cuad mate ii

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¿Qué voy a aprender?

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MATEMÁTICAS IICuadernillo de procedimientos para el aprendizaje

Con la colaboración de :

Juan Carlos Recéndiz MedinaCuauhtémoc Jiménez Olivares

Víctor Morales HernándezGeorgina Castillo de Hoyos

EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR A DISTANCIA

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MATEMÁTICAS IICuadernillo de procedimientos para el aprendizaje

Con la colaboración de:Juan Carlos Recéndiz MedinaCuauhtémoc Jiménez OlivaresVíctor Morales HernándezGeorgina Castillo de Hoyos

Coordinación de Educación Media Superior a DistanciaMartha Elena Fuentes Torres

Departamento de Diseño de Material Didáctico y Capacitación:Antonio Cadena Magaña

Revisión y asesoría académica a cargo de:Víctor Manuel Mora González

Diseño Gráfi co:Rebeca García PeñaMildred Ximena Uribe Castañón

Corrección de estilo: Antonio Cadena Magaña

©Secretaría de Educación Pública. México, 2007.

Subsecretaría de Educación Media Superior Dirección General del BachilleratoEducación Media Superior a Distancia

ISBN: En trámiteDerechos Reservados

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ÍNDICE

4

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

LAS LEYES DE SENOS

Y COSENOS

POLÍGONOS Y

CIRCUNFERENCIA

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

7

30

55

72

126RESPUESTAS

44


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La asignatura de Matemáticas II, tiene como propósito introducirte en el estudio de la Geometría y la Trigonometría; su estudio te ayudará a visualizar y analizar geométri-camente los problemas que se presentan en tu entorno, así como hacerte hábil en la construcción de modelos matemáticos para su estudio y posible solución.

Desde el punto de vista práctico, el estudio de la Geometría y la Trigonometría te proporciona herramientas útiles para estudiar diversas situaciones o fenómenos desde una o ambas perspectivas, según la información disponible y la conveniencia de tales representaciones. De esta forma, su inclusión en el segundo semestre del plan de estudios del bachillerato general, posibilita que apliques dichos conocimientos en la modelación de fenómenos, en la asignatura de Física I y en el estudio del la Geome-tría Analítica del tercer semestre, así como del Cálculo Diferencial e Integral, del V y VI semestres.

Por otra parte, además de que los conocimientos que obtengas al estudiar Matemá-ticas 2 te servirán para emprender el estudio de otras asignaturas, también te servirá para resolver problemas parecidos a los que afrontan los Ingenieros civiles cuando tienen que diseñar puentes o carreteras, o a los que tienen frente a sí los Arquitectos cuando quieren conjugar belleza con funcionalidad al diseñar casas o edifi cios. Los Geógrafos, por su parte, se benefi cian de estos conocimientos cuando estudian los diversos accidentes geográfi cos y sus implicaciones; los marinos logran calcular con exactitud el rumbo mediante la aplicación de conocimientos trigonométricos, etc.

La Asignatura de Matemáticas II comprende cuatro Unidades que van de lo más sim-ple a lo relativamente complejo.

En la primera Unidad: Ángulos y triángulos, revisarás los aspectos básicos de estos dos temas y sus aplicaciones más simples, además de servirte como punto de partida para el estudio de las siguientes Unidades.

La Unidad 2: Polígonos y Circunferencia te llevará por el estudio de las propiedades de estas fi guras geométricas para identifi car con exactitud todos sus elementos distin-tivos.

En la Unidad 3: Funciones trigonométricas, estudiarás los conceptos básicos de las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo conocidas como fun-ciones trigonométricas, utilizando tanto el circulo unitario como las coordenadas cartesianas rectangulares; con ello sentarás las bases necesarias para el abordaje de diversos fenómenos físicos.

Por útlimo, en la Unidad 4 titulada Las leyes de senos y cosenos, verás la defi nición

PRESENTACIÓN

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¿ ¿de cada una de ellas y su aplicación para determinar diversos elementos de triángulos que no poseen ningún ángulo recto y que de manera genérica se describen como triángulos oblicuángulos.

Se abordarán así, problemas del medio circundante (económicos, sociales, ambienta-les, demográfi cos, etc.) y de diferentes campos del saber, que propicien el desarrollo del pensamiento crítico y refl exivo (en el ámbito matemático y en el contexto social) así como una actuación comprometida del alumno.

Resumiendo, los contenidos a revisar en este programa serán los siguientes:Unidad I. Ángulos y triángulosUnidad II. Polígonos y circunferenciaUnidad III. Las funciones trigonométricasUnidad IV. Las Leyes de Senos y Cosenos

Objetivo de la asignatura: Resolverás problemas geométricos y trigonométricos de carácter teó-rico o de aplicación práctica, provenientes del ámbito escolar o de su vida cotidiana, mediante el uso de técnicas, conceptos y procedimientos de la geometría plana y la trigonometría, que favorezca la deducción delcomportamiento gráfico de las figuras formadas por líneas en el plano (Geometría Euclidiana) y una aplicación correspondiente a la medición de triángulos (Trigonometría), mostran-do interés científico y actitudes críticas, reflexivas y responsables, que le permitan su desenvolvi-miento.

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UNIDAD

1ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

Objetivo de la unidad: Resolverás problemas geométricos de tipo teórico o práctico de distintos ámbitos, mediante la apli-cación de técnicas de medición de ángulos en el plano y su clasificación, así como las correspondientes a la medición de triángulos utilizando razonamientos analógicos y deductivos para recuperar los conceptos de semejanza y congruencia, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

Iniciamos el estudio de la asignatura de Matemáticas II ¡Recibe la más cordial bienvenida!

A lo largo de este curso aprenderás temas y adquirirás habilidades que te servirán para crecer como persona y también para tu preparación posterior. Por supuesto que es necesaria tu dedicación y empeño desarrollando todas las actividades de aprendizaje y siguiendo atentamente las indicaciones de tu Asesor. Te sugeri-mos conseguir un cuaderno de cuadrícula para resolver todos los ejercicios y un juego de geometría para efectuar los trazos necesarios.

¿Qué estudiaremos en esta Unidad? Como el título nos lo indica, veremos dos grandes temas: los ángulos y los triángulos.

Dentro del tema ángulos recordarás –o aprenderás, si es el caso- qué es un ángulo, cuáles tipos hay, cómo se miden y pasarás de la teoría a la práctica al construir ángulos y medirlos con el auxilio de un transportador. Mención aparte merecen los ángulos que se forman por dos rectas paralelas y una secante que se estudian en la parte fi nal de este apartado; su estudio será de mucha utilidad en temas o asignaturas posteriores.

En el tema triángulos, se revisará su defi nición y clasifi cación; cuáles son las rec-tas notables que existen en ellos y cómo se determinan; asimismo, verás como se calculan sus perímetros y áreas, y cómo se determinan los ángulos interiores o exteriores de cualquier tipo de triángulo. Como temas especiales aprenderás qué es la congruencia y la semejanza de los triángulos y aplicarás el célebre Teorema de Pitágoras en la resolución de diversos problemas.

Para guiar tu estudio de los contenidos de la Unidad te sugerimos orientarte por las siguientes preguntas:

¿Cuál es la defi nición de ángulo? ¿Qué elementos lo constituyen?¿En qué se distingue un ángulo cóncavo de un ángulo convexo?¿Bajo que condiciones dos ángulos son suplementarios?

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¿ ¿¿Qué condición debe cumplirse para afi rmar que dos ángulos son complementarios?¿Cómo se clasifi can los triángulos?¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo? ¿Cuánto vale la suma de sus ángulos exteriores?¿Bajo qué condiciones dos triángulos son congruentes? ¿Cuándo son semejantes dos triángulos?¿Cuál es el enunciado del Teorema de Pitágoras? ¿Para qué tipos de triángulos funcio-na este teorema?

¿En qué puedes apoyarte para aprender lo más y mejor posible sobre los temas de esta unidad? En cualquier libro que tengas a tu alcance y que trate sobre Geometría Plana y Trigonometría. Si te es posible, te recomendamos la consulta de los siguientes textos que además de ser actualizados, desarrollan todos los temas del curso:

• García, Miguel y Manuel Rodríguez. Matemáticas 2, Bachillerato. México. ST Editorial. 2005• Ruiz Basto, Joaquín. Matemáticas II, Bachillerato General. México. Publicaciones Cultural, 2005• Ortiz Campos, Francisco. Matemáticas II, Geometría y Trigonometría. México. Publicaciones Cultural, 2005

Artículos de la Enciclopedia Encarta

Si cuentas con este software en tu centro de servicios, consulta los siguientes artículos que te servirán para profundizar en los temas de la Unidad:

ÁnguloÁreaCuadrado (geometría)CurvasDemostración matemáticaEquivalenciaEuclides (matemático)GeometríaTriángulo (fi gura)Trigonometría Sitios web recomendados

http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm Un sitio muy interesante donde encontrarás información de los polígonos, cuerpos

Geometría del espacioGeometría planaOrtocentroPolígonoProporciónSemejanzaSimetríaRené DescartesTeorema de Pitágoras

Otras Fuentes de Consulta

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con volumen, biografías y fi chas de trabajo.

http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm que contiene un tutorial de Geometría plana elemental.

http://platea.pntic.mec.es/%7eablanco/gi/index.htm es un sitio en el que puedes inte-ractuar manipulando las fi guras y observando cómo se ubican los diferentes elementos, rectas notables de triángulos construcción, etc. Te lo recomendamos ampliamente.

http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-triangulos.htm Formularios, ta-blas y constantes matemáticas.

Programas de televisión educativaDe la serie de programas de televisión educativa para apoyar la Asignatura de Mate-máticas 2 te recomendamos observar los siguientes para profundizar en los contenidos que revisarás:

Programa 1.- Área, volumen y unidades de medición Este programa te ayudará a entender algunos de los conceptos básicos y aplicaciones de la Geometría y del Sistema Métrico Decimal.

Programa 2.- Longitud y generación de curvasLos contenidos de este programa tienen como propósito que aprendas a identifi car los tipos básicos de curvas, a conocer los métodos de medición de curvas y sus aplicacio-nes así como el surgimiento de la geometría fractal.

Programa 7.- La recta.El programa de televisión educativa “La recta” te ayudará a conocer las formas para medir la pendiente de una recta y la función de los triángulos dentro de la medición de una recta. Te invitamos a observarlo con atención en tu Centro de Servicios

Programa 8.- “Clasifi cación del triángulo” El triángulo tiene múltiples y varios usos en la vida cotidiana. Para conocer más de este tema te invitamos a observar el programa de televisión educativa “Clasifi cación del triángulo”

Programa 9.- “Medición de ángulos y lados del triángulo” ¿Te cuesta trabajo entender que es el “seno” o el “coseno” de un ángulo? ¿Cuál fue la mayor aportación de Pitágoras a las Matemáticas? Estas y otras preguntas podrás contestarlas al observar el programa de televisión educativa “Medición de ángulos y lados del triángulo”.

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¿Cómo aprendo?

Iniciamos el estudio de los temas de esta primera Unidad haciéndote las reco-mendaciones siguientes:• Consigue un cuaderno de cuadrícula y un juego de geometría (escuadras, compás y transportador) para que realices todos los trazos que se piden en las actividades. Esto te será de mucha utilidad para lograr aprendizajes efectivos.• Consulta a tu Asesor para resolver las dudas que puedan surgirte y en un ambiente cordial y de respeto, trabaja con tus compañeros las actividades que te sean asignadas. La fi nalidad es que el grupo se vuelva una comunidad de aprendizaje.

1.1. ÁNGULOS EN EL PLANO

Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos relacionados con ángulos en el plano, mediante la identificación, clasificación y medición de los mismos.

1.1.1. Defi nición de ángulo

Investiga en la bibliografía a tu alcance la defi nición de ángulo y anótala en las líneas siguientes. Acompaña la defi nición con un esquema que muestre los ele-mentos de un ángulo y la forma de nombrarlos.

Un ángulo es: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Esquema de un ángulo, sus elementos y su notación

Tomando como referencia los puntos, traza los ángulos que se solicitan:

C

B

AP

R

Q U

S

T

<ACB <PRQ <STU

1111

¿Cómo aprendo?

1.1.2. Clasifi cación de los ángulos

Los ángulos se pueden clasifi car de diferentes formas, especialmente tanto por sus medidas como por la posición de sus lados. En los cuadros siguientes he-mos anotado los nombres. Investiga la descripción y anótala en el cuadro corres-pondiente. No olvides dibujar un ejemplo de cada uno de ellos.

Completa el cuadro siguiente, en el que concentrarás información sobre la cla-sifi cación de los ángulos por la posición de sus lados:

Clasifi cación de los ángulos por la posición de sus lados

Clasifi cación de los ángulos pos sus medidas

Llano

Agudo

Obtuso

De una vuelta

Recto

Cóncavo

Convexo

Tipo de ángulo Descripción Ejemplo


Adyacentes

Opuestos por el vértice

121212

¿Cómo aprendo?

Una clasifi cación especial incluye a los ángulos complementarios y suplemen-tarios. Investiga y completa el cuadro siguiente:

1.1.3. Medición de ángulos en el sistema sexagesimal

Se llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del ángulo que resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por tanto, el ángulo recto mide 90º.

Con la ayuda del transportador y las escuadras construye en el espacio siguiente ángulos de 25º, 135º, 45º, 123º, 180º, 90º, 190º, 0º, 270º, 330º, 360º. Anota, de acuerdo a las clasifi caciones revisadas en el tema anterior, de qué tipo es cada uno de ellos.


Suplementarios

Complementarios

1313

¿Cómo aprendo?

Comparte con tus compañeros y Asesor, tus razones para clasifi car a los ángu-los en la forma que lo hiciste. A partir de lo discutido en la sesión, corrige tu ejercicio si es necesario. Si te es posible conectarte a Internet, visita la dirección

http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulos1.htm que presenta una página interactiva para dibujar ángulos de cualquier medida.

1.1.4 Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

Al ser cortadas dos rectas paralelas por una secante se forman ángulos con características especiales de igualdad. Revisa detenidamente la fi gura que pre-sentamos a continuación y anota a los ángulos en la clasifi cación que les co-rresponde:

1 2

4 3

7

65

8

Ángulos correspondientes iguales:

<___ = <____ ; <____ = <____; <____ = <____; <____ =<____

Ángulos alternos internos iguales: <___ = <____ ; <____ = <____

Ángulos alternos externos iguales: <___ = <____ ; <____ = <____

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¿Cómo aprendo?

1.2 TRIÁNGULOS

Objetivo temático: Resolverás problemas de triángulos de tipo teórico y prácticos aplicando los conceptos, técnicas y procedimientos relativos a los triángulos y sus propiedades geométricas, la semejanza y congruencia y el Teorema de Pitágoras.

1.2.1 Defi nición y clasifi cación de los triángulos

Desarrolla las actividades de aprendizaje que se te indican:

Busca en libros de Matemáticas o en la Enciclopedia Encarta la defi nición de triángulo. Anótalas en tu cuaderno y en el espacio siguiente. Comparte tus ha-llazgos con tus compañeros y con tu Asesor, traten de llegar a una defi nición que todos comprendan.

Un triángulo es: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________

• Clasifi cación de los triángulos

Los triángulos se clasifi can tanto por la longitud de sus lados como por su ampli-tud. Llena los cuadros siguientes buscando la información que sea necesaria:

Clasifi cación de los triángulos por la longitud de sus lados

Tipo de triángulo Descripción Dibujo de ejemplo

Equilátero

Isósceles Escaleno

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¿Cómo aprendo?

Clasifi cación de los triángulos por la amplitud de sus ángulos

Tipo de triángulo Descripción Dibujo de ejemplo

Rectángulo

Acutángulo

Obtusángulo

Para las siguientes fi guras anota la clasifi cación de acuerdo a lo que acabas de estudiar.

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¿Cómo aprendo?

• Rectas notables en el triángulo

Busca información sobre las descripciones de los puntos y rectas notables de los triángulos y anota lo que encuentres en las líneas siguientes:

Baricentro: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Circuncentro

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ortocentro_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Incentro_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Recta de Euler____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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¿Cómo aprendo?

Altura_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Mediana_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Mediatriz_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Bisectriz de un ángulo_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Con ayuda de las escuadras y el compás, en los triángulos siguientes traza las medianas. e indica el nombre del punto en el que se cruzan las medianas. Pide ayuda a tu Asesor en caso de tener dudas

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¿Cómo aprendo?

