3. Метод конечных разностей
1. Основные понятия
( ) ( ), ,
( ) ( ), ,
L u x f x x D
l u x x x
(1)
(2)
где L - линейный дифференциальный оператор, l – оператор
дополнительных (начальных, граничных) условий, .D D
Рассмотрим задачу:
заменяем на - дискретное множество узлов – сетка,
заменяем на - сеточные функции (зависят от
параметра h), ..
D h
( ) ,u x x D ( )h ny x
n hx
. Пространство H0 отображается на
пространство Hh:
0( ) , ( )h n hu x H y x H
0( ) ~ ( ) ( ), ,h h h hu x H u x Р u x u H
где Ph - линейный оператор из H0 в Нh.
На линейном пространстве Нh вводятся сеточные нормы -
аналоги норм в пространстве H0.
h hy
Условие согласования норм:
00lim h hh
u u
, где - норма в пространстве H0. 0
,h hu Р u u
Пусть
где - множество внутренних узлов, γh – множество
граничных узлов.
( ) ( ), , ( ) ( ), ,h h h h h hx P f x x x P x x ,h h h h
( ) ( ) ( ) ( ).m
hx L u x Lu x O h (3)
Перейдем от дифференциальных операторов к разностным:
( ) ( ), ,
( ) ( ), .
h h h h
h h h h
L y x x x
l y x x x
(4)
, .h hL L l l
Задаче (1) – (2) ставится в соответствие система алгебраических
(разностных) уравнений
(5)
Будем говорить, что Lh аппроксимирует L с порядком m>0 в точке x,
если
Семейство уравнений (4), (5), зависящих от параметра h, называется
разностной схемой.
( ) , ,
( ) , ,
h h h h
h h h h
L z x x
l z x x
(6)
Пусть zh=yh-uh, где uh=Phu. Так как Lh и lh -
линейные операторы, то получаем задачу:
(7)
где и νh - погрешности аппроксимации на
решении u(x) разностной схемой уравнения (1) и
дополнительного условия (2). Схема (4)- (5):
h
1) аппроксимирует задачу(1)-(2) и имеет m-й
порядок аппроксимации, если
2 3( ), ( );
m m
h hh hO h O h (8)
2) сходится и имеет m – й порядок точности, если
(1 )( ).
m
h h hy u O h (9)
Схема (4)-(5) корректна (разностная задача
поставлена корректно), если при всех достаточно
малых : 0h h
1) разностная задача однозначно разрешима при
любых входных данных ; 2) решение равномерно по h непрерывно зависит
от входных данных (свойство устойчивости).
,h h
hy
Если Lh и lh - линейные операторы, то при 0h h
1 2(1 ) (2 ) (3 ),h h hh h h
y M M (10)
где - постоянные, не зависящие от h и
выбора входных данных .
1 20, 0M M
,h h
Если схема (4)-(5) устойчива, а zh – решение задачи
(6)-(7),
то (10) =>
1 2(1 ) (1 ) (2 ) (3 )h h h h hh h h hy u z M M (11)
Из равенства (11) следует утверждение:
Если линейная схема (4)-(5) устойчива и
аппроксимирует задачу (1)-(2) , то она сходится (из
устойчивости и аппроксимации линейной схемы
следует ее сходимость).
Порядок точности схемы (4)-(5) определяется
порядком аппроксимации.
2. Разностная задача для уравнения
теплопроводности на отрезке 2
2
0
0 1
( , ), 0 1, 0 ,
( ,0) ( ), 0 1,
(0, ) , (1, ) , 0 .
u uf x t x t T
t x
u x u x x
u t u t t T
(12)
(13)
Разностная аппроксимация оператора 2
2.
u uLu
t x
Введем равномерные сетки :
; 0,1,..., ; 1 ,
; 0,1,..., ; ,
( , ) ,
0 1 ; 0 .
