curso de robotica
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Robot Industrial
Elavorado Por:M.C. Rafael Armando Galaz Bustamante
Instituto Tecnológico de Hermosillo
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Morfología del Robot
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Morfología del Robot
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Morfología del Robot
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Morfología del Robot
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Robots planares redundantes
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Transmisiones y Reductores
Entrada-Salida Denominación Ventajas Inconvenientes
Engranaje Pares altos Holgura
Correas dentada Distancias grandes
Circular - Circular Cadena Distancias grandes Ruido
Paralelo grama Giro limitado
Cable Deformable
Circular - Lineal Tornillo sin fin Poco Holgura Rozamiento
Cremallera Holgura media Rozamiento
Lineal - Circular Paral. articulado
Cremallera Holgura media Rozamiento
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Actuadores•Actuadores Neumáticos
• Cilindros Neumáticos• Motores Neumáticos
•Actuadores Hidráulicos•Actuadores Eléctricos
• Motores de corriente continua (DC)• Controlados por inducido• Controlados por excitación
• Motores de corriente alterna (AC)• Síncronos• Asíncronos
• Motores de paso a paso
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Sensores internos de un robotInductivo
Capacitivo
Efecto hall
Presencia < Célula reed
Óptica
Ultrasónica
Contacto
Potenciómetro
Resolver
Analógico < Sincro
Inductosyn
Posición < LVDT
Encoders absolutos
Digital < Encoders incrementables
Regla Óptica
Velocidad Tacogenerador
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Encodre Incremental
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Encodre absoluto
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Sensores Resolver
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Sistema lineal de posiciónLVDT
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Herramientas Matemáticas
•Sistemas Cartesianos de referencia
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Herramientas Matemáticas
•Coordenadas Polares y Cilíndricas
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Herramientas Matemáticas
•Coordenadas esféricas
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Matrices de Rotación
•Los vectores unitarios de los ejes coordenados del sistema OXY son ix, jy , mientras que los del sistema OUV son iu, jv.
•Un vector p del plamo se puede r`presentar en ambos sistemas como:
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Matrices de Rotación•Realizando una serie de tranformaciones tenemos:
px
py=R
pu
pv
Donde:
ixiu ixjv
R=
jyiu jyjv
cos -sin
R=
sin cos
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Matrices de RotaciónEn un espacio tridimensional
•Realizando una serie de tranformaciones tenemos:
px
py
pz
=R
pu
pv
pw
Donde:
ixiu ixjv ixkw
R=jyiu jyjv jykw
kziu kzjv kzkw
Puvw=[pu,pv,pw]T=pu.iu+pv.jv+pw.kw
Pxyz=[px,py,pz]T=px.ix+py.jy+pz.kz
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Rotación en el eje OX
1 0 0R(x,a) = 0 cos -sen
0 sen cos
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Rotación en el eje OY
cos f 0 sen fR(y,f) = 0 1 0
-sen f 0 cos f
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Rotación en el eje OZ
cos q -sen q 0R(z,q) = sen q cos q 0
0 0 1
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Composición de rotaciones
cq -sq 0T=R(z,q) R(y,f) R(x,a) = sq cq 0
0 0 1
cf 0 sf
0 1 0
-sf 0 cf
1 0 0
0 c -s
0 s c
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La Matriz de Transformación HomogéneaEs una matriz T de 4 x 4 que representa la transformación de un vector de un sistema de coordenadas a otro.
Esta matriz esta compuesta por 4 submatrices:
R3x3 SubMatriz de Rotación
P3x1 SubMatriz de Translación
F1x3 SubMatriz de Perspectiva
E1x1 SubMatriz de Escalado Global
R3x3 P3x1
T =
F1x3 F1x1
En robótica, generalmente se considera la submatriz de perspectiva como nula y la submatriz de escalado global como uno.Un vector Homogéneo siempre tendrá 4 dimensiones.