Con ayuda de las escuadras y el compás, en los triángulos siguientes traza las mediatrices. e indica el nombre del punto en el que se cruzan tales rectas. Pide ayuda a tu Asesor en caso de tener dudas

Con ayuda de las escuadras y el compás, en los triángulos siguientes traza las al-turas e indica el nombre del punto en el que se cruzan las medianas. Pide ayuda a tu Asesor en caso de tener dudas

Con ayuda de las escuadras y el compás, en los triángulos siguientes traza las bisectrices de cada uno de los ángulos e indica el nombre del punto en el que se cruzan las bisectrices. Pide ayuda a tu Asesor en caso de tener dudas

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¿Cómo aprendo?

Mis observaciones sobre la posición relativa del baricentro, ortocentro, circun-centro e incentro en la Recta de Euler

Siguiendo con el proceso y a manera de resumen, haz los trazos necesarios para ubicar el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro para cada uno de los triángulos. Une los puntos mediante una recta (recta de Euler) y observa con atención la posición que tiene cada punto respecto de los demás. Anota tus observaciones y discútelas con tus compañeros y tu Asesor.

Ángulos interiores y exteriores en los triángulos

Actividad especial: en tu cuaderno, en una hoja blanca o trozo de cartulina dibuja tres triángulos de formas y medidas diferentes cada uno. Una vez que hayas concluido recorta las fi guras y para fi nalizar corta las tres esquinas de cada triángulo, únelos por los vértices y determina cuántos grados suman juntos los tres ángulos. Haz tus observaciones en el cuadro siguiente.

Mis observaciones y conclusiones

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¿Cómo aprendo?

Indaga en la bibliografía a tu alcance o en la Enciclopedia Encarta cuánto suman los tres ángulos interiores de un triángulo. Anota los resultados de tu investiga-ción:

Los ángulos interiores de un triángulo suman: _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para la siguiente actividad dibuja dos triángulos más diferentes en tamaño y for-ma al que mostramos. Al igual que en éste, prolonga los lados aproximadamen-te 1.5 cm marcando los ángulos exteriores y midiéndolos con el transportador. Anota tus observaciones en cada caso.

Para este triángulo, la suma de los ángulos exteriores es igual a: _____ + _____ +_____ =

Ahora haz los dos dibujos de triángulos solicitados y efectúa la suma de los ángulos exteriores para cada uno de ellos.

<A=

<B=<C=

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¿Cómo aprendo?

• Perímetros y áreas de los triángulos

Posiblemente recuerdes que el perímetro de una fi gura plana equivale a la suma de las longitudes de sus lados. En consecuencia si se quiere obtener el perímetro de un triángulo debemos sumar las longitudes de sus tres lados.

Si nombramos con las letras a, b y c a los lados de un triángulo ¿Cuál será la fórmula para obtener su perímetro? Escríbela enseguida:

P =

¿Recuerdas la característica esencial de un triángulo equilátero? ¡Por supuesto! Sus tres lados y ángulos son ________________. Por lo que para este tipo de triángulo, la fórmula del perímetro se puede simplifi car. Anota a continuación cuál sería esta fórmula:

P =

Para calcular el área de un triángulo se utiliza la fórmula bien conocida:

A =

Siendo:

A = área del triángulob = longitud de la base del triángulo.h = longitud de la altura del triángulo

Apliquemos ahora estas fórmulas para resolver los problemas que se proponen a continuación:

a) Observa la fi gura y determina su perímetro y su área

A

5 cm5 cm

4 cm

6 cmBC

bh2

222222

¿Cómo aprendo?

El perímetro se calcula P = _____ + _____ + _____ = ______ cm

y aplicando la fórmula para calcular el área, tendremos:

b) Se tiene el triángulo equilátero cuyos lados miden 6 cm y su altura tiene un valor de aproximadamente 5.2 cm. Dibuja la fi gura correspondiente y determina su perímetro y su área.

• Congruencia de triángulos

Investiga sobre el tema de congruencia y desarrolla lo que se pide a continua-ción:

Complementa la siguiente descripción:

Dos triángulos son congruentes cuando:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________El primer criterio de igualdad entre triángulos afi rma que si dos lados de un triángulo y el ángulo que forman son iguales respectivamente a los de un segun-do triángulo, ambos son congruentes o iguales. Observa las fi guras siguientes y complementa lo que falta:

M

N

O

O

PR

A=( )( )2

cm2

2= =

El lado MN es ______ al lado ______El lado ___ es igual al lado ________El ángulo ____ es _____ al <S

En conclusión, el MNO es _________ o __________ al triángulo PQR

En conclusión, el MNO es _________ o __________ al triángulo PQR

2323

¿Cómo aprendo?

¿Cuáles lados son iguales? _____ = _____ _____ = _____ _____ = _____ El tercer criterio afi rma que si dos triángulos tienen un lado y dos ángulos igua-les, entonces son triángulos congruentes o iguales. Dibuja dos triángulos que cumplan con este criterio.

• Semejanza de triángulos

Completa el enunciado siguiente:

Se dice que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos __________ y sus lados correspondientes ____________________.

A B

C

D

E

F

El segundo criterio expresa que si dos triángulos tienen sus tres lados respectiva-mente iguales, ambos triángulos son correspondientes o iguales entre sí. Revisa las siguientes fi guras, mide los lados de cada una y determina si son correspon-dientes o iguales.

242424

¿Cómo aprendo?

¿Los triángulos son semejantes? ¿Por qué?

• Teorema de Pitágoras

Anota el enunciado del teorema de Pitágoras y su expresión matemática:

En la siguiente fi gura, hemos dibujado cuadrados tomando como base las di-mensiones de cada uno de los catetos y la hipotenusa. Tu tarea será dividir cada uno de los cuadrados en pequeños cuadros de aproximadamente 1cm x 1 cm. Suma el total de cuadritos que aportan los dos catetos y compáralos con los cua-dritos que aporta la hipotenusa. Escribe un pequeño comentario sobre lo que aprecias y relaciónalo con la expresión del teorema de Pitágoras.

Los triángulos que se muestran son semejantes. Mide los ángulos, los lados y anota lo que hace falta para completar las expresiones que demuestran la seme-janza entre ellos.

<A = <___ <___ =<___ <___ = <___

A

B

C

A’

B’

C’

A BA’B’

B CB’C’ = _____ == _____ == _____ =A C

A’C’

2525

¿Cómo aprendo?

Mis observaciones: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Utilizando la expresión matemática del teorema de Pitágoras y haciendo los despejes necesarios, completa la tabla siguiente:

Espacio para cálculos:

Medida del cateto A Medida del cateto B Medida de la hipotenusa 3 4 2 6 5 8 1 2 1 2 1 2

262626

¿Qué he aprendido?

A) B) C)

D) E)

Elige la opción que conteste correctamente las siguientes cuestiones.

1. Abertura formada por dos semi-rectas con un mismo origen llamado vértice.A) ParalelasB) PlanoC) ÁnguloD) TriánguloE) Perpendiculares

2. ¿Qué nombre recibe la unidad de medida que sirve para calcular la abertura de un ángulo?A) CentímetroB) GradoC) MetroD) MilímetroE) Kilómetro

3. Otra unidad de medida que puede tener un ángulo es...A) el radianB) la longitudC) el pesoD) la masaE) el radio

4. ¿Cómo se escribe en notación matemática 25 grados 12 minutos y 6 segundos?A) 25° 6’ 12”B) 25° 12’ 6”C) 25° 12.6”D) 25° 6.12”E) 25° 12’ 60”

5. ¿Cuál de las siguientes fi guras corresponde a un ángulo de 90°?

6. ¿Cuál de las siguientes fi guras representa el ángulo que mide 180°?

A) B) C)

D) E)

2727


7. El ángulo que es menor a 90° o a un cuarto de vuelta, se denomina...A) llano.B) recto.C) agudo.D) obtuso.E) cóncavo.

8. ¿Cómo se llama el ángulo que mide 90°?A) RectoB) AgudoC) ObtusoD) CóncavoE) Llano

9. El ángulo que es mayor a 90°, pero menor a 180°, se conoce como:A) llano.B) obtuso.C) recto.D) cóncavo.E) agudo.

10. Ángulo que mide 180°.A) agudoB) rectoC) obtusoD) cóncavoE) llano

11. Nombre que recibe el ángulo que es mayor a 180° pero menor a 360°.A) ObtusoB) CóncavoC) LlanoD) AgudoE) Recto

12. Si el valor de< es de 35º, ¿cuál es el valor del ángulo >?

A) 145ºB) 125°C) 55ºD) 15ºE) 10º

282828


13. Si el valor de es de 125º, ¿cuál es el valor del ángulo ß?

A) 180°B) 150°C) 100°D) 55°E) 25°

14. Si el valor de es de 220º, ¿cuál es el valor del ángulo ß?

A) 50ºB) 100ºC) 140ºD) 270°E) 360°

15. ¿Qué nombre recibe la fi gura geométrica determinada por tres rectas, que se cortan en tres puntos diferentes?

A) CuadradoB) TriánguloC) RectánguloD) RomboE) Trapecio

16. ¿Qué nombre recibe el triángulo cuyos tres lados son desiguales?A) EquiánguloB) EquiláteroC) AcutánguloD) IsóscelesE) Escaleno

17. ¿Qué nombre recibe el triángulo que tiene dos lados iguales?A) IsóscelesB) AcutánguloC) EquiláteroD) RectánguloE) Obtusángulo

18. Triángulo que tiene sus tres lados iguales.A) EscalenoB) EquiláteroC) RectánguloD) ObtusánguloE) Isósceles

ß

ß

2929


19. Triángulo que tiene un ángulo recto.A) EquiláteroB) AcutánguloC) EscalenoD) EquiánguloE) Rectángulo

20. ¿Qué nombre recibe el triángulo que tiene tres ángulos agudos?A) AcutánguloB) IsóscelesC) RectánguloD) EquiánguloE) Obtusángulo

21. Triángulo que tiene un ángulo obtuso.A) RectánguloB) AcutánguloC) IsóscelesD) EscalenoE) Obtusángulo

22. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta AB que bisecta el ángulo A y llega hasta el lado opuesto de la recta”, se defi ne como...

23. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta que parte del vértice C y que es perpendicular al lado”, se defi ne como...

C B

A

D

A) mediana.B) mediatriz.C) bisectriz.D) altura.E) media.

C

AD

B

A) bisectriz.B) altura.C) mediana.D) mediatriz.E) media.

303030


24. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta que parte del vértice C hasta el punto medio del lado”, se defi ne como...

A) altura.B) bisectriz.C) mediatriz.D) mediana.E) media.

25. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta que parte del punto medio del lado en forma perpendicular” se defi ne como...

A) mediatriz.B) mediana.C) altura.D) bisectriz.E) media.

26. ¿Qué triángulos son congruentes de acuerdo al postulado l • a • l ?

A) II - IVB) I - IIIC) I - IID) III - IVE) I – IV

27. ¿Qué triángulos son congruentes de acuerdo al postulado a • l • a?

A) I - IIB) II – I VC) II - IIID) I - IIIE) I – IV

A B

C

D

A B

C

D

E

(I) (II)

(III) (IV)

60°60°

60°60°

4

4

4

4

10

10

10

10

(I) (II)

(III) (IV)

40° 75°85° 35°

75° 35°

40° 85°

3131


28. ¿Qué triángulos son congruentes de acuerdo al postulado l • l • l?

A) II - IVB) II - IIIC) I - IIID) I - IVE) I – II

29. Apoyándote en el concepto de semejanza de triángulos, encuentra el valor de las incóg-nitas “x” y “y”.

A) x = 28.8 y = 23.5B) x = 45 y = 14.4C) x = 28.8 y = 40D) x = 20 y = 27E) x = 27 y = 20

30. Apoyándote en el concepto de semejanza de triángulos, encuentra el valor de las incóg-nitas.

A) x = 6 y = 2B) x = 2 y = 128C) x = 48 y = 2D) x = 128 y = 2E) x = 2 y = 48

(I) (II) (III) (IV)4 3

5

54

3

2 3

4

6

4

8

A B

C

18

X 2430

R

y QP

36

16C

B6

A

C

P Q

R

16y

48

323232

Quiero saber más

El triángulo de Penrose y el trabajo artístico de M. C. Escher

¿Te gustan las ilusiones ópticas? Observa atentamente la fi gura que se cono-ce como triángulo de Penrose ¿Qué observas? ¿Cómo podrías describirlo? ¿Es posible construirlo realmente?

M.C.Escher es el artista que mejor ha refl ejado gráfi camente el pensamiento matemático moderno. Aún sin ser matemático, sus obras muestran un interés y una profunda comprensión de los conceptos geométricos, desde la perspectiva a los espacios curvos, pasando por la división del plano en fi guras iguales. En su obra Cascada (1961) toma como base el triángulo (más conocido como el tribar de Penrose)

3333

Quiero saber más

Penrose defi ne al tribar como una fi gura triangular en tres dimensiones imposible porque su existencia está basada en uniones de sus lados formadas por elementos corrientes pero incorrectos. Aunque cada uno de los ángulos que forman este trián-gulo parece correcto, los tres son rectos y suman 270º. Escher marca el absurdo de la imagen mediante una corriente de agua que sube hasta una cascada desde la cual cae en un perpetuum mobile (movimiento perpetuo).

2 Les parapluies de Verone

1 Bats and Angels

3 Lobachevskian space

1

2 3

3434


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UNIDAD

2POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

Objetivo de la unidad: El estudiante resolverá proble-mas relacionados con polígonos y circunferencia, de tipo teórico o prácticos en distintos ámbitos, mediante la aplicación y el análisis de teoremas, recta, triángulos y ángulos, en un ambiente escolar que favorezca el de-sarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

¿Alguna vez te has preguntado qué conocimientos requieren los arquitectos, ingenieros ci-viles, carpinteros e ingenieros mecánicos para diseñar y construir casas, puentes, carreteras, muebles o automóviles? En esta unidad conocerás los elementos básicos que ellos utilizan en el diseño de maquinaria, interiores de casas-habitación, equipo, herramienta y para la construcción de muebles, edifi cios, puentes y jardines. Asimismo, si es de tu agrado el arte de pintar, con el estudio de los temas de esta unidad tendrás las bases para plasmar con mayor facilidad todas las ideas que vengan a tu imaginación.

¿Sabías que existen mediciones que al hombre le resultan imposibles hacer de manera di-recta como el caso de determinar las distancias astronómicas? ¿Cómo pueden, entonces, los astrónomos determinar tales distancias? ¿En qué se basan? ¿Cuáles conocimientos aplican? Sorprendentemente, te darás cuenta de que los cálculos astronómicos tienen su fundamento en los temas que aborda la presente Unidad.

En el primer tema de la unidad distinguirás entre polígonos y poligonales, entre polígonos regulares e irregulares; clasifi carás a los polígonos regulares de acuerdo a su número de lados. De ellos conocerás, además, sus elementos básicos: el radio, el apotema y las diago-nales que pueden ser trazadas desde cualquiera de sus vértices. Estudiarás, más adelante, la forma de determinar los ángulos interiores y exteriores de cualquier polígono, tema que se verá reforzado al revisar la triangulación de polígonos. Para fi nalizar estudiarás los métodos que se utilizan para calcular correctamente perímetros y áreas de polígonos.

Como segundo y último tema de la unidad se tratarán los conceptos de circunferencia y circulo, con lo cual aprenderás a diferenciarlos; asimismo, conocerás sus elementos (radio, cuerda, tangente, secante, diámetro, arco) y la clasifi cación de los ángulos en la circunfe-rencia (central, inscrito y circunscrito). Esto te permitirá resolver problemas, comenzando con ejercicios sencillos hasta llegar a aplicarlos en una situación real. Cabe mencionar que la rueda (una aplicación del círculo) no fue inventada por el hombre, sino que solamente la descubrió y se encargó de darle un uso diverso en la industria y en el hogar para satisfacer una múltiple gama de necesidades de la humanidad entera; entre las múltiples aplicaciones de la rueda podemos mencionar las llantas de automóviles, los discos de frenado, los siste-mas de engranajes, etc. Ahora es tu turno para que llegues a descubrir aquello que aún se

35


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¿

¿ ¿

encuentra escondido en los misterios de la ciencia.

Es necesario que trabajes en equipo en la realización de las actividades e investiga-ciones que se te sugieren para que se compartan cada una de las experiencias y se enriquezca la experiencia en el aula, propiciando que tanto tú como tus compañeros expresen sus opiniones tal como las perciben.

