Download - Bab 1. Matrix
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 1/32
MATRIX
BAB 1
23/08/2015 1
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 2/32
MATRIKS - Pengantar
Aplikasi: Sistem Persamaan Linear Bentuk umum Persamaan Linear:
a11 x1 + a12 x2 + ........... + a1nxn = c1
a21 x1 + a22 x2 + ........... + a2nxn = c2
a31 x1 + a32 x2 + ........... + a3nxn = c3
Bentuk Matriks:baris a11 a12 ...............a1n x1 c1
a21 a22 ...............a2n . x c2
=
am1 am2 ..............amn x3 c3
kolom A . x = c
matriks koefisien
ordo matriks = m (baris) x n (kolom)
23/08/2015 2
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 3/32
MATRIKS – Pengantar 2 Metode penyelesaian Matriks (mencari x1, x2, … xn):
Metode Cramer
Eliminasi Gauss
Metode Gauss-Jordan
Metode Inversi
Augmented Matriks:a11 a12 ...............a1n c1
a21 a22 ...............a2n c2
am1 am2 ..............amn c3
Contoh :Matrix A Augmented Matrix A
0352613
1332412
93221
x x x
x x x
x x x
0563
1342
9211
23/08/2015 3
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 4/32
MATRIKS –
Pengantar 3 Matriks harus dilambangkan dengan huruf kapital atau huruf kecil (bold).
a =
Elemen dari matriks biasa dituliskan dalam bentuk aij = (A)ijKeterangan: i = row j = kolom
Matriks dengan s baris dan s kolom disebut matriks persegi dengan orde s.
a11 a12 ............a1s
a21 a22 ............a2s
. . .
as1 as2 .............ass
diagonal utama
Suatu matriks disebut sama apabila memiliki ukuran dan elemen yg sama.
A
232221
131211
aaa
aaa
23/08/2015 4
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 5/32
Sifat-sifat Matriks1. Penjumlahan/Pengurangan syarat : ordo sama
(A + B)ij =(A)ij + (B)ij = aij + bij(A - B)ij =(A)ij - (B)ij = aij - bij
Contoh:
A = B = ; A + B = ; A – B =
Komutatif: A + B = B + A Assosiatif: A + (B + C) = (A + B) + C
2. Perkalian dengan Skalar
Matrix A x c (skalar) = c A (hasil kali setiap elemen A dengan c)
(cAij) = c(A)ij = caij
Contoh : A = 2A =
Assosiatif:
a(B + C) = aB + aC a(B – C) = aB – aC
(a + b)C = aC + bC (a – b)C = aC – bC
a(bC) = (ab)C a(BC) = (aB)C = B(aC)
22
13
32
21
50
32
131
432
262
864
1x23x21x2
4x23x22x2
82
51
23/08/2015 5
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 6/32
Sifat-sifat Matriks - 23. Perkalian Matriks
Matriks Matriks Matriks
Ordo x ordo = ordo
m x n n x p m x p
Syarat : ordo sesuai, jumlah kolom matriks ke-1 = jumlah baris matrix-2
Sifat:
> AB # BA
> Jika AB = 0, tidak berarti A=0 atau B=0
> Assosiatif: (AB)C = A(BC) (B + C)A = BA + CA A(B + C) = AB + AC
Contoh:
A = B = AxB =
Soal :
1. A = B = C =
Hitung 2A – B + 0,5C, AB dan BA
062
421
30
21
65
016
147
202
421
632
261
042
646
282
465
021
[ ] [ [] ]
23/08/2015 6San&Jen07
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 7/32
Jenis-jenis Matriks
500
210
324
316
025
004
300
020
004
5300
9320
0622
0041
1. Matriks Segitiga
a. Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular) A =
b. Matriks Segitiga Bawah (Lower Triangular) B =
2. Matriks Diagonal C =
3. Matriks Pita D =Tebal pita=3
matriks tridiagonal
23/08/2015 7San&Jen07
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 8/32
Transpose Matrix
921
325
93
22
15
53
37
705
034
541
(AT
)ij = (A) ji
P = PT =
(A + B)T = AT + BT
(A – B)T = AT - BT
((A)T)T = A
(A.B)T = BT . AT
(kA)T = kAT
AT = A (a jk = akj) matriks simetris.
