Divergent Series (อนกรมลออก)Introduction — บทนำ

หลายทานทกำลงอานบทความนนาจะรจก infinite sum ด(อกชอคอ seriesหรอในภาษาไทยคออนกรม) หรออยางนอยๆกเคยเหนผานตากนมาบาง เชน

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · · = 1, 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · · = 1

3

ซงกเปนอะไรทพอเขาใจไดหรอพอมองออกไดวานาจะจรง และกคงจะเคยเหนสมการทโดงดงและมกจะเปนหวขอทถกเถยงกนบอยๆคอ

0.999 · · · = 1

ซง เปนสมการทเปนจรงและไมไดมอะไรยงยากไปกวาการแสดงวา 0.9 + 0.09 +

0.009 + · · · = 1 ตราบทเราเขาใจวานยามของ 0.999 . . . คออะไร อยางไรกดปญหาขางตนไมใชหวขอหลกของบทความน เพราะแมคนท ไมคดวา 0.999 . . . เทากบ 1

จรงๆกยงคดวามนมคาใกลมากๆ แตบทความนจะมาวเคราะห เทคนคการ‘หาผลบวก’ของอนกรมลออก(divergent series)ทมกจะเหนไดตามวดโอใน youtubeและดขดกบสามญสำนกเปนอยางยง โดยเราจะยกตวอยางมา 3 อนหลกๆคอ

1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . = 1/2 (1)1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . . = −1 (2)1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . = − 1

12(3)

แลวมาพจารณากนวาทงสามอนกรมน‘เทากบ’คาทางฝงขวามอหรอไม และกลวธการไดมาซงคาทางขวามอทมกจะเหนตาม internet มขอผดพลาดอยางไร

บทความนแบงเปน 4 หวขอหลก โดยในบทแรกเราจะยกวธพสจนคาของอนกรมลออกทงสามอนขางตนมาใหผอานทไมเคยเหนไดเหนกนและอภปรายสนๆ บททสองจะอธบายความเหมอนและความตางของผลบวกปกตและผลบวกอนนตและขอควรระวงเวลาคำนวณคาของอนกรม บททสามจะเจาะลกถงอนกรม (1), (2), (3) อยางละเอยด และในบทสดทายจะเปนการสรปและรวบรวม remarks ทนาสนใจไว

1

ตวผเขยนมไดมความตงใจใหงานเขยนชนนเปนงานเขยนเชงวชาการ ภาษาทใชจงเปนภาษาไมเปนทางการและปนศพทองกฤษเปนพกๆ สาเหตหลกมสองประการคอความเคยชนและความทวาศพททางคณตศาสตรหลายๆตวแปลมาเปนไทยแลวอานไมรเรอง เชนคำวา homomorphism แปลไทยเปน‘สาทสสณฐาน’ ซงฟงไมรเรองยงกวาเดม ผเขยนจงขอสงวนสทธใชคำองกฤษตามเหนสมควร

1 ‘Calculating’ divergent series — การคำนวณคาอนกรมลออก

คำเตอน: การคำนวณในบทนไมเปนไปตามหลกคณตศาสตร โปรดอยาทำตาม

อนกรมอนนต (1), (2), (3) มความแปลกหลายอยาง ในกรณแรกถาเราลองบวกทละพจนของอนกรม (1) จะเหนวาคาสลบไปมาระหวาง 1 กบ 0

1 = 1, 1− 1 = 0, 1− 1 + 1 = 1, 1− 1 + 1− 1 = 0, . . .

แตสมมตวาเราลองกำหนดให A = 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . จะเหนวา

A = 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .

= 1 + (−1 + 1− 1 + 1− . . . )

= 1 + (−1)(1− 1 + 1− 1 + . . . )

= 1− A

ไดความสมพนธ A = 1 − A ซงแกสมการไดงายๆใหผลวา A = 12

ซงบางคนอาจจะเหนวากดมเหตผล(อยบาง)เพราะวาเลข 1

2อยตรงกลางระหวาง 1 กบ 0 พอด แต

พอมาเจออนกรม (2) เขาไปความสมเหตสมผลทเหมอนจะมในตอนแรกหายไปหมดเพราะอทาไหนถงเอาเลขจำนวนเตมบวกมาบวกกนใหเปนเลขคาลบได อยางไรกดเรามาลมความสมเหตสมผลกนกอนแลวลองหลบหหลบตาคำนวณดโดยคราวนตงให

2

B = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . จะไดวา

B = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . .

= 1 + (2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . . )

= 1 + 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . )

= 1 + 2B

นนกคอ B = 1 + 2B ซงแกออกมาไดวา B = −1

ถาตวอยางขางบนยงแยไมพอเรามาดอนกรม (3) กนซงกรณนเอาจำนวนเตมบวกมาบวกกนแตไดจำนวนไมเตมแถมเปนคาลบอกตางหาก ตงให C = 1+2+3+4+. . .

แตกอนจะไปคำนวณคา C เรามาคำนวณ D = 1− 2+ 3− 4+ 5− . . . กนกอนเพอนำคานไปใชงานตอ

คำเตอน(อกครง): การคำนวณทจะเหนนไมเปนไปตามหลกคณตศาสตร โปรดอยาทำตาม

ขนแรกเราตงบวก D +D ในแนวตงแตใหจดเรมตนเยองกนไปหลกนง จะเหนวา

D +D = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − . . .

+( 1 − 2 + 3 − 4 + . . . )

= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − . . .

= 1/2

ซงเลข 1/2 ไดมาจากการคำนวณคาของอนกรม (1) ทเราทำไปแลวขางบน ซงแกไดวา D = 1

4ดงนนแสดงวา 1− 2 + 3− 4 + 5− · · · = 1

4

ขนตอนตอไปเราจะตงลบ C กบ D ในแนวตงC −D = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . .

−(1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + . . . )

= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + . . .

= 4( 1 + 2 + 3 + . . . )

= 4C

เมอแทนคา D = 1/4 ลงไปจะไดวา C−1/4 = 4C ซงแกสมการไดเปน C = −1/12

3

วธการ‘พสจน’ผลบวกของอนกรมลออกเพอใหไดมาซงคา A,B,C (และ D) ขางตนตงอยบนขอสมมตหลกๆ 2 ประการ นนคอ

• การสมมตวาอนกรม (1), (2) และ (3) มคาเปนจำนวนจรงตวนง เชนอยๆกตงให A = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . เลยในกรณ (1) ทำใหนำคาของมนไปบวก/ลบกบจำนวนจรงตวอนๆและยายขางไปมาเพอแกสมการได

• การ manipulate ตวอนกรมอนนตเองอยางเสร เชนการสงเกตวา terms หลงๆในอนกรมมความคลายกบตวตงตนจงสามารถแทนคาลงไปไดเลย(ซงนำไปสการสรปวา A = 1 − A ในกรณ (1) หรอ B = 1 + 2B ในกรณ (2)) หรอการนำอนกรมมาตงบวกแบบเยองๆกนเพอใหเกดการ‘ตดกน’ของ terms ในอนกรม

ขอสมมตทกลาวมาขางตนทงสองขอไมเปนไปตามหลกคณตศาสตรในความหมายทวาไมมหลกการรองรบและนำไปสผลทเหนไดชดวาผดพลาด

ตวอยาง 1.1. พจารณาอนกรม 1 + 1 + 1 + 1 + . . . ซง(สำหรบผศกษาในระดบม.ปลาย­มหาลยในสาขาทเกยวของจะ)เหนไดชดวาลออก แตถาเราลองใช trick ขางบนโดยลองตงให S = 1 + 1 + 1 + . . . และหลบหหลบตาคำนวณ/แทนคาดจะไดวา

S = 1 + 1 + 1 + 1 + . . .

= 1 + (1 + 1 + 1 + . . . )

= 1 + S

นนกคอ S = 1 + S และเมอเราลบ S ออกจากทงสองขางของสมการจะไดวา 0 = 1

ซงเหนไดชดวาผด

ตวอยาง 1.2. กลบมาดอนกรม (3) กนอกครง แตคราวนเราลองจบคทละสามตวโดยใชขอสงเกตวา (3n−1)+3n+(3n+1) = 9n จะไดวาถาเราตง S = 1+2+3+ . . .

4

แลว

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + . . .

= 1 + (2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7) + (8 + 9 + 10) + . . .

= 1 + (9 · 1) + (9 · 2) + (9 · 3) + . . .

= 1 + 9(1 + 2 + 3 + . . . )

= 1 + 9S

นนกคอ S = 1 + 9S ซงแกไดวา 1 + 2 + 3 + · · · = −1/8 ...?? อาว ไหงตอนแรกบอกได −1/12 ทำไมตอนนกลายเปน −1/8 ซะงน?

ตวอยาง 1.1 และ 1.2 แสดงใหเหนวาการสมมตคาใหอนกรมอนนต(ทลออก)และหลบหหลบตาแทนคาไปมาในบางครงสามารถใหผลทผดอยางสนเชง (เชนให 0 = 1)หรอใหผลทเปลยนไปจากเดมไดทงๆทคำนวณอนกรมตวเดยวกน (อนกรม (3) ใหคาออกมาเปน −1/12 ในการคำนวณครงแรก แตพอทำอกแบบกลบได −1/8 แทน)ดงนนเรานาจะเหนแลววาวธการขางตนในบทนไมไดเรองแนๆหรออยางนอยกมรายละเอยดบางอยางผดพลาด

บทถดไปเราจะมาดกนวาจรงๆแลวอนกรมคออะไรและขอผดพลาดทงหลายในบทนเกดจากอะไร

2 What is a series? — อนกรมคออะไรไมใชทกสญลกษณทเขยนไดจำเปนตองมความหมายทางคณตศาสตร เชนถาเรา

ตงใหx = log(5.96!5.22)

∫ ∫∂4.56

8

9− 8π/0

ทกคนกคงเหนดวยวา x ไมใชจำนวนจรงตวนงแมวาสญลกษณทประกอบกนแตละตวเปนสญลกษณจรงๆทางคณตศาสตรกตาม ในกรณน x ไมไดมความหมายอะไรมากไปกวา eRE)(>, )E898∗),@A57 + + หรอเอาแมวมาเดนบนแปนพมพแลวกด enter

ในทำนองเดยวกน ถาเหนสญลกษณ 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . สงแรกทควรทำคอตองถามตวเองกอนวา

5

• มนเปนสญลกษณทมความหมายหรอไม?

• ถามความหมายแลวเราจะตความอยางไร?

• การคำนวณทเกยวของมกฎเกณฑหรอขอจำกดอะไรบาง?

ไมใชเรมดวยการสมมตให A = 1− 1 + 1− 1 + . . . แลวลงมอคำนวณเลยราวกบวามนเปนจำนวนจรงตวหนง

ในบทนเราจะมาทำความเขาใจอนกรมอนนตกน นนคอสญลกษณ

a1 + a2 + a3 + a4 + . . .

