Dinamica  •  I  principi  della  dinamica  •  Applicazioni  •  La  quan3tà  di  moto  •  Alcuni  3pi  di  forze  •  Il  moto  armonico  •  Il  momento  di  una  forza  •  Sta3ca  •  Il  momento  angolare      

1  

1ma  legge  di  Newton  

Cosa  succede  ad  un  corpo  non  influenzato  dall’ambiente  che  lo  circonda  ?  •  Principio  di  inerzia  (by  G.Galilei):  

 

•  1ma  legge  by  I.Newton:    u quando  su  un  corpo  non  agisce  una  forza  ⇒  a=0  u la  resistenza  di  un  corpo  al  cambiamento  dello  stato  di  moto  si  chiama  “inerzia”  

2  

Osservazioni  sulla  1ma  legge  •  Contraria  alla  esperienza  quo3diana:  gli  oggeQ  cascano  (da  fermi)  e  si  fermano  da  soli  (se  in  moto)  •  Non  viene  data  una  definizione  di  “forza”  (intui3va):          grandezza  che  si  manifesta  nella  interazione  tra  corpi  

u  le  interazioni  possono  essere  di  contaOo  o  a  distanza  u  non  esiste  una  definizione  generale  u  conosciamo  alcune  formule  che  descrivono  come  agiscono  alcune  forze  specifiche:  ü di  gravità  ü eleOrica  ü magne3ca  ü di  contaOo  ü etc...  

3  

 In  realtà  sono  tuOe  tranne  g  sono  riconducibili  alle  interazioni  tra  atomi.  Le  F  “elementari”  sono  3  (nucleare,  eleOrodebole,  gravità)  

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Definizione  opera9va  di  forza  

TuQ  gli  oggeQ  cadono  a  terra  e  possono  allungare  una  molla            

 ⇒  posso  usare  la  deformazione  della                  molla  per  misurare  altre  forze  

4  

dinamometro  

Deformazione  ∝  ∑  Fi    (somma  veOoriale)    ⇒  F  veOore  

F  

∆x  

Il  dinamometro  misura  forze-‐peso  La  bilancia  a  2  braccia  misura  masse    

∆x∝F  

Osservazioni  sulla  1ma  legge  Vale  solo  nei  s.d.r.  inerziali  (=  non  accelera3)  •  s.d.r.  inerziali:  a  di  un  pto  materiale  isolato  =  0  sempre  •  oggeQ  sul  cruscoOo  cadono  indietro  quando  si  parte:  

u nel  s.d.r.  “automobile”  la  1ma  legge  non  funziona  !  u nel  s.d.r.  “terra”  invece  funziona  (l’oggeOo  rimane  fermo  mentre  l’auto  sfila  via  soOo  di  esso)  

5  

s.d.r.  inerziali  

•  Non  esistono  s.d.r.  inerziali  reali,  solo  ideali.  u anche  la  terra  ruota  su  se  stessa  e  aOorno  al  sole...  quindi  ha  una  ac  

u il  s.d.r.  “più  inerziale”  è  quello  delle  stelle  lontane  u il  s.d.r.  terra  è  una  buona  approx  perchè  ac  piccola  rispeOo  alle  altre  accelerazioni  (es:  g)  

•  Quanto  vale  ac  della  terra  su  se  stessa  ?  

6  

aC = rω2 = 6400km ⋅ 2π

24h"

#$

%

&'2

= 0.0338 ms2

2da  legge  di  Newton  Cosa  succede  ad  un  corpo  soggeOo  ad  una  F  ≠  0?  

 

u a=veOore  ⇒  F=veOore  

   u se  a≠0  ⇒  ∃  Fris  u se  ∃  Fris  ⇒  a≠0  

7  

se  ∄  altre  F  a  bilanciare  

a =Fm

m  =  costante  che    dipende  dal  corpo    

(“massa”)  

F2  Fris  

[F]=[Ma]=[MLT-‐2]  SI:  1Newton  =  1kg·∙1m/s2  cgs:      1dyne  =  1g·∙1cm/s2  

F1  

Inerzia  e  massa  

Massa  =  ?  u per  Newton  =  “quan3tà  di  materia”  u definiamo  M  =  proprietà  dei  corpi  che  specifica  quanta  resistenza  oppongono  al  variare  di  v  

                   ⇒  massa  =  quan9ficazione  della  inerzia  

8  

Esempio  

•  a  è  uguale  per  ogni  vagone  (gancio)  • ma  ogni  gancio  3ra  una  massa  diversa  con  F=a∑Mvagoni    ⇒  la  F  è  maggiore  per  il  gancio  che  3ra  +  vagoni  (quello  della  locomo3va)  

9  

a1          =          a2      =          a3        =          a4  

F  =  4M·∙a  MAX  

F  =  1M·∙a  MIN  

Quale  tensione  (forza)  è  applicata  ai  ganci  tra  i  vagoni  ?    

Il  peso  •  Peso  =  intensità  (modulo)  della  forza  di  aOrazione  gravitazionale  Fg  •  Peso  ≠  Massa  !              Peso  =  |Fg|  =  (-‐)mg  •  segno  –    se  y>0  verso  l’alto  •  S.I:    in  N    (è  una  F)    •  Peso  =  Massa·∙9.81  [m/s2]  •  Peso  di  1Kg  =  1Kg  ·∙  9.81m/s2  =  9.81  N  •  Sulla  luna  |g|≅1.6  m/s2              ⇒  1Kg  pesa:  1Kg·∙1.6m/s2  =  1.6  N  

10  

accelerazione  di  gravità  

Valori  di  g    sul  livello  del  mare  

•  Incertezza  ≅  0.003  m/s2  u Δg/g  =  0.003/9.81  ≅  0.0003  (0.03%)  

11  

         lat  =  45∘  g  =  9.807    m/s2  

Poli:    g  =  9.832    m/s2  

Equatore:  g  =  9.780    m/s2  

Forze  di  contaHo  •  EffeQ  delle  forze:  

u Dinamici:  inducono  variazioni  del  moto  u Sta3ci:  il  corpo  che  subisce  le  forze  rimane  in  quiete  

 

12  

o  TuQ  i  casi  sta0ci  (a=0)  sono  causa3  da  un  esaOo  bilanciamento  di  tuOe  le    forze  agen3  sul  corpo:  ∑F=0  o  La  tavola  esercita  una  FN  

in  su  che  bilancia  Fg  o  Le  F  di  contaOo  sono  

sempre⊥  alla  superficie  si  dicono  “normali”.  

           m   FN    Fg=-‐mg  

∑F  su  m:    FN  +  Fg  =  0  la  forza  normale  del  tavolo  su  m      è  dovuta  alla  elas3cità  del  tavolo  

3za  legge  di  Newton  

•  Come  agisce  una  forza  (spiegazione  parziale)            

u Le  forze  si  presentano        sempre  in  coppie  (∄  forze  singole)  u Le  coppie  sono  forze  dello  stesso  3po  ma  agiscono  sempre  su  corpi  diversi  (⇒  non  si  elidono  mai)  

 

13  

F12  =  -‐  F21          azione  =  -‐  reazione  

Esempio  

u La  terra  esercita  la  Fg  sulla  mela  u La  mela  esercita  una  FR  sulla  terra  

