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7/24/2019 CV-bookfi.pdf

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C O M P L E X V A R I A B L E S

a n d

A P P L I C A T I O N S

S E V E N T H E D I T I O N

J A M E S W A R D B R O W N

R U E L V . C H U R C H I L L



C O M P L E X V A R I A B L E S

A N D A P P L I C A T I O N S

S E V E N T H E D I T I O N

J a m e s W a r d B r o w n

P r o f e s s o r o f M a t h e m a t i c s

T h e U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n - - D e a r b o r n

R u e l V . C h u r c h i l l

L a t e P r o f e s s o r o f M a t h e m a t i c s

T h e U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n

M c

G r a w

H i l l

H i g h e r E d u c a t i o n

B o s t o n B u r r R i d g e , I L D u b u q u e , I A M a d i s o n , W I N e w Y o r k

S a n F r a n c i s c o

S t . L o u i s B a n g k o k B o g o t a C a r a c a s K u a l a L u m p u r

L i s b o n L o n d o n M a d r i d M e x i c o C i t y

M i l a n M o n t r e a l N e w D e l h i

S a n t i a g o S e o u l S i n g a p o r e S y d n e y T a i p e i

T o r o n t o



C O N T E N T S

P r e f a c e

C o m p l e x N u m b e r s

S u m s a n d P r o d u c t s

1

B a s i c A l g e b r a i c P r o p e r t i e s

3

F u r t h e r P r o p e r t i e s

5

M o d u l i

8

C o m p l e x C o n j u g a t e s

1 1

E x p o n e n t i a l F o r m

1 5

P r o d u c t s a n d Q u o t i e n t s i n E x p o n e n t i a l F o r m

1 7

R o o t s o f C o m p l e x N u m b e r s 2 2

E x a m p l e s

2 5

R e g i o n s i n t h e C o m p l e x P l a n e

2 9

2

A n a l y t i c F u n c t i o n s

F u n c t i o n s o f a C o m p l e x V a r i a b l e

3 3

M a p p i n g s

3 6

M a p p i n g s b y t h e E x p o n e n t i a l F u n c t i o n

4 0

L i m i t s

4 3

T h e o r e m s o n L i m i t s 4 6

L i m i t s I n v o l v i n g t h e P o i n t a t I n f i n i t y

4 8

C o n t i n u i t y

5 1

D e r i v a t i v e s

5 4

D i f f e r e n t i a t i o n F o r m u l a s

5 7

C a u c h y - R i e m a n n E q u a t i o n s 6 0

x v

X i



X l l C O N T E N T S

S u f f i c i e n t C o n d i t i o n s f o r D i f f e r e n t i a b i l i t y

6 3

P o l a r C o o r d i n a t e s

6 5

A n a l y t i c F u n c t i o n s

7 0

E x a m p l e s

7 2

H a r m o n i c F u n c t i o n s

7 5

U n i q u e l y D e t e r m i n e d A n a l y t i c F u n c t i o n s

8 0

R e f l e c t i o n P r i n c i p l e

8 2

3

E l e m e n t a r y F u n c t i o n s

T h e E x p o n e n t i a l F u n c t i o n

8 7

T h e L o g a r i t h m i c F u n c t i o n

9 0

B r a n c h e s a n d D e r i v a t i v e s o f L o g a r i t h m s

9 2

S o m e I d e n t i t i e s I n v o l v i n g L o g a r i t h m s

9 5

C o m p l e x E x p o n e n t s

9 7

T r i g o n o m e t r i c F u n c t i o n s

1 0 0

H y p e r b o l i c F u n c t i o n s

1 0 5

I n v e r s e T r i g o n o m e t r i c a n d H y p e r b o l i c F u n c t i o n s

1 0 8

4

I n t e g r a l s

D e r i v a t i v e s o f F u n c t i o n s w ( t )

1 1 1

D e f i n i t e I n t e g r a l s o f F u n c t i o n s w ( t )

1 1 3

C o n t o u r s

1 1 6

C o n t o u r I n t e g r a l s

1 2 2

E x a m p l e s

1 2 4

U p p e r B o u n d s f o r M o d u l i o f C o n t o u r I n t e g r a l s

1 3 0

A n t i d e r i v a t i v e s

1 3 5

E x a m p l e s

1 3 8

C a u c h y - G o u r s a t T h e o r e m

1 4 2

P r o o f o f t h e T h e o r e m

1 4 4

S i m p l y a n d M u l t i p l y C o n n e c t e d D o m a i n s

1 4 9

C a u c h y I n t e g r a l F o r m u l a

1 5 7

D e r i v a t i v e s o f A n a l y t i c F u n c t i o n s

1 5 8

L i o u v i l l e ' s T h e o r e m a n d t h e F u n d a m e n t a l T h e o r e m o f A l g e b r a

1 6 5

M a x i m u m M o d u l u s P r i n c i p l e

1 6 7

8 7

5

S e r i e s

1 7 5

C o n v e r g e n c e o f S e q u e n c e s

1 7 5

C o n v e r g e n c e o f S e r i e s

1 7 8

T a y l o r S e r i e s

1 8 2

E x a m p l e s

1 8 5

L a u r e n t S e r i e s

1 9 0

E x a m p l e s

1 9 5

A b s o l u t e a n d U n i f o r m C o n v e r g e n c e o f P o w e r S e r i e s

2 0 0

C o n t i n u i t y o f S u m s o f P o w e r S e r i e s

2 0 4

I n t e g r a t i o n a n d D i f f e r e n t i a t i o n o f P o w e r S e r i e s

2 0 6

U n i q u e n e s s o f S e r i e s R e p r e s e n t a t i o n s

2 1 0

M u l t i p l i c a t i o n a n d D i v i s i o n o f P o w e r S e r i e s

2 1 5



C O N T E N T S

X i i i

6

R e s i d u e s a n d P o l e s

R e s i d u e s 2 2 1

C a u c h y ' s R e s i d u e T h e o r e m

2 2 5

U s i n g a S i n g l e R e s i d u e

2 2 7

T h e T h r e e T y p e s o f I s o l a t e d S i n g u l a r P o i n t s 2 3 1

R e s i d u e s a t P o l e s 2 3 4

E x a m p l e s

2 3 6

Z e r o s o f A n a l y t i c F u n c t i o n s 2 3 9

Z e r o s a n d P o l e s

2 4 2

B e h a v i o r o f f N e a r I s o l a t e d S i n g u l a r P o i n t s 2 4 7

7 A p p l i c a t i o n s o f R e s i d u e s

E v a l u a t i o n o f I m p r o p e r I n t e g r a l s

2 5 1

E x a m p l e 2 5 4

I m p r o p e r I n t e g r a l s f r o m F o u r i e r A n a l y s i s

2 5 9

J o r d a n ' s L e m m a 2 6 2

I n d e n t e d P a t h s

2 6 7

A n I n d e n t a t i o n A r o u n d a B r a n c h P o i n t

2 7 0

I n t e g r a t i o n A l o n g a B r a n c h C u t 2 7 3

D e f i n i t e i n t e g r a l s i n v o l v i n g S i n e s a n d C o s i n e s 2 7 8

A r g u m e n t P r i n c i p l e 2 8 1

R o u c h 6 ' s T h e o r e m

2 8 4

I n v e r s e L a p l a c e T r a n s f o r m s 2 8 8

E x a m p l e s 2 9 1

8

M a p p i n g b y E l e m e n t a r y F u n c t i o n s

L i n e a r T r a n s f o r m a t i o n s

2 9 9

T h e T r a n s f o r m a t i o n w = l i z

3 0 1

M a p p i n g s b y 1 / z

3 0 3

L i n e a r F r a c t i o n a l T r a n s f o r m a t i o n s

3 0 7

A n I m p l i c i t F o r m

3 1 0

M a p p i n g s o f t h e U p p e r H a l f P l a n e

3 1 3

T h e T r a n s f o r m a t i o n w = s i n z 3 1 8

M a p p i n g s b y z " ' a n d B r a n c h e s o f z 1 1 1 2

3 2 4

S q u a r e R o o t s o f P o l y n o m i a l s

3 2 9

R i e m a n n S u r f a c e s

3 3 5

S u r f a c e s f o r R e l a t e d F u n c t i o n s 3 3 8

9

C o n f o r m a l M a p p i n g

P r e s e r v a t i o n o f A n g l e s 3 4 3

S c a l e F a c t o r s

3 4 6

L o c a l I n v e r s e s

3 4 8

H a r m o n i c C o n j u g a t e s

3 5 1

T r a n s f o r m a t i o n s o f H a r m o n i c F u n c t i o n s

3 5 3

T r a n s f o r m a t i o n s o f B o u n d a r y C o n d i t i o n s

3 5 5

2 2 1

2 5 1

2 9 9

3 4 3



P R E F A C E

T h i s b o o k i s a r e v i s i o n o f t h e s i x t h e d i t i o n , p u b l i s h e d i n 1 9 9 6 . T h a t e d i t i o n h a s s e r v e d ,

j u s t a s t h e e a r l i e r o n e s d i d , a s a t e x t b o o k f o r a o n e - t e r m i n t r o d u c t o r y c o u r s e i n t h e

t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n o f f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e . T h i s e d i t i o n p r e s e r v e s t h e

b a s i c c o n t e n t a n d s t y l e o f t h e e a r l i e r e d i t i o n s , t h e f i r s t t w o o f w h i c h w e r e w r i t t e n b y

t h e l a t e R u e l V . C h u r c h i l l a l o n e .

I n t h i s e d i t i o n , t h e m a i n c h a n g e s a p p e a r i n t h e f i r s t n i n e c h a p t e r s , w h i c h m a k e u p

t h e c o r e o f a o n e - t e r m c o u r s e . T h e r e m a i n i n g t h r e e c h a p t e r s a r e d e v o t e d t o p h y s i c a l

a p p l i c a t i o n s , f r o m w h i c h a s e l e c t i o n c a n b e m a d e , a n d a r e i n t e n d e d m a i n l y f o r s e l f -

s t u d y o r r e f e r e n c e .

A m o n g m a j o r i m p r o v e m e n t s , t h e r e a r e t h i r t y n e w f i g u r e s ; a n d m a n y o f t h e o l d

o n e s h a v e b e e n r e d r a w n . C e r t a i n s e c t i o n s h a v e b e e n d i v i d e d u p i n o r d e r t o e m p h a s i z e

s p e c i f i c t o p i c s , a n d a n u m b e r o f n e w s e c t i o n s h a v e b e e n d e v o t e d e x c l u s i v e l y t o e x a m -

p l e s . S e c t i o n s t h a t c a n b e s k i p p e d o r p o s t p o n e d w i t h o u t d i s r u p t i o n a r e m o r e c l e a r l y

i d e n t i f i e d i n o r d e r t o m a k e m o r e t i m e f o r m a t e r i a l t h a t i s a b s o l u t e l y e s s e n t i a l i n a f i r s t

c o u r s e , o r f o r s e l e c t e d a p p l i c a t i o n s l a t e r o n . T h r o u g h o u t t h e b o o k , e x e r c i s e s e t s o c c u r

m o r e o f t e n t h a n i n e a r l i e r e d i t i o n s . A s a r e s u l t , t h e n u m b e r o f e x e r c i s e s i n a n y g i v e n

s e t i s g e n e r a l l y s m a l l e r , t h u s m a k i n g i t m o r e c o n v e n i e n t f o r a n i n s t r u c t o r i n a s s i g n i n g

h o m e w o r k .

A s f o r o t h e r i m p r o v e m e n t s i n t h i s e d i t i o n , w e m e n t i o n t h a t t h e i n t r o d u c t o r y

m a t e r i a l o n m a p p i n g s i n C h a p . 2 h a s b e e n s i m p l i f i e d a n d n o w i n c l u d e s m a p p i n g

p r o p e r t i e s o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n . T h e r e h a s b e e n s o m e r e a r r a n g e m e n t o f m a t e r i a l

i n C h a p . 3 o n e l e m e n t a r y f u n c t i o n s , i n o r d e r t o m a k e t h e f l o w o f t o p i c s m o r e n a t u r a l .

S p e c i f i c a l l y , t h e s e c t i o n s o n l o g a r i t h m s n o w d i r e c t l y f o l l o w t h e o n e o n t h e e x p o n e n t i a l

x v



X V i

P R E F A C E

f u n c t i o n ; a n d t h e s e c t i o n s o n t r i g o n o m e t r i c a n d h y b e r b o l i c f u n c t i o n s a r e n o w c l o s e r

t o t h e o n e s o n t h e i r i n v e r s e s . E n c o u r a g e d b y c o m m e n t s f r o m u s e r s o f t h e b o o k i n t h e

p a s t s e v e r a l y e a r s , w e h a v e b r o u g h t s o m e i m p o r t a n t m a t e r i a l o u t o f t h e e x e r c i s e s a n d

i n t o t h e t e x t . E x a m p l e s o f t h i s a r e t h e t r e a t m e n t o f i s o l a t e d z e r o s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s

i n C h a p . 6 a n d t h e d i s c u s s i o n o f i n t e g r a t i o n a l o n g i n d e n t e d p a t h s i n C h a p . 7 .

T h e f i r s t o b j e c t i v e o f t h e b o o k i s t o d e v e l o p t h o s e p a r t s o f t h e t h e o r y w h i c h

a r e p r o m i n e n t i n a p p l i c a t i o n s o f t h e s u b j e c t . T h e s e c o n d o b j e c t i v e i s t o f u r n i s h a n

i n t r o d u c t i o n t o a p p l i c a t i o n s o f r e s i d u e s a n d c o n f o r m a l m a p p i n g . S p e c i a l e m p h a s i s

i s g i v e n t o t h e u s e o f c o n f o r m a l m a p p i n g i n s o l v i n g b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s t h a t

a r i s e i n s t u d i e s o f h e a t c o n d u c t i o n , e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l , a n d f l u i d f l o w . H e n c e t h e

b o o k m a y b e c o n s i d e r e d a s a c o m p a n i o n v o l u m e t o t h e a u t h o r s ' " F o u r i e r S e r i e s a n d

B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s " a n d R u e V , C h u r c h i l l ' s " O p e r a t i o n a l M a t h e m a t i c s , " w h e r e

o t h e r c l a s s i c a l m e t h o d s f o r s o l v i n g b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s i n p a r t i a l d i f f e r e n t i a l

e q u a t i o n s a r e d e v e l o p e d . T h e l a t t e r b o o k a l s o c o n t a i n s f u r t h e r a p p l i c a t i o n s o f r e s i d u e s

i n c o n n e c t i o n w i t h L a p l a c e t r a n s f o r m s .

T h i s b o o k h a s b e e n u s e d f o r m a n y y e a r s i n a t h r e e - h o u r c o u r s e g i v e n e a c h t e r m a t

T h e U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n . T h e c l a s s e s h a v e c o n s i s t e d m a i n l y o f s e n i o r s a n d g r a d u a t e

s t u d e n t s m a j o r i n g i n m a t h e m a t i c s , e n g i n e e r i n g , o r o n e o f t h e p h y s i c a l s c i e n c e s . B e f o r e

t a k i n g t h e c o u r s e , t h e s t u d e n t s h a v e c o m p l e t e d a t l e a s t a t h r e e - t e r m c a l c u l u s s e q u e n c e ,

a f i r s t c o u r s e i n o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , a n d s o m e t i m e s a t e r m o f a d v a n c e d

c a l c u l u s . I n o r d e r t o a c c o m m o d a t e a s w i d e a r a n g e o f r e a d e r s a s p o s s i b l e , t h e r e a r e

f o o t n o t e s r e f e r r i n g t o t e x t s t h a t g i v e p r o o f s a n d d i s c u s s i o n s o f t h e m o r e d e l i c a t e r e s u l t s

f r o m c a l c u l u s t h a t a r e o c c a s i o n a l l y n e e d e d . S o m e o f t h e m a t e r i a l i n t h e b o o k n e e d n o t

b e c o v e r e d i n l e c t u r e s a n d c a n b e l e f t f o r s t u d e n t s t o r e a d o n t h e i r o w n . I f m a p p i n g

b y e l e m e n t a r y f u n c t i o n s a n d a p p l i c a t i o n s o f c o n f o r m a l m a p p i n g a r e d e s i r e d e a r l i e r

i n t h e c o u r s e , o n e c a n s k i p t o C h a p t e r s 8 , 9 , a n d 1 0 i m m e d i a t e l y a f t e r C h a p t e r 3 o n

e l e m e n t a r y f u n c t i o n s .

M o s t o f t h e b a s i c r e s u l t s a r e s t a t e d a s t h e o r e m s o r c o r o l l a r i e s , f o l l o w e d b y

e x a m p l e s a n d e x e r c i s e s i l l u s t r a t i n g t h o s e r e s u l t s . A b i b l i o g r a p h y o f o t h e r b o o k s ,

m a n y o f w h i c h a r e m o r e a d v a n c e d , i s p r o v i d e d i n A p p e n d i x 1 . A t a b l e o f c o n f o r m a l

t r a n s f o r m a t i o n s u s e f u l i n a p p l i c a t i o n s a p p e a r s i n A p p e n d i x 2 .

I n t h e p r e p a r a t i o n o f t h i s e d i t i o n , c o n t i n u a l i n t e r e s t a n d s u p p o r t h a s b e e n p r o v i d e d

b y a n u m b e r o f p e o p l e , m a n y o f w h o m a r e f a m i l y , c o l l e a g u e s , a n d s t u d e n t s . T h e y

i n c l u d e J a c q u e l i n e R . B r o w n , R o n a l d P . M o r a s h , M a r g r e t H . H i f t , S a n d r a M . W e b e r ,

J o y c e A . M o s s , a s w e l l a s R o b e r t E . R o s s a n d M i c h e l l e D . M u n n o f t h e e d i t o r i a l s t a f f

a t M c G r a w - H i l l H i g h e r E d u c a t i o n .

J a m e s W a r d B r o w n



C O M P L E X V A R I A B L E S A N D A P P L I C A T I O N S



C H A P T E R

1

C O M P L E X N U M B E R S

I n t h i s c h a p t e r , w e s u r v e y t h e a l g e b r a i c a n d g e o m e t r i c s t r u c t u r e o f t h e c o m p l e x n u m b e r

s y s t e m . W e a s s u m e v a r i o u s c o r r e s p o n d i n g p r o p e r t i e s o f r e a l n u m b e r s t o b e k n o w n .

1 . S U M S A N D P R O D U C T S

C o m p l e x n u m b e r s c a n b e d e f i n e d a s o r d e r e d p a i r s ( x , y ) o f r e a l n u m b e r s t h a t a r e t o

b e i n t e r p r e t e d a s p o i n t s i n t h e c o m p l e x p l a n e , w i t h r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s x a n d y ,

j u s t a s r e a l n u m b e r s x a r e t h o u g h t o f a s p o i n t s o n t h e r e a l l i n e . W h e n r e a l n u m b e r s

x a r e d i s p l a y e d a s p o i n t s ( x , 0 ) o n t h e r e a l a x i s , i t i s c l e a r t h a t t h e s e t o f c o m p l e x

n u m b e r s i n c l u d e s t h e r e a l n u m b e r s a s a s u b s e t . C o m p l e x n u m b e r s o f t h e f o r m ( 0 , y )

c o r r e s p o n d t o p o i n t s o n t h e y a x i s a n d a r e c a l l e d p u r e i m a g i n a r y n u m b e r s . T h e y a x i s

i s , t h e n , r e f e r r e d t o a s t h e i m a g i n a r y a x i s .

I t i s c u s t o m a r y t o d e n o t e a c o m p l e x n u m b e r ( x , y ) b y z , s o t h a t

( 1 )

z = ( x , y ) .

T h e r e a l n u m b e r s x a n d y a r e , m o r e o v e r , k n o w n a s t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f z ,

r e s p e c t i v e l y ; a n d w e w r i t e

( 2 )

R e z = x ,

I m z = Y .

T w o c o m p l e x n u m b e r s z 1 = ( x 1 , y 1 ) a n d z 2 = ( x 2 , y 2 ) a r e e q u a l w h e n e v e r t h e y h a v e

t h e s a m e r e a l p a r t s a n d t h e s a m e i m a g i n a r y p a r t s . T h u s t h e s t a t e m e n t " I = z 2 m e a n s

t h a t z 1 a n d z 2 c o r r e s p o n d t o t h e s a m e p o i n t i n t h e c o m p l e x , o r z , p l a n e .



2 C o M P L E x N U M B E R S

C H A P . I

T h e s u m z 1 + z 2 a n d t h e p r o d u c t z 1 z 2 o f t w o c o m p l e x n u m b e r s z 1 = ( x 1 , y 1 ) a n d

z 2 = ( x 2 , Y 2 ) a r e d e f i n e d a s f o l l o w s :

( 3 )

( X I , y 1 ) + ( x 2 , Y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + Y 2 ) ,

( 4 )

( x 1 , y 1 ) ( x 2 , Y 2 ) = ( x 1 x 2 - " Y I Y 2 , Y l X 2 + x 1 Y 2 ) .

N o t e t h a t t h e o p e r a t i o n s d e f i n e d b y e q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) b e c o m e t h e u s u a l o p e r a t i o n s

o f a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n w h e n r e s t r i c t e d t o t h e r e a l n u m b e r s :

( x 1 , 0 ) + ( x 2 , 0 ) = ( x I + x 2 , 0 ) ,

( x 1 , 0 ) ( x 2 , 0 ) = ( x 1 x 2 , 0 ) .

T h e c o m p l e x n u m b e r s y s t e m i s , t h e r e f o r e , a n a t u r a l e x t e n s i o n o f t h e r e a l n u m b e r

s y s t e m .

A n y c o m p l e x n u m b e r z = ( x , y ) c a n b e w r i t t e n z = ( x , 0 ) + ( 0 , y ) , a n d i t i s e a s y

t o s e e t h a t ( 0 , 1 ) ( y , 0 ) = ( 0 , y ) . H e n c e

z = ( x , 0 ) + ( 0 , 1 ) ( Y , 0 ) ;

a n d , i f w e t h i n k o f a r e a l n u m b e r a s e i t h e r x o r ( x , 0 ) a n d l e t i d e n o t e t h e i m a g i n a r y

n u m b e r ( 0 , 1 ) ( s e e F i g . 1 ) , i t i s c l e a r t h a t *

( 5 )

z = x + i y .

A l s o , w i t h t h e c o n v e n t i o n z 2 = z z , z 3 = z z 2 , e t c . , w e f i n d t h a t

i 2 = ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) = ( - 1 , 0 ) ,

o r

Y

z = ( x , Y )

0

X

F I G U R E 1

I n v i e w o f e x p r e s s i o n ( 5 ) , d e f i n i t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) b e c o m e

( 7 )

( X I + i Y 1 ) + ( x 2 + i y 2 ) = ( x 1 + x 2 ) + i ( y 1 + Y 2 ) ,

( 8 )

( X 1 + i Y 1 ) ( x 2 + i Y 2 ) = ( x 1 x 2 - y 1 y 2 ) + i ( y 1 x 2 + x 1 y 2 ) -

* I n e l e c t r i c a l e n g i n e e r i n g , t h e l e t t e r j i s u s e d i n s t e a d o f i .



S E C . 2

B A S I C A L G E B R A I C P R O P E R T I E S

O b s e r v e t h a t t h e r i g h t - h a n d s i d e s o f t h e s e e q u a t i o n s c a n b e o b t a i n e d b y

f o r m a l l y

m a n i p u l a t i n g t h e t e r m s o n t h e l e f t a s i f t h e y i n v o l v e d o n l y r e a l

n u m b e r s a n d b y

r e p l a c i n g

i 2 b y - 1 w h e n i t

o c c u r s .

2 . B A S I C A L G E B R A I C P R O P E R T I E S

V a r i o u s p r o p e r t i e s o f a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n o f c o m p l e x n u m b e r s a r e

t h e s a m e a s

f o r r e a l n u m b e r s . W e l i s t h e r e t h e m o r e b a s i c o f t h e s e a l g e b r a i c p r o p e r t i e s

a n d v e r i f y

s o m e o f t h e m . M o s t o f t h e o t h e r s a r e

v e r i f i e d i n t h e e x e r c i s e s .

T h e c o m m u t a t i v e l a w s

( 1 )

a n d t h e a s s o c i a t i v e l a w s

Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1 , Z I Z 2 = Z 2 Z I

( 2 )

( Z I + Z 2 ) + Z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 ) ,

( z 1 Z 2 ) z 3 = z i ( z 2 z 3 )

f o l l o w e a s i l y f r o m t h e d e f i n i t i o n s i n S e c . 1 o f a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n

o f c o m p l e x

n u m b e r s a n d t h e f a c t t h a t r e a l n u m b e r s o b e y t h e s e l a w s . F o r e x a m p l e ,

i f z t = ( x 1 , y 1 )

a n d z 2 = ( x 2 , y 2 ) , t h e n

z 1 + Z 2 = ( x 1 + X 2 , Y 1 + Y 2 ) = ( x 2 + x l , y 2

y l ) Z 2 + Z I .

V e r i f i c a t i o n o f t h e r e s t o f t h e a b o v e l a w s , a s w e l l a s t h e d i s t r i b u t i v e l a w

( 3 )

Z ( Z I + Z 2 ) = z z 1 + z z 2 ,

i s s i m i l a r .

A c c o r d i n g t o t h e c o m m u t a t i v e l a w f o r m u l t i p l i c a t i o n , i y = y i . H e n c e o n e c a n

w r i t e z = x + y i i n s t e a d o f z = x + i y . A l s o , b e c a u s e o f t h e a s s o c i a t i v e

l a w s , a s u m

z I + z 2 + z 3 o r a p r o d u c t z 1 z 2 z 3

i s w e l l d e f i n e d w i t h o u t p a r e n t h e s e s , a s i s t h e c a s e w i t h

r e a l n u m b e r s .

T h e a d d i t i v e i d e n t i t y 0 = ( 0 , 0 ) a n d t h e m u l t i p l i c a t i v e i d e n t i t y 1 = ( 1 , 0 )

f o r r e a l

n u m b e r s c a r r y o v e r t o t h e e n t i r e c o m p l e x n u m b e r s y s t e m . T h a t i s ,

( 4 )

z + 0 = z a n d

z 1 =

f o r e v e r y c o m p l e x n u m b e r z . F u r t h e r m o r e , 0 a n d 1 a r e t h e o n l y c o m p l e x

n u m b e r s w i t h

s u c h p r o p e r t i e s ( s e e E x e r c i s e 9 ) .

T h e r e i s a s s o c i a t e d w i t h e a c h c o m p l e x n u m b e r z = ( x , y ) a n a d d i t i v e i n v e r s e

( 5 )

- z = ( - x , - y ) ,

s a t i s f y i n g t h e e q u a t i o n z + ( - z ) = 0 . M o r e o v e r , t h e r e i s o n l y o n e a d d i t i v e

i n v e r s e

f o r a n y g i v e n z , s i n c e t h e e q u a t i o n ( x , y ) + ( u , v ) = ( 0 , 0 ) i m p l i e s t h a t u = - x

a n d

v = - y . E x p r e s s i o n ( 5 ) c a n a l s o b e w r i t t e n - z = - x -

i y w i t h o u t a m b i g u i t y s i n c e




C H A P . I

( E x e r c i s e 8 ) - ( i y ) = ( - i ) y = i ( - y ) . A d d i t i v e i n v e r s e s a r e u s e d t o d e f i n e s u b t r a c t i o n :

( 6 )

z 1 - z 2 = Z i + ( - z 2 ) .

S o i f z 1 = ( x 1 , Y i ) a n d Z 2 = ( x 2 , Y 2 ) , t h e n

( 7 )

Z 1 - Z 2 = ( X I - x 2 , Y 1 - Y 2 ) = ( x 1 - x 2 ) + i ( Y i - Y 2 ) .

F o r a n y n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r z = ( x , y ) , t h e r e i s a n u m b e r z - I s u c h t h a t

z z - i = 1 . T h i s m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e i s l e s s o b v i o u s t h a n t h e

a d d i t i v e o n e . T o f i n d i t ,

w e s e e k r e a l n u m b e r s u a n d v , e x p r e s s e d i n t e r m s o f x a n d y , s u c h t h a t

( x , y ) ( u , v ) = ( 1 , 0 ) .

A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 4 ) , S e c . 1 , w h i c h d e f i n e s t h e p r o d u c t o f t w o c o m p l e x n u m b e r s ,

u a n d v m u s t s a t i s f y t h e p a i r

x u - y v = 1 , y u + x v = 0

o f l i n e a r s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s ; a n d s i m p l e c o m p u t a t i o n y i e l d s t h e u n i q u e s o l u t i o n

x

- y

_

-

r

x 2 + y 2 , x 2 + Y

S o t h e m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e o f z = ( x , y ) i s

X

- V

( z

0 ) .

8 ) 2 '

y x Y

+

T h e i n v e r s e z - 1 i s n o t d e f i n e d w h e n z = 0 . I n f a c t , z = 0 m e a n s t h a t x 2 + y 2 = 0 ; a n d

t h i s i s n o t p e r m i t t e d i n e x p r e s s i o n ( 8 ) .

E X E R C I S E S

1 . V e r i f y

( a ) ( / - i ) - i ( 1 - i ) _ - 2 i ;

( b ) ( 2 , - 3 ) ( - 2 , 1 ) = ( - 1 , 8 ) ;

( c ) ( 3 , 1 ) ( 3 , - 1 )

( 2 , 1 ) .

2 . S h o w t h a t

( a ) R e ( i z )

I m z ; ( b ) I m ( i z ) = R e z .

3 . S h o w t h a t ( l + z ) 2 = l + 2 z + z 2 .

4 . V e r i f y t h a t e a c h o f t h e t w o n u m b e r s z = 1 ± i s a t i s f i e s t h e e q u a t i o n z 2 - 2 z + 2 = 0 .

5 . P r o v e t h a t m u l t i p l i c a t i o n i s c o m m u t a t i v e , a s s t a t e d i n t h e s e c o n d o f e q u a t i o n s ( 1 ) , S e c . 2 .

6 . V e r i f y

( a ) t h e a s s o c i a t i v e l a w f o r a d d i t i o n , s t a t e d i n t h e f i r s t o f e q u a t i o n s ( 2 ) , S e c . 2 ;

( b ) t h e d i s t r i b u t i v e l a w ( 3 ) , S e c . 2 .



6

C O M P L E x N U M B E R S

C H A P . I

T h a t i s ,

Z I

=

X 1 X 2 + Y I Y 2

Y 1 X 2 - ` X 1 Y 2

( 2 )

-

1 2 - f

i

2 2

( Z 2 0 0 ) -

X 2 + Y 2

x 2

Y 2

A l t h o u g h e x p r e s s i o n ( 2 ) i s n o t e a s y t o r e m e m b e r , i t c a n b e o b t a i n e d b y w r i t i n g ( s e e

E x e r c i s e 7 )

( 3 )

Z I

( x 1 + i Y 1 ) ( x 2 - i Y 2 )

Z 2

( x 2 + i Y 2 ) ( x 2 - i Y 2 )

m u l t i p l y i n g o u t t h e p r o d u c t s i n t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r o n t h e r i g h t , a n d t h e n

u s i n g t h e p r o p e r t y

L 1 r t

2

1

1 1

=

L 1

4 2

( 4 )

= ( Z 1 + z 2 ) Z 3 = Z l z 3 + Z 2 Z 3

+

( Z 3

3 6 0 ) -

Z 3

Z 3

Z 3

T h e m o t i v a t i o n f o r s t a r t i n g w i t h e q u a t i o n ( 3 ) a p p e a r s i n S e c . 5 .

T h e r e a r e s o m e e x p e c t e d i d e n t i t i e s , i n v o l v i n g q u o t i e n t s , t h a t f o l l o w f r o m t h e

r e l a t i o n

( 5 )

( z 2 A O ) ,

- - 1

-

Z 2

Z 2

w h i c h i s e q u a t i o n ( 1 ) w h e n z 1 = 1 . R e l a t i o n ( 5 ) e n a b l e s u s , f o r e x a m p l e , t o w r i t e

e q u a t i o n ( 1 ) i n t h e f o r m

( 6 )

Z 1

= Z l t

1

Z 2

\ Z 2

A l s o , b y o b s e r v i n g t h a t ( s e e E x e r c i s e 3 )

( z 2 A 0 )

( z 1 z 2 ) ( Z 1 1 Z 2 1 ) = ( Z l z 1 1 ) ( Z 2 Z 2 1 ) = 1

( z 1 7 - 0 , z 2 7 - 0 ) ,

a n d h e n c e t h a t ( z 1 z 2 ) - 1

=

z , i - 1 z

1 , o n e c a n u s e r e l a t i o n ( 5 ) t o s h o w t h a t

( 7 )

1

= ( z 1 z 2

Z 1 Z 2

( z 1 3 6 0 , z 2 0 0 )

A n o t h e r u s e f u l i d e n t i t y , t o b e d e r i v e d i n t h e e x e r c i s e s , i s

O , z 4 3 6 O ) .8 )

1 3 Z 4

Z 3

(

4



S E C . 3

E X A M P L E . C o m p u t a t i o n s s u c h a s t h e f o l l o w i n g a r e n o w j u s t i f i e d :

( 2 3 e ) G + z )

1

E X E R C I S E S

7

( 2 - 3 i ) ( l + i )

5 - i 5 + i

( 5 - i ) ( 5 + i )

_ 5 + i 5

i _ 5 I

2 6

2 6

+

2 6 2 6

+

2 6

F i n a l l y , w e n o t e t h a t t h e b i n o m i a l f o r m u l a i n v o l v i n g r e a l n u m b e r s r e m a i n s v a l i d

w i t h c o m p l e x n u m b e r s . T h a t i s , i f z 1 a n d Z 2 a r e a n y t w o c o m p l e x n u m b e r s ,

( 9 )

( Z t + Z 2 ) n

w h e r e

n

k . = 0

( : )

n - k z l

z 2

( n =

n

_ n

( k = 0 ,

k k ( n - k )

d w h e r e i t i s a g r e e d t h a t 0 = 1 . T h e p r o o f , b y m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n , i s l e f t a s a n

e x e r c i s e .

E X E R C I S E S

1 . R e d u c e e a c h o f t h e s e q u a n t i t i e s t o a r e a l n u m b e r :

1 + 2 i 2 - i

5 i

( a ) 3 - 4 i

+

S i

( b )

( 1 - i ) ( 2 - i ) ( 3 - i

A n s . ( a ) - 2 / 5 ; ( b ) - 1 / 2 ;

( c ) - 4 .

2 . S h o w t h a t

( a ) ( - 1 ) z - - z ;

( b ) 1 I z = z ( z A 0 ) .

3 . U s e t h e a s s o c i a t i v e a n d c o m m u t a t i v e l a w s f o r m u l t i p l i c a t i o n t o s h o w t h a t

( z l z 2 ) ( z 3 z 4 ) = ( z l z 3 ) ( z 2 z 4 )

4 . P r o v e t h a t i f z 1 z 2 z 3 = 0 , t h e n a t l e a s t o n e o f t h e t h r e e f a c t o r s i s z e r o .

S u g g e s t i o n : W r i t e ( z l z 2 ) z 3 = 0 a n d u s e a s i m i l a r r e s u l t ( S e c . 3 ) i n v o l v i n g t w o

f a c t o r s .

5 . D e r i v e e x p r e s s i o n ( 2 ) , S e c . 3 , f o r t h e q u o t i e n t z t / Z 2 b y t h e m e t h o d d e s c r i b e d j u s t a f t e r

i t .

6 . W i t h t h e a i d o f r e l a t i o n s ( 6 ) a n d ( 7 ) i n S e c . 3 , d e r i v e i d e n t i t y ( 8 ) t h e r e .

7 . U s e i d e n t i t y ( 8 ) i n S e c . 3 t o d e r i v e t h e c a n c e l l a t i o n l a w :

i

=

z t

( z 2 A 0 , z A 0 ) .

z 2 z Z 2




C H A P . I

8 . U s e m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n t o v e r i f y t h e b i n o m i a l f o r m u l a ( 9 ) i n S e c . 3 . M o r e p r e c i s e l y ,

n o t e f i r s t t h a t t h e f o r m u l a i s t r u e w h e n n = 1 . T h e n , a s s u m i n g t h a t i t i s v a l i d w h e n n = m

w h e r e m d e n o t e s a n y p o s i t i v e i n t e g e r , s h o w t h a t i t m u s t h o l d w h e n n = m + 1 .

4 . M O D U L I

I t i s n a t u r a l t o a s s o c i a t e a n y n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r z = x + i y w i t h t h e d i r e c t e d l i n e

s e g m e n t , o r v e c t o r , f r o m t h e o r i g i n t o t h e p o i n t ( x , y ) t h a t r e p r e s e n t s z ( S e c .

1 ) i n t h e

c o m p l e x p l a n e . I n f a c t , w e o f t e n r e f e r t o z a s t h e p o i n t z o r t h e v e c t o r z . I n F i g . 2 t h e

n u m b e r s z = x + i y a n d - 2 + i a r e d i s p l a y e d g r a p h i c a l l y a s b o t h p o i n t s a n d r a d i u s

v e c t o r s .

A c c o r d i n g t o t h e d e f i n i t i o n o f t h e s u m o f t w o c o m p l e x n u m b e r s z 1 = x j + i y 1

a n d z 2 = x 2 + i Y 2 , t h e n u m b e r z 1 + z 2 c o r r e s p o n d s t o t h e p o i n t ( x 1 + x 2 , Y t + Y 2 ) . I t

a l s o c o r r e s p o n d s t o a v e c t o r w i t h t h o s e c o o r d i n a t e s a s i t s c o m p o n e n t s . H e n c e z l + z 2

m a y b e o b t a i n e d v e c t o r i a l l y a s s h o w n i n F i g . 3 . T h e d i f f e r e n c e z 1 - z 2 = z 1 +

( - z 2 )

c o r r e s p o n d s t o t h e s u m o f t h e v e c t o r s f o r z 1 a n d - z 2 ( F i g . 4 ) .

A l t h o u g h t h e p r o d u c t o f t w o c o m p l e x n u m b e r s z 1 a n d z 2 i s i t s e l f a c o m p l e x

n u m b e r r e p r e s e n t e d b y a v e c t o r , t h a t v e c t o r l i e s i n t h e s a m e p l a n e a s t h e v e c t o r s f o r z 1

a n d z 2 . E v i d e n t l y , t h e n , t h i s p r o d u c t i s n e i t h e r t h e s c a l a r n o r t h e v e c t o r p r o d u c t u s e d

i n o r d i n a r y v e c t o r a n a l y s i s .

T h e v e c t o r i n t e r p r e t a t i o n o f c o m p l e x n u m b e r s i s e s p e c i a l l y h e l p f u l i n e x t e n d i n g

t h e c o n c e p t o f a b s o l u t e v a l u e s o f r e a l n u m b e r s t o t h e c o m p l e x p l a n e . T h e m o d u l u s ,

o r a b s o l u t e v a l u e , o f a c o m p l e x n u m b e r z = x + i v

i s d e f i n e d a s t h e n o n n e g a t i v e r e a l

S E C . 4

M O D U L I

9

F I G U R E 4

n u m b e r

x 2 + y 2 a n d i s d e n o t e d b y I z 1 ; t h a t i s ,

( 1 )

I z I = x 2

- + y 2 .

G e o m e t r i c a l l y , t h e n u m b e r I z 1 i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t ( x , y )

a n d t h e o r i g i n ,

o r t h e l e n g t h o f t h e v e c t o r r e p r e s e n t i n g z .

I t r e d u c e s t o t h e u s u a l a b s o l u t e v a l u e i n t h e

r e a l n u m b e r s y s t e m w h e n y = 0 . N o t e t h a t , w h i l e t h e i n e q u a l i t y z 1 < z 2

i s m e a n i n g l e s s

u n l e s s b o t h z I a n d z 2 a r e r e a l , t h e s t a t e m e n t I z i l < I z 2 1 m e a n s t h a t t h e

p o i n t z 1 i s c l o s e r

t o t h e o r i g i n t h a n t h e p o i n t z 2 i s .

E X A M P L E 1 . S i n c e 1 - 3 + 2 i I =

1 3 a n d 1 1 + 4 i I =

1 7 , t h e p o i n t - 3 + 2 i i s

c l o s e r t o t h e o r i g i n t h a n I + 4 i i s .

T h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n t s z 1 = x 1 + i y 1 a n d z 2 = x 2 + i y 2

i s I z i - z 2 1 . T h i s

i s c l e a r f r o m F i g . 4 , s i n c e I z i - z 2 1 i s t h e l e n g t h o f t h e v e c t o r

r e p r e s e n t i n g z i - z 2 ; a n d ,

b y t r a n s l a t i n g t h e r a d i u s v e c t o r z I - z 2 , o n e c a n i n t e r p r e t z I - z 2 a s

t h e d i r e c t e d l i n e

s e g m e n t f r o m t h e p o i n t ( x 2 , y 2 ) t o t h e p o i n t ( x 1 , y i ) .

A l t e r n a t i v e l y , i t f o l l o w s f r o m t h e

e x p r e s s i o n

- Z 2 = ( X I - x 2 ) + i ( Y 1 -

Y 2 )

a n d d e f i n i t i o n ( 1 ) t h a t

I z i - z 2 1 =

( x i -

( Y I - Y 2 ) 2 .

T h e c o m p l e x n u m b e r s z c o r r e s p o n d i n g t o t h e p o i n t s l y i n g o n t h e

c i r c l e w i t h c e n t e r

z a a n d r a d i u s R t h u s

s a t i s f y t h e e q u a t i o n I z - z a l = R , a n d c o n v e r s e l y . W e r e f e r t o t h i s

s e t o f p o i n t s s i m p l y a s t h e c i r c l e I z - z o l = R .

E X A M P L E 2 .

T h e e q u a t i o n I z - 1 + 3 i j = 2 r e p r e s e n t s t h e c i r c l e w h o s e c e n t e r i s

z o = ( 1 , - 3 ) a n d w h o s e

r a d i u s i s R = 2 .

I t a l s o f o l l o w s f r o m d e f i n i t i o n ( 1 ) t h a t t h e r e a l n u m b e r s I z 1 , R e z = x ,

a n d I m z = y

a r e r e l a t e d b y t h e e q u a t i o n

( 2 ) I z 1 2 = ( R e

z ) 2 + ( I M

1 0


C H A P . I

T h u s

( 3 )

R e z <

R e z ) <

I

a n d I m z < I l m z l < I z j .

W e t u r n n o w t o t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y , w h i c h p r o v i d e s a n u p p e r b o u n d f o r t h e

m o d u l u s o f t h e s u m o f t w o c o m p l e x n u m b e r s z 1 a n d z 2 :

< I

+ I z 2 1 -

T h i s i m p o r t a n t i n e q u a l i t y i s g e o m e t r i c a l l y e v i d e n t i n F i g . 3 , s i n c e i t i s m e r e l y a

s t a t e m e n t t h a t t h e l e n g t h o f o n e s i d e o f a t r i a n g l e i s l e s s t h a n o r e q u a l t o t h e s u m

o f t h e l e n g t h s o f t h e o t h e r t w o s i d e s . W e c a n a l s o s e e f r o m F i g . 3 t h a t i n e q u a l i t y ( 4 )

i s a c t u a l l y a n e q u a l i t y w h e n 0 , z 1 , a n d z 2 a r e c o l l i n e a r . A n o t h e r , s t r i c t l y a l g e b r a i c ,

d e r i v a t i o n i s g i v e n i n E x e r c i s e 1 6 , S e c . 5 .

A n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y i s t h e f a c t t h a t

( 5 )

I z 1 + Z 2 1 ? 1 1 Z 1 1 - I z 2 1 1 -

T o d e r i v e i n e q u a l i t y ( 5 ) , w e w r i t e

I z 1 1 = I ( z i + z 2 )

w h i c h m e a n s t h a t

( 6 )

( z 1 + Z 2 1 ? I z 1 1 - I z 2 1 -

T h i s i s i n e q u a l i t y ( 5 ) w h e n j z 1 1 > I z 2 1 . I f

z 2 i n i n e q u a l i t y ( 6 ) t o g e t

2

, w e

n e e d o n l y i n t e r c h a n g e z 1 a n d

I z 1 + z 2 1 > - - ( I z 1 1 - I z 2 1 ) ,

w h i c h i s t h e d e s i r e d r e s u l t . I n e q u a l i t y ( 5 ) t e l l s u s , o f c o u r s e , t h a t t h e l e n g t h o f o n e s i d e

o f a t r i a n g l e i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o t h e d i f f e r e n c e o f t h e l e n g t h s o f t h e o t h e r t w o

s i d e s .

B e c a u s e I - Z 2 1 = I z 2 1 , o n e c a n r e p l a c e z 2 b y - z 2 i n i n e q u a l i t i e s ( 4 ) a n d ( 5 ) t o

s u m m a r i z e t h e s e r e s u l t s i n a p a r t i c u l a r l y u s e f u l f o r m :

( 7 )

I z I

Z 2 1 < I z 1 1 + I z 2 1 ,

( 8 )

I z 1 ± z 2 1 ? 1 1 z 1 I - I z 2 1 1 .

E X A M P L E 3 .

I f a p o i n t z l i e s o n t h e u n i t c i r c l e I z I = 1 a b o u t t h e o r i g i n , t h e n

- 2 1 < I z 1 + 2 = 3

a n d

- 2

I

2

S E C . 5

C O M P L E X C O N J U G A T E S

T h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y ( 4 ) c a n b e g e n e r a l i z e d b y m e a n s o f m a t h e m a t i c a l i n d u c -

t i o n t o s u m s i n v o l v i n g a n y f i n i t e n u m b e r o f t e r m s :

( 9 )

I z 1 1

( n = 2 , 3 , . . . ) .

T o g i v e d e t a i l s o f t h e i n d u c t i o n p r o o f h e r e , w e n o t e t h a t w h e n n = 2 , i n e q u a l i t y ( 9 ) i s

j u s t i n e q u a l i t y ( 4 ) . F u r t h e r m o r e , i f i n e q u a l i t y ( 9 ) i s a s s u m e d t o b e v a l i d w h e n n = m ,

i t m u s t a l s o h o l d w h e n n = i n + 1 s i n c e , b y i n e q u a l i t y ( 4 ) ,

1 ( z l + z 2 +

< ( I z 1 1 + I z 2 1 + + I z m l ) + I z m + l l

E X E R C I S E S

1 . L o c a t e t h e n u m b e r s z 1 + z 2 a n d z 1 - Z 2 v e c t o r i a l l y w h e n

2

z 1 = 2 i ,

z 2 =

- 1 ;

( b ) z 1 = ( - J

, 1 ) ,

z 2 = ( - , / 3 - , 0 ) ;

( c ) z 1 = ( - 3 . 1 ) ,

z 2 = ( 1 , 4 ) ;

( d ) z 1 = x i + i y l ,

z 2 = x

2 . V e r i f y i n e q u a l i t i e s ( 3 ) , S e c . 4 , i n v o l v i n g R e z , I m z , a n d I z I .

3 . V e r i f y t h a t / 2 - I z I ? I R e z 1 + I l m z 1 .

S u g g e s t i o n : R e d u c e t h i s i n e q u a l i t y t o ( l x I - I y l ) 2

0 .

4 . I n e a c h c a s e , s k e t c h t h e s e t o f p o i n t s d e t e r m i n e d b y t h e g i v e n c o n d i t i o n :

( a ) I z - 1 + i 1 = 1 ;

( b ) I z + i l < 3 ;

( c ) I z - 4 i 1 > 4 .

5 . U s i n g t h e f a c t t h a t 1 z 1 - z 2 1 i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n t s z 1 a n d z 2 , g i v e a g e o m e t r i c

a r g u m e n t t h a t

( a ) 1 z - 4 i l + I z + 4 i l = 1 0 r e p r e s e n t s a n e l l i p s e w h o s e f o c i a r e ( 0 , ± 4 ) ;

( b )

I z - 1 1 = I z + i l r e p r e s e n t s t h e l i n e t h r o u g h t h e o r i g i n w h o s e s l o p e i s - 1 .

5 . C O M P L E X C O N J U G A T E S

T h e c o m p l e x c o n j u g a t e , o r s i m p l y t h e c o n j u g a t e , o f a c o m p l e x n u m b e r z = x + i y

i s

d e f i n e d a s t h e c o m p l e x n u m b e r x - i y a n d i s d e n o t e d b y z ; t h a t i s ,

( 1 )

z = x - i y .

T h e n u m b e r i i s r e p r e s e n t e d b y t h e p o i n t ( x , - y ) , w h i c h i s t h e r e f l e c t i o n i n t h e r e a l

a x i s o f t h e p o i n t ( x , y ) r e p r e s e n t i n g z ( F i g . 5 ) . N o t e t h a t

z

=

z

a n d

I z I

f o r a l l z .

I f z , = x 1 + i y l a n d Z 2 = x 2 + i Y 2 , t h e n

z

z 1 + z 2 = ( x 1 + x 2 ) - i ( y l + y 2 ) = ( x 1 - i Y 1 ) + ( x 2 - i y 2 )



2


S o t h e c o n j u g a t e o f t h e s u m i s t h e s u m o f t h e c o n j u g a t e s :

( 2 )

Z I + z 2 = z 1 + z 2 .

I n l i k e m a n n e r , i t i s e a s y t o s h o w t h a t

( 3 )

( 4 )

a n d

( 5 )

( z 2 0 0 ) .

C H A P . I

T h e s u m z + z o f a c o m p l e x n u m b e r z = x + i y a n d i t s c o n j u g a t e z = x - i y i s

t h e r e a l n u m b e r 2 x , a n d t h e d i f f e r e n c e z - z i s t h e p u r e i m a g i n a r y n u m b e r 2 i y . H e n c e

( 6 )

R e z = z

2 z ,

I m z

z

= - 2 i z .

A n i m p o r t a n t i d e n t i t y r e l a t i n g t h e c o n j u g a t e o f a c o m p l e x n u m b e r z = x + i y t o

i t s m o d u l u s i s

( 7 )

z 1 - Z 2 = Z I - Z 2 ,

Z 1 Z 2 = Z 1 Z 2 ,

z z =

w h e r e e a c h s i d e i s e q u a l t o x 2 + y 2 . I t s u g g e s t s t h e m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g a q u o t i e n t

z 1 / z 2 t h a t b e g i n s w i t h e x p r e s s i o n ( 3 ) , S e c . 3 . T h a t m e t h o d i s , o f c o u r s e , b a s e d o n

m u l t i p l y i n g b o t h t h e n u m e r a t o r a n d t h e d e n o m i n a t o r o f z l / z 2 b y z 2 , s o t h a t t h e

d e n o m i n a t o r b e c o m e s t h e r e a l n u m b e r 1 z 2 1 2 .

E X A M P L E 1 .

A s a n i l l u s t r a t i o n ,

- 1 + 3 i

_

( - I + 3 i ) ( 2 + i )

- 5 + 5 i

- 5 + 5 i

- - 1

2 - i

( 2 - i ) ( 2 + i )

_ -

T 2 - i l 2

5

S e e a l s o t h e e x a m p l e n e a r t h e e n d o f S e c . 3 .

S E C . 5

E X E R C I S E S

I d e n t i t y ( 7 ) i s e s p e c i a l l y u s e f u l i n o b t a i n i n g p r o p e r t i e s o f m o d u l i f r o m p r o p e r t i e s

o f c o n j u g a t e s n o t e d a b o v e . W e m e n t i o n t h a t

( 8 )

I Z I Z 2 1 = I Z I I I Z 2 I

a n d

( 9 )

z I

z 2

I z 2 1

P r o p e r t y ( 8 ) c a n b e e s t a b l i s h e d b y w r i t i n g

( z 2 0 0 )

1 z I Z 2 1 2

= ( z l z 2 ) ( z j z 2 ) = ( z i z 2 ) ( z t z 2 ) _ ( z I

( z 2 z 2 ) = I z i l 2 1 z 2 1 2 = ( I z i I I z 2 1 ) 2

a n d r e c a l l i n g t h a t a m o d u l u s i s n e v e r n e g a t i v e . P r o p e r t y ( 9 ) c a n b e v e r i f i e d i n a s i m i l a r

w a y .

E X A M P L E 2 .

P r o p e r t y ( 8 ) t e l l s u s t h a t 1 z 2 1 = I z 1 2 a n d I z 3 1

=

I z 1 3 . H e n c e i f z i s a

p o i n t i n s i d e t h e c i r c l e c e n t e r e d a t t h e o r i g i n w i t h r a d i u s 2 , s o t h a t I z l < 2 , i t f o l l o w s

f r o m t h e g e n e r a l i z e d f o r m ( 9 ) o f t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y i n S e c . 4 t h a t

I z 3 + 3 z 2 - 2 z +

1 1 < I z 1 3 + 3 I z 1 2 + 2 I z ) + 1 < 2 5 .

E X E R C I S E S

1 . U s e p r o p e r t i e s o f c o n j u g a t e s a n d m o d u l i e s t a b l i s h e d i n S e c . 5 t o s h o w t h a t

( a ) . + 3 i = z - 3 i ;

( b ) i z

( c ) ( 2 + i ) 2 . = 3 - 4 i ;

( d ) I ( 2 z + 5 ) ( V - i ) I = ' I 2 z + 5 1 .

2 . S k e t c h t h e s e t o f p o i n t s d e t e r m i n e d b y t h e c o n d i t i o n

( a ) R e ( z - i ) = 2 ;

( b ) 1 2 z - i I = 4 .

3 . V e r i f y p r o p e r t i e s ( 3 ) a n d ( 4 ) o f c o n j u g a t e s i n S e c . 5 .

4 . U s e p r o p e r t y ( 4 ) o f c o n j u g a t e s i n S e c . 5 t o s h o w t h a t

( a ) z l z 2 z 3 = i t z 2 L 3 ;

( b ) z 4 = z 4 .

5 . V e r i f y p r o p e r t y ( 9 ) o f m o d u l i i n S e c . 5 .

6 . U s e r e s u l t s i n S e c . 5 t o s h o w t h a t w h e n z 2 a n d z 3 a r e n o n z e r o ,

( a )

z i

.

Z 2 Z 3 /

Z 2 Z 3

( b )

z i

Z 2 Z 3

I z i I

I Z I - I I Z 3 1

7 . U s e e s t a b l i s h e d p r o p e r t i e s o f m o d u l i t o s h o w t h a t w h e n I z 3 1 5 4 I Z 4 1 ,

z i + z 2 < I Z I I + I z 2 1

Z 3 + Z 4

I I Z 3 1 - I Z 4 1 1

1 4 C O M P L E x N U M B E R S

C H A P . I

8 . S h o w t h a t

I R e ( 2 + + z 3 ) I < 4

w h e n I z I < 1 .

9 . I t i s s h o w n i n S e c . 3 t h a t i f z l z , = 0 , t h e n a t l e a s t o n e o f t h e n u m b e r s z 1 a n d z 2 m u s t b e

z e r o . G i v e a n a l t e r n a t i v e p r o o f b a s e d o n t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t f o r r e a l n u m b e r s a n d

u s i n g i d e n t i t y ( 8 ) , S e c . 5 .

1 0 . B y f a c t o r i n g z 4 - 4 z 2 + 3 i n t o t w o q u a d r a t i c f a c t o r s a n d t h e n u s i n g i n e q u a l i t y ( 8 ) , S e c . 4 ,

s h o w t h a t i f z l i e s o n t h e c i r c l e I z I = 2 , t h e n

I

z 4 - 4 z 2 + 3

1 1 . P r o v e t h a t

( a ) z i s r e a l i f a n d o n l y i f z = z ;

( b ) z i s e i t h e r r e a l o r p u r e i m a g i n a r y i f a n d o n l y i f

` 2

= z 2 .

1 2 . U s e m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n t o s h o w t h a t w h e n n = 2 , 3 , . . . ,

( a ) Z I + Z 2 + . . . + Z n = Z 1 + Z 2 + . . . + Z n ;

1 3 . L e t a o , a 1 , a 2 , . .

, a , ,

( n > 1 ) d e n o t e r e a l n u m b e r s , a n d l e t z b e a n y c o m p l e x n u m b e r .

W i t h t h e a i d o f t h e r e s u l t s i n E x e r c i s e 1 2 , s h o w t h a t

a o + a l z + a 2 Z 2 + . . . + a , , z n = a o + a j

+ a 2 T 2 + . . . + a n Z n .

1 4 . S h o w t h a t t h e e q u a t i o n I z - z o l = R o f a c i r c l e , c e n t e r e d a t z 0 w i t h r a d i u s R , c a n b e

w r i t t e n

- 2 R e ( z z 0 )+ I Z 0 1 ` = R 2 .

1 5 . U s i n g e x p r e s s i o n s ( 6 ) , S e c . 5 , f o r R e Z a n d I m z , s h o w t h a t t h e h y p e r b o l a x 2 2 -

c a n b e w r i t t e n

z 2 + Z 2 = 2 .

1 6 . F o l l o w t h e s t e p s b e l o w t o g i v e a n a l g e b r a i c d e r i v a t i o n o f t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y ( S e c . 4 )

I z i + z 2 1 < I z l l + I z 2 1

( a ) S h o w

I Z 1 + Z 2 1 ` _ ( z 1 + z 2 ) Z t + z 2 = Z 1 z i +

2

Z 1 Z 2 ) + Z 2 Z 2 -

( b ) P o i n t o u t w h y

z 1 Z 2 + z 1 Z 2 = 2 R e ( z 1 Z 2 ) < 2 1 z 1 1 1 z 2 1 .

U s e t h e r e s u l t s i n p a r t s ( a ) a n d ( b ) t o o b t a i n t h e i n e q u a l i t y

I z 1 + z 2 1 2 < ( I z 1 1 + I z 2 1 ) 2 ,

a n d n o t e h Q w t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y f o l l o w s .

S E C . 6

E X P O N E N T I A L F O R M

1 5

6 . E X P O N E N T I A L F O R M

L e t r a n d 9 b e p o l a r c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t ( x , y ) t h a t c o r r e s p o n d s t o a n o n z e r o

c o m p l e x n u m b e r z = x + i y . S i n c e x = r c o s 0 a n d y = r s i n 0 , t h e n u m b e r z c a n b e

w r i t t e n i n p o l a r f o r m a s

( 1 )

z = r ( c o s 9 + i s i n 9 ) .

I f z = 0 , t h e c o o r d i n a t e 0 i s u n d e f i n e d ; a n d s o i t i s a l w a y s u n d e r s t o o d t h a t z 3 4 0

w h e n e v e r a r g z i s d i s c u s s e d .

I n c o m p l e x a n a l y s i s , t h e r e a l n u m b e r r i s n o t a l l o w e d t o b e n e g a t i v e a n d i s t h e

l e n g t h o f t h e r a d i u s v e c t o r f o r z ; t h a t i s , r = ( z j

.

T h e r e a l n u m b e r 0 r e p r e s e n t s t h e a n g l e ,

m e a s u r e d i n r a d i a n s , t h a t z m a k e s w i t h t h e p o s i t i v e r e a l a x i s w h e n z i s i n t e r p r e t e d a s

a r a d i u s v e c t o r ( F i g . 6 ) . A s i n c a l c u l u s , 9 h a s a n i n f i n i t e n u m b e r o f p o s s i b l e v a l u e s ,

i n c l u d i n g n e g a t i v e o n e s , t h a t d i f f e r b y i n t e g r a l m u l t i p l e s o f 2 n r . T h o s e v a l u e s c a n b e

d e t e r m i n e d f r o m t h e e q u a t i o n t a n 0 = y / x , w h e r e t h e q u a d r a n t c o n t a i n i n g t h e p o i n t

c o r r e s p o n d i n g t o z m u s t b e s p e c i f i e d . E a c h v a l u e o f 9 i s c a l l e d a n a r g u m e n t o f z , a n d

t h e s e t o f a l l s u c h v a l u e s i s d e n o t e d b y a r g z . T h e p r i n c i p a l v a l u e o f a r g z , d e n o t e d b y

A r g z , i s t h a t u n i q u e v a l u e O s u c h t h a t - 7 r < O < Y r . N o t e t h a t

( 2 )

a r g z = A r g z + 2 n j r

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) .

A l s o , w h e n z i s a n e g a t i v e r e a l n u m b e r , A r g z h a s v a l u e 7 r , n o t - s r .

F I G U R E 6

E X A M P L E 1 .

T h e c o m p l e x n u m b e r - 1 - i , w h i c h l i e s i n t h e t h i r d q u a d r a n t , h a s

p r i n c i p a l a r g u m e n t - 3 i r / 4 . T h a t i s ,

A r g ( - 1 - i )

i t

4

I t m u s t b e e m p h a s i z e d t h a t , b e c a u s e o f t h e r e s t r i c t i o n - 7 r < Q

a r g u m e n t O , i t i s n o t t r u e t h a t A r g ( - 1 - i ) = 5 7 r / 4 .

A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 2 ) ,

3

<

o f t h e p r i n c i p a l

g ( - 1 - i ) = - - + 2 n n

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , .



1 6


C H A P . I

N o t e t h a t t h e t e r m A r g z o n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 2 ) c a n b e r e p l a c e d b y a n y

p a r t i c u l a r v a l u e o f a r g z a n d t h a t o n e c a n w r i t e , f o r i n s t a n c e ,

a r g ( - 1 - i ) =

5 7 r

4

+ 2 n n '

( n = O , f l , f 2 , . . . ) .

T h e s y m b o l e i 0 , o r e x p ( i O ) , i s d e f i n e d b y m e a n s o f E u l e r ' s f o r m u l a a s

( 3 )

e i e

= c o s 6 + i s i n 0 ,

w h e r e 0 i s t o b e m e a s u r e d i n r a d i a n s . I t e n a b l e s u s t o w r i t e t h e p o l a r f o r m ( 1 ) m o r e

c o m p a c t l y i n e x p o n e n t i a l f o r m a s

( 4 )

z = r e ` ° .

T h e c h o i c e o f t h e s y m b o l e i e w i l l b e f u l l y m o t i v a t e d l a t e r o n i n S e c . 2 8 . I t s u s e i n S e c .

7 w i l l , h o w e v e r , s u g g e s t t h a t i t i s a n a t u r a l c h o i c e .

E X A M P L E 2 .

T h e n u m b e r - 1 - i i n E x a m p l e 1 h a s e x p o n e n t i a l f o r m

( 5 )

- 1 - e x p [ i

3 4

) I

W i t h t h e a g r e e m e n t t h a t e J ` e = e ' ( - O ) , t h i s c a n a l s o b e w r i t t e n - 1 - i =

e - i 3 7 r / 4 .

E x p r e s s i o n ( 5 ) i s , o f c o u r s e , o n l y o n e o f a n i n f i n i t e n u m b e r o f p o s s i b i l i t i e s f o r t h e

e x p o n e n t i a l f o r m o f - 1 - i :

( 6 )

- 1 - i = 4 e x p

C -

3

+

2 n m r ) ]

( n . = 0 , ± 1 , ± 2 , .

N o t e h o w e x p r e s s i o n ( 4 ) w i t h r = 1 t e l l s u s t h a t t h e n u m b e r s e i e l i e o n t h e c i r c l e

c e n t e r e d a t t h e o r i g i n w i t h r a d i u s u n i t y , a s s h o w n i n F i g . 7 . V a l u e s o f e r e a r e , t h e n ,

i m m e d i a t e f r o m t h a t f i g u r e , w i t h o u t r e f e r e n c e t o E u l e r ' s f o r m u l a . I t i s , f o r i n s t a n c e ,

F I G U R E 7

S E C . 7

P R O D U C T S A N D Q U O T I E N T S I N E X P O N E N T I A L F O R M

1 7

g e o m e t r i c a l l y o b v i o u s t h a t

= - 1 ,

e - t n / 2

= - i ,

a n d

e - i 4 n _

N o t e , t o o , t h a t t h e e q u a t i o n

( 7 )

z =

R e ' a ( 0 <

i s a p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c i r c l e I z I = R , c e n t e r e d a t t h e o r i g i n w i t h r a d i u s

R . A s t h e p a r a m e t e r 0 i n c r e a s e s f r o m 0 = 0 t o 0 = 2 7 r , t h e p o i n t z s t a r t s f r o m t h e

p o s i t i v e r e a l a x i s a n d t r a v e r s e s t h e c i r c l e o n c e i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n . M o r e

g e n e r a l l y , t h e c i r c l e I z - z p ( = R , w h o s e c e n t e r i s z o a n d w h o s e r a d i u s i s R , h a s t h e

p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

( 8 ) z = z 0 + R e i o

( 0 < 0 < 2 7 r ) .

T h i s c a n b e s e e n v e c t o r i a l l y ( F i g . 8 ) b y n o t i n g t h a t a p o i n t z t r a v e r s i n g t h e c i r c l e

I z - z o l = R o n c e i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n c o r r e s p o n d s t o t h e s u m

o f t h e

f i x e d v e c t o r z O a n d a v e c t o r o f l e n g t h R w h o s e a n g l e o f i n c l i n a t i o n 0 v a r i e s f r o m 0

t o 0 = 2 , r .

F I G U R E 8

7 . P R O D U C T S A N D Q U O T I E N T S I N E X P O N E N T I A L F O R M

S i m p l e t r i g o n o m e t r y t e l l s u s t h a t e i 0 h a s t h e f a m i l i a r a d d i t i v e p r o p e r t y o f t h e e x p o n e n -

t i a l f u n c t i o n i n c a l c u l u s :

( c o s 0 , + i s i n 0 1 ) ( c o s 0 2 + i s i n 0 2 )

= ( c o s 0 1 c o s 0 , - s i n 0 1 s i n 0 2 ) + i ( s i n 0 1 c o s

0 2 + c o s 0 1 s i n 0 2 )

= c o s ( 0 1 + 0 2 ) + i s i n ( 0 1 + 0 2 ) =

e i ( 0 1 + 0 2 ) .

T h u s , i f z 1 = r 1 e ` B t a n d z 2 = r 2 e ' ° 2 , t h e p r o d u c t z 1 z 2 h a s e x p o n e n t i a l f o

( 1 ) Z I Z 2

= r l r 2 e i e , e t 8 2 = r i r 2 e i ( 6 I + e 2 )



8 C O M P L E X N U M B E R S

C H A P . I

M o r e o v e r ,

z l

r l e i 8 1 e - i 8 2 r , e i ( 8 1 - 8 2 )

( 2 )

_

Z 2

r 2

e i 8 2 e - i 8 ,

r 2

e i t l

r 2

B e c a u s e 1 = l e i 0 , i t f o l l o w s f r o m e x p r e s s i o n ( 2 ) t h a t t h e i n v e r s e o f a n y n o n z e r o

c o m p l e x n u m b e r z = r e i 8 i s

( 3 )

E x p r e s s i o n s ( 1 ) , ( 2 ) , a n d ( 3 ) a r e , o f c o u r s e , e a s i l y r e m e m b e r e d b y a p p l y i n g t h e u s u a l

a l g e b r a i c r u l e s f o r r e a l n u m b e r s a n d e x .

E x p r e s s i o n ( 1 ) y i e l d s a n i m p o r t a n t i d e n t i t y i n v o l v i n g a r g u m e n t s :

( 4 )

a r g ( z 1 z 2 ) = a r g z 1 + a r g z 2 .

I t i s t o b e i n t e r p r e t e d a s s a y i n g t h a t i f v a l u e s o f t w o o f t h e s e t h r e e ( m u l t i p l e - v a l u e d )

a r g u m e n t s a r e s p e c i f i e d , t h e n t h e r e i s a v a l u e o f t h e t h i r d s u c h t h a t t h e e q u a t i o n h o l d s .

W e s t a r t t h e v e r i f i c a t i o n o f s t a t e m e n t ( 4 ) b y l e t t i n g 0 1 a n d 0 2 d e n o t e a n y v a l u e s

o f a r g z l a n d a r g z 2 , r e s p e c t i v e l y . E x p r e s s i o n ( 1 ) t h e n t e l l s u s t h a t 0 1 + 0 2 i s a v a l u e o f

a r g ( z 1 z 2 ) . ( S e e F i g . 9 . ) I f , o n t h e o t h e r h a n d , v a l u e s o f a r g ( z 1 z 2 ) a n d a r g z 1 a r e s p e c i f i e d ,

t h o s e v a l u e s c o r r e s p o n d t o p a r t i c u l a r c h o i c e s o f n a n d n 1 i n t h e e x p r e s s i o n s

a n d

S i n c e

a r g ( z I z 2 ) = ( 0 1 + 0 2 ) + 2 n . r

( n = 0 , + 1 , f 2 , . . . )

a r g z 1 = 0 1 + 2 n 1 ? r

( n 1 = 0 , ± 1 , + 2 , . . .

( 0 1 + 0 2 ) + 2 n 7 r = ( 0 1 + 2 n 1 7 r ) + [ 0 2 + 2 ( n - n

2 1 4 2



S E C . 7

P R O D U C T S A N D Q U O T I E N T S I N E X P O N E N T I A L F O R M

1 9

e q u a t i o n ( 4 ) i s e v i d e n t l y s a t i s f i e d w h e n t h e v a l u e

a r g z 2 = 8 2 + 2 ( n -

i s c h o s e n . V e r i f i c a t i o n w h e n v a l u e s o f a r g ( z 1 z 2 ) a n d a r g z 2 a r e s p e c i f i e d f o l l o w s b y

s y m m e t r y .

S t a t e m e n t ( 4 ) i s s o m e t i m e s v a l i d w h e n a r g i s r e p l a c e d e v e r y w h e r e b y A r g ( s e e

E x e r c i s e 7 ) . B u t , a s t h e f o l l o w i n g e x a m p l e i l l u s t r a t e s , t h a t i s n o t a l w a y s t h e c a s e .

E X A M P L E 1 . W h e n z 1 = - 1 a n d z 2 = i ,

A r g ( z 1 z 2 ) = A r g ( -

b u t

A r g z 1 + A r g z 2 = r r + - =

3 -

.

i t

2

I f , h o w e v e r , w e t a k e t h e v a l u e s o f a r g z 1 a n d a r g z 2 j u s t u s e d a n d s e l e c t t h e v a l u e

A r g ( z t z 2 ) +

o f a r g ( z 1 z 2 ) , w e f i n d t h a t e q u a t i o n ( 4

S t a t e m e n t ( 4 ) t e l l s u s t h a t

2 . 7 r = - Z + 2 n ' = 3 2

i s s a t i s f i e d .

a r g ( z l

= a r g ( z j z 2 1 ) = a r g z 1 + a r g ( z 2 1 ) ,

2

a n d w e c a n s e e f r o m e x p r e s s i o n ( 3 ) t h a t

( 5 )

H e n c e

( 6 )

= a r g z 1 - a r g z 2 .

S t a t e m e n t ( 5 ) i s , o f c o u r s e , t o b e i n t e r p r e t e d a s s a y i n g t h a t t h e s e t o f a l l v a l u e s o n t h e

l e f t - h a n d s i d e i s t h e s a m e a s t h e s e t o f a l l v a l u e s o n t h e r i g h t - h a n d s i d e . S t a t e m e n t ( 6 )

i s , t h e n , t o b e i n t e r p r e t e d i n t h e s a m e w a y t h a t s t a t e m e n t ( 4 ) i s .

E X A M P L E 2 .

I n o r d e r t o f i n d t h e p r i n c i p a l a r g u m e n t A r g z w h e n

- 2

Z -

1 + A i

o b s e r v e t h a t

g ( z 2 1 ) _ - a r g z 2 .

a r g z = a r g ( - 2 ) - a r g ( l



2 0 C O M P L E x N U M B E R S

S i n c e

A r g ( - 2 ) = i r

a n d

A r g ( 1 + V i )

= 3

C H A P . I

o n e v a l u e o f a r g z i s 2 7 r / 3 ; a n d , b e c a u s e 2 i r / 3 i s b e t w e e n - 7 r a n d n , w e f i n d t h a t

A r g z = 2 n j 3 .

A n o t h e r i m p o r t a n t r e s u l t t h a t c a n b e o b t a i n e d f o r m a l l y b y a p p l y i n g r u l e s f o r r e a l

n u m b e r s t o z = r e ` s i s

( 7 )

Z n

=

r n e i n 8

( n = 0 , ± l , ± 2 , .

I t i s e a s i l y v e r i f i e d f o r p o s i t i v e v a l u e s o f n b y m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n . T o b e s p e c i f i c ,

w e f i r s t n o t e t h a t i t b e c o m e s z =

r e ` s w h e n n = 1 . N e x t , w e a s s u m e t h a t i t i s v a l i d

w h e n n = i n , w h e r e m i s a n y p o s i t i v e i n t e g e r . I n v i e w o f e x p r e s s i o n ( 1 ) f o r t h e p r o d u c t

o f t w o n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r s i n e x p o n e n t i a l f o r m , i t i s t h e n v a l i d f o r n = m + 1 :

= Z Z m =

r e i & r m e i m o

=

r r n + l e i ( m - t - 1 ) 8

E x p r e s s i o n ( 7 ) i s t h u s v e r i f i e d w h e n n i s a p o s i t i v e i n t e g e r . I t a l s o h o l d s w h e n n

w i t h t h e c o n v e n t i o n t h a t z 0 = 1 . I f n = - 1 , - 2 , . . . , o n t h e o t h e r h a n d , w e d e f i n e z n

i n t e r m s o f t h e m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e o f z b y w r i t i n g

z n = ( z - l ) m

w h e r e m = - n = 1 , 2 , .

T h e n , s i n c e e x p r e s s i o n ( 7 ) i s v a l i d f o r p o s i t i v e i n t e g r a l p o w e r s , i t f o l l o w s f r o m t h e

e x p o n e n t i a l f o r m ( 3 ) o f

z - i

t h a t

e l m ( - 8 )

_ (

) - n

e i ( - n ) ( - 8 ) _ r n e i n 8

r

E x p r e s s i o n ( 7 ) i s n o w e s t a b l i s h e d f o r a l l i n t e g r a l p o w e r s .

O b s e r v e t h a t i f r = 1 , e x p r e s s i o n ( 7 ) b e c o m e s

( 8 )

( e i 8 ) n =

e i n e

( n

= 0 , ± 1 , f 2 , . . . ) .

W h e n w r i t t e n i n t h e f o r m

( 9 )

( c o s 0

+ i

s i n 9 ) n = c o s

n O + i

s i n

n O

( n

= 0 , ± 1 , ± 2 ,

t h i s i s k n o w n a s d e M o i v r e ' s f o r m u l a .

E x p r e s s i o n ( 7 ) c a n b e u s e f u l i n f i n d i n g p o w e r s o f c o m p l e x n u m b e r s e v e n w h e n

t h e y a r e g i v e n i n r e c t a n g u l a r f o r m a n d t h e r e s u l t i s d e s i r e d i n t h a t f o r m .

S E C . 7

E x E R C I s F . s 2 1

E X A M P L E 3 .

I n o r d e r t o p u t ( f +

i ) 7 i n r e c t a n g u l a r f o r m ,

o n e n e e d o n l y w r i t e

+ i ) 7 = ( 2 e

E X E R C I S E S

1 . F i n d t h e p r i n c i p a l a r g u m e n t A r g z w h e n

( a ) z =

- 2

'

2 i

;

( b ) z = ( ' - i ) 6 .

A n s . ( a ) - 3 7 r / 4 ;

( b ) i r .

2 . S h o w t h a t ( a ) l e t e i = 1 ;

( b ) e i O =

e - ' O

3 . U s e m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n t o s h o w t h a t

e r o l e t O 2 . . .

e ' 9 1 = e i ( 0 1 + 9 Z + . . . + 0 n )

( n = 2 , 3 , . . . ) .

4 . U s i n g t h e f a c t t h a t t h e m o d u l u s I e ` 0 - 1 1 i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s e " 9 a n d 1 ( s e e

S e c . 4 ) , g i v e a g e o m e t r i c a r g u m e n t t o f i n d a v a l u e o f 8 i n t h e i n t e r v a l 0 < 8 < 2 i r t h a t

s a t i s f i e s t h e e q u a t i o n I e ' e - 1 1 = 2 .

A n s . i r .

5 . U s e d e M o i v r e ' s f o r m u l a ( S e c . 7 ) t o d e r i v e t h e f o l l o w i n g t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t i e s :

( a ) c o s 3 0 = c o s 3 8 - 3 c o s 8 s i n

2

8 ;

( b ) s i n 3 0 = 3 c o s t 8 s i n 8 - s i n 3 8 .

6 . B y w r i t i n g t h e i n d i v i d u a l f a c t o r s o n t h e l e f t i n e x p o n e n t i a l f o r m , p e r f o r m i n g t h e n e e d e d

o p e r a t i o n s , a n d f i n a l l y c h a n g i n g b a c k t o r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s , s h o w t h a t

( a ) i ( 1 -

i ) (

+ i ) = 2 ( 1 - I

- i ) ;

( b ) 5 i / ( 2 + i ) = 1 + 2 i ;

( c ) ( - 1 + i ) 7 = - 8 ( l + i ) ;

( d ) ( 1 +

i ) - Z O = 2 - 1 1 ( - l

+ 1 3 i ) .

7 . S h o w t h a t i f R e z t > 0 a n d R e z 2 > 0 , t h e n

A r g ( z l z 2 ) = A r g z l + A r g z 2 ,

w h e r e A r g ( z t z 2 ) d e n o t e s t h e p r i n c i p a l v a l u e o f a r g ( z l z 2 ) , e t c .

8 . L e t z b e a n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r a n d n a n e g a t i v e i n t e g e r ( n = - 1 , - 2 , . . . ) . A l s o ,

w r i t e z = r e ` O a n d m = - n = 1 , 2 , . . . . U s i n g t h e e x p r e s s i o n s

4 m = r m e i m O

a n d

z - 1

= 1 l e t (

a )

r

v e r i f y t h a t

( z m ) _ t

=

( z - ' ) m

a n d h e n c e t h a t t h e d e f i n i t i o n z n = ( z - ' ) m i n S e c . 7 c o u l d

h a v e b e e n w r i t t e n a l t e r n a t i v e l y a s z " =

( z m ) - t

9 . P r o v e t h a t t w o n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r s z t a n d z 2 h a v e t h e s a m e m o d u l i i f a n d o n l y i f

t h e r e a r e c o m p l e x n u m b e r s c l a n d c 2 s u c h t h a t z t = c l c 2 a n d z 2 = c l c 2 .

S u g g e s t i o n : N o t e t h a t

2 2


a n d [ s e e E x e r c i s e 2 ( b ) ]

1 0 . E s t a b l i s h t h e i d e n t i t y

e x p I

i ' ,

) e x p ( i V '

I = e x p ( i 8 2 ) .

2

2

1 - z n + l

+ z + z ` +

z n

1 - z

a n d t h e n u s e i t t o d e r i v e L a g r a n g e ' s t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t y :

1 + c o s 8 + c o s 2 0 +

+ c o s n 0 =

1

` +

s i n [ ( 2 n + 1 ) 0 / 2 ]

2 s i n ( 0 / 2 )

C H A P . I

0 < 2 r r ) .

S u g g e s t i o n : A s f o r t h e f i r s t i d e n t i t y , w r i t e S = 1 + z + z 2 +

+ z n a n d c o n s i d e r

t h e d i f f e r e n c e S - z S . T o d e r i v e t h e s e c o n d i d e n t i t y , , w r i t e z =

e ` 9 i n t h e f i r s t o n e .

) U s e t h e b i n o m i a l f o r m u l a ( S e c . 3 ) a n d d e M o i v r e ' s f o r m u l a ( S e c . 7 ) t o w r i t e

n

c o s n O + i s i n n O =

{ n

c o s h - k 0 ( i s i n 0 ) k

( n = 1 , 2 , .

.

k = O

T h e n d e f i n e t h e i n t e g e r m b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n s

m =

J n / 2

i f n i s e v e n ,

( n - 1 ) / 2

i f n i s o d d

a n d u s e t h e a b o v e s u m t o o b t a i n t h e e x p r e s s i o n [ c o m p a r e E x e r c i s e 5 ( a ) ]

c o s n d = E ( 2 k I ( - 1 ) k

c o s n - 2 k 0 s i n k 0

( r t = 1 , 2 , . . . 1 1

0 l=

( b ) W r i t e x = c o s 0 a n d s u p p o s e t h a t 0 - < 0 < i t , i n w h i c h c a s e - 1 < - x < - 1 . P o i n t o u t

h o w i t f o l l o w s f r o m t h e f i n a l r e s u l t i n p a r t ( a ) t h a t e a c h o f t h e f u n c t i o n s

T , ( x ) = c o s ( n c o s ` ' x )

( n = 0 , 1 , 2 , . . . }

i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n i n t h e v a r i a b l e x

8 . R O O T S O F C O M P L E X N U M B E R S

C o n s i d e r n o w a p o i n t z = r e ` n , l y i n g o n a c i r c l e c e n t e r e d a t t h e o r i g i n w i t h r a d i u s r ( F i g .

1 0 ) . A s 0 i s i n c r e a s e d , z m o v e s a r o u n d t h e c i r c l e i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n . I n

p a r t i c u l a r , w h e n 0 i s i n c r e a s e d b y 2 i r , w e a r r i v e a t t h e o r i g i n a l p o i n t ; a n d t h e s a m e i s

* T h e s e p o l y n o m i a l s a r e c a l l e d C h e b y s h e v p o l y n o m i a l s a n d a r e p r o m i n e n t i n a p p r o x i m a t i o n t h e o r y .



S E C . 8

F I G U R E 1 0

R O O T S O F C O M P L E X N U M B E R S

2 3

t r u e w h e n 0 i s d e c r e a s e d b y 2 , 7 . I t i s , t h e r e f o r e , e v i d e n t f r o m F i g . 1 0 t h a t t w o n o n z e r o

c o m p l e x n u m b e r s

z 1 = r l e i 6 1 a n d

z 2 = r 2 e i e 2

a r e e q u a l i f a n d o n l y i f

r 1 = r 2

a n d

0 1 = 0 2 + 2 k 7 r ,

w h e r e k i s s o m e i n t e g e r ( k = 0 , + 1 , ± 2 , . . . ) .

T h i s o b s e r v a t i o n , t o g e t h e r w i t h t h e e x p r e s s i o n z n = r n e i n e i n S e c . 7 f o r i n t e g r a l

p o w e r s o f c o m p l e x n u m b e r s z =

r e i 0 , i s u s e f u l i n f i n d i n g t h e n t h r o o t s o f a n y n o n z e r o

c o m p l e x n u m b e r z o = r p e i ° 0 , w h e r e n h a s o n e o f t h e v a l u e s n = 2 , 3 , . . . . T h e m e t h o d

s t a r t s w i t h t h e f a c t t h a t a n n t h r o o t o f z a i s a n o n z e r o n u m b e r z =

r e i 0 s u c h t h a t z n

= z 0 ,

o r

r n e i n O

= r c e i e 0 .

A c c o r d i n g t o t h e s t a t e m e n t i n i t a l i c s j u s t a b o v e , t h e n ,

a n d

n O = 0 0 + 2 k i r ,

w h e r e k i s a n y i n t e g e r ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) . S o r = / r p , w h e r e t h i s r a d i c a l d e n o t e s

t h e u n i q u e p o s i t i v e n t h r o o t o f t h e p o s i t i v e r e a l n u m b e r r a , a n d

0

0 c + 2 k i r

=

8 a

+ 2 k 7 r

( k

= 0 , t 1 , t 2 , . . . ) .

n

n n

C o n s e q u e n t l y , t h e c o m p l e x n u m b e r s

V r - 0 e x p

[ , ( 1 0

+

2 n r )

. 1

( k = 0 , + 1 , + 2 , .

a r e t h e n t h r o o t s o f z o . W e a r e a b l e t o s e e i m m e d i a t e l y

f r o m t h i s e x p o n e n t i a l f o r m o f

t h e r o o t s t h a t t h e y a l l l i e o n t h e c i r c l e I z I = n r c a b o u t t h e o r i g i n a n d a r e e q u a l l y s p a c e d

e v e r y 2 n / n r a d i a n s , s t a r t i n g w i t h a r g u m e n t 0 0 1 n . E v i d e n t l y ,

t h e n , a l l o f t h e d i s t i n c t

2 4


C H A P . I

r o o t s a r e o b t a i n e d w h e n k = 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 , a n d n o f u r t h e r r o o t s a r i s e w i t h o t h e r

v a l u e s o f k . W e l e t c k ( k = 0 , 1 , 2 ,

. . . , n -

1 ) d e n o t e t h e s e d i s t i n c t r o o t s a n d w r i t e

( 1 )

c k = " r o e x p

S e e F i g . 1 1

t o + 2 k 7 r

n n

F I G U R E 1 1

( k = 0 , 1 , 2 ,

. . .

, n -

1 ) .

T h e n u m b e r n r o i s t h e l e n g t h o f e a c h o f t h e r a d i u s v e c t o r s r e p r e s e n t i n g t h e n

r o o t s . T h e f i r s t r o o t c o h a s a r g u m e n t 0 0 / n ; a n d t h e t w o r o o t s w h e n n = 2 l i e a t t h e

o p p o s i t e e n d s o f a d i a m e t e r o f t h e c i r c l e I z I = M r - - o , t h e s e c o n d r o o t b e i n g - c o . W h e n

n > 3 , t h e r o o t s l i e a t t h e v e r t i c e s o f a r e g u l a r p o l y g o n o f n s i d e s i n s c r i b e d i n t h a t c i r c l e .

W e s h a l l l e t

d e n o t e t h e s e t o f n t h r o o t s o f z o . I f , i n p a r t i c u l a r , z o i s a p o s i t i v e

r e a l n u m b e r r o , t h e s y m b o l r a i n d e n o t e s t h e e n t i r e s e t o f r o o t s ; a n d t h e s y m b o l r z r e i n

e x p r e s s i o n ( 1 ) i s r e s e r v e d f o r t h e o n e p o s i t i v e r o o t . W h e n t h e v a l u e o f 8 a t h a t i s u s e d i n

e x p r e s s i o n ( 1 ) i s t h e p r i n c i p a l v a l u e o f a r g z o ( - : r < O o < ; r ) , t h e n u m b e r c o i s r e f e r r e d

t o a s t h e p r i n c i p a l r o o t . T h u s w h e n z o i s a p o s i t i v e r e a l n u m b e r r o , i t s p r i n c i p a l r o o t i s

r o .

F i n a l l y , a c o n v e n i e n t w a y t o r e m e m b e r e x p r e s s i o n ( 1 ) i s t o w r i t e z o i n i t s m o s t

g e n e r a l e x p o n e n t i a l f o r m ( c o m p a r e E x a m p l e 2 i n S e c . 6 )

( 2 )

z o = r o e

i ( 8 + 2 k s r )

( k = 0 , + 1 , + 2 , . . . )

a n d t o f a r m a l l y a p p l y l a w s o f f r a c t i o n a l e x p o n e n t s i n v o l v i n g r e a l n u m b e r s , k e e p i n g i n

m i n d t h a t t h e r e a r e p r e c i s e l y n r o o t s :

e X [ ( 0 0 +

2 k i r )

1 n

=

[ r o e 1 ( 0 0 + 2 k ] 1 '

= P n

_ F F r o

2 k 7 ) ]

( k

= 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 ) .

t I r z

T h e e x a m p l e s i n t h e n e x t s e c t i o n s e r v e t o i l l u s t r a t e t h i s m e t h o d f o r f i n d i n g r o o t s o f

c o m p l e x n u m b e r s .



S E C . 9

E X A M P L E S

2 5

9 . E X A M P L E S

I n e a c h o f t h e e x a m p l e s h e r e , w e s t a r t w i t h e x p r e s s i o n ( 2 ) , S e c . 8 , a n d p r o c e e d i n t h e

m a n n e r d e s c r i b e d a t t h e e n d o f t h a t s e c t i o n .

E X A M P L E 1 .

I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e n t h r o o t s o f u n i t y , w e w r i t e

1 = 1 e x p [ i ( 0 + 2 k 7 r ) ]

( k = 0 , f 1 , ± 2 . . . )

a n d f i n d t h a t

1 / n =

( 0

+

2 k n

-

e x p i

n n

2 k n

= e x p i

)

( k = 0 , 1 , 2 , . . . , n -

n

W h e n n = 2 , t h e s e r o o t s a r e , o f c o u r s e , ± 1 . W h e n n > 3 , t h e r e g u l a r p o l y g o n a t w h o s e

v e r t i c e s t h e r o o t s l i e i s i n s c r i b e d i n t h e u n i t c i r c l e I z I = 1 , w i t h o n e v e r t e x c o r r e s p o n d i n g

t o t h e p r i n c i p a l r o o t z = 1 ( k = 0 ) .

e w r i t e

( 2 )

c o i l = e x p

i t f o l l o w s f r o m p r o p e r t y ( 8 ) , S e c . 7 , o f e i e t h a t

2 k 7 r

n

( k = 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 ) .

H e n c e t h e d i s t i n c t n t h r o o t s o f u n i t y j u s t f o u n d a r e s i m p l y

w n , w n , .

. .

,

W n - 1

S e e F i g . 1 2 , w h e r e t h e c a s e s n = 3 , 4 , a n d 6 a r e i l l u s t r a t e d . N o t e t h a t c o n

1 . F i n a l l y ,

F I G U R E 1 2



2 6


C H A P . I

i t i s w o r t h w h i l e o b s e r v i n g t h a t i f c i s a n y p a r t i c u l a r n t h r o o t o f a n o n z e r o c o m p l e x

n u m b e r z o , t h e s e t o f n t h r o o t s c a n b e p u t i n t h e f o r m

2

C , c w , , C w ` t ,

.

n

n

T h i s i s b e c a u s e m u l t i p l i c a t i o n o f a n y n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r b y

w n i n c r e a s e s t h e

a r g u m e n t o f t h a t n u m b e r b y 2 i r / n , w h i l e l e a v i n g i t s m o d u l u s u n c h a n g e d .

E X A M P L E 2 .

L e t u s f i n d a l l v a l u e s o f ( - 8 i ) 1 / 3 , o r t h e t h r e e c u b e r o o t s o f - 8 i . O n e

n e e d o n l y w r i t e

- 8 i = 8 e x p

i ( -

+ 2 k r c ) ]

( k = O , + 1 , ± 2 , .

t o s e e t h a t t h e d e s i r e d r o o t s a r e

( 3 )

C k = 2 e x p

( _ , - r

2 3

( k = O , 1 , 2

T h e y l i e a t t h e v e r t i c e s o f a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e , i n s c r i b e d i n t h e c i r c l e z j

= 2 , a n d

a r e e q u a l l y s p a c e d a r o u n d t h a t c i r c l e e v e r y 2 n / 3 r a d i a n s , s t a r t i n g w i t h t h e p r i n c i p a l

r o o t ( F i g . 1 3 )

C o = 2 e x p

= 2 t c o s 6 - 1 s i n 6 )

=

W i t h o u t a n y f u r t h e r c a l c u l a t i o n s , i t i s t h e n e v i d e n t t h a t c l = 2 i ; a n d , s i n c e c 2 i s

s y m m e t r i c t o c o w i t h r e s p e c t t o t h e i m a g i n a r y a x i s , w e k n o w t h a t c , = - J

- i .

T h e s e r o o t s c a n , o f c o u r s e , b e w r i t t e n

C O ' C O C 0 3 1

C O L t l 3

w h e r e

w 3 = e x p

( S e e t h e r e m a r k s a t t h e e n d o f E x a m p l e 1 . )

F I G U R E 1 3



S E C . 9

E X A M P L E S

2 7

E X A M P L E 3 .

T h e t w o v a l u e s c k ( k = 0 , 1 ) o f ( J + i ) 1 1 2 , w h i c h a r e t h e s q u a r e

r o o t s o f

+ i , a r e f o u n d b y w r i t i n g

/ n

+ i

= 2 e x p [ i ( 6 + 2 k 7 r

a n d ( s e e F i g . 1 4 )

( k = 0 , + 1 , ± 2 , .

( 4 )

C k k =

e x p [ i

( 2

+ k n

( k = 0 , 1 ) .

2

x

F I G U R E 1 4

E u l e r ' s f o r m u l a ( S e c . 6 ) t e l l s u s t h a t

c o =

e x p

a n d t h e t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t i e s

( 5 )

j a

l + c o s a

c o s t I

2

=

2

e n a b l e u s t o w r i t e

c o s 1 2 + i s i n

1 2

s

( a

1 - c o s a

2

2



2 8


C o n s e q u e n t l y ,

S i n c e c l = - c o , t h e t w o s q u a r e r o o t s o f 1 1 3 + i a r e , t h e n ,

C H A P . I

E X E R C I S E S

1 . F i n d t h e s q u a r e r o o t s o f ( a ) 2 i ; ( b ) 1 - 1 - i a n d e x p r e s s t h e m i n r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s .

A n s . ( a ) + ( l + i ) ;

( b ) +

/ 3 -

i

.

2 . I n e a c h c a s e , f i n d a l l o f t h e r o o t s i n r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s , e x h i b i t t h e m a s v e r t i c e s o f

c e r t a i n s q u a r e s , a n d p o i n t o u t w h i c h i s t h e p r i n c i p a l r o o t :

(

- 1 6 ) 1 1 4 ;

( b ) ( - 8 - 8 - , / - 3 i )

1 / 4 .

A n s . ( a ) + 1 / 2 - ( 1 + i ) , ± J ( 1 - i ) ;

( b ) + ( 1 3 - i ) , + ( I + 1 3 - i ) .

3 . I n e a c h c a s e , f i n d a l l o f t h e r o o t s i n r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s , e x h i b i t t h e m a s v e r t i c e s o f

c e r t a i n r e g u l a r p o l y g o n s , a n d i d e n t i f y t h e p r i n c i p a l r o o t :

( a ) ( - 1 ) I / 3 ;

( b ) 8 1 1 6 .

A n s . ( b ) + , +

1 + V i

4 . A c c o r d i n g t o E x a m p l e 1 i n S e c . 9 , t h e t h r e e c u b e r o o t s o f a n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r z o

c a n b e w r i t t e n c o , c o c 3 , c o c o a , w h e r e c o i s t h e p r i n c i p a l c u b e r o o t o f z o a n d

( a 3 = e x p

- 1 + - 0 3 i

2

S h o w t h a t i f z o = - 4 1 T + 4 1 / i , t h e n c o = / ( 1 + i ) a n d t h e o t h e r t w o c u b e r o o t s a r e ,

i n r e c t a n g u l a r f o r m , t h e n u m b e r s

- ( 1 1 + 1 ) + ( V - 1 ) i

2

(

- 1 ) - ( / + l ) i

c o w 3 = ,

c o w w 3 =

- v / 2 -

5 . ( a ) L e t a d e n o t e a n y f i x e d r e a l n u m b e r a n d s h o w t h a t t h e t w o s q u a r e r o o t s o f a + i a r e

+ / A e x p i 2 }

w h e r e A = o f a 2 + 1 a n d a = A r g ( a + i ) .



S E C . I O

R E G I O N S I N T H E C O M P L E X P L A N E

2 9

( b ) W i t h t h e a i d o f t h e t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t i e s ( 5 ) i n E x a m p l e 3 o f S e c . 9 , s h o w t h a t t h e

s q u a r e r o o t s o b t a i n e d i n p a r t ( a ) c a n b e w r i t t e n

1

+ ( A + a + i A - a ) .

( N o t e t h a t t h i s b e c o m e s t h e f i n a l r e s u l t i n E x a m p l e 3 , S e c . 9 , w h e n a = . ]

6 . F i n d t h e f o u r r o o t s o f t h e e q u a t i o n z 4 + 4 = 0 a n d u s e t h e m t o f a c t o r z 4 + 4 i n t o q u a d r a t i c

f a c t o r s w i t h r e a l c o e f f i c i e n t s .

A n s . ( z 2 + 2 z + 2 ) ( z 2 - 2 z + 2 ) .

7 . S h o w t h a t i f c i s a n y n t h r o o t o f u n i t y o t h e r t h a n u n i t y i t s e l f , t h e n

1 + c + c 2 + . .

-

+ c " - t

= 0 .

S u g g e s t i o n : U s e t h e f i r s t i d e n t i t y i n E x e r c i s e 1 0 , S e c . 7 .

8 . ( a ) P r o v e t h a t t h e u s u a l f o r m u l a s o l v e s t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n

a z 2 + b z + c = 0

( a 3 6 0 )

w h e n t h e c o e f f i c i e n t s a , b , a n d c a r e c o m p l e x n u m b e r s . S p e c i f i c a l l y , b y c o m p l e t i n g

t h e s q u a r e o n t h e l e f t - h a n d s i d e , d e r i v e t h e q u a d r a t i c f o r m u l a

- b + ( b 2 - 4 a c )

t , f 2

2 a

w h e r e b o t h s q u a r e r o o t s a r e t o b e c o n s i d e r e d w h e n b 2 - 4 a c A 0 ,

( b ) U s e t h e r e s u l t i n p a r t ( a ) t o f i n d t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n z 2 + 2 z + ( 1 -

A n s . ( b )

( _ i

+

+ 7 2

9 . L e t z = r e ` ' b e a n y n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r a n d n a n e g a t i v e i n t e g e r ( n = - 1 , - 2 , . . . ) .

T h e n d e f i n e z t / " b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n

z t / n = ( z - t ) 1 / m w h e r e

m = - n . B y s h o w i n g

t h a t t h e m v a l u e s o f ( z i / m ) - t a n d

( z - 1 ) t / m

a r e t h e s a m e , v e r i f y t h a t z t / n =

( z l / m ) - t

( C o m p a r e E x e r c i s e 8 , S e c . 7 . )

1 0 . R E G I O N S I N T H E C O M P L E X P L A N E

I n t h i s s e c t i o n , w e a r e c o n c e r n e d w i t h s e t s o f c o m p l e x n u m b e r s , o r p o i n t s i n t h e z p l a n e ,

a n d t h e i r c l o s e n e s s t o o n e a n o t h e r . O u r b a s i c t o o l i s t h e c o n c e p t o f a n E n e i g h b o r h o o d

( 1 )

1 z - z o 1 «

o f a g i v e n p o i n t z 0 . I t c o n s i s t s o f a l l p o i n t s z l y i n g i n s i d e b u t n o t o n a c i r c l e c e n t e r e d a t

3 0


C H A P . 1

Y

z - z o

0

F I G U R E 1 5

z o a n d w i t h a s p e c i f i e d p o s i t i v e r a d i u s E

( F i g . 1 5 ) . W h e n t h e v a l u e o f E i s u n d e r s t o o d o r

i s i m m a t e r i a l i n t h e d i s c u s s i o n , t h e s e t ( 1 ) i s o f t e n r e f e r r e d t o a s j u s t a

n e i g h b o r h o o d .

O c c a s i o n a l l y , i t i s c o n v e n i e n t t o s p e a k o f a d e l e t e d n e i g h b o r h o o d

( 2 )

Q < I z - z o l < £ ,

c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s z i n a n e n e i g h b o r h o o d o f z e e x c e p t f o r t h e p o i n t z e

i t s e l f .

A p o i n t z o i s s a i d t o b e a n i n t e r i o r p o i n t o f a s e t S w h e n e v e r t h e r e

i s s o m e

n e i g h b o r h o o d o f z o t h a t c o n t a i n s o n l y p o i n t s o f S ; i t i s c a l l e d a n e x t e r i o r p o i n t o f

S w h e n t h e r e e x i s t s a n e i g h b o r h o o d o f i t c o n t a i n i n g n o p o i n t s o f S . I f z o i s

n e i t h e r o f

t h e s e , i t i s a b o u n d a r y p o i n t o f S . A b o u n d a r y p o i n t i s , t h e r e f o r e , a p o i n t a l l

o f w h o s e

n e i g h b o r h o o d s c o n t a i n p o i n t s i n S a n d p o i n t s n o t i n S . T h e t o t a l i t y o f a l l

b o u n d a r y

p o i n t s i s c a l l e d t h e b o u n d a r y o f S . T h e c i r c l e I z l = 1 , f o r i n s t a n c e , i s t h e b o u n d a r y

o f

e a c h o f t h e s e t s

( 3 )

I z I < 1

a n d

l z l <

A s e t i s o p e n i f i t c o n t a i n s n o n e o f i t s b o u n d a r y p o i n t s . I t i s l e f t a s a n e x e r c i s e

t o s h o w t h a t a s e t i s o p e n i f a n d o n l y i f e a c h o f i t s p o i n t s

i s a n i n t e r i o r p o i n t . A s e t i s

c l o s e d i f i t c o n t a i n s a l l o f i t s b o u n d a r y p o i n t s ; a n d t h e c l o s u r e o f a s e t S i s t h e

c l o s e d

s e t c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s i n S t o g e t h e r w i t h t h e b o u n d a r y o f S .

N o t e t h a t t h e f i r s t o f

t h e s e t s ( 3 ) i s o p e n a n d t h a t t h e s e c o n d i s i t s c l o s u r e .

S o m e s e t s a r e , o f c o u r s e , n e i t h e r o p e n n o r c l o s e d . F o r a s e t t o b e n o t o p e n ,

t h e r e m u s t b e a b o u n d a r y p o i n t t h a t i s c o n t a i n e d i n t h e s e t ; a n d i f a s e t i s n o t c l o s e d ,

t h e r e e x i s t s a b o u n d a r y p o i n t n o t c o n t a i n e d i n t h e s e t . O b s e r v e t h a t t h e p u n c t u r e d

d i s k

0 < I z I < 1 i s n e i t h e r o p e n n o r c l o s e d . T h e s e t o f a l l c o m p l e x n u m b e r s i s , o n

t h e o t h e r

h a n d , b o t h o p e n a n d c l o s e d s i n c e i t h a s n o b o u n d a r y p o i n t s .

A n o p e n s e t S i s c o n n e c t e d i f e a c h p a i r o f p o i n t s z i a n d z 2 i n i t c a n b e j o i n e d

b y a p o l y g o n a l l i n e , c o n s i s t i n g o f a f i n i t e n u m b e r o f l i n e s e g m e n t s

j o i n e d e n d t o e n d ,

t h a t l i e s e n t i r e l y i n S . T h e o p e n s e t I z l < I i s c o n n e c t e d . T h e a n n u l u s

1 < I z I < 2 i s ,

o f c o u r s e , o p e n a n d i t i s a l s o c o n n e c t e d ( s e e F i g . 1 6 ) . A n o p e n s e t t h a t i s

c o n n e c t e d

i s c a l l e d a d o m a i n . N o t e t h a t a n y n e i g h b o r h o o d i s a d o m a i n . A d o m a i n

t o g e t h e r w i t h

s o m e , n o n e , o r a l l o f i t s b o u n d a r y p o i n t s i s r e f e r r e d t o a s a

r e g i o n .

S E C . 1 0

F I G U R E 1 6

E X E R C I S E S

3 1

A s e t S i s b o u n d e d i f e v e r y p o i n t o f S l i e s i n s i d e s o m e c i r c l e l z j = R ; o t h e r w i s e ,

i t i s u n b o u n d e d . B o t h o f t h e s e t s ( 3 ) a r e b o u n d e d r e g i o n s , a n d t h e h a l f p l a n e R e z > 0

i s u n b o u n d e d .

A p o i n t z 0 i s s a i d t o b e a n a c c u m u l a t i o n p o i n t o f a s e t S i f e a c h d e l e t e d n e i g h -

b o r h o o d o f z 0 c o n t a i n s a t l e a s t o n e p o i n t o f S . I t f o l l o w s t h a t i f a s e t S i s c l o s e d , t h e n

i t c o n t a i n s e a c h o f i t s a c c u m u l a t i o n p o i n t s . F o r i f a n a c c u m u l a t i o n p o i n t z 0 w e r e n o t

i n S , i t w o u l d b e a b o u n d a r y p o i n t o f S ; b u t t h i s c o n t r a d i c t s t h e f a c t t h a t a c l o s e d s e t

c o n t a i n s a l l o f i t s b o u n d a r y p o i n t s . I t i s l e f t a s a n e x e r c i s e t o s h o w t h a t t h e c o n v e r s e

i s , i n f a c t , t r u e . T h u s , a s e t i s c l o s e d i f a n d o n l y i f i t c o n t a i n s a l l o f i t s a c c u m u l a t i o n

p o i n t s .

E v i d e n t l y , a p o i n t z 0 i s n o t a n a c c u m u l a t i o n p o i n t o f a s e t S w h e n e v e r t h e r e e x i s t s

s o m e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d o f z 0 t h a t d o e s n o t c o n t a i n p o i n t s o f S . N o t e t h a t t h e o r i g i n

i s t h e o n l y a c c u m u l a t i o n p o i n t o f t h e s e t z , = i / n ( n = 1 , 2 , . . . ) .

E X E R C I S E S

1 . S k e t c h t h e f o l l o w i n g s e t s a n d d e t e r m i n e w h i c h a r e d o m a i n s :

( a ) I z - 2 + i I < 1 ;

( b ) E 2 z + 3 1 > 4 ;

( c ) I m z > 1 ;

( e ) O < a r g z < n / 4 ( z 3 4 O ) ;

A n s . ( b ) , ( c ) a r e d o m a i n s .

( d ) I m z = 1 ;

( f ) I z - 4 > > l z l .

2 . W h i c h s e t s i n E x e r c i s e I a r e n e i t h e r o p e n n o r c l o s e d ?

A n s . ( e ) .

3 . W h i c h s e t s i n E x e r c i s e 1 a r e b o u n d e d ?

A n s . ( a ) .

4 . I n e a c h c a s e , s k e t c h t h e c l o s u r e o f t h e s e t :

( a ) - r r < a r g z < 7 r ( z 3 4 0 ) ;

( b ) J R e z j 0 .

z

2

3 2


C H A P . I

5 . L e t S b e t h e o p e n s e t c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s z s u c h t h a t I z I < 1 o r ( z - 2 1 < 1 .

S t a t e w h y

S i s n o t c o n n e c t e d .

6 . S h o w t h a t a s e t S i s o p e n i f a n d o n l y i f e a c h p o i n t i n S i s a n i n t e r i o r p o i n t .

7 . D e t e r m i n e t h e a c c u m u l a t i o n p o i n t s o f e a c h o f t h e f o l l o w i n g s e t s :

( a ) z = i " ( n = 1 , 2 , . . . ) ;

( b ) z , , = i " / n ( n = 1 , 2 , . . . ) ;

( c ) 0 < a r g z < n / 2 ( z 3 4 0 ) ;

( d ) z n = ( - 1 ) n ( 1

+ i ) n n

1

( n = 1 , 2 , . . . ) .

A n s . ( a ) N o n e ; ( b ) 0 ; ( d ) ± ( 1 + i ) .

8 . P r o v e t h a t i f a s e t c o n t a i n s e a c h o f i t s a c c u m u l a t i o n p o i n t s , t h e n i t m u s t b e a c l o s e d s e t .

9 . S h o w t h a t a n y p o i n t z p o f a d o m a i n i s a n a c c u m u l a t i o n p o i n t o f t h a t d o m a i n ,

1 0 . P r o v e t h a t a f i n i t e s e t o f p o i n t s z 1 , z 2 , . . . , z , c a n n o t h a v e a n y a c c u m u l a t i o n p o i n t s .



C H A P T E R

2

A N A L Y T I C F U N C T I O N S

W e n o w c o n s i d e r f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e a n d d e v e l o p a t h e o r y o f d i f f e r e n t i -

a t i o n f o r t h e m . T h e m a i n g o a l o f t h e c h a p t e r i s t o i n t r o d u c e a n a l y t i c f u n c t i o n s , w h i c h

p l a y a c e n t r a l r o l e i n c o m p l e x a n a l y s i s .

F U N C T I O N S O F A C O M P L E X V A R I A B L E

L e t S b e a s e t o f c o m p l e x n u m b e r s . A f u n c t i o n f d e f i n e d o n S i s a r u l e t h a t a s s i g n s t o

e a c h z i n S a c o m p l e x n u m b e r w . T h e n u m b e r w i s c a l l e d t h e v a l u e o f f a t

z a n d i s

d e n o t e d b y f ( z ) , t h a t i s , w = f ( z ) . T h e s e t S i s c a l l e d t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f f . *

I t m u s t b e e m p h a s i z e d t h a t b o t h a d o m a i n o f d e f i n i t i o n a n d a r u l e a r e n e e d e d i n

o r d e r f o r a f u n c t i o n t o b e w e l l d e f i n e d . W h e n t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n i s n o t m e n t i o n e d ,

w e a g r e e t h a t t h e l a r g e s t p o s s i b l e s e t i s t o b e t a k e n . A l s o , i t i s n o t a l w a y s c o n v e n i e n t

t o u s e n o t a t i o n t h a t d i s t i n g u i s h e s b e t w e e n a g i v e n f u n c t i o n a n d i t s v a l u e s .

E X A M P L E 1 .

I f f i s d e f i n e d o n t h e s e t z 0 0 b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n

w = 1 / z , i t

m a y b e r e f e r r e d t o o n l y a s t h e f u n c t i o n w = l / z , o r s i m p l y t h e f u n c t i o n 1 / z .

S u p p o s e t h a t w = u + i v i s t h e v a l u e o f a f u n c t i o n f a t z = x + i y , s o t h a t

u - I - i v = f ( x + i y ) .

* A l t h o u g h t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n i s o f t e n a d o m a i n a s d e f i n e d i n S e c . 1 0 , i t n e e d n o t b e .



3 4 A N A L Y T I C F U N C T I O N S

C H A P . 2

E a c h o f t h e r e a l n u m b e r s u a n d v d e p e n d s o n t h e r e a l v a r i a b l e s x a n d y , a n d i t f o l l o w s

t h a t f ( z ) c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f a p a i r o f r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t h e r e a l

v a r i a b l e s x a n d y :

( 1 )

f ( z ) = u ( x , y

+ i v ( x , Y ) .

I f t h e p o l a r c o o r d i n a t e s r a n d 8 , i n s t e a d o f x a n d y , a r e u s e d , t h e n

u + i v = f ( r

w h e r e w = u + i v a n d z = r e i n . I n t h a t c a s e , w e m a y w r i t e

( 2 )

f ( z ) = u ( r , 8

E X A M P L E 2 .

I f f ( z ) = z 2 , t h e n

f ( x + i y ) = ( x + i y ) 2 = x 2 - y 2 + i 2 x y .

H e n c e

u ( x , y ) = x 2 - y 2

a n d v ( x , y ) = 2 x y .

W h e n p o l a r c o o r d i n a t e s a r e u s e d ,

2

=

r 2 e i 2 0

= r 2 c o s 2 8 + i r 2 s i n 2 8 .


u ( r , 8 ) = r 2 c o s 2 8

a n d

v ( r , 8 ) = r 2 s i n 2 8 .

I f , i n e i t h e r o f e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) , t h e f u n c t i o n v a l w a y s h a s v a l u e z e r o , t h e n

t h e v a l u e o f f i s a l w a y s r e a l . T h a t i s , f i s a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n o f a c o m p l e x v a r i a b l e .

E X A M P L E 3 . A r e a l - v a l u e d f u n c t i o n t h a t i s u s e d t o i l l u s t r a t e s o m e i m p o r t a n

c o n c e p t s l a t e r i n t h i s c h a p t e r i s

f ( Z ) = I Z 1 2 = x 2 + y 2 + i 0 .

I f n i s z e r o o r a p o s i t i v e i n t e g e r a n d i f a 0 , a 1 , a 2 ,

. . . , a n a r e

c o m p l e x c o n s t a n t s ,

w h e r e a n * 0 , t h e f u n c t i o n

P ( z ) = . a 0 + a 1 Z + a 2 Z 2 + . . . + a , Z n

i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n . N o t e t h a t t h e s u m h e r e h a s a f i n i t e n u m b e r o f t e r m s a n d t h a t

t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n i s t h e e n t i r e z p l a n e . Q u o t i e n t s P ( z ) / Q ( z ) o f p o l y n o m i a l s a r e

c a l l e d r a t i o n a l , f u n c t i o n s a n d a r e d e f i n e d a t e a c h p o i n t z w h e r e Q ( z ) * 0 . P o l y n o m i a l s

a n d r a t i o n a l f u n c t i o n s c o n s t i t u t e e l e m e n t a r y , b u t i m p o r t a n t , c l a s s e s o f f u n c t i o n s o f a

c o m p l e x v a r i a b l e .

S E C . I I

E X E R C I S E S 3 5

A g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c o n c e p t o f f u n c t i o n i s a r u l e t h a t a s s i g n s m o r e t h a n o n e

v a l u e t o a p o i n t z i n t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n . T h e s e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n s o c c u r

i n t h e t h e o r y o f f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e , j u s t a s t h e y d o i n t h e c a s e o f r e a l

v a r i a b l e s . W h e n m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n s a r e s t u d i e d , u s u a l l y j u s t o n e o f t h e p o s s i b l e

v a l u e s a s s i g n e d t o e a c h p o i n t i s t a k e n , i n a s y s t e m a t i c m a n n e r , a n d a ( s i n g l e - v a l u e d )

f u n c t i o n i s c o n s t r u c t e d f r o m t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n .

E X A M P L E 4 .

L e t z d e n o t e a n y n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r . W e k n o w f r o m S e c . 8

t h a t z

1 / 2

h a s t h e t w o v a l u e s

z

1 / 2

= ±

e x p

w h e r e r = E z l a n d ( O ( - 7 r < 0 < 7 r ) i s t h e p r i n c i p a l v a l u e o f a r g z . B u t , i f w e c h o o s e

o n l y t h e p o s i t i v e v a l u e o f +

a n d w r i t e

( 3 )

f ( z ) =

e x p ( i

( r > 0 , - 1 r < 0 < r r ) ,

t h e ( s i n g l e - v a l u e d ) f u n c t i o n ( 3 ) i s w e l l d e f i n e d o n t h e s e t o f n o n z e r o n u m b e r s i n t h e z

p l a n e . S i n c e z e r o i s t h e o n l y s q u a r e r o o t o f z e r o , w e a l s o w r i t e f ( 0 ) = 0 . T h e f u n c t i o n

f i s t h e n w e l l d e f i n e d o n t h e e n t i r e p l a n e .

E X E R C I S E S

1 . F o r e a c h o f t h e f u n c t i o n s b e l o w , d e s c r i b e t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n t h a t i s u n d e r s t o o d :

( a ) f ( z ) =

z 2 1

1 ;

( b ) f ( z ) = A r g

Z

( d ) f ( z ) _

z

+ <

1 -

I z i 2 .

A n s . ( a ) z

+ i ;

( c ) R e z 0 0 .

2 . W r i t e t h e f u n c t i o n f ( z ) = z 3 + z + 1 i n t h e f o r m f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) .

A n s . ( x 3 - 3 x y 2 + x + 1 ) + i ( 3 x 2 y - y 3 + y ) .

3 . S u p p o s e t h a t f ( z ) = x 2 -

s i o n s ( s e e S e c . 5 )

- 2 y + i ( 2 x - 2 x y ) , w h e r e z = x + i y . U s e t h e e x p r e s -

x - z + z

a n d

y

_ z

2

2 i

t o w r i t e f ( z ) i n t e r m s o f z , a n d s i m p l i f y t h e r e s u l t .

A n s . z 2 + 2 i z .

4 . W r i t e t h e f u n c t i o n

f ( z ) = z + -

( z 0 O )




C H A P . 2

i n 6 .

1 2 . M A P P I N G S

P r o p e r t i e s o f a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n o f a r e a l v a r i a b l e a r e o f t e n e x h i b i t e d b y t h e g r a p h

o f t h e f u n c t i o n . B u t w h e n w = f ( z ) , w h e r e z a n d w a r e c o m p l e x , n o s u c h c o n v e n i e n t

g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f u n c t i o n f i s a v a i l a b l e b e c a u s e e a c h o f t h e n u m b e r s

z a n d w i s l o c a t e d i n a p l a n e r a t h e r t h a n o n a l i n e . O n e c a n , h o w e v e r , d i s p l a y s o m e

i n f o r m a t i o n a b o u t t h e f u n c t i o n b y i n d i c a t i n g p a i r s o f c o r r e s p o n d i n g p o i n t s z = ( x , y )

a n d w = ( u , v ) . T o d o t h i s , i t i s g e n e r a l l y s i m p l e r t o d r a w t h e z a n d w p l a n e s s e p a r a t e l y .

W h e n a f u n c t i o n f i s t h o u g h t o f i n t h i s w a y , i t i s o f t e n r e f e r r e d t o a s a m a p p i n g ,

o r t r a n s f o r m a t i o n . T h e i m a g e o f a p o i n t z i n t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n S i s t h e p o i n t

w = f ( z ) , a n d t h e s e t o f i m a g e s o f a l l p o i n t s i n a s e t T t h a t i s c o n t a i n e d i n S i s c a l l e d

t h e i m a g e o f T . T h e i m a g e o f t h e e n t i r e d o m a i n o f d e f i n i t i o n S i s c a l l e d t h e r a n g e o f

f . T h e i n v e r s e i m a g e o f a p o i n t w i s t h e s e t o f a l l p o i n t s z i n t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n

o f f t h a t h a v e w a s t h e i r i m a g e . T h e i n v e r s e i m a g e o f a p o i n t m a y c o n t a i n j u s t o n e

p o i n t , m a n y p o i n t s , o r n o n e a t a l l . T h e l a s t c a s e o c c u r s , o f c o u r s e , w h e n w i s n o t i n t h e

r a n g e o f f .

T e r m s s u c h a s t r a n s l a t i o n , r o t a t i o n , a n d r e f l e c t i o n a r e u s e d t o c o n v e y d o m i n a n t

g e o m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s o f c e r t a i n m a p p i n g s . I n s u c h c a s e s , i t i s s o m e t i m e s c o n v e n i e n t

t o c o n s i d e r t h e z a n d w p l a n e s t o b e t h e s a m e . F o r e x a m p l e , t h e m a p p i n g

i y ,

w h e r e z = x + i y , c a n b e t h o u g h t o f a s a t r a n s l a t i o n o f e a c h p o i n t z o n e u n i t t o t h e

r i g h t . S i n c e i = e ` , ' 2 , t h e m a p p i n g

r e x p

w h e r e z = r e t 9 , r o t a t e s t h e r a d i u s v e c t o r f o r e a c h n o n z e r o p o i n t z t h r o u g h a r i g h t a n g l e

a b o u t t h e o r i g i n i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n ; a n d t h e m a p p i n g

t r a n s f o r m s e a c h p o i n t z = x + i y i n t o i t s r e f l e c t i o n i n t h e r e a l a x i s .

M o r e i n f o r m a t i o n i s u s u a l l y e x h i b i t e d b y s k e t c h i n g i m a g e s o f c u r v e s a n d r e g i o n s

t h a n b y s i m p l y i n d i c a t i n g i m a g e s o f i n d i v i d u a l p o i n t s . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s , w e

i l l u s t r a t e t h i s w i t h t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 2 .

W e b e g i n b y f i n d i n g t h e i m a g e s o f s o m e c u r v e s i n t h e z p l a n e .

S E C . 1 2

M A P P I N G S

3 7

E X A M P L E 1 .

A c c o r d i n g t o E x a m p l e 2 i n S e c . 1 1 , t h e m a p p i n g w =

4 2

c a n b e

t h o u g h t o f a s t h e t r a n s f o r m a t i o n

( 1 )

2

u = x - y ` ,

v = 2 x y

f r o m t h e x y p l a n e t o t h e u v p l a n e . T h i s f o r m o f t h e m a p p i n g i s e s p e c i a l l y u s e f u l i n

f i n d i n g t h e i m a g e s o f c e r t a i n h y p e r b o l a s .

I t i s e a s y t o s h o w , f o r i n s t a n c e , t h a t e a c h b r a n c h o f a h y p e r b o l a

( 2 )

x 2 - y 2 = c 1 ( c i > 0 )

i s m a p p e d i n a o n e t o o n e m a n n e r o n t o t h e v e r t i c a l l i n e u = c 1 . W e s t a r t b y n o t i n g

f r o m t h e f i r s t o f e q u a t i o n s ( 1 ) t h a t u = c 1 w h e n ( x , y ) i s a p o i n t l y i n g o n e i t h e r b r a n c h .

W h e n , i n p a r t i c u l a r , i t l i e s o n t h e r i g h t - h a n d b r a n c h , t h e s e c o n d o f e q u a t i o n s ( 1 ) t e l l s

u s t h a t v = 2 y y 2 + c i . T h u s t h e i m a g e o f t h e r i g h t - h a n d b r a n c h c a n b e e x p r e s s e d

p a r a m e t r i c a l l y a s

v = 2 y y 2 + c i

( - o o < y < 0 c ) ;

a n d i t i s e v i d e n t t h a t t h e i m a g e o f a p o i n t ( x , y ) o n t h a t b r a n c h m o v e s u p w a r d a l o n g t h e

e n t i r e l i n e a s ( x , y ) t r a c e s o u t t h e b r a n c h i n t h e u p w a r d d i r e c t i o n ( F i g . 1 7 ) . L i k e w i s e ,

s i n c e t h e p a i r o f e q u a t i o n s

U = C

v = - 2 y - 2 y / y 2 + c 1

( - o c < y < 0 0 )

f u r n i s h e s a p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e i m a g e o f t h e l e f t - h a n d b r a n c h o f t h e

h y p e r b o l a , t h e i m a g e o f a p o i n t g o i n g d o w n w a r d a l o n g t h e e n t i r e l e f t - h a n d b r a n c h

i s s e e n t o m o v e u p t h e e n t i r e l i n e i s = c 1 .

O n t h e o t h e r h a n d , e a c h b r a n c h o f a h y p e r b o l a

( 3 )

2 x y = c 2

( c 2 > 0 )

i s t r a n s f o r m e d i n t o t h e l i n e v = c 2 , a s i n d i c a t e d i n F i g . 1 7 . T o v e r i f y t h i s , w e n o t e f r o m

t h e s e c o n d o f e q u a t i o n s ( 1 ) t h a t v = c 2 w h e n ( x , y ) i s a p o i n t o n e i t h e r b r a n c h . S u p p o s e

V

u = C l > 0

4 - - V

= C 2 > 0

U

F I G U R E 1 7

w = Z 2 .

3 8


C H A P . 2

t h a t i t l i e s o n t h e b r a n c h l y i n g i n t h e f i r s t q u a d r a n t . T h e n , s i n c e y = c 2 1 ( 2 x ) , t h e f i r s t

o f e q u a t i o n s ( 1 ) r e v e a l s t h a t t h e b r a n c h ' s i m a g e h a s p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

c

u = x 2 - 2 ,

V

4 x 2

O b s e r v e t h a t

c 2

( 0 < x < c ) .

l i m u = - o o

a n d

l i m u = 0 0 .

x - # a

x - + 0 o

x > 0

S i n c e u d e p e n d s c o n t i n u o u s l y o n x , t h e n , i t i s c l e a r t h a t a s ( x , y ) t r a v e l s d o w n t h e e n t i r e

u p p e r b r a n c h o f h y p e r b o l a ( 3 ) , i t s i m a g e m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g t h e e n t i r e h o r i z o n t a l

l i n e v = c 2 . I n a s m u c h a s t h e i m a g e o f t h e l o w e r b r a n c h h a s p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

a n d s i n c e

l i m

u

} ' - + - 0 0

a n d

l i m u

y - # 0

y < 0

i t f o l l o w s t h a t t h e i m a g e o f a p o i n t m o v i n g u p w a r d a l o n g t h e e n t i r e l o w e r b r a n c h a l s o

t r a v e l s t o t h e r i g h t a l o n g t h e e n t i r e l i n e v = c 2 ( s e e F i g . 1 7 ) .

W e s h a l l n o w u s e E x a m p l e i t o f i n d t h e i m a g e o f a c e r t a i n r e g i o n .

E X A M P L E 2 .

T h e d o m a i n x > 0 , y > 0 , x y < 1 c o n s i s t s o f a l l p o i n t s l y i n g o n t h e

u p p e r b r a n c h e s o f h y p e r b o l a s f r o m t h e f a m i l y 2 x y = c , w h e r e 0 < c < 2 ( F i g . 1 8 ) . W e

k n o w f r o m E x a m p l e 1 t h a t a s a p o i n t t r a v e l s d o w n w a r d a l o n g t h e e n t i r e t y o f o n e o f

t h e s e b r a n c h e s , i t s i m a g e u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 2 m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g

t h e e n t i r e l i n e v = c . S i n c e , f o r a l l v a l u e s o f c b e t w e e n 0 a n d 2 , t h e b r a n c h e s f i l l o u t

V

v = c 2 ( - o o < y

2 i

E `

C A

B

C

F I G U R E 1 8

X

,

U

w - z

S E C . 1 2

M A P P I N G S

3 9

t h e d o m a i n x > 0 , y > 0 , x y < 1 , t h a t d o m a i n i s m a p p e d o n t o t h e h o r i z o n t a l s t r i p

0 < v < 2 .

I n v i e w o f e q u a t i o n s ( 1 ) , t h e i m a g e o f a p o i n t ( 0 , y ) i n t h e z p l a n e i s ( - y 2 , 0 ) .

H e n c e a s ( 0 , y ) t r a v e l s d o w n w a r d t o t h e o r i g i n a l o n g t h e y a x i s , i t s i m a g e m o v e s t o t h e

r i g h t a l o n g t h e n e g a t i v e u a x i s a n d r e a c h e s t h e o r i g i n i n t h e w p l a n e . T h e n , s i n c e t h e

i m a g e o f a p o i n t ( x , 0 ) i s ( x 2 , 0 ) , t h a t i m a g e m o v e s t o t h e r i g h t f r o m t h e o r i g i n a l o n g

t h e u a x i s a s ( x , 0 ) m o v e s t o t h e r i g h t f r o m t h e o r i g i n a l o n g t h e x a x i s . T h e i m a g e

o f t h e u p p e r b r a n c h o f t h e h y p e r b o l a x y = 1 i s , o f c o u r s e , t h e h o r i z o n t a l l i n e v = 2 .

E v i d e n t l y , t h e n , t h e c l o s e d r e g i o n x > 0 , y ? 0 , x y < 1 i s m a p p e d o n t o t h e c l o s e d s t r i p

0 < v < 2 , a s i n d i c a t e d i n F i g . 1 8 .

O u r l a s t e x a m p l e h e r e i l l u s t r a t e s h o w p o l a r c o o r d i n a t e s c a n b e u s e f u l i n a n a l y z i n g

c e r t a i n m a p p i n g s .

E X A M P L E 3 .

T h e m a p p i n g w = z 2 b e c o m e s

w =

r 2 e ` 2 0

w h e n z = r e ` s . H e n c e i f w = p e ' O , w e h a v e p e ` 0 = r 2 e i 2 0 ; a n d t h e s t a t e m e n t i n i t a l i c s

n e a r t h e b e g i n n i n g o f S e c . 8 t e l l s u s t h a t

p = r 2 a n d 0 = 2 0 + 2 k r r ,

w h e r e k h a s o n e o f t h e v a l u e s k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . .

E v i d e n t l y , t h e n , t h e i m a g e o f a n y

n o n z e r o p o i n t z i s f o u n d b y s q u a r i n g t h e m o d u l u s o f z a n d d o u b l i n g a v a l u e o f a r g z .

O b s e r v e t h a t p o i n t s z = r o e ' ° o n a c i r c l e r = r e a r e t r a n s f o r m e d i n t o p o i n t s

w = r o e i 2 0 o n t h e c i r c l e p = r 0 . A s a p o i n t o n t h e f i r s t c i r c l e m o v e s c o u n t e r c l o c k w i s e

f r o m t h e p o s i t i v e r e a l a x i s t o t h e p o s i t i v e i m a g i n a r y a x i s , i t s i m a g e o n t h e s e c o n d

c i r c l e m o v e s c o u n t e r c l o c k w i s e f r o m t h e p o s i t i v e r e a l a x i s t o t h e n e g a t i v e r e a l a x i s ( s e e

F i g . 1 9 ) . S o , a s a l l p o s s i b l e p o s i t i v e v a l u e s o f r 0 a r e c h o s e n , t h e c o r r e s p o n d i n g a r c s

i n t h e z a n d w p l a n e s f i l l o u t t h e f i r s t q u a d r a n t a n d t h e u p p e r h a l f p l a n e , r e s p e c t i v e l y .

T h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 2 i s , t h e n , a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e f i r s t q u a d r a n t r > 0 ,

0 < 0 < - r / 2 i n t h e z p l a n e o n t o t h e u p p e r h a l f p > 0 , 0 < , o < r o f t h e w p l a n e , a s

i n d i c a t e d i n F i g . 1 9 . T h e p o i n t z = 0 i s , o f c o u r s e , m a p p e d o n t o t h e p o i n t w = 0 .

T h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 2 a l s o m a p s t h e u p p e r h a l f p l a n e r > 0 , 0 < 0 < - r o n t o

t h e e n t i r e w p l a n e . H o w e v e r , i n t h i s c a s e , t h e t r a n s f o r m a t i o n i s n o t o n e t o o n e s i n c e

F I G U R E 1 9

w = z 2 .

4 0


C H A P . 2

b o t h t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e r e a l a x e s i n t h e z p l a n e a r e m a p p e d o n t o t h e p o s i t i v e

r e a l a x i s i n t h e w p l a n e .

W h e n n i s a p o s i t i v e i n t e g e r g r e a t e r t h a n 2 , v a r i o u s m a p p i n g p r o p e r t i e s o f t h e

t r a n s f o r m a t i o n w = z n , o r p e ` O = r " e i n 9 , a r e s i m i l a r t o t h o s e o f w = z 2 . S u c h a

t r a n s f o r m a t i o n m a p s t h e e n t i r e z p l a n e o n t o t h e e n t i r e w p l a n e , w h e r e e a c h n o n z e r o

p o i n t i n t h e w p l a n e i s t h e i m a g e o f n d i s t i n c t p o i n t s i n t h e z p l a n e . T h e c i r c l e r = r 0

i s m a p p e d o n t o t h e c i r c l e p = r o ; a n d t h e s e c t o r r < r 0 , 0 < 8 < 2 n / n i s m a p p e d o n t o

t h e d i s k p < r o , b u t n o t i n a o n e t o o n e m a n n e r .

1 3 . M A P P I N G S B Y T H E E X P O N E N T I A L F U N C T I O N

I n C h a p . 3 w e s h a l l i n t r o d u c e a n d d e v e l o p p r o p e r t i e s o f a n u m b e r o f e l e m e n t a r y f u n c -

t i o n s w h i c h d o n o t i n v o l v e p o l y n o m i a l s . T h a t c h a p t e r w i l l s t a r t w i t h t h e e x p o n e n t i a l

f u n c t i o n

z

=

x e

( 1 )

e

e e

( z = x + i y ) ,

t h e t w o f a c t o r s e x a n d e ` y b e i n g w e l l d e f i n e d a t t h i s t i m e ( s e e S e c . 6 ) . N o t e t h a t

d e f i n i t i o n ( 1 ) , w h i c h c a n a l s o b e w r i t t e n

e x + i y

=

i s s u g g e s t e d b y t h e f a m i l i a r p r o p e r t y

e x l + x 2

= e x i e x 2

o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n i n c a l c u l u s .

T h e o b j e c t o f t h i s s e c t i o n i s t o u s e t h e f u n c t i o n e z t o p r o v i d e t h e r e a d e r w i t h

a d d i t i o n a l e x a m p l e s o f m a p p i n g s t h a t c o n t i n u e t o b e r e a s o n a b l y s i m p l e . W e b e g i n b y

e x a m i n i n g t h e i m a g e s o f v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l l i n e s .

E X A M P L E 1 .

T h e t r a n s f o r m a t i o n

( 2 )

c a n b e w r i t t e n p e x ' = e x e ` y , w h e r e z = x + i y a n d w = p e t ' . T h u s p = e x a n d

( k = y + 2 n n , w h e r e n i s s o m e i n t e g e r ( s e e S e c . 8 ) ; a n d t r a n s f o r m a t i o n ( 2 ) c a n b e

e x p r e s s e d i n t h e f o r m

( 3 )

p = e x , ( 0 1 = y .

T h e i m a g e o f a t y p i c a l p o i n t z = ( c 1 , y ) o n a v e r t i c a l l i n e x = C r h a s p o l a r

c o o r d i n a t e s p = e x p c t a n d 0 = y i n t h e w p l a n e . T h a t i m a g e m o v e s c o u n t e r c l o c k w i s e

a r o u n d t h e c i r c l e s h o w n i n F i g . 2 0 a s z m o v e s u p t h e l i n e . T h e i m a g e o f t h e l i n e i s

e v i d e n t l y t h e e n t i r e c i r c l e ; a n d e a c h p o i n t o n t h e c i r c l e i s t h e i m a g e o f a n i n f i n i t e

n u m b e r o f p o i n t s , s p a c e d 2 n u n i t s a p a r t , a l o n g t h e l i n e .

S E C . 1 3

M A P P I N G S B Y T H E E X P O N E N T I A I . F U N C T I O N

4 1

V

. 1 = C

0

F I G U R E 2 0

I n = e x p Z .

A h o r i z o n t a l l i n e y = c 2 i s m a p p e d i n a o n e t o o n e m a n n e r o n t o t h e r a y 0

= c 2 . T o

s e e t h a t t h i s i s s o , w e n o t e t h a t t h e i m a g e o f a p o i n t z = ( x , c 2 ) h a s p o l a r c o o r d i n a t e s

p = e x a n d 0 = c 2 . E v i d e n t l y , t h e n , a s t h a t p o i n t z m o v e s a l o n g t h e e n t i r e l i n e f r o m

l e f t t o r i g h t , i t s i m a g e m o v e s o u t w a r d a l o n g t h e e n t i r e r a y 0 = c 2 , a s i n d i c a t e d i n

F i g . 2 0 .

V e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l l i n e s e g m e n t s a r e m a p p e d o n t o p o r t i o n s o f c i r c l e s a n d r a y s ,

r e s p e c t i v e l y , a n d i m a g e s o f v a r i o u s r e g i o n s a r e r e a d i l y o b t a i n e d f r o m o b s e r v a t i o n s

m a d e i n E x a m p l e 1 . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e .

E X A M P L E 2 .

L e t u s s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = e z m a p s t h e r e c t a n g u l a r

r e g i o n a < x < h , c < y < d o n t o t h e r e g i o n e ' < p < e b , c < 0 < d . T h e

t w o r e g i o n s

a n d c o r r e s p o n d i n g p a r t s o f t h e i r b o u n d a r i e s a r e i n d i c a t e d i n F i g . 2 1 . T h e v e r t i c a l l i n e

s e g m e n t A D i s m a p p e d o n t o t h e a r e p = e ° , c < 0 < d , w h i c h i s l a b e l e d A ' D ' . T h e

i m a g e s o f v e r t i c a l l i n e s e g m e n t s t o t h e r i g h t o f A D a n d j o i n i n g t h e h o r i z o n t a l p a r t s

o f t h e b o u n d a r y a r e l a r g e r a r c s ; e v e n t u a l l y , t h e i m a g e o f t h e l i n e s e g m e n t B C i s t h e

a r e p = e b , c < 0 < d , l a b e l e d B ' C ' . T h e m a p p i n g i s o n e t o o n e i f d - c < 2 n . I n

p a r t i c u l a r , i f c = 0 a n d d = - r , t h e n 0 < 0 < - r ; a n d t h e r e c t a n g u l a r r e g i o n i s m a p p e d

o n t o h a l f o f a c i r c u l a r r i n g , a s s h o w n i n F i g . 8 , A p p e n d i x 2 .

y

C 1

0

D

C

B

F I G U R E 2 1

w = e x p Z .

4 2


C H A P . 2

O u r f i n a l e x a m p l e h e r e u s e s t h e i m a g e s o f h o r i z o n t a l l i n e s t o f i n d t h e i m a g e o f a

h o r i z o n t a l s t r i p .

E X A M P L E 3 .

W h e n w = e Z , t h e i m a g e o f t h e i n f i n i t e s t r i p O < y

i r i s t h e u p p e r

h a l f v > 0 o f t h e w p l a n e ( F i g . 2 2 ) . T h i s i s s e e n b y r e c a l l i n g f r o m E x a m p l e 1 h o w

a h o r i z o n t a l l i n e y = c i s t r a n s f o r m e d i n t o a r a y 0 = c f r o m t h e o r i g i n . A s t h e r e a l

n u m b e r c i n c r e a s e s f r o m c = 0 t o c = a r , t h e y i n t e r c e p t s o f t h e l i n e s i n c r e a s e f r o m

0 t o - r a n d t h e a n g l e s o f i n c l i n a t i o n o f t h e r a y s i n c r e a s e f r o m ( k = 0 t o ( k = ' - r . T h i s

m a p p i n g i s a l s o s h o w n i n F i g . 6 o f A p p e n d i x 2 , w h e r e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o n t h e

b o u n d a r i e s o f t h e t w o r e g i o n s a r e i n d i c a t e d .

Y

0

F I G U R E 2 2

w = e x p z .

E X E R C I S E S

x

U

1 . B y r e f e r r i n g t o E x a m p l e 1 i n S e c . 1 2 , f i n d a d o m a i n i n t h e z p l a n e w h o s e i m a g e u n d e r

t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 2 i s t h e s q u a r e d o m a i n i n t h e w p l a n e b o u n d e d b y t h e l i n e s

u = 1 , u = 2 , v = 1 , a n d v = 2 . ( S e e F i g . 2 , A p p e n d i x 2 . )

2 . F i n d a n d s k e t c h , s h o w i n g c o r r e s p o n d i n g o r i e n t a t i o n s , t h e i m a g e s o f t h e h y p e r b o l a s

x 2

- y 2

= C l ( c 1 < 0 )

a n d

2 x y = c 2 ( c 2 < 0 )

u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 2 .

3 . S k e t c h t h e r e g i o n o n t o w h i c h t h e s e c t o r r < 1 , 0 < 0 < i t / 4 i s m a p p e d b y t h e t r a n s f o r -

m a t i o n ( a ) w = z 2 ; ( b ) w = z 3 ; ( c ) w = z 4 .

4 . S h o w t h a t t h e l i n e s a y = x ( a

0 ) a r e m a p p e d o n t o t h e s p i r a l s p = e x p ( a i ) u n d e r t h e

t r a n s f o r m a t i o n w = e x p z , w h e r e w = p e x p ( i r 5 ) .

5 . B y c o n s i d e r i n g t h e i m a g e s o f h o r i z o n t a l l i n e s e g m e n t s , v e r i f y t h a t t h e i m a g e o f t h e

r e c t a n g u l a r r e g i o n a < x < b , c < y < d u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = e x p z i s t h e r e g i o n

e a < p < e " , c < 0 < d , a s s h o w n i n F i g . 2 1 ( S e c . 1 3 ) .

6 . V e r i f y t h e m a p p i n g o f t h e r e g i o n a n d b o u n d a r y s h o w n i n F i g . 7 o f A p p e n d i x 2 , w h e r e

t h e t r a n s f o r m a t i o n i s w = e x p z .

7 . F i n d t h e i m a g e o f t h e s e m i - i n f i n i t e s t r i p x > 0 , 0 < y < 1 r u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n

w = e x p z , a n d l a b e l c o r r e s p o n d i n g p o r t i o n s o f t h e b o u n d a r i e s .

n i

V

C l

S E C . 1 4

L I M r r s

4 3

8 . O n e i n t e r p r e t a t i o n o f a f u n c t i o n w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) i s t h a t o f a v e c t o r f i e l d i n

t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f f . T h e f u n c t i o n a s s i g n s a v e c t o r w , w i t h c o m p o n e n t s u ( x , y )

a n d v ( x , y ) , t o e a c h p o i n t z a t w h i c h i t i s d e f i n e d . I n d i c a t e g r a p h i c a l l y t h e v e c t o r f i e l d s

r e p r e s e n t e d b y ( a ) w = i z ; ( b ) w = z / I z 1 .

1 4 . L I M I T S

L e t a f u n c t i o n f b e d e f i n e d a t a l l p o i n t s z i n s o m e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d ( S e c . 1 0 )

o f

z o . T h e s t a t e m e n t t h a t t h e l i m i t

o f f ( z ) a s z a p p r o a c h e s z o i s a n u m b e r w o , o r t h a t

{ 1 )

l i m , f ( z ) = w o ,

- - 1 z p

m e a n s t h a t t h e p o i n t w = f ( z ) c a n b e m a d e

a r b i t r a r i l y c l o s e t o w o i f w e c h o o s e t h e

p o i n t z c l o s e e n o u g h t o z o b u t d i s t i n c t f r o m i t . W e n o w e x p r e s s t h e d e f i n i t i o n o f

l i m i t

i n a p r e c i s e a n d u s a b l e f o r m .

S t a t e m e n t ( 1 ) m e a n s t h a t , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r s , t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r

S s u c h t h a t

( 2 )

I f ( z ) - w o

w h e n e v e r

0 < l . . - z o l < S .

G e o m e t r i c a l l y , t h i s d e f i n i t i o n s a y s t h a t , f o r e a c h e n e i g h b o r h o o d I w - w o I < s o f w o ,

t h e r e i s a d e l e t e d 8 n e i g h b o r h o o d 0 < I z - z o l < S o f z o s u c h t h a t e v e r y p o i n t z i n i t

h a s a n i m a g e w l y i n g i n t h e e n e i g h b o r h o o d ( F i g . 2 3 ) . N o t e t h a t e v e n t h o u g h a l l p o i n t s

i n t h e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d 0 < I z - z o I < S a r e t o b e c o n s i d e r e d , t h e i r i m a g e s

n e e d

n o t f i l l u p t h e e n t i r e n e i g h b o r h o o d I w - w o I < e . I f f h a s t h e c o n s t a n t

v a l u e w o , f o r

i n s t a n c e , t h e i m a g e o f z i s a l w a y s t h e c e n t e r o f t h a t n e i g h b o r h o o d . N o t e , t o o , t h a t o n c e

a S h a s b e e n f o u n d , i t c a n b e r e p l a c e d b y a n y s m a l l e r

p o s i t i v e n u m b e r , s u c h a s 3 / 2 .

V

0

w

S

W p

j l

z 0

)

x

U

F I G U R E 2 3

I t i s e a s y t o s h o w t h a t w h e n a l i m i t o f a f u n c t i o n f ( z ) e x i s t s a t a p o i n t z o , i t i s

u n i q u e . T o d o t h i s , w e s u p p o s e t h a t

l i m f ( z ) = w o

a n d

l i m f ( z ) = w 1 .

z - + z o

Z - O

T h e n , f o r a n y p o s i t i v e n u m b e r e , t h e r e a r e p o s i t i v e n u m b e r s S o a n d S 1 s u c h t h a t

i f ( z ) - w o l < 8

w h e n e v e r

0 < I z - z o l < 3 0

4 4


C H A P . 2

a n d

I f ( z ) - w i I < e w h e n e v e r

0 < I z - z o l < S i .

S o i f 0 < I z

- z o l < 8 , w h e r e 8 d e n o t e s t h e s m a l l e r o f t h e t w o n u m b e r s 8 o a n d 8 1 , w e

f i n d t h a t

I w i - w o l = I [ . f ( z ) - w o ] - [ f ( z ) - w i ] l : I . f ( z ) - w o l + I f ( z ) - w i t < 8 + 8 = 2 e .

B u t 1 w 1 - w o I i s a n o n n e g a t i v e c o n s t a n t , a n d s c a n b e c h o s e n a r b i t r a r i l y s m a l l . H e n c e

w 1 - w o = 0 ,

o r

w 1 = w o .

D e f i n i t i o n ( 2 ) r e q u i r e s t h a t f b e d e f i n e d a t a l l p o i n t s i n s o m e d e l e t e d n e i g h b o r -

h o o d o f z o . S u c h a d e l e t e d n e i g h b o r h o o d , o f c o u r s e , a l w a y s e x i s t s w h e n

z o i s a n i n t e r i o r

p o i n t o f a r e g i o n o n w h i c h f i s d e f i n e d . W e c a n e x t e n d t h e d e f i n i t i o n o f l i m i t t o t h e

c a s e

i n w h i c h z o i s a b o u n d a r y p o i n t o f t h e r e g i o n b y a g r e e i n g t h a t t h e f i r s t o f i n e q u a l i t i e s

( 2 ) n e e d b e s a t i s f i e d b y o n l y t h o s e p o i n t s z t h a t l i e i n b o t h t h e r e g i o n a n d t h e d e l e t e d

n e i g h b o r h o o d .

E X A M P L E 1 .

L e t u s s h o w t h a t i f f ( z )

= i z / 2 i n t h e o p e n d i s k I z j < 1 , t h e n

( 3 )

l i m f ( z ) = = ,

z - > 1

2

t h e p o i n t 1 b e i n g o n t h e b o u n d a r y o f t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f f

.

O b s e r v e t h a t w h e n

z i s i n t h e r e g i o n I z I < 1 ,

. f ( z ) - 2

i z

i

_ I z - 1 1

2

2

_

2

H e n c e , f o r a n y s u c h z a n d a n y p o s i t i v e n u m b e r £ ( s e e F i g . 2 4 ) ,

f ( z )

-

2

V I

/ ' 1

l 2

0

F I G U R E 2 4

< e w h e n e v e r

0 < I z - 1 1 < 2 e .

S E C . 1 4

L I M I T S

4 5

T h u s c o n d i t i o n ( 2 ) i s s a t i s f i e d b y p o i n t s i n t h e r e g i o n I z J < 1 w h e n S i s e q u a l t o 2 e o r

a n y s m a l l e r p o s i t i v e n u m b e r .

I f z 0 i s a n i n t e r i o r p o i n t o f t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f f , a n d l i m i t ( 1 ) i s t o

e x i s t , t h e f i r s t o f i n e q u a l i t i e s ( 2 ) m u s t h o l d f o r a l l p o i n t s i n t h e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d

0 < I z - z o l < S . T h u s t h e s y m b o l z - 3 z 0 i m p l i e s t h a t z i s a l l o w e d t o a p p r o a c h

z 0

i n a n a r b i t r a r y m a n n e r , n o t j u s t f r o m s o m e p a r t i c u l a r d i r e c t i o n . T h e n e x t e x a m p l e

e m p h a s i z e s t h i s .

E X A M P L E 2 .

I f

( 4 )

t h e l i m i t

( 5 )

l i m f ( z )

z - - - > 0

d o e s n o t e x i s t . F o r , i f i t d i d e x i s t , i t c o u l d b e f o u n d b y l e t t i n g t h e p o i n t z = ( x , y )

a p p r o a c h t h e o r i g i n i n a n y m a n n e r . B u t w h e n z = ( x , 0 ) i s a n o n z e r o p o i n t o n t h e r e a l

a x i s ( F i g . 2 5 ) ,

( z )

x + i 0

f _

= 1 ;

x - i 0

a n d w h e n z = ( 0 , y ) i s a n o n z e r o p o i n t o n t h e i m a g i n a r y a x i s ,

0 + i y

( Z )

=

0 - i v

T h u s , b y l e t t i n g z a p p r o a c h t h e o r i g i n a l o n g t h e r e a l a x i s , w e w o u l d f i n d t h a t t h e d e s i r e d

l i m i t i s 1 . A n a p p r o a c h a l o n g t h e i m a g i n a r y a x i s w o u l d , o n t h e o t h e r h a n d , y i e l d t h e

l i m i t - 1 . S i n c e a l i m i t i s u n i q u e , w e m u s t c o n c l u d e t h a t l i m i t ( 5 ) d o e s n o t e x i s t .

z = ( 0 , y )

( 0 , 0 )

1

z = ( x , 0 )

x

F I G U R E 2 5

4 6


C H A P . 2

W h i l e d e f i n i t i o n ( 2 ) p r o v i d e s a m e a n s o f t e s t i n g w h e t h e r a g i v e n p o i n t w o i s a

l i m i t , i t d o e s n o t d i r e c t l y p r o v i d e a m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g t h a t l i m i t . T h e o r e m s o n

l i m i t s , p r e s e n t e d i n t h e n e x t s e c t i o n , w i l l e n a b l e u s t o a c t u a l l y f i n d m a n y l i m i t s .

1 5 . T H E O R E M S O N L I M I T S

W e c a n e x p e d i t e o u r t r e a t m e n t o f l i m i t s b y e s t a b l i s h i n g a c o n n e c t i o n b e t w e e n l i m i t s

o f f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e a n d l i m i t s o f r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t w o r e a l

v a r i a b l e s . S i n c e l i m i t s o f t h e l a t t e r t y p e a r e s t u d i e d i n c a l c u l u s , w e u s e t h e i r d e f i n i t i o n

a n d p r o p e r t i e s f r e e l y .

T h e o r e m 1 . S u p p o s e t h a t

f ( z ) = u ( x , y ) + i v

T h e n

( 1 )

i f a n d o n l y i f

y

z - > z

i y o ,

a n d w 0 = u o + i v o .

( 2 )

l i m u ( x , y ) = u o a n d

l i m

v ( x , y ) = v o .

( x > Y ) - ( x o , Y o )

( x , Y ) - > ( x o , y o )

T o p r o v e t h e t h e o r e m , w e f i r s t a s s u m e t h a t l i m i t s ( 2 ) h o l d a n d o b t a i n l i m i t

L i m i t s ( 2 ) t e l l u s t h a t , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r s , t h e r e e x i s t p o s i t i v e n u m b e r s S 1 a n d

S 2 s u c h t h a t

( 3 )

l u - u o l < -

w h e n e v e r

0 <

x - x 0 ) 2 +

( y - y 0 ) 2 < S

a n d

( 4 ) I v - v o l <

w h e n e v e r

0 <

( x - x 0 ) 2 + ( y - y o ) 2 < b 2 .

L e t b d e n o t e t h e s m a l l e r o f t h e t w o n u m b e r s S 1 a n d 8 2 . S i n c e

I ( u + i v

a n d

( u 0 + i v 0 ) I = 1 ( u - u 0

y - y o ) 2

u 0 1 +

V - v o l

x o ) + i ( y - y o ) I = 1 ( x + i y ) - ( x 0

i t f o l l o w s f r o m s t a t e m e n t s ( 3 ) a n d ( 4 ) t h a t

i v ) - ( u 0 + i v o ) I <

s

6

i y o )

S E C . 1 5

T H E O R E M S O N L I M I T S

4 7

w h e n e v e r

i y ) - ( x 0 + i y 0 ) I < S .

T h a t i s , l i m i t ( 1 ) h o l d s .

L e t u s n o w s t a r t w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t l i m i t ( 1 ) h o l d s . W i t h t h a t a s s u m p t i o n ,

w e k n o w t h a t , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r s , t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r 6 s u c h t h a t

( u + i v ) - ( u o + i v o ) I < s

B u t

a n d

0 < I ( x + i y ) - ( x o + i y o

S .

l u - u o l < l ( u - u o ) + i ( v - v o ) 1 = I ( u + i v )

0

i v o ) I ,

I v - v o l <

I ( u - u o ) + i ( v - v o ) l = I ( u + i v ) - ( u o + i v o ) I ,

I ( x + i y ) - ( x o + i y o )

= J ( x - - - x o ) + i ( y - y o ) I =

( x - x 0 ) 2 + ( y - Y o ) 2

H e n c e i t f o l l o w s f r o m i n e q u a l i t i e s ( 5 ) a n d ( 6 ) t h a t

w h e n e v e r

l u - u o l < s a n d

I v - v 0 J < s

0 < ( x - x 0 ) 2

+ ( y

-

y o ) 2 < S .

T h i s e s t a b l i s h e s l i m i t s ( 2 ) , a n d t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m i s c o m p l e t e .

T h e o r e m 2 .

S u p p o s e t h a t

( 7 )

T h e n

z - + z o

+ F ( z ) 1 = w o

l i m [ f ( z ) F ( z ) ] =

w 0 W 0 ;

z - + z o

l i m f

( z )

= w 0

Z - + z o F ( z )

W o

l i m f ( z ) = w 0 a n d

l i m F ( z ) = W 0 .

Z - + Z O

Z - - - > Z o



4 8


C H A P . 2

T h i s i m p o r t a n t t h e o r e m c a n b e p r o v e d d i r e c t l y b y u s i n g t h e d e f i n i t i o n o f t h e l i m i t

o f a f u n c t i o n o f a c o m p l e x v a r i a b l e . B u t , w i t h t h e a i d o f T h e o r e m 1 , i t f o l l o w s a l m o s t

i m m e d i a t e l y f r o m t h e o r e m s o n l i m i t s o f r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t w o r e a l v a r i a b l e s .

T o v e r i f y p r o p e r t y ( 9 ) , f o r e x a m p l e , w e w r i t e

f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) ,

F ( z ) = U ( x , y ) + i V ( x , y ) ,

= x o

o , W 0 = u o + i V 0 .

W 0 = U 0 + i V O .

T h e n , a c c o r d i n g t o h y p o t h e s e s ( 7 ) a n d T h e o r e m 1 , t h e l i m i t s a s ( x , y ) a p p r o a c h e s

( x o , y o ) o f t h e f u n c t i o n s u , v , U , a n d V e x i s t a n d h a v e t h e v a l u e s u o , v o , U 0 , a n d

V 0 ,

r e s p e c t i v e l y . S o t h e r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s o f t h e p r o d u c t

f ( z ) F ( z ) = ( u U - v V ) + i ( v U + u V )

h a v e t h e l i m i t s u 0 U 0 - v 0 V 0 a n d v 0 U 0 + u 0 V 0 , r e s p e c t i v e l y , a s ( x , y ) a p p r o a c h e s

( x o , y o ) . H e n c e , b y T h e o r e m I a g a i n , f ( z ) F ( z ) h a s t h e l i m i t

( u o U o -

v o V o ) + i ( v 0 U 0 + u o V o )

a s z a p p r o a c h e s z 0 ; a n d t h i s i s e q u a l t o w 0 W 0 .

P r o p e r t y ( 9 ) i s t h u s e s t a b l i s h e d .

C o r r e s p o n d i n g v e r i f i c a t i o n s o f p r o p e r t i e s ( 8 ) a n d ( 1 0 ) c a n b e g i v e n .

I t i s e a s y t o s e e f r o m d e f i n i t i o n ( 2 ) , S e c . 1 4 , o f l i m i t t h a t

l i m c = c a n d

z - - ' z 0

4 - y z 0

= z o ,

w h e r e z o a n d c a r e a n y c o m p l e x n u m b e r s ; a n d , b y p r o p e r t y ( 9 ) a n d

m a t h e m a t i c a l

i n d u c t i o n , i t f o l l o w s t h a t

J i m z n = Z '

( n = 1 , 2 , . . . ) .

Z - - Z 0

S o , i n v i e w o f p r o p e r t i e s ( 8 ) a n d ( 9 ) , t h e l i m i t o f a p o l y n o m i a l

P ( z ) = a o + a ] z + a 2 Z 2 + . . . +

a n Z n

a s z a p p r o a c h e s a p o i n t z o i s t h e v a l u e o f t h e

p o l y n o m i a l a t t h a t p o i n t :

( 1 1 }

l i m P ( z ) = P ( z o ) .

Z - > Z O

1 6 . L I M I T S I N V O L V I N G T H E P O I N T A T I N F I N I T Y

I t i s s o m e t i m e s c o n v e n i e n t t o i n c l u d e w i t h t h e c o m p l e x p l a n e t h e p o i n t a t i n f i n i t y ,

d e n o t e d b y o o , a n d t o u s e l i m i t s i n v o l v i n g i t . T h e c o m p l e x p l a n e t o g e t h e r w i t h t h i s

p o i n t i s c a l l e d t h e e x t e n d e d c o m p l e x p l a n e . T o v i s u a l i z e t h e p o i n t a t i n f i n i t y , o n e c a n

t h i n k o f t h e c o m p l e x p l a n e a s p a s s i n g t h r o u g h t h e e q u a t o r o f a u n i t s p h e r e c e n t e r e d a t

t h e p o i n t z = 0 ( F i g . 2 6 ) . T o e a c h p o i n t z i n t h e p l a n e t h e r e c o r r e s p o n d s e x a c t l y o n e

p o i n t P o n t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e . T h e p o i n t P i s d e t e r m i n e d b y t h e i n t e r s e c t i o n

o f

t h e l i n e t h r o u g h t h e p o i n t z a n d t h e n o r t h p o l e N o f t h e s p h e r e w i t h t h a t s u r f a c e . I n



S E C . 1 6

L I M I T S I N V O L V I N G T H E P O I N T A T I N F I N I T Y

4 9

r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

F I G U R E 2 6

l i k e m a n n e r , t o e a c h p o i n t P o n t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e , o t h e r t h a n t h e n o r t h p o l e N ,

t h e r e c o r r e s p o n d s e x a c t l y o n e p o i n t z i n t h e p l a n e . B y l e t t i n g t h e p o i n t N o f t h e s p h e r e

c o r r e s p o n d t o t h e p o i n t a t i n f i n i t y , w e o b t a i n a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e

p o i n t s o f t h e s p h e r e a n d t h e p o i n t s o f t h e e x t e n d e d c o m p l e x p l a n e . T h e s p h e r e i s k n o w n

a s t h e R i e m a n n s p h e r e , a n d t h e c o r r e s p o n d e n c e i s c a l l e d a s t e r e o g r a p h i c p r o j e c t i o n .

O b s e r v e t h a t t h e e x t e r i o r o f t h e u n i t c i r c l e c e n t e r e d a t t h e o r i g i n i n t h e c o m p l e x

p l a n e c o r r e s p o n d s t o t h e u p p e r h e m i s p h e r e w i t h t h e e q u a t o r a n d t h e p o i n t N d e l e t e d .

M o r e o v e r , f o r e a c h s m a l l p o s i t i v e n u m b e r s , t h o s e p o i n t s i n t h e c o m p l e x p l a n e e x t e r i o r

t o t h e c i r c l e I z I = 1 / c c o r r e s p o n d t o p o i n t s o n t h e s p h e r e c l o s e t o N . W e t h u s c a l l t h e

s e t J z J > 1 1 c a n s n e i g h b o r h o o d , o r n e i g h b o r h o o d , o

L e t u s a g r e e t h a t , i n r e f e r r i n g t o a p o i n t z , w e m e a n a p o i n t i n t h e f i n i t e p l a n e .

H e r e a f t e r , w h e n t h e p o i n t a t i n f i n i t y i s t o b e c o n s i d e r e d , i t w i l l b e s p e c i f i c a l l y m e n -

t i o n e d .

A m e a n i n g i s n o w r e a d i l y g i v e n t o t h e s t a t e m e n t

z o

o r w 0 , o r p o s s i b l y e a c h o f t h e s e n u m b e r s , i s r e p l a c e d b y t h e p o i n t

a t i n f i n i t y . I n t h e d e f i n i t i o n o f l i m i t i n S e c . 1 4 , w e s i m p l y r e p l a c e t h e a p p r o p r i a t e

n e i g h b o r h o o d s o f z e a n d w e b y n e i g h b o r h o o d s o f o c . T h e p r o o f o f t h e f o l l o w i n g

t h e o r e m i l l u s t r a t e s h o w t h i s i s d o n e .

T h e o r e m .

I f z e a n d w e a r e p o i n t s i n t h e z a n d w p l a n e s , r e s p e c t i v e l y , t h e n

l i m f ( z ) = o o i f a n d o n l y i f

z - > z o

l i m

z - > 0 0

l i m

Z - + 0 0

z - - + z o


l i

z

0


l i m

1

( z )

1

z )

= 0

0

5 0


C H A P . 2

W e s t a r t t h e p r o o f b y n o t i n g t h a t t h e f i r s t o f l i m i t s ( 1 ) m e a n s t h a t , f o r e a c h p o s i t i v e

n u m b e r s , t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r S s u c h t h a t

( 4 )

I f ( z ) I > = w h e n e v e r

0 <

E

z - z o l < S .

T h a t i s , t h e p o i n t w = f ( z ) l i e s i n t h e s n e i g h b o r h o o d I w I > 1 / s o f o o w h e n e v e r z

l i e s

i n t h e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d 0 < I z - z o l < S o f z o . S i n c e s t a t e m e n t ( 4 ) c a n b e w r i t t e n

I

- 0

f ( z )

< s w h e n e v e r 0 < I z - z o l < S ,

t h e s e c o n d o f l i m i t s ( 1 ) f o l l o w s .

T h e f i r s t o f l i m i t s ( 2 ) m e a n s t h a t , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r s , a p o s i t i v e n u m b e r

S e x i s t s s u c h t h a t

( 5 )

I f ( z ) - w o I < s

l

w h e n e v e r

I z I >

R e p l a c i n g z b y 1 / z i n s t a t e m e n t ( 5 ) a n d t h e n w r i t i n g t h e r e s u l t a s

< s

w h e n e v e r

0 < I z - O I < S ,

w e a r r i v e a t t h e s e c o n d o f l i m i t s ( 2 ) .

F i n a l l y , t h e f i r s t o f l i m i t s ( 3 ) i s t o b e i n t e r p r e t e d a s s a y i n g t h a t , f o r e a c h p o s i t i v e

n u m b e r s , t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r 8 s u c h t h a t

( 6 )

I f ( z ) I > s

w h e n e v e r

I z I > 8

W h e n z i s r e p l a c e d b y l / z , t h i s s t a t e m e n t c a n b e p u t i n t h e f o r m

I

-

0 1 < s w h e n e v e r

0 < I z - 0 1 < 3 ;

I f ( 1 / z )

I

a n d t h i s g i v e s u s t h e s e c o n d o f l i m i t s ( 3 ) .

E X A M P L E S . O b s e r v e t h a t

i z + 3

z - t - l

= o o

s i n c e

l i m

i m

=

z - - 1 z + 1

Z - * l i z +

a n d

h m

2 z + i

= 2

s i n c e

1 , m

( 2 / z ) + i

= h m

2 + i z

z - * o ° z + 1

z - * o ( I / z ) + 1

z - * o I + z

S E C . 1 7

C O N T I N U I T Y 5 1

F u r t h e r m o r e ,

2 z 3

- 1

( 1 / z 2 ) + 1

z + Z 3

u r n

= o o

s i n c e

l i m

= l i m

= ( } .

Z 2 + 1

z - * o ( 2 / Z 3 ) - 1

z - * o 2 - Z 3

1 7 . C O N T I N U I T Y

A f u n c t i o n f i s c o n t i n u o u s a t a p o i n t z o i f a l l t h r e e o f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s a r e

s a t i s f i e d :

z - + z o

( z ) e x i s t s ,

f ( z o ) e x i s t s ,

z - > z o

( Z O )

O b s e r v e t h a t s t a t e m e n t ( 3 ) a c t u a l l y c o n t a i n s s t a t e m e n t s ( 1 ) a n d ( 2 ) , s i n c e t h e e x i s t e n c e

o f t h e q u a n t i t y o n e a c h s i d e o f t h e e q u a t i o n t h e r e i s i m p l i c i t . S t a t e m e n t ( 3 ) s a y s t h a t ,

f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r E , t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r S s u c h t h a t

( 4 )

I f ( Z ) - - f ( z o )

< e

w h e n e v e r

I z - z o l < S .

A f u n c t i o n o f a c o m p l e x v a r i a b l e i s s a i d t o b e c o n t i n u o u s i n a r e g i o n R i f i t i s

c o n t i n u o u s a t e a c h p o i n t i n R .

I f t w o f u n c t i o n s a r e c o n t i n u o u s a t a p o i n t , t h e i r s u m a n d p r o d u c t a r e a l s o c o n t i n u -

o u s a t t h a t p o i n t ; t h e i r q u o t i e n t i s c o n t i n u o u s a t a n y s u c h p o i n t w h e r e t h e d e n o m i n a t o r

i s n o t z e r o . T h e s e o b s e r v a t i o n s a r e d i r e c t c o n s e q u e n c e s o f T h e o r e m 2 , S e c . 1 5 . N o t e ,

t o o , t h a t a p o l y n o m i a l i s c o n t i n u o u s i n t h e e n t i r e p l a n e b e c a u s e o f l i m i t ( 1 1 ) , S e c . 1 5 .

W e t u r n n o w t o t w o e x p e c t e d p r o p e r t i e s o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s w h o s e v e r i f i c a -

t i o n s a r e n o t s o i m m e d i a t e . O u r p r o o f s d e p e n d o n d e f i n i t i o n ( 4 ) , a n d w e p r e s e n t t h e

r e s u l t s a s t h e o r e m s .

T h e o r e m 1 . A c o m p o s i t i o n o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s i s i t s e l f c o n t i n u o u s .

A p r e c i s e s t a t e m e n t o f t h i s t h e o r e m i s c o n t a i n e d i n t h e p r o o f t o f o l l o w . W e l e t

w = f ( z ) b e a f u n c t i o n t h a t i s d e f i n e d f o r a l l z i n a n e i g h b o r h o o d I z - z o l < S o f a

p o i n t z o , a n d w e l e t W = g ( w ) b e a f u n c t i o n w h o s e d o m a i n o f d e f i n i t i o n c o n t a i n s t h e

i m a g e ( S e c . 1 2 ) o f t h a t n e i g h b o r h o o d u n d e r f

.

T h e c o m p o s i t i o n W = g [ f ( z ) ] i s , t h e n ,

d e f i n e d f o r a l l z i n t h e n e i g h b o r h o o d I z - z o I < S . S u p p o s e n o w t h a t f i s c o n t i n u o u s a t

z o a n d t h a t g i s c o n t i n u o u s a t t h e p o i n t f ( z o ) i n t h e w p l a n e . I n v i e w o f t h e c o n t i n u i t y

o f g a t f ( z o ) , t h e r e i s , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r s , a p o s i t i v e n u m b e r y s u c h t h a t

I g [ f ( z ) ] - g [ f ( z o ) ] I < e

w h e n e v e r

I f ( z ) - f ( z o ) I < y .

5 2


Z o

0

F I G U R E 2 7

C H A P . 2

( S e e F i g . 2 7 . ) B u t t h e c o n t i n u i t y o f f a t z 0 e n s u r e s t h a t t h e n e i g h b o r h o o d I z - z o l < S

c a n b e m a d e s m a l l e n o u g h t h a t t h e s e c o n d o f t h e s e i n e q u a l i t i e s h o l d s . T h e c o n t i n u i t y

o f t h e c o m p o s i t i o n g [ f ( z ) ] i s , t h e r e f o r e , e s t a b l i s h e d .

T h e o r e m 2 . I f a f u n c t i o n f ( z ) i s c o n t i n u o u s a n d n o n z e r o a t a p o i n t z 0 , t h e n f ( z ) 5 6

t h r o u g h o u t s o m e n e i g h b o r h o o d o f t h a t p o i n t .

A s s u m i n g t h a t f ( z ) i s , i n f a c t , c o n t i n u o u s a n d n o n z e r o a t z o , w e c a n p r o v e

T h e o r e m 2 b y a s s i g n i n g t h e p o s i t i v e v a l u e I f ( z o ) 1 / 2 t o t h e n u m b e r £ i n s t a t e m e n t

( 4 ) . T h i s t e l l s u s t h a t t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r 8 s u c h t h a t

I f ( z ) - f ( z 0 ) I

w h e n e v e r I z - z o 1 < S .

z o ) I

2

S o i f t h e r e i s a p o i n t z i n t h e n e i g h b o r h o o d I z - z o l < S a t w h i c h f ( z ) = 0 , w e h a v e

t h e c o n t r a d i c t i o n

I f ( z o ) I

a n d t h e t h e o r e m i s p r o v e d .

T h e c o n t i n u i t y o f a f u n c t i o n

( 5 )

f ( z ) = u ( x , Y ) + i v ( x , Y )

i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e c o n t i n u i t y o f i t s c o m p o n e n t f u n c t i o n s u ( x , y ) a n d v ( x , y ) .