h n
s
h h n s
x nh n N hN
t s s S S T
x t D
D x t T
(14)
Назовем шаблоном
множество узлов, на котором
записывается оператор
(0)
2
( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )h
w x t w x t w x h t w x t w x h tL w
h
(15)
(x,t+τ)
(x-h,t) (x,t) (x+h,t)
ˆ( , ), ( , )w w x t w w x t
ˆt
w ww
(16)
2
( , ) 2 ( , ) ( , )xx
w x h t w x t w x h tw
h
(0)
h t xxL w w w
1( ( ) ( ))
1( ( ) ( ))
1( )
x
x
xx x x
v v x v x hh
v v x h v xh
v v vh
(17)
(x,t)
(x-h,t+τ) (x,t+τ) (x+h,t+τ)
(x-h,t) (x,t) (x+h,t)
(x-h,t+τ) (x,t+τ) (x+h,t+τ)
(1) ˆh t xxL w w w (18)
( ) ˆ( (1 ) )h t xx xxL w w w w
(19)
22
2
2 2 44
2 4
( , ) ( , ) ( )2
( , ) ( , ) ( )12
t
xx
w ww x t x t O
t x
w h ww x t x t O h
x x
(20)
2 2
3
2, , ,
2!
w ww x t w x t x t O
t t
22
2
, ,ˆ, ,
2t
w x t w x tw w w ww x t x t O
t t
2 2 3 3
2 3, , , , ,
2! 3!
w h w h ww x h t w x t h x t x t x t
x x x
4 4 5 5 6 6
7
4 5 6, , ,
4! 5! 6!
h w h w h wx t x t x t O h
x x x
, , , ,1x xxx
w x h t w x t w x t w x h tw ww
h h h h
2 2 4
4
2 4, ,
12
w h wx t x t O h
x x
Подставляя (20) в (17), (18), получим
(0) (0) 2( , ) ( )hL w Lw x t O h
(21)
(1) (1) 2( , ) ( )hL w Lw x t O h
(22)
При σ=0,5 («симметричная схема») получаем
(0,5) (0,5) 2 2( , ) ( ),2
hL w Lw x t O h
(23)
где ψ - погрешность аппроксимации оператора L
соответствующим разностным оператором Lhτ.
Добавляя к разностному уравнению разностные
начальные и граничные условия (13), (14), получим
разностную начально – краевую задачу (схему):
( )
0
0 1
ˆ( (1 ) ) , ( , ) ,
( ,0) ( ), ,
(0, ) , (1, ) , ,
h t xx xx n s h
n h
s
L y y y y x t
y x u x x x
y t y t t t
(24)
(25)
(26)
где . ( , )s
n n sx t
Схема (24)-(26) аппроксимирует задачу (12)-(14) с
порядком при и при
.
2( )O h 0, 1 2 2( )O h
0,5
Схема называется явной, если σ=0.
При σ≠0 схема называется неявной (при σ=1 – чисто
неявной).
2 2 3 3
4
2 3
1 1, , , ,
2 2 2 2! 4 2 3! 8 2
w w ww w x t x t x t x t O
t t t
2 2 3 3
4
2 3
1 1ˆ , , , ,
2 2 2 2! 4 2 3! 8 2
w w ww w x t x t x t x t O
t t t
2 2
0.5 3
2
1
2
1ˆ , ,
2 3! 4 2h t xx xx
w wL w w w w x t x t O
t t
2 2 4 2 2 4
4
2 4 2 4
1
2
, , , ,12 12
w h w w h wx t x t x t x t O h
x x x x
2 2 3
2 2
2 2
1
2 2 2! 8 2
w w wx x x O h t
t x x t
2
2 2 2 2
2, , ,
2 2 2
w wx t x t O h Lw x t O h
t x
Явная схема (σ=0):
1
1 12( 2 )s s s s s s
n n n n n ny y y y yh
(27)
1,2,..., 1; 0,1,..., .n N s M
Чисто неявная схема (σ=1):
1 1 1
1 12 2 2
1 2 1 1 1( ) ( )s s s s s
n n n n ny y y yh h h
(28)
1,2,..., 1; 0,1,..., .n N s M
Теорема
Для устойчивости разностной схемы (24)-(26)
достаточно, чтобы существовали такие не зависящие
от h и τ постоянные и , при которых
имеет место оценка 1 0C
Доказательство:
1 1
1 2 1 1 2 2
2 1 1 0
1 2 1 1 2
1