14  

La  3za  legge  di  N.  vale  anche    se  i  corpi  non  sono  a  contaOo  

Mela  che  cade  sulla  terra  da  h=100  m.  Massa  m=½  Kg  Fg=  mg      =  0.5Kg·∙9.81  m/s2  ≅  5  N  

 

Anche  la  terra  cade  verso  la  mela,  aOraOa  con  FR  =  -‐Fg  :    

Fg=-‐mg  

FR=MTaT  

m  

MT  

FR =MT ⋅

aT ⇒aT =

−FgMT

=mgMT

=5N

6 ⋅1024kg= 8.3⋅10−25 m

s2

Esempio  delle  scatole  

15  

M=15  Kg  m=  5  Kg  

F  =  20  N  

a  totale:  F=(m+M)a  ⇒  a=F/(m+M)=20N/(5+15)kg  =  1  m/s2    

Azione  di  m  su  M:            FmàM  =  Ma  =    15kg·∙1m/s2  =  15  N    

Bilancio  su  m  :                        ∑Fm  =    ma  =  F  +  FMàm                                                                                  ⇒  FMàm  =  ma  -‐  F  =  5N  -‐  20N  =  -‐15N    

Reazione  di  M  su  m  :  FMàm  =  -‐FmàM  

Reazioni  e  Vincoli  

16  

Bilancio  su  m:                        Fg  +  FN  =  0  Bilancio  sul  tavolo:    -‐FN    +  Fm  =  0    Bilancio  sulla  terra:    -‐FN    +  Fm  =  0    

Fg  =  -‐mg  della  terra  su  m  

Fm=Ma=+mg    di  reazione    

di  m  sulla  Terra  -‐FN=-‐mg  di  m  sul  tavolo  (reazione  a  FN)  

m  FN  =  +mg    

del  tavolo  su  m  

FN  =  +mg  sul  tavolo  

-‐FN  sulla  terra  (reazione  a  FN)  

Forze  di  reazione  

•  La  paQnatrice  si  appoggia  al  muro  e  lo  spinge  •  Il  muro  a  sua  volta  spinge  la  paQnatrice  che  quindi  si  muove  indietro  u  (il  muro  non  si  muove  perchè  è  fissato  al  pavimento  da  altre  forze)  

•  Le  forze  di  reazione  sono  reali  !  u  Fa  muovere  la  paQnatrice  u  La  reazione  della  terra  ci  permeOe  di  camminare:  

       FAB  =  -‐FBA    17  

Sistemi  di  propulsione  

18  

Sistemi  di  propulsione  Non  è  necessario  il  contaOo  per  muoversi:  Es:  -‐  lancio  di  un  peso  dalla  barca              -‐  palloncino,  shuOle,  razzi...    

19  

Esempio  (*)  

•  Un  ragazzo  spinge  una  cassa  con  forza  FRC  •  La  cassa  esercita  su  di  lui  la  stessa  forza  FCR  (in  verso  opposto)  

20  

La  cassa  si  muove  se    ∑F  sulla  cassa  ≠0    Sulla  cassa: FRC# Fattrito#Sul  ragazzo:  FCR# Fattrito#

In  conclusione  tuOo  si  muove  se  F  esercitata  dal  ragazzo  sul  suolo    riceve  una  reazione  (aOrito)  >  F  esercitata  dalla  cassa  sul  ragazzo  

FCR  FRC  

Il  piano  inclinato  

Problema:  trovare  a  della  sliOa  lungo  il  piano  inclinato  •  le  forze  che  agiscono  sulla    sliOa  sono  Fg=-‐mg  e  FN      (FN  è  normale  al  piano)  •  pongo  il  s.d.r.  in  modo    che  x∥piano  (y∥FN)  •  scompongo  Fg→[Fx,Fy]:      ∑Fx  =  max  =  mg·∙sinθ        ⇒  ax  =  g·∙sinθ        ∑Fy  =  may  =  FN  –  mg·∙cosθ  =  0  

21  

θ  Fg=mg  

FN  

mg·∙cosθ  

mg·∙sinθ  

y  

(altrimen3  sprofonderebbe)  

NB:  ax  dipende  solo  da  θ,  non  dalla  massa  

θ  

Forze  apparen9  

22  

L’ascensore  (peso  apparente)  

Misuro  il  peso  di  un  corpo  di  massa  m  in  ascensore  •  Il  corpo  è  soggeOo  a  Fg=-‐mg      ed  è  aOaccato  al  dinamomentro  con      un  cavo  in  tensione  (T)  verso  l’alto  •  Il  dinamometro  segna    T=(-‐)Fg  •  Bilancio  di    ∑F  sulla  massa  :    1.  se  l’ascensore  è  fermo  (a=0):  

 ⇒  T  -‐  mg  =  0    ⇒    T  =  +mg  2.  se  l’ascensore  sale  (a>0):  

 ⇒  T  -‐  mg  =  (+)ma  ⇒  T  =  ma  +  mg      (T  aumenta)  3.  se  l’ascensore  scende  (a

L’ascensore  roHo  

Si  rompe  il  cavo  e  l’ascensore  precipita  ⇒  a=g  4.  T  –  mg  =  -‐ma        →    T  –  mg  =  -‐mg      ⇒    T  =  -‐mg+mg  =  0    In  caduta  libera  il  dinamometro  segna  0:    assenza  di  peso  5(*).  Durante  l’impaOo  col  suolo  la  velocità  passa  da  v→  0              ⇒  ∃  una  a  verso  l’alto.        Si  ha  di  nuovo:  T  –  mg  =  ma    ⇒  T  =  ma+mg      Se  la  caduta  è  di  6  m  (2  piani),    al  suolo  v2  =  2gh  ⇒  v  =  10.8  m/s      Durante  il  Δt=0.2  s  dell’impaOo  si  ha  una  (de)celerazione  di          Δv/Δt  =  10.8/0.2  =  54.2  m/s2      ⇒  T  =  ma+mg  =  m(a+g)  =  m(54.2+9.8)  ≈  64m    Il  peso  durante  l’impaOo  vale  64m  invece  che  9.8m    cioè  il  peso  è  di  64/9.8=6.5  volte  maggiore      

  24  

F  

F  

Dinamica  del  moto  Circolare  Unif.  

25  

•  Principio  di  Inerzia:  un  oggeOo  che  si  muove  in  circolo  deve  avere  una  F  centripeta  che  agisce  su  di  esso  (altrimen3  va  driOo)  •  La  forza  è  quella  che  provoca  ac=v2/r  e  lo  man3ene  sulla  traieOoria  circolare.    

       ∑F=m|ac|    ⇒      FC  ||  ac  

Questa  FC  viene  esercitata    dall’esterno  sull’ogge:o  che  ruota:  -‐  una  corda  esercita  una  F  

centripeta  sul  corpo  -‐  il  corpo  esercita  una  F  di  

reazione  sulla  corda      

La  centrifuga  (sdr  inerziale)  Ogni  molecola  di  liquido  tende  ad    andare  in  direzione  di  v  (inerzia)  

u nel  vuoto  una  molecola  di  massa  M  tende  a  mantenere  una  traieOoria  lineare  mentre  la  proveOa  gira  

•  Dato  r  ⇒  aC  =  v2/r =  cost  •  Occorre  Fc=Mv2/r  per  mantenere  

le  molecole  ad    r=costante.                Fc    aumenta  con  M  

26  

v!