Contoh :
A dan B adalah matriks simetris ordo sama; k faktor skalar maka:
(a) AT juga simetris
(b) A + B dan A – B simetris
(c) kA simetris
Perhatikan perubahan ordo matrix!
23/08/2015 8San&Jen07
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 9/32
Zero Matrix & Matrix Identitas
00
00
000
000
000 0000
10
01
100
010
001
921
325
10
01
921
325
921
325
921
325
100
010
001
921
325
• ZERO MATRIXContoh: Penulisan: 0 atau 0mxn
A – A = 00 – A = -A
A0 = 0; 0A = 0
• MATRIKS IDENTITAS (dilambangkan dengan I)
matriks bujursangkar yang elemen diagonal utama 1 dan elemen lainnya 0.
Contoh :
Jika A matriks m x n maka berlaku : Im.A = A dan A.In = A
Contoh :
A = I2 A = = AI3 = =
A + 0 = 0 + A = A
23/08/2015 9
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 10/32
Determinan
Cara mencari det A atau [ A ] :
Ekspansi Cofaktor
dc
ba
ac
bd
•MATRIX PERSEGI 2 x 2 :
A-1 = 1 .
det A A
(-) (+)
Det A = ad – bc
•Fungsi: untuk mendapatkan harga invers A atau A-1
•MATRIX PERSEGI n x n :
Ada 2 cara mencari A-1:
Gauss Jordan
Adjoint
a11 a12 ..........a1n
a21 a22 ..........a2n
an1 an2 ...........ann A
23/08/2015 10
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 11/32
Ekspansi Cofaktor - Definisi
A
a11 a12 ..........a1n
a21 a22 ..........a2n
an1 an2 ...........ann
A
m
i
ij
ji
ij M a1
.)1(= det A =
Mij = ”minor aij”
= determinan dari matriks A yg diperoleh dengan menghilangkan baris ke idan kolom ke j dari matriks A
C jk = “cofactor aij”
= (-1)i+j. Mij
841
652
423
1684
65
Contoh :
A =Minor of entry a11 =M11 =
C11 = = (-1)1+1 M11 = M11 = 16
841
652
423
Cofactor a11
23/08/2015 11
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 12/32
Ekspansi Cofactor - Aplikasi
Determinan suatu matriks n x n dengan 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n,
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + a3jC3j ekspansi cofactor sepanjang kolom ke-j
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ai3Ci3 ekspansi cofactor sepanjang baris ke-i
Matriks persegi ordo 3x3
A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
det(A) = a11
a22
a33
+ a12
a23
a31
+ a13
a21
a33
- a13
a22
a31
- a12
a21
a33
- a11
a23
a32
det(A) = a11 (a22a33 - a23a32) + a21 (a13a32 – a12a33) + a31 (a12a23 – a13a22)
= a11 C11 + a21 C21 + a31 C31
det(A)= a11C11 + a12C12 + a13C13 (ekspansi cofactor pd baris 1)
= a21C21 + a22C22 + a23C23 (ekspansi cofactor pd baris 2)
= a12C12 + a22C22 + a32C32 (ekspansi cofactor pd kolom 2)= ... dan seterusnya...
det(A) = a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a33
- - - + + +
23/08/2015 12
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 13/32
Ekspansi Cofactor - Latihan
245
342
013
150
521
210
1. B =
Hitunglah harga determinan dengan:a. Ekspansi cofactor pada kolom 1
b. Ekspansi cofactor pada kolom 2.
KESIMPULAN?
