data structure - 1st study
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float ABC(float a, float b, float c){
return a + b + b * c + (a + b - c) / (a + b) + 4.0;}
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float Sum(float* a, const int n){
float s = 0;for (int i = 0; i < n; i++)
s += a[i];return s;
}
float Rsum(float* a, const int n){
if (n <= 0) return 0;else return (Rsum(a, n - 1) + a[n - 1]);
}
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float Sum(float* a, const int n)1 {2 float s = 0;3 for (int i = 0; i < n; i++)4 s += a[i];5 return s;6 }
행 번호 s/e 빈도 단계 수
1 0 0 0
2 1 1 1
3 1 𝑛 + 1 𝑛 + 1
4 1 𝑛 𝑛
5 1 1 1
6 0 1 0
총 단계 수 2𝑛 + 3
s/e : 실행당 단계 수 (Step per Execution)
행 번호 s/e빈도 단계 수
𝑛 = 0 𝑛 > 0 𝑛 = 0 𝑛 > 0
1 0 1 1 0 0
2(a) 1 1 1 1 1
2(b) 1 1 0 1 0
3 1 + 𝑡𝑅𝑠𝑢𝑚(𝑛 − 1) 0 1 0 1 + 𝑡𝑅𝑠𝑢𝑚(𝑛 − 1)
4 0 1 1 0 0
총 단계 수 2 2 + 𝑡𝑅𝑠𝑢𝑚(𝑛 − 1)
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float Rsum(float* a, const int n)1 {2 if (n <= 0) return 0;3 else return (Rsum(a, n - 1) + a[n - 1]);4 }
s/e : 실행당 단계 수 (Step per Execution)
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void Add(int** a, int** b, int** c, int m, int n)1 {2 for (int i = 0; i < m; i++)3 for (int j = 0; j < n; j++)4 c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];5 }
행 번호 s/e 빈도 단계 수
1 0 0 0
2 1 𝑚 + 1 𝑚 + 1
3 1 𝑚(𝑛 + 1) 𝑚𝑛 +𝑚
4 1 𝑚𝑛 𝑚𝑛
5 0 1 0
총 단계 수 2𝑚𝑛 + 2𝑚 + 1
s/e : 실행당 단계 수 (Step per Execution)
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float Sum(float* a, const int n)1 {2 float s = 0;3 for (int i = 0; i < n; i++)4 s += a[i];5 return s;6 }
행 번호 s/e 빈도 단계 수
1 0 0 Θ(0)
2 1 1 Θ(1)
3 1 𝑛 + 1 Θ(𝑛)
4 1 𝑛 Θ(𝑛)
5 1 1 Θ(1)
6 0 1 Θ(0)
𝑡𝑆𝑢𝑚 𝑛 = Θ(max1≤𝑖≤6
{𝑔𝑖 𝑛 }) =Θ(𝑛)
s/e : 실행당 단계 수 (Step per Execution)
행 번호 s/e빈도 단계 수
𝑛 = 0 𝑛 > 0 𝑛 = 0 𝑛 > 0
1 0 1 1 0 Θ(0)
2(a) 1 1 1 1 Θ(1)
2(b) 1 1 0 1 Θ(0)
3 1 + 𝑡𝑅𝑠𝑢𝑚(𝑛 − 1) 0 1 0 Θ(1 + 𝑡𝑅𝑠𝑢𝑚 𝑛 − 1 )
4 0 1 1 0 Θ(0)
𝑡𝑅𝑠𝑢𝑚 𝑛 = 2 Θ(1 + 𝑡𝑅𝑠𝑢𝑚 𝑛 − 1 )
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float Rsum(float* a, const int n)1 {2 if (n <= 0) return 0;3 else return (Rsum(a, n - 1) + a[n - 1]);4 }
s/e : 실행당 단계 수 (Step per Execution)
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void Add(int** a, int** b, int** c, int m, int n)1 {2 for (int i = 0; i < m; i++)3 for (int j = 0; j < n; j++)4 c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];5 }
행 번호 s/e 빈도 단계 수
1 0 0 Θ(0)
2 1 Θ(𝑚) Θ(𝑚)
3 1 Θ(𝑚𝑛) Θ(𝑚𝑛)
4 1 Θ(𝑚𝑛) Θ(𝑚𝑛)
5 0 1 Θ(0)
총 단계 수 Θ(𝑚𝑛)
s/e : 실행당 단계 수 (Step per Execution)
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int BinarySearch(int* a, const int x, const int n){ // Search the sorted array a[0], ... , a[n-1] for x.