วาเมอไหรสญลกษณนมความหมาย ความหมายของมนคออะไร และหลกการคำนวณทเกยวของวาการดำเนนการ (manipulation) แบบไหนบางทกระทำไดโดยไมทำใหเกด error

กอนจะขนเรองอนกรมตองขอเกรนซกนดวา‘การบวก’คออะไร ในทางคณตศาสตรแลวการบวกคอ binary operation + : R× R → R ซงรบคาเปนจำนวนจรง 2 ตวและใหผลลพธออกมาเปนจำนวนจรงอกตว เชน 1 + 1 = 2 สวนการลบกสามารถมองเปนการบวกเลขตดลบ เชน 8− 5 = 8 + (−5) = 3 เปนตน แปลวาจรงๆแลวถาเครงตามนยามมากๆการเขยน 1+2+3 ไมตรงกบนยามเพราะมเลขทเกยวของ 3 ตวแตวาการบวกตองทำทละสองตวแปลวาถาอยากเขยนใหถกเปะๆตองเขยน (1+2)+3หรอ 1+(2+3) อยางไรกดการบวกมสมบตสำคญ 2 ประการคอ

• (commutativity — สมบตการสลบท): a+ b = b+ a

• (associativity — สมบตการเปลยนกลม): (a+ b) + c = a+ (b+ c)

ซง implication ทสำคญของสมบต 2 ขอนคอเราสามารถสลบทการบวกไปมาหรอสลบทวงเลบไปไวตรงไหนกได1 ดงนนสญลกษณ 1+2+3+4 ซงจรงๆตความไดหลายอยางไมวาจะเปน (1+2)+(3+4) หรอ 1+((2+3)+4) หรอแมแต (2+(1+4))+3

1ผอานทมความร เรองการพสจนอาจจะอยากลองพสจนขอความ“สำหรบการบวกเลข n ตวเราจะใสวงเลบแบบไหนกไดตราบทยงถกตองตามหลกคณตศาสตร”โดยใช induction ขอเตอนวาขอความนไมไดพสจนงายเหมอนทอาจจะคดไวตอนแรก [Hint: หนงในวธพสจนสวยๆคอใช rootedbinary tree]

6

ลวนไดคาเทากนหมด เราจงอนโลมใหเขยน 1 + 2 + 3 + 4 ไปเลยไดโดยไมตองบอกวาบวกคไหนกอน

สำหรบการบวกเลขจำนวนจรง n ตวเขาดวยกนเราจะสามารถสลบทลำดบการบวกหรอสลบทวงเลบยงไงกได(เพราะสมบต commutativity และ associativity)การใสวงเลบจงไมมความจำเปน(และดรกเปลาๆ)เราจงนยมเขยนแค

n∑i=1

ai = a1 + a2 + · · ·+ an

โดยไมตองมวงเลบ หรอถาเราอยากบวก a1+ . . . an กบ b1+ · · ·+ bm เขาดวยกนเราจะเอามาตงบวกกนแบบเยองๆกนยงไงกได ยงไงผลสดทายกมเลขจำกดตวบวกกนอยดจะเรมคำนวณแบบไหนกไดผลเหมอนกนหมด แตสำหรบอนกรมอนนตทมเลขบวกกนไมจำกดตวตองระวงเปนอยางยงเพราะสมบตทงหลายทเคยจรงสำหรบการบวกเลขจำกดตวอาจจะไมจรงอกตอไป

อนกรมอนนต(series)คออะไร? แมวาสญลกษณ∞∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + . . .

จะสอวาเปนการเอาเลขจำนวนจรงมาบวกกนเปนอนนตตวแตจรงๆแลวเราไมสามารถบวกเลขเปนอนนตครงไดถาอางตามนยาม(ทกลาวไวขางตน)ทวาการบวกคอ binaryoperation ทรบคาทละ 2 ตว มอยางงนแลวกจะเปนการคำนวณทไมมวนจบซงไมวาจะบวกเสรจไปกตวกยงเหลอใหบวกตออกเปนอนนตตวอยด ความหมายอยางเปนทางการของสญลกษณ ∑∞

i=1 ai (หรอ a1 + a2 + . . . ) จงตองนยามใหดกวา “เอาเลขมาบวกกนไปเรอยๆ” เฉยๆหมายเหต 2.1. นยามของอนกรมอนนตขางใตนเปนนยามทมาตรฐานทสด เมอเหนสญลกษณ a1 + a2 + a3 + . . . จะเปนไปตามนยามนเกอบเสมอยกเวนในกรณพเศษมากๆเทานน(ซงจะไดพบเหนในบทท 3) อยางไรกดในกรณพเศษเหลานนควรจะมขอความกำกบไวซกทวาไมไดใชนยามมาตรฐานนยาม 2.1. อนกรมอนนต(series) S = a1+a2+a3+. . . ถกนยามโดยความสมพนธ

S = limn→∞

Sn (4)

7

เมอ Sn คอ partial sum ของ S ซงถกนยามใหเปน Sn = a1 + a2 + · · · + an ซงแปลไดวา

a1 + a2 + a3 + · · · = limn→∞

(a1 + a2 + · · ·+ an)

อนกรมอนนตแบงเปนสองแบบหลกๆคอลเขา(convergent) กบลออก(divergent)ขนกบวา limit ทางฝงขวามอของสมการ (4) ทำตวอยางไร ถา limit หาคาไดเปนจำนวนจรงกเรยกวาลเขา ถา limit เปน ±∞2 หรอหาคาไมไดเพราะลำดบแกวงไปมากเรยกลออก

จากนยามจะเหนวาการคำนวณคาอนกรมอนนตไมไดนำเลขมาบวกกนเปนอนนตตวจรงๆ แตประกอบดวยสองขนตอนคอ

1 การคำนวณ partial sum ซงเปนแคการบวกเลขจำกดตว2 การหาคา limit ซงในขนตอนนมกจะใชผลจากทฤษฎทเกยวกบ limit มาชวย

ในการคำนวณในขนตอนท 1 ลำดบการเรยงตวของ ai ทงหลายใน a1 + a2 + a3 + . . . มผลตอการคำนวณ partial sum และสงผลตอเนองไปยงขอ 2 ตอนตองคำนวณ limit จงทำใหเราไมสามารถสลบการเรยงตวของ ai ทงหลายตามใจได(อกซกครจะมตวอยางสวยๆใหดวาการสลบตำแหนงทำใหคาของอนกรมลเขาเปลยนได)ตวอยาง 2.1. ขางลางน เปนตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตทงกรณล เขาและลออกโดยใชนยามขางบน รายละเอยดการคำนวณจะไมครบถวนเพราะแคตองการใหเหนแนวคดหลกๆเทานน

• 12+ 1

4+ 1

8+. . . เปนอนกรมอนนตทม partial sum Sn = 1

2+· · ·+ 1

2n= 1− 1

2n

ซงม limit คอ 1 ดงนนอนกรมนลเขาและมคาเปน 12+ 1

4+ 1

8+ · · · = 1

• 12·3 + 1

3·4 + 14·5 + . . . เปนอนกรมอนนตทม partial sum Sn = 1

2·3 + · · · +1

(n+1)·(n+2)= 1

2− 1

n+2ซงม limit เปน 1/2 ดงนนอนกรมนลเขาและมคาเปน

12·3 +

13·4 +

14·5 + · · · = 1

2

2สำหรบผ เรยนสาขาคณต: การบอกวา limit เปน ∞ หรอ −∞ ในทนจะมองวาลำดบเพมขน(หรอลดลง)อยางไมมขอบเขตกได หรออกมมคอมองสญลกษณ ±∞ เปนสมาชกใน extendedreal line R = [−∞,∞] ซง homeomorphic กบ [−1, 1] ภายใต bijection f(x) = x

1−|x|

8

• ลำดบของ partial sum ของ 1 − 1 + 1 − 1 + . . . คอ (S1, S2, S3, . . . ) =

(1, 0, 1, 0, 1, . . . ) นนกคอการบวก n terms แรกจะไดคา 1 กบ 0 สลบกน จงทำให limn→∞ Sn หาคาไมได(ลออกแบบกวดแกวง) ดงนนอนกรมนลออกและการตงจำนวนจรง S ใหเปน S = 1− 1 + 1− 1 + . . . จงไมมความหมาย

• อนกรม 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . ม partial sum คอ Sn = 2n+1 − 1 ซงลออกส +∞ ทำใหอนกรมนเปนอนกรมลออก ดงนนเราจงไมสามารถเขยนใหS = 1 + 2 + 4 + 8 + . . . เมอ S เปนจำนวนจรงได3

• อนกรม 1 + 2 + 3 + 4 + . . . ม partial sum คอ Sn = n(n+1)2

ซงลออกส+∞ เหมอนกน ทำใหอนกรมนเปนอนกรมลออก จงไมสามารถเขยนให S =

1 + 2 + 4 + 8 + . . . เมอ S เปนจำนวนจรงได4

หมายเหต 2.2. การจะสรปวาอนกรมตวนงๆลเขาหรอลออกไมจำเปนตองคำนวณคาเสมอไป ถาอยากรแควา a1 + a2 + a3 + . . . มคาเปนจำนวนจรงตวนงหรอไมนนมหลายทฤษฎททชวยสรปไดโดยไมตองเสยเวลาคำนวณ partial sum Sn เชน roottest, ratio test, comparison test, integral test, Cauchy condensation testฯลฯ

แมวาการบวกอนกรมอนนตจะไมเหมอนการบวกเลขจำกดตว การบวกอนกรมกยงมสมบตหลายประการทคลายๆการบวกเลขแบบปกตตราบท เรารวาอนกรมทเรากำลงบวกอยเปนอนกรมลเขา ขนตอนหลายขนท เราใชในบทท 1 สำหรบการคำนวณ(แบบผดๆ)คาของอนกรม (1), (2) และ (3) จรงๆแลวใชไดสำหรบกรณทอนกรมล เขา นนกคอสมมตวาเรารลวงหนามากอนวา a1 + a2 + a3 + . . . และb1 + b2 + b3 + . . . เปนอนกรมลเขาทงค เราสามารถแสดงไดวา

• การใส 0 ไวขางหนาสดหรอใสสบหวางไปมาไมทำใหคาเปลยนไป นนกคอ

a1 + a2 + a3 + · · · = 0 + a1 + a2 + a3 + . . .

3แตเราสามารถเขยน 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = ∞ ได โดยตความให ∞ มาจาก extended realline

4เหมอนกรณขางบน

9

และa1 + a2 + a3 + · · · = a1 + 0 + a2 + 0 + a3 + . . .

• การ‘บวกในแนวตง’สามารถทำได นนคอ(∑∞

i=1 ai) + (∑∞

i=1 bi) = a1 + a2 + a3 + . . .

+b1 + b2 + b3 + . . .

= (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + . . .

=∑∞

i=1(ai + bi)

• ใชสองขอขางบนรวมกนทำให‘บวกแนวตงแบบเยองๆ’ไดโดยการคำนวณ (a1+

a2 + . . . ) + (0 + b1 + b2 + . . . )

• เรา‘ดงคาคงทออกมา’ได นนคอc · a1 + c · a2 + c · a3 + · · · = c(a1 + a2 + a3 + . . . )

สมบต เหลานของอนกรมทล เขาทำให เราสามารถใช tricks ในบทท 1 ในการคำนวณหาคาอนกรมลเขาแบบงายๆได(ในบางครง)ตวอยาง 2.2. ในตวอยาง 2.1 เราไดเหนแลววา 1

2+ 1

4+ 1

8+ . . . เปนอนกรมลเขาและ

มคาเทากบ 1 ดวยการคำนวณ partial sum ได Sn = 1− 12n

แตคราวนลองสมมตวาเราไมรวา 1

2+ 1

4+ 1

8+ . . . มคาเทาไหร(แกลงลมไปกอนวามนมคาเปน 1)

จาก root test (ถาผอานไมรจกวาคออะไรสามารถเปด wikipedia ดได) เราสามารถสรปไดวา 1

2+ 1

4+ 1

8+ . . . เปนอนกรมลเขา แมวา root test ไมไดบอกวาม

คาเปนเทาไหรแตการรวาอนกรมนลเขากทำใหเราสามารถตงให S = 12+ 1

4+ 1

8+ . . .