2. D =
Hitunglah harga determinan dengan:
a. Ekspansi cofactor sepanjang kolom 2
b. Ekspansi cofactor sepanjang baris 3
Ekspansi cofactor akan lebih mudah pada kolom/baris
dengan jumlah komponen 0 ( nol ) paling banyak
23/08/2015 13San&Jen07
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 14/32
Determinan – Sifat-sifat (1-7)
1. Det A = Det (AT)
2. Seluruh komponen salah satu baris atau kolom matrix A = 0 Det A = 0
3. Seluruh komponen salah satu baris atau kolom
matrix A dikalikan dengan k (skalar) Det A baru = k. Det A awal
Seluruh komponen n baris atau kolom matrix A
dikalikan dengan k (skalar) Det A baru = kn. Det A awal
4. Dua baris atau kolom dipertukarkan Det A baru = - Det A awal
5. Penjumlahan, pengurangan baris atau kolom yang telah dikalikan k (skalar)
dengan baris atau kolom lain TIDAK mengubah nilai determinan
Note: Eliminasi Gauss TIDAK mengubah nilai determinan
6. Ada baris/kolom yang merupakan kelipatan baris/kolom lain Det A = 0
7. Matrix atas, bawah, diagonal Det = perkalian suku diagonal
ATAU Det A nxn = a11 * a22 * a33 * …* ann
23/08/2015 14San&Jen07
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 15/32
Determinan – Sifat-sifat (8)
8. Determinan Elementary MatrixElementary Matrix: operasi aljabar (x,:, +,-) pada matriks identitas atau I
a. Jika E adalah k dikali salah satu baris/kolom pada I Det (E) = k
b. Jika E adalah hasil pertukaran baris/kolom pada I Det (E) = -1
c. Jika E adalah hasil penjumlahan/pengurangan salah
satu baris/kolom dengan baris/kolom lain yang telah
dikalikan k (skalar), maka det TIDAK berubah Det (E) = 1
PERHATIKAN:
Jika Amxm dan Bmxm maka berlaku: det (AB) = det (A) . det (B)
Jika A dapat diinvers maka berlaku: det(A-1) = 1/detA
Determinan dapat dicari dengan kombinasi metode Gauss & Ekspansi Cofactor 23/08/2015 15
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 16/32
Determinan – Contoh
32422
32649
32421
01333
01004
3573
5142
1121
6253
A =
0 -1 1 3
det (A) = det 1 2 -1 1
0 0 3 30 1 8 0
-1 1 3
det (A) = (-1) 0 3 3
1 8 0
-1 1 3
det (A) = (-1) 0 3 3
0 9 3
det (A) = (-1) (-1) 3 3 = -189 3
Ekspansi cofactor
sepanjang kolom ke-1
Ekspansi cofactorsepanjang kolom ke-1
0 -1 1 3
det (A) = det 1 2 -1 10 0 3 3
0 1 8 0
(baris ke-2 x k) +
baris-baris lain :S{ }
SOAL
A = Carilah determinan Matrix A !
-1 1 3
det (A) = (-1) 0 3 3
1 8 0
23/08/2015 16San&Jen07
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 17/32
Inversi Matriks
1 Matriks Orde 2
> Matriks A =
> Matriks invertible jika ad – bc 0
>
2 Matriks Orde 3
dc
ba
ac
bd .
A A
det
11
2.1 Metode Adjoint
A A
det
11
. Adj A
042
361
123
161012
162416612
333231
232221
131211
C C C
C C C
C C C
161616
1026
12412
161012
1624
16612 T
Contoh :
A =
Cofactor
of A :
Adjoint
of A :
A-1 =
4
1
4
1
4
1
64
10
64
2
64
6
64
12
64
4
64
12
161616
1026
12412
64
1
A-1 =
23/08/2015 17San&Jen07
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 18/32
Inversi Matriks2 Matrix Orde 3 Lanjutan
2.2 Metode Gauss Jordan
Prinsip
Menemukan langkah-langkah operasi untuk mengubah A menjadi matrik identitas
dan melakukan operasi yg sama pada matrik identitas untuk mendapatkan A-1:
[A I] [I A-1]
801
352
321Contoh :
Matriks A = , A-1 = ?
JAWAB:
Langkah 1:
Elemen a11 pada baris pertama harus bernilai 1.
Apabila nilainya ≠ 1, lakukan operasi pada baris 1 agar a11 = 1.
(Nilai a11 pada Matrix A sudah 1, tidak perlu dilakukan langkah 1)
100
010
001
801
352
321
23/08/2015 18San&Jen07
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 19/32
Inversi Matriks2.2 Metode Gauss Jordan - Lanjutan
Operasi matriks agar a21&a31 bernilai nol:
(-2 x baris ke 1) + baris ke 2 baris ke 2
(-1 x baris ke 1) + baris ke 3 baris ke 3
Elemen a22 pada baris ke-2 harus bernilai 1.
Apabila nilainya ≠ 1, lakukan operasi pada baris 2 agar a22 = 1.
