MATEMÁTICA – 9.° ANO 1
MARCELO CRIVELLA
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
TALMA ROMERO SUANE
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS
SUBSECRETARIA DE ENSINO
KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA
GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL
SILVIA MARIA SOARES COUTO
ORGANIZAÇÃO
CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL
DALTON DO NASCIMENTO BORBA
ELABORAÇÃO
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA
NELSON GARCEZ LOURENÇO
SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA
REVISÃO
AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA)
MOANA MARTINS E EQUIPE
ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA
MULTIRIO
CONTATOS E/SUBE
Telefones: 2976-2301 / 2976-2302
EDIGRÁFICA
IMPRESSÃO
FÁBIO DA SILVA
MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR
DESIGN GRÁFICO
MATEMÁTICA – 9.° ANO 2
1- No plano cartesiano apresentado a seguir, as coordenadas
da casa e da árvore são, respectivamente,
(A) (2, 3) e (1, –2).
(B) (2, 3) e (–2, 1).
(C) (3, 2) e (1, –2).
(D) (3, 2) e (–2, 1).
2- Qual das funções a seguir é polinomial de 1.º grau?
(A) 𝒚= 21
(B) 𝒚 = 𝓍³ – 7
(C) 𝒚 = 2𝓍 + 3
(D) 𝒚 = 𝓍² – 3𝓍 + 1
4- Um estacionamento cobra R$ 5,00 por estadia, mais
R$ 1,50 por hora de estacionamento.
Sendo 𝒚 o valor pago, por 𝒙 horas, pelo veículo estacionado,
a função que expressa essa situação é:
(A) 𝒚 = 5 + 1,5 𝓍
(B) 𝒚 = 5 – 1,5 𝓍
(C) 𝒚 = 5𝓍 + 1,5
(D) 𝒚 = 6,5
3- No começo do ano passado, o foguete fabricado no
Brasil, VS-30/Orion, lançou com sucesso o experimento
atmosférico europeu ICI-4. O lançamento foi realizado da
base de Andoya, na Noruega.
Leia a figura:
GABARITO: B
GABARITO: C
GABARITO: C
GABARITO: A
altura
. –4 –3 –2 –1
0
1 2 3 4 5
–1
–2
–3
1
2
3
4
5
𝒙
𝒚 Podemos afirmar que a altura
alcançada, quando ele percorrer 2
mil metros (para 3 = 1,7) será de
(A) 1 000 m.
(B) 1 500 m.
(C) 1 700 m.
(D) 3 400 m.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 3
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2.º GRAU (FUNÇÃO QUADRÁTICA)
A figura, apresentada a seguir, representa um terreno retangular com uma piscina ao centro. Em volta da piscina, o terreno será gramado.
Para calcular a área a ser gramada, precisamos calcular a área total do
terreno e retirar a medida da área do espelho d’água da piscina.
Sendo assim,
a área total da figura é: x∙2x = 2x²;
a área do espelho d’água da piscina (retângulo azul) é: 3∙(x – 5).
Com essas informações, podemos determinar a área a ser gramada da
seguinte maneira:
2x² – 3∙(x – 5), ou seja, 2x² – 3x + 15
Indicando essa área por 𝒚, teremos:
𝒚 = 2x² – 3x + 15
A função definida por 𝒚 = 2x² – 3x + 15 é um exemplo de função polinomial
de 2.o grau (ou função quadrática).
Uma função polinomial de 2.º grau é toda função do tipo
ou
com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0, e é definida para todo 𝓍 que
seja um número real.
𝒚 = ax² + bx + c
Leia os exemplos:
a) 𝒚 = x² – 6𝓍 + 3
sendo a = 1, b = – 6 e c = 3
b) 𝒚 = – x² + 8
sendo a = – 1, b = 0 e c = 8
c) 𝒚 = – 2x² – 6x
sendo a = – 2, b = – 6 e c = 0
f(x) = ax² + bx + c
2𝓍
𝓍
𝔁 – 5
3
Muito legal!!!!
ESPELHO D’ÁGUA
MATEMÁTICA – 9.° ANO 4
O gráfico de uma função de 2.º grau é uma PARÁBOLA com concavidade (abertura da parábola) voltada para cima ou para baixo.
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU
http
://ww
w.m
useuvirtu
alb
rasil.c
om
.br
Ponte JK, que liga o Lago Sul, Paranoá e São Sebastião ao Plano
Piloto em Brasília. Possui três arcos em forma de parábola.
Para entender o gráfico da função de 2.o grau, acompanhe o seguinte
exemplo:
A bola de basquete faz a seguinte trajetória até a cesta (Veja a
imagem). Essa curva representa o gráfico de uma função de 2.º grau
e chama-se PARÁBOLA.
http
://ww
w.in
epac.rj.g
ov.b
r
Passarela do Samba – Sambódromo - RJ
Essas imagens são de
construções formadas por curvas
conhecidas como parábolas.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 5
Para construir o gráfico de uma função polinomial de 2.º grau, podemos fazer o mesmo que na função
polinomial de 1.º grau:
atribuímos valores para 𝓍 e encontramos o correspondente em 𝒚, formando pares ordenados (x , y);
localizamos esses pontos no plano cartesiano;
ligamos esses pontos por meio de uma linha curva denominada parábola.
Exemplos:
– 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7
– 1
– 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(1, 0) (3, 0)
(4, 3)
(0, 3)
(–1, 8) (5, 8)
(2, –1)
𝓍
𝒚
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU
𝒚 = 𝔁² – 4𝔁 + 3 𝒚 (𝔁, 𝒚)
Para 𝓍 = –1 𝒚 = (–1)² – 4(–1) + 3
𝒚 = 1 + 4 + 3 𝒚 = 8 (–1, 8) A
Para 𝓍 = 0 𝒚 = (0)² – 4(0) + 3
𝒚 = 0 – 0 + 3 𝒚 = ___ (0, ___) B
Para 𝓍 = 1 𝒚 = (1)² – 4(1) + 3
𝒚 = ___ (___,___) C
Para 𝓍 = 2 𝒚 = (2)² – 4(2) + 3
𝒚 = ___ (___,___) D
Para 𝓍 = 3 𝒚 = (3)² – 4(3) + 3
𝒚 = ___ (___,___) E
Para 𝓍 = 4 𝒚 = (4)² – 4(4) + 3
𝒚 = ___ (___,___) F
Para 𝓍 = 5 𝒚 = (5)² – 4(5) + 3
𝒚 = ___ (___,___) G
O vértice da parábola de uma função
quadrática é o ponto máximo ou o ponto
mínimo da curva (depende da
concavidade).
3
1 0
2 –1
3 0
4 3
5 8
𝒚 = 1 – 4 + 3
𝒚 = 4 – 8 + 3
𝒚 = 9 – 12 + 3
𝒚 = 16 – 16 + 3
𝒚 = 25 – 20 + 3
Observe os pares
ordenados (𝒙, 𝒚) no
plano cartesiano. A
união deles formou a
parábola.
O vértice encontra-
se, exatamente, no
lugar em que a
parábola faz a curva.
Vértice da parábola
A
B
C
D
E
F
G
3
0
–1
0
3
8
𝒚 = 𝒙² – 4𝒙 + 3 A) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = x² – 4x + 3.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 6
B) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = x² – 2x + 1.
𝒚 = x² – 2x + 1 𝒚 (𝔁, 𝒚)
Para 𝓍 = –1 𝒚 = (–1)² – 2(–1) + 1
𝒚 = 1 + 2 + 1 𝒚 = 4 (–1, 4)
Para 𝓍 = 0 𝒚 = (0)² – 2(0) + 1
𝒚 = 0 – 0 + 1 𝒚 = 1 (0, ___)
Para 𝓍 = 1 𝒚 = (1)² – 2(1) + 1 𝒚 = 1 – 2 + 1
𝒚 = 0 (1, ___)
Para 𝓍 = 2 𝒚 = (2)² – 2(2) + 1
𝒚 = 4 – 4 + 1 𝒚 = _____ (2, ___)
Para 𝓍 = 3 𝒚 = (3)² – 2(3) + 1
𝒚 = 9 – 6 + 1 𝒚 = _____ (___, ___)
Complete a tabela acima.
