−
−
−
=
=
=
p
pn
p
pn
p
p
xdxpnxf
pb
xdxpnxf
pa
dxxfp
a
π
π
sin)(1
cos)(1
)(10
→ 복소수 포함 (Qcosine 과 sine 함수 포함)
Euler 공식에 의해
ieexeexixixixix
2sin,
2cos
−− −=
+=
(1)식을 재정리하면
∑∞
=
−−
−+
++=
1
////0
222)(
n
pxinpxin
n
pxinpxin
n ieebeea
axf
ππππ
( ) ( )∑∞
=
−
++−+=1
//0
21
21
2 n
pxinnn
pxinnn eibaeiba
a ππ
∑∑∞
=
−−
∞
=++=
1
/
1
/0
n
pxinn
n
pxinn ececc ππ
where )(21),(
21,
21
00 nnnnnn ibacibacac +=−== −
∫−⋅= p
pdxxf
pc )(1
21
0
−=−= ∫ ∫− −
p
p
p
pnnn xdxpnxf
pixdx
pnxf
pibac ππ sin)(1cos)(1
21)(
21
dxxpnix
pnxf
pp
p∫−
−=
ππ sincos)(21
dxexfp
p
ppxin∫−
−= /)(21 π
dxexfp
ibac p
ppxin
nnn ∫−− =−= /)(21)(
21 π
- 117 -
정의 12.7 복소 Fourier 급수
구간 ),( pp− 에서 정의된 함수 f
∑∞
−∞==n
pxinnecxf /)( π : Complex Fourier series
where
L,2,1,0,)(21 / ±±== ∫−
− ndxextp
c p
ppxin
nπ
• 복소 Fourier 급수의 수렴
⋅ 연속인 점 : )(xf 로 수렴
⋅ 불연속인 점 : 평균값
+ −+
2)()( xx ff
로 수렴
ex 1) xexf −=)( , ππ <<− x
복소 Fourier 급수로 전개하라.
sol) 주기 π22 == pT → π=p
∴ ∑∑∞
−∞=
∞
−∞===n
inxn
n
xinn ececxf ππ /)(
dxedxeec xininxn ∫∫ −
+−−
−− == π
π
π
ππ
ππ)1(
21
21
π
ππ −
+−⋅
+−
= xinein
)1(
)1(1
21 [ ]ππ
π)1()1(
)1(21 ++− −+
−= inin eein
πππ
πππ
ππ
ππ
ππ
eninee
eninee
nn
nin
nin
n
)1()sin(cos
)1()sin(cos0)sin(,)1()cos(
)1(
)1(
−=+=
−=−=
=−=
+
−−+−
∴ )()1()1(2
1 ππ
πee
inc nn −−
+−= −
+
−
−=
−
π
ππ
)1(1)1(
2 inee n
−+
−
−=
)1)(1()1(sinh)1(inin
inn
ππ
+−
−= 21
1sinh)1(ninn
ππ
∴ inx
n
n eninxf
+−
−= ∑∞
−∞= 11)1(sinh)( 2π
π :ans
→ )(xf 의 급수는 )(xf 의 π2 (주기) 주기적 확장으로 수렴
- 118 -
<Ex 12.4-1>
1. =)(xf 20,102,1
<<<<−−
xx
sol) 2=p
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞===
n n
xinn
pxinn ecectf 2//)( ππ
[ ]dxedxedxexfc xinxinxinn ∫∫∫ −
−−
−− +−== 2
02/0
22/2
22/ )1(
41)(
41 πππ
−+
−= −
−
−2
0
2/0
2
2/ 2241 xinxin e
ine
inππ
ππ
[ ]112
−++−= −+ ππ
πinin ee
ni
ninx
nin
nne
nne
)1(sincos)1(sincos
−=−=
−=+=− ππ
πππ
[ ]1)1()1(12
−−+−+−= nn
niπ
[ ]nni )1(222
−+−=π
−+−=
ini n
π))1(1()( 2
in
n
π)1(1 −−
=
[ ]∫ ∫∫− −+−== 2
2
0
2
0
20 141)(
41 dxdxdxxfc
[ ]02
0
241 xx +−=
−
[ ])20()20(41
−++=
0=
∴ 2/)1(1)( π
πin
n
n
ein
xf ∑∞
−∞=
−−=
- 119 -
♠ 기본 도수 (Fundamental Frequency)
⋅ Fourier 급수 ; 기본 주기 (fundamental period) pt 2= 인 주기함수
Fourier 급수 : ( )∑∞
=++=
1
0 sincos2
)(n
nn xbxaa
xf ωω
복소 Fourier 급수 : ∑∞
−∞==n
xinnecxf ω)(
where Tπω 2
= ; 기본 각도수 (fundamental angular frequency)
♠ 도수 스펙트럼 (Frequency Spectrum)
; 함수 f 가 기본주기 T인 주기함수일 때, 점 ),( ncnω 의 모임
→ f 의 도수 스펙트럼
ex 2) ex 1)의 도수 스펙트럼 ?
