diagrama de dispersion · 2015. 11. 8. · probabilidad condicional eventos dependientes se dice...

EJERCICIOS RESUELTOS Regresión y correlación lineal OBJETIVOS

Identificar los diferentes métodos de ajuste.

Aplicar método de mínimos cuadrado

Determinar pronósticos en base a datos históricos.

Interpretar el grado de correlación entre dos variables.

Analizar los resultados mediante el coeficiente de correlación y sus

aplicaciones

REGRESION (AJUSTE DE CURVAS) En la práctica encontramos a menudo que existen relaciones entre dos o más, por ejemplo el precio de un automóvil depende del ingreso familiar, la demanda de helado esta función a la temperatura, etc. PASOS PARA REALIZAR ANALISIS: DIAGRAMA DE DISPERSION.- Es una gráfica en la que cada punto trazado representa un par de valores observados de las variables independiente y dependiente. En forma general:

.- APROXIMAR LOS DATOS A UNA RECTA.- Utilizando la ecuación de la recta que pasa por puntos para los que se toma dos puntos del conjunto de datos:

.- METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS.- A y B

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

Y=A + Bx ERROR DE ESTANDAR DE ESTIMACION.- El error estándar de estimación determina el error promedio que se comete al realizar un pronóstico de Y a par de X. esta medida es también útil para cual de varias curvas de estimación tiene mejor ajuste.

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6

Diagrama de Dispersion X Y X1 X2 X3

Y1 Y2 Y3

∑ ∑ ∑

√[ ∑ ∑ ] [ ∑ ∑ ]

EJERCICIOS Regresión lineal Ejercicios 1 Un economista que trabaja en el rubro de los automóviles desea medir la relación del precio de compra de los automóviles nuevos en función del ingreso familiar se selecciona una muestra aleatoria de 9 personas que compraron autos nuevos con los resultados de la siguiente tabla:

DESARROLLO Primero procedemos a calcular las sumatorias de “x” y “y”

X Y X*Y X^2 Y^2

10,2 3,6 36,72 104,04 12,96

14,2 3,6 51,12 201,64 12,96

16,3 3,6 58,68 265,69 12,96

20 3,6 72 400 12,96

24,3 5,1 123,93 590,49 26,01

11,6 3,9 45,24 134,56 15,21

32,8 7,8 255,84 1075,84 60,84

9,4 3,4 31,96 88,36 11,56

2,6 9,1 23,66 6,76 82,81

141,4 43,7 699,15 2867,38 248,27

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Donde N=9 Ahora q ya tenemos las sumatorias Procedemos a calcular A,B y R Para calcular “A” utilizamos la siguiente formula

A: ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

A:

A=4,508 Para calcular “B” utilizamos la siguiente formula

INGRESO FAMILIAR

10,2 14,2 16,3 20 24,3 11,6 32,8 9,4 2,6 Miles de dólares

PRECIO DE COMRA

3,6 4,1 3,9 5,2 5,1 3,9 7,8 3,4 9,1

B: ∑ ∑ ∑

∑ ∑

B:

B=0,019 Para calcular “R” utilizamos la siguiente formula

∑ ∑ ∑

[ ∑ ∑ ][[ ∑ ∑ ]

R2:

[ ] [ ]

R2=2,286 La gráfica del ejercicio seria la siguiente:

Ejercicio 2 1. Una Organización de estudio de consumidores desea determinar la relación entre el precio de una pila para radio de transmisores en función al número de duración de horas de la pila. Se compró una muestra de 11 pilas con los resultados dados en la siguiente tabla:

“Y” Precio 24 32 49 49 39 69 69 89 119 79 35

“X” Duración 5.4 4.8 6.3 7.2 6.3 6.8 6.8 10.2 13.1 9.2 6.0

a) Encuentre el diagrama de dispersión. b) En el supuesto de una relación lineal, encontrar los coeficientes de la regresión A y B. c) Prediga el precio por fila si la duración de esta última es de 10 Hr.

d) Calcule el coeficiente de determinación e interprete su significado en este problema.

Operación auxiliar; X Y X × Y

5.4 24 129.6 29.16 576

4.8 32 153.6 23.04 1024

6.3 49 308.7 39.69 2401

7.2 49 352.8 51.84 2401

6.3 39 245.7 39.69 1521

7.4 69 510.6 54.76 4761

6.8 69 469.2 46.24 4761

10.2 89 907.8 104.04 7921

13.1 119 1558.9 171.61 14161

9.2 79 726.8 84.64 6241

6.0 35 210 36 1225

∑X= 82.7 ∑Y= 653 ∑X×Y= 5573.7 ∑ ∑

0

5

10

0 10 20 30 40

PR

ECIO

DE

CO

MP

RA

INGRESO DE FAMILIA

Series1

Series2

Series3

a) Encuentre el diagrama de dispersión.

b) En el supuesto de una relación lineal, encontrar los coeficientes de la regresión A y B.

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

c) Prediga el precio por fila si la duración de esta última es de 10 Hr.

d) Calcule el coeficiente de determinación e interprete su significado en este problema.

∑ ∑ ∑

[ ∑ ∑ ][[ ∑ ∑ ]

[ ][[ ]

% de la variación del precio de la pilas se debe a la variación a las horas de duración de cierta marca de pila.

Unidad 6 Elementos de probabilidad OBJETIVOS

Interpretar las definiciones básicas de los elementos de probabilidad. Identifica el tipo de evento definido en el mismo espacio muestral. Reconocer la importancia de la aplicación del Teorema de Bayes. Desarrollar habilidades para resolver problemas de probabilidades.

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD En general la probabilidad es la posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se pueden expresar de tres maneras como: Fracciones ¾, ½, ¼, … Decimales 0.75, 0.50, 0.25, … Porcentajes 75%, 50%, 25%, … Las probabilidades están siempre entre cero y uno. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder, una probabilidad de uno indicado que algo va a suceder siempre. CONCEPTOS BASICOS DEFINICIÓN DE EVENTO En teoría de la probabilidad un evento es uno o más de los posibles resultados a hacer un experimento. En otras palabras, un evento es todo lo que puede suceder. DEFINICIÓN DE EXPERIMENTO (Ex) Un experimento es aquella actividad que origina un evento. DEFINICIÓN DE ESPACIO MUESTRAL (S) Es el conjunto de todos los posibles resultados o eventos de un experimento. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES (ME) Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes, si uno y solo uno de ellos puede tener lugar en un mismo tiempo. EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES (NME) Se dice que dos eventos no son mutuamente excluyentes si pueden ocurrir juntos o la vez.

Ejemplo Si se lanza un dado una vez. Determinar el espacio muestral Ex = “Lanza un dado una vez” (Experimento) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } (Espacio Muestral) Si se tienen los siguientes pares de eventos indicar si son mutuamente excluyentes o no. A = Que el resultado al lanzar el dado sea un 3 B = Que salga un numero par C = Que salga un número impar D = Que salga un número a 5 A y B…………………… B y C…………………… A y C…………………… B y D…………………… A y D…………………… C y D…………………… CLASIFICACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE ACUERDO A SU ORIGEN Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad. PROBABILIDAD DE TIPO CLASICA

Matemáticamente

PROBABILIDAD DE TIPO FRECUENCIA RELATIVA

Cuando las probabilidades se hallan a través de la observación de un evento durante un gran número de veces, esto origina normalmente los cuadros de distribución de frecuencias. Este método se basa en observaciones pasadas.

PROBABILIDAD DE TIPO SUBJETIVA Es aquella que está basada en opiniones o creencias de las personas.

EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si ambos pueden

suceder a la vez. Matemáticamente, la probabilidad que al menos uno de ellos

suceda se calcula con:

𝑃 𝐴 ∘ 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴𝐵

DESCRIPCIÓN DE LOS TIPOS DE PROBABILIDAD

PROBABILIDAD SIMPLE

Es la posibilidad de que ocurra un solo evento, se simboliza por una sola

letra mayúscula. Ejemplo: P(A)

PROBABILIDAD CONJUNTA

Es la posibilidad de que ocurran dos eventos al mismo tiempo, se simboliza

por dos letras que corresponden a los eventos. Ejemplo: P(A∩B)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Es la posibilidad de que ocurra un evento sabiendo que otro evento ya

ocurrió. Se simboliza por dos letras que corresponden a los eventos A que

es el que queremos calcula en este caso y B el evento que ya ocurrió.