Observe os pares ordenados (x, 𝒚) no
plano cartesiano. Marque os pontos
determinados por esses pares.
Ligando-os, construiremos a parábola.
As coordenadas do
vértice da parábola
são (1, 0).
1
0
1 1
4 3 4
– 2 – 1 0 1 2 3 4
– 1
1
2
3
4
5
(1, 0)
(0, 1) (2, 1)
(– 1, 4) (3, 4)
MATEMÁTICA – 9.° ANO 7
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
– 9
– 1 0 1 2 3 4 5 6
C) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = – 𝓍² + 6𝓍 – 8.
𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 8 𝒚 (𝒙, 𝒚)
Para 𝒙 = 0 𝒚 = – (0)² + 6(0) – 8
𝒚 = – 0 + 0 – 8 𝒚 = –8 (0, –8)
Para 𝒙 = 1 𝒚 = – (1)² + 6(1) – 8
𝒚 = – 1 + 6 – 8 𝒚 = –3 (1, –3)
Para 𝒙 = 2 𝒚 = – (2)² + 6(2) – 8
𝒚 = – 4 + 12 – 8 𝒚 = 0 (2, ___)
Para 𝒙 = 3 𝒚 = – (3)² + 6(3) – 8
𝒚 = – 9 + 18 – 8 𝒚 = 1 (3, ___)
Para 𝒙 = 4 𝒚 = – (4)² + 6 (4) – 8
𝒚 = – 16 + 24 – 8 𝒚 = _____ (4, ___)
Para 𝒙 = 5 𝒚 = – (5)² + 6 (5) – 8
𝒚 = – 25 + 30 – 8 𝒚 = _____ (___, ___)
Para 𝒙 = 6 𝒚 = – (6)² + 6 (6) – 8
𝒚 = – 36 + 36 – 8 𝒚 = _____ (___, ___)
Complete os valores
que estão faltando
na tabela!!!
As coordenadas do
vértice da parábola
são (___, ___).
0
1
0 0
–3 5 –3
–8 6 –8
3 1
Localize, no plano cartesiano, os
pontos (𝒙, 𝒚). Depois, trace a
parábola!!!
𝒚
𝒙
MATEMÁTICA – 9.° ANO 8
D) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 – 2.
𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 – 2 𝒚 (𝓍, 𝒚)
Para 𝓍 = –1 𝒚 = – (–1)² + 2(–1) – 2
𝒚 = – 1 – 2 – 2 𝒚 = –5 (–1, –5)
Para 𝓍 = 0 𝒚 = – (0)² + 2(0) – 2
𝒚 = – 0 + 0 – 2 𝒚 = –2 (0, ___)
Para 𝓍 = 1 𝒚 = – (1)² + 2(1) – 2
𝒚 = – 1 + 2 – 2 𝒚 = _____ (1, ___)
Para 𝓍 = 2 𝒚 = – (2)² + 2(2) – 2
𝒚 = – 4 + 4 – 2 𝒚 = _____ (___, ___)
Para 𝓍 = 3 𝒚 = – (3)² + 2(3) – 2
𝒚 = – 9 + 6 – 2 𝒚 = _____ (___, ___)
Lembre-se de completar
os valores que estão
faltando na tabela,
localizar os pontos no
plano cartesiano e traçar
a parábola!!!
–2
–1 –1
–2 2 –2
–5 3 –5
As coordenadas do
vértice da parábola
são (___, ___). 1 –1
– 2 – 1 0 1 2 3 4
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
MATEMÁTICA – 9.° ANO 9
x 𝒚 = x² – 3 𝒚 (x, 𝒚)
–2 𝒚 = (–2)² – 3
𝒚 = 4 – 3
1 (–2, 1)
–1
0
1
2
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1- Complete a tabela:
2- Localize os pares ordenados da atividade anterior no
plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a
parábola:
(–1, –2)
(0, –3)
(1, –2)
(2, 1)
𝒚 = (–1)² – 3
𝒚 = 1 – 3
𝒚 = 0² – 3
𝒚 = 0 – 3
𝒚 = 1² – 3
𝒚 = 1 – 3
𝒚 = 2² – 3
𝒚 = 4 – 3
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3
– 1
– 2
– 3
3
2
1 –2
–3
–2
1
𝒚
x
MATEMÁTICA – 9.° ANO 10
𝓍 𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 + 3 𝒚 (𝓍, 𝒚)
–1 𝒚 = – (–1)² + 2(–1) + 3
𝒚 = – 1 – 2 + 3
0 (–1, 0)
0
1
2
3
3- Complete a tabela:
4- Localize os pares ordenados da atividade anterior no
plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a
parábola:
3 (0, 3)
4 (1, 4)
3 (2, 3)
0 (3, 0)
𝒚 = – 0² + 2∙0 + 3
𝒚 = 0 + 0 + 3
𝒚 = – (1)² + 2∙1 + 3
𝒚 = – 1 + 2 + 3
𝒚 = – (2)² + 2∙2 + 3
𝒚 = – 4 + 4 + 3
𝒚 = – (3)² + 2∙3 + 3
𝒚 = – 9 + 6 + 3
– 2
– 2
1
2
3
4
– 1 0 1 2 3
– 1
𝒚
x
MATEMÁTICA – 9.° ANO 11
𝓍 𝒚 = 𝓍² + 2𝓍 – 3 𝒚 (𝓍, 𝒚)
–3 𝒚 = (–3)² + 2(–3) – 3
𝒚 = 9 – 6 – 3
0 (–3, 0)
–2
–1
0
1
5- Complete a tabela:
6- Localize os pares ordenados da atividade anterior no
plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a
parábola:
–3 (–2, –3)
–4 (–1, –4)
–3 (0, –3)
0 (1, 0)
𝒚 = (–2)² + 2(–2) – 3
𝒚 = 4 – 4 – 3
𝒚 = (–1)² + 2(–1) – 3
𝒚 = 1 – 2 – 3
𝒚 = 0² + 2∙0 – 3
𝒚 = 0 + 0 – 3
𝒚 = 1² + 2∙1 – 3
𝒚 = 1 + 2 – 3
– 3 – 2 – 1 0
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
1 2
𝒚
x
a) As coordenadas do vértice desta parábola são (___,___). – 1 – 4
MATEMÁTICA – 9.° ANO 12
𝓍 𝒚 = 𝓍² – 4𝓍 + 4 𝒚 (𝓍, 𝒚)
0 𝒚 = (0)² – 4(0) + 4
𝒚 = 0 – 0 + 4
4 (0, 4)
1
2
3
4
7- Complete a tabela:
8- Localize os pares ordenados da atividade anterior no
plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a
parábola:
1 (1, 1)
0 (2, 0)
1 (3, 1)
4 (4, 4)
𝒚 = (1)² – 4(1) + 4
𝒚 = 1 – 4 + 4
𝒚 = (2)² – 4(2) + 4
𝒚 = 4 – 8 + 4
𝒚 = (3)² – 4(3) + 4
𝒚 = 9 – 12 + 4
𝒚 = (4)² – 4(4) + 4
𝒚 = 16 – 16 + 4 – 1 0 1 2 3 4 5
– 1
1
2
3
4
5
6
2 0
𝒚
x
a) As coordenadas do vértice desta parábola são (__,__).
MATEMÁTICA – 9.° ANO 13
● Se a > 0 concavidade voltada para “cima”.
● Se a < 0 concavidade voltada para “baixo”.
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA (FUNÇÃO DE 2.º GRAU)
a) Quanto à concavidade da parábola:
Beatriz, observe que,
nas páginas 5 e 6, as
parábolas estão com as
concavidades voltadas
para cima.
Percebi, Vanessa! Mas, nas
parábolas das páginas 7 e 8,
as concavidades estão
voltadas para baixo.
Para saber em que direção a
concavidade está, basta
olhar o sinal do coeficiente de
𝓍². O valor de a!!!
