decisiones de consumo intertemporal-importante

8/3/2019 Decisiones de Consumo Intertemporal-IMPORTANTE

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DECISIONES DE CONSUMO INTERTEMPORAL,MERCADOS DE CAPITAL E INVERSIN

Raymundo C. Rodrguez Guajardo

Profesor Titular del Departamento de EconomaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monterrey

Septiembre de 1996----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

INTRODUCCION

El modelo bsico de maximizacin del bienestar sujeto a una restriccin de presupuesto noconsidera la dimensin tiempo en el anlisis de decisin de la canasta ptima. Esto es, sesupone que para una fecha determinada, el consumidor dispone de un ingreso dado el cualdestina a la compra de bienes con el fin de maximizar su utilidad. No obstante, las decisionesdel consumidor en el presente estn influenciadas por sus expectativas sobre precios e ingresoen el futuro. En este sentido, el problema del consumidor es el de disear un plan de consumo atravs del tiempo que maximice su utilidad intertemporal. En este modelo de decisiones de

consumo intertemporal, el individuo dispone de un ingreso en la forma de dotaciones. Si, porejemplo, el consumidor decide sacrificar una unidad de su ingreso en el presente, puedeaprovechar el mercado de capital para ahorrar dicha unidad monetaria o bien puede destinarla ala inversin fsica en la forma de llevar a cabo ciertos proyectos.En este trabajo se caracteriza el problema de decisin del consumidor en un contextointertemporal. Primeramente se discute el caso donde no hay posibilidades de produccin peros existe un mercado de capital que le permite al individuo ahorrar o pedir prestado en elpresente. En el segundo caso el consumidor puede destinar parte de su dotacin a la inversinfisica productiva pero no dispone de un mercado de capital. Por ltimo, en el tercer caso seconsidera la decisin del consumidor cuando existen posibilidades de inversin tanto financieracomo fsica. De hecho, las decisiones ms importantes del administrador financiero se refierena qu inversiones realizar y seleccionar los medios apropiados para financiarlas. El criterio es elde seleccionar aquellos proyectos que maximicen el valor presente (de mercado) de la empresa.El objetivo del presente trabajo es el de caracterizar las decisiones sobre consumo, ahorro einversin a travs del tiempo y de cmo la introduccin de un mercado de capital (einstrumentos o valores financieros) mejoran el bienestar del consumidor (inversionista).

SUPUESTOS

1. Certidumbre total. No hay incertidumbre sobre la magnitud y tiempo en que deben hacerselos pagos. En particular, todas las obligaciones financieras son pagadas en las cantidades yplazos convenidos.2. No Saciedad. Los individuos siempre prefieren ms (dinero) que menos.3. No hay Costos de Transaccin. La tasa de inters (r) por prstamos es la misma que la tasa

de inters por ahorrar. Es decir, las tasas activa y pasiva son iguales. Este supuesto esequivalente a establecer la existencia de mercados perfectos de capital.

4. Dos periodos. El horizonte de planeacin del individuo est dividido en dos etapas: presente(periodo 0) y futuro (periodo 1).

5. Tasa de Inters Paramtrica. La tasa de inters en un periodo dado es la mismaindependientemente de la cantidad que pida prestado o ahorre. Esto es, las decisiones sobreconsumo - ahorro no afectan el nivel de la tasa de inters.


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Raymundo C. Rodrguez G. 2

6. Dotaciones Paramtricas. El ingreso (Y) del consumidor est dado en la forma dedotaciones: Y0 representa el valor de los bienes presentes que posee y Y1 representa el valor delos bienes que recibir en el futuro. Esto es, el ingreso es considerado como exgeno.

7. Preferencias Convexas. Cada consumidor tiene una funcin de utilidad bien comportada, lacual expresa sus preferencias entre gasto en consumo presente, C0, y gasto en consumofuturo,C1. La funcin de utilidad se denota por U C C= U( , )0 1 . Puesto que ambos consumos

son considerados bienes, U C C U C CC

0 0 1 0 1

0

0( , ) ( , ) >

y U C C U C CC

1 0 1 0 1

1

0( , ) ( , ) >

. Se

supone que U C C= U( , )0 1 es estrictamente cncava de tal forma que las curvas de

indiferencia intertemporal son estrictamente convexas al origen.

LA TASA MARGINAL DE SUSTITUCION

La pendiente de una curva de indiferencia se le conoce como la tasa marginal de sustitucin.Para obtener dicha pendiente, se toma el diferencial total de la funcin de utilidadU U C C = ( , )0 1 . Esto es dU U C C U C C = + =0 0 1 0 1 0 1 1 0dC dC ( , ) ( , ) . De donde

dC

dC

U C C

U C CU U

1

0

0 0 1

1 0 1

0

= U2>U1

U2>U1

U1

C0

El objetivo del consumidor es maximizar la utilidad intertemporal sujeto a una o variasrestricciones de mercado. Las preferencias del consumidor representan la parte subjetiva delproblema de maximizacin. Con el fin de analizar la decisin ptima, ahora se considera la

parte objetiva (mercado) del problema. Para ello, se revisan tres casos. En el primero seestudian las decisiones de consumo intertemporal en un mundo con intercambio pero sinproduccin. Es decir, el consumidor puede utilizar el mercado de capital para ahorrar o pedirprestado pero no es posible sacrificar consumo presente para invertirlo fsicamente enproyectos. En el segundo caso se considera la produccin pero sin intercambio y en el tercerose analizan las decisiones cuando se incluye tanto intercambio como produccin.


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CASO I : LA DECISION DE CONSUMO INTERTEMPORAL EN EL MERCADO DECAPITAL MAS SENCILLO: INTERCAMBIO PURO.