ไดโดยท S เปนจำนวนจรงตวนงจรงๆ5 ดงนนเราสามารถนำ S มาบวกแนวตงกบตวเองไดเปน

S + S = 12

+ 14

+ 18

+ . . .

+12

+ 14

+ 18

+ . . .

= 1 + (12

+ 14

+ . . . )

= 1 + S

5เปรยบเทยบกบการคำนวณในบทแรกทอยๆกสมมตให A = 1− 1 + 1− 1 + . . . ขนมาลอยๆเลยโดยไมไดเชคกอนวาอนกรมลเขาหรอไม

10

ซงไดเปน 2S = 1 + S นนกคอ S = 1 ซงเปนผลลพธทถกตองและตรงกบทเราคำนวณมาแลวรอบนงในตวอยางท 2.1

ไหนๆกไหนๆแลวมาลองอกวธนงกน

S =1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .

=1

2+

1

2

(1

2+

1

4+

1

8+ . . .

)=

1

2+

1

2S

แสดงวา S = 1/2 + S/2 หรอกคอ S = 1 ซงกคอคำตอบเดม(ทถกตอง)ตวอยาง 2.2 แสดงใหเหนวาพวก tricks ทงหลายในบทแรกสามารถนำมาใชไดถา

เรารลวงหนามากอนแลววาอนกรมลเขา สงททำใหผลลพธในบทแรกออกมาพกลๆเปนเพราะวาเราใชทรกการแทนคาโดยไมไดตรวจสอบการลเขากอน

อยางไรกด แมวาอนกรมลเขาจะมหลายอยางทคลายๆการบวกเลขจำกดตวแตไมไดแปลวาเราจะทำอะไรกได แตละการ manipulation ตองมทฤษฎรองรบมอยางงนจะนำไปสขอสรปทผดพลาดไมตางไปจากการบวกอนกรมลออก หนงในขอควรระวงทสำคญทสดคออนกรมอนนตไมสามารถสลบทแตละพจนอยางเสรได6

ตวอยาง 2.3. พจารณาอนกรม 1− 12+ 1

3− 1

4+ 1

5− . . . ซงจาก alternating series

test ทำใหเราสรปวาอนกรมนลเขาเราจงสามารถเขยน S = 1− 12+ 1

3− 1

4+ . . . ได

(S เปนจำนวนจรง7) ถาเราคณ S ดวย 1/2 และใส 0 เขาไปเรยงสบหวางจะไดวาS

2= (

1

2· 1)− (

1

2· 12) + (

1

2· 13)− (

1

2· 14) + . . .

= 0 +1

2+ 0− 1

4+ 0 +

1

6+ 0− 1

8+ . . .

เมอเราเอาคานมาบวกในแนวตงกบ S ดงเดมจะไดวาS + S

2= 1 − 1

2+ 1

3− 1

4+ 1

5− 1

6+ 1

7− 1

8+ 1

9− 1

10+ . . .

+0 + 12

+ 0 − 14

+ 0 + 16

+ 0 − 18

+ 0 + 110

+ . . .

= 1 + 0 + 13

− 12

+ 15

+ 0 + 17

− 14

+ 19

+ 0 + . . .

6นยามอยางเปนทางการของการสลบทอนกรมอนนต a1 + a2 + a3 + . . . คอการสรางอนกรมอกตว aσ(1) + aσ(2) + aσ(3) + . . . ท indices ถก permuted ดวย bijection σ : N → N

7จากการกระจาย Taylor series ของ natural logarithm จะคำนวณคาออกมาได S = ln(2)

11

ดงนน3S

2= 1 +

1

3− 1

2+

1

5+

1

7− 1

4+

1

9+ . . .

จาก footnote เราทราบวา S = ln(2) แปลวา

1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− · · · = ln(2) < 3

2ln(2) = 1+

1

3− 1

2+

1

5+

1

7− 1

4+

1

9+ . . .

ทงๆทอนกรมอนนตดานขวามอเปนการสลบทของทางดานซายมอ(ดานซายมอตวสวนเปนเลข +ค สลบกบ ­ค แตทางขวามอเปน +ค +ค ­ค +ค +ค ­ค +ค +ค ­ค... 8)

ตวอยางขางตนนแสดงใหเหนวาการสลบทอนกรมอนนตสามารถทำใหคามากขนหรอลดลงไดแมวาอนกรมทเราพจารณาจะเปนอนกรมลเขากตาม เปนการตอกยำอกครงถงประโยคทวาอนกรมอนนตไมเหมอนกบการบวกเลขจำกดตว การจะจดรปไปมาตองระวงมากๆและมอาจใชแคความเคยชนทตดมาจากการบวกเลขธรรมดามาคำนวณอนกรมอนนตได(ทงกรณลเขาและลออก)

เราสามารถจำแนกอนกรมเปน 3 แบบตามพฤตกรรมของมนนนคอ9

• absolutely convergent series: เปนประเภทของอนกรมลเขาทมสมบตดมากจนเกอบๆจะเหมอนกนกบการบวกเลขกนแบบจำกดตว อนกรมประเภทนสามารถสลบตำแหนงไปมาไดโดยคาผลบวกไมเปลยน

• conditionally convergent series: เปนอนกรมทลเขาแตไมเสถยรโดยมสมบตบางอยางด(เพราะเปนอนกรมลเขา)แตหลายอยางไมด การสลบตำแหนง

8ผอานอาจจะอยากพสจนวาตว permutation σ ทใชในการสลบทในทนเขยนในรป explicitform ไดวา

σ(n) =

4k − 3 ;n = 3k − 2

4k − 1 ;n = 3k − 1

2k ;n = 3k

9ถาผอานสนใจนยามทเปนทางการของ absolutely convergent series กบ conditionallyconvergent series สามารถเปดดไดใน wikipedia

12

การบวกในอนกรมอาจทำใหคาเปลยนได10หรอดไมดอาจจะสลบตำแหนงแลวกลายเปนอนกรมลออกไปเลยกได การคำนวณทเกยวของจงตองระมดระวง

• divergent series: คออนกรมลออก สมบตแทบไมมอะไรดเลย การคำนวณแมจะทำแบบระมดระวงกไมคอยชวยอะไรเพราะอนกรมประเภทนมสมบตแยมาก เชนกวดแกวงไปมาหรอลออกส ±∞ จงไมสามารถ assign คาจำนวนจรงใหมนได11

ตวอยางของ absolutely convergent series เชน 12+ 1

4+ 1

8+ . . . ซงประพฤต

ตวดมาก ทประพฤตตวดรองลงมาคออนกรมประเภท conditionally convergentseries เชน 1− 1

2+ 1

3− 1

4+ . . . ทเราไดเหนแลววาลเขาแตวาการสลบท terms ใน

อนกรมทำใหคาเปลยนไปจากเดมได อนกรมประเภททแยทสดคอ divergent seriesเชนอนกรม (1), (2) และ (3) ทเราไดเหนในบทแรก(ตงแตหนาแรกสด) การพยายามสมมตคาใหมนเชนให S = 1+2+3+4+ . . . แลวคำนวณหาคา S ไมสามารถทำได

สรปทายบท อนกรมอนนต a1 + a2 + a3 + . . . ไมใชการเอาเลขมาบวกกนเปนอนนตตวจรงๆแตเปนสญลกษณทมความหมายทางคณตศาสตรชดเจนและมสมบตหลายอยางแตกตางจากการบวกเลขธรรมดา(บวกกนจำกดตว) อนกรมลเขา(convergentseries)มสมบตดๆหลายอยางทคลายๆการบวกเลขแบบจำกดตวแตกมขอควรระวงเชนกน ในขณะทอนกรมลออก(divergent series)แทบไมมสมบตอะไรทเรยกไดวาดเลย และทงสามอนกรม (1), (2), (3) ทเรายกมาเปนตวอยางในหนาแรกสดลวนลออกทงสน ดงนนการคำนวณในบทแรกเกยวกบอนกรม (1), (2), (3) เปนเรองเหลวไหลทงเพ.........อยางงนจรงๆหรอ??

10จาก Riemann’s rearrangement theorem เรารวาอนกรมประเภทนสามารถสลบตำแหนงเพอใหบวกเปนเลขอะไรกได(ถาสลบตำแหนงรนแรงพอ) ดงนนคาของอนกรมจงขนกบลำดบการบวกเปนอยางยง

11แตในมมกลบกนกบทวา conditional convergent series อาจจะสลบตำแหนง terms ในอนกรมเพอใหผลบวกลออก บางอนกรมลออกกอาจจะมวธการสลบตำแหนง terms ไปมาเพอใหคาผลรวมลเขาไดเชนกน

13

ในบทถดไปเราจะมาดกนวาเปนไปไดมยทอนกรม (1), (2), (3) จะมอะไรลกลำซอนอยเหนอไปกวาคำวา“ลออก”ตามนยามมาตรฐานของอนกรมอนนต หรอวาในโลกไหนทเราสามารถใหความหมายดๆกบสญลกษญ 1 − 1 + 1 − 1 + . . . , 1 + 2 +

4+8+ . . . และ 1+2+3+4+ . . . ได และถาทำไดคาของพวกมนจะเปน 1/2,−1

และ −1/12 ตามลำดบหรอไม

3 Alternative interpretations — การตความแบบอนๆ

ภายใตนยามมาตรฐานของอนกรมอนนต(นยามท 2.1) ทงสามอนกรม (1), (2), (3)

เปนอนกรมลออกทงสน จงไมสามารถเขยนใหคาของมนเปนจำนวนจรงใดๆได อยางไรกดในบทนเราจะมาพจารณากนวามวธอนในการใหความหมายกบทง 3 อนกรมลออกนนหรอไม กอนจะทำอะไรตอขอ copy and paste ทงสามอนกรมในหนาแรกมาไวตรงนเพอเตอนความจำวาเรากำลงพดถงอะไร

1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . = 1/2 (1)1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . . = −1 (2)1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . = − 1

12(3)

ทฤษฎท เกยวของกบการนยามผลบวกของอนกรมอนนตทล ออก(ภายใตความหมายปกต)เปนศาสตรทกวางขวางมาก ผเขยนเลอกมาเพยงไมกวธทเหนวานาสนใจเทานนเพอนำเสนอในบทความน(เพราะแคนบทความกยาวเกนไปแลว ขนเขยนมากกวานจะกลายเปนหนงสอทงเลมแทนบทความ)

3.1 Cesàro and (H, k) sums — เปลยนวธการบวกการคำนวณคาของอนกรม a1 + a2 + a3 + . . . (ถาผอานยงจำกนไดจากนยาม

2.1)จะมสองขนตอนคอ1 สรางลำดบ partial sum ทแทนดวยสญลกณ Sn = a1+a2+· · ·+an เชนกรณ

12+ 1

4+ 1

8+ . . . จะเหนวา an = 1

2nและจากการคำนวณจะไดวา Sn = 1− 1

2n

14

เขยนในแนวตงไดเปน(a1, a2, a3, . . . ) = ( 1

2, 1

4, 1

8, . . .