Procure, no dicionário, o significado de concavidade. Escreva aqui.
__________________________________________________________________________________________________________________
MATEMÁTICA – 9.° ANO 14
b) Quanto às coordenadas do vértice:
● Se a > 0 o vértice é o ponto de mínimo (ponto mais baixo).
● Se a < 0 o vértice é o ponto de máximo (ponto mais alto).
A abscissa (x) do vértice, representada por 𝑥𝑣, pode ser calculada
pela seguinte fórmula:
A ordenada (𝒚) do vértice, representada por 𝑦𝑣, pode ser calculada,
substituindo-se o 𝓍 encontrado na função dada. Observe este exemplo:
𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎
Determinar as coordenadas do vértice da função
𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 4
𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎 =
− −6
2 ∙ 1 =
6
2= ______
𝑦𝑣 = ____ 2 − 6 _____ + 4 = ____ − ____ + 4 = ______
V(3, –5)
Com isso, determinamos,
exatamente onde a parábola
“faz” a curva.
O vértice dessa parábola se
localiza nas coordenadas
(3, –5).
3
3 3 9 18 – 5
E, nesse outro, o
ponto de máximo
é dado pelo maior
valor no eixo 𝒚.
A ordenada (𝒚) do vértice também pode ser encontrada pela fórmula:
𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
Nesse gráfico, o
ponto de mínimo
é dado pelo menor
valor no eixo 𝒚.
= b² – 4ac
= (–6)² – 4∙1∙4
= 36 – 16
= 20
𝑦𝑣 =−20
4 ∙ 1= −5
Mas, para isso, teremos que calcular o valor do delta .
Procure, no dicionário, o significado de mínimo e máximo. Escreva aqui:
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
MATEMÁTICA – 9.° ANO 15
I. Se > 0 a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos.
II. Se = 0 a parábola tangencia o eixo x em um ponto.
III. Se < 0 a parábola não toca no eixo x.
c) Quanto ao discriminante ( = b² – 4ac):
< 0
A parábola não
toca no eixo 𝓍.
= 0
A parábola
toca o eixo 𝒙 ,
apenas, em um
ponto.
> 0
A parábola corta o
eixo 𝒙 em dois
pontos distintos.
O discriminante () é o
mesmo que utilizamos na
fórmula de Bháskara
(equação de 2.º grau).
MATEMÁTICA – 9.° ANO 16
I II II II
– 1 1 2 3 4 5
– 1
0
1
2
3
4
5
6 y
x
– 1 1 2 3 4 5
– 1
0
1
2
3
4
5
6 y
x
– 1 1 2 3 4 5
– 1
0
1
2
3
4
5
6 y
x
– 1 1 2 3 4 5
– 1
0
1
2
3
4
5
6 y
x
– 1 1 2 3 4 5
– 5
0
– 4
– 3
– 2
– 1
1
6 y
x
– 1
1 2 3 4 5 0
5
6 y
x
– 1
– 2
– 4
3
– 5
MATEMÁTICA – 9.° ANO 17
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1- Sabendo-se que o gráfico de cada função quadrática é
uma parábola, determine a concavidade de cada uma delas
(para cima ou para baixo):
a) 𝒚 = x² + 7x + 6 _______________________________
b) 𝒚 = – 2x² + x – 3 _______________________________
c) 𝒚 = – x² + 5 _______________________________
d) 𝒚 = 3x² – 4x – 1 ______________________________
e) 𝒚 = x² + 9x – 7 ______________________________
2- Determine as coordenadas do vértice da parábola que
representa cada uma das funções quadráticas:
a) 𝒚 = x² – 10x + 9
b) 𝒚 = 𝔁² + 2x – 8
c) 𝒚 = x² – 2x + 1
d) 𝒚 = – x² + 9
a>0 concavidade para cima.
a<0 concavidade para baixo.
a<0 concavidade para baixo.
a>0 concavidade para cima.
a>0 concavidade para cima.
V(5, –16)
𝒙𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒙𝒗 =−𝟐
𝟐 ∙ 𝟏
𝒙𝒗 = −𝟏
V(1, 0)
V(0, 9)
V(–1, –9)
𝒚𝒗 = 𝔁² + 2𝔁 – 8
𝒚𝒗 =(–1)² + 2(–1) – 8
𝒚𝒗 = 𝟏 − 𝟐 − 𝟖 𝒚𝒗 = −𝟗
𝒙𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒙𝒗 =−(−𝟐)
𝟐 ∙ 𝟏
𝒙𝒗 = 𝟏
𝒚𝒗 = 𝒙² – 2𝔁 + 1
𝒚𝒗 =(1)² – 2(1) + 1
𝒚𝒗 = 𝟏 – 𝟐 + 𝟏
𝒚𝒗 = 𝟎
𝒙𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒙𝒗 =−𝟎
𝟐 ∙ (−𝟏)
𝒙𝒗 = 0
𝒚𝒗 = – 𝐱² + 9
𝒚𝒗 = – 0² + 9
𝒚𝒗 = 𝟎 + 𝟗 𝒚𝒗 = 𝟗
𝒙𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒙𝒗 =−(−𝟏𝟎)
𝟐 ∙ 𝟏
𝒙𝒗 = 𝟓
𝒚𝒗 = 𝒙² – 10𝔁 + 9
𝒚𝒗 = (5)² – 10(5) + 9
𝒚𝒗 = 𝟐𝟓 − 𝟓𝟎 + 𝟗 𝒚𝒗 = −𝟏𝟔
MATEMÁTICA – 9.° ANO 18
4- Determine a existência e a quantidade de pontos em que a
função quadrática intercepta o eixo das abscissas (eixo x).
a) 𝒚 = 𝒙² – 7𝒙 + 6 b) 𝒚 = 2𝒙² + 5𝒙 + 3
c) 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 10 d) 𝒚 = 𝒙² + 14𝒙 + 49
= b² – 4ac
= (–7)² – 416
= 49 – 24
= 25
Resposta:
Intercepta em dois
pontos distintos.
= b² – 4ac
= (–6)² – 4110
= 36 – 40
= – 4
Resposta: Não
intercepta o eixo 𝒙.
= b² – 4ac
= 14² – 4149
= 196 – 196
= 0
Resposta:
Intercepta em um
único ponto.
= b² – 4ac
= 5² – 423
= 25 – 24
= 1
Resposta:
Intercepta em dois
pontos distintos.
3- Determine o ponto de mínimo ou o ponto de máximo em
cada um dos gráficos. Indique cada um desses pontos:
a) b)
_______________________ ____________________
c) d)
______________________ ______________________
– 1 0
1
2 3 4 5
2
3
– 1
– 2
– 3
1
0 – 2 – 3 – 4
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
1 – 1
3
2
1
– 1
0 – 1 1 2 3 4 5
6
5
4 – 1
– 1 – 2 – 3 – 4
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
0
Ponto de mínimo: (–2, –4)
Ponto de mínimo: (2, 1)
Ponto de máximo: (2, 2)
Ponto de máximo: (–2, –1)
Procure, no dicionário, o significado de interceptar. Escreva aqui.
___________________________________________________________________________________________________________________
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
MATEMÁTICA – 9.° ANO 19
ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Os zeros ou raízes de uma função quadrática são os valores de x para os quais 𝒚 = 0 (os pontos que a parábola corta o eixo x).
Isso significa que, para achar os zeros de uma função quadrática, é só igualar a função a zero e resolver a equação de 2.º grau. Vamos ler
os exemplos:
Exemplo 1:
Determinar os zeros da função 𝒚 = 𝔁 ² – 5𝔁 + 6:
Solução:
Igualando a função a zero:
x² – 5x + 6 = 0
a = 1
b = (–5)
c = 6
𝑥 = −(−5) ± 1
2 ∙ 1=
5 ± 1
2=
Resposta: Os zeros da função 𝒚 = 𝔁 ² – 5𝔁 + 6 são 2 e 3.