Ejemplo: P(A/B)

EVENTOS INDEPENDIENTES

Se dice que dos eventos A y B son independientes cuando el resultado de uno de

ellos no afecta el posterior resultado de otro experimento.

Probabilidad Marginal

Probabilidad Conjunta

Probabilidad Condicional

EVENTOS DEPENDIENTES

Se dice que dos eventos A y B son dependientes cuando el resultado de uno de

ellos afecta el posterior resultado de otro experimento.

Probabilidad Condicional

Probabilidad Conjunta

Probabilidad Marginal

I.8.- TEOREMA DE BAYES

La fórmula básica de la probabilidad condicional se conoce como TEOREMA DE

BAYES:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵

𝑃 𝐴/𝐵 𝑃 𝐴

𝑃 𝐴𝐵 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴/𝐵

𝑃 𝐴 𝑃 𝐴𝐵 𝑃 𝐴𝐶 𝑃 𝐴𝐷 ⋯

𝑃 𝐴/𝐵 𝑃 𝐴𝐵

𝑃 𝐵

𝑃 𝐴/𝐵 𝑃 𝐴𝐵

𝑃 𝐵

0.10 A’

0.90 A

0.60 A’

0.60 C

0.40 C’ 0.40 A

El Teorema de Bayes ofrece un método estadístico para evaluar nueva

información y revisar nuestras anteriores estimaciones.

Se puede generalizar la fórmula anterior cuando se presentan varias

condicionales. La fórmula general es:

EJEMPLO 1

De darse la capitalización de la empresa papeleras el próximo año, la probabilidad

de que el papel de imprente aumente de precio es de 90%. Pero si la

capitalización no se realiza, la probabilidad de un aumento es de 40%. En general,

estimamos que hay una posibilidad de 60% de que se realice la capitalización el

próximo año.

a) Elabore un árbol de probabilidades de esta situación que implica eventos

independientes, empleando C y C’ para la capitalización y no capitalización

y A y A’ para el aumento y no aumento en el precio del papel

b) Supongamos que, en efecto, el precio del papel aumenta en el curso del

año próximo. ¿Cuál es la probabilidad de que se realice la capitalización de

las papeleras?

Repuestas:

a)

El teorema de Bayes se expresa así:

/ (

)

( )

( )

𝑃 𝐴/𝑅 𝑃 (

𝑅𝐴) 𝑃 𝐴

𝑃 (𝑅𝐴) 𝑃 𝐴 𝑃 (

𝑅𝐵) 𝑃 𝐵 ⋯

Entonces la respuesta es: 0.77 o 77%

EJEMPLO 2

Una constructora está considerando la posibilidad de construir un condominio en

la zona de la carretera a Cotoca. Si el consejo municipal aprueba la doble vía, hay

posibilidad de 0.90 de que la compañía construya el condominio en tanto, que , si

la doble vía no es aprobada , la probabilidad es de solo 0.20 . Basándose en la

información disponible, el gerente de la constructora estima que hay probabilidad

de 0.60 que la doble vía sea aprobada.

a) Cuál es la probabilidad de que la compañía construya el condominio? P (construya) = P (construya y apoyada) + P (construya y no aprobada) P (construya) = 0.90 * 0.60 + 0.20 * 0.40 P (construya) = 0.62 = 62%

b) Dado que el condominio fue construido. Cuál es la probabilidad de la doble vía que ya ha sido aprobada.

P (aprobada / construido) = /

/ /

P (Aprobada /construido) =

P (Correo / Recibió) = 0.87 = 87%

EJEMPLO 3

PROYECTO DE

LA DOBLE VIA A

COTOCA

Aprobada

0.60

No Aprobada

0.40

Construya

0.90

No construya

0.10

Construya

0.20

No construya

0.80

En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20%

de defectuoso y en B hay 25% . En una muestra de 300 productores hay 200 del

proceso A y 100 del B.

a) Si al extraer el producto resulto defectuoso , halle la probabilidad de que sea del proceso A

P (A / Defectuoso) = /

/ /

P (A / Defectuoso) =

P (A / Defectuoso) = 0.62 = 62%

EJEMPLO 4

La compañía importadora de automóviles NIBOL, se ha presentado una

licitación para proveer de 20 automóviles para la policía. La probabilidad

que NIBOL gane la licitación es de 0.90 si su firma competidora TOYOSA

no presenta, tanto que es de solo 0.20 si lo hace El gerente general de

NIBOL estima una probabilidad de 0.80 que TOYOSA se presente:

Procesos

A

0.67

B

0.33

Defectuosos

0.20

No defectuosos

0.80

Defectuosos

0.25

No defectuosos

0.75

TOYOSA no se

presenta

0.20

NIBOL gana

0.90

a) Dado que NIBOL gano la licitación, cual es la probabilidad que TOSOSA se haya presentado a ella?

P (Toyosa se presenta / Nibol gano) = /

/ /

P (Correo / Recibió) =


EJEMPLO 5

Una compañía petrolera, debe decidir, si taladra o no un ligar determinado que

tiene bajo contrato. Por investigaciones geológicas practicadas, se sabe que

existe una probabilidad de 0.45 que una formación tipo I se extiende debajo del

lugar prefijado para taladrar, 0.30 de probabilidad que existe una formación de

tipo II y de 0.25 de tipo III. Estudios anteriores indican que el petróleo se

encuentra en u n 30% de las veces en las formaciones tipo I y una 40% en las

de tipo II y un 20% en la tipo III. Determinar la probabilidad que si no se

encontró petróleo , la perforación fue hecha en la formación del tipo I

Encuentre

0.30

Tipo I

0.45

No encuentre

Licitación

TOYOSA se

presenta

0.80

NIBOL pierda

0.10

NIBOL gana

0.20

NIBOL pierda

0.80

0.70

Encuentre

0.40

Tipo II

Petrolero

0.30

No encuentre

0.60

Encuentre

0.20

Tipo III

0.25

No encuentre

0.80

P (Tipo I / No encontraron) = /

/ / /

P (Tipo I / No encontraron) =

P (Tipo I / No encontraron) = 0.45 = 45%

P (choferes y pilotos) =


= 0.79 = 79%

Ejemplos de Aplicación del Teorema de Bayes.

EJEMPLO 6 Guaraná Conti.

Los datos de producción de la Guaraná Conti la empresa se los mandó de Brasil, en sí

son cinco las máquinas que producen dicha soda. La primera produce 1000 cajas por día

y 50 salen en mal estado, la segunda produce el doble que la primera y la misma

proporción de desperfectos que la cuarta. La tercera produce la mitad que la quinta y el

2% sale en mal estado, la cuarta produce el triple que la primera y la misma proporción

de desperfectos que la tercera, mientras que la quinta produce el cuádruple que la

primera y ninguna en mal estado. El lote que la fábrica envió a Bolivia fue la producción

total del mes pasado. La máquina uno trabajó los 30 días, la dos y la tres 25 días, la

cuatro 20 días y la cinco 22 días.

Preguntas:

A. De cuantas cajas contó el lote de sodas.

Prod. √ x hrs/dia Producción

Total Propor.

Maquina

1 1000 0,95 0,05 30 30000 0,1079

Maquina

2 2000 0,98 0,02 25 50000 0,1799

Maquina

3 2000 0,98 0,02 25 50000 0,1799

Maquina

4 3000 0,98 0,02 20 60000 0,2158

Maquina

5 4000 1 0 22 88000 0,3165

Ʃ278000 Ʃ1

Tuvo una producción de todo el mes de 278000 cajas.

B. Si un cliente se quejó porque una caja estaba en mal estado ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la cuarta máquina?

0,95 √

0,1079 maq

1

0,05 x

0,98 √

0,1799 maq

2

0,02 x

0,98 √

0,1799

maq

3

0,02 x

0,98 √

0,2158 maq

4

0,02 x

1 √

0,3165 maq

5

0 x

→24,53%

La caja tuvo un 25,43% de que haya sido producida por la cuarta maquina.

C. Si una caja está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la tercera máquina?

→17,93%

Un 17,93% de que haya sido producida por la tercera maquina.

Este video muestra el ejercicio resuelto en www.youtube.com

Link: https://www.youtube.com/watch?v=ds9y3UtPcbA

EJEMPLO 7 Cerveza Real.

