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カオスと分岐非線形システム特論
池口徹
埼玉大学大学院理工学研究科情報数理科学専攻338–8570さいたま市桜区下大久保 255Tel : 048–858–3577, Fax : 048–858–3716
Email : [email protected]
URL : http://www.nls.ics.saitama-u.ac.jp/˜tohru
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.1/34
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分岐 (bifurcation)とは
(離散時間)力学系
x(t + 1) = fµ(x(t))
におけるパラメータ µの値を変化させて解を求める
⇒パラメータ値に応じて,様々な解のタイプ=力学系の解の構造が変化=分岐
例: カオスでない状態→カオス (カオスへ至るルート)固定点 (不動点)⇒周期解⇒ · · · ⇒カオス
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.2/34
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分岐の例
ロジスティック写像の分岐図 (bifurcation diagram)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
x(t)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.3/34
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ロジスティック写像と分岐
ロジスティック写像
x(t + 1) = ax(t)(1 − x(t)) � fa(x(t))を対象にして,
不動点
m−周期点初期値 x(0)に関する軌道
不動点の安定性
を考えよう.
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.4/34
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不動点と周期点
不動点,固定点 (fixed point)
x̄ s.t. fa(x̄) = x̄
m−周期点 (mは自然数)
f ma (x) = xf na (x) � x (n = 1, 2, 3, . . . ,m − 1)
(注意) f na (x) � { fa(x)}n例)
fa(x) = ax(1 − x)f 2a (x) = fa( fa(x)) = a {ax(1 − x)} (1 − {ax(1 − x)})
= · · · � a2x2(1 − x)2 = { fa(x)}2
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.5/34
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軌道と図式解法
初期値 x(0)に関する軌道
{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34
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軌道と図式解法
初期値 x(0)に関する軌道
{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34
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軌道と図式解法
初期値 x(0)に関する軌道
{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34
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軌道と図式解法
初期値 x(0)に関する軌道
{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34
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軌道と図式解法
初期値 x(0)に関する軌道
{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34
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軌道と図式解法
初期値 x(0)に関する軌道
{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34
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軌道と図式解法
初期値 x(0)に関する軌道
{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34
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軌道と図式解法
初期値 x(0)に関する軌道
{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34
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軌道と図式解法
初期値 x(0)に関する軌道
{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34
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軌道と図式解法
初期値 x(0)に関する軌道
{x(t), t = 0, 1, 2, 3, . . .}
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.6/34
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ロジスティック写像と図式解法
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
a = 2.4 a = 3.2 a = 3.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)
x(t +
1)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x(t)x(
t +1)
a = 3.7 a = 3.84 a = 4.0カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.7/34
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不動点の安定性
安定な不動点x̄ = fa(x̄)| f ′a(x̄)| < 1
x̄ + �(t + 1) = fa(x̄ + �(t))≈ fa(x̄) + f ′a(x̄)�(t)= x̄ + f ′a(x̄)�(t)
∴ �(t + 1) = f ′a(x̄)�(t)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.8/34
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不動点の安定性
[定理]力学系 f (x)が微分可能で, f ′(x)は連続であるとする.x̄を力学系 f (x)の不動点とする.| f ′(x̄)| < 1であるとき,x̄の近傍V が存在して,
x̄ ∈ V ⇒ limn→∞ f
n(x̄) = x̄
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.9/34
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不動点の安定性
今,| f ′a(x̄)| < 1であるから
0
-
不動点の安定性
次に, fa(p) ∈ I なので fa(p)と fa(x̄)に同じことを適用すると,∣∣∣ f 2a (p) − f 2a (x̄)∣∣∣ = | fa( fa(p)) − fa( fa(x̄))| < λ| fa(p) − fa(x̄)|つまり ∣∣∣ f 2a (p) − x̄∣∣∣ < λ2|p − x̄|これを n回繰り返すと
∣∣∣ f na (p) − x̄∣∣∣ < λn|p − x̄|0 < λ < 1であるから λn → 0(n→ ∞)
∴ f na (p)→ x̄(n→ ∞)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.11/34
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不動点の安定性 (補足)
状態空間の中で x̄に収束する pの集合をベイスン(basin),引き込み領域
この定理は,不動点の近傍のみにおいて成立.大域的には何も言えない.