Para obtener aprendizajes sólidos al estudiar los temas de esta unidad te sugerimos volver a repasar la clasifi cación de los ángulos, especialmente la que corresponde a los ángulos complementarios y suplementarios ya que te serán de gran utilidad para resolver problemas relacionados con la suma de ángulos interiores y exteriores en los polígonos. Otro contenido relevante para abordar los temas de esta Unidad es el teorema de Pitágoras, por lo que se sugiere que lo vuelvas a practicar. Emplea tu ima-ginación y creatividad para que desarrolles tus talentos y logres ver esta unidad como aquella que te permitirá darle una aplicación en tu entorno, haciendo cuanto puedas a través del uso de tu juego de geometría en el trazo de polígonos y circunferencias.

El problema al que te puedes enfrentar es el no saber distinguir el vértice dados tres puntos en los polígonos y la circunferencia. También deberás saber sustituir y despejar para que evites cometer algún error de operación.

Una de las maneras que te permiten comprobar tus resultados en la geometría plana, es el de hacer los trazos y dibujar cada una de las fi guras haciendo uso de tu transpor-tador, escuadras y compás, esto te permitirá ubicar los datos e imaginar previamente la posible solución comprobando así los cálculos que realizarás.

Bibliografía

Como ya se señaló en la presentación del Cuadernillo, no se exige un texto en particu-lar para el desarrollo de las actividades de aprendizaje, sin embargo los que citaremos a continuación te pueden ser de mucha utilidad por su actualidad y apego al Programa de estudios.



3636


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¿

¿ ¿Artículos de la Enciclopedia Encarta

Si cuentas con este software en tu centro de servicios, consulta los siguientes artículos que te servirán para profundizar en los temas de la Unidad:

polígonopoliedroprismacircunferenciacírculonavegacióncírculo máximoradiánsistema de coordenadas astronómicasStonehengeGrado (matemáticas)

Sitios web recomendados

http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm Un sitio muy interesante donde encon-trarás información de los polígonos, cuerpos con volumen, biografías y fi chas de tra-bajo.

http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm que contiene un tutorial de Geometría plana elemental.

http://platea.pntic.mec.es/%7eablanco/gi/index.htm es un sitio en el que puedes inte-ractuar manipulando las fi guras y observando cómo se ubican los diferentes elementos, rectas notables de triángulos construcción, etc. Te lo recomendamos ampliamente.

http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-triangulos.htm Formularios, ta-blas y constantes matemáticas.

Programas de televisión educativa

Programa 1.- Área, volumen y unidades de medición Este programa te ayudará a entender algunos de los conceptos básicos y aplicaciones de la Geometría y del Sistema Métrico Decimal.

Programa 2.- Longitud y generación de curvasLos contenidos de este programa tienen como propósito que aprendas a identifi car los

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¿ ¿

¿

¿ ¿

tipos básicos de curvas, a conocer los métodos de medición de curvas y sus aplicaciones así como el surgimiento de la geometría fractal.

Programa 3.- Medición del área de una curvaEste programa te ayudará a identifi car las diferencias del área plana y el área espacial; te ayudará a comprender la importancia de utilizar el geoplano en la medición de áreas y algunas aplicaciones de la medición de áreas.

Programa 4.- Curva y circunferencia En este programa se te proporcionarán elementos para conocer las propiedades del círculo y de la circunferencia, las maneras de calcular el área de un círculo y la longitud de una circunferencia, así como algunas aplicaciones prácticas de estos conocimientos.

Programa 5.- Cálculo de áreas y volúmenesAl observar este programa podrás conocer más de cerca los procedimientos matemáticos del cál-culo de áreas y volúmenes, el fundamento matemático del teorema de Arquímedes y de las apor-taciones del matemático Cavalieri.

Programa 6.- Construcción y uso de poliedros.Con la observación del programa de televisión educativa “Construcción y uso de poliedros” pro-fundizarás en los conocimientos de la geometría del espacio y en el uso de los poliedros en la vida cotidiana.

Programa 7.- La recta.El programa de televisión educativa “La recta” te ayudará a conocer las formas para medir la pen-diente de una recta y la función de los triángulos dentro de la medición de una recta. Te invitamos a observarlo con atención en tu Centro de Servicios

383838

¿Cómo aprendo?

2.1 POLÍGONOS

Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos de polígonos que involucren los diferentes tipos de polígonos, así como el cálculo de sus ángulos, áreas y perímetros.

2.1.1 Defi nición

1.- Observa cada una de las fi guras con atención, fíjate en aquellas caracterís-ticas en las que coinciden y trata de asociarlas con el concepto que las agrupa (poligonal o polígonos). Partiendo de tus observaciones escribe una defi nición con tus propias palabras. Posteriormente investiga en la bibliografía que tengas a tu alcance y discute en grupo tus conclusiones en un ambiente cooperativo para llegar a una defi nición común.

¿Qué es una poligonal? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué es un polígono? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Poligonal

POLÍGONOS

3939

¿Cómo aprendo?

n Nombre REGULAR IREGULAR

3 TRIÁNGULO

4 CUADRILATERO

5 PENTÁGONO

6 HEXÁGONO

7 HEPTÁGONO

8 OCTÁGONO

9 ENÉAGONO

10 DECÁGONO

11 ENDECÁCONO

12 DODECÁGONO

2.1.2 Clasifi cación de los polígonos

1.- Lee con atención la información siguiente:

2.- Partiendo de la información que acabas de revisar, escribe con tus palabras qué es un:

a) POLIGONO REGULAR: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

404040

¿Cómo aprendo?

b) POLIGONO IRREGULAR _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.- Comenta con tu Asesor y tus compañeros tus descripciones y traten de llegar a una idea común.

4.- Revisa con atención la información siguiente:

Los polígonos se clasifi can según sus ángulos en:

a) Cóncavos

b) Convexos

5.- Responde:¿Cuál es el criterio para clasifi car a un polígono como cóncavo o convexo?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.- Lee con atención:

a) Equiángulos. Aquellos cuyos ángulos son iguales, sean irregulares o regula res, por ejemplo:

4141

¿Cómo aprendo?

b) Equiláteros. Aquellos en los que todos sus lados son iguales, sean regulares o irregulares, por ejemplo:

Elementos de los polígonos

7.- Investiga a qué se le llama radio y a qué se le llama apotema de un polígono. Anota las defi niciones que encontraste:Radio:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Apotema:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8.- Para cada uno de los siguientes polígonos dibuja tanto el radio como la apo-tema. Marca con rojo la apotema y con azul el radio.

9.- Para cada uno de los polígonos que te presentamos:

a) Toma un vértice del polígono y partiendo de él dibuja todas las diagonales posibles sin que se crucen entre sí.

424242

¿Cómo aprendo?

11.- Concentra tus resultados en la tabla siguiente

b) Aplicando la fórmula correspondiente, calcula el total de diagonales y compara el resultado numérico con lo que obtuviste en el inciso (a). (Recuerda que en la fórmula n signifi ca el número de lados que tiene el polígono)

Cálculo del total de diagonales (n-3)

Pentágono Hexágono Octágono

2.1.3 Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono

10.- Utilizando escuadras y transportador, marca y mide los ángulos interiores y exteriores de cada polígono.

Pentágono

Hexágono

Octágono

Suma de los ángulos exteriores

Suma de los ángulos interiores

Medida del ángulo exterior

Medida del ángulo interior Polígono

4343

¿Cómo aprendo?

12.- Ahora aplica las fórmulas correspondientes y calcula la suma de los ángu-los interiores y la suma de los ángulos exteriores para cada polígono. Compara estos resultados con los que obtuviste en la actividad anterior y comenta con tu Asesor y tus compañeros tus observaciones acerca de las coincidencias y las diferencias.

Mis comentarios:

2.1.4 Triangulación de polígonos

1.- Investiga en libros y describe con tus palabras en qué consiste la triangula-ción de polígonos y cuál es su utilidad.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.- En los siguientes polígonos traza la triangulación y determina la suma de los ángulos interiores.

Polígono

Pentágono

Hexágono

Octágono

Suma delos ángulos exteriores

Medida del ángulo exterior

Suma de los ángulos interiores

Medida del ángulo interior

S = (n – 2)180° S = n • e(n - 2) 180°n

360°n

e=

444444

¿Cómo aprendo?

Polígono Fórmula para calcular el área Ejemplo

Triángulo

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Cualquier polígono regular

3.- ¿Coincide la suma de los ángulos interiores con lo que calculaste anterior-mente? Anota tus comentarios al respecto y compártelos con tus compañeros y tu Asesor.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.1.5 Cálculo de perímetros y áreas de polígonos.

Investiga en los libros a tu alcance y desarrolla lo que se pide:

1. En términos generales ¿Cómo se determina el perímetro de un polígono?

2. ¿Qué datos son necesarios para calcular el área de un polígono? ¿Qué fórmu-las se aplican?

3. Completa el cuadro siguiente:

4545

¿Cómo aprendo?

2.2 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos y prácticos de la circunferencia y círculo aplicando las propiedades y teorías de los ángulos en la circunferencia, mediante la obtención de perímetro y áreas del círculo y la circunferencia.

2.2.1 Defi nición y elementos de la circunferencia y del círculo

1. Observa atentamente el diagrama que se presenta a continuación y escribe los nombres de cada uno de los elementos de la circunferencia. Si desconoces alguno investiga en libros o en la Enciclopedia Encarta. Comparte tus respuestas con tus compañeros y con tu Asesor.

MN : _______________ PQ : _______________ ST: ____________________

UW: _______________ OR: _______________ O:_____________________

2. Refuerza lo que acabas de aprender resolviendo el crucigrama que te propo-nemos a continuación:

M NR

P

S T

U V W

O Q

13

4 5

6

7

2

464646

¿Cómo aprendo?

Horizontales

1. Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos.6. Cualquier segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasan-do por el centro.7. Recta que toca un solo punto de la circunferencia.

Verticales

2. Punto interior del que equidistan todos los puntos de la curva3. Todo segmento que une un punto cualquiera de la circunferencia con el centro.4. Segmento de recta que une dos puntos no consecutivos de la circunferencia.5. Recta que corta en dos puntos a la circunferencia.

2.2.2 Rectas tangentes a un círculo

¿Cuántos puntos del círculo toca una recta tangente?

1.- En los siguientes círculos dibuja una, dos y tres rectas tangentes, respectiva-mente:

2.2.3 Ángulos en un círculo

1.- Investiga sobre el tema de ángulos en un círculo y completa el cuadro siguiente:

Ángulo Diagrama de ejemplo Fórmula para calcular su medida

Central

Inscrito

Circunscrito

4747

¿Cómo aprendo?

2.- Revisa las siguientes fi guras donde se muestran algunos ángulos con sus fórmulas. Colorea con rojo los arcos y con azul los ángulos correspondientes.

2.2.4 Perímetros y áreas

1.- Investiga el signifi cado de los términos siguientes y utilizando tus palabras describe cada uno de ellos en tu cuaderno de notas o en el espacio que hemos destinado en esta página. Te sugerimos dibujar los diagramas que consideres necesarios para complementar la información.

• Circunferencia________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Círculo________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Pi (π)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Diámetro________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

<B =<C =90°

A B

C B A

C D

A

BO

<AOB=AB <ABC=AC2

<O= AC+BD2

C

D

AB

O

<O= CD - AB2

A

B CDE

484848

¿Cómo aprendo?

• Radio________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________• Área del círculo________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Perímetro de la circunferencia________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Anota a continuación las fórmulas para calcular el perímetro y el área de un círculo. Asimismo, copia algún ejemplo de cómo se aplica cada fórmula colo-cando el dibujo o diagrama que ilustre la solución.

Perímetro de un círculo

Fórmula Ejemplo resuelto con diagrama

Área de un círculo

Fórmula Ejemplo resuelto con diagrama

4949


Instrucción: Relaciona lo que se pide y elige la opción correcta.

1. Relaciona las fi guras con los números romanos.

I. Polígonos

II. No - polígonos

A) I a b c d - II e f g hB) I a c e f - II b d g hC) I a c f h - II b d e gD) I b d g h - II a c e fE) I b d f h - II a c e g

2. Los polígonos ________ son los que tienen ángulos y lados iguales y los ______________ son los de lados y ángulos desiguales.

A) irregulares... regularesB) regulares ... irregularesC) cerrados ... abiertosD) abiertos ... cerradosE) irregulares ... cerrados

3. Relaciona la columna de la izquierda con los polígonos de la derecha.

a) Pentágono.b) Trapecio.c) Rombo.d) Hexágono.e) Rectángulo.f) Octágono.g) Trapezoide.h) Cuadrado.

I. Regulares II. Irregulares

a b c d e f g h

505050


4. Relaciona las fi guras con su nombre:

a b c

I. PemtágonoII. HeptágonoIII. HexágonoIV. OctágonoV. Cuadrilátero

5. Indica el valor del ángulo interior y exterior de un triángulo regular.

A) 120° y 60°B) 135° y 45°C) 30° y 150°D) 45° y 135°E) 60° y 120°a b c de f g h

6. Indica el valor del ángulo interior y exterior de un octágono regular.

A) 108° y 72°B) 120° y 60°C) 135° y 45°D) 45° y 135°E) 72° y 108°

7. Observa los siguientes polígonos y suma sus ángulos internos. Relaciona tu respues-ta con las cifras que aparecen con números romanos.

I. 1080°II. 900°III. 720°IV. 540°V. 360°VI. 180°

e

i

a b c

d e

5151


8. Observa las siguientes fi guras geométricas e indica en cuáles se puede trazar sólo una diago-nal partiendo de un único vértice.

9. Indica el número de diagonales que se pueden trazar y de triángulos que se pueden formar en un heptágono regular, partiendo de un mismo vértice.A) 5 y 4B) 5 y 6C) 4 y 5D) 3 y 4E) 4 y 4

10. Observa las siguientes fi guras geométricas y de acuerdo al orden en que aparecen, indica el número de triángulos que se forman al trazar sus diagonales desde un vértice.

A) 3, 5, 4, 2, 2B) 3, 4, 5, 2, 1C) 3, 6, 4, 2, 2D) 3, 4, 7, 2, 1E) 3, 4, 6, 2, 0

11. Curva cerrada y plana donde todos sus puntos equidistan de otro punto interior llamado centro.A) CírculoB) RadioC) CircunferenciaD) CuerdaE) Secante

a b c d e f g h

A) a - b - c - dB) a - c - f - gC) a - d - e - fD) a - d - f - hE) a - d - g - h

525252


12. A la superfi cie plana limitada por la circunferencia se le llama...A) radio.B) círculo.C) cuerda.D) secante.E) tangente.

13. Es el segmento de recta que va del centro a un punto de la circunferencia.A) DiámetroB) CuerdaC) TangenteD) CírculoE) Radio

14. Es el segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia pasando por el centro del círculo.A) RadioB) CuerdaC) SecanteD) DiámetroE) Tangente

15. Es el segmento de recta que NO intersecta el centro y cuyos extremos son puntos de la circunferencia.A) CuerdaB) SecanteC) TangenteD) RadioE) Diámetro

16. Recta que corta en dos cualesquiera de sus puntos a la circunferencia.A) TangenteB) RadioC) CuerdaD) SecanteE) Diámetro

17. Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.A) RadioB) TangenteC) SecanteD) CuerdaE) Diámetro

5353


18. Segmento de curva marcado o delimitado por dos puntos de la circunferencia.A) ArcoB) RadioC) DiámetroD) SecanteE) Tangente

19. Ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.A) semi-inscritoB) exteriorC) interiorD) inscritoE) central

20. Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y todos sus lados son secantes.A) exteriorB) inscritoC) interiorD) adyacenteE) ex-inscrito

21. Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia en donde uno de sus lados es una tangente y el otro una secante.A) centralB) interiorC) ex-inscritoD) semi-inscritoE) exterior

22. El ángulo adyacente a un ángulo inscrito se conoce como...A) interior.B) semi-inscrito.C) ex-inscrito.D) central.E) exterior.

