1

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА»

_________________________________________________________________

ВЫСШАЯ ШКОЛА ТЕХНОЛОГИИ И ЭНЕРГЕТИКИ

Кафедра высшей математики

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ

ИНТЕГРАЛЫ

Методическое пособие

для студентов всех форм обучения

(III семестр)

Санкт-Петербург

2019

2

УДК 51(075)

ББК 22.1я7

К786

Кратные и криволинейные интегралы: методическое пособие для

студентов всех форм обучения (III семестр)/ сост.: И.Э. Апакова,

Н.Л. Белая, Б.Ф. Иванов, Е.Г. Иванова; ВШТЭ СПбГУПТД. –

СПб., 2019. – 17 с.

В методическом пособии содержится краткое изложение

основных разделов курса теории кратных и криволинейных

интегралов: определение и свойства двойных, тройных и

криволинейных интегралов, способы их вычисления, примеры

решения задач. Предназначено для студентов всех форм обучения

(III семестр).

Рецензент: доцент кафедры высшей математики ВШТЭ

СПбГУПТД, канд. физ.-мат. наук З.Л. Абжандадзе.

Подготовлено и рекомендовано к изданию кафедрой высшей

математики ВШТЭ СПбГУПТД (протокол № 1 от 03.09.2019 г.).

Утверждено к изданию институтом энергетики и

автоматизации ВШТЭ СПбГУПТД (протокол № 3 от 26.11.2019 г.).

© Высшая школа технологии и энергетики

СПбГУПТД, 2019

Редактор и корректор Т.А. Смирнова

Техн. редактор Л.Я. Титова Темплан 2019., поз.131

Подп. к печати 19.12.2019 г. Формат 60x84/16. Бумага тип №1.

Печать офсетная. Объем 1,25 печ.л.; 1,25 уч.-изд.л.

Тираж 70 экз. Изд. № 131. Цена «С». Заказ

Ризограф Высшей школы технологии и энергетики ВШТЭ

СПбГУПТД, 198095, Санкт-Петербург, ул. Ивана Черных, 4

3

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем методическом пособии рассмотрены теоретические

вопросы, соответствующие первому разделу третьего семестра всех форм

обучения: кратные и криволинейные интегралы. Дается материал для

подготовки к решению задач по двойным и тройным интегралам для

самостоятельной работы по указанным темам. Рассматриваются типовые

задания контрольных работ.

Настоящее пособие написано для помощи студентам всех форм

обучения в решении задач, а также лучшего усвоения ими теоретического

материала по указанным темам и помощи в сдаче экзаменов и зачетов.

Для более детального и глубокого изучения материала по теме «Кратные

и криволинейные интегралы» авторы рекомендуют студентам изучить

литературу, приведенную в библиографическом списке. Теоретический

материал имеет лишь справочный характер. Особое внимание в данной

работе уделено разбору примеров.

Для успешного решения задач контрольных работ следует основательно

изучить терминологию, важные теоретические положения раздела «Кратные

и криволинейные интегралы», которые приведены в настоящем пособии.

Перед началом выполнения контрольной работы рекомендуется изучить

теорию по данному разделу в учебниках [1], [2]. Не следует приступать к

выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач,

соответствующих этому заданию, которые можно найти в задачниках [3], [4].

4

1. Двойной интеграл

Рассмотрим функцию двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥. 𝑦), которая

определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости

Oxy.

Разобьем область произвольным образом на n элементарных областей

D1, D2,…, Dn, имеющих площади ΔS1, ΔS2,…, ΔSn и диаметры d1, d2 ,…,

dn (диаметром называется наибольшее расстояние между двумя точками

границы области), соответственно. В каждой из этих областей выберем

произвольную точку Мi(xi,yi), i = 1, 2,…, n и вычислим значение функции в

этой точке.

Определение 1: Интегральной суммой для функции 𝑧 = 𝑓(𝑥. 𝑦) в

области D называется выражение:

.),()(

)(...)()(

11

2211

n

i

iiii

n

i

ii

nn

yxyxfSMf

SMfSMfSMf

Обозначим за λ наибольший из диаметров частичных областей Di, i =

1, 2,…, n.