En este caso, se supone que no hay medios de produccin. Es decir, no hay forma de utilizar losbienes en el presente para producir bienes adicionales en el futuro. No obstante, suponga que sexiste un mercado para intercambiar bienes en el presente por bienes en el futuro. Por ejemplo,un ahorrador sera aquel individuo que se presentara en el mercado y entregara bienespresentes a cambio de un documento o certificado el cual, a su vez, puede intercambiarse porbienes en el futuro. Alternativamente, un individuo puede pedir prestado bienes en el presentemediante la emisin de papeles que representan obligaciones que tiene que cubrir con bienes enel futuro.Suponga que el consumo presente es el bien numerario. Es decir, el precio de una unidad deconsumo en el presente es la unidad. El precio presente (P) por unidad de consumo futuro es lacantidad de bienes presentes que deben sacrificarse para aumentar el consumo futuro en una

unidad. En un contexto intertemporal, este precio se escribe como P =+ r

1

1. As, una

unidad de bienes en el presente puede intercambiarse por (1+r) unidades de bienes en el futuro.

Por ejemplo, si la tasa de inters es del 10%,1

1

1

1100 91

+= =

r

.. unidades de consumo

presente deben dejar de ser consumidas con el fin de incrementar en una unidad el consumofuturo. Alternativamente, una unidad de consumo futuro sacrificada le permite aumentar en0.91 unidades su consumo presente.

La riqueza actual ( )W0 es igual al valor presente de su dotacin. Es decir,

WY

0 0 1 01

1 Y PY Y

r= + = +

+ (1)

La riqueza futura ( )W1 es igual al valor futuro de su dotacin:

W W1 01= + r ( ) (2)

Sustituyendo (1) en (2), se tiene:

W YY

W Y

1 01

1 0 1

11

1

= + ++

= + +

rr

r Y

( )

( )

Se supone que el consumidor selecciona la canasta ( )C C0 1* *, que maximiza ( )U C C0 1, sujeto ala restriccin de presupuesto intertemporal, la cual toma la siguiente forma:

C0 1 0PC W+ = (3)

Es decir, el valor actual del gasto en consumo presente y futuro es igual al valor presente de su

dotacin. La expresin (3) representa la restriccin de presupuesto desde una perspectiva devalor presente. De manera equivalente, dicha restriccin puede ser expresada desde un punto de

vista de valor futuro. Para ello, se multiplica (3) por ( )1 r+ con lo que se obtiene:

( ) ( )1 0 1 01+ + = +r C rC W

De esta ecuacin, se despeja para C1 :

C W C1 0 01 1= + +r r( ) ( )


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Esta ltima expresin representa la ecuacin de una recta donde la ordenada al origen es

( )1 0 1r W+ =W y la pendiente esdC

dC

1

0

= ( )r +1 .

En la canasta ptima ( )C C0 1* *, , la pendiente de la curva de indiferencia es igual a la pendiente

de la lnea de presupuesto intertemporal: =

+

r

U

U

0

1

1

1

1

, o bien ( )U

U

0

1

1= + r . Es decir,

en la canasta ptima la tasa subjetiva a la que el individuo esta dispuesto a intercambiarconsumo presente por consumo futuro es la misma a la tasa que el mercado le permite hacerdicho intercambio. La Figura 2 es la representacin grfica de esta situacin.

Figura 2Decisin Optima de Consumo Intertemporal con Intercambio

C1

W1 pendiente = - (1+r)

C1*

U*

C0* W0 C0

De manera formal, se desea maximizar ( )U C C0 1, sujeto a la ecuacin (3):

Cr

Yr

01

01

1 1+

+= +

+C Y .

La funcin Lagrange para este caso se puede escribir como:

( )L C C Y Y C C C C Y

0 1 0 1 0 1 01

01

1 1, ; , , ( , )r U

rY

r= +

+

+

Asumiendo la existencia de una solucin interior, las condiciones de primer orden (CPO) son:

L C C 0 0 0 1 0= =U ( , ) , (4a)

L C C 1 1 0 11

0= +

=Ur

( , ) ,

(4b)

LC Y

=

+

+ +

+

=C

r

Y

r

01

01

1 1

0. (4c)

Combinando (4a) y (4b) se obtiene

( )

( )

U C C

U C C

00 1

10 1

1* *

* *

,

,( )= + r , (5)

lo que representa la condicin de tangencia en la Figura 2. La condicin de segundo orden(CSO) es:


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D

+

+

>

U U

U Ur

r

00 01

10 11

11

1

11

10

0 (6)

donde

U

C

i

j

ijU i j = =. , ; ,0 1 0 1 . En los desarrollos posteriores se supone que se cumple

(6), con lo que el problema de maximizacin queda resuelto.

ESTATICA COMPARATIVA PARA CAMBIOS EN LA TASA DE INTERES

Una de las preguntas bsicas en este modelo de decisiones de consumo intertemporal, es cmoresponden tanto el consumo presente como el consumo futuro cuando cambia la tasa de inters.Con el fin de realizar este ejercicio de esttica comparativa, recuerde que de las CPO seobtienen las funciones de demanda (ordinarias) por consumo presente y futuro. Dichasfunciones tienen como argumentos los parmetros del modelo: dotaciones de ingreso (Y Y0 1, )y la tasa de inters (r). En cuanto a los pasos a seguir en un anlisis de esttica comparativa,primero se sustituyen las funciones de demanda en las CPO y el sistema de ecuacionesresultante se deriva con respecto al parmetro relevante. El siguiente paso es ordenar el sistemade ecuaciones por lo que todo trmino que no tenga incgnitas se pasa al lado derecho de cadauna de las CPO. Despus el sistema de ecuaciones se expresa en notacin matricial para,finalmente, utilizar la Regla de Cramer. En especial observe que, como resultado de haber

sustituido las funciones de demanda en las CPO, las funciones marginales ( )U U0 1, tienencomo argumentos las demandas ordinarias las que a su vez dependen de los parmetros delmodelo. Es por ello que las funciones U0 1 0 1, , ,U C C y los parmetros Y0 1, Y y r , se

encuentran relacionados entre s. Note que la tasa de inters afecta las funciones marginales

( )U U0 1, no en forma directa sino a travs de su efecto en los consumos presente y futurocomo se muestra en el siguiente esquema:

C0(Y0,Y1,r)

U0(C0,C1), U1(C0,C1) r

C1(Y0,Y1,r)

A continuacin se realiza este ejercicio de esttica comparativa para cambios en la tasa deinters. Al sustituir las demandas en las CPO, dichas condiciones lucen como sigue:

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]

( )

( )( )

L C Y Y r C Y Y r Y Y r

L C Y Y r C Y Y r Y Y r

L Y Y r C Y Y r Y

0 0 0 0 1 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0 1

0 1

0 0 1

1 0 1

01

0

10

1 10

= =

= +

=

= +

+ ++

=

U

Ur

Cr

Yr

, , , , , , , ,

, , , , ,, ,

,

, ,, ,

.