23. Ángulo cuyo vértice es un punto que está dentro de la circunferencia.A) interiorB) exteriorC) centralD) inscritoE) semi-inscrito

545454


24. ¿Cuál es el valor del ángulo central AOB, si el arco vale 120°?A) 30°B) 60°C) 110°D) 120°E) 240°

25. ¿Cuál es el valor del ángulo inscrito ABC, si el arco vale 110°.A) 250°B) 110°C) 90°D) 55°E) 20°

26. ¿Cuál es el valor del ángulo semi-inscrito ABC, si el arco vale 60°?A) 15°B) 30°C) 60°D) 120°E) 300°

27. ¿Cuál es el valor del ángulo exterior BCD, si el arco vale 40° y el arco vale 110°?A) 75°B) 55°C) 40°D) 35°E) 20°

28. ¿Cuál es el valor del ángulo interno DBC, si el arco vale 30° y el arco vale 120°?A) 75°B) 60°C) 45°D) 30°E) 15°

29. Calcula el valor del ángulo exterior EAB, si el arco vale 60° y el arco vale 10°.A) 5°B) 10°C) 25°D) 30°E) 35°

oB

A

C110°

o

B

A

o

B A

C60°

oB

A

40° D E

oB

A

E C

30°

C

BA

E

10°D

60°

5555

Quiero saber más

30. Calcula el valor del arco , si el ángulo BAE vale 80° y el arco tiene un valor de 10°.A) 10°B) 80°C) 85°D) 150°E) 170°

31. Calcula el valor del arco si el segmento de recta es paralela a , el arco vale 15° y el ángulo EDF vale 25°.A) 65°B) 35°C) 20°D) 15°E) 5°

Instrucción: Desarrolla lo que se pide.

32. Determina para cada uno de los casos siguientes la medida de cada ángulo interior:

A) PentágonoB) HexágonoC) Octágono

33. Determina el número total de diagonales que se pueden trazar en los siguientes polígonos partiendo de un solo vértice:

A) DecágonoB) HexágonoC) Heptágono

34. Determina el número de lados que tiene un polígono regular o irregular cuyos ángulos inte-riores suman:

A) 6840º B) 4140ºC) 1980º

B

A

E

C

D

E

B

FD

A

C

565656


35. Calcular el perímetro de los siguientes polígonos de acuerdo a los datos mostrados:

A) Hexágono de 22 cm de lado y 19 cm de apotema.B) Cuadrado inscrito en una circunferencia de 6cm de radio.C) Trapecio de 40 y 80 cm de base, respectivamente y una altura de 10 cm.

36. El Sr. Juan desea colocar mosaico para el piso de su baño, si cada mosaico mide 25cm x 25cm,

37. En la fi gura, asocie un término del lado izquierdo con los nombres del lado derecho:

a. Radiob. Angulo centralc. Semicírculod. Arco menore. Arco mayorf. Cuerdag. Diámetroh. Secantei. Tangentej. Poligono inscritok. Poligono circunscritol. Circulo inscritom. Circulo circunscriton. Angulo semi-inscritop. Angulo Exteriorq. Angulo inscrito

1. FH2. EF3. circulo O en ABCD4. Cuadrilatero EFGH5. < GCH6. FEG arc7. OE8. < EOF9. IJ10. arc EF11. BC12. < FGH13. arc FGH14. cuadrilatero ABCD15. Circulo O alrededor de EFGH16. < FEA

7m

Sala-comedor Baño Dormitorio

4m8m

5m5m

1m

F B

I

E GO

A

J

CH

D

5757


38. De la siguiente fi gura geométrica se sabe que el área ABCD es de 64 cm2, calcula el perímetro de la fi gura geométrica ABCD así como el área de las partes sombreadas.

A) 8 cm y 24 cm2

B) 16 cm y 24 cm2

C) 16 cm y 32 cm2

D) 32 cm y 24 cm2

E) 32 cm y 32 cm2

39. Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 2 cm y su apotema 1.73 cm.

A) P = 8 cm A = 6.92 cm2

B) P = 12 cm A = 20.76 cm2

C) P = 8 cm A = 20.76 cm2

D) P =12 cm A = 10.38 cm2

E) P = 8 cm A = 10.38 cm2

40. A continuación aparece una moneda antigua de diez pesos, calcula el área de la corona circular donde se lee $10, Diez Pesos, 1998.

A) .45 cm2

B) 1.01 cm2

C) 1.41 cm2

D) 2.90 cm2

E) 3.18 cm2

A B

CD

3 cm 3 cm

3 cm

x

x

1.8 cm

2.7 cm

$10

1998

1=2 cm

1.73 cm

585858

Quiero saber más

Según consta por documentos históricos, existieron al-gunos pensadores griegos que destacaron en diversas ramas del saber. Entre los matemáticos más distinguidos se cuenta a Herón de Alejandría a quien se le debe, entre otras cosas, la invención de la máquina de vapor y de una fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de su perímetro. En la nota siguiente te mostramos algunos datos de su biografía.

Herón de Alejandría (s. I ó II d.C.) es considerado el inventor de la máquina de vapor. A partir del siglo XVIII muchas máquinas empezaron a funcionar gracias a la energía que se obtiene del vapor de agua, sin embargo, diecisiete siglos antes, Herón de Alejandría ya había utilizado las posibilidades energéticas del vapor. Su “máquina de vapor” era una esfera hueca a la que se adaptaban dos tubos curvos. Cuando hervía el agua en el interior de la esfera, ésta giraba a gran velocidad como resultado de la ley de acción y reacción, que no fue formulada como tal hasta muchos siglos más tarde. A pesar de la trascendencia del invento, durante siglos a nadie se le ocurrió darle más utilidad que la construcción de unos cuantos juguetes.

Por otra parte, en su tratado denominado Métrica demostró la fórmula que lleva su nombre:

Área del triángulo = s (s - a) (s - b) (s - c)

Donde: a,b,c son las medidas de los lados del triángulo, s es el semiperimetro s=(a+b+c)/2

La fórmula, que constituye el principal mérito matemático de Herón, es fácil de demostrar con ayuda de trigonometría.

En nuestros días, la fama de Herón se debe, sobre todo, a sus deliciosos tratados sobre autómatas griegos y juguetes hidráulicos, como la paradójica «fuente de Herón» donde un chorro de agua parece desafi ar la ley de la gravedad, pues brota más alta que su venero.

Herón era, sobre todo, un ingeniero. Escribió tratados de mecánica en los que describía máquinas sencillas (ruedas, poleas, palancas ... ).

59


¿

¿ ¿

¿

¿ ¿

UNIDAD

3

LAS FUNCIONES

TRIGONOMÈTRICAS

Objetivo de la unidad : Resolverás problemas de fun-ciones trigonométricas teóricos o prácticos de distintos ámbitos, mediante la aplicación y el análisis crítico y reflexivo de sus propiedades, que permita la resolución de triángulos rectángulos, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

En la primera Unidad tuviste oportunidad de familiarizarte con los triángulos y sus características. Partiendo de tales conocimientos podrás abordar con mayor facilidad los temas que se presentarán en esta Unidad que se intitula “Las Funciones Trigono-métricas”. En ella aprenderás a resolver con el auxilio de la trigonometría, problemas que se presentan en una diversidad de aplicaciones de la vida cotidiana o del trabajo especializado, como es el caso de los ingenieros de la construcción al diseñar es-tructuras, los topógrafos cuando efectúan el trazo de carreteras en terrenos difíciles de transitar y para calcular distancias entre objetos de manera indirecta, es decir, sin necesidad de medir en el lugar con algún instrumento sino a través de un calculo matemático. También es útil para el diseño de estructuras que van desde un puente hasta el diseño de automóviles.

Los temas a tratar en esta tercera unidad son dos:

• Funciones trigonométricas para ángulos agudos y

• Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud.

En el primer tema aprenderás a realizar conversiones de ángulos expresados en gra-dos sexagesimales a radianes y viceversa; posteriormente estudiarás las razones trigo-nométricas como una propiedad de los triángulos rectángulos; conocido lo anterior, mediante cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, podrás obte-ner las funciones recíprocas y por medio de la geometría, y el teorema de Pitágoras, calcularas los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30º, 45º y 60º, lo cual te ayudará a resolver problemas de triángulos rectángulos. Este tipo de problemas tienen la fi nalidad de que aprendas a calcular distancias o longitudes de ríos, cables, etc., y alturas de edifi cios, árboles, personas, etc. con el auxilio de cálcu-los matemáticos y sin necesidad de mediciones de campo.

Una vez que se han estudiado las funciones trigonométricas para ángulos agudos, en el segundo tema comenzarás a determinar los valores para cualquier otro ángulo; por tal razón, será necesario que sepas ubicar a las funciones trigonométricas en el

6060


¿

¿ ¿

¿

¿ ¿plano cartesiano para conocer los signos y valores que adoptan según el ángulo de referencia a emplear. Posteriormente será necesario grafi car cada una de las funciones para conocer su comportamiento periódico y sus variaciones. Se incluye el círculo unitario para comprobar que las funciones trigonométricas de un ángulo son razones que pueden ser representadas mediante segmentos de recta y con ellos se mostrará la ventaja de las funciones de un segmento para obtener las funciones trigonométricas de manera sencilla; por último, se considera el tema de identidades pitagóricas, las cuales serán de gran utilidad en la resolución de problemas. Esto te apoyará sustan-cialmente en la asignatura de Física que cursarás hasta el tercer semestre y te facilitará la simplifi cación de operaciones.

Te invitamos a que realices las actividades que se te proporcionan, así como también, pongas toda la atención necesaria usando tu creatividad y realices ejercicios de prác-ticos en equipo en un ambiente coolaborativo y de respeto, recuerda que las ideas de los demás te permitirán ampliar tu visión.

Para apoyar la resolución de las actividades de aprendizaje puedes utilizar cualquier libro de Geometría o Trigonometría que tengas a tu alcance en el Centro de Servicios. Sin embargo te sugerimos la consulta de los siguientes textos que por su actualidad y apego puntual al programa de estudios te pueden ser de utilidad:


En la Enciclopedia Encarta puedes revisar los siguientes artículos que complementarán el estudio de los temas de la Unidad:

TrigonometríaAnguloCircunferencia goniométricaCosenoCotangenteGrado (matemáticas)GeodesiaSecanteSeno (matemáticas)CosenoCosecante

61


¿

¿ ¿

¿

¿ ¿

Por otra parte, te recomendamos ver en tu Centro de Servicios los siguientes progra-mas de televisión. Cada uno de ellos trata contenidos relevantes y te serán de mucha utilidad. Cuando los observes toma nota de las explicaciones y los ejemplos.

Programa 8.- “Clasifi cación del triángulo” El triángulo tiene múltiples y varios usos en la vida cotidiana. Para conocer más de este tema te invitamos a observar el programa de televisión educativa “Clasifi cación del triángulo”

Programa 9.- “Medición de ángulos y lados del triángulo” ¿Te cuesta trabajo entender que es el “seno” o el “coseno” de un ángulo? ¿Cuál fue la mayor aportación de Pitágoras a las Matemáticas? Estas y otras preguntas podrás contestarlas al observar el programa de televisión educativa “Medición de ángulos y lados del triángulo”.

Programa 10.- Funciones trigonométricas El programa de televisión educativa “Funciones trigonométricas” te ayudará a com-prender mejor cómo se obtienen los valores de las funciones trigonométricas y algu-nas de sus múltiples aplicaciones en la vida cotidiana.

Páginas web recomendadas

http://www.edumedia-sciences.com/a348_l3-circulo-trigonometrico.html presenta una interesante animación de la posición de un punto en el círculo trigonométrico, mostrando simultáneamente la gráfi ca del seno y el coseno del ángulo formado.

www.matebrunca.com/trigonometria/circulo-trigono.doc es un sitio que permite des-cargar un archivo en Word donde se explica de manera muy sencilla la descripción y la aplicación del círculo trigonométrico.

http://www.dim.uchile.cl/~rgormaz/trigo_bas.html es un sitio generado por la Uni-versidad de Chile y tiene información sobre el círculo trigonométrico y las identidades trigonométricas.

626262

¿Cómo aprendo?

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los la-dos y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente signifi ca ‘medida de triángulos’. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la nave-gación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicacio-nes de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la inge-niería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el fl ujo de corriente alterna. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.

Para orientarte en el estudio de los temas que comprende esta Unidad te sugerimos guiarte por las siguientes preguntas:

¿Qué es un radián? ¿Cuál es la relación entre un grado sexagesimal y el radián?¿Cuáles son las funciones trigonométricas? ¿Cómo se defi ne cada una de ellas?¿Qué valores toman las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 60° y 45°?¿Cómo se calculan los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de cual-quier medida?¿Qué signo tienen los valores de cada función dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el lado terminal del ángulo?¿Cómo se utilizan las funciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos?¿Qué características presentan las gráfi cas de las funciones trigonométricas?¿Por qué razón se afi rma que las funciones trigonométricas son “periódicas”?¿A qué se le llama el círculo unitario? ¿Cómo se representan en él cada una de las funciones trigonométricas?

3.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS AGUDOS

Objetivo temático: Resolverás problemas de funciones trigonométricas para ángulos agudos y su apli-cación práctica que involucren conversiones de ángulos y razones y funciones trigonométricas utili-zando métodos de resolución de triángulos rectángulos.

1. Estudia con atención la información siguiente: En un triángulo rectángulo como el que se muestra enseguida, se tiene el ángulo agudo , respecto del cual se pueden establecer razones entre los lados.

opuesto(op)

adyacente(ady)

hipotenusa(hip)

6363

¿Cómo aprendo?

Las primeras tres razones trigonométricas para el ángulo I son:

sen = cos = tan =

2. Aplica lo anterior y, partiendo de la información que presentan cada triángu-lo, obtén los valores del seno, coseno y tangente, para los ángulos y ß

3. Confronta tus respuestas con la solución que se proporciona en la página 87. Si tienes errores, corrígelos y consulta a tu Asesor para resolver las dudas.

3.1.1 CONVERSIÓN DE ÁNGULOS EN GRADOS

A RADIANES Y VICEVERSA

Revisa en la bibliografía que tengas a tu alcance de qué manera se efectúa la conversión de ángulos a radianes y viceversa. Toma las notas necesarias y desa-rrolla las actividades siguientes:4. Estudia con atención los ejemplos siguientes sobre el cambio de medidas angulares:

Para cambiar Multiplicar por Ejemplos

Grados a radianes

Radianes a grados 180π

π180

90°=90 =π180

π2 270°=270 =

π180

3π2

π3 =60°180

ππ3

= = 7π6 =210°180

π7π6

= =

Triángulo sen cos tan sen ß cos ß tan ß

ß35

4

12

1

ß

ß

3

2

1

ophip

adyhip

opady

646464

¿Cómo aprendo?

5. Realizando los cálculos necesarios, completa la siguiente tabla:

Radianes Grados

0

30°

60°

120°

150°

210°

270°

330°

π4

π2

3π4

π

4π3

5π3

2π

6565

¿Cómo aprendo?

6. Examina atentamente los siguientes ejemplos de conversión de ángulos a radianes y viceversa:

a) Convertir a radianes 39° 15’ 45”

Solución: - Convertimos inicialmente los 45” a minutos:

Sumamos el resultado a los 15’ y efectuamos la conversión a grados:

- Añadimos este resultado a los 39° y realizamos la conversión a radianes:

que es el resultado buscado

b) Convertir a grados 1.0532116 rad

Solución: - Multiplicamos por para efectuar la conversión de radianes a grados:

- La fracción de grado se convierte a minutos de la siguiente manera:

- Posteriormente, la fracción de minutos se convierte a segundos:

- La solución es, entonces, 60° 20’ 40”

7. Practica lo aprendido realizando las conversiones que se piden.

I. Convierte a radianes los siguientes ángulos a) 35°15’45” b) 85°30’ c) 100°25’14”

II. Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos a) 1.8 πrad b) 4 πrad c)

45” 1’60”

=0.75’

39.2625° π180°

=0.218π rad

180°π rad

1.0532116 π rad 180°π rad =60.344438°

0.6663 60’ 1° =20.6663’

0.6663 60’ 1° =39.978” 40”

38π rad

666666

¿Cómo aprendo?

