dinamica robotilor industriali

8/15/2019 Dinamica Robotilor Industriali

1/135

ADRIAN OLARU NICULAE MIHAI

DINAMICA ROBOTILOR INDUSTRIAL!


2/135

Prof. dr. mg. ADRIAN OLARU Drd. ing. NICULAE MIHAI

D I N A I V 1S C A R O B O T I L O R I N D U S T R I A L !

MODELAREA COMPORTARI! DINAMICEA STRUCTURiLOR ARTICULATE UTILIZATE IN CONSTRUCTIA ROBOTILOR INDUSTRIAL!

Editura BREN, Bucu rest!, 1999


3/135

Copyright © BREN. 1999 Toate drepturile sunt rezervate editurii

Adresa: BRENStr. Lucacesti nr. 12. sector 6 BucurestiTel/Fax: 2.23.43.47

6.37.21.55

Referent stiintific: Prof. dr. ing. Aurel Oprean

Bun ae tipar: 01.12.1999 ISBN 973-9493-35-1 Tipar: BREN PRuD

IMPRIMAT IN ROMANIA


4/135

CUPRINS

1.GENERAUTAJ1 MANIPULATOARE $1 ROBOTI 1

!. I Definitii, structure, clasificare 11 2 Importan(a studiului comportarii dinamice a robofilor si a manipulatoarelor 5

2.ANALIZA DE POZITIE 72.1 .Transformari de coordonate. Determinarea matricilor de transformare 7

2.2. Analiza de pozi|ie utilizand matricile de transfer de tip 4x4 112.3. Analiza de pozijie utilizand matricile de transfer de tip 3x3 14

2 4 Mi$carea relativa a punctului.Derivata unui vector de pozitie fa$ de un

sistem fix $i fata de un sistem mobil 162.5. Analiza preciziei de pozitionare 162.6 Aplicajie In analiza preciziei de pozitionare geometries §i cinematic^ pentru

o structurii de tip SR 18

3.ANALIZA C1NEMATXA A STRUCTURILOR ARTICULATE DESCHISE $1

INCHISE 243.1 Determinarea matricilor de transfer 24

3.2.Analiza de vitezS 26

3.2. i .Modelul matematic 263.2.2.Aplicajie la analiza de viteze 27

3.3.Analiza de accelerafii 403.3.1.Modelarea matematica in analiza de accelerafii 40

3.3.2. Aplicafie in analiza de acceleratii 41

4.ANALIZA COMPORTARII DINAMICE A STRUCTURILOR ARTICULATEDESCHISE 64

4 l.Generalitati 644.2.Teoria grafiirilor §i determinarea matricilor de incidenfa $i transfer 66

4.3.Analiza de forfe prin metoda torsoruluiPQ 684.3 1.Modeiarea matematica in analiza de forje 684.3.2 Aplicafie m analiza de for{e pentru o structura de tip 5R 71

4.4. Analiza de momente prin metoda torsorului PQ 76

4.4.1 .Determinarea relatiei matriciale a momentelor active din cuple 76

4.4 2. Aplicajie m analiza de momente pentru o structura de tip 5R 78

4.5.Analiza de forfe §i momente prin metoda ecuatiilor Lagrange de speja a doua 90

4.6.Calculul tensorilor de inerjie al corpurilor cilindrice pline,tubulare ?i paralelipipedice 98

5.CERCETA REA EX PERIM ENTAL^ A COMPORTARII DINAMICEA STRUCTURILOR ARTICULATE 106

5.1 .Modelul fizic al robotului proiectat $i reaiizat- construcjie $i fiincfionare 106

5.2. Descrierea standului experimental ( 112

5.3.Cercetarea asistata cu achizi{ie de date 12'

BIBLIOGRAFIE 129


5/135

Prefaffi

Lucrarea “Dinamica robofilor industriali“ cuprinde analiza cinematica $i dinamica a structurilor

articulate deschise fi inchise, utilizate in co nst ru c t manipulatoarelor fi rc.botilor industriali.Lucrarea acoperS programa analitica a cursului de dinamica robotilor industriali, predat la

Universitalea “ Politehnica” din Bucurefti, in semestrul 7, ia sectia de roboti industriali ai facultapi

SMST

Autorii au reufit sJ sintetizeze Tn cadrul acestei lucrSri. pe langS aspecteie clasice cuprinse In programa analiticS fi o serie de cercetari teoretice fi aplicative proprii Cercetarea experimental^ s-a

electuat pe roboti s realizap i~ cadrul laboratorului de dinamica robojilor industrialiLucrarea cuprinde detaliat atat aspecteie teoretice cat fi cele practice, privind modelarea

comportarii dinamice a structurilor articulate, utilizate in construcjia robotilor fi manipulatoarelor,

axandu- se in special pe doua metode de modelare fi anume; formalismul Lagrange de speta a Il-a fi

formalismul Newton- Euler, ftrS izolarea corpurilor componente.Pentru analiza de pozitie sunt evidenpate doua metode utilizand matriciie de tip 4x4 fi 3x3.

Pentru fiecare metoda sunt eviden{iate fi exemple de calcul, cu determinarea pozi{iei diverselor cuple

precum fi a punctului caracteristic. Analiza cinematica cuprinde inodele matematice matriciale de tip

6x6, vectoni duali de viteza sau accelerate determinati, cuprinzand atat viteza unghiulara fi liniara, cat

fi accelerajia unghiulara fi liniara.

Fara insufirea metodologiei prezentate, proiectanpi de robofi fi manipuiatoare, nu vor puteadetermina elementele de execute pentru fiecare grad de mobilitate, in concordanta cu nivelul

accelera(iilor impuse de nivelul productivitapi, din cadrul procesului tehnologic. in care urmeaza sa se

implementeze robotul.Tinand cont de nivelul ftiinfific fi utilitatea leoretica fi practice a acestei lucrari, o recomand

atat studenplor de la seep a de robop din cadrul facultatii EMST, cat fi celorlalti student i care doresc sa

se specializeze in domeniul fabricatiei flexibile, precum fi specialiftiior din industrie fi cercetare.

Prof. dr.ing. A urd OPREAN

Membra ai Academiei dc $tiin(e Tehnice

din Romania


6/135

1G E N E R A L I T A J I M A N J P U L A T O A R E $1 R O B O T *

1.1. Definifii, strsicturil, dasifkare

Societatea industrializatft in general, presupune o automatizare flexibila a proceselor de

producfie. in care o pondere insenwntft o ocupa manipulatoarele ?i robojii industriali.Crearea unor mijloeee de tipul tntwipuiatoareSor ji robotilor industriali a fosl determinata,

printre aStcle, $c5ri vaHabile, programate pentru a fndepiini sarcini speeificc de fabricatie;

definijia Institutului de Robot! din America, R1A (Robot lastitut o f America), grata ca

robotul este un manipula tor multifunctional, reprogramabu , ?estinat deplasarii tnaterialelor,

pieselor, sculelor sau a al to r dispositive specializate, prin mi?cSri variabile, programate

pentru a indeplini diverse sarcini de fabrica tie.Analizand comparativ aceste definifii se constata ca modul de defmire a robotuiui de catre

JIRA este destul de larg, incluzand 51 telemanipulatoarele $i protezele, in timp ce defini Jiile date de

BRA $i RIA sunt simiiare, avand o arie de cuprindere mai restransft.

Sn Franfa, prin norma franceza NF E65-100, se defme?te manipulatorul ca fiind un

mecanism eompus, sn general, din elemente montate sn serie, articulate sau culisante unui Sn

raport cu celalalt, al carai scop este apucarea 51 deplasarca obiectelor dupa mai multe directii,

comandat fiind de citrc un operator uman, sau prin sisteme logice pneumatice, cu came sau

electronice. Robotul este definit ca fiind un manipulator automat, cts pozitie aservitS,rcprogramabil, polivaleni, capabil sS protejeze materia lele, piesele, >culele ;i dispozitivele, in

cursnl inS$c3riior variabile, p rogramate p entru execujia unor sarcini diverse.Din definitiile date anterior se desprind urmatoarele caracteristic i, care pot defini sintetic un

robot:

- sunt realizafi pentru a executa in principal operajii de manipulare, depiasare, transport,

opera}ii care necesita viteze $1 accelerafii bine definite;

- sunt dotaji cu mai multe grade de mobilitate (intre 2-6), cei mai raspanditi in lume au trei

grade de mobilitate, respectiv TTR, ast fel meat s& poata executa opera|ii complexe, fiecare mi§carefiind controlata de unitatea de conducere;

- sunt dotafi cu o memorie reprogramabila, capabila s& conduct servosistemele aecesareexecutgrii unoi operatii care po? fi schimbate prin modificarea programului initial;


7/135

- sunt dota(i cu o capacitate logics, in general foarte redusa. cu ajutorul edreia pot cxccuia

diverse incercari fi pot alege intre doua alternative, precum fi a schimba semnale de aprobare cu

ahe aparaturi;- sunt autonomi. functionsnd fSrfl interventia sistematicS a omului.

Caracteristicile principalc ale robotilor industriali includ: dimensiunile spatiului de lucru, precizia de repetabilitate. numarul de grade de mobilitate, tipul de actio nare. greutatea de scrvici,

greutatea obiectului de manipulat. volumul spafiului de lucru, capacitatea sistemului de comanda fi

control, vitezele fi acceleratiile maxime pe fiecare axS co mandat a, conditiile de lucru admise.

posibilittyile de a dispune de mai multe bra(e de lucru.In concept!* »ctu*U. robotul industrial este un ansamblu mecatronic, format dintr-un

Bttcanisai cu mai multe grade de mobilitate, sub forma unuia sau a mai multor bratearticulate, avind laaturi cinematice deschise sau Inchise, capabil si manevre/.e in mod

repctitrv, pe traiectorii ufo r r t prog ram a bile, diferite obiccte (piese, sculc, etc.) fi dintr-un

sistem dc comandi electronic, care permite deplasarea controlatS pe traiectorie.Sistemul de comanda trebuie sa fie ufor de programat, astfel incat sa peimita utilizarea

sistemului robotizat, la activhati din cele mai diverse f$ra modificari importante, ceea ce confersrobotiz&rii avantaje tehnico-economice deosebite in automatizarea proceselor de productie, cu

schimbarea frecventa a profilului de tabricatie (serii mici fi mijlocii).Aplicarea robot izArii tn fabricajie asigura crefterea gradului de flexibilitate. Robojii asigura

at& flexIbiUtatea in timp (care tine cont de schimbarile frecvente care survin in cadrul procesckx

de fabricafie, privind tipul de reper prehicrat), cat fi flexibilitatea in spa(iu, determinata de

necesitdtile frecvente de schimbare a traiectoriei obiectului manipulat.

