dinamica beer

8/9/2019 Dinamica Beer

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© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaN ov en a

ed i ci ó n

Principio del impulso y la cantidad de movimiento• Método del impulso y la cantidad de movimiento:

Sist. Cant. Mov.1 + Sist. Imp. Ext.1-2 = Sist. Cant. Mov.2

- Bien adaptado a la solución de problemas relacionados con el tiempo y lavelocidad.

- Único método viable para los problemas que afectan el movimientoimpulsivo y el impacto.


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Principio del impulso y la cantidad de movimiento

vmmv L ii

Δ

•

Las cantidades de movimiento de las partículas de un sistema se puedereducir a un vector unido al centro de masa igual a su suma:

iiiG mvr H Δ

y un par igual a la suma de sus momentos respecto al centro de masa:

I H G

• Para el movimiento plano de una placa rígida o de un cuerpo rígidosimétrico con respecto al plano de referencia,


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Principio del impulso y la cantidad de movimiento• Principio del impulso y la cantidad de movimiento para el movimiento plano

de una placa rígida o de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano dereferencia expresado como una ecuación del diagrama de cuerpo libre,

• Conduce a tres ecuaciones de movimiento:

- sumando e igualando cantidades de movimiento e impulsos en lasdirecciones x y y.

- sumando e igualando los momentos de la cantidad de movimientos eimpulsos con respecto a cualquier punto dado.

e


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Principio del impulso y la cantidad de movimiento

• Rotación no centroidal:

2r m I

r r m I

r vm I I O

- Igualando los momentos de las cantidadesde movimiento e impulsos alrededor de O,

21

2

1

O

t

t

OO I dt M I

- Cantidad de movimiento angular alrededor de O:

Ne


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ed i ci ó n

Sistemas de cuerpos rígidos

• El movimiento de varios cuerpos rígidos puede ser analizadoaplicando el principio del impulso y la cantidad de movimiento acada cuerpo por separado.

• Para problemas que no incluyen más de tres incógnitas, esconveniente aplicar el principio del impulso y la cantidad de

movimiento al sistema considerado como un todo.

• Para cada parte móvil del sistema, los diagramas de cantidad demovimiento deben incluir un vector de cantidad de movimientoy/o un par de cantidad de movimiento.

• Las fuerzas internas se presentan en pares de vectores iguales yopuestos y no generan impulsos distintos de cero neto.

Ne


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Conservación de la cantidad de movimiento angular

• Cuando la suma de los impulsos angulares pasa por O, la cantidad demovimiento lineal no puede ser conservada; sin embargo, la cantidad demovimiento angular respecto a O se conserva:

2010 H H

• Dos ecuaciones adicionales pueden escribirse para sumar lascomponentes x y y de las cantidades de movimiento y pueden usarse paradeterminar dos impulsos lineales desconocidos, como los impulsos de lascomponentes de reacción en un punto fijo.

• Cuando no actúa una fuerza externa sobre un cuerpo rígido, o un sistemade cuerpos rígidos, el sistema de las cantidades de movimiento en t 1 esequipolente al sistema en t 2. La cantidad de movimiento lineal total y lacantidad de movimiento angular se conservan alrededor de cualquier punto:

2010 H H

21

L L

Ne


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Problema resuelto 6

El sistema está en reposo cuando seaplica un momento de M = 6 Nm al

engrane B.Ignorando la fricción, determinar a) eltiempo requerido para que la velocidadangular del engrane B llegue a 600rpm, y b) la fuerza tangencial que el

engrane B ejerce sobre el engrane A.

mm80kg3

mm200kg10

B B

A A

k m

k m

SOLUCIÓN:

• Considerando cada engrane por separado,se aplicará el método del impulso y lacantidad de movimiento.

• Resolver de manera simultánea las

ecuaciones de cantidad de movimientoangular para los dos engranes por eltiempo desconocido y la fuerza tangencial.

Ne




ed i ci ó n

Problema resuelto 6SOLUCIÓN:

• Considerando cada engrane por separado, aplicando el método del impulso y lacantidad de movimiento:

s N2.40

srad1.25mkg400.0m250.0

0 2

Ft

Ft

I Ftr A A A

momentos alrededor de A:

momentos alrededor de B:

srad8.62mkg0192.0m100.0m N6

0

2

2

Ft t

I Ftr Mt B B B

• Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores, tenemos:

N46.2s871.0 F t

á áNe




ed i ci ó n

Problema resuelto 7

Una esfera uniforme de masa m yradio r se proyecta a lo largo de unasuperficie horizontal rugosa con unavelocidad lineal v1 y sin velocidadangular. El coeficiente de fricción

cinética es k .

Determinar a) el tiempo t 2 en el cualla esfera comenzará a rodar sindeslizarse, y b) las velocidadeslineal y angular de la esfera en eltiempo t 2.

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio del impulso y lacantidad de movimiento para encontrar lavariación de las velocidades lineales yangulares con el tiempo.

