DIKTAT KULIAHSTATISTIKA MATEMATIKA I

Disusun Oleh

Dr.rer.nat. Wayan Somayasa, S.Si., M.Si.

FMIPA UNHALU-KENDARI

KENDARI 2008

Table of Contents

Table of Contents 1

1 Statistik dan distribusi sampling 3

1.1 Sampel random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Distribusi sampling dari populasi normal . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Distribusi chi-kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Distribusi t student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Distribusi F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Estimasi titik 18

2.1 Metode momen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Estimator dengan likelihood terbesar . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Kasus satu parameter (k = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Kasus k parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Keriteria-keriteria memilih estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Ketakbiasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Keterkonsentrasian dan UMVUE . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Statistik cukup, keluarga lengkap dan keluarga eksponensial 33

3.1 Statistik cukup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Keluarga lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Keluarga eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1

2

4 Estimasi interval 47

4.1 Metode kuantitas pivot (pivotal quantity) . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.1 Membandingkan dua populasi normal . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Metode umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.1 Kasus h1 dan h2 monoton naik . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.2 Kasus h1 dan h2 monoton turun . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Uji hipotesis 62

5.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.1 Menentukan daerah kritik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1.2 Nilai p (p-value) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Metode memilih tes terbaik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.1 Tes UMP untuk hipotesis sederhana . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.2 Tes UMP untuk hipotesis komposit . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2.3 Keluarga monotone likelihood ratio (MLR) . . . . . . . . . . . 75

5.3 Tes dengan membandingkan fungsi likelihood . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4 Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Teori sampel besar 85

7 Teori Bayes 86

8 Estimasi dengan metode bootstrap 87

Chapter 1

Statistik dan distribusi sampling

Pada bagian ini kita akan membahas konsep tentang statistik (engl.: statistic) dan

distribusi sampling. Harap diperhatikan perbedaan antara statistik dan statistika

(engl.: statistics). Sebelumnya kita akan mengajak pembaca untuk membahas penger-

tian sampel random dan peranannya dalam statistika.

1.1 Sampel random

Misalkan seorang peneliti tertarik untuk mengamati proporsi ikan tuna yang tersebar

di teluk Kendari. Tentu saja proporsi ini tidak diketahui kecuali kalau si peneliti tadi

bisa menghitung semua ikan yang hidup di teluk Kendari dan kemudian menghitung

berapa bagian dari total jumlah ikan tadi yang merupakan ikan tuna. Apakah ini

mungkin dilakuan? Berapa banyak waktu, biaya dan tenaga yang perlu diinvestasikan

kalau cara ini yang ditempuh?

Sebagai statistikawan kita bisa membantu si peneliti tadi dengan statistika seba-

gai berikut. Kita misalkan populasi ikan di teluk Kendari sebagai ruang probabilitas

3

4

(Ω,F ,P). Misalkan ΩT adalah himpunan semua ikan tuna, maka proporsi ikan tuna

dalam populasi itu adalah P(ΩT ) = ]ΩT

]Ω, yaitu jumlah ikan tuna dibagi jumlah ikan

keseluruhan. Kita misalkan konstanta yang tidak diketahui ini sebagai p ≥ 0. Mis-

alkan X : Ω → R adalah indikator dari ΩT , yaitu suatu fungsi yang didefinisikan

sebagai berikut

X(ω) :

1 : jika ω ∈ ΩT

0 : jika ω 6∈ ΩT

.

Maka X adalah sebuah variabel random (fungsi terukur) Bernoulli yang mengambil

nilai pada ruang sampel (R,B,PX), dimana untuk setiap himpunan bagian B ∈ B,

PX(B) := Pω ∈ Ω : X(ω) ∈ B. Misalkan ambil kasus dimana B = 1, maka

PX(1) := Pω ∈ Ω : X(ω) = 1 = P(ΩT ) = p. Selanjutnya PX disebut sebagai

distribusi peluang dari X. Sebaliknya kalau B = 0, maka PX(0) := Pω ∈ Ω :

X(ω) = 0 = P(ΩCT ) = 1 − p, dimana ΩC

T adalah komplemen dari ΩT . Jadi model

distribusi peluang ikan tuna di teluk Kendari di gambarkan oleh model distribusi

peluang dari X dengan fungsi densitas fX(x) := PX(x) = PX = x = px(1−p)1−x,

x = 0, 1. Selanjutnya fX(x) disebut sebagai fungsi densitas populasi.

Misalkan dari suatu eksperimen yang dilakukan misalkan dengan memancing ikan

lalu mencatat hasilnya pada setiap pemancingan sebagi 1 jika yang didapat adalah

tuna dan 0 jika hasilnya bukan ikan tuna. Andaikan pemancingan dilakukan n

kali, maka data yang diperoleh adalah x1, . . . , xn, dengan xi ∈ 0, 1, i = 1, . . . , n.

Dalam statistika kita memandang data sebagai realisasi (nilai) dari variabel random

X1, . . . , Xn yang terdefinisi pada (Ω,F ,P), yaitu Xi(ω) = xi, untuk suatu ω ∈ Ω,

i = 1, . . . , n. Kita nyatakan distribusi peluang bersama dari X1, . . . , Xn dengan

⊗ni=1PXi yang terdefinisi pada (Rn,Bn).

Definisi 1.1.1. Suatu himpunan random variable X1, . . . , Xn dikatakan sebagai

5

sampel random berukuran n dari suatu populasi X, jika dan hanya jika

⊗ni=1PXi⊗n

i=1(−∞, ti] = Πni=1PXi((−∞, ti]) = Πn

i=1PX((−∞, ti]),

dimana ⊗ni=1(−∞, ti] := (−∞, t1]×· · ·×(−∞, tn]. Jika populasi X mempunyai fungsi

densitas f(x), maka X1, . . . , Xn dikatakan sebagai sampel random berukuran n dari

suatu populasi X, jika dan hanya jika

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn) = Πni=1f(xi).

Jadi suatu sampel random harus memenuhi kondisi dimana X1, . . . , Xn saling in-

dependen dan masing-masing mempunyai distribusi peluang yang sama dengan dis-

tribusi peluang populasinya (sering juga dikatakan i.i.d sebagai singkatan dari inde-

pendent and identically distributed).

Kembali ke kasus semula jika pada setiap pemancingan (trial) ikan dilepas lagi,

maka hasil berikutnya tidak akan terpengaruh dari hasil sebelumnya (saling indepen-

den) dan masing-masing akan mengikuti distribusi yang sama yaitu Bernoulli dengan

parameter p. Jadi eksperimen kita akan menghasilkan sampel random berukuran n

dari populasi ikan tuna di teluk Kendari.

Sebagai contoh lain, misalkan suatu pabrik lampu dalam setahun memproduksi

500000 lampu pijar dengan jenis yang sama, misalkan jenis A. Karena suatu hal,

daya tahan lampu yang dihasilkan ternyata berbeda-beda. Andaikan produsen ter-

tarik untuk menyelidiki proporsi lampu yang mempunyai daya tahan sesuai spesifikasi

tertentu, misalkan daya tahannya melebihi t jam. Andaikan populasi lampu jenis A

dimisalkan sebagai ruang (Ω,F ,P) dan Y : (Ω,F ,P) → (R≥0,B(R≥0),PY ) dengan

6

Y (ω) adalah daya tahan bola lampu ω ∈ Ω. Andaikan Y mengikuti distribusi expo-

nensial dgn parameter θ > 0, maka proporsi bola lampu jenis A yang daya tahan-

nya lebih dari atau sama dengan t jam adalah PY ([t,∞)) =∫∞

t1θexp−y/θdy =

exp−t/θ, t ≥ 0. Andaikan Y1, . . . , Yn adalah sampel random dari populasi Y , maka

⊗ni=1PYi(⊗n

i=1[ti,∞)) = Πni=1 exp−ti/θ = exp−1

θ

∑ni=1 ti.

1.2 Statistik

Pada subbab sebelumnya kita mengenal p dan θ sebagai konstanta-konstanta (parameter-

parameter) yang tidak diketahui nilainya. Tujuan dari statistika adalah merumuskan

suatu konsep inferensi atau pendugaan terhadap parameter-parameter tersebut. Alat

utama yang digunakan adalah apa yang disebut statistik.

Definisi 1.2.1. Misalkan X1, . . . , Xn adalah himpunan n ∈ N variabel random

teramati dari suatu populasi tertentu. Statistik adalah sembarang fungsi T :=

t(X1, . . . , Xn) yang tidak bergantung pada sembarang parameter yang tidak diketahui.

Selanjutnya distribusi dari suatu statistik disebut distribusi sampling.

Catatan:

Pada Definisi 1.2.1 kata teramati mengandung pengertian bahwa melalui suatu ekspe-

rimen n titik data yang diperoleh adalah realisasi dari X1, . . . , Xn. Variabel-variabel

ini harus teramati, karena kalau tidak, maka fungsi t tidak bisa dihitung.

Contoh 1.2.2. Misalkan X1, . . . , Xn adalah sampel random dari suatu populasi den-

gan mean µ dan variansi σ2 > 0. Mean sampel X := 1n

∑ni=1 Xi and variansi

sampel S2 := 1n−1

∑ni=1(Xi − X)2 merupakan statistik dengan sifat-sifat sebagai

berikut:

7

1. E(X) = µ and V ar(X) = σ2/n.

2. E(S2) = σ2 and V ar(S2) = 1n(µ′4 − n−3

n−1σ4), dengan µ′4 := E(X4).

Untuk kasus penyelidikan ikan tuna di teluk Kendari, proporsi sampel adalah p :=

1n

∑ni=1 Xi, dengan Xi i.i.d. Bin(1, p). Maka E(p) = p dan V ar(p) = p(1− p).

1.3 Distribusi sampling dari populasi normal

Pada bagian ini kita akan mempelajari distribusi dari beberapa statistik yang meru-

pakan fungsi dari sampel random dari populasi normal. Kita batasi pembicaraan

pada populasi normal saja karena selain secara matematika mudah diturunkan, juga

karena model distribusi ini banyak dipakai di lapangan.

Teorema 1.3.1. Misalkan X1, . . . , Xn saling independen dan berdistribusi N(µi, σ2i ).

Maka Y :=∑n

i=1 aiXi ∼ N (∑n

i=1 aiµi,∑n

i=1 a2i σ

2i ), untuk ai ∈ R, i = 1, . . . , n.

Proof. Hasil ini dapat dibuktikan dengan konvolusi dari variabel random normal.

Yaitu jumlah dari beberapa variabel random normal adalah normal. Karena dis-

tribusi normal ditentukan secara tunggal hanya oleh mean dan variansinya, berarti

kita hanya perlu menghitung mean dan variansi dari Y yang diberikan oleh∑n

i=1 aiµi

dan∑n

i=1 a2i σ

2i . Cara lain adalah dengan metode ketunggalan fungsi pembangkit mo-

men (Moment Generating Functions/MGF). Secara umum jika X ∼ N(µ, σ2), maka

MX(t) = exptµ +1

2t2σ2, t ∈ R. (1.3.1)

Karena Xi saling independen, maka berlaku

MY (t) = Πni=1MXi

(ait) = Πni=1 exptaiµi +

1

2t2a2

i σ2i

8

= exptn∑

i=1

aiµi +1

2t2

n∑i=1

a2i σ

2i . (1.3.2)

Selanjutnya dengan membandingkan (1.3.1) dan (1.3.2), teorema terbukti.

Contoh 1.3.2. Misalkan X1, . . . , Xn1 dan Y1, . . . , Yn2 merupakan dua sampel random

yang saling bebas masing-masing berukuran n1 dan n2. Jika Xi ∼ N(µ1, σ21) dan Yj ∼

N(µ2, σ22), i = 1, . . . , n1 dan j = 1, . . . , n2, maka X− Y ∼ N(µ1−µ2, σ

21/n1 +σ2

2/n2).

Proof. Pernyataan ini dapat ditunjukan dengan menggunakan secara langsung hasil

pada Teorema 1.3.1 dan kenyataan X− Y = 1n1

X1 + . . .+ 1n1

Xn1 − 1n2

Y1− . . .− 1n2

Yn2 .

Cara lain adalah dengan metode MGF sebagai berikut:

MX−Y (t) = MX(t)MY (−t) (kedua sampel saling independen)

= Πn1i=1MXi

(t/n1)Πn2j=1MYj

(−t/n2)

= Πn1i=1 exp

t

n1

µ1 +1

2

t2

n21

σ21

Πn2

i=1 exp

−t

n2

µ2 +1

2

t2

n22

σ22

= exp

t(µ1 − µ2) +

1

2t2(σ2

1/n1 + σ22/n2)

.

Persamaan yang terakhir adalah MGF dari N(µ1 − µ2, σ21/n1 + σ2

2/n2).

Contoh 1.3.3. Dari hasil pada Contoh 1.3.2 tentukan suatu konstanta c sedemikian

hingga 95% dari populasinya mempunyai selisih mean sampel lebih dari c.

Jawab:

Dengan menggunakan transformasi variabel diperoleh

PX − Y ≥ c

= 0, 95 ⇔ P

(X − Y )− (µ1 − µ2)√

σ21/n1 + σ2

2/n2

≥ c− (µ1 − µ2)√σ2

1/n1 + σ22/n2

= 0, 95.

Selanjutnya karena (X−Y )−(µ1−µ2)√σ21/n1+σ2

2/n2

∼ N(0, 1), maka konstanta c adalah penyelesaian

dari persamaan

c− (µ1 − µ2)√σ2

1/n1 + σ22/n2

= z0,05 ⇒ c = (µ1 − µ2) + z0.05

√σ2

1/n1 + σ22/n2.

9

1.3.1 Distribusi chi-kuadrat

Definisi 1.3.4. Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi chi-kuadrat dengan

derajat bebas ν (X ∼ χ2(ν)), jika dan hanya jika X ∼ Gamma(2, ν/2).

Remark 1.3.5. Sifat-sifat distribusi chi-kuadrat dapat diturunkan langsung dari sifat-

sifat distribusi Gamma. Jika X ∼ χ2(ν), maka

1. MX(t) = (1− 2t)−ν/2,

2. E(Xr) = 2r Γ(ν/2+r)Γ(ν/2)

, r ∈ Z,

3. E(X) = ν dan V ar(X) = 2ν.

Teorema 1.3.6. Jika X ∼ Gamma(θ, κ), maka 2X/θ ∼ χ2(2κ).

Proof. Bukti yang paling sederhana adalah dengan metode ketunggalan MGF:

M 2Xθ

(t) = MX(2t/θ) =

(1− θ

2t

θ

)−κ

= (1− 2t)−2κ/2.

Jadi terbukti 2X/θ ∼ χ2(2κ).

Contoh 1.3.7. Andaikan bahwa daya tahan batu batrai yang diproduksi oleh suatu

pabrik mengikuti distribusi Gamma(θ, κ). Jika pabrik ingin memberikan suatu jam-

inan bahwa 90% dari produknya mempunyai daya tahan lebih dari t0 tahun, maka

tentukan t0.

Jawab:

Andaikan X adalah daya tahan batu batrai dalam satuan tahun. Yang ingin diten-

tukan oleh pabrik adalah t0 sedemikian hingga PX ≥ t0 = 0, 90. Tetapi dari Teo-

rema 1.3.6, P2X/θ ≥ 2t0/θ = 0, 90. Maka t0 = χ20,10(2κ)/2. Disini χ2

α(2κ) adalah

suatu konstanta yang memenuhi persamaan Pχ2(2κ) ≤ χ2α(2κ) = α atau disebut

juga pesensil ke alpha dari distribusi χ2(2κ).

10

Teorema berikut memberikan hasil yang sangat penting dari distribusi chi-kuadrat.

Teorema 1.3.8. Misalkan Y1, . . . , Yn saling independen dan Yi ∼ χ2(νi). Maka V =

∑ni=1 Yi ∼ χ2(

∑ni=1 νi).

Proof. Kita buktikan hasil ini dengan ketunggalan MGF. Dari asumsi bahwa Yi saling

independen berlaku: MV (t) = Πni=1(1− 2t)−νi/2 = (1− 2t)−

∑ni=1 νi/2 yang merupakan

MGF dari χ2(∑n

i=1 νi).

Hasil berikut menjelaskan hubungan antara distribusi normal standar dan dis-

tribusi chi-kuadrat.

Teorema 1.3.9. Jika Z ∼ N(0, 1), maka Z2 ∼ χ2(1).

Proof.

MZ2(t) = E(exptZ2) =

∫ ∞

−∞

1√2π

exptz2 − z2/2dz

=1√

1− 2t

∫ ∞

−∞

√1− 2t√

2πexp−z2(1− 2t)/2dz

= (1− 2t)−1/2,

yang merupakan MGF dari χ2(1).

Akibat 1.3.10. Jika X1, . . . , Xn adalah sampel random dari populasi N(µ, σ2), maka

berlaku:

1.∑n

i=1(Xi−µ)2

σ2 ∼ χ2(n),

2. n(X−µ)2

σ2 ∼ χ2(1).

Pada Contoh 1.3.2 kita sudah menurunkan distribusi dari mean sampel. Teorema

berikut memberikan distribusi dari variansi sampel S2 yang didefinisikan pada Contoh

1.2.2.

11

Teorema 1.3.11. Jika X1, . . . , Xn menyatakan sampel random dari N(µ, σ2), maka

1. Antara X dan (Xi − X), i = 1, . . . , n saling independen.

2. Antara X dan S2 saling independen,

3. (n− 1)S2/σ2 ∼ χ2(n− 1).

Proof. Kita definisikan transformasi variabel berikut: y1 = x dan yi = xi − x, untuk

i = 2, . . . , n, sehingga diperoleh: xi = y1 + yi, i = 2, . . . , n dan x1 = y1 −∑n

i=2 yi.

Jacobian dari transformasi ini adalah

J =

1 −1 −1 · · · −1

1 1 0 · · · 0

1 0 1 · · · 0

......

......

...

1 0 0 · · · 0

⇒ det(J) = n.

Selanjutnya dari x1 − x = −∑ni=2(xi − x) = −∑n

i=2 yi diperoleh

n∑i=1

(xi − x)2 = (x1 − x) +n∑

i=2

(xi − x)2 =

(−

n∑i=2

yi

)2

+n∑

i=2

y2i . (1.3.3)

Karena saling bebas, fungsi densitas bersama dari X1, . . . , Xn adalah

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn) =1

(2π)n/2σnexp

− 1

2σ2

n∑i=1

(xi − µ)2

=1

(2π)n/2σnexp

− 1

2σ2

(n∑

i=1

(xi − x)2 + n(x− µ)2

).

Sehingga dari (1.3.3) fungsi densitas bersama dari variabel Y1, . . . , Yn adalah

gY1,...,Yn(y1, . . . , yn) =det(J)

(2π)n/2σnexp

−

1

2σ2

(−

n∑i=2

yi

)2

+n∑

i=2

y2i + n(y1 − µ)2

=1√

2πσ2/nexp

− 1

2σ2/n(y1 − µ)2

×

12

√n

(2π)(n−1)/2σ(n−1)exp

−

1

2σ2

(−

n∑i=2

yi

)2

+n∑

i=2

y2i

.

Persamaan yang terakhir menunjukan bahwa fungsi densitas bersama dari Y1, . . . , Yn

dapat difaktorkan sebagai hasil prgandaan antara fungsi densitas dari Y1 dan fungsi

densitas bersama dari Y2, . . . , Yn. Jadi Y1 = X independen terhadap Yi = Xi − X

untuk i = 2, . . . , n. Selanjutnya karena X1 − X = −∑ni=2(Xi − X), berarti X juga

independen terhadap X1 − X. Jadi pernyataan 1 terbukti.

Karena S2 merupakan fungsi dari Xi − X untuk i = 1, . . . , n, maka pernyataan 2

hanyalah merupakan akibat langsung dari pernyataan 1.