La planta de cerveza Real está en Warnes, cuenta con 5 máquinas para producirla, la

primera produce 1000 latas por hora y solo 50 salen con desperfectos, la segunda

produce 1500 latas solo el 2% salen en muy mal estado, la tercera produce el doble que

la primera y 200 salen en condiciones no muy buenas, mientras que la cuarta produce lo

mismo que la segunda y el mismo porcentaje defectuoso que la primera. La quinta es una

maquina nueva y de tecnología de punta, esta produce 1000 latas por hora y todas salen

en buen estado. La primera trabaja 5 horas al día, la segunda 3, la tercera 10, y la cuarta

y la quinta 8. Ayer llego un cliente protestando porque tomo una lata con desperfectos.

Producción √ x Hrs.*día Producción

Total Proporción

Maquina 1 1000 0,95 0,05 5 5000 0,1010

Maquina 2 1500 0,98 0,02 3 4500 0,0909

Maquina 3 2000 0,90 0,10 10 20000 0,4040

Maquina 4 1500 0,95 0,05 8 12000 0,2424

Maquina 5 1000 1 0 8 8000 0,1616

Ʃ49500 Ʃ1

http://www.youtube.com/https://www.youtube.com/watch?v=ds9y3UtPcbA

0,1010 maq 1

0,95 √

0,05 x

0,0909 maq 2

0,98 √

0,02 x

0,4040 maq 3

0,90 √

0,10 x

0,2424 maq 4

0,95 √

0,05 x

0,1616 maq 5

1 √

0 x

a) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la segunda maquina?

→3,06%

Existe un 3,06% de probabilidad que la lata defectuosa la haya producido la

maquina 2.

b) Pedro tiene en la mano una lata en buen estado ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la tercera o la quinta maquina?

→ 38,65%

→17,18%

Se tiene un 55,83% de probabilidad que la lata en buen estado haya sido producida por la

tercera o la quinta máquina

EJEMPLO 8 Una constructora está considerando la posibilidad de construir un condominio en

la zona de la carretera a Cotoca. Si el consejo municipal aprueba la doble vía, hay

posibilidad de 0.90 de que la compañía construya el condominio en tanto, que , si

la doble vía no es aprobada , la probabilidad es de solo 0.20 . Basándose en la

información disponible, el gerente de la constructora estima que hay probabilidad

de 0.60 que la doble vía sea aprobada.

c) Cuál es la probabilidad de que la compañía construya el condominio? P (construya) = P (construya y apoyada) + P (construya y no aprobada) P (construya) = 0.90 * 0.60 + 0.20 * 0.40 P (construya) = 0.62 = 62%

d) Dado que el condominio fue construido. Cuál es la probabilidad de la doble vía que ya ha sido aprobada.

P (aprobada / construido) = /

/ /

P (Aprobada /construido) =


EJEMPLO 9

En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay

un 20% de defectuoso y en B hay 25% . En una muestra de 300

productores hay 200 del proceso A y 100 del B.

PROYECTO DE

LA DOBLE VIA A

COTOCA

Aprobada 0.60

No Aprobada

0.40

Construya

0.90

No construya

0.10

Construya

0.20

No construya

0.80

A

0.67

Defectuosos

0.20

No defectuosos

0.80

Defectuosos

b) Si al extraer el producto resulto defectuoso , halle la probabilidad de que sea del proceso A

P (A / Defectuoso) = /

/ /

P (A / Defectuoso) =

P (A / Defectuoso) = 0.62 = 62%

EJEMPLO 10

La compañía importadora de automóviles NIBOL, se ha presentado una licitación

para proveer de 20 automóviles para la policía. La probabilidad que NIBOL gane la

licitación es de 0.90 si su firma competidora TOYOSA no presenta, tanto que es

de solo 0.20 si lo hace El gerente general de NIBOL estima una probabilidad de

0.80 que TOYOSA se presente:

TOYOSA no se

presenta

0.20

NIBOL gana

0.90

NIBOL pierda

0.10

b) Dado que NIBOL ganó la licitación, cual es la probabilidad que TOSOSA se haya presentado a ella?

P (Toyosa se presenta / Nibol gano) = /

/ /

P (Correo / Recibió) =


EJEMPLO 11

Una compañía petrolera, debe decidir, si taladra o no un ligar determinado que

tiene bajo contrato. Por investigaciones geológicas practicadas, se sabe que existe

una probabilidad de 0.45 que una formación tipo I se extiende debajo del lugar

prefijado para taladrar, 0.30 de probabilidad que existe una formación de tipo II y

de 0.25 de tipo III. Estudios anteriores indican que el petróleo se encuentra en u n

30% de las veces en las formaciones tipo I y una 40% en las de tipo II y un 20%

en la tipo III. Determinar la probabilidad que si no se encontró petróleo , la

perforación fue hecha en la formación del tipo I

Encuentre

0.30

Tipo I

0.45

No encuentre

0.70

Encuentre

0.40

Tipo II

Petrolero

0.30

No encuentre

0.60

Licitación

TOYOSA se

presenta

0.80

NIBOL gana

0.20

NIBOL pierda

0.80

Encuentre

0.20

Tipo III

0.25

No encuentre

0.80

P (Tipo I / No encontraron) = /

/ / /

P (Tipo I / No encontraron) =

P (Tipo I / No encontraron) = 0.45 = 45%



= 0.79 = 79%

EJEMPLO 12

Martin Reynaga, gerente del Dpto. de crédito de “Rapidingo” sabe que la

compañía utiliza tres métodos para conminar a pagar a las personas con cuentas

morosas. De los datos que se tienen registrados, se sabe que el 70% de los

deudores son visitados personalmente, 20% se les sugiere que paguen vía

teléfono, 10% se le envía carta. La probabilidad de recibir alguna cantidad de

dinero debido a los pagos de una cuenta con estos tres métodos son 0.75, 0.60 y

0.65, respectivamente. El Sr. Reynaga acaba de recibir el pago de una de las

cuentas vencidas. Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya

hecho:

Personalmente

0.70

Recibo

0.75

No Recibo

0.25

Recibo

0.60

Teléfono

0.20

Métodos

a) Personalmente?

P (Personalmente / Recibió) = /

(

) / /

P (Personalmente / Recibió) =

P (Personalmente / Recibió) = 0.74 = 74%

b) Por teléfono?

P (Teléfono / Recibió) = /

/ / /

P (Teléfono / Recibió) =

P (Teléfono y Recibo) = 0.17 = 17% Por Correo?

P (Correo /Recibió) = /

/ / /

P (Correo /Recibió) =

P (Correo /Recibió) = 0.09 = 9% Unidad 7 Distribuciones de probabilidad importantes para V.A.D V.A.C OBJETIVOS

identificar los componentes de la teoría combinatoria.

Identificar las distribuciones de probabilidades más importantes para VAD.

Resolver las distribuciones de probabilidades más importantes de VAD.

Resolver problemas de aplicación a la economía. lll. 1.- DISTRIBUCIONES BINOMINAL Es cualquier experimento formado por una serie de ensayos repetidos tales que:

1. Los ensayos son independientes.

No Recibo

0.40

Recibo

0.65

No Recibo

0.35

Correo

0.10

2. Cada ensayo tiene dos resultados posibles, denominados “éxito” o “fracaso”. 3. La probabilidad de éxito de cada ensayo, denotada por p, permanece

constante. Las probabilidades se calculan a través de la siguiente formula:

n! x n-x P(X =r/ n.p)=________ p q X!(n-x)!