Structura generals a unui robot cuprinde:

- manipu lator art icu lat care la randul lui este alcatuit din:

- mecanisme de rotatie sau translate la baza;- mecanisme de basculare;

- mecanisme de generare a traiectoriei;

- mecanisme de orient are;

- mecanisme de prindere;

- senzori;

• sistemul de comanda fi con trol care poate fi construit din:

- automat programabil;

- minicalculator;

- calculator personal;

• program de com and i fi control.Subsistemele care compun structura robotizata sunt: (fig.1.1.1)

- subsistemul cinematic;- subsistemul de actionare;

- subsistemul de comanda fi programare;- subsistemul senzoriai.

fig. 1.1.1

Aprecierea performantelor robotilor se face luand in considerare urmatorii parametri gjo rsJ:


8/135

pirametrul global privind volumul spa(iului dc lucru:

^ vol. sp. lucru yn1 1 _ V_

1 greautatea cle servic i F I G,

pirametrul global privind grcutatea obicctului de manipulat :

_ greulaleaobiectuluide manipulat [n ] _ G0 greaulaleade servici [/VJ C7,

parametrul global privind preeizia de pozitionarc:

vol.sp.lucru\m3\ greuialeade manipulat M V ■G0

5 greaulaleade servici [ iV] ■ preciziede poz. [»m] Gs ■P

In praclica proiectarii 51 implcmcntarii robotilor in structurile de fabricate, se urmaresc

^ 111r | urtor roboji cu parametrii globali ki, k 2 , kj, cu valori maxime.!n scopul generalizSrii metodicii de studiu ?i modelare a structurilor robotilor industriali, se

n r notiunile de pu nct caracteristic, dreapta caracteristici, dreapta auxiliara, plan

r-trreristic, plan tangential f i plan osculator. Definitiile acestor nojiuni cuprind:

punetul carac teristic - este un punct propriu obiectului manipulat, care de reguia se aflax jra din axele sale de simctrie 51 servejte la stabilirea legilor de distribute a vitezelor $i

tcsrfcratiilof, fn cadrul tni?c^rii generale, spatiale a obiectului manipulat, prins in mana mecanicS;

- dreapta carac teristica - este dreapta care trece prin punetul caracteristic $i care de

este una din axele de simetrie ale obiectului de manipulat;- dreapta auxiliara - este dreapta care trece prin punetul caracteristic §i este

5endicular 3 pe dreapta caracteristica; planul caracteristic - este planul format din drcpta caracteristica §i dreapta auxiliara, 51

ae normal la traiectoria punctului caracteristic, plan care serve§te la pozitionarea ?i orientarea

- .jctului in spajiu; planul tangential - este planul tangent la traiectoria punctului caracteristic,

- planul osculator - este planul perpendicular pe planul caracteristic §i pe planul

:angen{ial.In aceasta accepjiune, se define$te mecanismul de orientare ca fiind partea componenta a

^ jipozkivului de ghidare, care serve$te la orientarea dreptei caracteristice dupa o succesiune de

irectii impuse. .Mi?carea mecanismului de orientare dupa 0 axa ?n lungul bratului manipulatorului sau al

- 'botului, se numejte mi?care de tip roll, mi?carea dupa o axa orizontala, perpendiculara pe axa

•ratului se nume$te mi$care de tip pitch, iar mijcarea dupa o axa verticals, perpendiculara pe axa

bratului se nume^te mi?care de tip yaw .Partea componenta a dispozitivului de ghidare care serve?te la deplasarea punctului

.aracteristic pe 0 traiectorie precisa sau in pozitii succesive impuse, se nume$te mecanismgenerator de traiectorii.

Datorita cre$terii aplicajiilor care se preteaza robotizarii in multe ramuri ale industries

actualmonte exista pe plan mondial sute de tipuri de roboti. Grupul de lucru al ISO (Organizatia

International^ de S tandardizare) a propus clasificarea robotilor industriali dupa patru criterii:

1. sursa princ ipals de putere:- pneumatic^;

- hidraulica;

- electrics;

2. comanda mtycaritor:comanda punct cu punct (PTP - point to point), sau lira servocomanda;

- comanda de conturare (CP - continuos path);3. modeie de programare:

- prin invajare directa;

- prin generarea traiectoriei;

- prin telecomanda;


9/135

4

- off-line;4. tipuri de senzori folosifi:

- detectori de po?i|ie;

- logica liniara simpla:

- senzori bazati pe diverse ahe principii.Punctele generate care se regisesc in ctasificarile ftcute de diver$ii coiistructori de robo(i

din Japonia. SUA, Franta, Germania sunt reprezentate sintetic in tabelul 1.In ceea ce prive$te tipurile de operajii in care sunt folosifi robotii industrial!, o anchetS

efectuata in Japonia (vezi ..The Robotics Industry of Japan", elaborate de Japan Industrial

Association, 1982) indie a urmatoarea ordine: deseSrcarea pieselor executate pe ma§ini-unelte cca.

22,6 %, alimentarva majinilor-unelte cca. 21 %. transferui pieselor intre conveioare cca. 14,2

%, afimentarea pieselor cca. 9,7 %, asamblarea cca. 7,3 %, ambalare cca. 7,2 %, forjare cca. 4,4

%, vopsire cca. 3,2 %. sudurfl cca. 2.8 %. injectare mase plastice cca. 2 %, acoperiri metalicc

cca. 1,2%.

TABELUL 1

h o b o t i i n d u s t r i a l i

Op*ra | K | T^ hno t op i c i

5p»ciollior# | Sp»dcliza|i I D>dicoyi

Uoiv»r«al7~ |

P o M u n c t i o r a l i |

Coordonat*6* barf

P o r l a n t a

Mobitttato

I — i : r ; ~ ; T i i ’“ZZ L " ’J tHixor t r S u d o r # 1

D*S*rvire I p r t w 1

Pr»lucrfiri Im e c a n i c * 1 I t e ref ir ' 1

— - u......

Acop«fir» l i l v ^ | | M o n t a j | [ Mo nipular* |

frigclrif. ~~] | Punct» | ( o»!; 1 [ ~ 1

( C a r f g ig n e | |P o l a r * | |U n g h i u l o f |

Ptani | Spol ia l i Ploni | | Cillndrici~| | Stwici

w d r a o s j

Ictlonor * fpr»umo tic6 ^ ( Hidroulica ' Ml»(o ~|

A m p t a K ir * | M o n o b i o c L _ _ _ J P » o r g o rw t * d e M r v i l*

0e’to° 6ri r------Swnbinai 1-------------------

Programor* j Progromrigid | | Adoptivi | | Programtlwibll |

fp


10/135

1.2. Importanfa studiului comportarii dinamice a robofilor ?i a maniputatoarelor

Indiferent de complexitatea sistemului de programare $i comanda, problema unei comenzi perfbrmante trebuie rezolvata in conditii optime, care inseamna objinerea unor accelerajii mari

timpi mici de pozijionare), a unor precizii de pozifionare ridicate, a unui raport optim intre puterea

instalatS §i sarcina obiectului de manipulat, a reducerii vibrajiilor.Performantele niiicftrii se datoreaza in primul rand proprietajilor dinamice ale stmcturii

mecanice de manipulare ?i a calitajii sistemului de comanda a mi?carii. Rezulta in mod evident,

necesitatea etapei de modelare matematica, cercetare-proiectare §i simulare, atat in proiectareacomenzii mijcarii structurii mecanice de manipulare, cat $i a subsistemului mecanic.

Aceasta etapa nu poate fi parcursfl fSra simularea $i proiectarea asistata a diverselorcomponente ale structurii mecanice. In proiectarea asistata de calculator, modelele geometrice,

cinematice $i dinamice ale structurii mecanice, se folosesc pentru analiza caracteristicilor

structurale, a dimensiunilor geometrice, a distribute! de mase, a alegerii puterii sistemelor de

actionare, a simularii comportarii dinamice, etc.In comanda mi$carii robojilor, modelele geometrice ?i cinematice se folosesc la

transfonnarea traiectoriilor din coordonate opcrajionale (coordonate exteme sau coordonate

absolute), cu ajutorul carora se descrie programul de mi?care al robotului, in coordonate robot(coordonate relative sau coordonate interne), care depind de structure mecanica a robotului(carteziene, cilindrice, sferfae sau polare) §i ia proiectarea unor reacfii de compensare, sau a unor

corecfii in etajele de mare putere, sau de mica putere, pentru compensarea inf!uen{ci in comportarea

dinamica, a grcuta{ilor proprii, a fortelor inerjiale, a factorilor de frecare vascoasa, propor{ionali cu

viteza liniara, unghiulara, a accelera{iilor Coriolis, a fortelor centrifuge, etc.Studiul comportarii dinamice deci, este necesar a fi efectuat atat pentru elementele

componente cat §i pentru servoMstemele de actionare, in ansamblul lor, pentru fiecare grad de

mobilitate, precum $i pentru intreaga structura cincmatica.Studiul ?i modelarea comportarii dinamice sunt necesare pentru:- obtinerea unor elemente ?i servosisteme de comanda §i acjionare optime scopului

propus, respectiv: obfinerea unei anumite precizii, promptitudini, stabilitaji, etc.;

- determinarea §i alegerea motoarelor de ac{ionare;- studiul §i optimizarea constructiei cinematice, modulare, prin utilizarea criteriului

interschimbabilitatii modulare;

- rezolvarea problemei dinamice directe §i inverse.

Studiul comportarii dinamice pe elementele $i servosistemele componente alesistcmuhii de acj ionare se efectueaza in scopul determinarii:

- parametrilor caracteristici generalizati;- performantelor caracteristice.

Studiul parametrilo r caracteristici generalizati cuprinde determinarea:

- factorului dc amplificare in circuitul deschis;

• factorului de amplificare in circuitul incbis;- factorului total de amplificare;

- pulsu(iei naturale;

- puLsafiei proprii;

• pulsafiei de rezonanfS;

- puLsafiei critice;

- factorului dc araortizare;- timpului tranzitoriu;

- decrementului logaritmic;

- supra reglajuhu;

- erorii stafionare de pozi|ie, viteza sau accelerate.


11/135

Studiul perfnrmantelor caincteristice presupune determinarea:

- p r < c i / . i c i ;

- stahilitfl(ii;- promptitudinii;

- capacitajii de umnSrire.Studiul comportarii dinamice presupune cunoa$terea In prealahil a cincmaticii robotului. In

acest scop se efectueazS analiza cinematics, care are ca scop rezolvarea problemei cinematic*

directe $i inverse.

Rczolvarca problcmci cincmatice directe presupune cS:

- sc dau: n o o pozijia initials absolutS a punctului caracteristic (x/'j, ( yf ), (z/0);

- parametrii geometrici /,. ,\coordonatele relative sau coordonatele robot q,\

- se cere:- pozijia finals absolutS a punctului caracteristic fa(i de sistemul fix.

Rezolvarea problemei cinematice inverse presupune cS:

- se dau:- pozijia initials absolutS a punctului caracteristic fa{S de sistemul cartezian fix

(xi°(i)), (yi°(i)), (zin(i))- Obs.: Intrucat se cunosc pozifia planului caracteristic, se

cunosc minim trei puncte / ale obiectului manipulat;- pozi(iile finale ale celor trei puncte ale planului caracteristic (xi (i)), (y: (0),

(Z20) ) \

- parametrii geometrici ai robotului U


12/135

2ANALIZA DE POZIJIE

2.1.Tr*nsfonniri de coordonate. Determinarea matricilor de transformare

!n scopul efectuftrii analizei cinematice este necesarS determinarea matricilor detransformare a coordonatelor fata de diversele sisteme de axe, intru-cat in spafiul tridimensional

operable cu vectori nu pot fi efectuate decat dacS vectorii sint redu?i fata de acela§i sistem de axe.

In acest scop, este necesara determinarea relafiiior raatriciale ?i a matricilor de trecere dintr-unsistem de coordonate in a!tul, functie de pozijia re’ativa a celor doua sisteme cartesiene.

Determinarea matricii dc translateS3 prasupunem c5 se dau do«5 sisieme cartesiene translatate in spajiu, fig.2.1.1.

Jntrucat trecerea dintr-un sistem in altul se realizeazfi prin translate, versorii celor doua sisteme de

axe nu au fuferit transformari, deci se poate scrie :

i = i l ; j = j l ; k = k l ;

Scriind sums vectorilor MO si M l se obfiiss:

(2 .1.1)

MO - M l + O O l (2.1.2)

unde : MO -este vectoml de pozi{ie al punctului caracteristic exprimat faja de sistemul cartesian

initial, 0; Ml -este vectorul de pozifie al punctuhii caracteristic exprimat de sistemul cartesian 1;

OOl -este vectorul de pozitie al originii sistemului cartesian ur.u exprimat fa}a de sistemul

cartesian initial, 0 .

Expresiile acestor vectori su nt:

MO - x i + y j + z k

Ml = u ll + v j l + w kl

OOl = hxi + hvi + hzk

(2.1.3)


13/135

Dupa inlocuiri sc objine:

x T + y j + z k - (hx + u)7 + (hy + v )J + (h2 + w)~k

Dcci:

x = for + u y ~ h y + v

z = hz + w

(2.1.4)

1 1 0 0 0 1

X /tx 1 0 0 u

y Ay 0 1 0 V

z hz 0 0 1 w

H i a u i v ^ a U V U V V -V IV U U 1 g w i v u m i v i u »v j »w « M *■»* — * ------------- -----------

translate dupa toate cele trei axe cu distan(ele hx, hy, hz 51 se defme$te astfel:

1 0 0 0

IT\ = K 1

0

0

(2.1.5)

M =

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

K 0 1 0f c l - 0 0 1 0

0 0 0 1 K 0 0 1

( 2.1.6 )

Determinarea matricii de ro tat e

Fie douS sisteme cartesiene rotite unul faja de celalalt dupa axa OX cu un unghi a .