Kita menggunakan metode ketunggalan MGF untuk membuktikan pernyataan 3 :

Misalkan V1 :=∑n

i=1(Xi−µ)2

σ2 ∼ χ2(n), V2 := n(X−µ)2

σ2 ∼ χ2(1) dan V3 = (n−1)S2

σ2 . Dari

definisi dari S2 diperoleh: V1 = V3 + V2 dan dari pernyataan 2 jelaslah V2 dan V3

saling independen, sehingga berlaku

MV1(t) = MV3+V2(t) = MV3(t)MV2(t)

⇒ MV3(t) =MV1(t)

MV2(t)=

(1− 2t)−n/2

(1− 2t)−1/2= (1− 2t)−(n−1)/2,

yang merupakan MGF dari χ2(n− 1).

Contoh 1.3.12. Misalkan sebaran nilai ujian akhir mata kuliah Kewiraan mahasiwa

FMIPA Unhalu angkatan 2007/2008 diasumsikan berdistribusi N(60, 36). Untuk men-

guji kebenaran klaim bahwa σ2 = 36, sebuah sampel random berukuran 25 diambil dari

populasi ini. Asumsi akan ditolak jika S2 ≥ 54, 63 dan sebaliknya asumsi akan dito-

lak jika S2 < 54, 63. Tentukan berapa peluang menolak asumsi ini jika benar bahwa

populasinya N(60, 36).

Jawab:

13

Dari Teorema 1.3.11 pernyataan 3 kita peroleh:

PS2 ≥ 54, 63

= P

24S2

36≥ 36, 42

= 1− P

χ2(24) < 36, 42

= 0, 05

1.3.2 Distribusi t student

Teorema 1.3.13. Misalkan Z ∼ N(0, 1) dan Y ∼ χ2(ν). Jika Z dan Y saling

independen, maka T := Z√Y/ν

dikatakan berdistribusi t student dengan derajat bebas

ν. Selanjutnya dituliskan sebagai T ∼ t(ν). Fungsi densitas dari T adalah:

fT (t; ν) =Γ

(ν+12

)

Γ(

ν2

) 1√νπ

(1 +

t2

ν

)−(ν+1)/2

(1.3.4)

Proof. Kita definisikan transformasi T = Z√Y/ν

dan W = Y yang berakibat Z =

T√

W/ν dan Y = W . Jakobian dari transformasi yariabel t = z√y/ν

dan w = y

adalah

J =

√w/ν t

2√

w/ν

0 1

⇒ det(J) =

√w/ν.

Karena Z dan Y saling independen, maka fungsi densitas bersamanya adalah:

fZ,Y (z, y) = fZ(z)fY (y) =e−z2/2

√2π

yν/2−1e−y/2

2ν/2Γ(ν/2)=

yν/2−1e−(y/2+z2/2)

√2πΓ(ν/2)2ν/2

.

⇒ fT,W (t, w) = fZ,Y (z, y)det(J) =wν/2−1e−w/2e−t2w/2ν

√2πΓ(ν/2)2ν/2

√w/ν

=(w/2)ν/2−1/2e−w/2(1+t2/ν)

√4πνΓ(ν/2)

, −∞ < t < ∞, 0 < w < ∞.

Maka fungsi densitas marginal dari T adalah

fT (t) =

∫ ∞

0

(w/2)ν/2−1/2e−w/2(1+t2/ν)

√4πνΓ(ν/2)

dw.

14

Dengan memisalkan u := w/2(1+ t2/ν),maka integral ini dapat disederhanakan men-

jadi

fT (t) =

∫∞0

u(ν/2+1/2−1)e−u du√πνΓ(ν/2)(1 + t2/ν)(ν+1)/2

=Γ

(ν+12

)√

πνΓ(ν/2)(1 + t2/ν)−

(ν+1)2

Gambar berikut adalah grafik fungsi densitas dari distribusi t(1). Secara umum ben-

tuk grafiknya adalah bellshape serupa dengan grafik fungsi densitas distribusi normal

standar yaitu simetris terhadap titik t = 0.

t

f(t ;

1)

-10 -5 0 5 10

0.0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Gambar 1. Grafik fungsi densitas distribusi t(1).

Teorema 1.3.14. Jika X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari N(µ, σ2), maka

X − µ

S/√

n∼ t(n− 1), dimana S =

√√√√ 1

n− 1

n∑i=1

(Xi − X)2.

Proof. Misalkan Z := (X − µ)/√

σ2/n dan Y := (n − 1)S2/σ2, maka berlaku

X−µS/√

n= Z/

√Y/(n− 1), dengan Z ∼ N(0, 1) dan Y ∼ χ2(n − 1) (lih. Teorema

1.3.11 pernyataan 3). Selanjutnya karena Z dan Y saling independen (lih. Teorema

1.3.11 pernyataan 2), maka dari Teorema 1.3.13, teorema terbukti.

15

Sebagai catatan, untuk melakukan inferensi terhadap µ dari populasi N(µ, σ2),

maka quantitas X−µ√σ2/n

tidak bisa dipakai apabila σ2 tidak diketahui. Karena itu kita

melakukan estimasi dahulu terhadap σ2 dengan S2. Jadi disinilah letak penggunaan

dari distribusi t.

1.3.3 Distribusi F

Salah satu alasan kenapa distribusi F penting untuk di pelajari adalah jika kita

mempunyai 2 sampel random X1, . . . , Xn1 dari populasi N(µ1, σ21) dan Y1, . . . , Yn2

dari populasi N(µ2, σ22) dan kita ingin melakukan inferensi terhadap rasio σ2

1/σ22.

Teorema 1.3.15. Misalkan U ∼ χ2(r1) dan V ∼ χ2(r2). Jika U dan V saling inde-

penden, maka X := U/r1

V/r2berdistribusi F dengan derajat bebas r1 dan r2. Selanjutnya

distribusi ini kita tuliskan sebagai F (r1, r2). Persensil fγ(r1, r2) adalah konstanta

yang memenuhi persamaan PX ≤ fγ(r1, r2) = γ. Fungsi densitas dari X adalah:

fX(x; r1, r2) =

(r1

r2

)r1/2

Γ(

r1+r2

2

)x(r1/2−1)

Γ(r1/2)Γ(r2/2)(xr1/r2 + 1)(r1+r2)/2(1.3.5)

Proof. Kita definisikan transformasi variabel X = U/r1

V/r2dan Y = V , maka U =

XY r1/r2 dan V = Y . Jacobian dari transformasi u = xyr1/r2 dan v = y adalah:

J =

yr1/r2 xr1/r2

0 1

⇒ det(J) = yr1/r2.

Selanjutnya karena U dan V saling independen, fungsi densitas bersamanya adalah

fU,V (u, v; r1, r2) = fU(u; r1)fV (v; r2) =ur1/2−1vr2/2−1 exp−(u + v)/2

Γ(r1/2)Γ(r2/2)2(r1+r2)/2.

Maka fungsi densitas bersama antara X adan Y adalah:

fX,Y (x, y; r1, r2) = fU,V (u, v; r1, r2) det(J)

16

=(xy)

r12−1

(r1

r2

) r12−1

yr22−1

Γ(r1/2)Γ(r2/2)2(r1+r2)/2exp−(xyr1/r2)/2− y/2yr1/r2

=

(r1

r2

) r12

y(r1+r2)/2−1xr12−1

Γ(r1/2)Γ(r2/2)2(r1+r2)/2exp−y

2(xr1/r2 + 1).

Fungsi densitas marginal dari X adalah fX(x; r1, r2) =∫∞0

fX,Y (x, y; r1, r2) dy. Den-

gan menggunakan substitusi variabel w = y2(xr1/r2 + 1) atau y = 2w/(xr1/r2 + 1)

kita peroleh

fX(x; r1, r2) =

∫ ∞

0

(r1

r2

) r12

xr12−1w(r1+r2)/2−1 exp−w

Γ(r1/2)Γ(r2/2)(xr1/r2 + 1)(r1+r2)

2

dw,

yang menghasilkan (1.3.5).

Teorema 1.3.16. Jika X ∼ F (r1, r2), maka

E(Xr) =

(r1

r2

)r

Γ (r1/2 + r) Γ (r2/2− r)

Γ (r1/2) Γ (r2/2), r2 > 2r, (1.3.6)

E(X) =r2

r2 − 2, r2 > 2, (1.3.7)

V ar(X) =2r2

2(r1 + r2 − 2)

r1(r2 − 2)2(r2 − 4), r2 > 4 (1.3.8)

Proof. Karena U dan V saling bebas, maka berlaku

E(Xr) = E(U/r1)rE(V/r2)

−r =

(r1

r2

)r

E(U r)E(V −r).

Selanjutnya hasil di atas diperoleh dengan substitusi langsung terhadap E(U r) dan

E(V −r) untuk variabel chi kuadrat. Pernyataan yang lainnya adalah kejadian khusus

dari pernyataan pertama.

Contoh 1.3.17. Misalkan X1, . . . , Xn1 dan Y1, . . . , Yn2 merupakan dua sampel ran-

dom yang saling independen dari populasi, dimana Xi ∼ N(µ1, σ21) dan Yj ∼ N(µ2, σ

22).

17

Dari Teorema 1.3.11, jelaslah

(n1 − 1)S2

X

σ21

∼ χ2(n1 − 1) dan (n2 − 1)S2

Y

σ22

∼ χ2(n2 − 1),

dan keduanya jelas saling independen, sehingga

P

S2Xσ2

2

S2Y σ2

1

≤ fγ(n1 − 1, n2 − 1)

= γ ⇔ P

S2

X

S2Y fγ(n1 − 1, n2 − 1)

≤ σ21

σ22

= γ

1.4 Soal-soal

1. Misalkan Z1, . . . , Z16 adalah sampel random dari populasi N(0, 1). Dengan

menggunakan tabel atau software S-PLUS tentukan peluang berikut:

(a) P∑16

i=1 Z2i < 32

(b) P∑16

i=1(Zi − Z)2 < 25

2. Jika T ∼ t(ν), tentukan distribusi dari T 2?

Chapter 2

Estimasi titik

Pada chapter ini kita akan membahas beberapa metode estimasi yang penting, yaitu

metode momen dan metode estimasi dengan likelihood terbesar.

Seperti yang sudah dibahas pada Chapter 1, populasi atau phenomena yang men-

jadi perhatia, kita gambarkan dengan variabel random X : (Θ,F ,P) → (R,B,PX).

Secara umum populasi X diasumsikan mempunyai distribusi probabilitas dengan

fungsi densitas merupakan anggota dari keluarga

PX(θ1,...,θk) :=

fX(·; θ1, . . . , θk) : (θ1, . . . , θk) ∈ Θ := Θ1 × · · · ×Θk ⊂ Rk

,

dimana (θ1, . . . , θk), k ∈ N adalah bilangan-bilangan yang tidak diketahui nilainya

atau disebut juga parameter. Kita namakan Θ ruang parameter. Misalnya,

PX(µ,σ2) :=

1√

2πσ2exp− 1

2σ2(· − µ)2 : (µ, σ2) ∈ (−∞,∞)× (0,∞) ⊂ R2

,

yang berarti populasi X termasuk anggota dari keluarga distribusi normal dimana

setiap elemen dari keluarga ini diidentifikasi oleh suatu parameter µ dan σ2 yang tidak

diketahui nilainya. Tujuan dari estimasi titik adalah untuk menentukan nilai yang

18

19

sesuai dari parameter-parameter θ1, . . . , θk berdasarkan data hasil observasi terhadap

populasinya. Data x1, . . . , xn yang diperoleh dipandang secara matematik sebagai

realisasi atau nilai dari n variabel random yang saling independen X1, . . . , Xn dengan

Xi : (Θ,F ,P) → (R,B,PXi) dan Xi ∼ fX(·; θ1, . . . , θk), (θ1, . . . , θk) ∈ Θ. Fungsi

densitas bersama dari sampel random ini yang dihitung pada titik data x1, . . . , xn,

yaitu

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ1, . . . , θk) = Πni=1fX(xi; θ1, . . . , θk), (θ1, . . . , θk) ∈ Θ,

memberikan hubungan fungsional antara parameter-parameter yang tidak diketahui

dan data. Dengan kata lain dari data yang diperoleh dapat diidentifikasi berapa nilai

parameter yang sesuai.

Definisi 2.0.1. Statistik θ1 := t1(X1, . . . , Xn), . . . , θk := tk(X1, . . . , Xn) yang digu-

nakan untuk mengestimasi θ1, . . . , θk disebut estimator. Sedangkan nilainya yang

dihitung pada titik data, yaitu t1(x1, . . . , xn), . . . , tk(x1, . . . , xn) disebut estimasi un-

tuk θ1, . . . , θk.

Contoh 2.0.2. Misalkan X1, . . . , X10 adalah sampel random dari populasi N(µ, σ2),

dengan (µ, σ2) ∈ (−∞,∞) × (0,∞). Mean sampel X =∑10

i=1 Xi/10 sering dipakai

sebagai suatu estimator untuk µ. Jika pada suatu eksperimen diperoleh data misalnya

10, 20, 15, 30, 25, 30, 20, 15, 25, 5, maka rata-ratanya merupakan estimasi untuk

µ. Jadi suatu estimator jelas merupakan variabel random, sedangkan estimasi adalah

suatu bilanagn real.

20

2.1 Metode momen

Misalkan X ∼ fX(·; θ1, . . . , θk), (θ1, . . . , θk) ∈ Θ adalah populasi yang menjadi per-

hatian kita dan (θ1, . . . , θk) adalah parameter-parameter yang tidak diketahui. Mo-

mem ke j dari populasi ini terhadap titik pusat adalah µ′j := E(Xj). Biasanya µ′j

bergantung pada θ1, . . . , θk karena itu kita notasikan sebagai µ′j = µ′j(θ1, . . . , θk), j =

1, . . . , k. Misalkan X1, . . . , Xn adalah sampel random dari populasi fX(·; θ1, . . . , θk),

(θ1, . . . , θk) ∈ Θ. Momen sampel ke j didefinisikan sebagai M ′j := 1/n

∑ni=1 Xj

i ,

j = 1, . . . , k. Karena µ′j sangat dekat dengan M ′j, estimator θ1, . . . , θk dapat ditu-

runkan dengan meyelesaikan system persamaan

µ′j(θ1, . . . , θk) = M ′j, j = 1, . . . , k, (2.1.1)

secara simultan untuk θ1, . . . , θk. Selanjutnya estimator yang diperoleh dengan cara

seperti ini kita sebut sebagai estimator metode momen (moment method esti-

mator) disingkat MME.

Contoh 2.1.1. Misalkan X ∼ fX(·; µ, σ2), (µ, σ2) ∈ (−∞,∞) × (0,∞) dengan

E(X) = µ dan V ar(X) = σ2. Dalam hal ini kita mempunyai k = 2 dengan

θ1 = µ dan θ2 = σ2, sehingga MME µ dan σ2 adalah penyelesaian dari persamaan

µ = M ′1 dan σ2 + µ2 = M ′

2. Jadi µ = X dan σ2 = M ′2 − X2 = (n − 1)S2/n. Jadi

µ = t1(X1, . . . , Xn) = X dan σ2 = t2(X1, . . . , Xn) = (n− 1)S2/n.

Contoh 2.1.2. Misalkan X1, . . . , Xn adalah sampel random dari populasi Gamma(θ, κ).

Karena E(X) = κθ dan E(X2) = κ(1 + κ)θ2, maka MME θ dan κ dapat diperoleh

dengan menyelesaikan persamaan κθ = M ′1 dan κ(1 + κ)θ2 = M ′

2, untuk θ dan κ.

Jadi diperoleh κ = X/θ dengan θ =∑n

i=1(Xi − X)2/(nX) = [(n− 1)/(nX)]S2.

21

Contoh 2.1.3. Misalkan X1, . . . , Xn adalah sampel random dari populasi Gamma(θ).

Andaikan kita tertarik untuk mencari MME untuk PXi ≥ 1 = exp−1/θ. Karena

E(Xi) = θ, maka MME θ = X. Misalkan p := exp−1/θ, maka θ = −1/ ln(p).

MME untuk p adalah penyelesaian dari persamaan −1/ ln(p) = X untuk p. Jadi

p = exp−1/X.

2.2 Estimator dengan likelihood terbesar

Definisi 2.2.1. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan n variabel random dengan Xi ∼fXi

(·; θ1, . . . , θk), (θ1, . . . , θk) ∈ Θ, i = 1, . . . , n. Misalkan x1, . . . , xn merupakan

data atau suatu realisasi dari X1, . . . , Xn. Fungsi L : Θ → R≥0, sedemikian hingga

L(θ1, . . . , θk) = fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ1, . . . , θk) disebut fungsi likelihood. Sebagai ke-

jadian yang lebih khusus, jika X1, . . . , Xn merupakan suatu sampel random, maka

L(θ1, . . . , θk) = Πni=1fXi

(xi; θ1, . . . , θk).

Selanjutnya, nilai-nilai dari (θ1, . . . , θk) ∈ Θ yang dinyatakan sebagai (θ1, . . . , θk)

sedemikian hingga

L(θ1, . . . , θk) = max(θ1,...,θk)∈Θ

L(θ1, . . . , θk)

disebut estimasi dengan likelihood terbesar (engl. Maximum Likelihood Estimate).

Biasanya (θ1, . . . , θk) merupakan fungsi dari data x1, . . . , xn, misalkan sebagai θi =

ti(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , k. Jika fungsi-fungsi ini kita terapkan terhadap sampel ran-

dom X1, . . . , Xn, maka θi = ti(X1, . . . , Xn) disebut estimator dengan likelihood terbe-

sar (engl. Maximum Likelihood Estimator), disingkat MLE untuk θi, i = 1, . . . , k.

Dari definisi di atas adalah jelas bahwa permasalahan menentukan MLE adalah

termasuk permasalahan optimisasi. Nilai-nilai dari (θ1, . . . , θk) memberikan global

22

maksimum dari L(θ1, . . . , θk) pada Θ. Karena nilai-nilai dari (θ1, . . . , θk) yang

memaksimumkan L(θ1, . . . , θk) juga memaksimumkan log-likelihood ln L(θ1, . . . , θk),

maka untuk memudahkan perhitungan, kita akan perhatikan fungsi ln L(θ1, . . . , θk)

saja.

2.2.1 Kasus satu parameter (k = 1)

Jika ruang parameter Θ merupakan interval terbuka, dan jika L(·) terdiferensialkan

pada Θ, maka titik-titik extrim terjadi pada titik-titik yang merupakan penyelesaian

dari persamaan

d ln L(θ)

dθ= 0. (2.2.1)

Andaikan θ merupakan satu-satunya penyelesaian, maka titik θ adalah MLE, jika

d2 ln L(θ)

dθ2< 0. (2.2.2)

Jika penyelesaian dari (2.2.1) tidak tunggal, misalkan sebagai θ1, . . . , θm, m ∈ N dan

semuanya memenuhi (2.2.2), maka MLE adalah

arg maxθ1,...,θm

L(θ1), . . . , L(θm). (2.2.3)

Contoh 2.2.2. Misalkan X1, . . . , Xn adalah sampel random dari populasi X ∼ POI(λ),

λ > 0. Fungsi likeihood dari datanya adalah

L(λ) = Πni=1

e−λλxi

xi!=

e−nλλ∑n

i=1 xi

Πni=1(xi!)

.

Fungsi log-likelihoodnya adalah

ln L(λ) = −nλ +n∑

i=1

xi ln λ− Πni=1(xi!).

⇒d ln L(λ)

dλ= 0 ⇔ −n +

1

λ

n∑i=1

xi = 0 ⇔ λ = x.

23

Selanjutnya uji turunan ke dua pada titik λ = x memberikan

d2 ln L(λ)

dλ2= − 1

x2

n∑i=1

xi = −n

x< 0.

Jadi MLE untuk λ adalah λ = X.

Catatan :

Tidak selamanya MLE dapat diperoleh melalui metode diferensial seperti pada kasus

berikut.

Contoh 2.2.3. Misalkan X1, . . . , Xn adalah sampel random dari populasi X ∼ Exp(1, η),

x ≥ η. Fungsi likelihoodnya adalah

L(η) =

Πni=1 exp−(xi − η) = exp−∑n

i=1(xi − η) ; untuk xi ≥ η, ∀i0 ; untuk xi < η, untuk suatu i

.

