domain decomposition method for harmonic wave propagation ... · issn 0249-6399 apport de recherche...

58
HAL Id: inria-00073216 https://hal.inria.fr/inria-00073216 Submitted on 24 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation : A General Presentation Francis Collino, Souad Ghanemi, Patrick Joly To cite this version: Francis Collino, Souad Ghanemi, Patrick Joly. Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation : A General Presentation. [Research Report] RR-3473, INRIA. 1998. inria-00073216

Upload: others

Post on 26-Mar-2020

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

HAL Id: inria-00073216https://hal.inria.fr/inria-00073216

Submitted on 24 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Domain Decomposition Method for Harmonic WavePropagation : A General Presentation

Francis Collino, Souad Ghanemi, Patrick Joly

To cite this version:Francis Collino, Souad Ghanemi, Patrick Joly. Domain Decomposition Method for Harmonic WavePropagation : A General Presentation. [Research Report] RR-3473, INRIA. 1998. �inria-00073216�

Page 2: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Domain Decomposition Method for Harmonic WavePropagation : A General Presentation

Francis Collino, Souad Ghanemi, Patrick Joly

N ˚ 3473

Août 1998

THEME 4

Page 3: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition
Page 4: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

����� ���� ���� ��� ��������������� � �������� �����! "�#�$� ���%��'& ��(�)*�$�����,+��-������� .0/ 123������#45)*�$3�6��7���-�������

8:9<;>=�?A@CBED�FHGIGC@I=�F�JLKMFHN$;>OQP�R$;S=�TVUW@XJ$Y�;[Z\9<@I?^]`_SF>Gba

cedgfhji�hlknm oqpri#sutwv<xXpry^z7h�x y^{uxXp|i�pr}~v<x�pwy^z� hl}��V}�x fh�i�hj}���y<i�{utrh��Vh�}

��� y<��hjx3��z � h�}� v<{u{Sy � x � h � h�� d h � � d h0z#���^kq�^��m ��y^s�x��������-m �<��{�v<��h�}

�7�:�j����� �^�¢¡ £ z`x d pw}7{�v<{Sh ��¤ h¥�^pr¦^h§v¨��h�z h � v<t�{ � h�}Xh�zqx©v<x�pwy^zªy^«,zuy^zªy�¦^h � twv<{u{up|z � � y^i�v<prz� hj��y^i�{>y^}�prx�pwy^zEi�h�x d y � }�«¬y ��d v � i�y<zupw� ¤ v¦�hn{ � y^{�v^��v<xXpry^z­i�y � hjtw}j®-��s � v<¯ }�x � v^�jx3« � v<i�h ¤ y �X°twh�v � x~y��jy^z �jpr}Xh±��y<zA¦^h � ��hjz �jh²{ � yVy<«¬}$v<z � ��y^zqx~v<prz }$}�y^i�h � h��jhjzqx � hj¦^hjtwy<{ui�h�zqx~}³v<¯>y<sux�x d h´su}Xh±y^«z y^z�twyA�v<tqx � v<z }�i�pr}X}�pry^z,��y^z � prxXpry^z }j® £ x�v<tw}�y²przu�jtrs � h�}6v<{u{ut|pw�v\xXpwy<z }Hx~y�v<��y^s }�xXpr�^µ^h�twhj�jx � y^i�v^�^z h�xXpw�y � h�t¶v^}�xXpw� ¤ v¦�hj}�µSv^} ¤ h�trt·v^}¸x d h�x � h�v<xXi�hjzqx y^«:}�{�v<��h � pw}�� � h�xXpr¹v<x�pwy^zg®º­»¢¼>½�¾#¿ �\ÀM�^¡ Á h�tri d y^trxX¹nh�¢s�v<x�pwy^zHµ:Ã3y<i7v<p|zÄÃ3h��jy^i�{Sy�}�prxXpry^z§ÅEh�x d y � µ�ÅEv\� ¤ h�trtƵMhjtwv^}�xXy � �qÇz�v<i�pw�<µVz y<zEtryV��v<tHy^{Sh � v<x~y � }

ÈÊÉ�ËÌÎÍÎÏ�Ð ËÌLÑ:ÒÓÍÎÔIÕ�Ö

×gØ�ÙÛÚgÜ>ÝjÞC߸Ø�àjÚgá\â�â�ã3ä�Ýjã�â6Ùåã3æçÝjèéèåà�á<ÝjÞCàëêIÙéÝ�ã±ÜgÙÛêIØlìSâ�ÞbíÓà�æ�Ú

Unite de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)

Telephone : 01 39 63 55 11 - International : +33 1 39 63 55 11Telecopie : (33) 01 39 63 53 30 - International : +33 1 39 63 53 30

Page 5: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

� ���������� �� �����±��� �������j������� �� ����� ����� �����%� 4���%��������+��,������� ���� ���%���� ���#�$� ���%��������'.��%��

�%�����6��7�6�,���j��� +���������#4j

��» �� �� �» ¡ � y^s } ���hj� � p|¦�y^zu}�suzuh�{ � �h�}�hjzqx©v\xXpwy<z5� �h�z �h � v<twh � hj}�i �hjx d y � h�} � h ���hj��y^i�{>y^}�prx�pwy^z� h � y^i�v<p|z h�}e{Sy^s � � h�}¸i�y � fh�twh�} � h�{ � y^{ v^�¢v<x�pwy^z ��� y^z � h�} d v � i�y^z�pw¢s h�}j® � y^x � h���v � � h-v<¯u}�x � v<prx��y<z � sup|x fv � hj} ���hji�y^z }�x � v\xXpwy<z } � h­��y^zq¦�h � ��h�z ��hj}E�jy^z ��pw}Xhj} hjx �jy^zqxXprhjzqx � h�} ���hj¦^hjtwy<{u{>h�i�h�zqx~}� �hj��h�zAxX}�}�s � t � s�xXprt|pw}Xv<xXpry^z � h��jy^z � p|xXpwy<z } � h�x � v\z }�i�pw}�}�pwy<zÄzuy^z§tryV��v<twhj}lv<s��%p|zqx~h � «bv^��hj}�® £ tL{Shjs�x} � v<{u{�trpw¢s h � v<s�� �hj¢s�v<xXpry^z } � hj}�y<z � h�}�v^�jy^s }�xXpw¢s hj}�µ �hjt¶v<}�xXpr¢s h�}�y^s �hjtrh���x � y<i7v^�<z �hjx�pw¢s h�}�v\s }X}�p¯uprhjz � v<z }±twh�s � ¦�h � }�pwy^zE��y^zqx�przqs hl¢s h � pw}�� � �h�xXpr} �h�h<®� ¿ ��� ½ ��� �» ¡ à �hj��y^i�{>y^}�prx�pwy^z � h � y^i�v<przuh�}�µ �hjÂqs v<xXpry^z ���ÛÁ hjt|i�y^t|x~¹<µ �h�¢s�v<x�pwy^z } � h­ÅEv\� ¤ h�trtƵy^{ �h � v<xXhjs � }¸z y^z twyA�v<s��

Page 6: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �

& ���7�6��7���

' (�) ��� ¿ À M�^�+* ¿ )-,/. � » � » ) �����+* ¿ ) ¿�0 ��1 »32 � 2�» � 4

5 � � ¿ À » � 2 � ¿ � � » � ½ 7»60Æ¿ � �� ��b�V�+* ¿ ) ���$* ) � » � 0 �u� » � 78 ®Ó� Ã3h�}�� � p|{uxXpry^z�y^«Mx d h�i�y � hjtH{ � y^¯utrhji ®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® 98 ® 8 �²zEh�¢sup|¦^v\twhjzqx¸x � v<z }�i�pr}X}�pwy^z { � y^¯utrhji ®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �8 ®é� oVy^i�h�y^{Sh � v\x~y � } ®,®l®-®,®-®,®-®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �8 ® k � h�«¬y � i�sut¶v<x�pwy^z7y^«:x d h�x � v<z }�i�pw}�}�pry^z { � y<¯utwh�i v<x¸p|zAxXh � «bv^��hj}�®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® ���

4 :;1 » *¶� » �\�V�+*=< » À ¿ �§��* ) À » � ¿ � 2�¿ ��*¶�+* ¿ ) � �?> ¿ ��*¬��1 � � '@5��®Ó� ced h�¯�v^}�pw��prxXh � v\xXpr¦^h�v<tr��y � p|x d i�}´v\z � p|x~}´p|zAxXh � { � h�x©v<x�pwy^z }"®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® � 8��® 8 ce¤ y�¦<v � pwv<zqx~}¸y^«Mx d hl¯ v^}�pr�,v\tw��y � prx d i s }�p|z �ntwyA�v<tHx � v<zu}�i�pw}X}�pwy^z { � y^¯utrhji�}­®-®,® ���

��® 8 ®|� ced h � hjtwv\�Vh �BA v^��y^¯�p � }±v<tw��y � prx d i ®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �����® 8 ® 8 ced h;Clv<s }�}²oVhjp � hjt·� tw��y � prx d i ®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® ��9

��®é� Clh�z h � v<tHx � v<z }�i�pr}X}�pwy^z y^{Sh � v<x~y � } ®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �����®é��®|� £ zqx � y � s �jx�pwy^z ®-®,®-®,®-®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �����®é��® 8 D hjt|t|ÇC{>y�}�h � zuh�}X}±y^«MtwyA�v\t>{ � y^¯utwh�i�} ®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �����®é��®Û� � hj«¬y � i#sutwv<xXpry^z�v<x¸p|zqx~h � «bv^��hj}¸®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® 8 ���®é��®ék ced h,Ã3y<i7v<p|z Ã3h��jy^i�{Sy�}�prxXpry^z�v<tr��y � prx d i�} ®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® 8 �

E F ¿ ) < » �+> » ) � » � ) � � ¼ ��*b� 5GEku®Ó� �IH � }�x ��hjz h � v<t � h�}�sutrx"®,®-®,®-®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® 8 �ku® 8 � �v^}�h,y<«6hë�V{Sy^z h�zqxXp¶v\t·��y^zq¦�h � ��h�z ��h ®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® 8 �

J K » � » � ��* ) ���+* ¿ ) ¿�0 ��1 » ����� »­¿�0 � ¿ ) < » �+> » ) � » * ) �§��* � 2 � » ��� � » 4 5�V®Ó� ��� h�}�hjzqx©v\xXpwy<z­y^«Mx d h-hë��v<i�{�twh^µVz y^x©v\xXpwy<z }�®-®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® � 8�V® 8 � ��hjzuh � v\t·h �X� y � h�}�xXpri�v<xXh'®,®-®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �^k�V®é� �²z�v\tr�A}�pr}¸y^«:x d h�z y^zE¹�h � y�hjpw�^hjzq¦<v<trs hj}¸y^«ML ®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �N9�V® k ced hl��y^zq¦^h � �^hjz �jh � v\x~h�«¬y � x d h A v<��y^¯up � }±v\tw��y � prx d i ®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® �¢��V®Û� ced hl��y^zq¦^h � �^hjz �jh � v\x~h�«¬y � x d h;Clv<s }�}²oVhjp � hjt � }±v<tr��y � prx d i ®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® ���

7 On�+1 » �7� 2P2 �?*I���V�+* ¿ ) � ERQ9�®Ó� oA{�v^�jh � pw}�� � h�xXpr¹v<x�pwy^z v<z �E� y<i7v<p|z � h��jy^i�{>y�}�prx�pwy^z ®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® ku�9�® 8 ��x d h � { d �A}�pw�v\tgi�y � hjtr} ®-®,®-®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® k�k

9�® 8 ®|� S�twv^}�xXy � �qz�v\i�pr��}´hjÂqs v<xXpry^z } ®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® k�k9�® 8 ® 8 �^Ã*Å­v�� ¤ hjt|t � }±}��A}�xXhji ®-®,®-®,®-®l®,®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® kq�

T U �� » ��*I��� �$� » �� �¶��� E T�V®Ó� �²z prt|trs }�x � v\xXpwy<z7y^«Mx d h�p|zAxXh � h�}�x y^«Mz y^z twyA�v\tHy^{Sh � v<x~y � } ®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® kq��V® 8 � z h ¤ � d y^pw�jh�V�x � v\z }�{�v � hjzqx trp ° h�y^{Sh � v<x~y � }�®-®-®,®-®,®-®-®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® k¢��V®é� ��z x d h�prz@W�s hjz �jh,y<«:x d hl��h�y^i�hjx � ��y^«:x d h�{�v � xXprx�pwy^z�y<«YX ®,®-®l®,®-®,®-®-®,®-®,® ��Z

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 7: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

k � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

� � � ������� �%�±���������0)*�$3�6��7���-������� ���`���� ���#��3�

c pri�h d v � i�y^z�pw� ¤ v�¦^h²{ � y^{�v^��v<xXpry^z�{ d hjzuy^i�h�z�v-v<{u{Shv � x~yl¯>h v�{ � p|¦qprtwhj��h � H h�t � y^«gv<{�{utrpr�v<x�pwy^zy^« � y^i�v<prz � hj��y^i�{Sy�}�p|xXpwy<zni�h�x d y � }��CÃ�ÃlÅ��#V�prz � h�h � µqx d h }Xy^t|suxXpry^znpw}�prz���h�z h � v<t d pw� d tr��y�}X��prtrtwv\Çx~y � ���bh��V��h�{ux±i7v��¯>h3«¬y � ¦^h � �7twy ¤ « � hjÂqsuhjz ������y^i�{usux~v<xXpry^z }��³v<z � prxX}±v<{u{ � y��Ap|i7v<x�pwy^z � hjÂqs�p � hj}��h�z h � v<trt|� v­¦^h � ��x d p|z }�{�v^�jh � pw}�� � h�xXpr¹v<x�pwy^zgµ�trhv � prz �­xXy�t¶v � ��h7}�pw¹�h7t|prz h�v � }��A}�x~h�i ¤¸d pr� d ��v<zz y^x � hv^}�y^z�v<¯ut|� ¯>h-}Xy<tr¦�h � s }�prz � � p � h���x²«bv<�jx~y � pw¹�v<xXpry^z i�hjx d y � }j®±ÅEy � h�y�¦�h � µ�x d hj}Xh,}��A}�xXhji�}3v � h��y<i�{utrh���v<z � z y^z d h � i�prx�p¶v<z��bhj¦�h�z pr«Hx d hj��v � h�}��Ai�i�hjx � pw�±prz���hjz h � v<t���µq}Xy,x d v<xLs }�s�v<t>p|x~h � v<x�pr¦�hi�hjx d y � }6hjprx d h � � y�z y^x���y^zq¦�h � ��h±y � ��y^zq¦^h � �^h y<zutr�-}�try ¤ tr��µ ¤ prx d y^sux$v<zq�-x d hjy � h�xXpr�v<t��^s�v � v<zqx~h�hj}y^«³��y^zq¦^h � �^hjz �jh^µ� �"!I® £ z¥x d pr}���y^zqxXh��Axµ·prx3pr}3z�v<x�s � v<t6x~y x � �­x~y � h � s �jhnx d h�}Xy<trsux�pwy^z¥y^«$x d hn«¶sutrt{ � y^¯utwh�i x~yEvE}�s ���jh�}�}�pwy<z¨y^«´}�i7v\trtwh � twyA�v\t�{ � y<¯utwh�i�}�x d v<x-��y^sut � ¯Sh d v<z � trh � «¬y � prz }�x©v<zu��h�¯A�� p � h���xni�h�x d y � }j® ced pr}�pr}�{ � h��jpr}Xh�tr��x d h {us � {>y�}�h�y^«±x d h � y^i�v<p|z � h��jy^i�{>y�}�prx�pwy^z xXh�� d z�pw¢s h�}j®Á y ¤ hj¦^h � µAx d h }Xy<trsux�pwy^z�y^«Sx d h Á hjtri d y^t|x~¹exÎ�q{Sh²hj¢s�v<xXpry^z } ¤¸d pr� d � hj}X� � pr¯Sh ¤ v¦�h { � y<{�v^�¢v<x�pwy^z�p|zx d h´« � h�¢s h�z �j� � y^i7v\prz d v<}�z y^x�x d h¸}~v<i�h´zupr��he{ � y^{Sh � x�pwhj}�x d v<z�x d h¸}Xy^t|suxXpry^z }:y^«Si�y � h´}�x~v<z � v � �hjt|trp|{uxXpr�3h�¢s�v<x�pwy^zu}²}�s � d v^}$#·v<{ut¶v<��hlh�¢s�v<x�pwy^z V³prx � yAh�}±z y^x±z�v\xXs � v<trt|� ��y ��� hj}�{Sy^z � xXy�x d h-i�prz�p|Çi#sui y^«6v�¢s�v � � v<x�pw�3«¶suzu�jxXpry^z�v<tCµVx d h3i7v��Vp|i#sui { � p|z �jp|{utwh � yVhj}´z y^x d y^t � µ>®Ó®Ó® ced v<x¸pw} ¤¸d � x d hp � hv^}¸y^«·x d h3«bv<i�y^s }´y�¦�h � twv<{u{up|z ��oV� dq¤ v � x~¹-v<tr��y � p|x d i%�� 8 �&!Cµ� 8 9&!Cµ� 8 ��!'�e�v\z zuy^x¸¯>hlv\{u{utrprh � xXyd v � i�y<zupw� ¤ v�¦^h3{ � y<{�v^�¢v<x�pwy^z�i�y � h�tw}j® ced pr}³{ � y^¯�v<¯ut|��h��A{utwv<prz } ¤¸d ��x d h � h�}Xh�v � � d y<z Ã�ÃlÅ «¬y �}�su� d i�y � h�tw}$}�x~v � xXh � y<zutr� � h��jhjzqxXt|��® ced h²y^¯���h���xXp|¦�h�y<«>x d h { � h�}�hjzqx´{�v<{Sh � pw}�xXy,�^p|¦�h²v-}�s � ¦^hj��y^«}Xy<i�h ¤ y �X° }²p|zEx d pw} H hjt � i�v � h�¯q��x d h,v<sux d y � }�v<z � }Xy^i�h,y<«6x d hjp � �jy^trtrhv^�^suh�}²v<z � xXy�{ � h�}�hjzqx}Xy<i�h3i�y � h � h��jhjzqx � hj¦�h�twy^{�i�h�zAxX}�®

ced h$i�h�x d y � } ¤ h³v � h���y^p|z �´x~y±}�{>h�v ° v<¯Sy^suxMv � h$v<t ¤ v�A}·zuy^z�y�¦^h � twv<{u{up|z �´prxXh � v<xXp|¦�h�i�hjx d y � } Vx d h � y^i�v<przu}:y^z�tr�-��y^i�i#suz�pw�v\x~h³¯q�-x d h�p � przqx~h � «bv^�jh�}�®6��}6s }�s�v<tuv<trtqx d h � p (���sutrxÎ�-trprh�}·prz#x d h ¤ v��y^z h±i�v ° hj}³x d h � p*)>h � h�zAx³}�s�¯�Ç � y<i7v<p|z }$��y^i�i#suz�pw�v\x~h¸¯>h�x ¤ hjhjz h�v^� d y^x d h � } VMx d h ° hj��{Sy^przqx³v � hx d s }$x d h²� d y<pw��h y^«>��yVy � x � v<z }�i�pw}�}�pry^z���y^z � prxXpry^z }Lv<z � x d h²� d y<pw��h y^«Hv-��twhj¦^h � prxXh � v\xXpr¦^h±}X� d h�i�h<®ced h,}�x©v � xXp|z ��{Sy^p|zAx y^«6x d h-i�h�x d y � }²pr} x d h�� d y^pw�jh,y^«�}�sup|x©v<¯utrh-x � v<zu}�i�pw}X}�pwy^zE��y<z � prx�pwy^zu} ¤¸d pw� dprzq¦^y^tr¦^hlv<zEv<{u{ � y^{ � pwv<x~h3t|prz h�v � �jy^i#¯up|z�v<x�pwy^z y<« � hjsui�v<zuzEv<z � Ã�p � pw� d twhjx � v<x~v ¤ p|x d pri�v^�^p|z�v � ���yAh+(���pwhjzqxX}�® c y#p|z � pr�v<xXh�x d h²¯�v^}�pr��p � hv^}jµ�twh�xes }¸�jy^z }�p � h � x d h�¦^h � �7}�pri�{utrh�h���v<i�{utrh�y^«·x d hn��ÃÁ h�tri d y^t|x~¹3hjÂqs v<xXpry^zg®

,.-0/1�1�2 ,435/ 27698;: <�= ! ,?> : > :�����¤ prx d x � v\z }�{�v � hjzqx ¯>y<suz � v � � ��y<z � prx�pwy^zu}¸v<x <76A@ > µ

� - 1 2B@DC 3 2 �E� @ > � 6 ZGF� 8 �#ghjx±s }±��y<z }�p � h � v#{�v � xXprx�pwy^z�y<«:x d h�przqx~h � ¦<v<tH! ,I> : > qp|zAxXy�}�su¯�ÇCprzqx~h � ¦<v<tr}J! <0KL:M<0K�NPO Ûµ <0QR6 ,�>TS<UO S FVFVF S <;W�6YX > ®$Ã3h�z y^xXp|z �n¯q� 2 K�N[Z\ x d h � hj}�x � pw��xXpry^z y^« 2 x~yB! <0K]:^<0K�NPO åµ ¤ h d v�¦^h

,.-0/1�1�2 K�N Z\ ,_35/ 2 K�N Z\ 6A80: <�= ! <0K":^<0K�NPO :�C�L�¤ prx d x d h�x � v<z }�i�pr}X}�pry^z���y<z � prx�pwy^zu}

`ab ac 2 K�N[Z\� <0K � 6 2 K+deZ\ � <0K � : Z Sgf7Sihj, �

- 1 2 K�N Z\ � <0K � 6 - 1 2 K+d Z\ � <0K � : Z Skf7Sghl, � :�Ikm�

n�oP[pnrq

Page 8: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �

v<z � x d hl¯Sy^suz � v � �7��y^z � prxXpry^z }`ab ac - 1 2 Z\

� <0Q � , C 3 2 Z\ � <0Q � 6 Z

- 1 2 W5deZ\ � <;W � XDC 3 2 W5deZ\ � <;W � 6 Z F�Æ�]�ced h±p � h�v-y<«>x d h ¯�v<}�pw�¸i�hjx d y � µ � s h xXy�Ã3hj}�{ � h�} å��k]!CµU Û���"!IµU å���&!CµU Û����!Sv<z � prz � hj{Shjz � h�zqxXtr�nxXy7 �NZ"!��y<z }�pr}�x~}¸p|z � h ¤¸� prxXp|z �7�Æ�]�´p|z x d h�«¬y^t|twy ¤ przu��«¬y � i V�«¬y � f 6 � : FVF F hl, �

`ab ac - 1 2 K�N Z\� <0K � X C 3 2 K�N Z\ � <0K � 6 - 1 2 K d Z\ � <0K � XDC 3 2 K+d Z\ � <0K �

,$- 1 2 K N Z\ � <0K � XDC 3 2 K�N Z\ � <0K � 6 ,.- 1 2 K+d Z\ � <0K � X C 3 2 K+d Z\ � <0K � F��9L�ced h � hj«¬y � h^µgtryVy ° p|z � v<x-v7}�prz �^trh � y^i�v<p|z�! <0K":^<0K�NPO Ûµ ¤ h d v�¦^h�p|z%{�v � xXpw��sut¶v � µS¯q��{�pw� ° prz � y<z hny^«x d hlx ¤ y�h�¢s�v<x�pwy^z } 9�v<x <76g<0K v<z � <76 <0K NPO

`aaaaab aaaaac,$- /1�1 2 K�N Z\ ,43 / 2 K N Z\ 698;: <�= ! <0KL:M<0K�NPO :,$- 1 2 K�N[Z\ � <0K � X C 3 2 K�N[Z\ � <0K � 6 ,$- 1 2 K+deZ\ � <0K � X C 3 2 K+deZ\ � <0K �- 1 2 K�N Z\ � <0K�NPO � XDC 3 2 K�N Z\ � <0K�NPO � 6 - 1 2 K�N �\ � <0K�NPO � XDC 3 2 K�N �\ � <0K�NPO � F

��]�

ced pr}e}��A}�x~hji v<tw}�y d y<t � }$«¬y � f 6 Z�v<z � f 6 h , ��p|« ¤ h�s }Xh²x d h3�jy^zq¦�h�zAx�pwy^z 2 deZ\ 692 WN[Z\ 6 Z�®£ xl�v\z§¯Shn}Xhjhjz¨v<}lv { � y^¯utrhji ¤¸d pw� d � h�Huz h�} 2 K�N[Z\ µ ¤ p|x d ¯>y<x d 2 K+deZ\ v<z � 2 K�N �\ ��y^zu}�p � h � h � xXy¯Sh ° z y ¤ zg®

D h�x d hjz { � y<{>y�}�h�x d h�«¬y^t|twy ¤ prz �,prx~h � v<x�pr¦^h3{ � yA��h � s � h� 2�� K+deZ\�� K��PO W ,�� 2�� NPOK+deZ\�� K��PO W :�C�L�

¤¸d h � h ¤ h d v¦�h-}Xh�x`aaaaab aaaaac

,.- 1�1 2�� NPOK�N Z\ ,_3 / 2�� NPOK�N Z\ 6A80: <�= ! <0KL:^<0K NPO :,.- 1 2�� NPOK�N[Z\ � <0K � X C 3 2�� NPOK�N[Z\ � <0K � 6 ,.- 1 2�� K+d Z\ � <0K � X C 3 2�� K+d Z\ � <0K �- 1 2 � NPOK N Z\ � <0K NPO � XDC 3 2 � NPOK N Z\ � <0K�NPO � 6 ,.- 1 2 � K�N �\ � <0K�NPO � X C 3 2 � K�N �\ � <0K�NPO � F

�C�L�

£ xnv\{u{>h�v � },x d v<x-x d pw},i�hjx d y � pw}-y^{ux�pri�v<t$prz�x d h�}�hjz }�h7x d v\x�prx,��y<zA¦^h � ��h�}�h���v^��xXt|�Äp|z¨v3H�zuprxXhzqsui#¯Sh � y^«MprxXh � v\xXpwy<z }�® £ z � h�h � µ przqx � y � su�jprzu�#x d hlh ��� y � � h�Huz h � prz h�v^� d }�su¯�Ç � y^i�v<prz ¯q�

� � K�N Z\ 6 2 K N Z\ , 2�� K N Z\ F����Zm�D h ° z y ¤ x d v<x¸x d h � � K�N Z\ }Xv<xXpr}�«¶���C�m� ¤ p|x d 8 6 Z�® ced h � hj«¬y � h ¤ h-�v<z ¤¸� p|x~h

� � K N[Z\ 6 > � K N[Z\ hë�V{ � C 3 < � X���� K N[Z\ h��A{ � , C 3 < � F���^�&�

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 9: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

9 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

��¯ }Xh � ¦qprzu��x d v<x `ab ac - 1� � K�N[Z\ XDC 3 � � K�N[Z\ 6 8 C 3 > � K�N[Z\ hë�A{ � C 3 < �

- 1 � � K�N Z\ , C 3 � � K�N Z\ 6 , 8 C 3 � � K N Z\ hë�A{ � , C 3 < ���� 8 �x d hlx � v<zu}�i�pw}X}�pwy^z��jy^z � p|xXpry^z }´twh�v � x~y

> � NPOK+deZ\ 6 > � K�N Z\ : f 6 � : 8 : FVFVF : hj, �

� � NPOK�N[Z\ 6 � � K+d Z\ : f 6 � : 8 : F FVF : hj, � :����m�¤¸d p|twh3x d hl¯Sy^suz � v � �7��y^z � prxXpry^z }´hë�A{ � hj}X}²x d v<x

> � W5deZ\ 6 Z : � � Z\ 6 Z : ��� F����k ��u� y^i �����L�´v<z � ���k �ëµuy^z hlh�v^}�p|tr� � h � su��h�} x d v\xµ v<«¶xXh ��� p|x~h � v<x�pwy^z }

> WK+deZ\ 6 � WK+deZ\ 6 Z : f 6 � : FVF F : h :�����L�¤¸d pr� d i�hv<zu}lx d v<x�x d hn{ � yA��hj}X}-��y^zq¦�h � ��hj},p|z h prxXh � v\xXpwy<z }�µ ¤¸d h � h h pr}3x d hnzqsui#¯Sh � y^«e}�su¯VÇ� y^i�v<p|z }�® £ z�x d pr}e}Xh�z }Xh<µux d h²prx~h � v<x�pr¦^h { � yV�jh � s � h ¤ h3{ � y<{>y�}�h � ¯�v<}Xh � y<z7x d h²s }Xh3y<«gx d h�i�p|�Vh �¢s�v<zqxXp|xXprh�}¸Â¢s�v<zqxXp|xXprh�} @��� 1 XDC 3 2 pw}¸y^{�xXpri�v<tC®ced h3i�hjx d y � } ¤ hlv � h���y^p|z �,xXy#x � h�v<x´p|z7x d h3{ v<{>h � v � h3h�}�}Xhjzqx�p¶v<t|tr��h��Ax~h�z }�pry^z }±v<z � ¦<v � p¶v<zqxX}y^«gx d pw}L¯�v^}�pr�3v<tr��y � prx d i­® ced h3hë�VxXhjz }�pwy^zu}´i7v<p|zutr���jy^z �jh � z d pw� d h � }�{�v^��h � pri�hjz }�pwy^z }³v<z � y<x d h �xÎ�q{>hny<«$h�¢s�v<x�pwy^z }j® ced h#¦<v � pwv<zqx~}��jy^z �jh � z¥x d h�przqxXh � «bv<��h#�jy^z � p|xXpwy<z }3v<z � x d h�p|x~h � v<x�pwy^zE{ � yA��hëÇ� s � h^® £ z­x d pw}±{�v<{Sh � µ ¤ h�i�v ° h,v�{�v � xXpr�jsutwv � h+)Sy � x�y^«6«¬y � i�v<trpr}~v<x�pwy^z v<z � v<¯ }�x � v^�jx�pwy^zEprz�y � � h �x~y��^p|¦�h-v#suzup H h � { � hj}Xh�zAx~v<xXpry^zEy^«�v\trt>x d hlh��Ax~h�z }�pry^z }²v<z � ¦<v � pwv<zqx~}�® ced h-y<suxXt|prz h3pr}±v^}´«¬y^trtry ¤ }�®

£ z#}�h��jx�pwy^z 8 µ ¤ hL{ � hj}Xhjzqx:x d h$i�y � h�t¢{ � y^¯�twhji �bx d h Á hjtri d y^t|x~¹�hjÂqs v<xXpry^z;�>x d v\x ¤ he�jy^z }�p � h � p|zx d hli�v\��y � { v � x y^«Mx d pr} v � x�pw�jtrh^® ced h-i�v<prz�y<¯���h���xXpr¦^h,y<«6x d pw}¸}Xhj�jx�pwy^z pw}´xXy ¤¸� prx~hlv\z­hjÂqs�pr¦<v<twh�zqxx � v<z }�i�pr}X}�pry^z¨{ � y^¯utwh�i"y<z5v­{ v � x�prxXpry^z¨y^« X s }�p|z �uµLv^}#prz �Ã#µ:twyA�v\tex � v<z }�i�pr}X}�pry^z¨y^{Sh � v<x~y � }�®D h � hj«¬y � i#sut¶v\x~h7x d pw}�x � v\z }�i�pw}�}�pwy<z { � y^¯utrhji p|z xXh � i�}�y^«�v¥z h ¤ { � y^¯�twhji ¤¸d y�}Xh suz ° z y ¤ z }v � h ¢s�v\zAx�prx�pwh�} � h Huz h � v<x�x d h przqx~h � «bv^�jh�}n¯>h�x ¤ hjhjzWx d h � p )Sh � hjzqx�}�su¯VÇ � y^i�v<p|z }�® D h p � hjzqx�pr«¶�v<z v<¯ }�x � v^�jx���h�z h � v<t´«¬y � i'y^«±x d pw}#{ � y^¯utrhji"i�y � sutwy x d h p|zAx � y � s ��xXpwy<z¨y^«�v<{u{ � y^{ � pwv<x~h�trprzuhv �y^{Sh � v<x~y � }�® £ z�}Xhj�jx�pwy^z���µ ¤ h � hj}X� � pr¯Sh±x d h¸¦<v � pry^s }�p|x~h � v<xXp|¦�h � y<i7v<p|z � h��jy^i�{Sy�}�prxXpry^z�v<tr��y � p|x d i�}¤ h d v¦^h³� d y^}Xhjz,x~y � pr}X�jsu}X}�® £ z,{ v � x�pw�js�t¶v � µ ¤ h$przqx � y � s ��h�x d hLzuy^xXpry^zly^« A v^��y^¯�pAv<z � C-v<su}X}�ÇçoVhjp � hjtv<tr��y � p|x d i�}-v^} ¤ hjt|t¸v^}-x d h�p �,� hjtwv\�Vh � ¦^h � }�pwy^zH® £ z }Xhj�jxXpry^z ��®é��µ ¤ h�p|zAx � y � s �jh vEi�y � h���hjz h � v<t�jtwv^}X}�y^«3v<tw��y � prx d i�}�¯�v^}�h � y^z x d h s }�h­y^«3vÄi�y � h���h�z h � v<t �jtwv^}X}�y^«3x � v<zu}�i�pw}X}�pwy^z y^{Sh � v<x~y � }�®D h§} d y ¤ x d h�� Hux�x d hÄ��h�z h � v<t�« � v<i�h ¤ y ��° ¤ h d v¦�hÄ��y^zu}�x � s �jxXh � p|z x d h¥{ � h�¦qpwy^s } }Xhj�jx�pwy^zg®oVhj�jxXpry^z k pr} � h�¦�y^xXh � x~y�x d h��jy^zq¦�h � ��hjzu��hÄv<z�v<t|�A}�pw}j®Q��s � { � yVy<«3pw}7y<zutr� ¯�v^}�h � y^z`vÄ{ � pry � ph�}�xXp|i7v<xXh�}j® D hehji�{ d v<}�pw¹jh´v²{ v � x�pw�js�t¶v � � d y^pr��h³y^«u{�v � xXp|xXpwy<z�y^«RX¨v\z � y^« x � v<z }�i�pr}X}�pwy^z,y^{Sh � v\x~y � }¤¸d pr� d �<s�v � v\zAxXh�hj}lv<z¥h��A{Sy^z hjzqx�p¶v<t � v<xXh#y^«L��y^zq¦^h � �^hjz �jh^® £ z¥}�h��jx�pwy^z§�Aµ ¤ h�v\z�v<tr�A¹jh�przÄv�i�y � h¢s�v<zqxXp|x©v<x�pr¦^h ¤ v��,x d h¸}�{>hjh � y^«��jy^zq¦�h � ��hjzu��h±y^«�y^s � v<tw��y � prx d i�}·p|z�v²¦^h � �,{�v � xXpw��sut¶v � ��v^}Xh¸y^« x ¤ y� y^i�v<p|z }�® ced pw}±{>h � i�prx~}¸s } x~y � pw}��js }�}²x d h�� d y^pr��h-y^«�}�y^i�h-y^«�x d hl{�v � v\i�h�x~h � }²y<«�x d hli�hjx d y � ®£ z }Xhj�jx�pwy^z 9�µ ¤ h7{ � h�}Xh�zqxn¦^v � pwy<s }�hë�VxXhjz }�pwy^zu} ¤ prx d prz x d h v<¯ }�x � v^�jx#«¬y � i�v<trpr}�i ced h�� ��y<z ��h � zH � }�x¸x d h�}�{�v^�jh � pw}�� � h�xXpr¹v<x�pwy^z y<«Mx d h3i�y � h�t>{ � y^¯utrhji x d h�z x d hlv<{u{�trpw��v<xXpry^z7y<«:y<s � i�h�x d y � }exXy

n�oP[pnrq

Page 10: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �

y^x d h � { d �A}�pr�v<t|tr� � hjtrhj¦<v<zqxl{ � y^¯�twhji�}�® � prz�v<t|tr�^µ ¤ h�p|trtrsu}�x � v<x~h,}Xy^i�h�v^}�{Sh���x~}ly^«ey^s � x d h�y � hjxXpr�v<tv<z�v\tr�A}�pr}´¯A�7}Xy^i�h�zAs�i�h � pw��v<t � h�}�s�trx~}j®

