descripción conjunta de dos variables

Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1

Descripción conjunta de dos variables

Tema 2


Descripción breve del tema1. Introducción2. Distribuciones de frecuencias

Distribución conjunta Distribuciones marginales Distribuciones condicionadas Independencia entre variables

3. Representaciones gráficas Diagrama de dispersión Otras representaciones

4. Medidas de dependencia lineal Covarianza Correlación


Objetivos Reconocer la importancia del estudio

conjunto de varias variables. Calcular distribuciones marginales y

condicionadas a partir de la conjunta. Comprender el concepto de independencia

entre variables. Conocer medidas de dependencia lineal e

interpretar su signo.


Introducción El estudio conjunto de dos variables, nos

permite analizar las relaciones entre ellas. La ausencia total de relación lleva el nombre

de independencia. Puede predecirse una variable a partir de otra. Las representaciones gráficas son de gran

ayuda.


Distribuciones de frecuenciasPodemos tener cualquier combinación de variables cuantitativas / cualitativas.

Partimos de dos variables X e Y tales que X toma k valores distintos, x1,…, xk

( si cuantitativa x1< … < xk ) Y toma r valores distintos, y1,…, yr

( si cuantitativa y1< … < yr ) Frecuencia absoluta conjunta del par ( xi , yj )

número de veces que el dato ( xi , yj ) aparece en la muestra, nij Frecuencia relativa conjunta del par ( xi , yj )

cociente de frecuencia absoluta entre tamaño, fij= nij /n


Distribución conjunta de frecuenciasPodemos construir una tabla (de contingencia o de doble entrada)

para la distribución conjunta de frecuencias de X e Y (con frec.

relativas o absolutas).

X\Y y1 y2 … yr

x1 n11 n12 … n1r

x2 n21 n22 … n2r

… … … … …

xk nk1 nk2 … nkr


Distribución conjunta de frecuenciasPAU 2005, Madrid

UNI. \RES. Aprobados Suspensos

Alcalá de Henares

2780 617

Autónoma de Madrid

7203 1664

Carlos III 2734 636

Complutense de Madrid

9686 2608

Rey Juan Carlos

2189 796

UNI. \RES. Aprobados Suspensos

Alcalá de Henares

0’09 0’02

Autónoma de Madrid

0’233 0’054

Carlos III 0’088 0’021


0’313 0’084

Rey Juan Carlos

0’071 0’026


Distribuciones marginalesSe obtienen al estudiar cada variable por separado.Nos interesa sólo el comportamiento de X (o de Y). Frecuencias absolutas marginales

ni· número de veces que la variable X toma el valor xi en la

muestra. Es la suma de nij con j de 1 a r.

n·j número de veces que la variable Y toma el valor yj en la

muestra. Es la suma de nij con i de 1 a k. Frecuencias relativas marginales

cociente de frecuencia absoluta entre tamaño, f(xi)=fi·= ni·/n

cociente de frecuencia absoluta entre tamaño, f(yj)=f·j= n·j/n


Distribuciones marginalesPAU 2005

UNI. \RES. Aprobados Suspensos Total

Alcalá de Henares 2780 617 3397

Autónoma de Madrid

7203 1664 8867

Carlos III 2734 636 3370


9686 2608 12294

Rey Juan Carlos 2189 796 2985

Total 24592 6321 30913

UNI.ni· fi·

ual 3397 0’11

uam 8867 0’287

uc3m 3370 0’109

ucm 12294 0’398

urjc 2985 0’096RES.

n·j f·j

Aprobado 24592 0’796

Suspensos 6321 0’204


Distribuciones condicionadasNos interesan sólo los individuos que toman el valor xi en la variable X.

La variable Y definida en ese conjunto se denomina variable

condicionada y se representa Y|X=xi

Frecuencias relativas condicionadas

la frecuencia relativa de yj condicionada a X=xi representa la proporción de individuos que presentan Y=yj de entre los que tienen X=xi ; f(yj|xi)= nij/ni·= f( xi , yj)/f(xi)

la frecuencia relativa de xi condicionada a Y=yj representa la proporción de individuos que presentan X=xi de entre los que tienen Y=yj ; f(xi|yj)= nij/n·j= f( xi , yj)/f(yj)


Distribuciones condicionadasEn la tabla superior se estudia la

variable Resultado condicionada a

que la variable Universidad tome

el valor Carlos III.

En la tabla inferior se estudia la

variable marginal Resultado.

RESULTADO

| UNIV=uc3mn3j f(yj|x3)



RESULTADOn·j f·j




Independencia entre variablesDos variables son independientes si no existe ninguna relación

entre ellas.

A partir del valor que toma una variable no obtenemos ninguna

información sobre el valor que tomará la otra.