Suma vectorilor de pozifie ai punctului M, exprimati fa{a de sistemul cartesian initial $i fafA de cel

rotit se poate scrie astfal:

~m - m i + o o iIntrucat sistemele de coordonate sunt rotite unul fa# de celalalt, versorii din sistemul

cartesian rotit, vor fi exprimaji func{ie de versorii sistemului cartesian initial as tfel:

il = i

j l - j cos a + ksin a

kl - k cosa - j sina

Suma vectorilor devine:

x i + y j + z k = u i + (v cosa - ws in a) j + (v sina + w co sa )k +

+ Oi + 0j + Ok

Deci: x.~ u

v = v cosa - w sina

(2.1.7)


14/135

2 = v sina + w co io Matricial se poate scrie :

Deci matricea de rotafie dupfl axa ox va f i :

1 0

0 1

0 0

0 0

1 1 0 0 0 1

-t 0 1 0 0 u SE

V 0 0 cosoc -sinoc V

z 0 0 sinoc cosoc w

M «

0

0

cosoc

sin oc

0

0

-sin oc

cosoc

(2.1.8)

Determinarea matricii de roto-translafie (ijurub)Se consider^ un sistem cartesian fix xoyz si un sistem cartesian mobil rotit dupS axa ox cu

unghiul a fa}3 de sistemul cartesian fix si deplasat fa{3 de acesta cu distanfa hx in lungul axei ox.Past rand notafiile anterioare fi {inand cont cS versorii sistemului cartesian mobil au aceleafi expresii

func{ie de versorii sistemului cartesian fix, ca la rotafia simplS intre sistemele de coordonate, se

objin identitijile:

x - hx + u

y~ v cosa - w sina (2.1.9)

z= v sina + w cosa

Matricial, pe baza acestor identitSfi, se poate scrie :

1

X

y

r

0 0

0 0

cos oc - sin ocsin oc cos oc w

Deci matricea tip surub dupa axa Ox este:

1 0 0

0

coscc

coscc

0

0

-sin «

sin oc

( 2.1.10 )

Analog se pot scrie si celelalte matrici furub pentru axele Oy si Oz.

in general o matrice de trecere dintr-un sistem de coordonate in altul se poate scrie (inandcont de eosinusurile directoare, astfel:

0 0 0

[T.il =

1

h*

hr

h t

OC ik

( 2.1.11 )oc ji oc jj ec jk

O C l i O C kj X k k

un de: oc i j,.. reprezinta eosinusurile directoare dintre fiecare axa a sistemului mobil fi axele

de coordonate ale sistemului fix.Prin derivarea matricii generals de trecere dintr-un sistem de coordonate in altul fi Jinand

cont de derivata unui vector fata de un sistem de referinta fix fi fa $ de un sistem de referinja mobil,

se va putea determina matricea care caracterizeazS starea de viteze a structurii robotizate.


15/135

10 Derivata unui vector fetS de un sistem cartesian fix, funcjie dt an sistem cartesian mobil, se

exprimS astfel:

dMo dMoi _■ + a r x n

dt dt(2 .1.12)

unde:

*' este vectorul punctului M fa{6 de sistemul mobil

Mo este vectorul punctului M feta de sistemul fix xOyz.

Matricea generals de transformare, dupa derivare, va avea expresia :

dTij

d t

0dh«

0da.i

0da


16/135

II

iar matricile elemcntare vor fi :

\Rr\-

c o sy -sin 0

(2.1.16), |& J =

1 0 0

sin y cos y 0 -matricea de precesie 0 cos 6 -s in


17/135

ifeJnde:

jr5)3 = |Sfi3]jr 116 -este expresia matriciala a pozi{iei initiate a punctului caracteristic feta desistemul cartesian 3; (2.2.1)

|r2)3 « |S3||S 63 j|ri|6 -este expresia pozitiei finale a punctului caracteristic, fa # de sistemul

cartesian 3. Se observa aparitia matricii cinematice de tip fumb; (2.2.2)

| r2 |o = jSojjS30»S3|jS«||r 1 j6 -este pozitia finaia a punctului caracteristic faj£ de sistemul

cartesian fix. (2.2.3)Expresiile vectorilor punctului caracteristic !n pozitia initiate fi finals sunt:

r 2 o =

1

X2,0

y 2,o

Z2,0

ri6.

1

Xl,6

yi.6

Zl,6

(2.2.4)

iar,

jS63j =

0 0 0

C56

10 0

1

0

I 3 ± 14 ± Is

0 -S


18/135

13

(xj)b=!(x!Xs$fc«-s?q5-s-$»3-sq2-s^«-sqs-c0 :i-cq2)+

(yi)*(c£>5«•cqs C9»3 cqj- s ■($■sqs c ^ - 2 j-sq 2 + sipa sqs-s^23-ccp) +

+ (yi)» • (c23

(y 1)0= (y i) t - ( c^56 -s^23 + Q,23

(Zl)o= -(x l)‘ -S^ 56 + (Z!)fi-C^>56+ ll + I2

Relafiile (2.2.10) exprimS dependenfa geometrica a poJfiei punctului caracteristic in pczifiainifial&, fafa de sistemul cartesian fix, xOyz.In cadrul studiului de pozifie, pot apare o serie de probleme ce pot fi rezolvate utilizind acest

tip de relafii de calcul.Probleme ce pot apSrea ?n cad rut s tudic tai de pozifie §i mod>;l lor de rezoSvare :

1. Se dau: -pozifia inifiala a punctului caracteristic fata de sistemul cartesian fix, (xl)0, (yl)0,

(xJ)0;

-parametrii geometrici /,,


19/135

14 (zl)6=f((xl)0,(yl)0,(zl)0)

Cu ajutorul relatiilor (2.2.9) se determina :(x2)0=f((x])6, (yl)6, (zl)6)

(y2)0~f((xl)6, (yl)6,(zl)6)

(z2)0=f((xl)6, (yl)6, (zl)6)

2.Se dan : -pozifia initials a obiectului de manipulat, funcfie de sistemul cartesian mobil(xl)6,(yl)6,(zl)6 ;

-parametrii geometrici ai robotului /*


20/135

Exprimarea vectorului punctului fix 0, fata de sistemul cartesian 3, se va efectua Jinand cof*

de rela{iile:

(2.3.1)| r j — I D j i r ' J i D g l - D j j

unde \D |r ts tf tmnspusa matricii directe. iar |j ) J este matricea de trecere din sistemul cartesian

propria corpului. m sistemul cartesian fix, matrice de tip 3 x 3 . Matricile de trecere dintr-un sistem

cartesian in altul pot fi matrici simple de translate sau numai de rotate

Matricea de translatie este definita astfel:

(2.3.2)

(2.3.3)

(2.3.4)

i 0 0

N= 0 1 00 0 1

Matricea de rota}ie dupa axa Ox este definita astfel:I 0 0

|d J - o cos© -sin$>|

0 sin p cos

0 sin tp\

|D , 0 1 0 j

sin (p 0 cos^?j

Matricea de rotafie dupa sxa Oz este definita astfe!:

cos^? -sin^? 0

n i -sm


21/135


22/135

2.6. Aplicafie in analiza preciziei de pozijionare geometries ?i cinematics pentru

o structurii de tip 5R

Metodologia prezentata in subcapitolele anterioare se aplicS la o structure de robot tip bra(articulat cu cinci grade de mobilitate prezentat in figura 2.6 .1, reaiizat in laboratorul de cercetare a

comportarii dinamice a roboplor industriali.

IS

Fig 2 6 2


23/135

19

: D•tan w

f z

— TH-

78-

\

i

, ySr-^ » .; ̂ € E 3H 3

Fig. 2.6.3.Vectorii de pozifie ai fiecarei origini Oi, (i= 1... 4) in raport cu sistemul precedent rezulla

unediat analizand schema cinematics a structurii din figurS, unde ( r f ) este notatia vectorului de

pozifie a origitui O, in raport cu O n scris in sistemul de coordonate (Ot.i, Xu , Y u ,.(O'

I I*- jo

! 0\ /

untie-. k este hingimea eiementului i (p=l ...4);

% " o ' ] r ° i / 0' < 0'0 2r) = h j = 4- / «' u , j) l o j

(2 .6.1)


24/135

20

Matricele de trecere intre douS sisteme succesive pomind de la baza catre end-effector, sunt

urmStoarele:

A>.,=

c , - j , o o o _______

1

' 1 0 o '

s, c, 0 A.2 = 0 c 2 - s 2 A ,3 =I «

o o

0 0 1 _0 s 2 C 2 0 C ,

1 0 0 ' ‘1 0 o'

A.4 = 0 c, -*« A,5 = 0 10

0 s* C4 . 0 0 1

(2.6.2)

A>,< - A,sA,4 =

S C4( s253 ~ C2C j) + SIC«(C2'S3 + SlCi)

SXSA fcjS j + SjC3 ) - W V s - CJC3)

c,c4(c2c3- s2s ,) - - C ^ C jCj - . V j j -

- c,54(c2s3 + S2c}) - c,c4(c2s, + S2Cj)

ct (s 2c 3 + C2S3) - - S t (s2c3 + c2s3) -

- s 4(sts , - C 2Ct ) - S t ( S 2 Sl _ )

(2.6.3)

D,0,3

c, — i|S2 s|^2

A,2- A,lA,2 “ J , c,c - c,J2(2.6.4)

0 s2 c2

s,= sin (qi);Cf- cos (qi); (i = 1... 4) _

*C, - 5,c c3 + s,5 253 S,c253+ 5,52C3

— D q i D z j = 5, C,C2C3 - C,C2C3 - C,C253 - C,5 C3 (2.6.5)

0 s2c3+ c2s3 - ¥ 3 + C 2C3 .

(2.6.6)

r!"

r° ~ r° + r? ~ r2 +

' hC\(S2Sl - C2Cl ) - S\C2l2' n

• * » o « n

j

£ £ “ ^2̂ 3)"̂ *^2^2

J j(V 3 **”̂ 2̂ 3)*^ 2̂̂ 2 A

(2.6.7)

( . .8)

(2.6.9)


25/135

21

r(/s5, + /45,C4X v 3-CjCS) - I 2s,c2+/4s,s4(c2s3+s2c,y

rs = r4 + [D 0_4] ‘r 5 = (/3cl +l4clc4Xc2c] —s2s3)+ l2clc2—licls4(c2s3 +s2c3)

(!) + 4̂C4X*2CJ + C2S) ) + *3̂ 2 1̂+ 4̂J4(S2̂ J —C2CJ ) ,

Coordonatele punctului caracteristic in raport cu sistemul de baza (zero) sunt:

XS = (̂ JJI \ S2S3~ ClCi)~ ^lS\Cl ^ l4SlSl(p lSl + S2C3̂

yj ~ ih ci + 14C1C a XC 2C) ~ S2S) )+ 2̂C\C2 ~UClSi{C2S3+ S2C})

z} = (/3 + /4c4J(s2c3+ c2s3)+ s2l2 +/, — l4s4(s2s} —c2c3)

Diferentialele totale ale acestor coordonate sunt:

+^4c ic 4̂ i ~ h s\s*d4{s2s3 - c 2c3)+l3st + /4s,c4)-

(c2s3d2+ s2c3d3+s2c3d2+c2s3d3) - l2clc2dl +l2sts2d2+l4cls4dl(c2s3+-?2c3)

+l4s]c4d4(c2s3+ s2c})+l4s,s2(-s2s3d2+c2c3d3 +c2c3d2- s 2s3d3) efyf =(~l3sldi —lislc4d4- l 4cxs4d4)(c2c3~ s2s3)+(l3cl + /4c,c4)-

■ c2s,d2 s2c3d3̂ l2ŝC'2d̂ -—l2cxs2d2

~ ( V M +iA


26/135

22

ARARAT VIRTUAL PENTRU ANAUZA -3 E C 0 E I DE P 03 TI0 NA RE FUNCTIE DE LUNGIMI.CURSE 51PREC0ILE DIN CUHE PENTRU 0 STRUCTURA DE TIP RRRRR...............

n [mm]

:3oo

200

ql |gtd)

; 1 2 6...... !