但し,ロジスティック写像の場合は,不動点がこの意味で安定であれば,I ∈ [0, 1]に対して大域的吸引不動点.不安定な不動点
x̄ = fa(x̄), | f ′a(x̄)| > 1n周期点については, fa → f na とする.
x̄ = f na (x̄), |(f na
)′ (x̄)| < 1カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.12/34
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ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))
不動点 uは?
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34
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ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))
不動点 uは?
u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34
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ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))
不動点 uは?
u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34
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ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))
不動点 uは?
u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性 f ′a(u) = a − 2au = a(1 − 2u)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34
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ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))
不動点 uは?
u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性 f ′a(u) = a − 2au = a(1 − 2u)1. u = 0
2. u = 1 − 1a
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34
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ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))
不動点 uは?
u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性 f ′a(u) = a − 2au = a(1 − 2u)1. u = 0 ⇒ f ′a(0) = a
2. u = 1 − 1a
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34
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ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))
不動点 uは?
u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性 f ′a(u) = a − 2au = a(1 − 2u)1. u = 0 ⇒ f ′a(0) = a
0 ≤ a < 1 0 ≤ f ′a(0) < 1 安定1 < a f ′a(0) > 1 不安定
2. u = 1 − 1a
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34
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ロジスティック写像の場合x(t + 1) = fa(x(t)) = ax(t)(1 − x(t))
不動点 uは?
u = fa(u) = au(1 − u)⇐⇒ u = 0, u = 1 − 1a不動点 uの安定性 f ′a(u) = a − 2au = a(1 − 2u)1. u = 0 ⇒ f ′a(0) = a
0 ≤ a < 1 0 ≤ f ′a(0) < 1 安定1 < a f ′a(0) > 1 不安定
2. u = 1 − 1aまず,解の存在を考える必要がある.
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.13/34
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ロジスティック写像の場合
2. u = 1 − 1a
0 ≤ a < 1 u < 0 0 < u < 1 を考えるのでなしa < 1 u > 0 存在する
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.14/34
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ロジスティック写像の場合
2. u = 1 − 1a
0 ≤ a < 1 u < 0 0 < u < 1 を考えるのでなしa < 1 u > 0 存在する
このとき,
f ′a
(1 − 1
a
)= a − 2a
(1 − 1
a
)= 2 − a
より,
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.14/34
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ロジスティック写像の場合
2. u = 1 − 1a
0 ≤ a < 1 u < 0 0 < u < 1 を考えるのでなしa < 1 u > 0 存在する
このとき,
f ′a
(1 − 1
a
)= a − 2a
(1 − 1
a
)= 2 − a
より,0 ≤ a < 1 | f ′a
(1 − 1a
)| > 1 u = 1 − 1a は不安定
1 ≤ a < 3 | f ′a(1 − 1a
)| < 1 u = 1 − 1a は安定
3 < a ≤ 4 | f ′a(1 − 1a
)| > 1 u = 1 − 1a は不安定
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.14/34
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トランスクリティカル分岐
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.5
0
0.5
1
a
x
u = 0, u = 1 − 1a ,実線:安定,破線:不安定
2つの不動点の間で,安定性が入れ替わる
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.15/34
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ロジスティック写像の分岐図
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
x(t)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.16/34
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ロジスティック写像の分岐図
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
x(t)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.16/34
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ロジスティック写像の分岐図
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
x(t)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.16/34
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周期倍分岐
a = 3以降では何が起きているか?
