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8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
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A I A A 9 6 0 8 2 5
A e r o d y n a m i c C h a r a c t e r i s t i c s o f a n
A e r o s p a c e V e h i c l e D u r i n g a S u b s o n i c
P i t c h O v e r M a n e u v e r
W i l l i a m L . K l e b
N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r
H a m p t o n V i r g i n i a
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8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
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A e r o d y n a m i c C h a r a c t e r i s t i c s o f a n A e r o s p a c e
V e h i c l e D u r i n g a S u b s o n i c P i t c h O v e r M a n e u v e r
W i l l i a m L . K l e b
N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r H a m p t o n V i r g i n i a 2 3 6 8 1 0 0 0 1
T i m e d e p e n d e n t C F D h a s b e e n u s e d t o p r e d i c t a e r o s p a c e v e h i c l e a e r o d y n a m i c s d u r i n g a s u b s o n i c r o t a t i o n
m a n e u v e r . T h e i n v i s c i d 3 D 3 U c o d e i s e m p l o y e d t o s o l v e t h e 3 D u n s t e a d y o w e l d u s i n g a n u n s t r u c t u r e d g r i d
o f t e t r a h e d r a . A s t h i s a p p l i c a t i o n r e p r e s e n t s a c h a l l e n g e t o t i m e d e p e n d e n t C F D o b s e r v a t i o n s c o n c e r n i n g
s p a t i a l a n d t e m p o r a l r e s o l u t i o n a r e i n c l u d e d . I t i s s h o w n t h a t e v e n f o r a b e n i g n r o t a t i o n r a t e u n s t e a d y
a e r o d y n a m i c e e c t s a r e s i g n i c a n t d u r i n g t h e m a n e u v e r . P o s s i b l y m o r e s i g n i c a n t h o w e v e r t h e r o t a t i o n
m a n e u v e r c r e a t e s o w a s y m m e t r i e s l e a d i n g t o y a w i n g m o m e n t r o l l i n g m o m e n t a n d s i d e f o r c e w h i c h a r e n o t
p r e s e n t i n t h e q u a s i s t e a d y c a s e . A s e r i e s o f s t e a d y s o l u t i o n s a t d i s c r e t e p o i n t s i n t h e m a n e u v e r a r e a l s o
c o m p u t e d f o r c o m p a r i s o n w i t h w i n d t u n n e l m e a s u r e m e n t s a n d a s a m e a n s o f q u a n t i f y i n g u n s t e a d y e e c t s .
I n t r o d u c t i o n
N A S A s A c c e s s t o S p a c e S t u d y
1
r e c o m m e n d e d t h e
d e v e l o p m e n t o f a f u l l y R e u s a b l e L a u n c h V e h i c l e R L V
2
t o r e p l a c e t h e a g i n g S p a c e S h u t t l e . A m e t h o d o f r e a c h
i n g t h i s g o a l i s t o d e v e l o p a v e h i c l e w h i c h d o e s n o t r e l y
o n e x p e n d a b l e b o o s t e r s t o r e a c h o r b i t a s o c a l l e d S i n g l e
S t a g e t o O r b i t S S T O v e h i c l e .
3
O n e o f t h e S S T O c o n
g u r a t i o n s b e i n g i n v e s t i g a t e d i s t h e V e r t i c a l T a k e o a n d
V e r t i c a l L a n d i n g V T V L c o n g u r a t i o n .
3
I n o n e c o n
c e p t t h e V T V L v e h i c l e u p o n c o m p l e t i o n o f i t s m i s s i o n
i n l o w E a r t h o r b i t r e e n t e r s n o s e r s t d e c e l e r a t e s t o s u b
s o n i c s p e e d s a n d t h e n p e r f o r m s a r o t a t i o n m a n e u v e r
4 6
t o l a n d v e r t i c a l l y .
F i g u r e 1 p r e s e n t s a s c h e m a t i c o f t h e l a s t p o r t i o n o f
a t y p i c a l V T V L e n t r y . T h e p i t c h o v e r m a n e u v e r w h i c h
o c c u r s n e a r M a c h 0 . 2 i s c h a r a c t e r i z e d b y h i g h a n g l e o f
a t t a c k u n s t e a d y v o r t i c a l o w . A c c u r a t e l y p r e d i c t i n g
v e h i c l e p e r f o r m a n c e d u r i n g t h i s a e r o d y n a m i c p i t c h o v e r
m a n e u v e r i s q u i t e c h a l l e n g i n g . W h i l e g r o u n d b a s e d f a
c i l i t i e s c a n p r e d i c t t h e v e h i c l e s a e r o d y n a m i c s a t d i s c r e t e
p o i n t s d u r i n g t h e m a n e u v e r a c c o u n t i n g f o r t h e u n s t e a d y
e e c t s i n a w i n d t u n n e l i s d i c u l t .
7
T i m e d e p e n d e n t
C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s C F D o e r s a n o t h e r
m e a n s o f a n a l y z i n g t h e p i t c h o v e r m a n e u v e r . T h e m a
R e s e a r c h E n g i n e e r A e r o t h e r m o d y n a m i c s B r a n c h G a s D y
n a m i c s D i v i s i o n R e s e a r c h T e c h n o l o g y G r o u p .
C o p y r i g h t
c
1 9 9 6 b y t h e A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s
a n d A s t r o n a u t i c s I n c . N o c o p y r i g h t i s a s s e r t e d i n t h e U n i t e d
S t a t e s u n d e r T i t l e 1 7 U . S . C o d e . T h e U . S . G o v e r n m e n t h a s
a r o y a l t y f r e e l i c e n s e t o e x e r c i s e a l l r i g h t s u n d e r t h e c o p y r i g h t
c l a i m e d h e r e i n f o r G o v e r n m e n t a l p u r p o s e s . A l l o t h e r r i g h t s a r e
r e s e r v e d b y t h e c o p y r i g h t o w n e r .
Reentry
Aerodynamic
Pitch-overManeuver
Engine
Ignition
F i g u r e 1 T r a n s i t i o n t o l a n d i n g f o r a V T V L v e h i c l e .
o r i t y o f w o r k i n u n s t e a d y C F D h a s h o w e v e r b e e n r e
s t r i c t e d t o s m a l l a m p l i t u d e h a r m o n i c v a r i a t i o n s i n a n g l e
o f a t t a c k i n s u p p o r t o f a e r o e l a s t i c u t t e r p r e d i c t i o n s .