Karena d ln L(η)dη

= n, maka metode diferensial jelas tidak dapat diterapkan, oleh karena

itu kita harus mencari metode alternatif. Misalkan x1:n, . . . , xr:n, . . . , xn:n merupakan

sampel terurut, yaitu x1:n ≤ x2:n ≤ . . . ≤ xr−1:n ≤ xr:n ≤ xr+1:n ≤ . . . ≤ xn:n. Maka

fungsi likelihood dapat pula di nyatakan sebagai

L(η) =

expn(η − x) ; untuk x1:n ≥ η

0 ; untuk η > x1:n

.

Berarti MLE η = X1:n, yaitu sampel terkecil.

2.2.2 Kasus k parameter

Misalkan ruang parametr Θ merupakan himpunan terbuka pada ruang Euclid Rk dan

L(·) terdiferensialkan pada Θ. Titik-titik ekstrim adalah titik-titik yang merupakan

24

penyelesaian dari system persamaan

∂ ln L(θ1, . . . , θk)

∂θj

= 0, j = 1, . . . , k. (2.2.4)

Selanjutnya apakah titik-titik ekstrim ini memberikan nilai maksimum, harus diver-

ifikasi. Untuk kasus k = 2, kita gunakan alat dari kalkulus sebagai berikut. Mis-

alkan L(θ1, θ2) terdiferensialkan sampai order kedua, dan misalkan (θ1, θ2) merupakan

penyelesaian tunggal dari persamaan (2.2.4). Misalkan

D(θ1, θ2) :=

(∂2 ln L(θ1, θ2)

∂θ21

)(∂2 ln L(θ1, θ2)

∂θ22

)−

(∂2 ln L(θ1, θ2)

∂θ1∂θ2

). (2.2.5)

Jika D(θ1, θ2) > 0 dan ∂2 ln L(θ1,θ2)

∂θ21

(θ1, θ2) < 0, maka (θ1, θ2) merupakan MLE. Dalam

kasus penyelesaian dari (2.2.4) tidak tunggal, semua penyelesaian harus diverifikasi

apakah dia merupakan titik maksimum atau bukan. Selanjutnya MLE adalah titik

(θ1, θ2) dengan L(θ1, θ2) terbesar.

Contoh 2.2.4. Misalkan X1, . . . , Xn adalah sampel random dengan Xi ∼ N(µ, σ2).

Kita mempunyai

L(µ, σ2) = Πni=1

1√2πσ2

exp

−1

2σ2(xi − µ)2

, (µ, σ2) ∈ (−∞,∞)× (0,∞)

=1

(2π)n/2σnexp

− 1

2σ2

n∑i=1

(xi − µ)2

ln L(µ, σ2) = −n

2ln(2π)− n

2ln σ2 − 1

2σ2

n∑i=1

(xi − µ)2. (2.2.6)

Dari dua persamaan

∂ ln L(µ, σ2)

∂µ=

1

σ2

n∑i=1

(xi − µ) = 0

∂ ln L(µ, σ2)

∂σ2= − n

2σ2+

1

2σ4

n∑i=1

(xi − µ)2 = 0,

25

diperoleh µ = x dan σ2 =∑n

i=1(xi−x)2

n=: s2

n. Selanjutnya masih harus diverifikasi,

apakah syarat untuk D(σ2, s2n) dipenuhi. Dari persamaan diatas, kita peoleh

∂2 ln L(µ, σ2)

∂µ2(σ2, s2

n) = − n

s4n

∂2 ln L(µ, σ2)

∂(σ2)2(σ2, s2

n) =n

2(σ2)4− 1

(σ2)3

n∑i=1

(xi − x)2 = − n

2s4n

∂2 ln L(µ, σ2)

∂µ∂σ2(σ2, s2

n) = − 1

(s2n)2

n∑i=1

(xi − x) = 0.

Jadi D(σ2, s2n) > 0, dan karena −n/(s2

n)2 selalu negatif, maka dapat dipastikan X

dan S2n :=

∑ni=1(Xi − X)2/n merupakan MLE untuk µ dan σ2.

Contoh 2.2.5. Perhatikan sampel random X1, . . . , Xn dari distribusi Exp(θ, η). Fungsi

densitas populasinya adalah

f(x; θ, η) =

1θexp(x− η)/θ ; x ≥ η

0 ; η > x.

Maka

ln L(θ, η) =

−n ln θ −∑n

i=1(xi − η)/θ ; untuk x1:n ≥ η, ∀i0 ; untuk x1:n < η, untuk suatu i

.

Karena ln L(θ, η) tidak terdiferensial terhadap η pada titik dimana ln L(θ, η) mencapai

maksimum, maka MLE untuk η adalah η = X1:n. Selanjutnya dari persamaan

∂ ln L(η, θ)

∂θ= −n

θ+

1

θ2

n∑i=1

(xi − x1:n) = 0,

diperoleh MLE untuk θ,

θ =1

n

n∑i=1

(Xi −X1:n).

26

2.3 Keriteria-keriteria memilih estimator

Pada dua subbab sebelumnya telah dibahas metode-metode untuk menurunkan es-

timator terhadap parameter-parameter dari populasi. Pada subbab ini kita akan

merumuskan beberapa keriteria untuk membandingkan estimator sehingga kita bisa

memilih yang mana yang ”terbaik”.

2.3.1 Ketakbiasan

Definisi 2.3.1. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi fX(·; θ),θ ∈ Θ ⊂ R. Misalkan τ : Θ → R merupakan fungsi real pada ruang parameter. Suatu

estimator T := t(X1, . . . , Xn) disebut estimator tak bias jika E(T ) = τ(θ), ∀θ ∈ Θ.

Sebaliknya, jika kondisi ini tidak dipenuhi, kita sebut T estimator bias.

Contoh 2.3.2. Sebagai contoh misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari

populasi dengan mean µ dan variansi σ2. Dari Contoh 1.2.2, mean sampel X adalah

tak bias untuk µ dan variansi sampel S2 adalah tak bias untuk σ2. Dalam kasus ini

kita memilih τ sebagai fungsi identitas.

Suatu estimator yang bias untuk τ(θ) dapat dimodifikasi dengan cara sedemikian

rupa sehingga hasil modifikasinya tak bias, seperti yang diperagakan pada contoh

berikut.

Contoh 2.3.3. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi Exp(θ)

atau Gamma(θ, 1). Jelaslah X tak bias untuk θ. Tetapi 1/X bias terhadap 1/θ,

seperti ditunjukan berikut. Misalkan Y := 2nX/θ =∑n

i=1 2Xi/θ. Maka Y ∼ χ2(2n).

27

Dari Remark 1.3.5, untuk kasus r = −1, berlaku

E(Y −1) =1

2(n− 1)=

θ

2nE

(1

X

)⇒ E

(1

X

)=

n

(n− 1)

1

θ.

Jadi 1/X adalah bias terhadap 1/θ. Misalkan T := (n − 1)/(nX), maka T jelas tak

bias terhadap 1/θ. Berapakah variansi dari T?

2.3.2 Keterkonsentrasian dan UMVUE

Definisi 2.3.4. Misalkan T1 dan T2 merupakan estimator (tidak harus tak bias) untuk

τ(θ). T1 dikatakan lebih terkonsentrasi disekitar τ(θ) daripada T2 jika untuk setiap

ε > 0 berlaku,

P|T1 − τ(θ)| < ε ≥ P|T2 − τ(θ)| < ε. (2.3.1)

Definisi 2.3.5. Misalkan Aτ(θ) merupakan himpunan semua estimator (tidak harus

tak bias) untuk τ(θ). T ∗ dikatakan paling terkonsentrasi disekitar τ(θ) jika untuk

setiap ε > 0 berlaku,

P|T ∗ − τ(θ)| < ε = supT∈Aτ(θ)

P|T − τ(θ)| < ε. (2.3.2)

Remark 2.3.6. Misalkan Uτ(θ) merupakan himpunan semua estimator tak bias untuk

τ(θ). Dengan ketaksamaan Chebychev diperoleh

P|T − τ(θ)| < ε ≥ 1− V ar(T )

ε2, ∀ε > 0. (2.3.3)

Jadi berdasarkan ketaksamaan (2.3.3), jika T ∗ ∈ Uτ(θ), maka T ∗ merupakan estimator

tak bias yang paling terkonsentrasi disekitar τ(θ) dibandingkan dengan estimator-

estimator lainnya di dalam Uτ(θ), jika dipenuhi

V ar(T ∗) = infT∈Uτ(θ)

V ar(T ), ∀θ ∈ Θ. (2.3.4)

28

Kriteria ini menghasilkan suatu konsep baru dalam pemilihan estimator terbaik, yaitu

konsep estimator tak bias dengan variansi minimum seragam (uniformly minimum

variance unbiased estimator), disingkat UMVUE. Selanjutnya estimator tak bias yang

memenuhi (2.3.4) disebut UMVUE.

Teorema 2.3.7. (Batas bawah Cramer-Rao)

Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari f(·; θ), θ ∈ Θ. Jika T :=

t(X1, . . . , Xn) merupakan estimator tak bias untuk τ(θ), dan jika τ ′(θ) := dτ(θ)/dθ

ada. Maka batas bawah Cramer-Rao untuk τ(θ) adalah

V ar(T ) ≥ [τ ′(θ)]2

nE(

∂∂θ

ln f(Xi; θ))2 (2.3.5)

Proof. Pertama-tama kita definisikan suatu fungsi u : Rn → R, dimana

u(x1, . . . , xn; θ) :=∂

∂θln f(x1, . . . , xn; θ) =

1

f(x1, . . . , xn; θ)

∂

∂θf(x1, . . . , xn; θ)

⇒u(x1, . . . , xn, θ)f(x1, . . . , xn; θ) =∂

∂θf(x1, . . . , xn; θ).

Selanjutnya kita definisikan suatu quantitas random yang masih bergantung pada θ,

yaitu U := u(X1, . . . , Xn; θ). Maka

E(U) =

∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞u(x1, . . . , xn; θ)f(x1, . . . , xn; θ) dx1 · · · dxn

=

∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞

∂

∂θf(x1, . . . , xn; θ) dx1 · · · dxn

=∂

∂θ

∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞f(x1, . . . , xn; θ) dx1 · · · dxn

=∂

∂θ1 = 0.

Pada perhitungan ekspektasi dari U , pertukaran tanda integral dan diferensial dapat

dilakukan karena domain dari integran-nya tidak bergantung pada θ. Dari asumsi T

29

tak bias terhadap τ(θ), diperoleh

τ ′(θ) =∂

∂θE(T )

=∂

∂θ

∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞t(x1, . . . , xn)f(x1, . . . , xn; θ) dx1 · · · dxn

=

∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞t(x1, . . . , xn)

∂

∂θf(x1, . . . , xn; θ) dx1 · · · dxn

=

∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞t(x1, . . . , xn)u(x1, . . . , xn; θ)f(x1, . . . , xn; θ) dx1 · · · dxn

= E(TU).

Dari kedua hasil diatas diperoleh Cov(T, U) = E(TU)−E(T )E(U) = τ ′(θ). Pada sisi

lain, ketaksamaan Cauchy-Schwarz memberikan [Cov(T, U)]2 ≤ V ar(T )V ar(U),

sehingga V ar(T ) ≥ [Cov(T, U)]2/V ar(U) = [τ ′(θ)]2/V ar(U). Selanjutnya kita veri-

fikasi lebih lanjut bentuk dari V ar(U). Mengingat X1, . . . , Xn adalah sampel random,

maka

V ar(U) =V ar

(∂

∂θln Πn

i=1f(Xi; θ)

)= V ar

(n∑

i=1

∂

∂θln f(Xi; θ)

)

=n∑

i=1

V ar

(∂

∂θln f(Xi; θ)

)= nE

(∂

∂θln f(Xi; θ)

)2

.

Dari hasil yang terakhir ini, diperoleh Ketaksamaan (2.3.5).

Catatan :

Jika V ar(T ) mencapai batas bawah Cramer-Rao, maka T jelas merupakan UMVUE.

Contoh 2.3.8. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari Exp(θ). Kita

ingin menentukan batas bawah Cramer-Rao untuk τ(θ) = θ. Karena f(Xi; θ) =

1θexp−Xi/θ, maka

E(

∂

∂θln f(Xi; θ)

)2

= E(

Xi − θ

θ2

)2

=V ar(Xi)

θ4=

1

θ2.

30

Batas bawah Cramer-Rao untuk θ adalah θ2/n. Karena X merupakan estimator tak

bias untuk θ dengan V ar(X) = θ2/n, maka X merupakan UMVUE untuk θ.

Catatan:

Variansi dari suatu estimator tak bias T untuk τ(θ) akan mencapai (sama dengan)

batas bawah Cramer-Rao untuk τ(θ), jika [Cov(T, U)]2 = V ar(T )V ar(U). Dengan

kata lain korelasi antara T dan U harus sama dengan 1 atau −1. Ini terjadi, jika dan

hanya jika T merupakan fungsi linear dari U , yaitu fungsi yang berbentuk T = aU +b

untuk suatu konstanta a dan b.

Contoh 2.3.9. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari distribusi Geo(p),

dengan f(Xi; p) = p(1− p)1−Xi, Xi = 0, 1, dan E(X) = 1/p. Kita ingin menentukan

estimator T yang tak bias terhadap 1/p, sedemikian hingga T = aU + b, untuk suatu

konstanta a dan b. Dari rumus fungsi densitasnya, kita dapatkan

U =n∑

i=1

∂

∂p(ln p + (Xi − 1) ln(1− p)) =

n∑i=1

(1

p− Xi − 1

1− p

).

Sehingga setelah penyederhanaan diperoleh

T := aU + b =an

p− 1X +

(b− an

p(p− 1)

)= cX + d,

dimana c := anp−1

dan d := b − anp(p−1)

. Karena X merupakan estimator tak bias

untuk 1/p, sehingga agar T juga tak bias terhadap 1/p, maka harus dipilih c = 0 dan

d = 0. Variansi dari X adalah (1−p)/(np2) dan dipastikan sama dengan batas bawah

Cramer-Rao untuk 1/p.

Definisi 2.3.10. Misalkan T , T ∗ ∈ Uτ(θ), dimana Uτ(θ) adalah himpunan semua

estimator tak bias untuk τ(θ). Efisiensi relatif dari T terhadap T ∗ adalah

re(T, T ∗) :=V ar(T ∗)V ar(T )

. (2.3.6)

31

Estimator T ∗ ∈ Uτ(θ) dikatakan efisien jika re(T, T ∗) ≤ 1, ∀T ∈ Uτ(θ) and ∀θ ∈ Θ.

Selanjutnya, jika T ∗ merupakan estimator yang efisien, maka efisiensi dari suatu

estimator T ∈ Uτ(θ) diberikan oleh e(T ) := re(T, T ∗).

Definisi 2.3.11. Misalkan T merupakan sembarang estimator untuk τ(θ). Bias dari

T terhadap τ(θ), dinotasikan sebagai b(T ) adalah

b(T ) := E(T )− τ(θ). (2.3.7)

Sedangkan mean dari kudrat kesalahan mengestimasi τ(θ) dengan T disebut MSE

(engl. mean squared error) dari T , adalah

MSE(T ) := E (T − τ(θ))2 . (2.3.8)

Teorema 2.3.12. If T merupakan suatu estimator untuk τ(θ), maka

MSE(T ) = V ar(T ) + [b(T )]2.

Proof.

MSE(T ) =E (T − E(T ) + E(T )− τ(θ))2

=E (T − E(T ))2 + (E(T )− E(T )) (E(T )− τ(θ)) + (E(T )− τ(θ))2

=E (T − E(T ))2 + (E(T )− τ(θ))2

=V ar(T ) + [b(T )]2.

Keriteria MSE mengakomodasi dua quantitas yaitu variansi dan bias. Kriteria ini

akan sesuai dengan kriteria UMVUE jika perhatian kita batasi pada estimator tak

bias.

32

2.4 Soal-soal

1. Jika X1, . . . , Xn merupakan sampel random yang diambil dari populasi berikut.

Tentukan MME dan MLE untuk parameter-parameternya!

(a) f(x; θ) =

θxθ−1 ; 0 < x < 1

0 ; x ≤ 0 atau x ≥ 1, θ > 0.

(b) f(x; θ) =

(θ + 1)x−θ−2 ; 1 < x

0 ; x ≤ 1, θ > 0.

(c) f(x; θ) =

θ2xe−θx ; 0 < x

0 ; x ≤ 0, θ > 0.

(d) Xi ∼ PAR(θ, κ), θ dan κ tidak diketahui.

(e) f(x; θ1, η) =

θηθx−θ−1 ; η ≤ x

0 ; x < η, 0 < θ, 0 < η < ∞.

Chapter 3

Statistik cukup, keluarga lengkap

dan keluarga eksponensial

Pada chapter ini kita akan membahas konsep statistik cukup (engl. sufficient statis-

tic), statistik lengkap (engl. complete statistic) dan suatu keluarga fungsi distribusi

probabilitas yang disebut keluarga eksponensial (engl. exponential family). Ketiga

konsep ini sangat penting karena melandasi konsep perumusan prosudur inferensi pa-

rameter, seperti estimasi interval dan uji hipotesis yang akan dibahas pada 2 chapter

berikutnya.

3.1 Statistik cukup

Sebelum kita memberikan definisi formal dari statistik cukup, kita ikuti ilustrasi

berikut. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi BIN(1, θ),

0 < θ < 1. Fungsi densitas bersama dari X1, . . . , Xn dihitung pada titik (x1, . . . , xn)

33

34

adalah

fX1,...,Xp(x1, . . . , xn; θ) =

θ

∑ni=1 xi(1− θ)n−∑n

i=1 xi ; jika xi ∈ 0, 1, ∀i0 ; jika xi 6∈ 0, 1

.

Andaikan kita tertarik pada statistik Y1 :=∑n

i=1 Xi. Jelas Y1 berdistribusi BIN(n, θ),

sehingga fungsi densitas dari Y1 adalah

fY1(y1; θ) =

(n

y1

)θy1(1− θ)n−y1 ; jika y1 ∈ 0, 1, . . . , n

0 ; jika y1 6∈ 0, 1, . . . , n.

Misalkan A := ω ∈ Ω : Y1(X1(ω), . . . , Xn(ω)) = y1. Untuk suatu titik (x1, . . . , xn)

yang tertetu, misalkan B := ω ∈ Ω : X1(ω) = x1, . . . , Xn(ω) = xn. Maka B ∩ A =

B, jika Y1(x1, . . . , xn) = y1. Sebaliknya jika Y1(x1, . . . , xn) 6= y1, maka B ∩ A = ∅.Sehingga peluang bersyarat

P X1 = x1, . . . , Xn = xn | Y1 = y1 = P(B | A) =P(B ∩ A)

P(A)

=

θ∑n

i=1 xi (1−θ)n−∑ni=1 xi

n

y1

θy1 (1−θ)n−y1

; jika Y1(x1, . . . , xn) = y1

0 ; jika Y1(x1, . . . , xn) 6= y1

=

1

n

y1

; jika∑n

i=1 xi = y1

0 ; jika∑n

i=1 xi 6= y1

.

Jadi P X1 = x1, . . . , Xn = xn | Y1 = y1 tidak bergantung pada θ untuk setiap titik

(data) (x1, . . . , xn) yang memenuhi sifat∑n

i=1 xi = y1. Statistik Y1 yang memenuhi

sifat ini disebut statistik cukup untuk θ.

Definisi 3.1.1. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi dengan

fungsi densitas fX(·; θ), θ ∈ Θ ⊆ R. Misalkan Y1 = u1(X1, . . . , Xn) merupakan

35

statistik dengan fungsi densitas gY1(·; θ), θ ∈ Θ. Maka Y1 adalah statistik cukup

untuk θ, jika dan hanya jika

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ)

gY1(y1; θ)= H(x1, . . . , xn), (3.1.1)

dimana H(x1, . . . , xn) adalah fungsi yang tidak bergantung pada θ untuk setiap titik

(data) (x1, . . . , xn) dengan sifat u1(x1, . . . , xn) = y1.