u = 1 − 1a = 1 − 13 = 23 であるから,
f ′a(u) = a − 2au = 3 − 2 · 3 ·23= −1
つまり,a > 3では f ′a(u) < −1となり不安定化分岐図をみると,a > 3では 2周期解が現れているfa(x)と f 2a (x)のグラフを描いてみよう
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.17/34
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ロジスティック写像 a = 3付近
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f1,f2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
xf1
,f20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f1,f2
a = 2.8 a = 3.0 a = 3.3
a = 2.8 < 3では不動点 u = 1 − 1a ≈ 0.6429 · · · が安定a = 3では f 2 が u = 2/3において接している
a = 3.3 > 3では f 2 と 45度の直線が 4箇所 (不動点 uと2周期解 q1, q2)で交わっている.
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.18/34
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周期倍分岐
まず,不動点 uに対して,2回写像 f 2a に関する安定性,不安定性を考えてみよう.
(f 2a
)′(u) = f ′a( fa(u)) · f ′a(u)= f ′a(u) · f ′a(u)=
{f ′a(u)
}2
1 < a < 3では | f ′a(u)| < 1⇐⇒(
f 2a)′
(u) < 1
a = 3では | f ′a(u)| = −1⇐⇒(
f 2a)′
(u) = 1
a > 3では | f ′a(u)| > −1⇐⇒(
f 2a)′
(u) > 1
a = 3を越えると不動点 uも f 2a について不安定
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.19/34
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周期倍分岐
2周期点 q1, q2 を求めると
f 2a (q) = q⇐⇒ f 2a (q) = a {aq(1 − q)} {1 − aq(1 − q)} = q⇐⇒ q
(q − 1 + 1
a
) {a2q2 − (a2 + a)q + a + 1
}= 0
⇐⇒ qi = a + 1√
(a + 1)(a − 3)2a
, (i = 1, 2)
2周期点の点の安定性を見るためには,2回写像に関する微分
係数(
f 2a)′
(q1),(
f 2a)′
(q2)の値を求めてやれば良い
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.20/34
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周期倍分岐
まず,q1, q2 は 2周期点なので,
fa(q1) = q2, fa(q2) = q1
であることに注意すると,(
f 2a)′
(q1) = ( fa ( fa(q1)))′
= f ′a( fa(q1)) · f ′a(q1)= f ′a(q2) · f ′a(q1) =
(f 2a
)′(q2)
f ′a(x) = a − 2ax = a(1 − 2x)であるから,
f ′a(q1) = a(1 − 2q1)f ′a(q2) = a(1 − 2q2)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.21/34
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周期倍分岐
従って,(
f 2a)′
(q1) =(
f 2a)′
(q2) = f ′a(q2) · f ′a(q1)= a2(1 − 2q1)(1 − 2q2)= a2 {1 − 2(q1 + q2) + 4q1q2}
ここで q1, q2 は以下の方程式の解である
a2q2 − (a2 + a)q + a + 1 = 0解と係数の関係より
q1 + q2 =a2 + a
a2, q1q2 =
a + 1a2
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.22/34
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周期倍分岐
まとめると(
f 2a)′
(q1) =(
f 2a)′
(q2) = f ′a(q2) · f ′a(q1)= a2(1 − 2q1)(1 − 2q2)= a2 {1 − 2(q1 + q2) + 4q1q2}= −a2 + 2a + 4 = −(a − 1)2 + 5
(f 2a
)′(q1) = −1より
a = 1 +√
6 = 3.44948974278318 . . .(と a = 1 − √6 < 0)(
f 2a)′
(q1) = 1より a = 3 (と a = −1 < 0)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.23/34
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2周期解から4周期解へ
a = 3.67付近で 2周期解が消え,4周期解が現れる.
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
x(t)
f 2, f 4 を描くとどうなるか?
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.24/34
-
2周期解から4周期解
f → f 2 と類似の関係が, f 2 → f 4 にもある
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f2,f4
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.25/34
-
2周期解から4周期解
f → f 2 と類似の関係が, f 2 → f 4 にもある
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f2,f4
4周期解から 8周期解は?
