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1. TECHl\TE y THEORIA

LOS ORIGENES y LA EPOCA CIASICA

DE LA TECHNEA

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Dirección: JOSÉ SANMARTÍN - M. MEDINA

OBRAS APARECIDAS:

1. A. Antón. LAS LEYES DE LA NATURALEZA

2. José A. López Cerezo. CONCEPTOS CIENTÍFICOS

3. M. Medina. DE LA TECHNE A LA TECNOLOGÍA

5. Francisco J. Campos. LA INFORMATICA A EXAMEN

OBRAS DE PRÓXIMA APARICIÓN:

4. Sanmartín Esplugues. FILOSOFÍA DE LA BIOLOGÍA

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©M.MEDINA

I.S.B.N.: 84-388·5077-8DEPOSITO LEGAL: V-1886-1985IlVIPRIME: GRAFICAS GUADA

TIR.'\NT LO BLANCH - Artes Gráficas, 14 - 46010 VALENCIA

Para María y Mario

BIBLIOGRAFÍA 123

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

91. LA EMERGENCIA DE LA TÉCNICA .

2. LA TRADICIÓN OPERATIVA . 13

3. THEORIA VS. TECHNAI 25

4. LA TRADICIÓN TEÓRICA................... 29

5. THEORÍA y TECHNE ARTESANAL. . . . . . . . . . . 45

6. CIENCIA CLÁSICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7. FILOSOFÍA, CIENCIA Y

TÉCNICA SIMBÓLICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8. INGENIERÍA: LA TÉCNICA

MECÁNICA TEÓRICA....................... 97

9. CONCLUSIÓN............................... 119

INTRODUCCIÓN

Uno de los temas que en los próximosaños se va a debatir con mayor brío es elsentido, ventajas, daños y límites de latécnica.

José Ortega y Gasset,Meditación de la técnica, 1933

En la actualidad resulta casi un tópico hablar de losimpactos de la tecnología moderna, de sus trascen­dentales consecuencias en todos los ámbitos de la na­turaleza, la sociedad y la cultura, y caracterizarnuestra época y su incierto futuro como marcados poruna revolución tecnológica.

Sin embargo, la técnica, a diferencia de la ciencia,no ha representado en sí misma un tema central dereflexión y estudio sistemático. En el dominio de latradición filosófica, p. ej., caracterizado por la uni­versalidad de su temática, la técnica ha sido, con sig­nificativas excepciones, notoriamente postergada.

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La filosofía de la ciencia, considerada como uno delos más importantes desarrollos de la filosofía moder­na, raramente se ocupa de la técnica, sino que se hacentrado tradicionalmente en el análisis, preferente­mente formal, del lenguaje, la argumentación y lasteorías científicas. El objeto prioritario de estudio hansido las formulaciones lingüísticas de los resultados dela investigación científica. Mediante investigacionesmetateóricas se ha pretendido reconstruir el conoci­miento científico.

La llamada nueva filosofía de la ciencia se ha orien­tado más hacia aspectos históricos, dinámicos y prag­máticos. El objeto central de estudio lo forman la ac­tividad científica y las interacciones en el seno de lacomunidad de los científicos. Uno de los objetivosprincipales ha sido la explicación del progrresocientífico y del cambio de teorías.

Si bien los nuevos planteamientos de la filosofía dela ciencia han incorporado facetas que podrían lla­marse sociológicas, éstas siempre han quedado cir­cunscritas a la reducida comunidad científica. Co­múnmente se consideran poco relevantes para laexplicación del desarrollo científico las interaccionesde la comunidad científica con otras tradiciones e ins­tituciones en el marco de la sociedad global.

Por otra parte, la reflexión sobre la ciencia que selimita al análisis interno de las estructuras cognitivasmediante sofisticados aparatos lógicos y formales, seha mostrado insuficiente para comprender plenamen­te la estrecha relación entre ciencia y tecnología y, porsupuesto, la interdependencia del desarrollocientífico-tecnológico y el cambio social e institu­cional.

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Una filosofía de la ciencia que no se conforma conque la investigación científico-tecnológica se de­sarrolle selváticamente produciendo beneficios y da­ños al azar, sino que se interese porque no ponga enpeligro la vida ni la libertad y posibilite la satisfacciónde las necesidades y el desarrollo humanos, ha de ocu­parse necesariamente de los complejos y vitalesproblemas, tanto de tipo teórico como práctico, queplantean la ciencia y la tecnología contemporáneas.

Pero la comprensión del desarrollo científico­tecnológico actual y de sus consecuencias conducemás allá de la estrecha demarcación de la comunidadcientífica y de su producción teórica presente. Es pre­ciso un planteamiento global que no tenga sólo encuenta los componentes cognitivos y teóricos, sinotambién los operativos, institucionales, culturales y,sobre todo, técnicos que han configurado la tradicióncientífica moderna a través de su larga marcha hastanuestros días.

La marginación intelectual de la técnica se debe,entre otras cosas, al tradicional primado filosófico delconocimiento teórico sobre el saber operativo, de laselaboraciones teóricas como ideal del conocimiento.

Se identifica sabiduría y, en particular, ciencia conteoría, cuando, en realidad, algunos presuntos practi­cantes de la filosofía deberían denominarse más pro­piamente filoteoros.

Si se pasa, asimismo, a identificar racionalidad yciencia, la técnica se presenta bien como habilidades yconocimientos, en el mejor de los casos, precientíficosy rudimentariamente racionales (si no son declaradosirracionales por divergir demasiado de la tradición te:orica) o bien como mera aplicación de conocimientoscientíficos, o sea, ciencia aplicada.

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Esta concepción estereotipada de la técnica se basaen el esquema corriente de la distinción radical entreproducción de conocimientos (ciencia pura) y su apli­cación (técnica). La característica distintiva de la cien­cia pura sería el interés teórico por la búsqueda objeti­va de la verdad, por la explicación de la naturaleza,mientras que la técnica se caracterizaría por el interéspráctico de conseguir fines útiles.

De la distinción esencial entre.ciencia pura y técnicase derivan importantes consecuencias, ya que sobreella se establece la autonomía de los teóricos respectoa la praxis, la separación institucional entre produc­ción de conocimientos y su aplicación, con la consi­guiente exención de los científicos de toda responsabi­lidad por las posibles consecuencias negativas de susinvestigaciones y, al mismo tiempo, la exigencia porsu parte de una autonomía equiparable a la de los ar­tistas.

El ideal de la ciencia pura, sin embargo, es una mis­tificación académica proveniente de las universidadesalemanas del siglo XIX, destinada a legitimar laautonomía y proteger los intereses de los científicosfrente a controles externos. Aun a pesar de la evidentedependencia de la gran investigación científica actualrespecto a instancias externas de dirección y control,muchos científicos y académicos persisten en proyec­tar la imagen de una ciencia desvinculada completa­mente de la técnica.

La caracterización académica de la técnica comomera aplicación de resultados científicos teóricos noes sólo demasiado simplista para dar cuenta de laciencia-tecnología moderna, sino que es ajena al de­sarrollo histórico, invirtiendo totalmente los términosde la relación.

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Desde los mismos inicios de la tradición científica,la técnica juega un papel determinante y, en general,se puede afirmar, según se expone en el presente estu­dio, que la ciencia surge como conceptualización abs­tracta matemática, idealización y teorización de resul­tados técnicos previos. La interacción progresivaentre técnica y ciencia genera a lo largo de la historia,por un lado, teorías sobre desarrollos técnicos relati­vamente independientes de la ciencia o desarrolladosen el marco de la misma investigación operativacientífica y, por otro lado, técnicas basadas en cons­trucciones y sistematizaciones teóricas, o sea,tecnologías. En los campos más avanzados de la in­vestigación actual, la investigación científica y la tec­nológica apenas se distinguen metodológica ni institu­cionalmente.

Pero desde siempre, las técnicas han transformado,para bien o para mal, directamente el mundo. Lasgrandes teorías se dirigen a transformar la concienciainterpretando o intentando legitimar determinadastécnicas.

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1. LA EMERGENCIA DELA TÉCNICA

La fabricación de herramientas se ha consideradofrecuentemente como el distintivo fundamental de losprimeros hombres. Se identifica al horno sapiens co­mo horno faber, como hacedor de instrumentos, y sellega a mantener la tesis de que la fabricación y utili­zación de herramientas determinan esencialmente eldesarrollo cultural e incluso biológico de la especiehumana.

La tendencia a sobrestimar la importancia de herra­mientas y utensilios tiene, entre otras, raíces metodo­lógicas. Si se reduce la técnica a herramientas y arte­factos mecánicos y el investigador del hombre prehis­tórico se limita al estudio de vestigios materiales comoutensilios de piedra, hueso ... , es ineludible que se en­cuentre sólo con técnicas instrumentales pertenecien­tes, por lo general, al ámbito de la producción. Ob­viamente, quedan excluidas de la investigación, o porlo menos muy marginadas, las técnicas relacionadascon utensilios poco duraderos, como los fabricadoscon materiales orgánicos, así como las técnicas predo­minantemente operativas, es decir, que son realizables

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con sólo los órganos y facultades humanas. De ahíva un paso a subestimar las culturas arcaicas y consi­derar inferiores los pueblos primitivos en base a la'manifiesta' inferioridad de sús técnicas.

Sin embargo, difícilmente puede sostenerse la pre­tendida rudimentariedad de las culturas arcaicas,incluso en el dominio de las técnicas productivas. Lacapacidad y el saber técnicos conseguidos autónoma­mente por el hombre antiguo son destacables tanto entécnicas de adquisición, como de transformación yconstrucción: clasificación y selección de plantas,hibridación y cultivo de nuevas variedades en campospermanentes, rotación de cultivos, domesticación deanimales, utilización y conservación del fuego, uso defogones y lámparas, preparación de alimentos, cazamayor colectiva y con la ayuda de trampas, empleodel arco y la flecha, el anzuelo, el arpón ... , minería ymetalurgia, alfarería, pintura, cestería, cordelería,curtido de pieles, tejidos ... , construcción de habitatsadecuados y sólidas embarcaciones, navegaciónmarítima, etc.

Las realizaciones del hombre primitivo se extiendentambién a dominios considerados superiores, como lamedicina y la astronomía. Estudios de arqueo­astronomía han puesto de manifiesto una astronomíapaleolítica muy difundida y con un alto grado de de­sarrollo. Las estructuras megalíticas de Stonenhengeen Inglaterra, p. ej., construidas con bloques depiedra de más de cuatro metros de alto, se han podidointerpretar como sofisticados observatorios astronó­micos.

Con todo, sería inadecuado calibrar el grado de de­sarrollo cultural por el estado de las técnicas instru­mentales. Sabemos de épocas históricas antiguas

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que las herramientas pueden permanecer relativamen­te simples comparadas con el refinamiento de otrosámbitos de la cultura. Las realizaciones más significa­tivas del hombre antiguo son precisamente las quemás escapan al positivismo arqueológico. Son los 'ar­tefactos' impalpables que configuran las técnicas sim­bólicas y de organización social, como rituales, imá­genes, signos, costumbres, modos-de conducta, for­mas de interacción, etc., las que constituyen el núcleode la cultura y la base de una vida significativa. Eldescubrimiento de la acción y el lenguaje significati­vos apenas deja restos materiales, sin embargo son és­tos los instrumentos reales más importantes de los pri­meros hombres para la toma de conciencia de sí mis­mos, su autocontrol y autotransformación.

La emergencia de la técnica misma es una de lasgrandes realizaciones que debemos al hombre prehis­tórico y, de alguna forma, hace posibles todos los de­más logros. Sobre el surgimiento de la técnica,difícilmente se puede llegar a tesis definitivas.Siempre será posible especular y extrapolar con más omenos coherencia y plausibilidad acerca del procesoconcreto. Con certeza se puede afirmar que la especiehumana debió ir tomando conciencia, en épocas re­motas, de la posibilidad de actos ordenados repetidossistemáticamente, de. esquemas formales de acciónabstraídos del aquí y del ahora. Sin ese paso prehistó­rico decisivo de la emergencia de la técnica misma nohubiera sido posible la extraordinaria historia de latécnica humana.

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2. LA TRADICIÓN OPERATIVA

Las importantes innovaciones en las técnicas deproducción durante el Neolítico (domesticación deanimales para alimentación y trabajo, cultivos alter­nados en campos permanentes, empleo de la azada yposteriormente del arado ...) inician una revoluciónagrícola que en la Edad de Bronce dará paso, con laintroducción de técnicas de irrigación y la construc­ción de canales y presas, a las grandes culturas urba­nas en los valles ribereños del Nilo, Tigris y Eufrates,Indo y Hoang-ho.

La superproducción de alimentos permite la apari­ción en las ciudades de artesanos especializados queimpulsan y perfeccionan las técnicas- productivas.Entre el tercer y el primer milenio antes de nuestraera, todos los dominios artesanos experimentan gran­des avances, sobre todo en Egipto y Mesopotamia.

En metalurgia se domina perfectamente, con laayuda de fuelles, la fusión y forja de diversos metales.En alfarería se introduce la rueda de alfarero y se pro­duce cerámica de gran perfección. Hacia· - 2000 se

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obtiene en Egipto lapislázuli sintético yen Mesopota­mia el vidrio. Quinientos años más tarde, los egipciosfabrican recipientes de cristal. En la preparación dealimentos se emplean procesos de fermentación, co­mo para el pan, el queso, la cerveza ( - 2500) Yel vino( - 2000 en Egipto) y también se conocen los procedi­mientos de salazón y ahumado.

El telar horizontal es conocido en Mesopotamia enel tercer milenio y luego en Egipto, donde en -1500aparece el telar vertical. Desde muy antiguo son usa­dos para el transporte vehículos de ruedas y embarca­ciones movidas con remos, pértigas y, posteriormen­te, a vela.

En el segundo milenio se utilizan, además de elabo­radas herramientas propias de cada oficio, algunosmecanismos sencillos como el taladro de arco, el sha­dujj o cigoñal para la elevación de agua, la pinga(pértiga a cuyos extremos van colgadas cargas sosteni­das en equilibrio sobre los hombros) para el transpor­te individual y balanzas de considerable precisión.Los simples y escasos dispositivos mecánicos emplea­dos en la construcción, la palanca y el plano inclina­do, contrastan con las monumentales obras de la épo­ca, la pirámide y el zigurat.

En artesanía artística se fabrican con madera, cris­tal, metal y otros materiales preciosos, objetos de lujoy todo tipo de obras e instrumentos artísticos. De losinstrumentos musicales, p. ej., la flauta, conocida yaen tiempos paleolíticos, aparece en una representa­ción egipcia alrededor de - 3300 y, tanto en Egiptocomo en Mesopotamia, se empleaban durante el ter­cer milenio diversas variedades del arpa, la lira y ellaúd.

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La formación de populosas comunidades urbanascon sus diferenciaciones sociales y jerarquización mo­nárquica, la creación de grandes ejércitos para laguerra o para las inmensas obras de construcción y elmantenimiento de vastos imperios centralizados, ates­tiguan un desarrollo de las técnicas de organizaciónsocial casi más notable que el avance de las técnicasproductivas.

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Con la creciente complejidad de la organizaciónsurge un nuevo tipo de especialista, los funcionarios osacerdotes al servicio real encargados de la admi­nistración, los impuestos y las finanzas, las obraspúblicas y, en general, de la producción y distribuciónde alimentos. A su cargo están desde la distribuciónde aguas y simientes, hasta la fijación de los tiemposde siembra y recolección, el almacenamiento del gra­no, la composición y distribución de rebaños, etc.

Para llevar a cabo sus funciones, los nuevos espe­cialistas crean nuevas técnicas simbólicas: la escritura,el cálculo, la geometría y la astronomía. Precisamenteestas técnicas sacerdotales o funcionariales hacen po­sible las nuevas formas de organización social caracte­rizadas, en contraposición a las del Neolítico, por sucarácter marcadamente autoritario.

Desde el principio existe una disociación entre lastécnicas artesanales y las funcionariales . Las técnicasartesanales están dirigidas directamente a la produc­ción, son ejercidas por una clase dominada y su trans­misión tradicional es oral. Las nuevas técnicas fun­cionariales están al servicio de la dirección y el domi­nio, son ejercidas por un colectivo que, aunque sea deforma delegada, participa del poder y su fijación ytransmisión será escrita.

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En el tipo de escritura más"antigua, el jeroglífico,los signos representan imágenes de objetos. La escri­tura jeroglífica es de origen egipcio, pero se empleótambién en Mesopotamia. Los documentos sumeriosmás antiguos, hacia - 3000, consisten en relacionesjeroglíficas de productos almacenados en templos.Con el tiempo los jeroglíficos se simplifican y vandando paso a ideogramas o signos que representan,más o menos convencionalmente, las cosas.

La escritura cuneiforme propia de la cultura babiló­nica es el resultado de posteriores simplificaciones. Elpaso decisivo, realizado por los acadios, consistió eninterpretar fonéticamente los caracteres cuneiformes.Los signos no representaban ya cosas, sino querecibían valores fonéticos, que en este caso eransílabas. La reducción de la escritura a un alfabeto queincluía vocales y consonantes fue obra de los feniciosalrededor de - 1300.

La matemática surge como procedimientos decálculo para resolver tipos de problemas que se plan­teaban en el control de la recaudación de impuestos,administración de alimentos, planificación y realiza­ción de obras, medición y demarcación de campos ...

Los antiguos griegos atribuyeron a los egipcios elorigen de las matemáticas y, en especial, de lageometría; sin embargo la matemática babilónica al­canzó un mayor desarrollo. Ésta consistía básicamen­te en aritmética, álgebra y geometría y se desarrollómucho antes que la astronomía matemática.

La primera notación posicional fue empleada porlos sumerios. El sistema de cálculo era sexagesimal eincluía operaciones con fracciones. El sistema sexage­simal de medidas angulares y temporales ha subsisti­do, a través de la astronomía, hasta la actualidad. El

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cálculo se efectuaba mediante tablas y procedimientosalgebraicos, algunos de ellos muy sofisticados, queconstituían la base de toda la matemática.

Existían tablas para la multiplicación y la división,que se efectuaba multiplicando por el recíproco del di­visor, así como tablas de cuadrados, raíces cuadradasy cúbicas. El álgebra babilónica se basaba en procedi­mientos que indicaban las operaciones sucesivas pararesolver ecuaciones determinadas. Los escribas erancapaces de resolver tanto ecuaciones lineares de hastatres variables, como ecuaciones cuadráticas y cúbicasy podían calcular la suma de progresiones aritméticas.

La geometría se ocupaba de cálculos planteados,sobre todo, en construcción y agrimensura por la de­terminación de superficies y volúmenes. Para el cálcu­lo del área de superficies circulares y el volumen deobjetos cilíndricos los babilonios emplearon el valor 3para 'ir, mientras que los egipcios operaban con un va­lor más aproximado de 3,16.

La geometría operativa surge como un dominio téc­nico derivado constituido por objetos materialesconstruidos con formas homogéneas como ladrillos,paredes, columnas, pirámides, etc., y configuracionesespaciales concretas que son productos y componen­tes de otras técnicas. El cálculo geométrico del volu­men de ladrillos, p. ej., se refiere al ladrillo regularque se fabricaba con la ayuda de moldes, tal como lorepresentan pinturas egipcias de -1500. Esta técnicaartesanal tiene, sin embargo, un largo proceso de de­sarrollo cuyos orígenes se remontan, por lo menos, al- 5000. En esta época se empleaban para la construc­ción de casas en la zona de Oriente Próximo una espe­cie de panes de barro secados al sol. Estos primitivosladrillos se encuentran también en construcciones su-

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Sea b el madero y trátese de calcular x, siendo; la co­ma sexagesimal, es decir, O; n representa n sexagési­mas partes de la unidad. En la resolución se calculaa = 0;30-0;6 = 0;24 y luego se opera según la fórmula x= .,Jb2 -a2 , obteniendo asíx=0;18.

La astronomía se desarrolla a partir de una necesi­dad vital de las sociedades basadas en la agricultura,la confección de un calendario que regule las activida­des agrícolas. Pero no sólo la conveniencia de antici-

par las condiciones climáticas genera la astronomía enel antiguo Egipto y Mesopotamia. El gobierno y la ad­ministración centralizados de vastos dominios plan­teaban, igualmente, la necesidad de un calendariosimple y unificado. Por otra parte, también impulsóla astronomía en unión con la astrología, el interéspor prever todo tipo de acontecimientos terrestres ysucesos humanos, especialmente los relacionados conel rey, su familia y el propio país. Tales eventos seconsideraban estrechamente ligados al acontecerastral.

Un problema central de la astronomía egipciaconsistía en la aparición heliaca de Sirio, quecoincidía con el solsticio de verano y anunciaba lasinundaciones regulares del Nilo. Dicha apariciónrepresentaba el inicio del año egipcio, que estaba re­gulado por un calendario solar compuesto de 365 díasdivididos en 12 meses. Los egipcios dividían tanto eldía como la noche en doce horas, y disponían, desdetiempos muy antiguos, de relojes de agua para marcarlas horas de la noche y de relojes de sol para el día.

