�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 1 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylFT§w�A�:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éJ�
B@ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éK
Q�J. �JË @
�éJ�
B@
�éË @YË@ �@ñ
k
J
£ñ
�K − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
�é
��
�¯A
JÓ
áÓ A�
��Ë @
YJÓC
�JË @
¬Q£
X 25
:Tysfn�� T·yht�� ?
:76 T�f} 01ªAKn�� TK�An�
QËð @
�é�®KQ£ ÈAÒª
�J�AK. f
�éË @YÊË ú
æ.KQ
�®�K ÉJ
�JÖ
�ß ZA
��
� @
( 1
: f�éË @YË@ �@ñ
k ( 2
: R úΫ�é�JK. A
�K
�éË @X h
à @
�HAJ.
�K @ ∗
h(x) = f(x)f(−x) x ∈ R É¿ Ég.
@ áÓ : A
JKYË
: ÿ�ë
���J
��ÖÏ @ Aî
�DË @Xð R úΫ
��A
�®�J
��C
Ë
�éÊK. A
�¯
�éË @X h
. f(x) = f ′(x) àñ» h′(x) = f ′(x)f(−x) + [−f ′(−x)f(x)] = 0
�é�JK. A
�K
�éË @X h :
à
X@
h′(x) = 0 : R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ é
JÓ ð
: h(x) = 1 : x ∈ R É¿ Ég.
@ áÓ é
K @ h. A
�JJ���@ ∗
h(x) = h(0) = 1 :
àA
¯
�é�JK. A
�K
�éË @X h
àñ» ð h(0) = f(0).f(0) = 1 : AJKYË
: R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ f(x) 6= 0
à @
�HAJ.
�K @ ∗
f(x0).f(−x0) = 0 : éJÓð f(x0) = 0 :
�IJm
�'. x0 ù
�®J
�®k XY« Yg. ñK é
K @
Ê
mÌ'AK.
�Q
®
K
. x ∈ R É¿ Ég.
@ áÓ h(x) = 1
àñ»
��¯A
JK @
Yëð h(x0) = 0 : ø
@
f(x) 6= 0 : x ∈ R É¿ Ég.
@ áÓ :
à
X@
g(0) = 1 ð g′ = g :�
��®m�
�' g
�éJ
K A
�K
�éË @X Yg. ñ
�K é
K @
�Q
®
K ( 3
R úΫ ÐYªJ�K B f :
à
@ AÖß. ð
k(x) = g(x)f(x) : �K. R úΫ
�éQ̄ªÖÏ @ k
�éË @YË@ Q�.
�Jª
K
: R úΫ�é�JK. A
�K
�éË @X k
à @
àAJ�.
�K ∗
k′(x) = g′(x)f(x)−f ′(x)g(x)(f(x))2 : ÿ
�ë
���J
��ÖÏ @ Aî
�DË @Xð R úΫ
��A
�®�J
��C
Ë
�éÊK. A
�¯
�éË @X k
k′(x) = g(x)f(x)−f(x)g(x)(f(x))2 = 0 :
àA
¯ g′ = g ð f ′ = f :
à
@ AÖß. ð
R úΫ�é�JK. A
�K
�éË @X k : ø
@
: g(x) = f(x) : R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ é
K @ h. A
�JJ���@ ∗
R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ k(x) = 1 :
àA
¯
�é�JK. A
�K k
à @ AÖß. ð k(0) = g(0)
f(0) = 1 : AJKYË
f(x) = g(x) : ø
@
g(x)f(x) = 1 :
à
X@
. R úΫ�é�JK. A
�K i :
�éË @YË @
à
@
�HAJ.
�K @
áºÖß�é�®KQ¢Ë@ �
®
JK. ( 4
f(x + y) = f(x)f(y) : R áÓ y ð R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ é
K @ h. A
�JJ���@ ∗
R úΫ�é�JK. A
�K i ð i(0) = f(0+y)
f(0) = f(y) : AJKYË
i(x) = f(y) : R áÓ y ð x É¿ Ég.
@ áÓ : é
JÓ ð
f(x + y) = f(x)f(y) : éJÓ ð
f(x+y)f(x) = f(y) : ø
@
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 1 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 10
X 25
f(x− y) = f(x)f(y) : R áÓ y ð R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ é
K @ h. A
�JJ���@ ∗
f(−y)f(y) = 1 :�
�J.� AÜØ ð f(x− y) = f(x + (−y)) = f(x)f(−y)f(−y) = 1
f(y) : éJÓ ð
f(x− y) = f(x) 1f(y) = f(x)
f(y) : i.�J�K
��ñª
�JËAK.
j(x) = f(nx)[f(x)]n : �K. R úΫ
�éQ̄ªÓ j ð ú
æ.�
� iJm
�� XY« n ( 5
. R úΫ�é�JK. A
�K j :
�éË @YË @
à
@
�HAJ.