(S1, S2, S3, . . . ) = ( 12

, 34

, 78

, . . .

นนคอแตละ term ในแถวลาง(แถวของ Sn)จะมคาเทากบผลบวกของ termsในแถวบนตงแตตวแรกจนถงตำแหนงทตรงกบตวเอง(1

2= 1

2, 3

4= 1

2+ 1

4และ

78= 1

2+ 1

4+ 1

8เปนตน)

2 หา limit ของลำดบ Sn ซงถา limit หาคาไดกเรยกวาอนกรมลเขา แตถาหาไมได(หรอเปน ±∞)เรยกวาลออก

ในกรณของอนกรม 1− 1 + 1− 1 + 1− . . . มปญหาคอถาเราทำตามขนตอนท1 จะไดวา

(a1, a2, a3, . . . ) = ( 1 , −1 , 1 , −1 , 1 , −1 , 1 , . . .

(S1, S2, S3, . . . ) = ( 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , . . .

จะเหนไดวา partial sum แกวงไปมาระหวาง 1 กบ 0 จงทำใหไมสามารถหา limit ไดสงผลใหอนกรม 1−1+1−1+ . . . ลออกภายใตนยามมาตรฐาน ถางนจะเปนอยางไรถาเรานยาม‘ผลบวก’ของอนกรมอนนตแบบใหมโดยตงใหเปน “limit ของคาเฉลยของ partial sum” แทนท “limit ของ partial sum” ตามนยามเดม? ถาทำแบบนการสรปวา 1− 1 + 1− 1 + · · · = 1

2ภายใตนยามใหมนกดจะสมเหตสมผลอยเพราะ

วาคา partial sum แกวงระหวาง 1 กบ 0 ซงเฉลยแลวเปน 1/2

ปรากฎวานยามนเคยมคนคดมาแลว(ตงแตเกอบ 150 ปกอน)โดยคนคดเปนนกคณตศาสตรนามวา Ernesto Cesàro โดยแทนทเราจะหา limit ของ partial sumSn โดยตรง เรากสรางลำดบ S

(1)n ขนมาใหเปนคาเฉลยของ Sn แลวหา limit ของ

S(1)n แทน ตามนยามขางลาง

นยาม 3.1. สำหรบอนกรม a1 + a2 + a3 + . . . เราตงให S1, S2, S3, . . . แทนลำดบของ partial sum เชนเคย (แปลวา Si = a1 + · · · + ai) และสรางลำดบเสรมชอS(1)1 , S

(1)2 , S

(1)3 , . . . ขนมาตามสตร

S(1)n =

1

n(S1 + S2 + · · ·+ Sn)

15

นนกคอ S(1)n เกดจากการเอาคา n ตวแรกของ S1, S2, . . . มาเฉลย 1 ครง(เปนทมา

ของ superscript (1) และผอานนาจะเดาไดวาพดแบบนเดยวคงตองมการหาคาเฉลย2 ครง, 3 ครง, ฯลฯ แนๆ)

ถาเราเขยนสญลกษณ‘limit ของคาเฉลย’ เปน

C­limn→∞

Sn = limn→∞

S(1)n

(ตว C แทน Cesàro) เราจะนยามวาอนกรม a1 + a2 + a3 + . . . ลเขาแบบ Cesàro(หรอเปน Cesàro summable series) ถา

S = C­limn→∞

Sn

หาคาไดเปนจำนวนจรงและเขยน a1 + a2 + a3 + . . .C= S (เทากนในความหมายของ

Cesàro)

ภายใตนยามการบวกอนกรมอนนตแบบ Cesàro เราลองกลบมาพจารณาอนกรม1− 1 + 1− 1 + . . . กนอกครง คราวนตารางของเราจะมเพมอก 1 แถวคอแถวของS(1)n :

(a1, a2, a3, . . . ) = ( 1 , −1 , 1 , −1 , 1 , −1 , 1 , . . .

(S1, S2, S3, . . . ) = ( 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , . . .

(S(1)1 , S

(1)2 , S

(1)3 , . . . ) = ( 1 , 1

2, 2

3, 1

2, 3

5, 1

2, 4

7, . . .

จะเหนไดวา C­limn→∞

Sn = limn→∞ S(1)n = 1

2จรงๆ12 ดงนนอนกรม 1 − 1 + 1 −

1 + . . . จงลเขาแบบ Cesàro และมคาเปน 1/2 หรอเขยนเปนสญลกษณไดวา

1− 1 + 1− 1 + 1− . . .C=

1

2

12ผอานสามารถคำนวณไดไมยากวา

S(1)n =

12 ;n = 2k

k2k−1 ;n = 2k − 1

16

การบวกแบบ Cesàro ไมไดเปน trick แปลกๆทสรางขนมาเพอใหสามารถ‘บวก’อนกรมทลออกอยาง 1 − 1 + 1 − 1 + . . . เทานน แตยงมประโยชนหลากหลายในทางคณตศาสตร13และยงม generalizations มากมายในสาขาทางคณตศาสตรระดบสงขนไป14

อยางทไดบอกใบไปขางตน กระบวนการ‘หาคาเฉลยกอนหา limit’ของ Cesàroสามารถทำไดหลายรอบ บางครงทำครงแรกยงไมดพอ(limit ของ S(1)

n ยงไมลเขา) เรากสรางลำดบ

S(2)n =

1

n(S

(1)1 + S

(1)2 + · · ·+ S(1)

n )

ทเปนคาเฉลยของคาเฉลย(แลวกสวดภาวนาใหมนลเขา) ถายงไมลเขาอกกอาจจะลองทำคาเฉลยขนถดไปอกรอบไปเรอยๆ ซงโดยทวไปมสตรสำหรบการเฉลยครงท k วา

S(k)n =

1

n(S

(k−1)1 + S

(k−1)2 + · · ·+ S(k−1)

n )

และเราใชสญลกษณ (H,k)­lim สำหรบแทนลมตของคาเฉลยลำดบท k ของ Sn นนกคอ

(H,k)­limn→∞

Sn = limn→∞

S(k)n

นยาม 3.2. เราจะเรยกอนกรม a1 + a2 + a3 + . . . วาลเขาแบบ (H, k) ((H, k)­summable) ถา limit ของคาเฉลยนลำดบท k ของ partial sum Sn ของอนกรมลเขา ถา S เปนจำนวนจรงททำให

S = (H,k)­limn→∞

Sn

เราจะเขยนวา a1 + a2 + a3 + . . .(H,k)= S

13เชนในการคำนวณผลบวกของ Fourier series ถาเราใช Cesàro sum แทนการบวกอนกรมแบบปกตจะไดสมบตการลเขาทดกวา สาเหตของเรองนเปนเพราะ Fejér kernel ประพฤตตวดกวาDirichlet kernel

14averaging operator P = limN→∞1n

∑N−1n=0 Tn ของ T เมอ T แทนการ evolution ใน

dynamical system หรอ linear operator ใน Hilbert space มกจะมสมบตทนาสนใจ เชนถา T

เปน unitary operator แลว P จะเปน orthogonal projection ลงส ker(I − T ) หรอในกรณของdynamical system กมทฤษฎการลเขาเจงๆอยางพวก Mean Ergodic Theorems เปนตน

17

หมายเหต 3.1. การใชสญลกษณ (H, k) ตว H มาจาก Hölder mean (คาเฉลยแบบHölder)15 ถาเราเขยน Sn = S

(0)n (แปลไดวาไมนำ partial sum ไปหาคาเฉลย) ก

จะเหนไดวาการลเขาแบบ (H, 0) กคอการลเขาของอนกรมแบบปกตทเราเหนในบทท 2 สวนในกรณท k = 1 จะเหนไดไมยากวาการลเขาแบบ (H, 1) และการลเขาแบบCesàro (ในนยามท 3.1)คออยางเดยวกนเปะ

อนกรม 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − . . . ทเหนในบทท 1 (และเราไดคำนวณแบบผดๆวาผลบวกของมนคอ 1/4)เปนอนกรมลออกในความหมายปกตซงไมลเขาแบบ (H, 1)

แตลเขาในแบบ (H, 2) เพราะจากตารางขางลาง

(a1, a2, a3, . . . ) = ( 1 , −2 , 3 , −4 , 5 , −6 , 7 , . . .

(S1, S2, S3, . . . ) = ( 1 , −1 , 2 , −2 , 3 , −3 , 4 , . . .

(S(1)1 , S

(1)2 , S

(1)3 , . . . ) = ( 1 , 0 , 2

3, 0 , 3

5, 0 , 4

7, . . .

(S(2)1 , S

(2)2 , S

(2)3 , . . . ) = ( 1 , 1

2, 5

9, 5

12, 34

75, 17

45, 298

735, . . .

ลำดบ S(1)n ไมลเขาแตวา S

(2)n ลเขาส 1/4 ซงบงเอญ(?)เทากบการคำนวณผดๆของ

เราในบทแรกพอด16

ปรากฎวาการทเรา‘คำนวณ’ A = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1/2 และ D =

1− 2 + 3− 4 + · · · = 1/4 (แบบผดๆ)ในบทแรกนนจรงๆแลวไมผดซะทเดยวถาเราตความการบวกเปนอนกรมลเขาประเภท (H, k) แทน นนกคอเปลยน = เปน (H,k)

=

โดยให k = 1 ในกรณแรกและ k = 2 ในกรณทสอง สมบตสำคญ17ของการบวกอนกรมแบบ (H, k) ทใชในการคำนวณคาของอนกรม 2 ตวบนคอ

15ผอานอาจจะสงสยวาทำไมการใชวธการของ Cesàro ซำหลายรอบถงเรยก (H, k) แทนทจะเปน (C, k) โดยให C แทนคำวา Cesàro ไปเลย? สาเหตคอวาสญลษณ (C, k) มการใชงานอยแลวสำหรบการบวกอกแบบทคลายๆกน(แตไมเหมอนซะทเดยว)ซงจะเหนสญลกษณนถาเปด wikipediapage ของ Cesàro sum แตอยางไรกดการบวกแบบ (H, k) กบ (C, k) นนใหผลลพธเหมอนกน ผเขยนจงเลอกนยาม (H, k) แทนเพราะอธบายงายกวา

16สำหรบคนทไมเชอใจผเขยนอาจจะอยากหาสตรของ S(1)n และ S

(2)n พรอมทงพสจนดเองให

แนใจวา S(1)n ไมลเขาแตวา S

(2)n ลเขาจรงๆ ตวผเขยนเองขเกยจคำนวณตรงน

17สมบตขอ 1 และ 2 รวมกนเรยกวา linearity ซงพสจนไมยาก แตขอ 3 นบวาคอนขางยากมากในกรณท k > 1 สวนขอ 4 ไมยากเทาไหร

18

1 additivity: เชนเดยวกบการบวกอนกรมลเขาแบบธรรมดา(ในบทท 2) การบวกอนกรมแบบ (H, k) สองอนสามารถ‘บวกในแนวตง’ ได นนคอถา a1 + a2 + a3 + . . .