El calendario más antiguo de los babilonios fue lu­nar, o sea, los meses correspondían al mes sinódicolunar o período comprendido entre dos fases consecu­tivas de luna nueva. El calendario lunar presenta elproblema de que la duración de dicho período no esconstante y oscila entre veintinueve y treinta días. Porotro lado, existen problemas de visibilidad para deter­minar la salida heliaca o primera visibilidad de la lunadespués de la fase de luna nueva, la cual coincide conel inicio del mes.

Se trataba, pues, de anticipar la posición de la lunaen su salida y la duración del mes correspondiente. Apesar de que la aparición heliaca de la luna es una

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merias de principios del tercer milenio. En el transcur­so de los quinientos años siguientes se encuentranladrillos que progresivamente van tomando forma.Primero aparece aplanada la base, luego los lateralesen perpendicular a ella y, por último, es la parte supe­rior que recibe la forma plana, obteniéndose así elladrillo tradicional.

El saber matemático se fijaba y transmitía medianteescritos en los que se exponía, de forma poco sistemá­tica, el planteamiento de diversos problemas seguidode su resolución operativa, como en el caso siguiente:«Un tablero tiene 0;30 de largo. De arriba se ha baja­do 0;6. (¿Cuánto se ha apartado) de abajo?»

cuestión más compleja de resolver que en el caso deuna estrella fija como Sirio, los sacerdotes babiloniosconsiguieron elaborar tablas astronómicas para sucálculo.

Otro gran logro de la astronomía babilónica fue lafusión del calendario lunar con el calendario solar.Este último se basa en el movimiento anual del Sol ydetermina el calendario estacional. La dificultad estri­ba en que doce meses lunares no corresponden a unciclo o año solar, el cual dura once días más, y esta di­ferencia conduce, a la larga, a un desfase estacional.Los astrónomos solucionaron el problema introdu­ciendo cada 19 años 7 meses intercalares, que seañadían como un treceavo mes a los años en cuestión.El ciclo de 19 años corresponde así a 235 meses luna­res, 10 cual supone una estimación de la duración me­dia del mes lunar sinódico de 29,6 días. Actualmentedicho valor se estima en 29,53 días.

El movimiento de los planetas fue seguido conmucha atención, debido a la creencia en su influjosobre la vida humana. Eran conocidos los cinco pla­netas brillantes, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter ySaturno, y se constataron las irregularidades de susmovimientos, así como los cursos de retrogradación.También fueron objeto de observación la conjunciónde planetas con la luna y las estrellas fijas, la primeray última visibilidad de los mismos, los solsticios y losequinoccios y, de forma especial, los eclipses de Lunay de Sol, por ser considerados de gran importanciapara el rey y la familia real.

A los astrónomos babilonios se debe la introduc­ción de la eclíptica o círculo máximo a lo largo delcual discurre el movimiento anual del Sol y del Zo­diaco o franja del firmamento a ambos lados de la

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eclíptica, que sirve de referencia para los movimientosplanetarios. Dividieron la banda zodiacal en doce sec­ciones de 30° en correspondencia con los meses delaño y las nombraron según las constelaciones queabarcan. Mediante las medidas angulares y la divisiónsexagesimal de la hora en minutos y segundos, logra­ron una gran precisión en la observación astronó­mica.

Los resultados de las observaci0e.es astronómicas,realizadas de forma regular durante largos períodos,eran anotados meticulosamente en tablas cuneifor­mes. Se conservan tablas que contienen listas deestrellas con sus posiciones, relaciones de fechas deprimera visibilidad y registros diarios de diversos da­tos astronómicos relativos al Sol, la Luna y los plane­tas. Sobre la base de los extensos y precisos registros,se elaboraron y expusieron en tablas procedimientosde cálculo astronómico, que permitían anticipar conexactitud los distintos sucesos y posiciones astralespara un período de tiempo determinado.

Un tercer tipo de textos astronómicos está formadopor las tablas periódicas o efemérides. Por lo general,se trata de tablas anuales y la primera indicación es elaño a que corresponden. Constan de varias columnasyen la primera están anotados los meses del año. Lasdemás columnas indican para cada mes el valorcorrespondiente de una magnitud variable, p. ej., lamedida angular de la distancia recorrida por el Sol alo largo de la eclíptica o la posición de la conjunciónde la Luna y el Sol para ese mes. La variación de losvalores presenta siempre una cierta regularidad querevela su cálculo por un procedimiento aritmético de­terminado. En el caso anterior de la velocidad solar,los valores expresados en grados, minutos y segundos

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son distintos para cada mes, pero la diferencia entredos meses consecutivos es constante e igual a ~ 18 I •

Las variaciones periódicas corresponden a unaprogresión aritmética en forma de zigzag. Es crecientecon una diferencia constante hasta un determinadovalor, que nunca supera un máximo, .y luego decrececon la misma diferencia hasta otro, que nunca estápor debajo de un mínimo, para volver a incrementar­se y así sucesivamente. El uso de progresiones aritmé­ticas crecientes y decrecientes dentro de máximos ymínimos fijos es característico de los procedimientosaritméticos empleados en la astronomía babilónica.La elaboración de las efemérides supone el dominiode complejosmétodos aritméticos para el análisis deregistros numéricos y la formulación de ciclos astro­nómicos.

Mediante tales procedimientos_de cálculo los babi­lonios podían determinar la longitud y latitud de laLuna para cualquier momento, los puntos estaciona­rios anteriores o posteriores a la retrogradación de losplanetas, su entrada en los signos del Zodiaco, así co­rno anticipar eclipses lunares y solares y la apariciónhelíaca de los diversos cuerpos celestes, etc.

Entre la astronomía y la geometría originarias noexistió la estrecha relación que se establecerá entre lassistematizaciones teóricas que, a partir de ellas, elabo­rarán los griegos. La interpretación y articulación delsaber astronómico no se basa en modelos geométri­cos, sino en concepciones mitológicas concretas.

En el antiquísimo poema Enuma Elish se relata co­rno Marduk, el dios supremo de Mesopotamia, cons­tituyó el firmamento. Los cuerpos celestes represen­tan dioses bajo las órdenes de Marduk y los resultados

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de la astronomía se interpretan como disposiciones yactuaciones divinas:

Luego Marduk creó lugares para los grandes dioses.Estableció a sus semejantes en las constelaciones.Fijó el año y determinó sus divisiones,Estableciendo tres constelaciones para cada uno

de los doce meses.Después de determinar los dias del año por las constelacionesEstableció el lugar de Nibiru [la banda Zodiacal} como

medida de todos ellos,Para que ninguno fuese demasiado corto o demasiado largo.

( ...)

Hizo que la Luna brillara intensamente y puso a la noche bajosu orden.

Hizo que ella permaneciera en la noche e indicara el tiempo.Mes tras mes, incesantemente, hizo que su disco aumentara.«A comienzos del mes, cuando te eleves sobre la Tierra,brillarás como un creciente con cuernos durante seis dias;y con la mitad del di~co el séptimo dia.En la luna llena estarás en oposición al Sol, en medio

de cada mes.Cuando el sol haya pasado en el horizonte oriental,Te contraerás y dirigirás el creciente hacia atrás.Cuando se acerque el momento de la invisibilidad, te

aproximarás al camino del Sol.y el dia veintinueve estarás en linea con el Sol

por segunda vez».

Aunque la matemática y la astronomía tendieron aexpansionarse y a asumir una identidad propia inde­pendiente del uso inmediato, las técnicas sacerdotalespermanecieron, aun en sus formas más sofisticadas,sistemas de reglas, instrucciones y procedimientos decálculo destinados a realizar una determinada tarea.

Las técnicas 'superiores' (en cuanto ejercidas porespecialistas encumbrados en la jerarquía social) queemergen en el antiguo Egipto y Mesopotamia y luegoen China e India, tienen un carácter manifiestamente

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operativo. La formulación lingüística del saber noconsiste en enunciados generales teóricos, sino enenunciados operativos de un lenguaje concreto. Tam­poco se plantea la prueba de tales enunciados ni laobligación de demostrarlos a partir de otros. En todocaso, se da por descontado que funcionan.

Consideradas en sí mismas, las técnicas sacerdota­les difieren de las artesanales en que las operaciones arealizar apenas requieren fuerza muscular u otro tipode energía y que los instrumentos empleados, más queherramientas, son de naturaleza simbólica. Pero tantounas como otras pertenecen a la primera y fundamen­tal forma de saber humano: la tradición opera­tiva.

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3. THEORIA VS. TECHNAI

Al igual que las demás culturas, los antiguos griegosdisponían de una tradición operativa: las technai. Lastechnai griegas asimilan el legado de las grandes cultu­ras egipcia y mesopotámicas y consiguen muy prontoperfeccionamientos y avances propios. Los griegosconsiguen, p. ej., la cerámica más perfecta de la épo­ca, perfeccionan la rueda de alfarero, son grandesmaestros en la metalurgia, en la que introducen la sol­dadura de hierro, y en la construcción naval, artistasinigualables en la fundición de bronce y aportan desdeantiguo innovaciones mecánicas, como la prensa deaceite, con la que TALES (fl. - 585) hizo fortuna es­peculando hábilmente.

Como techne eran considerados en Grecia no sólolos oficios artesanales (herrero, tejedor. .. ), artísticos(escultor, pintor. .. ) y militares, sino también activida­des 'superiores' como la medicina, la aritmética y lageometría operativas.

La techne médica era ejercida por colectivos de per­sonas escogidas, a veces sél;cerdotes, que tendían a

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mantener en secreto su saber. El tratado technico máscompleto y antiguo que se conoce proviene del campode la medicina. Se le denomina Corpus Hippocrati­cum o Colección Hipocrática, fue escrito entre - 450Y - 430 Yes obra de la Escuela de Cos, especialmentede su más insigne representante, HIPÓCRATES DECOS (c. - 460/ - 380). Aparte de su gran importanciapara la historia de la medicina, la Colección tiene uninterés especial. En su primer tratado Sobre medicinaantigua, se refleja la disputa acerca de las technai sur­gida en el siglo - v. En concreto se plantea la contro­versia entre la antigua tradición operativa en medicinay la nueva concepción abstracta de la misma, entre latechne médica y la medicina teórica.

Bajo la influencia de filósofos aficionados a la me­dicina (ALCMEÓN, FILOLAO, EMPÉDOCLES),surge una nueva forma abstracta de ejercer la medi­cina:

Ciertos médicos y filósofos afirman que nadie que des­conozca lo que es el hombre puede saber nada de medi­cina; el que quiera tratar pacientes correctamente, di­cen, debe aprender eso (Cap. XX).

Lo que es el hombre se infiere fácilmente partiendodel principio o postulado general según el cual todoestá compuesto de cuatro elementos: lo seco, lo húme­do, lo caliente y lo frío. La enfermedad no es otra co­sa que una alteración del equilibrio de esos cuatro ele­mentos en el cuerpo humano. La tarea del médicoconsiste, por tanto, en restablecer el equilibrio.

El autor de Sobre medicina antigua tiene, sin em­bargo, algo que objetar:

Pero yo opino que todo lo que los filósofos y médicoshan dicho y escrito sobre la naturaleza, tiene que vertanto con la medicina como con la pintura (Cap. XX).

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Y añade:

No puedo entender cómo los que sostienen la otra con­cepción y abandonan el antiguo método para basar latechne en un postulado, pueden tratar a sus pacientesconforme a ese postulado. Pues, según me parece a mi,no han descubierto lo absolutamente caliente o frío, se­co o húmedo que no partícipe en ninguna otra forma.Sino que creo que disponen de los mismos alimentos ybebidas que todos nosotros y a unos les atribuyen la pro­piedad de estar calientes, a los otros de estar fríos, aotros secos, pues no tendría sentido prescribir a un pa­ciente 'algo caliente', porque éste preguntaría de inme­diato «¿qué cosa caliente en partícular?» Así pues, o es­tán diciendo tonterías o deben recurrir a una de las subs­tancias conocidas (Cap. XV).

Según la nueva medicina teórica, para curar a losenfermos era, ante todo, preciso saber lo que es elhombre. Ello supone disponer de un sistema de con­ceptos abstractos lógicamente interrelacionados conlos que se pueden formular. principios generales. Dedichos principios se derivan la naturaleza del hombre,la esencia de toda enfermedad y su tratamiento ade­cuado.

La antigua techne médica, en cambio, se basa enuna respetable y exitosa praxis que se enseña y progre­sa en contacto directo con el enfermo. El discípuloaprende a distinguir síntomas, a formular diagnósti­cos acertados y a prescribir tratamientos adecuados,no a partir de principios generales, sino introducién­dose en un lenguaje concreto y participando en las ac­tividades de un maestro experto. Existen reglas prácti­cas, pero éstas sólo son comprensibles y aplicables porquienes han realizado un correcto aprendizaje.

Las objeciones del defensor de la medicina antiguadestacan que la medicina operativa no puede ser

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expresada mediante conceptos abstractos divorciadosde la práctica, y que los principios teóricos son inope­rantes para el diagnóstico y la terapia concretas y, portanto, no capacitan para la actividad de sanar enfer­mos.

En la confrontación clásica se impuso al final lamedicina teórica; sin embargo, la nueva orientaciónse ha considerado posteriormente como un descarrila­miento de la medicina antigua y la polémica sigue aúnviva en su versión actual entre la medicina clínica y lateórica.

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'4. LA TRADICIÓN TEÓRICA

En el tratado Sobre medicina antigua se cita a EM­PÉDOCLES (c. -490/c. -435) como uno de lospromotores de especulaciones abstractas. De hecho,fue él quien procuró reconstruir la filosofía jónicaadaptándola a las críticas y argumentaciones de PAR­MÉNIDES (* c. - 515). Sin embargo, para encontrarlos orígenes de la nueva tradición que se iba formandolentamente y empezaba ya a imponerse en el siglo - v,nos hemos de remontar, por lo menos, al siglo ante­rior.

Juntamente con la tradición operativa, los antiguosgriegos habían creado una peculiar y rica mitología.En las culturas antiguas la sistematización e interpre­tación de las technai-, así como su transmisión, serealizaban generalmente en el marco de un discursomitológico, por lo que, a veces, se han confundidocon prácticas puramente supersticiosas.

Con la emergencia de la filosofía se afianza una re­acción desmitologizadora -la 'ilustración' griega-.que pretende suprimir el trasfondo mítico de las anti­guas prácticas y concepciones. Las personalidadesconcretas de los viejos dioses son substituidas por en-

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tidades abstractas y en vez de las aventurescas ac­ciones y enlaces divinos, aparecen las relaciones con­ceptuales y los principios teóricos. Con el paso del mi­to alIagas tiene lugar el de la techne a la theoria, quese realiza paradigmáticamente en el dominio de lastechnai sacerdotales, la geometría y la astronomía.

En geometría se pasa de los enunciados operativosdestinados a resolver tareas en condiciones dadas enla práctica, a enunciados generales independientes desituaciones determinadas y aparentemente desprovis­tos de toda finalidad, que describen relaciones entrepropiedades de objetos abstractos ajenos a la prác­tica.

Los primeros enunciados teóricos de la geometría,como «el círculo queda dividido en dos partes igualespor cada uno de sus diámetros» o «dos triángulos quetengan un lado y los ángulos adyacentes iguales soniguales», se atribuyen, junto con la idea de probarlos,a TALES DE MILETO, de quien se dice que conocióla geometría egipcia en un viaje a Egipto. Por lo quese sabe indirectamente de las pruebas de TALES, noparece que en éstas recurriera a otros enunciados. Laprueba de enunciados geométricos con la ayuda deotros enunciados, aparece en HIPÓCRATES DEQUIOS (fl. -450/ -430), el cual escribió un manualde geometría titulado Elementos.

La idea de probar enunciados a partir de otrosenunciados adoptada en la matemática griega es deorigen filosófico. La Escuela de Elea, con PARMÉ­NIDES como máximo representante del pensamientoabstracto, introduce una nueva modalidad del discur­so y la argumentación frente al discurso y el razona­miento concretos y polifacéticos de la techne y elmito.

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Según PARMÉNIDES, la verdad sólo es accesible ala razón e inalcanzable para los sentidos. El procedi­miento de la razón es antiempírico y antivisual. La ar­gumentación no versa sobre las múltiples realidadesfamiliares de la tradición y la experiencia operativa,sino sobre entidades abstractas. Los argumentos sebasan en las interrelaciones lógicas de los conceptosabstractos que permiten ir conectando enunciados apartir de principios generales o de su negación hastallegar a la afirmación que' se quiere demostrar comoverdadera.

Así, la prueba de que el ser es eterno, es decir, que loque es no puede haber empezado a existir, consiste enel siguiente argumento. Supóngase que lo que es em­pezó a existir, entonces sólo pudo haber surgido de loque es o de lo que no es; no se da una tercera posibili­dad. Ahora bien, si hubiera surgido de lo que es, en­tonces ya hubiera existid.o antes de llegar a ser, portanto no tiene sentido decir que surgió de esta forma.Por otra parte, si se sostiene que lo que es surgió de loque no es, eso conduce a una contradicción. Lo que esnunca pudo haber sido lo contrario de sí mismo, loquena es, y, por tanto, tampoco pudo empezar a exis­tir de esta forma. En las argumentaciones de PAR­MÉNIDES aparecen ya claramente la prueba indirec­ta o por reducción al absurdo y el principio de tercioexcluso de la lógica clásica.

Los nuevos procedimientos de prueba pronto se ex­tendieron a la matemática y la geometría preeucli­diana se perfiló cada vez más como theoria, es decir,como un sistema de enunciados ordenados según de­terminadas dependencias lógicas y, con excepción deciertos enunciados primeros, susceptibles de ser pro­bados mediante inferencias a partir de otros enun-

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ciados que, a su vez, han· sido probados anterior­mente.

Con ARISTÓTELES (- 384/ - 322) la construc­ción teórica de la geometría se constituye de formaexplícita en guía del pensamiento 'riguroso'. ARIS­TÓTELES diseña en Analítica Posteriora el modelode la ciencia demostrativa. Poseemos conocimientoauténtico o episteme, es decir, ciencia, cuando sepueden demostrar los enunciados. Por ello, nuestrosconocimientos han de estar estructurados sistemática­mente de forma que, a partir de ciertos primerosenunciados o axiomas, se puedan probar todos los de­más. El procedimiento formal de prueba viene regula­do por el silogismo.

Para ARISTÓTELES, los axiomas, que obviamen­te no son susceptibles de este tipo de demostración,también han de ser fundamentados. La idea de laciencia demostrativa, más que una forma de investi­gación, representa la sistematización de los conoci­mientos, su presentación como theoria. Con ella,ARISTÓTELES ponía los fundamentos de una singu­lar techne simbólica que debía ser el órgano de laestructuración axiomática, la lógica.

El programa de ARISTÓTELES, aunque no fue se­guido muy rigurosamente por él mismo, encontró surealización paradigmática. en los Elementos deEUCLIDES (fl. - 323/ - 285).

EUCLIDES sistematiza los conocimientos geo­métricos de la época presentándolos en forma de unarigurosa teoría axiomática que culmina el proceso deteorización de la geometría.

Los Elementos empiezan con una serie de aser­ciones no probadas que se clasifican en tres grupos:

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1. Definiciones de las nociones fundamentales, como

DI. Punto es lo que no tiene partes.

D4. Línea recta es la que yace por igual sobre sus puntos.

D7. Superficie plana es la que yace por igual sobre sus rectas.

lI. Cinco principios o postulados referentes a no­ciones geométricas, entre las que se encuentra el fa­moso postulado de las paralelas, como p. ej.:

P 1. Una línea recta se puede trazar desde un punto a cualquierotro punto.

P4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

lII. Otros cinco principios, que luego se denomina­rán axiomas, referentes a nociones comunes no geo­métricas, p. ej.:

Al. Cosas iguales a una misma son iguales entre sí.

A2. Si a cosas iguales se añade otra igual, las totales son iguales.

A paretir de las definiciones y los principios se de-muestran de forma rigurosa las demás proposicioneso teoremas a lo largo del tratado, entre ellos

T47. En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el ladoopuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los la­dos que forman ese ángulo recto.

La proposición 47 representa el equivalente teóricode la resolución del problema babilónico expuesto an­teriormente (pág. 7). Evidentemente se trata del teore­ma atribuido a PITÁGORAS (fl. c. - 530), quien pu­do haberlo 'descubierto' en el viaje que realizó a Babi­lonia.

