domain decomposition method for harmonic wave propagation ... · issn 0249-6399 apport de recherche...
TRANSCRIPT
![Page 1: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/1.jpg)
HAL Id: inria-00073216https://hal.inria.fr/inria-00073216
Submitted on 24 May 2006
HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.
Domain Decomposition Method for Harmonic WavePropagation : A General Presentation
Francis Collino, Souad Ghanemi, Patrick Joly
To cite this version:Francis Collino, Souad Ghanemi, Patrick Joly. Domain Decomposition Method for Harmonic WavePropagation : A General Presentation. [Research Report] RR-3473, INRIA. 1998. �inria-00073216�
![Page 2: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/2.jpg)
ISS
N 0
249-
6399
ap por t de r ech er ch e
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE
Domain Decomposition Method for Harmonic WavePropagation : A General Presentation
Francis Collino, Souad Ghanemi, Patrick Joly
N ˚ 3473
Août 1998
THEME 4
![Page 3: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/4.jpg)
����� ���� ���� ��� ��������������� � �������� �����! "�#�$� ���%��'& ��(�)*�$�����,+��-������� .0/ 123������#45)*�$3�6��7���-�������
8:9<;>=�?A@CBED�FHGIGC@I=�F�JLKMFHN$;>OQP�R$;S=�TVUW@XJ$Y�;[Z\9<@I?^]`_SF>Gba
cedgfhji�hlknm oqpri#sutwv<xXpry^z7h�x y^{uxXp|i�pr}~v<x�pwy^z� hl}��V}�x fh�i�hj}���y<i�{utrh��Vh�}
��� y<��hjx3��z � h�}� v<{u{Sy � x � h � h�� d h � � d h0z#���^kq�^��m ��y^s�x��������-m �<��{�v<��h�}
�7�:�j����� �^�¢¡ £ z`x d pw}7{�v<{Sh ��¤ h¥�^pr¦^h§v¨��h�z h � v<t�{ � h�}Xh�zqx©v<x�pwy^zªy^«,zuy^zªy�¦^h � twv<{u{up|z � � y^i�v<prz� hj��y^i�{>y^}�prx�pwy^zEi�h�x d y � }�«¬y ��d v � i�y<zupw� ¤ v¦�hn{ � y^{�v^��v<xXpry^zi�y � hjtw}j®-��s � v<¯ }�x � v^�jx3« � v<i�h ¤ y �X°twh�v � x~y��jy^z �jpr}Xh±��y<zA¦^h � ��hjz �jh²{ � yVy<«¬}$v<z � ��y^zqx~v<prz }$}�y^i�h � h��jhjzqx � hj¦^hjtwy<{ui�h�zqx~}³v<¯>y<sux�x d h´su}Xh±y^«z y^z�twyA�v<tqx � v<z }�i�pr}X}�pry^z,��y^z � prxXpry^z }j® £ x�v<tw}�y²przu�jtrs � h�}6v<{u{ut|pw�v\xXpwy<z }Hx~y�v<��y^s }�xXpr�^µ^h�twhj�jx � y^i�v^�^z h�xXpw�y � h�t¶v^}�xXpw� ¤ v¦�hj}�µSv^} ¤ h�trt·v^}¸x d h�x � h�v<xXi�hjzqx y^«:}�{�v<��h � pw}�� � h�xXpr¹v<x�pwy^zg®º»¢¼>½�¾#¿ �\ÀM�^¡ Á h�tri d y^trxX¹nh�¢s�v<x�pwy^zHµ:Ã3y<i7v<p|zÄÃ3h��jy^i�{Sy�}�prxXpry^z§ÅEh�x d y � µ�ÅEv\� ¤ h�trtƵMhjtwv^}�xXy � �qÇz�v<i�pw�<µVz y<zEtryV��v<tHy^{Sh � v<x~y � }
ÈÊÉ�ËÌÎÍÎÏ�Ð ËÌLÑ:ÒÓÍÎÔIÕ�Ö
×gØ�ÙÛÚgÜ>ÝjÞC߸Ø�àjÚgá\â�â�ã3ä�Ýjã�â6Ùåã3æçÝjèéèåà�á<ÝjÞCàëêIÙéÝ�ã±ÜgÙÛêIØlìSâ�ÞbíÓà�æ�Ú
Unite de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)
Telephone : 01 39 63 55 11 - International : +33 1 39 63 55 11Telecopie : (33) 01 39 63 53 30 - International : +33 1 39 63 53 30
![Page 5: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/5.jpg)
� ���������� �� �����±��� �������j������� �� ����� ����� �����%� 4���%��������+��,������� ���� ���%���� ���#�$� ���%��������'.��%��
�%�����6��7�6�,���j��� +���������#4j
��» �� �� �» ¡ � y^s } ���hj� � p|¦�y^zu}�suzuh�{ � �h�}�hjzqx©v\xXpwy<z5� �h�z �h � v<twh � hj}�i �hjx d y � h�} � h ���hj��y^i�{>y^}�prx�pwy^z� h � y^i�v<p|z h�}e{Sy^s � � h�}¸i�y � fh�twh�} � h�{ � y^{ v^�¢v<x�pwy^z ��� y^z � h�} d v � i�y^z�pw¢s h�}j® � y^x � h���v � � h-v<¯u}�x � v<prx��y<z � sup|x fv � hj} ���hji�y^z }�x � v\xXpwy<z } � h��y^zq¦�h � ��h�z ��hj}E�jy^z ��pw}Xhj} hjx �jy^zqxXprhjzqx � h�} ���hj¦^hjtwy<{u{>h�i�h�zqx~}� �hj��h�zAxX}�}�s � t � s�xXprt|pw}Xv<xXpry^z � h��jy^z � p|xXpwy<z } � h�x � v\z }�i�pw}�}�pwy<zÄzuy^z§tryV��v<twhj}lv<s��%p|zqx~h � «bv^��hj}�® £ tL{Shjs�x} � v<{u{�trpw¢s h � v<s�� �hj¢s�v<xXpry^z } � hj}�y<z � h�}�v^�jy^s }�xXpw¢s hj}�µ �hjt¶v<}�xXpr¢s h�}�y^s �hjtrh���x � y<i7v^�<z �hjx�pw¢s h�}�v\s }X}�p¯uprhjz � v<z }±twh�s � ¦�h � }�pwy^zE��y^zqx�przqs hl¢s h � pw}�� � �h�xXpr} �h�h<®� ¿ ��� ½ ��� �» ¡ à �hj��y^i�{>y^}�prx�pwy^z � h � y^i�v<przuh�}�µ �hjÂqs v<xXpry^z ���ÛÁ hjt|i�y^t|x~¹<µ �h�¢s�v<x�pwy^z } � hÅEv\� ¤ h�trtƵy^{ �h � v<xXhjs � }¸z y^z twyA�v<s��
![Page 6: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/6.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �
& ���7�6��7���
' (�) ��� ¿ À M�^�+* ¿ )-,/. � » � » ) �����+* ¿ ) ¿�0 ��1 »32 � 2�» � 4
5 � � ¿ À » � 2 � ¿ � � » � ½ 7»60Æ¿ � �� ��b�V�+* ¿ ) ���$* ) � » � 0 �u� » � 78 ®Ó� Ã3h�}�� � p|{uxXpry^z�y^«Mx d h�i�y � hjtH{ � y^¯utrhji ®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® 98 ® 8 �²zEh�¢sup|¦^v\twhjzqx¸x � v<z }�i�pr}X}�pwy^z { � y^¯utrhji ®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �8 ®é� oVy^i�h�y^{Sh � v\x~y � } ®,®l®-®,®-®,®-®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �8 ® k � h�«¬y � i�sut¶v<x�pwy^z7y^«:x d h�x � v<z }�i�pw}�}�pry^z { � y<¯utwh�i v<x¸p|zAxXh � «bv^��hj}�®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® ���
4 :;1 » *¶� » �\�V�+*=< » À ¿ �§��* ) À » � ¿ � 2�¿ ��*¶�+* ¿ ) � �?> ¿ ��*¬��1 � � '@5��®Ó� ced h�¯�v^}�pw��prxXh � v\xXpr¦^h�v<tr��y � p|x d i�}´v\z � p|x~}´p|zAxXh � { � h�x©v<x�pwy^z }"®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® � 8��® 8 ce¤ y�¦<v � pwv<zqx~}¸y^«Mx d hl¯ v^}�pr�,v\tw��y � prx d i s }�p|z �ntwyA�v<tHx � v<zu}�i�pw}X}�pwy^z { � y^¯utrhji�}®-®,® ���
��® 8 ®|� ced h � hjtwv\�Vh �BA v^��y^¯�p � }±v<tw��y � prx d i ®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �����® 8 ® 8 ced h;Clv<s }�}²oVhjp � hjt·� tw��y � prx d i ®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® ��9
��®é� Clh�z h � v<tHx � v<z }�i�pr}X}�pwy^z y^{Sh � v<x~y � } ®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �����®é��®|� £ zqx � y � s �jx�pwy^z ®-®,®-®,®-®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �����®é��® 8 D hjt|t|ÇC{>y�}�h � zuh�}X}±y^«MtwyA�v\t>{ � y^¯utwh�i�} ®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �����®é��®Û� � hj«¬y � i#sutwv<xXpry^z�v<x¸p|zqx~h � «bv^��hj}¸®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® 8 ���®é��®ék ced h,Ã3y<i7v<p|z Ã3h��jy^i�{Sy�}�prxXpry^z�v<tr��y � prx d i�} ®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® 8 �
E F ¿ ) < » �+> » ) � » � ) � � ¼ ��*b� 5GEku®Ó� �IH � }�x ��hjz h � v<t � h�}�sutrx"®,®-®,®-®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® 8 �ku® 8 � �v^}�h,y<«6hë�V{Sy^z h�zqxXp¶v\t·��y^zq¦�h � ��h�z ��h ®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® 8 �
J K » � » � ��* ) ���+* ¿ ) ¿�0 ��1 » ����� »¿�0 � ¿ ) < » �+> » ) � » * ) �§��* � 2 � » ��� � » 4 5�V®Ó� ��� h�}�hjzqx©v\xXpwy<zy^«Mx d h-hë��v<i�{�twh^µVz y^x©v\xXpwy<z }�®-®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® � 8�V® 8 � ��hjzuh � v\t·h �X� y � h�}�xXpri�v<xXh'®,®-®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �^k�V®é� �²z�v\tr�A}�pr}¸y^«:x d h�z y^zE¹�h � y�hjpw�^hjzq¦<v<trs hj}¸y^«ML ®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �N9�V® k ced hl��y^zq¦^h � �^hjz �jh � v\x~h�«¬y � x d h A v<��y^¯up � }±v\tw��y � prx d i ®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �¢��V®Û� ced hl��y^zq¦^h � �^hjz �jh � v\x~h�«¬y � x d h;Clv<s }�}²oVhjp � hjt � }±v<tr��y � prx d i ®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® ���
7 On�+1 » �7� 2P2 �?*I���V�+* ¿ ) � ERQ9�®Ó� oA{�v^�jh � pw}�� � h�xXpr¹v<x�pwy^z v<z �E� y<i7v<p|z � h��jy^i�{>y�}�prx�pwy^z ®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® ku�9�® 8 ��x d h � { d �A}�pw�v\tgi�y � hjtr} ®-®,®-®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® k�k
9�® 8 ®|� S�twv^}�xXy � �qz�v\i�pr��}´hjÂqs v<xXpry^z } ®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® k�k9�® 8 ® 8 �^Ã*Åv�� ¤ hjt|t � }±}��A}�xXhji ®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® kq�
T U �� » ��*I��� �$� » �� �¶��� E T�V®Ó� �²z prt|trs }�x � v\xXpwy<z7y^«Mx d h�p|zAxXh � h�}�x y^«Mz y^z twyA�v\tHy^{Sh � v<x~y � } ®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® kq��V® 8 � z h ¤ � d y^pw�jh�V�x � v\z }�{�v � hjzqx trp ° h�y^{Sh � v<x~y � }�®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® k¢��V®é� ��z x d h�prz@W�s hjz �jh,y<«:x d hl��h�y^i�hjx � ��y^«:x d h�{�v � xXprx�pwy^z�y<«YX ®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® ��Z
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 7: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/7.jpg)
k � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
� � � ������� �%�±���������0)*�$3�6��7���-������� ���`���� ���#��3�
c pri�h d v � i�y^z�pw� ¤ v�¦^h²{ � y^{�v^��v<xXpry^z�{ d hjzuy^i�h�z�v-v<{u{Shv � x~yl¯>h v�{ � p|¦qprtwhj��h � H h�t � y^«gv<{�{utrpr�v<x�pwy^zy^« � y^i�v<prz � hj��y^i�{Sy�}�p|xXpwy<zni�h�x d y � }��CÃ�ÃlÅ��#V�prz � h�h � µqx d h }Xy^t|suxXpry^znpw}�prz���h�z h � v<t d pw� d tr��y�}X��prtrtwv\Çx~y � ���bh��V��h�{ux±i7v��¯>h3«¬y � ¦^h � �7twy ¤ « � hjÂqsuhjz ������y^i�{usux~v<xXpry^z }��³v<z � prxX}±v<{u{ � y��Ap|i7v<x�pwy^z � hjÂqs�p � hj}��h�z h � v<trt|� v¦^h � ��x d p|z }�{�v^�jh � pw}�� � h�xXpr¹v<x�pwy^zgµ�trhv � prz �xXy�t¶v � ��h7}�pw¹�h7t|prz h�v � }��A}�x~h�i ¤¸d pr� d ��v<zz y^x � hv^}�y^z�v<¯ut|� ¯>h-}Xy<tr¦�h � s }�prz � � p � h���x²«bv<�jx~y � pw¹�v<xXpry^z i�hjx d y � }j®±ÅEy � h�y�¦�h � µ�x d hj}Xh,}��A}�xXhji�}3v � h��y<i�{utrh���v<z � z y^z d h � i�prx�p¶v<z��bhj¦�h�z pr«Hx d hj��v � h�}��Ai�i�hjx � pw�±prz���hjz h � v<t���µq}Xy,x d v<xLs }�s�v<t>p|x~h � v<x�pr¦�hi�hjx d y � }6hjprx d h � � y�z y^x���y^zq¦�h � ��h±y � ��y^zq¦^h � �^h y<zutr�-}�try ¤ tr��µ ¤ prx d y^sux$v<zq�-x d hjy � h�xXpr�v<t��^s�v � v<zqx~h�hj}y^«³��y^zq¦^h � �^hjz �jh^µ� �"!I® £ z¥x d pr}���y^zqxXh��Axµ·prx3pr}3z�v<x�s � v<t6x~y x � �x~y � h � s �jhnx d h�}Xy<trsux�pwy^z¥y^«$x d hn«¶sutrt{ � y^¯utwh�i x~yEvE}�s ���jh�}�}�pwy<z¨y^«´}�i7v\trtwh � twyA�v\t�{ � y<¯utwh�i�}�x d v<x-��y^sut � ¯Sh d v<z � trh � «¬y � prz }�x©v<zu��h�¯A�� p � h���xni�h�x d y � }j® ced pr}�pr}�{ � h��jpr}Xh�tr��x d h {us � {>y�}�h�y^«±x d h � y^i�v<p|z � h��jy^i�{>y�}�prx�pwy^z xXh�� d z�pw¢s h�}j®Á y ¤ hj¦^h � µAx d h }Xy<trsux�pwy^z�y^«Sx d h Á hjtri d y^t|x~¹exÎ�q{Sh²hj¢s�v<xXpry^z } ¤¸d pr� d � hj}X� � pr¯Sh ¤ v¦�h { � y<{�v^�¢v<x�pwy^z�p|zx d h´« � h�¢s h�z �j� � y^i7v\prz d v<}�z y^x�x d h¸}~v<i�h´zupr��he{ � y^{Sh � x�pwhj}�x d v<z�x d h¸}Xy^t|suxXpry^z }:y^«Si�y � h´}�x~v<z � v � �hjt|trp|{uxXpr�3h�¢s�v<x�pwy^zu}²}�s � d v^}$#·v<{ut¶v<��hlh�¢s�v<x�pwy^z V³prx � yAh�}±z y^x±z�v\xXs � v<trt|� ��y ��� hj}�{Sy^z � xXy�x d h-i�prz�p|Çi#sui y^«6v�¢s�v � � v<x�pw�3«¶suzu�jxXpry^z�v<tCµVx d h3i7v��Vp|i#sui { � p|z �jp|{utwh � yVhj}´z y^x d y^t � µ>®Ó®Ó® ced v<x¸pw} ¤¸d � x d hp � hv^}¸y^«·x d h3«bv<i�y^s }´y�¦�h � twv<{u{up|z ��oV� dq¤ v � x~¹-v<tr��y � p|x d i%�� 8 �&!Cµ� 8 9&!Cµ� 8 ��!'�e�v\z zuy^x¸¯>hlv\{u{utrprh � xXyd v � i�y<zupw� ¤ v�¦^h3{ � y<{�v^�¢v<x�pwy^z�i�y � h�tw}j® ced pr}³{ � y^¯�v<¯ut|��h��A{utwv<prz } ¤¸d ��x d h � h�}Xh�v � � d y<z Ã�ÃlÅ «¬y �}�su� d i�y � h�tw}$}�x~v � xXh � y<zutr� � h��jhjzqxXt|��® ced h²y^¯���h���xXp|¦�h�y<«>x d h { � h�}�hjzqx´{�v<{Sh � pw}�xXy,�^p|¦�h²v-}�s � ¦^hj��y^«}Xy<i�h ¤ y �X° }²p|zEx d pw} H hjt � i�v � h�¯q��x d h,v<sux d y � }�v<z � }Xy^i�h,y<«6x d hjp � �jy^trtrhv^�^suh�}²v<z � xXy�{ � h�}�hjzqx}Xy<i�h3i�y � h � h��jhjzqx � hj¦�h�twy^{�i�h�zAxX}�®
ced h$i�h�x d y � } ¤ h³v � h���y^p|z �´x~y±}�{>h�v ° v<¯Sy^suxMv � h$v<t ¤ v�A}·zuy^z�y�¦^h � twv<{u{up|z �´prxXh � v<xXp|¦�h�i�hjx d y � } Vx d h � y^i�v<przu}:y^z�tr�-��y^i�i#suz�pw�v\x~h³¯q�-x d h�p � przqx~h � «bv^�jh�}�®6��}6s }�s�v<tuv<trtqx d h � p (���sutrxÎ�-trprh�}·prz#x d h ¤ v��y^z h±i�v ° hj}³x d h � p*)>h � h�zAx³}�s�¯�Ç � y<i7v<p|z }$��y^i�i#suz�pw�v\x~h¸¯>h�x ¤ hjhjz h�v^� d y^x d h � } VMx d h ° hj��{Sy^przqx³v � hx d s }$x d h²� d y<pw��h y^«>��yVy � x � v<z }�i�pw}�}�pry^z���y^z � prxXpry^z }Lv<z � x d h²� d y<pw��h y^«Hv-��twhj¦^h � prxXh � v\xXpr¦^h±}X� d h�i�h<®ced h,}�x©v � xXp|z ��{Sy^p|zAx y^«6x d h-i�h�x d y � }²pr} x d h�� d y^pw�jh,y^«�}�sup|x©v<¯utrh-x � v<zu}�i�pw}X}�pwy^zE��y<z � prx�pwy^zu} ¤¸d pw� dprzq¦^y^tr¦^hlv<zEv<{u{ � y^{ � pwv<x~h3t|prz h�v � �jy^i#¯up|z�v<x�pwy^z y<« � hjsui�v<zuzEv<z � Ã�p � pw� d twhjx � v<x~v ¤ p|x d pri�v^�^p|z�v � ���yAh+(���pwhjzqxX}�® c y#p|z � pr�v<xXh�x d h²¯�v^}�pr��p � hv^}jµ�twh�xes }¸�jy^z }�p � h � x d h�¦^h � �7}�pri�{utrh�h���v<i�{utrh�y^«·x d hn��ÃÁ h�tri d y^t|x~¹3hjÂqs v<xXpry^zg®
,.-0/1�1�2 ,435/ 27698;: <�= ! ,?> : > :�����¤ prx d x � v\z }�{�v � hjzqx ¯>y<suz � v � � ��y<z � prx�pwy^zu}¸v<x <76A@ > µ
� - 1 2B@DC 3 2 �E� @ > � 6 ZGF� 8 �#ghjx±s }±��y<z }�p � h � v#{�v � xXprx�pwy^z�y<«:x d h�przqx~h � ¦<v<tH! ,I> : > qp|zAxXy�}�su¯�ÇCprzqx~h � ¦<v<tr}J! <0KL:M<0K�NPO Ûµ <0QR6 ,�>TS<UO S FVFVF S <;W�6YX > ®$Ã3h�z y^xXp|z �n¯q� 2 K�N[Z\ x d h � hj}�x � pw��xXpry^z y^« 2 x~yB! <0K]:^<0K�NPO åµ ¤ h d v�¦^h
,.-0/1�1�2 K�N Z\ ,_35/ 2 K�N Z\ 6A80: <�= ! <0K":^<0K�NPO :�C�L�¤ prx d x d h�x � v<z }�i�pr}X}�pry^z���y<z � prx�pwy^zu}
`ab ac 2 K�N[Z\� <0K � 6 2 K+deZ\ � <0K � : Z Sgf7Sihj, �
- 1 2 K�N Z\ � <0K � 6 - 1 2 K+d Z\ � <0K � : Z Skf7Sghl, � :�Ikm�
n�oP[pnrq
![Page 8: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/8.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �
v<z � x d hl¯Sy^suz � v � �7��y^z � prxXpry^z }`ab ac - 1 2 Z\
� <0Q � , C 3 2 Z\ � <0Q � 6 Z
- 1 2 W5deZ\ � <;W � XDC 3 2 W5deZ\ � <;W � 6 Z F�Æ�]�ced h±p � h�v-y<«>x d h ¯�v<}�pw�¸i�hjx d y � µ � s h xXy�Ã3hj}�{ � h�} å��k]!CµU Û���"!IµU å���&!CµU Û����!Sv<z � prz � hj{Shjz � h�zqxXtr�nxXy7 �NZ"!��y<z }�pr}�x~}¸p|z � h ¤¸� prxXp|z �7�Æ�]�´p|z x d h�«¬y^t|twy ¤ przu��«¬y � i V�«¬y � f 6 � : FVF F hl, �
`ab ac - 1 2 K�N Z\� <0K � X C 3 2 K�N Z\ � <0K � 6 - 1 2 K d Z\ � <0K � XDC 3 2 K+d Z\ � <0K �
,$- 1 2 K N Z\ � <0K � XDC 3 2 K�N Z\ � <0K � 6 ,.- 1 2 K+d Z\ � <0K � X C 3 2 K+d Z\ � <0K � F��9L�ced h � hj«¬y � h^µgtryVy ° p|z � v<x-v7}�prz �^trh � y^i�v<p|z�! <0K":^<0K�NPO Ûµ ¤ h d v�¦^h�p|z%{�v � xXpw��sut¶v � µS¯q��{�pw� ° prz � y<z hny^«x d hlx ¤ y�h�¢s�v<x�pwy^z } 9�v<x <76g<0K v<z � <76 <0K NPO
`aaaaab aaaaac,$- /1�1 2 K�N Z\ ,43 / 2 K N Z\ 698;: <�= ! <0KL:M<0K�NPO :,$- 1 2 K�N[Z\ � <0K � X C 3 2 K�N[Z\ � <0K � 6 ,$- 1 2 K+deZ\ � <0K � X C 3 2 K+deZ\ � <0K �- 1 2 K�N Z\ � <0K�NPO � XDC 3 2 K�N Z\ � <0K�NPO � 6 - 1 2 K�N �\ � <0K�NPO � XDC 3 2 K�N �\ � <0K�NPO � F
��]�
ced pr}e}��A}�x~hji v<tw}�y d y<t � }$«¬y � f 6 Z�v<z � f 6 h , ��p|« ¤ h�s }Xh²x d h3�jy^zq¦�h�zAx�pwy^z 2 deZ\ 692 WN[Z\ 6 Z�®£ xl�v\z§¯Shn}Xhjhjz¨v<}lv { � y^¯utrhji ¤¸d pw� d � h�Huz h�} 2 K�N[Z\ µ ¤ p|x d ¯>y<x d 2 K+deZ\ v<z � 2 K�N �\ ��y^zu}�p � h � h � xXy¯Sh ° z y ¤ zg®
D h�x d hjz { � y<{>y�}�h�x d h�«¬y^t|twy ¤ prz �,prx~h � v<x�pr¦^h3{ � yA��h � s � h� 2�� K+deZ\�� K��PO W ,�� 2�� NPOK+deZ\�� K��PO W :�C�L�
¤¸d h � h ¤ h d v¦�h-}Xh�x`aaaaab aaaaac
,.- 1�1 2�� NPOK�N Z\ ,_3 / 2�� NPOK�N Z\ 6A80: <�= ! <0KL:^<0K NPO :,.- 1 2�� NPOK�N[Z\ � <0K � X C 3 2�� NPOK�N[Z\ � <0K � 6 ,.- 1 2�� K+d Z\ � <0K � X C 3 2�� K+d Z\ � <0K �- 1 2 � NPOK N Z\ � <0K NPO � XDC 3 2 � NPOK N Z\ � <0K�NPO � 6 ,.- 1 2 � K�N �\ � <0K�NPO � X C 3 2 � K�N �\ � <0K�NPO � F
�C�L�
£ xnv\{u{>h�v � },x d v<x-x d pw},i�hjx d y � pw}-y^{ux�pri�v<t$prz�x d h�}�hjz }�h7x d v\x�prx,��y<zA¦^h � ��h�}�h���v^��xXt|�Äp|z¨v3H�zuprxXhzqsui#¯Sh � y^«MprxXh � v\xXpwy<z }�® £ z � h�h � µ przqx � y � su�jprzu�#x d hlh ��� y � � h�Huz h � prz h�v^� d }�su¯�Ç � y^i�v<prz ¯q�
� � K�N Z\ 6 2 K N Z\ , 2�� K N Z\ F����Zm�D h ° z y ¤ x d v<x¸x d h � � K�N Z\ }Xv<xXpr}�«¶���C�m� ¤ p|x d 8 6 Z�® ced h � hj«¬y � h ¤ h-�v<z ¤¸� p|x~h
� � K N[Z\ 6 > � K N[Z\ hë�V{ � C 3 < � X���� K N[Z\ h��A{ � , C 3 < � F���^�&�
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 9: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/9.jpg)
9 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
��¯ }Xh � ¦qprzu��x d v<x `ab ac - 1� � K�N[Z\ XDC 3 � � K�N[Z\ 6 8 C 3 > � K�N[Z\ hë�A{ � C 3 < �
- 1 � � K�N Z\ , C 3 � � K�N Z\ 6 , 8 C 3 � � K N Z\ hë�A{ � , C 3 < ���� 8 �x d hlx � v<zu}�i�pw}X}�pwy^z��jy^z � p|xXpry^z }´twh�v � x~y
> � NPOK+deZ\ 6 > � K�N Z\ : f 6 � : 8 : FVFVF : hj, �
� � NPOK�N[Z\ 6 � � K+d Z\ : f 6 � : 8 : F FVF : hj, � :����m�¤¸d p|twh3x d hl¯Sy^suz � v � �7��y^z � prxXpry^z }´hë�A{ � hj}X}²x d v<x
> � W5deZ\ 6 Z : � � Z\ 6 Z : ��� F����k ��u� y^i �����L�´v<z � ���k �ëµuy^z hlh�v^}�p|tr� � h � su��h�} x d v\xµ v<«¶xXh ��� p|x~h � v<x�pwy^z }
> WK+deZ\ 6 � WK+deZ\ 6 Z : f 6 � : FVF F : h :�����L�¤¸d pr� d i�hv<zu}lx d v<x�x d hn{ � yA��hj}X}-��y^zq¦�h � ��hj},p|z h prxXh � v\xXpwy<z }�µ ¤¸d h � h h pr}3x d hnzqsui#¯Sh � y^«e}�su¯VÇ� y^i�v<p|z }�® £ z�x d pr}e}Xh�z }Xh<µux d h²prx~h � v<x�pr¦^h { � yV�jh � s � h ¤ h3{ � y<{>y�}�h � ¯�v<}Xh � y<z7x d h²s }Xh3y<«gx d h�i�p|�Vh �¢s�v<zqxXp|xXprh�}¸Â¢s�v<zqxXp|xXprh�} @��� 1 XDC 3 2 pw}¸y^{�xXpri�v<tC®ced h3i�hjx d y � } ¤ hlv � h���y^p|z �,xXy#x � h�v<x´p|z7x d h3{ v<{>h � v � h3h�}�}Xhjzqx�p¶v<t|tr��h��Ax~h�z }�pry^z }±v<z � ¦<v � p¶v<zqxX}y^«gx d pw}L¯�v^}�pr�3v<tr��y � prx d i® ced h3hë�VxXhjz }�pwy^zu}´i7v<p|zutr���jy^z �jh � z d pw� d h � }�{�v^��h � pri�hjz }�pwy^z }³v<z � y<x d h �xÎ�q{>hny<«$h�¢s�v<x�pwy^z }j® ced h#¦<v � pwv<zqx~}��jy^z �jh � z¥x d h�przqxXh � «bv<��h#�jy^z � p|xXpwy<z }3v<z � x d h�p|x~h � v<x�pwy^zE{ � yA��hëÇ� s � h^® £ zx d pw}±{�v<{Sh � µ ¤ h�i�v ° h,v�{�v � xXpr�jsutwv � h+)Sy � x�y^«6«¬y � i�v<trpr}~v<x�pwy^z v<z � v<¯ }�x � v^�jx�pwy^zEprz�y � � h �x~y��^p|¦�h-v#suzup H h � { � hj}Xh�zAx~v<xXpry^zEy^«�v\trt>x d hlh��Ax~h�z }�pry^z }²v<z � ¦<v � pwv<zqx~}�® ced h-y<suxXt|prz h3pr}±v^}´«¬y^trtry ¤ }�®