8
T h e o b j e c t i v e o f t h e p r e s e n t w o r k i s t o a p p l y u n
s t e a d y C F D m e t h o d s t o t h e p r o b l e m o f p r e d i c t i n g V T V L
v e h i c l e a e r o d y n a m i c s d u r i n g a n u n p o w e r e d p i t c h o v e r
m a n e u v e r . T h e i n v i s c i d 3 D 3 U c o d e o f B a t i n a
9
i s e m
p l o y e d t o s o l v e t h e 3 D u n s t e a d y o w e l d w i t h u n s t r u c
t u r e d g r i d s . A s t h i s a p p l i c a t i o n r e p r e s e n t s a n e w c h a l
l e n g e t o u n s t e a d y C F D o b s e r v a t i o n s c o n c e r n i n g g r i d r e s
o l u t i o n t e m p o r a l r e s o l u t i o n a n d t h e s u i t a b i l i t y o f a s s u m
i n g o w e l d s y m m e t r y a r e d i s c u s s e d . A s e r i e s o f s t e a d y
s o l u t i o n s a t d i s c r e t e p o i n t s i n t h e m a n e u v e r a r e a l s o c o m
p u t e d f o r c o m p a r i s o n w i t h w i n d t u n n e l m e a s u r e m e n t s
a n d a s a m e a n s o f q u a n t i f y i n g u n s t e a d y e e c t s .
1
A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s
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8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
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F i g u r e 2 V T V L v e h i c l e s h o w n w i t h a c o a r s e
s y m m e t r y p l a n e m e s h .
G e o m e t r y
F i g u r e 2 p r e s e n t s t h e g e o m e t r y e x a m i n e d . T h e f o r e
b o d y i s a n 8 d e g r e e h a l f a n g l e s p h e r e c o n e w i t h n o s e
r a d i u s e q u a l t o 0 . 3 o f t h e b a s e r a d i u s . T h e a f t b o d y b e
g i n n i n g a t t h e 8 5 p e r c e n t f u s e l a g e s t a t i o n i s a c y l i n d e r
w i t h a p a r t i a l l y s q u a r e d o c r o s s s e c t i o n p r o d u c i n g a t
s l i c e s e x t e n d i n g f r o m t h e b a s e o f t h e v e h i c l e t o a p p r o x
i m a t e l y t h e 6 0 p e r c e n t f u s e l a g e s t a t i o n . T h e g e o m e t r y
h a s b e e n n o n d i m e n s i o n a l i z e d s o t h a t h a l f t h e w i d t h o f
t h e b a s e i s o n e u n i t a n d t h e r a d i u s o f t h e c y l i n d r i c a l p o r
t i o n i s 1 . 1 2 . T h e v e h i c l e i s 7 . 1 6 u n i t s l o n g g i v i n g a n e
n e s s r a t i o o f 6 . 4 u s i n g a b a s e d i a m e t e r o f 2 . 2 4 . A m o r e
t h o r o u g h d e s c r i p t i o n o f t h e v e h i c l e i s g i v e n b y W o o d s .
1 0
C o m p u t a t i o n a l M e s h
T h e u n d e r l y i n g s u r f a c e d e n i t i o n d a t a b a s e w a s g e n
e r a t e d f r o m s t r u c t u r e d s u r f a c e p a t c h e s o b t a i n e d u s i n g
G R I D G E N
1 1
G r i d T o o l
1 2
a n d s i m p l e a n a l y t i c a l m e t h
o d s . T h e u n s t r u c t u r e d s u r f a c e a n d o w e l d g r i d s w e r e
t h e n g e n e r a t e d u s i n g F E L I S A
1 3
a n d T E T M E S H .
1 4
T w o d i e r e n t o p t i o n s f o r t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n
w e r e e m p l o y e d o n e m o d e l i n g t h e c o m p l e t e v e h i c l e a n d
a n o t h e r m o d e l i n g o n l y h a l f o f t h e v e h i c l e a s s u m i n g s y m
m e t r y a c r o s s t h e p i t c h p l a n e s e e F i g u r e 2 . T a b l e 1
d e t a i l s t h e s y m m e t r i c v e h i c l e g r i d s s h o w i n g n u m b e r o f
p o i n t s e t c . w h i l e T a b l e 2 p r o v i d e s s i m i l a r i n f o r m a t i o n
f o r t h e f u l l v e h i c l e g r i d s . A l l o f t h e r e s u l t s s h o w n i n t h i s
p a p e r a r e t h e r e s u l t o f u s i n g t h e c o a r s e s t m e s h e s M e s h
1 F a n d M e s h 1 S . T h i s i s f o r t h e s a k e o f c o n s i s t e n c y a n d
c o m p l e t e n e s s s i n c e t h e m a t r i x o f r u n s o n t h e n e r m e s h e s
i s n o t a s c o m p l e t e a s t h a t o n t h e c o a r s e r m e s h e s d u e t o
r e s o u r c e l i m i t a t i o n s . S o m e o f t h e n e r m e s h s o l u t i o n s
a r e h o w e v e r i n c o r p o r a t e d i n t h e g r i d r e s o l u t i o n r e s u l t s .
T a b l e 1 S y m m e t r i c v e h i c l e g r i d s .
M e s h 1 S M e s h 2 S
N o d e s 6 6 3 4 2 7 9 1 2
T e t r a h e d r a 3 2 3 7 4 1 5 7 5 9 9
B o u n d a r y n o d e s 2 5 9 6 5 1 8 3
B o u n d a r y t r i a n g l e s 5 1 8 8 1 0 3 6 2
A v e r a g e v e h i c l e s p a c i n g 0 . 1 0 . 1
A v e r a g e f a r e l d s p a c i n g 3 . 5 3 . 5
R a d i u s o f f a r e l d 3 . 5 3 . 5
T a b l e 2 F u l l v e h i c l e g r i d s .
M e s h 1 F M e s h 2 F
N o d e s 1 1 2 2 2 5 1 1 7 9
T e t r a h e d r a 6 0 5 9 7 3 0 8 1 0 8
B o u n d a r y n o d e s 2 7 8 1 3 7 8 9
B o u n d a r y t r i a n g l e s 5 5 5 4 7 5 7 0
A v e r a g e v e h i c l e s p a c i n g 0 . 1 0 . 1
A v e r a g e f a r e l d s p a c i n g 3 . 5 3 . 5
R a d i u s o f f a r e l d 3 . 5 3 . 5
F a r F i e l d B o u n d a r y
E v e n w i t h n o n r e e c t i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s f a r
e l d b o u n d a r y p l a c e m e n t c a n a e c t t h e s o l u t i o n f o r b o d
i e s p r o d u c i n g l i f t . F o r t h e r e s u l t s p r e s e n t e d t h e f a r
e l d b o u n d a r y c o n d i t i o n i s a p p l i e d o n a s p h e r e w h i c h
i s 3 1 2 b o d y l e n g t h s f r o m t h e v e h i c l e s c e n t e r . A s a
s p o t c h e c k o f t h e e e c t o f t h e f a r e l d b o u n d a r y p l a c e
m e n t t w o o t h e r g r i d s w e r e g e n e r a t e d w i t h t h e f a r e l d
l o c a t i o n a t 5 a n d 7 b o d y l e n g t h s f r o m t h e v e h i c l e s c e n
t e r . A t m o d e r a t e t o h i g h a n g l e s o f a t t a c k t h e c h a n g e
i n f a r e l d p l a c e m e n t p r o d u c e d n o a p p r e c i a b l e a e c t o n
t h e a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s t h u s t h e 3 . 5 b o d y l e n g t h
m e s h e s w e r e u s e d t o m i n i m i z e t h e r e s o u r c e s n e c e s s a r y
f o r t h e s o l u t i o n .