Catatan :

Jika Y1 merupakan statistik cukup untuk θ, semua informasi tentang parameter θ

dibawa oleh Y1. Ini berarti inferensi tentang θ harus didasarkan pada Y1 bukan pada

statistik yang lain. Selanjutnya, pada bagian ini kita batasi pembicaraan pada kasus

variabel kontinu dengan satu parameter, yaitu Θ ⊆ R. Kasus diskrit ditangani secara

analog.

Teorema 3.1.2. (Teorema Faktorisasi)

Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi dengan fungsi densitas

fX(·; θ), θ ∈ Θ. Statistik Y1 = u1(X1, . . . , Xn) merupakan statistik cukup untuk θ,

jika dan hanya jika terdapat fungsi-fungsi tidak negatif k1 dan k2 sedemikian hingga

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ) = k1(u1(x1, . . . , xn); θ)k2(x1, . . . , xn),

dimana untuk setiap titik (x1, . . . , xn) yang bersifat y1 = u1(x1, . . . , xn), k2(x1, . . . , xn)

tidak bergantung pada θ.

Proof. (⇐) Pertama-tama kita definisikan suatu transformasi satu-satu

y1 = u1(x1, . . . , xn), . . . , yn = un(x1, . . . , xn)

dengan invers

x1 = w1(y1, . . . , yn), . . . , xn = wn(y1, . . . , yn).

36

Maka fungsi densitas bersama dari Y1, . . . , Yn adalah

fY1,...,Yn(y1, . . . , yn; θ) = fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ) |J |

= k1(u1(x1, . . . , xn); θ)k2(x1, . . . , xn) |J |

= k1(y1; θ)k2(w1(y1, . . . , yn), . . . , wn(y1, . . . , yn)) |J | .

Fungsi densitas marginal dari Y1 adalah

gY1(y1; θ) =

∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞k1(y1; θ)k2(w1(y1, . . . , yn), . . . , wn(y1, . . . , yn)) |J | dy2 · · · dyn

= k1(y1; θ)

∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞k2(w1(y1, . . . , yn), . . . , wn(y1, . . . , yn)) |J | dy2 · · · dyn

= k1(y1; θ)m(y1),

dimana m(y1) :=∫∞−∞ · · ·

∫∞−∞ k2(w1(y1, . . . , yn), . . . , wn(y1, . . . , yn)) |J | dy2 · · · dyn. Di

sini jelas bahwa m(y1) merupakan fungsi yang tidak bergantung pada θ maupun

y2, . . . , yn, melainkan hanya pada y1. Sehingga

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ)

gY1(y1; θ)=

k1(u1(x1, . . . , xn); θ)k2(x1, . . . , xn)

k1(u1(x1, . . . , xn); θ)m(u1(x1, . . . , xn))

=k2(x1, . . . , xn)

m(u1(x1, . . . , xn)).

Karena ruas kanan dari persamaan yang terakhir tidak bergantung pada θ untuk

setiap (x1, . . . , xn) yang bersifat y1 = u1(x1, . . . , xn), sesuai Definisi (3.1.1), Y1 adalah

statistik cukup untuk θ.

(⇒) Jika Y1 = u1(X1, . . . , Xn) merupakan statistik cukup untuk θ, maka sesuai Defin-

isi (3.1.1), berlaku

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ)

gY1(y1; θ)= H(x1, . . . , xn),

dimana H(x1, . . . , xn) merupakan suatu fungsi yang tidak bergantung pada θ untuk

setiap (x1, . . . , xn) yang bersifat u1(x1, . . . , xn) = y1. Selanjutnya dengan mengambil

37

k1(u1(x1, . . . , xn); θ) := gY1(y1; θ) dan k2(x1, . . . , xn) := H(x1, . . . , xn), maka syarat

perlu terbukti.

Contoh 3.1.3. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari N(µ, σ2), den-

gan −∞ < µ < ∞ dan diasumsikan σ2 diketahui. Apakah X merupakan statistik

cukup untuk µ?. Karena

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; µ, σ2) =1

(2π)n/2σnexp

− 1

2σ2

n∑i=1

(xi − µ)2

=1

(2π)n/2σnexp

− 1

2σ2

(n∑

i=1

(xi − x)2 + n(x− µ)2

)

Kita akan menerapkan Teorema Faktorisasi, karena itu kita harus mengelompokan x

dan µ ke dalam argumen dari k1, sedangkan k2 tidak boleh bergantung pada µ. Ambil

k1(x; µ) := exp−n(x−µ)2

2σ2 dan k2(x1, . . . , xn) := 1(2π)n/2σn exp− 1

2σ2

∑ni=1(xi − x)2.

Maka berlaku fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; µ, σ2) = k1(x; µ)k2(x1, . . . , xn). Karena k2 tidak

bergantung pada µ maka X merupakan statistik cukup untuk µ.

Contoh 3.1.4. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan samplel random dari populasi den-

gan fungsi densitas f(x; θ) =

θxθ−1 ; 0 < x < 1

0 ; x ≤ 0 atau x ≥ 1, θ > 0. Dengan fak-

torisasi,

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ) =

θn (Πni=1xi)

θ−1 ; 0 < xi < 1, ∀i0 ; ∃i, xi ≤ 0 atau xi ≥ 1

, θ > 0.

Atau fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ) = θn (Πni=1xi)

θ 1Πn

i=1xi, 0 < xi < 1, ∀i. Dengan mendefin-

isikan k1(Πni=1xi; θ) := θn (Πn

i=1xi)θ dan k2(x1, . . . , xn) := 1

Πni=1xi

, statistik Πni=1Xi

merupakan statistik cukup untuk θ.

Catatan

Misalkan Y1 := u1(X1, . . . , Xn) merupakan statistik cukup untuk θ ∈ Θ. Jika Z :=

38

u(Y1) atau Z = u(u1(X1, . . . , Xn)) := ν(X1, . . . , Xn) dengan invers Y1 := w(Z), maka

Z juka merupakan statistik cukup untuk θ. Ini terjadi karena

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ) = k1(u1(x1, . . . , xn); θ)k2(x1, . . . , xn)

= k1(w(ν(x1, . . . , xn)); θ)k2(x1, . . . , xn)

Karena k1 hanya bergantung pada z = ν(x1, . . . , xn) dan θ sedangkan k2 tidak bergan-

tung pada θ, maka teorema faktorisasi Z = u(Y1) merupakan statistik cukup untuk

θ ∈ Θ.

Teorema 3.1.5. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi X

dengan fungsi densitas fX(·, θ), θ ∈ Θ. Jika Y1 = u1(X1, . . . , Xn) merupakan statistik

cukup untuk θ dan θ adalah MLE untuk θ dengan θ tunggal, maka terdapat suatu

fungsi h : R→ R, sedemikian hingga θ = h(Y1).

Proof. Dari teorema faktorisasi diperoleh

L(θ) = fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ)

= k1(u1(x1, . . . , xn); θ)k2(x1, . . . , xn)

⇒ L(θ) = maxθ∈Θ

k1(u1(x1, . . . , xn); θ)k2(x1, . . . , xn).

Karena k2 merupakan fungsi yang tidak bergantung pada θ, maka berlaku

k1(u1(x1, . . . , xn); θ) = maxθ∈Θ

k1(u1(x1, . . . , xn); θ).

Dengan kata lain θ memaksimumkan L(θ) dan k1(u1(x1, . . . , xn); θ) secara simultan.

Dari persamaan yang terakhir θ merupakan suatu fungsi dari u1(x1, . . . , xn), yaitu

θ = h(u1(x1, . . . , xn)) untuk setiap (x1, . . . , xn) yang bersifat u1(x1, . . . , xn) = y1.

Jadi θ = h(Y1).

39

Teorema 3.1.6. (Teorema Rao-Blackwell)

Misalkan X dan Y merupakan dua variabel random. Misalkan µX := E(X) dan

µY := E(Y ). Misalkan ϕ : R→ R dengan ϕ(x) := E(Y | X = x). Maka

1. E(ϕ(X)) = µY , dengan kata lain ϕ(Y ) adalah tak bias terhadap µY .

2. V ar(ϕ(X)) ≤ V ar(Y ).

Proof. Kita buktikan teorema ini untuk kasus X dan Y variabel random kontinu,

sedangkan pembukiannya analog dengan kasus kontinu. Misalkan fX(·) dan fY (·)masing-masing merupakan fungsi densitas marginal dari X dan Y . Misalkan fX,Y (·)merupakan fungsi densitas bersama dari X dan Y , sedangkan fY |X(· | x) merupakan

fungsi densitas bersyarat dari Y diberikan X = x untuk suatu x ∈ R. Maka

ϕ(x) = E(Y | X = x) =

∫ ∞

−∞yfY |X(y | x)dy =

∫ ∞

−∞yfX,Y (x, y)

fX(x)dy

⇒ϕ(x)fX(x) =

∫ ∞

−∞yfX,Y (x, y)dy.

Sehingga

E(ϕ(X)) =

∫ ∞

−∞ϕ(x)fX(x)dx =

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞yfX,Y (x, y)dy

)dx

=

∫ ∞

−∞y

(∫ ∞

−∞fX,Y (x, y)dx

)dy =

∫ ∞

−∞yfY (y)dy = µY .

Ini membuktikan pernyataan pertama. Untuk membuktikan pernyataan kedua, kita

berjalan dari definisi dasar dari V ar(Y ). Dari definisi diperoleh

V ar(Y ) = E (Y − µY )2 = E (Y − ϕ(X) + ϕ(X)− µY )2

= E (Y − ϕ(X))2 + E (ϕ(X)− µY )2 + 2E (Y − ϕ(X)) (ϕ(X)− µY )

= E (Y − ϕ(X))2 + V ar (ϕ(X)) + 2E (Y − ϕ(X)) (ϕ(X)− µY )

40

Pernyataan ke dua akan terbukti jika 2E (Y − ϕ(X)) (ϕ(X)− µY ) = 0. Karena

fX,Y (x, y) = fX(x)fY |X(y | x), maka diperoleh

E (Y − ϕ(X)) (ϕ(X)− µY ) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞(y − ϕ(x))(ϕ(x)− µY )fX,Y (x, y)dydx

=

∫ ∞

−∞(ϕ(x)− µY )

(∫ ∞

−∞(y − ϕ(x))fY |X(y | x)dy

)fX(x)dx.

Tetapi

∫ ∞

−∞(y − ϕ(x))fY |X(y | x)dy =

∫ ∞

−∞yfY |X(y | x)dy −

∫ ∞

−∞ϕ(x)fY |X(y | x)dy

=

∫ ∞

−∞yfY |X(y | x)dy − ϕ(x)

∫ ∞

−∞fY |X(y | x)dy

= ϕ(x)− ϕ(x) = 0.

Selanjutnya karena E (Y − ϕ(X))2 ≥ 0, maka terbukti V ar(ϕ(X)) ≤ V ar(Y ).

Catatan :

Jika P (X,Y )(x, y) ∈ R2 : y − ϕ(x) = 0 = 0, maka kita peroleh ketaksamaan tegas

(engl. strick): V ar(ϕ(X)) < V ar(Y ). Ini terjadi karena hal berikut

E (Y − ϕ(X))2 =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞(y − ϕ(x))2fX,Y (x, y)dxdy

=

∫

(x,y)∈R2:(y−ϕ(x))2=0(y − ϕ(x))2fX,Y (x, y)dxdy

+

∫

(x,y)∈R2:(y−ϕ(x))2>0(y − ϕ(x))2fX,Y (x, y)dxdy

= 0 +

∫ ∞

−∞1(x,y)∈R2:(y−ϕ(x))2>0(y − ϕ(x))2fX,Y (x, y)dxdy

> 0

∫ ∞

−∞fX,Y (x, y)dxdy = 0,

dimana untuk suatu A ⊂ R2, 1A adalah indikator untuk A yang didefinisikan sebagai

1A(x, y) :=

1; jika (x, y) ∈ A

0; jika (x, y) 6∈ A

41

Contoh 3.1.7. Misalkan X ∼ N(µ1, σ21) dan Y ∼ N(µ2, σ

22), Cor(X, Y ) = ρ. Maka,

E (Y | X = x) =

∫ ∞

−∞yfX,Y (x, y; µ1, µ2, σ

21, σ

22)

fX(x; µ1, σ21)

dy

=µ2 + ρσ2

σ1

(x− µ1) =: ϕ(x),

(lihat Hogg dan Craig, 1978, hal. 117-118). Sehingga kita peroleh

E (ϕ(X)) = E(

µ2 + ρσ2

σ1

(X − µ1)

)= µ2.

Jadi hasil ini sesui dengan pernyataan pertama dari teorema Rao-Blackwell. Tetapi

ϕ(X) bukan merupakan statistik, karena dia bergantung pada lima parameter yang

tidak diketahui. Selanjutnya

V ar(ϕ(X)) = E(

µ2 + ρσ2

σ1

(X − µ1)− µ2

)2

= E(

ρσ2

σ1

(X − µ1)

)2

= ρ2σ22

σ21

σ21 = ρ2σ2

2.

Karena −1 < ρ < 1, yang berakibat ρ2 < 1, maka V ar(ϕ(X)) < σ22. Jadi hasil ini

sesuai dengan pernyataan kedua dari teorema Rao-Blackwell bahkan dengan ketak-

samaan tegas.

Kita selanjutnya akan membahas aplikasi dari teorema Rao-Blackwell pada konsep

statistik cukup dan konsep pemilihan estimator titik dengan variansi minimum.

Teorema 3.1.8. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari suatu populasi

X dengan fungsi densitas fX(·; θ), θ ∈ Θ. Misalkan Y1 := u1(X1, . . . , Xn) merupakan

statistik cukup untuk θ dan Y2 := u2(X1, . . . , Xn) merupakan estimator tak bias un-

tuk θ, tetapi Y2 merupakan fungsi bukan hanya dari Y1 saja. Selanjutnya misalkan

ϕ(y1) := E(Y2 | Y1 = y1), y1 ∈ R. Maka berlaku:

42

1. ϕ(Y1) merupakan statistik.

2. ϕ(Y1) merupakan estimator tak bias untuk θ.

3. V ar(ϕ(Y1)) ≤ V ar(Y2).

Proof. Teorema ini merupakan akibat langsung dari teorema Rao-Blackwell. Karena

Y2 merupakan statistik cukup untuk θ, maka

fY2|Y1(y2 | y1) =fY1,Y2(y1, y2; θ)

fY2(y2; θ)

tidak bergantung pada θ. Ini berakibat

ϕ(y1) := E(Y2 | Y1 = y1) =

∫ ∞

−∞y2

fY1,Y2(y1, y2; θ)

fY2(y2; θ)dy2

tidak bergantung pada θ ∈ Θ. Jadi ϕ(Y1) adalah statistik. Lebih lanjut, dari teorema

Rao-Blackwell diperoleh pernyataan kedua dan ketiga.

Catatan :

Teorema 3.1.8 merupakan alat bantu dalam memperoleh suatu estimator tak bias

dengan variansi minimum untuk suatu parameter. Jika kita diberikan suatu statistik

cukup untuk parameter θ, misalkan Y1 dan misalkan diketahui Y2 merupakan suatu

quantitas (merupakan fungsi bukan hanya dari Y1) yang tak bias terhadap θ, maka

kita selalu bisa mendefinisikan suatu statistik ϕ(Y1) sebagai estimator tak bias untuk

θ dengan variansi yang lebih kecil dari V ar(Y2).

3.2 Keluarga lengkap

Definisi 3.2.1. Misalkan PX merupakan suatu ukuran probabilitas pada R yang di

induce oleh variabel random X. Suatu sifat(pernyataan) p dikatakan dipenuhi PX-

hampir pasti, ditulis PX-h.p., jika terdapat suatu himpunan N ⊂ R dengan PX(N) = 0

43

sedemikian hingga jika x ∈ N c, maka berlaku p.

Definisi 3.2.2. Misalkan X merupakan variabel random kontinu atau diskrit dengan

fungsi densitas didalam keluarga PXΘ := fX(·; θ); θ ∈ Θ. Keluarga PX

Θ dikatakan

keluarga lengkap jika dipenuhi: E(u(X)) = 0, ∀θ ∈ Θ berakibat u(x) = 0, PX-h.p.

Contoh 3.2.3. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi berdis-

tribusi POIS(θ), θ > 0. Maka Y1 :=∑n

i=1 Xi ∼ POIS(nθ), θ > 0 dengan fungsi

densitas

fY1(y1; θ) =(nθ)y1e−nθ

y1!, y1 ∈ 0, 1, 2, . . ..

Selanjutnya karena e−nθ > 0, ∀θ > 0, berlaku

E(u(Y1)) = 0,∀θ > 0 ⇒∞∑

y1=0

u(y1)(nθ)y1

y1!= 0, ∀θ > 0

⇒ u(y1)(nθ)y1

y1!= 0, ∀y1 ∈ 0, 1, 2, . . .

⇒ u(y1) = 0, ∀y1 ∈ 0, 1, 2, . . ..

Jadi terdapat N := ∅ sedemikian hingga u(y1) = 0, jika y1 ∈ N c = 0, 1, 2, . . ..Dengan kata lain keluarga Poisson adalah keluarga lengkap.

Contoh 3.2.4. Misalkan fungsi densitas dari Z merupakan anggota dari keluarga

Exp(θ), θ > 0, dengan fZ(z; θ) = 1θe−z/θ, z > 0 dan θ > 0. Jika E(u(Z)) = 0,

∀θ > 0, maka

1

θ

∫ ∞

0

u(z)e−z/θ dz = 0, ∀θ > 0 ⇒∫ ∞

0

u(z)e−z/θ dz = 0, ∀θ > 0

⇒ u(z) = 0, PZ − h.p.

Kesimpulan ini bisa diambil karena integral yang terakhir adalah transformasi Laplace

dari u(z) kesuatu fungsi dari θ dengan hasil transformasi identik dengan fungsi nol.

Fungsi yang memenuhi sifat tersebut pastilah fungsi nol sendiri.

44

Teorema 3.2.5. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi X

dengan fungsi densitas fX(·; θ), θ ∈ Θ. Misalkan Y1 := u1(X1, . . . , Xn) meru-

pakan statistik cukup untuk θ dengan fungsi densitas merupakan anggota dari keluarga

lengkap fY1(·; θ); θ ∈ Θ. Jika terdapat suatu fungsi dari Y1 yang merupakan estima-

tor tak bias untuk θ, untuk setiap θ ∈ Θ, maka fungsi tersebut tunggal PY1-h.p. dan

fungsi ini merupakan estimator dengan variansi terkecil.

Proof. Misalkan Y2 merupakan suatu quantitas yang tak bias terhadap θ, maka menu-

rut Teorema 3.1.8, terdapat sekurang-kurangnya satu fungsi dari Y1, yaitu ϕ(Y1) den-

gan E(ϕ(Y1)) = θ, ∀θ ∈ Θ. Andaikan terdapat fungsi lain, misalkan ψ(Y1) dengan

sifat E(ψ(Y1)) = θ, ∀θ ∈ Θ, maka E(ϕ(Y1)− ψ(Y1)) = 0, ∀θ ∈ Θ. Karena fungsi den-

sitas dari Y1 termasuk keluarga lengkap, ini berakibat terdapat (−∞, 0] =: N ⊂ R

dengan PY1(N) = 0 sedemikian hingga ϕ(y1) = ψ(y1), ∀y1 ∈ N c := (0,∞). Jadi

ϕ = ψ PY1-h.p. Menurut teorema Rao-Blackwell, ϕ(Y1) mempunyai variansi terkecil

diantara semua estimator tak bias untuk θ ∈ Θ.

3.3 Keluarga eksponensial

Definisi 3.3.1. Milsakan PΘ := f(·; θ); θ ∈ Θ merupakan keluarga fungsi densi-

tas, dimana Θ adalah suatu interval, misalkan sebagai γ < θ < δ dengan γ dan δ

merupakan konstanta-konstanta yang diketahui. Misalkan fungsi densitas ini dapat

dituliskan sebagai

f(x; θ) = expp(θ)K(x) + S(x) + q(θ), x ∈ A

dimana A := x ∈ R; f(x; θ) > 0. Maka PΘ adalah keluarga eksponensial

reguler tipe kontinu, jika dipenuhi:

45

1. A tidak bergantung pada θ, γ < θ < δ.

2. p(θ) merupakan fungsi nontrivial dan kontinu pada γ < θ < δ.