D h �v\zuz y^xLx � hv<x$prz�v�«¬h ¤ {�v<��h�}³v<trt�x d h²v^}�{Sh���x~}³y^«gÃ�ÃlÅ «¬y �$d v � i�y<zupw� ¤ v¦�h²{ � y^{�v<�¢v<xXpry^zg®#ghjx´su}¸��y^z ��trs � h3x d pr}³przqx � y � s �jx�pwy^z�¯A�7v � v<{�p � � hj¦qpwh ¤ y^«·x d h�trp|x~h � v<x�s � h �Cv�s }�hj«¶sutg�jy^i�{utwh�i�h�zAxx~y�x d h�{ � h�}�hjzqx�{�v\{>h � ��® Á pr}�xXy � pr�v<t|tr��µ ¤ h�i#s }�x � hj«¬h � x~y�x d h�{upry^z hjh � p|z � ¤ y �X° },y<«���®MÃ3h�}�{ � hj}v<¯Sy^sux�x d h Á h�tri d y^trxX¹�hjÂqs v<xXpry^z ¤ prx d {us � hjt|�­tryV��v<t6x � v<z }�i�pr}X}�pwy^z¥�jy^z � p|xXpwy<z } Û���"!Iµr Û�k]!IµH«¬y � x d hx d h�y � hjxXpr�v<tgv^}�{Sh���x~}�µ Û��9"!Iµe å����!H«¬y � �jy^i�{�sux©v<x�pwy^z v<t>pr}X}�suh�}�µ x � hv\x~h � v<tr}Xynprz? ���+!'�¸v<z � o d v<p � s � y�¦ �NZ"! �I}�h�h�v<tw}�y� Û���"!·«¬y � v<zEh��AxXhjz }�pwy^z�xXy�v\¯ }Xy � ¯uprzu��i�h � pwv�v<z � Û���&!M«¬y � vni�y � h-v<tr��hj¯ � v<pw�3{Sy^p|zAxy^«L¦qpwh ¤ �ë®��ehjz�v\i�y^sÄhë�VxXhjz � h � x d hnp � h�v^}�x d h � h�prz¥x~y�x � hv<xly^{�xXpri�v<t6��y^zqx � y^t�{ � y^¯utwh�i�} � hjtwv<x~h �x~y d v � i�y^zupr� ¤ v�¦^h { � y^{ v^�¢v<x�pwy^z �b}Xhjh4 8 !IµE å�+!¸v<z � �"!e«¬y � v � h�¦Aprh ¤ �ë® ced h���v^}Xh y^«±z y<z¨twyA�v<tx � v<z }�i�pr}X}�pry^z �jy^z � p|xXpwy<z }³pr}ex � hv<xXh � przI 8 �+!gv<z � 8 Z"!Iµ ¤¸d prtrh²p|zI 9"!Iµ ��!Iµ�x d h3s }Xh�y^«M}�h���y<z � y � � h �x©v\z ��hjzqx�p¶v<t � p )Sh � hjzqxXpwv<t²y^{>h � v<xXy � }��Cv<z5przqx~h � i�h � pwv<x~hE}�prx�s�v<x�pwy^z;��pr}7��y^zu}�p � h � h � ® ��¦�h � t¶v\{u{uprzu�i�hjx d y � }Lv � h¸przqx � y � su��h � prz �&!I® � y � x d h±�v<}Xh y^«g��à ŭv ¤ �Vhjt|t � }³hjÂqs v<xXpry^z }�µ ¤ h � hj«¬h � xXy7 Û����![v\z � �"!C®� / � ����34 �%�����%4��� ��� 3�����$� �%4��,������� �-� ��7�6������#�±��

��� ������������������������ ��!"�$#%�'&(�*)��(����+()��,#Á h � h<µ\X � h�z y^xXh�}-v�¯>y<suz � h �Ä� y^i7v\prz%y^«.- /10 ¤ prx d ¯>y<suz � v � �32 ¤ h�v<}X}�s�i�h#xXy�¯Sh#}�s (��jpwh�zqxXtr�}�i�yAy^x d �Cv<x�trhv^}�x #Hp|{ }X� d p|x~¹���y<zAx�przqs y^su}���® D h���y<z }�p � h � x d h�{ � y^¯utwh�i ¤ prx d �jy^i�{utwhë�¨¦<v<trs h �suz ° z y ¤ zE«¶suz �jx�pwy^z 2

465879;:`aaaab aaaac

� prz � 2 ==< O ��X � : }�s � d x d v<x,"> 2 , 35/ 2 6A80: prz X-@? 2 X C 3 2T6 Z : y^zA2 :

����9m�

�CB � h�z y^x~hj}-x d hnsuzup|xly^sux~�^y^prz �7zuy � i�v<t6¦^h���x~y � x~yD2 ��® � y � p|z }�x~v<z ��h<µgx d hn¯Sy^suz � v � �%�jy^z � p|xXpwy<z�v\z ¯>h3}�h�h�z­v<}¸v<z v<{u{ � y�Apri�v<x~h � v � pwv<xXpry^z7�jy^z � p|xXpry^z v<x HuzuprxXh � pr}�x~v<z ��h �Cv^}¸v\z v<{u{ � y��Ap|i7v<x�pwy^zy^«Lx d h#{ � y^{�v<�¢v<xXpry^z¥y^«ev ¤ v¦�h�prz3- / 0 ��® ced h � pr� d x d v<z � }�p � h#pr}3x d h�}Xy<s � �jh�xXh � i�v<z � 3FE Z� hj}�pw�<z�v<x~hj}¸x d h�« � hj¢s hjz ����®

��� y^¯utrhji 4G5879;: hjzqx~h � }#p|z¨vEi�y � h���h�z h � v<te��t¶v^}�}#y^«´{ � y^¯utrhji�} �IH � hj«¬h �X� p|z �­xXy�vE¯Sy^suz � h �� y^i�v<p|z�y^«*- / � �

4G587 JK :`aaaab aaaac

� prz � 2 ==< O �LHB� : }�s � d x d v\x,"> 2 , 35/ 2 6A80: przMH-@? 2 X C 3 2T6ON0: y^z - H F

�����L�

#ghjx±s } � hj�v<t|tHx d hl«¬y<trtwy ¤ p|z �#�jtwv^}X}�pw��v<t � hj}�sut|x �b«¬y � vn{ � yVy^«çµ�}Xh�hT Û��Z"!·y � Û�k�!g«¬y � prz }�x©v<zu��h��ë®:;1 »q¿ � » � 'QP � � 8;:GN �R � � ��TS��-� �VU / �LHB�XW U / � - H�� � 4 5 7 JK : � ��� ��� � ��ZY ��-������ �?������ < O �LHB�[ � �� ��������?� �]\ ��� > 2 = U / �LHB� � ��R� -@? 2 = U / � - H�� % � �� ����_^��� ����� � �a`N� ���=� � ��� ��� ����

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 11: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

� � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

� 6 � �LHB� E Z � � �� �� ���� 2 ��� Z�� K�� X � -X? 2 ��� \ � K���� � � � 8 ��� \ � K � X � N ��� \ � K � � F����m�#ghjxLs }L}�pri�{ut|� � hj�v<t|t x d v\xLx d h±{ � yAy^«[s }Xhj} �u� h � d y^t|i � }Lv<trxXh � z v<xXp|¦�h ¤¸d pr� d�� h � s �jh�}ex d h±h��Apw}�x~hjzu��h{ � yVy^«ex~y%vEs�zupw¢s h�z h�}�} � h�}�sutrx�® � y � }�s � d v � h�}�sutrx�µ�y^z h�H � }�x#{ � y�¦^h�x d v<x�p|« 8g6 N 6 ZVµ:x d hjz2 6 -@? 2?6 ZEy^z - H ¤¸d pr� d pri�{ut|pwh�}3¯q�¥x d h�suz�pw¢s h��jy^zqxXp|zAs v<xXpry^z§{ � przu�jpr{�twh µ� Û��� !CµMx d v<x 2 pr}¹�h � y�prz H�® ced pw} H � }�x }�xXhj{ � h�h�{utr��s }Xhj} x d h-v<¯ }Xy � {ux�pwy^z xXh � i C 3 2 prz�x d h�¯Sy^suz � v � ����y^z � prxXpry^zg®7» ���u��� '�� ���� ������� �� � ��������$��� � �R� � R � ��� 4 5 7K�: � �� � � ��� � � � �3���� ����� � � � ������P� �� ��� � � ����� �a`��������������R% ! � [ � ^��� �-���� �� � � �� [ �����P� ��������� ����^�� ���� ��;��� � �/�=� ��� �]��� [ � ��� [ �"�� � S ���TS� �����]� �� R ���a`N� ��R� � � [ ��=���� � �� ����� � � � �$� ���=��� � � R � ����� �$�� � �� �]� � ���?�� ^�# ��� �=��� �������� � ^���� [ � �/����;�#� �P� �� ���?���� ���

`aaaaaab aaaaaac

� �R� 2 =F< O ��X � : � � �� �� ���, ��� ^�� ����� 2�� , � 35/ 276Y80: � X

-@? 2BX C 3"! 2 6ON0: �� - X :����m�

[ ���� � � � < � : � � < � �� � R �� R� � � [ ��� R �� R� � � ��^��� ��� ��������?� ^�� � G ��?���� � � �]\^ � � � X ��R�! � < � VT2 � -# �����?� �]\ ���%$ � ! �'& Z ��R�($ � ! �)&+* E Z ���� < = 2 Q [ ���� � 2 Q � �;� � R ����� � � 2[ ��� ��-,��� ���$� ��� G ��%�I� .O� �0/21(��354.)L�*�V� ���64.�"��# �L�����L��� �(����+()L�*##ghjx±s }±��y<z }�p � h � v#{�v � xXprx�pwy^z�y<«YX przqx~y h }�su¯�Ç � y^i�v<przu} X K

X 6 W7K �PO X KX K"8 X59 6;:G: «¬y �=<?>6 f

X K pw} #Hpr{ }�� d prxX¹���y^zqx�przqs y^s }j®� 8 Zm�

£ z ¤¸d v<x,«¬y<trtwy ¤ }jµ ¤ h�} d v<t|t � pw}�xXprzu�^supw} d x ¤ y­zuy^x©v<x�pwy^zu}l«¬y � - X K%8 - X597�¬przqx~h � «bv^�jh�¯Shjx ¤ h�h�z X Kv<z � X59�® @K 9 6 - X KA8 - X59 v^} v#{�v � x y^«YX K@ 9 K�6 - X KA8 - X59 v^} v#{�v � x y^«YX59&F� 8 �&�

ced pw}´pw}´su}Xhj«¶s�tM«¬y � � pw}�xXprzu�^supw} d przu�#x d h�x ¤ y�x � v^�jh�}±y^z - X KA8 - X59�«¬y � vn«¶suz ��xXpry^z ¤¸d pw� d �v<z ¯Sh� pr}X��y<zAx�przqs y^su}²v<� � y^}X} v<z przqx~h � «bv^�jh^®7» ���u��� 5CB � ^��� ����� � ������� [ ���� ���� ��� ����� ��?���� [ ����� ��� R � ������� #������r� [ �/��� �]���H ��� �R��� D ��E ���� �������� ��� ���?���� @ K 9 � @ 9 K �� - X KA8 - X K [ ������ � �$����?�������TS��� �a`��P� �� ��� � ����%

n�oP[pnrq

Page 12: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �

� �

� 8

� �

� k

� �

� ��

� �<k�� � kq���� �

� pw�<s � hn�NV ced h � y^i7v\prz Xªv\z � p|x~} � hj��y^i�{Sy�}�p|xXpwy<z

� p|z�v<trt|��µ ¤ h-} d v<trtg}�hjx @K^K.6 - X 8 - X K F� 8�8 �

��z - X K µ ¤ h±} d v<trt � hjzuy^x~h´¯q� B K x d h´suzuprx6z y � i�v<tV¦�h���x~y ��¤¸d pw� d pw}�y<sux~��y<prz � ¤ p|x dn� h�}�{Sh���x$x~y X K ®��¯q¦Apry^s }�tr��µ�B K�X B�9 6 Z�y^z@K 9 6 @ 9 K ® � p|z�v<t|tr��µ¢p|« 2 pw}´v�«¶s�z �jx�pwy^z y<« U / ��X K �ëµVprxX} � h�}�x � pr�jxXpry^z�xXy

X K ¤ prtrt>¯>h � hjzuy^x~h � ¯q� 2;K ® D p|x d x d pr} z y<x©v<x�pwy^zgµVprx±pw}±�jtrhv � x d v<x 2 pw}±}Xy<trsux�pwy^z y^« 4a5 79 : pr«�v\z �y^zut|��p|«� 20K�: f 6 � : h� pw}±vn}Xy^t|suxXpry^z�y^«:x d h�x � v<z }�i�pr}X}�pry^z { � y^¯utwh�i

� � ���

`aaaaaaaab aaaaaaaac

, > 20K ,435/ 2;K�6Y8�K p|z X K]: f 6 � : FVFVF : h-@?�� 20K X C 3 20K 6 Z y^z

@K^K

20K�6 2 9 y^z - X KA8 - X59 : f >6 <-@? � 20K�6 ,$-@?�� 2 9 y<z - X KA8 - X59 : f >6 < F

� 8 �m�

ced hlx ¤ y�x � v<z }�i�pr}X}�pry^z���y<z � prx�pwy^zu}¸�v<z�¯Sh � h ¤¸� prxXxXhjz przEv<z h�¢sup|¦<v<twh�zAx ¤ v��v^} � f >6 < �`b c -@? � 2;KXDC 3 20K�6 ,.-@?�� 2 9 XDC 3 2 9 y^z

@K 9

-@?�� 2 9 XDC 3 2 9 6 ,$-X? � 20K XDC 3 2;K y^z@ 9 K F� 8 k �

ced h � hj«¬y � h^µ ���B���6��v<zE¯Shl}Xhjhjz%v<}²vn�jy^trtrh��jx�pwy^z7y^«6tryV��v<t>{ � y^¯utrhji�}¸y^«:x d h�«¬y � i 4G5 7 JK :`aaaab aaaac

, > 20K ,435/ 20K 6A8�K prz X K-@? � 2;KXDC 3 20K 6 ,.-@?�� 2 9 XDC 3 2 9 y^z

@K 9 : f >6 <

-@?�� 2;KXDC 3 20K 6 Z y^z@K K F

� 8 �L�

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 13: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

��Z � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

��� � �V#%�F�V� �,�641���V�����s � ��y¢v\teprz x d pw}n}�h��jx�pwy^z ¤ p|trte¯Sh7x~y � hj«¬y � i#sut¶v\x~h�x d h x � v<z }�i�pw}�}�pry^z¨{ � y<¯utwh�i�}nv<}�v%{ � y^¯utrhji¤¸d y�}�h-s�z ° z y ¤ z ¤ prt|t>¯Sh�«¶suz �jx�pwy^zu} � h Huz h � v<x¸x d h�¯>y<suz � v � pwhj} - X K µuz�v<i�hjtr��x d h�x � v^�jh�}

<0K$6 � ,$-X? � 20K XDC 3 20K ��� 9 � F� 8 9m�� y � x d h�¦^v\trp � prxÎ�²y^« ¤¸d v<x·«¬y^trtry ¤ }�µ ¤ h³} d v<trt^¯>h�trh � x~y¸i�v ° h�x d h�«¬y^trtry ¤ p|z � � h��^sutwv � p|xÎ�3v<}X}�s�i�{ux�pwy^zu}

� Á � V <76 � <0K � = W�K��PO � K � K�6 U / � - X K � :� 8 �L�

¤¸d pr� d pr}´z y^x±¦�h � � � hj}�x � pw��xXp|¦�h3prz�{ � v^�jx�pw�jh � � y^xXh3x d v\x p|x´pw}´x � s h�p|«YX K pr} }�i�yAy^x d hjz y^su� d ��®� y^xXh�x d v<xgx d h$}�{�v<��h � �v<z�v<tw}�y´¯>h � hj��y^i�{Sy�}Xh � v^�j��y � � przu�±xXy¸x d h$}�{�trprx�xXp|z �´y^«Ax d h�p|zqx~h � «bv^��hj}

- X K� 6 W�9 K��PO � K 9 � K 9 6 U / � @ K 9 � :� 8 �m�

}Xy�x d v<x v<zq� hjtrhji�hjzqx���y^« � �v<z�¯Sh ¤¸� prx�x~hjz­v^}� ��� K � K��PO W ��� K 9 � K 9 �PO W F� 8 �m�

£ z�y � � h � x~y�� d v � v^��x~h � pw¹jh < v<}�v3}Xy^t|suxXpry^zny^«Sv�t|prz h�v � hjÂqs v<xXpry^znprz � µ ¤ h v � hetwh � x~y3p|zAx � y � s �jh}Xy<i�h�y^{Sh � v<x~y � }�®

O 2�» ����� ¿ �\�� � ) À� D h H � }�x±p|zAx � y � s �jh�V

� =�� � �� W�K �PO < O ��X K � � :�C��Zm�� h�Huz h � ¯q�

� 6 � � K � 6 � ��� � � ������

, > � K , > � K$6 Z : p|z3X K-@? � � K X C 3 � K�6 � K": y^z - X K

�C�V�&�ced hl«bv^�jx±x d v<x � pw} ¤ hjtrt � h Huz h � µ trp|z hv � v\z � �jy^zqxXp|zAsuy^s }¸pw} v � p � h���x²�jy^z }�h�¢s hjzu��h#y^« ced h�y � hji��® � y^x~h�prz�{�v � xXpr�jsutwv � x d v<x¸x d hl¯Sy^suz � v � �7��y^z � prxXpry^z pri�{ut|pwh�}

-X? � � K = U / � - X K � : f 6 � : FVFVF h�C� 8 �ced pr}±{Sh � i�p|x~}esu}±xXy � h Huz h-v<zEy^x d h � y^{Sh � v<x~y �

=�� � ����� � :�C�^�m�¯q�

<76 ��� � � <0K$6 ,$-X? � � K XDC 3 � K]: ¤¸d h � h � 6 � � < ��C�<k �� «¶suz � v\i�h�zAx~v<tH{ � y^{Sh � xÎ��y<«6y^{Sh � v<x~y � pw}´x d h�«¬y^trtry ¤ prz �#y<z h

n�oP[pnrq

Page 14: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���

�L» � ��� '�� ��� � ���� ��� �� � � ��� �� ��� �. � ¿>¿R0 ¡ ced h�{ � yAy^«Hpw}L�jtwv^}X}�pw��v<tÆ®e#·h�x � <p: � ��prz � W � µ 2 6 � � < �ev<z ��� 6 � � �G��® �L� � h�Huzup|xXpwy<z

� <p: �G� 6�� K � 9 � � -@? � 20K XDC 3 20K � � -@? � � K X C 3 � K ����� <p: � � 6 � K � 9 � � ,.-@?�� 20K X C 3 20K � � ,$-@?�� � K XDC 3 � K ���� :�C���L�

}Xy�x d v<x � <p: � � , � <p: �G� 6 , 8 C 3 � K � 9 � � -@? � � KR20K , -@? � 20K � K ���PF�C��9m���zEx d hly^x d h �¸d v<z � ¯q� � h�Huzuprx�pwy^z�y<« �

> 2;KX 3 / 20K�6 Z � C �,"> � K ,435/ � K�6 Z � C C � F

�C���L�D h,i#sut|xXp|{utr���C�¢�L�ÆÇ � C �´¯A� � K µe�I�¢�L�ÎÇ�� C C �´¯A� 20K µSv �u� x d h-x ¤ y7hj¢s�v<xXpry^z }²v<z � p|zqx~h�� � v<xXh,y�¦�h � X K µ¤ h,��h�x � 9 � � > 20K � K , 20K > � K ��� < 6 ZGF�C�^�m�� }�prz � C � hjhjz � } x d h�y � hjiEµ ¤ h,y<¯ux©v<p|z� 9 � � -@?�� 2;K � K ,?-@?�� � K+2;K � �� 6 Z :�C�^�m�¤¸d pr� d { � y�¦�h�}jµ[su}�przu���I�N9m�ëµ�x d v\x

� � <p: �G� = � W � : � <p: � � 6 � <p: �G� F�IkNZm�v<z � pr}´suzup|x©v � ��® �7» ���u��� 4�� ��� � ^�� ��� �=���$ ��� ���?���� � � � ���?���� ��� � � [ ��� �=��� ������������ � �?� ���?� �� #�TS������� ���������� ���������(� � ���$���]� �� �#� � �� ��/�@� S �����! #"�� �$�% '& ��% P �����$������ ����� �� R � ������ ��� �� �� �]� �� ���?� �� #�TS � ���� ��� �� �%:;1 »�»)( ��1M� ) > »�¿�2�» ����� ¿ �+*0� ) À *¬���nÀ » � ¿ � 2�¿ ��*¬��* ¿ )D hlp|zqx � y � s �jh * =�� � ��� � � :�Ik��&�� h�Huz h � ¯q� ,

6 * � � ������

,K 9�

,K �.- � � 6 � 9 �.- � � �� 9 K f >6 <,

K K ,K �.- � � 6 ZGF�Ik 8 �

ced hli7v\prz7{ � y^{Sh � x�pwhj} y<«:x d hly^{>h � v<xXy � * v � h�}�sui�i7v � pw¹jh � prz x d h�«¬y^trtry ¤ p|z �#y^¯q¦qpwy<s }¸twhji�i�v

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 15: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

� 8 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

�L» � ��� 5 � ����� ���� ��� �� * � � � � ��� �$���� #�� � �����? � ������� � � ��R� * / 6 *�� * 6 5 - [ ���� �5 - � �/�=��� �� #����6S ��R�]� � ������ �� �� ���� ���=���/� R � �@� �� � - 6 � <�= � :_< ��� 6 Z � %£ z§x d h�«¬y^trtry ¤ p|z �uµ ¤ h ¤ prt|t6s }�h�x d hn«¬y^trtry ¤ p|z � � hj��y^i�{Sy�}�p|xXpwy<z¥y^« * � ¤¸d pw� d � hj{Shjz � },y<«ex d h

zqsui�h � y<x©v<x�pwy^z�y^«Mx d h-}�su¯ � y^i�v<prz } � * 6 * N X * d :�Ik��m�¤¸d h � h ,

6 * N � � ����������

,K 9 6

,K �.- � � 6 � 9 �.- � � 6 � 9 K�: � f : < : f7S <,

K 9 6,K �.- � � 6 Z � f : < : f E <,

K$6,K �.- � � 6 ZGF

�Ik^k �

ced hl«¬y^trtry ¤ prz �-{ � y^{Sh � xXprh�}±y^« *�� v � h�}�x � v\pw� d xX«¬y �X¤ v � ��L» � ��� 4 � ��� � ���� ��� �� � *�� �� � �B � �]����� � ���������M��R� 5 - 6 * N * d � ��� � % 5 -�� 6 * d * N �� � �=��� �� #�=���6S ��R�]� � ������ �� �� ���� �B�=����� R � �@� �� � N- 6 � < = � :M< �.- � � 6 Z : � f E < � ��� � %� d- 6 � <�= �B� < �.- � � 6 Z : � f S < ��%O 2�» ����� ¿ � L D h�przqx � y � su��h

L 6 * = � � � : � � :�Ik¢�L�v<z � ¤ h-��t¶v<p|i�L» � ��� E� ���� ��� �� L � � �����? � �� ����-� � ��R��� , L � �/������ ���� ^��. � ¿>¿R0 ¡ ��zut|� x d h-prz^��hj�jxXp|¦qprxÎ� y^« � , L z hjh � }²x~y�¯Sh���t¶v � p H h � ® £ x²pw}¸przE«bv^�jx�v��jy^z }Xhj¢s hjz �jhny^«x d h-suz�pw¢s hjzuh�}X} � hj}�sut|x «¬y � 4 5 7 JK : ® £ z � h�h � µ[}Xhjx�xXp|z �

,6 � � , LE� < v<z � 2 6 � � * < ��µ�y^zuh,h�v^}�p|tr���y<i�{us�x~h�}¸x d v<x

,K 9 6 4 -@? � 20K[X -@?�� 2 9 : X�C 3 � 20K , 2 9 � F�IkN9m�

£ «,6 ZVµ ¤¸� prx�prz �#x d v<x

,K 9 6

, 9 K�6 Z�µ ¤ hlh�v^}�p|tr�7�^hjx±x d v\x

-X? � 20K[X -@?�� 2 9 6 Z y^z - X KA8 - X592;K , 2 9 6 Z y^z - X KA8 - X59 :�Ik¢�L�

¤¸d pr� d i�hv\z }�x d v<x 2 pw}�}�y^trs�xXpwy<z y^« > 2�X 3 / 2 6 Z�p|z X3® D � prxXp|z ��x d v<x,K K�6 Z�µ ¤ h%��h�x-@? 2 XDC 3 2T6 Zny^z hv^� d

@K K ® ced h � h�«¬y � h 2 6 Z�v\z � < 6 Z�® �

��� � ��� ����# 1() 41������� � � ��!"� ���64.�"��# ��� ���L�V� �(����+()��,# 41� ������,��� 4 � �,�#ghjx±s }¸przqx � y � s ��h � KB=3< O ��X K �´v^}¸x d hl}Xy^t|suxXpry^z�y^«Mx d h�twyA�v\tH{ � y<¯utwh�i

`b c , > � K ,_3 / � K�6A8&K-@? � � K X C 3 � K�6 Z�y^z - X KL:

�Ik��m�

n�oP[pnrq

Page 16: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���

v<z � twh�x¸s }±}Xh�xN"K�6 ,$-@?�� � K XDC 3 � K � 9 � :�Ik��m�

}Xy�x d v<xN 6 � N�K � = � F�� Zm�

D h d v�¦^h-x d h:;1 »q¿ � » � 5� C � P � 2 6 � 20K � � � ������G�?���� � � � � �^����� <�= � � �]\^ � � R � �.��� ��� � ������ ������ � �

� � J � V � � , LE� <76 N F�Æ�A�&�� C C ��� �� �� � �� �]�������^� � < � �/������ ������ � � ��� J � �-����� 2 6 � X � � * < � � � ������ ������ � � � �. � ¿>¿R0 ¡ #ghjx¸su}²}�hjx

20K�6 � K X��RK F�Æ� 8 ���} -@? � � K XDC 3 � K�6 Z�µ ¤ h d v�¦^h

-X? � �RK XDC 3 �RK 6 -@? � 2;K X C 3 20K 6 ������

,.-@?�� 2 9 XDC 3 2 92y^z@K 9 f >6 <

Z y^z@K K F

�Æ�<�m�� p|z�v<trt|��µ �RK }~v<x�pw} H h�}¸x~y `b c ,"> �RK ,_35/ �RK�6 Z

-X? � �RK[XDC 3 �RK�6 � * < � K y^z - X K�Æ�\k �¯q� � h�Huzuprx�pwy^z y^« � µux d pw}´p|i�{�trpwhj} � 6 � � * < �±v\z �

,.-@?�� �RK[XDC 3 �RK�6 * < 6 L <�Æ�^�L�x d v<x¸pw}´xXy�}Xv��^µus }�p|z � � 8 9L�´v<z � �Ik¢�m�ëµ

< , NB6 L <�Æ� 9m�ced pr}±{ � y�¦�hj} � C ��® ced h�{ � yVy<«6y^« � C C �epw}¸Â¢sup|x~hl}�p|i�p|t¶v � v<z � ¤ prt|t>¯Shly^i�p|xXxXh � x d h � h<® �� � �� �j��3�$�-���j(� ����� ���� ����±��� �������j������� �#4j+����$�j���%� �

���� � !"�F+�4 ���L�=�I���,�641����3�� 4.)������I��!(#%� 4.�"& �I��� ���V���,���(��� �641���L�V�"�D h�p|zqx � y � s �jhnprz¥x d pr}l}Xh���xXpry^z§x d h�v<tw�^y � p|x d i przup|xXpwv<trt|� { � y^{Sy�}�h � ¯A�ÄÃ3hj}�{ � h�}lprz å��k"!Iµ Û� 8 !I® £ x��y<z }�pr}�x~}¸p|zE�jy^z }�x � su�jxXp|z ��v�}�h�¢s h�z ��h

2 � 6 � 2 � K � = W�K��PO < O ��X K � :��^�L�

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 17: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�k � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

¯q�7x d hl«¬y<trtwy ¤ p|z ��{ � yV�jh�}X} V

��}�}�sui�prz �nx d v<x 2 � pw} ° z y ¤ z%v\z � }Xv<xXpr} H hj},.-@?�� 2�� K X C 3 2�� K = U / � - X K � : f 6 � : FVFVF : h :�Æ�<�m�

¤ h � h Huzuh 2 � NPO 6 � 2 � NPOK ��µ ¤¸d h � h 2 � NPOK pr}�x d h7}Xy^t|suxXpry^z¨y^«±x d h�z y^z d y^i�y^��hjz hjy^s }#¯Sy^suz � v � �¦<v<trsuh3{ � y^¯�twhji

`aaaab aaaac,"> 2 � NPOK ,435/ 2 � NPOK 6A80: prz X K-X? � 2 � NPOK XDC 3 2 � NPOK 6 ,$-X?�� 2 �9 X�C 3 2 �9 y<z

@K 9 : f >6 <

-X? � 2 � NPOK XDC 3 2�� K 6 Z y<z@K^K F

��<�m�

£ «3x d h p|zuprx�p¶v<t³¦<v<trs h�y^« 2 QK pr}�� d y�}Xh�z }�s � d x d v<x ,$-@? � 2 QK XAC 3 2 QK = U / � - X K � �¬«¬y � prz }�x©v<z �jh p|«2 QK 6 Z : � f �ëµSprx²pw}²�jtwh�v � ¦qpwv�x d hjy � h�i"�,x d v<x²x d pr}²{ � yV�jh�}�}3pw} ¤ hjt|t6{Sy�}Xh � prz�� K < O ��X K ��® � y^xXhv<tr}Xy7x d v<x-v<x�h�v^� d }�x~h�{ � µ 2 � ¤ prt|t6¯Shn��hjz h � v<t|tr� � pw}���y^zqx�przqs y^s }lv<� � y^}X}�x d h#¦<v � pwy^su}�przqx~h � «bv^�jh�}j®Á y ¤ hj¦^h � p|« 2 � �jy^zq¦�h � ��h�}-przÄ}Xy<i�h�}Xh�z }Xh�x~y 2k= < O ��X K �ëµgx d h�z�x©v ° p|z � «¬y � i�v<t|tr� x d hntrp|i�p|x�p|z�Æ�<�m��µ ¤ h-}Xh�h�x d v<x±x d h�«¶suzu�jxXpry^z 2 ¤ p|trtH}Xv<xXpr}�«¶�7xXyn{ � y^¯�twhji � � � �´hjÂqs�pr¦<v<twh�zqx¸x~yn{ � y<¯utwh�i � � 79 �뮣 x�pw}Mz y ¤ przqx~h � h�}�xXp|z �²xXy � h�przqx~h � { � hjx$v<tr��y � prx d i �Æ�^�L�·prz�x~h � i�}:y^« x d he«¬y � i�v<t|pw}�i v<x6p|zqx~h � «bv^��hj}przqx � y � s ��h � p|z�x d h�{ � hj¦qpwy^su} }�h���xXpwy<zg®[#ghjx±s }±}Xh�x

