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Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier
Outils pour des problèmes industriels
de tournées de véhicules avec
transbordement
Sylvain FOURNIER
16/10/2008
EDMSTIIBruno DE BACKER
Gerd FINKE
Nadia BRAUNER-VETTIER
![Page 2: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/2.jpg)
Sylvain FOURNIER 2
Cadre de la thèse
• Logiciel ILOG TPO
– Fournir des plans de
route aux entreprises
de transport
• Minimiser les coûts de transport
– coût du carburant
– considérations écologiques
![Page 3: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/3.jpg)
Sylvain FOURNIER 3
Plan de la soutenance
• Problème de tournées de véhicules avec
transbordement
• Modèles linéaires en variables mixtes
– Petites instances
• Heuristique à deux phases
– Instances moyennes et grandes
![Page 4: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/4.jpg)
Sylvain FOURNIER 4
Problème de tournées de
véhicules avec transbordement
![Page 5: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/5.jpg)
Sylvain FOURNIER 5
A B
C D
Exemple simple
dist=1
min distancetotale
![Page 6: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/6.jpg)
Sylvain FOURNIER 6
A B
C D Coût = 4
Exemple simple
« Chacunpour soi »
![Page 7: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/7.jpg)
Sylvain FOURNIER 7
Exemple simpleA B
C D Coût = 3
« gentleman »
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Sylvain FOURNIER 8
Exemple simpleA B
C D
H
Coût =
échange
22
![Page 9: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/9.jpg)
Sylvain FOURNIER 9
Description de l’instanceA B
C D
H • 2 véhicules• 4 expéditions• 5 sites (dont 1 hub)
![Page 10: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/10.jpg)
Sylvain FOURNIER 10
2 produits
ensemble
Réseau de type « hub-and-spoke »
![Page 11: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/11.jpg)
Sylvain FOURNIER 11
2 produits
tournées
Réseau de type « hub-and-spoke »
ensemble
![Page 12: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/12.jpg)
Sylvain FOURNIER 12
Aspects du problème
• Problème de ramassage et livraison (PDP)– The Vehicle Routing Problem (Toth and Vigo, 2002)
– The General Pickup and Delivery Problem (Savelsbergh and Sol, 1995)
• Problème de flots– Network flows:Theory, Algorithms and Applications (Ahuja
et al., 1993)
• Problème de localisation de hub– Network Hub Location Problems : The State of the Art
(Alamur and Kara, 2008)
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Sylvain FOURNIER 13
Contraintes supplémentaires
• Capacités des véhicules
• Fenêtres de temps
• Pas de stockage aux hubs
• Incompatibilités
• Sites de départ et d’arrivée des tournées
peuvent être imposés ou non
• Nombre d’arrêts limité pour les véhicules
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Sylvain FOURNIER 14
A B
C D
Alternative d’expédition
ZSH
ou
![Page 15: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/15.jpg)
Sylvain FOURNIER 15
Solution avec alternativesA B
C D
H
Coût =
ZSH
22
1
![Page 16: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/16.jpg)
Sylvain FOURNIER 16
Coûts industriels
• Coûts fixes
• Coûts kilométriques
origine-destination (DTC)
• Coûts kilométriques
supplémentaires (ADC)
• Coûts de « saut de
zone » (ZSC)
qmax
ZSHΣq
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Sylvain FOURNIER 17
Contexte de la thèse
• ILOG TPO 3.1.3 est un « gentleman »
• Difficultés au niveau du transbordement
– Recherche locale
– Grand nombre de possibilités
• Outil capable d’aider ILOG TPO
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Sylvain FOURNIER 18
Modèles en variables mixtes
![Page 19: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/19.jpg)
Sylvain FOURNIER 19
Généralités
• Modèles les plus fidèles possible
• Pas de stockage aux hubs
• Base de contraintes commune
• Une seule visite à chaque site pour tout
véhicule
