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8/11/2019 2PRACTICA CALIFICADA FINITOS
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA
FACULTAD DE INGENIERA MECNICA
2 PRACTICA CALIFICADA
CURSO:
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
TEMA:Traccin Con Deformacin Trmica
ALUMNO:
Anampa Vargas Anthony Vicente 20091101D
SECCION:
MC 1516 - D
PROFESOR:
Ing. Ronald Cueva Pacheco
Lima, 03 de Octubre del 2012
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PROBLEMA N1
Considere la placa delgada (acero) de la figura .La placa tiene un espesor uniforme t =150mm,mdulo de Young E =3.0x105 N/mm2y peso especfico= 8.0gr-f/cm3. Ademsde su propio peso, la placa est sometida a una carga concentrada PA= 50000Nen
el punto indicado.Se produce un aumento de temperatura T=180C. El coeficiente de dilatacin para elmaterial es de =11 x.
Modele la placa con tres elementos finitos.
Escriba expresiones para las matrices de rigidez del elemento y vectores fuerza de
cuerpo del elemento.
Ensamble la matriz de rigidez estructural K y el vector de carga global.
Evale los esfuerzos en cada elemento. Determine la fuerza de reaccin en el soporte.
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SOLUCIN:
Datos:
E =3.0x105 N/mm2 t = 150mm PA= 50000N = 8.0gr-f/cm3 T=200C =11 x
1.- MODELADO DEL CUERPO REAL
Se va a considerar cinco elementos finitos. Para facilitar los clculos los dos primeros sernde longitud de 250mm y los dems de 166.67mm.
El ancho de cada elemento se calcula tomando el punto medio de cada elemento finito.
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Hallando las bases medias por proporcionalidad:
Las reas se calculan de la siguiente relacin:
Luego se obtiene el Cuadro de conectividad:
e NODOS GDL () ()(1) (2) 1 2
1 1 2 1 2 250 1575002 2 3 2 3 250 1125003 3 4 3 4 166.67 750004 4 5 4 5 166.67 450005 5 6 5 6 166.67 15000
2.-GRADOS DE LIBERTAS NODALES (Vector Desplazamiento)
A travs del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:
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Luego el vector de desplazamiento ser:
[
]
Donde = 0 pues la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son incgnitas quetendrn que ser calculadas.
3.- VECTOR CARGA:
Debido a que la densidad es: = 8.0gr-f/cm3= 8.0x10^-3gr-f/mm3
Se hallara el peso con este valor asumiendo que este se distribuye de manera simtrica en
cada nodo.
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Analizando las fuerzas en cada elemento finito:
Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
Entonces el vector carga se expresara de la siguiente manera:
[
]
[
]
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4.- MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que est determinada por lasiguiente ecuacin:
( )
( )
( )
( )
( )[
]
Reemplazando los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad tenemos:
[
]
[
]
Finalmente:
[
]
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5.- ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICION DE CONTORNO
La ecuacin de rigidez es la siguiente:
Lo que con nuestros valores calculados tenemos:
[
]
[
]
[
]
Para poder resolver este sistema de ecuaciones tomamos la siguiente submatriz:
[
]
[
]
[
]
Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:
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Para obtener la reaccin en el empotramiento tomamos la siguiente sub-matriz:
Reemplazando los valores de Q obtenemos:
6.-ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:
( )
Donde:
Y obtenemos lo siguiente:
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7.- RESULTADOS
Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
Magnitud Valor Unidad DescripcinR1
N
MPa Compresin MPa Compresin MPa Compresin MPa Compresin MPa Compresin8.- DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
INGRESO DE DATOS
CONSTANTES : E, f, t, T,n,m
VECTORES : L, A, P
CALCULO DE VECTORES
F= ;
n
n
nn
nn
mm
mm
mm
mm
TEAAL
TEATEAALAL
TEATEAALAL
PTEATEAALAL
TEATEAALAL
RTEAAL
)(2
)()(22
.. .
)()(22
)()(22
.. .
)()(22
1)(2
1
1
21
12
1
1
21
12
1
1
-
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K=
.. .
.. ... .....
0
...
0
...0
...0
....00
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL
n
n
nn
nn
mm
mm
mm
mm
TEAAL
TEATEAALAL
TEATEAALAL
PTEATEAALAL
TEATEAALAL
TEAAL
)(2
)()(22
.. .
)()(22
)()(22
.. .
)()(22
)(2
1
1
21
12
1
1
21
12
1
1
=
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
00
0
00
001
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
nQ
Q
Q
R
.. .
