diseno_cl

Departamento de Estadstica e Informtica Diseo Cuadrado Latino

1

Diseo Cuadrado Latino

1. Introduccin

En el Diseo Cuadrado Latino (DCL) las unidades experimentales son clasificadas de acuerdo

a dos criterios de bloqueo. Los bloques formados en el DCL se llamar bloques por filas y

bloques por columnas y estos son completos, ya que, cada tratamiento aparece una vez en

cada fila y en cada columna.

El nmero de criterios de clasificacin por bloques puede ser aun mayor que en el DCL. As

tenemos por ejemplo el Diseo Greco-Latino (3 criterios de bloques) y el Diseo Hiper

Greco-Latino (4 criterios de bloques).

El DCL es usado en muchos campos de investigacin donde hay dos fuentes principales de

variacin en la realizacin del experimento. En experimentos sobre el terreno, la disposicin

de las u.e. suele ser sobre un rea rectangular, permitiendo as la eliminacin de la variacin

proveniente de diferencias en el suelo en dos direcciones. El DCL ha sido utilizado tambin

con ventaja en la industria, laboratorio y en las ciencias sociales.

La principal desventaja de este diseo es que el nmero de tratamientos, filas y columnas

debe ser el mismo. Los cuadrados ms comunes van de 5x5 a 8x8; cuadrados muy pequeos

dejan muy pocos grados de libertad para la estimacin del error experimental y cuadrados

muy grandes implican la utilizacin de muchas unidades experimentales adems de que al

tener bloques grandes el error experimental aumenta.

2. Ventajas y Desventajas del DCL

Ventajas

- La existencia real de dos fuentes de variabilidad entre las unidades experimentales y su separacin en el anlisis de variancia permite incrementar la eficiencia y precisin del

experimento.

- La prdida de una o ms unidades experimentales no influye esencialmente en el anlisis de variancia, siendo posible estimar los resultados de las unidades experimentales

perdidas.

Desventajas:

- El nmero de tratamientos, filas y columnas debe ser el mismo. Por esta razn, no es recomendable para un nmero elevado de tratamientos ya que se requerir de un nmero

elevado de unidades experimentales (el nmero de u.e. es igual a t2).

- Si existe interaccin entre los bloques y tratamientos, sta va incluida en el error experimental. En este caso se tiene la interaccin filas x columnas, filas x tratamientos,

columnas x tratamientos y filas x columnas x tratamientos.


2

3. Generacin de un Cuadrado Latino Estndar, Aleatorizacin y Croquis Experimental

En este diseo se tienen dos restricciones de aleatoriedad para la asignacin de los

tratamientos a las u.e. (filas y columnas) por lo que cada tratamiento debe aparecer una vez en

cada fila y en cada columna. El cuadrado estndar de cualquier tamao se puede generar

escribiendo el primer rengln de letras en orden alfabtico, el segundo rengln se obtiene a

partir del primero si se corre una letra a la izquierda y se mueve la letra A al extremo derecho,

el tercer rengln se obtiene al correr el segundo una letra a la izquierda y colocando la B en la

posicin de la exrema derecha, este proceso contina para los renglones restantes. Un

cuadrado latino de 6 X 6 construido de esta manera es:

A B C D E F

B C D E F A

C D E F A B

D E F A B C

E F A B C D

F A B C D E

El cuadrado latino es un diseo restrictivo porque requiere que el nmero de tratamientos, de

renglones y de columnas sea igual, requisito difcil de satisfacer en algunas situaciones

experimentales que requieren dos criterios de bloque. Los cuadrados latinos con t = 4 o menos

tratamientos tienen pocos grados de libertad para estimar la varianza del error experimental;

entonces, su valor puede limitarse con pequeos experimentos a menos que sea posible tener

dos o ms repeticiones del diseo. Con nmeros de tratamiento mayores que t = 8 a 10, el

nmero requerido de unidades experimentales puede ser prohibitivo segn las circunstancias

de los experimentos contemplados. El tamao adecuado para muchos experimentos con el

arreglo del cuadrado latino es t = 5 a 7 tratamientos.