W e n o t e , f o r i n s t a n c e , h o w i t f o l l o w s f r o m T h e o r e m 1 i n S e c . 1 5 t h a t t h e f u n c t i o n

( 5 ) i s c o n t i n u o u s a t a p o i n t z o = ( x 0 , y o ) i f a n d o n l y i f i t s c o m p o n e n t f u n c t i o n s a r e

S E C . 1 7

E X E R C I S E S

5

c o n t i n u o u s t h e r e . T o i l l u s t r a t e t h e u s e o f t h i s s t a t e m e n t , s u p p o s e t h a t t h e f u n c t i o n ( 5 ) i s

c o n t i n u o u s i n a r e g i o n R t h a t i s b o t h c l o s e d a n d b o u n d e d ( s e e S e c . 1 0 ) . T h e f u n c t i o n

y ) ] 2 + [ v ( x , y ) ] 2

i s t h e n c o n t i n u o u s i n R a n d t h u s r e a c h e s a m a x i m u m v a l u e s o m e w h e r e i n t h a t r e g i o n . *

T h a t i s , f i s b o u n d e d o n R a n d I f ( z ) I r e a c h e s a m a x i m u m v a l u e s o m e w h e r e i n R .

M o r e p r e c i s e l y , t h e r e e x i s t s a n o n n e g a t i v e r e a l n u m b e r M s u c h t h a t

( 6 ) l f ( z ) I < M f o r a l l z i n R ,

w h e r e e q u a l i t y h o l d s f o r a t l e a s t o n e s u c h z .

E X E R C I S E S

1 . U s e d e f i n i t i o n ( 2 ) , S e c . 1 4 , o f l i m i t t o p r o v e t h a t

2

z

( a ) l i m R e z = R e z 0 ;

( b ) l i m z = Z 0 ;

( c ) l i m

= 0 .

z - ' z 0

z - ' z o

z - * 0 z

2 . L e t a , b , a n d c d e n o t e c o m p l e x c o n s t a n t s . T h e n u s e d e f i n i t i o n ( 2 ) , S e c . 1 4 , o f l i m i t t o

s h o w t h a t

( a ) l i m ( a z + b ) = a z 0 + b ;

( b ) l i m ( z 2 + c )

Z " . " * Z o

Z - * Z o

( c )

l i m [ x + i ( 2 x + y ) ] = 1 + i ( z = x + i y ) .

z - * 3 - i

3 . L e t n b e a p o s i t i v e i n t e g e r a n d l e t P ( z ) a n d Q ( z ) b e p o l y n o m i a l s , w h e r e Q ( z o ) } 0 . U s e

T h e o r e m 2 i n S e c . 1 5 a n d l i m i t s a p p e a r i n g i n t h a t s e c t i o n t o f i n d

-

a ) l i m

n

( z 0 5 4 0 ) ;

( b ) H i m

& z

1 ; ( c ) l i m

P z )

Z

o z

Z - i z - + - i

z - z o Q ( z )

A n s . ( a ) 1 / z a ;

( b ) 0 ;

( c ) P ( z 0 ) l Q ( z 0 ) .

4 . U s e m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n a n d p r o p e r t y ( 9 ) , S e c . 1 5 , o f l i m i t s t o s h o w t h a t

l i m z n = z Q

z - > z o

w h e n n i s a p o s i t i v e i n t e g e r ( n = 1 , 2 , . . . ) .

5 . S h o w t h a t t h e l i m i t o f t h e f u n c t i o n

f ( z ) =

a s z t e n d s t o 0 d o e s n o t e x i s t . D o t h i s b y l e t t i n g n o n z e r o p o i n t s z = ( x , 0 ) a n d z = ( x , x )

a p p r o a c h t h e o r i g i n . [ N o t e t h a t i t i s n o t s u f f i c i e n t t o s i m p l y c o n s i d e r p o i n t s z = ( x , 0 )

a n d z = ( 0 , y ) , a s i t w a s i n E x a m p l e 2 , S e c . 1 4 . ]

* S e e , f o r i n s t a n c e , A . E . T a y l o r a n d W . R . M a n n , " A d v a n c e d C a l c u l u s , " 3 d e d . , p p . 1 2 5 - 1 2 6 a n d p . 5 2 9 ,

1 9 8 3 .

5 4


C H A P . 2

6 . P r o v e s t a t e m e n t ( 8 ) i n T h e o r e m 2 o f S e c . 1 5 u s i n g

( a ) T h e o r e m 1 i n S e c . 1 5 a n d p r o p e r t i e s o f l i m i t s o f r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t w o r e a l

v a r i a b l e s ;

( b ) d e f i n i t i o n ( 2 ) , S e c . 1 4 , o f l i m i t .

7 . U s e d e f i n i t i o n ( 2 ) , S e c . 1 4 , o f l i m i t t o p r o v e t h a t

i f

l i m f ( z ) = w o ,

t h e n

u r n I f ( z ) I =

z - > Z o

Z - * Z o

S u g g e s t i o n : O b s e r v e h o w i n e q u a l i t y ( 8 ) , S e c . 4 , e n a b l e s o n e t o w r i t e

I I f ( z ) I - I w o I

I f ( z ) - W O I

8 . W r i t e A z = z - z o a n d s h o w t h a t

l i m f ( z ) = w o


l i m f ( z o + A z ) = w o .

Z * Z O

d z - > o

9 . S h o w t h a t

l i m f ( Z ) g ( z ) = 0

i f

l i m

f ( z ) = 0

z - > z o

a n d i f t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e n u m b e r M s u c h t h a t I g ( z ) I < M f o r a l l z i n s o m e n e i g h b o r -

h o o d o f z o .

1 0 . U s e t h e t h e o r e m i n S e c . 1 6 t o s h o w t h a t

2

4 z

= 4 ;

( b ) l

=

1 ) 2

( z

1 ) s

z

z 2 +

l i m

z - > o G Z -

W i t h t h e a i d o f t h e t h e o r e m i n S e c . 1 6 , s h o w t h a t w h e n

T ( z ) _

a z + b

( a d - b e A 0 ) ,

c z + d

( a )

( b )

1 2 . S t a t e w h y l i m i t s i n v o l v i n g t h e p o i n t a t i n f i n i t y a r e u n i q u e .

1 3 . S h o w t h a t a s e t S i s u n b o u n d e d ( S e c . 1 0 ) i f a n d o n l y i f e v e r y n e i g h b o r h o o d o f t h e p o i n t

a t i n f i n i t y c o n t a i n s a t l e a s t o n e p o i n t i n S .

l i m T ( z ) = o o i f c = 0 ;

Z - / 0 0

a

l i m T ( z ) _ - a n d

u r n T ( z ) = o o

i f c t - 0 .

c

z - , - d / c

z - Z c

1 8 . D E R I V A T I V E S

L e t f b e a f u n c t i o n w h o s e d o m a i n o f d e f i n i t i o n c o n t a i n s a n e i g h b o r h o o d o f a p o i n t z o .

T h e d e r i v a t i v e o f f a t z o , w r i t t e n f ' ( z o ) , i s d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n

( 1 )

) = J i m

f ( z ) - . f ( z o )

f ' ( z

o

Z - - * z o

Z - Z o

p r o v i d e d t h i s l i m i t e x i s t s . T h e f u n c t i o n f i s s a i d t o b e d i f f e r e n t i a b l e a t z o w h e n i t s

d e r i v a t i v e a t z o e x i s t s .



S E C . 1 8

D E R I V A T I V E S

5 5

B y e x p r e s s i n g t h e v a r i a b l e z i n d e f i n i t i o n ( 1 ) i n t e r m s o f t h e n e w c o m p l e x v a r i a b l e

A z = z - z 0 ,

w e c a n w r i t e t h a t d e f i n i t i o n a s

( 2 )

f ' ( z e ) = l i m

f ( z 0 + A z ) - f ( z 0 )

A z - - + o

A z

N o t e t h a t , b e c a u s e f i s d e f i n e d t h r o u g h o u t a n e i g h b o r h o o d o f z 0 , t h e n u m b e r

f ( z o + A z )

i s a l w a y s d e f i n e d f o r I A z I s u f f i c i e n t l y s m a l l ( F i g . 2 8 ) .

F I G U R E 2 8

W h e n t a k i n g f o r m ( 2 ) o f t h e d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e , w e o f t e n d r o p t h e s u b s c r i p t

o n z o a n d i n t r o d u c e t h e n u m b e r

A w = f ( z + A z ) - f ( z ) ,

w h i c h d e n o t e s t h e c h a n g e i n t h e v a l u e o f f c o r r e s p o n d i n g t o a c h a n g e A z i n t h e p o i n t

a t w h i c h f i s e v a l u a t e d . T h e n , i f w e w r i t e d w / d z f o r f ` ( z ) , e q u a t i o n ( 2 ) b e c o m e s

d w

A w

( 3 )

_

d Z

4 z m O

A z

E X A M P L E 1 .

S u p p o s e t h a t f ( z ) = z 2 . A t a n y p o i n t z ,

l i m

d w

= l i m

( z + A z ) 2 - z 2

= l i m ( 2 z + A z ) = 2 z ,

d z - * O A z

A z - * O

A z

n z - > o

s i n c e 2 z + A z i s a p o l y n o m i a l i n A z . H e n c e d w / d z = 2 z , o r f ' ( z )

= 2 z .

E X A M P L E 2 ,

C o n s i d e r n o w t h e f u n c t i o n f ( z ) = I z 1 2 . H e r e

A w

I z + A z l 2 - 1 z 1 2 _ ( z + A z ) ( z + O z ) - z z

A z

+ A z + z

A z

A z

-

A z

A z



5 6


A y

( 0 , A y )

( 0 , 0 )

( A x , 0 )

A x

C H A P . 2

F I G U R E 2 9

I f t h e l i m i t o f L w / L z e x i s t s , i t m a y b e f o u n d b y l e t t i n g t h e p o i n t A z = ( A x , A y )

a p p r o a c h t h e o r i g i n i n t h e A z p l a n e i n a n y m a n n e r . I n p a r t i c u l a r , w h e n d z

a p p r o a c h e s

t h e o r i g i n h o r i z o n t a l l y t h r o u g h t h e p o i n t s ( A x , 0 ) o n t h e r e a l

a x i s ( F i g . 2 9 ) ,

+ i 0 = A x - i 0 = A x + i 0 = A z .

I n t h a t c a s e ,

A w

= z + A z + z .

H e n c e , i f t h e l i m i t o f t a w / A z e x i s t s , i t s v a l u e m u s t b e z + z . H o w e v e r ,

w h e n A z

a p p r o a c h e s t h e o r i g i n v e r t i c a l l y t h r o u g h t h e p o i n t s ( 0 , A y ) o n t h e i m a g i n a r y

a x i s , s o

t h a t

= 0 + i A y = - ( 0 + i L y ) = - A z ,

w e f i n d t h a t

- z .

H e n c e t h e l i m i t m u s t b e i - z i f i t e x i s t s . S i n c e l i m i t s a r e u n i q u e ( S e c .

1 4 ) , i t f o l l o w s

t h a t

z + z =

o r z = 0 , i f d w / d z i s t o e x i s t .

T o s h o w t h a t d w / d z d o e s , i n f a c t , e x i s t a t z = 0 , w e n e e d o n l y o b s e r v e

t h a t o u r

e x p r e s s i o n f o r A w / A z r e d u c e s t o & z - w h e n z = 0 . W e c o n c l u d e , t h e r e f o r e , t h a t

d w / d z

e x i s t s o n l y a t z = 0 , i t s v a l u e t h e r e b e i n g 0 .

E x a m p l e 2 s h o w s t h a t a f u n c t i o n c a n b e d i f f e r e n t i a b l e a t a

c e r t a i n p o i n t b u t

n o w h e r e e l s e i n a n y n e i g h b o r h o o d o f t h a t p o i n t . S i n c e t h e r e a l a n d

i m a g i n a r y p a r t s

o f f ( z ) = I z 1 2 a r e

( 4 )

u ( x , y ) = x 2 + y `

a n d

v ( x , y ) = 0 ,



S E C . 1 9

D I F F E R E N T I A T I O N F O R M U L A S

5 7

r e s p e c t i v e l y , i t a l s o s h o w s t h a t t h e r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s o f a f u n c t i o n o f a

c o m p l e x v a r i a b l e c a n h a v e c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f a l l o r d e r s a t a p o i n t a n d

y e t t h e f u n c t i o n m a y n o t b e d i f f e r e n t i a b l e t h e r e .

T h e f u n c t i o n f ( Z ) = I z 1 2 i s c o n t i n u o u s a t e a c h p o i n t i n t h e p l a n e s i n c e i t s c o m -

p o n e n t s ( 4 ) a r e c o n t i n u o u s a t e a c h p o i n t . S o t h e c o n t i n u i t y o f a f u n c t i o n a t a p o i n t

d o e s n o t i m p l y t h e e x i s t e n c e o f a d e r i v a t i v e t h e r e . I t i s , h o w e v e r , t r u e t h a t t h e e x i s t e n c e

o f t h e d e r i v a t i v e o f a j u n c t i o n a t a p o i n t i m p l i e s t h e c o n t i n u i t y o f t h e f u n c t i o n a t t h a t

p o i n t . T o s e e t h i s , w e a s s u m e t h a t f ' ( z p ) e x i s t s a n d w r i t e

l i m I f ( z )

- f ( z 0 ) ] =

l i m

f ( z ) - f ( z o )

l i m ( z

- z c ) =

f ' ( z c ) 0 = 0 ,

Z - - * Z 0

z - > z p

Z - z 0

Z - - * z { }

f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t

l i m f ( z ) = . f ( z o ) .

z - - + z 0

T h i s i s t h e s t a t e m e n t o f c o n t i n u i t y o f f a t z o ( S e c . 1 7 ) .

G e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n s o f d e r i v a t i v e s o f f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e a r e

n o t a s i m m e d i a t e a s t h e y a r e f o r d e r i v a t i v e s o f f u n c t i o n s o f a r e a l v a r i a b l e . W e d e f e r

t h e d e v e l o p m e n t o f s u c h i n t e r p r e t a t i o n s u n t i l C h a p . 9 .

1 9 . D I F F E R E N T I A T I O N F O R M U L A S

T h e d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e i n S e c . 1 8 i s i d e n t i c a l i n f o r m t o t h a t o f t h e d e r i v a t i v e o f a

r e a l - v a l u e d f u n c t i o n o f a r e a l v a r i a b l e . I n f a c t , t h e b a s i c d i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a s g i v e n

b e l o w c a n b e d e r i v e d f r o m t h a t d e f i n i t i o n b y e s s e n t i a l l y t h e s a m e s t e p s a s t h e o n e s u s e d

i n c a l c u l u s . I n t h e s e f o r m u l a s , t h e d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n f a t a p o i n t z i s d e n o t e d b y

e i t h e r

d z

f ( z )

o r , f ' ( z ) ,

d e p e n d i n g o n w h i c h n o t a t i o n i s m o r e c o n v e n i e n t .

L e t c b e a c o m p l e x c o n s t a n t , a n d l e t f b e a f u n c t i o n w h o s e d e r i v a t i v e e x i s t s a t a

p o i n t z . I t i s e a s y t o s h o w t h a t

d z

c

= 0 .

d z

Z

1 ,

d

[ c f ( z ) ] = c f ' ( z ) .

A l s o , i f n i s a p o s i t i v e i n t e g e r ,

( 2 )

d

n = n z '

T h i s f o r m u l a r e m a i n s v a l i d w h e n n i s a n e g a t i v e i n t e g e r , p r o v i d e d t h a t z 0 0 .

5 8


I f t h e d e r i v a t i v e s o f t w o f u n c t i o n s f a n d F e x i s t a t a p o i n t z , t h e n

[ f ( z )

+ F ( z ) ] = . f ' ( z ) + F ' ( z ) ,

d z

d z

[ f

( z ) F ( z ) ] _ . f ( z ) F ' ( z ) + f ' ( z ) F ( z ) ;

0 ,

_

F ( z ) f ' ( z ) - f ( z ) F ' ( z )

d z [ F ( z ) ]

[ F ( z ) ] 2

d

(

. f ( z )

C H A P . 2

L e t u s d e r i v e f o r m u l a ( 4 ) . T o d o t h i s , w e w r i t e t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r t h e

c h a n g e i n t h e p r o d u c t w = f ( z ) F ( z ) :

A w = f ( z + A z ) F ( z + A z ) - f ( z ) F ( z )

T h u s

[ F ( z + A z ) - F ( z ) ] + [ f ( z + A z ) - f ( z ) ] F

A w

=

f ( z )

F ( z + A z ) - F ( z ) +

f ( z + A Z ) -

A z

A z

A Z

F ( z + A z ) ;

a n d , l e t t i n g A Z t e n d t o z e r o , w e a r r i v e a t t h e d e s i r e d f o r m u l a f o r t h e d e r i v a t i v e o f

f ( z ) F ( z ) . H e r e w e h a v e u s e d t h e f a c t t h a t F i s c o n t i n u o u s a t t h e p o i n t z , s i n c e F ' ( z )

e x i s t s ; t h u s F ( z + A z ) t e n d s t o F ( z ) a s A z t e n d s t o z e r o ( s e e E x e r c i s e 8 , S e c . 1 7 ) .

T h e r e i s a l s o a c h a i n r u l e f o r d i f f e r e n t i a t i n g c o m p o s i t e f u n c t i o n s . S u p p o s e t h a t f

h a s a d e r i v a t i v e a t z o a n d t h a t g h a s a d e r i v a t i v e a t t h e p o i n t f ( z 0 ) . T h e n t h e f u n c t i o n

F ( z ) = g [ f ( z ) ] h a s a d e r i v a t i v e a t z o , a n d

( 6 )

F ' ( z o ) = g ' [ . f ( z o ) ] f ' ( z o ) .

I f w e w r i t e w = f ( z ) a n d W = g ( w ) , s o t h a t W = F ( z ) , t h e c h a i n r u l e b e c o m e s

d W

d W d w

d z

d w d l

E X A M P L E . T o f i n d t h e d e r i v a t i v e o f ( 2 z 2 + i ) 5 , w r i t e w = 2 z 2 + i a n d W =

T h e n

5 w 4 4 z = 2 0 z ( 2 z ` + 1 ) 4 .

T o s t a r t t h e p r o o f o f f o r m u l a ( 6 ) , c h o o s e a s p e c i f i c p o i n t z o a t w h i c h f ' ( z o )

e x i s t s . W r i t e w o = f ( z o ) a n d a l s o a s s u m e t h a t g ' ( w o ) e x i s t s . T h e r e i s , t h e n , s o m e

e n e i g h b o r h o o d I w - w o I < e o f w o s u c h t h a t , f o r a l l p o i n t s w i n t h a t

n e i g h b o r h o o d ,

S E C . 1 9

w e c a n d e f i n e a f u n c t i o n c w h i c h h a s t h e v a l u e s ( D ( w o ) = 0 a n d

( 7 )

( D ( w ) =

g ( w ) - S ( w o )

- g ' ( w 0 )

w h e n w 0 w 0 .

w - w 0

N o t e t h a t , i n v i e w o f t h e d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e ,

( 8 )

l i m

( w ) = 0 .

w - > w p

E X E R C I S E S

5 9

H e n c e < D i s c o n t i n u o u s a t w 0 .

N o w e x p r e s s i o n ( 7 ) c a n b e p u t i n t h e f o r m

( 9 )

g ( w ) - g ( w o ) = [ g ' ( w 0 ) + 0 ( w ) ] ( w - 7 1 0 )

( I w - w o 1 < E ) ,

w h i c h i s v a l i d e v e n w h e n w = w 0 ; a n d , s i n c e f ' ( z 0 ) e x i s t s a n d f i s , t h e r e f o r e ,

c o n t i n u o u s a t z o , w e c a n c h o o s e a p o s i t i v e n u m b e r 8 s u c h t h a t t h e p o i n t f ( z ) l i e s i n

t h e e n e i g h b o r h o o d I w - w 0 I < e o f w 0 i f z l i e s i n t h e S n e i g h b o r h o o d I z - z o I < 8

o f

z o . T h u s i t i s l e g i t i m a t e t o r e p l a c e t h e v a r i a b l e w i n e q u a t i o n ( 9 ) b y f ( z ) w h e n z i s a n y

p o i n t i n t h e n e i g h b o r h o o d I z - z o I < S . W i t h t h a t s u b s t i t u t i o n , a n d w i t h w 0 = f ( z 0 ) .

e q u a t i o n ( 9 ) b e c o m e s

( 1 0 )

g [ f ( z ) ] - g [ f ( z 0 ) ]

= { g ' [ f ( z o ) ] + < D [ f ( z ) ] }

f ( z ) - f ( z 0 )

z - z o

z - z 0

( 0 < I z - z 0 I < S ) ,

w h e r e w e m u s t s t i p u l a t e t h a t z

z 0 s o t h a t w e a r e n o t d i v i d i n g b y z e r o . A s a l r e a d y

n o t e d , f i s c o n t i n u o u s a t z o a n d 1

i s c o n t i n u o u s a t t h e p o i n t w 0 = f ( z o ) . T h u s t h e

c o m p o s i t i o n 4 ) [ f ( z ) ] i s c o n t i n u o u s a t z o ; a n d , s i n c e ( D ( w 0 ) = 0 ,

l i m < D [ f ( z ) ] = 0 .

z - + z o

S o e q u a t i o n ( 1 0 ) b e c o m e s e q u a t i o n ( 6 ) i n t h e l i m i t a s z a p p r o a c h e s z o .

E X E R C I S E S

1 . U s e r e s u l t s i n S e c . 1 9 t o f i n d f ' ( z ) w h e n

( a ) . ( z ) = 3 z 2 - 2 z } 4 ;

( b ) f ( z ) _ ( 1 - 4 z 2 ) 3 ;

( c )

2 4

f ( z )

Z

_

= 2 z + l l ( z 5 4 - 1 / 2 ) ;

( d ) f ( z ) _

( 1

z )

( z 5 4 0 ) .

2 . U s i n g r e s u l t s i n S e c . 1 9 , s h o w t h a t

( a ) a p o l y n o m i a l

P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + . . . + a n z n

( a n A 0 )

o f d e g r e e n ( n > 1 ) i s d i f f e r e n t i a b l e e v e r y w h e r e , w i t h d e r i v a t i v e

P ' ( z ) = a 1 + 2 a 2 Z + . . . +

n a , , z n - I

;



6 0


( b ) t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e p o l y n o m i a l P ( z ) i n p a r t ( a ) c a n b e w r i t t e n

"

( 0 )

P ( n ) ( Q )

a 0 = P ( 0 ) ,

a t =

P 1 ( 0 )

,

a 2 =

P 2 f

'

a =

n i

C H A P . 2

3 . A p p l y d e f i n i t i o n ( 3 ) , S e c . 1 8 , o f d e r i v a t i v e t o g i v e a d i r e c t p r o o f t h a t

f ' ( z ) = - 2 w h e n f ( z ) = I ( z * 0 ) .

Z

z

4 . S u p p o s e t h a t f ( z o ) = g ( z o ) = 0 a n d t h a t f ' ( z 0 ) a n d g ' ( z o ) e x i s t , w h e r e g ' ( z o ) * 0 . U s e

d e f i n i t i o n ( 1 ) , S e c . 1 8 , o f d e r i v a t i v e t o s h o w t h a t

f ( z )

-

f ' ( z o )

.

Z - Z Q g ( z )

g ' ( z 0 )

5 . D e r i v e f o r m u l a ( 3 ) , S e c . 1 9 , f o r t h e d e r i v a t i v e o f t h e s u m o f t w o f u n c t i o n s .

6 . D e r i v e e x p r e s s i o n ( 2 ) , S e c . 1 9 , f o r t h e d e r i v a t i v e o f z ' w h e n n i s a p o s i t i v e i n t e g e r b y

u s i n g

( a ) m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n a n d f o r m u l a ( 4 ) , S e c . 1 9 , f o r t h e d e r i v a t i v e o f t h e p r o d u c t o f

t w o f u n c t i o n s ;

( b ) d e f i n i t i o n ( 3 ) , S e c . 1 8 , o f d e r i v a t i v e a n d t h e b i n o m i a l f o r m u l a ( S e c . 3 ) .

7 . P r o v e t h a t e x p r e s s i o n ( 2 ) , S e c . 1 9 , f o r t h e d e r i v a t i v e o f z n r e m a i n s v a l i d w h e n n i s a

n e g a t i v e i n t e g e r ( n = - 1 , - 2 , . . . ) , p r o v i d e d t h a t z

0 .

S u g g e s t i o n : W r i t e m = - n a n d u s e t h e f o r m u l a f o r t h e d e r i v a t i v e o f a q u o t i e n t o f

t w o f u n c t i o n s .

8 . U s e t h e m e t h o d i n E x a m p l e 2 , S e c . 1 8 , t o s h o w t h a t f ( z ) d o e s n o t e x i s t a t a n y p o i n t z

w h e n

= z ;

( b ) f ( z ) = R e z ;

( c ) f ( z ) = I m z .

9 . L e t f d e n o t e t h e f u n c t i o n w h o s e v a l u e s a r e

f ( 4 ) =

w h e n

z A 0 ,

t 0

w h e n

z = 0 .

S h o w t h a t i f z = 0 , t h e n A w / A z = 1 a t e a c h n o n z e r o p o i n t o n t h e r e a l a n d i m a g i n a r y

a x e s i n t h e A z , o r A x A y , p l a n e . T h e n s h o w t h a t A W / A z = - I a t e a c h n o n z e r o

p o i n t

( A x , A x ) o n t h e l i n e A y

A x i n t h a t p l a n e . C o n c l u d e f r o m t h e s e o b s e r v a t i o n s t h a t

f ' ( 0 ) d o e s n o t e x i s t . ( N o t e t h a t , t o o b t a i n t h i s r e s u l t , i t i s n o t s u f f i c i e n t t o c o n s i d e r o n l y

h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l a p p r o a c h e s t o t h e o r i g i n i n t h e A z p l a n e . )

2 0 . C A U C H Y - R I E M A N N E Q U A T I O N S

I n t h i s s e c t i o n , w e o b t a i n a p a i r o f e q u a t i o n s t h a t t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f

t h e c o m p o n e n t f u n c t i o n s u a n d v o f a f u n c t i o n

( 1 )

f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y )



S E C . 2 0

C A U C H Y - R I E M A N N E Q U A T I O N S

6

m u s t s a t i s f y a t a p o i n t z o = ( x 0 , y o ) w h e n t h e d e r i v a t i v e o f f e x i s t s t h e r e . W e a l s o

s h o w h o w t o e x p r e s s f ' ( z o ) i n t e r m s o f t h o s e p a r t i a l d e r i v a t i v e s .

W e s t a r t b y w r i t i n g z o = x 0 + i y 0 , A z = A x + i A y , a n d

A w = f ( z o + A z ) - f ( z o )

= [ u ( x o + A x , y o + A y ) - u ( x o , y o ) ] + i [ v ( x o + A x , y o + A y ) -

A s s u m i n g t h a t t h e d e r i v a t i v e

( 2 )

f ' ( z 0 ) =

l i m R e

b w w

+ i

l i m I M

w

( A x , A y ) - - ( O , O )

A Z

( A x , A y ) - ( O , O )

A Z

e x i s t s , w e k n o w f r o m T h e o r e m 1 i n S e c . 1 5 t h a t

(

v ( x 0 , y 0 ) )

N o w i t i s i m p o r t a n t t o k e e p i n m i n d t h a t e x p r e s s i o n ( 3 ) i s v a l i d a s ( A x , A y )

t e n d s t o ( 0 , 0 ) i n a n y m a n n e r t h a t w e m a y c h o o s e . I n p a r t i c u l a r , w e l e t ( A x , A y ) t e n d

t o ( 0 , 0 ) h o r i z o n t a l l y t h r o u g h t h e p o i n t s ( A x , 0 ) , a s i n d i c a t e d i n F i g . 2 9 ( S e c . 1 8 ) .

I n a s m u c h a s A y = 0 , t h e q u o t i e n t A w / A z b e c o m e s

z

T h u s

a n d

( z o ) = l i m

A w

A z - O A Z

u ( x 0 + A x , y o ) - u ( x 0 , Y o )

' A y ) - ( O , O )

A Z

A x - + O

A x

-

u ( x 0 + A x , y 0 ) - u ( x o , Y o )

+ i

v ( x o + A x , Y o )

- v ( x o , Y o )

A x A x

l i m

R e - = l i m

x ( x o ,

y o )

w h e r e u x ( x o , y o ) a n d v x ( x o , y o ) d e n o t e t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t

t o x o f t h e f u n c t i o n s u a n d v , r e s p e c t i v e l y , a t ( x o , y o ) . S u b s t i t u t i o n o f t h e s e l i m i t s i n t o

e x p r e s s i o n ( 3 ) t e l l s u s t h a t

( 4 )

f ' ( Z 0 ) = u x ( x o , Y o ) + i v x ( x o , y 0 )

W e m i g h t h a v e l e t A z t e n d t o z e r o v e r t i c a l l y t h r o u g h t h e p o i n t s ( 0 , A y ) . I n t h a t

c a s e , A x = 0 a n d

A w

u ( x o , y o + A y )

- u ( x o , y o )

+

v ( x 0 , Y o + A Y ) - v ( x o , y o )

A Z

i A y

i A y

_ v ( x o , Y e + A y ) - v ( x o , y o )

u ( x o = y o + A Y ) - u ( x o , y o )

A y A y



6 2


E v i d e n t l y , t h e n ,

a n d

- l i

u ( x o , Y o + A y

( o x , A y ) - + ( o , o )

A Z

A y - - * o

A y

H e n c e i t f o l l o w s f r o m e x p r e s s i o n ( 3 ) t h a t

C H A P . 2

x o , y o )

= v v ( x o Y o )

X 0 , Y o )

_ - u

0 , y o )

( 5 )

. f ' ( z o ) = v y ( x 0 , Y o ) - i u y ( x o , Y o ) ,

w h e r e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f u a n d v a r e , t h i s t i m e , w i t h r e s p e c t t o y . N o t e

t h a t

e q u a t i o n ( 5 ) c a n a l s o b e w r i t t e n i n t h e f o r m

f ' ( z p ) = - i [ u y ( x o , Y o ) + i v y ( x o , Y o ) J .

E q u a t i o n s ( 4 ) a n d ( 5 ) n o t o n l y g i v e f ' ( z o ) i n t e r m s o f p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e

c o m p o n e n t f u n c t i o n s u a n d v , b u t t h e y a l s o p r o v i d e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s

f o r t h e

e x i s t e n c e o f f ' ( z o ) . F o r , o n e q u a t i n g t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o n t h e r i g h t - h a n d

s i d e s o f t h e s e e q u a t i o n s , w e s e e t h a t t h e e x i s t e n c e o f f ' ( z o ) r e q u i r e s t h a t

( 6 )

u X ( x o , Y o ) = v y ( x o , y o )

a n d

o , y o ) = - v X ( x o ,

Y o )

E q u a t i o n s ( 6 ) a r e t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s , s o n a m e d i n h o n o r o f t h e F r e n c h

m a t h e m a t i c i a n A . L . C a u c h y ( 1 7 8 9 - 1 8 5 7 ) , w h o d i s c o v e r e d a n d u s e d t h e m , a n d i n

h o n o r o f t h e G e r m a n m a t h e m a t i c i a n G . F . B . R i e m a n n ( 1 8 2 6 - 1 8 6 6 ) , w h o m a d e t h e m

f u n d a m e n t a l i n h i s d e v e l o p m e n t o f t h e t h e o r y o f f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e .

W e s u m m a r i z e t h e a b o v e r e s u l t s a s f o l l o w s .

T h e o r e m .


f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , Y )

a n d t h a t f ' ( z ) e x i s t s a t a p o i n t z o = x a + i y o . T h e n t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s

o f u a n d v m u s t e x i s t a t ( x o , y o ) , a n d t h e y m u s t s a t i s f y t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s

( 7 )

t h e r e . A l s o , f ' ( z o ) c a n b e w r i t t e n

( 8 )

. f ' ( z o ) = u x + i v x ,

w h e r e t h e s e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a r e t o b e e v a l u a t e d a t ( x o , y o ) .

A V ) - + ( 0 , O )

A Z

A V - - + O

t r y

i m

R e

t a w

= l i m

v ( x 0 , Y o + A Y ) - v (

-

l i m



S E C . 2 1

S U F F I C I E N T C O N D I T I O N S F O R D I F F E R E N T I A B I L I T Y

6 3

E X A M P L E 1 .

I n E x a m p l e 1 , S e c . 1 8 , w e s h o w e d t h a t t h e f u n c t i o n

f ( z )

- y 2 + i 2 x y

i s d i f f e r e n t i a b l e e v e r y w h e r e a n d t h a t f ( z ) = 2 z . T o v e r i f y t h a t t h e C a u c h y - R i e m a n n

e q u a t i o n s a r e s a t i s f i e d e v e r y w h e r e , w e n o t e t h a t

u ( x , y ) = x 2 - y 2

a n d

v ( x , y ) = 2 x y .

T h u s

u z = 2 x = v y ,

u y = - 2 y = - v x .

M o r e o v e r , a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 8 ) ,

f ' ( z ) = 2 x + i 2 y = 2 ( x + i y ) = 2 z .

S i n c e t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a r e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e

o f t h e d e r i v a t i v e o f , a f u n c t i o n f a t a p o i n t z 0 , t h e y c a n o f t e n b e u s e d t o l o c a t e p o i n t s

a t w h i c h f d o e s n o t h a v e a d e r i v a t i v e .

E X A M P L E 2 . W h e n f ( z ) = ( z 1 2 , w e h a v e

y ) = x 2 + y 2

a n d

v ( x , y ) = 0 .

I f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a r e t o h o l d a t a p o i n t ( x , - y ) , i t f o l l o w s t h a t 2 x

= 0

a n d 2 y = 0 , o r t h a t x = y = 0 . C o n s e q u e n t l y , f ' ( z ) d o e s n o t e x i s t a t a n y n o n z e r o p o i n t ,

a s w e a l r e a d y k n o w f r o m E x a m p l e 2 i n S e c . 1 8 . N o t e t h a t t h e a b o v e t h e o r e m d o e s n o t

e n s u r e t h e e x i s t e n c e o f f ' ( 0 ) . T h e t h e o r e m i n t h e n e x t s e c t i o n w i l l , h o w e v e r , d o t h i s .

2 1 . S U F F I C I E N T C O N D I T I O N S F O R D I F F E R E N T I A B I L I T Y

S a t i s f a c t i o n o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a t a p o i n t z 0

= ( x 0 , y 0 ) i s n o t s u f f i c i e n t

t o e n s u r e t h e e x i s t e n c e o f t h e d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n f ( z ) a t t h a t p o i n t . ( S e e E x e r c i s e 6 ,

S e c . 2 2 . ) B u t , w i t h c e r t a i n c o n t i n u i t y c o n d i t i o n s , w e h a v e t h e f o l l o w i n g u s e f u l t h e o r e m .

T h e o r e m .

L e t t h e f u n c t i o n

f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , . Y )

b e d e f i n e d t h r o u g h o u t s o m e s n e i g h b o r h o o d o f a p o i n t

z 0 = x 0 + i Y 0 , a n d s u p p o s e

t h a t t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e f u n c t i o n s u a n d v w i t h r e s p e c t t o x a n d

y

e x i s t e v e r y w h e r e i n t h a t n e i g h b o r h o o d . I f t h o s e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a r e c o n t i n u o u s a t

( x 0 , y o ) a n d s a t i s f y t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s

u y = _ U x

a t ( x 0 ,

y 0 ) ,

t h e n f ( z 0 ) e x i s t s .

6 4


T o s t a r t t h e p r o o f , w e w r i t e A z = A x + i A y , w h e r e 0 < I A z I < s , a n d

A w = f ( z o + A z ) - f ( z o )

T h u s

( 1 )

w h e r e

a n d

i A v ,

A u = u ( x o + A x , y o + A y ) - u ( x o , y o )

A v = v ( x e + A x , y o + A y ) - v ( x o , y o )

C H A P . 2

T h e a s s u m p t i o n t h a t t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f u a n d v a r e c o n t i n u o u s a t t h e

p o i n t ( x o , y o ) e n a b l e s u s t o w r i t e *

( 2 )

A u = u x ( x o ,

a n d

u y ( x o , y o ) A y + e l ( A x ) 2 + ( A y ) 2

( 3 )

A v = v x ( x o , y o ) A x + v y ( x o , Y o ) A Y

+ E 2 V

( A x ) 2

+ ( A y ) 2 ,

w h e r e E 1 a n d 8 2 t e n d t o 0 a s ( A x , A y ) a p p r o a c h e s ( 0 , 0 ) i n t h e A z p l a n e . S u b s t i t u t i o n

o f e x p r e s s i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) i n t o e q u a t i o n ( 1 ) n o w t e l l s u s t h a t

( 4 )

A w = u x ( x o , y o ) A x + u y ( x o , y o ) A y + e 1

V l - ( A X ) 2

+ ( A y ) 2

x ( x o , y o ) A x + v y ( x o , y o ) A y + s 2 I ( A x ) 2 +

( A y '

A s s u m i n g t h a t t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a r e s a t i s f i e d a t ( x o , y o ) , w e c a n

r e p l a c e u y ( x o , y o ) b y - v x ( x o , y o ) a n d v ( x o , y o ) b y u x ( x o , y o ) i n e q u a t i o n ( 4 ) a n d

t h e n d i v i d e t h r o u g h b y A z t o g e t

( 5 )

A z

= u x

( x o , y o ) + i v x ( x o , y o ) + ( E 1 + i $

{ L l x ) 2 + ( A y

A z

2

* S e e , f o r i n s t a n c e , A . E . T a y l o r a n d W . R . M a n n , " A d v a n c e d C a l c u l u s , " 3 d e d . , p p . 1 5 0 - 1 5 1 a n d 1 9 7 -

1 9 8 , 1 9 8 3 .



S E C . 2 2

P O L A R C O O R D I N A T E S

6 5

B u t

( 1 1 x ) 2 + ( A y ) 2

= l A z l , a n d s o

b z

A y

= 1 .

A l s o , e l + i e 2 t e n d s t o 0 a s ( 1 1 x , 1 1 y ) a p p r o a c h e s ( 0 , 0 ) . S o t h e l a s t t e r m o n t h e r i g h t

i n e q u a t i o n ( 5 ) t e n d s t o 0 a s t h e v a r i a b l e A z = A x + i A y t e n d s t o 0 . T h i s m e a n s t h a t

t h e l i m i t o f t h e l e f t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 5 ) e x i s t s a n d t h a t

( 6 )

f ' ( z o ) = U x

w h e r e t h e r i g h t - h a n d s i d e i s t o b e e v a l u a t e d a t ( x e , y e ) .

E X A M P L E 1 .

C o n s i d e r t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n

f ( z ) = e Z = e x e ` y

( Z = x + i y ) ,

s o m e o f w h o s e m a p p i n g p r o p e r t i e s w e r e d i s c u s s e d i n S e c . 1 3 . I n v i e w o f E u l e r ' s

f o r m u l a ( S e c . 6 ) , t h i s f u n c t i o n c a n , o f c o u r s e , b e w r i t t e n

f ( z ) = e x c o s y + i e x s i n y ,

w h e r e y i s t o b e t a k e n i n r a d i a n s w h e n c o s y a n d s i n y a r e e v a l u a t e d . T h e n

u ( x , y ) = e x c o s y

a n d

v ( x , y ) = e x s i n y .

S i n c e u x = v Y a n d u y = - v x e v e r y w h e r e a n d s i n c e t h e s e d e r i v a t i v e s a r e e v e r y w h e r e

c o n t i n u o u s , t h e c o n d i t i o n s i n t h e t h e o r e m a r e s a t i s f i e d a t a l l p o i n t s i n t h e c o m p l e x

p l a n e . T h u s f ( z ) e x i s t s e v e r y w h e r e , a n d

+ i v x = e x c o s y + i e x s i n y .

N o t e t h a t f ( z ) =

E X A M P L E 2 .

I t a l s o f o l l o w s f r o m t h e t h e o r e m i n t h i s s e c t i o n t h a t t h e f u n c t i o n

f ( z ) = I z 1 2 , w h o s e c o m p o n e n t s a r e

U ( X ' Y ) = X

2

+ Y 2

a n d

v ( x , y ) = 0 ,

h a s a d e r i v a t i v e a t z = 0 . I n f a c t , f ' ( 0 ) = 0 + i 0 = 0 ( c o m p a r e E x a m p l e 2 , S e c . 1 8 ) . W e

s a w i n E x a m p l e 2 , S e c . 2 0 , t h a t t h i s f u n c t i o n c a n n o t h a v e a d e r i v a t i v e a t a n y n o n z e r o

p o i n t s i n c e t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a r e n o t s a t i s f i e d a t s u c h p o i n t s .

2 2 . P O L A R C O O R D I N A T E S

A s s u m i n g t h a t z o

0 , w e s h a l l i n t h i s s e c t i o n u s e t h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n

( 1 )

x = r c o s 0 ,

y = r s i n 0



6 6


C H A P . 2

t o r e s t a t e t h e t h e o r e m i n S e c . 2 1 i n p o l a r c o o r d i n a t e s .

D e p e n d i n g o n w h e t h e r w e w r i t e

z = x + i y o r

z = r e f s

0

w h e n w = f ( z ) , t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f w = u + i v a r e e x p r e s s e d i n t e r m s o f

e i t h e r t h e v a r i a b l e s x a n d y o r r a n d 0 . S u p p o s e t h a t t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s

o f u a n d v w i t h r e s p e c t t o x a n d y e x i s t e v e r y w h e r e i n s o m e n e i g h b o r h o o d o f a g i v e n

n o n z e r o p o i n t z o a n d a r e c o n t i n u o u s a t t h a t p o i n t . T h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s

w i t h r e s p e c t t o r a n d 0 a l s o h a v e t h e s e p r o p e r t i e s , a n d t h e c h a i n r u l e f o r d i f f e r e n t i a t i n g

r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t w o r e a l v a r i a b l e s c a n b e u s e d t o w r i t e t h e m i n t e r m s o f t h e

o n e s w i t h r e s p e c t t o x a n d y . M o r e p r e c i s e l y , s i n c e

a u

a u 8 x a u 8 y

a u

a u 8 x a u a y

a r

a x c a r +

a y c a r '

a 8

a x a 8

+

a y a O '

o n e c a n w r i t e

( 2 ) u r = u x c o s 0 + u y s i n 0 , u s = - u x r s i n 0 + u y r c o s 0 .

L i k e w i s e ,

( 3 )

v x c o s 0 - I - v y s i n 0 ,

v 9 = - v x r s i n 0 + v y r c o s 0 .

I f t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o x a n d y a l s o s a t i s f y t h e C a u c h y - R i e m a n n

e q u a t i o n s

( 4 )

a t z 0 , e q u a t i o n s ( 3 ) b e c o m e

( 5 )

u x = v y , u y = - v x

V r = - u y c o s 0 + u x s i n 0 ,

v s = u y r s i n 0 + u x r c o s 9

a t t h a t p o i n t . I t i s t h e n c l e a r f r o m e q u a t i o n s ( 2 ) a n d ( 5 ) t h a t

( 6 ) r u r = v 0 , u o = - r v r

a t t h e p o i n t z 0 .

I f , o n t h e o t h e r h a n d , e q u a t i o n s ( 6 ) a r e k n o w n t o h o l d a t z o , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d

t o s h o w ( E x e r c i s e 7 ) t h a t e q u a t i o n s ( 4 ) m u s t h o l d t h e r e . E q u a t i o n s ( 6 ) a r e , t h e r e f o r e ,

a n a l t e r n a t i v e f o r m o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s ( 4 ) .

W e c a n n o w r e s t a t e t h e t h e o r e m i n S e c . 2 1 u s i n g p o l a r c o o r d i n a t e s .

T h e o r e m .

L e t t h e f u n c t i o n

f ( z ) = u ( r , 0 ) + i v ( r , 0 )

b e d e f i n e d t h r o u g h o u t s o m e s n e i g h b o r h o o d o f a n o n z e r o p o i n t z o = r o e x p ( i 0 0 ) , a n d

s u p p o s e t h a t t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e f u n c t i o n s u a n d v w i t h r e s p e c t t o r

S E C . 2 2

P O L A R C O O R D I N A T E S

6 7

a n d O e x i s t e v e r y w h e r e i n t h a t n e i g h b o r h o o d . I f t h o s e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a r e c o n t i n u o u s

a t ( r 0 , 0 0 ) a n d s a t i s f y t h e p o l a r f o r m

r u r = v g ,

o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a t ( r 0 , 8 Q ) , t h e n f ( z 0 ) e x i s t s .

T h e d e r i v a t i v e f ' ( z 0 ) h e r e c a n b e w r i t t e n ( s e e E x e r c i s e 8

( 7 )

0 1 =

C O s "

a n d v

r

w h e r e t h e r i g h t - h a n d s i d e i s t o b e e v a l u a t e d a t ( r e , 8 0 ) .

E X A M P L E 1 .

C o n s i d e r t h e f u n c t i o n

( 8 )

f ( z ) =

1

= I

=

l

e - ` e

=

l

( C o s 9 - i s i n 6 )

( z A 0 ) .

z

r e i e r r

S i n c e

r + i V r } ,

t h e c o n d i t i o n s i n t h e a b o v e t h e o r e m a r e s a t i s f i e d a t e v e r y n o n z e r o p o i n t z = r e " i n t h e

p l a n e . I n p a r t i c u l a r , t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s

r u r = -

G O S S

= v 0

a n d u 0 = -

s i n g

= - r v r

r

- e - i 8

e - Y O

a r e s a t i s f i e d . H e n c e t h e d e r i v a t i v e o f f e x i s t s w h e n z 5 4 0 ; a n d , a c c o r d i n g t o e x p r e s -

s i o n ( 7 ) ,

z 7 = e

s i n 9

r

r

I

r 2

r 2 ) r 2

( r e f 8 ) 2

E X A M P L E 2 .

T h e t h e o r e m c a n b e u s e d t o s h o w t h a t , w h e n a i s a f i x e d r e a l n u m b e r ,

t h e f u n c t i o n

0 , a < 9 < a - 4 - 2 r r }

h a s a d e r i v a t i v e e v e r y w h e r e i n i t s d o m a i n o f d e f i n i t i o n . H e r e

" r c o s

8

a n d

v ( r , 6 ) - Y r s i n 3

I n a s m u c h a s

r u r =

- f t

c o s

8

= v g a n d u o = - - r s i n

8

- - r v r

3

3

3 3

6 8


C H A P . 2

a n d s i n c e t h e o t h e r c o n d i t i o n s i n t h e t h e o r e m a r e s a t i s f i e d , t h e d e r i v a t i v e f ' ( z ) e x i s t s

a t e a c h p o i n t w h e r e f ( z ) i s d e f i n e d . F u r t h e r m o r e , e x p r e s s i o n ( 7 ) t e l l s u s t h a t

o r

3 [ . f ( z

N o t e t h a t w h e n a s p e c i f i c p o i n t z i s t a k e n i n t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f f , t h e

v a l u e f ( z ) i s o n e v a l u e o f z

1 1 3

( s e e S e c . 1 1 ) . H e n c e t h i s l a s t e x p r e s s i o n f o r f ' ( z ) c a n

b e p u t i n t h e f o r m

w h e n t h a t v a l u e i s t a k e n . D e r i v a t i v e s o f s u c h p o w e r f u n c t i o n s w i l l b e e l a b o r a t e d o n i n

C h a p . 3 ( S e c . 3 2 ) .

E X E R C I S E S

1 . U s e t h e t h e o r e m i n S e c . 2 0 t o s h o w t h a t f ' ( z ) d o e s n o t e x i s t a t a n y p o i n t i f

z ) = z ;

( b ) f ( z )

= z - z ;

( c ) f ( z ) = 2 x

+ i x y 2 ;

( d ) f ( z ) = e X

2 . U s e t h e t h e o r e m i n S e c . 2 1 t o s h o w t h a t f ' ( z ) a n d i t s d e r i v a t i v e f " ( z ) e x i s t e v e r y w h e r e ,

a n d f i n d f " ( z ) w h e n

z ) = i z + 2 ;

( b ) . f ( z ) = e - x e - ` y ;

( z ) = z 3 ;

( d ) f ( z ) = c o s x c o s h y - i s i n x s i n h y .

A n s . ( b ) f " ( z ) = . f ( z ) ;

( d

o m r e s u l t s o b t a i n e d i n S e e s . 2 0 a n d 2 1 , d e t e r m i n e w h e r e f ' ( z ) e x i s t s a n d f i n d i t s v a l u e

w h e n

z ;

( b ) . f ( z ) =

A n s .

i y 2 ;

z ) = z I m z .

1 / z 2 ( z t 0 ) ;

( b ) f ' ( x + i x ) = 2 x ;

( c ) . f ' ( 0 ) = 0 .

4 . U s e t h e t h e o r e m i n S e c . 2 2 t o s h o w t h a t e a c h o f t h e s e f u n c t i o n s i s d i f f e r e n t i a b l e i n t h e

i n d i c a t e d d o m a i n o f d e f i n i t i o n , a n d t h e n u s e e x p r e s s i o n ( 7 ) i n t h a t s e c t i o n t o f i n d f ' ( z ) :

( a ) f ( z ) = 1 / z 4 ( z t 0 ) ;

( b ) f ( z ) = t r e i 9 1 2 ( r > 0 , a < 0 < a + 2 7 r ) ;

( c ) f ( z )

e - e c o s ( 1 n

r ) + i e - o s i n ( l n r ) ( r > 0 , 0 < 0 < 2 n ) .

A n s . ( b ) f ' ( z )

=

2 f ( z ) ;

( c ) f ( z ) = i f

( z )

.

z



S E C . 2 2

5 . S h o w t h a t w h e n f ( z ) = x 3 + i ( 1 - y ) 3 , i t i s l e g i t i m a t e t o w r i t e

. f ' ( z ) = u x + i v x = 3 x 2

E X E R C I S E S

6 9

o n l y w h e n z = i .

6 . L e t u a n d v d e n o t e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s o f t h e f u n c t i o n f d e f i n e d b y t h e

e q u a t i o n s

. f ( z ) _

z 2

- w h e n

z

0

z

0 w h e n z = 0 .

V e r i f y t h a t t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s u x = v y a n d u y

= - v x a r e s a t i s f i e d a t t h e

o r i g i n z = ( 0 , 0 ) . [ C o m p a r e E x e r c i s e 9 , S e c . 1 9 , w h e r e i t i s s h o w n t h a t f ' ( 0 ) n e v e r t h e l e s s

f a i l s t o e x i s t . ]

7 . S o l v e e q u a t i o n s ( 2 ) , S e c . 2 2 , f o r u x a n d u y t o s h o w t h a t

s i n 8

c o s

u x = u r C o s

U O

,

u y = u r s i n 0 + u e

r .

8

T h e n u s e t h e s e e q u a t i o n s a n d s i m i l a r o n e s f o r v x a n d v y t o s h o w t h a t , i n S e c . 2 2 , e q u a t i o n s

( 4 ) a r e s a t i s f i e d a t a p o i n t z o i f e q u a t i o n s ( 6 ) a r e s a t i s f i e d t h e r e . T h u s c o m p l e t e t h e

v e r i f i c a t i o n t h a t e q u a t i o n s ( 6 ) , S e c . 2 2 , a r e t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s i n p o l a r f o r m .

8 . L e t a f u n c t i o n f ( z ) = a + i v b e d i f f e r e n t i a b l e a t a n o n z e r o p o i n t

z o = r o e x p ( i B o ) . U s e

t h e e x p r e s s i o n s f o r u x a n d v x f o u n d i n E x e r c i s e 7 , t o g e t h e r w i t h t h e p o l a r f o r m ( 6 ) , S e c .

2 2 , o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s , t o r e w r i t e t h e e x p r e s s i o n

i n S e c . 2 1 a s

f ' ( z o ) = e - ` o ( u r + i v r ) ,

w h e r e u r a n d y r a r e t o b e e v a l u a t e d a t ( r o , 8 0 ) .

9 . ( a ) W i t h t h e a i d o f t h e p o l a r f o r m ( 6 ) , S e c . 2 2 , o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s , d e r i v e

t h e a l t e r n a t i v e f o r m

f ' ( Z O ) _ - ( u 0 + i v o )

Z O

o f t h e e x p r e s s i o n f o r f ' ( z o ) f o u n d i n E x e r c i s e 8 .

( b ) U s e t h e e x p r e s s i o n f o r f ' ( z o ) i n p a r t ( a ) t o s h o w t h a t t h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n

f ( z ) = 1 / z ( z 3 4 0 ) i n E x a m p l e 1 , S e c . 2 2 , i s f ' ( z ) _ - 1 / z 2 .

1 0 . ( a ) R e c a l l ( S e c . 5 ) t h a t i f z = x + i y , t h e n

x = z + z

a n d

z

- z

2

y

2 i




C H A P . 2

B y f o r m a l l y a p p l y i n g t h e c h a i n r u l e i n c a l c u l u s t o a f u n c t i o n F ( x , y ) o f t w o r e a l

v a r i a b l e s , d e r i v e t h e e x p r e s s i o n

8 F

_

a F a x

+ a F

a y

=

1 ( a F

. L r

a F

- - - - -

z

_

a x a z

a y a z

2 a x

( b ) D e f i n e t h e o p e r a t o r

a _ l

a

a

+ `

a y

z 2 a x

s u g g e s t e d b y p a r t ( a ) , t o s h o w t h a t i f t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e r e a l

a n d i m a g i n a r y p a r t s o f a f u n c t i o n f ( z ) = a ( x , y ) + i v ( x , y ) s a t i s f y t h e C a u c h y -

R i e m a n n e q u a t i o n s , t h e n

- v Y ) + i ( v x + a y )

T h u s d e r i v e t h e c o m p l e x f o r m a f j a z = 0 o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s .

2 3 . A N A L Y T I C F U N C T I O N S

W e a r e n o w r e a d y t o i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n . A f u n c t i o n f o f t h e

c o m p l e x v a r i a b l e z i s a n a l y t i c i n a n o p e n s e t i f i t h a s a d e r i v a t i v e a t e a c h p o i n t i n t h a t

s e t . * I f w e s h o u l d s p e a k o f a f u n c t i o n f t h a t i s a n a l y t i c i n a s e t S w h i c h i s n o t o p e n ,

i t i s t o b e u n d e r s t o o d t h a t f i s a n a l y t i c i n a n o p e n s e t c o n t a i n i n g S . I n p a r t i c u l a r , f i s

a n a l y t i c a t a p o i n t z o i f i t i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t s o m e n e i g h b o r h o o d o f z 0 .

W e n o t e , f o r i n s t a n c e , t h a t t h e f u n c t i o n f ( z ) = 1 / z i s a n a l y t i c a t e a c h n o n z e r o

p o i n t i n t h e f i n i t e p l a n e . B u t t h e f u n c t i o n f ( z ) = 1 z 1 2 i s n o t a n a l y t i c a t a n y p o i n t s i n c e

i t s d e r i v a t i v e e x i s t s o n l y a t z = 0 a n d n o t t h r o u g h o u t a n y n e i g h b o r h o o d . ( S e e E x a m p l e

2 , S e c . 1 8 . )

A n e n t i r e f u n c t i o n i s a f u n c t i o n t h a t i s a n a l y t i c a t e a c h p o i n t i n t h e e n t i r e f i n i t e

p l a n e . S i n c e t h e d e r i v a t i v e o f a p o l y n o m i a l e x i s t s e v e r y w h e r e , i t f o l l o w s t h a t e v e r y

p o l y n o m i a l i s a n e n t i r e f u n c t i o n .

I f a f u n c t i o n f f a i l s t o b e a n a l y t i c a t a p o i n t z e b u t i s a n a l y t i c a t s o m e p o i n t

i n e v e r y n e i g h b o r h o o d o f z o , t h e n z e i s c a l l e d a s i n g u l a r p o i n t , o r s i n g u l a r i t y , o f f .

T h e p o i n t z = 0 i s e v i d e n t l y a s i n g u l a r p o i n t o f t h e f u n c t i o n f ( z ) = 1 / z . T h e f u n c t i o n

f ( z ) = I z 1 2 , o n t h e o t h e r h a n d , h a s n o s i n g u l a r p o i n t s s i n c e i t i s n o w h e r e a n a l y t i c .

A n e c e s s a r y , b u t b y n o m e a n s s u f f i c i e n t , c o n d i t i o n f o r a f u n c t i o n f t o b e a n a l y t i c

i n a d o m a i n D i s c l e a r l y t h e c o n t i n u i t y o f f t h r o u g h o u t D . S a t i s f a c t i o n o f t h e C a u c h y -

R i e m a n n e q u a t i o n s i s a l s o n e c e s s a r y , b u t n o t s u f f i c i e n t . S u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r

a n a l y t i c i t y i n D a r e p r o v i d e d b y t h e t h e o r e m s i n S e e s . 2 1 a n d 2 2 .

O t h e r u s e f u l s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s a r e o b t a i n e d f r o m t h e d i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a s

i n S e c . 1 9 . T h e d e r i v a t i v e s o f t h e s u m a n d p r o d u c t o f t w o f u n c t i o n s e x i s t w h e r e v e r t h e

* T h e t e r m s r e g u l a r a n d h o l o m o r p h i c a r e a l s o u s e d i n t h e l i t e r a t u r e t o d e n o t e a n a l y t i c i t y .



S E C . 2 3


7

f u n c t i o n s t h e m s e l v e s h a v e d e r i v a t i v e s . T h u s , i f t w o f u n c t i o n s a r e a n a l y t i c i n a d o m a i n

D , t h e i r s u m a n d t h e i r p r o d u c t a r e b o t h a n a l y t i c i n D . S i m i l a r l y , t h e i r q u o t i e n t i s

a n a l y t i c i n D p r o v i d e d t h e f u n c t i o n i n t h e d e n o m i n a t o r d o e s n o t v a n i s h a t a n y p o i n t i n

D . I n p a r t i c u l a r , t h e q u o t i e n t P ( z ) / Q ( z ) o f t w o p o l y n o m i a l s i s a n a l y t i c i n a n y d o m a i n

t h r o u g h o u t w h i c h Q ( z )

0 .

F r o m t h e c h a i n r u l e f o r t h e d e r i v a t i v e o f a c o m p o s i t e f u n c t i o n , w e f i n d t h a t

a c o m p o s i t i o n o f t w o a n a l y t i c f u n c t i o n s i s a n a l y t i c . M o r e p r e c i s e l y , s u p p o s e t h a t a

f u n c t i o n f ( z ) i s a n a l y t i c i n a d o m a i n D a n d t h a t t h e i m a g e ( S e c . 1 2 ) o f D u n d e r t h e

t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) i s c o n t a i n e d i n t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f a f u n c t i o n g ( w ) .

T h e n t h e c o m p o s i t i o n g [ f ( z ) ] i s a n a l y t i c i n D , w i t h d e r i v a t i v e

d z

O f ( z ) ] = O f ( z ) ] f

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m i s e s p e c i a l l y u s e f u l , i n a d d i t i o n t o b e i n g e x p e c t e d .

T h e o r e m .

I f f ( z ) = 0 e v e r y w h e r e i n a d o m a i n D , t h e n f ( z ) m u s t b e c o n s t a n t

t h r o u g h o u t D .

W e s t a r t t h e p r o o f b y w r i t i n g f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) . A s s u m i n g t h a t f ' ( z )

= 0

i n D , w e n o t e t h a t u x + i

v x = 0 ; a n d , i n v i e w o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s ,

v y - i u y = 0 . C o n s e q u e n t l y ,

= v y = 0

a t e a c h p o i n t i n D .

N e x t , w e s h o w t h a t u ( x , y ) i s c o n s t a n t a l o n g a n y l i n e s e g m e n t L e x t e n d i n g f r o m

a p o i n t P t o a p o i n t P ' a n d l y i n g e n t i r e l y i n D . W e l e t s d e n o t e t h e d i s t a n c e a l o n g L

f r o m t h e p o i n t P a n d l e t U d e n o t e t h e u n i t v e c t o r a l o n g L i n t h e d i r e c t i o n o f i n c r e a s i n g

s ( s e e F i g . 3 0 ) . W e k n o w f r o m c a l c u l u s t h a t t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e d u d s c a n b e

w r i t t e n a s t h e d o t p r o d u c t

( 1 )

d u

= ( g r a d u ) . U ,

d e

x

F I G U R E 3 0




w h e r e g r a d u i s t h e g r a d i e n t v e c t o r

( 2 ) g r a d u =

C H A P . 2

B e c a u s e u x a n d u y a r e z e r o e v e r y w h e r e i n D , t h e n , g r a d u i s t h e z e r o v e c t o r a t a l l

p o i n t s o n L . H e n c e i t f o l l o w s f r o m e q u a t i o n ( 1 ) t h a t t h e d e r i v a t i v e d u I d s i s z e r o a l o n g

L ; a n d t h i s m e a n s t h a t u i s c o n s t a n t o n L .

F i n a l l y , s i n c e t h e r e i s a l w a y s a f i n i t e n u m b e r o f s u c h l i n e s e g m e n t s , j o i n e d e n d

t o e n d , c o n n e c t i n g a n y t w o p o i n t s P a n d Q i n D ( S e c . 1 0 ) , t h e v a l u e s o f u a t P a n d

Q m u s t b e t h e s a m e . W e m a y c o n c l u d e , t h e n , t h a t t h e r e i s a r e a l c o n s t a n t a s u c h t h a t

u ( x , y ) = a t h r o u g h o u t D . S i m i l a r l y , v ( x , y ) = b ; a n d w e f i n d t h a t f ( z ) = a + b i a t

e a c h p o i n t i n D .

2 4 . E X A M P L E S

A s p o i n t e d o u t i n S e c . 2 3 , i t i s o f t e n p o s s i b l e t o d e t e r m i n e w h e r e a g i v e n f u n c t i o n i s

a n a l y t i c b y s i m p l y r e c a l l i n g v a r i o u s d i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a s i n S e c . 1 9 .

E X A M P L E 1 .

T h e q u o t i e n t

f ( z ) =

z ' + 4

( z 2 - 3 ) ( z 2 + l )

i s e v i d e n t l y a n a l y t i c t h r o u g h o u t t h e z p l a n e e x c e p t f o r t h e s i n g u l a r p o i n t s z = f

a n d z = ± i . T h e a n a l y t i c i t y i s d u e t o t h e e x i s t e n c e o f f a m i l i a r d i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a s ,

w h i c h n e e d b e a p p l i e d o n l y i f t h e e x p r e s s i o n f o r f ( z ) i s w a n t e d .

W h e n a f u n c t i o n i s g i v e n i n t e r m s o f i t s c o m p o n e n t f u n c t i o n s u ( x , y ) a n d v ( x , y ) ,

i t s a n a l y t i c i t y c a n b e d e m o n s t r a t e d b y d i r e c t a p p l i c a t i o n o f t h e C a u c h y - R i e m a n n

e q u a t i o n s .

E X A M P L E 2 .

W h e n

f ( z ) = c o s h x c o s y + i s i n h x s i n y ,

t h e c o m p o n e n t f u n c t i o n s a r e

u ( x , y ) = c o s h x c o s y

a n d

v ( x , y ) = s i n h x s i n y .

B e c a u s e

i n h x c o s y = v , ,

a n d

u y = - c o s h x s i n y = - v x

e v e r y w h e r e , i t i s c l e a r f r o m t h e t h e o r e m i n S e c . 2 1 t h a t f i s e n t i r e .



S E C . 2 4

E X E R C I S E S 7 3

F i n a l l y , w e i l l u s t r a t e h o w t h e t h e o r e m s i n t h e l a s t f o u r s e c t i o n s , i n p a r t i c u l a r t h e

o n e i n S e c . 2 3 , c a n b e u s e d t o o b t a i n s o m e i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s .

E X A M P L E 3 .

S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n

f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y )

a n d i t s c o n j u g a t e

f ( z ) = u ( x , y ) - i v ( x , y )

a r e b o t h a n a l y t i c i n a g i v e n d o m a i n D . I t i s e a s y t o s h o w t h a t f ( z ) m u s t b e c o n s t a n t

t h r o u g h o u t D .

T o d o t h i s , w e w r i t e f ( z ) a s

f ( z ) = U ( x , Y ) + i V ( x , Y ) ,

w h e r e

( 1 )

U ( x , Y ) _

Y

d

V ( x , y ) = - v ( x , y ) .

B e c a u s e o f t h e a n a l y t i c i t y o f f ( z ) , t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s

( 2 )

y ,

u y = - v X

h o l d i n D , a c c o r d i n g t o t h e t h e o r e m i n S e c . 2 0 . A l s o , t h e a n a l y t i c i t y

o

u s t h a t

U x = V y ,

U y = - V x .

I n v i e w o f r e l a t i o n s ( 1 ) , t h e s e l a s t t w o e q u a t i o n s c a n b e w r i t t e n

z

i n D t e l l s

u y = v x .

B y a d d i n g c o r r e s p o n d i n g s i d e s o f t h e f i r s t o f e q u a t i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) ,

w e f i n d t h a t

u x = 0 i n D . S i m i l a r l y , s u b t r a c t i o n i n v o l v i n g c o r r e s p o n d i n g s i d e s o f t h e s e c o n d o f

e q u a t i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) r e v e a l s t h a t v x = 0 . A c c o r d i n g t o e x p r e s s i o n ( 8 ) i n S e c . 2 0 , t h e n ,

f ' ( z ) = u x + i v x = 0 + i 0 = 0 ;

a n d i t f o l l o w s f r o m t h e t h e o r e m i n S e c . 2 3 t h a t f ( z ) i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t D .

E X E R C I S E S

1 . A p p l y t h e t h e o r e m i n S e c . 2 1 t o v e r i f y t h a t e a c h o f t h e s e f u n c t i o n s i s e n t i r e :

z ) = 3 x + y + i ( 3 y - x ) ;

( b ) f ( z ) = s i n x c o s h y + i c o s x s i n h y ;

( c ) f ( z ) = e - y s i n x - i e _ y c o s x ;

( d ) f ( z ) = ( z 2 - 2 ) e - x e - i Y .

7 4


C H A P . 2

2 . W i t h t h e a i d o f t h e t h e o r e m i n S e c . 2 0 , s h o w t h a t e a c h o f t h e s e f u n c t i o n s i s n o w h e r e

a n a l y t i c :

( a ) f ( z ) = x y + i y ;

( b ) . f ( z ) = 2 x y + i

( x 2

-

y 2 ) ;

( c ) . f ( z ) = e y e i x

3 . S t a t e w h y a c o m p o s i t i o n o f t w o e n t i r e f u n c t i o n s i s e n t i r e . A l s o , s t a t e w h y a n y l i n e a r

c o m b i n a t i o n c I f 1 ( z ) + c 2 f 2 ( z ) o f t w o e n t i r e f u n c t i o n s , w h e r e c t a n d c 2 a r e c o m p l e x

c o n s t a n t s , i s e n t i r e .

4 . I n e a c h c a s e , d e t e r m i n e t h e s i n g u l a r p o i n t s o f t h e f u n c t i o n a n d s t a t e w h y t h e f u n c t i o n i s

a n a l y t i c e v e r y w h e r e e x c e p t a t t h o s e p o i n t s :

2 z + 1

z 2 + 1

3 + t

I ,

=

=

( b ) f (

;

z

i i

z ( z 2 + 1 )

z 2 - 3 z + 2

I

I ' l l

( z + 2 ) ( z 2 + 2 z + 2 ) .

A n s . ( a ) z = 0 , t i ;

( b ) z = 1 , 2 ;

( c ) z = - 2 , - i ± i .

5 . A c c o r d i n g t o E x e r c i s e 4 ( b ) , S e c . 2 2 , t h e f u n c t i o n

g ( z ) = - , , I r - e i 8 / 2

( r > 0 , - , 7 < 9 < r )

i s a n a l y t i c i n i t s d o m a i n o f d e f i n i t i o n , w i t h d e r i v a t i v e

g ' ( z ) = 1

S h o w t h a t t h e c o m p o s i t e f u n c t i o n G ( z )

2 g ( z )

g ( 2 z - 2 + i ) i s a n a l y t i c i n t h e h a l f p l a n e

x > 1 . w i t h d e r i v a t i v e

G ' ( z )

1

2 z - 2 + i )

S u g g e s t i o n : O b s e r v e t h a t R e ( 2 z - 2 + i ) > 0 w h e n x > 1 .

6 . U s e r e s u l t s i n S e c . 2 2 t o v e r i f y t h a t t h e f u n c t i o n

g ( z ) = l n r + i 9

( r > 0 , 0 < 9 < 2 i r )

i s a n a l y t i c i n t h e i n d i c a t e d d o m a i n o f d e f i n i t i o n , w i t h d e r i v a t i v e g ' ( z ) = 1 / z . T h e n s h o w

t h a t t h e c o m p o s i t e f u n c t i o n G ( z ) = g ( z 2 + 1 ) i s a n a l y t i c i n t h e q u a d r a n t x > 0 , y > 0 ,

w i t h d e r i v a t i v e

2 z

G ' ( z ) = z 2 + 1

S u g g e s t i o n : O b s e r v e t h a t I m ( z 2 + 1 ) > 0 w h e n x > 0 , y > 0 .

7 . L e t a f u n c t i o n f ( z ) b e a n a l y t i c i n a d o m a i n D . P r o v e t h a t f ( z ) m u s t b e c o n s t a n t

t h r o u g h o u t D i f

( a ) f ( z ) i s r e a l - v a l u e d f o r a l l z i n D ;

( b ) I f ( z ) I i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t D .

S u g g e s t i o n : U s e t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a n d t h e t h e o r e m i n S e c . 2 3 t o

p r o v e p a r t ( a ) . T o p r o v e p a r t ( b ) , o b s e r v e t h a t

c 2

i f

I f ( z ) 1 = c ( c ; 0 ) ;

z

t h e n u s e t h e m a i n r e s u l t i n E x a m p l e 3 , S e c . 2 4 .

S E C . 2 5

H A R M O N I C F U N C T I O N S

7 5

2 5 . H A R M O N I C F U N C T I O N S

A r e a l - v a l u e d f u n c t i o n H o f t w o r e a l v a r i a b l e s x a n d y i s s a i d t o b e h a r m o n i c i n a g i v e n

d o m a i n o f t h e x y p l a n e i f , t h r o u g h o u t t h a t d o m a i n , i t h a s c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s

o f t h e f i r s t a n d s e c o n d o r d e r a n d s a t i s f i e s t h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

( 1 )

H x x ( x , y ) + H y y ( x , y )

= 0 ,

k n o w n a s L a p l a c e ' s e q u a t i o n .

H a r m o n i c f u n c t i o n s p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n a p p l i e d m a t h e m a t i c s . F o r e x a m p l e ,

t h e t e m p e r a t u r e s T ( x , y ) i n t h i n p l a t e s l y i n g i n t h e x y p l a n e a r e o f t e n h a r m o n i c . A

f u n c t i o n V ( x , y ) i s h a r m o n i c w h e n i t d e n o t e s a n e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l t h a t v a r i e s

o n l y w i t h x a n d y i n t h e i n t e r i o r o f a r e g i o n o f t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e t h a t i s f r e e o f

c h a r g e s .

E X A M P L E 1 .

I t i s e a s y t o v e r i f y t h a t t h e f u n c t i o n T ( x , y ) = e _ y s i n x i s h a r m o n i c

i n a n y d o m a i n o f t h e x y p l a n e a n d , i n p a r t i c u l a r , i n t h e s e m i - i n f i n i t e v e r t i c a l s t r i p

0 < z x 0 . I t a l s o a s s u m e s t h e v a l u e s o n t h e e d g e s o f t h e s t r i p t h a t a r e i n d i c a t e d

i n F i g . 3 1 . M o r e p r e c i s e l y , i t s a t i s f i e s a l l o f t h e c o n d i t i o n s

T x x ( x , Y ) + T y y ( x , Y ) = 0 ,

T ( 0 , y ) = 0 ,

T ( 7 r , y ) = 0 ,

T ( x , 0 ) = s i n x ,

l i m T ( x , y ) = 0 ,

Y

w h i c h d e s c r i b e s t e a d y t e m p e r a t u r e s T ( x , y ) i n a t h i n h o m o g e n e o u s p l a t e i n t h e x y

p l a n e t h a t h a s n o h e a t s o u r c e s o r s i n k s a n d i s i n s u l a t e d e x c e p t f o r t h e s t a t e d c o n d i t i o n s

a l o n g t h e e d g e s .

F I G U R E 3 1

T h e u s e o f t h e t h e o r y o f f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e i n d i s c o v e r i n g s o l u t i o n s ,

s u c h a s t h e o n e i n E x a m p l e 1 , o f t e m p e r a t u r e a n d o t h e r p r o b l e m s i s d e s c r i b e d i n



7 6


C H A P . 2

c o n s i d e r a b l e d e t a i l l a t e r o n i n C h a p . 1 0 a n d i n p a r t s o f c h a p t e r s f o l l o w i n g i t . * T h a t

t h e o r y i s b a s e d o n t h e t h e o r e m b e l o w , w h i c h p r o v i d e s a s o u r c e o f h a r m o n i c f u n c t i o n s .

T h e o r e m 1 .

I f a f u n c t i o n f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) i s a n a l y t i c i n a d o m a i n D , t h e n

i t s c o m p o n e n t f u n c t i o n s u a n d v a r e h a r m o n i c i n D .

T o s h o w t h i s , w e n e e d a r e s u l t t h a t i s t o b e p r o v e d i n C h a p . 4 ( S e c . 4 8 ) . N a m e l y ,

i f a f u n c t i o n o f a c o m p l e x v a r i a b l e i s a n a l y t i c a t a p o i n t , t h e n i t s r e a l a n d i m a g i n a r y

c o m p o n e n t s h a v e c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f a l l o r d e r s a t t h a t p o i n t .

A s s u m i n g t h a t f i s a n a l y t i c i n D , w e s t a r t w i t h t h e o b s e r v a t i o n t h a t t h e f i r s t -

o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f i t s c o m p o n e n t f u n c t i o n s m u s t s a t i s f y t h e C a u c h y - R i e m a n n

e q u a t i o n s t h r o u g h o u t D :

( 2 )

u x = v y , u y , _ - v x . .

D i f f e r e n t i a t i n g b o t h s i d e s o f t h e s e e q u a t i o n s w i t h r e s p e c t t o x , w e h a v e

( 3 )

= v y x ,

u y x = - v x x

L i k e w i s e , d i f f e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o y y i e l d s

( 4 )

N o w , b y a t h e o r e m i n a d v a n c e d c a l c u l u s , t t h e c o n t i n u i t y o f t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f

u a n d v e n s u r e s t h a t u y x = u x y a n d v y x = v x y . I t t h e n f o l l o w s f r o m e q u a t i o n s ( 3 ) a n d

( 4 ) t h a t

u x x + u y y = 0

a n d

v x x + v y , = 0 .

T h a t i s , u a n d v a r e h a r m o n i c i n D .

u x v = v y y , u y y = - - v x y .

E X A M P L E 2 .

T h e f u n c t i o n f ( z ) = e - y s i n x

- i e - y c o s x i s e n t i r e , a s i s s h o w n

i n E x e r c i s e 1 ( c ) , S e c . 2 4 . H e n c e i t s r e a l p a r t , w h i c h i s t h e t e m p e r a t u r e f u n c t i o n

T ( x , y ) = e - y s i n x i n E x a m p l e 1 , m u s t b e h a r m o n i c i n e v e r y d o m a i n o f t h e x y p l a n e .

E X A M P L E 3 .

S i n c e t h e f u n c t i o n f ( z )

i f z 2 i s a n a l y t i c w h e n e v e r z

0 a n d s i n c e

i 2

2 x y + i ( x 2

I z I 4

( x 2 + y 2

* A n o t h e r i m p o r t a n t m e t h o d i s d e v e l o p e d i n t h e a u t h o r s ' " F o u r i e r S e r i e s a n d B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s , "

6 t h e d . , 2 0 0 1 .

t S e e , f o r i n s t a n c e , A . E . T a y l o r a n d W .

R . M a n n , " A d v a n c e d C a l c u l u s , " 3 d e d . , p p . 1 9 9 - 2 0 1 , 1 9 8 3 .



S E C . 2 5

H A R M O N I C F U N C T I O N S

7 7

t h e t w o f u n c t i o n s

2 x y

x 2 -

y 2

u ( x , y } -

( x 2 + y 2 ) 2

a n d

v ( x , y ) _

( x 2 + y 2 ) 2

a r e h a r m o n i c t h r o u g h o u t a n y d o m a i n i n t h e x y p l a n e t h a t d o e s n o t c o n t a i n t h e o r i g i n .

o g i v e n f u n c t i o n s u a n d v a r e h a r m o n i c i n a d o m a i n D a n d t h e i r f i r s t - o r d e r

p a r t i a l d e r i v a t i v e s s a t i s f y t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s ( 2 ) t h r o u g h o u t D , v i s s a i d

t o b e a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u . T h e m e a n i n g o f t h e w o r d c o n j u g a t e h e r e i s , o f c o u r s e ,

d i f f e r e n t f r o m t h a t i n S e c . 5 , w h e r e z i s d e f i n e d .

T h e o r e m 2 ,

A f u n c t i o n f ( z ) = u ( x , y ) + i v

o n l y i f v i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u ,

i s a n a l y t i c i n a d o m a i n D i f a n d

T h e p r o o f i s e a s y . I f v i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u i n D , t h e t h e o r e m i n S e c .

2 1 t e l l s u s t h a t f i s a n a l y t i c i n D . C o n v e r s e l y , i f f i s a n a l y t i c i n D , w e k n o w f r o m

T h e o r e m 1 a b o v e t h a t u a n d v a r e h a r m o n i c i n D ; a n d , i n v i e w o f t h e t h e o r e m i n S e c .

2 0 , t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a r e s a t i s f i e d .

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e s h o w s t h a t i f v i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u i n s o m e

d o m a i n , i t i s n o t , i n g e n e r a l , t r u e t h a t u i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f v t h e r e . ( S e e a l s o

E x e r c i s e s 3 a n d 4 . )

E X A M P L E 4 .


d v ( x , y ) = 2 x y .

S i n c e t h e s e a r e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s , r e s p e c t i v e l y , o f t h e e n t i r e f u n c t i o n

f ( z ) = z 2 , w e k n o w t h a t v i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u t h r o u g h o u t t h e p l a n e . B u t u

c a n n o t b e a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f v s i n c e , a s v e r i f i e d i n E x e r c i s e 2 ( b ) , S e c . 2 4 , t h e

f u n c t i o n 2 x y + i ( x 2 - y 2 ) i s n o t a n a l y t i c a n y w h e r e .

I n C h a p . 9 ( S e c . 9 7 ) w e s h a l l s h o w t h a t a f u n c t i o n u w h i c h i s h a r m o n i c i n a

d o m a i n o f a c e r t a i n t y p e a l w a y s h a s a h a r m o n i c c o n j u g a t e . T h u s , i n s u c h d o m a i n s ,

e v e r y h a r m o n i c f u n c t i o n i s t h e r e a l p a r t o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n . I t i s a l s o t r u e t h a t a

h a r m o n i c c o n j u g a t e , w h e n i t e x i s t s , i s u n i q u e e x c e p t f o r a n a d d i t i v e c o n s t a n t .

E X A M P L E 5 .

W e n o w i l l u s t r a t e o n e m e t h o d o f o b t a i n i n g a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f

a g i v e n h a r m o n i c f u n c t i o n . T h e f u n c t i o n

( 5 )

u ( x , y ) = y 3 - 3 x 2 y




C H A P . 2

i s r e a d i l y s e e n t o b e h a r m o n i c t h r o u g h o u t t h e e n t i r e x y p l a n e . S i n c e

a h a r m o n i c

c o n j u g a t e v ( x , y ) i s r e l a t e d t o u ( x , y ) b y m e a n s o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s

( 6 )

u x = v , ,

t h e f i r s t o f t h e s e e q u a t i o n s t e l l s u s t h a t

v y ( x , y ) = - 6 x y .

H o l d i n g x f i x e d a n d i n t e g r a t i n g e a c h s i d e h e r e w i t h r e s p e c t t o

y , w e f i n d t h a t

( 7 )

v ( x , y ) = - 3 x y 2 +

w h e r e f i i s , a t p r e s e n t , a n a r b i t r a r y f u n c t i o n o f x . U s i n g t h e s e c o n d o f e q u a t i o n s ( 6 ) ,

w e h a v e

3 y 2 - 3 x 2

= 3 y 2 - 0 ' ( x ) ,

o r i ' ( x ) = 3 x 2 . T h u s f i ( x ) = x 3 + C , w h e r e C i s a n a r b i t r a r y r e a l n u m b e r . A c c o r d i n g

t o e q u a t i o n ( 7 ) , t h e n , t h e f u n c t i o n

( 8 )

v ( x , y ) = - 3 x y 2 + x 3 + C

i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u ( x , y ) .

T h e c o r r e s p o n d i n g a n a l y t i c f u n c t i o n i s

( 9 )

. f ( z ) = ( y 3 - 3 x 2 y ) + i ( - - 3 x y 2 + x 3 + C ) .

T h e f o r m f ( z ) = i ( z 3 + C ) o f t h i s f u n c t i o n i s e a s i l y v e r i f i e d a n d i s s u g g e s t e d b y n o t i n g

t h a t w h e n y = 0 , e x p r e s s i o n ( 9 ) b e c o m e s f ( x ) = i ( x 3 + C ) .

E X E R C I S E S

1 . S h o w t h a t u ( x , y ) i s h a r m o n i c i n s o m e d o m a i n a n d f i n d a h a r m o n i c c o n j u g a t e v ( x , y )

w h e n

a ) u ( x , y ) = 2 x ( 1 - y

( b ) u ( x , y ) = 2 x - - x 3 + 3 x y 2 ;

u ( x , y ) = s i n k x s i n y ;

( d ) u ( x , y ) = y l ( x 2 + y 2 ) .

A n s . ( a ) v ( x , y ) = x 2 - y 2 + 2 y ;

( b ) v ( x , y ) = 2 y - 3 x 2 y + y 3 ;

( c ) v ( x , y ) = - c o s h x c o s y ;

( d ) v ( x , y ) = x / ( x 2 + y 2 ) .

2 . S h o w t h a t i f v a n d V a r e h a r m o n i c c o n j u g a t e s o f u i n a d o m a i n D , t h e n v ( x , y ) a n d

V ( x , y ) c a n d i f f e r a t m o s t b y a n a d d i t i v e c o n s t a n t .

3 . S u p p o s e t h a t , i n a d o m a i n D , a f u n c t i o n v i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f

u a n d a l s o t h a t u

i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f v . S h o w h o w i t f o l l o w s t h a t b o t h u ( x , y ) a n d v ( x , y ) m u s t b e

c o n s t a n t t h r o u g h o u t D .

4 . U s e T h e o r e m 2 i n S e c . 2 5 t o s h o w t h a t , i n a d o m a i n D , v i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f

u

i f a n d o n l y i f - u i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f v . ( C o m p a r e t h e r e s u l t o b t a i n e d i n E x e r -

c i s e 3 . )

S E C . 2 5

E X E R C I S E S

7 9

S u g g e s t i o n : O b s e r v e t h a t t h e f u n c t i o n f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) i s a n a l y t i c i n D

i f a n d o n l y i f - i f ( z ) i s a n a l y t i c t h e r e .

5 . L e t t h e f u n c t i o n f ( z ) = u ( r , 0 ) + i v ( r , 6 ) b e a n a l y t i c i n a d o m a i n D t h a t d o e s n o t

i n c l u d e t h e o r i g i n . U s i n g t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s i n p o l a r c o o r d i n a t e s ( S e c . 2 2 )

a n d a s s u m i n g c o n t i n u i t y o f p a r t i a l d e r i v a t i v e s , s h o w t h a t , t h r o u g h o u t D , t h e f u n c t i o n

u ( r , 0 ) s a t i s f i e s t h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

r u r ( r , 0 ) + u e e ( r , 0 ) = 0 ,

w h i c h i s t h e p o l a r f o r m o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n . S h o w t h a t t h e s a m e i s t r u e o f t h e f u n c t i o n

v ( r , 0 ) .

6 . V e r i f y t h a t t h e f u n c t i o n u ( r , 0 ) = 1 n r i s h a r m o n i c i n t h e d o m a i n r > 0 , 0 < 6 < 2 7 r b y

s h o w i n g t h a t i t s a t i s f i e s t h e p o l a r f o r m o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n , o b t a i n e d i n E x e r c i s e 5 . T h e n

u s e t h e t e c h n i q u e i n E x a m p l e 5 , S e c . 2 5 , b u t i n v o l v i n g t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s

i n p o l a r f o r m ( S e c . 2 2 ) , t o d e r i v e t h e h a r m o n i c c o n j u g a t e v ( r , 0 ) = 0 . ( C o m p a r e E x e r c i s e

6 , S e c . 2 4 . )

7 . L e t t h e f u n c t i o n f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) b e a n a l y t i c i n a d o m a i n D , a n d c o n s i d e r t h e

f a m i l i e s o f l e v e l c u r v e s u ( x , y ) = c t a n d v ( x , y ) = c 2 , w h e r e c I a n d c 2 a r e a r b i t r a r y

r e a l c o n s t a n t s . P r o v e t h a t t h e s e f a m i l i e s a r e o r t h o g o n a l . M o r e p r e c i s e l y , s h o w t h a t i f

z o = ( x o , y o ) i s a p o i n t i n D w h i c h i s c o m m o n t o t w o p a r t i c u l a r c u r v e s u ( x , y ) = c I

a n d v ( x , y ) = c 2 a n d i f f ' ( z o ) : 0 , t h e n t h e l i n e s t a n g e n t t o t h o s e c u r v e s a t ( x o , y o ) a r e

p e r p e n d i c u l a r .

S u g g e s t i o n : N o t e h o w i t f o l l o w s f r o m t h e e q u a t i o n s u ( x , y ) = c I a n d v ( x , y ) = c 2

t h a t

a u + a u d y = 0

a n d

J v + 1 3 v d y

a x

a y d x

a x

a y d x

8 . S h o w t h a t w h e n f ( z ) = z 2 , t h e l e v e l c u r v e s u ( x , y ) = c l a n d v ( x , y ) = c 2 o f t h e c o m p o -

n e n t f u n c t i o n s a r e t h e h y p e r b o l a s i n d i c a t e d i n F i g . 3 2 . N o t e t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e t w o

y

F I G U R E 3 2

C H A P . 2

f a m i l i e s , d e s c r i b e d i n E x e r c i s e 7 . O b s e r v e t h a t t h e c u r v e s u ( x , y ) = 0 a n d u ( x , y ) = 0

i n t e r s e c t a t t h e o r i g i n b u t a r e n o t , h o w e v e r , o r t h o g o n a l t o e a c h o t h e r . W h y i s t h i s f a c t i n

a g r e e m e n t w i t h t h e r e s u l t i n E x e r c i s e 7 ?

9 . S k e t c h t h e f a m i l i e s o f l e v e l c u r v e s o f t h e c o m p o n e n t f u n c t i o n s u a n d v w h e n f ( z ) = 1 / z ,

a n d n o t e t h e o r t h o g o n a l i t y d e s c r i b e d i n E x e r c i s e 7 .

1 0 . D o E x e r c i s e 9 u s i n g p o l a r c o o r d i n a t e s .

1 1 . S k e t c h t h e f a m i l i e s o f l e v e l c u r v e s o f t h e c o m p o n e n t f u n c t i o n s u a n d v w h e n

. f ( z ) = z + 1

a n d n o t e h o w t h e r e s u l t i n E x e r c i s e 7 i s i l l u s t r a t e d h e r e .

2 6 . U N I Q U E L Y D E T E R M I N E D A N A L Y T I C F U N C T I O N S

W e c o n c l u d e t h i s c h a p t e r w i t h t w o s e c t i o n s d e a l i n g w i t h h o w t h e v a l u e s o f a n a n a l y t i c

f u n c t i o n i n a d o m a i n D a r e a f f e c t e d b y i t s v a l u e s i n a s u b d o m a i n o r o n a l i n e s e g m e n t

l y i n g i n D . W h i l e t h e s e s e c t i o n s a r e o f c o n s i d e r a b l e t h e o r e t i c a l i n t e r e s t , t h e y a r e n o t

c e n t r a l t o o u r d e v e l o p m e n t o f a n a l y t i c f u n c t i o n s i n l a t e r c h a p t e r s . T h e r e a d e r m a y p a s s

d i r e c t l y t o C h a p . 3 a t t h i s t i m e a n d r e f e r b a c k w h e n n e c e s s a r y .

L e m m a . S u p p o s e t h a t

( i ) a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t a d o m a i n D ;

( i i ) f ( z ) = 0 a t e a c h p o i n t z o f a d o m a i n o r l i n e s e g m e n t c o n t a i n e d i n D .

T h e n f ( z ) = 0 i n D ; t h a t i s , f ( z ) i s i d e n t i c a l l y e q u a l t o z e r o t h r o u g h o u t D .

T o p r o v e t h i s l e m m a , w e l e t f b e a s s t a t e d i n i t s h y p o t h e s i s a n d l e t z o b e a n y

p o i n t o f t h e s u b d o m a i n o r l i n e s e g m e n t a t e a c h p o i n t o f w h i c h f ( z ) = 0 . S i n c e D i s a

c o n n e c t e d o p e n s e t ( S e c . 1 0 ) , t h e r e i s a p o l y g o n a l l i n e L , c o n s i s t i n g o f a f i n i t e n u m b e r

o f l i n e s e g m e n t s j o i n e d e n d t o e n d a n d l y i n g e n t i r e l y i n D , t h a t e x t e n d s f r o m z o t o a n y

o t h e r p o i n t P i n D . W e l e t d b e t h e s h o r t e s t d i s t a n c e f r o m p o i n t s o n L t o t h e b o u n d a r y

o f D , u n l e s s D i s t h e e n t i r e p l a n e ; i n t h a t c a s e , d m a y b e a n y p o s i t i v e n u m b e r . W e t h e n

f o r m a f i n i t e s e q u e n c e o f p o i n t s

Z O , z 1 , Z 2 , . . . , z n - 1 , z n

a l o n g L , w h e r e t h e p o i n t z n c o i n c i d e s w i t h P ( F i g . 3 3 ) a n d w h e r e e a c h p o i n t i s

s u f f i c i e n t l y c l o s e t o t h e a d j a c e n t o n e s t h a t

` - ' z k - 1 I < d

( k = 1 , 2 , . . . , n ) .



S E C . 2 6

U N I Q U E L Y D E T E R M I N E D A N A L Y T I C F U N C T I O N S

8 1

F I G U R E 3 3

F i n a l l y , w e c o n s t r u c t a f i n i t e s e q u e n c e o f n e i g h b o r h o o d s

N o , N 1 , N 2 , . . . , N

w h e r e e a c h n e i g h b o r h o o d N k i s c e n t e r e d a t

Z k

a n d h a s r a d i u s d . N o t e t h a t t h e s e

n e i g h b o r h o o d s a r e a l l c o n t a i n e d i n D a n d t h a t t h e c e n t e r z k o f a n y n e i g h b o r h o o d N k

( k = 1 , 2 ,

. . . ,

n ) l i e s i n t h e p r e c e d i n g n e i g h b o r h o o d N k _ 1 .

A t t h i s p o i n t , w e n e e d t o u s e a r e s u l t t h a t i s p r o v e d l a t e r o n i n C h a p . 6 . N a m e l y ,

T h e o r e m 3 i n S e c . 6 8 t e l l s u s t h a t s i n c e f i s a n a l y t i c i n t h e d o m a i n N o a n d s i n c e

f ( z ) = 0 i n a d o m a i n o r o n a l i n e s e g m e n t c o n t a i n i n g z o , t h e n f ( z ) = 0 i n N o . B u t

t h e p o i n t z 1 l i e s i n t h e d o m a i n N o . H e n c e a s e c o n d a p p l i c a t i o n o f t h e s a m e t h e o r e m

r e v e a l s t h a t f ( z ) = 0 i n N 1 ; a n d , b y c o n t i n u i n g i n t h i s m a n n e r , w e a r r i v e a t t h e f a c t

t h a t f ( z ) - 0 i n N . S i n c e N n i s c e n t e r e d a t t h e p o i n t P a n d s i n c e P w a s a r b i t r a r i l y

s e l e c t e d i n D , w e m a y c o n c l u d e t h a t f ( z ) - 0 i n D . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f o f t h e

l e m m a .

S u p p o s e n o w t h a t t w o f u n c t i o n s f a n d g a r e a n a l y t i c i n t h e s a m e d o m a i n D a n d

t h a t f ( z ) = g ( z ) a t e a c h p o i n t z o f s o m e d o m a i n o r l i n e s e g m e n t c o n t a i n e d i n D . T h e

d i f f e r e n c e

h ( z ) = f ( z )

- g

( z )

i s a l s o a n a l y t i c i n D , a n d h ( z ) = 0 t h r o u g h o u t t h e s u b d o m a i n o r a l o n g t h e l i n e s e g m e n t .

A c c o r d i n g t o t h e a b o v e l e m m a , t h e n , h ( z ) = 0 t h r o u g h o u t D ; t h a t i s , f ( z ) = g ( z ) a t

e a c h p o i n t z i n D . W e t h u s a r r i v e a t t h e f o l l o w i n g i m p o r t a n t t h e o r e m .

T h e o r e m . A f u n c t i o n t h a t i s a n a l y t i c i n a d o m a i n D i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d o v e r D

b y i t s v a l u e s i n a d o m a i n , o r a l o n g a l i n e s e g m e n t , c o n t a i n e d i n D .

T h i s t h e o r e m i s u s e f u l i n s t u d y i n g t h e q u e s t i o n o f e x t e n d i n g t h e d o m a i n o f

d e f i n i t i o n o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n . M o r e p r e c i s e l y , g i v e n t w o d o m a i n s D I a n d D 2 ,

c o n s i d e r t h e i n t e r s e c t i o n D 1 C l D 2 , c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s t h a t l i e i n b o t h D 1 a n d D 2 .

I f D 1 a n d D 2 h a v e p o i n t s i n c o m m o n ( s e e F i g . 3 4 ) a n d a f u n c t i o n f t i s a n a l y t i c i n D 1 ,

t h e r e m a y e x i s t a f u n c t i o n f 2 , w h i c h i s a n a l y t i c i n D 2 , s u c h t h a t f 2 ( z ) = f 1 ( z ) f o r e a c h

z i n t h e i n t e r s e c t i o n D 1 ( 1 D 2 . I f s o , w e c a l l f 2 a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n o f f 1 i n t o t h e

s e c o n d d o m a i n D 2 .

W h e n e v e r t h a t a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n e x i s t s , i t i s u n i q u e , a c c o r d i n g t o t h e t h e o r e m

j u s t p r o v e d . T h a t i s , n o t m o r e t h a n o n e f u n c t i o n c a n b e a n a l y t i c i n D 2 a n d a s s u m e t h e



8 2


D 1 n D 2

f

' t

1

`

'

D 3

1

/

i

I

F I G U R E 3 4

C H A P . 2

v a l u e f i ( z ) a t e a c h p o i n t z o f t h e d o m a i n D 1 f 1 D 2 i n t e r i o r t o D 2 . H o w e v e r , i f t h e r e i s

a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n f 3 o f f 2 f r o m D 2 i n t o a d o m a i n D 3 w h i c h i n t e r s e c t s D 1 , a s

i n d i c a t e d i n F i g . 3 4 , i t i s n o t n e c e s s a r i l y t r u e t h a t f 3 ( z ) = f i ( z ) f o r e a c h z i n D 1 f l D 3 .

E x e r c i s e 2 , S e c . 2 7 , i l l u s t r a t e s t h i s .

I f f 2 i s t h e a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n o f f i f r o m a d o m a i n D 1 i n t o a d o m a i n D 2 , t h e n

t h e f u n c t i o n F d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n s

F ( z )

f i ( z )

w h e n z i s i n D 1 ,

f 2 ( z )

w h e n z i s i n D 2

i s a n a l y t i c i n t h e u n i o n D 1 U D 2 , w h i c h i s t h e d o m a i n c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s t h a t l i e

i n e i t h e r D I o r D 2 . T h e f u n c t i o n F i s t h e a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n i n t o D 1 U D 2 o f e i t h e r

f i o r f 2 ; a n d f i a n d f 2 a r e c a l l e d e l e m e n t s o f F .

2 7 . R E F L E C T I O N P R I N C I P L E

T h e t h e o r e m i n t h i s s e c t i o n c o n c e r n s t h e f a c t t h a t s o m e a n a l y t i c f u n c t i o n s p o s s e s s t h e

p r o p e r t y t h a t f ( z ) = f ( ) f o r a l l p o i n t s z i n c e r t a i n d o m a i n s , w h i l e o t h e r s d o n o t . W e

n o t e , f o r e x a m p l e , t h a t z + 1 a n d z 2 h a v e t h a t p r o p e r t y w h e n D i s t h e e n t i r e f i n i t e p l a n e ;

b u t t h e s a m e i s n o t t r u e o f z + i a n d i z 2 . T h e t h e o r e m , w h i c h i s k n o w n a s t h e r e f l e c t i o n

p r i n c i p l e , p r o v i d e s a w a y o f p r e d i c t i n g w h e n f ( z ) = f ( ) .

T h e o r e m .

S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c i n s o m e d o m a i n D w h i c h c o n t a i n s

a s e g m e n t o f t h e x a x i s a n d w h o s e l o w e r h a l f i s t h e r e f l e c t i o n o f t h e u p p e r h a l f w i t h

r e s p e c t t o t h a t a x i s . T h e n

( 1 )

. f ( z ) = . f ( )

o r e a c h p o i n t z i n t h e d o m a i n i f a n d o n l y i f f ( x ) i s r e a l f o r e a c h p o i n t x o n t h e s e g m e n t .

W e s t a r t t h e p r o o f b y a s s u m i n g t h a t f ( x ) i s r e a l a t e a c h p o i n t x o n t h e s e g m e n t .

O n c e w e s h o w t h a t t h e f u n c t i o n

( 2 )

F ( z



S E C . 2 7 R E F L E C T I O N P R I N C I P L E

8 3

i s a n a l y t i c i n D , w e s h a l l u s e i t t o o b t a i n e q u a t i o n ( 1 ) . T o e s t a b l i s h t h e a n a l y t i c i t y o f

F ( z ) , w e w r i t e

f ( z ) = u ( x , Y

+ i v ( x , y ) ,

F ( z ) = U ( x ,

y ) + i V

a n d o b s e r v e h o w i t f o l l o w s f r o m e q u a t i o n ( 2 ) t h a t , s i n c e

( 3 )

f O = u ( x , - y ) - i v ( x , - y ) ,

t h e c o m p o n e n t s o f F ( z ) a n d f ( z ) a r e r e l a t e d b y t h e e q u a t i o n s

( 4 )

U ( x , y ) = u ( x , t ) a n d V ( x , y ) - - - v ( x , t ) ,

, y

w h e r e t = - y . N o w , b e c a u s e f ( x + i t ) i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o f x + i t , t h e f i r s t -

o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e f u n c t i o n s a ( x , t ) a n d v ( x , t ) a r e c o n t i n u o u s t h r o u g h o u t

D a n d s a t i s f y t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s *

( 5 )

u x = v t ,

u t = - v x

F u r t h e r m o r e , i n v i e w o f e q u a t i o n s ( 4 ) ,

U Y

a n d i t f o l l o w s f r o m t h e s e a n d t h e f i r s t o f e q u a t i o n s ( 5 ) t h a t U x = V y . S i m i l a r l y ,

d

x y

I

U ,

= u , V =

d t

= - a t ,

V x = - v x ;

d y

a n d t h e s e c o n d o f e q u a t i o n s ( 5 ) t e l l s u s t h a t U y = - V x . I n a s m u c h a s t h e f i r s t - o r d e r

p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f U ( x , y ) a n d V ( x , y ) a r e n o w s h o w n t o s a t i s f y t h e C a u c h y -

R i e m a n n e q u a t i o n s a n d s i n c e t h o s e d e r i v a t i v e s a r e c o n t i n u o u s , w e f i n d t h a t t h e f u n c t i o n

F ( z ) i s a n a l y t i c i n D . M o r e o v e r , s i n c e f ( x ) i s r e a l o n t h e s e g m e n t o f t h e r e a l a x i s l y i n g

i n D , v ( x , 0 ) = 0 o n t h a t s e g m e n t ; a n d , i n v i e w o f e q u a t i o n s ( 4 ) , t h i s m e a n s t h a t

F ( x ) = U ( x , 0 ) + i V ( x , 0 ) = u ( x , 0 ) - i v ( x , 0 ) = u ( x , 0

T h a t i s ,

( 6 )

F ( z ) = f ( z )

a t e a c h p o i n t o n t h e s e g m e n t . W e n o w r e f e r t o t h e t h e o r e m i n S e c . 2 6 , w h i c h t e l l s u s

t h a t a n a n a l y t i c f u n c t i o n d e f i n e d o n a d o m a i n D i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y i t s v a l u e s

a l o n g a n y l i n e s e g m e n t l y i n g i n D . T h u s e q u a t i o n ( 6 ) a c t u a l l y h o l d s t h r o u g h o u t D .

* S e e t h e p a r a g r a p h i m m e d i a t e l y f o l l o w i n g T h e o r e m 1 i n S e c . 2 5 .

8 4


B e c a u s e o f d e f i n i t i o n ( 2 ) o f t h e f u n c t i o n F ( z ) , t h e n ,

C H A P . 2

( 7 )

. f O = f ( z ) ;

a n d t h i s i s t h e s a m e a s e q u a t i o n ( 1 ) .

T o p r o v e t h e c o n v e r s e o f t h e t h e o r e m , w e a s s u m e t h a t e q u a t i o n ( 1 ) h o l d s a n d n o t e

t h a t , i n v i e w o f e x p r e s s i o n ( 3 ) , t h e f o r m ( 7 ) o f e q u a t i o n ( 1 ) c a n b e w r i t t e n

u ( x , - y ) - i v ( x , - - y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) .

I n p a r t i c u l a r , i f ( x , 0 ) i s a p o i n t o n t h e s e g m e n t o f t h e r e a l a x i s t h a t l i e s i n D ,

u ( x , 0 ) - i v ( x , 0 ) = u ( x , 0 ) + i v ( x , 0 ) ;

a n d , b y e q u a t i n g i m a g i n a r y p a r t s h e r e , w e s e e t h a t v ( x , 0 ) = 0 . H e n c e f ( x ) i s r e a l o n

t h e s e g m e n t o f t h e r e a l a x i s l y i n g i n D .

E X A M P L E S .

J u s t p r i o r t o t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m , w e n o t e d t h a t

z + l = z + 1 a n d z 2 = Z 2

f o r a l l z i n t h e f i n i t e p l a n e . T h e t h e o r e m t e l l s u s , o f c o u r s e , t h a t t h i s i s t r u e , s i n c e x + 1

a n d x 2 a r e r e a l w h e n x i s r e a l . W e a l s o n o t e d t h a t z + i a n d i z 2 d o n o t h a v e t h e r e f l e c t i o n

p r o p e r t y t h r o u g h o u t t h e p l a n e , a n d w e n o w k n o w t h a t t h i s i s b e c a u s e x + i a n d

i x 2 a r e

n o t r e a l w h e n x i s r e a l .

E X E R C I S E S

1 . U s e t h e t h e o r e m i n S e c . 2 6 t o s h o w t h a t i f f ( z ) i s a n a l y t i c a n d n o t c o n s t a n t t h r o u g h o u t

a d o m a i n D , t h e n i t c a n n o t b e c o n s t a n t t h r o u g h o u t a n y n e i g h b o r h o o d l y i n g i n D .

S u g g e s t i o n : S u p p o s e t h a t f ( z ) d o e s h a v e a c o n s t a n t v a l u e w 0 t h r o u g h o u t s o m e

n e i g h b o r h o o d i n D .

2 . S t a r t i n g w i t h t h e f u n c t i o n

f i ( z ) _ m e t e / 2

( r > 0 , 0 < 0 « )

a n d r e f e r r i n g t o E x e r c i s e 4 ( b ) , S e c . 2 2 , p o i n t o u t w h y

f 2 ( Z ) =

( r > 0 ,

< 0 < 2 z

i s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n o f f i a c r o s s t h e n e g a t i v e r e a l a x i s i n t o t h e l o w e r h a l f p l a n e .

T h e n s h o w t h a t t h e f u n c t i o n

f 3 ( z ) =

1 r e i 9 / 2

i s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n o f f 2 a c r o s s t h e p o s i t i v e r e a l a x i s i n t o t h e f i r s t q u a d r a n t b u t

t h a t f 3 ( z ) _ - f l ( z ) t h e r e .

S E C . 2 7

E X E R C I S E S

8 5

3 . S t a t e w h y t h e f u n c t i o n

f 4 ( z ) = v e ( r > 0 , - a r < 8 < 7 r )

i s t h e a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n o f t h e f u n c t i o n f l ( z ) i n E x e r c i s e 2 a c r o s s t h e p o s i t i v e r e a l

a x i s i n t o t h e l o w e r h a l f p l a n e .

4 . W e k n o w f r o m E x a m p l e 1 , S e c . 2 1 , t h a t t h e f u n c t i o n

f ( z ) = e

h a s a d e r i v a t i v e e v e r y w h e r e i n t h e f i n i t e p l a n e . P o i n t o u t h o w i t f o l l o w s f r o m t h e r e f l e c t i o n

p r i n c i p l e ( S e c . 2 7 ) t h a t

f ( z ) = f ( z )

f o r e a c h z . T h e n v e r i f y t h i s d i r e c t l y .

5 . S h o w t h a t i f t h e c o n d i t i o n t h a t f ( x ) i s r e a l i n t h e r e f l e c t i o n p r i n c i p l e ( S e c . 2 7 ) i s r e p l a c e d

b y t h e c o n d i t i o n t h a t f ( x ) i s p u r e i m a g i n a r y , t h e n e q u a t i o n ( 1 ) i n t h e s t a t e m e n t o f t h e

p r i n c i p l e i s c h a n g e d t o

f ( z ) = - f O .



C H A P T E R

E L E M E N T A R Y F U N C T I O N S

W e c o n s i d e r h e r e v a r i o u s e l e m e n t a r y f u n c t i o n s s t u d i e d i n c a l c u l u s a n d d e f i n e c o r r e -

s p o n d i n g f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e . T o b e s p e c i f i c , w e d e f i n e a n a l y t i c f u n c t i o n s

o f a c o m p l e x v a r i a b l e z t h a t r e d u c e t o t h e e l e m e n t a r y , f u n c t i o n s i n c a l c u l u s w h e n

z = x + i 0 . W e s t a r t b y d e f i n i n g t h e c o m p l e x e x p o n e n t i a l f u n c t i o n a n d t h e n u s e i t

t o d e v e l o p t h e o t h e r s .

2 8 . T H E E X P O N E N T I A L F U N C T I O N

A s a n t i c i p a t e d e a r l i e r ( S e c . 1 3 ) , w e d e f i n e h e r e t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n e z b y

( 1 )

e z = e x e ` y ( z = x + i y ) ,

w h e r e E u l e r ' s f o r m u l a ( s e e S e c . 6 )

( 2 )

e z y = c o s y + i s i n y

n

i s u s e d a n d y i s t o b e t a k e n i n r a d i a n s . W e s e e f r o m t h i s d e f i n i t i o n t h a t e z r e d u c e s t o

t h e u s u a l e x p o n e n t i a l f u n c t i o n i n c a l c u l u s w h e n y = 0 ; a n d , f o l l o w i n g t h e c o n v e n t i o n

u s e d i n c a l c u l u s , w e o f t e n w r i t e e x p z f o r e ` .

N o t e t h a t s i n c e t h e p o s i t i v e n t h r o o t n e o f e i s a s s i g n e d t o e x w h e n x = l / n

( n = 2 , 3 , . . . ) , e x p r e s s i o n ( 1 ) t e l l s u s t h a t t h e c o m p l e x e x p o n e n t i a l f u n c t i o n e z i s a l s o

e w h e n z = 1 / n ( n = 2 , 3 , . . . ) . T h i s i s a n e x c e p t i o n t o t h e c o n v e n t i o n ( S e c . 8 ) t h a t

w o u l d o r d i n a r i l y r e q u i r e u s t o i n t e r p r e t

e 1 / n

a s t h e s e t o f n t h r o o t s o f e .

8 7



8 8


C H A P . 3

A c c o r d i n g t o d e f i n i t i o n ( 1 ) , e x e i y = e x + l Y ; a n d , a s a l r e a d y p o i n t e d o u t i n S e c . 1 3 ,

t h e d e f i n i t i o n i s s u g g e s t e d b y t h e a d d i t i v e p r o p e r t y

e x l e x 2 = e x l + x 2

o f e x i n c a l c u l u s . T h a t p r o p e r t y ' s e x t e n s i o n ,

( 3 )

e Z ' e Z 2 = e Z l + Z 2

t o c o m p l e x a n a l y s i s i s e a s y t o p r o v e . T o d o t h i s , w e w r i t e

T h e n

z 1 = x l - f - i y l

a n d z 2 = x 2 - - i y 2 .

e ` Z 1 e Z 2 = ( e x 1 e " 1 ) ( e x 2 e ' Y 2 ) = ( e x , e x 2 ) ( e ' y 1 e 1 Y 2

B u t x l a n d x 2 a r e b o t h r e a l , a n d w e k n o w f r o m S e c . 7 t h a t

i Y 2

=

e i ( Y ] + Y 2 )

e Z 2 = e ( x l + x 2

a n d , s i n c e

) + i ( y i + Y 2 ) = ( x 1 + i Y

( x 2 + i y 2 ) = Z 1 + z 2 ,

t h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h i s l a s t e q u a t i o n b e c o m e s e Z I + Z 2 . P r o p e r t y ( 3 ) i s n o w e s t a b l i s h e d .

O b s e r v e h o w p r o p e r t y ( 3 ) e n a b l e s u s t o w r i t e

e z l - z 2 e Z 2

= e Z l , o r

( 4 )

e Z l

e Z 2

i ( Y I + Y 2 ) .

- Z 2

F r o m t h i s a n d t h e f a c t t h a t e ° = 1 , i t f o l l o w s t h a t 1 / e Z = e - z .

T h e r e a r e a n u m b e r o f o t h e r i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f e Z t h a t a r e e x p e c t e d . A c c o r d -

i n g t o E x a m p l e 1 i n S e c . 2 1 , f o r i n s t a n c e ,

( 5 )

d

e Z = e Z

e v e r y w h e r e i n t h e z p l a n e . N o t e t h a t t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f e z f o r a l l z t e l l s u s t h a t

e z i s e n t i r e ( S e c . 2 3 ) . I t i s a l s o t r u e t h a t

( 6 )

e z

0 f o r a n y c o m p l e x n u m b e r z .

T h i s i s e v i d e n t u p o n w r i t i n g d e f i n i t i o n ( 1 ) i n t h e f o r m

e Z = p e " '

w h e r e

p = e x a n d

= y ,

S E C . 2 8

E X E R C I S E S

8 9

w h i c h t e l l s u s t h a t

( 7 )

1 e z I

= e X

a n d

a r g ( e z ) = y + 2 n 7 r ( n = 0 , ± 1 , + 2 , . . . ) .

S t a t e m e n t ( 6 ) t h e n f o l l o w s f r o m t h e o b s e r v a t i o n t h a t I e z I i s a l w a y s p o s i t i v e .

S o m e p r o p e r t i e s o f e z a r e , h o w e v e r , n o t e x p e c t e d . F o r e x a m p l e , s i n c e

e z + 2 n i = e z e 2 7 r i

a n d

e " ` = 1 ,

w e f i n d t h a t e z i s p e r i o d i c , w i t h a p u r e i m a g i n a r y p e r i o d 2 7 r i :

( 8 )

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e i l l u s t r a t e s a n o t h e r p r o p e r t y o f e z t h a t e x d o e s n o t h a v e .

N a m e l y , w h i l e e x i s n e v e r n e g a t i v e , t h e r e a r e v a l u e s o f e ~ t h a t a r e .

E X A M P L E . T h e r e a r e v a l u e s o f z , f o r i n s t a n c e , s u c h t h a t

( 9 )

e z = - I .

T o f i n d t h e m , w e w r i t e e q u a t i o n ( 9 ) a s e ' e ' Y = l e i ' s . T h e n , i n v i e w o f t h e s t a t e m e n t

i n i t a l i c s a t t h e b e g i n n i n g o f S e c . 8 r e g a r d i n g t h e e q u a l i t y o f t w o n o n z e r o c o m p l e x

n u m b e r s i n e x p o n e n t i a l f o r m ,

e ' = l

a n d

v = 7 r + 2 n 7 r ( n = 0 , + l , + 2 , . .

T h u s x = 0 , a n d w e f i n d t h a t

( 1 0 ) z = ( 2 n + 1 )

E X E R C I S E S

1 . S h o w t h a t

( a ) e x p ( 2 ± 3 n i ) = - e 2 ;

( b ) e x p

( c ) e x p ( z + z i ) = - e x p z .

2 . S t a t e w h y t h e f u n c t i o n 2 z 2 - 3 - z e z + e - z i s e n t i r e .

3 . U s e t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a n d t h e t h e o r e m i n S e c . 2 0 t o s h o w t h a t t h e f u n c t i o n

f ( z ) = e x p z i s n o t a n a l y t i c a n y w h e r e .

4 . S h o w i n t w o w a y s t h a t t h e f u n c t i o n e x p ( z 2 ) i s e n t i r e . W h a t i s i t s d e r i v a t i v e ?

A n s . 2 z e x p ( z 2 ) .

5 . W r i t e l e x p ( 2 z + i ) I a n d l e x p ( i z 2 ) 1 i n t e r m s o f x a n d y . T h e n s h o w t h a t

l e x p ( 2 z + i ) + e x p ( i z 2 ) I

e 2 x + e - 2 X y

6 . S h o w t h a t l e x p ( z 2 ) 1 < e x p ( I z 1 2 ) .

9 0


7 . P r o v e t h a t e x p ( - 2 z ) J < 1 i f a n d o n l y i f R e z > 0 .

8 . F i n d a l l v a l u e s o f z s u c h t h a t

a ) e z = - 2 ;

( b ) e z = I + ' i ;

( c ) e x p ( 2 z - 1 ) = 1 .

A n . ( a ) z = 1 n 2 + ( 2 n + l ) i r

( b ) z = I n 2 +

1

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) ;

( c ) z = - + n n i ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . .

C H A P . 3

9 . S h o w t h a t e x p ( i z ) = e x p ( i z ) i f a n d o n l y i f z = n i r ( n = 0 , t 1 , ± 2 , . . . ) . ( C o m p a r e

E x e r c i s e 4 , S e c . 2 7 . )

1 0 . ( a ) S h o w t h a t i f e z i s r e a l , t h e n I m z = n j r ( n = 0 , ± 1 , + 2 , . . . ) .

( b ) I f e z i s p u r e i m a g i n a r y , w h a t r e s t r i c t i o n i s p l a c e d o n z ?

D e s c r i b e t h e b e h a v i o r o f e z = e X e ` Y ' a s ( a ) x t e n d s t o - o o ; ( b ) y t e n d s t o o o .

1 2 . W r i t e R e ( e l / z ) i n t e r m s o f x a n d y . W h y i s t h i s f u n c t i o n h a r m o n i c i n e v e r y d o m a i n t h a t

d o e s n o t c o n t a i n t h e o r i g i n ?

1 3 . L e t t h e f u n c t i o n f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) b e a n a l y t i c i n s o m e d o m a i n D . S t a t e w h y t h e

f u n c t i o n s

U ( x , y ) =

e " ( x , y )

c o s u ( x , y ) ,

V ( x , y ) =

e " ( x , Y ) s i n u ( x , y )

a r e h a r m o n i c i n D a n d w h y V ( x , y ) i s , i n f a c t , a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f U ( x , y ) .

1 4 . E s t a b l i s h t h e i d e n t i t y

( e z ) n = e n z

0 , ± 1 , ± 2 ,

i n t h e f o l l o w i n g w a y .

U s e m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n t o s h o w t h a t i t i s v a l i d w h e n n = 0 , 1 , 2 , .

,

( b ) V e r i f y i t f o r n e g a t i v e i n t e g e r s n b y f i r s t r e c a l l i n g f r o m S e c . 7 t h a t

Z

n

= ( z - 1 ) m

( m = - n = 1 , 2 , . . . )

w h e n z 0 0 a n d w r i t i n g ( e z ) n = ( 1 / e z ) m . T h e n u s e t h e r e s u l t i n p a r t ( a ) , t o g e t h e r

w i t h t h e p r o p e r t y 1 / e z = e - z ( S e c . 2 8 ) o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n .

2 9 . T H E L O G A R I T H M I C F U N C T I O N

O u r m o t i v a t i o n f o r t h e d e f i n i t i o n o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n i s b a s e d o n s o l v i n g t h e

e q u a t i o n

( 1 )

w

= Z

f o r w , w h e r e z i s a n y n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r . T o d o t h i s , w e n o t e t h a t w h e n z a n d

w a r e w r i t t e n z = r e ` O ( - 7 r < O < n V ) a n d w = u + i v , e q u a t i o n ( 1 ) b e c o m e s

e u e i v

=

r e i O



S E C . 2 9

T H E L O G A R I T H M I C F U N C T I O N

9 1

T h e n , i n v i e w o f t h e s t a t e m e n t i n i t a l i c s i n S e c . 8 r e g a r d i n g t h e e q u a l i t y o f t w o c o m p l e x

n u m b e r s e x p r e s s e d i n e x p o n e n t i a l f o r m ,

e " = r a n d

v = ® + 2 n 7 r

w h e r e n i s a n y i n t e g e r . S i n c e t h e e q u a t i o n e " = r i s t h e s a m e a s u = 1 n r , i t f o l l o w s

t h a t e q u a t i o n ( 1 ) i s s a t i s f i e d i f a n d o n l y i f w h a s o n e o f t h e v a l u e s

I n r + i ( p + 2 n 1 r )

( n = 0 , f 1 , f 2 ,

.

T h u s , i f w e w r i t e

( 2 )

l o g z = i n r + i ( a + 2 n i r ) ( n = 0 , ± 1 , + 2 , . .

w e h a v e t h e s i m p l e r e l a t i o n

( 3 )

e l o g Z

= z

( z

0 ) ,

w h i c h s e r v e s t o m o t i v a t e e x p r e s s i o n ( 2 ) a s t h e d e f i n i t i o n o f t h e ( m u l t i p l e - v a l u e d )

l o g a r i t h m i c f u n c t i o n o f a n o n z e r o c o m p l e x v a r i a b l e z = r e i n

E X A M P L E I .

I f z = - 1 -

i , t h e n r = 2 a n d ® = - 2 T r / 3 . H e n c e

2 7 r

+ 2 n 7 r

= I n 2 + 2 ( n -

o g ( - t - 1 3 - i )

( _

3

( n = 0 , ± 1 , + 2 , . . . )

I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t i t i s n o t t r u e t h a t t h e l e f t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 3 )

w i t h t h e o r d e r o f t h e e x p o n e n t i a l a n d l o g a r i t h m i c f u n c t i o n s r e v e r s e d r e d u c e s t o j u s t z .

M o r e p r e c i s e l y , s i n c e e x p r e s s i o n ( 2 ) c a n b e w r i t t e n

l o g z = l n { z l + i a r g z

a n d s i n c e ( S e c . 2 8 )

J e l l = e '

a n d

a r g ( e Z ) = y + 2 n , - r ( n = 0 , + 1 , + 2 , . . . )

w h e n z = x + i y , w e k n o w t h a t

l o g ( e z ) = I n j e l l + i a r g ( e Z ) = l n ( e x ) + i ( y + 2 n 7 r ) = ( x + i y ) + 2 n n i

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , .

T h a t i s ,

( 4 )

l o g ( e - ) = z + 2 n 7 r i ( n = 0 , ± 1 , ± 2 ,

.

9 2


C H A P . 3

T h e p r i n c i p a l v a l u e o f l o g z i s t h e v a l u e o b t a i n e d f r o m e q u a t i o n ( 2 ) w h e n n = 0

t h e r e a n d i s d e n o t e d b y L o g z . T h u s

( 5 )

L o g z = l n r + i O .

N o t e t h a t L o g z i s w e l l d e f i n e d a n d s i n g l e - v a l u e d w h e n z A 0 a n d t h a t

( 6 )

l o g z = L o g z + 2 n i r i

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) .

I t r e d u c e s t o t h e u s u a l l o g a r i t h m i n c a l c u l u s w h e n z i s a p o s i t i v e r e a l n u m b e r z = r . T o

s e e t h i s , o n e n e e d o n l y w r i t e z =

r e i ° , i n w h i c h c a s e e q u a t i o n ( 5 ) b e c o m e s L o g z = 1 n r .

T h a t i s , L o g r = 1 n r .

E X A M P L E 2 .

F r o m e x p r e s s i o n ( 2 ) , w e f i n d t h a t

l o g l = I n 1 + i ( 0 + 2 n , - r ) = 2 n 7 r i

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) .

A s a n t i c i p a t e d , L o g 1 = 0 .

O u r f i n a l e x a m p l e h e r e r e m i n d s u s t h a t , a l t h o u g h w e w e r e u n a b l e t o f i n d l o g a -

r i t h m s o f n e g a t i v e r e a l n u m b e r s i n c a l c u l u s , w e c a n n o w d o s o .

E X A M P L E 3 .

O b s e r v e t h a t

l o g ( - 1 ) = i n I + i ( 7 r + 2 n 7 r ) = ( 2 n + 1 ) 7 r i

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . )

a n d t h a t L o g ( - 1 ) = 7 t i .

3 0 . B R A N C H E S A N D D E R I V A T I V E S O F L O G A R I T H M S

I f z = r e ` 0 i s a n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r , t h e a r g u m e n t 0 h a s a n y o n e o f t h e v a l u e s

0 = 0 + 2 n 7 r ( n = 0 , ± 1 . ± 2 , . . . ) , w h e r e O = A r g z . H e n c e t h e d e f i n i t i o n

l o g z = I n r + i ( 1 9 a - 2 n 7 r )

( n = 0 , ± l , f 2 , . . . )

o f t h e m u l t i p l e - v a l u e d l o g a r i t h m i c f u n c t i o n i n S e c . 2 9 c a n b e w r i t t e n

( 1 )

l o g z = l n r + i 0 .

I f w e l e t a d e n o t e a n y r e a l n u m b e r a n d r e s t r i c t t h e v a l u e o f 0 i n e x p r e s s i o n ( 1 ) s o

t h a t a < 0 < a + 2 7 r , t h e f u n c t i o n

( 2 )

l o g z = l n r + i 0

( r > 0 , a < 0 < a + 2 7 r ) ,

w i t h c o m p o n e n t s

( 3 )

u ( r , 0 ) = I n r

a n d

v ( r , 0 ) = 0 ,

S E C . 3 0

B R A N C H E S A N D D E R I V A T I V E S O F L O G A R I T H M S

9 3

X

F I G U R E 3 5

i n g l e - v a l u e d a n d c o n t i n u o u s i n t h e s t a t e d d o m a i n ( F i g . 3 5 ) . N o t e t h a t i f t h e f u n c t i o n

( 2 ) w e r e t o b e d e f i n e d o n t h e r a y 0 = a , i t w o u l d n o t b e c o n t i n u o u s t h e r e . F o r , i f z i s

a p o i n t o n t h a t r a y , t h e r e a r e p o i n t s a r b i t r a r i l y c l o s e t o z a t

w h i c h t h e v a l u e s o f v a r e

n e a r a a n d a l s o p o i n t s s u c h t h a t t h e v a l u e s o f v a r e n e a r a +

2 7 c .

T h e f u n c t i o n ( 2 ) i s n o t o n l y c o n t i n u o u s b u t a l s o a n a l y t i c i n t h e d o m a i n r > 0 ,

a < 0 < a + 2 n s i n c e t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s

o f u a n d v a r e c o n t i n u o u s

t h e r e a n d s a t i s f y t h e p o l a r f o r m ( S e c . 2 2 )

r u r = u 0 ,

u 0 = - r v r

o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s . F u r t h e r m o r e , a c c o r d i n g t o S e c . 2 2 ,

d l o g V = e - i 0 ( u r + i v r ) = e - i 0 Q 1 + i 0 )

=

1

d z

r

r e

d l o g z

=

1

d 1 7

z

0 , a < a r g z < a + 2 T r

L o g z =

( j z ) > 0 , - 7 r < A r g z < 7 r ) .

d z

z

A b r a n c h o f a m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n f i s a n y s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n F t h a t i s

a n a l y t i c i n s o m e d o m a i n a t e a c h p o i n t z o f w h i c h t h e v a l u e F ( z ) i s o n e o f t h e v a l u e s

f ( z ) . T h e r e q u i r e m e n t o f a n a l y t i c i t y , o f c o u r s e , p r e v e n t s F f r o m t a k i n g o n a r a n d o m

s e l e c t i o n o f t h e v a l u e s o f f . O b s e r v e t h a t , f o r e a c h f i x e d a , t h e s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n

( 2 ) i s a b r a n c h o f t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n ( 1 ) . T h e f u n c t i o n

( 6 )

L o g z = I n r + i ( 9

( r > 0 , - r r < O < 7 r )

i s c a l l e d t h e p r i n c i p a l b r a n c h .

A b r a n c h c u t i s a p o r t i o n o f a l i n e o r c u r v e t h a t i s i n t r o d u c e d i n o r d e r t o d e f i n e a

b r a n c h F o f a m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n f . P o i n t s o n t h e b r a n c h c u t f o r F a r e s i n g u l a r

p o i n t s ( S e c . 2 3 ) o f F , a n d a n y p o i n t t h a t i s c o m m o n t o a l l b r a n c h c u t s o f f i s c a l l e d a

9 4


C H A P . 3

b r a n c h p o i n t . T h e o r i g i n a n d t h e r a y 6 = a m a k e u p t h e b r a n c h c u t f o r t h e b r a n c h ( 2 )

o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n . T h e b r a n c h c u t f o r t h e p r i n c i p a l b r a n c h ( 6 ) c o n s i s t s o f t h e

o r i g i n a n d t h e r a y O = 7 r . T h e o r i g i n i s e v i d e n t l y a b r a n c h p o i n t f o r b r a n c h e s o f t h e

m u l t i p l e - v a l u e d l o g a r i t h m i c f u n c t i o n .

E X E R C I S E S

1 . S h o w t h a t

( a ) L o g ( - e i ) = 1 -

( b ) L o g ( l - i ) =

1

1 1 n 2 -

n +

4 i .

2 . V e r i f y t h a t w h e n n = 0 , + 1 , ± 2 ,

. .

I

( a ) l o g e = I + 2 n i r i ;

( b ) l o g i = ( 2 n + - I r r i ;

( c ) l o g ( - l - 1 - - i ) = I n 2 + 2 ( n + ) n i .

2

3 . S h o w t h a t

( a ) L o g ( 1 + i ) 2 = 2 L o g ( 1 + i ) ;

( b ) L o g ( - l + i ) 2 A 2 L o g ( - 1 + i ) .

4 . S h o w t h a t

( a ) l o g ( i 2 ) = 2 l o g i

w h e n

l o g z = I n r + i B

J r

< 0 <

4 4

3 r r

1 1 J r

( b ) l o g ( i L ) 5 4 2 l o g i

w h e n

l o g z = 1 n r + i & ( r > 0 ,

< 0 <

-

4

5 . S h o w t h a t

( a ) t h e s e t o f v a l u e s o f l o g ( i 1 / 2 ) i s ( n + 4 1 ) , 7 i ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) a n d t h a t t h e s a m e i s

t r u e o f ( 1 / 2 ) l o g i ;

( b ) t h e s e t o f v a l u e s o f l o g ( i 2 ) i s n o t t h e s a m e a s t h e s e t o f v a l u e s o f 2 l o g i .

6 . G i v e n t h a t t h e b r a n c h l o g z = I n r + i B ( r > 0 , a < 0 < a + 2 7 r ) o f t h e l o g a r i t h m i c

f u n c -

t i o n i s a n a l y t i c a t e a c h p o i n t z i n t h e s t a t e d d o m a i n , o b t a i n i t s d e r i v a t i v e b y d i f f e r e n t i a t i n g

e a c h s i d e o f t h e i d e n t i t y e x p ( l o g z ) = z ( S e c . 2 9 ) a n d u s i n g t h e c h a i n r u l e .

7 . F i n d a l l r o o t s o f t h e e q u a t i o n l o g z = i i r / 2 .

A n s . z = i .

8 . S u p p o s e t h a t t h e p o i n t z = x + i y l i e s i n t h e h o r i z o n t a l s t r i p a < y < a + 2 n . S h o w t h a t

w h e n t h e b r a n c h l o g z = 1 n r + i B ( r > 0 , a < 0 < a + 2 1 r ) o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n

i s u s e d , l o g ( e ` ) = z .

9 . S h o w t h a t

( a ) t h e f u n c t i o n L o g ( z - i ) i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e e x c e p t o n t h e h a l f l i n e y = 1 ( x < 0 ) ;

( b ) t h e f u n c t i o n

L o g ( z + 4 )

Z 2 + i

i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e e x c e p t a t t h e p o i n t s + ( 1 - i ) / ' 1 2 a n d o n t h e p o r t i o n x <

-

o f t h e r e a l a x i s .



S E C . 3 1

S O M E I D E N T I T I E S I N V O L V I N G L O G A R I T H M S

9 5

1 0 . S h o w i n t w o w a y s t h a t t h e f u n c t i o n l n ( x 2 + y 2 ) i s h a r m o n i c i n e v e r y d o m a i n t h a t d o e s

n o t c o n t a i n t h e o r i g i n .

1 1 . S h o w t h a t

R e [ l o g ( z - 1 ) ] = I l n [ ( x -

. Y 2 ]

( z A 1 )

W h y m u s t t h i s f u n c t i o n s a t i s f y L a p l a c e ' s e q u a t i o n w h e n z ; 1 ?

.

S O M E I D E N T I T I E S I N V O L V I N G L O G A R I T H M S

A s s u g g e s t e d b y r e l a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) i n , S e c . 2 9 , a s w e l l a s E x e r c i s e s 3 , 4 , a n d 5 w i t h

S e c . 3 0 , s o m e i d e n t i t i e s i n v o l v i n g l o g a r i t h m s i n c a l c u l u s c a r r y o v e r t o c o m p l e x a n a l y s i s

a n d o t h e r s d o n o t . I n t h i s s e c t i o n , w e d e r i v e a f e w t h a t d o c a r r y o v e r , s o m e t i m e s w i t h

q u a l i f i c a t i o n s a s t o h o w t h e y a r e t o b e i n t e r p r e t e d . A r e a d e r w h o w i s h e s t o p a s s t o S e e .

3 2 c a n s i m p l y r e f e r t o r e s u l t s h e r e w h e n n e e d e d .

I f z 1 a n d z 2 d e n o t e a n y t w o n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r s , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o

s h o w t h a t

( 1 ) l o g ( z 1 z 2 ) = l o g Z

I +

l o g z 2 .

T h i s s t a t e m e n t , i n v o l v i n g a m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n , i s t o b e i n t e r p r e t e d i n t h e s a m e

w a y t h a t t h e s t a t e m e n t

( 2 )

a r g ( z

2

= a r g z 1 + a r g z 2

w a s i n S e c . 7 . T h a t i s , i f v a l u e s o f t w o o f t h e t h r e e l o g a r i t h m s a r e s p e c i f i e d , t h e n t h e r e

i s a v a l u e o f t h e t h i r d l o g a r i t h m s u c h t h a t e q u a t i o n ( 1 ) h o l d s .

T h e p r o o f o f s t a t e m e n t ( 1 ) c a n b e b a s e d o n s t a t e m e n t ( 2 ) i n t h e f o l l o w i n g w a y .

S i n c e 1 Z I z 2 I

= 1 Z 1 I

I Z 2 1 a n d s i n c e t h e s e m o d u l i a r e a l l p o s i t i v e r e a l n u m b e r s , w e k n o w

f r o m e x p e r i e n c e w i t h l o g a r i t h m s o f s u c h n u m b e r s i n c a l c u l u s t h a t

I n I z l z 2 1 = I n I z i I + I n I z 2 1 .

S o i t f o l l o w s f r o m t h i s a n d e q u a t i o n ( 2 ) t h a t

( 3 )

I n I z l z 2 1 + i a r g ( z I z 2 ) = ( I n I z 1 I + i a r g z 1 ) + ( I n I z 2 1 + i a r g z 2 ) .

F i n a l l y , b e c a u s e o f t h e w a y i n w h i c h e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) a r e t o b e i n t e r p r e t e d ,

e q u a t i o n ( 3 ) i s t h e s a m e a s e q u a t i o n ( 1 ) .

E X A M P L E . T o i l l u s t r a t e s t a t e m e n t ( 1 ) , w r i t e z 1 = Z 2 = - l a n d n o t e t h a t z t z 2 = 1 .

I f t h e v a l u e s l o g z 1 = 7 r i a n d l o g z 2 = - 7 r i a r e s p e c i f i e d , e q u a t i o n ( 1 ) i s e v i d e n t l y

s a t i s f i e d w h e n t h e v a l u e I o g ( z 1 z 2 ) = 0 i s c h o s e n .

O b s e r v e t h a t , f o r t h e s a m e n u m b e r s z 1 a n d z 2 ,

L o g ( z l z 2 0 a n d L o g z 1 + L o g z 2 = 2 T r i .

T h u s s t a t e m e n t ( 1 ) i s n o t , i n g e n e r a l , v a l i d w h e n l o g i s r e p l a c e d e v e r y w h e r e b y L o g .



9 6


C H A P . 3

V e r i f i c a t i o n o f t h e s t a t e m e n t

( 4 )

l o g (

Z

I 1

) = l o g z 1 - l o g z 2 ,

w h i c h i s t o b e i n t e r p r e t e d i n t h e s a m e w a y a s s t a t e m e n t ( 1 ) , i s l e f t t o t h e e x e r c i s e s .

W e i n c l u d e h e r e t w o o t h e r p r o p e r t i e s o f l o g z t h a t w i l l b e o f s p e c i a l i n t e r e s t i n

S e c . 3 2 . I f z i s a n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r , t h e n

( 5 )

Z n = e n l o g z

( n = 0 ± 1 , ± 2 , .

f o r a n y v a l u e o f l o g z t h a t i s t a k e n . W h e n n = 1 , t h i s r e d u c e s , o f c o u r s e , t o r e l a t i o n ( 3 ) ,

S e c . 2 9 . E q u a t i o n ( 5 ) i s r e a d i l y v e r i f i e d b y w r i t i n g z = r e ` O a n d n o t i n g t h a t e a c h s i d e

b e c o m e s r " e ` " O

I t i s a l s o t r u e t h a t w h e n z A 0 ,

( 6 = e x p l o g Z )

( n =

T h a t i s , t h e t e r m o n t h e r i g h t h e r e h a s n d i s t i n c t v a l u e s , a n d t h o s e v a l u e s a r e t h e n t h

r o o t s o f z . T o p r o v e t h i s , w e w r i t e z = r e x p ( i O ) , w h e r e 1 9 i s t h e p r i n c i p a l v a l u e o f

a r g z . T h e n , i n v i e w o f d e f i n i t i o n ( 2 ) , S e c . 2 9 , o f l o g z ,

N

e x p

( 1

l o g

z )

= e x p

1

I n r +

i ( O + 2 k 7 r )

n

I n

n

w h e r e k = 0 , ± 1 , ± 2 ,

. . . .

T h u s

O

2 k - r

( 7 )

e x p {

n

l o g z

r e x p ) i n +

k = 0 , ± 1 , ± 2 ,

B e c a u s e e x p ( i 2 k n / n ) h a s d i s t i n c t v a l u e s o n l y w h e n k = 0 , 1 , . . . , n - 1 , t h e r i g h t -

h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 7 ) h a s o n l y n v a l u e s . T h a t r i g h t - h a n d s i d e i s , i n f a c t , a n

e x p r e s s i o n f o r t h e n t h r o o t s o f z ( S e c . 8 ) , a n d s o i t c a n b e w r i t t e n z 1 / " . T h i s e s t a b l i s h e s

p r o p e r t y ( 6 ) , w h i c h i s a c t u a l l y v a l i d w h e n n i s a n e g a t i v e i n t e g e r t o o ( s e e E x e r c i s e 5 ) .

E X E R C I S E S

1 . S h o w t h a t i f R e z l > 0 a n d R e z 2 > 0 , t h e n

L o g ( z l z 2 ) = L o g z l + L o g z 2 .

2 . S h o w t h a t , f o r a n y t w o n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r s z 1 a n d z 2 ,

L o g ( z 1 z 2 ) = L o g z 1 + L o g z 2 + 2 N 7 r i

w h e r e N h a s o n e o f t h e v a l u e s 0 , ± 1 . ( C o m p a r e E x e r c i s e 1 . )

3 . V e r i f y e x p r e s s i o n ( 4 ) , S e c . 3 1 , f o r l o g ( z l / z 2 ) b y

( a ) u s i n g t h e f a c t t h a t a r g ( z t / z 2 ) = a r g z I - a r g z 2 ( S e c . 7 ) ;

S E C . 3 2

C O M P L E X E X P O N E N T S

9 7

( b ) s h o w i n g t h a t l o g ( 1 / z ) = - l o g z ( z A 0 ) , i n t h e s e n s e t h a t l o g ( l / z ) a n d

- l o g z h a v e

t h e s a m e s e t o f v a l u e s , a n d t h e n r e f e r r i n g t o e x p r e s s i o n ( 1 ) , S e c . 3 1 , f o r l o g ( z t z 2 ) .

4 . B y c h o o s i n g s p e c i f i c n o n z e r o v a l u e s o f z t a n d z 2 , s h o w t h a t e x p r e s s i o n ( 4 ) . S e c . 3 1 , f o r

l o g ( z 1 / z 2 ) i s n o t a l w a y s v a l i d w h e n l o g i s r e p l a c e d b y L o g .

5 . S h o w t h a t p r o p e r t y ( 6 ) , S e c . 3 1 , a l s o h o l d s w h e n n i s a n e g a t i v e i n t e g e r . D o t h i s b y w r i t i n g

z l l n = ( z t 1 ' n ) - l ( m = - n ) , w h e r e n h a s a n y o n e o f t h e n e g a t i v e v a l u e s

n = - 1 , - 2 , . . .

( s e e E x e r c i s e 9 , S e c . 9 ) , a n d u s i n g t h e f a c t t h a t t h e p r o p e r t y i s a l r e a d y k n o w n t o b e v a l i d

f o r p o s i t i v e i n t e g e r s .

6 . L e t z d e n o t e a n y n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r , w r i t t e n z

=

r e ` n ( - J r < 0 < r r ) , a n d l e t

n

d e n o t e a n y f i x e d p o s i t i v e i n t e g e r ( n = 1 , 2 , . . . ) . S h o w t h a t a l l o f t h e v a l u e s o f l o g ( z l l n )

a r e g i v e n b y t h e e q u a t i o n

l o g

n ) =

1

I n r

C + 2 ( p n + k ) n

- - f - i

n

n

w h e r e p = 0 , E 1 , ± 2 ,

. . . a n d k = 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 . T h e n , a f t e r w r i t i n g

- I o g z =

I

I n r + i ( 9 + 2 q 7 r

n

n

n

w h e r e q = 0 , ± 1 ,

,

.

. . , s

h o w o w t h a t t h e s e t o f v a l u e s o f l o g ( z 1 1 n ) i s t h e s a m e a s t h e s e t

o f v a l u e s o f ( 1 / n ) l o g z . T h u s s h o w t h a t l o g ( z l l n )

= ( 1 / n ) l o g z , w h e r e , c o r r e s p o n d i n g

t o a v a l u e o f l o g ( z

t / n )

t a k e n o n t h e l e f t , t h e a p p r o p r i a t e v a l u e o f l o g z i s t o b e s e l e c t e d o n

t h e r i g h t , a n d c o n v e r s e l y . [ T h e r e s u l t i n E x e r c i s e 5 ( a ) , S e c . 3 0 , i s a s p e c i a l c a s e o f t h i s

o n e . ]

S u g g e s t i o n : U s e t h e f a c t t h a t t h e r e m a i n d e r u p o n d i v i d i n g a n i n t e g e r b y a p o s i t i v e

i n t e g e r n i s a l w a y s a n i n t e g e r b e t w e e n 0 a n d n

- 1 . i n c l u s i v e ; t h a t i s , w h e n a p o s i t i v e

i n t e g e r n i s s p e c i f i e d , a n y i n t e g e r q c a n b e w r i t t e n q = p n + k , w h e r e p i s a n i n t e g e r a n d

k h a s o n e o f t h e v a l u e s k = 0 , 1 , 2 ,

. . . , n - 1 .

3 2 . C O M P L E X E X P O N E N T S

W h e n z 0 0 a n d t h e e x p o n e n t c i s a n y c o m p l e x n u m b e r , t h e f u n c t i o n Z C i s d e f i n e d b y

m e a n s o f t h e e q u a t i o n

( 1 )

Z =

e c l o g z

w h e r e l o g z d e n o t e s t h e m u l t i p l e - v a l u e d l o g a r i t h m i c f u n c t i o n . E q u a t i o n ( 1 ) p r o v i d e s

a c o n s i s t e n t d e f i n i t i o n o f z ` i n t h e s e n s e t h a t i t i s a l r e a d y k n o w n t o b e v a l i d ( s e e S e c .

3 1 ) w h e n c = n ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) a n d c = 1 / n ( n = ± 1 , f 2 , . . . ) . D e f i n i t i o n ( 1 )

i s , i n f a c t , s u g g e s t e d b y t h o s e p a r t i c u l a r c h o i c e s o f c .

E X A M P L E 1 .

P o w e r s o f z a r e , i n g e n e r a l , m u l t i p l e - v a l u e d , a s i l l u s t r a t e d b y w r i t i n g

i - 2 "

= e x p ( - 2 i l o g i )

9 8


a n d t h e n

l o g i = 1 n 1 + i [ 2 + 2 n 7 r

T h i s s h o w s t h a t

\

( 2 )

i - 2 i

= e x p [ ( 4 n

n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .

( n = 0 , ± 1 , ± 2 ,

C H A P . 3

N o t e t h a t t h e s e v a l u e s o f i - 2 ` a r e a l l r e a l n u m b e r s .

S i n c e t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n h a s t h e p r o p e r t y 1 / e z = e - z , o n e c a n s e e t h a t

1

=

1

= e x p ( - c l o g z ) = z - `

z C

e x p ( c l o g z )

a n d , i n p a r t i c u l a r , t h a t 1 / i 2 i = i - 2 i . A c c o r d i n g t o e x p r e s s i o n ( 2 ) , t h e n ,

1

= e x p [ ( 4 n + 1 ) 7 r ]

( n = 0 , ± 1 , ±

I f z = r e i e a n d a i s a n y r e a l n u m b e r , t h e b r a n c h

l o g z = l n r + i 8

( r > 0 , a < 0 < a + 2 r r )

o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n i s s i n g l e - v a l u e d a n d a n a l y t i c i n t h e i n d i c a t e d d o m a i n ( S e c .

3 0 ) . W h e n t h a t b r a n c h i s u s e d , i t f o l l o w s t h a t t h e f u n c t i o n z ` = e x p ( c l o g z ) i s s i n g l e -

v a l u e d a n d a n a l y t i c i n t h e s a m e d o m a i n . T h e d e r i v a t i v e o f s u c h a b r a n c h o f z ` i s f o u n d

b y f i r s t u s i n g t h e c h a i n r u l e t o w r i t e

z C =

e x p ( c l o g z ) = z e x p ( c l o g z )

a n d t h e n r e c a l l i n g ( S e c . 2 9 ) t h e i d e n t i t y z = e x p ( l o g z ) . T h a t y i e l d s t h e r e s u l t

d

- z `

= c

e x p ( c

c e x p [ ( c - 1 ) l o g z ] ,

e P ( l o g z )

o r

( 4 )

d

d z z ` =

C z c - 1

( I z j > 0 , a < a r g z < a + 2 . 7 r ) .

T h e p r i n c i p a l v a l u e o f z C o c c u r s w h e n l o g z i s r e p l a c e d b y L o g z i n d e f i n i t i o n ( 1 ) :

( 5 )

P . v . z ` =

z

u a t i o n ( 5 ) a l s o s e r v e s t o d e f i n e t h e p r i n c i p a l b r a n c h o f t h e f u n c t i o n z ` o n t h e d o m a i n

I z I > 0 , - r r < A r g z < n .

S E C . 3 2

E X A M P L E 2 .

T h e p r i n c i p a l v a l u e o f ( -

n

e x p [ i L o g ( - i ) ] = e x p I i ( I n 1 - i - )

I = e x p - .

T h a t i s ,

( 6 )

P . V . ( - i ) ` = e x p

- n

.

2

E X A M P L E 3 .

T h e p r i n c i p a l b r a n c h o f

z 2 / 3


e x p (

L o g

z

= e x p ` 3 I n r -

T h u s

( 7 )

P . V . z 2

e x p

. ,

,

2

c o s

Z d

+ i V r 2 s i n

3

E X E R C I S E S

9 9

T h i s f u n c t i o n i s a n a l y t i c i n t h e d o m a i n r > 0 , - r c < 0 < 7 , a s o n e c a n s e e d i r e c t l y

f r o m t h e t h e o r e m i n S e c . 2 2 .

A c c o r d i n g t o d e f i n i t i o n ( 1 ) , t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n w i t h b a s e c , w h e r e c i s a n y

n o n z e r o c o m p l e x c o n s t a n t , i s w r i t t e n

( 8 )

C Z = e z

l o g c

N o t e t h a t a l t h o u g h e z i s , i n g e n e r a l , m u l t i p l e - v a l u e d a c c o r d i n g t o d e f i n i t i o n ( 8 ) , t h e

u s u a l i n t e r p r e t a t i o n o f e Z o c c u r s w h e n t h e p r i n c i p a l v a l u e o f t h e l o g a r i t h m i s t a k e n .

F o r t h e p r i n c i p a l v a l u e o f l o g e i s u n i t y .

W h e n a v a l u e o f l o g c i s s p e c i f i e d , c z i s a n e n t i r e f u n c t i o n o f z . I n f a c t ,

d

C Z =

d

e "

l o g e

= e z

l o g c

l o g C ;

d z

d z

a n d t h i s s h o w s t h a t

( 9 )

E X E R C I S E S

d

C ` = C Z l o g C .

d z

1 . S h o w t h a t w h e n n = 0 , f 1 , f 2 , . . . ,

a

( 2 '

I

1 } i

t

n

= e

I n 2 _

( b ) ( - 1 )

2 n r r I e x n (

.

I

I \

d

/ ` \ 2

I

2 . F i n d t h e p r i n c i p a l v a l u e o f

i ` `

( b )

( C ) i ) 4

A n s . ( a ) e x p ( - 7 r / 2 ) ;

( b ) - e x p ( 2

2

( c ) e ' r [ c o s ( 2 i n 2 ) + i s i n ( 2 I n 2 ) ] .



1 0 0


C H A P . 3

3 . U s e d e f i n i t i o n ( 1 ) , S e c . 3 2 , o f z ` t o s h o w t h a t ( - 1 + i ) 3 j 2 = ± 2 .

4 . S h o w t h a t t h e r e s u l t i n E x e r c i s e 3 c o u l d h a v e b e e n o b t a i n e d b y w r i t i n g

( a ) ( - 1 +

_ " / 3 i ) 3 / 2 = [ ( - 1 + . i ) I / 2 ] 3 a n d f i r s t f i n d i n g t h e s q u a r e r o o t s o f

- I +

i ;

( b ) ( - 1 +

/ 3 i ) 3 1 / 2 =

[ ( - 1 +

/ 3 i ) 3 1 1 / 2 a n d f i r s t c u b i n g - 1 +

3 i .

5 . S h o w t h a t t h e p r i n c i p a l n t h r o o t o f a n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r z 0 , d e f i n e d i n S e c . 8 , i s

t h e s a m e a s t h e p r i n c i p a l v a l u e o f

z O n , d e f i n e d i n S e c . 3 2 .

6 . S h o w t h a t i f z

0 a n d a i s a r e a l n u m b e r , t h e n j z a j = e x p ( a I n j z j ) = I z j a , w h e r e t h e

p r i n c i p a l v a l u e o f j z j a i s t o b e t a k e n .

7 . L e t c = a + b i b e a f i x e d c o m p l e x n u m b e r , w h e r e c * 0 , ± 1 , ± 2 , .

. .

,

a n d n o t e t h a t i `

i s m u l t i p l e - v a l u e d . W h a t r e s t r i c t i o n m u s t b e p l a c e d o n t h e c o n s t a n t c s o t h a t t h e v a l u e s

o f j i ` ' j a r e a l l t h e s a m e ?

A n s . c i s r e a l .

8 . L e t c , d , a n d z d e n o t e c o m p l e x n u m b e r s , w h e r e z * 0 . P r o v e t h a t i f a l l o f t h e p o w e r s

i n v o l v e d a r e p r i n c i p a l v a l u e s , t h e n

( a )

1 / z ` = z

( b ) ( z ` ) " =

z " ( n

= 1 , 2 , . . .

( C ) z l z d =

z c + d ;

( d ) z c / z d =

z ` - d

9 . A s s u m i n g t h a t f ( z ) e x i s t s , s t a t e t h e f o r m u l a f o r t h e d e r i v a t i v e o f c f

c z ) .

3 3 . T R I G O N O M E T R I C F U N C T I O N S

E u l e r ' s f o r m u l a ( S e c . 6 ) t e l l s u s t h a t

e i x

= c o s x - i s i n x

a n d

e - ` X = c o s x - i s i n x

f o r e v e r y r e a l n u m b e r x , a n d i t f o l l o w s f r o m t h e s e e q u a t i o n s t h a t

e i X

-

e - I X

= 2 i s i n x

a n d

e i x

+

e - i '

= 2 c o s x .

T h a t i s ,

s i n x =

2 i

e ` X -

a n d

c o s x

e

2

I t i s , t h e r e f o r e , n a t u r a l t o d e f i n e t h e s i n e a n d c o s i n e f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e z

a s f o l l o w s :

s i n z =

e ` ' Z

2 i

c o s z =

T h e s e f u n c t i o n s a r e e n t i r e s i n c e t h e y a r e l i n e a r c o m b i n a t i o n s ( E x e r c i s e 3 , S e c . 2 4 )

o f t h e e n t i r e f u n c t i o n s e ` z a n d e - ` ~ . K n o w i n g t h e d e r i v a t i v e s o f t h o s e e x p o n e n t i a l

f u n c t i o n s , w e f i n d f r o m e q u a t i o n s ( 1 ) t h a t

( 2 )

d z

s i n z = c o s z ,

t i

c o s z = - s i n z .

d



S E C . 3 3

T R I G O N O M E T R I C F U N C T I O N S

1 0 1

I t i s e a s y t o s e e f r o m d e f i n i t i o n s ( 1 ) t h a t

( 3 )

s i n ( - z ) = - s i n z

a n d

C o s

= c o s z ;

a n d a v a r i e t y o f o t h e r i d e n t i t i e s f r o m t r i g o n o m e t r y a r e v a l i d w i t h c o m p l e x v a r i a b l e s .

E X A M P L E .

I n o r d e r t o s h o w t h a t

( 4 )

2 s i n z r c o s z 2 = s i n ( z i

z 2 )

{

s i n ( z

- z 2 ) ,

u s i n g d e f i n i t i o n s ( 1 ) a n d p r o p e r t i e s o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n , w e f i r s t w r i t e

-

e - j 7 ?

2 s i n z , c o s z , =

M u l t i p l i c a t i o n t h e n r e d u c e s t h e r i g h t - h a n d s i d e h e r e t o

e i ( z i + z 2 )

-

e - i ( z 1 + z 2 )

e i ( Z 1 - z 2 )

- e - i ( z l - z 2 )

2 i

2 i

o r

a n d i d e n t i t y ( 4 ) i s e s t a b l i s h e d .

s i n ( z 1 + Z 2 ) = s i n z i c o s Z 2 + C O S z i s i n Z 2 ,

I d e n t i t y ( 4 ) l e a d s t o t h e i d e n t i t i e s ( s e e E x e r c i s e s 3 a n d 4 )

( 5 )

( 6 )

c O S ( z l + z 2 ) = c o s z 1 c o s Z 2 - s i n Z l s i n z 2 ;

a n d f r o m t h e s e i t f o l l o w s t h a t

( 7 )

s i n { z i

z 2 ) + s i n ( Z 1 - z 2 ) ;

s i n - z

c o s 2 z

= 1 ,

s i n 2 z = 2 s i n z c o s z ,

c o s 2 z = c o s 2 z - s i n 2 z

( 9 )

s i n z + 2 ) = c o s z ,

s i n C z - 2 = - c o s Z .

W h e n y i s a n y r e a l n u m b e r , o n e c a n u s e d e f i n i t i o n s ( 1 ) a n d t h e h y p e r b o l i c

f u n c t i o n s

s i n h

f r o m c a l c u l u s t o w r i t e

a n d

c o s h y =

_ y

- e

2

( 1 0 )

s i n ( i y ) = i s i n h y

a n d

c o s ( i y ) = c o s h y .



1 0 2


C H A P . 3

T h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f s i n z a n d c o s z a r e t h e n r e a d i l y d i s p l a y e d b y w r i t i n g

z 1 = x a n d z 2 = i y i n i d e n t i t i e s ( 5 ) a n d ( 6 ) :

( 1 1 )

s i n z = s i n x c o s h y + i c o s x s i n h y ,

( 1 2 )

c o s z = C O S x c o s h y - i s i n x s i n k y ,

w h e r e z = x + i y .

A n u m b e r o f i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f s i n z a n d c o s z f o l l o w i m m e d i a t e l y f r o m

e x p r e s s i o n s ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) . T h e p e r i o d i c c h a r a c t e r o f t h e s e f u n c t i o n s , f o r e x a m p l e , i s

e v i d e n t :

( 1 3 )

s i n ( z + 2 j r ) = s i n z ,

s i n ( - , + , r ) = - s i n z ,

( 1 4 )

c o s ( z + 2 7 r ) = c o s z ,

c o s ( z + ; r ) = - c o s z .

A l s o ( s e e E x e r c i s e 9 )

( 1 5 )

( 1 6 )

I s i n z

I 2

= s i n

2

x + s i n h 2 y ,

, C O s z 1 2 = c o s t x + s i n h 2 Y .

I n a s m u c h a s s i n h y t e n d s t o i n f i n i t y a s y t e n d s t o i n f i n i t y , i t i s c l e a r f r o m t h e s e t w o

e q u a t i o n s t h a t s i n z a n d c o s z a r e n o t b o u n d e d o n t h e c o m p l e x p l a n e , w h e r e a s t h e

a b s o l u t e v a l u e s o f s i n x a n d c o s x a r e l e s s t h a n o r e q u a l t o u n i t y f o r a l l v a l u e s o f x .

( S e e t h e d e f i n i t i o n o f b o u n d e d n e s s a t t h e e n d o f S e c . 1 7 . )

A z e r o o f a g i v e n f u n c t i o n f ( z ) i s a n u m b e r z e s u c h t h a t f ( z e ) = 0 . S i n c e s i n z

b e c o m e s t h e u s u a l s i n e f u n c t i o n i n c a l c u l u s w h e n z i s r e a l , w e k n o w t h a t t h e r e a l

n u m b e r s z = n r r ( n = 0 , + 1 , + 2 ,

. .

. ) a r e a l l z e r o s o f s i n z . T o s h o w t h a t t h e r e a r e n o

o t h e r z e r o s , w e a s s u m e t h a t s i n z = 0 a n d n o t e h o w i t f o l l o w s f r o m e q u a t i o n ( 1 5 ) t h a t

s i n 2 x + s i n h 2 y = 0 .

T h u s

s i n x = 0 a n d

s i n k y = 0 .

E v i d e n t l y , t h e n , x = n z r ( n = 0 , + 1 , ± 2 , . . . ) a n d y = 0 ; t h a t i s ,

( 1 7 )

s i n z = 0

i f a n d o n l y i f z = n n ( n = 0 , ± 1 . ± 2 , . .

S i n c e

c o s z = - s i n

a c c o r d i n g t o t h e s e c o n d o f i d e n t i t i e s ( 9 ) ,

( 1 8 )

C O S z = 0

i f a n d o n l y i f z -

+ m e ( n = 0 , f 1 , f 2 , . .

S o , a s w a s t h e c a s e w i t h s i n z , t h e z e r o s o f c o s z a r e a l l r e a l .



S E C . 3 3

E X E R C I S E S

1 0 3

T h e o t h e r f o u r t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s a r e d e f i n e d i n t e r m s o f t h e s i n e a n d c o s i n e

f u n c t i o n s b y t h e u s u a l r e l a t i o n s :

( 1 9 )

t a n z =

s i n z

,

c o t z =

c o s z

c o s z

s i n z

1 1

( 2 0 ) s e c - 7 = ,

c s c z = .

c o s z

s i n z

O b s e r v e t h a t t h e q u o t i e n t s t a n z a n d s e c z a r e a n a l y t i c e v e r y w h e r e e x c e p t a t t h e

s i n g u l a r i t i e s ( S e c . 2 3 )

z = 2 + n 7 r

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , .

w h i c h a r e t h e z e r o s o f c o s z . L i k e w i s e , c o t z a n d c s c z h a v e s i n g u l a r i t i e s a t t h e z e r o s

o f s i n z , n a m e l y

z = n 7 r

( n = 0 , ± 1 , ± 2 ,

.

.

B y d i f f e r e n t i a t i n g t h e r i g h t - h a n d s i d e s o f e q u a t i o n s ( 1 9 ) a n d ( 2 0 ) , w e o b t a i n t h e

e x p e c t e d d i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a s

( 2 1 )

d

t a n z = s e c t z ,

d

c o t z = - c s c 2 z ,

d z

d z

( 2 2 ) d

s e c z = s e c z t a n z ,

d z

d

c s c z = - c s c z c o t

z .

d z

T h e p e r i o d i c i t y o f e a c h o f t h e t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s d e f i n e d b y e q u a t i o n s ( 1 9 ) a n d

( 2 0 ) f o l l o w s r e a d i l y f r o m e q u a t i o n s ( 1 3 ) a n d ( 1 4 ) . F o r e x a m p l e ,

( 2 3 )

t a n ( z + 7 r ) = t a n z .

M a p p i n g p r o p e r t i e s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n w = s i n z a r e e s p e c i a l l y i m p o r t a n t i n

t h e a p p l i c a t i o n s l a t e r o n . A r e a d e r w h o w i s h e s a t t h i s t i m e t o l e a r n s o m e o f t h o s e

p r o p e r t i e s i s s u f f i c i e n t l y p r e p a r e d t o r e a d S e c . 8 9 ( C h a p . 8 ) , w h e r e t h e y a r e d i s c u s s e d .

E X E R C I S E S

1 . G i v e d e t a i l s i n t h e d e r i v a t i o n o f e x p r e s s i o n s ( 2 ) , S e c . 3 3 , f o r t h e d e r i v a t i v e s o f s i n z a n d

c o s Z .

2 . S h o w t h a t E u l e r ' s f o r m u l a ( S e c . 6 ) c o n t i n u e s t o h o l d w h e n 8 i s r e p l a c e d b y z :

i z

e = c o s t + i s i n z .

S u g g e s t i o n : T o v e r i f y t h i s , s t a r t w i t h t h e r i g h t - h a n d s i d e .

3 . I n S e c . 3 3 , i n t e r c h a n g e z t a n d z 2 i n e q u a t i o n ( 4 ) a n d t h e n a d d c o r r e s p o n d i n g s i d e s o f t h e

r e s u l t i n g e q u a t i o n a n d e q u a t i o n ( 4 ) t o d e r i v e e x p r e s s i o n ( 5 ) f o r s i n ( z t + z 2 ) .

1 0 4

E L E M E N T A R Y F U N C T I O N S C H A P . 3

4 . A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 5 ) i n S e c . 3 3 ,

s i n ( z + z 2 ) = S i n z C O S z 2 + c o s z s i n z 2 .

B y d i f f e r e n t i a t i n g e a c h s i d e h e r e w i t h r e s p e c t t o z a n d t h e n s e t t i n g z = z 1 , d e r i v e e x p r e s -

S i o n ( 6 ) f o r c o s ( z I + z 2 ) i n t h a t s e c t i o n .

5 . V e r i f y i d e n t i t y ( 7 ) i n S e c . 3 3 u s i n g

a i d e n t i t y ( 6 ) a n d r e l a t i o n s ( 3 ) i n t h a t s e c t i o n ;

( b ) t h e l e m m a i n S e c . 2 6 a n d t h e f a c t t h a t t h e e n t i r e f u n c t i o n

f ( z ) = s i n 2 z + c o s 2 z - 1

h a s z e r o v a l u e s a l o n g t h e x a x i s .

6 . S h o w h o w e a c h o f t h e t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t i e s ( 8 ) a n d ( 9 ) i n S e c . 3 3 f o l l o w s f r o m o n e

o f t h e i d e n t i t i e s ( 5 ) a n d ( 6 ) i n t h a t s e c t i o n .

7 . U s e i d e n t i t y ( 7 ) i n S e c . 3 3 t o s h o w t h a t

( a ) 1 + t a n 2 z = s e c t z ;

( b ) I + c o t 2 z = c s c 2 Z .

8 . E s t a b l i s h d i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a s ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) i n S e c . 3 3 .

9 . I n S e c . 3 3 , u s e e x p r e s s i o n s ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) t o d e r i v e e x p r e s s i o n s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) f o r I s i n z ( 2

a n d i c o n z i ` .

S u g g e s t i o n : R e c a l l t h e i d e n t i t i e s s i n

2

x + c o s t x = I a n d c o s h 2 y - s i n h 2 y = 1 .

1 0 . P o i n t o u t h o w i t f o l l o w s f r o m e x p r e s s i o n s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) i n S e c . 3 3 f o r i s i n z

1 2

a n d I c o s z I 2

t h a t

( a ) I s i n z 1 > i s i n x j ; ( b ) I c o s z l > I c o s x i .

1 1 . W i t h t h e a i d o f e x p r e s s i o n s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) i n S e e . 3 3 f o r i s i n z 1 2 a n d I c o s z 1 2 , s h o w t h a t

( a ) I s i n h y I < s i n z I < c o s h y ;

( b ) E s i n h y j < I c o s z i < c o s h y .

1 2 . ( a ) U s e d e f i n i t i o n s ( 1 ) , S e c . 3 3 , o f s i n z a n d c o s z t o s h o w t h a t

2 s i n ( z 1 + z 2 ) s i n ( z l - z 2 ) = c o s 2 z 2 - c o s 2 z 1 .

( b ) W i t h t h e a i d o f t h e i d e n t i t y o b t a i n e d i n p a r t ( a ) , s h o w t h a t i f c o s z I = c o s z 2 , t h e n a t

l e a s t o n e o f t h e n u m b e r s z I + z 2 a n d z I

z 2 i s a n i n t e g r a l m u l t i p l e o f 2 7 r .

1 3 . U s e t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a n d t h e t h e o r e m i n S e c . 2 0 t o s h o w t h a t n e i t h e r s i n z

n o r c o s z i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o f z a n y w h e r e .

1 4 . U s e t h e r e f l e c t i o n p r i n c i p l e ( S e c . 2 7 ) t o s h o w t h a t , f o r a l l z ,

( a ) s i n z = s i n z ;

( b ) c o s z = c o s 4 .

1 5 . W i t h t h e a i d o f e x p r e s s i o n s ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) i n S e c . 3 3 , g i v e d i r e c t v e r i f i c a t i o n s o f t h e

r e l a t i o n s o b t a i n e d i n E x e r c i s e 1 4 .



S E C . 3 4

H Y P E R B O L I C F U N C T I O N S 1 0 5

1 6 . S h o w t h a t

( a ) c o s ( i z ) = c o s ( i z )

f o r a l l z ;

( b ) s i n ( i z ) = s i n ( i z )


z = n r r i ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) .

1 7 . F i n d a l l r o o t s o f t h e e q u a t i o n s i n z = c o s h 4 b y e q u a t i n g t h e r e a l p a r t s a n d t h e i m a g i n a r y

p a r t s o f s i n z a n d c o s h 4 .

A n s . {

+ 2 n 7 r { + 4 i ( n = 0 , + 1 . + 2 , . . . ) .

1 8 . F i n d a l l r o o t s o f t h e e q u a t i o n c o s z = 2 .

A n s . 2 n r r + i c o s h - 1 2 , o r 2 n T r ± i l n ( 2 + ) ( n = O , ± ] , ± 2 , . .

3 4 . H Y P E R B O L I C F U N C T I O N S

T h e h y p e r b o l i c s i n e a n d t h e h y p e r b o l i c c o s i n e o f a c o m p l e x v a r i a b l e a r e d e f i n e d a s

t h e y a r e w i t h a r e a l v a r i a b l e ; t h a t i s ,

z

s i n h -

e z -

e -

c o s h z =

e z + e - z

4 1

2

2

S i n c e e z a n d

e _ z

a r e e n t i r e , i t f o l l o w s f r o m d e f i n i t i o n s ( 1 ) t h a t s i n h z a n d c o s h z a r e

e n t i r e . F u r t h e r m o r e ,

( 2 )

d

s i n h z = c o s h z ,

d

c o s h z = s i n h z .

d z

d z

B e c a u s e o f t h e w a y i n w h i c h t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n a p p e a r s i n d e f i n i t i o n s (

a n d i n t h e d e f i n i t i o n s ( S e c . 3 3 )

e t z - e - 1 z

s i n z =

2 i

,

c o s z

2

e - ` z

o f s i n z a n d c o s z , t h e h y p e r b o l i c s i n e a n d c o s i n e f u n c t i o n s a r e c l o s e l y r e l a t e d t o t h o s e

t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s :

( 3 )

- i s i n h ( i z ) = s i n z ,

c o s h ( i z ) = c o s z ,

( 4 )

- i s i n ( i z ) = s i n h z ,

c o s ( i z ) = c o s h Z .

S o m e o f t h e m o s t f r e q u e n t l y u s e d i d e n t i t i e s i n v o l v i n g h y p e r b o l i c s i n e a n d c o s i n e

f u n c t i o n s a r e

( 5 ) s i n h ( - z ) = - s i n h z ,

c o s h ( - z ) = c o s h z ,

( 6 )

c o s h 2

z -

s i n h 2 z

= 1 ,

( 7 )

s i n h ( z i + z 2 ) = s i n h z 1 c o s h Z 2 + c o s h z I s i n h z 2 ,

( 8 )

c o s h ( z i + z 2 ) = c o s h z 1 c o s h Z 2 + s i n h z 1 s i n h z 2



1 0 6


C H A P . 3

a n d

( 9 )

s i n h z = s i n h x c o s y + i c o s h x s i n y ,

( 1 0 )

c o s h z = c o s h x c o s y + i s i n h x s i n y ,

( 1 1 )

I s i n h z l 2 = s i n h 2 x + s i n ` y ,

( 1 2 )

I c o s h z

1 2

=

s i n h 2 x + c o s t y ,

w h e r e z = x + i v . W h i l e t h e s e i d e n t i t i e s f o l l o w d i r e c t l y f r o m d e f i n i t i o n s ( 1 ) ,

t h e y

a r e o f t e n m o r e e a s i l y o b t a i n e d f r o m r e l a t e d t r i g o n o m e t r i c

i d e n t i t i e s , w i t h t h e a i d o f

r e l a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) .

