DISEO DE UN CUESTIONARIO DE DLAGNSTICO ACERCA DEL MANEJO DEL CONCEPTO DE VARIABLE EN EL LGEBRA

TRIGUEROS, M.', REYES, A.', URSINI, S.* y QUINTERO, R.' ' Departamento de Matemticas. Itam, Mxico.

Departamento de Matemtica Educativa Cinvestav, Mxico.

SUMMARY

This paper reports the first stage of a project investigating college novice students' interpretations and uses of different realisations of the concept of variable, namely: as unknown, as general number, in functional relationships. In particular, we present and discuss the reliability of a questionnaire that aimed at providing a first students' profile concerning their interpretations and uses of variable. Finally, initial results obtained by analysing students' responses are outlined.

Las matemticas que se requieren en varias carreras universitarias como, por ejemplo, Economa, Adminis- tracin, Contabilidad y Ciencias Sociales, demandan del estudiante una gran capacidad de abstraccin. Los conceptos que las constituyen son complejos y muy estructurados, lo que hace que su comprensin sea impo- sible si no se sustenta sobre una base muy slida consti- tuida por las ideas ms elementales del lgebra y de la geometra.

El caso del lgebra es particularmente importante. Esta materia es bsica para un buen manejo de las nociones de las matemticas avanzadas, por lo cual se le dedica mucho tiempo de instruccin al nivel de secundaria. Sin embargo, los estudiantes que ingresan a la universidad an tienen dificultades con la comprensin y manejo de los conceptos elementales. Los resultados de los exme- nes de admisin a las universidades y los resultados de las evaluaciones de los alumnos en los cursos propedu- ticos de carcter remedia1 que se imparten en ellas muestran que sus conocimientos de lgebra son pobres.

La identificacin de los problemas especficos de los estudiantes en esta materia y de sus causas, as como la bsqueda de formas alternativas de enseanza diseadas para superar estos problemas son temas que requieren de investigacin. Con el fin de profundizar en la compren- sin de las dificultades a las cuales se enfrentan los estudiantes que ingresan a las carreras antes menciona- das para la solucin de problemas algebraicos, es conve- niente poner atencin a un concepto central en esta materia: el concepto de variable. El trabajo que aqu se presenta se origina del inters por comprender mejor cmo los estudiantes interpretan y manejan la variable y de qu manera esto afecta su desempeo en lgebra.

Para iniciar este proyecto se consider pertinente dise- ar un cuestionario que permitiera obtener un perfil inicial de los estudiantes en cuanto a su desempeo con respecto a problemas que requieren interpretar, manipu- lar y simbolizar la variable en sus diferentes manifesta- ciones para, posteriormente, llevar a cabo anlisis ms profundos al respecto.

ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 1996, 14 (3), 351-363

En este artculo se presenta el diseo de una primera versin del cuestionario as como el anlisis de su fiabi- lidad en trminos de la Teora clsica de los tests. Es conveniente sealar que un acercamiento de este tipo no es comn entre los investigadores en enseanza de las matemticas, dado que se suele considerar el empleo de mtodos cualitativos ms apropiado para realizar inves- tigaciones en esta disciplina (Freudenthal, 1982; Puig, 1996); sin embargo, si bien es cierto que, para profundi- zar en la comprensin de las concepciones de los estu- diantes, nuestro proyecto global incluye un acercamien- to de tipo cualitativo, consideramos que un cuestionario que satisfaga algn criterio de fiabilidad puede propor- cionar los primeros elementos para orientar un estudio en profundidad.

ACERCA DEL CONCEPTO DE VARIABLE

El concepto de variable es de fundamental importancia en el desarrollo y comprensin de cualquier rama de las matemticas. Este concepto aparece por primera vez en la enseanza dentro del marco de los cursos de lgebra, aunque no se introduce explcitamente. En dichos cur- sos, los estudiantes se enfrentan a los procesos de gene- ralizacin y de modelacin que han guiado el desarrollo de las matemticas, dejando atrs el manejo de operacio- nes que se aplican exclusivamente a nmeros especfi- cos. Estos procesos requieren de una buena comprensin del concepto de variable, as como de su adecuado manejo en situaciones diversas.

El concepto de variable es complejo. Cuando se revisa su papel dentro del lgebra se encuentra que este concepto se usa con significados diversos en diferentes contextos y que dependiendo de ellos se maneja de distintas mane- ras. Esta variedad en las formas de empleo hace que el concepto de variable sea difcil de definir y puede ser la causa de muchas de las dificultades que suelen enfrentar los estudiantes (Wagner, 1981, 1983; Usiskin, 1988).