£ z#}�h��jx�pwy^z 8 µ ¤ hL{ � hj}Xhjzqx:x d h$i�y � h�t¢{ � y^¯�twhji �bx d h Á hjtri d y^t|x~¹�hjÂqs v<xXpry^z;�>x d v\x ¤ he�jy^z }�p � h � p|zx d hli�v\��y � { v � x y^«Mx d pr} v � x�pw�jtrh^® ced h-i�v<prz�y<¯���h���xXpr¦^h,y<«6x d pw}¸}Xhj�jx�pwy^z pw}´xXy ¤¸� prx~hlv\zhjÂqs�pr¦<v<twh�zqxx � v<z }�i�pr}X}�pry^z¨{ � y^¯utwh�i"y<z5v{ v � x�prxXpry^z¨y^« X s }�p|z �uµLv^}#prz �Ã#µ:twyA�v\tex � v<z }�i�pr}X}�pry^z¨y^{Sh � v<x~y � }�®D h � hj«¬y � i#sut¶v\x~h7x d pw}�x � v\z }�i�pw}�}�pwy<z { � y^¯utrhji p|z xXh � i�}�y^«�v¥z h ¤ { � y^¯�twhji ¤¸d y�}Xh suz ° z y ¤ z }v � h ¢s�v\zAx�prx�pwh�} � h Huz h � v<x�x d h przqx~h � «bv^�jh�}n¯>h�x ¤ hjhjzWx d h � p )Sh � hjzqx�}�su¯VÇ � y^i�v<p|z }�® D h p � hjzqx�pr«¶�v<z v<¯ }�x � v^�jx���h�z h � v<t´«¬y � i'y^«±x d pw}#{ � y^¯utrhji"i�y � sutwy x d h p|zAx � y � s ��xXpwy<z¨y^«�v<{u{ � y^{ � pwv<x~h�trprzuhv �y^{Sh � v<x~y � }�® £ z�}Xhj�jx�pwy^z���µ ¤ h � hj}X� � pr¯Sh±x d h¸¦<v � pry^s }�p|x~h � v<xXp|¦�h � y<i7v<p|z � h��jy^i�{Sy�}�prxXpry^z�v<tr��y � p|x d i�}¤ h d v¦^h³� d y^}Xhjz,x~y � pr}X�jsu}X}�® £ z,{ v � x�pw�js�t¶v � µ ¤ h$przqx � y � s ��h�x d hLzuy^xXpry^zly^« A v^��y^¯�pAv<z � C-v<su}X}�ÇçoVhjp � hjtv<tr��y � p|x d i�}-v^} ¤ hjt|t¸v^}-x d h�p �,� hjtwv\�Vh � ¦^h � }�pwy^zH® £ z }Xhj�jxXpry^z ��®é��µ ¤ h�p|zAx � y � s �jh vEi�y � h���hjz h � v<t�jtwv^}X}�y^«3v<tw��y � prx d i�}�¯�v^}�h � y^z x d h s }�hy^«3vÄi�y � h���h�z h � v<t �jtwv^}X}�y^«3x � v<zu}�i�pw}X}�pwy^z y^{Sh � v<x~y � }�®D h§} d y ¤ x d h�� Hux�x d hÄ��h�z h � v<t�« � v<i�h ¤ y ��° ¤ h d v¦�hÄ��y^zu}�x � s �jxXh � p|z x d h¥{ � h�¦qpwy^s } }Xhj�jx�pwy^zg®oVhj�jxXpry^z k pr} � h�¦�y^xXh � x~y�x d h��jy^zq¦�h � ��hjzu��hÄv<z�v<t|�A}�pw}j®Q��s � { � yVy<«3pw}7y<zutr� ¯�v^}�h � y^z`vÄ{ � pry � ph�}�xXp|i7v<xXh�}j® D hehji�{ d v<}�pw¹jh´v²{ v � x�pw�js�t¶v � � d y^pr��h³y^«u{�v � xXp|xXpwy<z�y^«RX¨v\z � y^« x � v<z }�i�pr}X}�pwy^z,y^{Sh � v\x~y � }¤¸d pr� d �<s�v � v\zAxXh�hj}lv<z¥h��A{Sy^z hjzqx�p¶v<t � v<xXh#y^«L��y^zq¦^h � �^hjz �jh^® £ z¥}�h��jx�pwy^z§�Aµ ¤ h�v\z�v<tr�A¹jh�przÄv�i�y � h¢s�v<zqxXp|x©v<x�pr¦^h ¤ v��,x d h¸}�{>hjh � y^«��jy^zq¦�h � ��hjzu��h±y^«�y^s � v<tw��y � prx d i�}·p|z�v²¦^h � �,{�v � xXpw��sut¶v � ��v^}Xh¸y^« x ¤ y� y^i�v<p|z }�® ced pw}±{>h � i�prx~}¸s } x~y � pw}��js }�}²x d h�� d y^pr��h-y^«�}�y^i�h-y^«�x d hl{�v � v\i�h�x~h � }²y<«�x d hli�hjx d y � ®£ z }Xhj�jx�pwy^z 9�µ ¤ h7{ � h�}Xh�zqxn¦^v � pwy<s }�hë�VxXhjz }�pwy^zu} ¤ prx d prz x d h v<¯ }�x � v^�jx#«¬y � i�v<trpr}�i ced h�� ��y<z ��h � zH � }�x¸x d h�}�{�v^�jh � pw}�� � h�xXpr¹v<x�pwy^z y<«Mx d h3i�y � h�t>{ � y^¯utrhji x d h�z x d hlv<{u{�trpw��v<xXpry^z7y<«:y<s � i�h�x d y � }exXy
n�oP[pnrq
![Page 10: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/10.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �
y^x d h � { d �A}�pr�v<t|tr� � hjtrhj¦<v<zqxl{ � y^¯�twhji�}�® � prz�v<t|tr�^µ ¤ h�p|trtrsu}�x � v<x~h,}Xy^i�h�v^}�{Sh���x~}ly^«ey^s � x d h�y � hjxXpr�v<tv<z�v\tr�A}�pr}´¯A�7}Xy^i�h�zAs�i�h � pw��v<t � h�}�s�trx~}j®
D h �v\zuz y^xLx � hv<x$prz�v�«¬h ¤ {�v<��h�}³v<trt�x d h²v^}�{Sh���x~}³y^«gÃ�ÃlÅ «¬y �$d v � i�y<zupw� ¤ v¦�h²{ � y^{�v<�¢v<xXpry^zg®#ghjx´su}¸��y^z ��trs � h3x d pr}³przqx � y � s �jx�pwy^z�¯A�7v � v<{�p � � hj¦qpwh ¤ y^«·x d h�trp|x~h � v<x�s � h �Cv�s }�hj«¶sutg�jy^i�{utwh�i�h�zAxx~y�x d h�{ � h�}�hjzqx�{�v\{>h � ��® Á pr}�xXy � pr�v<t|tr��µ ¤ h�i#s }�x � hj«¬h � x~y�x d h�{upry^z hjh � p|z � ¤ y �X° },y<«���®MÃ3h�}�{ � hj}v<¯Sy^sux�x d h Á h�tri d y^trxX¹�hjÂqs v<xXpry^z ¤ prx d {us � hjt|�tryV��v<t6x � v<z }�i�pr}X}�pwy^z¥�jy^z � p|xXpwy<z } Û���"!Iµr Û�k]!IµH«¬y � x d hx d h�y � hjxXpr�v<tgv^}�{Sh���x~}�µ Û��9"!Iµe å����!H«¬y � �jy^i�{�sux©v<x�pwy^z v<t>pr}X}�suh�}�µ x � hv\x~h � v<tr}Xynprz? ���+!'�¸v<z � o d v<p � s � y�¦ �NZ"! �I}�h�h�v<tw}�y� Û���"!·«¬y � v<zEh��AxXhjz }�pwy^z�xXy�v\¯ }Xy � ¯uprzu��i�h � pwv�v<z � Û���&!M«¬y � vni�y � h-v<tr��hj¯ � v<pw�3{Sy^p|zAxy^«L¦qpwh ¤ �ë®��ehjz�v\i�y^sÄhë�VxXhjz � h � x d hnp � h�v^}�x d h � h�prz¥x~y�x � hv<xly^{�xXpri�v<t6��y^zqx � y^t�{ � y^¯utwh�i�} � hjtwv<x~h �x~y d v � i�y^zupr� ¤ v�¦^h { � y^{ v^�¢v<x�pwy^z �b}Xhjh4 8 !IµE å�+!¸v<z � �"!e«¬y � v � h�¦Aprh ¤ �ë® ced h���v^}Xh y^«±z y<z¨twyA�v<tx � v<z }�i�pr}X}�pry^z �jy^z � p|xXpwy<z }³pr}ex � hv<xXh � przI 8 �+!gv<z � 8 Z"!Iµ ¤¸d prtrh²p|zI 9"!Iµ ��!Iµ�x d h3s }Xh�y^«M}�h���y<z � y � � h �x©v\z ��hjzqx�p¶v<t � p )Sh � hjzqxXpwv<t²y^{>h � v<xXy � }��Cv<z5przqx~h � i�h � pwv<x~hE}�prx�s�v<x�pwy^z;��pr}7��y^zu}�p � h � h � ® ��¦�h � t¶v\{u{uprzu�i�hjx d y � }Lv � h¸przqx � y � su��h � prz �&!I® � y � x d h±�v<}Xh y^«g��à Åv ¤ �Vhjt|t � }³hjÂqs v<xXpry^z }�µ ¤ h � hj«¬h � xXy7 Û����![v\z � �"!C®� / � ����34 �%�����%4��� ��� 3�����$� �%4��,������� �-� ��7�6������#�±��
��� ������������������������ ��!"�$#%�'&(�*)��(����+()��,#Á h � h<µ\X � h�z y^xXh�}-v�¯>y<suz � h �Ä� y^i7v\prz%y^«.- /10 ¤ prx d ¯>y<suz � v � �32 ¤ h�v<}X}�s�i�h#xXy�¯Sh#}�s (��jpwh�zqxXtr�}�i�yAy^x d �Cv<x�trhv^}�x #Hp|{ }X� d p|x~¹���y<zAx�przqs y^su}���® D h���y<z }�p � h � x d h�{ � y^¯utwh�i ¤ prx d �jy^i�{utwhë�¨¦<v<trs h �suz ° z y ¤ zE«¶suz �jx�pwy^z 2
465879;:`aaaab aaaac
� prz � 2 ==< O ��X � : }�s � d x d v<x,"> 2 , 35/ 2 6A80: prz X-@? 2 X C 3 2T6 Z : y^zA2 :
����9m�
�CB � h�z y^x~hj}-x d hnsuzup|xly^sux~�^y^prz �7zuy � i�v<t6¦^h���x~y � x~yD2 ��® � y � p|z }�x~v<z ��h<µgx d hn¯Sy^suz � v � �%�jy^z � p|xXpwy<z�v\z ¯>h3}�h�h�zv<}¸v<z v<{u{ � y�Apri�v<x~h � v � pwv<xXpry^z7�jy^z � p|xXpry^z v<x HuzuprxXh � pr}�x~v<z ��h �Cv^}¸v\z v<{u{ � y��Ap|i7v<x�pwy^zy^«Lx d h#{ � y^{�v<�¢v<xXpry^z¥y^«ev ¤ v¦�h�prz3- / 0 ��® ced h � pr� d x d v<z � }�p � h#pr}3x d h�}Xy<s � �jh�xXh � i�v<z � 3FE Z� hj}�pw�<z�v<x~hj}¸x d h�« � hj¢s hjz ����®
��� y^¯utrhji 4G5879;: hjzqx~h � }#p|z¨vEi�y � h���h�z h � v<te��t¶v^}�}#y^«´{ � y^¯utrhji�} �IH � hj«¬h �X� p|z �xXy�vE¯Sy^suz � h �� y^i�v<p|z�y^«*- / � �
4G587 JK :`aaaab aaaac
� prz � 2 ==< O �LHB� : }�s � d x d v\x,"> 2 , 35/ 2 6A80: przMH-@? 2 X C 3 2T6ON0: y^z - H F
�����L�
#ghjx±s } � hj�v<t|tHx d hl«¬y<trtwy ¤ p|z �#�jtwv^}X}�pw��v<t � hj}�sut|x �b«¬y � vn{ � yVy^«çµ�}Xh�hT Û��Z"!·y � Û�k�!g«¬y � prz }�x©v<zu��h��ë®:;1 »q¿ � » � 'QP � � 8;:GN �R � � ��TS��-� �VU / �LHB�XW U / � - H�� � 4 5 7 JK : � ��� ��� � ��ZY ��-������ �?������ < O �LHB�[ � �� ��������?� �]\ ��� > 2 = U / �LHB� � ��R� -@? 2 = U / � - H�� % � �� ����_^��� ����� � �a`N� ���=� � ��� ��� ����
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 11: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/11.jpg)
� � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
� 6 � �LHB� E Z � � �� �� ���� 2 ��� Z�� K�� X � -X? 2 ��� \ � K���� � � � 8 ��� \ � K � X � N ��� \ � K � � F����m�#ghjxLs }L}�pri�{ut|� � hj�v<t|t x d v\xLx d h±{ � yAy^«[s }Xhj} �u� h � d y^t|i � }Lv<trxXh � z v<xXp|¦�h ¤¸d pr� d�� h � s �jh�}ex d h±h��Apw}�x~hjzu��h{ � yVy^«ex~y%vEs�zupw¢s h�z h�}�} � h�}�sutrx�® � y � }�s � d v � h�}�sutrx�µ�y^z h�H � }�x#{ � y�¦^h�x d v<x�p|« 8g6 N 6 ZVµ:x d hjz2 6 -@? 2?6 ZEy^z - H ¤¸d pr� d pri�{ut|pwh�}3¯q�¥x d h�suz�pw¢s h��jy^zqxXp|zAs v<xXpry^z§{ � przu�jpr{�twh µ� Û��� !CµMx d v<x 2 pr}¹�h � y�prz H�® ced pw} H � }�x }�xXhj{ � h�h�{utr��s }Xhj} x d h-v<¯ }Xy � {ux�pwy^z xXh � i C 3 2 prz�x d h�¯Sy^suz � v � ����y^z � prxXpry^zg®7» ���u��� '�� ���� ������� �� � ��������$��� � �R� � R � ��� 4 5 7K�: � �� � � ��� � � � �3���� ����� � � � ������P� �� ��� � � ����� �a`��������������R% ! � [ � ^��� �-���� �� � � �� [ �����P� ��������� ����^�� ���� ��;��� � �/�=� ��� �]��� [ � ��� [ �"�� � S ���TS� �����]� �� R ���a`N� ��R� � � [ ��=���� � �� ����� � � � �$� ���=��� � � R � ����� �$�� � �� �]� � ���?�� ^�# ��� �=��� �������� � ^���� [ � �/����;�#� �P� �� ���?���� ���
`aaaaaab aaaaaac
� �R� 2 =F< O ��X � : � � �� �� ���, ��� ^�� ����� 2�� , � 35/ 276Y80: � X
-@? 2BX C 3"! 2 6ON0: �� - X :����m�
[ ���� � � � < � : � � < � �� � R �� R� � � [ ��� R �� R� � � ��^��� ��� ��������?� ^�� � G ��?���� � � �]\^ � � � X ��R�! � < � VT2 � -# �����?� �]\ ���%$ � ! �'& Z ��R�($ � ! �)&+* E Z ���� < = 2 Q [ ���� � 2 Q � �;� � R ����� � � 2[ ��� ��-,��� ���$� ��� G ��%�I� .O� �0/21(��354.)L�*�V� ���64.�"��# �L�����L��� �(����+()L�*##ghjx±s }±��y<z }�p � h � v#{�v � xXprx�pwy^z�y<«YX przqx~y h }�su¯�Ç � y^i�v<przu} X K
X 6 W7K �PO X KX K"8 X59 6;:G: «¬y �=<?>6 f
X K pw} #Hpr{ }�� d prxX¹���y^zqx�przqs y^s }j®� 8 Zm�
£ z ¤¸d v<x,«¬y<trtwy ¤ }jµ ¤ h�} d v<t|t � pw}�xXprzu�^supw} d x ¤ yzuy^x©v<x�pwy^zu}l«¬y � - X K%8 - X597�¬przqx~h � «bv^�jh�¯Shjx ¤ h�h�z X Kv<z � X59�® @K 9 6 - X KA8 - X59 v^} v#{�v � x y^«YX K@ 9 K�6 - X KA8 - X59 v^} v#{�v � x y^«YX59&F� 8 �&�
ced pw}´pw}´su}Xhj«¶s�tM«¬y � � pw}�xXprzu�^supw} d przu�#x d h�x ¤ y�x � v^�jh�}±y^z - X KA8 - X59�«¬y � vn«¶suz ��xXpry^z ¤¸d pw� d �v<z ¯Sh� pr}X��y<zAx�przqs y^su}²v<� � y^}X} v<z przqx~h � «bv^�jh^®7» ���u��� 5CB � ^��� ����� � ������� [ ���� ���� ��� ����� ��?���� [ ����� ��� R � ������� #������r� [ �/��� �]���H ��� �R��� D ��E ���� �������� ��� ���?���� @ K 9 � @ 9 K �� - X KA8 - X K [ ������ � �$����?�������TS��� �a`��P� �� ��� � ����%
n�oP[pnrq
![Page 12: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/12.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �
� �
� 8
� �
� k
� �
� ��
� �<k�� � kq���� �
� pw�<s � hn�NV ced h � y^i7v\prz Xªv\z � p|x~} � hj��y^i�{Sy�}�p|xXpwy<z
� p|z�v<trt|��µ ¤ h-} d v<trtg}�hjx @K^K.6 - X 8 - X K F� 8�8 �
��z - X K µ ¤ h±} d v<trt � hjzuy^x~h´¯q� B K x d h´suzuprx6z y � i�v<tV¦�h���x~y ��¤¸d pw� d pw}�y<sux~��y<prz � ¤ p|x dn� h�}�{Sh���x$x~y X K ®��¯q¦Apry^s }�tr��µ�B K�X B�9 6 Z�y^z@K 9 6 @ 9 K ® � p|z�v<t|tr��µ¢p|« 2 pw}´v�«¶s�z �jx�pwy^z y<« U / ��X K �ëµVprxX} � h�}�x � pr�jxXpry^z�xXy
X K ¤ prtrt>¯>h � hjzuy^x~h � ¯q� 2;K ® D p|x d x d pr} z y<x©v<x�pwy^zgµVprx±pw}±�jtrhv � x d v<x 2 pw}±}Xy<trsux�pwy^z y^« 4a5 79 : pr«�v\z �y^zut|��p|«� 20K�: f 6 � : h� pw}±vn}Xy^t|suxXpry^z�y^«:x d h�x � v<z }�i�pr}X}�pry^z { � y^¯utwh�i
� � ���
`aaaaaaaab aaaaaaaac
, > 20K ,435/ 2;K�6Y8�K p|z X K]: f 6 � : FVFVF : h-@?�� 20K X C 3 20K 6 Z y^z
@K^K
20K�6 2 9 y^z - X KA8 - X59 : f >6 <-@? � 20K�6 ,$-@?�� 2 9 y<z - X KA8 - X59 : f >6 < F
� 8 �m�
ced hlx ¤ y�x � v<z }�i�pr}X}�pry^z���y<z � prx�pwy^zu}¸�v<z�¯Sh � h ¤¸� prxXxXhjz przEv<z h�¢sup|¦<v<twh�zAx ¤ v��v^} � f >6 < �`b c -@? � 2;KXDC 3 20K�6 ,.-@?�� 2 9 XDC 3 2 9 y^z
@K 9
-@?�� 2 9 XDC 3 2 9 6 ,$-X? � 20K XDC 3 2;K y^z@ 9 K F� 8 k �
ced h � hj«¬y � h^µ ���B���6��v<zE¯Shl}Xhjhjz%v<}²vn�jy^trtrh��jx�pwy^z7y^«6tryV��v<t>{ � y^¯utrhji�}¸y^«:x d h�«¬y � i 4G5 7 JK :`aaaab aaaac
, > 20K ,435/ 20K 6A8�K prz X K-@? � 2;KXDC 3 20K 6 ,.-@?�� 2 9 XDC 3 2 9 y^z
@K 9 : f >6 <
-@?�� 2;KXDC 3 20K 6 Z y^z@K K F
� 8 �L�
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 13: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/13.jpg)
��Z � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
��� � �V#%�F�V� �,�641���V�����s � ��y¢v\teprz x d pw}n}�h��jx�pwy^z ¤ p|trte¯Sh7x~y � hj«¬y � i#sut¶v\x~h�x d h x � v<z }�i�pw}�}�pry^z¨{ � y<¯utwh�i�}nv<}�v%{ � y^¯utrhji¤¸d y�}�h-s�z ° z y ¤ z ¤ prt|t>¯Sh�«¶suz �jx�pwy^zu} � h Huz h � v<x¸x d h�¯>y<suz � v � pwhj} - X K µuz�v<i�hjtr��x d h�x � v^�jh�}
<0K$6 � ,$-X? � 20K XDC 3 20K ��� 9 � F� 8 9m�� y � x d h�¦^v\trp � prxÎ�²y^« ¤¸d v<x·«¬y^trtry ¤ }�µ ¤ h³} d v<trt^¯>h�trh � x~y¸i�v ° h�x d h�«¬y^trtry ¤ p|z � � h��^sutwv � p|xÎ�3v<}X}�s�i�{ux�pwy^zu}
� Á � V <76 � <0K � = W�K��PO � K � K�6 U / � - X K � :� 8 �L�
¤¸d pr� d pr}´z y^x±¦�h � � � hj}�x � pw��xXp|¦�h3prz�{ � v^�jx�pw�jh � � y^xXh3x d v\x p|x´pw}´x � s h�p|«YX K pr} }�i�yAy^x d hjz y^su� d ��®� y^xXh�x d v<xgx d h$}�{�v<��h � �v<z�v<tw}�y´¯>h � hj��y^i�{Sy�}Xh � v^�j��y � � przu�±xXy¸x d h$}�{�trprx�xXp|z �´y^«Ax d h�p|zqx~h � «bv^��hj}
- X K� 6 W�9 K��PO � K 9 � K 9 6 U / � @ K 9 � :� 8 �m�
}Xy�x d v<x v<zq� hjtrhji�hjzqx���y^« � �v<z�¯Sh ¤¸� prx�x~hjzv^}� ��� K � K��PO W ��� K 9 � K 9 �PO W F� 8 �m�
£ z�y � � h � x~y�� d v � v^��x~h � pw¹jh < v<}�v3}Xy^t|suxXpry^zny^«Sv�t|prz h�v � hjÂqs v<xXpry^znprz � µ ¤ h v � hetwh � x~y3p|zAx � y � s �jh}Xy<i�h�y^{Sh � v<x~y � }�®
O 2�» ����� ¿ �\�� � ) À� D h H � }�x±p|zAx � y � s �jh�V
� =�� � �� W�K �PO < O ��X K � � :�C��Zm�� h�Huz h � ¯q�
� 6 � � K � 6 � ��� � � ������
, > � K , > � K$6 Z : p|z3X K-@? � � K X C 3 � K�6 � K": y^z - X K
�C�V�&�ced hl«bv^�jx±x d v<x � pw} ¤ hjtrt � h Huz h � µ trp|z hv � v\z � �jy^zqxXp|zAsuy^s }¸pw} v � p � h���x²�jy^z }�h�¢s hjzu��h#y^« ced h�y � hji��® � y^x~h�prz�{�v � xXpr�jsutwv � x d v<x¸x d hl¯Sy^suz � v � �7��y^z � prxXpry^z pri�{ut|pwh�}
-X? � � K = U / � - X K � : f 6 � : FVFVF h�C� 8 �ced pr}±{Sh � i�p|x~}esu}±xXy � h Huz h-v<zEy^x d h � y^{Sh � v<x~y �
=�� � ����� � :�C�^�m�¯q�
<76 ��� � � <0K$6 ,$-X? � � K XDC 3 � K]: ¤¸d h � h � 6 � � < ��C�<k �� «¶suz � v\i�h�zAx~v<tH{ � y^{Sh � xÎ��y<«6y^{Sh � v<x~y � pw}´x d h�«¬y^trtry ¤ prz �#y<z h
n�oP[pnrq
![Page 14: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/14.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���
�L» � ��� '�� ��� � ���� ��� �� � � ��� �� ��� �. � ¿>¿R0 ¡ ced h�{ � yAy^«Hpw}L�jtwv^}X}�pw��v<tÆ®e#·h�x � <p: � ��prz � W � µ 2 6 � � < �ev<z ��� 6 � � �G��® �L� � h�Huzup|xXpwy<z
� <p: �G� 6�� K � 9 � � -@? � 20K XDC 3 20K � � -@? � � K X C 3 � K ����� <p: � � 6 � K � 9 � � ,.-@?�� 20K X C 3 20K � � ,$-@?�� � K XDC 3 � K ���� :�C���L�
}Xy�x d v<x � <p: � � , � <p: �G� 6 , 8 C 3 � K � 9 � � -@? � � KR20K , -@? � 20K � K ���PF�C��9m���zEx d hly^x d h �¸d v<z � ¯q� � h�Huzuprx�pwy^z�y<« �
> 2;KX 3 / 20K�6 Z � C �,"> � K ,435/ � K�6 Z � C C � F
�C���L�D h,i#sut|xXp|{utr���C�¢�L�ÆÇ � C �´¯A� � K µe�I�¢�L�ÎÇ�� C C �´¯A� 20K µSv �u� x d h-x ¤ y7hj¢s�v<xXpry^z }²v<z � p|zqx~h�� � v<xXh,y�¦�h � X K µ¤ h,��h�x � 9 � � > 20K � K , 20K > � K ��� < 6 ZGF�C�^�m�� }�prz � C � hjhjz � } x d h�y � hjiEµ ¤ h,y<¯ux©v<p|z� 9 � � -@?�� 2;K � K ,?-@?�� � K+2;K � �� 6 Z :�C�^�m�¤¸d pr� d { � y�¦�h�}jµ[su}�przu���I�N9m�ëµ�x d v\x
� � <p: �G� = � W � : � <p: � � 6 � <p: �G� F�IkNZm�v<z � pr}´suzup|x©v � ��® �7» ���u��� 4�� ��� � ^�� ��� �=���$ ��� ���?���� � � � ���?���� ��� � � [ ��� �=��� ������������ � �?� ���?� �� #�TS������� ���������� ���������(� � ���$���]� �� �#� � �� ��/�@� S �����! #"�� �$�% '& ��% P �����$������ ����� �� R � ������ ��� �� �� �]� �� ���?� �� #�TS � ���� ��� �� �%:;1 »�»)( ��1M� ) > »�¿�2�» ����� ¿ �+*0� ) À *¬���nÀ » � ¿ � 2�¿ ��*¬��* ¿ )D hlp|zqx � y � s �jh * =�� � ��� � � :�Ik��&�� h�Huz h � ¯q� ,
6 * � � ������
,K 9�
,K �.- � � 6 � 9 �.- � � �� 9 K f >6 <,
K K ,K �.- � � 6 ZGF�Ik 8 �
ced hli7v\prz7{ � y^{Sh � x�pwhj} y<«:x d hly^{>h � v<xXy � * v � h�}�sui�i7v � pw¹jh � prz x d h�«¬y^trtry ¤ p|z �#y^¯q¦qpwy<s }¸twhji�i�v
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 15: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/15.jpg)
� 8 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
�L» � ��� 5 � ����� ���� ��� �� * � � � � ��� �$���� #�� � �����? � ������� � � ��R� * / 6 *�� * 6 5 - [ ���� �5 - � �/�=��� �� #����6S ��R�]� � ������ �� �� ���� ���=���/� R � �@� �� � - 6 � <�= � :_< ��� 6 Z � %£ z§x d h�«¬y^trtry ¤ p|z �uµ ¤ h ¤ prt|t6s }�h�x d hn«¬y^trtry ¤ p|z � � hj��y^i�{Sy�}�p|xXpwy<z¥y^« * � ¤¸d pw� d � hj{Shjz � },y<«ex d h
zqsui�h � y<x©v<x�pwy^z�y^«Mx d h-}�su¯ � y^i�v<prz } � * 6 * N X * d :�Ik��m�¤¸d h � h ,
6 * N � � ����������
,K 9 6
,K �.- � � 6 � 9 �.- � � 6 � 9 K�: � f : < : f7S <,
K 9 6,K �.- � � 6 Z � f : < : f E <,
K$6,K �.- � � 6 ZGF
�Ik^k �
ced hl«¬y^trtry ¤ prz �-{ � y^{Sh � xXprh�}±y^« *�� v � h�}�x � v\pw� d xX«¬y �X¤ v � ��L» � ��� 4 � ��� � ���� ��� �� � *�� �� � �B � �]����� � ���������M��R� 5 - 6 * N * d � ��� � % 5 -�� 6 * d * N �� � �=��� �� #�=���6S ��R�]� � ������ �� �� ���� �B�=����� R � �@� �� � N- 6 � < = � :M< �.- � � 6 Z : � f E < � ��� � %� d- 6 � <�= �B� < �.- � � 6 Z : � f S < ��%O 2�» ����� ¿ � L D h�przqx � y � su��h
L 6 * = � � � : � � :�Ik¢�L�v<z � ¤ h-��t¶v<p|i�L» � ��� E� ���� ��� �� L � � �����? � �� ����-� � ��R��� , L � �/������ ���� ^��. � ¿>¿R0 ¡ ��zut|� x d h-prz^��hj�jxXp|¦qprxÎ� y^« � , L z hjh � }²x~y�¯Sh���t¶v � p H h � ® £ x²pw}¸przE«bv^�jx�v��jy^z }Xhj¢s hjz �jhny^«x d h-suz�pw¢s hjzuh�}X} � hj}�sut|x «¬y � 4 5 7 JK : ® £ z � h�h � µ[}Xhjx�xXp|z �
,6 � � , LE� < v<z � 2 6 � � * < ��µ�y^zuh,h�v^}�p|tr���y<i�{us�x~h�}¸x d v<x
,K 9 6 4 -@? � 20K[X -@?�� 2 9 : X�C 3 � 20K , 2 9 � F�IkN9m�
£ «,6 ZVµ ¤¸� prx�prz �#x d v<x
,K 9 6
, 9 K�6 Z�µ ¤ hlh�v^}�p|tr�7�^hjx±x d v\x
-X? � 20K[X -@?�� 2 9 6 Z y^z - X KA8 - X592;K , 2 9 6 Z y^z - X KA8 - X59 :�Ik¢�L�
¤¸d pr� d i�hv\z }�x d v<x 2 pw}�}�y^trs�xXpwy<z y^« > 2�X 3 / 2 6 Z�p|z X3® D � prxXp|z ��x d v<x,K K�6 Z�µ ¤ h%��h�x-@? 2 XDC 3 2T6 Zny^z hv^� d
@K K ® ced h � h�«¬y � h 2 6 Z�v\z � < 6 Z�® �
��� � ��� ����# 1() 41������� � � ��!"� ���64.�"��# ��� ���L�V� �(����+()��,# 41� ������,��� 4 � �,�#ghjx±s }¸przqx � y � s ��h � KB=3< O ��X K �´v^}¸x d hl}Xy^t|suxXpry^z�y^«Mx d h�twyA�v\tH{ � y<¯utwh�i
`b c , > � K ,_3 / � K�6A8&K-@? � � K X C 3 � K�6 Z�y^z - X KL:
�Ik��m�
n�oP[pnrq
![Page 16: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/16.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���
v<z � twh�x¸s }±}Xh�xN"K�6 ,$-@?�� � K XDC 3 � K � 9 � :�Ik��m�
}Xy�x d v<xN 6 � N�K � = � F�� Zm�
D h d v�¦^h-x d h:;1 »q¿ � » � 5� C � P � 2 6 � 20K � � � ������G�?���� � � � � �^����� <�= � � �]\^ � � R � �.��� ��� � ������ ������ � �
� � J � V � � , LE� <76 N F�Æ�A�&�� C C ��� �� �� � �� �]�������^� � < � �/������ ������ � � ��� J � �-����� 2 6 � X � � * < � � � ������ ������ � � � �. � ¿>¿R0 ¡ #ghjx¸su}²}�hjx
20K�6 � K X��RK F�Æ� 8 ���} -@? � � K XDC 3 � K�6 Z�µ ¤ h d v�¦^h
-X? � �RK XDC 3 �RK 6 -@? � 2;K X C 3 20K 6 ������
,.-@?�� 2 9 XDC 3 2 92y^z@K 9 f >6 <
Z y^z@K K F
�Æ�<�m�� p|z�v<trt|��µ �RK }~v<x�pw} H h�}¸x~y `b c ,"> �RK ,_35/ �RK�6 Z
-X? � �RK[XDC 3 �RK�6 � * < � K y^z - X K�Æ�\k �¯q� � h�Huzuprx�pwy^z y^« � µux d pw}´p|i�{�trpwhj} � 6 � � * < �±v\z �
,.-@?�� �RK[XDC 3 �RK�6 * < 6 L <�Æ�^�L�x d v<x¸pw}´xXy�}Xv��^µus }�p|z � � 8 9L�´v<z � �Ik¢�m�ëµ
< , NB6 L <�Æ� 9m�ced pr}±{ � y�¦�hj} � C ��® ced h�{ � yVy<«6y^« � C C �epw}¸Â¢sup|x~hl}�p|i�p|t¶v � v<z � ¤ prt|t>¯Shly^i�p|xXxXh � x d h � h<® �� � �� �j��3�$�-���j(� ����� ���� ����±��� �������j������� �#4j+����$�j���%� �
���� � !"�F+�4 ���L�=�I���,�641����3�� 4.)������I��!(#%� 4.�"& �I��� ���V���,���(��� �641���L�V�"�D h�p|zqx � y � s �jhnprz¥x d pr}l}Xh���xXpry^z§x d h�v<tw�^y � p|x d i przup|xXpwv<trt|� { � y^{Sy�}�h � ¯A�ÄÃ3hj}�{ � h�}lprz å��k"!Iµ Û� 8 !I® £ x��y<z }�pr}�x~}¸p|zE�jy^z }�x � su�jxXp|z ��v�}�h�¢s h�z ��h
2 � 6 � 2 � K � = W�K��PO < O ��X K � :��^�L�
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 17: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/17.jpg)
�k � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
¯q�7x d hl«¬y<trtwy ¤ p|z ��{ � yV�jh�}X} V
��}�}�sui�prz �nx d v<x 2 � pw} ° z y ¤ z%v\z � }Xv<xXpr} H hj},.-@?�� 2�� K X C 3 2�� K = U / � - X K � : f 6 � : FVFVF : h :�Æ�<�m�
¤ h � h Huzuh 2 � NPO 6 � 2 � NPOK ��µ ¤¸d h � h 2 � NPOK pr}�x d h7}Xy^t|suxXpry^z¨y^«±x d h�z y^z d y^i�y^��hjz hjy^s }#¯Sy^suz � v � �¦<v<trsuh3{ � y^¯�twhji
`aaaab aaaac,"> 2 � NPOK ,435/ 2 � NPOK 6A80: prz X K-X? � 2 � NPOK XDC 3 2 � NPOK 6 ,$-X?�� 2 �9 X�C 3 2 �9 y<z
@K 9 : f >6 <
-X? � 2 � NPOK XDC 3 2�� K 6 Z y<z@K^K F
��<�m�
£ «3x d h p|zuprx�p¶v<t³¦<v<trs h�y^« 2 QK pr}�� d y�}Xh�z }�s � d x d v<x ,$-@? � 2 QK XAC 3 2 QK = U / � - X K � �¬«¬y � prz }�x©v<z �jh p|«2 QK 6 Z : � f �ëµSprx²pw}²�jtwh�v � ¦qpwv�x d hjy � h�i"�,x d v<x²x d pr}²{ � yV�jh�}�}3pw} ¤ hjt|t6{Sy�}Xh � prz�� K < O ��X K ��® � y^xXhv<tr}Xy7x d v<x-v<x�h�v^� d }�x~h�{ � µ 2 � ¤ prt|t6¯Shn��hjz h � v<t|tr� � pw}���y^zqx�przqs y^s }lv<� � y^}X}�x d h#¦<v � pwy^su}�przqx~h � «bv^�jh�}j®Á y ¤ hj¦^h � p|« 2 � �jy^zq¦�h � ��h�}-przÄ}Xy<i�h�}Xh�z }Xh�x~y 2k= < O ��X K �ëµgx d h�z�x©v ° p|z � «¬y � i�v<t|tr� x d hntrp|i�p|x�p|z�Æ�<�m��µ ¤ h-}Xh�h�x d v<x±x d h�«¶suzu�jxXpry^z 2 ¤ p|trtH}Xv<xXpr}�«¶�7xXyn{ � y^¯�twhji � � � �´hjÂqs�pr¦<v<twh�zqx¸x~yn{ � y<¯utwh�i � � 79 �뮣 x�pw}Mz y ¤ przqx~h � h�}�xXp|z �²xXy � h�przqx~h � { � hjx$v<tr��y � prx d i �Æ�^�L�·prz�x~h � i�}:y^« x d he«¬y � i�v<t|pw}�i v<x6p|zqx~h � «bv^��hj}przqx � y � s ��h � p|z�x d h�{ � hj¦qpwy^su} }�h���xXpwy<zg®[#ghjx±s }±}Xh�x
2 � K 6 � K X�� �K :��9�Zm�¤ h,}�h�h�x d v\x `aaaab aaaac
, > � � NPOK ,435/ � � NPOK 6 Z : prz X K-@? � � � NPOK XDC 3 � � NPOK 6 ,.-@?�� 2 �9 XDC 3 2 �9 y^z
@K 9 : f >6 <
-@? � � � NPOK XDC 3 � � NPOK 6 Z y^z@K K F
��9V�&�
£ « ¤ hl}Xh�x< � K 6 � ,.-@? � 2 � K X C 3 2 � K � � 9 � 6 � ,$-@? � � �K XDC 3 � �K � � 9 � X N�K F��9 8 �
oA�A}�xXhji ��9��&�³pw}¸hj¢supr¦<v<trhjzqx±x~y � � NPOK 6 � � * < � �ëµ d hjzu��h^µ ¯q� � h�Huzup|xXpwy<zEy<« < � NPOK 6 4 ,$-@?�� � � NPOK XDC 3 � � NPOK : X N"K$6 � * < � X N � K�:��9^�m�
y � hjÂqs�pr¦<v<twh�zqxXtr�<�� NPO 6 L <��$X N F��9<k �
��z hlhv^}�prt|�7� d hj� ° } x d v\xµupr« < Q 6 Z#«¬y � przu}�x©v\z ��h<µ
<�� 6 � � X L X L / X FVFVF F FVF X L � � N0:��9��L�}Xy²x d v<x:x d h³��y^zq¦^h � �^hjz �jh¸y^«ux d he{ � yA��hj}X}6pr}M«¬y � i�v<trt|��trp|z ° h � xXy�x d h³��y^zq¦^h � �^hjz �jh¸y^« x d h � h�sui7v\zuz}Xh � prh�}
� � , L � d O 6 � X L X L / X FVFVF X L � X FVFVF��9�9m�
n�oP[pnrq
![Page 18: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/18.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���
7» ���u��� E � ���/ ����^��� S �� �� � ��� � ����� [ � �=� ���M�=��� ����^��� S �� �� � � ���� ���� ������ � � � � �� ��� ����� ���� � [ � ��� ���� ��� ��� [ � [ ����� ����� � ��� �� �%
£ x·pw}Mv<tw}�y¸prz }�x � su�jxXp|¦�h�x~y � hjprzqxXh � { � hjxMx d h³v\tw��y � prx d i prz�v¸i�v<x � p|�²«¬y � i prz-y � � h � x~y h�}�x©v<¯�trpw} d v<zv<z�v\twy��^� ¤ prx d s }�s�v\tMp|x~h � v<x�pr¦�h²i�h�x d y � }¸prz t|prz h�v � v<tr��hj¯ � v�® £ z ¤¸d v<x±«¬y^t|twy ¤ } ¤ h,} d v<trt � hj{ � h�}�hjzqx<�= � v<}³vl��y<trsui�zn¦�hj�jx~y �³¤¸d y^}Xh f ��� �jy^i�{Sy^z h�zqx�pw} <0K = U / � - X K �ë® D prx d x d pw} � hj{ � h�}�hjzqx©v<x�pwy^zHµprxLpw}L�jtrhv � x d v<x³x d h�y<{>h � v<xXy � } v<z �+* d v¦�h�x d h²«¬y^t|twy ¤ przu�l¯�twyA� ° }�x � s �jx�s � h<® � * 9 K pw}L}�p|i�{�tr�nx d hi#sut|xXp|{utrpr�v<x�pwy^z }�¯q� x d h-� d v � v^��x~h � pw}�xXpr�3«¶suz �jx�pwy^z y^«
@K 9+�
* 6
���������
Z * O / * O�� FVFVF * O W* / O Z * / � * / W* �^O * � / ® ® ® ® ® ® * � W®®® ® ® ® ® ® ® * W5d O W* W5O FVFVF FVFVF * WW5d O Z
��������
��9��L�
* K 9 = � 4 U / � - X K � : U / � - X59V� : : * �K 9 6 * 9 K��9^�m�
6������ O Z Z ZZ / FVFVF Z®®® Z ® ® ®Z Z W
����� : K = � 4 U / � - X K � : :��9^�m�
¤¸d pr� d p|trtrsu}�x � v<x~hj}²x d v<x pr}3{us � hjtr�EtwyA�v<t ¤¸d prtrh * pw}lv\z§hë�V� d v<z ��h�y^{Sh � v<x~y � ® � h � «¬y � i�p|z �7x d h{ � y � su�jx * µ ¤ h,}�h�hlx d v\x ¤ h-�v<z ¤¸� prx~h�� ¤ prx d L�� 9 6 � * � 9+�
L 6
���������
Z L O / L O�� FVF F L O WL / O Z L / � L / WL �^O L � / ® ® ® ® ® ® L � W®®® ® ® ® ® ® ® ®®®L W5O F FVF FVF F L WW5d O Z
��������F�� Zm�
ced s }�µ x d hly^{>h � v<xXy � x~ynp|zA¦^h � xµ � , L pr} ¤¸� prx�x~h�z
� , L 6
���������
� , L O / , L O�� F FVF , L O W, L / O � , L / � , L / W, L �^O , L � / ® ® ® ® ® ® , L � W®®® ® ® ® ® ® ® ®®®, L W5O FVFVF FVFVF , L WW5d O �
� �������:��A�&�
v<z � ��v<z§¯Shn}�{�trprx�x~h � v<}3x d h�}�s�i y^«Lprx~} � p¶v^�^y^z�v<t:{�v � x�µHprz¥«bv^��x�x d hnp � hjzqxXp|xÎ��y^{Sh � v<x~y � v<z � prxX}v<zqxXpÓÇ � pwv^��y^z v<te{�v � x�z�v<i�hjt|� , L�® £ z x d v<x�}Xhjzu}Xh^µ±v\tw��y � prx d i < � NPO 6 L < � X�N pw}�v A v^��y^¯�p � }v<tr��y � p|x d iE®
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 19: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/19.jpg)
��9 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
��I� ��� � 354.��� 4.�V��� ��� ��!"��+�4 ���L� 4.) �V���C��!(# 1"���a� $)��'� 4.) ���64.�"��# ��� ���L�V��(���V+()L�,# �
4 , 5 ,=' :;1 » � » �¬� (g» À��S� � ¿ � *��Ó��� �?> ¿ ��*¬�+1��ced hnp � hv�pw}²x~y7i�y � p|«¶��x d h#x � v<z }�i�pr}X}�pwy^z¥�jy^z � p|xXpwy<z �Æ�^�L� ¯q� � h�{ut¶v^��prz ��x d h#p|z�ÇÎ��y<prz ��Âqs v<zqxXprxÎ�-@?�� 2 � NPOK XkC 3 2 � NPOK ¯q�¥v�t|prz h�v � �jy^i#¯up|z�v<x�pwy^zy^«$x d hn}Xv<i�h�Âqs v<zqxXprxÎ��v<x�}�x~hj{u} � v\z � � X ��® £ zy^x d h �±¤ y � � }jµux d h�tryV��v<tH{ � y^¯utwh�i xXy�¯Shl}Xy^t|¦�h � p|zBX K ¤¸� prx~hj}
`aaaaaaaab aaaaaaaac
, > 2 � NPOK ,_35/ 2 � NPOK 698;: prz X K� � -@?�� 2�� NPOK X C 3 2�� NPOK � X ��� , � �U� -@?�� 2�� K XDC 3 2�� K � 6
,$-@?�� 2 �9 X C 3 2 �9 y^z@K 9 : f >6 <
-@?�� 2 � NPOK X C 3 2 � NPOK 6 Z y^z@K K�:
�� 8 �
¤¸d h � h � � hjz y<x~h�}M}Xy<i�h�{Sy�}�p|xXp|¦�h�{�v � v<i�hjx~h � ® � y^xXh�x d v<x·y<z h$��y^i�h�}g¯�v^� ° xXy¸x d h$y � pw�^p|z�v<t A v^��y^¯�p � }v<tr��y � p|x d i ¯q�%x©v ° p|z � � 6 ��® � y^xXh�v\tw}Xy�x d v<xlx d hntwyA�v\t�{ � y<¯utwh�i x~y�¯>h�}Xy<tr¦�h � p|z§h�v^� d X K pr}y^«LxÎ�q{>h � � 7 JK ��µ ¤¸d pw� d h�z }�s � h�}lx d v\x�x d h�}Xhj¢s hjz �jh 2 � 6 � 2 � K �²pr} ¤ h�trt � h�Huz h � p|z < O ��X K ��® c y� h�przqx~h � { � hjx3x d pw}²z h ¤ v<tr��y � p|x d i p|z�x~h � i�}3y^«�x d h�«¬y � i#sut¶v\xXpwy<z�v<x²przqx~h � «bv^�jh�}jµ ¤ h#p|zqx � y � s �jh^µgv<}prz }�h��jx�pwy^z��® 8 µ � �K 6 2 � K , � K v<z �
<�� K 6 � ,.-@?�� 2�� K XDC 3 2�� K � � 9 � 6 � ,.-@?�� � �K X C 3 � �K � � 9 � X N"K� �K 6 � -X? � 2 � K XDC 3 2 � K ��� 9 � 6 � -@? � � �K X C 3 � �K ��� 9 � F��<�m�
��} � �K }~v<x�pw} H h�} 3 / � �K X > � �K 6 Z�µ�¯q� � h�Huzup|xXpwy<zEy<« µ ¤ h,�^hjx< � , N 6 � � : «¬y � hv^� d � F�Æ�\k �
£ z�v �u� prx�pwy^zHµVx d hl¯Sy^suz � v � �7��y^z � prxXpry^z � h�t¶v<x�prz �#x d h < � v<z � � � � } � hv � }� � � NPO X ��� , � � � � 6 * <�� F�Æ�^�L�
�²«¶xXh � i#sut|xXp|{utrpr�v<x�pwy^z�¯q� µ ¤ hlhjt|pri�prz�v\x~h � � NPO v<z � � � ®³oVhjx�xXprzu��� 6 Oµ ¤ h-y^¯ux©v\prz
< � NPO 6 ��� , �L� < � X � ��L < � X N � :�Æ� 9m�¤¸d pr� d pw}My^s �6� hjtwv\�Vh ��A v^�jy^¯up � }6v<tw��y � prx d iE® D h³} d v<t|t�}�h�hex d v<x:«¬y � h�z }�s � przu����y^zq¦�h � ��h�z ��h ¤ h´} d v<trtz hjh � x~ynpri�{>y^}Xh� = ! Z : � !I® £ x ��y ��� hj}�{Sy^z � }¸x~y�v<{�{utr�7v;H��Vh � {Sy^p|zAxei�h�x d y � x~ynx d h-hj¢s�v<xXpry^z � J� h ¤¸� p|xXx~h�zEp|z�x d h�«¬y � i
<76 < , � �^� � , L � < , N � F�Æ�^�L�� }�pri�{utwh²�v<tr�jsutwv<xXpry^zgµ¢x d v\x ¤ h � y#z y^x � h�x©v<p|t d h � h<µu} d y ¤ }¸x d v<x 2 � ��v<z ¯Sh � hj��y^z }�x � s �jxXh � « � y^i< � ¯q�7x d hl«¬y � i#sutwv
2�� NPO 6 ��� , �]� � � � � <�� , N �M� X � � � * <�� � X � :��<�m�
n�oP[pnrq
![Page 20: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/20.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���
y � hjÂqs�pr¦<v<twh�zqxXtr��� � N 6 � < , * < �2 � 6 ��� , �]� � � � � < � , < �^� X ��� , �L� � � * < � X � � � * < � � X � :�Æ�<�m�
p � hjzqxXp|xÎ� ¤¸d pr� d pr} ��twh�v � t|���jy^z }�pr}�xXhjzqx ¤ p|x d x d hlt|pri�prx³h�¢s�v<x�pwy^z
2T6 � � * < � X � F�C��Zm�S�¢s�v<xXpry^z_�C�NZL�e}�s ���^h�}�xX} su}²v\z y^x d h � �v<z � p � v\x~h-v^}±v<zv<{u{ � y�Vp|i7v\xXpwy<z y^« 2
�2 � 6 � � * < � � X � F�C�V�&���z hlhv^}�prt|�7} d y ¤ }±x d v<x 2 � v<z � �2 � v � h � hjt¶v\x~h � ¯q�
2 � NPO 6 ��� , �L� 2 � X � �2 � F�C� 8 �¤¸d pr� d } d y ¤ }Lx d v\x �2 � �jy^zq¦�h � ��h�}³pr«gv\z � y<zutr�#p|« 2 � �jy^zq¦�h � ��h�}j® £ x$pr}Lx d su}Ls }�hj«¶sut[x~ylprz � pw��v<x~h d y ¤x d h-}�h�¢s h�z ��h �2 � �v<z ¯>hl�jy^i�{�sux~h �E� p � hj�jxXt|��® £ zEv H � }�x²}�x~h�{gµ y^z hl}Xy<tr¦�hj}
`aaaab aaaac, > �2 � NPOK ,435/ �2 � NPOK 6Y8;: prz X K-@?�� �2 � NPOK X C 3 �2 � NPOK 6g< �9 K y^z @ K 9 : f >6 <-@?�� �2 � NPOK X C 3 �2 � NPOK 6 Z-y^z
@K K":
�C�^�m�
v<z � µuprzEvn}Xh��jy^z � }�x~h�{gµux d h <0K 93v � h � hj« � hj} d h � v^�j��y � � przu��xXy<�� NPOK 9 6 ��� , �]� <�� K 9 X � 4 ,.-@? � �2�� NPOK XDC 3 �2�� NPOK : F�C�<k �
4 , 5 , 5 :;1 »�� � M���� » *bÀ » �e���=> ¿ � *¶�+1��ced pr}±¦<v � p¶v<zqx±hë�V{�twy^p|x~}´x d h,y � � h � prz ��y^«:x d h � y<i7v<p|z }±v<z � ��y<z }�pr}�x~}¸p|zEx~v ° prz �n{ � y�Hux y^«Mx d h-}�su¯VÇ� y^i�v<p|z } X59�p|z ¤¸d pr� d x d h�}Xy<trsux�pwy^zv<x²}�x~h�{ � X � d v<}�v<t � h�v � � ¯Sh�hjz¥��v<tw��sut¶v\x~h � ® ced h � hjt¶v���h �¦�h � }�pwy^zEy^«Mx d pr}±v<tw��y � prx d i y^«:x d pw}±v\tw��y � prx d i ¤¸� prxXh�}
`aaaaaaaaaaaaaaaaab aaaaaaaaaaaaaaaaac
,"> 2 � NPOK ,_35/ 2 � NPOK 698;: prz X K�4 -@? � 2 � NPOK X C 3 2 � NPOK : X ��� , � �U� -@? � 2 � K X C 3 2 � K � 6
,.-@?�� 2 � NPO9 XDC 3 2 � NPO9 y<z@K 9 : < Skf
�4 -@?�� 2 � NPOK X C 3 2 � NPOK : X ��� , � �U� -@?�� 2 � K X C 3 2 � K � 6
,.-@?�� 2 �9 XDC 3 2 �9 y^z @ K 9 : < Egf-@? � 2 � NPOK X C 3 2 � NPOK 6 Z�y^z
@K K F
�C���L�
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 21: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/21.jpg)
��� � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
��z ��h±v<�¢v<prz�hv^� d tryV��v<tq{ � y^¯�twhji x~y²¯>h´}�y^tr¦^h � pw}:y^« xÎ�q{>h 4G587 JK : }Xy3x d v<x6x d h´}Xhj¢s hjz �jh 2 � 6 � 2 � K �pw} ¤ h�trt � h Huz h � prz � K < O ��X K ��µ>{ � y�¦qp � h � x d v<xB� 8 �L� d y^t � }�v<z � ,$-@? � 2 QK XiC 3 2 QK = U / � - X K �±«¬y �hv<� d f ®£ z y � � h � xXy � hjp|zqx~h � { � h�x7x d pw}7v\tw��y � prx d i v<x�p|zqx~h � «bv^��hj}�µ ¤ hEs }Xh�x d h � hj��y^i�{>y^}�prx�pwy^z * 6* N X * d v<z � }�pri�{ut|� � h�i7v ��° x d v\x²x d h-x � v<zu}�i�pw}X}�pwy^zE��y<z � prx�pwy^zu} y<zx d h @ K 9 � }3v � h,hjÂqs�pr¦<v<twh�zqxx~y� � � NPO X ��� , � ��� � 6 * d < � NPO X * N < � X N F�C��9m�
oVh�xXxXp|z ��y^z �jh,v<�¢v<prz � 6 Ov<z � v<«¶xXh � h�trpri�prz v<xXpry^z�y<«6x d h � � � }jµ ¤ hly^¯�x©v<p|z
< � NPO 6 ��� , �]� < � X �G� * d < � NPO X * N < � , N � :�C���L�¤¸d pr� d �jy �X� h�}�{Sy^z � } xXy�v H��Vh � {Sy^przqx v<tr��y � p|x d i v<{�{utrprh � x~ynx d h-hj¢s�v<xXpry^z � J µ � h ¤¸� p|xXx~h�z�v<}
< , � * d <76 < , � � < , * N < , N � F�C�^�m�£ z x d hl�v<}Xh � 6 ��µ ¤ h � hj��y�¦�h � x d hlzuy^z � hjtwv\�Vh � ¦�h � }�pry^z C-v<su}X}�ÇçoVhjp � hjtMv\tw��y � prx d i
� � , L d � < � NPO 6 L N < � X N0:�C�^�m�¤¸d h � h L d 6 * d : L N 6 * N v<z � L 6 L N X L d ® � hji�v �X° x d v<x�µu��y^p|z �#¯�v^� ° xXynx d h�i�v<x � p|�przqxXh � { � hjx~v<xXpry^z y^«:}Xh���xXpry^zE��®|�^µux d hl}�x � s ��xXs � hly^«6x d h�i7v<x � pr��h�} L N : L d v � h�y<«:x d h�«¬y � i
L N 6
���������
Z L O / L O�� FVFVFIL O WZ Z L / � L / WZ Z ® ® ® ® ® ® L � W®®® ® ® ® ® ® ® ®®®Z FVFVF FVFVF Z Z
��������: L d 6
���������
Z Z Z FVFVF ZL / O Z Z ZL �^O L � / ® ® ® ® ® ® Z®®® ® ® ® ® ® ® ®®®
L W5O FVFVF FVFVFIL WW5d O Z
��������F�C��Zm�
Åv<x � pÓ� L N pw}�s�{u{>h � x � pwv<z �^s�t¶v �:¤¸d prtrhei7v\x � pÓ� L d pr}�twy ¤ h � x � p¶v<zu�^sut¶v � ® ced pw}�hj}�x©v\¯utrpr} d hj}³v���twhv �v<z�v\twy��^��¯Shjx ¤ h�hjzx d h�s }�s�v<tMClv<s }X}çÇ�oVh�p � h�tgi�h�x d y � prz�trp|z hv � v<tw�^hj¯ � v�®
£ z§x d h�}~v<i�h ¤ v�¥y^« ¤¸d v<x d v<}l¯Sh�h�z � y^z hn«¬y � x d h A v^�jy^¯up � }lv<tr��y � prx d i ¤ h��v<z§}�su¯u}�xXp|xXsuxXhx~y 2 � v<zuy^x d h �e� hjtwh�¦�h�i�h�zAx´y^« < � µVtwh�x �2 � µ � h Huz h � «¬y � i�v<t|tr��¯q���C������® ced h�h��A{utrpr�jp|x³�jy^i�{usux©v\xXpwy<zy^«:x d h < �9 K v<z � �20K µupw}±�^pr¦^hjz ¯q� �C���m�´v\z � �I�^k � ¤ prx d < �9 K � h�{ut¶v^�jh � ¯q� < ���9 K p|z x d hl}Xhj��y^z � trprzuh3y^«�C�^�m��µ ¤¸d h � h < ���9 K 6 < �9 K ¤¸d hjz < Egf v<z � < � NPO9 K ¤¸d hjz < S C ®7» ���u��� J�� � 6� �]� �^���� ����� �� � [ R � ���� �/���� � �]6����E � ���?� � � �]� S �� #��=� � � �/� � R � ��� �@�� �]�E� � � � ��� R � ��� ������ �� � � ���=��� �G� �� R ��� ���]� S �� #��� ���"����$ ������P � ���?���� � �"����;������ ������ � � � � ���� �� �]�� R � �� R � ��� �B ��� R ������� ^�� � � � ��� ���TS]��� � �3����3�� � �� #�TS � ���=����� R E � ������� ��% ���� ���=���� � ��R��� �� � ���]�$�a`����� ��-� R ���?� �� " ����^��� S �� ���% � � ��� �]��� ����$� R � �� ��B�� � � �������-��� ���� ��?���� " %
n�oP[pnrq
![Page 22: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/22.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���
���� �O�*�"�,�64.) ���64.�"��#��L�����������V� �,�641���V���4 , 4 ,=' (�) �� ¿ À M�^�+* ¿ )��} ¤ h�} d v<trt·}�h�h,twv<x~h � µux d h,�jy^zq¦�h � ��h�z ��h#y<«6x d h-{ � hj¦qpwy<s }�v\tw��y � prx d i�}³pw}¸z y^x²h��A{Sy^z hjzqx�p¶v<tC® ced pr}pw} � suh²x~ylx d h «bv^��x³x d v<xLy^{Sh � v<x~y � L v � i�prxX}$v,}Xhj¢s hjz �jh3y^«>hjpw�^hjzq¦<v<trs hj} ¤¸d pw� d �jy^zq¦�h � ��hj}ex~y��²p|zi�y � s�trs }R�b}Xhjh }�h���xXpwy<z7�]��® ced h¸{us � {Sy�}Xh±y^«�x d pw}�}Xhj�jx�pwy^z�pw}�xXyl��hjz h � v<t|pw¹jhex d h¸p|x~h � v<xXp|¦�h¸v\tw��y � prx d iprz�x d h d y^{>h�x~y���h�xnv<z hë�A{>y^zuhjzqxXpwv<t � v<x~h�y^« ��y^zq¦�h � ��h�z ��h<® ced h�¯�v^}�pw��p � hvEpr},xXy � h�{ut¶v^�jh�x d h¢s�v<zqxXp|xXprh�} -@? � 20K �.- � � @DC 3 20K �.- � � ¯q� ¢s�v<zqxXp|xXpwhj}
-@? � 20K �.- � � @DC 3�� 9 K � 2;K �.- � � � :�C�V�&�¤¸d h � h � K 9 6 � 9 K v � hey^{Sh � v<x~y � }�v^��xXp|z ��y^z�«¶suz �jx�pwy^zu} � h�Huz h � y^z - X K68 - X59\µ d v¦qprz �3v<{u{ � y^{ � pwv<x~h{ � y^{>h � x�pwh�},x d v<x ¤ prtrt$¯Sh }�{Sh���p H h � t¶v<xXh � ® ced h7i�y � h�przqxXh � hj}�x�prz ����v^}Xh ¤ p|trtL¯>h�x d h7y<z h ¤¸d h � h� 9 K pw}�}Xy<i�h U / Ç�}��qi�i�hjx � pw�%{ }�hjs � y<Ç � p*)>h � h�zAx�p¶v<t-y^{Sh � v<x~y � y<«#y � � h � ��® £ z x d v<x ��v^}Xhį>y^x d¢s�v<zqxXp|xXprh�} -X? � 20K v\z � � 9 K 2;K ¯Shjtwy<z � xXy²x d he}Xv<i�h´oVy^¯Sy^twh�¦l}�{�v<��hey<z - X K 8 - X59L}Xy²x d v<x:x d hLtrprzuhv ���y<i#¯uprz v<xXpry^z }T�I���&��v � h���p|z }Xy^i�h7«¶suz ��xXpwy<z�v<t´}�hjz }�h��¥i�y � h h�¢sup|trp|¯ � v<xXh � x d v<z x d h Âqs v<zqxXprx�pwhj}-@? � 20KR@kC 3 20K ® D h�} d v<t|t�}�h�hnprz%}�h���xXpwy<z¥k ¤¸d ��}�s � d v�{ � y<{>h � xÎ�i�v�Etrhv � x~y�v<zÄh��A{Sy^z h�zAx�p¶v<t� v\x~h�y^«:��y^zq¦^h � �^hjz �jh^®J#gh�x su}±zuhj¦�h � x d hjtrh�}X} � h�i7v ��° x d v<x¸prz�{ � v^�jx�pw�jh3x d pr}´{ � y^{Sh � xÎ� ¤ prt|t>p|i�{Sy�}Xhx d v<x�x d hny<{>h � v<xXy � } � 9 K ¤ p|trt:¯>h#z y<zÄtryV��v<tÆ® D hn} d v\trt��jy^i�h#¯ v^� ° x~y7x d pw}3{Sy^p|zAx�v<x3x d h�h�z � y^«}Xhj�jx�pwy^zEku®
£ z ¤¸d v\xM«¬y<trtwy ¤ }jµ�p|« 2 � hjzuy^x~hj}�v #Hpr{ }�� d prxX¹�ÇÎ�jy^zqxXp|zAsuy^s }gi7v\zupr«¬y^t � y^« � pri�hjz }�pwy^z � , ��µ ¤ h³} d v<trtv � y<{ux3x d h�z y^x~v<xXpry^z?��� : � � � \ � � � «¬y � x d h#}��v<twv � { � y � su�jx3p|z U / � 2 �²v<z � S � : � E � «¬y � x d h � s�v<t|prxÎ�{ � y � su�jx±¯>h�x ¤ hjhjz < � 2��¸v<z � < d � 2��e«¬y ���� �� � ��� 8 ® � y � h�v^� d � < : f }�s � d x d v<x - X K)8 - X59�pr}z y^x±h�i�{�xÎ��µ ¤ h-p|zAx � y � s �jh,v\zEy<{>h � v<xXy � � 9 K }~v<x�pw}�«¶�Ap|z �
`ab ac � 9 K�6 � K 9 = � 4 < Z\ � - X KA8 - X59 � : < deZ\ � - X KA8 - X59V� :� 9 K pr}´prz^��hj�jx�pr¦�h"F�C� 8 �
ced hp � hjzqx�prxÎ� y^{>h � v<xXy � pw}7v\z h���v<i�{utwh y^«l}�su� d v\z y^{>h � v<xXy � ® ÅEy � h�y�¦�h � µ±x d hp|z^��h���xXp|¦Ap|xÎ� y^«x d h�y^{Sh � v<x~y � } � 9 K pri�{utrprh�}´x d v<x3y<s � y � pw�<prz�v<tg{ � y^¯utrhji�} 4 5 79 : v � h,hj¢supr¦<v<trhjzqx�xXy�x d h�«¬y^trtry ¤ prz ���y<trtwhj�jx�pwy^z�y^«MtwyA�v\t>{ � y^¯utwh�i�}´{Sy�}�h � prz3X K x d v\x ¤ h ¤¸� p|x~h�«¬y � i�v<t|tr�
`aaaab aaaac, > 20K ,43 / 20K�6Y8;: prz X K-@? � 2;KXDC 3�� 9 K � 20K �.- � � � 6 ,.-@?�� 2 9 XDC 3�� 9 K � 2 9 �.- � � � y^z
@K 9 : f >6 <
-@? � 2;KXDC 3 20K�6 Z y<z@K K F
�C�^�m�
£ z%y � � h � x~y�hjz }�s � h�x d h ¤ hjt|t|ÇC{>y�}�h � zuh�}X}�y^«�hv<� d twyA�v<tg{ � y^¯utrhji �C���L��µ ¤ h�} d v<t|t·¯>h-twh � x~y�i�v ° hx d h´«¬y^trtry ¤ p|z �3v<}X}�s�i�{ux�pwy^z�y<z � 9 K µ0� ¤¸d pw� d i�y � h´y � twhj}X}�h��A{ � h�}�}Xh�}Lx d h´«bv<�jx�x d v<x�p|x�pw}�}��qi�i�hjx � pw�v<z � {Sy�}�p|xXpr¦^h��
�������
� ���� � �a`N� ���=�� = Z : O/ ! ��R��� 9 K �� � �����$�� ���� � ��� �# ����<� � - X K'8 - X59 � ��� � U / � - X KA8 - X59V� � � �� �� ��� �
� 9 K�6 � �9 K � 9 K F�C�<k �
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 23: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/23.jpg)
8 Z � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
£ z �I�^k ��µ i�v� � hj{Shjz � y^zWx d hy^{Sh � v<x~y � � 9 K µehj¦�h�z prx�pw}�z y^x�i�h�zAx�pwy^z�z h � hë�A{utrpr�jprx�tr�^® ced hy^{Sh � v<x~y � � �9 K µAv � ��y^p|zAx�y^« � 9 K µ¢pw}$v<z�pw}�y^i�y � { d pr}�i « � y^i U / � - X K 8 - X59V��y^zqx~y < d � - X K)8 - X59V��®��z h � h � s �jh�}nx d v\x � 9 K pr}#v}��Ai�i�hjx � pw��{>y�}�prx�pr¦�h�y^z h�xXy�y^z h7y<{>h � v<xXy � « � y^i < � - X K 8 - X59 �y^zqx~y < d � - X KA8 - X59 ��® D h d v¦^h
� � =3< Z\ �@K 9 � : S � 9 K � : � E - � � 6 � � 9 K � � /� \ � - � � � F�C���L�
��z h¸�v\znz y^xXpr��hex d v<x�x d h¸�v<}Xh¸y^«�x d h´p � h�zAx�prxÎ�,y^{Sh � v\x~y � �jy �X� h�}�{>y^z � }�x~y 6 Z�v<z � � 9 K 6 � �9 K 6� ® Á y ¤ hj¦�h � µ�x d h�p|zAxXh � h�}�x�prz ����v^}Xh<µSv<} }Xv<p � { � hj¦qpwy<s }�t|��µ ¤ p|trtg�jy �X� h�}�{Sy^z � x~y 6 O/ ®7» ���u��� 7 P B�=���/���6Y �� � �^�� [ ����� R � 6���=� � � � ����� � K K�6 � % � � �=� � � � ^�� 6 Z ���� � K^K %4 , 4 , 5 � » � � ½ 2�¿ � » À ) » �� ¿�0 � ¿ ��� � 2 � ¿ � � » ���D h-��v<z z y ¤ ��y<z }�p � h � x d hli�y � hjtH{ � y^¯utrhji�}
`b c ,"> 20K ,435/ 20K�6A8&K]: prz X K-X? � 20K XDC 3�� 9 K � 2;K �.- � � � 6ON"K 9 : y^z
@K 9&F�C��9m�
Á h � h ¤ h-i#s }�x ¯Shl{ � hj�jpw}�h,y<zEx d h-i�hv\zuprz ��y^«�v�}�y^trs�xXpwy<zEy<«R�C��9m� ¤¸d pw� d pri�{utrprh�}exXy � v<pw}�h-}�y^i�h}�s�¯uxXtrh � p*(���sutrx�pwhj}±p|zEx d h�}�hjz }�h#y^z h,�^pr¦^h�} x~y�x d h,¯Sy^suz � v � ���jy^z � p|xXpry^zg® £ « ¤ h,tryVy ° «¬y � v 20K p|z< O ��X K �ëµ[x d hjz%«¬y � 84= U / ��X K ��µ ¤ h�} d v<t|t:v<tw}�y d v¦�h > 20K = U / ��X K �±}Xy�x d v<x -@? � 20K � 9 � ¯>h�twy^z �^}x~y < deZ\L� - X K �ë® £ x�pw} ° zuy ¤ zÄx d v<x�x d h � h�}�x � pr�jx�pwy^z¥y^« -@? � 2;K � 9 � x~y @ K 9�µHz�v<i�hjt|� -@? � 2;K �.- � � ��v<zy^zut|��¯Sh � h Huzuh � v<}²v\zEh�twh�i�h�zAx±y<«�vn}�{�v<��h ¤¸d pw� d }�x � pw��xXt|���jy^zqx©v<p|z } < deZ\m� - X K �ëµuz�v<i�hjt|�
< Z\Q Q �@K 9+��� x d h � s�v<t·}�{ v^��hly^« < Z\Q Q �
@K 9+� :
¤¸d h � h ¤ h � hji�prz � x d v<x < Z\Q Q �@K 9 �l�v<z ¯Sh � h Huzuh � v^}-x d h�}�su¯ }�{�v^�jh y^«´«¶suz ��xXpry^z }-y^« < Z\ � @ K 9 �¤¸d y�}�h�hë�Ax~hjzu}�pwy<z�¯q� Z ¯>h�twy^z �^}3x~y < Z\m� - X K � �b}Xhjh 8 k]!$y � 8N8 !�«¬y � h�¢supr¦<v<trhjzqx � h H�zuprx�pwy^z }lv\z �¦<v � pry^s }´{ � y^{Sh � x�pwhj}¸y^«:x d h�}�h,}�{�v^�jh�}��ë® ced h � h�«¬y � h<µ x d hlh�¢s�v\trprxÎ�-@? � 20K �.- � � XDC 3�� 9 K � 2;K �.- � � � 6ON"K 9 :�C���L�
v{ � pwy � p d y^t � }�p|z < Z\Q Q �@K 9+� � ® Á y ¤ hj¦^h � µepr« N�K 9n¯>h�twy^z �^}�x~y < deZ\]� @ K 9+��µ ¤ h d v¦�h^µL}�p|z ��h � 9 K =
� � < �@K 9 � :G< d � @ K 9+�^� ¤ p|x d = Z : O/ !