Se  la  proveOa  è  piena  ⇒  Fc  è  fornita  dalla  resistenza  delle  molecole  di  solvente  vicine  ad  M  Per  mantenere  sul  raggio  una  massa  M  grande  occorre  una  FM  maggiore  della  Fm  necessaria  per  le  molecole  +  leggere  ⇒  M  si  muove  verso  il  fondo  rispeOo  al  solvente  

M  

Fcf  

   

La  centrifuga  (sdr  non  inerziale)  Un  osservatore  nel  sdr  solidale  con  la  centrifuga  (accelerato,  non  inerziale)  vede  le  molecole  M  spostarsi  senza  essere  soggeOe  a  forze  ⇒  crede  che  ∃  una  F  direOa  verso  l’esterno  Fcf  =  Mv2/r#“centrifuga”.  Fcf  aumenta  con  M  ⇒  le  molecole  +  massive  sono  soggeOe  ad  una  forza  maggiore  e  si  separano  dalle  altre.    NB:  la  Fcf    è  fiQzia  nel  senso  che  viene  vista  solo  in  questo  sdr,  ma  esiste  davvero  !   27  

Per  un  osservatore  esterno  Fcf  non  esiste  

M  

Analisi  della  3za  legge  di  Newton  

•  Sistema  isolato  =  sistema  di  più  corpi  che  si  scambiano  forze  tali  che  ∑F=0  u  per  es.  due  paQnatori  che  si  spingono  da  fermi  

•  3za  legge:  

 •  se  m  costante:  

28  

F12 = −F21m1a1 +m2a2 = 0

m1dv1dt

+m2dv2dt

= 0

d(m1v1)dt

+d(m2v2 )dt

= 0

ddt

m1v1 +m2v2( ) = 0

La quantità# m1v1+m2v2#si conserva #nel tempo se#il sistema è #isolato#

La  quan9tà  di  moto  

•  Chiamo  p=mv  “quan3tà  di  moto”  u veOore  con  direzione  v  

•  Per  un  sistema  a  2  corpi:        ovvero:  pTOT=costante      ovvero:  p1i+p2i  =  p1f+p2f  •  Il  principio  si  può  estendere  a  n  corpi:    

29  

ddtp1 +p2( ) = 0

∑pi  =  ∑pf  

La  p  tot  del  sistema  =  costante    ⇒  deve  essere  sempre  uguale  

PRIMA  =    DOPO  m1v1  +  m2v2  +  ...  =  m1v1  +  m2v2  +  ...  

Conservazione  della  q.  di  moto  

•  pTOT  si  conserva  ma  all’interno  del  sistema  pi  dei  vari  corpi  può  variare    

 

30    hOp://www.learnerstv.com/anima3on/anima3on.php?ani=37&cat=physics  

Significato  di  p  •  La  quan3tà  di  moto  è  la  proprietà  dei  corpi  che  permeOe  di  contrastare  forze  contrarie  o  devian3  •  Esempio:  un  Tir  può  sfondare  un  guard-‐rail,  mentre  una  auto  alla  stessa  velocità  non  può  •  Esempio:  una  carica  in  un  campo  magne3co  con  v  lineare  viene  deflessa  tanto  meno  quanto  maggiore  mv  

31  

Esempio  

•  Un  arciere  sul  ghiaccio  lancia  una  freccia.  Che  succede  ?  u M  arciere  =  60  Kg  u m  freccia  =  0.50  Kg  u  v  freccia  =  50  m/s  

•  Le  leggi  di  Newton  non  ci  dicono  nulla  perchè  non  conosciamo  le  forze  coinvolte  •  Consideriamo  il  sistema  “arciere+freccia”  

u  prima  del  lancio:  pa+pf=0  u  pTOT  si  conserva  ⇒  dopo  il  lancio  pa+pf=0  u  cioè  mava+mfvf=0  ⇒  |va|=  -‐(mf|vf|)/ma  =  -‐0.42  m/s  u  va  collineare  vf    (si  conserva  il  veOore!)  u  segno  “-‐”  perchè  l’arciere  va  indietro  rispeOo  alla  freccia  

32  

Esempi  

33  

Collisione  elas3ca  m1=m2      In  2D  (somma    veOoriale  delle  v)      Collisione  inelas3ca  

m1  v1  +  0  =  2m  v2                              v2  =  ½  v1  

Esempio  

Collisione  elas3ca  con  masse  diverse:  m1  =  2m2                                                        2mv  –  mv  =  -‐2mv1  +  mv2                                                                                                                              v  =  -‐2v1  +  v2    

Una  possibile  soluzione  è:  v1  =  1/3  v                                                                                                  v2  =  5/3  v  

34  

x>0  

Segno  “-‐”  verso  x

Razzi  e  calamari  

•  Sistema  di  propulsione  basato  sulla  conservazione  della  q.  di  moto  applicata  al  sistema  [razzo  +  propellente  espulso]  •  Da  fermo  pTOT=0  •  In  moto  deve  valere  ancora  pTOT=0  

MRvR  +  mpvp  =  0    ⇒    vR  =  -‐  (mpvp/MR)  ⇒  il  razzo  acquista  velocità  maggiore  per  masse  maggiori  di  propellente  espulso  u  Nello  spazio  (assenza  di  aria  e  di  gravità)  il  razzo  man3ene  la  vR  senza  consumare  carburante.  Ma  può  accelerare  espellendo  altro  gas      

35  

Alcune  forze  note  

In  alcuni  casi  conosciamo  la  legge  che  regola  alcune  forze  senza  passare  per  la  misura  di  a    Vediamo  i  seguen3:  •  Forza  di  aOrazione  gravitazionale  •  Forze  di  aOrito  •  Forza  elas3ca  della  molla  

u Moto  armonico  

36  

La  legge  di  gravitazione  universale  

Legge  di  gravitazione  di  Newton.    Riguarda  la  forza  che  agisce    sulle  masse:      •  VeOorialmente  :    

 

37  

F12 = −G

m1 ⋅m2| r |2

#

$%

&

'( r̂ = −

F21

L’esperimento  di  Cavendish  

•  La  costante  G  è  molto  piccola:  infaQ  tra  corpi  di  dimensioni  ordinarie  è  difficile  osservare  aOrazione  

u G=(6.673±0.004)10-‐11  Nm2/Kg  u  F  sempre  aOraQva,    cioè  F∥r  con  verso  opposto  u  le  masse  di  dimensioni      finite  a  simmetria  sferica      si  aOraggono  come  se  tuOa    la  distribuzione  di  massa      fosse  concentrata  nel  centro  

 

38  

Origine  di    g  

•  Per  un  corpo  di  massa  m  sulla  superficie  terrestre  la  forza  di  aOrazione  della  terra  si  chiama  “peso”  

 • Mterra=  5.98x1024  kg  •  Rterra    =  6.38x106  m  

39  

P =G m ⋅MTerraRTerra2

"

#$

%

&'=m G

MTerraRTerra2

"

#$

%

&'

=  g  

g = 6.673⋅10−11 5.98 ⋅1024

(6.38 ⋅106 )2= 9.81 m

s2

Valore  convenzionale:  g  =  9.80665  @  45o  lat  sbagliato  di  ~0.005  

Un  confronto  •  AOrazione  gravitazionale  tra  persone  di  50  e  70  Kg  a  d=50  cm:  