La distribución de frecuencias relativas condicionadas de Y|X=xi

es la misma, independientemente del valor que tome i

f(yj|xi)=f(yj) para todo i,j

X e Y independientes si f(xi , yj)=f(yj|xi)f(xi)=f(xi)f(yj) para todo i,j


Independencia entre variablesEjemplo: Realizamos una encuesta a 280 personas para

estudiar si el hábito de fumar está relacionado con el

sexo del individuo (si es más frecuente en hombres o en

mujeres).

H\F 0 1 ni·

0 72 48 120

1 96 64 160

n·j168 112 280

H\F 0 1 fi·

0 9/35 6/35 3/7

1 12/35 8/35 4/7

f·j3/5 2/5 1


Diagrama de dispersiónPlot of 100m vs long jump

long jump

100m

6,6 6,9 7,2 7,5 7,8 8,110,4

10,6

10,8

11

11,2

11,4

11,6

Plot of long jump vs shot put

13 14 15 16 17

shot put

6,6

6,9

7,2

7,5

7,8

8,1

long

jum

p

Plot of shot put vs 100m

100m

shot

put

10,4 10,6 10,8 11 11,2 11,4 11,613

14

15

16

17

En una nube de puntos o diagrama de dispersión, cada dato (xi,yj) de la muestra, se representa por un único punto de abscisa xi y ordenada yj


Diagrama de dispersiónEn una nube de puntos podemos ver distintos tipos de dependencias entre las variables.

También podemosobservar visualmentela presencia de mezcla de poblaciones

Plot of peso vs altura

160 165 170 175 180 185 190

altura

47

57

67

77

87

97

peso

4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Plot for iris setosa and versicolor

sepal length

sepa

l wid

th

4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Plot for iris setosa and versicolor

sepal length

sepa

l wid

th


Diagramas de barras agrupados

Para variables cualitativas

o cuantitativas discretas

con pocos valores, la

representación más

habitual son los diagramas

de barras agrupados

0 2 4 6 8 10(X 1000)

frequency

Barchart

ual

uam

uc3m

ucm

urjc

aprobadossuspensos

percentage

Barchart

aprobadossuspensos

0 10 20 30 40

ual

uam

uc3m

ucm

urjc


Medidas de dependencia lineal Covarianza: mide la asociación lineal entre dos

variables

Si X e Y son independientes, entonces sXY = 0, pero

el recíproco no es cierto.

La covarianza viene dada en las unidad producto de las

de X e Y y su signo resulta muy interesante.

r

jjiij

k

iXY

r

jjiij

k

iXY yxyxfsyyxxfs

1111

;


Signo de la covarianza

-2 -1 0 1 2-2,2

-1,2

-0,2

0,8

1,8

2,8

-1,4 -0,4 0,6 1,6 2,6-2,2

-1,2

-0,2

0,8

1,8

2,8

-2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5-2,2

-1,2

-0,2

0,8

1,8

2,8

-2,2 -1,2 -0,2 0,8 1,8 2,8-0,4

0,6

1,6

2,6

3,6

4,6

5,6


Covarianza


13 14 15 16 17

shot put

6,6

6,9

7,2

7,5

7,8

8,1

long

jum

p

x:14,5702 y:7,26124

Resultados en los 100m lisos, salto de longitud y lanzamiento de peso de los 29 atletas que puntuaron en las tres pruebas en la decatlón de las Olimpiadas de Atenas 2004.


100m

shot

put

10,4 10,6 10,8 11 11,2 11,4 11,613

14

15

16

17

x:10,9286 y:14,574

Plot of 100m vs long jump

long jump

100m

6,6 6,9 7,2 7,5 7,8 8,110,4

10,6

10,8

11

11,2

11,4

11,6

x:7,26816 y:10,9224

sXY=0’059

sXY=-0’054

sXY=-0’09


Correlación Correlación: mide la asociación lineal entre dos

variables y es adimensional.

Tiene el mismo signo que la covarianza.

YX

XYXY ss

sr

11 XYr

Si rXY = 0 X e Y se dicen incorreladas. Si rXY = 1 ó rXY = -1, la relación lineal entre X e Y es perfecta.


Correlación


13 14 15 16 17

shot put

6,6

6,9

7,2

7,5

7,8

8,1

long

jum

p

x:14,5702 y:7,26124


100m

shot

put

10,4 10,6 10,8 11 11,2 11,4 11,613

14

15

16

17

x:10,9286 y:14,574

Plot of 100m vs long jump

long jump

100m

6,6 6,9 7,2 7,5 7,8 8,110,4

10,6

10,8

11

11,2

11,4

11,6

x:7,26816 y:10,9224

rXY=0’196

rXY=-0’686

rXY=-0’429

Resultados en los 100m lisos, salto de longitud y lanzamiento de peso de los 29 atletas que puntuaron en las tres pruebas en la decatlón de las Olimpiadas de Atenas 2004.

descripción conjunta de dos variables

Documents

variables x

variable x

valor xi

par xi

valor yj

frecuencias de x

yj nmero de veces

dato xi