El procedimiento de resolución se ha transformadoen un enunciado teórico acerca de una figura geo­métrica. Aparentemente el teorema carece de conteni­do operativo, sin embargo no es así. La definición detriángulo rectángulo presupone la de línea recta y de

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superficie plana. La caracterización teórica de super­ficie plana equivale a la condición de homogeneidadde que sus puntos sean indistinguibles. La indistin­guibilidad de los puntos de una superficie es una pro­piedad que se realiza, con cierta aproximación que de­pende de la finalidad, en objetos concretos. La reali­zación se lleva a cabo mediante un proceso técnicoconforme a determinadas reglas de construcción.

Los objetos de la geometría, en cambio, son formasconstruibles 'ideales' en las que se suponen realizadastales propiedades de un modo absoluto. La deducciónde teoremas o proposiciones teóricas que enuncianpropiedades y relaciones de objetos ideales, equivale asacar las consecuencias de la realización ideal de lasreglas de construcción. La operatividad de tales enun­ciados teóricos reside en que se puede operar efectiva­mente suponiendo la validez de dichas consecuenciaspara objetos intervinientes en la práctica, cuya reali­zación, sin embargo, es sólo más o menos aproxi­mada.

La axiomatización euclidiana de la geometríahabría de ser considerada a 10 largo de toda la historiacomo prototipo de teoría rigurosa y tener una graninfluencia en los desarrollos teóricos posteriores.

La aritmética, por el contrario, no llegó a ser pro­piamente teorizada por los griegos, que tendieron másbien a geometrizarla. La matemática griega no asimi­ló plenamente el álgebra babilónica y la aritmética tu­vo que esperar hasta el siglo XIX para que se plantearasu axiomatización. Durante muchos siglos una buenaparte de la matemática continuó perteneciendo exclu­sivamente a la tradición operativa de las technai.

TALES es asimismo el primer griego del que se re­latan actividades astronómicas. Según HERüDüTü

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( - 484/ - 425), TALES predijo un eclipse de sol quetuvo lugar en - 585 durante una batalla entre medas ylidios en la que participaban soldados jonios. La pre­dicción se basó, sin duda, en ciclos lunares de laas(ranomía babilónica que TALES debía conocer,pues, según la tradición, visitó también· Mesopota­mia. Se le atribuyen otros logros astronómicos, comohaber determinado la duración del año en 365 días, locual es claramente de origen egipcio, y el haberse inte­resado por procedimientos de navegación basados enla astronomía.

De ANAXIMANDRO (c. - 610/c. - 540) tambiénes conocido su interés por la astronomía y se le atribu­ye la construcción en Esparta de un gnomon (indica­dor solar consistente en un estilo fijado sobre una su­perficie plana) en el que marcó las horas, las esta­ciones, los solsticios y los equinoccios. Pero el gno­mon, junto con otros instrumentos astronómicos, eraconocido ya en - 1000 en Babilonia y, según el mismoHERODOTO, los griegos se 10 deben a los babilo­nios.

La originalidad de los primeros astrónomosgriegos, más que en nuevos procedimientos de laastronomía operativa, consistió en su interpretación.Los relatos míticos sobre el origen y el acontecer delos astros y de la Tierra son substituidos por interpre­taciones físicas.

Según TALES, el principio original es una gran ma­sa de agua de la que van surgiendo gradualmente y através de diferentes procesos todas las cosas. LaTierra, semejante a un cilindro de poca altura, flotasobre el agua como un corcho. Por encima de la tierrase extiende un arco de agua del que procede la lluvia yen el que flotan los cuerpos celestes.

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Comparadas con las interpretaciones de TALES,que recuerdan los antiguos mitos egipcios, las deANAXIMANDRO son más innovadoras. El Sol, laLuna y las estrellas proceden de una esfera de fuegoen movimiento (procedente, a su vez, de la substanciaprimaria de lo Infinito o Ilimitado), de la que se sepa­ran como tubos circulares de aire comprimido y opa­co que contienen fuego, visible sólo a través de aber­turas circulares. La tierra, parecida a un corto ci­lindro, permanece suspendida sin soporte alguno, porestar a igual distancia de los demás cuerpos celestes.En torno a ella y sobre ejes que pasan por su centro,giran las ruedas ígneas describiendo los recorridos es­telares del Sol y de la Luna. Los eclipses y las fases dela Luna se explican como cierres parciales o totales delas aberturas de irradiación.

PITÁOORAS fue, seguramente, el primero en atri­buir una forma esférica tanto a la Tierra como ~ losdemás cuerpos celestes y al universo en general. En laEscuela Pitagórica los números y sus relaciones juga­ban un papel central. Las relaciones numéricas expre­saban las relaciones y regularidades de los fenómenosnaturales. ARISTÓTELES caracterizó a los pitagóri­cos diciendo que, según ellos, «las cosas son núme­ros» y «todo el firmamento es armonía y número».En la concepción pitagórica, el cosmos, como corres­ponde a su carácter divino, es un universo ordenadoy, por tanto, bello. Se trata de encontrar, con la ayu­da de las matemáticas, la regularidad y la armonía di­vina escondida tras los fenómenos de la naturaleza.

El pensamiento pitagórico representa el punto departida de una tradición que se propondría represen­tar la naturaleza como un sistema ordenado de entida­des y relaciones matemáticas. En contraposición a

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ARISTÓTELES, quien rechaza la fe pitagórica en laestructura matemática de la naturaleza, PLATÓN(- 4291- 348) reafirma la tradición matemática de laconcepción de la ciencia. La matemática representauna vía de acceso a la realidad ideal de la que el mun­do sensible es sólo una imagen imperfecta.

Las ideas pitagórico-platónicas encuentran su pri­mera gran plasmación en la astronomía t~órica. Tra­dicionalmente se considera a PLATÓN como el pen­sador que fija el objetivo de la investigación astronó­mica teórica con su programa de «salvar los fenóme­nos», es decir, encontrar en la confusa irregularidadde los movimientos aparentes de los cuerpos celestesel sistema ideal de movimientos circulares uniformes.

En todo caso, fue su discípulo EUDOXO (c. -4081- 355) el primero que intentó realizar el programaplatónico. Para ello elabora un modelo geofuétrico,de carácter cualitativo, consistente en un sistema deesferas homocéntricas con movimiento de rotaciónuniforme que representa los movimientos celestes,incluidos los puntos estacionarios y la retrogradaciónen el movimiento de los planetas. En el centro comúnde las esferas está la Tierra y en la esfera externa se en­cuentran las estrellas fijas que giran con una rotacióndiaria alrededor del eje celeste. Los movimientos delos demás astros se realizan conforme a subsistemasde esferas homocéntricas (tres para el Sol, otras trespara la Luna y cuatro para cada uno de los planetas)que giran respectivamente en torno a ejes fijados endeterminados puntos de las esferas envolventes.

Con el sistema de EUDOXO se inicia la astronomíageométrica y las interpretaciones físicas de los prime­ros astrónomos griegos dan paso a la interpretaciónpuramente geométrica. En la nueva astronomía, in-

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discutiblemente un logro de la tradición teórica y ma­temática griega, se estructuran e interpretan geométri­camente los procedimientos y resultados de la techneastronómica.

El aspecto intuitivo de los modelos geométricos nodebe encubrir el carácter teórico, en sentido estricto,de la astronomía clásica. La presentación de laastronomía como theoria se pone de manifiesto en laobra del famoso astrónomo y matemático ARISTAR­CO DE SAMOS Cc. -310/-250), del que AR­QUÍMEDES ( - 287/ - 212) refiere en El arenario

Pero ARISTARCO DE SAMOS publicó un libro con­sistente en ciertas hipótesis, en las cuales fas premisasconducen a fa conclusión >1< de que el universo es muchasveces mayor de lo que se cree ahora. Sus hipótesis sonque las estrellas fijas y el Sol permanecen en reposo, quela Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia deun círculo, estando el Sol en el centro de la órbita.

En Sobre los tamaños y las distancias del Sol y de laLuna, único escrito suyo que se conserva, ARISTAR­CO empieza formulando seis hipótesis:

1. Que la Luna recibe la luz del Sol.2. Que la Tierra es, en relación a la esfera en que se mueve

la Luna, como un punto y como el centro.3. Que, cuando la Luna se nos aparece cortada en dos, el

(plano del) círculo máximo que separa la parte ilumina­da de la oscura pasa por nuestro ojo.

4. Que, cuando la Luna se nos aparece cortada en dos, sudistancia al sol es la trigésima parte menor que uncuadrante.

5. Que el ancho de la sombra de la Tierra es de dos Lunas.6. Que la Luna subtiende la quinceava parte de un signo de

Zodíaco.

>1< subrayado del autor

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[Dadas estas hipótesis] se demuestra que:*

l. La distancia del Sol a la Tierra es más de dieciocho y me­nos de veinte veces la distancia de la Luna a la Tierra.

2. El diámetro del Sol está en la razón anterior con eldiámetro la Luna.

Así hasta llegar a diecinueve proposiciones que seprueban rigurosamente.

El sistema de EUDOXO no podía dar cuenta de al­gunos resultados registrados en la astronomía operati­va, como el aumento del brillo de los planetas en sumovimiento de retrogradación, el cual se interpretabageneralmente como una aproximación a la Tierra. Delsistema de las esferas homocéntricas se seguía, por elcontrario, que la distancia de los planetas a la Tierrano variaba. Astrónomos posteriores elaboraron conla ayuda de epiciclos, deferentes y excéntricas, siste­mas geométricos cada vez más sofisticados que trata­ban de dar cuenta detallada de los registros astronó­micos.

La obra Sintaxis matemática de PTOLOMEO (c.100/170), conocida a través de los astrónomos árabescomo Almagesto, es el tratado más importante de laastronomía griega que se ha conservado. Fue escritohacia el año 150 y representó la base de los conoci­mientos astronómicos hasta bien pasada la Edad Me­dia. PTOLOM~opiló y sistematizó en los trecelibros que componen la obra todo el saber astronómi­co de su época, basándose, sobre todo, en los trabajosdel gran astrónomo griego HIPARCO (fl. -161/-126), desaparecidos en su totalidad.

>1< subrayado del autor

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Los principios de los que parte la obra y cuyaplausibilidad defiende PTOLOMEO en el libro pri­mero son:

l. Que el cielo es de forma esférica y gira como una esfera.2. Que la Tierra, contemplada en su totalidad, también

tiene forma esférica.

3. Que la Tierra está situada en el centro de todo el firma­mento.

4. Que en razón de su tamaño y su distancia a la esfera delas estrellas fijas, la Tierra es como un punto en relacióna esa esfera.

5. Que la Tierra no participa de locomoción alguna.

En el curso del tratado se va dando cuenta de formacompleta y detallada de los movimientos celestes, conla ayuda de modelos geométricos.

A diferencia del sistema de EUDOXO que, por loque se conoce, era meramente cualitativo, es decir, nose especificaban en el mismo longitudes de radios nivelocidades de rotación, etc., en el Almagesto se tra­tan cuantitativamente los movimientos de los astros.El sistema ptolomaico constituye un modelo cinemáti­ca preciso en el que quedan excluidos aspectos diná­micos, es decir, se consideran solamente los movi­mientos de los astros sin refer"encia a las fuerzas quelos producen. Respecto a tales fuerzas, la astronomíaclásica griega da tan poca razón como la babilónica.

La Sintaxis matemática de PTOLOMEO realiza,sin embargo, el programa platónico, pues expone unateoría basada en movimientos circulares y uniformesque «salva los fenómenos» demostrándolos a partirde presupuestos geométrico-astronómicos.

Si se analiza con detenimiento, la «salvación de losfenómenos» realizada equivale precisamente a la teo­rización de la techne astronómica de la tradición ope-

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rativa. Los fenómenos que la astronomía griega pre­tende salvar, no consisten en los resultados de una ob­servación astronómica diletante, sino en los logradospor la astronomía babilónica y egipcia. Tales logrosconsisten en procedimientos, registros, efemérides,ciclos, etc., que los astrónomos griegos conocieronbien y utilizaron desde TALES DE MILETO hastaHIPAReO y PTOLOMEO.

La antigua techne astronómica suministra, pues,los procedimientos y los parámetros esenciales para laelaboración de los modelos geométricos precisos de lanueva astronomía teórica. En consecuencia, la theoria«salva los fenómenos» al demostrar los resultados dela techne, es decir, los parámetros derivados de latheoria concuerdan con los obtenidos con la ayuda deefemérides.

De hecho, los astrónomos griegos dependieron delos procedimientos y las tablas astronómicas babilóni­cas hasta que pudieron derivar sus propias tablas yaún hubo de pasar tiempo hasta que superaron en pre­cisión la observación y las efemérides de los babilo­nios. La elaboración de las tablas babilónicas se basa­ba, por lo que se sabe, en procedimientos aritméticosoperativos. La derivación de las tablas en la as­tronomía griega es de carácter muy distinto. Su cálcu­lo ser~ base a modelos geométricos con epi­ciclos, excéntricas ... empleando ¡;Jrocedimientos trigo­nométricos.

El Almagesto contiene numerosas tablas astronó­micas y algunos valores esenciales son idénticos a loscorrespondientes valores babilónicos. Las tablas"astronómicas griegas, juntamente con el propio cálcu­lo trigonométrico, son uno de los primeros resultadostécnicos de la tradición teórica, que no difieren de las

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tablas babilónicas en cuanto a su estructura ni a suempleo. La diferencia más notable consiste en quehan sido obtenidas por procedimientos teóricos. Enúltimo término, tanto en la astronomía teórica comoen la operativa, el objetivo final de los astrónomos esel mismo, suministrar parámetros astronómicosexactos.

En la astronomía clásica se emplean, por primeravez, teorías matemáticas, en concreto geométricas,para la interpretación y anticipación de procesos de­terminados. La interpretación teórica satisface la exi­gencia, basada en presupuestos metafísicos, de «sal­var los fenómenos» reduciéndolos a movimientos cir­culares uniformes. Para la anticipación de estados delsistema astronómico a partir de la teoría, se procedemediante cálculo trigonométrico o empleando tablasastronómicas derivadas previamente. Theoria in­terpretativa y techne predictiva tienen una base co­mún, la geometría teórica.

En la astronomía babilónica como en la egipcia, in­terpretación y anticipación discurren por cauces dis­tintos. La interpretación forma parte de la tradiciónmitológica, mientras que la techne astronómica se ba­sa en procedimientos aritméticos operativos. No exis­te la estrecha vinculación griega entre geometría yastronomía, ni modelos o procedimientos geomé­tricos.

Las innovaciones que permiten la vinculación de lageometría a la astronomía son característicamentegriegas: por un lado, la teorización de la geometría, osea, su planteamiento como theoria de objetos 'idea­les' y, por otro, la transferencia de las representa­ciones y los procedimientos geométricos del dominio

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de los objetos construidos y de la agrimensura al de laastronomía.

Los modelos geométricos de la astronomía griegatransfieren la configuración geométrica de espaciosinmediatos a vastos espacios geográficos y astrales.La trigonometría surge precisamente de la exigenciade un procedimiento de cálculo para la medición indi­recta de distancias inaccesibles.

La astronomía teórica integra y sistematiza los múl­tiples e inconexos procedimientos de la astronomíaoperativa (cuya falta de sistematicidad e incoherenciateórica seguramente había inquietado al espíritu pla­tónico no menos que el desorden del firmamento) ypermite desarrollar otros nuevos. No obstante, inde­pendientemente de la nueva techne astronómica geo­métrica y con procedimientos de observación simila­res, continúa desarrollándose la techne astronómicade la tradición babilónica. Los procedimientos arit­méticos no sólo son preferidos por los astrólogos, si­no que son empleados también por los mismos astró­nomos griegos y, según los últimos descubrimientos,su difusión fue mucho más amplia que lo que da a en­tender el silencio de PTOLOMEO acerca de su exis­tencia.

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S. THEORIA YTECHNEARTESANAL

La filosofía clásica griega establece el claro prima­do de la theoria frente a las technai que perduraríaprácticamente a lo largo de toda la tradición filosófi­ca. PLATÓN considera una gradación de mayor amenor pureza de las technai según su contenido de 10­gos o episteme y su capacidad de dar razón teórica desus resultados. Technai como la agricultura o la mis­ma medicina son inferiores, p. ej., a la tectónica otechne de la construcción, ya que en esta última seemplea el cálculo y la medición y es, por tanto, másprecisa. Superiores son technai como la aritmética y lageometría operativas o la medición que, sin embargo,no llegan a la suprema ca,tegoría de las disciplinasteóricas, como la geometría teórica, representantesdel conocimiento puro o episterne.

ARISTÓTELES marca definitivamente la separa­ción filosófica entre episteme superior o ciencia de­mostrativa que, según su filosofía, corresponde a laparte investigadora del hombre y está dirigida a laprueba o inferencia, y las technai, que pertenecen alas actividades de producción.

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Tales distinciones y consideraciones filosóficas, ob­viamente valorativas, no sólo pretenden fijar la de­marcación de la nueva tradición teórica en pugna conla antigua tradición technica, sino también asentar, enoposición al saber técnico, la supremacía del ideal desaber teórico, el (3LÓ) f7EWQy]TL)(ó) o vida contemplativade PLATÓN y la é7rW7~J1y] BéwQYjnxY] o conocimientoteórico de ARISTÓTELES.

El menosprecio platónico por las technai artesana­les no fue sólo filosófico . SÓCRATES constata enGorgias que

no es costumbre que el piloto (de una nave) fanfarronee,a pesar de salvarnos la vida, ni tampoco lo es, admirableCaliques, que lo haga el constructor de máquinas que enocasiones puede salvar cosas de no menor importanciaque las que le es dado preservar del peligro, no ya a Unpiloto, sino a un generala cualquier hombre de la másalta condición; a veces salva a ciudades enteras. (... ) Pe­ro eso no es obstáculo para que tú le desprecies y despre­cies su techne y, llegado el caso, le llamarás 'constructorde máquinas' a guisa de insulto y no querrás dar umi hi­ja tuya por esposa a un hijo suyo, ni aceptar una hija su­ya como esposa de un hijo tuyo.

En Las leY~PLATÓN saca las consecuenciaspolíticas: )

He aquí de qué manera hay que conducirse respecto alconjunto de los artesanos. En primer lugar, no hay quetolerar que trabaje en oficios de artesano ningún ciuda­dano residente en el país como tampoco ningún servidorsuyo

De las tres clases sociales que componen el estadoplatónico, la virtud suprema de la episteme es propiade la primera, la de los gobernantes, a la clase de losmilitares le corresponde el valor, mientras que a la

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clase inferior formada por artesanos y agricultoresPLATÓN no le atribuye ninguna virtud específica.

Si hemos de creer a PLUTARCO (c. 50/120), PLA­TÓN es responsable de que la techne mecánica fueradesestimada como objeto de interés teórico:

La apreciada techne mecánica había sido ejercida conanterioridad por EUDOXO y ARQUITAS; éstos, paraque la geometría resultara más agradable, habían solu­cionado, con ejemplos mecánicos concretos, aquellosproblemas geométricos cuya comprensión no era inme­diata. Así, habían resuelto por vía mecánica el problemade los dos segmentos proporcionales entre sí, como fun­damento para la resolución de otras muchas cuestiones,empleando para tal finalidad mesolabios derivados decurvas y secciones cónicas. Pero PLATÓN estaba des­contento de ello y les reprochó que deshonraran de estaforma lo superior de la geometría, transportando estaciencia del dominio de las cosas incorpóreas y abstractasal de los objetos sensibles y utilizando objetos que eransólo propios de vulgares y toscos artesanos. Como con­secuencia de estas consideraciones, la mecánica se sepa­ró de la geometría y fue despreciada durante muchotiempo por la filosofía pura, quedando reducida al ran­go de una techne militar.

Sin embargo, la marginación filosófica de la technemecánica no fue total. De la Escuela Peripatética sur­ge una obra ajena al desdén por las technai producti­vas, los Problemas mecánicos o lvlecánica, atribuidaaARISTÓTELES, pero redactada seguramente poralgún miembro de su escuela.

De ella se puede extraer una de las primeras rela­ciones sistemáticas de los dispositivos fundamentalesde la techne mecánica antigua, como la palanca, el ci­goñal o palanca de contrapeso, la balanza de brazosiguales, la romana, la cuña, la rueda, la polea, el

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cabrestante, el rodillo, el remo, el timón, la vela, lastenazas, el hacha, la honda, etc.

El uso de tales instrumentos mecánicos se remonta,por lo general, a culturas muy anteriores a la griega y,en algunos casos, incluso a tiempos prehistóricos. Enbajorrelieves asirios del siglo - VII se representa elempleo de enormes palancas de tipo elemental ac­cionadas por varios hombres para el transporte demonumentales estatuas de piedra. En uno de dichosbajorrelieves sé encuentra también la representacióndel shaduff o cigoñal para la elevación del agua, delque existen representaciones mucho más antiguas dehacia - 2000. En Egipto se encuentran pinturas se­pulcrales de principios del segundo milenio que repre­sentan un shaduff apenas diferente de los que se utili­zan actualmente en el valle del Nilo. De esta mismaépoca se tienen noticias de pequeñas balanias em­pleadas en Mesopotamia para el peso de metales pre­ciosos que podían llegar a pesar hasta uno o doscentígramos. Asimismo existen varias representa­ciones egipcias de grandes balanzas de brazos igualesprovistas de dispositivos para controlar el equilibrio,bien mediante una aguja indicadora o con hilos quequedaban tensos por la acción de una plomada.