2 � K 6 � K X�� �K :��9�Zm�¤ h,}�h�h�x d v\x `aaaab aaaac

, > � � NPOK ,435/ � � NPOK 6 Z : prz X K-@? � � � NPOK XDC 3 � � NPOK 6 ,.-@?�� 2 �9 XDC 3 2 �9 y^z

@K 9 : f >6 <

-@? � � � NPOK XDC 3 � � NPOK 6 Z y^z@K K F

��9V�&�

£ « ¤ hl}Xh�x< � K 6 � ,.-@? � 2 � K X C 3 2 � K � � 9 � 6 � ,$-@? � � �K XDC 3 � �K � � 9 � X N�K F��9 8 �

oA�A}�xXhji ��9��&�³pw}¸hj¢supr¦<v<trhjzqx±x~y � � NPOK 6 � � * < � �ëµ d hjzu��h^µ ¯q� � h�Huzup|xXpwy<zEy<« < � NPOK 6 4 ,$-@?�� � � NPOK XDC 3 � � NPOK : X N"K$6 � * < � X N � K�:��9^�m�

y � hjÂqs�pr¦<v<twh�zqxXtr�<�� NPO 6 L <��$X N F��9<k �

��z hlhv^}�prt|�7� d hj� ° } x d v\xµupr« < Q 6 Z#«¬y � przu}�x©v\z ��h<µ

<�� 6 � � X L X L / X FVFVF F FVF X L � � N0:��9��L�}Xy²x d v<x:x d h³��y^zq¦^h � �^hjz �jh¸y^«ux d he{ � yA��hj}X}6pr}M«¬y � i�v<trt|��trp|z ° h � xXy�x d h³��y^zq¦^h � �^hjz �jh¸y^« x d h � h�sui7v\zuz}Xh � prh�}

� � , L � d O 6 � X L X L / X FVFVF X L � X FVFVF��9�9m�

n�oP[pnrq

Page 18: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���

7» ���u��� E � ���/ ����^��� S �� �� � ��� � ����� [ � �=� ���M�=��� ����^��� S �� �� � � ���� ���� ������ � � � � �� ��� ����� ���� � [ � ��� ���� ��� ��� [ � [ ����� ����� � ��� �� �%

£ x·pw}Mv<tw}�y¸prz }�x � su�jxXp|¦�h�x~y � hjprzqxXh � { � hjxMx d h³v\tw��y � prx d i prz�v¸i�v<x � p|�²«¬y � i prz-y � � h � x~y h�}�x©v<¯�trpw} d v<zv<z�v\twy��^� ¤ prx d s }�s�v\tMp|x~h � v<x�pr¦�h²i�h�x d y � }¸prz t|prz h�v � v<tr��hj¯ � v�® £ z ¤¸d v<x±«¬y^t|twy ¤ } ¤ h,} d v<trt � hj{ � h�}�hjzqx<�= � v<}³vl��y<trsui�zn¦�hj�jx~y �³¤¸d y^}Xh f ��� �jy^i�{Sy^z h�zqx�pw} <0K = U / � - X K �ë® D prx d x d pw} � hj{ � h�}�hjzqx©v<x�pwy^zHµprxLpw}L�jtrhv � x d v<x³x d h�y<{>h � v<xXy � } v<z �+* d v¦�h�x d h²«¬y^t|twy ¤ przu�l¯�twyA� ° }�x � s �jx�s � h<® � * 9 K pw}L}�p|i�{�tr�nx d hi#sut|xXp|{utrpr�v<x�pwy^z }�¯q� x d h-� d v � v^��x~h � pw}�xXpr�3«¶suz �jx�pwy^z y^«

@K 9+�

* 6

���������

Z * O / * O�� FVFVF * O W* / O Z * / � * / W* �^O * � / ® ® ® ® ® ® * � W®®® ® ® ® ® ® ® * W5d O W* W5O FVFVF FVFVF * WW5d O Z

��������

��9��L�

* K 9 = � 4 U / � - X K � : U / � - X59V� : : * �K 9 6 * 9 K��9^�m�

6������ O Z Z ZZ / FVFVF Z®®® Z ® ® ®Z Z W

����� : K = � 4 U / � - X K � : :��9^�m�

¤¸d pr� d p|trtrsu}�x � v<x~hj}²x d v<x pr}3{us � hjtr�EtwyA�v<t ¤¸d prtrh * pw}lv\z§hë�V� d v<z ��h�y^{Sh � v<x~y � ® � h � «¬y � i�p|z �7x d h{ � y � su�jx * µ ¤ h,}�h�hlx d v\x ¤ h-�v<z ¤¸� prx~h�� ¤ prx d L�� 9 6 � * � 9+�

L 6

���������

Z L O / L O�� FVF F L O WL / O Z L / � L / WL �^O L � / ® ® ® ® ® ® L � W®®® ® ® ® ® ® ® ®®®L W5O F FVF FVF F L WW5d O Z

��������F�� Zm�

ced s }�µ x d hly^{>h � v<xXy � x~ynp|zA¦^h � xµ � , L pr} ¤¸� prx�x~h�z

� , L 6

���������

� , L O / , L O�� F FVF , L O W, L / O � , L / � , L / W, L �^O , L � / ® ® ® ® ® ® , L � W®®® ® ® ® ® ® ® ®®®, L W5O FVFVF FVFVF , L WW5d O �

� �������:��A�&�

v<z � ��v<z§¯Shn}�{�trprx�x~h � v<}3x d h�}�s�i y^«Lprx~} � p¶v^�^y^z�v<t:{�v � x�µHprz¥«bv^��x�x d hnp � hjzqxXp|xÎ��y^{Sh � v<x~y � v<z � prxX}v<zqxXpÓÇ � pwv^��y^z v<te{�v � x�z�v<i�hjt|� , L�® £ z x d v<x�}Xhjzu}Xh^µ±v\tw��y � prx d i < � NPO 6 L < � X�N pw}�v A v^��y^¯�p � }v<tr��y � p|x d iE®

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 19: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

��9 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

��I� ��� � 354.��� 4.�V��� ��� ��!"��+�4 ���L� 4.) �V���C��!(# 1"���a� $)��'� 4.) ���64.�"��# ��� ���L�V��(���V+()L�,# �

4 , 5 ,=' :;1 » � » �¬� (g» À��S� � ¿ � *��Ó��� �?> ¿ ��*¬�+1��ced hnp � hv�pw}²x~y7i�y � p|«¶��x d h#x � v<z }�i�pr}X}�pwy^z¥�jy^z � p|xXpwy<z �Æ�^�L� ¯q� � h�{ut¶v^��prz ��x d h#p|z�ÇÎ��y<prz ��Âqs v<zqxXprxÎ�-@?�� 2 � NPOK XkC 3 2 � NPOK ¯q�¥v�t|prz h�v � �jy^i#¯up|z�v<x�pwy^z­y^«$x d hn}Xv<i�h�Âqs v<zqxXprxÎ��v<x�}�x~hj{u} � v\z � � X ��® £ zy^x d h �±¤ y � � }jµux d h�tryV��v<tH{ � y^¯utwh�i xXy�¯Shl}Xy^t|¦�h � p|zBX K ¤¸� prx~hj}

`aaaaaaaab aaaaaaaac

, > 2 � NPOK ,_35/ 2 � NPOK 698;: prz X K� � -@?�� 2�� NPOK X C 3 2�� NPOK � X ��� , � �U� -@?�� 2�� K XDC 3 2�� K � 6

,$-@?�� 2 �9 X C 3 2 �9 y^z@K 9 : f >6 <

-@?�� 2 � NPOK X C 3 2 � NPOK 6 Z y^z@K K�:

�� 8 �

¤¸d h � h � � hjz y<x~h�}M}Xy<i�h�{Sy�}�p|xXp|¦�h�{�v � v<i�hjx~h � ® � y^xXh�x d v<x·y<z h$��y^i�h�}g¯�v^� ° xXy¸x d h$y � pw�^p|z�v<t A v^��y^¯�p � }v<tr��y � p|x d i ¯q�%x©v ° p|z � � 6 ��® � y^xXh�v\tw}Xy�x d v<xlx d hntwyA�v\t�{ � y<¯utwh�i x~y�¯>h�}Xy<tr¦�h � p|z§h�v^� d X K pr}y^«LxÎ�q{>h � � 7 JK ��µ ¤¸d pw� d h�z }�s � h�}lx d v\x�x d h�}Xhj¢s hjz �jh 2 � 6 � 2 � K �²pr} ¤ h�trt � h�Huz h � p|z < O ��X K ��® c y� h�przqx~h � { � hjx3x d pw}²z h ¤ v<tr��y � p|x d i p|z�x~h � i�}3y^«�x d h�«¬y � i#sut¶v\xXpwy<z�v<x²przqx~h � «bv^�jh�}jµ ¤ h#p|zqx � y � s �jh^µgv<}prz }�h��jx�pwy^z­��® 8 µ � �K 6 2 � K , � K v<z �

<�� K 6 � ,.-@?�� 2�� K XDC 3 2�� K � � 9 � 6 � ,.-@?�� � �K X C 3 � �K � � 9 � X N"K� �K 6 � -X? � 2 � K XDC 3 2 � K ��� 9 � 6 � -@? � � �K X C 3 � �K ��� 9 � F��<�m�

��} � �K }~v<x�pw} H h�} 3 / � �K X > � �K 6 Z�µ�¯q� � h�Huzup|xXpwy<zEy<« µ ¤ h,�^hjx< � , N 6 � � : «¬y � hv^� d � F�Æ�\k �

£ z�v �u� prx�pwy^zHµVx d hl¯Sy^suz � v � �7��y^z � prxXpry^z � h�t¶v<x�prz �#x d h < � v<z � � � � } � hv � }� � � NPO X ��� , � � � � 6 * <�� F�Æ�^�L�

�²«¶xXh � i#sut|xXp|{utrpr�v<x�pwy^z�¯q� µ ¤ hlhjt|pri�prz�v\x~h � � NPO v<z � � � ®³oVhjx�xXprzu��� 6 Oµ ¤ h-y^¯ux©v\prz

< � NPO 6 ��� , �L� < � X � ��L < � X N � :�Æ� 9m�¤¸d pr� d pw}My^s �6� hjtwv\�Vh ��A v^�jy^¯up � }6v<tw��y � prx d iE® D h³} d v<t|t�}�h�hex d v<x:«¬y � h�z }�s � przu����y^zq¦�h � ��h�z ��h ¤ h´} d v<trtz hjh � x~ynpri�{>y^}Xh� = ! Z : � !I® £ x ��y ��� hj}�{Sy^z � }¸x~y�v<{�{utr�7v;H��Vh � {Sy^p|zAxei�h�x d y � x~ynx d h-hj¢s�v<xXpry^z � J� h ¤¸� p|xXx~h�zEp|z�x d h�«¬y � i

<76 < , � �^� � , L � < , N � F�Æ�^�L�� }�pri�{utwh²�v<tr�jsutwv<xXpry^zgµ¢x d v\x ¤ h � y#z y^x � h�x©v<p|t d h � h<µu} d y ¤ }¸x d v<x 2 � ��v<z ¯Sh � hj��y^z }�x � s �jxXh � « � y^i< � ¯q�7x d hl«¬y � i#sutwv

2�� NPO 6 ��� , �]� � � � � <�� , N �M� X � � � * <�� � X � :��<�m�

n�oP[pnrq

Page 20: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���

y � hjÂqs�pr¦<v<twh�zqxXtr��� � N 6 � < , * < �2 � 6 ��� , �]� � � � � < � , < �^� X ��� , �L� � � * < � X � � � * < � � X � :�Æ�<�m�

p � hjzqxXp|xÎ� ¤¸d pr� d pr} ��twh�v � t|���jy^z }�pr}�xXhjzqx ¤ p|x d x d hlt|pri�prx³h�¢s�v<x�pwy^z

2T6 � � * < � X � F�C��Zm�S�¢s�v<xXpry^z_�C�NZL�e}�s ���^h�}�xX} su}²v\z y^x d h � �v<z � p � v\x~h-v^}±v<z­v<{u{ � y�Vp|i7v\xXpwy<z y^« 2

�2 � 6 � � * < � � X � F�C�V�&���z hlhv^}�prt|�7} d y ¤ }±x d v<x 2 � v<z � �2 � v � h � hjt¶v\x~h � ¯q�

2 � NPO 6 ��� , �L� 2 � X � �2 � F�C� 8 �¤¸d pr� d } d y ¤ }Lx d v\x �2 � �jy^zq¦�h � ��h�}³pr«gv\z � y<zutr�#p|« 2 � �jy^zq¦�h � ��h�}j® £ x$pr}Lx d su}Ls }�hj«¶sut[x~ylprz � pw��v<x~h d y ¤x d h-}�h�¢s h�z ��h �2 � �v<z ¯>hl�jy^i�{�sux~h �E� p � hj�jxXt|��® £ zEv H � }�x²}�x~h�{gµ y^z hl}Xy<tr¦�hj}

`aaaab aaaac, > �2 � NPOK ,435/ �2 � NPOK 6Y8;: prz X K-@?�� �2 � NPOK X C 3 �2 � NPOK 6g< �9 K y^z @ K 9 : f >6 <-@?�� �2 � NPOK X C 3 �2 � NPOK 6 Z-y^z

@K K":

�C�^�m�

v<z � µuprzEvn}Xh��jy^z � }�x~h�{gµux d h <0K 93v � h � hj« � hj} d h � v^�j��y � � przu��xXy<�� NPOK 9 6 ��� , �]� <�� K 9 X � 4 ,.-@? � �2�� NPOK XDC 3 �2�� NPOK : F�C�<k �

4 , 5 , 5 :;1 »�� � M���� » *bÀ » �e���=> ¿ � *¶�+1��ced pr}±¦<v � p¶v<zqx±hë�V{�twy^p|x~}´x d h,y � � h � prz ��y^«:x d h � y<i7v<p|z }±v<z � ��y<z }�pr}�x~}¸p|zEx~v ° prz �n{ � y�Hux y^«Mx d h-}�su¯VÇ� y^i�v<p|z } X59�p|z ¤¸d pr� d x d h�}Xy<trsux�pwy^z­v<x²}�x~h�{ � X � d v<}�v<t � h�v � � ¯Sh�hjz¥��v<tw��sut¶v\x~h � ® ced h � hjt¶v���h �¦�h � }�pwy^zEy^«Mx d pr}±v<tw��y � prx d i y^«:x d pw}±v\tw��y � prx d i ¤¸� prxXh�}

`aaaaaaaaaaaaaaaaab aaaaaaaaaaaaaaaaac

,"> 2 � NPOK ,_35/ 2 � NPOK 698;: prz X K�4 -@? � 2 � NPOK X C 3 2 � NPOK : X ��� , � �U� -@? � 2 � K X C 3 2 � K � 6

,.-@?�� 2 � NPO9 XDC 3 2 � NPO9 y<z@K 9 : < Skf

�4 -@?�� 2 � NPOK X C 3 2 � NPOK : X ��� , � �U� -@?�� 2 � K X C 3 2 � K � 6

,.-@?�� 2 �9 XDC 3 2 �9 y^z @ K 9 : < Egf-@? � 2 � NPOK X C 3 2 � NPOK 6 Z�y^z

@K K F

�C���L�

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 21: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

��� � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

��z ��h±v<�¢v<prz�hv^� d tryV��v<tq{ � y^¯�twhji x~y²¯>h´}�y^tr¦^h � pw}:y^« xÎ�q{>h 4G587 JK : }Xy3x d v<x6x d h´}Xhj¢s hjz �jh 2 � 6 � 2 � K �pw} ¤ h�trt � h Huz h � prz � K < O ��X K ��µ>{ � y�¦qp � h � x d v<xB� 8 �L� d y^t � }�v<z � ,$-@? � 2 QK XiC 3 2 QK = U / � - X K �±«¬y �hv<� d f ®£ z y � � h � xXy � hjp|zqx~h � { � h�x7x d pw}7v\tw��y � prx d i v<x�p|zqx~h � «bv^��hj}�µ ¤ hEs }Xh�x d h � hj��y^i�{>y^}�prx�pwy^z * 6* N X * d v<z � }�pri�{ut|� � h�i7v ��° x d v\x²x d h-x � v<zu}�i�pw}X}�pwy^zE��y<z � prx�pwy^zu} y<z­x d h @ K 9 � }3v � h,hjÂqs�pr¦<v<twh�zqxx~y� � � NPO X ��� , � ��� � 6 * d < � NPO X * N < � X N F�C��9m�

oVh�xXxXp|z ��y^z �jh,v<�¢v<prz � 6 Ov<z � v<«¶xXh � h�trpri�prz v<xXpry^z�y<«6x d h � � � }jµ ¤ hly^¯�x©v<p|z

< � NPO 6 ��� , �]� < � X �G� * d < � NPO X * N < � , N � :�C���L�¤¸d pr� d �jy �X� h�}�{Sy^z � } xXy�v H��Vh � {Sy^przqx v<tr��y � p|x d i v<{�{utrprh � x~ynx d h-hj¢s�v<xXpry^z � J µ � h ¤¸� p|xXx~h�z�v<}

< , � * d <76 < , � � < , * N < , N � F�C�^�m�£ z x d hl�v<}Xh � 6 ��µ ¤ h � hj��y�¦�h � x d hlzuy^z � hjtwv\�Vh � ¦�h � }�pry^z C-v<su}X}�ÇçoVhjp � hjtMv\tw��y � prx d i

� � , L d � < � NPO 6 L N < � X N0:�C�^�m�¤¸d h � h L d 6 * d : L N 6 * N v<z � L 6 L N X L d ® � hji�v �X° x d v<x�µu��y^p|z �#¯�v^� ° xXynx d h�i�v<x � p|�przqxXh � { � hjx~v<xXpry^z y^«:}Xh���xXpry^zE��®|�^µux d hl}�x � s ��xXs � hly^«6x d h�i7v<x � pr��h�} L N : L d v � h�y<«:x d h�«¬y � i

L N 6

���������

Z L O / L O�� FVFVFIL O WZ Z L / � L / WZ Z ® ® ® ® ® ® L � W®®® ® ® ® ® ® ® ®®®Z FVFVF FVFVF Z Z

��������: L d 6

���������

Z Z Z FVFVF ZL / O Z Z ZL �^O L � / ® ® ® ® ® ® Z®®® ® ® ® ® ® ® ®®®

L W5O FVFVF FVFVFIL WW5d O Z

��������F�C��Zm�

Å­v<x � pÓ� L N pw}�s�{u{>h � x � pwv<z �^s�t¶v �:¤¸d prtrhei7v\x � pÓ� L d pr}�twy ¤ h � x � p¶v<zu�^sut¶v � ® ced pw}�hj}�x©v\¯utrpr} d hj}³v���twhv �v<z�v\twy��^��¯Shjx ¤ h�hjz­x d h�s }�s�v<tMClv<s }X}çÇ�oVh�p � h�tgi�h�x d y � prz�trp|z hv � v<tw�^hj¯ � v�®

£ z§x d h�}~v<i�h ¤ v�¥y^« ¤¸d v<x d v<}l¯Sh�h�z � y^z hn«¬y � x d h A v^�jy^¯up � }lv<tr��y � prx d i ¤ h��v<z§}�su¯u}�xXp|xXsuxXhx~y 2 � v<zuy^x d h �e� hjtwh�¦�h�i�h�zAx´y^« < � µVtwh�x �2 � µ � h Huz h � «¬y � i�v<t|tr��¯q���C������® ced h�h��A{utrpr�jp|x³�jy^i�{usux©v\xXpwy<zy^«:x d h < �9 K v<z � �20K µupw}±�^pr¦^hjz ¯q� �C���m�´v\z � �I�^k � ¤ prx d < �9 K � h�{ut¶v^�jh � ¯q� < ���9 K p|z x d hl}Xhj��y^z � trprzuh3y^«�C�^�m��µ ¤¸d h � h < ���9 K 6 < �9 K ¤¸d hjz < Egf v<z � < � NPO9 K ¤¸d hjz < S C ®7» ���u��� J�� � 6� �]� �^���� ����� �� � [ R � ���� �/���� � �]6����E � ���?� � � �]� S �� #��=� � � �/� � R � ��� �@�� �]�E� � � � ��� R � ��� ������ �� � � ���=��� �G� �� R ��� ���]� S �� #��� ���"����$ ������P � ���?���� � �"����;������ ������ � � � � ���� �� �]�� R � �� R � ��� �B ��� R ������� ^�� � � � ��� ���TS]��� � �3����3�� � �� #�TS � ���=����� R E � ������� ��% ���� ���=���� � ��R��� �� � ���]�$�a`����� ��-� R ���?� �� " ����^��� S �� ���% � � ��� �]��� ����$� R � �� ��B�� � � �������-��� ���� ��?���� " %

n�oP[pnrq

Page 22: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���

���� �O�*�"�,�64.) ���64.�"��#��L�����������V� �,�641���V���4 , 4 ,=' (�) �� ¿ À M�^�+* ¿ )��} ¤ h�} d v<trt·}�h�h,twv<x~h � µux d h,�jy^zq¦�h � ��h�z ��h#y<«6x d h-{ � hj¦qpwy<s }�v\tw��y � prx d i�}³pw}¸z y^x²h��A{Sy^z hjzqx�p¶v<tC® ced pr}pw} � suh²x~ylx d h «bv^��x³x d v<xLy^{Sh � v<x~y � L v � i�prxX}$v,}Xhj¢s hjz �jh3y^«>hjpw�^hjzq¦<v<trs hj} ¤¸d pw� d �jy^zq¦�h � ��hj}ex~y��²p|zi�y � s�trs }R�b}Xhjh }�h���xXpwy<z7�]��® ced h¸{us � {Sy�}Xh±y^«�x d pw}�}Xhj�jx�pwy^z�pw}�xXyl��hjz h � v<t|pw¹jhex d h¸p|x~h � v<xXp|¦�h¸v\tw��y � prx d iprz�x d h d y^{>h�x~y���h�xnv<z hë�A{>y^zuhjzqxXpwv<t � v<x~h�y^« ��y^zq¦�h � ��h�z ��h<® ced h�¯�v^}�pw��p � hvEpr},xXy � h�{ut¶v^�jh�x d h¢s�v<zqxXp|xXprh�} -@? � 20K �.- � � @DC 3 20K �.- � � ¯q� ¢s�v<zqxXp|xXpwhj}

-@? � 20K �.- � � @DC 3�� 9 K � 2;K �.- � � � :�C�V�&�¤¸d h � h � K 9 6 � 9 K v � hey^{Sh � v<x~y � }�v^��xXp|z ��y^z�«¶suz �jx�pwy^zu} � h�Huz h � y^z - X K68 - X59\µ d v¦qprz �3v<{u{ � y^{ � pwv<x~h{ � y^{>h � x�pwh�},x d v<x ¤ prtrt$¯Sh }�{Sh���p H h � t¶v<xXh � ® ced h7i�y � h�przqxXh � hj}�x�prz ����v^}Xh ¤ p|trtL¯>h�x d h7y<z h ¤¸d h � h� 9 K pw}�}Xy<i�h U / Ç�}��qi�i�hjx � pw�%{ }�hjs � y<Ç � p*)>h � h�zAx�p¶v<t-y^{Sh � v<x~y � y<«#y � � h � ��® £ z x d v<x ��v^}Xhį>y^x d¢s�v<zqxXp|xXprh�} -X? � 20K v\z � � 9 K 2;K ¯Shjtwy<z � xXy²x d he}Xv<i�h´oVy^¯Sy^twh�¦l}�{�v<��hey<z - X K 8 - X59L}Xy²x d v<x:x d hLtrprzuhv ���y<i#¯uprz v<xXpry^z }T�I���&��v � h���p|z }Xy^i�h7«¶suz ��xXpwy<z�v<t´}�hjz }�h��¥i�y � h h�¢sup|trp|¯ � v<xXh � x d v<z x d h Âqs v<zqxXprx�pwhj}-@? � 20KR@kC 3 20K ® D h�} d v<t|t�}�h�hnprz%}�h���xXpwy<z¥k ¤¸d ��}�s � d v�{ � y<{>h � xÎ�­i�v�Etrhv � x~y�v<zÄh��A{Sy^z h�zAx�p¶v<t� v\x~h�y^«:��y^zq¦^h � �^hjz �jh^®J#gh�x su}±zuhj¦�h � x d hjtrh�}X} � h�i7v ��° x d v<x¸prz�{ � v^�jx�pw�jh3x d pr}´{ � y^{Sh � xÎ� ¤ prt|t>p|i�{Sy�}Xhx d v<x�x d hny<{>h � v<xXy � } � 9 K ¤ p|trt:¯>h#z y<zÄtryV��v<tÆ® D hn} d v\trt��jy^i�h#¯ v^� ° x~y7x d pw}3{Sy^p|zAx�v<x3x d h�h�z � y^«}Xhj�jx�pwy^zEku®

£ z ¤¸d v\xM«¬y<trtwy ¤ }jµ�p|« 2 � hjzuy^x~hj}�v #Hpr{ }�� d prxX¹�ÇÎ�jy^zqxXp|zAsuy^s }gi7v\zupr«¬y^t � y^« � pri�hjz }�pwy^z � , ��µ ¤ h³} d v<trtv � y<{ux3x d h�z y^x~v<xXpry^z?��� : � � � \ � � � «¬y � x d h#}��v<twv � { � y � su�jx3p|z U / � 2 �²v<z � S � : � E � «¬y � x d h � s�v<t|prxÎ�{ � y � su�jx±¯>h�x ¤ hjhjz < � 2��¸v<z � < d � 2��e«¬y ���� �� � ��� 8 ® � y � h�v^� d � < : f }�s � d x d v<x - X K)8 - X59�pr}z y^x±h�i�{�xÎ��µ ¤ h-p|zAx � y � s �jh,v\zEy<{>h � v<xXy � � 9 K }~v<x�pw}�«¶�Ap|z �

`ab ac � 9 K�6 � K 9 = � 4 < Z\ � - X KA8 - X59 � : < deZ\ � - X KA8 - X59V� :� 9 K pr}´prz^��hj�jx�pr¦�h"F�C� 8 �

ced h­p � hjzqx�prxÎ� y^{>h � v<xXy � pw}7v\z h���v<i�{utwh y^«l}�su� d v\z y^{>h � v<xXy � ® ÅEy � h�y�¦�h � µ±x d h­p|z^��h���xXp|¦Ap|xÎ� y^«x d h�y^{Sh � v<x~y � } � 9 K pri�{utrprh�}´x d v<x3y<s � y � pw�<prz�v<tg{ � y^¯utrhji�} 4 5 79 : v � h,hj¢supr¦<v<trhjzqx�xXy�x d h�«¬y^trtry ¤ prz ���y<trtwhj�jx�pwy^z�y^«MtwyA�v\t>{ � y^¯utwh�i�}´{Sy�}�h � prz3X K x d v\x ¤ h ¤¸� p|x~h�«¬y � i�v<t|tr�

`aaaab aaaac, > 20K ,43 / 20K�6Y8;: prz X K-@? � 2;KXDC 3�� 9 K � 20K �.- � � � 6 ,.-@?�� 2 9 XDC 3�� 9 K � 2 9 �.- � � � y^z

@K 9 : f >6 <

-@? � 2;KXDC 3 20K�6 Z y<z@K K F

�C�^�m�

£ z%y � � h � x~y�hjz }�s � h�x d h ¤ hjt|t|ÇC{>y�}�h � zuh�}X}�y^«�hv<� d twyA�v<tg{ � y^¯utrhji �C���L��µ ¤ h�} d v<t|t·¯>h-twh � x~y�i�v ° hx d h´«¬y^trtry ¤ p|z �3v<}X}�s�i�{ux�pwy^z�y<z � 9 K µ0� ¤¸d pw� d i�y � h´y � twhj}X}�h��A{ � h�}�}Xh�}Lx d h´«bv<�jx�x d v<x�p|x�pw}�}��qi�i�hjx � pw�v<z � {Sy�}�p|xXpr¦^h��

�������

� ���� � �a`N� ���=�� = Z : O/ ! ��R��� 9 K �� � �����$�� ���� � ��� �# ����<� � - X K'8 - X59 � ��� � U / � - X KA8 - X59V� � � �� �� ��� �

� 9 K�6 � �9 K � 9 K F�C�<k �

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 23: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

8 Z � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

£ z �I�^k ��µ i�v� � hj{Shjz � y^zWx d h­y^{Sh � v<x~y � � 9 K µehj¦�h�z prx�pw}�z y^x�i�h�zAx�pwy^z�z h � hë�A{utrpr�jprx�tr�^® ced hy^{Sh � v<x~y � � �9 K µAv � ��y^p|zAx�y^« � 9 K µ¢pw}$v<z�pw}�y^i�y � { d pr}�i « � y^i U / � - X K 8 - X59V��y^zqx~y < d � - X K)8 - X59V��®��z h � h � s �jh�}nx d v\x � 9 K pr}#v­}��Ai�i�hjx � pw��{>y�}�prx�pr¦�h�y^z h�xXy�y^z h7y<{>h � v<xXy � « � y^i < � - X K 8 - X59 �y^zqx~y < d � - X KA8 - X59 ��® D h d v¦^h

� � =3< Z\ �@K 9 � : S � 9 K � : � E - � � 6 � � 9 K � � /� \ � - � � � F�C���L�

��z h¸�v\znz y^xXpr��hex d v<x�x d h¸�v<}Xh¸y^«�x d h´p � h�zAx�prxÎ�,y^{Sh � v\x~y � �jy �X� h�}�{>y^z � }�x~y 6 Z�v<z � � 9 K 6 � �9 K 6� ® Á y ¤ hj¦�h � µ�x d h�p|zAxXh � h�}�x�prz ����v^}Xh<µSv<} }Xv<p � { � hj¦qpwy<s }�t|��µ ¤ p|trtg�jy �X� h�}�{Sy^z � x~y 6 O/ ®7» ���u��� 7 P B�=���/���6Y �� � �^�� [ ����� R � 6���=� � � � ����� � K K�6 � % � � �=� � � � ^�� 6 Z ���� � K^K %4 , 4 , 5 � » � � ½ 2�¿ � » À ) » �� ¿�0 � ¿ ��� � 2 � ¿ � � » ���D h-��v<z z y ¤ ��y<z }�p � h � x d hli�y � hjtH{ � y^¯utrhji�}

`b c ,"> 20K ,435/ 20K�6A8&K]: prz X K-X? � 20K XDC 3�� 9 K � 2;K �.- � � � 6ON"K 9 : y^z

@K 9&F�C��9m�

Á h � h ¤ h-i#s }�x ¯Shl{ � hj�jpw}�h,y<zEx d h-i�hv\zuprz ��y^«�v�}�y^trs�xXpwy<zEy<«R�C��9m� ¤¸d pw� d pri�{utrprh�}exXy � v<pw}�h-}�y^i�h}�s�¯uxXtrh � p*(���sutrx�pwhj}±p|zEx d h�}�hjz }�h#y^z h,�^pr¦^h�} x~y�x d h,¯Sy^suz � v � ���jy^z � p|xXpry^zg® £ « ¤ h,tryVy ° «¬y � v 20K p|z< O ��X K �ëµ[x d hjz%«¬y � 84= U / ��X K ��µ ¤ h�} d v<t|t:v<tw}�y d v¦�h > 20K = U / ��X K �±}Xy�x d v<x -@? � 20K � 9 � ¯>h�twy^z �^}x~y < deZ\L� - X K �ë® £ x�pw} ° zuy ¤ zÄx d v<x�x d h � h�}�x � pr�jx�pwy^z¥y^« -@? � 2;K � 9 � x~y @ K 9�µHz�v<i�hjt|� -@? � 2;K �.- � � ��v<zy^zut|��¯Sh � h Huzuh � v<}²v\zEh�twh�i�h�zAx±y<«�vn}�{�v<��h ¤¸d pw� d }�x � pw��xXt|���jy^zqx©v<p|z } < deZ\m� - X K �ëµuz�v<i�hjt|�

< Z\Q Q �@K 9+��� x d h � s�v<t·}�{ v^��hly^« < Z\Q Q �

@K 9+� :

¤¸d h � h ¤ h � hji�prz � x d v<x < Z\Q Q �@K 9 �l�v<z ¯Sh � h Huzuh � v^}-x d h�}�su¯ }�{�v^�jh y^«´«¶suz ��xXpry^z }-y^« < Z\ � @ K 9 �¤¸d y�}�h�hë�Ax~hjzu}�pwy<z�¯q� Z ¯>h�twy^z �^}3x~y < Z\m� - X K � �b}Xhjh 8 k]!$y � 8N8 !�«¬y � h�¢supr¦<v<trhjzqx � h H�zuprx�pwy^z }lv\z �¦<v � pry^s }´{ � y^{Sh � x�pwhj}¸y^«:x d h�}�h,}�{�v^�jh�}��ë® ced h � h�«¬y � h<µ x d hlh�¢s�v\trprxÎ�-@? � 20K �.- � � XDC 3�� 9 K � 2;K �.- � � � 6ON"K 9 :�C���L�

v­{ � pwy � p d y^t � }�p|z < Z\Q Q �@K 9+� � ® Á y ¤ hj¦^h � µepr« N�K 9n¯>h�twy^z �^}�x~y < deZ\]� @ K 9+��µ ¤ h d v¦�h^µL}�p|z ��h � 9 K =

� � < �@K 9 � :G< d � @ K 9+�^� ¤ p|x d = Z : O/ !