![Page 20: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/20.jpg)
Sylvain FOURNIER 20
• Résout le PDP
– Expédition :
• site de ramassage
• site de livraison
• quantité
• Le plus proche du problème traité
Modèle PDP
![Page 21: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/21.jpg)
Sylvain FOURNIER 21
Modèle PDP
• Contraintes générales de temps
• Contraintes de temps spécifiques au PDP
• Contraintes de flot de véhicules
• Contraintes binaires spécifiques au PDP
• Coûts détaillés avec linéarisation simple
I : nombre de sites
K : nombre de véhicules
S : nombre d’expéditions
O(I²KS)i
jk
![Page 22: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/22.jpg)
Sylvain FOURNIER 22
Modèle MVRPPD
• Résout le MVRP(PD)
– Plusieurs produits
– Offres et demandes
• Permet le partage des
chargements (split loads)
-1-3
+2
+6
-1-3
PDP
cap=5
3 passages +9
-3
-3
-3
MVRP
cap=5
2 passages
![Page 23: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/23.jpg)
Sylvain FOURNIER 23
Réduction PDP-MVRP
• Triviale : 1 expédition → 1 produit
• Agrégation
→
3
2
11
+3-3
+2+1+1
-1
-1
-2
3
2
11
+3 -5
+2+2
-1
-1
+3-3
+4 -1
-1
-2
ou→
![Page 24: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/24.jpg)
Sylvain FOURNIER 24
Minimiser le nombre de produits
• Définition d’un line-graph particulier
• Trouver une partition minimale en cliques
• Problème de coloration sur le graphe
complémentaire
![Page 25: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/25.jpg)
Sylvain FOURNIER 25
Inconvénients du modèle MVRP
• Absence de :
– fenêtres de temps sur les visites
– contraintes d’incompatibilité entre produits
– alternatives
![Page 26: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/26.jpg)
Sylvain FOURNIER 26
Améliorations
• Réduction de la taille du problème
– élimination de sites
– élimination de véhicules (heuristique)
• Algorithme de plans coupants
• Priorités de branchements
• Coupes dédiées
O(I²KS)
![Page 27: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/27.jpg)
Sylvain FOURNIER 27
Coupes dédiées
• Elimination de sous-tours
– en cas de relaxation des contraintes de temps
– principe : tournée est fermée si et seulement si
un des sites en est à la fois le départ et l’arrivée
• Coupes liées à l’activité des véhicules
– idée : tout véhicule doit accomplir une action
dans chaque site visité
• Elimination des symétries
– ordre sur l’utilisation des véhicules similaires
![Page 28: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/28.jpg)
Sylvain FOURNIER 28
Résultats (modèle PDP)
Rapport : Modèle amélioré
Modèle basique
Taille Plans coupants Plans coupants + Coupes
I K S valeur temps valeur temps
19 18 12 1 1055,1804 1 440,5677
19 18 12 1 662,5282 1 134,108
20 46 12 1 0,7626 1 0,8808
20 46 12 0,9556 1 0,9264 1
20 46 12 0,9919 1 0,9878 0,8464
20 46 12 1,1258 1 0,9878 1
20 46 12 1,0811 1 0,9108 0,5393
20 32 12 1,0811 1 0,9108 0,5393
19 42 8 1 1 1 1
19 42 8 1 1,8832 1 2,773
19 36 4 1 1,3557 1 0,3454
19 36 4 1 1,5755 1 0,3275
19 36 4 1 0,6704 1 0,2376
18 8 4 1 1,1276 1 1,2058
19 8 4 1 0,4737 1 0,6579
18 8 4 1 0,9395 1 0,7803
29 52 8 1 3,3308 1,1472 8,8628
21 51 6 1 7,7895 1 1,6053
Moy. géom. 1,0123 2,5352 0,9917 1,6521
# Meilleur 1 4 5 9
# Moins bon 3 8 1 6
![Page 29: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/29.jpg)
Sylvain FOURNIER 29
Heuristique à deux phases
![Page 30: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/30.jpg)
Sylvain FOURNIER 30
Motivations
• Résoudre de grandes instances
– Instances réelles
– Jusqu’à 750 expéditions
• Utiliser le moteur d’ILOG TPO
• Fournir une aide pour le transbordement
![Page 31: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/31.jpg)
Sylvain FOURNIER 31
Principe
• Etape 1
– Figer, pour chaque expédition, le chemin de hubs
le plus prometteur
– Résoudre avec ILOG TPO
• Etape 2
– Relâcher ces contraintes
– Continuer (et finir) la résolution dans ILOG TPO,
à partir de la solution trouvée à l’étape 1.