int left = 0, right = n - 1;while (left <= right){ // There are more elements
int middle = (left + right) / 2;if (x < a[middle]) right = middle - 1;else if (x > a[middle]) left = middle + 1;else return middle;
} // End of whilereturn -1; // Not found
}
값이 정렬된 배열이 있을 때, Best Case는찾는 값이 middle에 바로 있는 경우(9를 검색)
2 5 9 11 15 18
2 5 11 15 189
left
(0)
right
(5)
middle
(0+5)/2=2.5≈2
이 때, 시간 복잡도는 𝑂(1)!
x = 9, a[middle] = a[2] = 9이므로9가 있는 위치 2를 반환
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int BinarySearch(int* a, const int x, const int n){ // Search the sorted array a[0], ... , a[n-1] for x.
int left = 0, right = n - 1;while (left <= right){ // There are more elements
int middle = (left + right) / 2;if (x < a[middle]) right = middle - 1;else if (x > a[middle]) left = middle + 1;else return middle;
} // End of whilereturn -1; // Not found
}
Worst Case는 배열에 없는 값을 검색할 때(24를 검색)
2 5 11 15 189
left
(0)
right
(5)
middle
(0+5)/2=2.5≈2
x = 24, a[middle] = a[2] = 9이므로left를 3으로 바꾼 뒤 다시 수행
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int BinarySearch(int* a, const int x, const int n){ // Search the sorted array a[0], ... , a[n-1] for x.
int left = 0, right = n - 1;while (left <= right){ // There are more elements
int middle = (left + right) / 2;if (x < a[middle]) right = middle - 1;else if (x > a[middle]) left = middle + 1;else return middle;
} // End of whilereturn -1; // Not found
}
2 5 11 189 15
left
(3)
right
(5)
middle
(3+5)/2=4
x = 24, a[middle] = a[4] = 15이므로left를 5로 바꾼 뒤 다시 수행
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int BinarySearch(int* a, const int x, const int n){ // Search the sorted array a[0], ... , a[n-1] for x.
int left = 0, right = n - 1;while (left <= right){ // There are more elements
int middle = (left + right) / 2;if (x < a[middle]) right = middle - 1;else if (x > a[middle]) left = middle + 1;else return middle;
} // End of whilereturn -1; // Not found
}
2 5 119 15 18
left = right
(5)
middle
(5+5)/2=5
x = 24, a[middle] = a[5] = 18이므로left를 6로 바꾼 뒤 다시 수행
하지만, while (left <= right) 문에서left = 6, right = 5이므로 while (false),while 문을 빠져나오게 되어 -1을 반환
이 때, 시간 복잡도는?
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int BinarySearch(int* a, const int x, const int n){ // Search the sorted array a[0], ... , a[n-1] for x.
int left = 0, right = n – 1;while (left <= right){ // There are more elements
int middle = (left + right) / 2;if (x < a[middle]) right = middle – 1;else if (x > a[middle]) left = middle + 1;else return middle;
} // End of whilereturn -1; // Not found
}2 5 119 15 18
2 5 11 189 15
2 5 11 15 189
시간 복잡도 계산의 핵심은 “while 문이 얼마나 반복되었는가?”부분이 얼마나 많이 수행되었느냐가 관건부분은 상수 시간에 수행되므로 𝑂(1)
left right
𝑇 𝑛
left right
𝑇 𝑛/2
𝑇 𝑛/4
left = right
+𝑂(1)
+𝑂(1)
따라서, 시간 복잡도는
𝑇 𝑛 = 𝑇𝑛
2+ 𝑂 1 !
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𝑇 𝑛 = 𝑇𝑛
2+ 𝑂 1
= 𝑇𝑛
22+ 2𝑂 1
= ⋯
= 𝑇𝑛
2𝑘+ 𝑘𝑂(1)
𝑛 = 2𝑘, 𝑇 1 = 𝑂(1)라면
∴ 𝑇 𝑛 = 𝑇 1 + 𝑘𝑂 1= 𝑘 + 1 𝑂(1)
𝑛 = 2𝑘이므로 𝑘 = log2 𝑛
∴ 𝑇 𝑛 = log2 𝑛 + 1 𝑂 1= 𝑂 log2 𝑛 = 𝑂(log 𝑛)
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https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation
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40
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