-X?�� 20K �.- � � = < d Z\ � @ K 9+� F�C�^�m�£ zE}�s � d v���v^}Xh<µ�y^z h d v^}¸x d hl«¬y<trtwy ¤ p|z �,{ � y^{Sh � xÎ�
� � =3< Z\ � - X K � Sk-@?�� 2;K�: � E 9 � 6 � 9 Sk-@?�� 20K �.- � � : � �.- � � E - � � :�C�^�m�
n�oP[pnrq
![Page 24: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/24.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% 8 �
� s h,x~y�x d h � hjz }�prxÎ� prz < Z\ � - X K �±y^«�x d h�}�{ v^��h#y<«�«¶suz �jx�pwy^zu}²prz < Z\ � - X K � ¤¸d y^}Xh � h�}�x � pr�jxXpry^zxXyhv<� d
@K 9�¯Shjtwy<z ��}�xXy < Z\Q Q � @ K 9 � � 8 k]!Iµ� 8N8 !��ë® ced h � h�«¬y � h �C�<k �-pr}#h�¢sup|¦^v\twhjzqx#xXy�x d h�¦^v � p¶v\xXpwy<z�v<t{ � y^¯utwh�i
� prz � 20KE= < O ��X K �6}�s � d x d v<x�µ � � KY=3< O ��X K �� 9 � � � 20K � � K ,43 / 20K � K � � < XDC 3 � 9 S � 9 K � 20K �.- � � � : � K �.- � � E - � �6 � 9 � 8 � K � < XDC 3 � 9 S N"K 9 : � K �.- � � E - � � F����ZNZm�
:;1 »q¿ � » � 4� � � � ��� G�$� �� ��� 8g= U / ��X K � ��R� N�K 9 = < d Z\ � @ K 9 � ���� �� � <G���=���� � � � �B� ��� ���$��G��ZY �������� ������ 20KE= < O ��X K � %� �� � P � N"K 9 =3< d � @ K 9 � ������ � � �� < �=� �� ���� Y @����?��?�����4 � �K 9 : d O � -X?�� 20K �.- � � � @ C 3 � K 9&� 20K �.- � � � :
R � � ��TS � � U / � @ K 9 � ��R� �� �/� ��� �=��� �?� ����?�� �� 9 � 4 � �K 9 : d O � -@? � 2;K �.- � � � XDC 3 � K 9&� 20K �.- � � � � /� \ � - � � �
6 � 9 � 4 � �K 9 : d O � -@?�� 2;K �.- � � � , C 3 � K 9�� 20K �.- � � � � /� \ � - � � � F����Z��&�
. � ¿>¿R0 ¡ �bpr� £ xlpr}-h�v^}��%xXyE}�h�h�x d v<x �u� h � d y^t|i � }lv<t|x~h � z�v<x�pr¦�h�v\{u{utrprh�}�x~y_����ZNZm��® D h�x d s },y<zutr�d v¦�hlx~y�� d hj� ° x d h�suzupr¢s hjz hj}X}²y^«:x d hl}Xy^t|suxXpry^zg® D h�x d h�z��jy^z }�p � h � 876 Z�v<z � N�K 9 6 ZV®[#·h�x±s }x©v ° h � K$6 2;K p|z_����ZNZL��® c v ° prz �nx d hlp|i7v<�^prz�v � ��{�v � x±y^«:x d h � hj}�sut|xXprzu��hj¢s�v<trp|xÎ��trhv � }´xXy
3 � 9 � � K 9&� 2;K �.- � � � � /� \ � - � � � 6 ZGF����Z 8 �ced h � hj«¬y � h � K 9&� 2;K �.- � � � 6 Z�v<z � ¯q�prz<��h��jx�pr¦qprxÎ�^µ 20K �.- � � 6 Z�® ced pr}3pw}3x � s h#«¬y � v<trt < µHx d h � hj«¬y � h20K � 9 � 6 Z�®-C�y^p|z �#¯�v^� ° xXy�����ZNZm� ¤ p|x d 876ON�K 9 6 ZVµ ¤ h-��h�x� 9 � � � 2;K � � K ,435/ 20K � K � � <76 Z : � � K =3< O ��X K � :����Z��m�¤¸d pr� d i�hv<z }¸x d v<x > 2;K X 3 / 20K$6 Z�v<z � -@? � 20K$6 Z�y^z - X K ®e��} ¤ h�v<tr}Xy d v¦�h 20K � 9 � 6 Z ¤ h��y<z �jt|s � h�x d v\x 2;K�6 Zn¯q����t¶v^}�}�pw��v<t·v � �^sui�hjzqx~} �� å�^� !Cµu{ v^��h 8 ������®�bp|pr� � y^x~h�x d v<x
4 � �K 9 : d O � -@? � 20K �.- � � � @DC 3 � K 9�� 2;K �.- � � � 6 4 � �K 9 : d O 4 -@? � 20K �.- � � @ C 3�� K 9&� 20K �.- � � � : F����Z^k ���} -X?�� 20K �.- � � X C 3�� K 9�� 20K �.- � � � 6 N�K 9,pr} < d � @ K 9+��}Xy�pw} -@?�� 20K �.- � � , C 3�� K 9&� 2;K �.- � � � 6 N�K 9 ,8 C 3�� K 9&� 2;K �.- � � ��® � s � x d h � i�y � h^µ 4 � �K 9 : d O = � � < d � @ K 9+� : U / � @ K 9 �M��µ�x d pr}²pri�{ut|pwh�}´x d v<x²x d h-twhj«¶x[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 25: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/25.jpg)
8N8 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
d v<z � }�p � hly^« ����Z<k �Lpw}´p|z U / � @ K 9 ��®³ÅEy � h�y�¦�h � µ ¤ h d v¦^h� 4 � �K 9 : d O � -X? � 20K �.- � � � @ C 3 � K 9&� 20K �.- � � � � /� \ � - � � � 6 � 4 � �K 9 : d O � -@? � 2;K �.- � � � � /� \ � - � � �X 35/ � � K 9�� 20K �.- � � � � /� \ � - � � � @ 8 3�� � 4 � �K 9 : d O � -X?�� 20K �.- � � � : � K 9�� 20K �.- � � ��� � \ � - � � � F����Z¢�L�
c y#��y^zu�jtrs � h^µAprx³}�s (���hj}´x~y-{ � y�¦�h²x d v<x�� 9 � 4 � �K 9 : d O � -@?�� 2;K �.- � � � : � K 9&� 20K �.- � � �^� � \ � - � � � pw} � h�v<tÆ®6�´xH � }�xµ ¤ h � hji�v ��° x d v<x
� 4 � �K 9 : d O -@? � � 20K �.- � � � : � K 9�� 2;K �.- � � �^� � \ � - � � � 6 Sk-@? � 20K�: 20K E - � � F����ZN9m�ced v<z ° }±x~y �I���m�´v<z � C � h�h�z � }±«¬y � i#sutwv�µ ¤ h-��hjx
� 9 � 4 � �K 9 : d O � -X?�� 20K �.- � � � : � K 9�� 20K �.- � � �M� � \ � - � � � 6 Sk-@?�� 20K�: 20K E 9 �6 � 9 � 4 � � 20K � / ,_3 / � 2;K � / : � < 6 }�y^i�h � hv<tHÂqs v<zqxXprxÎ� :
����Z¢�L�
¤¸d pr� d �jy^z �jt|s � hj} x d h�{ � yAy^«ç® �4 , 4 , 4 7»60Æ¿ � �� ��b�V�+* ¿ ) ��� * ) � » � 0 �u� » �D h���h�z h � v<trpr¹�h#p|z§x d pw}l}Xhj�jx�pwy^zÄx d h���y<zAxXhjzqx,y^«´}�h��jx�pwy^z 8 ® 8 ® ced h�z h ¤ suz ° z y ¤ z v\x-p|zqx~h � «bv^��hj}¤ prt|t>¯Sh
<76 � <0K � : <0K �.- � � 6 , 4 � �K 9 : d O � -@? � 2;K �.- � � � X C 3 � K 9�� 20K �.- � � � :����Z��m�¤¸d h � h ¤ h d v¦�h,v^}�}�sui�h � x d v<x
-X? � 20K �.- � � = < d �@K 9+� : � f : < :����Z��m�
}Xy�x d v<x<�= � F���^��Zm�
D h7} d v\trtLz y ¤ �<pr¦�h�vEz h ¤ «¬y � i#sutwv<xXpry^z§v<x�p|zqx~h � «bv^��hj}#y^«¸x d h�x � v<z }�i�pr}X}�pry^z�{ � y^¯utrhji �C�^�m��® £ x¤ prt|t Hux±x d h-}Xv<i�h,v\¯ }�x � v^��x²« � v<i�h ¤ y �X° x d v<z x d h-y^z hly^«:}Xhj�jxXpry^z 8 i�y � sutwy�v#z h ¤ � h Huz�prxXpry^z y^«y^{Sh � v<x~y � } � µ v<z � L�®K »�� ) *¬��* ¿ ) ¿�0 �� `� ) À L D h � h�Huz h
� = � � � : W�K��PO < O ��X K �M� :���^���&�
� 6 � � K � = W�K��PO < O ��X K � 6 � ��� � �
`ab ac, > � K ,43 / � K�6 Z4 � �K 9 : d O � -@? � � K �.- � � � X C 3 � K 9�� � K �.- � � � 6 � K 9 y<z @ K 9�F
���^� 8 �
n�oP[pnrq
![Page 26: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/26.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% 8 �
ced h�«bv^�jxnx d v<xnx d h�y^{>h � v<xXy � � pw} ¤ hjt|t � h Huzuh � pr}�v � p � h��jx��jy^z }Xhj¢s hjz �jh�y^« x d hjy � h�i ��® �³���y<i�{�v<�jxXzuh�}X}�y^«3x d h�hji#¯Sh ��� prz � < O ��X K ��� � < ? ��X K �ëµ B S ��µ � pw}���y^i�{�v^��x�« � y^i � przqxXy� K < ? ��X K ��® D h d v¦�h,vni�y � h���hjz h � v<t � h�}�sutrx:;1 »q¿ � » � E � � � �$ ������@� �� � ���� ��� �� M�# ���� � ��� � � K < ? ��X K � [ ��� B S � ��� �! �;� � S O/ ���R� B 6 � � �/ ����%. � ¿>¿R0 ¡ D h�y^zut|�z hjh � x~y�twyAy ° v<xlx d h��v^}�h S O/ ® #gh�x � � v ¯>y<suz � h � }Xhj¢s hjz �jh7y^« � v\z �� � 6 � � � � ��® � { x~ynx d h-hë�Ax � v<�jxXpry^z y^«6v�}�su¯ }Xhj¢s hjz �jh^µ[x d h � hlh��AprxX}±}Xy^i�h � }�s � d x d v<x� � ,�� � p|z � K U / ��X K � : }�x � y^z �^t|�� � � ,�� � � p|z � K U / ��X K � : ¤ h�v ° tr�PF���^���m�
�³�7x � v^�jh�x d hjy � h�iµ � � �.- � � pr}´¯>y<suz � h � p|z < Z\ � - @ K 9 ��®���} S O/ µ ¤ hli�v��7v^}X}�sui�h� � �.- � � , � � �.- � � prz < �@K 9 �6}�x � y^z �^t|�PF���^�k �
�³� C � hjhjz � }±x d hjy � h�iµuy<z h d v^}¸prz hv<� d X K µp� � � K 6 � � K , � µ � � K 9 6 � � K �.- � � �� 9 � � � � � K � / � <76 3 / � 9 � � � � K � / � < X Si-@? � � � K : � � � K � 9 � � E 9 � F���^���L��³sux ¤ h d v¦�hSg-@? � � � K : � � K � 9 � E 9 � 6 � 9 Sg-@? � � � K 9 : � � K 9 E - � � 6 � 9 � 4 � �K 9 : d O -@? � � � K 9 : � K 9 � � K 9 � � \ � - � � �
6 , C 3 � 9 � � K 9 � � K 9 � /� \ � - � � � X � 9 � � K 9 � � K 9 : � �K 9 � � \ � - � � � F���^��9m�
��� y^{Sh � xÎ� ������k �Lpri�{ut|pwh�} � K 9 � � K � Znprz U / � @ K 9 �´v<z � x d h � hj«¬y � h� � K 9 � �9 K : � �K � � \ � - � � � , � Z :���^���L�
¤ h,�jy^z �jt|s � h � 9 � � � � � � K , � K � � / � < 6 � 9 � � � � � K � / � < � Z :���^���m�¤¸d pr� d v^� d pwhj¦^h�}±x d h�{ � yVy<«ç® �D prx d x d h d h�tr{ y^«:y^{>h � v<xXy � � ¤ h-�v\z � h Huz h =�� � � : � �³¯q�
<76 � � <0K �.- � � 6 <0K 9 6 , 4 � �K 9 : d O � -X?�� � K �.- � � � XDC 3 � K 9&� � K �.- � � � : � 6 � � �G� F���^���m��³��x d hjy � h�i �,Ç �¬prp���µ ¤ h ° z y ¤ x d v\x pr}¸v�suzup|x©v � ��y^{>h � v<xXy � �� 6 � 6 � ® � h��Axµ ¤ h � h H�z hL =�� � � : � �
L 6 * F��� 8 Zm�
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 27: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/27.jpg)
8 k � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
��{>h � v<xXy � L pw},�jtwh�v � t|�Ä��y^zqx � v^�jx~v<zqx�v<z � µ6«¬y^trtry ¤ prz ��x d h�{ � yAy^«±y^«±}�h��jx�pwy^z 8 µ�y^z h�{ � y�¦�hj}#x d v\x� , L pr}´prz^��hj�jx�pr¦�h<µux d v\z ° } xXy�x d h�prz^��hj�jx�pr¦qprxÎ��y^« � K 9®£ z%y � � h � x~y�«¬y � i#s�t¶v<xXh3x d h-{ � y^¯�twhji }~v<x�pw} Huh � ¯q� <0K µ ¤ h-przqx � y � s ��h � 6 � � K � = � K < O ��X K �¤¸d h � h � K pr}¸}Xy^t|suxXpry^z�y^«Mx d h�twyA�v\tH{ � y<¯utwh�i
`ab ac,"> � K ,435/ � K�6A8�K4 � �K 9 : d O � -@? � � K �.- � � � XDC 3 � K 9�� � K �.- � � � 6 Z�y^z
@K 9 :��� 8 �&�
v<z � twh�x¸s }±}Xh�xN"K 9 6 , 4 � �K 9 : d O � -@?�� � K �.- � � � XDC 3 � K 9�� � K �.- � � � F��� 8N8 �
� y^trtry ¤ prz ��x d h�{ � yAy^«My^«Mx d hjy � h�i 8 µ�p|x¸pw}¸}�x � v<pr� d xX«¬y ��¤ v � � x~y�h�}�x©v<¯�trpw} d x d h�«¬y^t|twy ¤ prz � � h�}�sutrx�®:;1 »q¿ � » � J� C � P � 2 6 � 20K � � � ������G�?���� � � � ��� ���^����� <�= � � �]\^ � � R � � �&�� ��� � ������ ������ � �
� J V � � , L � <76ON F��� 8 �m�� C C ��� �� �� � �� �]�������^� � < � �/������ ������ � � ��� J � �-����� 2 6 � X � � * < � � � ������ ������ � � � ��� ��%4 , 4 , E :;1 » K ¿ �§��* ) K » � ¿ � 2�¿ ��*¶�+* ¿ ) � �=> ¿ ��*¶�+1�� ���z ��h y^z h d v^}�p � hjzqxXp H h � x d h²}�{�v^��hj} � v<z � x d h y^{Sh � v<x~y � } � µ v<z � L�µ¢prx$pr}�hv^}���xXy,�^hjz h � v<t|pw¹�h¤¸d v<x d v^}e¯Sh�hjz � y<z h3prz }�h���xXpwy<z�V® 8 ®Ó��® D h � h�Huz h�x d h � hjtwv\�Vh �3A v^�jy^¯upgv\z � C-v<su}X}±oVh�p � h�tg�²tr��y<Ç� p|x d i�}e¯q� � h�{ut¶v<�jprzu��v<trtSx d hl¢s�v<zqxXp|xXprh�} C 3 20K ¯q� C 3�� 9 K+20K p|z4�C� 8 �´v<z � �I�¢�L��® ced h�}�h#v<tr��y � p|x d i�}��y �X� hj}�{Sy^z � }±x~ynx d h�prx~h � v<x�pr¦^h3{ � yA��hj}X}Xhj} �C��9m�ev<z � �I�¢�L��®
� prz v<trt|� v<z � pr« ¤ h,� d yVy^}Xh �2 � v^} x d h,v<{u{ � y�Apri�v<x~h�¦<v<trsuh,y^«:x d h,}Xy^su� d x3}Xy<trsux�pwy^z 2 µ[v<trt·y^s �v<tr��y � p|x d i�}e��v<z ¯>h � hj}X� � pr¯Sh � prz�x d h-�^hjz h � v<tg«¬y � i
����������������������������
�< QK 9 6 � �K 9 < QK 9 : �^pr¦^hjz prz < d � @ K 9 �«¬y � � 6 � : FVFVF«¬y � f 6 � : FVFVF : h
}�y^tr¦^h
`aaaab aaaac3 / �2 � NPOK X > �2 � NPOK 6A80: p|z3X K-X?�� �2�� NPOK XDC 3�� 9 K � �2�� NPOK �.- � � � 6 �<�� �9 K y^z
@K 9 : <?>6 f
-X? � �2 � NPOK XDC 3 �2 � NPOK 6 Z y^z@K K F
su{ � v<xXh �< � NPOK 9 6 ��� , �L� �< � K 9 X � 4 ,$-X? � �2 � NPOK XDC 3�� 9 K � �2 � NPOK �.- � � � : :
��� 8 k �
¤ prx d �< ���9 K 6 �< �9 K h��V��h�{ux�«¬y � x d h Clv<s }�}3oVh�p � h�t:v<tw��y � prx d i «¬y � ¤¸d pw� d �< ���9 K 6 �< � NPO9 K ¤¸d hjz < pr} trh�}�}x d v<z f ® ced pw}±} d y ¤ }±x d v<x¸prx¸pr}´z y^x¸z hj��h�}�}~v � ��x~y�s }Xh�x d h-y<{>h � v<xXy � � K 9±¯usux y^zut|� � 9 K ®
n�oP[pnrq
![Page 28: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/28.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% 8 �
� & ���7(����+�3�%� '�����#4�� �6��
ced hv<pri"y^« ¤¸d v\x�«¬y^t|twy ¤ }npw}nx~yÄh�}�x©v<¯�trpw} d }�y^i�h � h�}�s�trx~}�y^«���y^zq¦�h � ��h�z ��hy^«�x d h x ¤ y � hjt¶v���h �v<tr��y � p|x d i�}B� A v^��y^¯�pLv<z � Clv<s }�}#oAhjp � hjtr�²p|zqx � y � s �jh � prz§}Xh���xXpry^z �V® � y � x d h�z y^zVÇ � h�t¶v\�Vh � ��v^}Xh<µ¤¸d pr� d pw}·x~h�� d zupw��v<trt|�-i�y � h³�jy^i�{�trpw��v<x~h � µ ¤ h � hj«¬h � x~y Û�k�!C® D h ¤ p|trt ¤ y �X° y^zut|� ¤ prx d x d h¸v\¯ }�x � v^��x«¬y � i y^«6x d h�}�h#v<tr��y � prx d i�}jµ�}Xy�x d v\x�y^s � { � yAy^«6pr}±¦<v<t|p � «¬y � ¯Sy^x d x d h H � }�x ¦�h � }�pry^z }²{ � y^{Sy�}Xh � p|z}Xhj�jx�pwy^z§��® 8 v<z � x d hn}Xh��jy^z � y^z h ¤ p|x d x d hn��hjz h � v<t6przqx~h � «bv^�jhny^{>h � v<xXy � }���y^z }�p � h � h � p|z¥}Xh���xXpry^z��®é��®
D h²¯>hj�^prz ¤ prx d przqx � y � su�jprzu��}Xy<i�h z y^x©v\xXpwy<z }�® D h H � }�x � h H�z h3x d h²h ��� y � v<xex d h�przqxXh � «bv<��h3v<}x d h-¢s�v\zAx�prx�pwh�}
� � 6 < � , < = � :��� 8 �L�v<z � x d h�x ¤ y h ��� y � }3��y^i�i�prxXxXh � y^z%x d h�suz ° z y ¤ z 2 prx~}�hjt|«çµ � h�{>h�z � p|z � ¤¸d hjx d h � y^z h#�jy^z }�p � h � }2 � �b«¬y � i#sutwv �Æ�^�L�^�³y � �2 � �¬«¬y � i#s�t¶vT�I���&�^�³«¬y � x d h-v<{u{ � y�Apri�v<xXpry^z�y^« 2
� � 692�� , 2 = W�K��PO < O ��X K �
�� � 6 �2 � , 2 = W�K��PO < O ��X K � F
��� 8 9m�
ced h-}XhjÂqsuhjz �jh < � }~v\xXpw} H h�}¸x d h�prx~h � v<x�pr¦^h3{ � yA��hj}X}� � NPO 6 ��� , �]��� � X ��L�� � :��� 8 �L�
prz�x d hl�v^}�h-y<«:x d h A v^��y^¯�p � }²v\tw��y � prx d i v<z �
� � NPO 6 ��� , �]��� � X �G� * N � � NPO X * d � � � :��� 8 �m�prz�x d h²��v^}Xh y^«>x d h C-v<su}X}�ÇçoVhjp � hjt � }Lv<tr��y � prx d i® ced h±x ¤ y,}XhjÂqsuhjz �jh�} � � v<z � �� � v � h¸x d hjz � h � s �jh �« � y<i�� � ¯q� � � NPO 6 ��� , �L� � � � � � � X � � � * � � �
�� � 6 � � * � � � F��� 8 �m�£ z x d hl}Xhj¢s hjtCµ ¤ h,v � hl��y<prz �#xXy�y<¯ux©v<p|z�x ¤ y�xÎ�q{>hj}²y^« � hj}�sut|x~} V
� � ��y^zq¦�h � ��h�z ��h � h�}�sutrx³«¬y � x d h��^hjz h � v<tS}�p|xXs�v<x�pwy^zBV ¤ h3y^zut|��y^¯ux©v\prz�x d h3�jy^zq¦�h � ��h�z ��h�y^«�� �xXy Z-p|z�x d h ¤ hv ° x~y<{>y^try��^�ny<« � ® Á y ¤ hj¦^h � µ�x d v\z ° }ex~y-x d h²��y^i�{�v^��xXz hj}X}³{ � y^{Sh � xXpwhj}ey^« ��b�j« ced h�y � hji k � ¤ h-} d v<t|tgy^¯ux~v<prz ¤¸d v<x ¤ h � h�v<trt|� ¤ v<zqxµuz v<i�h�tr��x d hl}�x � y^zu���jy^zq¦�h � ��h�z ��hy^« 2 � �Iy � �2 � �³x~y 2 v<x±twhv<}�x¸prz U / ®�� D hl} d v\trtg��h�x±hj¦^hjz�¯Shjx�x~h � ÇL}�h�hl}Xhj�jxXpry^zEku® 8 �
� � �jy^zq¦�h � ��h�z ��h � hj}�sut|x´prz v�{�v � xXpr�jsutwv � �v^}�hl«¬y �e¤¸d pr� d ¤ h�} d v<trt d v¦�hl}�x � y^z �n�jy^zq¦�h � ��h�z ��hxXy Z#«¬y � � � ®LÅEy � h�y�¦�h � µ x d pw}¸��y<zA¦^h � ��hjz �jh ¤ p|trt[¯>hlh��A{Sy^z h�zAx�p¶v<t|tr��«bv^}�x v\z � ¤ prtrtSpri�{utr��x d hhë�V{Sy^z h�zqxXp¶v\t � h���v�ny^«�x d h¸h �X� y � } � � �Iy � �� � �:prznx d h < O xXy^{>y<twy��^�-y^«[h�v^� d }�su¯�Ç � y^i�v<przH® D h} d v<trtM}�h�h�p|z�}Xhj�jx�pwy^z%k�® 8 x d v<x�y^s � { � yAy^« ¤ p|trt � hjÂqs�p � h�v�{�v � xXpr�jsutwv � ��h�y^i�hjx � pr�v<tg{ � y^{Sh � xÎ�y^«Mx d hl{ v � x�prxXpry^z y^«YXªv^} ¤ hjt|tMv^} v<zEv � hjÂqs v<x~h-� d y^pr��h�«¬y � x d h-y<{>h � v<xXy � } � 9 K ®
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 29: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/29.jpg)
8 9 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
���� . �8���X� �,�"�,�64.) �����61()C�ced h%i�v<przWxXyVy<t�y^«lx d hÄv<z v<tr�A}�pr}7��y<z }�pr}�x~} p|z`v¨{ � pwy � p3h�z h � �^� hj}�xXp|i7v\x~h�}7x d v<x ¤ h � h � su��h¥y^«x ¤ y�p � hjzqx�prxXprh�} ¤¸d pw� d v � h#x d hny^¯���hj�jxly^«Lx d h#z h��Ax�twh�i�i�v�® £ x ¤ prt|t:¯Sh#s }�hj«¶sut�xXy7przqx � y � su��h#x d h«¬y^t|twy ¤ prz �,z y � i prz � � � = ! Z : � !'�� < � /� 6 ��� , �L� � 5 d- < � / X � 5 � < � / X � 5 N- < � / F����NZm�� y<x~h�x d v\x¸x d pr}´z y � i pw}¸h�¢sup|¦<v<twh�zAx¸xXy�x d h�s }�s v<tgz y � i
��� , �]� Z\ � < � � � < � � � � < � F������&�D h,v\tw}Xy � h�Huz h�x d h-y<{>h � v<xXy �
�� 6 � � , � * d � d O = � � � � F���� 8 �
� � y^x~h#x d v<x�� � , � * d �²pr}�v<z%pr}Xy^i�y � { d pw}�i p|z � V²p|z � h�h � µHprzx d h#i�v<x � p|� � h�{ � hj}Xh�zAx~v<xXpry^zÄy^«}Xhj�jx�pwy^z��µ�p|x¸pw}´¯utryV� ° twy ¤ h � x � pwv<z �^s�t¶v � µAx d h�x � pwv<z �^s�t¶v � ¯utwyA� ° }±¯Shjp|z �np � h�zqxXprxÎ�7y^{>h � v<xXy � } ��L» � ��� J� � �-� �G� �� R ��� �"�]� S �� #��� �%� � ��� ���6Y ��� �� � � �����?� �=� � �TS � � ��� � ������� �]\ ��� ���� �?� ����?�� �� � � NPO � / 6 � � � � /, � ��� , �]� � � � , L � � � � /, � � 5 � � � � / F������m�� �� �-� � �] ����E � ���?� � � � �"�]� S �� #��=� �%� � ��� ���6Y ��� �� � � �����?� �=� � �TS � � � � �;������� �]\ ��� ���� �?� ����?�� �� � � NPO � /�J6 � � � � /� , � ��� , �]� � � � � � , L � � � � /, � � 5 � � � � / F����^k �. � ¿>¿R0 ¡ �¬pr� D hl��y^z }�p � h � x d hl}Xhj¢s hjz �jh � � }Xv<xXpr}�«¶�qprz � ��� 8 �L�ë® D h d v¦�h<µ s }�p|z ��L 6 *� � � NPO � / 6 ��� , �L� / � � � � / X � / � * � � � / X 8 � ��� , �]� $ � * � � : � � � F����¢�L���zEx d hly^x d h �¸d v<z � µ ¤ hls }�hlx d h�p � h�zqxXprxÎ�� � � , * � � � � / 6 � � � � / X � * � � � /, 8 $ � * � � : � � � :x~y�h�trpri�prz v<x~h $ � * � � : � � �³prz_�����¢�L�ë® ced pw}´trhv � }¸xXy� � � NPO � / 6 ��� , �L� � � � � / X � � * � � � /, 8 �G��� , �]� � � � , L � � � � / F����N9m�� }�prz �ntrhji�i7v 8 v<z � x d h�«bv^�jx±x d v<x pw}±v\z pr}Xy^i�hjx � �^µ ¤ h-��h�x� * � � � / 6 � * � � � / 6 � � � � / , � 5 � � � � / F����¢�L�� trs �^�^prz �7�����¢�L�³p|z �������L�³x d h�zEtrhv � }±xXy �������L��®
n�oP[pnrq
![Page 30: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/30.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% 8 �
�bp|pr� #ghjx±s }¸z y ¤ ��y^z }�p � h � v�}�h�¢s h�z ��h � � }Xv<xXpr}�«¶�qprzu�7��� 8 �]��® D h d v�¦^h� � � NPO � / 6 ��� , �]� / � � � � / X � / � � * N � � X * d � � NPO � � /X 8 �G��� , �L� $ � � � : � * N � �RX * d � � NPO �^� F������m�
�²{�{utr�qprzu�7x d h�p � hjzqx�prxÎ� 8 $ � <p: � � 6 � < � / X � � � / , � < , � � / : xXy < 6 � � v<z � � 6 * N � � X* d � � NPO µ ¤ h-�^hjxµusu}�przu��v\tw}Xynx d h�«bv^�jx¸x d v<x pr}±v<z�pw}Xy<i�h�x � �� � � NPO � / 6 ��� , �L� / � � � � / X � / � * N � � X * d � � NPO � /X � ��� , �]� 4 � � � � / X � * N � � X * d � � NPO � / :, � ��� , �L� � � � , � * N � � X * d � � NPO � � / :
������m�
y � µuh�¢sup|¦^v\twhjzqx�tr� � � � NPO � / 6 ��� , �]� � � � � / X � � * N � � X * d � � NPO � /, �G��� , �L� � � � , � * N � � X * d � � NPO � � / F����k Zm�
oAp|z ��h<µu¯A��twhji�i�vn��µ� * N <BX * d � � / 6 � * N < � / X � * d � � / 6 � 5 N- < � / X � 5 d- � � / :����ku�&�¤ h,y^¯�x©v<p|zgµVp|zAx � y � s ��prz �
,� 6 � � , � * N � � X * d � � NPO �� � � NPO � / 6 ��� , �]� � � � � / X � � 5 N- � � � / X � � 5 d- � � NPO � / , � ��� , �]� �
,� � / F����k 8 �
D hlx d hjz z y^x�pw�jh3x d v<x�µu¯q� � h H�zuprx�pwy^z y^«Mx d h�z y � i � F � �� � � NPO � /[, � � 5 d- � � NPO � / 6 � � � NPO � /���� , �L� � � � � / X � � 5 N- � � � / 6 � � � � /� , � � 5 � � � � / :����k¢�m�
}Xy�x d v<x ���k 8 �e�v<z ¯Sh � h ¤¸� prx�x~hjz� � � NPO � /�J6 � � � � /� , � ��� , �]� �,� � /[, � � 5 � � � � / :����k�k �
¤¸d pr� d pr}´z y^x d prz �n¯usux �����^k �Lp|« ¤ hl} d y ¤ x d v<x,� 6 �
� � � , L � � � ®.�³s�x « � y^i ��� 8 �m� ¤ h � h � s ��h� � NPO 6 � � , �
,� F����kq�L�
S�¢s�v<xXpry^z_��� 8 �m�´v<tw}�y�} d y ¤ }±x d v<x � � NPO pr} � hjtwv<x~h � x~y � � ¯q�� � , � * d � � � NPO 6 ��� , �]� < � X � * N � � F����k 9m�
ced h � hj«¬y � h^µ i#s�trxXp|{utr�qp|z �T���kq�L�³¯q� � � , � * d � ¤ h,��h�x��� , �]� < � X � * N � � 6 � � , � * d � � , � � � , � * d �
,� :����kq�L�
« � y<i ¤¸d pr� d � � , � * d �,� 6 � � , LE��� � :����k¢�m�
¤¸d v<x ¤ h ¤ v<zqxXh � xXy�} d y ¤ ® �� � p � h���x±��y^z }�h�¢s h�z ��h#y<«:x d pw}´trhji�i7v,pr}
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 31: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/31.jpg)
8 � � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
:;1 »q¿ � » � 7 � ��� G�$� �� ��� Z S � S � � �=���/���6Y ��� �� � � S�� ^��� R �?� � ��� � � �� � � � � � �� ����^��� S ���[ � ��������� �+&�� ����/� �@� �� � ��R� [ �/� � ^��2�� ,�� 2 ���� ��TS]����� W�
K �PO < ? ��X K ��2 � ,�� 2 ���� ��TS]����� W�
K �PO < ? ��X K � :����k¢�m�
[ ���� � B 6 � � �� S O/ � � �! � ���� "�]��� � 9 K ��R� B S � � � ��� %. � ¿>¿R0 ¡ D h-y^zut|� �^p|¦�hlx d h�{ � yVy^«:«¬y � x d h A v^�jy^¯up � } v<tw�^y � p|x d i s }�p|z ���������L��® ced h-{ � yVy<«6«¬y � x d hClv<s }X}çÇ�oVh�p � h�t � }�v<tw�^y � p|x d i�¦qp¶v?�����^k �-pr}�v<tri�y�}�x�p � hjzqxXpr�v<t´x d v<z ° }nx~y�x d h «bv^�jxX}#x d v\x � F � � pr}nvz y � i y^z � h�¢sup|¦^v\twhjzqx±x~y � F � ® £Î� hjzqx�prxÎ� ������m�Lp|i�{ut|pwhj}³prz�{�v � xXpr�jsutwv � x d v<x
� � pw}´¯Sy^suz � h � prz � � � � � � � hj� � h�v^}Xhj} �N���� � Q� � � , L � � � � / S X�� F������Zm�
ced h � hj«¬y � h^µHs�{%x~y�x d h#h��Ax � v^��xXpwy<z¥y^«Lv�}�s�¯ }XhjÂqsuhjz �jh�}�x�prt|t � hjz y^xXh � ¯q� � � µ ¤ h ° z y ¤ x d v<x�x d h � hh��Apr}�x~} � = � }�s � d x d v<x
� � ,�� � ¤ h�v ° tr� prz F ������V�&�ÅEy � h�y�¦�h � µ « � y<i ����� Zm� ¤ h�v<tr}Xy#z y ¤ x d v<x
� � , L � � � ,�� Z }�x � y^z �<tr��p|z � F����� 8 �ced h � hj«¬y � h^µ ¯q�7t|prz h�v � p|xÎ��y^«ML�µ ¤ h-��hjx
� � , L � � 6 Z :�����^�m�¤¸d pr� d �qpwh�t � } � 6 Z�}�prz �jh � , LQpw}±prz<��h��jx�pr¦^h^® � y^x~h-v<tr}Xy�x d v<x�µ[v^} Z�pw}¸x d h,y^z�tr�7{Sy�}X}�pr¯utrh�trpri�prx�µx d h ¤¸d y^twh�}�h�¢s hjzu��h#�jy^zq¦�h � ��h�}j®