1
3
2
IMPRESIN DE RESULTADOS
54321654321 ,,,,,,,,,, EEEEEQQQQQR
FIN
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9. FUNCIN EN MATLAB:
clc%constantesformat long;
H1=input('Ingrese la primera altura de la placa (mm)= ');H2=input('Ingrese la segunda altura de la placa (mm)= ');B=input('ingrese la base de la placa(mm)= ');
pa=input('Ingrese la carga PA(N) y con sentido= ');t=input('Ingrese el espesor de la placa (mm)= ');d=input('Ingrese la densidad del material (gr-f/cm3)= ');E=input('Ingrese el modulo de elasticidad (N/mm2)= ');dt=input('Ingrese el cambio de temperatura = ');x=input('Ingrese el coeficiente de dilatacin = ');d1=d*9.81*(10^-6);%condicion de contorno
contorno=[1];n=input ('Ingrese el N de elementos finitos de la primera parte (n) :');m=input ('Ingrese el N de elementos finitos de la segunda parte (m) :');%calculo de numero de nodosnnodos=[1:n+m+1];%calculo del vector LL=[(H1/n).*ones(1,n),(H2/m).*ones(1,m)]%calculo del vector HHN1=[B-B/(4*n):-B/(2*n):B/2+B/(4*n)];B1=B*H2/(H1+H2)HN2=[B1-B1/(2*m):-B1/m:0+B1/(2*m)];
h=[HN1,HN2]%calculo del vector PP=zeros(1,n+m+1);P(n+1)=pa%calculo del vector hA=t.*h;%Calculo del vector fuerza msica
pesoe=d1*0.5.*A.*L;pesoglobal=[pesoe,0]+[0,pesoe]%calculo del vector fuerza por deformacin trmicadtele=(x*dt*E).*A;
fori=1:n+mifi==1
dtglobal(i)=dtele(i)else
dtglobal(i)=dtele(i-1)-dtele(i)end
end%calculo de vector fuerza totalfori=1:n+m
ifi==1F(i)=-pesoglobal(i)+P(i)-dtglobal(i)
elseF(i)=-pesoglobal(i)+P(i)+dtglobal(i)
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endendF(n+m+1)=-pesoe(n+m)+P(n+m)+dtele(n+m)%Calculo de la matriz de rigidezkele=E.*A./L;
kglobal=diag([kele,0]+[0,kele])-diag(kele,1)-diag(kele,-1)%resolucion de la ecuacion matricial [F]=[K].[Q]%introduccion de las condiciones de contornoncon=setdiff(nnodos,contorno);KM=kglobal(ncon,ncon);FM=F(ncon);QM=inv(KM)*(FM)';%calculo de los dezplazamientosQ=zeros(size(nnodos,2),1);Q(ncon)=QM%calculo de esfuerzos
esf=(E.*diff(Q))./L'-E*x*dtR=kglobal*Q-F'
10.RESULTADOS DEL PROGAMA
Ingrese la primera altura de la placa (mm)= 250
Ingrese la segunda altura de la placa (mm)= 250
ingrese la base de la placa(mm)= 1200
Ingrese la carga PA(N) y con sentido= -50000
Ingrese el espesor de la placa (mm)= 150
Ingrese la densidad del material (gr-f/cm3)= 8
Ingrese el modulo de elasticidad (N/mm2)= 300000
Ingrese el cambio de temperatura = 200
Ingrese el coeficiente de dilatacin = 0.000011
Ingrese el N de elementos finitos de la primera parte (n) :2Ingrese el N de elementos finitos de la segunda parte (m) :3
L =
1.0e+02 *
Columns 1 through 4
1.250000000000000 1.250000000000000 0.833333333333333 0.833333333333333
Column 5
0.833333333333333
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B1 =
600
h =
1050 750 500 300 100P =
0 0 -50000 0 0 0
pesoglobal =
1.0e+03 *
Columns 1 through 4
0.772537500000000 1.324350000000000 0.797062500000000 0.392400000000000
Columns 5 through 6
0.196200000000000 0.049050000000000
dtglobal =
103950000
dtglobal =
103950000 29700000
dtglobal =
103950000 29700000 24750000
dtglobal =
103950000 29700000 24750000 19800000
dtglobal =
103950000 29700000 24750000 19800000 19800000
F =
-1.039507725375000e+08
F =
1.0e+08 *
-1.039507725375000 0.296986756500000
F =
1.0e+08 *
-1.039507725375000 0.296986756500000 0.246992029375000
-
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F =
1.0e+08 *
-1.039507725375000 0.296986756500000 0.246992029375000 0.197996076000000
F =1.0e+08 *
Columns 1 through 4
-1.039507725375000 0.296986756500000 0.246992029375000 0.197996076000000
Column 5
0.197998038000000
F =
1.0e+08 *
Columns 1 through 4
-1.039507725375000 0.296986756500000 0.246992029375000 0.197996076000000
Columns 5 through 6
0.197998038000000 0.098999509500000
kglobal =
378000000 -378000000 0 0 0 0
-378000000 648000000 -270000000 0 0 0
0 -270000000 540000000 -270000000 0 0
0 0 -270000000 432000000 -162000000 0
0 0 0 -162000000 216000000 -54000000
0 0 0 0 -54000000 54000000
Q =
0
0.274860425760582
0.549669926825397
0.733000898492063
0.916332717936508
1.099665142936508
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16/16
esf =
-0.334978174603179
-0.457197444444660
-0.008502000000021-0.005449999999996
-0.003269999999816
R =
1.0e+04 *
5.353159999999404
0.000000000000745
0
-0.000000000003725
-0.000000000000373
0.000000000000373
11.CONCLUSIONES
El hecho de que la densidad del material sea constante facilita mucho los clculos
ya que nos permite dividir la masa de cada elemento finito en dos partes iguales y
distribuirlas de manera simtrica en ambos nodos, si la densidad del material
seria variable sera un gran problema para los clculos.
La variacin de la temperatura no produce ningn esfuerzo debido a que la
expansin es libre; es decir; no hay nadie que se oponga a la dilatacin de la
placa, por lo que no se generara esfuerzos internos. En los resultados de MATLAB se puede observar una pequea diferencia ya que
en nuestros clculos manuales incurrimos en el error por redondeo.
A medida que se toma mayor nmero de elementos finitos ms exacto sern los
resultados encontrados.