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
= (–5)² – 416
= 25 – 24
= 1
𝑥 =−𝑏 ± ∆
2𝑎
𝑥′ =5 + 1
2=
6
2 = 3
𝑥′′ =5 − 1
2=
4
2 = 2
Exemplo 2:
Determinar os zeros da função 𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 9:
= 6² – 4(– 1)(– 9)
= 36 – 36
= 0
Solução:
Igualando a função a zero:
– 𝔁² + 6𝔁 – 9 = 0
a = (– 1)
b = 6
c = (– 9)
𝑥 = −6 ± 0
2 ∙ (− 1)=
−6 ± 0
−2=
Resposta: O zero da função 𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 9 é 3.
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥 =−𝑏 ± ∆
2𝑎
𝑥′ =−6 + 0
−2=
−6
−2 = 3
𝑥′′ =−6 − 0
−2=
−6
−2 = 3
Igualando a função a
zero, teremos uma
equação de 2.º grau.
O que é mesmo função quadrática? Escreva aqui.
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MATEMÁTICA – 9.° ANO 20
AGORA,
É COM VOCÊ!!!1- Determine os zeros de cada função
quadrática:
a) f(𝔁) = 𝔁 ² + 2𝔁 – 3
b) f(𝔁) = 5𝔁 ² + 20
c) f(𝔁) = 𝔁² – 8𝔁 + 16
d) f(𝒙) = 2𝒙² – 4𝒙
a = 1
b = 2
c = (–3)
∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = 𝟐² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ (−𝟑)
∆ = 𝟒 + 𝟏𝟐
∆ = 𝟏𝟔
𝒙 =−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
𝒙 =−𝟐 ± 𝟏𝟔
𝟐 ∙ 𝟏
𝒙 =−𝟐 ± 𝟒
𝟐
𝒙′ =−𝟐 + 𝟒
𝟐=
𝟐
𝟐= 𝟏
𝒙′′ =−𝟐 − 𝟒
𝟐=
−𝟔
𝟐= −𝟑
Resposta: –3 e 1
a = 5
b = 0
c = 20
∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = 𝟎² − 𝟒 ∙ 𝟓 ∙ 𝟐𝟎
∆ = 𝟎 − 𝟒𝟎𝟎 ∆ = −𝟒𝟎𝟎
𝒙 =−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
𝒙 =−𝟎 ± −𝟒𝟎𝟎
𝟐 ∙ 𝟓
Resposta: Essa função não possui zeros.
Não existe, em IR, raiz
quadrada de número
negativo.
a = 1
b = (– 8)
c = 16
∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = (−𝟖)² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏𝟔
∆ = 𝟔𝟒 −64
∆ = 𝟎
𝒙 =−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
𝒙 =−(−𝟖) ± 𝟎
𝟐 ∙ 𝟏
𝒙 =𝟖 ± 𝟎
𝟐
𝒙′ =𝟖 + 𝟎
𝟐=
𝟖
𝟐= 𝟒
𝒙′′ =𝟖 − 𝟎
𝟐=
𝟖
𝟐= 𝟒
Resposta: 4
a = 2
b = (– 4)
c = 0
∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = (−𝟒)² − 𝟒 ∙ 𝟐 ∙ 𝟎
∆ = 𝟏𝟔 − 𝟎
∆ = 𝟏𝟔
𝒙 =−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
𝒙 =−(−𝟒) ± 𝟏𝟔
𝟐 ∙ 𝟐
𝒙 =𝟒 ± 𝟒
𝟒
𝒙′ =𝟒 + 𝟒
𝟒=
𝟖
𝟒= 𝟐
𝒙′′ =𝟒 − 𝟒
𝟒=
𝟎
𝟒= 𝟎
Resposta: 0 e 2
Esta função quadrática
apresenta duas raízes
reais e diferentes.
Portanto, a mesma
corta em dois pontos
no eixo 𝔁.
Essa função
quadrática não
possui raízes reais.
Logo, a mesma não
toca no eixo 𝔁.
Esta função quadrática
apresenta duas raízes
reais e iguais. Logo,
toca em apenas um
ponto no eixo 𝔁.
Neste caso, a função quadrática apresenta duas raízes reais e
diferentes. Portanto, a mesma corta em dois pontos no eixo 𝔁.
𝔁 ² + 2𝔁 – 3 = 0
5𝔁 ² + 20 = 0
𝔁² – 8𝔁 + 16 = 0
2𝒙² – 4𝒙 = 0
MATEMÁTICA – 9.° ANO 21
2- Sendo 𝒚 = 𝔁² + 2𝔁 – 3, determine
a) os zeros da função (𝒚 = 0):
b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎 𝑒 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎 :
a = 1
b = 2
c = – 3
Resposta : (– 1, – 4)
𝒙𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒙𝒗 =−𝟐
𝟐 ∙ 𝟏
𝒙𝒗 = −𝟏
𝒚𝒗 =−∆
𝟒𝒂
𝒚𝒗 =−𝟏𝟔
𝟒 ∙ 𝟏
𝒚𝒗 = −𝟒
∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = 𝟐² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ (−𝟑)
∆ = 𝟒 + 𝟏𝟐
∆ = 𝟏𝟔
𝒙 =−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
𝒙 =−𝟐 ± 𝟏𝟔
𝟐 ∙ 𝟏
𝒙 =−𝟐 ± 𝟒
𝟐
𝒙′ =−𝟐 + 𝟒
𝟐
𝒙′ =𝟐
𝟐= 𝟏
𝒙′′ =−𝟐 − 𝟒
𝟐
𝒙′′ =−𝟔
𝟐= −𝟑
Resposta: –3 e 1
𝒚𝒗 = 𝔁² + 2𝔁 – 3
𝒚𝒗 =(– 1)² + 2(– 1) – 3
𝒚𝒗 = 𝟏 − 𝟐 − 𝟑 𝒚𝒗 = −𝟒
ou
c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
d) Esboço do gráfico:
Ao marcamos os zeros da função e o ponto do vértice no
gráfico, ligamos esses pontos e descobrimos que a parábola
possui a concavidade voltada para cima. Ou podemos chegar
a essa conclusão visto que a > 0. 𝔁² + 2𝔁 – 3 = 0
– 4 – 1
3
2
1
– 2 – 3 0 1 2
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
𝒙
𝒚
MATEMÁTICA – 9.° ANO 22
3- Sendo 𝒚 = – x² + 4, determine
a) os zeros da função (𝒚 = 0):
b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎 𝑒 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎:
c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
d) esboço do gráfico:
Resposta: –2 e 2
Resposta: (0, 4)
a = –1
b = 0
c = 4
𝒙𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒙𝒗 =−𝟎
𝟐 ∙ (−𝟏)
𝒙𝒗 = 𝟎
𝒚𝒗 =−∆
𝟒𝒂
𝒚𝒗 =−𝟏𝟔
𝟒 ∙ (−𝟏)
𝒚𝒗 = 𝟒
𝒚𝒗 = – 𝒙² + 4
𝒚𝒗 = 0² + 4
𝒚𝒗 = 𝟒
ou
Resolvendo como uma equação incompleta... −𝒙2 + 𝟒 = 𝟎
−𝒙2 = −𝟒 ∙ −𝟏
𝒙² = 𝟒
𝒙 = ± 𝟒
𝒙′ = −𝟐 𝒙′′ = 𝟐
∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = 𝟎² − 𝟒 ∙ (−𝟏) ∙ 𝟒
∆ = 𝟎 + 𝟏6
∆ = 𝟏𝟔
𝒙 =−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
𝒙 =−𝟎 ± 𝟏𝟔
𝟐 ∙ (−𝟏)
𝒙 =−𝟎 ± 𝟒
−𝟐
𝒙′ =−𝟎 + 𝟒
−𝟐=
𝟒
−𝟐= −𝟐
𝒙′′ =−𝟎 − 𝟒
−𝟐=
−𝟒
−𝟐= 𝟐
– 1 – 2 – 3 0 1 2 3
1
2
3
4
5
– 1
– 2
–3
– x² + 4 = 0
Ao marcamos, os zeros da função e o ponto do vértice no
gráfico, ligamos esses pontos e descobrimos que a parábola
possui a concavidade voltada para baixo. Ou podemos
chegar a essa conclusão visto que a < 0.