(Nilai a22 pada Matrix A sudah 1, tidak perlu dilakukan langkah 1)
Langkah 2:
101
012
001
520
310
321
101
012
001
520
310
321
Langkah 3:
125
012
001
100
310
321
Langkah 4:
Operasi matriks agar a32 bernilai nol:(2 x baris ke 2) + baris ke 3 baris ke 3
125012
001
100310
321
Langkah 5:
Elemen a33 pada baris ke-3 harus bernilai 1.
Karena nilainya ≠ 1, lakukan operasi pada baris 3 agar a33 = 1.
(-1 x baris ke 3) baris ke 323/08/2015 19San&Jen07
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 20/32
Inversi Matriks2.2 Metode Gauss Jordan – Lanjutan -2
Operasi matriks agar a13&a23 bernilai nol:
(-3 x baris ke 3) + baris ke 1 baris ke 1
( 3 x baris ke 3) + baris ke 2 baris ke 2
125
3513
91640
100
010
001
Langkah 7:
1
A I
Matrix A telah menjadi I,
Matrix I telah menjadi A-1
125
3513
3614
100
010
021
Langkah 6:
Operasi matriks agar a12 bernilai nol:
(-2 x baris ke 2) + baris ke 1 baris ke 1
{ {
Jadi A-1 =
125
3513
91640
23/08/2015 20
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 21/32
A. A
-1
= I A
-1
. A = I
Jika A. B invertible, maka:
(A. B)-1 = B-1. A-1
Jika Matrix A invertible, maka:
> (A-1)-1 = A> (An)-1 = (A-1)n n = 0, 1, 2 …
> (k. A)-1 = (1/k). (A-1) k skalar, k ≠ 0
> (AT)-1 = (A-1)T
Soal-soal:
Carilah invers dari matriks-matriks berikut ini:
Inversi Matriks – Sifat-sifat
1111
1111
0011
0011
7531
0531
0031
0001
A = B =
23/08/2015 21San&Jen07
P l i M ik
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 22/32
Penyelesaian Matriks –
1. Eliminasi Gauss Merupakan salah satu metode penyelesaian matriks (lihat slide 4).
Prinsip dasar: membentuk matriks segitiga atas
Langkah-langkah:
1. Komponen a11 TIDAK BOLEH nol; Jika a11 = 0, tukar baris 1 dengan baris lain.
2. Baris 1 dibagi dengan a11 sehingga a11 = 1.
3. Buat komponen lain pada kolom 1 yang berada di bawah a11 bernilai 0 dengan cara:
baris 2 - (baris 1 x a21)
baris 2baris 3 - (baris 1 x a31) baris 3 …. dan seterusnya
4. Baris 2 dibagi dengan a22 sehingga a22 = 1
5. Ulangi langkah 3 sehingga kolom 2 selain a22 bernilai 0.
6. Ulangi langkah 2 atau 4 untuk a33 diikuti langkah 3 untuk baris 4, 5… dst
7. Diperoleh matriks segitiga atas atau “upper triangular matrix” sebagai berikut:
8. Lakukan substitusi dan eliminasi dengan cara:
> Eliminasi
maju dari baris 1 ke n> Substitusi mundur dari baris n ke (n-1)
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...... + a1nxn = c1
a22x2 + a23x3 + ...... + a2nxn = c2
a33x3 + ...... + a3nxn = c3
… = …
annxn = cn
a11 a12 a13 .... a1n c1
0 a22 a23 .... a2n c2
0 0 a33 .… a3n c3
0 0 0 .... ann cn
ATAU
23/08/2015 22
500
210
324
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 23/32
14
48
6
520
1240
201
Matriks – Eliminasi Gauss - 2 Contoh:
Carilah komponen-komponen pada SPL berikut dengan eliminasi Gauss :
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
JAWAB:
8
30
6
321
643
201
(3xbaris 1) + baris 2 baris 2
(1xbaris 1) + baris 3 baris 3
(-2xbaris 2)
+ baris 3
baris 3
14
12
6
520
310
201
38
12
6
1100
310
201
x baris 3111
45,3
12
6
100
310
201
x3 = 3,45
x2 + 3x3 = 12
x2 = 12 – 3(3,45) = 1,65
x1 + 2x3 = 6
x1 = 6 – 2(3,45) = -0,9
Substitusi
Eliminasi
x baris 24
1
23/08/2015 23San&Jen07
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 24/32
Penyelesaian Matriks –
2. Eliminasi Gauss Jordan
Merupakan salah satu metode penyelesaian matriks (lihat slide 4).