ced h-hjz � y^«·x d h�{ � yVy<«Mpr}´z y^x d prz �n¯us�x v�}�x � v<pw� d x�«¬y �X¤ v � � �jy^z }Xhj¢s hjz �jh�y^«Mx d h-�jy^i�{�v^�jx�z h�}�}{ � y^{>h � x�pwh�}¸y<«6x d h-y<{>h � v<xXy � � �I�^p|¦�h�zEp|z x d h�y � hji k �´v<z � y^«Mx d h�x ¤ y�hjÂqs v<trp|xXpwhj} ��� 8 �m��® �7» ���u��� T � �� �=� � �a`6��� �R�������� � � ��G � �� #� ^���������3� � ���� � � ����� #� �� �� S]� ������������ ��� ����� [ ��� ���M����/�6Y @�]� ��?����� � ���)� �"��R� � ��� � R �� ����$��� � �6Y �]� �������� � � [ � � �P� � �� �=��� � � ������������ � � < � 6� < � R � � < � � � < � � ������ � ������� � ��� � � ��� ��� �����$���? ��� ���% � �3 ��� � � 6��� �� � � ������ � � ��a`N� ��R� ��G ��� � � � �$� ������� �;!;� � �;����� � ,��6Y �������� � ��� ��� ���?� �� �� ��� �.� ��� ���� �a`6�����P� ��%��I� . � 4 � �=��� ��� � �V�"�,�V��� 4.) � ���A3V�,� �,�"� �£ z�x d pw}L}Xhj�jx�pwy^zgµ ¤ h�} d v<trt[v^}�}�sui�h±x d v<xLx d h {�v � xXp|xXpry^z���X K � K y<« X d v<}³x d h «¬y^t|twy ¤ przu����h�y^i�hjx � pr�v<t{ � y^{>h � xÎ�^® � �� ;� � �� � < : f � : - X K)8 - X59 � � ����=���� ;����� � � ����=���� � � ����� �������� ����� � � �"����$�� �������� , �LF�����<k �
n�oP[pnrq
![Page 32: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/32.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% 8 �
ced h-}Xh��jy^z � d �q{Sy^x d h�}�pr}¸xXs � z }²y<z x d h�¦<v<trs h�y<« «¬y � x d hly^{Sh � v<x~y � } � 9 K µ <?>6 f � 6 O/ �� 9 K�6 � �9 K � 9 K": ¤ prx d� 9 K � �����$�� ���� � ��� �# ���< Z\ � - X KA8 - X59 � ��� � U / � - X KA8 - X59V� F�������L�
£ zE}�s � d v�}�prx�s�v<xXpry^zgµ ¤ h d v¦�hlx d h�«¬y^t|twy ¤ przu��«¶suz � v\i�h�zAx~v<t � h�}�s�trx�L» � ��� 7�� R� �� R ����3����� G��� �?���� � � �)"! � ��R�?� �)")"�� � , L � � �� � � � �� � � ��%. � ¿>¿R0 ¡ ��} � , L pr}´v<t ¤ v�A}eprz<��h��jx�pr¦^h^µ ¤ h3y^z�tr� d v¦�h3xXy�{ � y�¦^h3x d v<x³prxLpw}³y^zqx~yu®[#ghjx N ¯>h3�<pr¦�h�zprz � µ ¤ hltwyAy ° «¬y � v<z < }�s � d x d v<x � � , L � <76ON F������9m�£ «�}�s � d v\z < h��Apw}�x~}jµux d h�z 2 6 � 20K � 6 � � < �´}Xv<xXpr} H hj}±p|z hv^� d X K
`aaaaaaaaaab aaaaaaaaaac
20K =3< O ��X K � : , > 2;K ,435/ 2;KR6 Z : prz X K4 � �K 9 : d O � -X? � 20K �.- � � � XDC 3 � K 9&� 2;K �.- � � �6 , 4 � �K 9 : d O � -X?�� 2 9 �.- � � � X C 3 � K 9�� 2 9 �.- � � � X N�K 9 y^z
@K 9 : f >6 <
-@? � 20K XDC 3 20K 6ON�K K y^z@K K�:
�������L�
¤¸d pr� d pr}¸h�¢supr¦<v<trhjzqx±x~y`aaaaaaaaaab aaaaaaaaaac
20KE= < O ��X K � : ,"> 20K ,_35/ 20K�6 Z : p|z X K-@? � 20K[X -@?�� 2 9 6 � �K 9 N�K 9 X N 9 K8 : y<z
@K 9 : f S <
� 20K , 2 9 � 6 � � K 9 � d O N"K 9 , N 9 K8 C 3 : y<z@K 9 : f S <
-@?�� 20K[XDC 3 2;K�6 N"K^K y^z@K K F
�����^�m�
� h��jp|{ � yA�v\trtr�^µupr«:x d h � h�hë�Apw}�xX}�v<z 2?= < O ��X K �±}�y^trsux�pwy^zEy^« �����^�m�ëµ�y^z h��jy^z }�x � su�jx~}3v�}Xy<trsux�pwy^zEy^«� � , L � <76QN ¦qp¶v<76 � <0K � : <0K �.- � � 6 , 4 � �K 9 : d O � -@? � 2;K �.- � � � X C 3 � K 9�� 20K �.- � � � F�����^�m�
#ghjx±s } � h�Huz h� K 9 6 , � 9 K�6 � � K 9+� d O N"K 9 , N 9 K8 C 3 =3< Z\ �
@K 9 � :����9NZm�
v<z � twh�x¸s } v^}X}�sui�hl«¬y � v ¤¸d prtwh3x d v<x±y^zuh-��v<z Huz � v 2 � = � K < O ��X K � ¤ prx d > 2 �K = U / ��X K ��µ2 �K �.- � � , 2 �9 �.- � � 6 � K 9 : -@? � 2 �K �.- � � X -@?�� 2 �9 �.- � � =3< d Z\ � @ K 9 � : f >6 < :����9��&�
x d hjzgµ }�hjxXx�prz �2 692 � X � :����9 8 �
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 33: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/33.jpg)
�NZ � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
«¶suz ��xXpry^z � i#s }�x }Xv<xXpr}�«¶�`aaaab aaaac� =3< O ��X � : ,"> �RK ,43 / �RK�6 > 2 �K X 3 / 2 �K : prz X K-X?�� �RK X -@?�� � 9 6 �N�K 9 y<z
@K 9 : f >6 <
-X? � �RK XDC 3 �RK�6 �N�K K y^z@K K":
����9��m�
¤ prx d�N�K K�6ON�K K ,I-X?�� 2 �K �.- � � , C 3 2 �K �.- � ��N�K 9 6 � �K 9 N�K 9 X N 9 K8 ,?-@? � 2 �K �.- � � , -@?�� 2 �9 �.- � � :����9^k �
ced hl¦<v � pwv<xXpry^z�v<t[«¬y � i�sut¶v<x�pwy^z�y^«Mx d pr}±{ � y^¯utrhji pw}� prz � � = < O ��X ��}�s � d x d v<xµ � � =3< O ��X �� 9 � � � � � ,43 / � � � � < X C 3 � � � � ��6�� � 9 � � > 2 �K X 35/ 2 �K � � K � <BX � K � 9 S �N"K 9 : � �.- � � E - � � F����9¢�L�
��� y^¯�twhji ����9¢�L��pw}�v§zupr��h�¦<v � pwv<xXpry^z�v<t´{ � y^¯utrhji prz < O ��X ��}�prz �jhEx d h �N�K 9 =F< deZ\ � @ K 9 �ë® ced hh��Apr}�x~h�z ��hny<« � pr}�hv<}�prt|� y^¯ux©v\prz h � ¯q� �u� h � d y^t|i � }²v<trxXh � z v<xXp|¦�h^® ced h�{ � y^¯utrhji pw} x d s } � h � s �jh �x~y¥x d h��y<z }�x � s ��xXpwy<z5y^« 2 � ® � y � f � < µ ¤ h � h H�z h 20K 97v<}�x d hE}�y^trs�xXpwy<z }nprz < O ��X K �#y^«3x d h«¬y^t|twy ¤ prz ��hjtrt|pr{ux�pw� { � y^¯�twhji
`ab ac , > 20K 9 XD20K 9 6 Z : p|z X K20K 9 �.- � � 6 �� K 9 : y<z - X KL:
����9N9m�¤ prx d
�� K 9 6 � K 9 y^z @ K 9 : �� K 9 6 Zny^z@K�� : � >6 < F����9¢�L�
��}ev<trt x d h²i�v<zup|«¬y^t � }@K 9±v � h²v^}X}�sui�h � xXy,¯Sh��jtry�}Xh � µVv<trt x d h �� K 9¸v � h±«¶suz ��xXpwy<z }ey^« < Z\ ��X K �Lv\z �x d h#h��Apw}�x~h�z ��h#y<« 2;K 9�pw}�}�pri�{utr��y<¯ux©v<p|z h � s }�p|z � #·v\�qÇ�Å�prtw� � v<i x d h�y � �v<z � x d h�x � v^��h-x d hjy � h�i®
ÅEy � h�y�¦�h � µ[v^}@K 9²pr}¸�jtry�}Xh �
-@?�� 20K 9 �.- � � =3< deZ\ � @ K 9+� : -@?�� 2;K 9 �.- � � = < deZ\ � @ K^K � F����9��m�ced h�zprxepw}´z y^x � p*(��jsut|x´x~y�� d h�� ° x d v<x vn��yAy � �v\z � p � v<x~h3«¬y � 2 � pw}
2 � 6 �K�� 9 20K 9 :����9��m�v<z � x d hl{ � yAy^«My^«:trhji�i7v 9#pr}¸��y^i�{utwh�x~h<® �
n�oP[pnrq
![Page 34: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/34.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���
7» ���u����� � ��� �=������ ��� �-����� ������?�]� � �.�&.� �,S�� ^����E6� ���$�� �;�a`��P� �� ���G���� ��B � � �Y���� � � , LE� d O N����� [ � ^��� / ������ #�� �� � �$� ������ ����� � �; ��� �������� ���� � �����������% P R� ��� ��� �� � ��3^��� #� � ���=� ���<0K 9 6 , � � �K 9 � d O � -@?�� � � K X � Q � �.- � � � X C 3 � K 9&� � K X � Q � �.- � � � :������Zm�
[ ���� � � � < � 6 � K �9� K
� � - � ��� � <p: �G� �8 � �9 K � N�K 9 X N 9 K � � �G� ��� �G�, � - � � - ? ��� � � � <p: �G� �
8 3 � d O9 K � N�K 9 , N 9 K � � �G� ����� ��� :�����V�&�
[ ���� � � � <p: � � � �"��� ���� � �^� G ��?����;���� �=��� !;� � �;����� � ,��6Y @���?���� ��R� � Q � � ����/������ ������ � �
`b c ,R35/ � Q , > � Q 6 Z : � X
-@? � QeXDC 3 � Q 6QN"K K , -X? � , C 3 � : �� 2[F����� 8 �
��}±�jy^z }Xhj¢s hjz �jh#y^«Mtwh�i�i�v 9:;1 »q¿ � » � T � `����� ������?�]�� ����^��� S �� ���� � R� �� R ����$����� ��� ������ ��� �)"! �"��R� � �)")"����6���� � � ��^��]���� � = ! Z : � � �=���� � �a`N� ����;� � �]� G� R �� �� = ! Z : � � � �� �� ���� � � �� � � � � F�����^�m�� �� ���6Y ����� ����� [ �;�]� ��� � � ^��� 2 , 2�� ��� � � � Z�� 9 � � � � � � � : � 2 , �2�� ��� � � � Z�� 9 � � � � � � � F�����<k �. � ¿>¿R0 ¡ D hny^zut|���^p|¦�h#x d h�{ � yAy^«³p|z%x d h���v^}Xh�y^« A v^��y<¯up � }lv<tw�^y � p|x d iE® ced h�{ � yAy^«$«¬y � C-v\s }X}çÇoVh�p � h�t>pw}´v<tri�y�}�xLx d h3}~v<i�h^®Loqprz �jhB� � , L �$pw}´v\z pw}Xy<i�y � { d pr}�i prz � µ�x d h � h�h��Apw}�x~}±v(* E Z,}�s � dx d v<x � � � , L � � & * � < � :�������L��bzuy^x~h�x d v<x2* � ��µu}�prz �jh � , L pw}±��y<zAx � v^��x©v<zqx���® ced h � hj«¬y � h�« � y^i p � hjzqx�prxÎ���������m�ëµ ¤ h,��h�x� � � NPO � / � ��� , � ��� , �]� * / � � � � � / :������9m�¤¸d pr� d �^p|¦�hj}7�����^�L� ¤ prx d � 6 � � Q � v<z � � 6�� � , �G��� , �L� * / ® ced h � hj}�x�y^« x d h7{ � yVy<«²pr}nv��y<z }XhjÂqsuhjz �jh#y^«Mx d hl��y<zAx�przqsup|xÎ�7y^« � ® �7» ���u����� P �� � ��� � � ���� R ����� � �?%?��% ����������]��� ����� � ^��]���� � ��� � � S�� ^��� R � � 6 O/ [ � �� ����� `N�� � ,���� � ��� , �]� % � �/��� �]���M ����$� R � ��$�� �=� � � �������-�B���� ��?���� " %£ zWy � � h � x~yį>h ��y<i�{utrhjxXh^µ³p|x � hji�v<p|z }�xXy§�<pr¦�h h���v<i�{utrh�}�y<«3y^{Sh � v<x~y � } � 9 K }~v\xXpw}�«¶�qprz �������^�L��®ced h�i�y^}�xnz�v<x�s � v\t±y^z h���y^zu}�pw}�x~}nprz �jy^z }�p � h � prz �%« � v^�jx�pwy^z�v\t´{>y ¤ h � }�y^« x d h�#·v<{�t¶v^�jh�ÇL�³hjtrx � v<i�py^{Sh � v<x~y � ®#Å y � h�{ � h���pw}�hjtr�^µ·v^}X}�sui�prz �7x d v<x
@K 9lpw}�v7}�s (��jprhjzqxXt|� � hj�^sutwv � i�v<zupr«¬y<t � µ ¤ h � hjz y^xXh
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 35: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/35.jpg)
� 8 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
¯q� > 9 K x d h #·v<{ut¶v<��h�ÇI�ehjt|x � v<i�p6y^{Sh � v\x~y � y^z @ K 9 � � 8 !Iµ:xXy^i�h �^µM{�v<��hE��¢��Ç©����m��µHpC®éh<®�x d h�}�hjtr«wÇv � ��y<przqx±y^{Sh � v\x~y � p|z U / � @ K 9+�´v^}X}�yV��p¶v<xXh � x~y�x d h�¯up|trp|z hv � «¬y � i ¤ prx d � y^i7v\prz < O �@K 9+� V
> 9 K � � :�� � 6 � - � � � � � � � � � �� :�������L�¤¸d h � h � � � hjz y^xXh�}�x d h´s }�s v<t�x~v<z ��h�zAx�p¶v<t�� � v � pwh�zAx6y^{Sh � v\x~y � y<z @ K 9�® £ x�pw}:x d h�z ¤ h�trt ° z y ¤ z�x d v\xpr« � v<z ��� v � h�x ¤ y7{>y^}�prx�pr¦^h � hv<t:zAs�i#¯>h � }jµHy^z h,�v<z � h�Huz h�x d h�{Sy�}�p|xXp|¦�h�}�hjt|«bv � ��y^p|zAx²y^{Sh � v<x~y �prz U / � @ K 9+� ¤ p|x d � y^i�v<prz < O � @ K 9 �
� 9 K�6 � � � , �3 / > 9 K � Z\ F�����^�m�
£ x�pr} ¤ hjtrt ° z y ¤ z�x d v<x � 9 K �v\zn¯>h´hë�Ax~hjz � h � prznv�suzupw¢s h ¤ v�nv<}�v<znpr}Xy^i�y � { d pw}�i « � y^i < Z\ �@K 9 �
y^zqx~y < deZ\ �@K 9+�´v^}±}XyAy^zv^} � v<z ��� v � hl}�x � pw��xXtr��{>y^}�prx�pr¦^h^®L��z h3x d hjz�}Xv<xXpr} H hj} �������]� ¤ prx d
� 9 K�6 � � � , �3 / > 9 K � Z� F�����^�m�
��} v<z h���v<i�{utrh^µ�trhjx¸s }±��y<z }�p � h � x d h 8 à ��v^}Xh ¤¸d h � h@K 9 pr}´x d hl��p � ��twh3y<« � v � prsu} > µux d v<x ¤ h�v\z�{�v � v<i�hjx � pw¹jh#¯A�¥x d h�{Sy^twv � v<z �^trh��V® £ z�}�s � d v��v<}Xh�x d h�y^{>h � v<xXy � � 9 K �^pr¦^hjz§¯A�������^�m�²pr}� pwv^��y^z�v\trpw¹jh � p|z�x d hly � x d y^zuy � i�v<t>¯ v^}�pr} y<« U / � @ K 9+� � h�Huz h � ¯q�
� � ���]� 6 � 8 > � Z\ � � ��� � = ! :����NZm�v<z � ¤ h d v�¦^h
� 9 K � � 6 � � X � � /3 / > / � � � F������&�
��z h��v<zWz y<x~hEx d v<x�x d hy^{>h � v<xXy � � h Huzuh � ¯q�9�����^�L�npr}�z y<zWtwyA�v<t �¬prx�pw}�v§��y<zA¦^y^trs�xXpwy<z�ÇÆxÎ�q{Shy^{Sh � v<x~y � �6v<z � ¤ p|trtA{ � y � s �jh±«¶s�trt�i�v<x � pw�jh�}6v<«¶x~h � }�{�v^�jh � pw}�� � h�xXpr¹v<x�pwy^z7�b�j«S}Xhj�jxXpry^z 9m��®:�W{>y^}X}�p|¯utwh��y<i�{ � y^i�pw}Xh ¤ p|x d {us � hjtr��twyA�v<t ¤ y^sut � �jy^z }�pr}�x$prz���y<z }�p � h � prz �,v<z�przqx~hj� � v<t�y<{>h � v<xXy � y^«Sx d h±«¬y � i� * � hjz y<xXprzu��}�y^i�h-}�x � pw�jx�tr��{>y�}�prx�pr¦�h3{ v � v<i�hjxXh � �
S � 9 K � : � E 6 � � - � � � � < � � � < � �� � < �X � � - � � � - � ��� � < , �G�����V� � < , � � �J�b�js � t ��� BG�+� �G�+�b�js � t � � B � � < � ��� < � ����� ����� 8 �
¤¸d h � h � pw}´«¬y � p|z }�x~v<z �jhlx d h�«¶suz � v\i�h�zAx~v<t·}Xy<trsux�pwy^z�y^«Mx d h #·v<{�t¶v^�jh�y^{>h � v<xXy � prz�� 0� � < � 6
�8 twy�� � < � � 6 8 � � < � 6
�k � < �
� 6 � :������m�v<z � ���V� �L� : � E Z�vn}�i�yAy^x d {Sy�}�p|xXpr¦^h��jsux�ÇÎy])«¶suz �jx�pwy^z }Xv<xXpr}�«¶�qprz � V
���V� �L� 6 � pr« � S *���V� �L� 6 Z pr« � E 8 * :����^k �
n�oP[pnrq
![Page 36: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/36.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���
¤¸d y�}�h � y<twh²pr}LxXy ��tryV��v<trpr¹�h���x d h3y^{Sh � v<x~y � � 9 K �¬x d h ��twyA�v\t ��� d v � v^��x~h � y^« � 9 K x d h�z � hj{Shjz � prz ��y^zx d h�¦<v<trs h,y^«=*"�3oAs � d v�� d y<pw��h d v^}�z y<x3��h�x�¯>h�xXh�}�x~h � s�{%x~y y^s �²° z y ¤ twh � ��h^®,��s � �jy^z^��h���xXs � hpw}´x d v<x }�su� d v<zEy^{>h � v<xXy � {Sy�}X}�h�}X}�h�}�x d hl��yAy � { � y^{>h � x�pwh�}±h�z }�s � prz ��h��A{Sy^z h�zAx�p¶v<t·�jy^zq¦�h � ��h�z ��h�Vx d hlp|i�{Sy � x©v<zqx´«bv^��x¸pw}´x d v<x¸x d h ° h � z hjt �
d v^}¸x d hl��y ��� h���x }�przu�^sut¶v � prxÎ��«¬y � < 6 Z�®7» ���u��� ' Q � ��� ������� �� � � ���� � ���� ��� �� � 9 K � �]\^ � � R � � � � � � � > 9 K R ���TS"�������� ��?��� � �/� � � � � � �� < O �
@K 9 � � �� �]� ��� R �$��� � �B� ^��� � ����B ����� [ ���� �� @ K 9 � �� ��� �� � ����� � ������ ����� � � ����
�\�#�P� � ���E�� � � �? ��� �P� ���� ��� �� ����� ��� # ��� ����R��� � � ��� B � �����B ���R����?������ �� - @ K 9 ��% � � �=���� S���� -� ��� � � � �a`����� ������?�]� ����^��� S �� ���� � � � ��TS �� ^��]� �?��� �$�� ��� �]� �a`����� #��$����=� � ��� & ��� ����� [�� ��� �� � � ���� �_^���� �=��� ����^��� S �� �� R � ������@�� #� ���� [ ��� ���� ����� � 9 K�6 � %
� �!���3�L� �����,���j���'���7���� ���,��*�����±���7(�3�$+���%�± �� � ���� �%4�� ���6
��� ����� �*�V� 41���L��� � � ��!"�=��� 4.#��()L�� �"�.� 41�������"� c y��h�x,i�y � hnp|z }�pr� d x-p|z§x d h � v<xXh�}�y<«´��y<zA¦^h � ��hjz �jh y^«ex d h�i�hjx d y � µ ¤ h�{ � y^{Sy�}Xh�x~yEv<z�v\tr�A¹�h�v¦�h � ��}�p|i�{utrh 8 êh���v<i�{utwh<® D h���y<z }�p � h � x d h3}�¢s�v � h X 6 ! , � / : � / W! Z : U � h��jy^i�{>y�}�h � p|zqx~y,x ¤ y� hj�jx~v<z �^trh�}�}�pri�prtwv � prz�}�pr¹�h�X O v<z � X / µ ¤ p|x d y^zutr�¥y<z h�p|zAxXh � «bv^��h��I�j« H �^s � h 8 �ë® ced h�Ã�ÃlÅ pr}v<{u{�trpwh � x~y²x d h´}�y^trs�xXpwy<z#y^« x d h Á h�tri d y^t|x~¹Lh�¢s�v<x�pwy^znp|z�X ¤ prx d y^s � s }�s�v<t���y^z � prxXpry^z } -X? X C 3 2 6Z�v<x±twh�«¶x±v<z � � pr� d x±}�p � h�} v<z � v � hjs�i7v<z�zE�jy^z � p|xXpry^zEv<x¸x~y^{Ev<z � ¯Sy^xXxXy^i }�p � hj}�®
� � � 8
�� ��������������������! "�#���
�� ��������������������! "�#���
$&%(')% � $&%(')% �
*
+
�,
,
*-
.
XU8
� 6 U
, U 8
� pw�^s � h 8 V-C�h�y^i�hjx � ��y^«:x d hl}�p|i�{utrh�i�y � h�t
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 37: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/37.jpg)
�^k � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
D h�} d v<trt6s }Xh � p|zÄx d pw}�}�h���xXpwy<zÄx d hn{ � hj}Xh�zAx~v<xXpry^zÄy^«Lx d h�v<tr��y � p|x d i ¤ h��¢v¦�hnprzÄ}�s�¯ }Xhj�jxXpry^z��®é��® ku® Á hjz �jh^µ ¤ hL��y^zu}�x � s �jxMx ¤ y²}�h�¢s hjzu��h�} �2 � O v\z � �2 � / ¤¸d pw� d v<{u{ � y��Ap|i7v<xXh � 2UO : 2 / �ëµ � h�}�x � pw�jx�pwy^zu}x~y�X O v<z � X / y^« 2 ® ced hlh�¢s�v<x�pwy^zu}±«¬y � �2 � O v<z � �2 � / v � h`b c , 35/ �2 � K , > �2 � K 698�K]: f 6 � : 8
- � �2 � K � <p: Zm� 6 - � �2 � K � <p: U � 6 Z : f 6 � : 8����¢�L�
`aaab aaac� ,$- 1 �2�� O XDC 3 �2�� O �+� , U 8 : �G� 6 Z
� - 1 �2�� / X C 3 �2�� / �+� X U 8 : �G� 6 ZGF����N9m�ced h �jy^su{ut|prz � ¯>h�x ¤ hjhjz x ¤ y%}�s ���jh�}X}�pr¦^h p|x~h � v<xXpry^z } � v<z � � X �7pw},i�v � h�v<x#x d h�twh�¦�h�t´y^«±x d hprzqxXh � «bv<��h <76 Z � � � � d O - 1 �2 � NPOO � 1 � Q�XDC 3 � �2 � NPOO � 1 � QJ6 < � / O
, � � � � d O - 1 �2�� NPO/ � 1 � Q X C 3 � �2�� NPO/ � 1 � Q 6 <�� �O / :����¢�L�¤¸d h � h ��� 6 � � A v^�jy^¯up�� y � ��� 6 � X �7� Clv<s }X}-oAhjp � hjtr�ë® ced h�y^{Sh � v\x~y � � pw}3� d y�}Xh�z�v\i�y^zu� vx ¤ y{>y^}�prx�pr¦^h�{�v � v<i�hjxXh � }l«bv<i�prt|�?� � pw},v ¯�pé��h���xXpry^z§« � y^i < Z\ ��Z : U �ly<zAxXy U / ��Z : U �-v^}-}XyAy^z v<}� E Z�® �
� 6 � � 6 � � � � , �
3 / -0/� � � Z� F������m�� y � vn�^pr¦^hjz � h�t¶v\��v<x�pwy^z {�v � v<i�hjxXh � �Aµ�x d h < � O / v<z � < � / O v � h�su{ � v<x~h � ¯q�7x d h�«¬y � i#s�t¶v
< � NPOO / 6 ��� , �]� < � O / X � 4 , � � � � d O - 1 �2 � NPOO � 1 � Q�XDC 3 � �2 � NPOO � 1 � Q :<�� NPO/ O 6 ��� , �]� <�� / O X � 4 � � � � d O - 1 �2�� NPO/ � 1 � QeXDC 3 � �2�� NPO/ � 1 � Q : F������m�
�u� y^i x d hL��hjz h � v<tqx d h�y � ��µ ¤ h³v<t � hv � � ° z y ¤ x d v<x·x d h³h �X� y � �� � K 6 �2 � K , 20K]: f 6 � : 8 ��y^zq¦^h � �^h�}x~yE¹�h � y ¤ prx d x d h�p|z � h��§y^«¸p|x~h � v<x�pwy^z � ® ced h v<p|i�y^« ¤¸d v\x�«¬y^t|twy ¤ }-pr}-xXy � h�x~h � i�prz h�x d h � v<xXhy^«�x d pw}²��y^zq¦�h � ��h�z ��h<®,�´x H � }�xµ>x d h#h ��� y � }3}~v\xXpw}�«¶��x~y�¯Sy^x d x d h Á hjt|i d y<trx~¹-h�¢s�v\xXpwy<z ¤ prx d ¹�h � y}Xhj��y^z � x~h � i v\z � x d h-v<¯ }�y � ¯up|z �n¯>y<suz � v � � ��y<z � prx�pwy^z v\x < 6AX � / � f 6 8 �´v\z � <76 , � / � f 6 �&��®� }�prz � ced hjy � h�i ��µ ¤ h � h � s �jh-x d hlh�}�xXpri�v<xXh�}� �� � NPOO � /� Z�� 9 Z � � � Q � � � � � d O - 1 �� � NPOO � 1 � Q X C 3 � �� � NPOO � 1 � Q � /� \ � Q � �� � Q � � � / O � /� \ � Q � �� �� � NPO/ � /� Z�� 9 \ � � � Q � � , � � � � d O - 1 �� � NPO/ � 1 � QeX C 3 � �� � NPO/ � � 1 � Q � /� \ � Q � �� � Q � � � �O / � /� \ � Q � � F����NZm�
¤¸d h � h � � O / v<z � � � / O v � h�x d h-h �X� y � } v<x¸p|zAxXh � «bv^��hj}�® ced hj��}Xv<xXpr}�«¶�7xXy� � NPOO / 6 ��� , �]��� � O / X � � , � � � � d O - 1 �� � NPOO � 1 � Q�X C 3 � �� � NPOO � 1 � Q �� � O / 6 ��� , �L� � � O / , � �^� � � � d O - 1 �� � NPO/ � 1 � QeXDC 3 � �� � NPO/ � 1 � Q � F������&�
n�oP[pnrq
![Page 38: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/38.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �¢�
£ z�x d h�z hë�Ax²}�su¯ }�h��jx�pwy^zHµ ¤ h � h � pr¦^h�h��A{ut|pw�jp|x¸h��A{ � h�}�}�pwy<z }¸«¬y � x d h�h �X� y � } � � O / v<z � � � / O ¤¸d pw� d twhv �s }¸x~y�} d v � {h ��� y � hj}�xXp|i7v\x~h�}j®
�I� . �,�"�,�64.)A�,�����V� ���X����# 41���ced h�}Xy<trsux�pwy^z¨y<«²x d pw}#}�h�¢s h�z ��hEy^«±{ � y^¯�twhji�}n�v\z ¯Sh h��A{ut|pw��prx~h�tr� � h � pr¦^h � ¤ prx d x d h d h�tr{ y^«²vx~hj� d zuprÂqsuh,y^«:}Xh�{�v � v<xXpry^z y^«:¦<v � p¶v<¯�twh�}j® D hlp|zqx � y � s �jh^µ
�� � K � <p: �G� 6 ��� � Q �� � K � � < � � � � �G� : f 6 � : 8� � K 9 6 ��� � Q �� � K 9 � � � � �G� : f < 6 � 8 y � 8 � :
���� 8 �
¤¸d h � h3«¶suz ��xXpry^z } � � ��� �Lv � h x d h�h�pw��h�zq¦�h���x~y � }¸y^« - � � ¤ prx d � h�sui7v\zuz ¯>y<suz � v � ���jy^z � p|xXpry^z }´v\z �v � h,v\tw}Xynh�pw��h�zu«¶suz ��xXpry^z }±y^« � �`aaaaaaaaaaab aaaaaaaaaaac
� � � �G� 6� 8U ��y�} � U � � , U 8 ��� :
� � � � 6 � � �� �� � � : � �� �� 6 � � X � /
3 / U /�� / � Z\� 35/ X > � � � 6 fG/� � � X -0/1�1 � � f � 6
�3 / , / � /U / :
������m�
�bx d h{ � h���pw}Xh� d y^pw�jh�y^«�x d h�}�pr�^zW«¬y � x d h��y^i�{utwhë� }X¢s�v � h � yAy^x � h Huzup|z � f � � yAh�}�zuy^x � hv<t|tr�i�v<xXxXh � �ë®ced h�¢s�v\zAx�prx�pwh�} �� � K � � < � v � h � y<s � prh � ��yAh+(��jprhjzqx~}²y^«�x d h,h �X� y � ® D h�} d v<trt·}Xv� x d v<x �� � K � � < �¸pr}x d h�i�y � h#y<«$y � � h � � y^«�x d hnh �X� y � xXh � i �� � K ®"S$v^� d y^«$x d hji }~v<x�pw} Huh�}�v � h � s �jh � d y^i�y���h�z h�y^su}
Á h�tri d y^t|x~¹3hjÂqs v<xXpry^zf /� �� � NPOK � X - /1�1 �� � NPOK � 6 Z :����^k �
prz�x d hjp �¸� h�}�{>hj�jx�pr¦�h � y^i�v<p|z }�® ced h�}Xh,h�¢s�v<x�pwy^zu}±v � hl}Xy<tr¦�h � v<����y � � p|z �nx~y�� � NPOO �j6 > � NPOO � hë�A{ � C f � < � X�� � NPOO � hë�V{ � , C f � < ��� � NPO/ �j6 > � NPO/ � hë�A{ � , C f � < � X � � NPO/ � h��A{ � C f � < � F
����¢�L��ey^s�z � v � � ��y<z � prx�pwy^zu}nv<x <g6 Z%v<z � < 6 @ � / v\trtwy ¤ }�su}#x~y � h�x~h � i�p|z h > � NPOK � v<z � � � NPOK � v<}nv«¶suz ��xXpry^z y^«:x d h �� � O / � v<z � �� � / O � ®
L � � > � NPOO �� � NPOO � � 6 �� � / O �� � � ��
Z � : L � � > � NPO/ �� � NPO/ � � 6 �� � �O / �� � � ��
Z � :����N9m�¤ prx d
L � 6�� C f � X C 3 � �� : , C f � XDC 3 � ��� , C f � XDC 3 � � d � K� � � / : � C f � XDC 3 � � N � K� � � /
� :����¢�L�
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 39: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/39.jpg)
�N9 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
��s � ��y¢v<t:pw}3x~y�y^¯�x©v<p|z�v � h��js � }�p|¦�h � h�t¶v<x�pwy^z�«¬y � � �� � O / �m: �� � / O � ��®�S�¢s�v<x�pwy^z��������&�²p|i�{ut|pwhj}²x d h«¬y^t|twy ¤ prz ��h�¢s�v<t|prxÎ��«¬y � x d h � y^s � pwh � ��y^i�{>y<z hjzqx~} y^«Mx d hlh �X� y � v<x¸przqx~h � «bv^�jh�� � NPOO / ��6 ��� , �]� �� � O / �JX � 4 , � � �� � d Z\ - 1 �� � NPOO � � 1 � Q X C 3 � � �� � Z\ �� � NPOO � � 1 � Q :�� � NPO/ O � 6 ��� , �]� �� � / O � X � 4 � � �� � d Z\ - 1 �� � NPO/ � � 1 � Q�XDC 3 � � �� � Z\ �� � NPO/ � � 1 � Q : F
������m�
y � µ�s }�p|z �������¢�]��� � NPOO / ��6 ��� , �L� �� � O / � X �
� � � �[� C f � XDC 3 � �� � > � NPOO � X � , C f � XDC 3 � �� � � � NPOO � ��� � NPO/ O � 6 ��� , �L� �� � / O � X �
� � � �[� f � X 3 � �� � > � NPO/ � X � ,Ef � X 3 � �� � � � NPO/ � � F������m�
� pwvk����N9m��µ ¤ h%�v<z h�trp|i�p|z�v<x~h x d h > � NPOK � v<z � � � NPOK � v\z � y^¯ux~v<prz v � hjtwv<xXpry^z } d pr{5¯Shjx ¤ h�h�z x ¤ y}�su����hj}X}�pr¦�h-prxXh � v\x~h�}j® D hly^¯ux~v<prz
�� � NPOO / � 6 ��� , �]� �� � O / � X ��� � �� � / O ��� � NPO/ O �B6 ��� , �]� �� � / O �5X ��� � �� � �O / �� 8 ZNZm�¤ prx d
� � 6 � ,Ef � X 3 � �� �+� f � X 3 � � � � ���\ , � f � X 3 � �� �+� ,Ef � X 3 � � d � � ���\� f � X 3 � �� � � f � X 3 � � � � � �\ , � ,Ef � X 3 � �� �+� ,Ef � X 3 � � d � � � �\ F� 8 Z��&�
S�¢s�v<xXpry^z_� 8 Z�Zm�e�v<z ¯Sh ¤¸� prx�x~hjz�p|z x d h�i7v\x � pÓ��«¬y � i�� �� � NPOO / ��� � NPO/ O �
� 6 � � � �L�
�� �� � O / ��� � / O �
�� 8 Z 8 �
¤ prx dA v^��y^¯�p V � � � �L� 6