-X?�� 20K �.- � � = < d Z\ � @ K 9+� F�C�^�m�£ zE}�s � d v���v^}Xh<µ�y^z h d v^}¸x d hl«¬y<trtwy ¤ p|z �,{ � y^{Sh � xÎ�

� � =3< Z\ � - X K � Sk-@?�� 2;K�: � E 9 � 6 � 9 Sk-@?�� 20K �.- � � : � �.- � � E - � � :�C�^�m�

n�oP[pnrq

Page 24: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% 8 �

� s h,x~y�x d h � hjz }�prxÎ� prz < Z\ � - X K �±y^«�x d h�}�{ v^��h#y<«�«¶suz �jx�pwy^zu}²prz < Z\ � - X K � ¤¸d y^}Xh � h�}�x � pr�jxXpry^z­xXyhv<� d

@K 9�¯Shjtwy<z ��}�xXy < Z\Q Q � @ K 9 � � 8 k]!Iµ� 8N8 !��ë® ced h � h�«¬y � h �C�<k �-pr}#h�¢sup|¦^v\twhjzqx#xXy�x d h�¦^v � p¶v\xXpwy<z�v<t{ � y^¯utwh�i

� prz � 20KE= < O ��X K �6}�s � d x d v<x�µ � � KY=3< O ��X K �� 9 � � � 20K � � K ,43 / 20K � K � � < XDC 3 � 9 S � 9 K � 20K �.- � � � : � K �.- � � E - � �6 � 9 � 8 � K � < XDC 3 � 9 S N"K 9 : � K �.- � � E - � � F����ZNZm�

:;1 »q¿ � » � 4� � � � ��� G�$� �� ��� 8g= U / ��X K � ��R� N�K 9 = < d Z\ � @ K 9 � ���� �� � <G���=���� � � � �B� ��� ���$��G��ZY �������� ������ 20KE= < O ��X K � %� �� � P � N"K 9 =3< d � @ K 9 � ������ � � �� < �=� �� ���� Y @����?��?�����4 � �K 9 : d O � -X?�� 20K �.- � � � @ C 3 � K 9&� 20K �.- � � � :

R � � ��TS � � U / � @ K 9 � ��R� �� �/� ��� �=��� �?� ����?�� �� 9 � 4 � �K 9 : d O � -@? � 2;K �.- � � � XDC 3 � K 9&� 20K �.- � � � � /� \ � - � � �

6 � 9 � 4 � �K 9 : d O � -@?�� 2;K �.- � � � , C 3 � K 9�� 20K �.- � � � � /� \ � - � � � F����Z��&�

. � ¿>¿R0 ¡ �bpr� £ xlpr}-h�v^}��%xXyE}�h�h�x d v<x �u� h � d y^t|i � }lv<t|x~h � z�v<x�pr¦�h�v\{u{utrprh�}�x~y_����ZNZm��® D h�x d s },y<zutr�d v¦�hlx~y�� d hj� ° x d h�suzupr¢s hjz hj}X}²y^«:x d hl}Xy^t|suxXpry^zg® D h�x d h�z��jy^z }�p � h � 876 Z�v<z � N�K 9 6 ZV®[#·h�x±s }x©v ° h � K$6 2;K p|z_����ZNZL��® c v ° prz �nx d hlp|i7v<�^prz�v � ��{�v � x±y^«:x d h � hj}�sut|xXprzu��hj¢s�v<trp|xÎ��trhv � }´xXy

3 � 9 � � K 9&� 2;K �.- � � � � /� \ � - � � � 6 ZGF����Z 8 �ced h � hj«¬y � h � K 9&� 2;K �.- � � � 6 Z�v<z � ¯q�­prz<��h��jx�pr¦qprxÎ�^µ 20K �.- � � 6 Z�® ced pr}3pw}3x � s h#«¬y � v<trt < µHx d h � hj«¬y � h20K � 9 � 6 Z�®-C�y^p|z �#¯�v^� ° xXy�����ZNZm� ¤ p|x d 876ON�K 9 6 ZVµ ¤ h-��h�x� 9 � � � 2;K � � K ,435/ 20K � K � � <76 Z : � � K =3< O ��X K � :����Z��m�¤¸d pr� d i�hv<z }¸x d v<x > 2;K X 3 / 20K$6 Z�v<z � -@? � 20K$6 Z�y^z - X K ®e��} ¤ h�v<tr}Xy d v¦�h 20K � 9 � 6 Z ¤ h��y<z �jt|s � h�x d v\x 2;K�6 Zn¯q����t¶v^}�}�pw��v<t·v � �^sui�hjzqx~} �� å�^� !Cµu{ v^��h 8 ������®�bp|pr� � y^x~h�x d v<x

4 � �K 9 : d O � -@? � 20K �.- � � � @DC 3 � K 9�� 2;K �.- � � � 6 4 � �K 9 : d O 4 -@? � 20K �.- � � @ C 3�� K 9&� 20K �.- � � � : F����Z^k ���} -X?�� 20K �.- � � X C 3�� K 9�� 20K �.- � � � 6 N�K 9,pr} < d � @ K 9+��}Xy�pw} -@?�� 20K �.- � � , C 3�� K 9&� 2;K �.- � � � 6 N�K 9 ,8 C 3�� K 9&� 2;K �.- � � ��® � s � x d h � i�y � h^µ 4 � �K 9 : d O = � � < d � @ K 9+� : U / � @ K 9 �M��µ�x d pr}²pri�{ut|pwh�}´x d v<x²x d h-twhj«¶x[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 25: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

8N8 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

d v<z � }�p � hly^« ����Z<k �Lpw}´p|z U / � @ K 9 ��®³ÅEy � h�y�¦�h � µ ¤ h d v¦^h� 4 � �K 9 : d O � -X? � 20K �.- � � � @ C 3 � K 9&� 20K �.- � � � � /� \ � - � � � 6 � 4 � �K 9 : d O � -@? � 2;K �.- � � � � /� \ � - � � �X 35/ � � K 9�� 20K �.- � � � � /� \ � - � � � @ 8 3�� � 4 � �K 9 : d O � -X?�� 20K �.- � � � : � K 9�� 20K �.- � � ��� � \ � - � � � F����Z¢�L�

c y#��y^zu�jtrs � h^µAprx³}�s (���hj}´x~y-{ � y�¦�h²x d v<x�� 9 � 4 � �K 9 : d O � -@?�� 2;K �.- � � � : � K 9&� 20K �.- � � �^� � \ � - � � � pw} � h�v<tÆ®6�´xH � }�xµ ¤ h � hji�v ��° x d v<x

� 4 � �K 9 : d O -@? � � 20K �.- � � � : � K 9�� 2;K �.- � � �^� � \ � - � � � 6 Sk-@? � 20K�: 20K E - � � F����ZN9m�ced v<z ° }±x~y �I���m�´v<z � C � h�h�z � }±«¬y � i#sutwv�µ ¤ h-��hjx

� 9 � 4 � �K 9 : d O � -X?�� 20K �.- � � � : � K 9�� 20K �.- � � �M� � \ � - � � � 6 Sk-@?�� 20K�: 20K E 9 �6 � 9 � 4 � � 20K � / ,_3 / � 2;K � / : � < 6 }�y^i�h � hv<tHÂqs v<zqxXprxÎ� :

����Z¢�L�

¤¸d pr� d �jy^z �jt|s � hj} x d h�{ � yAy^«ç® �4 , 4 , 4 7»60Æ¿ � �� ��b�V�+* ¿ ) ��� * ) � » � 0 �u� » �D h���h�z h � v<trpr¹�h#p|z§x d pw}l}Xhj�jx�pwy^zÄx d h���y<zAxXhjzqx,y^«´}�h��jx�pwy^z 8 ® 8 ® ced h�z h ¤ suz ° z y ¤ z v\x-p|zqx~h � «bv^��hj}¤ prt|t>¯Sh

<76 � <0K � : <0K �.- � � 6 , 4 � �K 9 : d O � -@? � 2;K �.- � � � X C 3 � K 9�� 20K �.- � � � :����Z��m�¤¸d h � h ¤ h d v¦�h,v^}�}�sui�h � x d v<x

-X? � 20K �.- � � = < d �@K 9+� : � f : < :����Z��m�

}Xy�x d v<x<�= � F���^��Zm�

D h7} d v\trtLz y ¤ �<pr¦�h�vEz h ¤ «¬y � i#sutwv<xXpry^z§v<x�p|zqx~h � «bv^��hj}#y^«¸x d h�x � v<z }�i�pr}X}�pry^z�{ � y^¯utrhji �C�^�m��® £ x¤ prt|t Hux±x d h-}Xv<i�h,v\¯ }�x � v^��x²« � v<i�h ¤ y �X° x d v<z x d h-y^z hly^«:}Xhj�jxXpry^z 8 i�y � sutwy�v#z h ¤ � h Huz�prxXpry^z y^«y^{Sh � v<x~y � } � µ v<z � L�®K »�� ) *¬��* ¿ ) ¿�0 �� `� ) À L D h � h�Huz h

� = � � � : W�K��PO < O ��X K �M� :���^���&�

� 6 � � K � = W�K��PO < O ��X K � 6 � ��� � �

`ab ac, > � K ,43 / � K�6 Z4 � �K 9 : d O � -@? � � K �.- � � � X C 3 � K 9�� � K �.- � � � 6 � K 9 y<z @ K 9�F

���^� 8 �

n�oP[pnrq

Page 26: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% 8 �

ced h�«bv^�jxnx d v<xnx d h�y^{>h � v<xXy � � pw} ¤ hjt|t � h Huzuh � pr}�v � p � h��jx��jy^z }Xhj¢s hjz �jh�y^« x d hjy � h�i ��® �³���y<i�{�v<�jxXzuh�}X}�y^«3x d h�hji#¯Sh ��� prz � < O ��X K ��� � < ? ��X K �ëµ B S ��µ � pw}���y^i�{�v^��x�« � y^i � przqxXy� K < ? ��X K ��® D h d v¦�h,vni�y � h���hjz h � v<t � h�}�sutrx:;1 »q¿ � » � E � � � �$ ������@� �� � ���� ��� �� M�# ���� � ��� � � K < ? ��X K � [ ��� B S � ��� �! �;� � S O/ ���R� B 6 � � �/ ����%. � ¿>¿R0 ¡ D h�y^zut|�­z hjh � x~y�twyAy ° v<xlx d h��v^}�h S O/ ® #gh�x � � v ¯>y<suz � h � }Xhj¢s hjz �jh7y^« � v\z �� � 6 � � � � ��® � { x~ynx d h-hë�Ax � v<�jxXpry^z y^«6v�}�su¯ }Xhj¢s hjz �jh^µ[x d h � hlh��AprxX}±}Xy^i�h � }�s � d x d v<x� � ,�� � p|z � K U / ��X K � : }�x � y^z �^t|�� � � ,�� � � p|z � K U / ��X K � : ¤ h�v ° tr�PF���^���m�

�³�7x � v^�jh�x d hjy � h�i­µ � � �.- � � pr}´¯>y<suz � h � p|z < Z\ � - @ K 9 ��®���} S O/ µ ¤ hli�v��7v^}X}�sui�h� � �.- � � , � � �.- � � prz < �@K 9 �6}�x � y^z �^t|�PF���^�k �

�³� C � hjhjz � }±x d hjy � h�i­µuy<z h d v^}¸prz hv<� d X K µp� � � K 6 � � K , � µ � � K 9 6 � � K �.- � � �� 9 � � � � � K � / � <76 3 / � 9 � � � � K � / � < X Si-@? � � � K : � � � K � 9 � � E 9 � F���^���L��³sux ¤ h d v¦�hSg-@? � � � K : � � K � 9 � E 9 � 6 � 9 Sg-@? � � � K 9 : � � K 9 E - � � 6 � 9 � 4 � �K 9 : d O -@? � � � K 9 : � K 9 � � K 9 � � \ � - � � �

6 , C 3 � 9 � � K 9 � � K 9 � /� \ � - � � � X � 9 � � K 9 � � K 9 : � �K 9 � � \ � - � � � F���^��9m�

��� y^{Sh � xÎ� ������k �Lpri�{ut|pwh�} � K 9 � � K � Znprz U / � @ K 9 �´v<z � x d h � hj«¬y � h� � K 9 � �9 K : � �K � � \ � - � � � , � Z :���^���L�

¤ h,�jy^z �jt|s � h � 9 � � � � � � K , � K � � / � < 6 � 9 � � � � � K � / � < � Z :���^���m�¤¸d pr� d v^� d pwhj¦^h�}±x d h�{ � yVy<«ç® �D prx d x d h d h�tr{ y^«:y^{>h � v<xXy � � ¤ h-�v\z � h Huz h =�� � � : � �³¯q�

<76 � � <0K �.- � � 6 <0K 9 6 , 4 � �K 9 : d O � -X?�� � K �.- � � � XDC 3 � K 9&� � K �.- � � � : � 6 � � �G� F���^���m��³��x d hjy � h�i �,Ç �¬prp���µ ¤ h ° z y ¤ x d v\x pr}¸v�suzup|x©v � ��y^{>h � v<xXy � �� 6 � 6 � ® � h��Axµ ¤ h � h H�z hL =�� � � : � �

L 6 * F��� 8 Zm�

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 27: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

8 k � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

��{>h � v<xXy � L pw},�jtwh�v � t|�Ä��y^zqx � v^�jx~v<zqx�v<z � µ6«¬y^trtry ¤ prz ��x d h�{ � yAy^«±y^«±}�h��jx�pwy^z 8 µ�y^z h�{ � y�¦�hj}#x d v\x� , L pr}´prz^��hj�jx�pr¦�h<µux d v\z ° } xXy�x d h�prz^��hj�jx�pr¦qprxÎ��y^« � K 9®£ z%y � � h � x~y�«¬y � i#s�t¶v<xXh3x d h-{ � y^¯�twhji }~v<x�pw} Huh � ¯q� <0K µ ¤ h-przqx � y � s ��h � 6 � � K � = � K < O ��X K �¤¸d h � h � K pr}¸}Xy^t|suxXpry^z�y^«Mx d h�twyA�v\tH{ � y<¯utwh�i

`ab ac,"> � K ,435/ � K�6A8�K4 � �K 9 : d O � -@? � � K �.- � � � XDC 3 � K 9�� � K �.- � � � 6 Z�y^z

@K 9 :��� 8 �&�

v<z � twh�x¸s }±}Xh�xN"K 9 6 , 4 � �K 9 : d O � -@?�� � K �.- � � � XDC 3 � K 9�� � K �.- � � � F��� 8N8 �

� y^trtry ¤ prz ��x d h�{ � yAy^«My^«Mx d hjy � h�i 8 µ�p|x¸pw}¸}�x � v<pr� d xX«¬y ��¤ v � � x~y�h�}�x©v<¯�trpw} d x d h�«¬y^t|twy ¤ prz � � h�}�sutrx�®:;1 »q¿ � » � J� C � P � 2 6 � 20K � � � ������G�?���� � � � ��� ���^����� <�= � � �]\^ � � R � � �&�� ��� � ������ ������ � �

� J V � � , L � <76ON F��� 8 �m�� C C ��� �� �� � �� �]�������^� � < � �/������ ������ � � ��� J � �-����� 2 6 � X � � * < � � � ������ ������ � � � ��� ��%4 , 4 , E :;1 » K ¿ �§��* ) K » � ¿ � 2�¿ ��*¶�+* ¿ ) � �=> ¿ ��*¶�+1�� ���z ��h y^z h d v^}�p � hjzqxXp H h � x d h²}�{�v^��hj} � v<z � x d h y^{Sh � v<x~y � } � µ v<z � L�µ¢prx$pr}�hv^}���xXy,�^hjz h � v<t|pw¹�h¤¸d v<x d v^}e¯Sh�hjz � y<z h3prz }�h���xXpwy<z­�V® 8 ®Ó��® D h � h�Huz h�x d h � hjtwv\�Vh �3A v^�jy^¯upgv\z � C-v<su}X}±oVh�p � h�tg�²tr��y<Ç� p|x d i�}e¯q� � h�{ut¶v<�jprzu��v<trtSx d hl¢s�v<zqxXp|xXprh�} C 3 20K ¯q� C 3�� 9 K+20K p|z4�C� 8 �´v<z � �I�¢�L��® ced h�}�h#v<tr��y � p|x d i�}��y �X� hj}�{Sy^z � }±x~ynx d h�prx~h � v<x�pr¦^h3{ � yA��hj}X}Xhj} �C��9m�ev<z � �I�¢�L��®

� prz v<trt|� v<z � pr« ¤ h,� d yVy^}Xh �2 � v^} x d h,v<{u{ � y�Apri�v<x~h�¦<v<trsuh,y^«:x d h,}Xy^su� d x3}Xy<trsux�pwy^z 2 µ[v<trt·y^s �v<tr��y � p|x d i�}e��v<z ¯>h � hj}X� � pr¯Sh � prz�x d h-�^hjz h � v<tg«¬y � i

����������������������������

�< QK 9 6 � �K 9 < QK 9 : �^pr¦^hjz prz < d � @ K 9 �«¬y � � 6 � : FVFVF«¬y � f 6 � : FVFVF : h

}�y^tr¦^h

`aaaab aaaac3 / �2 � NPOK X > �2 � NPOK 6A80: p|z3X K-X?�� �2�� NPOK XDC 3�� 9 K � �2�� NPOK �.- � � � 6 �<�� �9 K y^z

@K 9 : <?>6 f

-X? � �2 � NPOK XDC 3 �2 � NPOK 6 Z y^z@K K F

su{ � v<xXh �< � NPOK 9 6 ��� , �L� �< � K 9 X � 4 ,$-X? � �2 � NPOK XDC 3�� 9 K � �2 � NPOK �.- � � � : :

��� 8 k �

¤ prx d �< ���9 K 6 �< �9 K h��V��h�{ux�«¬y � x d h Clv<s }�}3oVh�p � h�t:v<tw��y � prx d i «¬y � ¤¸d pw� d �< ���9 K 6 �< � NPO9 K ¤¸d hjz < pr} trh�}�}x d v<z f ® ced pw}±} d y ¤ }±x d v<x¸prx¸pr}´z y^x¸z hj��h�}�}~v � ��x~y�s }Xh�x d h-y<{>h � v<xXy � � K 9±¯usux y^zut|� � 9 K ®

n�oP[pnrq

Page 28: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% 8 �

� & ���7(����+�3�%� '�����#4�� �6��

ced h­v<pri"y^« ¤¸d v\x�«¬y^t|twy ¤ }npw}nx~yÄh�}�x©v<¯�trpw} d }�y^i�h � h�}�s�trx~}�y^«���y^zq¦�h � ��h�z ��h­y^«�x d h x ¤ y � hjt¶v���h �v<tr��y � p|x d i�}B� A v^��y^¯�pLv<z � Clv<s }�}#oAhjp � hjtr�²p|zqx � y � s �jh � prz§}Xh���xXpry^z �V® � y � x d h�z y^zVÇ � h�t¶v\�Vh � ��v^}Xh<µ¤¸d pr� d pw}·x~h�� d zupw��v<trt|�-i�y � h³�jy^i�{�trpw��v<x~h � µ ¤ h � hj«¬h � x~y Û�k�!C® D h ¤ p|trt ¤ y �X° y^zut|� ¤ prx d x d h¸v\¯ }�x � v^��x«¬y � i y^«6x d h�}�h#v<tr��y � prx d i�}jµ�}Xy�x d v\x�y^s � { � yAy^«6pr}±¦<v<t|p � «¬y � ¯Sy^x d x d h H � }�x ¦�h � }�pry^z }²{ � y^{Sy�}Xh � p|z}Xhj�jx�pwy^z§��® 8 v<z � x d hn}Xh��jy^z � y^z h ¤ p|x d x d hn��hjz h � v<t6przqx~h � «bv^�jhny^{>h � v<xXy � }���y^z }�p � h � h � p|z¥}Xh���xXpry^z��®é��®

D h²¯>hj�^prz ¤ prx d przqx � y � su�jprzu��}Xy<i�h z y^x©v\xXpwy<z }�® D h H � }�x � h H�z h3x d h²h ��� y � v<xex d h�przqxXh � «bv<��h3v<}x d h-¢s�v\zAx�prx�pwh�}

� � 6 < � , < = � :��� 8 �L�v<z � x d h�x ¤ y h ��� y � }3��y^i�i�prxXxXh � y^z%x d h�suz ° z y ¤ z 2 prx~}�hjt|«çµ � h�{>h�z � p|z � ¤¸d hjx d h � y^z h#�jy^z }�p � h � }2 � �b«¬y � i#sutwv �Æ�^�L�^�³y � �2 � �¬«¬y � i#s�t¶vT�I���&�^�³«¬y � x d h-v<{u{ � y�Apri�v<xXpry^z�y^« 2

� � 692�� , 2 = W�K��PO < O ��X K �

�� � 6 �2 � , 2 = W�K��PO < O ��X K � F

��� 8 9m�

ced h-}XhjÂqsuhjz �jh < � }~v\xXpw} H h�}¸x d h�prx~h � v<x�pr¦^h3{ � yA��hj}X}� � NPO 6 ��� , �]��� � X ��L�� � :��� 8 �L�

prz�x d hl�v^}�h-y<«:x d h A v^��y^¯�p � }²v\tw��y � prx d i v<z �

� � NPO 6 ��� , �]��� � X �G� * N � � NPO X * d � � � :��� 8 �m�prz�x d h²��v^}Xh y^«>x d h C-v<su}X}�ÇçoVhjp � hjt � }Lv<tr��y � prx d i­® ced h±x ¤ y,}XhjÂqsuhjz �jh�} � � v<z � �� � v � h¸x d hjz � h � s �jh �« � y<i�� � ¯q� � � NPO 6 ��� , �L� � � � � � � X � � � * � � �

�� � 6 � � * � � � F��� 8 �m�£ z x d hl}Xhj¢s hjtCµ ¤ h,v � hl��y<prz �#xXy�y<¯ux©v<p|z�x ¤ y�xÎ�q{>hj}²y^« � hj}�sut|x~} V

� � ��y^zq¦�h � ��h�z ��h � h�}�sutrx³«¬y � x d h��^hjz h � v<tS}�p|xXs�v<x�pwy^zBV ¤ h3y^zut|��y^¯ux©v\prz�x d h3�jy^zq¦�h � ��h�z ��h�y^«�� �xXy Z-p|z�x d h ¤ hv ° x~y<{>y^try��^�ny<« � ® Á y ¤ hj¦^h � µ�x d v\z ° }ex~y-x d h²��y^i�{�v^��xXz hj}X}³{ � y^{Sh � xXpwhj}ey^« ��b�j« ced h�y � hji k � ¤ h-} d v<t|tgy^¯ux~v<prz ¤¸d v<x ¤ h � h�v<trt|� ¤ v<zqxµuz v<i�h�tr��x d hl}�x � y^zu���jy^zq¦�h � ��h�z ��hy^« 2 � �Iy � �2 � �³x~y 2 v<x±twhv<}�x¸prz U / ®�� D hl} d v\trtg��h�x±hj¦^hjz�¯Shjx�x~h � ÇL}�h�hl}Xhj�jxXpry^zEku® 8 �

� � �jy^zq¦�h � ��h�z ��h � hj}�sut|x´prz v�{�v � xXpr�jsutwv � �v^}�hl«¬y �e¤¸d pr� d ¤ h�} d v<trt d v¦�hl}�x � y^z �n�jy^zq¦�h � ��h�z ��hxXy Z#«¬y � � � ®LÅEy � h�y�¦�h � µ x d pw}¸��y<zA¦^h � ��hjz �jh ¤ p|trt[¯>hlh��A{Sy^z h�zAx�p¶v<t|tr��«bv^}�x v\z � ¤ prtrtSpri�{utr��x d hhë�V{Sy^z h�zqxXp¶v\t � h���v�ny^«�x d h¸h �X� y � } � � �Iy � �� � �:prznx d h < O xXy^{>y<twy��^�-y^«[h�v^� d }�su¯�Ç � y^i�v<przH® D h} d v<trtM}�h�h�p|z�}Xhj�jx�pwy^z%k�® 8 x d v<x�y^s � { � yAy^« ¤ p|trt � hjÂqs�p � h�v�{�v � xXpr�jsutwv � ��h�y^i�hjx � pr�v<tg{ � y^{Sh � xÎ�y^«Mx d hl{ v � x�prxXpry^z y^«YXªv^} ¤ hjt|tMv^} v<zEv � hjÂqs v<x~h-� d y^pr��h�«¬y � x d h-y<{>h � v<xXy � } � 9 K ®

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 29: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

8 9 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

���� . �8���X� �,�"�,�64.) �����61()C�ced h%i�v<przWxXyVy<t�y^«lx d hÄv<z v<tr�A}�pr}7��y<z }�pr}�x~} p|z`v¨{ � pwy � p3h�z h � �^� hj}�xXp|i7v\x~h�}7x d v<x ¤ h � h � su��h¥y^«x ¤ y�p � hjzqx�prxXprh�} ¤¸d pw� d v � h#x d hny^¯���hj�jxly^«Lx d h#z h��Ax�twh�i�i�v�® £ x ¤ prt|t:¯Sh#s }�hj«¶sut�xXy7przqx � y � su��h#x d h«¬y^t|twy ¤ prz �,z y � i prz � � � = ! Z : � !'�� < � /� 6 ��� , �L� � 5 d- < � / X � 5 � < � / X � 5 N- < � / F����NZm�� y<x~h�x d v\x¸x d pr}´z y � i pw}¸h�¢sup|¦<v<twh�zAx¸xXy�x d h�s }�s v<tgz y � i

��� , �]� Z\ � < � � � < � � � � < � F������&�D h,v\tw}Xy � h�Huz h�x d h-y<{>h � v<xXy �

�� 6 � � , � * d � d O = � � � � F���� 8 �

� � y^x~h#x d v<x�� � , � * d �²pr}�v<z%pr}Xy^i�y � { d pw}�i p|z � V²p|z � h�h � µHprz­x d h#i�v<x � p|� � h�{ � hj}Xh�zAx~v<xXpry^zÄy^«}Xhj�jx�pwy^z­��µ�p|x¸pw}´¯utryV� ° twy ¤ h � x � pwv<z �^s�t¶v � µAx d h�x � pwv<z �^s�t¶v � ¯utwyA� ° }±¯Shjp|z �np � h�zqxXprxÎ�7y^{>h � v<xXy � } ��L» � ��� J� � �-� �G� �� R ��� �"�]� S �� #��� �%� � ��� ���6Y ��� �� � � �����?� �=� � �TS � � ��� � ������� �]\ ��� ���� �?� ����?�� �� � � NPO � / 6 � � � � /, � ��� , �]� � � � , L � � � � /, � � 5 � � � � / F������m�� �� �-� � �] ����E � ���?� � � � �"�]� S �� #��=� �%� � ��� ���6Y ��� �� � � �����?� �=� � �TS � � � � �;������� �]\ ��� ���� �?� ����?�� �� � � NPO � /�J6 � � � � /� , � ��� , �]� � � � � � , L � � � � /, � � 5 � � � � / F����^k �. � ¿>¿R0 ¡ �¬pr� D hl��y^z }�p � h � x d hl}Xhj¢s hjz �jh � � }Xv<xXpr}�«¶�qprz � ��� 8 �L�ë® D h d v¦�h<µ s }�p|z ��L 6 *� � � NPO � / 6 ��� , �L� / � � � � / X � / � * � � � / X 8 � ��� , �]� $ � * � � : � � � F����¢�L���zEx d hly^x d h �¸d v<z � µ ¤ hls }�hlx d h�p � h�zqxXprxÎ�� � � , * � � � � / 6 � � � � / X � * � � � /, 8 $ � * � � : � � � :x~y�h�trpri�prz v<x~h $ � * � � : � � �³prz_�����¢�L�ë® ced pw}´trhv � }¸xXy� � � NPO � / 6 ��� , �L� � � � � / X � � * � � � /, 8 �G��� , �]� � � � , L � � � � / F����N9m�� }�prz �ntrhji�i7v 8 v<z � x d h�«bv^�jx±x d v<x pw}±v\z pr}Xy^i�hjx � �^µ ¤ h-��h�x� * � � � / 6 � * � � � / 6 � � � � / , � 5 � � � � / F����¢�L�� trs �^�^prz �7�����¢�L�³p|z �������L�³x d h�zEtrhv � }±xXy �������L��®

n�oP[pnrq

Page 30: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% 8 �

�bp|pr� #ghjx±s }¸z y ¤ ��y^z }�p � h � v�}�h�¢s h�z ��h � � }Xv<xXpr}�«¶�qprzu�7��� 8 �]��® D h d v�¦^h� � � NPO � / 6 ��� , �]� / � � � � / X � / � � * N � � X * d � � NPO � � /X 8 �G��� , �L� $ � � � : � * N � �RX * d � � NPO �^� F������m�

�²{�{utr�qprzu�7x d h�p � hjzqx�prxÎ� 8 $ � <p: � � 6 � < � / X � � � / , � < , � � / : xXy < 6 � � v<z � � 6 * N � � X* d � � NPO µ ¤ h-�^hjxµusu}�przu��v\tw}Xynx d h�«bv^�jx¸x d v<x pr}±v<z�pw}Xy<i�h�x � �� � � NPO � / 6 ��� , �L� / � � � � / X � / � * N � � X * d � � NPO � /X � ��� , �]� 4 � � � � / X � * N � � X * d � � NPO � / :, � ��� , �L� � � � , � * N � � X * d � � NPO � � / :

������m�

y � µuh�¢sup|¦^v\twhjzqx�tr� � � � NPO � / 6 ��� , �]� � � � � / X � � * N � � X * d � � NPO � /, �G��� , �L� � � � , � * N � � X * d � � NPO � � / F����k Zm�

oAp|z ��h<µu¯A��twhji�i�vn��µ� * N <BX * d � � / 6 � * N < � / X � * d � � / 6 � 5 N- < � / X � 5 d- � � / :����ku�&�¤ h,y^¯�x©v<p|zgµVp|zAx � y � s ��prz �

,� 6 � � , � * N � � X * d � � NPO �� � � NPO � / 6 ��� , �]� � � � � / X � � 5 N- � � � / X � � 5 d- � � NPO � / , � ��� , �]� �

,� � / F����k 8 �

D hlx d hjz z y^x�pw�jh3x d v<x�µu¯q� � h H�zuprx�pwy^z y^«Mx d h�z y � i � F � �� � � NPO � /[, � � 5 d- � � NPO � / 6 � � � NPO � /���� , �L� � � � � / X � � 5 N- � � � / 6 � � � � /� , � � 5 � � � � / :����k¢�m�

}Xy�x d v<x ���k 8 �e�v<z ¯Sh � h ¤¸� prx�x~hjz� � � NPO � /�J6 � � � � /� , � ��� , �]� �,� � /[, � � 5 � � � � / :����k�k �

¤¸d pr� d pr}´z y^x d prz �n¯usux �����^k �Lp|« ¤ hl} d y ¤ x d v<x,� 6 �

� � � , L � � � ®.�³s�x « � y^i ��� 8 �m� ¤ h � h � s ��h� � NPO 6 � � , �

,� F����kq�L�

S�¢s�v<xXpry^z_��� 8 �m�´v<tw}�y�} d y ¤ }±x d v<x � � NPO pr} � hjtwv<x~h � x~y � � ¯q�� � , � * d � � � NPO 6 ��� , �]� < � X � * N � � F����k 9m�

ced h � hj«¬y � h^µ i#s�trxXp|{utr�qp|z �T���kq�L�³¯q� � � , � * d � ¤ h,��h�x��� , �]� < � X � * N � � 6 � � , � * d � � , � � � , � * d �

,� :����kq�L�

« � y<i ¤¸d pr� d � � , � * d �,� 6 � � , LE��� � :����k¢�m�

¤¸d v<x ¤ h ¤ v<zqxXh � xXy�} d y ¤ ® �� � p � h���x±��y^z }�h�¢s h�z ��h#y<«:x d pw}´trhji�i7v,pr}

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 31: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

8 � � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

:;1 »q¿ � » � 7 � ��� G�$� �� ��� Z S � S � � �=���/���6Y ��� �� � � S�� ^��� R �?� � ��� � � �� � � � � � �� ����^��� S ���[ � ��������� �+&�� ����/� �@� �� � ��R� [ �/� � ^��2�� ,�� 2 ���� ��TS]����� W�

K �PO < ? ��X K ��2 � ,�� 2 ���� ��TS]����� W�

K �PO < ? ��X K � :����k¢�m�

[ ���� � B 6 � � �� S O/ � � �! � ���� "�]��� � 9 K ��R� B S � � � ��� %. � ¿>¿R0 ¡ D h-y^zut|� �^p|¦�hlx d h�{ � yVy^«:«¬y � x d h A v^�jy^¯up � } v<tw�^y � p|x d i s }�p|z ���������L��® ced h-{ � yVy<«6«¬y � x d hClv<s }X}çÇ�oVh�p � h�t � }�v<tw�^y � p|x d i�¦qp¶v?�����^k �-pr}�v<tri�y�}�x�p � hjzqxXpr�v<t´x d v<z ° }nx~y�x d h «bv^�jxX}#x d v\x � F � � pr}nvz y � i y^z � h�¢sup|¦^v\twhjzqx±x~y � F � ® £Î� hjzqx�prxÎ� ������m�Lp|i�{ut|pwhj}³prz�{�v � xXpr�jsutwv � x d v<x

� � pw}´¯Sy^suz � h � prz � � � � � � � hj� � h�v^}Xhj} �N���� � Q� � � , L � � � � / S X�� F������Zm�

ced h � hj«¬y � h^µHs�{%x~y�x d h#h��Ax � v^��xXpwy<z¥y^«Lv�}�s�¯ }XhjÂqsuhjz �jh�}�x�prt|t � hjz y^xXh � ¯q� � � µ ¤ h ° z y ¤ x d v<x�x d h � hh��Apr}�x~} � = � }�s � d x d v<x

� � ,�� � ¤ h�v ° tr� prz F ������V�&�ÅEy � h�y�¦�h � µ « � y<i ����� Zm� ¤ h�v<tr}Xy#z y ¤ x d v<x

� � , L � � � ,�� Z }�x � y^z �<tr��p|z � F����� 8 �ced h � hj«¬y � h^µ ¯q�7t|prz h�v � p|xÎ��y^«ML�µ ¤ h-��hjx