E X A M P L E . T o i l l u s t r a t e t h e m e t h o d o f p r o o f j u s t s u g g e s t e d , l e t u s v e r i f y i d e n t i t y

( 1 1 ) . A c c o r d i n g t o t h e f i r s t o f r e l a t i o n s ( 4 ) , ( s i n h

z 1 2

=

I s i n ( i z ) 1 2 . T h a t i s ,

( 1 3 )

I s i n h z 2 = I s i n ( - y + i x ) 1 2 ,

w h e r e z = x + i v . B u t f r o m e q u a t i o n ( 1 5 ) , S e c . 3 3 , w e k n o w t h a t

I s i n ( x + i y ) 1 2 = s i n

2

x +

s i n h 2 y ;

a n d t h i s e n a b l e s u s t o w r i t e e q u a t i o n ( 1 3 ) i n t h e d e s i r e d f o r m ( 1 1 ) .

I n v i e w o f t h e p e r i o d i c i t y o f s i n z a n d c o s z , i t f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m r e l a t i o n s

( 4 ) t h a t s i n h z a n d c o s h z a r e p e r i o d i c w i t h p e r i o d 2 1 r i . R e l a t i o n s ( 4 ) a l s o r e v e a l t h a t

( 1 4 ) s i n h z = 0


z = n n i ( n = 0 , f l , + 2 , . . . )

a n d

( 1 5 )

c o s h z = 0


z = ( 2 +

n r r ) i

( n = 0 , ± 1 , + 2 , .

( 1 6 )

T h e h y p e r b o l i c t a n g e n t o f z i s d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n

t a n k z =

s i n h z

c o s h z

a n d i s a n a l y t i c i n e v e r y d o m a i n i n w h i c h c o s h z A 0 . T h e f u n c t i o n s c o t h z , s e c h z , a n d

e s c h z a r e t h e r e c i p r o c a l s o f t a n h z , c o s h z , a n d s i n h z , r e s p e c t i v e l y . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d

t o v e r i f y t h e f o l l o w i n g d i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a s , w h i c h a r e t h e s a m e a s

t h o s e e s t a b l i s h e d

i n c a l c u l u s f o r t h e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o n s o f a r e a l v a r i a b l e :

( 1 7 )

t a n k z = s e c h ` z ,

d z

( 1 8 )

d z s e c h z = - s e c h z t a n h z ,

d

G o t h z = - c s c h 2 z ,

d z

d

c s c h z = - c s c h z c o t h z .

d z

S E C . 3 4

E X E R C I S E S

1 0 7

E X E R C I S E S

1 . V e r i f y t h a t t h e d e r i v a t i v e s o f s i n h z a n d c o s h z a r e a s s t a t e d i n e q u a t i o n s ( 2 ) , S e c . 3 4 .

2 . P r o v e t h a t s i n h 2 z = 2 s i n h z c o s h z b y s t a r t i n g w i t h

( a ) d e f i n i t i o n s ( 1 ) , S e c . 3 4 , o f s i n h z a n d c o s h z ;

( b ) t h e i d e n t i t y s i n 2 z = 2 s i n z c o s z ( S e c . 3 3 ) a n d u s i n g r e l a t i o n s ( 3 ) i n S e c . 3 4 .

3 . S h o w h o w i d e n t i t i e s ( 6 ) a n d ( 8 ) i n S e c . 3 4 f o l l o w f r o m i d e n t i t i e s ( 7 ) a n d ( 6 ) , r e s p e c t i v e l y ,

i n S e c . 3 3 .

4 . W r i t e s i n h z = s i n h ( x + i y ) a n d c o s h z = c o s h ( x + i y ) , a n d t h e n s h o w h o w e x p r e s s i o n s

( 9 ) a n d ( 1 0 ) i n S e c . 3 4 f o l l o w f r o m i d e n t i t i e s ( 7 ) a n d ( 8 ) , r e s p e c t i v e l y , i n t h a t s e c t i o n .

5 . V e r i f y e x p r e s s i o n ( 1 2 ) , S e c . 3 4 , f o r ( c o s h z 1 2 .

6 . S h o w t h a t I s i n h x I < c o s h z I < c o s h x b y u s i n g

( a ) i d e n t i t y ( 1 2 ) , S e c . 3 4 ;

( b ) t h e i n e q u a l i t i e s I s i n h y I < c o s z I

c o s h y , o b t a i n e d i n E x e r c i s e 1 1 ( b ) , S e c . 3 3 .

7 . S h o w t h a t

( a ) s i n h ( z + n i ) = - s i n h z ;

( b ) c o s h ( z + n i )

c o s h z ;

( c ) t a n h ( z + n i ) = t a n h z .

8 . G i v e d e t a i l s s h o w i n g t h a t t h e z e r o s o f s i n h z a n d c o s h z a r e a s i n s t a t e m e n t s ( 1 4 ) a n d ( 1 5 )

i n S e c . 3 4 .

9 . U s i n g t h e r e s u l t s p r o v e d i n E x e r c i s e 8 , l o c a t e a l l z e r o s a n d s i n g u l a r i t i e s o f t h e h y p e r b o l i c

t a n g e n t f u n c t i o n .

1 0 . D e r i v e d i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a s ( 1 7 ) , S e c . 3 4 .

1 1 . U s e t h e r e f l e c t i o n p r i n c i p l e ( S e c . 2 7 ) t o s h o w t h a t , f o r a l l z ,

( a ) s i n h z = s i n h z ;

( b ) c o s h z = c o s h z .

1 2 . U s e t h e r e s u l t s i n E x e r c i s e 1 1 t o s h o w t h a t t a n h z = t a n k z a t p o i n t s w h e r e c o s h z 0 0 .

1 3 . B y a c c e p t i n g t h a t t h e s t a t e d i d e n t i t y i s v a l i d w h e n z i s r e p l a c e d b y t h e r e a l v a r i a b l e x a n d

u s i n g t h e l e m m a i n S e c . 2 6 , v e r i f y t h a t

( a ) c o s h ` z - s i n h 2 z = 1 ;

( b ) s i n h z + c o s h z = e 4 .

[ C o m p a r e E x e r c i s e 5 ( b ) , S e c . 3 3 . ]

1 4 . W h y i s t h e f u n c t i o n s i n h ( e z ) e n t i r e ? W r i t e i t s r e a l p a r t a s a f u n c t i o n o f x a n d y , a n d s t a t e

w h y t h a t f u n c t i o n m u s t b e h a r m o n i c e v e r y w h e r e .

1 5 . B y u s i n g o n e o f t h e i d e n t i t i e s ( 9 ) a n d ( 1 0 ) i n S e c . 3 4 a n d t h e n p r o c e e d i n g a s i n E x e r c i s e

1 7 , S e c . 3 3 , f i n d a l l r o o t s o f t h e e q u a t i o n

( a ) s i n h z = i ;

( b ) c o s h z =

2

I .

A n s . ( a )

( 2 n + 2 } 7 r i

( n = 0 , 1 1 , ± 2 , . . .

1

( 2 n

( n = 0 , ± l , ± 2 , . . . ) .



1 0 8 E L E M E N T A R Y F U N C T I O N S

C H A P . 3

1 6 . F i n d a l l r o o t s o f t h e e q u a t i o n c o s h z = - 2 . ( C o m p a r e t h i s e x e r c i s e w i t h E x e r c i s e 1 8 ,

S e c . 3 3 . )

A n s . ± l n ( 2 +

) + ( 2 n + 1 ) n i ( n = 0 , ± 1 , + 2 , . . . ) .

3 5 . I N V E R S E T R I G O N O M E T R I C A N D

H Y P E R B O L I C F U N C T I O N S

I n v e r s e s o f t h e t r i g o n o m e t r i c a n d h y p e r b o l i c f u n c t i o n s c a n b e d e s c r i b e d i n t e r m s o f

l o g a r i t h m s .

I n o r d e r t o d e f i n e t h e i n v e r s e s i n e f u n c t i o n s i n - 1 z , w e w r i t e

s i n - 1

z

w h e n

z = s i n w .

T h a t i s , w = s i n - 1 z w h e n

z

2 i

I f w e p u t t h i s e q u a t i o n i n t h e f o r m

( e ' ' ) 2

- 2 i z ( e t w ) -

= 0 ,

w h i c h i s q u a d r a t i c i n e ' u ' , a n d s o l v e f o r e ` ` [ s e e E x e r c i s e 8 ( a ) , S e c . 9 ] , w e f i n d t h a t

( 1 )

+ ( l - - z 2 ) 1 1 2 ,

w h e r e ( 1 -

z 2 ) 1 1 2

i s , o f c o u r s e , a d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n o f z . T a k i n g l o g a r i t h m s o f

e a c h s i d e o f e q u a t i o n ( 1 ) a n d r e c a l l i n g t h a t w = s i n - 1 z , w e a r r i v e a t t h e e x p r e s s i o n

( 2 )

s i n - 1

z = - i l o g [ i z + ( 1

` 2 ) 1 ( 2 ]

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e i l l u s t r a t e s t h e f a c t t h a t s i n - ` z i s a m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n ,

w i t h i n f i n i t e l y m a n y v a l u e s a t e a c h p o i n t z .

E X A M P L E . E x p r e s s i o n ( 2 ) t e l l s u s t h a t

B u t

a n d

l o g ( 1 - , / 2

s i n - 1 ( - i )

= - i l o g ( 1 ± ) .

= 1 n ( 1 + V ) + 2 n . r r i

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . )

l o g ( 1 - ) = l n ( i - 1 ) + ( 2 n + 1 ) i r i

( n = 0 , ± 1 , + 2 , . . . ) .



S E C . 3 5

I N V E R S E T R I G O N O M E T R I C A N D H Y P E R B O L I C F U N C T I O N S

1 0 9

S i n c e

2 - l ) = I n

I n ( l +

) ,

t h e n , t h e n u m b e r s

( - 1 ) " l n ( I + / ) + n 7 r i

( n = 0 , + 1 , + 2 , . . . )

c o n s t i t u t e t h e s e t o f v a l u e s o f l o g ( l ±

) . T h u s , i n r e c t a n g u l a r f o r m ,

s i n - 1 ( - i )

= n J r + i

( - l ) " + I i n ( l + )

( n = 0 , + 1 , ± 2 ,

O n e c a n a p p l y t h e t e c h n i q u e u s e d t o d e r i v e e x p r e s s i o n ( 2 ) f o r s i n - 1 z t o s h o w t h a t

c o s - 1

z = - i

1 o g [ z + i ( 1

- z 2 ) 1 / 2 ]

a n d t h a t

( 4 )

-

i

l o g

i + z

2 i - z

T h e f u n c t i o n s

c o s - 1

z a n d

t a n - 1 z a r e a l s o m u l t i p l e - v a l u e d . W h e n s p e c i f i c b r a n c h e s o f

t h e s q u a r e r o o t a n d l o g a r i t h m i c f u n c t i o n s a r e u s e d , a l l t h r e e i n v e r s e f u n c t i o n s b e c o m e

s i n g l e - v a l u e d a n d a n a l y t i c b e c a u s e t h e y a r e t h e n c o m p o s i t i o n s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s .

T h e d e r i v a t i v e s o f t h e s e t h r e e f u n c t i o n s a r e r e a d i l y o b t a i n e d f r o m t h e a b o v e

e x p r e s s i o n s . T h e d e r i v a t i v e s o f t h e f i r s t t w o d e p e n d o n t h e v a l u e s c h o s e n f o r t h e s q u a r e

r o o t s :

( 5 )

( 6 )

d

s i n -

1

z =

1

d z

( 1 -

z 2 ) 1 / 2 '

.

d

_ ]

- 1

C O S

z =

d z

( I - z 2 ) 1 / 2

T h e d e r i v a t i v e o f t h e l a s t o n e ,

( 7 )

d

- t

d z

- -

4

-

1 + z 2 ,

d o e s n o t , h o w e v e r , d e p e n d o n t h e m a n n e r i n w h i c h t h e f u n c t i o n i s m a d e s i n g l e - v a l u e d .

I n v e r s e h y p e r b o l i c f u n c t i o n s c a n b e t r e a t e d i n a c o r r e s p o n d i n g m a n n e r . I t t u r n s

o u t t h a t

s i n h - 1

z = l o g

[ Z

+ ( z 2 +

2 ]

c o s h - 1

z = l o g

[ Z

+ ( z 2 - 1 ) 1 / 2 1

1



0


C H A P . 3

a n d

( 1 0 )

t a n k -

I z =

I

l o g

i + z

F i n a l l y , w e r e m a r k t h a t c o m m o n a l t e r n a t i v e n o t a t i o n f o r a l l o f t h e s e i n v e r s e

f u n c t i o n s i s a r c s i n z , e t c .

E X E R C I S E S

1 . F i n d a l l t h e v a l u e s o f

( a ) t a n - I ( 2 i ) ;

( b ) t a n - I ( 1

i

( c ) c o s h - I ( - 1 ) ;

( d ) t a n h - I 0 .

A n s . ( a ) ( n +

2 r +

I n 3 ( n = 0 , + 1 , ± 2 , - . . ) ;

( d ) n i r i ( n = 0 . ± 1 , ± 2 , . . . ) .

2 . S o l v e t h e e q u a t i o n s i n z = 2 f o r z b y

( a ) e q u a t i n g r e a l p a r t s a n d i m a g i n a r y p a r t s i n t h a t e q u a t i o n ;

( b ) u s i n g e x p r e s s i o n ( 2 ) , S e c . 3 5 , f o r s i n -

I

Z .

A n s . ( 2 n

-

1

) 2 r ± i 1 n ( 2 + 3 )

( n = 0 , ± l , ± 2 . . . . ) .

2 )

3 . S o l v e t h e e q u a t i o n c o s z = - s . / 1 2 f o r z .

4 . D e r i v e f o r m u l a ( 5 ) , S e c . 3 5 , f o r t h e d e r i v a t i v e o f s i n -

I

Z .

5 . D e r i v e e x p r e s s i o n ( 4 ) , S e c . 3 5 . f o r t a n -

I

Z .

6 . D e r i v e f o r m u l a ( 7 ) , S e c . 3 5 , f o r t h e d e r i v a t i v e o f t a n - I

z .

7 . D e r i v e e x p r e s s i o n ( 9 ) , S e c . 3 5 , f o r c o s h - 1 z .



C H A P T E R

4

I N T E G R A L S

I n t e g r a l s a r e e x t r e m e l y i m p o r t a n t i n t h e s t u d y o f f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e . T h e

t h e o r y o f i n t e g r a t i o n , t o b e d e v e l o p e d i n t h i s c h a p t e r , i s n o t e d f o r i t s m a t h e m a t i c a l

e l e g a n c e . T h e t h e o r e m s a r e g e n e r a l l y c o n c i s e a n d p o w e r f u l , a n d m o s t o f t h e p r o o f s

a r e s i m p l e .

3 6 . D E R I V A T I V E S O F F U N C T I O N S w ( t )

I n o r d e r t o i n t r o d u c e i n t e g r a l s o f f ( z ) i n a f a i r l y s i m p l e w a y , w e n e e d t o f i r s t c o n s i d e r

d e r i v a t i v e s o f c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n s w o f a r e a l v a r i a b l e t . W e w r i t e

( 1 )

u ( t ) + i v

w h e r e t h e f u n c t i o n s u a n d v a r e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t . T h e d e r i v a t i v e w ' ( t ) , o r

d [ w ( t ) ] j d t , o f t h e f u n c t i o n ( 1 ) a t a p o i n t t i s d e f i n e d a s

( 2 ) w ' ( t ) = u ' ( t ) + W ( t ) ,

p r o v i d e d e a c h o f t h e d e r i v a t i v e s u ' a n d v ' e x i s t s a t t .

F r o m d e f i n i t i o n ( 2 ) , i t f o l l o w s t h a t , f o r e v e r y c o m p l e x c o n s t a n t z c = x 0 + i y 0 ,

d [ z O w ( t ) ] = [ ( x 0 + i y 0 ) ( u + i v ) ] ' = [

- y o v ) + i ( y o u + x o v ) ] '

( x o u - y o v ) ` + i ( y o u + x o v ) ' = ( x o u ' - y o v ) + i ( y o u ` + x c v )

1 1 2

I N T E G R A L S

C H A P . 4

B u t

( x o u '

-

Y o u ) + i ( y o u r + x 0 v ' ) _ ( x o + i Y 0 ) ( u ' + i v '

a n d s o

( 3 )

[ z o w ( t ) ] = z o w

a t

A n o t h e r e x p e c t e d r u l e t h a t w e s h a l l o f t e n u s e i s

( 4 )

e

O t

= 4 n e Z O t

d t

w h e r e z o = x o + i y o . T o v e r i f y t h i s , w e w r i t e

e " O t _ e x 0 t e t y 0 t = e Y O t c o s y o t + i e X O t s i n y o t

a n d r e f e r t o d e f i n i t i o n ( 2 ) t o s e e t h a t

d t

e z p t = W O ' c o s y 0 t ) ' + i ( e x O t s i n y 0 t ) ' .

Z n w ' ( t ) I

F a m i l i a r r u l e s f r o m c a l c u l u s a n d s o m e s i m p l e a l g e b r a t h e n l e a d u s t o t h e e x p r e s s i o n

d

e z O t

= ( x o + i Y o )

o r

d t

X

c o s y o t + i e x O t s i n y 0 t ) ,

e z O '

= ( x o +

i y o ) e X O t e ' Y O t

T h i s i s , o f c o u r s e , t h e s a m e a s e q u a t i o n ( 4 ) .

V a r i o u s o t h e r r u l e s l e a r n e d i n c a l c u l u s , s u c h a s t h e o n e s f o r d i f f e r e n t i a t i n g s u m s

a n d p r o d u c t s , a p p l y j u s t a s t h e y d o f o r r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t . A s w a s t h e c a s e

w i t h p r o p e r t y ( 3 ) a n d f o r m u l a ( 4 ) , v e r i f i c a t i o n s m a y b e b a s e d o n c o r r e s p o n d i n g r u l e s

i n c a l c u l u s . I t s h o u l d b e p o i n t e d o u t , h o w e v e r , t h a t n o t e v e r y r u l e f o r d e r i v a t i v e s i n

c a l c u l u s c a r r i e s o v e r t o f u n c t i o n s o f t y p e ( 1 ) . T h e f o l l o w i n g e x a m p l e i l l u s t r a t e s t h i s .

E X A M P L E . S u p p o s e t h a t w ( t ) i s c o n t i n u o u s o n a n i n t e r v a l a < t < b ; t h a t i s , i t s

c o m p o n e n t f u n c t i o n s u ( t ) a n d v ( t ) a r e c o n t i n u o u s t h e r e . E v e n i f w ' ( t ) e x i s t s w h e n

a < t < b , t h e m e a n v a l u e t h e o r e m f o r d e r i v a t i v e s n o l o n g e r a p p l i e s . T o b e p r e c i s e , i t

i s n o t n e c e s s a r i l y t r u e t h a t t h e r e i s a n u m b e r c i n t h e i n t e r v a l a < t < b s u c h t h a t

, ( e ) _

w ( b ) - w ( a )

W

b - a

d

T o s e e t h i s , c o n s i d e r t h e f u n c t i o n w ( t ) = e ' t o n t h e i n t e r v a l 0 < t < 2 i r . W h e n t h a t

f u n c t i o n i s u s e d , I w ' ( t ) I = I i

e i t

f = 1 ; a n d t h i s m e a n s t h a t t h e d e r i v a t i v e w ' ( t ) i s n e v e r

z e r o , w h i l e w ( 2 2 r ) - w ( 0 ) = 0 .

S E C . 3 7

D E F I N I T E I N T E G R A L S O F F U N C T I O N S W ( t )

1 1 3

3 7 . D E F I N I T E I N T E G R A L S O F F U N C T I O N S w ( t )

W h e n w ( t ) i s a c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n o f a r e a l v a r i a b l e t a n d i s w r i t t e n

w ( t ) = u ( t )

w h e r e u a n d v a r e r e a l - v a l u e d , t h e d e f i n i t e i n t e g r a l o f w ( t ) o v e r a n i n t e r v a l a <

i s d e f i n e d a s

( 2 )

j

w ( t ) d t = j

u ( t ) d t + i f

v ( t ) d t

a a a

w h e n t h e i n d i v i d u a l i n t e g r a l s o n t h e r i g h t e x i s t . T h u s

b b

( 3 ) R e I w ( t ) d t = I R e [ w ( t ) ] d t

E X A M P L E 1 . F o r a n i l l u s t r a t i o n o f d e f i n i t i o n ( 2 ) ,

f o

1

I m p r o p e r i n t e g r a l s o f w ( t ) o v e r u n b o u n d e d i n t e r v a l s a r e d e f i n e d i n a s i m i l a r w a y .

T h e e x i s t e n c e o f t h e i n t e g r a l s o f u a n d v i n d e f i n i t i o n ( 2 ) i s e n s u r e d i f t h o s e

f u n c t i o n s a r e p i e c e w i s e c o n t i n u o u s o n t h e i n t e r v a l a < t < b . S u c h a f u n c t i o n i s

c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e i n t h e s t a t e d i n t e r v a l e x c e p t p o s s i b l y f o r a f i n i t e n u m b e r o f

p o i n t s w h e r e , a l t h o u g h d i s c o n t i n u o u s , i t h a s o n e - s i d e d l i m i t s . O f c o u r s e , o n l y t h e r i g h t -

h a n d l i m i t i s r e q u i r e d a t a ; a n d o n l y t h e l e f t - h a n d l i m i t i s r e q u i r e d a t b . W h e n b o t h u

a n d v a r e p i e c e w i s e c o n t i n u o u s , t h e f u n c t i o n w i s s a i d t o h a v e t h a t p r o p e r t y .

A n t i c i p a t e d r u l e s f o r i n t e g r a t i n g a c o m p l e x c o n s t a n t t i m e s a f u n c t i o n w ( t ) , f o r

i n t e g r a t i n g s u m s o f s u c h f u n c t i o n s , a n d f o r i n t e r c h a n g i n g l i m i t s o f i n t e g r a t i o n a r e a l l

v a l i d . T h o s e r u l e s , a s w e l l a s t h e p r o p e r t y

I

b

w ( t ) d t = j w ( t ) d t + j w ( t ) d t ,

a r e e a s y t o v e r i f y b y r e c a l l i n g c o r r e s p o n d i n g r e s u l t s i n c a l c u l u s .

T h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f c a l c u l u s , i n v o l v i n g a n t i d e r i v a t i v e s , c a n , m o r e o v e r ,

b e e x t e n d e d s o a s t o a p p l y t o i n t e g r a l s o f t h e t y p e ( 2 ) . T o b e s p e c i f i c , s u p p o s e t h a t t h e

f u n c t i o n s

= u ( t ) + i v ( t )

a n d

W ( t ) = U ( t ) + i V ( t )

1 1 4 I N T E G R A L S

C H A P . 4

a r e c o n t i n u o u s o n t h e i n t e r v a l a < t < b . I f W ( t ) = w ( t ) w h e n a < t < b , t h e n

U ' ( t ) = u ( t ) a n d V ' ( t ) = r a ( t ) . H e n c e , i n v i e w o f d e f i n i t i o n ( 2 ) ,

b b

b

f

w ( t ) d t = U ( t ) j

+

i V ( t ) j

a

a a

= [ U ( b ) + W W I -

T h a t i s ,

L

E X A M P L E 2 .

S i n c e

b

s e e S e c . 3 6 ) ,

n

/ 4

f 4

e t t d t = - i e ' t

1 =

- i e ' " / 4 + i

0

i V

W e f i n i s h h e r e w i t h a n i m p o r t a n t p r o p e r t y o f m o d u l i o f i n t e g r a l s . N a m e l y ,

( 5 )

f a

b

w ( t ) d t

d t

( a < b

T h i s i n e q u a l i t y c l e a r l y h o l d s w h e n t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o n t h e l e f t i s z e r o , i n

p a r t i c u l a r w h e n a = b . T h u s , i n t h e v e r i f i c a t i o n , w e m a y a s s u m e t h a t i t s v a l u e i s a

n o n z e r o c o m p l e x n u m b e r . I f r p i s t h e m o d u l u s a n d 9 f l i s a n a r g u m e n t o f t h a t c o n s t a n t ,

t h e n

w d t = r p e ` 0 4

S o l v i n g f o r r 0 , w e w r i t e

( 6 )

e - ` ° 0 w d t .

N o w t h e l e f t - h a n d s i d e o f t h i s e q u a t i o n i s a r e a l n u m b e r , a n d s o t h e r i g h t - h a n d s i d e i s

t o o . T h u s , u s i n g t h e f a c t t h a t t h e r e a l p a r t o f a r e a l n u m b e r i s t h e n u m b e r i t s e l f a n d

r e f e r r i n g t o t h e f i r s t o f p r o p e r t i e s ( 3 ) , w e s e e t h a t t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 6 )

c a n b e r e w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g w a y :

. u d t = R e I

e - ` 0 w d t =

R e ( e - " O w ) d t .



S E C . 3 7

E q u a t i o n ( 6 ) t h e n t a k e s t h e f o r m

( 7 )

B u t

R e ( e - t e 0 w )

a n d s o , a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 7 ,

R e ( e _ ` O a w ) d t .

- i o 0 w I

= l e - ` 0 ° l I

w l d t .

E X E R C I S E S 1 1 5

B e c a u s e r o i s , i n f a c t , t h e l e f t - h a n d s i d e o f i n e q u a l i t y ( 5 ) w h e n t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l

t h e r e i s n o n z e r o , t h e v e r i f i c a t i o n i s n o w c o m p l e t e .

W i t h o n l y m i n o r m o d i f i c a t i o n s , t h e a b o v e d i s c u s s i o n y i e l d s i n e q u a l i t i e s s u c h a s

( 8 ) w ( t ) d t

p r o v i d e d b o t h i m p r o p e r i n t e g r a l s e x i s t .

d t ,

E X E R C I S E S

1 . U s e t h e c o r r e s p o n d i n g r u l e s i n c a l c u l u s t o e s t a b l i s h t h e f o l l o w i n g r u l e s w h e n

i v

i s a c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n o f a r e a l v a r i a b l e t a n d w ( t ) e x i s t s :

d

t , e v a l u a t e d a t - t ;

d

a t

- w ( - t ) = - w ' ( - t ) , w h e r e w ' ( - t ) d e n o t e s t h e d e r i v a t i v e o f w ( t ) w i t h r e s p e c t t o

( b )

d t

[ w ( t ) j ' = 2 w ( t ) w ( t ) .

2 . E v a l u a t e t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l s :

2 (

A n s .

t

2

h / (

d t ;

( b ) I

e t 2 t

d t ;

( c ) I

e - Z t

d t ( R e z > 0 ) .

2

3 . S h o w t h a t i f m a n d n a r e i n t e g e r s ,

o 2 x

J o

n d d f =

C

1

z

0 w h e n m 5 4

t a r w h e n m =

4 . A c c o r d i n g t o d e f i n i t i o n ( 2 ) , S e c . 3 7 , o f i n t e g r a l s o f c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n s o f a r e a l

v a r i a b l e ,

X d x = / e X c o s x d x + i

I

e x s i n x d x .

1 1 6

I N T E G R A L S

C H A P . 4

E v a l u a t e t h e t w o i n t e g r a l s o n t h e r i g h t h e r e b y e v a l u a t i n g t h e s i n g l e i n t e g r a l o n t h e l e f t

a n d t h e n u s i n g t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e v a l u e f o u n d .

A n s . - ( 1 + e " ) / 2 ,

( 1 + e " ) / 2 ,

5 . L e t w ( t ) b e a c o n t i n u o u s c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n o f t d e f i n e d o n a n i n t e r v a l a < t < h .

B y c o n s i d e r i n g t h e s p e c i a l c a s e w ( t ) =

e t t

o n t h e i n t e r v a l 0 < t < 2 n , s h o w t h a t i t i s n o t

a l w a y s t r u e t h a t t h e r e i s a n u m b e r c i n t h e i n t e r v a l a < t < b s u c h t h a t

I a

h

w ( t ) d t = w ( c ) ( b -

T h u s s h o w t h a t t h e m e a n v a l u e t h e o r e m f o r d e f i n i t e i n t e g r a l s i n c a l c u l u s d o e s n o t a p p l y

t o s u c h f u n c t i o n s . ( C o m p a r e t h e e x a m p l e i n S e c . 3 6 . )

6 . L e t w ( t ) = u ( t ) + i v ( t ) d e n o t e a c o n t i n u o u s c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n d e f i n e d o n a n

i n t e r v a l - a < t < a .

( a ) S u p p o s e t h a t w ( t ) i s e v e n ; t h a t i s , w ( - t ) = w ( t ) f o r e a c h p o i n t t i n t h e g i v e n i n t e r v a l .

S h o w t h a t

r

w ( t ) d t = 2 1

w ( t ) d t .

J

- a

a

( b ) S h o w t h a t i f w ( t ) i s a n o d d f u n c t i o n , o n e w h e r e w ( - t ) = - w ( t ) f o r e a c h p o i n t t i n

t h e i n t e r v a l , t h e n

- a

w ( t ) d t =

S u g g e s t i o n : I n e a c h p a r t o f t h i s e x e r c i s e , u s e t h e c o r r e s p o n d i n g p r o p e r t y o f

i n t e g r a l s o f r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t , w h i c h i s g r a p h i c a l l y e v i d e n t .

7 . A p p l y i n e q u a l i t y ( 5 ) , S e c . 3 7 , t o s h o w t h a t f o r a l l v a l u e s o f x i n t h e i n t e r v a l - i < x < 1 ,

t h e f u n c t i o n s *

P " ( x ) = - -

( x + i v / 1 - x 2 c o s O ) ' d O

( n = 0 , 1 , 2 , . .

s a t i s f y t h e i n e q u a l i t y I P P ( x ) I <

3 8 . C O N T O U R S

I n t e g r a l s o f c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e a r e d e f i n e d o n c u r v e s i n

t h e c o m p l e x p l a n e , r a t h e r t h a n o n j u s t i n t e r v a l s o f t h e r e a l l i n e . C l a s s e s o f c u r v e s t h a t

a r e a d e q u a t e f o r t h e s t u d y o f s u c h i n t e g r a l s a r e i n t r o d u c e d i n t h i s s e c t i o n .

* T h e s e f u n c t i o n s a r e a c t u a l l y p o l y n o m i a l s i n x . T h e y a r e k n o w n a s L e g e n d r e p o l y n o m i a l s a n d a r e

i m p o r t a n t i n a p p l i e d m a t h e m a t i c s . S e e , f o r e x a m p l e , C h a p . 4 o f t h e b o o k b y L e b e d e v t h a t i s l i s t e d

i n A p p e n d i x 1 .

S E C , 3 8

C O N T O U R S

1 1 7

A s e t o f p o i n t s z = ( x , y ) i n t h e c o m p l e x p l a n e i s s a i d t o b e a n a r c i f

( 1 }

x = x ( t ) , y = y ( t )

( a < t < b ) ,

w h e r e x ( t ) a n d y ( t ) a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o f t h e r e a l p a r a m e t e r t . T h i s d e f i n i t i o n

e s t a b l i s h e s a c o n t i n u o u s m a p p i n g o f t h e i n t e r v a l a < t < b i n t o t h e x y , o r z , p l a n e ; a n d

t h e i m a g e p o i n t s a r e o r d e r e d a c c o r d i n g t o i n c r e a s i n g v a l u e s o f t . I t i s c o n v e n i e n t t o

d e s c r i b e t h e p o i n t s o f C b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n

( 2 )

w h e r e

( 3 )

z = z ( t )

( a < t < b ) ,

z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) .

T h e a r e C i s a s i m p l e a r c , o r a J o r d a n a r c , * i f i t d o e s n o t c r o s s i t s e l f ; t h a t i s , C i s

s i m p l e i f z ( t l ) z ( t 2 ) w h e n t 1

t 2 . W h e n t h e a r c C i s s i m p l e e x c e p t f o r t h e f a c t t h a t

z ( b ) = z ( a ) , w e s a y t h a t C i s a s i m p l e c l o s e d c u r v e , o r a J o r d a n c u r v e .

T h e g e o m e t r i c n a t u r e o f a p a r t i c u l a r a r c o f t e n s u g g e s t s d i f f e r e n t n o t a t i o n f o r t h e

p a r a m e t e r t i n e q u a t i o n ( 2 ) . T h i s i s , i n f a c t , t h e c a s e i n t h e e x a m p l e s b e l o w .

E X A M P L E 1 .

T h e p o l y g o n a l l i n e ( S e c . 1 0 ) d e f i n e d b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n s

( 4 )

i x

w h e n 0 < x

x + i

w h e n I < x < 2

a n d c o n s i s t i n g o f a l i n e s e g m e n t f r o m 0 t o 1 + i f o l l o w e d b y o n e f r o m 1 + i t o 2 + i

( F i g . 3 6 ) i s a s i m p l e a r c .

Y

1 - I

X

F I G U R E 3 6

E X A M P L E 2 .

T h e u n i t c i r c l e

( 5 )

2 + i

0

2

* N a m e d f o r C . J o r d a n ( 1 8 3 8 - - 1 9 2 2 ) , p r o n o u n c e d j o r - d o n ` .

1 1 8 I N T E G R A L S

C H A P . 4

a b o u t t h e o r i g i n i s a s i m p l e c l o s e d c u r v e , o r i e n t e d i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n .

S o i s t h e c i r c l e

( 6 )

z = z o + R e ` '

( 0 < 9 < 2 7 r ) ,

c e n t e r e d a t t h e p o i n t z u a n d w i t h r a d i u s R ( s e e S e c . 6 ) .

T h e s a m e s e t o f p o i n t s c a n m a k e u p d i f f e r e n t a r c s .

E X A M P L E 3 .

T h e a r c

( 7 )

i s n o t t h e s a m e a s t h e a r c d e s c r i b e d b y e q u a t i o n ( 5 ) . T h e s e t o f p o i n t s i s t h e s a m e , b u t

n o w t h e c i r c l e i s t r a v e r s e d i n t h e c l o c k w i s e d i r e c t i o n .

z = e - i 8

( 0 < 9 < 2 7 r )

E X A M P L E 4 .

T h e p o i n t s o n t h e a r c

( 8 )

z =

e i 2 0

( 0 < 0 < 2 7 r )

a r e t h e s a m e a s t h o s e m a k i n g u p t h e a r c s ( 5 ) a n d ( 7 ) . T h e a r c h e r e d i f f e r s , h o w e v e r , f r o

e a c h o f t h o s e a r c s s i n c e t h e c i r c l e i s t r a v e r s e d t w i c e i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n .

T h e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n u s e d f o r a n y g i v e n a r c C i s , o f c o u r s e , n o t u n i q u e .

I t i s , i n f a c t , p o s s i b l e t o c h a n g e t h e i n t e r v a l o v e r w h i c h t h e p a r a m e t e r r a n g e s t o a n y

o t h e r i n t e r v a l . T o b e s p e c i f i c , s u p p o s e t h a t

( 9 )

t = O (

w h e r e 0 i s a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n m a p p i n g a n i n t e r v a l a < r < / 3 o n t o t h e i n t e r v a l

a < t < b i n r e p r e s e n t a t i o n ( 2 ) . ( S e e F i g . 3 7 . ) W e a s s u m e t h a t 0 i s c o n t i n u o u s w i t h a

c o n t i n u o u s d e r i v a t i v e . W e a l s o a s s u m e t h a t 0 ' ( r ) > 0 f o r e a c h r ; t h i s e n s u r e s t h a t t

i n c r e a s e s w i t h T . R e p r e s e n t a t i o n ( 2 ) i s t h e n t r a n s f o r m e d b y e q u a t i o n ( 9 ) i n t o

( 1 0 )

b

z = Z ( v )

( a < r < / 3 )

F I G U R E 3 7

S E C . 3 8

C O N T O U R S

1 1 9

w h e r e

( 1 1 )

Z ( r ) = z 1 0

T h i s i s i l l u s t r a t e d i n E x e r c i s e 3 , w h e r e a s p e c i f i c f u n c t i o n 0 ( r ) i s f o u n d .

S u p p o s e n o w t h a t t h e c o m p o n e n t s x ' ( t ) a n d y ' ( t ) o f t h e d e r i v a t i v e ( S e c . 3 6 )

( 1 2 )

z ' ( t ) = x ' ( t ) + i y ' ( t )

o f t h e f u n c t i o n ( 3 ) , u s e d t o r e p r e s e n t C , a r e c o n t i n u o u s o n t h e e n t i r e i n t e r v a l a < t < b .

T h e a r c i s t h e n c a l l e d a d i f f e r e n t i a b l e a r c , a n d t h e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n

I z ' ( t ) I =

[ x 7 ( t ) ] 2 + [ y ' ( t ) ] 2

i s i n t e g r a b l e o v e r t h e i n t e r v a l a < t < b . I n f a c t , a c c o r d i n g t o t h e d e f i n i t i o n o f a r c l e n g t h

i n c a l c u l u s , t h e l e n g t h o f C i s t h e n u m b e r

( 1 3 )

T h e v a l u e o f L i s i n v a r i a n t u n d e r c e r t a i n c h a n g e s i n t h e r e p r e s e n t a t i o n f o r C t h a t

i s u s e d , a s o n e w o u l d e x p e c t . M o r e p r e c i s e l y , w i t h t h e c h a n g e o f v a r i a b l e i n d i c a t e d i n

e q u a t i o n ( 9 ) , e x p r e s s i o n ( 1 3 ) t a k e s t h e f o r m [ s e e E x e r c i s e 1 ( b ) ]

r ) d r .

S o , i f r e p r e s e n t a t i o n ( 1 0 ) i s u s e d f o r C , t h e d e r i v a t i v e ( E x e r c i s e 4 )

( 1 4 )

Z ' (

e n a b l e s u s t o w r i t e e x p r e s s i o n ( 1 3 ) a s

Z ' ( r ) I d r .

T h u s t h e s a m e l e n g t h o f C w o u l d b e o b t a i n e d i f r e p r e s e n t a t i o n ( 1 0 ) w e r e t o b e u s e d .

I f e q u a t i o n ( 2 ) r e p r e s e n t s a d i f f e r e n t i a b l e a r c a n d i f z ( t )

0 a n y w h e r e i n t h e

i n t e r v a l a < t < b , t h e n t h e u n i t t a n g e n t v e c t o r

T

z ' ( t )

I Z V )

i s w e l l d e f i n e d f o r a l l t i n t h a t o p e n i n t e r v a l , w i t h a n g l e o f i n c l i n a t i o n a r g z ' ( t ) .

A l s o , w h e n T t u r n s , i t d o e s s o c o n t i n u o u s l y a s t h e p a r a m e t e r t v a r i e s o v e r t h e e n t i r e

i n t e r v a l a < t < b . T h i s e x p r e s s i o n f o r T i s t h e o n e l e a r n e d i n c a l c u l u s w h e n z ( t ) i s

1 2 0 I N T E G R A L S

C H A P . 4

i n t e r p r e t e d a s a r a d i u s v e c t o r . S u c h a n a r c i s s a i d t o b e s m o o t h . I n r e f e r r i n g t o a s m o o t h

a r c z = z ( t ) ( a < t < b ) , t h e n , w e a g r e e t h a t t h e d e r i v a t i v e z ' ( t ) i s c o n t i n u o u s o n t h e

c l o s e d i n t e r v a l a < t < b a n d n o n z e r o o n t h e o p e n i n t e r v a l a < t < b .

A c o n t o u r , o r p i e c e w i s e s m o o t h a r c , i s a n a r c c o n s i s t i n g o f a f i n i t e n u m b e r o f

s m o o t h a r c s j o i n e d e n d t o e n d . H e n c e i f e q u a t i o n ( 2 ) r e p r e s e n t s a c o n t o u r , z ( t ) i s

c o n t i n u o u s , w h e r e a s i t s d e r i v a t i v e z ' ( t ) i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s . T h e p o l y g o n a l l i n e

( 4 ) i s , f o r e x a m p l e , a c o n t o u r . W h e n o n l y t h e i n i t i a l a n d f i n a l v a l u e s o f z ( t ) a r e t h e

s a m e , a c o n t o u r C i s c a l l e d a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r . E x a m p l e s a r e t h e c i r c l e s ( 5 ) a n d

( 6 ) , a s w e l l a s t h e b o u n d a r y o f a t r i a n g l e o r a r e c t a n g l e t a k e n i n a s p e c i f i c d i r e c t i o n .

T h e l e n g t h o f a c o n t o u r o r a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r i s t h e s u m o f t h e l e n g t h s o f t h e

s m o o t h a r c s t h a t m a k e u p t h e c o n t o u r .

T h e p o i n t s o n a n y s i m p l e c l o s e d c u r v e o r s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C a r e b o u n d a r y

p o i n t s o f t w o d i s t i n c t d o m a i n s , o n e o f w h i c h i s t h e i n t e r i o r o f C a n d i s b o u n d e d . T h e

o t h e r , w h i c h i s t h e e x t e r i o r o f C , i s u n b o u n d e d . I t w i l l b e c o n v e n i e n t t o a c c e p t t h i s

s t a t e m e n t , k n o w n a s t h e J o r d a n c u r v e t h e o r e m , a s g e o m e t r i c a l l y e v i d e n t ; t h e p r o o f i s

n o t e a s y . *

E X E R C I S E S

1 . S h o w t h a t i f w ( t ) - u

b

i v ( t ) i s c o n t i n u o u s o n a n i n t e r v a l a < t < b , t h e n

( b ) w ( t ) d t =

d r , w h e r e 0 ( r ) i s t h e f u n c t i o n i n e q u a t i o n ( 9 ) ,

S e c . 3 8 .

S u g g e s t i o n : T h e s e i d e n t i t i e s c a n b e o b t a i n e d b y n o t i n g t h a t t h e y a r e v a l i d f o r

r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t .

2 . L e t C d e n o t e t h e r i g h t - h a n d h a l f o f t h e c i r c l e I z I = 2 , i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n ,

a n d n o t e t h a t t w o p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n s f o r C a r e

0

a n d

z = Z ( y ) = 4 - y 2 + i y

( - 2 < y < 2 ) .

* S e e p p . I t 5 - 1 1 6 o f t h e b o o k b y N e w m a n o r S e c . 1 3 o f t h e o n e b y T h r o n , b o t h o f w h i c h a r e c i t e d i n

A p p e n d i x 1 . T h e s p e c i a l c a s e i n w h i c h C i s a s i m p l e c l o s e d p o l y g o n i s p r o v e d o n p p . 2 8 1 - 2 8 5 o f V o l .

1 o f t h e w o r k b y H i l l e , a l s o c i t e d i n A p p e n d i x 1 .

S E C . 3 8

V e r i f y t h a t Z ( y ) = z [ O ( y ) ] , w h e r e

( y ) = a r c t a n

y

- Z < a r c t a n

V 4 _

-

y z

E X E R C I S E S

1 2 1

A l s o , s h o w t h a t t h i s f u n c t i o n q 5 h a s a p o s i t i v e d e r i v a t i v e , a s r e q u i r e d i n t h e c o n d i t i o n s

f o l l o w i n g e q u a t i o n ( 9 ) , S e c . 3 8 .

3 . D e r i v e t h e e q u a t i o n o f t h e l i n e t h r o u g h t h e p o i n t s ( a , a ) a n d ( f 3 , b ) i n t h e r t p l a n e , s h o w n

i n F i g . 3 7 . T h e n u s e i t t o f i n d t h e l i n e a r f u n c t i o n 0 ( r ) w h i c h c a n b e u s e d i n e q u a t i o n ( 9 ) ,

S e c . ' 3 8 , t o t r a n s f o r m r e p r e s e n t a t i o n ( 2 ) i n t h a t s e c t i o n i n t o r e p r e s e n t a t i o n ( 1 0 ) t h e r e .

A n s . ¢ 5 ( r ) =

b - a r + a p - b a

0 - a

f l - a

4 . V e r i f y e x p r e s s i o n ( 1 4 ) , S e c . 3 8 , f o r t h e d e r i v a t i v e o f Z ( r ) = z [ O (

S u g g e s t i o n : W r i t e Z ( r ) = x [ 0 ( r ) ] + i y [ 0 ( r ) ] a n d a p p l y t h e c h a i n r u l e f o r r e a l -

v a l u e d f u n c t i o n s o f a r e a l v a r i a b l e .

5 . S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f ( z ) i s a n a l y t i c a t a p o i n t z a = z ( t o ) l y i n g o n a s m o o t h a r c

z = z ( t ) ( a < t < b ) . S h o w t h a t i f w ( t ) = f [ z ( t ) ] , t h e n

= . f ' [ z ( t ) ] z

w h e n t = t o ,

S u g g e s t i o n : W r i t e f (

+ i u ( x , y ) a n d z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) , s o t h a t

y ( t ) ] + i v [ x ( t ) , Y ( 0 1 -

T h e n a p p l y t h e c h a i n r u l e i n c a l c u l u s f o r f u n c t i o n s o f t w o r e a l v a r i a b l e s t o w r i t e

' + u y y ' ) + i ( v x x ' + V y y ' ) ,

a n d u s e t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s .

6 . L e t y ( x ) b e a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n d e f i n e d o n t h e i n t e r v a l 0 < x < I b y m e a n s o f t h e

e q u a t i o n s

y

r r )

w h e n 0 < x < 1 ,

X

w h e n x = 0 .

S h o w t h a t t h e e q u a t i o n

z = x + i y ( x )

( 0 < x < 1 )

r e p r e s e n t s a n a r e C t h a t i n t e r s e c t s t h e r e a l a x i s a t t h e p o i n t s z = 1 j n ( n = 1 , 2 ,

a n d z = 0 , a s s h o w n i n F i g . 3 8 .

( b ) V e r i f y t h a t t h e a r c C i n p a r t ( a ) i s , i n f a c t , a s m o o t h a r c .

S u g g e s t i o n : T o e s t a b l i s h t h e c o n t i n u i t y o f y ( x ) a t x = 0 , o b s e r v e t h a t

x 3 S i

1 2 2

I N T E G R A L S

C H A P . 4

0

w h e n x > 0 . A s i m i l a r r e m a r k a p p l i e s i n f i n d i n g y ' ( 0 ) a n d s h o w i n g t h a t y ' ( x ) i s

c o n t i n u o u s a t x = 0 .

3

2

C

F I G U R E 3 8

3 9 . C O N T O U R I N T E G R A L S

W e t u r n n o w t o i n t e g r a l s o f c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n s f o f t h e c o m p l e x v a r i a b l e z .

S u c h a n i n t e g r a l i s d e f i n e d i n t e r m s o f t h e v a l u e s f ( z ) a l o n g a g i v e n c o n t o u r C ,

e x t e n d i n g f r o m a p o i n t z = z t t o a p o i n t z = z 2 i n t h e c o m p l e x p l a n e . I t i s , t h e r e f o r e ,

a l i n e i n t e g r a l ; a n d i t s v a l u e d e p e n d s , i n g e n e r a l , o n t h e c o n t o u r C a s w e l l a s o n t h e

f u n c t i o n f . I t i s w r i t t e n

~ 2c f ( z ) d z

o r

J

f ( z ) d z ,

' 1

t h e l a t t e r n o t a t i o n o f t e n b e i n g u s e d w h e n t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l i s i n d e p e n d e n t o f

t h e c h o i c e o f t h e c o n t o u r t a k e n b e t w e e n t w o f i x e d e n d p o i n t s . W h i l e t h e i n t e g r a l m a y

b e d e f i n e d d i r e c t l y a s t h e l i m i t o f a s u m , w e c h o o s e t o d e f i n e i t i n t e r m s o f a d e f i n i t e

i n t e g r a l o f t h e t y p e i n t r o d u c e d i n S e c . 3 7 .

S u p p o s e t h a t t h e e q u a t i o n

( 1 )

z = z ( t )

( a < t < b )

r e p r e s e n t s a c o n t o u r C , e x t e n d i n g f r o m a p o i n t z l = z ( a ) t o a p o i n t z 2 = z ( b ) . L e t t h e

f u n c t i o n f ( z ) b e p i e c e w i s e c o n t i n u o u s o n C ; t h a t i s , f [ z ( t ) ] i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s

o n t h e i n t e r v a l a < t < b . W e d e f i n e t h e l i n e i n t e g r a l , o r c o n t o u r i n t e g r a l , o f f a l o n g

C a s f o l l o w s :

( 2 )

L :

f ( z ) d z = I f [ z ( t ) ] z ' ( t ) d t .

N o t e t h a t , s i n c e C i s a c o n t o u r , z ' ( t ) i s a l s o p i e c e w i s e c o n t i n u o u s o n t h e i n t e r v a l

a < t < b ; a n d s o t h e e x i s t e n c e o f i n t e g r a l ( 2 ) i s e n s u r e d .

T h e v a l u e o f a c o n t o u r i n t e g r a l i s i n v a r i a n t u n d e r a c h a n g e i n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f

i t s c o n t o u r w h e n t h e c h a n g e i s o f t h e t y p e ( 1 1 ) , S e c . 3 8 . T h i s c a n b e s e e n b y f o l l o w i n g

t h e s a m e g e n e r a l p r o c e d u r e t h a t w a s u s e d i n S e c . 3 8 t o s h o w t h e i n v a r i a n c e o f a r c

l e n g t h .

S E C . 3 9

C O N T O U R I N T E G R A L S

1 2 3

I t f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m d e f i n i t i o n ( 2 ) a n d p r o p e r t i e s o f i n t e g r a l s o f c o m p l e x -

v a l u e d f u n c t i o n s w ( t ) m e n t i o n e d i n S e c . 3 7 t h a t

( 3 )

I c z c f ( z ) d z = z e j c f ( z ) d z ,

f o r a n y c o m p l e x c o n s t a n t z e , a n d

g ( z ) d z .

4 )

/

[ f ( z ) + g ( z ) ] d z = / f ( z ) d z +

J

c

A s s o c i a t e d w i t h t h e c o n t o u r C u s e d i n i n t e g r a l ( 2 ) i s t h e c o n t o u r - C , c o n s i s t i n g o f

t h e s a m e s e t o f p o i n t s b u t w i t h t h e o r d e r r e v e r s e d s o t h a t t h e n e w c o n t o u r e x t e n d s f r o m

t h e p o i n t z 2 t o t h e p o i n t z t ( F i g . 3 9 ) . T h e c o n t o u r - C h a s p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

z = z ( - t )

( - b <

a n d s o , i n v i e w o f E x e r c i s e 1 ( a ) , S e c . 3 7 ,

f _ a

d z =

f [ z ( - t ) ]

d

z ( - t ) d t = -

f [ z ( - t ) ] z ' ( - t ) d t ,

-

,

`

b

d t

b

w h e r e z ' ( - t ) d e n o t e s t h e d e r i v a t i v e o f z ( t ) w i t h r e s p e c t t o t , e v a l u a t e d a t - t . M a k i n g

t h e s u b s t i t u t i o n r = - t i n t h i s l a s t i n t e g r a l a n d r e f e r r i n g t o E x e r c i s e l ( a ) , S e c . 3 8 , w e

o b t a i n t h e e x p r e s s i o n

z ) d z = - I

. f [ z ( r ) z ( r ) d r ,

w h i c h i s t h e s a m e a s

( 5 )

y

0

z ) d z = - I

f ( z ) d z .

C

X

F I G U R E 3 9

C o n s i d e r n o w a p a t h C , w i t h r e p r e s e n t a t i o n ( 1 ) , t h a t c o n s i s t s o f a c o n t o u r C t f r o m

z t t o z 2

f o l l o w e d b y a c o n t o u r C 2 f r o m z 2 t o z 3 , t h e i n i t i a l p o i n t o f C 2 b e i n g t h e f i n a l

p o i n t o f C l ( F i g . 4 0 ) . T h e r e i s a v a l u e c o f t , w h e r e a < c < b , s u c h t h a t z ( c ) = z 2 .



1 2 4

I N T E G R A L S

C H A P . 4

F I G U R E 4 0

C = C I + C 2

C o n s e q u e n t l y , C 1 i s r e p r e s e n t e d b y

z = z ( t )

a n d C 2 i s r e p r e s e n t e d b y

z = z ( t )

A l s o , b y a r u l e f o r i n t e g r a l s o f f u n c t i o n s w ( t ) t h a t w a s n o t e d i n S e c . 3 7 ,

I L

z ( t ) ] z ' ( t ) d t + J

f [ z ( t ) ] z ' ( t ) d t .

b

f [ z ( t ) ] z ' ( t ) d t =


( z ) d z = I

f ( z ) d z

C

C 1

J C 2

d z .

S o m e t i m e s t h e c o n t o u r C i s c a l l e d t h e s u m o f i t s l e g s C 1 a n d C 2 a n d i s d e n o t e d b y

C 1 + C 2 . T h e s u m o f t w o c o n t o u r s C 1 a n d - C 2 i s w e l l d e f i n e d w h e n C 1 a n d C 2 h a v e

t h e s a m e f i n a l p o i n t s , a n d i t i s w r i t t e n C 1 - C 2 .

D e f i n i t e i n t e g r a l s i n c a l c u l u s c a n b e i n t e r p r e t e d a s a r e a s , a n d t h e y h a v e o t h e r i n -

t e r p r e t a t i o n s a s w e l l . E x c e p t i n s p e c i a l c a s e s , n o c o r r e s p o n d i n g h e l p f u l i n t e r p r e t a t i o n ,

g e o m e t r i c o r p h y s i c a l , i s a v a i l a b l e f o r i n t e g r a l s i n t h e c o m p l e x p l a n e .

4 0 . E X A M P L E S

T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o p r o v i d e e x a m p l e s o f t h e d e f i n i t i o n i n S e c . 3 9 o f

c o n t o u r i n t e g r a l s a n d t o i l l u s t r a t e v a r i o u s p r o p e r t i e s t h a t w e r e m e n t i o n e d t h e r e . W e

d e f e r d e v e l o p m e n t o f t h e c o n c e p t o f a n t i d e r i v a t i v e s o f t h e i n t e g r a n d s f ( z ) i n c o n t o u r

i n t e g r a l s u n t i l S e c . 4 2 .

E X A M P L E 1 .

L e t u s f i n d t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l

( 1 )

I = I z d z

S E C . 4 0

F I G U R E 4 1

w h e n C i s t h e r i g h t - h a n d h a l f

E X A M P L E S 1 2 5

o f t h e c i r c l e I z i = 2 , f r o m z = - 2 i t o z = 2 i ( F i g . 4 1 ) , A c c o r d i n g t o d e f i n i t i o n ( 2 ) ,

S e c . 3 9 ,

d O ;

a n d , s i n c e

a n d

t h i s m e a n s t h a t

i e ` 8

2 x / 2

2 e - ` ' 2 i e r ' d O

= 4 i r d O

4 7 r i .

- 7 r / 2

a r / 2

N o t e t h a t w h e n a p o i n t z i s o n t h e c i r c l e 1 z I = 2 , i t f o l l o w s t h a t z z = 4 , o r

4 / z .

H e n c e t h e r e s u l t I = 4 7 r i c a n a l s o b e w r i t t e n

( 2 )

d z

S r i .

C z

E X A M P L E 2 .

I n t h i s e x a m p l e , w e f i r s t l e t C 1 d e n o t e t h e c o n t o u r O A B s h o w n i n F i g ,

4 2 a n d e v a l u a t e t h e i n t e g r a l

w h e r e

f c ,

O

f ( z ) d z = f

A A

f ( z ) d z +

f

8

f ( z ) d z ,

f ( z ) = y - x - 1 3 x 2 ( z = x + i y ) .

T h e l e g O A m a y b e r e p r e s e n t e d p a r a m e t r i c a l l y a s z = 0 + i y ( 0 < y < 1 ) ; a n d s i n c e

x = 0 a t p o i n t s o n t h a t l e g , t h e v a l u e s o f f t h e r e v a r y w i t h t h e p a r a m e t e r y a c c o r d i n g

1 2 6

I N T E G R A L S

F I G U R E 4 2

t o t h e e q u a t i o n f ( z ) = y ( 0 < y < 1 ) . C o n s e q u e n t l y ,

J O A f ( ` ) d z = J

y i d y = i

f y d y = Z .

O n t h e l e g A B , z = x + i ( 0 < x - < 1 ) ; a n d s o J

f ( z ) d z = I ( 1 - x - i 3 x ` ) . l d x = j ( 1 - x ) d x _

A B

J 0

I n v i e w o f e q u a t i o n ( 3 ) , w e n o w s e e t h a t

C H A P . 4

f ( z ) d z =

1

2

( 4 )

f c ,

I f C 2 d e n o t e s t h e s e g m e n t O B o f t h e l i n e y = x , w i t h p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

z = x + i x ( 0 < x < 1 ) ,

( 5 )

f f ( z ) d z = j - i 3 x 2 ( l + i ) d x = 3 ( 1 - i ) 1 x 2 d x

z

a

0

E v i d e n t l y , t h e n , t h e i n t e g r a l s o f f ( z ) a l o n g t h e t w o p a t h s C , a n d C 2 h a v e d i f f e r e n t

v a l u e s e v e n t h o u g h t h o s e p a t h s h a v e t h e s a m e i n i t i a l a n d t h e s a m e f i n a l p o i n t s .

O b s e r v e h o w i t f o l l o w s t h a t t h e i n t e g r a l o f f ( z ) o v e r t h e s i m p l e c l o s e d c o n t o u r

O A B O , o r C t - - C 2 . h a s t h e n o n z e r o v a l u e

f f ( z ) d z

,

z ) d z =

- 1 + i

2

E X A M P L E 3 .

W e b e g i n h e r e b y l e t t i n g C d e n o t e a n a r b i t r a r y s m o o t h a r c

z = z ( t )

( a < t < b )

f r o m a f i x e d p o i n t z l t o a f i x e d p o i n t z 2 ( F i g . 4 3 ) . I n o r d e r t o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l

j b

d z = 1

z ( t ) z ' ( t ) d t ,

S E C . 4 0

X

F I G U R E 4 3

w e n o t e t h a t , a c c o r d i n g t o E x e r c i s e l ( b ) , S e c . 3 7 ,

2

[ Z ( t ) ]

= z ( t ) z ' ( t )

d t

2

T h u s

E X A M P L E S 1 2 7

B u t z ( b ) = z 2 a n d z ( a ) = z 1 ; a n d s o I = ( z 2 - z i ) / 2 . I n a s m u c h a s t h e v a l u e o f I

d e p e n d s o n l y o n t h e e n d p o i n t s o f C , a n d i s o t h e r w i s e i n d e p e n d e n t o f t h e a r c t h a t

i s t a k e n , w e m a y w r i t e

( 6 )

z 2

2

2

z d z -

Z 2

2 1

2

( C o m p a r e E x a m p l e 2 , w h e r e t h e v a l u e o f a n i n t e g r a l f r o m o n e f i x e d p o i n t t o a n o t h e r

d e p e n d e d o n t h e p a t h t h a t w a s t a k e n . )

E x p r e s s i o n ( 6 ) i s a l s o v a l i d w h e n C i s a c o n t o u r t h a t i s n o t n e c e s s a r i l y s m o o t h

s i n c e a c o n t o u r c o n s i s t s o f a f i n i t e n u m b e r o f s m o o t h a r c s C k ( k = 1 , 2 , . . . , n ) , j o i n e d

e n d t o e n d . M o r e p r e c i s e l y , s u p p o s e t h a t e a c h C k e x t e n d s f r o m Z k t o z k + 1 . T h e n

( 7 )

f

(

z d z =

r

z d z =

1 k _

l 1

C k

-

2

2

z i b e i n g t h e i n i t i a l p o i n t o f C a n d z n + 1 i t s f i n a l p o i n t .

I t f o l l o w s f r o m e x p r e s s i o n ( 7 ) t h a t t h e i n t e g r a l o f t h e f u n c t i o n f ( z ) = z a r o u n d

e a c h c l o s e d c o n t o u r i n t h e p l a n e h a s v a l u e z e r o . ( O n c e a g a i n , c o m p a r e E x a m p l e 2 ,

w h e r e t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o f a g i v e n f u n c t i o n a r o u n d a c e r t a i n c l o s e d p a t h w a s n o t

z e r o . ) T h e q u e s t i o n o f p r e d i c t i n g w h e n a n i n t e g r a l a r o u n d a c l o s e d c o n t o u r h a s v a l u e

z e r o w i l l b e d i s c u s s e d i n S e c s . 4 2 , 4 4 , a n d 4 6 .

E X A M P L E 4 .

L e t C d e n o t e t h e s e m i c i r c u l a r p a t h

z = 3 e ` d

( Q < B < r r )

1 2 8 I N T E G R A L S

C H A P . 4

F I G U R E 4 4

f r o m t h e p o i n t z = 3 t o t h e p o i n t z = - 3 ( F i g . 4 4 ) . A l t h o u g h t h e b r a n c h ( S e c . 3 0 )

( 8 )

f ( z ) = / e ° ' 2

( r > 0 , 0 < 8 < 2 7 r )

o f t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n z

1 / 2

i s n o t d e f i n e d a t t h e i n i t i a l p o i n t z = 3 o f t h e c o n t o u r

C , t h e i n t e g r a l

/ 2 d z

o f t h a t b r a n c h n e v e r t h e l e s s e x i s t s . F o r t h e i n t e g r a n d i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s o n C . T o

s e e t h a t t h i s i s s o , w e o b s e r v e t h a t w h e n z ( O ) = 3 e i e , t h e r i g h t - h a n d l i m i t s o f t h e r e a l

a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s o f t h e f u n c t i o n

f [ z ( 8 ) ] = V 3 e i 1 / 2 = J c o s 2 + i J s i n

( 0 <

a t 8 = 0 a r e a n d 0 , r e s p e c t i v e l y . H e n c e f [ z ( 8 ) ] i s c o n t i n u o u s o n t h e c l o s e d i n t e r v a l

0 < 0 < n w h e n i t s v a l u e a t 0 = 0 i s d e f i n e d a s

. C o n s e q u e n t l y ,

J o

,i 3 0 / 2

d 8 =

2

e i 3 0 / 2

3 i

I = - 2 v ( l + i ) .

(

F o r t h e f u n c t i o n s f a n d c o n t o u r s C i n E x e r c i s e s I t h r o u g h 6 , u s e p a r a m e t r i c

r e p r e s e n t a t i o n s f o r C , o r l e g s o f C , t o e v a l u a t e

f ( z ) d z .

C

S E C . 4 0

E X E R C I S E S

1 2 9

1 . f ( z ) = ( z + 2 ) / z a n d C i s

( a ) t h e s e m i c i r c l e z = 2 e ` O ( 0 < 0 < 7 r ) ;

( b ) t h e s e m i c i r c l e z = 2 e ` $ ( r < 6 < 2 i r ) ;

( c ) t h e c i r c l e z = 2 e i ° ( 0 < 0 < 2 i r ) .

A n s . ( a ) - 4 + 2 i r i ;

( b ) 4 + 2 i r i ;

( c ) 4 . i r i .

2 . f ( z ) = z - l a n d C i s t h e a r c f r o m z = 0 t o z = 2 c o n s i s t i n g o f

( a ) t h e s e m i c i r c l e z = 1 + e ' O ( 7 r < 0 < 2 7 r ) ;

( b ) t h e s e g m e n t 0 < x < 2 o f t h e r e a l a x i s .

A n s . ( a ) 0 ;

( b ) 0 .

3 . f ( z ) = 7 e x p ( 7 r z ) a n d C i s t h e b o u n d a r y o f t h e s q u a r e w i t h v e r t i c e s a t t h e p o i n t s 0 , 1 ,

I + i , a n d i , t h e o r i e n t a t i o n o f C b e i n g i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n .

A n s . 4 ( e ' - 1 ) .

4 . f ( z ) i s d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n s

f ( z ) =

a n d C i s t h e a r e f r o m z = - 1 - i t o z = 1 + i a l o n g t h e c u r v e y = x ' .

A n s . 2 + 3 i .

5 . f ( z ) = 1 a n d C i s a n a r b i t r a r y c o n t o u r f r o m a n y f i x e d p o i n t z I t o a n y f i x e d p a i n

t h e p l a n e .

A n s , z 2 - z I .

6 . f ( z ) i s t h e b r a n c h

1

w h e n y < 0 ,

4 y

w h e n y > 0 ,

= e x p [ ( - 1 + i ) l o g z ]

( I z I > 0 , 0 < a r g z < 2 r r )

o f t h e i n d i c a t e d p o w e r f u n c t i o n , a n d C i s t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d u n i t c i r c l e I z I =

A n s . i ( 1 - e -

7 . W i t h t h e a i d o f t h e r e s u l t i n E x e r c i s e 3 , S e c . 3 7 , e v a l u a t e t h e i n t e g r a l

L .

Z m

n d z ,

z , I n

w h e r e m a n d n a r e i n t e g e r s a n d C i s t h e u n i t c i r c l e ( z I = 1 , t a k e n c o u n t e r c l o c k w i s e .

8 . E v a l u a t e t h e i n t e g r a l I i n E x a m p l e 1 , S e c . 4 0 , u s i n g t h i s r e p r e s e n t a t i o n f o r C :

z = 4 - y 2 + i y

( S e e E x e r c i s e 2 , S e c . 3 8 . )

9 . L e t C a n d C O d e n o t e t h e c i r c l e s

( - 2 < y < 2 ) .

z = R e ` s ( 0 < 0 < 2 7 r )

a n d z = z o + R e " ' ( 0 < 6 < 2 r r ) ,

1 3 0

I N T E G R A L S

r e s p e c t i v e l y . U s e t h e s e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n s t o s h o w t h a t

J

f ( z ) d z = f f ( z

- z o ) d z

C

n

C H A P . 4

w h e n f i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s o n C .

1 0 . L e t C o d e n o t e t h e c i r c l e I z - z o l = R , t a k e n c o u n t e r c l o c k w i s e . U s e t h e p a r a m e t r i c

r e p r e s e n t a t i o n z = z o + R e ` o ( - 7 r < 0 < , r ) f o r C o t o d e r i v e t h e f o l l o w i n g i n t e g r a t i o n

f o r m u l a s :

d z

n 1 d z = 0

n = f 1 , ± 2 , . .

c o z - z o

c o

1 1 . U s e t h e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n i n E x e r c i s e 1 0 f o r t h e o r i e n t e d c i r c l e C o t h e r e t o s h o w

t h a t

' c o

2 A

( z - z o ) a - 1 d z = i

s i n ( a

a

w h e r e a i s a n y r e a l n u m b e r o t h e r t h a n z e r o a n d w h e r e t h e p r i n c i p a l b r a n c h o f t h e i n t e g r a n d

a n d t h e p r i n c i p a l v a l u e o f R a a r e t a k e n . [ N o t e h o w t h i s g e n e r a l i z e s E x e r c i s e 1 0 ( b ) . ]

1 2 . ( a ) S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f ( z ) i s c o n t i n u o u s o n a s m o o t h a r e C , w h i c h h a s a p a r a m e t r i c

r e p r e s e n t a t i o n z = z ( t ) ( a < t < b ) ; t h a t i s , f [ z ( t ) ] i s c o n t i n u o u s o n t h e i n t e r v a l

a < t < b . S h o w t h a t i f 0 ( r ) ( a < r < f l ) i s t h e f u n c t i o n d e s c r i b e d i n S e c . 3 8 , t h e n

f

( b

B

J

f [ z ( t ) ] z ' ( t ) d t =

f f [ Z ( r ) ] Z ' ( r ) d r ,

a

a

w h e r e Z ( r ) z [ O ( r ) ] .

( b ) P o i n t o u t h o w i t f o l l o w s t h a t t h e i d e n t i t y o b t a i n e d i n p a r t ( a ) r e m a i n s v a l i d w h e n C

i s a n y c o n t o u r , n o t n e c e s s a r i l y a s m o o t h o n e , a n d f ( z ) i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s o n

C . T h u s s h o w t h a t t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o f f ( z ) a l o n g C i s t h e s a m e w h e n t h e

r e p r e s e n t a t i o n z = Z ( r ) ( a < r < f i ) i s u s e d , i n s t e a d o f t h e o r i g i n a l o n e .

S u g g e s t i o n : I n p a r t ( a ) , u s e t h e r e s u l t i n E x e r c i s e 1 ( b ) , S e c . 3 8 , a n d t h e n r e f e r

t o e x p r e s s i o n ( 1 4 ) i n t h a t s e c t i o n .

4 1 . U P P E R B O U N D S F O R M O D U L I

O F C O N T O U R I N T E G R A L S

W h e n C d e n o t e s a c o n t o u r z = z ( t ) ( a < t < b ) , w e k n o w f r o m d e f i n i t i o n ( 2 ) , S e c . 3 9 ,

a n d i n e q u a l i t y ( 5 ) i n S e c . 3 7 t h a t

f c

f ( z ) d z

f [ z ( t ) ] z ' ( t ) d t

. f [ z ( t ) ] I j z ' ( t )

d t .

S o , f o r a n y n o n n e g a t i v e c o n s t a n t M s u c h t h a t t h e v a l u e s o f f o n C s a t i s f y t h e i n e q u a l i t y

I f ( Z ) I < M .

f c f ( z ) d z

S E C . 4 1

U P P E R B O U N D S F O R M O D U L I O F C O N T O U R I N T E G R A L S

1 3 1

S i n c e t h e i n t e g r a l o n t h e r i g h t h e r e r e p r e s e n t s t h e l e n g t h L o f t h e c o n t o u r ( s e e S e c . 3 8 ) ,

i t f o l l o w s t h a t t h e m o d u l u s o f t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o f f a l o n g C d o e s n o t e x c e e d

M L :

( z ) d z

< M L .

T h i s i s , o f c o u r s e , a s t r i c t i n e q u a l i t y w h e n t h e v a l u e s o f f o n C a r e s u c h t h a t

I f ( z ) I < M .

N o t e t h a t s i n c e a l l o f t h e p a t h s o f i n t e g r a t i o n t o b e c o n s i d e r e d h e r e a r e c o n t o u r s

a n d t h e i n t e g r a n d s a r e p i e c e w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s d e f i n e d o n t h o s e c o n t o u r s , a

n u m b e r M s u c h a s t h e o n e a p p e a r i n g i n i n e q u a l i t y ( 1 ) w i l l a l w a y s e x i s t . T h i s i s

b e c a u s e t h e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n I f [ z ( t ) ] I i s c o n t i n u o u s o n t h e c l o s e d b o u n d e d i n t e r v a l

a < t < b w h e n f i s c o n t i n u o u s o n C ; a n d

s u c h a f u n c t i o n a l w a y s r e a c h e s a m a x i m u m

v a l u e M o n t h a t i n t e r v a l . * H e n c e I f ( z ) I

h a s a m a x i m u m v a l u e o n C w h e n f i s

c o n t i n u o u s o n i t . I t n o w f o l l o w s i m m e d i a t e l y t h a t t h e s a m e i s t r u e w h e n f i s p i e c e w i s e

c o n t i n u o u s o n C .

E X A M P L E 1 .

L e t C b e t h e a r c o f t h e c i r c l e I z I = 2 f r o m z = 2 t o z = 2 i t h a t l i e s i n

t h e f i r s t q u a d r a n t ( F i g . 4 5 ) . I n e q u a l i t y ( 1 ) c a n b e u s e d t o s h o w t h a t

( 2 )

T h i s i s d o n e b y n o t i n g f i r s t t h a t i f z i s a p o i n t o n C , s o t h a t I z I = 2 , t h e n

I z + 4 1

I z I + 4 = 6

a n d

1 z 3

F I G U R E 4 5

1

* S e e , f o r i n s t a n c e A . E . T a y l o r a n d W . R . M a n n , " A d v a n c e d C a l c u l u s , " 3 d e d . , p p . 8 6 - 9 0 , 1 9 8 3 .

1 3 2 I N T E G R A L S

T h u s , w h e n z l i e s o n C ,

z + 4

Z 3 - 1

C H A P . 4

W r i t i n g M = 6 / 7 a n d o b s e r v i n g t h a t L = n i s t h e l e n g t h o f C , w e m a y n o w u s e

i n e q u a l i t y ( 1 ) t o o b t a i n i n e q u a l i t y ( 2 ) .

E X A M P L E 2 .

H e r e C R i s t h e s e m i c i r c u l a r p a t h

z = R e

' ° ( O < O < r ) ,

a n d z

1 1 2

d e n o t e s t h e b r a n c h

z z 1 / 2 = , I r - e

2

( r > 0 , - 2 < 0

o f t h e s q u a r e r o o t f u n c t i o n . ( S e e F i g . 4 6 . ) W i t h o u t a c t u a l l y f i n d i n g t h e v a l u e o f t h e

i n t e g r a l , o n e c a n e a s i l y s h o w t h a t

Z 1 / 2

( 3 )

l i m

I

d z = O .

R - > o o

F o r , w h e n I z l = R > 1 ,

I z ' 1 2 1 = 1 , R e i 0 1 2

a n d

I I z 2 1 - 1 1 = R 2 - 1 .

C o n s e q u e n t l y , a t p o i n t s o n C R ,

z 1 / 2 V - R

M R w h e r e M R =

z 2 + 1

R 2 - 1

F I G U R E 4 6

S E C . 4 1

E X E R C I S E S

1 3 3

S i n c e t h e l e n g t h o f C R i s t h e n u m b e r L = 7 r R ,

B u t

' 0 1 1 0

s f r o m i n e q u a l i t y ( 1 ) t h a t

1 / R 2 _ 7 / , / - R

R 2 - 1

1 / R 2 - 1 - ( 1 / R 2 ) '

a n d i t i s c l e a r t h a t t h e t e r m o n t h e f a r r i g h t h e r e t e n d s t o z e r o a s R t e n d s t o i n f i n i t y .

L i m i t ( 3 ) i s , t h e r e f o r e , e s t a b l i s h e d .

E X E R C I S E S

1 . W i t h o u t e v a l u a t i n g t h e i n t e g r a l , s h o w t h a t

d z

2 - 1

I T

_ 3

w h e n C i s t h e s a m e a r c a s t h e o n e i n E x a m p l e 1 , S e c . 4 1 .

2 . L e t C d e n o t e t h e l i n e s e g m e n t f r o m z = i t o z = 1 . B y o b s e r v i n g t h a t , o f a l l t h e p o i n t s

o n t h a t l i n e s e g m e n t , t h e m i d p o i n t i s t h e c l o s e s t t o t h e o r i g i n , s h o w t h a t

w i t h o u t e v a l u a t i n g t h e i n t e g r a l .

3 . S h o w t h a t i f C i s t h e b o u n d a r y o f t h e t r i a n g l e w i t h v e r t i c e s a t t h e p o i n t s 0 , 3 i , a n d -

o r i e n t e d i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n ( s e e F i g . 4 7 ) , t h e n

f c

- z ) d z

F I G U R E 4 7

< 6 0 .

1 3 4

I N T E G R A L S

C H A P . 4

4 . L e t C R d e n o t e t h e u p p e r h a l f o f t h e c i r c l e I z I

= R ( R > 2 ) , t a k e n i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e

d i r e c t i o n . S h o w t h a t

f

2 z 2 - 1

d

r r R ( 2 R 2 + 1 )

z

R z 4 + 5 z 2 + 4

( R 2

-

1 ) ( R 2

T h e n , b y d i v i d i n g t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r o n t h e r i g h t h e r e b y R 4 , s h o w t h a t t h e

v a l u e o f t h e i n t e g r a l t e n d s t o z e r o a s R t e n d s t o i n f i n i t y .

5 . L e t C R b e t h e c i r c l e I z I = R ( R > 1 ) , d e s c r i b e d i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n . S h o w

t h a t

L o g z

d z

f

R

Z 2

< 2 a r

a n d t h e n u s e l ' H o s p i t a l ' s r u l e t o s h o w t h a t t h e v a l u e o f t h i s i n t e g r a l t e n d s t o z e r o a s R

t e n d s t o i n f i n i t y .

6 . L e t C p d e n o t e t h e c i r c l e I z I = p ( 0 < p < 1 ) , o r i e n t e d i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n ,

a n d s u p p o s e t h a t f ( z ) i s a n a l y t i c i n t h e d i s k I z I

1 . S h o w t h a t i f z - 1 / 2 r e p r e s e n t s a n y

p a r t i c u l a r b r a n c h o f t h a t p o w e r o f z , t h e n t h e r e i s a n o n n e g a t i v e c o n s t a n t M , i n d e p e n d e n t

o f p , s u c h t h a t

Z - 1 1 2 f

( Z )

C

d z

< 2 7 r M

T h u s s h o w t h a t t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l h e r e a p p r o a c h e s 0 a s p t e n d s t o 0 .

S u g g e s t i o n : N o t e t h a t s i n c e f ( z ) i s a n a l y t i c , a n d t h e r e f o r e c o n t i n u o u s , t h r o u g h o u t

t h e d i s k I z I < 1 , i t i s b o u n d e d t h e r e ( S e c . 1 7 ) .

7 . L e t C N d e n o t e t h e b o u n d a r y o f t h e s q u a r e f o r m e d b y t h e l i n e s

w h e r e N i s a p o s i t i v e i n t e g e r , a n d l e t t h e o r i e n t a t i o n o f C N b e c o u n t e r c l o c k w i s e .

( a ) W i t h t h e a i d o f t h e i n e q u a l i t i e s

I s i n z j > _ I s i n x I

a n d I s i n z l > _ I s i n h y 1 ,

o b t a i n e d i n E x e r c i s e s 1 0 ( a ) a n d 1 1 ( a ) o f S e c . 3 3 , s h o w t h a t I s i n z I > _ 1 o n t h e v e r t i c a l

s i d e s o f t h e s q u a r e a n d t h a t I s i n z I > s i n h ( 7 r / 2 ) o n t h e h o r i z o n t a l s i d e s . T h u s s h o w

t h a t t h e r e i s a p o s i t i v e c o n s t a n t A , i n d e p e n d e n t o f N , s u c h t h a t

I s i n z I ? A f o r a l l

p o i n t s z l y i n g o n t h e c o n t o u r C N .

( b ) U s i n g t h e f i n a l r e s u l t i n p a r t ( a ) , s h o w t h a t

d z

z 2 s i n z

1 6

( 2 N + 1 ) a r A

a n d h e n c e t h a t t h e v a l u e o f t h i s i n t e g r a l t e n d s t o z e r o a s N t e n d s t o i n f i n i t y .

S E C . 4 2

A N T I D E R I V A T I V E S

1 3 5

4 2 . A N T I D E R I V A T I V E S

A l t h o u g h t h e v a l u e o f a c o n t o u r i n t e g r a l o f a f u n c t i o n f ( z ) f r o m a f i x e d p o i n t z t t o a

f i x e d p o i n t z 2 d e p e n d s , i n g e n e r a l , o n t h e p a t h t h a t i s t a k e n , t h e r e a r e c e r t a i n f u n c t i o n s

w h o s e i n t e g r a l s f r o m z , t o z 2 h a v e v a l u e s t h a t a r e i n d e p e n d e n t o f p a t h . ( C o m p a r e

E x a m p l e s 2 a n d 3 i n S e c . 4 0 . ) T h e e x a m p l e s j u s t c i t e d a l s o i l l u s t r a t e t h e f a c t t h a t

t h e v a l u e s o f i n t e g r a l s a r o u n d c l o s e d p a t h s a r e s o m e t i m e s , b u t n o t a l w a y s , z e r o . T h e

t h e o r e m b e l o w i s u s e f u l i n d e t e r m i n i n g w h e n i n t e g r a t i o n i s i n d e p e n d e n t o f p a t h a n d ,

m o r e o v e r , w h e n a n i n t e g r a l a r o u n d a c l o s e d p a t h h a s v a l u e z e r o .

I n p r o v i n g t h e t h e o r e m , w e s h a l l d i s c o v e r a n e x t e n s i o n o f t h e f u n d a m e n t a l t h e o -

r e m o f c a l c u l u s t h a t s i m p l i f i e s t h e e v a l u a t i o n o f m a n y c o n t o u r i n t e g r a l s . T h a t e x t e n s i o n

i n v o l v e s t h e c o n c e p t o f a n a n t i d e r i v a t i v e o f a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f i n a d o m a i n D ,

o r a f u n c t i o n F s u c h t h a t F ' ( z ) = f ( z ) f o r a l l z i n D . N o t e t h a t a n a n t i d e r i v a t i v e i s , o f

n e c e s s i t y , a n a n a l y t i c f u n c t i o n . N o t e , t o o , t h a t a n a n t i d e r i v a t i v e o f a g i v e n f u n c t i o n f

i s u n i q u e e x c e p t f o r a n a d d i t i v e c o m p l e x c o n s t a n t . T h i s i s b e c a u s e t h e d e r i v a t i v e o f t h e

d i f f e r e n c e F ( z ) - G ( z ) o f a n y t w o s u c h a n t i d e r i v a t i v e s F ( z ) a n d G ( z ) i s z e r o ; a n d ,

a c c o r d i n g t o t h e t h e o r e m i n S e c . 2 3 , a n a n a l y t i c f u n c t i o n i s c o n s t a n t i n a d o m a i n D

w h e n i t s d e r i v a t i v e i s z e r o t h r o u g h o u t D .

T h e o r e m .

S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f ( z ) i s c o n t i n u o u s o n a d o m a i n D . I f a n y o n e o f

t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s i s t r u e , t h e n s o a r e t h e o t h e r s :

( i ) f ( z ) h a s a n a n t i d e r i v a t i v e F ( z ) i n D ;

( i i ) t h e i n t e g r a l s o f f ( z ) a l o n g c o n t o u r s l y i n g e n t i r e l y i n D a n d e x t e n d i n g f r o m a n y

f i x e d p o i n t z i t o a n y f i x e d p o i n t z 2 a l l h a v e t h e s a m e v a l u e ;

t h e i n t e g r a l s o f f ( z ) a r o u n d c l o s e d c o n t o u r s l y i n g e n t i r e l y i n D a l l h a v e v a l u e

z e r o .

I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t t h e t h e o r e m d o e s n o t c l a i m t h a t a n y o f t h e s e

s t a t e m e n t s i s t r u e f o r a g i v e n f u n c t i o n f a n d a g i v e n d o m a i n D . I t s a y s o n l y t h a t

a l l o f t h e m a r e t r u e o r t h a t n o n e o f t h e m i s t r u e . T o p r o v e t h e t h e o r e m , i t i s s u f f i c i e n t

t o s h o w t h a t s t a t e m e n t ( i ) i m p l i e s s t a t e m e n t ( i i ) , t h a t s t a t e m e n t ( i i ) i m p l i e s s t a t e m e n t

( i i i ) , a n d f i n a l l y t h a t s t a t e m e n t ( i i i ) i m p l i e s s t a t e m e n t ( i ) .

L e t u s a s s u m e t h a t s t a t e m e n t ( i ) i s t r u e . I f a c o n t o u r C f r o m z t t o z 2 , l y i n g i n D , i s

j u s t a s m o o t h a r c , w i t h p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n z = z ( t ) ( a < t < b ) , w e k n o w f r o m

E x e r c i s e 5 , S e c . 3 8 , t h a t

d t

F [ z ( t ) ] = F ' [ z ( t ) ] z ' ( t ) = f [ z ( t ) ] z ' ( t )

B e c a u s e t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f c a l c u l u s c a n b e e x t e n d e d s o a s t o a p p l y t o

c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n s o f a r e a l v a r i a b l e ( S e c . 3 7 ) , i t f o l l o w s t h a t .

d z = E

f [ z ( t ) ] z ' ( t ) d t = F [ z ( t ) ]

= F [ z ( b ) ] - F [ z ( a ) ] .

a



1 3 6

I N T E G R A L S

C H A P . 4

S i n c e z ( b ) = z 2 a n d z ( a ) = z 1 , t h e v a l u e o f t h i s c o n t o u r i n t e g r a l i s , t h e n ,

F ( z 2 ) - F ( z t ) ;

a n d t h a t v a l u e i s e v i d e n t l y i n d e p e n d e n t o f t h e c o n t o u r C

a s l o n g a s C e x t e n d s f r o m

t o z 2 a n d l i e s e n t i r e l y i n D . T h a t i s ,

( 1 )

( z a

' J ( f ( z ) d z = F { z 2 } - F { z l } = F ( z )

w h e n C i s s m o o t h . E x p r e s s i o n ( 1 ) i s a l s o v a l i d w h e n C i s

a n y c o n t o u r , n o t n e c e s s a r i l y

a s m o o t h o n e , t h a t l i e s i n D . F o r , i f C c o n s i s t s o f a f i n i t e n u m b e r o f s m o o t h a r c s

C k ( k = 1 , 2 ,

. . . ,

n ) , e a c h C k e x t e n d i n g f r o m a p o i n t

Z k t o a p o i n t Z k + 1 , t h e n

( z ) d z = L / _ f ( z ) d z = >

,

[ F ( z k + t )

- F ( z k ) ] = F ( z n + t ) - F ( z l ) .

( C o m p a r e E x a m p l e 3 , S e c . 4 0 . ) T h e f a c t t h a t s t a t e m e n t ( i i ) f o l l o w s f r o m

s t a t e m e n t ( i )

i s n o w e s t a b l i s h e d .

T o s e e t h a t s t a t e m e n t ( i i ) i m p l i e s s t a t e m e n t ( i i i ) ,

w e l e t z l a n d z 2 d e n o t e a n y t w o

p o i n t s o n a c l o s e d c o n t o u r C l y i n g i n D a n d f o r m t w o p a t h s , e a c h w i t h i n i t i a l

p o i n t

z t a n d f i n a l p o i n t z 2 , s u c h t h a t C = C t - C 2 ( F i g . 4 8 ) . A s s u m i n g t h a t s t a t e m e n t ( i i ) i s

t r u e , o n e c a n w r i t e

( 2 )

o r

( 3 )

I C

z ) d z = I f ( z ) d z ,

C

f c .

f ( z ) d z + j

f ( z ) d z =

J c 2

T h a t i s , t h e i n t e g r a l o f f { z } a r o u n d t h e c l o s e d c o n t o u r C

= C t - C 2 h a s v a l u e z e r o .

I t r e m a i n s t o s h o w t h a t s t a t e m e n t ( i i i ) i m p l i e s s t a t e m e n t ( i ) . W e

d o t h i s b y

a s s u m i n g t h a t s t a t e m e n t ( i i i ) i s t r u e , e s t a b l i s h i n g t h e v a l i d i t y o f

s t a t e m e n t ( i i ) , a n d

t h e n a r r i v i n g a t s t a t e m e n t ( i ) . T o s e e t h a t s t a t e m e n t ( i i ) i s t r u e ,

w e l e t C I a n d C 2 d e n o t e

a n y t w o c o n t o u r s , l y i n g i n D , f r o m a p o i n t z t t o a p o i n t z 2 a n d o b s e r v e t h a t , i n v i e w o f

S E C . 4 2

A N T I D E R I V A T I V E S

1 3 7

s t a t e m e n t ( i i i ) , e q u a t i o n ( 3 ) h o l d s ( s e e F i g . 4 8 ) . T h u s e q u a t i o n ( 2 ) h o l d s . I n t e g r a t i o n

i s , t h e r e f o r e , i n d e p e n d e n t o f p a t h i n D ; a n d w e c a n d e f i n e t h e f u n c t i o n

F ( z ) = I

f ( s ) d s

z O

o n D . T h e p r o o f o f t h e t h e o r e m i s c o m p l e t e o n c e w e s h o w

t h a t F ( z ) = f ( z ) e v e r y -

w h e r e i n D . W e d o t h i s b y l e t t i n g z + A z b e a n y p o i n t , d i s t i n c t f r o m z , l y i n g i n s o m e

n e i g h b o r h o o d o f z t h a t i s s m a l l e n o u g h t o b e c o n t a i n e d i n D . T h e n

z + A z

r z

r z - t a z

F ( z + © z ) - F ( z ) = 1

. f ( s ) d s

Z O

f ( s ) d s ,

w h e r e t h e p a t h o f i n t e g r a t i o n f r o m z t o z + A z m a y b e s e l e c t e d a s a l i n e s e g m e n t ( F i g .

4 9 ) . S i n c e

f z

z + A z

( s e e E x e r c i s e 5 , S e c . 4 0 ) , w e c a n w r i t e

1

z + A z

f ( z ) =

a z

f ( z ) d s ;

a n d i t f o l l o w s t h a t

F ( z + A z ) - F ( z )

f

_

1

A z -

( z )

A z

f ( z ) ] d s .

B u t f i s c o n t i n u o u s a t t h e p o i n t z . H e n c e , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r E , a p o s i t i v e n u m b e r

8 e x i s t s s u c h t h a t

f ( z ) I < c w h e n e v e r I s - z I < 8 .

C o n s e q u e n t l y , i f t h e p o i n t z + A z i s c l o s e e n o u g h t o z s o t h a t I A z I < 8 , t h e n

F ( z + A z ) - F ( z )

A z

1 3 8

I N T E G R A L S

C H A P . 4

t h a t i s ,

o r F ' ( z ) = f ( z ) .

4 3 . E X A M P L E S

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e s i l l u s t r a t e t h e t h e o r e m i n S e c . 4 2 a n d , i n p a r t i c u l a r , t h e

u s e o f

t h e e x t e n s i o n ( 1 ) o f t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f c a l c u l u s i n t h a t s e c t i o n .

E X A M P L E 1 .

T h e c o n t i n u o u s f u n c t i o n f ( z ) = z 2 h a s a n a n t i d e r i v a t i v e F ( z )

= z 3 / 3

t h r o u g h o u t t h e p l a n e . H e n c e

I , .

1 + i

f o r e v e r y c o n t o u r f r o m z = 0 t o z

=

E X A M P L E 2 .

T h e f u n c t i o n f ( z ) = 1 / Z 2 , w h i c h i s c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e

e x c e p t

a t t h e o r i g i n , h a s a n a n t i d e r i v a t i v e F ( z ) = - 1 / z i n t h e d o m a i n I z

> 0 , c o n s i s t i n g o f

t h e e n t i r e p l a n e w i t h t h e o r i g i n d e l e t e d . C o n s e q u e n t l y ,

d z

c Z 2

w h e n C i s t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e ( F i g . 5 0 )

( 1 )

z = 2 e

I I I

( - a r < 0 < , r

a b o u t t h e o r i g i n .

N o t e t h a t t h e i n t e g r a l o f t h e f u n c t i o n f ( z )

= 1 / z a r o u n d t h e s a m e c i r c l e c a n n o t

b e e v a l u a t e d i n a s i m i l a r w a y . F o r , a l t h o u g h t h e d e r i v a t i v e o f

a n y b r a n c h F ( z ) o f l o g z

F I G U R E 5 0

S E C . 4 3

E X A M P L E S

1 3 9

i s 1 / z ( S e c . 3 0 ) , F ( z ) i s n o t d i f f e r e n t i a b l e , o r e v e n d e f i n e d , a l o n g i t s b r a n c h c u t . I n

p a r t i c u l a r , i f a r a y 0 = a f r o m t h e o r i g i n i s u s e d t o f o r m t h e b r a n c h c u t , F ( z ) f a i l s t o

e x i s t a t t h e p o i n t w h e r e t h a t r a y i n t e r s e c t s t h e c i r c l e C ( s e e F i g . 5 0 ) . S o C d o e s n o t

l i e i n a d o m a i n t h r o u g h o u t w h i c h F ( z ) = l / z , a n d w e c a n n o t m a k e d i r e c t u s e o f a n

a n t i d e r i v a t i v e . E x a m p l e 3 , j u s t b e l o w , i l l u s t r a t e s h o w a c o m b i n a t i o n o f t w o d i f f e r e n t

a n t i d e r i v a t i v e s c a n b e u s e d t o e v a l u a t e f ( z ) = l / z a r o u n d C .

E X A M P L E 3 .

L e t C 1 d e n o t e t h e r i g h t h a l f

( 2 )

z = 2

o f t h e c i r c l e C i n E x a m p l e 2 . T h e p r i n c i p a l b r a n c h

L o g z = I n r + K )

( r > 0 , - 7 r < 0 < 7 r )

o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n s e r v e s a s a n a n t i d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n 1 / z i n t h e

e v a l u a t i o n o f t h e i n t e g r a l o f 1 / z a l o n g C i ( F i g . 5 1 ) :

d z

2 1

d z

2 1

- = I - = L o g

z i

= L o g ( 2 i

C I Z

J

2 i

Z

_ 2 i

L o g ( - 2 i )

T h i s i n t e g r a l w a s e v a l u a t e d i n a n o t h e r w a y i n E x a m p l e 1 , S e c . 4 0 , w h e r e r e p r e s e n t a t i o n

( 2 ) f o r t h e s e m i c i r c l e w a s u s e d .

F I G U R E 5 1

N e x t , l e t C 2 d e n o t e t h e l e f t h a l f

2

o f t h e s a m e c i r c l e C a n d c o n s i d e r t h e b r a n c h

l o g z = l n r + i O

( r > 0 , 0 < 0 < 2 i r )

1 4 0 I N T E G R A L S

C H A P . 4

F I G U R E 5 2

o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n ( F i g . 5 2 ) . O n e c a n w r i t e

f 2

d z

-

j - 2 i

d z

- 2 i

= l o g Z

I

= l o g ( - 2 i ) - l o g ( 2 i )

c ,

z

i

z

J J J z i

n 2 + i - '

) -

I n 2 + i

2 1

= r r i .

T h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o f I / z a r o u n d t h e e n t i r e c i r c l e C = C 1 + C 2 i s t h u s

o b t a i n e d :

C Z

J C I Z

J C 2 Z

E X A M P L E 4 .

L e t u s u s e a n a n t i d e r i v a t i v e t o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l

f

z 1 / 2

d z ,

,

w h e r e t h e i n t e g r a n d i s t h e b r a n c h

( 5 )

z l / 2 =

e ' 0 1 2

( r > 0 , 0 < 6 < 2 n )

o f t h e s q u a r e r o o t f u n c t i o n a n d w h e r e C 1 i s a n y c o n t o u r f r o m z = - 3 t o z = 3 t h a t ,

e x c e p t f o r i t s e n d p o i n t s , l i e s a b o v e t h e x a x i s ( F i g . 5 3 ) . A l t h o u g h t h e i n t e g r a n d i s

p i e c e w i s e c o n t i n u o u s o n C 1 , a n d t h e i n t e g r a l t h e r e f o r e e x i s t s , t h e b r a n c h ( 5 ) o f z 1 / 2 i s

F I G U R E 5 3



S E C . 4 3

E X E R C I S E S 1 4 1

n o t d e f i n e d o n t h e r a y 0 = 0 , i n p a r t i c u l a r a t t h e p o i n t z = 3 . B u t a n o t h e r b r a n c h ,

T e i a / 2

i s d e f i n e d a n d c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e o n C 1 . T h e v a l u e s o f f 1 ( z ) a t a l l p o i n t s o n C 1

e x c e p t z = 3 c o i n c i d e w i t h t h o s e o f o u r i n t e g r a n d ( 5 ) ; s o t h e i n t e g r a n d c a n b e r e p l a c e d

b y f 1 ( z ) . S i n c e a n a n t i d e r i v a t i v e o f f 1 ( z ) i s t h e f u n c t i o n

F 1 ( z )

3

z 3 / 2

3

w e c a n n o w w r i t e

' C l

1 - e i 3 0 1 2

3

z 1 / 2 d z

=

/

f l ( z ) d z = F i ( z ) I

=

2 , 1 3 ( e i o

-

e ' 3 . t r / 2 )

= 2 / ( 1 + i )

3

C o m p a r e E x a m p l e 4 i n S e c . 4 0 . )

T h e i n t e g r a l

( 6 )

f z h l 2 d z

Z

o f t h e f u n c t i o n ( 5 ) o v e r a n y c o n t o u r C 2 t h a t e x t e n d s f r o m z = - 3 t o z = 3 b e l o w t h e

r e a l a x i s c a n b e e v a l u a t e d i n a s i m i l a r w a y . I n t h i s c a s e , w e c a n r e p l a c e t h e i n t e g r a n d

b y t h e b r a n c h

f 2 ( z ) =

T e i O / 2

w h o s e v a l u e s c o i n c i d e w i t h t h o s e o f t h e i n t e g r a n d a t z = - 3 a n d a t a l l p o i n t s o n C 2

b e l o w t h e r e a l a x i s . T h i s e n a b l e s u s t o u s e a n a n t i d e r i v a t i v e o f f 2 ( z ) t o e v a l u a t e i n t e g r a l

( 6 ) . D e t a i l s a r e l e f t t o t h e e x e r c i s e s .

E X E R C I S E S

1 . U s e a n a n t i d e r i v a t i v e t o s h o w t h a t , f o r e v e r y c o n t o u r C e x t e n d i n g f r o m a p o i n t z 1 t o a

p o i n t z 2 ,

f d z =

n +

1 ( z 2 + t

-

z n + 1 )

( n = 0 , 1 , 2 ,

2 . B y f i n d i n g a n a n t i d e r i v a t i v e , e v a l u a t e e a c h o f t h e s e i n t e g r a l s , w h e r e t h e p a t h i s a n y

c o n t o u r b e t w e e n t h e i n d i c a t e d l i m i t s o f i n t e g r a t i o n :

2

e ? z d z ;

( b )

A n s . ( a ) ( 1

7 r + 2 1

c o s ( z )

d z ;

0

( b ) e + ( 1 f e ) ;

( c ) 0 .

1 4 2

I N T E G R A L S

C H A P . 4

3 . U s e t h e t h e o r e m i n S e c . 4 2 t o s h o w t h a t

z 0 ) r - 1 d z = 0

( n = + 1 , ± 2 , . . . )

w h e n C o i s a n y c l o s e d c o n t o u r w h i c h d o e s n o t p a s s t h r o u g h t h e p o i n t z 0 . [ C o m p a r e

E x e r c i s e 1 0 ( b ) , S e c . 4 0 . 1

4 . F i n d a n a n t i d e r i v a t i v e F 2 ( z ) o f t h e b r a n c h f 2 ( z ) o f z 1 7 2 i n E x a m p l e 4 , S e c . 4 3 , t o s h o w

t h a t i n t e g r a l ( 6 ) t h e r e h a s v a l u e 2 / ( - 1 + i ) . N o t e t h a t t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o f t h e

f u n c t i o n ( 5 ) a r o u n d t h e c l o s e d c o n t o u r C 2 - C 1 i n t h a t e x a m p l e i s , t h e r e f o r e , - 4 - , , / - 3 .

5 . S h o w t h a t

z

z ` = e x p ( i L o g z )

( I z i > 0 , - 2 T < A r g z < r r )

a n d w h e r e t h e p a t h o f i n t e g r a t i o n i s a n y c o n t o u r f r o m z = - 1 t o z = 1 t h a t , e x c e p t f o r i t s

e n d p o i n t s , l i e s a b o v e t h e r e a l a x i s .

S u g g e s t i o n : U s e a n a n t i d e r i v a t i v e o f t h e b r a n c h

z ` = e x p ( i l o g z )

I z I

> 0 , - 2

< a r g z < 2

o f t h e s a m e p o w e r f u n c t i o n .

4 4 . C A U C H Y - G O U R S A T T H E O R E M

I n S e c . 4 2 , w e s a w t h a t w h e n a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f h a s a n a n t i d e r i v a t i v e i n a d o m a i n

D , t h e i n t e g r a l o f f ( z ) a r o u n d a n y g i v e n c l o s e d c o n t o u r C l y i n g e n t i r e l y i n D h a s v a l u e

z e r o . I n t h i s s e c t i o n , w e p r e s e n t a t h e o r e m g i v i n g o t h e r c o n d i t i o n s o n a f u n c t i o n f ,

w h i c h e n s u r e t h a t t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o f f ( z ) a r o u n d a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r

( S e c . 3 8 ) i s z e r o . T h e t h e o r e m i s c e n t r a l t o t h e t h e o r y o f f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e ;

a n d s o m e e x t e n s i o n s o f i t , i n v o l v i n g c e r t a i n s p e c i a l t y p e s o f d o m a i n s , w i l l b e g i v e n i n

S e c . 4 6 .

W e l e t C d e n o t e a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r z = z ( t ) ( a < t < b ) , d e s c r i b e d i n t h e

p o s i t i v e s e n s e ( c o u n t e r c l o c k w i s e ) , a n d w e a s s u m e t h a t f i s a n a l y t i c a t e a c h p o i n t

i n t e r i o r t o a n d o n C . A c c o r d i n g t o S e c . 3 9 ,

( 1 )

I C

f ( z ) d z =

) ] z ' ( t ) d t ;

a n d i f

Y

x , y )

a n d z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) ,



S E C . 4 4

C A U C H Y - G O U R S A T T H E O R E M

1 4 3

t h e i n t e g r a n d f [ z ( t ) ] z ' ( t ) i n e x p r e s s i o n ( 1 ) i s t h e p r o d u c t o f t h e f u n c t i o n s

u [ x ( t ) , y ( t ) ] + i v [ x ( t ) , y ( t ) ] ,

x ' ( t ) + i y ' ( t )

o f t h e r e a l v a r i a b l e t . T h u s

( 2 )

C

( z ) d z = I

( u x ' - v y ' ) d t + i

1

( v x ' + u y ' ) d t .

I n t e r m s o f l i n e i n t e g r a l s o f r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t w o r e a l v a r i a b l e s , t h e n ,

( z ) d z = j u d x - v d y + i I v d x + u d y .

C

J C

C

O b s e r v e t h a t e x p r e s s i o n ( 3 ) c a n b e o b t a i n e d f o r m a l l y b y r e p l a c i n g f ( z ) a n d d z o n t h e

l e f t w i t h t h e b i n o m i a l s

u + i v a n d d x + i d y ,

r e s p e c t i v e l y , a n d e x p a n d i n g t h e i r p r o d u c t . E x p r e s s i o n ( 3 ) i s , o f c o u r s e , a l s o v a l i d w h e n

C i s a n y c o n t o u r , n o t n e c e s s a r i l y a s i m p l e c l o s e d o n e , a n d f [ z ( t ) ] i s o n l y p i e c e w i s e

c o n t i n u o u s o n i t .

W e n e x t r e c a l l a r e s u l t f r o m c a l c u l u s t h a t e n a b l e s u s t o e x p r e s s t h e l i n e i n t e g r a l s

o n t h e r i g h t i n e q u a t i o n ( 3 ) a s d o u b l e i n t e g r a l s . S u p p o s e t h a t t w o r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s

P ( x , y ) a n d Q ( x , y ) , t o g e t h e r w i t h t h e i r f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s , a r e c o n t i n u o u s

t h r o u g h o u t t h e c l o s e d r e g i o n R c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s i n t e r i o r t o a n d o n t h e s i m p l e

c l o s e d c o n t o u r C . A c c o r d i n g t o G r e e n ' s t h e o r e m ,

P d x + Q d y =

f f ( Q x - P y ) d A .

. . I I

. d t R

N o w f i s c o n t i n u o u s i n R , s i n c e i t i s a n a l y t i c t h e r e . H e n c e t h e f u n c t i o n s u a n d

v a r e a l s o c o n t i n u o u s i n R . L i k e w i s e , i f t h e d e r i v a t i v e f ' o f f i s c o n t i n u o u s i n R , s o

a r e t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f u a n d v . G r e e n ' s t h e o r e m t h e n e n a b l e s u s t o

r e w r i t e e q u a t i o n ( 3 ) a s

C

R

R

( z ) d z = f

f ( - v x - u y ) d A + i

[ [ ( u s

- u ) d A .

B u t , i n v i e w o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s

u y = - v x ,

t h e i n t e g r a n d s o f t h e s e t w o d o u b l e i n t e g r a l s a r e z e r o t h r o u g h o u t R . S o , w h e n f i s

a n a l y t i c i n R a n d f ' i s c o n t i n u o u s t h e r e ,

( 5 )

( f ( z ) d z = O .

C

T h i s r e s u l t w a s o b t a i n e d b y C a u c h y i n t h e e a r l y p a r t o f t h e n i n e t e e n t h c e n t u r y .



1 4 4

I N T E G R A L S

C H A P . 4

N o t e t h a t , o n c e i t h a s b e e n e s t a b l i s h e d t h a t t h e v a l u e o f t h i s i n t e g r a l i s

z e r o , t h e

o r i e n t a t i o n o f C i s i m m a t e r i a l . T h a t i s , s t a t e m e n t ( 5 ) i s a l s o t r u e i f C i s t a k e n i n t h e

c l o c k w i s e d i r e c t i o n , s i n c e t h e n

I c

f ( z ) d z = - J

C f ( z ) d z = 0 .

E X A M P L E .

I f C i s a n y s i m p l e c l o s e d c o n t o u r , i n e i t h e r d i r e c t i o n , t h e n

I c e x p ( z )

d z = 0 .

T h i s i s b e c a u s e t h e f u n c t i o n f ( z ) = e x p ( z ) i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e a n d i t s d e r i v a t i v e

3 z 2 e x p ( z 3 )

i s c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e .

G o u r s a t * w a s t h e f i r s t t o p r o v e t h a t t h e c o n d i t i o n o f c o n t i n u i t y

o n f ' c a n b e

o m i t t e d . I t s r e m o v a l i s i m p o r t a n t a n d w i l l a l l o w u s t o s h o w , f o r e x a m p l e , t h a t t h e

d e r i v a t i v e f ' o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n f i s a n a l y t i c w i t h o u t h a v i n g t o

a s s u m e t h e

c o n t i n u i t y o f f ' , w h i c h f o l l o w s a s a c o n s e q u e n c e , W e

n o w s t a t e t h e r e v i s e d f o r m o f

C a u c h y ' s r e s u l t , k n o w n a s t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m .

T h e o r e m .

I f a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c a t a l l p o i n t s i n t e r i o r t o a n d

o n a s i m p l e c l o s e d

c o n t o u r C , t h e n

f c

f ( z ) d z = 0 .

T h e p r o o f i s p r e s e n t e d i n t h e n e x t s e c t i o n , w h e r e , t o b e s p e c i f i c ,

w e a s s u m e t h a t

C i s p o s i t i v e l y o r i e n t e d . T h e r e a d e r w h o w i s h e s t o a c c e p t t h i s t h e o r e m w i t h o u t p r o o f

m a y p a s s d i r e c t l y t o S e c . 4 6 .

4 5 . P R O O F O F T H E T H E O R E M

W e p r e f a c e t h e p r o o f o f t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m w i t h

a l e m m a . W e s t a r t b y

f o r m i n g s u b s e t s o f t h e r e g i o n R w h i c h c o n s i s t s o f t h e p o i n t s

o n a p o s i t i v e l y o r i e n t e d

s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C t o g e t h e r w i t h t h e p o i n t s i n t e r i o r t o C . T o d o t h i s ,

w e d r a w

e q u a l l y s p a c e d l i n e s p a r a l l e l t o t h e r e a l a n d i m a g i n a r y a x e s s u c h t h a t t h e d i s t a n c e

b e t w e e n a d j a c e n t v e r t i c a l l i n e s i s t h e s a m e a s t h a t b e t w e e n a d j a c e n t h o r i z o n t a l l i n e s .

W e t h u s f o r m a f i n i t e n u m b e r o f c l o s e d s q u a r e s u b r e g i o n s , w h e r e e a c h p o i n t o f R l i e s

i n a t l e a s t o n e s u c h s u b r e g i o n a n d e a c h s u b r e g i o n c o n t a i n s p o i n t s o f R . W e r e f e r

t o

t h e s e s q u a r e s u b r e g i o n s s i m p l y a s s q u a r e s , a l w a y s k e e p i n g i n m i n d t h a t b y

a s q u a r e w e

* E . G o u r s a t ( 1 8 5 8 - 1 9 3 6 ) , p r o n o u n c e d g o u r - s a h ' .

S E C . 4 5

P R O O F O F T H E T H E O R E M

1 4 5

m e a n a b o u n d a r y t o g e t h e r w i t h t h e p o i n t s i n t e r i o r t o i t . I f a p a r t i c u l a r s q u a r e c o n t a i n s

p o i n t s t h a t a r e n o t i n R , w e r e m o v e t h o s e p o i n t s a n d c a l l w h a t r e m a i n s a p a r t i a l s q u a r e .

W e t h u s c o v e r t h e r e g i o n R w i t h a f i n i t e n u m b e r o f s q u a r e s a n d p a r t i a l s q u a r e s ( F i g .

5 4 ) , a n d o u r p r o o f o f t h e f o l l o w i n g l e m m a s t a r t s w i t h t h i s c o v e r i n g .

0

X

F I G U R E 5 4

L e m m a . L e t f b e a n a l y t i c t h r o u g h o u t a c l o s e d r e g i o n R c o n s i s t i n g o f t h e p o i n t s

i n t e r i o r t o a p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C t o g e t h e r w i t h t h e p o i n t s o n C

i t s e l f F o r a n y p o s i t i v e n u m b e r s , t h e r e g i o n R c a n b e c o v e r e d w i t h a f i n i t e n u m b e r o f

s q u a r e s a n d p a r t i a l s q u a r e s , i n d e x e d b y j = 1 , 2 , . . . , n , s u c h t h a t i n e a c h o n e t h e r e

i s a f i x e d p o i n t z 1 f o r w h i c h t h e i n e q u a l i t y

( 1 )

f ( z ) - - - f ( z 1 )

_ f

z - z 1

< E

i s s a t i s f i e d b y a l l o t h e r p o i n t s i n t h a t s q u a r e o r p a r t i a l s q u a r e .

T o s t a r t t h e p r o o f , w e c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y t h a t , i n t h e c o v e r i n g c o n s t r u c t e d

j u s t p r i o r t o t h e s t a t e m e n t o f t h e l e m m a , t h e r e i s s o m e s q u a r e o r p a r t i a l s q u a r e i n

w h i c h n o p o i n t z 1 e x i s t s s u c h t h a t i n e q u a l i t y ( 1 ) h o l d s f o r a l l o t h e r p o i n t s z i n i t . I f

t h a t s u b r e g i o n i s a s q u a r e , w e c o n s t r u c t f o u r s m a l l e r s q u a r e s b y d r a w i n g l i n e s e g m e n t s

j o i n i n g t h e m i d p o i n t s o f i t s o p p o s i t e s i d e s ( F i g . 5 4 ) . I f t h e s u b r e g i o n i s a p a r t i a l s q u a r e ,

w e t r e a t t h e w h o l e s q u a r e i n t h e s a m e m a n n e r a n d t h e n l e t t h e p o r t i o n s t h a t l i e o u t s i d e

R b e d i s c a r d e d . I f , i n a n y o n e o f t h e s e s m a l l e r s u b r e g i o n s , n o p o i n t

z 1

e x i s t s s u c h t h a t

i n e q u a l i t y ( 1 ) h o l d s f o r a l l o t h e r p o i n t s z i n i t , w e c o n s t r u c t s t i l l s m a l l e r s q u a r e s a n d

p a r t i a l s q u a r e s , e t c . W h e n t h i s i s d o n e t o e a c h o f t h e o r i g i n a l s u b r e g i o n s t h a t r e q u i r e s

i t , i t t u r n s o u t t h a t , a f t e r a f i n i t e n u m b e r o f s t e p s , t h e r e g i o n R c a n b e c o v e r e d w i t h a

f i n i t e n u m b e r o f s q u a r e s a n d p a r t i a l s q u a r e s s u c h t h a t t h e l e m m a i s t r u e .

1 4 6

I N T E G R A L S

C H A P . 4

T o v e r i f y t h i s , w e s u p p o s e t h a t t h e n e e d e d p o i n t s z j d o n o t e x i s t a f t e r s u b d i v i d i n g

o n e o f t h e o r i g i n a l s u b r e g i o n s a f i n i t e n u m b e r o f t i m e s a n d r e a c h a c o n t r a d i c t i o n . W e

l e t a o d e n o t e t h a t s u b r e g i o n i f i t i s a s q u a r e ; i f i t i s a p a r t i a l s q u a r e , w e l e t a o d e n o t e

t h e e n t i r e s q u a r e o f w h i c h i t i s a p a r t . A f t e r w e s u b d i v i d e a o , a t l e a s t o n e o f t h e f o u r

s m a l l e r s q u a r e s , d e n o t e d b y a 1 , m u s t c o n t a i n p o i n t s o f R b u t n o a p p r o p r i a t e p o i n t

z j . W e t h e n s u b d i v i d e a 1 a n d c o n t i n u e i n t h i s m a n n e r . I t m a y b e t h a t a f t e r a s q u a r e

a k _ 1 ( k = 1 , 2 , . . . ) h a s b e e n s u b d i v i d e d , m o r e t h a n o n e o f t h e f o u r s m a l l e r s q u a r e s

c o n s t r u c t e d f r o m i t c a n b e c h o s e n . T o m a k e a s p e c i f i c c h o i c e , w e t a k e a k t o b e t h e o n e

l o w e s t a n d t h e n f u r t h e s t t o t h e l e f t .

I n v i e w o f t h e m a n n e r i n w h i c h t h e n e s t e d i n f i n i t e s e q u e n c e

( 2 )

a o , a l , a 2 , . . . , a k - 1 , a k , . .

o f s q u a r e s i s c o n s t r u c t e d , i t i s e a s i l y s h o w n ( E x e r c i s e 9 , S e c . 4 6 ) t h a t t h e r e i s a p o i n t z o

c o m m o n t o e a c h a k ; a l s o , e a c h o f t h e s e s q u a r e s c o n t a i n s p o i n t s R o t h e r t h a n p o s s i b l y

z 0 . R e c a l l h o w t h e s i z e s o f t h e s q u a r e s i n t h e s e q u e n c e a r e d e c r e a s i n g , a n d n o t e t h a t

a n y & n e i g h b o r h o o d I z - z o I < 8 o f z 0 c o n t a i n s s u c h s q u a r e s w h e n t h e i r d i a g o n a l s h a v e

l e n g t h s l e s s t h a n 8 . E v e r y E n e i g h b o r h o o d I z - z o l < 8 t h e r e f o r e c o n t a i n s p o i n t s o f R

d i s t i n c t f r o m z 0 , a n d t h i s m e a n s t h a t z o i s a n a c c u m u l a t i o n p o i n t o f R . S i n c e t h e r e g i o n

R i s a c l o s e d s e t , i t f o l l o w s t h a t z o i s a p o i n t i n R . ( S e e S e c . 1 0 . )

N o w t h e f u n c t i o n f i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t R a n d , i n p a r t i c u l a r , a t z o . C o n s e -

q u e n t l y , f " ( z o ) e x i s t s , A c c o r d i n g t o t h e d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e ( S e c . 1 8 ) , t h e r e i s , f o r

e a c h p o s i t i v e n u m b e r s , a 8 n e i g h b o r h o o d ( z - z o j < 8 s u c h t h a t t h e i n e q u a l i t y

f ( z ) - . f ( z o )

- f ' ( z o )

. z - Z o

< 8

i s s a t i s f i e d b y a l l p o i n t s d i s t i n c t f r o m z 4 i n t h a t n e i g h b o r h o o d . B u t t h e n e i g h b o r h o o d

1 z - z o l < 8 c o n t a i n s a s q u a r e U K w h e n t h e i n t e g e r K i s l a r g e e n o u g h t h a t t h e l e n g t h o f

a d i a g o n a l o f t h a t s q u a r e i s l e s s t h a n 8 ( F i g . 5 5 ) . C o n s e q u e n t l y , z o s e r v e s a s t h e p o i n t z j

i n i n e q u a l i t y ( 1 ) f o r t h e s u b r e g i o n c o n s i s t i n g o f t h e s q u a r e U K o r a p a r t o f a K

.

C o n t r a r y

t o t h e w a y i n w h i c h t h e s e q u e n c e ( 2 ) w a s f o r m e d , t h e n , i t i s n o t n e c e s s a r y t o s u b d i v i d e

a K . W e t h u s a r r i v e a t a c o n t r a d i c t i o n , a n d t h e p r o o f o f t h e l e m m a i s c o m p l e t e .

Y ,

0 1

X

F I G U R E 5 5

S E C . 4 5

P R O O F O F T H E T H E O R E M 1 4 7

C o n t i n u i n g w i t h a f u n c t i o n f w h i c h i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t a r e g i o n R c o n s i s t i n g

o f a p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C a n d p o i n t s i n t e r i o r t o i t , w e a r e n o w

r e a d y t o p r o v e t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m , n a m e l y t h a t

( 3 )

r .

f ( z ) d z = 0 .

G i v e n a n a r b i t r a r y p o s i t i v e n u m b e r s , w e c o n s i d e r t h e c o v e r i n g o f R i n t h e

s t a t e m e n t o f t h e l e m m a . L e t u s d e f i n e o n t h e j t h s q u a r e o r p a r t i a l s q u a r e t h e f o l l o w i n g

f u n c t i o n , w h e r e z l i s t h e f i x e d p o i n t i n t h a t s u b r e g i o n f o r w h i c h i n e q u a l i t y ( 1 ) h o l d s :

f ( z ) - f ( z 1 )

,

( 4 )

8 ; ( z ) =

z - z ;

f ( z j )

w h e n z

w h e n z

A c c o r d i n g t o i n e q u a l i t y ( 1 ) ,

( 5 )

1 8 f ( z ) I < s

a t a l l p o i n t s z i n t h e s u b r e g i o n o n w h i c h 8 , ( z ) i s d e f i n e d . A l s o , t h e f u n c t i o n 8 j ( z ) i s

c o n t i n u o u s t h r o u g h o u t t h e s u b r e g i o n s i n c e f ( z ) i s c o n t i n u o u s t h e r e a n d

l i r a

8 ( z ) = f ' ( z 3 )

- f ' ( z f ) =

0 .

I

N e x t , l e t C ; ( j = 1 , 2 ,

. . .

,

n ) d e n o t e t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d b o u n d a r i e s o f t h e

a b o v e s q u a r e s o r p a r t i a l s q u a r e s c o v e r i n g R . I n v i e w o f d e f i n i t i o n ( 4 ) , t h e v a l u e o f f

a t a p o i n t z o n a n y p a r t i c u l a r C J c a n b e w r i t t e n

f ( z ) = f ( z ; ) - z j f ' ( z 1 ) + f ' ( z f ) z + ( z - z j ) S J ( z ) ,

a n d t h i s m e a n s t h a t

( 6 )

f

f ( z ) d z

C ;

( z j ) ] /

d z + f ' ( z , j ) / _ z d z + /

( z - z j ) 8 1 ( z ) d z .

B u t

0

= z

f c j d z = 0 a n d

j z d z = 0

s i n c e t h e f u n c t i o n s 1 a n d z p o s s e s s a n t i d e r i v a t i v e s e v e r y w h e r e i n t h e f i n i t e p l a n e . S o

e q u a t i o n ( 6 ) r e d u c e s t o

( 7 )

f c j f ( z ) d z = J ( z - z j ) 8 j

( z ) d z

( j = 1 , 2 ,

n ) .

C ;

1 4 8 I N T E G R A L S

T h e s u m o f a l l n i n t e g r a l s o n t h e l e f t i n e q u a t i o n s ( 7 ) c a n b e w r i t t e n

( z ) d z = I

f ( z ) d z

c

C H A P . 4

s i n c e t h e t w o i n t e g r a l s a l o n g t h e c o m m o n b o u n d a r y o f e v e r y p a i r o f a d j a c e n t s u b r e g i o n s

c a n c e l e a c h o t h e r , t h e i n t e g r a l b e i n g t a k e n i n o n e s e n s e a l o n g t h a t l i n e s e g m e n t i n o n e

s u b r e g i o n a n d i n t h e o p p o s i t e s e n s e i n t h e o t h e r ( F i g . 5 6 ) . O n l y t h e i n t e g r a l s a l o n g t h e

a r c s t h a t a r e p a r t s o f C r e m a i n . T h u s , i n v i e w o f e q u a t i o n s ( 7 ) ,

n

a n d s o

( 8 )

0

J

f ( z ) d z = 4 (

( z - z j ) 8 1 ( z ) d z ;

C

C :

I

z ) d z

z - z j ) 8 j ( z ) d z

x

F I G U R E 5 6

L e t u s n o w u s e p r o p e r t y ( 1 ) . S e c . 4 1 t o f i n d a n u p p e r b o u n d f o r e a c h a b s o l u t e

v a l u e o n t h e r i g h t i n i n e q u a l i t y ( 8 ) . T o d o t h i s , w e f i r s t r e c a l l t h a t e a c h C i c o i n c i d e s

e i t h e r e n t i r e l y o r p a r t i a l l y w i t h t h e b o u n d a r y o f a s q u a r e . I n e i t h e r c a s e , w e l e t s J d e n o t e

t h e l e n g t h o f a s i d e o f t h e s q u a r e . S i n c e , i n t h e j t h i n t e g r a l , b o t h t h e v a r i a b l e z a n d t h e

p o i n t z j l i e i n t h a t s q u a r e ,

I z - z i I < v ' 2 s 1 .

I n v i e w o f i n e q u a l i t y ( 5 ) , t h e n , w e k n o w t h a t e a c h i n t e g r a n d o n t h e r i g h t i n i n e q u a l i t y

( 8 ) s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n

( 9 )

1 ( z - z j ) 8 j ( z ) I < J s

S E C . 4 6

S I M P L Y A N D M U L T I P L Y C O N N E C T E D D O M A I N S

1 4 9

A s f o r t h e l e n g t h o f t h e p a t h C j , i t i s 4 s j i f C 1 i s t h e b o u n d a r y o f a s q u a r e . I n t h a t c a s e ,

w e l e t A l d e n o t e t h e a r e a o f t h e s q u a r e a n d o b s e r v e t h a t

( 1 0 )

I C

z - z j ) d j ( z ) d z

< V 2 s j E 4 s j = 4 / A j s .

I f C j i s t h e b o u n d a r y o f a p a r t i a l s q u a r e , i t s l e n g t h d o e s n o t e x c e e d 4 s 1 + L 1 , w h e r e

L 1 i s t h e l e n g t h o f t h a t p a r t o f C 1 w h i c h i s a l s o a p a r t o f C . A g a i n l e t t i n g A l d e n o t e

t h e a r e a o f t h e f u l l s q u a r e , w e f i n d t h a t

J ( z - z 1 ) j ( z ) d z

J

<

s j s ( 4 s j +

< 4 , / 2 - A j e + - S L j s ,

w h e r e S i s t h e l e n g t h o f a s i d e o f s o m e s q u a r e t h a t e n c l o s e s t h e e n t i r e c o n t o u r C a s

w e l l a s a l l o f t h e s q u a r e s o r i g i n a l l y u s e d i n c o v e r i n g R ( F i g . 5 6 ) . N o t e t h a t t h e s u m o f

a l l t h e A 1 ' s d o e s n o t e x c e e d S 2 .

I f L d e n o t e s t h e l e n g t h o f C , i t n o w f o l l o w s f r o m i n e q u a l i t i e s ( 8 ) , ( 1 0 ) , a n d ( 1 1 )

t h a t

( z ) d z

< ( 4 J s 2 + ' . J S L )

S i n c e t h e v a l u e o f t h e p o s i t i v e n u m b e r s i s a r b i t r a r y , w e c a n c h o o s e i t s o t h a t t h e r i g h t -

h a n d s i d e o f t h i s l a s t i n e q u a l i t y i s a s s m a l l a s w e p l e a s e . T h e l e f t - h a n d s i d e , w h i c h

i s i n d e p e n d e n t o f e , m u s t t h e r e f o r e b e e q u a l t o z e r o ; a n d s t a t e m e n t ( 3 ) f o l l o w s . T h i s

c o m p l e t e s t h e p r o o f o f t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m .

4 6 . S I M P L Y A N D M U L T I P L Y C O N N E C T E D D O M A I N S

A s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n D i s a d o m a i n s u c h t h a t e v e r y s i m p l e c l o s e d c o n t o u r w i t h i n

i t e n c l o s e s o n l y p o i n t s o f D . T h e s e t o f p o i n t s i n t e r i o r t o a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r i s a n

e x a m p l e . T h e a n n u l a r d o m a i n b e t w e e n t w o c o n c e n t r i c c i r c l e s i s , h o w e v e r , n o t s i m p l y

c o n n e c t e d . A d o m a i n t h a t i s n o t s i m p l y c o n n e c t e d i s s a i d t o b e m u l t i p l y c o n n e c t e d .

T h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m c a n b e e x t e n d e d i n t h e f o l l o w i n g w a y , i n v o l v i n g a

s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n .

T h e o r e m 1 .

I f a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t a s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n D ,

t h e n

( 1 )

z ) d z =

o r e v e r y c l o s e d c o n t o u r C l y i n g i n D .



1 5 0

I N T E G R A L S

C H A P . 4

F I G U R E 5 7

T h e p r o o f i s e a s y i f C i s a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r o r i f i t i s a c l o s e d c o n t o u r t h a t

i n t e r s e c t s i t s e l f a f i n i t e n u m b e r o f t i m e s . F o r , i f C i s s i m p l e a n d l i e s i n D , t h e f u n c t i o n f

i s a n a l y t i c a t e a c h p o i n t i n t e r i o r t o a n d o n C ; a n d t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m e n s u r e s

t h a t e q u a t i o n ( 1 ) h o l d s . F u r t h e r m o r e , i f C i s c l o s e d b u t i n t e r s e c t s i t s e l f a f i n i t e n u m b e r

o f t i m e s , i t c o n s i s t s o f a f i n i t e n u m b e r o f s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s . T h i s i s i l l u s t r a t e d

i n F i g . 5 7 , w h e r e t h e s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s C k ( k = 1 , 2 , 3 , 4 ) m a k e u p C . S i n c e t h e

v a l u e o f t h e i n t e g r a l a r o u n d e a c h C k i s z e r o , a c c o r d i n g t o t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m ,

i t f o l l o w s t h a t

C

( z ) d z =

z ) d z = 0 .

S u b t l e t i e s a r i s e i f t h e c l o s e d c o n t o u r h a s a n i n f i n i t e n u m b e r o f s e l f - i n t e r s e c t i o n

p o i n t s . O n e m e t h o d t h a t c a n s o m e t i m e s b e u s e d t o s h o w t h a t t h e t h e o r e m s t i l l a p p l i e s

i s i l l u s t r a t e d i n E x e r c i s e 5 b e l o w . *

C o r o l l a r y 1 .

A f u n c t i o n f t h a t i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t a s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n D

m u s t h a v e a n a n t i d e r i v a t i v e e v e r y w h e r e i n D .

T h i s c o r o l l a r y f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m T h e o r e m 1 b e c a u s e o f t h e t h e o r e m i n

S e c . 4 2 , w h i c h t e l l s u s t h a t a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f a l w a y s h a s a n a n t i d e r i v a t i v e i n a

g i v e n d o m a i n w h e n e q u a t i o n ( 1 ) h o l d s f o r e a c h c l o s e d c o n t o u r C i n t h a t d o m a i n . N o t e

t h a t , s i n c e t h e f i n i t e p l a n e i s s i m p l y c o n n e c t e d , C o r o l l a r y 1 t e l l s u s t h a t e n t i r e f u n c t i o n s

a l w a y s p o s s e s s a n t i d e r i v a t i v e s .

T h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m c a n a l s o b e e x t e n d e d i n a w a y t h a t i n v o l v e s i n t e -

g r a l s a l o n g t h e b o u n d a r y o f a m u l t i p l y c o n n e c t e d d o m a i n . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m i s

s u c h a n e x t e n s i o n .

* F o r a p r o o f o f t h e t h e o r e m i n v o l v i n g m o r e g e n e r a l p a t h s o f f i n i t e l e n g t h , s e e , f o r e x a m p l e , S e c s . 6 3 - 6 5

i n V o l . I o f t h e b o o k b y M a r k u s h e v i c h , c i t e d i n A p p e n d i x 1 .



S E C . 4 6

S I M P L Y A N D M U L T I P L Y C O N N E C T E D D O M A I N S 1 5 1


( i ) C i s a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r , d e s c r i b e d i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n ;

C k ( k = 1 , 2 ,

. . . ,

n ) a r e s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s i n t e r i o r t o C , a l l d e s c r i b e d i n

t h e c l o c k w i s e d i r e c t i o n , t h a t a r e d i s j o i n t a n d w h o s e i n t e r i o r s h a v e n o p o i n t s i n

c o m m o n ( F i g . 5 8 ) .

n c t i o n f i s a n a l y t i c o n a l l o f t h e s e c o n t o u r s a n d t h r o u g h o u t t h e m u l t i p l y

c o n n e c t e d d o m a i n c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s i n s i d e C a n d e x t e r i o r t o e a c h C k , t h e n

n

( 2 )

k = 1

z ) d z + y J

f ( z ) d z =

N o t e t h a t , i n e q u a t i o n ( 2 ) , t h e d i r e c t i o n o f e a c h p a t h o f i n t e g r a t i o n i s s u c h t h a t

t h e m u l t i p l y c o n n e c t e d d o m a i n l i e s t o t h e l e f t o f t h a t p a t h .

T o p r o v e t h e t h e o r e m , w e i n t r o d u c e a p o l y g o n a l p a t h L 1 , c o n s i s t i n g o f a f i n i t e

n u m b e r o f l i n e s e g m e n t s j o i n e d e n d t o e n d , t o c o n n e c t t h e o u t e r c o n t o u r C t o t h e i n n e r

c o n t o u r C 1 . W e i n t r o d u c e a n o t h e r p o l y g o n a l p a t h L 2 w h i c h c o n n e c t s C 1 t o C 2 ; a n d w e

c o n t i n u e i n t h i s m a n n e r , w i t h L , + 1 c o n n e c t i n g C n t o C . A s i n d i c a t e d b y t h e s i n g l e -

b a r b e d a r r o w s i n F i g . 5 8 , t w o s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s r 1 a n d r 2 c a n b e f o r m e d , e a c h

c o n s i s t i n g o f p o l y g o n a l p a t h s L k o r - L k a n d p i e c e s o f C a n d C k a n d e a c h d e s c r i b e d

i n s u c h a d i r e c t i o n t h a t t h e p o i n t s e n c l o s e d b y t h e m l i e t o t h e l e f t . T h e C a u c h y -

G o u r s a t t h e o r e m c a n n o w b e a p p l i e d t o f o n F 1 a n d r 2 , a n d t h e s u m o f t h e v a l u e s

o f t h e i n t e g r a l s o v e r t h o s e c o n t o u r s i s f o u n d t o b e z e r o . S i n c e t h e i n t e g r a l s i n o p p o s i t e

d i r e c t i o n s a l o n g e a c h p a t h L k c a n c e l , o n l y t h e i n t e g r a l s a l o n g C a n d C k r e m a i n ; a n d

w e a r r i v e a t s t a t e m e n t ( 2 ) .

T h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y i s a n e s p e c i a l l y i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e o f T h e o r e m 2 .

C o r o l l a r y 2 .

L e t C 1 a n d C 2 d e n o t e p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s , w h e r e

C 2 i s i n t e r i o r t o C 1 ( F i g . 5 9 ) . I f a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c i n t h e c l o s e d r e g i o n c o n s i s t i n g

o f t h o s e c o n t o u r s a n d a l l p o i n t s b e t w e e n t h e m , t h e n

( 3 )

f c , f ( z ) d z

f ( z ) d z .

c ,



1 5 2 I N T E G R A L S

C H A P . 4

F I G U R E 5 9

F o r a v e r i f i c a t i o n , w e u s e T h e o r e m 2 t o w r i t e

f ( ) d z = 0 ;

z + J

J

_ 2

c

a n d w e n o t e t h a t t h i s i s j u s t a d i f f e r e n t f o r m o f e q u a t i o n ( 3 ) .

C o r o l l a r y 2 i s k n o w n a s t h e p r i n c i p l e o f d e f o r m a t i o n o f p a t e s s i n c e i t t e l l s u s t h a t

i f C 1 i s c o n t i n u o u s l y d e f o r m e d i n t o C 2 , a l w a y s p a s s i n g t h r o u g h p o i n t s a t w h i c h f i s

a n a l y t i c , t h e n t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o f f o v e r C 1 n e v e r c h a n g e s .

E X A M P L E . W h e n C i s a n y p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s u r r o u n d i n g

t h e o r i g i n , C o r o l l a r y 2 c a n b e u s e d t o s h o w t h a t

T o a c c o m p l i s h t h i s , w e n e e d o n l y c o n s t r u c t a p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e C o w i t h c e n t e r

a t t h e o r i g i n a n d r a d i u s s o s m a l l t h a t C o l i e s e n t i r e l y i n s i d e C ( F i g . 6 0 ) . S i n c e [ E x e r c i s e

1 0 ( a ) , S e c . 4 0 ]

F I G U R E 6 0



S E C . 4 6

d z

_ 2 i r i

C n z

E X E R C I S E S

1 5 3

a n d s i n c e 1 / z i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e e x c e p t a t z = 0 , t h e d e s i r e d r e s u l t f o l l o w s .

N o t e t h a t t h e r a d i u s o f C o c o u l d e q u a l l y w e l l h a v e b e e n s o l a r g e t h a t C l i e s e n t i r e l y

i n s i d e C o .

E X E R C I S E S

1 . A p p l y t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m t o s h o w t h a t

C

( z ) d z =

w h e n t h e c o n t o u r C i s t h e c i r c l e 1 z I = 1 , i n e i t h e r d i r e c t i o n , a n d w h e n

( a ) . f ( z )

z 2

z - 3 '

( d ) 1 ( z ) = s e c h z ;

( b ) . f ( z ) = z e - 1 ;

z

= t a n z ;

( c ) . f ( z ) =

.

z

2

+ 2 z + 2 '

( f ) . f ( z ) = L o g ( z + 2 ) .

2 . L e t C , d e n o t e t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e I z I = 4 a n d C 2 t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d b o u n d -

a r y o f t h e s q u a r e w h o s e s i d e s l i e a l o n g t h e l i n e s x = + 1 , y = + 1 ( F i g . 6 1 ) . W i t h t h e a i d

o f C o r o l l a r y 2 i n S e c . 4 6 , p o i n t o u t w h y

I C

w h e n

( a ) . f ( z )

1

( b ) f ( z ) =

s i n ( z / 2 )

F I G U R E 6 1

1

z

1 - e z

1 5 4 I N T E G R A L S

C H A P . 4

3 . I f C o d e n o t e s a p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e I z - 1 7 0 1 = R , t h e n

J

( z - z o ) n -

w h e n n =

a c c o r d i n g t o E x e r c i s e 1 0 , S e c . 4 0 . U s e t h a t r e s u l t a n d C o r o l l a r y 2 i n S e c . 4 6 t o s h o w

t h a t i f C i s t h e b o u n d a r y o f t h e r e c t a n g l e 0 < x < 3 , 0 < y < 2 , d e s c r i b e d i n t h e p o s i t i v e

s e n s e , t h e n

1 ,

- 2 -

n

4 1 -

J O

w h e n n = f 1 , ± 2 , . .

2 7 r i

w h e n n . = 0 .

4 . U s e t h e m e t h o d d e s c r i b e d b e l o w t o d e r i v e t h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a

l . ,

e - x

c o s 2 b x d x =

- -

e - b 2

( b > 0 ) .

( a ) S h o w t h a t t h e s u m o f t h e i n t e g r a l s o f e x p ( - z 2 ) a l o n g t h e l o w e r a n d u p p e r h o r i z o n t a l

l e g s o f t h e r e c t a n g u l a r p a t h i n F i g . 6 2 c a n b e w r i t t e n

e _ x 2

0

w h e n n = f I , f 2 , .

2 e b 2 j

a

e - x 2

c o s 2 b x d x

0

a n d t h a t t h e s u m o f t h e i n t e g r a l s a l o n g t h e v e r t i c a l l e g s o n t h e r i g h t a n d l e f t c a n b e

w r i t t e n

b

z

e y e

i 2 a y

d y - i e

b

e y 2 e i 2 a y

d y .

T h u s , w i t h t h e a i d o f t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m , s h o w t h a t

y

- a + b i

0 - - - - - - .

j a

,

c o s

2 b x d x = e - b 2

e - x 2

d x +

e a ` + b 2 )

e e

s i n 2 a y d y .

a + b i

0

- a

0 1

a

X

F I G U R E 6 2

S E C . 4 6

E X E R C I S E S

1 5 5

( b ) B y a c c e p t i n g t h e f a c t t h a t *

a n d o b s e r v i n g t h a t

I : ;

° C e - x 2

d x =

V 7

2

s i n l a y d y

o b t a i n t h e d e s i r e d i n t e g r a t i o n f o r m u l a b y l e t t i n g a t e n d t o i n f i n i t y i n t h e e q u a t i o n a t

t h e e n d o f p a r t ( a ) .

5 . A c c o r d i n g t o E x e r c i s e 6 , S e c . 3 8 , t h e p a t h C I f r o m t h e o r i g i n t o t h e p o i n t z = 1 a l o n g

t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n d e f i n e d b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n s

y

x 3 s i n ( - )

w h e n 0 < x < 1 ,

I X

0

w h e n x = 0

i s a s m o o t h a r c t h a t i n t e r s e c t s t h e r e a l a x i s a n i n f i n i t e n u m b e r o f t i m e s . L e t C 2 d e n o t e

t h e l i n e s e g m e n t a l o n g t h e r e a l a x i s f r o m z = i b a c k t o t h e o r i g i n , a n d l e t C 3 d e n o t e

a n y s m o o t h a r c f r o m t h e o r i g i n t o z = 1 t h a t d o e s n o t i n t e r s e c t i t s e l f a n d h a s o n l y i t s e n d

p o i n t s i n c o m m o n w i t h t h e a r c s C I a n d C 2 ( F i g . 6 3 ) . A p p l y t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m

t o s h o w t h a t i f a f u n c t i o n f i s e n t i r e , t h e n

C ,

C 3

F I G U R E 6 3

* T h e u s u a l w a y t o e v a l u a t e t h i s i n t e g r a l i s b y w r i t i n g i t s s q u a r e a s

e - x

z

d x

( z ) d z = J

f ( z ) d z

a n d

/

f ( z ) d z = - I

f ( z ) d z .

+ y z )

d x d y

a n d t h e n e v a l u a t i n g t h e i t e r a t e d i n t e g r a l b y c h a n g i n g t o p o l a r c o o r d i n a t e s . D e t a i l s a r e g i v e n i n , f o r

e x a m p l e , A . E . T a y l o r a n d W . R . M a n n , " A d v a n c e d C a l c u l u s , " 3 d e d . , p p . 6 8 0 - 6 8 1 , 1 9 8 3 .

1 5 6

I N T E G R A L S

C H A P . 4

C o n c l u d e t h a t , e v e n t h o u g h t h e c l o s e d c o n t o u r C = C 1 + C 2 i n t e r s e c t s i t s e l f a n i n f i n i t e

n u m b e r o f t i m e s ,

I c f ( z ) d z = 0 .

6 . L e t C d e n o t e t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d b o u n d a r y o f t h e h a l f d i s k 0 < r < 1 , 0 < 9 < r , a n d

l e t f ( z ) b e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n d e f i n e d o n t h a t h a l f d i s k b y w r i t i n g f ( 0 ) = 0 a n d u s i n g

t h e b r a n c h

, f ( z ) =

e ' 0 / 2

- 2 < 0 < 2

o f t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n z l / 2 . S h o w t h a t

1 ,

f ( z ) d z = 0

b y e v a l u a t i n g s e p a r a t e l y t h e i n t e g r a l s o f f ( z ) o v e r t h e s e m i c i r c l e a n d t h e t w o r a d i i w h i c h

m a k e u p C . W h y d o e s t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m n o t a p p l y h e r e ?

7 . S h o w t h a t i f C i s a p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r , t h e n t h e a r e a o f t h e r e g i o n

e n c l o s e d b y C c a n b e w r i t t e n

C

z d z .

S u g g e s t i o n : N o t e t h a t e x p r e s s i o n ( 4 ) , S e c . 4 4 , c a n b e u s e d h e r e e v e n t h o u g h t h e

f u n c t i o n f ( z ) = z i s n o t a n a l y t i c a n y w h e r e ( s e e E x e r c i s e 1 ( a ) , S e c . 2 2 ) .

8 . N e s t e d I n t e r v a l s . A n i n f i n i t e s e q u e n c e o f c l o s e d i n t e r v a l s a n < x < b n ( n = 0 , 1 , 2 , . . . )

i s f o r m e d i n t h e f o l l o w i n g w a y . T h e i n t e r v a l a 1 < x < b 1 i s e i t h e r t h e l e f t - h a n d o r r i g h t -

h a n d h a l f o f t h e f i r s t i n t e r v a l a 0 < x < b 0 , a n d t h e i n t e r v a l a 2 < x < b 2 i s t h e n o n e o f t h e

t w o h a l v e s o f a 1 < x < b 1 , e t c . P r o v e t h a t t h e r e i s a p o i n t x 0 w h i c h b e l o n g s t o e v e r y o n e

o f t h e c l o s e d i n t e r v a l s a n < x < b n

S u g g e s t i o n : N o t e t h a t t h e l e f t - h a n d e n d p o i n t s a n r e p r e s e n t a b o u n d e d n o n d e c r e a s -

i n g s e q u e n c e o f n u m b e r s , s i n c e a 0 < a n < a n + 1 < b 0 ; h e n c e t h e y h a v e a l i m i t A a s n

t e n d s t o i n f i n i t y . S h o w t h a t t h e e n d p o i n t s b n a l s o h a v e a l i m i t B . T h e n s h o w t h a t A = B ,

a n d w r i t e x 0 = A = B .

9 . N e s t e d S q u a r e s . A s q u a r e a : a 0 < x < b 0 , c o < y < d e i s d i v i d e d i n t o f o u r e q u a l s q u a r e s

b y l i n e s e g m e n t s p a r a l l e l t o t h e c o o r d i n a t e a x e s . O n e o f t h o s e f o u r s m a l l e r s q u a r e s

o ' t

: a t < x < b 1 , c 1 < y < d 1 i s s e l e c t e d a c c o r d i n g t o s o m e r u l e . I t , i n t u r n , i s d i v i d e d

i n t o f o u r e q u a l s q u a r e s o n e o f w h i c h , c a l l e d c r 2 , i s s e l e c t e d , e t c . ( s e e S e c . 4 5 ) . P r o v e

t h a t t h e r e i s a p o i n t ( x 0 , y 0 ) w h i c h b e l o n g s t o e a c h o f t h e c l o s e d r e g i o n s o f t h e i n f i n i t e

s e q u e n c e c r 0 , o r I , e r g , . . . .

S u g g e s t i o n : A p p l y t h e r e s u l t i n E x e r c i s e 8 t o e a c h o f t h e s e q u e n c e s o f c l o s e d

i n t e r v a l s a n < x < b n a n d e n < y < d o ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

.



S E C . 4 7

C A U C H Y I N T E G R A L F O R M U L A

1 5 7

4 7 . C A U C H Y I N T E G R A L F O R M U L A

A n o t h e r f u n d a m e n t a l r e s u l t w i l l n o w b e e s t a b l i s h e d .

T h e o r e m .

L e t f b e a n a l y t i c e v e r y w h e r e i n s i d e a n d o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C ,

t a k e n i n t h e p o s i t i v e s e n s e . I f z o i s a n y p o i n t i n t e r i o r t o C , t h e n

( 1 )

f ( z o ) _

2 r r i J c z - z o

F o r m u l a ( 1 ) i s c a l l e d t h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a . I t t e l l s u s t h a t i f a f u n c t i o n f

i s t o b e a n a l y t i c w i t h i n a n d o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C , t h e n t h e v a l u e s o f f i n t e r i o r

t o C a r e c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h e v a l u e s o f f o n C .

W h e n t h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a i s w r i t t e n

f ( z ) d z

= 2 7 r i f ( z 0 ) ,

2 )

f

c z - z o

i t c a n b e u s e d t o e v a l u a t e c e r t a i n i n t e g r a l s a l o n g s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s .

E X A M P L E . L e t C b e t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e I z

f ( z )

z

9 -

= 2 . S i n c e t h e f u n c t i o n

i s a n a l y t i c w i t h i n a n d o n C a n d s i n c e t h e p o i n t z o = - i i s i n t e r i o r t o C , f o r m u l a ( 2 )

t e l l s u s t h a t

z d z

-

[ Z / ( 9 -

C ( 9 - z 2 ) ( z + i )

J c

z = 2

W e b e g i n t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m b y l e t t i n g C p d e n o t e a p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e

I z - z o l = p , w h e r e p i s s m a l l e n o u g h t h a t C p i s i n t e r i o r t o C ( s e e F i g . 6 4 ) . S i n c e t h e

f u n c t i o n f ( z ) / ( z - z o ) i s a n a l y t i c b e t w e e n a n d o n t h e c o n t o u r s C a n d C p , i t f o l l o w s

y

0 1

x

F I G U R E 6 4

1 5 8 I N T E G R A L S

f r o m t h e p r i n c i p l e o f d e f o r m a t i o n o f p a t h s ( C o r o l l a r y 2 , S e c . 4 6 ) t h a t

f f ( z ) d z

_

l

f ( z ) d z

c z - z o

T h i s e n a b l e s u s t o w r i t e

( 3 )

( z ) d z

-

f , ,

d z

. f ( z ) - f ( z o )

d

f

'

V

C Z - Z o

: - Z 0

Z Z o C

B u t [ s e e E x e r c i s e 1 0 ( a ) , S e c . 4 0 ]

a n d s o e q u a t i o n ( 3 ) b e c o m e s

d z

= 2 r r i ;

- z o

( 4 )

f ( z ) d z

- 2 7 r i f ( z o ) =

c Z - z o

. f ( z ) - f ( z o )

d z

z - z 0

C H A P . 4

N o w t h e f a c t t h a t f i s a n a l y t i c , a n d t h e r e f o r e c o n t i n u o u s , a t z o e n s u r e s t h a t ,

c o r r e s p o n d i n g t o e a c h p o s i t i v e n u m b e r E , h o w e v e r s m a l l , t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r S

s u c h t h a t

( 5 )

I f ( z ) - f ( z o ) I < e w h e n e v e r I z - z o l < 6 .

L e t t h e r a d i u s p o f t h e c i r c l e C p b e s m a l l e r t h a n t h e n u m b e r S i n t h e s e c o n d o f t h e s e

i n e q u a l i t i e s . S i n c e I z - z o l = p w h e n z i s o n C P , i t f o l l o w s t h a t t h e f i r s t o f i n e q u a l i t i e s

( 5 ) h o l d s w h e n z i s s u c h a p o i n t ; a n d i n e q u a l i t y ( 1 ) , S e c . 4 1 , g i v i n g u p p e r b o u n d s f o r

t h e m o d u l i o f c o n t o u r i n t e g r a l s , t e l l s u s t h a t

f

. f ( z ) - . f ( z o )

, "

z - z o

I n v i e w o f e q u a t i o n ( 4 ) , t h e n ,

d z

E

< 2 7 r p = 2 T r s .

p

V

C

f ( z ) d z

i f ( o )

2 7 r i z < 2 , - r E .

Z - z o

S i n c e t h e l e f t - h a n d s i d e o f t h i s i n e q u a l i t y i s a n o n n e g a t i v e c o n s t a n t t h a t i s l e s s t h a n a n

a r b i t r a r i l y s m a l l p o s i t i v e n u m b e r , i t m u s t e q u a l t o z e r o . H e n c e e q u a t i o n ( 2 ) i s v a l i d ,

a n d t h e t h e o r e m i s p r o v e d .

4 8 . D E R I V A T I V E S O F A N A L Y T I C F U N C T I O N S

I t f o l l o w s f r o m t h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a ( S e c . 4 7 ) t h a t i f a f u n c t i o n i s a n a l y t i c a t a

p o i n t , t h e n i t s d e r i v a t i v e s o f a l l o r d e r s e x i s t a t t h a t p o i n t a n d a r e t h e m s e l v e s a n a l y t i c

S E C . 4 8

D E R I V A T I V E S O F A N A L Y T I C F U N C T I O N S 1 5 9

t h e r e . T o p r o v e t h i s , w e s t a r t w i t h a l e m m a t h a t e x t e n d s t h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a

s o a s t o a p p l y t o d e r i v a t i v e s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d o r d e r .

L e m m a . S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e i n s i d e a n d o n a s i m p l e

c l o s e d c o n t o u r C , t a k e n i n t h e p o s i t i v e s e n s e . I f z i s a n y p o i n t i n t e r i o r t o C , t h e n

( 1 )

f ' ( z )

2 T r i

a n d

N o t e t h a t e x p r e s s i o n s ( 1 ) c a n b e o b t a i n e d f o r m a l l y , o r w i t h o u t r i g o r o u s v e r i f i c a -

t i o n , b y d i f f e r e n t i a t i n g w i t h r e s p e c t t o z u n d e r t h e i n t e g r a l s i g n i n t h e C a u c h y i n t e g r a l

f o r m u l a

w h e r e z i s i n t e r i o r t o C a n d s d e n o t e s p o i n t s o n C .

T o v e r i f y t h e f i r s t o f e x p r e s s i o n s ( 1 ) , w e l e t d d e n o t e t h e s m a l l e s t d i s t a n c e f r o m

z t o p o i n t s o n C a n d u s e f o r m u l a ( 2 ) t o w r i t e

+ A z ) - f ( z )

A z

2 n i J c

I

w h e r e 0 < I A z 1 < d ( s e e F i g . 6 5 ) . E v i d e n t l y , t h e n ,

( 3 )

f ( z + A z ) - f ( z )

1 f

f ( s ) d s I

A z

2 i r i

c ( s -

z ) 2

2 i r i f c

b z f ( s ) d s

z - A z ) ( s -

F I G U R E 6 5

d s

1 6 0 I N T E G R A L S

C H A P . 4

N e x t , w e l e t M d e n o t e t h e m a x i m u m v a l u e o f I f ( s ) I o n C a n d o b s e r v e t h a t , s i n c e

I s - - - z I > d a n d I A z I < d ,

I s - z - A z I = I ( s - z ) - - A z I > > - I I s

T h u s

- ( d - I A z l ) d 2

w h e r e L i s t h e l e n g t h o f C . U p o n l e t t i n g A z t e n d t o z e r o , w e f i n d f r o m t h i s i n e q u a l i t y

t h a t t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 3 ) a l s o t e n d s t o z e r o . C o n s e q u e n t l y ,

l i m

f ( z - i - A z ) - f ( z )

1

[ f ( s ) d s

A z

2 7 r i

c ( s -

z ) 2

a n d t h e d e s i r e d e x p r e s s i o n f o r f ' ( z ) i s e s t a b l i s h e d .

T h e s a m e t e c h n i q u e c a n b e u s e d t o v e r i f y t h e e x p r e s s i o n f o r f " ( z ) i n t h e

s t a t e m e n t

o f t h e l e m m a . T h e d e t a i l s , w h i c h a r e o u t l i n e d i n E x e r c i s e 9 , a r e l e f t t o t h e r e a d e r .

T h e o r e m 1 .

I f a f u n c t i o n i s a n a l y t i c a t a p o i n t , t h e n i t s d e r i v a t i v e s o f a l l o r d e r s e x i s t

a t t h a t p o i n t . T h o s e d e r i v a t i v e s a r e , m o r e o v e r , a l l a n a l y t i c t h e r e .

T o p r o v e t h i s r e m a r k a b l e t h e o r e m , w e a s s u m e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c a t

a

p o i n t z o . T h e r e m u s t , t h e n , b e a n e i g h b o r h o o d I z

- - z o l < s o f z o t h r o u g h o u t w h i c h f i s

a n a l y t i c ( s e e S e c . 2 3 ) . C o n s e q u e n t l y , t h e r e i s a p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e C O , c e n t e r e d

a t z o a n d w i t h r a d i u s s / 2 , s u c h t h a t f i s a n a l y t i c i n s i d e a n d o n C o ( F i g . 6 6 ) . A c c o r d i n g

t o t h e a b o v e l e m m a ,

f " ( z )

C O ( s

a t e a c h p o i n t z i n t e r i o r t o C O , a n d t h e e x i s t e n c e o f

,

f " ( z ) t h r o u g h o u t t h e n e i g h b o r h o o d

I z - z o l < s / 2 m e a n s t h a t f ' i s a n a l y t i c a t z o . O n e c a n a p p l y t h e s a m e a r g u m e n t t o t h e

A z l l > d - I A z I > 0 .

A z f ( s ) d s

1

E

1 A z I M

L

F I G U R E 6 6



S E C . 4 8

D E R I V A T I V E S O F A N A L Y T I C F U N C T I O N S

1 6 1

a n a l y t i c f u n c t i o n f ' t o c o n c l u d e t h a t i t s d e r i v a t i v e f " i s a n a l y t i c , e t c . T h e o r e m 1 i s

n o w e s t a b l i s h e d .

A s a c o n s e q u e n c e , w h e n a f u n c t i o n

, f ( z ) = u ( x , Y ) + i v ( x , Y )

i s a n a l y t i c a t a p o i n t z = ( x , y ) , t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f f e n s u r e s t h e c o n t i n u i t y o f f

t h e r e ( S e c . 1 8 ) . T h e n , s i n c e

+ i v x = v y - i u y ,

w e m a y c o n c l u d e t h a t t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f u a n d v a r e c o n t i n u o u s a t

t h a t p o i n t . F u r t h e r m o r e , s i n c e f " i s a n a l y t i c a n d c o n t i n u o u s a t z a n d s i n c e

f

" { z )

= u x x + i v x x = v y x - i x ,

e t c . , w e a r r i v e a t a c o r o l l a r y t h a t w a s a n t i c i p a t e d i n S e c . 2 5 , w h e r e h a r m o n i c f u n c t i o n s

w e r e i n t r o d u c e d ,

C o r o l l a r y .

I f a f u n c t i o n f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) i s d e f i n e d a n d a n a l y t i c a t a p o i n t

z = ( x , y ) t h e n t h e c o m p o n e n t f u n c t i o n s u a n d v h a v e c o n t i n u o u s

p a r t i a l d e r i v a t i v e s

o f a l l o r d e r s a t t h a t p o i n t .

O n e c a n u s e m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n t o g e n e r a l i z e f o r m u l a s ( 1 ) t o

n t

( 4 )

f ( n ) ( z )

2 n i J c

( n = 1 , 2 , .

T h e v e r i f i c a t i o n i s c o n s i d e r a b l y m o r e i n v o l v e d t h a n f o r j u s t n = 1 a n d n = 2 , a n d w e

r e f e r t h e i n t e r e s t e d r e a d e r t o o t h e r t e x t s f o r i t . * N o t e t h a t , w i t h t h e a g r e e m e n t t h a

. f ( ° ) ( z ) - = . f ( z )

a n d

0 = 1 ,

e x p r e s s i o n ( 4 ) i s a l s o v a l i d w h e n n = 0 , i n w h i c h c a s e i t b e c o m e s t h e C a u c h y i n t e g r a l

f o r m u l a ( 2 ) .

W h e n w r i t t e n i n t h e f o r m

( 5 )

f

f ( z ) d z

=

2 7 1 1

( n )

( z ° )

( z - z o )

+ 1

n

e x p r e s s i o n ( 4 ) c a n b e u s e f u l i n e v a l u a t i n g c e r t a i n i n t e g r a l s w h e n f i s a n a l y t i c i n s i d e

a n d o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C , t a k e n i n t h e p o s i t i v e s e n s e , a n d z ° i s a n y p o i n t

i n t e r i o r t o C . I t h a s a l r e a d y b e e n i l l u s t r a t e d i n S e c . 4 7 w h e n n = 0 .

* S e e , f o r e x a m p l e , p p . 2 9 9 - 3 0 1 i n V o l . I o f t h e b o o k b y M a r k u s h e v i c h , c i t e d i n A p p e n d i x 1 .



1 6 2

I N T E G R A L S

C H A P . 4

E X A M P L E 1 .

I f C i s t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d u n i t c i r c l e l z I = I a n d

. f ( z ) = e x p ( 2 z ) ,

t h e n

e x p ( 2 z ) d z

_

'

f ( z ) d z =

8 i r i

_

f ( p ) _

C

z 4

c ( z -

0 ) 3 + 1

3

3

E X A M P L E 2 .

L e t z e b e a n y p o i n t i n t e r i o r t o a p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d

c o n t o u r C . W h e n f ( z ) = 1 , e x p r e s s i o n ( 5 ) s h o w s t h a t

d z

= 2 r r i

C z - z o

a n d

( C o m p a r e E x e r c i s e 1 0 , S e c . 4 0 . )

W e c o n c l u d e t h i s s e c t i o n w i t h a t h e o r e m d u e t o E . M o r e r a ( 1 8 5 6 - 1 9 0 9 ) . T h e p r o o f

h e r e d e p e n d s o n t h e f a c t t h a t t h e d e r i v a t i v e o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n i s i t s e l f a n a l y t i c , a s

s t a t e d i n T h e o r e m 1 .

T h e o r e m 2 .

L e t f b e c o n t i n u o u s o n a d o m a i n D . I f

( 6 )

/ f ( z ) d z = 0

C

f o r e v e r y c l o s e d c o n t o u r C l y i n g i n D , t h e n f i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t D .

I n p a r t i c u l a r , w h e n D i s s i m p l y c o n n e c t e d , w e h a v e f o r t h e c l a s s o f c o n t i n u o u s

f u n c t i o n s o n D a c o n v e r s e o f T h e o r e m 1 i n S e c . 4 6 , w h i c h i s t h e e x t e n s i o n o f t h e

C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m i n v o l v i n g s u c h d o m a i n s .

T o p r o v e t h e t h e o r e m h e r e , w e o b s e r v e t h a t w h e n i t s h y p o t h e s i s i s s a t i s f i e d , t h e

t h e o r e m i n S e c . 4 2 e n s u r e s t h a t f h a s a n a n t i d e r i v a t i v e i n D ; t h a t i s , t h e r e e x i s t s a n

a n a l y t i c f u n c t i o n F s u c h t h a t F ' ( z ) = f ( z ) a t e a c h p o i n t i n D . S i n c e f i s t h e d e r i v a t i v e

o f F , i t t h e n f o l l o w s f r o m T h e o r e m 1 a b o v e t h a t f i s a n a l y t i c i n D .

E X E R C I S E S

1 . L e t C d e n o t e t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d b o u n d a r y o f t h e s q u a r e w h o s e s i d e s l i e a l o n g t h e

l i n e s x = + 2 a n d y = ± 2 . E v a l u a t e e a c h o f t h e s e i n t e g r a l s :

( a )

e _ z d z

c o s t

f z d z

1 1 7 7

b ) J

z - ( r r i J 2 ) '

c Z ( Z 2 + 8 )

- J c 2 z +

S E C . 4 8

E X E R C I S E S 1 6 3

c o s h z

t a n ( z / 2 )

( d ) I c

z

4

d z ;

( e ) f

( z - x O ) 2

d z ( - 2 x 0 2 ) .

A n s . ( a ) 2 T ;

( b ) 7 r i / 4 ;

( c ) - 7 r i / 2 ;

( d ) 0 ;

( e ) i r r s e c 2 ( x 0 / 2 ) .

2 . F i n d t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o f g ( z ) a r o u n d t h e c i r c l e I z - i I = 2 i n t h e p o s i t i v e s e n s e

w h e n

( a ) g ( z ) =

z 2

+ 4 '

( b ) g ( z ) _

( z 2

1

4 ) 2

A n s . ( a ) 7 r / 2 ;

( b ) 7 r / 1 6 .

3 . L e t C b e t h e c i r c l e I z I = 3 , d e s c r i b e d i n t h e p o s i t i v e s e n s e . S h o w t h a t i f

g ( w ) =

_

2 z 2

z - 2

d z

( I w I

3 ) ,

t h e n g ( 2 ) = 8 7 r i . W h a t i s t h e v a l u e o f g ( w ) w h e n I w I > 3 ?

4 . L e t C b e a n y s i m p l e c l o s e d c o n t o u r , d e s c r i b e d i n t h e p o s i t i v e s e n s e i n t h e z p l a n e , a n d

w r i t e

g ( w )

c ( z -

w ) 3

S h o w t h a t g ( w ) = 6 7 r i w w h e n w i s i n s i d e C a n d t h a t g ( w ) = 0 w h e n w i s o u t s i d e C .

5 , S h o w t h a t i f f i s a n a l y t i c w i t h i n a n d o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C a n d z c i s n o t o n C ,

t h e n

f ( z ) d z

[ f ( z ) d z

c z - z p

c ( z - z 0 ) 2

6 . L e t f d e n o t e a f u n c t i o n t h a t i s c o n t i n u o u s o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C . F o l l o w i n g a

p r o c e d u r e u s e d i n S e c . 4 8 , p r o v e t h a t t h e f u n c t i o n

1

f ( s ) d s

g ( z ) = 2 n i

c s - z

i s a n a l y t i c a t e a c h p o i n t z i n t e r i o r t o C a n d t h a t

1

f f ( s ) d s

g

( z ) =

2 r r i

a t s u c h a p o i n t .

7 . L e t C b e t h e u n i t c i r c l e z = e z O ( - r r < 0 < z e ) . F i r s t s h o w t h a t , f o r a n y r e a l c o n s t a n t a ,

2

T h e n w r i t e t h i s i n t e g r a l i n t e r m s o f 0 t o d e r i v e t h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a

J

e a c o s B

c o s ( a s i n 8 )

d 8 =

0

1 6 4 I N T E G R A L S

C H A P . 4

8 . ( a ) W i t h t h e a i d o f t h e b i n o m i a l f o r m u l a ( S e c . 3 ) , s h o w t h a t , f o r e a c h v a l u e o f n , t h e

f u n c t i o n

n

P n ( z ) =

1

d

n ' 2 n

d z

( z ` - 1 ) n

( n = 0 , 1 , 2 ,

i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n . *

( b ) L e t C d e n o t e a n y p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s u r r o u n d i n g a f i x e d

p o i n t z . W i t h t h e a i d o f t h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n ( 4 ) , S e c . 4 8 , f o r t h e n t h d e r i v a t i v e

o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n , s h o w t h a t t h e p o l y n o m i a l s i n p a r t ( a ) c a n b e e x p r e s s e d i n t h e

f o r m

f

( S " - 1 ) n

P ( z ) -

. . . ) .

2 n + t n . i

, ( S -

z ) n + i

d s

( n = 0 , 1 , 2 ,

( c ) P o i n t o u t h o w t h e i n t e g r a n d i n t h e r e p r e s e n t a t i o n f o r P n ( z ) i n p a r t ( b ) c a n b e w r i t t e n

( s + 1 ) n / ( s - 1 ) i f z = 1 . T h e n a p p l y t h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a t o s h o w t h a t

P 1 1 ( I ) = 1

( n = 0 , 1 , 2 , . . ) .

S i m i l a r l y , s h o w t h a t

n ( - 1 ) = ( - 1 ) n

( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

9 . F o l l o w t h e s t e p s b e l o w t o v e r i f y t h e e x p r e s s i o n

f " ( L )

-

t i J C ( s - z ) 3

i n t h e l e m m a i n S e c . 4 8 .

( a ) U s e t h e e x p r e s s i o n f o r f ' ( z ) i n t h e l e m m a t o s h o w t h a t

f ' ( z + A z ) - f ' ( z )

1 f ( s ) d s

1

f

3 ( s - z ) A z - - 2 ( A z ) 2

f ( s ) d s .

A z

i r i i s

( s - z ) 3

2 7 r i J c

( s - z - A z ) 2 ( s - z ) 3

( b ) L e t D a n d d d e n o t e t h e l a r g e s t a n d s m a l l e s t d i s t a n c e s , r e s p e c t i v e l y , f r o m z t o p o i n t s

o n C . A l s o , l e t M b e t h e m a x i m u m v a l u e o f I f ( s ) I o n C a n d L t h e l e n g t h o f C . W i t h

t h e a i d o f t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y a n d b y r e f e r r i n g t o t h e d e r i v a t i o n o f t h e e x p r e s s i o n

f o r f ' ( z ) i n t h e l e m m a , s h o w t h a t w h e n 0 < I A z I < d , t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o n

t h e r i g h t - h a n d s i d e i n p a r t ( a ) i s b o u n d e d f r o m a b o v e b y

( 3 D I A z I + 2 1 A z 1 2 ) M L .

( d - I A z I ) 2 d 3

U s e t h e r e s u l t s i n p a r t s ( a ) a n d ( b ) t o o b t a i n t h e d e s i r e d e x p r e s s i o n f o r

i t

* T h e s e a r e t h e L e g e n d r e p o l y n o m i a l s w h i c h a p p e a r i n E x e r c i s e 7 . S e c . 3 7 , w h e n z = x . S e e t h e f o o t n o t e

t o t h a t e x e r c i s e .



S E C . 4 9

L I O U V I L L E ' S T H E O R E M A N D T H E F U N D A M E N T A L T H E O R E M O F A L G E B R A

1 6 5

4 9 . L I O U V I L L E ' S T H E O R E M A N D T H E F U N D A M E N T A L

T H E O R E M O F A L G E B R A

T h i s s e c t i o n i s d e v o t e d t o t w o i m p o r t a n t t h e o r e m s t h a t f o l l o w f r o m t h e e x t e n s i o n o f

t h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a i n S e c . 4 8 .

L e m m a .

S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c i n s i d e a n d o n a p o s i t i v e l y o r i e n t e d

c i r c l e C R , c e n t e r e d a t z 0 a n d w i t h r a d i u s R ( F i g . 6 7 ) . I f M R d e n o t e s t h e m a x i m u m

v a l u e o f I f ( z ) ( o n C R , t h e n

( 1 )

f ( n ) ( Z 0

n M R

R n

1 , 2 , .

0

X

F I G U R E 6 7

I n e q u a l i t y ( 1 ) i s c a l l e d C a u c h y ' s i n e q u a l i t y a n d i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f

t h e e x p r e s s i o n

f

( n ) { z 0 )

=

n

2 7 r i

f ( , z ) d z

( z - Z O ) n +

w h i c h i s a s l i g h t l y d i f f e r e n t f o r m o f e q u a t i o n ( 5 ) , S e c . 4 8 . W e n e e d o n l y a p p l y

i n e q u a l i t y ( 1 ) , S e c . 4 1 , w h i c h g i v e s u p p e r b o u n d s f o r t h e m o d u l i o f t h e v a l u e s o f

c o n t o u r i n t e g r a l s , t o s e e t h a t

f ( f l ) ( z 0 )

n

c 2 7 r .

R n + 1 2 7 r R

w h e r e M R i s a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e l e m m a . T h i s i n e q u a l i t y i s , o f c o u r s e , t h e s a m e

a s i n e q u a l i t y ( 1 ) i n t h e l e m m a .

T h e l e m m a c a n b e u s e d t o s h o w t h a t n o e n t i r e f u n c t i o n e x c e p t a c o n s t a n t i s

b o u n d e d i n t h e c o m p l e x p l a n e . O u r f i r s t t h e o r e m h e r e , w h i c h i s k n o w n a s L i o u v i l l e ' s

t h e o r e m , s t a t e s t h i s r e s u l t i n a s o m e w h a t d i f f e r e n t w a y .

T h e o r e m 1 .

I f f i s e n t i r e a n d b o u n d e d i n t h e c o m p l e x p l a n e , t h e n f ( z ) i s c o n s t a n t

t h r o u g h o u t t h e p l a n e .

1 6 6

I N T E G R A L S

C H A P . 4

T o s t a r t t h e p r o o f , w e a s s u m e t h a t f i s a s s t a t e d i n t h e t h e o r e m a n d n o t e t h a t ,

s i n c e f i s e n t i r e , C a u c h y ' s i n e q u a l i t y ( 1 ) w i t h n = 1 h o l d s f o r a n y c h o i c e s o f z o a n d

R :

( 2 )

I f ' ( z o )

R

M o r e o v e r , t h e b o u n d e d n e s s c o n d i t i o n i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m t e l l s u s t h a t a

n o n n e g a t i v e c o n s t a n t M e x i s t s s u c h t h a t f ( z ) I < M f o r a l l z ; a n d , b e c a u s e t h e c o n s t a n t

M R i n i n e q u a l i t y ( 2 ) i s a l w a y s l e s s t h a n o r e q u a l t o M , i t f o l l o w s t h a t

( 3 )

I f ' ( z o ) l < R

w h e r e z o i s a n y f i x e d p o i n t i n t h e p l a n e a n d R i s a r b i t r a r i l y l a r g e . N o w t h e n u m b e r M

i n i n e q u a l i t y ( 3 ) i s i n d e p e n d e n t o f t h e v a l u e o f R t h a t i s t a k e n . H e n c e t h a t i n e q u a l i t y

c a n h o l d f o r a r b i t r a r i l y l a r g e v a l u e s o f R o n l y i f f ' ( z o ) = 0 . S i n c e t h e c h o i c e o f z o w a s

a r b i t r a r y , t h i s m e a n s t h a t f ' ( z ) = 0 e v e r y w h e r e i n t h e c o m p l e x p l a n e . C o n s e q u e n t l y ,

f i s a c o n s t a n t f u n c t i o n , a c c o r d i n g t o t h e t h e o r e m i n S e c . 2 3 .

