distribuciones multivariadas de tiempos de vida de objetos

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

Escuela Superior de Fısica y Matematicas

Seccion de Estudios de Posgrado e Investigacion

Distribuciones multivariadas de tiempos devida de objetos nuevos y usados

TESISQUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIASCON ESPECIALIDAD EN MATEMATICAS

PRESENTA

HECTOR ROJAS LUNA

Director de TesisDr. Jose Marıa Rocha Martınez

Mexico, D. F. Enero de 2011

Agradecimientos

Esta tesis esta dedicada a mis padres y hermanos por todo suapoyo, carino y comprension.

Tambien quiero agradecer de manera muy especial

A todos mis amigos por su companıa y colaboracion brindada.Se que siempre puedo contar con ellos.

A tod@s mis maestr@s por su disposicion y ayuda brindadas.

Al Dr. Jose Marıa Rocha Martınez por su confianza, pacienciay ayuda proporcionada.

Al Instituto Politecnico Nacional y a la Escuela Superior deFısica y Matematicas por todas las facilidades otorgadas parala elaboracion de este trabajo de tesis.

Indice general

Resumen 1

Abstract 2

Introduccion 3

1. Probabilidad 71.1. Espacios de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3. Distribuciones univariadas . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4. Distribuciones multivariadas . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.5. Variables aleatorias independientes . . . . . . . . . . . 141.1.6. El concepto de esperanza . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2. Fiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.1. Funciones de vida de sistemas coherentes . . . . . . . . 181.2.2. Trayectorias y cortaduras . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.3. Las clases IFR e IFRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.4. La Clase MIFRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Distribuciones MNBU 392.1. La clase NBU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2. La clase MNBU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3. Caracterizaciones de la clase MNBU . . . . . . . . . . . . . . 512.4. Propiedades de Cerradura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

iii

3. Distribuciones MNBU alternativas 753.1. Extensiones multivariadas de clases univariadas . . . . . . . . 753.2. Otras extensiones multivariadas para la clase NBU . . . . . . 833.3. Extensiones multivariadas para otras clases de distribuciones

de vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Conclusiones 90

Bibliografıa 92

iv

RESUMEN

Se introduce una clase de distribuciones de vida multivariadas MNBU(Multivariate New Better than Used). Se demuestra un resultado que pro-porciona un numero de condiciones necesarias y suficientes para que una dis-tribucion multivariada pertenezca a esta clase. Dichas condiciones se puedenver como analogas a las condiciones que Block y Savits han propuesto paradefinir a la clase de distribuciones MIFRA (Multivariate Increasing FailureRate Average). Se demuestran algunas propiedades generales para la claseMNBU y se analizan en detalle algunos ejemplos especıficos de interes dedistribuciones de clase MNBU. Se discute tambien como otras posibles ex-tensiones multlivariadas de la clase NBU (New Better than Used), incluyendola extension introducida anteriormente en este trabajo, pueden ser obtenidasde manera sistematica a partir de ciertas consideraciones generales.

ABSTRACT

A class MNBU (Multivariate New Better than Used) of multivariate life-time distributions is introduced in this work. Among other results, a resultwhich provides a number of necessary and sufficient conditions for a mul-tivariate distribution belongs to this class is proved. Those conditions canbe seen as analogues of conditions that Block and Savits have proposed fordefining a class MIFR (Multivariate Increasing Failure Rate Average) of mul-tivariate distributions. Some results concerning general properties of the classMNBU are proved and some specific examples of interest of distributionsMNBU are analyzed in detail. How other possible multivariate extensions ofthe univariate class NBU (New Better than Used), including the extensionintroduced earlier in this work, can be obtained systematically from certaingeneral considerations is also discussed.

Introduccion

Un problema de interes en Teorıa de Fiabilidad es el de modelar distintasnociones de envejecimiento. En la practica, las nociones de envejecimientose relacionan con problemas de fatiga de los materiales, desgaste de piezas,oxidacion de partes, mortandad infantil, etc. En terminos no formales el en-vejecimiento es entendido como un empeoramiento de las caracterısticas deejecucion y/o como un incremento gradual del riesgo de falla. Varios con-ceptos matematicos se han empleado para modelar y analizar eficientementealgunas nociones de envejecimiento, como lo son la vida residual, la funciontasa de falla y el orden estocastico. En las ultimas decadas se han estudia-do varias clases de distribuciones de vida asociadas a distintas nociones deenvejecimiento basadas en diferentes propiedades que pudiera tener la fun-cion tasa de falla o la vida residual de un objeto de edad t. El concepto defuncion tasa de falla r(t) asociado a una distribucion de vida de un objeto,definido formalmente como r(t) = f(t)/F (t), es utilizado en la actuarıa, laestadıstica y en la teorıa de fiabilidad (tambien llamada tasa de riesgo, fuerzade mortalidad, etc.). La cantidad r(t)∆t es aproximadamente la probabilidadcondicional de falla del objeto en un intervalo (t, t+ ∆t) dado que funcionaal tiempo t, para ∆t arbitrariamente pequeno.

Una de las clases mas estudiadas en la literatura es la clase de distribu-ciones de vida con funcion tasa de falla creciente o IFR (increasing failurerate). La propiedad IFR significa que el objeto envejece paulatinamente a lolargo del tiempo sin posibilidad alguna de recuperacion, como serıa el des-gaste de una pieza. Sin embargo, la propiedad IFR es un tanto restrictivay carece de propiedades de cerradura importantes bajo algunas operacionesnaturales en Teorıa de Fiabilidad, como lo es la formacion de sistemas co-herentes. Es debido a esto que la clase IFR ha dado lugar al estudio de otrasclases de distribuciones de vida basadas en diferentes propiedades de la fun-cion tasa de falla, como la clase IFRA (increasing failure average rate) la cual

Introduccion 4

requiere que la funcion tasa de falla de un objeto sea creciente en promedioa lo largo del tiempo, que resulta ser cerrada bajo la formacion de sistemascoherentes.

Por otra parte, frecuentemente se emplean polıticas de mantenimientopara mejorar el desempeno de un sistema y para reducir la incidencia defallas en un sistema. Por ejemplo, para unidades cuyo desempeno se deterioracon la edad frecuentemente resulta de utilidad reemplazar las unidades antesde que estas fallen. Dos metodos para llevar esto acabo se hacen mediante eluso de las polıticas de reemplazamiento por edad y por bloque. Dos clases dedistribuciones de tiempos de vida de unidades que se presentan de maneranatural al comparar polıticas de reemplazamiento son aquellas cuyos tiemposde vida resultan ser mejores nuevas que usadas o bien NBU (new better thanused) y las que son mejores nuevas que usadas en promedio o bien NBUE(new better than used in expectation).

Otro problema de interes en Teorıa de Fiabilidad es el de modelar distin-tas nociones de envejecimiento para un conjunto de varios objetos a la vezal paso del tiempo cuyos tiempos de vida pueden o no ser dependientes. Porejemplo, se han formulado distintas extensiones multivariadas de una mismaclase de distribuciones de vida univariadas basadas en alguna nocion de en-vejecimiento, como por ejemplo, las clases IFR e IFRA. Autores como Blocky Savits [6] han propuesto una clase de distribuciones de tiempos de vidacon tasa de falla creciente en promedio multivariada o bien, MIFRA (multi-variate increasing failure rate average). Esta clase contiene una rica variedadde tiempos de vida multivariados y tambien satisfacen todas las propiedadesfundamentales que esperarıamos obtener para una clase multivariada IFRA.Por su parte, algunas extensiones multivariadas de la clase NBU o bien MN-BU (multivariate new better than used) que existen han sido discutidas porMarshall y Shaked [17], quienes hacen una extension multivariada de la claseNBU a traves del concepto multivariable de modelos de choque. Trabajospara la extension multivariada de la clase NBUE han sido hechos de maneraanaloga por Block y Savits [4].

Para ejemplificar un poco de esto tenemos que aunque muchos tipos desistemas pueden ser formados usando componentes independientes, resultasin embargo, que solamente en casos muy especiales la distribucion del tiempode vida de tales sistemas puede ser exponencial si las componentes tienen una

Introduccion 5

tasa de falla creciente en promedio, esto es, son IFRA. En particular Block ySavits muestran en [5] que si la distribucion del tiempo de vida de un sistemamonotono formado con componentes independientes IFRA es exponencialentonces se trata esencialmente de un sistema en serie con componentes queson exponencialmente distribuidos. En el caso de sistemas cuya distribucionde tiempo de vida esta dada por la suma de sus componentes se puede obtenerun resultado similar.

En este trabajo desarrollaremos una extension multivariada de la clase dedistribuciones NBU (propuesta por Shaked [18]) y presentaremos un resulta-do (Teorema 2.1) que nos proporciona un numero de condiciones necesariasy suficientes para que una distribucion sea miembro de esta clase, dichascondiciones son un analogo de las condiciones que Block y Savits [6] hanpropuesto para definir a la clase de distribuciones MIFRA, y con las cualeslos resultados descritos en el ejemplo anterior resultan ser solamente casosparticulares de este teorema. Se demuestran algunas propiedades generalespara la clase MNBU y se analizan en detalle algunos ejemplos especıficos deinteres de distribuciones de clase MNBU. Se discuten tambien otras posiblesextensiones multivariadas para la clase NBU (New Better than Used) quepueden ser obtenidas de manera sistematica a partir de ciertas considera-ciones generales que incluyen a la extension discutida en este trabajo. Paraser mas especıficos, el presente trabajo se desarrolla en tres capıtulos.

En el Capıtulo 1 comenzaremos con los preliminares necesarios concernientesa la Teorıa de Probabilidad y posteriormente para la Teorıa de Fiabilidad quenecesitaremos para el desarrollo de este trabajo tales como la probabilidadcondicional, funciones de distribucion tanto para el caso univariado como elmultivariado, variables aleatorias independientes y el concepto de esperan-za. En el caso de la Teorıa de Fiabilidad comenzaremos con la definicionde funcion de vida de sistemas coherentes y la fiabilidad de estos sistemas.Luego daremos la definicion de la clase IFR y su relacion con la clase IFRA,veremos algunos ejemplos clasicos de elementos de estas clases y finalmentedescribiremos en que consiste la extension propuesta Block y Savits [6] paradefinir a la clase de distribuciones MIFRA.

En el Capıtulo 2 primeramente discutiremos para el caso univariado, al-gunas de las aplicaciones y propiedades de la clase de distribuciones NBUy la relacion que guarda con la clase IFRA, luego a partir de las ideas de-

Introduccion 6

sarrolladas por el trabajo de Block y Savits vistas en el Capıtulo 1 intro-duciremos una clase multivariable de distribuciones con marginales NBU yproporcionaremos un numero de condiciones necesarias y suficientes paraque una distribucion sea miembro de esta clase. Veremos tambien resultadosde cerradura que nos seran de utilidad para la identificacion o la construc-cion de miembros de esta clase. En particular, obtendremos pruebas simplesde algunos resultados de preservacion bien conocidos para la clase de dis-tribuciones univariadas NBU. Finalmente analizaremos un par de ejemplosde modelos de reemplazamiento como casos particulares de este tipo de dis-tribuciones multivariadas NBU.

En el Capıtulo 3 desarrollaremos una teorıa mas general de distribu-ciones que pertenecen a la clase MNBU y veremos algunos ejemplos de esto,posteriormente, utilizando esta teorıa introduciremos y estudiaremos otrasextensiones multivariadas NBU con lo cual veremos que el Teorema 2.1 delCapıtulo 2 es un caso particular derivado de estas condiciones. Veremos quealgunos de estos resultados tambien se aplican a la clase de distribucionesMIFRA y a la clase de distribuciones exponenciales, y nuevamente que algu-nas pruebas relacionadas a ciertas implicaciones bien conocidas referentes ala clase MIFRA propuestas por Esary y Marshall [11] seran simplificadas.

Capıtulo 1

Probabilidad

1.1. Espacios de probabilidad

Un fenomeno aleatorio es aquel que tiene la propiedad de que su obser-vacion repetida bajo un conjunto especıfico de condiciones no siempre con-ducen a un mismo resultado. La teorıa de probabilidad es la disciplina con-cerniente al estudio de modelos matematicos para describir a tales fenomenos.

Usualmente se utiliza una tripleta (Ω,F, P ), llamada espacio de prob-abilidad, para modelar un fenomeno aleatorio, donde Ω es un conjunto novacıo que representa al espacio muestral; F es una σ−algebra de subconjun-tos de Ω que representa a los eventos; y P : F → [0, 1] es una medida deprobabilidad que asigna a cada evento la probabilidad que tiene de ocurrir.

A la mınima σ−algebra sobre Ω que contiene a una coleccion E de sub-conjuntos de Ω se le llama la σ−algebra generada por E y se denota porσ(E).

1.1.1. Probabilidad condicional

Definicion 1.1. Sea (Ω,F , P ) un espacio de probabilidad. Dados dos eventosA,B ∈ F tal que P (B) > 0 la probabilidad condicional de A dado B se definecomo

(1.1) P (A|B) =P (A ∩B)

P (B).

Capıtulo 1. Probabilidad 8

En diversas aplicaciones (1.1) se usa en la forma equivalente P (A∩B) =P (A|B)P (B). Mas generalmente, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 1.1 (Ley de Multiplicacion). Si B1, . . . , Bn son eventos tales queque P (B1 ∩ · · · ∩Bn) > 0, entonces

P (B1 ∩ · · · ∩Bn) = P (Bn|B1 ∩ · · · ∩Bn−1) · · ·P (B2|B1)P (B1).

Definicion 1.2. Sea (Ω,F , P ) un espacio de probabilidad.Dados dos eventosA,B ∈ F se dice que A y B son eventos independientes si

P (A ∩B) = P (A)P (B).

En general, una familia arbitraria Aii∈I de eventos en F se dice que esindependiente si

P

(⋂

j∈J

Aj

)=∏

j∈J

P (Aj)

para todo subconjunto finito J ⊂ I.

1.1.2. Variables aleatorias

En diversas situaciones no son de tanto interes los resultados en sı mis-mos de un experimento aleatorio sino mas bien ciertos valores numericos (ovectoriales) asignados a los mismos. Se trata pues de funciones de un espaciomuestral en R o en R

n.

Definicion 1.3. Sea X una funcion de un espacio medible (Ω,F) en otroespacio medible (Ω′,G). Se dice que X es una funcion medible si

X−1(B) ∈ F , ∀B ∈ G.

En caso de estar definida una medida de probabilidad P sobre el espaciomedible (Ω,F), la funcion medible X se llama variable aleatoria.

En este trabajo usualmente consideraremos variables aleatorias que tomanvalores en (R,B(R)) o en (Rn,B(Rn)), donde B(Rn) denota a la σ−alge-bra de Borel en R

n la cual es generada, por ejemplo, por los intervalosn−dimensionales de la forma

(a, b] = x ∈ Rn|ak < xk ≤ bk, k = 1, . . . , n .

Si una variable aleatoria X toma valores en (Rn, B(Rn)) se dice que X esun vector aleatorio.


Definicion 1.4. Sea A ⊂ Ω. La funcion IA : Ω −→ R definida como

IA(ω) =

1 si ω ∈ A0 si ω /∈ A

se llama la funcion indicadora de A. La funcion indicadora IA es medible siy solo si A es medible, esto es, A ∈ F .

Proposicion 1.1. Con la notacion de la Definicion 1.3, suponga que G= σ(J ), para alguna coleccion J de subconjuntos de Ω′. Una condicion nece-saria y suficiente para que X sea medible es que

X−1(B) ∈ F , ∀B ∈ J .

Observacion 1.1. Como consecuencias inmediatas de la Proposicion 1.1tenemos los resultados siguientes.

(i) Una funcion X : (Ω,F , P ) → (R,B(R)) es una variable aleatoria si y solosi

(1.2) X ≤ x = X−1 [(−∞, x]] = ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x ∈ F , ∀x ∈ R.

En efecto, basta tomar en la Proposicion 1.1 a J = (−∞, x]|x ∈ R. Noteque la condicion (1.2) ademas de ser util para probar la medibilidad de fun-ciones especıficas, es una herramienta que permite demostrar propiedades decerradura en el conjunto de las funciones medibles, tales como que la suma,la diferencia, etc.

(ii) Sea X = (X1, . . . , Xn) : (Ω,F , P ) → (Rn,B(Rn)) una funcion. Se denotapor

X ≤ x = ω ∈ Ω|Xk (ω) ≤ xk, k = 1, . . . , n, ∀x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

Se tiene que X es un vector aleatorio si y solo si

X ≤ x ∈ F , ∀x ∈ Rn.

En efecto, basta tomar en la Proposicion 1.1 a

J = (−∞, x1] × · · · × (−∞, xn] |x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn .

(iii) Toda funcion continua X : (Rm, B(Rm), P ) → (Rn, B(Rn)) es unavariable aleatoria. En efecto, basta tomar en la Proposicion 1.1 a J como lacoleccion de todos los conjuntos abiertos de R

n. ⊳


1.1.3. Distribuciones univariadas

Definicion 1.5. Sea X : (Ω,F , P ) → (Ω′,G) una variable aleatoria. Sedefine una medida de probabilidad QX : (Ω′,G) → [0, 1], como

QX(B) = P (X ∈ B) = P (ω ∈ Ω|X(ω) ∈ B) = P (X−1(B)), ∀B ∈ G.

La distribucion de X se define como la medida de probabilidad QX (o Q sino hay peligro de confusion).

La distribucion de una variable aleatoria reduce el calculo de probabil-idades relacionadas con dichas variables, en espacios que pueden ser muygenerales, al calculo de probabilidades en (Ω′,G) el cual, como se dijo, usual-mente resultara ser (R,B(R)) o (Rn,B(Rn)).

Definicion 1.6. Se dice que una funcion F : R → [0, 1] es una funcion dedistribucion si F es creciente, continua por la derecha en todo punto,

lımt→−∞

F (t) = 0 y lımt→∞

F (t) = 1.

Definicion 1.7. Sea X : (Ω,F , P ) → (R,B(R)) una variable aleatoria. Lafuncion de distribucion de X, o funcion de probabilidad acumulada,se define como la funcion FX : R → [0, 1] dada por

FX(x) = P (X ≤ x), ∀x ∈ R.

La funcion de probabilidad de sobrevivencia de X, o funcion de fia-bilidad si X representa el tiempo de vida de algun objeto, se define como lafuncion

FX(x) = P (X > x), ∀x ∈ R.

Es facil probar que la funcion FX es una funcion de distribucion en elsentido de la penultima definicion. De no haber peligro de confusion se escribeF en lugar de FX .

Teorema 1.2. Si P es una medida de probabilidad sobre (R,B(R)), entoncesla funcion F : R → [0, 1] definida por

F (x) = P(−∞, x], ∀x ∈ R,

es una funcion de distribucion llamada la funcion de distribucion induci-da por P . Recıprocamente, si F : R → [0, 1] es una funcion de distribucion,entonces existe una unica medida de probabilidad P sobre (R,B(R)) y unavariable aleatoria X : (Ω,F , P ) → (R,B(R)) cuya funcion de distribucionFX coincide con P , es decir, FX(x) = F (x), ∀x ∈ R.


Distribuciones continuas univariadas

Definicion 1.8. Se dice que una funcion f : R → R medible no negativa esuna funcion de densidad si satisface

∞∫

−∞

f(t)dt = 1.

Definicion 1.9. Una funcion de distribucion F : R → [0, 1] se dice que esabsolutamente continua (con respecto a la medida de Lebesgue en R) siexiste una funcion f : R → R medible no negativa tal que

(1.3) F (x) =

∫ x

−∞

f(t)dt, ∀x ∈ R.

Es claro que la funcion f de la definicion anterior es una funcion dedensidad en el sentido de la penultima definicion; se llama la funcion dedensidad de F . Tambien, se puede demostrar que si existe una tal funcion f ,esta debe ser unica salvo funciones que coincidan con f en un conjunto conmedida (de Lebesgue) igual a cero. Ademas, dada una funcion de densidad enel sentido de la penultima definicion, la funcion F definida por (1.3) es unafuncion de distribucion absolutamente continua cuya funcion de densidad esprecisamente f .

Teorema 1.3. Sea X : (Ω,F , P ) → (R,B(R)) una variable aleatoria abso-lutamente continua, con funcion de distribucion F y funcion de densidad f .Entonces

f(x) = F′

(x), ∀x ∈ R tal que F′

(x) exista,

y f(x) = 0 en los demas puntos. Ademas

Q(A) =

∫

A

f(t)dt, ∀A ∈ B(R).

1.1.4. Distribuciones multivariadas

Definicion 1.10. Llamaremos distribucion sobre Rn a cualquier medida de

probabilidad Q sobre el espacio medible (Rn,B(Rn)).


Definicion 1.11. La distribucion de un vector aleatorio X o distribucionconjunta de las variables aleatorias X1, . . . , Xn se define como la medida deprobabilidad QXsobre (Rn,B(Rn)) dada por

QX(A) = P (X ∈ A), ∀A ∈ B(Rn).