Определение 2: Если существует конечный предел при λ → 0

интегральной суммы при любом произвольном разбиении области D на

части и произвольном выборе точек Mi(xi,yi), то такой предел называется

двойным интегралом функции ),( yxf в области D:

.),(),(lim),(1

0

D

ii

n

i

ii

D

dxdyyxfyxyxfdSyxf

5

Пример:

Вычислить двойной интеграл ,

D

xdxdy

где область D - треугольник OAB с вершинами O(0,0), A(1,1), B(0,1).

Решение.

Нарисуем область D:

Перейдем от двойного интеграла к повторному. Для этого определим

пределы изменения для переменных x и y: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1.

Тогда

1 1

0

.D x

xdxdy xdx dy

Интегрируя сначала внутренний интеграл, а затем внешний, получаем:

.6

1

3

1

2

1

0

1

32

)()1(1

32

1

0

1

0

2

1

0

1 1

0

xx

dxxxdxxxx

yxdxdyxdxx

x

y

B A

O

y = 1

y = x

1

6

2. Замена переменных в двойном интеграле

Многие задачи на двойной интеграл достаточно трудно решить в

прямоугольных координатах, но при этом задачи существенно упрощаются,

если сделать замену переменных. Заменяя переменные, в подынтегральном

выражении появляется якобиан |J|:

( , ) ( , ) | | .D D

f x y dxdy F u v J dudv

В этой формуле

( , ), ( , ),

( , ) ( ( , ), ( , )), .

x u v y u v

x x

u vF u v f u v u v J

y y

u v

При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат x и y к

полярным ρ и φ, связанными с прямоугольными соотношениями:

𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑 ,

имеет место формула

( , ) ( cos , sin ) .D D

f x y dxdy f d d

Если область интегрирования D ограничена лучами ρ=α, ρ=β (α<β)

и кривыми ρ=ρ1(φ) и ρ=ρ2(φ), где ρ1(φ) и ρ2(φ) однозначные функции

при α ≤ φ ≤ β, то двойной интеграл может быть вычислен по формуле

7

2

1

( )

( )

( , ) ( , ) ,D

F d d d F d

где ( , ) ( cos , sin )F f .

Величину φ полагают постоянной при вычислении внутреннего интеграла

2

1

( )

( )

( , ) .F d

Пример: Если область интегрирования - круг радиуса R=1 с центром в

начале координат, то перейдя к полярным координатам, вычислить

2 21 .D

x y dxdy

Решение. Изобразим область интегрирования:

Полагая, что cos , sin ,x y

получаем 2 2 2 2 21 1 ( cos ) ( sin ) 1 .x y

Так как в области D координата ρ при любом φ изменяется от 0 до 1, а φ

изменяется от 0 до 2π, то

0

y

x 0

1

1

-1

-1

8

2 1

2 2 2

0 0

31 2 2

2 2 2 1

0 0

0

1 1

1 1 (1 )( ) 1 (1 ) 2 ( )

32 2

2

2 2(0 1) .

3 3

D

x y dxdy d d

d

3.Вычисление площадей с помощью двойного интеграла

С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь фигуры.

Если область задана в виде пересекающихся прямых, парабол, гипербол или

показательных функций, то удобнее использовать прямоугольную систему

координат. В случае задания области с помощью окружностей или эллипсов

лучше работать с полярными координатами.

1. Площадь плоской области D в прямоугольных координатах.

Если область D определена неравенствами , ( ) ( ),a x b x y x

то

( )

( )

.

xb

D a x

S dxdy dx dy

2. Площадь в полярных координатах. Если область D определена

неравенствами , ( ) ( ),f F

то

( )

( )

.

F

D f

S d d d d

9

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

21, 2, , 2x x y x y x .

Решение. Изобразим фигуру, площадь которой надо найти:

.5,43

12

2

1

3

842

1

2

32

2

)2(2

32

2

1

2

2

1

2 2

1

22

xx

x

dxxxx

xydxdydxdxdyS

x

xD

Площадь фигуры равна 4,5 (ед2).