12m ;*255

' “>•- rr 400 0.0

0.0 200 .0 m o

14[mm]!

i '255 j C120 I

— ^ ^ -45inr î“ 1 r

200.0 300.00.0 200.0 300.00!0 200.0 300.0

q2[grdjl

: « r — i- y I E L J. it — ..."i..... . 4ESZ3S zar

45.0 100.0 135.0 0.0 50JJ 100.0 -S0.0

dgl [gidj;

; 0.042 ” ; j


27/135

23

pteciz ia de pozi l ionwe h ih t f ie de var ia tia U dn4

Hoi 0 S 3 !

' - 0.50fim v|

0.43500: / /

o.in(q4fdq1 ♦Wcos(q1 )"cos(q4)*dcj4j'tcos(q2rsin(q3hsir^q2)rco5(q3)>l4"cc(»(q 2)"sir.(q 3))+{l3 +l4"co s(q4)n cos(q 2),'cos( q3}Mdq2-sin(q2},'siH(q3)”dq3-sir i(qi2)’ SB' i(q3] 'dq2+cos(q2),,cos(q3 )’dq 3]42 "cos (q2 ] 'dq2- W 'coj{q4 ] 'dq4 ' fsin(q2 )'si r i (q3)-

cos(q2),'cos(q3))•W*8ln(q4)“[a»{q2fsin(q3]̂ d̂ 2̂•̂ slr̂ (q2)"cos(q3),'dq3+sin̂q2J‘cos(q3j"dq2+cos(q2),,sin(q3)"dq3);

r _ J [— r J

Fig.2.6.9.


28/135

24

ANALIZA CINEMATICA A STRUCTUR ILOR ARTICULATE

DESCHISE $1INCHISE

Implicatiile productsvitate-timp de ciclu, conduce la limitarea inferioarS a vitezelor 51

accelera|iilor maxime de lucre, traduse prin viteze medii la nivelul manipularii obiectelor, viteze

cuprinse intre 0,4m/s fi l,5m/s.

Metoda clasica de anaiizS cinematica fi cinetostatica a mecanismelor utilizate in constructiamanipulatoarelor 51 robotilor industrial!, prin descompunerea in grupe assurice, se bucurS de succes

deoarece permite 0 abordare modulara, calculul se face grafic sau analitic, realizandu-se programe de

calcul pentru fiecare grupS structurala.Abordarea modulara, reduce numarul de ecuafii de rezolvare, insi are 0 serie de deficient

legate de faptul ca num&rul grupelor structurala este nelimitat, fiecare grup poate avea aspecte diferite,

limitand generalitatea inetodei. In acest sens, pentru fiecare mecanism este necesar un studiu pentru

determinarea relatiei structurale. actualizarea parametrilor formali ai fiecarei subrutine, realizarea

programului apelant al subrutinelor (analiza cinematica se face in sensul relatiei structurale din cadrul

reacfiunilor).In analiza cinematica prin elsborarea metodei ciclurilor independente s-a deschis drumul

utilizSrii proprietatiior grafiirilor in acest domeniu, ufurSnd acest proces de analiza a structurilorcomplexe.

Metoda permite determinarea distribute! de viteze fi de accelerafii pe cale analitica.

Metoda are la baza douS tipuri de formule:

- formula Euler care ieaga vitezele fi acceierajiiie a doua puncte de pe acelaji element:

vBl = v, + a t x A B(3 1)

aBi =5^ + e, x AB + co, x (© x AB)

unde:

) - este viteza respectiv accelera{ia absoluta fa?a de un sistem fix a punctului B de pe

corpul i;

3.1. Determinarea m atricilor de transfer

In scopul determinarii simultane a vitezei unghiulare fi liniare, analiza cinematica utilizeaza

vectorii duali de viteza fi accelerate.

Vectorul dual de viteza fi respectiv, de acceleratie, se definefte ca fiind matricea de tip coloanS

care cuprinde viteza unghiulara fi liniara, respectiv accelerafia unghiulara fi liniara. Aceasta se vaexprima astfel:

a

v

Tinand cont de relajiile lui Euler se scrie relafia de trecere prin translate din sistemul cartezianAinB:

M(3.1.1)


29/135

unde:

AB\ - matricea antisimetricS a vectorului AB;

o] - matricea de tip zero.

Matricea antisimetrica [AB] provine din produsul vectorial S , xA B

Matricea coioana a produsului vectorial este:

a)y z -o )z •y

(oz x - c o x - z

(ox y-o>y x

(/] - matricea unitate;

deci se poate exprima prin:0 z - y

- i 0 x

y - x 0

In final se poate scrie relafia care exprima matricial produsul vectorial:

[ cox A B \= -{ a b ) \ ( o\

Deci matricea de translate generals din punctul i in j este:

w =

(3.1.3)

(3.1.4)

(3.1.5)

(3.1.6)[U ]

-[. AB] [l/| jinand cont cS in cazul rotafiei sistemeior carteziene se modifica versorii axelor, putem scrie

reiafiile de trecere a vectorilor ] £>,] . VA_

Deci matrices' de transfer se definefte astfei:

h i [o] hi

(3.1.8)

(3.1.9)

unde matricele de tip Dy au fost deja definite.Matricea de rototranslafie se obfine prin inmul

h ] - h L - h L = [ - M wDeci matricea generaia de rototranslafie este:

;irea matricelcr de translate cu cele de rotafie:

H J[o] f o } '

y [°i

h [O

Du\ h(3.1.10)


30/135

3.2. Analiza de viteza

3.2.1. Modelul matcmatic

In scopul determinarii relatiei generate de recurenja pentru efectuarea analizei de viteze se

analizeaza un sistem articulat cu n corpuri mobile conform fig. 3.1.Vom defini vectorul dual de viteza relativS sub forma:

S'(i)=

Exprimat fapa de sistemul cartezian propriu.

co,(3.2.1)

Fig. 3.2.1

in cadrul determinarii relatiei vectorilor duali de vite/5 se fine seama ca tofi vectorii asupra

carora acfioneaza un anumit operator, sa fie exprimaji fata de un acela$i sistem cartezian.Deci, relafia pentru determinarea vectorului dual de viteza absoluta a corpului i, exprimata fefS

de sistemul cartezian propriu, va fi:

(o,V,o

T + S '(2)]+S'{ 4)]+

vvi.o,(3.2.2)

unde:

S'(i) - este vectorul dual de viteza relativa;

T - matricea de trecere dintr-un sistem cartezian in altul.

Se observa ca, in cazul analizei de viteze, trecerea dintr-un sisfem cartezian in altul se face

poniind de la baza, catre ultimul element al lantului cinematic, respectiv niina mecanica.

in scopul determinarii vectorului absolut de viteza unghiulara sau liniara al unui corp, exprimatfa{a de sistemul de coordonate al corpului considerat fix, se aplica relafia :

H o I - A y \c o 1,0


31/135

27

Dac3 se considers o structure articulata cu i corpuri mobile cuprinse intr-un lan{ cinematic

lachis, relatia de recuren|3 pentru analiza de viteze devine:

J II 1 -1 I co\n

W i f e l - W -I,U

1VI.O +5'(2)]+5'(3)]+5'(4)]+....}fS'(/K0)

( 3 . 2 . 4 )

Pentru structuri cu mai multe lanfuii cinematice inchise, analiza cinematica de viteze se va

efectua pentru fiecare contur inchis al lanfului cinematic.S3 luam spre exemplu o structura articulata cuprinzind doua lanjuri cinematice inchise al c3nii

eraf poate fi urniArit in figura 3.2.2.

Fig.3.2.2.Relafiile care exprima analiza de viteze la nivelul fiecarui ciclu sunt:

| r4 , | •S ' (1)+ | t ; 2 | • s ' ( 2)+ | r0 1•S ' (3 )+ S ' (4M 0)

|r4, f • S"(l)+|r4i51 • 5'(5)+5'(4H0)

u n d e :iT 4>,| = 1^4,3 [ * j-̂ 3,2 i ' 1^2.1 !(3.2.5)

I ' M =

3.2.2. Aplicafie la analiza de viteze

Modelarea matematicS ia analiza de vitezeVectorul dual de viieza relativa ale cuplei i in raport cu sistemul de coordonate i-1, conjinand

viteza reiativa liniara fi unghiulara de forma:

s(0= (3.2.6)

S , =

( \ \ ®i,o I I

' 0 '

0

i = { — 1=

r q2

0

0

l v!.oj 0 2 U , J 00

0I 0 j

, 0

(3.2.7)


32/135


33/135

29

k>]=

[0]

M

1 0 o

0 Cj - J 2

0 s2 c,

0

- / ,c 2

- / ,S j

/, 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

! o'" 00 cJ -J j

0 Sj C2

^0 > 1 0 0 '

rJ = h A . , =0 Cl “ ■Sj

W0 c3 .

r, =

0 /,

0 0o o

M -- / j j3

hci

[ A , ] ••• [ o ] _

■ M - h M •

1 0 0

0 c3 - s 3

0 s3 c3

0 0

- / 2s3 0 0

/2c3 0 0

0 - / J

0 0 j

0 0 J

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0

0 c3

0 s.

0

r ° l'1 0 0 "

ri = /3 ; A.< = 0 C* -*4

1° ;■0 0 K

0 s* C, .

'0 0

0 0 0 * - fe?]- 0 0 0

r h 0 0 h 00

" 1 0 0 ‘r °

0 - h0 0 - h

0 C « - * 4 »0 0 = - / 3i 4 0 0

_ 0 * 4 c 4 f t0 0

- ^ c *0 0

M •• [or

■ K I

1 0 0

0 c4 - s 4

0 s4 c4

0 0 - / 3

- / }s4 0 0

/3c4 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0

0 e4

0 s*

0


34/135

30

'o ' 'i 0 o'

h * A .j - 0 l 0

vOj 0 0 l

- M e l -

0 0 /4

0 0 0

-/« 0 0

1 0 o'

0 1 0

0 0 1

■fel-

0 0 - l 4

0 0 0

U o o

0 0 - I ,

0 0 0

/4 0 0

0 0 - / 4

0 0 0

/4 0 0

f c j -

[0]'

w

1 0 0

0 1 0

0 0 1

o o ' - i A

0 0 0

lt 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Cu aceste matrici cunoscuie se determina viteza absoluta a fiec3rei cuple, deci raportata la Oa

scrisS in sistemul propriu al cuplei, adica:

Se cunosc:

s ,=co1.0

r \a>7 .0

= [7’j 5 1+ S2 =

' O '

0

q

o

ov ° ,

( 09a

o

~h


35/135

31

( 3 "\'K o

v ’V VJ . O /

0 0

?2+?30 0

-s ,c ,q-s ,c2qy

0 0- V i h + c & q t

4. 0

( 5> ( 4 \

5.0 — IT 4,0

~ 1 3 . 4 . 4

l V5 .o J I V 4. 0 J

+ 55 =

0 0 0


36/135

32

(a>3°o)- [Au I ^ . o) -

C l Jri ( 5 2 S 3 ~ C 2C 3 ) 5 1( ,?2 C3 + C 2 1'3 )

/ \

B ©

? 2 + ? 3

s l Cl (C2C 3 ~ S 2S i )-c,(.?2c2+c2s3) - q l(s2c3+.i,c1)

0 S 2 C ) + C 2S 3 CjCj 2̂̂ 3 ( C 2 C 3 “ V ) )

V /

C l ^ ? 2 +


37/135

?3 + ̂ 4 J -" JIC4Ql(?29i ~C2C) \ S2CJ +9iC2)+S\S*C*?t(5253~~C2Cj)

- » , * , C * ? , ( j , C j + J , C j ) J + s , s i q , ( c i s ) + S , C , X * 1* , ~ C 1C , ) - S , S i C 4 C f,(c 2s , + s 2c , y +

+ S ,c^ ’ ,(c2j , +J 2C ,X c jC , - V i ) + v ; ? , ( ¥ j -C jCjX^Cj + * jc ,) + i154c4?1(cj c,

* l f ? J + ? J + ? * j - C.C 4J 9 l ( C2CJ - J 2J 3 X S2C3 + V l ) - W « 9 l ( C 2 C 3 ~ ’ l ^ Y +

+ C ,C 4 J 4 ? | ( c 2 S J + J J C 3 ) 2 ” C'1 5 * 9 l ( C 2 *3 + * 2 CjX * 2 ® 3 ~ C 2C j ) + C 1S < 9 | ( C 2C 3 ~ S t S l \ S 2S 3 + S 3C l )