S y m m e t r y A s s u m p t i o n s
F l o w e l d s a b o u t s y m m e t r i c c o n g u r a t i o n s a t h i g h
a n g l e s o f a t t a c k e v e n w i t h z e r o s i d e s l i p o f t e n i n v o l v e
a s y m m e t r i c v o r t e x d o m i n a t e d o w e l d s .
1 5 1 8
A s r e
v i e w e d b y N e w s o m e e t a l
1 9
i n v i s c i d s i m u l a t i o n s c a n o e r
s o m e i n d i c a t i o n o f t h i s v i s c o u s d o m i n a t e d p h e n o m e n o n
t h r o u g h t h e n u m e r i c a l v i s c o s i t y r e q u i r e d b y t h e s c h e m e .
H e n c e s o l u t i o n s a r e c o m p a r e d f o r b o t h s t e a d y a n d u n
s t e a d y c o n d i t i o n s m o d e l i n g t h e c o m p l e t e v e h i c l e a n d
t h o s e w h i c h i m p o s e o w e l d s y m m e t r y a c r o s s t h e p i t c h
p l a n e .
2
A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s
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8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
4/12
N u m e r i c a l M e t h o d
T h e 3 D 3 U c o d e o f B a t i n a
9
w a s u s e d e x c l u s i v e l y i n
t h i s s t u d y . T h e 3 D 3 U c o d e w a s o r i g i n a l l y d e v e l o p e d t o
s t u d y h a r m o n i c a l l y p i t c h i n g w i n g s a n d w i n g b o d i e s i n
t r a n s o n i c o w . T h e c o d e c a n i n c o r p o r a t e a e r o e l a s t i c e f
f e c t s t h r o u g h a s s u m e d m o d e s h a p e s c o u p l e d w i t h a d e
f o r m i n g m e s h v i a t h e l i n e a r s p r i n g a n a l o g y .
I n v i s c i d u x e s c a n b e c o m p u t e d w i t h a n y o f t h e f o l
l o w i n g u x f u n c t i o n s R o e s u x d i e r e n c e s p l i t t i n g
2 0
L o u a n d S t e e n s A U S M s c h e m e
2 1
v a n L e e r s u x
v e c t o r s p l i t t i n g
2 2
o r E i n f e l d t s H L L E s c h e m e .
2 3
S e c o n d
o r d e r u x r e c o n s t r u c t i o n i s a c h i e v e d v i a v a n L e e r s
M U S C L a . k . a K a p p a s c h e m e
2 4
u s i n g n o d e a v e r a g e d
v a r i a b l e s a c c o r d i n g t o B a t i n a
9
o r F r i n k
2 5
w i t h M u l
d e r a n d v a n L e e r s c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e u x
l i m i t i n g .
2 6
T h i s p r o v i d e s g l o b a l s e c o n d o r d e r s p a t i a l a c
c u r a c y f o r a l l u x f u n c t i o n s e x c e p t t h e H L L E u x f u n c
t i o n w h i c h c a n n o t u s e h i g h e r o r d e r r e c o n s t r u c t i o n o f t h i s
f o r m .
F i r s t o r d e r t e m p o r a l a c c u r a c y i n a g l o b a l s e n s e i s
a c c o m p l i s h e d t h r o u g h f o r w a r d E u l e r t i m e s t e p p i n g w i t h
a n y o f t h r e e i m p l i c i t t i m e i n t e g r a t i o n s c h e m e s
9
G a u s s
S e i d e l J a c o b i a n d P o i n t J a c o b i o r t h e e x p l i c i t M
S t a g e R u n g e K u t t a t i m e s t e p p i n g s c h e m e o f T u r k e l
S c h m i d t a n d J a m e s o n .
2 7
F o r t h i s s t u d y t h e c o d e w a s a p p l i e d t o a t r a n s i e n t
l a r g e a m p l i t u d e m o t i o n a t a f a i r l y l o w M a c h n u m b e r
r e p r e s e n t i n g a s i g n i c a n t d e p a r t u r e f r o m c a s e s w h i c h t h e
c o d e w a s o r i g i n a l l y i n t e n d e d . D u e t o t h i s n e w d e m a n d
i n g a p p l i c a t i o n a g r i d s t u d y a n d a t i m e s t e p s t u d y w i l l
b e p r e s e n t e d .
T h e f o l l o w i n g d e f a u l t s w e r e u s e d f o r t h e c o m p u t e d
r e s u l t s i n t h i s s t u d y u n l e s s o t h e r w i s e n o t e d R o e s u x
d i e r e n c e s p l i t t i n g a n e i g e n v a l u e l i m i t e r t h r e s h o l d v a l u e
o f 0 . 3 s e c o n d o r d e r u x r e c o n s t r u c t i o n u s i n g a o f 0 . 5
a n d G a u s s S e i d e l i m p l i c i t t i m e i n t e g r a t i o n w i t h a C F L
n u m b e r o f o n e m i l l i o n .
C o e c i e n t D e n i t i o n s
D e s c r i b i n g t h e a e r o d y n a m i c s o f t h e V T V L v e h i c l e
d u r i n g t h e p i t c h o v e r m a n e u v e r r e q u i r e s s p e c i c a t i o n o f
t h e f o r c e a n d m o m e n t c o e c i e n t s a s a f u n c t i o n o f a n g l e
o f a t t a c k . T h e a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s n o r m a l f o r c e
C
N
a x i a l f o r c e C
A
a n d p i t c h i n g m o m e n t C
m
a r e d e
n e d r e l a t i v e t o t h e v e h i c l e s s t a b i l i t y a x e s a s s h o w n i n
F i g u r e 3 a . T h e n o r m a l f o r c e c o e c i e n t C
N
i s p o s i t i v e
i n t h e z d i r e c t i o n w h i l e t h e a x i a l f o r c e c o e c i e n t C
A
i s
d e n e d p o s i t i v e i n t h e x d i r e c t i o n . U s i n g t h e r i g h t h a n d
r u l e c r o s s i n g t h e z a x i s i n t o t h e x a x i s g i v e s t h e p o s i t i v e
o r i e n t a t i o n f o r t h e p i t c h i n g m o m e n t c o e c i e n t C
m
. T h e
r e m a i n i n g a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s s i d e f o r c e C
Y
a n d
y a w i n g m o m e n t C
n
a r e d e n e d a s s h o w n i n F i g u r e 3 b .