� � , � : ��� ���� � : ��� , �]� � :� 8 Z��m�
Clv<s }�}²oVhjp � hjt�V � � � �]� 6� � , � ��� �� ��� , �]��� � ��� , �L� X � / � /� �$F� 8 Z^k �
�u� y^i � 8 Z 8 ��µ ¤ h � h � s ��h-x d hl} d v � {Eh�}�xXpri�v<xXhB� ¤ p|x d A v^��y^¯�p·v<x±twh�v^}�x�µ�x d hlhjÂqs v<trp|xÎ�7�v\zyA����s � ���� � NPOO / � � / X ��� � NPO/ O � � / � � � � � �L� � / �\ 4 ��� Q O / � � / X ��� Q / O � � / : :� 8 Z¢�L�
¤¸d h � h � � � \ � h�z y^xXh�}�x d h�i7v��Vp|i#sui"y^«�x d h�}X¢s�v � h � yAy^x�y^«²x d h hjpr��hjzq¦<v<t|s h�}�y^«²x d h i�v<x � p|�� � � ®³��«��jy^s � }Xh^µux d hl��hjzuh � v\tgx d hjy � ��y^«:��y<zA¦^h � ��hjz �jh,p|z � pw��v<x~hj}´s }¸x d v\x V
� � : �� � � �]� � \ S �� 8 ZN9m�
n�oP[pnrq
![Page 40: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/40.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �¢�
ced pr}e�v\z v<tr}Xy,¯Sh � d h�� ° h � ¯A��v � p � hj�jx³��y^i�{usux~v<xXpry^z�«¬y � x d h A v^��y^¯�p � }´v<tr��y � p|x d i s }�p|z � � � � � S ��I}�h�hlx d h�«¬y � x d �jy^i�prz �#}�h���xXpwy<z%�V®é�m�³¯us�x pr}´twhj}X}±y^¯q¦qpwy^s }´«¬y � x d h"Clv<s }X}çÇ�oVh�p � h�tMv<tw�^y � p|x d iE® � y ¤ µ¤ h � h�Huz h �
� 6 }�su{� � � � � �L� � \ :� 8 Z¢�L�v<z � s }�prz � � t¶v<zu� d h � hjt|Ç � v � ��h�¦^v\t � }±x d h�y � hji� � �9 K � /� \ � Q � � 6 � � ��� �9 K � � / :� 8 Z��m�przuh�¢s�v<t|prxÎ��� 8 Z¢�L�$twhv � }¸x~ynx d hlhj}�xXp|i7v\x~h��^p|¦�h3s }¸pri�i�h � pwv<xXt|�� �� � NPOO � � Z�� 9 Z � � � � �� : � �� � NPO/ � � Z�� 9 Z � � � � � ��� 8 Z��m�¤ prx d � / 6 � /Q � � Q O / � /� \ � Q � � X � /Q � � Q / O � /� \ � Q � � F� 8 ��Zm���}-v���y^zu}Xh�¢s h�z ��h<µ�v ��h�y<i�h�x � pr�v<t6��y^zq¦^h � �^hjz �jh7yV�j�js � } ¤¸d hjz �
� pw}�}�x � pw�jx�tr�Etwh�}�}�x d v<z ��®�ÅEy\Ç� hjy�¦�h � µ � � ��y�¦�h � z }±x d h � v<x~h�y<«���y<zA¦^h � ��hjz �jh$V�p|x¸pw}´x d s }±x d h � pw� d x¸Â¢s�v\zAx�prxÎ�7xXy�v\z�v<tr�A}�h^®��� .O��4.)�� ���L� � �M��!"�F�"�V��� �,��� �,� �,�'3�4.) 1"��� � ���£ x±pw}¸z y^x � p*(���sutrx¸xXy � hv<t|pw¹jh3x d v<x x d h � � � }�v � h�z y^x d prz ��hjtr}Xhlx d v<z x d h-z y<z¹jh � y�hjpr��hjzq¦<v<trsuh�}±y^«y^{Sh � v<x~y � Lj�?L <I6 Z�µgpr« < pr}3twyA�v<t|pw¹jh � y^z¥x d h�¯Sy^suz � v � prh�}
@K K ��®���} L pw}-v ��y^zqx � v^��xXpwy<zgµMv<trt
x d h � � � � i#su}�x ¯>h�twhj}X}±x d v\z���® D h � pr}�xXp|z �^supr} d � p*)>h � hjzqx²�v^}�h�}²v^���jy � � prz ��x~y f � pw} � hv<tCµu{us � h�tr�pri�v^�^p|z�v � ��y � ¹�h � y� £ « ���� � S �NV ced hli�y � h�pr}´{ � y^{ v^�¢v<x�pr¦�h<µ f � pr} � hv\tƵ�hj¢s�v<t·x~y 3 � � , � \ � \� \ � \ v<z �
� � 6 �jy�}V� K � �/ � f � 3 � � �� , ��� X C }�przH� K � �/ �+� 3 / � �� , f /� ���y�} � K � �/ � f � 3 � � �� X ��� X C }�przH� K � �/ �+� 3 / � �� X f /� � F� 8 ���&�
� £ « ���� � E �NV ced hli�y � h�pr}¸hj¦<v<z hj}X��h�zqxµ f � pw}´p|i7v<�^prz�v � ��µAh�¢s�v\tMxXy C � 69C � � \ � \� \ � \ , �,v<z �
� � 6 C �jy�} d ��� � �/ � � 3 � � �� , �&� , }�prz d ��� � �/ �+� 3 / � �� X /� �C �jy�} d ��� � �/ � � 3 � � �� X �&� , }�p|z d ��� � �/ � � 3 / � �� , /� � F� 8 � 8 �
� £ « ���� � 6 �NV f � 6 Z�v<z �
� � 6 � � � � X � , � XDC � �/ � � X �� � X � X � XDC � �/ � � X �� 8 ���m�
£ zEhv^� d �v^}�h^µ�prx¸pw}´zuy^x � p (��js�trx¸x~y�� d hj� ° x d v<x±x d h-i�y � sutrs }¸y<« � � pr}±v<t ¤ v�V} }�x � pr�jxXt|��trh�}X}±x d v<z�#v<} ¤ h�i�pr� d x h��A{>hj�jx�®3�²z�v\tr�A¹jp|z � ¤¸d v<x d v\{u{>h�z } � h�}�{Sh���xXp|¦�hjt|�E«¬y � }�i7v<t|tMv<z � twv � �^h-¦<v<t|s h�} y^«� {Sh � i�prxX}³s }³x~y � pr}�xXp|z �^supr} d x d h � y^twh²y^«·x d h�{ v � v<i�hjxXh � } � v<z � � p|z x d h3�jy^zq¦�h � ��h�z ��hl{ � yA��hj}X}j®£ z � hjh � V
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 41: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/41.jpg)
��� � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
� D d h�z � pw} ZVµ ¤ h-��h�x� QJ6
� � , �� � X � F� 8 �k �
¤¸d pr� d } d y ¤ } x d v<x � ¤ prt|tH��y�¦^h � zh�}�}Xhjzqx�p¶v<t|tr��x d hl��y^zq¦^h � �^hjz �jh�y^«Mx d h�try ¤ « � hj¢s hjz ��pwhj}�®� D d h�z � � � y ¤ }¸xXy�p|z@Huzup|xÎ��µ ¤ h-��hjx
trp|i��� � � � � �96 C � � , �C � � X � F� 8 ���L�
¤¸d pr� d } d y ¤ } x d v<x � ¤ p|trt>��y�¦�h � z�hj}X}Xh�zqxXp¶v\trtr��x d hl�jy^zq¦�h � ��hjzu��h�y<«:x d h d pw� d « � h�¢s hjzu�jpwhj}�®£ z {�v � x�pw��sut¶v � � 8 ���]�³} d y ¤ } x d v<x
trpri��� � � � � � 6 � :� 8 ��9m�¤¸d v<x�pri�{utrprh�}±x d v<x � L � pw}²h�¢s�v<t6x~y%��V±x d pr} � h�i�y^zu}�x � v<x~hj}�µ>p|z�x d pw}�{�v � xXpr�jsutwv � �v^}�h^µHx d v<x3x d h«¬y � i7v<t>}Xh � pwhj} � L � � yAh�}¸z y<x²�jy^zq¦�h � ��h,v<¯ }�y^trsuxXhjt|��®��� � !"�=� �V�A3��,� ��,�"� � �641���=� �V� ��!"���A4 � �V+(���]� 4.) �����I��!(##ghjx$s }^H � }�xL� d h�� ° x d v<x$«¬y � x d h A v^�jy^¯up � }Lv<tw�^y � p|x d iEµ<y<z h²�^hjx~}$hë�V{Sy^z h�zqxXp¶v\t���y^zq¦�h � ��h�z ��h3v^}$}XyAy^zv^} � >6 Z�v\z � � = ! Z : � å®L��z hl��y<i�{us�x~h�}±h�v^}�p|tr��x d v<x�
� � � �]� � \ 6 i�v\��
� � , � @ ��� � � S �LF� 8 ���L�ced h-y^zut|� � h�trpw��v<x~h3{Sy^p|zAx¸pr}´x~y�hjz }�s � hlx d v<x±x d h � � � ynz y^x²v^�j�jsui�sut¶v<xXh3z hv � @ �-p|z ¤¸d pw� d �v^}�h�� � � �L� � \ ¤ y^sut � xXhjz � x~y¥��«¬y � v<trt6¦^v\trs hj}-y<« ��v<z � �
�¤ y^sut � ¯Sh���®������jy � � prz ��x~y � 8 ���L��µ ¤ h
d v¦�h � �� 6 t|pri��� N�� � � � � �L� � \ 6 i�v\�
�� � , � @ ��� � � :� 8 ���m�
¤¸d pr� d pr}¸}�x � pw��xXtr��}�i�v<trtrh � x d v<zÄ��«¬y � � >6 Z�v<z � � = ! Z : � 0�I}Xhjh Hu�^s � hV��®7» ���u��� '�' ! �� � � � �=���;������� [ ���� � [ �3 �� �� ��_^��� �����;� �� �� ��� ��� �;�P� �]� � � R ��� ���� ��� �� � 6 � � �/% � ��� � � ��;�� ��� � � � � ����� � � E ��� D �� ������?�]��� ���� ��� �� � � \^ ������ � �� � � ��� � ����R ��� � ^����� ;� �/��� � ��� R ��� � �� [ ���� � R �� ����$��� � �� S ��� � �� � � � % B ��� � �� ��� �� � � R ��� � ^����� /� � ������ ��� ��������� R ��� �� ��� � S ��� ���� � �� �� ���.��)"��� ��� �6Y �]� � � @ � %7» ���u��� '@5 � ���� � 6 Z � � �� �]� � ���� ��� �� ���� ��/� �B� ��� � � � ����� �� ����� �
� 6 � [ � �� �� ����P� ������� 6 � % P �� � � �������;�=��� ����^��� S �� �� � � ��� �a`����� ������?�]� ��R� �=��� �����?������ � �.��& � � � ���� � ��������� ��� �_^�� �=��� ����^��� S �� ���% � �=������ ���$� �3����� ����� � � � ���G�� ��� [ ���� Y @����?�� �� ��� Q O / � � / X ��� Q / O � � / � �� � #�TS � �.� & "��(S ������� � ,��� �� [ ���� � S ������� � � \^��� �&� [ � �� ��$��^���� ^���� ���� � S] � �� #�� ����B���� ��� �� � � ��"� � ���� �a`6� �� ������G�?����R% P +�.�! � �^��^� � ����� [ 3�=� �����^� � �=��� ������ �?����B� ����$������ �� � S ���=���@���� ;�� � � E Z� �� � O � � Z�� 9 Z � X � �� � / � � Z�� 9 \ � � ���
� O d �
n�oP[pnrq
![Page 42: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/42.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���
���� � >6 ��� 8 ��R� � �� � O � � Z � 9 Z � X � �� � / � � Z � 9 \ � � ���� � � / d �
���� � 6 ��� 8 %
��«��jy^s � }Xh�x d h z hë�Vx�}�xXhj{ y^«�x d h v<z�v<t|�A}�pw}n�jy^z }�pw}�x�pr}�v<z } ¤ h � prz �¥x d h ¢s hj}�x�pwy^z V ¤¸d v<x�pw}nx d h� d y^pr��h#«¬y � x d hn{�v � v<i�hjx~h � }� : � v\z � � ¤¸d pr� d¥¤ prtrt:i�p|zupri�pw¹jh � � � ��� ��} ¤ h�v � hn�^y^prz �7xXy }Xhjh^µMvH � }�x�z v<pr¦^h7v<z�v\tr�A}�pr}-¯�v<}Xh � y<z x d h�h���v<i�prz�v\xXpwy<z�y^«etwy ¤ v<z � d pw� d « � h�¢s h�z �jprh�} ¤ y^sut � twh�v � xXy� d yAy�}Xh � 6 ��µ � 6 �lv<z � � 6 ��� 8 ® Á y ¤ hj¦�h � µ pr«Hy^z h�tryVy ° }ev<x±v,xÎ�q{upr�v<t>�js � ¦�h � , � � � � � �L� � \y^z hl}�h�h�}±x d v<x±y^z h d v^}¸xXy � pw}�x�prz �<supw} d x du� hjh � h��<pwy^z }´«¬y � � ®
� Á pw� d « � hj¢s hjz ��pwhj}"V � �� � E E �
� y � x d h�}�hl¦<v<t|s h�}jµux d hl�jy^zq¦�h � ��hjzu��h,pr}¸h�}�}Xhjzqx�p¶v<t|tr� ��y�¦^h � zuh � ¯q�� �� 6 i�v\�
�� � , � @ ��� � �
£ x�pw}�x d hjz }�x � v<pw�^x d «¬y ��¤ v � � x~y � hv\trpw¹jh x d v<x7x d hE¯Sh�}�x ¤ v�� x~y � v<i�{5x d hj}Xh%hj¦<v<zuh�}X�jhjzqxi�y � h�}3pw}3xXy {�pw� ° � 6 ��v<z � � 6 O/ V3x d h � � � },v<���js�i#sut¶v\x~h�}�z h�v � C v<z � � � � � � 6 O/ � � \xXhjz � }±x~y O
� / ®� #gy ¤ « � h�¢s hjzu�jpwhj}"V ���� � S S �
� y � x d h�}�hl¦<v<t|s h�}jµux d hl�jy^zq¦�h � ��hjzu��h,pr}¸h�}�}Xhjzqx�p¶v<t|tr� ��y�¦^h � zuh � ¯q�� Q��6 i�v\�� � � , � @ ��� Q �� }�przu��� 8 �k �ëµuy^z hl}�h�h�}±x d v<x¸x d h�¯Sh�}�x ¦<v<t|s h3«¬y � � pw}��^®
� y<x~h�x d v<x�p|«�y^z h�}�x~y<{ }�x d h � pw}��js }�}�pry^z d h � h^µ>x d h#}�pw¹�h U y<«�x d h#}�su¯ � y^i�v<prz } d v^}�zuy�prz@W�s hjz �jhy^z y^s � � d y<pw��h<®
� � h�}�y^z�v<zqx±« � hjÂqsuhjz ��pwh�} V ���� ��� �
ced hj}Xh±¦<v<trs hj}�y^« � ��y ��� h�}�{>y<z � xXylv3twyA�v<tVi7v\�Ap|i#sui y^«[x d h¸��s � ¦^h � ,�� �� � � �]� � \ µ ¤¸d pw� dpr}�v<tr}Xy�x d h,�^twy<¯�v<tgi�v\�Apri#sui przv�twy<x²y<«��v^}�h�}j® ced h,��y^zq¦^h � �^hjz �jhny^«�x d h � hjt¶v\x~h � i�y � hj}
pr}´z y ¤ ��y�¦�h � z h � ¯q� � �� 6 i�v\�� � � , � @ ��� � � :
¤¸d h � h � � pr}��^pr¦^hjz�¯A� � 8 ���L��µ ¤¸d pr� d } d y ¤ }Lx d v<x�x � �qprz ��x~y�i�przup|i�pr¹�h � �� przq¦�y<tr¦�hj}Lx d h¸¦<v<trs hy^« 3 U ® £ z { v � x�pw�js�t¶v � µ � � x~h�z � }�xXy�� ¤¸d hjz 3 U x~h�z � }�xXy X�� µ ¤¸d v<x~h�¦�h � x d h�¦^v\trs h�y^«� � : � �³y � �#pr}�®
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 43: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/43.jpg)
k Z � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 5 10 15 20 25 30
’jacobi’’jacobi’
� pr�^s � h�� V$Ã3y^i�v<prz7y^«6x ¤ y ¤ v¦�h�twhjzu� d x~}�V � � prz�«¶suzu�jxXpry^z y^« � «¬y � � 6 O/ : � 6 � 6 �
£ x,v<{u{Shv � }�x d h�z§x d v<x,v ��yVy � }�x � v<xXh��^�%«¬y � � d yVy�}�prz � � : � v<z � �7�jy^z }�pw}�xX}-p|z¥i�p|zupri�pw¹�prz �uµ 3 U¯Shjprzu���<pr¦�h�zgµux d h-¢s�v\zAx�prxÎ�
i7v�� � � Q�0: � ��;: � �� � 8 ���m�¤¸d pr� d ��v<z�hv<}�prt|��¯>h � y^z h^µuv<x´twh�v^}�x³zqsui�h � pr�v<t|tr��® D h3{ � h�}�hjzqx¸x d h � h�}�sutrxX}´y^«·x d pw}ey<{uxXp|i�pr¹v<x�pwy^z{ � yV�jh � s � h²p|z � pr�^s � h²k ¤¸d h � h^µ�«¬y � � p )Sh � h�zqxe¦<v<trsuh�}Ly^«>x d h²« � h�¢s hjzu�j���b« � y<i 3 U 6 ¤¸d pw� d ��y � Ç� hj}�{Sy^z � }Lx~y # 6 Z�®å� ¤ v¦^hjtwh�z �^x d h�}exXy 3 U 6 ��Z ¤¸d pw� d ��y ��� h�}�{>y<z � }³xXy # 6 � ¤ v¦�h�twh�z �^x d h�}��뵤 h�{utry^xlx d h��js � ¦�hj} � ,�� �
� � � �L� � \ «¬y � x d h�y^{ux�pri�v<t�¦<v<trsuh�}ly^« � � : � : �]� ¤¸d pr� d v � h��<pr¦�h�z�p|zc v<¯utwh���µSv^} ¤ hjt|t�v<}²x d h�y^{ux�pri�v<tH¦<v<t|s h,y<«�x d h,��y^zq¦^h � �^hjz �jh � v<x~h<® D h,y^¯ }Xh � ¦^h#h��A{Sh � p|i�h�zqx©v<t|tr�x d v<x¸x d hly^{�xXpri�v<tS¦^v\trs h�y^« � � : � : �]�Lpw}´x d hly^z h ¤¸d pw� d hjzu}�s � h�}±x d hlh�¢s�v\trprxÎ�� Q
��6 � ���6 � �
�� 8�8 Zm��²tr}Xyuµ ¤ h�z y^x�pw�jh3x d v<x¸x d hly^{ux�pri�v<t � v<x~h � h�� � hv^}�h�} ¤¸d hjz x d h�« � h�¢s hjzu�j� przu� � h�v^}Xhj} ¤¸d pw� d pw}´z y<x}�s � { � pw}�p|z ��v<z � v<x±trhv^}�x��jy d h � hjzqx ¤ p|x d x d hl«bv^�jx � � x~hjz � }²xXy� ¤¸d hjz 3 U xXhjz � } x~y X�� ® � y^xXhv<tr}Xy7x d v<xl«¬y � t¶v � ��h#« � h�¢s hjzu�jpwhj} ��� � �³v<z � � � � �³v � h � h�v<trt|� � p )Sh � h�zqx-« � y^i'� ¤¸d p|twh � � � � � hji�v<prz }�jtry�}Xh � xXy O/ ®
3 U 6 3 U 6 8 3 U 6 k 3 U 6 ��Z � Z�®Ó������� 8 Z�® Z 8 9^� Z�® ZNZ¢�\k¢�¢� ZV® ZNZ�Z����^k� Z�®é�¢����ZNZ Z�®å�^� Z�® 8 �NZ���9 Z�® Z�Z�� 8� Z�®Û�V��9NZ ZV® 9^k¢� ZV®å�V��9NZ Z�®å�\ku� 8 9�� Z�®Û�^�^kq�^�^� ZV®Û� 8 � Z�®Û��Z�� Z�®Û���^� 8
c v<¯�twhn�NVL��{ux�pri�v<t>{�v � v<i�hjxXh � }´«¬y � k � p*)>h � h�zAxX}¸twhjzu� d x±y^« � y^i7v\prz � A v<��y^¯up��
� � � !"�=� �V�A3��,� ��,�"� � �641���=� �V� ��!"� �C4 1"� ��� �,�L&(�*)��]� 4.) �����I��!(#D h � y%z y^x � h�{ � y � s �jh x d h � pr}X��s }X}�pwy^z ¤¸d pw� d pr}nh�}X}�hjzqxXpwv<trt|�§x d h }~v\i�h7x d v<z «¬y � x d h A v^��y^¯�p � }v<tr��y � p|x d i hë���jhj{ux x d hl«bv<�jx±x d v\x¸x d hl��y<i�{us�x©v<x�pwy^z }´v � h d h�v�¦qprh � ® D hly^zutr��{ � hj}Xh�zAx prz � pr�^s � hl�
n�oP[pnrq
![Page 44: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/44.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ku�
0.71
0.715
0.72
0.725
0.73
0.735
0.74
0 5 10 15 20
’taup_0.5wl.dat’’taup_0.5wl.dat’
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0 5 10 15 20
’taup_1wl.dat’’taup_1wl.dat’
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0 5 10 15 20
’taup_2wl.dat’’taup_2wl.dat’
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
’taup_10wl.dat’’taup_10wl.dat’
� pr�^s � h k V��{ux�pri�v<t´��s � ¦^h�} � � �� � � �]� � / «¬y � x d h A v^��y^¯�p � }�v\tw��y � prx d i � 3 U 6 V x~y^{ twh�«¶xµ
3 U 6 8 V xXy^{ � pw� d x�µ 3 U 6 k V ¯Sy^xXxXy^i trhj«¶xµ 3 U 6 ��Z V6¯Sy^xXxXy^i � pr� d x® �3 U 6 3 U 6 8 3 U 6 k 3 U 6 ��Z
� Z�®Ó���^��� Z�® Z¢�V� 8 Z�® ZNZN9^k�� Z�® ZNZ���^k¢�� Z�®é�¢�V���^� Z�® k¢�¢�^�^� Z�® Z��¢�A� ZV® Z��V���� ZV®å� Z�®Û���V� 8 � Z�® ku���A� ZV®Û� 8 �¢��� Z�®Û��Z 8 � Z�® 9NZ^k Z�®é��� 8 � ZV®Û�N9��<k
c v<¯utrh 8 VL��{uxXp|i7v\t>{�v � v<i�hjx~h � }´«¬y � k � p*)>h � hjzqxX}±trhjz �<x d hj} y<« � y<i7v<p|zp� Clv<s }�}±oVh�p � h�tr�v<z � prz c v<¯utrh 8 x d h � h�}�s�trx~}²y^«�x d h � hj}Xh�v � � d y^{ux�pri�v<tg{�v � v<i�hjx~h � }j®E#ghjx3su}�hji�{ d v<}�pw¹jh�x d h,«bv^��xx d v<xµq«¬y � v��^pr¦^hjz7¦<v<t|s h y^« 3 U µ ¤ h3��h�x¸vl¯>h�xXx~h � �jy^zq¦�h � ��hjzu��h ¤ prx d x d h/Clv<s }X}çÇ�oVh�p � h�tHv\tw��y � prx d ix d v<z ¤ p|x d x d h A v<��y^¯up � }±v\tw��y � prx d i®
� � ������ ���%�%4��±�,���j���%�
��z h¸y^«�x d h±p|zqx~h � h�}�x~}�y^« d v¦qprz �3p � hjzqxXp H h � v3��h�z h � v<tu« � v<i�h ¤ y �X° «¬y � y^s � � y<i7v<p|z � hj��y^i�{>y^}�prx�pwy^zi�hjx d y � pr},xXy�}�p|i�{ut|pr«¶�%x d h�{ � h�}Xh�zqx©v<x�pwy^z y^«¸x d h7hë�VxXhjz }�pwy^z y<« x d pw}-xÎ�q{>h7y<«¸i�h�x d y � x~y�y<x d h �{ d �A}�pr�v<t·i�y � h�t ¤ prx d v���y<i�{utrhjxXh��^s�v � v<zqxÎ��y^«6�jy^zq¦�h � ��h�z ��h�V�x d h�v\¯ }�x � v^��x²�jy^zq¦�h � ��h�z ��h�{ � yAy^«� h�i7v\prz }3x � s h�y^z �jh�y^zuh d v<}l¦^h � p H h � x d v\x-x d h�y^{Sh � v\x~y � } � µ v\z � L d v¦�h�x d h���yAy � { � y^{Sh � Ç
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 45: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/45.jpg)
k 8 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.5
0.51
0.52
0.53
0 5 10 15 20
’taup_0.5wl.dat’’taup_0.5wl.dat’
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0 5 10 15 20
’taup_1wl.dat’’taup_1wl.dat’
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20
’taup_2wl.dat’’taup_2wl.dat’
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
0 10 20 30 40 50 60
’taup_10wl.dat’’taup_10wl.dat’
� pr�^s � h��GVn�3{�xXpri�v<t���s � ¦^h�} � � �� � � �L� � / «¬y � x d h$Clv<s }X}#oVhjp � hjt � },v<tr��y � p|x d i � 3 U 6 V xXy^{
twh�«¶xµ 3 U 6 8 V x~y^{ � pr� d xµ 3 U 6 k V ¯>y^x�x~y^i twhj«¶x�µ 3 U 6 ��Z V�¯Sy^x�x~y^i � pw� d x�® �xXprh�}j® £ zÄ}Xhj�jxXpry^z 9�® 8 µ ¤ h�} d v<trt6��y^zu}�p � h � x d h#x ¤ y�pri�{>y � x©v<zqx²h���v<i�{utwhj}�y^«Lx d hnh�t¶v^}�x~y � �qz�v<i�pw��}h�¢s�v\xXpwy<z } v<z � y^«6x d h-��à Åv\� ¤ hjtrt � }±}��V}�x~h�i®
�²z y<x d h � v � ¦<v<zqx©v^��h�y^«³y^s � v\¯ }�x � v^��x-« � v<i�h ¤ y �X° pr}3x~y przu�jtrs � h#x d h � pr}X� � hjxXhn{ � y^¯�twhji�}�y^¯�Çx©v\prz h � v<«¶x~h � v\{u{ � y�Apri�v<x�pwy^z�prz�}�{�v^�jh^µ�{ � y�¦qp � h � v,��yAy � � d y^pr��h3y^«>x d h�v\{u{ � y�Apri�v<x�pwy^z�{ � yA��hj}X}j®D h,v � hl��y^p|z �#x~y�} d y ¤ x d pr}´prz }Xhj�jxXpry^z39�®Ó��®
���� ����4 � �=& ��� ����� ��� � 41���L�V� 4.�"& &(��# 4.����&(��� �V# � � ���C���L�V�£ z x d pr}�}�h���xXpwy<zgµ ¤ h���yį v^� ° x~y¥y^s � i�y � hjt´{ � y^¯utrhji � 5 79 ��prz � p|i�h�z }�pry^z � 6 8 y � ��µev\z ���y<z }�p � h � x d h-��v^}Xh ¤¸d h � hlx d hly^{Sh � v<x~y � � 9 K pw} � h�Huz h � ¯q� �I�j«6}Xhj�jxXpry^z k �
� 9 K 6 � � � , �3 / > 9 K � Z�
v<z � v^}�}�sui�h#«¬y � }�pri�{utrpr�jprxÎ� x d v<x3x d h�X K � }lv � h#{Sy^t|� d h � � v<t � y^i�v<p|z }�® ced hnpri�{>y � x©v\z ��h,y^«$x d pr}}Xhj�jx�pwy^z¥trprh�} prz%x d h�«bv^�jx�x d h#�jy^zq¦�h � ��hjzu��h�y^«$x d h�v<tr��y � prx d i «¬y � x d hn��y^zqxXp|zqs y^s }3{ � y^¯utrhji � yVhj}z y^x�pri�{utr� x d h#��y<zA¦^h � ��hjz �jh�«¬y � v<zq� � pw}X� � h�x~h�v<{u{ � y�Apri�v<xXpry^zg® £ z�prxXpwv<tMzAs�i�h � pw��v<t:h��A{>h � p|i�h�zAxX}{Sh � «¬y � i�h � ¯q� ��®¸Ã3hj}�{ � h�} �b{Sh � }Xy^z�v\tl��y^i�i#suzupr�v<x�pwy^z0��} d y ¤ x d v\x v¨z v�� �r¦^h HuzuprxXh�Ç � p )Sh � hjz �jhv<{u{ � y�Apri�v<xXpry^z y^«Mx d h�p|zAxXh � «bv^��hl��y<z � prx�pwy^zu}´i�pr� d x´twh�v � x~ynsuz }�x©v<¯utrh�prx~h � v<x�pr¦^h�v<tw�^y � p|x d i�}�®
£ z y � � h � x~yEv¦�y^p � x d pw} ° prz � y^«´v^����p � h�zqxµ:x d h H � }�x,i�v\��y � p � hv7pw}�x d v<x-x d h � pr}X� � hjx�pw¹v\xXpwy<z} d y^sut � d v¦�h�x d h�}Xv<i�h�¦<v � pwv<xXpry^z�v<t:}�x � s ��xXs � h�x d v<zÄx d h���y^zqx�przqs y^s }j® ced pr}�twhv � }-z v<xXs � v<trt|�ExXy
n�oP[pnrq
![Page 46: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/46.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% k¢�
��y<z }�p � h � Huzup|x~h¸hjtrhji�hjzqx$i�h�x d y � }j® £ z�x d pw}$�jtwv^}X}$y^«Si�h�x d y � }jµqx d h±� d y^pr��h y^«>i�p|�Vh � Ç d �q¯ � p � H�zuprxXhhjtrhji�hjzqx´i�hjx d y � } ¤ v^}¸�^sup � h � ¯q��x d h�«bv^��x´x d v<xex d h�¢s�v<zqxXp|xXpwhj}³x d v<x¸y^zuh ¤ v\zAxX}´x~y#x � v<z }�i�p|x´v\xprzqxXh � «bv<��h�}jµgz�v<i�hjtr�Ex d hnx � v^�jh�y<«³x d h�}Xy^t|suxXpry^zÄv<z � y^«Lprx~}3zuy � i�v<t � h � p|¦^v\xXpr¦^h^µ ¤ h � h�h�v^}�p|tr�%v\z ���y<z }�pr}�x~h�zqxXtr�Ä�jy^i�{�sux©v<¯�twh�« � y^i�x d h � hj� � hjh�}#y^«¸« � h�h � y^iEµ ¤¸d pr� d pw}-z y^x-x d h7��v^}Xh�«¬y � p|z }�x~v<z �jh¤ prx d #·v^� � v<z ��h³hjtwh�i�h�zqx~}�® � prz v<trt|��µ ¤ h � hv\trpw¹jh � x d v<x:x d pr}6� d y<pw��h³{>h � i�prxXxXh � x~y�{us�x6x d h � hj}�sut|xXprzu�� pr}X� � hjxXh${ � y^¯utrhji ¤ p|x d p|z-y^s � ��h�z h � v<tq« � v<i�h ¤ y �X° y^«u}�h���xXpwy<z } 8 v<z � ��µ�h�z }�s � prz �±x d hL�jy^zq¦�h � ��h�z ��hy^«�x d hEp|x~h � v<xXp|¦�h�i�h�x d y � ® ced pw}�pw}�y^«���y<s � }�hx d hE{>y^p|zqx�y^«�¦Aprh ¤ ¤ h%v � hE��y^p|z �ÄxXy¨v � y<{ux�p|zy^s � { � hj}Xh�zAx~v<xXpry^zg® £ z x d h � h�}�x#y^«¸x d pw},}Xhj�jxXpry^zgµ ¤ h v^}�}�sui�h�«¬y � }�p|i�{�trpw��prxÎ�Ex d v<x,x d h$X K � }nv � h{Sy^tr� d h � � v<t � y^i�v<prz }j® D h � h�}�x � pr�jx±y^s � }Xh�tr¦�hj} xXynx d h�twy ¤ h � y � � h � hjtrhji�hjzqx¸«¬y � }�pri�{utrpr�jprxÎ�^®
:;1 » � » ��1 » � � y � hv^� d }�su¯�Ç � y^i�v<prz X K µ ¤ heprzqx � y � s ��hev�Huzup|x~hLhjtrhji�hjzqx6x � p¶v\z �^sutwv<xXpry^z�� � ��X K ��Iy<«Hx � p¶v<z �<twh�}�p|z 8 Ã#µ�xXhjx � v d h � � vlprz7��à ��y^«g}�xXhj{�ÇÆ}�pr¹�h�� E Z�® D h } d v<t|t � hjz y<x~h²¯q� h x d h���s �X� hjzqxhjtrhji�hjzqx#y<«�� � ��X K ��®�ÅEy � hjy�¦�h � µ�«¬y � h�v^� d p|zAxXh � «bv^��h
@ 9 K µ ¤ h7} d v<t|tev<}X}�s�i�h�x d v<x-x d h�x � v<��h�},y^«x d h3x ¤ ynx � p¶v<zu�^sut¶v\xXpwy<z }�� � ��X K �³v<z � � � ��X59 �³�jy � �rzu�jp � h ¤ prx d y^z h�}�p|z �^trh�}�s � «bv^�jh3x � pwv<z �^s�t¶v<x�pwy^z�y^«@ 9 K µ � hjz y^xXh � ®�� � � @ 9 K ��V,p|z y^x d h �-¤ y � � }jµ ¤ h ¤ y �X°¥¤ prx d i�v<x~� d p|z � � � p � }�® D h�} d v<t|t � hjz y^xXh¯q� � x d hl�js ��� hjzqx²hjtrhji�hjzqx y^«6}�s � d v � pr}X� � hjx�pw¹v\xXpwy<zg® D h-v<tr}Xy � h�z y^x~h�¯q��� � � @ K K �ex d h�x � v<��hly^«� � ��X K �´y^z
@K K ®
:;1 » � 2 � � » � � � ) Àª�+1 » ) � ) ¿A¾ ) < � Á h � h^µ ¤ hnp � h�zAx�pr«¶�Ex d hn}�{�v^��h � � ¤¸d pr� d§¤ p|trtM{ut¶v�x d h � y^twh�y<«:x d hl}�{�v^�jh � y^«:}Xhj�jx�pwy^z 8 ® D h d v�¦^h
� � 6 W�9 K��PO � �K 9� � :� 8�8 �&�¤¸d h � h � �K 9 6 � < �K 9 = U / � @ 9 K � � � � = � � �
@ 9 K � :^< �K 9 �� = 5 Q � � � F� 8�8N8 ���«6�jy^s � }Xh ¤ hl} d v<trtgtryVy ° «¬y � < � = � � v^} v<zEv<{u{ � y��Ap|i7v<x�pwy^z7y^« <�= � ® #ghjx±s }¸z y^x�pw�jh3x d v<x* � �
� � �� 8�8 �m�� h�Huz h � ¯q� � 8 9L��®:;1 »5¿�2�» ����� ¿ �\� � � � � � ) À L � #ghjx#s }�v � i�p|x,«¬y � v ¤¸d p|twh�x d h7h��Apr}�x~h�z ��h�y^«±}�hjt|«bv � ��y^p|zAxy^{Sh � v<x~y � }
� �K 9 =�� � � �K 9 � :� 8�8 k �¤¸d pr� d pw}³}�su{u{Sy�}�h � x~y,¯>h�v<z v<{�{ � y�Apri�v<xXpry^z�y^« � K 9�® £ z7y � � h � xXy � h�Huz h � � µ ¤ h H � }�xep|zAx � y � s �jhvn}�{�v<��h �
� «¬y � x d h-v<{u{ � y�Vp|i7v\xXpwy<z y^« � WK��PO U / ��X K ��
� 6 W�K��PO � �K :� 8�8 �L�
¤¸d h � h�
�K 6 � 2 �K = U / ��X K � � � h = � � ��X K � : 2 �K � W = 5 Q � h � :� 8�8 9m�
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 47: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/47.jpg)
k�k � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
v<z � vn}�{�v<��h�� � «¬y � x d h-v<{u{ � y�Apri�v<xXpry^z y^« � WK��PO < � � pr¦ � X K ��
� 6 W�K��PO � �K :� 8�8 �L�
¤¸d h � h�
�K 6 � ��K = < � � p|¦ � X K � � � h = � � ��X K � : �
�K � W = � � Q � h � :� 8�8 �m�¤¸d h � h � � Q � h � � h�z y^x~hj}gx d h�s }�s�v<t � v¦Apwv � x�Ç ced y<i7v^}çÇ � h � h�twh��6}�{�v^�jh�y^«Atwy ¤ hj}�x·y � � h � µ 8 ��!C® ced hjzHµ¤ h,��v<z � h Huzuh � � =�� � � � : � � � :� 8�8 �m�}�su� d x d v<x � � 6 � � �K � 6 � � ��� � � :� 8 �NZm�pr«gv<z � y^z�tr�npr«� � � : � � : � � � = �
� W�� � W � � pr}³x d h�}�y^trsux�pwy^z�y^«gx d h²«¬y^t|twy ¤ przu�-�jy^trtrh���xXpwy<z�y^«>twyA�v<t¦<v � pwv<xXpry^z�v<t[{ � y^¯utwh�i�}� 9 � � �K ��� �K � < X � 9 � � �K � p|¦�� �K � <T6 � 9 � - � � � �K 9 � �K � B K �� � � �K = � �K
, � 9 � � pr¦ ��K � � �K � < ,_35/ � 9 � � �K � �K � <T6 � 9 � 8 � �K � < � � �K = �
�K� � �K 9 � d O � � �K �_B K �.- � � � X C 3 � �K 9 � � �K �.- � � � 6 � �K 9 p|z � �K 9 :
� 8 ���&�
¤¸d pr� d pw}�z y<x d p|z ��¯usuxev-}�x©v<z � v � � i�pÓ��h � Ç d �q¯ � p � v<{u{ � y�Vp|i7v\xXpwy<z�y^«>x d h tryV��v<tu{ � y^¯utrhji � h�Huzup|z �� K prz_�I���&��® D h�x d h�z � h Huz h � =�� � � � � :� 8 � 8 �¯q� h��A{ � h�}�}�przu��x d v<x
< � 6 � � � :� 8 ���m�pr«:v<z � y^z�tr��p|«
� � f : < � : < �K 9 6 , � � �K 9 � d O � � �K �_B K �.- � � � XDC 3 � �K 9 � �K �.- � � :¤ p|x d � � �K : � �K : � �K �e}Xy^t|suxXpry^z�y^« � 8 �V�&� F
� 8 �^k �ced h � hv � h ��¤ prt|t�h�v^}�p|tr�-� d hj� ° x d v\x � pw}�v\znpw}Xy<i�h�x � �^µ^x d v<xYL � pr}�v3�jy^zqx � v<�jxXpry^z�v<z � x d v<x � , L �pw}´p|zq¦�h � xXp|¯utwh<® � y � ��y<i�{utrhjxXhjz hj}X} ¤ h�z hjh � x~ynh��A{utwv<prz d y ¤ y^z h���v<z�jy^z }�x � su�jx � �9 K ® ced h�p � hv�pr}x~y � h�Huz h
� �9 K 6 � � � , �3 / >
�9 K � Z� :� 8 �¢�L�¤¸d h � h > �9 K = � � � �9 K �²pw}�v<z§v<{�{ � y�Apri�v<xXpry^z%y^«$x d h�#·v<{ut¶v<��h�ÇI�ehjt|x � v<i�p:y^{Sh � v<x~y � > 9 K µHx d v<xly^zuh�v\z�jy^z }�x � s ��x²su}�przu��i�p|�Vh � H�zuprxXh�hjtwh�i�h�zqx~} v^}¸«¬y^trtry ¤ }�® D h/H � }�x � h Huz hlx d h-}�{�v^�jh
� �9 K 6 � � �9 K =3< � � pr¦ � � @ 9 K � � � � = � � � @ 9 K � : ��9 K �� = � � Q � � � :� 8 �N9m�
n�oP[pnrq
![Page 48: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/48.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% kq�
v<z � ¤ h � h Huz h� �9 K 6 , > �9 K < �9 K :� 8 �¢�L�
pr«:v<z � y^z�tr��p|« � - � � � �9 K,�9 K �� 6 � - � � � pr¦ � �9 K
,�9 K �� �
,�9 K = � �9 K� - � � �
�9 K � � �9 K �� 6 , � - � � < �9 K � p|¦ � �9 K �� � � �9 K = � �9 K F� 8 ���m�� y<x~h$x d v<xMprz,{ � v<�jxXpr��h<µ^y^z h d v^}Mx~y²��y^z }�x � s �jx:x d hLi7v<x � pÓ� � h�{ � hj}Xhjzqx�prz � , > �9 K v<z � xXy � pwv^��y^z v<trpr¹�hx d pw}´i�v<x � p|��prz y � � h � x~y���y<i�{us�x~h � �9 K ®��I� � ��!"�,� �(! ������� 4.)�#%� &(�,)L�D h�{ � hj}Xh�zAx d h � h d y ¤ xXynv � v\{ux¸y^s � � y^i�v<prz � h��jy^i�{>y�}�prx�pwy^z�i�h�x d y � xXy�{ � y<¯utwh�i�} ¤¸d y�}Xh3s�z ° Çz y ¤ zEv � h²¦�h���x~y � Huhjt � }�® D h²x � ��h�}�}Xhjzqx�p¶v<t|tr��x~y ° h�hj{ x d h3z y^x©v\xXpwy<z y^«gx d h3{ � h�¦Apry^s }¸}�h��jx�pwy^z v\z �y^zut|��i�hjzqxXpry^z x d hlzuh ¤ y<z h�} ¤¸d hjz ¤ h-«¬hjhjtHx d pw}´pr}´s }Xh�«¶sutÆ® � y � }�pri�{utrpr�jprxÎ�^µ ¤ h-y^zutr��{ � h�}Xh�zqx�x d h�v<}Xh ¤¸d h � h#x d h#y^{Sh � v<x~y � } � 9 K v � h,p � hjzqx�prxÎ� y^{Sh � v\x~y � }�® � y � ¯ � h�¦Ap|xÎ��µ ¤ hn}�p|i�{�tr� i�v ° h-{ � hj�jpw}�h¤¸d v<x³pw}Lx d h przqx~h � «bv^�jh²suz ° z y ¤ z < µAx d h3}�{�v^�jh � v<z � x d h²y^{Sh � v\x~y � } � µ v<z � L ¤¸d pw� d {>h � i�prx~}s }�x~y§v<{u{ut|� y^s � v<¯ }�x � v^�jx�prxXh � v\xXpr¦^h i�h�x d y � }�® D h�twh�x�x d h � h�v � h � � d hj� ° x d v<x�x d h � hj¢sup � h �{ � y^{>h � x�pwh�}-v � h�}Xv<xXpr} H h � ® ced pw}�pw}l}�x � v<pr� d xX«¬y ��¤ v � � przÄx d h��v<}Xh�y<«eh�t¶v^}�x~y � �qz�v<i�pw��}lhjÂqs v<xXpry^z }�µ¯usux±trh�}X}±y^¯q¦qpwy<s }¸«¬y � Åv\� ¤ hjtrt � }±hjÂqs v<xXpry^z } � ¤ h-�^pr¦^h-}�y^i�h3prz � pr�v<x�pwy^zu}eprz x d pw}±�v<}Xh��ë®
D h � y¥z y^x�}�{>h�v ° v<x�v<trt d h � hEy^« x d h � pr}X� � hjx�pw¹�v<xXpry^z y^«�x d h�}�h { � y^¯utrhji�}�® ced h h��Ax~h�z }�pry^zy^«¸x d h7��y<zAxXhjzqx�y^«±}�h��jx�pwy^z 9V®|��pr}�h�v^}��§{ � y�¦qp � h � x d v\x#y^z h�s }Xhj}�v<{u{ � y^{ � pwv<x~h�i�pÓ�Vh � h�twhji�hjzqxX}«¬y � hjt¶v<}�xXpr�jp|xÎ�4�� 8 �"!Cµ� k]!��ë® ced h#�v<}Xhny^«eÅv\� ¤ hjt|t � }3h�¢s�v<x�pwy^zu}�pw}�trh�}�}3}�x~v<z � v � � v<z � � hj¢sup � h�}3x d hd �q¯ � p � pw¹�v<xXpry^z�y^«Mx d h�i�p|�Vh � hjtrhji�hjzqx~}±y^« � h � hjtrh�� 8 ��!I® D h � h�«¬h � x d h � hv � h � x~y� å����!gy � �"!I®7 , 5 ,=' � �b�u�j� ¿ À ¼ ) � ��*b�¢� »�� ·���+* ¿ ) �U ¿ ���V�+* ¿ ) £ z ¤¸d v\x «¬y<trtwy ¤ }
� X � � 0 pw}´x d h �¬¯>y<suz � h � �e{ � y^{ v^�¢v<x�pwy^z i�h � p|sui��� pw}´x d h � hjz }�prxÎ� y^«Mx d pw}¸i�h � prs�i� 2T6 � 2 �'� � hjz y^xXh�}±x d h � pr}�{utwv^��h�i�h�zqx H hjt �� � � 2 � 6 �^� � � 9&� 2 �M�^�³pr}´x d hl}�x � v<p|z�x~hjzu}Xy �� � � 2 � 6 �^� � � 9&� 2 �^�M�³pw}´x d h-}�x � h�}X} x~h�z }Xy �#ghjx±s } � hj�v<t|tHx d v<xµu«¬y � }�i7v\trt � hj«¬y � i7v<x�pwy^zu}
� � 9�� 2 � 6 �8 � - 2 �- < 9 X - 2 9- < � � :� 8 ���m�
v<z � x d v<x¸przEv#trp|z hv � i�h � prsuiEµ � � 2 �´v<z � � � 2 �ev � h � hjtwv<x~h � ¯q� x d h Á yAy ° h � }¸t¶v ¤�� 2 � 6 � � � � 2 � :� 8 k Zm�¤¸d h � h � pw}±vn«¬y^s � x d ÇÆy � � h � x~h�z }Xy � � d v � v^��x~h � pw}�xXpw��y<«:x d h�i�h � prsuiE®
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 49: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/49.jpg)
k 9 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
:;1 » � ¿ À » � 2 � ¿ � � » � � y � v��^p|¦�h�z}�y^s � �jh�x~h � i 8�= U / ��X � 0 µ ¤ h-�jy^z }�p � h � x d h�{ � y<¯utwh�i`aaaab aaaac
� prz � 2�=3< O ��X �a0W}�s � d x d v<x, � pr¦�� 2 � , � 35/ 2 6Y8 p|zBX�� 2 � B XDC 3 � 2T6 Z y<z - XEF
� 8 ku�&�
:;1 » � 2 � � » � � ) À5�+1 » ) � ) ¿V¾ ) < £ zEx d pw}¸��v^}Xh ¤ h d v¦^h� 6 W�
K��PO � K]: � K�6 U / � - X K � 0< 6 � <0K � : <0K$6 , �� 2;K �.B K XDC 3 � 20K F� 8 k 8 �
:;1 »�¿�2�» ����� ¿ �\�� � `� ) À L D h � h Huz h� =�� � � : W�K �PO < O � - X K � 0 � :� 8 k¢�m�
}�su� d x d v<x � 6 � � K � 6 � � �G� :� 8 k�k �pr«:v<z � y^z�tr��p|« � K pr}´x d hl}�y^trsux�pwy^z�y<«`b c , � p|¦ � � � K � , � 35/ � K.6 Z p|z X K� � � K �.B XDC 3 ��� K$6 � K y<z - X Km:� 8 kq�L�x d hjz =�� � � � :� 8 k 9m�¯q�
<76 � :� 8 kq�L�pr«:v<z � y^z�tr��p|«
� f � h : <0K$6 , �� � K �.B X C 3 ��� K": � � K �e}�y^trsux�pwy^z y^« � 8 kq�L� :� 8 k¢�m�v<z � Huz�v\trtr�
L 6 * =�� � � � :� 8 k¢�m�¤¸d h � h * pw} � h H�z h � v^}´prz }Xhj�jx�pwy^z 8 µuhë���jhj{ux x d hl«bv<�jx±prx´pr}´z y ¤ v<{u{�trpwh � x~yn¦�hj�jxXy � Huhjt � }�®
7 , 5 , 5 4 K � � (H¾#» � � �Ó��� ¼ �j� » �U ¿ ���V�+* ¿ ) £ z ¤¸d v\x «¬y<trtwy ¤ }
� X � � � pr}´x d h��b¯Sy^suz � h � �e{ � y^{�v^��v<xXpry^z i�h � prs�i� �,pw}´x d h-h�twhj�jx � pw�3{Sh � i�p|xXxXp|¦qprxÎ��y^«:x d pw}´i�h � prsui� � pw}´p|x~}´i�v^�^z h�xXpr��{>h � i�hv<¯�prtrp|xÎ�� � 6 � � ��� � h�z y^xXh�}±x d hlhjtrh���x � pr� H hjt � �bx d hls�z ° z y ¤ z;�
n�oP[pnrq
![Page 50: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/50.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% kq�
:;1 » � ¿ À » � 2 � ¿ � � » � � y � v��^p|¦�h�z��s �X� hjzqx � hjz }�prxÎ��� = U / ��X � � µ ¤ h-��y<z }�p � h � x d h�{ � y^¯�twhji`aaaab aaaac
� prz � � =3< �b�js � t � X �´}�s � d x d v<x��s � t � � d O �js � t � � , � 3 / � 6 C 3 � prz X��s � t � W B X C 3 BMW?� � W3B � 6 Z y^z - XEF
� 8 ��Zm�
7» ���u��� ' 4 � ����^��� #�?��������R�]� � � R � ��� �6Y � ^��]� ���� � � �.�"& � � � ��� ��� ������R� �� � % P � �B ��� R ������-� �=���/� �@� ��
� ��X � 6 � � =3< � � � X � �8B W?� � W B � = U /� � - X � :[ ���� � U /� � - X � � � ����/� �@� �� � �/����TS ������?�]� � Y �� � ��� � S� � R � �(^��� �� �� \ � � ��� �� - X
U /� � - X � 6 � � = U / � - X � � � � �_B 6 Z F� �;� ��� ���6Y ��� ����Y�=���/������ ������ � � � �.�"& � �����?� �]\ ���
� G � � W B : BMW?� � W B � = U /� � - X � / F:;1 » � 2 � � » � � ) À5�+1 » ) � ) ¿V¾ ) < £ zEx d pw}¸��v^}Xh ¤ h d v¦^h
� 6 W�K��PO � K � K�6 U / � - X K � 0
< 6 � <0K � <0K.6 , ��s � t � K W3B XDC 3 B WI� � K W3B � F� 8 �V�&�
:;1 »�¿�2�» ����� ¿ �\�� � `� ) À L D h � h Huz h
� =�� � � : W�K��PO < �I��s � t � X K �M� :� 8 � 8 �}�su� d x d v<x �
6 � � K � 6 � � �G� :� 8 �^�m�pr«:v<z � y^z�tr��p|«
�K pr}´x d hl}�y^trsux�pwy^z�y<«
`b c ��s � t � � d O �js � t � K � , � 35/ � K�69C 3 � prz3X��s � t
�K W B X C 3 BMW?�
�K W B � 6 Z y^z - XEF� 8 �<k �
ced h � h�i7v ��°�¤ h�i7v � hl«¬y � { � y^¯�twhji � 8 � Zm�´v<tw}�y�v<{u{ut|pwhj} d h � h^® £ zE«bv<�jx� = � � � : W�K��PO � ��X K �^� :
[\[ ã^]�_�`�a�_
![Page 51: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/51.jpg)
k¢� � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������
v<z � hv<� d�K }~v\xXpw} H h�} ��s � t
�K W B = U /� � - X � F
ced pr}±{Sh � i�p|x~}esu}±xXy � h Huz h =�� � � � :� 8 ���L�¯q�
<76 � :� 8 ��9m�pr«:v<z � y^z�tr��p|«
� f � h : <0K.6 , ��s � t�K W B X C 3 B W?�
�K W B �
�K }Xy^t|suxXpry^z�y^« � 8 �\k � :� 8 ���L�
v<z � Huz�v\trtr�L 6 * =�� � � � F� 8 �^�m�
� ����� ������ ����������������
������� �"!#!%$�&'�%�)(*�,+.-/$10 2%$�!�$��3���%�4$25$�!�6 78�5!�(*9;:*<=�36 >?$�2%�)&[email protected]!C�)>�6 7"@.�%�)(*�4!D(*�E!C�)>F0 7"$��%$�!���&A@*!�$�!�G�H1�4$&�(.2%25$�!�0I(*�4JK�8�4LM25$�!�6 78�5!N@.�)>O@.���87)7)6 !��%25@.�%�8�4LF(*6 2��%� $�(*2%$��%�)&[email protected]$�!C6 7)�%!�GE���[email protected]�&A@.!%$�!�+R���4$SJ (*>T@.�)�U �"!N@V25$�&'�W@.� L*7"$.+�@*!X-1$'7)71@*!X�%�4$?!�6 YIJ (*>T@.�)� ! U[Z GVH1�4$\!C0;@*&�$?JK�"!�&�2%$��%�)!5@.���"(*�]�"!X(*YK�W@.�8�4$�J]YB^�%� $_>F�8`a$�Jcb � �)�%$_$'7"$'>T$'�B��>?$��%� (aJdJ $�!�&�2%�8Ye$�Jf�)�d!%$�&����"(*�hgaG8ij+k$'`a&�$�0 �����4$X9l@*&��m-1$N-1(*2�nV-o�)�%�p@6 � �89q(*2%>r>?$�!��V>T@*J $�(.9#!C>\@s7)7I!%tu6;@.2%$�!_vw&�9oxy:ai�z{9q(.2|@�0 25$�&��)!%$XJ $�!�&�2��)0 ���"(*�V(*9D���4$�&�(*2�25$�!�0I(*�4JK�8�4LJK�)!%&�2%$��%$N!C^B!��5$'>M}~G
�[�C� ���O���C�����3�4� �P� ���1���/�M� �����C�1� �R� �D�B���/�c���/���C�|�,���F�1���R� �P�K�1� ����V�%� �)![!%$�&����"(*�,+ U �"!/�%�4$�!�[email protected]$�za����j:a�W��j:4x���z"�a�W��xB@.�4JM-/$�&�(*�4!C�"J $'2o�4$�2%$��%�4$�� -/(SJ (*>T@.�)�4!J $�&�(*>F0e(*!��)���"(*�SJK$�!%&'2%�8Ye$�JF�8�?!�$�&'�%�"(.�\¡BGP¢£$|&5�4(B(j!�$|���4$o9�25$�t36 $��4&'^?!C64&5�T���;@.��¤/�£¥¦g.§]+¨�©Gª$.GP�%� $�5(.�[email protected]#!��)«�$E(*9����4$EJ (*>T@.�)�d�"!�¬F-[@Aj$'7"$'�4L*�3�5!X®�¯©°V±³²F¬?-[@A*$�7"$'�4L*�3�5!�G�H1�4$�YI(*6 � [email protected]%^f&�(*� JK�)���"(*�[email protected]%$��%�4$�!%@.>?$�@*![�)�V!�$�&'�%�"(.�d¡aG´�6 2o$'`B0I$�2��)>?$��3�|&�(*2�25$�!�0I(*�4J !o�5(S@�0I(*�8�B�1!%(*6K25&�$�7)(a&�@.�5$�JM@.�o�%� $&�$'�3�5$�2m(*9R�%�4$�7)$�9��|!�6KYeJ (.>\@.�8�,G
���p@Eb 2%!���!��8>�6 7�@s�%�"(.�,+B-/$XbK`M�%� $_!C�5$�0 !��"«�$�µT¥¦�K¶·i?vl&�(*2�25$�!�0I(*�4JK�8�4LF�%(Vi¸��0e(*�8�3�5!o0e$'2|-[@Aj$~¹7"$'�4L*���k}'+D@.� Jh-/$E64!%$E���4$S(*0e$'2W@.�%(*2�ºk»A¼c@*!��%25@.�4!C>?�)!%!��)(*�h(*0I$�25@.�5(*2�G_¢Q$S&�(*>F0;@.2%$��%�4$S&�(*�3j$�2C¹Lj$'�4&�$N(*9R�%�4$��)�%$�25@.�%�8j$�@.7)Lj(*2��)�%�K>½-o�4$'�f-/$��[email protected]*$_!C64&�&�$�!%!C�)*$�7)^k¾
¿ÁÀ ¥�i*� Âp¥¦� vl�)J $��3�%�8� ^\(*0I$�25@.�5(.2~}
¿ÁÀ ¥�i*� Âp¥¦�K¶Ã¡ vl�4(*�V7)(a&�@.7,(*0I$�25@.�5(*2W}���Nb4L*6 2%$/ga+³-/$�0 7"(*�{(*�_���4$�!5@.>?$�0 �)&��%6K25$��%�4$�[email protected]���@.���"(*�4!e(*9a���4$��4(*2�>\@.78�"«�$�J��36 >?$�2��"&A@s7u25$�!C�"JK6 $/@.!@�9�6 �4&'�%�"(.�?(.9k���4$o�36 >�YI$�2�(*9k�)�%$�2W@s�%�"(.�4!P9q(*2����4$o� -1(N!��8>�6 7"@.�%�)(*�4!�GRH1�4$o2%$�!�6K7)���)787)64!C�%25@.�5$�!�&�7)[email protected]�7)^�%� $m�)�3�%$�25$�!��/(*9{���4$m�4(.�T7"(B&A@s7;(*0e$'2W@.�%(*2AG�´�� $m(*Y !%$�2�j$�![�%�;@.��%� $�&�(.�B*$�2%Lj$��4&�$��"[email protected] 0K25(A`B�)>T@.�5$'7)^�%� $�!5@.>?$�-o�)���M�%�4$�� -/(S>?$����4(BJ !oJK6 2��)�4L����4$�b 25!C�o�)�%$�2W@s�%�"(.�4!�G�H1�K�"![�"!1JK64$��5(����4$�9l@*&��[���;@.�o-/$!%$�$X$�!%!�$��3�%�"@.7)78^M@.�1�%�4$�YI$�L*�8� � �)� L��%�4$XJ $�&A@A^M(*9R�%� $�7"(¸-�9�2%$�tu64$'�4&�^V&�(*�3�5$��3��(*9R�%�4$�$'2%2%(*2A+K-o�K�"&5�
Ä�ÅRÆDÄqÇ
![Page 52: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/52.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% &('
0 20 40 60 80 100 120 140 160−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
Nombre d iteration
Err
eur
rela
tive
−−−−−T
_____identite
)#�)L*6 25$\gK¾+*,([email protected]��)�%�K> (*9��%� $\25$�7"@.�%�8j$M$'2%25(.2Ej$�2%!�64!F�%�4$\�36 >�Ye$'2?(.9m�8�5$�25@.�%�)(*�4!�G-,1(*>F0;@.2��"!%(.�YI$�� -/$�$��p(*0e$'2W@.�%(*2|ºk»�. ¼S@.�4Jc� J $��3���)� ^V(*0I$�25@.�5(*2�v�:EJ (*>T@.�)�4!�+B¤/�£¥¦g.§Q@.�4Jfµ\¥��a¶8i_}
�"!o�4$'25$_J (*>F�)�;@.�3�|YI$�&A@s64!%$N�%�4$X0e(.�)�3��!%(*6 2%&�$N�"!o7"(B&A@.�%$�Jc!�60/F&'�"$��3��7)^[email protected]|9�25(*> ���4$X�)�3�5$'2%9l@*&�$Tvl���-/(*6 7"J��4(.��Ye$����4$E&A@.!%$��)9�-/$E�;@*Jp0 6 ���8��&�7)(j!%$'2A+{�8�p-o� �"&5�Q&A@.!%$��%� $��)�3�5$'25$�!C�X(*9��%�4$�� (*�h7"(B&[email protected](*0I$�25@.�5(*21-1(*6K7"[email protected] [email protected]|$'j$'�d>?(*25$�&'7"$�@.2%78^ }~G21m9��%$�2�@�-o� �87"$.+K�"J $'�3�%�)� ^?(*0I$�25@.�5(*2o�4@*!oJK�3/F&'6 7)���"$�!-o�)���V�%�4$�� �)L*�V9�25$�tu64$'�4&��)$�!�+;-o�K�"&5�c�"![�4(*�|���4$X&A@*!�$X-o�8�%�V�%� $N�4(.�c7)(a&�@.7,(*0I$�25@.�5(.2AG
0 100 200 300 400 500 600 700−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0idt, 2dom, l_d/lambda=1
oooooolambda\h=20
_____lambda\h=16_____lambda\h=16
−−−−−lambda\h=10
.....lambda\h=5
)#�)L*6 25$54B¾6*,([email protected]%�8�%� > (*9����4$M25$'7�@.���)j$M$'2%2%(*2Sj$�2%!�64!F�%�4$M�36 >�YI$�2?(*9��)�%$�2W@s�%�"(.�4!�G7,[@*!�$d(.9��%� $�"JK$��3�%�8� ^V´�0e$'2W@.�%(*2A+ H1�4$_Ja�38I$�25$'�3�m&'6 2%*$�!�&�(*2�25$�!�0I(*�4Jd�%(SJK�38I$�2%$��3��JK�"!�&�25$'�%�)«A@.���"(*�V!C�5$�0
���\(*6K2/!�$�&�(*�4JT$~`B0e$'2%�)>?$��3��+B-/$�-/(*6 7)JF78�)n*$|�%(N�87)7864!���2W@.�%$1�%�4$o�8�09 64$'�4&�$�(*9e���4$�!�0;@*&�$mJa�"!%&'25$'�%�8¹!5@s�%�"(.�d(.�d���4$_&�(*�3j$'25Lj$'�4&�$�(.9#���4$N>?$����4(BJ{G:*,$'��6 !�b 2%!��|25$'>\@s2%n\���;@.�[email protected]��5$'2�JK�"!�&�25$'�%�)«A@.���"(*�V�%� $0 2%(*Y 7"$'> �"!�bK� �)�%$FJa�)>?$��4!C�"(*�;@s7�@.�4Jh�%� $?&�(*�3j$�2%Lj$�� &�$T(.91�%� $S>?$����4(BJ]�)[email protected])-1@A^a!N$'`B0I(*�4$'�B����@.7|¾�)�T(*�%� $�2[-/(*25JK!�+a���4$�(*0I$�25@.�5(.2:;�<�(*9D!%$�&��%�)(*�c¡aG·i��)!1!���2%�)&��%78^S&�(*�3��2W@*&'�W@.�3�AG>=�(¸-1$'j$�2�+ �[email protected]�8�4L��)�3�%(
ÆDÆ@?>A�B�C�D�B
![Page 53: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/53.jpg)
¡*� � �� ��3��� ����� � ���� �� �(��� � �� ��� � ��� ��� #�� ����������
0 10 20 30 40 50 60−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0T, 2dom, l_d/lambda=1
oooooolambda\h=20
_____lambda\h=16
−−−−−lambda\h=10
−−−−−lambda\h=5
)#�)L*6 25$��K¾ *,([email protected]��)�%�K> (*9m�%�4$c25$�7"@.�%�8j$V$�2�25(*2S*$�25!C64!T���4$d�36 >�YI$�2?(*9m�)�5$'2W@.���"(*� !�GªH1�4$dJa�38I$�25$'�3�&�6K2%j$�!_&�(*2%2%$�!C0e(*� Jh�%(MJK�38I$�2%$��3�XJK�)!%&�2%$����"«A@s�%�"(.��!��%$�0,G�,[@.!%$E(*9(*0I$�25@.�5(*2�ºI»�. ¼K+e[email protected]%�"@.�%�)(*�p(*9�%� $JK�)!%&�2%$����"«A@s�%�"(.�V!��5$'0
@*&�&�(*6 �3�����4$T���4$�(*2%$����"&A@s7125$�!�6 78�5!�2%$�7"@.�%�8j$S�5(p�%� $\&�(*�3���)�364(*64!_0 25(*YK7"$�>d+P(.�4$T>T@¸^]$~`a0I$�&'�E�%�;@s��%� $N25@.�5$N(*9�&�(*�3j$'25Lj$'�4&�$�-o�87)7,JK$�0I$��4Jp(.��µd-o�8�%�c�%�4$X�"J $'�3�%�)� ^V(.0e$'2W@.�%(*2oY 6 ���4(*��-o�)���d���4$N� (*�7"(B&A@s7{(*0I$�25@.�5(*2�G
H1� �"!X�"!X&�(*� b 2�>T$�JQY3^��%�4$S�36 >?$�2%�)&[email protected]�!C�)>�6K7�@.���"(*�4!�GS���£b4L*6K25$�! 4V@.�4J��a+R-/$F2%$�0 2%$�!�$��3���%� $[email protected]%�"@.�%�)(*�4!�(*9I�%�4$o�4(.2%>[email protected])�)«�$�JE�36 >?$�2��"&A@s7425$�!C�"JK6 $�@*!/@�9�6 �4&����"(*�?(*9I�%�4$|�36 >�YI$�2(*9e�8�5$'2W@.���"(*�4!�9q(.2µV¥ �K¶Ã:a�;�K¶·ij�;�K¶ª�jgu:j¡a� �K¶Ã�j¡E2%$�!�0I$�&'�%�8j$�78^M9q(*2|�%�4$X�"JK$��3�%�8� ^V(*0e$'2W@.�%(*2_v�)#�)L G:4j}o@.�4Jd���4$X�4(*�c7"(B&[email protected](*0I$�25@.�5(*2�v�)#�)L G��j}'G#¢Q$�(*Y4!�$�2�j$��%�;@s�o&�(*�3��[email protected]�^T�5(����4$�&A@.!%$�(*9D�%� $��4(*�M7"(B&A@s7e(*0I$�25@.�5(.2A+K-o�8�%�M�%� $�"JK$��3�%�8� ^j+ JK�8>?�8� �"!C� �)� LSµcJ $'�5$'2%�"(.2W@.�%$�!o�%�4$X&�(*�3j$�2%Lj$�� &�$*G
�[��� � ����� �k���1���,����� � ����� ����� �R�1� �C�! �� �1���R� �P�K�1� ���� x :*�³z©+,-/$E�)�3�%2%(aJK6 &�$�Jh�%� $��4(*�%�)(*�](*9��%25@.� 0;@.2%$��3�X�%25@.�4!�>F�"!�!��)(*�h(*0I$�2W@s�5(*2�-o� �)&5�£&�(*2%2%$�!C0e(*� J !�5(SJ $'b �4$Nº#" Z Y3^hv�i 4$�u}/64!��8�4L
À ¥�i Â�¥ �_ij¶v�:*¡�'u}���M�%�K�"!1&�@*!%$.+ @*!/�%�4$�(.0e$'2W@.�%(*2&%(' O)+*-, " Z �"!/� (�7"(*� Lj$�21!�^3>?>?$���2%�)&�0I(j!��8�%�8j$�JK$�b � �8�5$.+a�%� $�!%tu6;@.2%$25(B(*��@.0 [email protected]��)�4Lp�8� v�i 4$�u}X�;@.!��5(pYI$\&[email protected]%$�9�6 787)^QJ $�bK�4$�J{GQ���[email protected] 0I$A@s25!�+�!�$�$£xy:*�.zw+��%�;@.���%�4$MLj(B(BJ&5�4(*�)&�$o�"!����4$|(*�4$o-o� �)&5�?�)!&�(*�4!C�"!��%$��3�mvl��� �)� n��5(��%�4$|JK�"@*Lj(*�[email protected])�)!5@.���"(*��(*9 , " Z }P-o�)���S�%�4$|&�(.>?0 7)$'`!%tu6;@s25$�25(B(*�{-o�8�%�X0e(*!��)���)*$P�)>T@*L*�8�;@.2%^|0;@s2%�AG#´�9a&�(*6 2%!%$.+s���4$�(*0e$'2W@.�%(*2,º." Z �)!{�4(o7"(*� Lj$�2,!C^3>?>?$���2%�"&0I(j!��8�%�)*$EJ $�bK� �)�%$*+#@.�4J](*6 2X�%�4$�(*2%^h&�@.�]�4(*�[email protected] 7)�)$�J]@.�3^p7"(.�4Lj$�2�¾�-1$S�;@Aj$S�4(cL*6;@.25@.�3� ^�(*9&�(.�B*$�2%Lj$��4&�$_9q(*2o���4$X&�(*2�25$�!�0I(*�4JK�8�4LF�8�5$'2W@.���)j$X@s7"Lj(*2��)��� >T!�G
=m(¸-/$�j$'2A+3!�6 &5�F@m&5�4(*�)&�[email protected] [email protected]%!#�;@.��6 2W@s7)7)^��)� 9K(*�4$/7)(a(.na!#@.�P@0/�iA<Á7)�8nj$21m0 2%(*Y 7"$'> ¾#&�(*�4!C�"J $'2@_JK(*>\@s�)� U436587 @*!���4$�!C�%2��)0Fz*��9;�:9{x���z"�a�W��xj@s�4J?7)$��64!�[email protected]$��%�4$�!5@s>T$|Ye(.6 �[email protected]�^S&�(*� JK�)���"(*�4!@*!��)��!�$�&����"(*�h¡aGm¢Q$_-1@.�3���5(TJ $�&�(*>?0I(j!�$��)�dj$�2��%�)&[email protected]#!���2%�)0 !�-o�)���f�)�3�%$�2%9l@.&�$�!<;�¥=; Z @*!��8�p(*6K2
Ä�ÅRÆDÄqÇ
![Page 54: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/54.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ¡ai
i¸< >T(BJ $'7�0 25(.Y 7"$'> vw&'91�)�3��25(BJK64&����"(*�;}'GE���3�%2%(aJK6 &��)� L +,-o�)�%�]�%� $?@s0 0 25(.0 2%�"@.�5$EJ $'b � �8�%�"(.�Q(.91�%� $!%tu6;@s25$X25(B(*�A+B�%�4$X(*0I$�25@.�5(*2
º ¥�� % '�� 7���¤ 7���* ¶v�:.gj�u}
H1�4$"=m$'7)>F�4(*7)�%«�$�t364@.�%�)(*�d-o2��)�%$�!|@.�|7"$�@*!��o9q(.2%>[email protected])78^
� 7� � '�v�¤º�} 7 � ¥��k�v�:.gKi³}-o� �)&5�S@*!#���4$!5@.>?$/9q(*2�> @*!D�%�4$mi¸< =m$'7)>F�4(*78�5«�$�tu6;@s�%�"(.�E(*94!�$�&����"(*�Tij+*$~`a&�$�0K���%�;@s�R¤��)!R2%$�0 7"@*&�$�JY3^T¤ºXG�H1� �"!���64!C�%�8b4$�!o�5(E-o2��)�5$���2W@.� !�>F�"!%!C�"(*�V�8�M�%�4$�9q(*2�>
x � � 'Á¯q¤º � zI¥ �K�@.�4JV�%�364!o�%(F64!�$��%�4$��%25@.�4!C>?�)!%!��)(*�V(*0I$�25@.�5(*2%!|º#" Z �)�3�%2%(aJa64&�$�[email protected](¸j$.G
��� !C0 �)�%$](.9_���4$]@.Y4!%$'�4&�$Q(*9N�%�4$�(*2%^ �8� ��� �"!V&�@*!%$.+�-1$h�;@Aj$Q&5�4(j!�$��¦�%(Á�8>?0K7"$�>?$��3�\���4$�!�$/C��2W@.�4!C0;@.2%$��3�:1E�%25@.�4!C>?�)!%!��)(*�\(.0e$'2W@.�%(*25!o@s�4J\�5(E&�(*>[email protected]$����4$�>½-o�)���\�%�4$�(.�%�4$'2[�4(*�M7)(a&�@.7e(.�4$�!�G
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
erro
r lo
g10
*****idt
−−−−−T(1,0.0225)
+++++Tp
)#�)L*6 25$�'K¾+*,([email protected]��)�%�K> (*9��%� $\25$�7"@.�%�8j$M$'2%25(.2Ej$�2%!�64!F�%�4$\�36 >�Ye$'2?(.9m�8�5$�25@.�%�)(*�4!�G-,1(*>F0;@.2��"!%(.�YI$�� -/$�$��f�%�4$��%25@.�4!C0;@.25$'�3�m(.0e$'2W@.�%(*2A+ ºk»�. ¼F@.�4Jc� J $'�B���)� ^
)#�"L.6 25$ 'EJ $'>T(*� !��%25@.�5$�!|&�7"$�@.2%78^T���4$��)>F0 25(¸j$'>T$'�3�o0 25(¸3�"J $�JcY3^M���4$��%2W@s�4!�0;@s25$��3��(*0I$�25@.�5(*2�G
�[��� � � �4��� �C���N���#���,� ��\�4������R��� �,� ��� �/�M�4��� �����a� � � ���1������¢ �4$'�f64!C�)�4LF�%�4$XJ (*>T@.�8�dJK$�&�(.>?0I(j!��8�%�)(*�V>T$'�%�4(BJ{+4(*�4$X>T@¸^T-1(*� J $�2m-o�;@.���"!o�%�4$�YI$�!C��-1@¸^M�%(Y 6 �87"JV�%�4$N0;@.2��%�)���"(*�K� �)�4LE(.9��%�4$NJ (*>T@.�8�,G 1�!�@F>T@.�%�%$�2�(*9�9l@.&��A+;�)�|�)!�@FJ $�78�"&A@s�5$Xtu64$�!C�%�"(.�h@.�|�)�%!@.�4!C-1$'2m-o�87)7I�4$�&�$�!%!%@.2%�87)^MJK$�0I$��4Jd(*�d���4$�64!%$�Jd&�(*>F0 6 �5$'2AG
¢£$V�;@Aj$d&5�4(j!�$����%(Q&�(*>[email protected]$c@h!�0 78�)�%���)�4Lp�8� j$�2��%�)&[email protected]|7�@A^*$�25!?@.�4J=@h!%$�&�(*�4J�(.�4$c�8�Á!�>[email protected])7!%tu6;@s25$�!F(*9�$�tu6;@s7|!�6 2�9l@*&�$.G�¢£$\>[email protected]$\���4$M�36 >T$'2%�)&[email protected]$'`B0e$'2%�8>T$'�B�%!E9q(*2�� -/(Q!C�"«�$�!S(*9�J (*>T@.�)�4!