(H,k)= A และ b1 + b2 + b3 + . . .

(H,k)= B

แลว (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + . . .(H,k)= A+B

2 scalar distributivity: ถา a1 + a2 + a3 + . . .(H,k)= A

แลว (c · a1) + (c · a2) + (c · a3) + . . .(H,k)= c · A

3 stability: ถา a1 + a2 + a3 + . . .(H,k)= A

แลว a0 + a1 + a2 + a3 + . . .(H,k)= a0 + A

4 inclusivity: ถา a1 + a2 + a3 + . . .(H,k)= A

แลว a1 + a2 + a3 + . . .(H,k+1)= A

สมมตวาเราตงให 1− 1 + 1− 1 + . . .(H,1)= A จากสมบตขอ 2 และ 3 จะเหนวา

A(H,1)= 1− 1 + 1− 1 + . . .

= 1 + (−1)(1− 1 + 1− . . . )

(H,1)= 1− A

ดงนนเราสรปไดวา A = 1 − A ซงกคอ 1 − 1 + 1 − 1 + . . .(H,1)= 1/2 ซงตรงกบ

การคำนวณกอนหนาของเราในบทนทไดวา 1 − 1 + 1 − 1 + . . .C= 1/2 (การบวก

แบบ Cesàro และแบบ (H, 1) คออยางเดยวกน) ในทำนองเดยวกนถาเราเลยนแบบการคำนวณในบทแรกกจะทำใหสรปไดวา 1 − 2 + 3 − 4 + . . .

(H,2)= 1/4 เหมอนกบ

การคำนวณตรงๆโดยหา limit ของ S(2)n ตามทเหนขางบน

สรปทายบทยอย อนกรมอนนต 1− 1 + 1− 1 + . . . และ 1− 2 + 3− 4 + . . .

เปนอนกรมลออกในความหมายปกตจงไมสามารถ assign คาจำนวนจรงใหมนได แตภายใตการตความแบบ Cesàro (หรอแบบ Hölder) อนกรม 2 ตวนลเขา และมคาคอ

1− 1 + 1− 1 + . . .(H,1)= 1/2

1− 2 + 3− 4 + . . .(H,2)= 1/4

19

แถมการคำนวณในบทแรกทเราสรปวาผดภายใตความหมายของอนกรมแบบมาตรฐานกลบกลายเปนใชงานไดในโลกของการบวกอนกรมแบบ Cesàro (และแบบ (H, k))

ตอนนเราสามารถใหความหมายดๆกบอนกรม (1) ไดแลว แตอนกรม (2) กบ (3)

ยงไมสามารถอธบายไดดวยการบวกแบบ Cesàro หรอแบบ (H, k) เพราะคาของอนกรมโตเรวเกนไปทงในกรณ 1+2+3+4+ . . . หรอ 1+2+4+8+ . . . ทโตเรวยงกวาและไมวาจะเฉลยกครงกไมอาจทำใหคาออกมาจำกดได ในบทยอยถดไปเราจะมาหาวธการตความแบบอนกนทสามารถอธบายอนกรมอนนตในขอ (2) ได

3.2 New Topology — เปลยนแนวคดเรองขนาดผอานทกทานนาจะรจก geometric series ด(หรออยางนอยๆกรจก geometric

sequence ทแปลวาลำดบเรขาคณตซงอยในรป a0, a0r, a0r2, a0r

3, . . . ) เชนอนกรม12+ 1

4+ 1

8+. . . ทเราใชเปนตวอยางมาหลายรอบแลวในบททผานๆมา อนกรมเหลานม

สตรสวยๆสำหรบผลบวกในกรณทอตราสวนระหวางแตละพจนมคาเลกพอ เนองจากa0 + a0r + a0r

2 + a0r3 + . . . ม partial sum คอ

Sn = a0 + a0r + a0r2 + a0r

3 + · · ·+ a0rn−1

= a0 + r(a0 + a0r + a0r2 + a0r

3 + · · ·+ a0rn−2)

= a0 + r(Sn − a0rn−1)

ซงแกสมการออกมาไดวา Sn = a0(1−rn

1−r

) ซงสามารถพสจนตอไดวา

limn→∞

Sn =

a01−r

; |r| < 1

ลออก ; |r| ≥ 1

ดงนนอนกรมอนนต a0 + a0r + a0r2 + a0r

3 + . . . จะลเขา(ในความหมายปกต)สคาa01−r

เมอ |r| < 1 และลออกในกรณอนๆสงเกตวาอนกรมอนนต (2) กเปน geometric series เชนกน โดย

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · = a0 + a0r + a0r2 + a0r

3 + a0r4 + . . .

เมอ a0 = 1 และ r = 2 ซงลออกเพราะวา |r| > 1 แตวาถาเราดงดนจะแทนคาr = 2 ลงไปในสตร a0+a0r+a0r

2+a0r3+ · · · = a0

1−rโดยไมสนใจเงอนไข |r| < 1

20

จะไดวา1 + 2 + 22 + 23 + 24 + · · · = 1

1− (2)= −1

ซงบงเอญ(?)ตรงกบการคำนวณทผดพลาดของเราในบทท 1 พอด

สงทเราเพงทำไปขางบนสามารถสรปไดวา “1 + 2 + 4 + 8 + · · · = −1 ถา|2| < 1” เพราะถา |2| < 1 กจะตรงตามเงอนไข |r| < 1 ทเราตองการพอด ซงแนนอนวาเปนไปไมไดในโลกของจำนวนจรงปกต R และการตความ‘ขนาด’ของจำนวนจรงแบบธรรมดา คำถามทนาคดคอจะเปนไปไดมยทจะมโลกทกฎเกณฑการบวกลบคณหารอะไรเหมอน(หรอคลาย)กบจำนวนจรงแตเลข 2 มขนาดเลกกวา 1 หนวย? ปรากฎวาคำถามนมคำตอบคอ‘ใช’และเราจะใชแนวคดจากวชาทชอวา topology

topology เปนศาสตรยอยของคณตศาสตรทเกยวของกบขนาด/ระยะทาง/ความใกล­ไกลระหวางจด18 โดยปกตเซตของจำนวนจรง R จะมาพรอมโครงสรางเชงระยะทางอยแลว โดยจด x, y ∈ R มระยะหางระหวางกนคอ |x − y| เราจงอาจจะพดไดวา absolute value | · | : R → [0,∞) เปนตวกอกำเนดระยะทางบน R และเราจะแทนสญลกษณของเซตจำนวนจรงพรอมทงโครงสรางนวา (R, | · |) สำหรบเซตของจำนวนตรรกยะทเปน subset ของจำนวนจรงกมโครงสรางเชงระยะทางเดยวกนและเราจะใชสญลกษณแทนวา (Q, | · |)

ในบทนเราจะมาพจารณาโครงสรางเชงระยะทางแบบอนบนQ (เซตของจำนวนตรรกยะ)กนแทนระยะทางแบบปกตทกำเนดจาก absolute value ซงหวงวาในระบบใหมนเราอาจจะสามารถบวกอนกรม 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . ได

นยาม 3.3. จาก Fundamental theorem of algebra19 เลขตรรกยะ x ∈ Q แตละตวจะเขยนไดในรป

x = pα11 pα2

2 · · · pαnn

เมอ pi เปนจำนวนเฉพาะทแตกตางกนและ αi เปนจำนวนเตม20

18วชา topology กวางขวางมากและมประโยชนหลากหลาย ท เราจะใชงานในบทน เปนเพยงแนวคดจากสวนยอยเลกๆของวชานทเรยกวา metric topology เทานน

19ทฤษฎนคออนเดยวกบทเราเคยเรยนตอนประถม­มธยมตนทวาเลขจำนวนเตมแตละตวจะแยกตวประกอบเฉพาะไดแบบเดยว เชน 24 = 23 · 3 หรอ 60 = 22 · 3 · 5

20αi เปนลบได เชน 45 = 22 · 5−1 หรอ 7

18 = 2−1 · 3−2 · 7

21

สำหรบจำนวนเฉพาะ p เราเรยก function | · |p : Q → [0,∞) วา p­adicabsolute value และ |x|p (สำหรบ x ทเขยนในรปขางบน)มคาเปน

|x|p =1

pα

โดยอานคา α จากการแยกตวประกอบของ x เชนถา x = 21 · 3−2 · 53 · 13−1 จะไดวา|x|2 =

1

21=

1

2

|x|3 =1

3−2= 9

|x|5 =1

53=

1

125

|x|13 =1

13−1= 13

และ |x|p = 1 สำหรบจำนวนเฉพาะ p อนๆทไมใช 2, 3, 5, 13 (เพราะมองวา |x|p =1p0

= 1 เมอ p ไมปรากฎในการแยกตวประกอบของ x ) สำหรบกรณ x < 0 เรานยามให |x|p = | − x|p และกำหนดให |0|p = 0 ทกๆจำนวนเฉพาะ p

p­adic absolute value ทเราเพงนยามไปนมสมบตหลายประการทเหมอนกนกบคา absolute value ปกต เรยงเปนขอไดตามน21

• |x|p ≥ 0 ทกๆ x ∈ Q และ |x|p = 0 กตอเมอ x = 0

• |xy|p = |x|p|y|p ทกๆ x, y ∈ Q

• |x+ y|p ≤ |x|p + |y|p

จากสมบตเหลานเราสามารถใช p­adic absolute value | · |p เปนตวกอกำเนดระยะทางแบบใหมบน Q ไดและแทนเซตของจำนวนตรรกยะพรอมทงโครงสรางเชงระยะทางแบบใหมนวา (Q, | · |p) ซงระยะหางระหวาง 2 จด x, y ∈ Q ใดๆจะมคาเปน |x− y|p ในระบบใหมของเราน22

21สมบตเหลานพสจนไดไมยากนก ผอานทสนใจอาจจะอยากลองพสจนดดวยตวเอง22ในทำนองเดยวกบท (R, | · |) เปน metric completion ของ (Q, | · |) เราสามารถนยาม p­

adic number system ใหเปน metric completion ของ (Q, | · |p) ไดซงมสญลกษณแทนวา Qp

แตเรองนผ เขยนขอละไว(แมวาระบบนจะนาสนใจมากในตวของมนเอง)เพราะไมจำเปนกบการบวกอนกรมอนนตทเราสนใจ

22

หมายเหต 3.2. ในระบบ (Q, | · |p) น เลข x ∈ Q มขนาดสวนทางกบเลขชกำลงของp ในการแยกตวประกอบของ x เชน

• ใน (Q, | · |3) นน 15 = 3 · 5 มขนาด เปน |15|3 = 13แต 90 = 2 · 32 · 5 มขนาด

|90|3 = 19ซงเลกกวา 15

• ใน (Q, | · |2) นน |2n|2 = 12n

แปลวาขนาดของ 2n เลกลงเรอยๆยง n มคามากๆทำให limn→∞ 2n = 0 ในระบบน

จากหมายเหตขางบนเราจะเหนวาอนกรม 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . ในระบบ(Q, | · |2) นนพจนหลงๆมขนาดเลกลงเรอยๆซงตางจากในระบบจำนวนตรรกยะทเรารจกกนด เพราะในระบบใหมนเราจะเหนวา |2n|2 = 1

