الذاتية واألشعة القيم تقريبEignvalues & eignvectors approximation
إعداد الطالبة لينة رياض
كاملة
بسم الله الرحمن الرحيم
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 1جامعة
الفهرس
الموضوع رقم
الصفحة
3مبرهنات وتعاريف أساسية 4مبرهنات وتعاريف أساسية -13طريقة غرام-شميت في التعامد -17التفسير الهندسي لألشعة الذاتية - الطريقة العامة إليجاد القيم واألشعة-
18الذاتية الطرق التكرارية لتقريب القيم الذاتية
23واألشعة الذاتية 24طريقة القوى -34طريقة مقلوب القوى-40طريقة قوى االنتقال -45طريقة مقلوب قوى االنتقال-Gershgorin49أقراص -54طريقة التفريغ واالنكماش-QR67الطريقة -
74تطبيقات القيم الذاتية75سالسل ماركوف-80النمو السكاني-84عالقات التكرار الخطية -
91المراجع
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 2جامعة
مبرهنات وتعاريفأساسية
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 3جامعة
:(1تعريف )K ( R ، عناصرها من الحقل n∗n مصفوفة من المرتبة Aلتكن (، نقولCأو
إذا وج@@د ش@@عاع غ@@ير ص@@فريA أنه قيمة ذاتي@@ة للمص@@فوفة λ∈Kعن العدد X=[ x1 , x2 ,…, xn ]∈K n يحق@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ق AX=λX
.λ الموافق للقيمة الذاتية A هو الشعاع الذاتي للمصفوفة Xونقول أن
( :1مبرهنة ) للمعادل@@@ةλ هي بالض@@@بط الحل@@@ول Aالقيم الذاتي@@@ة لمص@@@فوفة مربع@@@ة
det (A−λI هي المصفوفة الواحدية.I ، حيث 0=(البرهان :
من تعريف القيمة الذاتية نجد أنه: بحيثX إذا وجد شعاع غير صفري A قيمة ذاتية للمصفوفة λتكون
AX=λX❑⇔AX−λX=0
❑⇔
( A−λI ) X=0
مجه@@ول، ولكي يك@@ونn معادلة خطية متجانسة ب@ nإن هذه المعادلة تمثل لجملة المعادالت الخطية المتجانسة حل غير الحل الصفري يجب أن يكون
محدد األمثال مساويا للصفر، أي:det (A−λI )=0
مالحظة :detعندما ننشر المحدد (A−λI n فإننا نحصل على حدودية من الدرجة (
:λبالنسبة ل@ det (A−λI )= λn+cn−1 λ
n−1+…+c1 λ+c0
قيم@@ةn ، حيث يك@@ون للمص@@فوفة Aنسميها الحدودية المم@@يزة للمص@@فوفة detذاتي@@ة على األك@@ثر ؛ كم@@ا نس@@مي المعادل@@ة (A−λI المعادل@@ة المم@@يزة0=(
.Aللمصفوفة
( :2مبرهنة )القيم الذاتية لمصفوفة مثلثية هي عناصر قطرها الرئيسي.
البرهان : من الشكل:Aبفرض المصفوفة المثلثية
0…00a110…0a22a21A =
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 4جامعة
0…a33a32a31
…
ann…an3an2an1
detعندها وإليجاد القيم الذاتية لها، نوجد المعادلة المميزة: (A−λI )=0
0…00a11−λ
= 00…0a22− λa210…a33−λa32a31
…
ann−λ…an3an2an1
أي أن:(a11− λ ) (a22− λ ) (a33− λ )… (ann−λ )=0
هي عناص@@ر القط@@رAوبالت@@الي ف@@إن القيم الذاتي@@ة للمص@@فوفة المثلثي@@ة الرئيسي ..
مالحظTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTة: ، ف@@إنλ مقابل للقيمة الذاتية A شعاع ذاتي للمصفوفة x و α∈R≠0إذا كان
Aه@@و ش@@عاع ذاتي للمص@@فوفة Y=αX من الش@@كل Yأي ش@@عاع ذاتي أيض@@ا، وذلك ألن:λبالنسبة للقيمة الذاتية
AY=A (αX )=α ( λX )=λ (αX )= λY
( :3مبرهنة )detإذا كانت جميع جذور المعادلة المميزة (A−λI مختلف@@ة، ف@@إن األش@@عة0=(
الذاتية المقابلة لها تكون مستقلة خطيا.
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 5جامعة
تذكرة::نقول عن مجموعة من المتجهات أنها مستقلة خطيا إذا تحقق ما يلي
إذا كان أي تركيب خطي لهذه المتجهات مساويا للصفر فإن جميعالمعامالت يجب أن تساوي الصفر، أي:
x1 v1+x2 v2+…+xn vn=0❑⇔ x1=x2=…=xn=0حيثvi , i=1 ,…,nمجموعة المتجهات .
البرهان:v1لتكن , v2 ,…,vn أشعة ذاتية للمصفوفة المربع@ة Aوالمقابل@ة للقيم الذاتي@ة
λ1 , λ2 ,…, λn المختلف@@@ة مث@@@نى مث@@@نى ولنثبت أن المجموع@@@ة {v1 , v2 ,…,vn } مستقلة خطيا.
:nنطبق االستقراء الرياضي على العدد الطبيعي v1≠0وهي مس@@تقلة خطي@@ا ألن{v1}نحصل على المجموعةn=1من أجل-
شعاع ذاتي. :n-1نفرض صحتها من أجل -
v1نف@@رض ك@@ل مجموع@@ة من األش@@عة , v2 ,…,vn(n>1 تت@@ألف من )n-1 ش@@@@@@@@@@@@@@@عاع تك@@@@@@@@@@@@@@@ون مس@@@@@@@@@@@@@@@تقلة خطي@@@@@@@@@@@@@@@ا
,λ1بم@@ا أن λ2 ,…, λnمختلف@@ة مث@@نى مث@@نى ف@@إن إح@@دى ه@@ذه القيم ال )وه@@ذا ال يفق@@د عمومي@@ة المس@@ألة حيثλnيساوي الصفر ولتكن مثال
λيكفي أن نعيد ترتيب القيم i .) v1}عندئ@@@ذ المجموعة , v2 ,…,vn−1 مس@@@تقلة خطي@@@ا حس@@@ب الف@@@رض{
v1}االستقرائي ولنبرهن على أن المجموعة , v2 ,…,vn مستقلة خطيا.{αلنأخذ 1v1+α2 v2+…+αnvn=0( 1 @@)
فنجد:λn( بالقيمة 1ولنضرب طرفي العالقة )(2 )α1 λn v1+α2 λn v2+…+αn λn vn=0
:Aونضرب طرفي العالقة بالمصفوفة Aα1 v1+Aα2 v2+…+Aα n vn=0❑
⇒α1 (A v1 )+α 2 ( A v2 )+…+α n (A vn )=0
v1)بما أن , v2 ,…,vn λ1 مقابلة ل@ A أشعة ذاتية ل@ ( , λ2 ,…, λn فحسب ،التعريف نجد:(3 )α 1 λ1 v1+α2 λ2 v2+…+α n λn vn=0
( نحصل على:3( من )2بطرح )α 1¿
λبما أن i≠ λ j من أجل i≠ j )حيث القيم الذاتية مختلفة مثنى مثنى( λn−λ)فإن i)≠0 وذلك ∀ i=1,2 ,…,n−1 وvi≠0 أشعة ذاتية للمصفوفة A
αوبالتالي i≠0 وذلك ∀ i=1,2 ,…,n−1
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 6جامعة
تذكرة::نقول عن مجموعة من المتجهات أنها مستقلة خطيا إذا تحقق ما يلي
إذا كان أي تركيب خطي لهذه المتجهات مساويا للصفر فإن جميعالمعامالت يجب أن تساوي الصفر، أي:
x1 v1+x2 v2+…+xn vn=0❑⇔ x1=x2=…=xn=0حيثvi , i=1 ,…,nمجموعة المتجهات .
( نحصل على:1بالتبديل في )α n vn=0
)شعاع ذاتي( وبالتالي:vn≠0لكن α n=0
ومنه فإنα i=0 ∀ i=1,2 ,…,n
v1}وبالتالي المجموعة , v2 ,…,vn مستقلة خطيا .{
نتيجة:v1} وكانت n*n مصفوفة مربعة من البعد Aإذا كانت , v2 ,……,vn أشعة ذاتية{
λ1 مقابلة للقيم الذاتية Aللمصفوفة , λ2 ,……, λnالمختلف@@ة مث@@نى مث@@نى ف@@إن Rnهذه المجموعة هي قاعدة الفضاء
تذكرة نقول عن مجموعة األشعة{v1 , v2 ,……,vn أنه@@ا قاع@@دة ل@Rn من الفضاء {
Rn.إذا وفقط إذا كانت هذه المجموعة مجموعة مولدة ومس@@تقلة خطي@@ا )ويمكن كتابة أي متجه من الفضاء كتركيب خطي لمجموعة األشعة( .
(:4مبرهنة ) ،X قيمة ذاتية موافقة للشعاع الذاتي λ مصفوفة مربعة ولتكن Aلتكن
عندئذ:Anهي قيم@@ة ذاتي@@ة للمص@@فوفة λn ف@@إنnألجل أي عدد صحيح موجب -1
An=A ، حيثXموافقة للشعاع الذاتي . A .……. A (n .(مرة1مصفوفة قلوبة فإنAإذا كانت-2
λقيمة ذاتية للمصفوفةA−1موافقة .Xللشعاع الذاتي
ف@@إنn مصفوفة قلوبة فإنه ألجل أي عدد صحيح م@@وجب Aإذا كانت -3λ−nقيمة ذاتية للمصفوفة Α−n موافقة للشعاع الذاتي X.
البرهان:عندئذXمقابلة للشعاع الذاتيA قيمة ذاتية ل@λبما أن -1
(1)Α x=λx∀وذلك An−1( ب@ 1ولنضرب طرفي ) n>0)عدد صحيح موجب(
An−1 . AX=An−1 . λX
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 7جامعة
An . X= λ .(An−1 . X)An . X= λ . An−2.(AX)An . X= λ . An−2.(λX )An . X= λ2(An−2 X )An . X= λ2 An−3.(AX )An . X= λ2 An−3 ( λX )⇔An X=λ3(An−3 . X)...وهكذاAn . X= λn−1 . (AX )An . X= λn−1 . (λX)An . X= λn . X
.X مقابلة للشعاع الذاتي An قيمة ذاتية للمصفوفة λnأي أن
Αلدينا -2 x=λxمن اليسار:A−1نضرب الطرفين ب@
A−1 . AX=A−1 . λXΙ X=λ . A−1 . X
X=λ . A−1 . X⇒ 1λX=A−1 X
1وبالتاليλ@قيمة ذاتية لA−1مقابلة للشعاع الذاتيX.
.2و 1هي نتيجة مباشرة ل@ -3
(:2تعريف ) تش@@ابهA ، نقول أن المصفوفةn∗n مصفوفتين من البعد B و Aلتكن
بحيث يتحق@@ق:n∗nقلوبة من البعدP إذا وجدت مصفوفة Bالمصفوفة P−1 AP=BأوAP=PB
Aونرمز لذلك بالرمز B.
مثال:لتكن:
21A=-10
01B=-1-2
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 8جامعة
Aإن B:ألن =-1121
11-10
=13-1-1
01-11-1-
211
حيث: AP=PBأي أن-11P=
11( :5مبرهنة )
A وكانتn∗nمصفوفتين من البعدA,Bإذا كانت B:فإنa.A,B.لهما الحدودية المميزة ذاتهاb.A,B.لهما نفس القيم الذاتية
البرهان: λ ولنثبت أن X مقابل@@ة للش@@عاع ال@@ذاتي A قيمة ذاتي@@ة للمص@@فوفة λبفرض
:A المشابهة ل@ Bقيمة ذاتية للمصفوفةAX=λX قيمة ذاتية فحسب التعريف:λبما أن
Aو Bأي يوجدP:بحيثA=P−1 . B .P
نعوض:(P−1 .B . P ) . X=λ X
P−1 .B . (PX )=λX
من اليسار:Pنضرب الطرفين ب@ P .P−1 .B . (PX )=PλX
I . B . (P . X )= λ(P . X)
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 9جامعة
B . (P . X )= λ .(P .X )
( .PXمقابلة للشعاع الذاتي)Bقيمة ذاتية للمصفوفةλومنه فإن
(:3تعريف ) أنه@@@ا قط@@@ورة إذا وج@@@دتA ، نق@@@ول عن n∗nمص@@@فوفة من البع@@@د Aلتكن
A بحيث تكون Dمصفوفة قطرية D. مثال:
=31Aالمصفوفة22
قطورة ألنها تشابهالمصفوفة القطرية:
04D=
-1
0
حيث أن:3131A.P=-2
122
-3
4=
24
=PD0431=-1
0-2
1
(:6مبرهنة ) عندئذ:n∗n مصفوفة من البعد Aلتكن
Aقطورة⇔A تملك n شعاع ذاتي مستقل خطياالبرهان:
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 10جامعة
: (⇐ )
A قط@@ورة عندئ@@ذ يوج@@دPقلوب@@ة بحيثP−1 . A . P=D وD.مص@@فوفة قطري@@ة بفرض:
Pn.…P2P1P=
0…01λD=2λ0
…nλ….…0
، أي:AP=PDلدينا
0…01λPn…P2P1=Pn…P2P1A2λ0…
nλ.......
0
i=1,2وبالتالي من أجل ,…,n:لديناA Pi=λ iPi
.Aهي أشعة ذاتية للمصفوفةPiأي أنP1مصفوفة قلوبة فإنPوبما أن ,P2 ,…,Pn.مستقلة خطيا
شعاع ذاتي مستقل خطيا.nتملكAومنه: (⇒ )
P1)لتكن ,P2 ,…,Pn)nش@@عاع ذاتي مس@@تقل خطي@@ا للمص@@فوفة Aعن@@دها من ، i=1,2أجل ,…,nيك@@ون A Pi=λ iPi (λi القيم الذاتي@@ة للمص@@فوفة A@المقابل@@ة ل
Pi. ) =Pn.…P2P1Pفنكتب:
0…01λD=2λ0
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 11جامعة
…
nλ….…0
قلوب@@ةP مس@@تقلة خطياف@@إن P ، وبم@@ا أن أعم@@دة AP=PDونجد بس@@هولة أن P−1حتما ، وبالتالي AP=D.مصفوفة قطرية
نتيجة: قيم@@ا ذاتي@@ة مختلف@ة ف@@إنnتملك Aوكانت n*nمصفوفة من البعدAإذا كانت
A.قطورة
(:4تعريف )S={v1لتكن , v2 ,…,vn} مجموعة من المتجهات، نقول أن المجموعة S
متعامدة إذا تحقق أن:vi . v j=0 : i≠ j
ونقول أنها متعامدة منظمة إذا تحقق باإلضافة إلى الشرط السابق:vi . v i=0:∀ i=1,2 ,…,n
(:7مبرهنة )v1}نقول عن المجموعة , v2 ,…,vn المؤلفة من أشعة متعامدة أنها{
متعامدة منظمة إذا وفقط إذا كان:||v i||=1, ∀ i=1,2 ,… ,n
طريقة غرام- شميت في التعامد من المسائل الهامة في الفضاءات، للبحث عن قاعدة متعامدة منظمة
للفضاء.(:5تعريف )
u ، ولتكن المتجه@@ات Eليكن الفضاء االقليدي , v∈E حيث u≠0≠vنس@@مي ، uالمتجه . v
v . v. v مسقط u القائم على vونرمزه ، Prv (u )=u . v
v . v. v.
