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Mouvement PlanMouvement Plan1. DFINITION
Le mouvement dun solide S est dit plan quand les trajetoires des points du solide restentdans un plan parall!le " un plan de r#$#rene au ours du mouvement.
%. &'PP(LS
Propri#t# des vitesses )A une date t le vecteur vitesse dun point dun solide en mouvement et tangent en ce point laA une date t le vecteur vitesse dun point dun solide en mouvement et tangent en ce point la
trajectoire.trajectoire.
Mouvement de translation )A toute date t tous les points d'un solide S en mouvementA toute date t tous les points d'un solide S en mouvementde translation par rapport un repre R ont la mmede translation par rapport un repre R ont la mmevitesse.vitesse.
BetAVVRSBRSA
=
00 //
On dit que le champ des vitesses est uniforme.On dit que le champ des vitesses est uniforme.
Mouvement de rotation )a vitesse l dun point dun solide en rotationa vitesse l dun point dun solide en rotationautour dun a!e fi!e a une norme proportionnelle autour dun a!e fi!e a une norme proportionnelle la distance s"parant le point de la!e de rotation.la distance s"parant le point de la!e de rotation.
Soit # la vitesse angulaire instantan"e du solide SSoit # la vitesse angulaire instantan"e du solide Spar rapport au repre Rpar rapport au repre R
On poseOn pose BB VV = alors on aalors on a$$
%%&& # . O& et % # . O& et %AA # . OA # . OA
(onc(oncOA
OB
V
V
A
B=
*. (+,IP&O-(TI/IT
Soit A et & deu! points dun solide en mouvementSoit A et & deu! points dun solide en mouvement
plan quelconque dans le planplan quelconque dans le plan ),( yx ) le th"orme de) le th"orme del"quiprojectivit" s"critl"quiprojectivit" s"crit$$
ABVABVRSBRSA
= //
e t0#or!me se traduit par )es projections des vecteurs vitesses de deu!points dun solide sur la droite qui joint ces deu!points sont "gales et de mme sens.
(eries )
1
X
Y
AB
RSAV
/
RSBV /
X
S
Y0/RSA
V
0/RSBV
S solide en translation suivant x
B
A
X
Y
Pice en rotation autour de Z
0/RSAV
0/RSBV
B O
A
Z
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12*onnaissant RSAV / et la direction de RSBV / ) trace+ RSBV /
%2*onnaissant RSAV / et la trajectoire du point & par rapport R) trace+ RSBV /
*2*onnaissant*onnaissant RSBV / etet RSCV /
, -rouve+ la valeur de projection de, -rouve+ la valeur de projection de
RSCV
/ par "quiprojectivit"par "quiprojectivit"
des vecteurs vitesses entredes vecteurs vitesses entre
* et A* et A
, -rouve+ la valeur de projection de, -rouve+ la valeur de projection de RSBV / par "quiprojectivit"par "quiprojectivit"
des vecteurs vitesses entredes vecteurs vitesses entre
& et A& et A
, *onstruise+, *onstruise+ RSAV /
'ppliation 1'ppliation 1 ) (tude dun ompresseur) (tude dun ompresseur
2
A
B
RSAV
/
(irection de
RSBV
/
A
B
RSAV
/
(irection de
RSBV
/
-rajectoire de & S
R
x
y
R
x
y
A
C
B
x
y
R
RSBV /
RSCV
/
RSAV
/
-
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12
3
4
A
B
C
1/3BV
1/3CV
a vitesse de la rotation du vile/requin 0a vitesse de la rotation du vile/requin 0par rapport 1 est #par rapport 1 est #0101 1233 rads 1233 rads
e sch"ma cin"matique du compresseure sch"ma cin"matique du compresseurest repr"sent" en respectant l"chelle 1est repr"sent" en respectant l"chelle 1$ 1$ 1
4our repr"senter lensem/le des vecteurs4our repr"senter lensem/le des vecteursvitesses) vous utilisere+ l"chelle de 1cmvitesses) vous utilisere+ l"chelle de 1cmpour 13mspour 13ms
1515 *alcule+*alcule+ 1/2BV 620ms5620ms5
0505 -race+ la trajectoire du point &-race+ la trajectoire du point &appartenant 7 par rapport 1.appartenant 7 par rapport 1.