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m , k n o w n a s t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f a l g e b r a , f o l l o w s

r e a d i l y f r o m L i o n v i l l e ' s t h e o r e m .

T h e o r e m 2 .

A n y p o l y n o m i a l

P ( z ) = a o + a 1 z + a 2 z 2 + . . . + a n z n

( a n 0 0 )

o f d e g r e e n ( n > 1 ) h a s a t l e a s t o n e z e r o . T h a t i s , t h e r e e x i s t s a t l e a s t o n e p o i n t

z o s u c h

t h a t P ( z o ) = 0 .

T h e p r o o f h e r e i s b y c o n t r a d i c t i o n . S u p p o s e t h a t P ( z ) i s n o t z e r o f o r a n y v a l u e

o f z . T h e n t h e r e c i p r o c a l

f ( z ) =

I

P ( z )

i s c l e a r l y e n t i r e , a n d i t i s a l s o b o u n d e d i n t h e c o m p l e x p l a n e .

T o s h o w t h a t i t i s b o u n d e d , w e f i r s t w r i t e

( 4 )

w a o + a 1 +

a 2 + . . . + a n - 1

z z

1 z 2

z

s o t h a t P ( z ) = ( a n + w ) z n . W e t h e n o b s e r v e t h a t a s u f f i c i e n t l y l a r g e p o s i t i v e n u m b e r

R c a n b e f o u n d s u c h t h a t t h e m o d u l u s o f e a c h o f t h e q u o t i e n t s i n e x p r e s s i o n ( 4 ) i s l e s s

t h a n t h e n u m b e r I a n / ( 2 n ) w h e n I z I > R . T h e g e n e r a l i z e d t r i a n g l e i n e q u a l i t y , a p p l i e d

t o n c o m p l e x n u m b e r s , t h u s s h o w s t h a t I w I < f a n / 2 f o r s u c h v a l u e s o f z . C o n s e q u e n t l y ,

w h e n f z I > R ,

S E C . 5 0

M A X I M U M M O D U L U S P R I N C I P L E

1 6 7

a n d t h i s e n a b l e s u s t o w r i t e

( 5 )

I P ( z ) I = I a n + w I l z n I >

I z I I


2

w h e n e v e r

I z I >

2

w h e n e v e r

I z I > R .

f ( z ) I =

<

n

I P ( z ) I

I a n l R

S o f i s b o u n d e d i n t h e r e g i o n e x t e r i o r t o t h e d i s k I z I < R . B u t f i s c o n t i n u o u s i n t h a t

c l o s e d d i s k , a n d t h i s m e a n s t h a t f i s b o u n d e d t h e r e t o o . H e n c e f i s b o u n d e d

i n t h e

e n t i r e p l a n e .

I t n o w f o l l o w s f r o m L i o u v i l l e ' s t h e o r e m t h a t f ( z ) , a n d c o n s e q u e n t l y P ( z ) , i s

c o n s t a n t . B u t P ( z ) i s n o t c o n s t a n t , a n d w e h a v e r e a c h e d a

c o n t r a d i c t i o n . *

T h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m t e l l s u s t h a t a n y p o l y n o m i a l P ( z ) o f d e g r e e n ( n > 1 )

c a n b e e x p r e s s e d a s a p r o d u c t o f l i n e a r f a c t o r s :

( 6 )

P ( Z ) = c ( z - z i ) ( z - Z 2 )

w h e r e c a n d Z k ( k = 1 , 2 , . . . , n ) a r e c o m p l e x c o n s t a n t s . M o r e p r e c i s e l y ,

t h e t h e o r e m

e n s u r e s t h a t P ( z ) h a s a z e r o z l . T h e n , a c c o r d i n g t o

E x e r c i s e 1 0 , S e c . 5 0 ,

P ( z ) = ( z - z l ) Q 1 ( z ) ,

w h e r e Q 1 ( z ) i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n - 1 . T h e s a m e a r g u m e n t , a p p l i e d t o Q 1 ( z ) ,

r e v e a l s t h a t t h e r e i s a n u m b e r z 2 s u c h t h a t

P ( z ) = ( z - z l ) ( z - z 2 ) Q 2 ( z ) ,

w h e r e Q 2 ( z ) i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n - 2 . C o n t i n u i n g i n t h i s w a y , w e a r r i v e a t

e x p r e s s i o n ( 6 ) . S o m e o f t h e c o n s t a n t s Z k i n e x p r e s s i o n ( 6 ) m a y , o f c o u r s e , a p p e a r m o r e

t h a n o n c e , a n d i t i s c l e a r t h a t P ( z ) c a n h a v e n o m o r e t h a n n d i s t i n c t z e r o s .

5 0 . M A X I M U M M O D U L U S P R I N C I P L E

I n t h i s s e c t i o n , w e d e r i v e a n i m p o r t a n t r e s u l t i n v o l v i n g m a x i m u m v a l u e s o f t h e m o d u l i

o f a n a l y t i c f u n c t i o n s . W e b e g i n w i t h a n e e d e d l e m m a .

L e m m a .


I f ( z ) 1

1 f ( z a ) I

a t e a c h p o i n t z i n s o m e n e i g h b o r h o o d

1 z - z o I < s i n w h i c h f i s a n a l y t i c . T h e n f ( z ) h a s

t h e c o n s t a n t v a l u e f ( z p ) t h r o u g h o u t

t h a t n e i g h b o r h o o d .

* F o r a n i n t e r e s t i n g p r o o f o f t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m u s i n g t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m , s e e

R . P .

B o a s , J r . , A m e r . M a t h . M o n t h l y , V o l . 7 1 , N o . 2 , p . 1 8 0 , 1 9 6 4 .

1 6 8 I N T E G R A L S

0

X

F I G U R E 6 8

C H A P . 4

T o p r o v e t h i s , w e a s s u m e t h a t f s a t i s f i e s t h e s t a t e d c o n d i t i o n s a n d l e t z i b e a n y

p o i n t o t h e r t h a n z o i n t h e g i v e n n e i g h b o r h o o d . W e t h e n l e t p b e t h e d i s t a n c e b e t w e e n

z 1 a n d z o . I f C . d e n o t e s t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e I z - z o l = p , c e n t e r e d a t z o a n d

p a s s i n g t h r o u g h z l ( F i g . 6 8 ) , t h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a t e l l s u s t h a t

( 1 )

f ( z o ) =

I

J

f ( z } d z

2 7 r i

c , ,

z - - z o

a n d t h e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

z = z o + p e i e

( O < 0 < 2 r r )

f o r C , , e n a b l e s u s t o w r i t e e q u a t i o n ( 1 ) a s

( 2 )

I

f ( z o +

p e t ' ) d O .

f ( z o )

2 1 7 r

W e n o t e f r o m e x p r e s s i o n ( 2 ) t h a t w h e n a f u n c t i o n i s a n a l y t i c w i t h i n a n d o n a g i v e n

c i r c l e , i t s v a l u e a t t h e c e n t e r i s t h e a r i t h m e t i c m e a n o f i t s v a l u e s o n t h e c i r c l e . T h i s

r e s u l t i s c a l l e d G a u s s ' s m e a n v a l u e t h e o r e m .

F r o m e q u a t i o n ( 2 ) , w e o b t a i n t h e i n e q u a l i t y

1

2 n

I

I f ( z o + p e w ) I d O .

3 )

I f ( z o ) I ` -

2 1 7 r

O n t h e o t h e r h a n d , s i n c e

( 4 )

w e f i n d t h a t

T h u s

f ( z o + p e L ° ' ) I _ = 1

I f ( z o + p e t e r ) I d O .

2 i r

. n

S E C . 5 0

M A X I M U M M O D U L U S P R I N C I P L E

1 6 9

I t i s n o w e v i d e n t f r o m i n e q u a l i t i e s ( 3 ) a n d ( 5 ) t h a t

I

i f ( z o + p e

f ( z o ) I =

2 n

o r

2 n

[ I f ( z o )

- I f ( z o +

p e e )

d

I d 9 = 0 .

T h e i n t e g r a n d i n t h i s l a s t i n t e g r a l i s c o n t i n u o u s i n t h e v a r i a b l e 9 ; a n d , i n v i e w o f

c o n d i t i o n ( 4 ) , i t i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o z e r o o n t h e e n t i r e i n t e r v a l 0 - < 0 < - 2 7 r .

B e c a u s e t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l i s z e r o , t h e n , t h e i n t e g r a n d m u s t b e i d e n t i c a l l y e q u a l

t o z e r o . T h a t i s ,

( 6 )

I f ( z o + p e ` 7 ) I

0

( 0 < 9 < 2 r ) .

T h i s s h o w s t h a t I f ( z ) I = I f ( z o ) I f o r a l l p o i n t s z o n t h e c i r c l e I z - z o I =

p .

F i n a l l y , s i n c e z I i s a n y p o i n t i n t h e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d 0 < I z - z o l < E , w e

s e e t h a t t h e e q u a t i o n I f ( z ) I = I f ( z o ) I

i s , i n f a c t , s a t i s f i e d b y a l l p o i n t s z l y i n g o n a n y

c i r c l e I z - z o I = p , w h e r e 0 < p < E . C o n s e q u e n t l y , I f ( z ) I = I f ( z o ) I e v e r y w h e r e i n

t h e n e i g h b o r h o o d I z - z o I < E . B u t w e k n o w f r o m E x e r c i s e 7 ( b ) , S e c . 2 4 , t h a t w h e n t h e

m o d u l u s o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n i s c o n s t a n t i n a d o m a i n , t h e f u n c t i o n i t s e l f i s c o n s t a n t

t h e r e . T h u s f ( z ) = f ( z o ) f o r e a c h p o i n t z i n t h e n e i g h b o r h o o d , a n d t h e p r o o f o f t h e

l e m m a i s c o m p l e t e .

T h i s l e m m a c a n b e u s e d t o p r o v e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , w h i c h i s k n o w n a s t h e

u r n m o d u l u s p r i n c i p l e .

T h e o r e m .

I f ' a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c a n d n o t c o n s t a n t i n a g i v e n d o m a i n D , t h e n

I f ( z ) I h a s n o m a x i m u m v a l u e i n D . T h a t i s , t h e r e i s n o p o i n t z 0 i n t h e d o m a i n s u c h

t h a t I f ( z ) I < I f ( z o ) I f o r a l l p o i n t s z i n i t .

G i v e n t h a t f i s a n a l y t i c i n D , w e s h a l l p r o v e t h e t h e o r e m b y a s s u m i n g t h a t I f ( z ) I

d o e s h a v e a m a x i m u m v a l u e a t s o m e p o i n t z 0 i n D a n d t h e n s h o w i n g t h a t f ( z ) m u s t

b e c o n s t a n t t h r o u g h o u t D .

T h e g e n e r a l a p p r o a c h h e r e i s s i m i l a r t o t h a t t a k e n i n t h e p r o o f o f t h e l e m m a i n

S e c . 2 6 . W e d r a w a p o l y g o n a l l i n e L l y i n g i n D a n d e x t e n d i n g f r o m z 0 t o a n y o t h e r

p o i n t P i n D . A l s o , d r e p r e s e n t s t h e s h o r t e s t d i s t a n c e f r o m p o i n t s o n L t o t h e b o u n d a r y

o f D . W h e n D i s t h e e n t i r e p l a n e , d m a y h a v e a n y p o s i t i v e v a l u e . N e x t , w e o b s e r v e

t h a t t h e r e i s a f i n i t e s e q u e n c e o f p o i n t s

Z 0 , Z I , Z 2 ,

a l o n g L s u c h t h a t z n c o i n c i d e s w i t h t h e p o i n t P a n d

I z k - z k - I I < d

( k = 1 , 2 ,

. . . ,

S E C . 5 0

E X E R C I S E S

1 7 1

C o r o l l a r y .

S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s c o n t i n u o u s o n a c l o s e d b o u n d e d r e g i o n R

a n d t h a t i t i s a n a l y t i c a n d n o t c o n s t a n t i n t h e i n t e r i o r o f R . T h e n t h e m a x i m u m v a l u e

o f I f ( z ) I i n R , w h i c h i s a l w a y s r e a c h e d , o c c u r s s o m e w h e r e o n t h e b o u n d a r y o f R a n d

n e v e r i n t h e i n t e r i o r .

E X A M P L E .

L e t R d e n o t e t h e r e c t a n g u l a r r e g i o n 0 < x < 7 r , 0 < y < 1 . T h e c o r o l -

l a r y t e l l s u s t h a t t h e m o d u l u s o f t h e e n t i r e f u n c t i o n f ( z )

= s i n z h a s a m a x i m u m v a l u e

i n R t h a t o c c u r s s o m e w h e r e o n t h e b o u n d a r y , a n d n o t i n t h e i n t e r i o r , o f R . T h i s c a n b e

v e r i f i e d d i r e c t l y b y w r i t i n g ( s e e S e c . 3 3 )

I f ( z ) I = / s i n 2 x + s i n h 2

y

a n d n o t i n g t h a t , i n R , t h e t e r m s i n 2 x i s g r e a t e s t w h e n x

= 7 r / 2 a n d t h a t t h e i n c r e a s i n g

f u n c t i o n s i n h 2 y i s g r e a t e s t w h e n y = 1 . T h u s t h e m a x i m u m v a l u e o f I f ( z ) I i n R

o c c u r s

a t t h e b o u n d a r y p o i n t z = ( 7 r / 2 , 1 ) a n d a t n o o t h e r p o i n t i n R ( F i g . 7 0 ) .

X

F I G U R E 7 0

W h e n t h e f u n c t i o n f i n t h e c o r o l l a r y i s w r i t t e n f ( z } = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , t h e

c o m p o n e n t f u n c t i o n u ( x , y ) a l s o h a s a m a x i m u m v a l u e i n R w h i c h i s a s s u m e d o n

t h e b o u n d a r y o f R a n d n e v e r i n t h e i n t e r i o r w h e r e i t i s h a r m o n i c ( S e c . 2 5 ) . F o r t h e

c o m p o s i t e f u n c t i o n g ( z ) = e x p [ f ( z ) ] i s c o n t i n u o u s i n R a n d a n a l y t i c a n d n o t c o n s t a n t

i n t h e i n t e r i o r . C o n s e q u e n t l y , i t s m o d u l u s I g ( z ) l

= e x p [ u ( x , y ) ] , w h i c h i s c o n t i n u o u s

i n R , m u s t a s s u m e i t s m a x i m u m v a l u e i n R o n t h e b o u n d a r y . B e c a u s e o f t h e i n c r e a s i n g

n a t u r e o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n , i t f o l l o w s t h a t t h e m a x i m u m v a l u e o f u ( x , y ) a l s o

o c c u r s o n t h e b o u n d a r y .

P r o p e r t i e s o f m i n i m u m v a l u e s o f I f ( z ) I a n d u ( x , y ) a r e t r e a t e d i n t h e e x e r c i s e s .

E X E R C I S E S

1 . L e t f b e a n e n t i r e f u n c t i o n s u c h t h a t I f ( z ) I < A I z I f o r a l l z , w h e r e A i s a f i x e d p o s i t i v e

n u m b e r . S h o w t h a t f ' ( z ) = a 1 z , w h e r e a 1 i s a c o m p l e x c o n s t a n t .

S u g g e s t i o n : U s e C a u c h y ' s i n e q u a l i t y ( S e c . 4 9 ) t o s h o w t h a t t h e s e c o n d d e r i v a t i v e

f " ( z ) i s z e r o e v e r y w h e r e i n t h e p l a n e . N o t e t h a t t h e c o n s t a n t M R i n C a u c h y ' s i n e q u a l i t y

i s l e s s t h a n o r e q u a l t o A ( I z o l + R ) .

1 7 2

I N T E G R A L S

C H A P . 4

2 . S u p p o s e t h a t f ( z ) i s e n t i r e a n d t h a t t h e h a r m o n i c f u n c t i o n u ( x , y )

= R e [ f ( z ) ] h a s a n

u p p e r b o u n d u 0 ; t h a t i s , u ( x , y ) < u q f o r a l l p o i n t s ( x , y ) i n t h e x y p l a n e . S h o w t h a t

u ( x , y ) m u s t b e c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e p l a n e .

S u g g e s t i o n : A p p l y L i o u v i l l e ' s t h e o r e m ( S e c . 4 9 ) t o t h e f u n c t i o n g ( z ) = e x p [ f ( z ) ] .

3 . S h o w t h a t , f o r R s u f f i c i e n t l y l a r g e , t h e p o l y n o m i a l P ( z ) i n T h e o r e m 2 , S e c . 4 9 , s a t i s f i e s

t h e i n e q u a l i t y

I P ( z ) I < 2 1 a , I I z I

w h e n e v e r

I z

[ C o m p a r e t h e f i r s t o f i n e q u a l i t i e s ( 5 ) , S e c . 4 9 . ]

S u g g e s t i o n : O b s e r v e t h a t t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r R s u c h t h a t t h e m o d u l u s o f

e a c h q u o t i e n t i n e x p r e s s i o n ( 4 ) , S e c . 4 9 , i s l e s s t h a n I a , I / n w h e n I z I > R .

4 . L e t a f u n c t i o n f b e c o n t i n u o u s i n a c l o s e d b o u n d e d r e g i o n R , a n d l e t i t b e a n a l y t i c a n d

n o t c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e i n t e r i o r o f R . A s s u m i n g t h a t f ( z ) A 0 a n y w h e r e i n R , p r o v e

t h a t I f ( z ) I h a s a m i n i m u m v a l u e m i n R w h i c h o c c u r s o n t h e b o u n d a r y o f R a n d n e v e r

i n t h e i n t e r i o r . D o t h i s b y a p p l y i n g t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t f o r m a x i m u m v a l u e s ( S e c .

5 0 ) t o t h e f u n c t i o n g ( z ) = 1 J f ( z ) .

5 . U s e t h e f u n c t i o n f ( z ) = z t o s h o w t h a t i n E x e r c i s e 4 t h e c o n d i t i o n f ( z )

0 a n y w h e r e

i n R i s n e c e s s a r y i n o r d e r t o o b t a i n t h e r e s u l t o f t h a t e x e r c i s e . T h a t i s , s h o w t h a t I f ( z )

I

c a n r e a c h i t s m i n i m u m v a l u e a t a n i n t e r i o r p o i n t w h e n t h a t m i n i m u m v a l u e i s z e r o .

6 . C o n s i d e r t h e f u n c t i o n f ( z ) _ ( z + 1 ) 2 a n d t h e c l o s e d t r i a n g u l a r r e g i o n R w i t h v e r t i c e s

a t t h e p o i n t s z = 0 , z = 2 , a n d z = i . F i n d p o i n t s i n R w h e r e I f ( z ) I h a s i t s m a x i m u m a n d

m i n i m u m v a l u e s , t h u s i l l u s t r a t i n g r e s u l t s i n S e c . 5 0 a n d E x e r c i s e 4 .

S u g g e s t i o n : I n t e r p r e t I f ( z ) I a s t h e s q u a r e o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n

z a n d - 1 .

A n s . z = 2 , z = 0 .

7 . L e t f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) b e a f u n c t i o n t h a t i s c o n t i n u o u s o n a c l o s e d b o u n d e d r e g i o n

R a n d a n a l y t i c a n d n o t c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e i n t e r i o r o f R . P r o v e t h a t t h e c o m p o n e n t

f u n c t i o n u ( x , y ) h a s a m i n i m u m v a l u e i n R w h i c h o c c u r s o n t h e b o u n d a r y o f R a n d

n e v e r

i n t h e i n t e r i o r . ( S e e E x e r c i s e 4 . )

8 . L e t f b e t h e f u n c t i o n f ( z ) = e z a n d R t h e r e c t a n g u l a r r e g i o n 0 < x < 1 , 0 <

y < 7 r .

I l l u s t r a t e r e s u l t s i n S e c . 5 0 a n d E x e r c i s e 7 b y f i n d i n g p o i n t s i n R w h e r e t h e c o m p o n e n t

f u n c t i o n u ( x , y ) = R e [ f ( z ) ] r e a c h e s i t s m a x i m u m a n d m i n i m u m v a l u e s .

A n s . z = 1 , z = 1

9 . L e t t h e f u n c t i o n f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) b e c o n t i n u o u s o n

a c l o s e d b o u n d e d r e g i o n

R , a n d s u p p o s e t h a t i t i s a n a l y t i c a n d n o t c o n s t a n t i n t h e i n t e r i o r o f R . S h o w t h a t t h e

c o m p o n e n t f u n c t i o n v ( x , y ) h a s m a x i m u m a n d m i n i m u m v a l u e s i n R w h i c h a r e r e a c h e d

o n t h e b o u n d a r y o f R a n d n e v e r i n t h e i n t e r i o r , w h e r e i t i s h a r m o n i c .

S u g g e s t i o n : A p p l y r e s u l t s i n S e c . 5 0 a n d E x e r c i s e 7 t o t h e f u n c t i o n g ( z )

- - i f ( z ) .

1 0 . L e t z a b e a z e r o o f t h e p o l y n o m i a l

P ( z ) = a o + a l z + a 2 z L + . . . + a n z "

( a n 5 0 )



S E C . 5 0

o f d e g r e e n ( n > 1 ) . S h o w i n t h e f o l l o w i n g w a y t h a t

P ( Z ) = ( z - z o ) Q

w h e r e Q ( z ) i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n - 1 .

( a ) V e r i f y t h a t

( z - z o

( z x - 1 + z x a z a +

. . . + Z Z a

2

E X E R C I S E S

1 7 3

2 ,

( b ) U s e t h e f a c t o r i z a t i o n i n p a r t ( a ) t o s h o w t h a t

P ( z ) - P ( z a ) = ( z - z o ) Q ( z ) ,

w h e r e Q ( z ) i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n - 1 , a n d d e d u c e t h e d e s i r e d r e s u l t f r o m t h i s .

C H A P T E R

5

S E R I E S

T h i s c h a p t e r i s d e v o t e d m a i n l y t o s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s . W e

p r e s e n t t h e o r e m s t h a t g u a r a n t e e t h e e x i s t e n c e o f s u c h r e p r e s e n t a t i o n s , a n d w e d e v e l o p

s o m e f a c i l i t y i n m a n i p u l a t i n g s e r i e s .

5 1 . C O N V E R G E N C E O F S E Q U E N C E S

A n i n f i n i t e s e q u e n c e

( 1 )

Z l f z 2 1 .

. . , Z n , .

o f c o m p l e x n u m b e r s h a s a l i m i t z i f , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r e , t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e

i n t e g e r n o s u c h t h a t

( 2 ) ( z n - z I < s

w h e n e v e r

n > n o .

G e o m e t r i c a l l y , t h i s m e a n s t h a t , f o r s u f f i c i e n t l y l a r g e v a l u e s o f n , t h e p o i n t s z n l i e i n

a n y g i v e n s n e i g h b o r h o o d o f z ( F i g . 7 1 ) . S i n c e w e c a n c h o o s e s a s

s m a l l a s w e p l e a s e ,

i t f o l l o w s t h a t t h e p o i n t s z n b e c o m e a r b i t r a r i l y c l o s e t o z a s t h e i r s u b s c r i p t s i n c r e a s e .

N o t e t h a t t h e v a l u e o f n o t h a t i s n e e d e d w i l l , i n g e n e r a l , d e p e n d o n t h e v a l u e o

T h e s e q u e n c e ( 1 ) c a n h a v e a t m o s t o n e l i m i t . T h a t i s , a l i m i t z i s u n i q u e i f i t e x i s t s

( E x e r c i s e 5 , S e c . 5 2 ) . W h e n t h a t l i m i t e x i s t s , t h e s e q u e n c e i s s a i d t o c o n v e r g e t o z ; a n d

w e w r i t e

( 3 )

l i m z n = Z .

n - t o o

I f t h e s e q u e n c e h a s n o l i m i t , i t d i v e r g e s .

1 7 5

1 7 6

S E R I E S

C H A P . 5

y

n - + o , - -

x

T h e o r e m .

S u p p o s e t h a t z n = x n + i y n ( n = 1 , 2 , . . . ) a n d z = x + i y . T h e n

I ' m Z n = Z

n - r o a

x n = x a n d

= V .

T o p r o v e t h i s t h e o r e m , w e f i r s t a s s u m e t h a t c o n d i t i o n s ( 5 ) h o l d a n d o b t a i n

c o n d i t i o n ( 4 ) f r o m i t . A c c o r d i n g t o c o n d i t i o n s ( 5 ) , t h e r e e x i s t , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r

e , p o s i t i v e i n t e g e r s n 1 a n d n 2 s u c h t h a t

I x n - x ( < 2

w h e n e v e r n > n 1

a n d

I Y n Y I < 2

F I G U R E 7 1

w h e n e v e r

n > n 2 .

H e n c e , i f n o i s t h e l a r g e r o f t h e t w o i n t e g e r s n 1 a n d n 2 ,

s

( x n - x j < - a n d

S i n c e

t h e n ,

- y

6

2

w h e n e v e r

n > n o .

i Y n ) - ( x + i y ) l = I ( X n - x ) + i ( Y n - Y ) I < - I X n - x I + l Y n - Y 1 ,

1 Z n - z l <

+ - = e

w h e n e v e r n > n o .

C o n d i t i o n ( 4 ) t h u s h o l d s .

S E C . 5 1

C O N V E R G E N C E O F S E Q U E N C E S

1 7 7

C o n v e r s e l y , i f w e s t a r t w i t h c o n d i t i o n ( 4 ) , w e k n o w t h a t , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r

t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e i n t e g e r n o s u c h t h a t

I ( x

n +

i y n ) - ( x + i y ) I < s

w h e n e v e r

n > n 0 .

B u t

i ( Y n - " Y ) 1 = O n + I Y n ) - ( x + i Y ) I

I Y n - Y I O n - x ) + i ( Y n - A = I ( x n + I Y n ) - ( x + i Y ) I ;


( x n - x I < E a n d

I y n - y l < E w h e n e v e r

n > n 0 .

T h a t i s , c o n d i t i o n s ( 5 ) a r e s a t i s f i e d .

N o t e h o w t h e t h e o r e m e n a b l e s u s t o w r i t e

l i r a ( x n + i y , a ) = I ' m x n + i l i m y n

n - + C X

n - + o o

n - + o c

w h e n e v e r w e k n o w t h a t b o t h l i m i t s o n t h e r i g h t e x i s t o r t h a t t h e o n e o n t h e l e f t e x i s t s .

E X A M P L E . T h e s e q u e n c e

( n = 1 , 2 ,

c o n v e r g e s t o i s i n c e

1

i m

1 = 0 - - i

l i m

c n 3

+

i

n l i m a o

n

, o

(

+ i

n

n 3

B y w r i t i n g

I Z n - i l = n 3

o n e c a n a l s o u s e d e f i n i t i o n ( 2 ) t o o b t a i n t h i s r e s u l t . M o r e p r e c i s e l y , f o r e a c h p o s i t i v e

n u m b e r s ,

l

I Z n - i I < 8 w h e n e v e r

n >

, - -



1 7 8

S E R I E S

5 2 . C O N V E R G E N C E O F S E R I E S

A n i n f i n i t e s e r i e s

( 1 )

0 0

E Z n = Z 1 + Z 2 + . . . + Z n +

n = 1

o f c o m p l e x n u m b e r s c o n v e r g e s t o t h e s u m S i f t h e s e q u e n c e

( 2 )

S N = L z n = Z l + z 2 + . . . + Z N ( N = 1 , 2 , . . . )

n = 1

o f p a r t i a l s u m s c o n v e r g e s t o S ; w e t h e n w r i t e

C H A P . 5

L Z n

S .

n = 1

N o t e t h a t , s i n c e a s e q u e n c e c a n h a v e a t m o s t o n e l i m i t , a s e r i e s c a n h a v e a t m o s t o n e

s u m . W h e n a s e r i e s d o e s n o t c o n v e r g e , w e s a y

t h a t i t d i v e r g e s .

T h e o r e m .

S u p p o s e t h a t z n = x n + i y n ( n = 1 , 2 , . . . ) a n d S = X + i Y . T h e n

= S

X n = X a n d

n = 1

1 : y n = Y .

n = 1

T h i s t h e o r e m t e l l s u s , o f c o u r s e , t h a t o n e c a n w r i t e

w h e n e v e r i t i s k n o w n t h a t t h e t w o s e r i e s o n t h e r i g h t c o n v e r g e o r t h a t t h e o n e o n

t h e

l e f t d o e s .

T o p r o v e t h e t h e o r e m , w e f i r s t w r i t e t h e p a r t i a l s u m s ( 2 ) a s

( 5 )

S N = X N + i Y N ,

w h e r e

X N = L x n a n d Y N =

n = l

N

n = 1

S E C . 5 2

C O N V E R G E N C E O F S E R I E S

1 7 9

N o w s t a t e m e n t ( 3 ) i s t r u e i f a n d o n l y i

( 6 )

l i r a S N = S ;

N - + o o

a n d , i n v i e w o f r e l a t i o n ( 5 ) a n d t h e t h e o r e m o n s e q u e n c e s i n S e c . 5 1 , l i m i t ( 6 ) h o l d s i f

a n d o n l y i f

( 7 )

l i m X N = X a n d

N + o c

l i m Y N = Y .

N - * o c

L i m i t s ( 7 ) t h e r e f o r e i m p l y s t a t e m e n t ( 3 ) , a n d c o n v e r s e l y . S i n c e X N a n d Y N a r e t h e

p a r t i a l s u m s o f t h e s e r i e s ( 4 ) , t h e t h e o r e m h e r e i s p r o v e d .

B y r e c a l l i n g f r o m c a l c u l u s t h a t t h e n t h t e r m o f a c o n v e r g e n t s e r i e s o f r e a l n u m b e r s

a p p r o a c h e s z e r o a s n t e n d s t o i n f i n i t y , w e c a n s e e i m m e d i a t e l y f r o m t h e t h e o r e m s i n

t h i s a n d t h e p r e v i o u s s e c t i o n t h a t t h e s a m e i s t r u e o f a c o n v e r g e n t s e r i e s o f c o m p l e x

n u m b e r s . T h a t i s , a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e c o n v e r g e n c e o f s e r i e s ( 1 ) i s t h a t

( 8 )

l i m z n = 0 .

n - o c

T h e t e r m s o f a c o n v e r g e n t s e r i e s o f c o m p l e x n u m b e r s a r e , t h e r e f o r e , b o u n d e d . T o b e

s p e c i f i c , t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e c o n s t a n t M s u c h t h a t j z n I < M f o r e a c h p o s i t i v e i n t e g e r

n . ( S e e E x e r c i s e 9 . )

F o r a n o t h e r i m p o r t a n t p r o p e r t y o f s e r i e s o f c o m p l e x n u m b e r s , w e a s s u m e t h a t

s e r i e s ( 1 ) i s a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t . T h a t i s , w h e n Z n = x n + i y n , t h e s e r i e s

Y 2

o f r e a l n u m b e r s j x ? + y c o n v e r g e s . S i n c e

a n d

I y n

w e k n o w f r o m t h e c o m p a r i s o n t e s t i n c a l c u l u s t h a t

t h e t w o s e r i e s

n = 1

a n d

o c

Y n I

n = 1

m u s t c o n v e r g e . M o r e o v e r , s i n c e t h e a b s o l u t e c o n v e r g e n c e o f a s e r i e s o f r e a l

n u m b e r s

i m p l i e s t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s i t s e l f , i t f o l l o w s t h a t t h e r e a r e r e a l n u m b e r s X a n d

Y t o w h i c h s e r i e s ( 4 ) c o n v e r g e . A c c o r d i n g t o t h e t h e o r e m i n t h i s s e c t i o n , t h e n ,

s e r i e s

( 1 ) c o n v e r g e s . C o n s e q u e n t l y , a b s o l u t e c o n v e r g e n c e o f a s e r i e s o f c o m p l e x n u m b e r s

i m p l i e s c o n v e r g e n c e o f t h a t s e r i e s .

I n e s t a b l i s h i n g t h e f a c t t h a t t h e s u m o f a s e r i e s i s a g i v e n n u m b e r S , i t i s o f t e n

c o n v e n i e n t t o d e f i n e t h e r e m a i n d e r P N a f t e r N t e r m s :

( 9 )

P N = S - S N .

1 8 0

S E R I E S

C H A P . 5

T h u s S = S N + P N ; a n d , s i n c e I S N - S I = I P N - 0 1 , w e s e e t h a t a s e r i e s c o n v e r g e s

t o a n u m b e r S i f a n d o n l y i f t h e s e q u e n c e o f r e m a i n d e r s t e n d s t o z e r o . W e s h a l l m a k e

c o n s i d e r a b l e u s e o f t h i s o b s e r v a t i o n i n o u r t r e a t m e n t o f p o w e r s e r i e s . T h e y a r e s e r i e s

o f t h e f o r m

n ( z - z o ) n = a o + a 1 ( z - z o ) + a 2 ( z - z o ) z + . . . + a n ( z - z o

n = 0

w h e r e z o a n d t h e c o e f f i c i e n t s a n a r e c o m p l e x c o n s t a n t s a n d z m a y b e a n y p o i n t i n a

s t a t e d r e g i o n c o n t a i n i n g z o . I n s u c h s e r i e s , i n v o l v i n g a v a r i a b l e z , w e s h a l l d e n o t e s u m s ,

p a r t i a l s u m s , a n d r e m a i n d e r s b y S ( z ) , S N ( z ) , a n d P N ( z ) , r e s p e c t i v e l y .

E X A M P L E . W i t h t h e a i d o f r e m a i n d e r s , i t i s e a s y t o v e r i f y t h a t

( 1 0 )

w h e n e v e r

j z ( < 1 .

W e n e e d o n l y r e c a l l t h e i d e n t i t y ( E x e r c i s e 1 0 , S e c . 7 )

1 _ Z n + 1

1 + z + z 2 + . . . + Z n =

- z

t o w r i t e t h e p a r t

a l

s u m s

S N ( Z )

n o

a s

( z 0 1 )

n 1 - } - + z 2 + . . . + z N - 1

( z 0 1 )

1 - Z N

S N ( Z )

i f

t h e n ,

T h u s

p N ( z ) = S ( z ) - S N ( z ) = l z

z

( z 0 D .

a n d i t i s c l e a r f r o m t h i s t h a t t h e r e m a i n d e r s p N ( z ) t e n d t o z e r o w h e n I z I < 1 b u t n o t

w h e n 1 1 - 1 > 1 . S u m m a t i o n f o r m u l a ( 1 0 ) i s , t h e r e f o r e , e s t a b l i s h e d .

S E C . 5 2

E X E R C I S E S

1 8 1

E X E R C I S E S

1 . S h o w i n t w o w a y s t h a t t h e s e q u e n c e

( _ I ) n

z n = - 2 + z

( n = 1 , 2 , . .

n

c o n v e r g e s t o - 2 .

2 . L e t r n d e n o t e t h e m o d u l i a n d Q n t h e p r i n c i p a l v a l u e s o f t h e a r g u m e n t s o f t h e c o m p l e x

n u m b e r s z n i n E x e r c i s e 1 . S h o w t h a t t h e s e q u e n c e r n ( n = 1 , 2 , . . . ) c o n v e r g e s b u t t h a t

t h e s e q u e n c e Q , ( n = 1 , 2 , . . . ) d o e s n o t .

3 . S h o w t h a t

l i m z n = z ,

t h e n

l i m I z n 1 = I z I

n - ) ,

n

4 . W r i t e z = r e ' 0 , w h e r e 0 < r < 1 , i n t h e s u m m a t i o n f o r m u l a t h a t w a s d e r i v e d

i n t h e

e x a m p l e i n S e c . 5 2 . T h e n , w i t h t h e a i d o f t h e t h e o r e m i n S e c . 5 2 , s h o w t h a t

r c o s 9 - r

2

" "

r s i n 9

r n c o s n 9 =

a n d

r n s i n n 9 =

n = 1

1 - 2 r c o s 0 + r 2

n = 1

1 - 2 r c o s 9 + r 2

w h e n 0 < r < 1 . ( N o t e t h a t t h e s e f o r m u l a s a r e a l s o v a l i d w h e n r = 0 . )

5 . S h o w t h a t a l i m i t o f a c o n v e r g e n t s e q u e n c e o f c o m p l e x n u m b e r s i s u n i q u e b y a p p e a l i n g

t o t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t f o r a s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s .

6 . S h o w t h a t

i f

t h e n

n = 1

= 1

7 . L e t c d e n o t e a n y c o m p l e x n u m b e r a n d s h o w t h a t

o a

z n = S ,

t h e n E C z n = C S .

n = 1

8 . B y r e c a l l i n g t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t f o r s e r i e s o f r e a l n u m b e r s a n d r e f e r r i n g t o

t h e

t h e o r e m i n S e c . 5 2 , s h o w t h a t

o a

o a

: - - S a n d ) ' w , = T ,

t h e n

} , ( z , + w n ) = S + T .

n = 1

9 . L e t a s e q u e n c e z , ( n = 1 , 2 , . . . ) c o n v e r g e t o a n u m b e r z . S h o w t h a t t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e

n u m b e r M s u c h t h a t t h e i n e q u a l i t y I z n I < M h o l d s f o r a l l n . D o t h i s i n e a c h o f t h e w a y s

i n d i c a t e d b e l o w .

( a ) N o t e t h a t t h e r e i s a p o s i t i v e i n t e g e r n o s u c h t h a t

I z n l = I z + ( z n - z ) I n o .

1 8 2 S E R I E S

C H A P . 5

( b ) W r i t e z = x , a + i y , a n d r e c a l l f r o m t h e t h e o r y o f s e q u e n c e s o f r e a l n u m b e r s t h a t

t h e c o n v e r g e n c e o f x n a n d y n ( n = 1 , 2 , . . . ) i m p l i e s t h a t I x I < M I a n d I y n I < M 2

( n = 1 , 2 , . . . ) f o r s o m e p o s i t i v e n u m b e r s M l a n d M 2 .

5 3 . T A Y L O R S E R I E S

W e t u r n n o w t o T a y l o r ' s t h e o r e m , w h i c h i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t r e s u l t s o f t h e

c h a p t e r .

T h e o r e m .

S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t a d i s k I z - z o l < R o ,

c e n t e r e d a t z o a n d w i t h r a d i u s R o ( F i g . 7 2 ) . T h e n f ( z ) h a s t h e p o w e r s e r i e s r e p r e s e n -

t a t i o n

( 1 )

f ( z ) = ) ' a n ( z - z o ) n

( I z - z o I < R o ) ,

n = 0

w h e r e

( 2 )

a n =

f

( n l ( z o )

( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

n

T h a t i s , s e r i e s ( 1 ) c o n v e r g e s t o f ( z ) w h e n z l i e s i n t h e s t a t e d o p e n d i s k .

/

z \

R

4

z o

1

/

F I G U R E 7 2

T h i s i s t h e e x p a n s i o n o f f ( z ) i n t o a T a y l o r s e r i e s a b o u t t h e p o i n t z o . I t i s t h e

f a m i l i a r T a y l o r s e r i e s f r o m c a l c u l u s , a d a p t e d t o f u n c t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e . W i t h

t h e a g r e e m e n t t h a t

f ( o ) ( z o ) = f ( z o )

a n d

0 =

s e r i e s ( 1 ) c a n , o f c o u r s e , b e w r i t t e n

( 3 ) f ( z ) _ . f ( z o ) +

f o )

( z - z o ) +

f

o ( z -

z o ) 2 + . . .

( I z - z o I < R o ) .

S E C . 5 3

T A Y L O R S E R I E S

1 8 3

A n y f u n c t i o n w h i c h i s a n a l y t i c a t a p o i n t z 0 m u s t h a v e a T a y l o r s e r i e s a b o u t z 0 .

F o r , i f f i s a n a l y t i c a t z 0 , i t i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t s o m e n e i g h b o r h o o d I z - z o I < e o f

t h a t p o i n t ( S e c . 2 3 ) ; a n d s m a y s e r v e a s t h e v a l u e o f R 0 i n t h e s t a t e m e n t o f T a y l o r ' s

t h e o r e m . A l s o , i f f i s e n t i r e , R 0 c a n b e c h o s e n a r b i t r a r i l y l a r g e ; a n d t h e c o n d i t i o n o f

v a l i d i t y b e c o m e s I z - z o l < o o . T h e s e r i e s t h e n c o n v e r g e s t o f ( z ) a t e a c h p o i n t z i n

t h e f i n i t e p l a n e .

W e f i r s t p r o v e t h e t h e o r e m w h e n z 0 = 0 , i n w h i c h c a s e s e r i e s ( 1 ) b e c o m e s

( 4 )

. f ( z ) =

n = 0

a n d i s c a l l e d a M a c l a u r i n s e r i e s . T h e p r o o f w h e n z 0 i s a r b i t r a r y w i l l f o l l o w a s a n

i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e .

T o b e g i n t h e d e r i v a t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n ( 4 ) , w e w r i t e I z I = r a n d l e t C o d e n o t e

a n y p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e J z t = r 0 , w h e r e r < r 0 < R 0 ( s e e F i g . 7 3 ) . S i n c e f i s

a n a l y t i c i n s i d e a n d o n t h e c i r c l e C o a n d s i n c e t h e p o i n t z i s i n t e r i o r t o C O , t h e C a u c h y

i n t e g r a l f o r m u l a a p p l i e s :

( 5 )

F I G U R E 7 3

s 1 d s

N o w t h e f a c t o r 1 / ( s - z ) i n t h e i n t e g r a n d h e r e c a n b e p u t i n t h e f o r m

( 6 )

_ 1

1

s

1 -

( z / s ) '

a n d w e k n o w f r o m t h e e x a m p l e i n S e c . 5 2 t h a t

( 7 )

t z ) =

( n ) ( 0 ) z n

( f z l < R O )

n I

2 7 r i J C ,

s - z

1

N - 1

Z n

Z N

n = O

1 8 4

S E R I E S

C H A P . 5

w h e n z i s a n y c o m p l e x n u m b e r o t h e r t h a n u n i t y . R e p l a c i n g z b y z / s i n e x p r e s s i o n ( 7 ) ,

t h e n , w e c a n r e w r i t e e q u a t i o n ( 6 ) a s

( 8 )

N

1

s

=

z

n = 0

s n + 1

L

N

s - Z ) s

M u l t i p l y i n g t h r o u g h t h i s e q u a t i o n b y f ( s ) a n d t h e n i n t e g r a t i n g e a c h s i d e w i t h r e s p e c t

t o s a r o u n d C O , w e f i n d t h a t

f ( s ) d s

=

f ( s ) d s

z n

+ z N

. f ( s ) d s

I

o

S - z

J

o

s n + 1

C o ( S - Z ) S N

0=

I n v i e w o f e x p r e s s i o n ( 5 ) a n d t h e f a c t ( S e c . 4 8 ) t h a t

1 f ( s ) d s f

( n ) ( 0 )

( n = 0 , 1 , 2 , .

2 7 r i

J C 0

s n + 1

n

t h i s r e d u c e s , a f t e r w e m u l t i p l y t h r o u g h b y 1 / ( 2 7 r i ) , t o

N - I

{ n ) ( 0

( 9 )

f ( Z ) = Y

. f

)

z n + h n ( Z ) ,

0

w h e r e

( 1 0 )

( 1 1 )

n i

N

f

P N ( z ) =

2 7 r i

f c o

( s

( s Z ) S N

R e p r e s e n t a t i o n ( 4 ) n o w f o l l o w s o n c e i t i s s h o w n t h a t

l i r a p N ( z ) = 0 .

N - * o c

T o a c c o m p l i s h t h i s , w e r e c a l l t h a t I z I = r a n d t h a t C o h a s r a d i u s r o , w h e r e r o > r . T h e n ,

i f s i s a p o i n t o n C O , w e c a n s e e t h a t

I s - z I ?

1 1 s l - I z l i = r 0 - r .

C o n s e q u e n t l y , i f M d e n o t e s t h e m a x i m u m v a l u e o f I f ( s ) I o n C O ,

r

N

-

J N

I A N ( z ) I <

2 7 r

( r o

M

) r N

7 r r o =

r o

o

r \

J J J

o

0

I n a s m u c h a s ( r / r 0 ) < 1 , l i m i t ( 1 1 ) c l e a r l y h o l d s .

T o v e r i f y t h e t h e o r e m w h e n t h e d i s k o f r a d i u s R o i s c e n t e r e d a t a n a r b i t r a r y p o i n t

Z o , w e s u p p o s e t h a t f i s a n a l y t i c w h e n I z - z o l < R e a n d n o t e t h a t

t h e c o m p o s i t e

f u n c t i o n f ( z + z o ) m u s t b e a n a l y t i c w h e n I ( z + z o ) - z o I < R . T h i s l a s t i n e q u a l i t y

i s , o f c o u r s e , j u s t I z I < R e ; a n d , i f w e w r i t e g ( z ) = f ( z + z o ) , t h e a n a l y t i c i t y o f g i n

S E C . 5 4

E X A M P L E S 1 8 5

t h e d i s k I z I < R o e n s u r e s t h e e x i s t e n c e o f a M a c l a u r i n s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n :

t n 1

O

0

g ( z ) =

` g

z n

( I z I < R 0 )

n = 0

T h a t i s

0 )

- U /

Z n

( I Z I < R o ) .

n = 0

A f t e r r e p l a c i n g z b y z - z o i n t h i s e q u a t i o n a n d i t s c o n d i t i o n o f v a l i d i t y , w e h a v e t h e

d e s i r e d T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n ( 1 ) .

5 4 . E X A M P L E S

W h e n i t i s k n o w n t h a t f i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e i n s i d e a c i r c l e c e n t e r e d a t z 0 , c o n v e r -

g e n c e o f i t s T a y l o r s e r i e s a b o u t z o t o f ( z ) f o r e a c h p o i n t z

w i t h i n t h a t c i r c l e i s e n s u r e d ;

n o t e s t f o r t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s i s r e q u i r e d . I n f a c t , a c c o r d i n g t o

T a y l o r ' s t h e o -

r e m , t h e s e r i e s c o n v e r g e s t o f ( z ) w i t h i n t h e c i r c l e a b o u t z o w h o s e

r a d i u s i s t h e d i s t a n c e

f r o m z o t o t h e n e a r e s t p o i n t z l w h e r e f f a i l s t o b e a n a l y t i c . I n S e c . 5 9 , w e s h a l l f i n d

t h a t t h i s i s a c t u a l l y t h e l a r g e s t c i r c l e c e n t e r e d a t z o s u c h t h a t t h e s e r i e s c o n v e r g e s t o

f ( z ) f o r a l l z i n t e r i o r t o i t ,

A l s o , i n S e c . 6 0 , w e s h a l l s e e t h a t i f t h e r e a r e c o n s t a n t s a n ( n = 0 , 1 , 2 . . . ) s u c h

t h a t

o c 1

z - z 0 ) ,

n = 0

f o r a l l p o i n t s z i n t e r i o r t o s o m e c i r c l e c e n t e r e d a t z o , t h e n t h e p o w e r s e r i e s h e r e m u s t

b e t h e T a y l o r s e r i e s f o r f a b o u t z o , r e g a r d l e s s o f h o w t h o s e c o n s t a n t s a r i s e . T h i s

o b s e r v a t i o n o f t e n a l l o w s u s t o f i n d t h e c o e f f i c i e n t s a n i n T a y l o r s e r i e s i n m o r e e f f i c i e n t

w a y s t h a n b y a p p e a l i n g d i r e c t l y t o t h e f o r m u l a a n = f

( n ) ( z o ) / n i n T a y l o r ' s t h e o r e m .

I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s , w e u s e t h e f o r m u l a i n T a y l o r ' s t h e o r e m t o f i n d t h e

M a c l a u r i n s e r i e s e x p a n s i o n s o f s o m e f a i r l y s i m p l e f u n c t i o n s , a n d w e e m p h a s i z e t h e

u s e o f t h o s e e x p a n s i o n s i n f i n d i n g o t h e r r e p r e s e n t a t i o n s . I n o u r

e x a m p l e s , w e s h a l l

f r e e l y u s e e x p e c t e d p r o p e r t i e s o f c o n v e r g e n t s e r i e s , s u c h a s t h o s e v e r i f i e d i n E x e r c i s e s

7 a n d 8 , S e c . 5 2 .

E X A M P L E 1 .

S i n c e t h e f u n c t i o n f ( z ) = e z i s e n t i r e , i t h a s a M a c l a u r i n s e r i e s

r e p r e s e n t a t i o n w h i c h i s v a l i d f o r a l l z . H e r e f

( n )

( z ) = e z ; a n d , b e c a u s e f ( n ) ( 0 ) = 1 , i t

f o l l o w s t h a t

( 1 )

e z = } ; =

( I z I < C O .

1 8 6 S E R I E S

N o t e t h a t i f z = x + i O , e x p a n s i o n ( 1 ) b e c o m e s

x n

< x <

-

1 ) n

i n z n

n

T h e e n t i r e f u n c t i o n z 2 e 3 z a l s o h a s a M a c l a u r i n s e r i e s e x p a n s i o n . T h e s i m p l e s t

w a y t o o b t a i n i t i s t o r e p l a c e z b y 3 z o n e a c h s i d e o f e q u a t i o n ( 1 ) a n d t h e n

m u l t i p l y

t h r o u g h t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n b y z 2 :

z 2 e 3 ` =

n =

( I z I < o c ) .

F i n a l l y , i f w e r e p l a c e n b y n - 2 h e r e , w e h a v e

2

( I z I <

E X A M P L E 2 .

O n e c a n u s e e x p a n s i o n ( 1 ) a n d t h e d e f i n i t i o n ( S e c . 3 3 )

s i n z =

e - 1 z

2 i

t o f i n d t h e M a c l a u r i n s e r i e s f o r t h e e n t i r e f u n c t i o n f ( z ) = = s i n z . T o g i v e t h e d e t a i l s ,

w e r e f e r t o e x p a n s i o n ( 1 ) a n d w r i t e

s i n 7

B u t l -

I n a s m u c h a s

t h i s r e d u c e s t o

( 2 )

C H A P . 5

( I z I < o c ) .

= 0 w h e n n i s e v e n , a n d s o w e c a n r e p l a c e n b y 2 n + 1 i n t h i s l a s t s e r i e

s i n z

- 1 ) 2 n + 1 =

2 a n d

s i n z

n = O

i 2 n + r z 2 n + 1

( 2 n + 1 )

Z 2 n + 1

1 ) n

( 2 n + 1 )

( I z I < o o ) .

( I z I < o o

S E C . 5 4

E X A M P L E S

1 8 7

T e r m b y t e r m d i f f e r e n t i a t i o n w i l l b e j u s t i f i e d i n S e c . 5 9 , U s i n g t h a t p r o c e d u r e

h e r e , w e d i f f e r e n t i a t e e a c h s i d e o f e q u a t i o n ( 2 ) a n d w r i t e

c o s Z =

T h a t i s ,

c o s z

O Z I <

E X A M P L E 3 . B e c a u s e s i n h z = - i s i n ( i z ) ( S e c . 3 4 ) , w e n e e d o n l y r e p l a c e z b y i z

o n e a c h s i d e o f e q u a t i o n ( 2 ) a n d m u l t i p l y t h r o u g h t h e r e s u l t b y - i t o s e e t h a t

( 4 )

s i n h z =

( I z l < o o ) .

L i k e w i s e , s i n c e c o s h z = c o s ( i z ) , i t f o l l o w s f r o m e x p a n s i o n ( 3 ) t h a t

n = 0

O b s e r v e t h a t t h e T a y l o r s e r i e s f o r c o s h z a b o u t t h e p o i n t z 0 = - 2 i r i , f o r e x a m p l e ,

i s o b t a i n e d b y r e p l a c i n g t h e v a r i a b l e z b y z + 2 7 r i o n e a c h s i d e o f e q u a t i o n ( 5 ) a n d

t h e n r e c a l l i n g t h a t c o s h ( z + 2 7 r i ) = c o s h z f o r a l l z :

c o s h z = )

.

' "

O Z I < o c ) .

n =

E X A M P L E 4 .

A n o t h e r M a c l a u r i n s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n i s

1

1 - z

n = Q

O Z I

T h e d e r i v a t i v e s o f t h e f u n c t i o n f ( z ) = 1 / ( 1 - z ) , w h i c h f a i l s t o b e a n a l y t i c a t z =

n

1 , 2 ,

a n d , i n p a r t i c u l a r , f

( n ) ( 0 )

= W . N o t e t h a t e x p a n s i o n ( 6 ) g i v e s u s t h e s u m o f a n i n f i n i t e

g e o m e t r i c s e r i e s , w h e r e z i s t h e c o m m o n r a t i o o f a d j a c e n t t e r m s :

l + z + z 2 + z 3 + -

2 n

c o s h z = ) .

O Z I < o o ) .

1

( I z I < 1 ) .

1 8 8

S E R I E S

C H A P S

T h i s i s , o f c o u r s e , t h e s u m m a t i o n f o r m u l a t h a t w a s f o u n d i n a n o t h e r w a y i n t h e e x a m p l e

i n S e c . 5 2 .

I f w e s u b s t i t u t e - z f o r z i n e q u a t i o n ( 6 ) a n d i t s c o n d i t i o n o f v a l i d i t y , a n d n o t e

t h a t J z I < l w h e n I - z I < 1 , w e s e e t h a t

1

1 + Z

) n z n

( I z I

W

n = O

I f , o n t h e o t h e r h a n d , w e r e p l a c e t h e v a r i a b l e z i n e q u a t i o n ( 6 ) b y 1 - z , w e h a v e

t h e T a y l o r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

0 0

1

T -

n n = o

( I z - 1 1 < D .

T h i s c o n d i t i o n o f v a l i d i t y f o l l o w s f r o m t h e o n e a s s o c i a t e d w i t h e x p a n s i o n ( 6 ) s i n c e

J 1 - z l < 1 i s t h e s a m e a s I z - i J < 1 .

E X A M P L E 5 .

F o r o u r f i n a l e x a m p l e , l e t u s e x p a n d t h e f u n c t i o n

1 + 2 z 2

1

2 ( l + z 2 ) - 1

1 f

. f ( z ) _

=

=

2 -

z 3 + z 5 - Z 3

1 + Z 2

Z 3

i n t o a s e r i e s i n v o l v i n g p o w e r s o f z . W e c a n n o t f i n d a M a c l a u r i n s e r i e s f o r f ( z ) s i n c e

i t i s n o t a n a l y t i c a t z = 0 . B u t w e d o k n o w f r o m e x p a n s i o n ( 6 ) t h a t

1

I + z `

H e n c e , w h e n 0 < I z I < 1 ,

. f ( z ) _

1

( 2 -

z

( I z l < 1 ) .

W e c a l l s u c h t e r m s a s 1 / z 3 a n d 1 / z n e g a t i v e p o w e r s o f z s i n c e t h e y c a n b e w r i t t e n

z - 3

a n d z - 1 , r e s p e c t i v e l y . T h e t h e o r y o f e x p a n s i o n s i n v o l v i n g n e g a t i v e p o w e r s o f z - z o

w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e c t i o n .

E X E R C I S E S *

1 . O b t a i n t h e M a c l a u r i n s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

z c o s h ( z 2 )

( I z l < o c ) .

* I n t h e s e a n d s u b s e q u e n t e x e r c i s e s o n s e r i e s e x p a n s i o n s , i t i s r e c o m m e n d e d t h a t t h e r e a d e r u s e , w h e n

p o s s i b l e , r e p r e s e n t a t i o n s ( 1 ) t h r o u g h ( 6 ) i n S e c . 5 4 .

S E C . 5 4

2 . O b t a i n t h e T a y l o r s e r i e s

I

f o r t h e f u n c t i o n f ( z ) = e z b y

a

u s i n g f

( n ) ( 1 ) ( n

= 0 , 1 , 2 , . .

. ) ;

( b ) w r i t i n g e z = e z

3 . F i n d t h e M a c l a u r i n s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e f u n c t i o n

f ( z )

z

z

I

z 4 + 9 9

1 + ( z 4 / 9 )

n

A n s . Y

L - "

z 4 n + 1

( I z ) < / ) .

3 2 n + 2

n = O

4 . S h o w t h a t i f f ( z ) = s i n z , t h e n

E X E R C I S E S

1 8 9

f ( 2 n ) ( 0 )

= 0

a n d

f ( 2 n + 1 ) ( 0 )

_ ( _ 1 Y

( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

T h u s g i v e a n a l t e r n a t i v e d e r i v a t i o n o f t h e M a c l a u r i n s e r i e s ( 2 ) f o r s i n z i n S e c . 5 4 .

5 . R e d e r i v e t h e M a c l a u r i n s e r i e s ( 3 ) i n S e c . 5 4 f o r t h e f u n c t i o n f ( z ) = c o s z b y

( a ) u s i n g t h e d e f i n i t i o n

c o s z

2

i n S e c . 3 3 a n d a p p e a l i n g t o t h e M a c l a u r i n s e r i e s ( 1 ) f o r e z i n S e c . 5 4 ;

( b ) s h o w i n g t h a t

f ( 2 n ) ( 0 ) =

(

d

( 2 n + 1 ) ( 0 )

= 0

( n = 0 , 1 , 2 , .

.

6 . W r i t e t h e M a c l a u r i n s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f u n c t i o n f ( z ) =

s i n ( z 2 ) , a n d p o i n t o u t

h o w i t f o l l o w s t h a t

0 ) = 0

a n d f

( 2 n + 1 )

( 0 ) = 0

( n = 0 , 1 ,

7 . D e r i v e t h e T a y l o r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

1

1 - z

S u g g e s t i o n : S t a r t b y w r i t i n g

( I z - i I < v ' 2 ) .

1

1

1 1

1 9 0

S E R I E S

C H A P . 5

8 . W i t h t h e a i d o f t h e i d e n t i t y ( s e e S e c . 3 3 )

c o s z = - s i n

e x p a n d c o s z i n t o a T a y l o r s e r i e s a b o u t t h e p o i n t z 0 = 7 r / 2 .

9 . U s e t h e i d e n t i t y s i n h ( z + i r i ) = - s i n h z , v e r i f i e d i n E x e r c i s e 7 ( a ) , S e c . 3 4 , a n d t h e f a c t

t h a t s i n h z i s p e r i o d i c w i t h p e r i o d 2 n i t o f i n d t h e T a y l o r s e r i e s f o r s i n h z a b o u t t h e p o i n t

z 0 = r i .

0 0 ( z - l r F

2 n + 1

A n s . -

( I z - z r i l < o 0 ) .

n - 0

( 2 n + 1 )

1 0 . W h a t i s t h e l a r g e s t c i r c l e w i t h i n w h i c h t h e M a c l a u r i n s e r i e s f o r t h e f u n c t i o n t a n h z

c o n v e r g e s t o t a n h z ? W r i t e t h e f i r s t t w o n o n z e r o t e r m s o f t h a t s e r i e s .

1 1 . S h o w t h a t w h e n z 5 4 0 ,

2

-

-

a )

+

+ -

( b )

Z ' Z ' z

Z

3

4

s i n ( z 2 )

_ 1

z 2

z 6

z 1 0

z 4 z 2

3

5 7

1 2 . D e r i v e t h e e x p a n s i o n s

0 0

z 2 n + - 1

( b ) z 3 c o s h

( z )

2

+ . . 3

1 3 . S h o w t h a t w h e n 0 < I z l < 4 ,

( 0 < I z I < o c ) ;

1

1

( 0 < I z 1 < o c ) .

( 2 n + 2 )

z 2 n - I

5 5 . L A U R E N T S E R I E S

I f a f u n c t i o n f f a i l s t o b e a n a l y t i c a t a p o i n t z 0 , w e c a n n o t a p p l y T a y l o r ' s t h e o r e m

a t t h a t p o i n t . I t i s o f t e n p o s s i b l e , h o w e v e r , t o f i n d a s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n f o r f ( z )

i n v o l v i n g b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p o w e r s o f z - z o ( S e e E x a m p l e 5 , S e c . 5 4 , a n d

a l s o E x e r c i s e s 1 1 , 1 2 , a n d 1 3 f o r t h a t s e c t i o n . ) W e n o w p r e s e n t t h e t h e o r y o f s u c h

r e p r e s e n t a t i o n s , a n d w e b e g i n w i t h L a u r e n t ' s t h e o r e m .

T h e o r e m .

S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t a n a n n u l a r d o m a i n

R 1 < I z - z o l < R 2 , c e n t e r e d a t z o , a n d l e t C d e n o t e a n y p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e

c l o s e d c o n t o u r a r o u n d z o a n d l y i n g i n t h a t d o m a i n ( F i g . 7 4 ) . T h e n , a t e a c h p o i n t i n

S E C . 5 5

L A U R E N T S E R I E S

1 9 1

t h e d o m a i n , f ( z ) h a s t h e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

( 1 )

f ( z ) = L a n ( Z -

n = O

n =

w h e r e

( 2 )

a n d

( 3 )

1

f ( z ) d z

2 7 r i

c ( z -

z o ) n + l

2

b

n

1

C

f ( z ) d z

( n = 0 , 1 , 2 , .

2 7 r i

( Z - z o ) - n + l

R 2 ) ,

F I G U R E 7 4

E x p a n s i o n ( 1 ) i s o f t e n w r i t t e n

f ( z ) = > ,

c n ( z - z o ) n

( R I < I z - z o l < R 2 ) ,

n = - c X

w h e r e

( 5 )

f ( z ) d z

C ( Z - Z o ) n + l

( n = 0 , ± 1 , ± 2 ,

I n e i t h e r o f t h e f o r m s ( 1 ) o r ( 4 ) , i t i s c a l l e d a L a u r e n t s e r i e s .

O b s e r v e t h a t t h e i n t e g r a n d i n e x p r e s s i o n ( 3 ) c a n b e w r i t t e n f ( z ) ( z -

z o ) n - l . T h u s

c l e a r t h a t w h e n f i s a c t u a l l y a n a l y t i c t h r o u g h o u t t h e d i s k I z - z o l < R 2 , t h i s

i n t e g r a n d i s t o o . H e n c e a l l o f t h e c o e f f i c i e n t s b n a r e z e r o ; a n d , b e c a u s e ( S e c . 4 8 )

f ( z ) d z

f ( n ) ( z 0 )

( n - 0 1 2 )

2 ; r i

C ( z - Z O ) n + l

- n

1 9 2

S E R I E S

C H A P 5

e x p a n s i o n ( 1 ) r e d u c e s t o a T a y l o r s e r i e s a b o u t z 0 .

I f , h o w e v e r , f f a i l s t o b e a n a l y t i c a t z 0 b u t i s o t h e r w i s e a n a l y t i c i n t h e d i s k

I z - z o l < R 2 , t h e r a d i u s R I c a n b e c h o s e n a r b i t r a r i l y s m a l l . R e p r e s e n t a t i o n ( 1 ) i s

t h e n v a l i d i n t h e p u n c t u r e d d i s k 0 < ( z - z 0 I < R 2 . S i m i l a r l y , i f f i s a n a l y t i c a t e a c h

p o i n t i n t h e f i n i t e p l a n e e x t e r i o r t o t h e c i r c l e ( z - z o o = R 1 , t h e c o n d i t i o n o f v a l i d i t y i s

R 1 < I z - z 0 1 < o o . O b s e r v e t h a t i f f i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e i n t h e f i n i t e p l a n e e x c e p t

a t z 0 , s e r i e s ( 1 ) i s v a l i d a t e a c h p o i n t o f a n a l y t i c i t y , o r w h e n 0 < 1 z - z 0 ) < e x p .

W e s h a l l p r o v e L a u r e n t ' s t h e o r e m f i r s t w h e n z 0 = 0 , i n w h i c h c a s e t h e a n n u l u s i s

c e n t e r e d a t t h e o r i g i n . T h e v e r i f i c a t i o n o f t h e t h e o r e m w h e n z 0 i s a r b i t r a r y w i l l f o l l o w

r e a d i l y .

W e s t a r t t h e p r o o f b y f o r m i n g a c l o s e d a n n u l a r r e g i o n r 1 < I z l < r 2 t h a t i s c o n -

t a i n e d i n t h e d o m a i n R 1 < I z i < R 2 a n d w h o s e i n t e r i o r c o n t a i n s b o t h t h e p o i n t z a n d

t h e c o n t o u r C ( F i g . 7 5 ) . W e l e t C 1 a n d C 2 d e n o t e t h e c i r c l e s I z I = r 1 a n d I z I = r 2 , r e -

s p e c t i v e l y , a n d w e a s s i g n t h o s e t w o c i r c l e s a p o s i t i v e o r i e n t a t i o n . O b s e r v e t h a t f i s

a n a l y t i c o n C 1 a n d C 2 , a s w e l l a s i n t h e a n n u l a r d o m a i n b e t w e e n t h e m .

N e x t , w e c o n s t r u c t a p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e y w i t h c e n t e r a t z a n d s m a l l e n o u g h

t o b e c o m p l e t e l y c o n t a i n e d i n t h e i n t e r i o r o f t h e a n n u l a r r e g i o n r 1 < I z I < r 2 , a s s h o w n i n

F i g . 7 5 . I t t h e n f o l l o w s f r o m t h e e x t e n s i o n o f t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m t o i n t e g r a l s

o f a n a l y t i c f u n c t i o n s a r o u n d t h e o r i e n t e d b o u n d a r i e s o f m u l t i p l y c o n n e c t e d d o m a i n s

( T h e o r e m 2 , S e c . 4 6 ) t h a t

f f ( s ) d s

f f ( s ) d s

f f ( s ) d s

- 0

C 2

s - Z

J C , s - Z

J y s - Z

F I G U R E 7 5

S E C . 5 5

L A U R E N T S E R I E S

1 9 3

B u t , a c c o r d i n g t o t h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a , t h e v a l u e o f t h e t h i r d i n t e g r a l h e r e i s

2 7 r i i f ( z ) . H e n c e

f ( z ) =

1

f

f ( s ) d s

+

1

f f ( s ) d

2 7 r i

c 2 s - z

2 3 r i

c I z - s

N o w t h e f a c t o r 1 / ( s - z ) i n t h e f i r s t o f t h e s e i n t e g r a l s i s t h e s a m e a s i n e x p r e s s i o n

( 5 ) , S e c . 5 3 , w h e r e T a y l o r ' s t h e o r e m w a s p r o v e d ; a n d w e s h a l l n e e d h e r e t h e e x p a n s i o n

( 7 )

1

1

n N

Z

{ -

Z

s - z

n + 1

( s

n = O

w h i c h w a s u s e d i n t h a t e a r l i e r s e c t i o n . A s f o r t h e f a c t o r 1 / ( z - s ) i n t h e s e c o n d i n t e g r a l ,

a n i n t e r c h a n g e o f s a n d z i n e q u a t i o n ( 7 ) r e v e a l s t h a t

e p l a c e t h e i n d e x o f s u m m a t i o n n h e r e b y n - 1 , t h i s e x p a n s i o n t a k e s t h e f o r m

( 8 )

1

n

- S

I t

' S - n + 1

Z n

S N

5

w h i c h i s t o b e u s e d i n w h a t f o l l o w s .

M u l t i p l y i n g t h r o u g h e q u a t i o n s ( 7 ) a n d ( 8 ) b y f ( s ) / ( 2 r r i ) a n d t h e n i n t e g r a t i n g

e a c h s i d e o f t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s w i t h r e s p e c t t o s a r o u n d C 2 a n d C 1 , r e s p e c t i v e l y ,

w e f i n d f r o m e x p r e s s i o n ( 6 ) t h a t

N - 1

N

n

f ( Z ) _

a n Z ' + P N ( Z )

w h e r e t h e n u m b e r s a n ( n = 0 ,

b y t h e e q u a t i o n s

(

0 )

a n d w h e r e

P N ( Z ) =

Z N

2 7 r i

O r N

1

f s N f ( s ) d s

Z ) _

2 7 r i z N

t

Z - S

A s N t e n d s t o o o , e x p r e s s i o n ( 9 ) e v i d e n t l y t a k e s t h e p r o p e r f o r m o f a L a u r e n t

s e r i e s i n t h e d o m a i n R 1 < I z i < R 2 , p r o v i d e d t h a t

, N - 1 ) a n d b n ( n = 1 , 2 , .

.

.

,

N ) a r e g i v e n

1 )

i i m P N ( z ) = 0

a n d

l i m a N ( Z ) = 0 .

N - - + o o

N o o

1 9 4

S E R I E S

C H A P . 5

T h e s e l i m i t s a r e r e a d i l y e s t a b l i s h e d b y a m e t h o d a l r e a d y u s e d i n t h e p r o o f o f T a y l o r ' s

t h e o r e m i n S e c . 5 3 . W e w r i t e I z I - r , s o t h a t r 1 < r < r 2 , a n d l e t M d e n o t e t h e

m a x i m u m v a l u e o f I f ( s ) I o n C 1 a n d C 2 . W e a l s o n o t e t h a t i f s i s a p o i n t o n C 2 , t h e n

I s - z I > r 2 - - r ; a n d i f s i s o n C 1 , I z - s I > r - r 1 . T h i s e n a b l e s u s t o w r i t e

I A N ( Z ) I <

M r 2

r 2 - r

S i n c e ( r 1 r 2 ) < 1 a n d ( r 1 1 r ) < 1 , i t i s n o w c l e a r t h a t b o t h P N ( z ) a n d U N ( z ) h a v e t h e

d e s i r e d p r o p e r t y .

F i n a l l y , w e n e e d o n l y r e c a l l C o r o l l a r y 2 i n S e c . 4 6 t o s e e t h a t t h e c o n t o u r s u s e d i n

i n t e g r a l s ( 1 0 ) m a y b e r e p l a c e d b y t h e c o n t o u r C . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f o f L a u r e n t ' s

t h e o r e m w h e n z o = 0 s i n c e , i f z i s u s e d i n s t e a d o f s a s t h e v a r i a b l e o f i n t e g r a t i o n ,

e x p r e s s i o n s ( 1 0 ) f o r t h e c o e f f i c i e n t s a / z a n d b n a r e t h e s a m e a s e x p r e s s i o n s ( 2 ) a n d ( 3 )

w h e n z o = 0 t h e r e .

T o e x t e n d t h e p r o o f t o t h e g e n e r a l c a s e i n w h i c h z o i s a n a r b i t r a r y p o i n t i n t h e

f i n i t e p l a n e , w e l e t f b e a f u n c t i o n s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n s i n t h e t h e o r e m ; a n d , j u s t

a s w e d i d i n t h e p r o o f o f T a y l o r ' s t h e o r e m , w e w r i t e g ( z ) = f ( z + z o ) . S i n c e f ( z ) i s

a n a l y t i c i n t h e a n n u l u s R 1 < I z - z o l < R 2 , t h e f u n c t i o n f ( z + z o ) i s a n a l y t i c w h e n

R 1 < I ( z + z o ) - z o l < R 2 . T h a t i s , g i s a n a l y t i c i n t h e a n n u l u s R l < I z I < R 2 , w h i c h i s

c e n t e r e d a t t h e o r i g i n . N o w t h e s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m

h a s s o m e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n z = z ( t ) ( a < t < b ) , w h e r e

( 1 2 )

R 1 < I z ( t ) - z o l < R 2

f o r a l l t i n t h e i n t e r v a l a < t < b . H e n c e i f F d e n o t e s t h e p a t h

( 1 3 )

z = z ( t ) - z o

( a < t < b

r i s n o t o n l y a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r b u t , i n v i e w o f i n e q u a l i t i e s ( 1 2 ) , i t l i e s i n t h e

d o m a i n R 1 

( R 1 < I z I < R 2 ) ,

w h e r e

( 1 5 )

( 1 6 ) b n =

g ( z ) d z

r

Z - n + l

n = 0 , 1 , 2 , .

n = 1 , 2 , . .

R e p r e s e n t a t i o n ( 1 ) i s o b t a i n e d i f w e w r i t e f ( z + z o ) i n s t e a d o f g ( z ) i n e q u a t i o n

( 1 4 ) a n d t h e n r e p l a c e z b y z - z o i n t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n , a s w e l l a s i n t h e c o n d i t i o n o f

v a l i d i t y R 1 < I z l < R 2 . E x p r e s s i o n ( 1 5 ) f o r t h e c o e f f i c i e n t s a n i s , m o r e o v e r , t h e s a m e

S E C . 5 6

E X A M P L E S

1 9 5

a s e x p r e s s i o n ( 2 ) s i n c e

g ( z ) d z

=

1 b

f [ z ( t ) ] z ` ( t )

d t _

f ( z ) d z

r

z n + 1

a

[ z ( t ) - z e l n + l

c ( z - z o ) n + i

`

S i m i l a r l y , t h e c o e f f i c i e n t s b n i n e x p r e s s i o n ( 1 6 ) a r e t h e s a m e a s t h o s e i n e x p r e s -

s i o n

5 6 . E X A M P L E S

T h e c o e f f i c i e n t s i n a L a u r e n t s e r i e s a r e g e n e r a l l y f o u n d b y m e a n s o t h e r t h a n b y

a p p e a l i n g d i r e c t l y t o t h e i r i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n t h e e x a m p l e s

b e l o w , w h e r e i t i s a l w a y s a s s u m e d t h a t , w h e n t h e a n n u l a r d o m a i n i s s p e c i f i e d , a L a u r e n t

s e r i e s f o r a g i v e n f u n c t i o n i n u n i q u e . A s w a s t h e c a s e w i t h T a y l o r s e r i e s , w e d e f e r t h e

p r o o f o f s u c h u n i q u e n e s s u n t i l S e c . 6 0 .

E X A M P L E 1 .

R e p l a c i n g z b y 1 / z i n t h e M a c l a u r i n s e r i e s e x p a n s i o n

( I z I < o c

w e h a v e t h e L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

( 0 < ` z I < o o

N o t e t h a t n o p o s i t i v e p o w e r s o f z a p p e a r h e r e , t h e c o e f f i c i e n t s o f t h e p o s i t i v e

p o w e r s b e i n g z e r o . N o t e , t o o , t h a t t h e c o e f f i c i e n t o f l / z

i s u n i t y ; a n d , a c c o r d i n g t o

L a u r e n t ' s t h e o r e m i n S e c . 5 5 , t h a t c o e f f i c i e n t i s t h e n u m b e r

1 / z

d z ,

w h e r e C i s a n y p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r a r o u n d t h e

o r i g i n . S i n c e

6 1 = 1 , t h e n ,

d z = 2 r r i .

T h i s m e t h o d o f e v a l u a t i n g c e r t a i n i n t e g r a l s a r o u n d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s w i l l

b e

d e v e l o p e d i n c o n s i d e r a b l e d e t a i l i n C h a p . 6 .

9 6

S E R I E S

C H A P . 5

E X A M P L E 2 .

T h e f u n c t i o n f ( z ) = 1 / ( z - i ) 2 i s a l r e a d y i n t h e f o r m o f a L a u r e n t

s e r i e s , w h e r e z Q = i . T h a t i s ,

f ( z ) =

0 0

n = - 0 0

z

( 0 < I z - i

< 0 0

w h e r e c _ 2 = 1 a n d a l l o f t h e o t h e r c o e f f i c i e n t s a r e z e r o . F r o m f o r m u l a ( 5 ) , S e c .

5 5 , f o

t h e c o e f f i c i e n t s i n a L a u r e n t s e r i e s , w e k n o w t h a t

d z

2 i r i J c ( z - i ) n + 3

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , .

w h e r e C i s , f o r i n s t a n c e , a n y p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e I z - i I = R a b o u t t h e p o i n t

z e = i . T h u s ( c o m p a r e E x e r c i s e 1 0 , S e c . 4 0 )

d z

0

w h e n n i 4 - 2 ,

c ( Z

3

2 7 r i

w h e n n = - 2 .

E X A M P L E 3 .

T h e f u n c t i o n

f ( z ) =

( z - 1 ) ( z - 2 )

z - 1

z -

2 '

w h i c h h a s t h e t w o s i n g u l a r p o i n t s z = 1 a n d z = 2 , i s a n a l y t i c i n t h e d o m a i n s

I z l < 1 ,

1 < I z l < 2 ,

a n d 2 < l z l < o o .

I n e a c h o f t h o s e d o m a i n s , d e n o t e d b y D 1 , D 2 , a n d D 3 , r e s p e c t i v e l y , i n F i g . 7 6 , f ( z )

h a s

s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s i n p o w e r s o f z . T h e y c a n a l l b e f o u n d b y r e c a l l i n g f r o m E x a m p l e

4 , S e c . 5 4 , t h a t

( I z I < D .

V

0

/ i 1

;

/

2 x

F I G U R E 7 6

S E C . 5 6

E X A M P L E S

1 9 7

T h e r e p r e s e n t a t i o n i n D 1 i s a M a c l a u r i n s e r i e s . T o f i n d i t , w e w r i t e

f ( z ) = - l l z + I .

a n d o b s e r v e t h a t , s i n c e I z l < 1 a n d I z / 2 1 < I i n D 1 ,

f ( z )

2 - n -

1

2 )

z n

( I z I < 1 ) .

A s f o r t h e r e p r e s e n t a t i o n i n D 4 , w e w r i t e

1 1 1

f ( z ) =

.

+

.

1 - ( 1 / z ) 2 1 - ( z / 2 )

S i n c e I I / z i < I a n d I z / 2 1 < 1 w h e n 1 < I z I < 2 ,

o l l o w s t h a t

f ( z ) =

( 1 < I z I < 2 ) .

I f w e r e p l a c e t h e i n d e x o f s u m m a t i o n n i n t h e f i r s t o f t h e s e s e r i e s b y n - 1 a n d t h e n

i n t e r c h a n g e t h e t w o s e r i e s , w e a r r i v e a t a n e x p a n s i o n h a v i n g t h e s a m e f o r m a s t h e o n e

i n t h e s t a t e m e n t o f L a u r e n t ' s t h e o r e m ( S e c . 5 5 ) :

I z I < 2

S i n c e t h e r e i s o n l y o n e s u c h r e p r e s e n t a t i o n f o r f ( z ) i n t h e a n n u l u s 1 < I z I < 2 ,

e x p a n s i o n ( 3 ) i s , i n f a c t , t h e L a u r e n t s e r i e s f o r f ( z ) t h e r e .

T h e r e p r e s e n t a t i o n o f f ( z ) i n t h e u n b o u n d e d d o m a i n D 3 i s a l s o a L a u r e n t s e r i e s .

I f w e p u t e x p r e s s i o n ( 1 ) i n t h e f o r m

f ( z ) = z

1 - ( 1 / z )

z

1 - ( 2 / z )

a n d o b s e r v e t h a t I 1 / z l < 1 a n d 1 2 / z l < 1 w h e n 2 < I z I < o o , w e f i n d t h a t

0 0

- 2 n

f ( z )

)

r

i 1

L

n 1 1

( 2

.

z

T h a t i s ,

n = u

n =

-

2 n - 1

( 4 ) f ( z )

-

( 2 < I z I < o c ) .

n = 1 z n

1 9 8

S E R I E S

E X E R C I S E S

1 . F i n d t h e L a u r e n t s e r i e s t h a t r e p r e s e n t s t h e f u n c t i o n

f ( z ) = z

i n t h e d o m a i n 0 < I z J < o C .

1 ) n

1

.

n s . I +

( 2 n + 1 )

z 4 n

I

2 . D e r i v e t h e L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

e z

1

( z + 1 ) 2 e

0 0

n =

0 < j z + 1 1 <

Z + 1 ) n

1

1

( n + 2 ) + z + l +

( z +

) 2

3 . F i n d a r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e f u n c t i o n

1

_ 1 1

f ( z ) =

1 + z

z

1 + ( 1 / z )

i n n e g a t i v e p o w e r s o f z t h a t i s v a l i d w h e n 1 < I z 1 < o o .

A n s

n = 1

4 . G i v e t w o L a u r e n t s e r i e s e x p a n s i o n s i n p o w e r s o f z f o r t h e f u n c t i o n

1

z 2 ( 1 - z ) '

a n d s p e c i f y t h e r e g i o n s i n w h i c h t h o s e e x p a n s i o n s a r e v a l i d .

A n s .

z n +

+

1

( 0 < I z l

n = 0

T . 2

5 . R e p r e s e n t t h e f u n c t i o n

f ( z ) = z

+ 1

z - 1

( 1 < I z l < o o ) .

( a ) b y i t s M a c l a u r i n s e r i e s , a n d s t a t e w h e r e t h e r e p r e s e n t a t i o n i s v a l i d ;

( b ) b y i t L a u r e n t s e r i e s i n t h e d o m a i n 1 < I z I < o o .

A n s . ( a ) - 1

6 . S h o w t h a t w h e n 0 < I z - 1 1 < 2 ,

z

- 1 ) ( z - 3 )

z - 1 ) n

1

2 n + 2

2 ( z - 1 )

n - 0

C H A P . 5

S E C . 5 6

E X E R C I S E S

1 9 9

7 . W r i t e t h e t w o L a u r e n t s e r i e s i n p o w e r s o f z t h a t r e p r e s e n t t h e f u n c t i o n

f ( 7 )

1

z ( 1 + z 2 )

i n c e r t a i n d o m a i n s , a n d s p e c i f y t h o s e d o m a i n s .

A n s .

) n + 1 z 2 n + 1 + 1

( 0 < I z I < 1 ) ;

z

z I <

8 . ( a ) L e t a d e n o t e a r e a l n u m b e r , w h e r e - 1 < a < 1 , a n d d e r i v e t h e L a u r e n t s e r i e s

r e p r e s e n t a t i o n

I < I z l < 0 0 ) .

( b ) W r i t e z = e ` 0 i n t h e e q u a t i o n o b t a i n e d i n p a r t ( a ) a n d t h e n e q u a t e r e a l p a r t s

i m a g i n a r y p a r t s o n e a c h s i d e o f t h e r e s u l t t o d e r i v e t h e s u m m a t i o n f o r m u l a s

0 0

a c o s 0 - a

T , a n c o s n 8 = a n d Y ' a n s i n n 6 =

n - 1

1 - 2 a c o s 0 + a 2

n = 1

w h e r e - 1 < a < 1 . ( C o m p a r e E x e r c i s e 4 , S e c . 5 2 . )

9 . S u p p o s e t h a t a s e r i e s

C O

Z - n

a s i n 0

2 a c o s 9 +

c o n v e r g e s t o a n a n a l y t i c f u n c t i o n X ( z ) i n s o m e a n n u l u s R I < I z I < R 2 . T h a t s u m X ( z )

i s c a l l e d t h e z - t r a n s f o r m o f x [ n ] ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) . * U s e e x p r e s s i o n ( 5 ) , S e c . 5 5 , f o r

t h e c o e f f i c i e n t s i n a L a u r e n t s e r i e s t o s h o w t h a t i f t h e a n n u l u s c o n t a i n s t h e u n i t c i r c l e

I z I = 1 , t h e n t h e i n v e r s e z - t r a n s f o r m o f X ( z ) c a n b e w r i t t e n

i n e d O

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . .

1 0 . ( a ) L e t z b e a n y c o m p l e x n u m b e r , a n d l e t C d e n o t e t h e u n i t c i r c l e

w = e " O ( - 7 r < 0 < 7 r )

i n t h e w p l a n e . T h e n u s e t h a t c o n t o u r i n e x p r e s s i o n ( 5 ) , S e c . 5 5 , f o r t h e c o e f f i c i e n t s

i n a L a u r e n t s e r i e s , a d a p t e d t o s u c h s e r i e s a b o u t t h e o r i g i n i n t h e w p l a n e , t o s h o w

2

* T h e z - t r a n s f o r m a r i s e s i n s t u d i e s o f d i s c r e t e - t i m e l i n e a r s y s t e m s . S e e , f o r i n s t a n c e , t h e b o o k b y

O p p e n h e i m , S c h a f e r , a n d B u c k t h a t i s l i s t e d i n A p p e n d i x 1 .

2 0 0

S E R I E S

C H A P . 5

t h a t

e x p l n ( u '

- -

J n ( z ) w

( 0 < 1 w

n = - o o

w h e r e

1

n

J n ( z ) =

e x p [ - i ( n o r - z s i n 0 ) ] d o

( n = 0 , ± 1 , 4 - 2 . . . .

2 7 r

) .

( b ) W i t h t h e a i d o f E x e r c i s e 6 , S e c . 3 7 , r e g a r d i n g c e r t a i n d e f i n i t e

i n t e g r a l s o f e v e n a n d

o d d c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n s o f a r e a l v a r i a b l e , s h o w t h a t t h e c o e f f i c i e n t s

i n p a r t

( a ) c a n b e w r i t t e n *

J n ( z ) =

c o s ( n o - z s i n O ) d o

( n = 0 , ± l , 4 2 , . . . ) .

0

1 1 . ( a ) L e t f ( z ) d e n o t e a f u n c t i o n w h i c h i s a n a l y t i c i n s o m e a n n u l a r d o m a i n

a b o u t t h e o r i g i n

t h a t i n c l u d e s t h e u n i t c i r c l e z = e i O ( - 7 r < / < 7 r ) . B y t a k i n g t h a t c i r c l e a s

t h e p a t h

o f i n t e g r a t i o n i n e x p r e s s i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) , S e c . 5 5 , f o r t h e c o e f f i c i e n t s a n

a n d b n i n a

L a u r e n t s e r i e s i n p o w e r s o f z , s h o w t h a t

1

f ( Z )

=

f

( e ` 9 ) d 6

2 7 r n - I

2 7 r J _ ,

` - '

d o

w h e n z i s a n y p o i n t i n t h e a n n u l a r d o m a i n .

( b ) W r i t e u ( 6 ) = R e [ f ( e i ° ) ] , a n d s h o w h o w i t f o l l o w s f r o m t h e e x p a n s i o n

i n p a r t

t h a t

u ( 9 )

= 1

u ( 0 )

d o

2 7 r ,

0 ) c o s [ n ( 8 - 4 ) ] d o .

T h i s i s o n e f o r m o f t h e F o u r i e r s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n

u ( 0 ) o n

t h e i n t e r v a l - 7 r < 0 < 7 r . T h e r e s t r i c t i o n o n u ( 6 ) i s m o r e s e v e r e t h a n

i s n e c e s s a r y i n

o r d e r f o r i t t o b e r e p r e s e n t e d b y a F o u r i e r

s e r i e s . "

5 7 . A B S O L U T E A N D U N I F O R M C O N V E R G E N C E

O F P O W E R S E R I E S

T h i s s e c t i o n a n d t h e t h r e e f o l l o w i n g i t a r e d e v o t e d m a i n l y t o v a r i o u s

p r o p e r t i e s o f

p o w e r s e r i e s . A r e a d e r w h o w i s h e s t o s i m p l y a c c e p t

t h e t h e o r e m s a n d a n y c o r o l l a r i e s

t h e r e c a n e a s i l y s k i p t h e i r p r o o f s i n o r d e r t o r e a c h S e c . 6 1 m o r e

q u i c k l y .

* T h e s e c o e f f i c i e n t s J , 4 ( z ) a r e c a l l e d B e s s e l f u n c t i o n s o f t h e f i r s t k i n d . T h e y p l a y a

p r o m i n e n t r o l e i n

c e r t a i n a r e a s o f a p p l i e d m a t h e m a t i c s . S e e , f o r e x a m p l e , t h e a u t h o r s ' " F o u r i e r

S e r i e s a n d B o u n d a r y

V a l u e P r o b l e m s : ' 6 t h e d . , C h a p . 8 , 2 0 0 1 .

t F o r o t h e r s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s , s e e S e c s . 3 1 a n d 3 2 o f t h e b o o k c i t e d i n t h e f o o t n o t e t o E x e r c i s e 1 0 .

S E C . 5 7

A B S O L U T E A N D U N I F O R M C O N V E R G E N C E O F P O W E R S E R I E S

2 0 1

W e r e c a l l f r o m S e c . 5 2 t h a t a s e r i e s o f c o m p l e x n u m b e r s c o n v e r g e s a b s o l u t e l y

i f t h e s e r i e s o f a b s o l u t e v a l u e s o f t h o s e n u m b e r s c o n v e r g e s . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m

c o n c e r n s t h e a b s o l u t e c o n v e r g e n c e o f p o w e r s e r i e s .

T h e o r e m 1 .

I f a p o w e r s e r i e s

a n ( z -

n = 0

c o n v e r g e s w h e n z = z 1 ( z 1 3 6 z o ) , t h e n i t i s a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t a t

e a c h p o i n t z i n t h e

o p e n d i s k I z - z o l < R 1 , w h e r e R I = I z 1 - z o l ( F i g . 7 7 ) .

I

z o

R r

0

Z I

x

F I G U R E 7 7

W e f i r s t p r o v e t h e t h e o r e m w h e n z o = 0 , a n d w e a s s u m e t h a t t h e s e r i e s

z l

( z i 0 0 )

n = 0

c o n v e r g e s . T h e t e r m s a n z l a r e t h u s b o u n d e d ; t h a t i s ,

I a n z i I < M

( n - = 0 , 1 , 2 , . . . )

f o r s o m e p o s i t i v e c o n s t a n t M ( s e e S e c . 5 2 ) . I f ( z I < I z r I a n d w e l e t p d e n o t e t h e m o d u l u s

I z / z i l , w e c a n s e e t h a t

l a n z n l = I a n z 1 I

w h e r e p < 1 . N o w t h e s e r i e s w h o s e t e r m s a r e t h e r e a l n u m b e r s M p n ( n = 0 , 1 , 2 , . . . )

i s a g e o m e t r i c s e r i e s , w h i c h c o n v e r g e s w h e n p < 1 . H e n c e , b y t h e c o m p a r i s o n t e s t f o r

s e r i e s o f r e a l n u m b e r s , t h e s e r i e s

n = 0

2 0 2

S E R I E S

C H A P . 5

c o n v e r g e s i n t h e o p e n d i s k I z I < I z 1 I ;

a n d t h e t h e o r e m i s p r o v e d w h e n z o = 0 .

W h e n z o i s a n y n o n z e r o n u m b e r , w e a s s u m e t h a t s e r i e s ( 1 ) c o n v e r g e s

a t z = z

( z t 0 z o ) . I f w e w r i t e w = z - z o , s e r i e s ( 1 ) b e c o m e s

( 2 )

E a n w n

= 0

a n d t h i s s e r i e s c o n v e r g e s a t w = z l - z o . C o n s e q u e n t l y ,

s i n c e t h e t h e o r e m i s k n o w n t o

b e t r u e w h e n z o = 0 , w e s e e t h a t s e r i e s ( 2 ) i s

a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t i n t h e o p e n d i s k

I w l < I z t - z o l . F i n a l l y , b y r e p l a c i n g w b y z - z o

i n s e r i e s ( 2 ) a n d t h i s c o n d i t i o n o f

v a l i d i t y , a s w e l l a s w r i t i n g R I = I z i - z o f , w e a r r i v e a t

t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m a s i t

i s s t a t e d .

T h e t h e o r e m t e l l s u s t h a t t h e s e t o f a l l p o i n t s i n s i d e s o m e

c i r c l e c e n t e r e d a t z o

i s a r e g i o n o f c o n v e r g e n c e f o r t h e p o w e r s e r i e s ( 1 ) ,

p r o v i d e d i t c o n v e r g e s a t s o m e

p o i n t o t h e r t h a n z o . T h e g r e a t e s t c i r c l e c e n t e r e d a t z o s u c h

t h a t s e r i e s ( 1 ) c o n v e r g e s a t

e a c h p o i n t i n s i d e i s c a l l e d t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e o f

s e r i e s ( 1 ) . T h e s e r i e s c a n n o t

c o n v e r g e a t a n y p o i n t Z 2 o u t s i d e t h a t

c i r c l e , a c c o r d i n g t o t h e t h e o r e m ; f o r i f i t d i d , i t

w o u l d c o n v e r g e e v e r y w h e r e i n s i d e t h e c i r c l e c e n t e r e d a t z o

a n d p a s s i n g t h r o u g h z 2 .

T h e f i r s t c i r c l e c o u l d n o t , t h e n , b e t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e .

O u r n e x t t h e o r e m i n v o l v e s t e r m i n o l o g y t h a t w e m u s t

f i r s t d e f i n e . S u p p o s e t h a t

t h e p o w e r s e r i e s ( 1 ) h a s c i r c l e o f c o n v e r g e n c e I z - z o l =

R , a n d l e t S ( z ) a n d S N ( z )

r e p r e s e n t t h e s u m a n d p a r t i a l s u m s , r e s p e c t i v e l y , o f

t h a t s e r i e s :

N

S ( z ) = F , a n ( z - z o ) n ,

S N ( z ) = ) a n ( z - Z o ) n

( I z - z 0 l < R ) .

n = 0

T h e n w r i t e t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n

( 3 )

p N ( z ) = S ( Z ) - S N ( Z )

( I z - z o l < R ) .

S i n c e t h e p o w e r s e r i e s c o n v e r g e s f o r a n y f i x e d v a l u e o f z

w h e n I z - z o l < R , w e

k n o w t h a t t h e r e m a i n d e r P N ( z ) a p p r o a c h e s z e r o f o r a n y

s u c h z a s N t e n d s t o i n f i n i t y .

A c c o r d i n g t o d e f i n i t i o n ( 2 ) , S e c . 5 1 , o f t h e l i m i t o f a s e q u e n c e ,

t h i s m e a n s t h a t ,

c o r r e s p o n d i n g t o e a c h p o s i t i v e n u m b e r E , t h e r e i s a p o s i t i v e i n t e g e r

N E s u c h t h a t

( 4 )

I P N ( z ) I < s

w h e n e v e r N > N e .

W h e n t h e c h o i c e o f N £ d e p e n d s o n l y o n t h e v a l u e o f e a n d

i s i n d e p e n d e n t o f t h e p o i n t

z t a k e n i n a s p e c i f i e d

r e g i o n w i t h i n t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e , t h e c o n v e r g e n c e i s

s a i d

t o b e u n i f o r m i n t h a t r e g i o n



S E C . 5 7

A B S O L U T E A N D U N I F O R M C O N V E R G E N C E O F P O W E R S E R I E s

2 0 3

T h e o r e m 2 .

I f z 1 i s a p o i n t i n s i d e t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e I z - z o 1 - - R o f a p o w e r

s e r i e s

( 5 )

a , ( z - z o ) n ,

n = 0

t h e n t h a t s e r i e s m u s t b e u n i f o r m l y c o n v e r g e n t i n t h e c l o s e d d i s k I z - z o l

R 1 , w h e r e

R 1 = 1 z 1 - z o ) ( F i g . 7 8 ) .

F I G U R E 7 8

A s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 , w e f i r s t t r e a t t h e c a s e i n w h i c h z o = 0 . G i v e n t h a t

z 1 i s a p o i n t l y i n g i n s i d e t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s

( 6 )

n = 0

w e n o t e t h a t t h e r e a r e p o i n t s w i t h m o d u l u s g r e a t e r t h a n 1 z 1 1 f o r w h i c h i t c o n v e r g e s .

A c c o r d i n g t o T h e o r e m 1 , t h e n , t h e s e r i e s

( 7 ) a n Z 1 1

n = 0

c o n v e r g e s . L e t t i n g m a n d N d e n o t e p o s i t i v e i n t e g e r s , w h e r e m > N , w e c a n w r i t e t h e

r e m a i n d e r s o f s e r i e s ( 6 ) a n d ( 7 ) a s

( 8 )

P N ( Z ) =

Z n

n = N

a n d

= l i m

>

,

I a n 4 I ,

n = N

r e s p e c t i v e l y .

2 0 4

S E R I E S

C H A P . 5

N o w , i n v i e w o f E x e r c i s e 3 , S e c . 5 2 ,

I P N ( Z ) I =

w h e n I z I

Y , a n Z n

n = N

n = N

H e n c e

( 1 0 )

I P N ( Z ) I < O N w h e n

I z 1 < I z i l

S i n c e 6 N a r e t h e r e m a i n d e r s o f a c o n v e r g e n t s e r i e s , t h e y t e n d t o z e r o a s

N t e n d s t o

i n f i n i t y . T h a t i s , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r e , a n i n t e g e r N . e x i s t s s u c h t h a t

( 1 1 )

Q N < e

w h e n e v e r N > N E .

B e c a u s e o f c o n d i t i o n s ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) , t h e n , c o n d i t i o n ( 4 ) h o l d s

f o r a l l p o i n t s z i n t h e d i s k

I z I

I z 1 I ; a n d t h e v a l u e o f N e i s i n d e p e n d e n t o f t h e

c h o i c e o f z . H e n c e t h e c o n v e r g e n c e

o f s e r i e s ( 6 ) i s u n i f o r m i n t h a t d i s k .

T h e e x t e n s i o n o f t h e p r o o f t o t h e c a s e i n w h i c h z o i s a r b i t r a r y

i s , o f c o u r s e ,

a c c o m p l i s h e d b y w r i t i n g w = z - z o i n s e r i e s ( 5 ) . F o r t h e n t h e h y p o t h e s i s

o f t h e

t h e o r e m i s t h a t z 1 - z o i s a p o i n t i n s i d e t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e I w I =

R o f t h e s e r i e s

0 0

a n w n .

n = Q

S i n c e w e k n o w t h a t t h i s s e r i e s c o n v e r g e s u n i f o r m l y i n t h e

d i s k I w 1 < I z i - z o l , t h e

c o n c l u s i o n i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m i s e v i d e n t .

5 8 . C O N T I N U I T Y O F S U M S O F P O W E R S E R I E S

O u r n e x t t h e o r e m i s a n i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e o f u n i f o r m c o n v e r g e n c e ,

d i s c u s s e d i n

t h e p r e v i o u s s e c t i o n .

T h e o r e m . A p o w e r s e r i e s

n = o

r e p r e s e n t s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n S ( z ) a t e a c h p o i n t

i n s i d e i t s c i r c l e o f c o n v e r g e n c e

I z - z o l = R .

S E C . 5 8

C O N T I N U I T Y O F S U M S O F P O W E R S E R I E S

2 0 5

A n o t h e r w a y t o s t a t e t h i s t h e o r e m i s t o s a y t h a t i f S ( z ) d e n o t e s t h e s u m o f s e r i e s

( 1 ) w i t h i n i t s c i r c l e o f c o n v e r g e n c e I z - z o I = R a n d i f z l i s a p o i n t i n s i d e t h a t c i r c l e ,

t h e n , f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r s , t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r 8 s u c h t h a t

( 2 ) J S ( z ) - S ( z i ) I < s w h e n e v e r

I z - z 1 ) < 8 ,

t h e n u m b e r 8 b e i n g s m a l l e n o u g h s o t h a t z l i e s i n t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n I z - z o I < R

o f S ( z ) . [ S e e d e f i n i t i o n ( 4 ) , S e c . 1 7 , o f c o n t i n u i t y . ]

T o s h o w t h i s , w e l e t S N ( z ) d e n o t e t h e s u m o f t h e f i r s t N t e r m s o f s e r i e s ( 1 ) a n

w r i t e t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n

P N ( Z ) = S ( Z ) - S N ( Z )

( I z - z o l < R ) .

T h e n , b e c a u s e

o n e c a n s e e t h a t

S ( Z ) = S N ( z ) + P N ( Z )

( I z - z o l < R ) ,

I S ( z ) - S ( z i ) I = I S N ( z ) - S N ( Z 1 ) + P N ( Z ) - P N ( Z l ) I ,

o r

( 3 )

I S ( z ) - S ( z l ) l < I S N ( z ) - S N ( z i ) I + I p N ( z ) I + I P N ( z t ) I

I f z i s a n y p o i n t l y i n g i n s o m e c l o s e d d i s k I z - z o l < R o w h o s e r a d i u s R o i s g r e a t e r

t h a n I z r - z o I b u t l e s s t h a n t h e r a d i u s R o f t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e o f s e r i e s ( 1 ) ( s e e

F i g . 7 9 ) , t h e u n i f o r m c o n v e r g e n c e s t a t e d i n T h e o r e m 2 , S e c . 5 7 , e n s u r e s t h a t t h e r e i s

a p o s i t i v e i n t e g e r N e s u c h t h a t

( 4 )

I A N ( z ) I < -

w h e n e v e r N > N E

.

I n p a r t i c u l a r , c o n d i t i o n ( 4 ) h o l d s f o r e a c h p o i n t z i n s o m e n e i g h b o r h o o d I z - z t l < 8

o f z I t h a t i s s m a l l e n o u g h t o b e c o n t a i n e d i n t h e d i s k I z - z o l E R o .

F I G U R E 7 9

2 0 6 S E R I E S

C H A P . 5

N o w t h e p a r t i a l s u m S N ( z ) i s a p o l y n o m i a l a n d i s , t h e r e f o r e , c o n t i n u o u s a t z 1 f o r

e a c h v a l u e o f N . I n p a r t i c u l a r , w h e n N = N N + 1 , w e c a n c h o o s e o u r 6 s o s m a l l t h a t

( 5 )

I S N ( z ) - S N ( z 1 ) I <

w h e n e v e r

I z - z 1 ) < 8 .

B y w r i t i n g N = N E + I i n i n e q u a l i t y ( 3 ) a n d u s i n g t h e f a c t t h a t s t a t e m e n t s ( 4 ) a n d ( 5 )

a r e t r u e w h e n N = N £ + 1 , w e n o w f i n d t h a t

E E

E

I S ( z ) - S ( z i ) I <

3

+

3

+

3

w h e n e v e r

I z - z 1 I < 6 .

T h i s i s s t a t e m e n t ( 2 ) , a n d t h e c o r o l l a r y i s n o w e s t a b l i s h e d .

B y w r i t i n g w = 1 / ( z - z o ) , o n e c a n m o d i f y t h e t w o t h e o r e m s i n t h e p r e v i o u s

s e c t i o n a n d t h e t h e o r e m h e r e s o a s t o a p p l y t o s e r i e s o f t h e t y p e

( 6 )

I f , f o r i n s t a n c e , s e r i e s ( 6 ) c o n v e r g e s a t a p o i n t z 1 ( z I

z o ) , t h e s e r i e s

w n

n = 1

m u s t c o n v e r g e a b s o l u t e l y t o a c o n t i n u o u s f u n c t i o n w h e n

1

( 7 )

I w I I z 1 - z o l , s e r i e s ( 6 ) m u s t c o n v e r g e

a b s o l u t e l y t o a c o n t i n u o u s f u n c t i o n i n t h e d o m a i n e x t e r i o r t o t h e c i r c l e 1 z - z o I = R 1 ,

w h e r e R I = I z 1 - z o l . A l s o , w e k n o w t h a t i f a L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

0 0

f ( z ) _ L a n ( z - Z Q ) n

n = o

n =

b n

i s v a l i d i n a n a n n u l u s R I < I z - z o l . < R 2 , t h e n b o t h o f t h e s e r i e s o n t h e r i g h t c o n v e r g e

u n i f o r m l y i n a n y c l o s e d a n n u l u s w h i c h i s c o n c e n t r i c t o a n d i n t e r i o r t o t h a t r e g i o n o f

v a l i d i t y .

5 9 . I N T E G R A T I O N A N D D I F F E R E N T I A T I O N O F

P O W E R S E R I E S

W e h a v e j u s t s e e n t h a t a p o w e r s e r i e s

S ( Z ) _

a n ( z

-

z 0 ) '

n = 0

S E C . 5 9

I N T E G R A T I O N A N D D I F F E R E N T I A T I O N O F P O W E R S E R I E S 2 0 7

r e p r e s e n t s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n a t e a c h p o i n t i n t e r i o r t o i t s c i r c l e o f c o n v e r g e n c e . I n

t h i s s e c t i o n , w e p r o v e t h a t t h e s u m S ( z ) i s a c t u a l l y a n a l y t i c w i t h i n t h a t c i r c l e . O u r

p r o o f d e p e n d s o n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , w h i c h i s o f i n t e r e s t i n i t s e l f .

T h e o r e m I . L e t C d e n o t e a n y c o n t o u r i n t e r i o r t o t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e o f t h e

p o w e r s e r i e s ( 1 ) , a n d l e t g ( z ) b e a n y f u n c t i o n t h a t i s c o n t i n u o u s o n C . T h e s e r i e s

f o r m e d b y m u l t i p l y i n g e a c h t e r m o f t h e p o w e r s e r i e s b y g ( z ) c a n b e i n t e g r a t e d t e r m

b y t e r m o v e r C ; t h a t i s ,

( 2 )

d z =

n d z .

T o p r o v e t h i s t h e o r e m , w e n o t e t h a t s i n c e b o t h g ( z ) a n d t h e s u m S ( z ) o f t h e p o w e r

s e r i e s a r e c o n t i n u o u s o n C , t h e i n t e g r a l o v e r C o f t h e p r o d u c t

N - 1

g ( z ) S ( z ) = F a n g

n = 0

z - z 0 ) " + g ( z ) p N ( z ) ,

w h e r e p N ( z ) i s t h e r e m a i n d e r o f t h e g i v e n s e r i e s a f t e r N t e r m s , e x i s t s . T h e t e r m s o f

t h e f i n i t e s u m h e r e a r e a l s o c o n t i n u o u s o n t h e c o n t o u r C , a n d s o t h e i r i n t e g r a l s o v e r

C e x i s t . C o n s e q u e n t l y , t h e i n t e g r a l o f t h e q u a n t i t y g ( z ) P N ( z ) m u s t e x i s t ; a n d w e m a y

w r i t e

N - 1

g ( z ) S ( z ) d z =

a n J

g ( z ) ( z - z o ) n d z + 1 g ( z ) p N ( z ) d z .

n = 0

N o w l e t M b e t h e m a x i m u m v a l u e o f I g ( z ) I o n C , a n d l e t L d e n o t e t h e l e n g t h o f

C . I n v i e w o f t h e u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f t h e g i v e n p o w e r s e r i e s ( S e c . 5 7 ) , w e k n o w

t h a t f o r e a c h p o s i t i v e n u m b e r s t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e i n t e g e r N N s u c h t h a t , f o r a l l p o i n t s

z o n C ,

I P N ( Z ) I < e w h e n e v e r N > N .

S i n c e N i s i n d e p e n d e n t o f z , w e f i n d t h a t

I C

t h a t i s ,

g ( z ) p N ( z ) d z

< M E L w h e n e v e r N > N , e ;

d z = 0 .



2 0 8

S E R I E S

I t f o l l o w s , t h e r e f o r e , f r o m e q u a t i o n ( 3 ) t h a t

)

a ,

( z ) d z = l i m

N -

n = O

g ( z ) ( z - - z 0 ) n d z .

C H A P . 5

T h i s i s t h e s a m e a s e q u a t i o n ( 2 ) , a n d T h e o r e m 1 i s p r o v e d .

I f ( g ( z ) j = 1 f o r e a c h v a l u e o f z i n t h e o p e n d i s k b o u n d e d b y t h e

c i r c l e o f

c o n v e r g e n c e o f p o w e r s e r i e s ( 1 ) , t h e f a c t t h a t ( z -

z 0 ) ' i s e n t i r e w h e n n = 0 , 1 , 2 , . . .

e n s u r e s t h a t

f c _ Z O ) J c

) n

f o r e v e r y c l o s e d c o n t o u r C l y i n g i n t h a t d o m a i n . A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 2 ) ,

t h e n ,

S ( z ) d z = 0

c

f o r e v e r y s u c h c o n t o u r ; a n d , b y M o r e r a ' s t h e o r e m ( S e c . 4 8 ) , t h e f u n c t i o n

S ( z ) i s

a n a l y t i c t h r o u g h o u t t h e d o m a i n . W e s t a t e t h i s r e s u l t a s a c o r o l l a r y .

C o r o l l a r y .

T h e s u m S ( z ) o f p o w e r s e r i e s ( 1 ) i s a n a l y t i c a t e a c h p o i n t z i n t e r i o r t o t h e

c i r c l e o f c o n v e r g e n c e o f t h a t s e r i e s .

T h i s c o r o l l a r y i s o f t e n h e l p f u l i n e s t a b l i s h i n g t h e a n a l y t i c i t y o f f u n c t i o n s

a n d i n

e v a l u a t i n g l i m i t s .

E X A M P L E 1 .

T o i l l u s t r a t e , l e t u s s h o w t h a t t h e f u n c t i o n d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n s

( s i n z ) / z

w h e n z

0 ,

f ( z )

1

w h e n z = 0

i s e n t i r e . S i n c e t h e M a c l a u r i n s e r i e s e x p a n s i o n

s i n z =

r e p r e s e n t s s i n z f o r e v e r y v a l u e o f z , t h e s e r i e s

( 4 )

o a

n = 0

7

2 n

n d z = 0

( n = 0 , 1 , 2

= I

2 n + 1 )

o b t a i n e d b y d i v i d i n g e a c h t e r m o f t h a t M a c l a u r i n s e r i e s b y z , c o n v e r g e s t o f ( z )

w h e n

z 3 6 0 . B u t s e r i e s ( 4 ) c l e a r l y c o n v e r g e s t o

f ( 0 ) w h e n z = 0 . H e n c e f ( z ) i s r e p r e s e n t e d

b y t h e c o n v e r g e n t p o w e r s e r i e s ( 4 ) f o r a l l z . a n d f i s , t h e r e f o r e , a n e n t i r e

f u n c t i o n .



S E C . 5 9

I N T E G R A T I O N A N D D I F F E R E N T I A T I O N O F P O W E R S E R I E S 2 0 9

N o t e t h a t , s i n c e f i s c o n t i n u o u s a t z = 0 a n d s i n c e ( s i n z ) / z = f ( z ) w h e n z

l i m s i n z = l i m f ( z )

z - O

z

z - O

f ( 0 ) = 1 .

T h i s i s a r e s u l t k n o w n b e f o r e h a n d b e c a u s e t h e l i m i t h e r e i s t h e d e f i n i t i o n o

d e r i v a t i v e o f s i n z a t z = 0 .

W e o b s e r v e d a t t h e b e g i n n i n g o f S e c . 5 4 t h a t t h e T a y l o r s e r i e s f o r a f u n c t i o n f

a b o u t a p o i n t z 0 c o n v e r g e s t o f ( z ) a t e a c h p o i n t z i n t e r i o r t o t h e c i r c l e c e n t e r e d a t z 0

a n d p a s s i n g t h r o u g h t h e n e a r e s t p o i n t z 1 w h e r e f f a i l s t o b e a n a l y t i c . I n v i e w o f t h e

a b o v e c o r o l l a r y , w e n o w k n o w t h a t t h e r e i s n o l a r g e r c i r c l e a b o u t z o s u c h t h a t a t e a c h

p o i n t z i n t e r i o r t o i t t h e T a y l o r s e r i e s c o n v e r g e s t o f ( z ) . F o r i f t h e r e w e r e s u c h a c i r c l e ,

f w o u l d b e a n a l y t i c a t z 1 ; b u t f i s n o t a n a l y t i c a t z 1 .

W e n o w p r e s e n t a c o m p a n i o n t o T h e o r e m 1 .

T h e o r e m 2 .

T h e p o w e r s e r i e s ( 1 ) c a n b e d i f f e r e n t i a t e d t e r m b y t e r m . T h a t i s , a t e a c h

p o i n t z i n t e r i o r t o t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e o f t h a t s e r i e s ,

S ' ( z ) = Y . n a n ( z -

z o ) n - I

T o p r o v e t h i s , l e t z d e n o t e a n y p o i n t i n t e r i o r t o t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e o f s e r i e s

( 1 ) , a n d l e t C b e s o m e p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s u r r o u n d i n g z a n d

i n t e r i o r t o t h a t c i r c l e . A l s o , d e f i n e t h e f u n c t i o n

( 7 )

g

a t e a c h p o i n t s o n C . S i n c e g ( s ) i s c o n t i n u o u s o n C , T h e o r e m 1 t e l l s u s t h a t

( 8 )

f c

0 0

g ( s ) S ( s ) d s =

a n /

g ( s ) ( s - z o ) ' d s ,

n - a

N o w S ( s ) i s a n a l y t i c i n s i d e a n d o n C , a n d t h i s e n a b l e s u s t o w r i t e

I C

g ( s ) S ( s ) d s

1

f c

S ( s ) d s

= S ' { z )

2 r t i

( s - z ) 2

w i t h t h e a i d o f t h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n f o r d e r i v a t i v e s i n S e c . 4 8 . F u r t h e r m o r e ,

) n d s

z - z o ) n

( n = 0 , 1 ,

2 1 0

S E R I E S

T h u s e q u a t i o n ( 8 ) r e d u c e s t o

S ' ( z ) _

a , ,

d

( z - Z o ) n ,

n = o

w h i c h i s t h e s a m e a s e q u a t i o n ( 6 ) . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

E X A M P L E 2 .

I n E x a m p l e 4 , S e c . 5 4 , w e s a w t h a t

1 =

E ( - 1 ) n ( z

z

n = o

0 C

1 1 < 1 ) .

D i f f e r e n t i a t i o n o f e a c h s i d e o f t h i s e q u a t i o n r e v e a l s t h a t

° O

o r

- 1 ) n n (

n =

( _ 1 ) n ( n + 1 )

< 1 ) ,

- 1 ) 1

( I Z - 1 1 < 1 ) .

C H A P . 5

6 0 . U N I Q U E N E S S O F S E R I E S R E P R E S E N T A T I O N S

T h e u n i q u e n e s s o f T a y l o r a n d L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s , a n t i c i p a t e d i n S e e s . 5 4

a n d 5 6 , r e s p e c t i v e l y , f o l l o w s r e a d i l y f r o m T h e o r e m 1 i n S e c . 5 9 . W e c o n s i d e r f i r s t t h e

u n i q u e n e s s o f T a y l o r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s .

T h e o r e m I .

I f a s e r i e s

( 1 )

L

a n ( Z - Z o ) n

n = o

c o n v e r g e s t o f ( z ) a t a l l p o i n t s i n t e r i o r t o s o m e c i r c l e I z - z o l = R ,

t h e n i t i s t h e T a y l o r

s e r i e s e x p a n s i o n f o r f i n p o w e r s o f z - z 0 .

T o p r o v e t h i s , w e w r i t e t h e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

( 2 )

f ( z ) _

n = o

n

( I z - z o i < R

i n t h e h y p o t h e s i s o f t h e t h e o r e m u s i n g t h e i n d e x o f s u m m a t i o n m :

f ( z ) _ L a m ( Z - z o ) m

( I z - Z o l < R ) .

r n = o



S E C . 6 o

U N I Q U E N E S S O F S E R I E S R E P R E S E N T A T I O N S

2 1 1

T h e n , b y a p p e a l i n g t o T h e o r e m 1 i n S e c . 5 9 , w e m a y w r i t e

( 3 )

g ( z ) f ( z ) d z =

C

g ( z ) ( z - z o ) ' n d z ,

w h e r e g ( z ) i s a n y o n e o f t h e f u n c t i o n s

( 4 )

g ( z ) =

2 n i

( z -

( n - 0 , 1 , 2 , . . . )

a n d C i s s o m e c i r c l e c e n t e r e d a t z o a n d w i t h r a d i u s l e s s t h a n R .

I n v i e w o f t h e g e n e r a l i z e d f o r m ( 5 ) , S e c . 4 8 , o f t h e C a u c h y i n t e g r a l f o

a l s o t h e c o r o l l a r y i n S e c . 5 9 ) , w e f i n d t h a t

( 5 )

f

f ( z ) d z

f ( n ) ( z o )

J C

g ( z ) f ( z ) d z =

2 i r i

C ( z

-

z o ) n + i

-

n

a n d , s i n c e ( s e e E x e r c i s e 1 0 , S e c . 4 0 )

( 6 )

f g ( z ) ( z - z o ) t d z =

1 f

2 , r i C

i t i s c l e a r t h a t

( 7 )

0 0

m = o

d z

=

1 0

) - m + l 1

g ( z ) ( z - z o ) t d z = a Y , .

C

B e c a u s e o f e q u a t i o n s ( 5 ) a n d ( 7 ) , e q u a t i o n ( 3 ) n o w r e d u c e s t o

` ) ( z O )

- a n ?

n

w h e n m i 4 n ,

w h e n m = n ,

u l a ( s e e

a n d t h i s s h o w s t h a t s e r i e s ( 2 ) i s , i n f a c t , t h e T a y l o r s e r i e s f o r f a b o u t t h e p o i n t z o .

N o t e h o w i t f o l l o w s f r o m T h e o r e m 1 t h a t i f s e r i e s ( 1 ) c o n v e r g e s t o z e r o t h r o u g h o u t

s o m e n e i g h b o r h o o d o f z o , t h e n t h e c o e f f i c i e n t s a J Z m u s t a l l b e z e r o .

O u r s e c o n d t h e o r e m h e r e c o n c e r n s t h e u n i q u e n e s s o f L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a -

t i o n s .

T h e o r e m 2 . I f a s e r i e s

( 8 )

C n ( Z - Z O ) n =

a n ( z - z O ) n

n = - 0 Q

n = O

c o n v e r g e s t o f ( z ) a t a l l p o i n t s i n s o m e a n n u l a r d o m a i n a b o u t z o , t h e n i t i s t h e L a u r e n t

s e r i e s e x p a n s i o n f o r f i n p o w e r s o f z - z O f o r t h a t d o m a i n .

2 1 2

S E R I E S

C H A P . 5

T h e m e t h o d o f p r o o f h e r e i s s i m i l a r t o t h e o n e u s e d i n p r o v i n g T h e o r e m 1 . T h e

h y p o t h e s i s o f t h i s t h e o r e m t e l l s u s t h a t t h e r e i s a n a n n u l a r d o m a i n a b o u t z o s u c h t h a t

n = - 0 0

f o r e a c h p o i n t z i n i t . L e t g ( z ) b e a s d e f i n e d b y e q u a t i o n ( 4 ) , b u t n o w a l l o w n t o b e

a n e g a t i v e i n t e g e r t o o . A l s o , l e t C b e a n y c i r c l e a r o u n d t h e a n n u l u s , c e n t e r e d a t z o

a n d t a k e n i n t h e p o s i t i v e s e n s e . T h e n , u s i n g t h e i n d e x o f s u m m a t i o n m a n d a d a p t i n g

T h e o r e m 1 i n S e c . 5 9 t o s e r i e s i n v o l v i n g b o t h n o n n e g a t i v e a n d n e g a t i v e p o w e r s o f

z - z o ( E x e r c i s e 1 0 ) , w r i t e

I C

o r

( 9 )

g ( z ) f ( z ) d z =

z ) d z

C

g 1 7 )

J C

2 7 r i J c

0

d z .

S i n c e e q u a t i o n s ( 6 ) a r e a l s o v a l i d w h e n t h e i n t e g e r s m a n d n a r e a l l o w e d t o b e

n e g a t i v e , e q u a t i o n ( 9 ) r e d u c e s t o

1

f ( z ) d z

2 7 r i

c ( z -

z o ) n + 1

w h i c h i s e x p r e s s i o n ( 5 ) , S e c . 5 5 , f o r c o e f f i c i e n t s i n t h e L a u r e n t s e r i e s f o r f i n t h e

a n n u l u s .

E X E R C I S E S

1 . B y d i f f e r e n t i a t i n g t h e M a c l a u r i n s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

( I z l < 1 ) ,

o b t a i n t h e e x p a n s i o n s

)

n 2

z n

O z I < 1 ) .

S E C . 6 0

2 . B y s u b s t i t u t i n g 1 / ( I - z ) f o r z i n t h e e x p a n s i o n

1 ) z n

( I z I < 1 ) ,

f o u n d i n E x e r c i s e 1 , d e r i v e t h e L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

1

z 2

( C o m p a r e E x a m p l e 2 , S e c . 5 9 . )

3 . F i n d t h e T a y l o r s e r i e s f o r t h e f u n c t i o n

1

1

( 1 < I z -

E X E R C I S E S 2 1 3

a b o u t t h e p o i n t z o = 2 . T h e n , b y d i f f e r e n t i a t i n g t h a t s e r i e s t e r m b y t e r m , s h o w t h a t

2 1 < 2 ) .

4 . W i t h t h e a i d o f s e r i e s , p r o v e t h a t t h e f u n c t i o n f d e f i n e d b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n s

. f ( z ) _

i s e n t i r e .

5 . P r o v e t h a t i f

. f ( z ) =

c o s z

1

1 ) / z

w h e n z A 0 ,

w h e n z = 0

w h e n z 5 : ± / 2

,

2 _ ( x / 2 ) 2

w h e n z = f 7 t / 2 ,

t h e n f i s a n e n t i r e f u n c t i o n .

6 . I n t h e w p l a n e , i n t e g r a t e t h e T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n ( s e e E x a m p l e 4 , S e c . 5 4 )

a l o n g a c o n t o u r i n t e r i o r t o t h e c i r c l e o f c o n v e r g e n c e f r o m w = 1 t o w = z t o o b t a i n t h e

r e p r e s e n t a t i o n

L o g z = L '

( z - 1 ) n

O z -

2 1 4

S E R I E S

C H A P . 5

7 . U s e t h e r e s u l t i n E x e r c i s e 6 t o s h o w t h a t i f

L o g z

w h e n z - 1 ,

f ( z ) = { z - 1

w h e n z = 1 ,

t h e n f i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t t h e d o m a i n 0 < I z I < o a , - J r < A r g z < ] r .

8 . P r o v e t h a t i f f i s a n a l y t i c a t z o a n d f ( z o ) = f ' ( z c ) _

. = f

( m ) ( z o )

= 0 , t h e n t h e

f u n c t i o n g d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n s

g ( z ) =

l ) ( Z O )

w h e n z 0 z o ,

w h e n z = z

i s a n a l y t i c a t z o .

9 . S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f ( z ) h a s a p o w e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

. f ( Z ) = L a , ( z - z o ) "

n = o

i n s i d e s o m e c i r c l e I z - z o l = R . U s e T h e o r e m 2 i n S e c . 5 9 , r e g a r d i n g t e r m b y t e r m

d i f f e r e n t i a t i o n o f s u c h a s e r i e s , a n d m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n t o s h o w t h a t

k = O

n + k ) 1

k f

a n + k ( Z - z o ) k

( n = 0 ,

w h e n ( z - z o t < R . T h e n , b y s e t t i n g z = z o , s h o w t h a t t h e c o e f f i c i e n t s a n ( n = 0 , 1 , 2 , . . . )

a r e t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e T a y l o r s e r i e s f o r f a b o u t z o . T h u s g i v e a n a l t e r n a t i v e p r o o f o f

T h e o r e m 1 i n S e c . 6 0 .

1 0 . C o n s i d e r t w o s e r i e s

S 1 ( z ) _ 2 a n ( z - z o ) " ,

S 2 ( z )

n = o

w h i c h c o n v e r g e i n s o m e a n n u l a r d o m a i n c e n t e r e d a t z o . L e t C d e n o t e a n y c o n t o u r l y i n g

i n t h a t a n n u l u s , a n d l e t g ( z ) b e a f u n c t i o n w h i c h i s c o n t i n u o u s o n C . M o d i f y t h e p r o o f

o f T h e o r e m 1 , S e c . 5 9 , w h i c h t e l l s u s t h a t

I C

t o p r o v e t h a t

g ( z ) S I { z }

d z

f c

g ( z ) S 2 ( z ) d z =

f ( z )

Z - Z [ ) ) y " + l

g ( z )

d z .

( z - Z o ) n

S E C . 6 1

M U L T I P L I C A T I O N A N D D I V I S I O N O F P O W E R S E R I E S

2 1 5

C o n c l u d e f r o m t h e s e r e s u l t s t h a t i f

0 0

S ( z ) = T

C n ( Z -

Z 0 ) n = E a n ( Z - z 0 ) n + Y '

n = 1

t h e n

I C

g ( z ) S ( z ) d z

1 1 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n

f 2 ( z ) = z 2 + 1

( z 5 4 ± i )

i s t h e a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n ( S e c . 2 6 ) o f t h e f u n c t i o n

. f 1 ( Z ) _

) ( - 1 ) n Z 2 n

( I z I < 1 )

b n

- Z O ) n

n = O

i n t o t h e d o m a i n c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s i n t h e z p l a n e e x c e p t z = ± i .

1 2 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n f 2 ( z ) = 1 / z 2 ( z ; 0 ) i s t h e a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n ( S e c . 2 6 ) o f t h e

f u n c t i o n

f 1 ( z ) -

n = O

i n t o t h e d o m a i n c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s i n t h e z p l a n e e x c e p t z = 0 .

6 1 . M U L T I P L I C A T I O N A N D D I V I S I O N O F P O W E R S E R I E S

S u p p o s e t h a t e a c h o f t h e p o w e r s e r i e s

( 1 )

0 0

z - z o ) n

a n d E b n ( z - , Z O ) n

n = 0

= 0

c o n v e r g e s w i t h i n s o m e c i r c l e I z - z o J = R . T h e i r s u m s f ( z ) a n d g ( z ) , r e s p e c t i v e l y ,

a r e t h e n a n a l y t i c f u n c t i o n s i n t h e d i s k ` z - z o l < R ( S e c . 5 9 ) , a n d t h e p r o d u c t o f t h o s e

s u m s h a s a T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n w h i c h i s v a l i d t h e r e :

0 0

( 2 )

f ( z ) g ( z ) = E C n ( z - z 0 ) n

( I z - z o l < R ) .

n = o

2 1 6

S E R I E S

C H A P . 5

A c c o r d i n g t o T h e o r e m 1 i n S e c . 6 0 , t h e s e r i e s ( 1 ) a r e t h e m s e l v e s T a y l o r s e r i e s .

H e n c e t h e f i r s t t h r e e c o e f f i c i e n t s i n s e r i e s ( 2 ) a r e g i v e n b y t h e e q u a t i o n s

z o ) g ( z o ) = a 0 b 0 ,

C l

a n d

0

g ' ( z 0 ) + f ' ( z o ) g ( z o )

= a 0 b , + a i b o ,

f ( z 0 ) g " ( z 0 ) + 2 f ' ( z 0 ) g ' ( z 0 ) + f " ( z o ) g ( z o )

=

a 0 b 2 + a l b , + a 2 b 0 .

2 =

2

_

T h e g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r a n y c o e f f i c i e n t c n i s e a s i l y o b t a i n e d b y r e f e r r i n g t o L e i b n i z ' s

r u l e ( E x e r c i s e 6 )

( 3 )

I f ( Z ) g ( z

w h e r e

n

_ n S

k k l ( n - k )

) ,

f o r t h e n t h d e r i v a t i v e o f t h e p r o d u c t o f t w o d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n s . A s u s u a l ,

f ( O ) ( z ) = f ( z ) a n d 0 = 1 . E v i d e n t l y ,

g ( n - k ) ( Z ) ,

n

a k

( n - k

, .

k = O

= O

a n d s o e x p a n s i o n ( 2 ) c a n b e w r i t t e n

( 4 )

f ( z ) g ( z ) = a 0 b 0 + ( a O b 1 + a l b 0 ) ( z - z 0 )

+ ( a O b 2 + a i b l + a 2 b 0 ) ( z - z o ) 2 +

a k b n -

-

Z O ) n + . . .

( P z - z o j < R ) .

S e r i e s ( 4 ) i s t h e s a m e a s t h e s e r i e s o b t a i n e d b y f o r m a l l y m u l t i p l y i n g t h e t w o s e r i e s

( 1 ) t e r m b y t e r m a n d c o l l e c t i n g t h e r e s u l t i n g t e r m s i n l i k e p o w e r s o f z

- z 0 ; i t i s c a l l e d

t h e C a u c h y p r o d u c t o f t h e t w o g i v e n s e r i e s .

E X A M P L E 1 .

T h e f u n c t i o n e z / ( 1 + z ) h a s a s i n g u l a r p o i n t a t z

= - 1 , a n d s o i t s

M a c l a u r i n s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n i s v a l i d i n t h e o p e n d i s k I z I < 1 . T h e f i r s t t h r e e n o n z e r o

t e r m s a r e e a s i l y f o u n d b y w r i t i n g

Z +

1 Z 2 +

3 4 - - -

n

" " N f ( k ) ( Z O )

g ( n - k ) ( Z O )

1 + z

1 - ( - z )

\

2 6

S E C . 6 i

M U L T I P L I C A T I O N A N D D I V I S I O N O F P O W E R S E R I E S 2 1 7

a n d m u l t i p l y i n g t h e s e t w o s e r i e s t e r m b y t e r m . T o b e p r e c i s e , w e m a y m u l t i p l y e a c h

t e r m i n t h e f i r s t s e r i e s b y 1 , t h e n e a c h t e r m i n t h a t s e r i e s b y - z , e t c . T h e f o l l o w i n g

s y s t e m a t i c a p p r o a c h i s s u g g e s t e d , w h e r e l i k e p o w e r s o f z a r e a s s e m b l e d v e r t i c a l l y s o

t h a t t h e i r c o e f f i c i e n t s c a n b e r e a d i l y a d d e d :

l + z +

1 z 2 + 1 z 3 + . . .

2

6

_ z _

z 2

1

_

z 3 _

6

2 z ' + 6 z ' +

.

T h e d e s i r e d r e s u l t i s

( 5 )

e z

+ z

( I z i < I ) .

C o n t i n u i n g t o l e t f ( z ) a n d g ( z ) d e n o t e t h e s u m s o f s e r i e s ( 1 ) , s u p p o s e t h a t

g ( z ) A 0 w h e n I z - z o l < R . S i n c e t h e q u o t i e n t f ( z ) / g ( z ) i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t t h e

d i s k I z - z o l < R , i t h a s a T a y l o r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

( 6 )

f ( z )

g ( z )

n = O

Z O ) n

( I z

z o l < R ) ,

w h e r e t h e c o e f f i c i e n t s d o c a n b e f o u n d b y d i f f e r e n t i a t i n g f ( z ) / g ( z ) s u c c e s s i v e l y a n d

e v a l u a t i n g t h e d e r i v a t i v e s a t z = z a . T h e r e s u l t s a r e t h e s a m e a s t h o s e f o u n d b y f o r m a l l y

c a r r y i n g o u t t h e d i v i s i o n o f t h e f i r s t o f s e r i e s ( 1 ) b y t h e s e c o n d . S i n c e i t i s u s u a l l y o n l y

t h e f i r s t f e w t e r m s t h a t a r e n e e d e d i n p r a c t i c e , t h i s m e t h o d i s n o t d i f f i c u l t .

E X A M P L E 2 .

A s p o i n t e d o u t i n S e c . 3 4 , t h e z e r o s o f t h e e n t i r e f u n c t i o n s i n h z a r e

t h e n u m b e r s z = n x r i ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) . S o t h e q u o t i e n t

s i n h z

z 2 ( z + z 3 j 3 + z 5 / 5 + . .

w h i c h c a n b e w r i t t e n

( 7 )

1

z 2 s i n h z

z 3 t l + z 2 / 3 + z 4 / 5 +

h a s a L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n i n t h e p u n c t u r e d d i s k 0 < I z I < 7 r . T h e d e n o m i n a t o r

o f t h e f r a c t i o n i n p a r e n t h e s e s o n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 7 ) i s a p o w e r s e r i e s

2 1 8 S E R I E S

C H A P . 5

t h a t c o n v e r g e s t o ( s i n h z ) / z w h e n z A 0 a n d t o 1 w h e n z = 0 . T h u s t h e s u m o f t h a t

s e r i e s i s n o t z e r o a n y w h e r e i n t h e d i s k j z I < 7 r ; a n d a p o w e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o f

t h e f r a c t i o n c a n b e f o u n d b y d i v i d i n g t h e s e r i e s i n t o u n i t y a s f o l l o w s :

1

(

T h a t i s ,

o r

( 8 )

H e n c e

1 1

= 1 - z

I + z 2 / 3 + z 4 / 5 + -

3

2

z 4

1

1

2

7

4

1 - z + z + . .

( I C I < 7 Z

1 + z 2 / 3 + z 4 / 5 +

6

3 6 0

1

1

1

1

7

( 9 )

_

( 0 < l z I < 7 r ) .

z 2 s i n h z

z 3

6

z

3 6 0 '

A l t h o u g h w e h a v e g i v e n o n l y t h e f i r s t t h r e e n o n z e r o t e r m s o f t h i s L a u r e n t s e r i e s , a n y

n u m b e r o f t e r m s c a n , o f c o u r s e , b e f o u n d b y c o n t i n u i n g t h e d i v i s i o n .

E X E R C I S E S

1 . U s e m u l t i p l i c a t i o n o f s e r i e s t o s h o w t h a t

5

1

_ 4

( 3 ) 2

z ( z 2 + 1 ) z + 1 -

( 0 < I z l < 1 ) .

2

S E C . 6 i

2 . B y w r i t i n g c s c z = 1 / s i n z a n d t h e n u s i n g d i v i s i o n , s h o w t h a t

1 1

c s c z - + - z +

z

3

2

E X E R C I S E S

2 1 9

3 . U s e d i v i s i o n t o o b t a i n t h e L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

1

_ 1

e z - 1

z

4 . U s e t h e e x p a n s i o n

1

1 2 Z

7 2 0 z 3

+ . . .

( 0 < I z C < 2 n ) .

1

1

1

1

7

Z + . . .

( 0 < I Z I < n )

z 2 s i n h z

z 3

6

z

'

3 6 0

i n E x a m p l e 2 , S e c . 6 1 , a n d t h e m e t h o d i l l u s t r a t e d i n E x a m p l e 1 , S e c . 5 6 , t o s h o w t h a t

w h e n C i s t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d u n i t c i r c l e I z l = 1 .

5 . F o l l o w t h e s t e p s b e l o w , w h i c h i l l u s t r a t e a n a l t e r n a t i v e t o s t r a i g h t f o r w a r d d i v i s i o n o f

s e r i e s , t o o b t a i n r e p r e s e n t a t i o n ( 8 ) i n E x a m p l e 2 , S e c . 6 1 .

( a ) W r i t e

1

2

3

4

1 + z 2 / 3 + z 4 / 5 + . .

= d o + d i z + d 2 z + d 3 z + d 4 z +

w h e r e t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e p o w e r s e r i e s o n t h e r i g h t a r e t o b e d e t e r m i n e d b y

m u l t i p l y i n g t h e t w o s e r i e s i n t h e e q u a t i o n

1 =

( 1 +

z 2 + 1 Z 4 + . . . } ( d e + d i z + d 2 z 2 + d 3 z 3 + d 4 z 4 + . .

5

P e r f o r m t h i s m u l t i p l i c a t i o n t o s h o w t h a t

( d o - 1 ) + d i z + ( d 2 + - d o ) z ` + ( d 3 +

1

+ [ d 4 + - 1 d 2 +

t

w h e n I z l < n .

( b ) B y s e t t i n g t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e l a s t s e r i e s i n p a r t ( a ) e q u a l t o z e r o , f i n d t h e v a l u e s

o f d e , d i , d 2 , d 3 , a n d d 4 . W i t h t h e s e v a l u e s , t h e f i r s t e q u a t i o n i n p a r t ( a ) b e c o m e s

e q u a t i o n ( 8 ) , S e c . 6 1 .

6 . U s e m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n t o v e r i f y f o r m u l a ( 3 ) , S e c . 6 1 , f o r t h e n t h d e r i v a t i v e o f t h e

p r o d u c t o f t w o d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n s -

2 2 0

S E R I E S

C H A P . 5

7 . L e t f ( z ) b e a n e n t i r e f u n c t i o n t h a t i s r e p r e s e n t e d b y a s e r i e s o f t h e f o r m .

f ( z )

= z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + . . .

( 1 z ' <

( a ) B y d i f f e r e n t i a t i n g t h e c o m p o s i t e f u n c t i o n g ( z ) = f [ f ( z ) ] s u c c e s s i v e l y , f i n d t h e

f i r s t

t h r e e n o n z e r o t e r m s i n t h e M a c l a u r i n s e r i e s f o r g ( z ) a n d t h u s s h o w t h a t

f [ f ( z ) ] = z + 2 a 2 z 2 + 2 ( a 2 +

a 3 ) z 3 +

. .

( I z ) < o o ) .

( b ) O b t a i n t h e r e s u l t i n p a r t ( a ) i n a f o r m a l m a n n e r b y w r i t i n g

2

+ a 3 [ f ( z )

[ f ( Z ) ] = f ( z ) + a , [ f ( z ) ]

r e p l a c i n g f ( z ) o n t h e r i g h t - h a n d s i d e h e r e b y i t s s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n , a n d t h e n

c o l l e c t i n g t e r m s i n l i k e p o w e r s o f z .

( c ) B y a p p l y i n g t h e r e s u l t i n p a r t ( a ) t o t h e f u n c t i o n f ( z ) = s i n z , s h o w t h a t

s i n ( s i n z ) = z - I z 3 + . . .

( I z l < o o ) .

8 . T h e E u l e r n u m b e r s a r e t h e n u m b e r s E 7 z ( n = 0 , 1 , 2 , .

.

. ) i n t h e M a c l a u r i n s e r i e s r e p r e -

s e n t a t i o n

I

= ) - " Z "

( I z I < 7 r I 2 ) .

c o s h z 0 n

P o i n t o u t w h y t h i s r e p r e s e n t a t i o n i s v a l i d i n t h e i n d i c a t e d d i s k a n d w h y

E 2 , , + 1 = 0

( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

T h e n s h o w t h a t

E 0 = 1 ,

E 2 = - 1 ,

E 4 = 5 ,

a n d

E 6 = - 6 1 .

C H A P T E R

6

R E S I D U E S A N D P O L E S

T h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m ( S e c . 4 4 ) s t a t e s t h a t i f a f u n c t i o n i s a n a l y t i c a t a l l p o i n t s

i n t e r i o r t o a n d o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C , t h e n t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o f t h e

f u n c t i o n a r o u n d t h a t c o n t o u r i s z e r o . I f , h o w e v e r , t h e f u n c t i o n f a i l s t o b e a n a l y t i c a t a

f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s i n t e r i o r t o C , t h e r e i s , a s w e s h a l l s e e i n t h i s c h a p t e r , a s p e c i f i c

n u m b e r , c a l l e d a r e s i d u e , w h i c h e a c h o f t h o s e p o i n t s c o n t r i b u t e s t o t h e v a l u e o f t h e

i n t e g r a l . W e d e v e l o p h e r e t h e t h e o r y o f r e s i d u e s ; a n d , i n C h a p . 7 , w e s h a l l i l l u s t r a t e

t h e i r u s e i n c e r t a i n a r e a s o f a p p l i e d m a t h e m a t i c s .

6 2 . R E S I D U E S

R e c a l l ( S e c . 2 3 ) t h a t a p o i n t z 0 i s c a l l e d a s i n g u l a r p o i n t o f a f u n c t i o n f i f f f a i l s t o b e

a n a l y t i c a t z 0 b u t i s a n a l y t i c a t s o m e p o i n t i n e v e r y n e i g h b o r h o o d o f z o . A s i n g u l a r p o i n t

z o i s s a i d t o b e i s o l a t e d i f , i n a d d i t i o n , t h e r e i s a d e l e t e d n e i g h b o r h o o d 0 < j z - z o l < s

o f z 0 t h r o u g h o u t w h i c h f i s a n a l y t i c .

E X A M P L E 1 .


z +

z 3 ( z 2 + 1 )

h a s t h e t h r e e i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t s z = 0 a n d z = ± i .

2 2 1

2 2 2


C H A P . 6

E X A M P L E 2 .

T h e o r i g i n i s a s i n g u l a r p o i n t o f t h e p r i n c i p a l b r a n c h ( S e c . 3 0 )

L o g z = l n r + i O

( r > 0 , - r r < O < r r )

o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n . I t i s n o t , h o w e v e r , a n i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t s i n c e e v e r y

d e l e t e d s n e i g h b o r h o o d o f i t c o n t a i n s p o i n t s o n t h e n e g a t i v e r e a l a x i s ( s e e F i g . 8 0 ) a n d

t h e b r a n c h i s n o t e v e n d e f i n e d t h e r e .

Y

F I G U R E 8 0

E X A M P L E 3 .


I

s i n ( r r / z )

h a s t h e s i n g u l a r p o i n t s z = 0 a n d z = l j n ( n = ± 1 , ± 2 , . . . ) , a l l l y i n g o n t h e s e g m e n t

o f t h e r e a l a x i s f r o m z = - I t o z = 1 . E a c h s i n g u l a r p o i n t e x c e p t z = 0 i s i s o l a t e d . T h e

s i n g u l a r p o i n t z = 0 i s n o t i s o l a t e d b e c a u s e e v e r y d e l e t e d s n e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n

c o n t a i n s o t h e r s i n g u l a r p o i n t s o f t h e f u n c t i o n . M o r e p r e c i s e l y , w h e n a p o s i t i v e n u m b e r

x

F I G U R E 8 1

S E C . 6 2

R E S I D U E S

2 2 3

s i s s p e c i f i e d a n d i n i s a n y p o s i t i v e i n t e g e r s u c h t h a t i n > 1 / s , t h e f a c t t h a t 0 < l / m < s

m e a n s t h a t t h e p o i n t z = 1 / m l i e s i n t h e d e l e t e d E n e i g h b o r h o o d 0 < I z I < s ( F i g . 8 1 ) .

W h e n z o i s a n i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t o f a f u n c t i o n f , t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r

R 2 s u c h t h a t f i s a n a l y t i c a t e a c h p o i n t z f o r w h i c h 0 < I z - z o I < R 2 . C o n s e q u e n t l y ,

f ( z ) i s r e p r e s e n t e d b y a L a u r e n t s e r i e s

h

b

Z

2 + . . . F

n n

+ . . .

- +

1 )

f ( y )

y 0 ) 1 1 +

L J

)

n = 0

4 - b o

{ Z - Z 0 k - ' C . 0 )

( 0 < I z - z o l < R 2 ) ,

w h e r e t h e c o e f f i c i e n t s a n a n d b n h a v e c e r t a i n i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s ( S e c . 5 5 ) . I n

p a r t i c u l a r ,

7

b

2 , - r i

f

( n = 1 , 2 , . , . )

w h e r e C i s a n y p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r a r o u n d z o a n d l y i n g i n t h e

p u n c t u r e d d i s k 0 < ? z - z o l < R 2 ( F i g . 8 2 ) . W h e n n = 1 , t h i s e x p r e s s i o n f o r b n c a n b e

w r i t t e n

{

I C

f ( z ) d z = 2 , r i b i .

T h e c o m p l e x n u m b e r b l , w h i c h i s t h e c o e f f i c i e n t o f 1 / ( z - z o ) i n e x p a n s i o n ( 1 ) , i s

c a l l e d t h e r e s i d u e o f f a t t h e i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t z o . W e s h a l l o f t e n u s e t h e n o t a t i o n

R e s f ( z ) ,

z = z 0

o r s i m p l y B w h e n t h e p o i n t z 0 a n d t h e f u n c t i o n f a r e c l e a r l y i n d i c a t e d , t o d e n o t e t h e

r e s i d u e b 1 .

i

0

t

1 Z 0 I

4

t

1 /

/

I

x

F I G U R E 8 2

2 2 4


C H A P . 6

E q u a t i o n ( 2 ) p r o v i d e s a p o w e r f u l m e t h o d f o r e v a l u a t i n g c e r t a i n i n t e g r a l s a r o u n d

s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s .

E X A M P L E 4 .

C o n s i d e r t h e i n t e g r a l

d z z

( 3 )

f c z ( z - 2 ) '

w h e r e C i s t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e I z - 2 1 = 1 ( F i g . 8 3 ) . S i n c e t h e i n t e g r a n d i s

a n a l y t i c e v e r y w h e r e i n t h e f i n i t e p l a n e e x c e p t a t t h e p o i n t s z = 0 a n d z = 2 , i t h a s a

L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n t h a t i s v a l i d i n t h e p u n c t u r e d d i s k 0 < I z - 2 1 < 2 , a l s o

s h o w n i n F i g . 8 3 . T h u s , a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 2 ) , t h e v a l u e o f i n t e g r a l ( 3 ) i s 2 n i t i m e s

t h e r e s i d u e o f i t s i n t e g r a n d a t z = 2 . T o d e t e r m i n e t h a t r e s i d u e , w e r e c a l l ( S e c . 5 4 ) t h e

M a c l a u r i n s e r i e s e x p a n s i o n

a n d u s e i t t o w r i t e

1 1

1

z ( z - 2 ) 4

Q - 2 ) 4 2 + ( z - 2 )

1

1

2 n +

-

2 ) n - 4

( 0 < I z - 2 1 < 2 ) .

n = o

I n t h i s L a u r e n t s e r i e s , w h i c h c o u l d b e w r i t t e n i n t h e f o r m ( 1 ) , t h e c o e f f i c i e n t o f

1 / ( z - 2 ) i s t h e d e s i r e d r e s i d u e , n a m e l y - 1 / 1 6 . C o n s e q u e n t l y ,

( 4 )

d z

f c

z ( z - 2

= 2 n

F I G U R E 8 3

S E C . 6 3

E X A M P L E 5 .

L e t u s s h o w t h a t

( 5 )

C A U C H Y ' S R E S I D U E T H E O R E M

2 2 5

w h e r e C i s t h e u n i t c i r c l e ( z I = 1 . S i n c e

1 / z 2 i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e e x c e p t a t t h e o r i g i n ,

s o i s t h e i n t e g r a n d . T h e i s o l a t e d s i n g u l a r

p o i n t z = 0 i s i n t e r i o r t o C ; a n d , w i t h t h e a i d

o f t h e M a c l a u r i n s e r i e s ( S e c . 5 4 )

3 1 + . . .

( I z i < o o

o n e c a n w r i t e t h e L a u r e n t s e r i e s e x p a n s i o n

e x

1

1 1 1

1

Z

2

T

3

z

( 0 < I z I < o o ) .

T h e r e s i d u e o f t h e i n t e g r a n d a t i t s i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t z = 0 i s ,

t h e r e f o r e , z e r o

( b 1 = 0 ) , a n d t h e v a l u e o f i n t e g r a l ( 5 ) i s e s t a b l i s h e d .

W e a r e r e m i n d e d i n t h i s e x a m p l e t h a t , a l t h o u g h t h e a n a l y t i c i t y

o f a f u n c t i o n w i t h i n

a n d o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C i s a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e v a l u e

o f t h e i n t e g r a l

a r o u n d C t o b e z e r o , i t i s n o t a n e c e s s a r y c o n d i t i o n .

6 3 . C A U C H Y ' S R E S I D U E T H E O R E M

I f , e x c e p t f o r a f i n i t e n u m b e r o f s i n g u l a r p o i n t s , a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c

i n s i d e a s i m p l e

c l o s e d c o n t o u r C , t h o s e s i n g u l a r p o i n t s m u s t b e i s o l a t e d ( S e c . 6 2 ) . T h e

f o l l o w i n g

t h e o r e m , w h i c h i s k n o w n a s C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m , i s a

p r e c i s e s t a t e m e n t o f t h e

f a c t t h a t i f f i s a l s o a n a l y t i c o n C a n d i f C i s p o s i t i v e l y o r i e n t e d , t h e n t h e v a l u e

o f t h e

i n t e g r a l o f f a r o u n d C i s 2 7 r i t i m e s t h e s u m o f t h e r e s i d u e s o f f a t

t h e s i n g u l a r p o i n t s

i n s i d e C .

T h e o r e m .

L e t C b e a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r , d e s c r i b e d i n t h e p o s i t i v e s e n s e .

I f a

f u n c t i o n f i s a n a l y t i c i n s i d e a n d o n C e x c e p t f o r a f i n i t e n u m b e r

o f s i n g u l a r p o i n t s

Z k

( k = 1 , 2 ,

.

. .

,

n ) i n s i d e C , t h e n

C

Z = Z k

T o p r o v e t h e t h e o r e m , l e t t h e p o i n t s Z k ( k = 1 , 2 , .

. . ,

n ) b e c e n t e r s o f p o s i t i v e l y

o r i e n t e d c i r c l e s C k w h i c h a r e i n t e r i o r t o C a n d a r e s o s m a l l t h a t n o t w o o f t h e m

h a v e

p o i n t s i n c o m m o n ( F i g . 8 4 ) . T h e c i r c l e s C k , t o g e t h e r w i t h t h e s i m p l e

c l o s e d c o n t o u r C ,

f o r m t h e b o u n d a r y o f a c l o s e d r e g i o n t h r o u g h o u t w h i c h f i s a n a l y t i c a n d w h o s e

i n t e r i o r

n

( z ) d z = 2 7 r i )

' R e s

f ( z ) .

2 2 6


Y

x

F I G U R E 8 4

C H A P . 6

i s a m u l t i p l y c o n n e c t e d d o m a i n . H e n c e , a c c o r d i n g t o t h e e x t e n s i o n o f t h e C a u c h y -

G o u r s a t t h e o r e m t o s u c h r e g i o n s ( T h e o r e m 2 , S e c . 4 6 ) ,

f c

f ( z ) d z - )

.

I

f ( z ) d z = 0 .

T h i s r e d u c e s t o e q u a t i o n ( 1 ) b e c a u s e ( S e c . 6 2 )

I f ( z ) d z

= 2 7 r i R

_ e s f ( z )

( 1 r = 1 , 2 , . . . ,

/ C k

Z Z k

a n d t h e p r o o f i s c o m p l e t e .

E X A M P L E . L e t u s u s e t h e t h e o r e m t o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l

w h e n C i s t h e c i r c l e I z I = 2 , d e s c r i b e d c o u n t e r c l o c k w i s e . T h e i n t e g r a n d h a s t h e t w o

i s o l a t e d s i n g u l a r i t i e s z = 0 a n d z = 1 , b o t h o f w h i c h a r e i n t e r i o r t o C . W e c a n f i n d t h e

r e s i d u e s B I a t z = 0 a n d B 2 a t z = 1 w i t h t h e a i d o f t h e M a c l a u r i n s e r i e s

= 1 + z + z 2 + . . .

( I z l

W e o b s e r v e f i r s t t h a t w h e n 0 < I z I < 1 ( F i g . 8 5 ) ,

5 z - 2

5 z -

z ( z - 1 )

z

S E C . 6 4

U S I N G A S I N G L E R E S I D U E

2 2 7

F I G U R E 8 5

a n d , b y i d e n t i f y i n g t h e c o e f f i c i e n t o f l i z i n t h e p r o d u c t o n t h e r i g h t h e r e , w e f i n d t h a t

B 1 = 2 . A l s o , s i n c e

5 z - 2

5 ( z - 1 ) +

5 +

( z - 1 ) + ( z

w h e n 0 < I z - 1 1 < 1 , i t i s c l e a r t h a t B 2 ^ 3 . T h u s

5 z - 2

c Z ( z - 1 )

z - 1

1 + ( z -

d z = 2 n l ( B I + B 2 ) = 1 0 r i .

I n t h i s e x a m p l e , i t i s a c t u a l l y s i m p l e r t o w r i t e t h e i n t e g r a n d a s t h e s u m o f i t s p a r t i a l

f r a c t i o n s :

3

z ( z - 1 )

z

z -

T h e n , s i n c e 2 / z i s a l r e a d y a L a u r e n t s e r i e s w h e n 0 < J z 1 < 1 a n d s i n c e 3 / ( z

- 1 ) i s a

L a u r e n t s e r i e s w h e n 0 < I z - I I < 1 , i t f o l l o w s t h a t

5 z - 2

c z ( z - 1

d z = 2 i r l ( 2 ) + 2 , r t ( 3 ) = 1 0 7 r i .

6 4 . U S I N G A S I N G L E R E S I D U E

I f t h e f u n c t i o n f i n C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m ( S e c . 6 3 ) i s , i n a d d i t i o n , a n a l y t i c a t e a c h

p o i n t i n t h e f i n i t e p l a n e e x t e r i o r t o C , i t i s s o m e t i m e s m o r e e f f i c i e n t t o e v a l u a t e t h e

2 2 8 R E S I D U E S A N D P O L E S

C H A P , 6

i n t e g r a l o f f a r o u n d C b y f i n d i n g a s i n g l e r e s i d u e o f a c e r t a i n r e l a t e d f u n c t i o n . W e

p r e s e n t t h e m e t h o d a s a t h e o r e m . *

T h e o r e m .

I f a j u n c t i o n f i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e i n t h e f i n i t e p l a n e e x c e p t f o r a f i n i t e

n u m b e r o f s i n g u l a r p o i n t s i n t e r i o r t o a p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C ,

t h e n

( 1 )

f ( z ) d z = 2 . r c i R e s

C

z = O

W e b e g i n t h e d e r i v a t i o n o f e x p r e s s i o n ( 1 ) b y c o n s t r u c t i n g a c i r c l e I z i = R 1 w h i c h

i s l a r g e e n o u g h s o t h a t t h e c o n t o u r C i s i n t e r i o r t o i t ( F i g . 8 6 ) . T h e n i f C O d e n o t e s a

p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e I z I = R 0 , w h e r e R a > R 1 , w e k n o w f r o m L a u r e n t ' s t h e o r e m

( S e c . 5 5 ) t h a t

( 2 )

. f ( z ) _

w h e r e

( 3 )

C n =

( R 1 < I z i < o c ) ,

0 , ± 1 , ± 2 ,

. .

F I G U R E 8 6

* T h i s r e s u l t a r i s e s i n t h e t h e o r y o f r e s i d u e s a t i n f i n i t y , w h i c h w e s h a l l n o t d e v e l o p . F o r s o m e d e t a i l s o f

t h a t t h e o r y , s e e , f o r i n s t a n c e , R . P . B o a s , " I n v i t a t i o n t o C o m p l e x A n a l y s i s , " p p . 7 6 - 7 7 , 1 9 8 7 .

S E C . 6 4

B y w r i t i n g n = - 1 i n e x p r e s s i o n ( 3 ) , w e f i n d t h a t

U S I N G A S I N G L E R E S I D U E

2 2 9

( 4 )

j f ( z ) d z = 2 n i c _ j .

J C 4

O b s e r v e t h a t , s i n c e t h e c o n d i t i o n o f v a l i d i t y w i t h r e p r e s e n t a t i o n ( 2 ) i s n o t o f t h e t y p e

0 < I z I < R 2 , t h e c o e f f i c i e n t c _ I i s n o t t h e r e s i d u e o f f a t t h e p o i n t z = 0 , w h i c h m a y

n o t e v e n b e a s i n g u l a r p o i n t o f f . B u t , i f w e r e p l a c e z b y I / z i n r e p r e s e n t a t i o n ( 2 ) a n d

i t s c o n d i t i o n o f v a l i d i t y , w e s e e t h a t

C n

_

' f i n - 2

Z n + 2

n = - - t o o

Z n

a n d h e n c e t h a t

T h e n , i n v i e w o f e q u a t i o n s ( 4

= R e s

z = O

d ( 5 ) ,

( z ) d z = 2 7 r i R e s

z = O

z l < R ,

F i n a l l y , s i n c e f i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t t h e c l o s e d r e g i o n b o u n d e d b y C a n d C O , t h e

p r i n c i p l e o f d e f o r m a t i o n o f p a t h s ( C o r o l l a r y 2 , S e c . 4 6 ) y i e l d s t h e d e s i r e d r e s u l t ( 1 ) .

E X A M P L E .

I n t h e e x a m p l e i n S e c . 6 3 , w e e v a l u a t e d t h e i n t e g r a l o f

5 z - 2

f ( z ) Z ( z - 1 )

a r o u n d t h e c i r c l e I z I = 2 , d e s c r i b e d c o u n t e r c l o c k w i s e , b y f i n d i n g t h e r e s i d u e s o f f (

a t z = 0 a n d z = 1 . S i n c e

( 1 ) _

5 - 2 z

5 - 2 z

1

z

z ( 1 - z )

z

1 - z

+ 3 + 3 z + . . .

( 0 < l z l < 1 ) ,

z

w e s e e t h a t t h e a b o v e t h e o r e m c a n a l s o b e u s e d , w h e r e t h e d e s i r e d r e s i d u e i s 5 . M o r e

p r e c i s e l y ,

5 z - 2

d z = 2 7 r i ( 5 ) = 1 0 . i r a



2 3 0


C H A P . 6

w h e r e C i s t h e c i r c l e i n q u e s t i o n . T h i s i s , o f c o u r s e , t h e r e s u l t o b t a i n e d i n t h e e x a m p l e

i n S e c . 6 3 .

E X E R C I S E S

1 . F i n d t h e r e s i d u e a t z = 0 o f t h e f u n c t i o n

( a )

1

( b ) z c o s

z + Z 2 '

Z

( c )

z - s i n z

z

A n s . ( a ) I ; ( b ) - 1 / 2 ;

( c ) 0

2 .

( d ) c o t z ; ( e )

s i n k z

z 4

Z 4 ( 1 - z 2 )

( d ) - 1 / 4 5 ;

( e ) 7 / 6 .

U s e C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m ( S e c . 6 3 ) t o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l o f e a c h o f t h e s e f u n c t i o n s

a r o u n d t h e c i r c l e I z l = 3 i n t h e p o s i t i v e s e n s e :

( d )

z + 1

Z 2 - 2 z

e x p ( - z )

( b )

e x p ( - z )

Z 2

( Z - 1 ) 2 '

A n s . ( a ) - 2 , r i ;

( b ) - 2 n i / e ; ( c

3 .

4 .

3 ;

( d ) 2 r r i .

U s e t h e t h e o r e m i n S e c . 6 4 , i n v o l v i n g a s i n g l e r e s i d u e , t o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l o f e a c h o f

t h e s e f u n c t i o n s a r o u n d t h e c i r c l e I z ) = 2 i n t h e p o s i t i v e s e n s e :

5

( a )

Z

( b )

I

;

( C )

1 - z 3

1 + Z 2

Z

A n s . ( a ) - 2 r r i ;

( b ) 0 ;

( c ) 2 n ' i .

L e t C d e n o t e t h e c i r c l e I z I = 1 , t a k e n c o u n t e r c l o c k w i s e , a n d f o l l o w t h e s t e p s b e l o w t o

s h o w t h a t

= 2

( a ) B y u s i n g t h e M a c l a u r i n s e r i e s f o r e z a n d r e f e r r i n g t o T h e o r e m 1 i n S e c . 5 9 , w h i c h

j u s t i f i e s t h e t e r m b y t e r m i n t e g r a t i o n t h a t i s t o b e u s e d , w r i t e t h e a b o v e i n t e g r a l a s

` 1 e x p ( l

d z .

z

( b ) A p p l y t h e t h e o r e m i n S e c . 6 3 t o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l s a p p e a r i n g i n p a r t ( a ) t o a r r i v e

a t t h e d e s i r e d r e s u l t .

5 . L e t t h e d e g r e e s o f t h e p o l y n o m i a l s

P ( z ) = a Q + a l z + a 2 Z 2 + . . . + a n Z n

( a n A 0 )

a n d

Q ( Z ) = b Q + b l Z + b 2 Z ` + . . . + b m Z m

( b m A 0 )

b e s u c h t h a t m ? n + 2 . U s e t h e t h e o r e m i n S e c . 6 4 t o s h o w t h a t i f a l l o f t h e z e r o s o f

Q ( z ) a r e i n t e r i o r t o a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C , t h e n

P ( Z )

d z

= 0 .

C Q ( z )

[ C o m p a r e E x e r c i s e 3 ( b ) . ]

S E C . 6 5 T H E T H R E E T Y P E S O F I S O L A T E D S I N G U L A R P O I N T S 2 3 1

6 5 . T H E T H R E E T Y P E S O F I S O L A T E D S I N G U L A R P O I N T S

W e s a w i n S e c . 6 2 t h a t t h e t h e o r y o f r e s i d u e s i s b a s e d o n t h e f a c t t h a t i f f h a s a n

i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t z 0 , t h e n f ( z ) c a n b e r e p r e s e n t e d b y a L a u r e n t s e r i e s

b

b b

( 1 )

. f ( z ) = ) ' a , ( z - z 0 ) " +

t

+

2

2

+ . . . +

, 2

n = o

Z - Z 0 ( Z - Z o )

( Z - Z o ) n

i n a p u n c t u r e d d i s k 0 < I z - z o l < R , . T h e p o r t i o n

b t

+

b 2

Z - Z O

( z - z o )

b , x

- z o ) n

o f t h e s e r i e s , i n v o l v i n g n e g a t i v e p o w e r s o f z

- z 0 , i s c a l l e d t h e p r i n c i p a l p a r t o f f a t

z 0 . W e n o w u s e t h e p r i n c i p a l p a r t t o i d e n t i f y t h e i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t z p a s o n e o f

t h r e e s p e c i a l t y p e s . T h i s c l a s s i f i c a t i o n w i l l a i d u s i n t h e d e v e l o p m e n t o f r e s i d u e t h e o r y

t h a t a p p e a r s i n f o l l o w i n g s e c t i o n s .

I f t h e p r i n c i p a l p a r t o f f a t z 0 c o n t a i n s a t l e a s t o n e n o n z e r o t e r m b u t t h e n u m b e r

o f s u c h t e r m s i s f i n i t e , t h e n t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e i n t e g e r m s u c h t h a t

b , n

0

a n d

b , n + 1 = b ,

+ 2 =

T h a t i s , e x p a n s i o n ( 1 ) t a k e s t h e f o r m

b

b

`

- 1 -

+

) = } a ( Z - Z )

n = O

b , n

Z - 1 0

( z - Z 0 ) ( Z - Z O

( 2 )

( 0 < I z - z o l < R 2 ) ,

w h e r e b n

0 . I n t h i s c a s e , t h e i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t z 0 i s c a l l e d a p o l e o f o r d e r m . *

A p o l e o f o r d e r m = 1 i s u s u a l l y r e f e r r e d t o a s a s i m p l e p o l e .

E X A M P L E 1 .

O b s e r v e t h a t t h e f u n c t i o n

z i - 2 z + 3 z ( z - 2 ) + 3

3 3

- z +

= 2 + ( z 2 ) +

z - 2

z - 2

z - 2 z - 2

( 0 < I z - 2

h a s a s i m p l e p o l e ( m = 1 ) a t z o = 2 . I t s r e s i d u e b l t h e r e i s 3 .

< 0 0

" R e a s o n s f o r t h e t e r m i n o l o g y p o l e a r e s u g g e s t e d o n p . 7 0 o f t h e b o o k b y R . P . B o a s m e n t i o n e d i n t h e

f o o t n o t e i n S e e . 6 4 .

2 3 2


E X A M P L E 2 . T h e f u n c t i o n

s i n h z

1

z 3 Z 5

z 7

1

1

1

z 3

a

Z

= -

/

z

I } i f i

3

5

7

' -

- 3 + i

t i

3 .

-

z

+

1 }

5

7

C H A P . 6

( 0 < I Z I < c x )

h a s a p o l e o f o r d e r m = 3 a t z o = 0 , w i t h r e s i d u e b t = 1 / 6 .

T h e r e r e m a i n t w o e x t r e m e s , t h e c a s e i n w h i c h a l l o f t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e

p r i n c i p a l p a r t a r e z e r o a n d t h e o n e i n w h i c h a n i n f i n i t e n u m b e r o f t h e m a r e n o n z e r o .

W h e n a l l o f t h e b n ' s a r e z e r o , s o t h a t

( 3 ) f ( z )

z o ) " = a o + a , ( , , - z o ) + a 2 ( z

n = 0

( 0 < I z - z o l < R 2 ) ,

t h e p o i n t z o i s k n o w n a s a r e m o v a b l e s i n g u l a r p o i n t . N o t e t h a t t h e r e s i d u e a t a r e m o v -

a b l e s i n g u l a r p o i n t i s a l w a y s z e r o . I f w e d e f i n e , o r p o s s i b l y r e d e f i n e , f a t z o s o t h a t

f ( z 0 ) = a 0 , e x p a n s i o n ( 3 ) b e c o m e s v a l i d t h r o u g h o u t t h e e n t i r e d i s k I z - z o l < R 2 .

S i n c e a p o w e r s e r i e s a l w a y s r e p r e s e n t s a n a n a l y t i c f u n c t i o n i n t e r i o r t o i t s c i r c l e o f

c o n v e r g e n c e ( S e c . 5 9 ) , i t f o l l o w s t h a t f i s a n a l y t i c a t z o w h e n i t i s a s s i g n e d t h e v a l u e

a o t h e r e . T h e s i n g u l a r i t y a t z o i s , t h e r e f o r e , r e m o v e d .

E X A M P L E 3 . T h e p o i n t z o

0 i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r p o i n t o f t h e f u n c t i o n

1 - c o s t

1

f ( z ) =

Z 2

Z 2

2

4

z

.

Z

2 4 6

( 0 < I z I < o o ) .

W h e n t h e v a l u e f ( 0 ) = 1 / 2 i s a s s i g n e d , f b e c o m e s e n t i r e .

) 1

W h e n a n i n f i n i t e n u m b e r o f t h e c o e f f i c i e n t s b n i n t h e p r i n c i p a l p a r t a r e n o n z e r o ,

z o i s s a i d t o b e a n e s s e n t i a l s i n g u l a r p o i n t o f f . A n i m p o r t a n t r e s u l t c o n c e r n i n g t h e

b e h a v i o r o f a f u n c t i o n n e a r a n e s s e n t i a l s i n g u l a r p o i n t i s d u e t o P i c a r d . I t s t a t e s t h a t

i n e a c h n e i g h b o r h o o d o f a n e s s e n t i a l s i n g u l a r p o i n t , a f u n c t i o n a s s u m e s e v e r y f i n i t e

v a l u e , w i t h o n e p o s s i b l e e x c e p t i o n , a n i n f i n i t e n u m b e r o f t i m e s . *

* F o r a p r o o f o f P i c a r d ' s t h e o r e m , s e e S e e . 5 1 i n V o l . I I I o f t h e b o o k b y M a r k u s h e v i c h , c i t e d i n

A p p e n d i x 1 .

S E C . 6 5

E X A M P L E 4 .


p ( 1 ) "

1 1 1 1

1

= 1

Z

n

Z n

1

z

2

E X E R C I S E S 2 3 3

( 0 < I z l < o o )

h a s a n e s s e n t i a l s i n g u l a r p o i n t a t z o = 0 , w h e r e t h e r e s i d u e b t i s u n i t y . F o r a n i l l u s t r a t i o n

o f P i c a r d ' s t h e o r e m , l e t u s s h o w t h a t e x p ( 1 / z ) a s s u m e s t h e v a l u e - 1 a n i n f i n i t e n u m b e r

o f t i m e s i n e a c h n e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n . T o d o t h i s , w e r e c a l l f r o m t h e e x a m p l e i n

S e c . 2 8 t h a t e x p z = - 1 w h e n z = ( 2 n + 1 ) 7 r i ( n = 0 , + 1 , + 2 , . . . ) . T h i s m e a n s t h a t

e x p ( 1 / z ) = - 1 w h e n

z

=

-

2 n + 1 ) , 7 i

i

( 2 n + 1 ) 7 r

( n = 0 , + 1 , + 2 ,

. .

a n d a n i n f i n i t e n u m b e r o f t h e s e p o i n t s c l e a r l y l i e i n a n y g i v e n n e i g h b o r h o o d o f t h e

o r i g i n . S i n c e e x p ( 1 / z ) 0 0 f o r a n y v a l u e o f z , z e r o i s t h e e x c e p t i o n a l v a l u e i n P i c a r d ' s

t h e o r e m .