   

 

•  AOrazione  Terra-‐Luna:  

 

•  Fpp/FTL  ∼  10-‐7/1020    =  10-‐27  40  

| Fpp |=6.673⋅10−11 ⋅50 ⋅ 70

0.52= 9.34 ⋅10−7 N

| FT−L |=6.673⋅10−11 ⋅5.98 ⋅1024 ⋅ 7.35 ⋅1022

(3.84 ⋅1082 )2~ 2 ⋅1020 N

Forze  di  aHrito  

AOrito:  resistenza  al  moto  dovuta  alla  interazione  con  ciò  che  circonda  il  corpo  (“forza  di  aOrito”)  

u  sliOamento  su  una  superficie  u  in  un  fluido  come  acqua  o  aria  

•  Equilibrio:  corpo  in  quiete  o  con  velocità  costante:  ∑F=0  •  un  corpo  si  muove  se  Fapplicata  >  FaHrito  

41  

F  applicata  F  aOrito  

F  normale  

-‐mg  

Coefficien9  di  aHrito  •  Legge  empirica:      

 u  μs      =  coeff.  aOrito  sta3co  u  μd      =  coeff.  aOrito  dinamico  

•  μs  ,  μs    dipendono  dalla  natura  delle  superfici  di  contaOo  e  da  altro    (molatura,  umidità...)  

42  

FN  

giunto  sinoviale  

di  solito:  μs    <  μd  

FattritoMAX = µ ⋅FN

FN  =  forza  esercitata  dalla                    superficie  sull’oggeOo  

AHrito  sta9co  e  dinamico  

43  

•  AOrito  sta3co  Fs:          è  una  forza  che  contrasta            l’inizio  del  moto  -‐  Siamo  in  condizione  di  equilibrio  (v=0):        

       Fapp  =  (-‐)  Fs    -‐  aumento  Fapp⇒  aumenta  Fs          fino  a  che  Fs  <  max  -‐  per  Fapp>  max            inizia  il  moto          ⇒  a>0  

   

Fapp  Fs  mg  

               

Fs  =  μs  FN  =  max            

AHrito  sta9co  e  dinamico  

44  

•  AOrito  dinamico  Fd:          è  una  forza  che  agisce            durante  il  moto  •  per    Fapp  +  Fd  =  0            ⇒  moto  a  v>0  cost.  •  per  mantenere  il  moto      a    v=cost    è  sufficiente      Fapp  =μdFN<  max      perchè  μd  <  μs  •  μd=costante        ⇒per  Fapp>μdFN        ⇒  moto  con  a>0  

   

Fd  =  μd  FN  

Misura  di  μs  massimo  

Aumentare  l’inclinazione  del  piano  fino  a  raggiungere  l’angolo  cri3co  θc  per  cui  a>0  

45  

θ  mg  

FN  

mg·∙cosθ  

mg·∙sinθ  

y  •  Forze  che  agiscono  sul  corpo:            Fg=(-‐)mg,  FN,  fs  (aOrito)  •  Condizione  di  equilibrio  in  x:              ∑Fx  =  mg·∙sinθ  –  fs  =                            =  mg·∙sinθ  –  μsFN  =  0  •  All’angolo  cri3co  θc  il  corpo            inizia  a  muoversi:            mg·∙sinθc  =  μsFN            mg·∙sinθc  =    μsmg·∙cosθ        ⇒  μs  =  sinθc/cosθc  =  tanθc  ##    

fs  

Curva  (*)  

•  1ma  legge:  tendenza  ad  andare  driOo  •  Una  Fc  permeOe  di  mantenere  la            traieOoria  curva:  F  aOrito      

•  Osservatore  interno  è  soggeOo  ad  Fa          ma  “sente”  una  Fcentripeta          e  crede  che  sia  un  vincolo  ad          una  Fcentrifuga  reale.      

•  In  assenza  di  aOrito  è  possibile          mantenere  la  traieOoria  quando          il  piano  della  strada  è  inclinato          se:        FNx  =  ac  =  v2/R  

46  

FN  (reazione)  

Fg=-‐mg  

FN  =  Fy+Fx  

Moto  contro  F  resis9ve  

•  Caso  di  aOrito  di  un  corpo  col            mezzo  in  cui  si  muove  (liquido  o  gas)  •  Il  mezzo  esercita  una  FR  resis3va  sul  corpo  

 u  vale  per  mo3  len3  in  un  liquido          o  per  corpi  piccoli  in  aria  (polvere)    

•  Per  oggeQ  grandi  in  caduta  libera  in  aria  

47  

FR = −b ⋅

v Velocità    del  moto  

Costante  del  mezzo  

FR  opposta  a  v  

v=0  a=g  

v=vt  a=0  

FR = − (costanti) ⋅

v 2

Moto  contro  F  resis9ve  

48  

FR = −b ⋅

vFris =Fg +FR =m

aris

mg− bv =maris

aris = g−bm"

#$

%

&'v

Fg  

FaOrito  v  

a  diminuisce  nel  tempo  mentre  v  aumenta  Quando  (b/m)v  =  g  ⇒  a=0,    v  ➝  vlimite  

0 = g− bm"

#$

%

&'v

vlim =mgb

v  

t  

Condizione    di  equilibrio  

Forze  tra  molecole  

49  

F  

∆x  

F  repulsiva  (Coulomb)  ~  1/x2  

F  totale  

F  aOraQva  (Van  der  Waals)  ~  -‐1/x6  

Molecole  lontane  si  aOraggono  ∆x>2r    

Molecole  vicine  si  respingono:  ∆x

Forza  elas9ca  

50  

F  

∆L  

•  EffeQ  di  applicazione  di  F:  u  Traslazione  e/o  Rotazione    u  Deformazione  =    cambiamento  di  forma  e/o  dimensione    

•  Deformazione:  sperimentalmente  si  osserva  che  ΔL∝Fapplicata  u  regola  empirica  che  vale  quasi  sempre  

•  In  generale  una  Fp  produce  su  un  corpo  una  compressione  Fp  =  kΔx  u  k  =  costante  “elas3ca”  del  corpo        (ne  misura  la  rigidità)  

Legge  di  Hooke  Reazione  della  molla:  la  forza  elas3ca  della  molla  tende  sempre  a  ristabilire  la  lunghezza  a  riposo  (forza  di  richiamo)  ⇒  Fmolla  direOa  in  verso  opposto  allo  spostamento  ∆x  della  molla  •  Fmolla  =  -‐  k·∙∆x  

u  k  =  cost.  della  molla  •  Molla  estesa:  x>0,  Fm0,  Fm0,  Fm>0  

x=0,  Fm=0  

Legge  di  Hooke  

52  

 F  =  -‐  k  x  

La  F  è  sempre  direOa  verso  la  posizione  di  equilibrio  (x  =  0)  

Misura  della  costante  k  

•  AOaccare  alla  molla  un  oggeOo  di  massa  nota  m  soggeOo  solo  ad  Fg=(-‐)mg  • Misurare  l’allungamento  della  molla  =  d  •  Fg  =  (-‐)mg  =  kd      ⇒  k  =  mg/d  •  [k]=[kg·∙m·∙s-‐2·∙m-‐1]=[N/m]  •  Lege  di  Hooke  valida  per  quasi  tuQ  i  materiali  solidi    (metalli…  ossa)  ma    in  un  range  finito  