Llmese Cuadrado Latino Estndar o patrn a aquel cuyo primer bloque fila y primer bloque

columna tiene los tratamientos distribuidos en orden alfabtico. Para cada tamao de cuadrado

latino hay un nmero de Cuadrados Latinos Estndar, lo que no puede convertirse uno en otro

por aleatorizacin de los bloques filas y de los bloques columnas. Si se toma un Cuadrado

Latino Estndar r r y se permuta los bloques filas excepto la primera y todos los bloques

columnas se genera ! 1 !r r cuadrados latinos diferentes. De esta manera, para un cuadrado

Latino 3 3 hay un solo CL estndar, pero 3! 3 1 ! 12 cuadrados latinos diferentes. En cambio, para un Cuadrado Latino 4 4 existe 4 CL estndar y al aleatorizar por cada uno

resulta 4! 4 1 ! 144 CL diferentes, lo que en total da 576 CL. Diferentes

Si se dispone de todos los cuadrados latinos de tamao t X t, para tener un CL aleatorizado, se

selecciona uno al azar. En otros casos, la aleatorizacin se logra con los siguientes pasos:

Paso 1. Seleccionar al azar uno de los cuadrados estndar.

Paso 2. Ordenar al azar todos menos el primer rengln.

Paso 3. Ordenar al azar todas las columnas.

Paso 4. Asignar al azar los tratamientos a las letras.


3

Por ejemplo, para un DCL con 3 tratamientos, todos los cuadrados posibles seran:

A B C A B C A C B A C B

B C A C A B B A C C B A

C A B B C A C B A B A C

B A C B A C B C A B C A

A C B C B A A B C C A B

C B A A C B C A B A B C

C A B C A B C B A C B A

A B C B C A A C B B A C

B C A A B C B A C A C B

En este caso basta elegir un Cuadrado Latino 3 3 al azar de este grupo, si sali el sexto entre

estos 12, entonces el CL aleatorizado sera

B A C

C B A

A C B

En cambio, para un 4 4 , se tiene los siguiente CL estndar:

A B C D A B C D A B C D A B C D

B C D A B A D C B D A C B A D C

C D A B C D A B C A D B C D B A

D A B C D C B A D C B A D C A B

Suponga que al seleccionar al azar se obtiene el cuarto CL. Esto es:

A B C D

B A D C

C D B A

D C A B

Al aleatorizar los bloques fila excepto el primero se obtiene el siguiente orden 4, 3, 2,

entonces resulta el siguiente CL

A B C D

D C A B

C D B A

B A D C

Al aleatorizar los Bloques Columnas se tiene, el siguiente orden 4, 1 2,3, entonces el CL

aleatorizado es:


4

D A B C

B D C A

A C D B

C B A D

4. Modelo Aditivo Lineal

El modelo aditivo lineal para un Diseo Cuadrado Latino es el siguiente:

( ) ( ) ( )i jk i j k i jkY , , 1,...,i j k t

donde:

Y(i)jk es el valor o rendimiento observado en el i-simo tratamiento, j-sima fila, k-sima

columna.

es el efecto de la media general.

(i) es el efecto del i-simo tratamiento.

j es el efecto de la j-sima fila.

k es el efecto de la k-sima columna.

(i)jk es el efecto del error experimental en el i-simo tratamiento, j-sima fila, k-sima columna.

t es el nmero de tratamientos que es igual al nmero de filas y de columnas.

La simbologa (i) implica que no es una clasificacin ordinaria de tres vas.