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 12جامعة
مثال:u=(2,5ليكن ) , v=(6,3 )∈R2:فيكون ،
Prv (u )=u . vv . v
. v=2.6+5.36.6+3.3
. (6,3 )=2745
. (6,3 )=(185, 95)
(:8مبرهنة ) dim فضاء اقليدي ( بعده منته ) W فضاء حقيقيا ذا جداء داخلي ) Wليكن W = n.فإنه يوجد قاعدة متعامدة منظمة لهذا الفضاء ،)
البرهان:x1}لتكن , x2 ,…,xn ، س@@وف نش@@كل جمل@@ة متعام@@دة منE قاع@@دة للفض@@اء {
}المتجه@@@@@ات y1 , y2 ,…, yn ثم نض@@@@@عy1=x1 وله@@@@@ذا الغ@@@@@رض نض@@@@@ع {y2=x2−Pr y1(x2) فنجد أنy2 عمودي على y1:ألن
y2 . y1=( x2−Pr y1 (x2 )) . y1¿ x2. y1−Pr y1 (x2 ) . y1
¿ x2 . y1−x2 . y1y1 . y1
. y1 . y1
¿ x2 . y1−x2 . y1
||y1||2.||y1||
2
¿ x2 . y1−x2 . y1
¿0
⊥y2أي أن y1. بآن واحد ما علين@@ا إال أنy1 و y2 عموديا على كل من y3ولكي نجد متجها
، أي:y1 و y2 كال من مسقطيه على x3نطرح من y3=x3−Pr y1 (x3 )−Pr y2 (x3 )
وسنجد أن :y3 . y2=(x3−Pr y1 (x3 )−Pr y2 (x3 )) . y2
¿ x3 . y2−x3 . y1y1 . y1
. y1 . y2−x3 . y2y2 . y2
. y2 . y2
¿ x3. y2−0−x3 . y2
¿∨ y2∨¿2.¿∨ y2∨¿2
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 13جامعة
⊥y2ألن y1.. ¿ x3. y2−x3 . y2
¿0
⊥y3أي أن y2: وكذلك نجد ، y3 . y1=( x3−Pr y1 (x3 )−Pr y2 (x3 )) . y1
¿ x3 . y1−x3 . y1y1 . y1
. y1 . y1−x3 . y2y2 . y2
. y2 . y1
¿ x3 . y1−x3 . y1−0
⊥y2ألن y1.. ¿0
⊥y3أي أن y1.. yوبنفس الطريقة نتابع تعيين المتجهات i: حيث نجد
yk=xk−Pr y1 (xk )−Pr y2 (xk )−…−Pr yk−1 (xk )
}وهكذا نحصل على المتجه@@ات y1 , y2 ,…, yn المتعام@@دة مث@@نى مث@@نى، وك@@ل{ x1=0 ، ول@@@و ك@@@انت y1=x1 فرض@@@ا حيث y1≠0منه@@@ا غ@@@ير مع@@@دوم ألن
x}ألصبحت الجملة i مرتبطة خطيا .{y2≠0 وإال إذا ك@@@@@ان y2=x2−λ y1=x2−λ x1=0 ألص@@@@@بح x2=λ x1 أي x2 و x1
λ=Prمرتبطان خطيا وهو مخالف للفرض )) وذلك بفرض yn−1 (x1 ). )) y3وهكذا نجد أيضا أن كال من ,…, yn≠0.
لكي نحص@@ل على قاع@@دة متعام@@دة منظم@@ة نقس@@م كال منy iعلى نظيم@@@@@@ه فنحص@@@@@@ل على الجمل@@@@@@ة المتعام@@@@@@دة المنظم@@@@@@ة
{y1
¿∨ y1∨¿,
y2
¿|y2|∨¿ ,…,yn
¿|yn|∨¿}¿( .7 وذلك حسب المبرهنة )¿
وإن الجمل@@ة ال@@تي حص@@لنا عليه@@ا مس@@تقلة خطي@@ا ، وع@@دد عناص@@رها فهي تشكل قاعدة منظمة لهذا الفضاء.Wيساوي بعد الفضاء
ونلخص هذه الطريقة كما يلي:x1}إذا كانت الجملة , x2 ,…,xn منتهي البعد،W قاعدة للفضاء االقليدي{
وكانت :y1=x1
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 14جامعة
y2=x2−Pr y1 ( x2 )
⋮
yn=xn−Pr y1 (xn )−Pr y2 ( xn )−…−Pr yn−1(xn )
}فإن الجملة y1
¿∨ y1∨¿,
y2
¿|y2|∨¿ ,…,yn
¿|yn|∨¿}¿ تشكل قاعدة متعامدة¿
.Wمنظمة ل@ مثال:
استخدم خوارزمية غرام –شميت إليج@@اد قاع@@دة متعام@@دة منظم@@ة للفض@@اءW=spanالجزئي {x1 , x2 , x3 ، حيث:R4 من الفضاء {
x1=(1
−1−11
) , x2=(2101) , x3=(
2212)
الحل:نفرض
y1=x1=(1
−1−11
)فيكون
y2=x2−Pr y1 ( x2 )=(2101)−2−1+0+11+1+1+1 (
1−1−11
)=(1.51.50.50.5
)y3=x3−Pr y1 (x3 )−Pr y2 (x3 )=x3−
x3 . y1y1 . y1
. y1−x3 . y2y2 . y2
. y2
¿(2212)−14 (
1−1−11
)−7.55 (1.51.50.50.5
)=(−0.500.51
)
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 15جامعة
v
Av
Axx
} هي Wوهك@@@ذا نك@@@ون ق@@@د حص@@@لنا على قاع@@@دة متعام@@@دة ل@ y1 , y2, y3 }، وللحص@ول على قاع@دة متعام@دة منظم@ة نقس@م ك@ل ش@عاع على نظيم@ه،
فيكون :
v1=y1
||y1||= 1
√1+1+1+1y1=(
0.5−0.5−0.50.5
)v2=
y2||y2||
= 1√2.25+2.25+0.25+0.25
y2=(0.67080.67080.22360.2236
)v3=
y3||y3||
= 1√0.25+0+0.25+1
y3=(−0.4082
00.40820.8165
),v1}وبالتالي فإن v2 , v3 تشكل قاعدة متعامدة منظمة ..{
التفسير الهندسي لألشعة الذاتية.1996 وذلك عام Steven Schonefeldطرحت هذه الفكرة من قبل العالم
يمكن أن نعطي تفس@@يرا هندس@@يا لألش@@عة الذاتي@@ة وهي أن نرس@@مR2في س@@يكون ش@@عاعx( عندئ@@ذHead-to-tail بش@@كل متع@@اقب )x و Axالشعاعين
على خط مستقيم واحد. مثال فيxو Axإذا وفقط إذا كانAذاتي للمصفوفةالشكل المجاور:
x@هو شعاع ذاتي لA لكنv.ليس شعاع ذاتي لها
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 16جامعة
ف@@إن أي ش@@عاعλ موافق للقيمة الذاتية A شعاع ذاتي للمصفوفة xإذا كانα x مرتبط معه خطي@@ا ه@@و أيض@@ا ش@@عاع ذاتي للمص@@فوفة Aمواف@@ق للقيم@@ة
، ف@@إن أردن@@ا البحث عن األش@@عة الذاتي@@ة هندس@@يا فإن@@ه يكفي أنλالذاتي@@ة على أشعة الواحدة.Aندرس تأثير المصفوفة
الطريقة العامة إليجاد القيم واألشعة الذاتية
:القيم الذاتية نوجد جذور معادلتها المميزة، وهذه الجذورAلتعيين القيم الذاتية للمصفوفة
هي القيم الذاتية. مصفوفة مربعة من الشكل:Aبفرض
a1n…a12a11A=a2n…a22a21 …
ann…an2an1
إن معادلتها المميزة تعطى بالشكل:=0a1n…a12a11-λdet(A-
λI)=a2n…a22-λa21 …
ann-λ…an2an1
.λ بمجهول واحد هوnوبنشر هذا المعين نحصل على حدودية من الدرجة وبالت@@@الي على القيم الذاتي@@@ةλوبح@@@ل ه@@@ذه الحدودي@@@ة نحص@@@ل على قيم
.Aللمصفوفة المعطاة
:األشعة الذاتيةi=1,2حيث: Xiلتع@@@يين األش@@@عة الذاتية ,…,n للمص@@@فوفة Aالموافق@@@ة للقيم
λالذاتية i:نوجد حل جملة المعادالت التالية ( A−λi I ) X i=0
=0x1a1n…a12a11-λi
x2a2n…A22-λia21
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 17جامعة
……
xnann-λi…an2aan1
(a11− λi )x1+a12 x2+…+a1n xn=0
a21 x1+(a22−λi ) x2+…+a2n xn=0
.
.
.an1 x1+an2x2+…+(ann−λ i )xn=0
X1بحل جملة المعادالت هذه نحصل على األش@@عة الذاتية , X2 ,…, Xnالمقابل@@ة λ1للقيم الذاتية , λ2 ,…, λn للمصفوفة A.
أمثلةأوجد القيم الذاتية واألشعة الذاتية للمصفوفات التالية:
(:1مثال )-575A=-140-382
الحل:نوجد الحدودية المميزة:
-575-λdet(A-λI)=-14-λ0-3-λ82
¿ (6−λ ) [ (4− λ ) (−3−λ )+8 ]−7 (2 )−5[−2 (4−λ )]
¿−λ3+6 λ2−11 λ+6
:Aومنه المعادلة المميزة للمصفوفةالعليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 18جامعة
λ3−6 λ2+11 λ−6=0
نوجد جذور المعادلة:λ2−5 λ+6
λ−1 λ3−6 λ2+11 λ−6
λ3−λ2
−5 λ2+11 λ−6
−5 λ2+5 λ
6 λ−6
6 λ−6
0
⇒ ( λ−1 ) (λ2−5 λ+6 )=0
⇒ ( λ−1 ) ( λ−2 ) ( λ−3 )=0
هي:Aوبالتالي القيم الذاتية للمصفوفة λ1=1 , λ2=2 , λ3=3
إيجاد األشعة الذاتية:x1X=,AX=λXx2
x3
=0
x1-575-λ
x2-14-λ0x3-3-λ82
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 19جامعة
(5−λ ) x1+7 x2−5 x3=0
(4− λ ) x2−x3=0
2 x1+8 x2−(3+ λ ) x3=0
عندماλ=1: 4 x1+7 x2−5 x3=0(1)3 x2−x3=0(2)2 x1+8 x2−4 x3=0(3)
x3=3( نجد:2من ) x2( 3( و )1, نعوض في: )4 x1−8 x2=0(4)2 x1−4 x2=0 (5)
x1=2( نجد أن:5(,)4من ) x2 لهذه الجملة عدد غير منته من الحلول:⇐
S= {(2 x2 , x2 ,3 x2 ) ; x2∈R }={x2 (2,1,3 ) ; x2∈R }
.λ1=1هو الشعاع الذاتي الموافق للقيمة الذاتيةX=(213)وبالتالي
عندماλ=2: 3 x1+7 x2−5 x3=0 (1)2 x2−x3=0(2)2 x1+8 x2−5 x3=0(3)
x3=2( نجد:2من ) x2( 3( و )1 , نعوض في: )3 x1−3 x2=0(4)2 x1−2x2=0 (5)
x1=x2( نجد أن: 5(,)4من ) لهذه الجملة عدد غير منته من الحلول:⇐
S= {(x2 , x2 ,2 x2) ; x2∈ R }={x2 (1,1,2 ) ; x2∈R }
.λ2=2 هو الشعاع الذاتي الموافق للقيمة الذاتية X=(112)وبالتالي
عندماλ=3: 2 x1+7 x2−5 x3=0(1)x2−x3=0(2)2 x1+8 x2−6 x3=0 (3)
( :3( و )1 , نعوض في )x3=x2( نجد:2من )2 x1+2 x3=0(4)
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 20جامعة
2 x1+2 x3=0(5)x1=−x3( نجد أن: 5(,)4من )
لهذه الجملة عدد غير منته من الحلول:⇐S= {(−x3 , x3 , x3 ) ; x2∈R }= {x2 (−1,1,1 ) ; x2∈R }
X=(−111وبالتالي .λ3=3 هو الشعاع الذاتي الموافق للقيمة الذاتية (
هناك عدة أمور تجعل طريقة إيجاد األشعة الذاتية لمصفوفةبالطريقة العامة غير عملية، منها:
أن هذه الطريقة تعتمد على حساب المحددات الذي يس@@تهلك-وقتا في حال كانت المصفوفة من مرتبة كبيرة.
إن المعادلة المميزة للمصفوفة هي معادلة حدودي@@ة وال يوج@@د- .4طريقة لحلها في حال كانت درجة الحدودية أكبر من
ول@@ذلك س@@وف نق@@وم بتق@@ريب القيم الذاتي@@ة بط@@رق عملي@@ة أك@@ثر ، ل@@ذاسنعرض بعض الطرق التي تعتمد على تقنية تكرار بسيطة...
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 21جامعة
الطرق التكرارية لتقريب القيم الذاتية
واألشعة الذاتية
( The Power Method أوال:طريقة القوى )ق على المص@@فوفات المربع@@ة إن طريقة الق@@وى هي طريق@@ة بس@@يطة وتطب التي تملك قيمة ذاتية مهيمنة )أي تملك قيمة ذاتي@@ة قيمته@@ا المطلق@@ة أك@@بر تماما من القيم المطلقة لبقية القيم الذاتية( ، حيث تقوم هذه الخوارزمي@@ة على إيجاد متتالية من القيم تتقارب إلى القيم@ة الذاتي@ة المهيمن@@ة ومتتالي@@ة
من األشعة تتقارب إلى الشعاع الذاتي المقابل )المهيمن( . وعلى الرغم من أن طريقة القوى تقوم بتقريب قيم@@ة ذاتي@@ة واح@@دة فق@@ط للمصفوفة، إال أنها تبقى مفيدة في بعض المس@@ائل الحس@@ابية، حيث نحت@@اج في بعض الحاالت إلى تعيين أكبر قيمة ذاتي@@ة للمص@@فوفة والش@@عاع ال@@ذاتي
المقابل لها.
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 22جامعة
يستخدم هذه الطريقة في حساب ع@@دد النت@@ائجGoogleفعلى سبيل المثال Pageالتي سيعرض@@ها في الص@@فحة الواح@@دة عن@@د البحث عن موض@@وع م@@ا )
Rank. )
خوارزمية طريقة القوى منAإليجاد القيمة الذاتية المهيمن@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي المهيمن لمص@@فوفة
|λ1|>|λ2|>…>|λn| ، وبفرض القيم الذاتية مرتبة بالش@@كل الت@@الي: n∗nالمرتبة v1واألش@@عة الذاتي@@ة المقابل@@ة له@@ا على ال@@ترتيب: , v2 ,…,vnنق@@وم ب@@الخطوات
التالية: )من الممكن أن يكون تقريبRn من x0=γ0نختار شعاع ابتدائي -1
الشعاع الذاتي المهيمن أو شعاع عشوائي ولكن يملك مركبة غيرصفرية واحدة على األقل(.
k=1,2,3نكرر الخطوات التالية ألجل -2 ,…
a.نحسبX k=AY k−1
b. نضعmk هي مركبة X kالتي تكون قيمتها المطلق@@ة أك@@بر X|¿من القيم المطلقة لبقية المركبات أي k|∨¿
c.نضعY k=( 1mk
)Xk
Yويتقارب الش@@عاعλ1 إلى القيمة الذاتية المهيمنة mk عندئذ تتقارب القيمة k
إلى الشعاع الذاتي المقابل لها.
