Download - דוגמאות לגלים סטציונריים 17.6.09 איריס רוגר פרקים בתנודות וגלים לא לינארייםמנחה: פרופ' לזר פרידלנד
דוגמאות לגלים סטציונריים
17.6.09
איריס רוגר
פרקים בתנודות וגלים לא לינאריים
מנחה: פרופ' לזר פרידלנד
Ion-Acoustic Waves
לינאריזציה של המשוואות•נחפש יחס נפיצה של הגל–
מקרה כללי•נחקור התנהגות של קווזי חלקיק בפוטנציאל –
אפקטיבי
Ion-Acoustic Waves
הנחות העבודה:•פלסמה•תדרים נמוכים - האלקטרונים מתפלגים התפלגות •
מקסוול בבור הפוטנציאל.( ולכן ניתן להשתמש במשוואת (B=0גל אלקטרוסטטי •
פואסון.
בעיה חד מימדית•0IonTיונים קרים: •
משוואות....
משוואת הרצף•
משוואת התנועה•
משוואת פואסון•
0 xt v
xxt M
evvv
eBxx TK
ee
exp4 0
*משוואות אלה הן עבור היונים.
לינאריזציה של המשוואות
נניח הפרעה קטנה לשיווי משקל.•
שיווי משקל? מצב בו נגזרת של הגדלים המדידים היא 0 .
הערכים
הם ערכים המקיימים ש"מ, וגם את המשוואות המתארות את הבעיה.
0eq0eqv 0 eq
לינאריזציה של המשוואות
נניח הפרעה קטנה לש"מ:
כאשר הערכים הם קטנים.
111 ,, v
1 1vv 10
0eq0eqv 0 eq
לינאריזציה של המשוואות
eBxx
xxt
xt
TK
ee
M
evvv
v
exp4
0
0
eBxx
xxt
xt
TK
e
M
evvv
v
14
0
0101
1111
101
הזנחת איברים 2מסדר
פיתוח טיילור
eBxx
xt
xt
TK
ee
M
ev
v
1
11
101
4
0
לינאריזציה של המשוואות
eBxx
xt
xt
TK
ee
M
ev
v
1
11
101
4
0
)](exp[
1
1
1
1
1
1
tkxivv
קיבלנו סט של משוואות דיפרנציאליות:
נחפש פתרון מהצורה הבאה:
111 ,, vקבועים
לינאריזציה של המשוואות
10
2
112
11
101
44
0
eBTK
ek
M
eikvi
viki 10
1 vk
11 Mke
v 12
20
1 M
ek
eBxx
xt
xt
TK
ee
M
ev
v
1
11
101
4
0
לינאריזציה של המשוואות
2
1221
drkkc
M
TKC eBמהירות אקוסטית
2
024 deB r
e
TK
נגדיר רדיוס
debye
112
20
12 1
4
drM
ekek
טמפ' אלקטרונים
מסת יונים
לינאריזציה של המשוואות 2
1221
drkkc
3
2k
crck d
0 xxxxt vvvv
ניתן לפתח krd<<1עבור בטור ולקבל:
זהו יחס הנפיצה שממנו גזרנו KDVמשוואת
מסקנה: עבור לינאריזציה של הבעיה יש KDVסוליטונים של
יחס הנפיצה:
KDVמשוואת 23)( uuuV
)]([sec 22
1 ctxChCu
uממשוואת האנרגיה קיבלנו משוואה דיפרנציאלית עבור
תנועת קווזי חלקיק בפוטנציאל אפקטיבי:
פתרון בהפרדת משתנים נתן:
המקרה הכללי
נניח פתרון של גל סטציונרי:
0 xt v
xxt M
evvv
eBxx TK
ee
exp4 0
)(
)(
)(
vv
utx נסמן
ונניח:
dd
x
dd
ut
המקרה הכללי: טיפול במשוואות
0 xt v
xxt M
evvv
eBxx TK
ee
exp4 0
0'' vu
''2
1' 2
M
evuv
eBTK
ee
exp4'' 0
קיבלנו סט של משוואות דיפרנציאליות רגילות.
utx
המקרה הכללי: טיפול במשוואות
1Cvu 0'' vu אינטגרציה
01 uC v=0 , =בפרט, עבור שיווי משקל:
vu
u
0
M
euvu
2)( 22
22
2
1C
M
evuv ''
2
1' 2
M
evuv
אינטגרציה
02 C ,v=0בפרט, עבור שיווי משקל:
=
המקרה הכללי: טיפול במשוואות
eBTK
e
vu
ue
exp4'' 00
eBTK
ee
exp4'' 0 vu
u
0
2
1
2 2
M
euvu
eBTK
e
Me
u
ue
exp2
4''2
1
2
0
)(effV
תנועת קווזי חלקיק בפוטנציאל אפקטיבי
dr
eBTK
e
M
TK
u
c
uU
eB
מעבר לגדלים חסרי יחידות:
פוטנציאל אפקטיבי
)(
2 2
12
2
2effVUUe
d
d
2
12 21 UUUeVeff
)0(0הפוטנציאל ניתן לכיול שרירותי. בכיול זה effV
אינטגרציה תיתן לנו:
פוטנציאל אפקטיבי
2
12 21 UUUeVeff
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Vef
f U=1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Vef
f U=1.3U=1.2U=1.1U=1.1 U=1.2 U=1.3
U>12
02
0
U
פוטנציאל אפקטיבי
נקודות אקסטרמליות: •
02)(
2
12
UUe
Veff
2
12 2
UUe
נקודת מקסימום U>1עבור
0 0.2 0.4 0.6 0.81
1.5
2
2.5
func
tion
e
2
12 2
UU
נקודת מינימום
פוטנציאל אפקטיבי
2
120 2
1
U
2
2
0
U
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Vef
f
תנועת חלקיק בבור הפוטנציאל01 02
. Veff)0)>0, בתנאי ש E=0פתרון סוליטון יתקבל עבור
U1=1.3U2=1.58
Veff)0)>0
1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
2
4
6
8
U
f)U
)
2
2U
e
21 U22
2
1U
eU
אפשר לפתור נומרית ומקבלים:
6.11 U
3.12
02
MAXMAX
U
סוליטון
2
12
2
212
'0 UUUeE
מתוך משוואת האנרגיה מוצאים משוואה דיפרנציאלית שמקיים הסוליטון.
5.02 212' UUUe
:’מחלצים את
סוליטון
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.50.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
פתרון נומרי של המשוואה נותן:
5.02 212' UUUe
1.3
U1
U1<U2<Umax
Umax=1.6
Uהפולס הצפיפות עולה גדלמתחדד
סיכום
ion-acoustic wavesניתחנו את התנהגותם של •כאשר עושים לינאריזציה למשוואות מקבלים •
.KDVאותו יחס נפיצה ממנו נגזרת משוואת טיפלנו במקרה הכללי, חקרנו התנהגות של •
קווזי-חלקיק בפוטנציאל אפקטיביקיים תנאי לקבלת פתרון סוליטוני . •כמו שראינו קודם, גלים מהירים יותר הם בעלי •
אמפליטודה גבוהה יותר, אך קיים גבול לאמפליטודה.