2nจงดนาจะเปนไปไดวาอนกรม

อาจจะลเขากไดซงอนกรม (2) นลเขาจรงๆในระบบ (Q, | · |2) เพราะเราไดคำนวณกนกอนหนา

แลววาสตร 1 + r + r2 + r3 + · · · = 11−r

ใชงานไดจรงถา |r| < 1 และแมวา |2| < 1

จะไมจรงในระบบเลขแบบปกตแตวา |2|2 = 12< 1 เปนจรงในระบบ (Q, | · |2) น จง

ทำให1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · = 1

1− (2)= −1

เปนจรงในระบบ (Q, | · |2)อกวธทจะอธบายวาทำไมผลบวกอนกรมนเปนจรงกคอเรารวา partial sum Sn

ของอนกรม 1 + 2 + 4 + 8 + . . . มคาเปน

Sn = 1 + 2 + 4 + · · ·+ 2n−1 = 2n − 1

และจากหมายเหต 3.2 เราเหนวา limn→∞ 2n = 0 ใน (Q, | · |2) ดงนน

limn→∞

Sn = limn→∞

(2n − 1) = ( limn→∞

2n)− 1 = −1

ดงนน1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · = lim

n→∞Sn = −1

สรปทายบทยอย อนกรมอนนต 1+2+4+8+16+. . . เปนอนกรมลออกภายในระบบจำนวนจรงทขนาดของจด x ∈ R ถกนยามดวย absolute value ปกต (นน

23

คอ x มขนาด |x|) เพราะวา 2n โตเรวมากๆทำให limn→∞ Sn = ∞ แตในระบบใหมของเรา เราพจารณาเฉพาะ subset ของ R ทประกอบดวยจำนวนตรรกยะและนยามขนาดแบบใหมเปน 2­adic absolute value ใชแทนขนาดแบบปกต (x มขนาดเปน|x|2) ซงในระบบน 2n มขนาดเลกลงเรวมากๆแทน สงผลให limit ของ partial sumลเขาและมคาเปน limn→∞ Sn = −1

จดสงเกตทสำคญคอในบทยอยนเราไมไดนยามการบวกอนกรมอนนตแบบใหมแตอยางใด23 นยามการบวกอนกรมอนนตในทนเรายงใชตามบทท 2 นนกคอ

a1 + a2 + a3 + · · · = limn→∞

Sn

เมอ Sn คอ partial sum ของอนกรม สงทเราทำคอการไปแกไขตว‘ขนาด’ของแตละจดใน Q เพอให partial sum ม limit ตางจากเดม ซงการแกไขโครงสรางเชงขนาด/ระยะทางของ set ในภาษาคณตศาสตรเราเรยกวาการเปลยน topology ของ set

3.3 Complex Analysis — ตความดวยฟงกชนเชงซอน“Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe

par le domaine complexe.”–Jacques Hadamard

“เสนทางทสนทสดระหวางความจรง 2 เรองในโลกแหงจำนวนจรงตดผานโลกแหงจำนวนเชงซอน” การจะเขาใจคำกลาวนไดผอานตองศกษาแนวคดจากวชา com­plex analysis แลวจะพบวาเปนเรองนาทงมากทหลายๆสมการ/สตร/ทฤษฎทดจะไมเกยวของกบจำนวนเชงซอนเลยสามารถพสจนไดอยางสวยงามโดยใชเทคนคจากวชาน ในบทยอยนเราจะมาดกนวาความรดาน complex analysis จะสามารถชวยใหเราตความผลบวก

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = −1/12

ไดอยางไร23แตกตางจากในบทยอยท 3.1 ทเรานยามการบวกแบบ Cesàro และแบบ (H, k) ขนมาใชแทน

นยามเดม

24

เรามาทบทวนกนซกเลกนอยกอนขนเนอหาหลก(แมวาผอานเกอบทกคนนาจะรจกดอยแลววาจำนวนเชงซอนคออะไร)ถงการคำนวนทเกยวกบจำนวนเชงซอนและfunctions เชงซอน จำนวนเชงซอน z ∈ C จะเขยนแยกไดเปน z = a + bi เมอa, b ∈ R (a เรยกวา real part ของ z สวน b เรยกวา imaginary part ของ z) และi เปน‘จำนวน’ทมสมบต i2 = −1 โดยทการบวกและการคณกกระจายทำเหมอนเลขจำนวนจรงธรรมดา เชนถาเรามจำนวนเชงซอนอกตวคอ w = c+ di จะไดวา

z + w = (a+ bi) + (c+ di)

= (a+ c) + (b+ d)i,

z · w = (a+ bi) · (c+ di)

= ac+ adi+ bci+ bdi2

= (ac− bd) + (ad+ bc)i

สวน function เชงซอน f : C → C กสามารถแยกเขยนเปน real part กบ imag­inary part ไดเชนกน คอ f(x+iy) = u(x, y)+v(x, y)i เชน f(z) = z2 เชยนแยกไดเปน f(x+iy) = (x2−y2)+(2xy)i โดยใชสตรผลคณขางบนโดยให z = w = x+iy

สาเหตท complex analysis เปนเครองมอททรงพลงมาจากสมบตของ func­tion เชงซอนประเภทพเศษท เรยกวา analytic function (อกชอนงกคอ holo­morphic function หรอชอไทยคอฟงกชนวเคราะห) ซง functions พวกนสามารถหาอนพนธ(เชงซอน)ไดเรอยๆไมรจบ24 และมสมบตดๆทสำคญเชน

f(z + h) =∞∑k=0

1

k!f (k)(z)hk

เมอ |h| มขนาดเลกพอ (การเขยนแบบขางบนเรยกวาการกระจาย Taylor series) ซงแปลไดวาเราสามารถคำนวนคาของ analytic function โดยอาศยขอมลของจดทอยใกลๆได แตทนาทงไปกวานนคออกสมบตทสำคญกคอ Cauchy’s integral formula

f(z) =1

2πi

∫C

f(w)

w − zdw

24นยามอยางเปนทางการมหลายแบบทสมมลกน เชน f ∈ C1(Ω) จะเรยกวาเปน analyticfunction บนโดเมน Ω ⊂ C ถา ∂zf = 0 เมอ ∂z = 1

2 (∂x + i∂y) ซงนยามนตรงกบการท fสอดคลองกบ Cauchy­Riemann equation

25

เมอ C เปน curve25 ภายในโดเมน Ω (เชนวงกลม/สเหลยม)ทวาดลอมรอบจด z ทเราอยากหาคา สมการนบอกวาเราสามารถคำนวนคาของ f(z) โดยอาศยขอมลจากจดทอยไกลๆจาก z กยงได!26

หมายเหต 3.3. สมบตของ function เรองทวา “คาของ f ของจดทอยไกลๆกนสงผลถงกนได” มตวอยางงายๆในกรณ function คาจรงกคอ polynomials ทงหลายเชน สมการเสนตรง

p(x) = ax+ b

ซงการรคาของ function แค 2 จดกเพยงพอจะรคาทจดอนๆทกจด หรอสำหรบparabola

p(x) = ax2 + bx+ c

การรคาแค 3 จดกเพยงพอจะรคาอนๆทกจดเชนกน โดยทวไปแลวสำหรบ polyno­mial ทม degree n เปนการเพยงพอทเราจะรคาของ polynomial ตวนนทจดทแตกตางกน n+ 1 จดเพอจะแกสมการหา function กอนเดมทงกอนได

หลายๆ function คาจรง f : D → R (ในทน D ⊆ R) ทมสมบตดพอ (เรยกวา real analytic function) สามารถขยายนยามของมนใหโดเมนใหญกวาเดมไดคอขยายไปเปน (complex) analytic function f : Ω → C เมอ D ⊂ Ω ⊆ Cโดยอาศยสมบตของ analytic function ทวา “คาของ f ของจดทอยไกลๆกนสงผลถงกนได” โดยใหคาของ f บน D ‘แพรกระจาย’ไปยงสวนอนๆใน C ซงกรรมวธนมชอเรยกวา Analytic Continuation27 ขางลางนจะเปนตวอยางของผลลพทของการทำ analytic continuation

25สำหรบผอานทสนใจเงอนไขวา C เปน curve แบบไหนไดบาง เงอนไขตรงนคอนขาง gen­eral มากขนกบวธพสจน Cauchy’s formula เชนถาใช Stokes’ theorem เราสามารถให Λ เปนdomain ทมขอบเปน piecewise C1 Jordan curves, f ∈ C1(Λ) เปน analytic function ในneighbourhood ของ Λ และ C = ∂Λ เปนขอบของโดเมนน (oriented positively)

26ผอานทมความรเรอง PDE อาจจะสงเกตวาสมบตนคลายๆ harmonic functions (functionทสอดคลองกบ Laplace equation) ซงสาเหตเปนเพราะ analytic functions กบ harmonic func­tions มความสมพนธกนใกลชดมาก เชนถา f = u + vi เปน analytic function แลว u, v จะเปนharmonic functions

27นยามเตมๆยงยากเกนไปแมแตจะใสใน footnote ตรงน ผสนใจสามารถหาอานเพมเตมไดในwikipedia เปนตน

26

ตวอยาง 3.1. • หลายๆ functions คาจรงทเรารจกดสามารถ “แทนคา x ดวยz” ไปไดเลย เชนเหลา polynomials ทงหลายทนยามบน D = R จะขยายใหโดเมนเปน Ω = C ได นนกคอ p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · · + anxn

ขยายไปเปน p(z) = a0 + a1z+ a2z2 + · · ·+ anz

n เชน p(x) = x2 ขยายเปนp(z) = z2

• ไมใชทก function ขยายไปเปน analytic function ได เชน f(x) = |x|ไมสามารถขยายใหเปน f(z) = |z| โดยการ‘แทนคา’แบบขางบนได สาเหตเพราะวา f ดงเดมมสมบตดไมพอทจะขยาย (นนกคอ f หาอนพนธไมไดทจดx = 0 แต analytic function ตองหาอนพนธไดเรอยๆไมรจบภายในโดเมน)

• function อยางเชน f(x) = ex สามารถเขยนในรป Taylor series กอนจงแทนคา x ดวย z นนกคอเรารวา

ex =∞∑k=0

1

k!xk

มโดเมนคอ D = R เราจงขยายโดเมนเปน Ω = C โดยนยามให complexexponential เปน

ez =∞∑k=0

1

k!zk

• trigonometric function อยาง f(x) = cos(x) จะใชทรกแบบขางบนกไดหรอใชการสงเกตวา

cos(x) = 1

2(eix + e−ix)

ดงนนเราสามารถนยาม complex cosine เปน

cos(z) = 1

2(eiz + e−iz)

โดยอางองนยามของ complex exponential ขางบน (sin(x) กทำไดแบบเดยวกน) ในกรณน D = R และ Ω = C เชนเคย

27

• ตวอยางทนาสนใจกวาคอ f(x) = log(x) ซงมโดเมนคอ D = (0,∞) (ในทนผเขยนใชสญลกษณ log แทน logarithm ฐานธรรมชาต) สามารถขยายไปเปน

Log(z) = log |z|+ i arg(z)

ได โดยท arg(z) หมายถงมมของ z ททำกบแกนจรงในระนาบเชงซอน (มกนยมให arg(z) ∈ (−π, π]) ซงโดเมนของ Log : Ω → C คอ Ω = C\(−∞, 0]