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La Matriz de Transformación HomogéneaLa matriz de transformación Homogénea sirve para :
a) Conocer las coordenadas rx, ry, rz del vector r en el sistema O´XYZ a partir de sus coordenadas ru, rv, rw en el sistema O´UVW.
rx ru
ry = T rv
rz rw
1 1
b) Expresar las rotaciones y traslaciones de un vector con respecto a un sistema fijo O´XYZ.
r’x rx
r’y = T ry
r’z rz
1 1
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La Matriz de Transformación Homogénea Translación
1 0 0 Px
0 1 0 Py
0 0 1 Pz
0 0 0 1
T(P)=Formula general
1 0 0 Px
0 1 0 Py
0 0 1 Pz
0 0 0 1
rx
ry
rz
1
=
ru
rv
rw
1
=
ru + Px
rv + Py
rw + Pz
1
a)
1 0 0 Px
0 1 0 Py
0 0 1 Pz
0 0 0 1
r’x
r’y
r’z
1
=
rx
ry
rz
1
=
rx + Px
ry + Py
rz + Pz
1
b)
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La Matriz de Transformación Homogénea Translación
Ejemplo 1:Según las figura O’UVW esta trasladado un vector p(6,-3,8) con respecto del sistema OXYZ. Calcule la coordenadas (rx,ry,rz) del vector r cuya coordenadas con respecto al sistema O’UVW son ruvw(-2,7,3)
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La Matriz de Transformación Homogénea Translación
Aplicando la ecuación (a)
1 0 0 6
0 1 0 -3
0 0 1 8
0 0 0 1
rx
ry
rz
1
=
-2
7
3
1
=
6 + -2
-3 + 7
8 + 3
1
4
4
11
1
=
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La Matriz de Transformación Homogénea Translación
Ejemplo 2: Calcule el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8)
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La Matriz de Transformación Homogénea Translación
Aplicando la ecuación (b)
1 0 0 6
0 1 0 -3
0 0 1 8
0 0 0 1
r’x
r’y
r’z
1
=
4
4
11
1
=
6 + 4
-3 + 4
8 + 11
1
10
1
19
1
=
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Matriz de Transformación Homogénea de la Rotación
1 0 0 0
0 cos -sin 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
T(x, )= Rotación en X
cos 0 sin 0
0 1 0 0
-sin 0 cos 0
0 0 0 1
T(y, )= Rotación en Y
cosθ -sinθ 0 0
sinθ cosθ 0 00 0 1 0
0 0 0 1
T(z, θ)= Rotación en Z
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Ejemplo 3:Según la figura , el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcule las coordenadas del vector rxyz si ruvw[4,8,12]T
La Matriz de Transformación Homogénea Rotación
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Matriz de Transformación Homogénea de la Rotación seguida de translación
1 0 0 Px
0 cos -sin Py
0 sin cos Pz
0 0 0 1
T(p)R( )=
cos 0 sin Px
0 1 0 Py
-sin 0 cos Pz
0 0 0 1
T(p)R( )=
cosθ -sinθ 0 Px
sinθ cosθ 0 Py
0 0 1 Pz
0 0 0 1
T(p)R( θ)=
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Matriz de Transformación Homogénea de la translación seguida de Rotación
1 0 0 Px
0 cos -sin Pycos- PZsen
0 sin cos Pysen+ PZcos
0 0 0 1
R( ) T(p)=
cos 0 sin Pxcos+Pzsen
0 1 0 Py
-sin 0 cos Pzcos-Pxsen
0 0 0 1
R( ) T(p)=
cosθ -sinθ 0 Pxcosθ-Pysinθ
sinθ cosθ 0 Pxsenθ+Pycosθ0 0 1 Pz
0 0 0 1
R( θ) T(p)=
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Ejemplo 4:Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcule las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r con coordenadas ruvw(-3.4,-11)
La Matriz de Transformación Homogénea
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Ejemplo 5:Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX. Calcule las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r con coordenadas ruvw(-3.4,-11)
La Matriz de Transformación Homogénea
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Ejemplo 6:Se quiere obtener la matriz de tranformación que represente al sistema O’UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo -90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un giro de 90º sobre OZ
La Matriz de Transformación Homogénea
0 -1 0 0
T=T(z,90o) T(p) T(x,-90º) = 1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 5
0 1 0 5
0 0 1 10
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 -1 0 0
0 0 0 1
0 0 -1 -5
= 1 0 0 5
0 -1 0 10
0 0 0 1
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Ejemplo 7:Obtener la matriz de transformación que represente las siguientes transformaciones sobre un sistema OXTZ fija de referencia: traslación de un vector pxyz(-3,10,10); giro -90º sobre el eje O’U del sistema trasladado y girado 90º sobre el eje O’V del sistema girado.