�K @
áºÖß�é�®KQ¢Ë@ �
®
JK.
f(nx) = [f(x)]n : R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ é
K @ h. A
�JJ���@ ∗
R úΫ�é�JK. A
�K j
àñ» ð j(0) = f(0)[f(0)]n = 1 : A
JKYË
R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ j(x) = 1 :
àA
¯
f(nx) = [f(x)]n :
àX@
ð f = f ′ :�
IJm�'
. R úΫ�
�A�®
�J
��C
Ë
�éÊK. A
�¯ f
�èYJkð
�éË @X Yg. ñ
�K :�§r`� ¤ Tn¡rb�
. exp QÓQËAK. AêË QÓQKð
�éJ�
B@
�éË @YË@ ùÒ�
�� ð f(0) = 1
. x�éJ�
@ ZQ
�®�K ð f(x) = exp(x) : R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ
AJKYË i.
�J�K
KQª
�JË @ áÓ : �¶At�
exp(0) = 1 exp′(x) = exp(x) ¬
: AJKYË n iJj�� XY« É¿ Ég.
@ áÓð y ð x á�
�®J
�®k áKXY« É¿ Ég.
@ áÓ :Q�w�
. (exp(−x) = 1exp(x) ) exp(x).exp(−x) = 1 · exp(x) 6= 0 ¶
exp(x− y) = exp(x)exp(y) ¹ exp(x + y) = exp(x).exp(y) ¸
. exp(nx) = [exp(x)]n º
:ex zy�rt��¤ e d`��
exp(1) = e : ø
@
�éJ�
B@
�éË @YËAK. 1 XYªË@
�èPñ� ñë e XYªË@
. e ' 2, 715281 �éJ.�AmÌ'@ A
JJ¢ª
�K
: AJKYË n ú
æ.�
� iJm
�� XY« É¿ Ég.
@ áÓ
. exp(n) = exp(n× 1) = [exp(1)]n = en
. ex: �K. exp(x) : �Ë QÓQ
K x ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ é
K @ iʢ�
�
iJj�� XY« É¿ Ég.
@ áÓð y ð x á�
�®J
�®k áKXY« É¿ Ég.
@ áÓ :As��� Q�w�
: AJKYË n
. (e−x = 1ex
) ex.e−x = 1 ¸ '''' exp(0) = 1 · '''' (ex)′ = ex ¶
e(x−y) = ex
ey» '''' e(x+y) = ex.ey º '''' ex 6= 0 ¹
e(nx) = [= ex]n ¼
102T�f}03¤02 �§rmt�� ��
.
:�y¡Afm�� ºAn�
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 2 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éJ�
B@ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éK
Q�J. �JË @
�éJ�
B@
�éË @YË@ �@ñ
k
J
£ñ
�K − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
É¿ Ég.
@ áÓ
ð x ∈ R: A
JKYË n ∈ Z
enx = (ex)n
X 15
X 25
.�éJ�
B@
�éË @YË@ ÿ
�¯ H. A�mÌ'@ Y«@ñ
�®K.
Q�»Y
�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?
:TyF±� T��d�� ry�� £A���
ex > 0 : x ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ :«¬»Ty}A�
: A¡r�
ex = e2( x2 ) = (e x
2 )2: A
JKYË R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ
ex > 0 : R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ
àA
¯ ex 6= 0
à @ AÖß.
R úΫ AÓAÖ�ß
�èYK@
Q��Ó
�éJ�
B@
�éË @YË@ :«»Ty}A�
: A¡r�
(ex)′ = ex: A
JKYË R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ
. R úΫ AÓAÖ�ß
�èYK@
Q��Ó
�éJ�
B@
�éË @YË@ é
JÓð (ex)′ > 0 :
àA
¯ ex > 0
àñ»ð
: �¶At�
: AJKYË b ð a á�J
�®J
�®k áKXY« É¿ Ég.
@ áÓ
. a = b à
@ ú
æªK ea = eb
' F
. a < b à
@ ú
æªK ea < eb
' G
: AJKYË x ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ
. x < 0 à
@ ú
æªK 0 < ex < 1 ' F
. x > 0 à
@ ú
æªK ex > 1 ' G
:�éJËA
�JË @
�HBXAªÖÏ @ R ú
¯ Ég :«¬»¨qybW� �§rm�
ex+1 = e1x ® e−2x+1 − 1 = 0 ex + 2 = 0 ¬
u(x) = v(x) ù
�Jª
�K eu(x) = ev(x) :Tq§rV
:�éJËA
�JË @
�HAmk
.@Q
��ÖÏ @ R ú
¯ Ég :«»¨qybW� �§rm�
e2x2 ≥ e5x+3 e3x ≤ 1 ¬
u(x) ≥ v(x) ù
�Jª
�K eu(x) ≥ ev(x) :Tq§rV
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 2 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 20
:�éËAg É¿ ù
�¯ f
�éË @YË@ Q�
ª
�K èAm.