La esttica comparativa para cambios en la tasa de inters requiere de diferenciar totalmente lasCPO con respecto a r:


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UC

r

C

r r00

0

01

10U

+ = (7a)

( )U

C

r

C

r r10

011

1

2

1

1

1

1 U

r

r

+

+

=

+

(7b)

( ) ( ) r r r

+

=

++

+

C

r

C

r

C Y0 1 12

1

2

1

1 1 1 (7c)

Estas tres ecuaciones se pueden arreglar en forma matricial como sigue:

( )( )

( )

r

r

=r

C

r

U U

U U

C

rC

r

rY

00 01

10 11

0

1

2

1 1

2

11

1

11

10

0

1

1

+

+

+

+

(8)

Las derivadas parciales de las variables endgenas en este modelo representan el vector

columna de incgnitas.Utilizando la Regla de Cramer en resolver para

C

r

0se obtiene:

( )( )

( )

C

r

U

U

Y

D

0

01

211

1 1

2

0 1

1

1

1

1

1

1

0

r

r

C

r

r

=

+

+

+

+

( )( )

( )

( )

r

U

r

1

C

r

r

3 4=

+

+

+

+

+

11

1

11

10 1

11

12

011 1

2

01

11D

Y U

U( )

( )

( )

( )

r

C

r

rU U =

++

+

++

3

1 1

201 11

1 1

1

1D

Y

D (9)

De la restriccin de presupuesto en (3) se observa que:

C0 1 0 11

1

1

1

rC Y

rY+

+= +

+, lo que se puede escribir como

YC Y

1 10 0

1

+=

C

r. .

Sustituyendo esta ltima expresin en (9) se obtiene:

( )

( )

( )

C

r D

C

D

0

3

0 0

01 11

1 1

1

1

r

Y

r

rU U=

++

+

++


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( )

( )

( )

C

r D

C

D

0

3

0 0

01 11

1 1

1

1

r

Y

r

rU U=

+

+ +

(9)

Observe que de las CPO (relacin 4a), > 0 . Adems, de (6), D > 0 . Por otra parte

( )3

1 0+ >r ya que r> 0 . Por lo tanto, el primer trmino del lado derecho del igual en (9') es

negativo. De hecho, es posible demostrar que (9') se puede escribir como

( )

( )

C

r

C

r

C C

YU U

0 0 0 0 0

01=

+

=

Y

r

_ (10)

La relacin (10) es la ecuacin de Slutsky con dotaciones en el modelo de decisiones de

consumo intertemporal. En esta ecuacin, el signo de

C

r U U

0

= _

es negativo (efecto sustitucin

negativo). El signo de la segunda expresin depende de:

a) Si el individuo ahorra en el presente, ( )C0 0 0 Y .

b) Si C0 es un bien normal,

C

Y

0

0

0> o si, por otra parte, C0es un bien inferior,

C

Y

0

0

0< . Por

ejemplo, considere un aumento en la tasa de inters (r) para el caso de un ahorrador en elpresente y donde C0 sea un bien normal. Va efecto sustitucin, el aumento en rhace que C0disminuya. Pero, puesto que se trata de un ahorrador, el aumento en rsignifica mayor ingreso o

riqueza en el futuro y (dado que C0 es normal) aumenta C0, por lo que el signo de

C

r

0es

indeterminado. En cambio, para un individuo que pide prestado en el presente, el aumento en r

disminuye su riqueza por lo que baja C0, reforzando al efecto sustitucin, por lo que

C

r

00< .

El ahorro en el presente se representa por ( )Y0 0 0 >C . Para un ahorrador que considere elconsumo en el presente como un bien normal, no es claro el efecto que tienen los cambios en latasa de inters sobre C0 por lo que el efecto sobre el ahorro de un cambio en r es ambiguo. Elaumento en la tasa de inters produce un efecto sustitucin que favorece el ahorro, perotambin provoca un efecto ingreso que reprime el ahorro. Para un individuo que inicialmentepida prestado en el presente, el aumento en la tasa de inters provoca que pase de una situacinde pedir prestado a una de ahorrador (Ver adelante Figuras 3 y 4).

A partir de la forma matricial (8), ahora considere el cambio en el consumo futuro con respectoa una variacin en la tasa de inters. Al utilizar nuevamente la Regla de Cramer para resolver el

sistema de ecuaciones en (8) para

C

r

1se tiene:

( )

( )

C

r

U

Ur

Y

D

1

00

102

1 1

2

0 1

1

1

1

11

0

r

C

r=

+

+

+

( )


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( )( )

( )( )

( )

r

U

C

r

r

C

r D

Y U

U1 4

2

00 5 1 1

2

00

10

11

1

1

1 01

1

11

1

= +

+

+

+

( )

( )

( )

r

C

r

rU U

C

r D

Y

D

1

2

1 1

200 10

1 1

1

1=

+

+

++

(11)

De la restriccin de presupuesto en (3) se observa que: C Y Y0 1 0 11

1

1

1+

+= +

+rC

r, lo que se

puede escribir comoY

C1 1

0 0

1

+=

C

rY . Sustituyendo esta ltima expresin en (11) se

obtiene:

( )

( )

( )

r

Y

r

rU U

C

r D

C

D

1

2

0 0

00 10

1 1

1

1=

++

+ +

(11)

El primer trmino del lado derecho de (11') es positivo. De hecho, es posible demostrar que

(11') puede escribirse como:

( )

( )

C

r

C

r

C C

YU U

1 1 0 0 1

01

Y

r=_

= +

+

(12)

En la expresin (12), el signo de

C

r U U

1

=_

es positivo. Es decir, el efecto sustitucin es

positivo. Si aumenta la tasa de inters, disminuye el precio P =+

1

1 rdel consumo futuro.