3. dK(x)/dx 6= 0 dan kontinu pada A.

4. S(x) merupakan fungsi kontinu pada A.

Selanjutnya PΘ dikatakan keluarga eksponensial reguler tipe diskrit jika dipenuhi

kondisi-kondisi berikut:

1. A tidak bergantung pada θ, γ < θ < δ.

2. p(θ) merupakan fungsi nontrivial dan kontinu pada γ < θ < δ.

3. K(x) kontinu pada A.

Catatan :

Jika X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi dengan fungsi densitas dari

keluarga f(·; θ) : γ < θ < δ yang merupakan keluarga exsponensial reguler (kontinu

atau diskrit), maka fungsi densitas bersama dari X1, . . . , Xn adalah

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ) = exp

p(θ)

n∑i=1

K(xi) +n∑

i=1

S(xi) + nq(θ)

Contoh 3.3.2. Keluarga N(0, θ) : θ > 0 adalah keluarga eksponensial reguler tipe

kontinu, karena fungsi densitasnya dapat dituliskan sebagai

f(x; θ) =1√2πθ

exp

−x2

2θ

, 0 < θ < ∞

= exp

−x2

2θ− 1

2ln(2πθ)

.

Selanjutnya misalkan p(θ) := −1/θ, K(x) := x2, S(x) := 0 dan q(θ) := − ln(2πθ)/2.

Maka kondisi 1-4 diatas dipenuhi.

46

Teorema 3.3.3. Jika X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi dengan

fungsi densitas dari keluarga f(·; θ) : γ < θ < δ yang merupakan keluarga exspo-

nensial reguler (kontinu atau diskrit). Maka Y1 :=∑n

i=1 K(Xi) merupakan statistik

cukup untuk θ dan keluarga fY1(·; θ) : γ < θ < δ merupakan keluarga lengkap.

Selanjutnya Y1 disebut statistik cukup dan lengkap.

Contoh 3.3.4. Pada Contoh 3.3.2, Y1 =∑n

i=1 X2i merupakan statistik cukup dan

lengkap untuk θ. Misalkan ϕ(Y1) := Y1/n, maka E(ϕ(Y1)) = θ. Jadi Y1/n juga

statistik cukup dan lengkap. Lebih jauh, Y1 merupakan estimator tak bias dengan

variansi minimum dengan ϕ tunggal PY1-h.p.

Contoh 3.3.5. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi POIS(θ),

θ > 0. Karena f(x; θ) = expln θx + ln(x!) − θ, jadi POIS(θ), θ > 0 merupakan

keluarga eksponensial reguler diskrit, sehingga

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ) = exp

ln θ

n∑i=1

xi +n∑

i=1

ln(xi!)− nθ

.

Menurut Teorema 3.3.3, Y1 :=∑n

i=1 Xi merupakan statistik cukup dan lengkap untuk

θ. Selanjutnya Y1/n = X juga merupakan statistik cukup dan lengkap untuk θ dengan

E(Y1/n) = θ, ∀θ > 0. Jadi X merupakan estimator tak bias terbaik untuk θ.

3.4 Soal-soal

Chapter 4

Estimasi interval

Pada Chapter 2 dan Chapter 3 telah dibahas beberapa metode menentukan estimasi

titik untuk suatu parameter, misalnya θ, serta keriteria-keriteria untuk memilih es-

timator terbaik untuk θ. Tetapi estimator titik tidak memberikan informasi tentang

akurasi. Salah satu penyelesaian terhadap masalah ini adalah dengan merumuskan su-

atu interval random, yaitu interval untuk θ yang batas-batasnya merupakan statistik.

Ineterval ini dikonstruksikan dengan cara sedemikian, sehingga peluangnya sebesar

mungkin.

Misalkan X1, . . . , Xn merupakan n variabel random dengan fungsi densitas bersama

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn; θ), θ ∈ Θ ⊆ R. Misalkan θL, dan θU merupakan statistik dengan

θL := `(X1, . . . , Xn) dan θU := u(X1, . . . , Xn). Jika (x1, . . . , xn) merupakan realisasi

dari X1, . . . , Xn, maka `(x1, . . . , xn) dan u(x1, . . . , xn) merupakan nilai-nilai teramati

dari θL dan θU .

Definisi 4.0.1. Untuk suatu γ ∈ (0, 1), jika

P `(X1, . . . , Xn) < θ < u(X1, . . . , Xn) = γ, ∀θ ∈ Θ,

47

48

maka interval (`(x1, . . . , xn), u(x1, . . . , xn)) disebut interval kepercayaan dua sisi 100γ%

untuk θ. Selanjutnya nilai-nilai teramati `(x1, . . . , xn) disebut batas bawah, sedangkan

u(x1, . . . , xn) disebut batas atas.

Catatan:

1. Batas-batas dari interval random (θL, θU) haruslah merupakan statistik, se-

hingga nilai-nilainya untuk setiap pengamatan dapat ditentukan. Selanjutnya

interval random (θL, θU) disebut estimator interval untuk θ. Sedangkan interval

yang batas-batasnya merupakan bilangan `(x1, . . . , xn) dan u(x1, . . . , xn) dise-

but estimasi interval untuk θ.

2. Bentuk interval tidak selamanya terbuka, tetapi bisa juga interval tertutup

sesuai dengan jenis variabelnya apakah kontinu atau diskrit.

Definisi 4.0.2. Interval (`(x1, . . . , xn),∞) disebut batas kepercayaan bawah 100γ%

untuk θ ∈ Θ, jika P `(X1, . . . , Xn) < θ = γ, ∀θ ∈ Θ. Sedangkan (−∞, u(x1, . . . , xn))

disebut batas kepercayaan atas 100γ% untuk θ ∈ Θ, jika P θ < u(X1, . . . , Xn) = γ,

∀θ ∈ Θ.

Contoh 4.0.3. Misalkan daya tahan bola lampu yang diproduksi oleh pabrik A dia-

sumsikan berdistribusi Exp(θ), θ > 0. Andaikan kita ingin mengkonstruksikan inter-

val kepercayaan 95% untuk θ, θ > 0. Untuk menyelesaiakn masalah ini, kita ambil

sampel random X1, . . . , Xn dari populasi Exp(θ). Jelaslah X merupakan statistik

cukup dan merupakan UMVUE untuk θ, ∀θ > 0. Karena 2nX/θ berdistribusi χ2(2n),

secara umum kita pilih konstanta α1 dan α2, 0 < α1, α2 < 1 dengan α1 + α2 =

α ∈ (0, 1), sedemikian hingga Pχ2

α1(2n) < 2nX/θ < χ2

1−α2(2n)

= 1 − (α2 + α1) =

49

1−α =: γ, dimana χ2α(2n) adalah kuantil ke α dari distribusi chi-square dengan dera-

jat bebas 2n (lihat Chapter 1). Biasanya dipilih α1 = α2 = α/2. Jika dipilih α = 0, 05

atau α/2 = 0, 025, maka Pχ2

0,025(2n) < 2nX/θ < χ20,975(2n)

= 0, 95. Karena

χ2

0,025(2n) < 2nX/θ < χ20,975(2n)

dan

2nX/χ2

0,975(2n) < θ < 2nX/χ20,025(2n)

me-

rupakan dua kejadian yang ekuivalen, maka interval(2nx/χ2

0,975(2n), 2nx/χ20,025(2n)

)

merupakan interval kepercayaan dua sisi 95% untuk θ. Andaikan dari suatu penga-

matan dengan n = 40 diperoleh data dengan x = 93, 1, maka interval dengan batas

bawah 69, 9 dan batas atas 130, 3 disebut sebagai suatu interval kepercayaan 95% un-

tuk θ. Selanjutnya karena P2nX/θ < χ2

0,95(2n)

= 0.95, maka(2nX/χ2

0,95(2n),∞)

adalah batas bawah 95% untuk θ. Sedangkan interval(−∞, 2nX/χ2

0,05(2n))

adalah

batas atas 95% untuk θ. Nilai-nilai untuk χ20,05(2n) maupun χ2

0,975(2n) dapat dili-

hat pada tabel distribusi chi-square yang tesedia pada buku-buku teks standard, atau

dihitung dengan komputer.

Terhadap interval (69, 9; 130, 3) yang diberikan pada contoh di atas tidak dapat

diambil kesimpulan bahwa nilai θ yang sebenarnya terletak pada interval ini. Nilai θ

yang sebenarnya mungkin tidak terletak pada interval ini. Interpretasi yang paling

tepat adalah dengan frekuensi relatif. Misalkan m menyatakan banyaknya trial yang

dilakukan. Jika m → ∞, persentase dari interval(2nx/χ2

0,975(2n), 2nx/χ20,025(2n)

)

memuat nilai θ yang sebenarnya akan mendekati 95%. Selanjutnya, karena popu-

lasinya berdistribusi kontinu, maka interval terbuka dan tertutup keduanya meru-

pakan interval kepercayaan dua sisi 95% untuk θ.

Contoh 4.0.4. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari N(µ, σ2), den-

gan −∞ < µ < ∞ tidak diketahui, sedangkan 0 < σ2 < ∞ diasumsikan diketahui.

50

Jika zα merupakan kuantil ke α ∈ (0, 1) dari distribusi N(0, 1), maka

1− α =Pzα/2 <

√n(X − µ)/σ < z1−α/2

=PX − z1−α/2σ/

√n < µ < X − zα/2σ/

√n

.

Jadi interval(x− z1−α/2σ/

√n, x− zα/2σ/

√n)

adalah interval kepercayaan dua sisi

100(1− α)% untuk µ, atau[x− z1−α/2σ/

√n, x− zα/2σ/

√n].

Pada kasus ini kita mengasumsikan σ2 diketahui agar batas-batas intervalnya

dapat dihitung. Jika σ2 tidak diketahui, maka ujung-ujung interval tidak dapat

dihitung. Parameter seperti ini disebut juga parameter pengganggu (nuisance pa-

rameter). Permasalahan yang dihadapi dalam mengkonstruksi interval kepercayaan

adalah kehadiran parameter pengganggu. Masalah ini bisa diatasi dengan melakukan

modofikasi seperti terangkum pada beberapa sub bab berikut.

Prinsip dasar dalam mengkonstruksikan interval kepercayaan untuk suatu param-

eter θ adalah bahwa kita harus dapat menentukan suatu kuantitas yang hanya bergan-

tung pada sampel dan θ, tetapi distribusi probabilitasnya tidak bergantung pada θ

dan parameter-parameter lain yang tidak diketahui. Seperti pada Contoh 4.0.3, kuan-

titas X/θ berdistribusi GAM(1/n, n) yang tidak bergantung pada θ, tetapi karena

kuantil dari GAM(1/n, n) tidak tersedia pada tabel, kita lakukan sedikit modifikasi

dengan mendefinisikan quantitas 2nX/θ yang diketahui berdistribusi χ2(2n) yang

tidak bergantung pada θ dan kuntil-kuantilnya tersedia pada tabel.

4.1 Metode kuantitas pivot (pivotal quantity)

Definisi 4.1.1. Misalkan ϕ : χ → R merupakan fungsi yang terdefinisi pada ru-

ang sampel χ ⊆ Rn dengan ϕ(X1, . . . , Xn; θ) merupakan fungsi hanya dari sampel

51

X1 . . . , Xn dan θ ∈ θ. Jika distribusi probabilitas dari ϕ(X1, . . . , Xn; θ) tidak bergan-

tung pada θ dan parameter lainnya yang tidak diketahui, maka ϕ(X1, . . . , Xn; θ) dise-

but quantitas pivot untuk θ.

Catatan:

Jika qα/2 dan q1−α/2 merupakan kuantil-kuantil ke α/2 dan (1 − α/2) dari quantitas

pivot ϕ(X1, . . . , Xn; θ), maka Pqα/2 < ϕ(X1, . . . , Xn; θ) < q1−α/2

= 1 − α. Ini be-

rartiθ ∈ θ : qα/2 < ϕ(X1, . . . , Xn; θ) < q1−α/2

merupakan interval kepercayaan dua

sisi 100× (1− α)% untuk θ. Untuk setiap titik (x1, . . . , xn) ∈ χ, didefinisikan fungsi

ϕ(x1,...,xn) : θ → R, dengan ϕ(x1,...,xn)(θ) := ϕ(x1, . . . , xn; θ). Jika ϕ(x1,...,xn) merupakan

fungsi monoton naik untuk setiap (x1, . . . , xn) ∈ χ, maka interval kepercayaan dua

sisi 100 × (1 − α)% untuk θ adalah(ϕ−1

(x1,...,xn)(qα/2), ϕ−1(x1,...,xn)(q1−α/2)

). Sebaliknya,

jika ϕ(x1,...,xn) merupakan fungsi monoton turun untuk setiap (x1, . . . , xn) ∈ χ, maka

interval kepercayaan dua sisi 100(1− α)% untuk θ adalah

(ϕ−1

(x1,...,xn)(q1−α/2), ϕ−1(x1,...,xn)(qα/2)

).

Definisi 4.1.2. Misalkan X merupakan populasi dengan fungsi densitas f(x; θ), θ ∈Θ ⊆ R. Jika terdapat suatu fungsi non negatif fo sedemikian hingga f(x; θ) = f0(x−θ), ∀θ ∈ Θ, maka θ disebut parameter lokasi. Jika f(x; θ) = 1

θf0(

xθ), ∀θ ∈ Θ, maka

θ disebut parameter skala. Untuk kasus dua parameter θ1 dan θ2, jika f(x; θ1, θ2) =

1θ2

f0(x−θ1

θ2), ∀θ1, θ2 maka θ1 dan θ2 disebut parameter lokasi-skala.

Teorema 4.1.3. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi den-

gan fungsi densitas fX(·; θ), θ ∈ θ. Andaikan MLE untuk θ, yaitu θ ada.

1. Jika θ merupakan parameter lokasi, maka (θ − θ) merupakan kuantitas pivot

untuk θ, θ ∈ Θ.

52

2. Jika θ merupakan parameter skala, maka θ/θ merupakan kuantitas pivot untuk

θ, θ ∈ Θ.

Contoh 4.1.4. Kembali ke Contoh 4.0.4, jika σ2 diasumsikan diketahui, maka X−µ

merupakan kuantitas pivot untuk µ, dimana (X − µ) ∼ N(0, σ2/n). Pada kasus ini

X merupakan statistik cukup dan tak bias untuk θ. Jadi X − µ dapat digunakan

untuk mengkonstruksi interval kepercayaan untuk µ. Selanjutnya, jika diasumsikan

σ2 tidak diketahui, maka σ2/σ2 adalah kuantitas pivot untuk σ2, dengan nσ2/σ2 =

(n−1)S2/σ2 ∼ χ2(n−1) (lihat Teorema 1.3.11). Dalam hal ini σ2 adalah MLE untuk

σ2 (lihat Contoh 2.2.4). Jadi σ2/σ2 bisa digunaka untuk mengkonstruksikan interval

kepercayaan dua sisi 100(1− α)% untuk σ2, yaitu

((n− 1)s2

χ21−α/2(n− 1)

,(n− 1)s2

χ2α/2(n− 1)

), s2 :=

n∑i=1

(xi − x)/(n− 1).

Teorema 4.1.5. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari suatu popu-

lasi dengan parameter lokasi-skala θ1 dan θ2. Jika MLE θ1 dan θ2 ada, maka θ1−θ1

θ2

merupakan kuantitas pivot untuk θ1 dan θ2

θ2merupakan kuantitas pivot untuk θ2.

Contoh 4.1.6. Pada kasus Xi ∼ N(µ, σ2), −∞ < µ < ∞ dan 0 < σ2 < ∞, dengan

µ dan σ2 tidak diketahui. Dapat ditunjukkan, µ dan σ2 merupakan parameter lokasi-

skala, karena itu X−µσ2 merupakan kuantitas pivot untuk µ. Jadi dalam kasus dimana

σ2 tidak diketahui (σ2 sebagai parameter pengganggu), interval kepercayaan untuk µ

dapat diturunkan dari kuantitas pivot ini. Dengan sedikit modifikasi, yaitu

X − µ√σ2/(n− 1)

=(X − µ)/(σ/

√n)√

nσ2/σ2(n− 1)

=(X − µ)/(σ/

√n)√

S2/σ2=

N(0, 1)√χ2(n− 1)/(n− 1)

∼ t(n− 1).

53

Jadi interval kepercayaan dua sisi 100(1− α)% untuk µ adalah

(x− t1−α/2

s√n

, x + t1−α/2s√n

)

Catatan:

Misalkan (`(x1, . . . , xn), u(x1, . . . , xn)) merupakan interval epercayaan dua sisi 100×(1 − α)% untuk θ. Jika τ : θ → R merupakan fungsi monoton naik, maka interval

kepercayaan dua sisi 100(1− α)% untuk τ(θ) adalah

(τ(`(x1, . . . , xn)), τ(u(x1, . . . , xn))).

Sebaliknya, jika τ monoton turun, maka interval kepercayaan dua sisi 100(1 − α)%

untuk τ(θ) adalah (τ(u(x1, . . . , xn)), τ(`(x1, . . . , xn))).

Contoh 4.1.7. Kembali pada Contoh 4.0.3. Interval kepercayaan dua sisi 100(1−α)%

untuk PX > t = exp−t/θ, t > 0 adalah

(exp

−χ2

0,975(2n)

2nx

< exp−t/θ < exp

−χ2

0,025(2n)

2nx

).

Dari sampel random X1, . . . , Xn yang diambil dari suatu populasi dengan fungsi

distribusi kumulatif (cdf: cumulative distribution function) kontinu dengan parameter

θ ∈ Θ ⊆ R pasti dapat ditemukan sekurang-kurangnya satu kuantitas pivot. Misalkan

CDF dari Xi dinyatakan sebagai FXi(x; θ), maka FXi

(Xi; θ) ∼ UNIF (0, 1). Misalkan

Yi := − ln FXi(Xi; θ), maka Yi ∼ Exp(1), sehingga 2nY = −2

∑ni=1− ln FXi

(Xi; θ) ∼χ2(2n). Jadi P

θ ∈ Θ : χ2

α/2(2n) < −2∑n

i=1− ln FXi(Xi; θ) < χ2

1−α/2(2n)

= 1 − α,

sehingga interval kepercayaan dua sisi 100(1 − α)% untuk θ secara umum diberikan

oleh himpunan berikut

θ ∈ Θ : χ2α/2(2n) < −2

n∑i=1

− ln FXi(xi; θ) < χ2

1−α/2(2n)

. (4.1.1)

54

Jika (4.1.1) tidak dapat disederhanakan secara analitis, cara alternatif adalah dengan

penyelesaian secara numerik. Cara lain adalah dengan penyederhanaan lebih lanjut,

yaitu 1− FXi(Xi; θ) ∼ UNIF (0, 1), sehingga −2

∑ni=1 ln(1− FXi

(Xi; θ)) ∼ χ2(2n).

Contoh 4.1.8. Misalkan Xi ∼ PAR(1, κ), maka FXi(Xi; κ) = 1 − (1 + Xi)

−κ.

Dengan menerapkan cara yang terkhir, kita peroleh −2∑n

i=1 ln(1 − FXi(Xi; κ)) =

2κ∑n

i=1 ln(1 + Xi) ∼ χ2(2n), Jadi interval kepercayaan dua sisi 100(1 − α)% untuk

κ adalah (χ2

α/2(2n)

2∑n

i=1 ln(1 + Xi),

χ21−α/2(2n)

2∑n

i=1 ln(1 + Xi)

).