En los Problemas mecánicos se tratan por primeravez cuestiones teóricas planteadas por la techne mecá­nica, cuyos resultados se consideran realizaciones«contrarias a la naturaleza en beneficio de las necesi­dadeshumanas». Según el punto de vista peripatéti­ca, el dominio propio de la mecánica son los artificiosútiles que, de alguna forma, operan contrariamente ala naturaleza, por lo que dicho dominio se distinguedel de la física.

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Entre los problemas mecánicos principales «figuranlos relativos a la palanca, ya que parece contradicto­rio que un enorme peso sea movido por una pequeñafuerza». El autor se propone un tratamiento sistemá­tico de los diferentes problemas, ya que «los fenóme- .nos que se observan en la balanza pueden atribuirse alcírculo, y los observados en la palanca a la balanza; ycasi todos los restantes movimientos de las máquinaspueden reducirse a la palanca».

La cuestión inicial referente a lo que ocurre en labalanza, «¿por qué son más exactas las grandes quelas pequeñas?», se resuelve a partir de las extraordina­rias propiedades del círculo, el cual «se origina por al­go que se mueve y algo que permanece fijo» y «semueve según dos direcciones opuestas, hacia adelantey, al mismo tiempo, hacia atrás». Al moverse alrede­dor del punto de apoyo, los brazos de una balanzadescriben, a modo de radios, un círculo con dichopunto como centro. El círculo descrito será tanto ma­yor cuanto mayor sea la balanza y también será pro­porcionalmente mayor la rapidez con la que semuevan, en sentido mutuamente opuesto, los extre­mos de brazos mayores, dada una misma fuerza. Portanto, «algunos pesos pueden no ser perceptibles a lossentidos en las balanzas pequeñas, siendo perceptiblesen las grandes».

El problema mecánico central relativo a la palancaqueda .resuelto por reducción de su funcionamiento alde una balanza: «.. .la palanca obra de la misma ma­nera que el brazo de una balanza cuyo sostén haya si­do fijado en la parte inferior, dividida en dos partesdesiguales». Dado que la palanca funciona como unabalanza de brazos desiguales con el fulcro como sos­tén, la velocidad con la que se mueve el extremo del

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brazo más largo, en el cual se aplica el peso, será pro­porcionalmente mayor que la del brazo corto, en elque se halla el peso a desplazar. Y ya que se da porbueno el supuesto aristotélico de que la velocidad esinversamente proporcional al peso y directamenteproporcional a la fuerza, y las fuerzas ejercidas enambos extremos de la palanca se contrarrestan, tene­mos que «en la razón que esté el peso desplazado conel que lo desplaza, estará inversamente la longitud delbrazo que soporta dicho peso con la longitud del bra­zo más próximo a 1a potencia», o sea, la primera for­mulación cuantitativa del principio de la palanca.

FIGURA 2

- La romana se reduce a un tipo de balanza en la que«la varilla actúa al mismo tiempo como brazo y comopalanca» y asimismo se derivan directamente de la pa­lanca el funcionamiento del remo, el timón, el mástilcon la vela, la polea, la cuña, el cigoñal, etc.

Los Problemas mecánicos representan el primerplanteamiento, característicamente dinámico, de una

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mecánica teórica, en el que se intenta basar la acciónde los diversos mecanismos en su funcionamiento co­mo palancas. Aunque en la derivación del principiode la balanza-palanca a partir del movimiento circularse procede geométricamente, la mecánica peripatéticano puede considerarse como una teoría en sentidoestricto. La techne mecánica habría de esperar aún asu teorización clásica que seguirá los pasos de la teoríaeuclidiana.

La mecánica teórica clásica será obra de AR­QUÍMEDES (-287/ -212), quien según el mismoPLUTARCO «consideraba la mecánica práctica y, engeneral, cualquier techne que se ejerciera por necesi­dad como innobles y propias de artesanos». Sin em­bargo, tanto autores antiguos (VITRUBIO, siglo 1;PAPPO, siglo m; PROCLO, sigloy), como árabes, leatribuyen insistentemente invenciones y tratados detechne mecánica. Ciertamente algunas de las cons­trucciones mecánicas atribuidas a ARQUÍMEDESpertenecen a la leyenda (como la monumental garrametálica sumergida en el puerto de Siracusa capaz devolcar barcos enemigos o el sistema de espejos con elque los siracusanos incendiaron navíos de guerra ro­manos) o son producto de la mecánica antigua, comoel llamado tornillo de ARQUÍMEDES para elevaragua, que éste conoció durant,e su estancia en Egipto.Pero también es indudable que su gran renombre co­mo técnico no fue gratuito, sino que ARQUÍMEDESestuvo familiarizado y contribuyó al desarrollo de latechne mecánica, especialmente la relacionada con laconstrucción de máquinas bélicas, en la que Siracusaestuvo a la vanguardia hasta su conquista por los ro­manos.

De ARQUÍMEDES se conservan tratados que per-

51

2.

4.

PROPOSICIONES

1. Pesos que se equilibran a distancias iguales son iguales.2. Pesos desiguales a distancias iguales no se equilibran, si­

no que hay inclinación hacia el peso mayor.3. Si pesos desiguales se equilibran a distancias desiguales,

el peso mayor estará a menor distancia.6. Dos magnitudes conmensurables se equilibran a distan­

cias inversamente proporcionales a ellas.7. Asimismo, cuando se trata de dos magnitudes incon­

mensurables, éstas se equilibran a distancias inversa­mente proporcionales a ellas.

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Se sabe que con anterioridad a Sobre el equilibriode los planos, ARQUÍMEDES escribió otros dos tra­tados relacionados con dicha obra que se denomina­ban Sobre balanzas o palancas y Elementos de la me­cánica. La obra posterior, la única que ha llegado has­ta nosotros, es considerada como la presentaciónteórica rigurosa en la que se prueban geométricamen­te los resultados obtenidos en los tratados anterioresmediante consideraciones de carácter operativo.

La Estática de ARQUÍMEDES constituye la prime­ra teoriz~ciónmatemática rigurosa de la techne mecá­nica. Se trata de una teoría de la palanca-balanza en laque, postulados determinados estados de equilibrio o

explícitamente en la proposición sexta de La cuadra­tura de la parábola.

Una vez enunciados los siete postulados se pasa di­rectamente a derivar mediante pruebas indirectas (re­ductio ad absurdum) una serie de proposiciones refe­rentes a estados de equilibrio o desequilibrio y a loscentros de gravedad de figuras planas como parale­logramo, triángulo, trapecio y parábola. Entre losprimeros teoremas probados figura el conocido comoprincipio general de la palanca (proposición 6 y 7)

5.

6.

3.

1.

7.

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POSTULADOS

Pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio, ypesos iguales a distancias desiguales no están enequilibrio, y hay inclinación hacia el lado del peso queestá a mayor distancia.Si dos pesos a distancias cualesquiera están en equilibrioya uno de ellos se le añade algo, entonces dejan de estaren equilibrio y hay inclinación hacia el lado del peso alque se le ha añadido.De manera similar, si se quita algo a alguno de los pesos,entonces dejan de estar en equilibrio y hay inclinaciónhacia el peso no disminuido.Los centros de gravedad de figuras planas iguales quesuperpuestas coinciden, también coinciden.Los centros de gravedad de figuras desiguales, pero se­mejantes, están situados semejantemente.Si dos pesos están en equilibrio a cierta distancia, enton­ces otros pesos equivalentes a aquéllos también estaránen equilibrio a la misma distancia.El centro de gravedad de una figura cuyo perímetro escóncavo en la misma dirección, está en el interior de la

figura.

Comúnmente se entiende que en los postulados 1,2, 3 Y6 ARQUÍMEDES se refiere a pesos suspendidosde los brazos de una balanza a distancias iguales o de­siguales del punto de apoyo de la balanza. Los brazosde dicha balanza equivalen a una palanca que puedeoscilar sobre su fulcro, como se menciona

tenecen a la mecánica teórica en el sentido más riguro­so, si bien los títulos con los que son conocidos apenasdejan adivinar su contenido. En Sobre el equilibrio delos planos o sobre el centro de gravedad de los planos,ARQUÍMEDES sigue fielmente las pautas axiomáti­cas de EUCLIDES y deriva los teoremas de su teoría apartir de la geometría euclidiana ampliada con los si­guientes

desequilibrio, se derivan otros estados de equilibrio odesequilibrio sin tener en cuenta aspectos dinámicosrelativos al cambio de estados.

Los postulados 1, 2, 3 Y 6, cuyo origen técnico esmanifiesto, representan una caracterización estáticade la balanza, es decir, de las normas básicas que hade satisfacer el artefacto una vez construido.

En las dos primeras proposiciones queda caracteri­zado estáticamente su funcionamiento, es decir, el usode la balanza para determinar la igualdad o desigual­dad de pesos en relación a estados de equilibrio o de­sequilibrio de la misma. Con la demostración delprincipio de la palanca, el cual resume el funciona­miento de la romana y, en general, la acción de la pa­lanca, quedaría reducido el caso considerado m~s

complejo al caso simple, la romana y la palanca a labalanza de brazos iguales.

Así como la geometría teórica comprende teoríassobre formas construibles, la Estática de ARQUÍME­DES inaugura el nuevo dominio teórico acerca de má­quinas 'ideales'. En la prueba del principio de la pa­lanca, los pesos consisten en magnitudes geométricasideales y los brazos de la balanza se entienden comolíneas geométricas, sin peso alguno, que oscilan libresde cualquier tipo de rozamiento y resistencia.

La balanza 'ideal', contemplada por ARQUIME­DES en su teoría no es sólo inmaterial, sino que satis­face además las exigencias formuladas en los postula­dos (que en los procesos de realización técnica sóloson satisfacibles aproximativamente) de forma ideal,es decir, de forma absoluta e insuperable. Dicha ba­lanza no es una simple conjetura, sino que, como ve­remos más adelante, aparece 'usada' explícitamenteen otras de sus obras.

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La base mecánica de las obras de ARQUÍMEDESquedó al descubierto gracias al hallazgo de J.L.HElBERO en el verano de 1906. Éste descubrió enConstantinopla un palimpsesto con un texto del sigloXIII bajo el cual se encontraban escritos pertenecientesa ARQUÍMEDES que habían sido copiados en elsiglo x. El pergamino no había sido raspado, sino só­lo lavado y HElBERO pudo recuperar, con ayuda deuna lupa, un nuevo tratado de ARQUÍMEDES cono­cido como Método de los teoremas mecánicos.

El tratado es de sumo interés, pues revela, en bocadel propio ARQUÍMEDES, el procedimiento de ela­boración de sus teorías. En el encabezamiento de laobra, dirigida a ERATÓSTENES, ARQUÍMEDES ledice

Como sé que eres un estudioso serio, hombre de eminen­te cultura filosófica y un apasionado (de la investigaciónmatemática), he creido conveniente exponerte por escri­to y explicarte con detalle en este mismo libro la natura­leza especial de cierto método que te permitirá resolvermecánicamente algunos problemas matemáticos

En líneas generales el procedimiento en que se basael Método de ARQUÍMEDES se puede caracterizarcomo una pesada ideal de figuras geométricas sec­cionadas idealmente, con el fin de determinar su área,volumen o centro de gravedad. La balanza utilizadaes la balanza ideal de su Estática. La figura ideal, pla­na o sólida, de la que se quiere determinar la superfi­cie o el volumen, se contrapesa con otra de área o vo­lumen conocidos. Para ello se colocan ambas figurasde manera que tengan como diámetro o eje común lamisma línea recta que actúa como los brazos o palan­ca de la balanza. Las figuras son seccionadas por me­dio de planos, generalmente perpendiculares a dicho

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FIGURA3e

D B¡ ¡ 7

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de ésta y el O en el punto medio y colgando del otroextremo A un área P tal que el sistema quede enequilibrio, digo que esta área P es la tercera parte deltriángulo BOC

En la balanza de ARQUÍMEDES, no sólo la palan­ca es una línea geométrica recta desprovista de peso yel punto de apoyo un punto geométrico libre de fric­ción, sino que también los cuerpos que intervienen co­mo pesos tienen un carácter ideal. Se supone que loscuerpos se descomponen en elementos infinitesimalesal ser seccionados por planos paralelos en infinidad deláminas o secciones planas de un grosor que puededisminuir indefinidamente. Además, las relacionesque se establecen entre los ,centros de gravedad de lasseccionesy el de los cuerpos presuponen una homoge­neidad infinitesimal de los mismos, es decir, una den­sidad constante ideal.

De acuerdo con el Método, se trata de ir aproxi­mando mediante elementos infinitesimales el peso delos cuerpos así descompuestos, hasta obtener unequilibrio en condiciones determinadas que permitenla derivación mecánica del teorema. El procedimiento

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sea AOB la palanca horizontal de una balanza con elpunto de apoyo O en su centro. Suspendiendo un trián­gulo BOC rectángulo en O, cuyo lado BO sea igual a lamitad de la palanca, el vértice B en uno de los extremos

eje,en elementos infinitesimales (rectas paralelas en elcaso de figuras planas y planos paralelos en el de sóli­dos) de forma que los centros de gravedad están sobreel eje común.

El método consiste, entonces, en contrapesar ele­mentos infinitesimales de la figura en cuestión con loscorrespondientes (es decir, pertenecientes al mismoplano) de la figura término de comparación. A estefin se opera en la balanza ideal concentrando los ele­mentos de la figura investigada en un punto de la pa­lanca, mientras 'que los de la otra figura actúan sobrediferentes puntos, hasta lograr un equilibrio de formatal que las distancias de los centros de gravedad res­pectivos (o sea, el punto común de aplicación sobre lapalanca de los elementos de la primera figura y el pre­viamente conocido de la otra) al punto de apoyo de labalanza, permiten inferir la relación entre las corres­pondientes áreas o volúmenes. Dada tal relación y elárea o volumen de la figura conocida, queda determi­nado el correspondiente a la otra.

El método puede aplicarse a la inversa, para deter­minar el centro de gravedad de una figura, si son co­nocidos previamente su área o volumen.

En La cuadratura de la parábola dirigida a DOSI­TEO, ARQUÍMEDES le explica que el teorema «lodescubrí primeramente por métodos de la mecánica ylo presenté luego por métodos de la geometría». Endicho tratado, se utiliza repetidamente la balanzaideal en la prueba de teoremas. De esta forma, en laproposición 6,

de exhaución o aproximación sucesiva empleado anti­cipa obviamente la matemática infinitesimal.

La determinación del equilibrio en cuestión presu­pone, por tanto, una balanza con una sensibilidad in­finitesimal, o sea, que satisface los postulados de laEstática de forma ideal, ya que ha de poder reac­cionar a diferencias de peso infinitesimales. Como ob­viamente las realizaciones técnicas sólo pueden satis­facer dichas normas aproximativamente, el métodomecánico de ARQUÍMEDES representa la primerainvestigación operativa mediante experimentos men­tales.

Enla mayor parte de las obras de ARQUÍMEDES,como en las de otros autores clásicos, la presentaciónteórica axiomática encubre los procedimientos opera­tivos originarios, en este caso, la techne ideal del mé­todo mecánico. La razón se puede leer en el preámbu­lo del Método de los teoremas mecánicos:

Estoy convencido de que este procedimiento no es me­nos útil para demostrar los propios teoremas; pues algu­nas cosas primero me resultaron claras mediante el mé­todo mecánico, pero luego hubieron de ser demostradaspor medio de la geometría, porque su investigación pordicho método no proporcionó una demostración pro­piamente dicha.

La derivación mecánica queda limitada al procedi­miento de investigación, mientras que la presentaciónconsiderada rigurosa ha de .tener la forma de una de­mostración apodíctica.

Así, el libro 1 de Sobre el equilibrio de los planos,en el que, a continuación del principio de la palanca,se demuestran por medio de artificiosas pruebas de re­ducción al absurdo de los centros de gravedad de pa­ralelogramos, triángulos y trapecios, viene a ser, se-

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gún todos los indicios, la presentación teórica de losresultados obtenidos en los desaparecidos Elementosde la mecánica, donde los centros de gravedad se de­terminaban operativamente siguiendo el método me­cánico.

De ARQUÍMEDES se conserva otro escrito sobremecánica teórica con el título de Sobre los cuerposflotantes. La obra, que ha llegado hasta nosotros conalgunas modificaciones y huecos, representa el primertratado de hidrostática. La presentación teórica estáestructurada axiomáticamente con un único postula­do fundamental de carácter más bien confuso:

Supongo que la naturaleza de un fluido es tal que, estan­do sus partes continua y uniformemente colocadas, lasmenos comprimidas son desalojadas por las que lo estánmás y cada parte está comprimida por el fluido que haysobre ella según la dirección de la vertical, a no ser que elfluido esté encerrado en alguna parte o comprimido dealguna forma.

Por lo que se infiere de las primeras proposiciones,el punto de partida de las demostraciones consiste enla caracterización de un fluido ideal, perfectamentelibre de presiones y homogéneo, en forma de esfera ycon su centro coincidiendo con el de la tierra, hacia elcual, siguiendo a ARISTÓTELES, se supone quetienden los cuerpos pesados. La esfera fluida se consi­dera dividida en sectores iguales con su vértice en elcentro. En cada sector, las partes situadas a la mismadistancia del centro están sometidas a la misma pre­sión, es decir, el fluido se encuentra en perfectoequilibrio. Si se introduce un sólido en un sector, en­tonces la presión en el mismo aumenta y se transmitehacia abajo en dirección al centro.

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FIGURA4

Dado que la condición de equilibrio en el fluidoideal es permanente, se demuestran, entre otras, las si­guientes proposiciones:

3. Cuerpos sólidos, cuyo peso es igual al del fluido dado un mis­mo volumen, introducidos en el fluido se sumergen hasta queno emerja ninguna parte, pero sin descender más.

4. Un cuerpo sólido más ligero que el fluido, introducido en ésteno se sumerge completamente, sino que una parte del cuerpoquedará por encima de la superficie del fluido.

5. Un cuerpo sólido más ligero que el fluido, introducido en éstese sumerge hasta que el peso del líquido desplazado es igual alpeso del cuerpo.

Una vez probadas las proposiciones 3, 4 Y 5 se de­muestra con su ayuda:

6. Si un cuerpo sólido más ligero que el fluido se sumerge forza­damente en éste, entonces es empujado hacia arriba con unafuerza igual a la diferencia entre su peso y el peso del fluidodesplazado.

7 Un cuerpo sólido más pesado que el fluido, introducido en és­te, desciende hasta .el fondo del fluido y, si se pesa en elfluido, será más ligero que su verdadero peso en un peso igualal del fluido desplazado.

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La formulación moderna del Principio de AR­QUÍMEDES) Todo cuerpo parcial o totalmente su­mergido en un fluido experimenta un empuje ascen­sional igual al peso del fluido desplazado) resume elfuncionamiento del dispositivo hidrostático que secontempla en Sobre los cuerpos flotantes y el cualequilibra automáticamente las presiones de los sólidosinmersos.

Si la Estática de ARQUÍMEDES puede considerar­se como la teoría de la palanca-balanza ideal, median­te la que se pueden determinar comparativamente elpeso de dos cuerpos en relación a determinados esta­dos de la misma, la Hidrostática constituye la teoriza­ción de la balanza hidrostática. No sólo es posible de­terminar, según los estados respectivos de flotación,inmersión a ras de la superficie del fluido o descensoal fondo del mismo, las densidades relativas de loscuerpos respecto a la del fluido, sino que se pueden fi­jar comparativamente tanto las densidades de diferen­tes fluidos en relación a un mismo cuerpo flotante,como las de cuerpos cualesquiera entre sí, mantenien­do el fluido constante.

El origen técnico de la teoría hidrostática, como elde la estática, no es único, quedando integradas diver­sas technai en el tratamiento teórico. Una de sus pro­cedencias viene ilustrada por el famoso episodio en elque se relata cómo el mismo ARQUÍMEDES, encar­gado por el tirano de Siracusa HIERON de compro­bar la autenticidad de una corona de oro, descubrióque había sido mezclada fraudulentamente una deter­minada proporción de plata. La determinación de lapureza de los metales preciosos y de las proporcionesde los componentes en aleaciones, era una cuestióntécnica de gran importancia, sobre todo desde la

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introducción como medio de cambio de la moneda depeso y pureza garantizados. Mediante el procedimien­to de la balanza hidrostática, consistente en pesar loscuerpos sumergidos en el agua o, equivalentemente,pesar el agua desplazada por los mismos y restardicho peso del peso correspondiente al cuerpo en elaire, es posible identificar los cuerpos por su pesoespecifico y determinar las proporciones de aleacionesdadas.