3.1.2 Funciones recíprocas

8. Reúnete con dos o tres de tus compañeros y traten de contestar a las preguntas ¿Qué signifi ca en el lenguaje cotidiano el término “recíproco”?¿Qué signifi ca en matemáticas? Traten de obtener acuerdos y posteriormente presenten al grupo sus ideas para tratar de obtener en consenso una defi nición común. Haz tus anotaciones en el espacio siguiente:

9. Completa el cuadro siguiente:

seno

coseno

tangente

cosecante

secante

cotangente

10. Resuelve lo que se pide:

a) Calcula las funciones trigonométricas directas e inversas del ángulo B en el siguiente triángulo rectángulo:

Función trigonométrica Defi nición

Función inversa

Defi nición

csc =_________

sec =_________

cot =_________

12 cm

8 cm

4 √5 cm

A

C B

sen =_________

cos =_________

tan =_________

6767

¿Cómo aprendo?

seno

coseno

tangente

sen B= ________

cos B= ________

tan B= ________

cosecante

secante

cotangente

csc B= ________

sec B= ________

cot B= ________

b) Encuentra la función inversa y su valor correspondiente:

3.1.3 Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para

ángulos de 30°, 45° y 60°

11. Estudia con atención el texto que se presenta a continuación.

En un triángulo equilátero cuyos lados miden 2 unidades cada uno, se ha traza-do la altura y en consecuencia se han obtenido dos triángulos rectángulos con las dimensiones que se muestran en la fi gura siguiente:

23

17

√2==cossen = tan

22

30°

60°

90°

√3

1

La dimensión de la altura del triángulo se calculó aplicando el teorema de Pitágoras:

c2 = a2 + b2

Sustituyendo en la expresión los valores c =2 , a = 1 y despejando, se obtiene el valor de b

b2=c2 - a2

b= c2 - a2

b= 22 - 12

b= 4 - 1b=√3

686868

¿Cómo aprendo?

Para obtener los valores de las funciones trigonométricas de 60° se tomará en cuenta que

Cateto opuesto = Cateto adyacente = 1 Hipotenusa = 2

12. Con toda esta información obtén los valores que se solicitan:

sen 60° =

cos 60° =

tan 60° =

13. Lee con atención y resuelve lo que se pide.

Para el ángulo de 30°, los valores que consideraremos serán:

Cateto opuesto = 1Cateto adyacente = √3Hipotenusa = 2

Y las funciones trigonométricas correspondientes tendrán los siguientes valo-res:

sen 30° =

cos 30° =

tan 30° =

Para obtener los valores que corresponden a un ángulo de 45° trazamos un triángulo rectángulo que tiene las medidas que se muestran:

√3

cateto opuestohipotenusa

cateto adyacentehipotenusa

cateto opuestocateto adyacente

=----------

=----------

=----------

Investiga por qué razón hemos anotado este valor




=----------

=----------

=---------- √3 3

=

6969

¿Cómo aprendo?

Los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45° serán:

sen 45° =

cos 45° =

tan 45° =

14. Concentra en la siguiente tabla los valores para estos ángulos

Valor del ángulo Seno Coseno Tangente

30°

60°

45°




=----------

=----------

=----------

3.1.4 Resolución de triángulos rectángulos

15. Estudia atentamente la información que te presentamos. Investiga en la bi-bliografía a tu alcance sobre el tema y haz tus anotaciones en tu cuaderno de apuntes.

21

1

45°

45°

707070

¿Cómo aprendo?

Solucióna) Encontraremos primero el ángulo Q, recordando que el ángulo N tiene un valor de 90 ° y que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.

M + N + Q = 180°

Q = 180° - (N + Q)

Q = 180° - (90° + 30°20’) = 59°40’

En toda aplicación para la resolución de triángulos se proporcionan datos in-completos o se desconocen algunos de ellos, como en el caso de los ángulos o longitudes de catetos de un triángulo rectángulo. Al procedimiento de encon-trar los valores restantes partiendo de los datos originales, se le conoce como “resolución de un triángulo rectángulo”. Para que esto se cumpla, debes saber resolver problemas sencillos donde apliques las razones trigonométricas para el uso de triángulos rectángulos y recordar el teorema de Pitágoras.

Un triángulo rectángulo puede resolverse cuando se den como datos:

a) Dos ladosb) Un lado y la hipotenusa.c) Un lado y un ángulo agudo.d) La hipotenusa y un ángulo agudo.

Observa la solución a los ejemplos que se muestran a continuación:

Ejemplo 1: Resuelve el siguiente triángulo rectángulo donde se dan como datos un lado y un ángulo agudo.

NM

n

q

m

Q

Datos:m=5M=30° 20’

Incógnitasn=?q=?N=?Q=?S=?

7171

¿Cómo aprendo?

b) Para obtener el valor de los lados q y n, utilizaremos las funciones seno y tangente, porque la primera relaciona el cateto opuesto (m) con la hipote nusa (n) y la función tangente relaciona ambos catetos (m y q).

c) Para obtener el valor de q, tomando en cuenta que ya conocemos el valor de la hipotenusa (n) y el del cateto opuesto (m), podemos utilizar tanto el teorema de Pitágoras como la función tangente. Veamos ambos casos.

Utilizando el teorema de Pitágoras

n2 = m2 + q2

9.92 = 52 + q2

q2 = 9.92 - 52

q= 9.92+52

q= 98.01- 25=73.01=8.544 Utilizando la función tangente:

Como se puede observar, por ambos métodos obtenemos el mismo resultado.

d) La superfi cie del triángulo se obtiene aplicando la fórmula

Ejemplo 2: El techo de una casa habitación construida a doble agua (ver fi gura), tiene una distancia horizontal de 20 mts y una elevación de 3 mts. Calcular la longitud de la parte inclinada del techo y el ángulo de inclinación.

sen M=

sustituyendo=

sen 30° 20’=

despejando:

5n

5n

sen 30°20’5

sen 30°20’n=5

= = 9.9

S= 12

(8.544x5)=21.36u2

S= 12

b x h

3m

20mB

X

727272

¿Cómo aprendo?

Solución

La forma del techo puede dividirse en dos triángulos rectángulos, cada uno de ellos mide en su base 10 m. La elevación del techo (que para nuestro problema sería el cateto opuesto al ángulo B), tiene una medida de 3 m. Con estos datos, las incógnitas en nuestro problema serían tanto la hipotenusa como la medida del ángulo B.

Empleamos el teorema de Pitágoras para calcular la dimensión de la parte incli-nada del techo:

x2 = 102 + 32

x2 = 100 + 9 = 109 x = 109 =10.44 m aproximadamente. Para determinar el valor del ángulo B podemos utilizar indistintamente las fun-ciones seno, coseno y tangente del ángulo, todo depende de cuáles datos utilice-mos. En este ejemplo utilizaremos la función tangente porque relaciona ambos catetos, que fueron los datos originales. En consecuencia:

tan B =

Como no es de nuestro interés conocer la tangente de B sino la dimensión del ángulo B, realizamos el siguiente despeje:

tan B = 0.3 B = tan-1 (0.3)

Utilizando nuestra calculadora ubicamos el ángulo cuya tangente tiene un valor de 0.3, lo cual nos da el valor de 16.699° (Verifi ca este resultado en tu calcu-ladora), lo cual también equivale a 16°41’57”. Con esto hemos llegado al fi nal de la solución.

16. Estudia atentamente la siguiente fi cha temática:

Apoyo de la calculadora para obtener valores de funciones trigonométricas

En estos tiempos es común usar una calculadora científi ca que nos permita determinar más rápidamente los valores de funciones. Para ello es necesario que en la calculadora presiones la tecla para que aparezcan las siglas (DEG), es decir, ángulo en grados sexagesimales.


310

=0.3=

7373

¿Cómo aprendo?

Ejemplo:Para encontrar el valor de sen 35° a través de tu calculadora, procede a:• Encender la calculadora• Cerciorarte de que en la pantalla aparezca: “DEG”• Presionar el valor de 35• A continuación presionar la tecla de “sin” (o “sen”)• Observar que aparece en la pantalla el valor de: 0.573576436• Para fi nes prácticos y cálculos matemáticos sólo se toma el valor con cuatro decimales, esto es:

sen 35° = 0.5736

17. Encuentra los valores de las siguientes funciones trigonométricas, siguiendo los pasos anteriores. Después compara tus respuestas.

Ahora podrás calcular valores de expresiones como las siguientes.

Ejemplos:

1) 6 sen2 45° + 6 cos2 60°

Valor de la calculadora

Procedimiento algebraico Procedimiento a seguir

6(sen 45°)2 + 6(cos 60°)2=

6(0.7071)2 + 6(0.5)2=6(0.5) + 6(0.25)3 + 1.54.5

El cuadrado de un ángulo es igual al ángulo elevado al cuadrado.Con la calculadora se obtiene el valor de la función.Se elevó al cuadrado y se multiplicaron los valores.Se realizan las operaciones indicadas.Respuesta.

1) sen 75°2) cos 75°3) tan 75°4) sen 65°5) cos 65°6) tan 65°7) sen 120°8) cos 120°9) tan 120°10) sen 150°11) cos 150°12) tan 150°

13) cos 15°14) sen 15°15) tan 15°16) cos 25°17) sen 25°18) tan 25°19) sen 60°20) cos 60°21) tan 60°22) sen 30°23) cos 30°24) tan 30°

Razón trigonométrica

Valor de la calculadora

Razón trigonométrica

747474

¿Cómo aprendo?

Con el objeto de aprender a resolver expresiones como la que se plantea, te recomendamos seguir los pasos descritos en el ejemplo anterior al realizar las operaciones con tu calculadora.

3.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS

DE CUALQUIER MAGNITUD

Objetivo temático:Resolverás problemas de naturaleza periódica, utilizando conocimientos sobre valores y signos, gráficas, dominio y rango de las funciones trigonométricas.

3.2.1. En un plano coordenado

1. Lee atentamente la información que se presenta enseguida:

Las funciones trigonométricas no se refi eren exclusivamente a triángulos rectán-gulos sino que se aplican con gran provecho en ángulos de cualquier medida.

Ángulo de referencia

Una manera conveniente de representar un ángulo consiste en colocar su vérti-ce en el origen de los ejes coordenados, el lado inicial en el eje positivo de las “x” y el punto P(a,b) determinaría la posición del lado terminal.

2) 16 cos2 60° + 4 sen2 45°4 sen2 60° + 2 cos2 45°

16 cos2 60° + 4 sen2 45°4 sen2 60° + 2 cos2 45°

16 (0.5)2 + + 4(0.7071 )2 4 (0.8660)2+ 2(0.7071)2

16(0.25) + 4(0.5)4(0.75)+ 2(0.5)

4 + 23 +1

= = 64

= 1.5=

y

c

a

b

x

P (a,b)

7575

¿Cómo aprendo?

El ángulo de referencia es aquél que forma el lado terminal con el eje de las “x”, sin importar el cuadrante en el que se ubique.

2. Para comprender mejor estas ideas, ubica los siguientes puntos en el plano utilizando tus escuadras. Una vez realizado lo anterior, traza un segmento de recta del punto al origen e indica el ángulo de referencia:

A (2,3)B (-3.2)C (-4,-4)D (2,-3)

Signo y valores de las funciones trigonométricas

2. Lee con atención y resuelve lo que se pide.

o

y

x

767676

¿Cómo aprendo?

Tomando esto en cuenta, veamos cuáles son los signos que adoptan las funcio-nes trigonométricas dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el lado terminal del ángulo:

Para un ángulo en el primer cuadrante

Aplicando las defi nciones, los signos que adopta cada función trigonométrica en el primer cuadrante son:

P(a,b)

c

a

b

y

f

P(a,b)

P(a,-b)P(-a,-b)

P(-a,b) c

a

b

y

El cuadrante en el que se sitúa el punto P(a,b) determina el sig-no que presenta cada una de las coordenadas, como se muestra en la fi gura de la derecha.

En conclusión, para un ángulo del primer cuadrante, todas las funciones trigo-nométricas son positivas.

Determina, ahora, los signos para los ángulos en los otros tres cuadrantes:

sen = +b+c

=+

cos = +a+c

=+

tan = +b+a

=+

cot = +a+b

=+

sec = +c+a

=+

csc = +c+b

=+

7777

¿Cómo aprendo?

En conclusión, para un ángulo en el segundo cuadrante, son positivas las funcio-nes________________________________________________________________y negativas las funciones _____________________________________________

Para un ángulo en tercer cuadrante

P(-a,-b)

c

-a

-b

y

P(-a,b)

c

-a

b

y

fx

sen = +b+c

=+

cos = - a+c

=-

tan = +b- a

=-

cot = - a+b

=-

sec = +c- a

=-

csc = +c+b

=+

Conclusión: para un ángulo en tercer cuadrante, las funciones trigonométricas con signo positivo son _____________________________________ y las que pre-sentan signo negativo son ______________________________________.

Para un ángulo en el segundo cuadrante

sen = -b+c

=

cos = - a+c

=

tan = -b- a

=

cot = - a -b

=

sec = +c- a

=

csc = +c -b

=

787878

¿Cómo aprendo?

Conclusión: para un ángulo en el cuarto cuadrante, las funciones trigonométri-cas con signo positivo son _____________________________________ y las que presentan signo negativo son ______________________________________.

Concentra en el cuadro los resultados obtenidos:

Signos de las funciones trigonométricas

Cuadrante Funciones positivas Funciones negativas

I

II

III

IV

Estudia con atención los ejemplos siguientes:

Ejemplo 1: Encuentre los valores de las funciones trigonométricas para un ángu-lo A cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y su tangente es

P(+a,-b)

c

a

-b

y

x

Para un ángulo en cuarto cuadrante sen = - b+c

=+

cos = +a+c

=+

tan = - b+a

=+

cot = +a- b

=+

sec = +c+a

=+

csc = +c- b

=+

125

-

7979

¿Cómo aprendo?

Para obtener las dimensiones del lado terminal (que equivale a la hipotenusa del triángulo) utilizamos el teorema de Pitágoras:

c2 = 122 + (-5)2

c2 = 144 + 25 = 169 Con este valor, las funciones trigonométricas para el ángulo A quedan así:

Solución:

Por defi nición, la tangente del ángulo A es

Trazamos un diagrama que represente al ángulo A en el segundo cuadrante y con las dimensiones que nos proporciona el valor de la tangente:


+b - a

12 - 5

= =

x

P(-5,12)

c

A-5

y

12

Ejemplo 2:

El ángulo A está situado en el tercer cuadrante y su cotangente tiene un valor de 7. Determina los valores de las demás funciones trigonométricas:

Por defi nición, cot A =

sen A = cot A = 12- 5

=-

sec A = 13-5

=-

csc A = 1312

1213

cos A = -513

= -

tan A =- 5-12

513

12 5

135

cateto adyacentecateto opuesto

808080

¿Cómo aprendo?

Calculamos el valor de c utilizando el teorema de Pitágoras:c2 = (-7)2 + (-1)2

c2 = 49+ 1 = 50c=√50 =5√2 Las funciones para el ángulo A son las siguientes (nota como hemos aplicado las reglas de los signos, la simplifi cación y la racionalización cuando la raíz queda en el denominador)

Y como el ángulo A está en el tercer cuadrante, ambos catetos son negativos, por lo que anotamos:

Dibujamos un diagrama del ángulo:

- a- b

- 7- 1

cot A= =

sen A =

cot A = -1-7

=

sec A = 5√2-7

=-

csc A =

-15√2

cos A =

tan A =- -7-1

17

5√27

= -15√2

5√25√2

5√250

= √210

= -

-75√2

= -75√2

5√25√2

35√250

= 7√210

= -

=7

5√2-1

=-5√2

P(-7,-1)

-7

-1A

c

x

y

8181

¿Cómo aprendo?

Aplica lo aprendido en cada uno de los siguientes casos, en los que se da una función trigonométrica y el cuadrante. Determina los valores de las demás fun-ciones:

a) tan A =

b) sen A =

c) cos A =

Gráfi cas de las funciones seno, coseno y tangente

Las funciones trigonométricas presentan una variación que se hace evidente cuando se traza su gráfi ca tomando como referencia un punto P (x, y) que se desplaza por el círculo unitario.

Para el punto P(x,y) la abscisa (x) representa al coseno del ángulo y la ordena-da (y) representa el seno del ángulo de referencia, tomando esto en cuenta, el punto P(x,y) puede denotarse como P(cos , sen ). En consecuencia, según cambie la abscisa del punto P al desplazarse por el círculo unitario, de la misma forma cambiará el valor del coseno. Asimismo, al desplazarse el punto P, el va-lor de la ordenada indicará el valor del seno del ángulo formado.

Observa el diagrama siguiente en el que hemos dividido en ocho partes el cír-culo unitario y cómo hemos trazado la gráfi ca del seno del ángulo . La gráfi ca formada se llama senoide.