I n t h e r e m a i n i n g s e c t i o n s o f t h i s c h a p t e r , w e s h a l l d e v e l o p i n g r e a t e r d e p t h t h e

t h e o r y o f t h e t h r e e t y p e s o f i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t s j u s t d e s c r i b e d . T h e e m p h a s i s w i l l

b e o n u s e f u l a n d e f f i c i e n t m e t h o d s f o r i d e n t i f y i n g p o l e s a n d f i n d i n g t h e c o r r e s p o n d i n g

r e s i d u e s .

E X E R C I S E S

1 . I n e a c h c a s e , w r i t e t h e p r i n c i p a l p a r t o f t h e f u n c t i o n a t i t s i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t a n d

d e t e r m i n e w h e t h e r t h a t p o i n t i s a p o l e , a r e m o v a b l e s i n g u l a r p o i n t , o r a n e s s e n t i a l s i n g u l a r

p o i n t :

( a ) z e x u I = 1 . ( b )

( C )

;

Z

( a )

;

1

3 '

I + Z

Z

Z

2 . S h o w t h a t t h e s i n g u l a r p o i n t o f e a c h o f t h e f o l l o w i n g f u n c t i o n s i s a p o l e . D e t e r m i n e t h e

o r d e r m o f t h a t p o l e a n d t h e c o r r e s p o n d i n g r e s i d u e B .

1 - c o s h z

( b )

1 - e x p ( 2 z ) .

( )

e x p ( 2 z )

Z 3

Z 4

( Z - 1 ) 2

A n s . ( a ) m = 1 , B = - 1 / 2 ;

( b ) m = 3 , B = - 4 / 3 ;

( c ) m = 2 , B = 2 e 2 .

3 . S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c a t Z p , a n d w r i t e g ( z ) = f ( z ) / ( z - z o ) . S h o w t h a t

( a ) i f f ( z o )

0 , t h e n z O i s a s i m p l e p o l e o f g , w i t h r e s i d u e f ( z 0 ) ;

( b ) i f f ( z o ) = 0 , t h e n z o i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r p o i n t o f g .

S u g g e s t i o n : A s p o i n t e d o u t i n S e c . 5 3 , t h e r e i s a T a y l o r s e r i e s f o r f ( z ) a b o u t z 0

s i n c e f i s a n a l y t i c t h e r e . S t a r t e a c h p a r t o f t h i s e x e r c i s e b y w r i t i n g o u t a f e w t e r m s o f

t h a t s e r i e s .

z

s i n z c o s z



2 3 4


4 . W r i t e t h e f u n c t i o n

a s

z - a i

'

( z - a i ) 2

( z - a i ) 3

z - a i

a > 0 )

f ( z ) =

0 ( z )

w h e r e

O ( z )

_

( z - a i ) 3

8 a 3 z 2

( z + a i )

C H A P . 6

P o i n t o u t w h y 0 ( z ) h a s a T a y l o r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n a b o u t

z = a i , a n d t h e n u s e i t t o

s h o w t h a t t h e p r i n c i p a l p a r t o f f a t t h a t p o i n t i s

0 ( a i )

i / 2

a / 2

+

6 6 . R E S I D U E S A T P O L E S

W h e n a f u n c t i o n f h a s a n i s o l a t e d s i n g u l a r i t y a t a p o i n t

z 0 , t h e b a s i c m e t h o d f o r

i d e n t i f y i n g z 0 a s a p o l e a n d f i n d i n g t h e r e s i d u e t h e r e i s t o w r i t e t h e a p p r o p r i a t e L a u r e n t

s e r i e s a n d t o n o t e t h e c o e f f i c i e n t o f 1 / ( z - z 0 ) . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m p r o v i d e s a n

a l t e r n a t i v e c h a r a c t e r i z a t i o n o f p o l e s a n d a n o t h e r w a y o f f i n d i n g t h e c o r r e s p o n d i n g

r e s i d u e s .

T h e o r e m . A n i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t

z 0 o f a f u n c t i o n f i s a p o l e o f o r d e r m i f a n d

o n l y i f f ( z ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

f ( z ) =

w h e r e

( 2 )

a n d

( 3 )

z

8 a 3 z 2

( z 2

+ a 2 ) 3

O ( z )

z - z 0 ) m

i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z o . M o r e o v e r ,

R e s f ( z ) = O ( z o )

Z = Z O

R e s f ( z ) _

z = z o

O b s e r v e t h a t e x p r e s s i o n ( 2 ) n e e d n o t h a v e b e e n w r i t t e n s e p a r a t e l y s i n c e , w i t h t h e

c o n v e n t i o n t h a t ( P ( 0 ) ( z 0 ) = 0 ( z o ) a n d 0 = 1 , e x p r e s s i o n ( 3 ) r e d u c e s t o i t w h e n

m = 1 .

S E C . 6 6

R E S I D U E S A T P O L E S

2 3 5

T o p r o v e t h e t h e o r e m , w e f i r s t a s s u m e t h a t f ( z ) h a s t h e f o r m ( 1 ) a n d r e c a l l ( S e c .

5 3 ) t h a t s i n c e 0 ( z ) i s a n a l y t i c a t z 0 , i t h a s a T a y l o r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

0 ( z ) = ( Z 0 ) +

` ( ) ( z

- z O ) +

" ( ) ( z

_

z 0 ) 2 + .

.

. +

0 ( m - 1 ) ( z a )

( z -

Z O ) m - 1

r

n = m

.

Z

(

- 1 )

( n ) Z O )

n

( Z

- Z O )

n .

i n s o m e n e i g h b o r h o o d I z - z o

< e o f z 0 ; a n d f r o m e x p r e s s i o n ( 1 ) i t f o l l o w s t h a t

6 ( z o ) 1 2

( z 0 )

$ ` ( z . ) 1 1

+

( 4 )

f ( z ) =

z - Z O ) ,

( z -

z o ) m - 1

( z - z o ) m - 2

n - m

Z - Z O

w h e n 0 < I z - z o l < - . T h i s L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n , t o g e t h e r w i t h t h e f a c t t h a t

¢ , ( z o ) 0 0 , r e v e a l s t h a t z o i s , i n d e e d , a p o l e o f o r d e r m o f f ( z ) . T h e c o e f f i c i e n t o f

1 / ( z - z o ) t e l l s u s , o f c o u r s e , t h a t t h e r e s i d u e o f f ( z ) a t z o i s a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e

t h e o r e m .

S u p p o s e , o n t h e o t h e r h a n d , t h a t w e k n o w o n l y t h a t z o i s a p o l e o f o r d e r m o

o r t h a t f ( z ) h a s a L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

f ( Z ) =

n = O

b 1

+

b 2

+ . . . +

b m - 1

+ b m

z - z o

( z - z o ) 2

( z - Z 0 ) m

( z -

Z 0 ) m

( b m 0 0 )

w h i c h i s v a l i d i n a p u n c t u r e d d i s k 0 < I z - z o l < R 2 . T h e f u n c t i o n 0 ( z ) d e f i n e d b y

m e a n s o f t h e e q u a t i o n s

O ( z ) _

e v i d e n t l y h a s t h e p o w e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

O ( z ) = b m + b m 1 ( Z - Z o

0 0

n = O

z - - Z O ) m + n

w h e n z

z o ,

w h e n z = z o

+ b 2 ( z - Z O )

m - 2 +

b 1 ( z -

Z O ) m - 1

t h r o u g h o u t t h e e n t i r e d i s k I z - z o l < R 2 . C o n s e q u e n t l y , 4 ' ( z ) i s a n a l y t i c i n t h a t d i s k

( S e c . 5 9 ) a n d , i n p a r t i c u l a r , a t z o . I n a s m u c h a s 0 ( z o ) = b m ; 0 , e x p r e s s i o n ( 1 ) i s

e s t a b l i s h e d ; a n d t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m i s c o m p l e t e .

C H A P . 6

6 7 . E X A M P L E S

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e s s e r v e t o i l l u s t r a t e t h e u s e o f t h e t h e o r e m i n t h e p r e v i o u s

s e c t i o n .

E X A M P L E 1 .

T h e f u n c t i o n f ( z )

a t z = 3 i a n d c a n b e w r i t t e n a s

O ( z )

z - 3 i

9 ) h a s a n i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t

w h e r e q i (

S i n c e 0 ( z ) i s a n a l y t i c a t z = 3 i a n d 0 ( 3 i ) = ( 3 - i ) / 6 0 0 , t h a t p o i n t i s a s i m p l e p o l e

o f t h e f u n c t i o n f ; a n d t h e r e s i d u e t h e r e i s B 1 = ( 3 - i ) / 6 . T h e p o i n t z = - 3 i i s a l s o a

s i m p l e p o l e o f f , w i t h r e s i d u e B 2 = ( 3 + i ) / 6 .

E X A M P L E 2 .

I f f ( z ) = ( z 3 + 2 z ) / ( z - i ) 3 , t h e n

f ( z ) =

0 ( z )

w h e r e

( p ( z ) = z 3 + 2 z .

( z -

i ) 3

T h e f u n c t i o n 0 ( z ) i s e n t i r e , a n d 0 ( i ) = i ; 0 . H e n c e f h a s a p o l e o f o r d e r 3 a t z = i

.

T h e r e s i d u e t h e r e i s

B =

= 3 i .

2

T h e t h e o r e m c a n , o f c o u r s e , b e u s e d w h e n b r a n c h e s o f m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n s

a r e i n v o l v e d .

E X A M P L E 3 .


. f ( z ) _

( l o g

z ) 3

Z + 1

w h e r e t h e b r a n c h

l o g z = l n r + i 6

( r > 0 , 0 < 8 < 2 m c )

o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n i s t o b e u s e d . T o f i n d t h e r e s i d u e o f f a t z = i , w e w r i t e

. f ( z ) =

( z )

w h e r e

q , ( z ) =

( l o g

Z ) 3

z - i

z + i

T h e f u n c t i o n 0 ( z ) i s c l e a r l y a n a l y t i c a t z = i ; a n d , s i n c e

( l o g

i ) 3

( I n 1

l

i r / 2 ) 3

= -

n 3

- 0 0 ,

2 i

2 i

1 6

t h e d e s i r e d r e s i d u e i s B = q i ( i ) = - 7 r 3 / 1 6 .

S E C . 6 7

E X A M P L E S

2 3 7

W h i l e t h e t h e o r e m i n S e c . 6 6 c a n b e e x t r e m e l y u s e f u l , t h e i d e n t i f i c a t i o n o f a n

i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t a s a p o l e o f a c e r t a i n o r d e r i s s o m e t i m e s d o n e m o s t e f f i c i e n t l y

b y a p p e a l i n g d i r e c t l y t o a L a u r e n t s e r i e s .

E X A M P L E 4 .

I f , f o r i n s t a n c e , t h e r e s i d u e o f t h e f u n c t i o n

. f ( z ) =

s i n k z

z 4

i s n e e d e d a t t h e s i n g u l a r i t y z = 0 , i t w o u l d b e i n c o r r e c t t o w r i t e

f ( z ) =

0 ( )

w h e r e

O ( z ) = s i n h z

Z 4

a n d t o a t t e m p t a n a p p l i c a t i o n o f f o r m u l a ( 3 ) i n S e c . 6 6 w i t h m = 4 . F o r i t i s n e c e s s a r y

t h a t $ ( z 0 ) ; 0 i f t h a t f o r m u l a i s t o b e u s e d . I n t h i s c a s e , t h e s i m p l e s t w a y t o f i n d

t h e r e s i d u e i s t o w r i t e o u t a f e w t e r m s o f t h e L a u r e n t s e r i e s f o r f ( z ) , a s w a s d o n e i n

E x a m p l e 2 o f S e c . 6 5 . T h e r e i t w a s s h o w n t h a t z = 0 i s a p o l e o f t h e t h i r d o r d e r , w i t h

r e s i d u e B = 1 / 6 .

I n s o m e c a s e s , t h e s e r i e s a p p r o a c h c a n b e e f f e c t i v e l y c o m b i n e d w i t h t h e t h e o r e m

i n S e c . 6 6 .

E X A M P L E 5 .

S i n c e z ( e z - 1 ) i s e n t i r e a n d i t s z e r o s a r e

z = 2 n 7 r i

( n = 0 , + 1 , ± 2 , . . . ) ,

t h e p o i n t z = 0 i s c l e a r l y a n i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t o f t h e f u n c t i o n

. f ( z ) =

I

z ( e z - 1 )

F r o m t h e M a c l a u r i n s e r i e s

Z Z

2 3

+ +

Z

1

2

3

f ( z ) _

0 ( z )

w h e r e A ( z )

( I z l < o o ) ,

1

z 2

1 + z / 2 + z 2 / 3

C H A P . 6

S i n c e 0 ( z ) i s a n a l y t i c a t z = 0 a n d 0 ( 0 ) = I A 0 , t h e p o i n t z = 0 i s a p o l e o f

t h e s e c o n d

o r d e r ; a n d , a c c o r d i n g t o f o r m u l a ( 3 ) i n S e c . 6 6 , t h e r e s i d u e i s B = 0 ' ( 0 ) . B e c a u s e

- - ( 1 / 2 + 2 z / 3 + . . . )

( 1 + z / 2 + z 2 / 3 + . . . ) 2

i n a n e i g h b o r h o o d o f t h e o r i g i n , t h e n , B = - 1 / 2 .

T h i s r e s i d u e c a n a l s o b e f o u n d b y d i v i d i n g t h e a b o v e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n f o r

z ( e z - 1 ) i n t o 1 , o r b y m u l t i p l y i n g t h e L a u r e n t s e r i e s f o r 1 / ( e z - 1 ) i n E x e r c i s e 3 , S e c .

6 1 , b y 1 / z .

E X E R C I S E S

1 . I n e a c h c a s e , s h o w t h a t a n y s i n g u l a r p o i n t o f t h e f u n c t i o n i s a p o l e . D e t e r m i n e t h e o r d e r

m o f e a c h p o l e , a n d f i n d t h e c o r r e s p o n d i n g r e s i d u e B .

z 2 + 2

3

z

e x p

z

( a )

z - l

( b )

\ 2 z

+

l J

( c )

z 2 + , 7 2 '

A n s . ( a ) m = 1 , B = 3 ;

( b ) m = 3 , B = - 3 / 1 6 ;

( c ) m = 1 , B = t i / 2 n .

2 . S h o w t h a t

a

z

I / 4

=

1 + I

R e s

( I z l > 0 , 0 < a r g z < 2

z = - l z + 1

L o g z

r r + 2 i

( b ) R e s

z = i ( z 2 + 1 ) 2

8

z l t 2

1 - i

R e s

z = j ( z 2 + 1 ) 2

8

3 . F i n d t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l

( I z . I > 0 , 0 < a r g z < 2 1 r ) .

3 z 3 + 2

d z ,

c ( z - 1 ) ( z 2 + 9 )

t a k e n c o u n t e r c l o c k w i s e a r o u n d t h e c i r c l e ( a ) ( z - 2 1 = 2 ; ( b ) I z l = 4 .

A n s . ( a ) n i ;

( b ) 6 i r i .

4 . F i n d t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l

d z

J c Z 3 ( Z + 4

t a k e n c o u n t e r c l o c k w i s e a r o u n d t h e c i r c l e ( a )

A n s . ( a ) 7 r i / 3 2 ;

( b ) 0 .

5 . E v a l u a t e t h e i n t e g r a l

z I = 2 ; ( b ) I z + 2 I =

f c o s h r r z

d z

c z ( z 2

+ 1 )

S E C , 6 8

Z E R O S O F A N A L Y T I C F U N C T I O N S

2 3 9

w h e r e C i s t h e c i r c l e I z l = 2 , d e s c r i b e d i n t h e p o s i t i v e s e n s e .

A n s . 4 , 7 i .

6 . U s e t h e t h e o r e m i n S e c . 6 4 , i n v o l v i n g a s i n g l e r e s i d u e , t o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l o f

a r o u n d t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e I z I = 3 w h e n

( a ) f ( z )

( 3 z + 2 ) 2

( b ) f ( z ) =

z 3 ( l - 3 z )

( c ) f ( z ) =

3 e l I z

4

)

( z - l ) ( 2 z + 5 )

( l + z ) ( 1 + 2 z

A n s . ( a ) 9 n i ;

( b ) - 3 n i ;

6 8 . Z E R O S O F A N A L Y T I C F U N C T I O N S

Z e r o s a n d p o l e s o f f u n c t i o n s a r e c l o s e l y r e l a t e d . I n f a c t , w e s h a l l s e e i n t h e n e x t s e c t i o n

h o w z e r o s c a n b e a s o u r c e o f p o l e s . W e n e e d , h o w e v e r , s o m e p r e l i m i n a r y r e s u l t s

r e g a r d i n g z e r o s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s .

S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c a t a p o i n t z o . W e k n o w f r o m S e c . 4 8 t h a t

a l l o f t h e d e r i v a t i v e s f ( " ) ( z ) ( n = 1 , 2 , .

.

. ) e x i s t a t z o . I f f ( z o ) = 0 a n d i f t h e r e i s a

p o s i t i v e i n t e g e r m s u c h t h a t f ( m ) ( z o ) A 0 a n d e a c h d e r i v a t i v e o f l o w e r o r d e r v a n i s h e s

a t z o , t h e n f i s s a i d t o h a v e a z e r o o f o r d e r m a t z o . O u r f i r s t t h e o r e m h e r e p r o v i d e s a

u s e f u l a l t e r n a t i v e c h a r a c t e r i z a t i o n o f z e r o s o f o r d e r m .

T h e o r e m I . A f u n c t i o n f t h a t i s a n a l y t i c a t a p o i n t z o h a s a z e r o o f o r d e r m t h e r e

a n d o n l y i f t h e r e i s a f u n c t i o n g , w h i c h i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z o , s u c h t h a t

( 1 )

f ( z ) = ( z - z o ) m g ( z ) .

B o t h p a r t s o f t h e p r o o f t h a t f o l l o w s u s e t h e f a c t ( S e c . 5 3 ) t h a t i f a f u n c t i o n i s

a n a l y t i c a t a p o i n t z o , t h e n i t m u s t h a v e a v a l i d T a y l o r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n i n p o w e r s

o f z - z o w h i c h i s v a l i d t h r o u g h o u t a n e i g h b o r h o o d I z - z o I < 8 o f t h a t p o i n t .

W e s t a r t t h e f i r s t p a r t o f t h e p r o o f b y a s s u m i n g t h a t e x p r e s s i o n ( 1 ) h o l d s a n

n o t i n g t h a t , s i n c e g ( z ) i s a n a l y t i c a t z o , i t h a s a T a y l o r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

g ( z ) = g ( z o ) + g

( z - z o ) + g

( z - z o ) 2 + . . .

i n s o m e n e i g h b o r h o o d I z - z o I < 6 o f z o . E x p r e s s i o n ( 1 ) t h u s t a k e s t h e f o r m

f ( z ) = g ( z o ) ( z - z o ) t

+

g ` ( z o )

( z _ z o ) m + 1

+

g " 2 o )

( z _

z o ) , + z +

w h e n I z - z o I < E . S i n c e t h i s i s a c t u a l l y a T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n f o r f ( z ) , a c c o r d i n g

t o T h e o r e m 1 i n S e c . 6 0 , i t f o l l o w s t h a t

( 2 )

f ( z o ) = f ' ( z o ) _

a n d t h a t

( 3 )

f ( m ) ,

f ( m - 1 ) ( z o )

= 0

m g ( z o ) 0 0 .

2 4 0


C H A P . 6

H e n c e z o i s a z e r o o f o r d e r i n o f f

.

C o n v e r s e l y , i f w e a s s u m e t h a t f h a s a z e r o o f o r d e r i n a t z o , i t s a n a l y t i c i t y a t z o

a n d t h e f a c t t h a t c o n d i t i o n s ( 2 ) h o l d t e l l u s t h a t , i n s o m e n e i g h b o r h o o d I z - z o l < E ,

t h e r e i s a T a y l o r s e r i e s

( n }

f ( Z ) _

f

( z o )

( z - Z 0 ) n

n = m

n

Z 0 ) m

f ( m ) ( z 0 )

m ' .

f O n + 1 ) ( Z . )

f

( m + 2 )

( Z n

C o n s e q u e n t l y , f ( z ) h a s t h e f o r m ( 1 ) , w h e r e

( m )

' ( m + l )

f

( L 0 )

, f

( Z 0 )

Z 0 )

g ( z ) _

+

( z - z o ) +

( - - - 0 ) 1 +

. .

i n ( m + 1 ) ( m + 2 )

( l z - z o l < e ) .

T h e c o n v e r g e n c e o f t h i s l a s t s e r i e s w h e n I z - z o l < e e n s u r e s t h a t g i s a n a l y t i c i n t h a t

n e i g h b o r h o o d a n d , i n p a r t i c u l a r , a t z o ( S e c . 5 9 ) . M o r e o v e r ,

( m )

f

( z o )

g ( z o ) _

A

Q

t o

T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m .

E X A M P L E . T h e e n t i r e f u n c t i o n f Q ) = z ( e z - 1 ) h a s a z e r o o f o r d e r m = 2 a t t h e

p o i n t z 0 = 0 s i n c e

f ( O ) = f ' ( 0 ) = 0

a n d

f " ( 0 ) =

T h e f u n c t i o n g i n e x p r e s s i o n ( 1 ) i s , i n t h i s c a s e , d e f i n e d b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n s

g ( z )

w h e n z

0 ,

w h e n z 0 .

I t i s a n a l y t i c a t z = 0 a n d , i n f a c t , e n t i r e ( s e e E x e r c i s e 4 , S e c . 6 0 ) .

O u r n e x t t h e o r e m t e l l s u s t h a t t h e z e r o s o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n a r e i s o l a t e d .

T h e o r e m 2 .

G i v e n a f u n c t i o n f a n d a p o i n t z 0 , s u p p o s e t h a t

( i ) f i s a n a l y t i c a t z o ;

( i i ) f ( z o ) = 0 b u t f ( z ) i s n o t i d e n t i c a l l y e q u a l t o z e r o i n a n y n e i g h b o r h o o d o f z o .

T h e n f ( z ) A 0 t h r o u g h o u t s o m e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d 0 < 1 4 - - 1 - 0 1 < s o f z 0 .

( m - } - 2 )

( m + 2 )

S E C . 6 8

Z E R O S O F A N A L Y T I C F U N C T I O N S

2 4 1

T o p r o v e t h i s , l e t f b e a s s t a t e d a n d o b s e r v e t h a t n o t a l l o f t h e d e r i v a t i v e s o f

f a t z o a r e z e r o . F o r , i f t h e y w e r e , a l l o f t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e T a y l o r s e r i e s f o r f

a b o u t z o w o u l d b e z e r o ; a n d t h a t w o u l d m e a n t h a t f ( z ) i s i d e n t i c a l l y e q u a l t o z e r o i n

s o m e n e i g h b o r h o o d o f z o . S o i t i s c l e a r f r o m t h e d e f i n i t i o n o f z e r o s o f o r d e r m a t t h e

b e g i n n i n g o f t h i s s e c t i o n t h a t f m u s t h a v e a z e r o o f s o m e o r d e r m a t z o . A c c o r d i n g t o

T h e o r e m 1 , t h e n ,

( 4 )

f ( z ) = ( z - z o

g ( z )

w h e r e g ( z ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z o .

N o w g i s c o n t i n u o u s , i n a d d i t i o n t o b e i n g n o n z e r o , a t z o b e c a u s e i t i s a n a l y t i c

t h e r e . H e n c e t h e r e i s s o m e n e i g h b o r h o o d 1 z - z o l < e i n w h i c h e q u a t i o n ( 4 ) h o l d s a n d

i n w h i c h g ( z ) A 0 ( s e e S e c . 1 7 ) . C o n s e q u e n t l y , f ( z ) A 0 i n t h e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d

0 < I z - z o ) < e ; a n d t h e p r o o f i s c o m p l e t e .

O u r f i n a l t h e o r e m h e r e c o n c e r n s f u n c t i o n s w i t h z e r o s t h a t a r e n o t a l l i s o l a t e d . I t

w a s r e f e r r e d t o e a r l i e r i n S e c . 2 6 a n d m a k e s a n i n t e r e s t i n g c o n t r a s t t o T h e o r e m 2 j u s t

a b o v e .

T h e o r e m 3 .

G i v e n a f u n c t i o n f a n d a p o i n t z o , s u p p o s e t h a t

i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t a n e i g h b o r h o o d N o o f z o ;

( i i ) f ( z o ) = 0 a n d f ( z ) = 0 a t e a c h p o i n t z o f a d o m a i n o r l i n e s e g m e n t c o n t a i n i n g

z o ( F i g . 8 7 ) .

T h e n f ( z ) - 0 i n N o ; t h a t i s , f ( z ) i s i d e n t i c a l l y e q u a l t o z e r o t h r o u g h o u t N o .

Y

0

x

F I G U R E 8 7

W e b e g i n t h e p r o o f w i t h t h e o b s e r v a t i o n t h a t , u n d e r t h e s t a t e d c o n d i t i o n s ,

f ( z ) - 0 i n s o m e n e i g h b o r h o o d N o f z o . F o r , o t h e r w i s e , t h e r e w o u l d b e a d e l e t e d

n e i g h b o r h o o d o f z o t h r o u g h o u t w h i c h f ( z ) A 0 , a c c o r d i n g t o T h e o r e m 2 a b o v e ; a n d

t h a t w o u l d b e i n c o n s i s t e n t w i t h t h e c o n d i t i o n t h a t f ( z ) = 0 e v e r y w h e r e i n a d o m a i n

o r o n a l i n e s e g m e n t c o n t a i n i n g z o . S i n c e f ( z ) = 0 i n t h e n e i g h b o r h o o d N , t h e n ,

i t



2 4 2


C H A P . 6

f o l l o w s t h a t a l l o f t h e c o e f f i c i e n t s

a _

f ( n ) ( z o )

( n = 0 , 1 , 2 , . . . )

n

i n t h e T a y l o r s e r i e s f o r f ( z ) a b o u t z o m u s t b e z e r o . T h u s f ( z ) - 0 i n t h e n e i g h b o r h o o d

N o , s i n c e T a y l o r s e r i e s a l s o r e p r e s e n t s f ( z ) i n N o . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

6 9 . Z E R O S A N D P O L E S

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m s h o w s h o w z e r o s o f o r d e r m c a n c r e a t e p o l e s o f o r d e r m .


( 1 ) t w o f u n c t i o n s p a n d q a r e a n a l y t i c a t a p o i n t z o ;

( i i ) p ( z o ) 5 6 0 a n d q h a s a z e r o o f o r d e r m a t z o .

T h e n t h e q u o t i e n t p ( z ) / q ( z ) h a s a p o l e o f o r d e r m a t z

T h e p r o o f i s e a s y . L e t p a n d q b e a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m . S i n c e q h a s

a z e r o o f o r d e r m a t z o , w e k n o w f r o m T h e o r e m 2 i n S e c . 6 8 t h a t t h e r e i s a d e l e t e d

n e i g h b o r h o o d o f z o i n w h i c h q ( z ) 5 6 0 ; a n d s o z o i s a n i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t o f t h e

q u o t i e n t p ( z ) / q ( z ) . T h e o r e m 1 i n S e c . 6 8 t e l l s u s , m o r e o v e r , t h a t

q ( z ) = ( z - z c ) m g ( z ) ,

w h e r e g i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z ( > ; a n d t h i s e n a b l e s u s t o w r i t e

( 1 )

P ( z )

=

P ( z ) / g ( z )

q ( z )

( z - z o ) m

S i n c e p ( z ) / g ( z ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z o , i t n o w f o l l o w s f r o m t h e t h e o r e m i n S e c .

6 6 t h a t z o i s a p o l e o f o r d e r m o f p ( z ) / q ( z ) .

E X A M P L E 1 . T h e t w o f u n c t i o n s

p ( z ) = l

a n d

q ( z ) = z ( e ` - 1 )

a r e e n t i r e ; a n d w e k n o w f r o m t h e e x a m p l e i n S e c . 6 8 t h a t q h a s a z e r o o f o r d e r m = 2

a t t h e p o i n t z o = 0 . H e n c e i t f o l l o w s f r o m T h e o r e m I h e r e t h a t t h e q u o t i e n t

P ( z ) _

1

q ( z )

z ( e z - 1 )

h a s a p o l e o f o r d e r 2 a t t h a t p o i n t . T h i s w a s d e m o n s t r a t e d i n a n o t h e r w a y i n E x a m p l e 5 ,

S e c . 6 7 .



S E C . 6 9

Z E R O S A N D P O L E S

2 4 3

T h e o r e m 1 l e a d s u s t o a n o t h e r m e t h o d f o r i d e n t i f y i n g s i m p l e p o l e s a n d f i n d i n g

t h e c o r r e s p o n d i n g r e s i d u e s . T h i s m e t h o d i s s o m e t i m e s e a s i e r t o u s e t h a n t h e o n e i n

S e c . 6 6 .

T h e o r e m 2 . L e t t w o f u n c t i o n s p a n d q b e a n a l y t i c a t a p o i n t 1 0 .

P ( z o ) A 0 ,

q ( z o ) = 0 ,

a n d

q ' ( z o ) 5 6 0 ,

t h e n z o i s a s i m p l e p o l e o f t h e q u o t i e n t p ( z ) / q ( z ) a n d

( 2 )

P ( z 0 )

{ z }

-

e s

z = z 4 q ( z ) q ' ( z 0 )

T o s h o w t h i s , w e a s s u m e t h a t p a n d q a r e a s s t a t e d a n d o b s e r v e t h a t , b e c a u s e o f

t h e c o n d i t i o n s o n q , t h e p o i n t z o i s a z e r o o f o r d e r m = I o f t h a t f u n c t i o n . A c c o r d i n g

t o T h e o r e m 1 i n S e c . 6 8 , t h e n ,

( 3 )

q ( z ) _ ( z - z o ) g ( z )

w h e r e g ( z ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z o . F u r t h e r m o r e , T h e o r e m 1 i n t h i s s e c t i o n t e l l s

u s t h a t z 0 i s a s i m p l e p o l e o f p ( z ) / q ( z ) ; a n d e q u a t i o n ( 1 ) i n i t s p r o o f b e c o m e s

P ( z ) _

P ( z ) g ( z )

q ( z )

z - z o

N o w p ( z ) j g ( z ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z 0 , a n d i t f o l l o w s f r o m t h e t h e o r e m i n S e c .

6 6 t h a t

e s

p ( z )

=

P ( z 0 )

Z = z o q ( z )

g ( z o )

B u t g ( z 0 )

= q ' ( z 0 ) , a s

i s s e e n b y d i f f e r e n t i a t i n g e a c h s i d e o f e q u a t i o n ( 3 ) a n d s e t t i n g

z = z 0 . E x p r e s s i o n ( 4 ) t h u s t a k e s t h e f o r m ( 2 ) .

E X A M P L E 2 . C o n s i d e r t h e f u n c t i o n

C O S z

f ( z ) = c o t z =

s i n z

w h i c h i s a q u o t i e n t o f t h e e n t i r e f u n c t i o n s p ( z ) = c o s z a n d q ( z ) = s i n z . T h e s i n g u -

l a r i t i e s o f t h a t q u o t i e n t o c c u r a t t h e z e r o s o f q , o r a t t h e p o i n t s

z = n 7 r

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . .

S i n c e

P ( n 7 r ) = ( - 1 ) " A 0 ,

q ( n r r ) = 0 ,

a n d

q ' ( n r r )

= ( - 1 ) n A

0



2 4 4


e a c h s i n g u l a r p o i n t z = n 7 r o f f i s a s i m p l e p o l e , w i t h r e s i d u e

B =

p ( n 7 r )

q ' ( n 7 r )

1 ) n

E X A M P L E 3 .

T h e r e s i d u e o f t h e f u n c t i o n

f ( z )

t a n h z

s i n h z

=

-

z 2

z 2 c o s h z

a t t h e z e r o z = 7 r i / 2 o f c o s h z ( s e e S e c . 3 4 ) i s r e a d i l y f o u n d b y w r i t i n g

p ( z ) = s i n h z

a n d

q ( z ) = Z 2

c o s h z .

S i n c e

p ( r i s i n h ( 7 r i 1 = i s i n

r

2

2

2

a n d

s i n h

w e f i n d t h a t z = 7 r i / 2 i s a s i m p l e p o l e o f f a n d t h a t t h e r e s i d u e t h e r e i s

B -

p ( 7 r i / 2 )

q ' ( 7 r i / 2 )

4

E X A M P L E 4 .

O n e c a n f i n d t h e r e s i d u e o f t h e f u n c t i o n

Z

f ( Z ) =

a t t h e i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t

+ 4

C H A P . 6

Z a -

/ 2 e ' , , / 4

=

I

+ i

b y w r i t i n g p ( z ) = z a n d q ( z ) = z 4 + 4 . S i n c e

0

0 ,

( z o ) = z a

0 >

q ( u a ) = 0 ,

a n d

q ' ( z o ) _ 4 z 3

f h a s a s i m p l e p o l e a t z a . T h e c o r r e s p o n d i n g r e s i d u e i s t h e n u m b e r

B a

P ( z a )

=

z o

1 1 i

=

q

( z a )

4 z 3

4 z 0

2

8 i

8

A l t h o u g h t h i s r e s i d u e c o u l d a l s o b e f o u n d b y t h e m e t h o d o f S e c . 6 6 , t h e c o m p u t a t i o n

w o u l d b e s o m e w h a t m o r e i n v o l v e d .



S E C . 6 9

E X E R C I S E S 2 4 5

T h e r e a r e f o r m u l a s s i m i l a r t o f o r m u l a ( 2 ) f o r r e s i d u e s a t p o l e s o f h i g h e r o r d e r ,

b u t t h e y a r e l e n g t h i e r a n d , i n g e n e r a l , n o t p r a c t i c a l .

E X E R C I S E S

1 . S h o w t h a t t h e p o i n t z = 0 i s a s i m p l e p o l e o f t h e f u n c t i o n

1

f ( z ) = c s c z =

s i n z

a n d t h a t t h e r e s i d u e t h e r e i s u n i t y b y a p p e a l i n g t o

( a ) T h e o r e m 2 i n S e c . 6 9 ;

( b ) t h e L a u r e n t s e r i e s f o r c s c z t h a t w a s f o u n d i n E x e r c i s e 2 , S e c . 6 1 .

2 . S h o w t h a t

( a ) R e s z -

s i n h z

=

i

z = 7 r i

z z s i n h z

T C

( b ) R e s

e x p ( z t )

+ R e s

e x p ( z t )

_ - 2 c o s ; r t .

z = i r i

s i n h z

z = - r r i

s i n h z

3 . S h o w t h a t

( a ) R e s

Z = z n

w h e r e z , , , =

- + n 7 t

( n

= 0 , + 1 , + 2 , .

( b ) R e s ( t a n h z ) = 1 , w h e r e z _ ( - + n 7 r ) i

( n = 0 , ± 1 , + 2 , . . . ) .

Z = Z n

4 . L e t C d e n o t e t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e j z ) = 2 a n d e v a l u a t e t h e i n t e g r a l

( a ) I

t a n z d z :

( b )

d z

c

J c S i n n 2 z

A n s . ( a ) - 4 7 r i ;

( b ) - r r i .

5 . L e t C N d e n o t e t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d b o u n d a r y o f t h e s q u a r e w h o s e e d g e s l i e a l o n g t h

l i n e s

N +

) 7 r

a n d y = : : L N +

1

2

w h e r e N i s a p o s i t i v e i n t e g e r . S h o w t h a t

d z

= a r -

i

z 2 s i n z

6

T h e n , u s i n g t h e f a c t t h a t t h e v a l u e o f t h i s i n t e g r a l t e n d s t o z e r o a s N t e n d s t o i n f i n i t y

( E x e r c i s e 7 , S e c . 4 1 ) , p o i n t o u t h o w i t f o l l o w s t h a t



2 4 6


6 . S h o w t h a t

C H A P . 6

d z

T r

-

2 y f f ,

c ( z 2 - 1 ) 2 + 3

w h e r e C i s t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d b o u n d a r y o f t h e r e c t a n g l e w h o s e s i d e s l i e a l o n g t h e

l i n e s x = + 2 , y = 0 , a n d y = 1 .

S u g g e s t i o n : B y o b s e r v i n g t h a t t h e f o u r z e r o s o f t h e p o l y n o m i a l q ( z )

= ( z 2 - 1 ) 2 + 3

a r e t h e s q u a r e r o o t s o f t h e n u m b e r s 1 ±

i , s h o w t h a t t h e r e c i p r o c a l 1 / q ( z ) i s a n a l y t i c

i n s i d e a n d o n C e x c e p t a t t h e p o i n t s

Z ( ) =

+

a n d - z p =

T h e n a p p l y T h e o r e m 2 i n S e c . 6 9 .

7 . C o n s i d e r t h e f u n c t i o n

w h e r e q i s a n a l y t i c a t z o , q ( z o )

o f t h e f u n c t i o n f

,

w i t h r e s i d u e

1

f ( z ) =

[ q ( z ) ] 2 '

a n d q ' ( z o ) A 0 . S h o w t h a t z o i s a p o l e o f o r d e r m = 2

q " ( z 0 )

[ q ' ( z o ) ] 3 .

S u g g e s t i o n : N o t e t h a t z o i s a z e r o o f o r d e r m = 1 o f t h e f u n c t i o n q , s o t h a t

q ( z ) = ( z - z o ) g ( z ) ,

w h e r e g ( z ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z o . T h e n w r i t e

f ( z ) _

( Z Z )

o ) 2

w h e r e

q 6 ( z ) _

[ g ( z ) ] 2

T h e d e s i r e d f o r m o f t h e r e s i d u e B 0 = q ' ( z o ) c a n b e o b t a i n e d b y s h o w i n g t h a t

q ' ( z o ) = g ( z o )

a n d

q " ( z o ) = 2 g ' ( z o ) .

8 . U s e t h e r e s u l t i n E x e r c i s e 7 t o f i n d t h e r e s i d u e a t z = 0 o f t h e f u n c t i o n

2

1

a ) f ( z ) = c s c

z ;

( b ) f ( z ) =

( z + z 2

A n s . ( a ) 0 ;

( b ) - 2 .

9 . L e t p a n d q d e n o t e f u n c t i o n s t h a t a r e a n a l y t i c a t a p o i n t

z o , w h e r e p ( z o ) A 0 a n d

q ( z o ) = 0 . S h o w t h a t i f t h e q u o t i e n t p ( z ) / q ( z ) h a s a p o l e o f o r d e r i n a t z o , t h e n z o i s

a z e r o o f o r d e r m o f q . ( C o m p a r e T h e o r e m 1 i n S e c . 6 9 . )

S u g g e s t i o n : N o t e t h a t t h e t h e o r e m i n S e e . 6 6 e n a b l e s o n e t o w r i t e

p ( z )

=

0 ( z )

q ( z )

( z - z o ) `

,

w h e r e 0 ( z ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z o . T h e n s o l v e f o r q ( z ) .



S E C . 7 0

B E H A V I O R O F f N E A R I S O L A T E D S I N G U L A R P O I N T S 2 4 7

1 0 . R e c a l l ( S e c . 1 0 ) t h a t a p o i n t z 0 i s a n a c c u m u l a t i o n p o i n t o f a s e t S i f e a c h d e l e t e d

n e i g h b o r h o o d o f z 0 c o n t a i n s a t l e a s t o n e p o i n t o f S . O n e f o r m o f t h e B o l z a n o - W e i e r s t r a s s

t h e o r e m c a n b e s t a t e d a s f o l l o w s : a n i n f i n i t e s e t o f p o i n t s l y i n g i n a c l o s e d b o u n d e d r e g i o n

R h a s a t l e a s t o n e a c c u m u l a t i o n p o i n t i n R . * U s e t h a t t h e o r e m a n d T h e o r e m 2 i n S e c .

6 8 t o s h o w t h a t i f a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c i n t h e r e g i o n R c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s i n s i d e

a n d o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C , e x c e p t p o s s i b l y f o r p o l e s i n s i d e C , a n d i f a l l t h e z e r o s

o f f i n R a r e i n t e r i o r t o C a n d a r e o f f i n i t e o r d e r , t h e n t h o s e z e r o s m u s t b e f i n i t e i n

n u m b e r .

1 1 . L e t R d e n o t e t h e r e g i o n c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s i n s i d e a n d o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r

C . U s e t h e B o l z a n o - W e i e r s t r a s s t h e o r e m ( s e e E x e r c i s e 1 0 ) a n d t h e f a c t t h a t p o l e s a r e

i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t s t o s h o w t h a t i f f i s a n a l y t i c i n t h e r e g i o n R e x c e p t f o r p o l e s

i n t e r i o r t o C , t h e n t h o s e p o l e s m u s t b e f i n i t e i n n u m b e r .

7 0 . B E H A V I O R O F f N E A R I S O L A T E D S I N G U L A R P O I N T S

A s a l r e a d y i n d i c a t e d i n S e c . 6 5 , t h e b e h a v i o r o f a f u n c t i o n f n e a r a n i s o l a t e d s i n g u l a r

p o i n t z a v a r i e s , d e p e n d i n g o n w h e t h e r Z 0 i s a p o l e , a r e m o v a b l e s i n g u l a r p o i n t , o r

a n e s s e n t i a l s i n g u l a r p o i n t . I n t h i s s e c t i o n , w e d e v e l o p t h e d i f f e r e n c e s i n b e h a v i o r

s o m e w h a t f u r t h e r . S i n c e t h e r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e w i l l n o t b e u s e d e l s e w h e r e i n t h e

b o o k , t h e r e a d e r w h o w i s h e s t o r e a c h a p p l i c a t i o n s o f r e s i d u e t h e o r y m o r e q u i c k l y m a y

p a s s d i r e c t l y t o C h a p . 7 w i t h o u t d i s r u p t i o n .

T h e o r e m ] . I f ,

0 i s a p o l e o f a f u n c t i o n f , t h e n

( 1 )

l i m f ( z )

Z - - + Z 0

T o v e r i f y l i m i t ( 1 ) , w e a s s u m e t h a t f h a s a p o l e o f o r d e r m a t z c a n d u s e t h e

t h e o r e m i n S e c . 6 6 . I t t e l l s u s t h a t

( z )

j ( Z ) =

( z - z

w h e r e 0 ( z ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t Z . S i n c e

1

l i m ( z - z a ) ,

)

Z - ) Z

Z

-

Z

a

O

-i m = l i m - 0 ,

Z * Z 0 f ( z )

Z - Z 0

0 ( z )

l i m 0 ( z )

0 ( z a )

z - a . Z o

t h e n , l i m i t ( 1 ) h o l d s , a c c o r d i n g t o t h e t h e o r e m i n S e c . 1 6 r e g a r d i n g l i m i t s t h a t i n v o l v e

t h e p o i n t a t i n f i n i t y .

T h e n e x t t h e o r e m e m p h a s i z e s h o w t h e b e h a v i o r o f f n e a r a r e m o v a b l e s i n g u l a r

p o i n t i s f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t f r o m t h e b e h a v i o r n e a r a p o l e .

* S e e , f o r e x a m p l e , A . E . T a y l o r a n d W . R . M a n n . " A d v a n c e d C a l c u l u s , " 3 d e d . , p p . 5 1 7 a n d 5 2 1 , 1 9 8 3 .

2 4 8


C H A P . 6

T h e o r e m 2 .

I f z o i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r p o i n t o f a f u n c t i o n f , t h e n f i s a n a l y t i c

a n d b o u n d e d i n s o m e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d 0 < I z

- z o l < s o f z o .

T h e p r o o f i s e a s y a n d i s b a s e d o n t h e f a c t t h a t t h e f u n c t i o n f h e r e i s a n a l y t i c

i n a d i s k I z - z o l < R 2 w h e n f ( z o ) i s p r o p e r l y d e f i n e d ; a n d f i s t h e n c o n t i n u o u s i n

a n y c l o s e d d i s k I z - z o l < s w h e r e s < R z . C o n s e q u e n t l y , f i s b o u n d e d i n t h a t d i s k ,

a c c o r d i n g t o S e c . 1 7 ; a n d t h i s m e a n s t h a t , i n a d d i t i o n t o b e i n g a n a l y t i c , f m u s t b e

b o u n d e d i n t h e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d 0 < I z

- z o o < E .

T h e p r o o f o f o u r f i n a l t h e o r e m , r e g a r d i n g t h e b e h a v i o r o f a f u n c t i o n n e a r a n

e s s e n t i a l s i n g u l a r p o i n t , r e l i e s o n t h e f o l l o w i n g l e m m a , w h i c h i s c l o s e l y r e l a t e d t o

T h e o r e m 2 a n d i s k n o w n a s R i e m a n n ' s t h e o r e m .

L e m m a . S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c a n d b o u n d e d i n s o m e d e l e t e d n e i g h -

b o r h o o d 0 < I z

- z o I < s o f a p o i n t z o . I f f i s n o t a n a l y t i c a t z o , t h e n i t h a s a r e m o v a b l e

s i n g u l a r i t y t h e r e .

T o p r o v e t h i s , w e a s s u m e t h a t f i s n o t a n a l y t i c a t z o . A s a c o n s e q u e n c e , t h e p o i n t

z o m u s t b e a n i s o l a t e d s i n g u l a r i t y o f f ; a n d f ( z ) i s r e p r e s e n t e d b y a L a u r e n t s e r i e s

( 2 )

. f ( z ) = > , a , , ( z - z o ) "

0 0

n = O

n =

b n

t h r o u g h o u t t h e d e l e t e d n e i g h b o r h o o d 0 < I z

- z o l < s . I f C d e n o t e s a p o s i t i v e l y o r i -

e n t e d c i r c l e I z - z o l = p , w h e r e p < s ( F i g . 8 8 ) , w e k n o w f r o m S e c . 5 5 t h a t t h e

c o e f f i c i e n t s b n i n e x p a n s i o n ( 2 ) c a n b e w r i t t e n

( 3 )

1

C

f ( z ) d z

2 7 r i

( Z - Z o ) - n + I

F I G U R E 8 8

2 ,

S E C . 7 0

B E H A V I O R O F f N E A R I S O L A T E D S I N G U L A R P O I N T S

2 4 9

N o w t h e b o u n d e d n e s s c o n d i t i o n o n f t e l l s u s t h a t t h e r e i s a p o s i t i v e c o n s t a n t M s u c h

t h a t I f ( z ) I < M w h e n e v e r 0 < I z - z o l < E . H e n c e i t f o l l o w s f r o m e x p r e s s i o n ( 3 ) t h a t

I b n I

2 r p _ M p n

( n

2 n

p - n + 1

S i n c e t h e c o e f f i c i e n t s b . a r e c o n s t a n t s a n d s i n c e p c a n b e c h o s e n a r b i t r a r i l y s m a l l , w e

m a y c o n c l u d e t h a t b n = 0 ( n = 1 , 2 , .

.

. ) i n t h e L a u r e n t s e r i e s ( 2 ) . T h i s t e l l s u s t h a t z a

i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y o f f , a n d t h e p r o o f o f t h e l e m m a i s c o m p l e t e .

W e k n o w f r o m S e c . 6 5 t h a t t h e b e h a v i o r o f a f u n c t i o n n e a r a n e s s e n t i a l s i n g u l a r

p o i n t i s q u i t e i r r e g u l a r . T h e t h e o r e m b e l o w , r e g a r d i n g s u c h b e h a v i o r , i s r e l a t e d t o

P i c a r d ' s t h e o r e m i n t h a t e a r l i e r s e c t i o n a n d i s u s u a l l y r e f e r r e d t o a s t h e C a s o r a t i -

W e i e r s t r a s s t h e o r e m . I t s t a t e s t h a t , i n e a c h d e l e t e d n e i g h b o r h o o d o f a n e s s e n t i a l s i n g u l a r

p o i n t , a f u n c t i o n a s s u m e s v a l u e s a r b i t r a r i l y c l o s e t o a n y g i v e n n u m b e r .

T h e o r e m 3 .

S u p p o s e t h a t z 0 i s a n e s s e n t i a l s i n g u l a r i t y o f a f u n c t i o n f , a n d l e t w 0 b e

a n y c o m p l e x n u m b e r . T h e n , f o r a n y p o s i t i v e n u m b e r e , t h e i n e q u a l i t y

( 4 )

f ( z ) - w o k e

i s s a t i s f i e d a t s o m e p o i n t z i n e a c h d e l e t e d n e i g h b o r h o o d 0 < I z - z o

( F i g . 8 9 ) .

Y

0

V

x

0

u

F I G U R E 8 9

Z p

T h e p r o o f i s b y c o n t r a d i c t i o n . S i n c e z o i s a n i s o l a t e d s i n g u l a r i t y o f f , t h e r e i s a

d e l e t e d n e i g h b o r h o o d 0 < I z - z o l < S t h r o u g h o u t w h i c h f i s a n a l y t i c ; a n d w e a s s u m e

t h a t c o n d i t i o n ( 4 ) i s n o t s a t i s f i e d f o r a n y p o i n t z t h e r e . T h u s I f ( z ) - w 0 I > s w h e n

0 < I z - z o I < S ; a n d s o t h e f u n c t i o n

( 5 ) g ( z ) = f ( z ) 1 -

w p

( 0

<

l z -

z o I <

S )

C H A P . 6

i s b o u n d e d a n d a n a l y t i c i n i t s d o m a i n o f d e f i n i t i o n . H e n c e , a c c o r d i n g t o t h e a b o v e

l e m m a , z o i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y o f g ; a n d w e l e t g b e d e f i n e d a t z o s o t h a t i t i s

a n a l y t i c t h e r e .

I f g ( z o ) A 0 , t h e f u n c t i o n f ( z ) , w h i c h c a n b e w r i t t e n

( 6 )

f ( z ) ` 1 + w o

g ( z )

w h e n 0 < I z - z o I < S , b e c o m e s a n a l y t i c a t z o i f i t i s d e f i n e d t h e r e a s

1

f

( z o )

= g ( z p )

+ w o .

B u t t h i s m e a n s t h a t z o i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y o f f , n o t a n e s s e n t i a l o n e , a n d w e

h a v e a c o n t r a d i c t i o n .

I f g ( z o ) = 0 , t h e f u n c t i o n g m u s t h a v e a z e r o o f s o m e f i n i t e o r d e r m ( S e c . 6 8 ) a t

z o b e c a u s e g ( z ) i s n o t i d e n t i c a l l y e q u a l t o z e r o i n t h e n e i g h b o r h o o d I z - z o l < S . I n

v i e w o f e q u a t i o n ( 6 ) , t h e n , f h a s a p o l e o f o r d e r m a t z o ( s e e T h e o r e m 1 i n S e c . 6 9 ) .

S o , o n c e a g a i n , w e h a v e a c o n t r a d i c t i o n ; a n d T h e o r e m 3 h e r e i s p r o v e n .

C H A P T E R

7

A P P L I C A T I O N S O F R E S I D U E S

W e t u r n n o w t o s o m e i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s o f t h e t h e o r y o f r e s i d u e s , w h i c h w a s

d e v e l o p e d i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r . T h e a p p l i c a t i o n s i n c l u d e e v a l u a t i o n o f c e r t a i n t y p e s

o f d e f i n i t e a n d i m p r o p e r i n t e g r a l s o c c u r r i n g i n r e a l a n a l y s i s a n d a p p l i e d m a t h e m a t i c s .

C o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n i s a l s o g i v e n t o a m e t h o d , b a s e d o n r e s i d u e s , f o r l o c a t i n g z e r o s

o f f u n c t i o n s a n d t o f i n d i n g i n v e r s e L a p l a c e t r a n s f o r m s b y s u m m i n g r e s i d u e s .

7 1 . E V A L U A T I O N O F I M P R O P E R I N T E G R A L S

I n c a l c u l u s , t h e i m p r o p e r i n t e g r a l o f a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f ( x ) o v e r t h e s e m i - i n f i n i t e

i n t e r v a l x > 0 i s d e f i n e d b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n

( 1 )

W h e n t h e l i m i t o n t h e r i g h t e x i s t s , t h e i m p r o p e r i n t e g r a l i s s a i d t o c o n v e r g e t o t h a t

l i m i t . I f f ( x ) i s c o n t i n u o u s f o r a l l x , i t s i m p r o p e r i n t e g r a l o v e r t h e i n f i n i t e i n t e r v a l

- o o < x < o o i s d e f i n e d b y w r i t i n g

( 2 )

j f ( x ) d x = l i m

I

f ( x ) d x + l

f ( x ) d x ;

i

R ,

R 2

a n d w h e n b o t h o f t h e l i m i t s h e r e e x i s t , i n t e g r a l ( 2 ) c o n v e r g e s t o t h e i r s u m . A n o t h e r

v a l u e t h a t i s a s s i g n e d t o i n t e g r a l ( 2 ) i s o f t e n u s e f u l . N a m e l y , t h e C a u c h y p r i n c i p a l

2 5 1

2 5 2


C H A P . 7

v a l u e ( P . V . ) o f i n t e g r a l ( 2 ) i s t h e n u m b e r

( 3 )

P . V .

/

n

f ( x ) d x = l i m

R - a o o

p r o v i d e d t h i s s i n g l e l i m i t e x i s t s .

I f i n t e g r a l ( 2 ) c o n v e r g e s , i t s C a u c h y p r i n c i p a l v a l u e ( 3 ) e x i s t s ; a n d t h a t v a l u e i s

t h e n u m b e r t o w h i c h i n t e g r a l ( 2 ) c o n v e r g e s . T h i s i s b e c a u s e

a n d t h e l i m i t a s R - * o c o f e a c h o f t h e i n t e g r a l s o n t h e r i g h t e x i s t s w h e n i n t e g r a l ( 2 )

c o n v e r g e s . I t i s n o t , h o w e v e r , a l w a y s t r u e t h a t i n t e g r a l ( 2 ) c o n v e r g e s w h e n i t s C a u c h y

p r i n c i p a l v a l u e e x i s t s , a s t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s h o w s .

E X A M P L E . O b s e r v e t h a t

( 4 )

R V .

x d x = l i m

I

x d x = l i m

F 0 0

R

R - a o o J R

R - o o

O n t h e o t h e r h a n d ,

( 5 )

l i m 0 = 0 .

R - r o o

x d x

R 2

0

R I B o o 2 R 2

R 2

J i m 1 + l i m

R 2

2 .

2 '

a n d s i n c e t h e s e l a s t t w o l i m i t s d o n o t e x i s t , w e f i n d t h a t t h e i m p r o p e r i n t e g r a l ( 5 ) f a i l s

t o e x i s t .

B u t s u p p o s e t h a t f ( x ) ( - o c < x < a o ) i s a n e v e n f u n c t i o n , o n e w h e r e

f

- x )

f o r a l l x .

T h e s y m m e t r y o f t h e g r a p h o f y = f ( x ) w i t h r e s p e c t t o t h e y a x i s e n a b l e s u s t o w r i t e

f o

R

S E C . 7 I

E V A L U A T I O N O F I M P R O P E R I N T E G R A L S 2 5 3

a n d w e s e e t h a t i n t e g r a l ( 1 ) c o n v e r g e s t o o n e h a l f t h e C a u c h y p r i n c i p a l v a l u e ( 3 ) w h e n

t h a t v a l u e e x i s t s . M o r e o v e r , s i n c e i n t e g r a l ( 1 ) c o n v e r g e s a n d s i n c e

- R ,

i n t e g r a l ( 2 ) c o n v e r g e s t o t w i c e t h e v a l u e o f i n t e g r a l ( 1 ) . W e h a v e t h u s s h o w n t h a t w h e n

f ( x ) ( - o o < x < o o ) i s e v e n a n d t h e C a u c h y p r i n c i p a l v a l u e ( 3 ) e x i s t s , b o t h o f t h e

i n t e g r a l s ( 1 ) a n d ( 2 ) c o n v e r g e a n d

( 6 )

P . V .

I

f ( x ) d x = J

f ( x ) d x = 2 j f ( x ) d x .

W e n o w d e s c r i b e a m e t h o d i n v o l v i n g r e s i d u e s , t o b e i l l u s t r a t e d i n t h e n e x t

s e c t i o n , t h a t i s o f t e n u s e d t o e v a l u a t e i m p r o e r i n t e g r a l s o f e v e n r a t i o n a l f u n c t i o n s

f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) , w h e r e f f ( ( - x ) i s e q u a l t o f ( x ) a n d w h e r e p ( x ) a n d q ( x ) a r e

p o l y n o m i a l s w i t h r e a l c o e f f i c i e n t s a n d n o f a c t o r s i n c o m m o n . W e a g r e e t h a t q ( z ) h a s

n o r e a l z e r o s b u t h a s a t l e a s t o n z e r o a b o v e t h e r e a l a x i s )

T h e m e t h o d b e g i n s w i t h t h e i d e n t i f i c a t i o n o f a l l o f t h e d i s t i n c t z e r o s o f t h e

p o l y n o m i a l q ( z ) t h a t l i e a b o v e t h e r e a l a x i s . T h e y a r e , o f c o u r s e , f i n i t e i n n u m b e r

( s e e S e c . 4 9 ) a n d m a y b e l a b e l e d z I , z 2 ,

. . . , z n ,

w h e r e n i s l e s s t h a n o r e q u a l t o t h e

d e g r e e o f q ( z ) . W e t h e n i n t e g r a t e t h e q u o t i e n t

. f ( z ) =

p ( Z )

q ( z )

a r o u n d t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d b o u n d a r y o f t h e s e m i c i r c u l a r r e g i o n s h o w n i n F i g . 9 0 .

T h a t s i m p l e c l o s e d c o n t o u r c o n s i s t s o f t h e s e g m e n t o f t h e r e a l a x i s f r o m z = - R t o

z = R a n d t h e t o p h a l f o f t h e c i r c l e I z I = R , d e s c r i b e d c o u n t e r c l o c k w i s e a n d d e n o t e d

b y C R . I t i s u n d e r s t o o d t h a t t h e p o s i t i v e n u m b e r R i s l a r g e e n o u g h t h a t t h e p o i n t s

Z 1 , z 2 , . . . , z a l l l i e i n s i d e t h e c l o s e d p a t h .

F I G U R E 9 0

2 5 4


C H A P . 7

T h e C a u c h y r e s i d u e t h e o r e m i n S e c . 6 3 a n d t h e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

z =

- R < x < R ) o f t h e s e g m e n t o f t h e r e a l a x i s j u s t m e n t i o n e d c a n b e u s e d t o w r i t e

O r

R

L R

f ( x ) d x + ]

f ( z ) d z = 2 i } R e s f ( z ) ,

k =

Z = Z k

( 8 )

J

R

f ( x ) d x = 2 i R e s

f ( z ) - (

f ( z ) d z .

k

k = 1

J C R

I f

( z ) d z = 0 ,

i t t h e n f o l l o w s t h a t

( 9 )

P . V . /

f ( x ) d x = 2 7 r i > ' R e s f ( z ) .

= Z k

x ) i s e v e n , e q u a t i o n s ( 6 ) t e l l u s , m o r e o v e r , t h a t

( 1 0 )

d x = 2 7 r i ) ; R e s f ( z )

Z = Z k

a n d

J o

n

( x ) d x = 7 r i ) ' R e s f ( z ) .

Z = Z k

7 2 . E X A M P L E

W e t u r n n o w t o a n i l l u s t r a t i o n o f t h e m e t h o d i n S e c . 7 1 f o r e v a l u a t i n g i m p r o p e r

i n t e g r a l s .

E X A M P L E . I n o r d e r t o e v a l u a t e t h e i n t e g r a l

x 6 + 1

w e s t a r t w i t h t h e o b s e r v a t i o n t h a t t h e f u n c t i o n

z 2

f ( z ) =

z 6 +

h a s i s o l a t e d s i n g u l a r i t i e s a t t h e z e r o s o f z 6 + 1 , w h i c h

a r e t h e s i x t h r o o t s o f - 1 , a n d i s

a n a l y t i c e v e r y w h e r e e l s e . T h e m e t h o d i n S e c . 8 f o r f i n d i n g r o o t s o f c o m p l e x n u m b e r s

S E C . 7 2

r e v e a l s t h a t t h e s i x t h r o o t s o f - 1 a r e

E X A M P L E 2 5 5

a n d i t i s c l e a r t h a t n o n e o f t h e m l i e s o n t h e r e a l a x i s . T h e f i r s t t h r e e r o o t s ,

c o =

e i n J 6 ,

c l a n d

c 2 -

e i 5 n J s

l i e i n t h e u p p e r h a l f p l a n e ( F i g . 9 1 ) a n d t h e o t h e r t h r e e l i e i n t h e l o w e r o n e . W h e n

R > 1 , t h e p o i n t s c k ( k = 0 , 1 , 2 ) l i e i n t h e i n t e r i o r o f t h e s e m i c i r c u l a r r e g i o n b o u n d e d

b y t h e s e g m e n t z = x ( - R < x < R ) o f t h e r e a l a x i s a n d t h e u p p e r h a l f C R o

c i r c l e I z I = R f r o m z = R t o z = - R . I n t e g r a t i n g f ( z ) c o u n t e r c l o c k w i s e a r o u n d t h e

b o u n d a r y o f t h i s s e m i c i r c u l a r r e g i o n , w e s e e t h a t

( 1 )

d x + I

f ( z ) d z = 2 7 r i ( B o + B I + B 2 ) ,

- R

C

w h e r e B k i s t h e r e s i d u e o f f ( z ) a t C k ( k = 0 , 1 , 2 ) .

F I G U R E 9 1

W i t h t h e a i d o f T h e o r e m 2 i n S e c . 6 9 , w e f i n d t h a t t h e p o i n t s C k a r e s i m p l e p o l e s

o f f a n d t h a t

2

c k

6 C k

T h u s

2 7 r i ( B O + B I + B 2 ) = 2 7 r

a n d e q u a t i o n ( 1 ) c a n b e p u t i n t h e f o r m

6 c k

7 r

( k = 0 , 1 , 2 ) .

- I

f ( z ) d z ,

2 )

1

f ( x ) d x =

3

w h i c h i s v a l i d f o r a l l v a l u e s o f R g r e a t e r t h a n 1 .



2 5 6


C H A P . 7

N e x t , w e s h o w t h a t t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l o n t h e r i g h t i n e q u a t i o n ( 2 ) t e n d s

t o

0 a s R t e n d s t o o o . T o d o t h i s , w e o b s e r v e t h a t w h e n I z I

= R ,

= I z 1 2 = R 2

a n d

I z 6 + 1 1 > - I I Z 1 6 - l I = R 6 - 1 .

S o , i f z i s a n y p o i n t o n C R ,

I f ( z ) I =

' -

"

I Z 6 + 1 1


( 3 )

J C R

w h e r e

R 2

R 6 -

7 r R b e i n g t h e l e n g t h o f t h e s e m i c i r c l e C . ( S e e S e c . 4 1 . ) S i n c e t h e n u m b e r

M R J T R = R 6 - 1

i s a q u o t i e n t o f p o l y n o m i a l s i n R a n d s i n c e t h e d e g r e e o f t h e n u m e r a t o r i s l e s s

t h a n

t h e d e g r e e o f t h e d e n o m i n a t o r , t h a t q u o t i e n t m u s t t e n d t o

z e r o a s R t e n d s t o o o . M o r e

p r e c i s e l y , i f w e d i v i d e b o t h n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r b y R 6 a n d w r i t e

M R T r R

7 r R 3

T r

R 3

1 - R 6

e v i d e n t t h a t M R 7 r R t e n d s t o z e r o . C o n s e q u e n t l y ,

I t n o w f o l l o w s f r o m e q u a t i o n ( 2 ) t h a t

( z ) d z = 0 .

R

x 2

l i m

d x =

R > c c > _ R

X 6 + 1

o r

n v i e w o f i n e q u a l i t y ( 3

T r

P . V .

° °

x 2

f - 0 0

d x

X 6 + 1



S E C . 7 2

E X E R C I S E S

2 5 7

S i n c e t h e i n t e g r a n d h e r e i s e v e n , w e k n o w f r o m e q u a t i o n s ( 6 ) i n S e c . 7 1 a n d t h e

s t a t e m e n t i n i t a l i c s j u s t p r i o r t o t h e m t h a t

( 4 )

1

. ,

d x =

E X E R C I S E S

U s e r e s i d u e s t o e v a l u a t e t h e i m p r o p e r i n t e g r a l s i n E x e r c i s e s 1 t h r o u g h 5 .

x 2 +

A n s . n / 2 .

2 . 0 0

d x

.

o

( x 2 + 1 ) 2

A n s . n / 4 .

0 0

d x

3 .

p

x 4 + 1

A n s . 7 r / ( 2 J ) .

x 2 d x

) ( x 2 + 4 ) .

5 .

f o

A n s . 7 r / 6 .

x 2 d x

( x 2 + 9 ) ( x 2 + 4 ) 2

A n s . a r / 2 0 0 .

U s e r e s i d u e s t o f i n d t h e C a u c h y p r i n c i p a l v a l u e s o f t h e i n t e g r a l s i n E x e r c i s e s 6 a n d 7 .

d x

0 0

x 2 + 2 x + 2

7 .

0 °

x d x

J O o

( x 2 + 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 )

A n s . - T r / 5 .

8 . U s e r e s i d u e s a n d t h e c o n t o u r s h o w n i n F i g . 9 2 , w h e r e R > 1 , t o e s t a b l i s h t h e i n t e g r a t i o n

f o r m u l a

2 5 8


R e x p ( i 2 7 0 )

0

Y

C H A P . 7

9 . L e t m a n d n b e i n t e g e r s , w h e r e 0 < m < n . F o l l o w t h e s t e p s b e l o w t o d e r i v e t h e i n t e g r a t i o n

f o r m u l a

x 2 i t + 1

d x

2 n

c s c

S h o w t h a t t h e z e r o s o f t h e p o l y n o m

( 2 k + 1 )

C k = e x p

2 n

( k = 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 )

R

x

F I G U R E 9 2

1 l y i n g a b o v e t h e r e a l a x i s a r e

a n d t h a t t h e r e a r e n o n e o n t h a t a x i s .

( b ) W i t h t h e a i d o f T h e o r e m 2 i n S e c . 6 9 , s h o w t h a t

R e s

Z r m

_

l

e ` ( 2 k + I ) a

( k = O , 1 , 2 ,

. . . , n -

Z = C k Z 2 n + 1

2 n

w h e r e c k a r e t h e z e r o s f o u n d i n p a r t ( a ) a n d

2 m + I

r .

2 n

T h e n u s e t h e s u m m a t i o n f o r m u l a

( Z 0 1 )

s e e E x e r c i s e 1 0 , S e c . 7 ) t o o b t a i n t h e e x p r e s s i o n

Z 2 m

7 C

2 r r i ) ' R e s

=

2

= C k z

n - { - 1

n s i n a

k _ 0

( c ) U s e t h e f i n a l r e s u l t i n p

1 0 . T h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a

d x

b ) t o c o m p l e t e t h e d e r i v a t i o n o f t h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a .



S E C . 7 3

I M P R O P E R I N T E G R A L S F R O M F O U R I E R A N A L Y S I S 2 5 9

w h e r e a i s a n y r e a l n u m b e r a n d A = a 2 + 1 , a r i s e s i n t h e t h e o r y o f c a s e - h a r d e n i n g o f

s t e e l b y m e a n s o f r a d i o - f r e q u e n c y h e a t i n g . * F o l l o w t h e s t e p s b e l o w t o d e r i v e i t .

( a ) P o i n t o u t w h y t h e f o u r z e r o s o f t h e p o l y n o m i a l

q ( z ) = ( z t - a ) ` + 1

a r e t h e s q u a r e r o o t s o f t h e n u m b e r s a + i . T h e n , u s i n g t h e f a c t t h a t t h e n u m b e r s

z o =

( A + a + i - , , / - A A - - a )

a n d - z o a r e t h e s q u a r e r o o t s o f a + i ( E x e r c i s e 5 , S e c . 9 ) , v e r i f y t h a t ± T 0 a r e t h e

s q u a r e r o o t s o f a - i a n d h e n c e t h a t z o a n d - T o a r e t h e o n l y z e r o s o f q ( z ) i n t h e

u p p e r h a l f p l a n e I m z > 0 .

b ) U s i n g t h e m e t h o d d e r i v e d i n E x e r c i s e 7 , S e c . 6 9 , a n d k e e p i n g i n m i n d t h a t z 2 = a + i

f o r p u r p o s e s o f s i m p l i f i c a t i o n , s h o w t h a t t h e p o i n t z o i n p a r t ( a ) i s a p o l e o f o r d e r 2

o f t h e f u n c t i o n f ( z ) = 1 / [ q ( z ) ] 2 a n d t h a t t h e r e s i d u e B I a t z o c a n b e w r i t t e n

q " ( z o ) _ a - i ( 2 a 2 + 3 )

[ q ' ( z o ) ] 3

1 6 A 2 z o

A f t e r o b s e r v i n g t h a t q ' ( - " z ) = - q ' ( z ) a n d q " ( - " z ) = q " ( z ) , u s e t h e s a m e m e t h o d t o

s h o w t h a t t h e p o i n t - T o i n p a r t ( a ) i s a l s o a p o l e o f o r d e r 2 o f t h e f u n c t i o n f ( z ) , w i t h

r e s i d u e

T h e n o b t a i n t h e e x p r e s s i o n

1

I + B 2 =

- a + i ( 2 a 2 + 3 )

Z O

A 2 i

f o r t h e s u m o f t h e s e r e s i d u e s .

( c ) R e f e r t o p a r t ( a ) a n d s h o w t h a t I q ( z ) I > ( R - I z a 1

) 4 i f I Z I

= R , w h e r e R > I z o l . T h e n ,

w i t h t h e a i d o f t h e f i n a l r e s u l t i n p a r t ( b ) , c o m p l e t e t h e d e r i v a t i o n o f t h e i n t e g r a t i o n

f o r m u l a .

7 3 . I M P R O P E R I N T E G R A L S F R O M F O U R I E R A N A L Y S I S

R e s i d u e t h e o r y c a n b e u s e f u l i n e v a l u a t i n g c o n v e r g e n t i m p r o p e r i n t e g r a l s o f t h e f o r m

( 1 )

j

f ( x ) s i n a x d x

o r

f

0 0

( x ) c o s a x d x ,

* S e e p p . 3 5 9 - 3 6 4 o f t h e b o o k b y B r o w n , H o y l e r , a n d B i e r w i r t h t h a t i s l i s t e d i n A p p e n d i x 1 .

2 6 0


C H A P . 7

w h e r e a d e n o t e s a p o s i t i v e c o n s t a n t . A s i n S e c . 7 1 , w e a s s u m e t h a t f ( x ) = p ( x ) f q ( x ) ,

w h e r e p ( x ) a n d q ( x ) a r e p o l y n o m i a l s w i t h r e a l c o e f f i c i e n t s a n d n o f a c t o r s i n c o m m o n .

A l s o , q ( z ) h a s n o r e a l z e r o s . I n t e g r a l s o f t y p e ( 1 ) o c c u r i n t h e t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n

o f t h e F o u r i e r i n t e g r a l . *

T h e m e t h o d d e s c r i b e d i n S e c . 7 1 a n d u s e d i n S e c . 7 2 c a n n o t b e a p p l i e d d i r e c t l y

h e r e s i n c e ( s e e S e c . 3 3 )

a n d

M o r e p r e c i s e l y , s i n c e

s m h a y =

I s i n a z 1 2 = s i n

2

a x + s i n h 2 a y

] c o s a x 1 2 = c o s t a x + s i n h 2 a y .

S a y - e - a y

2

t h e m o d u l i I s i n a z ) a n d I c o s a z ) i n c r e a s e l i k e e a y a s y t e n d s t o i n f i n i t y . T h e m o d i f i c a t i o n

i l l u s t r a t e d i n t h e e x a m p l e b e l o w i s s u g g e s t e d b y t h e f a c t t h a t

c o s a x d x + i

f ( x ) s i n a x d x =

- R - R

J - R

t o g e t h e r w i t h t h e f a c t t h a t t h e m o d u l u s

I e i a , l

=

l e i a ( x + i y ) )

= I e - a y e i a x

i s b o u n d e d i n t h e u p p e r h a l f p l a n e y ? 0 .

E X A M P L E . L e t u s s h o w t h a t

( 2 )

c o s 3 x

d x =

2 7 r

-

- o o

( x 2 + 1 ) 2

e 3

t a x d x ,

B e c a u s e t h e i n t e g r a n d i s e v e n , i t i s s u f f i c i e n t t o s h o w t h a t t h e C a u c h y p r i n c i p a l v a l u e

o f t h e i n t e g r a l e x i s t s a n d t o f i n d t h a t v a l u e .

W e i n t r o d u c e t h e f u n c t i o n

. f ( z ) =

1

( z 2

+

1 ) 2

a n d o b s e r v e t h a t t h e p r o d u c t f { z } e h i z i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e o n a n d a b o v e t h e r e a l

a x i s e x c e p t a t t h e p o i n t z = i . T h e s i n g u l a r i t y z = i l i e s i n t h e i n t e r i o r o f t h e s e m i -

c i r c u l a r r e g i o n w h o s e b o u n d a r y c o n s i s t s o f t h e s e g m e n t - R < x < R o f t h e r e a l a x i s

* S e e t h e a u t h o r s ' " F o u r i e r S e r i e s a n d B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s , " 6 t h e d . , C h a p . 7 , 2 0 0 1 .

S E C . 7 3

I M P R O P E R I N T E G R A L S F R O M F O U R I E R A N A L Y S I S

2 6 1

a n d t h e u p p e r h a l f C R o f t h e c i r c l e I z I = R ( R > 1 ) f r o m z = R t o z = R . I n t e g r a t i o n

o f f ( z ) e i 3 z a r o u n d t h a t b o u n d a r y y i e l d s t h e e q u a t i o n

R e i 3 z

( 4 )

d x = 2 7 r i B r - - -

- R

( x 2 + 1 ) 2

w h e r e

R e s [ f ( z ) e

z = i

S i n c e

( z -

w h e r e O ( z ) =

t h e p o i n t z = i i s e v i d e n t l y a p o l e o f o r d e r m = 2 o f f ( z ) e ` i z ; a n d

1

B y e q u a t i n g t h e r e a l p a r t s o n e a c h s i d e o f e q u a t i o n ( 4 ) , t h e n , w e f i n d t h a t

e i 3 z

d z .

F i n a l l y , w e o b s e r v e t h a t w h e n z i s a p o i n t o n C R ,

I f ( 7 1 1 < M

w h e r e M =

i 3 z

0 ( z )

1

R R

2 2

R

- 1 )

a n d t h a t ( e

( 6 )

S i n c e t h e q u a n t i t y

- 3 y < I f o r s u c h a p o i n t . C o n s e q u e n t l y ,

) e i 3 z

d z

W e '

. 3 z d z

< M R n R .

t e n d s t o 0 a s R t e n d s t o o o a n d b e c a u s e o f i n e q u a l i t i e s ( 6 ) , w e n e e d o n l y l e t R t e n d t o

c o o i n e q u a t i o n ( 5 ) t o a r r i v e a t t h e d e s i r e d r e s u l t ( 2 ) .

2 6 2


C H A P . 7

7 4 . J O R D A N ' S L E M M A

I n t h e e v a l u a t i o n o f i n t e g r a l s o f t h e t y p e t r e a t e d i n S e c . 7 3 , i t i s s o m e t i m e s

n e c e s s a r y

t o u s e J o r d a n ' s l e m m a , * w h i c h i s s t a t e d h e r e a s a t h e o r e m .

T h e o r e m .


( i ) a f u n c t i o n f ( z ) i s a n a l y t i c a t a l l p o i n t s z i n t h e u p p e r h a l f p l a n e

y > 0 t h a t a r e

e x t e r i o r t o a c i r c l e I z ) = R 0 , '

C R d e n o t e s a s e m i c i r c l e z = R e ` 0 ( 0 < 0 < a r ) , w h e r e R

> R 0 ( F i g . 9 3 ) ;

f o r a l l p o i n t s z o n C R , t h e r e i s a p o s i t i v e c o n s t a n t M R s u c h t h a t I f ( z ) 1 c M R ,

w h e r e

R - + 0 C

T h e n , f o r e v e r y p o s i t i v e c o n s t a n t a ,

( 1 )

= 0 .

F I G U R E 9 3

T h e p r o o f i s b a s e d o n a r e s u l t t h a t i s k n o w n a s J o r d a n ' s i n e q u a l i t y :

( 2 )

e - R s i n 8 d B

0

R

R

T o v e r i f y t h i s i n e q u a l i t y , w e f i r s t n o t e f r o m t h e g r a p h s o f t h e f u n c t i o n s

y = s i n 0 a n d

y = 2 0 / 7 r w h e n 0 < 0 < 7 r / 2 ( F i g . 9 4 ) t h a t s i n 0 > 2 0 / 7 r f o r a l l v a l u e s o f 0 i n t h a t

* S e e t h e f i r s t f o o t n o t e i n S e c . 3 8 .

S E C . 7 4

J O R D A N ' S L E M M A 2 6 3

F I G U R E 9 4

i n t e r v a l . C o n s e q u e n t l y , i f R > 0 ,

e - R s i n

a n d s o

2 R

2

e - R s i n 8

d 8 < 1

e - 2 R 8 J n d O

( 1 - e - R )

- 2 R 8 / 7 r

w h e n

H e n c e

( 3 )

2

e - R s i n 8

d O <

2 R

( R > 0 ) .

B u t t h i s i s j u s t a n o t h e r f o r m o f i n e q u a l i t y ( 2 ) , s i n c e t h e g r a p h o f y = s i n 0 i s s y m m e t r i c

w i t h r e s p e c t t o t h e v e r t i c a l l i n e 0 = 7 r / 2 o n t h e i n t e r v a l 0 < 0 < 7 r .

T u r n i n g n o w t o t h e v e r i f i c a t i o n o f l i m i t ( 1 ) , w e a c c e p t s t a t e m e n t s ( i ) - ( i i i ) i n t h e

t h e o r e m a n d w r i t e

S i n c e

Z ) e i a z d z =

R e i e ) e x p ( i a R e c 8 ) i R e i e d 8 .

f ( R e i B ) f < M R a n d

1 e x p ( i a R e i 9 ) 1 < e - a R s i n e

a n d i n v i e w o f J o r d a n ' s i n e q u a l i t y ( 2 ) , i t f o l l o w s t h a t

f ( z ) e

i a z d z

I C R

e - a R s i n 8 d $ < M R I T

a

L i m i t ( 1 ) i s t h e n e v i d e n t , s i n c e M R - * 0 a s R - * c o o .

E X A M P L E . L e t u s f i n d t h e C a u c h y p r i n c i p a l v a l u e o f t h e i n t e g r a l

2 6 4


C H A P . 7

A s u s u a l , t h e e x i s t e n c e o f t h e v a l u e i n q u e s t i o n w i l l b e e s t a b l i s h e d b y o u r a c t u a l l y

f i n d i n g i t .

W e w r i t e

. f ( z ) _

Z

=

Z

Z ' + 2 z + 2

( z - z l ) ( z - z l ) '

w h e r e z 1 = - 1 + i . T h e p o i n t z 1 , w h i c h l i e s a b o v e t h e z a x i s , i s a s i m p l e p o l e o f t h e

f u n c t i o n f ( z ) e ` z , w i t h r e s i d u e

( 4 )

z 1 e ` 2 I

z 1

H e n c e , w h e n R >

a n d C R d e n o t e s t h e u p p e r h a l f o f t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e

I z I = R ,

1 R

x e ` x d x

J R x 2 + 2 x + 2


( 5 )

N o w

r

X s i n x d x

- R x ' 2 + 2 x + 2

= 2 i r i B 1 -

Z d z

a n d w e n o t e t h a t , w h e n z i s a p o i n t o n C R ,

I f ( z ) I < M R w h e r e

( z ) e ' z d z ;

Z d z

R

( R - ) 2

a n d t h a t I e ` z I = e - y < 1 f o r s u c h a p o i n t . B y p r o c e e d i n g a s w e d i d i n t h e e x a m p l e s i n

S e c s . 7 2 a n d 7 3 , w e c a n n o t c o n c l u d e t h a t t h e r i g h t - h a n d s i d e o f i n e q u a l i t y ( 6 ) , a n d

h e n c e t h e l e f t - h a n d s i d e , t e n d s t o z e r o a s R t e n d s t o i n f i n i t y . F o r t h e q u a n t i t y

M s r R =

7 r R 2

7 r

R )

d o e s n o t t e n d t o z e r o . L i m i t ( 1 ) d o e s , h o w e v e r , p r o v i d e t h e d e s i r e d r e s u l t .

S o i t d o e s , i n d e e d , f o l l o w f r o m i n e q u a l i t y ( 6 ) t h a t t h e l e f t - h a n d s i d e t h e r e t e n d s

t o z e r o a s R t e n d s t o i n f i n i t y . C o n s e q u e n t l y , e q u a t i o n ( 5 ) , t o g e t h e r w i t h e x p r e s s i o n ( 4 )



S E C . 7 4

f o r t h e r e s i d u e B 1 , t e l l s u s t h a t

( 7 )

P . V .

E X E R C I S E S 2 6 5

2 a r i B 1 ) _

( s i n 1 + c o s 1 ) .

E X E R C I S E S

U s e r e s i d u e s t o e v a l u a t e t h e i m p r o p e r i n t e g r a l s i n E x e r c i s e s 1 t h r o u g h 8 .

( a > b > 0 ) .

A n s _

d x ( a > 0 ) ,

x 2 + 1

T t

A n s . - e - ' .

2

c o s a x

( c o s

b 2 ) 2 d x ( a > 0 , b > 0 ) .

A n s . -

- ( l + a b ) e - a b

4 0

x s i n 2 x

d x .

5 .

r

x 2 + 3

A n s . 2 e x p ( - 2 V ) .

d x ( a > ( )

O r - i n a r

o , x 4 + 4

7 r

A n s . - e - a s i n a .

2

X . 5 s i n

a x

d x ( a > 0 )

7 .

x 4 + 4

A n s . r e " ' c o s a .

2 6 6


C H A P . 7

U s e r e s i d u e s t o f i n d t h e C a u c h y p r i n c i p a l v a l u e s o f t h e i m p r o p e r i n t e g r a l s i n

E x e r c i s e s 9 t h r o u g h 1 1 .

s i n x d x

9 .

J a . , x 2 + 4 x + 5

7 r

A n s . - - s i n 2 .

e

f 0 c

0 .

( x + 1 ) C o s x

d x

0 0 x 2 + 4 x + 5

A n s . - ( s i n 2 - c o s 2 ) .

e

0

1 2 . F o l l o w t h e s t e p s b e l o w t o e v a l u a t e t h e F r e s n e l i n t e g r a l s , w h i c h a r e i m p o r t a n t i n d i f f r a c -

t i o n t h e o r y .

c o s ( x 2 ) d x =

( a ) B y i n t e g r a t i n g t h e f u n c t i o n e x p ( i z 2 ) a r o u n d t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d b o u n d a r y o f

t h e s e c t o r 0 < _ r < R , 0 < _ 0 < 7 r / 4 ( F i g . 9 5 ) a n d a p p e a l i n g t o t h e C a u c h y - G o u r s a t

t h e o r e m , s h o w t h a t

1 .

a n d

e ` Z z

d z

s i n ( x 2 ) d x =

f e 2 d r - I m

f e i z d z ,

, / 2

0

C

w h e r e C R i s t h e a r c z = R e

y

R e x p ( i a r / 4 )

C R

4

0 1 R

X

F I G U R E 9 5

S E C . 7 5

I N D E N T E D P A T H S

2 6 7

( b ) S h o w t h a t t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l a l o n g t h e a r c C R i n p a r t ( a ) t e n d s t o z e r o a s R

t e n d s t o i n f i n i t y b y o b t a i n i n g t h e i n e q u a l i t y

d z

e -

R 2 s i n O d O

a n d t h e n r e f e r r i n g t o t h e f o r m ( 3 ) , S e c . 7 4 , o f J o r d a n ' s i n e q u a l i t y .

U s e t h e r e s u l t s i n p a r t s ( a ) a n d ( b ) , t o g e t h e r w i t h t h e k n o w n i n t e g r a t i o n f o r m u l a *

I

t o c o m p l e t e t h e e x e r c i s e .

0 4 2

e - X d x

7 t

7 5 . I N D E N T E D P A T H S

I n t h i s a n d t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , w e i l l u s t r a t e t h e u s e o f i n d e n t e d p a t h s . W e b e g i n w i t h

a n i m p o r t a n t l i m i t t h a t w i l l b e u s e d i n t h e e x a m p l e i n t h i s s e c t i o n .

T h e o r e m .


( i ) a f u n c t i o n f ( z ) h a s a s i m p l e p o l e a t a p o i n t z

x a o n t h e r e a l a x i s , w i t h a L a u r e n t

s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n i n a p u n c t u r e d d i s k 0 < I z - x o I < R 2 ( F i g . 9 6 ) a n d w i t h

r e s i d u e B e ;

( i i ) C . d e n o t e s t h e u p p e r h a l f o f a c i r c l e I z - x p I = p , w h e r e p < R 2 a n d t h e c l o c k w i s e

d i r e c t i o n i s t a k e n ,

T h e n

( 1 ) z ) d z = - B 0 r r i .

F I G U R E 9 b

A s s u m i n g t h a t t h e c o n d i t i o n s i n p a r t s ( i ) a n d ( i i ) a r e s a t i s f i e d , w e s t a r t t h e p r o o f

o f t h e t h e o r e m b y w r i t i n g t h e L a u r e n t s e r i e s i n p a r t ( i ) a s

B

e

+

f ( z ) = 9 ( z )

z - x 0

z - x e < R 2 ) ,

* S e e t h e f o o t n o t e w i t h E x e r c i s e 4 , S e c . 4 6 .

2 6 8


C H A P , 7

w h e r e

g ( z ) =

, , , a , ( z - x 0 ) n

( 1 z - x o

n = 0

T h u s

( 2 )

f . f ( z ) d z = f

`

g ( z ) d z + B 0

'

R 2 ) ,

N o w t h e f u n c t i o n g ( z ) i s c o n t i n u o u s w h e n I z

- x o l < R 2 , a c c o r d i n g t o t h e t h e o -

r e m i n S e c . 5 8 . H e n c e i f w e c h o o s e a n u m b e r p e s u c h t h a t p < p e < R 2 ( s e e F i g . 9 6 ) , i t

m u s t b e b o u n d e d o n t h e c l o s e d d i s k I z - x o I < p e , a c c o r d i n g t o S e c . 1 7 . T h a t i s , t h e r e

i s a n o n n e g a t i v e c o n s t a n t M s u c h t h a t

I g ( z ) I < M w h e n e v e r

I z - x o l < p o ;

a n d , s i n c e t h e l e n g t h L o f t h e p a t h C , , i s L = n p , i t f o l l o w s t h a t

f c p g ( z ) d z

C o n

s e q u e n t l y ,

( 3 )

P - 0 J c

< M L = M 7 r p .

g ( z ) d z =

I n a s m u c h a s t h e s e m i c i r c l e - C , h a s p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

z = x e + p e °

t h e s e c o n d i n t e g r a l o n t h e r i g h t i n e q u a t i o n ( 2 ) h a s t h e v a l u e

T h u s

( 4 )

" d 9 = - i I

d B = - i j r .

L i m i t ( 1 ) n o w f o l l o w s b y l e t t i n g p t e n d t o z e r o o n e a c h s i d e o f e q u a t i o n ( 2 ) a n d

r e f e r r i n g t o l i m i t s ( 3 ) a n d ( 4 ) .

S E C . 7 5

I N D E N T E D P A T H S

2 6 9

E X A M P L E . M o d i f y i n g t h e m e t h o d u s e d i n S e c s . 7 3 a n d 7 4 , w e d e r i v e h e r e t h e

i n t e g r a t i o n f o r m u l a *

( 5 )

f o

s i n x

7 t

x d x =

2

b y i n t e g r a t i n g e c z / z a r o u n d t h e s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s h o w n i n F i g . 9 7 . I n t h a t

f i g u r e , p a n d R d e n o t e p o s i t i v e r e a l n u m b e r s , w h e r e p < R ; a n d L 1 a n d L 2 r e p r e s e n t

t h e i n t e r v a l s p < x < R a n d - R < x < - p , r e s p e c t i v e l y , o n t h e r e a l a x i s . W h i l e

t h e s e m i c i r c l e C R i s a s i n S e c s . 7 3 a n d 7 4 , t h e s e m i c i r c l e C , , i s i n t r o d u c e d h e r e i n

o r d e r t o a v o i d i n t e g r a t i n g t h r o u g h t h e s i n g u l a r i t y z = 0 o f e t z / z .

F I G U R E 9 7

T h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m t e l l s u s t h a t

I L

o r

( 6 )

d z + I

- d z + I - d z + I

- d z = 0 ,

C l ?

Z

L ,

Z

M o r e o v e r , s i n c e t h e l e g s L 1 a n d - L 2 h a v e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n s

( 7 )

z = r e r ° = r ( p < r < R ) a n d z = r e i " = - r ( p < r < R ) ,

r e s p e c t i v e l y , t h e l e f t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 6 ) c a n b e w r i t t e n

v i z

l R , i r

r , P - i r

f R

s i n r

- d z - I

- d z = I

- d r - I

- d r = 2

r

* T h i s f o r m u l a a r i s e s i n t h e t h e o r y o f t h e F o u r i e r i n t e g r a l . S e e t h e a u t h o r s ' " F o u r i e r S e r i e s a n d B o u n d a r y

V a l u e P r o b l e m s , " 6 t h e d . , p p . 2 0 6 - 2 0 8 , 2 0 0 1 , w h e r e i t i s d e r i v e d i n a c o m p l e t e l y d i f f e r e n t w a y .

2 7 0 A P P L I C A T I O N S O F R E S I D U E S


N o w , f r o m t h e L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

( i z )

+

( i z ) 2

+

( i z ) s

1

2

3

i 2

i 3

+

Z + z 2 + . . .

( 0 < I z I < o © ) ,

C H A P . 7

i t i s c l e a r t h a t e z / z h a s a s i m p l e p o l e a t t h e o r i g i n , w i t h r e s i d u e u n i t y . S o , a c c o r d i n g

t o t h e t h e o r e m a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s s e c t i o n ,

= d z = - 7 r i .

A l s o , s i n c e

1

z

1 1

I z l R

w h e n z i s a p o i n t o n C R , w e k n o w f r o m J o r d a n ' s l e m m a i n S e c . 7 4 t h a t

T h u s , b y l e t t i n g p t e n d t o 0 i n e q u a t i o n ( 8 ) a n d t h e n l e t t i n g R t e n d t o o c ,

w e a r r i v e a t

t h e r e s u l t

° " s i n r

2 i

d r =

0

r

w h i c h i s , i n f a c t , f o r m u l a ( 5 ) .

7 6 . A N I N D E N T A T I O N A R O U N D A B R A N C H P O I N T

T h e e x a m p l e h e r e i n v o l v e s t h e s a m e i n d e n t e d p a t h t h a t w a s u s e d i n t h e e x a m p l e i n t h e

p r e v i o u s s e c t i o n . T h e i n d e n t a t i o n i s , h o w e v e r , d u e t o a b r a n c h p o i n t , r a t h e r t h a n a n

i s o l a t e d s i n g u l a r i t y .

E X A M P L E . T h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a

( 1 )

P - - + u J C P z

I n x

d x =

( 1 n 2 - 1 )

3 2

S E C . 7 6

A N I N D E N T A T I O N A R O U N D A B R A N C H P O I N T

2 7 1

c a n b e d e r i v e d b y c o n s i d e r i n g t h e b r a n c h

l o g z

f ( z ) =

J r

a r g z

o f t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n ( l o g z ) / ( z 2 + 4 ) 2 , T h i s b r a n c h , w h o s e b r a n c h c u t

c o n s i s t s o f t h e o r i g i n a n d t h e n e g a t i v e i m a g i n a r y a x i s , i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e i n t h e

i n d i c a t e d d o m a i n e x c e p t a t t h e p o i n t z = 2 i . I n o r d e r t h a t t h e i s o l a t e d s i n g u l a r i t y 2 i

a l w a y s b e i n s i d e t h e c l o s e d p a t h , w e r e q u i r e t h a t p < 2 < R . S e e F i g . 9 8 , w h e r e t h e

i s o l a t e d s i n g u l a r i t y a n d t h e b r a n c h p o i n t z = 0 a r e s h o w n a n d w h e r e t h e s a m e l a b e l s

L

1 ,

L 2 , C . , a n d C R a s i n F i g . 9 7 a r e u s e d . A c c o r d i n g t o C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m ,

L f ( z ) d z - F

j

C

T h a t i s ,

f ( z ) d z + j

f ( z ) d z + J

f ( z ) d z = 2 r r i R e s f ( z ) .

Z = 2 i

f ( z ) d z -

f ( z ) d z .

2 )

j

f ( z ) d z + I

f ( z ) d z = 2 7 r i R e s f ( z ) -

1

= 2 i

C o

C R

F I G U R E 9 8

S i n c e

I n r + i 9

2 e i 2 0

+

4 ) 2

t h e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n s

( 3 )

z = r e ` Q = r ( p {

( z = r e

R ) a n d

z = r e " ' =

( p < r { R )

f o r t h e l e g s L 1 a n d - L 2 c a n b e u s e d t o w r i t e t h e l e f t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 2 ) a s

f ( z ) d z - j '

f ( z ) d z = f n

l n r

d r +

L ,

L ,

P

( r 2 + 4 ) 2

2 7 2


A l s o , s i n c e

. f ( z ) =

0

( z )

w h e r e

0 ( z ) =

l o g z

( z - 2 i ) 2

( z + 2 i ) 2 '

t h e s i n g u l a r i t y z = 2 i o f f ( z ) i s a p o l e o f o r d e r 2 , w i t h r e s i d u e

+ i 1 - 1 n 2

6 4

3 2

E q u a t i o n ( 2 ) t h u s b e c o m e s

I n I + 1 1 0 1

a n d , b y e q u a t i n g t h e r e a l p a r t s o n e a c h s i d e h e r e , w e f i n d t h a t

I n r

r r

I n r

z

d r

'

d r + i z / /

( I n 2 - 1 ) + i -

4 ) 2

h ( r 2 + 4 ) 2

1 6

3 2

d r = - ( 1 n 2 - 1 ) - R e I

f ( z ) d z -

I t r e m a i n s o n l y t o s h o w t h a t

( 6 )

l i m R e

p - + a

f ( z ) d z = 0

a n d

l i m R e

R - + o o

( z ) d z = 0 .

d z ;

C H A P . 7

F o r , b y l e t t i n g p a n d R t e n d t o 0 a n d o o , r e s p e c t i v e l y , i n e q u a t i o n ( 5 ) , w e t h e n a r r i v e

a t

2 ° " I n r

d r .

n

- ( I n 2 - 1 ) ,

J 0

( r 2 + 4 ) 2

1 6

w h i c h i s t h e s a m e a s e q u a t i o n ( 1 ) .

L i m i t s ( 6 ) a r e e s t a b l i s h e d a s f o l l o w s . F i r s t , w e n o t e t h a t i f p < I a n d

z = p e

a p o i n t o n C p , t h e n

l l o g z l = I l n p + i 8 1 : 5

a n d

I z 2 + 4 1

_

I I

A s a c o n s e q u e n c e ,

d z

d z

( z ) d z -

- I n p + i r

p 2

- i n p + i _ 7 r p - p l n p

( 4 -

p 2 ) 2 p

( 4 - p 2 ) 2

a

S E C . 7 7

I N T E G R A T I O N A L O N G A B R A N C H C U T 2 7 3

a n d , b y 1 ' H o s p i t a l ' s r u l e , t h e p r o d u c t p i n p i n t h e n u m e r a t o r o n t h e f a r r i g h t h e r e t e n d s

t o 0 a s p t e n d s t o 0 . S o t h e f i r s t o f l i m i t s ( 6 ) c l e a r l y h o l d s . L i k e w i s e , b y w r i t i n g

R e I

f ( z ) d z

I n

R + 7 r

" R -

- ( R 2 - 4 ) 2

a n d u s i n g i ' H o s p i t a l ' s r u l e t o s h o w t h a t t h e q u o t i e n t ( I n R ) J R t e n d s t o 0 a s R t e n d s t o

o c , w e o b t a i n t h e s e c o n d o f l i m i t s ( 6 ) .

N o t e h o w a n o t h e r i n t e g r a t i o n f o r m u l a , n

( 7 )

f

° "

d x

( x 2 + 4 ) 2

y

2 1

f o l l o w s b y e q u a t i n g i m a g i n a r y , r a t h e r t h a n r e a l , p a r t s o n e a c h s i d e o f e q u a t i o n ( 4 ) :

( 8 )

d z - I m I

f ( z ) d z .

C R

F o r m u l a ( 7 ) i s t h e n o b t a i n e d b y l e t t i n g p a n d R t e n d t o 0 a n d o v a , r e s p e c t i v e l y , s i n c e

( z ) d z

{

( z ) d z

a n d

z ) d z

7 7 . I N T E G R A T I O N A L O N G A B R A N C H C U T

C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m c a n b e u s e f u l i n e v a l u a t i n g a r e a l i n t e g r a l w h e n p a r t o f t h e

p a t h o f i n t e g r a t i o n o f t h e f u n c t i o n f ( z ) t o w h i c h t h e t h e o r e m i s a p p l i e d l i e s a l o n g a

b r a n c h c u t o f t h a t f u n c t i o n .

E X A M P L E . L e t x - a , w h e r e x > 0 a n d 0 < a < 1 , d e n o t e t h e p r i n c i p a l v a l u e o f t h e

i n d i c a t e d p o w e r o f x ; t h a t i s , x - Q i s t h e p o s i t i v e r e a l n u m b e r e x p ( - a i n x ) . W e s h a l l

e v a l u a t e h e r e t h e i m p r o p e r r e a l i n t e g r a l

( 1 )

f

d x

( 0 < a < 1 ) ,

0 X +

w h i c h i s i m p o r t a n t i n t h e s t u d y o f t h e g a m m a f u n c t i o n . * N o t e t h a t i n t e g r a l ( 1 ) i s

i m p r o p e r n o t o n l y b e c a u s e o f i t s u p p e r l i m i t o f i n t e g r a t i o n b u t a l s o b e c a u s e i t s i n t e g r a n d

h a s a n i n f i n i t e d i s c o n t i n u i t y a t x = 0 . T h e i n t e g r a l c o n v e r g e s w h e n 0 < a < I s i n c e t h e

i n t e g r a n d b e h a v e s l i k e x - Q n e a r x = 0 a n d l i k e x - a - 1 a s x t e n d s t o i n f i n i t y . W e d o n o t ,

* S e e , f o r e x a m p l e , p . 4 o f t h e b o o k b y L e b e d e v c i t e d i n A p p e n d i x 1 .

2 7 4


C H A P . 7

h o w e v e r , n e e d t o e s t a b l i s h c o n v e r g e n c e s e p a r a t e l y ; f o r t h a t w i l l b e c o n t a i n e d i n o u r

e v a l u a t i o n o f t h e i n t e g r a l .

W e b e g i n b y l e t t i n g C . a n d C R d e n o t e t h e c i r c l e s l z I = p a n d J z ( = R , r e s p e c t i v e l y ,

w h e r e p < 1 < R ; a n d w e a s s i g n t h e m t h e o r i e n t a t i o n s s h o w n i n F i g . 9 9 . W e t h e n

i n t e g r a t e t h e b r a n c h

( 2 )

f ( z )

z + 1

{ I z

> 0 , 0 < a r g z < 2 7 r )

o f t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n z - ' / ( z + 1 ) , w i t h b r a n c h c u t a r g z = 0 , a r o u n d t h e

s i m p l e c l o s e d c o n t o u r i n d i c a t e d i n F i g . 9 9 . T h a t c o n t o u r i s t r a c e d o u t b y a p o i n t m o v i n g

f r o m p t o R a l o n g t h e t o p o f t h e b r a n c h c u t f o r f ( z ) , n e x t a r o u n d C R a n d b a c k t o R ,

t h e n a l o n g t h e b o t t o m o f t h e c u t t o p , a n d f i n a l l y a r o u n d C , , b a c k t o p .

F I G U R E 9 9

N o w 9 = 0 a n d 9 = 2 7 c a l o n g t h e u p p e r a n d l o w e r " e d g e s , " r e s p e c t i v e l y , o f t h e

c u t a n n u l u s t h a t i s f o r m e d . S i n c e

e x p ( - a l o g z )

= e x p [ - a ( l n r + i B

z + l

r e i $ + 1

w h e r e z = r e i n , i t f o l l o w s t h a t

, f ( z ) =

e x p [ - a ( l n r + i 0 ) ] _

r

r + 1

o n t h e u p p e r e d g e , w h e r e z = r e i e , a n d t h a t

r + l

e x p [ - a ( l n r + i 2 7 r ) ]

=

r - a e - i 2 a n

f ( z ) r + 1

r + l

]

o n t h e l o w e r e d g e , w h e r e z = r e i n . T h e r e s i d u e t h e o r e m t h u s s u g g e s t s t h a t

R

- a e _ i 2 a n

r

r + I

. f ( z ) d z - I

d r

+ I

. f ( z ) d z

r + 1

= 2 7 r R e s f ( z ) .

Z = - I

S E C . 7 7

I N T E G R A T I O N A L O N G A B R A N C H C U T 2 7 5

O u r d e r i v a t i o n o f e q u a t i o n ( 3 ) i s , o f c o u r s e , o n l y f o r m a l s i n c e f ( z ) i s n o t a n a l y t i c ,

o r e v e n d e f i n e d , o n t h e b r a n c h c u t i n v o l v e d . I t i s , n e v e r t h e l e s s , v a l i d a n d c a n b e f u l l y

j u s t i f i e d b y a n a r g u m e n t s u c h a s t h e o n e i n E x e r c i s e 8 .

T h e r e s i d u e i n e q u a t i o n ( 3 ) c a n b e f o u n d b y n o t i n g t h a t t h e f u n c t i o n

0 ( z )

= z - a = e x p ( - a l o g z ) = e x p [ - a ( l n r + i 8 ) ]

( r > 0 , 0 < 0 < 2 7 r )

i s a n a l y t i c a t z = - 1 a n d t h a t

= e x p [ - a ( l n

- L a i r

0

T h i s s h o w s t h a t t h e p o i n t z = - 1 i s a s i m p l e p o l e o f t h e f u n c t i o n f ( z ) , d e f i n e d b y

e q u a t i o n ( 2 ) , a n d t h a t

R e s f ( z

z = - I

E q u a t i o n ( 3 ) c a n , t h e r e f o r e , b e w r i t t e n a s

n

- a

r

- i 2 a n ) J

d r = 2

i e - i o n

-

J C f ( z ) d z

- J

f ( z ) d z .

P r + 1 p C R

R e f e r r i n g n o w t o d e f i n i t i o n ( 2 ) o f f ( z ) , w e s e e t h a t

f f ( z ) d z

2 7 r

I

_

- a

<

1 -

p 2 7 r p =

I -

p p

a n d

I C R

<

R - a

2 7 r R =

2 7 r R

I

R - 1

R - I R

S i n c e 0 < a < 1 , t h e v a l u e s o f t h e s e t w o i n t e g r a l s e v i d e n t l y t e n d t o 0 a s p a n d R t e n d

t o 0 a n d o o , r e s p e c t i v e l y . H e n c e , i f w e l e t p t e n d t o 0 a n d t h e n R t e n d t o 0 0 i n e q u a t i o n

( 4 ) , w e a r r i v e a t t h e r e s u l t

l - e

o r

d r = 2 7 r i

2 i

r + I

I - e - i 2 a 7 r

e i a n e i a n - e - i o n

T h i s i s , o f c o u r s e , t h e s a m e a s

r - a

I

d r = 2 7 r i e

' -

0 0

x - a

7 r

( 5 )

d x =

0 < a

f o

x + 1

s i n a i r

2 7 6


E X E R C I S E S

I n E x e r c i s e s 1 t h r o u g h 4 , t a k e t h e i n d e n t e d c o n t o u r i n F i g . 9 7 ( S e c . 7 5 ) .

1 . D e r i v e t h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a

° C c o s ( a x ) - c o s ( b x )

7

x 2

d x = 1 ( b - a )

( a > 0 , b > 0 ) .

C H A P . 7

T h e n , w i t h t h e a i d o f t h e t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t y 1 - c o s ( 2 x ) = 2 s i n e x , p o i n t o u t h o w i t

f o l l o w s t h a t

2 . E v a l u a t e t h e i m p r o p e r i n t e g r a l

0 0

a

x a

d x ,

w h e r e

- 1 < a < 3

a n d

x ' = e x p ( a I n x

2 + 1 ) 2

A n s .

( 1 - a ) 7 r

4 c o s ( a n / 2 )

3 . U s e t h e f u n c t i o n

z 1 / 3 l o g

z

e ( 1 / 3 ) l o g z l o g

Z

f ( Z )

z 2 + 1

Z 2 + 1

t o d e r i v e t h i s p a i r o f i n t e g r a t i o n f o r m u l a s :

J o


t o s h o w t h a t

f ( Z )

( l o g Z ) 2

f ° ° ( I n X ) 2

J o

x 2 + 1

d x =

a r g z < -

S u g g e s t i o n : T h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a o b t a i n e d i n E x e r c i s e 1 , S e c . 7 2 , i s n e e d e d h e r e .


. f ( z ) =

e ( 1 / 3 ) l o g z

( z + a ) ( z + b )

( z + a ) ( z + b )

( z r

> 0 , - 2 < a r g z

( I z l > 0 , 0 < a r g z < 2 7 r )

a n d a c l o s e d c o n t o u r s i m i l a r t o t h e o n e i n F i g . 9 9 ( S e c . 7 7 ) t o s h o w f o r m a l l y t h a t

3 x

2 7 e

s a -

d x

( a > b > 0 )

b )

a - b

S E C . 7 7

6 . S h o w t h a t

E x r i z c i s E s

2 7 7

b y i n t e g r a t i n g a n a p p r o p r i a t e b r a n c h o f t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n

z - 1 ' 2 e ( - 1 1 2 ) l o g z

. f ( z )

z 2 + 1

z 2 + 1

o v e r ( a ) t h e i n d e n t e d p a t h i n F i g . 9 7 , S e c . 7 5 ; ( b ) t h e c l o s e d c o n t o u r i n F i g . 9 9 , S e c .

7 7 .

7 . T h e b e t a f u n c t i o n i s t h i s f u n c t i o n o f t w o r e a l v a r i a b l e s :

0

M a k e t h e s u b s t i t u t i o n t = 1 / ( x + 1 ) a n d u s e t h e r e s u l t o b t a i n e d i n t h e e x a m p l e i n S e e .

7 7 t o s h o w t h a t

B ( p , l - p ) =

n

( 0 < p < l ) .

s i n ( p . T r )

8 . C o n s i d e r t h e t w o s i m p l e c l o s e d c o n t o u r s s h o w n i n F i g . 1 0 0 a n d o b t a i n e d b y d i v i d i n g

i n t o t w o p i e c e s t h e a n n u l u s f o r m e d b y t h e c i r c l e s C p a n d C R i n F i g . 9 9 ( S e c . 7 7 ) . T h e

l e g s L a n d - L o f t h o s e c o n t o u r s a r e d i r e c t e d l i n e s e g m e n t s a l o n g a n y r a y a r g z = 8 0 ,

w h e r e 7 r < 0 0 < 3 7 r / 2 . A l s o , F F a n d y , , a r e t h e i n d i c a t e d p o r t i o n s o f C . , w h i l e 1 ' R a n d

Y R m a k e u p C R .

F I G U R E 1 0 0

( a ) S h o w h o w i t f o l l o w s f r o m C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m t h a t w h e n t h e b r a n c h

f t ( Z ) =

z +

1

2

< a r g z <

2

o f t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n z - ' / ( z + 1 ) i s i n t e g r a t e d a r o u n d t h e c l o s e d c o n t o u r

o n t h e l e f t i n F i g . 1 0 0 ,

f l ( z ) d z = 2 r i R e s f i ( z ) .

r +

I

f l ( z ) d z + I f l ( z ) d z + J

B ( p , q ) = I

t P - 1 ( 1

-

t ) q - 1 d t

( p > 0 , q > 0 ) .

f

r + 1

r A

L

r

z = - l

z - d

2 7 8


( b ) A p p l y t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m t o t h e b r a n c h

5

7 r

f 2 ( z )

+ _ Q

1

( I z I > o 4 < a r g z < - - )

o f z ` ' / ( z + 1 ) , i n t e g r a t e d a r o u n d t h e c l o s e d c o n t o u r o n t h e r i g h t i n F i g . 1 0 0 , t o s h o w

t h a t

z ) d z - j

f 2 ( z ) d z +

2 ( z ) d z = 0 .

P o i n t o u t w h y , i n t h e l a s t l i n e s i n p a r t s ( a ) a n d ( b ) , t h e b r a n c h e s f l ( z ) a n d f 2 ( z ) o f

z - a / ( z + 1 ) c a n b e r e p l a c e d b y t h e b r a n c h

, f ( z ) = z + 1

( I z l > 0 , 0 < a r g z < 2 a r ) .

T h e n , b y a d d i n g c o r r e s p o n d i n g s i d e s o f t h o s e t w o l i n e s , d e r i v e e q u a t i o n ( 3 ) , S e c .

7 7 , w h i c h w a s o b t a i n e d o n l y f o r m a l l y t h e r e .

7 8 . D E F I N I T E I N T E G R A L S I N V O L V I N G S I N E S A N D C O S I N E S

T h e m e t h o d o f r e s i d u e s i s a l s o u s e f u l i n e v a l u a t i n g c e r t a i n d e f i n i t e i n t e g r a l s o f t h e t y p e

( 1 )

z = e ` °

( 0 < 8 < 2 r ) .

T h e f a c t t h a t 0 v a r i e s f r o m 0 t o 2 z r s u g g e s t s t h a t w e c o n s i d e r 0 a s a n a r g u m e n t o f a

p o i n t z o n t h e c i r c l e C c e n t e r e d a t t h e o r i g i n . H e n c e w e w r i t e

( 2 )

F o r m a l l y , t h e n ,

d z = i e ` 6 d 8 = i z d 8 ;

a n d t h e r e l a t i o n s

z - z - `

z

+ z _ 1

d z

2 i

F ( s i n B , c o s 8 ) d 8 .

c o s 8 =

,

d 8 = -

2

i z

e n a b l e u s t o t r a n s f o r m i n t e g r a l ( 1 ) i n t o t h e c o n t o u r i n t e g r a l

-

z - 1

z + Z - 1

d z

c \ .

2 i

2

i z

o f a f u n c t i o n o f z a r o u n d t h e c i r c l e C i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n . T h e o r i g i n a l i n t e g r a l ( 1 )

i s , o f c o u r s e , s i m p l y a p a r a m e t r i c f o r m o f i n t e g r a l ( 4 ) , i n a c c o r d a n c e w i t h e x p r e s s i o n

( 2 ) , S e c . 3 9 . W h e n t h e i n t e g r a n d o f i n t e g r a l ( 4 ) i s a r a t i o n a l f u n c t i o n o f

z , w e c a n

S E C . 7 8

D E F I N I T E I N T E G R A L S I N V O L V I N G S I N E S A N D C O S I N E S

2 7 9

e v a l u a t e t h a t i n t e g r a l b y m e a n s o f C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m o n c e t h e z e r o s o f t h e

p o l y n o m i a l i n t h e d e n o m i n a t o r h a v e b e e n l o c a t e d a n d p r o v i d e d t h a t n o n e l i e o n C .

E X A M P L E . L e t u s s h o w t h a t

2 "

d s

_

2 r r

1 < a

0

1 - - a s i n 9

1 - a 2

( -

T h i s i n t e g r a t i o n f o r m u l a i s c l e a r l y v a l i d w h e n a = 0 , a n d w e e x c l u d e t h a t c a s e i n o u r

d e r i v a t i o n . W i t h s u b s t i t u t i o n s ( 3 ) , t h e i n t e g r a l t a k e s t h e f o r m

( 6 )

( 2 i j a ) z - 1

w h e r e C i s t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e I z I = 1 . T h e q u a d r a t i c f o r m u l a r e v e a l s t h a t t h e

d e n o m i n a t o r o f t h e i n t e g r a n d h e r e h a s t h e p u r e i m a g i n a r y z e r o s

S o i f f ( z ) d e n o t e s t h e i n t e g r a n d , t h e n

f ( z )

N o t e t h a t , b e c a u s e l a I < 1 ,

2 / a

1 + V - a 2 > L

z 2 1 =

l a l

A l s o , s i n c e I z 1 z 2 I = 1 , i t f o l l o w s t h a t I z 1 1 < 1 . H e n c e t h e r e a r e n o s i n g u l a r p o i n t s o n C ,

a n d t h e o n l y o n e i n t e r i o r t o i t i s t h e p o i n t z 1 . T h e c o r r e s p o n d i n g r e s i d u e B 1 i s f o u n d

b y w r i t i n g

. f ( z ) =

0 ( z )

w h e r e

z - z 1

T h i s s h o w s t h a t z 1 i s a s i m p l e p o l e a n d t h a t


0 ( z

2 / a

1

2 / a

d z = 2 2 r i B 1 =

( 2 i / a ) z - I

2 / a

z - Z 2

2 7 r

a n d i n t e g r a t i o n f o r m u l a ( 5 ) f o l l o w s .

2 8 0


C H A P . 7

T h e m e t h o d j u s t i l l u s t r a t e d a p p l i e s e q u a l l y w e l l w h e n t h e a r g u m e n t s o f t h e s i n e

a n d c o s i n e a r e i n t e g r a l m u l t i p l e s o f 0 . O n e c a n u s e e q u a t i o n ( 2 ) t o w r i t e , f o r e x a m p l e ,

c o s 2 0 =

2

e

i 2 0

2

- 2 z 2 + z - 2

2

E X E R C I S E S

U s e r e s i d u e s t o e v a l u a t e t h e d e f i n i t e i n t e g r a l s i n E x e r c i s e s 1 t h r o u g h 7 .

1 .

r z n

d 8

J J 0

5 + 4 s i n 0 '

A n s .

2 , , r

.

A n s . - , / 2 - 7 r .

c 2 n c o s t 3 8 d 8

, l 0

5 - 4 c o s 2 0

A n s .

3 7 r

.

I : ;

d B

A n s .

1 + a c o s 6

2 , , r

A n s .

a n

( - 1 < a

7 .

I

s i n 2 n 6 d 8

( n = 1 , 2 , . .

A m -

( 2 n

2 2 n ( n )



S E C . 7 9

A R G U M E N T P R I N C I P L E 2 8 1

7 9 . A R G U M E N T P R I N C I P L E

A f u n c t i o n f i s s a i d t o b e m e r o m o r p h i c i n a d o m a i n D i f i t i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t

D e x c e p t f o r p o l e s . S u p p o s e n o w t h a t f i s m e r o m o r p h i c i n t h e d o m a i n i n t e r i o r t o

a p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C a n d t h a t i t i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o

o n C . T h e i m a g e F o f C u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) i s a c l o s e d c o n t o u r ,

n o t n e c e s s a r i l y s i m p l e , i n t h e w p l a n e ( F i g . 1 0 1 ) . A s a p o i n t z t r a v e r s e s C i n t h e

p o s i t i v e d i r e c t i o n , i t s i m a g e s w t r a v e r s e s I ' i n a p a r t i c u l a r d i r e c t i o n t h a t d e t e r m i n e s

t h e o r i e n t a t i o n o f F . N o t e t h a t , s i n c e f h a s n o z e r o s o n C , t h e c o n t o u r F d o e s n o t p a s s

t h r o u g h t h e o r i g i n i n t h e w p l a n e .

F I G U R E 1 0 1

L e t w a n d w 0 b e p o i n t s o n F , w h e r e w o i s f i x e d a n d 0 0 i s a v a l u e o f a r g w 0 . T h e n

l e t a r g w v a r y c o n t i n u o u s l y , s t a r t i n g w i t h t h e v a l u e 0 0 , a s t h e p o i n t w b e g i n s a t t h e p o i n t

w o a n d t r a v e r s e s F o n c e i n t h e d i r e c t i o n o f o r i e n t a t i o n a s s i g n e d t o i t b y t h e m a p p i n g

w = f ( z ) . W h e n w r e t u r n s t o t h e p o i n t w o , w h e r e i t s t a r t e d , a r g w a s s u m e s a p a r t i c u l a r

v a l u e o f a r g w o , w h i c h w e d e n o t e b y 0 1 . T h u s t h e c h a n g e i n a r g u ) a s w d e s c r i b e s I '

o n c e i n i t s d i r e c t i o n o f o r i e n t a t i o n i s 0 1 - 0 0 . T h i s c h a n g e i s , o f c o u r s e , i n d e p e n d e n t

o f t h e p o i n t w o c h o s e n t o d e t e r m i n e i t . S i n c e w = f ( z ) , t h e n u m b e r 0 1 - 0 0 i s , i n f a c t ,

t h e c h a n g e i n a r g u m e n t o f f ( z ) a s z d e s c r i b e s C o n c e i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n , s t a r t i n g

w i t h a p o i n t z 0 ; a n d w e w r i t e

A C a r g f ( z ) = 0 I - o h o .

T h e v a l u e o f A a r g f ( z ) i s e v i d e n t l y a n i n t e g r a l m u l t i p l e o f 2 , 7 , a n d t h e i n t e g e r

1

2 7 r

A C a r g f ( z )

r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f t i m e s t h e p o i n t w w i n d s a r o u n d t h e o r i g i n i n t h e w p l a n e . F o r

t h a t r e a s o n , t h i s i n t e g e r i s s o m e t i m e s c a l l e d t h e w i n d i n g n u m b e r o f F w i t h r e s p e c t t o

t h e o r i g i n w = 0 . I t i s p o s i t i v e i f F w i n d s a r o u n d t h e o r i g i n i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e

d i r e c t i o n a n d n e g a t i v e i f i t w i n d s c l o c k w i s e a r o u n d t h a t p o i n t . T h e w i n d i n g n u m b e r

i s a l w a y s z e r o w h e n F d o e s n o t e n c l o s e t h e o r i g i n . T h e v e r i f i c a t i o n o f t h i s f a c t f o r a

s p e c i a l c a s e i s l e f t t o t h e e x e r c i s e s .

2 8 2


C H A P . 7

T h e w i n d i n g n u m b e r c a n b e d e t e r m i n e d f r o m t h e n u m b e r o f z e r o s a n d p o l e s o f

f i n t e r i o r t o C . T h e n u m b e r o f p o l e s i s n e c e s s a r i l y f i n i t e , a c c o r d i n g t o E x e r c i s e 1 1 ,

S e c . 6 9 . L i k e w i s e , w i t h t h e u n d e r s t a n d i n g t h a t f ( z ) i s n o t i d e n t i c a l l y e q u a l t o z e r o

e v e r y w h e r e e l s e i n s i d e C , i t i s e a s i l y s h o w n ( E x e r c i s e 4 , S e c . 8 0 ) t h a t t h e z e r o s o f f

a r e f i n i t e i n n u m b e r a n d a r e a l l o f f i n i t e o r d e r . S u p p o s e n o w t h a t f h a s Z z e r o s a n d P

p o l e s i n t h e d o m a i n i n t e r i o r t o C . W e a g r e e t h a t f h a s m o z e r o s a t a p o i n t z o i f i t h a s a

z e r o o f o r d e r m o t h e r e ; a n d i f f h a s a p o l e o f o r d e r m p a t z o , t h a t p o l e i s t o b e c o u n t e d

m p t i m e s . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m , w h i c h i s k n o w n a s t h e a r g u m e n t p r i n c i p l e , s t a t e s

t h a t t h e w i n d i n g n u m b e r i s s i m p l y t h e d i f f e r e n c e Z - P .

T h e o r e m .


( i ) a f u n c t i o n f ( z ) i s m e r o m o r p h i c i n t h e d o m a i n i n t e r i o r t o a p o s i t i v e l y o r i e n t e d

s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C ;

z ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o o n C ;

c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s , Z i s t h e n u m b e r o f z e r o s a n d P i s t h e n u m b e r o f p o l e s o f

f ( z ) i n s i d e C .

T h e n

( 1 )

-

c a r g f ( z ) = Z - P .

2 , 7

T o p r o v e t h i s , w e e v a l u a t e t h e i n t e g r a l o f f ' ( z ) j f ( z ) a r o u n d C i n t w o d i f f e r e n t

w a y s . F i r s t , w e l e t z = z ( t ) ( a - < t - < b ) b e a p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n f o r C , s o t h a t

f f ' ( z )

d z

= [ b

f ' [ z ( t ) ] z ' ( t )

d t .

C f ( z )

a

f [ z ( t ) ]

S i n c e , u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) , t h e i m a g e r o f C n e v e r p a s s e s t h r o u g h

t h e o r i g i n i n t h e w p l a n e , t h e i m a g e o f a n y p o i n t z

= z ( t ) o n C c a n b e e x p r e s s e d i n

e x p o n e n t i a l f o r m a s w = , o ( t ) e x p [ i o ( t ) ] . T h u s

( 3 )

f [ z ( t ) ] = p ( t ) e i o ( t )

( a < t < b ) ;

a n d , a l o n g e a c h o f t h e s m o o t h a r c s m a k i n g u p t h e c o n t o u r r , i t f o l l o w s t h a t ( s e e

E x e r c i s e 5 , S e c . 3 8 )

i o ( t ) ( P f ( t )

I n a s m u c h a s p ( t ) a n d 0 ' ( t ) a r e p i e c e w i s e c o n t i n u o u s o n t h e i n t e r v a l a < t < b , w e

c a n n o w u s e e x p r e s s i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) t o w r i t e i n t e g r a l ( 2 ) a s f o l l o w s :

d t + i

1

( P ' ( t ) d t = l n p ( t ) I + i ( p ( t )

S E C . 7 9

A R G U M E N T P R I N C I P L E

B u t

p ( b ) = p ( a )

a n d O ( b ) - O ( a ) = A c a r g f (

H e n c e

( 5 )

f ( z ) = ( z - z o

A n o t h e r w a y t o e v a l u a t e i n t e g r a l ( 5 ) i s t o u s e C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m . T o b e

s p e c i f i c , w e o b s e r v e t h a t t h e i n t e g r a n d f ' ( z ) j f ( z ) i s a n a l y t i c i n s i d e a n d o n C e x c e p t

a t t h e p o i n t s i n s i d e C a t w h i c h t h e z e r o s a n d p o l e s o f f o c c u r . I f f h a s a z e r o o f o r d e r

m o a t z o , t h e n ( S e c . 6 8 )

( 6 )

w h e r e g ( z ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z o . H e n c e

f ` ( z o ) = m o ( z - z o ) m o _ l g ( z ) + ( z - z o ) m ° g

( 7 )

= i A c a r g

m o

+

g ' ( z }

f ( z )

z - z o

g ( z )

S i n c e g ( z ) 1 g ( z ) i s a n a l y t i c a t z o , i t h a s a T a y l o r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n a b o u t t h a t p o i n t ;

a n d s o e q u a t i o n ( 7 ) t e l l s u s t h a t f ' ( z ) j f ( z ) h a s a s i m p l e p o l e a t z o , w i t h r e s i d u e m o .

I f , o n t h e o t h e r h a n d , f h a s a p o l e o f o r d e r m p a t z o , w e k n o w f r o m t h e t h e o r e m i n

S e c . 6 6 t h a t

( 8 )

f ( z ) = ( z - z o )

w h e r e / ( z ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t z o . B e c a u s e e x p r e s s i o n ( 8 ) h a s t h e s a m e f o r m

a s e x p r e s s i o n ( 6 ) , w i t h t h e p o s i t i v e i n t e g e r m o i n e q u a t i o n ( 6 ) r e p l a c e d b y - m p , i t i s

c l e a r f r o m e q u a t i o n ( 7 ) t h a t f ' ( z ) j f ( z ) h a s a s i m p l e p o l e a t z o , w i t h r e s i d u e - m p .

A p p l y i n g t h e r e s i d u e t h e o r e m , t h e n , w e f i n d t h a t

( z

)

'

d z = 2 7 r i ( Z - P ) .

9 )

f

f ( z

}

E x p r e s s i o n ( 1 ) n o w f o l l o w s b y e q u a t i n g t h e r i g h t - h a n d s i d e s o f e q u a t i o n s ( 5 ) a n d ( 9 ) .

E X A M P L E . T h e o n l y s i n g u l a r i t y o f t h e f u n c t i o n 1 / z 2 i s a p o l e o f o r d e r 2 a t t h e

o r i g i n , a n d t h e r e a r e n o z e r o s i n t h e f i n i t e p l a n e . I n p a r t i c u l a r , t h i s f u n c t i o n i s a n a l y t i c

a n d n o n z e r o o n t h e u n i t c i r c l e z - e i s ( 0 < 0 < 2 i r ) . I f w e l e t C d e n o t e t h a t p o s i t i v e l y

o r i e n t e d c i r c l e , o u r t h e o r e m t e l l s u s t h a t

2 8 4


C H A P . 7

T h a t i s , t h e i m a g e P o f C u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / z 2 w i n d s a r o u n d t h e o r i g i n

w = 0 t w i c e i n t h e c l o c k w i s e d i r e c t i o n . T h i s c a n b e v e r i f i e d d i r e c t l y b y n o t i n g t h a t P

h a s t h e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n w =

e _ z 2 0

( 0 < 9 < 1 7 ) .

f

8 0 . R O U C H E ' S T H E O R E M

T h e m a i n r e s u l t i n t h i s s e c t i o n i s k n o w n a s R o u c h e ' s t h e o r e m a n d i s a c o n s e q u e n c e o f

t h e a r g u m e n t p r i n c i p l e , j u s t d e v e l o p e d i n S e c . 7 9 . I t c a n b e u s e f u l i n l o c a t i n g r e g i o n s

o f t h e c o m p l e x p l a n e i n w h i c h a g i v e n a n a l y t i c f u n c t i o n h a s z e r o s .

T h e o r e m .


( i ) t w o f u n c t i o n s f ( z ) a n d g ( z ) a r e a n a l y t i c i n s i d e a n d o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C ;

( i i )

I f ( z ) I > I g ( z ) I a t e a c h p o i n t o n C .

T h e n f ( z ) a n d f ( z ) + g ( z ) h a v e t h e s a m e n u m b e r o f z e r o s , c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s ,

i n s i d e C .

T h e o r i e n t a t i o n o f C i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m i s e v i d e n t l y i m m a t e r i a l .

T h u s , i n t h e p r o o f h e r e , w e m a y a s s u m e t h a t t h e o r i e n t a t i o n i s p o s i t i v e . W e b e g i n w i t h

t h e o b s e r v a t i o n t h a t n e i t h e r t h e f u n c t i o n f ( z ) n o r t h e s u m f ( z ) + g ( z ) h a s a z e r o o n

C , s i n c e

I f ( z ) I > I g ( z )

a n d

f ( z ) + g ( z ) I > _ 1 1 f W 1

- I g ( z ) I I >

w h e n z i s o n C .

i f Z f a n d Z f + g d e n o t e t h e n u m b e r o f z e r o s , c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s , o f f ( z ) a n d

f ( z ) + g ( z ) , r e s p e c t i v e l y , i n s i d e C , w e k n o w f r o m t h e t h e o r e m i n S e c . 7 9 t h a t

2 7 r

b e a r g f ( z )

a n d Z f + g I A C a r g [ f ( z ) + g ( z ) ] .

2

C o n s e q u e n t l y , s i n c e

A C a r g [ f ( z ) + g

Z f + g

F ( z ) = 1

= A c a r g S . f ( z )

1 +

g ( z )

f ( z )

I

= A C a r ' g f ( z ) + A c a r g

a r g F ( z ) ,

1 +

g ( z )

f ( z )

S E C . 8 0

B u t

I g ( z ) IF O - _

E X E R C I S E S

2 8 5

a n d t h i s m e a n s t h a t , u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = F ( z ) , t h e i m a g e o f C l i e s i n t h e

o p e n d i s k I w - 1 I < 1 . T h a t i m a g e d o e s n o t , t h e n , e n c l o s e t h e o r i g i n w = 0 . H e n c e

A C a r g F ( z )

= 0 a n d , s i n c e e q u a t i o n ( 1 ) r e d u c e s t o

Z f + g = Z f , t h e t h e o r e m h e r e i s

p r o v e d .

E X A M P L E . I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e n u m b e r o f r o o t s o f t h e e q u a t i o n

( 2 )

i n s i d e t h e c i r c l e I z I = 1 , w r i t e

z 7 - 4 z 3 + z - 1 = 0

f ( z ) = - 4 z 3

a n d

g ( z ) = z 7 + z - I .

T h e n o b s e r v e t h a t I f ( z ) I = 4 1 z

1 3

= 4 a n d I g { z } I < I z 1 7 + I z l + 1 =

3 w h e n I z l = 1 . T h e

c o n d i t i o n s i n R o u c h e ' s t h e o r e m a r e t h u s s a t i s f i e d . C o n s e q u e n t l y , s i n c e f ( z ) h a s t h r e e

z e r o s , c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s , i n s i d e t h e c i r c l e z I = 1 , s o d o e s f ( z ) + g ( z ) .

T h a t i s ,

e q u a t i o n ( 2 ) h a s t h r e e r o o t s t h e r e .

E X E R C I S E S

1 . L e t C d e n o t e t h e u n i t c i r c l e I z = 1 , d e s c r i b e d i n t h e p o s i t i v e s e n s e . U s e t h e t h e o r e m i n

S e c . 7 9 t o d e t e r m i n e t h e v a l u e o f i

a r g f ( z ) w h e n

( a ) f ( z ) = z 2 ;

( b ) f ( Z ) =

( z 3

+ 2 ) / z ;

( c ) f ( z ) = ( 2 z -

A n s . ( a ) 4 7 e ;

( b ) - 2 7 e ;

( c ) 8 n .

2 . L e t f b e a f u n c t i o n w h i c h i s a n a l y t i c i n s i d e a n d o n a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C , a n d s u p p o s e

t h a t f ( z ) i s n e v e r z e r o o n C . L e t t h e i m a g e o f C u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z )

b e t h e c l o s e d c o n t o u r r s h o w n i n F i g . 1 0 2 . D e t e r m i n e t h e v a l u e o f i

a r g f ( z ) f r o m

F I G U R E 1 0 2

2 8 6


C H A P . 7

t h a t f i g u r e ; a n d , w i t h t h e a i d o f t h e t h e o r e m i n S e c . 7 9 , d e t e r m i n e t h e n u m b e r o f z e r o s ,

c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s , o f f i n t e r i o r t o C .

A r t s . 6 i r ; 3 .

3 . U s i n g t h e n o t a t i o n i n S e c . 7 9 , s u p p o s e t h a t U ' d o e s n o t e n c l o s e t h e o r i g i n w = 0 a n d t h a t

t h e r e i s a r a y f r o m t h a t p o i n t w h i c h d o e s n o t i n t e r s e c t P . B y o b s e r v i n g t h a t t h e a b s o l u t e

v a l u e o f A C a r g f ( z ) m u s t b e l e s s t h a n 2 i r w h e n a p o i n t z m a k e s o n e c y c l e a r o u n d C

a n d r e c a l l i n g t h a t A C a r g f ( z ) i s a n i n t e g r a l m u l t i p l e o f 2 i r , p o i n t o u t w h y t h e w i n d i n g

n u m b e r o f r w i t h r e s p e c t t o t h e o r i g i n w = 0 m u s t b e z e r o .

4 . S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s m e r o m o r p h i c i n t h e d o m a i n D i n t e r i o r t o a s i m p l e c l o s e d

c o n t o u r C o n w h i c h f i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o , a n d l e t D o d e n o t e t h e d o m a i n c o n s i s t i n g

o f a l l p o i n t s i n D e x c e p t f o r p o l e s . P o i n t o u t h o w i t f o l l o w s f r o m t h e l e m m a i n S e c . 2 6

a n d E x e r c i s e 1 0 , S e c . 6 9 , t h a t i f f ( z ) i s n o t i d e n t i c a l l y e q u a l t o z e r o i n D o , t h e n t h e z e r o s

o f f i n D a r e a l l o f f i n i t e o r d e r a n d t h a t t h e y a r e f i n i t e i n n u m b e r .

S u g g e s t i o n : N o t e t h a t i f a p o i n t z o i n D i s a z e r o o f f t h a t i s n o t o f f i n i t e o r d e r , t h e n

t h e r e m u s t b e a n e i g h b o r h o o d o f z o t h r o u g h o u t w h i c h f ( z ) i s i d e n t i c a l l y e q u a l t o z e r o .

5 . S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c i n s i d e a n d o n a p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d

c o n t o u r C a n d t h a t i t h a s n o z e r o s o n C . S h o w t h a t i f f h a s n z e r o s z k ( k = 1 , 2 ,

. . .

,

n )

i n s i d e C , w h e r e e a c h Z k i s o f m u l t i p l i c i t y

M k , t h e n

' ( 7

c

f ( z )

d z = 2 i r

k =

[ C o m p a r e e q u a t i o n ( 9 ) , S e c . 7 9 w h e n P = 0 t h e r e . ]

k z k

6 . D e t e r m i n e t h e n u m b e r o f z e r o s , c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s , o f t h e p o l y n o m i a l

( a ) z 6 - 5 z 4 + z 3 - 2 z ;

( b ) 2 z 4 - 2 z 3 + 2 z 2 - 2 z + 9

i n s i d e t h e c i r c l e I z I = 1 .

A n s . ( a ) 4 ;

( b ) 0 .

7 . D e t e r m i n e t h e n u m b e r o f z e r o s , c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s , o f t h e p o l y n o m i a l

( a ) z 4 + 3 z 3 + 6 ;

( b ) z 4 - 2 z 3 + 9 z 2 + z - 1 ;

( c ) z 5 + 3 z 3 + z 2 + 1

i n s i d e t h e c i r c l e I z I = 2 .

A n s . ( a ) 3 ;

( b ) 2 ;

( c ) 5 .

8 . D e t e r m i n e t h e n u m b e r o f r o o t s , c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s , o f t h e e q u a t i o n

2 z 5 - 6 z 2 + z + 1 = 0

i n t h e a n n u l u s 1 e , t h e n t h e e q u a t i o n c z '

= e z h a s n

r o o t s , c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s , i n s i d e t h e c i r c l e I z l = 1 .

S E C . 8 o

E X E R C I S E S

2 8 7

1 0 . W r i t e f ( z ) = z n a n d g ( z ) = a o + a 1 z +

+

a n _ I z n - 1 a n d

u s e R o u c h e ' s t h e o r e m t o

p r o v e t h a t a n y p o l y n o m i a l

P ( z ) = a o + a 1 z + . . . +

a n - 1 Z n - 1 +

a n z n

( a n A 0 ) ,

w h e r e n > 1 , h a s p r e c i s e l y n z e r o s , c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s . T h u s g i v e a n a l t e r n a t i v e p r o o f

o f t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f a l g e b r a ( T h e o r e m 2 , S e c . 4 9 ) .

S u g g e s t i o n : N o t e t h a t o n e c a n l e t a b e u n i t y . T h e n s h o w t h a t I g ( z ) I < I f ( z ) I o n

t h e c i r c l e I z l = R , w h e r e R i s s u f f i c i e n t l y l a r g e a n d , i n p a r t i c u l a r , l a r g e r t h a n

I + g a o l + I a 1 ] + . . . + ] a n - 1 l .

1 1 . I n e q u a l i t i e s ( 5 ) , S e c . 4 9 , e n s u r e t h a t t h e z e r o s o f a p o l y n o m i a l

P ( z ) = a o + a 1 z + . . . +

a r _ 1 z n - I

+ a n z n

( a , A 0 )

o f d e g r e e n > I a l l l i e i n s i d e s o m e c i r c l e I z I = R a b o u t t h e o r i g i n . A l s o , E x e r c i s e 4 a b o v e

t e l l s u s t h a t t h e y a r e a l l o f f i n i t e o r d e r a n d t h a t t h e r e i s a f i n i t e n u m b e r N o f t h e m . U s e

e x p r e s s i o n ( 9 ) , S e c . 7 9 , a n d t h e t h e o r e m i n S e c . 6 4 t o s h o w t h a t

N = R e s

P ' ( 1 / z )

z = O

z 2 P ( l / z ) ,

w h e r e m u l t i p l i c i t i e s o f t h e z e r o s a r e t o b e c o u n t e d . T h e n e v a l u a t e t h i s r e s i d u e t o s h o w

t h a t N = n . ( C o m p a r e E x e r c i s e 1 0 . )

1 2 . L e t t w o f u n c t i o n s f a n d g b e a s i n t h e s t a t e m e n t o f R o u c h e ' s t h e o r e m i n S e c . 8 0 , a n d l e t

t h e o r i e n t a t i o n o f t h e c o n t o u r C t h e r e b e p o s i t i v e , T h e n d e f i n e t h e f u n c t i o n

q > ( t ) =

1

C

f ' ( z ) + t g ' ( z )

d z

( 0 <

2 7 t ' i

f ( z ) + t g ( z )

a n d f o l l o w t h e s t e p s b e l o w t o g i v e a n o t h e r p r o o f o f R o u c h e ' s t h e o r e m .

( a ) P o i n t o u t w h y t h e d e n o m i n a t o r i n t h e i n t e g r a n d o f t h e i n t e g r a l d e f i n i n g 4 ) ( t ) i s n e v e r

z e r o o n C . T h i s e n s u r e s t h e e x i s t e n c e o f t h e i n t e g r a l .

( b ) L e t t a n d t o b e a n y t w o p o i n t s i n t h e i n t e r v a l 0 < t < 1 a n d s h o w t h a t

I t - t o l

( t ) - C ( t o ) l =

T h e n , a f t e r p o i n t i n g o u t w h y

2 ' r

J

f g ' - f ' g

( f + t g ) ( f + t o g )

d z

f g ' - f ' g

f + t g ) ( f + t o g )

a t p o i n t s o n C , s h o w t h a t t h e r e i s a p o s i t i v e c o n s t a n t A , w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f t

a n d t o , s u c h t h a t

I c 1 ( t ) -

( t o ) I < A l t - t o y .

C o n c l u d e f r o m t h i s i n e q u a l i t y t h a t ( D ( t ) i s c o n t i n u o u s o n t h e i n t e r v a l 0 < t <

C H A P . 7

( c ) B y r e f e r r i n g t o e q u a t i o n ( 9 ) , S e c . 7 9 , s t a t e w h y t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n c i s , f o r e a c h

v a l u e o f t i n t h e i n t e r v a l 0 < t < 1 , a n i n t e g e r r e p r e s e n t i n g t h e n u m b e r o f z e r o s o f

f ( z ) + t g ( z ) i n s i d e C . T h e n c o n c l u d e f r o m t h e f a c t t h a t D i s c o n t i n u o u s , a s s h o w n

i n p a r t ( b ) , t h a t f ( z ) a n d f ( z ) + g ( z ) h a v e t h e s a m e n u m b e r o f z e r o s , c o u n t i n g

m u l t i p l i c i t i e s , i n s i d e C .

8 1 . I N V E R S E L A P L A C E T R A N S F O R M S

S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n F o f t h e c o m p l e x v a r i a b l e s i s a n a l y t i c t h r o u g h o u t t h e f i n i t e s

p l a n e e x c e p t f o r a f i n i t e n u m b e r o f i s o l a t e d s i n g u l a r i t i e s . T h e n l e t L R d e n o t e a v e r t i c a l

l i n e s e g m e n t f r o m s = y - i R t o s = y + i R , w h e r e t h e c o n s t a n t y i s p o s i t i v e a n d

l a r g e e n o u g h t h a t t h e s i n g u l a r i t i e s o f F a l l l i e t o t h e l e f t o f t h a t s e g m e n t ( F i g . 1 0 3 ) . A

n e w f u n c t i o n f o f t h e r e a l v a r i a b l e t i s d e f i n e d f o r p o s i t i v e v a l u e s o f t b y m e a n s o f t h e

e q u a t i o n

( 1 )

f ( t ) =

l i m

e s t F ( s ) d s

2 r r i R

p r o v i d e d t h i s l i m i t e x i s t s . E x p r e s s i o n ( 1 ) i s u s u a l l y w r i t t e n

y + i o o

P . V .

i

e s t F ( s ) d s ( t > 0 )

2 )

f ( t ) =

- f

i

[ c o m p a r e e q u a t i o n ( 3 ) , S e c . 7 1 ] , a n d s u c h a n i n t e g r a l i s c a l l e d a B r o m w i c h i n t e g r a l .

I t c a n b e s h o w n t h a t , w h e n f a i r l y g e n e r a l c o n d i t i o n s a r e i m p o s e d o n t h e f u n c t i o n s

i n v o l v e d , f ( t ) i s t h e i n v e r s e L a p l a c e t r a n s f o r m o f F ( s ) . T h a t i s , i f F ( s ) i s t h e L a p l a c e

t r a n s f o r m o f f ( t ) , d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n

F ( s )

=

/ e _ s t f ( t ) d t ,

F I G U R E 1 0 3

S E C . 8 1

I N V E R S E L A P L A C E T R A N S F O R M S

2 8 9

t h e n f ( t ) i s r e t r i e v e d b y m e a n s o f e q u a t i o n ( 2 ) , w h e r e t h e c h o i c e o f t h e p o s i t i v e

n u m b e r y i s i m m a t e r i a l a s l o n g a s t h e s i n g u l a r i t i e s o f F a l l l i e t o t h e l e f t o f L R . *

L a p l a c e t r a n s f o r m s a n d t h e i r i n v e r s e s a r e i m p o r t a n t i n s o l v i n g b o t h o r d i n a r y a n d p a r t i a l

d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s .

R e s i d u e s c a n o f t e n b e u s e d t o e v a l u a t e t h e l i m i t i n e x p r e s s i o n ( 1 ) w h e n t h e

f u n c t i o n F ( s ) i s s p e c i f i e d . T o s e e h o w t h i s i s d o n e , w e l e t s n ( n = 1 , 2 , .

. .

,

N ) d e n o t e

t h e s i n g u l a r i t i e s o f F ( s ) . W e t h e n l e t R o d e n o t e t h e l a r g e s t o f t h e i r m o d u l i a n d c o n s i d e r

a s e m i c i r c l e C R w i t h p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

( 4 ) s = y - } R e i o

w h e r e R > R o + y . N o t e t h a t , f o r e a c h s , ,

I s , , - y I < I s n l + y < R o + y < R .

H e n c e t h e s i n g u l a r i t i e s a l l l i e i n t h e i n t e r i o r o f t h e s e m i c i r c u l a r r e g i o n b o u n d e d b y C R

a n d L R ( s e e F i g . 1 0 3 ) , a n d C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m t e l l s u s t h a t

( 5 ) j

e S t F ( s ) d s = 2 7 r i

R e s [ e s ' F ( s ) ] - L e S t F ( s ) d s .

R n = 1

S u p p o s e n o w t h a t , f o r a l l p o i n t s s o n C R , t h e r e i s a p o s i t i v e c o n s t a n t M R s u c h t h a t

I F ( s ) I < M R , w h e r e M R t e n d s t o z e r o a s R t e n d s t o i n f i n i t y . W e m a y u s e t h e p a r a m e t r i c

r e p r e s e n t a t i o n ( 4 ) f o r C R t o w r i t e

I C R

3 r r / 2

e s ' F ( s ) d s = /

e x p ( y t + R t e

T h e n , s i n c e

l e x p ( y t + R t e

w e f i n d t h a t

( 6 )

I C

2

F ( y + R e ` 9 ) R i e ' 8 d 8 .

= e y t e R t c o s 9

a n d

J F ( y + R e ` s ) ) <

e S ' F ( s ) d s

N

< e y t M R R

e R t c o s 0

d B .

* F o r a n e x t e n s i v e t r e a t m e n t o f s u c h d e t a i l s r e g a r d i n g L a p l a c e t r a n s f o r m s , s e e R . V . C h u r c h i l l , " O p e r a -

t i o n a l M a t h e m a t i c s , " 3 d e d . , 1 9 7 2 , w h e r e t r a n s f o r m s F ( s ) w i t h a n i n f i n i t e n u m b e r o f i s o l a t e d s i n g u l a r

p o i n t s , o r w i t h b r a n c h c u t s , a r e a l s o d i s c u s s e d .




C H A P . 7

B u t t h e s u b s t i t u t i o n

r e v e a l s t h a t

2

2 ) , t o g e t h e r w i t h J o r d a n ' s i n e q u a l i t y ( 2 ) , S e c . 7 4 ,

e R t c o s 8

d 9 _ I

e - R t s i n

R t

I n e q u a l i t y ( 6 ) t h u s b e c o m e s

( 7 )

a n d t h i s s h o w s t h a t

( 8 )

. S C R

t F

e Y t M R Y r

t

l i m

I e " F ( s ) d s = 0 .

A - + D Q t r

L e t t i n g R t e n d t o c o i n e q u a t i o n ( 5 ) , t h e n , w e s e e t h a t t h e f u n c t i o n f ( t ) , d e f i n e d b y

e q u a t i o n ( 1 ) , e x i s t s a n d t h a t i t c a n b e w r i t t e n

( 9 )

f ( t ) = ) : R e s [ e ' F ( s ) ]

( t > 0

n = 1

s = s n

I n m a n y a p p l i c a t i o n s o f L a p l a c e t r a n s f o r m s , s u c h a s t h e s o l u t i o n o f p a r t i a l d i f f e r -

e n t i a l e q u a t i o n s a r i s i n g i n s t u d i e s o f h e a t c o n d u c t i o n a n d m e c h a n i c a l v i b r a t i o n s , t h e

f u n c t i o n F ( s ) i s a n a l y t i c f o r a l l v a l u e s o f s i n t h e f i n i t e p l a n e e x c e p t f o r a n i n f i n i t e

s e t o f i s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t s s n ( n = 1 , 2 ,

. . . ) t h a t l i e t o t h e l e f t o f s o m e v e r t i c a l l i n e

R e s = y . O f t e n t h e m e t h o d j u s t d e s c r i b e d f o r f i n d i n g f ( t ) c a n t h e n b e m o d i f i e d i n

s u c h a w a y t h a t t h e f i n i t e s u m ( 9 ) i s r e p l a c e d b y a n i n f i n i t e s e r i e s o f r e s i d u e s :

( 1 0 )

f ( t ) = ) ' R e s [ e $ t F ( s

n =

S = s n

T h e b a s i c m o d i f i c a t i o n i s t o r e p l a c e t h e v e r t i c a l l i n e s e g m e n t s L R b y v e r t i c a l l i n e

s e g m e n t s L N ( N = 1 , 2 , . . . ) f r o m s = y - i b N t o s = y + i b N . T h e c i r c u l a r a r c s C R

a r e t h e n r e p l a c e d b y c o n t o u r s C N ( N = 1 , 2 , . . . ) f r o m y + i b N t o y - i b N s u c h t h a t ,

f o r e a c h N , t h e s u m L N + C N i s a s i m p l e c l o s e d c o n t o u r e n c l o s i n g t h e s i n g u l a r p o i n t s

S 1 , s 2 , . . . , s N . O n c e i t i s s h o w n t h a t

( 1 1 )

l i m

I

e s t F ( s ) d s =

N - +

e x p r e s s i o n ( 2 ) f o r f ( t ) b e c o m e s e x p r e s s i o n ( 1 0 ) .

T h e c h o i c e o f t h e c o n t o u r s C N d e p e n d s o n t h e n a t u r e o f t h e f u n c t i o n F ( s ) .

C o m m o n c h o i c e s i n c l u d e c i r c u l a r o r p a r a b o l i c a r c s a n d r e c t a n g u l a r p a t h s . A l s o , t h e

s i m p l e c l o s e d c o n t o u r L N + C N n e e d n o t e n c l o s e p r e c i s e l y N s i n g u l a r i t i e s . W h e n , f o r

e x a m p l e , t h e r e g i o n b e t w e e n L N + C N a n d L N + 1 + C N + 1 c o n t a i n s t w o s i n g u l a r p o i n t s

S E C . 8 2

E X A M P L E S

2 9 1

o f F ( s ) , t h e p a i r o f c o r r e s p o n d i n g r e s i d u e s o f e s t F ( s ) a r e s i m p l y g r o u p e d t o g e t h e r a s

a s i n g l e t e r m i n s e r i e s ( 1 0 ) . S i n c e i t i s o f t e n q u i t e t e d i o u s t o e s t a b l i s h

l i m i t ( 1 1 ) i n a n y

c a s e , w e s h a l l a c c e p t i t i n t h e e x a m p l e s a n d r e l a t e d e x e r c i s e s b e l o w t h a t

i n v o l v e a n

i n f i n i t e n u m b e r o f s i n g u l a r i t i e s . * T h u s o u r u s e o f e x p r e s s i o n ( 1 0 ) w i l l b e o n l y f o r m a l .

8 2 . E X A M P L E S

C a l c u l a t i o n o f t h e s u m s o f t h e r e s i d u e s o f e s t F ( s ) i n e x p r e s s i o n s ( 9 ) a n d ( 1 0 ) , S e c . 8 1 ,

i s o f t e n f a c i l i t a t e d b y t e c h n i q u e s d e v e l o p e d i n E x e r c i s e s 1 2 a n d 1 3 o f t h i s s e c t i o n . W e

p r e f a c e o u r e x a m p l e s h e r e w i t h a s t a t e m e n t o f t h o s e t e c h n i q u e s .

S u p p o s e t h a t F ( s ) h a s a p o l e o f o r d e r m a t a p o i n t s e a n d t h a t i t s L a u r e n t s e r i e s

r e p r e s e n t a t i o n i n a p u n c t u r e d d i s k 0 < I s - s a d < R 2 h a s p r i n c i p a l p a r t

b m

T h e n

s 0 ) m

( b m

V ) .

W h e n t h e p o l e s o i s o f t h e f o r m s t y = a + i f 3 ( f 0 0 ) a n d F ( s ) = F ( T s ) a t p o i n t s o f

a n a l y t i c i t y o f F ( s ) ( s e e S e e . 2 7 ) , t h e c o n j u g a t e T o = a - i f 3 i s a l s o a p o l e o f o r d e r i n .

M o r e o v e r ,

( 2 )

R e s [ e s t F ( s ) ] + R e s [ e s t F ( s ) ]

s = S O s = s o

= 2 e "

R e { e t f t

[ b 1 +

l ' 2 t +

1

w h e n t i s r e a l . N o t e t h a t i f s o i s a s i m p l e p o l e ( m = 1 ) , e x p r e s s i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) b e c o m e

R e s [ e s t F ( s ) ] = e S O t R e s F ( s )

s = s o

s = s o

( 4 )

r e s p e c t i v e l y .

R e s [ e s t F ( s ) ] + R e s [ e s l F ( s ) ] = t e a t R e

s = s p

S = S ' )

e ` O t R e s F ( s

s = s o

I

* A n e x t e n s i v e t r e a t m e n t o f w a y s t o o b t a i n l i m i t ( 1 1 ) a p p e a r s i n t h e b o o k b y R . V . C h u r c h i l l t h a t i s c i t e d

i n t h e f o o t n o t e e a r l i e r i n t h i s s e c t i o n . I n f a c t , t h e i n v e r s e t r a n s f o r m t o b e f o u n d i n E x a m p l e 3 i n t h e n e x t

s e c t i o n i s f u l l y v e r i f i e d o n p p . 2 2 0 - 2 2 6 o f t h a t b o o k .

2 9 2


C H A P . 7

E X A M P L E 1 .

L e t u s f i n d t h e f u n c t i o n f ( t ) t h a t c o r r e s p o n d s t o

( 5 )

F ( s ) - -

s

T h e s i n g u l a r i t i e s o f F ( s ) a r e t h e c o n j u g a t e p o i n t s

U p o n w r i t i n g

F

s + a i ) 2

w e s e e t h a t ¢ ( s ) i s a n a l y t i c a n d n o n z e r o a t s o = a i . H e n c e s e i s a p o l e o f o r d e r m = 2

o f F ( s ) . F u r t h e r m o r e , F ( s ) = F ( ) a t p o i n t s w h e r e F ( s ) i s a n a l y t i c , C o n s e q u e n t l y , T O

i s a l s o a p o l e o f o r d e r 2 o f F ( s ) ; a n d w e k n o w f r o m e x p r e s s i o n ( 2 ) t h a t

( 6 )

R e s [ e s ' F ( s ) ] + R e s [ e s t F ( s ) ]

= 2 R e [ e ` a t ( b i + b 2 t ) ] ,

S = S O

s - S p

w h e r e b I a n d b 2 a r e t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e p r i n c i p a l p a r t

b ,

+

b 2

s - a i ( s - a i ) 2

o f F ( s ) a t a i . T h e s e c o e f f i c i e n t s a r e r e a d i l y f o u n d w i t h t h e a i d o f t h e f i r s t t w o t e r m s

i n t h e T a y l o r s e r i e s f o r 0 ( s ) a b o u t s o = a i :

F ( s

q ( a

( s - a i ) 2

s

0 < I s - a i l < 2 a ) .

I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s h o w t h a t 0 ( a i ) = - i / ( 4 a ) a n d 0 ' ( a i ) = 0 , a n d w e f i n d t h a t

b I = 0 a n d b 2 = - i / ( 4 a ) . H e n c e e x p r e s s i o n ( 6 ) b e c o m e s

R e s [ e s ( F ( s ) ] + R e s [ e s t F ( s ) ]

= 2 R e

s = S p

s = S O

W e c a n , t h e n , c o n c l u d e t h a t

( 7 )

> 0 ) .

s e = a i a n d

T o = - a i .

f ( t ) =

2 a

1

t s i n a t

e i a

l

- t = - - t

s i n

a t .

a 2 a

p r o v i d e d t h a t F ( s ) s a t i s f i e s t h e b o u n d e d n e s s c o n d i t i o n s t a t e d i n i t a l i c s i n S e c . 8 1 .

T o v e r i f y t h a t b o u n d e d n e s s c o n d i t i o n , w e l e t s b e a n y p o i n t o n t h e s e m i c i r c l e

Y

R e ` 0

3 7 r

2 1 '

S E C . 8 2

w h e r e y > 0 a n d R > a + y ; a n d w e n o t e t h a t

I s = l y + R e ` a l < y + R

S i n c e

i t f o l l o w s t h a t

I F ( s ) I

=

a n d

R e

w h e r e

V y

y + R

[ ( R - y ) 2 -

a 2 ] 2 .

T h e d e s i r e d b o u n d e d n e s s c o n d i t i o n i s n o w e s t a b l i s h e d , s i n c e M R - * 0 a s R

E X A M P L E 2 .

I n o r d e r t o f i n d f ( t ) w h e n

F ( s ) =

t a n h s

s i n h s

s 2 c o s h s '

w e n o t e t h a t F ( s ) h a s i s o l a t e d s i n g u l a r i t i e s a t s = 0 a n d a t t h e z e r o s ( S e c . 3 4 )

( n = 0 , + 1 , ± 2 , .

o f c o s h s . W e l i s t t h o s e s i n g u l a r i t i e s a s

( 2 n -

a n d

s n =

T h e n , f o r m a l l y ,

2

( 8 )

f ( t ) = R e s [ e s t F ( s ) ] +

R e s [ e s t F ( s ) ] + R e s [ e S ` F (

S - S o

S = S n

S = S

n

=

D i v i s i o n o f M a c l a u r i n s e r i e s y i e l d s t h e L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

F

w h i c h t e l l s u s t h a t s o = 0 i s a s i m p l e p o l e o f F ( s ) , w i t h r e s i d u e u n i t y . T h u s

( 9 )

R e s [ e ' ' t F ( s ) ] = R e s F ( s ) = 1 ,

s = s o

s = s o

E X A M P L E S 2 9 3

a .

a c c o r d i n g t o e x p r e s s i o n ( 3 ) .

T h e r e s i d u e s o f F ( s ) a t t h e p o i n t s s n ( n = 1 , 2 , . . . ) a r e r e a d i l y f o u n d b y a p p l y i n g

t h e m e t h o d o f T h e o r e m 2 i n S e c . 6 9 f o r i d e n t i f y i n g s i m p l e p o l e s a n d d e t e r m i n i n g t h e

2 9 4


r e s i d u e s a t s u c h p o i n t s . T o b e s p e c i f i c , w e w r i t e

F ( s ) = p ( s )

w h e r e

p ( s ) = s i n h s

a n d

q ( s ) = s 2 c o s h s

q ( s )

a n d o b s e r v e t h a t

s i n h s n = s i n h I i ( n i t

T h e n , s i n c e

p ( s n ) = s i n h s n 0 0 ,

w e f i n d t h a t

= i s i n ( n i t -

q

i c o s n i t =

n

a n d

q ' ( s n ) = s n s i n h s n ; 0 ,

R e s F ( s ) =

p ( s n )

1

4

. 1

S = S n

q ' ( s n )

_

s n

i t

( 2 n -

C o m p a r e E x a m p l e 3 i n S e c . 6 9 . ] T h e i d e n t i t i e s

s i n h s = s i n h s

a n d

c o s h s = c o s h s

, 2

C H A P . 7

( s e e E x e r c i s e 1 1 , S e c . 3 4 ) e n s u r e t h a t F ( s ) = F ( s ) a t p o i n t s o f a n a l y t i c i t y o f F ( s ) .

H e n c e s n i s a l s o a s i m p l e p o l e o f F ( s ) , a n d e x p r e s s i o n ( 4 ) c a n b e u s e d t o w r i t e

R e s [ e s t F ( s ) ] + R e s [ e s i F ( s ) ]

n

( 1 0 )

7 r 2

1

c o s

( 2 n -

2

F i n a l l y , b y s u b s t i t u t i n g e x p r e s s i o n s ( 9 ) a n d ( 1 0 ) i n t o e q u a t i o n ( 8 ) , w e a r r i v e a t

t h e d e s i r e d r e s u l t :

1

( 2 n -

c o s -

n = 1

t 2 L 1 ( 2 n - 1 ) z

2

E X A M P L E 3 .

W e c o n s i d e r h e r e t h e f u n c t i o n

2 )

(

S i n h ( x s

1 / 2 )

F ( s ) =

s s i n h ( s 1 / 2 )

( 0 < x



S E C . 8 2

E X A M P L E S

2 9 5

w h e r e s

1 / 2

d e n o t e s a n y b r a n c h o f t h i s d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n . W e a g r e e , h o w e v e r , t o

u s e t h e s a m e b r a n c h i n t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r , s o t h a t

( 1 3 )

F ( s ) _

x s 1 / 2 + ( x s 1 / 2 ) 3 / 3 + . . .

s [ s 1 / 2 + ( 5 1 / 2 ) 3 / 3 + .

.

s + s 2 / 6 + . . .

w h e n s i s n o t a s i n g u l a r p o i n t o f F ( s ) . O n e s u c h s i n g u l a r p o i n t i s c l e a r l y s = 0 . W i t h

t h e a d d i t i o n a l a g r e e m e n t t h a t t h e b r a n c h c u t o f s 1 / 2 d o e s n o t l i e a l o n g t h e n e g a t i v e r e a l

a x i s , s o t h a t s i n h ( s 1 / 2 ) i s w e l l d e f i n e d a l o n g t h a t a x i s , t h e o t h e r s i n g u l a r p o i n t s o c c u r

i f s 1 / 2 = ± n r r i ( n = 1 , 2 , . . . ) . T h e p o i n t s

s o = 0

a n d

s n = - n ` r r `

( n = 1 , 2 , . . . )

t h u s c o n s t i t u t e t h e s e t o f s i n g u l a r p o i n t s o f F ( s ) . T h e p r o b l e m i s n o w t o e v a l u a t e t h e

r e s i d u e s i n t h e f o r m a l s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

( 1 4 )

f ( t ) = R e s [ e s t F ( s ) ] + Y . R e s [ e s t F (

S = S p

S = S n

n = 1

D i v i s i o n o f t h e p o w e r s e r i e s o n t h e f a r r i g h t i n e x p r e s s i o n ( 1 3 ) r e v e a l s t h a t s o i s

a s i m p l e p o l e o f F ( s ) , w i t h r e s i d u e x . S o e x p r e s s i o n ( 3 ) t e l l s u s t h a t

( 1 5 )

R e s [ e s r F (

S = S O

A s f o r t h e r e s i d u e s o f F ( s ) a t t h e s i n g u l a r p o i n t s s ,

w r i t e

,

2 , . . . ) , w e

F ( s ) =

P ( s )

w h e r e

p ( s ) = s i n h ( x s 1 / 2 )

a n d

q ( s ) = s s i n h ( s

q

{ s

A p p e a l i n g t o T h e o r e m 2 i n S e c . 6 9 , a s w e d i d i n E x a m p l e 2 , w e n o t e t h a t

p ( s n ) = s i n h ( x s r ` ) ; 0 ,

q ( s n ) = 0 ,

a n d

q ' ( s n ) = _ s 1 / 2 c o s h

a n d t h i s t e l l s u s t h a t e a c h s n i s a s i m p l e p o l e o f F ( s ) , w i t h r e s i d u e

p { s n }

2

R e s F ( s ) =

s = s n

q ( s n

S o , i n v i e w o f e x p r e s s i o n ( 3 ) ,

r r n

( 1 6 )

R e s [ e s ` F ( s ) ]

= e s n r

R e s F ( s ) =

S = s n

S = S n

I t

n

n

s i n n i r x .

S u b s t i t u t i n g e x p r e s s i o n s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) i n t o e q u a t i o n ( 1 4 ) , w e a r r i v e a t t h e f u n c t i o n

( 1 7 )

s i n n r r x

( t > 0 ) .

2 9 6

A P P L I C A T I O N S O F R E S I D U E S C H A P . 7

E X E R C I S E S

I n E x e r c i s e s 1 t h r o u g h 5 , u s e t h e m e t h o d d e s c r i b e d i n S e e . 8 1 a n d i l l u s t r a t e d i n E x a m p l e

1 , S e c . 8 2 , t o f i n d t h e f u n c t i o n f ( t ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e g i v e n f u n c t i o n F ( s ) .

4

1 . F ( s ) =

S 4 . s 3

2 . F ( s ) =

3 . F

A n s . f ( t ) = c o s h 1 2 - t + c o s 1 2 - t .

2 s - 2

A n s . f ( t ) = e - t ( s i n 2 t + c o s 2 t - 1 ) .

( s + 1 ) ( s 2 + 2 s + 5 )

1 2

S 3 + 8

A n s . f ( t ) =

s i n J 3 - C o s

1 3 - t ) .

4 . F ( s )

S 2 - a 2

_ ( a > 0 ) .

( 2 + a 2 ) 2

A n s . f ( t ) = t c o s a t .

a ' s

_ ,

( a > 0 ) .. F ( s ) =

S u g g e s t i o n : R e f e r t o E x e r c i s e 4 , S e c . 6 5 , f o r t h e p r i n c i p a l p a r t o f F ( s ) a t a i .

A n s . f ( t ) _ ( 1 + a 2 t 2 ) s i n a t - a t c o s a t .

I n E x e r c i s e s 6 t h r o u g h 1 1 , u s e t h e f o r m a l m e t h o d , i n v o l v i n g a n i n f i n i t e s e r i e s o f r e s i d u e s

a n d i l l u s t r a t e d i n E x a m p l e s 2 a n d 3 i n S e c . 8 2 , t o f i n d t h e f u n c t i o n f ( t ) t h a t c o r r e s p o n d s

t o t h e g i v e n f u n c t i o n F ( s ) .

6 . F ( s )

-

s i n h ( x s )

( O < x <

S 2 c o s h s

1 ) .

A n s . f ( t ) =

A n s .

2 n - 1 ) T r x ( 2

c o s -

2 2

S E C . 8 2

8 . F ( s ) =

c o t h ( 7 r s / 2

2

9 . F ( s

1 0 . F ( s

A n s . f ( t )

s i n h ( x s

1 / 2 )

s 2 s i n h ( s

2

0 < x < 1 ) .

A n s , f ( t ) = 1 X ( x 2 - 1 ) + x t

1

1

1 ) + i

s i n n 7 r t .

n

F

s i n h ( x s )

s 2 + w 2 ) c o s h s

( 0 < x < 1 ) ,

( 2 n 1 } 7 r

w h e r e w > 0 a n d c U 5 4 w n =

( n

= 1 , 2 , . . . ) .

2

A n s . f ( t )

s i n w x s t n c u t

+ 2

W 2 C o s w

n = 1

E X E R C I S E S

2 9 7

S i n n 7 r x .

1 2 . S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n F ( s ) h a s a p o l e o f o r d e r m a t s = s o , w i t h a L a u r e n t s e r i e s

e x p a n s i o n

F ( s ) _ L a , ( s - s o ) n

n = O

b i

+

b 2

s - s o ( s - i

b m - 1 b m

s o ) m -

( b m 5 4 0 )

i n t h e p u n c t u r e d d i s k 0 < i s - s o d < R 2 , a n d n o t e t h a t ( s - s o ) m F ( s ) i s r e p r e s e n t e d i n

t h a t d o m a i n b y t h e p o w e r s e r i e s

b m - i ( s - s o ) + . . . + b 2 ( s

- s o ) ' - L + b 1 ( s

- - -

n

B y c o l l e c t i n g t h e t e r m s t h a t m a k e u p t h e c o e f f i c i e n t o f ( s - s o ) ' - ' i n t h e p r o d u c t ( S e c . 6 1 )

o f t h i s p o w e r s e r i e s a n d t h e T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n

* T h i s i s a c t u a l l y t h e r e c t i f i e d s i n e f u n c t i o n f ( t ) = I s i n t I . S e e t h e a u t h o r s ' " F o u r i e r S e r i e s a n d B o u n d a r y

V a l u e P r o b l e m s , " 6 t h e d . , p . 6 8 , 2 0 0 1 .

2 9 8


o f t h e e n t i r e f u n c t i o n e s t =

R e s [ e s t F ( s ) ] _

s = s o

S .

s h o w t h a t

b I +

b i f t + . . .

t m - 2 +

b m

t m - I

( m - 1 )

C H A P , 7

a s s t a t e d a t t h e b e g i n n i n g o f S e c . 8 2 ,

1 3 . L e t t h e p o i n t s o = a + i , i

( , B 5 4 0 ) b e a p o l e o f o r d e r m o f a f u n c t i o n F ( s ) , w h i c h h a s a

L a u r e n t s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n

b

b

2 ,

- -

,

,

, + ,

+

,

m

( b m

0 )

( s ) = >

,

a , , ( s - s o ) ' +

n = 0

S - s o

0

- s o ) M

i n t h e p u n c t u r e d d i s k 0 < I s - s o < R 2 . A l s o , a s s u m e t h a t F ( s ) = F ( - s ) a t p o i n t s s w h e r e

F ( s ) i s a n a l y t i c .

( a ) W i t h t h e a i d o f t h e r e s u l t i n E x e r c i s e 6 , S e c . 5 2 , p o i n t o u t h o w i t f o l l o w s t h a t

c c

n = 0

b b 2

b

n

I

m

- s 0 )

+ s - s o + ( s - s o ) 2 + . . . + ( _ - s

w h e n 0 < 1 3 7 - s o d < R 2 . T h e n r e p l a c e s b y s h e r e t o o b t a i n a L a u r e n t s e r i e s r e p r e -

s e n t a t i o n f o r F ( s ) i n t h e p u n c t u r e d d i s k 0 < I s - S o l < R 2 , a n d c o n c l u d e t h a t s o i s a

p o l e o f o r d e r m o f F ( s ) .

( b ) U s e r e s u l t s i n E x e r c i s e 1 2 a n d p a r t ( a ) a b o v e t o s h o w t h a t

R e s s [ e s t F ( s ) ] + R e s [ e S t F ( s ) ]

= 2 e " t R e j

[ b 1

+

1

t + . . . +

( m b m

1 )

t m - a ]

It t

w h e n t i s r e a l , a s s t a t e d a t t h e b e g i n n i n g o f S e c . 8 2 .