7575 -race+ la direction du vecteur-race+ la direction du vecteur
1/2BV
2525 -race+-race+ 1/2BV
8585 -race+ la direction du vecteur-race+ la direction du vecteur
1/3CV
9595 On admettra queOn admettra que 1/31/2 = BB VV
:n utilisant le th"orme de:n utilisant le th"orme de
l"quiprojectivit") trace+l"quiprojectivit") trace+ 1/3CV
'ppliation %'ppliation % ) Porte de 3ara3e) Porte de 3ara3e
3
A
B
x
y
R
RporteAV /
RporteBV /
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a vitesse de la rotation du treuil par rapport R est #a vitesse de la rotation du treuil par rapport R est #tRtR 13 trmin et son ra;on denroulement 13 trmin et son ra;on denroulement
est de 8 cmest de 8 cm
4our repr"senter lensem/le des vecteurs vitesses) vous utilisere+ l"chelle de 1cm pour 13mms4our repr"senter lensem/le des vecteurs vitesses) vous utilisere+ l"chelle de 1cm pour 13mms
1515 *alcule+*alcule+ RcableV / 680mms5680mms5
0505 -race+ la direction du vecteur-race+ la direction du vecteur RporteAV /
7575 -race+-race+ RporteAV /
2525 -race+ l la direction du vecteur-race+ l la direction du vecteur RporteBV /
8585 -race+-race+ RporteBV /
*. (NT&(INST'NT'N(D(&OT'TION
Soit un solide S en mouvement dans le planSoit un solide S en mouvement dans le plan ),,0( yx dun repre R. On appelle *entre
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(un point vue graphique(un point vue graphique $$
4our trouver le *
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%2*onnaissant RSAV / et RSBV / trace+trace+ RSCV / en utilisant le *
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7
1
2
3
4
A
B
C
1/3BV
1/3CV
I
C
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7575 On admettra queOn admettra que 1/31/2 = BB VV ) trace+ le *
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4. OMPOSITIOND(S/IT(SS(SD,NMO,/(M(NTPL'N
n homme marche la vitessen homme marche la vitesse 1/2V sur un tapis roulant dans le m"tro.sur un tapis roulant dans le m"tro.
n point du tapis avancen point du tapis avance
la vitesse la vitesse RV /1 parpar
rapport au sol.rapport au sol.
a vitesse de lhommea vitesse de lhommepar rapport R estpar rapport R estalorsalors$$
RR VVV /11/2/2 +=
9
Vit!! "#!$%&(C!t %" 'it!! " "$t
"& * +ix)
Vit!! %"ti'Vit!! ,-t".--t
A
B
x
y
R
1
2
x
y
R
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*omme dans cet e!emple simple et quelque soit le mouvement $
a relation de composition des vitesses se!prime tout instant par RSSSRS VVV /// 1122 +=
(eries )
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n /ateau traverse une rivire)-racer la vitesse de ce /ateau par rapport la/erge.-racer le point darriv"e du /ateau sur lautre /erge
On conna?t $a vitesse du /ateau par rapport au fluidea vitesse d"coulement de la rivire
as partiulier ) Point 5i6appartenant
(ans la r"solution de pro/lmes) il nest par rare davoir un mme pointappartenant deu! solides.
4ar e!emple le point & dans le compresseur appartient la fois au! solides 0 et7) cest donc un point /i,appartenant. On utilise "galement le terme de pointscoBncident.
a composition des mouvements nous permet d"crire $ 1/22/31/3 += BBB VVV
Or & est le centre de rotation entre 1 et 0) et une propri"t" de la rotation estOr & est le centre de rotation entre 1 et 0) et une propri"t" de la rotation est
quen son centre la vitesse est nulle doncquen son centre la vitesse est nulle donc 02/3 =BV ..
Alors au & point /i,appartenant 0 et 7 on aAlors au & point /i,appartenant 0 et 7 on a 1/21/3 = BB VV
'ppliation ) amion 5enne
On sait que la vitesse de sortie de tige du v"rin est de 83 mms
15 trace+23 / SSB
V
05 :!prime+03 / SSB
V
en fonction de01
/ SSBV
orretion$ par composition des mouvements on a 033101 /// SSBSSBSSB
VVV
+=
or & est le centre de rotation entre S 1et S7
donc 031/ =
SSBV alors 0301 // SSBSSB VV =
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ber!erivireV /
A
rivirebateauAV / ber!ebateauAV /
1 2
3
4
A
B
C
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S0
S2
S3
C
B
A
75 en utilisant la composition des mouvements trace+03 / SSB
V et 02 / SSBV
orretion$ par composition des mouvements on a 022303 /// SSBSSBSSB VVV
+=
) on conna?t 23 / SSBV
et la direction desdeu! autres vitesses on peut donc par tracer r"soudre le pro/lme.
25 -race+ 01/ SS"V
en utilisant le th"orme de l"quiprojectivit" et donne+ la valeur de sonmodule.
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