Prinsip dasar: membentuk matriks identitas, sehingga langkahsubstitusi eliminasi tidak diperlukan lagi.
Langkah-langkah :
1 – 7. Sama seperti pada Metode Gauss Jordan8. Buat komponen lain pada kolom n selain ann bernilai 0
9. Setelah terbentuk matrix identitas, langsung diperoleh nilai x1,x2… dst
nnnnn
n
n
c
c
c
aaa
aaa
aaa
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
nc
c
c
...
1...00
............
0...10
0...01
2
1
23/08/2015 24
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 25/32
8
30
6
321
643
201
Matriks – Eliminasi Gauss Jordan-2 Contoh:
Carilah komponen-komponen SPL berikut dengan eliminasi Gauss Jordan:
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
JAWAB:
(3xbaris 1)+baris 2baris 2
(1xbaris 1)+baris 3baris 3
14
48
6
520
1240
201
(-2xbaris 2)
+ baris 3
baris 3
14
12
6
520
310
201
x baris 241
38
12
6
1100
310
201
x baris 3111
45,3
12
6
100
310
201(-3xbaris 3)+baris 2baris 2
(-2xbaris 3)+baris 1baris 1
45,3
65,1
9,0
100
010
001 Solusi :
x1 = -0,9
x2 = 1,65
x3 = 3,45
23/08/2015 25
P l i M ik
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 26/32
Penyelesaian Matriks –
3. Cramer Merupakan salah satu metode penyelesaian matrix (lihat slide 4)
Syarat: determinan 0
Prinsip dasar:
x1 = , x2 = , ............ , xn =
An
diperoleh dengan mengganti kolom ke n matriks A dengan c =
Contoh:
Carilah x1, x2, x3 pada SPL berikut dengan metode Cramer:
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
JAWAB:
A = A1= A2 = A3 =
)det(
)det( 1
A
A
)det(
)det( 2
A
A
)det(
)det(
A
An
n
2
1
c
c
c
321
643
201
328
6430
206
381
6303
261
821
3043
601
91,044
40
]A[det
]A[detx 1
1
64,144
72
]A[det
]A[det
x
2
2
45,344
38
]A[det
]A[detx 3
3
23/08/2015 26
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 27/32
Penyelesaian Matriks –
4. Inversi Merupakan salah satu metode penyelesaian matrix (lihat slide 4)
Syarat: matrix harus invertible
Prinsip dasar:
Mencari A-1 sehingga x dapat diperoleh dari persamaan x = A-1. c
Contoh:
Carilah x1, x2, x3 pada SPL berikut dengan metode Cramer:x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
JAWAB:
1. A-1 dicari dari Metode Adjoint /Metode Gauss Jordan (lihat slide18-21):
A-1 =
09,0045,023,0
27,0115,006,0
18,009,054,0
09,0045,023,0
27,0115,006,0
18,009,054,0
8
30
6
45,3
65,1
9,0
x = A-1 . c
x = =
.
Jadi x1 = -0,9 ; x2 = 1,65 ; x3 = 3,4523/08/2015 27
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 28/32
Matriks – Aplikasi Teknik Kimia
Pada suatu tanki mixing dicampurkan 5 buah aliran yangmengandung bahan a, b, c, d dan e, sebagai berikut:
Aliran 1 mengandung 10%a, 20%b, 25%c, 25%d, dan e
Aliran 2 mengandung 5%a, 10%b, 2.5% c, dan e Aliran 3 memiliki komposisi a, b, c, d sama dengan aliran1,tanpa e.
Aliran 4 mengandung 5%a, 20%b, 15%c, 15%d, dan e.
Aliran 5 mengandung 25%a, 40%b, 20%c, 5%e, dan d.
Jika produk keluaran yang diinginkan sebanyak 1250 kg/jamdengan komposisi 10%-a, 21.2%-b, 14.1%-c, 11.3%-d dan43.4%-e, tentukan laju aliran 1, 2, 3, 4 dan 5.