Alquimistas y físicos árabes perfeccionaron y utili­zaron sistemáticamente la balanza hidrostática, lla­mada mizem al-ma J

, para determinar con exactitud lospesos específicos y hallar la composición de ale­aciones mediante tres pesadas (de la aleación y de losmetales puros) y la resolución de determinadasecuaciones.

Otro instrumento que representa una variante de labalanza hidrostática fue usado por antiguos alquimis­tas para determinar el peso específico de fluidos. Setrata del aerómetro o tubo cilíndrico de bronce mar­cado con una escala y cerrado con un contrapeso enuno de sus extremos, de manera que flote vertical­mente y se pueda constatar la profundidad de la in­mersión en el fluido.

La relación de la Hidrostática con la construcciónde embarcaciones es bastante obvia. Se sabe que losgriegos, poseedores durante mucho tiempo de un granpoderío marítimo, fueron excelentes constructores debarcos, tanto de transporte como de guerra. Aunquede su techne naval, al igual de las demás technai arte­sanales, apenas hay testimonios escritos, de los resul­tados de la misma se desprende que dominaron per­fectamente los problemas de flotación, desplazamien­to y estabilidad de las naves.

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Los dos libros que componen Sobre los cuerpos flo­tantes se centran en el tratamiento de los cuerpos conmenor peso específico que el fluido. En el libro 1 seprueba teóricamente (proposición 5) que el peso delvolumen de fluido desalojado o desplazamiento y elpeso del cuerpo flotante son iguales. De dicha igual­dad se deriva, en la primera proposición del libro II,la igualdad de la relación entre la parte sumergida y elcuerpo entero (determinante de la línea de flotación) yla relación entre el peso específico del cuerpo flotantey el del fluido.

Si tomamos para el peso específico del fluido un va­lor constante igual a la unidad (suponiendo, p. ej.,que se trata de agua), tenemos inmediatamente que larazón de la parte sumergida al cuerpo entero es igualal peso específico del cuerpo en cuestión. Es decir,que dado un volumen constante, a mayor peso mayores la parte sumergida y, para un peso determinado,cuanto mayor es el volumen menor es la parte sumer­gida, lo cual era, sin duda alguna, técnicamente cono­cido en los astilleros de la época en forma de reglasoperativas de proporcionalidad.

El resto del segundo libro se ocupa fundamental­mente de la estabilidad de los cuerpos flotantes. Paraello se ha introducido previamente un segundo postu­lado, en el que se establece «que los cuerpos que, su­mergidos en un fluido, son empujados hacia arriba,ascienden en la dirección de la vertical [a la superficie]que pasa por su centro de gravedad».

La estabilidad de los cuerpos flotantes depende ob­viamente, además de su peso específico, de su forma.La figura a la que ARQUÍMEDES dirige su atenciónes un segmento recto de paraboloide de revolución, osea, una figura generada por una parábola que gira en

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calmente sobre el centro de gravedad H y el peso de laparte emergida ejerce un empuje también vertical ha­cia abajo sobre el centro de gravedad G (fig. 5). Deuna forma parecida, se determina actualmente el me­tacentro de un barco, cuya posición por encima, coin­cidente o por debajo del centro de gravedad de la navecondiciona, respectivamente, la estabilidad, labilidado inestabilidad de la misma.

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B'

FIGURA 5A

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Según relatan LUCIANO y GALENO (s. Il), AR­QUÍMEDES «incendió los trirremes del enemigo me­diante technai», supuestamente consistentes en siste­mas de espejos cóncavos. Además de sus legendariasrealizaciones en techne óptica, se atribuye a AR­QUÍMEDES un tratado de Catóptrica o teoría de es­pejos actualmente desaparecido, pero que debió con­servarse durante bastante tiempo ..

La techne óptica se remonta a épocas muy ante­riores y era practicada en todas las grandes culturas de

Dado un segmento recto de una paraboloide de revolucióncuyo eje AN es una vez y media mayor que el semiparámetrop y la razón de su peso al de un volumen igual de fluido no es

3pmenor que (AN - __)2 : AN2, si el segmento

2es abandonado en el fluido con su eje en una posición inclina-da cualquiera, pero sin que su base BB' toque la superficiedel fluido QQ' , el segmento no quedará inclinado, sino quese colocará verticalmente.

torno a su eje de simetría. En las demostracions secontempla la figura seccionada por un plano perpen­dicular a la superficie del fluido que, en este caso, seconsidera plana. Dicho plano de sección corta al seg­mento según una parábola, figura que correspondeasimismo a la sección transversal del casco de unanave.

La estabilidad del segmento flotante puede caracte­rizarse como la capacidad de retornar a la posiciónvertical, es decir, con su eje perpendicular a la superfi­cie del fluido, una vez se ha inclinado apartándose dedicha vertical. ARQUÍMEDES trata diversas condi­ciones de la estabilidad o inestabilidad del segmento,como su forma (determinada por la relación entre sueje y el semiparámetro de la parábola generadora), larazón de su peso específico al del fluido y distintas po­siciones del cuerpo flotante en el fluido.

En la proposición 4 se demuestra, p. ej., que

La cuestión de la estabilidad o inestabilidad de unsegmento, considerado idealmente homogéneo y da­das sus características de forma geométrica, pesoespecífico y posición en el fluido, se resuelve en fun­ción de los centros de gravedad R del cuerpo, H delfluido desplazado o, equivalentemente, de la parte su­mergida y G de la parte emergente. Para ello, se consi­dera que el empuje hacia arriba del fluido actúa verti-

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la antigüedad. Los espejos más antiguos que se cono­cen datan de - 2.000. Famosos y muy apreciadosfueron los espejos de bronce pulido construidos porlos etruscos hacia el siglo - VI. En la época romana seemplearon también espejos de cristal y obsidiana. EnChina se conocían los espejos de bronce finamentepulimentados desde el siglo - VII, los cuales se usaronoriginariamente con fines mágicos y luego para latoilette.

Los mayas fabricaban pequeños espejos de piedracon vetas de mineral pulimentando la superficie metá­lica. En la América precolombina, los olmecas(- 800/ - 400) emplearon espejos cóncavos de mag­netita para producir fuego en ocasiones especiales.Garcilaso de la Vega relata cómo en los festejos incasen honor del Sol, los sacerdotes encendían finashebras de lana con la ayuda de espejos cóncavos demetal pulimentado.

Los espejos ustorios eran también conocidos en lasantiguas culturas mediterráneas. Según PLINIO(23/79) «supera todos los prodigios el hecho de quepase un día sin que el mundo se consuma en llamas.Ya que los espejos cóncavos dirigidos hacia el Solinflaman con sus rayos más fácilmente que cualquierotro fuego».

Otro procedimiento óptico conocido antiguamentepara encender fuego, consistía en concentrar los rayossolares mediante cristales ustorios en forma de lentes.En Nínive y Troya se han encontrado tales lentes decristal de roca pulimentado y en la comedia Las Nu­bes de ARISTÓFANES (- 445/ - 385) se mencionaun cristal de roca con el que se puede prender fuego.En las antiguas India y China se sabía, igualmente,que era posible encender fuego utilizando cristales us-

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torios y parece ser que este procedimiento se extendiócon el budismo.

Hacia mediados del siglo primero, PLINIO descri­be una bola de cristal llena de agua, mediante la quese podían inflamar ropajes. Su contemporáneo SÉ­NECA (4/63) refiere la utilización de dicho globo,que también fue conocido por los antiguos griegos,como lente de aumento.

La teorización de la techne óptica es, al igual que lade las demás technai, característicamente geométrica.La primera obra de óptica teórica conocida se debe aun gran geómetra y sistematizador teórico, EUCLI­DES. Su Optica es un tratado elemental que no se re­fiere a la techne óptica de espejos o lentes, sino a la

. techne óptica no instrumental relacionada con laescenografía y la pintura. Con el gran desarrollo delteatro en la época clásica, surgen procedimientos téc­nicos de montaje escénico y de realización de decora­dos. Algunos geómetras como ANAXÁGORAS'( - 496/ - 428) y DEMÓCRITO (- 460/ - 370) seocuparon de los procedimientos escénicos y fueronpublicados tratados teóricos de perspectiva hoy desa­parecidos. En la obra de EUCLIDES se formulanreglas generales que el escenógrafo y el pintor debenseguir para obtener los efectos deseados.

Como cabía esperar, la presentación teórica de laóptica euclidiana es axiomática y parte de una serie dedefiniciones, en realidad postulados o supuestos teóri­cos, como

1. Que los rayos rectilíneos procedentes del ojo divergen indefi­nidamente.

2. Que la figura contenida por un conjunto de rayos visuales esun cono cuyo vértice está en el ojo y la base en la superficie delos objetos vistos.

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3. Que se ven aquellas cosas sobre las que inciden rayos lumino­sos y no se ven aquellas sobre las que no inciden rayos lumi­nosos.

4. Que las cosas vistas bajo un ángulo mayor en el vértice del co­no aparecen mayores, las vistas bajo un ángulo menor apare­cen menores, y bajo ángulos iguales aparecen iguales.

En 1 Y 3 se asume la tradición platónica, según lacual la visión se debe a los rayos luminosos que, pro­cedentes del ojo, inciden sobre los objetos. La geo­metrización consiste en suponer que los rayos visualesse propagan como líneas rectas divergentes con unorigen común en el ojo y en relacionar la magnitud delobjeto que aparece en la visión con la amplitud angu~

lar en el vértice del cono visual.Partiendo de las siete 'definiciones' iniciales se de­

muestran geométricamente hasta cincuenta y ochoproposiciones, entre las que se encuentran algunasque corresponden a la teorización de procedimientosbásicos de escenografía y pintura, como p. ej.

PII. De magnitudes iguales situadas a distancia, las más cercanasse ven más claramente.

PV. Magnitudes iguales situadas a diferentes distancias del ojoaparecen desiguales, y las más cercanas aparecen mayores ...

Otras proposiciones, en cambio, tienen un caráctermás operativo y menos trivial, como la proposicióncuarenta y ocho:

Encontrar puntos desde los que una magnitud aparezca la mi­tad o un cuarto de su tamaño o, en general, cualquier frac­ción en la que se pueda dividir el ángulo.

Desaparecido el tratado de ARQUÍMEDES, la Ca­tóptrica de HERON DE ALEJANDRÍA (fl. 62) es lateoría de espejos más antigua que se conoce. HERONmantiene el supuesto teórico de la propagación

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rectilínea de los rayos visuales y supone que su veloci­dad es infinitamente grande. Dichos rayos se reflejanal incidir sobre la superficie de cuerpos pulimentadoscomo son los espejos. Basándose en estos supuestos seprueban varios teoremas referentes a espejos planos,cóncavos y convexos. Uno de ellos enuncia la igual­dad de los ángulos de incidencia y de reflexión respec­to a la perpendicular al espejo en el punto de inciden­cia, por ser éste el camino más corto entre el ojo y elobjeto vía espejo. De los espejos cóncavos, en contra­posición a los planos, se prueba que los rayos refleja­dos convergen.

El talante ingenieril de HERON se pone de mani­fiesto en una serie de teoremas en los que, más queenunciados teóricos se formulan procedimientos parala construcción y uso de dispositivos ópticos com­puestos de espejos planos y esféricos.

Así como el Almagesto representa la recopilaciónsistemática de la astronomía teórica de su época, laOptica de PTOLOMEO recoge los desarrollos teóri­cos correspondientes a las diversas technai ópticas ylo's presenta sistemáticamente como una óptica de­mostrativa a partir de principios generales.

La obra original constaba de cinco libros, de loscuales faltan el primero y el final del quinto. Los dosprimeros de Optica gen"eral, trataban los principiosgenerales de la visión y la perspectiva, correspondien­tes a la techne pictórica y escenográfica.

Los libros III y IV constituyen un tratado de Ca­tóptrica dedicado a los espejos planos,. esféricos ycilíndricos y el V contiene la Dióptrica o teoría de len­tes en general, es decir, medios transparentes pe­netrables por los rayos visuales.

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Los efectos visuales producidos por instrumentosópticos se teorizan como alteraciones geométricas delos rayos visuales. En los espejos, los rayos rebotan(reflexión) y en los medios transparentes penetran, pe­ro son desviados (refracción). El principio general dela teoría de los espejos establece la igualdad de los án­gulos de incidencia y reflexión para todo tipo de espe­jos. En Dióptrica, en cambio, los efectos varían segúnlos distintos medios.

El dispositivo óptico del que parte la teorizacióndióptrica produce un efecto visual que era muy cono­cido. Se trata de una vasija de forma semiesférica encuyo fondo se coloca una moneda de modo que desdeuna determinada posición del ojo no es observable,por impedirlo el borde del recipiente. Si éste se llenacuidadosamente de agua, la moneda aparece visibleen un punto por encima de su localización real sin queel observador haya cambiado de posición.

AB

L H.........-:= \Z

ED~\7 /FIGURA 6G"

Según PTOLOMEO,,

Si el ojo está situado en el punto A ... Yla moneda sobre elpunto O (fig. 6) en la parte inferior de la vasija, la moneda noserá visible mientras la vasija permanezca vacía. La razón esque la porción de la vasija por debajo del punto B bloquea el

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rayo visual que podría prolongarse hasta la moneda. Perocuando se ha echado suficiente agua en la vasija, de formaque llegue hasta el nivel ZHE, entonces el rayo ABH se incli­na en la dirección OH, por debajo de la prolongación de AH.En este caso, la posición de la moneda parecerá estar en laperpendicular de G a EH, es decir, sobre LKG que se cortacon AHD en K.

K es precisamente el punto en que aparecerá visiblela moneda.

El correspondiente principio teórico establece deforma general que los rayos visuales rectilíneos sedesvían al pasar a través de medios distintos al mediodel que proceden. La desviación tiene lugar en la su­perficie que delimita dos medios de distintas densida­des. Al pasar de un medio a otro más denso, el rayovisual experimenta una inclinación hacia la perpendi­cular en el punto de incidencia.

La óptica ptolomaica no se contenta con derivar elefecto dióptrico tradicional. PTOLOMEO modificael dispositivo óptico incorporando un disco de bronceen el que se ha trazado un círculo ABGD (fig. 7) consu centro E y dos diámetros AEG y BED formandoángulos rectos. Los cuadrantes están graduados engrados de circunferencia y el centro señalizado conuna marca de color. El disco se introduce en la vasijacon agua, de forma que quede con su diámetro AEGperpendicular a la superficie del líquido y el nivel deéste alcance justamente la altura del diámetro DEcubriendo toda la parte DGB del disco. Una vez dis­puesto el disco de la forma indicada, se toma un arcode una determinada medida, p. ej. AZ, en uno de losdos cuadrantes que permanecen por encima del niveldel agua, señalando también Z con una marca colo­reada. A continuación se visa con un ojo las marcas Z

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Adaptando al disco anteriormente descrito unsemicírculo de cristal, PTOLOMEO elabora tablas derefracción similares para los medios aire/vidrio yagua/vidrio. Las tablas dióptricas se teorizan conside­rando que al pasar de un medio a otro más denso, elrayo visual experimenta una inclinación hacia la per­pendicular en el punto de incidencia, mientras que enel paso a un medio menos denso el rayo se aparta de laperpendicular. Aunque no se da una definición preci­sa de densidad, se establece el principio general de laDióptrica, según el cual la diferencia de los ángulos deincidencia y refracción es tanto mayor, cuanto mayores la diferencia entre las densidades de los medioscorrespondientes.

La relación entre techne' y theoria ópticas se ponede manifiesto de forma patente en dos tratados de Ca­tóptrica sobre espejos ustorios. Se trata de Sobre es­pejos ustorios del geómetra DrOCLES (s. - II), obradesaparecida durante la Edad Media pero accesibleactualmente en una traducción reciente del árabe, y defragmentos incompletos de Sobre mecanismos para-

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Con las tablas de refracción ptolomaicas aparece enla óptica clásica un componente operativo que estáclaramente en la tradición de las tablas astronómicasbabilónicas tan familiares al astrónomo PTOLO­MEO. Los procedimientos de elaboración de tablasnuméricas se transfieren de la observación astronómi­ca a la constatación de efectos producidos por dispo­sitivos controlables especialmente construidos con es­te fin. PTOLOMEO introduce una óptica operativaaritmética que rebasa la techne óptica cualitativa tra­dicional y es asimismo objeto de teorización geomé­trica.

FIGURA 7

Si AZ es 10°, OH será 8°Si AZes 20°, OH será 15Vz °Si AZ es 30°, OH será 22Yí °Si AZ es 40° , OH será 29°Si AZ es 50°, OH será 35°Si AZ es 60°, OH será 40 Yí °Si AZ es 70°, OH será 45 Yí °Si AZ es 80°, OH será 50°

o I .'-j"c lB

G

A

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y E de forma que aparezcan ambas sobre la línea rectavisual, moviendo al mismo tiempo la punta de una fi­na varilla a lo largo del arco OD del cuadrante opues­to que está sumergido, hasta que el extremo de la va­rilla aparezca en el punto del arco que está en la pro­longación de la línea que une los puntos Z y E. Si semide el arco entre el punto O y el punto H, en el cualaparece el extremo de la varilla en recta visual, sepuede constatar que OH es en todos los casos menorque el arco AZ. Es decir, que si trazamos las líneas ZEy EH, tenemos que el ángulo de incidencia AEZ essiempre mayor que el ángulo de refracción OEH.

Tomando para AZ diversos valores que van de 10°a 80° con intervalos de die.z grados, PTOLOMEO ela­bora la siguiente tabla con los valores correspondien­tes de OH:

dójicos del matemático, ingeniero y arquitecto bizan­tino ANTEMrO (t c. 534).

Ambos autores 'quieren dejar claro el carácter teóri­co de su obra, en contraposición a un tratamiento pu­ramente técnico. ANTEMro comenta:

Dado que los antiguos hacen referencia a espejos ustorios deltipo usual, de cómo hay que realizar la construcción de suscontornos, sin presentar ninguna prueba geométrica de ello,sino sólo de una forma más bien mecánica, habiendo dichoque eran seccione,'> cónicas de cierto tipo, pero no de qué tiponi cómo se generaban, vamos nosotros a intentar, por tanto,presentar las construcciones de tales contornos y no sinprueba, sino confirmadas por medio de métodos geométri­cos.

El impulso inicial para realizar su obra, cuentaDrOCLES, se debió al astrónomo ZENODORO(s. - II), quien en una visita a Arcadia <mas preguntócómo encontrar una superficie de espejo tal que si sela sitúa frente al sol, los rayos reflejados por la mismaconvergen en un punto y causan así la ignición».

El mismo DrOCLES advierte que, de hecho, elproblema de la construcción de espejos ustorios habíasido resuelto operativamente por DOSrTEO (s. - III)y, en el curso de la obra, hace referencia a instrumen­tos ustorios de cristal en forma de lámparas, mediantelas que se encendían en algunos templos el fuego delos sacrificios, causando el estupor de los asistentes.

La techne óptica de la construcción y uso de espejosustoríos era, por tanto, conocida. La aportación queDrOCLES y ANTEMrO preténden realizar es, preci­samente, el tratamiento geométrico riguroso, es decir,la teorización de la misma.

En la primera proposición de Sobre espejos usto­rios, se demuestra geométricamente que la curva cón-

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cava parabólica tiene las propiedades de reflejar losrayos incidentes paralelos a su eje a través de un deter­minado punto del eje.

Sin embargo, tanto DrOCLES como ANTEMrO,no se limitan a las demostraciones teóricas, sino quese ocupan de la construcción y el diseño de instrumen­tos ópticos concretos con determínadas caracterís­ticas. Así, DrOCLES se plantea «¿cómo configura­mos la curvatura de un espejo ustorio si queremos queel punto en el que tiene lugar la ignición esté a una dis­tancia dada del centro de la superficie del espejo?».Como respuesta ofrece una serie de indicaciones geo­métricas operativas para el diseño del espejo parabóli­co en cuestión, demostrando, acto seguido, la ade­cuación del procedimiento indicado.

Las instrucciones y normas formuladas en conexióncon enunciados teóricos por DrOCLES y ANTEMrOen sus tratados de Catóptrica, forman parte de unnuevo tipo de técnica emergente. A diferencia de latechne tradicional cualitativa y aproximada, la nuevatécnica ingenieril que se deriva de la teorizacióngeométrica de la primera, se caracteriza por el trata­miento preciso, el diseño geométrico y la justificaciónteórica de los procedimientos.

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6. CIENCIA CLÁSICA

La geometría, la astronomía, la óptica y la mecáni­ca (estática e hidroestática) se consideran como lasciencias clásicas fundamentales.