1258

173537

(1°)

(2°)

(4°)

-

x

b

1 2π a

3π2

bP

(x , b)

bπ2

1

0

-1x

y

π π 3π2

2π

x

b

1 0 a

3π2

b

P (x , b)

bπ2

1

0

-13π2

2πx

y

π π

x

b

1 0a

π2

bP

(x , b)

bπ2

1

0

-1π 3π

22π

x

y

π

y

x

b

1 0 a

π2

b

(x , b)

bπ2

1

0

-1π 3π

22π

xP

y=sen x, 0 < x < 2π

1)

2) 4)

3)

828282

¿Cómo aprendo?

Partiendo del ejemplo que hemos mostrado, traza las gráfi cas para el coseno, la tangente, la secante y la cosecante del ángulo . Busca información en la bibliografía a tu alcance para comprender mejor las características de cada función y cómo se representan en la gráfi ca. Pide, como siempre, la ayuda de tu Asesor.

2π -π π 2π 3π 4π

y

x0-1

1

Dominio : R Periodo: 2πRango: -1< y < 1

GRÁFICA DE y=cos x

-2π -π π 2π

y

x1

GRÁFICA DE y=tan x

Dominio: el conjunto de todos los números reales R, excepto π/2 + kπ, k entero Rango: R Periodo: π

-2π -π π 2π

y

x1

-1

GRÁFICA DE y=cot x

Dominio: el conjunto de todos los números reales R, excepto π/2 + kπ, k entero Rango: R Periodo: π

8383

¿Cómo aprendo?

GRÁFICA DE y=csc x

Dominio: todos los números reales x, excepto x= kπ, k entero

-2π -π π 2π

y

x1

0-1

GRÁFICA DE y=sec x

Dominio: todos los números reales x, excepto x= π/2 + kπ, k entero

-2π -π π 2π

y

x1

0-1

Rango: todos los números reales y, tales que y <-1 o y > 1periodo: 2π

Rango: Todos los números reales y, tales que y<-1 o y> 1 Periodo: 2π

848484

¿Cómo aprendo?

3.2.2. En el círculo unitario

El círculo unitario se denomina “unitario” porque su radio es igual a la unidad. Tiene su centro en el origen de los ejes coordenados y su ecuación es

r2 = x2 + y2

Posiblemente recuerdes que la fórmula para calcular la circunferencia es

C = 2πr Y como en el círculo unitario r = 1, la fórmula se simplifi ca:

C = 2π

Puesto que la circunferencia tiene 360°, por lo que la expresión anterior puede escribirse así:

360° = 2π

De lo cual se deriva que

0° = 0 90° = π/2 180° = π 270° = 3π/2, etc.

En consecuencia, los puntos correspondientes a los ejes coordenados son:

P(0) = (1,0)P(π/2) = (0,1)P(π) = (-1,0)P(3π/2) = (0,-1)

(1,0)(-1,0)

(0,-1)

π/2

π 0

(0,1)

3π/2

Encuentra, ahora, las coordenadas para los puntos siguientes:

P(2π)= P 52

π= P -π2

π=

8585

¿Cómo aprendo?

• Funciones de un segmento

Otra representación frecuente y útil de las funciones trigonométricas se efectúa con el auxilio del denominado “circulo unitario”. En este círculo las funciones trigonométricas se representan mediante segmentos de recta.

Como se observa en la fi gura, situado un punto (B) en el círculo unitario, se han efectuado algunos trazos que, como se estudiará, representan a las funciones trigonométricas.

O

A

D C

T

M

B

Para entenderlo bien, debemos tener en mente algunos supuestos básicos:

Los segmentos de recta son iguales y tienen valor igual a la unidad, es decir:

Hay que notar, además que los triángulos OBD, OCT y OAM son semejantes.

Tomando en cuenta lo anterior, las funciones trigonométricas en el círculo uni-tario se defi nen de la siguiente forma:

Identidades Pitagóricas

De acuerdo a lo que acabamos de aprender al estudiar la representación de las funciones trigonométricas en el círculo unitario, el punto P (x,y), se puede representar de la manera siguiente:

OA=OB=OC=1

OAM OBD OCT ~~

sen = BD OB

BD 1 =BD =

OD OB

OD 1 =OD =

BD OD

CT OC=

CT 1= CT =

OD BD

AM OA=

AM 1= AM=

OB OD

OT OC=

OT 1= OT =cos =

tan = OB BD

OMOA=

OM1= OM =

cot =

sec =

csc =

~~

868686

¿Cómo aprendo?

Y si dividimos ahora la expresión (1) por sen2 obtenemos la siguiente expresión:

1 + cot2

r=1cos

sen

P(cos ,sen )

¿Recuerdas la expresión matemática del Teorema de Pitágoras?

c2 = a2 + b2

que también puede escribirse:

r2 = x2 + y2

De acuerdo al círculo unitario, r= 1, x = cos , y = sen ; por lo cual podemos escribir:

1 = cos2 + sen2

Que es la llamada identidad pitagórica fundamental

Si a la expresión (1) la dividimos por cos2 , obtendremos otra relación de gran importancia, tomando en cuenta que y que la función recíproca del coseno es la secante y que la tan2

sen2 + cos2

cos2 cos2 = 1

sen2 + cos2

cos2 cos2 = 1=

=tan2 +1=sec2 ....................................(2)

12 = (cos )2 + (sen )2

= sen2

cos2

=csc2

....................................(1)

8787

¿Cómo aprendo?

En resumen, las tres identidades pitagóricas fundamentales son las siguientes:

sen2 + cos2 = 1tan2 + 1 = sec2 1 + cot2 = csc2

Estas identidades funcionan para cualquier ángulo. Para comprobarlo realiza los cálculos que se piden en el cuadro siguiente. Auxíliate con la calculadora para hacer las operaciones.

Identidades pitagóricas

sen2 +cos2 = 1

30°60°

110°170°180°210°240°300°330°360°

tan2 + 1 = sec2 1 + cot2 = csc2Ángulo

Respuesta a los ejercicios de la página 63.

Triángulo sen cos tan sen ß cosß tan

ß3 5

4

12

1

ß

ß

3

2

1

35

45

34

45

35

43

12

√35

√3 √32

12

√33

1√22

√22

√22

√22

1

888888


1. Determina los valores de las razones trigonométrica del seno, coseno y la tangente del ángulo

2. Determina los valores de las razones trigonométricas del seno, coseno y la tangente del ángulo

3. Si el lado fi nal de un ángulo pasa por A, cuyas coordenadas son (3,4) como lo muestra la siguien-te fi gura, determina las razones trigonométricas de los valores del seno , coseno q, tangente de

y

B xO

A

y

x

Yr

0

A (3,4)

yr

x

x

B

O

A

yY

rA) sen =

xr

;

B) sen = rx

;

C) sen = ry

;

D) sen = yr

;

E) sen = xy

;

cos = yr

; tan = yx

cos = ry

; tan = yx

cos = rx

; tan = xy

cos = xr

; tan = yx

cos = xy

; tan = yr

;

B) sen = xr cos =

yr tan =

xy

A) sen = yx cos =

xr tan =

yr

;

C) sen = ry cos =

rx tan =

yx

; ;

D) sen = rx cos =

ry tan =

yx

;

E) sen = yx cos =

xr tan =

ry

; ;

;

;

A) sen = 45

;

B) sen = 35

;

C) sen = 35

;

D) sen = 45

;

E) sen = 45

;

cos = 35

; tan = 43

cos = 45

; tan = 35

cos = 35

; tan = 34

cos = 35

; tan = 34

cos = 45

; tan = 43

tan = 35

tan = 34

tan = 43

tan = 43

tan = 34

;

;

;

;

;

8989


√32

D) sen = cos = - 810

cos =

4. Si el valor de tan y el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, encuentra los valores de las otras dos funciones trigonométricas sen y cos .

5. Si el valor de cos y es un ángulo del segundo cuadrante, encuentra los valores de las otras dos funciones trigonométricas sen y tan .

6. Calcula las tres funciones trigonométrica (sen, cos y tan) para el ángulo notable de 45°, partiendo del punto A (1,1) de la fi gura adjunta.

O

45°

A(1,1)

B1

r3

;

;

;

;

;

B) sen = 810

cos = 6

10

A) sen = 45

;

B) sen = 43

;

C) sen = √75

;

D) sen = √26

5

E) sen = 45

;

tan =

tan = 53

tan =

tan = 53

43

tan = √73

C) sen 60°=

D) sen 60°=

E) sen 60°=

cos 60°=

cos 60°=

cos 60°= ;

;

;

;

tan =

tan =

tan =

12

A) sen 60°= cos 60°= tan = 12

√3 √33

12

;

;

√32

;

√3B) sen 60°= cos 60°= tan = √33

;;

;

A) sen = 6

108

10- -

-

C) sen = cos = 810

610

-

610

E) sen = cos = 610

810-

√263

-

-;

√32

12

12

√33

√3

√3

86

=-

35

=-

909090


7. De las siguientes fi guras, indica los valores de las funciones trigonométricas del sen, cos y tan para los ángulos notables de 30º,45º, y 60º y elige la opción que complete el cuadro que aparece abajo

8. Calcula las tres funciones trigonométricas (sen, cos, y tan) para el ángulo notable de 60°, partiendo del punto A(1, ) y de la fi gura.

3

0

A (1, )Y

r

x

3

1

=60°

2

0

A

B 1

3

2

1 C 0

A

B

2 1

1

45°

45°

30°

60°

Ángulo Función TrigonométricaCosSen Tan

30°

45°

60°

; ;

; ;

sen= √32

12

√3; ;

cos= √22

√22

1; ;

tan= 12

1; ;√32

A)√3√3sen= √3

212

; ;

cos= √22

√22

1; ;

tan= √32

√312

B)

sen= 12

√32

√3; ;

cos= √22

√22

1; ;

tan= √32

12

√33

D)

sen= √32

12

√3; ;

cos= √22

√22

1; ;

tan= √32

√3; ;12

C)

E) sen= 12

√32

√33

; ;

cos= √22

√22

1; ;

tan= √32

; ;12

√33

A) sen 60°=

B) sen 60°=

C) sen 60°=

D) sen 60°=

E) sen 60°=

√3 ; tan 60°= √33

12

; cos 60°=

√33

; tan 60°= 12

; cos 60°=

; tan 60°= √33

12

; cos 60°=

; tan 60°= 12

; cos 60°=

; tan 60°= 12

; cos 60°= √3

√3

√3

1212

√32

9191


9. Calcula las tres funciones trigonométricas (sen, cos, y tan) para el ángulo notable de 30°, partiendo del punto A(1, √3) y de la fi gura adjunta.

10. Una casa de 5 m de altura proyecta una sombra de 5 m de longitud. Encuentra el ángulo de elevación del Sol.

A) 15°B) 30°C) 45°D) 60°E) 75°

11. Calcula el ángulo de elevación del Sol, si una casa de 5 m de altura proyecta una sombra de 5 √3 m de longitud.

A) 15°B) 30°C) 45°D) 60°E) 75°

B

5 msombra A

casa 5 m

0

B

5√3 msombra A

casa 5 m

0

3

0

A (1, )Y

r

x

3

1

=30°

A) sen 30°= cos = √32

;

cos =

tan 30°=

;

cos = ;

cos = ;

cos = ;14

;

√33 ;

12

;

14

;

12

;

B) sen 30°=

C) sen 30°=

D) sen 30°=

E) sen 30°=

√3

tan 30°=

tan 30°=

tan 30°=

tan 30°=

√33√3312

√3

√32

√34

√3

√34

929292


12. Calcula el ángulo de elevación del Sol, si una casa de 17.14 m de altura proyecta una sombra de 7√2 m de longitud.

A) 15°B) 30°C) 45D) 60°E) 75°

13. Completa la siguiente tabla con las funciones recíprocas para las funciones trigonomé-tricas directas que se presentan.

14. Calcula los valores de las funciones trigonométricas de la cotangente, secante y la cose-cante del ángulo a, que se forma con el eje “x” y el lado A (5,12).

B

7sombra A

casa 17.14 m

02

A) cot = 5

12;

B) cot = 5

12;

C) cot = 125

;

D) cot = 512

;

E) cot = 125

;

sec = 13 5

; csc = 1213

sec = 5

13; csc =

1213

sec = 513

; csc = 1213

sec = 135

; csc = 1312

sec = 135

; csc = 1312

Ángulo Directas RecíprocasCosSen Tan cot sec csc

3

2

√2 √2

2√33

2√3 2

A)

3

2

√2 √2

2√32

2√3 2

B)√3

1

√33 3

2

√2 √2

2√33

2√3 2

√3

1

√33

D)

3

3

2

√2 √2

2√33

2√3 2

√3

1

√33

E)

1

32

2

√2 √2

2√32

3√3 2

√3

√3

C)

A(5,12)

x 5

y

m

12

9393


15. Si el valor de csc = y el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, encuentra los valores de las otras dos funciones trigonométricas cot a y sec .

16. Se llama círculo trigonométrico, a aquel cuyo radio vale...A) ciento ochenta grados.B) noventa grados.C) cero.D) la unidad.E) dos unidades.

17. Indica con qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas respecto al seno a y cosecante a.A) Primero y cuarto cuadranteB) Primero y segundo cuadranteC) Primero y tercer cuadranteD) Segundo y tercer cuadranteE) Segundo y cuarto cuadrante

18. Indica en qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas con respecto a la tangente a y cotangente a.A) Tercero y segundo cuadranteB) Tercero y cuarto cuadranteC) Primero y cuarto cuadranteD) Primero y tercer cuadranteE) Primero y segundo cuadrante

19. Indica en qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas respecto al cose-no a y secante a.A) Primero y segundo cuadranteB) Primero y tercer cuadranteC) Primero y cuarto cuadranteD) Segundo y tercer cuadranteE) Segundo y cuarto cuadrante

A) cot =

B) cot =

C) cot =

D) cot =

E) cot = 14

;

;

14

;

14

;

-4 ; sec =

sec =

sec =

sec =

sec =

4√1717

√17

√1717

4√1717

√17

-

-

-

-4

√174

949494


20. La conversión de una función trigonométrica de un ángulo cualquiera en otra función equivalente de un ángulo entre cero y noventa grados, se llama reducción...

A) al tercer cuadrante.B) al segundo cuadrante.C) al primer cuadrante.D) a noventa grados.E) a cero grados.

21. Expresa cada una de las funciones del ángulo dado como la misma función de su ángulo en función del primer cuadrante, y encuentra el valor de la siguiente función, aplicando el concepto de reducir al primer cuadrante:

A) sen 160° = 0.3420B) sen 20° = 0.3420C) sen 110° = 0.9396D) sen 70° = 0.9396E) sen 250°= -0.9396

22. Expresa cada una de las funciones del ángulo dado como la misma función de su ángulo en función del primer cuadrante, y encuentra el valor de la siguiente función, aplicando el concepto de reducir al primer cuadrante: cos (-38)°

A) cos 142° = -0.7880B) cos 38° = 0.7880C) cos 52° = 0.6156D) cos 232° = -1.6156E) cos 332° = 0.7880

23. Expresa cada una de las funciones del ángulo dado como la misma función de su ángulo en función del primer cuadrante, y encuentra el valor de la siguiente función, aplicando el concepto de reducir al primer cuadrante: cot (-132)°

A) cot 42° = 0.9004B) cot 48° = 1.1106C) cot 48° = 0.9004D) cot 42° = 1.1106E) cot 132° = -0.9004

24. Una característica de los triángulos rectángulos es que tienen un ángulo...

A) agudo.B) obtuso.C) llano.D) cóncavo.E) recto.

9595


Resuelve los siguientes problemas.

25. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas (sen, cos, tan) de los ángulos agu-dos ( , ) del triángulo OAB, si el ángulo OAB=90° y los catetos tienen los valores de

26. Para calcular el ancho de un río, Rodrigo tomó como referencia una piedra que se encuen-tra del otro lado del río (enfrente de él), posteriormente camina 200 metros a la izquierda for-mando un ángulo de 75º. Con base en esta información, ¿qué medida tiene el ancho del río?

27. Paula, Rosa y Juan necesitan saber hasta que distancia se puede escuchar un radio trans-misor, para ello deciden probarlo y se sitúan de la siguiente manera: En el punto más alto del cerro se ubica Paula directamente por encima de Rosa, el cerro tiene una altura de 1500 m, el ángulo de depresión de Paula hacia Juan que se encuentra cercano a una carretera es de 25°. Calcula la distancia en metros desde donde está situada Rosa hasta donde está Juan y la distancia en donde se encuentra Paula con respecto a Juan. Calcula el alcance del radio con respecto a los tres puntos de referencia.

x=?

25°r=?