53  allungamento                  

F  

regione  elas3ca  

punto  di  fraOura  

regione    plas3ca  

Elas9cità  

54  

Regione  lineare  (legge  di  Hooke)  

<  limite  elas3co  Il  corpo  ritorna  alla  forma  originale  

>  limite  elas3co  Deformzioni  permanen3  

>  Soglia  di  roOura  Il  corpo  si  spezza  

(fraOura)  

Studiamo  gli  effeQ  delle    forze  sui  materiali  

F  

allungamento                  

Regione  lineare  

ΔL∝F    (legge  di  Hooke)  Su  ogni  molla  si  esercita    la  stessa  F  ⇒  ogni  molla  si  allunga  di  ΔL:        ΔL∝Nmolle∝L0

Su  ogni  molla  si  esercita  F/2    ⇒  ogni  molla  si  allunga  di  ΔL/2            ΔL∝1/(Nmolle)  

Su  ogni  filo  si  esercita  F/2          ⇒  si  allunga  di  ΔL/2  Equivalente  ad  un  filo  di    sezione  2A            ⇒  ΔL ∝1/A  

A  

A  

2A  

F =Y ⋅ AL0⋅ ΔL

Regione  lineare  

             

u L0  =  lunghezza  a  riposo  u A  =  area  della  sezione  ⊥  F  u Y  =  costante  che  dipende                      solo  dal  materiale                    (“modulo  di  Young”)  

56  

Y  (N/m2)  Ferro   100  E9  Acciaio   200  E9  Cemento   20  E9  Marmo   50  E9  Legno   1-‐10  E9  Osso   ~15  E9  

~  costante  k    della  molla  

ΔL∝ F ⋅L0A

Y  piccole  à  ∆L  grandi  

Il  modulo  di  Young  

•  Lo  sforzo  è  la  forza  applicata  per  unità  di  area  ⊥  F  •  In  conseguenza  di  uno  sforzo  si  ha  una  deformazione  

u deformazione  =  ∆L/L0    ü deformazione    =  variazione  frazionale  della  lunghezza  

•  Nella  regione  lineare  posso  riscrivere  Y  come:  

57  

Y = F / AΔL / L0

=Sforzo

Deformazione

Sforzo  (  “stress”)  

FA=Y ⋅ ΔL

L0 Deformazione  Modulo  di  Young  

Riscrivo:  

Y:  [FL-‐2]  N/m2  

•  Le  forze  applicate  dall’esterno  generano  forze  interne  ai  materiali  (“tensioni”)  u  barra  appesa:  la  parte  alta  esercita  una  F      che  bilancia  il  peso      della  parte  bassa  

•  ∃  3  3pi  di  sforzo:  u  Tensione:      F  applicata  verso      l’esterno  u  Compressione:    F  applicata  verso      l’interno  u  Taglio:      2  F  applicate  //  a    2  facce  opposte    Invece  che  F⊥A  si  ha  F//A,  e  ∆L⊥L0  à  deformazione  

Gli  sforzi  

58  

FraHura  Se  F/A  >  soglia  di  roOura  ⇒  nel  corpo  si  formano  delle  fraOure  oppure  si  spezza  

59  

                 (N/m2)   Y   Tensione   Compressione  Acciaio   20  E10   500  E6   500  E6  Legno   ~1  E10   2  E6   20  E6  Gomma   1-‐80  E6  Osso   2  E10   130  E6   170  E6  Vene,  arterie   0.2  E6  Valori  massimi  di  soglia  di  tensione  e  compressone:  nei  singoli  casi  possono  diminuire  

Es:  deformazione  delle  ossa  quando  viene  applicata  una  tensione  =  soglia  di  roOura      ⇒le  ossa  si  deformano  max  di  ~1%  

ΔLL(max) = F / A

Y=130 ⋅106

2 ⋅1010≈1%

Il  moto  armonico  

• Moto  periodico  =  vibrazione/oscillazione  che  si  ripete  sullo  stesso  percorso  (es:  traieOorie  circolari)  • Moto  armonico  =  periodico  +  

1.   F  sempre  direOa  verso  la  posizione  di  equilibrio      2.   F  ∝  spostamento  dall’equilibrio      

La  forma  più  semplice  di  moto    armonico  è  un  oggeOo  che  oscilla    aOaccato  ad  una  molla:  F  =  -‐kx  NB:  posizione  della  molla  x=x(t)          

L’equazione  del  moto  (*)  

In  generale  la  seconda  legge  di  Newton  permeOe  di  trovare  l’equazione  del  moto  di  qualunque  3po  di  moto  

di  cui  si  conosca  l’espressione  della  forza  

61  

a = Fm

d 2x(t)dt2

=Fm

se F = 0 ⇒ d2xdt2

= 0 ⇒ x(t) = x(0)+ v(0) ⋅ t

se Fm= g ⇒ d

2xdt2

= g⇒ x(t) = x(0)+ v(0) ⋅ t + 12 gt2

Equazione  differenziale:  occorre  trovare  la  funzione  x(t)  la    cui  derivata  2da  sia  uguale  a  F/m  

Relazione  di  causa-‐effeOo.  

Equazione  oraria  della  molla  

• F  non  costante  nel  tempo:  F=F(x(t))    ⇒    a=a(x(t))  • Cerchiamo  l’equazione  del  moto  x(t):     m ⋅a = −k ⋅ x(t)

d 2

dt2x(t)( ) = − k

mx(t)( )

La  soluzione  sarà  una  x(t)  tale  che  la  sua  derivata  2da  =  la  funzione  x(t)  stessa  ×(k/m)

È  possibile  ricavare  la  soluzione  dallo  studio  del    moto  circolare  uniforme  

Equazione  oraria  della  molla  

Dato  un  punto  in  moto  circolare  uniforme,  descrivo  la  posizione  del  punto  proieOata  su  x  

Parto  da  x0=A  Dopo  un  tempo  t:  x(t)  =  A·∙cos(ϑ)                [ϑ=ω·∙t]                =  A·∙cos(ω·∙t)    ω  =  velocità  angolare  

x0=A  t0  xt,t  

ϑ  

A  

x=0  

                                                                                         

Equazione  oraria  della  molla  

Dato  un  punto  in  moto  circolare  uniforme,  descrivo  la  posizione  del  punto  proieOata  su  x  

Parto  da  x0=A  Dopo  un  tempo  t:  x(t)  =  A·∙cos(ϑ)                [ϑ=ω·∙t]                =  A·∙cos(ω·∙t)  RispeOo  a  x’0  al  tempo  t  il  pto  sarebbe  ad  un  angolo  ϑ+ϕ  Cioè:  x(t)  =  A·∙cos(ω·∙t  +  ϕ)  

x0=A  t0  xt,t  

ϑ  ϕ  

A  

x’0,  t0  

x=0  

“fase”  

Equazione  oraria  della  molla  

•  Per  t=T/2    (½  periodo)  ⇒    x=-‐A,    la  proiezione  del  moto  su  x  “torna  indietro”    •  Per  t=T  (1  periodo)  ⇒  x=A  •  Il  moto  è  periodico  •  Rappresenta  la  molla  ?  •  Devo  fare  la  derivata  2da  d 2

dt2A ⋅cos ω ⋅ t +ϕ( )( ) =

= −km#

$%

&

'( A ⋅cos ω ⋅ t +ϕ( )( )

?  