Ello produce un efecto sustitucin hacia menos consumo presente y ms consumo futuro al

moverse a lo largo de una curva de indiferencia. La interpretacin de ( )C Y0 0 es igual que

antes. Si

C

Y

1

0

0

> , entonces C1 es un bien normal. Si

C

Y

1

0

0

< , C1 es un bien inferior.

Note que para el caso de un individuo que pida prestado en el presente ( )C Y0 0> , un aumentoen rproduce un incremento en C1, ello debido a que el aumento en rlleva a una disminucin deC0 (menor a Y0) y el ahorro le permite incrementar C1.La esttica comparativa para cambios en la tasa de inters puede ser ilustrada grficamentetanto para un individuo que pide prestado en el presente (Ver Figura 3a adelante) como para unconsumidor que ahorre en el presente (Ver Figura 3b adelante). En relacin a la Figura 3a,observe que el consumo ptimo en el presente es mayor que su dotacin de ingreso en elpresente. Es decir, el consumidor pide prestado en el presente. El efecto de un incremento en la

tasa de inters sobre la restriccin de presupuesto intertemporal es el de aumentar la pendientede la misma (Ver lnea punteada en al Figura 3a), ya que cada unidad ahorrada produce unmayor rendimiento. Sin embargo, la nueva restriccin de presupuesto tiene que pasar por ladotacin inicial (Y0,Y1)ya que, independientemente de que el individuo participe en el mercadode capital, su dotacin es una canasta que est disponible antes y despus del aumento en latasa de inters. Ahora la pregunta relevante es, de las nuevas canastas disponibles, culselecciona el consumidor. Por supuesto, dicha eleccin depende de sus preferencias porconsumo presente y futuro. No obstante, sin incluir curva de indiferencia alguna, es posibleidentificar un segmento de la nueva restriccin de presupuesto en la que un consumidorracional no se colocara. Con base en un argumento de preferencia revelada, la regin sobre la


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nueva restriccin de presupuesto pero abajo de la antigua restriccin no es seleccionada por elconsumidor, ya que a la tasa de inters original, dichas canastas estaban disponibles y elindividuo no las escogi. Esto es, el consumidor revel preferir (C0*, C1*) a dichas canastas.Por lo tanto, suponiendo que el orden de preferencias no haya cambiado, o el individuo se pasaa consumir su dotacin o en el presente consume a la izquierda de Y0. En ambos casos, el

aumento en la tasa de inters resulta en una disminucin del consumo presente

C

r

0

0 . En otras palabras, este individuo que

inicialmente pide prestado, al aumentar la tasa de inters tiene incentivos para convertirse en unahorrador.

Figura 3aAumento en la Tasa de Inters y Consumo Intertemporal

Pide Prestado en el Presente

C1

Y1

C1*

Y0 C0* C0

A continuacin se considera la esttica comparativa para el caso de un individuo que ahorra enel presente (Ver Figura 3b). Es decir, inicialmente dicho consumidor se ubica a la izquierda deY0 . Al aumentar la tasa de inters, la nueva restriccin de presupuesto (Ver lnea punteada en laFigura 3b) toma mayor prendiente y pasa por la dotacin original. Una vez ms, con base en unargumento de preferencia revelada, dicho individuo descarta todas aquellas canastas que pudohaber comprado en la situacin original. Sin embargo, es ambiguo el efecto de un aumento en latasa de inters sobre el consumo presente y futuro. Por ejemplo, en la Figura 3b, si el individuo

se coloca en A, la persona aumenta su consumo presente

C

r

0 >

0 y disminuye su consumo

futuro

C

r

1

0 . Por ltimo, en C baja su consumo

presente

C

r

0

0 .


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Figura 3bAumento en la Tasa de Inters y Consumo Intertemporal

Ahorra en el Presente

C1

C

B

C1* A

Y1

C0* Y0 C0

En el Cuadro 1 se presenta un resumen sobre la esttica comparativa de un aumento en la tasade inters de acuerdo a si el consumo en el presente se considera un bien normal o inferior ysegn que el individuo pida prestado o ahorre en el presente.

Cuadro 1Esttica Comparativa de un Aumento en la Tasa de Inters

El Consumo Presente (C0) es un bien:

Normal

C

Y

0

0.> 0

Inferior

C

Y

0

0.< 0

Pide Prestado(C0 - Y0)>0

Ahorra(C0 - Y0)0

Ahorra(C0 - Y0) 0

C

r

1 = ?

C

r

1 = ?

C

r

1 > 0

Si no existiera un mercado de capital que permita trasladar riqueza del futuro hacia el presente,o bien ahorrar para consumir ms en el futuro y sin la posibilidad de almacenar bienes para el

futuro, entonces no habra un problema de decisin y el individuo estara forzado a consumir sudotacin ( C Y Y0 0 1 1= =, C ). Ahora bien, su dotacin no necesariamente representa su canasta

ptima ( )C C0 1* *, . En el caso donde su dotacin no sea su canasta ptima ( C Y0 0* , C Y1 1* )entonces el consumidor aumenta su bienestar como resultado de la creacin de un mercado decapital que le permita desplazar consumo a travs del tiempo. Adems, con la existencia dedicho mercado, el consumidor no puede empeorar ya que siempre puede elegir consumir sudotacin ("autarky point", punto D en la Figura 4). Aun si existiera la posibilidad de almacenarproductos, en la ausencia de un mercado de capital, el consumo en el presente no puede ser


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mayor a su dotacin en el presente ( C Y0 0 ). Es decir, dicho almacenamiento permite

"desplazar" bienes hacia adelante (futuro) en el tiempo, pero no permite mover bienes hacia elpresente. Observe que el consumidor representado en la Figura 4 aumenta su bienestar gracias ala existencia de un mercado de capital.