- C , C 4S 4 ? , ( c 2c 3 - J 2i j ) 2 + C , C 4J 4 9 i ( C 2S 3 + i 2C 3 ) 2 ~ C \Cl ? l ( e 2 * J + S 2C) f C1.C3 - ‘ 2* 3 )

- C 4 ? i ( r 2C j + C J J , ) 1 + s 4c 4

0 • 0 = 0

1 ,0; ,0,

(V2,0 ) = I A .2 ] ' ( v n o ) -

-SlCj S\S2 'O' 'o '

c,c2 ~c{s2 0 = 0

s2 C2 . 1°; A

C 1 - s {c2c} + sxs2s, ^ 1^ 2^3 ^1^2^3

) ~ [ A ) . 3 ] ' ( V 3 , o ) ~ Si C ,C 2C j - c t s 2s 3 — CiC2S3 — C j5 2C j =

0 S2C3 + C 2i j “ * 2̂*̂ 3 ^"^”2^3

• • * * 2 — l1CxCi q x + I2SlS3C2C3


38/135

k o ) = M k o ) =

C, S ,C 4 (.S2 5 3 - C 2C 3 ) + 5 | 5 4 ( c 2 'S3 + s j c j ) ^ |C 4 (c 2J 3 + J 2 C j ) - 5 , i 4 ( j 2 *3 ” c j c j )

s,c ,c 4( c 2c 3 - 52 .93) - c , 5 j ( c 2 j , + s 3c 3) - c , s 4(c 2c 3 - 5 jS 3) - C , C 4(C2S3 + S2C3)

0 c4(s2c3+ c 2s3) - 5 4(s2.v3 - c 2c ,) - i 4(ijC3+c2s3) - c 4(s2s3 -CjCj)

/, J4

3̂C4

(/3S2S3 ^2C2C) 2̂̂ 2)91

f . A

ll - S4C3)?2 + ?3

f \• •


39/135

) - M k o =)

C | /4 i 4 9 | ( ? 2 C j + S 3 C 2 ) ~ ClCtK 0 l ( C 2C 3 “ •S2'S3 ) + Cl 0 1 ( ^ 2 ^ 3 ~ h C 2 C 3 ~^2Cl) ~ S]Ci S*h '

•(s jSj -CjC 3^ , + 92 j - i , C 4/j 9 j ( j2S3 -C 2C3X'SjC4 - S 4C -,)- /25i54(c253 + S2C)^ q 2+ 03 j ~

- l 1sys4 q 2(C 2S 3 + S 2 ClX S 3Ct ~ S4C3 )+ ^4SiC*(C2S3 + S2C3^ 0 2 + 03 + 04 j + I 3W 4 ( C253 + V s )

^0 2+ 03 j + 02 (C2S3 + * 2 C3XC4C4 ~ h St) ~ S\S*l*(S2S) “ C2C3^02 + 03 + 04 j ~ h SlS*C*

(?2S3 ~ ('2Cl )^02 + 03 j~ S\S^2 02 ~ Ci Ci i f 3 Ct ~ S3Si )

s xl i s l q l {s2c1 + s3c2) - s xl4c 4 9 ,(c 2c3 - M 3) + ci 9 , ( /3s2s3 ~ h c 2c 3 - / 2c2) - / 2c,c 4 j 4/2 •

•(c2c3 - ^ 3 ^ 0 2 + 03 j ~ ClC4/2 02(C2C3 “ 54C3) + l 2ClSl (C 2S) + *2C3 ̂ 0 2 + 03 j +

C2C3 S2C:+ / 2C,J4 q2(c2s , + s2c} \ s , c 4 - s 4c3) - c ls 4l4 (c 2c3 - s2s3^ q 2 + 0 3 + 0 4 j - /3c,c 4 s4 (.

(0 2 + 03 j - Z2C1S4 02 (C2C3 - S2S3X C34C4 “ S3S a ) ~ C\C*1* (C2S3 + *2C3^ 0 2 + 03 + 04 ] ~ C\l 3 C4 '

(c2s, + i 2c3^ 02+ 03 j - c , c 4/2 q2(c2s3 + s 2c3X c 3c4 - J j i . )

- l 2c4s4 (s2c , + c2s} ^ q 2+ q3^ - l 2c4 q 2( s2c3 + c2s3\ s 3c4 ~ c2c3 ^ 0 2 + 03 j +

+ / 254 9 2(y2s3 - c 2c3X s 3c4 - s 4c3) + / 2s 4J (s 2«3' - c 2c3^ 2+


40/135

36

Simularea variatiei de viteza in funcfie de diversele profile impuseAnaliza variafiei vitezei absolute a punctului caracteristic se efectueazS cu ajutorul unui

program reaiizat sub nucleul LabVIEW al cSrui panou pentru introducerea datelor de intrare este

prezentat in fig. 3.2.2.Simularea cuprinde variajia vitezei unghiulare absolute fi a vitezei liniare absolute ale

punctului caracteristic (fig. 3.2.3) funcjie de timp, cSnd mifcarile sunt simultane (fig. 3.2.4.), succesive

(fig. 3.2.5. fi fig. 3.2.6.), sau succesive fi simultane (fig. 3.2.7 fi fig. 3.2.8). Mifcarile simultane ?isuccesive sunt prezentate in fig. 3.2.9 fi fig. 3.2.10, iar mifcarea simultana de durata diferM in fig.

3.2.11 fifig. 3.2.12.Analizind comparativ aceste cazuri se pot remarca urmatoarele:

- mifcarea simultana pe cele patru axe (fig. 3.2.4) determina o variafie cvasisinusoidala a vitezei

unghiulare intre 78 grd/sec fi 90 grd/sec fi o scSdere a vitezei tangentiale cvasiliniara de ta 500

mm/sec la 300 mm/sec.- mifcarea succesiva (fig. 3.2.7) determina o variajie in trepte a vitezei unghiulare intre 80 grade/sec

f i 25 grade/sec f i o variajie in trepte a vitezei tangenf iale intre 0 fi 6 s, respectiv o variablecvasisinusoidala intre 7 fi 12 secunde.

- mifcarea succesiva fi simultana (fig. 3.2.9) determina o variafie cvasisinusoidala a vitezeiunghiulare absolute intre 90 grade/sec §i 78 grade/sec, cu un salt semnificativ la t=3 sec de la 50 de

grade/sec la 5 grade/sec, respectiv o sc&dere cvasiliniara a vitezei tangentiale de la 920 mm/sec la

100 mm/sec.

- mifcarea simultana fi succesiva (fig. 3.2.11) determina o variajie in trepte a vitezei unghiulare

absolute intre 82 grade/sec fi 25 grade/sec, o variafie in trepte a vitezei liniare absolute intre 0-6

sec fi o variajie cvasisinusoidala intre 6 fi 12 sec.

- mifcarea simultana de durata fi viteze diferite detennina o scadere a vitezei unghiulare absolute

nitre 1 - 3 sec fi o creftere intre 3 fi 4 sec, respectiv o varia(ie sinusoidala pe perioade in care semenfin mifcarile gradelor 1 fi 2 .

AP ASA T VIR TUA L F t HTR U AN AL IZA DE VIT EZA ,F t N I f i U 0 S T RU C TU R A0E T I P R R R f if l

rt f 131 n i;

: i . ° o j : * » ‘ J | a o o ‘ " *

»2- Ia2, a >

I : . * ' ■■ ? 8 ® _ i ! .■ ' f i

«3; Je3 133 - ' • f p

r l - 0 0 . . i *■2.90 * : 3 X 0 ~

14 ia4J . . 134; «4;

r » ' 9 r ? ■ 3 E S ' v :S -0 0 ._ J • ' . / •

S l m i V

: i s s

Qlmrn]

- ; 3 1 C D : : g j f a f r - j

11firwj!/; ■ r ?co "

: ■ 0 400o!o 200.0 300.00XI 200.0 OT .OO i t t*U> 200.0.

i® r z i'. . ■' 'gE sn. .. .. 4 —j, .:ri - ....... ~ r ‘

. - « * # M . 2000 ’ -i»! o .0.0 ' . -ino.o ojj lok o- im o oil ioojo

Fig. 3.2.2.


41/135

Fig.3.2.3.


42/135

T

X M

Fig. 3.2.7

g£r$a

f> W i r t -

•■vr.vvri

2.(fl 4.00 6.00 8.00 10.0012.0014.®

fxol*J vtwcl* kWiv*qq1.qo2.qq3.Qq4

_ JuncSe da tmp _

Fig. 3.2.6

100.00

60.00-

-40.00-

Fig 3 2 8


43/135

BCSSfe

1I t - . w*¥Vf . -..' • • • * ; .i J

iiliiBWH§nnfti, , ; T 7 . T T 7 r , 'T . . ' i

ji«ii -*■— 1•,~nCL•*— 1 — - r —lil‘ j _c«9rmmic hncrtr tte tirm ___ J Plot0

variaba Wezn I m ie absolute a punchjlul Jr.aradwishc lunette de limpi _ Pk.tO

eoo.o-

600.0

500.0-

400.0-

-2D.OO

inr»:t|5r:r

■40.00: |

r n -in _ it a H ife ti..............................................................1 ' 4 M

a36‘ 3,00 4 00 5.CQ 6.00 ,6.8?

Fig. 3.2.10

vxiatis vjteni u n s / n i m absdui* a p i r e h A icaiactetttic functip de frnp PtetO

KS.D

Fig.3.2.11

Fig. 3.2.9

proM ste elo r ta la t'«


44/135

4(1

vi**eto*idativ*q Q l . q q Z Q q 3 . q q *

functie de ir i > ___ j

Fig 3.2.12.

fn concluzie se remarcS faptul cS varia{ia optima este a mi$c&rii simultane cu aceeaji perioadJ

de timp, variable sunt mici comparativ cu celelalte cazuri, iar timpul total de ciclu este egal cu timpu.de ciclu al fiecarei mijcari. De asemenea, o variafie convenabila de viteza se obfine $i pentru cazu.

mi§carii simultane de viteze §i durate diferite.

3.3. Analiza de accelerafii

3.3.1. Modelarea matematici in analiza de accelerafii

Pentru determinarea relatiei de recurenja utilizata in analiza cinematica de accelerajii este

necesara determinarea relatiei vectorului dual de acceleratie relativa S"(i).

In acest scop scriem relajia intre viteza absoluta $i relativa la nivelul unui corp i:

K o = K i - \ +K o xF(f) (3.3.1)

Dupa aplicarea derivatei vectorului viteza $i {inand cont de relajia existenta intre derivata ivector fata de un sistem cartezian fix $i fa(& de un sistem cartezian mobil, se obtine:

d v d v ( dr — = — + w,_, x viy_, + x r] + x l— + ©/_, xr( i (3.3.2)

(3.3.3)

iar dupa inlocuirea vectorului absolut de acceleratie:

Ko = * ® (0

?i reducerea termenilor asemenea se obtine.

K o = v " ( ' )+ *(' )* r'j + (e7/_lj0 x


45/135

41

£ j , t - l

unde expresia:

= y -

S " ( i) =

4 ) + N - l Io ]® ( 0 l /A

• ' ' ( 0 + [ t j - r( i )+ 2 ■f c j . v (i)

* ( 0 + [ » i- i. o] -® ( 0

/ ( 0 + N - J •K 0 + 2 ■f c j KO.

(3.3.6)

(3.3.7)

reprezinta vectorul dual de accelerate relative a corpului i de precedentul.

Relafiile de recurenja, pentru cszul analizei de accelerafii, ale lanfurilor cinematice inchise, cuunui sau mai multe cicluri, sunt identice cu cele din cadrul analizei cinematice de viteze, cu deosebirea

utilizarii vectorilor duali de accelerate relativa, determinat anterior.Re la ta de recurenja pentru determinarea accelerafiilor poate fi exprimata astfel:

= ]•[... [[r2il].5” (l)+5''(2)]+...+y'( f-l)]+5»(,) (3.3.8)

Pentru studiul comportarii dinamice a structurilor articulate deschise fi inchise se utilizeaza

accelerafiile fi vitezele Iiniare fi unghiulare absolute, exprimate fafS de sistemul de referinfa consideratfix.