La Matriz de Transformación Homogénea
1 0 0 -3
T=T(p) T(u,-90o) T(v,90º) = 0 1 0 10
0 0 1 10
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 -1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 -3
= -1 0 0 10
0 -1 0 10
0 0 0 1
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Composición de Matrices Homogéneas
De manera general:
1. Si el sistema O´UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo O´XYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá PREMULTIPLICAR sobre las matrices de las transformaciones previas.
2. Si el sistema O´UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá POSMULTIPLICAR sobre las matrices de las transformaciones previas.
Por ejemplo, la transformación:
T T(x,) T(z, ) T( y,) Se Premultiplica
Es igual a decir:
T T(u,) T(w, ) T(v,) Se Posmultiplica
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Tareas1. Demostrar que las operaciones de transformaciones no
son conmutativas, para ello encuentre las matrices de transformación de :
T ((x, ) , p) T (p , (x, ))
T ((y, ) , p)T ((z, θ) , p)
T (p , (y, ))T (p , (z, θ))2. Si tenemos que la matriz de transformación homogénea
T es igual a:nX ox ax Px
ny oy ay Py
nz oz az Pz
0 0 0 1
T=
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Tarea (Conti..)Y si sabemos que n o a es una matriz hortonormal con la
propiedad de:
n o a -1 n o a T
Demostrar que la inversa de la matriz de transformación homogénea T corresponde a la siguiente expresión:
nX ny nz -nTPxyz
ox oy oz -oTPxyz
ax ay az -aTPxyz
0 0 0 1
T-1=
Con lo anterior podemos tener que si:
rxyz= T ruvw
ruvw= T-1 rxyz
Entonces:
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Cinemática del robot
Cinemática directaCinemática InversaMatriz Jacobiana
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El problema cinemática de un robot
Cinemática del robot : Estudio de su movimiento con respecto a un sistema de referencia • Descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo• Relaciones localización del extremo del robot-valores articulares
Problema cinemática directo: Determinar la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot
Problema cinemática inverso: Determinar la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas
Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entre las velocidades de movimiento de las articulaciones y las del extremo del robot
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Relación entre cinemática directa e inversa
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Resolución del problema cinemática directo conmatrices de transformación homogéneas
• Objetivo:Encontrar una matriz de transformación homogénea T que relacione posición y orientación del extremo del robot con respecto a un sistema de referencia fijo situado en su base
x=fx(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
y=fy(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
z=fz(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
a=fa(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
b=fb(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
g=fg(q1,q2,q3,q4,q5,q6)
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Modelo cinemático directo de unrobot planar de 2 gdl
x = I1COSq1+I2COS(q1+q2)
y = I1SENq1+I2SEN(q1+q2)
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Las matrices de transformaciónA y T
• Matriz i-1Ai : matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot
• Conexión de matrices A:0A2=0A1 1A2
• Matriz T : matriz 0An cuando se consideran todos los grados de libertad del robot
T=0A6=0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6
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Convenio de conexión de elementoscontiguos de Denavit-Hartenberg
Transformaciones básicas de paso de eslabón:
1. Rotación alrededor del eje zi-1 un ángulo qi
2. Traslación a lo largo de zi-1 una distancia di ; vector di (0,0,di)
3. Traslación a lo largo de xi una distancia ai ; vector ai (ai,0,0)
4. Rotación alrededor del eje xi un ángulo ai
• Dado que el producto de matrises no es conmutativo, la transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:
i-1Ai=T(zi,qi) T(0,0,di) T(ai,0,0) T(xi,ai)
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Parámetros deDenavit-Hartenberg (I)
• Definen el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente
• Sólo dependen de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente (no dependen de la posición del robot)
• Definen las matrices A que permiten el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente y por tanto definen las matrices T
• Son 4:– Dos ángulos (qi, ai)
– Dos distancias (di, ai)
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Parámetros deDenavit-Hartenberg (II)
• qi: Es el ángulo que forman los ejes xi-1 y xi medido en un plano perpendicular al eje zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias
• di: Es la distancia a lo largo del eje zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)-ésimo hasta la intersección del eje zi-1 con el eje xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.
• ai: Es la distancia a lo largo del eje xi que va desde la intersección del eje zi-1 con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo, en el casode articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejes
zi-1 y zi.