1 4 . L e t F ( s ) b e t h e f u n c t i o n i n E x e r c i s e 1 3 , a n d w r i t e t h e n o n z e r o c o e f f i c i e n t b m t h e r e i n

e x p o n e n t i a l f o r m a s b m = r n e x p ( i O m ) . T h e n u s e t h e m a i n r e s u l t i n p a r t ( b ) o f E x e r c i s e

1 3 t o s h o w t h a t w h e n t i s r e a l , t h e s u m o f t h e r e s i d u e s o f e s t F ( s ) a t s o = a + i , B ( ; 8 5 4 0 )

a n d T o c o n t a i n s a t e r m o f t h e t y p e

2 r

m

M - 1 a t

c o s ( f t + 6 m ) .

( m - 1 )

N o t e t h a t i f a > 0 , t h e p r o d u c t t m - l e « t h e r e t e n d s t o o o a s t t e n d s t o o o . W h e n t h e

i n v e r s e L a p l a c e t r a n s f o r m f ( t ) i s f o u n d b y s u m m i n g t h e r e s i d u e s o f e a t F ( s ) , t h e t e r m

d i s p l a y e d a b o v e i s , t h e r e f o r e , a n u n s t a b l e c o m p o n e n t o f f ( t ) i f a > 0 ; a n d i t i s s a i d t o

b e o f r e s o n a n c e t y p e . I f m > 2 a n d a = 0 , t h e t e r m i s a l s o o f r e s o n a n c e t y p e .



C H A P T E R

M A P P I N G B Y E L E M E N T A R Y

F U N C T I O N S

T h e g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n o f a f u n c t i o n o f a c o m p l e x v a r i a b l e a s a m a p p i n g , o r

t r a n s f o r m a t i o n , w a s i n t r o d u c e d i n S e c s . 1 2 a n d 1 3 ( C h a p . 2 ) . W e s a w t h e r e h o w t h e

n a t u r e o f s u c h a f u n c t i o n c a n b e d i s p l a y e d g r a p h i c a l l y , t o s o m e e x t e n t , b y t h e m a n n e r

i n w h i c h i t m a p s c e r t a i n c u r v e s a n d r e g i o n s .

I n t h i s c h a p t e r , w e s h a l l s e e f u r t h e r e x a m p l e s o f h o w v a r i o u s c u r v e s a n d r e g i o n s

a r e m a p p e d b y e l e m e n t a r y a n a l y t i c f u n c t i o n s . A p p l i c a t i o n s o f s u c h r e s u l t s t o p h y s i c a l

p r o b l e m s a r e i l l u s t r a t e d i n C h a p s . 1 0 a n d 1 1 .

8 3 . L I N E A R T R A N S F O R M A T I O N S

T o s t u d y t h e m a p p i n g

( 1 )

w = A z ,

w h e r e A i s a n o n z e r o c o m p l e x c o n s t a n t a n d z A 0 , w e w r i t e A a n d z i n e x p o n e n t i a l

f o r m :

A = a e ` a

T h e n

( 2 )

e i o

a n d w e s e e f r o m e q u a t i o n ( 2 ) t h a t t r a n s f o r m a t i o n ( 1 ) e x p a n d s o r c o n t r a c t s t h e r a d i u s

v e c t o r r e p r e s e n t i n g z b y t h e f a c t o r a = I A I a n d r o t a t e s i t t h r o u g h a n a n g l e a = a r g A

2 9 9



3 0 0

M A P P I N G B Y E L E M E N T A R Y F U N C T I O N S

C H A P . 8

a b o u t t h e o r i g i n . T h e i m a g e o f a g i v e n r e g i o n i s , t h e r e f o r e , g e o m e t r i c a l l y s i m i l a r t o

t h a t r e g i o n .

T h e m a p p i n g

( 3 )

w = z + B ,

w h e r e B i s a n y c o m p l e x c o n s t a n t , i s a t r a n s l a t i o n b y m e a n s o f t h e v e c t o r r e p r e s e n t i n g

B . T h a t i s , i f

i v ,

z = x + i y ,

a n d

B = b l + i b 2 ,

t h e n t h e i m a g e o f a n y p o i n t ( x , y ) i n t h e z p l a n e i s t h e p o i n t

( 4 )

( u , v ) = ( x + b t , y + b 2 )

i n t h e w p l a n e . S i n c e e a c h p o i n t i n a n y g i v e n r e g i o n o f t h e z p l a n e i s m a p p e d i n t o t h e

w p l a n e i n t h i s m a n n e r , t h e i m a g e r e g i o n i s g e o m e t r i c a l l y c o n g r u e n t t o t h e o r i g i n a l

o n e .

T h e g e n e r a l ( n o n c o n s t a n t ) l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n

( 5 )

w = A z + B

( A ; 0 ) ,

w h i c h i s a c o m p o s i t i o n o f t h e t r a n s f o r m a t i o n s

Z = A z ( A A 0 ) a n d w = Z + B ,

i s e v i d e n t l y a n e x p a n s i o n o r c o n t r a c t i o n a n d a r o t a t i o n , f o l l o w e d b y a t r a n s l a t i o n .

E X A M P L E . T h e m a p p i n g

w = ( 1 + i ) z + 2

t r a n s f o r m s t h e r e c t a n g u l a r r e g i o n s h o w n i n t h e z p l a n e o f F i g . 1 0 4 i n t o t h e r e c t a n g u l a r

y

B

1 + 2 i

0

F I G U R E 1 0 4

w = ( 1 + i ) z + 2 .

S E C . 8 4

T H E T R A N S F O R M A T I O N W = l l z

3 0 1

r e g i o n s h o w n i n t h e w p l a n e t h e r e . T h i s i s s e e n b y w r i t i n g i t a s a c o m p o s i t i o n o f t h e

t r a n s f o r m a t i o n s

Z = ( 1 + i ) z

a n d w = Z +

S i n c e 1 + i =

e x p ( i 7 r / 4 ) , t h e f i r s t o f t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s i s a n e x p a n s i o n b y t h e

f a c t o r

a n d a r o t a t i o n t h r o u g h t h e a n g l e 7 r / 4 . T h e s e c o n d i s a t r a n s l a t i o n t w o u n i t s

t o t h e r i g h t .

E X E R C I S E S

1 . S t a t e w h y t h e t r a n s f o r m a t i o n w = i z i s a r o t a t i o n o f t h e z p l a n e t h r o u g h t h e a n g l e 7 r / 2 .

T h e n f i n d t h e i m a g e o f t h e i n f i n i t e s t r i p 0 < x < 1 .

A n s . 0 < v < 1 .

2 . S h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = i z + i m a p s t h e h a l f p l a n e x > 0 o n t o t h e h a l f p l a n e

v > 1 .

3 . F i n d t h e r e g i o n o n t o w h i c h t h e h a l f p l a n e y > 0 i s m a p p e d b y t h e t r a n s f o r m a t i o n

l + i ) z

b y u s i n g ( a ) p o l a r c o o r d i n a t e s ; ( b ) r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s . S k e t c h t h e r e g i o n .

A n s . v > u .

4 . F i n d t h e i m a g e o f t h e h a l f p l a n e y > 1 u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = ( 1 - i ) z .

5 . F i n d t h e i m a g e o f t h e s e m i - i n f i n i t e s t r i p x > 0 , 0 < y < 2 w h e n w = i z + 1 . S k e t c h t h e

s t r i p a n d i t s i m a g e .

A n s . - 1 < u < 1 , v < 0 .

6 . G i v e a g e o m e t r i c d e s c r i p t i o n o f t h e t r a n s f o r m a t i o n w = A ( z + B ) , w h e r e A a n d B a r e

c o m p l e x c o n s t a n t s a n d A

0 .

8 4 . T H E T R A N S F O R M A T I O N w = 1 / z

T h e e q u a t i o n

( 1 )

e s t a b l i s h e s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e n o n z e r o p o i n t s o f t h e z a n d t h e

w p l a n e s . S i n c e z z = I z 1 2 , t h e m a p p i n g c a n b e d e s c r i b e d b y m e a n s o f t h e s u c c e s s i v e

t r a n s f o r m a t i o n s

( 2 )



3 0 2


C H A P . 8

T h e f i r s t o f t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s i s a n i n v e r s i o n w i t h r e s p e c t t o t h e u n i t c i r c l e

I z I = 1 . T h a t i s , t h e i m a g e o f a n o n z e r o p o i n t z i s t h e p o i n t Z w i t h t h e p r o p e r t i e s

I z

T h u s t h e p o i n t s e x t e r i o r t o t h e c i r c l e I z I = 1 a r e m a p p e d o n t o t h e n o n z e r o p o i n t s i n t e r i o r

t o i t ( F i g . 1 0 5 ) , a n d c o n v e r s e l y . A n y p o i n t o n t h e c i r c l e i s m a p p e d o n t o i t s e l f . T h e

s e c o n d o f t r a n s f o r m a t i o n s ( 2 ) i s s i m p l y a r e f l e c t i o n i n t h e r e a l a x i s .

F I G U R E 1 0 5

e

( 3 )

o r m a t i o n ( 1 ) a s

w e c a n d e f i n e T a t t h e o r i g i n a n d a t t h e p o i n t a t i n f i n i t y s o a s t o b e c o n t i n u o u s o n t h e

e x t e n d e d c o m p l e x p l a n e . T o d o t h i s , w e n e e d o n l y r e f e r t o S e c . 1 6 t o s e e t h a t

( 4 )

( 5 )

l i m T ( z ) = o o

s i n c e

l i r a

1

Z - - ) , O

z - > 0 T ( z )

l i m T ( z ) = 0

s i n c e

l i m T - -

Z - + o o

z - - r 0

z

l

I n o r d e r t o m a k e T c o n t i n u o u s o n t h e e x t e n d e d p l a n e , t h e n , w e w r i t e

( 6 )

T ( 0 ) = o o ,

T ( o o ) = 0 , a n d

T ( z )

1

z

f o r t h e r e m a i n i n g v a l u e s o f z . M o r e p r e c i s e l y , e q u a t i o n s ( 6 ) , t o g e t h e r w i t h t h e f i r s t o f

l i m i t s ( 4 ) a n d ( 5 ) , s h o w t h a t

( 7 )

l i m T ( z ) = T ( z 0 )

Z - - Z O

f o r e v e r y p o i n t z 0 i n t h e e x t e n d e d p l a n e , i n c l u d i n g z a = 0 a n d z o = o o . T h e f a c t t h a t T

i s c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e i n t h e e x t e n d e d p l a n e i s n o w a c o n s e q u e n c e o f e q u a t i o n ( 7 )



S E C , 8 5

M A P P I N G S B Y l / z

3 0 3

( s e e S e c . 1 7 ) . B e c a u s e o f t h i s c o n t i n u i t y , w h e n t h e p o i n t a t i n f i n i t y i s i n v o l v e d i n a n

d i s c u s s i o n o f t h e f u n c t i o n 1 / z , i t i s t a c i t l y a s s u m e d t h a t T ( z ) i s i n t e n d e d .

8 5 . M A P P I N G S B Y l f z

W h e n a p o i n t w = u + i v i s t h e i m a g e o f a n o n z e r o p o i n t z = x + i y u n d e r t h e

t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / z , w r i t i n g w = z / I z I 2 r e v e a l s t h a t

+ y 2 '

-

x 2 - + 2

- v

u 2 +

v 2 ,

u 2 + v

T h e f o l l o w i n g a r g u m e n t , b a s e d o n t h e s e r e l a t i o n s b e t w e e n c o o r d i n a t e s , s h o w s t h a t t h e

m a p p i n g w = I / z t r a n s f o r m s c i r c l e s a n d l i n e s i n t o c i r c l e s a n d l i n e s . W h e n A , B , C ,

a n d D a r e a l l r e a l n u m b e r s s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n B 2 + C 2 > 4 A D , t h e e q u a t i o n

( 3 )

r e p r e s e n t s a n a r b i t r a r y c i r c l e o r l i n e , w h e r e A A 0 f o r a c i r c l e a n d A = 0 f o r a l i n e .

T h e n e e d f o r t h e c o n d i t i o n B 2 + C 2 > 4 A D w h e n A A 0 i s e v i d e n t i f , b y t h e m e t h o d

o f c o m p l e t i n g t h e s q u a r e s , w e r e w r i t e e q u a t i o n ( 3 ) a s

x

A ( x 2 + y 2 ) + B x + C y + D = 0

_ y

W h e n A = 0 , t h e c o n d i t i o n b e c o m e s B 2 + C 2 > 0 , w h i c h m e a n s t h a t B a n d C a r e n o t

b o t h z e r o . R e t u r n i n g t o t h e v e r i f i c a t i o n o f t h e s t a t e m e n t i n i t a l i c s , w e o b s e r v e t h a t i f

x a n d y s a t i s f y e q u a t i o n ( 3 ) , w e c a n u s e r e l a t i o n s ( 2 ) t o s u b s t i t u t e f o r t h o s e v a r i a b l e s .

A f t e r s o m e s i m p l i f i c a t i o n s , w e f i n d t h a t u a n d v s a t i s f y t h e e q u a t i o n ( s e e a l s o E x e r c i s e

1 4 b e l o w )

( 4 )

D ( u

B u - C v + A = 0 ,

w h i c h a l s o r e p r e s e n t s a c i r c l e o r l i n e . C o n v e r s e l y , i f u a n d v s a t i s f y e q u a t i o n ( 4 ) , i t

f o l l o w s f r o m r e l a t i o n s ( 1 ) t h a t x a n d y s a t i s f y e q u a t i o n ( 3 ) .

I t i s n o w c l e a r f r o m e q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) t h a t

a c i r c l e ( A A 0 ) n o t p a s s i n g t h r o u g h t h e o r i g i n ( D A 0 ) i n t h e z p l a n e i s t r a n s -

f o r m e d i n t o a c i r c l e n o t p a s s i n g t h r o u g h t h e o r i g i n i n t h e w p l a n e ;

a c i r c l e ( A A 0 ) t h r o u g h t h e o r i g i n ( D = 0 ) i n t h e z p l a n e i s t r a n s f o r m e d i n t o a

l i n e t h a t d o e s n o t p a s s t h r o u g h t h e o r i g i n i n t h e w p l a n e ;

3 0 4


C H A P . 8

) a l i n e ( A = 0 ) n o t p a s s i n g t h r o u g h t h e o r i g i n ( D O 0 ) i n t h e z p l a n e i s t r a n s f o r m e d

i n t o a c i r c l e t h r o u g h t h e o r i g i n i n t h e w p l a n e ;

a l i n e ( A = 0 ) t h r o u g h t h e o r i g i n ( D = 0 ) i n t h e z p l a n e i s t r a n s f o r m e d i n t o a l i n e

t h r o u g h t h e o r i g i n i n t h e w p l a n e .

E X A M P L E 1 .

A c c o r d i n g t o e q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) , a v e r t i c a l l i n e x = c 1 ( c 1 A 0 ) i s

t r a n s f o r m e d b y w = 1 / z i n t o t h e c i r c l e - c 1 ( u 2 + v 2 ) + u = 0 , o r

( 5 )

1 2

l 1 \ 2

U

w h i c h i s c e n t e r e d o n t h e u a x i s a n d t a n g e n t t o t h e v a x i s . T h e i m a g e o f a t y p i c a l p o i n t

( c 1 , y ) o n t h e l i n e i s , b y e q u a t i o n s ( 1 ) ,

u , v ) =

I f c l > 0 , t h e c i r c l e ( 5 ) i s e v i d e n t l y t o t h e r i g h t o f t h e v a x i s . A s t h e p o i n t ( c 1 , y )

m o v e s u p t h e e n t i r e l i n e , i t s i m a g e t r a v e r s e s t h e c i r c l e o n c e i n t h e c l o c k w i s e d i r e c t i o n ,

t h e p o i n t a t i n f i n i t y i n t h e e x t e n d e d z p l a n e c o r r e s p o n d i n g t o t h e o r i g i n i n t h e w p l a n e .

F o r i f y < 0 , t h e n v > 0 ; a n d , a s y i n c r e a s e s t h r o u g h n e g a t i v e v a l u e s t o 0 , w e s e e t h a t

u i n c r e a s e s f r o m 0 t o 1 / c l . T h e n , a s y i n c r e a s e s t h r o u g h p o s i t i v e v a l u e s , v i s n e g a t i v e

a n d u d e c r e a s e s t o 0 .

I f , o n t h e o t h e r h a n d , c l < 0 , t h e c i r c l e l i e s t o t h e l e f t o f t h e v a x i s . A s t h e p o i n t

( c 1 , y ) m o v e s u p w a r d , i t s i m a g e s t i l l m a k e s o n e c y c l e , b u t i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e

d i r e c t i o n . S e e F i g . 1 0 6 , w h e r e t h e c a s e s c 1 = 1 / 3 a n d c 1 = - 1 / 2 a r e i l l u s t r a t e d .

y

- - - - C 2 =

I

2

F I G U R E

1 0 6

w = 1 / z .

E X A M P L E 2 . A h o r i z o n t a l l i n e y = c 2

0 ) i s m a p p e d b y w = 1 / z o n t o t h e

c i r c l e

S E C . 8 5 E X E R C I S E S

3 0 5

w h i c h i s c e n t e r e d o n t h e v a x i s a n d t a n g e n t t o t h e u a x i s . T w o s p e c i a l c a s e s a r e s h o w n

i n F i g . 1 0 6 , w h e r e t h e c o r r e s p o n d i n g o r i e n t a t i o n s o f t h e l i n e s a n d c i r c l e s a r e a l s o

i n d i c a t e d .

E X A M P L E 3 .

W h e n w = 1 / z , t h e h a l f p l a n e x > c 1 ( c 1 > 0 ) i s m a p p e d o n t o t h e

d i s k

( 7 )

F o r , a c c o r d i n g t o E x a m p l e 1 , a n y l i n e x = c ( c > c 1 ) i s t r a n s f o r m e d i n t o t h e c i r c l e

I )

+ v 2 _ (

2 c ) .

F u r t h e r m o r e , a s c i n c r e a s e s t h r o u g h a l l v a l u e s g r e a t e r t h a n c 1 , t h e l i n e s x = c m o v e

t o t h e r i g h t a n d t h e i m a g e c i r c l e s ( 8 ) s h r i n k i n s i z e . ( S e e F i g . 1 0 7 . ) S i n c e t h e l i n e s

x = c p a s s t h r o u g h a l l p o i n t s i n t h e h a l f p l a n e x > c 1 a n d t h e c i r c l e s ( 8 ) p a s s t h r o u g h

a l l p o i n t s i n t h e d i s k ( 7 ) , t h e m a p p i n g i s e s t a b l i s h e d .

x

F I G U R E 1 0 7

w = 1 / z .

E X E R C I S E S

1 . I n S e c . 8 5 , p o i n t o u t h o w i t f o l l o w s f r o m t h e f i r s t o f e q u a t i o n s ( 2 ) t h a t w h e n w = 1 / z ,

t h e i n e q u a l i t y x > c 1 ( c 1 > 0 ) i s s a t i s f i e d i f a n d o n l y i f i n e q u a l i t y ( 7 ) h o l d s . T h u s g i v e a n

a l t e r n a t i v e v e r i f i c a t i o n o f t h e m a p p i n g e s t a b l i s h e d i n E x a m p l e 3 i n t h a t s e c t i o n .

2 . S h o w t h a t w h e n c 1 < 0 , t h e i m a g e o f t h e h a l f p l a n e x < c 1 u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n

w = 1 / z i s t h e i n t e r i o r o f a c i r c l e . W h a t i s t h e i m a g e w h e n c 1 = 0 ?

3 . S h o w t h a t t h e i m a g e o f t h e h a l f p l a n e y > c 2 u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / z i s t h e

i n t e r i o r o f a c i r c l e , p r o v i d e d c 2 > 0 . F i n d t h e i m a g e w h e n c 2 < 0 ; a l s o f i n d i t w h e n c 2 = 0 .

4 . F i n d t h e i m a g e o f t h e i n f i n i t e s t r i p 0 < y < 1 / ( 2 c ) u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / z .

S k e t c h t h e s t r i p a n d i t s i m a g e .

A n s . u 2 + ( v + c ) 2 > c 2 , v < 0 .

3 0 6


C H A P . 8

5 . F i n d t h e i m a g e o f t h e q u a d r a n t x > 1 , y > 0 u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / z .

A n s .

( u - 2 1

I v 2 < ( 2

v < 0 .

6 . V e r i f y t h e m a p p i n g , w h e r e w = 1 / z , o f t h e r e g i o n s a n d p a r t s o f t h e b o u n d a r i e s i n d i c a t e d

i n ( a ) F i g . 4 , A p p e n d i x 2 ; ( b ) F i g . 5 , A p p e n d i x 2 .

7 . D e s c r i b e g e o m e t r i c a l l y t h e t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / ( z - 1 ) .

8 . D e s c r i b e g e o m e t r i c a l l y t h e t r a n s f o r m a t i o n w = i / z . S t a t e w h y i t t r a n s f o r m s c i r c l e s a n d

l i n e s i n t o c i r c l e s a n d l i n e s .

9 . F i n d t h e i m a g e o f t h e s e m i - i n f i n i t e s t r i p x > 0 , 0 < y < 1 w h e n w = i / z . S k e t c h t h e s t r i p

a n d i t s i m a g e .

1 0 . B y w r i t i n g w = p e x p ( i i ) , s h o w t h a t t h e m a p p i n g w = 1 / z t r a n s f o r m s t h e h y p e r b o l a

x 2 -

y 2 = 1 i n t o t h e l e m n i s c a t e p 2 = c o s 2 0 . ( S e e E x e r c i s e 1 5 , S e c . 5 . )

1 1 . L e t t h e c i r c l e I z I = 1 h a v e a p o s i t i v e , o r c o u n t e r c l o c k w i s e , o r i e n t a t i o n . D e t e r m i n e

o r i e n t a t i o n o f i t s i m a g e u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / z .

1 2 . S h o w t h a t w h e n a c i r c l e i s t r a n s f o r m e d i n t o a c i r c l e u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / z ,

t h e c e n t e r o f t h e o r i g i n a l c i r c l e i s n e v e r m a p p e d o n t o t h e c e n t e r o f t h e i m a g e c i r c l e .

1 3 . U s i n g t h e e x p o n e n t i a l f o r m z = r e i e o f z , s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

1

w = z + - ,

z

w h i c h i s t h e s u m o f t h e i d e n t i t y t r a n s f o r m a t i o n a n d t h e t r a n s f o r m a t i o n d i s c u s s e d i n S e c s .

8 4 a n d 8 5 , m a p s c i r c l e s r = r o o n t o e l l i p s e s w i t h p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n s

c o s 0 ,

v = ( r o - = ) s i n 0

( 0 < 9 < 2

r o

a n d f o c i a t t h e p o i n t s w = + 2 . T h e n s h o w h o w i t f o l l o w s t h a t t h i s t r a n s f o r m a t i o n m a p s

t h e e n t i r e c i r c l e I z I = 1 o n t o t h e s e g m e n t - 2 < u < 2 o f t h e u a x i s a n d t h e d o m a i n o u t s i d e

t h a t c i r c l e o n t o t h e r e s t o f t h e w p l a n e .

1 4 . ( a ) W r i t e e q u a t i o n ( 3 ) , S e c . 8 5 , i n t h e f o r m

2 A z z + ( B - C i ) z + ( B + C i ) z + 2 D = 0 ,

w h e r e z = x + i y .

( b ) S h o w t h a t w h e n w = 1 / z , t h e r e s u l t i n p a r t ( a ) b e c o m e s

2 D w w + ( B + C i ) w + ( B - C i ) w + 2 A = 0 .

T h e n s h o w t h a t i f w = u + i v , t h i s e q u a t i o n i s t h e s a m e a s e q u a t i o n ( 4 ) , S e c . 8 5 .

S u g g e s t i o n : I n p a r t ( a ) , u s e t h e r e l a t i o n s ( s e e S e c . 5 )

x -

z + z

a n d v = z

- z



S E C . 8 6

L I N E A R F R A C T I O N A L T R A N S F O R M A T I O N S

3 0 7

8 6 . L I N E A R F R A C T I O N A L T R A N S F O R M A T I O N S

T h e t r a n s f o r m a t i o n

( 1 )

a z + b

w = ( a d - b c

0 ) ,

c z + d

w h e r e a , b , c , a n d d a r e c o m p l e x c o n s t a n t s , i s c a l l e d a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n ,

o r M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n . O b s e r v e t h a t e q u a t i o n ( 1 ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

A z w + B z + C w + D = O

( A D - B C 0

) ;

a n d , c o n v e r s e l y , a n y e q u a t i o n o f t y p e ( 2 ) c a n b e p u t i n t h e f o r m ( 1 ) . S i n c e t h i s

a l t e r n a t i v e f o r m i s l i n e a r i n z a n d l i n e a r i n w , o r b i l i n e a r i n z a n d w , a n o t h e r n a m e

f o r a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n i s b i l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n .

W h e n c = 0 , t h e c o n d i t i o n a d - b e A 0 w i t h e q u a t i o n ( 1 ) b e c o m e s a d

0 ; a n d

w e s e e t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n r e d u c e s t o a n o n c o n s t a n t l i n e a r f u n c t i o n . W h e n c 0 0 ,

e q u a t i o n ( 1 ) c a n b e w r i t t e n

( 3 )

( a d - b e

0

S o , o n c e a g a i n , t h e c o n d i t i o n a d - b e

0 e n s u r e s t h a t w e d o n o t h a v e a c o n s t a n t

f u n c t i o n . T h e t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / z i s e v i d e n t l y a s p e c i a l c a s e o f t r a n s f o r m a t i o n ( 1 )

w h e n c

0 .

E q u a t i o n ( 3 ) r e v e a l s t h a t w h e n c ; 0 , a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n i s a

c o m p o s i t i o n o f t h e m a p p i n g s .

Z = c z + d ,

1

a b e - a d

_ - , w = * +

c

( a d - b e 5 , 1 - 0

I t t h u s f o l l o w s t h a t , r e g a r d l e s s o f w h e t h e r c i s z e r o o r n o n z e r o , a n y l i n e a r f r a c t i o n a l

t r a n s f o r m a t i o n t r a n s f o r m s c i r c l e s a n d l i n e s i n t o c i r c l e s a n d l i n e s b e c a u s e t h e s e s p e c i a l

l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s d o . ( S e e S e e s . 8 3 a n d 8 5 . )

S o l v i n g e q u a t i o n ( 1 ) f o r z , w e f i n d t h a t

( 4 )

z

- d w + b

c w - a

a d - b c A 0 ) .

W h e n a g i v e n p o i n t w i s t h e i m a g e o f s o m e p o i n t z u n d e r t r a n s f o r m a t i o n ( 1 ) , t h e p o i n t

z i s r e t r i e v e d b y m e a n s o f e q u a t i o n ( 4 ) . I f c = 0 , s o t h a t a a n d d a r e b o t h n o n z e r o , e a c h

p o i n t i n t h e w p l a n e i s e v i d e n t l y t h e i m a g e o f o n e a n d o n l y o n e p o i n t i n t h e z p l a n e .

T h e s a m e i s t r u e i f c 0 0 , e x c e p t w h e n w = a / c s i n c e t h e d e n o m i n a t o r i n e q u a t i o n

( 4 ) v a n i s h e s i f w h a s t h a t v a l u e . W e c a n , h o w e v e r , e n l a r g e t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n

o f t r a n s f o r m a t i o n ( 1 ) i n o r d e r t o d e f i n e a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n T o n t h e



3 0 8


C H A P . 8

e x t e n d e d z p l a n e s u c h t h a t t h e p o i n t w = a l c i s t h e i m a g e o f z = o o w h e n c ; 0 . W e

f i r s t w r i t e

( 5 )

W e t h e n w r i t e

a n d

T ( c x ) =

c = 0

T ( o o ) =

a

a n d

c

i f

c

0 .

I n v i e w o f E x e r c i s e 1 1 , S e c . 1 7 , t h i s m a k e s T c o n t i n u o u s o n t h e e x t e n d e d z p l a n e .

I t a l s o a g r e e s w i t h t h e w a y i n w h i c h w e e n l a r g e d t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f t h e

t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / z i n S e c . 8 4 .

W h e n i t s d o m a i n o f d e f i n i t i o n i s e n l a r g e d i n t h i s w a y , t h e l i n e a r f r a c t i o n a l

t r a n s f o r m a t i o n ( 5 ) i s a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e e x t e n d e d z p l a n e o n t o t h e e x t e n d e d

w p l a n e . T h a t i s , T ( z 1 ) ; T ( Z 2 ) w h e n e v e r z 1 ; z 2 ; a n d , f o r e a c h p o i n t w i n t h e s e c o n d

p l a n e , t h e r e i s a p o i n t z i n t h e f i r s t o n e s u c h t h a t T ( z ) = w . H e n c e , a s s o c i a t e d w i t h

t h e t r a n s f o r m a t i o n T , t h e r e i s a n i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n T - 1 , w h i c h i s d e f i n e d o n t h e

e x t e n d e d w p l a n e a s f o l l o w s :

T - ` ( w ) = z i f a n d o n l y i f T ( z ) = w .

F r o m e q u a t i o n ( 4 ) , w e s e e t h a t

( 6 ) T -

- d w + b

c w - a

( a d - b c A 0 ) .

E v i d e n t l y , T - 1 i s i t s e l f a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n , w h e r e

T - 1 (

a n d

T -

c = 0

a n d T - l ( o o ) = - - u

i f

c ; 0 .

C

I f T a n d S a r e t w o l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s , t h e n s o i s t h e c o m p o s i t i o n S [ T ( z ) ] .

T h i s c a n b e v e r i f i e d b y c o m b i n i n g e x p r e s s i o n s o f t h e t y p e ( 5 ) . N o t e t h a t , i n p a r t i c u l a r ,

T

[ T ( z ) ] = z f o r e a c h p o i n t z i n t h e e x t e n d e d p l a n e .

T h e r e i s a l w a y s a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s t h r e e g i v e n d i s t i n c t

p o i n t s z 1 , z 2 , a n d z 3 o n t o t h r e e s p e c i f i e d d i s t i n c t p o i n t s w 1 , w 2 , a n d w 3 , r e s p e c t i v e l y .

V e r i f i c a t i o n o f t h i s w i l l a p p e a r i n S e c . 8 7 , w h e r e t h e i m a g e w o f a p o i n t z u n d e r s u c h

a t r a n s f o r m a t i o n i s g i v e n i m p l i c i t l y i n t e r m s o f z . W e i l l u s t r a t e h e r e a m o r e d i r e c t

a p p r o a c h t o f i n d i n g t h e d e s i r e d t r a n s f o r m a t i o n .

a z + b

T ( z )

_

c z +

d

( a d - b e A 0 ) .



S E C . 8 6

E X A M P L E 1 .

L e t u s f i n d t h e s p e c i a l c a s e o f t r a n s f o r m a t i o n ( 1 ) t h a t m a p s t h e p o i n t s

z I - - 1 ,

z 2 = 0 ,

a n d z 3 = 1

o n t o t h e p o i n t s

L I N E A R F R A C T I O N A L T R A N S F O R M A T I O N S

3 0 9

w l = - i ,

w 2 = 1 , a n d w 3 = i ,

S i n c e 1 i s t h e i m a g e o f 0 , e x p r e s s i o n ( 1 ) t e l l s u s t h a t 1 = b / d , o r d = b . T h u s

( 7 )

a z + b

c z + b

[ b ( a -

T h e n , s i n c e - 1 a n d 1 a r e t r a n s f o r m e d i n t o - i a n d i , r e s p e c t i v e l y , i t f o l l o w s t h a t

i c - i b = - a + b a n d i c + i b = a + b .

A d d i n g c o r r e s p o n d i n g s i d e s o f t h e s e e q u a t i o n s , w e f i n d t h a t c = - i b ; a n d s u b t r a c t i o n

r e v e a l s t h a t a = i b . C o n s e q u e n t l y ,

w =

i b z + b

b ( i z + 1 )

-

- i b z + b

b ( - i z + 1 )

S i n c e b i s a r b i t r a r y a n d n o n z e r o h e r e , w e m a y a s s i g n i t t h e v a l u e u n i t y ( o r c a n c e l i t

o u t ) a n d w r i t e

i z + 1

- i z + 1

i i + z

E X A M P L E 2 .

S u p p o s e t h a t t h e p o i n t s

z I = 1 ,

z 2 = 0 ,

a n d z 3 = -

a r e t o b e m a p p e d o n t o

w l = i ,

w 2 = o o ,

a n d

W 3 = 1 -

S i n c e w 2 = a o c o r r e s p o n d s t o z 2 = 0 , w e r e q u i r e t h a t d = 0 i n e x p r e s s i o n ( 1 ) ; a n d s o

( 8 )

a z + b

w =

e z

b e

0 ) .

B e c a u s e 1 i s t o b e m a p p e d o n t o i a n d - 1 o n t o 1 , w e h a v e t h e r e l a t i o n s

b

a n d

- c - - - a + b :

a n d i t f o l l o w s t h a t

b _ i - 1 c , a _ i + l c .



3 1 0


C H A P . 8

F i n a l l y , t h e n , i f w e w r i t e c = 2 , e q u a t i o n ( 8 ) b e c o m e s

z - l

2 z

8 7 . A N I M P L I C I T F O R M

T h e e q u a t i o n

( 1 )

w l ) ( w 2

- w 3 )

( w - w 3 ) ( w 2

- w 1 )

d e f i n e s ( i m p l i c i t l y ) a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s d i s t i n c t p o i n t s z I , z 2 ,

a n d z 3 i n t h e f i n i t e z p l a n e o n t o d i s t i n c t p o i n t s w I , w 2 , a n d w 3 , r e s p e c t i v e l y , i n t h e f i n i t e

w p l a n e . * T o v e r i f y t h i s , w e w r i t e e q u a t i o n ( 1 ) a s

( 2 )

( z - z 3 ) ( w - w 1 ) ( z 2

- z i ) ( w 2 - w 3 ) = ( z - z l ) ( w -

w 3 ) ( z 2

W ' a ' 2

W I ) .

I f z = z I , t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 2 ) i s z e r o ; a n d i t f o l l o w s t h a t w

= w I .

S i m i l a r l y , i f z =

Z 3 , t h e l e f t - h a n d s i d e i s z e r o a n d , c o n s e q u e n t l y , w = w 3 . I f z = z 2 ,

w e h a v e t h e l i n e a r e q u a t i o n

( w - w 1 ) ( w 2 - w 3 ) = ( w - w 3 ) ( w 2

w h o s e u n i q u e s o l u t i o n i s w = w 2 . O n e c a n s e e t h a t t h e m a p p i n g d e f i n e d b y e q u a t i o n

( 1 ) i s a c t u a l l y a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n b y e x p a n d i n g t h e p r o d u c t s i n e q u a t i o n

( 2 ) a n d w r i t i n g t h e r e s u l t i n t h e f o r m ( S e c . 8 6 )

A z w + B z + C w + D = O .

T h e c o n d i t i o n A D - B C

0 , w h i c h i s n e e d e d w i t h e q u a t i o n ( 3 ) , i s c l e a r l y s a t i s f i e d

s i n c e , a s j u s t d e m o n s t r a t e d , e q u a t i o n ( 1 ) d o e s n o t d e f i n e a c o n s t a n t f u n c t i o n . I t i s l e f t

t o t h e r e a d e r ( E x e r c i s e 1 0 ) t o s h o w t h a t e q u a t i o n ( 1 ) d e f i n e s t h e o n l y l i n e a r f r a c t i o n a l

t r a n s f o r m a t i o n m a p p i n g t h e p o i n t s z 1 , z 2 , a n d z 3 o n t o w 1 , w 2 , a n d w 3 r e s p e c t i v e l y .

E X A M P L E

s f o r m a t i o n f o u n d i n E x a m p l e 1 , S e c . 8 6 , r e q u i r e d t h a t

0 , Z 3 = 1

a n d w i = - i ,

* T h e t w o s i d e s o f e q u a t i o n ( 1 ) a r e c r o s s r a t i o s , w h i c h p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n m o r e e x t e n s i v e

d e v e l o p m e n t s o f l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s t h a n i n t h i s b o o k . S e e , f o r i n s t a n c e , R . P . B o a s ,

" I n v i t a t i o n t o C o m p l e x A n a l y s i s , " p p . 1 9 2 - 1 9 6 , 1 9 9 3 o r J . B . C o n w a y , " F u n c t i o n s o f O n e C o m p l e x

V a r i a b l e , , , 2 d e d . , 6 t h p r i n t i n g , p p . 4 8 - 5 5 , 1 9 9 7 .



S E C . 8 7

A N I M P L I C I T F O R M

3 1 1

U s i n g e q u a t i o n ( 1 ) t o w r i t e

( z + W O - 1 )

( w - x ) ( 1 + i )

( z - 1 ) ( 0 + 1 )

a n d t h e n s o l v i n g f o r w i n t e r m s o f z , w e a r r i v e a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

f o u n d e a r l i e r .

I f e q u a t i o n ( 1 ) i s m o d i f i e d p r o p e r l y , i t c a n a l s o b e u s e d w h e n t h e p o i n t a t i n f i n i t y

i s o n e o f t h e p r e s c r i b e d p o i n t s i n e i t h e r t h e ( e x t e n d e d ) z o r w p l a n e . S u p p o s e , f o r

i n s t a n c e , t h a t z

I = o o .

S i n c e a n y l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n i s c o n t i n u o u s o n t h e

e x t e n d e d p l a n e , w e n e e d o n l y r e p l a c e z I o n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 1 ) b y 1 / z 1 ,

c l e a r f r a c t i o n s , a n d l e t z 1 t e n d t o z e r o :

z z - + O ( z - Z 3 ) ( Z 2

-

1 / z 1 )

z 1

z I - * O ( z - 2 3 ) ( 2 1 2 2 - 1 )

z - Z 3

T h e d e s i r e d m o d i f i c a t i o n o f e q u a t i o n ( 1 ) i s , t h e n ,

( w - w 1 ) ( w 2

- w 3 ) z 2 - z 3

( w - w 3 ) ( w 2 - w 1 ) z - z 3

N o t e t h a t t h i s m o d i f i c a t i o n i s o b t a i n e d f o r m a l l y b y s i m p l y d e l e t i n g t h e f a c t o r s i n v o l v -

i n g z i i n e q u a t i o n ( 1 ) . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t t h e s a m e f o r m a l a p p r o a c h a p p l i e s w h e n

a n y o f t h e o t h e r p r e s c r i b e d p o i n t s i s o o .

E X A M P L E 2 .

I n E x a m p l e 2 , S e c . 8 6 , t h e p r e s c r i b e d p o i n t s w e r e

Z 2 = 0 ,

Z 3 = = - l

a n d

I n t h i s c a s e , w e u s e t h e m o d i f i c a t i o n

w - w 1

_ ( z - Z l ) ( Z 2 - Z 3 )

w - w 3

( Z - 2 3 ) ( Z 2 - z i )

o f e q u a t i o n ( 1 ) , w h i c h t e l l s u s t h a t

z - 1 ) ( 0 + 1 )

z + 1 ) ( 0 - 1 )

S o l v i n g h e r e f o r w , w e a r r i v e a t t h e d e s i r e d t r a n s f o r m a t i o n :

( i + 1 ) z + ( i - 1 )

l i m

( z - 1 / Z I ) ( z 2 - z 3 )

.

Z I

_ _ . _

l i r a

( Z I Z - 1 ) ( z 2 - z 3 )

-

Z 2 - Z 3

2 z



3 1 2 M A P P I N G B Y E L E M E N T A R Y F U N C T I O N S

C H A P . 8

E X E R C I S E S

1 . F i n d t h e l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s t h e p o i n t s z 1 = 2 , z 2 = i , z 3 = - 2

o n t o t h e p o i n t s w I = 1 , w 2 = i , w 3 = - 1 .

A n s . w = ( 3 z + 2 i ) / ( i z + 6 ) .

2 . F i n d t h e l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s t h e p o i n t s z 1 = - i , z 2 = 0 , z 3 = i

o n t o t h e p o i n t s w 1 = - 1 , w 2 = i , w 3 = 1 . I n t o w h a t c u r v e i s t h e i m a g i n a r y a x i s x = 0

t r a n s f o r m e d ?

3 . F i n d t h e b i l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s t h e p o i n t s z I = a a , z 2 = i , z 3 = 0 o n t o t h e

p o i n t s w 1 = 0 , w 2 = i , w 3 = 0 0 .

A n s . w =

z

4 . F i n d t h e b i l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s d i s t i n c t p o i n t s z 1 , z 2 , z 3 o n t o t h e p o i n t s

w 1 = 0 , W 2 = 1 , W 3 = C C -

A n s . w =

( z - Z l ) ( 2 2 - z 3 )

( Z - 2 3 ) ( 2 2 - Z 1 )

5 . S h o w t h a t a c o m p o s i t i o n o f t w o l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s i s a g a i n a l i n e a r f r a c -

t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n , a s s t a t e d i n S e c . 8 6 .

6 . A f i x e d p o i n t o f a t r a n s f o r m a t i o n w = f { z ) i s a p o i n t 2 0 s u c h t h a t f ( z o ) = z 0 . S h o w t h a t

e v e r y l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n , w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e i d e n t i t y t r a n s f o r m a t i o n

w = z , h a s a t m o s t t w o f i x e d p o i n t s i n t h e e x t e n d e d p l a n e .

7 . F i n d t h e f i x e d p o i n t s ( s e e E x e r c i s e 6 ) o f t h e t r a n s f o r m a t i o n

w

z - l

( b ) w = 6 z - 9

a

=

z + 1 '

z

A n s . ( a ) z = ± i ;

( b ) z = 3 .

8 . M o d i f y e q u a t i o n ( 1 ) , S e c . 8 7 , f o r t h e c a s e i n w h i c h b o t h z 2 a n d w 2 a r e t h e p o i n t a t i n f i n i t y .

T h e n s h o w t h a t a n y l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n m u s t b e o f t h e f o r m w = a z ( a 0 0 )

w h e n i t s f i x e d p o i n t s ( E x e r c i s e 6 ) a r e 0 a n d o o .

9 . P r o v e t h a t i f t h e o r i g i n i s a f i x e d p o i n t ( E x e r c i s e 6 ) o f a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n ,

t h e n t h e t r a n s f o r m a t i o n c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m w = z / ( c z + d ) , w h e r e d 5 4 0 .

1 0 . S h o w t h a t t h e r e i s o n l y o n e l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s t h r e e g i v e n d i s t i n c t

p o i n t s z I , z 2 , a n d z 3 i n t h e e x t e n d e d z p l a n e o n t o t h r e e s p e c i f i e d d i s t i n c t p o i n t s w I , w 2 ,

a n d w 3 i n t h e e x t e n d e d w p l a n e .

S u g g e s t i o n : L e t T a n d S b e t w o s u c h l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s . T h e n , a f t e r

p o i n t i n g o u t w h y S _

= z k ( k = 1 , 2 , 3 ) , u s e t h e r e s u l t s i n E x e r c i s e s 5 a n d 6 t o

s h o w t h a t S - 1 [ T ( z ) ] = z f o r a l l z . T h u s s h o w t h a t T ( z ) = S ( z ) f o r a l l z .

1 1 . W i t h t h e a i d o f e q u a t i o n ( 1 ) , S e c . 8 7 , p r o v e t h a t i f a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n m a p s

t h e p o i n t s o f t h e x a x i s o n t o p o i n t s o f t h e u a x i s , t h e n t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e t r a n s f o r m a t i o n

a r e a l l r e a l , e x c e p t p o s s i b l y f o r a c o m m o n c o m p l e x f a c t o r . T h e c o n v e r s e s t a t e m e n t i s

e v i d e n t .

1 2 . L e t T ( z ) _ ( a z + b ) / ( c 2 + d ) , w h e r e a d - b e 0 0 , b e a n y l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a -

t i o n o t h e r t h a n T ( z ) = z . S h o w t h a t T - I = T i f a n d o n l y i f d = - a .

S E C . 8 8

l a l = I c l A 0 ;

S u g g e s t i o n : W r i t e t h e e q u a t i o n T - 1 ( z ) = T ( z ) a s

( a + d ) [ c z 2 + ( d - a ) z - b ] = 0 .

8 8 . M A P P I N G S O F T H E U P P E R H A L F P L A N E

L e t u s d e t e r m i n e a l l l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s t h a t m a p t h e u p p e r h a l f p l a n e

I m z > 0 o n t o t h e o p e n d i s k I w I < 1 a n d t h e b o u n d a r y I m z = 0 o n t o t h e b o u n d a r y

w I = 1 ( F i g . 1 0 8 ) .

K e e p i n g i n m i n d t h a t p o i n t s o n t h e l i n e I m z = 0 a r e t o b e t r a n s f o r m e d i n t o p o i n t s

o n t h e c i r c l e I w I = 1 , w e s t a r t b y s e l e c t i n g t h e p o i n t s z = 0 , z = 1 , a n d z = o o o n

t h e

l i n e a n d d e t e r m i n i n g c o n d i t i o n s o n a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n

( 1 )

w _

a z + b

( a d

- b e

0 )

c z + d

w h i c h a r e n e c e s s a r y i n o r d e r f o r t h e i m a g e s o f t h o s e p o i n t s t o h a v e u n i t m o d u l u s .

W e n o t e f r o m e q u a t i o n ( 1 ) t h a t i f I w I = i w h e n z = 0 , t h e n I b l d I = 1 ; t h a t i s ,

( 2 ) I b I = I d l

0 .

N o w , a c c o r d i n g t o S e c . 8 6 , t h e i m a g e w o f t h e p o i n t z = o o i s a f i n i t e n u m b e r , n a m e l y

w = a / c , o n l y i f c A 0 . S o t h e r e q u i r e m e n t t h a t I w l = I w h e n z = o c m e a n s t h a t

I a / c l = 1 , o r

( 3 )

a n d t h e f a c t t h a t a a n d c a r e n o n z e r o e n a b l e s u s t o r e w r i t e e q u a t i o n ( 1 ) a s

( 4 )

T h e n , s i n c e l a l c l = 1 a n d

M A P P I N G S O F T H E U P P E R H A L F P L A N E 3 1 3

w

a

z + ( b / a )

= -

c

z + ( d / c )

b

d

0 0 ,

c

F I G U R E 1 0 8

i , Z - Z p

w = e

T

( I M z 0 > 0 ) .

Z - z o

3 1 4


C H A P . 8

a c c o r d i n g t o r e l a t i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) , e q u a t i o n ( 4 ) c a n b e p u t i n t h e f o r m

( 5 )

; a Z - z o

Z - Z 1

( 1 z 1 1 = I z o l A O ) ,

w h e r e a i s a r e a l c o n s t a n t a n d z o a n d z 1 a r e ( n o n z e r o ) c o m p l e x c o n s t a n t s .

N e x t , w e i m p o s e o n t r a n s f o r m a t i o n ( 5 ) t h e c o n d i t i o n t h a t I w I = 1 w h e n z =

T h i s t e l l s u s t h a t

o r

B u t z i z l = z o z o s i n c e

( I - z 1 ) ( 1 - T O = 0 - z o ) ( 1 -

.

z 1 1 = I z o I , a n d t h e a b o v e r e l a t i o n r e d u c e s t o

z 1 + Z 1 = z o + z o ;

t h a t i s , R e z i = R e z o . I t f o l l o w s t h a t e i t h e r

z 1 = z o

o r

a g a i n s i n c e I z i l

= I z o l I f z 1 = z o , t r a n s f o r m a t i o n ( 5 ) b e c o m e s t h e c o n s t a n t f u n c t i o n

w = e x p ( i a ) ; h e n c e z 1 = T o .

T r a n s f o r m a t i o n ( 5 ) , w i t h z i = z a , m a p s t h e p o i n t z o o n t o t h e o r i g i n w = 0 ;

a n d , s i n c e p o i n t s i n t e r i o r t o t h e c i r c l e

I w I = 1 a r e t o b e t h e i m a g e s o f p o i n t s a b o v e

t h e r e a l a x i s i n t h e z p l a n e , w e m a y c o n c l u d e t h a t I m z 0 > 0 . A n y l i n e a r f r a c t i o n a l

t r a n s f o r m a t i o n h a v i n g t h e m a p p i n g p r o p e r t y s t a t e d i n t h e f i r s t p a r a g r a p h o f t h i s s e c t i o n

m u s t , t h e r e f o r e , b e o f t h e f o r m

( 6 )

j a z - z o

z - z { 1

Z O > 0

w h e r e a i s r e a l .

I t r e m a i n s t o s h o w t h a t , c o n v e r s e l y , a n y l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n o f t h e

f o r m ( 6 ) h a s t h e d e s i r e d m a p p i n g p r o p e r t y . T h i s i s e a s i l y d o n e b y t a k i n g a b s o l u t e

v a l u e s o f e a c h s i d e o f e q u a t i o n ( 6 ) a n d i n t e r p r e t i n g t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n ,

Z - Z O

Z - Z O

g e o m e t r i c a l l y . I f a p o i n t z l i e s a b o v e t h e r e a l a x i s , b o t h i t a n d t h e p o i n t z 0 l i e o n t h e

s a m e s i d e o f t h a t a x i s , w h i c h i s t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g

z 0 a n d z 0 . I t f o l l o w s t h a t t h e d i s t a n c e I z - z o l i s l e s s t h a n t h e d i s t a n c e I z - z o l ( F i g .

1 0 8 ) ; t h a t i s , I w l < 1 . L i k e w i s e , i f z l i e s b e l o w t h e r e a l a x i s , t h e d i s t a n c e I z

- z o l

i s g r e a t e r t h a n t h e d i s t a n c e I z - T o 1 ; a n d s o I w I > 1 . F i n a l l y , i f z i s o n t h e r e a l a x i s ,

I w I = 1 b e c a u s e t h e n I z - z o I = I z - z o 1 . S i n c e a n y l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n i s

a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e e x t e n d e d z p l a n e o n t o t h e e x t e n d e d w p l a n e , t h i s s h o w s

S E C . 8 8

M A P P I N G S O F T H E U P P E R H A L F P L A N E 3 1 5

t h a t t r a n s f o r m a t i o n ( 6 ) m a p s t h e h a l f p l a n e I m z > 0 o n t o t h e d i s k I w I < 1 a n d t h e

b o u n d a r y o f t h e h a l f p l a n e o n t o t h e b o u n d a r y o f t h e d i s k .

O u r f i r s t e x a m p l e h e r e i l l u s t r a t e s t h e u s e o f t h e r e s u l t i n i t a l i c s j u s t a b o v e .

E X A M P L E 1 . T h e t r a n s f o r m a t i o n

( 7 )

i - z

+ z

w =

i n E x a m p l e s 1 i n S e c s . 8 6 a n d 8 7 c a n b e w r i t t e n

H e n c e i t h a s t h e m a p p i n g p r o p e r t y d e s c r i b e d i n i t a l i c s . ( S e e a l s o F i g . 1 3 i n A p p e n d i x

2 , w h e r e c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y p o i n t s a r e i n d i c a t e d . )

I m a g e s o f t h e u p p e r h a l f p l a n e I m z > 0 u n d e r o t h e r t y p e s o f l i n e a r f r a c t i o n a l

t r a n s f o r m a t i o n s a r e o f t e n f a i r l y e a s y t o d e t e r m i n e b y e x a m i n i n g t h e p a r t i c u l a r t r a n s -

f o r m a t i o n i n q u e s t i o n .

E X A M P L E 2 .

B y w r i t i n g z = x + i y a n d w = u + i v , w e c a n r e a d i l y s h o w t h a t t h e

t r a n s f o r m a t i o n

( 8 )

z - 1

z + 1

m a p s t h e h a l f p l a n e y > 0 o n t o t h e h a l f p l a n e v > 0 a n d t h e x a x i s o n t o t h e u a x i s . W e

f i r s t n o t e t h a t w h e n t h e n u m b e r z i s r e a l , s o i s t h e n u m b e r w . C o n s e q u e n t l y , s i n c e t h e

i m a g e o f t h e r e a l a x i s y = 0 i s e i t h e r a c i r c l e o r a l i n e , i t m u s t b e t h e r e a l a x i s v = 0 .

F u r t h e r m o r e , f o r a n y p o i n t w i n t h e f i n i t e w p l a n e ,

( z - - 1 ) ( z + 1 )

2 y

z + 1 ) ( z + 1 )

I z + 1 1 2

( z

-

T h e n u m b e r s y a n d v t h u s h a v e t h e s a m e s i g n , a n d t h i s m e a n s t h a t p o i n t s a b o v e t h e

x a x i s c o r r e s p o n d t o p o i n t s a b o v e t h e u a x i s a n d p o i n t s b e l o w t h e x a x i s c o r r e s p o n d

t o p o i n t s b e l o w t h e u a x i s . F i n a l l y , s i n c e p o i n t s o n t h e x a x i s c o r r e s p o n d t o p o i n t s

o n t h e u a x i s a n d s i n c e a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n i s a o n e t o o n e m a p p i n g o f

t h e e x t e n d e d p l a n e o n t o t h e e x t e n d e d p l a n e ( S e c . 8 6 ) , t h e s t a t e d m a p p i n g p r o p e r t y o f

t r a n s f o r m a t i o n ( 8 ) i s e s t a b l i s h e d .

O u r f i n a l e x a m p l e i n v o l v e s a c o m p o s i t e f u n c t i o n a n d u s e s t h e m a p p i n g d i s c u s s e d

i n E x a m p l e 2 .

E X A M P L E 3 . T h e t r a n s f o r m a t i o n

( 9 )

w = L o g

C H A P . 8

w h e r e t h e p r i n c i p a l b r a n c h o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n i s u s e d , i s a c o m p o s i t i o n o f t h e

f u n c t i o n s

( 1 0 )

Z =

z

- 1

a n d w = L o g Z .

z + l

W e k n o w f r o m E x a m p l e 2 t h a t t h e f i r s t o f t r a n s f o r m a t i o n s ( 1 0 ) m a p s t h e u p p e r

h a l f p l a n e y > 0 o n t o t h e u p p e r h a l f p l a n e Y > 0 , w h e r e z

= x + i y a n d Z = X + i Y .

F u r t h e r m o r e , i t i s e a s y t o s e e f r o m F i g . 1 0 9 t h a t t h e s e c o n d o f t r a n s f o r m a t i o n s ( 1 0 )

m a p s t h e h a l f p l a n e Y > 0 o n t o t h e s t r i p 0 < v < 7 r , w h e r e w = u + i v . M o r e p r e c i s e l y ,

b y w r i t i n g Z = R e x p ( i 0 ) a n d

L o g Z = i n R + i O

( R > 0 , - 1 r < 0 < 7 r ) ,

w e s e e t h a t a s a p o i n t Z = R e x p ( i O 0 ) ( 0 < O 0 < i r ) m o v e s o u t w a r d f r o m t h e o r i g i n

a l o n g t h e r a y 0 = O 0 , i t s i m a g e i s t h e p o i n t w h o s e r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s i n t h e w

p l a n e a r e ( I n R , O 0 ) . T h a t i m a g e e v i d e n t l y m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g t h e e n t i r e l e n g t h

o f t h e h o r i z o n t a l l i n e v = 0 0 . S i n c e t h e s e l i n e s f i l l t h e s t r i p 0 < v 0 o n t o t h e

s t r i p i s , i n f a c t , o n e t o o n e .

T h i s s h o w s t h a t t h e c o m p o s i t i o n ( 9 ) o f t h e m a p p i n g s ( 1 0 ) t r a n s f o r m s t h e p l a n e

y > 0 o n t o t h e s t r i p 0 < v < 7 r . C o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y p o i n t s a r e s h o w n i n F i g . 1 9

o f A p p e n d i x 2 .

V

0

F I G U R E 1 0 9

w = L o g z .

E X E R C I S E S

c

1 . R e c a l l f r o m E x a m p l e 1 i n S e c . 8 8 t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

I r a

0

m a p s t h e h a l f p l a n e I m z > 0 o n t o t h e d i s k I w I < 1 a n d t h e b o u n d a r y o f t h e h a l f p l a n e

o n t o t h e b o u n d a r y o f t h e d i s k . S h o w t h a t a p o i n t z = x i s m a p p e d o n t o t h e p o i n t

1 - x 2 .

2 x

w - 1 + x 2 + I 1 + x 2 ,

S E C . 8 8

E X E R C I S E S 3 1 7

a n d t h e n c o m p l e t e t h e v e r i f i c a t i o n o f t h e m a p p i n g i l l u s t r a t e d i n F i g . 1 3 , A p p e n d i x 2 , b y

s h o w i n g t h a t s e g m e n t s o f t h e x a x i s a r e m a p p e d a s i n d i c a t e d t h e r e .

2 . V e r i f y t h e m a p p i n g s h o w n i n F i g . 1 2 , A p p e n d i x 2 , w h e r e

I V =

z - 1

z + 1

S u g g e s t i o n : W r i t e t h e g i v e n t r a n s f o r m a t i o n a s a c o m p o s i t i o n o f t h e m a p p i n g s

- Z

Z = i z , W =

, w =

+ Z

T h e n r e f e r t o t h e m a p p i n g w h o s e v e r i f i c a t i o n w a s c o m p l e t e d i n E x e r c i s e 1 .

3 . ( a ) B y f i n d i n g t h e i n v e r s e o f t h e t r a n s f o r m a t i o n

a n d a p p e a l i n g t o F i g . 1 3 , A p p e n d i x 2 , w h o s e v e r i f i c a t i o n w a s c o m p l e t e d i n E x e r -

c i s e 1 , s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

. 1 - z

+ z

m a p s t h e d i s k I z I 0 .

( b ) S h o w t h a t t h e l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n

z - 2

z


Z = z - 1 ,

W = i _

w = i W .

+ Z

T h e n , w i t h t h e a i d o f t h e r e s u l t i n p a r t ( a ) , v e r i f y t h a t i t m a p s t h e d i s k J z -

o n t o t h e l e f t h a l f p l a n e R e w < 0 .

4 . T r a n s f o r m a t i o n ( 6 ) , S e c . 8 8 , m a p s t h e p o i n t z = o o o n t o t h e p o i n t w = e x p ( i a ) , w h i c h

l i e s o n t h e b o u n d a r y o f t h e d i s k J w I c 1 . S h o w t h a t i f 0 < a < 2 n a n d t h e p o i n t s z = 0

a n d z = 1 a r e t o b e m a p p e d o n t o t h e p o i n t s w = 1 a n d w = e x p ( i a / 2 ) , r e s p e c t i v e l y , t h e n

t h e t r a n s f o r m a t i o n c a n b e w r i t t e n

z + e x p ( - i a / 2

z + e x p ( i a / 2 )

5 . N o t e t h a t w h e n a = 7 r / 2 , t h e t r a n s f o r m a t i o n i n E x e r c i s e 4 b e c o m e s

i z + e x p ( i 7 r / 4 )

z + e x p ( i n / 4 )

V e r i f y t h a t t h i s s p e c i a l c a s e m a p s p o i n t s o n t h e x a x i s a s i n d i c a t e d i n F i g . 1 1 0 .

3 1 8


y

A

C D

F I G U R E 1 1 0

i z + e x p ( i r r / 4 )

w =

z + e x p ( i i r / 4 )

C H A P . 8

6 . S h o w t h a t i f I m z O < 0 , t r a n s f o r m a t i o n ( 6 ) , S e c . 8 8 , m a p s t h e l o w e r h a l f p l a n e I m z < 0

o n t o t h e u n i t d i s k I w I < 1 .

7 . T h e e q u a t i o n w = l o g ( z - 1 ) c a n b e w r i t t e n

Z = z - 1 ,

l o g Z .

F i n d a b r a n c h o f l o g Z s u c h t h a t t h e c u t z p l a n e c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s e x c e p t t h o s e o n

t h e s e g m e n t x > I o f t h e r e a l a x i s i s m a p p e d b y w = l o g ( z - 1 ) o n t o t h e s t r i p 0 < v < 2 , 7

i n t h e w p l a n e .

8 9 . T H E T R A N S F O R M A T I O N w = s i n z

S i n c e ( S e c . 3 3 )

s i n z - s i n x c o s h y + i c o s x s i n h y ,

t h e t r a n s f o r m a t i o n w = s i n z c a n b e w r i t t e n

( 1 )

u = s i n x c o s h y ,

v = c o s x s i n h y .

O n e m e t h o d t h a t i s o f t e n u s e f u l i n f i n d i n g i m a g e s o f r e g i o n s u n d e r t h i s t r a n s f o r -

m a t i o n i s t o e x a m i n e i m a g e s o f v e r t i c a l l i n e s x = c l . I f 0 < c l < i r / 2 , p o i n t s o n t h e

l i n e x = c 1 a r e t r a n s f o r m e d i n t o p o i n t s o n t h e c u r v e

( 2 )

u = s i n c l c o s h y ,

v = C o s c i s i n h y

( - c o < y < a o ) ,

w h i c h i s t h e r i g h t - h a n d b r a n c h o f t h e h y p e r b o l a

( 3 )

w i t h f o c i a t t h e p o i n t s

u 2

V 2

s i n g c i

e o s 2 c i

n 2 C I + C O S 2 C j = ± 1 .

T h e s e c o n d o f e q u a t i o n s ( 2 ) s h o w s t h a t a s a p o i n t ( c 1 , y ) m o v e s u p w a r d a l o n g t h e e n t i r e

l e n g t h o f t h e l i n e , i t s i m a g e m o v e s u p w a r d a l o n g t h e e n t i r e l e n g t h o f t h e h y p e r b o l a ' s

b r a n c h . S u c h a l i n e a n d i t s i m a g e a r e s h o w n i n F i g . 1 1 1 , w h e r e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s

a r e l a b e l e d . N o t e t h a t , i n p a r t i c u l a r , t h e r e i s a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e t o p h a l f ( y > 0 )

o f t h e l i n e o n t o t h e t o p h a l f ( v > 0 ) o f t h e h y p e r b o l a ' s b r a n c h . I f - i r / 2 < c 1 < 0 , t h e

S E C . 8 9

Y

E

0

D

B

A

x

F I G U R E 1 1 1

w = S i n z .

l i n e x = c 1 i s m a p p e d o n t o t h e l e f t - h a n d b r a n c h o f t h e s a m e h y p e r b o l a . A s b e f o r e ,

c o r r e s p o n d i n g p o i n t s a r e i n d i c a t e d i n F i g . 1 1 1 .

T h e l i n e x = 0 , o r t h e y a x i s , n e e d s t o b e c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y . A c c o r d i n g t o

e q u a t i o n s ( 1 ) , t h e i m a g e o f e a c h p o i n t ( 0 , y ) i s ( 0 , s i n h y ) . H e n c e t h e y a x i s i s m a p p e d

o n t o t h e v a x i s i n a o n e t o o n e m a n n e r , t h e p o s i t i v e y a x i s c o r r e s p o n d i n g t o t h e p o s i t i v e

v a x i s .

W e n o w i l l u s t r a t e h o w t h e s e o b s e r v a t i o n s c a n b e u s e d t o e s t a b l i s h t h e i m a g e s o f

c e r t a i n r e g i o n s .

E X A M P L E 1 .

H e r e w e s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = s i n z i s a o n e t o o n e

m a p p i n g o f t h e s e m i - i n f i n i t e s t r i p - 7 r / 2 < x < 7 r / 2 , y > 0 i n t h e z p l a n e o n t o t h e

u p p e r h a l f v > 0 o f t h e w p l a n e .

T o d o t h i s , w e f i r s t s h o w t h a t t h e b o u n d a r y o f t h e s t r i p i s m a p p e d i n a o n e t o o n e

m a n n e r o n t o t h e r e a l a x i s i n t h e w p l a n e , a s i n d i c a t e d i n F i g . 1 1 2 . T h e i m a g e o f t h e

l i n e s e g m e n t B A t h e r e i s f o u n d b y w r i t i n g x = 7 / 2 i n e q u a t i o n s ( 1 ) a n d r e s t r i c t i n g y

t o b e n o n n e g a t i v e . S i n c e u = c o s h y a n d v = 0 w h e n x = r r / 2 , a t y p i c a l p o i n t ( 3 r / 2 , y )

o n B A i s m a p p e d o n t o t h e p o i n t ( c o s h y , 0 ) i n t h e w p l a n e ; a n d t h a t i m a g e m u s t m o v e

t o t h e r i g h t f r o m B ' a l o n g t h e u a x i s a s ( r / 2 , y ) m o v e s u p w a r d f r o m B . A p o i n t ( x , 0 )

o n t h e h o r i z o n t a l s e g m e n t D B h a s i m a g e ( s i n x , 0 ) , w h i c h m o v e s t o t h e r i g h t f r o m

D ' t o B ' a s x i n c r e a s e s f r o m x = - 7 r / 2 t o x = r / 2 , o r a s ( x , 0 ) g o e s f r o m D t o B .

F i n a l l y , a s a p o i n t ( - 7 r / 2 , y ) o n t h e l i n e s e g m e n t D E m o v e s u p w a r d f r o m D , i t s i m a g e

( - c o s h y , 0 ) m o v e s t o t h e l e f t f r o m D .

N o w e a c h p o i n t i n t h e i n t e r i o r - 7 r / 2 < x < n / 2 , y > 0 o f t h e s t r i p l i e s o n

o n e o f t h e v e r t i c a l h a l f l i n e s x = c l , y > 0 ( - 7 r / 2 < c l < 7 r / 2 ) t h a t a r e s h o w n i n

M

C

0

2

L

x

T H E T R A N S F O R M A T I O N w = s i n z 3 1 9

F I G U R E 1 1 2

w = s i n z .

3 2 0


C H A P . 8

F i g . 1 1 2 . A l s o , i t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t t h e i m a g e s o f t h o s e h a l f l i n e s a r e d i s t i n c t

a n d c o n s t i t u t e t h e e n t i r e h a l f p l a n e v > 0 . M o r e p r e c i s e l y , i f t h e u p p e r h a l f L o f a l i n e

x = c I ( 0 < c I < 7 r / 2 ) i s t h o u g h t o f a s m o v i n g t o t h e l e f t t o w a r d t h e p o s i t i v e y a x i s ,

t h e r i g h t - h a n d b r a n c h o f t h e h y p e r b o l a c o n t a i n i n g i t s i m a g e L ' i s o p e n i n g

u p w i d e r

a n d i t s v e r t e x ( s i n c I , 0 ) i s t e n d i n g t o w a r d t h e o r i g i n w = 0 . H e n c e L ' t e n d s t o b e c o m e

t h e p o s i t i v e v a x i s , w h i c h w e s a w j u s t p r i o r t o t h i s e x a m p l e i s t h e i m a g e o f t h e p o s i t i v e

y a x i s . O n t h e o t h e r h a n d , a s L a p p r o a c h e s t h e s e g m e n t B A o f t h e b o u n d a r y o f t h e

s t r i p , t h e b r a n c h o f t h e h y p e r b o l a c l o s e s d o w n a r o u n d t h e s e g m e n t B ' A ' o f t h e u a x i s

a n d i t s v e r t e x ( s i n c I , 0 ) t e n d s t o w a r d t h e p o i n t w = 1 . S i m i l a r s t a t e m e n t s c a n b e m a d e

r e g a r d i n g t h e h a l f l i n e M a n d i t s i m a g e M ' i n F i g . 1 1 2 . W e m a y c o n c l u d e t h a t t h e

i m a g e o f e a c h p o i n t i n t h e i n t e r i o r o f t h e s t r i p l i e s i n t h e u p p e r h a l f p l a n e v > 0 a n d ,

f u r t h e r m o r e , t h a t e a c h p o i n t i n t h e h a l f p l a n e i s t h e i m a g e o f e x a c t l y o n e p o i n t i n t h e

i n t e r i o r o f t h e s t r i p .

T h i s c o m p l e t e s o u r d e m o n s t r a t i o n t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w

= s i n z i s a o n e t o

o n e m a p p i n g o f t h e s t r i p - 7 r / 2 < x < r / 2 , y > 0 o n t o t h e h a l f p l a n e v > 0 . T h e f i n a l

r e s u l t i s s h o w n i n F i g . 9 , A p p e n d i x 2 . T h e r i g h t - h a n d h a l f o f t h e s t r i p i s e v i d e n t l y

m a p p e d o n t o t h e f i r s t q u a d r a n t o f t h e w p l a n e , a s s h o w n i n F i g . 1 0 , A p p e n d i x 2 .

A n o t h e r c o n v e n i e n t w a y t o f i n d t h e i m a g e s o f c e r t a i n r e g i o n s w h e n w

= s i n z

o c o n s i d e r t h e i m a g e s o f h o r i z o n t a l l i n e s e g m e n t s y = c 2 ( - 7 t < x 0 . A c c o r d i n g t o e q u a t i o n s ( 1 ) , t h e i m a g e o f s u c h a l i n e s e g m e n t i s t h e c u r v e w i t h

p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

( 4 )

u = s i n x c o s h c 2 ,

v = c o s x s i n h c 2

( - 3 r < x < n ) .

T h a t c u r v e i s r e a d i l y s e e n t o b e t h e e l l i p s e

u 2

2

=

1 ,

( 5 ) 2

+

o s h

s i n h

2

w h o s e f o c i l i e a t t h e p o i n t s

w = ± \ c o s h 2 c 2 - s i n h 2 c 2 = + 1 .

T h e i m a g e o f a p o i n t ( x , c 2 ) m o v i n g t o t h e r i g h t f r o m p o i n t A t o p o i n t E i n F i g . 1 1 3

m a k e s o n e c i r c u i t a r o u n d t h e e l l i p s e i n t h e c l o c k w i s e d i r e c t i o n . N o t e t h a t w h e n s m a l l e r

v a l u e s o f t h e p o s i t i v e n u m b e r c 2 a r e t a k e n , t h e e l l i p s e b e c o m e s s m a l l e r b u t r e t a i n s t h e

s a m e f o c i ( ± 1 , 0 ) . I n t h e l i m i t i n g c a s e c 2 = 0 , e q u a t i o n s ( 4 ) b e c o m e

u = s i n x ,

v = 0

( - 3 r < x < l r ) ;

a n d w e f i n d t h a t t h e i n t e r v a l - 7 r < x

i t o f t h e x a x i s i s m a p p e d o n t o t h e i n t e r v a l

o f t h e u a x i s . T h e m a p p i n g i s n o t , h o w e v e r , o n e t o o n e , a s i t i s w h e n

C 2 > 0 ,

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e r e l i e s o n t h e s e r e m a r k s .

S E C . 8 9

T H E T R A N S F O R M A T I O N W = s i n z

3 2 1

A

C

2

F I G U R E 1 1 3

w = s i n Z .

C D E

Y = C 2 > 0

E X A M P L E 2 .

T h e r e c t a n g u l a r r e g i o n - i r / 2 < x < r / 2 , 0 < y < b i s m a p p e d b y

w = s i n z i n a o n e t o o n e m a n n e r o n t o t h e s e m i - e l l i p t i c a l r e g i o n s h o w n i n F i g . 1 1 4 ,

w h e r e c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y p o i n t s a r e a l s o i n d i c a t e d . F o r i f L i s a l i n e s e g m e n t

y = c 2 ( - i r / 2 < x < r / 2 ) , w h e r e 0 < c 2 < b , i t s i m a g e L ` i s t h e t o p h a l f o f t h e e l l i p s e

( 5 ) . A s c 2 d e c r e a s e s , L m o v e s d o w n w a r d t o w a r d t h e x a x i s a n d t h e s e m i - e l l i p s e L '

a l s o m o v e s d o w n w a r d a n d t e n d s t o b e c o m e t h e l i n e s e g m e n t E ' F ' A ' f r o m w = - 1 t o

w = 1 . I n f a c t , w h e n e 2 = 0 , e q u a t i o n s ( 4 ) b e c o m e

u = s i n x ,

v = 0

a n d t h i s i s c l e a r l y a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e s e g m e n t E F A o n t o E ' F ' A ' . I n a s m u c h

a s a n y p o i n t i n t h e s e m i - e l l i p t i c a l r e g i o n i n t h e w p l a n e l i e s o n o n e a n d o n l y o n e o f

t h e s e m i - e l l i p s e s , o r o n t h e l i m i t i n g c a s e E ' F ' A ' , t h a t p o i n t i s t h e i m a g e o f e x a c t l y

o n e p o i n t i n t h e r e c t a n g u l a r r e g i o n i n t h e z p l a n e . T h e d e s i r e d m a p p i n g , w h i c h i s a l s o

s h o w n i n F i g . I 1 o f A p p e n d i x 2 , i s n o w e s t a b l i s h e d .

F I G U R E 1 1 4

w = s i n z .

M a p p i n g s b y v a r i o u s o t h e r f u n c t i o n s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e s i n e f u n c t i o n a r e e a s i l y

o b t a i n e d o n c e m a p p i n g s b y t h e s i n e f u n c t i o n a r e k n o w n .

3 2 2


E X A M P L E 3 .

W e n e e d o n l y r e c a l l t h e i d e n t i t y ( S e c . 3 3 )

c o s z = s i n

t o s e e t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = c o s z c a n b e w r i t t e n s u c c e s s i v e l y a s

C H A P . 8

H e n c e t h e c o s i n e t r a n s f o r m a t i o n i s t h e s a m e a s t h e s i n e t r a n s f o r m a t i o n p r e c e d e d b y

a

t r a n s l a t i o n t o t h e r i g h t t h r o u g h 7 r / 2 u n i t s .

E X A M P L E 4 .

A c c o r d i n g t o S e c . 3 4 , t h e t r a n s f o r m a t i o n w = s i n h

z c a n b e w r i t t e n

w = - i s i n ( i z ) , o r

Z = i z ,

W = s i n Z ,

w - - -

I t i s , t h e r e f o r e , a c o m b i n a t i o n o f t h e s i n e t r a n s f o r m a t i o n a n d r o t a t i o n s t h r o u g h r i g h t

a n g l e s . T h e t r a n s f o r m a t i o n w = c o s h

z i s , l i k e w i s e , e s s e n t i a l l y a c o s i n e t r a n s f o r m a t i o n

s i n c e c o s h z = c o s ( i z ) .

E X E R C I S E S

1 . S h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = s i n z m a p s t h e t o p h a l f ( y > 0 ) o f t h e v e r t i c a l l i n e

x = C l ( - 7 r / 2 < c t < 0 ) i n a o n e t o o n e m a n n e r o n t o t h e t o p h a l f ( v > 0 ) o f t h e l e f t - h a n d

b r a n c h o f h y p e r b o l a ( 3 ) , S e c . 8 9 , a s i n d i c a t e d i n F i g . 1 1 2 o f t h a t s e c t i o n .

2 . S h o w t h a t u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w

= s i n z , a l i n e x = c l ( 7 r / 2 < c I < r r ) i s m a p p e d

o n t o t h e r i g h t - h a n d b r a n c h o f h y p e r b o l a ( 3 ) , S e c . 8 9 . N o t e t h a t t h e m a p p i n g i s o n e t o

o n e a n d t h a t t h e u p p e r a n d l o w e r h a l v e s o f t h e l i n e a r e m a p p e d o n t o t h e l o w e r a n d u p p e r

h a l v e s , r e s p e c t i v e l y , o f t h e b r a n c h .

3 . V e r t i c a l h a l f l i n e s w e r e u s e d i n E x a m p l e 1 , S e c . 8 9 , t o s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

w = s i n z i s a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e o p e n r e g i o n - 7 r / 2 < x < 7 r / 2 , y > 0 o n t o

t h e h a l f p l a n e v > 0 . V e r i f y t h a t r e s u l t b y u s i n g , i n s t e a d , t h e h o r i z o n t a l l i n e s e g m e n t s

y = c 2 ( - 7 r / 2 < x 0 .

4 . ( a ) S h o w t h a t u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = s i n z , t h e i m a g e s o f t h e l i n e s e g m e n t s

f o r m i n g t h e b o u n d a r y o f t h e r e c t a n g u l a r r e g i o n 0 < x < 7 r / 2 , 0 < y < 1 a r e t h e l i n e

s e g m e n t s a n d t h e a r c D ' E ' i n d i c a t e d i n F i g . 1 1 5 . T h e a r c D ' E ' i s a q u a r t e r o f t h e

e l l i p s e

U 2

V 2

c o s h 2 1

s i n h 2 1

( b ) C o m p l e t e t h e m a p p i n g i n d i c a t e d i n F i g . 1 1 5 b y u s i n g i m a g e s o f h o r i z o n t a l l i n e

s e g m e n t s t o p r o v e t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = s i n z e s t a b l i s h e s a o n e t o o n e c o r -

r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e i n t e r i o r p o i n t s o f t h e r e g i o n s A B D E a n d A ' B ' D ' E ' .

S E C . 8 9

F I G U R E 1 1 5

w = s i n Z .

E X E R C I S E S

3 2 3

5 . V e r i f y t h a t t h e i n t e r i o r o f a r e c t a n g u l a r r e g i o n - r r < x < r , a < y < b l y i n g a b o v e t h e x

a x i s i s m a p p e d b y w = s i n z o n t o t h e i n t e r i o r o f a n e l l i p t i c a l r i n g w h i c h h a s a c u t a l o n g

t h e s e g m e n t - s i n h b < v < - - s i n h a o f t h e n e g a t i v e r e a l a x i s , a s i n d i c a t e d i n F i g . 1 1 6 .

N o t e t h a t , w h i l e t h e m a p p i n g o f t h e i n t e r i o r o f t h e r e c t a n g u l a r r e g i o n i s o n e t o o n e , t h e

m a p p i n g o f i t s b o u n d a r y i s n o t .

F I G U R E 1 1 6

w = s i n z .

6 . ( a ) S h o w t h a t t h e e q u a t i o n w = c o s h z c a n b e w r i t t e n

Z = i z + , w = s i n Z .

2

( b ) U s e t h e r e s u l t i n p a r t ( a ) , t o g e t h e r w i t h t h e m a p p i n g b y s i n z s h o w n i n F i g . 1 0 ,

A p p e n d i x 2 , t o v e r i f y t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = c o s h z m a p s t h e s e m i - i n f i n i t e

s t r i p x > 0 , 0 < y < 7 r / 2 i n t h e z p l a n e o n t o t h e f i r s t q u a d r a n t a > 0 , v ? 0 o f t h e

w

p l a n e . I n d i c a t e c o r r e s p o n d i n g p a r t s o f t h e b o u n d a r i e s o f t h e t w o r e g i o n s .

7 . O b s e r v e t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = c o s h z c a n b e e x p r e s s e d a s a c o m p o s i t i o n o f t h e

m a p p i n g s

Z = e z , W = Z +

I

2

T h e n , b y r e f e r r i n g t o F i g s . 7 a n d 1 6 i n A p p e n d i x 2 , s h o w t h a t w h e n w = c o s h z , t h e s e m i -

i n f i n i t e s t r i p x < 0 , 0 < y < 7 r i n t h e z p l a n e i s m a p p e d o n t o t h e l o w e r h a l f v < 0 o f t h e

w p l a n e . I n d i c a t e c o r r e s p o n d i n g p a r t s o f t h e b o u n d a r i e s .

8 . ( a ) V e r i f y t h a t t h e e q u a t i o n w = s i n z c a n b e w r i t t e n

3 2 4


C H A P . 8

( b ) U s e t h e r e s u l t i n p a r t ( a ) h e r e a n d t h e o n e i n E x e r c i s e 7 t o s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

w = s i n z m a p s t h e s e m i - i n f i n i t e s t r i p - 7 r / 2 < x < 7 r / 2 , y > 0 o n t o t h e h a l f p l a n e

v > 0 , a s s h o w n i n F i g . 9 , A p p e n d i x 2 . ( T h i s m a p p i n g w a s v e r i f i e d i n a d i f f e r e n t w a y

i n E x a m p l e 1 , S e c . 8 9 . )

9 0 . M A P P I N G S B Y z 2 A N D B R A N C H E S O F z 1 / 2

I n C h a p 2 ( S e c . 1 2 ) , w e c o n s i d e r e d s o m e f a i r l y s i m p l e m a p p i n g s u n d e r t h e t r a n s f o r -

m a t i o n w = z 2 , w r i t t e n i n t h e f o r m

( 1 )

v = 2 x y .

W e t u r n n o w t o a l e s s e l e m e n t a r y e x a m p l e a n d t h e n e x a m i n e r e l a t e d m a p p i n g s w =

w h e r e s p e c i f i c b r a n c h e s o f t h e s q u a r e r o o t f u n c t i o n a r e t a k e n .

E X A M P L E 1 .

L e t u s u s e e q u a t i o n s ( 1 ) t o s h o w t h a t t h e i m a g e o f t h e v e r t i c a l s t r i p

0 < x < 1 , y > 0 , s h o w n i n F i g . 1 1 7 , i s t h e c l o s e d s e m i p a r a b o l i c r e g i o n i n d i c a t e d t h e r e .

W h e n 0 < x 1 < 1 , t h e p o i n t ( x 1 = y ) m o v e s u p a v e r t i c a l h a l f l i n e , l a b e l e d L 1 i n F i g .

1 1 7 , a s y i n c r e a s e s f r o m y = 0 . T h e i m a g e t r a c e d o u t i n t h e u v p l a n e h a s , a c c o r d i n g

t o e q u a t i o n s ( 1 ) , t h e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

( 2 )

u = x i - y 2 ,

v = 2 x 1 y

( 0 < y < o o ) .

U s i n g t h e s e c o n d o f t h e s e e q u a t i o n s t o s u b s t i t u t e f o r y i n t h e f i r s t o n e , w e s e e t h a t t h e

i m a g e p o i n t s ( u , v ) m u s t l i e o n t h e p a r a b o l a

( 3 )

v 2

= - 4 x i ( u - x i ) ,

w i t h v e r t e x a t ( X 2 , 0 ) a n d f o c u s a t t h e o r i g i n . S i n c e v i n c r e a s e s w i t h y f r o m v = 0 ,

a c c o r d i n g t o t h e s e c o n d o f e q u a t i o n s ( 2 ) , w e a l s o s e e t h a t a s t h e p o i n t ( x 1 , y ) m o v e s

u p L 1 f r o m t h e x a x i s , i t s i m a g e m o v e s u p t h e t o p h a l f L 1 o f t h e p a r a b o l a f r o m t h e

u a x i s . F u r t h e r m o r e , w h e n a n u m b e r x 2 l a r g e r t h a n x 1 , b u t l e s s t h a n 1 , i s t a k e n , t h e

c o r r e s p o n d i n g h a l f l i n e L 2 h a s a n i m a g e L ' t h a t i s a h a l f p a r a b o l a t o t h e r i g h t o f L 1 , a s

y

A

B

1

F I G U R E 1 1 7

w = z 2 .

S E C . 9 0

M A P P I N G S B Y Z Z A N D B R A N C H E S O F Z I / 2 3 2 5

i n d i c a t e d i n F i g . 1 1 7 . W e n o t e , i n f a c t , t h a t t h e i m a g e o f t h e h a l f l i n e B A i n t h a t f i g u r e

i s t h e t o p h a l f o f t h e p a r a b o l a v 2 = - 4 ( u - 1 ) , l a b e l e d B ' A ' .

T h e i m a g e o f t h e h a l f l i n e C D i s f o u n d b y o b s e r v i n g f r o m e q u a t i o n s ( 1 ) t h a t a

t y p i c a l p o i n t ( 0 , y ) , w h e r e y > 0 , o n C D i s t r a n s f o r m e d i n t o t h e p o i n t ( - y 2 , 0 ) i n t h e

u v p l a n e . S o , a s a p o i n t m o v e s u p f r o m t h e o r i g i n a l o n g C D , i t s i m a g e m o v e s l e f t f r o m

t h e o r i g i n a l o n g t h e u a x i s . E v i d e n t l y , t h e n , a s t h e v e r t i c a l h a l f l i n e s i n t h e x y p l a n e

m o v e t o t h e l e f t , t h e h a l f p a r a b o l a s t h a t a r e t h e i r i m a g e s i n t h e u v p l a n e s h r i n k d o w n

t o b e c o m e t h e h a l f l i n e C ' D ' .

I t i s n o w c l e a r t h a t t h e i m a g e s o f a l l t h e h a l f l i n e s b e t w e e n a n d i n c l u d i n g C D a n d

B A f i l l u p t h e c l o s e d s e m i p a r a b o l i c r e g i o n b o u n d e d b y A ' B ' C ' D ' . A l s o , e a c h p o i n t i n

t h a t r e g i o n i s t h e i m a g e o f o n l y o n e p o i n t i n t h e c l o s e d s t r i p b o u n d e d b y A B C D . H e n c e

w e m a y c o n c l u d e t h a t t h e s e m i p a r a b o l i c r e g i o n i s t h e i m a g e o f t h e s t r i p a n d t h a t t h e r e

i s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n p o i n t s i n t h o s e c l o s e d r e g i o n s . ( C o m p a r e F i g .

3 i n A p p e n d i x 2 , w h e r e t h e s t r i p h a s a r b i t r a r y w i d t h . )

A s f o r m a p p i n g s b y b r a n c h e s o f z 1 1 2 , w e r e c a l l f r o m S e c . 8 t h a t t h e v a l u e s o f

z 1 1 2

a r e t h e t w o s q u a r e r o o t s o f z w h e n z A 0 . A c c o r d i n g t o t h a t s e c t i o n , i f p o l a r c o o r d i n a t e s

a r e u s e d a n d

z = r e x p ( i ® ) )

t h e n

( 4 )

z 1 / 2

= l r - e X p i ( C )

- I - 2 k 7 r )

( k = 0 ,

1 ) ,

2

t h e p r i n c i p a l r o o t o c c u r r i n g w h e n k = 0 . I n S e c . 3 1 , w e s a w t h a t

z 1 1 2

c a n a l s o b e w r i t t e n

( 5 )

z ' / `

= e x p f - l o g z I ( z 5 4 0 ) .

T h e p r i n c i p a l b r a n c h F 0 ( z ) o f t h e d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n z ' 1 ` i s t h e n o b t a i n e d b y

t a k i n g t h e p r i n c i p a l b r a n c h o f l o g z a n d w r i t i n g ( s e e S e c . 3 2 )

F 0 ( z ) = e x p (

L o g z

( I z

S i n c e

I

L o g z =

I ( 1 n r + i 0

2

2

w h e n z = r e x p ( i C ) ) , t h i s b e c o m e s

( 6 )

F 0 ( z )

_

e x p

i C }

2

> 0 , - r r < A r g z < n ) .

i C )

2

- T r < < Y r

3 2 6


C H A P . 8

T h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h i s e q u a t i o n i s , o f c o u r s e , t h e s a m e a s t h e r i g h t - h a n d s i d e o f

e q u a t i o n ( 4 ) w h e n k = 0 a n d - r c < E ) < T r t h e r e . T h e o r i g i n a n d t h e r a y 0 = r f o r m

t h e b r a n c h c u t f o r F 0 , a n d t h e o r i g i n i s t h e b r a n c h p o i n t .

I m a g e s o f c u r v e s a n d r e g i o n s u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = F e ( z ) m a y b e o b -

t a i n e d b y w r i t i n g w = p e x p ( i o ) , w h e r e p = 4 a n d 0 = 0 / 2 . A r g u m e n t s a r e e v i -

d e n t l y h a l v e d b y t h i s t r a n s f o r m a t i o n , a n d i t i s u n d e r s t o o d t h a t w = 0 w h e n z = 0 .

E X A M P L E 2 .

I t i s e a s y t o v e r i f y t h a t w = F e ( z ) i s a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e

q u a r t e r d i s k 0 < r < 2 , 0 < 6 < 7 r / 2 o n t o t h e s e c t o r 0 < p

,

0 < 0 < 7 r / 4 i n t h e

w p l a n e ( F i g . 1 1 8 ) . T o d o t h i s , w e o b s e r v e t h a t a s a p o i n t z = r e x p ( i 8 1 ) ( 0 < 8 1

n j 2 )

m o v e s o u t w a r d f r o m t h e o r i g i n a l o n g a r a d i u s R 1 o f l e n g t h 2 a n d w i t h a n g l e o f

i n c l i n a t i o n 8 1 , i t s i m a g e w = 4 e x p ( i 8 1 j 2 ) m o v e s o u t w a r d f r o m t h e o r i g i n i n t h e

w p l a n e a l o n g a r a d i u s R 1 w h o s e l e n g t h i s

a n d a n g l e o f i n c l i n a t i o n i s 8 1 / 2 . S e e

F i g . 1 1 8 , w h e r e a n o t h e r r a d i u s R 2 a n d i t s i m a g e R 2 a r e a l s o s h o w n . I t i s n o w c l e a r f r o m

t h e f i g u r e t h a t i f t h e r e g i o n i n t h e z p l a n e i s t h o u g h t o f a s b e i n g s w e p t o u t b y a r a d i u s ,

s t a r t i n g w i t h D A a n d e n d i n g w i t h D C , t h e n t h e r e g i o n i n t h e w p l a n e i s s w e p t o u t b y

t h e c o r r e s p o n d i n g r a d i u s , s t a r t i n g w i t h D ' A ' a n d e n d i n g w i t h D ' C ' . T h i s e s t a b l i s h e s a

o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n p o i n t s i n t h e t w o r e g i o n s .

F I G U R E 1 1 8

w = F 0 ( z ) .

E X A M P L E 3 .

T h e t r a n s f o r m a t i o n w = F 0 ( s i n z ) c a n b e w r i t t e n

Z = s i n z ,

w = F 0 ( Z )

( I Z I > 0 , - r r < A r g Z < r r ) .

A s n o t e d a t t h e e n d o f E x a m p l e 1 i n S e c . 8 9 , t h e f i r s t t r a n s f o r m a t i o n m a p s t h e s e m i -

i n f i n i t e s t r i p 0 < x 0 o n t o t h e f i r s t q u a d r a n t X > 0 , Y > 0 i n t h e Z p l a n e .

T h e s e c o n d t r a n s f o r m a t i o n , w i t h t h e u n d e r s t a n d i n g t h a t F 0 ( 0 )

= 0 , m a p s t h a t q u a d r a n t

o n t o a n o c t a n t i n t h e w p l a n e . T h e s e s u c c e s s i v e t r a n s f o r m a t i o n s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g .

1 1 9 , w h e r e c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y p o i n t s a r e s h o w n .

W h e n - 1 r < O < . 7 a n d t h e b r a n c h

l o g z = I n r + i ( O + 2 i r )

S E C . 9 0

Y

B '

A ' X

F I G U R E 1 1 9

w = F o ( s i n z ) .

o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n i s u s e d , e q u a t i o n ( 5 ) y i e l d s t h e b r a n c h

+ 2 7 r )

( 7 )

F 1 ( z ) =

e x p

i ( O

2

( r > 0 , - 7 r < d < 7 r )

o f z 1 / 2 , w h i c h c o r r e s p o n d s t o k = 1 i n e q u a t i o n ( 4 ) . S i n c e e x p ( i 7 r ) = - 1 , i t f o l l o w s t h a t

F 1 ( z ) = - F 0 ( z ) . T h e v a l u e s + F 0 ( z ) t h u s r e p r e s e n t t h e t o t a l i t y o f v a l u e s o f

z 1 / 2

a t a l l

p o i n t s i n t h e d o m a i n r > 0 , - 7 r < C ) < 7 r . I f , b y m e a n s o f e x p r e s s i o n ( 6 ) , w e e x t e n d

t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f F 0 t o i n c l u d e t h e r a y C ) = 7 r a n d i f w e w r i t e F O ( 0 ) = 0 ,

t h e n t h e v a l u e s ± F 0 ( z ) r e p r e s e n t t h e t o t a l i t y o f v a l u e s o f

z 1 / 2 i n

t h e e n t i r e z p l a n e .

O t h e r b r a n c h e s o f

z 1 / 2

a r e o b t a i n e d b y u s i n g o t h e r b r a n c h e s o f l o g z i n e x p r e s s i o n

( 5 ) . A b r a n c h w h e r e t h e r a y 0 = a i s u s e d t o f o r m t h e b r a n c h c u t i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n

( 8 )

f , , ( z ) =

e x p

i 8

( r > 0 , a < 0 < a + 2 7 ) .

O b s e r v e t h a t w h e n a = - 7 r , w e h a v e t h e b r a n c h F 0 ( z ) a n d t h a t w h e n a = 7 r , w e h a v e

t h e b r a n c h F 1 ( z ) . J u s t a s i n t h e c a s e o f F 0 , t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f f a c a n b e

e x t e n d e d t o t h e e n t i r e c o m p l e x p l a n e b y u s i n g e x p r e s s i o n ( 8 ) t o d e f i n e f « a t t h e n o n z e r o

p o i n t s o n t h e b r a n c h c u t a n d b y w r i t i n g f , , ( 0 ) = 0 . S u c h e x t e n s i o n s a r e , h o w e v e r , n e v e r

c o n t i n u o u s i n t h e e n t i r e c o m p l e x p l a n e .

F i n a l l y , s u p p o s e t h a t n i s a n y p o s i t i v e i n t e g e r , w h e r e n > 2 . T h e v a l u e s o f z

I / n

a r e

t h e n t h r o o t s o f z w h e n z

0 ; a n d , a c c o r d i n g t o S e c . 3 1 , t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n

z 1 / n


( 9 )

z 1 / n

= e x p

M A P P I N G S B Y Z 2 A N D B R A N C H E S O F

Z 1 / 2

3 2 7

i ( Q + 2 k 7 r )

e x p

n

( k = 0 , 1 , 2 , . . . ,

w h e r e r = 1 z I a n d C ) = A r g z . T h e c a s e n = 2 h a s j u s t b e e n c o n s i d e r e d . I n t h e g e n e r a l

c a s e , e a c h o f t h e n f u n c t i o n s

( 1 0 )

F k ( z ) = n r e x p

i ( C ) - - 2 k 7 r )

n

( k = 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 )

i s a b r a n c h o f z 1 1 " , d e f i n e d o n t h e d o m a i n r > 0 , - 7 r < C ) < 7 r . W h e n w = p e ` g ' , t h e

t r a n s f o r m a t i o n w = F k ( z ) i s a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h a t d o m a i n o n t o t h e d o m a i n

p

> 0 ,

( 2 k - 1 ) 7 r < <

( 2 k + 1 ) 7 r

n

n

3 2 8


C H A P . 8

T h e s e n b r a n c h e s o f z

I / n

y i e l d t h e n d i s t i n c t n t h r o o t s o f z a t a n y p o i n t z i n t h e d o m a i n

r > 0 , - 3 r < O < r r . T h e p r i n c i p a l b r a n c h o c c u r s w h e n k = 0 , a n d f u r t h e r b r a n c h e s

o f t h e t y p e ( 8 ) a r e r e a d i l y c o n s t r u c t e d .

E X E R C I S E S

1 . S h o w , i n d i c a t i n g c o r r e s p o n d i n g o r i e n t a t i o n s , t h a t t h e m a p p i n g w = z 2 2 t r a n s f o r m s l i n e s

y = c 2 ( c 2 > 0 ) i n t o p a r a b o l a s v 2 =

4 c 2 ( u + c 2 ) , a l l w i t h f o c i a t w = 0 . ( C o m p a r e

E x a m p l e 1 , S e c . 9 0 . )

2 . U s e t h e r e s u l t i n E x e r c i s e 1 t o s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 2 i s a o n e t o o n e m a p p i n g

o f a s t r i p a < y < b a b o v e t h e x a x i s o n t o t h e c l o s e d r e g i o n b e t w e e n t h e t w o p a r a b o l a s

v 2 = 4 a 2 ( u + a 2 ) ,

v 2

= 4 b 2 ( u + b 2 ) .

3 . P o i n t o u t h o w i t f o l l o w s f r o m t h e d i s c u s s i o n i n E x a m p l e 1 , S e c . 9 0 , t h a t t h e t r a n s f o r -

m a t i o n w = z 2 m a p s a v e r t i c a l s t r i p 0 < x < c , y > 0 o f a r b i t r a r y w i d t h o n t o a c l o s e d

s e m i p a r a b o l i c r e g i o n , a s s h o w n i n F i g . 3 , A p p e n d i x 2 .

4 . M o d i f y t h e d i s c u s s i o n i n E x a m p l e 1 , S e c . 9 0 , t o s h o w t h a t w h e n w = z 2 . t h e i m a g e o f

t h e c l o s e d t r i a n g u l a r r e g i o n f o r m e d b y t h e l i n e s y = ± x a n d x = I i s t h e c l o s e d p a r a b o l i c

r e g i o n b o u n d e d o n t h e l e f t b y t h e s e g m e n t - 2 < v < 2 o f t h e v a x i s a n d o n t h e r i g h t b y

a p o r t i o n o f t h e p a r a b o l a v 2 = - 4 ( u - 1 ) . V e r i f y t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o n t h e t w o

b o u n d a r i e s s h o w n i n F i g . 1 2 0 .

F I G U R E 1 2 0

2

w = z

5 . B y r e f e r r i n g t o F i g . 1 0 , A p p e n d i x 2 , s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = s i n

2

z m a p s t h e

s t r i p 0 < x < , r / 2 , y > 0 o n t o t h e h a l f p l a n e v > 0 . I n d i c a t e c o r r e s p o n d i n g p a r t s o f t h e

b o u n d a r i e s .

S u g g e s t i o n : S e e a l s o t h e f i r s t p a r a g r a p h i n E x a m p l e 3 , S e c . 1 2 .

6 . U s e F i g . 9 , A p p e n d i x 2 , t o s h o w t h a t i f w = ( s i n z ) 1 1 4 , w h e r e t h e p r i n c i p a l b r a n c h o f

t h e f r a c t i o n a l p o w e r i s t a k e n , t h e s e m i - i n f i n i t e s t r i p - 7 r / 2 < x < z j 2 , y > 0 i s m a p p e d

o n t o t h e p a r t o f t h e f i r s t q u a d r a n t l y i n g b e t w e e n t h e l i n e v = u a n d t h e u a x i s . L a b e l

c o r r e s p o n d i n g p a r t s o f t h e b o u n d a r i e s .

S E C . 9 1

S Q U A R E R O O T S O F P O L Y N O M I A L S

3 2 9

7 . A c c o r d i n g t o E x a m p l e 2 , S e c . 8 8 , t h e l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n

Z =

z - 1

z + 1

m a p s t h e x a x i s o n t o t h e X a x i s a n d t h e h a l f p l a n e s y > 0 a n d y < 0 o n t o t h e h a l f p l a n e s

Y > 0 a n d Y < 0 , r e s p e c t i v e l y . S h o w t h a t , i n p a r t i c u l a r , i t m a p s t h e s e g m e n t - 1 < x

1

o f t h e x a x i s o n t o t h e s e g m e n t X < 0 o f t h e X a x i s . T h e n s h o w t h a t w h e n t h e p r i n c i p a l

b r a n c h o f t h e s q u a r e r o o t i s u s e d , t h e c o m p o s i t e f u n c t i o n

2

m a p s t h e z p l a n e , e x c e p t f o r t h e s e g m e n t - 1 < x < 1 o f t h e x a x i s , o n t o t h e h a l f p l a n e

u > 0 .

8 . D e t e r m i n e t h e i m a g e o f t h e d o m a i n r > 0 , - T r < O < z i n t h e z p l a n e u n d e r e a c h o f

t h e t r a n s f o r m a t i o n s w = F k ( z ) ( k = 0 , 1 , 2 , 3 ) , w h e r e F k ( z ) a r e t h e f o u r b r a n c h e s o f z 1 / 4

g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 0 ) , S e c . 9 0 , w h e n n = 4 . U s e t h e s e b r a n c h e s t o d e t e r m i n e t h e f o u r t h

r o o t s o f i .

9 1 . S Q U A R E R O O T S O F P O L Y N O M I A L S

W e n o w c o n s i d e r s o m e m a p p i n g s t h a t a r e c o m p o s i t i o n s o f p o l y n o m i a l s a n d s q u a r e

r o o t s o f z .

E X A M P L E 1 ,

B r a n c h e s o f t h e d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n ( z - z o )

1 / 2

c a n b e o b t a i n e d

b y n o t i n g t h a t i t i s a c o m p o s i t i o n o f t h e t r a n s l a t i o n Z = z - z o w i t h t h e d o u b l e - v a l u e d

f u n c t i o n Z 1 / 2 . E a c h b r a n c h o f Z 1 / 2 y i e l d s a b r a n c h o f ( z - z o ) 1 / 2 . W h e n Z = R e Z O ,

b r a n c h e s o f Z 1 / 2 a r e

Z 1 / 2 = e x p i o

( R > O , a < 0 < a + 2 7 r ) .

H e n c e i f w e w r i t e

R = I z - z o l ,

O = A r g ( z - z o ) ,

a n d 0 = a r g ( z

t w o b r a n c h e s o f ( z - z o ) 1 / 2 a r e

( 2 )

G o ( z ) =

e x p

( R > O , - n < 4

g o ( z ) = ' e x p

i 9

( R > O , O < 0 < 2 n

0

T h e b r a n c h o f Z 1 / 2 t h a t w a s u s e d i n w r i t i n g G o ( z ) i s d e f i n e d a t a l l p o i n t s i n t h e

Z p l a n e e x c e p t f o r t h e o r i g i n a n d p o i n t s o n t h e r a y A r g Z = i t . T h e t r a n s f o r m a t i o n

3 3 0


C H A P . 8

w = G 0 ( z ) i s , t h e r e f o r e , a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e d o m a i n

I z - z o l > 0 ,

- J r < A r g ( z - z o ) < m

o n t o t h e r i g h t h a l f R e w > 0 o f t h e w p l a n e ( F i g , 1 2 1 ) . T h e t r a n s f o r m a t i o n w

= g o ( z )

m a p s t h e d o m a i n

I z - z o l > 0 ,

0 < a r g ( z - z o ) < 2 7 r

i n a o n e t o o n e m a n n e r o n t o t h e u p p e r h a l f p l a n e I m w > 0 .

F I G U R E 1 2 1

w = G 0 ( z ) .

E X A M P L E 2 .

F o r a n i n s t r u c t i v e b u t l e s s e l e m e n t a r y e x a m p l e , w e n o w c o n s i d e r t h e

d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n ( z 2

- 1 ) 1 / 2 . U s i n g e s t a b l i s h e d p r o p e r t i e s o f l o g a r i t h m s ,

w e c a n

w r i t e

( z 2 - 1 ) 1 / 2 = e x p

l o g ( z 2

-

1 ) ]

= e x p

o g ( z - 1 ) + - l o g ( z + 1 )

o r

( 3 )

( z 2

-

1 )

1 / 2

= ( z - 1 ) 1 / 2 ( z + 1 ) 1 / 2

( z

± 1 ) .

T h u s , i f f l ( z ) i s a b r a n c h o f ( z

-

1 ) 1 / 2 d e f i n e d o n a d o m a i n D 1 a n d f 2 ( z ) i s

a b r a n c h

o f ( z + 1 ) 1 / 2 d e f i n e d o n a d o m a i n D 2 , t h e p r o d u c t f ( z ) = f , ( z ) f 2 ( z ) i s

a b r a n c h o f

( z 2

- 1 ) 1 / 2 d e f i n e d a t a l l p o i n t s l y i n g i n b o t h D 1 a n d D 2 .

I n o r d e r t o o b t a i n a s p e c i f i c b r a n c h o f ( z 2

-

1 ) 1 / 2 , w e u s e t h e b r a n c h o f ( z

-

1 ) 1 / 2

a n d t h e b r a n c h o f ( z + 1 ) 1 / 2 g i v e n b y e q u a t i o n ( 2 ) . I f w e w r i t e

r i = l z - 1 1

a n d 0 1 = a r g ( z - 1 ) ,

t h a t b r a n c h o f ( z

- 1 )

1 / 2 i s

i 9 1

f 1 ( z ) =

r _

e x p

2

( r 1 > 0 , 0 < 0 1 < 2 n ) .

S E C . 9 1

S Q U A R E R O O T S O F P O L Y N O M I A L S 3 3 1

T h e b r a n c h o f ( z + 1 ) 1 / 2 g i v e n b y e q u a t i o n ( 2 ) i s

f 2 ( z ) =

r 2 e x p i 0 2

( r 2 > 0 , 0 < 0 2 < 2 n ) ,

w h e r e

T h e p r o d u c t o f t h e s e

b y t h e e q u a t i o n

w h e r e

r 2 = j z + 1 1

a n d

9 2 = a r g ( z + 1 ) .

o b r a n c h e s i s , t h e r e f o r e , t h e b r a n c h f o f ( z 2

f ( z ) =

r l r 2 e x p

i ( 0 1 + 0 2 )

2

I

d e f i n e d

r k > 0 ,

0 < O k < 2 7 r ( k = 1 , 2 ) .

A s i l l u s t r a t e d i n F i g . 1 2 2 , t h e b r a n c h f i s d e f i n e d e v e r y w h e r e i n t h e z p l a n e e x c e p t o n

t h e r a y r 2 > 0 , 9 2 = 0 , w h i c h i s t h e p o r t i o n x > - 1 o f t h e x a x i s .

T h e b r a n c h f o f ( z 2 - 1 ) 1 / 2 g i v e n i n e q u a t i o n ( 4 ) c a n b e e x t e n d e d t o a f u n c t i o n

w h e r e

2

r k > 0 ,

° - k < 2 T r

( k = 1 , 2 )

a n d

r 1 + r 2 > 2 .

A s w e s h a l l n o w s e e , t h i s f u n c t i o n i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e i n i t s d o m a i n o f d e f i n i t i o n ,

w h i c h i s t h e e n t i r e z p l a n e e x c e p t f o r t h e s e g m e n t - 1 < x < 1 o f t h e x a x i s .

S i n c e F ( z ) = f ( z ) f o r a l l z i n t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f F e x c e p t o n t h e r a y

r 1 > 0 , 8 1 = 0 , w e n e e d o n l y s h o w t h a t F i s a n a l y t i c o n t h a t r a y . T o d o t h i s , w e f o r m

t h e p r o d u c t o f t h e b r a n c h e s o f ( z -

1 ) 1 / 2

a n d ( z + 1 ) 1 / 2 w h i c h a r e g i v e n b y e q u a t i o n

( 1 ) . T h a t i s , w e c o n s i d e r t h e f u n c t i o n

G ( z ) =

r l r 2 e x p :

F I G U R E 1 2 2

i ( 9 1 + 8 2 )

F ( z ) =

r l r 2 e x p

2

3 3 2


C H A P . 8

w h e r e

r 1 =

a n d w h e r e

z - 1 1 ,

r 2 = I z + 1 1 ,

A r g ( z - 1 ) ,

O 2 = A r g ( z +

r k > 0 , - n < O k < r

( k = 1 , 2 ) .

O b s e r v e t h a t G i s a n a l y t i c i n t h e e n t i r e z p l a n e e x c e p t f o r t h e r a y r 1 > 0 , O I = n ,

N o w F ( z ) = G ( z ) w h e n t h e p o i n t z l i e s a b o v e o r o n t h e r a y r 1 > 0 , O 1 = 0 ; f o r t h e n

9 k = O k ( k = 1 , 2 ) . W h e n z l i e s b e l o w t h a t r a y , 9 k = O k + 2 7 r ( k = 1 , 2 ) . C o n s e q u e n t l y ,

e x p ( i 9 k / 2 ) = - e x p ( i ( D k J 2 ) ; a n d t h i s m e a n s t h a t

e x p

I ( 0 1 2 9 2 )

_ e x p

i 0 1 ) ( e x p i 9 2 )

= e x p

i

( O 1 2 0 2 )

S o a g a i n , F ( z ) = G ( z ) . S i n c e F ( z ) a n d G ( z ) a r e t h e s a m e i n a d o m a i n c o n t a i n i n g t h e

r a y r 1 > 0 , 0 1 = 0 a n d s i n c e G i s a n a l y t i c i n t h a t d o m a i n , F i s a n a l y t i c t h e r e . H e n c e

F i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e e x c e p t o n t h e l i n e s e g m e n t P 2 P 1 i n F i g . 1 2 2 .

T h e f u n c t i o n F d e f i n e d b y e q u a t i o n ( 5 ) c a n n o t i t s e l f b e e x t e n d e d t o a f u n c t i o n

w h i c h i s a n a l y t i c a t p o i n t s o n t h e l i n e s e g m e n t P 2 P 1 ; f o r t h e v a l u e o n t h e r i g h t i n

e q u a t i o n ( 5 ) j u m p s f r o m i

r i r 2 t o n u m b e r s n e a r - i

r l r 2 a s t h e p o i n t z m o v e s

d o w n w a r d a c r o s s t h a t l i n e s e g m e n t . H e n c e t h e e x t e n s i o n w o u l d n o t e v e n b e c o n t i n u o u s

t h e r e .

T h e t r a n s f o r m a t i o n w = F ( z ) i s , a s w e s h a l l s e e , a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e

d o m a i n D Z c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s i n t h e z p l a n e e x c e p t t h o s e o n t h e l i n e s e g m e n t

P 2 P 1 o n t o t h e d o m a i n D , , , c o n s i s t i n g o f t h e e n t i r e w p l a n e w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e

s e g m e n t - 1 < v { I o f t h e v a x i s ( F i g . 1 2 3 ) .

B e f o r e v e r i f y i n g t h i s , w e n o t e t h a t i f z = i y ( y > 0 ) , t h e n

r 1 = r 2 > 1

a n d 9 1 + 9 2 = 7 r ;

h e n c e t h e p o s i t i v e y a x i s i s m a p p e d b y w = F ( z ) o n t o t h a t p a r t o f t h e v a x i s f o r w h i c h

v > 1 , T h e n e g a t i v e y a x i s i s , m o r e o v e r , m a p p e d o n t o t h a t p a r t o f t h e v a x i s f o r w h i c h

v < - 1 . E a c h p o i n t i n t h e u p p e r h a l f y > 0 o f t h e d o m a i n D z i s m a p p e d i n t o t h e u p p e r

h a l f v > 0 o f t h e w p l a n e , a n d e a c h p o i n t i n t h e l o w e r h a l f y < 0 o f t h e d o m a i n D z

F I G U R E 1 2 3

w = F ( z ) .

S E C . 9 1

S Q U A R E R O O T S O F P O L Y N O M I A L S 3 3 3

i s m a p p e d i n t o t h e l o w e r h a l f v < 0 o f t h e w p l a n e . T h e r a y r 1 > 0 , 9 1 = 0 i s m a p p e d

o n t o t h e p o s i t i v e r e a l a x i s i n t h e w p l a n e , a n d t h e r a y r 2 > 0 , 0 2 = n i s m a p p e d o n t o

t h e n e g a t i v e r e a l a x i s t h e r e .

T o s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = F ( z ) i s o n e t o o n e , w e o b s e r v e t h a t i f

F ( z 1 ) = F ( z 2 ) , t h e n z 1 _ I = z

- - 1 . F r o m t h i s , i t f o l l o w s t h a t z 1 = z 2 o r z 1 = - Z 2 -

H o w e v e r , b e c a u s e o f t h e m a n n e r i n w h i c h F m a p s t h e u p p e r a n d l o w e r h a l v e s o f t h e

d o m a i n D z , a s w e l l a s t h e p o r t i o n s o f t h e r e a l a x i s l y i n g i n D z , t h e c a s e z 1 = - z 2 i s

i m p o s s i b l e . T h u s , i f F ( z 1 ) = F ( z 2 ) , t h e n z 1 = z 2 ; a n d F i s o n e t o o n e .

W e c a n s h o w t h a t F m a p s t h e d o m a i n D z o n t o t h e d o m a i n D , , , b y f i n d i n g a

f u n c t i o n H m a p p i n g D .

,

i n t o D z w i t h t h e p r o p e r t y t h a t i f z = H ( w ) , t h e n w = F ( z ) .

T h i s w i l l s h o w t h a t , f o r a n y p o i n t w i n D , , , , t h e r e e x i s t s a p o i n t z i n D z s u c h t h a t

F ( z ) = w ; t h a t i s , t h e m a p p i n g F i s o n t o . T h e m a p p i n g H w i l l b e t h e i n v e r s e o f F .

T o f i n d H , w e f i r s t n o t e t h a t i f w i s a v a l u e o f ( z 2 - 1 ) 1 / 2 f o r a s p e c i f i c z , t h e n

z 2

- 1 ; a n d z i s , t h e r e f o r e , a v a l u e o f

( w 2 + 1 ) 1 / 2 f o r t h a t w . T h e f u n c t i o n H w i l l

b e a b r a n c h o f t h e d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n

1 ) 1 / 2 = ( w - i ) 1 / 2 ( w + i )

1 / 2

F o l l o w i n g o u r p r o c e d u r e f o r o b t a i n i n g t h e f u n c t i o n F ( z ) , w e w r i t e

a n d w + i = P 2 e x p ( i 0 2 ) . ( S e e F i g . 1 2 3 . ) W i t h t h e r e s t r i c t i o n s

P k > 0 ,

2

< O x < 3

( k =

w e t h e n w r i t e

( 6 )

H ( w ) = P i p e e x p

- i = P 1 e x p ( i 4 1 )

a n d

P 1 + P 2 > 2 ,

1 1

2

t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n b e i n g D . . T h e t r a n s f o r m a t i o n z = H ( w ) m a p s p o i n t s o f D "

l y i n g a b o v e o r b e l o w t h e u a x i s o n t o p o i n t s a b o v e o r b e l o w t h e x a x i s , r e s p e c t i v e l y . I t

m a p s t h e p o s i t i v e u a x i s i n t o t h a t p a r t o f t h e x a x i s w h e r e x > 1 a n d t h e n e g a t i v e u a x i s

i n t o t h a t p a r t o f t h e n e g a t i v e x a x i s w h e r e x < - 1 . I f z = H ( w ) , t h e n z 2 = w 2 + 1 ;

a n d s o w 2 = z 2 - 1 . S i n c e z i s i n D z a n d s i n c e F ( z ) a n d - F ( z ) a r e t h e t w o v a l u e s o f

( z 2

-

1 ) 1 / 2

f o r a p o i n t i n D z , w e s e e t h a t w = F ( z ) o r w = - F ( z ) . B u t i t i s e v i d e n t

f r o m t h e m a n n e r i n w h i c h F a n d H m a p t h e u p p e r a n d l o w e r h a l v e s o f t h e i r d o m a i n s

o f d e f i n i t i o n , i n c l u d i n g t h e p o r t i o n s o f t h e r e a l a x e s l y i n g i n t h o s e d o m a i n s , t h a t

w = F ( z ) .

M a p p i n g s b y b r a n c h e s o f d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n s

( 7 )

w = ( z 2 + A z +

B ) 1 / 2 = [ ( z - z p ) 2 _ . z ] 1 l 2

( z i

0

3 3 4


C H A P , 8

w h e r e A = - 2 z 0 a n d B = z 2 = z z , c a n b e t r e a t e d w i t h t h e a i d o f t h e r e s u l t s f o u n d f o r

t h e f u n c t i o n F i n E x a m p l e 2 a n d t h e s u c c e s s i v e t r a n s f o r m a t i o n s

( 8 )

Z = z - z 0 ,

w = ( Z 2 - 1 ) 1 / 2 ,

w = z

z t

E X E R C I S E S

1 . T h e b r a n c h F o f ( z 2 - 1 ) 1 / 2 i n E x a m p l e 2 , S e c . 9 1 , w a s d e f i n e d i n t e r m s o f t h e c o o r d i n a t e s

r 1 , r 2 , 8 1 , 8 2 . E x p l a i n g e o m e t r i c a l l y w h y t h e c o n d i t i o n s r 1 > 0 , 0 < 0 1 + 0 2 < 7 r d e s c r i b e

t h e q u a d r a n t x > 0 , y > 0 o f t h e z p l a n e . T h e n s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = F ( z )

m a p s t h a t q u a d r a n t o n t o t h e q u a d r a n t u > 0 , v > 0 o f t h e w p l a n e ,

S u g g e s t i o n : T o s h o w t h a t t h e q u a d r a n t x > 0 , y > 0 i n t h e z p l a n e i s d e s c r i b e d , n o t e

t h a t 0 1 + 8 2 = 7 r a t e a c h p o i n t o n t h e p o s i t i v e y a x i s a n d t h a t 8 1 + 8 2 d e c r e a s e s a s a p o i n t

z m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g a r a y 8 2 = c ( 0 < c < 7 r / 2 ) .

2 . F o r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = F ( z ) o f t h e f i r s t q u a d r a n t o f t h e z p l a n e o n t o t h e f i r s t q u a d r a n t

o f t h e w p l a n e i n E x e r c i s e 1 , s h o w t h a t

u =

/ - V r i r 2 + x 2 - y 2 - 1 a n d v = T U r 1 r 2 -

w h e r e

2

( x 2 + y 2 + 1 ) 2

-

4 x 2

a n d t h a t t h e i m a g e o f t h e p o r t i o n o f t h e h y p e r b o l a x 2 - y 2 = 1 i n t h e f i r s t q u a d r a n t i s t h e

r a y v = u ( u > 0 ) .

3 . S h o w t h a t i n E x e r c i s e 2 t h e d o m a i n D t h a t l i e s u n d e r t h e h y p e r b o l a a n d i n t h e f i r s t

q u a d r a n t o f t h e z p l a n e i s d e s c r i b e d b y t h e c o n d i t i o n s r 1 > 0 , 0 < 8 1 + 8 2 < 7 r / 2 . T h e n

s h o w t h a t t h e i m a g e o f D i s t h e o c t a n t 0 < v < u . S k e t c h t h e d o m a i n D a n d i t s i m a g e .

4 . L e t F b e t h e b r a n c h o f ( z 2 - 1 ) 1 / 2 d e f i n e d i n E x a m p l e 2 , S e c . 9 1 , a n d l e t z o = r o e x p ( i 0 0 )

b e a f i x e d p o i n t , w h e r e r o > 0 a n d 0 < 0 0 < 2 7 r . S h o w t h a t a b r a n c h F 0 o f ( z 2 - z o ) 1 1 2

w h o s e b r a n c h c u t i s t h e l i n e s e g m e n t b e t w e e n t h e p o i n t s z 0 a n d - z 0 c a n b e w r i t t e n

F 0 ( z ) = z 0 F ( Z ) , w h e r e Z = z / z 0 .

5 . W r i t e z - 1 = r 1 e x p ( i 9 1 ) a n d z + 1 = r 2 e x p ( i 0 2 ) , w h e r e

0 < 0 1 < 2 7 r

a n d

t o d e f i n e a b r a n c h o f t h e f u n c t i o n

1 ) 1 1 2 ;

z

1 / 2

I n e a c h c a s e , t h e b r a n c h c u t s h o u l d c o n s i s t o f t h e t w o r a y s 8 1 = 0 a n d 0 2 = 7 r

6 . U s i n g t h e n o t a t i o n i n S e c . 9 1 , s h o w t h a t t h e f u n c t i o n

w =

p

i ( 8 1 8 2 )

2

S E C , 9 2

R I E M A N N S U R F A C E S 3 3 5

i s a b r a n c h w i t h t h e s a m e d o m a i n o f d e f i n i t i o n D Z a n d t h e s a m e b r a n c h c u t a s t h e f u n c t i o n

w = F ( z ) i n t h a t s e c t i o n . S h o w t h a t t h i s t r a n s f o r m a t i o n m a p s D Z o n t o t h e r i g h t h a l f p l a n e

p > 0 , - 7 r / 2 < 0 < 7 r / 2 , w h e r e t h e p o i n t w = 1 i s t h e i m a g e o f t h e p o i n t z = 0 0 . A l s o ,

s h o w t h a t t h e i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n i s

2

z = 1 _ _ w 2

( R e w > 0 ) .

( C o m p a r e E x e r c i s e 7 , S e c . 9 0 . )

7 . S h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n i n E x e r c i s e 6 m a p s t h e r e g i o n o u t s i d e t h e u n i t c i r c l e I z I

= 1

i n t h e u p p e r h a l f o f t h e z p l a n e o n t o t h e r e g i o n i n t h e f i r s t q u a d r a n t o f t h e w p l a n e b e t w e e n

t h e l i n e v = u a n d t h e u a x i s . S k e t c h t h e t w o r e g i o n s .

8 . W r i t e z = r e x p ( i 0 ) , z - 1 = r I e x p ( i 0 1 ) , a n d z + 1 = r 2 e x p ( i 0 2 } , w h e r e t h e v a l u e s

o f a l l t h r e e a r g u m e n t s l i e b e t w e e n - 7 r a n d i t , T h e n d e f i n e a b r a n c h o f t h e f u n c t i o n

[ z ( z 2 - 1 ) ] I / 2 w h o s e b r a n c h c u t c o n s i s t s o f t h e t w o s e g m e n t s x < - 1 a n d 0 c x < 1 o f

t h e x a x i s .

9 2 . R I E M A N N S U R F A C E S

T h e r e m a i n i n g t w o s e c t i o n s o f t h i s c h a p t e r c o n s t i t u t e a b r i e f i n t r o d u c t i o n t o t h e c o n c e p t

o f a m a p p i n g d e f i n e d o n a R i e m a n n s u r f a c e , w h i c h i s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c o m p l e x

p l a n e c o n s i s t i n g o f m o r e t h a n o n e s h e e t . T h e t h e o r y r e s t s o n t h e f a c t t h a t a t e a c h p o i n t

o n s u c h a s u r f a c e o n l y o n e v a l u e o f a g i v e n m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n i s a s s i g n e d . T h e

m a t e r i a l i n t h e s e t w o s e c t i o n s w i l l n o t b e u s e d i n t h e c h a p t e r s t o f o l l o w , a n d t h e r e a d e r

m a y s k i p t o C h a p . 9 w i t h o u t d i s r u p t i o n .

O n c e a R i e m a n n s u r f a c e i s d e v i s e d f o r a g i v e n f u n c t i o n , t h e f u n c t i o n i s s i n g l e -

v a l u e d o n t h e s u r f a c e a n d t h e t h e o r y o f s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n s a p p l i e s t h e r e . C o m p l e x -

i t i e s a r i s i n g b e c a u s e t h e f u n c t i o n i s m u l t i p l e - v a l u e d a r e t h u s r e l i e v e d b y a g e o m e t r i c

d e v i c e . H o w e v e r , t h e d e s c r i p t i o n o f t h o s e s u r f a c e s a n d t h e a r r a n g e m e n t o f p r o p e r c o n -

n e c t i o n s b e t w e e n t h e s h e e t s c a n b e c o m e q u i t e i n v o l v e d . W e l i m i t o u r a t t e n t i o n t o f a i r l y

s i m p l e e x a m p l e s a n d b e g i n w i t h a s u r f a c e f o r l o g z .

E X A M P L E 1 .

C o r r e s p o n d i n g t o e a c h n o n z e r o n u m b e r z , t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c -

t i o n

( 1 )

l o g z = l n r + i 9

h a s i n f i n i t e l y m a n y v a l u e s . T o d e s c r i b e l o g z a s a s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n , w e r e p l a c e t h e

z p l a n e , w i t h t h e o r i g i n d e l e t e d , b y a s u r f a c e o n w h i c h a n e w p o i n t i s

l o c a t e d w h e n e v e r

t h e a r g u m e n t o f t h e n u m b e r z i s i n c r e a s e d o r d e c r e a s e d b y 2 n , o r a n i n t e g r a l m u l t i p l e

o f 2 7 r .

W e t r e a t t h e z p l a n e , w i t h t h e o r i g i n d e l e t e d , a s a t h i n s h e e t R 0 w h i c h i s c u t a l o n g

t h e p o s i t i v e h a l f o f t h e r e a l a x i s . O n t h a t s h e e t , l e t 0 r a n g e f r o m 0 t o 2 7 r . L e t a s e c o n d

s h e e t R t b e c u t i n t h e s a m e w a y a n d p l a c e d i n f r o n t o f t h e s h e e t R e . T h e l o w e r e d g e o f

t h e s l i t i n R 0 i s t h e n j o i n e d t o t h e u p p e r e d g e o f t h e s l i t i n R 1 . O n R 1 , t h e a n g l e 0 r a n g e s

3 3 6


C H A P . 8

f r o m 2 n t o 4 n ; s o , w h e n z i s r e p r e s e n t e d b y a p o i n t o n R I , t h e i m a g i n a r y c o m p o n e n t

o f l o g z r a n g e s f r o m 2 7 r t o 4 7 r .

A s h e e t R 2 i s t h e n c u t i n t h e s a m e w a y a n d p l a c e d i n f r o n t o f R I . T h e l o w e r e d g e

o f t h e s l i t i n R I i s j o i n e d t o t h e u p p e r e d g e o f t h e s l i t i n t h i s n e w s h e e t , a n d s i m i l a r l y

f o r s h e e t s R 3 , R 4 , . . . .

A s h e e t R _ I o n w h i c h 9 v a r i e s f r o m 0 t o - 2 n i s c u t a n d p l a c e d

b e h i n d R 0 , w i t h t h e l o w e r e d g e o f i t s s l i t c o n n e c t e d t o t h e u p p e r e d g e o f t h e s l i t i n R 0 ;

t h e s h e e t s R _ 2 , R _ 3 ,

. . . a r e

c o n s t r u c t e d i n l i k e m a n n e r . T h e c o o r d i n a t e s r a n d 8 o f a

p o i n t o n a n y s h e e t c a n b e c o n s i d e r e d a s p o l a r c o o r d i n a t e s o f t h e p r o j e c t i o n o f t h e p o i n t

o n t o t h e o r i g i n a l z p l a n e , t h e a n g u l a r c o o r d i n a t e 8 b e i n g r e s t r i c t e d t o a d e f i n i t e r a n g e

o f 2 7 r r a d i a n s o n e a c h s h e e t .

C o n s i d e r a n y c o n t i n u o u s c u r v e o n t h i s c o n n e c t e d s u r f a c e o f i n f i n i t e l y m a n y

s h e e t s . A s a p o i n t z d e s c r i b e s t h a t c u r v e , t h e v a l u e s o f l o g z v a r y c o n t i n u o u s l y s i n c e 8 , i n

a d d i t i o n t o r , v a r i e s c o n t i n u o u s l y ; a n d l o g z n o w a s s u m e s j u s t o n e v a l u e c o r r e s p o n d i n g

t o e a c h p o i n t o n t h e c u r v e . F o r e x a m p l e , a s t h e p o i n t m a k e s a c o m p l e t e c y c l e a r o u n d

t h e o r i g i n o n t h e s h e e t R 0 o v e r t h e p a t h i n d i c a t e d i n F i g . 1 2 4 , t h e a n g l e c h a n g e s f r o m

0 t o 2 n . A s i t m o v e s a c r o s s t h e r a y 0 = 2 7 r , t h e p o i n t p a s s e s t o t h e s h e e t R I o f t h e

s u r f a c e . A s t h e p o i n t c o m p l e t e s a c y c l e i n R 1 , t h e a n g l e 9 v a r i e s f r o m 2 n t o 4 7 r ; a n d ,

a s i t c r o s s e s t h e r a y 8 = 4 7 r , t h e p o i n t p a s s e s t o t h e s h e e t R 2 ,

F I G U R E 1 2 4

T h e s u r f a c e d e s c r i b e d h e r e i s a R i e m a n n s u r f a c e f o r l o g z . I t i s a c o n n e c t e d s u r f a c e

o f i n f i n i t e l y m a n y s h e e t s , a r r a n g e d s o t h a t l o g z i s a s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n o f p o i n t s

o n i t .

T h e t r a n s f o r m a t i o n w = l o g z m a p s t h e w h o l e R i e m a n n s u r f a c e i n a o n e t o o n e

m a n n e r o n t o t h e e n t i r e w p l a n e . T h e i m a g e o f t h e s h e e t R 0 i s t h e s t r i p 0 < v < 2 n r ( s e e

E x a m p l e 3 , S e c . 8 8 ) . A s a p o i n t z m o v e s o n t o t h e s h e e t R I o v e r t h e a r c s h o w n i n F i g .

1 2 5 , i t s i m a g e w m o v e s u p w a r d a c r o s s t h e l i n e v = 2 7 r , a s i n d i c a t e d i n t h a t f i g u r e .

v

2 n i

F I G U R E 1 2 5

S E C . 9 2

R I E M A N N S U R F A C E S 3 3 7

N o t e t h a t l o g z , d e f i n e d o n t h e s h e e t R 1 , r e p r e s e n t s t h e a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n ( S e c .

2 6 ) o f t h e s i n g l e - v a l u e d a n a l y t i c f u n c t i o n

f ( z ) = l n r + i 8

( 0 < 0 < 2 n )

u p w a r d a c r o s s t h e p o s i t i v e r e a l a x i s . I n t h i s s e n s e , l o g z i s n o t o n l y a s i n g l e - v a l u e d

f u n c t i o n o f a l l p o i n t s z o n t h e R i e m a n n s u r f a c e b u t a l s o a n a n a l y t i c f u n c t i o n a t a l l

p o i n t s t h e r e .

T h e s h e e t s c o u l d , o f c o u r s e , b e c u t a l o n g t h e n e g a t i v e r e a l a x i s , o r a l o n g a n y o t h e r

r a y f r o m t h e o r i g i n , a n d p r o p e r l y j o i n e d a l o n g t h e s l i t s t o f o r m o t h e r R i e m a n n s u r f a c e s

f o r l o g z .

E X A M P L E 2 .

C o r r e s p o n d i n g t o e a c h p o i n t i n t h e z p l a n e o t h e r t h a n t h e o r i g i n , t h e

s q u a r e r o o t f u n c t i o n

( 2 ) Z 1 / 2

=

f r e i O / 2

h a s t w o v a l u e s . A R i e m a n n s u r f a c e f o r

z 1 1 2 i s o b t a i n e d b y r e p l a c i n g t h e z p l a n e w i t h

a s u r f a c e m a d e u p o f t w o s h e e t s R O a n d R 1 , e a c h c u t a l o n g t h e p o s i t i v e r e a l a x i s a n d

w i t h R 1 p l a c e d i n f r o n t o f R 0 . T h e l o w e r e d g e o f t h e s l i t i n R 0 i s j o i n e d t o t h e u p p e r

e d g e o f t h e s l i t i n R 1 , a n d t h e l o w e r e d g e o f t h e s l i t i n R 1 i s j o i n e d t o t h e u p p e r e d g e

o f t h e s l i t i n R 0 .

A s a p o i n t z s t a r t s f r o m t h e u p p e r e d g e o f t h e s l i t i n R o a n d d e s c r i b e s a c o n t i n u o u s

c i r c u i t a r o u n d t h e o r i g i n i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n ( F i g . 1 2 6 ) , t h e a n g l e 0

i n c r e a s e s f r o m 0 t o 2 n . T h e p o i n t t h e n p a s s e s f r o m t h e s h e e t R O t o t h e s h e e t R 1 , w h e r e

0 i n c r e a s e s f r o m 2 T r t o 4 n . A s t h e p o i n t m o v e s s t i l l f u r t h e r , i t p a s s e s b a c k t o t h e s h e e t

R 0 , w h e r e t h e v a l u e s o f 0 c a n v a r y f r o m 4 7 r t o 6 7 r o r f r o m 0 t o 2 i r , a c h o i c e t h a t d o e s

n o t a f f e c t t h e v a l u e o f z 1 1 2 , e t c . N o t e t h a t t h e v a l u e o f z 1 " 2 a t a p o i n t w h e r e t h e c i r c u i t

p a s s e s f r o m t h e s h e e t R O t o t h e s h e e t R 1 i s d i f f e r e n t f r o m t h e v a l u e o f

z 1 / 2

a t a p o i n t

w h e r e t h e c i r c u i t p a s s e s f r o m t h e s h e e t R 1 t o t h e s h e e t R 0 .

W e h a v e t h u s c o n s t r u c t e d a R i e m a n n s u r f a c e o n w h i c h z 1 1 2 i s s i n g l e - v a l u e d f o r

e a c h n o n z e r o z . I n t h a t c o n s t r u c t i o n , t h e e d g e s o f t h e s h e e t s R O a n d R 1 a r e j o i n e d i n

p a i r s i n s u c h a w a y t h a t t h e r e s u l t i n g s u r f a c e i s c l o s e d a n d c o n n e c t e d . T h e p o i n t s w h e r e

t w o o f t h e e d g e s a r e j o i n e d a r e d i s t i n c t f r o m t h e p o i n t s w h e r e t h e o t h e r t w o e d g e s a r e

j o i n e d , T h u s i t i s p h y s i c a l l y i m p o s s i b l e t o b u i l d a m o d e l o f t h a t R i e m a n n s u r f a c e . I n

F I G U R E 1 2 6

C H A P . 8

v i s u a l i z i n g a R i e m a n n s u r f a c e , i t i s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d h o w w e a r e t o p r o c e e d

w h e n w e a r r i v e a t a n e d g e o f a s l i t .

T h e o r i g i n i s a s p e c i a l p o i n t o n t h i s R i e m a n n s u r f a c e . I t i s c o m m o n t o b o t h s h e e t s ,

a n d a c u r v e a r o u n d t h e o r i g i n o n t h e s u r f a c e m u s t w i n d a r o u n d i t t w i c e i n o r d e r t o b e

a c l o s e d c u r v e . A p o i n t o f t h i s k i n d o n a R i e m a n n s u r f a c e i s c a l l e d a b r a n c h p o i n t .

T h e i m a g e o f t h e s h e e t R 0 u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z " 2 i s t h e u p p e r h a l f

o f t h e w p l a n e s i n c e t h e a r g u m e n t o f w i s 0 / 2 o n R 0 , w h e r e 0 < 8 / 2 < T r . L i k e w i s e ,

t h e i m a g e o f t h e s h e e t R 1 i s t h e l o w e r h a l f o f t h e w p l a n e . A s d e f i n e d o n e i t h e r s h e e t ,

t h e f u n c t i o n i s t h e a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n , a c r o s s t h e c u t , o f t h e f u n c t i o n d e f i n e d o n t h e

o t h e r s h e e t . I n t h i s r e s p e c t , t h e s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n z 1 / 2 o f p o i n t s o n t h e R i e m a n n

s u r f a c e i s a n a l y t i c a t a l l p o i n t s e x c e p t t h e o r i g i n .

E X E R C I S E S

1 . D e s c r i b e t h e R i e m a n n s u r f a c e f o r l o g z o b t a i n e d b y c u t t i n g t h e z p l a n e a l o n g t h e n e g a t i v e

r e a l a x i s . C o m p a r e t h i s R i e m a n n s u r f a c e w i t h t h e o n e o b t a i n e d i n E x a m p l e 1 , S e c . 9 2 .

2 . D e t e r m i n e t h e i m a g e u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = l o g z o f t h e s h e e t R , w h e r e n i s a n

a r b i t r a r y i n t e g e r , o f t h e R i e m a n n s u r f a c e f o r l o g z g i v e n i n E x a m p l e 1 , S e c . 9 2 .

3 . V e r i f y t h a t , u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 1 1 2 , t h e s h e e t R 1 o f t h e R i e m a n n s u r f a c e f o r

z

1 2 g i v e n i n E x a m p l e

2 , S e c . 9 2 , i s m a p p e d o n t o t h e l o w e r h a l f o f t h e w p l a n e .

4 . D e s c r i b e t h e c u r v e , o n a R i e m a n n s u r f a c e f o r z 1 1 2 , w h o s e i m a g e i s t h e e n t i r e c i r c l e 1 w

= 1

u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w =

z 1 / 2 .

5 . L e t C d e n o t e t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e I z

- 2 1 = 1 o n t h e R i e m a n n s u r f a c e d e s c r i b e d

i n E x a m p l e 2 , S e c . 9 2 , f o r z 1 / 2 , w h e r e t h e u p p e r h a l f o f t h a t c i r c l e l i e s o n t h e s h e e t R e

a n d t h e l o w e r h a l f o n R I . N o t e t h a t , f o r e a c h p o i n t z o n C , o n e c a n w r i t e

2

w h e r e

4 7 r -

n

< 0 < 4 n

2

S t a t e w h y i t f o l l o w s t h a t

C

I / 2 d z

= 0 .

G e n e r a l i z e t h i s r e s u l t t o f i t t h e c a s e o f t h e o t h e r s i m p l e c l o s e d c u r v e s t h a t c r o s s f r o m o n e

s h e e t t o a n o t h e r w i t h o u t e n c l o s i n g t h e b r a n c h p o i n t s . G e n e r a l i z e t o o t h e r f u n c t i o n s , t h u s

e x t e n d i n g t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m t o i n t e g r a l s o f m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n s .

9 3 , S U R F A C E S F O R R E L A T E D F U N C T I O N S

W e c o n s i d e r h e r e R i e m a n n s u r f a c e s f o r t w o c o m p o s i t e f u n c t i o n s i n v o l v i n g s i m p l e

p o l y n o m i a l s a n d t h e s q u a r e r o o t f u n c t i o n .

S E C . 9 3

S U R F A C E S F O R R E L A T E D F U N C T I O N S 3 3 9

E X A M P L E 1 .

L e t u s d e s c r i b e a R i e m a n n s u r f a c e f o r t h e d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n

( 1 )

f ( z ) =

( z 2 _ 1 ) 1 / 2 =

r l r 2 e x p

t ( 8

2

0 2 )

w h e r e z - 1 = r 1 e x p ( i 0 1 ) a n d z + 1 = r 2 e x p ( i 0 2 ) . A b r a n c h o f t h i s f u n c t i o n , w i t h t h e

l i n e s e g m e n t P , P 2 b e t w e e n t h e b r a n c h p o i n t s z = ± I a s a b r a n c h c u t ( F i g . 1 2 7 ) , w a s

d e s c r i b e d i n E x a m p l e 2 , S e c . 9 1 . T h a t b r a n c h i s a s w r i t t e n a b o v e , w i t h t h e r e s t r i c t i o n s

r k > 0 , 0 < 6 k < 2 7 r ( k = 1 , 2 ) a n d r T + r 2 > 2 . T h e b r a n c h i s n o t d e f i n e d o n t h e

s e g m e n t P I P 2 .

F I G U R E 1 2 7

A R i e m a n n s u r f a c e f o r t h e d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n ( 1 ) m u s t c o n s i s t o f t w o s h e e t s

o f R o a n d R 1 . L e t b o t h s h e e t s b e c u t a l o n g t h e s e g m e n t P 1 P 2 . T h e l o w e r e d g e o f t h e

s l i t i n R o i s t h e n j o i n e d t o t h e u p p e r e d g e o f t h e s l i t i n R 1 , a n d t h e l o w e r e d g e i n R I i s

j o i n e d t o t h e u p p e r e d g e i n R o .

O n t h e s h e e t R 0 , l e t t h e a n g l e s 0 1 a n d 0 2 r a n g e f r o m 0 t o 2 7 r . I f a p o i n t o n t h e

s h e e t R o d e s c r i b e s a s i m p l e c l o s e d c u r v e t h a t e n c l o s e s t h e s e g m e n t P I P 2 o n c e i n t h e

c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n , t h e n b o t h 0 1 a n d 0 2 c h a n g e b y t h e a m o u n t 2 7 r u p o n t h e

r e t u r n o f t h e p o i n t t o i t s o r i g i n a l p o s i t i o n . T h e c h a n g e i n ( 0 1 + 0 2 ) / 2 i s a l s o 2 7 r , a n d

t h e v a l u e o f f i s u n c h a n g e d . I f a p o i n t s t a r t i n g o n t h e s h e e t R o d e s c r i b e s a p a t h t h a t

p a s s e s t w i c e a r o u n d j u s t t h e b r a n c h p o i n t z = 1 , i t c r o s s e s f r o m t h e s h e e t R o o n t o t h e

s h e e t R 1 a n d t h e n b a c k o n t o t h e s h e e t R o b e f o r e i t r e t u r n s t o i t s o r i g i n a l p o s i t i o n . I n t h i s

c a s e , t h e v a l u e o f 0 1 c h a n g e s b y t h e a m o u n t 4 7 r , w h i l e t h e v a l u e o f 0 2 d o e s n o t c h a n g e

a t a l l . S i m i l a r l y , f o r a c i r c u i t t w i c e a r o u n d t h e p o i n t z = - 1 , t h e v a l u e o f 0 2 c h a n g e s

b y 4 7 r , w h i l e t h e v a l u e o f 0 1 r e m a i n s u n c h a n g e d . A g a i n , t h e c h a n g e i n ( 0 1 + 0 2 ) j 2 i s

2 7 r ; a n d t h e v a l u e o f f i s u n c h a n g e d . T h u s , o n t h e s h e e t R 0 , t h e r a n g e o f t h e a n g l e s 0 1

a n d 0 2 m a y b e e x t e n d e d b y c h a n g i n g b o t h 0 1 a n d 6 2 b y t h e s a m e i n t e g r a l m u l t i p l e o f

2 7 r o r b y c h a n g i n g j u s t o n e o f t h e a n g l e s b y a m u l t i p l e o f O a r . I n e i t h e r c a s e , t h e t o t a l

c h a n g e i n b o t h a n g l e s i s a n e v e n i n t e g r a l m u l t i p l e o f 2 7 r .

T o o b t a i n t h e r a n g e o f v a l u e s f o r 0 1 a n d 0 2 o n t h e s h e e t R 1 , w e n o t e t h a t i f a p o i n t

s t a r t s o n t h e s h e e t R o a n d d e s c r i b e s a p a t h a r o u n d j u s t o n e o f t h e b r a n c h p o i n t s o n c e , i t

c r o s s e s o n t o t h e s h e e t R 1 a n d d o e s n o t r e t u r n t o t h e s h e e t R 0 . I n t h i s c a s e , t h e v a l u e o f

o n e o f t h e a n g l e s i s c h a n g e d b y 2 7 r , w h i l e t h e v a l u e o f t h e o t h e r r e m a i n s u n c h a n g e d .

H e n c e o n t h e s h e e t R 1 o n e a n g l e c a n r a n g e f r o m 2 7 r t o 4 7 r , w h i l e t h e o t h e r r a n g e s f r o m

0 t o 2 7 r . T h e i r s u m t h e n r a n g e s f r o m 2 7 r t o 4 7 r , a n d t h e v a l u e o f ( 0 1 + 6 2 ) 1 2 , w h i c h i s

t h e a r g u m e n t o f f ( z ) , r a n g e s f r o m 7 r t o 2 7 r . A g a i n , t h e r a n g e o f t h e a n g l e s i s e x t e n d e d



3 4 0


C H A P . 8

b y c h a n g i n g t h e v a l u e o f j u s t o n e o f t h e a n g l e s b y a n i n t e g r a l m u l t i p l e o f 4 7 r o r b y

c h a n g i n g t h e v a l u e o f b o t h a n g l e s b y t h e s a m e i n t e g r a l m u l t i p l e o f 2 7 r .

T h e d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n ( 1 ) m a y n o w b e c o n s i d e r e d a s a s i n g l e - v a l u e d

f u n c t i o n o f t h e p o i n t s o n t h e R i e m a n n s u r f a c e j u s t c o n s t r u c t e d . T h e t r a n s f o r m a t i o n

w = f ( z ) m a p s e a c h o f t h e s h e e t s u s e d i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h a t s u r f a c e o n t o t h e

e n t i r e w p l a n e .

E X A M P L E 2 .

C o n s i d e r t h e d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n

( 2 )

. f ( z ) = [ z ( z

2

- 1 ) ] -

/ 2

=

i ( 8 + 8 1 + 8 2 )

r r i r 2 e x p

2

( F i g . 1 2 8 ) . T h e p o i n t s z = 0 . i 1 a r e b r a n c h p o i n t s o f t h i s f u n c t i o n . W e n o t e t h a t i f t h e

p o i n t z d e s c r i b e s a c i r c u i t t h a t i n c l u d e s a l l t h r e e o f t h o s e p o i n t s , t h e a r g u m e n t o f f ( z )

c h a n g e s b y t h e a n g l e 3 7 r a n d t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n t h u s c h a n g e s . C o n s e q u e n t l y , a

b r a n c h c u t m u s t r u n f r o m o n e o f t h o s e b r a n c h p o i n t s t o t h e p o i n t a t i n f i n i t y i n o r d e r t o

d e s c r i b e a s i n g l e - v a l u e d b r a n c h o f f . H e n c e t h e p o i n t a t i n f i n i t y i s a l s o a b r a n c h p o i n t ,

a s o n e c a n s h o w b y n o t i n g t h a t t h e f u n c t i o n f ( 1 / z ) h a s a b r a n c h p o i n t a t z = 0 .

L e t t w o s h e e t s b e c u t a l o n g t h e l i n e s e g m e n t L , f r o m z = - 1 t o z = 0 a n d a l o n g

t h e p a r t L I o f t h e r e a l a x i s t o t h e r i g h t o f t h e p o i n t z = 1 . W e s p e c i f y t h a t e a c h o f t h e

t h r e e a n g l e s 8 , 8 1 , a n d 8 2 m a y r a n g e f r o m 0 t o 2 7 r o n t h e s h e e t R p a n d f r o m 2 7 r t o

4 7 r o n t h e s h e e t R I . W e a l s o s p e c i f y t h a t t h e a n g l e s c o r r e s p o n d i n g t o a p o i n t o n e i t h e r

s h e e t m a y b e c h a n g e d b y i n t e g r a l m u l t i p l e s o f 2 7 r i n s u c h a w a y t h a t t h e s u m o f t h e

t h r e e a n g l e s c h a n g e s b y a n i n t e g r a l m u l t i p l e o f 4 n . T h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n f i s ,

t h e r e f o r e , u n a l t e r e d .

A R i e m a n n s u r f a c e f o r t h e d o u b l e - v a l u e d f u n c t i o n ( 2 ) i s o b t a i n e d b y j o i n i n g t h e

l o w e r e d g e s i n R O o f t h e s l i t s a l o n g L 1 a n d L 2 t o t h e u p p e r e d g e s i n R I o f t h e s l i t s

a l o n g L 1 a n d L 2 , r e s p e c t i v e l y . T h e l o w e r e d g e s i n R 1 o f t h e s l i t s a l o n g L 1 a n d L 2 a r e

t h e n j o i n e d t o t h e u p p e r e d g e s i n R p o f t h e s l i t s a l o n g L I a n d L 2 . r e s p e c t i v e l y . I t i s

r e a d i l y v e r i f i e d w i t h t h e a i d o f F i g . 1 2 8 t h a t o n e b r a n c h o f t h e f u n c t i o n i s r e p r e s e n t e d

b y i t s v a l u e s a t p o i n t s o n R a a n d t h e o t h e r b r a n c h a t p o i n t s o n R I .

F I G U R E 1 2 8

E X E R C I S E S

1 . D e s c r i b e a R i e m a n n s u r f a c e f o r t h e t r i p l e - v a l u e d f u n c t i o n w = ( z - 1 ) 1 1 3 , a n d p o i n t o u t

w h i c h t h i r d o f t h e w p l a n e r e p r e s e n t s t h e i m a g e o f e a c h s h e e t o f t h a t s u r f a c e .

S E C . 9 3

E X E R C I S E S

3 4 1

2 . C o r r e s p o n d i n g t o e a c h p o i n t o n t h e R i e m a n n s u r f a c e d e s c r i b e d i n E x a m p l e 2 , S e c . 9 3 ,

f o r t h e f u n c t i o n w = f ( z ) i n t h a t e x a m p l e , t h e r e i s j u s t o n e v a l u e o f w . S h o w t h a t ,

c o r r e s p o n d i n g t o e a c h v a l u e o f w , t h e r e a r e , i n g e n e r a l , t h r e e p o i n t s o n t h e s u r f a c e .

3 . D e s c r i b e a R i e m a n n s u r f a c e f o r t h e m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n

f ( Z )

4 . N o t e t h a t t h e R i e m a n n s u r f a c e d e s c r i b e d i n E x a m p l e 1 , S e c . 9 3 , f o r

( z 2

-

1 ) 1 / 2 i s a l s o a

R i e m a n n s u r f a c e f o r t h e f u n c t i o n

g ( Z ) = Z + ( Z 2 -

1 ) 1 / 2 .

L e t f o d e n o t e t h e b r a n c h o f ( z 2 - 1 )

1 / 2 d e f i n e d

o n t h e s h e e t R o , a n d s h o w t h a t t h e b r a n c h e s

g o a n d g 1 o f g o n t h e t w o s h e e t s a r e g i v e n b y t h e e q u a t i o n s

g o ( z ) =

g l ( z )

=

z + . f o ( z ) .

5 . I n E x e r c i s e 4 , t h e b r a n c h f o o f ( z 2 - 1 )

1 / 2

c a n b e d e s c r i b e d b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n

. f o ( z ) =

r l r 2

( e x p i 1 1 ) ( e x p i o

w h e r e 0 1 a n d 0 2 r a n g e f r o m 0 t o 2 7 r a n d

z - 1

r 1 e x p ( i 0 1 ) , z + 1 = r 2 e x p ( i 0 2 ) .

N o t e t h a t 2 z = r 1 e x p ( i 9 1 ) + r 2 e x p ( i 0 2 ) , a n d s h o w t h a t t h e b r a n c h g o o f t h e f u n c t i o n

g ( z ) = z + ( z 2 - 1 ) 1 / 2 c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

i O

l

g o ( z ) = - (

r I e x p

+

2

F i n d g o ( z ) g o ( z ) , a n d n o t e t h a t r 1 + r 2 > 2 a n d c o s [ ( 0 1 - 9 2 ) / 2 ] > 0 f o r a l l z , t o p r o v e t h a t

I g o ( z ) I > 1 . T h e n s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z + ( z 2 - 1 ) 1 / 2 m a p s t h e s h e e t R o o f

t h e R i e m a n n s u r f a c e o n t o t h e r e g i o n I w l > 1 , t h e s h e e t R 1 o n t o t h e r e g i o n I w I < 1 , a n d t h e

b r a n c h c u t b e t w e e n t h e p o i n t s z = ± 1 o n t o t h e c i r c l e I w I = 1 . N o t e t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

u s e d h e r e i s a n i n v e r s e o f t h e t r a n s f o r m a t i o n

z = - ( W + -

C H A P T E R

9

C O N F O R M A L M A P P I N G

I n t h i s c h a p t e r , w e i n t r o d u c e a n d d e v e l o p t h e c o n c e p t o f a c o n f o r m a l m a p p i n g , w i t h e m -

p h a s i s o n c o n n e c t i o n s b e t w e e n s u c h m a p p i n g s a n d h a r m o n i c f u n c t i o n s . A p p l i c a t i o n s

t o p h y s i c a l p r o b l e m s w i l l f o l l o w i n t h e n e x t c h a p t e r .

9 4 . P R E S E R V A T I O N O F A N G L E S

L e t C b e a s m o o t h a r e ( S e c . 3 8 ) , r e p r e s e n t e d b y t h e e q u a t i o n

z = z ( t )

( a < t < b ) ,

a n d l e t f ( z ) b e a f u n c t i o n d e f i n e d a t a l l p o i n t s z o n C . T h e e q u a t i o n

z

< b )

i s a p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i m a g e F o f C u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) .

S u p p o s e t h a t C p a s s e s t h r o u g h a p o i n t z o = z ( t o ) ( a < t o < b ) a t w h i c h f i s

a n a l y t i c a n d t h a t f ' ( z o ) A 0 . A c c o r d i n g t o t h e c h a i n r u l e g i v e n i n E x e r c i s e 5 , S e c .

3 8 , i f w ( t ) = f [ z ( t ) ] , t h e n

. f ` [ z ( t a ) ] z ` ( t a

a n d t h i s m e a n s t h a t ( s e e S e c . 7 )

( 2 )

a r g w ` ( t o

t

o ) j + a r g z t t a

3 4 3



3 4 4


C H A P . 9

S t a t e m e n t ( 2 ) i s u s e f u l i n r e l a t i n g t h e d i r e c t i o n s o f C a n d F a t t h e p o i n t s

z 0 a n d

w 0 = f ( z 0 ) , r e s p e c t i v e l y .

T o b e s p e c i f i c , l e t * 0 d e n o t e a v a l u e o f a r g f ' ( z 0 ) , a n d l e t 0 0 b e t h e a n g l e o f

i n c l i n a t i o n o f a d i r e c t e d l i n e t a n g e n t t o C a t z 0 ( F i g . 1 2 9 ) . A c c o r d i n g t o S e c . 3 8 , 0 0 i s

a v a l u e o f a r g z ' ( t 0 ) ; a n d i t f o l l o w s f r o m s t a t e m e n t ( 2 ) t h a t t h e q u a n t i t y

0 0 - * 0 + 0 0

i s a v a l u e o f a r g w ' ( t 0 ) a n d i s , t h e r e f o r e , t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f a d i r e c t e d l i n e

t a n g e n t t o F a t t h e p o i n t w 0 = f ( z 0 ) . H e n c e t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e d i r e c t e d

l i n e a t w 0 d i f f e r s f r o m t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e d i r e c t e d l i n e a t z 0 b y t h e a n g l e

o f r o t a t i o n

F I G U R E 1 2 9

0 0 =

' 0 + 0 0 .

N o w l e t C 1 a n d C 2 b e t w o s m o o t h a r c s p a s s i n g t h r o u g h z 0 , a n d l e t 0 1 a n d 0 2 b e

a n g l e s o f i n c l i n a t i o n o f d i r e c t e d l i n e s t a n g e n t t o C 1 a n d C 2 , r e s p e c t i v e l y , a t

z 0 . W e

k n o w f r o m t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h t h a t t h e q u a n t i t i e s

0 1 = ' 0 + 0 1 a n d 0 2 = * 0 + 0 2

a r e a n g l e s o f i n c l i n a t i o n o f d i r e c t e d l i n e s t a n g e n t t o t h e i m a g e c u r v e s F 1 a n d F 2 ,

r e s p e c t i v e l y , a t t h e p o i n t w 0 = f ( z 0 ) . T h u s 0 2 - f i t = 0 2

- 0 1 ; t h a t i s , t h e a n g l e q 5 2 - 0 1

f r o m F 1 t o 1 , 2 i s t h e s a m e i n m a g n i t u d e a n d s e n s e a s t h e a n g l e 0 2

- 0 1 f r o m C 1 t o C 2 .

T h o s e a n g l e s a r e d e n o t e d b y a i n F i g . 1 3 0 .

B e c a u s e o f t h i s a n g l e - p r e s e r v i n g p r o p e r t y , a t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) i s s a i d t o

b e c o n f o r m a l a t a p o i n t z 0 i f f i s a n a l y t i c t h e r e a n d f ' ( z 0 )

0 . S u c h a t r a n s f o r m a t i o n

F I G U R E 1 3 0



S E C . 9 4

P R E S E R V A T I O N O F A N G L E S 3 4 5

i s a c t u a l l y c o n f o r m a l a t e a c h p o i n t i n a n e i g h b o r h o o d o f z 0 . F o r f m u s t b e a n a l y t i c i n

a n e i g h b o r h o o d o f z a ( S e c . 2 3 ) ; a n d , s i n c e f ' i s c o n t i n u o u s a t z a ( S e c . 4 8 ) , i t f o l l o w s

f r o m T h e o r e m 2 i n S e c . 1 7 t h a t t h e r e i s a l s o a n e i g h b o r h o o d o f t h a t p o i n t t h r o u g h o u t

w h i c h f ' ( z ) A 0 .

A t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) , d e f i n e d o n a d o m a i n D , i s r e f e r r e d t o a s a c o n f o r m a l

t r a n s f o r m a t i o n , o r c o n f o r m a l m a p p i n g , w h e n i t i s c o n f o r m a l a t e a c h p o i n t i n D . T h a t

i s , t h e m a p p i n g i s c o n f o r m a l i n D i f f i s a n a l y t i c i n D a n d i t s d e r i v a t i v e f h a s n o

z e r o s t h e r e . E a c h o f t h e e l e m e n t a r y f u n c t i o n s s t u d i e d i n C h a p . 3 c a n b e u s e d t o d e f i n e

a t r a n s f o r m a t i o n t h a t i s c o n f o r m a l i n s o m e d o m a i n .

E X A M P L E 1 .

T h e m a p p i n g w = e Z i s c o n f o r m a l t h r o u g h o u t t h e e n t i r e z p l a n e s i n c e

( e z ) ' = e z , A 0 f o r e a c h z . C o n s i d e r a n y t w o l i n e s x = c l a n d y = c 2 i n t h e z p l a n e , t h e

f i r s t d i r e c t e d u p w a r d a n d t h e s e c o n d d i r e c t e d t o t h e r i g h t . A c c o r d i n g t o S e c . 1 3 , t h e i r

i m a g e s u n d e r t h e m a p p i n g w = e z a r e a p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e c e n t e r e d a t t h e o r i g i n

a n d a r a y f r o m t h e o r i g i n , r e s p e c t i v e l y . A s i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 0 ( S e c . 1 3 ) , t h e a n g l e

b e t w e e n t h e l i n e s a t t h e i r p o i n t o f i n t e r s e c t i o n i s a r i g h t a n g l e i n t h e n e g a t i v e d i r e c t i o n ,

a n d t h e s a m e i s t r u e o f t h e a n g l e b e t w e e n t h e c i r c l e a n d t h e r a y a t t h e c o r r e s p o n d i n g

p o i n t i n t h e w p l a n e . T h e c o n f o r m a l i t y o f t h e m a p p i n g w = e Z i s a l s o i l l u s t r a t e d i n

F i g s . 7 a n d 8 o f A p p e n d i x 2 .

E X A M P L E 2 .

C o n s i d e r t w o s m o o t h a r c s w h i c h a r e l e v e l c u r v e s u ( x , y ) = c

v ( x , y ) = c 2 o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s , r e s p e c t i v e l y , o f a f u n c t i o n

f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) ,

a n d s u p p o s e t h a t t h e y i n t e r s e c t a t a p o i n t z a w h e r e f i s a n a l y t i c a n d f ' ( z o ) ; 0 . T h e

t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) i s c o n f o r m a l a t z a a n d m a p s t h e s e a r c s i n t o t h e l i n e s u = c r

a n d v = c 2 , w h i c h a r e o r t h o g o n a l a t t h e p o i n t w p = f ( z a ) . A c c o r d i n g t o o u r t h e o r y ,

t h e n , t h e a r c s m u s t b e o r t h o g o n a l a t Z . T h i s h a s a l r e a d y b e e n v e r i f i e d a n d i l l u s t r a t e d

i n E x e r c i s e s 7 t h r o u g h 1 1 o f S e c . 2 5 .

A m a p p i n g t h a t p r e s e r v e s t h e m a g n i t u d e o f t h e a n g l e b e t w e e n t w o s m o o t h a r c s

b u t n o t n e c e s s a r i l y t h e s e n s e i s c a l l e d a n i s o g o n a l m a p p i n g .

E X A M P L E 3 .

T h e t r a n s f o r m a t i o n w = Z , w h i c h i s a r e f l e c t i o n i n t h e r e a l a x i s ,

i s i s o g o n a l b u t n o t c o n f o r m a l . I f i t i s f o l l o w e d b y a c o n f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n , t h e

r e s u l t i n g t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) i s a l s o i s o g o n a l b u t n o t c o n f o r m a l .

S u p p o s e t h a t f i s n o t a c o n s t a n t f u n c t i o n a n d i s a n a l y t i c a t a p o i n t z a . I f , i n

a d d i t i o n , f ' ( z o ) = 0 , t h e n z o i s c a l l e d a c r i t i c a l p o i n t o f t h e t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) .

E X A M P L E 4 .

T h e p o i n t z = 0 i s a c r i t i c a l p o i n t o f t h e t r a n s f o r m a t i o n

w =



3 4 6 C O N F O R M A L M A P P I N G

w h i c h i s a c o m p o s i t i o n o f t h e m a p p i n g s

Z = z 2 a n d w = 1 + Z .

C H A P . 9

A r a y 0 = a f r o m t h e p o i n t z = 0 i s e v i d e n t l y m a p p e d o n t o t h e r a y f r o m t h e p o i n t

w = 1 w h o s e a n g l e o f i n c l i n a t i o n i s 2 a . M o r e o v e r , t h e a n g l e b e t w e e n a n y t w o r a y s

d r a w n f r o m t h e c r i t i c a l p o i n t z = 0 i s d o u b l e d b y t h e t r a n s f o r m a t i o n .

M o r e g e n e r a l l y , i t c a n b e s h o w n t h a t i f z o i s a c r i t i c a l p o i n t o f a t r a n s f o r m a t i o n

w = f ( z ) , t h e r e i s a n i n t e g e r m ( m > 2 ) s u c h t h a t t h e a n g l e b e t w e e n a n y t w o s m o o t h

a r c s p a s s i n g t h r o u g h z o i s m u l t i p l i e d b y m u n d e r t h a t t r a n s f o r m a t i o n , T h e i n t e g e r m i s

t h e s m a l l e s t p o s i t i v e i n t e g e r s u c h t h a t f ( m ) ( z o ) ; 0 . V e r i f i c a t i o n o f t h e s e f a c t s i s l e f t

t o t h e e x e r c i s e s .

9 5 . S C A L E F A C T O R S

A n o t h e r p r o p e r t y o f a t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) t h a t i s c o n f o r m a l a t a p o i n t z o i s

o b t a i n e d b y c o n s i d e r i n g t h e m o d u l u s o f f ' ( z o ) . F r o m t h e d e f i n i t i o n o f d e r i v a t i v e a n d a

p r o p e r t y o f l i m i t s i n v o l v i n g m o d u l i t h a t w a s d e r i v e d i n E x e r c i s e 7 , S e c . 1 7 , w e k n o w

t h a t

( 1 )

I f ' ( z o ) I

, f ( z ) - , f ( z o )

z - z o

= l i m

I f ( z ) - . f ( z o ) I

z - z o

I z - z o l

N o w I z - z o l i s t h e l e n g t h o f a l i n e s e g m e n t j o i n i n g z o a n d z , a n d I f ( z )

- f ( z o ) I i s t h e

l e n g t h o f t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g t h e p o i n t s f ( z o ) a n d f ( z ) i n t h e w p l a n e . E v i d e n t l y ,

t h e n , i f z i s n e a r t h e p o i n t z o , t h e r a t i o

I f ( z ) - f ( z o ) I

I z - z o I

o f t h e t w o l e n g t h s i s a p p r o x i m a t e l y t h e n u m b e r I f ' ( z o ) I . N o t e t h a t I f ' ( z o ) I r e p r e s e n t s

a n e x p a n s i o n i f i t i s g r e a t e r t h a n u n i t y a n d a c o n t r a c t i o n i f i t i s l e s s t h a n u n i t y .

A l t h o u g h t h e a n g l e o f r o t a t i o n a r g f ' ( z ) ( S e c . 9 4 ) a n d t h e s c a l e f a c t o r I f ' ( z ) I

v a r y , i n g e n e r a l , f r o m p o i n t t o p o i n t , i t f o l l o w s f r o m t h e c o n t i n u i t y o f f ' t h a t t h e i r

v a l u e s a r e a p p r o x i m a t e l y a r g f ' ( z o ) a n d I f ' ( z o ) I a t p o i n t s z n e a r z o . H e n c e t h e i m a g e

o f a s m a l l r e g i o n i n a n e i g h b o r h o o d o f z o c o n f o r m s t o t h e o r i g i n a l r e g i o n i n t h e s e n s e

t h a t i t h a s a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e s h a p e . A l a r g e r e g i o n m a y , h o w e v e r , b e t r a n s f o r m e d

i n t o a r e g i o n t h a t b e a r s n o r e s e m b l a n c e t o t h e o r i g i n a l o n e .

E X A M P L E . W h e n f ( z ) = z 2 , t h e t r a n s f o r m a t i o n

2 - y 2 + i 2 x y

S E C . 9 5

S C A L E F A C T O R S

3 4 7

i s c o n f o r m a l a t t h e p o i n t z = 1 + i , w h e r e t h e h a l f l i n e s

y = x ( x > 0 ) a n d x = 1 ( x > O )

i n t e r s e c t . W e d e n o t e t h o s e h a l f l i n e s b y C 1 a n d C 2 , w i t h p o s i t i v e s e n s e u p w a r d , a n d

o b s e r v e t h a t t h e a n g l e f r o m C 1 t o C 2 i s i r f 4 a t t h e i r p o i n t o f i n t e r s e c t i o n ( F i g . 1 3 1 ) .

S i n c e t h e i m a g e o f a p o i n t z = ( x , y ) i s a p o i n t i n t h e w p l a n e w h o s e r e c t a n g u l a r

c o o r d i n a t e s a r e

u = x 2 - y 2 a n d

v = 2 x y ,

t h e h a l f l i n e C 1 i s t r a n s f o r m e d i n t o t h e c u r v e F 1 w i t h p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

( 2 )

u = 0 ,

v = 2 x 2 ( 0 < x

T h u s F 1 i s t h e u p p e r h a l f v > 0 o f t h e v a x i s . T h e h a l f l i n e C 2 i s t r a n s f o r m e d i n t o t h e

c u r v e 1 2 r e p r e s e n t e d b y t h e e q u a t i o n s

( 3 )

u = l - y 2 , v = 2 y

( O < y < o o ) .

H e n c e 1 2 i s t h e u p p e r h a l f o f t h e p a r a b o l a v 2 = - 4 ( u - 1 ) . N o t e t h a t , i n e a c h c a s e ,

t h e p o s i t i v e s e n s e o f t h e i m a g e c u r v e i s u p w a r d .

F I G U R E 1 3 1

w = z ° .

I f u a n d v a r e t h e v a r i a b l e s i n r e p r e s e n t a t i o n ( 3 ) f o r t h e i m a g e c u r v e F 2 , t h e n

d v d v f d y

2

_ 2

d u

d u f d y - 2 y v

I n p a r t i c u l a r , d v J d u = - 1 w h e n v = 2 . C o n s e q u e n t l y , t h e a n g l e f r o m t h e i m a g e c u r v e

1 ' , t o t h e i m a g e c u r v e F 2 a t t h e p o i n t w = f ( 1 + i ) = 2 i i s 7 r / 4 , a s r e q u i r e d b y t h e

c o n f o r m a l i t y o f t h e m a p p i n g a t z = 1 + i . A s a n t i c i p a t e d , t h e a n g l e o f r o t a t i o n , 7 r / 4 a t

t h e p o i n t z = 1 + i i s a v a l u e o f

g [ f ` ( 1 + i ) ] = a r g [ 2 ( l

7 r

4

2 n i r

T h e s c a l e f a c t o r a t t h a t p o i n t i s t h e n u m b e r

I = 1 2 ( l + i ) I = 2 v t 2 .



3 4 8


C H A P . 9

T o i l l u s t r a t e h o w t h e a n g l e o f r o t a t i o n a n d t h e s c a l e f a c t o r c a n c h a n g e f r o m p o i n t

t o p o i n t , w e n o t e t h a t t h e y a r e 0 a n d 2 , r e s p e c t i v e l y , a t t h e p o i n t z = I s i n c e

f ' ( 1 ) = 2 .

S e e F i g . 1 3 1 , w h e r e t h e c u r v e s C 2 a n d 1 2 a r e t h e o n e s j u s t d i s c u s s e d a n d w h e r e t h e

n o n n e g a t i v e x a x i s C 3 i s t r a n s f o r m e d i n t o t h e n o n n e g a t i v e u a x i s F 3 .

9 6 . L O C A L I N V E R S E S

A t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) t h a t i s c o n f o r m a l a t a p o i n t z 0 h a s a l o c a l i n v e r s e t h e r e . T h a t

i s , i f w 0 = f ( z 0 ) , t h e n t h e r e e x i s t s a u n i q u e t r a n s f o r m a t i o n z = g ( w ) , w h i c h i s d e f i n e d

a n d a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d N o f w 0 , s u c h t h a t g ( w 0 ) = z 0 a n d f [ g ( w ) ] = w f o r

a l l p o i n t s w i n N . T h e d e r i v a t i v e o f g ( w ) i s , m o r e o v e r ,

1 )

g

'

( z )

W e n o t e f r o m e x p r e s s i o n ( 1 ) t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n z = g ( w ) i s i t s e l f c o n f o r m a l a t

w 0 .