![Page 32: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/32.jpg)
Sylvain FOURNIER 32
Chemins possiblesA B
C D
H
ZSH
A.BA.H.BA.ZSH
A.H.ZSH
![Page 33: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/33.jpg)
Sylvain FOURNIER 33
3 façons de figerA B
C D
H
ZSH
A.BA.H.BA.ZSH
A.H.ZSH
A.BA.H.BA.ZSH
A.H.ZSH
A.BA.H.BA.ZSH
A.H.ZSH
ou
ou
![Page 34: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/34.jpg)
Sylvain FOURNIER 34
H
Modèle IP simplifié
• Pour le choix des chemins de hubs
• Peu de caractéristiques représentées
– Pas de contrainte de temps
– Multiflot de véhicules (répartis par flotte)
– Expéditions définies par leurs chemins possibles
A B
C D
HA B
C D
1
1
1
1
A.H.BA.H.D
C.H.B
C.H.D
![Page 35: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/35.jpg)
Sylvain FOURNIER 35
Agrégation des sites proches
• Pas de ramassages (ou livraisons)
successifs
– Chemins de hubs de type A.H1.H2.(…).B
• Regroupement des sites voisins
• Avantage : réduction de la taille du problème
Avec agrégationSans agrégation
![Page 36: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/36.jpg)
Sylvain FOURNIER 36
Organisation des tests
• Instances réelles avec un hub par expédition
• Quantités comparées :
– Valeur de la solution finale
– Temps de calcul
• Comparaison des rapports :
– Heuristique à 2 phases
– ILOG TPO seul
• Temps de calcul limité à 3h
![Page 37: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/37.jpg)
Sylvain FOURNIER 37
Méthode peu contrainte
Rapport : Heuristique
ILOG TPO seul
Classe Moy. géom. Min Max # Moins bon # Meilleur
valeur temps valeur temps valeur temps valeur temps valeur temps
4-12 1,005 0,7224 1 0,4545 1,0774 1,8213 2 6 0 13
13-43 1,0206 0,6771 0,9477 0,2716 1,2392 1,2907 18 9 4 32
44-85 1,0113 0,5443 0,9895 0,2589 1,0671 1,0159 26 1 5 32
86-1497 1,0035 0,8126 0,982 0,3098 1,0299 1,9218 9 4 6 11
Total 1,0125 0,6584 0,9477 0,2589 1,2392 1,9218 55 20 15 88
![Page 38: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/38.jpg)
Sylvain FOURNIER 38
Indications aléatoires
• But : tester la qualité des indications de l’IP
• Moyenne sur 20 exécutions
• Sous-ensemble d’instances
![Page 39: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/39.jpg)
Sylvain FOURNIER 39
Indications aléatoires
Comparaison des rapports
Rapport : Indications de l’IP
Classe Moy. géom. Min Max # Moins bon # Meilleur
Interm Finale Temps Interm Finale Temps Interm Finale Temps Int Fin T Int Fin T
4-12 0,9364 0,9912 0,7567 0,8222 0,9414 0,5222 1,1134 1,0914 1,0784 4 2 2 11 6 13
13-43 0,7848 0,986 0,9036 0,0071 0,8549 0,4671 1,0864 1,1917 1,6637 2 11 12 36 24 25
44-85 0,9361 0,9937 0,7832 0,9196 0,9866 0,6267 0,9682 0,9997 1,0016 0 0 1 8 7 7
86-1497 0,9344 1,0174 0,9911 0,9344 1,0174 0,9911 0,9344 1,0174 0,9911 0 1 0 1 0 1
Total 0,8403 0,9887 0,8511 0,0071 0,8549 0,4671 1,1134 1,1917 1,6637 6 14 15 56 37 46
![Page 40: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/40.jpg)
Sylvain FOURNIER 40
Recherche locale d’ILOG TPO
![Page 41: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/41.jpg)
Sylvain FOURNIER 41
Conclusions et perspectives
![Page 42: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/42.jpg)
Sylvain FOURNIER 42
Petites instances
• Instances à 12 expéditions ou moins