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной прямой ρcosφ=1 и

окружностью радиуса ρ=2. Имеется в виду область, не содержащая полюса.

Решение. Изобразим фигуру, площадь которой надо найти:

y

x

y = x2 y = x+2

2 -1 0

10

Решение. Найдем точки пересечения окружности и прямой:

{𝜌 = 2,

𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1,⟹ 2𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1 ⟹ 𝑐𝑜𝑠𝜑 =

1

2 ⟹ −

𝜋

3≤ 𝜑 ≤

𝜋

3,

при этом

12.

cos

.33

4

323

24

2

1))

3(

3())

3(

3(4

2

1

3

3)4(

2

1)

cos

14(

2

1

cos1

2

2

3

3

2

3

3

2

cos

1

3

3

2

tgtg

tgd

dddddSD

Площадь фигуры равна 3

3

4

(ед2).

y

x 0

ρ=2

ρ=2

ρcosφ=1

11

4. Тройной интеграл

Рассмотрим функцию трех переменных ),,( zyxfu , которая

определена и непрерывна в некоторой замкнутой пространственной области

V. Разобьем эту область произвольным образом на n элементарных областей

V1, V2,…, Vn, имеющих объемы ΔV1, ΔV2,…, ΔVn и диаметры d1,d2,…,dn,

соответственно.

В каждой из этих областей выберем произвольную точку Мi(xi,yi,zi) и

вычислим значение функции в этой точке, i = 1, 2,…, n.

Определение 1: Интегральной суммой для функции ),,( zyxfu в

пространственной области V называется выражение:

.),,()(

)(...)()(

11

2211

iiiii

n

i

i

n

i

ii

nn

zyxzyxfVMf

VMfVMfVMf

Обозначим за λ наибольший из диаметров частичных областей Vi, i = 1,

2,…, n.

Определение 2: Если существует конечный предел при λ → 0

интегральной суммы при любом произвольном разбиении области V на

части и произвольном выборе точек Mi(xi,yi,zi), то такой предел называется

тройным интегралом функции ),,( zyxf в области V:

V

i

V

n

i

iiiii

dxdydzzyxf

zyxzyxfdVzyxf

.),,(

),,(lim),,(1

0

12

С помощью тройного интеграла находятся:

1. Объем тела

.V

dxdydzV

2. Масса тела, занимающего область V:

,),,(V

dxdydzzyxm где ),,( zyx - объемная плотность

распределения массы в точке M(x,y,z) тела.

3. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей:

,),,(V

XY dxdydzzyxzM

,),,(V

YZ dxdydzzyxxM

.),,(V

XZ dxdydzzyxyM

4. Координаты центра тяжести тела .,,

m

Mz

m

My

m

Mx XYZXYZ

Пример: Вычислить V

zdxdydzyx 23

, где область V определяется

неравенствами: .0,0,10 xyzxyx

Решение. Для решения перейдем к повторному интегралу:

1

3 2 3 2

0 0 0

.

xyx

D

x y zdxdydz x dx y dy zdz

13

Находим по очереди сначала внутренние интегралы по переменным y и

z, а затем внешний интеграл по переменной x:

1 1 23 2 3 2

0

0 0 0 0 0

1 1 12 53 2 5 4 5

0

0 0 0 0 0

1 15 115 10 1

0

0 0

2

( ) 1 1

2 2 2 5

1 1 1 1 1.

2 5 2 5 10 11 110

xyx x

xy

x x

x

zx dx y dy zdz x dx y dy

xy yx dx y dy x dx y dy x dx

x xx dx x dx

5. Криволинейные интегралы

Рассмотрим функцию ),( yxfz

, которая определена и

непрерывна в каждой точке М некоторой гладкой кривой С, заданной

уравнением: bxaxy ),( . Разобьем эту кривую

произвольным образом на n частичных дуг с длинами Δsi, i = 1, 2,…, n.

В каждой частичной дуге выберем произвольную точку Мi, i = 1, 2,…,

n, и вычислим значение функции в этой точке.