Figura 4

Decisin Optima de Ahorro-ConsumoIntertemporal con Intercambio

C1

C1*

Y1 D U*>U

U

C0* Y0 C0

TASA SUBJETIVA DE PREFERENCIA INTERTEMPORAL O IMPACIENCIA PORCONSUMO PRESENTE

Sea x una cantidad especfica de consumo en el presente y y una cantidad especfica deconsumo en el futuro. Se dice que un consumidor tiene preferencia intertemporal positiva

(>0) si para cada canasta (x,y) tal que y>x, ( ) ( )U y x U x y, ,

>. No tiene preferencia

intertemporal =0 si ( ) ( )U y x U x y, ,= y tiene preferencia intertemporal negativa (>0) si

( ) ( )U y x U x y, ,< . El parmetro representa la tasa subjetiva de preferencia intertemporal.Dicho parmetro juega un papel similar al de la tasa de inters en cuanto a que esta ltima esutilizada para descontar o trasladar a valor presente cantidades monetarias que ocurren en el

futuro. La tasa descuenta niveles de utilidad que tienen lugar en el futuro. Entre ms grandesea esta tasa, mayor es la preferencia por consumo en el presente y, por lo tanto, menor pesotiene en el presente los niveles de utilidad que tienen lugar en el futuro. De manera msespecfica, suponga que:

( ) ( ) ( )U C C U C U C 0 1 0 11

1, = +

+ , U > < >0 0 0, ,U .

Si esta funcin de utilidad es maximizada sujeta a la restriccin en (3), la funcin de Lagrangese escribe como:

L C C r Y Y U C U C C

YY

( , ; , , , ) ( )( )

0 1 0 1 01

01

01

1 1 1 C

r r

= +

+ +

+

+

Suponiendo la existencia de una solucin interior, las CPO son:

L C0 0 0U= =( ) , (13a)


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LU C

11

1 10

r=

+

+=

( ),

(13b)

LC Y

C

rY

r=

++ +

+=0

10

1

1 10. (13c)

Combinando (13a) y (13b), se obtiene:

U C

U C

=

+

+

( )

( )

0

1

1

1

r

(14)

Antes de continuar con el anlisis, es importante notar que la concavidad de las funcionesU(C0) y U(C1) permite establecer una relacin inversa entre U(C0) y C0 , y U(C1) y C1, comola que aparece en la Figura 5.Con base en la concavidad de la funcin de utilidad, de (14) se observa que:

Si =rentonces U(C0)=U(C1) por lo que C0=C1

Si >rentonces U(C0)C1

Si U(C1) por lo que C00), la tasa representa el costo de esperar a consumir en el futuro

mientras que res el beneficio de dicho sacrificio. Cuando el costo es igual al beneficio (=r), elindividuo termina consumiendo lo mismo en el presente que en el futuro (C0=C1). Cuando el

costo es mayor al beneficio (>r), la persona decide consumir ms en el presente que en el

futuro (C0>C1). Por ltimo, cuando el costo es menor al beneficio (


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consumidas hoy o plantadas (inversin fsica). Sin embargo, como no hay posibilidades deintercambio, la produccin fsica es la nica forma de aumentar C1 por encima de Y1. La nicamanera de producir es mediante el sacrificio de consumo presente. Es decir, siX0 denota lacantidad invertida en produccin, entonces

X Y C 0 0 0 0= (15)

0 X Y0 0

La tecnologa disponible est descrita por una funcin de produccin f , tal que X0 unidades

invertidas en el presente producenX1 unidades en el futuro. Es decir,

X X Y 1 0 0 0f f C ).= = ( ) ( (16)

Supuestos sobre la funcin de produccin:1) f ( )0 0= . Esto es, si en el presente consume toda su dotacin de ingreso presente

(Y0 0= C ), entonces no destina cantidad alguna a inversin fsica ( X0 0= ) por lo que en el

futuro est destinado a consumir su dotacin de ingreso futuro (Y C1 1= ) ya que X1 0= .

2)df

dXf X

0

0 0 >( ) . Es decir, se supone que la funcin de produccin presenta productividad

marginal positiva.

3)d f

dX

2

02

0 . Esto es, se supone una productividad marginal positiva pero no-creciente. Otra

forma de expresar este resultado es que se supone que existen rendimientos a escala no-crecientes. Para el caso de rendimientos a escala decrecientes, la representacin grfica de la

Frontera de Posibilidades de Produccin es como a continuacin se muestra en la Figura 6.

Figura 6Frontera de Posibilidades de Produccin

X1 X1=f(X0)

(0X0Y0) X0

El nivel de la produccin mxima en el futuro ( X1max ) ocurre cuando toda la dotacin de

ingreso en el presente (Y0 ) se destina a inversin fsica ( X Y0 0= ). Es decir:

X f X Y 1 0 0max ( )= = . En este caso, el consumo en el presente es nulo (C0 0= ).