• 2 modèles MIP
• Donnent la preuve d’optimalité
• Améliorer encore
– la modélisation
– l’algorithme de plans coupants
![Page 43: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/43.jpg)
Sylvain FOURNIER 43
Instances de grande taille
• Bonne collaboration entre ILOG TPO et les
indications
• Gain de temps par rapport à ILOG TPO seul
• Prometteur sur des instances plus
complexes
• Autres types de coopération à explorer
![Page 44: Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Outils pour des problèmes industriels](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062404/551d9d82497959293b8bb8a3/html5/thumbnails/44.jpg)
Sylvain FOURNIER 44
Tournées similaires
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Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier
Outils pour des problèmes industriels
de tournées de véhicules avec
transbordement
Sylvain FOURNIER
16/10/2008
EDMSTIIBruno DE BACKER
Gerd FINKE
Nadia BRAUNER-VETTIER
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Sylvain FOURNIER 46
Meilleur placement du hub
32
1
A B
C D
H
Coût =
ZSH
2
31
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Sylvain FOURNIER 47
Technique d’agrégation
• Parcours des sites dans l’ordre
• Si le site i est proche d’un site similaire,
centre d’un agrégat déjà formé, alors il est
inclus dans l’agrégat
• Sinon, il forme un
nouvel agrégat
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Sylvain FOURNIER 48
• Ordre arbitraire sur les
expéditions
• Les produits sont formés au fur
et à mesure du parcours
des expéditions
• A chaque étape,
– si l’expédition i peut être associée à un produit p
(même origine ou même destination), c’est fait
– sinon, elle forme seule un nouveau produit p+1
Algorithme utilisé1
2
3
4
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Sylvain FOURNIER 49
Agrégation : performance
• Algorithme glouton mais efficace
• Pas de garantie de performance :
Instance I :
)(.)(,,1 InInI optagreg
…1
2
34
4
14
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Sylvain FOURNIER 50
Modèle MVRP
• Contraintes générales de temps
• Contraintes de temps spécifiques au PDP
• Contraintes de flot
• Contraintes binaires spécifiques au PDP
• Contraintes de chargement
• Coûts détaillés avec linéarisation simple,
sans coût ZSC
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Inconvénients des modèles
• Beaucoup de contraintes
– PDP : O(|I|².|K|.|S|)
– MVRP : O(|I|².|K|.|P|)
• Beaucoup de contraintes « big-M »
– PDP : O(|I|².|K|)
– MVRP : O(|I|².|K|.|P|) |I| : nombre de sites
|K| : nombre de véhicules
|P| : nombre de produits
|S| : nombre d’expéditions
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Sylvain FOURNIER 52
Contraintes « big-M »
• Soient X ≥ 0 et Y non contrainte
• Contrainte conditionnelle : si X=0 alors Y ≥ 0
• Modélisation : Y + M.X ≥ 0
– M suffisamment grand
– M doit être le plus petit possible
• Apparaissent dans
– les contraintes de temps
– les contraintes de chargement (MVRP)
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Comparaison des modèles
• Plus de contraintes « big-M » pour le MVRP
• Plus de variables binaires pour le PDP
• |P| ≤ |S|
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Modèle à base de chemins