ÆDÆ@?>A�B�C�D�B
![Page 55: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/55.jpg)
¡j: � �� ��3��� ����� � ���� �� �(��� � �� ��� � ��� ��� #�� ����������
¤/� ¥ �s§�@.� J]¤/� ¥ i¸:s§ vq��G¨$*GT���4$S�)� �8�%��@s7P7�@s25Lj$SJ (*>T@.�8�]�)!N@d!%tu6;@s25$T(.9125$�!�0I$�&'�%�)*$�78^ &V�%� $��gp-[@A*$�7"$'�4L*���4!W}~G )4(*2E���4$M� -1(]!�0 78�)���%�)� Lj!�+�-/$c�4@¸*$V$'`B0e$'2%�8>T$'�B�%$�JÁ�%�4$��j@*&�(*Y ��@.7)Lj(*2��)�%�K> 9q(.2JK� 8e$'25$��3�?!��)«�$f(.9�!�6KYK¹ J (.>\@.�8�4!dvw&�6K�%�%�8�4Lh�)���mJ;¥X:a+ &K+8G·G8+�:.�]!C6 YK¹�7"@A^j$�2%!T(*2F�)���mJ4¥ &K+�i¸gK+·G8G·+ì*g!%tu6;@s25$�!5}_@.� J£&�(.>?0;@s25$�Jh�%� $?&�(*>?0K6 �W@.���"(*�h���)>?$�25$�tu6 �825$�JQ9q(*2_@*&5� �)$�3�)� Lf@VL*�)*$���@*&�&'6 2W@*&'^h(*9i¸�����(*2mi¸�����AG 1�!/@X2%$�!�6K7)�A+3�%� $�YI$�!C�1!C0 7)�8�%�%�8�[email protected] 0I$A@s25!��5(_YI$�@N7"@¸^*$�2(*9,(.�4$��[email protected])9k-[@A*$�7"$'�4L*�3�[(.2@M!%tu6;@.2%$?(.9[@.0K0 25(A`B�)>T@.�%�8j$'7)^]iF-1@Aj$'7"$�� L*�3�AG�) 6 2%���4$�2�>T(*2%$*+{���4$E0;@.2%���)���"(*� �8�4L?�8�]!%tu6;@.2%$?L*�8j$�!YI$��%�%$�2|0I$�2%9q(.2%>T@.�4&�$����;@.�c�%�4$�0;@s2%�%�8�%�)(*� �)� L_�)�V7"@¸^*$�2%!�G
$�2�25$�6K2 ¤/��¥ �s§�+K7�@A^*$�25! ¤/�£¥ �.§�+K!%tu6;@.2%$�! ¤/� ¥ i¸:s§�+K7"@¸^*$�2%! ¤/��¥�i³:³§�+ !%tu6;@s25$�!� ¥�iA� ��� H|¥X¡ &j!�+�mJ;¥8� H|¥X:*�.!�+�mJ4¥N:*¡ H|¥�i¸�jg*!�+�mJ;¥�i³: H|¥�¬u:.!�+��J;¥�¬jg� ¥�iA� ��� H|¥ 'jg*!�+�mJ;¥8� H|¥�¬�&*!�+�mJ4¥N:*¡ H|¥X:j:*�*!�+�mJ;¥�i³: H|¥ 4*�*!�+��J;¥�¬j�[email protected] 7"$S¬a¾ ,1(*>F0 6 �5@.�%�)(*�;@.7#�%�)>?$�@s�4Jh(*0 �%�8>\@s7#�36 >�YI$�2N(*9!C6 YK¹ JK(*>\@s�)�4!�9q(.2�� -1(VJK� 8e$'25$��3�X!C�"«�$�!(*9R0 25(.Y 7"$'> @.�4JV� -/(?JK� 8e$'25$'�B��!C�%2W@s�5$�L.^M(*9#!�0 78�)�%���)�4L
���j������ ������
xÃi�z��KGÃ<�G��1$'�;@.>?(*6,G 1 >\@.!%!��8j$'7)^ 0;@[email protected])7)$�[email protected]"L*(*2%�8�%� > 9q(.2T�%� $p(*0 ���)>[email protected]|&�(*�3��25(*7�(*9�!�^B!C�5$�>?!Lj(¸j$'2%�4$�J�YB^]$'7)7)�80 �%�)&�0,G¨J{Gª$.G��¨!�Gc��� � ��������� ����� � �������� �� �� �� �0�� �+���3� � � �� ����������"���� �� ��������� � " ������ � ����� � �� � �� ��3�� ����sG �a� 1�!Q+Di�' 'u¡BG
xy:sz��KGÃ<�G"�1$��;@s>T(*6{G{<�(*>T@.�)��J $�&�(*>?0I(j!C�)�%�)(*�S>T$'�%�4(BJ !�-o�8�%�?&�(*6 0K7"$�JS�%25@.�4!C>?�)!%!��)(*�F&�(*� JK�)���"(*�4!9q(*2����4$S(*0 �%�8>\@s7P&�(*�3�%25(.7�(*9!�^B!��%$�>?!_Lj(¸*$�2%� $�JQY3^�$'7)78�)0 ���"&X0;@.2%����@.7PJK�38I$�2%$��3�%�"@.7�$�t364@.�%�)(*�4!�G����� � � %$#8 �$�� �%%� �+� %)+K¬j¬K¾Ã: &u�Ki�&a: & i¸gK+Ii�' 'jgaG
x ¬.z��KGÃ<�G'�1$��4@.>T(.6£@s�4J(��G,<�$�!C0 2�)$�!�G 1 J (*>T@.�8��J $�&�(*>F0e(j!C�)���"(*�p>?$����4(BJh9q(.2��%�4$�=�$�7)>F�4(*78�5«$�tu6;@.���"(*�d@.� Jc2%$�7�@s�5$�JV(*0K�%�)>[email protected]&�(*�3��25(*7,0 2%(*Y 7)$�>?!�G(� % � ����� % � � � ���� ��'+ei¸¬jgK¾ªg �*&.�j:a+ei�'�'(4aG
x &*z")1G+�/25$�«�«��k@s�4J,!QG()4(*2��%�)�{G�� �.- � � �� � !8�"/� #� � � ���� ��0 �3���$���� � ��� �������'G1�B0K2%�)� Lj$���&32�$�2%7"@*L +i�' 'Ki*G
xy¡sz54�G , ,[@.�©+1!QG 1_G ,[@[email protected]��)�,+�)1G ¢ G16�7)7)�)(*�A+ @.�4Jf´EG7��G4¢ �"Ja7)6 �4JeGo´�j$'2%7�@s0 0 �)� L?!�&5�[email protected]��5«[email protected])Lj(.¹2%�8�%� >?![9q(*2�!%(*783�)�4LE�4$'7)>F�4(*7)�%«8�¨!|$�tu6;@.���"(*�,G/���:9�;���6��� �� # ��� ���� �+� � � ���������� �@�� � �������� �� ������������������6�$��� �������2���� �0�� �� � �+� ��� < �� ������ �+� ��= 0��� ���� �>�@? �� � � �� A�s+{i�' '(4BG
x g.zCB#G�,/�4$'[email protected])�)$�2#@.�4J )1G*��@.�[email protected]�G(1m�_(*0 ���)>F�"«�$�JX(*25JK$�2�:o>?$����4(aJX9q(*2D�%� $�4$'7)>F�4(*78�5«�$�t364@.�%�)(*�,G3���9�;�� � ��� �� # �������� �+��� ������������ � ���� ��������� �� ������������������ �$��� ������������ �0�� #��� �+� ��� < �� ���� � �+���= 0��� ���� �>�@? �� � � �� A�s+{i�' ' 4aG
x 4szCB#G ,/�4$'[email protected])�)$�2?@.�4J )1GD��@s�[email protected]�G71m� (*0 �%�8>?�)«�$�JÁ(.25J $'2\: vw(B(3:j}_>?$����4(BJÁ9q(*2S���4$c� $�7)>F�4(*78�5«$�tu6;@.���"(*�{G �>%$E %F� �(�(%�� �� % � �� #�3� �HG��%'� � ���� %)+Dv©gj}'¾ 4*g '*& 4�4 & +ei�' ' �KG
x �.z")1G ,/7)$�>?$��3�A+�!QGJI�$�2��,+�@.� J ,�GJKo6 Y �8�,GL�B(*7)6 ���"(*��(*9_���4$h¬j< =m$'7)>F�4(*7)�%«f$�t364@.�%�)(*� YB^&�(*� ��64Lu@.�%$�L*2W@*Ja�"$��3�%!�G���� � � �(���� �$�� ������ �������� �� �� �� �� �� ��� �M��� �$����������'+ei�' '*�KG
Ä�ÅRÆDÄqÇ
![Page 56: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/56.jpg)
�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ¡*¬
x '.z")1G�,1(*787)�8�4( +��SG4<�$'7)Y 6 $*+ BRG �*(*78^j+4@s�4J61_G B���@*&�$��3�%�8� ��G 1 � $�-¦��2W@.� !�>F�"!%!C�"(*�V(.0e$'2W@.�%(*2o�)�V�%� $�4(*�K¹�(¸j$�2�7�@.0K0 �)�4LSJ (.>\@.�8�VJ $�&�(*>F0e(j!C�)���"(*�M9q(*2o���4$X>\@s`B-/$�787,$�tu6;@.���"(*� !�G � ����� ��% �������������:�(� � % ���� �� %F0 ��� �(%)+K0;@*L*$�!Xi�'u¡ &a:*�(4a+Ii�' '(4aG
xÃi¸�.z_<�G ,1(*78�5(*�]@s�4J(KNG'I�2%$�!�!�G>�#�� � �� �+� ��= ��� ������$��� �����+� �� ��� � �� #���*GN¢ �)7"$'^u¹ ���3�5$'25!%&'�"$'�4&�$.+i�' �j¬aG
xÃiji�z_<�G ,1(*78�5(*� @.�4J KNG I�25$�!�!�G �� ���� ����� ��� ��� �� �� � � �3�� �� ������ �� ��� �� �� ����� �� #��� ������� �.G�B2%�8�4Lj$'2�¹A2�$'2%7"@*L +ki�' 'u:aG
xÃi³:szC��G�<�$�!�0 2%$�!�GÁ<�$�&�(*>F0e(*!��)���"(*��J $VJ (*>T@.�)�4$T$��E0 2%(*Y 7"$'>T$MJK$V� $�7)>F�4(*78�5«.G1vq9�25$�� &5�,G�$��4L*78�"!C�!�6 >F>[email protected]%^K}'G �>%FE %F� �(�(% � �� %�� �� #�3�8�HG��%$� � ���� %)+;¬Kijiuvwgu}'¾ª¬Ki¸¬ &a¬Ki¸gK+ki�' '*�KG
xÃi¸¬.zC��Gu<�$�!�0 2�)$�!�GI<�(*>T@.�)��J $�&�(*>F0e(j!C�)���"(*�E>?$����4(aJS@s�4JE�%�4$ =�$�7)>F�4(*78�5«0 25(*YK7"$�>dG4�����SG(,1(*�4$��{+B#G �*(*78^j+;@.�4J *�G =�@s7)0I$�2%�{+4$�JK�8�5(*2%!�+ � � ��� �#�� �� # ��� ���� �+� � ������� ��� �� ��6� ��� ��������� �� �+� �� �# �$�� #�� �+� � � ���� ��� � ���5�8��� � � �0� �(��� ���� � ��� ��� /��� ���� :� 9����39��s+;0;@*Lj$�! & & &a¡j:aG �a� 1 !M¹B�� �)7"@*J $�780 � �"@K+ B 1�+,i�'�'KijG
xÃi�&*zC��G3<�$�!C0 2�)$�!�G � �������� ��� � � � �� ������������� ����+� � � ������� � ���� �3���2� ��8/ �3���$��� � �2� � �0� �(��� ������� �� � ��� ��� � ����$� � �� #�$����@= ���% � ������� ���$� � �D? �� � ���� ��� ��= 0��� ����$� �>! ���������� �� �� #��� ���3��%B��;< ���4$�!C�"!�[email protected]��"!o�8`�v©<�@.6 0K� �)�4$A} ) 2W@.�4&�$*+{i�' 'KijG
xÃi³¡szC��Gk<�$�!C0 2�)$�!�G�<�(*>T@.�)�cJ $�&�(*>F0e(*!��)���"(*�V>?$����4(aJf@.�4Jc�%�4$"=m$'7)>F�4(*7)�%«�0 25(*YK7"$�> vq0;@.2����8�q}~G[���KNG�I�7"$'�)� >T@.�,+1H�G:1m� Lj$�787�+|<�G:,1(*7)�%(*�,+ )1G �K@.�3�5(*!5@K+�@.�4J �WG �B�5@*&5nBLj(*7"Je+�$�JK�)�%(*25!�+ � �� ��� ���� �� # ��� ���� �+� �������� �� ����� ����������������� �+� �� �� �$�� #�� �+� ��� ���� ����� � � �8��� � � �0� �(��� ���������� �����*+a0;@.Lj$�!Xi�'(4 &K:*�jgKG �a� 1 !]+,i�' 'j¬KG
xÃi¸g.zC��G3<�$�!C0 25$�!�GD��>F0 7"$'>T$'�B�5@.�%�)(*�F(*9,@X�4(*�T(³*$�2�7�@.0 0K�)�4LNJ (*>T@.�)�FJ $�&�(*>F0I(j!��8�%�"(.�F>?$����4(BJ?(*�\@&�25@¸^X�5¬*J{+*9q(*2#!%(.7)3�)�4L��%�4$[¬*J��;@.2�>T(.� �"&�>T@s`B-1$'7)7A�¨!P$�tu6;@.�%�)(*�4!�GK���+��� �� � ��� ���� �+�(� � ���������� ���+� � -��:� ����� � ��= 0��� ���� �'G � !61_+,i�' '�&KG
xÃi 4szC��G/<�$�!�0K2�)$�!�+ B#G �*(.7)^j+[@.�4J �KG 6|G�K|(*Ye$'2%�%!�G 1 J (*>T@.�)�=J $�&�(*>F0e(*!��)���"(*�=>T$'�%�4(BJ=9q(.2T�%� $�;@.2�>T(*�K�"&\>T@s`B-1$'7)7A�¨!E$�tu6;@s�%�"(.�4!�G�����KXG��/[email protected]/$��4!M@s�4J�BRG�J $���25(B$��{+1$�Ja�)�5(.25!�+ � ��� � ���� �� # ��� ���� �+�0� � ���������� � ��6�� �� ��� �M��� �$���������� ��� � � �� �+� � � /� �*+30;@*Lj$�!:& 4*¡ & & ��&KG���(*2%���=m(*787�@.� Ja¹ 1�>T!C�5$�2%J4@.>d+;i�' 'u:aG
xÃi��.z��KGe<�(.64L*7�@.!�+ )1G'BR$�2%$��)25@K+{@s�4J(�KG 6oG$�K@.�3�5(j!�G 1 0;@[email protected]"$�78�"«�@.Y 7"$�@.0 0 2%(u@*&5���5(?�%�4$�!C�)>�6K7�@.���"(*�(*9�-1@¸*$�!X�)�hJK�)!�0I$�2%!��)*$�>T$�JK��@aG������EG ,1(*�4$��{+,$�JK�8�5(*2�+�� � � �5��� �� � ��� ���� �+� �������� ��� ���������� ��������� �� �+� �� � �$�� #�� �+�� �8��� � �� �0� �(��� ���� ������ ���$�� �H� �>��� ����� � �� � � � ��� �s+A0;@*Lj$�!g(4*¬*&Bg �u:aG �a� 1 !Q+,i�' 'u¡aG
xÃi�'.z�´�G 6�2%�4!C�c@.�4J��EG���(*7)6 Y{G 1�JK(*>\@s�)��JK$�&�(.>?0I(j!��8�%�)(*� @.0 0K25(u@*&5� �%( !%(*78B�8�4L��%� $p�4$�78>F¹�4(*78�5«T$�tu6;@.�%�)(*� -o�)���Á@[email protected]��@.���"(*�QYe(.6 �[email protected]�^�&�(*�4JK�8�%�"(.�,Gp���71�G���[email protected]%�%$�25(.� ��+D�KG B#$'2%��@s6K`I+�EGFI�64«'�4$��%!%(¸k+P@s�4JQ´EGk¢ �"JK786 �4J{+,$�JK�)�%(*25!�+ ��������� ���� ������������������ � ��� ��������� � ����� ���� �H0 ���� ���� #���*+a0;@*L*$�!Xi 4 4 &;i�'KijG 1 ! �I+Di�'�'u:aG
ÆDÆ@?>A�B�C�D�B
![Page 57: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/57.jpg)
¡ & � �� ��3��� ����� � ���� �� �(��� � �� ��� � ��� ��� #�� ����������
xy:*�.z��IG ���;@.� $�>F��G ���������� ���5� �+� �� ������������������ � �+� ������� ��� �8���� 6 ��� ��������� � � � � �� ��� �3��������� � �� �3�� �+�3���"���� 5� ���"� �8/ �3���$���5� � � �� �0� �(��� ���� ��� �� � ����% B��;< �%�4$�!��"!�+ B#@.2%�)!��8`v©<�@.6K0 � �)� $¸}:) 2W@s�4&�$.+,i�' 'jgKG
xy:ai�z��IG ���;@s�4$�>F��+ )1G�,1(*7)78�)�4( +s@.� J B#G �*(*7)^*G <�(*>T@.�8��J $�&�(*>F0I(j!��8�%�"(.�_>?$����4(aJ_9q(*2#�[email protected]%>?(*� �)&-1@Aj$$�tu6;@.���"(*� !�G���� �EG ,1(*�4$'�,+{$�Ja�)�5(.2A+ � � � � ��� �� � ��� ���� �+� �������� ��� �� �� ����������������� �+� �� � �$�� #�� �+� � �8��� � �� �0� �(��� ����������� ���$�� � � �>��� ����� � �� � � � ��� �s+;04@*Lj$�!�gjgj¬*&ag 4j:aG �a� 1 !]+i�' 'u¡BG
xy:j:szCB#G ��2%�)!�[email protected]%J{G 0 ��� � � � �� "� �8/ �3��� ��� ��7���$������ � ������� �'G !d(*�4([email protected] �=@.� JÁ!C�%64Ja�"$�!E�8�!f@.���4$�>T@.�%�)&�!�G B��)�%>T@.�,+Ii�' �u¡BG
xy:*¬.zCB#G�*D@s`V@.�4J KNG B�� �87)�80 04!�G � ����� �� #��� � ������ �sG 1�&�@*J $'>?�)&5B�2%$�!�!�+Di�'jg(4BGxy: &*z�� *�G *{�)(*�4!\@s�4J 6oG !d@*Lj$�� $�!�G � ��8/ � ����$���6�++- � �� �� ���6 �� �����$��� ��� ��� ��� �#�(� � �� �������� �'G
<�6 �4(BJ{+{i�'*g �KGxy:j¡szCB#G *�G *{�)(*�4!�Gm´��f���4$ �B&5�[email protected]%«[email protected])�%$�2%�4@.�%�8�4LE>T$'�%�4(BJ£ijG|��� � � ���� ��� �� # ��� ���� �+� � � ���������� �
�� � ������� � �� ������������� ���� �$���������� ���� :�0�� #��� �+� ��� < �� ���� � �+� ��= �������� �'G�B� 1 !Q+Di�' �+�KGxy:*g.zCB#G *�G *,�)(*�4!�G{´��T���4$ �a&5�3-[@s25«�@s7)�5$'2%�;@s�%�)� L�>T$'�%�4(BJ\:BGe����� �� ��� � ��� �� # ��� ���� �+� � � ���������� �
�� � ������� � �� ������������� ���� �$���������� ���� :�0�� #��� �+� ��� < �� ���� � �+� ��= �������� �'G�B� 1 !Q+Di�' ��'KGxy: 4szCB#G *�G *{�)(*�4!�G ´�� �%�4$��a&5�3-[@s25«�@.78�5$'2%�;@.���)�4Lh>?$��%� (aJ=¬KG ��� H�G )1G ,/�;@.�{+ KNG ��7"(¸-o�)� !�n3��+
�KG B�)$'2%��@s6K`I+�@.�4JÁ´�G ��GR¢ �)JK7)6K�4J{+�$�JK�)�%(*25!�+ � � � � ��� �� # �������� �+�2� ������������ � �� � �������� �� ������������������6�$��� �������2���� �0�� �� � �+� ��� < �� ������ �+� ��= 0��� ���� �'+K0;@*L*$�!m:*�u: &a:j:*¬KG �a� 1 !Q+Di�'�'j�KG
xy:+�.z��KG ,�G �m$�J $�7)$�&.G61r�4$�- 9l@.>F�)78^p(*9[>F�8`a$�JQb � �8�5$F$�7)$�>?$��3�5!N�)� � � G�# ��% � ���� %)+�¡*�a¾ ¡ 4 &.�Kij+i�' �jgaG
xy:�'.zCB#G 1�G Km@A3��@.2��|@.�4J��KG !QG4H1� (*>\@.!�G21¦>F�8`a$�J\b � �)�%$�$�7)$�>?$��3�[>?$����4(aJ\9q(.2�:s�4JM(*2%J $�2|$'7)78�)0 ���"&0 25(.Y 7"$'>T!�Go��� � ������������ �� �+� ��� ���� ����� ���>��� ��� �3���$����:�$���������� � � �� �%(� ���� % � � �� ��� �+� ���#"����% � � ���3� E��� ��� ���� � �>% # % E % ����E ���$� �s+o*(*7)6 >?$�gj�*gK+�04@*Lj$�!c: 'u: &a¬Ki¸¡aG B�2%(a&.G[(*9X>\@s�%�,G@*!�0I$�&'�5!|(*�c�%�4$�b �K�)�5$�$'7"$'>T$'�B�o>?$����4(BJ{+�1$�2�7)�8�5=m$��)J $�78Ye$'25L,�m$'-��(*2�nk¾ �30 2%�8�4Lj$�2�+{i�'(4�4aG
x ¬j�.z52�G 2�G�3�;@.�"Ja6 25(¸V@.� J�6oG¨�WGk´�L*(*25(BJK� �8nj(¸kG �a(*>?$��B6K>T$'2%�"&�@.7{>?$����4(aJV(*9#!%(.7)3�)�4L�=�$�7)>F�4(*78�5«-[@A*$p$�tu6;@.���"(*�{G���� � � ��� ���� �� � ��� ���� �+�8� ������� �� �� ��7� ��� ��������� �� �+� �� � #8 �$�� #�� �+�� � ���� ��� � � �5�8��� � �� �0� �(��� ���� � ��� ��� /��� ����� :��9����39��s+K0;@*L*$�!�4*¬*& 4 'KG �a� 1�!Q+Di�' 'Ki*G
x ¬Ki�zC��G �B�%6K0 9q$�7©G 1 9l@*!��C¹ J (.>\@.�8�cJ $�&�(*>?0I(j!C�)�%�)(*�c>T$'�%�4(BJc9q(.2m���4$�!�(*7)6 ���"(*�d(*9�$'7"$�&��%2%(*>T@*L*�4$'�%�"&!%&�@.�%�%$�2%�8�4L�Y3^ 7�@.2%Lj$M(*Y��C$�&��5!�G ��0D0D0 �0 �� ��%�� �� ��� ���6�� ��� � �0� �(��� ����4+ &�&4v�i¸�j}'¾·i¸¬(4j¡ &i¸¬ �u¡B+ei�' '*gKG
x ¬u:sz�!QG76|GaHR@¸^37)(*2AG � �� #��� �+� �"� < �� ���� � �+� 0J= �������� ��� � ���$��9 ���uG �B0K2%�)� Lj$�2C¹A2�$�2�7�@*LK+ �1$�2�7)�)�{+ki�' 'jgKG
Ä�ÅRÆDÄqÇ
![Page 58: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022040913/5e88744278e95f781f5e8c95/html5/thumbnails/58.jpg)
Unit e de recherche INRIA Lorraine, Technopole de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LES NANCY
Unit e de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnit e de recherche INRIA Rhone-Alpes, 655, avenue de l’Europe, 38330 MONTBONNOT ST MARTIN
Unit e de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnit e de recherche INRIA Sophia-Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA-ANTIPOLIS Cedex
EditeurINRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)��������������� ���������� ��� ���
ISSN 0249-6399