ซงแปลไดวาทงระนาบเชงซอน C หกลบอกดวยเสนตรงทเรมจาก 0 และยาวไปจน −∞28

ตวอยางทกลาวมาขางบน (ไมรวมกรณ f(x) = |x|) เหลานคอกรณทเราสามารถหาสตรสวยๆใหกบการทำ analytic continuation ได แตโดยทวไปแลวสวนมากเราไมสามารถหาสตรสวยๆไดทครอบคลมทกจดใน Ω แมวา function ตงตนจะสามารถทำ analytic continuation ไดกตาม เชน Riemann zeta function ζ(z)

ซงเราจะกลาวถงมนอกทขางลาง

แลวทเกรนมาตงนานมนเกยวกบ 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 ตรงไหน? คำตอบกคอในทางคณตศาสตรแลวบอยครงทเรานยม encode ขอมลท discrete ลงไปใน function ตอเนองสวยๆซกตวทมสมบตด (เชนหาอนพนธไดหรออะไรทำนองนน)เชนลำดบ Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . ทเลขตวถดๆไปเกดจากการเอาเลข2 ตวกอนหนามนมาบวกกนสามารถถก encoded ลงไปใน generating functionG(t) = t

1−t−t2ได29 ซงเจา G(t) นเปน function ตอเนองท‘เกบขอมล’ของลำดบ

เอาไว และเราสามารถศกษาลำดบเดมผานการศกษา G ไดและบอยครงการศกษา G

จะใหขอมลทนาสนใจหลายอยางเกยวกบลำดบเดมมอกหลายตวอยางของการพยายามแปลง discrete object ใหกลายเปน con­

tinuous object ซงหนงในนนคอการแปลง factorial function (·)! : N → N ซง28ในกรณนเปนไปไมไดทจะขยายโดเมนของ Log ไปจนเตม C เพราะวา z = 0 คอจด branch

point ของ Log เราจงจำเปนตองมเสนทไมสามารถนยาม function ได นยมลากใหเสนทวานเปนเสนตรง (−∞, 0] แตจรงๆลากเสนอนกไดขนกบ arg(z) อกทนงวาเรานยามมนมายงไง

29ลำดบ Fibonacci เปนกรณพเศษนงของ linear recurrence relations ซงสามารถถก en­coded ไดในทำนองเดยวกน ผอานทสนใจอาจจะอยากศกษาเพมเตมเรองการเกบขอมลของลำดบเหลานดวย generating functions

28

นยามโดยn! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 2 · 1

ใหเปน function ตอเนองดๆซกตว30 ทแทนคาได f(n) = n! ซงคนแรกทแกปญหานไดคอ Euler โดยเคาคนพบวา f(x) = Γ(x+1) มสมบตดงกลาว ซง Γ: (0,∞) → Rตวนมชอเรยกวา Gamma function และมนยามคอ

Γ(x) =

∫ ∞

0

tx−1e−t dt (5)

ซงสมบตขอนงของ function นคอ Γ(x + 1) = xΓ(x) เมอ x > 0 (พสจนไดดวยintegration by parts) สามารถมองเปน continuous version ของ n! = n·(n−1)!

ได (เพราะวา Γ(n+ 1) = n!)จะเหนวานยามเบองตนของ Gamma function มโดเมนคอ D = (0,∞) ⊂ R

เพราะถา x ≤ 0 แลว integral ทางฝงขวามอของสมการ (5) จะลออก อยางไรกดเราสามารถใชกระบวนการ analytic continuation กบ Gamma function เพอขยายโดเมนของมนไปเปน subset ของระนาบเชงซอนได ซงปรากฎวา Gamma functionขยายไปเปน function Γ: Ω → C ซงมโดเมนคอ Ω = C\. . . ,−3,−2,−1, 0 นนกคอ Γ(z) สามารถหาคาไดทกคาบนระนาบเชงซอนยกเวนจำนวนเตบลบ(รวมถงเลข0 กหาคาไมได)

หมายเหต 3.4. • กรณของผลลพททไดจาก Gamma function จะแตกตางจากตวอยางกอนๆหนาตรงทการดดแปลงสมการ (5) โดยการแทนคา x ดวย z ลงไปตรงๆไมอาจจะใชคำนวนทกคาของ Γ(z) บนโดเมน z ∈ Ω = C\. . . ,−2,−1, 0เพราะสตร

Γ(z) =

∫ ∞

0

tz−1e−t dt (6)

ใชไดกรณ ℜ(z) > 0 เทานน แปลวาตองใชวธอนในการคำนวนคา Γ(z) กรณℜ(z) ≤ 0

30คำวา‘ดๆ’ในท น ม ความหมายท คอนขางซบซอนไปนดท จะอธบายเพม เตมตรงน ทฤษฎทเกยวของคอ Bohr–Mollerup theorem ซงผอานทสงสยสามารถคนหาเพมเตมดในสวนนไดปล. Bohr เจาของทฤษฎนคอ Herald Bohr นองชายของ Niels Bohr นกฟสกสทโดงดง

29

เชนการใชความสมพนธ Γ(z +1) = zΓ(z) แบบยอนกลบ31 หรอใชสตรอนๆทมคนคดมาแลวทครอบคลมไปถงกรณ ℜ(z) ≤ 032

• โดเมนของ Gamma function ในตอนแรกคอ D = (0,∞) ซงเปน subsetของ R และไมสามารถใชสมการ (5) ในการคำนวนคา Γ(x) เมอ x < 0 ไดแตวา Gamma function ททำการขยายโดเมนดวย analytic continuationนนสามารถคำนวน Γ(x) เมอ x < 0 ได (ยกเวนกรณ x เปนจำนวนเตม)

วธนงทอาจจะชวยใหเขาใจปรากฎการณนไดคอการมองวาสาเหตทโดเมนของ Γ ในฐานะ function คาจรงคอ (0,∞) นนเปนเพราะวาเลข 0 ทำตวเปนเหมอน‘กำแพง’ปองกนไมใหเราสามารถนยาม Γ(x) เมอ x < 0 ไดตรงๆ แตวาการทำ analytic continuation ทำใหเรา‘ออม’กำแพงนไปได33(จนตนาการวาเราออมขนไปบน complex plane แลวยอนกลบลงมาทจำนวนจรงลบอกท) จงทำใหเราสามารถนยามคา Γ(x) เมอ x < 0 ได

ทกลาวมมาขางตนทงหมดคอการปพนส Riemann zeta function ซงจะเปนตวเอกของเราในบทยอยนทจะมาชวยตความการเขยน 1+2+3+4+ · · · = −1/12

ผอานหลายทานนาจะรจกอนกรม p (หรอ p­series) จากการเรยนม.ปลายหรอมหาลยตอนตน ซงอนกรมเหลานจะอยในรป

∞∑n=1

1

np= 1 +

1

2p+

1

3p+

1

4p+ . . .

31ตวอยางเชนถาเราจะคำนวน Γ(−1.5 + i) กใชความสมพนธ Γ(z) = Γ(z+1)z สองครงเพอผลก

ให ℜ(z) > 0 แลว integrate หา Γ(0.5 + i) เอาจากสมการ (6)

Γ(−1.5 + i) =Γ(−0.5 + i)

(−1.5 + i)=

Γ(0.5 + i)

(−0.5 + i)(−1.5 + i)

32เชนสตร Γ(z) = 1z

∏∞k=1

(1+ 1n )z

1+ zn

โดย Euler (อกแลว)33การเปรยบเปรยถงการ‘ออมกำแพง’ทกลาวไปขางตนนตรงกบนยามของการทำ analytic con­

tinuation แบบเตมๆ โดยการทำ analytic continuation นนเราจะสราง path จากจดท analyticfunction หาคาไดไปยงสวนทหาคายงไมไดโดยการกระจาย Taylor series ซำๆและเปลยนจด cen­ters ไปเรอยๆจนทำใหได path ทหนาตาเปนวงกลมเชอมกนเปนปลองๆ(คลายๆหนอนผเสอตวยาว)สวนกำแพงทวานนคอพวก poles หรอ branch points ทงหลาย

30

โดยท p เปนจำนวนจรงในชวง [1,∞) โดยกรณท p = 1 จะมชอพเศษคอ harmonicseries ซงกรณนมกจะนำมาใชเปนตวอยางของอนกรมทลออก ในขณะทกรณ p >

1 นนอนกรม p จะลเขา (กรณ p < 1 ไมนยมนบเปนอนกรม p เพราะพวกนนลออกทงหมด มแตกรณ p = 1 ทแมวาจะลออกแตกยงนบเปนอนกรม p)

เนองจากเราทราบวาอนกรม p ลเขา (ในความหมายมาตรฐานตามนยามในบทท2) สจำนวนจรงบางตวถา p > 1 เราจงสามารถนยาม zeta function34 เปน func­tion ζ : (1,∞) → R ซงใหคาออกมาเปนผลบวกของอนกรม p หรอกคอ

ζ(s) = 1 +1

2s+

1

3s+

1

4s+ . . .

จะเหนไดวาตามนยามนเราไมสามารถแทนคา s ≤ 1 เขาไปใน function ไดเพราะคา s เหลานนอยนอกโดเมนของ ζ หรอถาจะพดเปรยบเปรยแบบเดยวกบกรณของGamma function จะเหนวา s = 1 ทำตวเปน‘กำแพง’ขวางไมใหเราคำนวนคากรณs < 1 ได35

อยางไรกด เจา zeta function บนโดเมน D = (1,∞) มสมบตดพอ (นนคอมนเปน real analytic function) เราจงใชเทคนคการทำ analytic continuation เพอขยายโดเมนของมนไดไปเปน ζ : Ω → C โดยท Ω = C\1 ซงกคอทง complexplane ยกเวนทจดเจาปญหา z = 1 แตแมวาโดเมนของ ζ หลงทำการขยายโดเมนแลวจะใหญมาก การคำนวนคาของมนกลบไมใชเรองงายๆเพราะวาสตรทเกดจากการแทนคา s ดวย z

ζ(z) = 1 +1

2z+

1

3z+

1

4z+ . . .

ใชงานไดเมอ ℜ(z) > 1 เทานน ในบรเวณอนๆสตรนจะใชงานไมไดแลวและเราตองหาวธอนๆมาคำนวน โดยวธนงทเราจะกลาวถงขางลางคอการใช functional equationทเกยวของในการคำนวนคาของมน

34สาเหตทชอเตมๆของ function นคอ Riemann zeta function แมวาคนทศกษามนอยางจรงจงคนแรกจะเปน Euler (อกแลว) นนเปนเพราะวา Euler ศกษา function ตวนในฐานะ functionคาจรงเปนหลก แต Riemann ไปไกลกวาอกขนโดยไดขยายโดเมนของ function ตวนดวย ana­lytic continuation ไปเกอบทวทง complex plane และเปนคนทตงชอเจา function นวา ‘zetafunction’ ซงภายหลงกลายเปนสญลกษณทเปนทนยม

35ในภาษาคณตศาสตรเราเรยก s = 1 วาเปน pole ของ zeta function

31

เจา function ζ นมความลกลบหลายอยางซอนอยแมในกรณทดเหมอนจะงายอยาง ζ(n) เมอ n ∈ N\1 ปจจบนเรายงมความเขาใจคอนขางนอยเกยวกบคาของ ζ(z) สำหรบกรณ z เปนจำนวนเตมบวกค (ทมากกวา 1) ซงกลบกนกบกรณจำนวนเตมบวกคทเรารวา

ζ(2) = 1 +1

22+

1

32+

1

42+ . . . =

π2

6

ζ(4) = 1 +1

24+

1

34+

1

44+ . . . =

π4

90

และเรายงมสตรสำหรบคาของ ζ(2n) ใดๆในรปของ π2n และ B2n (B ในทนแทนBernoulli number)36 แตสำหรบกรณท z เปนเลขค (ทมากกวา 1) ยงไมม closedform สวยๆแบบน กรณ z = 3 เรารวาคา

ζ(3) = 1 +1

23+

1

33+

1

43+ . . . = 1.2020569031 . . .