Sean a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) ∈ Rn. Se definen los rectangulos

(a, b), (a,+∞), (−∞, b] en Rn como sigue

(a, b] = x ∈ Rn|ai < xi ≤ bi, i = 1, . . . , n ,

(a,∞) = x ∈ Rn|xi > ai, i = 1, . . . , n ,

(−∞, b] = x ∈ Rn|xi ≤ bi, i = 1, . . . , n ,

e introduzcamos el operador diferencia ∆ como sigue. Sea F : Rn −→ R,

se define

∆ai,biF (x1, . . . , xn)

= F (x1, . . . , xi−1, bi, xi+1, . . . , xn) − F (x1, . . . , xi−1, ai, xi+1, . . . , xn).

Ası por ejemplo, para n = 3 tenemos

∆a1b1∆a2b2∆a3b3F (x1, x2, x3) =

F (b1, b2, b3) − F (a1, b2, b3) − F (b1, a2, b3) − F (b1, b2, a3)

+ F (a1, a2, b3) + F (a1, b2, a3) + F (b1, a2, a3) − F (a1, a2, a3).

En general tenemos que

∆a1b1 . . .∆anbnF (x1, . . . , xn) = F0 − F1 + F2 + . . .+ (−1)nFn

donde Fi es la suma de todos los (ni ) terminos de la forma F (c1, . . . , cn) con

ck = ak para exactamente i enteros en 1, . . . , n y ck = bk para los restantesn− i enteros. Sea F : R

n → R la funcion

F ((a, b]) = ∆a1b1 . . .∆anbnF (x1, . . . , xn), ∀a ≤ b.

Definicion 1.12. Se dice que F : Rn → [0, 1] es una funcion de distribucion,

sobre Rn si

(i) F ((a, b]) ≥ 0, ∀ a ≤ b, y F es continua por la derecha en cada variable.


(ii) F (x1, . . . , xn) tiene limite cero cuando alguna de las variables x1, . . . , xn

tiende a −∞ y limite uno cuando todas las variables tienden a ∞.

Se sabe que si Q es una distribucion sobre Rn, entonces la funcion F

definida como

F (x) = Q(−∞, x1] × · · · × (−∞, xn],

para todo x = (x1, . . . , xn) en Rn es una funcion de distribucion. Recıpro-

camente, si F es una funcion de distribucion sobre Rn, existe una unica

distribucion Q sobre Rn tal que, para toda x = (x1, . . . , xn) en R

n,

Q(−∞, x1] × · · · × (−∞, xn] = F (x)

hecho que aceptaremos sin demostracion. Ası pues, al igual que para lasfunciones de distribucion en R, existe una correspondencia biyectiva entre elconjunto de funciones de distribucion sobre R

n y el conjunto de medidas deprobabilidad sobre (Rn,B(Rn)). Tambien se verifica facilmente que si X =(X1, . . . , Xn) : (Ω,F , P ) → (Rn,B(Rn)) es un vector aleatorio, entonces lafuncion FX : R

n → [0, 1] dada por

FX(x) = P (X ≤ x) , ∀x ∈ Rn,

satisface (i) y (ii) de la definicion anterior. A FX se le llama la funcion dedistribucion deX o funcion de distribucion conjunta deX1, . . . , Xn. Larecıproca tambien es cierta, es decir, que si F es una distribucion sobre R

n,entonces existe un espacio de probabilidad (Ω,F , P ) y un vector aleatorioX = (X1, . . . , Xn) : (Ω,F , P ) → (Rn,B(Rn)) tales que F = FX, hechoque tambien aceptaremos sin demostracion. Observe que para distribucionesbivariadas, se tiene por ejemplo,

P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = F (b, d) − F (a, d) − F (b, c) + F (a, c) ≥ 0,

∀a < b, c < d.

Definicion 1.13. Sea X = (X1, . . . , Xn) un vector aleatorio y sea FX sufuncion de distribucion. La funcion de distribucion FXk

: R → [0, 1] dela variable aleatoria Xk se llama la k−esima funcion de distribucionmarginal de FX, k = 1, . . . , n. El valor FXk

(xk) se obtiene a partir deFX (x1, . . . , xn) tomando lımite al hacer tender a infinito todas las compo-nentes de (x1, . . . , xn) excepto xk que se mantiene fija.


Distribuciones continuas multivariadas

Definicion 1.14. Sea X = (X1, . . . , Xn) : (Ω,F , P ) → (Rn,B(Rn)) unvector aleatorio con funcion de distribucion FX(x). Se dice que FX (o X)es absolutamente continua (con respecto a la medida de Lebesgue en R

n) siexiste una funcion fX : R

n → R medible no negativa tal que

FX(x1, . . . , xn) =

∫ xn

−∞

. . .

∫ x1

−∞

fX(y1, . . . , yn)dy1 · · · dyn,

∀(x1, . . . , xn) ∈ Rn.

En particular,

F(X,Y ) (x, y) =

∫ x

−∞

du

∫ y

−∞

f(X,Y ) (x, y) dv, ∀ (x, y) ∈ R2.

Es facil ver que la funcion medible no negativa fX satisface

(1.4)

∫ ∞

−∞

. . .

∫ ∞

−∞

fX (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn = 1.

En general, a cualquier funcion medible no negativa de Rn en R que satisfaga

(1.4) se le llama funcion de densidad multivariada. Recıprocamente, siuna funcion medible no negativa f satisface (1.4), se puede demostrar que fes la funcion de densidad de algun vector aleatorio X = (X1, . . . , Xn) quetoma valores en R

n.

Proposicion 1.2. Si X = (X1, . . . , Xn) es un vector aleatorio absolutamentecontinuo con funcion de densidad fX (x1, . . . , xn), entonces las distribucionesmarginales de X son absolutamente continuas con funciones de densidaddadas por

fXi(xi) =

∞∫

−∞

. . .

∞∫

−∞

fX (u1, . . . , ui−1, xi, ui+1, . . . , un)

du1, . . . , dui−1, dui+1, . . . , dun, i = 1, . . . , n.

1.1.5. Variables aleatorias independientes

Definicion 1.15. Se dice que una sucesion X1, X2, . . . de variables aleatoriasde un mismo espacio de probabilidad (Ω,F , P ) en (R,B(R)), es independiente


si los conjuntosX1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn

son independientes para todo (x1, . . . , xn) en Rn y toda n ∈ N.

Observacion 1.2. (i) Sea X = (X1, . . . , Xn) un vector aleatorio con valoresen (Rn,B(Rn), con funcion de distribucion conjunta FX(x1, ...xn) y funcionesde distribucion marginales FXk

(xk), k = 1, . . . , n. Entonces X1, . . . , Xn sonvariables aleatorias independientes si y solo si

FX(x1, ..., xn) =n∏

i=1

FXi(xi), ∀(x1, . . . , xn) ∈ R

n.

(ii) Si el vector aleatorio de la parte (i) tiene funcion de densidad conjun-ta fX(x1, ...xn) y funciones de densidad marginales FXk

(xk), k = 1, . . . , n,entonces X1, . . . , Xn son variables aleatorias independientes si y solo si

f(X1,...,Xn) (x1, . . . , xn) =n∏

i=1

fXi(xi), ∀(x1, . . . , xn) ∈ R

n. ⊳

Densidades condicionales

Definicion 1.16. Sean X y Y dos variables aleatorias con funcion de den-sidad conjunta f(X,Y ) (x, y) . La funcion definida como

fY |X(y|x) =f(X,Y ) (x, y)

fX (x)si fX (x) > 0,

y fX|Y (x |y ) = 0 de otra forma, se llama funcion de densidad condicionalde Y dado X = x.

Note por ejemplo que si X y Y son ambas continuas, entonces

fY |X(y|x) =

f(x, y)fX(x)

=f(x, y)∫ ∞

−∞

f(x, y)dysi fX(x) > 0,

0 de otra forma,

note tambien que

f(X,Y ) (x, y) = fX (x) fX|Y (x|y) = fY (y) fX|Y (x|y).


Se tiene entonces que X y Y son variables aleatorias independientes si y solosi

fX|Y (x |y ) = fY (y) o fX|Y (x |y ) = fX (x) .

La distribucion condicional de Y dadoX = x se define como la medidade probabilidad A 7→ P (Y ∈ A|X = x) sobre (R,B(R)) dada por

P (Y ∈ A|X = x) =

∫

A

fX|Y (x|y)dy, ∀A ∈ B(R),

siempre que fX(x) > 0. En particular,

P (a ≤ Y ≤ b|X = x) =

∫ b

a

fX|Y (y|x)dy, ∀a < b,

siempre que fX(x) > 0. La respectiva funcion de distribucion condi-cional de Y dado X = x, esta dada por

F(Y |X)(x|y) = P (Y ≤ y|X = x) =

∫ y

−∞

fX|Y (v|y)dv, ∀y ∈ R,

siempre que fX(x) > 0.

1.1.6. El concepto de esperanza

Definicion 1.17. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua confuncion de densidad fX : R → R. La esperanza de X se define como

E(X) =

∫ ∞

−∞

xf(x)

siempre que∫∞

−∞|x| f(x)dx < ∞. E(X) se acostumbra denotar tambien por

µ.

Proposicion 1.3. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua cuyafuncion de densidad f satisface f(x) = 0, ∀x < 0, es decir, X toma solamentevalores reales no negativos y usualmente representa el tiempo de vida de algunobjeto. Entonces

E(X) =

∫ ∞

0

P (X > x)dx.


Teorema 1.4. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua confuncion de densidad f . Si h : R → R es una funcion medible, entonces

E [h(X)] =

∫ ∞

−∞

h(x)f(x)dx

siempre que∫∞

−∞|h(x)| f(x)dx <∞.

Teorema 1.5. Si X y Y son dos variables aleatorias absolutamente contin-uas, entonces se cumplen:

(i) E (X) ≥ 0 si X ≥ 0.

(ii) E (aX + bY ) = aE (X) + bE (Y ) , ∀a, b ∈ R.

(iii) E (X) = 1 si X = 1.

(iv) |E (X)| ≤ E |X| .

(v) E (XY ) = E (X)E (Y ) si X y Y son independientes.

Vimos anteriormente que si µ es una medida de probabilidad sobre (R,B(R)),entonces la funcion F : R → R definida por

F (x) = µ(−∞, x], ∀x ∈ R,

es una funcion de distribucion. Recıprocamente, si F es una funcion de dis-tribucion, entonces existe una unica medida de Lebesgue-Stieltjes (de hecho,de probabilidad) µF sobre (R,B(R)) caracterizada por el hecho de que

(1.5) µF (a, b] = F (b) − F (a), ∀(a, b] ⊂ R.

Para mas detalles vease, por ejemplo, el libro de R. B. Ash(1972), Teorema1.4.4, p. 24.

Sea F una funcion de distribucion y sea µF la correspondiente medidade Lebesgue-Stieltjes dada por (1.5). Si h : R → R es una funcion Borelintegrable con respecto a µF , escribimos

(1.6)

∫

R

h(x)dF (x) =

∫

R

h dµF


y decimos que (1.6) es la integral de Lebesgue-Stieltjes de h con respectoa µF (o con respecto a F ). En particular, si F = FX es la funcion de distribu-cion de alguna variable aleatoria X, se puede demostrar que la esperanza deh(X) existe si y solo si ∫

R

|h(x)| dF (x) <∞,

en cuyo caso

(1.7) E[h(X)] =

∫

Ω

h(X)dP =

∫

R

h(x)dFX(x).

De aquı se puede ver que, por ejemplo, si X es absolutamente continua confuncion de densidad fX , entonces la esperanza de h(X) coincide con la defini-cion obtenida del Teorema 1.4, es decir,

E [h(X)] =

∫ ∞

−∞

h(x)f(x) dx.

Teorema 1.6 (Teorema de la Convergencia Monotona). Sea h1, h2, . . .una sucesion creciente de funciones Borel medibles no negativas definidassobre un mismo espacio de probabilidad (Ω,F , P ). Si h(ω) = lımn→∞ hn(ω),para toda ω ∈ Ω, entonces

(1.8) lımn→∞

∫

Ω

hn(ω)dP (ω) =

∫

Ω

h(ω)dP (ω),

es decir,lım

n→∞E(hn) = E(h).

1.2. Fiabilidad

1.2.1. Funciones de vida de sistemas coherentes

Daremos la definicion de un sistema coherente, la definicion de funcionde vida τ((t)) de un sistema, la cual expresa la longitud de vida de este enterminos de las longitudes de vida de sus componentes, y una importantecaracterizacion de las funciones de vida para sistemas coherentes la cualsera utilizada para obtener cierto numero de propiedades para tales sistemas.


Caracterizaciones

Considere un sistema formado por n componentes. Sean T1 ≥ 0, . . . , Tn ≥0 las longitudes de vida de sus componentes. Se supone que la i−esima com-ponente funciona para todos los tiempos 0 ≤ u < Ti y falla para todos lostiempos u ≥ Ti, i = 1, . . . , n. Se define la funcion

(1.9) x(u, t) =

1 si u < t,

0 si u ≥ t.

El vector de estados de las componentes es entonces

x(u, t) = (x(u, t1), . . . , x(u, tn)) .

Sea φ : 0, 1n → 0, 1 la funcion binaria de argumentos binarios x =(x1, . . . , xn) definida como

(1.10) φ (x) =

1 si el sistema funciona al tiempo u,

0 de otra forma.

Ası, el estado del sistema al tiempo u estara dado en funcion del estado desus componentes x(u, ti), i = 1, . . . , n, es decir,

(1.11) φ = φ (x(u, t1), . . . , x(u, tn))

A φ se le llama la funcion de estructura del sistema o mas brevemente,estructura.

Definicion 1.18. Se dice que φ : 0, 1n → 0, 1 es una estructura co-herente si

(i) La funcion φ es creciente por componentes, es decir, φ(x) ≤ φ(y), dondex ≤ y significa que xi ≤ yi, i = 1, . . . , n.

(ii) Se tiene φ (1) = 1 y φ (0) = 0, donde 1 = (1, . . . , 1) y 0 = (0, . . . , 0).

Para un sistema con una estructura coherente la funcion u 7→ φ x(u, t)es decreciente para cada t = (t1, . . . , tn). Por lo tanto, el sistema debe tenerun tiempo de vida τ (t) dado por

(1.12) τ (t) = sup u|φ [x(u, t)] = 1 .


Siendo u 7→ x(u, t) continua por la derecha para cada t, u 7→ φ [x(u, t)] escontinua por la derecha para cada t. Por lo tanto, (1.12) es equivalente a

(1.13) τ (t) > u ⇔ φ [x(u, t)] = 1, ∀u ≥ 0.

La funcion τ (t), ti ≥ 0, i = 1, . . . , n, es la funcion de vida del sistema.Ademas, τ es una extension de φ, es decir,

(1.14) τ (x) = φ (x) , ∀x ∈ 0, 1n.

A continuacion proporcionamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.1.

(1) Si el sistema consiste de n componentes activas actuando en serie, es de-cir, el sistema funciona si y solo si todas las componentes funcionan, entoncessu funcion tiempo de vida es

τ(t) = mın(t1, . . . , tn),

y su correspondiente funcion de estructura es

φ(x) = mın(x1, . . . , xn) =n∏

i=1

xi.

Figura 1.1: Estructura en serie

(2) Si el sistema consiste de n componentes activas actuando en paralelo,es decir, el sistema funciona si y solo si al menos una de sus n componentesfunciona, entonces su funcion tiempo de vida es

τ(t) = max(t1, . . . , tn),

y su correspondiente funcion de estructura es

φ(x) = max(x1, . . . , xn) =n∐

i=1

xi = 1 −n∏

i=1

(1 − xi).


Figura 1.2: Estructura en paralelo

(3) Si un sistema consiste de dos componentes de las cuales una se encuentraactiva y la otra en espera hasta que falle la primera para empezar a funcionar,entonces la funcion tiempo de vida del sistema es

τ(t1, t2) = t1 + t2.

El sistema en paralelo dado en (2) es un ejemplo simple de un represen-tante de la clase de sistemas coherentes, mientras que el sistema con sustituto(standby sistem) dado en (3) no puede ser considerado como un sistema co-herente con dos componentes genuinamente relevantes, esto es, componentescuyo estado de funcionamiento afecte directamente en el desempeno del sis-tema φ (vea [2]).

El siguiente Teorema nos proporciona una caracterizacion fundamentalde las funciones de vida de sistemas con una estructura coherente (la de-mostracion de este Teorema puede verse en [9], pp. 811-812).

Teorema 1.7. Sea τ (t) definida para ti ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n. Entonces, lassiguientes tres condiciones son equivalentes:

(i) τ es la funcion de vida de un sistema con una estructura coherente.

(ii) Para cada arreglo de indices crecientes 0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn existe un i talque τ (t) = ti.

(iii) Se tiene que f (τ (t)) = τ (f (t)) donde f (t) = (f (t1) , . . . , f (tn)) , ∀t ytoda funcion crecientes no negativa f .

Algunas propiedades

La funcion de vida τ de un sistema con una estructura coherente tieneun numero de propiedades elementales que sirven para describir el compor-


tamiento de tales sistemas. Algunas de ellas son las siguientes (nuevamentevease [9]):

(a) τ es creciente, es decir, τ (s) ≤ τ(t) siempre que si ≤ ti, i = 1, . . . , n. Enefecto, como t 7→ x(u, t) es creciente para cada u y φ es creciente, entoncesla conclusion se sigue de (1.14).

(b) τ(t + δ1) = τ(t) + δ, ∀t y ∀δ ≥ 0, donde t + δ1 = (t1 + δ, . . . , tn + δ).En efecto, poniendo f(t) = t + δ, la conclusion se sigue de la parte (iii) delTeorema 1.8.

(c) τ es homogenea, es decir, τ (αt) = ατ (t) , ∀t y ∀α ≥ 0. En efecto, conf (t) = tα, la conclusion se sigue de la parte (iii) del Teorema 1.8.

(d) Se tiene

mın1≤i≤n

si ≤ τ(t + s) − τ(t) ≤ max1≤i≤n

si, ∀s, t,

donde t+s = (t1 + s1, . . . , tn + sn). En efecto, por el inciso (a), la conclusionse sigue de (b) con δ = mın1≤i≤n si y δ = max1≤i≤n si.

(e) τ es continua. La continuidad de τ es inmediata de la propiedad (d).

(f) τ es no negativa. En efecto, como τ(0) = 0 y τ es creciente (inciso (a)),la conclusion se sigue de inmediato.

1.2.2. Trayectorias y cortaduras

La funcion de vida τ de un sistema con una funcion de estructura co-herente φ puede ser convenientemente representada en terminos de las lla-madas trayectorias mınimas o cortaduras mınimas de la estructura del sis-tema (vease [2], Cap. 1).

Un conjunto trayectoria mınima es un conjunto minimal P tal quemıni∈P xi = 1 implica φ(x) = 1, es decir, P consiste de aquellos ındicescuyas componentes correspondientes son las mınimas necesarias para quela estructura φ siga funcionando o, equivalentemente, un conjunto minimalP tal que tal que mıni∈P ti > u implica τ(t) > u para todo u ≥ 0. Unconjunto cortadura mınima es un conjunto minimal K tal que maxi∈K xi =0 implica φ(x) = 0, es decir, P consiste de aquellos ındices cuyas componentescorrespondientes son las mınimas necesarias para que la estructura φ ya nopueda seguir funcionando o, equivalentemente, un conjunto minimal K tal


que maxi∈K ti ≤ u implica τ(t) ≤ u para todo u ≥ 0. Es facil ver que unafuncion de estructura coherente puede ser representada como

(1.15) φ(x) = maxj=1,...,p

mıni∈Pj

xi = mınj=1,...,k

maxi∈Kj

xi,

donde P1, . . . , Pp son los conjuntos trayectoria mınimos y K1, . . . , Kk son losconjuntos cortadura mınimos. Las correspondientes representaciones para τson

(1.16) τ(t) = max1≤j≤p

mıni∈Pj

ti,

(1.17) τ(t) = mın1≤j≤k

maxi∈Kj

ti.

De la parte (ii) del Teorema 1.8, cualquier funcion τ(t), ti ≥ 0, i = 1, . . . , n,la cual puede representarse por (1.16) usando una lista arbitraria P1, . . . , Pp

de conjuntos no vacıos debe ser la funcion de vida de un sistema con unaestructura coherente. Es claro, que cualquier conjunto que no sea mınimopuede ser omitido de la lista P1, . . . , Pp y que los conjuntos mınimos en lalista son los conjuntos trayectoria mınima del sistema y similarmente, es-to ocurrira para una cualquier funcion no negativa de argumentos binariosrepresentada por (1.17) usando una lista arbitraria de conjuntos cortaduramınima K1, . . . , Kk no vacıos. El ejemplo que sigue a continuacion ilustraranestos conceptos.

Ejemplo 1.2. Consideremos la estructura puente representada en la sigu-iente figura

Figura 1.3: Estructura puente

Los conjuntos trayectoria mınima son:

P1 = 1, 4, P2 = 2, 5, P3 = 1, 3, 5, P4 = 2, 3, 4.


Los conjuntos cortadura mınima son:

K1 = 1, 2, K2 = 4, 5, K3 = 1, 3, 5, K4 = 2, 3, 4.