دراسة تقارب الخوارزميةA=VJ محللة إلى صيغة جوردانAلتكن المصفوفة V−1 حيث
, vn…v2 ,v1 ,V=
;1λJ=
2λ
nλ
يمكن كتابة الشعاع االبتدائيX A كتركيب خطي لألشعة الذاتية ل@ 0العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 23جامعة
X 0=c1 v1+c2v2+…+cnvnXومن الفرض نعلم أن يملك مركبة غير صفرية على األقل.0
((The starting vector X 0 has a non-zero-component in the direction of an eigenvector associated with the dominant eiganvalue))
.c1≠0وبالتالي :ويمكن كتابة العالقة التكرارية لطريقة القوى بالشكل التالي
X k+1=A Xk
¿|A X k|∨¿=Ak+1X0
¿|Ak+1 X0|∨¿¿¿
X k=A kX 0
¿|Ak X0|∨¿=(VJ V−1)k X0
¿|(VJ V−1 )kX 0|∨¿=V J kV−1X 0
¿|V J kV−1 X0|∨¿¿¿¿
¿V J kV−1(c1 v1+c2 v2+…+cn vn)
¿|V J kV−1 (c1 v1+c2 v2+…+cn vn )|∨¿¿
¿V J k (c1e1+c2 e2+…+cn en)
¿|V J k (c1 e1+c2 e2+…+cn en)|∨¿¿
¿V J kc1 e1+V J
k (c2 e2+…+cn en)¿|V J kc1 e1+V J k (c2 e2+…+cnen )|∨¿¿
¿(λ1)
k c1 v1+V Jk (c1 e1+c2 e2+…+cn en)
¿|(λ1 )kc1 v1+V Jk (c1 e1+c2 e2+…+cn en)|∨¿¿
¿(λ1
|λ1|)k
.c1
¿c1∨¿ .r1+
1c1V ( 1
λ1J )
k
(c2e2+…+cn en)
¿∨r1+1c1V ( 1λ1 J )
k
(c2 e2+…+cn en )∨¿¿
حيث:∞⟶kنستطيع تبسيط العالقة السابقة عندما 1( 1
λ1J )
k
=¿
k⟶∞(λ2λ1
)k
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 24جامعة
(λnλ1
)k
10
0
λiحيثλ1
<1;(i=2 ,…,n)وبالتالي(λiλ1
)k
∞⟶kعندما0⟶
وبالتالي :1c1V ( 1λ1 )
k
(c2 e2+…+cnen )⟶0ask⟶∞
Xوباستخدام هذه الحقيقة نستطيع أن نكتب k:بالشكل التاليX k=(
λ1|λ1|
)k
.c1
¿c1∨¿ .v1+
1c1V ( 1
λ1)k
(c2 e2+…+cn en)
¿∨v1+1c1V ( 1λ1 )
k
(c2 e2+…+cn en )∨¿=e iϕk
c1¿c1∨¿v1+rk ¿
¿
eحيث iϕk=(λ1
|λ1|)k
r|¿و k|∨⟶0عندماk⟶∞.
إن المتتاليةX kمحدودة وبالتالي إنه@@ا تح@@وي ح@@د مق@@ارب، ولكنه@@ا ال تتقارب بالضرورة إلى الشعاع الذاتي المهيمن حيث أن وج@@ود الح@@د
e iϕk يعني أن (bk) ال تتقارب إال عن@@دما e iϕk=1وذل@@ك ض@@من الش@@روط( التي ذكرناها سابقا(.
Xوعلى الرغم من أن المتتالي@@ة k ق@@د ال تتق@@ارب إال أن X k ه@@و تقريب@ا كبيرة.k وذلك من أجل Aشعاع ذاتي للمصفوفة
إذا كانتAمصفوفة قطورة فإن البرهان التالي سيؤدي إلى نفس النتيجة:
λ1بف@@رض , λ2 ,…, λnالقيم الذاتي@@ة للمص@@فوفةAبحيث|λ1|>|λ2|>…>¿ λn∨¿و ، v1 , v2 ,…,vnاألش@@@عة الذاتي@@@ة المقابل@@@ة له@@@ا وهي مس@@@تقلة خطي@@@ا )ألن
المصفوفة قطورة( .Xيمكن كتابة الشعاع االبتدائي بالشكل التالي:0
X 0=c1 v1+c2 v2+…+cnvn
X1=Aلنحسب X0
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 25جامعة
X1=A X0=c1 A v1+c2 A v2+…+cn A vn
v1وبما أن , v2 ,…,vnأشعة ذاتية للمصفوفة، فحسب تعريف القيمة الذاتية يكون:
i=1,2 ,…,n;Av i=λ v i
ومنه يمكن أن نكتب:X1=c1 λ1v1+c2 λ2 v2+…+cn λn vn
نحسب كذلك على الترتيب:X2=A X1 ,X 3=A X2 ,…, Xk+1=A Xk
أن:X1ونجد كما في حساب X2=c1 λ1
2 v1+c2 λ22 v2+c3 λ3
2v3+…+cn λn2 vn
.
.
.X k=c1 λ1
k v1+c2 λ2k v2+c3 λ3
k v3+…+cn λnk vn
وبالتالي يمكن أن نكتب:λ1≠0 هي القيمة الذاتية المهيمنة فإنλ1بما أن X k=λ1
k ¿
c1إن العبارة ما بين القوسين تتقارب إلى v1 ألن |λ jλ1|<1 من أجل j>1 كبيرة .Kو
أي يصبح لدينا :X k=λ1
k c1 v1X k+1=λ1
k+1 c1 v1=λ1 ( λ1k c1 v1 )= λ1 Xk
Xنستنتج إذا أن مركبات الشعاعين k و X k+1تصبح تقريب@@ا متناس@@بة ونس@@بتها وذات أكبر قيمة مطلقة.A أي القيمة الذاتية للمصفوفة λ1تساوي تقريبا
من جهة أخرى لدينا
X k=Ak X0
¿|Ak X0|∨¿¿
Xوبالتالي فإن k تتقارب إلى الشعاع الذاتي v1ومعدل التقارب يساوي ،
|λ2λ1| حيث λ2.هي ثاني أكبر قيمة ذاتية للمصفوفة
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 26جامعة
نتيجة: إن هذه الطريقة تتقارب ببطء إذا وجدت قيمة ذاتية قريبة من القيمة
الذاتية المهيمنة.
(:1مثال ) استخدم طريقة القوى لتقريب القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي
المهيمن للمصفوفة التالية :
A=[ 0 5 −6−4 12 −12−2 −2 10 ]
Xوذلك باستخدام الشعاع األولي 0=Y 0=[111].
الحل:
X1=AY 0=[ 0 5 −6−4 12 −12−2 −2 10 ][111]=[−1−4
6 ]=6 [−0.16667−0.666671 ]
X2=AY 1=[ 0 5 −6−4 12 −12−2 −2 10 ] [−0.16667−0.66667
1 ]=[ −9.33333−19.3333311.66667 ]
X2=−19.33333[−0.482761−0.60344]
Xوبالمتابعة حتى تكون النتائج كالتالي:943210K
[ 8.1195216.24701−8.19522][ 8.6206917.31035
−9 ][ −9.33333−19.3333311.66667 ][−1−4
6 ][111]X k
[ 0.499751−0.50441][ 0.498011
−051992][−0.482761−0.60344][−0.16667−0.66667
1 ][111]Y k
16.2470117.31035−19.3333361mk
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 27جامعة
98765K
[ 8.0000916.00004−8.00003][ 8.0003716.00075
−8.00062][ 8.0015116.00303−8.00251][ 8.0062316.01259
−8.01033][ 8.0264816.05395−8.04365]X k
[ 0.51−0.5][ 0.51
−0.50002][ 0.51
−0.50006][ 0.51
−0.50025][ 0.499971−0.50104]Y k
16.0000416.0007516.0030316.0125916.05395mk
λ=16تتقارب إلى القيمة الذاتية المهيمنةmkوكما نالحظ فإن المتتالية
Yومتتالية األشعة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المهيمن)المقابل للقيمة
]الذاتية المهيمنة( 0.51−0.5].
(:2مثال ) استخدم طريقة القوى لتقريب القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي
المهيمن للمصفوفة التالية :
A=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 ]
Xوذلك باستخدام الشعاع األولي 0=Y 0=[111].
الحل:
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 28جامعة
X1=AY 0=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 ] [111]=[402]=4[
100.5]
X2=AY 1=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 ] [ 100.5]=[4.5−2
2.5]=4.5 [1
−0.444440.55556 ]
تكون النتائج كالتالي:X14وبالمتابعة حتى 43210K
[ 5.4−4.488894.51111 ][ 5
−3.444443.55556 ][4.5−2
2.5][402 ][111]X k
[ 1−0.831280.83540 ][ 1
−0.688890.71111 ][ 1
−0.444440.55556 ][ 100.5][111]Y k
5.454.541mk
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 29جامعة
98765K
[ 5.97675−5.941865.94187 ][ 5.95384−5.88460
5.88462 ][ 5.90909−5.772675.77279 ][ 5.82353−5.55846
5.55918 ][ 5.66667−5.164615.16872 ]X k
[ 1−0.994160.99416 ][ 1
−0.988370.98837 ][ 1
−0.976910.97693 ][ 1
−0.954490.95461 ][ 1
−0.911400.91213 ]Y k
5.976755.953845.909095.823535.66667mk
1413121110K
[ 5.99927−5.998175.99817 ][ 5.99853−5.99634
5.99634 ][ 5.99707−5.992685.99268 ][ 5.99416−5.98539
5.98538 ][ 5.98832−5.970815.97081 ]X k
[ 1−0.999820.99982 ][ 1
−0.999630.99963 ][ 1
−0.999270.99927 ][ 1
−0.998540.99854 ][ 1
−0.997080.99708 ]Y k
5.999275.998535.997075.994165.98832mk
λ=6تتقارب إلى القيمة الذاتية المهيمنة mkوكما نالحظ فإن المتتالية
Yومتتالية األشعة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المهيمن )المقابل للقيمة
]الذاتية المهيمنة( 1−11 ].
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 30جامعة
(:3مثال ) استخدم طريقة القوى لتقريب القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي
المهيمن للمصفوفة التالية :
A=[2 0 10 2 −11 −1 1 ]
Xوذلك باستخدام الشعاع األولي 0=Y 0=[111].
الحل:
X1=AY 0=[2 0 10 2 −11 −1 1 ][111]=[311]=3 [
10.33330.3333]
X2=AY 1=[2 0 10 2 −11 −1 1 ] [ 1
0.33330.3333]=[2.33330.3333
1 ]=2.3333[ 10.14280.4286]
تكون النتائج كالتالي:X15وبالمتابعة حتى
543210K
[ 2.6279−1.13971.8838 ][ 2.5294−0.6472
1.5883 ][ 2.4286−0.14301.2858 ][2.33330.3333
1 ][311][111]X k
[ 1−0.43370.7168 ][ 1
−0.25590.6279 ][ 1
−0.05890.5294 ][ 1
0.14280.4286][ 1
0.33330.3333][111]Y k
2.62792.52942.42862.333331mk
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 31جامعة
109876K
[ 2.9276−2.6382.7828 ][ 2.8952−2.476
2.6856 ][ 2.8507−2.25332.552 ][ 2.7915−1.9577
2.3746 ][ 2.7168−1.58422.1505 ]X k
[ 1−0.90110.9505 ][ 1
−0.85520.9276 ][ 1
−0.79040.8952 ][ 1
−0.70130.8507 ][ 1
−0.58310.7915 ]Y k
2.92762.89522.85072.79152.7168mk
1514131211K
[ 2.9898−2.9492.9694 ][ 2.9848−2.924
2.9544 ][ 2.9774−2.8872.9322 ][ 2.9665−2.8325
2.8995 ][ 2.9505−2.75272.8516 ]X k
[ 1−0.98640.9932 ][ 1
−0.97960.9898 ][ 1
−0.96960.9848 ][ 1
−0.95480.9774 ][ 1
−0.9330.9665 ]Y k
2.92762.98482.97742.96652.9505mk
λ=3تتقارب إلى القيمة الذاتية المهيمنة mkوكما نالحظ فإن المتتالية
Yومتتالية األشعة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المهيمن )المقابل للقيمة
]الذاتية المهيمنة( 1−11 ].
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 32جامعة
( The Inverse Power Method ثانيا: طريقة قوى المقلوب ) قلوب@@ةAفي بعض المسائل نحتاج إليجاد أصغر قيمة ذاتية لمصفوفة مربع@ة
والشعاع الذاتي المقابل لها، وهذه الطريقة تمكننا من ذلك.. تمل@@كA−1 قيمة ذاتية لها فإن λ مصفوفة قلوبة وكانت Aنعلم أنه إذا كانت
1قيمة ذاتية هي λوبالتالي فإنه إذا طبقنا طريق@@ة الق@@وى على المص@@فوفة ،
A−1يك@@ون مقل@@وب القيم@@ة الذاتي@@ة العظمى له@@ا ه@@و أص@@غر قيم@@ة ذاتي@@ة .Aللمصفوفة
لتطبيق طريقة ق@@وى المقل@@وب نتب@@ع نفس الخط@@وات المتبع@@ة في طريق@@ةX، نقوم بحساب (a)2القوى ماعدا الخطوة k=A−1Y x−1
خوارزمية طريقة قوى المقلوبXنحتار شعاع ابتدائي -1 0=Y .Rn من 0k=1,2,3نكرر الخطوات التالية ألجل -2 ,…
a. نحسبX k=A−1Y k−1
b. نضعmk هي مركبة X kالتي تكون قيمتها المطلقة أكبر من القيم المطلقة لبقية المركبات.
c. نضعY k=( 1mk
)Xk
A−1 إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة للمص@@فوفة mkعندئ@@ذ تتق@@ارب القيم@@ة 1وبالتالي
mk كم@@ا يتق@@اربA تتقارب إلى القيمة الذاتي@@ة الص@@غرى للمص@@فوفة
Yالشعاع k.إلى الشعاع الذاتي المقابل
(:1مثال )العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 33جامعة
تذكرة:مصفوفةقلوبة مقلوب :Aإليجاد التالية الخطوات نجري
أي -1 المصفوفة محدد أوال .det Aنوجد2-: التالية الصغائر مصفوفة نوجد
( Aij )=[ A11 A12 ⋯ A1nA21 A22 ⋯ A2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 ⋯ Ann
]المصفوفة منقول نوجد )ثم Aij نوجد ( )أي Aij )
T @@ب لها نرمز والتيadjA.
المصفوفة -3 ب@@ Aمقلوب له :A−1ونرمز التالية بالعالقة يعطىA−1= 1
detA.adjA
Aعين أص@@غر قيم@@ة ذاتي@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@ل له@@ا للمص@@فوفة
A=[1باس@@@@@@@@@@@@تخدام طريق@@@@@@@@@@@@ة ق@@@@@@@@@@@@وى المقل@@@@@@@@@@@@وب 12 0]
Xباستخدام الشعاع األولي 0=Y 0=[10].
الحل:detA=−2 , A−1=−1
2 [ 0 −1−2 1 ]=[0 0.5
1 −0.5]
X1=A−1Y 0=[0 0.51 −0.5] [10]=[01]
X2=A−1Y 1=[0 0.51 −0.5] [01]=[ 0.5−0.5]=0.5[ 1−1]
تكون النتائج كالتالي :X14وبالمتابعة حتى 76543210K
[ 0.5−1.0238 ][ 0.5
−0.9545][ 0.5−1.1][ 0.5−0.8333][−0.51.5 ][ 0.5−0.5][01][10]X k
[−0.48841 ][−0.52381 ][−0.45451 ][−0.61 ][0.33331 ][ 1−1][01][10]Y k
−1.0238−0.9545−1.1−0.83331.50.511mk
141312111098K
[ 0.5−0.9998][ 0.5
−1.0003][ 0.5−0.9993][ 0.5
−1.0014][ 0.5−0.9971][ 0.5
−1.0059][ 0.5−0.9884]X k
[−0.500011 ][−0.49981 ][−0.50031 ][−0.49931 ][−0.50141 ][−0.49711 ][−0.50591 ]Y k
−0.9998−1.0003−0.9993−1.0014−0.9971−1.0059−0.9884mk
تتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ةmkوكم@@ا نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ة 1 ، وبالت@@الي A−1 : λ=−1للمص@@فوفة
λ= 1
−1 قيم@@ة ذاتي@@ة ص@@غرى1−=
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 34جامعة
Y ، ومتتالية األشعة Aللمصفوفة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المقاب@@ل 0.51−]لهذه القيمة الذاتية ].
(:2مثال ) Aعين أص@@غر قيم@@ة ذاتي@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@ل له@@ا للمص@@فوفة
A=[2باس@@@@@@@@@@@تخدام طريق@@@@@@@@@@@ة ق@@@@@@@@@@@وى المقل@@@@@@@@@@@وب 12 3 ]
Xباستخدام الشعاع األولي 0=Y 0=[11].