Derivate,  che  passione  

ddt

Acos ωt +ϕ( )( ) =

A ddtcos ωt +ϕ( )( ) =

−A ⋅ sin ωt +ϕ( )( ) ⋅ ddt ωt +ϕ( ) =

−Aω ⋅sin ωt +ϕ( )

ddt

−Aω ⋅sin ωt +ϕ( )( ) =

−Aω ⋅cos ωt +ϕ( ) ⋅ ddt

ωt +ϕ( ) =

−Aω ⋅cos ωt +ϕ( ) ⋅ω =−Aω 2 ⋅cos ωt +ϕ( )

ddx(a) = 0, d

dx(x) =1

ddx

a ⋅ f (x)( ) = a ⋅ "f (x)

ddx

f g(x)( )( ) = "f g(x)( ) ⋅ "g (x)ddx

cos x( ) = −sin x

ddx

a+ f (x)( ) = 0+ "f (x)

ddx

sin x( ) = +cos x

derivata  1ma  =  v(t)  

derivata  2da  =  a(t)  

Il  segno  –  indica  che  v  ed  a  sono  direQ  verso  il  punto  di  equilibrio  

Moto  della  molla:  conclusione  

La  nostra  funzione  x(t)  funziona  a  paOo  che:  

ω 2 =km⇒ω =

km

Possiamo  trovare  il  periodo  di    oscillazione  della  molla:  

T = 2πω

⇒ Tmolla = 2πmk

Il  periodo  della  molla  non  dipende  dalla    ampiezza  della    oscillazione  

−Aω 2 ⋅cos ωt +ϕ( ) = − km#

$%

&

'( A ⋅cos ωt +ϕ( )( )

derivata  2da  di  x(t)   x(t)  

Il  moto  armonico  passo  passo  

T   x   v   a  

0   MAX  A  

0   MIN  -‐Aω2  

T/4   0   MIN  -‐Aω  

0  

T/2   MIN  -‐A  

0   MAX  +Aω2  

3T/4   0   MAX  +Aω  

0  

T   MAX  A  

0   MIN  -‐Aω2  

equilibrio  a(t = 0) = −Aω 2 ⋅cos(ω ⋅0) = −Aω 2 ⋅cos(0) = −Aω 2

v(t = T4 ) = −Aω ⋅sin(ω ⋅ T4 ) = −Aω ⋅sin( 2πT T4 ) = −Aω ⋅sin( π2 ) = −Aω

Oscillazioni  smorzate  (*)  

Quando  nel  sistema  oscillante  sono  presen3  forze  dissipa3ve  ⇒  l’energia  del  sistema  diminuisce:  •  Caso  3pico:  Fsmorzante  ∝  velocità,  verso  opposto.    

u Es:  molla  in  un  liquido  viscoso.  •  La  viscosità  rallenta  la  molla  à  la  F  smorzante  diminuisce  nel  tempo:    

x(t)=A·∙exp[-‐(b/2m)t]·∙cos(ωt+φ)  

 •  Se  F  smorzante  abbastanza            piccola,  il  moto  rimane            oscillatorio  prima  di  fermarsi  

la  nuova  ampiezza  dipende  dal  tempo  

t

Oscillazioni  forzate  (*)  

•  Quando  un  oscillatore  è  soggeOo  ad  una  F  esterna  concorde  col  suo  moto    

 à  oscillazioni  “forzate”  •  ampiezza    A∝1/(fext-‐  f0)    •  Se    festerna  =  f0  naturale  del  sistema  à  massimo  di  A  (“risonanza”)  •  In  presenza  di  smorzamen3  piccoli  

       à  A  aumenta  ad  ogni  ciclo.          Es:  altalena  

f=f0  

Dinamica  dei  corpi  estesi  

Corpi  estesi  =  dimensione>0  Modello  del  CORPO  RIGIDO          •  Corpo  rigido  =  oggeOo  esteso  di  forma  

definita  non  deformabile  u  le  par3celle  che  lo  compongono  rimangono  in  posizione  fissata  l’una  rispeOo  all’altra  

•  Per  corpi  estesi  il  punto  di  applicazione  di  F  è  importante:      può  causare  (anche)  rotazioni  !   71  

rotazione  oraria      

 an3oraria        traslazione  

corpo  rigido  punto    

materiale  

Risultante  di  forze  •  Per  un  punto  materiale  la  risultante  è  quella  forza  Fris=∑F    •  Per  un  corpo  esteso    

u due  F  uguali  e  contrarie  in  pun3  diversi  lungo  la  stessa  reOa  di  applicazione  non  alterano  lo  stato  di  moto  

u una  F  applicata  ad  un  punto  può  essere  spostata  lungo  la  sua  re:a  di  applicazione  senza  alterarne  gli  effeQ    

u  se  due  F  sono  applicate  in  pun3  diversi,  si  possono  ancora  sommare    spostandole  lungo  le  loro  re:e  di  azione  ed  oOenere  una  Fris=∑F  

72  F1  

F1+F2  

F2  

Risultante  di  Forze  parallele  

•  F  concordi:  equivalente  ad  una  Fris=∑F  applicata  ad  un  punto  O  situato  tra  P  e  P’  tale  che  :  

ü se  consideriamo  le  Fg  di  ogni  volumeOo  del  corpo  ⇒  il  punto  O  dove  si  applica  la  risultante  ∑Fg=∑mig    si  chiama  “baricentro”  

•  F  discordi:  come  sopra  ma  O  cade  al  di  fuori  del  segmento  PP’  dal  lato  della  |F|  maggiore.  

                                     F1x1=  -‐F2x2  •  In  generale:  |F1x1|=|F2x2|   73  

F1  

F1+F2  

F2  

x1   x2  O  

P   P’  

P  P’  

F1  F1-‐F2  

F2  O  

x1x2=F2F1

Dimostrazione(*)  

Applichiamo  due  forze  F  Sommiamo  F1x  e  F2x=-‐F1x  Proprietà  tringoli  simili:  x1/PO  =  F1x/F1    x2/PO  =  F2x/F2  (x1/PO)/(x2/PO)=x1/x2    (F1x/F1  )/(F2x/F2)=F2/F1  ⇒  x1/x2  =  F2/F1  

74  

P1   P2  

F1  

F1+F2  

F2  

x1   x2  O  

P  

F1x   F2x  

Coppia  di  forze  

Due  F  ∥  e  discordi  di  uguale  intensità    ⇒  non  riducibile  ad  una  Frisultante  •  Si  parla  di  “coppia”  di  forze#•     αrotazionale  ≠  0  •  La  coppia  è  responsabile  delle  rotazioni  del  corpo  u  La  F  risultante  invece    è  responsabile  delle  traslazioni  del  corpo  

•  Qualunque  sistema  di  forze  può  essere  ricondoOo  ad  una  coppia  +  una  risultante  

75  

P  P’  

F1  

F2  O  

L’effeHo  di  una  coppia  è  misurato  

dal  suo  “momento”  (vedi  oltre)  