• Relacionar las velocidades lineal y angular

cuando la esfera detiene su deslizamiento alnotar que la velocidad del punto decontacto es cero en ese instante.

• Sustituir por las velocidades lineales yangulares y despejar para el momento enque el deslizamiento se detiene.

• Evaluar las velocidades lineal y angular enese instante.

M á i t i l i i Di á iNe




ed i ci ó n


•

Aplicar el principio del impulso y lacantidad de movimiento para encontrarla variación de las velocidades linealesy angulares con el tiempo.

0Wt Nt

y componentes:

x componentes:

21

21

vmmgt vm

vm Ft vm

k

gt vv k 12

mg W N

momentos alrededor de G:

22

52

2

mr tr mg

I Ftr

k

t r

g k

2

5

2

Cant. Mov. Sist.1 + Imp. Ext. Sist.

1-2= Cant. Mov.

Sist.2

• Relacionar las velocidades lineal yangular cuando la esfera detiene sudeslizamiento al notar que la velocidaddel punto de contacto es cero en eseinstante.

t r

g r gt v

r v

k k

2

5

1

22

• Sustituir por las velocidades lineales yangulares y despejar para el momentoen que el deslizamiento se detiene.

g

vt

k

1

7

2





ed i ci ó n

Problema resuelto 7

x componentes: gt vv k 12

y componentes: mg W N

momentos alrededor de G: t r

g k

2

5

2

Cant. Mov. Sist.1 + Imp. Ext. Sist.1-2 = Cant. Mov.Sist.2

t

r

g r gt v

r v

k k

2

5

1

22

g

vt

k

1

7

2

• Evaluar las velocidades lineal y

angular en ese instante.

g

v g vv

k k

112

7

2

g

v

r

g

k

k

12

7

2

2

5

127

5vv

r

v12

7

5





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Problema resuelto 8

Dos esferas sólidas (radio = 3 in.,W = 2 lb) son montadas sobre una barra horizontal (I R = 0.25 lbfts2, = 6 rad/s) como se muestra. Lasesferas se mantienen juntas por unacuerda que de repente se corta.Determinar a) la velocidad angular dela barra después de que las esferas sehan movido a A’ y B’ , y b) la energíaque se pierde debido al impacto

plástico de las esferas y los topes.

SOLUCIÓN:

• Observar que ninguna de las fuerzasexternas produce un momento alrededordel eje y, y que el momento angular seconserva.

• Igualar las cantidades de movimientoangular inicial y final. Resolver lavelocidad angular final.

• La pérdida de energía debida al impacto plástico es igual a la variación de energíacinética del sistema.





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Problema resuelto 8

Cant. Mov. Sist.1 + Imp. Ext. Sist.1-2 = Cant. Mov. Sist.2

2222211111

22 RS s RS s

I I r r m I I r r m

SOLUCIÓN:

•

Observar que ninguna delas fuerzas externas produce un momentoalrededor del eje y, y queel momento angular se

conserva.• Igualar las cantidades de

movimiento angularinicial y final. Resolver lavelocidad angular final.

2

2

25

22

5

2 sftlb00155.0ft12

2

sft32.2

lb2

ma I S

2696.0

12

25

2.32

20108.0

12

5

2.32

2 2

2

2

2

2

1

r mr m S S

RS s

RS s

I I r m

I I r m

2

2

2

1

12

srad61 2sftlb25.0 R I

srad08.22


d




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Problema resuelto 8

• La pérdida de energía debida

al impacto plástico es igual ala variación de energíacinética del sistema.

2sftlb00155.0 S I

22

1 sftlb0108.0 r mS

srad61

2sftlb25.0 R I

srad08.22

22

2 sftlb2696.0 r mS

22

2

12

2

12

2

12

2

1 222 RS S RS S

I I r m I I vmT

95.471.1

lbft71.108.2792.0

lbft95.46275.0

12

2

2

12

2

2

11

T T ΔT

T

T

lbft24.3 T


d




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Problema resuelto 9

Una bala de 0.05 lb es disparada contrael costado de un panel cuadrado de 20 lbque está inicialmente en reposo.Determinar a) la velocidad angular del panel inmediatamente después de que la bala quede incrustada, y b) la reacciónimpulsiva en A suponiendo que la balaquede incrustada en 0.0006 s.

SOLUCIÓN:

• Considerar un sistema que consista enla bala y el panel. Aplicar el principiode impulso y cantidad de movimiento.

• La velocidad angular final es halladadesde los momentos de las cantidadesde movimiento y los impulsos sobre A.

• La reacción en A es encontrada a partirde las cantidades de movimientohorizontal y vertical y de los impulsos.

M á i t i l i i Di á iN

ed



Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaNov en a

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Problema resuelto 9

SOLUCIÓN:

• Considerar un sistema queconsista en la bala y el panel.Aplicar el principio de impulsoy cantidad de movimiento.