Ejemplo 1: Se realiz un experimento para comparar la efectividad de 4 abonos nitrogenados

en el cultivo de caa de azcar. Las claves para los abonos son:

1. NA: Nitrato amnico NH4NO3 2. SA: Sulfato amnico (NH4)2SO4

3. SS: Salitre sdico 4. UR: Urea

Todos los abonos se aplicaron a razn de 100 kg por hectrea. El diseo empleado fue un

Cuadrado Latino, donde las unidades experimentales fueron clasificadas en filas y columnas

segn su ubicacin en el terreno tal y como se muestra en el siguiente croquis junto con los

resultados del experimento (en kg de caa/parcela):

Columna

Fila 1 2 3 4

1 432 (SA) 518 (NA) 458 (SS) 583 (UR)

2 550 (SS) 724 (UR) 400 (NA) 524 (SA)

3 556 (UR) 384 (SS) 400 (SA) 297 (NA)

4 500 (NA) 506 (SA) 501 (UR) 494 (SS)


5

El modelo aditivo lineal es el siguiente:

( ) ( ) ( )i jk i j k i jkY , , 1,...,4i j k

donde:

Y(i)jk es el rendimiento de caa observado con el i-simo abono nitrogenado, j-simo

bloque por fila, k-simo bloque por columna.

es el efecto de la media general.

(i) es el efecto del i-simo abono nitrogenado.

j es el efecto del j-simo bloque fila.

k es el efecto del k-simo bloque columna.

(i)jk es el efecto del error experimental con el i-simo abono nitrogenado, j-simo bloque

fila, k-simo bloque columna.

t = 4 es el nmero de tratamientos que es igual al nmero de filas y de columnas.

5. Supuestos del Modelo Estadstico

El modelo estadstico debe cumplir con los siguientes supuestos:

1. Aditividad: Los efectos del modelo son aditivos.

2. Linealidad: Las relaciones entre los efectos del modelo son lineales.

3. Normalidad: Los errores o residuales del modelo tiene una distribucin Normal con media

cero y variancia 2.

4. Independencia. Los resultados obtenidos en el experimento son independientes entre s.

5. Homogeneidad de Variancias: Las diferentes poblaciones generadas por la aplicacin de

los diferentes tratamientos tienen variancias iguales (2).

6. No existe interaccin entre los bloques por filas y columnas y los tratamientos.

6. Estimacin de los Efectos

Los efectos del modelo , (i), j y k son estimados de modo que se minimice la siguiente expresin (Mtodo de Mnimos Cuadrados):

2 2

( ) ( ) ( )

1 1 1 1

( )t t t t

i jk i jk i j k

j k j k

Q Y

teniendo en cuenta las siguientes restricciones:

( )

1

0t

i

i

1

0t

j

j

1

0t

k

k


6

La aplicacin de este mtodo da los siguientes resultados para la estimacin de los

parmetros:

( ) Y ( ) ( ) ( ) i iY Y ( ) ( )

j jY Y ( ) ( )k kY Y

Y el residual

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2i jk i jk i j ke Y Y Y Y Y

Ejemplo 1 (Cont.): Con los datos del ejemplo anterior, la media estimada es:

( ) 489.2Y

Los efectos estimados de los tratamientos:

(1) (1) ( ) Y Y = 428.8 489.2 = -60.4

(2) (2) ( ) Y Y = 465.5 489.2 = -23.7

(3) (3) ( ) Y Y = 471.5 489.2 = -17.7

(4) (4) ( ) Y Y = 591.0 489.2 = 101.8

Los efectos estimados de los bloques por filas:

1 ( )1 ( ) Y Y 497.7 489.2 = 8.5

2 ( )2 ( ) Y Y 549.5 489.2 = 60.3

3 ( )3 ( ) Y Y 409.2 489.2 = -80

4 ( )4 ( ) Y Y 500.25 489.2 = 11.05

Los efectos estimados de los bloques por columnas:

1 ( ) 1 ( ) Y Y 509.5 489.2 = 20.3

2 ( ) 2 ( ) Y Y 533 489.2 = 43.8

3 ( ) 3 ( ) Y Y 439.7 489.2 = -49.5

4 ( ) 4 ( ) Y Y 474.5 489.2 = -14.7


7

El residual e21:

(1)23 (1)23 (1) ( )2 ( ) 3 ( )2e Y Y Y Y Y 400 428.8 549.5 439.7 + 2 (489.2) = -39.6

7. Anlisis de Variancia

En este modelo la variabilidad total se descompone en cuatro fuentes de variacin, la

explicada por los tratamientos, por los bloques filas, por los bloques columnas y por el error.

Por lo tanto, el modelo de descomposicin de la variabilidad total ser el siguiente:

Variabilidad (Total) = Variabilidad (Trat) + Variabilidad (Bloq Fila) + Variabilidad (Bloq

Columna) + Variabilidad (Error)

La variabilidad total es cuantificada por la suma de cuadrados total:

SC(Total)

2

( )2 2

( ) ( ) ( ) 21 1 1 1

( ) ( )t t t t

i jk i jk

j k j k

YSC Y Y Y Y

t

donde

2

( )

2

Y

t

es el trmino de correccin (TC).

Las sumas de cuadrados de los tratamientos, bloques por filas y por columnas y error

experimental se calculan de la siguiente manera:

SC(Tratamientos)

2

( )

1

ti

i

YTC

t

SC(Bloques Fila)

2

( )

1

tj

j

YTC

t

SC(Bloques Columna)

2

( )

1

tk

k

YTC

t

SC(Error)

2 2 2

( ) ( ) ( )2

( )

1 1 1 1 1

2t t t t t

i j k

i jk

j k i j k

Y Y YY TC

t t t

SC(Error) = SC(Total) - SC(Tratamientos) SC(Bloques Fila) - SC(Bloques Columna)

Estas fuentes de variacin son comparadas mediante el siguiente procedimiento de prueba de

hiptesis a partir del cuadro de anlisis de variancia (Cuadro ANVA):


8

Cuadro ANVA

Fuentes de

Variacin

Grados de

Libertad (GL)

Sumas de

Cuadrados (SC)

Cuadrados

Medios (CM) Fc

Tratamientos t 1 SC(Trat) Trat)(

Trat)(

GL

SC

Error)(

Trat)(

CM

CM

Bloques Filas t 1 SC(Fila) (Fila)

(Fila)

SC

GL

Bloques Columna t 1 SC(Columna) (Columna)

(Columna)

SC

GL

Error

Experimental (t 1)(t 2) SC(Error)

Error)(

Error)(

GL

SC

Total t2 1 SC(Total)

Hiptesis:

Para el Modelo I (Efectos fijos) las hiptesis son, en trminos de los efectos de los

tratamientos las siguientes:

H0: 1 = 2 = = t = 0

H1: i 0 para al menos algn i

En trminos de las medias de los tratamientos:

H0: 1 = 2 = = t

H1: No todos los i son iguales

Para el Modelo II (Efectos aleatorios) las hiptesis sern planteadas en trminos de la

variancia de los tratamientos:

H0: 2

= 0

H1: 2

> 0

En cualquiera de los casos, la hiptesis nula implica que los tratamientos no afectan a la

variable respuesta o lo que es lo mismo, que con todos los tratamientos se obtienen los

mismos resultados.


9

Estadstico de Prueba:

CM(Error)

CM(Trat)Fc )rror(),trat( EGLGLF

Regla de Decisin:

La hiptesis nula se rechaza con un nivel de significacin si el Fc resulta mayor que el valor

de tabla )rror(),trat(,1 EGLGLF .