Centro  di  massa  

•  Il  moto  traslatorio  di  un  corpo  rigido  di  massa  M  può  essere  descriOo  facendo  riferimento  ad  un  unico  punto  materiale  di  massa  =  M  u la  posizione  del  punto  si  chiama  “centro  di  massa”  

•  Il  CM  si  comporta  come  un  punto  materiale  di  massa  M  cui  viene  applicata  la  risultante  di  tuOe  le  forze  che  agiscono  sul  corpo:  M·∙abaricentro=∑F  

  76  

CM  

77  

Baricentro  (centro  di  gravità)  •  Su  ogni  par3cella  di  un  corpo  agisce  la  forza  peso  (molte  

F  parallele  concordi)  •  La  risultante  è  il  peso  del  corpo  •  Il  punto  di  applicazione  della  risultante  si  chiama  

“baricentro”    

78  

Per  oggeQ  abbastanza  piccoli  t.c.  Fg  è  uguale  in  ogni  punto  ≡  centro  di  massa.  In  pra3ca  coincidono  sempre  

•  Punto  del  corpo  rigido  in  cui  si  può  immaginare  concentrato  tuOo  il  peso  

•  Si  trova  appendendo  il  corpo  a  due  pun3,  all’incrocio  delle  ver3cali  

Posizione  del  CM  (*)  

•  CM  =  posizione  media  della  massa  del  sistema  •  Sistema  rigido  di  due  palle  aOaccate  

 •  In  generale:  

• Media  pesata  delle  posizioni  delle  masse  •  Per  corpi  uniformi  →  centro  geometrico  

 

79  

xCM =m1x1 +m2x2m1 +m2

rCM =rimi∑mi∑

Una  F  applicata  qui  provoca  solo  traslazione  

CM  di  una  barra  (*)  

•  Barra  di  lunghezza  L  

•  Elemento  di  massa:  dm  =  λdx  

 •  Se  la  densità  è  uniforme:  λ=M/L  

80  

xCM =1M

xdm = 1M

xλ dx = λM

x2

2!

"#

$

%&0

L

= 12 λL2

M0

L

∫∫

xCM =L2

L  

Momento  di  una  F  

•  F  (su  corpi  rigidi)  può  causare  traslazioni  o  rotazioni  •  Rotazioni  à  α  non  dipende  solo  da  F  ma  anche  dalla  posizione  del  suo  pto  di  applicazione  rispeOo  all’asse  di  rotazione.  

81  

Se:  FA  =  FB              αA>  αB  Si  ha  che:    

α  ∝  r  ×  F    

M  ha  dimensioni  di  un  lavoro  [M]=[LF]=[LMLT-‐2]=[L2MT-‐2]  Unità  di  misura  SI:  N·∙m  

α  maggiore  α  minore  

“Momento”    della  forza  rispeOo  all’asse    di  rotazione  

asse  

r!M  

F  F·∙sinϑ  ϑ  

Momento  di  una  forza  •  Se  un  corpo  rigido  può  ruotare    

       a:orno  ad  un  asse  • Momento  =  r·∙Fsinϑ  

u  ϑ  =  ∠  tra  F  ed  r!u  definito  sempre  rispeHo  ad  un  asse  di  rotazione  

•  F∥r    à  traslazione          (φ=0  ⇒  M=0)  •  Solo  la  componente  F⊥r    à  rotazione  

       (φ=90∘  ⇒  M=max)  82  

Il  momento  misura  la  tendenza  di  una  F  a  far  ruotare  un  corpo  aOorno  ad  un  asse  

Momento  di  una  forza  

•  Sarebbe:  M  =  r∧F  u M  direOo  ⊥  al  piano  (r,F)  u verso:  regola  mano  dx  (an3orario  M>0)  

83  

M  

F  

r!ProdoHo  veHoriale:  A∧B  è  un  veOore  tale  che:  |A∧B|  =  A·∙B·∙sinθ    se  A∥B  ⇒  A∧B=0  se  A⊥B  ⇒  |A∧B|=A·∙B  

Momento  di  una  forza  

Riscrivo  M=  r·∙Fsinϑ      M  =  r·∙sinϑ·∙F            ⇒  M  =  b·∙F  

84  

braccio  

braccio  =  distanza  ⊥tra  l’asse  di  rotazione  e  la  reOa  di  azione  di  F                          M  =  r·∙F⊥  =  r⊥·∙F  

M  =  r⊥·∙F  

r!

M  F  F·∙sinϑ  ϑ  

b# M  =  r·∙F⊥  

r!

M  

F  ϑ  

b#

Momento  di  una  coppia  

•  Coppia:  F1  =  -‐  F2          

•  Il  momento  della  coppia    non  dipende  dalla  scelta  di  O  

u  cioè  posso  scegliere  qualunque  punto  di  applicazione  su  -‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐  

u M1  =  M2          (>0)  perchè  entrambi  provocano  una  rotazione  an3oraria   85  

P  

P’  

F1  

F2  

b  

r2  

Mris = Mi∑= r1F1 sinϑ + r2F2 sinϑ= b1 ⋅F1 + b2 ⋅F2 = 2b ⋅F

r1  

Esempio:  risultante  di  forze    

• Barra  con  perno  • Mris=M1+M2=F1b1-‐F2b2  • Se  non  gira      (F1  compensa  F2)    ⇒  Mris=0  ⇒  F1b1  =  F2b2    ⇒  b2  =  (F1/F2)b1  • Per  oOenere  una  situazione    stabile  il  rapporto  dei  bracci    deve  essere:    b2/b1  =  F1/F2    

86  

F1  

F2  

b1  b2  

Perno  F2  >  F1    b2  <  b1  

Condizioni  di  Equilibrio  

Equilibrio  =  permanenza  nello  stato  iniziale  di  moto  1.   ∑  Fext=  0    →    traslatorio  2.   ∑  Mext=  0    →  rotazionale  Esempio  •  F1  ed  F2  applicate  in  P        F1  +  F2    =  0      M1  +  M2    =  0  •  F1  applicata  in  P          F3  applicata  in  P’      F1  +  F3    =  0      M1  +  M3    ≠  0    

 

87  

equilibrio  

P   P’  

F2  

F1  

F3  

fermo  

ruota  

Baricentro  

Definizione  alterna3va:  •  Baricentro  =  quel  punto  del  corpo  rigido  tale  che  la  ∑  dei  momen3  delle  forze  peso  in  quel  punto  è  nulla:  

         ∑  ri  ∧  Pi  =  0      Fg1  x1  +  Fg2  x2  =  0    Fg1  x1  =  Fg2  x2    m1g  x1  =  m2g  x2        m1x1  =  m2x2          

88  

Fg2  Fg1  

x2  x1  

Leve  (*)  

89  

LEVA  =  2  bracci  solidali  +  1  fulcro  

1ma  classe:  F-‐fulcro-‐R  

2da  classe:  fulcro-‐R-‐f  

3za  classe:  fulcro-‐f-‐R  

Sta9ca  umana  

90  

Peso  della  testa    applicato  al  baricentro  

F  dei  muscoli  della  nuca  (compensa  il  peso  della  testa)  

F  reazione  vincolare  esercitata  dalle  vertebre  

 Leva  di  1ma  classe  

Sta9ca  umana  

91  

             F  (muscoli)  