Un usuario competente del lgebra puede asignarle dife- rentes significados a la variable dependiendo del proble- ma que se le presenta: distingue ecuaciones de tautolo- gas, puede simplificar expresiones y manejar la idea de variacin en relaciones funcionales. Estas manifestacio- nes diversas, que para un experto no resultan problem- ticas, pueden convertirse para un novato en un obstculo difcil de salvar, como lo muestran los estudios que realiz Matz (1982) con estudiantes que se iniciaban en el estudio del lgebra.

Aqu consideraremos tres formas distintas en las que la variable suele usarse en el lgebra escolar y que caracte- rizaremos de la siguiente manera: la variable como incgnita, cuyo valor se puede determinar con exactitud tomando en consideracin las restricciones del proble- ma; la variable como nmero general, es decir, aqulla que aparece en generalizaciones y en mtodos generales; y la variable en una relacin de variacin conjunta con otras variables que denominaremos variable en relacin funcional.

Diversas investigaciones reportan que tanto los estii- diantes que se inician en el estudio del lgebra como los ms avanzados tienen dificultades con cada uno de estos usos de la variable (ms detalles en Ursini, 1994a). Estas investigaciones se han restringido por lo general a estu- diar el desempeo de alumnos de entre 12 v 16 aos. edades en las que se estudia el lgebra en la escuela. casi no se ha hecho investigacin con estudiantes de mayor edad. No se tiene, por lo tanto, informacin que indique si los estudiantes de niveles superiores han superado estas dificultades o si ellas persisten y eventualmente afectan su desempeo en matemticas ms avanzadas.

Los estudiantes que inician sus estudios universitarios han cursado al menos cinco aos de matemticas en la escuela secundaria y preparatoria en los cuales, si bien se abordan diversos temas, el nfasis se pone en el manejo del lgebra. A pesar de esto los profesores universitarios suelen quejarse de que los estudiantes continan mos- trando deficiencias en el manejo de expresiones alge- braicas. Esto repercute negativamente en sus estudios del clculo diferencial e integral, as como en el de otras materias de matemticas avanzadas o en aqullas que usan las matemticas como herramienta.

Es posible que, en buena medida esas dificultades pro- vengan de la falta de una construccin adecuada, por parte de los estudiantes, del concepto de variable. Esta construccin debera incluir todos los aspectos mencio- nados anteriormente y la posibilidad de pasar de uno a otro con flexibilidad y acoplndose a las exigencias de los problemas que se intentan resolver.

Si se parte de la hiptesis de que el manejo de la variable requiere de la capacidad de diferenciar entre sus distin- tas caracterizaciones, un paso importante en la compren- sin de la forma en la que este concepto se aprende es la indagacin acerca de cmo los estudiantes usan e inter- pretan cada una de ellas. Un diagnstico adecuado per- mitira intervenir mediante un rediseo de la didctica de este concepto que tome como punto de partida las concepciones de los estudiantes y las dificultades qiie ah se originan.

El cuestionario que diseamos consiste de 52 preguntas cuya solucin no requiere de un manejo algebraico complejo y en las que se trata de poner nfasis, separa- damente, en cada una de las caracterizaciones de la variable. Este diseo pretende facilitar un diagnstico acerca de cmo los alumnos interpretan, manipulan y simbolizan cada una de las distintas manifestaciones de la variable y con cules tienen ms dificultades.

A continuacin se especifican las capacidades que se requieren para manejar las caracterizaciones de la varia- ble antes mencionadas. Dichas capacidades, usadas como indicadores, permiten disear tems precisos, para me- dirlas usando mtodos cuantitativos.

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La variable como incgnita. Un manejo adecuado de la variable como incgnita implica la capacidad de:

- interpretar la variable como un nmero cuyo valor o valores especficos se pueden determinar a partir de las restricciones de un problema dado;

- manipular los elementos que componen una ecuacin, parmetros e incgnita, independientemente de la opera- cin o las operaciones involucradas;

- identificar y simbolizar la incgnita en problemas especficos, susceptibles a representarse mediante una ecuacin.

La variable como un nmero general. Lo que se espera aqu del estudiante es la capacidad de:

- interpretar la variable como representacin de un nmero cualquiera en expresiones algebraicas tales como tautologas y expresiones abiertas;

- manipular la variable en ese tipo de expresiones;

- identificar y simbolizar el objeto general en situacio- nes particulares que pueden describirse en trminos de una regla o mtodo general.

La variable en una relacin funcional. La idea de relacin funcional puede considerarse desde dos pers- pectivas: una, esttica, en la que la relacin se concibe como la correspondencia punto por pun