Ejemplo 1 (Cont.): A continuacin se presenta el anlisis de variancia y la prueba de

hiptesis correspondiente para el ejemplo tratado en esta seccin:

SC(Total)

2

( )2

( ) 21 1

t t

i jk

j k

YY

t

SC(Total)

22 2 2

2

7827(432 550 ... 494 ) 3971727 3828871 142586

4

SC(Tratamientos)

2

( )

1

ti

i

YTC

t

SC(Tratamientos)

2 2 2 21715 1862 1886 23643828871 59570

4 4 4 4

SC(Bloques Fila)

2

( )

1

tj

j

YTC

t

SC(Bloques Fila)

2 2 2 21991 2198 1637 20013828871 40893

4 4 4 4

SC(Bloques Columna)

2

( )

1

tk

k

YTC

t

SC(Bloques Columna) 2 2 2 22038 2132 1759 1898

3828871 199684 4 4 4

SC(Error) = SC(Total) - SC(Tratamientos) SC(Bloques Fila) - SC(Bloques Columna)


10

SC(Error) = 142586 59570 40893 19968 = 22426

Cuadro ANVA

Fuentes de Variacin GL SC CM Fc

Tratamientos 3 59570 19857 5.31

Bloques Filas 3 40893 13631

Bloques Columnas 3 19968 6656

Error Experimental 6 22426 3738

Total 15 142856

URSSSANA

700

600

500

400

300

Abono

Re

ndim

iento

Asumiendo un modelo de efectos fijos, las hiptesis en trminos de los efectos de los

tratamientos son:

H0: 1 = 2 =3 =4 =0

H1: i 0 para al menos algn i

En trminos de las medias de los tratamientos:

H0: 1 = 2 = 3 =4

H1: no todos los i son iguales

o literalmente:

H0: Los cuatro abonos nitrogenados tienen el mismo efecto en el cultivo de caa de azcar.

H1: Con al menos uno de los abonos nitrogenados se obtiene un efecto diferente en el cultivo

de caa de azcar.


11

El estadstico de prueba es Fc = 5.31. Los valores de la tabla para un nivel de significacin del

1% y 5% son 0.99, 3,6

9.98F y 0.95,3,6

4.76F , respectivamente. Dado que el estadstico de

prueba resulta mayor que el valor de 0.95, 3,6

4.76F , pero no del valor de 0.99, 3,6

9.98F , la

prueba result significativa, se rechaza H0 a un nivel de significacin del 5%.

En conclusin, existe suficiente evidencia estadstica para aceptar que con al menos uno de

los abonos nitrogenados se obtiene un efecto diferente (rendimientos diferentes) en el cultivo

de caa de azcar.

El coeficiente de variacin para este experimento es:

( )

CMEcv

Y =

373812.50%

489.19

8. Pruebas de Comparacin de Medias de Tratamientos

A continuacin se presentan las desviaciones estndar a utilizar en cada una de las pruebas:

1. Prueba t y DLS ( ) ( )

2i jY Y

CMEs

t

2. Contrastes Ortogonales

2

1

ti

Li

cs CME

t

3. Tukey ( ) ( )i jY Y

CMEs

t

4. Dunnet ( ) ( )

2T iY Y

CMEs

t

Ejemplo 1 (Cont.): Uno de los objetivos del experimento era evaluar si con sulfato amnico

se podan obtener mejores rendimientos que con nitrato amnico. Efecte la prueba

correspondiente:

H0: 2 - 1 = 0

H1: 2 - 1 > 0

(2) (1)( ) (465.50 428.75) 0

2 2(3738)

4

c

Y Y kt

CME

t

0.85


12

El valor de tabla para un nivel de significacin de 5% es t(0.95, 6) = 1.943. Como el valor

calculado es menor al valor de tabla no rechazamos H0.

En conclusin, no existe suficiente evidencia estadstica para aceptar que con sulfato amnico

se obtengan mejores rendimientos de caa de azcar que con nitrato amnico.

Ejemplo 1 (Cont.): Aplique la prueba de Tukey para evaluar la significancia de las

diferencias entre los tratamientos.