P  (peso)  

V  reazione    della  spina  dorsale  

x1=4cm   x2=8cm  

P=60  kg  F  

V  

Compressione  sulle  vertebre  è    minore  se  baricentro  e  allineato  con  la  spina  dorsale  

Il  baricentro  è  anteriore  alla  spina    dorsale   F ⋅ x1 = P ⋅ x2 rotazione

V = F +P traslazione

F = P x2x1= 60 ⋅9.8 ⋅ 0.08

0.04=1176 N

V =1176+ 60 ⋅9.8 =1764N ≈180kg

Equilibrio  e  stabilità  

La  posizione  del  baricentro  rispeOo  alla  base  del  supporto  determina  se  un  corpo  è  stabile  oppure  no  •  Un  corpo  è  stabile  se  una  reOa  ver3cale  dal  suo  baricentro  cade  entro  la  base  di  appoggio  •  Oltre  questo  punto,    la  Freazione  sul  pto    di  appoggio      contribuisce  alla      caduta  creando  una      coppia  di  forze  Fg+Freaz  

92  

Fr  può  agire  solo  sul  punto  di  appoggio  

Fg   Fg  

Fr  Fr  

Stabilità  

•  In  caso  di  spostamento  dalla  posizione  di  equilibrio:  u  Stabile:  ritorna  alla  posizione  originale  u  Instabile:  si  sposta  ancora  +  lontano  u  Indifferente:  rimane  nella  nuova  posizione    

93  

STABILE   INSTABILE   INDIFFERENTE  

Bilancia  a  bracci  

Confronta  2  masse.    

Metodo  della  doppia  pesata:  per  evitare  errori  dovu3  a  differenza  di  lunghezza  dei  bracci  si  pesa  il  corpo  su  entrambi  i  piaQ  e  si  fa  la  media:    

94  

Baricentro:  deve  essere  al  di  soOo  dell’asse  altrimen3  si  ha  equilibrio  instabile  M =

Msx +Mdx2

corpo  

massa  di  confronto  

Baricentro  Umano  •  La  risultante  di  tuOe  le  forze  peso  

sul  corpo  è  il  peso  del  corpo  applicato  al  bericentro  •  Il  CM  sta  circa  a  56%  dell’altezza  

da  terra  •  Cadiamo  quando  il  nostro  

baricentro  si  sposta  oltre  la  base  d’appoggio  dei  piedi  •  Quando  por3amo  un  peso  il  

corpo  si  piega  per  compensare  lo  spostamento  del  baricentro  u  ar3  amputa3  vengono  sos3tui3  con  ar3ficiali  anche  per  evitare  che  il  corpo  assuma  distorsioni  permanen3  

95  

   c.m.  

Il  bicipite  1  (*)  Bicipite  aOaccato  in  b≃5  cm  dalla  ar3colazione.    Per  sollevare  pesi,  esercita  una  Fb  sul  braccio.    Il  braccio  è  orizzontale  lungo  r≃40  cm.    Fb  è  ver3cale.  Quanta  Fb  esercita  il  bicipite    x  reggere  10  Kg  ?    

All’equilibrio  i  momen3  delle  F  si  compensano  :      Mg  =  Mbicep    rFg  =  bFbsinϑ          (ϑ=90∘)      Fb  =  rFg/b  =              =  (0.40m·∙10Kg·∙9.8m/s2)/0.05m              =  785  N  

96  

Fg  

785  N  è  il  peso  di  M=80Kg  !  

b=5cm  

r=40  cm   Fg  

Fb  

Il  bicipite  2  (*)  

•  Cosa  succede  se  il  braccio  è  abbassato  di  30  dalla  orizzontale  ?  u  l’angolo  totale  è  di  90°+30°=120°  u  il  braccio  di  entrambe  le  F            è  minore  di  prima  

   Mg  =  Mbicep      rFg  sinϑ  =  b  Fb  sinϑ  =        Fb  =  rFg/b  =            =  (0.40·∙10·∙9.8)/0.05)              =  785  N  

u  la  forza  richiesta  è  la  stessa  di  prima  

97  

Fg  

Fb  120°  braccio  

Momento  di  Inerzia  

Per  un  pto  materiale  m  su  circonferenza:  M  =  r·∙F  =  r·∙maTAN  =  r2mα    [aTAN=rα]    

Per  corpi  rigidi  estesi  diventa:  ∑M  =  ∑(ri2mi)  α  =  I  α      Il  momento  di  inerzia  I  è  una  misura  della  inerzia  rotazionale  del  corpo  (come  la  massa  per  mo3  traslazionali)      F  =  ma                              M  =  Iα    

Dimensione:  [I]=[L2  M]  ⇒  SI:  Kg·∙m2  

 98  

“momento  di  inerzia”  

m  r  

Esempio  

•  I  rispeOo  ad  un  asse  equidistante  dai  pesi:  ∑mr2  =  5kg·∙(2m)2  +  7kg·∙(2m)2              =  48  kg/m2  

•  I  rispeOo  ad  un  asse  a  sinistra:  ∑mr2  =  5kg·∙(0.5m)2  +  7kg·∙(4.5m)2              =  1  +  142  =  143  kg/m2    

u  le  masse  vicino  all’asse  contribuiscono  poco  

   

⇒  aOenzione:  I  dipende  dall’asse  rispeOo  al  quale  si  calcola,  non  è  una  proprietà  intrinseca  come  la  massa  !   99  

Momen9  di  inerzia  (*)  

100  

I = r2m∑I = r2 dm∫

Momento  Angolare  

•  Analogo  rotazionale  della  quan3tà  di  moto              à  “momento  angolare”:  

         L  =  r  ∧  p  =  r  ∧  mv!NB:  definito  rispeOo  ad  un  asse  di  rotazione  (con3ene  r)    •  direzione  ⊥  al  piano  (r,v)  •  se  r∥v  ⇒  L=0  •  Se  r⊥v  ⇒  |L|=  rmv(sinφ)    

u  in  questo  caso  il  moto  è  circolare:  v=rω  u posso  riscrivere  L  =  rm(rω)  =  mr2ω  =  Iω  

•  Dimensione:  [mom  ang]=[LMLT-‐1]=[L2MT-‐1]  101  

momento  di  inerzia  

p  

Conservazione  del  Mom.  Ang.  

Il  momento  angolare  L  si  conserva  in  assenza  di  momento  di  momen3  di  forze  esterne  Mext        dL/dt=0      (per  Mext=0)  Esempio  della  paQnatrice.  Consideriamo  solo  la    massa  m  delle  braccia.      L=Iω=(mr2)ω    costante  •  A  braccia  aperte:      r  grande  ⇒  ω  piccolo  •  A  braccia  conserte      r  piccolo  ⇒  ω  grande  

102  

Esempio  

hOp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/BehoudImpulsmoment.ogv  

 

103  

rotazione  an3oraria    rotazione    oraria  

   +        L  iniziale  =  0  

Equivalenze  

r  v  a  m  

F=ma  P=mv  

F=dp/dt  

104  

ϑ#ω#α#I=r2m#M=r∧F=Iα!L=r∧mv=Iω!M=dL/dt#

posizione#velocità#

accelerazione#inerzia#forza#

q. di moto#conservazione#

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