𝒙
𝒚
MATEMÁTICA – 9.° ANO 23
4- Sendo 𝒚 = 𝔁² – 4𝔁 + 5, determine
a) os zeros da função (𝒚 = 0):
b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎 𝑒 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎:
c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
d) esboço do gráfico:
Resposta: Essa função não possui zeros:
o valor do delta é negativo.
Resposta: (2, 1)
Como “a”, na sentença que define a função, é positivo, a
concavidade da parábola está voltada para cima (a > 0).
a = 1
b = – 4
c = 5
𝒙𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒙𝒗 =−(−𝟒)
𝟐 ∙ 𝟏
𝒙𝒗 = 𝟐
∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = (−𝟒)² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟓
∆ = 𝟏𝟔 − 𝟐𝟎
∆ = −𝟒
𝒚𝒗 =−∆
𝟒𝒂
𝒚𝒗 =−(−𝟒)
𝟒 ∙ 𝟏
𝒚𝒗 = 𝟏
𝒚𝒗 = 𝒙² – 4𝒙 + 5
𝒚𝒗 = 2² – 42 + 5
𝒚𝒗 = 4 – 8 + 5
𝒚𝒗 = 1
ou
– 2 1 0 – 1 2 3 4
– 2
– 1
3
4
5
6
𝔁² – 4𝔁 + 5 = 0
2
1
𝒙
𝒚
MATEMÁTICA – 9.° ANO 24
c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
d) esboço do gráfico:
5- Sendo 𝒚 = x² – 2𝒙 + 1, determine
a) os zeros da função (𝒚 = 0):
b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎 𝑒 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎:
Resposta: 1
Resposta: (1, 0)
a = 1
b = –2
c = 1
𝒙𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒙𝒗 =−(−𝟐)
𝟐 ∙ 𝟏
𝒙𝒗 = 𝟏
∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = (−𝟐)² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙1
∆ = 𝟒 − 𝟒
∆ = 𝟎
𝒙 =−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
𝒙 =−(−𝟐) ± 𝟎
𝟐 ∙ 𝟏
𝒙 =𝟐 ± 𝟎
𝟐
𝒙 =𝟐
𝟐
𝒙 = 𝟏
𝒚𝒗 =−∆
𝟒𝒂
𝒚𝒗 =−𝟎
𝟒 ∙ 𝟏
𝒚𝒗 = 𝟎
𝒚𝒗 = 𝒙² – 2𝒙 + 1
𝒚𝒗 = 1² – 2∙1 + 1
𝒚𝒗 = 1 – 2 + 1
𝒚𝒗 = 0
ou
– 2 1 0 – 1 2 3 4
6
5
4
2
3
1
x² – 2𝒙 + 1 = 0
Como “a”, na sentença que define a função, é positivo, a
concavidade da parábola está voltada para cima (a > 0).
𝒙
𝒚
MATEMÁTICA – 9.° ANO 25
1- Qual das funções, apresentadas a seguir, é quadrática?
(A)𝒚 = 𝒙³ – 3𝒙² + 5 (B) 𝒚 = 𝒙² + 7𝒙 – 1
(C) 𝒚 = 𝒙 – 3𝒙 + 5 (D) 𝒚 = – 4𝒙 + 9
2- A função 𝒚 = a𝔁² + b𝔁 + c terá a concavidade voltada para
cima se
(A) a = 0. (B) a for par.
(C) a for negativo. (D) a não for positivo.
3- A função definida por 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 8 tem, como zero(s),
(A) 6 e 8.
(B) 5 e –5.
(C) 2 e 4.
(D) 1 e 9.
GABARITO: B
GABARITO: D
GABARITO: C
4- O gráfico que representa uma função polinomial de 2.º
grau é:
(A) (B)
(C) (D)
GABARITO: A
– 2
4
– 1 1 2
– 4
– 3
– 2
0
– 1
1
2
3
– 2
1
1 2
– 4
– 3
– 2
0
– 1
1
2
3
– 1
0 1
– 5
– 3
– 2
– 1
– 4
– 1 – 2 – 3
– 2
– 1
5
4
3
2
1
0 1 – 1 – 2 – 3
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
MATEMÁTICA – 9.° ANO 26
5- Podemos afirmar que são os zeros da função
(A) –3.
(B) –3 e 1.
(C) –1 e 4.
(D) 0.
6 – As coordenadas do vértice da parábola são
(A) (–3, –0).
(B) (–3, 1).
(C) (–1, –4).
(D) (0, –3).
Leia o gráfico e responda às questões 5, 6, 7 e 8: 7- O valor do coeficiente de x² é
(A) zero. (B) positivo.
(C) negativo. (D) irracional.
8- O valor de 𝒚 quando x = 0 é
(A) –3. (B) 0.
(C) 3. (D) 5.
9- Dada a função f(𝔁)= 3𝔁 2 – 10𝔁 + 3, assinale a única
opção verdadeira.
(A) f(0)= –10.
(B) O gráfico é uma reta crescente.
(C) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada
para cima.
(D) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada
para baixo.
Agora, justifique o motivo pelo qual as demais opções
são falsas.
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
GABARITO: B
GABARITO: C
GABARITO: A
GABARITO: B
GABARITO: C
– 3 –2 –1 0 1 2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
(A) f(0)= 3 . 0² – 10 . 0 + 3 = 3
(B) É uma função do 2.° grau, o gráfico é uma parábola. (D) Para ter concavidade voltada para baixo, o “a”
deveria ser negativo.
𝒙
𝒚
MATEMÁTICA – 9.° ANO 27
PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÃO DE 2.º GRAU
Leia o exemplo:
Certa maçã, lançada para cima, a partir do solo, tem sua
altura h (em metros) expressa em função do tempo t (em
segundos), decorrido após o lançamento, pela seguinte lei
de formação:
h(t) = 18t – 3t2
a) Qual a altura em que esta maçã se encontra, um
segundo após o lançamento?
b) Qual a altura máxima que pode ser atingida pela maçã?
t = 1 s
h(1) = 18∙1 – 3∙1²
h(1) = 18 – 3 = 15
Resposta: 15 m.
Altura máxima é dada pelo 𝒉𝒗 do vértice. Veja:
𝒕𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒕𝒗 =−𝟏𝟖
𝟐 ∙ (−𝟑)
𝒕𝒗 = 𝟑
𝒉𝒗 = 18t – 3t2
𝒉𝒗 = 18∙3 – 3∙32
𝒉𝒗 = 54 – 27
𝒉𝒗 = 27
Resposta: 27 m.
c) Qual o tempo que a maçã permanecerá no ar até tocar o
chão?
a = –3
b = 18
c = 0 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = 𝟏𝟖² − 𝟒 ∙ (−𝟑) ∙ 𝟎
∆ = 𝟑𝟐𝟒
t=−𝒃± ∆
𝟐𝒂
𝒕 =−𝟏𝟖 ± 𝟑𝟐𝟒
𝟐 ∙ (−𝟑)
𝒕 =−𝟏𝟖 ± 𝟏𝟖
−𝟔
𝒕′ =−𝟏𝟖 + 𝟏𝟖
−𝟔=
𝟎
−𝟔= 𝟎
𝒕′′ =−𝟏𝟖 − 𝟏𝟖
−𝟔=
−𝟑𝟔
−𝟔= 𝟔
Para determinar essa distância, basta calcular o
intervalo entre os zeros da função:
18t – 3t2 = 0
Resposta: 6 s.