��' @ �PX@ :¨qybW� �§rm�
Df = R f(x) = x + 1 + ex ¬
Df =]−∞; 0[∪]0; +∞[ f(x) = ex + 1ex − 1
Df = R f(x) = (2x− 3)ex ®
102T�f}09¤07¤05�§rmt�� ��103T�f} 36Y��29 �� �§CAmt�� ��
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 3 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éJ�
B@ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éK
Q�J. �JË @
�éJ�
B@
�éË @YË@ �@ñ
k
J
£ñ
�K − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
�èY«A�Ò�K.
�IJ.
��K
YJÓC
�JË @
�éJ�A
mÌ'@ è
Yë
ÈAÒª�J�AK.
è Am.�
�' @
�éJëQ�.Ó
I. J»Q�
�Ë @ Q�ª
�K
X 15
X 15
. I. »QÓ�éË @X
���J
��Öß. Q�»
Y
�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?
:exp ◦u T��d�� TF�C
:ry�t�� £A��� ¶
exp ◦u ð u á��JË @YÊË
àA
¯ R áÓ I ÈAj. ÖÏ @ úΫ
�é
Q̄ªÓ
�éË @X u �
IKA¿ @
X @ :Ty}A�
. I úΫ Q�ª
�JË @ è Am.
��' @
�®
K
: A¡r�
Q�ª
�JË @ è Am.
��' @
�®
K v ð u á�
�JË @YÊË
àA¿ @
X @
éK @ ÕΪ
K
. I úΫ AÓAÒ��K
�èYK@
Q��Ó v ◦ u
�éË @YË@ :
àA
¯
á��» Aª�JÓ Q�
ª
�K AëAm.
��' @
v ð u á��JË @YÊË
àA¿ @
X @
ð
. I úΫ AÓAÖ�ß
�é�
�¯A
J�JÓ v ◦ u
�éË @YË@ :
àA
¯
R úΫ AÓAÖ�ß
�èYK@
Q��Ó exp �
éË @YË@ :
à @ AÒ�K.
. I úΫ Q�ª
�JË @ è Am.
��' @
�®
K u ð exp ◦u á�
�JË @YÊË :
àA
¯
f(x) = e2x+7: ÿ
��ÊKAÒ» R úΫ
�é
Q̄ªÖÏ @
�éKXYªË@
�éË @YË @ f :�A��
: R úΫ f�éË @YË@ Q�
ª
�K èAm.
��' @
á�ªJË −
R úΫ AÓAÖ�ß
�èYK@
Q��Ó
�éË @X x 7−→ 2x + 7 �
éË @YË@ :à
@ AÒ�K.
R úΫ AÓAÖ�ß
�èYK@
Q��Ó f
�éË @YË@ :
àA
¯
: exp ◦uT��d�� TqtK� ·
exp ◦u �éË @YË@
àA
¯ R áÓ I ÈAm.
× úΫ�
�A�®
�J
��
�ÊË
�éÊK. A
�¯
�éË @X u �
IKA¿ @
X @ :Ty}A�
: I áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ A
JKYËð I úΫ
��A
�®�J
��
�ÊË
�éÊK. A
�¯[
eu(x)]′ = u′(x).eu(x)
.[eu(x)]′ = u′(x). exp′(u(x)) : A
JKYË : A¡r�
. exp′(x) = exp(x) : AJKYË R áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ áºËð[
eu(x)]′ = u′(x). exp(u(x)) :
àX@
. f(x) = ex2−3x+1: ú
ÎKAÒ» R úΫ
�éQ̄ªÖÏ @
�éKXYªË@
�éË @YË @ f áº
�JË :¬�A��
. f ′(x) = (2x− 3)ex2−3x+1: A
JKYË
g(x) = e√
x: �K. ]0; +∞[ úΫ
�éQ̄ªÖÏ @
�éKXYªË@
�éË @YË @ g áº
�JË :�A��
. g′(x) = 12√
xe√
x: A
JKYË
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 3 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 30
:�éËAg É¿ ù
�¯ f
�éË @YË@ Q�
ª
�K èAm.