� � , L � � 6 Z :�����^�m�¤¸d pr� d �qpwh�t � } � 6 Z�}�prz �jh � , LQpw}±prz<��h��jx�pr¦^h^® � y^x~h-v<tr}Xy�x d v<x�µ[v^} Z�pw}¸x d h,y^z�tr�7{Sy�}X}�pr¯utrh�trpri�prx�µx d h ¤¸d y^twh�}�h�¢s hjzu��h#�jy^zq¦�h � ��h�}j®

ced h-hjz � y^«·x d h�{ � yVy<«Mpr}´z y^x d prz �n¯us�x v�}�x � v<pw� d x�«¬y �X¤ v � � �jy^z }Xhj¢s hjz �jh�y^«Mx d h-�jy^i�{�v^�jx�z h�}�}{ � y^{>h � x�pwh�}¸y<«6x d h-y<{>h � v<xXy � � �I�^p|¦�h�zEp|z x d h�y � hji k �´v<z � y^«Mx d h�x ¤ y�hjÂqs v<trp|xXpwhj} ��� 8 �m��® �7» ���u��� T � �� �=� � �a`6��� �R�������� � � ��G � �� #� ^���������3� � ���� � � ����� #� �� �� S]� ������������ ��� ����� [ ��� ���M����/�6Y @�]� ��?����� � ���)� �"��R� � ��� � R �� ����$��� � �6Y �]� �������� � � [ � � �P� � �� �=��� � � ������������ � � < � 6� < � R � � < � � � < � � ������ � ������� � ��� � � ��� ��� �����$���? ��� ���% � �3 ��� � � 6��� �� � � ������ � � ��a`N� ��R� ��G ��� � � � �$� ������� �;!;� � �;����� � ,��6Y �������� � ��� ��� ���?� �� �� ��� �.� ��� ���� �a`6�����P� ��%��I� . � 4 � �=��� ��� � �V�"�,�V��� 4.) � ���A3V�,� �,�"� �£ z�x d pw}L}Xhj�jx�pwy^zgµ ¤ h�} d v<trt[v^}�}�sui�h±x d v<xLx d h {�v � xXp|xXpry^z���X K � K y<« X d v<}³x d h «¬y^t|twy ¤ przu����h�y^i�hjx � pr�v<t{ � y^{>h � xÎ�^® � �� ;� � �� � < : f � : - X K)8 - X59 � � ����=���� ;����� � � ����=���� � � ����� �������� ����� � � �"����$�� �������� , �LF�����<k �

n�oP[pnrq

Page 32: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% 8 �

ced h-}Xh��jy^z � d �q{Sy^x d h�}�pr}¸xXs � z }²y<z x d h�¦<v<trs h�y<« «¬y � x d hly^{Sh � v<x~y � } � 9 K µ <?>6 f � 6 O/ �� 9 K�6 � �9 K � 9 K": ¤ prx d� 9 K � �����$�� ���� � ��� �# ���< Z\ � - X KA8 - X59 � ��� � U / � - X KA8 - X59V� F�������L�

£ zE}�s � d v�}�prx�s�v<xXpry^zgµ ¤ h d v¦�hlx d h�«¬y^t|twy ¤ przu��«¶suz � v\i�h�zAx~v<t � h�}�s�trx�L» � ��� 7�� R� �� R ����3����� G��� �?���� � � �)"! � ��R�?� �)")"�� � , L � � �� � � � �� � � ��%. � ¿>¿R0 ¡ ��} � , L pr}´v<t ¤ v�A}eprz<��h��jx�pr¦^h^µ ¤ h3y^z�tr� d v¦�h3xXy�{ � y�¦^h3x d v<x³prxLpw}³y^zqx~yu®[#ghjx N ¯>h3�<pr¦�h�zprz � µ ¤ hltwyAy ° «¬y � v<z < }�s � d x d v<x � � , L � <76ON F������9m�£ «�}�s � d v\z < h��Apw}�x~}jµux d h�z 2 6 � 20K � 6 � � < �´}Xv<xXpr} H hj}±p|z hv^� d X K

`aaaaaaaaaab aaaaaaaaaac

20K =3< O ��X K � : , > 2;K ,435/ 2;KR6 Z : prz X K4 � �K 9 : d O � -X? � 20K �.- � � � XDC 3 � K 9&� 2;K �.- � � �6 , 4 � �K 9 : d O � -X?�� 2 9 �.- � � � X C 3 � K 9�� 2 9 �.- � � � X N�K 9 y^z

@K 9 : f >6 <

-@? � 20K XDC 3 20K 6ON�K K y^z@K K�:

�������L�

¤¸d pr� d pr}¸h�¢supr¦<v<trhjzqx±x~y`aaaaaaaaaab aaaaaaaaaac

20KE= < O ��X K � : ,"> 20K ,_35/ 20K�6 Z : p|z X K-@? � 20K[X -@?�� 2 9 6 � �K 9 N�K 9 X N 9 K8 : y<z

@K 9 : f S <

� 20K , 2 9 � 6 � � K 9 � d O N"K 9 , N 9 K8 C 3 : y<z@K 9 : f S <

-@?�� 20K[XDC 3 2;K�6 N"K^K y^z@K K F

�����^�m�

� h��jp|{ � yA�v\trtr�^µupr«:x d h � h�hë�Apw}�xX}�v<z 2?= < O ��X K �±}�y^trsux�pwy^zEy^« �����^�m�ëµ�y^z h��jy^z }�x � su�jx~}3v�}Xy<trsux�pwy^zEy^«� � , L � <76QN ¦qp¶v<76 � <0K � : <0K �.- � � 6 , 4 � �K 9 : d O � -@? � 2;K �.- � � � X C 3 � K 9�� 20K �.- � � � F�����^�m�

#ghjx±s } � h�Huz h� K 9 6 , � 9 K�6 � � K 9+� d O N"K 9 , N 9 K8 C 3 =3< Z\ �

@K 9 � :����9NZm�

v<z � twh�x¸s } v^}X}�sui�hl«¬y � v ¤¸d prtwh3x d v<x±y^zuh-��v<z Huz � v 2 � = � K < O ��X K � ¤ prx d > 2 �K = U / ��X K ��µ2 �K �.- � � , 2 �9 �.- � � 6 � K 9 : -@? � 2 �K �.- � � X -@?�� 2 �9 �.- � � =3< d Z\ � @ K 9 � : f >6 < :����9��&�

x d hjzgµ }�hjxXx�prz �2 692 � X � :����9 8 �

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 33: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�NZ � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

«¶suz ��xXpry^z � i#s }�x }Xv<xXpr}�«¶�`aaaab aaaac� =3< O ��X � : ,"> �RK ,43 / �RK�6 > 2 �K X 3 / 2 �K : prz X K-X?�� �RK X -@?�� � 9 6 �N�K 9 y<z

@K 9 : f >6 <

-X? � �RK XDC 3 �RK�6 �N�K K y^z@K K":

����9��m�

¤ prx d�N�K K�6ON�K K ,I-X?�� 2 �K �.- � � , C 3 2 �K �.- � ��N�K 9 6 � �K 9 N�K 9 X N 9 K8 ,?-@? � 2 �K �.- � � , -@?�� 2 �9 �.- � � :����9^k �

ced hl¦<v � pwv<xXpry^z�v<t[«¬y � i�sut¶v<x�pwy^z�y^«Mx d pr}±{ � y^¯utrhji pw}� prz � � = < O ��X ��}�s � d x d v<xµ � � =3< O ��X �� 9 � � � � � ,43 / � � � � < X C 3 � � � � ��6�� � 9 � � > 2 �K X 35/ 2 �K � � K � <BX � K � 9 S �N"K 9 : � �.- � � E - � � F����9¢�L�

��� y^¯�twhji ����9¢�L��pw}�v§zupr��h�¦<v � pwv<xXpry^z�v<t´{ � y^¯utrhji prz < O ��X ��}�prz �jhEx d h �N�K 9 =F< deZ\ � @ K 9 �ë® ced hh��Apr}�x~h�z ��hny<« � pr}�hv<}�prt|� y^¯ux©v\prz h � ¯q� �u� h � d y^t|i � }²v<trxXh � z v<xXp|¦�h^® ced h�{ � y^¯utrhji pw} x d s } � h � s �jh �x~y¥x d h­��y<z }�x � s ��xXpwy<z5y^« 2 � ® � y � f � < µ ¤ h � h H�z h 20K 97v<}�x d hE}�y^trs�xXpwy<z }nprz < O ��X K �#y^«3x d h«¬y^t|twy ¤ prz ��hjtrt|pr{ux�pw� { � y^¯�twhji

`ab ac , > 20K 9 XD20K 9 6 Z : p|z X K20K 9 �.- � � 6 �� K 9 : y<z - X KL:

����9N9m�¤ prx d

�� K 9 6 � K 9 y^z @ K 9 : �� K 9 6 Zny^z@K�� : � >6 < F����9¢�L�

��}ev<trt x d h²i�v<zup|«¬y^t � }@K 9±v � h²v^}X}�sui�h � xXy,¯Sh��jtry�}Xh � µVv<trt x d h �� K 9¸v � h±«¶suz ��xXpwy<z }ey^« < Z\ ��X K �Lv\z �x d h#h��Apw}�x~h�z ��h#y<« 2;K 9�pw}�}�pri�{utr��y<¯ux©v<p|z h � s }�p|z � #·v\�qÇ�Å�prtw� � v<i x d h�y � �­v<z � x d h�x � v^��h-x d hjy � h�i­®

ÅEy � h�y�¦�h � µ[v^}@K 9²pr}¸�jtry�}Xh �

-@?�� 20K 9 �.- � � =3< deZ\ � @ K 9+� : -@?�� 2;K 9 �.- � � = < deZ\ � @ K^K � F����9��m�ced h�z­prxepw}´z y^x � p*(��jsut|x´x~y�� d h�� ° x d v<x vn��yAy � �v\z � p � v<x~h3«¬y � 2 � pw}

2 � 6 �K�� 9 20K 9 :����9��m�v<z � x d hl{ � yAy^«My^«:trhji�i7v 9#pr}¸��y^i�{utwh�x~h<® �

n�oP[pnrq

Page 34: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���

7» ���u����� � ��� �=������ ��� �-����� ������?�]� � �.�&.� �,S�� ^����E6� ���$�� �;�a`��P� �� ���G���� ��B � � �Y���� � � , LE� d O N����� [ � ^��� / ������ #�� �� � �$� ������ ����� � �; ��� �������� ���� � �����������% P R� ��� ��� �� � ��3^��� #� � ���=� ���<0K 9 6 , � � �K 9 � d O � -@?�� � � K X � Q � �.- � � � X C 3 � K 9&� � K X � Q � �.- � � � :������Zm�

[ ���� � � � < � 6 � K �9� K

� � - � ��� � <p: �G� �8 � �9 K � N�K 9 X N 9 K � � �G� ��� �G�, � - � � - ? ��� � � � <p: �G� �

8 3 � d O9 K � N�K 9 , N 9 K � � �G� ����� ��� :�����V�&�

[ ���� � � � <p: � � � �"��� ���� � �^� G ��?����;���� �=��� !;� � �;����� � ,��6Y @���?���� ��R� � Q � � ����/������ ������ � �

`b c ,R35/ � Q , > � Q 6 Z : � X

-@? � QeXDC 3 � Q 6QN"K K , -X? � , C 3 � : �� 2[F����� 8 �

��}±�jy^z }Xhj¢s hjz �jh#y^«Mtwh�i�i�v 9:;1 »q¿ � » � T � `����� ������?�]�� ����^��� S �� ���� � R� �� R ����$����� ��� ������ ��� �)"! �"��R� � �)")"����6���� � � ��^��]���� � = ! Z : � � �=���� � �a`N� ����;� � �]� G� R �� �� = ! Z : � � � �� �� ���� � � �� � � � � F�����^�m�� �� ���6Y ����� ����� [ �;�]� ��� � � ^��� 2 , 2�� ��� � � � Z�� 9 � � � � � � � : � 2 , �2�� ��� � � � Z�� 9 � � � � � � � F�����<k �. � ¿>¿R0 ¡ D hny^zut|���^p|¦�h#x d h�{ � yAy^«³p|z%x d h���v^}Xh�y^« A v^��y<¯up � }lv<tw�^y � p|x d iE® ced h�{ � yAy^«$«¬y � C-v\s }X}çÇoVh�p � h�t>pw}´v<tri�y�}�xLx d h3}~v<i�h^®Loqprz �jhB� � , L �$pw}´v\z pw}Xy<i�y � { d pr}�i prz � µ�x d h � h�h��Apw}�x~}±v(* E Z,}�s � dx d v<x � � � , L � � & * � < � :�������L��bzuy^x~h�x d v<x2* � ��µu}�prz �jh � , L pw}±��y<zAx � v^��x©v<zqx���® ced h � hj«¬y � h�« � y^i p � hjzqx�prxÎ���������m�ëµ ¤ h,��h�x� � � NPO � / � ��� , � ��� , �]� * / � � � � � / :������9m�¤¸d pr� d �^p|¦�hj}7�����^�L� ¤ prx d � 6 � � Q � v<z � � 6�� � , �G��� , �L� * / ® ced h � hj}�x�y^« x d h7{ � yVy<«²pr}nv��y<z }XhjÂqsuhjz �jh#y^«Mx d hl��y<zAx�przqsup|xÎ�7y^« � ® �7» ���u����� P �� � ��� � � ���� R ����� � �?%?��% ����������]��� ����� � ^��]���� � ��� � � S�� ^��� R � � 6 O/ [ � �� ����� `N�� � ,���� � ��� , �]� % � �/��� �]���M ����$� R � ��$�� �=� � � �������-�B���� ��?���� " %£ zWy � � h � x~yį>h ��y<i�{utrhjxXh^µ³p|x � hji�v<p|z }�xXy§�<pr¦�h h���v<i�{utrh�}�y<«3y^{Sh � v<x~y � } � 9 K }~v\xXpw}�«¶�qprz �������^�L��®ced h�i�y^}�xnz�v<x�s � v\t±y^z h���y^zu}�pw}�x~}nprz �jy^z }�p � h � prz �%« � v^�jx�pwy^z�v\t´{>y ¤ h � }�y^« x d h�#·v<{�t¶v^�jh�ÇL�³hjtrx � v<i�py^{Sh � v<x~y � ®#Å y � h�{ � h���pw}�hjtr�^µ·v^}X}�sui�prz �7x d v<x

@K 9lpw}�v7}�s (��jprhjzqxXt|� � hj�^sutwv � i�v<zupr«¬y<t � µ ¤ h � hjz y^xXh

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 35: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

� 8 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

¯q� > 9 K x d h #·v<{ut¶v<��h�ÇI�ehjt|x � v<i�p6y^{Sh � v\x~y � y^z @ K 9 � � 8 !Iµ:xXy^i�h �^µM{�v<��hE��¢��Ç©����m��µHpC®éh<®�x d h�}�hjtr«wÇv � ��y<przqx±y^{Sh � v\x~y � p|z U / � @ K 9+�´v^}X}�yV��p¶v<xXh � x~y�x d h�¯up|trp|z hv � «¬y � i ¤ prx d � y^i7v\prz < O �@K 9+� V

> 9 K � � :�� � 6 � - � � � � � � � � � �� :�������L�¤¸d h � h � � � hjz y^xXh�}�x d h´s }�s v<t�x~v<z ��h�zAx�p¶v<t�� � v � pwh�zAx6y^{Sh � v\x~y � y<z @ K 9�® £ x�pw}:x d h�z ¤ h�trt ° z y ¤ z�x d v\xpr« � v<z ��� v � h�x ¤ y7{>y^}�prx�pr¦^h � hv<t:zAs�i#¯>h � }jµHy^z h,�v<z � h�Huz h�x d h�{Sy�}�p|xXp|¦�h�}�hjt|«bv � ��y^p|zAx²y^{Sh � v<x~y �prz U / � @ K 9+� ¤ p|x d � y^i�v<prz < O � @ K 9 �

� 9 K�6 � � � , �3 / > 9 K � Z\ F�����^�m�

£ x�pr} ¤ hjtrt ° z y ¤ z�x d v<x � 9 K �v\zn¯>h´hë�Ax~hjz � h � prznv�suzupw¢s h ¤ v�nv<}�v<znpr}Xy^i�y � { d pw}�i « � y^i < Z\ �@K 9 �

y^zqx~y < deZ\ �@K 9+�´v^}±}XyAy^z­v^} � v<z ��� v � hl}�x � pw��xXtr��{>y^}�prx�pr¦^h^®L��z h3x d hjz�}Xv<xXpr} H hj} �������]� ¤ prx d

� 9 K�6 � � � , �3 / > 9 K � Z� F�����^�m�

��} v<z h���v<i�{utrh^µ�trhjx¸s }±��y<z }�p � h � x d h 8 à ��v^}Xh ¤¸d h � h@K 9 pr}´x d hl��p � ��twh3y<« � v � prsu} > µux d v<x ¤ h�v\z�{�v � v<i�hjx � pw¹jh#¯A�¥x d h�{Sy^twv � v<z �^trh��V® £ z�}�s � d v��v<}Xh�x d h�y^{>h � v<xXy � � 9 K �^pr¦^hjz§¯A�������^�m�²pr}� pwv^��y^z�v\trpw¹jh � p|z�x d hly � x d y^zuy � i�v<t>¯ v^}�pr} y<« U / � @ K 9+� � h�Huz h � ¯q�

� � ���]� 6 � 8 > � Z\ � � ��� � = ! :����NZm�v<z � ¤ h d v�¦^h

� 9 K � � 6 � � X � � /3 / > / � � � F������&�

��z h­��v<zWz y<x~hEx d v<x�x d h­y^{>h � v<xXy � � h Huzuh � ¯q�9�����^�L�npr}�z y<zWtwyA�v<t �¬prx�pw}�v§��y<zA¦^y^trs�xXpwy<z�ÇÆxÎ�q{Shy^{Sh � v<x~y � �6v<z � ¤ p|trtA{ � y � s �jh±«¶s�trt�i�v<x � pw�jh�}6v<«¶x~h � }�{�v^�jh � pw}�� � h�xXpr¹v<x�pwy^z7�b�j«S}Xhj�jxXpry^z 9m��®:�W{>y^}X}�p|¯utwh��y<i�{ � y^i�pw}Xh ¤ p|x d {us � hjtr��twyA�v<t ¤ y^sut � �jy^z }�pr}�x$prz���y<z }�p � h � prz �,v<z�przqx~hj� � v<t�y<{>h � v<xXy � y^«Sx d h±«¬y � i� * � hjz y<xXprzu��}�y^i�h-}�x � pw�jx�tr��{>y�}�prx�pr¦�h3{ v � v<i�hjxXh � �

S � 9 K � : � E 6 � � - � � � � < � � � < � �� � < �X � � - � � � - � ��� � < , �G�����V� � < , � � �J�b�js � t ��� BG�+� �G�+�b�js � t � � B � � < � ��� < � ����� ����� 8 �

¤¸d h � h � pw}´«¬y � p|z }�x~v<z �jhlx d h�«¶suz � v\i�h�zAx~v<t·}Xy<trsux�pwy^z�y^«Mx d h #·v<{�t¶v^�jh�y^{>h � v<xXy � prz�� 0� � < � 6

�8 twy�� � < � � 6 8 � � < � 6

�k � < �

� 6 � :������m�v<z � ���V� �L� : � E Z�vn}�i�yAy^x d {Sy�}�p|xXpr¦^h��jsux�ÇÎy])­«¶suz �jx�pwy^z }Xv<xXpr}�«¶�qprz � V

���V� �L� 6 � pr« � S *���V� �L� 6 Z pr« � E 8 * :����^k �

n�oP[pnrq

Page 36: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���

¤¸d y�}�h � y<twh²pr}LxXy ��tryV��v<trpr¹�h���x d h3y^{Sh � v<x~y � � 9 K �¬x d h ��twyA�v\t ��� d v � v^��x~h � y^« � 9 K x d h�z � hj{Shjz � prz ��y^zx d h�¦<v<trs h,y^«=*"�3oAs � d v�� d y<pw��h d v^}�z y<x3��h�x�¯>h�xXh�}�x~h � s�{%x~y y^s �²° z y ¤ twh � ��h^®,��s � �jy^z^��h���xXs � hpw}´x d v<x }�su� d v<zEy^{>h � v<xXy � {Sy�}X}�h�}X}�h�}�x d hl��yAy � { � y^{>h � x�pwh�}±h�z }�s � prz ��h��A{Sy^z h�zAx�p¶v<t·�jy^zq¦�h � ��h�z ��h�Vx d hlp|i�{Sy � x©v<zqx´«bv^��x¸pw}´x d v<x¸x d h ° h � z hjt �

d v^}¸x d hl��y ��� h���x }�przu�^sut¶v � prxÎ��«¬y � < 6 Z�®7» ���u��� ' Q � ��� ������� �� � � ���� � ���� ��� �� � 9 K � �]\^ � � R � � � � � � � > 9 K R ���TS"�������� ��?��� � �/� � � � � � �� < O �

@K 9 � � �� �]� ��� R �$��� � �B� ^��� � ����B ����� [ ���� �� @ K 9 � �� ��� �� � ����� � ������ ����� � � ����

�\�#�P� � ���E�� � � �? ��� �P� ���� ��� �� ����� ��� # ��� ����R��� � � ��� B � �����B ���R����?������ �� - @ K 9 ��% � � �=���� S���� -� ��� � � � �a`����� ������?�]� ����^��� S �� ���� � � � ��TS �� ^��]� �?��� �$�� ��� �]� �a`����� #��$����=� � ��� & ��� ����� [�� ��� �� � � ���� �_^���� �=��� ����^��� S �� �� R � ������@�� #� ���� [ ��� ���� ����� � 9 K�6 � %

� �!���3�L� �����,���j���'���7���� ���,��*�����±���7(�3�$+���%�± �� � ���� �%4�� ���6

��� ����� �*�V� 41���L��� � � ��!"�=��� 4.#��()L�� �"�.� 41�������"� c y­��h�x,i�y � hnp|z }�pr� d x-p|z§x d h � v<xXh�}�y<«´��y<zA¦^h � ��hjz �jh y^«ex d h�i�hjx d y � µ ¤ h�{ � y^{Sy�}Xh�x~yEv<z�v\tr�A¹�h�v¦�h � ��}�p|i�{utrh 8 êh���v<i�{utwh<® D h���y<z }�p � h � x d h3}�¢s�v � h X 6 ! , � / : � / W! Z : U � h��jy^i�{>y�}�h � p|zqx~y,x ¤ y� hj�jx~v<z �^trh�}�}�pri�prtwv � prz�}�pr¹�h�X O v<z � X / µ ¤ p|x d y^zutr�¥y<z h�p|zAxXh � «bv^��h��I�j« H �^s � h 8 �ë® ced h�Ã�ÃlÅ pr}v<{u{�trpwh � x~y²x d h´}�y^trs�xXpwy<z#y^« x d h Á h�tri d y^t|x~¹Lh�¢s�v<x�pwy^znp|z�X ¤ prx d y^s � s }�s�v<t���y^z � prxXpry^z } -X? X C 3 2 6Z�v<x±twh�«¶x±v<z � � pr� d x±}�p � h�} v<z � v � hjs�i7v<z�zE�jy^z � p|xXpry^zEv<x¸x~y^{Ev<z � ¯Sy^xXxXy^i }�p � hj}�®

� � � 8

�� ��������������������! "�#���

�� ��������������������! "�#���

$&%(')% � $&%(')% �

*

+

�,

,

*-

.

XU8

� 6 U

, U 8

� pw�^s � h 8 V-C�h�y^i�hjx � ��y^«:x d hl}�p|i�{utrh�i�y � h�t

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 37: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�^k � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

D h�} d v<trt6s }Xh � p|zÄx d pw}�}�h���xXpwy<zÄx d hn{ � hj}Xh�zAx~v<xXpry^zÄy^«Lx d h�v<tr��y � p|x d i ¤ h��¢v¦�hnprzÄ}�s�¯ }Xhj�jxXpry^z��®é��® ku® Á hjz �jh^µ ¤ hL��y^zu}�x � s �jxMx ¤ y²}�h�¢s hjzu��h�} �2 � O v\z � �2 � / ¤¸d pw� d v<{u{ � y��Ap|i7v<xXh � 2UO : 2 / �ëµ � h�}�x � pw�jx�pwy^zu}x~y�X O v<z � X / y^« 2 ® ced hlh�¢s�v<x�pwy^zu}±«¬y � �2 � O v<z � �2 � / v � h`b c , 35/ �2 � K , > �2 � K 698�K]: f 6 � : 8

- � �2 � K � <p: Zm� 6 - � �2 � K � <p: U � 6 Z : f 6 � : 8����¢�L�

`aaab aaac� ,$- 1 �2�� O XDC 3 �2�� O �+� , U 8 : �G� 6 Z

� - 1 �2�� / X C 3 �2�� / �+� X U 8 : �G� 6 ZGF����N9m�ced h �jy^su{ut|prz � ¯>h�x ¤ hjhjz x ¤ y%}�s ���jh�}X}�pr¦^h p|x~h � v<xXpry^z } � v<z � � X �7pw},i�v � h�v<x#x d h�twh�¦�h�t´y^«±x d hprzqxXh � «bv<��h <76 Z � � � � d O - 1 �2 � NPOO � 1 � Q�XDC 3 � �2 � NPOO � 1 � QJ6 < � / O

, � � � � d O - 1 �2�� NPO/ � 1 � Q X C 3 � �2�� NPO/ � 1 � Q 6 <�� �O / :����¢�L�¤¸d h � h ��� 6 � � A v^�jy^¯up�� y � ��� 6 � X �7� Clv<s }X}-oAhjp � hjtr�ë® ced h�y^{Sh � v\x~y � � pw}3� d y�}Xh�z�v\i�y^zu� vx ¤ y­{>y^}�prx�pr¦^h�{�v � v<i�hjxXh � }l«bv<i�prt|�?� � pw},v ¯�pé��h���xXpry^z§« � y^i < Z\ ��Z : U �ly<zAxXy U / ��Z : U �-v^}-}XyAy^z v<}� E Z�® �

� 6 � � 6 � � � � , �

3 / -0/� � � Z� F������m�� y � vn�^pr¦^hjz � h�t¶v\��v<x�pwy^z {�v � v<i�hjxXh � �Aµ�x d h < � O / v<z � < � / O v � h�su{ � v<x~h � ¯q�7x d h�«¬y � i#s�t¶v

< � NPOO / 6 ��� , �]� < � O / X � 4 , � � � � d O - 1 �2 � NPOO � 1 � Q�XDC 3 � �2 � NPOO � 1 � Q :<�� NPO/ O 6 ��� , �]� <�� / O X � 4 � � � � d O - 1 �2�� NPO/ � 1 � QeXDC 3 � �2�� NPO/ � 1 � Q : F������m�

�u� y^i x d hL��hjz h � v<tqx d h�y � ��µ ¤ h³v<t � hv � � ° z y ¤ x d v<x·x d h³h �X� y � �� � K 6 �2 � K , 20K]: f 6 � : 8 ��y^zq¦^h � �^h�}x~yE¹�h � y ¤ prx d x d h�p|z � h��§y^«¸p|x~h � v<x�pwy^z � ® ced h v<p|i�y^« ¤¸d v\x�«¬y^t|twy ¤ }-pr}-xXy � h�x~h � i�prz h�x d h � v<xXhy^«�x d pw}²��y^zq¦�h � ��h�z ��h<®,�´x H � }�xµ>x d h#h ��� y � }3}~v\xXpw}�«¶��x~y�¯Sy^x d x d h Á hjt|i d y<trx~¹-h�¢s�v\xXpwy<z ¤ prx d ¹�h � y}Xhj��y^z � x~h � i v\z � x d h-v<¯ }�y � ¯up|z �n¯>y<suz � v � � ��y<z � prx�pwy^z v\x < 6AX � / � f 6 8 �´v\z � <76 , � / � f 6 �&��®� }�prz � ced hjy � h�i ��µ ¤ h � h � s �jh-x d hlh�}�xXpri�v<xXh�}� �� � NPOO � /� Z�� 9 Z � � � Q � � � � � d O - 1 �� � NPOO � 1 � Q X C 3 � �� � NPOO � 1 � Q � /� \ � Q � �� � Q � � � / O � /� \ � Q � �� �� � NPO/ � /� Z�� 9 \ � � � Q � � , � � � � d O - 1 �� � NPO/ � 1 � QeX C 3 � �� � NPO/ � � 1 � Q � /� \ � Q � �� � Q � � � �O / � /� \ � Q � � F����NZm�

¤¸d h � h � � O / v<z � � � / O v � h�x d h-h �X� y � } v<x¸p|zAxXh � «bv^��hj}�® ced hj��}Xv<xXpr}�«¶�7xXy� � NPOO / 6 ��� , �]��� � O / X � � , � � � � d O - 1 �� � NPOO � 1 � Q�X C 3 � �� � NPOO � 1 � Q �� � O / 6 ��� , �L� � � O / , � �^� � � � d O - 1 �� � NPO/ � 1 � QeXDC 3 � �� � NPO/ � 1 � Q � F������&�

n�oP[pnrq

Page 38: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �¢�

£ z�x d h�z hë�Ax²}�su¯ }�h��jx�pwy^zHµ ¤ h � h � pr¦^h�h��A{ut|pw�jp|x¸h��A{ � h�}�}�pwy<z }¸«¬y � x d h�h �X� y � } � � O / v<z � � � / O ¤¸d pw� d twhv �s }¸x~y�} d v � {­h ��� y � hj}�xXp|i7v\x~h�}j®

�I� . �,�"�,�64.)A�,�����V� ���X����# 41���ced h�}Xy<trsux�pwy^z¨y<«²x d pw}#}�h�¢s h�z ��hEy^«±{ � y^¯�twhji�}n�v\z ¯Sh h��A{ut|pw��prx~h�tr� � h � pr¦^h � ¤ prx d x d h d h�tr{ y^«²vx~hj� d zuprÂqsuh,y^«:}Xh�{�v � v<xXpry^z y^«:¦<v � p¶v<¯�twh�}j® D hlp|zqx � y � s �jh^µ

�� � K � <p: �G� 6 ��� � Q �� � K � � < � � � � �G� : f 6 � : 8� � K 9 6 ��� � Q �� � K 9 � � � � �G� : f < 6 � 8 y � 8 � :

���� 8 �

¤¸d h � h3«¶suz ��xXpry^z } � � ��� �Lv � h x d h�h�pw��h�zq¦�h���x~y � }¸y^« - � � ¤ prx d � h�sui7v\zuz ¯>y<suz � v � ���jy^z � p|xXpry^z }´v\z �v � h,v\tw}Xynh�pw��h�zu«¶suz ��xXpry^z }±y^« � �`aaaaaaaaaaab aaaaaaaaaaac

� � � �G� 6� 8U ��y�} � U � � , U 8 ��� :

� � � � 6 � � �� �� � � : � �� �� 6 � � X � /

3 / U /�� / � Z\� 35/ X > � � � 6 fG/� � � X -0/1�1 � � f � 6

�3 / , / � /U / :

������m�

�bx d h­{ � h���pw}Xh­� d y^pw�jh�y^«�x d h�}�pr�^zW«¬y � x d h­��y^i�{utwhë� }X¢s�v � h � yAy^x � h Huzup|z � f � � yAh�}�zuy^x � hv<t|tr�i�v<xXxXh � �ë®ced h�¢s�v\zAx�prx�pwh�} �� � K � � < � v � h � y<s � prh � ��yAh+(��jprhjzqx~}²y^«�x d h,h �X� y � ® D h�} d v<trt·}Xv� x d v<x �� � K � � < �¸pr}x d h�i�y � h#y<«$y � � h � � y^«�x d hnh �X� y � xXh � i �� � K ®"S$v^� d y^«$x d hji }~v<x�pw} Huh�}�v � h � s �jh � d y^i�y���h�z h�y^su}

Á h�tri d y^t|x~¹3hjÂqs v<xXpry^zf /� �� � NPOK � X - /1�1 �� � NPOK � 6 Z :����^k �

prz�x d hjp �¸� h�}�{>hj�jx�pr¦�h � y^i�v<p|z }�® ced h�}Xh,h�¢s�v<x�pwy^zu}±v � hl}Xy<tr¦�h � v<����y � � p|z �nx~y�� � NPOO �j6 > � NPOO � hë�A{ � C f � < � X�� � NPOO � hë�V{ � , C f � < ��� � NPO/ �j6 > � NPO/ � hë�A{ � , C f � < � X � � NPO/ � h��A{ � C f � < � F

����¢�L��ey^s�z � v � � ��y<z � prx�pwy^zu}nv<x <g6 Z%v<z � < 6 @ � / v\trtwy ¤ }�su}#x~y � h�x~h � i�p|z h > � NPOK � v<z � � � NPOK � v<}nv«¶suz ��xXpry^z y^«:x d h �� � O / � v<z � �� � / O � ®

L � � > � NPOO �� � NPOO � � 6 �� � / O �� � � ��

Z � : L � � > � NPO/ �� � NPO/ � � 6 �� � �O / �� � � ��

Z � :����N9m�¤ prx d

L � 6�� C f � X C 3 � �� : , C f � XDC 3 � ��� , C f � XDC 3 � � d � K� � � / : � C f � XDC 3 � � N � K� � � /

� :����¢�L�

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 39: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�N9 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