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Con el fin de trasladar el anlisis al plano ( )C C0 1, , observe que el nivel de inversin fsica eslo que no es consumido en el presente. Por otra parte, el consumo en el futuro puede

representarse como: C X1 1 1= +Y . Al sustituir (16) en esta ltima expresin, se tiene:

( )C Y1 1 0 0Y f C= + (17)

Esta ltima expresin representa la restriccin tecnolgica. Para ( )Y C0 0 0 dicha

restriccin describe la Frontera de Posibilidades de Consumo (Ver Figura 7 adelante). En lasituacin extrema donde el individuo decida consumir su dotacin en el presente ( Y C0 0= ),

entonces est destinado a consumir su dotacin en el futuro (Y C1 1= ). Debido a que no hay

intercambio (por lo tanto, no hay precios), la restriccin es diferente a la del caso I.El problema del consumidor para este caso II se puede plantear como uno de

maximizar ( )U C C0 1, sujeto a ( )C1 1 0 0= + Y f Y C . Sin embargo, en lugar de plantear este

problema a travs de la funcin Lagrange, se puede sustituir la restriccin en la funcinobjetivo, de tal forma que ahora el problema sea el de maximizar:

( )[ ]U C f Y C 0 1 0 0, Y

+ con respecto a C0 . (18)

Observe que C0 tiene dos efectos sobre U(.): Un efecto directo, ya que C0 es un argumento deU(.), y un efecto indirecto va su impacto en C1 y ste, a su vez, afecta a U(.), como se muestraen el siguiente esquema:

U C1 C0

Suponiendo que existe una solucin interior, para el problema descrito en (18), la CPO es:

( )[ ] ( ) ( )[ ]dU

dCC Y Y C Y

0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0U Y f C f C U Y f C = + + =* * * * *, , .

La solucin de esta ecuacin implica que:

( )( )

( )U C C

U C CX

0 0 1

1 0 1

0

f .

* *

* *

*,

,= (19)

Esto es, la pendiente de la curva de indiferencia (evaluada en la canasta ptima) es igual a la

pendiente de la curva de posibilidades de consumo. Note que una vez determinado el consumopresente ptimo ( C0

* ), la cantidad ptima a invertir en el presente (X0* ) y el consumo futuro

ptimo ( C1* ) quedan determinados como sigue:

( )C X1 1 0* *Y f= + y X0 0 0* *Y C= .

Observe que en este caso II, la expresin (19) indica que la cantidad ptima a invertir dependede las preferencias y de la dotacin de ingreso en el presente. Debido a que no hay intercambio,


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el individuo no puede pedir prestado para consumir ms que su dotacin en el presente. Por lotanto, C Y1 1 y C Y0 0 , lo que genera un segmento vertical en la frontera de posibilidades deconsumo como se aprecia a continuacin en la Figura 7.

Figura 7Decisin Optima de Inversin-Consumo

Intertemporal con Produccin

C1 C1=Y f Y C Y C

Y Y C

1 0 0 0 0

1 0 0

+ >

=

(

C1

Y1

C0* Y0 C0

Observe que en la solucin ptima, ( )C C X0 1 0* * *, , , X0 no es una variable de decisin. Puestoque no se puede pedir prestado, se tiene la restriccin X Y C 0 0 0( = ) . Una vez que selecciona

C0* , X Y C 0 0 0

* * )( = se obtiene por diferencia. Si hubiera posibilidades de intercambio, se

puede pedir prestado ya sea para consumir o invertir en el presente. En esta situacin, X0 ses una variable de decisin como se muestra en el siguiente caso.

CASO III: LA DECISION DE CONSUMO INTERTEMPORAL EN UNA ECONOMIACON PRODUCCION E INTERCAMBIO.

En esta situacin se combinan los casos I y II de las secciones anteriores. Esto es, se suponen

dotaciones de ingreso exgeno ( )Y Y0 1, y la tecnologa de produccin, ( )X f X 1 0= , es igual

que en el caso II. Respecto al mercado de capital, el precio presente del consumo futuro es

P =+

1

1 r, igual que en el caso I. Bajo estas condiciones, la riqueza en valor presente ( )W0 se

expresa como:

( )W X0 0 1 0 0

Y PY Pf X = + +

(20)Respecto al lado derecho de (20), el trmino [ ]Y PY0 1+ representa el valor presente de la

dotacin de ingreso exgeno y ( )[ ]Pf X X 0 0 representa el valor presente neto de operar sutecnologa de produccin usando insumos iguales a X0 . Es decir, compra insumos en el

presente con un valor de X0 y recibe en el futuro ( )f X0 , lo cual tiene un valor presente de

( )Pf X0 . Note que si X0 0= , entonces el valor presente de la riqueza es W Y PY 0 0 1= + , igual

que en el caso I. Adems, a diferencia del caso I, W0 depende de la decisin sobre el nivel deX0.


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Al igual que en los casos I y II, el consumidor selecciona un plan de consumo - inversin,

( )X C C 0 0 1, , con el objetivo de maximizar ( )U C C0 1, sujeto a la siguiente restricin depresupuesto:

C0 1 0PC W+ = (21)

Debido a la existencia de un mercado de capital, la restriccin del caso II, X Y C 0 0 0 0= , yano representa limitacin alguna. Es decir, el consumidor puede pedir prestado (teniendo comogaranta su ingreso futuro) ya sea para consumir o invertir en produccin fsica en el presente.Combinando (20) y (21) se obtiene:

( )C X0 0 1 0 0 1.Y PY Pf X PC = + + (22)

Sustituyendo (22) en la funcin de utilidad, el problema de eleccin del consumidor en estecaso III consite en elegir tanto X0 como C1 para maximizar:

( )[ ]U PY Pf X PC C Y X0 1 0 0 1 1+ + ,

Antes de pasar a las CPO, note que las relaciones entre las variables son como aparecen en elsiguiente esquema:

U C0

C1

X0

Suponiendo que existe una solucin interior, las CPO son:

( ) ( )[ ]dUdX C C Pf X 0 0 0 1 0 1 0U= =* * *, (23a)

( ) ( ) ( )dU

dCC C C C

1

0 0 1 1 0 1 0U P U= + =* * * *, , (23b)

Una vez obtenidos los valores ptimos (X0* y C1

* ) para las variables de decisin, es posible

obtener el consumo presente ptimo ( C0* ) como sigue:

( )C X0 0 1 0 0 1* * * *Y PY Pf X PC = + + .