Juan

Paula

1500 m

Rosa

200 mts

75°

B

A0

río

Rodrigo

x0

yB

A

OA=12 cm y AB= 6 cm.

969696


28. Un avión que está en vuelo, se reporta a la torre de control e indica que está a una altura de 1500 m y empieza a descender a la pista sobre una trayectoria recta que está a 10.5° de depre-sión. Calcula la distancia horizontal hasta que se hace contacto al piso y la distancia inclinada recorrida en el momento de reportarse hasta tocar las llantas la pista de aterrizaje

29. Se coloca una escalera de 7m contra un edifi cio de modo que el extremo inferior está a 1.5 m de la base del edifi cio. ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso y cuál es la altura alcanzada de la escalera respecto al edifi cio?

30. Calcula el valor de las incógnitas en las siguientes fi guras.

c

C

AB

a b

DATOS CALCULAR

a=4cm

B=62°30’

<=90°

b=?

c==?

<c=?Área=A=?

31.

c

C

A B

ab

A C

B

c

b

a

DATOS CALCULAR

<C=15°30’

b=25cm

<A=90°14’

A=?

c=?

Área=?

DATOS CALCULAR

b=12cm

c=15cm

<A=90°

a=?

<=?

<c=?Área=A=?

32.

9797


33. Las propiedades recíprocas son ejemplos de identidades trigonométricas. 34. Es una identidad recíproca: sen = ;para cos ≠ 0 35. Es una identidad recíproca csc = ;para sen ≠ 0

36. Es una identidad recíproca del tan = ;para cot ≠ 0

37. Es una identidad recíproca del cos = ;para csc ≠ 0:

38. Es una identidad recíproca del sec = ;para cos ≠ 0:

39. El seno y el cosecante son identidades recíprocas.

40. El coseno y la cotangente son identidades recíprocas.

41. La tangente y la cotangente son identidades recíprocas. 42. El seno y la secante son identidades recíprocas.

43. El coseno y la secante son identidades recíprocas

44. tan = representa una identidad de cociente trigonométrica

45. cot = representa una identidad de cociente trigonométrica:

46. cot = representa una identidad de cociente trigonométrica:

47. sen2 +cos2 =1 representa una identidad pitagórica trigonométri-ca: 48. 1+cot2 = csc2 representa una identidad pitagórica trigonométrica: 49. tan2 +1=sec2 representa una identidad pitagórica trigonométrica:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1cos 1

sen 1

cot 1

csc 1

cos

sencossentancossen

989898

Quiero saber más

El Teorema de Pitágoras

Existen varias demostraciones del teorema de Pitágoras, una de las más comunes es dado un triángulo rectángulo, se trazan cuadrados en cada uno de los lados y se calcula el área de cada uno de estos cuadrados, se tiene que el área del cuadrado ubicado en la hipote-nusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados ubicados en los dos catetos; como se muestra en la siguiente fi gura:

Una demostración más rigurosa es la siguiente, “dado un triángulo rectángulo abc (fi g. 1), se traza una línea paralela al hipotenusa que pase por el vértice C, y se trazan perpen-diculares a esta recta que pasen por los vértices A y B, se construye un rectángulo que contiene al triángulo abc(fi g. 2)”

Observa que se generan dos triángulos más, estos triángulos tienen la misma forma pero diferente tamaño y tienen ángulos iguales por ser triángulos semejantes, un ángulo de 90º(C), y dos ángulos A y B, esto signifi ca que la proporción de lados correspondientes es igual para todos los tres triángulos.

Nota que la recta paralela a la hipotenusa se dividió en dos partes, llamemos respectiva-mente X a la primera y Y a la segunda.

AB

Ca

b

c

AB

C

ab

c

25

16

9999

Quiero saber más

Sabemos que en triángulos semejantes sus lados son proporcionales (Teorema de Tales), y en nuestros triángulos tenemos las siguientes relaciones;

x/a = a/c y y/b = b/c,

También se puede observar que:

c = x +y = a2/c + b2/c

si multiplicamos a esta última expresión por c, tenemos:

c2 = a2 + b2

siendo esta última relación precisamente el Teorema de Pitágoras.

Te has preguntado como se construye un triángulo. Bueno, parece evidente que solo necesitamos tener tres rectas y unirlas por sus extremos para hacer de ellas un triángu-lo, el cual es el primer polígono que se puede construir con regla y compás.

Pero vamos a suponer que en lugar de darte tres líneas, te doy tres valores numéricos, mi pregunta es ¿ serias capaz de decir cuando tres cantidades representan un triángulo y cuando no?. Interesante verdad.

Un método práctico para saber si tres valores forman un triángulo es trazarlos en un plano y haciendo centro en uno de sus lados trazar circunferencias con radio el valor dado, y ver si esos tres segmentos se pueden unir exactamente, por ejemplo:

“Los valores 3, 4, y 5 son llamados una terna pitagórica, ya que cumplen el Teorema de Pitágoras y forman una clase especial de triángulo, un triángulo rectángulo”.

La forma de hacer el triángulo con el método descrito anteriormente es la siguiente:

Primero trazo un segmento de longitud cualquiera de las tres cantidades dadas:

AB

Ca

b

c

A B4

100100100

Quiero saber más

Haciendo centro en A, trazo una circunferencia, que tenga de radio 5 unidades.

Aún no se observa nada verdad, eso parece, pero si te fi jas bien las dos circunferencias trazadas a partir de los puntos A y B se intersecan en un punto, al cual le vamos a lla-mar C por comodidad. ¿Qué distancia crees que tenga el segmento BC?, ¿Qué distancia crees que tenga el segmento AC?, ¿Qué hubiera pasado si en lugar de trazar una circun-ferencia de 3 unidades de radio la trazo de media o una unidad? O quizás, dejando la de radio 3, trazara una circunferencia de 9, ¿Crees que las dos circunferencias se tocaran o intersecaran en algún punto?, si estas circunferencias no se tocaran ¿Se formara un triángulo?

Por último vamos a trazar una perpendicular a AB, que pase por el punto B y por el punto C, se observa que se genera un triángulo rectángulo del cual AC es la hipotenusa; sabemos por el teorema de Pitágoras que:

AC2 = AB2 + BC2 y como sabemos cuanto valen tanto AB, como BC, al hacer las ope-raciones y obtener la raíz cuadrada se tiene que AC= 5.

Un último comentario: más adelante, cuando estés en tercer semestre, vas a aplicar las leyes de los senos y cósenos para realizar sumas de vectores y calcular fuerzas, por eso este conocimieno que acabas de aprender procura que no se te olvide.

Radio 5

A B4

Radio 3

Radio 5

A B4

101101

Quiero saber más

En las siguientes direcciones electrónicas podrás encontrar más información intere-sante sobre los temas discutidos y también sobre otros contenidos de matemáticas, te invito a que las visites y te inmersas en el maravilloso mundo de las matemáticas.

http://www.ommm.uaem.mxhttp://www.escuela32.com.ar/ http://miayudante.upn.mx/http://www.amc.unam.mx/lacienciaentuescuela.htmhttp://descartes.cnice.mecd.es/index.htmlhttp://puemac.matem.unam.mx/http://www.mitareanet.com

BIBLIOGRAFÍA

1) Baldor, A. “Geometría y Trigonometría”. Primera Edición México, 2005. Publicaciones Cultural.2) Boyer, B. C. “A History of Mathematics”. Second Edition. John Wiley y Sons, Inc.3) Calendario Matemático 2006. Un reto diario. Subsecretaría de Educación Superior

102102


¿

¿ ¿

¿

¿ ¿

Objetivo de la unidad: Resolverás problemas teóricos y prácticos de distintos ámbitos mediante la aplicación de las leyes de Senos y Cosenos.

INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA

En la unidad anterior aprendiste a resolver triángulos rectángulos aplicando el Teorema de Pi-tágoras y funciones trigonométricas, pero en está unidad te encontrarás con triángulos que no son rectángulos, a estos se les conoce como triángulos oblicuángulos, es decir, son aquellos que no tienen ángulos rectos.

En está unidad verás dos leyes que te ayudarán a resolver triángulos oblicuángulos estas son:

A) Ley de Seno B) Ley de Coseno

Como una introducción a este interesante tema, observarás los dos tipos de triángulos oblicuán-gulos, que son el triángulo acutángulo y el triángulo obtusángulo, hasta llegar a los elementos que integran al triángulo oblicuángulo en su totalidad.

Tendrás una visión general de las dos leyes de senos y cosenos, primeramente aprenderás a identifi car cuando aplicar cada una de ellas, dependiendo los datos que proporciones el pro-blema.

Ya que sepas identifi car cuando usar cada una de las dos leyes, resolverás problemas teóricos, apoyándote con una serie de problemas resueltos, que de una manera progresiva te mostrarán paso a paso cómo resolver primero un problema incompleto, hasta que se te muestre un pro-blema que resolverás de manera total.

Finalmente, llegarás a aplicar la ley de senos y la ley de cosenos en problemas de la vida coti-diana, atendiendo diversos ámbitos.

Cada tema ha sido cuidadosamente desarrollado, para que de manera didáctica y progresiva desarrolles la habilidad en la resolución de cada problema.

4UNIDAD

103


¿

¿ ¿

¿

¿ ¿

Para desarrollar con éxito los objetivos de esta unidad te recomendamos los siguien-tes textos que complementarán las actividades de aprendizaje y además te ayudarán a profundizar en los temas de tu agrado:

• García, Miguel y Manuel Rodríguez, l. Matemáticas 2. México, ST Editorial, 2005, pp. 195-218.

•Olmos, Raúl y otros. Matemáticas II. México, McGrawHill, 2006, pp. 181-198.

• Ibáñez, Patricia y Gerardo García. Matemáticas II, Geometría y Trigonometría. México, Thomson, 2006, pp. 194-215.


104104


¿

¿ ¿

¿

¿ ¿

Leyes de Senos y Cosenos

Ley de Seno y Coseno

Triángulos oblicuángulos

Ley de Seno Ley de Coseno

Un lado y dos ángulos.

Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Dos lados y el ángulo com-prendido entre ellos.

Los tres lados del triángulo.

Apoyos teóricos para resolver

Problemas aplicados

Casos donde se usaCasos donde se usa

Puedes utilizar

105105

¿Cómo aprendo?

Triángulo OblicuánguloTriángulo acutángulo

Ejemplo:

Para efectos prácticos en la resolución de los problemas, se sugiere el siguien-te formato de triángulo oblicuángulo.

Donde: “A, B y C” representan los ángulos y “a, b y c” representan los lados.

Observa que:

a es el lado opuesto al ángulo Ab es el lado opuesto al ángulo Bc es el lado opuesto al ángulo C

4.1 LEY DE SENOS Y COSENOS

Objetivo temático: Serás capaz de: Identificar las características y elementos de un triángu-lo oblicuángulo para diferenciar los casos donde aplicará ley de senos y ley de cosenos y así llegar a la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Para la aplicación de la Ley de Seno y Ley de Coseno debes tener presente lo siguiente:

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no presenta un ángulo recto, se denomina de dos formas: triángulo acutángulo si tiene tres ángulos agudos y triángulo obtusángulo si tiene un ángulo obtuso, por lo que no es posible resolverlo si aplicamos el Teorema de Pitágoras.

C

B

A

a

b

c

Para resolver triángulos oblicuángulos se utiliza

• Ley de seno. • Ley de coseno.

106106106

¿Cómo aprendo?

Antes de iniciar con el desarrollo de los temas te recomendamos que revises la siguiente página http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/SoftDidactico/acuna/in-dex.html que te dará un panorama general de lo que vas a ver.

4.1.1 Ley de Senos

Objetivo temático: Identificarás las características y elementos de un triángulo oblicuángulo para diferenciar los casos donde aplicará ley de senos y ley de cosenos y así llegar a la resolución de problemas de la vida cotidiana.

En cualquier triángulo oblicuángulo, las longitudes de los lados son proporcio-nales a los senos de los ángulos opuestos.

a b c senA senB senC

La ley de seno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:

• Un lado y dos ángulos (LAA o ALA)

Ejemplo: Observa el siguiente triángulo

c=80

B

CA b

130°22°

Los ángulos del triángulo están representados por las letras A, B, C y los lados por a, b, c, los datos que proporciona son:

Ángulos A= 22° C = 130° Lados c = 80

El lado “c” es opuesto al ángulo “C”., por lo tanto para resolver este problema puedes aplicar la ley de Seno.

= =

107107

¿Cómo aprendo?

El otro caso para aplicar la ley de seno es cuando:

• Tienes dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)

Ejemplo: Observa el siguiente triángulo.

Los ángulos del triángulo están representados por las letras A, B, C y los lados por a, b, c, los datos que proporciona son:

Ángulos B= 83° Lados a = 8, b = 11

El ángulo “B” es opuesto al lado “b”., por lo tanto para resolver este problema puedes aplicar la ley de Seno.

4.1.2 Ley de coseno

Seguiremos nuestro estudio en la resolución de los triángulos oblicuángulos. Como recordarás, en el caso de la Ley de Senos, ésta se aplica en los casos cuando sólo conoces un lado del triángulo y dos de sus ángulos, es decir LAA o ALA o bien cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, es decir, LLA.

Sin embargo; ahora veremos otros dos casos posibles, cuando de un triángulo oblicuángulo conocemos:

• Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, conocido como LAL.

• Los tres lados, caso conocido como LLL.

Para estos casos utilizarás la Ley de Coseno

La ley de Cosenos dice:

En todo triángulo, el cuadrado de un lado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos la multiplicación del doble producto de ellos, por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

A

B

C

a=3

b=11

c 89°

108108108

¿Cómo aprendo?

cos C =

De esta manera, las fórmulas para aplicar la ley de cosenos son las siguientes:

Actividad 4.1 Una vez analizado el texto anterior, identifi ca que ley aplicar según los datos proporcionados de los siguientes triángulos oblicuángulos.

Ángulo LadoA = 38° a = B = 72 ° b = C = c = 11

Datos Ley

Ángulo LadoA = a = 8B = b = 11C = 60 ° c =

B=98°

CA

c=4

b=12

a

c

BA

b=11

c=14

a=8

Para encontrar los lados: Para encontrar los ángulos:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

b2 = a2+ c2 - 2ac cos B

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

cos B = 2ac

2ab

cos A = 2bc

b2 + c2 - a2

a2 + c2 - b2

a2 + b2 - c2

109109

¿Cómo aprendo?

4.1.3 Resolución de triángulos oblicuángulosUna vez que ya sabes identifi car los casos en los cuales aplicar cada una de las leyes, ahora podrás resolver los triángulos oblicuángulos.

¿A qué se refi ere con la resolución de triángulos oblicuángulos?

Pues bien, resolver triángulos oblicuángulos consiste en encontrar los datos que te faltan ya sean lados o ángulos.

Veamos unos ejemplos:

Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo con los datos que se dan a continua-ción.

Lados Ángulosa = ? A =22°b = ? B = ?c = 80 C =130°

Primero analizamos los datos que nos proporciona el trián-gulo oblicuángulo.

¿Qué ley aplicarías?

Si observas los datos que nos proporcionan son dos ángulos y un lado, esté caso corresponde a la Ley de seno.

Fórmulas que aplicarás

Recuerda que: “La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°”

La Ley Seno se puedes descompo-ner en las siguientes relaciones:

1) 2)

3)

c=80

B

A b c22°

130° a

a b csenA senB senC= =

a b senA senB =

a c senA senC =

b c senB senC =

1)

A + B + C = 180

110110110

¿Cómo aprendo?

Sustituye los datos que te proporciona el pro-blema

Observa que la segunda relación solo falta el valor del lado “a”, en-tonces despejaremos y encontraremos su valor:

Ahora hay que encontrar el valor del ángulo B

Para encontrar el valor del lado “ b ” puedes utilizar la relación 1 ó 3 para encontrar su valor

Por lo tanto los datos faltantes del triángulo oblicuángulo son:

Lados Ánguloa = 39.12 B =28°b = 49.02

a b sen22° senB =

b 80 senB sen130° =

a 80 sen22° sen130° =1) 2)

3)

a 80 sen22° sen130° =

(80)(sen22°) sen 130° sen130°

=a

(0)(0.3746°) 29.968 0.7660 0.7660 sen130°

=a =

a=39.12

A + B + C =18022° + B +130°=180°B= 180° 22° 130°B= 28°

b 80 sen28° sen130° =

( 80)( sen28° ) sen130°

=b

80( 0.4694 ) 37.552 0.7660 0.7660

=b =

b=49.02

111111

¿Cómo aprendo?