In acest scop, toate vitezele fi accelera{iile determinate in cadrul analizei cinematice vor trebui

reduse la sistemul de referinjS fix. Se vor utiiiza reiafii de forma:

ta(°,o j = k i k o i

f e o ] - M k o ](3.3.9)

unde:

- este matricea generaia de transfer a vectorilor din sistemulcartezian i in sistemul cartezian fix, 0 .

Aceste matrici au fost deja determinate de analiza de pozifie fi reprezinta matricele generate detransfer al unui vector dintr-un sistem cartezian in altul.

3.3.2. Aplicafie in analiza de accelerafii Modelu! matemafie

Vectorul dual de accelerate relativa liniara fi unghiulara, al unei cuple in raport cu ceasnterioara are forma:

+[» «.# ]'®i ^

S ( ‘ ) ~

y a t + f ’rt + 2[®/-l,0 ]■Vj y

Acceleratile absolute ale cuplelor scrise in sistemul propriu de referin{a sunt:

(3.3.10)

r 0 '

0

( 1 ^*•

* o••

= 5 , =


46/135

12

* 2,0

= K . l -

i V >fcl,0 ••

, a i «( e l y *3,0

- h i ] '

( V* 2.0

+ S 3

\ '0 ^

f s 4 'I*4.0 3,0—

+ s t

/ j ^ ^ 4 A5,0 ^ 4 , 0

= [7*3,4]- . . .5 4

, a 4 ,0 ,

Pentru o structure de tip 5R se obtin urniatoarele expresii.Astfel, pentru i = 1 se objine:

4 ) =

0 '

) = - [ S o j - ^ i .o = 0

r

' O 'r . i

0

= 0•• ; E»i .o]=

U >0

'i ~ L i.o j Vi

s, 0

c, 0

0 0 I

r°> 'o '

01 !

0

,oJ ,0,

k 00

0 0

0

0 0

(3.3.12)

(3.3.13)

(3.3.14)

(3.3.15)

(3.3.16)

(3.3.17)

(3.3.18)

(3.3.19)


47/135

Pentru i = 2 se objine:

® |20 = [ A . 2](®'.o) =

5 ,=

'1 0 O' r 0 ' r 0 N•

0 c2 *2 0 = •*2


48/135

eh =

f

*2

0

0

=>s,

Pentra i = 3 se otyine:

•fi • •

• •

~ si 9i 92

0

0

0

(

< 2 + K « J< a3,J

[«4a + fe l» r + 2[®2,o] v:

«2.0 = K 2] - ( < o) =

?2• •

—s2c, qt + s3c2 qt • •

J 2 J 3


49/135

45

k « N »

AasamblSnd datele obfinute rezulta

/ 2 c 3 9 i j c i ~ j j c j ) ^2J j 9 i * 7 2 + c ac j )

• * */jCj + c2c j - l & q l + / 2J3 9,J ( j j j , + C jC jX ^ C j - •s]c 2)

, • •

- J jC jX vj +c 2cj) + /2439i2(s2cj ~ h cJ + llSrfl

S,=

?3

^2 ( S3*'2 ~ S2C} ' ) ~ h S i 9l


50/135

46

0).

/ . \

?4

0

0\ /

1 0 o ' ' 0 '

0 cA st • h = /)C4

0 - s 4 c4 LoJ ~hs*,

(3.3.40)

+q,c,(eic, -

-j?> *4Cv»

-? |C 4(*2c, +J ,Cj)j

(?2+?J|? l*


51/135

47

s,=

94

?! +c 2c3)+ c 4(c2c3-5 jS ,)]

qA g«[c4(s2c, + s3c2)-s


52/135

- j 4 ( j 2c 3 - t - J j c J P - >

f . - i 49,(j2i 3- c 2c3) x- k . ? , ( i 2c3 + j 3c J - J

J* 4 ? 2+?3 + ?4-s*

, - j"c«91(CJC3~ S 2S3 )—

C491(C2C3~ J2S3) ~

-*«(Vj+*|CJ)j?i+9J+9«

- j 9 2 + 9 3 + 94 9, (*2c 5 + s3c2 ) -

" * 4 9 l C S2 'I 3 ~ C 2C 3 )

- J 4(52C3+S3C2)f -

~^92+ 93 + 94 J

C4?1(52c ,+J 3c2)-

( 2̂ + 93 + 94 JU49. (c2c3-JjJj)- (c2c, - S2SJ) -

— s4 {sjCy + j3c2)] - st qx(s2i 3 —c2c3)

( ^ , + S jCj)

-*4 9. (*2*3 C2C3)

C49i (V j + ^c2) -

- J 4 9 l ( -s243 ~ C2C3 )

~^92 + 93+ 94 j

(3.3.50)

r," =

“ /«

“ /«

c49i(sjc3+ s3c2) - j 491(.y2i 3- c 2c3) I92 + 93+ 94

c 4 9 i f c 2 c 3 - ^ * 3) - * 4(̂ 3+ 5 3c : ) f - / 4 ^ 2 + 9 3 + 9 4 ]

4̂C4 9l (52C3+ S3CjXC2C3 V s ) l*S4 4\ (,S1S3 C1C3XS2C3+ *3C2)

(3.3.51)

Ansambland matricile se objine:

S5 =-^ 4^4 ql(s2ci +sic2) - s Aql(s1si - c 2c3) ^r2+$3+?4)

- 1*[c49i ( 2̂C3- W s ) - * , (s2c} + s3c2) f - l ^ q 2+q3+qt j

• •

^~UC*9l ($2CJ + f 3C2XC2C3~ S2S3> )~ h SA9l (S2S3~ C2C3X®2


53/135

49

s 5 =

0

0

0

- l*1i(c4E -SiD '{qi +q3+qt 'j

i j ^ - q . c . D - q . s ^ E j ~ l, [q 2+q 3 + qt

141\ M e* ~ s*)

(3.3.53)

Se noteazi:

^ r 2 + ?,+ 9 4j = G

I ?2 + ? J + ?4 \ = Q Q

Accelerafiile absolute ale cuplelor scrise in sistemul propriu de referinta sunt:

'O '

0

0

0Ilo j

= S ,= (3.3.54)

(£i \ 2,0

A s

= U - s ,+ s 2 -


54/135

J 3 ^ ? i ? 2 C i ~ Q \ S 2 J + «l (*l C2 " 9 i 9 j

3̂1?! 92 *2~?l C2

~^1 ?2 J J• •

^2 ?2 C3

+ 5 , =

92 +


55/135

51

/ V ^5 ,0

(£4 "l 4 .0

. . . = [ ^ ] - . . .

O t A\ 3*U>

+s5=

? J + ? 3 + ? 4

9 i 1 i ( c a a + s 4 B ) + { 1 i 9 3 (c 4 ^ “ -s 4 f i ) + < ? i q * ( s * E - c t D ) + t l i ( s * D + C i E )

q, s4/)

- / 4^154̂ 9 2 + 9 3j - / 4?l £>+/29, c4B ^ 2- 9 3j - / 49,(c4Z)+s4£)+ /49, 94(c4£ + s3D)+

/, q, q, B + l3qt D + Ijq, ̂ v2g2- ? 35 j - /2c2q - l 2q{q2{c,B + s ,^ ) - /, g, £ ^ 2+ ?3 j -

- l4qt{c4E - s 4D)Q

/ , ( s ,B-c 3AX c 4A - s4B )-/ ,s4^q2+ ?3 j •-/3? 22 G - /2 ?2 W+ /, ?,J Z > M -c 4D )-

-^4^02-03j - 1>Q2

/4[?2 + ?3+94 j +/a'?lJ(J3B“ C3 X̂'S4 ^ - C4fi) +/3C4^2+93 j + /292 X "Al 92 L +

+ /3qf D{ c 4E + j 4D)+/4 q; EE)(c4 - s42)(3.3.58)

S-au determinat accelerajiile absolute ale cuplelor §i ale punctului caracteristi: unghiulare §i

j_:are, scrise fiecare in raport cu sistemul propriu de coordonate.Se vor scrie in continuare in raport cu sistemul de baza (zero) utilizand formulele:

4 ) = K ]•(


56/135

5;

*,/! + CyB = M

s}B ~c,A = JV


57/135

51

ej,1 ,1 , B+cj,1 ,D +e,l , « i *j-/,c,e,Xifli f Vi 9. £(9>" '* j ’

♦ ♦«.)-'»«? I,* 0 -1 ,1,i,*H + /,*’ «,"TO -/.f.J.H'fif' ' «,) -

A’Or -/.i.e.A^,"+ *,]-. ,/ ,* } AX -*,/,*/

•A fif i *A*i 0 + *A?î *» *t”4i9 i* V>* It ' -f^

- h q \ Q T W - / ,e 4^ “ + «>)» ' - / , « ) ^ ■"»

c, s ,>r - J ,AT

i, -c ,JF c,A-

0 - X -W


58/135

r * / * • \ • f * * \ ** * * * * ** A- C,/,


59/135

55

cx

,0 - eA,0 (3.3.70)

Determinarea accelerafiilor relative ale centrelor de mas&

Vectorul dual al accelera{iilor relative ale centrelor de mas& se calculeazS cu relafia:

f (0)(3.3.71)Sg, -

’1-1 j -'gij

' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' 'o'

0 rl m 0,l/2 r3 =ft 03/3 rl = 0,l/4 r*,= (3.3.72)

A^i, , 0 J , 0 ) , 0 . APentru«' = 1

k » r ■

-qf 0 0•

0 -q f 00 0 0

(3.3.73)

0 0

q\ 0' 0 ' 'O'

0 = 0

0.2/,, a

i ^*1 ~

Pentru / = 2:

(3.3.74)


60/135

56

N o F

• •

-CjV - W 0 0 0 0

0 -c( 9,2

•

K 0

•-2 2

-C2^i

•

*1*14?•0 ijCjfl,2 -*? «? 0

•*2C2??

•

•*1 ft

- O.UjC*g*

o,y1s2c1 jO.MjcJ J - £ 2| = A

(3.3.75)

(3.3.76)

ft

(3.3.77)

(3.3.78)

(3.3.79)

(3.3.80)

Pentru i ~ 5:


61/135


62/135

5*

' 2 'I

■LI-( J \ *2.0

...

0j• • ••

01 02 C2 - 01 S2• • • *

01 C2 ~ 01 02 S2

{ • • •• '0,1/2I 010J j 2 - 0 , C,

- 0 , l / 2c ’ q \

0 ,1/, 02+ *2*2

( V >*3 .0

I

I

/ * ----------------------

0n y

• •

_3

, > °3.0

+ 5..

qxA% -qxE

~ {q xBp + qxD^

0,3/j^i Bp + qxZ>j + /39l q2(s2 - M ) - l 2c2 qx- 0 , 3 / , q2 B

l2 qx AN — l2c2 q2—12q2 s3 — 0,3l3̂ q x A s + q2 j

0,3l3


63/135

■ 1 0 0 0 0 o'0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 O1 1 0 0

0 0 0 0 1 0

o.u4 0 0 0 0 1

QQ• • • • • • ••

9i


64/135

60

QQ

0A

+ CQ

+ n

QQ + qlE D {c \-s\)

( < J = K j (*

+*

‘ A*

V0*M1

J

-*l 0 'o' V*1 C1 0 0 = 00 0 1 0, A

(a* ,J=K 2] ( < 0)=

Cj “ J,C2 5 j ̂2

J! *1C2 “ V20 J2 c2

O.W2̂ l


65/135

61

0.1/4j,^A + * ^ j+ o» , -C j^ n + O.u,?? W - { 2 j+0,U4̂ e e + 9? o j + c , ^

-jr |n+ o,i/4?f»f-^ j- o ,i/ 4»|ee +9 i2£> ~w+

(3.3.96)

c, sJV - sxX

sx -cJV cxX

0 - X - W

/4(< U g - a )

( • A

+ 0)

i* t f s 2- Q 2J+n

hQQ + lt jE D { c l- s ?

l^c j^XQ - A j + c,a? + /4s,FF^2s 1 - Q ^ + s jm - lA Q Q . - ql XED(c\ - s42) - stX

l,s^qtXQ - A j + sxeo - ltctW^q2s2 - g 2j - ctH Tl + ltcxQOX + /4c, q2 XEL)( c 2 a- s , ) + cyX

- l ^ s ' - Q ' y x n - K Q Q W - - iq2WED(c\-s 2) ^

X

t

\ f )

(3.3.97)

Simuiarea variafiei de accelerate in funcfie de diversele profile de vitezS impuse

Studiul variajiei accelerafiei Iiniare ?i unghiulare absolute se efectueaza cu un program in

LabView al cSrui panou de comanda este prezentat in fig. 3.3.1. Acesta cuprinde posibilitatea

introduced! diversek>r tipuri de caracteristici de viteza, precum fi a diferitelor valori pentru hingunile brafelor.