Con el fin de interpretar las CPO en (23a) y (23b) note que ( )U C C0

0 1 0

* *

,>

, por lo tanto laecuacin (23a) se puede escribir como :

( )f XP

= =

+

= +01 1

1

1

1*

.

r

r (24)

La relacin (24) se conoce como la condicin de eficiencia ya que la cantidad ptima a invertiren produccin fsica, X0

*, no depende ni de las preferencias del consumidor ni de su dotacin


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( , )Y Y0 1 . Es decir, dos consumidores con preferencias totalmente diferentes por consumo

presente y futuro y con dotaciones tambin distintas, pero que enfrentan la misma tasa deinters de mercado y con la misma tecnologa de produccin, seleccionan el mismo nivel de

inversin, X0* .

A continuacin se presenta una interpretacin de la condicin de eficiencia en (24),

( )f X = +0 1

*r. De (20) note que W0 es una funcin de X0 : ( )W X0 0 . Si X0

** denota la

cantidad de inversin fsica que maximiza la riqueza actual ( )W Y PY Pf X X 0 0 1 0 0= + + ,

entonces X0** es la solucin al siguiente problema:

( )[ ]X

MAX Y X0

0 1 0 0PY Pf X + +

La CPO es:

( )dW

dXX

0

00 1 0Pf= =** , o bien

( )f X = +0 1** .r (25)

Observe que la expresin (25) es idntica a la condicin de eficiencia en (24). Dado que la

solucin de (24) no depende de las preferencias ni de las dotaciones, entonces X X0 0** *= . Por

lo tanto, la condicin de eficiencia se puede interpretar como sigue: "Seleccionar un nivel deinversin que maximice el valor presente de la riqueza".Respecto a la segunda ecuacin (23b) de las CPO, esta condicin se puede escribir como:

( )( )

U C C

U C C P

0 0 1

1 0 1

1 1

1

1

1

r

r .

* *

* *

,

,= =

+

= + (26)

Esta condicin es idntica a la del Caso I [ecuacin (5)] si se usa como riqueza actual

( )W Y PY Pf X X 0 0 1 0 0* * * + + . En resumen, se puede llegar al plan ptimo, ( )X C C 0 0 1* * *, , , endos etapas:

1) Seleccionar el nivel ptimo de inversin, X0* , que maximice el valor presente de la riqueza.

2) Utilizar el mercado de capital para prestar o pedir prestado (teniendo como garanta dicha

riqueza maximizada) con el fin de alcanzar la canasta de consumo ( )C C0 1* *, de mxima utilidadintertemporal.En un mercado de capital en el que los individuos enfrentan la misma tasa de inters (r) yutilizando los dos resultados [relaciones (24) y (26)] de las CPO, la tasa marginal de sustitucin

de todos los consumidores - inversionistas es igual a ( )1 + r lo que, a su vez, es igual a la tasamarginal de transformacin (TMT) descrita como ( )f X 0* . Es decir, para los consumidores j ei:

( ) ( )TMS TMS X j i r TMT f .= = + = 1 0* (27)

La separacin de las decisiones sobre inversin (etapa I) de las decisiones sobre consumo

(etapa II) se le conoce en la literatura como el Teorema de Separacin de Fisher: Si se tieneun mercado de capital perfecto, la decisin de produccin se rige nicamente por un criterio


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objetivo de mercado (representado por la maximizacin de la riqueza presente), sin considerarlas preferencias (subjetivas) de los individuos, las cuales determinan sus decisiones deconsumo.Antes de presentar la grfica correspondiente al caso III, note que la restriccin de presupuesto,W C PC 0 0 1= + sin considerar produccin, se representa como

( )( ) ( ) ( )C r W C r W r C 1 0 0 0 0

1 1 1= + = + + .

De aqu, ( )dC

dC

1

0

1 r= + . Mientras que cuando se incluye produccin y se selecciona un

nivel X0* : ( ) ( )C r W r C 1 0 01 1= + +

* , lo cual se representa en la siguiente grfica como un

desplazamiento paralelo hacia mayores niveles tanto de consumo presente como de consumofuturo.En la Figura 8 se representa la canasta ptima en cada uno de los tres casos considerados a lolargo de este trabajo. As, en el caso I se alcanza un nivel U1 de utilidad intertemporal. Note quela lnea de presupuesto pasa por la dotacin inicial. En el caso II cuando se incluye produccinpero sin intercambio, el consumidor alcanza un nivel de bienestar representado por U2. Porltimo, al analizar la decisin ptima de consumo a travs del tiempo cuando estn disponibles

tanto un mercado de capital como posibilidades de produccin, el individuo alcanza un nivel debienestar de U3. En la Figura 8 se supone que el consumidor ahorra en el presente.Observe que la nica manera en que un individuo puede convertir ingreso o producto futuro enconsumo presente es mediante la existencia de un mercado de capital. Utilizando dichomercado, se alcanza una curva de indiferencia ms alta.


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Figura 8Decisin Optima de Inversin, Ahorro-Consumo

Intertemporal con Intercambio y Produccin

C1*

U3U2

U1X1*

Y1

C0* Y0 W0 W0* C0X0*

BIBLIOGRAFIA

Copeland, Thomas and Weston, J. Fred. Financial Theory and Corporate Policy.Reading, Mass.: Addison- Wesley, 1988. Captulo 1.

Henderson, James M. and Quandt, Richard E.Microeconomic Theory. A MathematicalApproach. New York: McGraw - Hill, 1980. Captulo 12.

Martin, John D., Cox, Samuel H. and MacMinn, Richard D. The Theory of Finance: Evidenceand Applications. Chicago: The Dryden Press, 1988. Captulo 2.

Merton, Robert C. Finance Theory. Unpublished Manuscript. Sloan School of Management.Massachusetts Institute of Technology. 1982.

Silberberg, Eugene. The Structure of Economics. New York: McGraw - Hill, 1990. Captulo 12.