��s � ��y¢v<t:pw}3x~y�y^¯�x©v<p|z�v � h��js � }�p|¦�h � h�t¶v<x�pwy^z�«¬y � � �� � O / �m: �� � / O � ��®�S�¢s�v<x�pwy^z��������&�²p|i�{ut|pwhj}²x d h«¬y^t|twy ¤ prz ��h�¢s�v<t|prxÎ��«¬y � x d h � y^s � pwh � ��y^i�{>y<z hjzqx~} y^«Mx d hlh �X� y � v<x¸przqx~h � «bv^�jh�� � NPOO / ��6 ��� , �]� �� � O / �JX � 4 , � � �� � d Z\ - 1 �� � NPOO � � 1 � Q X C 3 � � �� � Z\ �� � NPOO � � 1 � Q :�� � NPO/ O � 6 ��� , �]� �� � / O � X � 4 � � �� � d Z\ - 1 �� � NPO/ � � 1 � Q�XDC 3 � � �� � Z\ �� � NPO/ � � 1 � Q : F

������m�

y � µ�s }�p|z �������¢�]��� � NPOO / ��6 ��� , �L� �� � O / � X �

� � � �[� C f � XDC 3 � �� � > � NPOO � X � , C f � XDC 3 � �� � � � NPOO � ��� � NPO/ O � 6 ��� , �L� �� � / O � X �

� � � �[� f � X 3 � �� � > � NPO/ � X � ,Ef � X 3 � �� � � � NPO/ � � F������m�

� pwvk����N9m��µ ¤ h%�v<z h�trp|i�p|z�v<x~h x d h > � NPOK � v<z � � � NPOK � v\z � y^¯ux~v<prz v � hjtwv<xXpry^z } d pr{5¯Shjx ¤ h�h�z x ¤ y}�su����hj}X}�pr¦�h-prxXh � v\x~h�}j® D hly^¯ux~v<prz

�� � NPOO / � 6 ��� , �]� �� � O / � X ��� � �� � / O ��� � NPO/ O �B6 ��� , �]� �� � / O �5X ��� � �� � �O / �� 8 ZNZm�¤ prx d

� � 6 � ,Ef � X 3 � �� �+� f � X 3 � � � � ���\ , � f � X 3 � �� �+� ,Ef � X 3 � � d � � ���\� f � X 3 � �� � � f � X 3 � � � � � �\ , � ,Ef � X 3 � �� �+� ,Ef � X 3 � � d � � � �\ F� 8 Z��&�

S�¢s�v<xXpry^z_� 8 Z�Zm�e�v<z ¯Sh ¤¸� prx�x~hjz�p|z x d h�i7v\x � pÓ��«¬y � i�� �� � NPOO / ��� � NPO/ O �

� 6 � � � �L�

�� �� � O / ��� � / O �

�� 8 Z 8 �

¤ prx dA v^��y^¯�p V � � � �L� 6

� � , � : ��� ���� � : ��� , �]� � :� 8 Z��m�

Clv<s }�}²oVhjp � hjt�V � � � �]� 6� � , � ��� �� ��� , �]��� � ��� , �L� X � / � /� �$F� 8 Z^k �

�u� y^i � 8 Z 8 ��µ ¤ h � h � s ��h-x d hl} d v � {Eh�}�xXpri�v<xXhB� ¤ p|x d A v^��y^¯�p·v<x±twh�v^}�x�µ�x d hlhjÂqs v<trp|xÎ�7�v\z­yA����s � ���� � NPOO / � � / X ��� � NPO/ O � � / � � � � � �L� � / �\ 4 ��� Q O / � � / X ��� Q / O � � / : :� 8 Z¢�L�

¤¸d h � h � � � \ � h�z y^xXh�}�x d h�i7v��Vp|i#sui"y^«�x d h�}X¢s�v � h � yAy^x�y^«²x d h hjpr��hjzq¦<v<t|s h�}�y^«²x d h i�v<x � p|�� � � ®³��«��jy^s � }Xh^µux d hl��hjzuh � v\tgx d hjy � ��y^«:��y<zA¦^h � ��hjz �jh,p|z � pw��v<x~hj}´s }¸x d v\x V

� � : �� � � �]� � \ S �� 8 ZN9m�

n�oP[pnrq

Page 40: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% �¢�

ced pr}e�v\z v<tr}Xy,¯Sh � d h�� ° h � ¯A��v � p � hj�jx³��y^i�{usux~v<xXpry^z�«¬y � x d h A v^��y^¯�p � }´v<tr��y � p|x d i s }�p|z � � � � � S ��I}�h�hlx d h�«¬y � x d �jy^i�prz �#}�h���xXpwy<z%�V®é�m�³¯us�x pr}´twhj}X}±y^¯q¦qpwy^s }´«¬y � x d h"Clv<s }X}çÇ�oVh�p � h�tMv<tw�^y � p|x d iE® � y ¤ µ¤ h � h�Huz h �

� 6 }�su{� � � � � �L� � \ :� 8 Z¢�L�v<z � s }�prz � � t¶v<zu� d h � hjt|Ç � v � ��h�¦^v\t � }±x d h�y � hji� � �9 K � /� \ � Q � � 6 � � ��� �9 K � � / :� 8 Z��m�przuh�¢s�v<t|prxÎ��� 8 Z¢�L�$twhv � }¸x~ynx d hlhj}�xXp|i7v\x~h��^p|¦�h3s }¸pri�i�h � pwv<xXt|�� �� � NPOO � � Z�� 9 Z � � � � �� : � �� � NPO/ � � Z�� 9 Z � � � � � ��� 8 Z��m�¤ prx d � / 6 � /Q � � Q O / � /� \ � Q � � X � /Q � � Q / O � /� \ � Q � � F� 8 ��Zm���}-v���y^zu}Xh�¢s h�z ��h<µ�v ��h�y<i�h�x � pr�v<t6��y^zq¦^h � �^hjz �jh7yV�j�js � } ¤¸d hjz �

� pw}�}�x � pw�jx�tr�Etwh�}�}�x d v<z ��®�ÅEy\Ç� hjy�¦�h � µ � � ��y�¦�h � z }±x d h � v<x~h�y<«���y<zA¦^h � ��hjz �jh$V�p|x¸pw}´x d s }±x d h � pw� d x¸Â¢s�v\zAx�prxÎ�7xXy�v\z�v<tr�A}�h^®��� .O��4.)�� ���L� � �M��!"�F�"�V��� �,��� �,� �,�'3�4.) 1"��� � ���£ x±pw}¸z y^x � p*(���sutrx¸xXy � hv<t|pw¹jh3x d v<x x d h � � � }�v � h�z y^x d prz ��hjtr}Xhlx d v<z x d h-z y<z­¹jh � y�hjpr��hjzq¦<v<trsuh�}±y^«y^{Sh � v<x~y � Lj�?L <I6 Z�µgpr« < pr}3twyA�v<t|pw¹jh � y^z¥x d h�¯Sy^suz � v � prh�}

@K K ��®���} L pw}-v ��y^zqx � v^��xXpwy<zgµMv<trt

x d h � � � � i#su}�x ¯>h�twhj}X}±x d v\z���® D h � pr}�xXp|z �^supr} d � p*)>h � hjzqx²�v^}�h�}²v^���jy � � prz ��x~y f � pw} � hv<tCµu{us � h�tr�pri�v^�^p|z�v � ��y � ¹�h � y� £ « ���� � S �NV ced hli�y � h�pr}´{ � y^{ v^�¢v<x�pr¦�h<µ f � pr} � hv\tƵ�hj¢s�v<t·x~y 3 � � , � \ � \� \ � \ v<z �

� � 6 �jy�}V� K � �/ � f � 3 � � �� , ��� X C }�przH� K � �/ �+� 3 / � �� , f /� ���y�} � K � �/ � f � 3 � � �� X ��� X C }�przH� K � �/ �+� 3 / � �� X f /� � F� 8 ���&�

� £ « ���� � E �NV ced hli�y � h�pr}¸hj¦<v<z hj}X��h�zqxµ f � pw}´p|i7v<�^prz�v � ��µAh�¢s�v\tMxXy C � 69C � � \ � \� \ � \ , �,v<z �

� � 6 C �jy�} d ��� � �/ � � 3 � � �� , �&� , }�prz d ��� � �/ �+� 3 / � �� X /� �C �jy�} d ��� � �/ � � 3 � � �� X �&� , }�p|z d ��� � �/ � � 3 / � �� , /� � F� 8 � 8 �

� £ « ���� � 6 �NV f � 6 Z�v<z �

� � 6 � � � � X � , � XDC � �/ � � X �� � X � X � XDC � �/ � � X �� 8 ���m�

£ zEhv^� d �v^}�h^µ�prx¸pw}´zuy^x � p (��js�trx¸x~y�� d hj� ° x d v<x±x d h-i�y � sutrs }¸y<« � � pr}±v<t ¤ v�V} }�x � pr�jxXt|��trh�}X}±x d v<z�#v<} ¤ h�i�pr� d x h��A{>hj�jx�®3�²z�v\tr�A¹jp|z � ¤¸d v<x d v\{u{>h�z } � h�}�{Sh���xXp|¦�hjt|�E«¬y � }�i7v<t|tMv<z � twv � �^h-¦<v<t|s h�} y^«� {Sh � i�prxX}³s }³x~y � pr}�xXp|z �^supr} d x d h � y^twh²y^«·x d h�{ v � v<i�hjxXh � } � v<z � � p|z x d h3�jy^zq¦�h � ��h�z ��hl{ � yA��hj}X}j®£ z � hjh � V

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 41: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

��� � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

� D d h�z � pw} ZVµ ¤ h-��h�x� QJ6

� � , �� � X � F� 8 �k �

¤¸d pr� d } d y ¤ } x d v<x � ¤ prt|tH��y�¦^h � z­h�}�}Xhjzqx�p¶v<t|tr��x d hl��y^zq¦^h � �^hjz �jh�y^«Mx d h�try ¤ « � hj¢s hjz ��pwhj}�®� D d h�z � � � y ¤ }¸xXy�p|z@Huzup|xÎ��µ ¤ h-��hjx

trp|i��� � � � � �96 C � � , �C � � X � F� 8 ���L�

¤¸d pr� d } d y ¤ } x d v<x � ¤ p|trt>��y�¦�h � z�hj}X}Xh�zqxXp¶v\trtr��x d hl�jy^zq¦�h � ��hjzu��h�y<«:x d h d pw� d « � h�¢s hjzu�jpwhj}�®£ z {�v � x�pw��sut¶v � � 8 ���]�³} d y ¤ } x d v<x

trpri��� � � � � � 6 � :� 8 ��9m�¤¸d v<x�pri�{utrprh�}±x d v<x � L � pw}²h�¢s�v<t6x~y%��V±x d pr} � h�i�y^zu}�x � v<x~hj}�µ>p|z�x d pw}�{�v � xXpr�jsutwv � �v^}�h^µHx d v<x3x d h«¬y � i7v<t>}Xh � pwhj} � L � � yAh�}¸z y<x²�jy^zq¦�h � ��h,v<¯ }�y^trsuxXhjt|��®��� � !"�=� �V�A3��,� ��,�"� � �641���=� �V� ��!"���A4 � �V+(���]� 4.) �����I��!(##ghjx$s }^H � }�xL� d h�� ° x d v<x$«¬y � x d h A v^�jy^¯up � }Lv<tw�^y � p|x d iEµ<y<z h²�^hjx~}$hë�V{Sy^z h�zqxXp¶v\t���y^zq¦�h � ��h�z ��h3v^}$}XyAy^zv^} � >6 Z�v\z � � = ! Z : � å®L��z hl��y<i�{us�x~h�}±h�v^}�p|tr��x d v<x�

� � � �]� � \ 6 i�v\��

� � , � @ ��� � � S �LF� 8 ���L�ced h-y^zut|� � h�trpw��v<x~h3{Sy^p|zAx¸pr}´x~y�hjz }�s � hlx d v<x±x d h � � � ynz y^x²v^�j�jsui�sut¶v<xXh3z hv � @ �-p|z ¤¸d pw� d �v^}�h�� � � �L� � \ ¤ y^sut � xXhjz � x~y¥��«¬y � v<trt6¦^v\trs hj}-y<« ��v<z � �

�¤ y^sut � ¯Sh���®������jy � � prz ��x~y � 8 ���L��µ ¤ h

d v¦�h � �� 6 t|pri��� N�� � � � � �L� � \ 6 i�v\�

�� � , � @ ��� � � :� 8 ���m�

¤¸d pr� d pr}¸}�x � pw��xXtr��}�i�v<trtrh � x d v<zÄ��«¬y � � >6 Z�v<z � � = ! Z : � 0�I}Xhjh Hu�^s � hV��®7» ���u��� '�' ! �� � � � �=���;������� [ ���� � [ �3 �� �� ��_^��� �����;� �� �� ��� ��� �;�P� �]� � � R ��� ���� ��� �� � 6 � � �/% � ��� � � ��;�� ��� � � � � ����� � � E ��� D �� ������?�]��� ���� ��� �� � � \^ ������ � �� � � ��� � ����R ��� � ^����� ;� �/��� � ��� R ��� � �� [ ���� � R �� ����$��� � �� S ��� � �� � � � % B ��� � �� ��� �� � � R ��� � ^����� /� � ������ ��� ��������� R ��� �� ��� � S ��� ���� � �� �� ���.��)"��� ��� �6Y �]� � � @ � %7» ���u��� '@5 � ���� � 6 Z � � �� �]� � ���� ��� �� ���� ��/� �B� ��� � � � ����� �� ����� �

� 6 � [ � �� �� ����P� ������� 6 � % P �� � � �������;�=��� ����^��� S �� �� � � ��� �a`����� ������?�]� ��R� �=��� �����?������ � �.��& � � � ���� � ��������� ��� �_^�� �=��� ����^��� S �� ���% � �=������ ���$� �3����� ����� � � � ���G�� ��� [ ���� Y @����?�� �� ��� Q O / � � / X ��� Q / O � � / � �� � #�TS � �.� & "��(S ������� � ,��� �� [ ���� � S ������� � � \^��� �&� [ � �� ��$��^���� ^���� ���� � S] � �� #�� ����B���� ��� �� � � ��"� � ���� �a`6� �� ������G�?����R% P +�.�! � �^��^� � ����� [ 3�=� �����^� � �=��� ������ �?����B� ����$������ �� � S ���=���@���� ;�� � � E Z� �� � O � � Z�� 9 Z � X � �� � / � � Z�� 9 \ � � ���

� O d �

n�oP[pnrq

Page 42: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ���

���� � >6 ��� 8 ��R� � �� � O � � Z � 9 Z � X � �� � / � � Z � 9 \ � � ���� � � / d �

���� � 6 ��� 8 %

��«��jy^s � }Xh�x d h z hë�Vx�}�xXhj{ y^«�x d h v<z�v<t|�A}�pw}n�jy^z }�pw}�x�pr}�v<z } ¤ h � prz �¥x d h ¢s hj}�x�pwy^z V ¤¸d v<x�pw}nx d h� d y^pr��h#«¬y � x d hn{�v � v<i�hjx~h � }� : � v\z � � ¤¸d pr� d¥¤ prtrt:i�p|zupri�pw¹jh � � � ��� ��} ¤ h�v � hn�^y^prz �7xXy }Xhjh^µMvH � }�x�z v<pr¦^h7v<z�v\tr�A}�pr}-¯�v<}Xh � y<z x d h�h���v<i�prz�v\xXpwy<z�y^«etwy ¤ v<z � d pw� d « � h�¢s h�z �jprh�} ¤ y^sut � twh�v � xXy� d yAy�}Xh � 6 ��µ � 6 �lv<z � � 6 ��� 8 ® Á y ¤ hj¦�h � µ pr«Hy^z h�tryVy ° }ev<x±v,xÎ�q{upr�v<t>�js � ¦�h � , � � � � � �L� � \y^z hl}�h�h�}±x d v<x±y^z h d v^}¸xXy � pw}�x�prz �<supw} d x du� hjh � h��<pwy^z }´«¬y � � ®

� Á pw� d « � hj¢s hjz ��pwhj}"V � �� � E E �

� y � x d h�}�hl¦<v<t|s h�}jµux d hl�jy^zq¦�h � ��hjzu��h,pr}¸h�}�}Xhjzqx�p¶v<t|tr� ��y�¦^h � zuh � ¯q�� �� 6 i�v\�

�� � , � @ ��� � �

£ x�pw}�x d hjz }�x � v<pw�^x d «¬y ��¤ v � � x~y � hv\trpw¹jh x d v<x7x d hE¯Sh�}�x ¤ v�� x~y � v<i�{5x d hj}Xh%hj¦<v<zuh�}X�jhjzqxi�y � h�}3pw}3xXy {�pw� ° � 6 ��v<z � � 6 O/ V3x d h � � � },v<���js�i#sut¶v\x~h�}�z h�v � C v<z � � � � � � 6 O/ � � \xXhjz � }±x~y O

� / ®� #gy ¤ « � h�¢s hjzu�jpwhj}"V ���� � S S �

� y � x d h�}�hl¦<v<t|s h�}jµux d hl�jy^zq¦�h � ��hjzu��h,pr}¸h�}�}Xhjzqx�p¶v<t|tr� ��y�¦^h � zuh � ¯q�� Q��6 i�v\�� � � , � @ ��� Q �� }�przu��� 8 �k �ëµuy^z hl}�h�h�}±x d v<x¸x d h�¯Sh�}�x ¦<v<t|s h3«¬y � � pw}��^®

� y<x~h�x d v<x�p|«�y^z h�}�x~y<{ }�x d h � pw}��js }�}�pry^z d h � h^µ>x d h#}�pw¹�h U y<«�x d h#}�su¯ � y^i�v<prz } d v^}�zuy�prz@W�s hjz �jhy^z y^s � � d y<pw��h<®

� � h�}�y^z�v<zqx±« � hjÂqsuhjz ��pwh�} V ���� ��� �

ced hj}Xh±¦<v<trs hj}�y^« � ��y ��� h�}�{>y<z � xXylv3twyA�v<tVi7v\�Ap|i#sui y^«[x d h¸��s � ¦^h � ,�� �� � � �]� � \ µ ¤¸d pw� dpr}�v<tr}Xy�x d h,�^twy<¯�v<tgi�v\�Apri#sui prz­v�twy<x²y<«��v^}�h�}j® ced h,��y^zq¦^h � �^hjz �jhny^«�x d h � hjt¶v\x~h � i�y � hj}

pr}´z y ¤ ��y�¦�h � z h � ¯q� � �� 6 i�v\�� � � , � @ ��� � � :

¤¸d h � h � � pr}��^pr¦^hjz�¯A� � 8 ���L��µ ¤¸d pr� d } d y ¤ }Lx d v<x�x � �qprz ��x~y�i�przup|i�pr¹�h � �� przq¦�y<tr¦�hj}Lx d h¸¦<v<trs hy^« 3 U ® £ z { v � x�pw�js�t¶v � µ � � x~h�z � }�xXy�� ¤¸d hjz 3 U x~h�z � }�xXy X�� µ ¤¸d v<x~h�¦�h � x d h�¦^v\trs h�y^«� � : � �³y � �#pr}�®

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 43: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

k Z � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

’jacobi’’jacobi’

� pr�^s � h�� V$Ã3y^i�v<prz7y^«6x ¤ y ¤ v¦�h�twhjzu� d x~}�V � � prz�«¶suzu�jxXpry^z y^« � «¬y � � 6 O/ : � 6 � 6 �

£ x,v<{u{Shv � }�x d h�z§x d v<x,v ��yVy � }�x � v<xXh��^�%«¬y � � d yVy�}�prz � � : � v<z � �7�jy^z }�pw}�xX}-p|z¥i�p|zupri�pw¹�prz �uµ 3 U¯Shjprzu���<pr¦�h�zgµux d h-¢s�v\zAx�prxÎ�

i7v�� � � Q�0: � ��;: � �� � 8 ���m�¤¸d pr� d ��v<z�hv<}�prt|��¯>h � y^z h^µuv<x´twh�v^}�x³zqsui�h � pr�v<t|tr��® D h3{ � h�}�hjzqx¸x d h � h�}�sutrxX}´y^«·x d pw}ey<{uxXp|i�pr¹v<x�pwy^z{ � yV�jh � s � h²p|z � pr�^s � h²k ¤¸d h � h^µ�«¬y � � p )Sh � h�zqxe¦<v<trsuh�}Ly^«>x d h²« � h�¢s hjzu�j���b« � y<i 3 U 6 ¤¸d pw� d ��y � Ç� hj}�{Sy^z � }Lx~y # 6 Z�®å� ¤ v¦^hjtwh�z �^x d h�}exXy 3 U 6 ��Z ¤¸d pw� d ��y ��� h�}�{>y<z � }³xXy # 6 � ¤ v¦�h�twh�z �^x d h�}��뵤 h�{utry^xlx d h��js � ¦�hj} � ,�� �

� � � �L� � \ «¬y � x d h�y^{ux�pri�v<t�¦<v<trsuh�}ly^« � � : � : �]� ¤¸d pr� d v � h��<pr¦�h�z�p|zc v<¯utwh���µSv^} ¤ hjt|t�v<}²x d h�y^{ux�pri�v<tH¦<v<t|s h,y<«�x d h,��y^zq¦^h � �^hjz �jh � v<x~h<® D h,y^¯ }Xh � ¦^h#h��A{Sh � p|i�h�zqx©v<t|tr�x d v<x¸x d hly^{�xXpri�v<tS¦^v\trs h�y^« � � : � : �]�Lpw}´x d hly^z h ¤¸d pw� d hjzu}�s � h�}±x d hlh�¢s�v\trprxÎ�� Q

��6 � ���6 � �

�� 8�8 Zm��²tr}Xyuµ ¤ h�z y^x�pw�jh3x d v<x¸x d hly^{ux�pri�v<t � v<x~h � h�� � hv^}�h�} ¤¸d hjz x d h�« � h�¢s hjzu�j� przu� � h�v^}Xhj} ¤¸d pw� d pw}´z y<x}�s � { � pw}�p|z ��v<z � v<x±trhv^}�x��jy d h � hjzqx ¤ p|x d x d hl«bv^�jx � � x~hjz � }²xXy­� ¤¸d hjz 3 U xXhjz � } x~y X�� ® � y^xXhv<tr}Xy7x d v<xl«¬y � t¶v � ��h#« � h�¢s hjzu�jpwhj} ��� � �³v<z � � � � �³v � h � h�v<trt|� � p )Sh � h�zqx-« � y^i'� ¤¸d p|twh � � � � � hji�v<prz }�jtry�}Xh � xXy O/ ®

3 U 6 3 U 6 8 3 U 6 k 3 U 6 ��Z � Z�®Ó������� 8 Z�® Z 8 9^� Z�® ZNZ¢�\k¢�¢� ZV® ZNZ�Z����^k� Z�®é�¢����ZNZ Z�®å�^� Z�® 8 �NZ���9 Z�® Z�Z�� 8� Z�®Û�V��9NZ ZV® 9^k¢� ZV®å�V��9NZ Z�®å�\ku� 8 9�� Z�®Û�^�^kq�^�^� ZV®Û� 8 � Z�®Û��Z�� Z�®Û���^� 8

c v<¯�twhn�NVL��{ux�pri�v<t>{�v � v<i�hjxXh � }´«¬y � k � p*)>h � h�zAxX}¸twhjzu� d x±y^« � y^i7v\prz � A v<��y^¯up��

� � � !"�=� �V�A3��,� ��,�"� � �641���=� �V� ��!"� �C4 1"� ��� �,�L&(�*)��]� 4.) �����I��!(#D h � y%z y^x � h�{ � y � s �jh x d h � pr}X��s }X}�pwy^z ¤¸d pw� d pr}nh�}X}�hjzqxXpwv<trt|�§x d h }~v\i�h7x d v<z «¬y � x d h A v^��y^¯�p � }v<tr��y � p|x d i hë���jhj{ux x d hl«bv<�jx±x d v\x¸x d hl��y<i�{us�x©v<x�pwy^z }´v � h d h�v�¦qprh � ® D hly^zutr��{ � hj}Xh�zAx prz � pr�^s � hl�

n�oP[pnrq

Page 44: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ku�

0.71

0.715

0.72

0.725

0.73

0.735

0.74

0 5 10 15 20

’taup_0.5wl.dat’’taup_0.5wl.dat’

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0 5 10 15 20

’taup_1wl.dat’’taup_1wl.dat’

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 5 10 15 20

’taup_2wl.dat’’taup_2wl.dat’

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

’taup_10wl.dat’’taup_10wl.dat’

� pr�^s � h k V­��{ux�pri�v<t´��s � ¦^h�} � � �� � � �]� � / «¬y � x d h A v^��y^¯�p � }�v\tw��y � prx d i � 3 U 6 V x~y^{ twh�«¶xµ

3 U 6 8 V xXy^{ � pw� d x�µ 3 U 6 k V ¯Sy^xXxXy^i trhj«¶xµ 3 U 6 ��Z V6¯Sy^xXxXy^i � pr� d x® �3 U 6 3 U 6 8 3 U 6 k 3 U 6 ��Z

� Z�®Ó���^��� Z�® Z¢�V� 8 Z�® ZNZN9^k�� Z�® ZNZ���^k¢�� Z�®é�¢�V���^� Z�® k¢�¢�^�^� Z�® Z��¢�A� ZV® Z��V���� ZV®å� Z�®Û���V� 8 � Z�® ku���A� ZV®Û� 8 �¢��� Z�®Û��Z 8 � Z�® 9NZ^k Z�®é��� 8 � ZV®Û�N9��<k

c v<¯utrh 8 VL��{uxXp|i7v\t>{�v � v<i�hjx~h � }´«¬y � k � p*)>h � hjzqxX}±trhjz �<x d hj} y<« � y<i7v<p|zp� Clv<s }�}±oVh�p � h�tr�v<z � prz c v<¯utrh 8 x d h � h�}�s�trx~}²y^«�x d h � hj}Xh�v � � d y^{ux�pri�v<tg{�v � v<i�hjx~h � }j®E#ghjx3su}�hji�{ d v<}�pw¹jh�x d h,«bv^��xx d v<xµq«¬y � v��^pr¦^hjz7¦<v<t|s h y^« 3 U µ ¤ h3��h�x¸vl¯>h�xXx~h � �jy^zq¦�h � ��hjzu��h ¤ prx d x d h/Clv<s }X}çÇ�oVh�p � h�tHv\tw��y � prx d ix d v<z ¤ p|x d x d h A v<��y^¯up � }±v\tw��y � prx d i­®

� � ������ ���%�%4��±�,���j���%�

��z h¸y^«�x d h±p|zqx~h � h�}�x~}�y^« d v¦qprz �3p � hjzqxXp H h � v3��h�z h � v<tu« � v<i�h ¤ y �X° «¬y � y^s � � y<i7v<p|z � hj��y^i�{>y^}�prx�pwy^zi�hjx d y � pr},xXy�}�p|i�{ut|pr«¶�%x d h�{ � h�}Xh�zqx©v<x�pwy^z y^«¸x d h7hë�VxXhjz }�pwy^z y<« x d pw}-xÎ�q{>h7y<«¸i�h�x d y � x~y�y<x d h �{ d �A}�pr�v<t·i�y � h�t ¤ prx d v���y<i�{utrhjxXh��^s�v � v<zqxÎ��y^«6�jy^zq¦�h � ��h�z ��h�V�x d h�v\¯ }�x � v^��x²�jy^zq¦�h � ��h�z ��h�{ � yAy^«� h�i7v\prz }3x � s h�y^z �jh�y^zuh d v<}l¦^h � p H h � x d v\x-x d h�y^{Sh � v\x~y � } � µ v\z � L d v¦�h�x d h���yAy � { � y^{Sh � Ç

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 45: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

k 8 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.5

0.51

0.52

0.53

0 5 10 15 20

’taup_0.5wl.dat’’taup_0.5wl.dat’

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0 5 10 15 20

’taup_1wl.dat’’taup_1wl.dat’

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20

’taup_2wl.dat’’taup_2wl.dat’

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0 10 20 30 40 50 60

’taup_10wl.dat’’taup_10wl.dat’

� pr�^s � h��GVn�3{�xXpri�v<t���s � ¦^h�} � � �� � � �L� � / «¬y � x d h$Clv<s }X}#oVhjp � hjt � },v<tr��y � p|x d i � 3 U 6 V xXy^{

twh�«¶xµ 3 U 6 8 V x~y^{ � pr� d xµ 3 U 6 k V ¯>y^x�x~y^i twhj«¶x�µ 3 U 6 ��Z V�¯Sy^x�x~y^i � pw� d x�® �xXprh�}j® £ zÄ}Xhj�jxXpry^z 9�® 8 µ ¤ h�} d v<trt6��y^zu}�p � h � x d h#x ¤ y�pri�{>y � x©v<zqx²h���v<i�{utwhj}�y^«Lx d hnh�t¶v^}�x~y � �qz�v<i�pw��}h�¢s�v\xXpwy<z } v<z � y^«6x d h-��à ŭv\� ¤ hjtrt � }±}��V}�x~h�i­®

�²z y<x d h � v � ¦<v<zqx©v^��h�y^«³y^s � v\¯ }�x � v^��x-« � v<i�h ¤ y �X° pr}3x~y przu�jtrs � h#x d h � pr}X� � hjxXhn{ � y^¯�twhji�}�y^¯�Çx©v\prz h � v<«¶x~h � v\{u{ � y�Apri�v<x�pwy^z�prz�}�{�v^�jh^µ�{ � y�¦qp � h � v,��yAy � � d y^pr��h3y^«>x d h�v\{u{ � y�Apri�v<x�pwy^z�{ � yA��hj}X}j®D h,v � hl��y^p|z �#x~y�} d y ¤ x d pr}´prz }Xhj�jxXpry^z39�®Ó��®

���� ����4 � �=& ��� ����� ��� � 41���L�V� 4.�"& &(��# 4.����&(��� �V# � � ���C���L�V�£ z x d pr}�}�h���xXpwy<zgµ ¤ h���yį v^� ° x~y¥y^s � i�y � hjt´{ � y^¯utrhji � 5 79 ��prz � p|i�h�z }�pry^z � 6 8 y � ��µev\z ���y<z }�p � h � x d h-��v^}Xh ¤¸d h � hlx d hly^{Sh � v<x~y � � 9 K pw} � h�Huz h � ¯q� �I�j«6}Xhj�jxXpry^z k �

� 9 K 6 � � � , �3 / > 9 K � Z�

v<z � v^}�}�sui�h#«¬y � }�pri�{utrpr�jprxÎ� x d v<x3x d h�X K � }lv � h#{Sy^t|� d h � � v<t � y^i�v<p|z }�® ced hnpri�{>y � x©v\z ��h,y^«$x d pr}}Xhj�jx�pwy^z¥trprh�} prz%x d h�«bv^�jx�x d h#�jy^zq¦�h � ��hjzu��h�y^«$x d h�v<tr��y � prx d i «¬y � x d hn��y^zqxXp|zqs y^s }3{ � y^¯utrhji � yVhj}z y^x�pri�{utr� x d h#��y<zA¦^h � ��hjz �jh�«¬y � v<zq� � pw}X� � h�x~h�v<{u{ � y�Apri�v<xXpry^zg® £ z�prxXpwv<tMzAs�i�h � pw��v<t:h��A{>h � p|i�h�zAxX}{Sh � «¬y � i�h � ¯q� ��®¸Ã3hj}�{ � h�} �b{Sh � }Xy^z�v\tl��y^i�i#suzupr�v<x�pwy^z0��} d y ¤ x d v\x v¨z v�� �r¦^h HuzuprxXh�Ç � p )Sh � hjz �jhv<{u{ � y�Apri�v<xXpry^z y^«Mx d h�p|zAxXh � «bv^��hl��y<z � prx�pwy^zu}´i�pr� d x´twh�v � x~ynsuz }�x©v<¯utrh�prx~h � v<x�pr¦^h�v<tw�^y � p|x d i�}�®

£ z y � � h � x~yEv¦�y^p � x d pw} ° prz � y^«´v^����p � h�zqxµ:x d h H � }�x,i�v\��y � p � hv7pw}�x d v<x-x d h � pr}X� � hjx�pw¹v\xXpwy<z} d y^sut � d v¦�h�x d h�}Xv<i�h�¦<v � pwv<xXpry^z�v<t:}�x � s ��xXs � h�x d v<zÄx d h���y^zqx�przqs y^s }j® ced pr}�twhv � }-z v<xXs � v<trt|�ExXy

n�oP[pnrq

Page 46: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% k¢�

��y<z }�p � h � Huzup|x~h¸hjtrhji�hjzqx$i�h�x d y � }j® £ z�x d pw}$�jtwv^}X}$y^«Si�h�x d y � }jµqx d h±� d y^pr��h y^«>i�p|�Vh � Ç d �q¯ � p � H�zuprxXhhjtrhji�hjzqx´i�hjx d y � } ¤ v^}¸�^sup � h � ¯q��x d h�«bv^��x´x d v<xex d h�¢s�v<zqxXp|xXpwhj}³x d v<x¸y^zuh ¤ v\zAxX}´x~y#x � v<z }�i�p|x´v\xprzqxXh � «bv<��h�}jµgz�v<i�hjtr�Ex d hnx � v^�jh�y<«³x d h�}Xy^t|suxXpry^zÄv<z � y^«Lprx~}3zuy � i�v<t � h � p|¦^v\xXpr¦^h^µ ¤ h � h�h�v^}�p|tr�%v\z ���y<z }�pr}�x~h�zqxXtr�Ä�jy^i�{�sux©v<¯�twh�« � y^i�x d h � hj� � hjh�}#y^«¸« � h�h � y^iEµ ¤¸d pr� d pw}-z y^x-x d h7��v^}Xh�«¬y � p|z }�x~v<z �jh¤ prx d #·v^� � v<z ��h³hjtwh�i�h�zqx~}�® � prz v<trt|��µ ¤ h � hv\trpw¹jh � x d v<x:x d pr}6� d y<pw��h³{>h � i�prxXxXh � x~y�{us�x6x d h � hj}�sut|xXprzu�� pr}X� � hjxXh${ � y^¯utrhji ¤ p|x d p|z-y^s � ��h�z h � v<tq« � v<i�h ¤ y �X° y^«u}�h���xXpwy<z } 8 v<z � ��µ�h�z }�s � prz �±x d hL�jy^zq¦�h � ��h�z ��hy^«�x d hEp|x~h � v<xXp|¦�h�i�h�x d y � ® ced pw}�pw}�y^«���y<s � }�h­x d hE{>y^p|zqx�y^«�¦Aprh ¤ ¤ h%v � hE��y^p|z �ÄxXy¨v � y<{ux�p|zy^s � { � hj}Xh�zAx~v<xXpry^zg® £ z x d h � h�}�x#y^«¸x d pw},}Xhj�jxXpry^zgµ ¤ h v^}�}�sui�h�«¬y � }�p|i�{�trpw��prxÎ�Ex d v<x,x d h$X K � }nv � h{Sy^tr� d h � � v<t � y^i�v<prz }j® D h � h�}�x � pr�jx±y^s � }Xh�tr¦�hj} xXynx d h�twy ¤ h � y � � h � hjtrhji�hjzqx¸«¬y � }�pri�{utrpr�jprxÎ�^®