La variable puede tomar los valores x= 0,1,2,….n

PROPIEDADES

µx =E(x) =np

EJEMPLO 1 Después de una auditoria externa en una empresa financiera se determinó que el 30% de sus créditos estas en mora. Si el auditor interno toma una muestra aleatoria de cinco de esas cuentas, determine la probabilidad de que exactamente dos créditos estén en mora. Utilizando la formula binominal tenemos:

n! x n-x P(X =r/ n.p)=________ p q X!(n-x)! Donde: n=5 p+q=1 p=0.3 q=0.7

Entonces la probabilidad es 0.3087 EJEMPLO 2 Un examen consta de diez preguntas, cada pregunta es de solución múltiple con tres

opciones de las cuales solo una es correcta. Un estudiante que desconoce la materia

intenta resolver el examen respondiendo las preguntas al azar:

a) Si necesita responder como mínimo 5 preguntas correctas para aprobar el

examen. Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe? Datos

n=10 p=0,33 q=0,67

x = 5, 6, 7, 8, 9, 10

10! 5 10-5 P(X =5)=________ 0,33 0,67 5!(10-5)! P (x = 5) = 0.1332 = 13.32%

ϭ =V(x) =nqp

10! 6 10-6 P(X =6)=________ 0,33 0,67 6!(10-6)! P (x = 6) = 0.0547 = 5.7% 10! 7 10-7 P(X =7)=________ 0,33 0,67 7!(10-7)! = 0.0154 = 1.54% 10! 8 10-8 P(X =8)=________ 0,33 0,67 8!(10-8)! = 0.028 = 0.28% 10! 9 10-9 P(X =9)=________ 0,33 0,67 9!(10-9)! = 0.0003 = 0.03% 10! 10 10-10 P(X =10)=________ 0,33 0,67 10!(10-10)! = 0 .0000 = 0% P (X ≥ 5) = P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) = 0.1332 + 0.0547 + 0.0154 + 0.0028 + 0.0003 + 0.0000 = 0.2064 = 20.64% La probabilidad de que un estudiante apruebe es de 20.64%

b) Cuál es la probabilidad de que conste al menos 3 preguntas correctas? X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10

10! 3 10-3

P(X =3)=________ 0,33 0,67 3!(10-3)!

= 0.2614 = 26 .14%

10! 4 10-4 P(X =4)=________ 0,33 0,67 4!(10-4)! = 0.2253 = 22.53% 10! 5 10-5 P(X =5)=________ 0,33 0,67 5!(10-5)! =0.1332 = 13.32% 10! 6 10-6 P(X =6)=________ 0,33 0,67 6!(10-6)! = 0.0547 = 5.47% 10! 7 10-7 P(X =7)=________ 0,33 0,67 7!(10-7)! = 0.0154 = 1.54% 10! 8 10-8 P(X =8)=________ 0,33 0,67 8!(10-8)! = 0.028 = 0.28% 10! 9 10-9 P(X =9)=________ 0,33 0,67 9!(10-9)! = 0.0003 = 0.0% 10! 10 10-10 P(X =10)=________ 0,33 0,67 10!(10-10)! = 0.0000 = 0% P (X ≥ 3) = P (X =3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) + P (X=9) + P(X=10) = 0.02614 + 0.2253 + 0.1332 + 0.0547 + 0.0154 + 0.0028 + 0.0003 + 0.0000

= 0.6931 = 69.31% La probabilidad de que conste al menos 3 preguntas correctas es de 69.39%

c) Cuál es la probabilidad de que conteste como mínimo 4 preguntas correctas? x = 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 n = 10 p =0.33 q = 0.67

10! 4 10-4 P(X =4)=________ 0,33 0,67 4!(10-4)! = 0.2253 = 22.53% 10! 5 10-5 P(X =5)=________ 0,33 0,67 5!(10-5)! =0.1332 = 13.32% 10! 6 10-6 P(X =6)=________ 0,33 0,67 6!(10-6)! = 0.0547 = 5.47% 10! 7 10-7 P(X =7)=________ 0,33 0,67 7!(10-7)! = 0.0154 = 1.54% 10! 8 10-8 P(X =8)=________ 0,33 0,67 8!(10-8)! = 0.028 = 0.28% 10! 9 10-9 P(X =9)=________ 0,33 0,67 9!(10-9)! = 0.0003 = 0.0% 10! 10 10-10 P(X =10)=________ 0,33 0,67 10!(10-10)!

= 0.0000 = 0% P (X ≥ 4) = P (X =4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P(X=10) = 0.2252 + 0.1332 + 0.0547 +0.0154 +0.0028 + 0.0003 + 0.0000 = 0.4317 = 43.17%

La probabilidad de que conteste como mínimo 4 preguntas correctas es de 43.17%

d) Cuál es la probabilidad de que conste entre 2 y 6 preguntas correctas? x = 3 ,4 ,5

10! 3 10-3 P(X =3)=________ 0,33 0,67 3!(10-3)!

= 0.2614 = 26 .14% 10! 4 10-4 P(X =4)=________ 0,33 0,67 4!(10-4)! = 0.2253 = 22.53% 10! 5 10-5 P(X =5)=________ 0,33 0,67 5!(10-5)! =0.1332 = 13.32% = 0.0000 = 0% P (2

5!(8-5)!

= 0.2188 = 21.88%

8! 6 8-6 P(X =6)=________ 0,5 0,5 6!(8-6)!

=0.1094 = 10.94% 8! 7 8-5 P(X =7)=________ 0,5 0,5 7!(8-7)! 8! 8 8-8 P(X =8)=________ 0,5 0,5 8!(8-8)! = 0.0313 = 3.13% = 0.0039 = 0.39% P (X

a. No ocurra ninguna falla N=6 p=0,18 q=0,82

6! 0 6-0 P(X =0)=________ 0,3 0,7 0!(6-0)!

= 0.0547 = 5.47%

La probabilidad de que ocurra ninguna fallas es de 5.47%

b. Fallen un número menor a 2 motores

x = 0, 1,2

6! 0 6-0 P(X =0)=___ _____ 0,3 0,7 0!(6-0)!

= 0.0547 = 5.47% 6! 1 6-1 P(X =1)=________ 0,3 0,7 1!(6-1)!

= 0.4004 = 40.40%

EJEMPLO 5 Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: Las cinco personas.

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3 5! 5 5-5 P(X =5)=________ 0,67 0,33 5!(5-5)!

= 0.132 = 13.20% Al menos tres personas.

5! 3 5-3 P(X =3)=________ 0,67 0,33

3!(5-3)! 5! 4 5-4 P(X =4)=________ 0,67 0,33 4!(5-4)! 5! 5 5-5 P(X =5)=________ 0,67 0,33 5!(5-5)!

= 0.791 = 79,1%

Exactamente dos personas.

5! 2 5-2 P(X =2)=________ 0,67 0,33 2!(5-2)!

= 0.164 = 16.40% EJEMPLO 6 La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = ¾ n=10 p=0,25 q=0,75

p + q=1 P(X >=1)+ P(X=1)=1- P(X=1)=1- (P(X =0))=0,9437 10! 0 10-0 P(X =0)=________ 0,25 0,75 0!(10-0)! EJEMPLO 7 Se diseña un complicado sistema electrónico con cierta cantidad de componentes de seguridad con sus subsistemas. Uno de ellos cuenta con 4 componentes idénticos, cada uno con una probabilidad de fallar de 0.2 en menos de 1000 horas. El subsistema funcionará si dos de los 4 componentes están trabajando. Suponga que cado uno opera de manera independiente.

a) Determine la probabilidad de que dos de los cuatro componentes rindan más de 1000 horas. b) Encuentre la probabilidad de que el subsistema funcione más de 1000 horas.

n = 4 ; x = 2 ; p = 0.2 ; q = 1-p ; q = 0.8 P(x) = nCx *(p^x)* (q^(n-x)) P(x) = 4C2*(0.2^29*(0.8^2) P(x) = 0.1536 n = 4 ; x = 4 ; p = 0.2 ; q = 1-p q = 0.8 P(x>=4) = 1-P(x

J

Donde: e= base del logaritmo neperiano (2,7182)

=promedio x=valor buscado EJEMPLO 2

Un promedio de 6 personas por hora hacen uso de caja bancaria automática

durante el horario pico de compra en una tienda departamental. Cuál es la

probabilidad de que:

= 6/hora

Exactamente 6 personas usen la caja durante una hora aleatoriamente seleccionada?

P (X = 6) =

= 0.1606 = 16.06%

Menos de 5 personas usen la caja durante una hora aleatoriamente seleccionada?

P (X = 4) =

= 0.1339 = 13.39%

P (X = 3) =

= 0.0892 = 8.92%

P (X = 2) =

= 0.0446 = 4.46%

P (X = 1) =

= 0.0149 = 1.49%

P (X = 0) =

= 0.0025 = 0.25%

P (X

= 0.2851 = 28.51%

Ninguna persona la use durante un intervalo de 10 minutos?

= 1 /hora P(X = 0) =

= 0.3679 = 36.79

Ninguna persona la use durante un intervalo de 5 minuto?