23/08/2015 28
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 29/32
Matriks – Aplikasi Teknik KimiaJAWAB:
Misal: laju alir masukan1 = F1 = F3 = 100 kg/jam; F2 = F4 = 400 kg/jam;laju alir keluaran = F6 = 1250 kg/jam
NMT: F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = F6 F5 = 250 kg/jam
NMK:
Komponen a: 10%.F1+5%.F2+(10% / 80%).F3+5%.F4+25%.F5 = a6.F6
Komponen b: 20%.F1+10%.F2+(20% / 80%).F3+20%.F4+40%.F5=b6.F6
Komponen c: 25%.F1+2.5%.F2+(25% / 80%).F3+15%.F4+20%.F5=c6.F6
Komponen d:
25%.F1+0%.F2+(25% / 80%).F3+15%.F4+(100-25-40-20-5)%.F5=d6.F6
Komponen e:(100-10-20-25-25)%.F1+(100-5-10-2.5)%.F2+0%.F3+(100-5-20-15-15)%.F4+5%.F5= e6.F6
%5%45%0%5.82%20
%10%15%25.31%0%25
%20%15%25.31%5.2%25
%40%20%25%10%20
%25%5%5.12%5%10
5
4
3
2
1
F
F
F
F
F
1250x%3.43
1250x%3.11
1250x%1.14
1250x%2.21
1250x%10F1, F2, F3, F4, F5 diperoleh dari
metode Gauss/Gauss-Jordan:
F1 = F3 = 100
F2 = F4 = 400
F5 = 25023/08/2015 29
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 30/32
Soal-Soal Latihan
1. Carilah nilai x3 dari system persamaan linear berikut:-x1 – 4x2 + 2x3 +x4 = -322x1 – x2 + 7x3 +9x4 = 14-x1 + x2 + 3x3 +x4 = 11x1 -2x2 + x3 - 4x4 = -4
2. Carilah nilai a, b, c, d dan e dari system persamaan linear berikut dengan eliminasiGauss:
10b - 4c + d = 1a + 4b – c + d = 23a + 2b + c + 2d = 5-2a - 8b + 2c - 2d = -4a - 6b + 3c = 1
3. Carilah eigenvalue dan eigenvector dari system persamaan linear berikut:x2 + x3 = λ x1x1 - x3 = λ x2x1 +5 x2 + 3x3 = λ x3
23/08/2015 30
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 31/32
4. Umpan menara distilasi mengandung 4 komponen A, B, C dan D dengan jumlah 10000 kg/j. Komponen D ingin dimurnikan dari A, B dan C. Distilasi
dilakukan secara bertingkat seperti pada bagan di bawah ini. Tercantumkomposisi massa komponen baik di bagian distilat(bagian atas MD) &bottom(bagian bawah MD). Hitunglah laju alir top product dan bottomproduct masing-masing MD
E-1
E-2
E-3
P-3
P-4
P-5
P-6
P-7
P-8E-4
23/08/2015 31
A = 0.3
B = 0.2
C = 0.1
D = 0.4
A = 0.5
B = 0.2C = 0.2
D=0.1 A = 0.8
B = 0.1
C = 0.1
A = 0.45
B = 0.15
C = 0.4
A = 0.15
B = 0.05
D = 0.8
8/17/2019 Bab 1. Matrix
http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 32/32
Seorang Barista sedang mencoba-coba membuat ramuan kopi yang nikmat. Dia inginmemformulasikan antara larutan kopi, gula dan susu yang dibuat oleh para pembantunya. Ada 3 orang pembantu, masing-masing dengan 3 teko berisi 3 larutan yang berbeda (susu,kopi dan gula) dengan kapasitas 1L, 2L dan 1 L berturut-turut untuk susu, kopi dan gula.Semua teko berisi full.
Pembantu A memiliki 5 gr/L larutan susu, 30 gr/L larutan kopi dan 5 gr/L larutan gula
Pembantu B memiliki 20 gr/L larutan susu, 50 gr/L larutan kopi dan 10 gr/L larutan gula
Pembantu C memiliki 10 gr/L larutan susu, 40 gr/L larutan kopi dan 8 gr/L larutan gula
Dengan menambahkan susu, kopi dan gula dengan volume yang sama untuk memperolehsecangkir kopi (200 mL), Barista mendapatkan kopi dengan citarasa yang berbeda:
Pembantu 1 memiliki kopi ringan dengan densitas 17.5 gr/L. Pembantu 2 memiliki kopi kental dengan densitas 31 gr/L
Pembantu 3 memiliki kopi sedang dengan densitas 24.2 gr/L.
Berapa volume kopi, susu dan gula yg ditambahkan oleh masing-masing pembantu?
/ 8/