6 – 0 = 6
MATEMÁTICA – 9.° ANO 28
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1- Depois de estudar o comportamento de uma bola,
arremessada para o alto e para frente, um pesquisador
elaborou a seguinte lei de formação para seu movimento:
𝒚 = – 2𝒙2 + 8𝒙 em que 𝒚 é a altura (em metros) e 𝒙, o
alcance horizontal (em metros). Observe o gráfico que
descreve a trajetória da bola:
Determine:
a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
– 2𝒙2 + 8𝒙 = 0 a = – 2
b = 8
c = 0 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = 𝟖² − 𝟒 ∙ (−𝟐) ∙ 𝟎
∆ = 𝟔𝟒
𝒙 =−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
𝒙 =−𝟖 ± 𝟔𝟒
𝟐 ∙ (−𝟐)
𝒙 =−𝟖 ± 𝟖
−𝟒
𝒙′ =−𝟖 + 𝟖
−𝟒=
𝟎
−𝟒= 𝟎
𝒙′′ =−𝟖 − 𝟖
−𝟒=
−𝟏𝟔
−𝟒= 𝟒
b) Qual a maior distância horizontal alcançada pela bola?
Resposta: 4 metros.
Para determinar essa distância, basta calcular o intervalo
entre os zeros da função:
Para determinar a altura máxima, temos que calcular
o valor de 𝒚v:
𝒙𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒙𝒗 =−𝟖
𝟐 ∙ (−𝟐)
𝒙𝒗 =−𝟖
−𝟒
𝒙𝒗 = 𝟐
𝒚 = – 2𝒙2 + 8𝒙
𝒚𝒗 = – 2∙22 + 8∙2
𝒚𝒗 = –2∙4 + 16
𝒚𝒗 = –8 + 16
𝒚𝒗 = 8
Resposta: 8 metros.
htt
p:/
/bra
inly
.com
.br/
𝒚
𝒙
MATEMÁTICA – 9.° ANO 29
1- Determine a área de cada retângulo:
a)
b)
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
ÁREA DO RETÂNGULO
Em 2014, o campo do Estádio do Maracanã foi todo
reformado. Para isso, precisou-se saber a área ocupada
pelo gramado.
O cálculo é bem simples!! Basta multiplicar a medida do
comprimento pela medida da largura. Observe:
A = 8 4
A = 32 cm²
A = 5 9,5
A = 47,5 cm²
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
comprimento
larg
ura
htt
p:/
/glo
boesport
e.g
lobo.c
om
Sabendo-se que as dimensões do campo do Maracanã
possuem 105 m de comprimento por 68 m de largura,
qual a sua área?
A = 105 68 = 7 140 m²
Resposta: Sua área é de 7 140 m².
8 cm
4 c
m
5 cm
9,5
cm
ÁREA DO RETÂNGULO
A = base(b) x altura(h)
ou
A = b . h
Agora, vamos calcular?
MATEMÁTICA – 9.° ANO 30
ÁREA DO QUADRADO
O quadrado é um caso particular de retângulo cujos lados são congruentes
(possuem a mesma medida).
Para calcular a área da superfície da mesa quadrada, apresentada a seguir, é
só elevar ao quadrado a medida do seu lado. Leia:
ÁREA DO PARALELOGRAMO
Apresentadas as medidas da base e da altura do paralelogramo, podemos
calcular a sua área. Veja:
1- Determine a área de cada figura:
a)
b)
c)
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
A = (5,2)²
A = 27,04 cm²
A = 8 ∙ 4,2
A = 33,6 cm²
A = (95,1)²
A = 9 044,01 cm²
htt
ps:/
/br.
pin
tere
st.
co
m
4,2 cm
8 cm
Mesa de
tampo
quadrado
Observando a figura, podemos
concluir que a área de um
paralelogramo é igual à área
do retângulo. Então,
A = base(b) x altura(h)
ou
A = b . h
MATEMÁTICA – 9.° ANO 31
ÁREA DO LOSANGO
ÁREA DO TRAPÉZIO
A parte amarela da bandeira brasileira é formada por um losango. A sua área será dada
pela multiplicação de suas diagonais e o valor encontrado será dividido por dois. Veja:
1- Determine a área de cada figura:
a)
b)
c)
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
A = (𝟕,𝟓 + 𝟓,𝟓)∙𝟓
𝟐
A = 32,5 cm²
A = 6,4 ∙ 4
𝟐
A = 12,8 cm²
A = (7 + 1)∙4
𝟐
A = 16 cm²
diagonal menor(d)
diagonal maior(D)
https://pt.wikipedia.org
Esta maquete de uma ponte foi construída pelos alunos da Universidade Católica de
Pelotas (UCPel). Se observarmos bem, a sua lateral possui o formato de um trapézio.
htt
p:/
/ww
w.u
cp
el.e
du
.br
Para calcularmos a área de um
trapézio, utilizamos a seguinte fórmula:
Observe o cálculo para a área do losango:
TRAPÉZIO
TRAPÉZIO
LOSANGO
𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐷 𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 (𝑑)
2
ou
MATEMÁTICA – 9.° ANO 32
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1- Determine a área de cada figura:
a)
b)
c)
A = 𝟔 ∙ 𝟓
𝟐
A = 15 cm²
ÁREA DO TRIÂNGULO
As laterais das Pirâmides do Egito são formadas por triângulos. Leia
na imagem:
A = 𝟒 ∙ 𝟔,𝟓
𝟐
A = 13 cm²
A = 𝟔,𝟓 ∙ 𝟒,𝟐
𝟐
A = 13,65 cm²
Se quisermos calcular a área de triângulos, basta multiplicarmos a
medida de sua base pela medida de sua altura e dividir o resultado
por 2:
htt
p:/
/revis
tagalil
eu.g
lobo.c
om
MATEMÁTICA – 9.° ANO 33
3- Para a Copa do Mundo de 2018, na Rússia, foram
compradas gramas naturais para todos os 12 estádios.
Sabendo-se que cada campo possui as dimensões de 110 m
por 75 m, quantos metros quadrados de grama natural são
necessários para cobrir cada campo?
A = 110 75
A = 8 250
Resposta: 8 250 m² de grama.
2- João pretende construir pipas conforme esta figura:
Sabendo-se que a pipa possui o formato de um losango e
que suas diagonais medem 30 cm e 50 cm, quantos
centímetros quadrados de papel serão necessários, no
mínimo, para construir 10 pipas iguais a esta?
A = 𝟑𝟎 ∙𝟓𝟎
𝟐
A = 750 cm²
Logo: 750 x 10 = 7 500 cm²
Resposta: Para 10 pipas, serão necessários 7 500 cm²
de papel. h
ttp://w
ww
.dic
asm
iud
as.c
om
.br
http
://ww
w.b
9.c
om
.br/
OBMEP – NÍVEL 2
Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos
menores. As áreas de três deles estão indicadas na figura
dada. Qual é a área do retângulo ABCD?
(A) 80. (B) 84. (C) 86. (D) 88. (E) 91.
GABARITO: E
16
27 12
A
B C
D Área A= 4 x 4=16
Área C= 9 x 3= 27
Área D= 9 x 4= 36
Área ABCD= 16 + 12 +29 +36= 91
MATEMÁTICA – 9.° ANO 34
O = centro da circunferência
r = raio
d = diâmetro
a = arco
c= corda
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
A circunferência é formada por todos os pontos de um plano que estão localizados a
uma mesma distância r de um ponto fixo denominado centro da circunferência.
Essa distância constante r é denominada raio da circunferência.
Elementos da circunferência
CIRCUNFERÊNCIA
* O diâmetro mede o dobro do valor do raio:
d = 2r
* O diâmetro é a maior corda que pode
ser traçada em uma circunferência.
http://www.vocesabia.net
Se você observar,
a medida do
diâmetro é o dobro
da medida do
raio!!!
http://tilinbrinquedos.com.br
Existem diversos
objetos que nos
dão ideia de
circunferência!!!
Anéis
Pulseira Bambolê
MATEMÁTICA – 9.° ANO 35
C é o comprimento da circunferência;
é aproximadamente 3,14159... (usualmente consideramos = 3,14);
r é o raio da circunferência.
COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
Observe esta praça:
Realizou-se um estudo para cercar esta praça que fica numa rotatória no centro
da cidade de Goiânia. Para tal, precisa-se conhecer o comprimento de seu
contorno.