= 0,5 /hora

P (X = 0) =

= 0.6065 = 60.65%

EJEMPLO 3

Supongamos que el manuscrito de un libro de texto tiene un total de 50 errores, o “errores

de dado” en las 500 páginas del material y que estos se distribuyen aleatoriamente a lo

largo del texto. Cuál es la probabilidad de :

a) Un capitulo 30 páginas tenga dos o más errores?

A = 3

P (X = 1) =

= 0.1494 = 14.94%

P (X = 0) =

= 0 .0498 = 4.98%

P (X ≥ 2) = 1 – (P(X = 1) + P (X = 0) = 1 – (0.1494 + 0498) = 0.8008 = 80.08%

b) Un capitulo de 50 páginas tenga 2 o más errores? A = 5

P(X = 1) =

= 0.0337 = 3.37%

P(X = 0) =

= 0.0067 = 0.67%

P (X ≥ 2) = 1 – (P(X = 1) +P (X = 0) = 1 – (0.0337 + 0.0067) = 0.9596 = 95.96%

c) Una página aleatoriamente seleccionada no tenga ningún error? A = 0.10

P (X =0) =

= 0.9048 = 90.48%

EJEMPLO 4

Tras su ensamble una planta manufactura se encuentra que solo una computadora

personal por millar es defectuosa y que la PC defectuosa se distribuyen aleatoriamente en

la corrida de producción.

¿Cuál es la probabilidad de que un embarque de 500 PC no incluya ninguna computadora

defectuosa?

= 0,5

P (X = 0) = =

= 0.6065 = 60.65%

¿Cuál es la probabilidad de que un embarque de 100 PC incluyan al menos una

computadora defectuosa?

= 0,1 /hora

P (X = 0) = =

= 0.9048 = 90.48%

P (X ≥ 1) = 1 – P (X = 0) = 1 – 0.9048 = 0.9052 = 9.52%

EJEMPLO 5 La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0,02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año a) ¿Cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran más de 2 accidentes si ya se registraron 4? c) Calcular la probabilidad de que no ocurra ningún accidente

a)

P [X=3] =

P [X=3] =

P [X=3] = 0,08923 * 100

P [X=3] = 8,923% es la probabilidad de tener 3 accidentes al año

b)

P [X > 2] = P [X=3] + P [X=4] + P [X=5] + P [X=6]

P [X > 2] =

P [X > 2] = 0,1606 + 0,1606

P [X > 2] = 0,3212 * 100

P [X > 2] = 32,13% es la probabilidad de que ocurra más de 2 accidentes si ya se registraron 4

c)

P [X=0] =

P [X=0] =

P [X=0] = (2,4787 * ) * 100

P [X=0] = 0,2478% es la probabilidad de que no ocurra ningún accidente

DISTRIBUCION NORMAL PARA MUESTRAS GRANDES

Es sin duda la distribución más utilizada para modelar experimentos aleatorios. La distribución normal es una distribución continua que se ajusta a las distribuciones reales observadas en muchos fenómenos como ser:

Las mediciones de velocidad de transmisiones de datos.

Las mediciones de corriente eléctrica.

Las mediciones de temperatura.

En general todo lo que se pueda medir. Tiene las siguientes propiedades:

La curva o distribución de los datos es unimodal.

La medida de la población cae dentro del gráfico y coincide con el centro de la gráfica.

Los dos extremos de la distribución normal se extienden infinitivamente nunca toca el eje horizontal (desde luego, esto es imposible de mostrar de manera gráfica).

Para definir un distribución normal se necesita solamente dos parámetros la medida y la desviación estándar.

La distribución es simétrica con µ respecto a la línea vertical que

FIG.GRAFICA DE LA DISTRIBUCION NORMAL Pasa por la media µ

No es necesario ni posible tener una tabla distinta para cada distribución normal posible, en lugar de ellos se utiliza una distribución normal estándar para encontrar las probabilidades. Fórmula de Aplicación de la Distribución Normal de Probabilidades.

PROPIEDADES

E(x)=µ V(x)=ϭ

Para entender mejor este tema veamos un ejercicio de Aplicación.

EJEMPLO 1

En una carrera pedestre el tiempo promedio normal de llegada a la meta final sigue una

distribución normal de 35 minutos con una desviación típica de 15 minutos, Calcular:

a. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 20 a 35 minutos?

→%

σ

μ-xz

b. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 15 a 53 minutos?

→42,22%

→39,97%

Z = 82,19%

c. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 41 minutos?

→16,28%

Z = 50 – 16,28% = 33,72%

d. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 19 minutos?

→37,29% + 50% = 87,29%

15 35 53

20 35

35 41

e. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 21 a 33 minutos?

→34,13%

→5,57%

Z = 34,13% - 5,57% = 28,56 %

EJEMPLO 2 En una clínica de niños en la sección de emergencia, se tiene que registrada la edad de cada uno de los niños que han sido atendido durante el año pasado. Tomando estos datos se encuentra que la edad media corresponde a 10 años, con una desviación típica de 3 años. Si se escoge un niño al azar, para analizar su expediente médico ¿cuál es la probabilidad de que:

a) El niño sea mayor a 13 años. b) El niño sea menor a 5 años.

c) El niño este entre 6 y 15 años. d) El niño este entre 11 y 14 años. e) El niño tenga como máximo 12 años.

f) El niño sea por lo menos de 8 años.

19 35

21 33 35

SOLUCION DATOS µ=10 años

ϭ= 3 años

a)P(x≥13)=?

La tabla de probabilidades solo calcula menor o igual”≤”. Hay que sacar el

complemento: P(x≥13)=1- P(x≤13)…………..

Ahora estandarizaremos para poder entrar en tablas:

Entrando a tablas con Z=1.00 tenemos

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL

1.0│0.8413 Remplazando en la ecuación

P(x≥13)=1 – P(x≤1313)=1- 0.8413=0.1587

b)P(x≤5)=? X=5 µ=10 Como se tiene menor o igual “≤”. No hay necesidad de sacar el complemento:

Ahora estandarizaremos para poder entra a tabla:

Entrando a tabal con z =-1.67

σ

μ-xz

µ=10 x=13

Finalmente

P(x≤5)=0.0475

c)P(6≤ x ≤15)=? X6 x=15

Hay que realizar la siguiente transformación P(6≤ x ≤15)=P(x ≤ 15) – P(x≤ 6)……..

Ahora estandarizaremos para poder entrar en tabla:

Entrando a la tabla con Z=1.67 y después con Z=-1.33 tenemos: Para Z=1.67 la probabilidad es : 0.9525 Para Z=-1.33 la probabilidad es : 0.918

Remplazando en la ecuación P(6≤ x ≤ 15)= P(x≤ 15)-P

d)P(11≤ X ≤ 14)=? X=11 X=14

Hay que realizar la siguiente transformación P(11≤ x ≤ 14)= P(x≤ 14)-P(x≤ 11)=0.9082-0.6293=0.2789

Ahora estandarizaremos para poder entrar en tabla

Entrando a la tabla con Z=1.67 y después con Z=-1.33 tenemos: Para Z=1.33 la probabilidad es : 0.9082 Para Z=0.33 la probabilidad es : 0.6293

Hay que realizar la siguiente transformación P(11≤ x ≤ 14)= P(x≤ 14)-P(x≤ 11)=0.9082-0.6293=0.2789

e)P(x ≤ 12)=? x=12

Como se tiene menor o igual “≤”. No hay necesidad de sacar el complemento:


Entrando a tabla con Z=0.67 La prbabilidad es 0.7486

Finalmente P(x≤ 12)=0.7486

f)P(x≥ 8)= Hay necesidad de sacar e complemento. P(x≥ 8)= 1 – P(x≤ 8)…………..