sol) ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
+−
−==n n
inxninxn e
ninecxf1
1)1(sinh)( 2ππ
1=ω
∴ππω22
= → L,2,1,0 ±±=ωn
1
1sinh)1( 2 +−
⋅−=ninc n
n ππ
← 22 βαβα +=+ i
∴1
1sinh2 +
⋅=n
cn ππ
결국 그러므로 도수 스펙트럼은
λ … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
nc … 1.162 1.644 2.599 3.696 2.599 1.644 1.162 …
- 120 -
12.5 Sturm – Liouville 문제
♠ review
방정식 일반해
선형방정식 0,00,0
0'
>=−′′>=+′′
=+
λλλλ
λ
yyyyyy
xcxcy
ececy
xcxcy
ecy
xx
x
λλ
λλλλ
λ
sinhcosh
or
sincos
11
21
21
1
+=
+=
+=
=
−
M
Cauchy – Eular 방정식 0''' 22 =−+ yxxyyx
0,ln0,
)0(
21
21
=+=≠+=
>
λλλλ
xccyxcxcy
x
♠ 고유값과 고유 함수
chap 3.9 참조
♠ 정칙 Sturm - Liouville 문제
⋅ ',,, rrgp 이 구간 ],[ ba 에서 연속인 실수값 함수
⋅ 그 구간의 모든 x에 대해 0)( >xr & 0)( >xp
문 : 0))()((]')([ =++ yxxpxqyxrdxd
; 자기 수반 형태
조건 : 0)(')( 11 =+ ayay βα
0)(')( 22 =+ ayay βα
정의 12.3 정칙 Sturm – Liouville 문제의 특성
(a) ∞→n ∞→λ 이 되는 LL <<<< nλλλ 21 인 무한개의 실수 고유값이
존재
(b) 각각의 고유값에 대해(0이 아닌 수의 곱 제외) 오직 하나의 고유함수 존재
(c) 서로 다른 고유값에 대응하는 고유함수들은 일차 독립
(d) 고유함수의 집합은 구간 ],[ ba 에서 무게함수 )(xp 에 직교이다.
즉, ∫ ≠=b
a nmnm dxxyxyxp λλ,0)()()( ---(1)
- 121 -
ex 2) 정칙 Sturm – Liouville 문제
0)1(')1(,0)0(,0'' =+==+ yyyxyy
sol) (1) 0=λ
21
1'0''
cxcycy
y
+===
0)0( 2 == cy
00)1(')1( 111 =→=+=+ cccyy
∴ 0=y : 자명해
(2) 0<λ
보조방정식 : 02 =+ λm → λ−±=m
∴ xx ececy λλ −−− += 21
0)0( 21 =+= ccy
λλλλ λλ −−−−−− −−−++=+ ececececyy 2121)1(')1(
0)1()1( 21 =−−+−+= −−− λλ λλ ecec
∴ 021 == cc
∴ 0=y : 자명해
(3) 0>λ
보조방정식 : 02 =+ λm → im λ±=
∴ ( ) ( )xcxcy λλ sincos 21 +=
0)0( 1 == cy
0cossin)1(')1( 22 =+=+ λλλ ccyy
02 =c → 0=y : 자명해
02 ≠c → 0cossin =+ λλλ ←양변÷ λ
λλ −=tan
put x=λ → xx −=tan
∴ )sin(2 xcy nλ= : 비자명해
where nn λλ tan−= , L,3,2,1=n
- 122 -
♣ 특이 Sturm – Liouville 문제
: 구간 ],[ ba 의 끝에서
0)( =ar or 0)( =br or 0)()( == brar
인 Sturm – Liouville 문제 → 특이 Sturm – Liouville 문제
⋅ 특징 i) 0)( =ar → ax = 에서의 경계조건 없이 (1)의 직교관계 성립
ii) 0)( =br → bx = 에서의 경계조건 없이 (1)의 직교관계 성립
iii) 0)()( == brar → ax = & bx = 에서의 경계조건 없이 (1)의
직교관계 성립
∫ ≠=b
a nmnm dxxyxyxp λλ,0)()()( ---(1)
♣ 자기 수반 형태 (Self adjoint form)
연속된 계수이고 어떤 구간의 모든 x에 대해 0)( ≠xa
0))()((')('')( =+++ yxdxcyxbyxa λ ---(2)
인 2계 미분 방정식은 적분인자
∫ dxxaxbe
xa))(/)((
)(1
를 곱함으로 자기 수반 형태로 바꿀 수 있다. → Sturm – Liouville 문제
즉,
0)()(
)()('
)/()/())(/)((=
∫+∫+
∫ ye
xaxde
xaxcye
dxd dxabdxabdxxaxb
λ
)(xr= )(xq= )(xp=
- 123 -
Ex 12.5 – 7) 0)5(,0)1(,0'''2 ===++ yyyxyyx λ
Ex 12.5 – 8) 0)2(,0)0(,0''' ===++ yyyyy λ
(a) 고유값과 고유함수
(b) 자기 수반 형태
(c) 직교 관계 조사
Sols.)