•

La velocidad angular final eshallada desde los momentos delas cantidades de movimiento ylos impulsos sobre A.


2129

212

14 ft0ft P P B B I vmvm

212

92 ft v

2

2

2

6

1 sftlb2329.0

12

18

2.32

20

6

1

bm I P P

2129

212

9

12

142329.0

2.32

201500

2.32

05.0

sft50.3

srad67.4

212

9

2

2

v

srad67.42

M á i t i l i i Di á iN o

ed



Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaNov en a

di ci ó n

Problema resuelto 9

sft50.3srad67.4 2129

22 v

• La reacción en A esencontrada a partir de lascantidades de movimientohorizontal y vertical y delos impulsos:

x componentes:

50.32.3220

0006.015002.32

05.0

2

x

p x B B

A

vmt Avm

lb259 x A lb259 x A

y componentes:

00 t A y

0 y A

Mecánica ectorial para ingenieros DinámicaN o

ed



Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámicaov en a

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Problema resuelto 10

Una esfera de 2 kg golpea el extremoinferior de una barra AB de 8 kg conuna velocidad inicial de 5 m/s. La barra está suspendida en A y se halla

inicialmente en reposo. El coeficientede restitución entre la barra y la esferaes 0.8.

Determinar la velocidad angular de la barra y la velocidad de la esfera

inmediatamente después del impacto.

SOLUCIÓN:

•

Considerar a la esfera y a la barra comoun solo sistema. Aplicar el principio delimpulso y de la cantidad de movimiento.

• Los momentos de las cantidades demovimiento e impulsos alrededor de A

proporcionan una relación entre lavelocidad angular final de la barra y lavelocidad de la esfera.

• La definición del coeficiente de

restitución proporciona una segundarelación entre la velocidad angular finalde la barra y la velocidad de la esfera.

• Resolver simultáneamente las dosrelaciones para la velocidad angular de la

barra y la velocidad de la esfera.

Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaN o

ed




di ci ó n


• Considerar a la esfera y a la barra como un solo sistema.Aplicar el principio del impulsoy de la cantidad de movimiento.

• Los momentos alrededor de A de

las cantidades de movimiento eimpulsos proporcionar unarelación entre la velocidadangular final de la barra y lavelocidad de la esfera.


I vmvmvm R R s s s s m6.0m2.1m2.1

2212

12

12

1 mkg96.0m2.1kg8

m6.0

mL I

r v R

2mkg96.0

m6.0m6.0kg8m2.1kg2m2.1sm5kg2 sv

84.34.212 s

v


ed




di ci ó n


Momentos alrededor de A: 84.34.212

sv

• La definición del coeficiente

de restitución proporcionauna segunda relación entre lavelocidad angular final de la barra y la velocidad de laesfera.

sm58.0m2.1

s

s B s B

v

vvevv

Velocidades relativas:

• Resolver simultáneamentelas dos relaciones para lavelocidad angular de la barray la velocidad de la esfera.

Resolviendo:

sm143.0 s

v sm143.0 sv

rad/s21.3 rad/s21.3


ed




di ci ó n


Un paquete cuadrado de masa m semueve hacia abajo por una bandatransportadora A con una velocidadconstante. Al final de la bandatransportadora, la esquina del paquete

choca contra un soporte rígido en B. Elimpacto es perfectamente plástico.Obtener una expresión para lavelocidad mínima de la bandatransportadora A para la cual el paquete

girará alrededor de B y llegará a la banda transportadora C.

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio del impulso y de lacantidad de movimiento para relacionarla velocidad del paquete sobre la bandatransportadora A antes del impacto en B a la velocidad angular sobre B después

del impacto.• Aplicar el principio de conservación de

la energía para determinar la mínimavelocidad angular inicial de manera queel centro de masa del paquete llegue a

una posición directamente sobre B.

• Relacionar la velocidad angularrequerida a la velocidad de la bandatransportadora A.


ed




di ci ó n


•

Aplicar el principio del impulso y de la cantidad de movimiento para relacionarla velocidad del paquete sobre la banda transportadora A antes del impacto en B a la velocidad angular sobre B después del impacto.

Momentos alrededor de B:

222

22

11 0 I avmavm

2

6

122

22 am I av

2261

2

222

2

2

11 0 amaamavm

23

4

1 av


ed


23/23


i ci ó n

Problema resuelto 11• Aplicar el principio de conservación de la energía para

determinar la mínima velocidad angular inicial de manera queel centro de masa del paquete llegue a una posicióndirectamente sobre B:

3322 V T V T

22 WhV

2223122261212

22

2

2

1

2

22

12

22

12

mamaam

I mvT

33 WhV

03 T (solución para el mínimo 2)

aaGBh

612.060sen

1545sen

2

2

2

aah 707.02

23

a g aaa

g hh

ma

W

WhWhma

285.0612.0707.033

0

2232

2

2

32

2

2

2

3

1

a g aav 285.0

3

42

3

41 gav 712.01

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