Para un instante de tiempo determinado, con el j−esimo conjunto trayecto-ria minima Pj de una estructura coherente φ, podemos asociar una funcionbinaria con argumentos xi, i ∈ Pj, dada por

ρj(x) =∏

i∈Pj

xi = mıni∈Pj

xi.

Como la representacion de la funcion de estructura φ dada por los conjuntostrayectoria mınima Pj funcionara si y solo si al menos uno de las estructurastrayectoria mınima funciona entonces podemos escribir la identidad

(1.18) φ(x) =4∐

j=1

ρj(x) = 1 −4∏

j=1

[1 − ρj(x)] .

Por lo tanto podemos reescribir la identidad (1.18) como

(1.19) φ(x) = max1≤j≤4

ρj(x) ≡ max1≤j≤4

mıni∈Pj

xi.

Podemos aplicar un procedimiento similar a la estructura coherente φ siconsideramos a los conjuntos cortadura minima Kj, j = 1, 2, 3, 4.

Figura 1.4: Representacion de la estructura puente mediante trayectoriasminimas

Hasta ahora en este ejemplo hemos considerado un sistema de compo-nentes en un punto de tiempo fijo determinado, sin embargo en general se


consideran sistemas de componentes que operan en el tiempo, donde cadacomponente opera hasta que falla en algun momento y ninguna reparacionse lleva a cabo. Es mediante este simple modelo que el dominio y rango dela identidad (1.18) puede ser extendido de valores binarios a la mitad del ejereal positivo. La identidad (1.19) tiene una util interpretacion no solamentepara el caso de variables binarias indicando el estado de las componentessino que tambien lo es en los tiempos de falla de las componentes. Ası, denuestro ejemplo anterior, sea tj el tiempo de falla de la i−esima componentepara i = 1, 2, 3, 4, 5. Sea τφ(t) el tiempo de falla de la funcion de estruc-tura puente φ dada anteriormente como funcion del tiempo de falla de suscomponentes. Entonces como anteriormente, obtenemos

(1.20) τφ(t) ≡ max1≤j≤4

mıni∈Pj

ti.

Definicion 1.19. Dada una estructura φ, definimos su dual φD por

φD(x) = 1 − φ(1 − x),

donde 1 − x = (1 − x1, 1 − x2, · · · , 1 − xn).

Claramente, si x es un vector trayectoria para φ, entonces 1 − x es unvector cortadura para φD, y viceversa. Ası por ejemplo, la estructura dualφD de una estructura en serie φ es un sistema en paralelo.

Fiabilidad de sistemas coherentes

La palabra fiabilidad (o probabilidad de sobrevivencia) hace referenciaa la capacidad de un sistema para llevar a cabo un objetivo especıfico ade-cuadamente durante un periodo de tiempo especıfico, bajo ciertas condicionesoperacionales consideradas.

Recuerde que la funcion de sobrevivencia o de fiabilidad asociada auna funcion de distribucion F se define como la funcion

F (x) = 1 − F (x), ∀x ∈ R.

Entonces la funcion F debe ser decreciente, continua por la derecha en todopunto y sus lımites en −∞ y en +∞ deben ser iguales a uno y cero respecti-vamente. Ademas, si X es una variable aleatoria con funcion de distribucionF , entonces

F = P [X > x], ∀x ∈ R.


Cuando F es la distribucion de vida de alguna unidad el numero F (x) repre-senta la probabilidad de que una unidad sobreviva todo el intervalo de tiempo[0, x]. Ası, dado un sistema de n componentes x(u, ti), i = 1, 2, . . . , n con fun-cion de estructura φ dadas por las expresiones (1.9) y (1.10) de la seccionanterior obtenemos que las fiabilidades de las componentes y del sistema altiempo u ≥ 0, estan dadas por

P (x(u, Ti) = 1) = P (Ti > u) = F i(u) = pi, i = 1, . . . , n

yP (φ[x(u,T )] = 1) = F (u).

Si T1 ≥ 0, . . . , Tn ≥ 0 son variables aleatorias independientes con funcionesde fiabilidad F i(u), i = 1, . . . , n, entonces podemos representar a la fiabilidadde un sistema F (u) como una funcion de las fiabilidades de sus componentes,es decir

(1.21) P (φ[x(u,T )] = 1) = hφ(F 1(u), . . . , F n(u)) = hφ(p).

Como un ejemplo podemos considerar un sistema en paralelo con compo-nentes independientes exponencialmente distribuidas con parametros λ1 > 0y λ2 > 0. Entonces

F (t) = F 1(t)∐

F 2(t) = 1 − (1 − e−λ1)(1 − e−λ2).

La funcion tasa de falla

Una nocion de gran importancia en la teorıa de fiabilidad es la de tasade falla, frecuentemente llamada tasa de riesgo o tasa de mortalidad. Esteconcepto modela matematicamente la nocion de envejecimiento o desgastepara distribuciones de vida.

La probabilidad condicional de que la unidad sobreviva durante el sigu-iente intervalo de tiempo de duracion x una vez que ha alcanzado una edadt es por definicion

(1.22) P (X > t+ x | X > t) = F (x | t) =F (t+ x)

F (t)


siempre que F (t) > 0. Similarmente, la probabilidad condicional de que launidad falle durante el siguiente intervalo de tiempo de duracion x una vezque ha alcanzado la edad t es entonces

(1.23) F (x | t) = 1 − F (t+ x) =F (t+ x) − F (t)

F (t)

siempre que F (t) > 0.

Definicion 1.20. La funcion tasa de falla de X (o de F ) se define como

(1.24) r(t) = lımh→0

1

hP (t ≤ X ≤ t+ h|X ≥ t).

El significado fısico de la tasa de falla puede ser aclarado notando quepara valores pequenos de h > 0 se tiene que

(1.25) hr(t) ≈ P (t ≤ X ≤ t+ h|X ≥ t).

Por lo tanto, hr(t) es el riesgo condicional de falla durante el intervalo[t, t+ h] dado que el objeto ha alcanzado la edad t. De esta forma de (1.24)obtenemos que la tasa de falla condicional al tiempo t es

(1.26) r(t) = lımh→0

1

hF (h | t) = lım

h→0

1

h

F (t+ h) − F (t)

F (t)=f(t)

F (t)

siempre que f(t) exista y F (t) > 0.

La funcion tasa de falla, determina unıvocamente a F y viceversa. Enefecto, de (1.26) se sigue que

r(t) =d

dt[− lnF (t)]

para toda t tal que F (t) > 0 e infinito, por convencion si F (t) = 0, de donde∫ t

0

r(u)du = − lnF (t), ∀t ≥ 0.

De esta manera tenemos

F (t) = exp

(−

∫ t

0

r(u)du

), ∀t ≥ 0.

Definicion 1.21. La funcion de riesgo de X (o deF ) se define como

(1.27) R(t) =

∫ t

0

r(u)du, ∀t ≥ 0.


1.2.3. Las clases IFR e IFRA

En muchas situaciones donde los tiempos de vida de sistemas y compo-nentes son considerados, resulta poco realista asumir que tales tiempos tienendistribuciones exponenciales. Mejor dicho, estos tiempos de vida deben refle-jar el efecto del desgaste. Dos tipos de tiempos de vida que describen variostipos de desgaste seran estudiados brevemente, estos son: la clase de con tasade falla creciente (IFR) y la clase con tasa de falla creciente en promedio(IFRA) (y sus clases duales). Una tercera clase, la clase de distribuciones devida de objetos que nuevos son mejores que usados (NBU) es el tema prin-cipal de este trabajo y sera discutida tanto en el caso univariado como en elcaso multivariado en los proximos capıtulos.

La clase IFR

A lo largo de esta seccion X denotara el tiempo de vida de algun objetoo componente.

Definicion 1.22. Sea X una variable aleatoria con valores en [0,∞), confuncion de distribucion F y funcion de densidad f . Se dice que X tiene unatasa de falla creciente o que es de clase IFR (Increasing Failure Rate),si se cumple alguna de las condiciones equivalentes siguientes:

1) La funcion t 7→F (t+ x)

F (t)= F (x | t) es decreciente en [0,∞), ∀x ≥ 0.

2) La funcion tasa de falla t 7→ r(t) es creciente.

3) La funcion t 7→ lnF (t) es concava.

Notemos que (1) de la definicion anterior simplemente quiere decir que siuna variable aleatoria T ha sobrevivido hasta el tiempo t, la probabilidad deque esta falle dentro del siguiente periodo de tiempo de longitud x decrececonforme crece t, en otras palabras, entre mayor sea la edad del objeto may-or sera la probabilidad de que el objeto falle. Intuitivamente, la clase IFRcorresponde a un desgaste fısico por la edad. Ejemplos de este tipo son lasllantas de un automovil y muchas partes mecanicas sometidas a un desgastegradual.

Verifiquemos la equivalencia de (1)-(3). Como una consecuencia de (1),


obtenemos que

r(t) = lımx→0

1

x

[1 −

F (t+ x)

F (t)

]

es creciente para t ≥ 0, cuando la densidad f(t) existe. Y recıprocamente,que r(t) sea creciente implica que

F (x | t) =F (t+ x)

F (t)= exp

[−

∫ t+x

t

r(u)du

]

es decreciente para t ≥ 0 de manera que (1) se cumple. Por lo tanto (1) y (2)son equivalentes. Para probar la equivalencia entre (1) y (3), primeramenterecordemos que si h : I −→ R, es una funcion continua donde I es unintervalo abierto de R, que satisface

h(y + t) − h(y) ≤ h(x+ t) − h(x), ∀x ≤ y y ∀t > 0,

si y solo si

(1 − α)h(x) + αh(y) ≤ h((1 − α)x+ αy), ∀x, y ∈ I y ∀0 ≤ α ≤ 1,

entonces h es una funcion concava. De este modo, tomando h = lnF ennuestra primera version de concavidad se concluye la equivalencia de (1)-(3).

Ejemplo 1.3. Sea T una variable aleatoria no negativa cuya funcion defiabilidad esta dada por

F (t) = e−13t3 , ∀t ≥ 0.

Entonces

r(t) =f(t)

F (t)= t2.

De este modo, puesto que la funcion r(t) es creciente en el intervalo (0,∞),se tiene que la variable aleatoria T pertenece a la clase IFR.

La Clase IFRA

A primera vista, pareciera razonable suponer que si cada componentede un sistema coherente tiene una tasa de falla creciente (IFR), entonces,el sistema en su conjunto deberıa de tener una tasa de falla creciente, ya


que despues de todo, cada vez que un componente falla, el sistema se vuelveestructuralmente mas debil (debido la monotonicidad de un sistema coher-ente). Ademas, conforme el tiempo pasa, la tasa de falla de cada componentese incrementa. Sin embargo, el siguiente ejemplo muestra que es falso que unsistema coherente con componentes independientes IFR sea necesariamenteIFR.

Ejemplo 1.4. Sea F la distribucion de vida de un sistema en paralelo de doscomponentes independientes que tienen distribuciones de vida F1(t) = 1−e−t,F2(t) = 1 − e−2t. Entonces

F (t) = F 1(t)∐

F 2(t) = 1 − (1 − e−t)(1 − e−2t),

de modo que

r(t) =f(t)

F (t)=e−t + 2e−2t − 3e−3t

e−t + e−2t − e−3t.

Al diferenciar, obtenemos

r′(t) =e−5t + 4e−4t − e−3t

[e−t + e−2t − e−3t]2.

De donde vemos que el signo de r′(t) queda determinado por el signo dee−5t + 4e−4t − e−3t el cual es positivo para valores pequenos y negativo paravalores grandes de t. Esto implica que la funcion tasa de falla no es unafuncion monotona. Por lo tanto, F no puede ser de clase IFR.

Como en el ejemplo anterior, existen muchas situaciones donde la dis-tribucion de vida de un sistema el cual tiene solamente componentes inde-pendientes exponencialmente distribuidas no es IFR. Como el tiempo de vidade tales sistemas no es IFR, una pregunta inmediata es la de como describirla distribucion de tales tiempos de vida. Mas generalmente, si las compo-nentes de vida de estos sistemas son IFR, ¿Que propiedad posee el tiempo devida del sistema? La respuesta es que los tiempos de vida de tales sistemastienen una tasa de falla la cual es creciente en promedio (IFRA). Ası, pode-mos determinar una nueva clase de distribucion de vida: la clase IFRA quees el tema central de esta seccion.

Definicion 1.23. Se dice que una distribucion F tiene una tasa de fallacreciente en promedio o que es de clase IFRA (increasing failure rate


average) si la funcion

(1.28) t 7→− lnF (t)

t=R(t)

t

es creciente en ]0,∞[.

Proposicion 1.4. Sea F una funcion de distribucion tal que F (t) = 0,∀, t < 0. Se dice que F pertenece a la clase IFRA si y solo si para toda0 ≤ α ≤ 1 y toda t ≥ 0, se cumple

(1.29) Fα(t) ≤ F (αt).

Demostracion. Fijemos s y t tales que 0 ≤ s < t < ∞. Entonces existe0 < α < 1 tal que s = αt. Suponiendo que F es de clase IFRA, se obtiene

− lnF (s)

s≤

− lnF (t)

t

siempre que 0 < s ≤ t. Como s = αt, se debe tener

− lnF (αt)

αt≤

− lnF (t)

t

si y solo siα lnF (t) ≤ lnF (αt)

si y solo siF

α(t) ≤ F (αt).

La relacion entre las clases IFR e IFRA es la siguiente.

Teorema 1.8. Si una funcion de distribucion F es de clase IFR, entoncesF pertenece a la clase IFRA.

Demostracion. Sea F de clase IFR. Sean x e y tales que 0 ≤ x < y, comoF es IFR entonces la funcion h(x) = lnF (x) es concava, ası pues

(1 − α)h(x) + αh(y) ≤ h((1 − α)x+ αy), ∀0 ≤ α ≤ 1.

Para x = 0 se cumple que αh(y) ≤ h(αy), pues h(0) = lnF (0) = 0. Luego

lnFα(αy) = α lnF (y) ≤ lnF (αy)


si y solo siF

α(y) ≤ F (αy).

Por lo tanto, F es de clase IFRA

El recıproco del Teorema 1.8 no es valido en general como lo muestra elsiguiente contraejemplo.

Ejemplo 1.5. Considere una variable aleatoria T con tasa de falla dada por

r(t) =

t si 0 ≤ t ≤ 32

3 − t si 32≤ t ≤ 2

t− 1 si t ≥ 2.

1 2 3 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 1.5: Grafica de r(t)

Se tiene en este caso que

1

t

∫ t

0

r(u)du =

12t si 0 ≤ t ≤ 3

2

−12t− 9

4t+ 3 si 3

2≤ t ≤ 2

12t+ 7

4t− 1 si t ≥ 2.

Es claro que la funcion t 7→ 1t

∫ t

0r(u)du es creciente en (0,∞). Ası pues,

la variable aleatoria T es de clase IFRA, sin embargo puesto que la funcionr(t) no es creciente en el intervalo [3/2, 2] se tiene que la variable aleatoriaT no es de clase IFR.

Ademas de probarse que la distribucion del tiempo de vida de un sistemacoherente el cual tiene solamente componentes independientes que tienen


1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 1.6: Grafica de 1t

∫ t

0r(u)du

distribucion exponencial es IFRA, tambien fueron probadas varias e impor-tantes propiedades de cerradura para esta clase, algunas de las cuales sonlas siguientes (vease [2], Cap. 4, para una exposicion mas detallada de estosresultados):

1) Si los tiempos de vida de las componentes de un sistema coherente sonindependientes e IFRA, entonces el sistema es IFRA.

2) El resultado mas general dice que la clase de distribuciones IFRA es laclase mas pequena, que contiene a las distribuciones exponenciales, es cerradabajo sistemas coherentes y lımites en distribucion.

3) La clase de distribuciones de tiempos de vida IFRA es cerrada bajo con-voluciones.

4) Para un conjunto de varios sistemas con distribuciones de tiempos devida exponencial cuyas componentes (de cada uno de los sistemas) son inde-pendientes e IFRA deben, de hecho, corresponder a sistemas en serie cuyascomponentes son exponencialmente distribuidas.

Otra forma equivalente para que una funcion de distribucion F sea IFRA,la cual fue usada por Block y Savits en [3] para establecer que la convolucionde tiempos de vida IFRA es IFRA, es la siguiente.

Proposicion 1.5. F es de clase IFRA si y solo si

(1.30)

∫h (x) dF (x) ≤

∫hα(xα

)dF (x)

1α

para toda 0 < α < 1 y todas las funciones h no negativas y no decrecientes.


Demostracion. Supongamos que F es IFRA. Se sigue entonces de la defini-cion que, para 0 < α < 1 y t ≥ 0,

∫I(t,∞) (x) dF (x) ≤

∫Iα(t,∞) (x) dF (x)

1α

≤

∫Iα(t,∞)

(xα

)dF (x)

1α

Mas generalmente, sea

(1.31) ψ (x) =n∑

i=1

aiI(ti,∞) (x)

donde ai ≥ 0, 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn <∞, entonces

∫ψ (x) dF (x) ≤

n∑

i=1

∫aα

i Iα(ti,∞)

(xα

)dF (x)

1α

.

De esta manera, usando la desigualdad de Minkowski para 0 < α < 1 (vease[14], Teorema 13.9, p. 192), obtenemos

∫ψ (x) dF (x) ≤

n∑

i=1

∥∥∥aiI(ti,∞)

( ·

α

)∥∥∥α

≤

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

aiI(ti,∞)

( ·

α

)∥∥∥∥∥α

=

∫ψα(xα

)dF (x)

1α

.

Consecuentemente tenemos probado el resultado para funciones de la for-ma (1.31). Pero se sabe que cualquier funcion no negativa y no decrecientepuede ser obtenida como el limite no decreciente de tales funciones (vease,por ejemplo, [1], Teorema 1.5.5, p. 38). Por lo tanto, por el Teorema de laconvergencia monotona obtenemos que para toda 0 < α < 1 se cumple que

∫hα (x) dF (x) =

∫lım

n−→∞ψα (x) dF (x) ≤

∫lım

n−→∞ψα(xα

)dF (x)

≤

∫lım

n−→∞ψα(xα

)dF (x)

1α

=

∫hα(xα

)dF (x)

1α

.

Recıprocamente, supongamos que se cumple la relacion (1.5), entonces


tomando h (x) = I(t,∞) (x) obtenemos que, para toda 0 < α < 1,

F (t) =

∫I(t,∞) (x) dF (x) ≤

[∫I(t,∞) (x) dF (x)

] 1α

≤

[∫I(αt,∞) (x) dF (x)

] 1α

=[F (αt)

] 1α ,

es decir, [F (t)

]α≤ F (αt) .

Clases Duales

La clase dual de la clase IFR se define como sigue. F se dice que tienetasa de falla decreciente o que es de clase DFR si la funcion

t 7→F (t+ x)

F (t)= F (x | t)

es creciente en [0,∞), ∀x ≥ 0. Y en teorıa de fiabilidad corresponde a uncrecimiento gradual del desempeno en el transcurso del tiempo. Un ejemplode este tipo de comportamiento ocurre con ciertos metales que se van en-dureciendo durante el transcurso del tiempo de cada uno de los diferentesprocesos por los que se someten hasta que alcanzan su resistencia final.

Similarmente, F se dice que tiene tasa de falla decreciente en promedio oque es de clase DFRA si la funcion

t 7→− lnF (t)

t=R(t)

t

es decreciente en ]0,∞[.

Observando la Definicion 1.22 para que una distribucion sea de clase IFRy la de su clase dual DFR, podrıamos preguntarnos que sucede con unadistribucion que tenga una tasa de falla constante en el tiempo, es decir, quees tanto creciente como decreciente respecto a t y, por lo tanto, pertenecientea ambas clases IFR y DFR, esto es, que cumpla r(t) = λ, ∀t ≥ 0. Integrandoambos terminos resulta

∫ x

0

f(t)

F (t)dt =

∫ x

0

λdt,


o sea,F (x) = e−λx,∀x ≥ 0.

Por lo tanto, tal distribucion corresponde a la distribucion exponencial conparametro λ > 0. Por otra parte, resulta claro que la distribucion exponencialcon parametro λ > 0 tiene tasa de falla constante. Se concluye pues quela distribucion exponencial es IFR y DFR. El analisis de la distribucionexponencial como la unica distribucion con tasa de falla constante puedeencontrarse en [2], pp. 57-58. Un ejemplo de un objeto con tasa de fallaconstante a lo largo del tiempo pude ser un fusible.

Ya sabemos que si F es de clase IFR, entonces F es de clase IFRA.Mediante algunos sencillos cambios en la prueba de esta implicacion es posibleprobar que esto tambien es cierto para sus clases duales, es decir, se cumpletambien que si F es clase DFR, entonces F es de clase DFRA. La clase dualpara la tercera clase de distribuciones de vida de objetos que nuevos sonmejores que usados (NBU)es la clase de distribuciones de vida de objetosque nuevos son peores que usados (NWU) y sera definida en el proximocapıtulo junto con una cuarta clase de distribuciones de tiempos de vida Fque tambien resulta de gran utilidad para la comparacion entre polıticas demantenimiento llamada la clase de distribuciones NBUE.