Entrando a tabla con Z=-0.67

La probabilidad es 0.2514 P(x≥ 8)= 1 – P(x≤ 8)=1 -0.2514=0.7486 EJEMPLO 3 El peso de los individuos de una población se distribuye normalmente con media de 70 kg y desviación típica 6kg. De una población de 2000 personas, calcular: a) cuántas personas tendrán un peso comprendido entre 64 y 67kg

b) cuál es el porcentaje de la personas con un peso menor a 55kg

μ = 70kg σ = 6kg a) cuántas personas tendrán un peso

comprendido entre 64 y 67kg P [64kg ≤ x ≤ 76kg]

Z₁ =

= -1 = 0,3413

Z₂ =

= 1 = 0,3413

P [64kg ≤ x ≤ 76kg] = Z₁ + Z₂ P [64kg ≤ x ≤ 76kg] = 0,3413 + 0,3413 P [64kg ≤ x ≤ 76kg] = 0,6826

El 68,26% de las personas pesan entre 64kg y 70kg

1365 son las personas que pesan entre 64kg y 70kg b) cuál es el porcentaje de la personas con un peso menor a 55kg

P [x ≤ 55] Z =

= -2,5 = 0,4938

P [x ≤ 55] = 0,5 - 0,4938 P [x ≤ 55] = 6,2x * 100 P [x ≤ 55] = 0,62% El 0,62% es el porcentaje de la personas con un peso menor a 55kg

EJEMPLO 4 Hay un programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de supervisión de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es auto administrado, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 horas, y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 horas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar requiera más de 500 horas para completar el programa de entrenamiento?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en completar el programa de entrenamiento?

Resolviendo:

a) Dibujando una gráfica de distribución Normal (campana de Gauss) se puede observar que la mitad del área bajo la curva está localizada a ambos lados de la media de 500 horas. Por tanto, se deduce que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor mayor a 500 es el área sombreada, es decir, 0.5

b)

http://www.monografias.com/Computacion/Programacion/http://www.monografias.com/trabajos14/mocom/mocom.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conge/conge.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/conce/conce.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/produccion-sistema-economico/produccion-sistema-economico.shtml

Buscar Z = 1.50 en la tabla distribución de probabilidad normal estándar.

Encontrando una probabilidad de 0.4332.

La probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento es de 0.4332 es decir un 43.32%

EJEMPLO 5 Se supone que la instancia de los enfermos en un hospital surge una distribución media de 8 días y desviación típica 3. Calcular la probabilidad de que la instancia de un enfermo:

a) Sea inferior a 7 días

b) Sea superior a 3 días

μ = 8kg σ = 3kg

a) P [X ≤ 7] Z =

= -0,33 = 0,1293

P [X ≤ 7] = 0,1293 – 0,5 P [X ≤ 7] = -0,3707 P [X ≤ 7] = 37,07% La probabilidad de que la instancia de un enfermo sea inferior a 7 días

b)

P [X ≥ 3] Z =

= -1,66 = 0,4515

P [X ≥ 3] = 0,4515 + 0,5 P [X ≥ 3] = -0,9515 P [X ≥ 3] = 95,15%

La probabilidad de que la instancia de un enfermo sea superior a 3 día

Distribución de Probabilidad Normal Estándar Áreas bajo la distribución de probabilidad Normal Estándar entre la media y valores positivos de (Z)

6

UTEPSA- PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS NORMAL

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1065 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1369 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4725 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4816

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929

3,2 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950

3,3 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965

3,4 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976

3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983

3,6 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49988

3,7 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992

3,8 0,49993 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995

3,9 0,49995 0,49995 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49997 0,49997

4,0 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998

7


UNIDAD 8

Muestreo

Teoría del muestreo.

OBJETIVOS

Reconocer los diferentes tipos de muestreos probabilísticas.

Reconocer los diferentes tipos de muestreos no probabilísticas.

Calcular el tamaño de la muestra para población finita e infinita.

Resolver problemas de aplicación a la economía.

Muestreo.

Uno de los temas más importantes de la Estadística Inferencial es sin duda alguna el Muestreo.

Es la parte de la ciencia que divide a la investigación científica de la búsqueda empírica de

resultados, la correcta selección del tamaño de la muestra es sumamente importante en el

mundo empresarial, ya que frecuentemente requerimos realizar encuestas e investigaciones de

mercado para tomar decisiones que es la base de un profesional exitoso.

Si bien hay muchísima bibliografía acerca del tema en esta guía hemos intentado sintetizar solo

los argumentos más importantes y que les resultarán más útiles a los profesionales de las

Ciencias Económicas, Administrativas y Financieras.

Existen como tal dos tipos de muestreo, el probabilístico y el No probabilístico, el muestreo

probabilístico es cuando todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de

ser seleccionados en la Muestra y obviamente el no probabilístico es el que muestra lo

contrario. En este Manual solo trabajaremos con el muestreo probabilístico y necesariamente

con poblaciones finitas (que se conocen todos los elementos de la población) ya que estos son

los más utilizados en las investigaciones de mercado de nuestro rubro de trabajo.

Aparte de las fórmulas de muestreo existen criterios que necesariamente deben cumplirse a la

hora de realizar una investigación.

Criterios de Muestreo.

1. Se debe tomar información en todas las áreas y horarios. (Si queremos realizar una encuesta en la Universidad UTEPSA, es importante que tomemos la opinión de estudiantes de todos los horarios, ya que la opinión de los estudiantes de la mañana puede diferir mucho a los de la noche)

2. Si usted no va a realizar la encuesta debe adiestrar muy bien a los encuestadores y si es posible realizar una auditoría de trabajo de campo1.

3. Tomar la información en diversos días no el mismo. ¿Por qué?, En muchas ocasiones hay lugares que las personas visitan solo rara vez y otros todos los días.

Para seleccionar los datos tenemos que tomar en cuenta que existen varios métodos de

selección.

1. La Entrevista Personal. 2. Entrevistas por teléfono. 3. Cuestionarios Auto aplicados (Encuestas) 4. Observación Directa.

1 Este tema se trabajará en profundidad en la materia de investigación de mercado.

8


Nota: Intente que la mayor cantidad de sus preguntas sean cerradas. Las preguntas más

importantes no pueden tener la opción No se no respondo.

Planeación de una encuesta por muestreo.

1. Establecimiento de objetivos: Usted debe saber de ante mano lo que quiere investigar, los objetivos deben ser muy claros y concisos.

2. Población Objetivo: Usted debe delimitar su población. No siempre nos interesa trabajar con la población en su conjunto sino una parte de ella. Ejemplo. Si usted es vendedor de acciones de bolsa con un valor superior a los 1.5 millones de dólares no creo que le interese mucho encuestar a estudiantes ó personas de recursos medios.

3. El Marco Muestral: El Marco muestral es una lista donde están todos los elementos de la población, ejemplo si usted va a estudiar el nivel de satisfacción de los obreros del ingenio Guabirá, el marco muestral sería la nomina de todos los trabajadores.

4. Diseño de Muestreo: Seleccione que tipo de muestreo va a utilizar, aleatorio simple, sistemático, por conglomerados ó polietápico2 (Varios muestreos a la vez)

5. Método de Medición: Entrevistas, encuestas, observaciones, entrevistas por teléfono, etc.

6. Instrumento de Medición. Como tal este paso se refiere a elaborar el cuestionario en sí.

7. Selección y adiestramiento de investigadores de Campo: Este es una de las partes más importantes, tome el tiempo que sea necesario para esto y dele la importancia que se merece, de instrucciones claras.

8. Prueba Piloto. Se realiza con dos objetivos, uno es calcular la varianza poblacional y otro es saber más ó menos como está elaborado el cuestionario.

9. Organización y Trabajo de Campo: Como tal es el trabajo de campo en sí. Ir y tomar la información a la calle, a la empresa ó por correo.

10. Organización del Manejo de Datos. Ya está toda la información seleccionada y requerimos organizar el trabajo, ¿Quién va a tabular?, ¿Quién va a dictar?, etc.

11. Análisis de los datos: Es el tratamiento ó procesamiento de la información y las propuestas de solución a problemas, hipótesis ó toma de decisiones.

5.2 Muestreo Aleatorio Simple:

Este es sin duda alguna el más utilizado de todos los muestreos, sus usos son infinitos, y es tan

sencillo de entender como tener una bolsa con 40 bolillas y seleccionar 10 a azar,

evidentemente todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser

seleccionados en la muestra.

Para seleccionar el tamaño de la muestra utilizando el muestreo aleatorio simple

debemos tener en cuenta ¿Que nos interesa de la población?

La media poblacional. Ejemplo (Cuál es el gasto promedio en CD´s de los estudiantes Universitarios de Santa Cruz de la Sierra, Bolivia)

Una proporción poblacional. Ejemplo (Cuál es la proporción de estudiantes de Santa Cruz que compran CD´s.

Un total poblacional. Ejemplo (Cuál es el total de dinero que gastan estudiantes de Santa Cruz comprando CD´s.