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.25/34
-
4周期解から8周期解
再び, f → f 2, f 2 → f 4 と類似の関係
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f4,f8
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.26/34
-
4周期解から8周期解
再び, f → f 2, f 2 → f 4 と類似の関係
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
x
f4,f8
0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90.78
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
x
f4,f8
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.26/34
-
4周期解から8周期解
再び, f → f 2, f 2 → f 4 と類似の関係
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
x
f4,f8
0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90.78
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
x
f4,f8
以降 (8→ 16→ 32→ · · · )も同様カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.26/34
-
2→4→8→16→ · · · → 2∞
3.54 3.545 3.55 3.555 3.56 3.565 3.570.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
x(t)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.27/34
-
2→4→8→16→ · · · → 2∞
3.54 3.545 3.55 3.555 3.56 3.565 3.570.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
x(t)
分岐点を an : 2n−1 → 2n とすると...
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.27/34
-
ファイゲンバウム定数
limn→∞
an − an−1an+1 − an = 4.669201609103
なぜこれが人々を驚かせたか?
1次元写像で求められた定数が,実験系においてもかなりの精度で推定されたため →
Universality普遍性
条件1. unimodal (単峰性) 1次元写像2. f ′′(x) � 0 at peak
3. Schwarz微分 S ( f ) = f′′′f ′ − 32
(f ′′f ′)2< 0
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.28/34
-
3周期の窓
一番目立つ (?) 窓→周期 3
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
x(t)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.29/34
-
3周期の窓
なぜ,周期 3の窓が出現するのか⇒ f 3a を考える
f 3a (x) = x⇐⇒ x(x − 1 + 1a
) (xの 6次式
)⇐⇒ a2 − 2a − 7 = 0⇐⇒ a = 1 ± √8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f,f3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f,f3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f,f3
a = 3.8 a = 1 +√
8 a = 3.84
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.30/34
-
a = 1 +√
8前後
各接点では aの増加と共に直線を横切るa = 3.82, a = 1 +
√8 = 3.8284 . . ., a = 3.835
安定な周期解と不安定な周期解がペアで発生=⇒接線分岐 (tangent bifurcation)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.31/34
-
a = 1 +√
8前後
各接点では aの増加と共に直線を横切るa = 3.82, a = 1 +
√8 = 3.8284 . . ., a = 3.835
安定な周期解と不安定な周期解がペアで発生=⇒接線分岐 (tangent bifurcation)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f3
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.31/34
-
a = 1 +√
8前後
各接点では aの増加と共に直線を横切るa = 3.82, a = 1 +
√8 = 3.8284 . . ., a = 3.835
安定な周期解と不安定な周期解がペアで発生=⇒接線分岐 (tangent bifurcation)
0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.560.48
0.49
0.5
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
x
f3
0.95 0.952 0.954 0.956 0.958 0.96 0.962 0.9640.95
0.952
0.954
0.956
0.958
0.96
0.962
0.964
x
f3
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.31/34
-
3周期の窓付近
3→ 6→ 12→ 24→ · · · → 3 · 2n · · · → ∞(n→ ∞)
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.32/34
-
接線分岐
安定な周期解と不安定な周期解がペアになって生じる
接線分岐 (tangent bifurcation)安定な 3周期点 ⇒周期倍分岐を経てカオス不安定な 3周期点
接線分岐を逆に辿ると間欠性カオス (intermittency)が発生
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.33/34
-
参考文献
M. J. Feigenbaum : J. Stat. Phys, 19(1), 25–32, 1978;21(6), 669–766, 1979
山口昌哉: カオスとフラクタル,ブルーバックス,講談社.
早間慧 (はやまさとし): カオス力学の基礎第 2版,現代数学社.
R. L. Devaney: カオス力学系入門第 2版,共立出版.
他
カオスと分岐/非線形システム特論/池口徹 – p.34/34
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