��' @ �PX@ :¨qybW� �§rm�
Df = R f(x) = x + 1− e−2x ¬
Df = R f(x) = e3x − 3ex
Df = R f(x) = e4x − 3e4x + 1 ®
Df =]−∞; 1[∪]1; +∞[ f(x) = ex+1x−1 ¯
104T�f} 39¤ 38 �§rmt�� ��
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 5 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éJ�
B@ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��
. y′ = ay + b ɾ�
�Ë@ áÓ�éJÊ
�A
®�K
�éËXAªÓ Ég − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
�é
��
�¯A
JÓ
áÓ A�
��Ë @
¬Q£YJÓC
�JË @
X 10
X 15
X 15
�éJÊ
�A
®
�JË @
�HBXAªÖÏ @
�éJÒë
AK.
Q�»
Y�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?
: dyhm�
z , y : �K. AJ. Ë A« AêË QÓQ
K
�éË @X AîD
¯ Èñêj. ÖÏ @
�éËXAªÓ ù
ë
�éJÊ
�A
®�JË @
�éËXAªÖÏ @ ?
. úÍð B@
�ék. PYË@ áÓ
�éJÊ
�A
®�K
�éËXAªÓ AîDÒ�
� Aî
�D�®�J
��Ó ð
�éË @YË@ ÉÒ
��
��
�éËXAªÓ É¿ ?
�éÊK. A
�®Ë @ f È@ðYË@ É¿ á«
�IjJ. Ë @ : ú
æªK y′ = ay + b ɾ
��Ë@ áÓ
�éJÊ
�A
®
�K
�éËXAªÓ Ég ?
f ′(x) = af(x) + b :�
��®m�
�' ú
�æË @ ð R úΫ
��A
�®
�J
��C
Ë
: ªAK�
.�
IK. A�K ù
�®J
�®k XY« c : ©Ó f(x) = ceax
: �K. R úΫ�éQ̄ªÖÏ @ f
�éË @YË@ áº
�JË
y′ = ay :�éJÊ
�A
®�JË @
�éËXAªÒÊË Ég f
�éË @YË@
à
@
��
�®m�
�' Õç
�' f ′(x) I. �k@ �
:a 6= 0 ¤ y′ = ay �kK�� �� TylRAft�� �¯ A`m�� ¶
ÐðYªÓ Q�« ù
�®J
�®k XY« a : Tn¡rb�
x 7→ ceax: È@ðYË@ ù
ë R úΫ y′ = ay
�éËXAªÖÏ @ ÈñÊg
.�
IK. A�K ù
�®J
�®k XY« c :
�IJk
: �A��
: y′ + 5y = 0 :�éJÊ
�A
®�JË @
�éËXAªÖÏ @ R ú
¯ Éj
JË -
y′ = −5y : èAJªÓ y′ + 5y = 0 : A
JKYË
c ∈ R : ©Ó x 7→ ce−5x: È@ðYË@ ù
ë
�éËXAªÖÏ @ è
Yë ÈñÊg é
JÓ ð
:a 6= 0 ¤ y′ = ay + b �kK�� �� TylRAft�� �¯ A`m�� ·
ÐðYªÓ Q�« ù
�®J
�®k XY« a : Tn¡rb�
x 7→ ceax − b
a: È@ðYË@ ù
ë R úΫ y′ = ay + b
�éËXAªÖÏ @ ÈñÊg
.�
IK. A�K ù
�®J
�®k XY« c :
�IJk
: �A��
: y′ = 2y + 1 :�éJÊ
�A
®�JË @
�éËXAªÖÏ @ R ú
¯ Éj
JË -
c ∈ R : ©Ó x 7→ ce2x − 12 : È@ðYË@ ù
ë
�éËXAªÖÏ @ è
Yë ÈñÊg
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 5 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 20
�éJÊ
�A
®�JË @
�éËXAªÖÏ @ , (x0; y0) �
éJ�®J
�®k X@Y«
@
�éJ
KA
J�K É¿ Ég.
@ áÓ : Ty}A�
f(x0) = y0 :�
��®m�'
f @YJkð Cg ÉJ.�®�K a 6= 0 : ©Ó y′ = ay + b
(E) : 2y′ + y = 1 �éJÊ
�
®�JË @
�éËXAªÖÏ @ Q�.
�Jª
K : ¨qybW� �§rm�
. (E) �éËXAªÖÏ @ R ú
¯ Ég ¶
f(−1) = 2 :�
IJm�'
. (E) �éËXAªÒÊË f �A
mÌ'@ ÉmÌ'@
á�« ·
. ��Aj.
�JÓ ð YÓAª
�JÓ ÕÎªÓ ú
¯ ú
GAJJ. Ë @ AêÊJ
�JÖ
�ß Õæ�P
@ Õç
�' f
�éË @YË@
�H@Q�
ª
�K �PX
@ ¸
109T�f}102�§rmt�� ��110T�f}106¤105�§rmt�� ��
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2