Es innegable que los griegos alcanzaron conoci­mientos biológicos considerables en zoología, botáni­ca, anatomía y fisiología. Sin embargo, tanto enbiología como en medicina, materias en gran parteestrechamente ligadas, no se llegó a una teorizaciónsimilar a la de las disciplinas mencionadas. De hecho,los antiguos griegos consideraron la medicina básica­mente como una techne. Aunque se intentó sistemati­zar los conocimientos biológicos en el marco de undiscursos teórico explicativo de origen filosófico, loslogros más significativos en biología fueron de carác­ter clasificatorio y descriptivo.

En su clasificación de la ciencias exactas PROCLO(410/485) menciona la Armonía o teoría matemáticade la música, ~e la que se ocuparon grandes teóricos.como EUCLIDES y PTOLOMEO. Los tratados dearmonía representan uno de los intentos de teoriza-

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ción de la techne del canto y la interpretación instru­mental, a la que PLATÓN llamó «música popular».La techne musical fue muy estimada en Grecia, dondeexistieron diversas escuelas musicales y los construc­tores de instrumentos de música alcanzaron gran fa­ma por su habilidad. El desarrollo y la transmisión delsaber relativo a la composición e interpretación musi­cales y a la fabricación de instrumentos se realizabanen el marco de una tradición puramente operativa.

El punto de partida de la música teórica es la Es­cuela Pitagórica. Los pitagóricos habían relacionadoel tono emitido por un monocordio con la longitud dela cuerda vibrante. Los distintos tonos se producen alvariar la longitud de la cuerda o, respectivamente, deltubo en los instrumentos de viento.

Si se parte del tono básico correspondiente a la lon­gitud total de la cuerda, que se considera igual a launidad, se pueden expresar los demás tonos con susrespectivos intervalos musicales como razones numé­ricas entre las correspondientes longitudes de cuerda.Tomando, p. ej., c como tono básico, la Y2 de la cuer­da corresponde a la octava c I o tono cualitativamentesimilar. Entre ambos se pueden determinar una seriede tonos intermedios formando una escala. En la es­cala diatónica los tonos f y g corresponden a las pro­porciones 3/4 y 2/3. Los correspondientes intervalos decuarta y quinta se caracterizan por estar en armoníacon el tono básico.

En los estudios de armonía se trataban las propor­ciones numéricas que correspondían a los diferentesintervalos de las varias escalas o modos griegos, asícomo las relaciones de armonía entre los mismos. Lasteorías matemáticas de la música no llegaron a alcan-

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zar gran relevancia técnica, dando lugar a plantea­mientos teóricos distintos de los pitagóricos.

La matemática griega estuvo dominada por lageometría, que absorbió la aritmética o teoría de nú­meros. Respecto a las demás ciencias fundamentales,la geometría suministró tanto el modelo de sistemati­zación teórica, como la base formal geométrica y,sobre todo, les confirió el carácter ideal de los trata­mientos teóricos.

Como se ha señalado anteriormente, los objetosideales de la geometría teórica son formas homogé­neas fundamentales construibles mediante procesosde realización técnica. Las realizaciones técnicas ori­ginarias son previas al proceso de teorización (larueda y la pirámide son anteriores a la geometríateórica) y presentan propiedades características y unafunción o empleo determinados. La teorización geo­métrica se centra en las propiedades formales, es de­cir, en la techne de configuración, abstrayendo de laspropiedades materiales y de la función.

La propiedades formales corresponden a la concep­tualización de determinadas exigencias de homoge­neidad cuyo cumplimiento es el resultado de la reali­zación técnica conforme a un proceso de configura­ción. La techne configurativa puede conceptualizarsecomo normas de construcción mediante un proceso deexhaución o aproximación sucesiva (potencialmenteinfinita) en la realización de tales exigencias.

Las realizaciones técnicas concretas cumplen lasexigencias de un modo más o menos aproximado, quedetermina su mayor o menor perfección. Los objetosideales o formas, en cambio, representan una realiza­ción inmejorable, o sea, la satisfacción absoluta de lasexigencias formales. La geometría teórica consiste en

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la theoria de dichas formas homogéneas fundamenta­les, en la que se derivan propiedades y relaciones delas mismas como enunciados generales teóricos. Talesenunciados constituyen la versión teórica de las reglasde procedimiento de la geometría operativa, según seha mostrado en el capítulo cuarto.

La propiedad formal de superficie plana,' p. ej.,corresponde a la exigencia de homogeneidad o indis­tinguibilidad de sus puntos. En el caso del ladrillo,dicha prOpiedad se va realizando técnicamente de for­ma progresiva a lo largo del mencionado proceso his­tórico de configuración.

La realización de formas homogéneas fue funda­mental para la techne óptica y sigue siéndolo para latécnica actual. En la techne de espejos la realizaci6nde la superficie plana es determinante de la fidelidadde la imagen. Así, los antiguos espejos de cristal sinpulimentar de la época romana distorsionaban la ima­gen por no ser suficientemente planos. El pulimentode los espejos planos incluía el proceso de configura­ci6n plana.

En la actualidad, el procedimiento técnico de preci­si6n consiste en pulimentar mutuamente tres placassuperpuestas en paralelo. El pulimento de superficies6pticas curvas no ha variado básicamente desde la an­tigüedad. Las lentes de cristal se pulen preferentemen­te a mano o con dispositivos mecánicos que reprodu­cen la irregularidad manual al mover un fragmento decristal sobre un bloque ahuecado. Cuanto más pro­longado es el proceso del pulimento, más acentuadaes la curvatura que realiza la homogeneidad propia delas superficies esféricas.

Para la geometría es te6ricamente irrelevante el ma­terial en el que pueden estar realizadas las formas. La

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teoría geométrica se limita a las propiedades formalesy abstrae de las demás características. Para la óptica.en cambio, son relevantes, además de las formas geo­métricas, las propiedades materiales propias de los ar­tefactos 6pticos. Pues, evidentemente, los efectos óp­ticos producidos mediante el empleo de dichos obje­tos no dependen únicamente de sus propiedades for­males. Los espejos metálicos de tocador etruscos, p.ej., famosos por la nitidez de su imagen, no se carac­terizaban s6lo por la propiedad formal de superficiesplanas, sino también por la propiedad material, co­múna todo tipo de espejos, de estar homogéneamentepulimentados.

La propiedad formal característica de los espejosustorios, cuya funci6n consiste en inflamar materialescombustibles, es la de superficies c6ncavas parab6li­caso Los objetos 6pticos tratados en la Dióptrica pre­sentan, a su vez, como propiedades materialescaracterísticas, la transparencia y la densidad homo­géneas propias de las lentes.

Así como las propiedades formales corresponden aprocesos de configuraci6n según determinadas exi­gencias de homogeneidad, las propiedades materialesrepresentan la conceptualizaci6n correspondiente aexigencias adicionales de homogeneidad que se reali­zan mediante procesos técnicos, dadas determinadascaracterísticas del material.

En las technai constructivas, la realizaci6n de pro­piedades materiales determinadas depende tanto delproceso de producci6n como de las cualidades inhe­rentes del material empleado. No cualquier materiales, p. ej., adecuado para obtener una superficie espe­cular.

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Las realizaciones de la techne 6ptica satisfacen enmayor o menor grado las exigencias de homogeneidadformal y material características de un determinadoobjeto 6ptico. Sin embargo, la imperfecci6n de lasrealizaciones no fue 6bice para que la 6ptica te6ricaclásica alcanzara resultados precisos. Al igual que lageometría, la theoria 6ptica trata, en último término,de realizaciones 6pticas ideales.

La caracterizaci6n te6rica de las exigencias de ho­mogeneidad material que los objetos ideales satisfa­cen absolutamente, se formula en forma de principiosgenerales tales como el de la reflexi6n homogénea (esdecir, la igualdad de los ángulos de incidencia y refle­xi6n) en todos sus puntos para los espejos y el de larefracci6n homogénea para las lentes.

A partir del supuesto te6rico de la satisfacci6n idealde las propiedades formales y materiales se derivan,en la theoria 6ptica, teoremas que enuncian te6rica­mente la realizaci6n 6ptima de la funci6n correspon­diente. Así, en el tratado Sobre los espejos ustoriosde DIOCLES se prueba, en el supuesto de una formac6ncava parab6lica ideal, la convergencia de los rayosreflejados en un punto del eje. Este teorema expresate6ricamente la propiedad de los espejos ustorios deencender a distancia materias inflamables.

Se podría decir que las propiedades operativas delos instrumentos 6pticos se derivan te6ricamente desus propiedades formales y materiales, o sea, la fun­ci6n 6ptima de la realizaci6n ideal. Las dos vertientesde la techne 6ptica, construcci6n y uso, quedan l6gi­camente interrelacionadas en la 6ptica te6rica.

En la estática clásica se puede constatar el mismoesquema de conceptualización-idealización-teoriza­ción que en la 6ptica. Las propiedades formales y ma-

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teriales conceptualizan exigencias de homogeneidadcuya realizaci6n representa procesos operativos deconstrucci6n por aproximaci6n sucesiva. Del supues­to te6rico de objetos ideales que satisfacen dichas exi­gencias al límite, técnicamente inalcanzable, se deri­van en la teoría sus propiedades operativas que carac­terizan una funci6n 6ptima.

En la teoría de ARQUÍMEDES, las propiedadesformales y materiales de la balanza ideal vienen dadaspor exigencias, más o menos implícitas en los postula­dos, de homogeneidad geométrica (se consideran losbrazos de la balanza una línea recta inmaterial y elfulcro un punto geométrico ...) y otras condicionesideales como densidad homogénea, rigidez ilimitada,oscilaci6n completamente libre de rozamiento y sensi­bilidad potencialmente infinita. Las propiedades ope­rativas se derivan en forma de proposiciones a partirde los P9stulados.

La conceptualizaci6n geométrica de las technai enlas ciencias clásicas repercute directamente en la técni­ca. La relevancia técnica de las teorías radica en la de­rivaci6n te6rica, a partir de la caracterizaci6n ideal deartefactos, de condiciones que éstos han de satisfaceroperativamente y pueden traducirse en exigencias alproceso técnico de realizaci6n.

La utilidad de los teoremas para el perfecciona­miento de la realizaci6n técnica se pone claramente demanifiesto en el tratado de DIOCLES, en el que, co­mo se ha expuesto anteriormente, se deriva te6rica­mente el disefio de espejos parab6licos con el centrode ignici6na'una distancia predeterminada.

El tratamiento te6rico de la relaci6n entre construc­ci6n y uso permite, inversamente, derivar del supues­to de una funci6n 6ptima exigencias ideales a la reali-

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zación que posibilitan su perfeccionamiento técnico.Como resultado de la teorización científica surge en

el dominio de las technai constructivas la nueva técni­ca ingenieril. A diferencia de las technai artesanalesoriginarias, aproximativas y basadas en reglas y pro­cedimientos que se transmiten de forma puramenteoperativa y oral, la nueva técnica se caracteriza por lamedición y el diseño geométrico, por un tratamientomás preciso, la sistematización y la interpretación teó­ricas de las materias técnicas, cuya transmisión em­pieza a ser conceptual y escrita.

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7. FILOSOFÍA, CIENCIA YTÉCNICA SIMBÓLICA

El auge de la ciencia clásica coincide con un declivede la filosofía griega, por lo que desde un cierto puntode vista se ha querido considerar este período como dedecadencia general.

La nueva época se inicia con la fundación deAlejandría en - 322 por ALEJANDRO MAGNO,tras su conquista de Egipto. A la muerte de ALE­JANDRO, ocurrida en - 323, se proclama rey deEgipto el general PTOLOMEO, quien, al poco tiem­po, establece el famoso Museo de Alejandría. Haciamediados del siglo - III han confluido en el Museo losmás importantes sabios de la época y el centro intelec­tual se ha desplazado de Atenas a Alejandría. Estecambio no es puramente geográfico, sino que se fl?ani­fiesta en una nueva orientación del saber teórico.

La culminación de la teorización filosófica clásicase alcanza, indudablemente, con el sistema de ARIS­TÓTELES. La sistematización teórica aristotélicaparte de principios formulados en términos funda­mentalmente cualitativos, es decir, ajenos a la medi­ción y al cálculo, y no presenta una forma demostrati­va rigurosamente axiomática. ARISTÓTELES teori-

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zá la techne común de la vida ordinaria, en contrapo­sición a las technai instrumentales especializadas queson objeto de la teorización científica clásica.

La física aristotélica integra en una teoría filosóficageneral o superteoría, teorizaciones de diversas tech­nai. En el ámbito de la astronomía, ARISTÓTELESse basa en la teoría de EUDOXO con algunas modifi­caciones y mayor número de esferas. La dinámicaaristotélica da razón del movimiento de los planetasen la medida que 'superteoriza' la cinemática planeta­ria de EUDOXO, con lo que ésta resulta derivable dela primera.

Al tratar el movimiento local de los cuerpos inani­mados, ARISTÓTELES distingue el movimiento na­tural o motus secundum naturam y el movimientoviolento o motus praeter naturam. El movimiento na­tural viene determinado por la composición respectivade los cuerpos a partir de los cuatro elementos funda­mentales, tierra, agua, aire y fuego, y la disposiciónde éstos en el espacio sublunar en forma de capas esfé­ricas concéntricas. La Tierra ocupa la posición centraly a su alrededor, progresivamente hacia afuera, se en­cuentran los demás elementos, agua, aire y fuego.

Los cuerpos tienden espontáneamente a ocupar sulugar natural, es decir, el lugar del elemento que pre­domina en su composición. En el ámbito infralunar seda el movimiento natural de los graves (con predomi­nio del elemento tierra) que es rectilíneo hacia elcentro del mundo y el de los cuerpos livianos (como elhumo, en el que predomina el elemento fuego) quetambién es rectilíneo, pero en sentido contrario haciala periferia. El movimiento natural de los cuerpos ce­lestes en el espacio supralunar, en cambio, es circular

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y uniforme, debido a que están compuestos de un ele­mento distinto, la quintaesencia.

En la teoría aristotélica del movimiento no naturalo violento, se distingue el desplazamiento de cuerpospesados mediante una acción continua de arrastre oempuje y su lanzamiento. La conceptualización delmovimiento se formula en los términos filosóficos depotencia y acto. Según ARISTÓTELES, el movimien­to, en su sentido más general, consiste en el paso delser potencia al ser actual (motus est actus entis in po­tentia secundum quod in potentia est). La variaciónque experimenta un ser en el movimiento local es elcambio de lugar.

Uno de los principios filosóficos fundamentales dela física aristotélica establece que todo movimiento(motus) precisa de un impulsor (motor). En los seresvivientes el motor que impulsa su movimiento es in­manente a los mismos, la propia alma. El movimientoviolento de los cuerpos inanimados, por el contrario,requiere un impulsor exterior continuo. El motor de­be estar en contacto directo con el móvil (motor con­junctus), dado que se excluye la acción a distancia.

En el movimiento producido por arrastre o empujecontinuos, el motor permanece en conjunción con elcuerpo, como en el caso de un barco tirado por unequipo de arrastre. En el lanzamiento de un cuerpo(projectum), éste está, en una primera fase, en contac­to con el impulsor (projector), pero tras el disparo seconvierte en un projectum separatum, o sea, un pro­yectil desconectado del motor. El requisito de un mo­tor conjunto se satisface al transmitir el projector lacapacidad motora (virtus movens) al inedio en el quetiene lugar el desplazamiento del proyectil. Dicha ca­pacidad se va transmitiendo sucesivamente al sector

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del medio que permanece en contacto con el móvil,pero va debilitándose progresivamente hasta que cesade impulsar el movimiento violento. En tal circuns­tancia, el proyectil inicia, como última fase de su tra­yectoria, el movimiento natural de caída propio de losgraves que finaliza con la situación de reposo al tocartierra.

La física de ARISTÓTELES, sin embargo, no se li­mita a principios teóricos generales o interpretacionesfilosóficas. En el tratamiento del movimiento local seformulan relaciones teóricas en términos de caráctercuantitativo. Así, p. ej., se establece que una fuerzaconstante actuando sobre un cuerpo, le imprime unmovimiento uniforme con una velocidad propor­cional a la fuerza e inversamente proporcional al pesodel cuerpo. Se trata de una regla de proporcionalidadque, en notación matemática, podría formularse co-

mo v = ~, siendo f la fuerza o esfuerzo aplicado y p

el peso del cuerpo desplazado o, en general, la resis­tencia que se opone al movimiento.

La dinámica aristotélica de los movimientos violen­tos representa una teorización de las technai de mani­pulación de objetos pesados sin dispositivos mecáni­cos especiales. La teoría no contempla propiamentelos movimientos violentos producidos con la ayuda deherramientas y máquinas ni conceptualiza idealmentela construcción y uso de artefactos mecánicos.

La teorización peripatética de la techne mecánicainstrumental se encuentra en el tratado Problemasmecánicos que puede considerarse como una de lasprimeras manifestaciones de la mecánica teórica. Enel trasfondo filosófico de la obra se apunta que losmovimientos violentos conseguidos con la a'yuda de

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artefactos mecánicos son contra natura y constituyenun engaño con astucia de la naturaleza (maquinación)en provecho propio.

Los movimientos provocados mecánicamente'violentan' la dinámica de los movimientos violentosy no pertenecen, según la concepción aristotélica, a lafísica, sino a la mecánica teórica. Consecuentemente,esta última no representa un conocimiento de la natu­raleza.

La Mecánica peripatética pertenece al espíritu deuna nueva época caracterizada por el predominio dela corriente alejandrina y el interés de los teóricos porcuestiones técnicas específicas. Los Problemas mecá­nicos se ha relacionado con el peripatético ESTRA­TON DE LAMPSACO (+2711-268), el cual pasóvarios años en Alejandría a principios del siglo - III

como preceptor de PTOLOMEO FILADELFO, hijodel fundador del Museo PTOLOMEO SOTER. Aun­que su obra se ha perdido casi en la totalidad, se sabeque emprendió una revisión del sistema aristotélicoexpurgándolo de componentes excesivamente especu­lativos y orientándolo hacia cuestiones operativas másconcretas.

La revisión de ESTRATON y de otros peripatéticosno pudo impedir un progresivo abandono de la teori­zación filosófica aristotélica; que da paso a las teori­zaciones científicas de tipo alejandrino.

El carácter operativo rudimentario de laastronomía aristotélica se pone claramente de mani­fiesto al conocerse a fondo la astronomía babilónica através de los informes que van llegando a Grecia des­de la Mesopotamia conquistada por los ejércitos deALEJANDRO MAGNO. El conocimiento detalladode los procedimientos y de los resultados de la techne

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astronómica de los babilonios, posibilita la teoriza­ción geométrica cuantitativa y precisa en la que culmi­na la astronomía griega.

La astronomía clásica, al igual que las demás reali­zaciones de la ciencia griega, sólo pudo levantarsesobre la base de la geometría teórica, cuyo máximoexponente es una obra alejandrina, los Elementoseuclidianos.

EUCLIDES llega a Alejandría hacia -300 para in­tegrarse en el Museo, donde funda la gran escuela ale­jandrina de matemática. Su obra es polifacética(característica que será' compartida por la mayoría desabios alejandrinos) y además de sus famosos traba­jos sobre geometría incluye tratados sobre óptica,música y astronomía.

El L,70LXGLW7YjS o «autor de los Elementos» (deno­minación con la que fue conocido en la antigüedad) seocupó también de cuestiones técnicas concretas comola medición de alturas inaccesibles mediante lassombras proyectadas o el uso de espejos ustorios y,según fuentes árabes, publicó un tratado de mecánica.

En su obra sobre óptica teórica elabora una teoríageométrica de la perspectiva fundamental para el de­sarrollo de la astronomía clásica posterior. La in­terpretación geométrica de la visión como proyecciónde rayos rectilíneos es la base de la teorización de laantigua techne geométrica de agrimensura, que de­semboca en una nueva técnica geométrica espacial.

La nueva geometría espacial transfiere el cálculo yla medición directa de espacios inmediatos, propiosde la agrimensura, a magnitudes y distancias en espa­cios inaccesibles, previamente sometidos a una confi­guración ideal geométrica.

Aplicada a espacios astronómicos configurados por

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modelos geométricos, da origen a la astronomía ope­rativa teórica. En Sobre los tamaños y las distanciasdel Sol y de la Luna, el astrónomo y matemático ale­jandrino ARISTARCO, famoso por haber propuestoun sistema astronómico heliocéntrico, anticipa yaprocedimientos trigonométricos para calcular distan­cias y dimensiones astronómicas.

ERATÓSTENES (c. - 276/ -192), geógrafo y ma­temático, aplicó procedimientos de geometría espacialal dominio de la geografía. Fue director del Museo yse le considera el fundador de la geografía matemáti­ca. Es célebre su estimación del diámetro de la Tierracon sólo un error de ochenta kilómetros, mediante uncálculo en el que se combinan datos astronómicos ymediciones terrestres.