Prin modificarea diverfilor parametri constructivi sau funcfionali se vor putea stabili parametrii

cu influenta preponderenta asupra variafiei accelerate*- Astfel, s-a studiat varia{ia accelerajiei

unghiulare fi Iiniare absolute cand mifcarile sunt succesive fi simultane (fig. 3.3.3), sau numai

simuftane (fig. 3.3.6).in urma studiului caracteristicilor indiciale de accelerate se constata urmatoarele:

mifcarea succesiva fi simultana determina o variafie a accelerafiei Iiniare absolute intre 5500 mm/sec

ji 400 mm/sec2 fi o variable a accelera(iei unghiulare absolute intre 800 grade/sec2 fi 80 grade/sec .

mifcarea simultana determina o variafie a acc


66/135

*" 'sty'M . fr -vA ~th. :& r.w

v f ■ f ^ r ^ r i i

IBS:^ P | k p g p r r r at *

Studiind comparativ caracteristicile, putem concluziona c& optiin este ca mijcarea sfi se Iefectuieze succesiv- simuhan, ad ici fiecare grad de mobilitate sS inceapS mifcarea dupa perioada de |

accelerare a celui precedent, iar apoi mi§carea sS se dcs&$oare siniuhan pe toate gradele de mobilitate.^ ' .......... ’ - - 'T ' - ' / * — .......................... ■

- ’.t"' • .ji»«’vr,nj«Kitm‘»»uaa


67/135

q * ! * * ! !

Jfe ; j . . .K-

tin " ^ 5 * 4 8 53 sda -wfic ' * J 0.8C . I. .&,2f • lAn'iA*;

i y r tf o « c4 n «iM M > f a t a l ~

. . ^ £ - 4 -■....

r « * , H K ' '

. awwu-.O?/- —-jcJ,

' B f ’ *;■.'■■•*?< c j ■7- ■ m m 1

M f t mr : r” r A ? ,

40U.0G:

t e ’RfsW’ij

9 -7 . . . . . , H I . . I , T . .*• j . . i ■v . • . . |1........... •

a oo . ft » w . t j s a . M f l t t m x o x s n 4,m 4.

s s a p i,;; >rfW «*

p n U i v fc ra ta M M ] , ■■ v2 “ I

S iS S S f e : f I0|W*v -.-1- 1-■. 1 ‘ .

' 17S®tS P ^^ ® 8 S 8S 9 H B H

(xtfii ecMiK'«ia,«alMij ^ S>■ U

.. *> 9

t a # « l • - • • • - • "

OTco ggM mn)(R |SM fl

2UC.&>-Baiji: ■; : - . - ,-'a|toaoc Ŝffl

. >m »W ’ . ’a: V VJ

■ m a n g f - r ^ ^• 3 0 0 « - | ^ ;

« 0 J » ;

. 500.M>SOU.®)

I - ' i w S .508.00

100B3-

*200.00-

a m m t v»Tiyy. PfNiPu amauza pc AtmcPATit .PTwt̂ û stm̂ninAf)?Tippw»«n ___

l»®tft’ te»**ongrwW ■NpU£!«*« * onpnr [ij *rpu»‘3*»n r ^ a ^ M *4 ta t


68/135

64

4

ANALIZA COMPORTA RII DINAMICE A STRUCTURILOR

ARTICULATE DESCHISE

4.1. Generalitfitf

Modelul matematic al comportarii dinamice al structurii articulate utilizate in construcfia

manipulatoarelor fi robofilor industrial!, face legStura intre torsorul fortelor fi momentelor care

acfioneaza asupra corpurilor componente fi mifcarea imprimatS acestor corpuri. Modelele

matematice pun in evidenja legatura intre coordonatele robot de ordinul unu, doi fi trei, fi torsorulfdrfS-moment. In final se va putea determina dependenfa analitica a accelerafiilor relative, a vitezelor

relative, funcfie de forfele fi momentele active aplicate in cuple.Modelul dinamic al structurii de manipulare este constituit din ecuafiile de mifcare ale

sistemului mecanic format de corpurile structurii, sub actiunca fortelor exterioare.

Intrarile sistemului dinamic sunt forjele fi momentele motoare, iar iefirile sunt coordonatele fi

vitezele generalizate. Modelul dinamic complet este format din modelul dinamic al structurii de

manipulare fi modelul dinamic al sistemului de acjionare.

Modelul dinamic complet permite:- studiul fi stimularea comportarii manipulatorului;

- studiul comparativ al diverfilor termeni constitutivi in vederea obfinerii unui model

simplificat;- efectuarea sintezei comenzii mifcarii mecanice de manipulare;

- stabilirea torsoralui forta-moment in scopul alegerii corespunzatoare a elementelor deacjionare.

Modelarea matematica a comportarii dinamice se efectueaza Jinand cont de unele ipoteze

simplificatoare dintre care men}ionam:

- rigiditatea corpurilor structurii de manipulare - este introdusa numai prin intermediul unor

indicatori globali cum ar fi frecventa proprie structurala fi frecventa proprie a sistemului de actionare;

- fbrtele de frecare uscate fi vascoase - sunt introduse in mod global prin cuprinderea lor invalorile fortelor rezistente, la nivelul fiecarui mecanism;

- jocurile de marime neglijabila, sunt incluse in precizia de deplasare pe fiecare grad demobilitate;

Pentru structuri mecanice reaie, cu fase sau mai multe grade de mobilitate, modelarea trebuieasistata de calculator, deoarece este laborioasa fi cu posibilitate mare de eroare.

Din punct de vedere teoretic, mecanismele spa{iale active folosite in construct ia robofilor fi

manipulatoarelor sunt structuri cinematice spafiale complete (cu lanturi cinematice deschise sau

inchise), variabile (lanturile cinematice se pot inchide sau deschide pe parcursul mifcarii), cu un numar

mare de corpuri (unele cu lungimi variabile) fi cu grade e mobilitate controlate de sisteme de comanda(analogice sau numerice).

Aceste structuri sunt deserise matematic de sisteme de ecuafii neliniare, algebrice fi diferentiale,multivariabile fi cuplate.

in fiinctie de structura toplogica, mecanismele active se pot clasifica in:- mecanisme simple (formate dintr-un singur lanf cinematic)


69/135

65

tuecanisme complexe (formate dintr-o mulfime de lanjun cinematice),

Lantnrilc cinematice simple pot 0 inchise sau deschise, iar cele complexe pot fi

trboreaeente (formate numai din lanpiri cinematice simple fi deschise) sau combinate (formate din

.ruuri cinematice deschise fi inchise).

Un robot, spre exemplu, care este utilizat la montaj in momentul montarii obiectuhii deramipulat se transforms icitr-un robot cu lanf cinematic inchis, iar toate transla{iile de pozitionare a

:ctectului manipulat au determinat varia|ia elementelor geometrice ale structurii,Variabilitatea structurii mecanice, numarul mare de grade de mobilitate fi actionarea

•dependents a fiecSrui grad de mobilitate sunt caracteristicile principale care deosebesc robo|ii

i« manipulare de mecanismele spafiale clasice.Una din problemele complexe ale roboticii este modelarea matematicS a structurilor mecanice

de manipulare automata. Metodcie de modclare utilizate pe scarS

at se ijazeazS pe formalismele Ncwton-Euler, Lagrange, Hamilton, Gibbs-AppelLMetodele de mode tare care utilizeazS formalismul Newton-Euler folosesc ecuajiile de

ei^care intre corpurile succesive. Aceste metode sunt foarte complexe necesitand fi eliminarea

rrjelor fi momentelor de legSturS intre corpurile componente ale structurii de manipulare, Ele nu puna evidenfS direct valorile algebrice ale forfelor fi momentelor datorate sistemului de acjionare.Modeiul dinamic este obt.nut priB aplicarea iterativS, pe structuri de lanf cinematic deschis,

-eotru fiecare corp, a teoremei momentului cinetic, a teoremei impulsului, tinSnd cont de

legSturi.Din punct de vedere istoric se pot enumera urm&toarele metoda care au la baz& formalismul

Newton-Euler:- H.J. Fletcher, L. Rongved fi E.Y. Yu (1963) au studiat mifcarea unui satelit format din doua

corpuri rigide, sub acjiunea forjelor gravitafionale;- W.W. Hooker fi G. Marquiles (1965) au extins modelarea la structuri cu n+1 corpuri

articulate prin cuple de rotajie fi translate;

- R.E Roberson fi J. Wittenburg au asociat grafuri ia structurile cinematice arborescenteiaalizare. Folosirea teoriei grafarilor a ufurat procesul de analizS a structurilor complexe;

- P.W. Likins a numerotat corpurile componente ale structurii in ordine crescatoare de la baza

corpului condus, a atafat corpurilor repere de coordonate fi a descompus o cupla cinematica cu maimulte grade de mobilitate in cuple simple cu un grad de mobilitate. perfecJionSrile aduse metodelor

piecedente au permis simplificarea ecuajiilor de mifcare fi exprimarea lor sub forma matricealS;

- J. Wittenburg a generalizat metoda precedents pentru structuri arborescente in care cuplele

re rotajie fi cele de translate pot avea pan& la trei grade de mobilitate;- F. W. Ossemberg (1973) a aplicat metoda lui P. W. Likins fi pentru structuri mecanice cu

tanturi cinemat ice inchise;- M. Vukobratovie (1982) a prezectai o metoda de generare automats a ecuajiilor de mifcare,

implementabiia pe calculator;

Metodele de modelare bazate pe formalismul Lagrange permit generarsa ecuafiilor de

c ig a rs in funcfie de mSrimile de comandS apiicate sistemelor de actionare.

Ecuafiile Lagange de spefa a Il-a utilizate au formula:

d

dt

( dL ' dL

dqt

unde:L - difarcnia intre energia cinetkS totals a mecanismului fi energia potentials, in ipoteza

mifcarii simultane;W - iucrui mecanic virtual ai stmctuiii de manipulare in ipoteza mifcSrii simultane;


70/135

66

q, - coorrfon«to gKMmCMlS de po»}ie; qi - coordonati generat)2K i tie vi*e?.ft Qi - torsorul foita-momem;

4.2.Teork gnfu rilor 9! d e te m te tr a i n»»tricll«r de incident9 ** tnuwfcr

GriAi! Maciat unei stnicturi articulate reprezinta schema bloc de leg&turi cu sens bine precizat,care caractetizeazS o anumita structurS de manipulare In cadrul unui graf corpurile sunt reprezentate

prin cssrcuri si cupleie prin laturi. Sensul de generare al grafului se stabi!e§te prin convenfie - de la

element c&trc culisd $i de la element cStre cupla de rotatie.


71/135

67

Schema cinematics structurala a robotului de tip pistol este prezentata in fig.4.2.Pe baza convenfiei Scute, graful asociat structurii de mai sus va fi :

Fig.4.3.Matriciie de incidenfa si transfer elimina inconvenientui metodelor care utilizeazS modelul

Newton-Euler fi anume asigura introducerea semnului cu care forfele fi momentele din legatun ar fi

fbst inscrise pe corpurile incidente. Matriciie de incidents de tip corpuri-cuple se vor nota cu (G) si

matriciie de tip cuple-corpuri cu (Z).

Determinarea matricii de incidents lie tip corpuri-cuple presupune ca mai intii sa se

determine pe ba z& tabelara legaturile dintre diversele corpuri cu respectarea conventiei f&cute, pentrugenerarea grafului asociat stmcturii de manipulare.

Tabelul se determine pe baza grafului asociat structurii. Pentru exemplificare se va lua structure

de tip pistol TRTR (fig.4.1, fig.4.2) fi graful asociat acestei structuri fig.4.3.