4.1.1 Membandingkan dua populasi normal

Misalkan seorang peneliti ingin menyelidiki dan membandingkan efektivitas dari dua

metode pembelajaran matematika yang ada. Suatu percobaan dilakukan dengan

menerapkan metode I terhadap klas A dan metode II terhadap klas B. Kedua klas

dianggap mempunyai kemampuan yang seimbang pada bidang matematika. Pada

akhir semester diselenggarakan tes pada kedua kelas secara serentak dengan soal-soal

yang sama, selanjutnya nilai-nilai test dicatat secara bebas satu sama lain. Jika nilai

test dianggap berdistribusi N(µ, σ2), −∞ < µ < ∞, 0 < σ2 < ∞, maka hasil penga-

matan dapat dianggap sebagai realisasi dari dua sampel random yang yang saling

bebas X1, . . . , XnAdari populasi N(µA, σ2

A) dan Y1, . . . , YnBdari populasi N(µB, σ2

B),

dimana nA dan nB masing-masing menyatakan banyaknya nilai yang dicatat pada

klas A dan klas B, µA dan µB masing-masing menyatakan mean dari populasi nilai

pada klas A dan klas B, sedangkan σ2A dan σ2

B masing-masing menyatakan variansi

dari populasi nilai pada klas A dan klas B.

55

4.1.1.1 Membandingkan σ2A dan σ2

B

Perbedaan efektivitas yang signifikan antara kedua metode pembelajaran dapat dili-

hat dari rasio . Jika interval kepercayaan dua sisi 100(1−α)% untuk σ2A/σ2

B memuat

1, maka kita boleh yakin dengan peluang 1 − α bahwa σ2A = σ2

B. Sebaliknya, jika

interval kepercayaan dua sisi 100(1 − α)% untuk σ2A/σ2

B tidak memuat 1, maka kita

yakin 100(1 − α)% bahwa σ2A 6= σ2

B. Selanjutnya, karena S2Aσ2

B/S2Bσ2

A merupakan

kuantitas pivot yang berdistribusi F (nA − 1, nB − 1) (lihat Contoh 1.3.17), maka

interval kepercayaan dua sisi 100(1− α)% untuk σ2A/σ2

B adalah(

s2B

s2A

Fα/2(nA − 1, nB − 1),s2

B

s2A

F1−α/2(nA − 1, nB − 1)

),

dimana

s2A :=

1

nA − 1

nA∑i=1

(xi − x)2 dan s2B :=

1

nB − 1

nB∑i=1

(yi − y)2.

4.1.1.2 Membandingkan µA dan µB

Perbedaan efektivitas antara metode I dan metode II juga dapat dilihat dari selisih

antara µA dan µB. Jika σ2A dan σ2

B diketahui, maka

(X − Y )− (µA − µB)√σ2

A

nA+

σ2B

nB

∼ N(0, 1)

merupakan kuantitas pivot untuk µA−µB. Jadi interval kepercayaan dua sisi 100(1−α)% untuk µA − µB adalah

x− y − z1−α/2

√σ2

A

nA

+σ2

B

nB

, x− y − zα/2

√σ2

A

nA

+σ2

B

nB

Dalam kasus σ2A dan σ2

B tidak diketahui, kita bisa mengasumsikan σ2A = σ2

B =: σ2

untuk menyederhanakan permasalahan. Estimator tak bias untuk σ2 adalah

S2p :=

(nA − 1)S2A + (nB − 1)S2

B

nA + nB − 2.

56

Selanjutnya, karena

(nA + nB − 2)S2

p

σ2= (nA − 1)

S2A

σ2+ (nB − 1)

S2B

σ2∼ χ2(nA + nB − 2),

maka

(X − Y )− (µA − µB)√S2

p

(1

nA+ 1

nB

) =

(X−Y )−(µA−µB)√σ2

(1

nA+ 1

nB

)

√S2

p

σ2

∼ t(nA + nB − 2).

Jadi interval kepercayaan dua sisi 100(1− α)% untuk µA − µB adalah

((x− y)− t1−α/2(nA + nB − 2)

√S2

p

(1

nA

+1

nB

),

(x− y)− tα/2(nA + nB − 2)

√S2

p

(1

nA

+1

nB

) ).

4.1.1.3 Sampel berpasangan

Untuk dapat menarik kesimpulan bahwa suatu obat baru dapat menurunkan suhu

badan, n pasien diukur suhu badannya 15 menit sebelum dan 15 menit sesudah

minum obat tersebut. Misalkan suhu badan pasien ke i sebelum minum obat adalah

Xi dan sesudah minum obat adalah Yi, i = 1, . . . , n. Misalkan Di := Xi − Yi ∼N(µ1 − µ2, σ

21 + σ2

2 − 2σ12), dimana µ1 := E(Xi), µ2 := E(Yi), σ21 := V ar(Xi),

σ22 := V ar(Yi) dan σ12 := Cov(Xi, Yi), maka

(n− 1)S2

D

σ21 + σ2

2 − 2σ12

∼ χ2(n− 1),

dimana S2D :=

∑ni=1(Di − D)/(n− 1), E(S2

D) = σ21 + σ2

2 − 2σ12, D :=∑n

i=1 Di/n. Ini

berakibat

D − (µ1 − µ2)√S2

D

n

∼ t(n− 1).

57

Jadi interval kepercayaan dua sisi 100(1− α)% untuk µ1 − µ2 adalah(

d− t1−α/2(n− 1)

√S2

D

n, d− tα/2(n− 1)

√S2

D

n

).

4.2 Metode umum

Pada dasarnya interval kepercayaan untuk parameter θ ∈ Θ selalu dapat dikonstruk-

sikan meskipun kuantitas pivot untuk θ tidak tersedia asalkan ada suatu statistik

yang distribusinya bergantung hanya pada θ. Secara umum misalkan X1, . . . , Xn

mempunyai fungsi densitas bersama fX1,...,Xn(·; θ) dan misalkan S : w(X1, . . . , Xn)

merupakan statistik dengan fungsi densitas fS(·; θ) dan fungsi distribusi kumulatif

FS(·; θ), dengan FS(s; θ) =∫ s

−∞ fS(t; θ) dt. Selanjutnya misalkan h1, h2 : θ → R

merupakan fungsi-fungsi sedemikian hingga

P h1(θ) < S < h2(θ) = 1− α, α ∈ (0, 1).

Jika s merupakan suatu nilai pengamatan dari S, maka θ ∈ Θ : h1(θ) < s < h2(θ)merupakan daerah kepercayaan 100(1−α)% untuk θ. Kita sebut himpunan ini daerah

kepercayaan karena belum tentu merupakan interval pada R.

4.2.1 Kasus h1 dan h2 monoton naik

Jika h1 dan h2 merupakan fungsi monoton naik dari θ, maka berlaku

θ ∈ Θ : h1(θ) < s < h2(θ) =θ ∈ Θ : θ < h−1

1 (s) ∩

θ ∈ Θ : h−12 (s) < θ

Jika θU dan θL merupakan penyelesaian dari persamaan h1(θU) = s dan h2(θL) =

s, maka θ ∈ Θ : h1(θ) < s < h2(θ) = θ ∈ Θ : θL < θ < θU. Jadi interval keper-

cayaan dua sisi 100(1− α)% untuk θ adalah (θL, θU). Untuk menentukan h1 dan h2

58

kita mulai dari persamaan P h1(θ) < S < h2(θ) = 1 − α. Salah satu kemungkinan

yang dipenuhi oleh h1 dan h2 adalah

FS(h2(θ); θ) = 1− α/2 dan FS(h1(θ); θ) = α/2, α ∈ (0, 1).

Contoh 4.2.1. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi dengan

fungsi densitas

f(x; θ) =

(1/θ2) exp−(x− θ)/θ2 ; x ≥ θ

0 ; x < θ

Misalkan kita akan mengkonstruksikan interval kepercayaan dua sisi 90% untuk θ.

Ambil S = X1:n := minX1, . . . , Xn, maka untuk x ≥ θ,

P S ≤ x =1− P minX1, . . . , Xn > x

=1− P Xi > x, ∀i = 1, . . . , n

=1− Πni=1P Xi > x

=1− Πni=1 (1− P Xi ≤ x)

=1− Πni=1

(1−

∫ x

θ

(1/θ2) exp−(t− θ)/θ2 dt

)

Dengan substitusi u = −(t − θ)/θ2, diperoleh P Xi ≤ x = 1 − exp−(x − θ)/θ2.Jadi

FS(x; θ) =

1− exp−n(x− θ)/θ2 ; x ≥ θ

0 ; x < θ.

Fungsi-fungsi h1 dan h2 dipilih dengan menyelesaiakn persamaan

FS(h1(θ); θ) = 0, 05 ⇔ 1− exp−n(h1(θ)− θ)/θ2 = 0, 05

FS(h2(θ); θ) = 0, 95 ⇔ 1− exp−n(h2(θ)− θ)/θ2 = 0, 95,

59

yang menghasilkan penyelesaian

h1(θ) = θ − ln(0, 95)θ2/n ≈ θ + 0, 0513θ2/n

h2(θ) = θ − ln(0, 05)θ2/n ≈ θ + 2, 996θ2/n.

Dapat disimpulkan bahwa h1 dan h2 merupakan fungsi monoton naik. Misalkan dari

suatu pengamatan diperoleh s = 2, 50, maka dari persamaan h1(θU) = 2, 50 dan

h2(θL) = 2, 50, diperoleh θU = 2, 469 dan θL = 1, 667. Jadi interval kepercayaan dua

sisi 90% untuk θ adalah (1, 667; 2, 469).

Catatan:

Meskipun secara matematik S tidak disyaratkan merupakan statistik cukup ataupun

MLE untuk θ, tetapi dianjurkan S yang dipilih sebaiknya merupakan statistik cukup

atau MLE untuk θ.

4.2.2 Kasus h1 dan h2 monoton turun

Jika h1 an h2 merupakan fungsi-fungsi yang monoton turun terhadap θ ∈ Θ, maka

untuk setiap hasil pengamatan s berlaku

θ ∈ Θ : h1(θ) < s < h2(θ) =θ ∈ Θ : h−1

1 (s) < θ ∩

θ ∈ Θ : θ < h−12 (s)

=θ ∈ Θ : h−1

1 (s) < θ < h−12 (s)

.

Jadi jika h1 dan h2 memenuhi FS(h2(θ); θ) = 1− α/2 dan FS(h1(θ); θ) = α/2, maka

interval(h−1

1 (s), h−12 (s)

)merupakan interval kepercayaan dua sisi 100(1−α)% untuk

θ. Misalkan θL dan θU merupakan penyelesaian dari persamaan h1(θL) = s dan

h2(θU) = s, maka interval (θL, θU) merupakan interval kepercayaan dua sisi 100(1 −α)% untuk θ.

60

4.3 Soal-soal

1. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi N(µ, σ2).

(a) Misalkan σ2 = 9. Tentukan interval kepercayaan dua sisi 90% untuk µ,

jika x = 19, 3 dan n = 16.

(b) Misalkan σ2 tidak diketahui. Tentukan interval kepercayaan dua sisi 90%

untuk µ, jika x = 19, 3, s2 = 10, 24 dan n = 16.

2. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi WEI(θ, 2)

(a) Tunjukan bahwa Q := 2∑n

i=1 X2i /θ2 ∼ χ2(2n).

(b) Gunakan Q untuk mengkonstruksikan interval kepercayaan dua sisi 100γ%

untuk θ.

(c) Konstruksikan interval kepercayaan dua sisi 100γ% untuk PX > t.

3. Misalkan X1, . . . , Xn1 sampel random dari Exp(θ1) dan Y1, . . . , Yn2 sampel ran-

dom dari Exp(θ2) dimana kedua sampel saling bebas.

(a) Tunjukkan (θ2/θ1)(X/Y ) ∼ F (2n1, 2n2).

(b) Konstruksikan interval kepercayaan 100γ% untuk θ2/θ1.

4. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi dengan fungsi

distribusi kumulatif

FXi(x; θ) =

1− exp−θ(x− θ) ; x ≥ θ

0 ; x < θ,

dengan θ > 0.

(a) Tentukan CDF FS(·; θ) untuk S := minX1, . . . , Xn.

61

(b) Tentukan fungsi h(θ) sedemikian hingga G(h(θ); θ) = 1−α, dan tunjukkan

bahwa h bukan fungsi monoton.

(c) Tentukan penyelesaian dari persamaan h(θ) = s.

5. Misalkan f(x; p) := pfX1(x) + (1 − p)fX2(x), dimana X1 ∼ N(1, 1) dan X2 ∼N(0, 1). Dengan berdasarkan pada sampel berukuran n = 1 diambil dari

f(x; p), konstruksikan interval kepercayaan dua sisi 100γ% untuk p. (Petun-

juk: gunakan transformasi integeral probabilitas!)

6. Diberikan dua sampel random yang saling bebas X1, . . . , Xn1 dari N(µ1, σ21) dan

Y1, . . . , Yn2 dari N(µ2, σ22). Jika µ1 dan µ2 diasumsikan diketahui, konstruksikan

interval kepercayaan dua sisi 100(1 − α)% untuk σ22/σ

21 dengan menggunakan

statistik cukup.

Chapter 5

Uji hipotesis

Pengertian dan prosudur estimasi titik dan estimasi interval untuk parametr-parameter

suatu populasi telah dibahas pada Chapter 2 dan Chapter 4. Pada chapter ini kita

akan membahas metode inferensi yang lain yaitu uji hipotesis. Berbeda dengan esti-

masi titik atau interval, pada uji hipotesis pendugaan awal terhadap distribusi dari

populasi diberikan, selanjutnya berdasarkan sampel ditarik kesimpulan apakah pen-

dugaan awal tersebut ditolak atau diterima. Pada chapter ini pembicaraan akan

dibatasi pada kasus parametrik, yaitu fungsi densitas dari populasinya diidentifikasi

oleh parameter-parameter yang tidak diketahui. Ruang sampel tetap kita nyatakan

dengan χ ⊆ Rn.

5.1 Pendahuluan

Definisi 5.1.1. Misalkan X ∼ fX(·; θ), θ ∈ Θ ⊆ R. Hipotesis statistik adalah

pernyataan tentang distribusi dari X. Dalam kasus parametrik ini hipotesis statistik

adalah pernyataan tentang θ.

62

63

Dalam uji hipotesis ruang parameter Θ dibagi menjadi dua himpunan bagian

yang saling asing, yaitu Θ0 ⊂ Θ dan Θ1 := Θ − Θ0. Bersesuaian dengan Θ0 dan

Θ1, hipotesis statistik juga terdiri dari dua pernyataan yang saling berlawanan, yaitu

hipotesis nol (H0) yang menyatakan bahwa θ ∈ Θ0 dan hipotesis alternatif (H1) yang

menyatakan bahwa θ ∈ Θ1. Biasanya kedua hipotesis ini dituliskan sebagai H0 : θ ∈Θ0 vs H1 : θ ∈ Θ1. Jika diberikan sampel yang diambil dari populasi fX(·; θ), θ ∈ Θ,

prosudur uji hipotesis harus mampu menetukan apakah H0 ditolak atau diterima.

Karena itu kita membagi ruang sampel χ menjadi dua himpunan bagian yang saling

asing, yaitu C := (x1, . . . , xn) ∈ χ : H0 ditolak dan χ − C. Selanjutnya C disebut

daerah penolakan (daerah kritis), sedangkan χ− C disebut daerah penerimaan.

Definisi 5.1.2. Suatu tes untuk hipotesis H0 : θ ∈ Θ0 vs H1 : θ ∈ Θ1 adalah suatu

fungsi ψ : χ → 0, 1, sedemikian hingga ∀(x1, . . . , xn) ∈ χ,

ψ(x1, . . . , xn) =

1 ; jika (x1, . . . , xn) ∈ C

0 ; jika (x1, . . . , xn) 6∈ C.

Jadi ψ merupakan fungsi penolakan dari H0, dimana H0 akan ditolak jika ψ = 1 dan

tidak ditolak jika ψ = 0. Selanjutnya berlaku E(ψ) = P(menolak H0)

Pada setiap eksperimen yang melibatkan pengamatan pasti ada kesalahan yang

berimbas pada proses pengambilan keputusan terhadap H0. Ada dua tipe kesalahan

yang dapat dilakukan dalam penolakan terhadap H0, yaitu

1. Kesalahan tipe I, yaitu kesalahan yang dilakukan karena menolak H0 padahal

H0 benar.

2. Kesalahan tipe II, yaitu kesalahan yang dilakukan karena tidak menolak H0

padahal H0 salah.

64

Probabilitas kedua kesalahan dinyatakan sebagai

P(kesalahan tipe I) = P(C | θ ∈ Θ0) = E(ψ) di bawah H0,

P(kesalahan tipe II) = 1− P(C | θ ∈ Θ1) = 1− E(ψ) di bawah H1.

Definisi 5.1.3. Fungsi power dari tes ψ adalah suatu fungsi Gψ : Θ → [0, 1] yang

diberikan oleh Gψ(θ) := P(C | θ ∈ Θ) = E(ψ) untuk θ ∈ Θ. Selanjutnya, ukuran

(size) dari ψ adalah supθ∈Θ0Gψ(θ). Untuk suatu bilangan α ∈ (0, 1), tes ψ dikatakan

tes dengan signifikansi α jika Gψ(θ) ≤ α, ∀θ ∈ Θ0. Karena untuk setiap θ ∈ Θ0,

Gψ(θ) ≤ supθ∈Θ0Gψ(θ), maka setiap tes adalah tes dengan tingkat signifikansi yang

diberikan oleh ukurannya.

Definisi 5.1.4. Suatu hipotesis yang berbentuk H0 : θ = θ0 vs H1 : θ = θ1 untuk

suatu θ0, θ1 ∈ Θ disebut hipotesis sederhana. Sedangkan hipotesis yang menyatakan

bahwa θ berada pada suatu interval disebut hipotesis komposit. Jadi hipotesis yang

berbentuk H0 : θ < θ1 vs H1 : θ ≥ θ1 untuk suatu θ1 ∈ Θ adalah hipotesis komposit.

Catatan:

Untuk hipotesis sederhana H0 : θ = θ1 vs H1 : θ = θ2 untuk θ1 6= θ2, berlaku

supθ∈Θ0Gψ(θ) = maxθ∈θ0 Gψ(θ) = Gψ(θ0). Maka ψ adalah tes dengan ukuran yang

diberikan oleh Gψ(θ0). Jadi dalam kasus ini Gψ(θ0) juga dapat diambil sebagai tingkat

signifikansinya.

5.1.1 Menentukan daerah kritik

Dari penjelasan di atas secara logika tes yang baik adalah tes yang meminimumkan

P(kesalahan tipe I) dan P(kesalahan tipe II) secara simultan. Akan tetapi karena

kedua kesalahan ini tidak dapat diminimumkan secara bersamaan (lihat Lehmann

65

dan Romano, 2005, hal. 57), prosudur terbaik yang dapat dilakukan adalah kita

memilih terlebih dahulu bilangan kecil α, biasanya dipilih α = 0, 01 atau α = 0, 05

sebagai tingkat signifikansi sedemikian hingga P(kesalahan tipe I) ≤ α dan pada

sisi lain P(kesalahan tipe II) dibuat minimum. Karena P(kesalahan tipe II) = 1 −Gψ(θ), ∀θ ∈ Θ1, jadi daerah kritik yang dipilih adalah daerah kritik yang memenuhi

P(kesalahan tipe I) ≤ α sedemikian hingga power dibawah H1 maksimum, yaitu

Gψ(θ), ∀θ ∈ Θ1 maksimum.

Contoh 5.1.5. Ada atau tidaknya kandungan minyak bumi pada suatu daerah dapat

diperediksi dengan melihat kecepatan reaksi dari tanah dipermukaan daerah tersebut

dengan suatu zat A yang diasumsikan berdistribusi N(µ, 16). Dari pengalaman dike-

tahui bahwa µ = 10 jika tidak ada kandungan minyak dan µ = 11 jika sebaliknya.