+CN
+CA
+Cm
Flow
z
x
+
a N o r m a l a n d a x i a l f o r c e s p i t c h i n g m o m e n t .
+CY
+Cn
Flow
y
x
+
b S i d e f o r c e a n d y a w i n g m o m e n t .
F i g u r e 3 O r i e n t a t i o n o f f o r c e a n d m o m e n t
c o e c i e n t s .
A p o s i t i v e r o l l i n g m o m e n t C i s g i v e n b y t h e r i g h t h a n d
r u l e a b o u t t h e x a x i s .
F o r t h i s v e h i c l e t h e s t a b i l i t y a x e s l o c a t e d a t t h e
c e n t e r o f g r a v i t y w a s g i v e n a s 4 . 3 8 8 5 0 0 . T h e r e f e r
e n c e l e n g t h f o r t h e m o m e n t c o e c i e n t s i s t h e b a s e r a d i u s
1 . 1 2 a n d t h e r e f e r e n c e a r e a f o r a l l t h e n o n d i m e n s i o n a l
c o e c i e n t s u s i n g t h e b a s e r a d i u s i s 3 . 9 4 .
P i t c h R a t e S c h e d u l e
T h e p i t c h s c h e d u l e c h o s e n f o r t h i s s t u d y i s s h o w n i n
F i g u r e 4 . T h e m a n e u v e r i s t h e r s t h a l f o f a s i n e f u n c
t i o n . T h e v e h i c l e i s a s s u m e d t o b e i n s t e a d y i g h t a t
1 7 . 5 d e g r e e s a n g l e o f a t t a c k M a c h 0 . 2 . A t t i m e z e r o
t h e v e h i c l e b e g i n s t h e p i t c h o v e r m a n e u v e r r e a c h i n g a
m a x i m u m p i t c h r a t e e x a c t l y h a l f w a y t h r o u g h t h e m a
n e u v e r a n d n i s h i n g a t a 1 8 0 d e g r e e a n g l e o f a t t a c k . F o r
t h i s s t u d y t h e t i m e t o c o m p l e t e t h e m a n e u v e r T
f
w a s
c h o s e n a s 9 0 s e c o n d s g i v i n g a m a x i m u m r o t a t i o n r a t e
o f 3 . 1 d e g r e e s p e r s e c o n d a t 4 5 s e c o n d s t h r o u g h t h e m a
n e u v e r . F o r s i m p l i c i t y i t i s a s s u m e d t h a t t h e f r e e s t r e a m
M a c h n u m b e r 0 . 2 r e m a i n s c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e m a
n e u v e r .
3
A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s
-
8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
5/12
0
30
60
90
120
150
180
,
deg
Tf
0 Tf/4 Tf/2 3Tf/4
Time
a A n g l e o f a t t a c k .
0
1
2
3
4
Tf
0 Tf/4 Tf/2 3Tf/4
Time
deg/s
,.
b P i t c h r a t e .
-0.16
-0.08
0.00
0.08
0.16
Time
..,
deg/s2
Tf/4 3T
f/4 Tf
c P i t c h a c c e l e r a t i o n .
F i g u r e 4 D e n i t i o n o f p i t c h o v e r m a n e u v e r .
R e s o l u t i o n S t u d i e s
S i n c e t h i s i s t h e r s t t i m e t h e 3 D 3 U c o d e h a s b e e n
r u n t o p r e d i c t a t r a n s i e n t m o t i o n b o t h a g r i d c o n v e r
g e n c e a n d t i m e s t e p c o n v e r g e n c e s t u d y w e r e p e r f o r m e d .
S p a t i a l
F i g u r e 5 r e p r e s e n t s s t e a d y r e s u l t s f o r a n a n g l e o f
a t t a c k r a n g e f r o m 0 t o 9 0 d e g r e e s u s i n g a c o a r s e a n d a
n e g r i d . A s a l l u d e d t o e a r l i e r t h e e e c t s o f g r i d r e s o
l u t i o n o n t h e s e p a r a t i o n l i n e s i s s i g n i c a n t . T h i s i s d u e
t o t h e f a c t t h a t t h i s i s a n i n v i s c i d s i m u l a t i o n a n d t h e
0 15 30 45 60 75 900.0
0.6
1.2
1.8
2.4
CN
, deg
Mesh 1S
Mesh 2S
a N o r m a l f o r c e c o e c i e n t .
0 15 30 45 60 75 90-0.4
0.0
0.4
0.8
, deg
Mesh 1S
CA
Mesh 2S
b A x i a l f o r c e c o e c i e n t .
0 15 30 45 60 75 90-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
, deg
Mesh 1S
Cm
Mesh 2S
c P i t c h i n g m o m e n t c o e c i e n t .
F i g u r e 5 G r i d c o n v e r g e n c e s t u d y .
4
A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s
-
8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
6/12
o n l y v i s c o s i t y p r e s e n t i s d u e t o t h e n u m e r i c d i s c r e t i z a
t i o n a n d a s t h e g r i d i s r e n e d t h e a m o u n t o f n u m e r i c a l
v i s c o s i t y d e c r e a s e s y i e l d i n g a m o r e n e a r l y i n v i s c i d s o
l u t i o n . S i n c e t h e o w t a k e s l o n g e r t o s e p a r a t e o n t h e
r e n e d g r i d d u e t o l e s s n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n t h e f o r c e
c o e c i e n t s a r e l o w e r e d d u e t o t h e s m a l l e r a r e a o f l o w
p r e s s u r e s e p a r a t e d o w o n t h e l e e w a r d p o r t i o n s o f t h e
v e h i c l e .
A s t h e g u r e c l e a r l y s h o w s t h e s o l u t i o n i s n o t g r i d
c o n v e r g e d b y a n y m e a s u r e . T h e q u e s t i o n o f g r i d c o n v e r
g e n c e o f a n i n v i s c i d s o l u t i o n f o r a o w p r o b l e m i n v o l v i n g
s e p a r a t e d o w d o e s n o t h a v e a t r u e a n s w e r s i n c e t h e g o v
e r n i n g e q u a t i o n s a r e n o t c o r r e c t . W i t h o u t m o d e l i n g t h e
N a v i e r S t o k e s e q u a t i o n s t h e s o l u t i o n s o b t a i n e d c a n a n d
s h o u l d o n l y b e u s e d q u a l i t a t i v e l y .