1.2.4. La Clase MIFRA

El papel teorico central de la clase univariada IFRA deriva de las propiedadesque satisfacen estas distribuciones mas que del hecho de que la tasa de fallasea creciente en promedio. No es sorprendente entonces, que varias versionesmultivariadas de tiempos de vida que son IFRA hayan sido definidas usandouna generalizacion de una de estas propiedades basicas. Block y Savits hanpropuesto en [6] una clase de distribuciones de tiempos de vida con tasa defalla creciente en promedio multivariada o MIFRA (multivariate increasingfailure rate average). Esta clase contiene una rica variedad de tiempos de vidamultivariados y tambien satisfacen todas las propiedades fundamentales queesperarıamos obtener para una clase multivariada IFRA. La clase de tiemposde vida multivariada propuesta por Block y Savits esta dada en la siguientedefinicion la cual es una generalizacion de la propiedad univariada dada por(1.5).


Definicion 1.24. Sea T = (T1, . . . , Tn) un tiempo de vida aleatorio no neg-ativo. El vector aleatorio T se dice ser MIFRA si

(1.32) Eα [h(T )] ≤ E [hα(T /α)] .

para todas las funciones continuas no decrecientes, no negativas, h y paratoda 0 < α ≤ 1.

En [6], los autores muestran que la suposicion de continuidad es una sim-plificacion tecnica que posteriormente pueden cambiar por funciones Borelmedibles crecientes no negativas h. Notablemente, esta generalizacion matematicatiene todas las propiedades fundamentales que esperarıamos obtener de unageneralizacion de tiempos de vida univariados IFRA. Mas precisamente,Block y Savits afirman que cualquier clase de distribuciones de tiempos vidaS la cual en algun sentido sea designada como MIFRA debe poseer al menosuna de las siguientes propiedades:

P1. S es cerrada bajo la formacion de sistemas coherentes.

P2. S es cerrada bajo lımites en distribucion.

P3. Si T = (T1, . . . , Tn) ∈ S entonces cualquier marginal conjunta de T

pertenece a S.

P4. Si (T1, . . . , Tn), (S1, . . . , Sn) ∈ S y son independientes, entonces

(T1, . . . , Tn, S1, . . . , Sn) ∈ S.

P5. S es cerrada bajo cambios no negativos de escalas.

P6. S es cerrada bajo convolucion (siempre que la operacion tenga sentido).

P7. S Si (T1, . . . , Tn) ∈ S y τ1, . . . , τm son cualesquiera funciones de vidacoherente de orden n entonces

(τ1(T1, . . . , Tn), . . . , τm(T1, . . . , Tn)) ∈ S.

Para probar que la Definicion 1.24 tiene todas estas propiedades, Blocky Savits prueban primero el siguiente Lema.

Lema 1.1. Sea (T1, . . . , Tn) ∈ S y sean ψ1, . . . , ψm funciones cualesquierade n variables las cuales son continuas, no decrecientes y que satisfacen ladesigualdad ψi(x1/α, . . . , xn/α) ≤ (1/α)ψi(x1, . . . , xn) para toda (x1, . . . , xn)en R

n y 0 < α ≤ 1. Entonces poniendo Si = ψi (T1, . . . , Tn) para i = 1, . . . ,m,se sigue que (S1, . . . , Sm) ∈ S.


Y con este lema prueban el resultado siguiente.

Teorema 1.9. La clase S de distribuciones multivariadas IFRA posee laspropiedades P1 − P7.

Capıtulo 2

Distribuciones MNBU

En este capıtulo se introduce una clase de distribuciones de vida mul-tivariadas MNBU (Multivariate New Better than Used) como una posibleextension de la clase de distribuciones de vida NBU (New Better than Used)univariadas. Intuitivamente, decir que un objeto tiene la propiedad de en-vejecimiento NBU simplemente significa que el objeto tiene menores prob-abilidades de fallar en el futuro cuando es nuevo que cuando se adquiereya usado. En el caso multivariado se intenta modelar esta nocion de enve-jecimiento para varios objetos a la vez cuyos tiempos de vida pueden o noser dependientes. Se demuestran algunas caracterizaciones alternativas de laclase MNBU y algunas propiedades de cerradura de esta clase de interes enTeorıa de Fiabilidad y se proporcionan algunas ilustraciones y ejemplos.

2.1. La clase NBU

Frecuentemente se emplean polıticas de mantenimiento para mejorar eldesempeno de un sistema y para reducir la incidencia de fallas en ellos. Porejemplo, para unidades cuyo desempeno se deteriora con la edad frecuente-mente resulta de utilidad reemplazar las unidades antes de que estas fallen.Dos metodos para llevar esto acabo se hacen mediante el uso de las polıticasde remplazamiento por edad y por bloque.

Mediante la polıtica de remplazamiento de unidades por edad, estas sonremplazadas al fallar o al alcanzar la edad T mientras que en la polıticade remplazamiento por bloque, las unidades son remplazadas por bloques alfallar o cada T unidades de tiempo. La comparacion entre estas dos polıticas

Capıtulo 2. Distribuciones MNBU 40

de remplazamiento y otras es posible bajo suposiciones de desgaste mınimoen los tiempos de vida. Dos clases de distribuciones de tiempos de vida deunidades las cuales se utilizan para comparar polıticas de remplazamientoson aquellas cuyos tiempos de vida resultan ser mejores nuevas que usadas(NBU) y las que son mejores nuevas que usadas en promedio (NBUE).

Sea T el tiempo de vida de algun objeto, es decir, T es una variablealeatoria con valores en [0,∞) con funcion de distribucion F , necesariamenteF (t) = 0, ∀t < 0.

Definicion 2.1. La distribucion F (o T ) se dice ser nueva mejor queusada, o que es de clase NBU (new better than used), si

(2.1) P T > s+ t | T > s ≤ PT > t, ∀s, t ≥ 0.

Con la notacion F (t) = 1 − F (t) = PT > t, esta condicion puede serreescrita en la forma

(2.2) F (t+ s) ≤ F (s)F (t), ∀s, t ≥ 0.

La correspondiente clase dual se obtiene invirtiendo la desigualdad (2.2).En este caso decimos que F tiene la propiedad de ser peor nuevo queusado o que es de clase NWU (new worse than used).

Definicion 2.2. Una distribucion de vida F con media finita µ es de claseNBUE (new better than used in expectation) o que tiene la propiedad de sermejor nuevo que usado en promedio si se cumple

(2.3)

∫ ∞

t

F (x)dx ≤ µF (x),∀t ≥ 0.

Nuevamente, la correspondiente clase dual se obtiene invirtiendo la de-sigualdad (2.11). En este caso decimos que F tiene la propiedad de ser peornuevo que usado en promedio o que es de clase NWUE (new worse thanused in expectation).

Como mencionamos al inicio de este capıtulo, las clases NBU y NBUEhan mostrado ser muy utiles en la solucion de ciertos problemas de man-tenimiento. A continuacion enunciaremos sin demostracion algunos de estosresultados, pero antes requeriremos de un poco de terminologıa.


Primeramente recordemos que un proceso de renovacion se puededefinir como una sucesion Xn

∞n=1 de variables aleatorias independientes e

identicamente distribuidas, con distribucion comun F , con valores en [0,∞).A F se le llama la distribucion subyacente del proceso de renovacion. SeanS0 = 0 y

Sk = X1 +X2 + . . .+Xk, ∀k ∈ N.

Los valores S0 ≤ S1 ≤ S2 ≤ . . . se pueden interpretar como los tiempos deocurrencia consecutivos de una sucesion de eventos a lo largo del tiempo,usualmente llamados tiempos de renovacion del proceso. La distribucion F (k)

de Sk es la convolucion de F con sigo misma k veces donde convenimos queF (0)(t) = 1 si t ≥ 0 y F (0)(t) = 0 si t < 0.

Como un ejemplo, consideremos un sistema que opera bajo un periodo detiempo indefinido. Al fallar, se realiza una reparacion o reemplazamiento elcual requiere de un tiempo insignificante para su realizacion. Los intervalossucesivos entre fallas seran las variables aleatorias independientes e identica-mente distribuidas Xn

∞n=1 del proceso de renovacion.

La teorıa de renovacion es primordialmente concerniente al numero derenovaciones N(t) en el intervalo [0, t], donde N(0) = 0. A N(t) se le llamala variable aleatoria de renovacion. Observese que

N(t) ≥ k = Sk(t) ≤ t .

Luego N(t) = k si y solo si Sk(t) ≤ t y Sk+1 > t si y solo si k es el maximoentero no negativo tal que Sk(t) ≤ t en el entendido de que N(t) = 0 si ysolo si X1 > t.

Llamaremos tambien a N(t)t≥0 proceso de renovacion ordinario.Note que la distribucion de N(t) esta dada por

P (N(t) ≥ n) = P (Sn ≤ t) = F (n)(t), ∀n ∈ N.

Definicion 2.3. Se dice que un proceso estocastico Xn∞n=1 es un proce-

so de renovacion estacionario si todas las variables son independientes,X2, X3, . . . son identicamente distribuidas con distribucion subyacente F conmedia µ (0 < µ <∞) y X1 tiene distribucion

F (t) =1

µ

∫ t

0

F (x)dx, ∀x ≥ 0.

N(t)t≥0 denota al correspondiente proceso de conteo.


El proceso de renovacion estacionario tiene la siguiente interpretacionfısica. Supongamos que un proceso de renovacion ha iniciado al tiempo t =−∞, pero la observacion del proceso empieza en t = 0. Entonces X1 tienedistribucion F . Para un proceso de renovacion estacionario E[N(t)] = t/µ.

En base a lo descrito anteriormente, sean

N(t) = el numero de renovaciones en [0, t] para un proceso de renovacionordinario.

N(t) = el numero de renovaciones en [0, t] para un proceso de renovacionestacionario.

NA(t, T ) = el numero de fallas en [0, t] bajo una politica de remplazamientopor edad con intervalo de remplazamiento T .

NB(t, T ) = el numero de fallas en [0, t] bajo una politica de remplazamientopor bloque con intervalo de remplazamiento T .

Sean X y Y dos variables aleatorias con distribuciones arbitrarias en R.Para el caso univariado recuerdese queX es estocasticamente mas grandeque Y y se escribe X ≥st Y si y solo si

P (X > a) ≥ P (Y > a), ∀a.

Una variable aleatoria X es intuitivamente mayor estocasticamente que otravariable aleatoria Y si X tiene mayores posibilidades de tomar valores mas“grandes” que Y . La frase anterior admite diversas interpretaciones (sobretodo en el caso multivariado) lo que ha dado lugar a diferentes definicionesde la nocion de orden estocastico y lo ha hecho muy versatil en aplicaciones.

Tenemos entonces los resultados siguientes:

1. N(t) ≥st NA(t, T ) para toda t ≥ 0, T ≥ 0 si y solo si F es NBU.

Una conclusion similar tambien es cierta para la comparacion entre las polıticasde remplazamiento ordinarias y por bloque, esto es:

2. N(t) ≥st NB(t, T ) para toda t ≥ 0, T ≥ 0 si y solo si F es NBU.

Mientras que para la clase de distribuciones de los tiempos de vida que sonNBUE tenemos lo siguiente:

3. N(t) ≥st N(t) para toda t ≥ 0, T ≥ 0 si y solo si F es NBUE.


Para ver la demostracion de estos resultados y mas detalles vease el Ca-pitulo 6 de [2]. Como ya dijimos anteriormente, la clase de distribuciones devida de objetos que nuevos son mejores que usados (NBU) es el tema princi-pal de este trabajo y sera discutida a continuacion tanto en el caso univariadocomo en el caso multivariado.

Como vimos en la Seccion 1.2, el acuerdo comun de envejecimiento en uncontexto tecnico es un decrecimiento gradual del desempeno en el transcursodel tiempo. Una medida natural de dicho envejecimiento la proporciona lanocion de vida residual. Mas precisamente, para s > 0 fijo, el tiempo de vidaresidual de un objeto a la edad s se define como la variable aleatoria Ts cuyafuncion de fiabilidad esta dada por

(2.4) F Ts(t) = P (Ts > t) = P (T > s+ t|T > s)

=F (s+ t)

F (s)= F (t|s) , ∀s ≥ 0, F (s) > 0.

Ası, de (2.2) obtenemos que una distribucion de vida F es NBU si para todos, t ≥ 0

(2.5)F (s+ t)

F (s)≤ F (t),

es decir, una variable aleatoria T que representa el tiempo de vida aleatorio deun objeto es NBU si su probabilidad condicional de supervivencia mas alla dela edad s+t dado que esta tiene la edad s es menor o igual que la probabilidadde supervivencia al tiempo t de un objeto nuevo. He aquı algunos ejemplos.

Ejemplo 2.1 (Distribucion Exponencial). Se dice que una variable aleato-ria continua no negativa T tiene distribucion exponencial con parametroλ > 0 si su funcion de densidad esta dada por

fT (t) = λe−λt, ∀t ≥ 0.

Una tal variable aleatoria T modela tiempos de espera entre dos eventosaccidentales tales como llamadas telefonicas, terremotos, etc. La funcion dedistribucion de T es

F (t) = P (T ≤ t) = 1 − e−λt, ∀t ≥ 0,


y F (t) = 0, ∀t < 0, y la funcion de fiabilidad de T es

F (t) = P (T > t) = e−λt, ∀t ≥ 0,

y F (t) = 1, ∀t < 0, respectivamente. La distribucion exponencial tiene lapropiedad distintiva de preservar la propiedad de perdida de memoria, esdecir, que se cumple

(2.6) P T > s+ t | T > s =PT > s+ t

PT > s= PT > t, ∀s, t ≥ 0.

En particular, la variable aleatoria T debe ser de clase NBU. En terminosfısicos, (2.6) dice que un objeto con tiempo de vida exponencial, el cual hasobrevivido un cierto periodo de tiempo es tan bueno como uno nuevo hastadonde el tiempo de vida restante de este nuevo objeto nos sea de interes.

La relacion entre las clases IFRA y NBU se establece en el siguienteresultado.

Lema 2.1. Si F es de clase IFRA, entonces F es de clase NBU.

Demostracion. Como antes, denotemos R(t) =∫ t

0r(u)du, ∀t > 0. Sean

c1 =R(x)

x, c2 =

R(y)

yy c3 =

R(x+ y)

x+ y.

Entonces la propiedad IFRA implica c3 ≥ max(c1, c2) y

R(x+ y) = c3(x+ y) ≥ max(c1, c2)(x+ y) ≥ c1x+ c2y = R(x) +R(y)

o, equivalentemente, e−R(x+y) ≤ e−R(x)e−R(y), es decir,

F (x+ y) ≤ F (x)F (y)

Ejemplo 2.2. Sea T la variable aleatoria no negativa cuya funcion de fiabil-iadad esta dada por

F (t) = PT > t = e−12t2 , ∀t ≥ 0.

Se afirma que T es NBU. En efecto, se tiene F (t+ s) ≤ F (t)F (s) si y solo si

e−12(t+s)2 ≤ e−

12t2e−

12s2

, ∀t, s ≥ 0,


si y solo sie

12(t2+s2) ≤ e

12(t2+2ts+s2), ∀t, s ≥ 0,

si y solo si1

2(t2 + s2) ≤

1

2(t2 + 2ts+ s2), ∀t, s ≥ 0.

Ya que la ultima desigualdad es cierta, se tiene que T es NBU.

La distribucion del ejemplo anterior es un caso particular de la familia dedistribuciones de Weibull que presentamos a continuacion.

Ejemplo 2.3 (Distribucion de Weibull). Una variable aleatoria continuaT se dice que tiene distribucion de Weibull con parametros λ > 0 y α > 0 sisu funcion de distribucion esta dada por

F (t) = 1 − e−(λt)α

, ∀t ≥ 0,

y F (t) = 0, ∀t < 0. La funcion de densidad y la funcion tasa de falla de Testan dadas por

f(t) = αλ(λt)α−1e−(λt)α

, ∀t ≥ 0,

y

r(t) =f(t)

F (t)=αλ(λt)α−1e−(λt)α

e−(λt)α = αλ(λt)α−1, ∀t ≥ 0.

Si α ≥ 1, entonces r(t) es una funcion creciente de t ≥ 0, luego la variablealeatoria T es IFR y por lo tanto es IFRA (Teorema 1.8, Seccion 1.2.3). Ası,por el Lema 2.1 la variable aleatoria T es NBU si α ≥ 1.

Ejemplo 2.4 (Distribucion Gama). Una variable aleatoria continua T sedice que tiene distribucion gama con parametros λ > 0 y α > 0 si su funcionde densidad esta dada por

f(t) =λαtα−1

Γ(α)e−λt, ∀t > 0,

y f(t) = 0 si t ≤ 0. Las funciones de distribucion y tasa de falla de T estandadas por

F (t) =

∫ t

0

λαuα−1

Γ(α)e−λudu, ∀t ≥ 0,


y F (t) = 0, ∀t < 0, donde Γ(α) =∫∞

0tα−1e−tdt, y

r(t) =f(t)

F (t)=

tα−1e−λt

∫∞

tuα−1e−λudu

, ∀t > 0,

respectivamente. Se afirma que la funcion r(t) es creciente. En efecto, se tiene

r(t)−1 =

∫ ∞

t

(ut

)α−1

e−λ(u−t) du.

Poniendo x = u− t resulta

r(t)−1 =

∫ ∞

0

(1 +

x

t

)α−1

e−λx dx.

Si α ≥ 1, entonces r(t)−1 es una funcion decreciente de t > 0, luego r(t) esuna funcion creciente de t > 0. Ası pues, la variable aleatoria T es en estecaso IFR y, por tanto, IFRA. Por el Lema 2.1, T debe ser de clase NBU siα ≥ 1.

Ejemplo 2.5. Como vimos en el Ejemplo 1.5, para una variable aleatoria Tcon tasa de falla dada por

r(t) =

t si 0 ≤ t ≤ 32

3 − t si 32≤ t ≤ 2

t− 1 si t ≥ 2.

Se verifica que

1

t

∫ t

0

r(u)du =

12t si 0 ≤ t ≤ 3

2

−12t− 9

4t+ 3 si 3

2≤ t ≤ 2

12t+ 7

4t− 1 si t ≥ 2.

Como en este caso la funcion t 7→ 1t

∫ t

0r(u)du es creciente en (0,∞)

entonces la variable aleatoria T es de clase IFRA, luego por el Lema 2.1, Tes de clase NBU

El recıproco del Lema 2.1 no es valido en general como lo muestra elsiguiente contraejemplo.


Ejemplo 2.6. Sea T la variable aleatoria no negativa cuya funcion de fiabil-idad esta dada por

F (t) = e−15 [

t2 ], ∀t ≥ 0,

donde, si x es un numero real, se define [x] = n siendo n el entero mayor talque n ≤ x.

Puesto que para toda s/2 ≥ 0 y t/2 ≥ 0, se cumple bien

[t+ s

2

]=

[t

2

]+[s2

]

o bien [t+ s

2

]=

[t

2

]+[s2

]+ 1,

entonces [t

2

]+[s2

]≤

[t+ s

2

].

De esta forma

−1

5

[t+ s

2

]≤ −

1

5

[t

2

]+[s2

]

si y solo si

e−15 [

t+s2 ] ≤ e−

15[

t2 ]+[ s

2 ]

si y solo si

e−15 [

t+s2 ] ≤ e−

15 [

t2 ]e−

15 [

s2 ]

si y solo siF (t+ s) ≤ F (t)F (s).

Por lo tanto la variable aleatoria T es NBU. Por otra parte, si T tambienfuera IFRA entonces para toda 0 ≤ β ≤ 1 y t ≥ 0 se debe de satisfacer lasiguiente desigualdad (Seccion 1.2.3, proposicion 1.4)

[F (t)]β ≤ F (βt), ∀t ≥ 0,

esto ese−

15β[ t

2 ] ≤ e−15 [β

t2 ], ∀t ≥ 0,

lo cual es falso si se toma t = 3 y β = 2/3.


5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 2.1: Grafica de F (t).

Con el Lema 2.1 se concluye la demostracion de la siguiente cadena de im-plicaciones:

IFR ⇒ IFRA⇒ NBU

cuya validez tambien se cumple para sus clases duales

DFR ⇒ DFRA⇒ NWU

y en ambos casos, ninguna de las implicaciones contraria es cierta en general.

Recordemos del Capitulo 1 que

(2.7) E[T ] =

∫ ∞

0

PT > udu =

∫ ∞

0

F (u) du.

Recordemos tambien, aplicando (2.4) y (2.7), que la vida residual prome-dio al tiempo s, denotada por µs, esta dada por

(2.8) µs =

∫ ∞

0

P (Ts > t) dt =

∫ ∞

0

F (t | s) dt

=

∫ ∞

0

F (s+ t)

F (s)dt =

∫ ∞

s

F (u)

F (s)du.

De este modo se sigue de (2.5) que si T es de clase NBU, entonces

(2.9)

∫ ∞

0

F (s+ t)

F (s)dt ≤

∫ ∞

0

F (t)dt,

o sea

(2.10) E[Ts] ≤ E[T ].