A s s u m i n g t h a t w = f ( z ) i s , i n f a c t , c o n f o r m a l a t z 0 , l e t u s v e r i f y t h e e x i s t e n c e

o f s u c h a n i n v e r s e , w h i c h i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f r e s u l t s i n a d v a n c e d c a l c u l u s . * A s

n o t e d i n S e c . 9 4 , t h e c o n f o r m a l i t y o f t h e t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) a t z 0 i m p l i e s t h a t

t h e r e i s s o m e n e i g h b o r h o o d o f z 0 t h r o u g h o u t w h i c h f i s a n a l y t i c . H e n c e i f w e w r i t e

z = x + i y ,

z 0 = x 0 + i y 0 ,

a n d f ( z ) = u ( x , y ) + i t ) ( x , y ) ,

w e k n o w t h a t t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d o f t h e p o i n t ( x 0 , y 0 )

t h r o u g h o u t w h i c h t h e

f u n c t i o n s u ( x , y ) a n d v ( x , y ) a l o n g w i t h t h e i r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f a l l o r d e r s , a r e

c o n t i n u o u s ( s e e S e c . 4 8 ) .

N o w t h e p a i r o f e q u a t i o n s

( 2 ) u = u ( x , y ) ,

v = v ( x , y )

r e p r e s e n t s a t r a n s f o r m a t i o n f r o m t h e n e i g h b o r h o o d j u s t m e n t i o n e d i n t o t h e u v p l a n e .

M o r e o v e r . t h e d e t e r m i n a n t

u y

= u x V y

-

v x u y >

Y

w h i c h i s k n o w n a s t h e J a c o b i a n o f t h e t r a n s f o r m a t i o n , i s n o n z e r o a t t h e p o i n t ( x 0 , y 0 ) .

F o r , i n v i e w o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s u x = v y a n d u y = - v x , o n e c a n w r i t e

J a s

* T h e r e s u l t s f r o m a d v a n c e d c a l c u l u s t o b e u s e d h e r e a p p e a r i n , f o r i n s t a n c e , A . E . T a y l o r a n d W . R .

' ( w )

1

n , " A d v a n c e d C a l c u l u s , " 3 d e d . , p p . 2 4 1 - 2 4 7 , 1 9 8 3 ,

S E C . 9 6

L O C A L I N V E R S E S

3 4 9

a n d f ' ( z o ) 0 0 s i n c e t h e t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) i s c o n f o r m a l a t z o . T h e a b o v e c o n -

t i n u i t y c o n d i t i o n s o n t h e f u n c t i o n s u ( x , y ) a n d v ( x , y ) a n d t h e i r d e r i v a t i v e s , t o g e t h e r

w i t h t h i s c o n d i t i o n o n t h e J a c o b i a n , a r e s u f f i c i e n t t o e n s u r e t h e e x i s t e n c e o f a l o c a l

i n v e r s e o f t r a n s f o r m a t i o n ( 2 ) a t ( x o , y o ) . T h a t i s , i f

( 3 )

u o = u ( x o , y o )

a n d

v o = v ( x o , y o ) ,

t h e n t h e r e i s a u n i q u e c o n t i n u o u s t r a n s f o r m a t i o n

( 4 )

X = x ( u , v ) ,

y = y ( u , v ) ,

d e f i n e d o n a n e i g h b o r h o o d N o f t h e p o i n t ( u o , v o ) a n d m a p p i n g t h a t p o i n t o n t o ( x o , y o ) ,

s u c h t h a t e q u a t i o n s ( 2 ) h o l d w h e n e q u a t i o n s ( 4 ) h o l d . A l s o , i n a d d i t i o n t o b e i n g

c o n t i n u o u s , t h e f u n c t i o n s ( 4 ) h a v e c o n t i n u o u s f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s s a t i s f y i n g

t h e e q u a t i o n s

( 5 )

1

1

1

_ 1

x u = J v y ,

f u y ,

Y u = ' - - v x ,

y v =

t h r o u g h o u t N .

I f w e w r i t e w = u + i v a n d w o = u o + i v o , a s w e l l a s

( 6 )

g ( w ) = x ( u , v ) + i y ( u , v ) ,

t h e t r a n s f o r m a t i o n z

g ( w ) i s e v i d e n t l y t h e l o c a l i n v e r s e o f t h e o r i g i n a l t r a n s f o r m a t i o n

w = f ( z ) a t z o . T r a n s f o r m a t i o n s ( 2 ) a n d ( 4 ) c a n b e w r i t t e n

u - } - i v = u ( x , y ) + i v ( x , y )

a n d x + i y = x ( u , v ) - I - i y ( u ,

a n d t h e s e l a s t t w o e q u a t i o n s a r e t h e s a m e a s

z

a n d z = g ( w ) ,

w h e r e g h a s t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s . E q u a t i o n s ( 5 ) c a n b e u s e d t o s h o w t h a t g i s a n a l y t i c

i n N . D e t a i l s a r e l e f t t o t h e e x e r c i s e s , w h e r e e x p r e s s i o n ( 1 ) f o r g ( w ) i s a l s o d e r i v e d .

E X A M P L E . W e s a w i n E x a m p l e 1 , S e c . 9 4 , t h a t i f f ( z ) = e z , t h e t r a n s f o r m a t i o n

w = f ( z ) i s c o n f o r m a l e v e r y w h e r e i n t h e z p l a n e a n d , i n p a r t i c u l a r , a t t h e p o i n t

z o = 2 n i . T h e i m a g e o f t h i s c h o i c e o f z o i s t h e p o i n t w o = 1 . W h e n p o i n t s i n t h e w

p l a n e a r e e x p r e s s e d i n t h e f o r m w = p e x p ( i r b ) , t h e l o c a l i n v e r s e a t z o c a n b e o b t a i n e d

b y w r i t i n g g ( w ) = l o g w , w h e r e l o g w d e n o t e s t h e b r a n c h

l o g w = I n p + i i

( p > 0 , i r < 9 <

o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n , r e s t r i c t e d t o a n y n e i g h b o r h o o d o f w o t h a t d o e s n o t c o n t a i n

t h e o r i g i n . O b s e r v e t h a t

g ( 1 ) = I n 1 + i 2 n = 2 i

3 5 0 C O N F O R M A L M A P P I N G

a n d t h a t , w h e n w i s i n t h e n e i g h b o r h o o d ,

f [ g ( w ) ] = e x p ( l o g w

A l s o ,

g ( w ) = - l o g w

i n a c c o r d a n c e w i t h e q u a t i o n ( 1 ) .

N o t e t h a t , i f t h e p o i n t z Q = 0 i s c h o s e n , o n e c a n u s e t h e p r i n c i p a l b r a n c h

L o g w = I n p + i o ( p > 0 , - T r < 0 <

o f t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n t o d e f i n e g . I n t h i s c a s e , g ( l ) = 0 .

C H A P . 9

E X E R C I S E S

1 . D e t e r m i n e t h e a n g l e o f r o t a t i o n a t t h e p o i n t z = 2 + i w h e n t h e t r a n s f o r m a t i o n i s w = z 2 ,

a n d i l l u s t r a t e i t f o r s o m e p a r t i c u l a r c u r v e . S h o w t h a t t h e s c a l e f a c t o r o f t h e t r a n s f o r m a t i o n

a t t h a t p o i n t i s 2 , / 5 - .

2 . W h a t a n g l e o f r o t a t i o n i s p r o d u c e d b y t h e t r a n s f o r m a t i o n w = 1 / z a t t h e p o i n t

( a ) z = 1 ;

( b ) z = i ?

A n s . ( a ) 7 r ; ( b ) 0 .

3 . S h o w t h a t u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = I / z , t h e i m a g e s o f t h e l i n e s y = x - 1 a n d

y = 0 a r e t h e c i r c l e u 2 + v 2 - u - v = 0 a n d t h e l i n e v = 0 , r e s p e c t i v e l y . S k e t c h a l l f o u r

c u r v e s , d e t e r m i n e c o r r e s p o n d i n g d i r e c t i o n s a l o n g t h e m , a n d v e r i f y t h e c o n f o r m a l i t y o f

t h e m a p p i n g a t t h e p o i n t z = 1 .

4 . S h o w t h a t t h e a n g l e o f r o t a t i o n a t a n o n z e r o p o i n t z o = r 0 e x p ( i 0 v ) u n d e r t h e t r a n s f o r m a -

t i o n w = z n ( n = 1 , 2 , . . . ) i s ( n - 1 ) 0 0 . D e t e r m i n e t h e s c a l e f a c t o r o f t h e t r a n s f o r m a t i o n

a t t h a t p o i n t .

A n s . n r a - I

5 . S h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = s i n z i s c o n f o r m a l a t a l l p o i n t s e x c e p t

7 r

z =

2

+ n 7

( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . , ) .

N o t e t h a t t h i s i s i n a g r e e m e n t w i t h t h e m a p p i n g o f d i r e c t e d l i n e s e g m e n t s s h o w n i n F i g s .

9 , 1 0 , a n d 1 I o f A p p e n d i x 2 .

6 . F i n d t h e l o c a l i n v e r s e o f t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 2 a t t h e p o i n t

( a ) z 4 = 2 ;

( b ) z 0 = - 2 ;

( c ) z 0 = - i .

A n s . ( a ) w 1 1 2 = / e " t t 2 ( p > 0 , - T r < , o 0 , 2 T r < q < 4 T r ) .

7 . I n S e c . 9 6 , i t w a s p o i n t e d o u t t h a t t h e c o m p o n e n t s x ( u , v ) a n d y ( u , v ) o f t h e i n v e r s e

f u n c t i o n g ( w ) d e f i n e d b y e q u a t i o n ( 6 ) a r e c o n t i n u o u s a n d h a v e c o n t i n u o u s f i r s t - o r d e r



S E C . 9 7

H A R M O N I C C O N J U G A T E S

3 5 1

p a r t i a l d e r i v a t i v e s i n t h e n e i g h b o r h o o d N . U s e e q u a t i o n s ( 5 ) , S e c . 9 6 , t o s h o w t h a t t h e

C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s x = y , , , x _ - y u h o l d i n N . T h e n c o n c l u d e t h a t g ( w ) i s

a n a l y t i c i n t h a t n e i g h b o r h o o d .

8 . S h o w t h a t i f z = g ( w ) i s t h e l o c a l i n v e r s e o f a c o n f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) a t a

p o i n t Z 0 , t h e n

r

9

1

a t p o i n t s w i n t h e n e i g h b o r h o o d N w h e r e g i s a n a l y t i c ( E x e r c i s e 7 ) .

S u g g e s t i o n : S t a r t w i t h t h e f a c t t h a t f [ g ( w ) ] = w , a n d a p p l y t h e c h a i n r u l e f o r

d i f f e r e n t i a t i n g c o m p o s i t e f u n c t i o n s .

9 . L e t C b e a s m o o t h a r c l y i n g i n a d o m a i n D t h r o u g h o u t w h i c h a t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z )

i s c o n f o r m a l , a n d l e t F d e n o t e t h e i m a g e o f C u n d e r t h a t t r a n s f o r m a t i o n . S h o w t h a t r i s

a l s o a s m o o t h a r c .

1 0 . S u p p o s e t h a t a f u n c t i o n f i s a n a l y t i c a t z 0 a n d t h a t

f f f ( z 0 )

= . . . =

f t m - , U ( z o )

= 0 ,

f ( m )

( z 0 ) A 0

f o r s o m e p o s i t i v e i n t e g e r i n ( m > 1 ) . A l s o ,

w o = f ( z 0 )

U s e t h e T a y l o r s e r i e s f o r f a b o u t t h e p o i n t z o t o s h o w t h a t t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d

o f z 0 i n w h i c h t h e d i f f e r e n c e f ( z ) - w 0 c a n b e w r i t t e n

. f ( z ) - w 0 = ( z - z o ) . , s

j

[ 1 + g ( z ) ] ,

( b )

w h e r e g ( z ) i s c o n t i n u o u s a t z o a n d g ( z 0 ) = 0 .

L e t F b e t h e i m a g e o f a s m o o t h a r c C u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) , a s s h o w n

i n F i g . 1 2 9 ( S e c . 9 4 ) , a n d n o t e t h a t t h e a n g l e s o f i n c l i n a t i o n 8 0 a n d 0 0 i n t h a t f i g u r e

a r e l i m i t s o f a r g ( z - z 0 ) a n d a r g [ f ( z ) - w 0 ] , r e s p e c t i v e l y , a s z a p p r o a c h e s z o a l o n g

t h e a r c C . T h e n u s e t h e r e s u l t i n p a r t ( a ) t o s h o w t h a t 8 0 a n d 0 0 a r e r e l a t e d b y t h e

e q u a t i o n

. 0 0 = m $ 0 + a r g

z 0 ) .

( c ) L e t a d e n o t e t h e a n g l e b e t w e e n t w o s m o o t h a r c s C t a n d C 2 p a s s i n g t h r o u g h z o ,

a s s h o w n o n t h e l e f t i n F i g . 1 3 0 ( S e c . 9 4 ) . S h o w h o w i t f o l l o w s f r o m t h e r e l a t i o n

o b t a i n e d i n p a r t ( b ) t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g a n g l e b e t w e e n t h e i m a g e c u r v e s F I a n d

F 2 a t t h e p o i n t w 0 = f ( z o ) i s m a . ( N o t e t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n i s c o n f o r m a l a t z 0

w h e n m = 1 a n d t h a t z o i s a c r i t i c a l p o i n t w h e n m > 2 . )

9 7 . H A R M O N I C C O N J U G A T E S

W e s a w i n S e c . 2 5 t h a t i f a f u n c t i o n

. f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y )



3 5 2


C H A P . 9

i s a n a l y t i c i n a d o m a i n D , t h e n t h e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s u a n d v a r e h a r m o n i c i n t h a t

d o m a i n . T h a t i s , t h e y h a v e c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d o r d e r

i n D a n d s a t i s f y L a p l a c e ' s e q u a t i o n t h e r e :

u z x + u y y = 0 ,

v x z + V V V = 0 .

W e h a d s e e n e a r l i e r t h a t t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f u a n d v s a t i s f y t h e C a u c h y -

R i e m a n n e q u a t i o n s

( 2 )

u x = v y ,

u y

a n d , a s p o i n t e d o u t i n S e c . 2 5 , v i s c a l l e d a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u .

S u p p o s e n o w t h a t u ( x , y ) i s a n y g i v e n h a r m o n i c f u n c t i o n d e f i n e d o n a s i m p l y

c o n n e c t e d ( S e c . 4 6 ) d o m a i n D . I n t h i s s e c t i o n , w e s h o w t h a t u ( x , y ) a l w a y s h a s a

h a r m o n i c c o n j u g a t e v ( x , y ) i n D b y d e r i v i n g a n e x p r e s s i o n f o r v ( x , y ) .

T o a c c o m p l i s h t h i s , w e f i r s t r e c a l l s o m e i m p o r t a n t f a c t s a b o u t l i n e i n t e g r a l s i n

a d v a n c e d c a l c u l u s . * S u p p o s e t h a t P ( x , y ) a n d Q ( x , y ) h a v e c o n t i n u o u s f i r s t - o r d e r

p a r t i a l d e r i v a t i v e s i n a s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n D o f t h e x y p l a n e , a n d l e t ( x a , y o )

a n d ( x , y ) b e a n y t w o p o i n t s i n D . I f P , = Q x e v e r y w h e r e i n D , t h e n t h e l i n e i n t e g r a l

C

P ( s , t ) d s + Q ( s , t ) d

f r o m ( x 4 , y o ) t o ( x , y ) i s i n d e p e n d e n t o f t h e c o n t o u r C t h a t i s t a k e n a s l o n g a s t h e

c o n t o u r l i e s e n t i r e l y i n D , F u r t h e r m o r e , w h e n t h e p o i n t ( x a , y o ) i s k e p t

f i x e d a n d ( x , y )

i s a l l o w e d t o v a r y t h r o u g h o u t D , t h e i n t e g r a l r e p r e s e n t s a s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n

( a y )

( 3 )

F ( x , y ) =

P ( s , t ) d s + Q ( s , t ) d t

o f x a n d y w h o s e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s a r e g i v e n b y t h e e q u a t i o n s

( 4 )

F x ( x , y ) = P ( x , y ) ,

F y ( x , y ) = Q ( x , y ) -

N o t e t h a t t h e v a l u e o f F i s c h a n g e d b y a n a d d i t i v e c o n s t a n t w h e n a d i f f e r e n t p o i n t

( x a , y o ) i s t a k e n .

R e t u r n i n g t o t h e g i v e n h a r m o n i c f u n c t i o n u ( x , y ) , o b s e r v e h o w i t f o l l o w s f r o m

L a p l a c e ' s e q u a t i o n u x x + u V V = 0 t h a t

( - u y ) V = ( u x ) x

e v e r y w h e r e i n D . A l s o , t h e s e c o n d - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f u a r e c o n t i n u o u s i n D ;

a n d t h i s m e a n s t h a t t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f - u y a n d u x a r e c o n t i n u o u s

* S e e , f o r e x a m p l e , W . K a p l a n , " A d v a n c e d M a t h e m a t i c s f o r E n g i n e e r s , " p p . 5 4 6 - 5 5 0 , 1 9 9 2 .



S E C . 9 8

T R A N S F O R M A T I O N S O F H A R M O N I C F U N C T I O N S 3 5 3

t h e r e . T h u s , i f ( x 0 , y 0 ) i s a f i x e d p o i n t i n D , t h e f u n c t i o n

, Y )

( 5 )

v ( x , y ) = J

- u x ( s , t ) d s + u s ( s , t ) d t

( X 0 ' Y O )

i s w e l l d e f i n e d f o r a l l ( x , y ) i n D ; a n d , a c c o r d i n g t o e q u a t i o n s ( 4 ) ,

( 6 )

v x ( x , y ) = - u y ( x , Y ) ,

v y ( x , y ) = u x ( x , y ) .

T h e s e a r e t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s . S i n c e t h e f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f

u a r e c o n t i n u o u s , i t i s e v i d e n t f r o m e q u a t i o n s ( 6 ) t h a t t h o s e d e r i v a t i v e s o f v a r e a l s o

c o n t i n u o u s . H e n c e ( S e c . 2 1 ) u ( x , y ) + i v ( x , y ) i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n i n D ; a n d v i s ,

t h e r e f o r e , a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u .

T h e f u n c t i o n v d e f i n e d b y e q u a t i o n ( 5 ) i s , o f c o u r s e , n o t t h e o n l y h a r m o n i c

c o n j u g a t e o f u . T h e f u n c t i o n v ( x , y ) + c , w h e r e c i s a n y r e a l c o n s t a n t , i s a l s o a

h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u . [ R e c a l l E x e r c i s e 2 , S e c . 2 5 . ]

E X A M P L E . C o n s i d e r t h e f u n c t i o n a ( x , y ) = x y , w h i c h i s h a r m o n i c t h r o u g h o u t t h e

e n t i r e x y p l a n e . A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 5 ) , t h e f u n c t i o n

( x , y )

v ( x , y ) = f

- s d s + t d t

1 1 ( 0 , 0 )

i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u ( x , y ) . T h e i n t e g r a l h e r e i s r e a d i l y e v a l u a t e d b y i n s p e c t i o n .

I t c a n a l s o b e e v a l u a t e d b y i n t e g r a t i n g f i r s t a l o n g t h e h o r i z o n t a l p a t h f r o m t h e p o i n t

( 0 , 0 ) t o t h e p o i n t ( x , 0 ) a n d t h e n a l o n g t h e v e r t i c a l p a t h f r o m ( x , 0 ) t o t h e p o i n t ( x , y ) .

T h e r e s u l t i s

v ( x , y ) =

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g a n a l y t i c f u n c t i o n i s

. f ( z ) = x Y -

9 8 . T R A N S F O R M A T I O N S O F H A R M O N I C F U N C T I O N S

T h e p r o b l e m o f f i n d i n g a f u n c t i o n t h a t i s h a r m o n i c i n a s p e c i f i e d d o m a i n a n d s a t i s f i e s

p r e s c r i b e d c o n d i t i o n s o n t h e b o u n d a r y o f t h e d o m a i n i s p r o m i n e n t i n a p p l i e d m a t h e -

m a t i c s . I f t h e v a l u e s o f t h e f u n c t i o n a r e p r e s c r i b e d a l o n g t h e b o u n d a r y , t h e p r o b l e m

i s k n o w n a s a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o f t h e f i r s t k i n d , o r a D i r i c h l e t p r o b l e m . I f t h e

v a l u e s o f t h e n o r m a l d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n a r e p r e s c r i b e d o n t h e b o u n d a r y , t h e

b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i s o n e o f t h e s e c o n d k i n d , o r a N e u m a n n p r o b l e m . M o d i f i c a -

t i o n s a n d c o m b i n a t i o n s o f t h o s e t y p e s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l s o a r i s e .

T h e d o m a i n s m o s t f r e q u e n t l y e n c o u n t e r e d i n t h e a p p l i c a t i o n s a r e s i m p l y c o n -

n e c t e d ; a n d , s i n c e a f u n c t i o n t h a t i s h a r m o n i c i n a s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n a l w a y s

3 5 4


C H A P . 9

h a s a h a r m o n i c c o n j u g a t e ( S e c . 9 7 ) , s o l u t i o n s o f b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s f o r s u c h

d o m a i n s a r e t h e r e a l o r i m a g i n a r y p a r t s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s .

E X A M P L E 1 .

I n E x a m p l e 1 , S e c . 2 5 , w e s a w t h a t t h e f u n c t i o n

T ( x , y ) = e - y s i n x

s a t i s f i e s a c e r t a i n D i r i c h l e t p r o b l e m f o r t h e s t r i p 0 < x 0 a n d n o t e d t h a t i t

r e p r e s e n t s a s o l u t i o n o f a t e m p e r a t u r e p r o b l e m . T h e f u n c t i o n T ( x , y ) , w h i c h i s a c t u a l l y

h a r m o n i c t h r o u g h o u t t h e x y p l a n e , i s e v i d e n t l y t h e r e a l p a r t o f t h e e n t i r e f u n c t i o n

- y

s i n x - i

e - y

c o s x .

I t i s a l s o t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e e n t i r e f u n c t i o n e z .

S o m e t i m e s a s o l u t i o n o f a g i v e n b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m c a n b e d i s c o v e r e d b y

i d e n t i f y i n g i t a s t h e r e a l o r i m a g i n a r y p a r t o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n . B u t t h e s u c c e s s o f

t h a t p r o c e d u r e d e p e n d s o n t h e s i m p l i c i t y o f t h e p r o b l e m a n d o n o n e ' s f a m i l i a r i t y w i t h

t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f a v a r i e t y o f a n a l y t i c f u n c t i o n s . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m

i s a n i m p o r t a n t a i d .

T h e o r e m .

S u p p o s e t h a t a n a n a l y t i c f u n c t i o n

( 1 )

w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y )

m a p s a d o m a i n D z i n t h e z p l a n e o n t o a d o m a i n D w i n t h e w p l a n e . I f h ( u , v ) i s a

h a r m o n i c f u n c t i o n d e f i n e d o n D , t h e n t h e f u n c t i o n

( 2 )

H ( x , y ) = h [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ]

i s h a r m o n i c i n D .

W e f i r s t p r o v e t h e t h e o r e m f o r t h e c a s e i n w h i c h t h e d o m a i n D , , i s s i m p l y

c o n n e c t e d . A c c o r d i n g t o S e c . 9 7 , t h a t p r o p e r t y o f D w e n s u r e s t h a t t h e g i v e n h a r m o n i c

f u n c t i o n h ( u , v ) h a s a h a r m o n i c c o n j u g a t e g ( u , v ) . H e n c e t h e f u n c t i o n

( 3 )

c ( w ) = h ( u , v ) + i g ( u , v )

i s a n a l y t i c i n D w . S i n c e t h e f u n c t i o n f ( z ) i s a n a l y t i c i n D z , t h e c o m p o s i t e f u n c t i o n

( D [ f ( z ) ] i s a l s o a n a l y t i c i n D z . C o n s e q u e n t l y , t h e r e a l p a r t h [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ] o f t h i s

c o m p o s i t i o n i s h a r m o n i c i n D z .

I f D

W

i s n o t s i m p l y c o n n e c t e d , w e o b s e r v e t h a t e a c h p o i n t w 0 i n D . h a s a

n e i g h b o r h o o d I w - w 0 I < e l y i n g e n t i r e l y i n D w . S i n c e t h a t n e i g h b o r h o o d i s s i m p l y

c o n n e c t e d , a f u n c t i o n o f t h e t y p e ( 3 ) i s a n a l y t i c i n i t . F u r t h e r m o r e , s i n c e f i s c o n t i n u o u s

a t a p o i n t z Q i n D z w h o s e i m a g e i s w 0 , t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d I z - z 0 I < S w h o s e i m a g e

i s c o n t a i n e d i n t h e n e i g h b o r h o o d I w - w p I < e . H e n c e i t f o l l o w s t h a t t h e c o m p o s i t i o n

S E C . 9 9

T R A N S F O R M A T I O N S O F B O U N D A R Y C O N D I T I O N S

3 5 5

( D [ f ( z ) ] i s a n a l y t i c i n t h e n e i g h b o r h o o d ( z - z o l < 8 , a n d w e m a y c o n c l u d e t h a t

h [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ] i s h a r m o n i c t h e r e . F i n a l l y , s i n c e w 0 w a s a r b i t r a r i l y c h o s e n i n D w

a n d s i n c e e a c h p o i n t i n D z i s m a p p e d o n t o s u c h a p o i n t u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n

w = f ( z ) , t h e f u n c t i o n h [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ] m u s t b e h a r m o n i c t h r o u g h o u t D .

T h e p r o o f o f t h e t h e o r e m f o r t h e g e n e r a l c a s e i n w h i c h D w i s n o t n e c e s s a r i l y

s i m p l y c o n n e c t e d c a n a l s o b e a c c o m p l i s h e d d i r e c t l y b y m e a n s o f t h e c h a i n r u l e f o r

p a r t i a l d e r i v a t i v e s . T h e c o m p u t a t i o n s a r e , h o w e v e r , s o m e w h a t i n v o l v e d ( s e e E x e r c i s e

8 , S e c . 9 9 ) .

E X A M P L E 2 .

T h e f u n c t i o n h ( u , v ) = e - " s i n u i s h a r m o n i c i n t h e d o m a i n D w c o n -

s i s t i n g o f a l l p o i n t s i n t h e u p p e r h a l f p l a n e v > 0 ( s e e E x a m p l e 1 ) . I f t h e t r a n s f o r m a t i o n

i s w = z 2 , t h e n u ( x , y ) = x 2 - y 2 a n d v ( x , y ) = 2 x y ; m o r e o v e r , t h e d o m a i n D Z i n t h e

z p l a n e c o n s i s t i n g o f t h e p o i n t s i n t h e f i r s t q u a d r a n t x > 0 , y > 0 i s m a p p e d o n t o t h e

d o m a i n D w , a s s h o w n i n E x a m p l e 3 , S e c . 1 2 . H e n c e t h e f u n c t i o n

H ( x , y ) = e - 2 x y s i n ( x 2 - y 2 )

i s h a r m o n i c i n D .

E X A M P L E 3 .

C o n s i d e r t h e f u n c t i o n h ( u , v ) = I m w = v , w h i c h i s h a r m o n i c i n

t h e h o r i z o n t a l s t r i p - 7 r / 2 < v < 7 r / 2 . W e k n o w f r o m E x a m p l e 3 , S e c . 8 8 , t h a t t h e

t r a n s f o r m a t i o n w = L o g z m a p s t h e r i g h t h a l f p l a n e x > 0 o n t o t h a t s t r i p . H e n c e , b y

w r i t i n g

L o g z =

y 2

a r c t a n

y

x

w h e r e - i r / 2 < a r c t a n t < , 7 r / 2 , w e f i n d t h a t t h e f u n c t i o n

H ( x , y ) = a r c t a n

Y

x

i s h a r m o n i c i n t h e h a l f p l a n e x > 0 .

9 9 . T R A N S F O R M A T I O N S O F B O U N D A R Y C O N D I T I O N S

T h e c o n d i t i o n s t h a t a f u n c t i o n o r i t s n o r m a l d e r i v a t i v e h a v e p r e s c r i b e d v a l u e s a l o n g

t h e b o u n d a r y o f a d o m a i n i n w h i c h i t i s h a r m o n i c a r e t h e m o s t c o m m o n , a l t h o u g h n o t

t h e o n l y , i m p o r t a n t t y p e s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s . I n t h i s s e c t i o n , w e s h o w t h a t c e r t a i n

o f t h e s e c o n d i t i o n s r e m a i n u n a l t e r e d u n d e r t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h a

c o n f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n . T h e s e r e s u l t s w i l l b e u s e d i n C h a p . 1 0 t o s o l v e b o u n d a r y

v a l u e p r o b l e m s . T h e b a s i c t e c h n i q u e t h e r e i s t o t r a n s f o r m a g i v e n b o u n d a r y v a l u e

p r o b l e m i n t h e x y p l a n e i n t o a s i m p l e r o n e i n t h e u v p l a n e a n d t h e n t o u s e t h e t h e o r e m s

o f t h i s a n d t h e p r e c e d i n g s e c t i o n t o w r i t e t h e s o l u t i o n o f t h e o r i g i n a l p r o b l e m i n t e r m s

o f t h e s o l u t i o n o b t a i n e d f o r t h e s i m p l e r o n e .



3 5 6


T h e o r e m .

S u p p o s e t h a t a t r a n s f o r m a t i o n

( 1 )

z

= u ( x , Y ) + i v ( x , Y )

C H A P . 9

i s c o n f o r m a l o n a s m o o t h a r c C , a n d l e t r b e t h e i m a g e o f C u n d e r t h a t t r a n s f o r m a t i o n .

I f , a l o n g 1 , a f u n c t i o n h ( u , v ) s a t i s f i e s e i t h e r o f t h e c o n d i t i o n s

( 2 )

h = h 0 o r

n = 0 ,

d

w h e r e h 0 i s a r e a l c o n s t a n t a n d d h j d n d e n o t e s d e r i v a t i v e s n o r m a l t o F , t h e n , a l o n g

C , t h e f u n c t i o n

( 3 )

H ( x , y ) = h [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ]

s a t i s f i e s t h e c o r r e s p o n d i n g c o n d i t i o n

( 4 )

H = h 0

o r - N = 0 ,

w h e r e d H J d N d e n o t e s d e r i v a t i v e s n o r m a l t o C .

T o s h o w t h a t t h e c o n d i t i o n h = h o o n F i m p l i e s t h a t H = h 0 o n C , w e n o t e f r o m

e q u a t i o n ( 3 ) t h a t t h e v a l u e o f H a t a n y p o i n t ( x , y ) o n C i s t h e s a m e a s t h e v a l u e o f

h a t t h e i m a g e ( u , v ) o f ( x , y ) u n d e r t r a n s f o r m a t i o n ( 1 ) . S i n c e t h e i m a g e p o i n t ( u , v )

l i e s o n I a n d s i n c e h = h 0 a l o n g t h a t c u r v e , i t f o l l o w s t h a t H = h 0 a l o n g C .

S u p p o s e , o n t h e o t h e r h a n d , t h a t d h j d n = 0 o n r . F r o m c a l c u l u s , w e k n o w t h a t

( 5 )

d h

d o

( g r a d h )

w h e r e g r a d h d e n o t e s t h e g r a d i e n t o f h a t a p o i n t ( u , v ) o n I ' a n d n i s a u n i t v e c t o r

n o r m a l t o r a t ( u , v ) . S i n c e d h j d n = 0 a t ( u , v ) , e q u a t i o n ( 5 ) t e l l s u s t h a t g r a d h i s

o r t h o g o n a l t o n a t ( u , v ) . T h a t i s , g r a d h i s t a n g e n t t o F t h e r e ( F i g . 1 3 2 ) . B u t g r a d i e n t s

a r e o r t h o g o n a l t o l e v e l c u r v e s ; a n d , b e c a u s e g r a d h i s t a n g e n t t o F , w e s e e t h a t r i s

o r t h o g o n a l t o a l e v e l c u r v e h ( u , v ) = c p a s s i n g t h r o u g h ( u , v ) .

F I G U R E 1 3 2



S E C . 9 9

T R A N S F O R M A T I O N S O F B O U N D A R Y C O N D I T I O N S

3 5 7

N o w , a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 3 ) , t h e l e v e l c u r v e H ( x , y ) = c i n t h e z p l a n e c a n

b e w r i t t e n

h [ u ( x , y ) , v ( x , y

a n d s o i t i s e v i d e n t l y t r a n s f o r m e d i n t o t h e l e v e l c u r v e h ( u , v ) = c u n d e r t r a n s f o r m a t i o n

( 1 ) . F u r t h e r m o r e , s i n c e C i s t r a n s f o r m e d i n t o r a n d r i s o r t h o g o n a l t o t h e l e v e l c u r v e

h ( u , v ) = c , a s d e m o n s t r a t e d i n t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h , i t f o l l o w s f r o m t h e c o n f o r -

m a l i t y o f t r a n s f o r m a t i o n ( 1 ) o n C t h a t C i s o r t h o g o n a l t o t h e l e v e l c u r v e H ( x , y ) = c

a t t h e p o i n t ( x , y ) c o r r e s p o n d i n g t o ( u , v ) . B e c a u s e g r a d i e n t s a r e o r t h o g o n a l t o l e v e l

c u r v e s , t h i s m e a n s t h a t g r a d H i s t a n g e n t t o C a t ( x , y ) ( s e e F i g . 1 3 2 ) . C o n s e q u e n t l y ,

i f N d e n o t e s a u n i t v e c t o r n o r m a l t o C a t ( x , y ) , g r a d H i s o r t h o g o n a l t o N . T h a t i s ,

( 6 ) g

F i n a l l y , s i n c e

d H

d N

g r a d H ) N ,

w e m a y c o n c l u d e f r o m e q u a t i o n ( 6 ) t h a t d H j d N = 0 a t p o i n t s o n C .

I n t h i s d i s c u s s i o n , w e h a v e t a c i t l y a s s u m e d t h a t g r a d h 0 0 . I f g r a d h = 0 , i t

f o l l o w s f r o m t h e i d e n t i t y

( g r a d H ( x , y ) I = ( g r a d h ( u , v ) I

d e r i v e d i n E x e r c i s e 1 0 ( a ) b e l o w , t h a t g r a d H = 0 ; h e n c e d h f d o a n d t h e c o r r e s p o n d i n g

n o r m a l d e r i v a t i v e d H f d N a r e b o t h z e r o . W e a l s o a s s u m e d t h a t

( i ) g r a d h a n d g r a d H a l w a y s e x i s t ;

( i i ) t h e l e v e l c u r v e H ( x , y ) = c i s s m o o t h w h e n g r a d h 0 0 a t ( u , v ) .

C o n d i t i o n ( i i ) e n s u r e s t h a t a n g l e s b e t w e e n a r c s a r e p r e s e r v e d b y t r a n s f o r m a t i o n

( 1 ) w h e n i t i s c o n f o r m a l . I n a l l o f o u r a p p l i c a t i o n s , b o t h c o n d i t i o n s ( i ) a n d ( i i ) w i l l b e

s a t i s f i e d .

E X A M P L E . C o n s i d e r , f o r i n s t a n c e , t h e f u n c t i o n h ( u , v ) = v + 2 . T h e t r a n s f o r m a -

t i o n

- 2 x y + i ( x 2 - y 2 )

i s c o n f o r m a l w h e n z 0 0 . I t m a p s t h e h a l f l i n e y = x ( x > 0 ) o n t o t h e n e g a t i v e u

a x i s , w h e r e h = 2 , a n d t h e p o s i t i v e x a x i s o n t o t h e p o s i t i v e v a x i s , w h e r e t h e n o r m a l

d e r i v a t i v e h u i s 0 ( F i g . 1 3 3 ) . A c c o r d i n g t o t h e a b o v e t h e o r e m , t h e f u n c t i o n

H ( x , y ) = x 2 - y 2 - } - 2

m u s t s a t i s f y t h e c o n d i t i o n H = 2 a l o n g t h e h a l f l i n e y = x ( x > 0 ) a n d H y = 0 a l o n g

t h e p o s i t i v e x a x i s , a s o n e c a n v e r i f y d i r e c t l y .

3 5 8


C H A P . 9

V

A '

h = 2

C '

h , , 0

B '

F I G U R E 1 3 3

A b o u n d a r y c o n d i t i o n t h a t i s n o t o f o n e o f t h e t w o t y p e s m e n t i o n e d i n t h e t h e o r e m

m a y b e t r a n s f o r m e d i n t o a c o n d i t i o n t h a t i s s u b s t a n t i a l l y

d i f f e r e n t f r o m t h e o r i g i n a l

o n e ( s e e E x e r c i s e 6 ) . N e w b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e t r a n s f o r m e d p r o b l e m c a n

b e

o b t a i n e d f o r a p a r t i c u l a r t r a n s f o r m a t i o n i n a n y c a s e . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t , u n d e r

a c o n f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n , t h e r a t i o o f a d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f H a l o n g a

s m o o t h

a r c C i n t h e z p l a n e t o t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f h a l o n g t h e i m a g e c u r v e F a t

t h e

c o r r e s p o n d i n g p o i n t i n t h e w p l a n e i s I f ' ( z ) J ; u s u a l l y , t h i s r a t i o i s n o t c o n s t a n t a l o n g

a g i v e n a r c . ( S e e E x e r c i s e 1 0 . )

E X E R C I S E S

1 . U s e e x p r e s s i o n ( 5 ) , S e c . 9 7 , t o f i n d a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f t h e h a r m o n i c f u n c t i o n

u ( x , y ) = x 3 - 3 x y 2 . W r i t e t h e r e s u l t i n g a n a l y t i c f u n c t i o n i n t e r m s o f t h e c o m p l e x

v a r i a b l e z .

2 . L e t u ( x , y ) b e h a r m o n i c i n a s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n D . B y a p p e a l i n g t o r e s u l t s i n

S e c s . 9 7 a n d 4 8 , s h o w t h a t i t s p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f a l l o r d e r s a r e c o n t i n u o u s t h r o u g h o u t

t h a t d o m a i n .

3 . T h e t r a n s f o r m a t i o n w = e x p z m a p s t h e h o r i z o n t a l s t r i p 0 < y < n o n t o t h e u p p e r h a l f

p l a n e v > 0 , a s s h o w n i n F i g . 6 o f A p p e n d i x 2 ; a n d t h e f u n c t i o n

h ( u , v ) = R e ( w 2 ) =

U 2

- v 2

i s h a r m o n i c i n t h a t h a l f p l a n e . W i t h t h e a i d o f t h e t h e o r e m i n S e c . 9 8 , s h o w t h a t t h e

f u n c t i o n H ( x . y ) =

e 2 x

c o s 2 y i s h a r m o n i c i n t h e s t r i p . V e r i f y t h i s r e s u l t d i r e c t l y .

4 . U n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = e x p z , t h e i m a g e o f t h e s e g m e n t 0 < y < n o f t h e y a x i s

i s t h e s e m i c i r c l e u 2 + v 2 = 1 , v > 0 . A l s o , t h e f u n c t i o n

1

u

h ( u , u ) = R e 2 - w I - -

)

1 = 2 - u +

W

u 2 + v 2

i s h a r m o n i c e v e r y w h e r e i n t h e w p l a n e e x c e p t f o r t h e o r i g i n ; a n d i t a s s u m e s t h e v a l u e

h = 2 o n t h e s e m i c i r c l e . W r i t e a n e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r t h e f u n c t i o n H ( x , y ) d e f i n e d

i n t h e t h e o r e m o f S e c . 9 9 . T h e n i l l u s t r a t e t h e t h e o r e m b y s h o w i n g d i r e c t l y t h a t H = 2

a l o n g t h e s e g m e n t 0 < y < n o f t h e y a x i s .



S E C . 9 9

E X E R C I S E S

3 5 9

5 . T h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 2 m a p s t h e p o s i t i v e x a n d y a x e s a n d t h e o r i g i n i n t h e z p l a n e

o n t o t h e u a x i s i n t h e w p l a n e . C o n s i d e r t h e h a r m o n i c f u n c t i o n

h ( u , v ) = R e ( e - w ) =

e _ u

c o s v ,

a n d o b s e r v e t h a t i t s n o r m a l d e r i v a t i v e h a l o n g t h e u a x i s i s z e r o . T h e n i l l u s t r a t e t h e

t h e o r e m i n S e c . 9 9 w h e n f ( z ) = z 2 b y s h o w i n g d i r e c t l y t h a t t h e n o r m a l d e r i v a t i v e o f t h e

f u n c t i o n H ( x , y ) d e f i n e d i n t h a t t h e o r e m i s z e r o a l o n g b o t h p o s i t i v e a x e s i n t h e z p l a n e .

( N o t e t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z 2 i s n o t c o n f o r m a l a t t h e o r i g i n . )

6 . R e p l a c e t h e f u n c t i o n h ( u , v ) i n E x e r c i s e 5 b y t h e h a r m o n i c f u n c t i o n

h ( u , v ) = R e ( - 2 i w + e - ' ) = 2 v +

e _ u

c o s v .

T h e n s h o w t h a t h = 2 a l o n g t h e u a x i s b u t t h a t H y = 4 x a l o n g t h e p o s i t i v e x a x i s a n d

H x = 4 y a l o n g t h e p o s i t i v e y a x i s . T h i s i l l u s t r a t e s h o w a c o n d i t i o n o f t h e t y p e

d h

_

d o

h o 0

i s n o t n e c e s s a r i l y t r a n s f o r m e d i n t o a c o n d i t i o n o f t h e t y p e d H J d N = h o .

7 . S h o w t h a t i f a f u n c t i o n H ( x , y ) i s a s o l u t i o n o f a N e u m a n n p r o b l e m ( S e c . 9 8 ) , t h e n

H ( x , y ) + A , w h e r e A i s a n y r e a l c o n s t a n t , i s a l s o a s o l u t i o n o f t h a t p r o b l e m .

8 . S u p p o s e t h a t a n a n a l y t i c f u n c t i o n w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) m a p s a d o m a i n D Z i n

t h e z p l a n e o n t o a d o m a i n D , , , i n t h e w p l a n e ; a n d l e t a f u n c t i o n h ( u , v ) , w i t h c o n t i n u o u s

p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d o r d e r , b e d e f i n e d o n D . U s e t h e c h a i n r u l e f o r

p a r t i a l d e r i v a t i v e s t o s h o w t h a t i f H ( x , y ) = h [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ] , t h e n

, y )

+ H y y ( x , y ) = [ h u u ( u , v ) + h , , , , ( u , v ) ] I f ` ( z ) I 2

C o n c l u d e t h a t t h e f u n c t i o n H ( x , y ) i s h a r m o n i c i n D Z w h e n h ( u , v ) i s h a r m o n i c i n

D . T h i s i s a n a l t e r n a t i v e p r o o f o f t h e t h e o r e m i n S e c . 9 8 , e v e n w h e n t h e d o m a i n D , , , i s

m u l t i p l y c o n n e c t e d .

S u g g e s t i o n : I n t h e s i m p l i f i c a t i o n s , i t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t s i n c e f i s a n a l y t i c ,

t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s u , = v y , u y = - v 4 , h o l d a n d t h a t t h e f u n c t i o n s u a n d v

b o t h s a t i s f y L a p l a c e ' s e q u a t i o n . A l s o , t h e c o n t i n u i t y c o n d i t i o n s o n t h e d e r i v a t i v e s o f h

e n s u r e t h a t h u

9 . L e t p ( u , v ) b e a f u n c t i o n t h a t h a s c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d

o r d e r a n d s a t i s f i e s P o i s s o n ' s e q u a t i o n

P u u ( u , V ) + P U V ( u , v ) = c I ( u , v )

i n a d o m a i n D . o f t h e w p l a n e , w h e r e c D i s a p r e s c r i b e d f u n c t i o n . S h o w h o w i t f o l l o w s

f r o m t h e i d e n t i t y o b t a i n e d i n E x e r c i s e 8 t h a t i f a n a n a l y t i c f u n c t i o n

w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y )

m a p s a d o m a i n D Z o n t o t h e d o m a i n D , , , , t h e n t h e f u n c t i o n

P ( x , Y ) = P [ u ( x , Y ) , v ( x , Y ) ]



3 6 0


C H A P . 9

s a t i s f i e s t h e P o i s s o n e q u a t i o n

P " ( x , Y ) + P y y ( x , Y ) = 4 [ u ( x , Y ) , v ( x , Y ) ] I f ' ( z ) I 2

i n D .

1 0 . S u p p o s e t h a t w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) i s a c o n f o r m a l m a p p i n g o f a s m o o t h a r c C

o n t o a s m o o t h a r c I ' i n t h e w p l a n e . L e t t h e f u n c t i o n h ( u , v ) b e d e f i n e d o n r , a n d w r i t e

H ( x , y ) = h [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ] .

( a ) F r o m c a l c u l u s , w e k n o w t h a t t h e x a n d y c o m p o n e n t s o f g r a d H a r e t h e p a r t i a l

d e r i v a t i v e s H x a n d H y , r e s p e c t i v e l y ; l i k e w i s e , g r a d h h a s c o m p o n e n t s h , , a n d h , , .

B y a p p l y i n g t h e c h a i n r u l e f o r p a r t i a l d e r i v a t i v e s a n d u s i n g t h e C a u c h y - R i e m a n n

e q u a t i o n s , s h o w t h a t i f ( x , y ) i s a p o i n t o n C a n d ( u , v ) i s i t s i m a g e o n r , t h e n

g r a d H ( x , Y ) l = ( g r a d h ( u , v ) I l f ' ( z

I .

( b ) S h o w t h a t t h e a n g l e f r o m t h e a r c C t o g r a d H a t a p o i n t ( x , y ) o n C i s e q u a l t o t h e

a n g l e f r o m F t o g r a d h a t t h e i m a g e ( u , v ) o f t h e p o i n t ( x , y ) .

( c ) L e t s a n d a d e n o t e d i s t a n c e a l o n g t h e a r c s C a n d r , r e s p e c t i v e l y ; a n d l e t t a n d r

d e n o t e u n i t t a n g e n t v e c t o r s a t a p o i n t ( x , y ) o n C a n d i t s i m a g e ( u , v ) , i n t h e d i r e c t i o n

o f i n c r e a s i n g d i s t a n c e . W i t h t h e a i d o f t h e r e s u l t s i n p a r t s ( a ) a n d ( b ) a n d u s i n g t h e

f a c t t h a t

d H

= ( g r a d H ) . t a n d

a = ( g r a d

s h o w t h a t t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e a l o n g t h e a r c F i s t r a n s f o r m e d a s f o l l o w s :



C H A P T E R

1 0

A P P L I C A T I O N S O F


W e n o w u s e c o n f o r m a l m a p p i n g t o s o l v e a n u m b e r o f p h y s i c a l p r o b l e m s i n v o l v i n g

L a p l a c e ' s e q u a t i o n i n t w o i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . P r o b l e m s i n h e a t c o n d u c t i o n , e l e c -

t r o s t a t i c p o t e n t i a l , a n d f l u i d f l o w w i l l b e t r e a t e d . S i n c e t h e s e p r o b l e m s a r e i n t e n d e d t o

i l l u s t r a t e m e t h o d s , t h e y w i l l b e k e p t o n a f a i r l y e l e m e n t a r y l e v e l .

1 0 0 . S T E A D Y T E M P E R A T U R E S

I n t h e t h e o r y o f h e a t c o n d u c t i o n , t h e , f l u x a c r o s s a s u r f a c e w i t h i n a s o l i d b o d y a t a p o i n t

o n t h a t s u r f a c e i s t h e q u a n t i t y o f h e a t f l o w i n g i n a s p e c i f i e d d i r e c t i o n n o r m a l t o t h e

s u r f a c e p e r u n i t t i m e p e r u n i t a r e a a t t h e p o i n t . F l u x i s , t h e r e f o r e , m e a s u r e d i n s u c h

u n i t s a s c a l o r i e s p e r s e c o n d p e r s q u a r e c e n t i m e t e r . I t i s d e n o t e d h e r e b y 4 , a n d i t v a r i e s

w i t h t h e n o r m a l d e r i v a t i v e o f t h e t e m p e r a t u r e T a t t h e p o i n t o n t h e s u r f a c e :

( 1 )

( D

- K

T ( K > 0 ) .

d

R e l a t i o n ( 1 ) i s k n o w n a s F o u r i e r ' s l a w a n d t h e c o n s t a n t K i s c a l l e d t h e t h e r m a l

c o n d u c t i v i t y o f t h e m a t e r i a l o f t h e s o l i d , w h i c h i s a s s u m e d t o b e h o m o g e n e o u s . *

T h e p o i n t s i n t h e s o l i d a r e a s s i g n e d r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s i n t h r e e - d i m e n s i o n a l

s p a c e , a n d w e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o t h o s e c a s e s i n w h i c h t h e t e m p e r a t u r e T v a r i e s

* T h e l a w i s n a m e d f o r t h e F r e n c h m a t h e m a t i c a l p h y s i c i s t J o s e p h F o u r i e r ( 1 7 6 8 - 1 8 3 0 ) . A t r a n s l a t i o n o f

h i s b o o k , c i t e d i n A p p e n d i x 1 , i s a c l a s s i c i n t h e t h e o r y o f h e a t c o n d u c t i o n .

3 6 1



3 6 2

A P P L I C A T I O N S O F C O N F O R M A L M A P P I N G

C H A P . 1 0

w i t h o n l y t h e x a n d y c o o r d i n a t e s . S i n c e T d o e s n o t v a r y w i t h t h e c o o r d i n a t e a l o n g

t h e a x i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e x y p l a n e , t h e f l o w o f h e a t i s , t h e n , t w o - d i m e n s i o n a l a n d

p a r a l l e l t o t h a t p l a n e . W e a g r e e , m o r e o v e r , t h a t t h e f l o w i s i n a s t e a d y s t a t e ; t h a t i s , T

d o e s n o t v a r y w i t h t i m e .

I t i s a s s u m e d t h a t n o t h e r m a l e n e r g y i s c r e a t e d o r d e s t r o y e d w i t h i n t h e s o l i d .

T h a t i s , n o h e a t s o u r c e s o r s i n k s a r e p r e s e n t t h e r e . A l s o , t h e t e m p e r a t u r e f u n c t i o n

T ( x , y ) a n d i t s p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d o r d e r a r e c o n t i n u o u s a t e a c h

p o i n t i n t e r i o r t o t h e s o l i d . T h i s s t a t e m e n t a n d e x p r e s s i o n ( 1 ) f o r t h e f l u x o f h e a t a r e

p o s t u l a t e s i n t h e m a t h e m a t i c a l t h e o r y o f h e a t c o n d u c t i o n , p o s t u l a t e s t h a t a l s o a p p l y a t

p o i n t s w i t h i n a s o l i d c o n t a i n i n g a c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n o f s o u r c e s o r s i n k s .

C o n s i d e r n o w a n e l e m e n t o f v o l u m e t h a t i s i n t e r i o r t o t h e s o l i d a n d t h a t h a s t h e

s h a p e o f a r e c t a n g u l a r p r i s m o f u n i t h e i g h t p e r p e n d i c u l a r t o t h e x y p l a n e , w i t h b a s e

A x b y A y i n t h a t p l a n e ( F i g . 1 3 4 ) . T h e t i m e r a t e o f f l o w o f h e a t t o w a r d t h e r i g h t a c r o s s

t h e l e f t - h a n d f a c e i s - K T x ( x , y ) A y ; a n d , t o w a r d t h e r i g h t a c r o s s t h e r i g h t - h a n d f a c e ,

i t i s - K T x ( x + A x , y ) © y . S u b t r a c t i n g t h e f i r s t r a t e f r o m t h e s e c o n d , w e o b t a i n t h e

n e t r a t e o f h e a t l o s s f r o m t h e e l e m e n t t h r o u g h t h o s e t w o f a c e s . T h i s r e s u l t a n t r a t e c a n

b e w r i t t e n

A x A y ,

o r

( 2 )

- K T x x ( x , y ) A x A y

i f A x i s v e r y s m a l l . E x p r e s s i o n ( 2 ) i s , o f c o u r s e , a n a p p r o x i m a t i o n w h o s e a c c u r a c y

i n c r e a s e s a s L i x a n d A y a r e m a d e s m a l l e r .

F I G U R E 1 3 4

I n l i k e m a n n e r , t h e r e s u l t a n t r a t e o f h e a t l o s s t h r o u g h t h e o t h e r f a c e s p e r p e n d i c u l a r

t o t h e x y p l a n e i s f o u n d t o b e

( 3 )

- K T y y ( x , y ) © x ©

H e a t e n t e r s o r l e a v e s t h e e l e m e n t o n l y t h r o u g h t h e s e f o u r f a c e s , a n d t h e t e m p e r a t u r e s

w i t h i n t h e e l e m e n t a r e s t e a d y . H e n c e t h e s u m o f e x p r e s s i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) i s z e r o ; t h a t

i s ,

( 4 )

T , . x ( x , y ) + T y y ( x , v ) = 0 .

I o I

S T E A D Y T E M P E R A T U R E S I N A H A L F P L A N E 3 6 3

T h e t e m p e r a t u r e f u n c t i o n t h u s s a t i s f i e s L a p l a c e ' s e q u a t i o n a t e a c h i n t e r i o r p o i n t o f t h e

s o l i d .

I n v i e w o f e q u a t i o n ( 4 ) a n d t h e c o n t i n u i t y o f t h e t e m p e r a t u r e f u n c t i o n a n d i t s

p a r t i a l d e r i v a t i v e s , T i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o f x a n d y i n t h e d o m a i n r e p r e s e n t i n g t h e

i n t e r i o r o f t h e s o l i d b o d y .

T h e s u r f a c e s T ( x , y ) = c 1 , w h e r e c r i s a n y r e a l c o n s t a n t , a r e t h e i s o t h e r m s w i t h i n

t h e s o l i d . T h e y c a n a l s o b e c o n s i d e r e d a s c u r v e s i n t h e x y p l a n e ; t h e n T ( x , y ) c a n b e

i n t e r p r e t e d a s t h e t e m p e r a t u r e a t a p o i n t ( x , y ) i n a t h i n s h e e t o f m a t e r i a l i n t h a t p l a n e ,

w i t h t h e f a c e s o f t h e s h e e t t h e r m a l l y i n s u l a t e d . T h e i s o t h e r m s a r e t h e l e v e l c u r v e s o f

t h e f u n c t i o n T .

T h e g r a d i e n t o f T i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e i s o t h e r m a t e a c h p o i n t , a n d t h e m a x i m u m

f l u x a t a p o i n t i s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e g r a d i e n t t h e r e . I f T ( x , y ) d e n o t e s t e m p e r a t u r e s i n

a t h i n s h e e t a n d i f S i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f t h e f u n c t i o n T , t h e n a c u r v e S ( x , y )

c z

h a s t h e g r a d i e n t o f T a s a t a n g e n t v e c t o r a t e a c h p o i n t w h e r e t h e a n a l y t i c f u n c t i o n

T ( x , y ) + i S ( _ x , y ) i s c o n f o r m a l . T h e c u r v e s S ( x , y ) = c 2 a r e c a l l e d l i n e s o f f l o w .

I f t h e n o r m a l d e r i v a t i v e d T j d N i s z e r o a l o n g a n y p a r t o f t h e b o u n d a r y o f t h e s h e e t ,

t h e n t h e f l u x o f h e a t a c r o s s t h a t p a r t i s z e r o . T h a t i s , t h e p a r t i s t h e r m a l l y i n s u l a t e d a n d

i s , t h e r e f o r e , a l i n e o f f l o w .

T h e f u n c t i o n T m a y a l s o d e n o t e t h e c o n c e n t r a t i o n o f a s u b s t a n c e t h a t i s d i f f u s i n g

t h r o u g h a s o l i d . I n t h a t c a s e , K i s t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t . T h e a b o v e d i s c u s s i o n a n d t h e

d e r i v a t i o n o f e q u a t i o n ( 4 ) a p p l y a s w e l l t o s t e a d y - s t a t e d i f f u s i o n .

1 0 1 . S T E A D Y T E M P E R A T U R E S I N A H A L F P L A N E

L e t u s f i n d a n e x p r e s s i o n f o r t h e s t e a d y t e m p e r a t u r e s T ( x , y ) i n a t h i n s e m i - i n f i n i t e

p l a t e y > 0 w h o s e f a c e s a r e i n s u l a t e d a n d w h o s e e d g e y = 0 i s k e p t a t t e m p e r a t u r e

z e r o e x c e p t f o r t h e s e g m e n t - 1 < x < 1 , w h e r e i t i s k e p t a t t e m p e r a t u r e u n i t y ( F i g .

1 3 5 ) . T h e f u n c t i o n T ( x , y ) i s t o b e b o u n d e d ; t h i s c o n d i t i o n i s n a t u r a l i f w e c o n s i d e r

t h e g i v e n p l a t e a s t h e l i m i t i n g c a s e o f t h e p l a t e 0 < y < y o w h o s e u p p e r e d g e i s k e p t

a t a f i x e d t e m p e r a t u r e a s y o i s i n c r e a s e d . I n f a c t , i t w o u l d b e p h y s i c a l l y r e a s o n a b l e t o

s t i p u l a t e t h a t T ( x , y ) a p p r o a c h z e r o a s y t e n d s t o i n f i n i t y .

T h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m t o b e s o l v e d c a n b e w r i t t e n

( 1 )

T X X ( x , Y ) + T y y ( x , y ) = 0

( - o o < x < o o , y > 0 ) ,

F I G U R E 1 3 5

z - I

w = l o g

2 < 0 1

2 < 3 2

V

T

D ' A '

T = 0

3 6 4


C H A P . 1 0

T ( x , 0 )

w h e n I x I < 1 ,

0 w h e n l x I > 1 ;

a l s o ,

I T ( x , y ) I < M w h e r e M i s s o m e p o s i t i v e c o n s t a n t . T h i s i s a D i r i c h l e t p r o b l e m

f o r t h e u p p e r h a l f o f t h e x y p l a n e . O u r m e t h o d o f s o l u t i o n w i l l b e t o o b t a i n a n e w

D i r i c h l e t p r o b l e m f o r a r e g i o n i n t h e u v p l a n e . T h a t r e g i o n w i l l b e t h e i m a g e o f t h e

h a l f p l a n e u n d e r a t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) t h a t i s a n a l y t i c i n t h e d o m a i n y > 0 a n d

t h a t i s c o n f o r m a l a l o n g t h e b o u n d a r y y = 0 e x c e p t a t t h e p o i n t s ( ± 1 , 0 ) , w h e r e i t i s

u n d e f i n e d . I t w i l l b e a s i m p l e m a t t e r t o d i s c o v e r a b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n s a t i s f y i n g

t h e n e w p r o b l e m . T h e t w o t h e o r e m s i n C h a p . 9 w i l l t h e n b e a p p l i e d t o t r a n s f o r m t h e

s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m i n t h e u v p l a n e i n t o a s o l u t i o n o f t h e o r i g i n a l p r o b l e m i n t h e x y

p l a n e . S p e c i f i c a l l y , a h a r m o n i c f u n c t i o n o f u a n d v w i l l b e t r a n s f o r m e d i n t o a h a r m o n i c

f u n c t i o n o f x a n d y , a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t h e u v p l a n e w i l l b e p r e s e r v e d o n

c o r r e s p o n d i n g p o r t i o n s o f t h e b o u n d a r y i n t h e x y p l a n e . T h e r e s h o u l d b e n o c o n f u s i o n

i f w e u s e t h e s a m e s y m b o l T t o d e n o t e t h e d i f f e r e n t t e m p e r a t u r e f u n c t i o n s i n t h e t w o

p

a n e s .

L e t u s w r i t e

z - 1 = r t e x p ( i 0 1 )

a n d

z + 1 = r 2 e x p ( i 0 2 ) ,

w h e r e 0 < 0 k : 5 , 7 r ( k = 1 , 2 ) . T h e t r a n s f o r m a t i o n

( 3 )

w = t o

i s d e f i n e d o n t h e u p p e r h a l f p l a n e y > 0 , e x c e p t f o r t h e t w o p o i n t s z = + 1 , s i n c e

0 < 0 1 - 0 2

r r i n t h e r e g i o n . ( S e e F i g . 1 3 5 . ) N o w t h e v a l u e o f t h e l o g a r i t h m i s t h e

p r i n c i p a l v a l u e w h e n 0 < 0 1 - 0 2 < r r , a n d w e r e c a l l f r o m E x a m p l e 3 i n S e c . 8 8 t h a t

t h e u p p e r h a l f p l a n e y > 0 i s t h e n m a p p e d o n t o t h e h o r i z o n t a l s t r i p 0 < v < i r i n t h e

w p l a n e . A s a l r e a d y n o t e d i n t h a t e x a m p l e , t h e m a p p i n g i s s h o w n w i t h c o r r e s p o n d i n g

b o u n d a r y p o i n t s i n F i g . 1 9 o f A p p e n d i x 2 . I n d e e d , i t w a s t h a t f i g u r e w h i c h s u g g e s t e d

t r a n s f o r m a t i o n ( 3 ) h e r e . T h e s e g m e n t o f t h e x a x i s b e t w e e n z = - 1 a n d z = 1 , w h e r e

0 1 - 0 2 = 7 r , i s m a p p e d o n t o t h e u p p e r e d g e o f t h e s t r i p ; a n d t h e r e s t o f t h e x a x i s , w h e r e

0 1 - 0 2 = 0 , i s m a p p e d o n t o t h e l o w e r e d g e . T h e r e q u i r e d a n a l y t i c i t y a n d c o n f o r m a l i t y

c o n d i t i o n s a r e e v i d e n t l y s a t i s f i e d b y t r a n s f o r m a t i o n ( 3 ) .

A b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n o f u a n d v t h a t i s z e r o o n t h e e d g e v = 0 o f t h e

s t r i p a n d u n i t y o n t h e e d g e v = 7 r i s c l e a r l y

( 4 )

i t i s h a r m o n i c s i n c e i t i s t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e e n t i r e f u n c t i o n ( 1 / 2 r ) w . C h a n g i n g

t o x a n d y c o o r d i n a t e s b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n

z - I

z + 1

S E C . 1 0 2

A R E L A T E D P R O B L E M

3 6 5

w e f i n d t h a t

o r

u = a r g

x ` + y ` -

1 + i 2 y

( x + 1 ) 2 + y 2

2 y

u = a r c t a n I

_

+ y 2 -

T h e r a n g e o f t h e a r c t a n g e n t f u n c t i o n h e r e i s f r o m 0 t o 7 r s i n c e

z - - - 1

_

g

g

z + 1

1 -

0 _ < 0 1 - 0 2

7 r . E x p r e s s i o n ( 4 ) n o w t a k e s t h e f o r m

( 6 )

1

1 '

2 y

( 0 < a r c t a n t

y 2 - 1

S i n c e t h e f u n c t i o n ( 4 ) i s h a r m o n i c i n t h e s t r i p 0 < v < 7 r a n d s i n c e t r a n s f o r m a t i o n

( 3 ) i s a n a l y t i c i n t h e h a l f p l a n e y > 0 , w e m a y a p p l y t h e t h e o r e m i n S e c . 9 8 t o c o n c l u d e

t h a t t h e f u n c t i o n ( 6 ) i s h a r m o n i c i n t h a t h a l f p l a n e . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e

t w o h a r m o n i c f u n c t i o n s a r e t h e s a m e o n c o r r e s p o n d i n g p a r t s o f t h e b o u n d a r i e s b e c a u s e

t h e y a r e o f t h e t y p e h = h g , t r e a t e d i n t h e t h e o r e m o f S e c . 9 9 . T h e b o u n d e d f u n c t i o n ( 6 )

i s , t h e r e f o r e , t h e d e s i r e d s o l u t i o n o f t h e o r i g i n a l p r o b l e m . O n e c a n , o f c o u r s e , v e r i f y

d i r e c t l y t h a t t h e f u n c t i o n ( 6 ) s a t i s f i e s L a p l a c e ' s e q u a t i o n a n d h a s t h e v a l u e s t e n d i n g t o

t h o s e i n d i c a t e d o n t h e l e f t i n F i g . 1 3 5 a s t h e p o i n t ( x , y ) a p p r o a c h e s t h e x a x i s f r o m

a b o v e .

T h e i s o t h e r m s T ( x , y ) = c l ( 0 < c l < 1 ) a r e a r c s o f t h e c i r c l e s

x 2 + ( y

- c o t 7 r c 1 ) 2 = c s c 2 7 r c 1 ,

p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t s ( ± 1 , 0 ) a n d w i t h c e n t e r s o n t h e y a x i s .

F i n a l l y , w e n o t e t h a t s i n c e t h e p r o d u c t o f a h a r m o n i c f u n c t i o n b y a c o n s t a n t i s

a l s o h a r m o n i c , t h e f u n c t i o n

T O

2 y

-r t t a n

7 r x 2 - I - y 2 -

r e p r e s e n t s s t e a d y t e m p e r a t u r e s i n t h e g i v e n h a l f p l a n e w h e n t h e t e m p e r a t u r e T = 1

a l o n g t h e s e g m e n t - 1 < x < 1 o f t h e x a x i s i s r e p l a c e d b y a n y c o n s t a n t t e m p e r a t u r e

T = T o .

1 0 2 . A R E L A T E D P R O B L E M

C o n s i d e r a s e m i - i n f i n i t e s l a b i n t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e b o u n d e d b y t h e p l a n e s

x = ± 7 r / 2 a n d y = 0 w h e n t h e f i r s t t w o s u r f a c e s a r e k e p t a t t e m p e r a t u r e z e r o a n d t h e

3 6 6


C H A P . I O

T = 0

y

T = 0

2

x

x

F I G U R E 1 3 6

t h i r d a t t e m p e r a t u r e u n i t y . W e w i s h t o f i n d a f o r m u l a f o r t h e t e m p e r a t u r e T ( x , y ) a t

a n y i n t e r i o r p o i n t o f t h e s l a b . T h e p r o b l e m i s a l s o t h a t o f f i n d i n g t e m p e r a t u r e s i n a t h i n

p l a t e h a v i n g t h e f o r m o f a s e m i - i n f i n i t e s t r i p - 7 r / 2 < x < 7 r / 2 , y > 0 w h e n t h e f a c e s

o f t h e p l a t e a r e p e r f e c t l y i n s u l a t e d ( F i g . 1 3 6 ) .

T h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m h e r e i s

T x x ( x , Y ) + T y y ( x , y ) = 0

( 2 )

( 3 )

T ( x , 0

I T

< x < - , y >

y

w h e r e T ( x , y ) i s b o u n d e d .

I n v i e w o f E x a m p l e 1 i n S e c . 8 9 , a s w e l l a s F i g . 9 o f A p p e n d i x 2 , t h e m a p p i n g

( 4 )

s i n z

t r a n s f o r m s t h i s b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i n t o t h e o n e p o s e d i n S e c . 1 0 1 ( F i g . 1 3 5 ) .

H e n c e , a c c o r d i n g t o s o l u t i o n ( 6 ) i n t h a t s e c t i o n ,

T h e c h a n g e o f v a r i a b l e s i n d i c a t e d i n e q u a t i o n ( 4 ) c a n b e w r i t t e n

u = s i n x c o s h y ,

u = c o s x s i n h y ;

a n d t h e h a r m o n i c f u n c t i o n ( 5 ) b e c o m e s

T =

1

a r c t a n

2 c o s x s i n h y

- -

r t

s i n 2 x c o s h 2 _ y - F C o s 2 x s i n h 2 y

-

S E C . 1 0 2

A R E L A T E D P R O B L E M

3 6 7

S i n c e t h e d e n o m i n a t o r h e r e r e d u c e s t o s i n h 2 y - c o s t x , t h e q u o t i e n t c a n b e p u t i n t h e

f o r m

2 c o s x s i n h y

2 ( c o s x / s i n h y )

s i n h 2 y

- c o s t x

1 - ( c o s x / s i n h y ) 2

w h e r e t a n a = c o s x / s i n h y . H e n c e T = ( 2 / 7 r ) a ; t h a t i s

( 6 )

2

_ - a r c t

r r

l s i n h y

= t a n 2 a ,

T h i s a r c t a n g e n t f u n c t i o n h a s t h e r a n g e 0 t o 7 r / 2 s i n c e i t s a r g u m e n t i s n o n n e g a t i v e .

S i n c e s i n z i s e n t i r e a n d t h e f u n c t i o n ( 5 ) i s h a r m o n i c i n t h e h a l f p l a n e v > 0 , t h e

f u n c t i o n ( 6 ) i s h a r m o n i c i n t h e s t r i p - i r / 2 < x 0 . A l s o , t h e f u n c t i o n ( 5 )

s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n T = 1 w h e n ( u < 1 a n d v = 0 , a s w e l l a s t h e c o n d i t i o n

T = 0 w h e n I u ( > 1 a n d v = 0 . T h e f u n c t i o n ( 6 ) t h u s s a t i s f i e s b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 )

a n d ( 3 ) . M o r e o v e r , I T ( x , y ) I < 1 t h r o u g h o u t t h e s t r i p . E x p r e s s i o n ( 6 ) i s , t h e r e f o r e , t h e

t e m p e r a t u r e f o r m u l a t h a t i s s o u g h t .

T h e i s o t h e r m s T ( x , y ) = c l ( 0 < c 1 < 1 ) a r e t h e p o r t i o n s o f t h e s u r f a c e s

c o s x = t a n ( = 1

] s i n h y

w i t h i n t h e s l a b , e a c h s u r f a c e p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t s ( ± i r / 2 , 0 ) i n t h e x y p l a n e . I f

K i s t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y , t h e f l u x o f h e a t i n t o t h e s l a b t h r o u g h t h e s u r f a c e l y i n g

i n t h e p l a n e y = 0 i s

T h e f l u x o u t w a r d t h r o u g h t h e s u r f a c e l y i n g i n t h e p l a n e x = 7 r / 2 i s

2 K

( y ' > 0 ) .

( - - , Y ) -

z r s i n h y

T h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m p o s e d i n t h i s s e c t i o n c a n a l s o b e s o l v e d b y t h e

m e t h o d o f s e p a r a t i o n o f v a r i a b l e s . T h a t m e t h o d i s m o r e d i r e c t , b u t i t g i v e s t h e s o l u t i o n

i n t h e f o r m o f a n i n f i n i t e s e r i e s . *

* A s i m i l a r p r o b l e m i s t r e a t e d i n t h e a u t h o r s ' " F o u r i e r S e r i e s a n d B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s , " 6 t h e d . ,

P r o b l e m 7 , p . 1 4 2 , 2 0 0 1 . A l s o , a s h o r t d i s c u s s i o n o f t h e u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s t o b o u n d a r y v a l u e

p r o b l e m s c a n b e f o u n d i n C h a p . 1 0 o f t h a t b o o k .

3 6 8


C H A P . I O

1 0 3 . T E M P E R A T U R E S I N A Q U A D R A N T

L e t u s f i n d t h e s t e a d y t e m p e r a t u r e s i n a t h i n p l a t e h a v i n g t h e f o r m o f a q u a d r a n t i f a

s e g m e n t a t t h e e n d o f o n e e d g e i s i n s u l a t e d , i f t h e r e s t o f t h a t e d g e i s k e p t a t a f i x e d

t e m p e r a t u r e , a n d i f t h e s e c o n d e d g e i s k e p t a t a n o t h e r f i x e d t e m p e r a t u r e . T h e s u r f a c e s

a r e i n s u l a t e d , a n d s o t h e p r o b l e m i s t w o - d i m e n s i o n a l .

T h e t e m p e r a t u r e s c a l e a n d t h e u n i t o f l e n g t h c a n b e c h o s e n s o t h a t t h e b o u n d a r y

v a l u e p r o b l e m f o r t h e t e m p e r a t u r e f u n c t i o n T b e c o m e s

( 1 )

T , ( x , y ) + T y y ( x , y ) = 0

( x > O , y > 0 ) ,

0 ) = 0 w h e n 0 < x < 1

( x ,

O T ( x , 0 ) = 1 w h e n x > 1 ,

( 3 ) T ( O , y ) = 0 ( y > 0 ) ,

w h e r e T ( x , y ) i s b o u n d e d i n t h e q u a d r a n t . T h e p l a t e a n d i t s b o u n d a r y c o n d i t i o n s

a r e s h o w n o n t h e l e f t i n F i g . 1 3 7 . C o n d i t i o n s ( 2 ) p r e s c r i b e t h e v a l u e s o f t h e n o r m a l

d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n T o v e r a p a r t o f a b o u n d a r y l i n e a n d t h e v a l u e s o f t h e f u n c t i o n

i t s e l f o v e r t h e r e s t o f t h a t l i n e . T h e s e p a r a t i o n o f v a r i a b l e s m e t h o d m e n t i o n e d a t t h e e n d

o f S e c . 1 0 2 i s n o t a d a p t e d t o s u c h p r o b l e m s w i t h d i f f e r e n t t y p e s o f c o n d i t i o n s a l o n g

t h e s a m e b o u n d a r y l i n e .

A s i n d i c a t e d i n F i g . 1 0 o f A p p e n d i x 2 , t h e t r a n s f o r m a t i o n

( 4 )

z = s i n w

i s a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e s e m i - i n f i n i t e s t r i p 0 0 o n t o t h e q u a d r a n t

x > 0 , y > 0 . O b s e r v e n o w t h a t t h e e x i s t e n c e o f a n i n v e r s e i s e n s u r e d b y t h e f a c t

t h a t t h e g i v e n t r a n s f o r m a t i o n i s b o t h o n e t o o n e a n d o n t o . S i n c e t r a n s f o r m a t i o n ( 4 ) i s

c o n f o r m a l t h r o u g h o u t t h e s t r i p e x c e p t a t t h e p o i n t w = 7 c / 2 , t h e i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n

m u s t b e c o n f o r m a l t h r o u g h o u t t h e q u a d r a n t e x c e p t a t t h e p o i n t z = 1 . T h a t i n v e r s e

t r a n s f o r m a t i o n m a p s t h e s e g m e n t 0 < x < 1 o f t h e x a x i s o n t o t h e b a s e o f t h e s t r i p a n d

t h e r e s t o f t h e b o u n d a r y o n t o t h e s i d e s o f t h e s t r i p a s s h o w n i n F i g . 1 3 7 .

S i n c e t h e i n v e r s e o f t r a n s f o r m a t i o n ( 4 ) i s c o n f o r m a l i n t h e q u a d r a n t , e x c e p t w h e n

z = 1 , t h e s o l u t i o n t o t h e g i v e n p r o b l e m c a n b e o b t a i n e d b y f i n d i n g a f u n c t i o n t h a t i s

V

D '

r - " * - I A '

T = 0 1 T = O

C `

T = 1

B '

i t

u

2

F I G U R E 1 3 7

S E C . 1 0 3

T E M P E R A T U R E S I N A Q U A D R A N T

3 6 9

h a r m o n i c i n t h e s t r i p a n d s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s s h o w n o n t h e r i g h t i n F i g .

1 3 7 . O b s e r v e t h a t t h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e o f t h e t y p e s h = h g a n d d h / d n = 0

i n t h e t h e o r e m o f S e c . 9 9 .

T h e r e q u i r e d t e m p e r a t u r e f u n c t i o n T f o r t h e n e w b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i s

c l e a r l y

( 5 )

J r

u ,

t h e f u n c t i o n ( 2 / 7 r ) u b e i n g t h e r e a l p a r t o f t h e e n t i r e f u n c t i o n ( 2 / 7 r ) w . W e m u s t n o w

e x p r e s s T i n t e r m s o f x a n d Y .

T o o b t a i n u i n t e r m s o f x a n d y , w e f i r s t n o t e t h a t , a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 4 ) ,

( 6 )

x = s i n u c o s h v ,

y = c o s u s i n h v .

W h e n 0 < u < 7 r / 2 , b o t h s i n u a n d c o s i t a r e n o n z e r o ; a n d , c o n s e q u e n t l y ,

( 7 )

x 2

y

2

-

= 1 .

s i n 2 e

c o s 2

u

N o w i t i s c o n v e n i e n t t o o b s e r v e t h a t , f o r e a c h f i x e d u , h y p e r b o l a ( 7 ) h a s f o c i a t t h

p o i n t s

c o s t u = ±

a n d t h a t t h e l e n g t h o f t h e t r a n s v e r s e a x i s , w h i c h i s t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g t h e t w o

v e r t i c e s , i s 2 s i n u . T h u s t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e d i f f e r e n c e o f t h e d i s t a n c e s b e t w e e n

t h e f o c i a n d a p o i n t ( x , y ) l y i n g o n t h e p a r t o f t h e h y p e r b o l a i n t h e f i r s t q u a d r a n t i s

( x + 1 ) 2 + y 2 - ( x - 1 ) 2

+ y 2 - 2 s i n u .

I t f o l l o w s d i r e c t l y f r o m e q u a t i o n s ( 6 ) t h a t t h i s r e l a t i o n a l s o h o l d s w h e n u = 0 o r

u = 7 / 2 . I n v i e w o f e q u a t i o n ( 5 ) , t h e n , t h e r e q u i r e d t e m p e r a t u r e f u n c t i o n i s

( 8 )

T =

a r c s i n

1 ) 2 - } - y 2 - ' ( x - 1 ) 2 + y

2

w h e r e , s i n c e 0 < u < n ' / 2 , t h e a r c s i n e f u n c t i o n h a s t h e r a n g e 0 t o 7 r / 2 .

I f w e w i s h t o v e r i f y t h a t t h i s f u n c t i o n s a t i s f i e s b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 ) , w e m u s t

r e m e m b e r t h a t v r ( x - - 1 ) 2 d e n o t e s x - 1 w h e n x > 1 a n d 1 - x w h e n 0 < x < 1 , t h e

s q u a r e r o o t s b e i n g p o s i t i v e . N o t e , t o o , t h a t t h e t e m p e r a t u r e a t a n y p o i n t a l o n g t h e

i n s u l a t e d p a r t o f t h e l o w e r e d g e o f t h e p l a t e i s

T ( x , 0 ) =

2

a r e s i n x

( 0 < x

S r

I t c a n b e s e e n f r o m e q u a t i o n ( 5 ) t h a t t h e i s o t h e r m s T ( x , y ) = c t ( 0 < c t < 1 )

a r e t h e p a r t s o f t h e c o n f o c a l h y p e r b o l a s ( 7 ) , w h e r e u = a r c s / 2 , w h i c h l i e i n t h e f i r s t

3 7 0


C H A P . 1 0

q u a d r a n t . S i n c e t h e f u n c t i o n ( 2 j 7 r ) v i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f t h e f u n c t i o n ( 5 ) , t h e

l i n e s o f f l o w a r e q u a r t e r s o f t h e c o n f o c a l e l l i p s e s o b t a i n e d b y h o l d i n g v c o n s t a n t i n

e q u a t i o n s ( 6 ) .

E X E R C I S E S

1 . I n t h e p r o b l e m o f t h e s e m i - i n f i n i t e p l a t e s h o w n o n t h e l e f t i n F i g . 1 3 5 ( S e c . 1 0 1 ) , o b t a i n

a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f t h e t e m p e r a t u r e f u n c t i o n T ( x , y ) f r o m e q u a t i o n ( 5 ) , S e c . 1 0 1 ,

a n d f i n d t h e l i n e s o f f l o w o f h e a t . S h o w t h a t t h o s e l i n e s o f f l o w c o n s i s t o f t h e u p p e r h a l f

o f t h e y a x i s a n d t h e u p p e r h a l v e s o f c e r t a i n c i r c l e s o n e i t h e r s i d e o f t h a t a x i s , t h e c e n t e r s

o f t h e c i r c l e s l y i n g o n t h e s e g m e n t A B o r C D o f t h e x a x i s .

2 . S h o w t h a t i f t h e f u n c t i o n T i n S e c . 1 0 1 i s n o t r e q u i r e d t o b e b o u n d e d , t h e h a r m o n i c

f u n c t i o n ( 4 ) i n t h a t s e c t i o n c a n b e r e p l a c e d b y t h e h a r m o n i c f u n c t i o n

l

v + A s i n h u s i n v ,

x

w h e r e A i s a n a r b i t r a r y r e a l c o n s t a n t . C o n c l u d e t h a t t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m

f o r t h e s t r i p i n t h e u v p l a n e ( F i g . 1 3 5 ) w o u l d n o t , t h e n , b e u n i q u e .

3 . S u p p o s e t h a t t h e c o n d i t i o n t h a t T b e b o u n d e d i s o m i t t e d f r o m t h e p r o b l e m f o r t e m p e r -

a t u r e s i n t h e s e m i - i n f i n i t e s l a b o f S e c . 1 0 2 ( F i g . 1 3 6 ) . S h o w t h a t a n i n f i n i t e n u m b e r o f

s o l u t i o n s a r e t h e n p o s s i b l e b y n o t i n g t h e e f f e c t o f a d d i n g t o t h e s o l u t i o n f o u n d t h e r e t h e

i m a g i n a r y p a r t o f t h e f u n c t i o n A s i n z , w h e r e A i s a n a r b i t r a r y r e a l c o n s t a n t .

4 . U s e t h e f u n c t i o n L o g z t o f i n d a n e x p r e s s i o n f o r t h e b o u n d e d s t e a d y t e m p e r a t u r e s i n a

p l a t e h a v i n g t h e f o r m o f a q u a d r a n t x > 0 , y > 0 ( F i g . 1 3 8 ) i f i t s f a c e s a r e p e r f e c t l y i n s u -

l a t e d a n d i t s e d g e s h a v e t e m p e r a t u r e s T ( x , 0 ) = 0 a n d T ( 0 , y ) = 1 . F i n d t h e i s o t h e r m s

a n d l i n e s o f f l o w , a n d d r a w s o m e o f t h e m .

A n s . T = 2

a r c t a n

x r

y

T = 1

0

F I G U R E 1 3 8

= 0

5 . F i n d t h e s t e a d y t e m p e r a t u r e s i n a s o l i d w h o s e s h a p e i s t h a t o f a l o n g c y l i n d r i c a l w e d g e i f

i t s b o u n d a r y p l a n e s 8 = 0 a n d 0 = 8 0 ( 0 < r < r 0 ) a r e k e p t a t c o n s t a n t t e m p e r a t u r e s z e r o

a n d T o , r e s p e c t i v e l y , a n d i f i t s s u r f a c e r = r p ( 0 < 8 < 8 p ) i s p e r f e c t l y i n s u l a t e d ( F i g .

1 3 9 ) .

S E C . 1 0 3

F I G U R E 1 3 9

E X E R C I S E S

3 7 1

6 . F i n d t h e b o u n d e d s t e a d y t e m p e r a t u r e s T ( x , y ) i n t h e s e m i - i n f i n i t e s o l i d y > 0 i f T =

0

o n t h e p a r t x < - 1 ( y = 0 ) o f t h e b o u n d a r y ,

i f T = 1 o n t h e p a r t x > 1 ( y = 0 ) , a n d i f

t h e s t r i p - 1 < x < 1 ( y = 0 ) o f t h e b o u n d a r y i s i n s u l a t e d ( F i g . 1 4 0 ) .

A n s . T =

1

+

a r c s i n

2

7 r

( - i r / 2 < a r c s i n t 0 , y > 0 w h e n t h e b o u n d a r y

s u r f a c e s a r e k e p t a t f i x e d t e m p e r a t u r e s e x c e p t f o r i n s u l a t e d s t r i p s o f e q u a l w i d t h a t

t h e

c o r n e r , a s s h o w n i n F i g . 1 4 1 .

S u g g e s t i o n : T h i s p r o b l e m c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o t h e o n e i n E x e r c i s e 6 .

A n s .

1

[

x 2 - y 2 + 1 ) 2 + ( 2 x y ) 2 -

( x 2 - y 2 - 1 ) 2 + ( 2 x y

A n s . T = 2 +

a r e s i n

2

( - i r / 2 < a r c t a n t < i t / 2 ) .

T = 1

X

F I G U R E 1 4 1

8 . S o l v e t h e f o l l o w i n g D i r i c h l e t p r o b l e m f o r a s e m i - i n f i n i t e s t r i p ( F i g . 1 4 2 ) :

H x x ( x , y ) + H y y ( x , y ) = 0

( 0 < x { 7 r / 2 , y > 0 ) ,

H ( x , 0 ) = 0

( 0 < x < 7 r / 2 ) ,

H ( 0 , y ) = 1 ,

H ( r / 2 ,

y ) = 0

( y > 0 ) ,

w h e r e 0 < H ( x , y ) < 1 .

3 7 2

A P P L I C A T I O N S O F C O N F O R M A L M A P P I N G C H A P . I O

y

H = 1

0


A n s . H =

2

a r c t a n

( t a n h y

r r t a n x

H = O

H = 0 7 r

X

2

F I G U R E 1 4 2

9 . D e r i v e a n e x p r e s s i o n f o r t e m p e r a t u r e s T ( r , 8 ) i n a s e m i c i r c u l a r p l a t e r < 1 , 0 < 0 < r r

w i t h i n s u l a t e d f a c e s i f T = 1 a l o n g t h e r a d i a l e d g e 0 = 0 ( 0 < r < 1 ) a n d T = 0 o n t h e

r e s t o f t h e b o u n d a r y .


l 1

?n s . T =

a c c t

r r

1 0 . S o l v e t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m f o r t h e p l a t e x > 0 , y ? 0 i n t h e z p l a n e w h e n t h e

f a c e s a r e i n s u l a t e d a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e t h o s e i n d i c a t e d i n F i g . 1 4 3 .

S u g g e s t i o n : U s e t h e m a p p i n g

t z

1 2

t o t r a n s f o r m t h i s p r o b l e m i n t o t h e o n e p o s e d i n S e c . 1 0 3 ( F i g . 1 3 7 ) .

T =

F I G U R E 1 4 3

1 1 . T h e p o r t i o n s x < 0 ( y = 0 ) a n d x < 0 ( y = T r ) o f t h e e d g e s o f a n i n f i n i t e h o r i z o n t a l p l a t e

0 < y < r r a r e t h e r m a l l y i n s u l a t e d , a s a r e t h e f a c e s o f t h e p l a t e . A l s o , t h e c o n d i t i o n s

T ( x , 0 ) = I a n d T ( x , 7 r ) = 0 a r e m a i n t a i n e d w h e n x > 0 ( F i g . 1 4 4 ) . F i n d t h e s t e a d y

t e m p e r a t u r e s i n t h e p l a t e .


1 2 . C o n s i d e r a t h i n p l a t e , w i t h i n s u l a t e d f a c e s , w h o s e s h a p e i s t h e u p p e r h a l f o f t h e r e g i o n

e n c l o s e d b y a n e l l i p s e w i t h f o c i ( ± 1 , 0 ) . T h e t e m p e r a t u r e o n t h e e l l i p t i c a l p a r t o f i t s

S E C . 1 0 4

F I G U R E 1 4 4

E L E C T R O S T A T I C P O T E N T I A L

3 7 3

b o u n d a r y i s T = 1 . T h e t e m p e r a t u r e a l o n g t h e s e g m e n t - 1 < x < 1 o f t h e x a x i s i s T = 0 ,

a n d t h e r e s t o f t h e b o u n d a r y a l o n g t h e x a x i s i s i n s u l a t e d . W i t h t h e a i d o f F i g . 1 1 i n

A p p e n d i x 2 , f i n d t h e l i n e s o f f l o w o f h e a t .

1 3 . A c c o r d i n g t o S e c . 5 0 a n d E x e r c i s e 7 o f t h a t s e c t i o n , i f f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) i s

c o n t i n u o u s o n a c l o s e d b o u n d e d r e g i o n R a n d a n a l y t i c a n d n o t c o n s t a n t i n t h e i n t e r i o r o f

R , t h e n t h e f u n c t i o n u ( x , y ) r e a c h e s i t s m a x i m u m a n d m i n i m u m v a l u e s o n t h e b o u n d a r y

o f R , a n d n e v e r i n t h e i n t e r i o r . B y i n t e r p r e t i n g u ( x , y ) a s a s t e a d y t e m p e r a t u r e , s t a t e a

p h y s i c a l r e a s o n w h y t h a t p r o p e r t y o f m a x i m u m a n d m i n i m u m v a l u e s s h o u l d h o l d t r u e .

1 0 4 . E L E C T R O S T A T I C P O T E N T I A L

I n a n e l e c t r o s t a t i c f o r c e f i e l d , t h e f i e l d i n t e n s i t y a t a p o i n t i s a v e c t o r r e p r e s e n t i n g t h e

f o r c e e x e r t e d o n a u n i t p o s i t i v e c h a r g e p l a c e d a t t h a t p o i n t . T h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l

i s a s c a l a r f u n c t i o n o f t h e s p a c e c o o r d i n a t e s s u c h t h a t , a t e a c h p o i n t , i t s d i r e c t i o n a l

d e r i v a t i v e i n a n y d i r e c t i o n i s t h e n e g a t i v e o f t h e c o m p o n e n t o f t h e f i e l d i n t e n s i t y i n t h a t

d i r e c t i o n .

F o r t w o s t a t i o n a r y c h a r g e d p a r t i c l e s , t h e m a g n i t u d e o f t h e f o r c e o f a t t r a c t i o n o r

r e p u l s i o n e x e r t e d b y o n e p a r t i c l e o n t h e o t h e r i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e p r o d u c t

o f t h e c h a r g e s a n d i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h o s e

p a r t i c l e s . F r o m t h i s i n v e r s e - s q u a r e l a w , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e p o t e n t i a l a t a p o i n t

d u e t o a s i n g l e p a r t i c l e i n s p a c e i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e

p o i n t a n d t h e p a r t i c l e . I n a n y r e g i o n f r e e o f c h a r g e s , t h e p o t e n t i a l d u e t o a d i s t r i b u t i o n

o f c h a r g e s o u t s i d e t h a t r e g i o n c a n b e s h o w n t o s a t i s f y L a p l a c e ' s e q u a t i o n f o r t h r e e -

d i m e n s i o n a l s p a c e .

I f c o n d i t i o n s a r e s u c h t h a t t h e p o t e n t i a l V i s t h e s a m e i n a l l p l a n e s p a r a l l e l t o

t h e x y p l a n e , t h e n i n r e g i o n s f r e e o f c h a r g e s V i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o f j u s t t h e t w o

v a r i a b l e s x a n d y :

V x x ( x , Y ) + V y y ( x , y ) = 0 .

T h e f i e l d i n t e n s i t y v e c t o r a t e a c h p o i n t i s p a r a l l e l t o t h e x y p l a n e , w i t h x a n d y

c o m p o n e n t s - V x ( x , y ) a n d - V y ( x , y ) , r e s p e c t i v e l y . T h a t v e c t o r i s , t h e r e f o r e , t h e

n e g a t i v e o f t h e g r a d i e n t o f V ( x , y ) .

A s u r f a c e a l o n g w h i c h V ( x , y ) i s c o n s t a n t i s a n e q u i p o t e n t i a l s u r f a c e . T h e

t a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f t h e f i e l d i n t e n s i t y v e c t o r a t a p o i n t o n a c o n d u c t i n g s u r f a c e i s

z e r o i n t h e s t a t i c c a s e s i n c e c h a r g e s a r e f r e e t o m o v e o n s u c h a s u r f a c e . H e n c e V ( x , y )

i s c o n s t a n t a l o n g t h e s u r f a c e o f a c o n d u c t o r , a n d t h a t s u r f a c e i s a n e q u i p o t e n t i a l .

3 7 4


C H A P . 1 0

I f U i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f V , t h e c u r v e s U ( x , y ) = e 2 i n t h e x y p l a n e a r e

c a l l e d f l u x l i n e s . W h e n s u c h a c u r v e i n t e r s e c t s a n e q u i p o t e n t i a l c u r v e V ( x , y ) = c l a t

a p o i n t w h e r e t h e d e r i v a t i v e o f t h e a n a l y t i c f u n c t i o n V ( x , y ) + i U ( x , y ) i s n o t z e r o ,

t h e t w o c u r v e s a r e o r t h o g o n a l a t t h a t p o i n t a n d t h e f i e l d i n t e n s i t y i s t a n g e n t t o t h e f l u x

l i n e t h e r e .

B o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s f o r t h e p o t e n t i a l V a r e t h e s a m e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s

a s t h o s e f o r s t e a d y t e m p e r a t u r e s T ; a n d , a s i n t h e c a s e o f s t e a d y t e m p e r a t u r e s , t h e

m e t h o d s o f c o m p l e x v a r i a b l e s a r e l i m i t e d t o t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m s . T h e p r o b l e m

p o s e d i n S e c . 1 0 2 ( s e e F i g . 1 3 6 ) , f o r i n s t a n c e , c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h a t o f f i n d i n g t h e

o - d i m e n s i o n a l e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l i n t h e e m p t y s p a c e

. 7 r

7 r

- 2 < x < - , y > 0

b o u n d e d b y t h e c o n d u c t i n g p l a n e s x = ± 7 r / 2 a n d y = 0 , i n s u l a t e d a t t h e i r i n t e r s e c t i o n s ,

w h e n t h e f i r s t t w o s u r f a c e s a r e k e p t a t p o t e n t i a l z e r o a n d t h e t h i r d a t p o t e n t i a l u n i t y .

T h e p o t e n t i a l i n t h e s t e a d y f l o w o f e l e c t r i c i t y i n a p l a n e c o n d u c t i n g s h e e t i s a l s o

a h a r m o n i c f u n c t i o n a t p o i n t s f r e e f r o m s o u r c e s a n d s i n k s . G r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l i s a

f u r t h e r e x a m p l e o f a h a r m o n i c f u n c t i o n i n p h y s i c s .

1 0 5 . P O T E N T I A L I N A C Y L I N D R I C A L S P A C E

A l o n g h o l l o w c i r c u l a r c y l i n d e r i s m a d e o u t o f a t h i n s h e e t o f c o n d u c t i n g m a t e r i a l ,

a n d t h e c y l i n d e r i s s p l i t l e n g t h w i s e t o f o r m t w o e q u a l p a r t s . T h o s e p a r t s a r e s e p a r a t e d

b y s l e n d e r s t r i p s o f i n s u l a t i n g m a t e r i a l a n d a r e u s e d a s e l e c t r o d e s , o n e o f w h i c h i s

g r o u n d e d a t p o t e n t i a l z e r o a n d t h e o t h e r k e p t a t a d i f f e r e n t f i x e d p o t e n t i a l . W e t a k e t h e

c o o r d i n a t e a x e s a n d u n i t s o f l e n g t h a n d p o t e n t i a l d i f f e r e n c e a s i n d i c a t e d o n t h e l e f t i n

F i g . 1 4 5 . W e t h e n i n t e r p r e t t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l V ( x , y ) o v e r a n y c r o s s s e c t i o n o f

t h e e n c l o s e d s p a c e t h a t i s d i s t a n t f r o m t h e e n d s o f t h e c y l i n d e r a s a h a r m o n i c f u n c t i o n

i n s i d e t h e c i r c l e x 2 + y 2 = I i n t h e x y p l a n e . N o t e t h a t V = 0 o n t h e u p p e r h a l f o f t h e

c i r c l e a n d t h a t V = 1 o n t h e l o w e r h a l f .

y

V = 1

F I G U R E 1 4 5

A l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s t h e u p p e r h a l f p l a n e o n t o t h e i n t e r i o r

o f t h e u n i t c i r c l e c e n t e r e d a t t h e o r i g i n , t h e p o s i t i v e r e a l a x i s o n t o t h e u p p e r h a l f o f t h e

c i r c l e , a n d t h e n e g a t i v e r e a l a x i s o n t o t h e l o w e r h a l f o f t h e c i r c l e i s v e r i f i e d i n E x e r c i s e

S E C . 1 0 5

P O T E N T I A L I N A C Y L I N D R I C A L S P A C E 3 7 5

1 , S e c . 8 8 . T h e r e s u l t i s g i v e n i n F i g . 1 3 o f A p p e n d i x 2 ; i n t e r c h a n g i n g z a n d w t h e r e ,

w e f i n d t h a t t h e i n v e r s e o f t h e t r a n s f o r m a t i o n

( 1 )

I - w

z =

i + w

g i v e s u s a n e w p r o b l e m f o r V i n a h a l f p l a n e , i n d i c a t e d o n t h e r i g h t i n F i g . 1 4 5 .

N o w t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e f u n c t i o n

l 1 i

( 2 )

( p > 0 , 0 < 0 < )

n 1 r n

i s a b o u n d e d f u n c t i o n o f u a n d v t h a t a s s u m e s t h e r e q u i r e d c o n s t a n t v a l u e s o n t h e t w o

p a r t s 0 = 0 a n d _ 7 r o f t h e u a x i s . H e n c e t h e d e s i r e d h a r m o n i c f u n c t i o n f o r t h e h a l f

p l a n e i s

( 3 )

a r e t a n I

U

I

,

7 1 7

w h e r e t h e v a l u e s o f t h e a r c t a n g e n t f u n c t i o n r a n g e f r o m 0 t o i t .

T h e i n v e r s e o f t r a n s f o r m a t i o n ( 1 ) i s

( 4 )

< .

w = r

1 + :

f r o m w h i c h u a n d v c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f x a n d y . E q u a t i o n ( 3 ) t h e n b e c o m e s

( 5 )

( 0 < a r c t a n t < z r ) .

T h e f u n c t i o n ( 5 ) i s t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n f o r t h e s p a c e e n c l o s e d b y t h e c y l i n d r i c a l

e l e c t r o d e s s i n c e i t i s h a r m o n i c i n s i d e t h e c i r c l e a n d a s s u m e s t h e r e q u i r e d v a l u e s o n t h e

s e m i c i r c l e s . I f w e w i s h t o v e r i f y t h i s s o l u t i o n , w e m u s t n o t e t h a t

l i m a r c t a n t = 0 a n d

l i m a r c t a n t = 7 r .

t - . o

t - - : 0

t > 0

1 < 0

T h e e q u i p o t e n t i a l c u r v e s V ( x , y ) = c t ( 0 < c i < 1 ) i n t h e c i r c u l a r r e g i o n a r e a r c s

o f t h e c i r c l e s

x 2 + ( y + t a n

C I ) 2 = s e c 2

7 r c l ,

w i t h e a c h c i r c l e p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t s ( + 1 , 0 ) . A l s o , t h e s e g m e n t o f t h e x a x i s

b e t w e e n t h o s e p o i n t s i s t h e e q u i p o t e n t i a l V ( x , y ) = 1 / 2 . A h a r m o n i c c o n j u g a t e U o f

V i s - ( 1 / 7 r ) I n p , o r t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e f u n c t i o n - ( i / 7 r ) L o g w . I n v i e w o f

e q u a t i o n ( 4 ) , U m a y b e w r i t t e n

1 - z

1 + z

3 7 6


C H A P . 1 0

F r o m t h i s e q u a t i o n , i t c a n b e s e e n t h a t t h e f l u x l i n e s U ( x , y ) = c 2 a r e a r c s o f c i r c l e s

w i t h c e n t e r s o n t h e x a x i s . T h e s e g m e n t o f t h e y a x i s b e t w e e n t h e e l e c t r o d e s i s a l s o a

f l u x l i n e .

E X E R C I S E S

1 . T h e h a r m o n i c f u n c t i o n ( 3 ) o f S e c . 1 0 5 i s b o u n d e d i n t h e h a l f p l a n e v > 0 a n d s a t i s f i e s

t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n d i c a t e d o n t h e r i g h t i n F i g . 1 4 5 . S h o w t h a t i f t h e i m a g i n a r y

p a r t o f A e ' , w h e r e A i s a n y r e a l c o n s t a n t , i s a d d e d t o t h a t f u n c t i o n , t h e n t h e r e s u l t i n g

f u n c t i o n s a t i s f i e s a l l o f t h e r e q u i r e m e n t s e x c e p t f o r t h e b o u n d e d n e s s c o n d i t i o n .

2 . S h o w t h a t t r a n s f o r m a t i o n ( 4 ) o f S e c . 1 0 5 m a p s t h e u p p e r h a l f o f t h e c i r c u l a r r e g i o n s h o w n

o n t h e l e f t i n F i g . 1 4 5 o n t o t h e f i r s t q u a d r a n t o f t h e w p l a n e a n d t h e d i a m e t e r C E o n t o t h e

p o s i t i v e v a x i s . T h e n f i n d t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l V i n t h e s p a c e e n c l o s e d b y t h e h a l f

c y l i n d e r x 2 + y 2 = 1 , y > 0 a n d t h e p l a n e y = 0 w h e n V = 0 o n t h e c y l i n d r i c a l s u r f a c e

a n d V = I o n t h e p l a n a r s u r f a c e ( F i g . 1 4 6 ) .

A n s . V =

2

a r c t a n

Y

V = 0

3 . F i n d t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l V ( r , 0 ) i n t h e s p a c e 0 < r < 1 , 0 < 0 < 7 r / 4 , b o u n d e d b y

t h e h a l f p l a n e s 0 = 0 a n d 0 = 7 r / 4 a n d t h e p o r t i o n 0 < 0 < 7 r / 4 o f t h e c y l i n d r i c a l s u r f a c e

r = 1 , w h e n V = 1 o n t h e p l a n a r s u r f a c e s a n d V = 0 o n t h e c y l i n d r i c a l o n e . ( S e e E x e r c i s e

2 . ) V e r i f y t h a t t h e f u n c t i o n o b t a i n e d s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

4 . N o t e t h a t a l l b r a n c h e s o f l o g z h a v e t h e s a m e r e a l c o m p o n e n t , w h i c h i s h a r m o n i c

e v e r y w h e r e e x c e p t a t t h e o r i g i n . T h e n w r i t e a n e x p r e s s i o n f o r t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l

V ( x , y ) i n t h e s p a c e b e t w e e n t w o c o a x i a l c o n d u c t i n g c y l i n d r i c a l s u r f a c e s x 2 + y 2 = 1

a n d x 2 + y 2 = r g ( r a

1 ) w h e n V = 0 o n t h e f i r s t s u r f a c e a n d V = I o n t h e s e c o n d .

A n s . V =

+ y 2 )

2 i n r p

5 . F i n d t h e b o u n d e d e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l V ( x , y ) i n t h e s p a c e y > 0 b o u n d e d b y a n i n f i n i t e

c o n d u c t i n g p l a n e y = 0 o n e s t r i p ( - a < x < a , y = 0 ) o f w h i c h i s i n s u l a t e d f r o m t h e

r e s t o f t h e p l a n e a n d k e p t a t p o t e n t i a l V = 1 , w h i l e V = 0 o n t h e r e s t ( F i g . 1 4 7 ) . V e r i f y

t h a t t h e f u n c t i o n o b t a i n e d s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

1

n s . V =

a r c t a n { ( 0 < a r c t a n t <

n

S E C . 1 0 5

F I G U R E 1 4 7

E X E R C I S E S

3 7 7

6 . D e r i v e a n e x p r e s s i o n f o r t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l i n t h e s e m i - i n f i n i t e s p a c e i n d i c a t e d i n

F i g . 1 4 8 , b o u n d e d b y t w o h a l f p l a n e s a n d a h a l f c y l i n d e r , w h e n V = 1 o n t h e c y l i n d r i c a l

s u r f a c e a n d V = 0 o n t h e p l a n a r s u r f a c e s . D r a w s o m e o f t h e e q u i p o t e n t i a l c u r v e s i n t h e

x y p l a n e .

2

1

2 yr c t a n

n s . V =

I T

7 . F i n d t h e p o t e n t i a l V i n t h e s p a c e b e t w e e n t h e p l a n e s y = 0 a n d y = 7 r w h e n V = 0 o n

t h e p a r t s o f t h o s e p l a n e s w h e r e x > 0 a n d V = 1 o n t h e p a r t s w h e r e x < 0 ( F i g . 1 4 9 ) .

C h e c k t h e r e s u l t w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

s i n y

1

1

( 0 < a r c t a n

n s . V =

a r c t a n

T r

s i n h x

Y

V = 1

V = 0

V = i V = 0

F I G U R E 1 4 9

8 . D e r i v e a n e x p r e s s i o n f o r t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l V i n t h e s p a c e i n t e r i o r t o a l o n g

c y l i n d e r r = 1 w h e n V = 0 o n t h e f i r s t q u a d r a n t ( r = 1 , 0 < 8 < 7 r / 2 ) o f t h e c y l i n d r i c a l

s u r f a c e a n d V = 1 o n t h e r e s t ( r = 1 , 7 r / 2 < 0 < 2 , r ) o f t h a t s u r f a c e . ( S e e E x e r c i s e 5 ,

S e c . 8 8 , a n d F i g . 1 1 0 t h e r e . ) S h o w t h a t V = 3 / 4 o n t h e a x i s o f t h e c y l i n d e r . C h e c k t h e

r e s u l t w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

9 . U s i n g F i g . 2 0 o f A p p e n d i x 2 , f i n d a t e m p e r a t u r e f u n c t i o n T ( x , y ) t h a t i s h a r m o n i c i n t h e

s h a d e d d o m a i n o f t h e x y p l a n e s h o w n t h e r e a n d a s s u m e s t h e v a l u e s T = 0 a l o n g t h e a r c

3 7 8


C H A P . 1 0

A B C a n d T = 1 a l o n g t h e l i n e s e g m e n t D E F . V e r i f y t h a t t h e f u n c t i o n o b t a i n e d s a t i s f i e s

t h e r e q u i r e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . ( S e e E x e r c i s e 2 . )

1 0 . T h e D i r i c h l e t p r o b l e m

V x x ( x , y ) - i - V y y ( x , y ) = 0

( 0 < x < a , 0 < y < b ) ,

V ( x , 0 ) = 0 , V ( x , b ) = 1 ( 0 < x < a ) ,

V ( O , y ) = V ( a , y ) = 0

( 0 < y < b )

f o r V ( x , y ) i n a r e c t a n g l e c a n b e s o l v e d b y t h e m e t h o d o f s e p a r a t i o n o f v a r i a b l e s . * T h e

s o l u t i o n i s

V =

s i n h ( m , r y / a ) . m 7 r x

m s i n h ( m r r b f a )

a

n = I

s i n

( m = 2 n - 1 ) .

B y a c c e p t i n g t h i s r e s u l t a n d a d a p t i n g i t t o a p r o b l e m i n t h e u v p l a n e , f i n d t h e p o t e n t i a l

V ( r , 0 ) i n t h e s p a c e 1 < r < r o , 0 < 6 < 7 t w h e n V = 1 o n t h e p a r t o f t h e

b o u n d a r y w h e r e

0 = 7 r a n d V = 0 o n t h e r e s t o f t h e b o u n d a r y . ( S e e F i g . 1 5 0 . )

A n s . V

s i n h ( a n & )

s m ( a n i n r )

I

( ' 2 n - 1 ) i r

s i n h ( a n T r )

2 n - 1

I n r o

F I G U R E 1 5 0

w = l o g z l r > 0 , - 2 < 0 < 2

a i d o f t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m f o r t h e r e c t a n g l e

0 < x < a , 0 < y < b

t h a t w a s u s e d i n E x e r c i s e 1 0 , f i n d t h e p o t e n t i a l V ( r , 6 ) f o r t h e s p a c e

1 < r < r o , 0 < 0 < 7 r

w h e n V = 1 o n t h e p a r t r = r o , 0 < 0 < i t o f i t s b o u n d a r y a n d V = 0 o n t h e r e s t

( F i g .

1 5 1 ) .

A n s . V =

* S e e t h e a u t h o r s ' " F o u r i e r S e r i e s a n d B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s , " 6 t h e d . , p p . 1 3 5 - 1 3 7 a n d 1 8 5 - 1 8 7 ,

2 0 0 1 .



S E C . i o 6

v = o

v = 0

F I G U R E 1 5 1

1 0 6 . T W O - D I M E N S I O N A L F L U I D F L O W

H a r m o n i c f u n c t i o n s p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n h y d r o d y n a m i c s a n d a e r o d y n a m i c s .

A g a i n , w e c o n s i d e r o n l y t h e t w o - d i m e n s i o n a l s t e a d y - s t a t e t y p e o f p r o b l e m . T h a t i s ,

t h e m o t i o n o f t h e f l u i d i s a s s u m e d t o b e t h e s a m e i n a l l p l a n e s p a r a l l e l t o t h e x y p l a n e ,

t h e v e l o c i t y b e i n g p a r a l l e l t o t h a t p l a n e a n d i n d e p e n d e n t o f t i m e . I t i s , t h e n , s u f f i c i e n t

t o c o n s i d e r t h e m o t i o n o f a s h e e t o f f l u i d i n t h e x y p l a n e .

W e l e t t h e v e c t o r r e p r e s e n t i n g t h e c o m p l e x n u m b e r

V = p + i q

d e n o t e t h e v e l o c i t y o f a p a r t i c l e o f t h e f l u i d a t a n y p o i n t ( x , y ) ; h e n c e t h e x a n d y

c o m p o n e n t s o f t h e v e l o c i t y v e c t o r a r e p ( x , y ) a n d q ( x , y ) , r e s p e c t i v e l y . A t p o i n t s

i n t e r i o r t o a r e g i o n o f f l o w i n w h i c h n o s o u r c e s o r s i n k s o f t h e f l u i d o c c u r , t h e

r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s p ( x , y ) a n d q ( x , y ) a n d t h e i r f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s a r e

a s s u m e d t o b e c o n t i n u o u s .

T h e c i r c u l a t i o n o f t h e f l u i d a l o n g a n y c o n t o u r C i s d e f i n e d a s t h e l i n e i n t e g r a l

w i t h r e s p e c t t o a r c l e n g t h o r o f t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t V T ( x , y ) o f t h e v e l o c i t y

v e c t o r a l o n g C :

( 1 )

T W O - D I M E N S I O N A L F L U I D F L O W

3 7 9

V T ( x , y ) d a .

T h e r a t i o o f t h e c i r c u l a t i o n a l o n g C t o t h e l e n g t h o f C i s , t h e r e f o r e , a m e a n s p e e d o f

t h e f l u i d a l o n g t h a t c o n t o u r . I t i s s h o w n i n a d v a n c e d c a l c u l u s t h a t s u c h a n i n t e g r a l c a n

b e w r i t t e n *

( 2 ) V T ( x , y ) d o " = 1

p ( x , y ) d x - { - q ( x , y ) d y .

C

W h e n C i s a p o s i t i v e l y o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r l y i n g i n a s i m p l y c o n n e c t e d

d o m a i n o f f l o w c o n t a i n i n g n o s o u r c e s o r s i n k s , G r e e n ' s t h e o r e m ( s e e S e c . 4 4 ) e n a b l e s

* P r o p e r t i e s o f l i n e i n t e g r a l s i n a d v a n c e d c a l c u l u s t h a t a r e u s e d i n t h i s a n d t h e f o l l o w i n g s e c t i o n a r e t o

b e f o u n d i n , f o r i n s t a n c e , W . K a p l a n , " A d v a n c e d M a t h e m a t i c s f o r E n g i n e e r s , " C h a p . 1 0 , 1 9 9 2 ,



3 8 0 A P P L I C A T I O N S O F C O N F O R M A L M A P P I N G

C H A P . 1 0

u s t o w r i t e

f c

p ( x , y ) d x + q ( x , y ) d y - f f

q x ( x , y ) - p y ( x , y ) ] d A ,

w h e r e R i s t h e c l o s e d r e g i o n c o n s i s t i n g o f p o i n t s i n t e r i o r t o a n d o n C . T h u s

( 3 )

l

V T ( x , y ) d c r = f

+

x , y ) - p y ( x , y ) ] d A

f o r s u c h a c o n t o u r

A p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h e i n t e g r a n d o n t h e r i g h t i n e x p r e s s i o n ( 3 ) f o r t h e

c i r c u l a t i o n a l o n g t h e s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C i s r e a d i l y g i v e n . W e l e t C d e n o t e a c i r c l e

o f r a d i u s r w h i c h i s c e n t e r e d a t a p o i n t ( x e , y o ) a n d t a k e n c o u n t e r c l o c k w i s e . T h e m e a n

s p e e d a l o n g C i s t h e n f o u n d b y d i v i d i n g t h e c i r c u l a t i o n b y t h e c i r c u m f e r e n c e 2 i r r ,

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g m e a n a n g u l a r s p e e d o f t h e f l u i d a b o u t t h e c e n t e r o f t h e c i r c l e i s

o b t a i n e d b y d i v i d i n g t h a t m e a n s p e e d b y r :

1

R

l [ q x ( x , y ) - p y ( x , y ) ] d A .

2

N o w t h i s i s a l s o a n e x p r e s s i o n f o r t h e m e a n v a l u e o f t h e f u n c t i o n

( 4 )

w ( x , y ) =

I

[ q x ( x , y ) - p y ( x , y ) ]

o v e r t h e c i r c u l a r r e g i o n R b o u n d e d b y C . I t s l i m i t a s r t e n d s t o z e r o i s t h e v a l u e o f

t o a t t h e p o i n t ( x a , y o ) . H e n c e t h e f u n c t i o n w ( x , y ) , c a l l e d t h e r o t a t i o n o f t h e f l u i d ,

r e p r e s e n t s t h e l i m i t i n g a n g u l a r s p e e d o f a c i r c u l a r e l e m e n t o f t h e f l u i d a s t h e c i r c l e

s h r i n k s t o i t s c e n t e r ( x , y ) , t h e p o i n t a t w h i c h t o i s e v a l u a t e d .

I f t o ( x , y ) = 0 a t e a c h p o i n t i n s o m e s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n , t h e f l o w i s

i r r o t a t i o n a l i n t h a t d o m a i n . W e c o n s i d e r o n l y i r r o t a t i o n a l f l o w s h e r e , a n d w e a l s o

a s s u m e t h a t t h e f l u i d i s i n c o m p r e s s i b l e a n d f r e e f r o m v i s c o s i t y . U n d e r o u r a s s u m p t i o n

o f s t e a d y i r r o t a t i o n a l f l o w o f f l u i d s w i t h u n i f o r m d e n s i t y p , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e

f l u i d p r e s s u r e P ( x , y ) s a t i s f i e s t h e f o l l o w i n g s p e c i a l c a s e o f B e r n o u l l i ' s e q u a t i o n :

P 1

2

- +

2 I V

= c o n s t a n t .

p

N o t e t h a t t h e p r e s s u r e i s g r e a t e s t w h e r e t h e s p e e d I V I i s l e a s t .

L e t D b e a s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n i n w h i c h t h e f l o w i s i r r o t a t i o n a l . A c c o r d i n g

t o e q u a t i o n ( 4 ) , p y = q x t h r o u g h o u t D . T h i s r e l a t i o n b e t w e e n p a r t i a l d e r i v a t i v e s i m p l i e s

t h a t t h e l i n e i n t e g r a l

d s + q ( s , t ) d t



S E C . 1 0 7 T H E S T R E A M F U N C T I O N

3 8 1

a l o n g a c o n t o u r C l y i n g e n t i r e l y i n D a n d j o i n i n g a n y t w o p o i n t s ( x e , y o ) a n d ( x , y )

i n D i s a c t u a l l y i n d e p e n d e n t o f p a t h . T h u s , i f ( x e = y o ) i s f i x e d , t h e f u n c t i o n

( x , y )

( 5 )

0 ( x , y ) =

p ( s , t ) d s + q ( s , t ) d t

f x o , y o )

i s w e l l d e f i n e d o n D ; a n d , b y t a k i n g p a r t i a l d e r i v a t i v e s o n e a c h s i d e o f t h i s e q u a t i o n ,

w e f i n d t h a t

( 6 )

O x ( x , y ) = p ( x , y ) ,

f i y ( x , y ) = q ( x , y ) .

F r o m e q u a t i o n s ( 6 ) , w e s e e t h a t t h e v e l o c i t y v e c t o r V = p + i q i s t h e g r a d i e n t o f

0 ; a n d t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f 0 i n a n y d i r e c t i o n r e p r e s e n t s t h e c o m p o n e n t o f t h e

v e l o c i t y o f f l o w i n t h a t d i r e c t i o n .

T h e f u n c t i o n ¢ r ( x , y ) i s c a l l e d t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l . F r o m e q u a t i o n ( 5 ) , i t i s

e v i d e n t t h a t 0 ( x , y ) c h a n g e s b y a n a d d i t i v e c o n s t a n t w h e n t h e r e f e r e n c e p o i n t ( x e , y o )

i s c h a n g e d . T h e l e v e l c u r v e s O ( x , y ) = c i a r e c a l l e d e q u i p o t e n t i a l s . B e c a u s e i t i s t h e

g r a d i e n t o f O ( x , y ) , t h e v e l o c i t y v e c t o r V i s n o r m a l t o a n e q u i p o t e n t i a l a t a n y p o i n t

w h e r e V i s n o t t h e z e r o v e c t o r .

J u s t a s i n t h e c a s e o f t h e f l o w o f h e a t , t h e c o n d i t i o n t h a t t h e i n c o m p r e s s i b l e f l u i d

e n t e r o r l e a v e a n e l e m e n t o f v o l u m e o n l y b y f l o w i n g t h r o u g h t h e b o u n d a r y o f t h a t

e l e m e n t r e q u i r e s t h a t 0 ( x , y ) m u s t s a t i s f y L a p l a c e ' s e q u a t i o n

0 x x ( x , Y ) + 0 Y Y ( x , y ) = 0

i n a d o m a i n w h e r e t h e f l u i d i s f r e e f r o m s o u r c e s o r s i n k s . I n v i e w o f e q u a t i o n s ( 6 )

a n d t h e c o n t i n u i t y o f t h e f u n c t i o n s p a n d q a n d t h e i r f i r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s , i t

f o l l o w s t h a t t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e f i r s t a n d s e c o n d o r d e r o f 0 a r e c o n t i n u o u s i n

s u c h a d o m a i n . H e n c e t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l 0 i s a h a r m o n i c f u n c t i o n i n t h a t d o m a i n .

1 0 7 . T H E S T R E A M F U N C T I O N

A c c o r d i n g t o S e c . 1 0 6 , t h e v e l o c i t y v e c t o r

( 1 )

V = p ( x , y ) + i q ( x , y )

f o r a s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n i n w h i c h t h e f l o w i s i r r o t a t i o n a l c a n b e w r i t t e n

( 2 ) V = O x ( x , y ) + i r y ( x , y ) = g r a d 0 ( x , y ) ,

w h e r e 0 i s t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l . W h e n t h e v e l o c i t y v e c t o r i s n o t t h e z e r o v e c t o

i s n o r m a l t o a n e q u i p o t e n t i a l p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t ( x , y ) . I f , m o r e o v e r , + / r ( x , y )

d e n o t e s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f . 0 ( x , y ) ( s e e S e c . 9 7 ) , t h e v e l o c i t y v e c t o r i s t a n g e n t t o

a c u r v e * ( x , y ) = c 2 . T h e c u r v e s V i ( x , y ) = c 2 a r e c a l l e d t h e s t r e a m l i n e s o f t h e f l o w ,

a n d t h e f u n c t i o n J r i s t h e s t r e a m f u n c t i o n . I n p a r t i c u l a r , a b o u n d a r y a c r o s s w h i c h f l u i d

c a n n o t f l o w i s a s t r e a m l i n e .



3 8 2


T h e a n a l y t i c f u n c t i o n

F ( z ) = O ( x , y ) + i / ( x , y )

i s c a l l e d t h e c o m p l e x p o t e n t i a l o f t h e f l o w . N o t e t h a t

F ' ( z ) = O x ( x , y ) + i 1 x ( x , y ) ,

o r , i n v i e w o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s ,

F ' ( z ) = O x ( x , y )

- i O y ( x , y )

E x p r e s s i o n ( 2 ) f o r t h e v e l o c i t y t h u s b e c o m e s

( 3 )

V = F ' ( z

T h e s p e e d , o r m a g n i t u d e o f t h e v e l o c i t y , i s o b t a i n e d b y w r i t i n g

I V ) = J F ( z ) I .

C H A P . 1 0

A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 5 ) , S e c . 9 7 , i f 0 i s h a r m o n i c i n a s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n

D , a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f ¢ r t h e r e c a n b e w r i t t e n

{ x , Y )

t ( x , y ) = f

- 0 1 ( s , t ) d s

t ) d

{ x o , Y o )

w h e r e t h e i n t e g r a t i o n i s i n d e p e n d e n t o f p a t h . W i t h t h e a i d o f e q u a t i o n s ( 6 ) , S e c . 1 0 6 ,

w e c a n , t h e r e f o r e , w r i t e

( 4 ) 1 r ( x , y ) = I - q ( s , t ) d s + p ( s , t

w h e r e C i s a n y c o n t o u r i n D f r o m ( x e , y o ) t o ( x , y ) .

N o w i t i s s h o w n i n a d v a n c e d c a l c u l u s t h a t t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 4 )

r e p r e s e n t s t h e i n t e g r a l w i t h r e s p e c t t o a r c l e n g t h a a l o n g C o f t h e n o r m a l c o m p o n e n t

V N ( x , y ) o f t h e v e c t o r w h o s e x a n d y c o m p o n e n t s a r e p ( x , y ) a n d q ( x , y ) , r e s p e c -

t i v e l y . S o e x p r e s s i o n ( 4 ) c a n b e w r i t t e n

( 5 )

f ( x , y ) = I V N ( s , t ) d a .

P h y s i c a l l y , t h e n , i J r ( x , y ) r e p r e s e n t s t h e t i m e r a t e o f f l o w o f t h e f l u i d a c r o s s C . M o r e

p r e c i s e l y , * ( x , y ) d e n o t e s t h e r a t e o f f l o w , b y v o l u m e , a c r o s s a s u r f a c e o f u n i t h e i g h t

s t a n d i n g p e r p e n d i c u l a r t o t h e x y p l a n e o n t h e c u r v e C .

E X A M P L E . W h e n t h e c o m p l e x p o t e n t i a l i s t h e f u n c t i o n

( 6 )

F ( z ) = A z ,



S E C . I o 8

F L O W S A R O U N D A C O R N E R A N D A R O U N D A C Y L I N D E R

3 8 3

w h e r e A i s a p o s i t i v e r e a l c o n s t a n t ,

( 7 )

O ( x , y ) = A x

a n d

* ( x , y ) = A y .

T h e s t r e a m l i n e s * ( x , y ) = c 2 a r e t h e h o r i z o n t a l l i n e s y = c 2 / A , a n d t h e v e l o c i t y a t

a n y p o i n t i s

V = F ` ( z ) = A .

H e r e a p o i n t ( x 0 , y o ) a t w h i c h J r ( x , y ) = 0 i s a n y p o i n t o n t h e x a x i s . I f t h e p o i n t

( x 0 , y o ) i s t a k e n a s t h e o r i g i n , t h e n J r ( x , y ) i s t h e r a t e o f f l o w a c r o s s a n y c o n t o u r d r a w n

f r o m t h e o r i g i n t o t h e p o i n t ( x , y ) ( F i g . 1 5 2 ) . T h e f l o w i s u n i f o r m a n d t o t h e r i g h t . I t

c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e u n i f o r m f l o w i n t h e u p p e r h a l f p l a n e b o u n d e d b y t h e x a x i s ,

w h i c h i s a s t r e a m l i n e , o r a s t h e u n i f o r m f l o w b e t w e e n t w o p a r a l l e l l i n e s y = y i a n d

Y = y 2

y

( x , . Y )

D 1

X

F I G U R E 1 5 2

T h e s t r e a m f u n c t i o n * c h a r a c t e r i z e s a d e f i n i t e f l o w i n a r e g i o n . T h e q u e s t i o n o f

w h e t h e r j u s t o n e s u c h f u n c t i o n e x i s t s c o r r e s p o n d i n g t o a g i v e n r e g i o n , e x c e p t p o s s i b l y

f o r a c o n s t a n t f a c t o r o r a n a d d i t i v e c o n s t a n t , i s n o t e x a m i n e d h e r e . I n s o m e o f t h e

e x a m p l e s t o f o l l o w , w h e r e t h e v e l o c i t y i s u n i f o r m f a r f r o m t h e o b s t r u c t i o n , o r i n C h a p .

1 1 , w h e r e s o u r c e s a n d s i n k s a r e i n v o l v e d , t h e p h y s i c a l s i t u a t i o n i n d i c a t e s t h a t t h e f l o w

i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y t h e c o n d i t i o n s g i v e n i n t h e p r o b l e m .

A h a r m o n i c f u n c t i o n i s n o t a l w a y s u n i q u e l y d e t e r m i n e d , e v e n u p t o a c o n s t a n t

f a c t o r , b y s i m p l y p r e s c r i b i n g i t s v a l u e s o n t h e b o u n d a r y o f a r e g i o n . I n t h i s e x a m p l e ,

t h e f u n c t i o n * ( x , y ) = A y i s h a r m o n i c i n t h e h a l f p l a n e y > 0 a n d h a s z e r o v a l u e s

o n t h e b o u n d a r y . T h e f u n c t i o n V I I ( x , y ) = B e x s i n y a l s o s a t i s f i e s t h o s e c o n d i t i o n s .

H o w e v e r , t h e s t r e a m l i n e * 1 ( x , y ) = 0 c o n s i s t s n o t o n l y o f t h e l i n e y = 0 b u t a l s o o f

t h e l i n e s y = n 7 r ( n = 1 , 2 , . . . ) . H e r e t h e f u n c t i o n F 1 ( z ) = B e z i s t h e c o m p l e x p o t e n t i a l

f o r t h e f l o w i n t h e s t r i p b e t w e e n t h e l i n e s y = 0 a n d y = 7 r , b o t h l i n e s m a k i n g u p t h e

s t r e a m l i n e * ( x , y ) = 0 ; i f B > 0 , t h e f l u i d f l o w s t o t h e r i g h t a l o n g t h e l o w e r l i n e a n d

t o t h e l e f t a l o n g t h e u p p e r o n e .

1 0 8 . F L O W S A R O U N D A C O R N E R

A N D A R O U N D A C Y L I N D E R

I n a n a l y z i n g a f l o w i n t h e x y , o r z , p l a n e , i t i s o f t e n s i m p l e r t o c o n s i d e r a c o r r e s p o n d i n g

f l o w i n t h e u v , o r w , p l a n e . T h e n , i f 0 i s a v e l o c i t y p o t e n t i a l a n d J r a s t r e a m f u n c t i o n

f o r t h e f l o w i n t h e u v p l a n e , r e s u l t s i n S e c s . 9 8 a n d 9 9 c a n b e a p p l i e d t o t h e s e h a r m o n i c



3 8 4


C H A P . 1 0

f u n c t i o n s . T h a t i s , w h e n t h e d o m a i n o f f l o w D , , , i n t h e u v p l a n e i s t h e i m a g e o f a d o m a i n

D z u n d e r a t r a n s f o r m a t i o n

z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) ,

w h e r e f i s a n a l y t i c , t h e f u n c t i o n s

0 [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ]

a n d

t r [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ]

a r e h a r m o n i c i n D . T h e s e n e w f u n c t i o n s m a y b e i n t e r p r e t e d a s v e l o c i t y p o t e n t i a l a n d

s t r e a m f u n c t i o n i n t h e x y p l a n e . A s t r e a m l i n e o r n a t u r a l b o u n d a r y * ( u , v ) = c 2 i n t h e

u v p l a n e c o r r e s p o n d s t o a s t r e a m l i n e o r n a t u r a l b o u n d a r y I l r [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ] = c 2 i n

t h e x y p l a n e .

I n u s i n g t h i s t e c h n i q u e , i t i s o f t e n m o s t e f f i c i e n t t o f i r s t w r i t e t h e c o m p l e x p o t e n t i a l

f u n c t i o n f o r t h e r e g i o n i n t h e w p l a n e a n d t h e n o b t a i n f r o m t h a t t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l

a n d s t r e a m f u n c t i o n f o r t h e c o r r e s p o n d i n g r e g i o n i n t h e x y p l a n e . M o r e p r e c i s e l y , i f

t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n i n t h e u v p l a n e i s

F ( w ) = 0 ( u , v ) + i i / , ( u , v ) ,

t h e n t h e c o m p o s i t e f u n c t i o n

F [ . f ( z ) ] = ( [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ] + i J [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ]

i s t h e d e s i r e d c o m p l e x p o t e n t i a l i n t h e x y p l a n e .

I n o r d e r t o a v o i d a n e x c e s s o f n o t a t i o n , w e u s e t h e s a m e s y m b o l s F , ¢ r , a n d * f o

t h e c o m p l e x p o t e n t i a l , e t c . , i n b o t h t h e x y a n d t h e u v p l a n e s .

E X A M P L E 1 .

C o n s i d e r a f l o w i n t h e f i r s t q u a d r a n t x > 0 , y > 0 t h a t c o m e s i n

d o w n w a r d p a r a l l e l t o t h e y a x i s b u t i s f o r c e d t o t u r n a c o r n e r n e a r t h e o r i g i n , a s s h o w n i n

F i g . 1 5 3 . T o d e t e r m i n e t h e f l o w , w e r e c a l l ( E x a m p l e 3 , S e c . 1 2 ) t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

w = z 2 = x 2 - y 2 + i 2 x y

m a p s t h e f i r s t q u a d r a n t o n t o t h e u p p e r h a l f o f t h e u v p l a n e a n d t h e b o u n d a r y o f t h e

q u a d r a n t o n t o t h e e n t i r e u a x i s .

F r o m t h e e x a m p l e i n S e c . 1 0 7 , w e k n o w t h a t t h e c o m p l e x p o t e n t i a l f o r a u n i f o r m

f l o w t o t h e r i g h t i n t h e u p p e r h a l f o f t h e w p l a n e i s F = A w , w h e r e A i s a p o s i t i v e r e a l

y

0

X

F I G U R E 1 5 3



S E C . I 0 8

F L O W S A R O U N D A C O R N E R A N D A R O U N D A C Y L I N D E R

3 8 5

c o n s t a n t . T h e p o t e n t i a l i n t h e q u a d r a n t i s , t h e r e f o r e ,

( 1 )

F = A z 2 = A ( x 2 - y 2 ) + i 2 A x y ,

a n d i t f o l l o w s t h a t t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r t h e f l o w t h e r e i s

( 2 )

* = 2 A x y .

T h i s s t r e a m f u n c t i o n i s , o f c o u r s e , h a r m o n i c i n t h e f i r s t q u a d r a n t , a n d i t v a n i s h e s o n

t h e b o u n d a r y .

T h e s t r e a m l i n e s a r e b r a n c h e s o f t h e r e c t a n g u l a r h y p e r b o l a s

2 A x y = c 2 .

A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 3 ) , S e c . 1 0 7 , t h e v e l o c i t y o f t h e f l u i d i s

V = 2 A z = 2 A ( x -

O b s e r v e t h a t t h e s p e e d

V 1 = 2 A

+ y 2

o f a p a r t i c l e i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o i t s d i s t a n c e f r o m t h e o r i g i n . T h e v a l u e o f t h e

s t r e a m f u n c t i o n ( 2 ) a t a p o i n t ( x , y ) c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e r a t e o f f l o w a c r o s s a l i n e

s e g m e n t e x t e n d i n g f r o m t h e o r i g i n t o t h a t p o i n t .

E X A M P L E 2 .

L e t a l o n g c i r c u l a r c y l i n d e r o f u n i t r a d i u s b e p l a c e d i n a l a r g e b o d y

o f f l u i d f l o w i n g w i t h a u n i f o r m v e l o c i t y , t h e a x i s o f t h e c y l i n d e r b e i n g p e r p e n d i c u l a r

t o t h e d i r e c t i o n o f f l o w . T o d e t e r m i n e t h e s t e a d y f l o w a r o u n d t h e c y l i n d e r , w e r e p r e s e n t

t h e c y l i n d e r b y t h e c i r c l e x 2 + y 2 = 1 a n d l e t t h e f l o w d i s t a n t f r o m i t b e p a r a l l e l t o t h e

x a x i s a n d t o t h e r i g h t ( F i g . 1 5 4 ) . S y m m e t r y s h o w s t h a t p o i n t s o n t h e x a x i s e x t e r i o r

t o t h e c i r c l e m a y b e t r e a t e d a s b o u n d a r y p o i n t s , a n d s o w e n e e d t o c o n s i d e r o n l y t h e

u p p e r p a r t o f t h e f i g u r e a s t h e r e g i o n o f f l o w .

T h e b o u n d a r y o f t h i s r e g i o n o f f l o w , c o n s i s t i n g o f t h e u p p e r s e m i c i r c l e a n d t h e

p a r t s o f t h e x a x i s e x t e r i o r t o t h e c i r c l e , i s m a p p e d o n t o t h e e n t i r e u a x i s b y t h e

t r a n s f o r m a t i o n

1

w = z + - .

z

F I G U R E 1 5 4



3 8 6


C H A P . I O

T h e r e g i o n i t s e l f i s m a p p e d o n t o t h e u p p e r h a l f p l a n e v > 0 , a s i n d i c a t e d i n F i g . 1 7 ,

A p p e n d i x 2 . T h e c o m p l e x p o t e n t i a l f o r t h e c o r r e s p o n d i n g u n i f o r m f l o w i n t h a t h a l f

p l a n e i s F = A w , w h e r e A i s a p o s i t i v e r e a l c o n s t a n t . H e n c e t h e c o m p l e x p o t e n t i a l f o r

t h e r e g i o n e x t e r i o r t o t h e c i r c l e a n d a b o v e t h e x a x i s i s

( 3 )

F = A z +

1

j .

z

T h e v e l o c i t y

( 4 )

V =

a p p r o a c h e s A a s I z l i n c r e a s e s . T h u s t h e f l o w i s n e a r l y u n i f o r m a n d p a r a l l e l t o t h e x

a x i s a t p o i n t s d i s t a n t f r o m t h e c i r c l e , a s o n e w o u l d e x p e c t . F r o m e x p r e s s i o n ( 4 ) , w e

s e e t h a t V ( z ) = V ( z ) ; h e n c e t h a t e x p r e s s i o n a l s o r e p r e s e n t s v e l o c i t i e s o f f l o w i n t h e

l o w e r r e g i o n , t h e l o w e r s e m i c i r c l e b e i n g a s t r e a m l i n e .

A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 3 ) , t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r t h e g i v e n p r o b l e m i s , i n p o l a r

c o o r d i n a t e s ,

( 5 )

T h e s t r e a m l i n e s

s i n 0 = c 2

a r e s y m m e t r i c t o t h e y a x i s a n d h a v e a s y m p t o t e s p a r a l l e l t o t h e x a x i s . N o t e t h a t w h e n

c 2 = 0 , t h e s t r e a m l i n e c o n s i s t s o f t h e c i r c l e r = 1 a n d t h e p a r t s o f t h e x a x i s e x t e r i o r

t o t h e c i r c l e .

E X E R C I S E S

1 . S t a t e w h y t h e c o m p o n e n t s o f v e l o c i t y c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e s t r e a m f u n c t i o n b y m e a n s

o f t h e e q u a t i o n s

p ( x , y ) = f v ( x , y ) ,

4 ( x , y ) _ * x ( x , y ) .

2 . A t a n i n t e r i o r p o i n t o f a r e g i o n o f f l o w a n d u n d e r t h e c o n d i t i o n s t h a t w e h a v e a s s u m e d ,

t h e f l u i d p r e s s u r e c a n n o t b e l e s s t h a n t h e p r e s s u r e a t a l l o t h e r p o i n t s i n a n e i g h b o r h o o d

o f t h a t p o i n t . J u s t i f y t h i s s t a t e m e n t w i t h t h e a i d o f s t a t e m e n t s i n S e c s . 1 0 6 , 1 0 7 , a n d 5 0 .

3 . F o r t h e f l o w a r o u n d a c o r n e r d e s c r i b e d i n E x a m p l e 1 , S e c . 1 0 8 , a t w h a t p o i n t o f t h e r e g i o n

x > 0 , y > 0 i s t h e f l u i d p r e s s u r e g r e a t e s t ?

4 . S h o w t h a t t h e s p e e d o f t h e f l u i d a t p o i n t s o n t h e c y l i n d r i c a l s u r f a c e i n E x a m p l e 2 , S e c .

1 0 8 , i s 2 A ( s i n 6 1 a n d a l s o t h a t t h e f l u i d p r e s s u r e o n t h e c y l i n d e r i s g r e a t e s t a t t h e p o i n t s

z = ± 1 a n d l e a s t a t t h e p o i n t s z = ± i .

S E C . i o 8

E X E R C I S E S

3 8 7

5 . W r i t e t h e c o m p l e x p o t e n t i a l f o r t h e f l o w a r o u n d a c y l i n d e r r = r 0 w h e n t h e v e l o c i t y V

a t a p o i n t z a p p r o a c h e s a r e a l c o n s t a n t A a s t h e p o i n t r e c e d e s f r o m t h e c y l i n d e r .

6 . O b t a i n t h e s t r e a m f u n c t i o n

V r = A r 4 s i n 4 8

f o r a f l o w i n t h e a n g u l a r r e g i o n r > 0 , 0 < 8 < 7 r / 4 ( F i g . 1 5 5 ) , a n d s k e t c h a f e w o f t h e

s t r e a m l i n e s i n t h e i n t e r i o r o f t h a t r e g i o n .

Y

6 L

F I G U R E 1 5 5

7 . O b t a i n t h e c o m p l e x p o t e n t i a l F = A s i n z f o r a f l o w i n s i d e t h e s e m i - i n f i n i t e r e g i o n

- 7 r / 2 < x < n / 2 , y > 0 ( F i g . 1 5 6 ) . W r i t e t h e e q u a t i o n s o f t h e s t r e a m l i n e s .

Y

J r

2

F I G U R E 1 5 6

x

8 . S h o w t h a t i f t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l i s . 0 = A I n r ( A > 0 ) f o r f l o w i n t h e r e g i o n r > r 0 ,

t h e n t h e s t r e a m l i n e s a r e t h e h a l f l i n e s 8 = c ( r > r 0 ) a n d t h e r a t e o f f l o w o u t w a r d t h r o u g h

e a c h c o m p l e t e c i r c l e a b o u t t h e o r i g i n i s 2 J r A , c o r r e s p o n d i n g t o a s o u r c e o f t h a t s t r e n g t h

a t t h e o r i g i n .

9 . O b t a i n t h e c o m p l e x p o t e n t i a l

F = A

f o r a f l o w i n t h e r e g i o n r > 1 , 0 < 8 < i r / 2 . W r i t e e x p r e s s i o n s f o r V a n d * . N o t e h o w

t h e s p e e d I V ( v a r i e s a l o n g t h e b o u n d a r y o f t h e r e g i o n , a n d v e r i f y t h a t V r ( x , y ) = 0 o n t h e

b o u n d a r y .

1 0 . S u p p o s e t h a t t h e f l o w a t a n i n f i n i t e d i s t a n c e f r o m t h e c y l i n d e r o f u n i t r a d i u s i n E x a m p l e

2 , S e c . 1 0 8 , i s u n i f o r m i n a d i r e c t i o n m a k i n g a n a n g l e e t w i t h t h e x a x i s ; t h a t i s ,

l i m V = A e ` "

( A > 0

I z l - r x

3 8 8


C H A P . I O

F i n d t h e c o m p l e x p o t e n t i a l .

A n s . F = A

1 1 . W r i t e

z - 2 = r i e x p ( i 6 1 ) ,

z + 2 = r 2 e x p

a n d

w h e r e

0 < 0 1 < 2 7 r

a n d 0 < 0 2 < 2 7 r .

T h e f u n c t i o n ( z 2 - 4 ) 1 / 2 i s t h e n s i n g l e - v a l u e d a n d a n a l y t i c e v e r y w h e r e e x c e p t o n t h e

b r a n c h c u t c o n s i s t i n g o f t h e s e g m e n t o f t h e x a x i s j o i n i n g t h e p o i n t s z = ± 2 . W e k n o w ,

m o r e o v e r , f r o m E x e r c i s e 1 3 , S e c . 8 5 , t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

z = w + -

w

m a p s t h e c i r c l e w E = 1 o n t o t h e l i n e s e g m e n t f r o m z = - 2 t o z = 2 a n d t h a t i t m a p s t h e

d o m a i n o u t s i d e t h e c i r c l e o n t o t h e r e s t o f t h e z p l a n e . U s e a l l o f t h e o b s e r v a t i o n s a b o v e

t o s h o w t h a t t h e i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n , w h e r e I w I > 1 f o r e v e r y p o i n t n o t o n t h e b r a n c h

c u t , c a n b e w r i t t e n

i

2

1 / 2 1 = 1

t t / 1 w

W = [ z + ( z - 4 ) ] = 4

r 1 e x p

+

r 2 e x p

2

T h e t r a n s f o r m a t i o n a n d t h i s i n v e r s e e s t a b l i s h a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n p o i n t s

i n t h e t w o d o m a i n s .

1 2 . W i t h t h e a i d o f t h e r e s u l t s f o u n d i n E x e r c i s e s 1 0 a n d 1 1 , d e r i v e t h e e x p r e s s i o n

F = A [ z c o s a - i ( z 2 - 4 ) 1 / 2 s i n a ]

f o r t h e c o m p l e x p o t e n t i a l o f t h e s t e a d y f l o w a r o u n d a l o n g p l a t e w h o s e w i d t h i s 4 a n d

w h o s e c r o s s s e c t i o n i s t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g t h e t w o p o i n t s z = ± 2 i n F i g . 1 5 7 ,

a s s u m i n g t h a t t h e v e l o c i t y o f t h e f l u i d a t a n i n f i n i t e d i s t a n c e f r o m t h e p l a t e i s A e x p ( i a ) .

T h e b r a n c h o f ( z 2 - 4 )

1 / 2

t h a t i s u s e d i s t h e o n e d e s c r i b e d i n E x e r c i s e 1 1 , a n d A > 0 .

1 3 . S h o w t h a t i f s i n a A 0 i n E x e r c i s e 1 2 , t h e n t h e s p e e d o f t h e f l u i d a l o n g t h e l i n e s e g m e n t

j o i n i n g t h e p o i n t s z = ± 2 i s i n f i n i t e a t t h e e n d s a n d i s e q u a l t o A l c o s a I a t t h e m i d p o i n t .

1 4 . F o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y , s u p p o s e t h a t 0 < a < 7 r / 2 i n E x e r c i s e 1 2 . T h e n s h o w t h a t t h e

v e l o c i t y o f t h e f l u i d a l o n g t h e u p p e r s i d e o f t h e l i n e s e g m e n t r e p r e s e n t i n g t h e p l a t e i n

F i g . 1 5 7 i s z e r o a t t h e p o i n t x = 2 c o s a a n d t h a t t h e v e l o c i t y a l o n g t h e l o w e r s i d e o f t h e

s e g m e n t i s z e r o a t t h e p o i n t x = - 2 c o s a .

S E C . 1 0 8

E X E R C I S E S

3 8 9

F I G U R E 1 5 7

1 5 . A c i r c l e w i t h i t s c e n t e r a t a p o i n t x O ( 0 < x a < 1 ) o n t h e x a x i s a n d p a s s i n g t h r o u g h t h e

p o i n t z = - 1 i s s u b j e c t e d t o t h e t r a n s f o r m a t i o n

1

z + - .

z

I n d i v i d u a l n o n z e r o p o i n t s z c a n b e m a p p e d g e o m e t r i c a l l y b y a d d i n g t h e v e c t o r s

Z =

r e i e a n d

1

=

1 e - i 9

z

r

I n d i c a t e b y m a p p i n g s o m e p o i n t s t h a t t h e i m a g e o f t h e c i r c l e i s a p r o f i l e o f t h e t y p e s h o w n

i n F i g . 1 5 8 a n d t h a t p o i n t s e x t e r i o r t o t h e c i r c l e m a p o n t o p o i n t s e x t e r i o r t o t h e p r o f i l e .

T h i s i s a s p e c i a l c a s e o f t h e p r o f i l e o f a J o u k o w s k i a i r f o i l . ( S e e a l s o E x e r c i s e s 1 6 a n d 1 7

b e l o w . )

1 6 . ( a ) S h o w t h a t t h e m a p p i n g o f t h e c i r c l e i n E x e r c i s e 1 5 i s c o n f o r m a l e x c e p t a t t h e p o i n t

z = - 1 .

( b ) L e t t h e c o m p l e x n u m b e r s

t = l i m

A z a n d

r = l i m A w

n z - + O I A z 1

A W - O I t i w I

r e p r e s e n t u n i t v e c t o r s t a n g e n t t o a s m o o t h d i r e c t e d a r c a t z = - 1 a n d t h a t a r c ' s i m a g e ,

r e s p e c t i v e l y , u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = z + ( 1 / z ) . S h o w t h a t r = - t 2 a n d h e n c e

t h a t t h e J o u k o w s k i p r o f i l e i n F i g . 1 5 8 h a s a c u s p a t t h e p o i n t w = - 2 , t h e a n g l e

b e t w e e n t h e t a n g e n t s a t t h e c u s p b e i n g z e r o .

F I G U R E 1 5 8

3 9 0


C H A P . T O

1 7 . F i n d t h e c o m p l e x p o t e n t i a l f o r t h e f l o w a r o u n d t h e a i r f o i l i n E x e r c i s e 1 5 w h e n t h e v e l o c i t y

V o f t h e f l u i d a t a n i n f i n i t e d i s t a n c e f r o m t h e o r i g i n i s a r e a l c o n s t a n t A . R e c a l l t h a t t h e

i n v e r s e o f t h e t r a n s f o r m a t i o n

I

z

u s e d i n E x e r c i s e 1 5 i s g i v e n , w i t h z a n d w i n t e r c h a n g e d , i n E x e r c i s e 1 1 .

1 8 . N o t e t h a t u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n w = e z + z , b o t h h a l v e s , w h e r e x > 0 a n d x < 0 , o f

t h e l i n e y = 7 r a r e m a p p e d o n t o t h e h a l f l i n e v = r ( u < - 1 ) . S i m i l a r l y , t h e l i n e y = - 7 r i s

m a p p e d o n t o t h e h a l f l i n e v = - r r ( u < - 1 ) ; a n d t h e s t r i p - i r < y < i s m a p p e d o n t o t h e

w p l a n e . A l s o , n o t e t h a t t h e c h a n g e o f d i r e c t i o n s , a r g ( d w / d z ) , u n d e r t h i s t r a n s f o r m a t i o n

a p p r o a c h e s z e r o a s x t e n d s t o - o o . S h o w t h a t t h e s t r e a m l i n e s o f a f l u i d f l o w i n g t h r o u g h

t h e o p e n c h a n n e l f o r m e d b y t h e h a l f l i n e s i n t h e w p l a n e ( F i g . 1 5 9 ) a r e t h e i m a g e s o f t h e

l i n e s y = c 2 i n t h e s t r i p . T h e s e s t r e a m l i n e s a l s o r e p r e s e n t t h e e q u i p o t e n t i a l c u r v e s o f t h e

e l e c t r o s t a t i c f i e l d n e a r t h e e d g e o f a p a r a l l e l - p l a t e c a p a c i t o r .

P = a r

U

F I G U R E 1 5 9



C H A P T E R

1 1

T H E S C H W A R Z - C H R I S T O F F E L

T R A N S F O R M A T I O N

I n t h i s c h a p t e r , w e c o n s t r u c t a t r a n s f o r m a t i o n , k n o w n a s t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l

t r a n s f o r m a t i o n , w h i c h m a p s t h e x a x i s a n d t h e u p p e r h a l f o f t h e z p l a n e o n t o a g i v e n

s i m p l e c l o s e d p o l y g o n a n d i t s i n t e r i o r i n t h e w p l a n e . A p p l i c a t i o n s a r e m a d e t o t h e

s o l u t i o n o f p r o b l e m s i n f l u i d f l o w a n d e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l t h e o r y .

1 0 9 . M A P P I N G T H E R E A L A X I S O N T O A P O L Y G O N

W e r e p r e s e n t t h e u n i t v e c t o r w h i c h i s t a n g e n t t o a s m o o t h a r c C a t a p o i n t z o b y t h e

c o m p l e x n u m b e r t , a n d w e l e t t h e n u m b e r r d e n o t e t h e u n i t v e c t o r t a n g e n t t o t h e i m a g e

I ' o f C a t t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t w o u n d e r a t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) . W e a s s u m e

t h a t f i s a n a l y t i c a t z 0 a n d t h a t f ' ( z o ) ; 0 . A c c o r d i n g t o S e c . 9 4 ,

( 1 )

a r g r = a r g f ' ( z 0 ) + a r g t .

I n p a r t i c u l a r , i f C i s a s e g m e n t o f t h e x a x i s w i t h p o s i t i v e s e n s e t o t h e r i g h t , t h e n t = 1

a n d a r g t = 0 a t e a c h p o i n t z o = x o n C . I n t h a t c a s e , e q u a t i o n ( 1 ) b e c o m e s

( 2 )

a r g r = a r g . f ' ( x )

I f f ' ( z ) h a s a c o n s t a n t a r g u m e n t a l o n g t h a t s e g m e n t , i t f o l l o w s t h a t a r g r i s c o n s t a n t .

H e n c e t h e i m a g e r o f C i s a l s o a s e g m e n t o f a s t r a i g h t l i n e .

L e t u s n o w c o n s t r u c t a t r a n s f o r m a t i o n w = f ( z ) t h a t m a p s t h e w h o l e x a x i s o n t o

a p o l y g o n o f n s i d e s , w h e r e x t , x 2 , . . . , x n _ 1 , a n d o o a r e t h e p o i n t s o n t h a t a x i s w h o s e

3 9 1

3 9 2 T H E S C H W A R Z - C H R I S T O F F E L T R A N S F O R M A T I O N

C H A P . 1 1

m a g e s a r e t o b e t h e v e r t i c e s o f t h e p o l y g o n a n d w h e r e

x 1 < x 2 < . . . < x n - 1

T h e v e r t i c e s a r e t h e p o i n t s w 1 = f ( x 1 ) ( j = 1 , 2 ,

. . . , n -

1 ) a n d w n = f ( 0 0 ) . T h e

f u n c t i o n f s h o u l d b e s u c h t h a t a r g f ( z ) j u m p s f r o m o n e c o n s t a n t v a l u e t o a n o t h e r a t

t h e p o i n t s z = x j a s t h e p o i n t z t r a c e s o u t t h e x a x i s ( F i g . 1 6 0 ) .

V

. z

f

T

x r

T

x 2

F I G U R E 1 6 0

I f t h e f u n c t i o n f i s c h o s e n s u c h t h a t

( 3 )

z

A ( z -

2

w h e r e A i s a c o m p l e x c o n s t a n t a n d e a c h k 1 i s a r e a l c o n s t a n t , t h e n t h e a r g u m e n t o f

f ' ( z ) c h a n g e s i n t h e p r e s c r i b e d m a n n e r a s z d e s c r i b e s t h e r e a l a x i s ; f o r t h e a r g u m e n t

o f t h e d e r i v a t i v e ( 3 ) c a n b e w r i t t e n

( 4 )

a r g f ( z ) = a r g A - k T a r g ( z - x 1 )

- k 2 a r g ( z - x 2 ) - . . . - k , , - t a r g ( z -

x

x < x 1 ,

a r g ( z - x 1 ) = a r g ( z - x 2 ) = t = a r g ( z - x i - 1 ) = 7 r .

W h e n x 1 < x < x 2 , t h e a r g u m e n t a r g ( z - x 1 ) i s 0 a n d e a c h o f t h e o t h e r a r g u m e n t s i s

7 r . A c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 4 ) , t h e n , a r g f ( z ) i n c r e a s e s a b r u p t l y b y t h e a n g l e k 1 7 r a s

z m o v e s t o t h e r i g h t t h r o u g h t h e p o i n t z = x 1 . I t a g a i n j u m p s i n v a l u e , b y t h e a m o u n t

k 2 7 r , a s z p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t x 2 , e t c .

I n v i e w o f e q u a t i o n ( 2 ) , t h e u n i t v e c t o r r i s c o n s t a n t i n d i r e c t i o n a s

z m o v e s f r o m

x j _ 1 t o x J ; t h e p o i n t w t h u s m o v e s i n t h a t f i x e d d i r e c t i o n a l o n g a s t r a i g h t l i n e . T h e

d i r e c t i o n o f r c h a n g e s a b r u p t l y , b y t h e a n g l e k 1 7 r , a t t h e i m a g e p o i n t w j o f x j , a s

s h o w n i n F i g . 1 6 0 . T h o s e a n g l e s k J 7 r a r e t h e e x t e r i o r a n g l e s o f t h e p o l y g o n d e s c r i b e d

b y t h e p o i n t w .

T h e e x t e r i o r a n g l e s c a n b e l i m i t e d t o a n g l e s b e t w e e n - 7 r a n d 7 r , i n w h i c h c a s e

- 1 < k i < 1 . W e a s s u m e t h a t t h e s i d e s o f t h e p o l y g o n n e v e r c r o s s o n e a n o t h e r a n d

t h a t t h e p o l y g o n i s g i v e n a p o s i t i v e , o r c o u n t e r c l o c k w i s e , o r i e n t a t i o n . T h e s u m o f t h e

S E C . 1 1 0

S C H W A R Z - C H R I S T O F F E L T R A N S F O R M A T I O N

3 9 3

e x t e r i o r a n g l e s o f a c l o s e d p o l y g o n i s , t h e n , 2 7 r ; a n d t h e e x t e r i o r a n g l e a t t h e v e r t e x

W . , w h i c h i s t h e i m a g e o f t h e p o i n t z = o o , c a n b e w r i t t e n

= t a r - ( k 1 + k 2 + . . . + k n -

T h u s t h e n u m b e r s k J m u s t n e c e s s a r i l y s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s

( 5 )

k I - I - k 2 - I - . . . + k , - 1 - I - k n = 2 ,

- 1 < k , < 1 ( j = 1 , 2 , . . .

N o t e t h a t k n = 0 i f

( 6 ) k 1 + k 2 - I -

. . + k n - 1

T h i s m e a n s t h a t t h e d i r e c t i o n o f r d o e s n o t c h a n g e a t t h e p o i n t w n . S o w n i s n o t a

v e r t e x , a n d t h e p o l y g o n h a s n - - 1 s i d e s .

T h e e x i s t e n c e o f a m a p p i n g f u n c t i o n f w h o s e d e r i v a t i v e i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 3 )

w i l l b e e s t a b l i s h e d i n t h e n e x t s e c t i o n .

1 1 0 . S C H W A R Z - C H R I S T O F F E L T R A N S F O R M A T I O N

I n o u r e x p r e s s i o n ( S e c . 1 0 9 )

( 1 )

f ' ( z ) = A . ( z - x i

2

- 1 ) - k " - t

f o r t h e d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n t h a t i s t o m a p t h e x a x i s o n t o a p o l y g o n , l e t t h e f a c t o r s

( z - x j ) - k i r e p r e s e n t b r a n c h e s o f p o w e r f u n c t i o n s w i t h b r a n c h c u t s e x t e n d i n g b e l o w

t h a t a x i s . T o b e s p e c i f i c , w r i t e

( 2 )

( z - x j ) - " J

= ( z - x J

- K i e x p ( - i k j 9 1

w h e r e H J = a r g ( z - x j ) a n d j = 1 , 2 ,

. . . , n - 1 .

T h e n f ' ( z ) i s a n a l y t i c e v e r y w h e r e

i n t h e h a l f p l a n e y ? 0 e x c e p t a t t h e n - I b r a n c h p o i n t s x 1 .

I f z 0 i s a p o i n t i n t h a t r e g i o n o f a n a l y t i c i t y , d e n o t e d h e r e b y R , t h e n t h e f u n c t i o n

( 3 )

Z p

i s s i n g l e - v a l u e d a n d a n a l y t i c t h r o u g h o u t t h e s a m e r e g i o n , w h e r e t h e p a t h o f i n t e g r a t i o n

f r o m z e t o z i s a n y c o n t o u r l y i n g w i t h i n R . M o r e o v e r , F ' ( z ) = f ( z ) ( s e e S e c . 4 2 ) .

T o d e f i n e t h e f u n c t i o n F a t t h e p o i n t z = x I s o t h a t i t i s c o n t i n u o u s t h e r e , w e n o t e

t h a t ( z - x 1 ) - k ' i s t h e o n l y f a c t o r i n e x p r e s s i o n ( 1 ) t h a t i s n o t a n a l y t i c a t x 1 . H e n c e , i f

0 ( z ) d e n o t e s t h e p r o d u c t o f t h e r e s t o f t h e f a c t o r s i n t h a t e x p r e s s i o n , 0 ( z ) i s a n a l y t i c a t

x 1 a n d i s r e p r e s e n t e d t h r o u g h o u t a n o p e n d i s k 1 z - x I ) < R 1 b y i t s T a y l o r s e r i e s a b o u t

F ( z ) = I

f ( s ) d s




x 1 . S o w e c a n w r i t e

f ' ( Z ) = ( z

= ( z - x 1

o r

" x

I )

( Z - x , I ) 2 +

( 4 )

f ' ( z ) = t ( x l ) { z - x 1 ) - k i + ( z -

C H A P . I I

w h e r e I / r i s a n a l y t i c a n d , t h e r e f o r e , c o n t i n u o u s t h r o u g h o u t t h e e n t i r e o p e n d i s k . S i n c e

1 - k 1 > 0 , t h e l a s t t e r m o n t h e r i g h t i n e q u a t i o n ( 4 ) t h u s r e p r e s e n t s a c o n t i n u o u s

f u n c t i o n o f z t h r o u g h o u t t h e u p p e r h a l f o f t h e d i s k , w h e r e I m z > 0 , i f w e a s s i g n i t

t h e v a l u e z e r o a t z = x 1 . I t f o l l o w s t h a t t h e i n t e g r a l

S

- x I ) 1 - k r f ' ( S )

d s

o f t h a t l a s t t e r m a l o n g a c o n t o u r f r o m Z 1 t o z , w h e r e Z 1 a n d t h e c o n t o u r l i e i n t h e h a l f

d i s k , i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f z a t z = x 1 . T h e i n t e g r a l

k l

d s =

1

1 k

[ ( z -

x 1 ) I - k l

- ( Z 1

1

a l o n g t h e s a m e p a t h a l s o r e p r e s e n t s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f z a t x 1 i f w e d e f i n e t h e

v a l u e o f t h e i n t e g r a l t h e r e a s i t s l i m i t a s z a p p r o a c h e s x 1 i n t h e h a l f d i s k . T h e i n t e g r a l

o f t h e f u n c t i o n ( 4 ) a l o n g t h e s t a t e d p a t h f r o m Z 1 t o z i s , t h e n , c o n t i n u o u s a t z = x 1 ; a n d

t h e s a m e i s t r u e o f i n t e g r a l ( 3 ) s i n c e i t c a n b e w r i t t e n a s a n i n t e g r a l a l o n g a c o n t o u r i n

R f r o m z o t o Z I p l u s t h e i n t e g r a l f r o m Z I t o z .

T h e a b o v e a r g u m e n t a p p l i e s a t e a c h o f t h e n - 1 p o i n t s x j t o m a k e F c o n t i n u o u s

t h r o u g h o u t t h e r e g i o n y > 0 .

F r o m e q u a t i o n ( 1 ) , w e c a n s h o w t h a t , f o r a s u f f i c i e n t l y l a r g e p o s i t i v e n u m b e r R ,

a p o s i t i v e c o n s t a n t M e x i s t s s u c h t h a t i f I m z > 0 , t h e n

( 5 )

I f ` ( z ) I

M

I z 1 2 ° k n

w h e n e v e r

I z

S i n c e 2 - k > 1 , t h i s o r d e r p r o p e r t y o f t h e i n t e g r a n d i n e q u a t i o n ( 3 ) e n s u r e s t h e

e x i s t e n c e o f t h e l i m i t o f t h e i n t e g r a l t h e r e a s z t e n d s t o i n f i n i t y ; t h a t i s , a n u m b e r

W , e x i s t s s u c h t h a t

( 6 )

J i m F ( z ) = W , ,

( I m z > 0 ) .

-

- + 0 0

D e t a i l s o f t h e a r g u m e n t a r e l e f t t o E x e r c i s e s 1 a n d 2 .



S E C . I 1 0 S C H W A R Z - C H R I S T O F F E L T R A N S F O R M A T I O N

3 9 5

O u r m a p p i n g f u n c t i o n , w h o s e d e r i v a t i v e i s g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 ) , c a n b e w r i t t e n

= F ( z ) + B , w h e r e B i s a c o m p l e x c o n s t a n t . T h e r e s u l t i n g t r a n s f o r m a t i o n ,

( 7 )

x 2 ) - k 2

. . . ( s -

d s + B ,

i s t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n , n a m e d i n h o n o r o f t h e t w o G e r m a n m a t h -

e m a t i c i a n s H . A . S c h w a r z ( 1 8 4 3 - 1 9 2 1 ) a n d E . B . C h r i s t o f f e l ( 1 8 2 9 - 1 9 0 0 ) w h o d i s -

c o v e r e d i t i n d e p e n d e n t l y .

T r a n s f o r m a t i o n ( 7 ) i s c o n t i n u o u s t h r o u g h o u t t h e h a l f p l a n e y > 0 a n d i s c o n -

f o r m a l t h e r e e x c e p t f o r t h e p o i n t s x j . W e h a v e a s s u m e d t h a t t h e n u m b e r s k J s a t i s f y

c o n d i t i o n s ( 5 ) , S e c . 1 0 9 . I n a d d i t i o n , w e s u p p o s e t h a t t h e c o n s t a n t s x f a n d k f a r e s u c h

t h a t t h e s i d e s o f t h e p o l y g o n d o n o t c r o s s , s o t h a t t h e p o l y g o n i s a s i m p l e c l o s e d c o n -

t o u r . T h e n , a c c o r d i n g t o S e c . 1 0 9 , a s t h e p o i n t z d e s c r i b e s t h e x a x i s i n t h e p o s i t i v e

d i r e c t i o n , i t s i m a g e u ) d e s c r i b e s t h e p o l y g o n P i n t h e p o s i t i v e s e n s e ; a n d t h e r e i s a

o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n p o i n t s o n t h a t a x i s a n d p o i n t s o n P . A c c o r d i n g t o

c o n d i t i o n ( 6 ) , t h e i m a g e w , o f t h e p o i n t z = c o e x i s t s a n d w , = W , , + B .

I f z i s a n i n t e r i o r p o i n t o f t h e u p p e r h a l f p l a n e y ? 0 a n d x 0 i s a n y p o i n t o n t h e

x a x i s o t h e r t h a n o n e o f t h e x J , t h e n t h e a n g l e f r o m t h e v e c t o r t a t x 0 u p t o t h e l i n e

s e g m e n t j o i n i n g x 0 a n d z i s p o s i t i v e a n d l e s s t h a n 7 r ( F i g . 1 6 0 ) . A t t h e i m a g e w 0 o f x 0 ,

t h e c o r r e s p o n d i n g a n g l e f r o m t h e v e c t o r r t o t h e i m a g e o f t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g x 0

a n d z h a s t h a t s a m e v a l u e . T h u s t h e i m a g e s o f i n t e r i o r p o i n t s i n t h e h a l f p l a n e l i e t o t h e

l e f t o f t h e s i d e s o f t h e p o l y g o n , t a k e n c o u n t e r c l o c k w i s e . A p r o o f t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

e s t a b l i s h e s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e i n t e r i o r p o i n t s o f t h e h a l f p l a n e

a n d t h e p o i n t s w i t h i n t h e p o l y g o n i s l e f t t o t h e r e a d e r ( E x e r c i s e 3 ) .

G i v e n a s p e c i f i c p o l y g o n P , l e t u s e x a m i n e t h e n u m b e r o f c o n s t a n t s i n t h e

S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n t h a t m u s t b e d e t e r m i n e d i n o r d e r t o m a p t h e x

a x i s o n t o P . F o r t h i s p u r p o s e , w e m a y w r i t e z 0 = 0 , A = 1 , a n d B = 0 a n d s i m p l y

r e q u i r e t h a t t h e x a x i s b e m a p p e d o n t o s o m e p o l y g o n P s i m i l a r t o P . T h e s i z e a n d

p o s i t i o n o f P ' c a n t h e n b e a d j u s t e d t o m a t c h t h o s e o f P b y i n t r o d u c i n g t h e a p p r o p r i a t e

c o n s t a n t s A a n d B .

T h e n u m b e r s k j a r e a l l d e t e r m i n e d f r o m t h e e x t e r i o r a n g l e s a t t h e v e r t i c e s o f P .

T h e n - 1 c o n s t a n t s x i r e m a i n t o b e c h o s e n . T h e i m a g e o f t h e x a x i s i s s o m e p o l y g o n

P t h a t h a s t h e s a m e a n g l e s a s P . B u t i f P ' i s t o b e s i m i l a r t o P , t h e n n - 2 c o n n e c t e d

s i d e s m u s t h a v e a c o m m o n r a t i o t o t h e c o r r e s p o n d i n g s i d e s o f P ; t h i s c o n d i t i o n i s

e x p r e s s e d b y m e a n s o f n - 3 e q u a t i o n s i n t h e n - 1 r e a l u n k n o w n s x j . T h u s t w o o f t h e

n u m b e r s x i , o r t w o r e l a t i o n s b e t w e e n t h e m , c a n b e c h o s e n a r b i t r a r i l y , p r o v i d e d t h o s e

n - 3 e q u a t i o n s i n t h e r e m a i n i n g n - 3 u n k n o w n s h a v e r e a l - v a l u e d s o l u t i o n s .

W h e n a f i n i t e p o i n t z = x . o n t h e x a x i s , i n s t e a d o f t h e p o i n t a t i n f i n i t y , r e p r e s e n t s

t h e p o i n t w h o s e i m a g e i s t h e v e r t e x w , , , i t f o l l o w s f r o m S e c . 1 0 9 t h a t t h e S c h w a r z -

C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n t a k e s t h e f o r m

( 8 )

) - k l ( s -

x 2 ) - k 2

. . . ( S -

d s + B ,

3 9 6

T H E S C H W A R Z - C H R I S T O F F E L T R A N S F O R M A T I O N

C H A P . I I

w h e r e k 1 + k 2 + - + k n = 2 . T h e e x p o n e n t s k j a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e e x t e r i o r

a n g l e s o f t h e p o l y g o n . B u t , i n t h i s c a s e , t h e r e a r e n r e a l c o n s t a n t s x j t h a t m u s t s a t i s f y

t h e n - - 3 e q u a t i o n s n o t e d a b o v e . T h u s t h r e e o f t h e n u m b e r s x j , o r t h r e e c o n d i t i o n s o n

t h o s e n n u m b e r s , c a n b e c h o s e n a r b i t r a r i l y i n t r a n s f o r m a t i o n ( 8 ) o f t h e x a x i s o n t o a

g i v e n p o l y g o n .

E X E R C I S E S

1 . O b t a i n i n e q u a l i t y ( 5 ) , S e c . 1 1 0 .

S u g g e s t i o n : L e t R b e l a r g e r t h a n a n y o f t h e n u m b e r s I x j I ( j = 1 , 2 , . .

, n -

1 ) .

N o t e t h a t i f R i s s u f f i c i e n t l y l a r g e , t h e i n e q u a l i t i e s I z I / 2 R . T h e n u s e e q u a t i o n ( 1 ) , S e c . 1 1 0 , a l o n g w i t h c o n d i t i o n s ( 5 ) , S e c . 1 0 9 .

2 . U s e c o n d i t i o n ( 5 ) , S e c . 1 1 0 , a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e o f i m p r o p e r

i n t e g r a l s o f r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s t o s h o w t h a t F ( x ) h a s s o m e l i m i t W a s x t e n d s t o

i n f i n i t y , w h e r e F ( z ) i s d e f i n e d b y e q u a t i o n ( 3 ) i n t h a t s e c t i o n . A l s o , s h o w t h a t t h e i n t e g r a l

o f f ' ( z ) o v e r e a c h a r c o f a s e m i c i r c l e I z I = R ( I m z > 0 ) a p p r o a c h e s 0 a s R t e n d s t o o o .