T e m p o r a l
F i g u r e 6 s h o w s e e c t o f s u c c e s s i v e l y r e n i n g t h e
t i m e s t e p . T h e t h r e e t i m e s t e p s c h o s e n w e r e 1 6 0 t h
1 1 2 0 t h a n d 1 2 4 0 t h o f a s e c o n d . T h e 1 1 2 0 t h d a t a i s
t h e u n m a r k e d l i n e b o u n d e d b y t h e 1 6 0 t h a n d 1 2 4 0 t h
l i n e s o n l y d i s g u i s h a b l e a r o u n d 4 5 d e g r e e s a n g l e o f a t
t a c k . S i n c e t h e t i m e s t e p p i n g s c h e m e i s f o r m a l l y r s t
o r d e r a c c u r a t e a n d t h e c o d e w a s r u n i n a n i m p l i c i t t i m e
s t e p p i n g m o d e a s i g n i c a n t e e c t w a s e x p e c t e d f o r v a r i
a t i o n o f t h e t i m e s t e p b u t a s F i g u r e 6 s h o w s t h e o n l y
e e c t o c c u r r e d i n t h e 3 0 t o 6 0 d e g r e e a n g l e o f a t t a c k
r a n g e o f t h e m a n e u v e r . T h i s i m p l i e s t h a t e x c e p t f o r t h a t
r e g i o n t h e i n i t i a l t i m e s t e p c h o s e n w a s s m a l l e n o u g h t o
r e s o l v e t h e o w i n a g l o b a l s e n s e . T h e t i m e d e p e n d e n t
r e s u l t s p r e s e n t e d w e r e c o m p u t e d u s i n g t h e 1 2 4 0 t h s e c
o n d t i m e s t e p a n d a r e c o n s i d e r e d t o b e t e m p o r a r i l y c o n
v e r g e d .
30 60 90 120 150 1800.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
t=1/240s
t=1/60s
CN
, deg
F i g u r e 6 T i m e s t e p c o n v e r g e n c e s t u d y n o r m a l f o r c e
c o e c i e n t f o r v a r i o u s t i m e s t e p s M e s h 1 F .
R e s u l t s
S t e a d y F l o w
A s a m e a n s t o e x a m i n e t h e u n s t e a d y e e c t s o f t h e
p i t c h o v e r m a n e u v e r i t s e l f s t e a d y o w a t s e l e c t e d a n g l e s
o f a t t a c k w e r e c o m p u t e d . F i g u r e 7 s h o w s a c o m p a r i s o n
o f t w o a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s w i t h t h e e x p e r i m e n t a l
d a t a o f W o o d s
1 0
f o r a n g l e s o f a t t a c k f r o m 0 t o 6 0 d e
g r e e s . T h e c o m p u t e d r e s u l t s a g r e e w e l l a t s m a l l a n g l e s
o f a t t a c k a n d d i v e r g e f r o m t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a s
t h e a n g l e o f a t t a c k i n c r e a s e s d u e t o t h e d i e r e n t p o s i t i o n
o f t h e l e e s i d e s e p a r a t i o n l i n e a v i s c o u s p h e n o m e n o n . A s
d i s c u s s e d e a r l i e r s i n c e t h e c o m p u t e d r e s u l t s a r e m o d e l
i n g i n v i s c i d o w t h e o n l y m e c h a n i s m f o r o w s e p a r a t i o n
i s t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i n t h e s c h e m e . T h u s t h e
e x a c t l o c a t i o n o f t h e c o m p u t e d s e p a r a t i o n l i n e i s h i g h l y
g r i d a n d s c h e m e d e p e n d e n t . S i n c e t h e l e e s i d e s e p a r a t i o n
l i n e r u n s a l m o s t t h e e n t i r e l e n g t h o f t h e v e h i c l e a s l i g h t
d e v i a t i o n c a n m a k e a l a r g e d i e r e n c e i n t h e i n t e g r a t e d
c o e c i e n t s .
0 10 20 30 40 50 600.0
0.8
1.6
2.4
, deg
Computed
Experiment
CN
a N o r m a l f o r c e c o e c i e n t .
0 10 20 30 40 50 600.0
0.4
0.8
, deg
Computed
Experiment
Cm
b P i t c h i n g m o m e n t c o e c i e n t .
F i g u r e 7 C o m p a r i s o n o f s t e a d y r e s u l t s w i t h
e x p e r i m e n t o f W o o d s .
1 0
5
A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s
-
8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
7/12
U n s t e a d y F l o w
F i g u r e 8 c o m p a r e s a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s f r o m
b o t h s t e a d y a n d u n s t e a d y c a l c u l a t i o n s . T h e s o l i d l i n e
r e p r e s e n t s t h e u n s t e a d y r e s u l t s a n d t h e s y m b o l s a r e
30 60 90 120 150 1800.0
0.6
1.2
1.8
2.4
CN
, deg
Steady
Unsteady
a N o r m a l f o r c e c o e c i e n t .
30 60 90 120 150 180-1.5
-0.5
0.5
1.5
, deg
Steady
Unsteady
CA
b A x i a l f o r c e c o e c i e n t .
30 60 90 120 150 180
-1.5
-0.5
0.5
1.5
, deg
Steady
Unsteady
Cm
c P i t c h i n g m o m e n t c o e c i e n t .
F i g u r e 8 C o m p a r i s o n o f s t e a d y a n d u n s t e a d y
a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s .
t h e s t e a d y o w r e s u l t s . R e c a l l F i g u r e 4 f o r t h e p i t c h
r a t e s a n d a c c e l e r a t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o e a c h a n g l e o f
a t t a c k . R e a d i l y d i s c e r n i b l e i s t h a t t h e s t e a d y a n d u n
s t e a d y a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s a r e s i g n i c a n t l y d i e r
e n t . T h e p i t c h i n g m o m e n t c o e c i e n t a p p e a r s t o h a v e
t h e l e a s t q u a n t i a b l e d e v i a t i o n w h e r e a s t h e u n s t e a d y
a x i a l f o r c e c o e c i e n t h a s a c o m p l e t e l y d i e r e n t q u a l i t a
t i v e p a t t e r n t h a n t h a t f o r q u a s i s t e a d y o w . T h e n o r m a l
f o r c e c o e c i e n t a p p e a r s t o h a v e t h e t i m e l a g b e h a v i o r e x
p e c t e d i n m o d e r a t e l y u n s t e a d y o w s h o w i n g t h e s a m e
g e n e r a l q u a l i t a t i v e t r e n d t h r o u g h o u t t h e a n g l e o f a t t a c k
r a n g e b u t w i t h t h e u n s t e a d y r e s u l t s l a g g i n g b e h i n d t h e
s t e a d y r e s u l t s .