Puesto que∫∞

sF (u)/F (s)du representa la vida residual promedio de una

unidad t, entonces la ecuacion (2.2) afirma que una componente con dis-tribucion de vida NBUE que ha alcanzado la edad t tiene una vida residualpromedio menor con respecto a una componente nueva (notemos que parat = 0 la vida residual promedio es µ).

2.2. La clase MNBU

Una posible formulacion de la condicion (2.2) en el contexto multivariadopuede darse en terminos de conjuntos superiores, similar a la que se hace conel orden estocastico entre vectores aleatorios, de la manera siguiente. Observeprimeramente que dados s, t ≥ 0, el evento

T > s+ t = T ∈ (s+ t,∞)

puede ser reescrito en la forma equivalente

T ∈ (α+ β)(r,∞)

con α, β, r ≥ 0. Entonces PT > s + t puede ser reescrita en la formaequivalente

PT ∈ (α+ β)A,

con α, β, r > 0 y A = (r,∞). Similarmente, PT > s y PT > t puedenser reescritas en las formas equivalentes

PT ∈ αA y PT ∈ βA,

con α, β, r > 0 y A = (r,∞), respectivamente. Ası pues, la condicion (2.2)de que F es NBU puede ser reescrita en la forma equivalente

(2.11) PT ∈ (α+ β)A ≤ PT ∈ αAPT ∈ βA,

para todo α, β ≥ 0 y para cada A = (r,∞), con r ≥ 0. Observe tambien que

PT ∈ (α+ β)A = P

1

α+ βT ∈ A

= E

[IA

(1

α+ βT

)],

PT ∈ αA = P

1

αT ∈ A

= E

[IA

(1

αT

)],

PT ∈ βA = P

1

βT ∈ A

= E

[IA

(1

βT

)],


donde α, β, r > 0 y A = (r,∞). Entonces la condicion (2.2) de que F es NBUpuede ser reescrita tambien en la forma equivalente

E

[IA

(1

α+ βT

)]≤ E

[IA

(1

αT

)]E

[IA

(1

βT

)],

para todo α, β ≥ 0 y para cada A = (r,∞), con r ≥ 0.

Note que los conjuntos de la forma A = (s,∞) son abiertos y tienenfunciones indicadoras crecientes. Estos tienen analogos multidimensionalesnaturales los cuales definimos enseguida.

Definicion 2.4. Un conjunto A ⊆ Rn se dice ser un conjunto superior, si

x ∈ A y xi ≤ yi, i = 1, . . . , n, implican y ∈ A.

Algunos ejemplos de conjuntos superiores son: ∅, Rn,

A =(x, y) ∈ R

2| y > 1/x, x ≥ 1

y A =(x, y) ∈ R

2|y > 3 − x, x ≥ 0.

En el resto de este trabajo, asumiremos que los conjuntos superiores y las fun-ciones en consideracion son todos Borel medibles siempre que las condicionesde medibilidad sean relevantes.

En el resto de este trabajo denotemos por T = (T1, . . . , Tn) los tiemposde vida de n objetos, es decir, T es un vector aleatorio que toma valores en[0,∞)n con alguna funcion de distribucion conjunta F tal que F (t1, . . . , tn) =0, ∀(t1, . . . , tn) /∈ [0,∞)n.

Definicion 2.5. La funcion de distribucion conjunta F de un vector aleatorioT = (T1, . . . , Tn) se dice ser distribucion multivariada nueva mejor queusada (MNBU) si

(2.12) PT ∈ (α+ β)A ≤ PT ∈ αAPT ∈ βA,

para todo α, β ≥ 0 y para cada conjunto superior abierto A ⊂ [0,∞)n.


2.3. Caracterizaciones de la clase MNBU

A continuacion daremos un numero de condiciones equivalentes de lapropiedad MNBU para un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) pero antes re-queriremos de un poco de terminologıa que nos sera de utilidad para enun-ciarlas.

Definicion 2.6. Una funcion real g definida sobre A = [0,∞)n se dice sersubhomogenea si

(2.13) αg(t) ≤ g(αt), ∀0 ≤ α ≤ 1, ∀t ≥ 0,

equivalentemente, si

(2.14) αg(t) ≥ g(αt), ∀α ≥ 1, ∀t ≥ 0.

Si se cumple la igualdad en (2.13) para cada α ∈ [0, 1] y cada t ≥ 0 (osi la igualdad de cumple similarmente en (2.14)), entonces g se dice serhomogenea.

Proposicion 2.1. Las condiciones (2.13) y (2.14) son equivalentes.

Demostracion. Sustituyamos en (2.13) u = αt, es decir, t = u/α, con0 < α ≤ 1. Entonces podemos reescribir a (2.13) como

αg(uα

)≤ g (u) ,

o sea,

g(u

α

)≤

1

αg (u) ,

es decir,g (βu) ≤ βg(u),

donde β = 1/α ≥ 1, como se afirmo.

Ejemplo 2.7. Para n = 1 la funcion g : R+ = [0,∞) → R

+ dada por

g(t) =1

t+ 1, ∀t ≥ 0,

es una funcion subhomogenea. En efecto, para 0 ≤ α ≤ 1 se verifica que

αt+ 1 ≤ t+ 1,


luego1

t+ 1≤

1

αt+ 1.

Comoα

t+ 1≤

1

t+ 1≤

1

αt+ 1,

entoncesα

t+ 1≤

1

αt+ 1.

Por lo tantoαg(t) ≤ g(αt)

como se afirmo.

1 2 3 4 5 6 7

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 2.2: Grafica de g(t).

Ejemplo 2.8. Funciones homogeneas de la forma

(2.15) g(t) = max1≤j≤m

mın1≤i≤n

aijti

0 ≤ aij ≤ ∞, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, son ejemplos particularmenteimportantes. Cuando τ es la funcion de vida de un sistema coherente, unaexpresion mas explıcita para g es

τ(x) = φ(x) = max1≤j≤p

mıni∈Pj

xi,

donde x = (x1, . . . , xn) ∈ 0, 1n y P1, . . . , Pp son los conjuntos trayectoriamınima del sistema (vease [2]). Ası por ejemplo para una funcion de estruc-tura en serie de orden n se tiene

τ(T ) = φ(T ) = mın(T1, T2, . . . , Tn).


Teorema 2.1. Para un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) con soporte con-tenido en [0,∞)n, las siguientes condiciones son equivalentes:

1) El vector aleatorio T es MNBU;

2) Para cada α > 0, β > 0 y cada funcion φ binaria (es decir, indicadora)creciente definida sobre [0,∞)n, se tiene

(2.16) E

[φ

(1

α+ βT

)]≤ E

[φ

(1

αT

)]E

[φ

(1

βT

)];

3) Para cada α > 0, β > 0, γ ∈ (0, 1) y cada funcion h creciente no negativadefinida sobre [0,∞)n, se tiene

(2.17) E

[hγ

(1

α+ βT

)]≤ E

[hγ

(1

αT

)]E

[h1−γ

(1

βT

)];

4) Para cada funcion g creciente no negativa subhomogenea definida sobre[0,∞)n, la variable aleatoria g(T ) tiene una distribucion NBU;

5) Para cada funcion g creciente no negativa homogenea definida sobre [0,∞)n,la variable aleatoria g(T ) tiene una distribucion NBU.

Demostracion. La equivalencia de estas condiciones sera establecida mostran-do que se cumple la siguiente cadena de implicaciones:

(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (2) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (1).

(1) ⇒ (2). Sea φ la funcion indicadora del conjunto superior A (no nece-sariamente abierto) y sean α > 0, β > 0 fijos. En [12], pp. 1468-1469, se de-muestra que si P es una medida finita sobre la σ-algebra de Borel B([0,∞)n),entonces P es una medida regular sobre B([0,∞)n), es decir, para cada con-junto superior A ∈ B([0,∞)n)

PT ∈ αA = ınfP (T ∈ αU) | A ⊆ U, U superior abierto.

Note que la igualdad anterior se cumple si y solo si para cada ǫ > 0 existeun conjunto Aǫ superior abierto, con A ⊆ Aǫ, tal que

PT ∈ αAǫ < PT ∈ αA + ǫ.


Tal conjunto superior abierto Aǫ puede ser elegido de tal suerte que tambiense cumpla

PT ∈ βAǫ < PT ∈ βA + ǫ.

De (2.12) se sigue que para φ = IA y Aǫ se tiene

E

[φ

(1

α+ βT

)]= P

1

α+ βT ∈ A

= PT ∈ (α+ β)A

≤ PT ∈ (α+ β)Aǫ

≤ PT ∈ αAǫPT ∈ βAǫ

≤ [PT ∈ αA + ǫ][PT ∈ βA + ǫ]

=

[P

1

αT ∈ A

+ ǫ

] [P

1

βT ∈ A

+ ǫ

]

=

(E

[φ

(1

αT

)]+ ǫ

)(E

[φ

(1

βT

)]+ ǫ

),

de esta forma, haciendo tender ǫ a cero, se obtiene (2.17).

(2) ⇒ (3). Sea hk∞k=1, una sucesion creciente de funciones simples con la

propiedad de que lımk→∞

hk = h puntualmente; para ser mas especıficos tomem-

os, para k = 1, 2, . . .,

(2.18) hk(t) =

i− 12k si i− 1

2k ≤ h(t) < i2k , i = 1, . . . , k2k

k si h(t) ≥ k.

Sea

Ai,k =

t

∣∣∣∣h(t) ≥i

2k

, i = 1, . . . , k2k, k = 1, 2, . . . .

Note que Ai,k es un conjunto creciente, por ser h creciente; note ademas queAk2k,k ⊂ · · · ⊂ A1,k. Se tiene, para k = m con m ∈ N fijo, que

hm(t) =m2m∑

i=1

1

2mIAi,m2m (t)(2.19)

=1

2mIA1,m

(t) + · · · + IAm2m−1,m

(t) + IAm2m,m(t)

=1

2mI[ 1

2m ,∞)(t) + · · · + I[m2m−1

2m ,∞)(t) + I[m,∞)(t)


donde

I[ 12m ,∞)(t) = I[ 1

2m , 22m )(t) + · · · + I[m2m

−12m ,m)(t) + I[m,∞)(t)

I[ 22m ,∞)(t) = I[ 2

2m , 32m )(t) + · · · + I[m2m

−12m ,m)(t) + I[m,∞)(t)

· · ·(2.20)

I[m2m−1

2m ,∞)(t) = I[m2m−1

2m ,m)(t) + I[m,∞)(t)

I[m,∞)(t) = I[m,∞)(t)

de este modo, sustituyendo cada una de las expresiones de (2.20) en (2.19),respectivamente, obtenemos

hm(t) =1

2m

1 I[ 1

2m ,∞)(t) + 2 I[ 22m ,∞)(t) + · · ·(2.21)

+(m2m − 1) I[m2m−1

2m ,∞)(t) +m2m I[m,∞)(t)

=m2m∑

i=1

i

2mIAi,m2m (t)

Por el Teorema de Convergencia Monotona, es pues suficiente mostrar que(2.17) se cumple para funciones h de la forma

(2.22) h(t) =m∑

i=1

aiIAi(t)

donde ai ≥ 0, i = 1, 2, . . . ,m, y Am ⊂ · · · ⊂ A1 son conjuntos superiores.Por conveniencia notacional, sea Am+1 = ∅. En las siguientes expresiones, laprimera desigualdad se sigue de (1.10), y la segunda igualdad se obtiene al


descomponer cada evento en eventos disjuntos:

E

[h

(1

α+ βT

)]=

m∑

i=1

aiPT ∈ (α+ β)Ai

≤m∑

i=1

aiPT ∈ αAiPT ∈ βAi

= a1P

T ∈ α

[m⋃

i=1

(Ai − Ai+1)

]P

T ∈ β

[m⋃

j=1

(Aj − Aj+1)

]

+ a2P

T ∈ α

[m⋃

i=2

(Ai − Ai+1)

]P

T ∈ β

[m⋃

j=2

(Aj − Aj+1)

]

+ · · ·

+ am−1P

T ∈ α

[m⋃

i=m−1

(Ai − Ai+1)

]P

T ∈ β

[m⋃

j=m−1

(Aj − Aj+1)

]

+ amPT ∈ αAmPT ∈ βAm

= a1

m∑

i=1

PT ∈ α(Ai − Ai+1)m∑

j=1

PT ∈ β(Aj − Aj+1)

+ a2

m∑

i=2


j=2


+ · · · + am−1

m∑

i=m−1


j=m−1


+ amPT ∈ αAmPT ∈ βAm.

Ahora bien, el coeficiente de PT ∈ α(Ai−Ai+1)PT ∈ β(Aj−Aj+1) debeser a1 + · · · + ai para 1 ≤ i ≤ j ≤ m y a1 + · · · + aj para 1 ≤ j ≤ i ≤ m,lo cual se verifica de inmediato al expandir las ultimas sumatorias de arriba.


Entonces

E

[h

(1

α+ βT

)]≤

m∑

i=1

m∑

j=1

[a1 + · · · + amın(i,j)]

× PT ∈ α(Ai − Ai+1)PT ∈ β(Aj − Aj+1)

=m∑

i=1

m∑

j=1

[a1 + · · · + amın(i,j)]γ [a1 + a2 + · · · + amın(i,j)]

1−γ

× PT ∈ α(Ai − Ai+1)PT ∈ β(Aj − Aj+1)

≤m∑

i=1

m∑

j=1

[a1 + · · · + ai]γ[a1 + · · · + aj]

1−γ

× PT ∈ α(Ai − Ai+1)PT ∈ β(Aj − Aj+1)

=

[m∑

i=1

(a1 + · · · + ai)γPT ∈ α(Ai − Ai+1)

]

×

[m∑

j=1

(a1 + · · · + aj)1−γPT ∈ β(Aj − Aj+1)

]

=

[m∑

i=1

(a1 + · · · + ai)γE

(IAi−Ai+1

(1

αT

))]

×

[m∑

j=1

(a1 + · · · + aj)1−γE

(IAj−Aj+1

(1

βT

))]

= E

([m∑

i=1

(a1 + · · · + ai)

]γ [IAi−Ai+1

(1

αT

)]γ)

× E

[

m∑

j=1

(a1 + · · · + aj)

]1−γ [IAj−Aj+1

(1

βT

)]1−γ

= E

([m∑

i=1

(a1 + · · · + ai)IAi−Ai+1

(1

αT

)]γ)

× E

[

m∑

j=1

(a1 + · · · + aj)IAj−Aj+1

(1

βT

)]1−γ


= E

([a1IA1−A2

(1

αT

)+ (a1 + a2)IA2−A3

(1

αT

)

+ · · · + (a1 + · · · + am)IAm

(1

αT

)]γ)

× E

([a1IA1−A2

(1

βT

)+ (a1 + a2)IA2−A3

(1

βT

)

+ · · · + (a1 + · · · + am)IAm

(1

βT

)]1−γ)

= E

([a1

m∑

i=1

IAi−Ai+1

(1

αT

)+ a2

m∑

i=2

IAi−Ai+1

(1

αT

)

+ · · · + am−1

m∑

i=m−1

IAi−Ai+1

(1

αT

)+ amIAm

(1

αT

)]γ)

× E

([a1

m∑

j=1

IAj−Aj+1

(1

βT

)+ a2

m∑

j=2

IAj−Aj+1

(1

βT

)

+ · · · + am−1

m∑

j=m−1

IAj−Aj+1

(1

βT

)+ amIAm

(1

βT

)]1−γ)

= E

([a1I⋃m

i=1[Ai−Ai+1]

(1

αT

)+ a2I⋃m

i=2[Ai−Ai+1]

(1

αT

)

+ · · · + am−1I⋃mi=m−1[Ai−Ai+1]

(1

αT

)+ amIAm

(1

αT

)]γ)

× E

([a1I⋃m

j=1[Aj−Aj+1]

(1

βT

)+ a2I⋃m

j=2[Aj−Aj+1]

(1

βT

)

+ · · · + am−1

m∑

j=m−1

I⋃mj=m−1[Aj−Aj+1]

(1

βT

)+ amIAm

(1

βT

)]1−γ)

= E

([a1IA1(

1

αT ) + a2IA2

(1

αT

)

+ · · · + am−1IAm−1

(1

αT

)+ IAm

(1

αT

)]γ)


× E

([a1IA1

(1

βT

)+ a2IA2

(1

βT

)

+ · · · + am−1IAm−1

(1

βT

)+ IAm

(1

βT

)]1−γ)

= E

([m∑

i=1

aiIAi

(1

αT

)]γ)E

([m∑

i=1

aiIAi

(1

βT

)]1−γ)

= E

[hγ

(1

αT

)]E

[h1−γ

(1

βT

)].

Ası pues,

E

[hγ

(1

α+ βT

)]≤ E

[hγ

(1

αT

)]E

[h1−γ

(1

βT

)].

Por lo tanto, el resultado es valido para funciones de la forma (2.22) y, comose dijo, por el Teorema de Convergencia Monotona se obtiene el resultado.

(3) ⇒ (2). Trivial.

(2) ⇒ (4). Sea g una funcion creciente no negativa subhomogenea. Fijemosa > 0 y sea

φ(t) = Is|g(s)>a(t).

Ası definida, tenemos que la funcion φ es binaria y creciente, por ser g cre-ciente, y de esta manera podemos aplicar la hipotesis (2). Sea α ∈ (0, 1).En lo que sigue, la primera desigualdad se obtiene de (2.14) y la segundadesigualdad se sigue de la hipotesis (2):

Pg(T ) > αaPg(T ) > (1 − α) a

= P

1

αg(T ) > a

P

1

1 − αg(T ) > a

≥ P

g

(1

αT

)> a

P

g

(1

1 − αT

)> a

= E

[φ

(1

αT

)]E

[φ

(1

1 − αT

)]

≥ E [φ(T )]

= Pg(T ) > a.


Ası, para a > 0 y α ∈ (0, 1) arbitrarios, se sigue que la variable aleatoriag(T ) satisface a (2.11) con β = 1 − α por lo tanto g(T ) es NBU.

(4) ⇒ (5). Trivial.

(5) ⇒ (1). Sea A un conjunto superior contenido en [0,∞)n y definamos lafuncion g sobre [0,∞)n por

(2.23) g(t) = sup

θ > 0

∣∣∣∣1

θt ∈ A

si

θ > 0

∣∣∣∣1

θt ∈ A

6= ∅

y g(t) = 0 de otra forma.

Observe que g es creciente porque si t ≤ s, entonces para todo θ > 0 talque t/θ ∈ A, se debe tener s/θ ∈ A (ya que A es un conjunto superior yt/θ ≤ s/θ). Luego

θ > 0

∣∣∣∣1

θt ∈ A

⊂

θ > 0

∣∣∣∣1

θs ∈ A

,

al tomar supremos resulta g(t) ≤ g(s).

Note tambien que g es homogenea porque si α > 0, entonces

g(αt) = sup

θ > 0

∣∣∣∣1

θαt ∈ A

= sup

αϕ > 0

∣∣∣∣1

ϕt ∈ A

= α sup

ϕ > 0

∣∣∣∣1

ϕt ∈ A

= αg(t)

siempre queθ > 0

∣∣∣1θ t ∈ A

6= ∅; y siθ > 0

∣∣∣1θ t ∈ A

= ∅, entonces

tambienθ > 0

∣∣∣1θαt ∈ A

= ∅ (por ser A un conjunto superior), luego

g(αt) = αg(t) = 0.

Por lo tanto, g es una funcion creciente, homogenea y no negativa; de estemodo, de la hipotesis (5) se sigue que g(T ) es NBU. Ahora bien, para δ > 0,se tiene que g(T ) > δ si y solo si T /δ ∈ A si y solo si T ∈ δA, luego

Pg(T ) > δ = PT ∈ δA.

Entonces

PT ∈ (α+ β)A = Pg(T ) > α+ β

≤ Pg(T ) > αPg(T ) > β = PT ∈ αAPT ∈ βA.


Por lo tanto

PT ∈ (α+ β)A ≤ PT ∈ αAPT ∈ βA,

es decir, T es MNBU.

Corolario 2.1. La condicion (3) del Teorema 2.1 se sigue manteniendo val-ida si las funciones crecientes no negativas se reemplazan por funciones con-tinuas crecientes no negativas.

Demostracion. Si (3) se cumple para funciones continuas crecientes no neg-ativas h, entonces (3) tambien se cumple para toda funcion binaria continuapor la derecha creciente ψ. Para ver esto sea

A = t|ψ(t) = 1.

Afirmamos que A es un conjunto superior cerrado. En efecto, para ver queA es un conjunto superior sea t en A y sea t ≤ s y veamos que tambien s

esta en A. Puesto que ψ es una funcion binaria creciente se tiene que

1 = ψ(t) ≤ ψ(s) = 1,

luego, s tambien pertenece a A. Para ver que A es un conjunto cerrado, sea t

un elemento en la cerradura de A y veamos que t esta en A. Como t esta enla cerradura de A entonces existe una sucesion tnn∈N en A tal que tn ≥ t,∀n ∈ N, y

lımn→∞

tn = t.

De esta manera como ψ es una funcion continua por la derecha nos da que

1 = lımn→∞

ψ(tn) = ψ(

lımn→∞

tn

)= ψ(t).