Untuk dapat menarik kesimpulan ya atau tidak sebuah eksperimen dilakukan dengan

mengambil sampel random berukuran n = 25, yaitu X1, . . . , X25, dimana Xi adalah

kecepatan reaksi diukur dalam ml/detik dan menguji hipotesis H0 : µ = 10 =: µ0 vs

H1 : µ = 11 =: µ1. Karena X merupakan statistik cukup dan MLE untuk µ, adalah

masuk akal untuk menduga sifat-sifat dari µ dengan sifat-sifat dari X. Selanjutnya

karena µ1 > µ0, nilai-nilai X yang besar akan menunjukan bahwa sampel mendukung

H1, karena itu masuk akal jika daerah kritik didefinisikan sebagai

C := (x1, . . . , xn) ∈ χ : x ≥ k =ω ∈ Ω : X(ω) ≥ k

,

dimana k adalah konstanta yang ditentukan kemudian. Kita definisikan tes ψ : χ →0, 1, sedemikian hingga ∀(x1, . . . , xn) ∈ χ,

ψ(x1, . . . , xn) =

1 ; jika x ≥ k

0 ; jika x < k.

66

Karena hipotesisnya merupakan hipotesis sederhana, tes atau daerah kritik berukuran

α = 0, 05 diturunkan dari persamaan

Gψ(µ0) = 0, 05

⇔ PX ≥ k | µ = µ0 = 10

= 0, 05

⇔ P

X − µ0

4/5≥ k − µ0

4/5

= 0, 05

⇔ P

Z ≥ k − µ0

4/5

= 0, 05,

ini berakibat k−µ0

4/5= z1−α, atau k = µ0 + z1−α4/5 = 11, 316. Jadi daerah kritik

berukuran 0, 05 adalah

C = (x1, . . . , xn) ∈ χ : x ≥ 11, 316

=

(x1, . . . , xn) ∈ χ :

x− 10

4/5≥ 1, 645

.

Ini berarti tes berukuran 0, 05 akan menolak H0 jika data yang diperoleh menunjukan

x ≥ 11, 316 atau x−104/5

≥ 1, 645. Sebaliknya jika data memberikan nilai sedemikian

hingga x < 11, 316 atau x−104/5

< 1, 645, maka H0 tidak ditolak. Selanjutnya kita

selidiki power dari ψ dibawah H1 yang diberikan oleh

Gψ(µ1) =P

X − µ0

4/5≥ 1, 645 | µ = µ1

=P

X − µ1

4/5≥ 1, 645 +

µ0 − µ1

4/5

=P

X − µ1

4/5≥ 1, 645− 5/4

= 0, 346.

Mari kita bandingkan tes diatas dengan tes yang didefinisikan sebagai berikut: γ :

χ → 0, 1, sedemikian hingga ∀(x1, . . . , xn) ∈ χ,

γ(x1, . . . , xn) =

1 ; jika 10 ≤ x ≤ 10.1006

0 ; jika x < 10 atau 10.1006 < x

67

untuk menguji hipotesis sederhana H0 : µ = 10 =: µ0 vs H1 : µ = 11 =: µ1. Tes ini

juga merupakan tes dengan ukuran 0, 05, karena

Gγ(µ0) =P10 ≤ X ≤ 10, 1006 | µ = 10

=P

0 ≤ X − 10

4/5≤ 0, 1006

4/5

= 0, 05.

Akan tetapi power dari γ di bawah H1 adalah

Gγ(µ1) =P10 ≤ X ≤ 10, 1006 | µ = 11

=PX ≤ 10, 1006 | µ = 11

− PX ≤ 10 | µ = 11

=P

X − µ1

4/5≤ 0, 12575− 5/4

− P

X − µ1

4/5≤ −5/4

=0.130− 0.106 = 0, 024.

Ini berarti power dari ψ dibawah H1 jauh lebih besar dibandingkan dengan power dari

γ dibawah H1. Dengan demikian diantara kedua tes tersebut, ψ lebih powerful dari γ.

Contoh 5.1.6. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi N(µ, σ2),

σ2 diasumsikan tidak diketahui.

1. Tes berukuran α untuk hipotesis H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 adalah menolak H0

jika√

n(x−µ0)/s ≥ t1−α(n−1). Sebaliknya H0 tidak ditolak jika√

n(x−µ0)/s <

t1−α(n− 1). Selanjutnya fungsi power di bawah H1 adalah

Gψ(µ) = P√

n(X − µ0)

S≥ t1−α(n− 1) | µ > µ0

= P√

n(X − µ + µ− µ0)

S≥ t1−α(n− 1)

= P

√

n(X − µ)/σ +√

n(µ− µ0)/σ√(n−1)S2

σ2 /(n− 1)≥ t1−α(n− 1)

68

= P

Z + ∆√

V/ν≥ t1−α(n− 1)

,

dimana ∆ :=√

n(µ − µ0)/σ > 0, V := (n − 1)S2/σ2, ν := n − 1. Dalam hal

ini Z + ∆/√

V/ν berdistribusi t students non central dengan derajat bebas ν

dan parameter non central ∆. Jika ∆ = 0, maka power dibawah alternatif akan

mencapai ukuran dari tes tersebut, yaitu α.

2. Tes berukuran α untuk hipotesis H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 adalah menolak H0

jika√

n(x−µ0)/s ≤ tα(n−1). Sebaliknya H0 tidak ditolak jika√

n(x−µ0)/s >

tα(n− 1).

3. Tes berukuran α untuk hipotesis H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0 adalah menolak

H0 jika√

n(x − µ0)/s ≥ t1−α/2(n − 1) atau√

n(x − µ0)/s ≤ −t1−α/2(n − 1).

Sebaliknya H0 tidak ditolak jika −t1−α/2 <√

n(x− µ0)/s < t1−α/2(n− 1).

5.1.2 Nilai p (p-value)

Untuk sembarang α ∈ (0, 1), misalkan Cα merupakan daerah kritik dari tes berukuran

α untuk hipotesis H0 : θ ∈ Θ0 vs H1 : θ ∈ Θ1 berdasarkan sampel random X1, . . . , Xn.

Secara umum Cα akan mempunyai bentuk sebagai berikut:

Cα := (x1, . . . , xn) ∈ χ : q(x1, . . . , xn) ≥ q1−α ,

dimana q1−α adalah quantil ke 1−α untuk distribusi dari statistik q(X1, . . . , Xn). Un-

tuk sembarang α1 dan α2, jika α1 < α2, maka q1−α1 > q1−α2 . Fakta ini mengakibatkan

Cα1 ⊂ Cα2 . Ini berarti, jika kita diberikan dua konstanta α1 dan α2, jika H0 ditolak

pada tingkat signifikansi α1, maka H0 pasti ditolak juga pada tingkat signifikansi α2.

Permasalahan sebaliknya adalah jika diberikan suatu data (x1, . . . , xn) ∈ χ, apakah

69

H0 ditolak atau tidak pada tingkat signifikansi α1 dan α2? Permasalahan ini mem-

perkenalkan kita pada konsep nilai p atau p−value.

Definisi 5.1.7. Diberikan data (x1, . . . , xn) ∈ χ, nilai p dari suatu tes adalah nilai α

terkecil sedemikian hingga H0 ditolak. Dengan kata lain

p-value := infα∈(0,1)

Cα, sedemikian hingga (x1, . . . , xn) ∈ Cα.

Jika Cα = (x1, . . . , xn) ∈ χ : q(x1, . . . , xn) ≥ q1−α, maka berlaku

p-value := infα∈(0,1)

q1−α, sedemikian hingga q(x1, . . . , xn) ≥ q1−α

=P q(X1, . . . , Xn) ≥ q(x1, . . . , xn) .

Sebaliknya, jika Cα = (x1, . . . , xn) ∈ χ : q(x1, . . . , xn) ≤ qα, maka

p-value := infα∈(0,1)

qα, sedemikian hingga q(x1, . . . , xn) ≤ qα

=P q(X1, . . . , Xn) ≤ q(x1, . . . , xn) .

Contoh 5.1.8. Pada Contoh 5.1.6 bagian 1, misalkan hipotesisnya adalah H0 : µ ≤80 vs H1 : µ > 80, jika dari eksperimen diperoleh data dengan n = 40, x = 85 dan

s2 = 100, maka

p-value =P

√40(X − 80)

S≥√

40(85− 80)

10

=P T (39) ≥ 3, 162 = 0, 0015,

dimana T (39) menyatakan variabel berdistribusi t dengan derajat bebas 39. Jadi

keputusan yang diambil berdasarkan data tersebut akan menolak H0 untuk setiap

α ≥ 0, 0015.

70

5.2 Metode memilih tes terbaik

Dari Contoh 5.1.5, tes berukuran α untuk suatu hipotesis yang sama adalah tidak

tunggal. Dua atau lebih tes dapat mempunyai ukuran yang sama, tetapi power di

bawah alternatif H1 belum tentu sama. Pada sub bab ini kita akan merumuskan

metode memilih tes yang terbaik (tes dengan power di bawah H1 terbesar) diantara

semua tes berukuran α.

Definisi 5.2.1. Misalkan ψ1 dan ψ2 merupakan dua tes dengan ukuran α untuk

hipotesis H0 : θ ∈ Θ0 vs H1 : θ ∈ Θ1. Tes ψ1 dikatakan secara seragam lebih baik dari

ψ2, jika Gψ1(θ) ≥ Gψ2(θ), ∀θ ∈ Θ1. Misalkan Cα merupakan himpunana semua tes

berukuran α untuk hipotesis H0 : θ ∈ Θ0 vs H1 : θ ∈ Θ1. Suatu tes ψ ∈ Cα dikatakan

terbaik secara seragam (Uniformly Most Powerful Test) atau tes UMP berukuran α,

jika Gψ(θ) ≥ Gψ∗(θ), ∀θ ∈ Θ1 dan ∀ψ∗ ∈ Cα.

5.2.1 Tes UMP untuk hipotesis sederhana

Misalkan X1, . . . , Xn merupakan n variabel random dengan fungsi densitas bersama

f(x1, . . . , xn; θ), θ ∈ Θ ⊆ R. Suatu tes ϕ : χ → 0, 1 untuk hipotesis H0 : θ = θ0

vs H1 : θ = θ1, dengan θ0, θ1 ∈ Θ, θ0 6= θ1, disebut tes Neyman-Pearson (tes N-P)

berukuran α, jika

ϕ(x1, . . . , xn) =

1 ; jika f(x1,...,xn;θ0)f(x1,...,xn;θ1)

≤ k

0 ; jika f(x1,...,xn;θ0)f(x1,...,xn;θ1)

> k,

untuk setiap titk (x1, . . . , xn) ∈ χ, dimana k ∈ [0,∞) merupakan sembarang kon-

stanta yang akan ditentukan dari persamaan Gϕ(θ0) = α. Pada definisi ini diasum-

sikan f(x1, . . . , xn; θ1) > 0.

71

Teorema 5.2.2. Tes di atas adalah tes UMP berukuran α.

Proof. Misalkan ψ merupakan sembarang tes berukuran α untuk hipotesis sederhana

H0 : θ = θ0 vs H1 : θ = θ1, yaitu Gψ(θ0) = α. Misalkan

M≥ : (x1, . . . , xn) ∈ χ : ϕ(x1, . . . , xn) ≥ ψ(x1, . . . , xn)

M< : (x1, . . . , xn) ∈ χ : ϕ(x1, . . . , xn) < ψ(x1, . . . , xn) .

Jika (x1, . . . , xn) ∈ M≥, maka ϕ(x1, . . . , xn) > 0. Ini berakibat f(x1, . . . , xn; θ0) ≤kf(x1, . . . , xn; θ1). Sebaliknya, jika (x1, . . . , xn) ∈ M<, maka ϕ(x1, . . . , xn) < 1. Ini

berakibat f(x1, . . . , xn; θ0) > kf(x1, . . . , xn; θ1). Maka

Gϕ(θ1)−Gψ(θ1) = Eθ1 (ϕ− ψ)

=

∫

χ

(ϕ(x1, . . . , xn)− ψ(x1, . . . , xn))f(x1, . . . , xn; θ1)dx1, . . . , dxn

=

∫

M≥(ϕ(x1, . . . , xn)− ψ(x1, . . . , xn))f(x1, . . . , xn; θ1)dx1, . . . , dxn

+

∫

M<

(ϕ(x1, . . . , xn)− ψ(x1, . . . , xn))f(x1, . . . , xn; θ1)dx1, . . . , dxn

≥∫

M≥(ϕ(x1, . . . , xn)− ψ(x1, . . . , xn))

1

kf(x1, . . . , xn; θ0)dx1, . . . , dxn

+

∫

M<

(ϕ(x1, . . . , xn)− ψ(x1, . . . , xn))1

kf(x1, . . . , xn; θ0)dx1, . . . , dxn

=

∫

χ

(ϕ(x1, . . . , xn)− ψ(x1, . . . , xn))1

kf(x1, . . . , xn; θ0)dx1, . . . , dxn

=1

k(Gϕ(θ0)−Gψ(θ0)) =

1

k(α− α) = 0.

Jadi Gϕ(θ1) ≥ Gψ(θ1). Disini Eθ1 menyatakan ekspektasi dibawah H1.

Contoh 5.2.3. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi bedis-

tribusi Exp(θ), θ > 0. Kita akan merumuskan tes N-P berukuran α untuk hipotesis

72

H0 : θ = θ0 vs H1 : θ = θ1, dimana diasumsikan θ1 > θ0. Karena

f(x1, . . . , xn : θ0)

f(x1, . . . , xn; θ1)≤ k ⇔

(θ1

θ0

)n

exp

(1/θ1 − 1/θ0)

n∑i=1

xi

≤ k

⇔n∑

i=1

xi ≥ k1, dimana k1 :=ln k − n ln(θ1/θ0)

1/θ1 − 1/θ0

.

Pada kasus ini (1/θ1 − 1/θ0) < 0 sehingga tanda ”≤” berubah menjadi ”≥”. Maka

daerah penolakan berukuran α diturunkan dari persamaan:

P

n∑

i=1

Xi ≥ k1 | θ = θ0

= α ⇔ P

2∑n

i=1 Xi

θ0

≥ 2k1

θ0

= α.

Selanjutnya karena 2∑n

i=1 Xi/θ0 berdistribusi χ2(2n), maka 2k1/θ0 = χ21−α(2n). Jadi

tes N-P berukuran α akan menolak H0 jika 2∑n

i=1 xi/θ0 ≥ χ21−α(2n) atau

∑ni=1 xi ≥

θ0χ21−α(2n)/2, untuk θ1 > θ0. Jika diasumsikan θ2 > θ0, maka dapat ditunjukan

bahwa tes N-P berukuran α untuk hipotesis H0 : θ = θ0 vs H1 : θ = θ2 akan menolak

H0 jika 2∑n

i=1 xi/θ0 ≥ χ21−α(2n) atau

∑ni=1 xi ≥ θ0χ

21−α(2n)/2. Kedua tes tersebut

adalah sama asalkan θ1 dan θ2 diasumsikan lebih besar dari θ0.

Contoh 5.2.4. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi bedis-

tribusi N(0, σ2), 0 < σ2 < ∞. Kita ingin merumuskan tes N-P berukuran α untuk

menguji hipotesis H0 : σ2 = σ20 vs H1 : σ2 = σ2

1, dimana diasumsikan σ21 > σ2

0.

Karena

f(x1, . . . , xn; σ20)

f(x1, . . . , xn; σ21)≤ k ⇔

(σ2

1

σ20

)2

exp

n∑

i=1

x2i

(1/2σ2

1 − 1/2σ20

)≤ k

⇔n∑

i=1

x2i ≥ k1, dimana k1 :=

ln k − n ln(σ21/σ

20)

1/2σ21 − 1/2σ2

0

.

Konstanta k1 ditentukan dari persamaan

P

n∑

i=1

X2i ≥ k1 | σ2 = σ2

0

= α ⇔ P

n∑

i=1

(Xi

σ0

)2

≥ k1

σ20

= α.

73

Karena∑n

i=1

(Xi

σ0

)2

berdistribusi χ2(n), maka tes N-P berukuran α akan menolak H0

jika∑n

i=1

(xi

σ0

)2

≥ χ21−α(n) atau

∑ni=1 x2

i ≥ σ20χ

21−α(2n).

Contoh 5.2.5. (Kasus diskrit)

Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi bedistribusi POIS(λ),

λ > 0. Andaikan kita ingin merumuskan tes N-P berukuran α untuk menguji hipotesis

H0 : λ = λ0 vs H1 : λ = λ1, dimana diasumsikan λ1 > λ0. Karena

f(x1, . . . , xn; σ20)

f(x1, . . . , xn; σ21)≤ k ⇔ exp n(λ1 − λ0) (λ0/λ1)

∑ni=1 xi ≤ k ⇔

n∑i=1

xi ≥ k1,

dimana k1 := k expn(λ0 − λ1)/ ln(λ0/λ1). Perubahan tanda ”≤” menjadi tanda

”≥” terjadi karena asumsi λ1 > λ0, sehingga ln(λ0/λ1) < 0. Misalkan S :=∑n

i=1 Xi,

maka dibawah H0, S berdistribusi POIS(nλ0). Jika P S ≥ i | λ = λ0 = αi, dan

misalkan αi ≤ α ≤ αi+1, maka tes yang menolak H0, jika∑n

i=1 xi ≥ i adalah tes N-P

berukuran αi.

Catatan :

Pada kasus diskrit, tes N-P berukuran α mungkin tidak bisa dicapai secara eksak.

Tetapi, diberikan α, kita bisa memilih k sedemikian hingga menghasilkan tes dengan

ukuran sebesar-besarnya α.

5.2.2 Tes UMP untuk hipotesis komposit

Kita akan mengkonstruksikan tes UMP berukuran α untuk hipotesis H0 : θ = θ0 vs

H1 : θ < θ1. Metode yang ditempuh adalah dengan pertama-tama mendefinisikan

tes N-P berukuran α untuk hipotesis sederhana H0 : θ = θ0 vs H1 : θ = θ1 untuk

sembarang θ1 dengan θ1 < θ0. Jika dapat ditunjukkan bahwa tes ini tidak bergantung

74

pada θ1, maka tes ini adalah tes UMP berukuran α untuk hipotesis komposit H0 :

θ = θ0 vs H1 : θ < θ1.

Contoh 5.2.6. Kita perhatikan kembali Contoh 5.2.3. Misalkan ψ : χ → 0, 1merupakan tes untuk hipotesis H0 : θ = θ0 vs H1 : θ = θ1 untuk sembarang θ1 dengan

θ1 > θ0, dimana ∀(x1, . . . , xn) ∈ χ,

ψ(x1, . . . , xn) =

1; jika f(x1,...,xn;θ0)f(x1,...,xn;θ1)

≤ k

0; jika f(x1,...,xn;θ0)f(x1,...,xn;θ1)

> k

Tes UMP berukuran α untuk hipotesis ini akan menolak H0 jika 2nx/θ0 ≥ χ21−α(2n).

Tes ini tidak akan berubah selama θ1 > θ0. Jadi ψ merupakan tes N-P berukuran α

yang tidak bergantung pada θ1 selama θ1 > θ0. Maka ψ adalah tes UMP berukuran α

untuk hipotesis H0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ0. Fungsi power dari ψ adalah

Gψ(θ) =P

2nX

θ0

≥ χ21−α(2n) | θ

= P

2nX

θ

θ

θ0

≥ χ21−α(2n)

=P

2nX

θ≥ θ0

θχ2

1−α(2n)

= 1− Fχ2(2n)

(θ0

θχ2

1−α(2n)

),

dimana Fχ2(2n)(x) adalah fungsi distribusi kumulatif dari variabel χ2(2n). Karena

θ0

θχ2

1−α(2n) merupakan fungsi turun dari θ, maka Gψ(θ) merupakan fungsi monoton

naik dari θ, sehingga berlaku supθ≤θ0Gψ(θ) = Gψ(θ0) = α. Berdasarkan hasil ini,

ψ juga merupakan tes UMP berukuran α untuk hipotesis komposit H0 : θ ≤ θ0 vs

H1 : θ > θ0.

Secara analog tes UMP berukuran α berdasarkan sampel random dari populasi

Exp(θ) untuk menguji hipotesis H0 : θ = θ0 vs H1 : θ < θ0, akan menolak H0 jika

2nx/θ0 ≤ χ2α(2n). Misalkan tes ini sebagai ψ∗, maka fungsi power dari ψ∗ adalah

Gψ∗(θ) =P

2nX

θ0

≤ χ2α(2n) | θ

= P

2nX

θ

θ

θ0

≤ χ2α(2n)

= Fχ2(2n)

(θ0

θχ2

α(2n)

).