A s a m e t h o d o f m o r e c l o s e l y e x a m i n i n g t h e i n t e
g r a t e d a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s b e h a v i o r c o e c i e n t o f
p r e s s u r e c o n t o u r s a r e s h o w n i n F i g u r e 9 . T h i s g u r e
s h o w s c o n t o u r s o n t h e v e h i c l e a n d o n t h e p i t c h p l a n e f o r
s e v e r a l a n g l e s o f a t t a c k . T h e s t e a d y r e s u l t s a r e s h o w n
o n t h e l e f t a n d t h e i n s t a n t a n e o u s u n s t e a d y r e s u l t s a r e
s h o w n o n t h e r i g h t . M o s t n o t a b l e i s t h e s i d e o f t h e v e h i
c l e s f o r e b o d y t h e u n s t e a d y c a s e h a s c o n s i s t e n t l y h i g h e r
p r e s s u r e s t h a n t h e s t e a d y c a s e a t a l l a n g l e s o f a t t a c k .
A s i m i l a r t r e n d i s a l s o r e e c t e d i n t h e s y m m e t r y p l a n e
c o n t o u r s h e r e t h e u n s t e a d y c a s e h a s a g e n e r a l l y h i g h e r
p r e s s u r e w h e r e t h e v e h i c l e i s r o t a t i n g i n t o t h e o n c o m i n g
o w w i t h a m o r e s e v e r e e x p a n s i o n i n t h e b a s e r e g i o n a s
c o m p a r e d t o t h e s t e a d y r e s u l t s .
F l o w A s y m m e t r y
F i g u r e 1 0 s h o w s a c o m p a r i s o n b e t w e e n a s y m m e t
r i c a l l y m o d e l e d v e h i c l e a n d a f u l l y m o d e l e d v e h i c l e f o r
a n a n g l e o f a t t a c k r a n g e b e t w e e n 2 0 a n d 6 0 d e g r e e s f o r
s t e a d y o w . A s b o r n e o u t b y t h e g u r e w i t h i n t h e a c c u
r a c y o f t h e c o m p u t a t i o n t h e r e a p p e a r t o b e n o a p p r e c i a
b l e a s y m m e t r i e s i n t h e s t e a d y o w . N o t e t h e e x p a n d e d
s c a l e s f o r t h e s i d e f o r c e a n d y a w i n g m o m e n t c o e c i e n t .
H o w e v e r f o r t h e u n s t e a d y c a s e a s y m m e t r i c o w
i s a p p a r e n t i n F i g u r e 1 1 . T h i s g u r e s h o w s d i e r e n c e s
b e t w e e n s y m m e t r i c v e h i c l e a n d f u l l v e h i c l e f o r u n s t e a d y
o w . F i g u r e 1 1 a l s o s h o w s t h e a p p e a r a n c e o f a s i d e f o r c e
y a w i n g m o m e n t a n d r o l l i n g m o m e n t p r e v i o u s l y r e p o r t e d
b y W o o d s
1 0
a l t h o u g h a t m u c h l o w e r o v e r a l l v a l u e s . I n
a d d i t i o n f o r t h i s s t u d y t h e m o s t s i g n i c a n t m a n i f e s t a
t i o n s o f t h e a s y m m e t r i e s o c c u r i n t h e 9 0 t o 1 3 5 d e g r e e
a n g l e o f a t t a c k r a n g e w h e r e a s t h e m o s t p r o n o u n c e d d i f
f e r e n c e s i n t h e n o r m a l f o r c e c o e c i e n t o c c u r i n t h e 3 0 t o
6 0 d e g r e e r a n g e . N o t e W o o d s
1 0
d i d n o t p e r f o r m t e s t s
a b o v e 6 0 d e g r e e s a n g l e o f a t t a c k f o r t h i s g e o m e t r y a n d
o w c o n d i t i o n .
C o n c l u d i n g R e m a r k s
T h e o b j e c t i v e o f t h e p r e s e n t w o r k w a s t o f o c u s
a n u n s t e a d y C F D m e t h o d o n t h e p r o b l e m o f p r e d i c t
6
A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s
-
8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
8/12
-
8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
9/12
-
8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
10/12
20 30 40 50 600.8
1.2
1.6
2.0
CN
, deg
Full vehicle
Symmetric vehicle
a N o r m a l f o r c e c o e c i e n t .
20 30 40 50 60-0.04
-0.02
0.00
, deg
CY
Full vehicle
Symmetric vehicle
b S i d e f o r c e c o e c i e n t .
20 30 40 50 600.0
0.4
0.8
, deg
CA
Full vehicle
Symmetric vehicle
c A x i a l f o r c e c o e c i e n t .
20 30 40 50 60-0.01
0.00
0.01
, deg
Full vehicle
Symmetric vehicle
Cn
d Y a w i n g m o m e n t c o e c i e n t .
F i g u r e 1 0 S t e a d y a s y m m e t r i e s i n t h e o w .
i n g V T V L v e h i c l e a e r o d y n a m i c s d u r i n g t h e p i t c h o v e r
m a n e u v e r . T h i s w a s a c c o m p l i s h e d t h r o u g h t h e u s e o f
t h e i n v i s c i d 3 D 3 U c o d e w i t h u n s t r u c t u r e d g r i d s . E v e n
t h o u g h t h e s i m u l a t i o n w a s p e r f o r m e d u s i n g a n i n v i s c i d
o w s o l v e r p r e d i c t i o n s f o r s t e a d y s t a t e c a s e s a g r e e d w i t h
e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a t t h e l o w a n g l e s o f a t t a c k . A s e
r i e s o f s t e a d y s o l u t i o n s a t d i s c r e t e p o i n t s i n t h e m a n e u v e r
w e r e c o m p u t e d a n d i t w a s s h o w n t h a t e v e n f o r t h e u n r e
a l i s t i c a l l y s l o w p i t c h o v e r r a t e s t u d i e d u n s t e a d y e e c t s
w e r e l a r g e . M o r e i m p o r t a n t l y t h e r o t a t i o n m a n e u v e r
a p p e a r s t o c r e a t e o w a s y m m e t r i e s l e a d i n g t o y a w i n g
m o m e n t s r o l l i n g m o m e n t s a n d s i d e f o r c e s w h i c h a r e n o t
s i g n i c a n t i n t h e q u a s i s t e a d y c a s e .