Por lo tanto el elemento t esta en A y de esta forma el conjunto A es cerrado.Ahora, sea

d(t, A) = ınfd(t,a)|a ∈ A

la distancia euclidiana de un punto t al conjunto A. Como A es un conjun-to superior cerrado entonces d(t, A) > 0 si A y t son ajenos, pues t unconjunto compacto. Definimos

hk(t) =

0 si d(t, A) ≥ 1/k

1 − d(t, A) si d(t, A) < 1/k.


Cada funcion hk es creciente, continua, no negativa y acotada por 1, de estaforma se tiene que hk(t)

∞k=1 es una sucesion decreciente tal que

lımk→∞

hk(t) = ψ(t) = IA(t) =

0 si d(t, A) > 0

1 si d(t, A) = 0.

Por lo tanto, para un conjunto superior cerrado A puede construirse unasucesion de funciones hk

∞k=1, 0 ≤ hk ≤ 1, tales que hk ↓ IA. Ası, por

el Teorema de Convergencia Monotona concluimos que la condicion (3) secumple tambien para funciones continuas crecientes no negativas lo cual nosconduce nuevamente a la condicion (2) del Teorema 2.1.

Observacion 2.1. Ademas en el Corolario 2.1 es suficiente pedir que (2.17)se satisfaga solo para algun γ ∈ (0, 1). Por otra parte, la condicion (5) puedeser reemplazada por la condicion aparentemente mas debil que requiere queg(T ) sea NBU para cada funcion g homogenea continua creciente no nega-tiva o por la condicion que requiere que g(T ) sea NBU solamente para g dela forma (2.15). Las condiciones equivalentes del Teorema 2.1 es un analo-go de un conjunto de condiciones que se han empleado en [6] para definiruna propiedad de tasa de falla multivariada creciente en promedio (MIFRA)(Definicion 1.24, Seccion 1.2.4) ya que T es MIFRA si y solo si g(T ) es IFRApara cada funcion homogenea creciente no negativa, lo cual implica que g(T )es NBU y ası obtenemos que T es MNBU, por lo tanto la condicion MIFRAimplica a la condicion MNBU. ⊳

Ejemplo 2.9 (Distribucion Exponencial Bivariada). La siguiente dis-tribucion bivariada esta motivada por consideraciones de fiabilidad y esta basa-da en un modelo en el cual un sistema de dos componentes sobrevive o perecede acuerdo a la ocurrencia de “choques”(accidentes) para cada una o paraambas componentes.

Consideremos el caso de dos componentes cuyas vidas, denotadas por T1

y T2, terminan al sufrir algun tipo de accidente fatal. Se supone que existentres fuentes independientes de choques fatales: un accidente proveniente dela primera fuente destruye solo a la componente 1, el accidente ocurre en untiempo aleatorio U1 con distribucion P (U1 > t) = e−λ1t, t > 0; un accidenteproveniente de la segunda fuente destruye solo a la componente 2, el accidenteocurre en un tiempo aleatorio U2 con distribucion P (U2 > t) = e−λ2t, t > 0; yun accidente proveniente de la tercera fuente destruye a ambas componentes,


el accidente ocurre en un tiempo aleatorio U12 con distribucion P (U12 > t) =e−λ12t, t > 0. Luego

T1 = mınU1, U12 = g1(U) y T2 = mınU2, U12 = g2(U ),

donde U = (U1, U2, U12). En particular, note que T1 y T2 son variables aleato-rias no independientes. Se quiere calcular la funcion de sobrevivencia conjuntade T1 y T2. Se tiene por independencia,

F (T1,T2)(t1, t2) = P (T1 > t1, T2 > t2)

= P (U1 > t1, U2 > t2, U12 > max(t1, t2))

= e−λ1t1−λ2t2−λ12 max(t1,t2), ∀t1 ≥ 0, t2 ≥ 0.

A esta distribucion se le conoce como la Distribucion ExponencialBivariada con parametros (λ1, λ2, λ12) (abreviada, BVE). Las funciones desobrevivencia marginales estan dadas como

F T1(t1) = P (T1 > t1) = lımt2→0

F (T1,T2)(t1, t2) = e−(λ1+λ12)t1 , ∀t1 ≥ 0,

F T2(t2) = P (T2 > t2) = lımt1→0

F (T1,T2)(t1, t2) = e−(λ2+λ12)t2 , ∀t2 ≥ 0,

pues el vector aleatorio tiene soporte contenido en [0,∞)2. Luego T1 y T2

tienen distribucion exponencial (λ1+λ12) y (λ2+λ12), respectivamente. ComoU1, U2, U12 son exponenciales e independientes , entonces (g1(U ), g2(U )) esBIFRA (Bivariate Increasing Failure Rate Average) en virtud del Lema 2.1 yde la Observacion 2.1 se sigue entonces que el vector aleatorio (g1(U), g2(U )) =(T1, T2) tiene distribucion BNBU (Bivariate New Better than Used)

2.4. Propiedades de Cerradura.

Las siguientes propiedades de cerradura son indicativos de la coherencia ypotencial utilidad de la definicion de la propiedad MNBU que fue introducidaen la Seccion 2. Tambien son utiles para la identificacion o la construccionde algunos ejemplos. Tenemos pues las siguientes importantes de la claseMNBU.

Proposicion 2.2. Se cumplen las afirmaciones siguientes:


1) Si T = (T1, . . . , Tn) es MNBU, entonces cualquier distribucion marginales NBU,

2) Si T = (T1, . . . , Tn) es MNBU y τ(T ) es el tiempo de vida de una es-tructura coherente cuyas componentes tienen tiempos de vida dados por T ,entonces τ(T ) es NBU,

3) Si T = (T1, . . . , Tn) es MNBU y ai ≥ 0,i = 1, . . . , n, entonces∑n

i=1 aiT i

es NBU.

Demostracion. Para la parte (1) se toma g(T ) = T i que es una funcionhomogenea, i = 1, . . . , n; para la parte (2) se observa τ(t) una funcion ho-mogenea; y para la parte (3) se toma g(T ) =

∑ni=1 aiT i que tambien es una

funcion homogenea. El resultado se sigue inmediatamente de la parte (5) delTeorema 2.1.

Estos resultados son importantes casos especiales de la siguiente propiedad.

Proposicion 2.3. Si T es MNBU y gj es una funcion subhomogenea cre-ciente no negativa definida sobre [0, 1)n, j = 1 . . . ,m, entonces el vectoraleatorio (g1(T ), . . . , gm(T )) es MNBU.

Demostracion. Sea g una funcion subhomogenea creciente no negativadefinida sobre [0, 1)n. Es claro que entonces la composicion

g(g1(T ), . . . , gm(T ))

es una funcion subhomogenea creciente no negativa definida sobre [0, 1)n.Consecuentemente, el resultado se sigue de la parte (4) del Teorema 2.1.

Por ejemplo, si (T1, . . . , Tn) es MNBU y ai ≥ 0, i = 1, . . . , n, entonces(a1T1, . . . , anTn) debe ser MNBU.

Proposicion 2.4. Si S = (S1, . . . , Sm) y T = (T1, . . . , Tn) son MNBU y siS y T son independientes, entonces (S,T ) es MNBU.

Demostracion. Verificaremos que (S,T ) satisface la parte (2) del Teore-ma 2.1. Sean pues α ≥ 0, β ≥ 0 y sea φ una funcion binaria creciente definidasobre R

n+m. Denotemos la funcion de distribucion de S por F y la funcionde distribucion de T por G. En las siguientes expresiones, la primera y laultima igualdades se siguen de la definicion de esperanza y por independen-cia; la primera desigualdad, del hecho de que S la parte (2) del Teorema 2.1;


la segunda desigualdad, de que T satisface la parte (2) del Teorema 2.1 yde que el producto de funciones binarias crecientes es una funcion binariacreciente; y la ultima desigualdad, de que φ es menor o igual a 1:

E

[φ

(1

α+ βS,

1

α+ βT

)]

=

∫

t

∫

s

φ

(1

α+ βs,

1

α+ βt

)dF (s)dG(t)

≤

∫

t

[∫

s

φ

(1

αs,

1

α+ βt

)dF (s)

] [∫

s′φ

(1

βs′,

1

α+ βt

)dF (s′)

]dG(t)

=

∫

s

∫

s′

[∫

t

φ

(1

αs,

1

α+ βt

)φ

(1

βs′,

1

α+ βt

)dG(t)

]dF (s)dF (s′)

≤

∫

s

∫

s′

[∫

t

φ

(1

αs,

1

αt

)φ

(1

βs′,

1

αt

)dG(t)

]

×

[∫

t′φ

(1

αs,

1

βt′

)φ

(1

βs′,

1

βt′

)dG(t′)

]dF (s)dF (s′)

≤

∫

s

∫

s′

∫

t

∫

t′φ

(1

αs,

1

αt

)φ

(1

βs′,

1

βt′

)dG(t)dG(t′)dF (s)dF (s′)

= E

[φ

(1

αS,

1

αT

)]E

[φ

(1

βS,

1

βT

)].

Corolario 2.2. Si T1, . . . , Tn son variables aleatorias NBU independientes,entonces:

1) El vector aleatorio T=(T1, . . . , Tn) es MNBU;

2) La variable aleatoria g(T1, . . . , Tn) es NBU siempre que g sea una funcionsubhomogenea creciente no negativa.

Demostracion. (1) se sigue inmediatamente de la Proposicion 2.3 y de lahipotesis de independencia. (2) se sigue de la parte (1) y de la parte (4) delTeorema 2.1.

Se sabe que la clase de distribuciones NBU univariadas es cerrada bajo laformacion de sistemas coherentes y bajo convoluciones (vease, por ejemplo,[2], pp. 182-184); de acuerdo al Corolario 2.2, estos hechos bien conocidosson casos especiales de las partes (2) y (3) de la Proposicion 2.2.


Proposicion 2.5. Si T (m)∞m=1 es una sucesion de vectores aleatorios declase MNBU que converge en distribucion a T , entonces T es MNBU.

Demostracion. Que la sucesion T (m)∞m=1 converja en distribucion a T

significa que para cada funcion g(t) real valuada continua y acotada definidasobre R

n se cumple

(2.24) lımm→∞

E[g(T m)] = E[g(T )]

Por la Observacion 2.1, la condicion (3) del Teorema 2.1 tambien se cumplepara cada cada funcion continua creciente no negativa h(t). Se tienen en-tonces los dos casos siguientes:

(i) h(t) es acotada, digamos 0 ≤ |h(t)| ≤M, ∀t ≥ 0.

(ii) h(t) es no acotada.

En el caso (i), como cada uno de los vectores aleatorios T (m) son MNBUpara cada m = 1, 2, . . ., de la condicion (3) del Teorema 2.1 se obtiene que

∫hγ

(1

α+ βT

)dFm

(1

α+ βT

)

≤

∫hγ

(1

αT

)dFm

(1

αT

)∫h1−γ

(1

βT

)dFm

(1

βT

).

De esta forma tomando g(T ) ≡ hγ(T ) y haciendo tender m a infinito, por(2.24) obtenemos

Ehγ

(1

α+ βT

)≤ Ehγ

(1

αT

)Eh1−γ

(1

βT

).

Por lo tanto T es NBU.

Para el caso (ii), consideremos la truncacion hn(t) de h(t) dada por

hn(t) =

h(t) si |h(t)| ≤ n,

n si h(t) > n.

Para cada n en N, hn(t) es no negativa, creciente, continua y acotada, con

lımn→∞

hn(t) = h(t), ∀t.


Como los vectores aleatorios T (m) son MNBU, ∀m,n ∈ N, nuevamente de lacondicion (3) del Teorema 2.1 se obtiene∫hγ

n

(1

α+ βT

)dFm

(1

α+ βT

)

≤

∫hγ

n

(1

αT

)dFm

(1

αT

)∫h1−γ

n

(1

βT

)dFm

(1

βT

).

Haciendo tender m a infinito, se sigue de (2.24) que

Ehγn

(1

α+ βT

)≤ Ehγ

n

(1

αT

)Eh1−γ

n

(1

βT

).

Finalmente, por el Teorema de Convergencia Monotona obtenemos el resul-tado.

2.5. Ejemplos.

Ejemplo 2.10 (Distribucion de Freund). La siguiente extension bivari-ada de la distribucion exponencial es designada en particular para modelarsistemas de dos componentes los cuales pueden seguir funcionando aun de-spues de que uno de sus componentes ha fallado, por lo cual este modelopuede ser aplicado para el estudio de falla, por ejemplo, de uno de los mo-tores de un avion con dos de ellos o el desempeno de cualquier par de organosde una persona o un animal.

Para introducir el modelo supongase que T1 y T2 son variables aleatoriasque representan los tiempos de vida de dos componentes A y B, respecti-vamente, en un sistema con dos componentes; que T ∗

1 representa el tiempode vida de la componente A si la componente B es reemplazada por otracomponente del mismo tipo a cada tiempo que esta falla (mas de una vez,de ser necesario) y que la componente T ∗

2 representa el tiempo de vida de lacomponente B si la componente A es reemplazada por otra componente delmismo tipo a cada tiempo que esta falla (mas de una vez, de ser necesario)durante el tiempo que T ∗

1 y T ∗2 nos sean de interes. Asumiremos adicional-

mente que T ∗1 y T ∗

2 son variables aleatorias independientes con distribucionesexponenciales dadas por

f(x∗) = λ1e−λ1x∗

, ∀x∗ > 0,

f(y∗) = λ2e−λ2y∗

∀y∗ > 0,


donde λ1 > 0 y λ2 > 0. Una consecuencia inmediata de estas suposiciones esque el elemento de probabilidad de que la primera falla de un componente Aocurra en x∗ y que el componente B no ha fallado todavıa al tiempo x∗ espues

P [x∗ ≤ T ∗1 < x∗ + dx∗, T ∗

2 > x∗]

= (λ1e−λ1x∗

dx∗)

(∫ ∞

x∗

λ2e−λ2y∗

dy∗)

= λ1e−(λ1+λ2)x∗

dx∗ .

Como el vector aleatorio (T ∗1 , T

∗2 ) se comporta probabilısticamente igual que

el vector aleatorio (T1, T2) en esas mismas condiciones, entonces el elementode probabilidad de que la primera falla de una componente A ocurra en x yque el componente B no ha fallado todavıa al tiempo x debe ser

(2.25) P [x ≤ T1 < x+ dx, T2 > x] = λ1e−(λ1+λ2)xdx .

Similarmente, el elemento de probabilidad de que la primera falla de unacomponente B ocurra en y∗ y que la componente A no ha fallado todavıa altiempo y∗ es pues

P [T ∗1 > y∗, y∗ ≤ T ∗

2 < y∗ + dy∗] = λ2e−(λ1+λ2)y∗

dy∗.

Nuevamente, como el vector aleatorio (T ∗1 , T

∗2 ) se comporta probabilıstica-

mente igual que el vector aleatorio (T1, T2) en esas mismas condiciones, en-tonces el elemento de probabilidad de que la primera falla de una componenteB ocurra en y y que la componente A no ha fallado todavıa al tiempo y debeser

(2.26) P [T1 > y, y ≤ T2 < y + dy] = λ2e−(λ1+λ2)ydy .

Para terminar de completar la descripcion del modelo bivariado (T1, T2) es-pecificaremos a continuacion las funciones de densidad condicionales de T1

dado que la componente B falla primero en y y de T2 dado que la componenteA falla primero en x:

fT1|T2(x|y) = µ1e−µ1(x−y), ∀0 < y < x,(2.27)

fT2|T1(y|x) = µ2e−µ2(y−x), ∀0 < x < y,(2.28)

con µ1 > 0 y µ2 > 0.


Se sigue de estas suposiciones que la densidad conjunta de T1 y T2 debeser pues

(2.29) f(x, y) =

λ1µ2e

−µ2y−(λ1+λ2−µ2)x ∀0 < x < y,

λ2µ1e−µ1x−(λ1+λ2−µ1)y ∀0 < y < x.

Para 0 < x < y, esta densidad conjunta es obtenida multiplicando (2.25) por(2.28) (omitiendo la diferencial); y para 0 < y < x, se obtiene similarmentemultiplicando (2.26) por (2.27) (omitiendo la diferencial). A la distribucionbivariada definida por (2.29) se le conoce como Distribucion ExponencialBivariada de Freund.

Las variables aleatorias T ∗1 y T ∗

2 dejaran de ser utilizadas en lo sucesivo;dichas variables aleatorias fueron introducidas para explicar las suposicionesbasicas que subyacen al modelo para T1 y T2: primeramente, para justificar(2.25) y (2.26) y, para explicar el significado de los parametros λ1 y λ2.Debemos hacer notar que en este modelo bivariado la dependencia entre T1

y T2 consiste esencialmente en que la falla de la componente B hace cambiarel parametro de la distribucion de vida exponencial de la componente A deλ1 a µ1, mientras que la falla de la componente A hace cambiar el parametrode la distribucion de vida exponencial de la componente B de λ2 a µ2.

En base a lo anterior, supongase que un par de dispositivos d1 y d2 sonpuestos en servicio al mismo tiempo y que sus tiempos de vida poseen tasasde falla constantes λ1 > 0 y λ2 > 0, respectivamente hasta el momento enque uno u otro falle. Como vimos anteriormente, si el dispositivo 2 − i fallaprimero, entonces el dispositivo restante di poseera un tiempo de vida conuna nueva tasa de falla constante µi > λi, i = 1, 2. Si Tj es el tiempo de vidade dj, j = 1, 2, se afirma que (T1, T2) tiene la misma distribucion conjuntaque el vector aleatorio

(2.30) (Z1, Z2) = (mın(X1, X2 +X3),mın(X2, X1 +X4)),

donde X1, X2, X3 y X4 son variables aleatorias independientes exponencial-mente distribuidas con tasas de falla λ1, λ2, µ1−λ1 y µ2−λ2, respectivamente.En efecto, calculemos la distribucion conjunta de (Z1, Z2). Se tiene

F (Z1,Z2)(x, y) = P(mın(X1, X2 +X3) > x,mın(X2, X1 +X4)) > y

= PX1 > x,X2 +X3 > x,X2 > y,X1 +X4 > y.


Note que si x < y, entonces X2 > y implica X2 +X3 > x, luego

X1 > x,X2 +X3 > x,X2 > y,X1 +X4 > y

= X1 > x,X2 > y,X1 +X4 > y.

Ası pues,

F (Z1,Z2)(x, y)

= PX1 > x,X2 > y,X1 +X4 > y

= PX2 > yPX1 > x,X1 +X4 > y

= PX2 > y

∫ ∞

x

PX1 > x,X4 > y − t | X1 = tfX1(t) dt.

Pero

PX1 > x,X4 > y − t | X1 = t = PX4 > y − t

= e−(µ2−λ2)(y−t) si x ≤ t ≤ y,

y PX1 > x,X4 > y − t | X1 = t = 1 si t > y, pues X1 y X4 sonindependientes y X4 ≥ 0 c.p. 1. Entonces

F (Z1,Z2)(x, y) = e−λ2y

[∫ y

x

e−(µ2−λ2)(y−t)λ1e−λ1tdt+

∫ ∞

y

λ1e−λ1tdt

]

=λ1

λ1 + λ2 − µ2

e−µ2ye−(λ1+λ2−µ2)x

+

[1 −

λ1

λ1 + λ2 − µ2

]e−(λ1+λ2)y, si 0 < x ≤ y.

Luego

f(Z1,Z2)(x, y) =∂2

∂x∂yF (Z1,Z2)(x, y)

= λ1µ2e−µ2ye−(λ1+λ2−µ2)x = f(T1,T2)(x, y) si 0 < x < y.

Procediendo analogamente, obtenemos que

F (Z1,Z2)(x, y) =λ2

λ1 + λ2 − µ1

e−µ1xe−(λ1+λ2−µ1)y

+

[1 −

λ2

λ1 + λ2 − µ1

]e−(λ1+λ2)x, si 0 < y ≤ x.


Luego

f(Z1,Z2)(x, y) =∂2

∂x∂yF (Z1,Z2)(x, y)

= λ2µ1e−µ1xe−(λ1+λ2−µ1)y = f(T1,T2)(x, y) si 0 < y < x,

como se afirmo.

Como las variables aleatorias exponenciales son IFRA, se sigue facilmente delas propiedades P1-P7 para la clase MIFRA estudiada en [6] (vea la parte finaldel Capıtulo 1) que (T1, T2) es MIFRA. En el modelo anterior tenemos puesque (T1, T2) es MNBU siempre que X1, X2, X3, X4 sean variables aleatoriasindependientes NBU.

Variables aleatorias de la forma (2.30) se originan de un modelo analogoal del Ejemplo 2.11 que presentamos a continuacion.

Ejemplo 2.11 (Un modelo de reempazamiento). Supongase que cincodispositivos d1, . . . , d5 estan disponibles para ejecutar tres tareas t1, t2, t3. Alfallar d1 (el cual ejecuta las tres tareas simultaneamente), este es reemplazadopor d2 (el cual ejecuta solamente las tareas t1 y t2) y por d3 (el cual solamenteejecuta la tarea t3). Cuando el dispositivo d2 falla, este es reemplazado por d4

(el cual solamente ejecuta la tarea t1) y por d5 (el cual solamente ejecuta latarea t2). Sea Xi el tiempo de vida del i-esimo dispositivo, i = 1, . . . , 5, y seaTj el tiempo que la tarea tj se realiza usando estos dispositivos, j = 1, 2, 3.Entonces

T1 = X1 +X2 +X4

T2 = X1 +X2 +X5

T3 = X1 +X3.

