Conceptos bsicos

.. (m)Us 62

4

3

2

1

o

-1

--2

t (s)40

-3

-4

-5

Figura l.:~:Registro del sismo de Loma Prieta (Estacin Santa Cruz, componente NS).

Figura 1.4: Teora del rebote elstico.

5

Vibraciones forzadas de los sistemas sencillos

(4.11) Al resolver las funciones exponencial y trigonomtrica indicadas, esta ecuacin toma la forma

(4.12)

por lo cual

(4.13)

puesto que la variable de integracin es T. En forma compacta, esta expresin se puede poner en la forma

doude

'U(t) = c(t) sinwat - .'3(t) coswat (4.14)

(4.15)

En consecuencia la solucin numrica de i(t) se convierte ahora en la de las integrales c(t)y .'3 (t). Para ello se pueden aplicar directamente las tcnicas convencionalesmencionadas, las cuales estn basadas en suposiciones sobre la variacin del integrando en intervalos dis cretos de tiempo. As, si el intervalo de tiempo [Ot,] se divide en n- subintervalos iguales [O, T[ ), [T[ , T2), , [Tn-l, Tn], Tn = t, espaciados .6.T, la regla de los trapecios corresponde a la suposicin de que el integrando vara linealmente en el intervalo, mientras que la de Simp son supone una variacin parablica. Recordemos que el valor aproximado de una integral cualquiera

(4.16)

es, en estas tcnicas, el siguiente:

1. Regla de los trapecios:

(4.17)

donde fh), i = 0,1,2, ... ,n, es el valor del integrando f(T) en el tiempo ti = i.6.t.

51

2. Regla de Simpson

(4.18)

con i = 2,4, ... , n.1

En vista de que en Dinmica de Estructuras se requiere con frecuencia calcular la historia completa de la respuesta para todo tiempo t en un rango dado, resulta preferible plantear el clculo numrico de las integrales c(t) y s(t) en forma recurrente, lo que significa que la respuesta para un tiempo ti se exprese en funcin de la respuesta para el instante anterior ti-l. Esto evita el reclculo de las sumas ya realizadas en los pasos anteriores. LlamaremosCi, Si el valor de las integrales c(t) s (t) en el intante t = ti Y Ji, gi el valor de los integrandosp(T) COSWaTp(,T) sinwaT, respectivamente, en T = it:..T. Para las dos reglas mencionadas, las ecuaciones recurrentes se expresan, en consecuencia, como sigue:

1. Regla de los trapecios:

(4.19)

2. Regla de Simpson

Introduccin a la Dinmica de Estructuras

52e, ::::c::i_2e-2~WLh + . t:..T [fi_2e-2~w~T +4fi_le-~w~T + Jil3mwaSi :::::S: i_2e-2~w~T + ,b.T [gi_2e-2~w~T + 4gi_le-~w~T + gil3mwa

(4.20)

El programa d MATLAB dtrapez .m,que se lista a continuacin, calcula la respuesta de un sistema sencillo por el algoritmo expresado en la ecuacin (4.19):

function [t,dJ=dtrapez(p,m,w,xi,dt)%%-----------------------------------------------------% [t,dJ=dtrapez(p,m,w,xi,dt)%-----------------------------------------------------x% Calcula la integral de Duhamel (respuesta de un sistema

Ntese que en este caso el nmero de subintervalos n debe ser par..\,Vibraciones forzadas de los sistemas sencillos

Yo sencillo lineal) por la regla de los trapecios.YoYoYo Por: Jorge E. Hurtado G.Yo Universidad Nacional de ColombiaYoYoYo p: vector (columna) de carga externaYo m: masa del sistemaYo w: frecuencia natural del sistemaYo xi: fraccion de amortiguamiento viscosoYo dt: paso de tiempoYoYo t: vector de tiempoYo d: desplazamiento de respuestaYoYoy.--------------------------------~--------------------Y.Y.n=length(p)j tmax=dt*n; t=linspace(O,tmax,n)' j wa=w*sqrt(1-xi-2)j f=p.*cos(wa*t)j g=p.*sin(wa*t);f1=[0; f(l:n-l)];gl=[O; g(l:n-l)]; pc=f1*exp(-xl*~*dt)+f; ps=ghexp( -xi*w*dt)+g j pc=pc*dt/m/wa/2j ps=ps*dt/m/wa/2jfor i=l:nif i==l c(i,l)=pc(i,l); s(i,l)=ps(i,l)jelsec(i,l)=c(i-l,l)*exp(-xi*w*dt)+pc(i,l);s(i,1)=s(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+ps(i,1)j endendd=c.*sin(wa*t)-s.*cos(wa*t)j figureplot(t,d)xlabel(,TLempo ")ylabel('Desplazamiento')y.