• ai: Es el ángulo de separación del eje zi-1 y el eje zi, medido en un plano perpendicular al eje xi, utilizando la regla de la mano derecha.
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Parámetros de Denavit-Hartenbergpara un eslabón giratorio
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Obtención del modelocinemático directo de un robot
1. Establecer para cada elemento del robot un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal (xi,yi,zi) donde i=1,2,…,n (n=número de gdl). Cada sistema de coordenadas corresponderá a la articulación i+1 y estará fijo en el elemento i
2. Encontrar los parámetros D-H de cada una de las articulaciones
3. Calcular las matrices Ai
4. Calcular la matriz Tn = 0A1 1A2 ... n-1An
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg• D-H 1.- Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón
móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.
• D-H 2.- Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n
• D-H 3.- Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.
• D-H 4.- Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.
• D-H 5.- Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg• D-H 6.- Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón
i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1
• D-H 7.- Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi
• D-H 8.- Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi • D-H 9.- Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn .
• D-H 10.- Obtener qi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos.
• D-H 11.- Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg• DH 12.- Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi (que
ahora coincidiría con xi-1) que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.
• DH 13.- Obtener ai como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con xi-1), para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.
• DH 14.- Obtener las matrices de transformación i-1Ai
• DH 15.- Obtener la matriz de transformación entre la base y el extremo del robot T = 0A1 1A2 ... n-1An.
• DH 16.- La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares
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Robot cilíndrico
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Robot cilíndrico
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Modelo cinemático directo de unrobot cilíndrico
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Modelo cinemático directo de unrobot cilíndrico
C1 -S1 0 0
S1C1
0 0
0 0 1 l1
0 0 0 1
0A1=
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 d2
0 0 0 1
1A2=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1
2A3=
C4 -S4 0 0
S4C4
0 0
0 0 1 l4
0 0 0 1
3A4=
-S1C4 S1S4 C1 C1(d3+l4)
C1C4 -C1S4 S1S1(d3+l4)
S4C4 0 d2+l1
0 0 0 1
T= 0A1 1A2
2A3 3A4 =
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Robot ABB IRB 6400C (I)
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Modelo cinemático directo de unrobot ABB IRB 6400C (I)
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Modelo cinemático directo de unrobot ABB IRB 6400C (I)
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Modelo cinemático directo de unrobot ABB IRB 6400C (I)
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Cinemática Inversa Objetivo: encontrar los valores que deben adoptar las
coordenadas articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial
La resolución no es sistemática Depende de la configuración del robot (soluciones múltiples) No siempre existe solución en forma cerrada.
– Condiciones suficientes para que exista:Tres ejes de articulación adyacentes interseccionan en
un punto (robot PUMA y robot Stanford) Tres ejes de articulación adyacentes son paralelos entre
sí (robot Elbow)
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Posibilidades de solución delproblema cinemático inverso
Procedimiento genérico a partir de los parámetros D-H Método iterativoProblemas de velocidad y convergencia
Búsqueda de solución cerrada: qk = fk (x,y,z,a,b,g); k = 1,…,nPosibilidad de resolución en tiempo realPosibilidad de selección de la solución más adecuadaPosibilidad de simplificacionesNo siempre es posible
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Métodos de solución delproblema cinemático inverso
Métodos geométricos– Se suele utilizar para las primeras variables articulares– Uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos)
Resolución a partir de las matrices de transformación Homogénea– Despejar las n variables qi en función de las componentes de los vectores n, o, a y p.
Desacoplamiento cinemático– En robots de 6 GDL– Separación de orientación y posicionamiento
Otros: álgebra de tornillo, cuaterniones duales, métodos iterativos...
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Ejemplo de resolución de la cinemáticainversa por métodos geométricos
![Page 68: Curso de Robotica](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022061419/5571f7c349795991698bf27c/html5/thumbnails/68.jpg)
Ejemplo de resolución de la cinemáticainversa por métodos geométricos
![Page 69: Curso de Robotica](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022061419/5571f7c349795991698bf27c/html5/thumbnails/69.jpg)
Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partirde las matrices de transformación homogénea
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Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partirde las matrices de transformación homogénea
nx ox ax px
ny oy ay py
nz oz az pz
0 0 0 1
-1nx ny nz -nT p
ox oy oz -oT p
ax ay az -aT p
0 0 0 1
=
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Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partirde las matrices de transformación homogénea