الحل:detA=4 , A−1=1
4 [ 3 −1−2 2 ]=[ 0.75 −0.25
−0.5 0.5 ]Xنقوم بحساب k ,Y k ,mk:
X1=A−1Y 0=[ 0.75 −0.25−0.5 0.5 ][11]=[0.50 ]=0.5[10]
X2=A−1Y 1=[ 0.75 −0.25−0.5 0.5 ] [10]=[ 0.75−0.5]=0.75[ 1
−1.5]
Xوبالمتابعة حتى تكون النتائج كالتالي :9543210K
[ 0.9936−0.987][−1.08331.0555 ][ 1.125−1.25][ 0.75−0.5][0.50 ][11]X k
[ 1−0.9934][ 1
−0.9743][−1.11111 ][ 1−1.5][10][11]Y k
0.9936−1.0833−1.250.750.51mk
9876K
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 35جامعة
[ 0.9999−0.9999][ 0.9999−0.9997][ 0.9996−0.9991][ 0.9983−0.9967]X k
[ 1−1][ 1−0.9998][ 1
−0.9995][ 1−0.9983]Y k
0.99990.99990.99960.99835mk
تتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ةmkوكم@@ا نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ة 1 ، وبالت@@@الي A−1 : λ=1للمص@@@فوفة
λ=11 قيم@@@ة ذاتي@@@ة ص@@@غرى1=
Y ، ومتتالية األشعة Aللمصفوفة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المقاب@@ل ]لهذه القيمة الذاتية 1−1].
(:3مثال ) Aعين أص@@غر قيم@@ة ذاتي@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@ل له@@ا للمص@@فوفة
باس@@@@@@@@@@@@@@@تخدام طريق@@@@@@@@@@@@@@@ة ق@@@@@@@@@@@@@@@وى المقل@@@@@@@@@@@@@@@وب
A=[5 7 −50 4 −12 8 X باستخدام الشعاع األولي [3− 0=Y 0=[111].
الحل:detA=6 ,
(adjA )T=[ |4 −18 −3| −|0 −1
2 −3| |0 42 8|
−|7 −58 −3| |5 −5
2 −3| −|5 72 8|
|7 −54 −1| −|5 −5
0 −1| |5 70 4| ]=[ −4 −2 −8
−19 −5 −2613 5 20 ]
A−1=1
detA.adjA=
16 [−4 −19 13
−2 −5 5−8 −26 20 ]=[−0.6667 −3.1667 2.1667
−0.3333 −0.8333 0.8333−1.3333 −4.3333 3.3333 ]
Xنقوم بحساب k ,Y k ,mk:
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 36جامعة
X1=A−1Y 0=[−0.6667 −3.1667 2.1667−0.3333 −0.8333 0.8333−1.3333 −4.3333 3.3333 ][
111]=[−1.6667−0.3333
−2.3333]=−2.3333[0.71430.14281 ]
X2=A−1Y 1=[−0.6667 −3.1667 2.1667−0.3333 −0.8333 0.8333−1.3333 −4.3333 3.3333] [
0.71430.14281 ]=[1.23830.4762
1.7621]=1.7621[0.70270.27021 ]
تكون النتائج كالتالي :X15وبالمتابعة حتى 543210K
[0.70220.34091.0438][0.74220.3499
1.0946][0.84260.37391.2255][1.23830.4762
1.7621][−1.6667−0.3333−2.3333][111]X k
[0.67270.32661 ][0.67810.3197
1 ][0.68750.30511 ][0.70270.2702
1 ][0.71430.14281 ][111]Y k
1.04381.09461.22551.7621−2.33331mk
11109876K
[0.66730.33351.0008][0.66770.3335
1.0013][ 0.6690.33381.0028][0.67110.3342
1.0053][0.67540.33511.0106][ 0.6840.3369
1.0211]X k
[0.66680.33321 ][0.66680.3331
1 ][0.66710.33291 ][0.66760.3324
1 ][0.66830.33161 ][0.66990.3299
1 ]Y k
1.00081.00131.00281.00531.01061.0211mk
15141312K
[0.66680.33341.0002][0.66670.3333
1.0001][0.66670.33331 ][ 0.6670.3334
1.0004]X k
[0.66670.33331 ][0.66660.3333
1 ][0.66670.33331 ][0.66680.3333
1 ]Y k
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 37جامعة
1.00021.000111.0004mk
تتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ةmkوكم@@ا نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ة 1 ، وبالت@@@الي A−1 : λ=1للمص@@@فوفة
λ=11 قيم@@@ة ذاتي@@@ة ص@@@غرى1=
Y ، ومتتالية األشعة Aللمصفوفة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المقاب@@ل
0.66670.3333]لهذه القيمة الذاتية 1 ]≅ [
23131].
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 38جامعة
( Power Iteration With Shift ثالثا:طريقة قوى االنتقال )
λ−α ف@@إن A قيمة ذاتية للمصفوفة λتعتمد هذه الطريقة على أنه إذا كانت )هي قيمة ذاتية للمصفوفة A−αI .α وذلك أيا كانت (
( A−αI ) X ¿? ( λ−α ) X
( A−αI ) X=AX−αIX=AX−αX=λX−αX=( λ−α )X
A−αI قيمة ذاتية للمصفوفة λ−αوبالتالي
,λ2 وك@@انتA قيمة ذاتي@@ة مهيمن@@ة ل@@@λ1ومنه إذا كانت λ3 ,…, λnهي بقي@@ة القيم A−λ1الذاتية لها فإن القيم الذاتية للمصفوفة I:0هي , λ2−λ1 , λ3−λ1 ,…, λn−λ1.
علما أنها القيم@@ةλ2−λ1وعندئذ نستطيع أن نستخدم طريقة القوى لحساب ، وبتكراره@@@ا يمكن أنλ2العظمى، ومن ه@@@ذه الص@@@يغة يمكن أن نحس@@@ب
نحسب بقية القيم الذاتية .
مالحظة:
¿علمنا سابقا أن معدل تقارب طريقة الق@@وى يس@@اوي λ2λ1
، وفي طريق@@ة¿∨A−αI)قوى االنتقال نختار مقدار اإلزاحة بحيث يكون:(
|λ2−αλ1−α|<|λ2λ1|
وبالتالي يكون التقارب محقق وأسرع من التقارب في طريقة القوى.
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 39جامعة
(:1مثال ) استخدم طريقة قوى االنتقال لحساب القيمة الذاتية الثانية للمصفوفة
التالية:-650A=-1212-4
10-2-2
Xباستخدام الشعاع األولي 0=Y 0=[111].
الحل:،16 تس@@اوي Aوج@@دنا س@@ابقا أن القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة للمص@@فوفة
وللحصول على القيمة الذاتية الثانية نطبق طريقة قوى االنتقال:A−λ1نوجد المصفوفة I:
-65-16A−16 I=¿
-12-4-4-6-2-2
A−16ولنوجد القيمة الذاتية المهيمنة ل@@ I:باستخدام طريقة القوى 43210k
[−12.0848−13.5212−6.7606 ][−11.8512−13.4628
−6.7314 ][−11.6−13.4−6.7 ][−17−20
−10][111]Xk
[0.893810.5 ][0.880310.5 ][0.865710.5 ][0.8510.5 ][111]Yk
-13.5212-13.4628-13.4-201mk
98765
[−12.984−13.746−6.873 ][−12.8384−13.7096
−6.8548 ][−12.6768−13.6692−6.8346 ][−12.4976−13.6244
−6.8122 ][−12.3008−13.5752−6.7876 ]
[0.944610.5 ][0.936510.5 ][0.927410.5 ][0.917310.5 ][0.906110.5 ]-13.746-13.7096-13.6692-13.6244-13.5752
1413121110
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 40جامعة
[−13.496−13.874−6.937 ][−13.4176−13.8544
−69272 ][−13.328−13.832−6.916 ][−13.2272−13.8068
−6.9034 ][−13.1136−13.7784−6.8892 ]
[0.972710.5 ][0.968510.5 ][0.963610.5 ][0.958010.5 ][0.951710.5 ]-13.874-13.8544-13.832-13.8068-13.7784
تتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ةmkوكم@@ا نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ة A−16للمص@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@فوفة I:
λ=−13.874≅−14 وبالتالي ، λ2−16=−14❑⇒λ2=2قيم@@ة ذاتي@@ة للمص@@فوفة
A ومتتالية األشعة ، Y kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المقابل لهذه القيم@@ة
0.972710.5]الذاتية ]≅ [ 110.5].
(:2مثال ) ،Aاستخدم طريقة قوى االنتقال لحساب القيمة الذاتية الثانية للمصفوفة
Xوباستخدام الشعاع األولي 0: 1X 0=Y 0=¿;11A=002
الحل:X=[11]T والشعاع الذاتي المقابل لها 2 تساوي Aالقيمة الذاتية المهيمنة ل@@
لنوجد المصفوفةA−2 I: 1-1A−2 I=¿
-22
عليها :القوىولنطبق طريقة
X1=(A−2 I )Y 0=[−1 12 −2][10]=[−12 ]=2[−0.51 ]
X2=(A−2 I )Y 1=[−1 12 −2] [−0.51 ]=[1.5−3]=−3[−0.51 ]
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 41جامعة
X3=(A−2 I )Y 2=[−1 12 −2] [−0.51 ]=[1.5−3]=−3[−0.51 ]
X 4=( A−2 I )Y 3=[−1 12 −2][−0.51 ]=[1.5−3]=−3[−0.51 ]
كما نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ةmkتتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة A−2للمص@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@فوفة I:
λ=−3 وبالتالي ، λ2−λ1= λ2−2=−3❑⇒λ2=−1قيمة ذاتية للمصفوفة
A ومتتالية األشعة ، Y kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المقاب@@ل له@@ذه 0.51−]القيمة الذاتية ].
(:3مثال ) استخدم طريقة قوى االنتق@@ال لحس@@اب القيم@@ة الذاتي@@ة الثاني@@ة للمص@@فوفة
A=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 X ، باستخدام الشعاع األولي [ 0=Y 0=[111].
الحل: .A هي القيمة الذاتية المهيمنة للمصفوفة λ1=6وجدنا أن
لنحسبA−λ1 I:
A−6 I=[−2 −1 1−1 −3 −21 −2 −3 ]
عليها :القوىولنطبق طريقة
X1=(A−6 I )Y 0=[−2 −1 1−1 −3 −21 −2 −3][
111]=[−2−6
−4 ]=−6[0.333310.6667 ]X2=[−2 −1 1
−1 −3 −21 −2 −3] [
0.33331
0.6667]=[−0.9999−4.6667−3.6668 ]=−4.6667 [0214310.7857 ]العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 42جامعة
بالتكرار حتىX10: نحصل على الجدول التالي 543210K
[−0.2484−4.9172−4.6688][−0.4029−4.8657
−4.4628 ][−0.6429−4.7857−4.1428 ][−0.9999−4.6667
−3.6668 ][−2−6−4 ][111]X k
[0.050510.9495][0.082810.9172][0.134310.8657][0.214310.7857][0.333310.6667][111]Y k
−4.9172−4.8657−4.7857−4.6667−61mk
109876K
[−0.0201−4.9933−4.9732][−0.0333−4.9889
−4.9556 ][−0.0555−4.9815−4.926 ][−0.0918−4.9694
−4.8776 ][−0.1515−4.9495−4.798 ]X k
[0.00410.996][0.006710.9933][0.011110.9889][0.018510.9815][0.030610.9694]Y k
−4.9933−4.9889−4.9815−4.9694−4.9495mk
كما نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ةmkتتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة A−6للمص@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@فوفة I:
λ=−4.9933≅−5 وبالت@@@الي ، λ2−λ1= λ2−6=−5❑⇒λ2=1قيم@@@ة ذاتي@@@ة
Y ، ومتتالية األش@@عة Aللمصفوفة kتتق@@ارب إلى الش@@عاع ال@@ذاتي
≅[0.00410.996]المقابل لهذه القيمة الذاتية [011].
The shifted inverse رابعا: طريقة قوى مقلوب االنتقال )power iteration )
كم@@ا م@@ر معن@@ا س@@ابقا، إن اس@@تراتيجية االنتق@@ال )اإلزاح@@ة( من الممكن أنن عملي@@@@@@@@@@@@@@@@ة التق@@@@@@@@@@@@@@@@ارب كث@@@@@@@@@@@@@@@@يرا . تحس@@@@@@@@@@@@@@@@ إن هذه الطريق@@ة تفي@@د بش@@كل خ@@اص في تق@@ريب ش@@عاع ذاتي لمص@@فوفة، مقابل لقيم@@ة ذاتي@@ة مقرب@@ة س@@ابقا. على اعتب@@ار أن@@ه يتق@@ارب بس@@رعة عن@@د
هي قيمة ذاتية تقريبي@@ة ؛ كم@@اλحيث A−λIالتطبيق على مصفوفة االنتقال أن هذه الطريقة مفيدة أيضا في تقريب قيمة ذاتية قريبة من قيمة معطاة
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 43جامعة
α حيث أنه إذا مانت ، λ قيمة ذاتية للمصفوفة A و λ≠αليست قيمة ذاتي@@ة لها ، فإن:
-A−α I قلوبة، ألنه في هذه الحالة يكون det (A−α I حتما.0≠(-1
λ−α @قيمة ذاتية ل (A−α I )−1.
فنقوم في هذه الطريقة بتط@@بيق طريق@@ة ق@@وى المقل@@وب على المص@@فوفةA−α I: وتكون العبارة التكرارية لهذه الطريقة ،
X k+1=(A−α I )−1 X k
‖(A−α I )−1 X k‖
تعقيد خوارزمية قوى مقلوب االنتقال: إن ه@@ذه الطريق@@ة تتطلب ح@@ل جمل@@ة مع@@ادالت خطي@@ة أو حس@@اب مقل@@وب
Oمصفوفة، وللمصفوفات –التي ال شروط عليها- هذا يتطلب (n3 عملي@@ة.( )حيث يمكنن@@ا عوض@@ا عن إيج@@اد مقل@@وب مص@@فوفة أن نعي@@د كتاب@@ة العب@@ارة
)التكرارية بالشكل التالي: A−α I ) X k+1=Xk
‖(A−α I )−1 X k‖
ومنه تتشكل لدينا جملة من المعادالت الخطية ونك@@ون بحاج@@ة لحله@@ا ح@@تىXنوجد التقريب التالي k+1.
إن عملية االختيار بين إحدى الطريقتين )حل جملة معادالت خطية أو إيجاد مقلوب مصفوفة( يعتم@@د على ع@@دد التك@@رارات، حيث إن الح@@ل باس@@تخدام
k∗Oجمل@@ة المع@@ادالت الخطي@@ة تك@@ون درج@@ة تعقي@@ده (n3 ه@@و ع@@ددk )و ( التكرارات( . أما حساب مقلوب المصفوفة أوال ثم تطبيق الطريقة لتقريب
Xالشعاع k تكون من التعقيد O (n3 )+k∗n2. ووضوحا نجد أن الخيار الثاني مناسب من أجل ع@@دد كب@@ير من التك@@رارات، بينما خيار حل جملة المعادالت الخطية يكون مناسبا أكثر عندما يكون عدد
التكرارات المطبقة صغير .
(:1مثال )
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 44جامعة
Aاستخدم طريقة قوى مقلوب االنتقال لتقريب القيمة الذاتي@@ة للمص@@فوفة
X ، باس@@تخدام الش@@عاع األولي 5والقريبة من القيمة 0=Y ، وبحيث :[111]=0
A=[ 0 5 −6−4 12 −12−2 −2 10 ].
الحل:A−αنوجد المصفوفة IأيA−5 I:
A−5 I=[−5 5 −6−4 7 −12−2 −2 5 ]
نطبق طريقة مقلوب القوى على هذه المصفوفة :
( A−5 I ) Xk=Y k−1; X k=[rst ]( A−5 I ) X1=Y 0❑
⇒ [−5 5 −6−4 7 −12−2 −2 5 ] [rst ]=[111]
❑⇒−5 r+5 s−6 t=1−4 r+7 s−12 t=1−2 r−2 s+5 t=1
بح@@ل جمل@@ة المع@@ادالت ه@@ذه )بطريق@@ة التع@@ويض مثال – أو بأح@@د الط@@رقالتكرارية( نجد أن :
r=−0.61 , s=−0.88 , t=−0.39
ويكون:
Y 1=−10.88 [−0.61−0.88
−0.39]=[0.6910.45]وبالتالي وبنفس األسلوب نحصل على الجدول التالي:
76543210K
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 45جامعة
[−0.5−1−0.5][−0.50−0.99
−0.5 ][−0.50−0.98−0.49][−0.49−0.95
−0.48][−0.47−0.89−0.44 ][−0.41−0.69
−35 ][−0.61−0.88−0.39][111]X k
[0.510.5][0.510.5][0.510.5][0.5110.5 ][0.5310.5 ][0.9510.51][0.6910.45][111]Y k
−1−0.99−0.98−0.95−0.89−0.69−0.881mk
تتقارب إلى القيمة الذاتية المهيمنة للمص@@فوفةmkكما نالحظ فإن المتتالية ( A−6 I )−1 : λ=−1- قيمة ذاتية ص@@غرى للمص@@فوفة 1 ، وبالتالي A−6 I،
❑λ−5=−1ومن@@ه ⇒λ=4 قيم@@ة ذاتي@@ة للمص@@فوفة A ومتتالي@@ة األش@@عة ، Y k
.[0.510.5]تتقارب إلى الشعاع الذاتي المقابل لهذه القيمة الذاتية
(:2مثال ) Aاستخدم طريقة قوى مقلوب االنتقال لتقريب القيمة الذاتي@@ة للمص@@فوفة
X ، باس@@تخدام الش@@عاع األولي 5والقريبة من القيمة 0=Y ، وبحيث :[11]=0A=[2 1
2 3 ].