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EJERCICIOS

1. Considere un consumidor con un horizonte de vida de dos perodos (presente y futuro).

Suponga que la funcin de utilidad es U C C C ( , )0 1 0 1C= y que su dotacin es Y0 = $10,000,

Y1 = $5,250. No hay inflacin y la tasa de inters (r) es 5 %.

a. Cules son las funciones de demanda por consumo presente y futuro? (Derive formalmentey muestre procedimiento).b. Cul es el valor numrico de la canasta ptima?

c. Cul es la funcin de ahorro ( )Y C0 0 en el presente?

d. Cunto ahorra (pide prestado) en el presente?

2. Considere una economa con un mercado de capital perfecto en donde nicamente losconsumidores ahorran y piden prestado. En dicho mercado existen 150 participantes y cada unotiene la misma funcin de utilidad para un horizonte de vida de dos perodos (presente y

futuro): U C C C ( , )0 1 0 1C= . Del total de consumidores, 100 disponen de una dotacin

(Y0,Y1)=($10,000, $8,400), mientras que los restantes 50 tienen ($8,000, $14,000).a. Derive formalmente (muestre procedimiento) la funcin de demanda por consumo presente

para uno de los individuos.b. Cul es la funcin de ahorro (prstamo) para uno de los individuos?c. Cul es la condicin para que exista equilibrio en el mercado de capital?d. Cul es la tasa de inters (r) consistente con dicho equilibrio?

3. Suponga que U C C C C

( , ) ln( )ln( )

0 1 01

1= +

+ , > 0 , Y > 00 1= =Y Y

a. Cules son las funciones de demanda por consumo presente y futuro?(Derive formalmente y muestre procedimiento).

b. En qu caso C C C C 0 1 0 1 0 1* * * * * *, ,= C > C < ?

4. En el siguiente diagrama se presentan las posibilidades de consumo de un inversionista que

no tiene dotacin de ingreso ni en el presente ni en el futuro ( Y Y 00 1= = ), pero que dispone deoportunidades de inversin con un valor presente neto positivo. Puesto que no dispone deingreso, tiene que financiar la inversin mediante un prstamo (pasivo financiero) usando paraello el mercado de capital en lugar de utilizar sus propios recursos (capital). En el futuro tieneque pagar la deuda ms los intereses. El costo de los fondos se representa por la tasa de inters( r >0), la cual est implcita en la pendiente negativa de la lnea recta que a parece en lagrfica.En el mismo diagrama se pide identificar claramente con las letras (A, B, C, etc.) cada una delas siguientes distancias horizontales o verticales:

A. El nivel ptimo de inversin (prstamo inicial).B. El valor futuro generado por la inversin.

C. El valor futuro de la deuda (prstamo ms intereses).D. El valor presente del valor futuro generado por la inversin.E. El valor presente neto del valor futuro generado por la inversin.F. El valor presente neto si hubiera seleccionado una inversin inicial de distancia 0 - Z.G. Con base en el nivel ptimo de inversin, Cules son las posibilidades de consumo?


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C1

Z O C0


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SolucinRespuesta 1a.

L C C C

YY

( , ; , , )0 1 0 1 0 11

01

1 1C r Y Y C C

r r0= +

+

+

L

CC

0 1

0= =

L

CC

1

0 0= +

=1 r

LC

CY

Y

1 r 1 r 0=

++ +

+=0

1 1 0

Combinando las dos primeras ecuaciones:

C

C

1

0

=

+

= +

1 r

1 r

C C1 0* *

( )= +1 r , sustituir en restriccin

C

C

Y

Y0

0 1++

+= +

+

1 r

1 r

1 r0( )

2 01C Y

Y= +

+0

1 r

C YY

0 01

1

1

2 + r)= +

(

Respecto a la funcin de demanda por consumo futuro:

( )C YY

1 01

11

1

2 + r+ r= +

( )[ ]C Y1 0 111

2+ r Y= +

b.

C0 10 0005 250

105

* ,,

.

1

27,500= +

=

C1 7 7 875*

( . ) , ,500 105= =

c.

La funcin de ahorro en el presente es Y C0 0- , donde C YY

0 01

1=

1

2+

+ r

Por lo tanto,

C = -

1

2+

+ r0 0

1

1Y

Y

Y C Y Y Y0 0 0 0 11

- = - 12

++ r

Y YY

0 0 01

1- C =

1

2-

+ r

d.Sustituyendo los parmetros correspondientes, el ahorro en el presente es:

Y C0 0 10,0005 250

1- =

1

2-

+ 0.05= 2500

,


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Ahorro en el presente: $2,500.

NOTA

Utilizar este ahorro en forma ptima. Cmo?. Seleccionando un portafolio de inversineficiente.

Respuesta 2.a y b: idnticos al ejercicio anterior.c.Para toda la economa, Ahorros = Prstamos. Es decir, se requiere que para los dos grupos, lademanda (agregada) en exceso (Y0 - C0) sea igual a cero.d.

1001

210,000 -

+ r+ 50

1

28,000 -

+ r= 0

8 400

1

14000

1

, ,

Despejar para r:

50 10,000 -+

+ 25 8,000 -+

= 08 400

1

14 000

1

, ,

r r

130 800

+ =28,000

= 1.10r,

r = 0.10 r = 10 %

Respuesta 3.

L CC C

YY

= ++

++

+

ln( )

ln( )0

10

1

1 1 1C

r r

C.P.O.:

LC

0

0

0= =1

LC

1

1

1

1 10=

+

+=

1

r

L CC

YY

= +

+ ++

=01

1 10

r r

Combinando las dos primeras ecuaciones:

C

C

1

0

1

1=

+

+

r

Si = =r entonces C C 0 1

Si > >r entonces C C 0 1

Si <


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Si r entonce C = = =s C Y0 1* * Es decir, consume su dotacin.

Si C> > < >r entonces C Y Y por lo que C C 0 1 0 1* * * *

, , y como C Y0* > , se sabe que pide

prestado en el presente.

Si C< < >

decisiones de consumo intertemporal-importante

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