Para realizar esse cálculo, utiliza-se a fórmula do comprimento da circunferência:
C = 2 r
Exemplos:
1- A Praça da cidade de Goiânia possui a forma
de um círculo, cujo raio é de 18 metros. De
quantos metros deverá ser o comprimento da
grade que irá cercá-la?
(Use = 3,14)
Resposta: A grade terá, aproximadamente,
113 m de comprimento.
2- Se uma circunferência possui 31,4 cm de
comprimento, quanto mede seu raio?
(Use = 3,14)
Resposta: Seu raio mede, aproximadamente,
5 cm.
C = 2 r
C = 2 3,14 18
C ≅ 113,04
C = 2 r
31,4 = 2 3,14 r
31,4 = 6,28r
r = 31,4/6,28
r ≅ 5
htt
p:/
/arq
cid
ad
e.b
log
sp
ot.
co
m.b
r
MATEMÁTICA – 9.° ANO 36
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1- Calcule o comprimento de uma circunferência quando
a) o raio mede 5 cm:
b) o raio mede 8 m:
c) o diâmetro mede 14 cm:
d) o diâmetro mede 30 m:
2- Qual o raio de uma circunferência que possui um
comprimento aproximado de 62,8 metros?
3- O ciclista Flávio está em treinamento dando voltas em torno
de uma pista circular. Sabendo-se que o raio dessa pista é de
60 m, quantos metros ele percorrerá em cada volta?
4- Bruno dará 10 voltas ao redor de uma praça circular que
possui diâmetro de 24 m. Quantos metros, aproximadamente,
ele percorrerá?
C = 2∙∙5 ≅ 31,4 cm
C = 2∙∙7 ≅ 43,96 cm
C = 2∙∙15 ≅ 94,2 m
C = 2∙∙8 ≅ 50,24 m C = 2∙∙60 ≅ 376,8 m
Resposta:
Aproximadamente 376,8 metros.
C = 2∙∙12 = 75,36 m
75,36 x 10 ≅ 753,6
Resposta: Aproximadamente 753,6 metros.
Vamos considerar o
valor de como 3,14.
2∙∙r = 62,8
2∙3,14∙r = 62,8
6,28∙r = 62,8
r = 62,8/6,28
r ≅ 10
http
://gale
ria.c
olo
rir.com
60 m
Resposta:
Aproximadamente10 metros.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 37
Para comemorar as Olimpíadas de 2016, no Brasil, a Casa da Moeda lançou, em 2012, a moeda de prata “ENTREGA DA BANDEIRA
OLÍMPICA”.
ÁREA DO CÍRCULO
Que moeda
linda!!!
Essa moeda possui um diâmetro de 40 milímetros. Para conhecermos a área de sua
face, é necessário utilizarmos a seguinte fórmula:
A = r²
A é a área do círculo;
é aproximadamente 3,14159... (usualmente consideramos = 3,14);
r é o raio do círculo.
Sendo o diâmetro da moeda de 40
milímetros, qual é a área de sua
superfície (face)?
Resposta: A área da face da moeda é
de, aproximadamente, 1 256 mm² (ou
12,56 cm²).
A = r²
A = 3,14 20²
A = 3,14 400
A = 1 256
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p:/
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w.m
oedasdobra
sil.c
om
.br
diâmetro = 40 mm
raio = 20 mm
MATEMÁTICA – 9.° ANO 38
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1- Calcule a área de um círculo quando
a) o raio mede 6 m:
b) o raio mede 7 cm:
c) o diâmetro mede 15 m:
d) o diâmetro mede 30 cm:
2- Qual o raio de um círculo que possui área aproximada de
31 400 cm²?
3- Esta figura mostra a imagem de satélite do furacão Katrina,
(28/08/2005). Sabendo-se que um furacão como esse pode
chegar a 1 000 km de diâmetro, podemos afirmar que a área
total que ele abrange será de quantos quilômetros quadrados,
considerando = 3,14?
A = ∙6² ≅ 113,04 m²
A = ∙7² ≅ 153,86 cm²
Raio de 7,5 m
A = ∙7,5² ≅ 176,625 m²
Raio de 15 cm
A = ∙15² ≅ 706,5 cm²
Raio de 500 km
A = ∙500²
A = 3,14∙250 000
A ≅ 785 000 km²
htt
ps:/
/te
mp
ojo
ao
pe
sso
a.jim
do
.co
m
4- Paulo quer colocar piso em uma sala de formato circular
com 12 metros de diâmetro. Qual será o valor mínimo da
despesa de Paulo, se o metro quadrado do piso custa
R$ 32,50?
A = ∙6²
A = 113,04 m²
Custo = 113,04 ∙ 32,50 ≅ 3 673,80
Resposta: R$ 3.673,80
∙r² = 31 400
3,14∙r² = 31 400
r² = 31 400/ 3,14
r² = 10 000
r ≅ 100
Vamos considerar o
valor de como 3,14.
Resposta:
Aproximadamente 100 cm (ou 1 m) de raio.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 39
Porcentagem é a razão centesimal representada por %
(lê-se “por cento”).
Exemplo:
a) 0,10 = 10
100= 10% b) 0,15 =
15
100 = 15%
PORCENTAGEM
Essa forma de representação (10%, 15%, 25%...)
chama-se taxa percentual.
Exemplos:
1- Calcular 20% de 500.
20% 𝑑𝑒 500 = 20
100𝑑𝑒 500 =
500 ∙ 20 ÷ 100 = 100
Resposta: 100.
2- Calcular 12% de 1 100.
12% 𝑑𝑒 1 100 = 12
100𝑑𝑒 1 100 =
1 100 ∙ 12 ÷ 100 = 132
Resposta: 132.
x
÷
x
÷
3- 15% de uma quantia correspondem a
90 reais. Qual é o valor desta quantia?
15% 𝑑𝑒 ? = 90 15
100𝑑𝑒 ? = 90
90 ∙ 100 ÷ 15 = 600
Resposta: 600 reais.
x
÷
htt
p:/
/ww
w.d
istr
ibuic
aohoje
.com
Observe: cem, cento, porcentagem.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 40
2- A turma de Débora possui 40 alunos e 15% faltaram à
aula hoje. Qual a quantidade de alunos que compareceu
nesse dia?
3- Um produto que custa 600 reais foi vendido com um
desconto de 12%. Qual foi o valor do desconto?
15% de 40 =
40 ∙ 15 : 100 = 6 faltaram
Resposta: Compareceram 34 alunos.
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1- Determine:
a) 40% de 70:
b) 7% de 300:
c) 25% de 640:
d) 15% de 1200:
12% de 600 =
600 ∙ 12 : 100 = 72
Resposta: 72 reais de desconto.
Resposta: 28
Resposta: 21
Resposta: 160
Resposta: 180
MATEMÁTICA – 9.° ANO 41
6- Nas compras com cartão de crédito, as lojas pagam às
operadoras 5% do valor da nota. Quanto uma loja pagará se
a compra for de 840 reais?
7- A produção mensal de uma fábrica aumentou em 20%, o
que corresponde a 360 peças a mais. Quantas peças eram
produzidas anteriormente?
5% de 840 =
840 ∙ 5 : 100 = 42
Resposta: Pagará 42 reais.
20% de ? = 360
360 ∙ 100 : 20 = 1 800
Resposta: Eram produzidas 1 800 peças.
4- Comprei um carro por 20 mil reais. Depois, o vendi com um
acréscimo de 7%. Por quanto vendi o carro?
5- Uma conta de R$ 350,00 tem um acréscimo de 10% se for
paga com atraso. Qual será o valor dessa conta, se for paga
com atraso?
7% de 20 000 =
20 000 ∙ 7 : 100 = 1 400
Resposta: Vendi por 21 400 reais.
10% de 350 =
350 ∙ 10 : 100 = 35
Resposta: 385 reais.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 42
JUROS
JURO COMPOSTO
Já o sistema de juro composto consiste na definição do percentual da
taxa de juros de acordo com cada período, sendo este novo valor
adicionado ao valor inicial, para que seja feito um novo cálculo no
período seguinte.