Las hiptesis son las siguientes:

H0: 1 = 2 H0: 1 = 3 H0: 1 = 4

H1: 1 2 H1: 1 3 H1: 1 4

H0: 2 = 3 H0: 2 = 4 H0: 3 = 4

H1: 2 3 H1: 2 4 H1: 3 4

El valor de tabla con = 5%, p = 4 tratamientos y 6 grados de libertad para el error experimental es AES(T) = 4.90.

La amplitud lmite significativa de Tukey es:

ALS(T) = AES(T) CME

t =

37384.90

4 149.78

A continuacin se presentan los resultados para las 6 comparaciones:

Tratamientos comparados ( ) ( )i jY Y Significancia

1 y 2 36.75 n.s.

1 y 3 42.75 n.s.

1 y 4 162.25 *

2 y 3 6.00 n.s.

2 y 4 125.50 n.s.

3 y 4 119.50 n.s.

1 (NA) 2 (SA) 3 (SS) 4 (UR)

428.75 465.50 471.50 591.00

Eficiencia Relativa:

Eficiencia relativa de Bloques fila:

1 Resid

ResidFila

CM Bloq Fila t CMER

tCM


13

Eficiencia relativa de Bloques Columna:

En el ejemplo, la eficiencia de bloques fila es:

Interpretacin:

Existe una ganancia del 66.2% en eficiencia, por el uso de Bloque fila debido a la gradiente

de fertilidad en esa direccin. As, los bloques de las filas para los gradientes de fertilidad

reduce la variancia del error en un 66.2%. Sin el uso los bloques fila para gradiente de suelo

fertilidad requerira 1.662(4)=6.6487 rplica para obtener una variancia estimada de la media de tratamiento igual a la del DCL.

En el ejemplo, la eficiencia de Bloques columna es:

Interpretacin:

Hay una ganancia del 19.5% en eficiencia sobre el diseo bloques completos randomizado,

en que slo se usa el criterio de bloque correspondiente a los reglones del cuadrado latino.

As, los bloques de la columnas para los gradientes de fertilidad reduce la variancia del error

en un 19.5%. El Diseo de bloques randomizado sin los bloques columnas para gradiente de

suelo requerira 1.195(4)=4.785 rplica para obtener una variancia estimada de la media de tratamiento igual a la del DCL.

1 Resid

ResidCol

CM Bloq Col t CMER

tCM

1 Resid

Resid

13631+ 4-1 3738 1.661651

4 3738

Fila

CM Bloq Fila t CMER

tCM

1 Resid

Resid

6656+ 4-1 3738 1.195158

4 3738

Col

CM Bloq Col t CMER

tCM


14

Anexo: Salida de Minitab

General Linear Model Factor Type Levels Values

Trat fixed 4 NA SA SS UR

Fila fixed 4 1 2 3 4

Columna fixed 4 1 2 3 4

Analysis of Variance for Rend, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Trat 3 59570 59570 19857 5.31 0.040

Fila 3 40893 40893 13631 3.65 0.083

Columna 3 19968 19968 6656 1.78 0.251

Error 6 22426 22426 3738

Total 15 142856

Tukey Simultaneous Tests

Response Variable Rend

All Pairwise Comparisons among Levels of Trat

Trat = NA subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted

Trat of Means Difference T-Value P-Value

SA 36.75 43.23 0.8501 0.8295

SS 42.75 43.23 0.9889 0.7611

UR 162.25 43.23 3.7532 0.0359

Trat = SA subtracted from:



SS 6.000 43.23 0.1388 0.9989

UR 125.500 43.23 2.9031 0.0966

Trat = SS subtracted from:



UR 119.5 43.23 2.764 0.1142


15

100500-50-100

99

90

50

10

1

Residuo

Po

rce

nta

je

700600500400300

50

25

0

-25

-50

Valor ajustado

Re

sid

uo

6040200-20-40-60

4.8

3.6

2.4

1.2

0.0

Residuo

Fre

cu

en

cia

16151413121110987654321

50

25

0

-25

-50

Orden de observacin

Re

sid

uo

Grfica de probabilidad normal vs. ajustes

Histograma vs. orden

Grficas de residuos para rend

COMANDOS DE R PARA DISEO CUADRADO LATINO

abono


16

$ col : Factor w/ 4 levels "1","2","3","4": 2 3 4 1 1 2 3 4 3 1 ...