الحل:A−αنوجد المصفوفة I أي A−5 I:
A−5 I=[−3 12 −2]
ثم نوجد مقلوب المصفوفة :
( A−5 I )−1= 14 [−2 −1
−2 −3 ]=[−0.5 −0.25−0.5 −0.75]نطبق طريقة القوى فنحصل على الجدول التالي :
X1=(A−5 I )−1Y 0=[−0.5 −0.25−0.5 −0.75] [11]=[−0.75−1.25]=−1.25[0.61 ]
876543210K
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 46جامعة
[−0.5−1 ][−0.5−1 ][−0.5002−1.0002][−0.5007−1.0007][−0.5029−1.0029][−0.5119−1.0119][−0.55−1.05][−0.75−1.25][11]X k
[0.51 ][0.51 ][0.50011 ][0.50041 ][0.50151 ][0.50591 ][0.52381 ][0.61 ][11]Y k
−1−1−1.0002−1.0007−1.0029−1.0119−1.05−1.251mk
تتقارب إلى القيمة الذاتية المهيمنة للمص@@فوفةmkكما نالحظ فإن المتتالية ( A−5 I )−1 : λ=−1- قيمة ذاتية ص@@غرى للمص@@فوفة 1 ، وبالتالي A−5 I،
❑λ−5=−1ومن@@ه ⇒λ=4 قيم@@ة ذاتي@@ة للمص@@فوفة A ومتتالي@@ة األش@@عة ، Y k
0.51]تتقارب إلى الشعاع الذاتي المقابل لهذه القيمة الذاتية ].
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 47جامعة
Gershgorin أقراص
(:6تعريف )A=[aijلتكن المص@@فوفة r مص@@فوفة حقيقي@@ة أو عقدي@@ة، ولتكن [ iترم@@ز
وال@@تي ال تنتمي إلى القط@@رiلمجم@@وع القيم المطلق@@ة لعناص@@ر الس@@طر ∑=riالرئيس@@ي، أي
i ≠ j|aij| عندئ@@ذ ق@@رص ، Gershgorin @@@ال iه@@و الق@@رص
a في المستوي العقدي والذي مركزه Diالدائري ii ونصف قطره r i:أي ، Di= {z∈C :|z−a ii|≤ ri }
(:9مبرهنة ) )عناصرها حقيقية أو عقدي@@ة( عندئ@@ذ ك@لn*n مصفوفة من البعد Aلتكن
.Gershgorinمحتواة في قرص Aقيمة ذاتية ل@ البرهان:
X=(x ، وليكن A قيمة ذاتية للمص@@فوفة λلتكن j)الش@@عاع ال@@ذاتي المواف@@ق له@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ا.
=iنختار {1,2 ,…,n x| بحيث { i|=maxj
|x j|. x|)إن i|>0 ألنه إذا كانت |x i|=0 فإن � X=0وهو شعاع ذاتي للمص@@فوفة
A أي أنه بالتأكيد شعاع غير صفري وبالتالي |x i|≠0.) الشعاع الذاتي الموافق لها فإن:X و A قيمة ذاتية ل@ λبما أن
AX=λ X∑jaij x j=λ x i;∀ i∈ {1,2 ,…,n }
بفك المجموع نحصل على :∑j ≠ iaij x j=λ x i−aii x i
∑j ≠ iaij x j=(λ−a ii)x i
xنقسم على i: ونأخذ القيمة المطلقة
|λ−a ii|=|∑j ≠i aij x j
x i |≤∑j ≠i |aij x jx i |≤∑j≠ i |aij|=R i
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 48جامعة
x|]حيث j
x i|≤1 for j ≠ i].
(:1مثال )
A=[2 للمصفوفة التالية Gershgorinأوجد أقراص 12 −3 ].
الحل: .1 ونصف قطره هو 2 األول هو Gershgorinإن مركز قرص
.2- ونصف قطره هو 3 الثاني هو Gershgorinومركز قرص موجودة ضمن هذين القرصين .Aوبالتالي فإن القيم الذاتية للمصفوفة
لنوجد القيم الذاتية بالطريقة الجبرية:-det (A−λI )=|2−λ 1
2 −3−λ|=0(2− λ ) (−3− λ )−2=0❑
⇒λ2+λ−8=0
وبالتالي القيم الذاتية هي :λ1=
−1+√1−4 (−8)2
≈2.37
λ2=−1−√1−4 (−8 )
2≈−3.37
نجد :Gershgorinوبرسم أقراص
(:2مثال )
A=[1 للمصفوفة التالية Gershgorinأوجد أقراص −32 3 ].
الحل: .3|=3|- ونصف قطره هو 1 األول هو Gershgorinإن مركز قرص
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 49جامعة
.2 ونصف قطره هو 3 الثاني هو Gershgorinومركز قرص موجودة ضمن هذين القرصين .Aوبالتالي فإن القيم الذاتية للمصفوفة
لنوجد القيم الذاتية بالطريقة الجبرية:-det (A−λI )=|1−λ −3
2 3−λ|=0❑⇒λ2−4 λ+9=0
وبالتالي القيم الذاتية هي :λ1=
4+√(−4)2−4 (9)2
≈2+2.23 i
λ2=4−√(−4)2−4(9)
2≈2−2.23 i
نجد :Gershgorinوبرسم أقراص
(:3مثال )
]=A للمصفوفة التالية Gershgorinأوجد أقراص 4 1 10 2 1
−2 0 9 ].
الحل:| =1|+|1| ونصف قطره هو 4 األول هو Gershgorinإن مركز قرص
3. .1| =1 + |0 ونصف قطره هو 2 الثاني هو Gershgorinومركز قرص | =2 + |0 ونصف قطره هو 9 الثالث هو Gershgorinومركز قرص
2. العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 50جامعة
موجودة ضمن هذين القرصين ،Aوبالتالي فإن القيم الذاتية للمصفوفة نجد :Gershgorinوبرسم أقراص
مالحظات: نالحظ أن@@ه إذا ك@@ان ل@@ديناk ق@@رص Gershgorinمنص@@لين عن بقي@@ة
k قيمة ذاتية بالضبط ستكون محتواة في اتحاد ال@ kاألقراص فإن قرص، وبشكل خاص إذا كان هناك قرص منفصل عن بقية األقراصفإنه يجب أن يحوي قيمة ذاتية وحيدة للمصفوفة .. كما في المثال )
1.. )4
( أن ال@ 1نالحظ في المثال )غير محتوى في ق@رص 0 Gershgorin، ، وبالت@@الي ف@@إنA ليس قيم@@ة ذاتي@@ة للمص@@فوفة 0ه@@ذا يع@@ني أن
Aقلوبة . وهذه المالحظة تفيدنا في المصفوفات الكبيرة ألن أقراص Gershgorin. تحدد مباشرة من عناصر المصفوفة
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 51جامعة
Wielandt خامسا: طريقة التفريغ واالنكمTTاش ) deflation method )
إن فعالي@@ة طريق@@ة ق@@وى مقل@@وب االنتق@@ال تكمن في م@@دى ق@@رب القيم@@ة المخمنة إلى القيمة الذاتية الفعلية، ولكن إذا كنا ال نملك معلومات مناسبة عن القيم الذاتية لمصفوفة تصبح تلك الطرق غير عملية ومضللة في بعض
( حيثDeflationاألحيان ؛ وكبديل لتلك الطريقة هناك طريق@@ة االنكم@@اش ) نستطيع بعد إيجاد القيمة الذاتية المهيمنة والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@ل له@@ا – باستخدام طريقة القوى مثال – أن نحسب القيم الذاتية األخرى للمص@@فوفة
وذلك باالعتماد على فكرة االنكماش .(:Deflationاالنكماش )
هو أن نحذف حل موجود مسبقا مع إبقاء الحلول األخرى كم@@ا هي ال يط@@رأعليه@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ا أي تغي@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ير .
مثال .. االنكماش في إيجاد جذور لكثيرة حدود:x3−6 x2+11 x−6= ( x−1 ) (x2−5 x+6 )=( x−1 ) ( x−2 ) (x−3 )
فنحن نوجد الجذر األول تجريبيا ثم نزيله عبر التقسيم على أحادي الحد . أما االنكماش بالنسبة لمسألة إيجاد القيم الذاتي@@ة لمص@@فوفة ه@@و أن نح@@ول القيمة الذاتي@@ة المعين@@ة مس@@بقا إلى ص@@فر بينم@@ا تبقى القيم االتي@@ة األخ@@رى
نفسها ..
قبل وضع خوارزمية التفريغ واالنكماش هن@@اك مجموع@@ة من الخ@@واص نحنبحاج@@@@@@@@@@@@@@@ة إلى الم@@@@@@@@@@@@@@@رور عليه@@@@@@@@@@@@@@@ا وإثباته@@@@@@@@@@@@@@@ا:
λ1 له@@ا القيم الذاتي@@ة n*n مص@@فوفة من البع@@د Aلتكن , λ2 ,…, λnواألش@@عة v1الذاتية المقابلة لها , v2 ,…,vn.
(:1الخاصة ) تملكان نفس مجموعة القيم الذاتية.At وAالمصفوفتاناإلثبات:
نجد أن:A قيمة ذاتية للمصفوفة λبفرض det (A t−λI )=det (A− λI )T=det (A−λI )=0
حيث كما نعلم سابقا أن:det (AT )=det A
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 52جامعة
هي نفس@@ها القيم الذاتي@@ةATوبالتالي فإن القيم الذاتي@@ة لمنق@@ول مص@@فوفة ؛ ولكن بشكل عام تكون األشعة الذاتية مختلفة.Aللمصفوفة
( :2خاصة )wليكن i الش@@عاع ال@@ذاتي للمص@@فوفة AT المقاب@@ل للقيم@@ة الذاتي@@ة λ iأي أن(
AT wi=λ iwi.)λإذا كان i≠ λ jفإنvi
T .w j=0. اإلثبات:
Avنعلم أن i=λi v i)فرضا(ولنأخذ منقول طرفي المعادلة:
(A vi)T=(λ i v i)
T
viT AT= λi v i
T
wنضرب طرفي المعادلة ب@ j:viT ATw j=λ i v i
T w j
وباستخدام المعادلة: Av i=λi v i
نجد أن:λ j v i
Tw j= λi v iTw j⇒ (λ j−λ i )v iTw j=0
λوبما أن i≠ λ jفإنviT .w j=0.
( :3خاصة )B=A−λ1v1لتكن x
T حيث xT v1=1 @عندها تكون القيم الذاتية ل . B و 0 هي λ ii=2,3حيث ,…,n.
اإلثبات:لنأخذ المصفوفة التالية:
(1 )B=A− λ1 v1 xT
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 53جامعة
فنجد:v1ولنضرب طرفي المعادلة ب@@ Bv1=A v1−λ1v1 x
T v1
Bv1=λ1 v1−λ1 v1 xT v1
Bv1=λ1 v1(1−xT v1)
xTبحيث يكونxوبالفرض نختار v1=1
xT−1وبالتالي: v1=0
الشعاع الذاتي المقابل لها.v1وB قيمة ذاتية للمصفوفة0أي أن ال@ ( :1لنأخذ منقول طرفي المعادلة )-
BT=(A−λ1 v1 xT )T
BT=AT−λ1 x v1T
wنضرب طرفي المعادلة ب@ iحيثi=2,3 ,…,n
wو i شعاع ذاتي للمصفوفة ATمقابل للقيمة الذاتية λ i
BTw i=AT wi−λ1X v1Twi
(-:2ونعلم أن-من الخاصة )v1T wi=0⇒BTwi= λiwi
λ2أي أن , λ3 ,…, λnقيم ذاتية للمصفوفةBTوبالتالي قيم ذاتية للمصفوفةB.
B=A−λ1في الصيغةXكيفية اختيار الشعاع v1 XT:
بالشكل التالي:XنختارWielandt deflationفي طريقة
X= 1λ1 v1 ,k
[ak 1ak 2ak 3…akn]T
v1حيث , kهي العنصرkمن الشعاعv1
akوالعناصر 1ak 2ak3…aknهي عناصر السطرkمن المصفوفةA. v1بحيثxويمكننا أن نختار أي قيمة ل@ , k ليس@@ت ص@@فرا ، ولكن هن@@ا س@@نختارx
¿بحيث هو أصغر عدد صحيح يحقق أن v1 , k∨¿يساوي نظيم القيمة العظمى هو رقم أول مركبة التي تكون قيمته@@ا المطلق@@ة أك@@بر منk ؛ أيv1للشعاع
.v1القيم المطلقة لبقية مركبات الشعاعXTالتحقق من أن v1=1:
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 54جامعة
XT v1=1
λ1 v1 ,k[kthrow of A]T v1
¿ 1λ1 v1 ,k
[kthelement of the product A v1 ]
¿ 1λ1 v1 ,k
[kthelement of λ1 v1 ]
¿ 1λ1v1 ,k
λ1v1 ,k=1
⇒ XT v1=1
واألشعةBإيجاد العالقة بين األشعة الذاتية للمصفوفة Tالذاتية لA:
λ مقاب@@ل للقيم@@ة الذاتي@@ة B تش@@ير إلى ش@@عاع ذاتي للمص@@فوفة uiبف@@رض i كتركيب خطي لألشعة الذاتيةvi، ويمكننا أن نكتب u1=v1 و λ1=0ووجدنا أن :Bللمصفوفة
vi=α ui+β v1(2)
:β و αلنحدد الثوابت ( ب@ 1نضرب )vi:
Bv i=A v i−λ1v1 XT vi
Bv i=λ i v i−λ1 v1 XT v i
( 2نعوض: )B (α ui+β v i )= λi (α ui+β v i )− λ1 v1 X
T (α ui+β v i ):باستخدام العالقات
Bu i=λ iui ,B v1=0 , XT v1=1
نجد أن:α Bui+Bβv1=α λi ui+β λ i v1−α λ1 v1X
T u i−β λ1 v1XT v1
α λiu i=α λiu i+ λiβ v1−α λ1 (v1XT )ui−β λ1 v10=λi β v1−α λ1 (XT ui ) v1−β λ1v1¿
وأحد حلول هذه المعادلة هو:α=λ i−λ1, β=λ1 (XT ui )
وبالتالي:vi=(λ¿¿ i−λ1)u i+ λ1 (XT ui ) v1¿
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 55جامعة
خوارزمية طريقة التفريغ واالنكماش:v1=(u1 حيث إذا كان v1 من الشعاع kنعين .1 ,u2,…,un ه@@وk ف@@إن (
uk|=max|أصغر عدد صحيح يحقق : ❑
¿u j∨¿ ; (1≤ j≤n ) ¿
كالتالي:Xنضع الشعاع .2X= 1
λ1v1 ,k[kth row of A ]T
λ1v1نحسب .3 XT فنحصل على مصفوفة من البعد n*n
B=A−λ1نضع المصفوفة .4 v1 xT وهي مصفوفة من البعد n*n
فنحص@@ل علىB من المص@@فوفة k والعم@@ود kنح@@ذف الس@@طر .5Bالمصفوفة
مس@@قط منn-1 م@@ع أول Bنطبق طريقة القوى على المصفوفة .6 والش@@عاعλ2 ، أي نحس@@ب القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة v1الش@@عاع
u2الذاتي المهيمن الموافق u2 فنحصل على الشعاع u2 إلى الشعاع kنضيف الصفر كمركبة .7 λ2 المواف@@ق للقيم@@ة الذاتي@@ة A للمصفوفة v2يكون الشعاع الذاتي .8
هو:v2=(λ ¿¿2−λ1)ui+λ1 (XT u i) v1¿
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 56جامعة
(:1مثال ) أوج@@د القيمت@@ان ال@@ذاتيتان األولى والثاني@@ة واألش@@عة الذاتي@@ة المقابل@@ة
للمصفوفة التالية بطريقة التفريغ واالنكماش:
A=[ 11 −6 4 −24 1 0 0
−9 9 −6 5−6 6 −6 7 ]
الحل: هيAبتطبيق طريقة الق@@وى تك@@ون القيم@@ة الذاتي@@ة المس@@يطرة ل@@@
λ1=5 والشعاع الذاتي المقابل لها هو v1=[1100] :kنعين .1
|uk|=max {|1|,|1|,0 ,0}=1=|u1|❑⇒k=1
:Xنضع الشعاع .2
X=15 [ 11−64
−2 ]λ1v1نحسب .3 X
T:
λ1v1 XT=55 [1100 ] [11 −6 4 −2 ]=[11 −6 4 −2
11 −6 4 −20 0 0 00 0 0 0 ]
B : B=A−λ1نضع المصفوفة .4 v1 xT
B=A−λ1 v1 xT=[ 11 −6 4 −2
4 1 0 0−9 9 −6 5−6 6 −6 7 ]−[11 −6 4 −2
11 −6 4 −20 0 0 00 0 0 0 ]
❑⇒B=[ 0 0 0 0
−7 7 −4 2−9 9 −6 5−6 6 −6 7]
:Bنحذف السطر األول والعمود األول من المصفوفة .5
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 57جامعة
B=[7 −4 29 −6 56 −6 7]
v1 مسقط من الشعاع n-1 مع أول Bنطبق طريقة القوى على .6 مساقط فنحصل على3أي مع أول
λ2=4 ,u2=[ 00.51 ]]=u2 فنحص@@ل على u2 إلى الشعاع k=1نضيف الصفر كمركبة .7 000.51 ]
.