Yo----------------------------------------------------- fin

.. (m)lls 82

Introduccina la Dinmica de Estructuras

542.0

1.5

1.0

0.5

O

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

--f-t (S)35

Figura 4.3: Registro del sismo de Tokachi-oki.

Ejemplo 4.2

La figura 4.3 muestra el registro de la aceleracin de una componente del sismo de Tokachi oki, ocurrido en Japn en 1968. El registro se encuentra digitalizado a intervalos de 0.02 s. Calcular la historia de desplazamientos, velociades y aceleraciones de respuesta de un sistema caracterizado por T = 1 s y ~ = 0.05, utilizando el programa dtrapez .m.Como T = 1 s, w = 27rradjs. Antes de usar el programa es necesario obtener el vector de cargas, el cual para el caso ssmico es

p(t) = -rns(t)

Sin embargo, como la masa aparece dividiendo el vector de cargas en la integral de Duhamel (4.6), se concluye que se puede utilizar el programa con una masa cualquiera, p. ej. igual a la unidad. De esta manera, el programa se activa con la orden

[t,d]=dtrapez(p,1,2*pi,O.05,O.02)

El resultado aparece en la figura 4.4.

Captulo 5

Propiedades estructurales de los sistemasmlt iples

Se denomina sistema mltiple a un modelo estructural que tiene varios grados de libertad, en el sentido en que este trmino se entiende en Dinmica de Estructuras, es decir, corno direcciones de aceleracin (traslacional o rotacional) de una masa concentrada cualquiera. Esto los diferencia de los sistemas continuos. que se caracterizan por un nmero infinito de grados de libertad.En este captulo se estudiar la obtencin de las propiedades estructurales bsicas de los sistemas lineales de varios grados de libertad. Se examinar en primer lugar las ecuaciones matriciales del movimiento )' la construccin de las matrices de masa y rigidez para sistemas que se puedan modelar como viga de cortante. Luego se tratar la formacin de dichas ma trices para d caso ms general y la condensacin de la matriz de rigidez segn los principales grados de libertad dinmicos.

(a)

(b)

Figura 5.1: Modelo de dos grados de libertad sin amortiguamiento.

67

Introduccin a la Dinmica de Estructuras

5.1 Ecuaciones matriciales del movimiento

Examinemos en primera instancia un problema sencillo, cual es el constituido por dos cuerpos rgidos de masas m y m2, unidos en serie por dos resortes elsticos de rigideces k y k2 (figura 5.1a). Los deplazamientos lt (t) Y lt2(t) se miden a partir de un punto cualquiera de los cuerpos. Los diagramas de fuerzas de la figura 5.1b indican que las ecuacionesde equilibrio de ambos cuerpos son

p + k2 (lt2 - lt) - klt = mltP2 - k2 (lt2 - ) = m2 2 (5.1)

Despus de organizar los trminos se obtiene

m + (k + k2)u, - k2lt2 = pm22 - k21},+ k2u,2 = P2 (5.2)

lo cual puede expresarse de manera matricial en la forma

donde

m+ku = p (5.3)

(5.4)

Las ecuaciones anteriores han sido deducidas a partir de simples consideracionesde equi librio. Para el anlisis de sistemas de muchos grados de libertad, sin embargo, resulta ms prctico construir de manera directa las matrices de masa y rigidez, m y k, de acuerdo a un vector pre--establecidode desplazamientos u. La ecuacin (5.3) puede expresarse en la forma

j + iR = P (5.5)donde f 1 es el vector de fuerzas de inercia y f R el vector de fuerzas de restauracin. La expresin (5.5) noes, pues, otra cosa que una ecuacin dejquilibrio de fuerzas, en la que los elementos de los vectores de la izquierda tienen la forma general

68Propiedades estructurales de los sistemas mltiples

h,i = ral + mi2 2 + + min nfR,:i = kj1 'tL + kj2 'tL2 + + kjn Un (5.6)

donde se ve que los trminos mi] Y ki], i, j = 1,2, ... .ri admiten la interpretacin de coeficientes de influencia que reflejan el efecto del desplazamiento o la aceleracin i en el grado de libertad i- En la seccin siguiente examinaremos con ms detalle la construccin de las matrices que forman estos coeficientes.

(a)

U = 1-e

(b)

'tL - 1~

(c)

Figura 5.2: Construccin de la matriz de rigidez.

5.2 Vigas de cortante

Consideremos en primer lugar un modelo conocido como tnqa de cortante, nombre que se explica por razones que quedarn claras en 10 que sigue. Deduciremos en primer lugar la matriz de rigidez. Se define el elemento ki] de dicha matriz k como la fuerza que se debe aplicar' en el grado de libertad i cuando en j tiene lugar un desplazamiento unitario, siendo todos los desplazamientos restantes iguales a cero. Esto se comprende ms claramente por

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