$ trat: Factor w/ 4 levels "1","2","3","4": 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 ...

mod


17

1 2 3 4

30

04

00

50

06

00

70

0

fertilizante

ren

dim

ien

to

boxplot(rend~fila,xlab="bloques-fila",ylab="rendimiento",data=abono)

1 2 3 4

30

04

00

50

06

00

70

0

bloques-fila

ren

dim

ien

to

boxplot(rend~col,xlab="bloques-col",ylab="rendimiento",data=abono)


18

1 2 3 4

30

04

00

50

06

00

70

0

bloques-col

ren

dim

ien

to

ri library(car)

> ncvTest(mod)

Non-constant Variance Score Test

Variance formula: ~ fitted.values

Chisquare = 1.274036 Df = 1 p = 0.2590109

library(multcomp)

amod


19

3 - 2 == 0 6.00 43.23 0.139 0.9989

4 - 2 == 0 125.50 43.23 2.903 0.0965 .

4 - 3 == 0 119.50 43.23 2.764 0.1142

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

(Adjusted p values reported -- single-step method)


20

Ejercicios

1. Un ingeniero industrial est investigando el efecto que tienen cuatro mtodos de ensamblaje (A, B, C y D) sobre el tiempo (en minutos) de ensamblaje de un componente

para televisores a color. Se seleccionan cuatro operadores para realizar este estudio. Por

otra parte, el ingeniero sabe que no todos los operadores son igualmente hbiles y que el

trabajo produce fatiga, por lo que el tiempo que se tarda en el ltimo ensamblaje puede ser

mayor que en el primero, independientemente del mtodo. Para controlar estas posibles

fuentes de variabilidad, el ingeniero utiliza el DCL. Los resultados se muestran a

continuacin:

Orden de Operador

Montaje 1 2 3 4

1 C = 10 D = 14 A = 07 B = 08

2 B = 07 C = 18 D = 11 A = 09

3 A = 05 B = 10 C = 11 D = 09

4 D = 10 A = 10 B = 12 C = 14

a) Presente el modelo aditivo lineal e interprete cada uno de sus componentes en trminos del enunciado.

b) Efecte el anlisis de variancia.

c) Mediante la prueba DLS compare los mtodos A y D.

2. Se realiz un experimento para observar el rendimiento en kilogramos por parcela de 5 variedades de garbanzo (A, B, C, D, E) en el cual se tuvo que utilizar el diseo Cuadrado

Latino. Las filas fueron definidas como niveles de riego y las columnas como fertilidad

del suelo. Los datos se presentan a continuacin:

Niveles Fertilidad del suelo

de riego 1 2 3 4 5

1 B = 65 C = 80 A = 55 E = 83 D = 80

2 C = 95 A = 60 E = 94 D = 95 B = 62

3 A = 63 E = 98 D = 79 B = 69 C = 100

4 E = 97 D =94 B = 46 C = 71 A = 42

5 D = 76 B = 54 C = 106 A = 36 E = 96

a) Presente el modelo aditivo lineal e interprete cada uno de sus componentes en trminos del enunciado.

b) Presente el cuadro ANVA y pruebe la hiptesis respectiva.

c) Realice la prueba de Tukey.

diseno_cl

Documents

diseo cuadrado latino

filas x tratamientos

nmero de tratamientos

criterios de bloques

cuadrado latino estndar

interaccin filas x columnas

diseo greco

bloques grandes