Se sigue de la Proposicion 2.3 que si X1, . . . , X5 son independientes y NBU,entonces (T1, T2, T3) es MNBU.

Tambien se sigue de la Proposicion 2.2 que si τ es el tiempo de vida deuna estructura coherente de tres componentes cuyos tiempos de vida estandados por (T1, T2, T3), entonces τ(T1, T2, T3) es NBU. Este resultado es difıcilde verificar directamente. Como ilustracion consideremos el caso de una fun-cion de estructura en serie hecha con estas tres componentes T1, T2, T3 (vease[2], pp. 6-7). Para fijar ideas y por simplicidad, supongamos que X1, . . . , X5


son independientes y exponencialmente distribuidas cuyas funciones de dis-tribucion de probabilidades son

FX1(x) = 1 − e−λ1x,

FX2(x) = 1 − e−λ2x,

FX3(x) = 1 − e−λ3x,

FX4(x) = 1 − e−λ4x,

FX5(x) = 1 − e−λ5x,

donde λi > 0, i = 1, . . . , 5, respectivamente. En el primer caso de las estruc-turas de orden 3, el sistema funcionara si y solo si todas las componentesfuncionan y por lo tanto:

τ(T ) = φ(T ) = mın(T1, T2, T3).

Si t > 0 fijo, es el tiempo de prueba para este sistema, tenemos que fiabilidadpara esta funcion de estructura estara dada por

F (t) = P (τ(T ) > t)(2.31)

= Pmın(T1, T2, T3) > t

= PX1 +X2 +X4 > t, X1 +X2 +X5 > t, X1 +X3 > t

=

∫ ∞

u=0

∫ ∞

v=0

PX4 > t− (u+ v), X5 > t− (u+ v),

X3 > t− u | X1 = u,X2 = vfX1(u)fX2(v) dudv .

Para calcular esta integral necesitaremos particionar los valores de u ≥ 0 yv ≥ 0 con respecto al valor t > 0 que dimos anteriormente, ası hallamos losiguiente. Si 0 ≤ t− u, entonces 0 ≤ t− (u + v) implica 0 ≤ v ≤ t− u y deesta forma, por la independencia de las variables aleatorias Xi, i = 1, . . . , 5,tenemos

PX4 > t− (u+ v), X5 > t− (u+ v), X3 > t− u | X1 = u,X2 = v

= e−λ4(t−(u+v))e−λ5(t−(u+v))e−λ3(t−u), si 0 ≤ u ≤ t y 0 ≤ v ≤ t− u.

Tambien, por ser las variables aleatorias Xi, i = 1, . . . , 5, no negativas eindependientes, se tiene


= e−λ3(t−u), si 0 ≤ u ≤ t y v > t− u.


Finalmente, si t− u < 0, entonces t− (u+ v) < 0, ∀v > 0. Luego,


= 1, si t < u y v > 0,

pues, otra vez, Xi, i = 1, . . . , 5, son no negativas e independientes. Sea

h(u, v) = PX4 > t− (u+ v), X5 > t− (u+ v),

X3 > t− u | X1 = u,X2 = vfX1(u)fX2(v), ∀u, v > 0.

Entonces (2.31) se puede reescribir como

F (t) =

∫ t

u=0

∫ t−u

v=0

h(u, v)dudv +

∫ t

u=0

∫ ∞

v=t−u

h(u, v)dudv

+

∫ ∞

u=t

∫ ∞

v=0

h(u, v)dudv

=

∫ t

u=0

∫ t−u

v=0

e−λ4(t−(u+v))e−λ5(t−(u+v))e−λ3(t−u)λ1e−λ1uλ2e

−λ2vdvdu

+

∫ t

u=0

∫ ∞

v=t−u

e−λ3(t−u)λ1e−λ1uλ2e

−λ2vdvdu

+

∫ ∞

u=t

∫ ∞

v=0

λ1e−λ1uλ2e

−λ2vdudv.

Haciendo los calculos de las integrales, resulta

F (t) =λ1λ2

(λ2 − (λ4 + λ5))[λ1 − (λ3 + λ4 + λ5)]e−(λ3+λ4+λ5)t

−λ1λ2

(λ2 − (λ4 + λ5))[λ1 − (λ3 + λ4 + λ5)]e−λ1t

+λ1λ2

(λ2 − (λ4 + λ5))[λ1 − (λ2 + λ3)]e−λ1t

−λ1λ2

(λ2 − (λ4 + λ5))[λ1 − (λ2 + λ3)]e−(λ2+λ3)t

+λ1

λ1 − (λ2 + λ3)e−(λ2+λ3)t

−λ1

λ1 − (λ2 + λ3)e−λ1t

+ e−λ1t


bajo la suposicion de que ningun denominador es cero.

Finalmente, para ver que bajo estas condiciones la variable aleatoria τ(T )es NBU nos faltarıa por verificar que se satisface la condicion F (t + s) ≤F (t)F (s), ∀s, t ≥ 0. Aunque ya no incluiremos aquı las expresiones corre-spondientes a dichos calculos y solamente nos limitaremos a decir que segunsean los diversos valores que asuman los parametros λi > 0, i = 1, . . . , 5, entresi, es posible verificar que siempre existiran factores dentro de la expresionF (t)F (s) que haran que dicha desigualdad sea posible, lo cual nos confir-marıa lo que mencionamos anteriormente. Los restantes casos de sistemascoherentes de orden 3 que se ilustran en [2] se podrıan tratar de manerasimilar aunque la funcion de estructura serıa mucho mas compleja que laanterior.

Capıtulo 3

Distribuciones MNBUalternativas

Con el objeto de modelar alguna situacion de interes practico o simple-mente para tener una mayor comprension de la obscura nocion del enve-jecimiento conjunto de varios objetos al paso del tiempo, se han formula-do distintas extensiones multivariadas de una misma clase de distribucionesde vida univariadas basadas en alguna nocion de envejecimiento, como, porejemplo, la extension de la clase IFR descrita en [2] y la extension de la claseIFRA propuesta en [6]. Ası mismo, el lector tambien puede encontrar en laliteratura diversas extensiones multivariadas de la clase NBU tales como laspropuestas en [18] y en [19], de hecho, en el capıtulo anterior se analizo endetalle una de ellas. El proposito de este capıtulo es mostrar como variasextensiones multivariadas de la clase NBU pueden ser obtenidas de un modosistematico. Este procedimiento tambien podrıa ser aplicado a otras clasesde distribuciones de vida univariadas.

3.1. Extensiones multivariadas de clases uni-

variadas

En esta seccion formalizaremos algunas ideas simples para la obtencıonde versiones multivariadas de una propiedad univariada.

Sea F una clase de funciones de distribucion univariadas para la cualdeseamos una extension multivariada. Sea C una clase de funciones reales,

Capıtulo 3. Distribuciones MNBU alternativas 76

cada una de las cuales esta definida sobre Rk para algun entero positivo k.

Tıpicamente se supone que F cumple la condicion siguiente:

(i) Si g ∈ C esta definido sobre Rk y X1, . . . , Xk son variables aleatorias

independientes con distribuciones en F , entonces g(X1, . . . , Xk) tieneuna distribucion en F , esto es, F es cerrada bajo las operaciones gob-ernadas por las funciones g ∈ C.

En terminos de la clase de funciones C, dos tipos de extensiones multivariadasde F han sido esencialmente consideradas en varios contextos.

Definicion 3.1. Un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) o su distribucion sedice ser C−generado de F si para algun entero positivo k existen variablesaleatorias independientes X1, . . . , Xk con distribuciones en F y funcionesg1, . . . , gn en C definidas sobre R

k tales que

(3.1) Ti = gi(X1, . . . , Xk), i = 1, . . . , n.

Un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) o su distribucion se dice pertenecera la C−cerradura de F si g(T1, . . . , Tn) tiene una distribucion en F para todog ∈ C definido sobre R

n.

La suposicion de que g ∈ C este definido sobre todo Rn es solo por conve-

niencia notacional. Mas adelante, donde se consideren variables aleatorias nonegativas, se asumira que g esta definido solamente sobre R

n+ = [0,∞)n. Tal

como se sugiere en la definicion anterior, basta suponer que g esta realmentedefinida sobre el soporte de su argumento.

Ejemplo 3.1 (Distribuciones multivariadas con mınimos exponen-ciales). Decimos que las variables aleatorias no negativas T1, . . . , Tn tienendistribucion conjunta cuyo mınimo tiene distribucion exponencial si

(3.2) Pmıni∈I

Ti > t = e−µI t, ∀t ≥ 0,

para algun µI > 0 y para todos los conjuntos no vacıos I ⊂ 1, . . . , n.

Uno de los mas importantes ejemplos de una distribucion conjunta cuyo mıni-mo tiene distribucion exponencial es la distribucion exponencial multivari-ada introducida en [16]. Variables aleatorias U1, ..., Un con esta distribucionpueden ser generadas poniendo

(3.3) Ui = mınSJ : i ∈ J, i = 1, . . . , n,


donde los conjuntos J son elementos de una clase G de subconjuntos novacıos de 1, . . . , n que tiene la propiedad de que para cada i, i ∈ J paraalgun J ∈ G, y las variables aleatorias SJ , J ∈ G son independientes yexponencialmente distribuidas (vease [10]).

Para ilustrar como se genera el modelo de distribucion multivariada de [16]consideremos ahora una extension del modelo visto en el Ejemplo 2.9 delCapıtulo 2 para un sistema de tres componentes. Aquı nuevamente las vari-ables aleatorias independientes exponencialmente distribuidas (U1, λ1), (U2, λ2)y (U3, λ3) gobiernan la ocurrencia de los accidentes de los componentes 1, 2 y3 respectivamente; (U12, λ12), (U23, λ23) y (U13, λ13) gobiernan la ocurrenciade los accidentes de los pares de componentes 1 y 2, 2 y 3 y 1 y 3 respecti-vamente; y (U123, λ123) gobierna la ocurrencia de accidentes simultaneos delas componentes 1, 2, 3. Si T1, T2 y T3 denotan los tiempos de vida de laprimera, segunda y tercera componente, respectivamente, entonces

T1 = mınU1, U12, U123, T2 = mınU2, U23, U123

y T3 = mınU3, U13, U123.

Procediendo como se hizo anteriormente en el Ejemplo 2.9 del Capıtulo 2para el caso bivariado, se obtiene que

F (T1,T2,T3)(t1, t2, t3) = P (T1 > t1, T2 > t2, T3 > t3)

= exp[− λ1t1 − λ2t2 − λ3t3 − λ12 max(t1, t2) − λ23 max(t2, t3)

− λ13 max(t1, t3) − λ123 max(t1, t2, t3)], ∀t1, t2, t3 ≥ 0.

Con argumentos similares a los anteriores, resulta claro que la correspondi-ente distribucion exponencial n-variada (abreviada MVE) debe estardada por

F (t1, · · · , tn) = exp

[−

n∑

i=1

λixi −∑

i<j

λij max(xi, xj)

−∑

i<j<k

λijk max(xi, xj, xk) − · · · − λ1...n max(x1, . . . , xn)

],

∀t1, . . . , tn ≥ 0. Notemos que las marginales (n − 1)−dimensionales (por lotanto tambien las marginales k-dimensionales, k = 1, . . . , n − 1) son MVE.


En particular, las marginales dos-dimensionales son BVE y las marginalesuno-dimensionales son exponenciales.

En base a lo anterior resulta que si F es la clase de las funciones exponen-cialmente distribuidas univariadas y C es la clase de funciones g de la forma

g(x1, . . . , xn) = mıni∈J

xi, J ⊂ 1, . . . , n.

Entonces la clase C−generada de F consiste de las distribuciones multi-variadas exponenciales de [16]. Pero la C−cerradura de F es una clase dedistribuciones multivariadas cuyo mınimo tiene distribucion exponencial esmucho mas rica que la clase anterior pues, por ejemplo, el vector aleato-rio X = (X1, . . . , Xn) cuyas componentes X1, . . . , Xn pertenecen a F sonindependientes y no necesariamente son de la forma

gi(x1, . . . , xk) = mıni∈J

xi, J ⊂ 1, . . . , k, i = 1, . . . , n,

tambien satisfacen que Pmın(X1, . . . , Xn) > x tiene distribucion exponen-cial

Ejemplo 3.2. Sea F la clase de las distribuciones normales univariadas ysea C la clase de funciones lineales. Se sabe que entonces la C−cerradura deF es la clase de distribuciones normales multivariadas. Se afirma que la claseC−generada de F coincide con la C−cerradura de F .

En efecto sea T = (T1, . . . , Tn) un vector aleatorio C−generado de F . Comocada Ti ∈ F , i = 1, . . . , n, por ser los elementos de C lineales, entonces paracada g ∈ C la variable aleatoria

g(T ) =n∑

i=1

aiTi + b ∈ F .

Luego, el vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) pertenece a la C−cerradura de F .

Por otra parte, para un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) en la C−cerradurade F , sean las funciones hi ∈ C dadas por hi(T ) = Ti, i = 1, . . . , n. Ası, lasvariables aleatorias Ti tienen una distribucion en F . Se sabe de Teorıa deProbabilidad que es posible construir un vector aleatorio (X1, . . . , Xn) concomponentes independientes tal que Xi =st Ti, luego Xi ∈ F , i = 1, . . . , n,De esta forma, al tomar k = n y gi(X1, . . . , Xn) = Xi =st Ti, luego gi ∈ C, i =1, . . . , n, concluimos que el vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) es C−generadode F


Para que las clases de distribuciones multivariadas del tipo de la Defini-cion 3.1 puedan satisfacer ciertas condiciones naturales como extensiones deF es necesario que F cumpla (i) y que la familia de funciones C satisfaga lassiguientes condiciones:

(ii) Si g ∈ C esta definido sobre Rn, entonces para toda permutacion π,

gπ ∈ C, dondegπ(x) = g(xπ(1), . . . , xπ(n)).

(iii) g(x1, . . . , xn) = x1 esta en C, n = 1, 2, . . ..

(iv) Si g ∈ C esta definida sobre Rn, entonces g ∈ C, donde g esta definida

sobre Rn+l, l ∈ N, por

g(x1, . . . , xn+l) = g(x1, . . . , xn), n = 1, 2, . . . , l = 1, 2, . . . .

(v) C es cerrado bajo composiciones en el sentido de que si

g0 : Rn → R y gi : R

k → R, i = 1, . . . , n,

donde gi ∈ C, i = 0, . . . , n, entonces g ∈ C, donde g esta definida sobreR

k porg(x) := g0(g1(x), . . . , gn(x)), n = 1, 2, . . . .

Notemos que todas estas condiciones son satisfechas por las clases C de losEjemplos 3.1 y 3.2.

Tenemos los resultados siguientes.

Proposicion 3.1. Sea F (n) la clase de todas las distribuciones n-dimensio-nales C−generadas de F , es decir, F (n) denota la clase de distribucionesconjuntas de variables aleatorias T1, . . . , Tn las cuales tienen representacion(3.1), n = 1, 2 . . .. Si C cumple (i)-(iv), entonces la clase multivariada F (n)

tiene las propiedades siguientes.

(a) Si F ∈ F (n), entonces las marginales uno-dimensionales de F estan enF , n = 2, 3, . . ..

(a′) Si F ∈ F (n), entonces las marginales (n−1)−dimensionales de F estanen F (n−1), n = 2, 3, . . ..


(b) Si F1, . . . , Fn ∈ F , entonces la distribucion definida por

F (x1, . . . , xn) =n∏

i=1

Fi(xi)

esta en F (n).

(b′) Si F1 ∈ F (k), F2 ∈ F (l), entonces la distribucion definida por

F (x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xk+l) = F1(x1, . . . , xk)F2(xk+1, . . . , xk+l)

esta en F (k+l), k, l = 1, 2, 3, . . ..

(c) Si X tiene distribucion en F , entonces el vector n-dimensional (X, . . . , X)tiene distibucion en F (n), n = 2, 3, . . ..

(d) Si (X1, . . . , Xn) tiene distribucion en F (n) entonces para todas las per-mutaciones π, (Xπ(1), . . . , Xπ(n)) tiene una distribucion en F (n), n =2, 3, . . ..

Proposicion 3.2. Sea F (n) la clase de todas las distribuciones n-dimensio-nales en la C−cerradura de F , es decir, F (n) denota la clase de distribu-ciones de vectores aleatorios (T1, . . . , Tn) para los cuales g(T1, . . . , Tn) tienedistribucion en F para toda g ∈ C. Si C cumple (i)-(iv), entonces la clasemultivariada F (n) tiene las propiedades siguientes.

(a) Si F ∈ F (n), entonces las marginales uno-dimensionales de F estan enF , n = 2, 3, . . ..

(a′) Si F ∈ F (n), entonces las marginales (n−1)−dimensionales de F estanen F (n−1), n = 2, 3, . . ..

(b) Si F1, . . . , Fn ∈ F , entonces la distribucion definida por

F (x1, . . . , xn) =n∏

i=1

Fi(xi)

esta en F (n).

(d) Si (X1, . . . , Xn) tiene distribucion en F (n) entonces para todas las per-mutaciones π, (Xπ(1), . . . , Xπ(n)) tiene una distribucion en F (n), n =2, 3, . . ..


Si C tambien cumple (v), entonces

(c) Si X tiene distribucion en F , entonces el vector n-dimensional (X, . . . , X)tiene distibucion en F (n), n = 2, 3, . . ..

Si F es cerrada bajo lımites en distribucion y si cada g ∈ C es continua enS

(n), donde S es un rectangulo que contiene los soportes de todas las F ∈ F ,entonces

(e) F (n) es cerrada bajo lımites en distribucion, n = 2, 3, . . ..

Todos los resultados de las Proposiciones 3.1 y 3.2 tienen pruebas simples,mas abajo se proporciona una demostracion para la segunda.

Observacion 3.1. Aunque F (1) puede ser interpretada como F (1) = F ocomo las distribuciones uno-dimensionales obtenidas de F vıa las operacionesC−cerradura o el C−generado, las condiciones (i) y (iii) juntas garantizan quelas dos interpretaciones son la misma.

Las propiedades que no estan dadas por estas proposiciones no son ciertasen general.

Bosquejo de la demostracion de la Proposicion 3.2.

(a) Sea T = (T1, . . . , Tn) un vector aleatorio cuya distribucion conjuntapertenece a F (n). Si g(x) = x1 y π(1) = i, π(i) = 1 y π(j) = j, j 6= 1, i,entonces por las suposiciones (iii) y (ii) se debe tener que la distribucion dela variable aleatoria Ti = gπ(T1, . . . , Tn) pertenece a F , i = 1, . . . , n.

(a′) Sea T = (T1, . . . , Tn) un vector aleatorio cuya distribucion conjuntapertenece a F (n). Sea g ∈ C definida en R

n−1, y sea g definida en Rn como

g(x1, . . . , xn−1, xn) := g(x1, . . . , xn−1).

Por la suposicion (iv), g, definida en Rn, debe pertencer a C. Ya que por

hipotesis g(T1, . . . , Tn−1, Tn) ∈ F , necesariamente g(T1, . . . , Tn−1) ∈ F .Ası pues, la (n−1)−distribucion marginal (T1, . . . , Tn−1) del vector aleatorioT pertenece a F (n−1). Aplicando finalmente la suposicion (ii) concluimosque las demas distribuciones marginales (n − 1)−dimensionales del vectoraleatorio T tambien pertenecen a F (n−1).

(b) Esto se sigue de la condicion (i) al suponer que F1, . . . , Fn ∈ F sonindependientes.


(d) Sea F en F (n) entonces por la condicion (ii), para cada g en C y paratodas las permutaciones π, gπ pertenece a C, donde

g(Tπ(1), ..., Tπ(n)) = gπ(T ),

por lo tanto gπ(T ) tiene una distribucion en F y ası (Tπ(1), ..., Tπ(n)) tieneuna distribucion en F (n).

(c) Se supone adicionalmente que se cumple la suposicion (v). Sea una vari-able aleatoria T1 con una distribucion F en F . Sea T = (T1, . . . , Tn) un vectoraleatorio tal que T1, . . . , Tn son variables aleatorias independientes con dis-tribuciones en F . Por la suposicion (i) para cualquier g ∈ C se debe tenerque g(T1, . . . , Tn) ∈ F . Por la suposicion (iii), si gi(T ) = T1, con gi ∈ C,i = 1, . . . , n, y g ∈ C, entonces g(x) pertenece a C con

g(x) = g(g1(x), . . . , gn(x)).

Entonces la variable aleatoria g(T ) = g(T1, . . . , T1) tiene distribucion en F ,luego la distribucion conjunta del vector aleatorio (T1, . . . , T1) pertenece aF (n), n = 2, 3, . . ..