En esta guía no vamos a trabajar con los totales, pero si es importante que conozcas que existe

este tipo de estadígrafo llamado (tao) ó total3.

2 El muestreo polietápico está diseñado para investigaciones de mercado muy grandes con poblaciones superiores

a 500.000 personas, elementos u observaciones. 3 Para más información acerca de este tema. Scheaffer Richar Editorial Iberoamérica, “Elementos de Muestreo”

9


Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar la Media Poblacional.

Recordemos que la media poblacional es (miu) ó (mu) y se denota con la letra (u)

Fórmula:

Donde:

n: Es el tamaño de la Muestra.

N: Es la Población.

E: Límite para el error de estimación.

: Varianza Poblacional

Nota: Una vez seleccionado el tamaño de la Muestra se seleccionan de la población utilizando

la tabla de Números Aleatorios.

Ejemplo 1:

5000 son las cuentas en moras de la Cooperativa “LUNA”, se sabe por estudios

anteriores que la desviación estándar de las mismas es de 35 dólares, Hay que llamar a los

clientes para saber ¿Cuál ha sido el motivo del retraso en sus obligaciones? Evidentemente no

se puede llamar a los 5.000 porque incurriría un elevado costo para la cooperativa, por lo que

hay que seleccionar una muestra. Es evidente que se puede utilizar el muestreo aleatorio

simple debido a que cumple con los requisitos del mismo.

A) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite para el error de estimación de 5 dólares.

B) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite para el error de estimación de 10 dólares.

Respuesta inciso “a”

No nos dan la Varianza poblacional pero si la desviación Estándar, y la varianza es la

desviación estándar al cuadrado.

= 1225

N= 5.000 B= 5

=

=

=

= 188.64 ≈ 189

Respuesta: De las 5.000 cuantas de la cooperativa “LUNA” tenemos que seleccionar 189 si es

que queremos un límite para el error de estimación de 5 dólares.

Respuesta inciso “b”

= 1225

N= 5.000 B= 5

=

=

=

= 48.53 ≈ 49

Respuesta: De las 5.000 cuantas de la cooperativa “LUNA” tenemos que seleccionar 49 si es

que queremos un límite para el error de estimación de 10 dólares.

Nota: Notemos que mientras más grande es el error que aceptamos más pequeña es la

muestra.

10


Ejemplo 2.

Usted es el gerente de Marketing de la empresa comercializadora de calzados “Zapatitos

de Cristal”, en los últimos meses se ha detectado un descenso de las ventas netas, su asesor

sugiere que se realice una investigación de mercado para detectar si ha sido debida a un ciclo

comercial ó a la llegada de nuevos competidores. Se tomó una prueba piloto donde se pudo

detectar en los encuestados un valor máximo de compras de 80 dólares y un mínimo de 20.

Con un error de estimación de 4 dólares cuantas encuestas se deben tomar para saber por qué

ha sido el descenso en las ventas teniendo en cuenta que los clientes con dirección y número

de celular están en la base de datos de la empresa y suman 3.000.

, ni la varianza de la

población, pero nos dan el rango, que en este caso sería 80-20= 60. Por regla estadística el

rango dividido entre 4 es la desviación estándar.

Por lo tanto 60/4= 15, y la varianza es la desviación estándar al cuadrado. 152= 225

N= 3.000 B= 5

=

=

=

= 55.23 ≈ 56

Respuesta: Se debe tomar una encuesta a 56 de los clientes.

Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción poblacional.

Recordemos que la proporción poblacional es

Fórmula:

Donde:

n: Es el tamaño de la Muestra.

N: Es la Población.

B: Límite para el error de estimación.

p: proporción poblacional de éxitos en casos anteriores ó la prueba piloto.

q: proporción poblacional de fracasos en casos anteriores ó la prueba piloto.

Ejemplo 3

El señor Juan propietario de la Finca Ganadera “Juanito” ha detectado que están

muriendo animales. Juan es propietario de 10.000 cabezas de ganado y el costo del estudio

(análisis de sangre) por animal es de 5 Bs. Juan solo puede tener un error de estimación del 5%

y no tiene el dinero suficiente para realizarle el estudio a todos los animales. Cuál es la Muestra

probabilística que debe seleccionar Juan para realizar el estudio que verifique la proporción de

animales que están enfermos y cuál es el presupuesto que necesita para llevar adelante

análisis de sangre.

Nota: En el anterior estudio se calculo que el 20% de los animales estaban contaminados con

un virus.

N= 10.000 p= 0.2 q= 0.8 B= 0.05

=

=

= 250

11


Respuesta: Con un límite para el error de estimación de 5% el tamaño de la muestra debe ser

de 250 animales para el estudio y el presupuesto sería de 250*5= 1.250 bolivianos.

Ejemplo 4

El gerente de Recursos Humanos de la fábrica de Juguetes “Juguetón” leyó la semana

pasada el buzón de quejas y sugerencias internas y detectó que un 30% de las quejas eran

acerca del mal trato del Supervisor “Fernández”, preocupado por esta situación decide realizar

una encuesta para determinar si realmente existe tal molestia entre los trabajadores ó es solo

problema de una camarilla, El problema es que hay 50.000 obreros y encuestarlos a todos sería

en un período muy largo de tiempo. ¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra que

necesita tomar el gerente para realizar dicha encuesta teniendo en cuenta un límite para el error

de estimación de 0.04?

N= 50.000 p= 0.3 q= 0.7 E= 0.04

=

=

=

= 519.55 ≈ 520

R) El gerente requiere tomar una muestra de 520 empleados para determinar la situación del

señor Fernández..

Ejemplo 5

Se quiere estudiar la preferencia de un nuevo partido político en una población,

sobre la cual no se ha hecho ningún estudio anterior, se acepta un margen de error

máximo a aceptar es el 2%. Determina el tamaño de la muestra con un nivel de

confianza del 90%.

Z= 1.645 E= 2% =0.02

4.3 Muestreo Sistemático:

El muestreo sistemático es muy parecido aleatorio simple, de hecho mantiene hasta las mismas

fórmulas, la única diferencia es que en este se divide la población entre la muestra y hallamos

un valor que vamos a llamar “K”, tomamos un primer valor y sistemáticamente sumamos “K” y

seleccionamos la observación.

Ventajas del Muestreo Sistemático:

1.- Es el más fácil de llevar a cabo en el campo.

12


2.- Está menos expuestos a errores de selección que cometen los investigadores de campo.

3.- El muestreo Sistemático puede proporcionar mayor información que la que puede

proporcionar el muestreo aleatorio por unidad de costo.

Selección del tamaño de la muestra para hallar el promedio poblacional.

Fórmula.

Como podemos ver es la misma muestra que el muestreo aleatorio simple.

Ejemplo:

La siguiente tabla muestra los valores de las edades de los integrantes del Club Social.

(Guajurú). Con un error de estimación de 4 años. ¿Cuál debe ser la muestra que se debe

seleccionar? y realice mediante el muestreo sistemático, seleccione los valores y halle el

promedio de la muestra e infiera a la población.

56 36 80 54 21 45 48 49 52 59

64 48 75 20 25 29 32 36 37 33

33 39 45 42 48 65 32 6 90 75

21 20 54 58 68 69 70 65 60 70

50 52 45 25 35 65 95 85 75 75

45 75 45 25 52 45 53 56 59 58

57 65 68 67 64 21 70 80 90 54

24 25 65 35 36 38 69 71 80 28

Evidentemente que una población de este tamaño (80) se puede estudiar en su totalidad pero

con fines pedagógicos hemos tomado la decisión de seleccionar una muestra y luego

sistematizar.

Edad Máxima: 90 años, Edad Mínima: 20 años, Rango = 70 años.

No nos olvidemos que el Rango dividido entre 4 es la desviación estándar. 70/4= 17.5. La

varianza es la desviación estándar al cuadrado. 17.52= 306.25

N= 80 B= 4

=

=

=

= 9.08 ≈ 10

K= 80/10= 8

Evidentemente tenemos que seleccionar 10 de los 80 socios. El primer valor lo tomamos

aleatoriamente entre los primeros 10 valores, en nuestro caso fue el tercero, entonces

seleccionamos el tercer valor y sistematizamos sumando “K” que en este caso es 8.