:v2نحسب الشعاع .8v2=(λ ¿¿2−λ1)u2+ λ1 (XT u2) v1¿
v2=(4−5 ) [ 000.51 ]+5. 15 ([11 −6 4 −2 ] [ 000.51 ])[1100]=[ 00
−0.5−1 ]
والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@لλ2=4وبالتالي حصلنا على القيمة الذاتية
]=v2لها 00
−0.5−1 ].
نع@@ود فنطب@@ق خوارزمي@@ة التفري@@غ A إليج@@اد قيم@@ة ذاتي@@ة ثاني@@ة للمص@@فوفة واالنكماش:
:kنعين .1|uk|=max {0 ,0 ,|−12 |,|1|}=1=|u4|❑
⇒k=4
:Xنضع الشعاع .2
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 58جامعة
X=14 [−66−67 ]
λ1v1نحسب .3 XT:
λ1v1 XT=44 [ 0
0−0.5−1 ] [−6 6 −6 7 ]=[0 0 0 0
0 0 0 0
3 −3 3 −72
6 −6 6 −7]
B : B=A−λ1نضع المصفوفة .4 v1 xT
B=A−λ1 v1 xT=[ 11 −6 4 −2
4 1 0 0−9 9 −6 5−6 6 −6 7 ]−[0 0 0 0
0 0 0 0
3 −3 3 −72
6 −6 6 −7]
❑⇒B=[ 11 −6 4 −2
4 1 0 0
−12 12 −9 172
−12 12 −12 14]
:Bنحذف السطر الرابع والعمود الرابع من المصفوفة .5
B=[ 11 −6 44 1 0
−12 12 −9] v1 مس@@اقط من الش@@عاع 3 م@@ع أول Bنطب@@ق طريق@@ة الق@@وى على .6
فنحصل على :43210K
[−1.3526−2.7059−4.4628][ 3.75711.4539
−6.0912][−0.8884−1.7776−3.6672][−204.5][ 0
0−0.5]X k
[0.30310.60631 ][−0.6168−0.2387
1 ][0.24230.48471 ][−0.4440
1 ][ 00
−0.5]Y k
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 59جامعة
−4.4628−6.0912−3.66724.51mk
98765K
[3.66991.97715.0448][ −1.623
−3.2465−4.926 ][ 3.67671.9363
−5.1264][−1.5482−3.0968−4.7976 ][ 3.69631.8187
−5.3616]X k
[−0.7275−0.39191 ][0.32950.6291
1 ][−07172−0.37771 ][0.32270.6455
1 ][−0.6894−0.33921 ]Y k
−5.0448−4.926−5.1264−4.7976−5.3616mk
1413121110K
[−1.6662−3.3303−4.9956 ][ 3.66871.9983
−5.0064][−1.6622−3.3228−4.9896 ][ 3.66851.9925
−5.016][−1.651−3.351−4.972]X k
[0.33350.66661 ][−0.7328−0.3991
1 ][0.33310.66591 ][−0.7314−0.3972
1 ][0.33210.66411 ]Y k
−4.9956−5.0064−4.9896−5.016−4.972mk
201918171615K
[−1.6694−3.3356−4.9992][ 3.6692−2.0023
−5.0004][−1.6689−3.3351−4.9992][ 3.66872.0018
−5.0004][ −1.668−3.3335−4.998 ][−3.66892.0006
−5.0028]X k
[0.33390.66721 ][−0.7338−0.4004
1 ][0.33380.66711 ][−0.7337−0.4003
1 ][0.33370.66751 ][−0.7334−0.3999
1 ]Y k
−4.9992−5.0004−4.9992−5.0004−4.998−5.0028mk
، والش@@عاع ال@@ذاتيB قيمة ذاتي@@ة للمص@@فوفة λ3=−5ومنه نستنتج أن المقابل لها :
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 60جامعة
u3=[−0.199950.26681 ]≅ [ −0.2
0.13331 )أخذت المتوسط الحسابي آلخ@@ر ش@@عاعين[
Y 19 ,Y 20)
فنحص@@@ل علىu3 إلى الش@@@عاع k=4نض@@@يف الص@@@فر كمركب@@@ة .7
u3=[ −0.20.133310 ].
:v3نحسب الشعاع .8v3=( λ¿¿3− λ2)u3+λ2 (XT u3 )v2 ¿
v3=(−5−4 )[ −0.20.133310 ]+ 44 ([−6 6 −6 7 ] [ −0.2
0.133310 ])[ 0
0−0.5−1 ]=[ 1.8
−1.997−6.99994.0002 ]
حالة خاصة: كالتالي:Xفي حال كانت المصفوفة متناظرة، نضع الشعاع
X= 1λ1
∗(A T(الصفkمنالمصفوفة
(:2مثال ) أوج@@د القيم@@ة الذاتي@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي للمص@@فوفة التالي@@ة بطريق@@ة
التفريغ واالنكماش:
A=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 ]
موافقة للشعاعA قيمة ذاتية للمصفوفة λ1=6علما أن الذاتي:
V 1= [1 −1 1 ]T
الحل: :kنعين .1
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 61جامعة
|uk|=max ¿¿
:Xنضع الشعاع .2
X=16 [ 4−11 ]
λ1v1نحسب .3 XT:
λ1v1 XT=66 [ 1−11 ] [4 −1 1 ]=[ 4 −1 1
−4 1 −14 −1 1 ]
B : B=A−λ1نضع المصفوفة .4 v1 xT
B=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 ]−[ 4 −1 1
−4 1 −14 −1 1 ]=[ 0 0 0
3 2 −1−3 −1 2 ]
:Bنحذف السطر األول والعمود األول من المصفوفة .5B=[ 2 −1
−1 2 ]
X مع الشعاع األولي Bنطبق طريقة القوى على .6 0=Y 0=[ 1−1] فنحصل علىλ2=3 ,u2=[ 1−1]
]=u2 فنحص@@ل على u2 إلى الشعاع k=1نضيف الصفر كمركبة .7 01−1]
.
:v2نحسب الشعاع .8v2=(λ ¿¿2−λ1)u2+ λ1 (XT u2) v1¿
v2=(3−6 )[ 01−1]+6([ 23 −16
16 ][ 01−1])[
1−11 ]=[−2−1
1 ]
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 62جامعة
والشعاع الذاتي المقابل لهاλ2=3وبالتالي حصلنا على القيمة الذاتية
v2=[−2−11 ].
(:3مثال ) أوجد القيمة الذاتي@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي للمص@@فوفة التالي@@ة بطريق@@ة التفري@@غ
واالنكماش:
A=[1 1 11 1 01 0 1]
موافقة للشعاع الذاتي:A قيمة ذاتية للمصفوفة λ1=1علما أن V 1= [0 1 −1 ]T
الحل: :kنعين .1
|uk|=max ¿¿
:Xنضع الشعاع .2
X=11 [110]
λ1v1نحسب .3 XT:
λ1v1 XT=11 [ 01−1] [1 1 0 ]=[ 0 0 0
1 1 0−1 −1 0]
B : B=A−λ1نضع المصفوفة .4 v1 xT
B=[1 1 11 1 01 0 1]−[ 0 0 0
1 1 0−1 −1 0]=[1 1 1
0 0 02 1 1]
:Bنحذف السطر األول والعمود األول من المصفوفة .5
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 63جامعة
B=[1 12 1]
X مع الشعاع األولي Bنطبق طريقة القوى على .6 0=Y فنحص@@ل[01]=0على
6543210K
[1.70732.4146][1.70592.4118 ][1.71432.4286][1.66672.3334][23][11][01]X k
[0.70711 ][0.70731 ][0.70591 ][0.70731 ][0.66671 ][11][01]Y k
2.41462.41182.42862.3334311mk
والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@لλ2=2.41ومنه نحصل على القيمة الذاتية u2=[0.70711لها ].
فنحص@@@ل علىu2 إلى الش@@@عاع k=2نض@@@يف الص@@@فر كمركب@@@ة .7
u2=[0.707101 ].
:v2نحسب الشعاع .8v2=(λ ¿¿2−λ1)u2+ λ1 (XT u2) v1¿
v2=(2.41−1 )[0.707101 ]+([1 1 0 ] [0.707101 ]) [ 01−1]=[0.990.71
0.70 ] والشعاع ال@@ذاتي المقاب@@ل له@@اλ2=2.41وبالتالي حصلنا على القيمة الذاتية
v2=[0.990.710.70].
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 64جامعة
QR سادسا: الطريقة إن أكثر االستراتيجيات الشائعة لتقريب جميع القيم الذاتية في وقت واح@@د
م1961 ، وال@@تي تم طرحه@@ا أوال في ع@@ام QR هي خوارزمية Aلمصفوفة .Kublaovskaya و Francisمن قبل
إن الفكرة األساسية لهذه الخوارزمية تتمثل بتحليل المصفوفة إلى الج@@داءQRباستخدام خوارزمية غ@@رام-ش@@ميث A=A0=Q 0. R0 حيث Q0مص@@فوفة
مص@@@@@@فوفة مثلثي@@@@@@ة علي@@@@@@ا قلوب@@@@@@ة ،R0متعام@@@@@@دة منظم@@@@@@ة و A(Q,R)وتك@@ون الخط@@وة الثاني@@ة هي ج@@داء عوام@@ل تحلي@@ل المص@@فوفة
A1=R0بالترتيب المعاكس أي .Q0وبذلك تنتج المصفوفة الجدي@@دة، فنك@@رر ، فيكون :kالعملية مرة أخرى حتى
Ak +1=Rk .Qk=Qk +1 . Rk +1 , k=0,1,2 ,….
إلى مصفوفة مثلثية عليا تش@@كل عناص@@رAkفي النهاية تتقارب المصفوفة .Aقطره@@@@@@@@@ا الرئيس@@@@@@@@@ي القيم الذاتي@@@@@@@@@ة للمص@@@@@@@@@فوفة
وإذا أردن@@ا إيج@@اد الش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@ل لك@@ل قيم@@ة ذاتي@@ة فمن الممكناس@@@@@@@@@@تخدام طريق@@@@@@@@@@ة ق@@@@@@@@@@وى مقل@@@@@@@@@@وب االنتق@@@@@@@@@@ال .
الدراسة التحليلية للخوارزمية(:10مبرهنة )
أعم@@دتها مس@@تقلة خطي@@ا عندئ@@ذ ف@@إنn*m مصفوفة من البعد Aإذا كانت Aتطبيق خوارزمية غرام-شميث لهذه األعمدة سيعطينا تحليال للمص@@فوفة
.A=Qعلى الشكل R حيث Q مصفوفة من البعد m*nأعمدتها متعامدة مصفوفة مثلثية عليا قلوبة .Rمنظمة و
البرهان:a1لتكن , a2 ,…,an أعمدة مس@@تقلة للمص@@فوفة A ولتكن ، q1, q2 ,…,qnهي
األشعة المتعامدة المنظمة والناتج@@ة عن تط@@بيق خوارزمي@@ة غ@@رام-ش@@ميثعلى تل@@@@@@ك األعم@@@@@@دة وتقس@@@@@@يم ك@@@@@@ل ش@@@@@@عاع على طويلت@@@@@@ه .
i=1,2وبالتالي حسب خوارزمية غرام-شميث فإنه ألجل ,…,n:يكون W i=span {a1 , a2,…,an }=span {q1 , q2 ,…,qn }
r1وبالتالي فإنه يوجد أعداد i ,r 2i ,…, rii:بحيث a i=r1 iq1+r2 iq2+…+rii qi ; i=1,2 ,…,n
هذا يعني أن :a1=r11q1
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 65جامعة
a2=r12q1+r22q2
⋮
an=r1nq1+r2nq2+…+rnnqn
والتي يمكن كتابتها بالشكل المصفوفي التالي:
A=[a1 a2 … an ]=[q1 q2 … qn ] [r11 r12 … r1n0 r22 … r2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 … rnn
]=QR
تملك أعمدة تشكل مجموعة متعامدة منظمة، كماQوكما هو واضح فإن غير صفرية، ألن@@ه ل@@و فرض@@ناRأن عناصر القطر الرئيسي في المصفوفة
a فس@@@@تكون rii=0أن i @ت@@@@ركيب خطي ل q1, q2,…,qi−1@@@@@وبالت@@@@الي ل a1 , a2 ,…,ai−1 وه@@ذا غ@@ير ممكن ألن a1, a2 ,…,aiمس@@تقلة خطي@@ا، وبالت@@الي
تكون المصفوفة قلوبة )مح@@ددها ه@@و ج@@داء عناص@@ر قطره@@ا الرئيس@@ي غ@@يرالصفرية( .
مثال:
]=A للمصفوفة التالية: QRأوجد تحليل 1 2 2−1 1 2−1 0 11 1 2].
الحل: هي األشعة ذاتها التي أخذناها في المث@@ال ص@@فحةAإن أعمدة المصفوفة
)عن خوارزمي@@ة غ@@رام-ش@@ميث(، وبالت@@الي ف@@إن القاع@@دة المتعام@@دة17 وفقا لغرام-شميث هي:Aالمنظمة الموافقة ألعمدة
v1=(0.5
−0.5−0.50.5
) , v2=(0.67080.67080.22360.2236
) , v3=(−0.4082
00.40820.8165
)وبالتالي فإن :
Q=[ 0.5 0.6708 −0.4082−0.5 0.6708 0−0.5 0.2236 0.40820.5 0.2236 0.8165 ]
مص@@فوفةR حيث A=QR يمكن أن نكتب QRوحس@@ب نظري@@ة التحلي@@ل مثلثية عليا إليجادها يكفي أن نالحظ ما يلي:
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 66جامعة
QT متعامدة منظمة فإن Qبما أن أعمدة .Q=I:وبالتالي ، QT . A=QT .Q .R=I .R=R
ومنه:
R=QT . A=[ 0.5 −0.5 −0.5 0.50.6708 0.6708 0.2236 0.2236
−0.4082 0 0.4082 0.8165 ][ 1 2 2−1 1 2−1 0 11 1 2]=[2 1 0.5
0 2.2361 3.35410 0 1.2247]
عند تط@بيق خط@@وات الخوارزمي@@ةk م@@رة نحص@@ل على Ak=Rk−1 .Qk−1 وهي تس@@عى إلى مص@@فوفة مثلثي@@ة علي@@ا أو قريب@@ة من مثلثي@@ة علي@@ا
هي عناص@@ر القط@@ر الرئيس@@يAفتك@@ون القيم الذاتي@@ة للمص@@فوفة لماذا ؟ ، Akللمصفوفة
A أي A تشابه المصفوفة A1إن المصفوفة A1: ألن A=QR❑
⇒A R−1=Q
A1=RQ❑⇒R−1 A1=Q❑
⇒R−1 A1=A R−1❑
⇒A1=RA R−1
وبنفس الطريقة يكون لدينا :A2 A1 ,……, A k Ak−1
وبمالحظة أن عالقة تشابه المصفوفات هي عالقة تك@@افؤ )انعكاس@@يةAk– تناظري@@ة – متعدي@@ة( وبالت@@الي هي عالق@@ة تع@@دي ، يك@@ون A
وبالتالي لهما نفس القيم الذاتية .