ERATÓSTENES partió del supuesto queAlejandría y Siena (actual Asuán) se hallaban en elmismo meridiano y que su distancia era de 5.000 esta­dios. Sabía que en el solsticio de verano el Sol está alas doce del mediodía en la vertical sobre Siena y cons­tató, mediante un gnomon o reloj de sol que, en esemismo momento, el ángulo correspondiente a lasombra del estilo vertical era en Alejandría de 1150 decírculo. Dado que los rayos solares se considerabanrectilíneos y paralelos, resultaba la equivalencia entreel ángulo PGA (fig. 8) determinado por la sombra y elángulo central ACS correspondiente al arco de meri­diano comprendido entre Alejandría y Siena. Para de­terminar la longitud de la circunferencia terrestre bas­taba, pues, multiplicar la distancia de 5.000 estadiospor 50, o sea, 250.000 estadios equivalentes a unos40.050 km.

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FIGURA 8

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HIPARCO reduce a problemas de trigonometría pla­na. Para su resolución elabora, por primera vez,tablas de cuerdas que equivalen a tablas trigonométri­cas de senos y constituyen la base del cálculo astronó­mico. Originariamente la función primordial de laastronomía geométrica consistía en la interpretación;con los nuevos procedimientos de cálculo surge unatécnica astronómica de raíces teóricas cuyos resulta­dos se plasman en tablas similares a las babilónicas.

Esta nueva astronomía operativa aparece expuestasistemáticamente en la Sintaxis matemática de PTO­LOMEO. En el primer libro de esta obra del sabio ale­jandrino se elabora la trigonometría que luego seempleará en los cálculos astronómicos. PTOLOMEOno se limita a la trigonometría plana como HIPAR­CO, sino que, basándose en teoremas de geometría es­férica, hace extensiva la aplicación de las tablas decuerdas a la solución de triángulos esféricos. A lo lar­go del Almagesto se exponen numerosos cálculos ytablas astron6micas elaboradas con la ayuda de pro­cedimientos trigonométricos.

La trigonometría formaba parte de una disciplinamás general conocida por los griegos como geodesia.Así como la logística incluía todo tipo de cálculos arit­méticos, la geodesia abarcaba los procedimientos dela geometría espacial operativa. Uno de los tratadosmás importantes que se conservan son las Métricas deHERON DE ALEJANDRÍA. En el libro 1, que tratade la medida de la superficie de figuras planas y de só­lidos, se encuentra el famoso procedimiento para de­terminar el área de un triángulo en función de sus la­dos.Éste se representa por la llamada fórmula de HE­RON: S = ylpUJ-qJlP=DJlP::c), en la que a, b, c sonlos lados y p el semiperímetro. El libro II se ocupa de

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-O-/1'"

p~04

4­

44-

El mayor astrónomo griego de la antigüedad, HI­PARCO, fue el primero en hacer uso sistemático deprocedimientos de trigonometría plana para el cálculode posiciones celestes a partir de modelos geométricoscuantificados.

Los sistemas astronómicos se habían ido haciendoprogresivamente más complejos con la introducciónde movimientos circulares compuestos. El gran mate­mático APOLONIO DE PERQA (fl. c. - 220), resi­dente durante algún tiempo en Alejandría, trató mo­delos planetarios con epiciclos (movimientos circula­res uniformes centrados sobre un punto asimismomóvil y con una trayectoria circular en torno a laTierra) y con excéntricas (movimientos circulares alre­dedor de la Tierra, pero con el centro algo desplazadode la posición de ésta) y conoció, al parecer, la equiva­lencia de ambos modelos.

HIPARCO elaboró sistemas planetarios en los quese combina el movimiento de epiciclos sobre el movi­miento circular de excéntricas, basando sus modeloscuantitativos y precisos en los extensos registros dedatos provenientes de Mesopotamia. La determina­ción de la posición de cuerpos celestes a partir de mo­delos geométricos, plantea problemas de cálculo que

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la determinación del volumen de sólidos y el III deproblemas relativos a la división de superficies planasy de sólidos.

De HERON se conserva una obra con el título deDioptra que puede considerarse de geodesia instru­mental. La dioptra era una especie de teodolito cuyaconstrucción se describe en la primera parte del trata­do. En la segunda, se indican procedimientos para suempleo en la resolución de problemas de geodesia co­mo la medición y parcelación de terrenos, etc., y suuso en astronomía. En especial se tratan problemasrelacionados con la determinación de superficies ydistancias en espacios no accesibles:

Dados dos puntos, uno cerca de nosotros y otro distante, en­contrar la distancia entre ellos a lo largo de una línea horizon­tal sin aproximarnos al punto distante.

Dado un foso, encontrar su profundidad, i. e., la longitud dela perpendicular desde el punto en el fondo al plano paraleloal horizonte que pasa por nosotros ...

Construir un túnel recto a través de una montana, dada la si­tuaci6n de las bocas en cada extremo.

Este último problema había sido resuelto hacia elprimer tercio del siglo - VI por EUPALINO DE ME­GARA, quien, para construir la conducción de aguadestinada al abastecimientos de Samas, tuvo que ex­cavar un túnel de u.q kilómetro de longitud a través deuna colina próxima a la ciudad. Los trabajos de per­foración empezaron simultáneamente por ambosextremos y los excavadores se encontraron en elcentro del túnel con una diferencia de un metro.

El tratamiento geométrico expuesto por HERON(improbable en la época de EUPALINO, dos siglosantes de EUCLIDES) representa la solución técnicaingenieril del problema. La geodesia alejandrina, ma-

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linterpretada ocasionalmente como una forma deca­dente de la geometría teórica, es la continuaciónhelenística de la antigua techne geométrica. Losproblemas geodésicos fundamentales, como la medi­ción y parcelación de superficies, son característicosde la agrimensura babilónica, reaparecen en tratadosárabes y, a través de éstos, llegan al Renacimiento yperduran en la agrimensura actual.

La diferencia entre la técnica geodésica y la antiguatechne egipcia y babilónica, reside en la integración deelementos teóricos. En la geodesia el problema seplantea, representa y caracteriza en términos geo­métricos más abstractos y se intenta reducir teórica­mente su solución a la de un problema ya resuelto,con la consiguiente sistematización de los procedi­mientos.

Tanto la geodesia como la astronomía operativapertenecen al dominio de las técnicas simbólicas, cu­yos productos no son artefactos materiales, como enel caso de la mecánica, sino construcciones simbólicasy esquemas operativos. Las tablas astronómicas, p.ej., son productos simbólicos característicos querepresentan procedimientos, es decir, esquema opera­tivos que pueden actualizarse haciendo uso de ellas.En su elaboración, que presupone la representaciónsimbólica, la medición, etc. " se utilizan asimismo pro­cedimientos e instrumentos simbólicos. Como en tododominio técnico, los procedimientos de construccióny de uso representan aspectos diferentes de la mismatécnica y, al igual que los demás artefactos, los simbó­licos se caracterizan por una función determinada: ladeterminación anticipada de acontecimientos.

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8. INGENIERÍA: LA TÉCNICAMECÁNICA TEÓRICA

En la época helenística, las teorías filosóficas deARISTÓTELES, no corren mucha mejor suerte en elámbito de la mecánica que en el de la astronomía. LosProblemas mecánicos, en cambio, habían de ejercer,junto con las obras de ARQUÍMEDES, una graninfluencia en los ingenieros alejandrinos.

ARQUÍMEDES residió en su juventud enAlejandría, donde estudió con los discípulos deEUCLIDES en el Museo y conoció a ERATÓSTE­NES, CONON DE SAMOS y DOSITEO. De regresoa su patria, Siracusa, mantuvo a través de relacionesepistolares la conexión alejandrina a lo largo de su vi­da. Su interés, tanto teórico como técnico, por la me­cánica, hace pensar en influencias por parte de los in­genieros alejandrinos, con los que muy bien pudo es­tar en contacto.

El iniciador de la escuela de ingenieros deAlejandría fue CTESIBIO (fl. - 285/- 222), un con­temporáneo de ARQUÍMEDES que procedía de laclase artesanal, pero llegó a conseguir gran fama co-

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mo ingeniero. Los nuevos ingenieros, a diferencia desus iletrados antecesores, no sólo podían leer y escri­bir, sino que dominaban también el cálculo matemáti­co, el diseño geométrico e incluso los tratados teó­ricos.

La única obra atribuida a CTESIBIO, en la queexponía sus realizaciones técnicas, se ha perdido y to­do lo que se conoce acerca de él se debe a otros au­tores.

Según relata VITRUVIO (s. 1), el padre de CTESI­BIO era dueño de una barbería, en la que éste instalóun espejo de altura regulable. El mecanismo consistíaen un contrapeso que descendía por un tubo al subir elespejo. Al moverse rápidamente, el contrapesodesplazaba el aire del tubo, produciendo un fuerte sil­bido. Este efecto inspiró a CTESIBIO la construcciónde un órgano hidráulico. El dispositivo básico era uncilindro con pistón que, como bomba de aire, alimen­taba los tubos de órgano a través de un reguladorhidráulico de presión.

Además del órgano se conocen otros inventos fa­mosos suyos como la bomba aspirante-impelente,ampliamente usada en la antigüedad para extinguirincendios, relojes hidráulicos capaces de señalar horasde distinta duración según las épocas del año y distin­tos tipos de catapultas, una de las cuales funcionabapor aire comprimido.

La obra de CTESIBIO es conocida, sobre todo, através de otro ingeniero célebre, FILON DE BIZAN­CIO (fl. c. - 250). Éste vivió durante algún tiempo enAlejandría, donde seguramente fue discípulo de CTE­SIBIO. De su única obra conocida Sintaxis mecánica,se conservan algunos tratados: Sobre palancas,Neumática, acerca de dispositivos y aparatos hidráuli-

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cos, Poliorcética que trata sobre la fortificación, de­fensa y as~dio de ciudades y es la primera obracompleta de técnica militar que se conoce, y Belopo­eica o tratado sobre máquinas de tiro.

Este último es el más antiguo tratado de balísticaconocido y se ocupa de la construcción de catapultas.Las primeras catapultas estaban construidas con ma­dera y refuerzos de hierro. Se basaban en la elastici­dad de un haz de cuerdas fabricadas con cabellos demujer o con tripas que, sometido previamente a tor­sión, impulsaba el mecanismo disparador al quedarlibre. Fundamentalmente se distinguían dos tipos: laseuthytona, que eran las más ligeras y sólo disparabandardos, y las palintona, que eran capaces de lanzartanto dardos como grandes piedras, y por ello,

~ recibían también el nombre de lithobolos.La aparición de las catapultas de torsión se sitúa

hacia el siglo - IV en Siracusa, ciudad por entonces enguerra con Cartago. En la época de ALEJANDROMAGNO las máquinas bélicas experimentan un im­portante desarrollo y perfeccionamiento, que culmi­nan con los tratados técnicos de los ingenieros ale­jandrinos, promovidos y subvencionados por ladinastía de los PTOLOMEO.

Como el mismo FILON refiere, el punto de partidade los tratados ingenieriles son los desarrollos artesa­nales anteriores:

Algunos de los antiguos descubrieron que el diámetro del ori­ficio [a través del cual pasan las cuerdas de tensión] era el ele­mento básico, principio y medida de la construcción de cata­pultas. Pero era necesario determinar este diámetro, no deuna forma accidental o fortuita, sino por algún método defi­nido mediante el que se pudiera determinar también la medi­da proporcionada de todas las magnitudes del instrumento.Pero esto no podía llevarse a cabo sino aumentando y dismi­nuyendo el diámetro del orificio y probando los resultados.

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101

>1< Dado que el módulo corresponde aproximadamente a la raíz cú­bica del peso del proyectil, su relación con éste es equivalente a ladel·lado de un cubo con el volumen del mismo. Evidentemente, ellado de un cubo dos veces mayor que otro no corresponde al dobledel lado del cubo menor. Ni el módulo de una catapulta capaz delanzar un peso el doble que otra dada es el doble del calibre de estaúltima. La duplicación éiel cubo se planteó en relación con elproblema de disefiar formas geométricas con un área o volumendoble que otra dada. En la antigüedad se dieron diferentes solu­ciones geométricas que resolvían el problema gráficamente de unaforma más o menos simple. El-procedimiento de Filan es una deellas.

11123/414153/418 3/4212527

diámetro deabertura en dedos

101520305060

150180

Peso en minas

Una vez fijado el módulo en función del proyectil,las dimensiones del resto de las piezas de la catapultase calculaban en base al calibre como múltiplos o frac­ciones del mismo. El cálculo se efectuaba con la ayu­da de tablas para cada una de las distintas piezas aconstruir.

FILüN indica también un procedimiento alternati­vo para fijar el módulo de una catapulta en relación aotra de características determinadas. Eventualmentepodía tratarse de una construcción que había dado ex­celentes resultados, pero de la que se quería doblar, p.ej., la potencia de tiro. En este caso el procedimiento,a diferencia del cálculo anterior, es geométrico yequivale a la solución del famoso problema de laduplicación del cubo con la ayuda de regla y compás* .

Los antiguos no tuvieron éxito en la determinación de estamagnitud ... Sólo los ingenieros posteriores, teniendo en cuen­ta los errores de sus predecesores y los resultados de experi­mentos subsiguientes, redujeron el principio de construccióna un único elemento básico, o sea, el diámetro del círculo quecontiene las cuerdas de tensión. Esto lo han conseguido re­cientemente los ingenieros alejandrinos, a quienes reyesamantes de la fama y de las técnicas proveyeron de abundan­tes medios (... ) La finalidad de la construcción de catapultasestriba en el lanzamiento a gran distancia de proyectiles queimpacten con gran fuerza y a ello se orientan las pruebas ex­perimentales y la mayor parte de las investigaciones.

Así los diámetros de abertura obtenidos mediante este métodoson como sigue:

100

El grosor de los haces de cuerdas determina la po­tencia de tiro del artefacto y equivale aproximada­mente al diámetro del agujero de fijación. FILüN to­ma dicho diámetro o calibre de la catapulta como mó­dulo en relación al cual han de determinarse las pro­porciones de los demás componentes del aparato.

El calibre se fija, a su vez, en función del peso de lapiedra que ha de ser lanzada. Dado dicho peso expre­sado en dracmas (100 dracmas = 1 mina = 436,6 g.aprox.) se determina el valor del calibre expresado endedos (22,5 dedos = 42,5 cm), calculando la raíz cú­bica del peso y sumándole una décima parte de la mis­ma. El procedimiento de cálculo puede expresarse me­diante la siguiente fórmula:

11 --d = - V 100m

10en la que d es el número de dedos del calibre y m lasminas que pesa el proyectil.

A continuación del procedimiento de cálculo, FI­LüN expone una tabla con los villores obtenidos paradeterminados parámetros:

A partir del segmento que representa el calibre de lacatapulta modelo, se construye el segmento corres­pondiente al calibre de un arma con el doble de poten­cia de tiro. Por el mismo procedimiento es posible de­terminar la escala proporcional de las demás piezasdel ingenio.

En la Belopoeica de FILüN se pone de manifiestoel paso de la techne mecánica artesanal a los procedi­mientos operativos metódicos, numéricos e inclusoteóricos propios de la técnica ingenieri1. El ensayo me­cánico dirigido al perfeccionamiento de un artefactoconcreto se transforma en método experimental convariaciones y pruebas sistemáticas cuantitativamentecontroladas. Los resultados son analizados numérica­mente con vistas a procedimientos operativos que seplasman en forma de tablas o reglas de proporcionali­dad. Los procedimientos de cálculo y las tablas deconstrucción empleadas en el diseño de catapultasrepresentan la primera aplicación del método de pro­porcionalidad en la construcción mecánica. Tales pro­cedimientos operativos mecánicos son el resultado dehacer extensivos métodos babilónicos propios de latechnai sacerdotales al dominio de las technai artesa­nales de interés político, de ampliar su aplicación deldominio de los cuerpos celestes incontrolables al delos artefactos construibles. El empleo del procedi­miento de la duplicación del cubo para la determina- .ción del módulo de catapultas ilustra la integración demétodos teóricos en la técnica ingenieril y su dominiopor parte de los ingenieros helenísticos.

La mecánica constituyó el dominio fundamental dela ingeniería antigua que, según PAPPUS DE ALE­JANDRIA (s. III/IV) , estaba integrado por varias es­pecialidades técnicas:

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Las técnícas mecánicas más importantes para la vida son lassiguientes: (1) La técnica de los manganarii [constructores depoleas e instrumentos similares], también llamados mecáni­cos por los antiguos. Con sus máquinas necesitan sólo una pe­queña fuerza para superar la tendencia natural de los grandespesos y elevarlos. (2) La técnica de los constructores de má­quinas de guerra, que también reciben el nombre de mecáni­cos. Diseñan catapultas para arrojar a gran distancia proyec­tiles de piedra, hierro y otros materiales. (3) La técnica de losconstructores de máquinas propiamente dichas. Fabrican, p.ej., ingenios hidráulicos que sirven para elevar con mayor fa­cilidad el agua desde grandes profundidades. (4) Los anti­guos también llamaban mecánicos a los artífices de dispositi­vos prodigiosos. Unas veces empleaban la presión del aire,como HERON en su Neumática, y otras, cuerdas y delgadoshilos para imitar el movimiento de los seres animados, comoel propio HERON en sus obras Autómatas y Balanzas. A ve­ces usan también objetos que flotan en el agua, como AR­QUÍMEDES en su obra Sobre cuerpos flotantes o relojeshidráulicos, p. ej., HERON en su tratado sobre este sujeto,que está evidentemente relacionado con el reloj de sol. (5) Latécnica de los constructores de esferas, que son asimismo con­siderados mecánicos. Éstos construyen un modelo de firma­mento que impulsan con la ayuda del movimiento circularuniforme del agua.

Dejando aparte la última especialidad que se re­fiere, sin duda, al planetario cuya construcción seatribuía a ARQUÍMEDES, se pueden distinguir bási-

camente:

(1) La mecánica en sentido originario o estática, de­dicada a la construcción y utilización de instru­mentos para maniobrar pesos.

(H) La mecánica balística o de máquinas de tiro.

(III)La automática o mecánica de autómatas.

(rV)La neumática o mecánica de gases y líquidos.

103

Todas las modalidades de mecánica desarrolladaspor los ingenieros helenísticos se encuentran tratadasen las obras mecánicas de HERüN DE ALE­JANDRÍA. Éste, al igual que CTESIBlü, procedíade la clase artesanal y llegó a ser un famosísimo inge­niero, con el que culmina la Escuela Alejandrina. Susobras se han conservado en gran parte y dan muestrade un saber y una capacidad teórica considerable.

Los tratados de HERüN, por lo general de carácterrecopilativo y redactados con fines didácticos, tu­vieron gran influencia en su tiempo y a lo largo de laEdad Media, sobre todo entre los árabes, y fueron ob­jeto de gran interés en el Renacimiento.

La mecánica en sentido originario es tratada princi­palmente en los tres libros que componen sus Mecáni­cas. La exposición puramente operativa, en la que sedescriben la construcción y el uso de intrumentos yar­tefactos, se combina con cuestiones teóricas. En ellibro II se desarrolla la teoría de las máquinas simples:torno (rueda y eje), palanca, polea, cuña y tornillo.Estas «cinco grandes», como eran llamadas en la anti­güedad, representan los cinco instrumentos básicos deampliación de la fuerza humana. HERüN hace sudescripción detallada con la ayuda de ilustracionesgráficas, e informa sobre su construcción y uso, asícomo de mecanismos compuestos. En la reducción detodos ellos a la palanca sigue fundamentalmente aARQUÍMEDES.

Al contrario de la Mecánica peripatética, en la quese reducían todos los instrumentos mecánicos en últi­mo término al funcionamiento de círculos desigualesconcéntricos, HERüN deriva, siguiendo un tratadodesaparecido de ARQUÍMEDES, la mecánica de loscírculos del principio de equilibrio de la palanca.

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1,'A través de las Mecánicas de HERüN se han cono­

cido algunos desarrollos contenidos en obras de AR­QUÍMEDES que se han perdido, como Sobre sopor­tes, Sobre centros de gravedad y Sobre balanzas. EnSobre soportes ARQUÍMEDES se planteaba cues­tiones relativas a la resistencia de vigas sostenidas porcolumnas en distintos puntos de apoyo. Mediante unteorema sobre centros de gr.avedad, según el cual esindistinto si un peso se aguanta sostenido por debajode su centro de gravedad o suspendido por encima deél, quedaban unificadas la estática de vigas y la de ba­lanzas. Ambas se reducían al principio general de lapalanca, que sería expuesto de una forma más abs­tracta en Sobre el equilibrio de los planos.