A s t h i s i s a n e x p l o r a t o r y s t u d y t h e r e i s c e r t a i n l y
r o o m f o r f u t u r e w o r k . T h e f o l l o w i n g i s j u s t a h a n d f u l
o f e x t e n s i o n s w h i c h w o u l d b e n e c e s s a r y t o c r e a t e a n e f
f e c t i v e d e s i g n t o o l i n c o r p o r a t i n g v i s c o u s e e c t s a l l o w
i n g m o v a b l e c o n t r o l s u r f a c e s c o u p l i n g a s i x d e g r e e o f
f r e e d o m r i g i d b o d y d y n a m i c s s o l v e r a d d i n g c o n t r o l l a w
a n d p o s s i b l y i n c o r p o r a t i n g g r i d a d a p t i v e c a p a b i l i t i e s .
A c k n o w l e d g m e n t s
T h a n k s a r e e x t e n d e d t o S c o t t W a r d a n d J o h n C o p
p e r o f M c D o n n e l l D o u g l a s S p a c e S y s t e m s C o m p a n y
H u n t i n g t o n B e a c h C a l i f o r n i a f o r p r o v i d i n g t h e c o n c e p t
g e o m e t r y u s e d i n t h i s s t u d y .
D r . N e i l C h e a t w o o d o f V i g y a n H a m p t o n V i r g i n i a
p r o v i d e d t h e s u r f a c e g e o m e t r y p a t c h d e n i t i o n w h i c h
w a s u s e d a s i n p u t f o r t h e u n s t r u c t u r e d g r i d g e n e r a t i o n
a n d D r . R a m a d a s P r a b h u o f L o c k h e e d E n g i n e e r i n g a n d
S c i e n c e s C o r p o r a t i o n H a m p t o n V i r g i n i a g e n e r a t e d t h e
u n s t r u c t u r e d s u r f a c e a n d v o l u m e g r i d s w h i c h u s i n g t h e
F E L I S A p a c k a g e .
1 3
T h a n k s a r e a l s o e x t e n d e d t o D r . J o h n B a t i n a
D r . N e a l F r i n k D r . R o b e r t M i t c h e l t r e e a n d R o b e r t
S c o t t o f N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r H a m p t o n V i r
g i n i a a s w e l l a s t o D r . D i m i t r i M a v r i p l i s o f I C A S E
H a m p t o n V i r g i n i a a n d D r . R u s s R a u s c h o f L o c k h e e d
9
A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s
-
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11/12
30 60 90 120 150 1800.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Full vehicle
CN
, deg
Symmetric
a N o r m a l f o r c e c o e c i e n t .
30 60 90 120 150 180-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
, deg
CY
Full vehicle
Symmetric
b S i d e f o r c e c o e c i e n t .
30 60 90 120 150 180-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0.000
0.002
0.004
, deg
Cn
Symmetric
Full vehicle
c Y a w i n g m o m e n t c o e c i e n t .
30 60 90 120 150 180-0.004
0.000
0.004
0.008
0.012
0.016
, deg
Symmetric
Full vehicle
Cl
d R o l l i n g m o m e n t c o e c i e n t .
F i g u r e 1 1 U n s t e a d y a s y m m e t r i e s i n t h e o w .
E n g i n e e r i n g a n d S c i e n c e s C o r p o r a t i o n H a m p t o n V i r
g i n i a f o r t h e i r h e l p f u l d i s c u s s i o n s t h r o u g h o u t t h i s s t u d y .
R e f e r e n c e s
1
B e k e y I . P o w e l l R . a n d A u s t i n R . N A S A S t u d
i e s A c c e s s t o S p a c e A e r o s p a c e A m e r i c a M a y 1 9 9 4
p p . 3 8 4 3 .
2
D o r n h e i m M . A . N A S A A w a r d s R L V C o n
t r a c t s A v i a t i o n W e e k S p a c e T e c h n o l o g y J u n e 2 7
1 9 9 4 p p . 2 2 2 3 .
3
A u s t i n R . E . a n d C o o k S . A . S S T O R o c k
e t s S t r e a m l i n i n g A c c e s s t o S p a c e A e r o s p a c e A m e r i c a
N o v e m b e r 1 9 9 4 p p . 3 4 3 8 .
4
D o r n h e i m M . A . D C X D e m o n s t r a t e s K e y M a
n e u v e r A v i a t i o n W e e k S p a c e T e c h n o l o g y J u l y 2 7
1 9 9 5 p p . 5 6 5 9 .
5
D a v i d L . D C X C o m p l e t e s P i v o t T e s t O v e r
W h i t e S a n d s S p a c e N e w s V o l . 6 N o . 2 7 J u l y 1 0 1 6
1 9 9 5 p p . 1 2 0 .
6
D o r n h e i m M . A . D C X H o l d s P r o m i s e B i g Q u e s
t i o n s R e m a i n A v i a t i o n W e e k S p a c e T e c h n o l o g y A u
g u s t 2 8 1 9 9 5 p p . 5 6 5 9 .
7
O L e a r y C . O . W e i r B . a n d W a l k e r J . M . A
N e w R i g f o r t h e M e a s u r e m e n t o f R o t a r y a n d T r a n s l a
t i o n a l D e r i v a t i v e s I C A S 9 4 3 . 4 . 1 S e p t e m b e r 1 9 9 4 . I n
1 9 t h C o n g r e s s o f t h e I n t e r n a t i o n a l C o u n c i l o f t h e A e r o
n a u t i c a l S c i e n c e s I C A S P r o c e e d i n g s .
8
E d w a r d s J . W . a n d M a l o n e J . B . C u r r e n t
S t a t u s o f C o m p u t a t i o n a l M e t h o d s f o r T r a n s o n i c U n
s t e a d y A e r o d y n a m i c s a n d A e r o e l a s t i c A p p l i c a t i o n s i n
A G A R D C o n f e r e n c e P r o c e e d i n g s T r a n s o n i c U n s t e a d y
A e r o d y n a m i c s a n d A e r o e l a s t i c i t y n o . 5 0 7 p p . 1 1 1 2 4
M a r c h 1 9 9 2 .
9
B a t i n a J . T . I m p l i c i t U p w i n d S o l u t i o n A l g o
r i t h m s f o r T h r e e D i m e n s i o n a l U n s t r u c t u r e d M e s h e s
A I A A J o u r n a l V o l . 3 1 N o . 5 M a y 1 9 9 3 p p . 8 0 1 8 0 5 .
S e e a l s o A I A A P a p e r 9 2 0 4 4 7 .
1 0
W o o d s W . C . a n d M e r s k i N . R . A e r o d y n a m i c
1 0
A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s
-
8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver
12/12
C h a r a c t e r i s t i c s o f a V e r t i c a l T a k e o V e r t i c a l L a n d i n g
V T V L S i n g l e S t a g e t o O r b i t V e h i c l e f r o m M 0 . 1 t o
1 0 A I A A P a p e r 9 5 1 8 2 8 1 9 9 5 .