:;1 » � » ��1 » � � y � hv^� d }�su¯�Ç � y^i�v<prz X K µ ¤ heprzqx � y � s ��hev�Huzup|x~hLhjtrhji�hjzqx6x � p¶v\z �^sutwv<xXpry^z�� � ��X K ��Iy<«Hx � p¶v<z �<twh�}�p|z 8 Ã#µ�xXhjx � v d h � � vlprz7��à ��y^«g}�xXhj{�ÇÆ}�pr¹�h�� E Z�® D h } d v<t|t � hjz y<x~h²¯q� h x d h���s �X� hjzqxhjtrhji�hjzqx#y<«�� � ��X K ��®�ÅEy � hjy�¦�h � µ�«¬y � h�v^� d p|zAxXh � «bv^��h

@ 9 K µ ¤ h7} d v<t|tev<}X}�s�i�h�x d v<x-x d h�x � v<��h�},y^«x d h3x ¤ ynx � p¶v<zu�^sut¶v\xXpwy<z }�� � ��X K �³v<z � � � ��X59 �³�jy � �rzu�jp � h ¤ prx d y^z h�}�p|z �^trh�}�s � «bv^�jh3x � pwv<z �^s�t¶v<x�pwy^z�y^«@ 9 K µ � hjz y^xXh � ®�� � � @ 9 K ��V,p|z y^x d h �-¤ y � � }jµ ¤ h ¤ y �X°¥¤ prx d i�v<x~� d p|z � � � p � }�® D h�} d v<t|t � hjz y^xXh¯q� � x d hl�js ��� hjzqx²hjtrhji�hjzqx y^«6}�s � d v � pr}X� � hjx�pw¹v\xXpwy<zg® D h-v<tr}Xy � h�z y^x~h�¯q��� � � @ K K �ex d h�x � v<��hly^«� � ��X K �´y^z

@K K ®

:;1 » � 2 � � » � � � ) Àª�+1 » ) � ) ¿A¾ ) < � Á h � h^µ ¤ hnp � h�zAx�pr«¶�Ex d hn}�{�v^��h � � ¤¸d pr� d§¤ p|trtM{ut¶v�x d h � y^twh�y<«:x d hl}�{�v^�jh � y^«:}Xhj�jx�pwy^z 8 ® D h d v�¦^h

� � 6 W�9 K��PO � �K 9� � :� 8�8 �&�¤¸d h � h � �K 9 6 � < �K 9 = U / � @ 9 K � � � � = � � �

@ 9 K � :^< �K 9 �� = 5 Q � � � F� 8�8N8 ���«6�jy^s � }Xh ¤ hl} d v<trtgtryVy ° «¬y � < � = � � v^} v<zEv<{u{ � y��Ap|i7v<x�pwy^z7y^« <�= � ® #ghjx±s }¸z y^x�pw�jh3x d v<x* � �

� � �� 8�8 �m�� h�Huz h � ¯q� � 8 9L��®:;1 »5¿�2�» ����� ¿ �\� � � � � � ) À L � #ghjx#s }�v � i�p|x,«¬y � v ¤¸d p|twh�x d h7h��Apr}�x~h�z ��h�y^«±}�hjt|«bv � ��y^p|zAxy^{Sh � v<x~y � }

� �K 9 =�� � � �K 9 � :� 8�8 k �¤¸d pr� d pw}³}�su{u{Sy�}�h � x~y,¯>h�v<z v<{�{ � y�Apri�v<xXpry^z�y^« � K 9�® £ z7y � � h � xXy � h�Huz h � � µ ¤ h H � }�xep|zAx � y � s �jhvn}�{�v<��h �

� «¬y � x d h-v<{u{ � y�Vp|i7v\xXpwy<z y^« � WK��PO U / ��X K ��

� 6 W�K��PO � �K :� 8�8 �L�

¤¸d h � h�

�K 6 � 2 �K = U / ��X K � � � h = � � ��X K � : 2 �K � W = 5 Q � h � :� 8�8 9m�

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 47: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

k�k � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

v<z � vn}�{�v<��h�� � «¬y � x d h-v<{u{ � y�Apri�v<xXpry^z y^« � WK��PO < � � pr¦ � X K ��

� 6 W�K��PO � �K :� 8�8 �L�

¤¸d h � h�

�K 6 � ��K = < � � p|¦ � X K � � � h = � � ��X K � : �

�K � W = � � Q � h � :� 8�8 �m�¤¸d h � h � � Q � h � � h�z y^x~hj}gx d h�s }�s�v<t � v¦Apwv � x�Ç ced y<i7v^}çÇ � h � h�twh��6}�{�v^�jh�y^«Atwy ¤ hj}�x·y � � h � µ 8 ��!C® ced hjzHµ¤ h,��v<z � h Huzuh � � =�� � � � : � � � :� 8�8 �m�}�su� d x d v<x � � 6 � � �K � 6 � � ��� � � :� 8 �NZm�pr«gv<z � y^z�tr�npr«� � � : � � : � � � = �

� W�� � W � � pr}³x d h�}�y^trsux�pwy^z�y^«gx d h²«¬y^t|twy ¤ przu�-�jy^trtrh���xXpwy<z�y^«>twyA�v<t¦<v � pwv<xXpry^z�v<t[{ � y^¯utwh�i�}� 9 � � �K ��� �K � < X � 9 � � �K � p|¦�� �K � <T6 � 9 � - � � � �K 9 � �K � B K �� � � �K = � �K

, � 9 � � pr¦ ��K � � �K � < ,_35/ � 9 � � �K � �K � <T6 � 9 � 8 � �K � < � � �K = �

�K� � �K 9 � d O � � �K �_B K �.- � � � X C 3 � �K 9 � � �K �.- � � � 6 � �K 9 p|z � �K 9 :

� 8 ���&�

¤¸d pr� d pw}�z y<x d p|z ��¯usuxev-}�x©v<z � v � � i�pÓ��h � Ç d �q¯ � p � v<{u{ � y�Vp|i7v\xXpwy<z�y^«>x d h tryV��v<tu{ � y^¯utrhji � h�Huzup|z �� K prz_�I���&��® D h�x d h�z � h Huz h � =�� � � � � :� 8 � 8 �¯q� h��A{ � h�}�}�przu��x d v<x

< � 6 � � � :� 8 ���m�pr«:v<z � y^z�tr��p|«

� � f : < � : < �K 9 6 , � � �K 9 � d O � � �K �_B K �.- � � � XDC 3 � �K 9 � �K �.- � � :¤ p|x d � � �K : � �K : � �K �e}Xy^t|suxXpry^z�y^« � 8 �V�&� F

� 8 �^k �ced h � hv � h ��¤ prt|t�h�v^}�p|tr�-� d hj� ° x d v\x � pw}�v\znpw}Xy<i�h�x � �^µ^x d v<xYL � pr}�v3�jy^zqx � v<�jxXpry^z�v<z � x d v<x � , L �pw}´p|zq¦�h � xXp|¯utwh<® � y � ��y<i�{utrhjxXhjz hj}X} ¤ h�z hjh � x~ynh��A{utwv<prz d y ¤ y^z h���v<z­�jy^z }�x � su�jx � �9 K ® ced h�p � hv�pr}x~y � h�Huz h

� �9 K 6 � � � , �3 / >

�9 K � Z� :� 8 �¢�L�¤¸d h � h > �9 K = � � � �9 K �²pw}�v<z§v<{�{ � y�Apri�v<xXpry^z%y^«$x d h�#·v<{ut¶v<��h�ÇI�ehjt|x � v<i�p:y^{Sh � v<x~y � > 9 K µHx d v<xly^zuh�v\z­�jy^z }�x � s ��x²su}�przu��i�p|�Vh � H�zuprxXh�hjtwh�i�h�zqx~} v^}¸«¬y^trtry ¤ }�® D h/H � }�x � h Huz hlx d h-}�{�v^�jh

� �9 K 6 � � �9 K =3< � � pr¦ � � @ 9 K � � � � = � � � @ 9 K � : ��9 K �� = � � Q � � � :� 8 �N9m�

n�oP[pnrq

Page 48: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% kq�

v<z � ¤ h � h Huz h� �9 K 6 , > �9 K < �9 K :� 8 �¢�L�

pr«:v<z � y^z�tr��p|« � - � � � �9 K,�9 K �� 6 � - � � � pr¦ � �9 K

,�9 K �� �

,�9 K = � �9 K� - � � �

�9 K � � �9 K �� 6 , � - � � < �9 K � p|¦ � �9 K �� � � �9 K = � �9 K F� 8 ���m�� y<x~h$x d v<xMprz,{ � v<�jxXpr��h<µ^y^z h d v^}Mx~y²��y^z }�x � s �jx:x d hLi7v<x � pÓ� � h�{ � hj}Xhjzqx�prz � , > �9 K v<z � xXy � pwv^��y^z v<trpr¹�hx d pw}´i�v<x � p|��prz y � � h � x~y���y<i�{us�x~h � �9 K ®��I� � ��!"�,� �(! ������� 4.)�#%� &(�,)L�D h�{ � hj}Xh�zAx d h � h d y ¤ xXynv � v\{ux¸y^s � � y^i�v<prz � h��jy^i�{>y�}�prx�pwy^z�i�h�x d y � xXy�{ � y<¯utwh�i�} ¤¸d y�}Xh3s�z ° Çz y ¤ zEv � h²¦�h���x~y � Huhjt � }�® D h²x � ��h�}�}Xhjzqx�p¶v<t|tr��x~y ° h�hj{ x d h3z y^x©v\xXpwy<z y^«gx d h3{ � h�¦Apry^s }¸}�h��jx�pwy^z v\z �y^zut|��i�hjzqxXpry^z x d hlzuh ¤ y<z h�} ¤¸d hjz ¤ h-«¬hjhjtHx d pw}´pr}´s }Xh�«¶sutÆ® � y � }�pri�{utrpr�jprxÎ�^µ ¤ h-y^zutr��{ � h�}Xh�zqx�x d h�v<}Xh ¤¸d h � h#x d h#y^{Sh � v<x~y � } � 9 K v � h,p � hjzqx�prxÎ� y^{Sh � v\x~y � }�® � y � ¯ � h�¦Ap|xÎ��µ ¤ hn}�p|i�{�tr� i�v ° h-{ � hj�jpw}�h¤¸d v<x³pw}Lx d h przqx~h � «bv^�jh²suz ° z y ¤ z < µAx d h3}�{�v^�jh � v<z � x d h²y^{Sh � v\x~y � } � µ v<z � L ¤¸d pw� d {>h � i�prx~}s }�x~y§v<{u{ut|� y^s � v<¯ }�x � v^�jx�prxXh � v\xXpr¦^h i�h�x d y � }�® D h�twh�x�x d h � h�v � h � � d hj� ° x d v<x�x d h � hj¢sup � h �{ � y^{>h � x�pwh�}-v � h�}Xv<xXpr} H h � ® ced pw}�pw}l}�x � v<pr� d xX«¬y ��¤ v � � przÄx d h��v<}Xh�y<«eh�t¶v^}�x~y � �qz�v<i�pw��}lhjÂqs v<xXpry^z }�µ¯usux±trh�}X}±y^¯q¦qpwy<s }¸«¬y � Å­v\� ¤ hjtrt � }±hjÂqs v<xXpry^z } � ¤ h-�^pr¦^h-}�y^i�h3prz � pr�v<x�pwy^zu}eprz x d pw}±�v<}Xh��ë®

D h � y¥z y^x�}�{>h�v ° v<x�v<trt d h � hEy^« x d h � pr}X� � hjx�pw¹�v<xXpry^z y^«�x d h�}�h { � y^¯utrhji�}�® ced h h��Ax~h�z }�pry^zy^«¸x d h7��y<zAxXhjzqx�y^«±}�h��jx�pwy^z 9V®|��pr}�h�v^}��§{ � y�¦qp � h � x d v\x#y^z h�s }Xhj}�v<{u{ � y^{ � pwv<x~h�i�pÓ�Vh � h�twhji�hjzqxX}«¬y � hjt¶v<}�xXpr�jp|xÎ�4�� 8 �"!Cµ� k]!��ë® ced h#�v<}Xhny^«eÅ­v\� ¤ hjt|t � }3h�¢s�v<x�pwy^zu}�pw}�trh�}�}3}�x~v<z � v � � v<z � � hj¢sup � h�}3x d hd �q¯ � p � pw¹�v<xXpry^z�y^«Mx d h�i�p|�Vh � hjtrhji�hjzqx~}±y^« � h � hjtrh�� 8 ��!I® D h � h�«¬h � x d h � hv � h � x~y� å����!gy � �"!I®7 , 5 ,=' � �b�u�j� ¿ À ¼ ) � ��*b�¢� »�� ·���+* ¿ ) �U ¿ ���V�+* ¿ ) £ z ¤¸d v\x «¬y<trtwy ¤ }

� X � � 0 pw}´x d h �¬¯>y<suz � h � �e{ � y^{ v^�¢v<x�pwy^z i�h � p|sui��� pw}´x d h � hjz }�prxÎ� y^«Mx d pw}¸i�h � prs�i� 2T6 � 2 �'� � hjz y^xXh�}±x d h � pr}�{utwv^��h�i�h�zqx H hjt �� � � 2 � 6 �^� � � 9&� 2 �M�^�³pr}´x d hl}�x � v<p|z�x~hjzu}Xy �� � � 2 � 6 �^� � � 9&� 2 �^�M�³pw}´x d h-}�x � h�}X} x~h�z }Xy �#ghjx±s } � hj�v<t|tHx d v<xµu«¬y � }�i7v\trt � hj«¬y � i7v<x�pwy^zu}

� � 9�� 2 � 6 �8 � - 2 �- < 9 X - 2 9- < � � :� 8 ���m�

v<z � x d v<x¸przEv#trp|z hv � i�h � prsuiEµ � � 2 �´v<z � � � 2 �ev � h � hjtwv<x~h � ¯q� x d h Á yAy ° h � }¸t¶v ¤�� 2 � 6 � � � � 2 � :� 8 k Zm�¤¸d h � h � pw}±vn«¬y^s � x d ÇÆy � � h � x~h�z }Xy � � d v � v^��x~h � pw}�xXpw��y<«:x d h�i�h � prsuiE®

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 49: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

k 9 � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

:;1 » � ¿ À » � 2 � ¿ � � » � � y � v��^p|¦�h�z­}�y^s � �jh�x~h � i 8�= U / ��X � 0 µ ¤ h-�jy^z }�p � h � x d h�{ � y<¯utwh�i`aaaab aaaac

� prz � 2�=3< O ��X �a0W}�s � d x d v<x, � pr¦�� 2 � , � 35/ 2 6Y8 p|zBX�� 2 � B XDC 3 � 2T6 Z y<z - XEF

� 8 ku�&�

:;1 » � 2 � � » � � ) À5�+1 » ) � ) ¿V¾ ) < £ zEx d pw}¸��v^}Xh ¤ h d v¦^h� 6 W�

K��PO � K]: � K�6 U / � - X K � 0< 6 � <0K � : <0K$6 , �� 2;K �.B K XDC 3 � 20K F� 8 k 8 �

:;1 »�¿�2�» ����� ¿ �\�� � `� ) À L D h � h Huz h� =�� � � : W�K �PO < O � - X K � 0 � :� 8 k¢�m�

}�su� d x d v<x � 6 � � K � 6 � � �G� :� 8 k�k �pr«:v<z � y^z�tr��p|« � K pr}´x d hl}�y^trsux�pwy^z�y<«`b c , � p|¦ � � � K � , � 35/ � K.6 Z p|z X K� � � K �.B XDC 3 ��� K$6 � K y<z - X Km:� 8 kq�L�x d hjz =�� � � � :� 8 k 9m�¯q�

<76 � :� 8 kq�L�pr«:v<z � y^z�tr��p|«

� f � h : <0K$6 , �� � K �.B X C 3 ��� K": � � K �e}�y^trsux�pwy^z y^« � 8 kq�L� :� 8 k¢�m�v<z � Huz�v\trtr�

L 6 * =�� � � � :� 8 k¢�m�¤¸d h � h * pw} � h H�z h � v^}´prz }Xhj�jx�pwy^z 8 µuhë���jhj{ux x d hl«bv<�jx±prx´pr}´z y ¤ v<{u{�trpwh � x~yn¦�hj�jxXy � Huhjt � }�®

7 , 5 , 5 4 K � � (H¾#» � � �Ó��� ¼ �j� » �U ¿ ���V�+* ¿ ) £ z ¤¸d v\x «¬y<trtwy ¤ }

� X � � � pr}´x d h��b¯Sy^suz � h � �e{ � y^{�v^��v<xXpry^z i�h � prs�i� �,pw}´x d h-h�twhj�jx � pw�3{Sh � i�p|xXxXp|¦qprxÎ��y^«:x d pw}´i�h � prsui� � pw}´p|x~}´i�v^�^z h�xXpr��{>h � i�hv<¯�prtrp|xÎ�� � 6 � � ��� � h�z y^xXh�}±x d hlhjtrh���x � pr� H hjt � �bx d hls�z ° z y ¤ z;�

n�oP[pnrq

Page 50: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% kq�

:;1 » � ¿ À » � 2 � ¿ � � » � � y � v��^p|¦�h�z­��s �X� hjzqx � hjz }�prxÎ��� = U / ��X � � µ ¤ h-��y<z }�p � h � x d h�{ � y^¯�twhji`aaaab aaaac

� prz � � =3< �b�js � t � X �´}�s � d x d v<x��s � t � � d O �js � t � � , � 3 / � 6 C 3 � prz X��s � t � W B X C 3 BMW?� � W3B � 6 Z y^z - XEF

� 8 ��Zm�

7» ���u��� ' 4 � ����^��� #�?��������R�]� � � R � ��� �6Y � ^��]� ���� � � �.�"& � � � ��� ��� ������R� �� � % P � �B ��� R ������-� �=���/� �@� ��

� ��X � 6 � � =3< � � � X � �8B W?� � W B � = U /� � - X � :[ ���� � U /� � - X � � � ����/� �@� �� � �/����TS ������?�]� � Y �� � ��� � S� � R � �(^��� �� �� \ � � ��� �� - X

U /� � - X � 6 � � = U / � - X � � � � �_B 6 Z F� �;� ��� ���6Y ��� ����Y�=���/������ ������ � � � �.�"& � �����?� �]\ ���

� G � � W B : BMW?� � W B � = U /� � - X � / F:;1 » � 2 � � » � � ) À5�+1 » ) � ) ¿V¾ ) < £ zEx d pw}¸��v^}Xh ¤ h d v¦^h

� 6 W�K��PO � K � K�6 U / � - X K � 0

< 6 � <0K � <0K.6 , ��s � t � K W3B XDC 3 B WI� � K W3B � F� 8 �V�&�

:;1 »�¿�2�» ����� ¿ �\�� � `� ) À L D h � h Huz h

� =�� � � : W�K��PO < �I��s � t � X K �M� :� 8 � 8 �}�su� d x d v<x �

6 � � K � 6 � � �G� :� 8 �^�m�pr«:v<z � y^z�tr��p|«

�K pr}´x d hl}�y^trsux�pwy^z�y<«

`b c ��s � t � � d O �js � t � K � , � 35/ � K�69C 3 � prz3X��s � t

�K W B X C 3 BMW?�

�K W B � 6 Z y^z - XEF� 8 �<k �

ced h � h�i7v ��°�¤ h�i7v � hl«¬y � { � y^¯�twhji � 8 � Zm�´v<tw}�y�v<{u{ut|pwhj} d h � h^® £ zE«bv<�jx� = � � � : W�K��PO � ��X K �^� :

[\[ ã^]�_�`�a�_

Page 51: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

k¢� � �� �� ��� ����� � ���� �� � ��� � �� ��� � ��� ���? #�� ����������

v<z � hv<� d�K }~v\xXpw} H h�} ��s � t

�K W B = U /� � - X � F

ced pr}±{Sh � i�p|x~}esu}±xXy � h Huz h =�� � � � :� 8 ���L�¯q�

<76 � :� 8 ��9m�pr«:v<z � y^z�tr��p|«

� f � h : <0K.6 , ��s � t�K W B X C 3 B W?�

�K W B �

�K }Xy^t|suxXpry^z�y^« � 8 �\k � :� 8 ���L�

v<z � Huz�v\trtr�L 6 * =�� � � � F� 8 �^�m�

� ����� ������ ����������������

������� �"!#!%$�&'�%�)(*�,+.-/$10 2%$�!�$��3���%�4$25$�!�6 78�5!�(*9;:*<=�36 >?$�2%�)&[email protected]!C�)>�6 7"@.�%�)(*�4!D(*�E!C�)>F0 7"$��%$�!���&A@*!�$�!�G�H1�4$&�(.2%25$�!�0I(*�4JK�8�4LM25$�!�6 78�5!N@.�)>O@.���87)7)6 !��%25@.�%�8�4LF(*6 2��%� $�(*2%$��%�)&[email protected]$�!C6 7)�%!�GE���[email protected]�&A@.!%$�!�+R���4$SJ (*>T@.�)�U �"!N@V25$�&'�W@.� L*7"$.+�@*!X-1$'7)71@*!X�%�4$?!�6 YIJ (*>T@.�)� ! U[Z GVH1�4$\!C0;@*&�$?JK�"!�&�2%$��%�)!5@.���"(*�]�"!X(*YK�W@.�8�4$�J]YB^�%� $_>F�8`a$�Jcb � �)�%$_$'7"$'>T$'�B��>?$��%� (aJdJ $�!�&�2%�8Ye$�Jf�)�d!%$�&����"(*�hgaG8ij+k$'`a&�$�0 �����4$X9l@*&��m-1$N-1(*2�nV-o�)�%�p@6 � �89q(*2%>r>?$�!��V>T@*J $�(.9#!C>\@s7)7I!%tu6;@.2%$�!_vw&�9oxy:ai�z{9q(.2|@�0 25$�&��)!%$XJ $�!�&�2��)0 ���"(*�V(*9D���4$�&�(*2�25$�!�0I(*�4JK�8�4LJK�)!%&�2%$��%$N!C^B!��5$'>M}~G

�[�C� ���O���C�����3�4� �P� ���1���/�M� �����C�1� �R� �D�B���/�c���/���C�|�,���F�1���R� �P�K�1� ����V�%� �)![!%$�&����"(*�,+ U �"!/�%�4$�!�[email protected]$�za����j:a�W��j:4x���z"�a�W��xB@.�4JM-/$�&�(*�4!C�"J $'2o�4$�2%$��%�4$�� -/(SJ (*>T@.�)�4!J $�&�(*>F0e(*!��)���"(*�SJK$�!%&'2%�8Ye$�JF�8�?!�$�&'�%�"(.�\¡BGP¢£$|&5�4(B(j!�$|���4$o9�25$�t36 $��4&'^?!C64&5�T���;@.��¤/�£¥¦g.§]+¨�©Gª$.GP�%� $�5(.�[email protected]#!��)«�$E(*9����4$EJ (*>T@.�)�d�"!�¬F-[@A­j$'7"$'�4L*�3�5!X®�¯©°V±³²F¬?-[@A­*$�7"$'�4L*�3�5!�G�H1�4$�YI(*6 � [email protected]%^f&�(*� JK�)���"(*�[email protected]%$��%�4$�!%@.>?$�@*![�)�V!�$�&'�%�"(.�d¡aG´�6 2o$'`B0I$�2��)>?$��3�|&�(*2�25$�!�0I(*�4J !o�5(S@�0I(*�8�B�1!%(*6K25&�$�7)(a&�@.�5$�JM@.�o�%� $&�$'�3�5$�2m(*9R�%�4$�7)$�9��|!�6KYeJ (.>\@.�8�,G

���p@Eb 2%!���!��8>�6 7�@s�%�"(.�,+B-/$XbK`M�%� $_!C�5$�0 !��"«�$�µT¥¦�K¶·i?vl&�(*2�25$�!�0I(*�4JK�8�4LF�%(Vi¸��0e(*�8�3�5!o0e$'2|-[@A­j$~¹7"$'�4L*���k}'+D@.� Jh-/$E64!%$E���4$S(*0e$'2W@.�%(*2�ºk»A¼c@*!��%25@.�4!C>?�)!%!��)(*�h(*0I$�25@.�5(*2�G_¢Q$S&�(*>F0;@.2%$��%�4$S&�(*�3­j$�2C¹Lj$'�4&�$N(*9R�%�4$��)�%$�25@.�%�8­j$�@.7)Lj(*2��)�%�K>½-o�4$'�f-/$��[email protected]*$_!C64&�&�$�!%!C�)­*$�7)^k¾

¿ÁÀ ¥�i*� Âp¥¦� vl�)J $��3�%�8� ^\(*0I$�25@.�5(.2~}

¿ÁÀ ¥�i*� Âp¥¦�K¶Ã¡ vl�4(*�V7)(a&�@.7,(*0I$�25@.�5(*2W}���Nb4L*6 2%$/ga+³-/$�0 7"(*�{(*�_���4$�!5@.>?$�0 �)&��%6K25$��%�4$�­[email protected]���@.���"(*�4!e(*9a���4$��4(*2�>\@.78�"«�$�J��36 >?$�2��"&A@s7u25$�!C�"JK6 $/@.!@�9�6 �4&'�%�"(.�?(.9k���4$o�36 >�YI$�2�(*9k�)�%$�2W@s�%�"(.�4!P9q(*2����4$o� -1(N!��8>�6 7"@.�%�)(*�4!�GRH1�4$o2%$�!�6K7)���)787)64!C�%25@.�5$�!�&�7)[email protected]�7)^�%� $m�)�3�%$�25$�!��/(*9{���4$m�4(.�T7"(B&A@s7;(*0e$'2W@.�%(*2AG�´�� $m(*Y !%$�2�­j$�![�%�;@.��%� $�&�(.�B­*$�2%Lj$��4&�$��"[email protected] 0K25(A`B�)>T@.�5$'7)^�%� $�!5@.>?$�-o�)���M�%�4$�� -/(S>?$����4(BJ !oJK6 2��)�4L����4$�b 25!C�o�)�%$�2W@s�%�"(.�4!�G�H1�K�"![�"!1JK64$��5(����4$�9l@*&��[���;@.�o-/$!%$�$X$�!%!�$��3�%�"@.7)78^M@.�1�%�4$�YI$�L*�8� � �)� L��%�4$XJ $�&A@A^M(*9R�%� $�7"(¸-�9�2%$�tu64$'�4&�^V&�(*�3�5$��3��(*9R�%�4$�$'2%2%(*2A+K-o�K�"&5�

Ä�ÅRÆDÄqÇ

Page 52: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% &('

0 20 40 60 80 100 120 140 160−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Nombre d iteration

Err

eur

rela

tive

−−−−−T

_____identite

)#�)L*6 25$\gK¾+*,([email protected]��)�%�K> (*9��%� $\25$�7"@.�%�8­j$M$'2%25(.2E­j$�2%!�64!F�%�4$\�36 >�Ye$'2?(.9m�8�5$�25@.�%�)(*�4!�G-,1(*>F0;@.2��"!%(.�YI$�� -/$�$��p(*0e$'2W@.�%(*2|ºk»�. ¼S@.�4Jc� J $��3���)� ^V(*0I$�25@.�5(*2�v�:EJ (*>T@.�)�4!�+B¤/�£¥¦g.§Q@.�4Jfµ\¥��a¶8i_}

�"!o�4$'25$_J (*>F�)�;@.�3�|YI$�&A@s64!%$N�%�4$X0e(.�)�3��!%(*6 2%&�$N�"!o7"(B&A@.�%$�Jc!�60/F&'�"$��3��7)^[email protected]|9�25(*> ���4$X�)�3�5$'2%9l@*&�$Tvl���-/(*6 7"J��4(.��Ye$����4$E&A@.!%$��)9�-/$E�;@*Jp0 6 ���8��&�7)(j!%$'2A+{�8�p-o� �"&5�Q&A@.!%$��%� $��)�3�5$'25$�!C�X(*9��%�4$�� (*�h7"(B&[email protected](*0I$�25@.�5(*21-1(*6K7"[email protected] [email protected]|$'­j$'�d>?(*25$�&'7"$�@.2%78^ }~G21m9��%$�2�@�-o� �87"$.+K�"J $'�3�%�)� ^?(*0I$�25@.�5(*2o�4@*!oJK�3/F&'6 7)���"$�!-o�)���V�%�4$�� �)L*�V9�25$�tu64$'�4&��)$�!�+;-o�K�"&5�c�"![�4(*�|���4$X&A@*!�$X-o�8�%�V�%� $N�4(.�c7)(a&�@.7,(*0I$�25@.�5(.2AG

0 100 200 300 400 500 600 700−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0idt, 2dom, l_d/lambda=1

oooooolambda\h=20

_____lambda\h=16_____lambda\h=16

−−−−−lambda\h=10

.....lambda\h=5

)#�)L*6 25$54B¾6*,([email protected]%�8�%� > (*9����4$M25$'7�@.���)­j$M$'2%2%(*2S­j$�2%!�64!F�%�4$M�36 >�YI$�2?(*9��)�%$�2W@s�%�"(.�4!�G7,[@*!�$d(.9��%� $�"JK$��3�%�8� ^V´�0e$'2W@.�%(*2A+ H1�4$_Ja�38I$�25$'�3�m&'6 2%­*$�!�&�(*2�25$�!�0I(*�4Jd�%(SJK�38I$�2%$��3��JK�"!�&�25$'�%�)«A@.���"(*�V!C�5$�0

���\(*6K2/!�$�&�(*�4JT$~`B0e$'2%�)>?$��3��+B-/$�-/(*6 7)JF78�)n*$|�%(N�87)7864!���2W@.�%$1�%�4$o�8�09 64$'�4&�$�(*9e���4$�!�0;@*&�$mJa�"!%&'25$'�%�8¹!5@s�%�"(.�d(.�d���4$_&�(*�3­j$'25Lj$'�4&�$�(.9#���4$N>?$����4(BJ{G:*,$'��6 !�b 2%!��|25$'>\@s2%n\���;@.�[email protected]��5$'2�JK�"!�&�25$'�%�)«A@.���"(*�V�%� $0 2%(*Y 7"$'> �"!�bK� �)�%$FJa�)>?$��4!C�"(*�;@s7�@.�4Jh�%� $?&�(*�3­j$�2%Lj$�� &�$T(.91�%� $S>?$����4(BJ]�)[email protected])-1@A^a!N$'`B0I(*�4$'�B����@.7|¾�)�T(*�%� $�2[-/(*25JK!�+a���4$�(*0I$�25@.�5(.2:;�<�(*9D!%$�&��%�)(*�c¡aG·i��)!1!���2%�)&��%78^S&�(*�3��2W@*&'�W@.�3�AG>=�(¸-1$'­j$�2�+ �[email protected]�8�4L��)�3�%(

ÆDÆ@?>A�B�C�D�B

Page 53: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

¡*� � �� ��3��� ����� � ���� �� �(��� � �� ��� � ��� ��� #�� ����������

0 10 20 30 40 50 60−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0T, 2dom, l_d/lambda=1

oooooolambda\h=20

_____lambda\h=16

−−−−−lambda\h=10

−−−−−lambda\h=5

)#�)L*6 25$��K¾ *,([email protected]��)�%�K> (*9m�%�4$c25$�7"@.�%�8­j$V$�2�25(*2S­*$�25!C64!T���4$d�36 >�YI$�2?(*9m�)�5$'2W@.���"(*� !�GªH1�4$dJa�38I$�25$'�3�&�6K2%­j$�!_&�(*2%2%$�!C0e(*� Jh�%(MJK�38I$�2%$��3�XJK�)!%&�2%$����"«A@s�%�"(.��!��%$�0,G�,[@.!%$E(*9(*0I$�25@.�5(*2�ºI»�. ¼K+e­[email protected]%�"@.�%�)(*�p(*9�%� $JK�)!%&�2%$����"«A@s�%�"(.�V!��5$'0

@*&�&�(*6 �3�����4$T���4$�(*2%$����"&A@s7125$�!�6 78�5!�2%$�7"@.�%�8­j$S�5(p�%� $\&�(*�3���)�364(*64!_0 25(*YK7"$�>d+P(.�4$T>T@¸^]$~`a0I$�&'�E�%�;@s��%� $N25@.�5$N(*9�&�(*�3­j$'25Lj$'�4&�$�-o�87)7,JK$�0I$��4Jp(.��µd-o�8�%�c�%�4$X�"J $'�3�%�)� ^V(.0e$'2W@.�%(*2oY 6 ���4(*��-o�)���d���4$N� (*�7"(B&A@s7{(*0I$�25@.�5(*2�G