مالحظة:QRعادة في التطبيقات العملية خوارزمية المباشرة تأخذ وقتا طويال جدا
في الوصول إلى تقريب معقول للقيم الذاتية للمصفوفات الكبيرة، وقد تم تحسين هذه الخوارزمية بإضافة بضعة خطوات أخ@@رى بس@@يطة لن نتط@@رق
لها هنا .
(:1مثال )
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 67جامعة
]=A لحس@@اب القيم الذاتي@@ة للمص@@فوفة : QRاستخدم الطريقة 5 −2−2 8 ]
خطوة .11وذلك بعد الحل:
مستقلة خطيا وبالتالي يمكن أن نطبق الخوارزمية:Aنالحظ أن أعمدة نضع :Q ، إليجاد A=QR على الشكل Aنحلل المصفوفة .1
x1=[ 5−2] , x2=[−28 ]ثم نطبق خوارزمية غرام-شميث ، فنضع :
v1=x1=[ 5−2]v2=x2−( v1 x2v1v1 )v1=[−28 ]−(−2629 )[ 5−2]=[ 2.486.208]
وبالتالي:q1=
v1‖v1‖
= 15.385 [ 5−2]=[ 0.928−0.371]
q2=v2
‖v2‖= 16.685 [ 2.486.208]=[0.3710.928]
ومنه :Q=[ 0.928 0.371
−0.371 0.928 ] :Rولنوجد اآلن المصفوفة
R=QT A=[0.928 −0.3710.371 0.928 ] [ 5 −2
−2 8 ]=[−5.385 4.8280 6.685]
A1=RQ=[−5.385 4.8280 6.685][ 0.928 0.371
−0.371 0.928]=[ 6.793 −2.482−2.482 6.207 ]
بتطبيق خوارزمية غرام-شميث تكون:.2Q1=[ 0.939 0.343
−0.343 0.939 ]ويكون:
R1=Q1T A1=[7.233 −4.462
0 4.977 ]A2=R1Q1=[ 8.324 −1.708
−1.708 4.675 ]
3.Q2=[ 0.979 0.201−0.201 0.979]
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 68جامعة
R2=Q2T A2=[8.492 −2.612
0 4.233 ]A3=R2Q2=[ 8.969 −0.387
−0.387 4.030 ]
4.A4=R3Q3=[8.993 0.1730.173 4.006 ]
........ وهكذا ........
11.A11=R10Q10=[8.999996 0.001340.0134 4.000018 ]
وهي مصفوفة قريبة من مثلثية عليا عناصر قطرها الرئيس@@ي تش@@كل القيم .4 و A : 9الذاتية لها وبالتالي القيم الذاتية للمصفوفة
(2مثال ) :
A=[2 لحساب القيم الذاتية للمصفوفة : QRاستخدم الطريقة 12 3 ].
الحل: مستقلة خطيا وبالتالي يمكن أن نطبق الخوارزمية:Aنالحظ أن أعمدة
وبتطبيق خوارزمية غرام- ، A=QR على الشكل Aنحلل المصفوفة .1شميث نحصل على :
Q0=[0.7071 −.70710.7071 0.7071 ]
R0=Q0T A=[2.8284 2.8284
0 1.4142]ومنه يكون :
A1=R0Q0=[4 01 1]
بتطبيق خوارزمية غرام-شميث تكون:.2Q1=[0.9701 −0.2425
0.2425 0.9701 ]العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 69جامعة
ويكون:R1=Q1
T A1=[4.1231 2.24250 0.9701]
A2=R1Q1=[4.0588 −0.76470.2353 0.9412 ]
3.Q2=[0.9983 −0.05790.0579 0.9983 ]
R2=Q2T A2=[4.0656 −0.7090
0 0.9839 ]A3=R2Q2=[4.0178 −0.9431
0.0569 0.9822 ]
........ ونكمل بنفس الطريقة ........
10.Q9=[1 00 1]
R9=[4 −10 1 ]
A10=[4 −10 1 ]
وهي مصفوفة مثلثية عليا عناصر قطرها الرئيسي تشكل القيم الذاتية لها1 و A : 4وبالتالي القيم الذاتية للمصفوفة
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 70جامعة
تطبيقات القيم الذاتية
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 71جامعة
A B0.30
0.200.70
سالسل ماركوف
سنطرح فكرة سالسل ماركوف من خالل المثال التالي: من معجون األس@@نان بإحص@@ائية لمعرف@@ة أيA,Bقامت شركة تنتج نوعين
ش@@خص وطلبت200نوع يفضله الناس أكثر، لذلك أخذت عينة مؤلف@@ة من إلى كل واحد منهم أن يجرب النوعين لعدة أشهر، فكانت النتائج كالتالي:
% منهم بقي70 في أي ش@@هر ف@@إن Aاألشخاص الذين استخدموا النوع ،B% منهم أص@@بح يس@@تخدم الن@@وع 30يس@@تخدمه في الش@@هر الت@@الي و
% منهم بقي80 في أي شهر ف@@إن Bواألشخاص الذين استخدموا النوع .A% منهم أصبح يستخدم النوع 20يستخدمه في الشهر التالي و
يمكن التعبير عن ذلك كما يلي:
إن هذا الشكل مثال بسيط على سالسل ماركوف المنتهية، فكم@@ا ش@@اهدنا ع@@دد الح@@االت الممكن@@ة منتهي، وفي ك@@ل مرحل@@ة فإن@@ه إم@@ا أن نبقى في الوضعية ذاته@@ا أو ننتق@@ل إلى وض@@عية أخ@@رى، كم@@ا أن وض@@عية االنتق@@ال في
المرحلة الالحقة تتعلق فقط بالمرحلة الراهنة وال تتعلق بما قبلها . نسمي االحتماالت باحتم@االت االنتق@ال وهي ثابت@@ة، أي أن احتم@ال االنتق@@ال
ثابت دوما .j إلى الحالة iمن الحالة
(:1مثال ) 120 هو Aلنفرض أنه في بداية الدراسة كان عدد الذين يستخدمون النوع
، فم@@@ا ه@@@و ع@@@دد ال@@@ذين80 ه@@@و B، وع@@@دد ال@@@ذين يس@@@تخدمون الن@@@وع سيستخدمون كل نوع بعد شهر؟ ثم بعد شهرين؟
الحل: % من عدد المستخدمين ل@@ه70 بعد شهر = Aإن عدد المستخدمين للنوع
في بداي@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ة الدراس@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ة في بداي@@@@ة الدراس@@@@ة .B من ع@@@@دد المس@@@@تخدمين للن@@@@وع 20%+
100( = 80)0.20( + 120)0.70أي :
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 72جامعة
0.80
% من عدد المستخدمين80 بعد شهر = Bكما أن عدد المستخدمين للنوع ل@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ه في بداي@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ة الدراس@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ة
من ع@@@@@@@@@@@@@دد30% + في بداي@@@@@@@@@@@@ة الدراس@@@@@@@@@@@@ة .Bالمس@@@@@@@@@@@@تخدمين للن@@@@@@@@@@@@وع
100( = 80)0.80( + 120)0.30أي :
ويمكن أن نكتب المساواتين على الشكل التالي:
[0.70 0.200.30 0.80][12080 ]=[100100]
P=[0.70ولنض@@@ع المص@@@فوفة 0.200.30 x0=[12080 واألش@@@عة [0.80 ] , x1=[100100 )حيث[
والمس@@قطAالمسقط األول في كل منهم@@ا ه@@و ع@@دد المس@@تخدمين للن@@وع .Bالث@@@@@@@@@اني ع@@@@@@@@@دد المس@@@@@@@@@تخدمين للن@@@@@@@@@وع @@@@@)
x1=Pوبالتالي يمكن أن نكتب x0 أي أن x1يعبر عن عدد مستخدمي ك@@ل من الن@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@وعين بع@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@د الش@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@هر األول .
k يعبر عن عدد مس@@تخدمي ك@@ل من الن@@وعين بع@@د xkوبتعميم ذلك يكون شهر ، فلمعرفة عدد المستخدمين بعد شهرين نطبق النتيج@@ة الس@@ابقة م@@ع
، فيكون:x0 عوضا عن الشعاع x1البدء بالشعاع
x2=P x1=[0.70 0.200.30 0.80][100100]=[ 90110 ]
110 و A شخص يس@@تخدمون الن@@وع 90أي أنه بعد شهرين يصبح لدينا .Bش@@@@@@@@@@@@@@@@خص يس@@@@@@@@@@@@@@@@تخدمون الن@@@@@@@@@@@@@@@@وع
مالحظات: نس@@مي األش@@عةxk أش@@عة الحال@@ة لسلس@@لة م@@اركوف، ونس@@مي P
مصفوفة االنتقال . :سلسلة ماركوف تحقق العالقة
xk=P xk−1 , k=0,1,2 ,… أي من الممكن حساب أي شعاع من أش@@عة الحال@@ة بش@@كل تك@@راري
، وهذا يعني أن سلسلة ماركوف تحدد بش@@كل ت@@امP و x0بمعرفة باحتماالت االنتقاالت والحالة األولية .
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 73جامعة
يمكن أن نأخ@@ذ النس@@بة المئوي@@ة للمس@@تخدمين في ك@@لxkب@@دل أن نأخ@@ذ ع@@ددهم ، وذل@@ك بالقس@@مة على الع@@دد الكلي للمس@@تخدمين )
( ، فيصبح لدينا:200
x0=[ 12020080200 ]=[0.600.40] 0.60 ه@@و Aأي في بداية الدراس@@ة ك@@ان ع@@دد المس@@تخدمين للن@@وع
ويكون:0.40 هو Bوعدد المستخدمين للنوع x1=P x0=[0.70 0.20
0.30 0.80] [0.600.40 ]=[0.500.50] وعدد0.50 هو Aأي بعد شهر واحد يصبح عدد المستخدمين للنوع
أيضا .0.50 هو Bالمستخدمين للنوع
x0نسمي األشعة , x1 ,…,xk 1 والتي مجموع مركباتها ال يتجاوز ال@ …,أش@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@عة االحتم@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ال .
الحظ كيف رتبت احتم@@االت االنتق@@ال في مص@@فوفة االنتق@@الPحيث أن األعم@@دة تع@@بر عن الحال@@ة الحالي@@ة واألس@@طر تع@@بر عن الحال@@ة
التالية ، كاآلتي:present
A Bnext AB [0.70 0.200.30 0.80]
هي أشعة احتمالية، ونس@@مي أي مص@@فوفة له@@اPنالحظ أن أعمدة هذه الخاصة المصفوفة االحتمالية أو العشوائية .
بن@@اء على ه@@ذه المالحظ@@اتxkبالعودة إلى مثالنا السابق وبمتابع@@ة إيج@@اد يكون :
x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1x0
[0.40.6][0.4000.600][0.4010.599][0.4020.598][0.4030.597][0.4060.594][0.4120.588][0.4250.575][0.450.55][0.500.50][0.600.40]
.[0.40.6]فنالحظ أن أشعة الحالة تقترب إلى الشعاع
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 74جامعة
12
3
وA% من المس@@تخدمين في الدراس@@ة سيس@@تخدمون الن@@وع 40أي أن@@ه .B% منهم سيستخدم النوع 60
، ونس@@ميPx=x وبالت@@الي س@@يكون ل@@دينا …=x9=x10=x11كم@@ا نالح@@ظ أن الشعاع الذي يحقق هذه الخاصة شعاع الحالة الثابت .
هي1ويكون حسب تعريف القيمة الذاتية والشعاع الذاتي لمص@@فوفة أن شعاع الحالة الثابت .x موافقة للشعاع الذاتي Pقيمة ذاتية للمصفوفة
(:2مثال )ب الف@@أر على اختي@@ار3وضع فأر في قفص له أجزاء كما في الش@@كل، ودر
باب عشوائي عند سماع صوت الجرس لينتقل خالله إلى الجزء التالي :
فما هو احتمال أن يكون1والمطلوب: إذا كان الفأر في البداية في الجزء في الجزء الثاني بعد أن يرن الجرس مرتين ؟ ثم ثالث مرات ؟
الحل:
.x0=[100]إن شعاع الحالة األولي هو :
x1=Pبعد أن يرن الجرس أول مرة يكون : x0=[ 013
13
12
0 23
12
23
0 ][100]=[01212]
وبعد أن يرن الجرس مرتين :
x2=P x1=[ 013
13
12
0 23
12
23
0 ] [ 01212 ]=[131313]
مرات :3وبعد أن يرن الجرس
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 75جامعة
x3=P x2=[ 013
13
12
0 23
12
23
0 ][131313]=[
29718718
]1وبالتالي فإنه بعد رنتين يكون احتمال وجود الفأر في الجزء الثاني هو 3،
7وبعد ثالث رنات يكون احتمال وجوده فيه هو 18.
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 76جامعة
النمو السكاني
، وه@@و يص@@ف النم@@و1945أوجد نموذج النمو السكاني من قبل لزيلي عام الس@@كاني لإلن@@اث وال@@تي يف@@ترض أن يك@@ون له@@ا عم@@ر مح@@دد ، حيث يتم تقسيمهن إلى أجيال، وباستخدام البيانات حول متوس@@ط مع@@دالت الموالي@@د واحتماالت البقاء لكل جي@@ل ف@@إن النم@@وذج يص@@بح ق@@ادرا على تحدي@@د النم@@و
السكاني بعد أي فترة نريد .