1 1
S t e i n b r e n n e r J . P . C h a w n e r J . R . a n d F o u t s
C . L . T h e G R I D G E N 3 D M u l t i p l e B l o c k G r i d G e n e r a
t i o n S y s t e m W r i g h t R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t C e n t e r
R e p o r t W R D C T R 9 0 3 0 2 2 O c t o b e r 1 9 8 9 .
1 2
S a m a r e h A b o l h a s s a n i J . G r i d T o o l A S u r f a c e
M o d e l i n g a n d G r i d G e n e r a t i o n T o o l i n P r o c e e d i n g s o f
t h e W o r k s h o p o n S u r f a c e M o d e l i n g G r i d G e n e r a t i o n
a n d R e l a t e d I s s u e s i n C F D S o l u t i o n s V o l . C P 3 2 9 1
p p . 8 2 1 8 3 1 N A S A M a y 1 9 9 5 .
1 3
P e r a i r e J . M o r g a n K . a n d P e i r o J . U n s t r u c
t u r e d F i n i t e E l e m e n t M e s h G e n e r a t i o n a n d A d a p t i v e
P r o c e d u r e s f o r C F D i n A G A R D C o n f e r e n c e P r o c e e d
i n g s A p p l i c a t i o n o f M e s h G e n e r a t i o n t o C o m p l e x 3 D
C o n g u r a t i o n s n o . 4 6 4 p p . 1 8 . 1 1 8 . 1 2 1 9 9 0 .
1 4
K e n n o n S . R . M e y e r i n g J . M . B e r r y C . W . a n d
O d e n J . T . G e o m e t r y B a s e d D e l a u n a y T e t r a h e d r a l
i z a t i o n a n d M e s h M o v e m e n t S t r a t e g i e s f o r M u l t i B o d y
C F D A I A A P a p e r 9 2 4 5 7 5 A u g u s t 1 9 9 2 .
1 5
Y o s h i n a g a T . T a t e A . a n d S e k i n e H . S i d e
F o r c e o f B l u n t e d C i r c u l a r C y l i n d e r s a t H i g h A n g l e s o f
A t t a c k i n S u p e r s o n i c F l o w A I A A P a p e r 9 4 3 5 2 0 A u
g u s t 1 9 9 4 . I n A I A A A t m o s p h e r i c F l i g h t M e c h a n i c s C o n
f e r e n c e P r o c e e d i n g s .
1 6
C o b l e i g h B . R . H i g h A n g l e o f A t t a c k Y a w i n g
M o m e n t A s y m m e t r y o f t h e X 3 1 A i r c r a f t f r o m F l i g h
T e s t A I A A P a p e r 9 4 1 8 0 3 J u n e 1 9 9 4 . I n 1 2 t h A I A A
A p p l i e d A e r o d y n a m i c s C o n f e r e n c e P r o c e e d i n g s .
1 7
D u s i n g D . W . a n d O r k w i s P . D . O n C o m p u t i n g
V o r t e x A s y m m e t r i e s A b o u t C o n e s a t A n g l e o f A t t a c k
U s i n g t h e C o n i c a l N a v i e r S t o k e s E q u a t i o n s A I A A P a
p e r 9 3 3 6 2 8 A u g u s t 1 9 9 3 . I n A I A A A t m o s p h e r i c F l i g h t
M e c h a n i c s C o n f e r e n c e P r o c e e d i n g s .
1 8
F i s h e r D . F . a n d C o b l e i g h B . R . C o n t r o l
l i n g F o r e b o d y A s y m m e t r i e s i n F l i g h t E x p e r i e n c e w i t h
B o u n d a r y L a y e r T r a n s i t i o n S t r i p s A I A A P a p e r 9 4
1 8 2 6 J u n e 1 9 9 4 . I n 1 2 t h A I A A A p p l i e d A e r o d y n a m i c s
C o n f e r e n c e P r o c e e d i n g s .
1 9
N e w s o m e R . W . a n d K a n d i l O . A . V o r t i c a l F l o w
A e r o d y n a m i c s P h y s i c a l A s p e c t s a n d N u m e r i c a l S i m u
l a t i o n A I A A P a p e r 8 7 0 2 0 5 J a n u a r y 1 9 8 7 .
2 0
R o e P . L . A p p r o x i m a t e R i e m a n n S o l v e r s P a
r a m e t e r V e c t o r s a n d D i e r e n c e S c h e m e s J o u r n a l o f
C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s V o l . 4 3 O c t o b e r 1 9 8 1 p p . 3 5 7
3 7 2 .
2 1
L i o u M . S . a n d C h r i s t o p h e r J . S t e e n J . A N e w
F l u x S p l i t t i n g S c h e m e N A S A T M 1 0 4 4 0 4 M a y 1 9 9 1 .
2 2
v a n L e e r B . F l u x V e c t o r S p l i t t i n g f o r t h e E u
l e r E q u a t i o n s L e c t u r e N o t e s i n P h y s i c s N o . 1 7 0 J u l y
1 9 8 2 p p . 5 0 7 5 1 2 .
2 3
E i n f e l d t B . M u n z C . D . R o e P . L . a n d S j o g r e e n
B . O n G o d u n o v T y p e M e t h o d s n e a r L o w D e n s i t i e s
J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s N o . 9 2 F e b r u a r y
1 9 9 1 p p . 2 7 3 2 9 5 .
2 4
v a n L e e r B . T o w a r d s t h e U l t i m a t e C o n s e r v a
t i v e S c h e m e . V . A S e c o n d O r d e r S e q u e l t o G o d u n o v s
M e t h o d J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s V o l . 3 2
1 9 7 9 p p . 1 0 1 1 3 6 .
2 5
F r i n k N . T . P a r i k h P . a n d P i r z a d e h S . A
F a s t U p w i n d S o l v e r f o r t h e E u l e r E q u a t i o n s o n T h r e e
D i m e n s i o n a l U n s t r u c t u r e d M e s h e s A I A A P a p e r 9 1
0 1 0 2 J a n u a r y 1 9 9 1 .
2 6
M u l d e r W . A . a n d v a n L e e r B . E x p e r i m e n t s
w i t h I m p l i c i t U p w i n d M e t h o d s f o r t h e E u l e r E q u a
t i o n s J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s V o l . 5 9 1 9 8 5
p p . 2 3 2 2 4 6 . S e e a l s o A I A A P a p e r 8 3 1 9 3 0 . .
2 7
J a m e s o n A . S c h m i d t W . a n d T u r k e l E . N u
m e r i c a l S o l u t i o n s o f t h e E u l e r E q u a t i o n s b y F i n i t e
V o l u m e M e t h o d s U s i n g R u n g e K u t t a T i m e S t e p p i n g
S c h e m e s A I A A P a p e r 8 1 1 2 5 9 J u n e 1 9 8 1 .
1 1
A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s