Las hipotesis adicionales de la Proposicion 3.2 para el inciso (e) nos garan-tizan que si T (m), m = 1, 2, . . ., es una sucesion de vectores aleatorios en F (n)

que converge en distribucion a T , entonces T pertenece F (n) ya que de la ex-presion (2.24) del capıtulo anterior obtenemos que para cada g en C continuaen S

(n)

lımm→∞

∫

S(n)

g(T )dFm(T ) =

∫

S(n)

g(T )dF (T ).

En las siguientes proposiciones la clase C−generada por F se denotara porGC(F); la C−cerradura de F sera denotada por CC(F). Cuando no existaninguna posible confusion, se utilizara la notacion mas compacta GC, CC.

Proposicion 3.3. Si C1 ⊂ C2, entonces GC1 ⊂ GC2 y CC2 ⊂ CC1.

Proposicion 3.4. Si C satisface (v), entonces GC ⊂ CC.

Proposicion 3.5. Si H ⊂ F , entonces GC(H) ⊂ GC(F), CC(H) ⊂ CC(F).

Todas estas Proposiciones son inmediatas. En la practica, distribucionesque pertenecen la clase GC surgen de manera natural y son faciles de identi-ficar. Las Proposiciones anteriores muestran que estas distribuciones pertenecena varias CC clases y por lo tanto satisfacen varias propiedades de cerraduralas cuales son de gran utilidad en las aplicaciones.


3.2. Otras extensiones multivariadas para la

clase NBU

Las ideas de la Seccion 3.1 pueden ser aplicadas cuando F es la clase detodas las distribuciones univariadas NBU. Como las variables aleatorias NBUson no negativas es conveniente hacer estas clases consistentes de funcionesdefinidas sobre R

k+ = [0,∞)k para algun k. Recordemos tambien que la

nocion de una “funcion de vida coherente” es tomada en el sentido de Esary yMarshall (1970); tales funciones se permiten tener componentes irrelevantes.Las siguientes clases C son de interes:

C1 = g | g esta definida sobre Rn+ para algun n ∈ N y

g(x1, . . . , xn) = mıni∈J

xi para algun J ⊂ 1, . . . , n.


g(x1, · · · , xn) =∑

i∈J

xi para algun J ⊂ 1, . . . , n .

C3 = g | g es una funcion de vida coherente.


g es no negativa, creciente y homogenea.


g es no negativa, creciente y subhomogenea.

Ci = g(x) = ψ(a1x1, a2x2, . . .) | ψ esta en Ci y a1, a2, . . . ∈ (0,∞),

i = 1, . . . , 5.

Se tiene que

Figura 3.1:

Todas estas clases satisfacen las propiedades (ii)-(iv) de la Seccion 3.2 yde todas ellas solamente C2 no satisface la propiedad (v). La propiedad (i),


que involucra a la clase NBU univariada F , se verifica primero para C5, comose hizo en el Capıtulo 2, y despues se deduce para las demas clases. Notemostambien que todos los elementos k−dimensionales de C1, C2 y C3 son continuossobre [0,∞)k y por lo tanto para estas clases se cumple la conclusion (e) dela Proposicion 3.2. Sin embargo, aunque dicha conclusion tambien se cumplepara CCi

, i = 4, 5,, como tambien se vio en el Capıtulo 2, esta no se siguedirectamente de la Proposicion 3.2 porque los elementos k−dimensionales dedichas clases no necesariamente son continuos sobre [0,∞)k.

Las familias de funciones Ci, i = 1, . . . , 5, y la clase F de distribucionesNBU univariadas definen varias clases de distribuciones MNBU que serandenotadas de la siguiente manera: escribiremosGi en lugar deGCi

, Gi en lugar

de GCiy similarmente emplear Ci y Ci para las respectivas C−cerraduras.

Se sigue de las Proposiciones 3.3 y 3.4 que las clases MNBU anteriores serelacionan de la siguiente manera:

Figura 3.2:

Tambien se vio en el Capıtulo 2 que C4 = C5.

Algunas de las clases e implicaciones anteriores tambien se mencionan en[7] y en [8].

Dada una clase C que satisface la propiedad (i) de la Seccion 3.2, se defineAC como la coleccion de todos los conjuntos de la forma

x | g(x) > a

para algun g ∈ C definido sobre Rn+ y algun a ∈ [0,∞]. Se tiene el resultado

siguiente.


Teorema 3.1. Sea C la clase de funciones no negativas crecientes homogeneasdonde cada funcion esta definida sobre R

n+, n ∈ N, y sea F la clase de dis-

tribuciones NBU. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1) La distribucion conjunta de T = (T1, . . . , Tn) pertenece a CC = CC(F).

2) PT ∈ (α + β)A ≤ PT ∈ αAPT ∈ βA para toda α ≥ 0, β ≥ 0 ypara todos los conjuntos A en AC.

3) EIA

(1

α+ βT)≤ EIA

(1αT)EIA

(1β

T)

para toda α > 0, β > 0 y para

toda funcion indicadora IA de conjuntos A en AC.

4) Eh(

1α+ β

T)

≤ Ehγ(

1αT)Eh1−γ

(1β

T)

para toda α > 0, β > 0,

γ ∈ (0, 1) y para cada funcion creciente no negativa h definida sobre Rn+

tales que x | h(x) > c ∈ AC para todo c ≥ 0.

El caso especial mas interesante del Teorema 3.1 es cuando C = C4. En-tonces AC consiste de todos los conjuntos superiores de R

n+ y es particular-

mente facil de describir.

En efecto, si g ∈ C = C4 entonces A = A(g) = x : g(x) > 1 ∩ Rn+

es el correspondiente conjunto superior abierto. Inversamente, si A es unconjunto superior abierto en R

n+ entonces la funcion g dada para probar la

implicacion (5) a (1) en el Teorema 2.1 es la correspondiente funcion g ∈ C4.Note tambien que la condicion (1) del Teorema 3.1 nos dice que para todoT = (T1, . . . , Tn) que pertenece CC(F), g(T ) tiene distribucion NBU. Laprueba del Teorema 3.1 es similar a la demostacion del Teorema 2.1 delCapıtulo 2.

Observacion 3.2. En el Teorema 3.1 AC puede ser remplazado por la claseAC de todos los conjuntos que tienen la forma x | g(x) ≥ a para algung ∈ C definido sobre R

n+ y algun a ≥ 0. Pero entonces las funciones h en

(4) del Teorema (3.1) deben satisfacer x | g(x) ≥ c ∈ AC. La siguiente

proposicion muestra, por ejemplo, que las clases Ci y Ci, i = 1, . . . , 5 dedistribuciones satisfacen la propiedad (b′).

Proposicion 3.6. Sea F la clase de distribuciones NBU y sea C la clase defunciones las cuales satisfacen (ii) y

(vi) Cada g ∈ C es no negativa, creciente y homogenea.


(vii) Si g ∈ C y g : Rk+l → R, entonces para x y x′ fijos en Rk y a > 0

(3.4)y ∈ Rl|mın [g(x,y), g(x′,y)] > a

∈ AC

Si las distribuciones de S = (S1, . . . , Sm) y T = (T1, . . . , Tn) estan en CC ysi S y T son independientes, entonces la distribucion de (S,T ) esta en CC

Demostracion. Por (ii) y (vii) se sigue que si g ∈ C y g : Rm+n+ → R,

entonces para cada y ∈ Rn+ y a > 0, se tiene

(3.5)x ∈ R

m+ |g(x,y) > a

∈ AC.

Usando (3.5), (3.4) y (3) del Teorema 3.1, la prueba es analoga a la del casoespecial C = C4 dada en [18] (Propiedad 3.5).

Claramente las clases Ci y Ci, i = 1, 2, 3, 4 satisfacen (vi). Las clases Ci

y Ci, i = 1, 2, 3, 4, 5 satisfacen todas (vi). Para verificar (vii) para C1 noteque para cada n = 1, 2, . . . y todos los subconjuntos disjuntos de K y L de1, . . . , n, se tiene

y

∣∣∣mın

(mıni∈K

xi,mıni∈K

xi′,mın

j∈Lyj

)> a

=

0 si mıni∈K

mın (xi, xi′) ≤ a

y

∣∣∣mıni∈L

yi > a

si no,

puesto que el conjunto vacıo pertenece a AC1 , (vii) se satisface. La verificacionpara C1 es similar y la verificacion para C2 y C2 es directa. Para verificar (vii)para C3, fijemos x y x′ y sea ui = 0 si xi ≤ a, ui = 1 si xi ≥ a, vi = 1si x′ > a. Para cualquier funcion de vida coherente τ con correspondientefuncion de estructura φ, denotemos por τx,x′ la correspondiente funcion deestructura mın(φ(u, ·), φ(v, ·)). Entonces

y|mın (τ(x,y), τ(x,y′)) > a = y|τx,x′(y) > a ∈ AC3 .

La verificacion para C3 es similar. Y que C4 = C4 y C5 = C5 satisfaga (vii) sesigue del hecho de que AC4 y AC5 es la clase de todos los conjuntos superiores.

El hecho de que C5 = C5 satisfaga (b′) no se sigue directamente de laProposicion 3.2 ya que se ha asumido que C es en particular, una clase defunciones homogeneas. Sin embargo, C5 satisface (b′) porque C5 = C4.


3.3. Extensiones multivariadas para otras clases

de distribuciones de vida

Como se ha visto en los dos capıtulos anteriores, se tiene la siguienterelacion entre las distintas clases de distribuciones de vida univariadas basadasen algunas nociones de envejecimiento:

Exponencial ⊂ IFR ⊂ IFRA ⊂ NBU ⊂ NBUE.

Los procedimientos introducidos en la Seccion 2 pueden ser aplicados aestas familias en el lugar de F , aunque las clases Ci, i = 1, . . . , 5, en el lugarde C, que satisfacen la condicion (i) de la Seccion 2 no siempre coinciden, dehecho, se tiene

Familias de Distribuciones Exponencial IFR IFRA NBUEClases C que satisfacen (i) C1 C1, C2 C1 − C5 C2

Tabla 3.1

Es bien sabido que las clases listadas en la Tabla 3.1 efectivamente satis-facen (i). Los resultados relacionados con las distribuciones IFRA se puedenencontrar en [20], los demas resultados pueden encontrarse en [2]. Ningunaotra clase C1−C5 se puede anadir en ningun lugar de la Tabla 3.1; nuevamentevease [2].

Como antes, por simplicidad a continuacion escribiremos

Ci(F) = CCi(F) y Gi(F) = GCi

(F), i = 1, . . . , 5.

Algunos ejemplos de distribuciones multivariadas que estas clases incluyenson las siguientes:

(1) G1(IFRA) satisface la Condicion D en [11], es decir, si la distribucionconjunta de un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) pertenece a G1(IFRA), en-tonces existen variables aleatorias X1, . . . , Xk independientes de clase IFRAy subconjuntos no vacıos Si de 1, . . . , k tales que

Ti = mınj∈Si

Xj, i = 1, . . . , n.


(2) G3(IFRA) satisface la Condicion C en [11], es decir, si la distribucionconjunta de un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) pertenece a G3(IFRA), en-tonces existen variables aleatorias X1, . . . , Xk independientes de clase IFRAy funciones de vida coherentes de orden k τ1, . . . , τn tales que

Ti = τi(X1, . . . , Xk), i = 1, . . . , n.

(3) C1(IFRA) satisface la Condicion E en [11], es decir, si la distribucionconjunta de un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) pertenece a C1(IFRA), en-tonces la variable aleatoria mıni∈Si

Ti es de clase IFRA para todo subconjuntono vacıo Si de 1, . . . , n.

(4) C3(IFRA) satisface la Condicion B en [11], es decir, si la distribucionconjunta de un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) pertenece a C3(IFRA),entonces la variable aleatoria τ(T1, . . . , Tn) tiene distribucion de clase IFRApara toda funcion de vida coherente τ .

(5) C4(IFRA)= C5(IFRA) es la clase MIFRA de [6] siguiente. La distribucionconjunta de un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) pertenece a la clase MIFRAsi y solo si la desigualdad

E [h (T1, . . . , Tn)] ≤ E1/α [hα (T1/α, . . . , Tn/α)]

es valida para toda 0 < α ≤ 1 y todas las funciones Borel medibles crecientesno negativas h.

(6) C1(IFRA) satisface a la Condicion (F) en [11] siguiente. Si la distribucion

conjunta de un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) pertenece a C1(IFRA),entonces mın aiTi es de clase IFRA siempre que ai ≥ 0.

(7) C1(exp) es la clase de distribuciones exponenciales multivariadas de [16]dada en el Ejemplo 3.1.

(8) G1(exp) es la clase de distribuciones conjuntas de vectores aleatoriosT = (T1, . . . , Tn) que tienen una representacion

Tj = mın(aj1X1, . . . , ajkXk), j = 1, · · · , n,

donde X1, . . . , Xk son independientes y exponencialmente distribuidas. Estasdistribuciones son brevemente mencionadas por [16] para el caso bivariado.Basicamente, consiste de distribuciones obtenidas mediante un cambio de


variable, ası, por ejemplo, cuando una variable aleatoria X tiene distribu-cion exponencial, entonces para todo a > 0, aX tiene distribucion exponen-cial. Sin embargo, para el caso bivariado se tiene que si el vector aleatorioX = (X1, X2) tiene una distribucion exponencial bivariada (BVE), entonces(aX1, bX2) sera BVE solo si a = b > 0. La distribucion de (aX1, bX2) paraa > 0, b > 0 es de la forma

F (x1, x2) = e−λ1x1−λ2x2−max(λ3x1,λ4x2).

Esta distribucion tiene marginales exponenciales e incluye a la BVE comoun caso especial cuando λ3 = λ4 = λ12.

(9) C1(exp) es la clase que satisface la Condicion (D) en [10], es decir, ladistribucion conjunta de un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) pertenece aC1(exp) si y solo si T tiene distribucion conjunta con mınimos exponenciales,es decir,

Pmıni∈I

Ti > t = e−µI t

para algun µI > 0 y para todos los conjuntos no vacıos I ⊂ 1, . . . , n.

(10) C1(exp) es la clase que satisface la Condicion (C) en [10], es decir, ladistribucion conjunta de un vector aleatorio T = (T1, . . . , Tn) pertenece a

C1(exp) si y solo si la variable aleatoria mıni∈I aiTi tiene distribucion expo-nencial para todo ai > 0, i = 1, . . . , n, y para todos los conjuntos no vacıosI ⊂ 1, . . . , n.

Las clases enunciadas anteriormente proveen analogos a la Tabla 3.1 hastala extension en la cual la clase Ci aparece en la Tabla 3.1. Para las entradasque faltan en la Tabla 3.1 se ha explicado ya que no hay tales analogos.

Ya que C1 − C5 satisfacen la Condicion (i) de la Seccion 3.2 con F iguala la clase de distribuciones IFRA, las relaciones de la Figura 3.2 tambien setienen para distribuciones multivariadas IFRA. Este hecho simplifica algu-nas implicaciones bien conocidas, por ejemplo, nos proporcionan una pruebaalternativa inmediata de que la Condicion (C) implica la Condicion (A) en[11].

Conclusiones

En general, una extension multivariada de una clase de distribuciones devida basada en alguna nocion de envejecimiento encuentra su origen cuandouna de las siguientes cosas ocurren:

-Muchas situaciones fısicas son probadas antes de poder establecer una defini-cion.

-Se verifica que una definicion particular tiene varias propiedades obligatorias.

En el caso de la extension multivariada MNBU de la clase NBU dadaen este trabajo ha seguido el segundo de los caminos anteriores. Esta defini-cion ha sido formulada mediante el empleo de conjuntos superiores multidi-mensionales lo cual nos ha permitido establecer un numero de condicionesequivalentes de las cuales resultan de particular interes aquellas que estanrelacionadas con funciones homogeneas crecientes no negativas, debido a suutilidad en las aplicaciones y en la construccion e identificacion de ejemplos,como puede apreciarse en la Proposicion 2.2 en donde se desprende que he-chos tales como la cerradura de la clase de distribuciones NBU univariadasbajo la formacion de sistemas coherentes es un caso especial de la parte (2)de esta proposicion, y tambien en los ejemplos que se ilustran al final delCapıtulo 2.

Pero ademas, los resultados expuestos en este trabajo bajo la suposicionde distribuciones de tiempos de vida NBU refuerzan los resultados de Blocky Savits en [6] de dos maneras a saber: primeramente porque las suposicionesNBU son mas debiles que las suposiciones IFRA y porque ademas el Teore-ma 2.1 se aplica a la clase de funciones homogeneas crecientes no negativassobre el primer octante de R

n de las cuales las sumas son miembros de estaclase. Con lo cual se amplıa la posibilidad de construir e identificar ejemplosmultivariados que posean la propiedad MNBU. Ası, la distribucion expo-nencial bivariada vista en el Ejemplo 2.9 nos da un claro ejemplo de como

Conclusiones 91

es que es posible construir vectores aleatorios T = (T1, T2) que tienen estadistribucion.

Con la ayuda de construcciones como estas es como ha sido posible con-cebir en terminos de la clase de funciones C, dos tipos de extensiones multi-variadas para una clase de distribuciones F las cuales han sido esencialmenteconsideradas en varios contextos y que son el objeto de estudio en el Capıtulo3. Como hemos podido constatar, aplicar el tratamiento sistematico aquı ex-puesto para la extension multivariada de la clase NBU a las clases de dis-tribuciones de tiempos vida tales como la exponencial, IFR e IFRA, no solonos permite hallar varias condiciones multivariadas de sus correspondientesextensiones y su relacion entre ellas, sino que ademas nos permite reducir demanera significativa varios de los resultados bien conocidos acerca de las fa-milias de distribuciones de tiempos de vida mas importantes en la Teorıa deFiabilidad que estan relacionadas con la clase NBU y que ya antes habıan sidoinvestigados y establecidos por autores tales como Block y Savits en [6], Esaryy Marshall en [9] y [10] o Marshall y Olkin en [18]. Posteriormente, variasde las ideas mas importantes de este procedimiento de extension aplicado ala clase de distribuciones NBU son nuevamente aprovechadas por Marshall yShaked en [17] para mostrar que algunas distribuciones generadas totalmente

por modelos de choque pertenecen a la clase C3.

Bibliografıa

[1] Ash. R. B. (1972), Real analysis and probability, Academic Press, NewYork.

[2] Barlow, R.E. and Proschan, F. (1975), Statistical Theory of Reliability

and life Testing, Probability Models, Holt, Rinehart and Winston, NewYork.

[3] Block, H. W. and Savits, T. H. (1976), The IFRA closure problem, Annalsof Probability, 4, 1030-1032.

[4] Block, H. W. and Savits, T. H. (1978), Shock models whith NBUE Sur-

vival, J. Appl. Probability, 15, 621-628.

[5] Block, H. W. and Savits, T. H. (1979), Systems whith exponential life

and IFRA component, The annals of statistics, 4, 911-916.

[6] Block, H. W. and Savits, T. H. (1980), Multivariate IFRA distributions,Ann. Probability, 8, 793-801.

[7] Block, H. W. and Savits, T. H. (1981), Multivariate classes in reliability

theory, Mathematics of operations research, 6, 453-461.

[8] El-Neweihi, E., Proschan, F. and Sethuraman, J. (1983), A Multivariate

New Better Than Used Class Derived from a Shock Model, Oper. Res.,31, 177-183.

[9] Esary, J. D. and Marshall, A. W. (1970), Coherent life functions, SIAMJ. Appl. Math., 18, 810-814.

[10] Esary, J. D. and Marshall, A. W. (1974), Multivariate Distributions whit

exponential minimums, Ann. Statist., 2, 84-98.

Bibliografıa 93

[11] Esary, J. D. and Marshall, A. W. (1979), Multivariate distributions whit

incresing hazard rate average, Ann. Probability, 7, 359-370.

[12] Esary, J. D., Proschan, F. and Walkdup, D. W. (1967), Association of

ramdon variables whit applications, Ann. Math. Statist., 38, 1466-1474.

[13] Freund, J. E. (1961), A bivariate extension of exponential distribution,J. Amer. Statist.Assoc., 62, 971-977.

[14] Hewitt, E. and Stromberg, K. (1965), Real and abstract analysis,Springer-Verlag, New York,

[15] Johnson, N. L. and Kotz (1972), Distributions in statistics: Continuos

multivariate distributions, Wiley, New York.

[16] Marshall., A. W. and Olkin I. (1967), A multivariate exponential distri-

bution, J. Amer. Statist.Assoc., 62, 30-44.

[17] Marshall, A. W. and Shaked, M. (1979), Multivariate Shock modelsfor distributions with increasing hazard rate average, Annals ofProbability, 7, 343-358.

[18] Marshall, A. W. and Shaked, M. (1982), A class of multivariate new

better than used distributions, Annals of Probability, 10, 259-264.

[19] Marshall, A. W. and Shaked, M. (1986), Multivariate new better than

used distributions, Mathematics of operations research, 11, 110-116.

[20] Ross, S. M. (1983), Stochastic processes, John Wiley and Sons.

[21] Shaked, M. (1983), Exponential life functions whit NBU components,Ann. Probability, 3, 752-759.

distribuciones multivariadas de tiempos de vida de objetos

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