56 36 80 54 21 45 48 49 52 59

64 48 75 20 25 29 32 36 37 33

33 39 45 42 48 65 32 6 90 75

21 20 54 58 68 69 70 65 60 70

50 52 45 25 35 65 95 85 75 75

45 75 45 25 52 45 53 56 59 58

57 65 68 67 64 21 70 80 90 54

24 25 65 35 36 38 69 71 80 28

13


Ahora realizamos el estudio entre los 10 valores seleccionados en la muestra.

∑

El promedio de las edades de la muestra es 54 años. Ahora realizamos el intervalo de

confianza para inferir a la población. Como es una muestra pequeña (10) tenemos que utilizar la

“t” de student.

S= 17.5, √ √ = 3.16. Grados de libertad sería n-1, 10-1= 9, y el nivel de significación al

no dárnoslo es el 95%. Siguiendo los pasos que están en la tabla es 2.262 el valor de “t”

√

[ ]

[ ]

Respuesta: Estamos seguros que en un 95% de las posibles muestras que se pudieran haber

seleccionado la media estará entre 41.47 y 66.52 años.

Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción poblacional.

Fórmula:

Ejemplo:

Los siguientes datos muestran la opinión que tuvieron las 130 personas que asistieron al

cine “Peliculón” el día de su reapertura. Encuestas anteriores muestran que el 65% de los

visitantes ven las mejoras como positivas. Debido a que tabular 130 encuestas es mucho según

el gerente, se decide tomar una muestra con un error de 0.15 y un 95% de confiabilidad, aparte

realice un estudio estadístico completo.

Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo

Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo

Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo

Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo

Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual

14


Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual

Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo




Solución.

N= 130 p= 0.65 q= 0.35 E= 0.15

=

=

=

= 31.02 ≈ 32

Si bien en estadística siempre redondeamos al mayor valor, en el caso del

cálculo de la “K” se utiliza el enfoque matemático.

Ahora tomamos un número aleatorio entre los primeros 4 número en nuestro caso fue el 2. O

sea, la segundo observación que nos va a servir como punto de partida y primer valor.

Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo

Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo

Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo




Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual

Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual

Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo




Hacemos el estudio de las variables cualitativas de los treinta datos y tenemos que la

proporción de clientes que estuvo satisfecha (positivo) fue el 0.4687, o sea 15 de 32

encuestados.

Ahora vamos a hallar el intervalo de confianza.

Como estamos trabajando con muestras grande trabajamos con “Z” no con “t”

15


0'00 0'01 0'02 0'03 0'04 0'05 0'06 0'07 0'08 0'09 0'0

0'1

0'2

0’00000 0’00399 0’00798 0’01197 0’01595 0’01994 0’02392 0’02790 0’03188 0’03586

0’03983 0’04380 0’04766 0’05172 0’05567 0’05962 0’06356 0’06749 0’07142 0’07535

0’07926 0’08317 0’08706 0’09095 0’09483 0’09871 0’10257 0’10642 0’11026 0’11409

0'5

0'6

0'7

0’19146 0’19497 0’19847 0’20194 0’20450 0’20884 0’21226 0’21566 0’21904 0’22240

0’22575 0’22907 0’23237 0’23565 0’23891 0’24215 0’24537 0’24857 0’25175 0’25490

0’25804 0’26115 0’26424 0’26730 0’27035 0’27337 0’27637 0’27935 0’28230 0’28524

1'0

1'1

1'2

0’34134 0’34375 0’34614 0’34850 0’35083 0’35313 0’35543 0’35769 0’35993 0’36214

0’36433 0’36650 0’36864 0’37076 0’37286 0’37493 0’37698 0’37900 0’38100 0’38298

0’38493 0’38686 0’38877 0’39065 0’39251 0’39435 0’39617 0’39796 0’39973 0’40147

1'5

1'6

1'7

0’43319 0’43448 0’43574 0’43699 0’43822 0’43943 0’44062 0’44179 0’44295 0’44408

0’44520 0’44630 0’44738 0’44845 0’44950 0’45053 0’45154 0’45254 0’45352 0’45449

0’45543 0’45637 0’45728 0’45818 0’45907 0’45994 0’46080 0’46164 0’46246 0’46327

2'0

2'1

2'2

0’47725 0’47778 0’47831 0’47882 0’47932 0’47982 0’48030 0’48077 0’48124 0’48169

0’48214 0’48257 0’48300 0’48341 0’48382 0’48422 0’48461 0’48500 0’48537 0’48574

0’48610 0’48645 0’48679 0’48713 0’48745 0’48778 0’48809 0’48840 0’48870 0’48899

2'5

2'6

2'7

0’49379 0’49396 0’49413 0’49430 0’49446 0’49461 0’49477 0’49492 0’49506 0’49520

0’49534 0’49547 0’49560 0’49573 0’49585 0’49598 0’49609 0’49621 0’49632 0’49643

0’49653 0’49664 0’49674 0’49683 0’49693 0’49702 0’49711 0’49720 0’49728 0’49736

3'0

3'1

3'2

0’49865 0’49869 0’49873 0’49877 0’49881 0’49885 0’49889 0’49893 0’49896 0’49899

0’49903 0’49906 0’49909 0’49912 0’49915 0’49918 0’49921 0’49923 0’49926 0’49929

0’49931 0’49933 0’49936 0’49938 0’49940 0’49942 0’49944 0’49946 0’49948 0’49950

3'5

3'6

3'7

0’49977 0’49977 0’49978 0’49979 0’49980 0’49981 0’49981 0’49982 0’49983 0’49983

0’49984 0’49985 0’49985 0’49986 0’49986 0’49987 0’49987 0’49988 0’49988 0’49989

0’49989 0’49990 0’49990 0’49990 0’49991 0’49991 0’49991 0’49992 0’49992 0’49992

4'0

4'1

4'2

0’49997 0’49997 0’49997 0’49997 0’49997 0’49997 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998

0’49998 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998 0’49999 0’49999

0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999

TABLA DE DISTRIBUCIION NORMAL TIPIFICADA N(0,1)

La tabla proporciona el área que queda comprendida entre 0 y z

z

16


CONTROL DE LECTURA BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA PARA ESTA UNIDAD:

RUFINO MOYA “Estadística Descriptiva” Pág. 322 - 341 MURRAY R. SPIEGEL “Estadística” Pág. 116 - 128 BERENSON Y LEVINE “Estadística Básica en Administración” Pág. 127 – 141 VICTOR CHUNGARA “Probabilidad y Estadística” Pág. 115 - 128

BIBLIOGRAFIA BASICA Berenson y Levine “Estadísticas para administradores´ Rufino Moya Calderón “estadística descriptiva “ R. Levin & D. Rubín. Estadística para administradores. Prentice Hall Leonard kazmier. Estadística aplicada a la administración y economía. Mc Graw

Hall BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA “Estadística y probabilidades” de Víctor Chungara Castro Murray R. Spiegel. Estadística. Mc. Graw. Hill

PAGINAS WEB

http://www.slideshare.net/ricardo1284/estadstica-inferencial-y-concptos-basicos

http://www.monografias.com/trabajos13/beren/beren.shtmml

http://www.scribd.com/doc/23566282/estadisticas-inferencial

http://facultad.sagrado.edu/stalistics.pdf

http://facultad.sagrado.edu/atalistics.pdf

http://www.seden.org/files/7-CAP%207.pdf

http://www.monografias.com/trabajos29/distribucion-probabilidades.shtml

http://html.rincondelvago.com/estadisticas-en-la-toma-de-deciciones-html

http://www.monografias.com/trabajos5/estadm/estadm.shtmml

http://www.monografias.com/trbajos5/estadm.shtml#tipos
http://www.slideshare.net/ricardo1284/estadstica-inferencial-y-concptos-basicoshttp://www.monografias.com/trabajos13/beren/beren.shtmmlhttp://www.scribd.com/doc/23566282/estadisticas-inferencialhttp://facultad.sagrado.edu/stalistics.pdfhttp://facultad.sagrado.edu/atalistics.pdfhttp://www.seden.org/files/7-CAP%207.pdfhttp://www.monografias.com/trabajos29/distribucion-probabilidades.shtmlhttp://html.rincondelvago.com/estadisticas-en-la-toma-de-deciciones-htmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/estadm/estadm.shtmml

diagrama de dispersion · 2015. 11. 8. · probabilidad condicional eventos dependientes se dice...

Documents