La característica propia de la mecánica ingenierilreside en la conjugación de la tradición teórica con laoperativa. Este fecundo cruzamiento se pone especial­mente de manifiesto en el desarrollo de dispositivosmecánicos complejos, como p. ej., el barulkos. AHERüN se le atribuyen dos tratados, similares perono idénticos, sobre este mecanismo para izar pesos,consistente en un sistema de engranajes.

Siguiendo el estilo propio de la tradición operativa,la exposición empieza con un problema a resolver:«Es preciso mover un peso dado mediante una fuerzadeterminada, usando una serie de ruedas dentadas».A continuación se especifican los parámetros para elpeso, 1.000 talentos, y para la fuerza disponible, 5 ta­lentos, equivalentes a la fuerza que puede desarrollarun hombre.

La resolución del problema consiste en una serie deinstrucciones pormenorizadas para el montaje en unmarco en forma de caja rectangular de varios ejes pa­ralelos! a los que van acopladas ruedas dentadas que

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engranan sucesivamente en el eje de la siguiente. Laúltima rueda está conectada a un tornillo sinfín a cuyoextremo va incorporada una manivela (fig. 12).

Tan importante como la disposición de los elemen­tos simples del mecanismo, ruedas y ejes, es la deter­minación de las proporciones de los mismos, de for­ma que éste cumpla las especificaciones dadas. HE­RON procede sistemáticamente conforme a un es­quema que se repite en casos similares. Se trata de«equilibrar, en primer lugar, la fuerza con el peso,pues, una vez logrado el equilibrio, podemos hacerque la fuerza predomine sobre el peso con la adiciónde una ligera fuerza a la máquina».

Dicho equilibrio ha de lograrse mediante dispositi­vos mecánicos simples concatenados. En el caso delbarulkos el mecanismo básico es la rueda y el eje den­tados y en los polipastos la polea simple. Dados losparámetros del problema, 1.000 y 5 talentos respecti­vamente, nos encontramos con un estado de dese­quilibrio entre la fuerza disponible y el peso que sepretende mover. Para establecer el equilibrio con laayuda del mecanismo de rueda y ejes, se puede atar elpeso a una cuerda que se enrolla en el eje de formaque, al girar la rueda, el peso se eleva. Si se dispone deuna sola rueda, tal que su diámetro es cinco veces eldel eje, hará falta una fuerza menor que 1.000 talen­tos, pero mayor que 5, para mover el peso. El meca­nismo no estaría, pues, en un estado de equilibrio, esdecir, de reposo, si se suspendiese el peso del ej e y seaplicara la fuerza disponible a la rueda.

Es preciso ir incrementando progresivamente la'ventaja mecánica' mediante la incorporación sucesi­va de elementos simples al mecanismo hasta llegar alequilibrio del peso y la fuerza. En este momento se es-

106

tará en condición de mover el peso con la ayuda delmecanismo, aplicando una ligera fuerza adicional(fig.9).

FIGURA 9

El establecimiento del equilibrio, sin embargo, noes puramente una cuestión de ensayo constructivo,como pudiera serlo para la techne mecánica, sino decálculo técnico en un marco teórico.

En el caso del barulkos, dicho cálculo parte de la re­ducción del mecanismo de rueda y eje a la palanca.Basándose en un tratado desaparecido de AR­QUÍMEDES, HERON muestra que tanto la polea co­mo la rueda y eje pueden considerarse como palancas.

Consideremos dos discos desiguales unidos con­céntricamente, de forma que giren sobre sus ejes, condos pesos suspendidos de los extremos de radios enuna misma línea recta. El equilibrio se establecerá, esdecir, los discos permanecerán en reposo, si dos pesos

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iguales Z y H están suspendidos a ambos lados delmismo disco (fig. la). En este caso, los radios BA yAG pueden considerarse como los brazos iguales deuna balanza-palanca con el punto de apoyo en elcentro A.

I -1 .I 1- IG

GFIGURA 10

Si los pesos están suspendidos a ambos lados delcentro común, pero uno en cada disco, entonces losbrazos de la correspondiente balanza-palanca BA yAE son desiguales y, para que se establezca elequilibrio, los pesos Z y K deberán ser también desi­guales y estar en relación inversa a la de los correspon­dientes radios (fig. 11). Las ruedas y ejes dentadospertenecen, evidentemente, a esta segunda clase demecanismos, mientras que la polea sería del tipo pri­mero.

El principio de la palanca expresa la proporción in-P' d

versa - = - que caracteriza el estado deP -d'

equilibrio entre los pesos actuantes P y P' Ylas dis­tancias respectivas al punto de apoyo d y d'. En el ca-·so de la rueda dentada las magnitudes proporcionalescorrespondientes son la fuerza aplicada a la rueda F,

lOS

el peso que actúa sobre el eje P, el radio r de la rueda y

el del eje r '. La proporción ~ = ~ representa laP r '

regla de proporcionalidad en la que se basa el procesode reducción aplicado por HERON para determinarel número y las dimensiones relativas de los engra­naJes.

FIGURA 11

Así, dada una sola rueda y siendo la relación deldiámetro del eje al de la rueda igual a l/5, se determi­na que la fuerza que es preciso aplicar a la rueda paramover el peso de 1.000 talentos suspendido del eje,sería de 200 talentos. Dado que sólo se dispone de unafuerza de 5 talentos, se puede reducir la fuerza re­querida engranando a la primera rueda una segundacon las mismas proporciones.

En este engranaje un segundo eje actúa sobre la pri­mera rueda y deberá, por tanto, desarrollar una fuer­za equivalente a 200 talentos para moverla. Supuestala misma relación de l/5 para la segunda rueda, bas­tará con una fuerza de 40 talentos para mover a éstaque, a su vez, mueve la primera, cuyo eje eleva elpeso.

109

A fin de que el barulkos cumpla las especificacionespreestablecidas, HERüN instala una tercera ruedacon idénticas características a las anteriores, que redu­ce la fuerza necesaria a 8 talentos. Una cuarta ruedacon un eje en la relación 5/8 completa, por último, elsistema de engranajes que establece el equilibrio entrelos 1.000 talentos del peso y los 5 de la fuerza (fig. 12).

o1~.~1

Q

8

FIGURA12

El equilibrio establecido con la ayuda del barulkosse interpreta teóricamente como el estado deequilibrio de una palanca compleja.

El principio general de la palanca se resume en laigualdad entre la relación de fuerzas de los mecanis-

mos ~ (F es la fuerza de entrada aplicada a la má­p

quina y P la fuerza de salida o resistencia del peso

desplazado) y la relación inversa~ de las distan-d F

cias de su aplicación respectiva. La segunda relacióncorresponde a las características básicas del mecanis­mo que se determinan en la construcción del mismo y,por tanto, son virtualmente variables.

110

Dado un determinado trabaj o a realizar, es decir,fijado P, se puede aplicar una pequeña fuerza con unalarga distancia o una gran fuerza con una pequeñadistancia. Esta regla de oro de la mecánica, empleadapor HERüN en el diseño del barulkos, constituye elprincipio operativo general representado en la mecá­nica teórica por el principio de la palanca.

Los principios operativos no son descubrimientosteóricos, sino, más bien, los principios teóricos son elresultado de la teorización de principios operativos in­manentes en la techne mecánica previa. La mecánicade los ingenieros alejandrinos, a caballo de la techne yla theoria, debe sus mejores logros a la capacidad dereoperativizar los desarrollos teóricos. Los principiosteóricos que enuncian proporcionalidades relativas amáquinas ideales se traducen en reglas operativas pa­ra el diseño geométrico de artefactos reales, las reglasde proporcionalidad características de la técnica inge­nieril.

La reducción teórica de las máquinas al principiogeneral de la palanca, representa su dominio técnico ysu sistematización operativa. La regla de propor_

F dp •cionalidad general - = -- convementemente

P dF

interpretada (es decir, establecida la adecuada corres­pondencia de parámetros) genera reglas operativas enrelación a los diversos dispositivos mecánicos.

El primer término ~, correspondiente a la rela-P

ción de fuerzas de la máquina, es común a todos ellos.La interpretación de los parámetros dF y dp , que en elcaso concreto de la palanca representan la longitud delos brazos de la misma, varía según los dispositivos.

111

Así, para los engranajes circulares dF y dp correspon­den a los radios del eje y de la rueda respectivamente,o a sus diámetros, perímetros, velocidades o cuales­quiera otras magnitudes cuya relación sea equivalen­te. Para los polipastos o sistemas de poleas fijas y mó­viles, dF y dp representan longitudes de cuerda que sedesplazan, respectivamente, a través de la primera po­lea que sostiene el peso y de la última, en la que actúala fuerza.

En general, el dominio técnico de un dispositivomecánico mediante reglas de proporcionalidad seplantea como· la identificación de parámetros ade-

cuados para la relación ~. Dichos parámetros handF

.

de ser operativamente relevantes, es decir, deben su­poner variaciones virtuales en la construcción del me­canismo que repercutan en el rendimiento del mismo.

En el caso del plano inclinado, las reglas de propor­cionalidad establecidas por HERON y PAPPUS através de consideraciones teóricas y análisis geométri­cos, no fueron fructíferas, al no acertar con los pará­métros adecuados para la relación de proporcionali­dad con las fuerzas del mecanismo. La mecánica delplano inclinado habría de permanecer en el dominiode la techne mecánica hasta el siglo XVI, en el que elingeniero holandés STEVIN determinaría los pará­metros adecuados en relación con las fuerzas, a saber,la altura h y la longitud 1 del plano inclinado, obte-

. dI" F hmen o a proporclOn - = -P 1

Sobre mecánica balística o Belopoeica, HERONescribió un tratado con un contenido similar al de FI­LON DE BIZANCIO, pero con descripciones más de­talladas. Ambos coinciden en la regla para determinar

112

el calibre del tithobolos o catapulta lanzadora depiedras y HERON indica, además, la forma de calcu­lar el calibre de las euthytona, que es igual a 1/9 de lalongitud del dardo a catapultar.

Es de señalar que ni en los tratados de mecánicabalística de FILON y HERON, ni en otras obras deingeniería clásica, como las del arquitecto e ingenieroromano VITRUVIO, se encuentren tablas de tiro. Encambio, las cuestiones relacionadas con el tiro seráncentrales para la balística desarrollada por los inge­nieros renacentistas, que constituirá la base técnica dela cinemática teórica. La técnica balística antigua secentra más bien en la construcción que en el uso de lasmáquinas de tiro, seguramente debido a que su objeti­vo primordial era el lanzamiento del proyectil a la ma­yor distancia y con el mayor impacto posibles.

Las reglas de cálculo para el diseño de las máquinasde tiro son operativamente similares a las reglas deproporcionalidad de la mecánica estática. La relación

fundamental :' en función de la que se determinan

las proporciones de los componentes de la catapulta,es también una relación de fuerzas de la máquina. Eneste caso, la fuerza aplicada F consiste en la fuerzaelástica del disparad9r, la cual se considera propor­cional al grosor de los haces de fibras y viene dada porel calibre. La fuerza de salida P es el peso del proyec-

til. Sin embargo, la relación !. se considera consP

tante para las máquinas de tiro. Es decir, se ha deter­minado un valor proporcional óptimo que logra elmáximo alcance e impacto del proyectil para un pesodado.

113

Las reglas de la mecánica balística difieren de lasreglas operativas de la mecánica estática en que nohan sido formuladas en un marco teórico acerca demáquinas ideales. De hecho, los ingenieros alejandri­nos no dispusieron de una conceptualización teóricay, menos aún, de una teoría desarrollada con princi­pios teóricos sobre máquinas de tiro. Las tablas yreglas de la Belopoeica representan principios inge­nieriles elaborados en estrecho contacto con los pro­cesos de construcción real y con la ayuda de procedi­mientos numéricos y geométricos operativos. El mé­todo para llegar a ellas no ha sido el método meetmicode ARQUÍMEDES basado en 'experimentos menta­les' con máquinas ideales, sino el del ensayo mecánicosistemático con artefactos materiales.

La mecánica alejandrina destaca, sobre todo, en lamecánica de precisión dedicada al diseño y la cons­trucción de aparatos complejos y dispositivos, en granparte automáticos o semiautomáticos, en los que in­tervienen la acción controlada de contrapesos,líquidos y gases.

Tanto FILüN como HERüN publicaron un trata­do sobre Autómatas o Teatros automáticos, pero sólose ha conservado la obra de este último. HERüNdescribe el funcionamiento y la construcción de dos ti­pos de teatro mecánico, el móvil y el estacionario. Elprimero consistía en una plataforma rodante que sedesplazaba ante los espectadores y al finalizar la fun­ción se retiraba, sin que interviniera persona alguna.El teatro fijo estaba provisto de puertas que se abríany cerraban por sí solas. Sobre el escenario se represen­taban espectaculares obras en varios actos, con cam­bio de decorados y acompañamiento musical, en lasque actuaban autómatas con vistosos trajes en el pa-

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pel de dioses, personajes legendarios, bailarinas, etc.El complejo mecanismo, compuesto por contrape­

sos, palancas, engranajes, levas, juegos de poleas y fi­nas cuerdas que transmitían el movimiento, permane­cía escondido en todo momento a los ojos de los es­pectadores. El motor central consistía en un contrape­so suspendido de una cuerda y alojado sobre un depó­sito de arena o mijo. El recipiente tenía un agujero enel fondo, provisto de una válvula que regulaba el esca­pe de los granos. De esta forma se conseguía un movi­miento de caída uniforme con velocidad controlable.Un rodillo principal, impulsado por la cuerda delcontrapeso, accionaba, a su vez, todos los demás mo­vimientos, cuya duración estaba regulada por la lon­gitud de los hilos de transmisión.

Los mecanismos automáticos juegan también unimportante papel en la mecánica de gases y líquidos.En su tratado de Neumática, HERüN expone con to­do detalle la forma de construir sorprendentes arte­factos e instalaciones, empleando dispositivos neumá­ticos básicos como sifones, válvulas, grifos, flotado­res, cilindros con pistón, etc. y algunas combina­ciones mecánicas de los mismos, que representan losprimeros mecanismos de retroalimentación y regula­ción automática conocidos.

Algunos aparatos ya habían sido expuestos en lasobras de CTESIBIü y FILüN, como el órganohidráulico, la bomba aspirante-impelente, las lámpa­ras de aceite automáticas o los relojes de agua. Entrelas innovaciones cabe destacar el eolfpilo, en el que seemplea el vapor de agua como impulsor mecánico. Elaparato consiste en una esfera hueca montada sobreuna caldera cerrada, de forma que pueda girar sobresu eje horizontal. Los soportes de la esfera hacen, al

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mismo tiempo, de conducto del vapor de agua produ­cido en la caldera que dirigen al interior de la esfera.Esta va provista de dos tubos de escape perpendicula­res al eje de rotación y horizontalmente curvados en elmismo sentido. Al salir, el vapor hace girar la esfera(fig. 13).

FIGURA 13

También es notable la combinación neumática yautomática para el diseño de instalaciones destinadasa causar la admiración y el estupor de los asistentes aceremonias religiosas. El dispositivo del eolfpilo seadapta, p. ej., para hacer danzarun grupo de figurasen círculo al encenderse el fuego sobre un altar. Enotra construcción, el fuego del sacrificio produce laapertura de las puertas del templo, que vuelven acerrarse cuando éste se apaga. Para la promoción del

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comercio religioso se presenta el diseño de una má­quina tragaperras que ofrece una pequeña cantidad deagua sagrada al introducir una moneda.

Tanto la neumática como la automática carecen deuna conceptualización teórica comparable a la de lamecánica estática o hidroestática. Apenas si puedenconsiderarse una técnica ingenieril en sentido estricto,como la balística, pues no se emplean reglas cuantita­tivas ni procedimientos sistemáticos de medición ycálculo. La ingeniería neumática constituye, másbien, la continuación y expansión de la techne neumá­tica tradicional, que había producido, desde muy an­tiguo, instrumentos como la pipeta, utilizada por losegipcios para el trasvase de líquidos y la degustaciónde bebidas, el sifón, el fuelle, la ventosa médica, etc.

La neumática ingenieril se distingue por la interpre­tación teórica, en términos filosóficos cualitativos, delos dispositivos básicos. El funcionamiento del sifón,p. ej., se debe, según HERON, a la imposibilidad delvacío que se formaría espontáneamente en la partemás alta de no establecerse la corriente de líquido. Enla introducción a su Neumática, HERON expone unaserie de consideraciones interpretativas tomadas delfilósofo peripatético ESTRATON DE LAMPSACO.De hecho, las interpretaciones filosóficas de instru­mentos neumáticos se remontan, al menos, al siglo- v. En el tratado peripatético conocido comoProblemas, inspirado directamente en un escrito deARISTÓTELES, se corrige la interpretación deANAXÁGORAS (- 496/ - 428) acerca de la clep­sidra, una especie de pipeta esférica con pequeñosagujeros en su parte inferior y un tubo en la superior,cuyo taponamiento impedía la caída del contenidolíquido. ESTRATON, en oposición a ARISTÓTE-

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LES, defiende la posibilidad de establecer el vacío, enel que basa el funcionamiento de instrumentosneumáticos como la pipeta o la ventosa empleada porlos médicos.

Los intentos de teorización filosófica de la techneneumática apenas tienen consecuencias técnicas. Laconceptualización y sistematización teóricas llevadasa cabo por la ciencia clásica dan origen, por el contra­rio, a nuevos desarrollos de la tradición operativa, latécnica ,ingenieril. El alcance de la teorizacióncientífica clásica es, sin embargo, limitado. En el ám­bito de la techne mecánica se reduce a la mecánica es­tática de sólidos y líquidos. Técnicas como labalística, la neumática y la automática, integrantes deuna mecánica dinámica, permanecen sin una concep­tualización científica y los esbozos de teorización peri­patética son técnicamente estériles.

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9. CONCLUSIÓN

Tras el ocaso de la escuela de Alejandría, la tradi­ción teórica científica y la tradición técnica ingenierilpermanecen durante un largo período prácticamenteinoperantes en el dominio de la cultura occidental.Los sabios árabes, herederos de los ingenieros ale­jandrinos, mantendrán la tradición operativa entron­cada con la teórica y la transmitirán a Occidente. Enel Renacimiento los ingenieros-artistas serán los en­cargados de reanudar y desarrollar el legado hele­nístico. La teorización de la técnica ingenieril rena­centista conducirá precisamente a la cinemática teóri­ca con la que se inaugura la ciencia moderna.

Aunque la ciencia clásica no alcanzara a teorizar lamecánica dinámica, no hay que esperar a la cienciamoderna para constatar la repercusión técnica de losmétodos teóricos. Pero los dominios técnicos que sonobjeto de tratamiento teórico prioritario no se deter­minan casualmente. Se trata inicialmente de las técni­cas funcionariales, surgidas como instrumentos de go­bierno y administración y, con posterioridad, de téc-

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nicas artesanales de interés político, como las destina­das principalmente a la construcción de grandes obraspúblicas, la fortificación, la guerra o el armamento.

La técnica 'científica' nace y se desarrolla a lasombra del poder real y es ejercida por profesionalesal servicio de su consolidación y expansión, sin olvi­dar el esparcimiento de los poderosos y la sugestión delos dominados.

El saber y las actividades productivas directamenterelacionados con la satisfacción de las necesidades vi­tales, biológicas o culturales, permanecen en el domi­nio de las technai, al margen de la tradición teórica.Así, la primera máquina motora empleada en la pro­ducción, la rueda hidráulica, es un resultado autóno­mo de la techne artesanal. Hacia el siglo - 1 fun­cionan en el norte de Grecia molinos movidos porruedas hidráulicas horizontales, con las paletas enforma de turbina, sobre las que se dirige un chorro ca­nalizado de una corriente rápida de agua. De esta re­alización técnica artesanal existe un testimonio docu­mental, inusitadamente en forma de poema:

Retira tus manos de la muela molinera;duerme mucho aunque el canto del galloanuncie el día,pues Demeter encargó a las ninfasel trabajo que realizan tus manos;las ninfas se precipitan desde lo altode una rueda;hacen girar el eje que,mediante tornillos de engranaje,mueve el peso cóncavo de las muelas de Nizyra.Gustaremos la vida de la edad de oro,si aprendemos a saborear sin esfuerzolas obras de Demeter.

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Las máquinas de la ingeniería mecánica, en cam­bio, no están pensadas para reemplazar el trabajo hu­mano en las actividades vitales, sino para aumentar laeficiencia del esfuerzo de los ejércitos de trabajadoresen las grandes obras de construcción regia y dedestrucción bélica. La técnica 'científica' clásica anti­cipa muchas de las características de la técnica moder­na, entre ellas la de acrecentar el poder constructivo ydestructivo muy por encima de las capacidades y nece­sidades individuales. Pero las catapultas griegas eransólo juegos de niños comparadas con la terrorífica ca­pacidad de aniquilamiento de la tecnología actual.

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