1 1 1 0 2 1
(1 ) (1 ) (1 )
(1 ) 1 (1 ) ... (1 ) 1
(1 ) ... (1 ) (1 ) ( 1)(1 ) , ,
s s s
s s
s m m
y C y C C C y C C
C y C C C y C
C C C u C m C s m
2 0C
1
1 2(1 )s sy C y C (29)
Замечание. В (29) введены нормы:
равномерная (чебышевская): ,
max s
nn s
y y (30)
на s-м слое: maxs s
nn
y y(31)
(32)
Так как
1 1
1 1(1 ) (1 )C M C Tm MC C e e (33)
при , то полагая m M 1
1 2 2 1,C T
M e M C TM
1 0 2 .y M u M (34)
Рассмотрим устойчивость чисто неявной схемы
(σ=1) (28) => 1 1 1 1
1 1 22 ,s s s s s s
n n n n n ny y y y yh
(35)
0
1 1 1maxs s s
k n nn
y y y (36)
0 0 0
1 1 1
1 12 0s s s
k k ky y y
(37)
0 0 0
1s s s
k k ky y (38)
0
1 1 1mins s s
n nn
y y y (39)
0 0 0
1 1 1
1 12 0s s sy y y
(40)
0 0 0
1s s sy y (41)
(38), (41) =>
0 0 0 0 0 0
1 1 1s s s s s s s
n k k ky y y y y (42)
(42) => 1s s
ny y (43)
(43) => 1s sy y (44)
Рассмотрим устойчивость явной схемы (σ=0)
(27) => 1
1 1(1 2 )s s s s s
n n n n ny y y y
(45)
1
1 1(1 2 )
(1 2 )
s s s s s
n n n n n
s s
y y y y
y y
(46)
Пусть . Тогда и получим 1
2 1 2 0
(46) =>
1s sy y (47)
1
1 1
1
(1 2 )
( 1) (1 2 ) ( 1) (4 1)
s s s s
n n n n
n n
y y y y
(48)
Пусть - ошибка на s-м слое. ( 1) , 0s n
ny
1(4 1) , 4 1 1
2
s k k
ny
ошибка неограниченно возрастает, причем с
уменьшением шага сетки ошибка нарастает
(увеличивается число шагов).
Выводы. Чисто неявная схема является безусловно
устойчивой. Явная схема является условно
устойчивой при выполнении условия или
(условие Куранта).
1
2
(49) 2
2
h
3. Метод прогонки
1, 2, ..., 11 1
0 1 1 1 2 1 2
,
æ , æ
n Nn n n n n n n
N N
A y C y B y F
y y y y
(50)
(51)
1, 2, ..., 1.0, 0, n Nn nA B
0, 1, 2, ..., 1.1 1 1, n Nn n n ny y (52)
(52) =>
1 1 1 1n n n n n n n n n ny y y (53)
(50),(52),(53) =>
1 1
1
( ( ) )
( ( ) ) 0
n n n n n n
n n n n n n n
A C B y
A C A F
(54)
(54) =>
1
1, 2, ..., 11
nn
n n n
n n nn Nn
n n n
B
C A
A F
C A
(55) Прямой ход:
(51),(52) n=0 =>
1 1 1 1æ , (56)
(51),(52) n=N-1 =>
2 2
2
æ
1- æ
NN
N
y
(57)
Обратный ход:
1, 2, ..., 01 1 1, n N Nn n n ny y (58)
Достаточные условия устойчивости:
1, 2, ..., 1,
1 2
,
æ 1, 1,2, æ æ 2
n Nn n nC A B
(59)
Число арифметических операций прогонки . ( )O N
Покажем, что (59)=> 1, 2, ...,1, i Ni
Индукция: а) ; б) . 1 1æ 1 11 1i i
(59)=> (1 ) 0i i i i i i i i i iC A B C A B A (59а)
, (59а)=> 0i i iC A 0iB
(59а)=> i i i iC A B 1 1.i
i
i i i
B
C A
Покажем, что 11 1i i
Если , то ,(59а) => 1 1 0iA
Покажем, что (59)=> 21 æ 0.n
2 2 21 æ 1 æ 1 æ 0.N N
2 1 1æ 1 æ 1 1 1N
1 1.i i i i iC A B
а)
2 21 æ 1 æ 1 0.N N N
2 1 1æ 1 æ 1 1 1N б)
При ошибка не нарастает: 1 1 1i i iy y y 1i
1 1 1 1 1 1 1 1,i i i i i i i i i i iy y y y y y
1 1 1i i i iy y y
Если возмущаются, то ,
где - ошибка округления.
2
01max i
i Ny N
1 1,i i
0