เปนจำนวนอตรรกยะ37 แตโดยทวไปแลวเราไมรดวยซำวา ζ(2n+1) เปนจำนวนอตรรกยะเสมอทกๆ n ∈ N หรอไม! แมแตจำนวนคไมกตวแรกอยาง ζ(5), ζ(7), ζ(9) และζ(11) เรายงไมสามารถบอกไดวาทง 4 ตวนเปนจำนวนอตรรกยะทกตว38

สงททำให Riemann zeta function เปนทนาสนใจมากๆสำหรบนกคณตศาสตรสาเหตนงมาจากการท function น encode ขอมลของจำนวนเฉพาะเอาไว แมวาดเผนๆจะเหมอนไมนาจะมาเกยวกนได ตองขอบคณทาน Euler (อกแลว) ทไดพสจนวา ζ เขยนในรปผลคณอนนตไดเปน

ζ(z) =∏

p prime

(1− 1

pz

)−1

=

(2z

2z − 1

)(3z

3z − 1

)(5z

5z − 1

)(7z

7z − 1

)(11z

11z − 1

). . .

36สตรทวไปคอ ζ(2n) = (−1)n+1B2n(2π)2n

2(2n)! ซงตองขอบคณ Euler (อกแลว) สำหรบสตรพวกน37คา ของ ζ(3) = 1.20205 . . . เปนท รจก กน ในนาม Apéry’s constant ตามชอ ของนก

คณตศาสตรทพสจนไดวามนเปนจำนวนอตรรกยะ38แตเรารวาอยางนอยๆ 1 ตวใน 4 ตวนเปนจำนวนอตรรกยะ ทฤษฎนพสจนโดย Zudilin

32

เมอ ℜ(z) > 1 ซงแสดงใหเหนวา zeta function มความลบของจำนวนเฉพาะซอนอย กลาวกนวาใครทเขาใจ function นอยางแทจรงก(เกอบ)จะเขาใจการกระจายตวของจำนวนเฉพาะ39 มหนงสอหลายเลมทอทศทงบท(หรอทงเลม)ใหกบ Riemannzeta function ซงนาจะทำใหผอานพอเหนภาพวา function ตวนมความนาสนใจมากขนาดไหน

Riemann zeta function มาเกยวกบการตความหมายของ divergent series1 + 2+ 3+ 4+ . . . ตรงทอนกรมนดนมหนาตาเหมอนกบการดงดนแทนคา s = −1

ลงไปในสตรผลบวกดงเดมของ zeta function แมวา s = −1 จะอยนอกโดเมนกตามเรามาทวนความจำกนอกครงวาสตร

ζ(s) = 1 +1

2s+

1

3s+

1

4s+ . . .

เปนสตรการคำนวนคาสำหรบนยามเดม (กอนถกขยายดวย analytic continuation)ของ function ζ : (1,∞) → R (แมวาเราจำขยายโดเมนไปเปน Ω = C\1 แลวสตรนกยงใชไดเมอ ℜ(s) > 1 เทานน) อยางไรกดเรามาลมความสมเหตสมผลทงหมดไปกอนและลองหลบหหลบตาแทนคา s = −1 ลงไปในสตรขางบน จะไดวา

ζ(−1) = 1 +1

2−1+

1

3−1+

1

4−1+ . . .

= 1 + 2 + 3 + 4 + . . .

ซงจะทำใหไดวา 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = ζ(−1) ซงเปนเทจถาเราตความหมายการบวกตามนยามมาตรฐาน (limit of partial sums ในบทท 2) เพราะวา s = −1 อยนอกโดเมนทใชสตรนได

อยางไรกด สงทเราอาจทำไดคอการนยามสญลกษณ 1+ 2+ 3+ 4+ . . . ใหมโดยสนเชงเลย โดยไมตองใหมนสอถงการบวกจรงๆดวยซำ แตเราจะนยามใหมนมคาเปน ζ(−1) ไปเลย นนกคอเราจะนยามให

1 + 2 + 3 + 4 + · · · = ζ(−1)

39หนง ในปญหาท โดงดงทสดในยคนคอ Riemann hypothesis นน เกยวของโดยตรงกบการคนหาทกจด z ∈ C ททำให ζ(z) = 0 ซงถาใครแกไดกรบเงน 1 ลานดอลลาหสหรฐไปเลย

33

ไปเลยโดยอางองจากสตร ζ(z) = ∑∞n=1 n

−z (ซงจรงๆใชงานไดเฉพาะเมอ ℜ(z) > 1)โดยใหเขาใจวาสญลกษณ 1−z + 2−z + 3−z + . . . ไมไดสอถงการบวกจรงๆแตอยางใด แตสอถงคาของ ζ(z) ทเกดจากการทำ analytic continuation เวลาเราแทนคาz ∈ C ท ℜ(z) ≤ 140

เมอเราตความหมายของสญลกษณ 1 + 2 + 3 + 4 + . . . ใหมตามนแลว ขนตอนสดทายคอการคำนวนคาของ ζ(−1) เพอจะไดเสรจสนกระบวนการ ทงนเราจะมาคำนวน ζ(z) เมอ z = −1 โดยใช functional equation

ζ(z) = 2zπz−1 sin(πz2

)Γ(1− z)ζ(1− z)

โดยท Γ ในสตรนคอตวเดยวกบเจา Gamma function ทเราพดถงกอนหนา จากสตรนทำใหเราคำนวนไดวา

ζ(−1) = 2−1π−1−1 sin(π(−1)

2

)Γ(1− (−1))ζ(1− (−1))

=1

2

1

π2sin

(−π

2

)Γ(2)ζ(2)

=1

2π2· (−1) · 1! · π

2

6

= − 1

12

และนคอการตความหนงของการเขยน 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12

หมายเหต 3.5. ถาเราใชการตความสญลกษณ 1−s+2−s+3−s+ . . . แทน (analyticcontinuation ของ) ζ(s) เรากจะไดอะไรทดแปลกๆอกหลายตว เชน

1 + 1 + 1 + 1 + . . . = ζ(0) = −1

2,

1 + 4 + 9 + 16 + . . . = ζ(−2) = 0

ซงกอาจจะมประโยชนในบางสถานการณ(ท ไมปกต เทาไหร) แตตองจำไว เสมอวาสญลกษณพวกนไมไดสอถงการบวกจรงๆ

40การกระทำแบบนเรยกกนวา abuse of notation หรอกคอการใชสญลกษณในความหมายทไมถกตองเปะๆ เหมอนการพดถง limit ของลำดบผลหาร limn

an

bnทอยในรป 0

0 หรอ ∞∞ อะไรพวกนน

เวลาใชกฎของ L’Hospital ทไมไดหมายถงการเอา 0 มาหาร 0 จรงๆ แตเปนแคการเขยนยอๆของประโยคยาวๆทวา “ลำดบ an และ bn แยกกนแลวม limit ทงคโดยท limn an = 0 และ limn bn = 0”ฯลฯ

34

สรปทายบท ในบทยอยสดทายท 3.3 นเราไดทำการตความอนกรม 1+2+3+4+

· · · = −1/12 ในวธทแตกตางโดยสนเชงกบวธการในบทท 3.1 (การตความอนกรม1− 1+1− 1+ · · · = 1/2) และ 3.2 (การตความอนกรม 1+2+4+8+ · · · = −1)เพราะในกรณของ 1 + 2 + 3 + 4 + . . . นไมเกยวของกบการบวกเลขในอนกรมเลยกวาได

ในบทท 3.1 เราไดใหความหมายใหมกบการบวกอนกรมอนนต เพราะการบวก1−1+1−1+. . . แบบปกตตามนยามมาตรฐานในบทท 2 ไมลเขา เราจง ‘upgrade’การบวกไปเปนการบวกแบบ Cesàro และแบบ Hölder ซงการบวกแบบใหมเหลานใหผลลพธทนาพอใจสำหรบอนกรม 1− 1 + 1− 1 + . . . ของเรา

สำหรบบทท 3.2 เราไมเปลยนความหมายของการบวกโดยยงคงใชนยามมาตรฐานจากบทท 2 แตเราเปลยนความหมายของตวเลขในอนกรม 1+ 2+4+8+ . . . แทนโดยมองวาเลขเหลานมาจากโลกของ (Q, | · |2) ซงคลายๆโลกแหงจำนวนตรรกยะธรรมดาทเรารจกดแตวาขนาดของตวเลขในโลกนตางออกไป (2n เลกๆลงเรอยๆแทนเมอ n มคามาก) ดวยวธการนทำใหเราสามารถบวกอนกรม 1 + 2 + 4 + 8 + . . . ได

บทท 3.3 ตางจากกรณกอนหนาตรงทเราไมไดเปลยนความหมายของการบวกหรอความหมายของตวเลขในอนกรม 1 + 2 + 3 + 4 + . . . แตเราเปลยนความหมายของทงสญลกษณไปเลย ดวยการตความใหมนการเขยน 1−s+2−s+3−s+4−s+ . . .

ไมไดสอถงการบวกอกตอไปแลว และเลข 1, 2, 3, 4, . . . กไมไดเอามาใชในการคำนวนดวยซำ แตเราพจารณา function ζ : (1,∞) → R ทนยามโดย ζ(s) = 1−s +

2−s + 3−s + . . . และสอถงการบวกจรงๆเมอ s > 1 แลวจงคอยขยายโดเมนมนไปเกอบทวทง complex plane ดวยเทคนคทเรยกวา analytic continuation และนยามสญลกษณ 1−s +2−s +3−s + · · · = ζ(s) ไปเลยดวยการ abuse of notationดวยการทำแบบนเราจงไดวา 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = ζ(−1) โดยนยามใหมของเรา

การตความอนกรมทง 3 อนกรมทเปนพระเอกของบทท 3.1, 3.2 และ 3.3 ดวย3 วธการตความทแตกตางกนทผ เขยนไดอธบายไว(อยางยดยาว)เปนเพยงตวอยางการตความ divergent series ทผเขยนคดวาอธบายไมยากเกนควรเทานน ศาสตรของ divergent series นกวางใหญมากและมอกหลายวธทนาสนใจแตผเขยนไมไดเลาใหฟงเพราะอาจจะยาวเกนหรอยากเกนไป ผอานหลายคนคงจะคดสงสยวาเราจะพยายามตความอนกรมทลออกไปทำไม? ในบทสดทายทจะถงนเราจะมาดประโยชนการใชงานบางประการทนาสนใจของ divergent series กน

35