Tabelul asociat structurii va fi de forma :

cuple----------- 12 3 4

corpul ik- 0 1 2 3

corpul ik+ 12 3 4Corpul 0 reprezinta batiul structurii de manipulare sau corpul considerat f ix

Elementele Gi.k ale matricii de incidents corpuri-cuple cuprind elementele:

-1 daca latura k iese din nodul i ;

+1 daca latura k intra in nodul i ;0 daca latura k nu este legata de nodul i ;

(iaturile reprezinta in cadrul grafului, cuplele, iar nodurile corpurile).Pe baza definitiei elementelor matricii si {inind cont de tabelul ce exprima modul de legatora al

corpurilor din cadrul structurii de manipulare, se ob{inematricea corpuri-cuple a structurii de manipulare a robotului de tip pistol:

|G1 =

in caz general matricea de tip jFjcuprinde

- 1 0 0 0

1 -1 0 0

0 1 -1 0

0 0 1 -1

0 0 0 1

determina contururile

1 - 1 0 0

0 1 - 1 0

0 0 1 -1

0 0 0 1


72/135

fvK

inG ?

C®

unde: -G l- este partitia de matrice corespunzatoare batiului si cuprinde o linie $i n coloane, unde n rcprczintft numSral corpurilor mobile ale structurii de manipulare ;

-G) •- este parti(ia de malrice corespunzJltoare batiului si cuprinde cupleie care forraeazft

contururiie inchise ale structurii - partitia de matrice cuprinde o linie ?i n-k ==c coloane, unde k

este numarul total de cuple. iar c este nuniftrul de cuple sectionate in vederea obfinerii arborelui grafuiui;

-G- este partifia de matrice care cuprinde n linii si n coloane core spun zatoare corpurilor mobile

ate structurii de manipulare;

-G*- este partifia de matrice care cuprinde n linii si c coloane corespunzStoare cek>r n corpuri mobile si c cuple sec{ionate;

Determinarca elementelur matricii de incident a de tip cuple-corpuri se realizeazS prin

parcurgerea grafului asocial structurii analizate, de la corpui i cfitre bstiu.Pentru structura de tip pistol matricea de incidents cuple-corpuri va avea expresia:

Z =

Condifia de verificare a corectei determinari a acestor matrici este:

|G|-|Z| = - Munde : matricea U este matricea imitate .

43. Anaiiza de forfe prin metoda torsoruh ii PQ

4.3.1, Modelarea matematicS in analfca de forfe

Presupunem existenfa unui sistem articulat cu n corpuri mobile §i k cuple, unde k >u, deci cu c cicluri.

in vederea objinerii arborelui grafului asocial structurii de manipulare, se procedeaza b

seejionarea a c cuple. NotJm cupleie secjionate cu k*.Corpui / este cuplat de restul structurii articulate pria intermediul cuplelor, ki, kj, kj*, conform

porfiunii de graf din fig. 7.4.

-1 - 1 - 1 - 1

0 - 1 ~1 - 1

0 0 - J - 1

0 0 0 - 1

Iti* /

Fig. 4.3.1.

unde:

ki - este latura care intrS in nod;k 2 - este k tura can.' iese din nod;


73/135

69

k|* - este latura sectionals fa scopul obfinerii arborelui grafului.Presupunfind c& pc corpul i acfioneazA urmStoarele forte ?i reac{iuni fig. 4.3.2.

- rgi - vectorul de pozitfe al centului de greutate pe corpul i;

- gi - pozitia centrului de greutate pe corpul /;

- Nki - reacjiunea din cupla k\\- Mkj - momentul din cupla k\\- Nk 2 - reacjiunea negativS din cupla fe (conform sensului din graf);

- MK 2 - momentul negativ din cupla fe;- Nki* - reac;iunea din cupla secJionatS A:i*;

- Mki * - momentul din cupla secJionatS k\*\- bki - vectorul brafuiui reacfiunii din cupla k \;

- bkj - vectorul brajului reacjiunii din cupla kr,

• b ki* - vectorul bratului reac{iunii din cupla k\*\3 - vectorul tbrjelor rezistente in centrul de greutate al corpului i;

- vectorul momentelor rezistente aplicate in centrul de greutate al corpului i;

Scriind surna reactiunilor la nivelul corpului i obtinem:

Se observa cS semnele reactiunii au fost eliminate prin introducerea elementelor matricei de

incidents corpuri-cuple, relajia anterioarS putand fi rescrisS, dacS grupSm cuplele nesecfionate de cele

sectionate, sub forma:

DacS generalizSm relafia precedents la nivelul fatregii structuri de manipulare cu n corpuri

mobile, obfinem reiafia matricial-vectorialS de forma:

Dupi inmultirea matricei de incidents corpuri-cuple cu matricea coloanS a reactiunilor obtinem:

Fig. 4.3.2.

unde:

(4.3.1)

(4.3.2)

(4.3.3)

(4.3.4)

(4.3.5)


74/135

70

Daci uunultim la st&nga intr-un membru 91 in cel&lah cu matricea de incident cuple-corpuri se

obfine:

[ 2 ] [ " J l r V l = [ Z] M + [ 4 ^ 1 ^ 1 + { 2 ] [ G * . ] | ^ . | (4.3.6)

Jinlnd cont de produsul dintre matriceiie de incidents corpuri-cuple ?i cuple-corpuri. operandno tafia [z](G,.J«(»fj ?i grup&nd termenii, se obfine:

R l - W M - W - K F M W (43.7)

retafia matric iai- vectoriala care exprima echilibrul forfelor la nivelul structurii de manipulare.

NotAnd cu

[p]= \z\ | f ] - [waj-|r"g I, reiafia precedents devine:

P V * ] = M + K [ ^ * 1 (4.3.8)

Rek>(ia:

rePrezinta expresia matricial-vectoriala a forfelor active pentru n

corpuri mobile.

DupS inlocuiri, reiafiile pentru determinarea reacjiunilor din cuple §i a forjelor active devin:

f a L = [ ^ + k L c f o * I (4.3.9)

H =14.,. H - W m K I (4.3.10)

Matricea maselor are expresia:

to, 0 ... 0M ... (4.3.11)

0 m2 ... 00 0 ... 0

0

0

...mn

Matricea forjelor rezistente aplicate in central de greutate al fiecSrul corp se definefte astfel:

F°

M -F,°

Fn°

unde: f r ] - sunt forjele rezistente reduse fefS de sistemul cartezian considerat Fix.

Matricea acceterat»k>r absolute ale centrelor de greutate va fi definita de relatia:

>

F K i

ll*

*1Tt O*1

S .

(4.3.12)

Expresiile seal are ale relajiilor matriceal-vectoriale ale reac}iunilor §i fortelor active, pentru mi§carea fn plan §i migcarea in spa{iu, se exprima astfel:

K L - P ’L + K k j . - ^ L

K - f e U l 4 - k U K L

H . - |z . L j . ■ f c L - k . l . j . K , L


75/135


76/135

72

Matnc a

(Z.] =

- 1 0 0 - 1 0 0 - 1 0 0 - 1 0 0

0 - ! 0 0 - ! 0 0 - I 0 0 - 1 0

0 0 0 0 - ! 0 0 -1 0 0 -1

0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0

0 0 c 0 - 1 0 0 -1 0 0 - t 0

0 0 0 0 0 - ! 0 0 - 1 0 0 -1

0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 - 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 - 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1

for|elor rezuhsmte aplicate in centrele de greutate al fiecSrui corp este:f f o ’ L '

( f ) =

0.1

Po,2

D,

A

0.3

(0,4

f 0 ' 0 A ' 0 \

f 0 \

f i ' “ 0 t i - 0 F i - 0 * i - \ 0

r mig. l - m*gj

cl

I J ? *

o(

0 f

0 '

k . l - f o 1) = S, c, 0 0 = 0

0 0 1 \ g,

*1 - jr,Cj s,*2 ‘r 0 / - s ls1m2g')

k J - t e ) •V. c,c2 ~ ClSl 0 = c,s2m2g

L° *1 . K -mig

(4.3.20)

(4.3.21)

(4.3.22)

(4.3.23)

(4.3.24)

(4.3.25)

(4.3.26)


77/135

73

( f )=

f 0 ' ''O'

0 0

-»1 g 0-s ,s 2m2g a

SjC.Wjg *1.0 £

r

- i , £ m , g I “ J


78/135

7-)

Simula rta variafiei de forfe in funcfie de diversele profile dc vitezil impuseAnaliza varia(iei fortelor din cuple se efectucazii sub nucleul Lab View al cSrui panou de

comanda este pre/.entat in fig. 4.3.3.Simularea cuprinde trasarea asistatfi a caracteristicilor ijndiciale ale fortelor din cuple (fig.4.3.5), pentru mi$carea simuItanS, cu o perturba(ie cvasiperiodicS dc 2%, ?i succesiv - simultana (fig.4.3.8) cu o perturbatie de 2 %, caracteristicile de viteza fund diferite pentru fiecare grad de mobilitate.

Astffel, se constata o variatie mai lenta a fortelor atunci cand mijcarea este simultana, iar gradele3 ?i 4 au mi?c5ri in sensuri contrare, in raport cu gradul 1 ?i 2, §i se deruleazfi cu viteze mai mari.

Fig. 4.3.3.


79/135

3 S 8 8 $ * 8 6 £ 3 *iabcefe ia tia dm cupte l |

.; acctSttetit drr curia 2

•.' .' swefeK#tfcoWa3.• ‘^ofcfafrwiu!

, . : f t

^&&as&wtorl'ab v': S»w

8MaoJ P ^ s f N j ll t

■40000W ^ ' ^ ' r &

i k m j f .2oo.oo4i> ■ ^ -•••3a).a>i|,7i. ■■; ---'C-■4001»-®i|Fi5-IKS' -

ODD • 1,0Q 2:00

Fbta tSri cvdaTFoite (fry curia /!

F o f ta t a c i ^ 3

F«teiSr»et®IMi*tasy*sys*i*Hi;. MjB:nHO»ra

s p ^ u r^ ^ e i fSn euotal |

-afia&i&0*&&efefrrijpfe 2sjwiiy uho teia r e?e cl^ b 4 !

• « .a 3 - f! |

. ^ i l i gr-2f.noife.--

0:C0%®M•SMOijpp

v ■re:oo-:il|1■tflowliaS

/•̂ 2643d||g||{ •mooilfK

, •IJS.OO-Jl.ii

' 3MB

s

'■■ 1®1fetetstia»y

^ ^ 1 | | | | | I\7. •wxe-:E;?KS|Tj>S t iM i

'1 8̂?!!̂ 'PMi'HHhtrtR

aj» lin i.oc IssM̂UMhj


80/135

76

4.4.1.Determitt»rea relates mat riceale a momentelor active din cuple

Pe baza fig. 4.3.2. se scrie teorerna conservflrii momentului cinetic la nivetul corpuhri i. Aastfel

se obfine:

K ', = H i+ M kx - M kj + M * . +bki ■N kf - b kj -N kj +bk. f •# * . (4.4.1), +Gk] ■M*| +Gki -Mkj +Gk.t Mk% +Gki bkt -N k] + Gtj -bki -Nk) +Gk.t •**. -JV*.

Dec5 se grupeazS termenii care conjin cuple secfionate, separat de cele nesecfiottate, in vederaobfinerii arborelui grafului, se ob;ine:

= A +X C* + S G*" Mk' + S (?t '** ' ^*i (4.4.2)

Reiafia se rescrie vectorial sub forma:

« B + £ g » M* + £ G*. A?*. + ]T G* bk xNk +£ g * . V • Af*. (4.4.3)

DacS not&m elementele de tip Ga ia =fia , ecuafia mairiceala pentru mtreaga structure a

robotului, va fi:

[ K ' W \ + [Gk


81/135

77

ro _ -c* /,* - rk

-0 -0■ r t, (4.4.11)

unde:

f? - este vectorul de pozifie absolute a cuplei k;

- este vectorul de pozifle absolute a centrului de greutate al corpului i;

Matricea [ji ] se determinS cu relafia:

w -[Aw j .

[...]•[] (4-4.12)

. M W

unde U \ este partifia de matrice a momentului rezistent redus in centrul de greutate al corpului /, iar

matricea [u] este matricea momentelor rezistente aplicate in centrele de greutate $i reduse fafft de

sistemul de referin{3 considerat fix.Matricea [1C] este matricea absolute a variafiei momentului cinetic $i are expresia:

h i -

M k , r

\ p \ <

[•••]• w .[D]-

(4.4.13)

Expresia variafiei momentului cinetic se determin3

dinamica robotilor industriali

Documents