Em outras palavras: os juros compostos são os “juros sobre juros”.
Esse é o regime de juros mais comum no sistema financeiro.
Portanto, mais útil para os cálculos de situações cotidianas.
Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00 foi aplicado por 3 meses,
a uma taxa de 10% ao mês, no sistema de juros compostos.
Observe:
Mês R$ 1.000,00
1 1 000 + 1 000∙10% = 1 100
2 1 100 + 1 100∙10% = 1 210
3 1 210 + 1 210∙10% = 1 331 Pagamento realizado após três meses.
Definição
Juro ou juros (termo mais usado) é o rendimento que se obtém quando uma instituição financeira empresta dinheiro por um
determinado período. Os juros são para o credor (aquele que tem algo a receber), um acréscimo referente ao período que o capital
esteve emprestado.
Por outro lado, quem faz um empréstimo em dinheiro ou faz uma compra a crédito, geralmente terá que pagar um acréscimo pela utilização
do dinheiro ou pelo parcelamento da totalidade do valor do produto ou do bem. A esse acréscimo também dá-se o nome de juro.
Existem dois tipos básicos de juros:
JURO SIMPLES
O juro é simples quando a taxa é definida
tendo como base o valor inicial
emprestado, sem a incidência de juros
sobre juros.
Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00
foi aplicado por 3 meses, a uma taxa de
10% ao mês, no sistema de juros simples.
Observe:
Mês R$ 1.000,00
1 1 000 + 1 000∙10% = 1 100
2 1 100 + 1 000∙10% = 1 200
3 1 200 + 1 000∙10% = 1 300 Pagamento realizado após três meses
MATEMÁTICA – 9.° ANO 43
AGORA,
É COM VOCÊ!!!
1- As tabelas, apresentadas a seguir, apresentam os valores
obtidos em função do tempo em que foram investidos
R$ 2.000,00, a partir do mês de março. Leia:
Agora, responda:
a) Qual o valor aplicado, inicialmente, na tabela 1?
_______________________________________________
b) Qual o valor do juro mensal na tabela 1?
_______________________________________________
c) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 1?
_______________________________________________
d) Qual o valor aplicado, inicialmente, na tabela 2?
_______________________________________________
e) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 2?
_______________________________________________
f) Qual é a tabela que rendeu o maior juro até o mês de julho?
_______________________________________________
g) Com base no que você observou, complete as frases
abaixo com as expressões simples ou compostos:
Na tabela 1, incidem juros _______________.
Na tabela 2, incidem juros _______________.
R$ 2.000,00.
R$ 200,00 ao mês.
R$ 800,00.
R$ 928,20.
R$ 2.000,00.
Tabela 2.
simples
compostos
Valor (R$) Tempo
2.000,00 Março
2.200,00 Abril
2.400,00 Maio
2.600,00 Junho
2.800,00 Julho
Valor (R$) Tempo
2.000,00 Março
2.200,00 Abril
2.420,00 Maio
2.662,00 Junho
2.928,20 Julho
Tabela 1 Tabela 2
MATEMÁTICA – 9.° ANO 44
2- Leia esta propaganda:
Agora, responda:
a) Qual o valor desse carro à vista?
_______________________________________________
b) Qual é o valor de entrada, se esse carro for pago
parceladamente?
_______________________________________________
c) Qual o valor total a ser pago nas 30 parcelas?
_______________________________________________
d) Após pagar todas as parcelas e a entrada, qual o valor
total pago pelo carro?
_______________________________________________
3- O Banco “Poupa Bem” emprestou, à Dona Silvia,
R$ 3.000,00 com juros simples de 10% ao mês. Observe as
anotações de Dona Sílvia:
a) Qual o valor dos juros cobrados, por mês, pelo Banco
“Poupa Bem”?
_______________________________________________
b) Em quanto estará a dívida da cliente ao final de 10 meses?
_______________________________________________
Valor
emprestado R$ 3.000,00
1.º mês R$ 3.300,00
2.º mês R$ 3.600,00
3.º mês R$ 3.900,00
.
.
.
.
.
.
10.º mês ? R$ 60.000,00.
R$ 30.000,00.
30 000 . 0,02 . 30 + 30 000 = 48 000 R$ 48.000,00.
48 000 + 30 000 = 78 000 R$ 78.000,00.
R$ 300,00.
R$ 6.000,00.
Vende-se carro por
R$ 60.000,00
à vista ou entrada de 50%
e saldo em 30 parcelas
mensais, com taxa de 2%
ao mês sobre o valor
financiado no sistema de
juros simples. http://galeria.colorir.com
Professor(a), para a resolução dos problemas de juros, os cálculos poderão ser realizados
pela fórmula: (montante = capital x taxa percentual x tempo) ou pela tabela.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 45
1- Na reta, apresentada a seguir, a letra que melhor representa
a localização da 31 é:
(A) A. (B) B.
(C) C. (D) D.
2- A única sentença que representa uma função quadrática é:
(A) 𝒚 = 2𝒙 – 7. (B) 𝒚 = 5𝒙² – 3𝒙 + 4.
(C) 𝒚 = 𝒙³ – 3𝒙 ² + 5𝒙. (D) 𝒚 = 2(3𝒙 – 4).
3- O lucro (𝒚), em reais, de uma pequena confecção é
calculado através da função 𝒚 = 𝒙² – 15𝒙, sendo 𝒙 o número
de peças produzidas. Se a confecção produzir 40 peças de
roupa, terá, de lucro,
(A) 800 reais. (B) 1 000 reais.
(C) 1 600 reais. (D) 2 400 reais.
4- A função polinomial de 2.º grau, definida por 𝒚 = 𝒙² + 3𝒙 – 4, tem
como zeros de função:
(A) – 4 e 1. (B) – 4 e 3.
(C) 1 e 3. (D) 3.
5- A Professora Penha escreveu, no quadro, a seguinte função:
f(𝒙) = 𝒙² – 16
Na construção do gráfico, o vértice ficou localizado no par ordenado:
(A) (8, 0). (B) (1, 6).
(C) (0, –16). (D) (– 3, 3).
6- A função representada por este gráfico possui:
(A) > 0 e a > 0
(B) < 0 e a > 0
(C) = 0 e a = 0
(D) = 0 e a < 0
GABARITO: C
GABARITO: B
GABARITO: B
GABARITO: A
GABARITO: C
GABARITO: A
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A B C D
– 1
– 1
1
1
Y
X
0
O que significa função polinomial? Você se lembra? Escreva aqui.
________________________________________________________________________________________________________________
MATEMÁTICA – 9.° ANO 46
7- O gráfico que melhor representa a função 𝒚 = 𝒙 ² – 9 é:
(A) (B)
(C) (D)
8- Para colocar piso em uma sala, de formato retangular, com
6 m de comprimento e 3,5 m de largura, serão necessários,
no mínimo,
(A) 30 m² de piso. (B) 21 m² de piso.
(C) 9,5 m² de piso. (D) 2,5 m² de piso.
9- O comprimento de uma circunferência com 10 cm de raio é, em cm,
(A) 3,14. (B) 13,14.
(C) 31,4. (D) 62,8.
10- A circunferência, apresentada a seguir, possui raio de 7,5 cm. Com
essa informação, podemos afirmar que o segmento AB mede, em cm,
(A) 7,5. (B) 15.
(C) 20. (D) 75.
11- Diego aplicou, na poupança, 7 mil reais a uma taxa de 2% ao mês,
durante 10 meses. Quanto ele recebeu de juros simples ao final
desses 10 meses?
(A) 14 reais. (B) 140 reais.
(C) 1 400 reais. (D) 14 000 reais.
12- Quais os juros simples produzidos por um empréstimo de 5 mil
reais, durante 3 anos, a uma taxa de 15% ao ano?
(A) R$ 2.250,00. (B) R$ 3.000,00.
(C) R$ 5.550,00. (D) R$ 10.000,00.
A
B
GABARITO: D
GABARITO: B
GABARITO: D
GABARITO: B
GABARITO: C
GABARITO: A
( = 3,14)