H1� �"!X�"!X&�(*� b 2�>T$�JQY3^��%�4$S�36 >?$�2%�)&[email protected]�!C�)>�6K7�@.���"(*�4!�GS���£b4L*6K25$�! 4V@.�4J��a+R-/$F2%$�0 2%$�!�$��3���%� $­[email protected]%�"@.�%�)(*�4!�(*9I�%�4$o�4(.2%>[email protected])�)«�$�JE�36 >?$�2��"&A@s7425$�!C�"JK6 $�@*!/@�9�6 �4&����"(*�?(*9I�%�4$|�36 >�YI$�2(*9e�8�5$'2W@.���"(*�4!�9q(.2µV¥ �K¶Ã:a�;�K¶·ij�;�K¶ª�jgu:j¡a� �K¶Ã�j¡E2%$�!�0I$�&'�%�8­j$�78^M9q(*2|�%�4$X�"JK$��3�%�8� ^V(*0e$'2W@.�%(*2_v�)#�)L G:4j}o@.�4Jd���4$X�4(*�c7"(B&[email protected](*0I$�25@.�5(*2�v�)#�)L G��j}'G#¢Q$�(*Y4!�$�2�­j$��%�;@s�o&�(*�3��[email protected]�^T�5(����4$�&A@.!%$�(*9D�%� $��4(*�M7"(B&A@s7e(*0I$�25@.�5(.2A+K-o�8�%�M�%� $�"JK$��3�%�8� ^j+ JK�8>?�8� �"!C� �)� LSµcJ $'�5$'2%�"(.2W@.�%$�!o�%�4$X&�(*�3­j$�2%Lj$�� &�$*G

�[��� � ����� �k���1���,����� � ����� ����� �R�1� �C�! �� �1���R� �P�K�1� ���� x :*�³z©+,-/$E�)�3�%2%(aJK6 &�$�Jh�%� $��4(*�%�)(*�](*9��%25@.� 0;@.2%$��3�X�%25@.�4!�>F�"!�!��)(*�h(*0I$�2W@s�5(*2�-o� �)&5�£&�(*2%2%$�!C0e(*� J !�5(SJ $'b �4$Nº#" Z Y3^hv�i 4$�u}/64!��8�4L

À ¥�i Â�¥ �_ij¶v�:*¡�'u}���M�%�K�"!1&�@*!%$.+ @*!/�%�4$�(.0e$'2W@.�%(*2&%(' O)+*-, " Z �"!/� (�7"(*� Lj$�21!�^3>?>?$���2%�)&�0I(j!��8�%�8­j$�JK$�b � �8�5$.+a�%� $�!%tu6;@.2%$25(B(*��@.0 [email protected]��)�4Lp�8� v�i 4$�u}X�;@.!��5(pYI$\&[email protected]%$�9�6 787)^QJ $�bK�4$�J{GQ���[email protected] 0I$A@s25!�+�!�$�$£xy:*�.zw+��%�;@.���%�4$MLj(B(BJ&5�4(*�)&�$o�"!����4$|(*�4$o-o� �)&5�?�)!&�(*�4!C�"!��%$��3�mvl��� �)� n��5(��%�4$|JK�"@*Lj(*�[email protected])�)!5@.���"(*��(*9 , " Z }P-o�)���S�%�4$|&�(.>?0 7)$'`!%tu6;@s25$�25(B(*�{-o�8�%�X0e(*!��)���)­*$P�)>T@*L*�8�;@.2%^|0;@s2%�AG#´�9a&�(*6 2%!%$.+s���4$�(*0e$'2W@.�%(*2,º." Z �)!{�4(o7"(*� Lj$�2,!C^3>?>?$���2%�"&0I(j!��8�%�)­*$EJ $�bK� �)�%$*+#@.�4J](*6 2X�%�4$�(*2%^h&�@.�]�4(*�[email protected] 7)�)$�J]@.�3^p7"(.�4Lj$�2�¾�-1$S�;@A­j$S�4(cL*6;@.25@.�3� ^�(*9&�(.�B­*$�2%Lj$��4&�$_9q(*2o���4$X&�(*2�25$�!�0I(*�4JK�8�4LF�8�5$'2W@.���)­j$X@s7"Lj(*2��)��� >T!�G

=m(¸-/$�­j$'2A+3!�6 &5�F@m&5�4(*�)&�[email protected] [email protected]%!#�;@.��6 2W@s7)7)^��)� 9K(*�4$/7)(a(.na!#@.�P@0/�iA<Á7)�8nj$21m0 2%(*Y 7"$'> ¾#&�(*�4!C�"J $'2@_JK(*>\@s�)� U436587 @*!���4$�!C�%2��)0Fz*��9;�:9{x���z"�a�W��xj@s�4J?7)$��64!�[email protected]$��%�4$�!5@s>T$|Ye(.6 �[email protected]�^S&�(*� JK�)���"(*�4!@*!��)��!�$�&����"(*�h¡aGm¢Q$_-1@.�3���5(TJ $�&�(*>?0I(j!�$��)�d­j$�2��%�)&[email protected]#!���2%�)0 !�-o�)���f�)�3�%$�2%9l@.&�$�!<;�¥=; Z @*!��8�p(*6K2

Ä�ÅRÆDÄqÇ

Page 54: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ¡ai

i¸< >T(BJ $'7�0 25(.Y 7"$'> vw&'91�)�3��25(BJK64&����"(*�;}'GE���3�%2%(aJK6 &��)� L +,-o�)�%�]�%� $?@s0 0 25(.0 2%�"@.�5$EJ $'b � �8�%�"(.�Q(.91�%� $!%tu6;@s25$X25(B(*�A+B�%�4$X(*0I$�25@.�5(*2

º ¥�� % '�� 7���¤ 7���* ¶v�:.gj�u}

H1�4$"=m$'7)>F�4(*7)�%«�$�t364@.�%�)(*�d-o2��)�%$�!|@.�|7"$�@*!��o9q(.2%>[email protected])78^

� 7� � '�v�¤º�} 7 � ¥��k�v�:.gKi³}-o� �)&5�S@*!#���4$!5@.>?$/9q(*2�> @*!D�%�4$mi¸< =m$'7)>F�4(*78�5«�$�tu6;@s�%�"(.�E(*94!�$�&����"(*�Tij+*$~`a&�$�0K���%�;@s�R¤��)!R2%$�0 7"@*&�$�JY3^T¤ºXG�H1� �"!���64!C�%�8b4$�!o�5(E-o2��)�5$���2W@.� !�>F�"!%!C�"(*�V�8�M�%�4$�9q(*2�>

x � � 'Á¯q¤º � zI¥ �K�@.�4JV�%�364!o�%(F64!�$��%�4$��%25@.�4!C>?�)!%!��)(*�V(*0I$�25@.�5(*2%!|º#" Z �)�3�%2%(aJa64&�$�[email protected](¸­j$.G

��� !C0 �)�%$](.9_���4$]@.Y4!%$'�4&�$Q(*9N�%�4$�(*2%^ �8� ��� �"!V&�@*!%$.+�-1$h�;@A­j$Q&5�4(j!�$��¦�%(Á�8>?0K7"$�>?$��3�\���4$�!�$/C��2W@.�4!C0;@.2%$��3�:1E�%25@.�4!C>?�)!%!��)(*�\(.0e$'2W@.�%(*25!o@s�4J\�5(E&�(*>[email protected]$����4$�>½-o�)���\�%�4$�(.�%�4$'2[�4(*�M7)(a&�@.7e(.�4$�!�G

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

erro

r lo

g10

*****idt

−−−−−T(1,0.0225)

+++++Tp

)#�)L*6 25$�'K¾+*,([email protected]��)�%�K> (*9��%� $\25$�7"@.�%�8­j$M$'2%25(.2E­j$�2%!�64!F�%�4$\�36 >�Ye$'2?(.9m�8�5$�25@.�%�)(*�4!�G-,1(*>F0;@.2��"!%(.�YI$�� -/$�$��f�%�4$��%25@.�4!C0;@.25$'�3�m(.0e$'2W@.�%(*2A+ ºk»�. ¼F@.�4Jc� J $'�B���)� ^

)#�"L.6 25$ 'EJ $'>T(*� !��%25@.�5$�!|&�7"$�@.2%78^T���4$��)>F0 25(¸­j$'>T$'�3�o0 25(¸­3�"J $�JcY3^M���4$��%2W@s�4!�0;@s25$��3��(*0I$�25@.�5(*2�G

�[��� � � �4��� �C���N���#���,� ��\�4������R��� �,� ��� �/�M�4��� �����a� � � ���1������¢ �4$'�f64!C�)�4LF�%�4$XJ (*>T@.�8�dJK$�&�(.>?0I(j!��8�%�)(*�V>T$'�%�4(BJ{+4(*�4$X>T@¸^T-1(*� J $�2m-o�;@.���"!o�%�4$�YI$�!C��-1@¸^M�%(Y 6 �87"JV�%�4$N0;@.2��%�)���"(*�K� �)�4LE(.9��%�4$NJ (*>T@.�8�,G 1�!�@F>T@.�%�%$�2�(*9�9l@.&��A+;�)�|�)!�@FJ $�78�"&A@s�5$Xtu64$�!C�%�"(.�h@.�|�)�%!@.�4!C-1$'2m-o�87)7I�4$�&�$�!%!%@.2%�87)^MJK$�0I$��4Jd(*�d���4$�64!%$�Jd&�(*>F0 6 �5$'2AG

¢£$V�;@A­j$d&5�4(j!�$����%(Q&�(*>[email protected]$c@h!�0 78�)�%���)�4Lp�8� ­j$�2��%�)&[email protected]|7�@A^*$�25!?@.�4J=@h!%$�&�(*�4J�(.�4$c�8�Á!�>[email protected])7!%tu6;@s25$�!F(*9�$�tu6;@s7|!�6 2�9l@*&�$.G�¢£$\>[email protected]$\���4$M�36 >T$'2%�)&[email protected]$'`B0e$'2%�8>T$'�B�%!E9q(*2�� -/(Q!C�"«�$�!S(*9�J (*>T@.�)�4!

ÆDÆ@?>A�B�C�D�B

Page 55: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

¡j: � �� ��3��� ����� � ���� �� �(��� � �� ��� � ��� ��� #�� ����������

¤/� ¥ �s§�@.� J]¤/� ¥ i¸:s§ vq��G¨$*GT���4$S�)� �8�%��@s7P7�@s25Lj$SJ (*>T@.�8�]�)!N@d!%tu6;@s25$T(.9125$�!�0I$�&'�%�)­*$�78^ &V�%� $��gp-[@A­*$�7"$'�4L*���4!W}~G )4(*2E���4$M� -1(]!�0 78�)���%�)� Lj!�+�-/$c�4@¸­*$V$'`B0e$'2%�8>T$'�B�%$�JÁ�%�4$��j@*&�(*Y ��@.7)Lj(*2��)�%�K> 9q(.2JK� 8e$'25$��3�?!��)«�$f(.9�!�6KYK¹ J (.>\@.�8�4!dvw&�6K�%�%�8�4Lh�)���mJ;¥X:a+ &K+8G·G8+�:.�]!C6 YK¹�7"@A^j$�2%!T(*2F�)���mJ4¥ &K+�i¸gK+·G8G·+ì*g!%tu6;@s25$�!5}_@.� J£&�(.>?0;@s25$�Jh�%� $?&�(*>?0K6 �W@.���"(*�h���)>?$�25$�tu6 �825$�JQ9q(*2_@*&5� �)$�­3�)� Lf@VL*�)­*$���@*&�&'6 2W@*&'^h(*9i¸�����(*2mi¸�����AG 1�!/@X2%$�!�6K7)�A+3�%� $�YI$�!C�1!C0 7)�8�%�%�8�[email protected] 0I$A@s25!��5(_YI$�@N7"@¸^*$�2(*9,(.�4$��[email protected])9k-[@A­*$�7"$'�4L*�3�[(.2@M!%tu6;@.2%$?(.9[@.0K0 25(A`B�)>T@.�%�8­j$'7)^]iF-1@A­j$'7"$�� L*�3�AG�) 6 2%���4$�2�>T(*2%$*+{���4$E0;@.2%���)���"(*� �8�4L?�8�]!%tu6;@.2%$?L*�8­j$�!YI$��%�%$�2|0I$�2%9q(.2%>T@.�4&�$����;@.�c�%�4$�0;@s2%�%�8�%�)(*� �)� L_�)�V7"@¸^*$�2%!�G

$�2�25$�6K2 ¤/��¥ �s§�+K7�@A^*$�25! ¤/�£¥ �.§�+K!%tu6;@.2%$�! ¤/� ¥ i¸:s§�+K7"@¸^*$�2%! ¤/��¥�i³:³§�+ !%tu6;@s25$�!� ¥�iA� ��� H|¥X¡ &j!�+�mJ;¥8� H|¥X:*�.!�+�mJ4¥N:*¡ H|¥�i¸�jg*!�+�mJ;¥�i³: H|¥�¬u:.!�+��J;¥�¬jg� ¥�iA� ��� H|¥ 'jg*!�+�mJ;¥8� H|¥�¬�&*!�+�mJ4¥N:*¡ H|¥X:j:*�*!�+�mJ;¥�i³: H|¥ 4*�*!�+��J;¥�¬j�[email protected] 7"$S¬a¾ ,1(*>F0 6 �5@.�%�)(*�;@.7#�%�)>?$�@s�4Jh(*0 �%�8>\@s7#�36 >�YI$�2N(*9!C6 YK¹ JK(*>\@s�)�4!�9q(.2�� -1(VJK� 8e$'25$��3�X!C�"«�$�!(*9R0 25(.Y 7"$'> @.�4JV� -/(?JK� 8e$'25$'�B��!C�%2W@s�5$�L.^M(*9#!�0 78�)�%���)�4L

���j������ ������

xÃi�z��KGÃ<�G��1$'�;@.>?(*6,G 1 >\@.!%!��8­j$'7)^ 0;@[email protected])7)$�[email protected]"L*(*2%�8�%� > 9q(.2T�%� $p(*0 ���)>[email protected]|&�(*�3��25(*7�(*9�!�^B!C�5$�>?!Lj(¸­j$'2%�4$�J�YB^]$'7)7)�80 �%�)&�0,G¨J{Gª$.G��¨!�Gc��� � ��������� ����� � �������� �� �� �� �0�� �+���3� � � �� ����������"���� �� ��������� � " ������ � ����� � �� � �� ��3�� ����sG �a� 1�!Q+Di�' 'u¡BG

xy:sz��KGÃ<�G"�1$��;@s>T(*6{G{<�(*>T@.�)��J $�&�(*>?0I(j!C�)�%�)(*�S>T$'�%�4(BJ !�-o�8�%�?&�(*6 0K7"$�JS�%25@.�4!C>?�)!%!��)(*�F&�(*� JK�)���"(*�4!9q(*2����4$S(*0 �%�8>\@s7P&�(*�3�%25(.7�(*9!�^B!��%$�>?!_Lj(¸­*$�2%� $�JQY3^�$'7)78�)0 ���"&X0;@.2%����@.7PJK�38I$�2%$��3�%�"@.7�$�t364@.�%�)(*�4!�G����� � � %$#8 �$�� �%%� �+� %)+K¬j¬K¾Ã: &u�Ki�&a: & i¸gK+Ii�' 'jgaG

x ¬.z��KGÃ<�G'�1$��4@.>T(.6£@s�4J(��G,<�$�!C0 2�)$�!�G 1 J (*>T@.�8��J $�&�(*>F0e(j!C�)���"(*�p>?$����4(BJh9q(.2��%�4$�=�$�7)>F�4(*78�5«$�tu6;@.���"(*�d@.� Jc2%$�7�@s�5$�JV(*0K�%�)>[email protected]&�(*�3��25(*7,0 2%(*Y 7)$�>?!�G(� % � ����� % � � � ���� ��'+ei¸¬jgK¾ªg �*&.�j:a+ei�'�'(4aG

x &*z")1G+�/25$�«�«��k@s�4J,!QG()4(*2��%�)�{G�� �.- � � �� � !8�"/� #� � � ���� ��0 �3���$���� � ��� �������'G1�B0K2%�)� Lj$���&32�$�2%7"@*L +i�' 'Ki*G

xy¡sz54�G , ,[@.�©+1!QG 1_G ,[@[email protected]��)�,+�)1G ¢ G16�7)7)�)(*�A+ @.�4Jf´EG7��G4¢ �"Ja7)6 �4JeGo´�­j$'2%7�@s0 0 �)� L?!�&5�[email protected]��5«[email protected])Lj(.¹2%�8�%� >?![9q(*2�!%(*78­3�)�4LE�4$'7)>F�4(*7)�%«8�¨!|$�tu6;@.���"(*�,G/���:9�;���6��� �� # ��� ���� �+� � � ���������� �@�� � �������� �� ������������������6�$��� �������2���� �0�� �� � �+� ��� < �� ������ �+� ��= 0��� ���� �>�@? �� � � �� A�s+{i�' '(4BG

x g.zCB#G�,/�4$'­[email protected])�)$�2#@.�4J )1G*��@.�[email protected]�G(1m�_(*0 ���)>F�"«�$�JX(*25JK$�2�:o>?$����4(aJX9q(*2D�%� $�4$'7)>F�4(*78�5«�$�t364@.�%�)(*�,G3���9�;�� � ��� �� # �������� �+��� ������������ � ���� ��������� �� ������������������ �$��� ������������ �0�� #��� �+� ��� < �� ���� � �+���= 0��� ���� �>�@? �� � � �� A�s+{i�' ' 4aG

x 4szCB#G ,/�4$'­[email protected])�)$�2?@.�4J )1GD��@s�[email protected]�G71m� (*0 �%�8>?�)«�$�JÁ(.25J $'2\: vw(B(3:j}_>?$����4(BJÁ9q(*2S���4$c� $�7)>F�4(*78�5«$�tu6;@.���"(*�{G �>%$E %F� �(�(%�� �� % � �� #�3� �HG��%'� � ���� %)+Dv©gj}'¾ 4*g '*& 4�4 & +ei�' ' �KG

x �.z")1G ,/7)$�>?$��3�A+�!QGJI�$�2��,+�@.� J ,�GJKo6 Y �8�,GL�B(*7)6 ���"(*��(*9_���4$h¬j< =m$'7)>F�4(*7)�%«f$�t364@.�%�)(*� YB^&�(*� ��64Lu@.�%$�L*2W@*Ja�"$��3�%!�G���� � � �(���� �$�� ������ �������� �� �� �� �� �� ��� �M��� �$����������'+ei�' '*�KG

Ä�ÅRÆDÄqÇ

Page 56: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

�������������� ���������������������������������� �!"�� #�$����� �%%% ¡*¬

x '.z")1G�,1(*787)�8�4( +��SG4<�$'7)Y 6 $*+ BRG �*(*78^j+4@s�4J61_G B���@*&�$��3�%�8� ��G 1 � $�-¦��2W@.� !�>F�"!%!C�"(*�V(.0e$'2W@.�%(*2o�)�V�%� $�4(*�K¹�(¸­j$�2�7�@.0K0 �)�4LSJ (.>\@.�8�VJ $�&�(*>F0e(j!C�)���"(*�M9q(*2o���4$X>\@s`B-/$�787,$�tu6;@.���"(*� !�G � ����� ��% �������������:�(� � % ���� �� %F0 ��� �(%)+K0;@*L*$�!Xi�'u¡ &a:*�(4a+Ii�' '(4aG

xÃi¸�.z_<�G ,1(*78�5(*�]@s�4J(KNG'I�2%$�!�!�G>�#�� � �� �+� ��= ��� ������$��� �����+� �� ��� � �� #���*GN¢ �)7"$'^u¹ ���3�5$'25!%&'�"$'�4&�$.+i�' �j¬aG

xÃiji�z_<�G ,1(*78�5(*� @.�4J KNG I�25$�!�!�G �� ���� ����� ��� ��� �� �� � � �3�� �� ������ �� ��� �� �� ����� �� #��� ������� �.G�B2%�8�4Lj$'2�¹A2�$'2%7"@*L +ki�' 'u:aG

xÃi³:szC��G�<�$�!�0 2%$�!�GÁ<�$�&�(*>F0e(*!��)���"(*��J $VJ (*>T@.�)�4$T$��E0 2%(*Y 7"$'>T$MJK$V� $�7)>F�4(*78�5«.G1vq9�25$�� &5�,G�$��4L*78�"!C�!�6 >F>[email protected]%^K}'G �>%FE %F� �(�(% � �� %�� �� #�3�8�HG��%$� � ���� %)+;¬Kijiuvwgu}'¾ª¬Ki¸¬ &a¬Ki¸gK+ki�' '*�KG

xÃi¸¬.zC��Gu<�$�!�0 2�)$�!�GI<�(*>T@.�)��J $�&�(*>F0e(j!C�)���"(*�E>?$����4(aJS@s�4JE�%�4$ =�$�7)>F�4(*78�5«0 25(*YK7"$�>dG4�����SG(,1(*�4$��{+B#G �*(*78^j+;@.�4J *�G =�@s7)0I$�2%�{+4$�JK�8�5(*2%!�+ � � ��� �#�� �� # ��� ���� �+� � ������� ��� �� ��6� ��� ��������� �� �+� �� �# �$�� #�� �+� � � ���� ��� � ���5�8��� � � �0� �(��� ���� � ��� ��� /��� ���� :� 9����39��s+;0;@*Lj$�! & & &a¡j:aG �a� 1 !M¹B�� �)7"@*J $�780 � �"@K+ B 1�+,i�'�'KijG

xÃi�&*zC��G3<�$�!C0 2�)$�!�G � �������� ��� � � � �� ������������� ����+� � � ������� � ���� �3���2� ��8/ �3���$��� � �2� � �0� �(��� ������� �� � ��� ��� � ����$� � �� #�$����@= ���% � ������� ���$� � �D? �� � ���� ��� ��= 0��� ����$� �>! ���������� �� �� #��� ���3��%B��;< ���4$�!C�"!�[email protected]��"!o�8`�v©<�@.6 0K� �)�4$A} ) 2W@.�4&�$*+{i�' 'KijG

xÃi³¡szC��Gk<�$�!C0 2�)$�!�G�<�(*>T@.�)�cJ $�&�(*>F0e(*!��)���"(*�V>?$����4(aJf@.�4Jc�%�4$"=m$'7)>F�4(*7)�%«�0 25(*YK7"$�> vq0;@.2����8�q}~G[���KNG�I�7"$'�)� >T@.�,+1H�G:1m� Lj$�787�+|<�G:,1(*7)�%(*�,+ )1G �K@.�3�5(*!5@K+�@.�4J �WG �B�5@*&5nBLj(*7"Je+�$�JK�)�%(*25!�+ � �� ��� ���� �� # ��� ���� �+� �������� �� ����� ����������������� �+� �� �� �$�� #�� �+� ��� ���� ����� � � �8��� � � �0� �(��� ���������� �����*+a0;@.Lj$�!Xi�'(4 &K:*�jgKG �a� 1 !]+,i�' 'j¬KG

xÃi¸g.zC��G3<�$�!C0 25$�!�GD��>F0 7"$'>T$'�B�5@.�%�)(*�F(*9,@X�4(*�T(³­*$�2�7�@.0 0K�)�4LNJ (*>T@.�)�FJ $�&�(*>F0I(j!��8�%�"(.�F>?$����4(BJ?(*�\@&�25@¸^X�5¬*J{+*9q(*2#!%(.7)­3�)�4L��%�4$[¬*J��;@.2�>T(.� �"&�>T@s`B-1$'7)7A�¨!P$�tu6;@.�%�)(*�4!�GK���+��� �� � ��� ���� �+�(� � ���������� ���+� � -��:� ����� � ��= 0��� ���� �'G � !61_+,i�' '�&KG

xÃi 4szC��G/<�$�!�0K2�)$�!�+ B#G �*(.7)^j+[@.�4J �KG 6|G�K|(*Ye$'2%�%!�G 1 J (*>T@.�)�=J $�&�(*>F0e(*!��)���"(*�=>T$'�%�4(BJ=9q(.2T�%� $�;@.2�>T(*�K�"&\>T@s`B-1$'7)7A�¨!E$�tu6;@s�%�"(.�4!�G�����KXG��/[email protected]/$��4!M@s�4J�BRG�J $���25(B$��{+1$�Ja�)�5(.25!�+ � ��� � ���� �� # ��� ���� �+�0� � ���������� � ��6�� �� ��� �M��� �$���������� ��� � � �� �+� � � /� �*+30;@*Lj$�!:& 4*¡ & & ��&KG���(*2%���=m(*787�@.� Ja¹ 1�>T!C�5$�2%J4@.>d+;i�' 'u:aG

xÃi��.z��KGe<�(.64L*7�@.!�+ )1G'BR$�2%$��)25@K+{@s�4J(�KG 6oG$�K@.�3�5(j!�G 1 0;@[email protected]"$�78�"«�@.Y 7"$�@.0 0 2%(u@*&5���5(?�%�4$�!C�)>�6K7�@.���"(*�(*9�-1@¸­*$�!X�)�hJK�)!�0I$�2%!��)­*$�>T$�JK��@aG������EG ,1(*�4$��{+,$�JK�8�5(*2�+�� � � �5��� �� � ��� ���� �+� �������� ��� ���������� ��������� �� �+� �� � �$�� #�� �+�� �8��� � �� �0� �(��� ���� ������ ���$�� �H� �>��� ����� � �� � � � ��� �s+A0;@*Lj$�!g(4*¬*&Bg �u:aG �a� 1 !Q+,i�' 'u¡aG

xÃi�'.z�´�G 6�2%�4!C�c@.�4J��EG���(*7)6 Y{G 1�JK(*>\@s�)��JK$�&�(.>?0I(j!��8�%�)(*� @.0 0K25(u@*&5� �%( !%(*78­B�8�4L��%� $p�4$�78>F¹�4(*78�5«T$�tu6;@.�%�)(*� -o�)���Á@[email protected]��@.���"(*�QYe(.6 �[email protected]�^�&�(*�4JK�8�%�"(.�,Gp���71�G���[email protected]%�%$�25(.� ��+D�KG B#$'2%��@s6K`I+�EGFI�64«'�4$��%!%(¸­k+P@s�4JQ´EGk¢ �"JK786 �4J{+,$�JK�)�%(*25!�+ ��������� ���� ������������������ � ��� ��������� � ����� ���� �H0 ���� ���� #���*+a0;@*L*$�!Xi 4 4 &;i�'KijG 1 ! �I+Di�'�'u:aG

ÆDÆ@?>A�B�C�D�B

Page 57: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

¡ & � �� ��3��� ����� � ���� �� �(��� � �� ��� � ��� ��� #�� ����������

xy:*�.z��IG ���;@.� $�>F��G ���������� ���5� �+� �� ������������������ � �+� ������� ��� �8���� 6 ��� ��������� � � � � �� ��� �3��������� � �� �3�� �+�3���"���� 5� ���"� �8/ �3���$���5� � � �� �0� �(��� ���� ��� �� � ����% B��;< �%�4$�!��"!�+ B#@.2%�)!��8`v©<�@.6K0 � �)� $¸}:) 2W@s�4&�$.+,i�' 'jgKG

xy:ai�z��IG ���;@s�4$�>F��+ )1G�,1(*7)78�)�4( +s@.� J B#G �*(*7)^*G <�(*>T@.�8��J $�&�(*>F0I(j!��8�%�"(.�_>?$����4(aJ_9q(*2#�[email protected]%>?(*� �)&-1@A­j$$�tu6;@.���"(*� !�G���� �EG ,1(*�4$'�,+{$�Ja�)�5(.2A+ � � � � ��� �� � ��� ���� �+� �������� ��� �� �� ����������������� �+� �� � �$�� #�� �+� � �8��� � �� �0� �(��� ����������� ���$�� � � �>��� ����� � �� � � � ��� �s+;04@*Lj$�!�gjgj¬*&ag 4j:aG �a� 1 !]+i�' 'u¡BG

xy:j:szCB#G ��2%�)!�­[email protected]%J{G 0 ��� � � � �� "� �8/ �3��� ��� ��7���$������ � ������� �'G !d(*�4([email protected] �=@.� JÁ!C�%64Ja�"$�!E�8�!f@.���4$�>T@.�%�)&�!�G B��)�%>T@.�,+Ii�' �u¡BG

xy:*¬.zCB#G�*D@s`V@.�4J KNG B�� �87)�80 04!�G � ����� �� #��� � ������ �sG 1�&�@*J $'>?�)&5B�2%$�!�!�+Di�'jg(4BGxy: &*z�� *�G *{�)(*�4!\@s�4J 6oG !d@*Lj$�� $�!�G � ��8/ � ����$���6�++- � �� �� ���6 �� �����$��� ��� ��� ��� �#�(� � �� �������� �'G

<�6 �4(BJ{+{i�'*g �KGxy:j¡szCB#G *�G *{�)(*�4!�Gm´��f���4$ �B&5�[email protected][email protected])�%$�2%�4@.�%�8�4LE>T$'�%�4(BJ£ijG|��� � � ���� ��� �� # ��� ���� �+� � � ���������� �

�� � ������� � �� ������������� ���� �$���������� ���� :�0�� #��� �+� ��� < �� ���� � �+� ��= �������� �'G�B� 1 !Q+Di�' �+�KGxy:*g.zCB#G *�G *,�)(*�4!�G{´��T���4$ �a&5�3-[@s25«�@s7)�5$'2%�;@s�%�)� L�>T$'�%�4(BJ\:BGe����� �� ��� � ��� �� # ��� ���� �+� � � ���������� �

�� � ������� � �� ������������� ���� �$���������� ���� :�0�� #��� �+� ��� < �� ���� � �+� ��= �������� �'G�B� 1 !Q+Di�' ��'KGxy: 4szCB#G *�G *{�)(*�4!�G ´�� �%�4$��a&5�3-[@s25«�@.78�5$'2%�;@.���)�4Lh>?$��%� (aJ=¬KG ��� H�G )1G ,/�;@.�{+ KNG ��7"(¸-o�)� !�n3��+

�KG B�)$'2%��@s6K`I+�@.�4JÁ´�G ��GR¢ �)JK7)6K�4J{+�$�JK�)�%(*25!�+ � � � � ��� �� # �������� �+�2� ������������ � �� � �������� �� ������������������6�$��� �������2���� �0�� �� � �+� ��� < �� ������ �+� ��= 0��� ���� �'+K0;@*L*$�!m:*�u: &a:j:*¬KG �a� 1 !Q+Di�'�'j�KG

xy:+�.z��KG ,�G �m$�J $�7)$�&.G61r�4$�- 9l@.>F�)78^p(*9[>F�8`a$�JQb � �8�5$F$�7)$�>?$��3�5!N�)� � � G�# ��% � ���� %)+�¡*�a¾ ¡ 4 &.�Kij+i�' �jgaG

xy:�'.zCB#G 1�G Km@A­3��@.2��|@.�4J��KG !QG4H1� (*>\@.!�G21¦>F�8`a$�J\b � �)�%$�$�7)$�>?$��3�[>?$����4(aJ\9q(.2�:s�4JM(*2%J $�2|$'7)78�)0 ���"&0 25(.Y 7"$'>T!�Go��� � ������������ �� �+� ��� ���� ����� ���>��� ��� �3���$����:�$���������� � � �� �%(� ���� % � � �� ��� �+� ���#"����% � � ���3� E��� ��� ���� � �>% # % E % ����E ���$� �s+o­*(*7)6 >?$�gj�*gK+�04@*Lj$�!c: 'u: &a¬Ki¸¡aG B�2%(a&.G[(*9X>\@s�%�,G@*!�0I$�&'�5!|(*�c�%�4$�b �K�)�5$�$'7"$'>T$'�B�o>?$����4(BJ{+�1$�2�7)�8�5=m$��)J $�78Ye$'25L,�m$'-��(*2�nk¾ �30 2%�8�4Lj$�2�+{i�'(4�4aG

x ¬j�.z52�G 2�G�3�;@.�"Ja6 25(¸­V@.� J�6oG¨�WGk´�L*(*25(BJK� �8nj(¸­kG �a(*>?$��B6K>T$'2%�"&�@.7{>?$����4(aJV(*9#!%(.7)­3�)�4L�=�$�7)>F�4(*78�5«-[@A­*$p$�tu6;@.���"(*�{G���� � � ��� ���� �� � ��� ���� �+�8� ������� �� �� ��7� ��� ��������� �� �+� �� � #8 �$�� #�� �+�� � ���� ��� � � �5�8��� � �� �0� �(��� ���� � ��� ��� /��� ����� :��9����39��s+K0;@*L*$�!�4*¬*& 4 'KG �a� 1�!Q+Di�' 'Ki*G

x ¬Ki�zC��G �B�%6K0 9q$�7©G 1 9l@*!��C¹ J (.>\@.�8�cJ $�&�(*>?0I(j!C�)�%�)(*�c>T$'�%�4(BJc9q(.2m���4$�!�(*7)6 ���"(*�d(*9�$'7"$�&��%2%(*>T@*L*�4$'�%�"&!%&�@.�%�%$�2%�8�4L�Y3^ 7�@.2%Lj$M(*Y��C$�&��5!�G ��0D0D0 �0 �� ��%�� �� ��� ���6�� ��� � �0� �(��� ����4+ &�&4v�i¸�j}'¾·i¸¬(4j¡ &i¸¬ �u¡B+ei�' '*gKG

x ¬u:sz�!QG76|GaHR@¸^37)(*2AG � �� #��� �+� �"� < �� ���� � �+� 0J= �������� ��� � ���$��9 ���uG �B0K2%�)� Lj$�2C¹A2�$�2�7�@*LK+ �1$�2�7)�)�{+ki�' 'jgKG

Ä�ÅRÆDÄqÇ

Page 58: Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Domain Decomposition

Unit e de recherche INRIA Lorraine, Technopole de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LES NANCY

Unit e de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnit e de recherche INRIA Rhone-Alpes, 655, avenue de l’Europe, 38330 MONTBONNOT ST MARTIN

Unit e de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnit e de recherche INRIA Sophia-Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA-ANTIPOLIS Cedex

EditeurINRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)��������������� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399