75

Jelaslah Gψ∗(θ) merupakan fungsi turun dari θ, oleh karena itu supθ≥θ0Gψ∗(θ) =

Gψ∗(θ0) = α. Jadi ψ∗ merupakan tes UMP berukuran α untuk hipotesis H0 : θ ≥ θ0

vs H1 : θ < θ0.

5.2.3 Keluarga monotone likelihood ratio (MLR)

Misalkan X1, . . . , Xn mempunyai fungsi densitas bersama f(x1, . . . , xn; θ), dengan

θ ∈ Θ ⊂ R. Misalkan T : χ → R merupakan statistik. Maka f(x1, . . . , xn; θ)

dikatakan dari keluarga monotone likelihood ratio (MLR) dalam T , jika terdapat

suatu fungsi non negatif g(t) sedemikian hingga untuk setiap θ1 dan θ2 dengan θ1 < θ2

berlaku:

f(x1, . . . , xn; θ2)

f(x1, . . . , xn; θ1)= g(T (x1, . . . , xn); θ1, θ2)

dengan g(T (x1, . . . , xn); θ1, θ2) monoton naik dalam T (x1, . . . , xn).

Contoh 5.2.7. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari POIS(λ), de-

ngan λ > 0. Maka untuk λ1 < λ2, berlaku

f(x1, . . . , xn; λ2)

f(x1, . . . , xn; λ1)= en(λ1−λ2)(λ2/λ1)

∑ni=1 xi .

Misalkan T (x1, . . . , xn) :=∑n

i=1 xi, karena λ2/λ1 > 1, maka ruas kanan dari per-

samaan di atas merupakan fungsi monoton naik dari T (x1, . . . , xn). Jadi fungsi den-

sitas bersama f(x1, . . . , xn; λ) = e−nλλ∑n

i=1 xi/Πni=1(xi!) adalah dari keluarga MLR

dalam T (X1, . . . , Xn) =∑n

i=1 Xi.

Teorema 5.2.8. Misalkan X1, . . . , Xn mempunyai fungsi densitas bersama yang da-

pat dituliskan sebagai:

f(x1, . . . , xn; θ) = expq(θ)T (x1, . . . , xn) + h(x1, . . . , xn) + c(θ), θ ∈ Θ ⊂ R,

76

dimana h merupakan fungsi hanya dari (x1, . . . , xn), sedangkan c dan q adalah fungsi-

fungsi dari θ saja. Jika q monoton naik secara tegas, maka f(x1, . . . , xn; θ) merupakan

anggota keluarga MLR dalam T (X1, . . . , Xn).

Proof. Jika θ1 < θ2, maka

f(x1, . . . , xn; θ2)

f(x1, . . . , xn; θ1)= exp(q(θ2)− q(θ1))T (x1, . . . , xn) + c(θ2)− c(θ1).

Karena q merupakan fungsi monoton naik secara tegas dari θ, maka ruas kanan dari

persamaan di atas merupakan fungsi monoton dari T (x1, . . . , xn). Jadi f(x1, . . . , xn; θ)

merupakan anggota keluarga MLR dalam T .

Contoh 5.2.9. Jika X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi N(µ, 16),

dengan −∞ < µ < ∞, maka berlaku

f(x1, . . . , xn; µ) =1

4√

2πexp

− 1

32

n∑i=1

(xi − µ)2

= exp

nµ

16x−

∑ni=1 x2

i

32−

(µ2

32+ ln(4

√2π)

)

= exp q(θ)T (x1, . . . , xn) + h(x1, . . . , xn) + c(θ) ,

dengan q(θ) := nµ/16, h(x1, . . . , xn) := −∑ni=1 x2

i /32, c(µ) := −µ2/32 − ln(4√

2π),

dan T (x1, . . . , xn) := x. Jelaslah q merupakan fungsi monoton naik tegas dari µ,

sehingga dapat disimpulkan f(x1, . . . , xn; µ) dari keluarga MLR dalam X.

Teorema 5.2.10. Jika f(x1, . . . , xn; θ), θ ∈ Θ ⊂ R merupakan anggota dari keluarga

MLR dalam T (X1, . . . , Xn), maka tes UMP berukuran α untuk hipotesis H0 : θ ≤ θ0

vs H1 : θ > θ0 adalah

ϕ∗(x1, . . . , xn) =

1; jika T (x1, . . . , xn) ≥ k

0; jika T (x1, . . . , xn) < k,

77

dimana k adalah konstanta yang ditentukan dari persamaan

P T (X1, . . . , Xn) ≥ k | θ = θ0 = α.

Jika nilai k yang memenuhi persamaan ini adalah k∗, maka daerah kritik dari tes ini

adalah

Cϕ∗ := (x1, . . . , xn) ∈ χ : T (x1, . . . , xn) ≥ k∗ .

Proof. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa ϕ∗ merupakan tes N-P berukuran α

untuk hipotesis sederhana H ′0 : θ = θ0 vs H ′

1 : θ = θ1, untuk sembarang θ1 ∈ Θ dengan

θ1 > θ0, dan ditunjukkan bahwa tes ini tidak bergantung pada θ1 asalkan θ1 > θ0.

Kedua, kita tunjukkan bahwa fungsi power Gϕ∗(θ) merupakan fungsi monoton naik

dari θ. Karena g(t; θ0, θ1) merupakan fungsi monoton naik dari t, maka berlaku:

T (x1, . . . , xn) ≥ k ⇔g(T (x1, . . . , xn); θ0, θ1) ≥ g(k; θ0, θ1)

⇔f(x1, . . . , xn; θ1)

f(x1, . . . , xn; θ0)≥ g(k; θ0, θ1) ⇔ f(x1, . . . , xn; θ0)

f(x1, . . . , xn; θ1)≤ k∗,

dimana k∗ := 1/g(k; θ0, θ1). Jadi tes ϕ∗ equivalen dengan

ϕ∗(x1, . . . , xn) =

1; jika f(x1,...,xn;θ0)f(x1,...,xn;θ1)

≤ k∗

0; jika f(x1,...,xn;θ0)f(x1,...,xn;θ1)

> k∗.

Selanjutnya,

α = P T (X1, . . . , Xn) ≥ k | θ = θ0 = P

f(x1, . . . , xn; θ0)

f(x1, . . . , xn; θ1)≤ k∗ | θ = θ0

.

Jadi ϕ∗ adalah tes N-P berukuran α untuk hipotesis H ′0 : θ = θ0 vs H ′

1 : θ = θ1. Tes

ini tidak bergantung pada pemilihan θ1 ∈ Θ, asalkan θ1 > θ0. Sehingga ϕ∗ adalah

tes UMP berukuran α untuk hipotesis H ′0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ0. Bahwa fungsi

78

power Gϕ∗(θ) monoton naik pada Θ dapat dilihat pada Pruscha (2000), hal. 229-230.

Akibat dari kemonotonan dari Gϕ∗(θ), berlaku: supθ≤θ0Gϕ∗(θ) = Gϕ∗(θ0) = α. Jadi

ϕ∗ adalah tes UMP berukuran α untuk hipotesis H0 : θ ≤ θ0 vs H1 : θ > θ0.

Contoh 5.2.11. Dari Contoh 5.2.9, distribusi bersama dari X1, . . . , Xn adalah dari

keluarga MLR dalam X. Berdasarkan Teorema 5.2.10, tes UMP berukuran alpha

untuk hipotesis H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 adalah

ϕ∗(x1, . . . , xn) =

1; jika x ≥ k

0; jika x < k,

dengan PX ≥ k | µ = µ0

= α. Jika µ0 merupakan nilai sebenarnya dari µ, maka

daerah kritik dari ϕ∗ adalah

Cϕ∗ =(x1, . . . , xn) ∈ χ :

√n(x− µ0)/4 ≥ z1−α

=(x1, . . . , xn) ∈ χ : x ≥ µ0 + 4z1−α/

√n

.

Remark 5.2.12. Jika f(x1, . . . , xn; θ) merupakan anggota dari keluarga MLR dalam

T (X1, . . . , Xn), maka tes UMP berukuran α untuk hipotesis H0 : θ ≥ θ0 vs H1 : θ < θ0

adalah

ϕ∗(x1, . . . , xn) =

1; jika T (x1, . . . , xn) ≤ k

0; jika T (x1, . . . , xn) > k,

dimana k adalah konstanta yang ditentukan dari persamaan

P T (X1, . . . , Xn) ≤ k | θ = θ0 = α.

Catatan:

Jika f(x1, . . . , xn; θ) merupakan anggota dari keluarga MLR dalam T (X1, . . . , Xn),

79

untuk θ1 < θ0, maka f(x1,...,xn;θ1)f(x1,...,xn;θ0)

merupakan fungsi monoton turun dari T (x1, . . . , xn),

sehingga

(x1, . . . , xn) ∈ χ : T (x1, . . . , xn) ≤ k ⊆

(x1, . . . , xn) ∈ χ :f(x1, . . . , xn; θ1)

f(x1, . . . , xn; θ0)≥ k∗

untuk suatu k∗, dimana k∗ := g(k; θ0, θ1).

5.3 Tes dengan membandingkan fungsi likelihood

Tes dengan membandingkan fungsi likelihood (engl. Likelihood Ratio Test) disingkat

LRT merupakan salah satu tes yang berhubungan langsung dengan maksimum like-

lihood estimator yang dibahas pada Chapter 2. Pada sub bab sebelumnya prosudur

tes UMP diturunkan terbatas pada hipotesis sederhana dan hipotesis komposit satu

sisi. Tetapi untuk hipotesis komposit dua sisi H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 tes UMP

tidak dapat diturunkan. Permasalahan ini dan permasalahan tes dengan kehadiran

parameter pengganggu dapat ditangani dengan tes likelihood ratio.

Definisi 5.3.1. Misalkan L(θ; x1, . . . , xn) merupakan fungsi likelihood dari variabel

random X1, . . . , Xn. Misalkan

λ(x1, . . . , xn) :=supθ∈H0

L(θ; x1, . . . , xn)

supθ∈Θ L(θ; x1, . . . , xn).

Tes LR berukuran α untuk hipotesis H0 : θ ∈ Θ0 vs H1 : θ ∈ Θ1 adalah

φ(x1, . . . , xn) =

1; jika λ(x1, . . . , xn) ≤ k

0; jika λ(x1, . . . , xn) > k,

dimana 0 < k < 1 adalah konstanta yang tidak diketahui yang ditentukan dari per-

samaan

supθ∈H0

Pλ(X1, . . . , Xn) ≤ k = α.

80

Remark 5.3.2. Misalkan θ0 adalah MLE untuk θ pada daerah yang dibatasi pada Θ0

(MLE yang dibatasi pada H0) dan θ adalah MLE untuk θ pada daerah Θ (MLE yang

tidak dibatasi). Maka

λ(x1, . . . , xn) =L(θ0; x1, . . . , xn)

L(θ; x1, . . . , xn).

Jadi daerah kritik dari tes LR dikonstruksikan dengan cara sedemikian rupa sehingga

titik-titik sampel mempunyai rasio yang kecil.

Contoh 5.3.3. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi N(µ, 1),

dimana µ tidak diketahui, −∞ < µ < ∞. Kita tertarik untuk mengkonstruksikan tes

LR untuk hipotesis H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, dimana µ0 adalah konstanta yang

diketahui (ditentukan oleh ekperimenter). Karena pada H0 dispesifikasikan dengan

jelas bahwa Θ0 = µ0, maka supµ∈H0L(µ; x1, . . . , xn) = maxµ∈H0 L(µ; x1, . . . , xn) =

L(µ0; x1, . . . , xn). MLE untuk µ pada daerah −∞ < µ < ∞ adalah µ = X, maka

berlaku

λ(x1, . . . , xn) =L(µ0; x1, . . . , xn)

L(x; x1, . . . , xn)= exp

−1/2

[n∑

i=1

(xi − µ0)2 −

n∑i=1

(xi − x)2

].

Selanjutnya, karena∑n

i=1(xi − µ0)2 =

∑ni=1(xi − x)2 + n(x− µ0)

2, maka diperoleh

λ(x1, . . . , xn) = exp

−1

2n(x− µ0)

2

.

Selanjutnya

supµ∈H0

P λ(X1, . . . , Xn) ≤ k = P λ(X1, . . . , Xn) ≤ k | µ = µ0 = α

⇔ P

exp

−1

2n(X − µ0)

2

≤ k

= α

⇔ P(√

n(X − µ0))2 ≥ −2 ln k

= α.

81

Karena (√

n(X − µ0))2 berdistribusi χ2(n), maka tes LR berukuran α akan menolak

H0, jika n(x− µ0)2 ≥ χ2(n)1−α atau k = exp−χ2

1−α(n)/2. Cara lain adalah

P(√

n(X − µ0))2 ≥ −2 ln k

= α

⇔P√

n(X − µ0) ≤ −√−2 ln k atau

√n(X − µ0) ≥

√−2 ln k

= α.

Karena√

n(X − µ0) berdistribusi N(0, 1), maka tes LR berukuran α akan menolak

H0, jika√

n(x− µ0) ≤ −z1−α/2 atau√

n(x− µ0) ≥ z1−α/2.

Contoh 5.3.4. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi N(µ, σ2),

dengan µ dan σ2 parameter-parameter yang tidak diketahui, −∞ < µ < ∞ dan

0 < σ2 < ∞. Kita akan menurunkan prosudur tes LR berukuran α untuk hipotesis

H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, dimana µ0 adalah bilangan yang diketahui. Pada kasus

ini ruang parameter Θ0 dan Θ adalah

Θ0 = (µ, σ2) : µ = µ0, 0 < σ2 < ∞ = µ0 × (0,∞),

Θ = (µ, σ2) : −∞ < µ < ∞, 0 < σ2 < ∞ = (−∞,∞)× (0,∞).

Dari Contoh 2.2.4 pada Chapter 2 diperoleh MLE untuk µ dan σ2 pada Θ adalah

µ = X dan σ2 = 1n

∑ni=1(Xi − X)2. Sedangkan MLE untuk µ dan σ2 pada Θ0 adalah

µ0 = µ0 dan σ20 = 1

n

∑ni=1(Xi − µ0)

2. Sehingga

λ(x1, . . . , xn) =(2πσ2

0)−n/2 exp

− 1

2σ20

∑ni=1(xi − µ0)

2

(2πσ2)−n/2 exp− 1

2σ2

∑ni=1(xi − x)2

=

(σ2

0

σ2

)−n/2

exp

−1

2

∑ni=1(xi − µ0)

2

1n

∑ni=1(xi − µ0)2

+1

2

∑ni=1(xi − x)2

1n

∑ni=1(xi − x)2

=

(σ2

0

σ2

)−n/2

=

(1 +

n(x− µ0)2

∑ni=1(xi − x)2

)−n/2

=

(1 +

[√

n(x− µ0)]2/(n− 1)

s2

)−n/2

.

82

Selanjutnya,

supµ∈H0

P λ(X1, . . . , Xn) ≤ k = α

⇔P(

1 +[√

n(X − µ0)]2/(n− 1)

S2

)−n/2

≤ k

= α

⇔PT 2(n− 1) ≥ k1

= α ⇔ P

T (n− 1) ≥

√k1 atau T (n− 1) ≤ −

√k1

= α

dimana T (n − 1) := [√

n(X − µ0)]/S, dan k1 := (n − 1)k−2/n. Karena T (n − 1)

berdistribusi t dengan derajat bebas n−1, maka tes LR berukuran α akan menolak H0

jika [√

n(x − µ0)]/s ≥ t1−α/2(n − 1) atau [√

n(x − µ0)]/s ≤ −t1−α/2(n − 1). Karena

T 2(n − 1) berdistribusi F (1; n − 1), maka H0 juga ditolak jika [√

n(x − µ0)]2/s2 ≥

f1−α(1; n− 1).

5.4 Soal-soal

1. Suatu kotak berisi empat kelereng, θ berwarna putih dan 4−θ berwarna hitam.

Hipotesis H0 : θ = 2 vs H1 : θ 6= 2 dites dengan cara berikut: Dua klereng

diambil dengan pengembalian, selanjutnya H0 ditolak jika kedua klereng yang

terambil mempunyai warna yang sama.

(a) Hitung PKesalahan tipe I.

(b) Hitung PKesalahan tipe II.

(c) Kerjakan (a) dan (b) jika pengambilan dilakukan tanpa pengembalian.

2. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi EXP (1, η). Hipote-

sis H0 : η ≤ η0 vs H1 : η > η0 akan dites berdasarkan statistik X1:n.

(a) Tentukan Cα yang berbentuk (x1, . . . , xn) ∈ χ : x1:n ≥ c.

83

(b) Tentukan fungsi power untuk tes pada (a).

3. Diberikan suatu distribusi dengan fungsi densitas

f(x; θ) =

θxθ−1 ; jika 0 < x < 1

0 ; jika x ≤ 0 atau x ≥ 1

(a) Berdasar pada sampel random berukuran n, konstruksikan tes MP beruku-

ran α = 0, 05 untuk hipoptesis H0 : θ = 1 vs H1 : θ = 2.

(b) Tentukan power dibawah alternatif dari tes pada (a).

4. Jika X1, . . . , Xn mempunyai fungsi densitas bersama f(x1, . . . , xn; θ) dan S

adalah statistik cukup untuk θ. Tunjukkan bahwa tes MP untuk hipotesis

H0 : θ = θ0 vs H1 : θ = θ1 dapat dinyatakan dalam S.

5. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi dengan fungsi

densitas

f(x; θ) =

(3x2/θ)e−x3/θ ; jika 0 < x

0 ; jika x ≤ 0.

Tentukan daerah kritik dari suatu tes UMP berukuran α untuk hipotesis H0 :

θ = θ0 vs H1 : θ > θ0.

6. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari suatu populasi diskrit

dengan fungsi densitas

f(x; θ) =

[θ/(θ+1)]x

(θ+1); jika x ∈ 0, 1, . . .

0 ; jika x 6∈ 0, 1, . . ..

Tentukan tes UMP untuk hipotesis H0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ0.

7. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi WEI(θ, 2). Tu-

runkan suatu tes UMP untuk hipotesis H0 : θ ≥ θ0 vs H1 : θ < θ0.

84

8. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi EXP (θ).

(a) Turunkan suatu tes RL untuk hipotesis H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0.

(b) Turunkan tes RL untuk hipotesis H0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ0.

9. Perhatikan dua sampel random yang saling bebas Xi ∼ N(µ1, σ21) dan Yj ∼

N(µ2, σ22).

(a) Turunkan suatu tes RL untuk H0 : σ21 = σ2

2 jika diasumsikan µ1 dan µ2

diketahui.

(b) Turunkan suatu tes RL untuk H0 : σ21 = σ2

2 jika diasumsikan µ1 dan µ2

tidak diketahui.

10. Misalkan X1, . . . , Xn merupakan sampel random dari populasi EXP (θ, η). Mis-

alkan θ dan η merupakan MLE untuk θ dan η.

(a) Tunjukkan bahwa θ dan η saling bebas.

(b) Misalkan V1 = 2n(X−θ)/η, V2 = 2n(η−η)/θ, dan V3 = 2nθ/θ. Tunjukkan

bahwa V1 ∼ χ2(2n), V2 ∼ χ2(2), dan V3 ∼ χ2(2n− 2).

(c) Tunjukkan bahwa (n− 1)(η − η)/θ ∼ F (2; 2n− 2).

(d) Turunkan tes RL untuk hipotesis H0 : η = η0 vs H1 : η ≥ η0.

(e) Tunjukkan bahwa daerah kritik berukuran α dari tes RL adalah

Cα =

(x1, . . . , xn) ∈ χ : (n− 1)(η − η0)/θ ≥ f1−α(2; 2n− 2)

.

Chapter 6

Teori sampel besar

85

Chapter 7

Teori Bayes

86

Chapter 8

Estimasi dengan metode bootstrap

87