Определение 1: Интегральной суммой функции f(x,y)= f(M)по дуге

С называется выражение:

.)()(...)()(1

2211

n

i

iinn sMfsMfsMfsMf

Обозначим за λ наибольшую из длин частичных дуг.

14

Определение 2: Если существует конечный предел при 0

интегральной суммы при любом произвольном разбиении кривой С на части

и произвольном выборе точек Мi, то такой предел называется

криволинейным интегралом 1-го рода:

.)(lim),(1

0

n

i

ii

C

sMfdsyxf

Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления пути

интегрирования и вычисляется по формуле:

2( , ) ( , ( )) 1 ( ( )) .

b

C a

f x y ds f x x x dx

Если подынтегральную функцию интерпретировать как линейную

плотность вещества в точке М дуги C, то криволинейный интеграл 1-го рода

представляет собой массу материальной дуги C.

Пример: Вычислить криволинейный интеграл

C yx

dx

422

, если

С - отрезок прямой, соединяющий точки О(0,0) и А(1,2).

Решение. Уравнение прямой, содержащей отрезок AO,

имеет вид:

xy 2 , а 2y . Подставляя в приведенную выше формулу

выражения для y и y , будем иметь:

15

1 12

2 2 2 2 20 0

1

2 1

0

20

1 2 5

4 (2 ) 4 5 4

4 5 3ln ln .

5 24

5

C

dsdx dx

x y x x x

dxx x

x

Рассмотрим функции P(x,y) и Q(x,y), которые определены и

непрерывны в каждой точке М некоторой гладкой кривой АВ, заданной

уравнением: bxaxy ),( , x = a - абсцисса точки А,

x = b - абсцисса точки В.

Определение 3: Криволинейные интегралы AB

dxyxP ),(и

AB

dyyxQ ),(по координатам x и y, или криволинейные интегралы 2-го

рода, определяются аналогично, как пределы интегральных сумм функций

P(x,y) = P(M) и Q(x,y) = Q(M), взятых по дуге АВ, с той лишь

разницей, что при составлении этих сумм значения функции в точке Мi

умножаются не на длины частичных дуг Δsi, а на их проекции Δxi и Δyi на

соответствующие координатные оси. Криволинейный интеграл

AB

dyyxQdxyxP ),(),( обозначает сумму криволинейных

интегралов указанных видов.

Криволинейный интеграл 2-го рода меняет свой знак на

противоположный при изменении направления пути интегрирования.

16

Механически интеграл 2-го рода можно интерпретировать как работу,

которую совершает сила ),(),,( yxQyxPF , действующая на

точку при перемещении ее по дуге АВ.

Криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по формуле:

.))())(,())(,((),(),( dxxxxQxxPdyyxQdxyxPAB

b

a

Пример: Вычислить криволинейный интеграл:

AB

dyyxydxxyx )2()2( 22

по дуге параболы 2xy от

точки А(1, 1) до точки В(2, 4).

Решение.

2 2

2

2 2 2 2 2

1

2

2 3 4 5

1

3 4 5 62

1

( 2 ) (2 )

(( 2 ) (2 ( ) ) 2 )

( 2 4 2 )

4 19( ) 40 .

3 2 5 3 30

AB

x xy dx xy y dy

x x x x x x x dx

x x x x dx

x x x x

.

17

Библиографический список

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для

втузов.– М.: Наука, 2010. Т 2.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный

курс. – М.: Айрис-Пресс, 2009.

3. Сборник задач по высшей математике. С контрольными работами.

/сост.: К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – М.:

Айрис-Пресс, 2008.

4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. – СПб., М.,

Краснодар: Лань, 2005.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

1. Двойной интеграл………………………………………………………………4

2. Замена переменных в двойном интеграле…………………………………….6

3.Вычисление площадей с помощью двойного интеграла……………………..8

4.Тройной интеграл……………………………………………………….….....11

5.Криволинейные интегралы ………..……………………………………….....13

Библиографический список……………………………………………………..17

______________________________