T h e n d e d u c e t h a t

3

l i m F ( z ) = W , ( I m z > 0 ) ,

z - 0 0

a s s t a t e d i n e q u a t i o n ( 6 ) o f S e c . 1 1 0 .

A c c o r d i n g t o S e c . 7 9 , t h e e x p r e s s i o n

N

1

f

g ' ( z )

2 7 r i

c g ( z )

c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e n u m b e r ( N ) o f z e r o s o f a f u n c t i o n g i n t e r i o r t o a p o s i t i v e l y

o r i e n t e d s i m p l e c l o s e d c o n t o u r C w h e n g ( z ) 0 0 o n C a n d w h e n C l i e s i n a s i m p l y

c o n n e c t e d d o m a i n D t h r o u g h o u t w h i c h g i s a n a l y t i c a n d g ' ( z ) i s n e v e r z e r o . I n t h a t

e x p r e s s i o n , w r i t e g ( z ) = f ( z ) - w 0 , w h e r e f ( z ) i s t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l m a p p i n g

f u n c t i o n ( 7 ) , S e c . 1 1 0 , a n d t h e p o i n t w 0 i s e i t h e r i n t e r i o r t o o r e x t e r i o r t o t h e p o l y g o n P

t h a t i s t h e i m a g e o f t h e x a x i s ; t h u s f ( z ) 0 w 0 . L e t t h e c o n t o u r C c o n s i s t o f t h e u p p e r

h a l f o f a c i r c l e I z I = R a n d a s e g m e n t - R < x < R o f t h e x a x i s t h a t c o n t a i n s a l l n - 1

p o i n t s x j , e x c e p t t h a t a s m a l l s e g m e n t a b o u t e a c h p o i n t x j i s r e p l a c e d b y t h e u p p e r h a l f

o f a c i r c l e I z - x j I = p J w i t h t h a t s e g m e n t a s i t s d i a m e t e r . T h e n t h e n u m b e r o f p o i n t s z

i n t e r i o r t o C s u c h t h a t f ( z ) = w 0 i s

N C =

1 f ' ( z )

d z .

2 n i

f

f ( z ) - w o

N o t e t h a t f ( z ) - w 0 a p p r o a c h e s t h e n o n z e r o p o i n t W , - w o w h e n I z I = R a n d R t e n d s

t o o c , a n d r e c a l l t h e o r d e r p r o p e r t y ( 5 ) , S e c . 1 1 0 , f o r I f ' ( z ) 1 . L e t t h e p j t e n d t o z e r o , a n d

p r o v e t h a t t h e n u m b e r o f p o i n t s i n t h e u p p e r h a l f o f t h e z p l a n e a t w h i c h f ( z ) = w 0 i s

N =

1

l i m

f x

f ' ( X )

d x .

2 7 r i

R - - - o o



S E C . I I I

D e d u c e t h a t s i n c e

N = 1 i f w p i s i n t e r i o r t o P a n d t h a t N = 0 i f w p i s e x t e r i o r t o P . T h u s s h o w t h a t t h e

m a p p i n g o f t h e h a l f p l a n e I m z > 0 o n t o t h e i n t e r i o r o f P i s o n e t o o n e .

T R I A N G L E S A N D R E C T A N G L E S

T h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n i s w r i t t e n i n t e r m s o f t h e p o i n t s x j a n d n o t i n

t e r m s o f t h e i r i m a g e s , t h e v e r t i c e s o f t h e p o l y g o n . N o m o r e t h a n t h r e e o f t h o s e p o i n t s

c a n b e c h o s e n a r b i t r a r i l y ; s o , w h e n t h e g i v e n p o l y g o n h a s m o r e t h a n t h r e e s i d e s , s o m e

o f t h e p o i n t s x 1 m u s t b e d e t e r m i n e d i n o r d e r t o m a k e t h e g i v e n p o l y g o n , o r a n y p o l y g o n

s i m i l a r t o i t , b e t h e i m a g e o f t h e x a x i s . T h e s e l e c t i o n o f c o n d i t i o n s f o r t h e d e t e r m i n a t i o n

o f t h o s e c o n s t a n t s , c o n d i t i o n s t h a t a r e c o n v e n i e n t t o u s e , o f t e n r e q u i r e s i n g e n u i t y .

A n o t h e r l i m i t a t i o n i n u s i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n i s d u e t o t h e i n t e g r a t i o n t h a t i s

i n v o l v e d . O f t e n t h e i n t e g r a l c a n n o t b e e v a l u a t e d i n t e r m s o f a f i n i t e n u m b e r o f e l e m e n -

t a r y f u n c t i o n s . I n s u c h c a s e s , t h e s o l u t i o n o f p r o b l e m s b y m e a n s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n

c a n b e c o m e q u i t e i n v o l v e d .

I f t h e p o l y g o n i s a t r i a n g l e w i t h v e r t i c e s a t t h e p o i n t s w t , w 2 , a n d w 3 ( F i g . 1 6 1 ) ,

t h e t r a n s f o r m a t i o n c a n b e w r i t t e n

( 1 )

w = A I

( s - x l ) _ k ' ( s - x 2 ) - k 2 ( s - x 3 ) _ k I d s + B ,


3 9 7

d x ,

w h e r e k I + k 2 + k 3 = 2 . I n t e r m s o f t h e i n t e r i o r a n g l e s 8 , ,

7 r

( j = 1 , 2

) .

H e r e w e h a v e t a k e n a l l t h r e e p o i n t s x i a s f i n i t e p o i n t s o n t h e x a x i s . A r b i t r a r y v a l u e s

c a n b e a s s i g n e d t o e a c h o f t h e m . T h e c o m p l e x c o n s t a n t s A a n d B , w h i c h a r e a s s o c i a t e d

w i t h t h e s i z e a n d p o s i t i o n o f t h e t r i a n g l e , c a n b e d e t e r m i n e d s o t h a t t h e u p p e r h a l f p l a n e

i s m a p p e d o n t o t h e g i v e n t r i a n g u l a r r e g i o n .

Y

T

x t

F I G U R E 1 6 1

3 9 8


C H A P . I I

I f w e t a k e t h e v e r t e x w 3 a s t h e i m a g e o f t h e p o i n t a t i n f i n i t y , t h e t r a n s f o r m a t i o n

b e c o m e s

( 2 )

w = A /

( S - x I ) - k i ( S -

x 2 ) - k 2 d s

+ B ,

w h e r e a r b i t r a r y r e a l v a l u e s c a n b e a s s i g n e d t o x 1 a n d x 2 .

T h e i n t e g r a l s i n e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) d o n o t r e p r e s e n t e l e m e n t a r y f u n c t i o n s u n l e s s

t h e t r i a n g l e i s d e g e n e r a t e w i t h o n e o r t w o o f i t s v e r t i c e s a t i n f i n i t y . T h e i n t e g r a l i n

e q u a t i o n ( 2 ) b e c o m e s a n e l l i p t i c i n t e g r a l w h e n t h e t r i a n g l e i s e q u i l a t e r a l o r w h e n i t i s

a r i g h t t r i a n g l e w i t h o n e o f i t s a n g l e s e q u a l t o e i t h e r 7 r / 3 o r 7 r / 4 .

E X A M P L E 1 .

F o r a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e , k 1 = k 2 = k 3 = 2 / 3 . I t i s c o n v e n i e n t t o

w r i t e x 1 = - 1 , x 2 = 1 , a n d x 3 = o o a n d t o u s e e q u a t i o n ( 2 ) , w h e r e z o

= 1 , A = 1 , a n d

B = 0 . T h e t r a n s f o r m a t i o n t h e n b e c o m e s

( 3 )

w =

1 ) - 2 / 3

T h e i m a g e o f t h e p o i n t z = 1 i s c l e a r l y w = 0 ; t h a t i s , w 2 = 0 . I f z

= - 1 i n t h i s

i n t e g r a l , o n e c a n w r i t e s = x , w h e r e - 1 < x < 1 . T h e n

x + 1 > 0 a n d

a r g ( x + I ) = 0 ,

w h i l e

1 1 = 1 - x

a n d

a r g ( x - 1 ) = 7 r .

H e n c e

( 4 )

-

1 ) - 2 / 3 d s .

- 2 / 3

e x p

7 r i

1

=

2 d x

e x p ( 3 )

J o

( I - x 2 ) 2 / 3

W i t h t h e s u b s t i t u t i o n x = I t , t h e l a s t i n t e g r a l h e r e r e d u c e s t o a s p e c i a l c a s e o f t h e o n e

u s e d i n d e f i n i n g t h e b e t a f u n c t i o n ( E x e r c i s e 7 , S e c . 7 7 ) . L e t b d e n o t e i t s v a l u e , w h i c h

i s p o s i t i v e :

( 5 )

T h e v e r t e x w I i s , t h e r e f o r e , t h e p o i n t ( F i g . 1 6 2 )

d t = B

( 6 )

w , = b e x p

i



S E C . I I I


3 9 9

T h e v e r t e x w 3 i s o n t h e p o s i t i v e u a x i s b e c a u s e

) - 2 / 3

d x =

B u t t h e v a l u e o f w 3 i s a l s o r e p r e s e n t e d b y i n t e g r a l ( 3 ) w h e n z t e n d s t o i n f i n i t y a l o n g

t h e n e g a t i v e x a x i s ; t h a t i s ,

- 2 / 3

e x p

I n v i e w o f t h e f i r s t o f e x p r e s s i o n s ( 4 ) f o r w 1 , t h e n ,

+ e x p

= b e x

o r

7 1

w 3 = b e x p - + w 3 e x p

S o l v i n g f o r w 3 , w e f i n d t h a t

( 7 )

w 3 = b .

I l x -

l I ) - 2 / 3 d x

W e h a v e t h u s v e r i f i e d t h a t t h e i m a g e o f t h e x a x i s i s t h e e q u i l a t e r a l t r i a n g l e o f s i d e b

s h o w n i n F i g . 1 6 2 . W e c a n s e e a l s o t h a t

b

e x p -

w h e n

z = 0 .

2

3

F I G U R E 1 6 2

W h e n t h e p o l y g o n i s a r e c t a n g l e , e a c h k i = 1 / 2 . I f w e c h o o s e ± 1 a n d + a a s t h e

p o i n t s x J w h o s e i m a g e s a r e t h e v e r t i c e s a n d w r i t e

( 8 )

g ( z ) = ( z +

a ) - 1 / 2 ( z

+

1 ) - 1 / 2 ( z

_ 1 ) - 1 / 2 ( z - a )

- 1 / 2

4 0 0


C H A P . I I

w h e r e 0 < a r g ( z

( 9 )

t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n b e c o m e s

e x c e p t f o r a t r a n s f o r m a t i o n W = A w + B t o a d j u s t t h e s i z e a n d p o s i t i o n o f t h e

r e c t a n g l e . I n t e g r a l ( 9 ) i s a c o n s t a n t t i m e s t h e e l l i p t i c i n t e g r a l

- 1 / 2 ( 1

-

b u t t h e f o r m ( 8 ) o f t h e i n t e g r a n d i n d i c a t e s m o r e c l e a r l y t h e a p p r o p r i a t e b r a n c h e s o f t h e

p o w e r f u n c t i o n s i n v o l v e d .

E X A M P L E 2 .

L e t u s l o c a t e t h e v e r t i c e s o f t h e r e c t a n g l e w h e n a > 1 . A s s h o w n i n

F i g . 1 6 3 , x 1 = - a , x 2 = - 1 , x 3 = 1 , a n d x 4 = a . A l l f o u r v e r t i c e s c a n b e d e s c r i b e d i n

t e r m s o f t w o p o s i t i v e n u m b e r s b a n d c t h a t d e p e n d o n t h e v a l u e o f a i n t h e f o l l o w i n g

m a n n e r :

( 1 0 )

b = 1

l g ( x ) ) d x =

I f - l < x < 0 , t h e n

I g

- 1 / 2

d s

d x =

a r g ( x + a ) = a r g ( x + 1 ) = 0

a n d

a r g ( x -

h e n c e

x < - 1 , t h e n

T h u s

w 1 =

0

g ( x ) _

) = a r g

I g ( x ) I = - 1 g ( x ) I

I g

= i 1 g

g ( x ) d x = - j

g ( x ) d x - 1

g ( x ) d x

g ( x ) I d x -

g ( x ) I d x = - b + i c .

S E C , 1 1 2

D E G E N E R A T E P O L Y G O N S

4 0 1

I t i s l e f t t o t h e e x e r c i s e s t o s h o w t h a t

( 1 2 )

w 2 = - b ,

w 3 = b ,

w 4 = b + i c .

T h e p o s i t i o n a n d d i m e n s i o n s o f t h e r e c t a n g l e a r e s h o w n i n F i g . 1 6

V

i s

r

w 4

b

0

W 3

U

F I G U R E 1 6 3

1 1 2 . D E G E N E R A T E P O L Y G O N S

W e n o w a p p l y t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n t o s o m e d e g e n e r a t e p o l y g o n s

f o r w h i c h t h e i n t e g r a l s r e p r e s e n t e l e m e n t a r y f u n c t i o n s . F o r p u r p o s e s o f i l l u s t r a t i o n ,

t h e e x a m p l e s h e r e r e s u l t i n t r a n s f o r m a t i o n s t h a t w e h a v e a l r e a d y s e e n i n C h a p . 8 .

E X A M P L E 1 .

L e t u s m a p t h e h a l f p l a n e y > 0 o n t o t h e s e m i - i n f i n i t e s t r i p

7 r 7 r

- - 0 .

2 - - 2

,

W e c o n s i d e r t h e s t r i p a s t h e l i m i t i n g f o r m o f a t r i a n g l e w i t h v e r t i c e s w 1 , w 2 , a n d w 3

( F i g . 1 6 4 ) a s t h e i m a g i n a r y p a r t o f w 3 t e n d s t o i n f i n i t y .

F I G U R E 1 6 4

T h e l i m i t i n g v a l u e s o f t h e e x t e r i o r a n g l e s a r e

k 1 7 c = k 2 r c = 2

a n d

k 3 i r

W e c h o o s e t h e p o i n t s x 1 = - 1 , x 2 = 1 , a n d x 3 = o o a s t h e p o i n t s w h o s e i m a g e s a r e t h e

v e r t i c e s . T h e n t h e d e r i v a t i v e o f t h e m a p p i n g f u n c t i o n c a n b e w r i t t e n

d w

= A ( z + 1 ) - 1 J 2 ( z -

1 ) - 1 / 2

= A r ( 1 - z 2 ) - 1 J 2

.

d z

4 0 2


C H A P . I I

H e n c e w = A ' s i n - 1 z + B . I f w e w r i t e A ' = 1 / a a n d B = b / a , i t f o l l o w s t h a t

z = s i n ( a w - b ) .

T h i s t r a n s f o r m a t i o n f r o m t h e w t o t h e z p l a n e s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n s z = - 1 w h e n

- 7 r / 2 a n d z = 1 w h e n w = i t / 2 i f a = 1 a n d b = 0 . T h e r e s u l t i n g t r a n s f o r m a t i o n i s

z = s i n w ,

w h i c h w e v e r i f i e d i n S e c . 8 9 a s o n e t h a t m a p s t h e s t r i p o n t o t h e h a l f p l a n e .

E X A M P L E 2 .

C o n s i d e r t h e s t r i p 0 < v < i t a s t h e l i m i t i n g f o r m o f a r h o m b u s w i t h

v e r t i c e s a t t h e p o i n t s w 1 = 7 r i , w 2 , w 3 = 0 , a n d w 4 a s t h e p o i n t s w 2 a n d w 4 a r e m o v e d

i n f i n i t e l y f a r t o t h e l e f t a n d r i g h t , r e s p e c t i v e l y ( F i g . 1 6 5 ) . I n t h e l i m i t , t h e e x t e r i o r

a n g l e s b e c o m e

k 1 7 r = 0 ,

k 2 7 r = i r , k 3 i r = 0 , k 4 T r = 7 r .

W e l e a v e x 1 t o b e d e t e r m i n e d a n d c h o o s e t h e v a l u e s x 2 = 0 , x 3 = 1 , a n d x 4 = o o . T h e

d e r i v a t i v e o f t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l m a p p i n g f u n c t i o n t h e n b e c o m e s

d w

= A ( z

-

x t ) ° z - 1 ( z

-

1 ) 0

=

A

d z

z

t h u s

= A L o g z + B .

F I G U R E 1 6 5

N o w B = 0 b e c a u s e w = 0 w h e n z = 1 . T h e c o n s t a n t A m u s t b e r e a l b e c a u s e t h e

p o i n t w l i e s o n t h e r e a l a x i s w h e n z = x a n d x > 0 . T h e p o i n t w = S r i i s t h e i m a g e o f

t h e p o i n t z = x 1 , w h e r e x 1 i s a n e g a t i v e n u m b e r ; c o n s e q u e n t l y ,

i r i = A L o g x 1 = A I n J x 1 J + A 7 r i .

B y i d e n t i f y i n g r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s h e r e , w e s e e t h a t J x 1 1 = 1 a n d A = 1 . H e n c e

t h e t r a n s f o r m a t i o n b e c o m e s

L o g z ;

a l s o , x 1 = - 1 . W e a l r e a d y k n o w f r o m E x a m p l e 3 i n S e c . 8 8 t h a t t h i s t r a n s f o r m a t i o n

m a p s t h e h a l f p l a n e o n t o t h e s t r i p .

S E C . 1 1 2

E X E R C I S E S

4 0 3

T h e p r o c e d u r e u s e d i n t h e s e t w o e x a m p l e s i s n o t r i g o r o u s b e c a u s e l i m i t i n g v a l u e s

o f a n g l e s a n d c o o r d i n a t e s w e r e n o t i n t r o d u c e d i n a n o r d e r l y w a y . L i m i t i n g v a l u e s w e r e

u s e d w h e n e v e r i t s e e m e d e x p e d i e n t t o d o s o . B u t , i f w e v e r i f y t h e m a p p i n g o b t a i n e d ,

i t i s n o t e s s e n t i a l t h a t w e j u s t i f y t h e s t e p s i n o u r d e r i v a t i o n o f t h e m a p p i n g f u n c t i o n .

T h e f o r m a l m e t h o d u s e d h e r e i s s h o r t e r a n d l e s s t e d i o u s t h a n r i g o r o u s m e t h o d s .

E X E R C I S E S

1 . I n t r a n s f o r m a t i o n ( 1 ) , S e c . 1 1 1 , w r i t e B = z o = 0 a n d

A = e x p

k 1 = 4 ,

k 2 = 2 ,

k 3 = 4

t o m a p t h e x a x i s o n t o a n i s o s c e l e s r i g h t t r i a n g l e . S h o w t h a t t h e v e r t i c e s o f t h a t t r i a n g l e

a r e t h e p o i n t s

w 1 = b i , w 2 = 0 , a n d

w 3 = b ,

w h e r e b i s t h e p o s i t i v e c o n s t a n t

b = 1 ( 1 -

x 2 ) - 3 1 4 x - I J 2

d x .

A l s o , s h o w t h a t

2 b = B

w h e r e B i s t h e b e t a f u n c t i o n .

2 . O b t a i n e x p r e s s i o n s ( 1 2 ) i n S e c . 1 1 1 f o r t h e r e s t o f t h e v e r t i c e s o f t h e r e c t a n g l e s h o w n i n

F i g . 1 6 3 .

3 . S h o w t h a t w h e n 0 < a < 1 i n e q u a t i o n s ( 8 ) a n d ( 9 ) , S e c . 1 1 1 , t h e v e r t i c e s o f t h e r e c t a n g l e

a r e t h o s e s h o w n i n F i g . 1 6 3 , w h e r e b a n d c n o w h a v e v a l u e s

b = I

I g ( x ) I d x ,

J

4 . S h o w t h a t t h e s p e c i a l c a s e

w =

I g ( x ) I d x .

J 2

d s

o f t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n ( 7 ) , S e c . 1 1 0 , m a p s t h e x a x i s o n t o t h e s q u a r e

w i t h v e r t i c e s

w 1 = b i ,

w 2 = 0 ,

w 3 = b ,

w 4 = b + i b ,

4 0 4


w h e r e t h e ( p o s i t i v e ) n u m b e r b i s g i v e n i n t e r m s o f t h e b e t a f u n c t i o n :

b =

2

5 . U s e t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n t o a r r i v e a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

w = z m ( O < m < 1 ) ,

C H A P . 1 1

w h i c h m a p s t h e h a l f p l a n e y > 0 o n t o t h e w e d g e I w I > 0 , 0 < a r g w < m i r a n d t r a n s f o r m s

t h e p o i n t z = 1 i n t o t h e p o i n t w = 1 . C o n s i d e r t h e w e d g e a s t h e l i m i t i n g c a s e o f t h e

t r i a n g u l a r r e g i o n s h o w n i n F i g . 1 6 6 a s t h e a n g l e a t h e r e t e n d s t o 0 .

F I G U R E 1 6 6

6 . R e f e r t o F i g . 2 6 , A p p e n d i x 2 . A s t h e p o i n t z m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g t h e n e g a t i v e r e a l

a x i s , i t s i m a g e p o i n t w i s t o m o v e t o t h e r i g h t a l o n g t h e e n t i r e u a x i s . A s z d e s c r i b e s

t h e s e g m e n t 0 < x < 1 o f t h e r e a l a x i s , i t s i m a g e p o i n t w i s t o m o v e t o t h e l e f t a l o n g

t h e h a l f l i n e v = J r i ( u > 1 ) ; a n d , a s z m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g t h a t p a r t o f t h e p o s i t i v e

r e a l a x i s w h e r e x > 1 , i t s i m a g e p o i n t w i s t o m o v e t o t h e r i g h t a l o n g t h e s a m e h a l f l i n e

v = n i ( u > 1 ) . N o t e t h e c h a n g e s i n d i r e c t i o n o f t h e m o t i o n o f w a t t h e i m a g e s o f t h e

p o i n t s z = 0 a n d z = 1 . T h e s e c h a n g e s s u g g e s t t h a t t h e d e r i v a t i v e o f a m a p p i n g f u n c t i o n

s h o u l d b e

f ' ( z ) = A ( z

- 0 ) - ' ( z - 1 ) ,

w h e r e A i s s o m e c o n s t a n t ; t h u s o b t a i n f o r m a l l y t h e m a p p i n g f u n c t i o n ,

z - L o g z ,

w h i c h c a n b e v e r i f i e d a s o n e t h a t m a p s t h e h a l f p l a n e R e z > 0 a s i n d i c a t e d i n t h e f i g u r e .

7 . A s t h e p o i n t z m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g t h a t p a r t o f t h e n e g a t i v e r e a l a x i s w h e r e x < - 1 ,

i t s i m a g e p o i n t i s t o m o v e t o t h e r i g h t a l o n g t h e n e g a t i v e r e a l a x i s i n t h e w p l a n e . A s

z m o v e s o n t h e r e a l a x i s t o t h e r i g h t a l o n g t h e s e g m e n t - 1 < x < 0 a n d t h e n a l o n g t h e

s e g m e n t 0 c x < 1 , i t s i m a g e p o i n t w i s t o m o v e i n t h e d i r e c t i o n o f i n c r e a s i n g v a l o n g

t h e s e g m e n t 0 < v < 1 o f t h e v a x i s a n d t h e n i n t h e d i r e c t i o n o f d e c r e a s i n g v a l o n g t h e

s a m e s e g m e n t . F i n a l l y , a s z m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g t h a t p a r t o f t h e p o s i t i v e r e a l a x i s

w h e r e x > 1 , i t s i m a g e p o i n t i s t o m o v e t o t h e r i g h t a l o n g t h e p o s i t i v e r e a l a x i s i n t h e

w p l a n e . N o t e t h e c h a n g e s i n d i r e c t i o n o f t h e m o t i o n o f w a t t h e i m a g e s o f t h e p o i n t s

z = - 1 , z = 0 , a n d z = 1 . A m a p p i n g f u n c t i o n w h o s e d e r i v a t i v e i s

. f ' ( z ) = A ( z +

1 ) - 1 1 2 ( z _ 0 ) 1 ( z _ 1 ) - 3 / 2

S E C . 1 1 2

E X E R C I S E S

4 0 5

w h e r e A i s s o m e c o n s t a n t , i s t h u s i n d i c a t e d . O b t a i n f o r m a l l y t h e m a p p i n g f u n c t i o n

w h e r e 0 < a r g

z 2 - 1 < n . B y c o n s i d e r i n g t h e s u c c e s s i v e m a p p i n g s

Z = z 2 ,

W = Z - - - 1 , a n d w = - N / - W ,

v e r i f y t h a t t h e r e s u l t i n g t r a n s f o r m a t i o n m a p s t h e r i g h t h a l f p l a n e R e z > 0 o n t o t h e u p p e r

h a l f p l a n e I m w > 0 , w i t h a c u t a l o n g t h e s e g m e n t 0 < v < 1 o f t h e v a x i s .

8 . T h e i n v e r s e o f t h e l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n

Z

i - z

z

m a p s t h e u n i t d i s k I Z I < 1 c o n f o r m a l l y , e x c e p t a t t h e p o i n t Z = - 1 , o n t o t h e h a l f p l a n e

I m z ? 0 . ( S e e F i g . 1 3 , A p p e n d i x 2 . ) L e t Z J b e p o i n t s o n t h e c i r c l e I Z I = 1 w h o s e

i m a g e s a r e t h e p o i n t s z = x j ( j = 1 , 2 , . . . , n )

t h a t a r e u s e d i n t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l

t r a n s f o r m a t i o n ( 8 ) , S e c . 1 1 0 . S h o w f o r m a l l y , w i t h o u t d e t e r m i n i n g t h e b r a n c h e s o f t h e

p o w e r f u n c t i o n s , t h a t

d w

= A ' ( Z

- Z I ) - k 1 ( Z -

Z 2 ) - k 2 . . . ( Z

- Z n

d Z

w h e r e A ' i s a c o n s t a n t . T h u s s h o w t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n

S

-

Z I ) - k ' ( S

- Z 2 )

- k 2 .

( S - Z , , ) - k - d S + B

m a p s t h e i n t e r i o r o f t h e c i r c l e I Z I = I o n t o t h e i n t e r i o r o f a p o l y g o n , t h e v e r t i c e s o f t h e

p o l y g o n b e i n g t h e i m a g e s o f t h e p o i n t s Z i o n t h e c i r c l e .

9 . I n t h e i n t e g r a l o f E x e r c i s e 8 , l e t t h e n u m b e r s Z 1 ( j = 1 , 2 ,

.

.

.

, n )

b e t h e n t h r o o t s o f u n i t y .

W r i t e w = e x p ( 2 7 r i / n ) a n d Z I = 1 , Z 2 = c ) ,

.

.

. , Z , = w ' ' ' . L e t e a c h o f t h e n u m b e r s

k J ( j = 1 , 2 ,

. . .

, n ) h a v e t h e v a l u e 2 / n . T h e i n t e g r a l i n E x e r c i s e 8 t h e n b e c o m e s

= A '

d S

( S n - 1 ) 2 j n

+ B .

S h o w t h a t w h e n A ' = 1 a n d B = 0 , t h i s t r a n s f o r m a t i o n m a p s t h e i n t e r i o r o f t h e u n i t c i r c l e

I Z I = 1 o n t o t h e i n t e r i o r o f a r e g u l a r p o l y g o n o f n s i d e s a n d t h a t t h e c e n t e r o f t h e p o l y g o n

i s t h e p o i n t w = 0 .

S u g g e s t i o n : T h e i m a g e o f e a c h o f t h e p o i n t s Z J ( j = 1 , 2 ,

. . . ,

n ) i s a v e r t e x o f

s o m e p o l y g o n w i t h a n e x t e r i o r a n g l e o f 2 r / n a t t h a t v e r t e x . W r i t e

d S

S n - 1 ) 2 / n '

w h e r e t h e p a t h o f t h e i n t e g r a t i o n i s a l o n g t h e p o s i t i v e r e a l a x i s f r o m Z = 0 t o Z = 1 a n d

t h e p r i n c i p a l v a l u e o f t h e n t h r o o t o f ( S ' - 1 ) 2 i s t o b e t a k e n . T h e n s h o w t h a t t h e i m a g e s

4 0 6


C H A P . I I

o f t h e p o i n t s Z 2 = a , . . . , Z , = m n - I a r e t h e p o i n t s c o w l ,

. . . ,

w " - I w l , r e s p e c t i v e l y .

T h u s v e r i f y t h a t t h e p o l y g o n i s r e g u l a r a n d i s c e n t e r e d a t w = 0 .

1 1 3 . F L U I D F L O W I N A C H A N N E L T H R O U G H A S L I T

W e n o w p r e s e n t a f u r t h e r e x a m p l e o f t h e i d e a l i z e d s t e a d y f l o w t r e a t e d i n C h a p . 1 0 , a n

e x a m p l e t h a t w i l l h e l p s h o w h o w s o u r c e s a n d s i n k s c a n b e a c c o u n t e d f o r i n p r o b l e m s

o f f l u i d f l o w . I n t h i s a n d t h e f o l l o w i n g t w o s e c t i o n s , t h e p r o b l e m s a r e p o s e d i n t h e u v

p l a n e , r a t h e r t h a n t h e x y p l a n e . T h a t a l l o w s u s t o r e f e r d i r e c t l y t o e a r l i e r r e s u l t s i n t h i s

c h a p t e r w i t h o u t i n t e r c h a n g i n g t h e p l a n e s .

C o n s i d e r t h e t w o - d i m e n s i o n a l s t e a d y f l o w o f f l u i d b e t w e e n t w o p a r a l l e l p l a n e s

v = 0 a n d v = n w h e n t h e f l u i d i s e n t e r i n g t h r o u g h a n a r r o w s l i t a l o n g t h e l i n e i n t h e

f i r s t p l a n e t h a t i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e u v p l a n e a t t h e o r i g i n ( F i g . 1 6 7 ) . L e t t h e r a t e o f

f l o w o f f l u i d i n t o t h e c h a n n e l t h r o u g h t h e s l i t b e Q u n i t s o f v o l u m e p e r u n i t t i m e f o r

e a c h u n i t o f d e p t h o f t h e c h a n n e l , w h e r e t h e d e p t h i s m e a s u r e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e

u v p l a n e . T h e r a t e o f f l o w o u t a t e i t h e r e n d i s , t h e n , Q / 2 .

Y

0

F I G U R E 1 6 7

T h e t r a n s f o r m a t i o n w = L o g z i s a o n e t o o n e m a p p i n g o f t h e u p p e r h a l f y > 0 o f

t h e z p l a n e o n t o t h e s t r i p 0 < v < i t i n t h e w p l a n e ( s e e E x a m p l e 2 i n S e c . 1 1 2 ) . T h e

i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n

( 1 )

z = e

m a p s t h e s t r i p o n t o t h e h a l f p l a n e ( s e e E x a m p l e 3 , S e c . 1 3 ) . U n d e r t r a n s f o r m a t i o n ( 1 ) ,

t h e i m a g e o f t h e u a x i s i s t h e p o s i t i v e h a l f o f t h e x a x i s , a n d t h e i m a g e o f t h e l i n e v = i t

i s t h e n e g a t i v e h a l f o f t h e x a x i s . H e n c e t h e b o u n d a r y o f t h e s t r i p i s t r a n s f o r m e d i n t o

t h e b o u n d a r y o f t h e h a l f p l a n e .

T h e i m a g e o f t h e p o i n t w = 0 i s t h e p o i n t z = 1 . T h e i m a g e o f a p o i n t w = u p ,

w h e r e u q > 0 , i s a p o i n t z = x 0 , w h e r e x 0 > 1 . T h e r a t e o f f l o w o f f l u i d a c r o s s a c u r v e

j o i n i n g t h e p o i n t w = u p t o a p o i n t ( u , v ) w i t h i n t h e s t r i p i s a s t r e a m f u n c t i o n * ( u , v )

f o r t h e f l o w ( S e c . 1 0 7 ) . I f u I i s a n e g a t i v e r e a l n u m b e r , t h e n t h e r a t e o f f l o w i n t o t h e

c h a n n e l t h r o u g h t h e s l i t c a n b e w r i t t e n

i ' ( u 1 , 0 ) = Q .

N o w , u n d e r a c o n f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n , t h e f u n c t i o n I / r i s t r a n s f o r m e d i n t o a f u n c t i o n

o f x a n d y t h a t r e p r e s e n t s t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r t h e f l o w i n t h e c o r r e s p o n d i n g r e g i o n

S E C . 1 1 3

F L U I D F L O W I N A C H A N N E L T H R O U G H A S L I T

4 0 7

o f t h e z p l a n e ; t h a t i s , t h e r a t e o f f l o w i s t h e s a m e a c r o s s c o r r e s p o n d i n g c u r v e s i n t h e

t w o p l a n e s . A s i n C h a p . 1 0 , t h e s a m e s y m b o l V r i s u s e d t o r e p r e s e n t t h e d i f f e r e n t s t r e a m

f u n c t i o n s i n t h e t w o p l a n e s . S i n c e t h e i m a g e o f t h e p o i n t w = u

1

i s a p o i n t z = x 1 , w h e r e

0 < x 1 < 1 , t h e r a t e o f f l o w a c r o s s a n y c u r v e c o n n e c t i n g t h e p o i n t s z = x 0 a n d z = x 1

a n d l y i n g i n t h e u p p e r h a l f o f t h e z p l a n e i s a l s o e q u a l t o Q . H e n c e t h e r e i s a s o u r c e a t

t h e p o i n t z = 1 e q u a l t o t h e s o u r c e a t w = 0 .

T h e a b o v e a r g u m e n t a p p l i e s i n g e n e r a l t o s h o w t h a t u n d e r a c o n f o r m a l t r a n s f o r -

m a t i o n , a s o u r c e o r s i n k a t a g i v e n p o i n t c o r r e s p o n d s t o a n e q u a l s o u r c e o r s i n k a t t h e

i m a g e o f t h a t p o i n t .

A s R e w t e n d s t o - o c , t h e i m a g e o f w a p p r o a c h e s t h e p o i n t z = 0 . A s i n k o f

s t r e n g t h Q / 2 a t t h e l a t t e r p o i n t c o r r e s p o n d s t o t h e s i n k i n f i n i t e l y f a r t o t h e l e f t i n t h e

s t r i p . T o a p p l y t h e a b o v e a r g u m e n t i n t h i s c a s e , w e c o n s i d e r t h e r a t e o f f l o w a c r o s s a

c u r v e c o n n e c t i n g t h e b o u n d a r y l i n e s v = 0 a n d v = i t o f t h e l e f t - h a n d p a r t o f t h e s t r i p

a n d t h e r a t e o f f l o w a c r o s s t h e i m a g e o f t h a t c u r v e i n t h e z p l a n e .

T h e s i n k a t t h e r i g h t - h a n d e n d o f t h e s t r i p i s t r a n s f o r m e d i n t o a s i n k a t i n f i n i t y i n

t h e z p l a n e .

T h e s t r e a m f u n c t i o n i / r f o r t h e f l o w i n t h e u p p e r h a l f o f t h e z p l a n e i n t h i s c a s e

m u s t b e a f u n c t i o n w h o s e v a l u e s a r e c o n s t a n t a l o n g e a c h o f t h e t h r e e p a r t s o f t h e x

a x i s . M o r e o v e r , i t s v a l u e m u s t i n c r e a s e b y Q a s t h e p o i n t z m o v e s a r o u n d t h e p o i n t

z = 1 f r o m t h e p o s i t i o n z = x 0 t o t h e p o s i t i o n z = x 1 , a n d i t s v a l u e m u s t d e c r e a s e b y

Q / 2 a s z m o v e s a b o u t t h e o r i g i n i n t h e c o r r e s p o n d i n g m a n n e r . W e s e e t h a t t h e f u n c t i o n

L o g ( z 1 1 2 -

z - 1 / 2

L o g ( z - 1 ) -

-

L o g z

I =

A r g ( z - 1 ) - 2 A r g z

1

s a t i s f i e s t h o s e r e q u i r e m e n t s . F u r t h e r m o r e , t h i s f u n c t i o n i s h a r m o n i c i n t h e h a l f p l a n e

I m z > 0 b e c a u s e i t i s t h e i m a g i n a r y c o m p o n e n t o f t h e f u n c t i o n

q

z

7 r

T h e f u n c t i o n F i s a c o m p l e x p o t e n t i a l f u n c t i o n f o r t h e f l o w i n t h e u p p e r h a l f o f t h e

z p l a n e . S i n c e z = e ' ' , a c o m p l e x p o t e n t i a l f u n c t i o n F ( w ) f o r t h e f l o w i n t h e c h a n n e l i s

F ( w ) =

Q

L o g ( e / 2 -

7 r

B y d r o p p i n g a n a d d i t i v e c o n s t a n t , o n e c a n w r i t e

( 2 )

2

F ( w ) _

'

L o g ( s i n k 2 .

W e h a v e u s e d t h e s a m e s y m b o l F t o d e n o t e t h r e e d i s t i n c t f u n c t i o n s , o n c e i n t h e z p l a n e

a n d t w i c e i n t h e w p l a n e .

T h e v e l o c i t y v e c t o r F ' ( w ) i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n

( 3 )

_

u

V

2 7 r

c o s h

2

.

4 0 8


F r o m t h i s , i t c a n b e s e e n t h a t

V

2 r r

C H A P . I I

A l s o , t h e p o i n t w = T r i i s a s t a g n a t i o n p o i n t ; t h a t i s , t h e v e l o c i t y i s z e r o t h e r e . H e n c e

t h e f l u i d p r e s s u r e a l o n g t h e w a l l v = r r o f t h e c h a n n e l i s g r e a t e s t a t p o i n t s o p p o s i t e

t h e s l i t .

T h e s t r e a m f u n c t i o n M f r ( u , v ) f o r t h e c h a n n e l i s t h e i m a g i n a r y c o m p o n e n t o f t h e

f u n c t i o n F ( w ) g i v e n b y e q u a t i o n ( 2 ) . T h e s t r e a m l i n e s * ( u , v ) = c 2 a r e , t h e r e f o r e , t h e

c u r v e s

Q

A r g ( s i n h -

2

T h i s e q u a t i o n r e d u c e s t o

( 4 )

v u

t a n

2

= c t a n h

2

,

w h e r e c i s a n y r e a l c o n s t a n t . S o m e o f t h e s e s t r e a m l i n e s a r e i n d i c a t e d i n F i g . 1 6 7 .

1 1 4 . F L O W I N A C H A N N E L W I T H A N O F F S E T

T o f u r t h e r i l l u s t r a t e t h e u s e o f t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n , l e t u s f i n d t h e

c o m p l e x p o t e n t i a l f o r t h e f l o w o f a f l u i d i n a c h a n n e l w i t h a n a b r u p t c h a n g e i n i t s

b r e a d t h ( F i g . 1 6 8 ) . W e t a k e o u r u n i t o f l e n g t h s u c h t h a t t h e b r e a d t h o f t h e w i d e p a r t o f

t h e c h a n n e l i s 7 r u n i t s ; t h e n h r r , w h e r e 0 < h < 1 , r e p r e s e n t s t h e b r e a d t h o f t h e n a r r o w

p a r t . L e t t h e r e a l c o n s t a n t V a d e n o t e t h e v e l o c i t y o f t h e f l u i d f a r f r o m t h e o f f s e t i n t h e

w i d e p a r t ; t h a t i s ,

V = V a ,

w h e r e t h e c o m p l e x v a r i a b l e V r e p r e s e n t s t h e v e l o c i t y v e c t o r . T h e r a t e o f f l o w p e r u n i t

d e p t h t h r o u g h t h e c h a n n e l , o r t h e s t r e n g t h o f t h e s o u r c e o n t h e l e f t a n d o f t h e s i n k o n

t h e r i g h t , i s t h e n

( 1 )

Y

w 4

h

1

I

F I G U R E 1 6 8

S E C . 1 1 4

F L O W I N A C H A N N E L W I T H A N O F F S E T

4 0 9

T h e c r o s s s e c t i o n o f t h e c h a n n e l c a n b e c o n s i d e r e d a s t h e l i m i t i n g c a s e o f t h e

q u a d r i l a t e r a l w i t h t h e v e r t i c e s w 1 , W 2 , w 3 , a n d w 4 s h o w n i n F i g , 1 6 8 a s t h e f i r s t a n d

l a s t o f t h e s e v e r t i c e s a r e m o v e d i n f i n i t e l y f a r t o t h e l e f t a n d t o t h e r i g h t , r e s p e c t i v e l y .

I n t h e l i m i t , t h e e x t e r i o r a n g l e s b e c o m e

I t I t

2

1 3 , -

2 '

7 r = -

A s b e f o r e , w e p r o c e e d f o r m a l l y , u s i n g l i m i t i n g v a l u e s w h e n e v e r i t i s c o n v e n i e n t t o d o

s o . I f w e w r i t e x 1 = 0 , x 3 = 1 , x 4 = o c a n d l e a v e x 2 t o b e d e t e r m i n e d , w h e r e 0 < x 2 <

1 ,

t h e d e r i v a t i v e o f t h e m a p p i n g f u n c t i o n b e c o m e s

( 2 )

d w

d z

x 2 ) - 1 / 2 ( z

_

1 ) 1 / 2

T o s i m p l i f y t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e c o n s t a n t s A a n d x 2 h e r e , w e p r o c e e d a t o n c e

t o t h e c o m p l e x p o t e n t i a l o f t h e f l o w . T h e s o u r c e o f t h e f l o w i n t h e c h a n n e l i n f i n i t e l y

f a r t o t h e l e f t c o r r e s p o n d s t o a n e q u a l s o u r c e a t z = 0 ( S e c . 1 1 3 ) . T h e e n t i r e b o u n d a r y

o f t h e c r o s s s e c t i o n o f t h e c h a n n e l i s t h e i m a g e o f t h e x a x i s . I n v i e w o f e q u a t i o n ( 1 ) ,

t h e n , t h e f u n c t i o n

( 3 )

F = V 0 L o g z = V 0 l n r + i V 0 B

i s t h e p o t e n t i a l f o r t h e f l o w i n t h e u p p e r h a l f o f t h e z p l a n e , w i t h t h e r e q u i r e d s o u r c e

a t t h e o r i g i n . H e r e t h e s t r e a m f u n c t i o n i s f r = V O 6 . I t i n c r e a s e s i n v a l u e f r o m 0 t o

V 0 r c o v e r e a c h s e m i c i r c l e z = R e ` 0 ( 0 < 0 0 , a s 0 v a r i e s f r o m 0 t o I t .

[ C o m p a r e e q u a t i o n ( 5 ) , S e c . 1 0 7 , a n d E x e r c i s e 8 , S e c . 1 0 8 . ]

T h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f t h e v e l o c i t y V i n t h e w p l a n e c a n b e w r i t t e n

_ d F _ d F d z

V ( w )

d w

d z d w

T h u s , b y r e f e r r i n g t o e q u a t i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) , w e c a n s e e t h a t

( 4 )

1 / 2

A t t h e l i m i t i n g p o s i t i o n o f t h e p o i n t w l , w h i c h c o r r e s p o n d s t o z = 0 , t h e v e l o c i t y

i s t h e r e a l c o n s t a n t V 0 . I t t h e r e f o r e f o l l o w s f r o m e q u a t i o n ( 4 ) t h a t

V O

A

A t t h e l i m i t i n g p o s i t i o n o f w 4 , w h i c h c o r r e s p o n d s t o z - - o o , l e t t h e r e a l n u m b e r V 4

d e n o t e t h e v e l o c i t y . N o w i t s e e m s p l a u s i b l e t h a t a s a v e r t i c a l l i n e s e g m e n t s p a n n i n g

t h e n a r r o w p a r t o f t h e c h a n n e l i s m o v e d i n f i n i t e l y f a r t o t h e r i g h t , V a p p r o a c h e s V 4 a t

e a c h p o i n t o n t h a t s e g m e n t . W e c o u l d e s t a b l i s h t h i s c o n j e c t u r e a s a f a c t b y f i r s t f i n d i n g

w a s t h e f u n c t i o n o f z f r o m e q u a t i o n ( 2 ) ; b u t , t o s h o r t e n o u r d i s c u s s i o n , w e a s s u m e




t h a t t h i s i s t r u e , T h e n , s i n c e t h e f l o w i s s t e a d y ,

- r h V 4

=

r r V o = Q ,

o r V 4 = V o / h . L e t t i n g z t e n d t o i n f i n i t y i n e q u a t i o n ( 4 ) , w e f i n d t h a t

V p

V a

T h u s

( 5 )

a n d

A = h ,

C H A P . I I

F r o m e q u a t i o n ( 6 ) , w e k n o w t h a t t h e m a g n i t u d e V I o f t h e v e l o c i t y b e c o m e s

i n f i n i t e a t t h e c o r n e r w 3 o f t h e o f f s e t s i n c e i t i s t h e i m a g e o f t h e p o i n t z = 1 . A l s o ,

t h e c o r n e r w 2 i s a s t a g n a t i o n p o i n t , a p o i n t w h e r e V = 0 . A l o n g t h e b o u n d a r y o f t h e

c h a n n e l , t h e f l u i d p r e s s u r e i s , t h e r e f o r e , g r e a t e s t a t w 2 a n d l e a s t a t w 3 .

T o w r i t e t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e p o t e n t i a l a n d t h e v a r i a b l e w , w e m u s t i n t e g r a t e

e q u a t i o n ( 2 ) , w h i c h c a n n o w b e w r i t t e n

( 7 )

B y s u b s t i t u t i n g a n e w v a r i a b l e s , w h e r e

z - h 2

z - 1

o n e c a n s h o w t h a t e q u a t i o n ( 7 ) r e d u c e s t o

H e n c e

( 8 )

w = h L o g

1 + s - L o g

h + s

1 - s

h - s

T h e c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n h e r e i s z e r o b e c a u s e w h e n z = h 2 , t h e q u a n t i t y s i s z e r o

a n d s o , t h e r e f o r e , i s w .

I n t e r m s o f s , t h e p o t e n t i a l F o f e q u a t i o n ( 3 ) b e c o m e s

F = V o L o g

h 2 - s 2

1 -



S E C . 1 1 5

E L E C T R O S T A T I C P O T E N T I A L A B O U T A N E D G E O F A C O N D U C T I N G P L A T E

4 1 1

c o n s e q u e n t l y ,

( 9 )

2

-

e x p ( F / V o )

-

h 2

e x p ( F / V O ) - 1

B y s u b s t i t u t i n g s f r o m t h i s e q u a t i o n i n t o e q u a t i o n ( 8 ) , w e o b t a i n a n i m p l i c i t r e l a t i o n

t h a t d e f i n e s t h e p o t e n t i a l F a s a f u n c t i o n o

1 1 5 . E L E C T R O S T A T I C P O T E N T I A L A B O U T A N E D G E

O F A C O N D U C T I N G P L A T E

T w o p a r a l l e l c o n d u c t i n g p l a t e s o f i n f i n i t e e x t e n t a r e k e p t a t t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l

V = 0 , a n d a p a r a l l e l s e m i - i n f i n i t e p l a t e , p l a c e d m i d w a y b e t w e e n t h e m , i s k e p t a t t h e

p o t e n t i a l V = 1 . T h e c o o r d i n a t e s y s t e m a n d t h e u n i t o f l e n g t h a r e c h o s e n s o t h a t

t h e p l a t e s l i e i n t h e p l a n e s v = 0 , v = T r , a n d v = 7 r / 2 ( F i g . 1 6 9 ) . L e t u s d e t e r m i n e

t h e p o t e n t i a l f u n c t i o n V ( u , v ) i n t h e r e g i o n b e t w e e n t h o s e p l a t e s .

Y

v = o

2 -

V =

x l

1

- r '

x 3

4

v = o

F I G U R E 1 6 9

T h e c r o s s s e c t i o n o f t h a t r e g i o n i n t h e u v p l a n e h a s t h e l i m i t i n g f o r m o f t h e

q u a d r i l a t e r a l b o u n d e d b y t h e d a s h e d l i n e s i n F i g . 1 6 9 a s t h e p o i n t s w 1 a n d w 3 m o v e

o u t t o t h e r i g h t a n d w 4 t o t h e l e f t . I n a p p l y i n g t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n

h e r e , w e l e t t h e p o i n t x 4 , c o r r e s p o n d i n g t o t h e v e r t e x w 4 , b e t h e p o i n t a t i n f i n i t y . W e

c h o o s e t h e p o i n t s x 1 = - 1 , x 3 = 1 a n d l e a v e x 2 t o b e d e t e r m i n e d . T h e l i m i t i n g v a l u e s

o f t h e e x t e r i o r a n g l e s o f t h e q u a d r i l a t e r a l a r e

k 1 i r = T r , k 2 a r = - a r , k 3 a r = k 4 T r =

T h u s

d w

d z =

A ( z + I ) - 1 ( z - x 2 ) ( z -

I ) - 1

z -

a n d s o t h e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e u p p e r h a l f o f t h e z p l a n e i n t o t h e d i v i d e d s t r i p i n t h e

w p l a n e h a s t h e f o r m

{ 1 }

w = ` [ ( 1 + x 2 ) L o g ( z + 1 ) + ( I - x 2 ) L o g ( z - 1 ) ] + B .

L e t A 1 , A 2 a n d B 1 , B 2 d e n o t e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o n s t a n t s A a n d

B . W h e n z = x , t h e p o i n t w l i e s o n t h e b o u n d a r y o f t h e d i v i d e d s t r i p ; a n d , a c c o r d i n g

4 1 2

T H E S C H W A R Z - C : H R I S T O F F E L T R A N S F O R M A T I O N

C H A P . I I

t o e q u a t i o n ( 1 ) ,

( 2 )

u + i v = A 1 i A 2 ( ( I + x 2 ) [ i n I x + 1 1 + i a r g ( x + 1 ) ]

+ ( l - x 2 ) [ l n I x - i i + i a r g ( x - 1 ) ] } + B I + i B 2 .

T o d e t e r m i n e t h e c o n s t a n t s h e r e , w e f i r s t n o t e t h a t t h e l i m i t i n g p o s i t i o n o f t h e

l i n e s e g m e n t j o i n i n g t h e p o i n t s w 1 a n d w 4 i s t h e u a x i s . T h a t s e g m e n t i s t h e i m a g e o f

t h e p a r t o f t h e x a x i s t o t h e l e f t o f t h e p o i n t x 1 = - 1 ; t h i s i s b e c a u s e t h e l i n e s e g m e n t

j o i n i n g w 3 a n d w 4 i s t h e i m a g e o f t h e p a r t o f t h e x a x i s t o t h e r i g h t o f x 3 = 1 , a n d

t h e o t h e r t w o s i d e s o f t h e q u a d r i l a t e r a l a r e t h e i m a g e s o f t h e r e m a i n i n g t w o s e g m e n t s

o f t h e x a x i s . H e n c e w h e n v = 0 a n d u t e n d s t o i n f i n i t y t h r o u g h p o s i t i v e v a l u e s , t h e

c o r r e s p o n d i n g p o i n t x a p p r o a c h e s t h e p o i n t z = - 1 f r o m t h e l e f t . T h u s

a r g ( x + 1 ) = i r ,

a r g ( x - 1 ) = a r ,

a n d I n I x + 1 I t e n d s t o - o c . A l s o , s i n c e - 1 < x 2 < 1 , t h e r e a l p a r t o f t h e q u a n t i t y i n s i d e

t h e b r a c e s i n e q u a t i o n ( 2 ) t e n d s t o - o c . S i n c e v = 0 , i t r e a d i l y f o l l o w s t h a t A 2 = 0 ;

f o r , o t h e r w i s e , t h e i m a g i n a r y p a r t o n t h e r i g h t w o u l d b e c o m e i n f i n i t e . B y e q u a t i n g

i m a g i n a r y p a r t s o n t h e t w o s i d e s , w e n o w s e e t h a t

H e n c e

x 2 ) 1 7 + ( 1 - x 2 ) r ] + B 2 .

( 3 )

- r r A 1 = B 2 , A 2 = 0 .

T h e l i m i t i n g p o s i t i o n o f t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g t h e p o i n t s w 1 a n d w 2 i s t h e h a l f

l i n e v = 7 r / 2 ( u > 0 ) . P o i n t s o n t h a t h a l f l i n e a r e i m a g e s o f t h e p o i n t s z = x , w h e r e

- 1 < x - < x 2 ; c o n s e q u e n t l y ,

a r g ( x + 1 ) = 0 ,

a r g ( x - 1 )

I d e n t i f y i n g t h e i m a g i n a r y p a r t s o n t h e t w o s i d e s o f e q u a t i o n ( 2 ) , w e t h u s a r r i v e a t t h e

r e l a t i o n

( 4 )

J r

- x i ) i r + B i .

F i n a l l y , t h e l i m i t i n g p o s i t i o n s o f t h e p o i n t s o n t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g w 3 t o w 4

a r e t h e p o i n t s u + 7 t i , w h i c h a r e t h e i m a g e s o f t h e p o i n t s x w h e n x > 1 . B y i d e n t i f y i n g ,

f o r t h o s e p o i n t s , t h e i m a g i n a r y p a r t s i n e q u a t i o n ( 2 ) , w e f i n d t h a t

7 r = B 2 .

T h e n , i n v i e w o f e q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) ,

A l = - 1 ,



S E C . 1 1 5

E X E R C I S E S

4 1 3

T h u s x = 0 i s t h e p o i n t w h o s e i m a g e i s t h e v e r t e x w = r r i J 2 ; a n d , u p o n s u b s t i t u t i n g

t h e s e v a l u e s i n t o e q u a t i o n ( 2 ) a n d i d e n t i f y i n g r e a l p a r t s , w e s e e t h a t B I = 0 .

T r a n s f o r m a t i o n ( 1 ) n o w b e c o m e s

( 5 )

w = -

2

[ L o g ( z + 1 ) + L o g ( z -

o r

( 6 )

z 2

= 1 +

e - 2 w

U n d e r t h i s t r a n s f o r m a t i o n , t h e r e q u i r e d h a r m o n i c f u n c t i o n V ( u , v ) b e c o m e s a

h a r m o n i c f u n c t i o n o f x a n d y i n t h e h a l f p l a n e y > 0 ; a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

i n d i c a t e d i n F i g . 1 7 0 a r e s a t i s f i e d . N o t e t h a t x 2 = 0 n o w . T h e h a r m o n i c f u n c t i o n i n t h a t

h a l f p l a n e w h i c h a s s u m e s t h o s e v a l u e s o n t h e b o u n d a r y i s t h e i m a g i n a r y c o m p o n e n t

o f t h e a n a l y t i c f u n c t i o n

L o g z - 1

-

I n r l +

a

- ( 0 1 - 0 2 ) ,

r 2

7

t

z + l

i t

w h e r e 8 1 a n d 0 2 r a n g e f r o m 0 t o j r . W r i t i n g t h e t a n g e n t s o f t h e s e a n g l e s a s f u n c t i o n s

o f x a n d y a n d s i m p l i f y i n g , w e f i n d t h a t

( 7 )

F I G U R E 1 7 0

E q u a t i o n ( 6 ) f u r n i s h e s e x p r e s s i o n s f o r x 2 + y 2 a n d x 2 - y 2 i n t e r m s o f u a n d

v . T h e n , f r o m e q u a t i o n ( 7 ) , w e f i n d t h a t t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e p o t e n t i a l V a n d t h e

c o o r d i n a t e s u a n d v c a n b e w r i t t e n

( 8 )

w h e r e

2 y

t a n 7 r V = t a n ( 8 1 - 0 2 ) = x 2 + y 2 -

1

t a n 7 r V =

1 + 2 e - 2 u c o s 2 v + e - 4 u

E X E R C I S E S

1 . U s e t h e S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n t o o b t a i n f o r m a l l y t h e m a p p i n g f u n c t i o n

g i v e n w i t h F i g . 2 2 , A p p e n d i x 2 .

4 1 4


C H A P . T I

2 . E x p l a i n w h y t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m o f f l o w i n a c h a n n e l w i t h a s e m i - i n f i n i t e

r e c t a n g u l a r o b s t r u c t i o n ( F i g . 1 7 1 ) i s i n c l u d e d i n t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m t r e a t e d i n

S e e . 1 1 4 .

F I G U R E 1 7 1

3 . R e f e r t o F i g . 2 9 , A p p e n d i x 2 . A s t h e p o i n t z m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g t h e n e g a t i v e p a r t

o f t h e r e a l a x i s w h e r e x < - 1 , i t s i m a g e p o i n t w i s t o m o v e t o t h e r i g h t a l o n g t h e h a l f

l i n e v = h ( u < 0 ) . A s t h e p o i n t z m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g t h e s e g m e n t - 1 < x < I o f t h e

x a x i s , i t s i m a g e p o i n t u 5 i s t o m o v e i n t h e d i r e c t i o n o f d e c r e a s i n g v a l o n g t h e s e g m e n t

0 < v < h o f t h e v a x i s . F i n a l l y , a s z m o v e s t o t h e r i g h t a l o n g t h e p o s i t i v e p a r t o f t h e r e a l

a x i s w h e r e x > 1 , i t s i m a g e p o i n t w i s t o m o v e t o t h e r i g h t a l o n g t h e p o s i t i v e r e a l a x i s .

N o t e t h e c h a n g e s i n t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n o f w a t t h e i m a g e s o f t h e p o i n t s z = - I a n d

z = 1 . T h e s e c h a n g e s i n d i c a t e t h a t t h e d e r i v a t i v e o f a m a p p i n g f u n c t i o n m i g h t b e

d w

_

Z +

1 ) 1 / 2

d z

A

( z

- 1

w h e r e A i s s o m e c o n s t a n t . T h u s o b t a i n f o r m a l l y t h e t r a n s f o r m a t i o n g i v e n w i t h t h e f i g u r e .

V e r i f y t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n , w r i t t e n i n t h e f o r m

w = h { ( z +

1 ) I 1 ' 2 ( z

-

1 ) ' ' 2 + L o g [ z + ( z + 1 ) ' ' 2 { z

-

1 ) 1 / 2 ] }

w h e r e 0 < a r g ( z + 1 ) < 7 r , m a p s t h e b o u n d a r y i n t h e m a n n e r i n d i c a t e d i n t h e f i g u r e .

4 . L e t T ( u , v ) d e n o t e t h e b o u n d e d s t e a d y - s t a t e t e m p e r a t u r e s i n t h e s h a d e d r e g i o n o f t h e

w p l a n e i n F i g . 2 9 , A p p e n d i x 2 , w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s T ( u , h ) = 1 w h e n u < 0

a n d T = 0 o n t h e r e s t ( B ' C ' D ' ) o f t h e b o u n d a r y . U s i n g t h e p a r a m e t e r a ( 0 < a < 7 r / 2 ) ,

s h o w t h a t t h e i m a g e o f e a c h p o i n t z = i t a n a o n t h e p o s i t i v e y a x i s i s t h e p o i n t

w = - [ I n ( t a n

a + s e e a ) + i ( 2 + s e c a

( s e e E x e r c i s e 3 ) a n d t h a t - t h e t e m p e r a t u r e a t t h a t p o i n t u ) i s

T ( u , v ) = -

{ 0 < a <

) .

7 T

2

5 . L e t F ( w ) d e n o t e t h e c o m p l e x p o t e n t i a l f u n c t i o n f o r t h e f l o w o f a f l u i d o v e r a s t e p i n

t h e b e d o f a d e e p s t r e a m r e p r e s e n t e d b y t h e s h a d e d r e g i o n o f t h e w p l a n e i n F i g . 2 9 ,

A p p e n d i x 2 , w h e r e t h e f l u i d v e l o c i t y V a p p r o a c h e s a r e a l c o n s t a n t V p a s ( w i t e n d s t o

i n f i n i t y i n t h a t r e g i o n . T h e t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s t h e u p p e r h a l f o f t h e z p l a n e o n t o

t h a t r e g i o n i s n o t e d i n E x e r c i s e 3 . U s e t h e c h a i n r u l e

d F d F d z

d w d z d w



S E C . 1 1 5

E X E R C I S E S

4 1 5

t o s h o w t h a t

V ( w ) = V p ( z - 1 ) 1 / 2 ( z +

1 ) - 1 / Z .

a n d , i n t e r m s o f t h e p o i n t s z = x w h o s e i m a g e s a r e t h e p o i n t s a l o n g t h e b e d o f t h e s t r e a m ,

s h o w t h a t

I V o

N o t e t h a t t h e s p e e d i n c r e a s e s f r o m I V o I a l o n g A ' B ' u n t i l I V I = o c a t B ' , t h e n d i m i n i s h e s

t o z e r o a t C ' , a n d i n c r e a s e s t o w a r d I V o l f r o m C ' t o D ' ; n o t e , t o o , t h a t t h e

s p e e d i s I V o l a t

t h e p o i n t

b e t w e e n B a n d C .

C H A P T E R

1 2

I N T E G R A L F O R M U L A S

O F T H E P O I S S O N T Y P E

I n t h i s c h a p t e r , w e d e v e l o p a t h e o r y t h a t e n a b l e s u s t o o b t a i n s o l u t i o n s t o a v a r i e t y o f

b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s w h e r e t h o s e s o l u t i o n s a r e e x p r e s s e d i n t e r m s o f d e f i n i t e o r

i m p r o p e r i n t e g r a l s . M a n y o f t h e i n t e g r a l s o c c u r r i n g a r e t h e n r e a d i l y e v a l u a t e d .

1 1 6 . P O I S S O N I N T E G R A L F O R M U L A

L e t C o d e n o t e a p o s i t i v e l y o r i e n t e d c i r c l e , c e n t e r e d a t t h e o r i g i n , a n d s u p p o s e t h a t a

f u n c t i o n f i s a n a l y t i c i n s i d e a n d o n C o . T h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a ( S e c . 4 7 )

( 1 )

f ( z )

e x p r e s s e s t h e v a l u e o f f a t a n y p o i n t z i n t e r i o r t o C o i n t e r m s o f t h e v a l u e s

o f f a t p o i n t s

s o n C o . I n t h i s s e c t i o n , w e s h a l l o b t a i n f r o m f o r m u l a ( 1 ) a

c o r r e s p o n d i n g f o r m u l a f o r

t h e r e a l p a r t o f t h e f u n c t i o n f ; a n d , i n S e c . 1 1 7 , w e s h a l l u s e t h a t r e s u l t t o s o l v e t h e

D i r i c h l e t p r o b l e m ( S e c . 9 8 ) f o r t h e d i s k b o u n d e d b y C o .

W e l e t r 0 d e n o t e t h e r a d i u s o f C o a n d w r i t e z = r e x p ( i 6 ) , w h e r e 0 < r < r o

( F i g . 1 7 2 ) . T h e i n v e r s e o f t h e n o n z e r o p o i n t z w i t h r e s p e c t t o t h e c i r c l e i s t h e p o i n t z 1

l y i n g o n t h e s a m e r a y f r o m t h e o r i g i n a s z a n d s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n I z 1 I

I z I = r 2

;

t h u s , i f s i s a p o i n t o n C 0 ,

( 2 )

r 2

e x p ( i O ) =

r

4 1 7

4 1 8

I N T E G R A L F O R M U L A S O F T H E P O I S S O N T Y P E

C H A P . 1 2

S i n c e z 1 i s e x t e r i o r t o t h e c i r c l e C O , i t f o l l o w s f r o m t h e C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m t h a t

t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l i n e q u a t i o n ( 1 ) i s z e r o w h e n z i s r e p l a c e d b y z 1 i n t h e i n t e g r a n d .

H e n c e

1

1

f ( z ) =

) . f ( s ) d s ;

2 n i

] C O

s - z s - z J

a n d , u s i n g t h e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n s = r 4 e x p ( i g y p ) ( 0 { 0 < 2 7 r ) f o r C O , w e c a n

w r i t e

1

2 i r s

S

. f ( z ) = -

- -

7 r

0

s - z

s -

w h e r e , f o r c o n v e n i e n c e , w e r e t a i n t h e s t o d e n o t e r 0 e x p ( i o ) .

I n v i e w o f t h e l a s t o f e x p r e s s i o n s ( 2 ) f o r z

1 ,

t h e f a c t o r i n s i d e t h e p a r e n t h e s e s h e r e


A n a l t e r n a t i v e f o r m o f t h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a ( 1 ) i s , t h e r e f o r e ,

e i o

d p i

4 )

. f ( r e t 4 ) =

U

J

I

n o

s - z

w h e n 0 < r < r e . T h i s f o r m i s a l s o v a l i d w h e n r = 0 ; i n t h a t c a s e , i t r e d u c e s d i r e c t l y t o

1

I

2 n

. f ( 0 )

2 n

. f ( r t l e ` 1 ) d O ,

w h i c h i s j u s t t h e p a r a m e t r i c f o r m o f e q u a t i o n ( 1 ) w i t h z = 0 .

T h e q u a n t i t y I s - z I

i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s s a n d z , a n d t h e l a w o f

c o s i n e s c a n b e u s e d t o w r i t e ( s e e F i g . 1 7 2 )

( 5 )

I s - z I ` = r . 2 - 2 r e r c o s ( ¢ ' - 0 ) + r `

F I G U R E 1 7 2

S E C . 1 1 7

D I R I C H L E T P R O B L E M F O R A D I S K

4 1 9

H e n c e , i f u i s t h e r e a l p a r t o f t h e a n a l y t i c f u n c t i o n f , i t f o l l o w s f r o m f o r m u l a ( 4 ) t h a t

r 2 ) u ( r o , 0

d O

( r < r o ) .

6 )

u ( r , 8 } = = 1

, ,

2

r o r c o s ( ¢ , - 0 ) + r

T h i s i s t h e P o i s s o n i n t e g r a l f o r m u l a f o r t h e h a r m o n i c f u n c t i o n u i n t h e o p e n d i s k

b o u n d e d b y t h e c i r c l e r = r e .

F o r m u l a ( 6 ) d e f i n e s a l i n e a r i n t e g r a l t r a n s f o r m a t i o n o f u ( r o , 0 ) i n t o u ( r , 0 ) . T h e

k e r n e l o f t h e t r a n s f o r m a t i o n i s , e x c e p t f o r t h e f a c t o r 1 / ( 2 n ) , t h e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n

- 0 ) =

0

r o e

- 2 r e r c o s ( ¢ - 0 ) +

r 2 '

w h i c h i s k n o w n a s t h e P o i s s o n k e r n e l . I n v i e w o f e q u a t i o n ( 5 ) , w e c a n a l s o w r i t e

( 8 )

P

r 2

-

r 2

0

- z 1 2 '

a n d , s i n c e r < r o , i t i s c l e a r t h a t P i s a p o s i t i v e f u n c t i o n . M o r e o v e r , s i n c e - Z / ( s - z )

a n d i t s c o m p l e x c o n j u g a t e z / ( s - z ) h a v e t h e s a m e r e a l p a r t s , w e f i n d f r o m t h e s e c o n d

o f e q u a t i o n s ( 3 ) t h a t

T h u s P ( r o , r , 0 - 0 ) i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o f r a n d 0 i n t e r i o r t o C o f o r e a c h f i x e d s

o n C o . F r o m e q u a t i o n ( 7 ) , w e s e e t h a t P ( r o , r , 0 - 0 ) i s a n e v e n p e r i o d i c f u n c t i o n o f

- 0 , w i t h p e r i o d 2 n ; a n d i t s v a l u e i s 1 w h e n r = 0 .

T h e P o i s s o n i n t e g r a l f o r m u l a ( 6 ) c a n n o w b e w r i t t e n

( 1 0 )

u ( r , 0 ) = 2 n J 0

P ( r o , r , 0 h - 0 ) u ( r o , 0 ) d o

W h e n f ( z ) = u ( r , 0 ) = 1 , e q u a t i o n ( 1 0 ) s h o w s t h a t P h a s t h e p r o p e r t y

-

I

P ( r 0 , r , 0

-

1 ) d o =

( 1 1 ) 2

W e h a v e a s s u m e d t h a t f i s a n a l y t i c n o t o n l y i n t e r i o r t o C o b u t a l s o o n C o i t s e l f

a n d t h a t u i s , t h e r e f o r e , h a r m o n i c i n a d o m a i n w h i c h i n c l u d e s a l l p o i n t s o n t h a t c i r c l e .

I n p a r t i c u l a r , u i s c o n t i n u o u s o n C o . T h e c o n d i t i o n s w i l l n o w b e r e l a x e d .

1 1 7 . D I R I C H L E T P R O B L E M F O R A D I S K

L e t F b e a p i e c e w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f 0 o n t h e i n t e r v a l 0 < 0 < 2 n r . T h e P o i s s o n

i n t e g r a l t r a n s f o r m o f F i s d e f i n e d i n t e r m s o f t h e P o i s s o n k e r n e l P ( r o ,

4 2 0


i n t r o d u c e d i n S e c . 1 1 6 , b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n

C H A P . 1 2

2 n

( 1 )

U ( r , 0 ) =

2 7 r

j

P ( r c , r , 0 - 8 ) F ( O ) d ¢

( r < r 4 ) .

I n t h i s s e c t i o n , w e s h a l l p r o v e t h a t t h e f u n c t i o n U ( r , 0 ) i s h a r m o n i c i n s i d e t h e

c i r c l e r = r c a n d

( 2 )

l i m U

r - r r 0

r < r p

0 ) = F ( 8 )

f o r e a c h f i x e d 0 a t w h i c h F i s c o n t i n u o u s . T h u s U i s a s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m

f o r t h e d i s k r < r 0 i n t h e s e n s e t h a t U ( r , 0 ) a p p r o a c h e s t h e b o u n d a r y v a l u e F ( 0 ) a s

t h e p o i n t ( r , 0 ) a p p r o a c h e s ( r c , 0 ) a l o n g a r a d i u s , e x c e p t a t t h e f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s

( r c , 0 ) w h e r e d i s c o n t i n u i t i e s o f F m a y o c c u r .

E X A M P L E . B e f o r e p r o v i n g t h e a b o v e s t a t e m e n t , l e t u s a p p l y i t t o f i n d t h e p o t e n t i a l

V ( r , 0 ) i n s i d e a l o n g h o l l o w c i r c u l a r c y l i n d e r o f u n i t r a d i u s , s p l i t l e n g t h w i s e i n t o t w o

e q u a l p a r t s , w h e n V = 1 o n o n e o f t h e p a r t s a n d V = 0 o n t h e o t h e r . T h i s p r o b l e m

w a s s o l v e d b y c o n f o r m a l m a p p i n g i n S e c . 1 0 5 ; a n d w e r e c a l l h o w i t w a s i n t e r p r e t e d

t h e r e a s a D i r i c h l e t p r o b l e m f o r t h e d i s k r < 1 , w h e r e V = 0 o n t h e u p p e r h a l f o f t h e

b o u n d a r y r = 1 a n d V = 1 o n t h e l o w e r h a l f . ( S e e F i g . 1 7 3 . )

y

V = 1

F I G U R E 1 7 3

I n e q u a t i o n ( 1 ) , w r i t e V f o r U , r 0 = 1 , a n d F ( 0 ) = 0 w h e n 0 < 0 < 7 r a n d

F ( 0 ) = 1 w h e n 7 r < 0 < 2 i r t o o b t a i n

( 3 )

w h e r e

V ( r , 0 ) = -

P ( l , r , c - 0 ) d ¢ ,

P ( 1 , r , 0 - 0 ) =

S E C . 1 1 7

D I R I C H L E T P R O B L E M F O R A D I S K

4 2 1

A n a n t i d e r i v a t i v e o f P ( 1 , r ,

( 4 )

f P ( 1 , r , I J r ) d i f r = 2 a r c t a n (

1 +

1 - r

t h e i n t e g r a n d h e r e b e i n g t h e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o I J r o f t h e f u n c t i o n o n t h e r i g h t .

S o i t f o l l o w s f r o m e x p r e s s i o n ( 3 ) t h a t

f 1

[

t a n

2 7 r - B

I

- a r c t a n

1 + r

t a n

a r -

i r V ( r , 0 ) = a r c t a n

+ r

\ 1 - r

2

/ 1 1

1 - r

2

A f t e r s i m p l i f y i n g t h e e x p r e s s i o n f o r t a n [ 7 r V ( r , 8 ) ] o b t a i n e d f r o m t h i s l a s t e q u a t i o n

( s e e E x e r c i s e 3 , S e c . 1 1 8 ) , w e f i n d t h a t

1

( 5 )

V ( r , 0 ) =

a r c t a n

I t

Z r s i n 8

a r c t a n t

,

w h e r e t h e s t a t e d r e s t r i c t i o n o n t h e v a l u e s o f t h e a r c t a n g e n t f u n c t i o n i s p h y s i c a l l y

e v i d e n t . W h e n e x p r e s s e d i n r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s , t h e s o l u t i o n h e r e i s t h e s a m e a s

s o l u t i o n ( 5 ) i n S e c . 1 0 5 .

W e t u r n n o w t o t h e p r o o f t h a t t h e f u n c t i o n U d e f i n e d i n e q u a t i o n ( 1 ) s a t i s f i e s t h e

D i r i c h i e t p r o b l e m f o r t h e d i s k r < r o , a s a s s e r t e d j u s t p r i o r t o t h i s e x a m p l e . F i r s t o f

a l l , U i s h a r m o n i c i n s i d e t h e c i r c l e r = r e b e c a u s e P i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o f r a n d

0 t h e r e . M o r e p r e c i s e l y , s i n c e F i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s , i n t e g r a l ( 1 ) c a n b e w r i t t e n

a s t h e s u m o f a f i n i t e n u m b e r o f d e f i n i t e i n t e g r a l s e a c h o f w h i c h h a s a n i n t e g r a n d t h a t

i s c o n t i n u o u s i n r , 0 , a n d 0 . T h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h o s e i n t e g r a n d s w i t h r e s p e c t

t o r a n d 0 a r e a l s o c o n t i n u o u s . S i n c e t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n a n d d i f f e r e n t i a t i o n w i t h

r e s p e c t t o r a n d 0 c a n , t h e n , b e i n t e r c h a n g e d a n d s i n c e P s a t i s f i e s L a p l a c e ' s e q u a t i o n

r 2 P r r + r P r + x ' 8 0 = 0

i n t h e p o l a r c o o r d i n a t e s r a n d 6 ( E x e r c i s e 5 , S e c . 2 5 ) , i t f o l l o w s t h a t U s a t i s f i e s t h a t

e q u a t i o n t o o .

I n o r d e r t o v e r i f y l i m i t ( 2 ) , w e n e e d t o s h o w t h a t i f F i s c o n t i n u o u s a t 0 , t h e r e

c o r r e s p o n d s t o e a c h p o s i t i v e n u m b e r s a p o s i t i v e n u m b e r & s u c h t h a t

( 6 )

I U ( r , 6 ) - F ( 0 ) J < s

w h e n e v e r

0 < r o - r < 8 .

W e s t a r t b y r e f e r r i n g t o p r o p e r t y ( 1 1 ) , S e c . 1 1 6 , o f t h e P o i s s o n k e r n e l a n d w r i t i n g

U ( r , 6 ) - F ( 8 ) =

I

P ( r o , r , 0 - 6 ) [ F ( o ) - F ( 8 ) ] d o .

2 7 r

F o r c o n v e n i e n c e , w e l e t F b e e x t e n d e d p e r i o d i c a l l y , w i t h p e r i o d 2 7 r , s o t h a t t h e

i n t e g r a n d h e r e i s p e r i o d i c i n 0 w i t h t h a t s a m e p e r i o d . A l s o , w e m a y a s s u m e t h a t

0 < r < r o b e c a u s e o f t h e n a t u r e o f t h e l i m i t t o b e e s t a b l i s h e d .

4 2 2


C H A P . 1 2

N e x t , w e o b s e r v e t h a t , s i n c e F i s c o n t i n u o u s a t 0 , t h e r e i s a s m a l l p o s i t i v e n u m b e r

a s u c h t h a t

( 7 )

I F ( O ) - F ( 9 ) ) < 2

w h e n e v e r

1 0 -

E v i d e n t l y ,

( 8 )

w h e r e

P ( r 0 , r , 0 - 8 ) [ F ( o )

- F ( 8 ) ] d o ,

1

8 - a + 2 n

P ( r 0 , r , 0 - 6 ) [ F ( o ) - F ( O ) ] d o .

- 2 a r

O + , ,

T h e f a c t t h a t P i s a p o s i t i v e f u n c t i o n ( S e c . 1 1 6 ) , t o g e t h e r w i t h t h e f i r s t o f

i n e q u a l i t i e s ( 7 ) j u s t a b o v e a n d p r o p e r t y ( 1 1 ) , S e c . 1 1 6 , o f t h a t f u n c t i o n , e n a b l e s u s

t o w r i t e

4 T r

P ( r o , r , 0 - 0 ) I F ( o ) - F ( 0 ) I d r y

2 n

P ( r o , r , 0 - O ) d o

A s f o r t h e i n t e g r a l 1 2 ( r ) , o n e c a n s e e f r o m F i g . 1 7 2 i n S e c . 1 1 6 t h a t t h e d e n o m i n a t o r

I s - z 1 2 i n e x p r e s s i o n ( 8 ) f o r P ( r o , r , 0

- 6 ) i n t h a t s e c t i o n h a s a ( p o s i t i v e ) m i n i m u m

v a l u e m a s t h e a r g u m e n t 0 o f s v a r i e s o v e r t h e c l o s e d i n t e r v a l

9 + a < 0 < 0 - a + 2 n .

S o , i f M d e n o t e s a n u p p e r b o u n d o f t h e p i e c e w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n I F ( o )

- F ( O ) 1

o n t h e i n t e r v a l 0 < 0 < 2 7 r , i t f o l l o w s t h a t

1 1 2 ( r ) I <

U ( r , 8 ) - F ( 9 ) = 1 1 ( r ) + 1 2 (

2 7 r m

w h e n e v e r r n - r < S . w h e r e

( 9 )

2 n < 2

M

0

m s

2

2

m

2

4 M r 0

F i n a l l y , t h e r e s u l t s i n t h e t w o p r e c e d i n g p a r a g r a p h s t e l l u s t h a t

I U ( r , 0 ) - F ( 9 )

S E C . I 1 8

R E L A T E D B O U N D A R Y V A L U E P R O B L E M S

4 2 3

w h e n e v e r r 0 - r < & , w h e r e & i s t h e p o s i t i v e n u m b e r d e f i n e d b y e q u a t i o n ( 9 ) . T h a t i s ,

s t a t e m e n t ( 6 ) h o l d s w h e n t h a t c h o i c e o f & i s m a d e .

A c c o r d i n g t o e x p r e s s i o n ( 1 ) , t h e v a l u e o f U a t r = 0 i s

1

2 T r J o

2

F ( o ) d o .

T h u s t h e v a l u e o f a h a r m o n i c f u n c t i o n a t t h e c e n t e r o f t h e c i r c l e r = r 0 i s t h e a v e r a g e

o f t h e b o u n d a r y v a l u e s o n t h e c i r c l e .

I t i s l e f t t o t h e e x e r c i s e s t o p r o v e t h a t P a n d U c a n b e r e p r e s e n t e d b y s e r i e s

i n v o l v i n g t h e e l e m e n t a r y h a r m o n i c f u n c t i o n s r n c o s n O a n d r ' 1 s i n n d a s f o l l o w s :

( 1 0 )

P ( r o , r , i - 0 ) = 1 + 2

a n d

( 1 1 )

U ( r , 0 ) = I

a 0 +

w h e r e

c o s n ( r - 0 )

a n c o s n o + b n s i n n o )

( r < r 0

( 1 2 )

a n = - I

F ( o ) c o s n o d r y ,

b n = - j

F ( o ) s i n n o d o .

1 1 8 . R E L A T E D B O U N D A R Y V A L U E P R O B L E M S

D e t a i l s o f p r o o f s o f r e s u l t s g i v e n b e l o w a r e l e f t t o t h e e x e r c i s e s . T h e f u n c t i o n F r e p -

r e s e n t i n g b o u n d a r y v a l u e s o n t h e c i r c l e r = r 0 i s a s s u m e d t o b e p i e c e w i s e c o n t i n u o u s .

S u p p o s e t h a t F ( 2 n - 0 ) = - F ( 0 ) . T h e P o i s s o n i n t e g r a l f o r m u l a ( 1 ) o f S e c . 1 1 7

t h e n b e c o m e s

1

( 1 )

U ( r , 0 ) =

2 1 r

[ P ( r o ,

- 0 ) - P ( r 0 , r , 0 + 0 ) ] F ( o ) d o .

T h i s f u n c t i o n U h a s z e r o v a l u e s o n t h e h o r i z o n t a l r a d i i 0 = 0 a n d 0 = i t o f t h e c i r c l e ,

a s o n e w o u l d e x p e c t w h e n U i s i n t e r p r e t e d a s a s t e a d y t e m p e r a t u r e . F o r m u l a ( 1 ) t h u s

s o l v e s t h e D i r i c h l e t p r o b l e m f o r t h e s e m i c i r c u l a r r e g i o n r < r 0 , 0 < 0 < T r , w h e r e

U = 0 o n t h e d i a m e t e r A B s h o w n i n F i g . 1 7 4 a n d

( 2 )

l i m U ( r , 0

r - * r 0

r ¢ r 0

F ( O ) ( 0 < 0 < 7 r )

o r e a c h f i x e d 0 a t w h i c h F i s c o n t i n u o u s .

I f

F ( 2 n - 0 ) = F ( 0 ) ,

t h e n

( 3 )

U ( r , 0 ) =

+ 0 ) ] F ( O ) d o ;

4 2 4


C H A P . 1 2

a n d U 0 ( r , 0 ) = 0 w h e n 0 = 0 o r 0 = i t . H e n c e f o r m u l a ( 3 ) f u r n i s h e s a f u n c t i o n U t h a t

i s h a r m o n i c i n t h e s e m i c i r c u l a r r e g i o n r < r o , 0 < 6 < 7 r a n d s a t i s f i e s c o n d i t i o n ( 2 )

a s w e l l a s t h e c o n d i t i o n t h a t i t s n o r m a l d e r i v a t i v e b e z e r o o n t h e d i a m e t e r A B s h o w n

i n F i g . 1 7 4 .

F I G U R E 1 7 4

T h e a n a l y t i c f u n c t i o n z = r j Z m a p s t h e c i r c l e Z ( = r o i n t h e Z p l a n e o n t o t h e

c i r c l e I z ( = r o i n t h e z p l a n e , a n d i t m a p s t h e e x t e r i o r o f t h e f i r s t c i r c l e o n t o t h e i n t e r i o r

o f t h e s e c o n d . W r i t i n g z = r e x p ( i O ) a n d Z = R e x p ( i i ) , w e n o t e t h a t r = r 6 j R a n d

0 = 2 i r - s ( i . T h e h a r m o n i c f u n c t i o n U ( r , 0 ) r e p r e s e n t e d b y f o r m u l a ( 1 ) , S e c . 1 1 7 , i s ,

t h e n , t r a n s f o r m e d i n t o t h e f u n c t i o n

, 2 T r -

F ( o p ) d O ,

w h i c h i s h a r m o n i c i n t h e d o m a i n R > r e . N o w , i n g e n e r a l , i f u ( r , 0 ) i s h a r m o n i c , t h e n

s o i s u ( r , - 0 ) ( s e e E x e r c i s e 1 1 ) . H e n c e t h e f u n c t i o n H ( R , I J i ) =

a J i - t a r } , o r

( 4 )

H ( R , 2 7 r J 0

P ( r o , R , 0 - I J i ) F ( o ) d o

( R > r o ) ,

i s a l s o h a r m o n i c . F o r e a c h f i x e d a j i

a t w h i c h F ( * ) i s c o n t i n u o u s , w e f i n d f r o m

c o n d i t i o n ( 2 ) , S e c . 1 1 7 , t h a t

( 5 )

R - . r p

R > r d

H ( R , a f i ) = F ( I J I ) .

T h u s f o r m u l a ( 4 ) s o l v e s t h e D i r i c h l e t p r o b l e m f o r t h e r e g i o n e x t e r i o r t o t h e c i r c l e

R = r o i n t h e Z p l a n e ( F i g . 1 7 5 ) . W e n o t e f r o m e x p r e s s i o n ( 8 ) , S e c . 1 1 6 , t h a t t h e

F I G U R E 1 7 5

S E C . 1 1 8

P o i s s o n k e r n e l P ( r o , R ,

i s n e g a t i v e w h e n R > r 0 . A l s o ,

d p i = -

a n d

( 7 )

R - a o o

R > r o

H ( R , l G ' ) _ - I

F ( O ) d c p .

E X E R C I S E S 4 2 5

E X E R C I S E S

1 . U s e t h e P o i s s o n i n t e g r a l f o r m u l a ( 1 ) , S e c . 1 1 7 , t o d e r i v e t h e e x p r e s s i o n

( 0 < a r c t a n t < 7 r )

f o r t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l i n t e r i o r t o a c y l i n d e r x 2 + y 2 = I w h e n V = 1 o n t h e f i r s t

q u a d r a n t ( x > 0 , y > 0 ) o f t h e c y l i n d r i c a l s u r f a c e a n d V = 0 o n t h e r e s t o f t h a t s u r f a c e .

A l s o , p o i n t o u t w h y 1 - V i s t h e s o l u t i o n t o E x e r c i s e 8 , S e c . 1 0 5 .

2 . L e t T d e n o t e t h e s t e a d y t e m p e r a t u r e s i n a d i s k r < 1 , w i t h i n s u l a t e d f a c e s , w h e n T = 1

o n t h e a r c 0 < 9 < 2 0 o ( 0 < 9 0 < 7 r / 2 ) o f t h e e d g e r = 1 a n d T = 0 o n t h e

r e s t o f t h e

e d g e . U s e t h e P o i s s o n i n t e g r a l f o r m u l a t o s h o w t h a t

T ( x , y ) =

1

a r c t a n

7 r

-

Y 2 ) Y o

( x - 1 ) 2 + ( y - y o ) 2 -

( 0 < a r c t a n t

w h e r e y o = t a n 9 0 . V e r i f y t h a t t h i s f u n c t i o n T s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

3 . W i t h t h e a i d o f t h e t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t i e s

t a n a - t a n

6

t a n { a - p ) =

1 + t a n a

t a n a + c o t a =

2

s i n 2 a

s h o w h o w s o l u t i o n ( 5 ) i n t h e e x a m p l e i n S e c . 1 1 7 i s o b t a i n e d f r o m t h e e x p r e s s i o n f o r

r V ( r , 9 ) j u s t p r i o r t o t h a t s o l u t i o n .

4 . L e t I d e n o t e t h i s f i n i t e u n i t i m p u l s e f u n c t i o n ( F i g . 1 7 6 ) :

1 / h

w h e n 9 0 < 9 < 0 0 + h ,

1 ( h , 6 9

0

w h e n 0 < 9 < 0 0 o r 0 0 + h < 9 < 2 7 r ,

w h e r e h i s a p o s i t i v e n u m b e r a n d 0 < 9 0 < 9 0 + h < 2 7 r . N o t e t h a t

0 0 + h

I ( h , 0 - 9 0 ) d 9 = 1 .

4 2 6


C H A P . 1 2

1 ( h , 8 - 8 0 )

h

8 0

8 0 + h

F I G U R E 1 7 6

W i t h t h e a i d o f a m e a n v a l u e t h e o r e m f o r d e f i n i t e i n t e g r a l s , s h o w t h a t

2 1 r

( ' 8 p + h

P ( r o , r , O - 8 ) I ( h , 0 - 8 o ) d O =

P ( r o ,

r , c - 0 ) )

I ( h , 0 - 0 0 ) d 4

,

w h e r e O o

c < O o + h , a n d h e n c e t h a t

I

2 r r

h > O

l i m j

P ( r 0 , r , 0 - 8 ) I ( h , 0 - 6 0 ) d o = P ( r 0 , r , 0 - 8 0 )

( r < r 0 ) .

T h u s t h e P o i s s o n k e r n e l P ( r o , r , 8 - 8 0 ) i s t h e l i m i t , a s h a p p r o a c h e s 0 t h r o u g h p o s i t i v e

v a l u e s , o f t h e h a r m o n i c f u n c t i o n i n s i d e t h e c i r c l e r = r 0 w h o s e b o u n d a r y v a l u e s a r e

r e p r e s e n t e d b y t h e i m p u l s e f u n c t i o n 2 7 r I ( h , 8 - 8 o ) .

5 . S h o w t h a t t h e e x p r e s s i o n i n E x e r c i s e 8 ( b ) , S e c . 5 6 , f o r t h e s u m o f a c e r t a i n c o s i n e s e r i e s


o ©

1 + 2

a n c o s n O

n = 1

- a 2

1 - 2 a c o s 8 + a 2

a <

T h e n s h o w t h a t t h e P o i s s o n k e r n e l h a s t h e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n ( 1 0 ) , S e c . 1 1 7 .

6 . S h o w t h a t t h e s e r i e s i n r e p r e s e n t a t i o n ( 1 0 ) , S e c . 1 1 7 , f o r t h e P o i s s o n k e r n e l c o n v e r g e s

u n i f o r m l y w i t h r e s p e c t t o q 5 . T h e n o b t a i n f r o m f o r m u l a ( 1 ) o f t h a t s e c t i o n t h e s e r i e s

r e p r e s e n t a t i o n ( 1 1 ) f o r U ( r , 0 ) t h e r e . *

7 . U s e e x p r e s s i o n s ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) i n S e c . 1 1 7 t o f i n d t h e s t e a d y t e m p e r a t u r e s T ( r , 8 ) i n a

s o l i d c y l i n d e r r < r 0 o f i n f i n i t e l e n g t h i f T ( r 0 , 6 ) = A c o s 8 . S h o w t h a t n o h e a t f l o w s

a c r o s s t h e p l a n e y = 0 .

A

A n s . T = A r c o s 0 =

A x .

r o r o

* T h i s r e s u l t i s o b t a i n e d w h e n r 0 = 1 b y t h e m e t h o d o f s e p a r a t i o n o f v a r i a b l e s i n t h e a u t h o r s ' " F o u r i e r

S e r i e s a n d B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s , " 6 t h e d . , S e c . 4 8 , 2 0 0 1 .

S E C . I 1 9

S C H W A R Z I N T E G R A L F O R M U L A

4 2 7

8 . O b t a i n t h e s p e c i a l c a s e

n

I

[ P ( r a , R , 0 + * ) - P ( r a , R , 0 - * ) ] F ( 4 ) d o ;

a ) H ( R , / ) =

2

i

J

[ P ( r a , R , 0 + V ' ' ) + P ( r a , R , t - a j f ) ] F ( t ) d o

b ) H ( R , T / r ) = -

-o f f o r m u l a ( 4 ) , S e c . 1 1 8 , f o r t h e h a r m o n i c f u n c t i o n H i n t h e u n b o u n d e d r e g i o n R > r a ,

0 < T / r < s r , s h o w n i n F i g . 1 7 7 , i f t h a t f u n c t i o n s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n

l i m

( 0 < V r < n )

R - - . r o

R , r o

o n t h e s e m i c i r c l e a n d ( a ) i t i s z e r o o n t h e r a y s B A a n d D E ; ( b ) i t s n o r m a l d e r i v a t i v e i s

z e r o o n t h e r a y s B A a n d D E .

9 . G i v e t h e d e t a i l s n e e d e d i n e s t a b l i s h i n g f o r m u l a ( 1 ) i n S e c . 1 1 8 a s a s o l u t i o n o f t h e

D i r i c h i e t p r o b l e m s t a t e d t h e r e f o r t h e r e g i o n s h o w n i n F i g . 1 7 4 .

1 0 . G i v e t h e d e t a i l s n e e d e d i n e s t a b l i s h i n g f o r m u l a ( 3 ) i n S e c . 1 1 8 a s a s o l u t i o n o f t h e

b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s t a t e d t h e r e .

1 1 . O b t a i n f o r m u l a ( 4 ) , S e c . 1 1 8 , a s a s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m f o r t h e r e g i o n e x t e r i o r

t o a c i r c l e ( F i g . 1 7 5 ) . T o s h o w t h a t u ( r , - 0 ) i s h a r m o n i c w h e n u ( r , 0 ) i s h a r m o n i c , u s e

t h e p o l a r f o r m

r u r . ( u 0 0 ( r , 0 ) = 0

o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n .

1 2 . S t a t e w h y e q u a t i o n ( 6 ) , S e c . 1 1 8 , i s v a l i d .

1 3 . E s t a b l i s h l i m i t ( 7 ) , S e c . 1 1 8 .

1 1 9 . S C H W A R Z I N T E G R A L F O R M U L A

L e t f b e a n a n a l y t i c f u n c t i o n o f z t h r o u g h o u t t h e h a l f p l a n e I m z 0 s u c h t h a t , f o r

s o m e p o s i t i v e c o n s t a n t s a a n d M , f s a t i s f i e s t h e o r d e r p r o p e r t y

_

( 1 )

I z a , f ( z ) ) < M

( I m z > 0 ) .

F o r a f i x e d p o i n t z a b o v e t h e r e a l a x i s , l e t C R d e n o t e t h e u p p e r h a l f o f a p o s i t i v e l y

o r i e n t e d c i r c l e o f r a d i u s R c e n t e r e d a t t h e o r i g i n , w h e r e R > l z l ( F i g . 1 7 8 ) . T h e n ,



4 2 8


C H A P . 1 2

F I G U R E 1 7 8

a c c o r d i n g t o t h e C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a ,

1

f

f ( s ) d s

1

f " f ( t l d t

{ 2 )

f ( z ) _ _

2 7 r i J c ,

s - z

"

2 7 r i J - R

t - z

W e f i n d t h a t t h e f i r s t o f t h e s e i n t e g r a l s a p p r o a c h e s 0 a s R t e n d s t o o c s i n c e , i n

v i e w o f c o n d i t i o n ( 1 ) ,

n R =

T r M

R a ( l - I z I / R )

T h u s

( 3 )

f ( z )

2 7 r i J - , ,

t - z

( I m z > 0 ) .

C o n d i t i o n ( 1 ) a l s o e n s u r e s t h a t t h e i m p r o p e r i n t e g r a l h e r e c o n v e r g e s . * T h e n u m b e r

t o w h i c h i t c o n v e r g e s i s t h e s a m e a s i t s C a u c h y p r i n c i p a l v a l u e ( s e e S e c . 7 1 ) , a n d

r e p r e s e n t a t i o n ( 3 ) i s a C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a f o r t h e h a l f p l a n e I m z > 0 .

W h e n t h e p o i n t z l i e s b e l o w t h e r e a l a x i s , t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 2 ) i s

z e r o ; h e n c e i n t e g r a l ( 3 ) i s z e r o f o r s u c h a p o i n t . T h u s , w h e n z i s a b o v e t h e r e a l a x i s ,

w e h a v e t h e f o l l o w i n g f o r m u l a , w h e r e c i s a n a r b i t r a r y c o m p l e x c o n s t a n t :

( 4 )

f ( z )

C

t -

_

I f ( t ) d t

( I m Z

I n t h e t w o c a s e s c = - I a n d c = 1 , t h i s r e d u c e s , r e s p e c t i v e l y , t o

( 5 )

y > 0

* S e e , f o r i n s t a n c e , A . E . T a y l o r a n d W . R . M a n n , " A d v a n c e d C a l c u l u s , " 3 d e d . , C h a p . 2 2 , 1 9 8 3 .



S E C . 1 2 0

D I R I C H L E T P R O B L E M F O R A H A L F P L A N E

4 2 9

a n d

( 6 )

f ( z )

d t ( y > 0

t

t - z i

I f f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , i t f o l l o w s f r o m f o r m u l a s ( 5 ) a n d ( 6 ) t h a t t h e h a r -

m o n i c f u n c t i o n s u a n d v a r e r e p r e s e n t e d i n t h e h a l f p l a n e y > 0 i n t e r m s o f t h e b o u n d a r y

v a l u e s o f u b y t h e f o r m u l a s

y u ( t

O

( 7 )

u ( x y ) _

y u ( t , 0 )

2

2

2

I

7 r J - o a ( t -

x )

y

a n d

- t ) u ( t 0 )

a t

( y > 0 )

2

d t

( y > 0 ) .

( 8 )

v ( x , y ) _ - j

2)

+

y

F o r m u l a ( 7 ) i s k n o w n a s t h e S c h w a r z i n t e g r a l f o r m u l a , o r t h e P o i s s o n i n t e g r a l

f o r m u l a f o r t h e h a l f p l a n e . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e s h a l l r e l a x t h e c o n d i t i o n s f o r t h e

v a l i d i t y o f f o r m u l a s ( 7 ) a n d ( 8 ) .

1 2 0 . D I R I C H L E T P R O B L E M F O R A H A L F P L A N E

L e t F d e n o t e a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n o f x t h a t i s b o u n d e d f o r a l l x a n d c o n t i n u o u s e x c e p t

f o r a t m o s t a f i n i t e n u m b e r o f f i n i t e j u m p s . W h e n y > s a n d I x I

1 1 E , w h e r e s i s a n y

p o s i t i v e c o n s t a n t , t h e i n t e g r a l

I ( x v ) =

F ( t ) d t

r

2 2

)

+ y

c o n v e r g e s u n i f o r m l y w i t h r e s p e c t t o x a n d y , a s d o t h e i n t e g r a l s o f t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s

o f t h e i n t e g r a n d w i t h r e s p e c t t o x a n d y . E a c h o f t h e s e i n t e g r a l s i s t h e s u m o f a f i n i t e

n u m b e r o f i m p r o p e r o r d e f i n i t e i n t e g r a l s o v e r i n t e r v a l s w h e r e F i s c o n t i n u o u s ; h e n c e

t h e i n t e g r a n d o f e a c h c o m p o n e n t i n t e g r a l i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f t , x , a n d y w h e n

y > E . C o n s e q u e n t l y , e a c h p a r t i a l d e r i v a t i v e o f I ( x , y ) i s r e p r e s e n t e d b y t h e i n t e g r a l

o f t h e c o r r e s p o n d i n g d e r i v a t i v e o f t h e i n t e g r a n d w h e n e v e r y > 0 .

W e w r i t e U ( x , y ) = y I ( x , y ) 1 7 r . T h u s U i s t h e S c h w a r z i n t e g r a l t r a n s f o r m o f F ,

s u g g e s t e d b y t h e s e c o n d o f e x p r e s s i o n s ( 7 ) , S e c . 1 1 9 :

y F ( t )

2 d t

( y > 0 ) .

X )

Y

E x c e p t f o r t h e f a c t o r 1 1 7 r , t h e k e r n e l h e r e i s y f I t - z 1 2 . I t i s t h e i m a g i n a r y c o m p o n e n t

o f t h e f u n c t i o n 1 1 ( t - z ) , w h i c h i s a n a l y t i c i n z w h e n y > 0 . I t f o l l o w s t h a t t h e k e r n e l

i s h a r m o n i c , a n d s o i t s a t i s f i e s L a p l a c e ' s e q u a t i o n i n x a n d y . B e c a u s e t h e o r d e r o f

d i f f e r e n t i a t i o n a n d i n t e g r a t i o n c a n b e i n t e r c h a n g e d , t h e f u n c t i o n ( 1 ) t h e n s a t i s f i e s t h a t

e q u a t i o n . C o n s e q u e n t l y , U i s h a r m o n i c w h e n y > 0 .

4 3 0


T o p r o v e t h a t

( 2 )

J i m

U ( x , y ) = F ( x )

Y - 0

y > o

C H A P . 1 2

f o r e a c h f i x e d x a t w h i c h F i s c o n t i n u o u s , w e s u b s t i t u t e t = x + y t a n r i n f o r m u l a ( 1 )

a n d w r i t e

( 3 )

U ( x , y ) = -

F ( x + y t a n r ) d r

( y > 0 ) .

T h e n , i f

G ( x , y , r ) = F ( x + y t a n r ) - F ( x )

a n d a i s s o m e s m a l l p o s i t i v e c o n s t a n t ,

2

( 4 )

r r [ U ( x , y )

- F ( x ) ] = j

G

w h e r e

( - z r / 2 ) + a

I 1 ( y ) = J

G ( x , y , r ) d r ,

n / 2

1 3 ( Y ) =

, y , r

2

2 ) - a

d r = I I ( Y

1 2 ( Y ) + 1 3 ( Y ) ,

( 7 r 1 2 ) - a

G ( x , y , r ) d r ,

( - r r / 2 ) + a

G ( x , y , r ) d r .

I f M d e n o t e s a n u p p e r b o u n d f o r I F ( x ) I , t h e n I G ( x , y , r ) I

2 M . F o r a g i v e n

p o s i t i v e n u m b e r s , w e s e l e c t a s o t h a t 6 M a < E ; a n d t h i s m e a n s t h a t

I 1 1 ( Y ) I < 2 M a <

-

a n d

I ' 3 ( y ) I < 2 M a < 3 .

W e n e x t s h o w t h a t , c o r r e s p o n d i n g t o £ , t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r 3 s u c h t h a t

I 1 2 ( Y ) I <

-

w h e n e v e r

3

< y < 8 .

T o d o t h i s , w e o b s e r v e t h a t , s i n c e F i s c o n t i n u o u s a t x , t h e r e i s a p o s i t i v e n u m b e r y

s u c h t h a t

I G ( x , y , r ) I < a r t

w h e n e v e r

0 < Y I t a n r l < y .

N o w t h e m a x i m u m v a l u e o f I t a n r I a s r r a n g e s f r o m ( - n r / 2 ) + a t o ( 7 r / 2 ) - a i s

t a n [ ( r r / 2 ) - a ] = c o t a . H e n c e , i f w e w r i t e 3 = y t a n a , i t f o l l o w s t h a t

1 1 2 ( y ) I <

E

( i r - 2 a ) <

w h e n e v e r

0 < y

S E C . 1 2 0

E X E R C I S E S

4

W e h a v e t h u s s h o w n t h a t

I h ( Y ) I + 1 I 2 ( Y ) I + 1 1 3 ( Y ) I < s

w h e n e v e r

0 < y < 8 .

C o n d i t i o n ( 2 ) n o w f o l l o w s f r o m t h i s r e s u l t a n d e q u a t i o n ( 4 ) .

F o r m u l a ( 1 ) t h e r e f o r e s o l v e s t h e D i r i c h l e t p r o b l e m f o r t h e h a l f p l a n e y > 0 , w i t h

t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n ( 2 ) . I t i s e v i d e n t f r o m t h e f o r m ( 3 ) o f e x p r e s s i o n ( 1 ) t h a t

I U ( x , y ) I < M i n t h e h a l f p l a n e , w h e r e M i s a n u p p e r b o u n d o f I F ( x ) I ; t h a t i s , U

i s b o u n d e d . W e n o t e t h a t U ( x , y ) = F 0 w h e n F ( x ) = F 0 , w h e r e F 0 i s a c o n s t a n t .

A c c o r d i n g t o f o r m u l a ( 8 ) o f S e c . 1 1 9 , u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s o f F t h e f u n c t i o n

0 0

( 5 )

V ( X ' y ) =

t x

x ) 2

+ (

y 2

d t

( y > 0 )

n

o o

i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f t h e f u n c t i o n U g i v e n b y f o r m u l a ( 1 ) . A c t u a l l y , f o r m u l a ( 5 )

f u r n i s h e s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f U i f F i s e v e r y w h e r e c o n t i n u o u s , e x c e p t f o r a t m o s t

a f i n i t e n u m b e r o f f i n i t e j u m p s , a n d i f F s a t i s f i e s a n o r d e r p r o p e r t y

I x a F ( x ) I < M ( a > 0 ) .

F o r , u n d e r t h o s e c o n d i t i o n s , w e f i n d t h a t U a n d V s a t i s f y t h e C a u c h y - R i e m a n n

e q u a t i o n s w h e n y > 0 .

S p e c i a l c a s e s o f f o r m u l a ( 1 ) w h e n F i s a n o d d o r a n e v e n f u n c t i o n a r e l e f t t o t h e

e x e r c i s e s .

E X E R C I S E S

1 . O b t a i n a s a s p e c i a l c a s e o f f o r m u l a ( 1 ) , S e c . 1 2 0 , t h e e x p r e s s i o n

U ( x , Y )

=

n J o

L

( t - x ) 2 + y 2

( t + x ) 2

+ y 2 ] F ( t ) d t

( x > 0 , y > 0 )

f o r a b o u n d e d f u n c t i o n U t h a t i s h a r m o n i c i n t h e f i r s t q u a d r a n t a n d s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n s

y - . o

y > 0

U ( O , Y ) = 0

( Y > 0 ) ,

U ( x , y ) = F ( x ) ( x > O , x 5 4 x i

w h e r e F i s b o u n d e d f o r a l l p o s i t i v e x a n d c o n t i n u o u s e x c e p t f o r a t m o s t a f i n i t e n u m b e r

o f f i n i t e j u m p s a t t h e p o i n t s x 1 ( j = 1 , 2 , . . . , n ) .

2 . L e t T ( x , y ) d e n o t e t h e b o u n d e d s t e a d y t e m p e r a t u r e s i n a p l a t e x > 0 , y > 0 , w i t h

i n s u l a t e d f a c e s , w h e n

l i m T ( x , y ) = F i ( x )

( x > 0 ) ,

y - . 0

Y ' 0

T ( x , y ) = F 2 ( y )

( Y > 0 )

4 3 2


C H A P . 1 2

F I G U R E 1 7 9

( F i g . 1 7 9 ) . H e r e F t a n d F 2 a r e b o u n d e d a n d c o n t i n u o u s e x c e p t f o r a t m o s t a f i n i t e n u m b e r

o f f i n i t e j u m p s . W r i t e x + i y = z a n d s h o w w i t h t h e a i d o f t h e e x p r e s s i o n o b t a i n e d i n

E x e r c i s e 1 t h a t

T ( x , Y ) = T 1 ( x , Y ) + T 2 ( x , y )

( x > 0 , Y > 0 ) ,

w h e r e

T 1 ( x , Y ) = 7 t f o

T 2 ( x , Y ) =

J


1

1

+

( t - x ) 2 + y 2

Y 2

F ( t ) d t

( x > 0 , y > 0 )

f o r a b o u n d e d f u n c t i o n U t h a t i s h a r m o n i c i n t h e f i r s t q u a d r a n t a n d s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n s

U x ( 0 , Y ) = 0

( Y > 0 ) ,

l i m

U ( x , y ) = F ( x )

( x > O , x 3 4 x j ) ,

y - r 0

y > o

w h e r e F i s b o u n d e d f o r a l l p o s i t i v e x a n d c o n t i n u o u s e x c e p t p o s s i b l y f o r f i n i t e j u m p s a t

a f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s x = x j ( j = 1 , 2 , . . . , n ) .

4 . I n t e r c h a n g e t h e x a n d y a x e s i n S e c . 1 2 0 t o w r i t e t h e s o l u t i o n

I

f ° °

x F ( t )

U ( x , Y ) _

« , ( t - y ) z + x 2

d t

( x > O )

o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m f o r t h e h a l f p l a n e x > 0 . T h e n w r i t e

F ( y )

1

w h e n - 1 < y < 1 ,

0

w h e n I Y I > 1 ,

a n d o b t a i n t h e s e e x p r e s s i o n s f o r U a n d i t s h a r m o n i c c o n j u g a t e - - - V :

1

U ( x > y )

( a r c t a n y + l

a r c t a n

y - 1

V ( x , y )

1 n x 2 + ( y + l ) 2

_ -

-

,

_ -

2

2 $

X

X

2 7 c x

- 1 - ( Y - 1 )

S E C . 1 2 1

w h e r e - 7 r / 2 < a r c t a n t < i t / 2 . A l s o , s h o w t h a t

V ( x , y ) + i U ( x , y ) =

1 [ L o g ( z

7 r

w h e r e z = x + i y .

2 r 2 2

- 2 r o r c o s ( o -

1 2 1 . N E U M A N N P R O B L E M S

A s i n S e c . 1 1 6 a n d F i g . 1 7 2 , w e w r i t e s = r o e x p ( i r e ) a n d z = r e x p ( i 8 ) , w h e r e r <

W h e n s i s f i x e d , t h e f u n c t i o n

( 1 )

0 - 0 ) + r 2 J

i s h a r m o n i c i n t e r i o r t o t h e c i r c l e I z I = r o b e c a u s e i t i s t h e r e a l c o m p o n e n t o f

- 2 r o l o g ( , - - s ) , w h e r e t h e b r a n c h c u t o f l o g ( z - s ) i s a n o u t w a r d r a y f r o m t h e p o i n t s .

I f , m o r e o v e r , r

0 ,

( 2 )

Q r ( r o , r , 0 - 8 ) = -

r o

- 2 r o r c o s ( ¢ 5 - 8 ) +

N E U M A N N P R O B L E M S

4 3 3

- L o g ( z - i ) J ,

P ( r o , r , 4 ) - 8 ) - 1 ] ,

w h e r e P i s t h e P o i s s o n k e r n e l ( 7 ) o f S e c . 1 1 6 .

T h e s e o b s e r v a t i o n s s u g g e s t t h a t t h e f u n c t i o n Q m a y b e u s e d t o w r i t e a n i n t e g r a l

r e p r e s e n t a t i o n f o r a h a r m o n i c f u n c t i o n U w h o s e n o r m a l d e r i v a t i v e U r o n t h e c i r c l e

r = r o a s s u m e s p r e s c r i b e d v a l u e s G ( 6 ) .

I f G i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s a n d U 0 i s a n a r b i t r a r y c o n s t a n t , t h e f u n c t i o n

I

f L ,

U ( r , 8 ) =

2 7 r

/

Q ( r o , r , 0 - 8 ) G ( o ) d o + U o

( r < r 0 )

i s h a r m o n i c b e c a u s e t h e i n t e g r a t e d i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o f r a n d 8 . I f t h e m e a n v a l u e

o f G o v e r t h e c i r c l e I z I = r o i s z e r o , o r

( 4 )

t h e n , i n v i e w o f e q u a t i o n ( 2 ) ,

U r ( r , 8 )

I

0

z , t

G ( o ) d o = 0 ,

0 ) - 1 J G ( O ) d o

P ( r o , r , ¢ - 8 ) G ( r ) d o .

4 3 4


C H A P . 1 2

N o w , a c c o r d i n g t o e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) o f S e c . 1 1 7 ,

I P ( r o , r , r - 0 ) G ( 0 ) d c i = G ( 0 ) .

r n

2

r

r < r 0

H e n c e

( 5 ) l i m U r . ( r , 8 ) = G ( 0 )

r < r 0

f o r e a c h v a l u e o f 0 a t w h i c h G i s c o n t i n u o u s .

W h e n G i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s a n d s a t i s f i e s c o n d i t i o n ( 4 ) , t h e f o r m u l a

( 6 )

U ( r , 0 )

2 -

n [ r - 2 r o r

0 ) + r 2 ] G ( O ) d p i + U 0

0

t h e r e f o r e , s o l v e s t h e N e u m a n n p r o b l e m f o r t h e r e g i o n i n t e r i o r t o t h e c i r c l e r = r o ,

w h e r e G ( 0 ) i s t h e n o r m a l d e r i v a t i v e o f t h e h a r m o n i c f u n c t i o n U ( r , 0 ) a t t h e b o u n d a r y

i n t h e s e n s e o f c o n d i t i o n ( 5 ) . N o t e h o w i t f o l l o w s f r o m e q u a t i o n s ( 4 ) a n d ( 6 ) t h a t , s i n c e

s c o n s t a n t , U a i s t h e v a l u e o f U a t t h e c e n t e r r = 0 o f t h e c i r c l e r = r o .

T h e v a l u e s U ( r , 0 ) m a y r e p r e s e n t s t e a d y t e m p e r a t u r e s i n a d i s k r < r o w i t h i n s u -

l a t e d f a c e s . I n t h a t c a s e , c o n d i t i o n ( 5 ) s t a t e s t h a t t h e f l u x o f h e a t i n t o t h e d i s k t h r o u g h i t s

e d g e i s p r o p o r t i o n a l t o G ( B ) . C o n d i t i o n ( 4 ) i s t h e n a t u r a l p h y s i c a l r e q u i r e m e n t t h a t t h e

t o t a l r a t e o f f l o w o f h e a t i n t o t h e d i s k b e z e r o , s i n c e t e m p e r a t u r e s d o n o t v a r y w i t h t i m e .

A c o r r e s p o n d i n g f o r m u l a f o r a h a r m o n i c f u n c t i o n H i n t h e r e g i o n e x t e r i o r t o t h e

c i r c l e r = r c c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f Q a s

j

Q ( r o , R , 0 - f ) G ( o ) d r b + H e

( R > r o ) ,

7 )

H ( R , , ) _ -

2 - a

w h e r e H o i s a c o n s t a n t . A s b e f o r e , w e a s s u m e t h a t G i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s a n d t h a t

c o n d i t i o n ( 4 ) h o l d s . T h e n

R

a n d

( 8 )

H ( R , 2 / r )

l i m H R ( R , f i r ) = G ( 2 / r )

R + r p

R > r 0

f o r e a c h * a t w h i c h G i s c o n t i n u o u s . V e r i f i c a t i o n o f f o r m u l a ( 7 ) , a s w e l l a s s p e c i a l

c a s e s o f f o r m u l a ( 3 ) t h a t a p p l y t o s e m i c i r c u l a r r e g i o n s , i s l e f t t o t h e e x e r c i s e s .

T u r n i n g n o w t o a h a l f p l a n e , w e l e t G ( x ) b e c o n t i n u o u s f o r a l l r e a l x , e x c e p t

p o s s i b l y f o r a f i n i t e n u m b e r o f f i n i t e j u m p s , a n d l e t i t s a t i s f y a n o r d e r p r o p e r t y

( 9 ) J x a G ( x ) t < M ( a > 1 )

S E C . 1 2 1

E X E R C I S E S

4 3 5

w h e n - o o < x < o o . F o r e a c h f i x e d r e a l n u m b e r t , t h e f u n c t i o n L o g I z - t I i s h a r m o n i c

i n t h e h a l f p l a n e I m z > 0 . C o n s e q u e n t l y , t h e f u n c t i o n

( 1 0 )

U ( x , y ) = = I

l n I z - t I G ( t ) d t + U o

l n [ ( t - x ) 2 + Y 2 ] G ( t ) d t + U 0

( y > 0 ) ,

w h e r e U 0 i s a r e a l c o n s t a n t , i s h a r m o n i c i n t h a t h a l f p l a n e .

F o r m u l a ( 1 0 ) w a s w r i t t e n w i t h t h e S c h w a r z i n t e g r a l t r a n s f o r m ( 1 ) , S e c . 1 2 0 , i n

m i n d ; f o r i t f o l l o w s f r o m f o r m u l a ( 1 0 ) t h a t

( 1 1 )

U U ( x , y ) _

y G ( t )

-

x ) 2 + y 2

I n v i e w o f e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) o f S e c . 1 2 0 , t h e n ,

( 1 2 )

l i m U y ( x , y ) = G

y > 0

d t

( y > 0 ) .

a t e a c h p o i n t x w h e r e G i s c o n t i n u o u s .

I n t e g r a l f o r m u l a ( 1 0 ) e v i d e n t l y s o l v e s t h e N e u m a n n p r o b l e m f o r t h e h a l f p l a n e

y > 0 , w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n ( 1 2 ) . B u t w e h a v e n o t p r e s e n t e d c o n d i t i o n s o n G t h a t

a r e s u f f i c i e n t t o e n s u r e t h a t t h e h a r m o n i c f u n c t i o n U i s b o u n d e d a s I z I i n c r e a s e s .

W h e n G i s a n o d d f u n c t i o n , f o r m u l a ( 1 0 ) c a n b e w r i t t e n

( 1 3 )

U ( x , y ) = I

( t - x ) 2 + y 2

G ( t ) d t

( x > 0 , y > 0

( t + x ) 2 + y 2 I

T h i s r e p r e s e n t s a f u n c t i o n t h a t i s h a r m o n i c i n t h e f i r s t q u a d r a n t x > 0 , y > 0 a n d

s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

( 1 4 )

U ( 0 , y ) = 0 ( y > 0 ) ,

( 1 5 )

l i m U , , ( x , y ) = G ( x )

( x > 0 ) .

Y - 0

y > 0

E X E R C I S E S

1 . E s t a b l i s h f o r m u l a ( 7 ) , S e c . 1 2 1 , a s a s o l u t i o n o f t h e N e u m a n n p r o b l e m f o r t h e r e g i o n

e x t e r i o r t o a c i r c l e r = r o , u s i n g e a r l i e r r e s u l t s f o u n d i n t h a t s e c t i o n .


I

U ( r , 0 ) =

j

[ Q ( r o , r , 0

6 ) - Q ( r o , r , 0 + 0 ) ] G G ( 0 ) d o

2

4 3 6


C H A P . 1 2

f o r a f u n c t i o n U t h a t i s h a r m o n i c i n t h e s e m i c i r c u l a r r e g i o n r < r o , 0 < 0 < 7 r a n d s a t i s f i e s

t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

U ( r , 0 ) = U ( r , 7 r ) = 0

( r < r o ) ,

i m U r ( r , 0 ) = G ( 0 )

( 0 < 0 < i r )

r v 0

f o r e a c h 0 a t w h i c h G i s c o n t i n u o u s .


U ( r , 8 ) =

1

a [ Q ( r o , r , - O - 0 ) + Q ( r o , r , O + 8 ) ] G ( , O ) d o + U o

2 r r

f o r a f u n c t i o n U t h a t i s h a r m o n i c i n t h e s e m i c i r c u l a r r e g i o n r < r o , 0 < 0 < r a n d s a t i s f i e s

t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

U 0 ( r , 0 ) = U 6 ( r , 7 r ) = 0

( r < r o ) ,

U ,

G

( 0 < 0 < n )

r - r r o

r < r p

f o r e a c h 0 a t w h i c h G i s c o n t i n u o u s , p r o v i d e d t h a t

G ( O ) d p i = 0 .

4 . L e t T ( x , y ) d e n o t e t h e s t e a d y t e m p e r a t u r e s i n a p l a t e x > 0 , y ? 0 . T h e f a c e s o f t h e p l a t e

a r e i n s u l a t e d , a n d T = 0 o n t h e e d g e x = 0 . T h e f l u x o f h e a t ( S e c . 1 0 0 ) i n t o t h e p l a t e

a l o n g t h e s e g m e n t 0 < x < 1 o f t h e e d g e y = 0 i s a c o n s t a n t A , a n d t h e r e s t o f t h a t e d g e

i s i n s u l a t e d . U s e f o r m u l a ( 1 3 ) , S e c . 1 2 1 , t o s h o w t h a t t h e f l u x o u t o f t h e p l a t e a l o n g t h e

e d g e x = 0 i s



A P P E N D I X

B I B L I O G R A P H Y

T h e f o l l o w i n g l i s t o f s u p p l e m e n t a r y b o o k s i s f a r f r o m e x h a u s t i v e . F u r t h e r r e f e r e n c e s

c a n b e f o u n d i n m a n y o f t h e b o o k s l i s t e d h e r e .

T H E O R Y

A h l f o r s , L . V . : " C o m p l e x A n a l y s i s , " 3 d e d . , M c G r a w - H i l l H i g h e r E d u c a t i o n , B u r r R i d g e , I L , 1 9 7 9 .

A n t i m i r o v , M . Y a . , A . A . K o l y s h k i n , a n d R . V a i l l a n c o u r t : " C o m p l e x V a r i a b l e s , " A c a d e m i c P r e s s , S a n

D i e g o , 1 9 9 8 .

B a k , J . , a n d D . J . N e w m a n : " C o m p l e x A n a l y s i s , " 2 d e d . , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 9 7 .

B i e b e r b a c h , L . : " C o n f o r m a l M a p p i n g , " A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , P r o v i d e n c e , R I , 2 0 0 0 .

B o a s , R . P . : " I n v i t a t i o n t o C o m p l e x A n a l y s i s , " T h e M c G r a w - H i l l C o m p a n i e s , N e w Y o r k , 1 9 8 7 .

: " Y e t A n o t h e r P r o o f o f t h e F u n d a m e n t a l T h e o r e m o f A l g e b r a , " A m e r . M a t h . M o n t h l y , V o l . 7 1 ,

N o . 2 , p . 1 8 0 , 1 9 6 4 .

C a r a t h e o d o r y , C . : " C o n f o r m a l R e p r e s e n t a t i o n , " D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , M i n e o l a , N Y , 1 9 5 2 .

: " T h e o r y o f F u n c t i o n s o f a C o m p l e x V a r i a b l e , " A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , P r o v i d e n c e ,

R I , 1 9 5 4 .

C o n w a y , J . B . : " F u n c t i o n s o f O n e C o m p l e x V a r i a b l e , " 2 d e d . , 6 t h P r i n t i n g , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k ,

1 9 9 7 .

C o p s o n , E . T . : ` T h e o r y o f F u n c t i o n s o f a C o m p l e x V a r i a b l e , " O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , L o n d o n , 1 9 6 2 .

E v a n s , G . C . : " T h e L o g a r i t h m i c P o t e n t i a l , D i s c o n t i n u o u s D i r i c h l e t a n d N e u m a n n P r o b l e m s , " A m e r i c a n

M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , P r o v i d e n c e , R I , 1 9 2 7 .

F i s h e r , S . D . : " C o m p l e x V a r i a b l e s , " 2 d e d . , D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , M i n e o l a , N Y , 1 9 9 0 .

4 3 7



4 3 8

B I B L I O G R A P H Y

A P P . I

F l a n i g a n , F . J . : " C o m p l e x V a r i a b l e s : H a r m o n i c a n d A n a l y t i c F u n c t i o n s , " D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . ,

M i n e o l a , N Y . 1 9 8 3 .

H i l l e , E . : " A n a l y t i c F u n c t i o n T h e o r y , " V o l s . 1 a n d 2 , 2 d e d . , C h e l s e a P u b l i s h i n g C o . , N e w Y o r k , 1 9 7 3 .

K a p l a n , W . : " A d v a n c e d C a l c u l u s , " 5 t h e d . , A d d i s o n - W e s l e y H i g h e r M a t h e m a t i c s , B o s t o n , M A , 2 0 0 3 .

: " A d v a n c e d M a t h e m a t i c s f o r E n g i n e e r s , " T e c h B o o k s , M a r i e t t a , O H , 1 9 9 2 .

K e l l o g g , O . D . : " F o u n d a t i o n s o f P o t e n t i a l T h e o r y , " D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , N e w Y o r k , 1 9 5 3 .

K n o p p , K . : " E l e m e n t s o f t h e T h e o r y o f F u n c t i o n s , " t r a n s l a t e d b y F . B a g e m i h l , D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . ,

M i n e o l a , N Y , 1 9 5 2 .

" P r o b l e m B o o k i n t h e T h e o r y o f F u n c t i o n s , " D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , M i n e o l a , N Y , 2 0 0 0 .

K r a n t z , S . G . : " C o m p l e x A n a l y s i s : T h e G e o m e t r i c V i e w p o i n t , " C a r u s M a t h e m a t i c a l M o n o g r a p h S e r i e s ,

T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a , W a s h i n g t o n , D C , 1 9 9 0 .

: " H a n d b o o k o f C o m p l e x V a r i a b l e s , " B i r k h a u s e r B o s t o n , C a m b r i d g e , M A , 2 0 0 0 .

K r z y z , J . G . : " P r o b l e m s i n C o m p l e x V a r i a b l e T h e o r y , " E l s e v i e r S c i e n c e , N e w Y o r k , 1 9 7 2 .

L a n g , S . : " C o m p l e x A n a l y s i s , " 3 d e d . , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 9 3 .

L e v i n s o n , N . , a n d R . M . R e d h e f f e r : " C o m p l e x V a r i a b l e s , " T h e M c G r a w - H i l l C o m p a n i e s , I n c . , N e w

Y o r k , 1 9 8 8 .

M a r k u s h e v i c h , A . I . : " T h e o r y o f F u n c t i o n s o f a C o m p l e x V a r i a b l e . " 3 v o l s . i n o n e , 2 d e d . , A m e r i c a n

M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , P r o v i d e n c e , R I , 1 9 7 7 .

M a r s d e n , J . E . , a n d M . J . H o f f m a n : " B a s i c C o m p l e x A n a l y s i s , " 2 d e d . , W . H . F r e e m a n & C o m p a n y ,

N e w Y o r k , 1 9 8 7 .

M a t h e w s , J . H . , a n d R . W . H o w e l l : " C o m p l e x A n a l y s i s f o r M a t h e m a t i c s a n d E n g i n e e r i n g , " 4 t h e d . , J o n e s

a n d B a r t l e t t P u b l i s h e r s , S u d b u r y , M A , 2 0 0 1 .

M i t r i n o v i c , D . S . : " C a l c u l u s o f R e s i d u e s , " P . N o o r d h o f f , L t d . , G r o n i n g e n , 1 9 6 6 .

N a h i n , P . J . : " A n I m a g i n a r y T a l e : T h e S t o r y o f

, " P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e t o n , N J , 1 9 9 8 .

N e h a r i , Z . : " C o n f o r m a l M a p p i n g , " D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , M i n e o l a , N Y , 1 9 7 5 .

N e w m a n , M . H . A . : " E l e m e n t s o f t h e T o p l o g y o f P l a n e S e t s o f P o i n t s , " 2 d e d . , D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . ,

M i n e o l a , N Y , 1 9 9 9 .

P e n n i s i , L . L . : " E l e m e n t s o f C o m p l e x V a r i a b l e s , " 2 d e d . , H o l t , R i n e h a r t & W i n s t o n , I n c . , A u s t i n , T X ,

1 9 7 6 .

R u b e n f e l d , L . A . : " A F i r s t C o u r s e i n A p p l i e d C o m p l e x V a r i a b l e s , " J o h n W i l e y & S o n s , I n c . , N e w Y o r k ,

1 9 8 5 .

S a f f , E . B . , a n d A . D . S n i d e r : " F u n d a m e n t a l s o f C o m p l e x A n a l y s i s , " 3 d e d . , P r e n t i c e - H a l l P T R , P a r a m u s ,

N J , 2 0 0 1 .

S i l v e r m a n , R . A . : " C o m p l e x A n a l y s i s w i t h A p p l i c a t i o n s , " D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , M i n e o l a , N Y , 1 9 8 4 .

S p r i n g e r , G . : " I n t r o d u c t i o n t o R i e m a n n S u r f a c e s , " 2 d e d . , A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , P r o v i d e n c e ,

R I , 1 9 8 1 .

T a y l o r , A . E . , a n d W . R . M a n n : " A d v a n c e d C a l c u l u s , " 3 d e d . , J o h n W i l e y & S o n s , I n c . , N e w Y o r k , 1 9 8 3 :

T h r o n , W . J . : " I n t r o d u c t i o n t o t h e T h e o r y o f F u n c t i o n s o f a C o m p l e x V a r i a b l e , " J o h n W i l e y & S o n s ,

I n c . , N e w Y o r k , 1 9 5 3 .

T i t c h m a r s h , E . C . : " T h e o r y o f F u n c t i o n s , " 2 d e d . , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , I n c . , N e w Y o r k , 1 9 7 6 .

V o l k o v y s k i i , L . I . , G . L . L u n t s , a n d I . G . A r a m a n o v i c h : " A C o l l e c t i o n o f P r o b l e m s o n C o m p l e x A n a l y s i s , "

D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , M i n e o l a , N Y , 1 9 9 2 .

W h i t t a k e r , E . T . , a n d G . N . W a t s o n : " A C o u r s e o f M o d e m A n a l y s i s , " 4 t h e d . , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y

P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 9 6 .



S E C . 1 2 1


4 3 9


B o w m a n , F . : " I n t r o d u c t i o n t o E l l i p t i c F u n c t i o n s , w i t h A p p l i c a t i o n s , " E n g l i s h U n i v e r s i t i e s P r e s s , L o n -

d o n , 1 9 5 3 .

B r o w n , G . H . , C . N . H o y l e r , a n d R . A . B i e r w i r t h : " T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n o f R a d i o - F r e q u e n c y H e a t i n g ; '

D . V a n N o s t r a n d C o m p a n y , I n c . , N e w Y o r k , 1 9 4 7 .

B r o w n , J . W . , a n d R . V . C h u r c h i l l : " F o u r i e r S e r i e s a n d B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s , " 6 t h e d . , M c G r a w - H i l l

H i g h e r E d u c a t i o n , B u r r R i d g e , I L , 2 0 0 1 .

C h u r c h i l l , R . V . : " O p e r a t i o n a l M a t h e m a t i c s , " 3 d e d . , M c G r a w - H i l l H i g h e r E d u c a t i o n , B u r r R i d g e , I L ,

1 9 7 2 .

D e t t m a n , J . W . : " A p p l i e d C o m p l e x V a r i a b l e s , " D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , M i n e o l a , N Y 1 1 9 8 4 .

F o u r i e r , J . : " T h e A n a l y t i c a l T h e o r y o f H e a t , " t r a n s l a t e d b y A . F r e e m a n , D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , N e w

Y o r k , 1 9 5 5 .

H a y t , W . H . , J r . a n d J . A . B u c k : " E n g i n e e r i n g E l e c t r o m a g n e t i c s , " 6 t h e d . , M c G r a w - H i l l H i g h e r E d u c a -

t i o n , B u r r R i d g e , I L , 2 0 0 0 .

H e n r i c i , P . : " A p p l i e d a n d C o m p u t a t i o n a l C o m p l e x A n a l y s i s , " V o l s . 1 , 2 , a n d 3 , J o h n W i l e y & S o n s , I n c . ,

1 9 8 8 , 1 9 9 1 , a n d 1 9 9 3 .

J e f f r e y , A . : " C o m p l e x A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s , " C R C P r e s s , B o c a R a t o n , F L , 1 9 9 2 .

K o b e r , H . : " D i c t i o n a r y o f C o n f o r m a l R e p r e s e n t a t i o n s , " D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , N e w Y o r k , 1 9 5 2 .

L e b e d e v , N . N . : " S p e c i a l F u n c t i o n s a n d T h e i r A p p l i c a t i o n s , " r e v . e d . , t r a n s l a t e d b y R . S i l v e r m a n , D o v e r

P u b l i c a t i o n s , I n c . , M i n e o l a , N Y , 1 9 7 2 .

L o v e , A . E . : " T r e a t i s e o n t h e M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f E l a s t i c i t y , " 4 t h e d . , D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . ,

M i n e o l a , N Y , 1 9 4 4 .

M i l n e - T h o m s o n , L . M . : " T h e o r e t i c a l H y d r o d y n a m i c s , " 5 t h e d . , D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , M i n e o l a , N Y ,

1 9 9 6 .

O p p e n h e i m , A . V . , R . W . S c h a f e r , a n d J . R . B u c k : " D i s c r e t e - T i m e S i g n a l P r o c e s s i n g , " 2 d e d . , P r e n t i c e -

H a l l P T R , P a r a m u s , N J , 1 9 9 9 .

S o k o l n i k o f f , I . S . : " M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f E l a s t i c i t y , " 2 d e d . , K r i e g e r P u b l i s h i n g C o m p a n y , M e l -

e , F L , 1 9 8 3 .

S t r e e t e r , V . L . , E . B . W y l i e , a n d K . W . B e d f o r d : " F l u i d M e c h a n i c s , " 9 t h e d . , M c G r a w - H i l l H i g h e r

E d u c a t i o n , B u r r R i d g e , I L , 1 9 9 7 .

T i m o s h e n k o , S . P . , a n d J . N . G o o d i e r : " T h e o r y o f E l a s t i c i t y , " 3 d e d . , T h e M c G r a w - H i l l C o m p a n i e s ,

N e w Y o r k , 1 9 7 0 .

W e n , G . - C . : " C o n f o r m a l M a p p i n g s a n d B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s ; ' T r a n s l a t i o n s o f M a t h e m a t i c a l

M o n o g r a p h s , V o l . 1 0 6 , A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , P r o v i d e n c e , R I , 1 9 9 2 .



A P P E N D I X

2

T A B L E O F T R A N S F O R M A T I O N S

O F R E G I O N S

( S e e C h a p . 8 )

F I G U R E 1

w = Z 2 .

F I G U R E 2

w = Z 2 .

4 4 1



4 4 2

T A B L E O F T R A N S F O R M A T I O N S O F R E G I O N S

A P P . 2

Y

v

E

v

u

F I G U R E 3

w

= Z 2

;

A ' B ' o n p a r a b o l a v 2 = - 4 c 2 ( u - c 2 ) .

F I G U R E 4

w = 1 / z .

F I G U R E 5

w = 1 / z .

E ' D ' C ' B '

A ' u

F I G U R E 6

w = e x p z .




4 4 3

F I G U R E 7

w = e x p z .

F I G U R E 8

w = e x p z .

F I G U R E 9

w = s i n z .

F I G U R E 1 0

w = s i n Z .

F I G U R E 1 1

w = s i n z ; B C D o n l i n e y = b ( b > 0 ) ,

u 2 v 2

B ' C ' D ' o n e l l i p s e

-

c o s h 2 b

s i n h 2 b

4 4 4


A P P . 2

B

c

F I G U R E 1 2

z - 1

w =

z + 1

F I G U R E 1 3

i - z

F I G U R E 1 4

z - a

1 + x i x 2

w =

a =

a z - 1

x i + X 2

1 - x l x 2 / ( 1

-

x 2 ) ( 1

- x 2 )

R ©

( a > 1 a n d R 0 > 1 w h e n - 1 < x 2 < x 1 < 0 -

X I - x 2

4 4 5

F I G U R E 1 5

z - a

1 + x 1 x 2 +

( x

w = ; a =

a z - 1 '

R 0 =

x l + x 2

x l x 2 - 1 - J ( x , - 1 ) ( x 2 - 1 )

X 1 - x 2

( x 2 < a < x 1 a n d 0 < R 1 } < 1 w h e n 1 < x 2 < x 1 ) .

F I G U R E 1 6

1

z

v

F I G U R E 1 7

1

w = z + - .

z

F I G U R E 1 8

1

U 2

W = z + - ; B ' C ' D o n e l l i p s e

+

z

( b + 1 / b ) 2 ( b - 1

E '

D '

v 2

b

2

A t u

A P P . 2

D r

C

A B I C

D E x D ' E ' J A '

B ' U

F I G U R E 1 9

- .

o g z

+ l ; z

-

c o t h

w

V

E `

A ' B '

S r i

D '

( i r - h ) i C '

u

F I G U R E 2 0

z

w = L o g z +

A B C o n c i r c l e x 2 + ( y + c o t h ) 2 = c s c 2 h ( 0 < h < 7 r ) .

F I G U R E 2 1

L o g

z + I ;

c e n t e r s o f c i r c l e s a t z = c o t h c , r a d i i : c s c h c ( n = 1 , 2 ) .

z - I




4 4 7

V

C '

F ' u

F I G U R E 2 2

h i n

, h

u

+ 1 x 1 2 ( 1 - h ) + i 7 r - h L o g ( z + 1 ) - ( 1 - h ) L o g ( z - 1 ) ; x 1 = 2 h -

F I G U R E 2 3

W =

1 - c o s z

1 + c o s z

F I G U R E 2 4

w = c o t h

z

=

e z

+ 1

2 e z - 1

F I G U R E 2 5

w = L o g ( c o t h



4 4 8


Y

E X

A '

F I G U R E 2 6

w = T r i + z - L o g z .

F I G U R E 2 7

I j 2 _

w = 2 { z + 1 } I J 2 + L o g

( Z +

+ 1 ) 1 / 2 + 1

Y

E '

E F ' I A

B C X

F I G U R E 2 8

w =

i L o g 1 + i h t

+ L o g

1 + t ,

t

h

1 - i h t

1 - - t

V

2

V

A '

I n i

B

E ' U

D '

C u

A P P . 2




4 4 9

F I G U R E 2 9

w =

h [ ( z 2

-

1 ) 1 / 2

+ c o s h - 1 z } *

7 r

F I G U R E 3 0

=

c o s h - 1

2 z - h -

1 " n e h - h I ( h + 1 ) z - 2 h ]

h - 1

J

4 l h

L

( h - 1 ) z

* S e e E x e r c i s e 3 , S e c . 1 1 5 .



I N D E X

A b s o l u t e c o n v e r g e n c e , 1 7 9 , 2 0 1 - 2 0 2

A b s o l u t e v a l u e , 8 - 9

A c c u m u l a t i o n p o i n t , 3 1

A e r o d y n a m i c s , 3 7 9

A n a l y t i c c o n t i n u a t i o n , 8 1 - 8 2 , 8 4 - 8 5

A n a l y t i c f u n c t i o n ( s ) , 7 0 - 7 2

c o m p o s i t i o n s o f , 7 1

d e r i v a t i v e s o f , 1 5 8 - 1 6 2

p r o d u c t s o f , 7 1

q u o t i e n t s o f , 7 1 , 2 4 2 - 2 4 3

s u m s o f , 7 1

z e r o s o f , 2 3 9 - 2 4 2 , 2 4 6 - 2 4 7 , 2 8 2 - 2 8 8

A n g l e :

o f i n c l i n a t i o n , 1 1 9 , 3 4 4

o f r o t a t i o n , 3 4 4

A n t i d e r i v a t i v e , 1 1 3 , 1 3 5 - 1 3 8 , 1 5 0

A r c , 1 1 7

d i f f e r e n t i a b l e , 1 1 9

s i m p l e , 1 1 7

s m o o t h , 1 2 0

A r g u m e n t , 1 5

A r g u m e n t p r i n c i p l e , 2 8 1 - 2 8 4

B e r n o u l l i ' s e q u a t i o n , 3 8 0

B e s s e l f u n c t i o n , 2 0 0 n .

B e t a f u n c t i o n , 2 7 7 , 3 9 8

B i b l i o g r a p h y , 4 3 7 - 4 3 9

B i l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n , 3 0 7

B i n o m i a l f o r m u l a , 7

B o a s , R . P . , J r . , 1 6 7 n .

B o l z a n o - W e i e r s t r a s s t h e o r e m , 2 4 7

B o u n d a r y c o n d i t i o n s , 3 5 3

t r a n s f o r m a t i o n s o f , 3 5 5 - 3 5 8

B o u n d a r y p o i n t , 3 0

B o u n d a r y v a l u e p r o b l e m , 3 5 3 - 3 5 4 , 4 1 7

B o u n d e d :

f u n c t i o n , 5 3 , 2 4 8

s e t , 3 1

B r a n c h c u t , 9 3 , 3 2 5 - 3 3 4 , 3 3 8 - 3 4 0

i n t e g r a t i o n a l o n g , 2 7 3 - 2 7 5

B r a n c h o f f u n c t i o n , 9 3

p r i n c i p a l , 9 3 , 9 8 , 3 2 5

B r a n c h p o i n t , 9 3 - 9 4

a t i n f i n i t y , 3 4 0

B r o m w i c h i n t e g r a l , 2 8 8

C a s o r a t i - W e i e r s t r a s s t h e o r e m , 2 4 9

C a u c h y , A . L . , 6 2

C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m , 1 4 2 - 1 4 4

c o n v e r s e o f , 1 6 2

4 5 1



4 5 2

I N D E X

C a u c h y - G o u r s a t t h e o r e m ( c o n t i n u e d )

e x t e n s i o n s o f , 1 4 9 - 1 5 1

p r o o f o f , 1 4 4 - 1 4 9

C a u c h y i n t e g r a l f o r m u l a , 1 5 7 - 1 5 8

f o r h a l f p l a n e , 4 2 8

C a u c h y p r i n c i p a l v a l u e , 2 5 1 - 2 5 3

C a u c h y p r o d u c t , 2 1 6

C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s , 6 0 - 6 3

i n c o m p l e x f o r m , 7 0

i n p o l a r f o r m , 6 5 - 6 8

n e c e s s i t y o f , 6 2

s u f f i c i e n c y o f , 6 3 - 6 5

C a u c h y ' s i n e q u a l i t y , 1 6 5

C a u c h y ' s r e s i d u e t h e o r e m , 2 2 5

C h e b y s h e v p o l y n o m i a l s , 2 2 n .

C h r i s t o f f e l , E . E . , 3 9 5

C i r c l e o f c o n v e r g e n c e , 2 0 2

C i r c u l a t i o n o f f l u i d , 3 7 9

C l o s e d c o n t o u r , 1 3 5 , 1 4 9

s i m p l e , 1 2 0 , 1 4 2 , 1 5 1

C l o s e d c u r v e , s i m p l e , 1 1 7

C l o s e d s e t , 3 0

C l o s u r e o f s e t , 3 0

C o m p l e x c o n j u g a t e , 1 1

C o m p l e x e x p o n e n t s , 9 7 - 9 9

C o m p l e x f o r m o f C a u c h y - R i e m a n n

e q u a t i o n s , 7 0

C o m p l e x n u m b e r ( s ) , 1

a l g e b r a i c p r o p e r t i e s o f , 3 - 7

a r g u m e n t o f , 1 5

c o n j u g a t e o f , 1 1

e x p o n e n t i a l f o r m o f , 1 5 - 1 7

i m a g i n a r y p a r t o f , 1

m o d u l u s o f , 8 - 1 1

p o l a r f o r m o f , 1 5

p o w e r s o f , 2 0 , 9 6 - 9 9

r e a l p a r t o f , 1

r o o t s o f , 2 2 - 2 4 , 9 6

C o m p l e x p l a n e , 1

e x t e n d e d , 4 8 , 3 0 2 , 3 0 8

r e g i o n s i n , 2 9 - 3 1

C o m p l e x p o t e n t i a l , 3 8 2

C o m p l e x v a r i a b l e , f u n c t i o n s o f , 3 3 - 3 5

C o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s , 5 1 , 5 8 , 7 1

C o n d u c t i v i t y , t h e r m a l , 3 6 1

C o n f o r m a l m a p p i n g , 3 4 3 - 3 5 8

a p p l i c a t i o n s o f , 3 6 1 - 3 8 6

p r o p e r t i e s o f , 3 4 3 - 3 5 0

C o n f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n , 3 4 3 - 3 5 0

a n g l e o f r o t a t i o n o f , 3 4 4

l o c a l i n v e r s e o f , 3 4 8

s c a l e f a c t o r o f , 3 4 6

C o n j u g a t e :

c o m p l e x , 1 1

h a r m o n i c , 7 7 , 3 5 1 - 3 5 3

C o n n e c t e d o p e n s e t , 3 0

C o n t i n u i t y , 5 1 - 5 3

C o n t i n u o u s f u n c t i o n , 5 1

C o n t o u r , 1 1 6 - 1 2 0

c l o s e d , 1 3 5 , 1 4 9

i n d e n t e d , 2 6 7

s i m p l e c l o s e d , 1 2 0 , 1 4 2 , 1 5 1

C o n t o u r i n t e g r a l , 1 2 2 - 1 2 4

C o n t r a c t i o n , 2 9 9 , 3 4 6

C o n v e r g e n c e o f i m p r o p e r i n t e g r a l , 2 5 1 - 2 5 3

C o n v e r g e n c e o f s e q u e n c e , 1 7 5 - 1 7 7

C o n v e r g e n c e o f s e r i e s , 1 7 8 - 1 8 0

a b s o l u t e , 1 7 9 , 2 0 1 - 2 0 2

c i r c l e o f , 2 0 2

u n i f o r m , 2 0 2

C o o r d i n a t e s :

p o l a r , 1 5 , 3 4 , 3 9 , 6 5 - 6 8

r e c t a n g u l a r , 1

C r i t i c a l p o i n t , 3 4 5

C r o s s r a t i o s , 3 1 0 n .

C u r v e :

J o r d a n , 1 1 7

l e v e l , 7 9 - 8 0

s i m p l e c l o s e d , 1 1 7

D e f i n i t e i n t e g r a l s , 1 1 3 - 1 1 6 , 2 7 8 - 2 8 0

D e f o r m a t i o n o f p a t h s , p r i n c i p l e o f , 1 5 2

D e l e t e d n e i g h b o r h o o d , 3 0

D e M o i v r e ' s f o r m u l a , 2 0

D e r i v a t i v e , 5 4 - 5 7

d i r e c t i o n a l , 7 1 , 3 5 6 - 3 5 7

e x i s t e n c e o f , 6 0 - - 6 7

D i f f e r e n t i a b l e a r c , 1 1 9

D i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n , 5 4

D i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a s , 5 7 - 5 9



I N D E X 4 5 3

D i f f u s i o n , 3 6 3

D i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e , 7 1 , 3 5 6 - 3 5 7

D i r i c h i e t p r o b l e m , 3 5 3

f o r d i s k , 4 1 9 - 4 2 3

f o r h a l f p l a n e , 3 6 4 , 4 2 9 - 4 3 1 , 4 3 2

f o r q u a d r a n t , 4 3 1

f o r r e c t a n g l e , 3 7 8

f o r r e g i o n e x t e r i o r t o c i r c l e , 4 2 4

f o r s e m i c i r c u l a r r e g i o n , 4 2 3

f o r s e m i - i n f i n i t e s t r i p , 3 6 6 - 3 6 7

D i s k , p u n c t u r e d , 3 0 , 1 9 2 , 2 1 7 , 2 2 3

D i v i s i o n o f p o w e r s e r i e s , 2 1 7 - 2 1 8

D o m a i n ( s ) , 3 0

o f d e f i n i t i o n o f f u n c t i o n , 3 3

i n t e r s e c t i o n o f , 8 1

m u l t i p l y c o n n e c t e d , 1 4 9 - 1 5 1

s i m p l y c o n n e c t e d , 1 4 9 - 1 5 0 , 3 5 2

u n i o n o f , 8 2

E l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l , 3 7 3 - 3 7 4

i n c y l i n d e r , 3 7 4 - 3 7 6

i n h a l f s p a c e , 3 7 6 - 3 7 7

b e t w e e n p l a n e s , 3 7 7

b e t w e e n p l a t e s , 3 9 0 , 4 1 1

E l e m e n t s o f f u n c t i o n , 8 2

E l l i p t i c i n t e g r a l , 3 9 8

E n t i r e f u n c t i o n , 7 0 , 1 6 5 - 1 6 6

E q u i p o t e n t i a l s , 3 7 3 , 3 8 1

E s s e n t i a l s i n g u l a r p o i n t , 2 3 2

b e h a v i o r n e a r , 2 3 2 , 2 4 9 - 2 5 0

E u l e r n u m b e r s , 2 2 0

E u l e r ' s f o r m u l a , 1 6

E v e n f u n c t i o n , 1 1 6 , 2 5 2 - 2 5 3

E x p a n s i o n , 2 9 9 , 3 4 6

E x p o n e n t i a l f o r m o f c o m p l e x n u m b e r s ,

1 5 - 1 7

E x p o n e n t i a l f u n c t i o n , 8 7 - 8 9 , 9 9

i n v e r s e o f , 3 4 9 - 3 5 0

m a p p i n g b y , 4 0 - 4 2

E x t e n d e d c o m p l e x p l a n e , 4 8 , 3 0 2 ,

3 0 8

E x t e r i o r p o i n t , 3 0

F i e l d i n t e n s i t y , 3 7 3

F i x e d p o i n t , 3 1 2

F l u i d :

c i r c u l a t i o n o f , 3 7 9

i n c o m p r e s s i b l e , 3 8 0

p r e s s u r e o f , 3 8 0

r o t a t i o n o f , 3 8 0

v e l o c i t y o f , 3 7 9

F l u i d f l o w :

a r o u n d a i r f o i l , 3 9 0

i n a n g u l a r r e g i o n , 3 8 7

i n c h a n n e l , 4 0 6 - 4 1 1

c i r c u l a t i o n o f , 3 7 9

c o m p l e x p o t e n t i a l o f , 3 8 2

a r o u n d c o r n e r , 3 8 3 - 3 8 5

a r o u n d c y l i n d e r , 3 8 5 - 3 8 6

i r r o t a t i o n a l , 3 8 0

a r o u n d p l a t e , 3 8 8

i n q u a d r a n t , 3 8 4 - 3 8 5

i n s e m i - i n f i n i t e s t r i p , 3 8 7

o v e r s t e p , 4 1 4 - 4 1 5

F l u x o f h e a t , 3 6 1

F l u x l i n e s , 3 7 4

F o r m u l a :

b i n o m i a l , 7

C a u c h y i n t e g r a l , 1 5 7 - 1 5 8

d e M o i v r e ' s , 2 0

E u l e r ' s , 1 6

P o i s s o n i n t e g r a l , 4 1 7 - 4 3 5

q u a d r a t i c , 2 9

S c h w a r z i n t e g r a l , 4 2 7 - 4 2 9

( S e e a l s o s p e c i f i c f o r m u l a s , f o r e x a m p l e :

D i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a s )

F o u r i e r , J o s e p h , 3 6 1 n .

F o u r i e r i n t e g r a l , 2 6 0 , 2 6 9 n .

F o u r i e r s e r i e s , 2 0 0

F o u r i e r ' s l a w , 3 6 1

F r e s n e l i n t e g r a l s , 2 6 6

F u n c t i o n ( s ) :

a n a l y t i c ( S e e A n a l y t i c f u n c t i o n )

a n t i d e r i v a t i v e o f , 1 1 3 , 1 3 5 - 1 3 8

B e s s e l , 2 0 0 n .

b e t a , 2 7 7 , 3 9 8

b o u n d e d , 5 3 , 2 4 8

b r a n c h o f , 9 3

p r i n c i p a l , 9 3 , 9 8 , 3 2 5

c o m p o s i t i o n o f , 5 1 , 5 8 , 7 1



4 5 4

I N D E X

F u n c t i o n ( s ) : ( c o n t i n u e d )

c o n t i n u o u s , 5 1

d e r i v a t i v e s o f , 5 4 - 5 7

d i f f e r e n t i a b l e , 5 4

d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f . 3 3

e l e m e n t s o f , 8 2

e n t i r e , 7 0 , 1 6 5 - 1 6 6

e v e n , 1 1 6 , 2 5 2 - 2 5 3

e x p o n e n t i a l ( S e e E x p o n e n t i a l f u n c t i o n )

g a m m a , 2 7 3

h a r m o n i c ( S e e H a r m o n i c f u n c t i o n )

h o l o m o r p h i c , 7 0 n .

h y p e r b o l i c ( S e e H y p e r b o l i c f u n c t i o n s )

i m p u l s e , 4 2 5 - 4 2 6

i n v e r s e , 3 0 8

l i m i t o f , 4 3 - 4 8

i n v o l v i n g p o i n t a t i n f i n i t y , 4 8 - 5 1

l o c a l i n v e r s e o f , 3 4 8

l o g a r i t h m i c ( S e e L o g a r i t h m i c f u n c t i o n )

m e r o m o r p h i c , 2 8 1 - 2 8 2

m u l t i p l e - v a l u e d , 3 5 , 3 3 5

o d d , 1 1 6

p i e c e w i s e c o n t i n u o u s , 1 1 3 , 1 2 2

p r i n c i p a l p a r t o f , 2 3 1

r a n g e o f , 3 6

r a t i o n a l , 3 4 , 2 5 3

r e a l - v a l u e d , 3 4 , 1 1 1 , 1 1 3 , 1 2 0 ,

1 3 1

r e g u l a r , 7 0 n .

s t r e a m , 3 8 1 - 3 8 3

t r i g o n o m e t r i c ( S e e T r i g o n o m e t r i c

f u n c t i o n s )

v a l u e o f , 3 3

z e r o s o f ( S e e Z e r o s o f f u n c t i o n s )

F u n d a m e n t a l t h e o r e m :

o f a l g e b r a , 1 6 6

o f c a l c u l u s , 1 1 3 , 1 3 5

G a m m a f u n c t i o n , 2 7 3

G a u s s ' s m e a n v a l u e t h e o r e m , 1 6 8

G e o m e t r i c s e r i e s , 1 8 7

G o u r s a t , E . , 1 4 4

G r a d i e n t , 7 1 - 7 2 , 3 5 6 - 3 5 7 , 3 6 0

G r e e n ' s t h e o r e m , 1 4 3 , 3 7 9

H a r m o n i c f u n c t i o n , 7 5 - 7 8 , 3 8 1

c o n j u g a t e o f , 7 7 , 3 5 1 - 3 5 3

m a x i m u m a n d m i n i m u m v a l u e s o f ,

1 7 1 - 1 7 2 , 3 7 3

i n q u a d r a n t , 4 3 5

i n s e m i c i r c u l a r r e g i o n , 4 2 3 - 4 2 4 , 4 3 6

t r a n s f o r m a t i o n s o f , 3 5 3 - 3 5 5

H o l o m o r p h i c f u n c t i o n , 7 0 n .

H y d r o d y n a m i c s , 3 7 9

H y p e r b o l i c f u n c t i o n s , 1 0 5 - 1 0 6

i n v e r s e s o f , 1 0 9 - 1 1 0

z e r o s o f , 1 0 6

I m a g e o f p o i n t , 3 6

i n v e r s e , 3 6

I m a g i n a r y a x i s , 1

I m p r o p e r r e a l i n t e g r a l s , 2 5 1 - 2 7 5

I m p u l s e f u n c t i o n , 4 2 5 4 2 6

I n c o m p r e s s i b l e f l u i d , 3 8 0

I n d e p e n d e n c e o f p a t h , 1 2 7 , 1 3 5

I n d e n t e d p a t h s , 2 6 7 - 2 7 0

I n e q u a l i t y :

C a u c h y ' s , 1 6 5

J o r d a n ' s , 2 6 2

t r i a n g l e , 1 0 , 1 4

I n f i n i t y :

p o i n t a t , 4 8 - 4 9

r e s i d u e s a t , 2 2 8

I n t e g r a l ( s ) :

B r o m w i c h , 2 8 8

C a u c h y p r i n c i p a l v a l u e o f , 2 5 1 - 2 5 3

c o n t o u r , 1 2 2 - 1 2 4

d e f i n i t e , 1 1 3 - 1 1 6 , 2 7 . 8 - 2 8 0

e l l i p t i c , 3 9 8

F o u r i e r , 2 6 0 , 2 6 9 n .

F r e s n e l , 2 6 6

i m p r o p e r r e a l , 2 5 1 - 2 7 5

l i n e , 1 2 2 , 3 5 2

m o d u l u s o f , 1 1 4 , 1 3 0 - 1 3 3

I n t e g r a l t r a n s f o r m a t i o n , 4 1 9

I n t e r i o r p o i n t , 3 0

I n t e r s e c t i o n o f d o m a i n s , 8 1

I n v e r s e :

f u n c t i o n , 3 0 8

i m a g e o f p o i n t , 3 6



I N D E X

4 5 5

L a p l a c e t r a n s f o r m , 2 8 8 - 2 9 1

l o c a l , 3 4 8

p o i n t , 3 0 2 , 4 1 7

z - t r a n s f o r m , 1 9 9

I n v e r s i o n , 3 0 2

I r r o t a t i o n a l f l o w , 3 8 0

I s o g o n a l m a p p i n g , 3 4 5

I s o l a t e d s i n g u l a r p o i n t , 2 2 1

I s o l a t e d z e r o s , 2 4 0

I s o t h e r m s , 3 6 3

J a c o b i a n , 3 4 8

J o r d a n , C . , 1 1 7

J o r d a n c u r v e , 1 1 7

J o r d a n c u r v e t h e o r e m , 1 2 0

J o r d a n ' s i n e q u a l i t y , 2 6 2

J o r d a n ' s l e m m a , 2 6 2 - 2 6 5

J o u k o w s k i a i r f o i l , 3 8 9

L a g r a n g e ' s t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t y , 2 2

L a p l a c e t r a n s f o r m , 2 8 8

i n v e r s e , 2 8 8 - 2 9 1

L a p l a c e ' s e q u a t i o n , 7 5 , 7 9 , 3 6 2 - 3 6 3 , 3 8 1

L a u r e n t s e r i e s , 1 9 0 - 1 9 5

L a u r e n t ' s t h e o r e m , 1 9 0

L e g e n d r e p o l y n o m i a l s , 1 1 6 m . , 1 6 4 n .

L e v e l c u r v e s , 7 9 - 8 0

L i m i t ( s ) :

o f f u n c t i o n , 4 3 - 4 6

i n v o l v i n g p o i n t a t i n f i n i t y , 4 8 - 5 1

o f s e q u e n c e , 1 7 5

t h e o r e m s o n , 4 6 - 4 8

L i n e i n t e g r a l , 1 2 2 , 3 5 2

L i n e a r c o m b i n a t i o n , 7 4

L i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n , 3 0 7 - 3 1 1

L i n e a r t r a n s f o r m a t i o n , 2 9 9 - 3 0 1

L i n e s o f f l o w , 3 6 3

L i o u v i l l e ' s t h e o r e m , 1 6 5 - 1 6 6

L o c a l i n v e r s e , 3 4 8

L o g a r i t h m i c f u n c t i o n , 9 0 - 9 6

b r a n c h o f , 9 3

m a p p i n g b y , 3 1 6 , 3 1 8

p r i n c i p a l b r a n c h o f , 9 3

p r i n c i p a l v a l u e o f , 9 2

R i e m a n n s u r f a c e f o r , 3 3 5 - 3 3 7

M a c l a u r i n s e r i e s , 1 8 3

M a p p i n g , 3 6

c o n f o r m a l ( S e e C o n f o r m a l

t r a n s f o r m a t i o n )

b y e x p o n e n t i a l f u n c t i o n , 4 0 - 4 2

i s o g o n a l , 3 4 5

b y l o g a r i t h m i c f u n c t i o n , 3 1 6 , 3 1 8

o n e t o o n e ( S e e O n e t o o n e m a p p i n g )

o f r e a l a x i s o n t o p o l y g o n , 3 9 1 - 3 9 3

b y t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s , 3 1 8 - 3 2 2

( S e e a l s o T r a n s f o r m a t i o n )

M a x i m u m a n d m i n i m u m v a l u e s , 1 3 0 ,

1 6 7 - 1 7 1 , 3 7 3

u m m o d u l u s p r i n c i p l e , 1 6 9

M e r o m o r p h i c f u n c t i o n , 2 8 1 - 2 8 2

M o d u l u s , 8 - 1 1

o f i n t e g r a l , 1 1 4 , 1 3 0 - 1 3 3

M o r e r a , E . , 1 6 2

M o r e r a ' s t h e o r e m , 1 6 2

M u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n , 3 5 , 3 3 5

M u l t i p l i c a t i o n o f p o w e r s e r i e s , 2 1 5 - 2 1 7

M u l t i p l y c o n n e c t e d d o m a i n , 1 4 9 - 1 5 1

N e i g h b o r h o o d , 2 9 - 3 0

d e l e t e d , 3 0

o f p o i n t a t i n f i n i t y , 4 9

N e s t e d i n t e r v a l s , 1 5 6

N e s t e d s q u a r e s , 1 4 6 , 1 5 6

N e u m a n n p r o b l e m , 3 5 3

f o r d i s k , 4 3 4

f o r h a l f p l a n e , 4 3 5

f o r r e g i o n e x t e r i o r t o c i r c l e , 4 3 4

f o r s e m i c i r c u l a r r e g i o n , 4 3 6

N u m b e r :

c o m p l e x , I

w i n d i n g , 2 8 1

O d d f u n c t i o n , 1 1 6

O n e t o o n e m a p p i n g , 3 7 - 4 0 , 3 0 1 , 3 0 8 , 3 1 5 ,

3 1 8 - 3 2 1 , 3 2 5 - 3 2 6 , 3 3 2 , 3 3 6

O p e n s e t , 3 0

P a r t i a l s u m o f s e r i e s , 1 7 8

P i c a r d ' s t h e o r e m , 2 3 2 , 2 4 9

P i e c e w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n , 1 1 3 , 1 2 2



4 5 6

I N D E x

P o i n t a t i n f i n i t y , 4 8 - 4 9

l i m i t s i n v o l v i n g , 4 8 - 5 1

n e i g h b o r h o o d o f , 4 9

P o i s s o n i n t e g r a l f o r m u l a , 4 1 7 - 4 3 5

f o r d i s k , 4 1 9

f o r h a l f p l a n e , 4 2 9

P o i s s o n i n t e g r a l t r a n s f o r m , 4 1 9 - 4 2 0

P o i s s o n k e r n e l , 4 1 9

P o i s s o n ' s e q u a t i o n , 3 5 9

P o l a r c o o r d i n a t e s , 1 5 , 3 4 , 3 9 , 6 5 - 6 8

P o l a r f o r m :

o f C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s , 6 5 - 6 8

o f c o m p l e x n u m b e r s , 1 5

P o l e ( s ) :

n u m b e r o f , 2 4 7 , 2 8 2

o r d e r o f , 2 3 1 , 2 3 4 , 2 3 9 , 2 4 2 , 2 4 6 , 2 8 2

r e s i d u e s a t , 2 3 4 - 2 3 5 , 2 4 3

s i m p l e , 2 3 1 , 2 4 3 , 2 6 7

P o l y n o m i a l ( s ) :

C h e b y s h e v , 2 2 n .

L e g e n d r e , 1 1 6 n . , 1 6 4 n .

z e r o s o f , 1 6 6 , 1 7 2 , 2 8 6 - 2 8 7

P o t e n t i a l :

c o m p l e x , 3 8 2

e l e c t r o s t a t i c ( S e e E l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l

v e l o c i t y , 3 8 1

P o w e r s e r i e s , 1 8 0

C a u c h y p r o d u c t o f , 2 1 6

c o n v e r g e n c e o f , 2 0 0 - 2 0 4

d i f f e r e n t i a t i o n o f , 2 0 9

d i v i s i o n o f , 2 1 7 - 2 1 8

i n t e g r a t i o n o f , 2 0 7

m u l t i p l i c a t i o n o f , 2 1 5 - 2 1 7

u n i q u e n e s s o f , 2 1 0

P o w e r s o f c o m p l e x n u m b e r s , 2 0 , 9 6 - 9 9

P r e s s u r e o f f l u i d , 3 8 0

P r i n c i p a l b r a n c h o f f u n c t i o n , 9 3 , 9 8 , 3 2 5

P r i n c i p a l p a r t o f f u n c t i o n , 2 3 1

P r i n c i p a l v a l u e :

o f a r g u m e n t , 1 5

C a u c h y , 2 5 1 - 2 5 3

o f l o g a r i t h m , 9 2

o f p o w e r s , 9 8

P r i n c i p l e :

a r g u m e n t , 2 8 1 - 2 8 4

o f d e f o r m a t i o n o f p a t h s , 1 5 2

m a x i m u m m o d u l u s , 1 6 7 - 1 7 1

r e f l e c t i o n , 8 2 - 8 4

P r o d u c t , C a u c h y , 2 1 6

P u n c t u r e d d i s k , 3 0 , 1 9 2 , 2 1 7 , 2 2 3

P u r e i m a g i n a r y n u m b e r , 1

Q u a d r a t i c f o r m u l a , 2 9

R a d i o - f r e q u e n c y h e a t i n g , 2 5 9

R a n g e o f f u n c t i o n , 3 6

R a t i o n a l f u n c t i o n , 3 4 , 2 5 3

R e a l a x i s , I

R e a l - v a l u e d f u n c t i o n , 3 4 , 1 1 1 , 1 1 3 , 1 2 0 ,

1 3 1

R e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s :

C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s i n , 6 2

c o m p l e x n u m b e r i n , 8

R e f l e c t i o n , 1 1 , 3 6 , 8 2 , 3 0 2

R e f l e c t i o n p r i n c i p l e , 8 2 - 8 4

R e g i o n s i n c o m p l e x p l a n e , 2 9 - 3 1

R e g u l a r f u n c t i o n , 7 0 n .

R e m a i n d e r o f s e r i e s , 1 7 9 - 1 8 0

R e m o v a b l e s i n g u l a r p o i n t , 2 3 2 , 2 4 8

R e s i d u e t h e o r e m s , 2 2 5 , 2 2 8

R e s i d u e s , 2 2 1 - 2 2 5

a p p l i c a t i o n s o f , 2 5 1 - 2 9 5

a t i n f i n i t y , 2 2 8 n .

a t p o l e s , 2 3 4 - 2 3 5 , 2 4 3

R e s o n a n c e , 2 9 8

R i e m a n n , G . P . B . , 6 2

R i e m a n n s p h e r e , 4 9

R i e m a n n s u r f a c e s , 3 3 5 - 3 4 0

R i e m a n n ' s t h e o r e m , 2 4 8

R o o t s o f c o m p l e x n u m b e r s , 2 2 - 2 4 , 9 6

R o t a t i o n , 3 6 , 2 9 9 - 3 0 1

a n g l e

o f f l u i d , 3 8 0

R o u c h e ' s t h e o r e m , 2 8 4 , 2 8 7

S c a l e f a c t o r , 3 4 6

S c h w a r z , H . A . , 3 9 5

S c h w a r z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n ,

3 9 1 - 4 1 3

o n t o d e g e n e r a t e p o l y g o n , 4 0 1 - 4 0 3



I N D E x

4 5 7

o n t o r e c t a n g l e , 4 0 0 - - 4 0 1

o n t o t r i a n g l e , 3 9 7 - 3 9 9

S c h w a r z i n t e g r a l f o r m u l a , 4 2 7 - 4 2 9

S c h w a r z i n t e g r a l t r a n s f o r m , 4 2 9

S e p a r a t i o n o f v a r i a b l e s , m e t h o d o f , 3 6 7 ,

3 7 8

S e q u e n c e , 1 7 5 - 1 7 7

l i m i t o f , 1 7 5

S e r i e s , 1 7 5 - 2 2 0

F o u r i e r , 2 0 0

g e o m e t r i c , 1 8 7

L a u r e n t , 1 9 0 - 1 9 5

M a c l a u r i n , 1 8 3

p a r t i a l s u m o f , 1 7 8

p o w e r ( S e e P o w e r s e r i e s )

r e m a i n d e r o f , 1 7 9 - 1 8 0

s u m o f , 1 7 8

T a y l o r , 1 8 2 - 1 8 5

( S e e a l s o C o n v e r g e n c e o f s e r i e s )

S i m p l e a r c , 1 1 7

S i m p l e c l o s e d c o n t o u r , 1 2 0 , 1 4 2 , 1 5 1

p o s i t i v e l y o r i e n t e d , 1 4 2

S i m p l e c l o s e d c u r v e , 1 1 7

S i m p l e p o l e , 2 3 1 , 2 4 3 , 2 6 7

S i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n , 1 4 9 - 1 5 0 , 3 5 2

T e m p e r a t u r e s , s t e a d y , 3 6 1 - 3 6 3

i n c y l i n d r i c a l w e d g e , 3 7 0 - 3 7 1

i n h a l f p l a n e , 3 6 3 - 3 6 5

i n i n f i n i t e s t r i p , 3 6 4 , 3 7 2 - 3 7 3

i n q u a d r a n t , 3 6 8 - 3 7 0

i n s e m i c i r c u l a r p l a t e , 3 7 2

i n s e m i - e l l i p t i c a l p l a t e , 3 7 3

i n s e m i - i n f i n i t e s t r i p , 3 6 5 - 3 6 7

T h e r m a l c o n d u c t i v i t y , 3 6 1

T r a n s f o r m :

L a p l a c e , 2 8 8

i n v e r s e , 2 8 8 - 2 9 1

P o i s s o n i n t e g r a l , 4 1 9 - 4 2 0

S c h w a r z i n t e g r a l , 4 2 9

z - t r a n s f o r m , 1 9 9

T r a n s f o r m a t i o n

b i l i n e a r , 3 0 7

o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s , 3 5 5 - 3 5 8

c o n f o r m a l , 3 4 3 - 3 5 0

c r i t i c a l p o i n t o f , 3 4 5

o f h a r m o n i c f u n c t i o n s , 3 5 3 - 3 5 5

i n t e g r a l , 4 1 9

l i n e a r , 2 9 9 - 3 0 1

l i n e a r f r a c t i o n a l , 3 0 7 - 3 1 1

S c h w a r z - C h r i s t o f f e l , 3 9 1 - 4 1 3

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