(:1مثال ) لنأخذ نوع من الخنفس@@اء األلماني@@ة يعيش لم@@دة ثالث س@@نوات على األك@@ثر،
س@@نة ص@@غار ,01نقسم إناث هذه الخنفساء إلى ثالث@@ة أجي@@ال ك@@اآلتي : 12 ، 2 س@@@@@@@@@@@نة أح@@@@@@@@@@@داث3. س@@@@@@@@@@@نة ب@@@@@@@@@@@الغين
إناث وس@@طيا ،3الصغار ال تعطي بيوض ، األحداث كل واحدة منهن تعطي البالغات كل واحدة منهن تعطي ثالث إناث ، كم@@ا أن نس@@بة البق@@اء للص@@غار
( ونس@بة0.5% )أي احتمال أن تبقى الص@غار لتص@بح أح@داث ه@و 50هي أن@ثى من الخنفس@اء100% ؛ ولنفترض أنن@ا ب@دأنا ب@ 25البقاء لألحداث هو
20 أحداث و 40 منهن صغار و 40األلمانية بحيث بالغات . فما ه@@و تقريب@@ا سنوات ؟5عدد إناث الخنفساء بعد
الحل :بعد سنة واحدة سيكون عدد الصغار :
.220 =@ 20 *@ 3 +@ 40*@ 4 =@ 3 + عدد البالغات * 4 األحداث * عدد .20 = 0.5 * 40ويكون عدد األحداث : .10 = 0.25 * 40أما عدد البالغات فهو :
ونعبر عن ذلك مصفوفيا كالتالي:
[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0] [
404020]=[2202010 ]
Lأو x0=x1 حيث x0=[404020]الشعاع األولي ويعبر عن ع@@دد اإلن@@اث في ك@@ل
x1=[2202010جيل و الشعاع يعبر عن عددهن بعد سنة واحدة .[
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 77جامعة
نالحظ أن هذا الش@@كل المص@@فوفي يش@@به تمام@@ا ش@@كل سالس@@ل م@@اركوفxk+1=Lxk , k=0,1,2 ,…
وهذا يعني أنه من الممكن حساب أشعة الحالة والتي ستعطينا عدد اإلناث، فيكون :
x2=Lx1=[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0] [
2202010 ]=[1101105 ]
و
x3=L x2=[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0 ][
1101105 ]=[ 4555527.5]
x4=Lx3=[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0] [
4555527.5]=[302.5227.5
13.75 ]
x5=L x4=[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0] [
302.5227.513.75]=[951.2151.2
56.88] وبالتالي فإنه من المتوقع أن@@ه بع@@د خمس س@@نوات س@@يكون ع@@دد ص@@غيرات
57 تقريب@@ا، وع@@دد البالغ@@ات 151 تقريبا، وعدد األح@@داث 951الخنفساء تقريبا .
k=0,1,2 حيث xkبحساب نحصل على الجدول التالي :34,.…,76543210K
[53.316410.25663.1448 ][13.63728.3626
0.6648 ][69.1818114.1364 ][ 11
8.27270.5 ][ 91115.5][ 11110.5][2202010 ][404020]X k
[16.95383.26151 ][20.513312.5791
1 ][16.72512.65931 ][ 22
16.54541 ][16.54542
1 ][22221 ][2221 ][404020]Y k
3.14480.66484.13640.55.50.5101mk
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 78جامعة
141312111098K
[21.39968.73261.1410 ][35.76189.4187
2.0476 ][19.92258.66221.0576 ][39.25189.5853
2.2657 ][18.14318.57710.9464 ][44.58409.8392
2.5990 ][16.04588.47690.8154 ]X k
[18.75517.65351 ][17.46524.5999
1 ][18.83758.19041 ][17.32434.2306
1 ][19.17079.06291 ][17.15433.7858
1 ][19.678510.39601 ]Y k
1.14102.04761.05762.26570.94642.59900.8154mk
21201918171615K
[29.60849.124351.6630 ][24.34208.8733
1.3339 ][30.48869.16641.7180 ][23.57228.8362
1.2858 ][31.69749.22461.7936 ][22.60398.7810
1.2252 ][33.63759.37761.9134 ]X k
[17.80425.48671 ][18.24876.6521
1 ][17.74665.33551 ][18.33276.8722
1 ][17.67255.14311 ][18.44927.1743
1 ][17.57104.90101 ]Y k
1.66301.33391.71801.28581.79361.22521.9134mk
28272625242322K
[26.06978.95571.4418 ][28.11749.0537
1.5698 ][25.78488.94181.4240 ][28.47779.0707
1.5924 ][25.41978.92481.4012 ][28.95939.0934
1.6224 ][24.94688.90211.3717 ]X k
[18.08136.21151 ][17.91155.7674
1 ][18.10736.27931 ][17.88355.6962
1 ][18.14146.36941 ][17.84965.6048
1 ][18.18676.48981 ]Y k
1.44181.56981.42401.59241.40121.62241.3717mk
343332313029K
[26.58328.97981.4740 ][27.48559.0230
1.5304 ][26.45538.97401.4660 ][27.64179.0309
1.5401 ][26.28718.96581.4554 ][27.64179.0407
1.5529 ]X k
[18.03476.09221 ][17.95975.8958
1 ][18.04596.12141 ][17.94805.8638
1 ][18.06186.16041 ][17.93175.8638
1 ]Y k
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 79جامعة
1.47401.53041.46601.54011.45541.5529mk
X=[1861ومنه نالحظ أن هذه األشعة تقترب إلى الشعاع λ=1.5 ، وتك@@ون [
، حيث :X موافقة للشعاع Lقيمة ذاتية للمصفوفة
LX=[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0] [
1861 ]=[2791.5 ]=1.5 [
1861 ]=1.5 X
مالحظات : نسمي المصفوفةL. مصفوفة ليزلي @بش@@كل ع@@ام إذا ك@@ان ل@@دينا مس@@ألة نم@@و س@@كاني بnجي@@ل ف@@إن
ومن الشكل:n*n تكون من البعد Lالمصفوفة
L=[b1 b2 b3 ⋯ bn−1 bns1 0 0 ⋯ 0 00 s2 0 ⋯ 0 00 0 s3 ⋯ 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 0 sn−1 0
]حيث :
b i متوسط أعداد اإلن@@اث ال@@تي تعطيه@@ا ك@@ل أن@@ثى في الجي@@ل i و ، si .i+1 ليصبح من الجيل iهي احتماالت بقاء الجيل
نالحظ في المثال أننا اخترناmkبحيث تك@@ون هي أص@@غر مركب@@ة من Xمركبات الشعاع kعوضا عن أكبر مركبة وه@@ذا ممكن حيث اله@@دف
X هو تجاوز عائق أن مركبات mkمن التقسيم على kتكبر بسرعة ، وعلى اعتب@@ار أنن@@ا في المث@@ال نحس@@ب مق@@دار النم@@و الس@@كاني
Xللخنفساء األلمانية فإنه من األفض@@ل أن تك@@ون مركب@@ات األش@@عة k أكبر أو تساوي الواحد ال العكس .
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 80جامعة
عالقات التكرار الخطية
(:7تعريف )xn)لتكن )= (x0 , x1 متتالية من األعداد معرفة كاآلتي :(……,
x0=a0 , x1=a1 ,…, xk−1=ak−1 ;(scalars)أعداد a0ثابتة ,a1,…,a2
يكون :n≥kوألجل xn=c1 xn−1+c2 xn−2+…+ck xn−k ;(scalars)أعداد c0ثابتة , c1 ,…,ck−1
كانت ckإذا المرتبة 0≠ من خطية تكرار عالقة تسمى األخيرة المساواة فإنk. للتكرار األولية الشروط إلى تشير البداية في والمتساويات
تمكننا صبغة إيجاد أي الخطية، التكرار عالقة حل يلي فيما سنحاولحس@@اب ول@@ذلك xnمن ، الس@@ابقة الح@@دود لمعرف@@ة الحاج@@ة دون
التالي : المثال من سننطلق(:1مثال )
a1=1لتكن ,a2=5 , an+2=6an+1−8an(2)
الحل :شكل على الخطية التكرار عالقة كتابة هو المسألة هذه لحل األولى الفكرة
إيجاد أي مصفوفة،A=[α β
γ δ an+2]بحيث [
an+1]=A [an+1an ].
نجد : األيمن الطرف من بدءا
A[ an+1an ]=[α βγ δ ][an+1an ]=[αan+1+β anγan+1+δan ]
األيسر : الطرف مع وبالمطابقة
[an+1
an ]=[6an+1−8anan+1 ]أن : فنجد
A=[6 −81 0 ]
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 81جامعة
نكتب : أن يمكننا وبالتالي
[an+1
an ]=[6 −81 0 ][an+1
an ]=[6 −81 0 ]
2
[ anan−1]=…=[6 −81 0 ]
n
[a2a1]لحساب صيغة أوجدنا فإذا إليجاد Anومنه صيغة أوجدنا قد وإن an+2نكون ،
الشكل : إلى بتحليلها هو مصفوفة قوة لحساب طريقة .A=Pأفضل D .P−1 حيث :
D=[ λ1 00 λ2] : λ1حيث , λ2 للمصفوفة الذاتية Aالقيم
=Pو [v1 v2 v1حيث [ , v2 الذاتية للقيم والمقابلة للمصفوفة الذاتية األشعةالسابقة .
يكون : وعندهاAn=(P .D .P−1 ) (P . D .P−1 )…(P . D .P−1)=P .Dn . P−1
]=Dnو λ1n 00 λ2
n ].
ل@ الذاتية القيم :Aوإليجاد
det (A−λI )=|6− λ −81 − λ|=λ2−6 λ+8=0 (2 )
ل@ الذاتية القيم فإن تساوي :Aومنهλ1=4 , λ2=2
هي : الترتيب على لهما المقابلة الذاتية v1=[41واألشعة ] , v2=[21]: وبالتالي ،
P=[4 21 1]❑
⇒P−1= 1
detP [ 1 −2−1 4 ]=[ 12 −1
−12
2 ]ومنه :
[an+2
an+1]=An[a2a1]=P . Dn .P−1[a2a1]=[4 21 1][4
n 00 2n] [ 12 −1
−12
2 ] [51]¿ [4n+1 2n+1
4n 2n ] [ 12 −1
−12
2 ] [51](3)العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 82جامعة
¿ [4n+1 2n+ 1
4n 2n ] [ 32−12 ]=[32 .4n+1
−122n+1
32.4
n
−122n ]
أن : نجد األوليتين المركبتين وبمطابقة
an+2=32.4
n+1
−122n+1
مكافئ : بشكل أو
an=32.4
n−1
−122n−1
الخوارزمية : إلى المثال منو الذاتية األشعة إيجاد ضرورة تجنب إمكانية كيفية شرح اآلن ، P−1سنحاول
المصفوفة إيجاد تجنب إمكانية كيفية .Aثم أيضاالمساواة ) إلى مدخالت( 3بالنظر فقط أنه على Dnنجد ولذلك nتعتمد ،
كالتالي : النتيجة فستكون كان مهما الضرب هذا بإجراء
[an+2
an+1]=[a .4n+1+b2n+1
c .4n+d 2n ] aثوابت, ,b , c ,dأن : نجد األولى المركبة وبمطابقة
an=a .4n−1+b2n−1(4)
في )bو aولتحديد :n=2و n=1( 4نعوض
n=1: a1=a .40+b .20❑
⇒a+b=1
n=2: a2=a . 41+b .21❑
⇒4 a+2b=5
نجد : معا بحلهما خطيتين معادلتين لدينا أصبح ومنهa=32, b=−1
2
يكون : وبالتالي
an=32.4
n−1
−122n−1
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 83جامعة
إليجاد نحتج لم أننا v1أي , v2 ,P , Pالذاتية 1− القيم لمعرفة بحاجة كنا فقط ،
.Aللمصفوفة
المصفوفة إيجاد نتجنب أن لنا ؟ Aكيفمن نحتاجه ما أن فقط Aرأينا بحاجة نحن وبالتالي الذاتية قيمها هو
( للعالقة وبالنظر المميزة، التكرار( 2لمعادلتها لعالقة مشابهة أنها نالحظمنها ) انطلقنا التي بمصادفة( !1الخطية ليست هذه وإن ،
الشكل : من الخطية التكرار عالقة إنan+2= p .a❑
n+1+qa❑n(5)
هي :Aوالمصفوفة هذه الخطية التكرار لعالقة
A=[ p q1 0]
تساوي : المميزة معادلتها والتي
det (A−λI )=|p−λ q1 −λ|=λ2−pλ−q=0
( نفسها هي بدلنا( 5والتي .anب@ 1و an+1ب@ λو an+2ب@ λ2إذا المصفوفة إليجاد بحاجة لسنا معادلتها Aوبالتالي إيجاد نستطيع حيث ،
الخطية . التكرار عالقة من مباشرة المميزة
الخوارزمية :xn=aلتكن xn−1+b xn−2( للمتتالية خطية تكرار λ1ولتكن ¿xnعالقة , λ2
: المميزة المعادلة عن تنتجان ذاتيتين :λ2−aλ−b=0قيمتين للمصفوفة
[a b1 عندئذ :[0
كانت - ≠λ1إذا λ2 فإنxn=c1 λ1n−1+c2 λ2
n−1. كانت - =λ1=λ2وإذا λ فإنxn=c1 λ
n−1+c2n λn−1 .
c1حيث , c2(( . يمكن األولية الشروط على باالعتماد تحدد ثوابتالتعميم((
(:2مثال )
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 84جامعة
فيبوناتشي : متتالية a1=1حل ,a2=1 , an+2=an+1+an
الحل :المميزة : المعادلة لنكتب
λ2−λ−1=0
أن : نجد وبحلها
λ1=φ=1+√52
, λ2=1−φ=1−√52
وبالتالي :an=a .φ
n−1+b .(1−φ)n−1
:bو aإليجاد
n=1: a+b=1
n=2: aφ+b(1−φ)=1
نجد المعادالت جملة : وبحل
a= φ√5
, b=−1−φ√5
النهائي الحل : وبالتالي
an=φ√5
φn−1−1−φ√5
(1−φ )n−1=φn−(1−φ)n
√5
(:3مثال )التالية : الخطية التكرار عالقة حل
a1=−1 , a2=6 , a3=8 ,
an+3=−an+ 2+4an+1+4 an
الحل :المميزة : المعادلة لنكتب
λ3+ λ2−4 λ−4=0
أن : نجد وبحلهاλ1=−2 , λ2=−1 , λ3=2
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 85جامعة
وبالتالي :an=a .(−2)
n−1+b .(−1)n−1+c . (2)n−1
:cو bو aإليجاد
n=1: a+b+c=−1
n=2:−2a−b+2c=6
n=3 :4 a+b+4c=8
نجد المعادالت جملة : وبحل
a=1 , b=−4 , c=2
النهائي الحل : وبالتالي
an=1.(−2)n−1+ (−4 ) (−1 )n−1+2.2n−1=(−2)n−1+4 (−1 )n+2n
(:4مثال )التالية : الخطية التكرار عالقة حل
a1=1 ,a2=10
an+2=4an+1−4an
الحل :المميزة : المعادلة لنكتب
λ2−4 λ+4=0❑⇒
( λ−2 )2=0
مضاعف : جذر ولهاλ1=2
وبالتالي :an=a .(2)
n−1+b .n(2)n−1
:bو aإليجاد
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 86جامعة
n=1: a+b=1
n=2:2a+4b=10
نجد المعادالت جملة : وبحل
a=−3 , b=4 ,
النهائي الحل : وبالتالي
an=−3. (2 )n−1+4.n (2 )n−1=2n−1(4 n−3)
تعالى- - بعونه تم
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 87جامعة
المراجع
الهيئةالمؤلفاسم المرجعWebsiteالتابع لها
التحليل العددي1والبرمجة
الدكتور محمدصبح
جامعة-دمشق
الجبر الخطي )21)
الدكتور عبداللطيف هنانو
جامعة-دمشق
الجبر الخطي –34جبر
الدكتور عبد الواحد أبو
جامعةحمدةدمشق
كلية)العلوم(
- الدكتور أنور
اللحام الدكتور يوسف
الوادي الدكتور عبد
اللطيف هنانو
4 بحث – القيم
الذاتية واألشعةالذاتية
الطالب مأمونالحسن
جامعةدمشق )كلية
العلوم(- إشراف الدكتور
محمد صبح
5 بحث – تقريب القيم الذاتية
واألشعة الذاتية
الطالبة قمر أبو جامعةحسن
دمشق )كلية
العلوم(http://numericalanalysis.weebly.com/ إشراف
الدكتورة برلنتمطيط
6Scientific Computing:
An Introductory
Survey
Prof. Michael T. Heath
University of Illinois
at Urbana-Champaign
(Departmen
t of
http://www.cs.illinois.edu/~heath/
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 88جامعة
Computer Science)
7
Lecture Notes on Numerical
Analysis 8. Numerical Computation
of Eigenvalues
Prof. Peter J. Olver
University of
Minnesota (School of
Mathematics)
http://www.math.umn.edu/~olver/
8
Course - Elementary
Linear AlgebraTextbook:
Elementary Linear
Algebra by Ron Larson,
seventh Edition.
Prof.StayaMandal
University of Kansas
(Departmen
t of Mathemati
cs)
http://www.math.ku.edu/~mandal/
9
Course - Numerical methods
Chapter 4 . Eigenvalues
and Eigenvectors
Assistant Professor. Bin
Cheng
Arizona State
University(School of
Mathematical
andStatistical
Sciences)
http://math.la.asu.edu/~cheng/
10
Course - Numericalanal
ysis2009-spring
Associate Professor. Tien-Hao
Chang
National Cheng Kung
University
http://www.ee.ncku.edu.tw/nckueechinese /
professor/t710-darby/T0000000e.htm
11
Linear recurrence relations
Associate Professor.
Robert Harron
Boston Universityhttp://ww w.math.wisc.edu/~rharron /
12
Wikipedia article - Matrix
similarityhttps://en.wikipedia.org/wiki/
Matrix_similarity
13
Wikipedia article –
https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 89جامعة
and eigenvectors
14
Wikipedia article – Power
iterationhttps://en.wikipedia.org/wiki/
Power_iteration
15
Wikipedia article – Inverse iteration
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_iteration
16
Wikipedia article –QR algorithm
https://en.wikipedia.org/wiki/QR_algorithm
العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 90جامعة