2) Los datos de un triángulo oblicuángulo son: A = 67º15´, b = 7 y c = 11

Primero analizamos los datos que nos propor-ciona del triángulo oblicuángulo.

¿Qué ley aplicarías?

Si observas los datos que nos proporcionan son dos lados y un ángulo, esté caso se recomienda que dibujes el triángulo para verifi car si el ángulo que te proporcionan está comprendido entre los lados o es opuesto a uno de ellos.

Observa que el ángulo queda comprendido entre los lados, por lo tanto la ley que ocuparás es la Ley de Coseno.

Calculamos el lado “a”

B

a

Cb=7

c=11

A=67°15’

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

a2 = (7)2 + (11)2 - (2)(7)(11)(cos 67°15’)

a2 = 49 + 121 - (154)(.3867)

a2 = 49 + 121 - 59.5518

a2= 110.4482

a = 110.4482

a = 10.509

Lados Ángulosa = ? A =67º15´b = 7 B =?c = 11 C =?

112112112

¿Cómo aprendo?

Cálculo del ángulo B utilizando la Ley de Seno.

b a senB senA =

7 10.509 senB sen67°15’ =

7(sen67°15’) 10.509 =senB

7(0.9222) 10.509 =senB

Cálculo del ángulo C:


Lados Ánguloa= 10.59 B =37°53’ C= 74°52’

[(7)(0.9222)] 10.509

=B= sen -1

B=37°53’

A + B + C = 180°67°15´ + 37°53´ + C = 180°C = 180° - 67°15´-37°53´C = 74°52´

Actividad 4.2

Ahora se presentan dos problemas incompletos, para que encuentres los datos faltantes de los triángulos oblicuángulos, tomando como base el procedimien-to que se te va indicando.

1) Los datos de un triángulo oblicuángulo son: b = 8.5, c = 9.8, A = 52°

Primero analizamos los datos que nos proporciona del trián-gulo oblicuángulo.

Lados Ángulosa = A =b = B =c = C =

113113

¿Cómo aprendo?

a2 = b2 + c2 - 2bc cosAa2=(___)2 + (___)2-(2)(___)(___)(cos 52°)a2=(___) + (___) - (___)(___)a2=(___) + (___) -(_________)a2=(__________)

a =

¿Qué caso es?

Dibuja el triángulo oblicuángulo con sus datos:

Calculamos el lado “a”

Cálculo del ángulo B utilizando la Ley de Seno.

Cálculo del ángulo C:


Lados Ángulo

( ) - ( )

B=sen-1( )B=

B

A

c

c

a=8

b=1129

A+B+C= 180°52°+ ( )’+ C = 180°C=180° - 52° - ( )

C=

a=

senB sen52°( ) ( )=

senB=( ) ( sen52°)( )

114114114

¿Cómo aprendo?

Primero analizamos los datos que nos pro-porciona el triángulo oblicuángulo.

¿A qué caso corresponde?

Lados Ángulosa = A =b = B = c = C =

Fórmulas que aplicarás

Recuerda que: “La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°”

A + B + C = 180

a b csenA senB senC= =

La Ley Seno se puede descom-poner en las siguientes relacio-nes:

1) 2)

3)

Sustituye los datos que te pro-porciona el problema

1) 2)

3)

Observa que la primera rela-ción solo falta el valor del án-gulo “A”, entonces despejare-mos y encontraremos su valor:

Ahora hay que encontrar el valor del ángulo C

a b senA senB =

a c senA senC =

b c senB senC =

( ) ( ) senA sen( ) =

( ) c senA senC =

( ) c sen( ) senC =

( ) ( ) senA sen( ) =

( ) sen83° ( ) = senA

senA= ( )

A + B + C = 180°( ) + ( ) + C = 180°C= 180° - ( )- ( )C=

A=sen-1 ( )

A=

115115

¿Cómo aprendo?

Para encontrar el valor del lado “ c ”

11.29 c sen83° sen( ) =

(11.29 ) (sen ____ ) sen83° c =

c =


Lados Ángulo

Los resultados compártelos con tu asesor y con tus compañeros.

Si deseas seguir practicando te recomendamos la siguiente página http://usua-rios.lycos.es/calculo21/id364.htm, en ella puedes encontrar problemas resuel-tos del libro de Baldor.

4.1.4 Aplicaciones prácticas

La ley de Seno y Coseno juegan un papel fundamental en la solución de proble-mas prácticos, así mismo te será de apoyo en materias posteriores.

Con ayuda de tu asesor trata de resolver los siguientes problemas aplicados en tu libreta.

1.- Dos aviones parten del mismo aeropuerto a la misma hora. El primero viaja a una velocidad de 120 km/h en una dirección de 340º. El segundo vuela a una velocidad de 180 km/h en una dirección de 190º. Después de 2 horas, ¿a qué distancia se encuentran los aviones entre sí?

2.- Un trozo de alambre de 7.5 m, de longitud, es doblado formando un trián-gulo. Uno de los lados mide 2.8 m y el otro 3.1 m. Calcula los valores de los ángulos interiores del triángulo.

11.29 ( ) ( ) 0.9925 0.9925

=

c =

116116116

¿Cómo aprendo?

3.- Quieres encontrar la ubicación de una montaña tomando medidas desde dos puntos que se encuentran a 5 km uno de otro. Desde el primer punto, el ángulo formado entre la montaña y el segundo punto es 76º. Desde el segun-do punto, el ángulo formado entre la montaña y el primer punto es 52º. ¿Qué tan lejos está la montaña de cada punto?

117117


Ahora si, ya estás listo para aplicar lo que aprendiste a lo largo de está unidad y reafi rmar el aprendizaje adquirido, para ello desarrolla las siguientes actividades, que seguramente podrás resolver sin ningún problema; pero si te surgen dudas acude con tu asesor.

I.- Según los triángulos oblicuángulos identifi ca los datos que te proporcionan e indica según estos que Ley debes aplicar para encontrar los datos faltantes.

B

A

c=24.36

b=34.37

a=26

C

A B

b=120.8 a61°

c

36°

A

B

C

a=38.1b=27.9

c

A c

C

Bb=5.44

a=15.2

Lados Ángulo

Lados Ángulo

Lados Ángulo

Lados Ángulo

118118118


II.- Relaciona las siguientes columnas

1.- Es un triángulo que no presenta ángulo recto, puede ser acutángulo u obtusángulo.

2.- En cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángu-los opuestos.

3.- En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman.

( ) Ley de Coseno.

( )

4.- La ley de seno se utiliza si se conoce:

5.- La ley de coseno se utiliza si se conocen:

6.-Según los datos, triángulo que aplica la ley de coseno.

( ) Dos ángulos y un lado o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

( ) Cuando se conocen los tres lados ó cuando se conocen sólo dos lados y el ángulo entre ellos. ( ) Triángulo Oblicuángulo.

( ) Ley de Seno.

A

BC

b=?

a=94

c=49115°

A

BCa=40

b c36°

73°

119119


III.- Selecciona la respuesta correcta de las siguientes preguntas

1.- Triángulo que tiene tres ángulos agudos:

A) Rectángulo B) Obtuso C) Oblicuángulo D) Acutángulo

2.- Triángulo que tiene un ángulo obtuso:

A) Rectángulo B) Obtuso C) Acutángulo D) Obtusángulo

3.- Ley que nos sirve para solucionar Triángulos oblicuángulos

A) Ley de Pitágoras B) Ident. Trigonométricas C) Ley de Cotangente

D) Ley de senos

4.- Ley que se aplica en un triángulo oblicuángulo cuando se conocen sus tres lados:

A) Ley de Pitágoras B) Ley de Tangentes C) Ley de cosenos

D) Ley de geometría

5.- La ley de seno se utiliza para encontrar los lados y ángulos de un triángulo oblicuángulo. ¿Cuál es la forma correcta de redactar esta ley?

6.- La ley de seno se enuncia: “En cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos” y se representa como

A) En cualquier triángulo, las lon-gitudes de los lados son propor-cionales a los senos de lo ángulos adyacentes.

C) En cualquier triángulo oblicuán-gulo, las longitudes de los lados son diferentes a los senos de lo ángulos opuestos.

B) En cualquier triángulo oblicuán-gulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de lo ángulos.

D) En cualquier triángulo oblicuán-gulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de lo án-gulos opuestos.

asenA

b senB

c senC

= =

120120120


Si los datos de un triángulo son: lado c = 80 m. y los ángulos A = 22° y C = 130°. ¿Qué relación utilizas para encontrar el lado a?

A)

B)

7.- Ley que dice que en todo triangulo el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman:

A) Pitágoras B) Ident.Trigonométricas C) Ley de Newton D) Ley de cosenos

8.- Utiliza tú calculadora y desarrolla la ley de senos para que identifi ques la respuesta co-rrecta en el siguiente problema:

Dos botes de basura están situados a 80 m uno del otro, y una persona está ubicado a 95 m del más alejado. El ángulo que forman las dos visuales de la persona a los botes es de de 53.3°. ¿Qué distancia hay de la persona al bote de basura más próximo? Nota: El resultado ha sido redondeado al número inferior inmediato.

A) 86 m B) 81 m C) 67 m D) 65 m

9.-Utiliza tú calculadora y la ley de seno

para que identifi ques la respuesta correcta del siguiente problema:

Dos observadores distantes entre sí 3850 m, observan al mismo tiempo un aeroplano que vuela entre ellos. Los ángulos de elevación, de los observadores B y C hacia el aeroplano fueron de 38º y 46º, respectivamente. ¿A que distancia se encuentran los observadores del aeroplano?

B

A

C

c=95m53.3° b=?

asenA

b senB

= C)

D) asenA

c senC

=

senA a

c senC

=

bsenB

c senC

=

asenA

b senB

c senC

= =

B) b = 2000 m c = 2383.35 m

C) b = 2784.71 m c = 20000 m

D) b = 3584.71 m c = 2383.35 m

A) b = 2784.71 m c = 2383.35 m

121121


10.- Como ya sabes, la ley de coseno se utiliza para encontrar los lados y ángulos de un triángulo oblicuángulo. Las opciones contienen elementos descriptivos de esta ley, pero sólo una la enuncia correctamente. Identifícala.

11.- Utiliza tú calculadora y la ley de coseno a2 = b2 + c2 - 2bc cosA para que iden-tifi ques la respuesta correcta del siguiente problema:

El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 73.66° y los lados que se unen en esta esquina miden 175 y 150 m de largo. Calcula la longitud del tercer lado.Nota: El resultado ha sido redondeado al número superior inmediato.

A) 156 m B) 196 m C) 169 m D) 200 m

12.- De los problemas que se presentan en las opciones y de acuerdo con los datos, identifi ca en cual opción utilizarías la ley de coseno para resolverlo.

A) Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 180 m de longitud. Calcula el ángulo más pequeño entre los lados.

B) El ángulo en la base de un triángulo isósceles es de 40cm y la altura mide 22 cm. Determina la longitud de sus lados iguales.

C) El pie de una escalera de 12 m, apoyada contra la pared, queda a 5 m de ésta, su-poniendo que el piso es horizontal, ¿Qué ángulo forma la escalera y el piso?

D) Dos barcas están situadas a 70 m una de la otra, y una boya está a 85 m de la más alejada. El ángulo que forman las dos vi-suales de la boya a las barcas es de 53.3°. ¿Qué distancia hay de la boya a la barca más próxima?

A) En todo triángulo oblicuángulo, la longitud de lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que for-man.

C) En todo triángulo oblicuángulo, el cua-drado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, mas el doble producto de los mismos lados por el cose-no del ángulo que forman.

B) En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los otros dos, menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman.

D) En todo triángulo oblicuángulo, el cua-drado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos lados por el cose-no del ángulo que forman.

150

73.66°

175

122122122


Contesta las preguntas 13, 14 y 15 de acuerdo a los datos que te proporciona el si-guiente triángulo.

13.-Encuentre el valor del ángulo B

A) 29.85 ˚ B) 90 ˚ C) 180 ˚ D) 77.25˚

14.- Encuentre el valor del ángulo C

A) 46.75˚ B) 90 ˚ C) 180 ˚ D) 77.15˚

15.- Encuentre el valor del lado ¨ c ¨

A) 29.87˚ B) 18.90˚ C)12.380˚ D) 17.15˚ IV.- Dibuja en tu cuaderno los triángulos oblicuángulos con los datos que se te pro-porcionan a continuación y resuelve utilizando la Ley de Seno ó Coseno según los datos.

1. A = 133º, b = 12, c = 152. B = 38°.57´, a = 68.7, b = 453. B = 73º42´, c = 16, a = 794. A = 26° , C =106°, c = 185. a = 6, b = 4, c = 56. C = 105.5°, a =42.3, c = 83.447. B = 98º6´, a = 40, c = 24.868. C = 135º, a = 6, b = 79. B = 41° , C =120°, b = 4010. C = 60º, a = 15, b = 12

C

a=34b=40

a=56 Bc

123123

Quiero saber más

V.- Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas aplicados y compara con tus compañeros los resultados.

1.- Una persona observa un edifi cio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanza 40 metros. Calcula la distancia desde el punto inicial del observador al punto más alto del edifi cio.

2.- El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 76º y los lados que unen a esta esquina miden 120 m y 112 m de longitud. Calcula la longitud del tercer lado.

d=?

40 m

30° 135°

124124124

Quiero saber más

Matemáticas, algo de su historia

Ya se sabe que las matemáticas surgieron al mismo tiempo que la historia del univer-so, que toda la naturaleza se ha desarrollado de manera matemática, de hecho, pare-ciera que todo ha sido calculado de manera exacta y ha sido ubicado cada molécula, cada partícula de nuestro universo en el lugar exacto, en el momento exacto.Es por ello, que hablaremos de algo de la historia de las matemáticas, como ciencia conocida para los humanos y la primera civilización que de manera racional la reco-noció como una ciencia, fue la cultura griega.

Ing. Víctor Morales HernándezLic. Georgina Castillo

Ahora te invitamos a que leas la siguiente lectura recomendada.

http://soko.com.ar/historia/Historia_matem.htm

Un poco de historia

Conocimientos previos:

Trigono signifi ca “triángulo” y metron, “medida”, o sea que trigonometría= “medida de triángulos”.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la nave-gación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Su origen se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia, y la usaban para efectuar medidas en agricultura y en la construcción de las pirámides. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C., el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos similares a la moderna tabla del seno. De Grecia pasó a la India y a Arabia, desde donde se difundió por Europa.

RECUERDA QUE... un ángulo es una porción de plano limitada por dos semirrectas.

Ánguloagudo

Ánguloobtuso

Ángulocóncavo

Ánguloconvexo

Ánguloscomplementarios

Ángulossuplementarios

Menor que un ángulo recto

Entre uno y dos rectos

Mayor que dos rectos

Menor que dos rectos

Suman 90° Suman 180°

Clases de ángulos

125

Tomado de: http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Trigonometria/trigonometria1.htm

Páginas recomendadas:

http://soko.com.ar/historia/Historia_matem.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub=

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Resolucion_triangulos_oblicuangulos/Resolucion_TO_indice.htm

http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/oblic.html

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id368.htm

126

respuestas1Ángulos.1. C2. B3. A4. B5. D6. B7. C8. A9. B10. E11. B12. C13. D14. A

Triángulos.15. B16. E17. A18. B19. E20. A21. E22. C23. B24. D25. A

Congruencia.26. B27. C28. E29. D30. B

127

Clasifi cación de polígonos.1. C2. B3. D4. DSuma de ángulos.5. D6. B7. CTriangulación de polígonos.8. D9. C10. ECírculo y circunferencia: elementos.11. C12. B13. E14. D15. A16. D17. B18. AÁngulos.19. E20. B21. D22. C23. AArco.24. D25. D26. B27. D28. A29. C30. E31. A

32. A) 108°, B) 120°, C) 135°33. A) 7, B) 3, C) 434. A) 40, B) 25, C)1335. A) 1254 cm2 , B) 18 cm2, C) 600 cm236. $ 5,760.0037. 1-g, 2-f, 3-l, 4-j, 5-p, 6-c, 7-a, 8-b, 9-h, 10-d, 11-i, 12-q, 13-e, 14-k, 15-m, 16-nCálculo de perímetros y áreas.38. D39. DPerímetros y áreas.40. E

2respuestas

128

31.- C2.- B3.- E4.- C5.- A6.- C7.- B8.- D9.- C10.- 11.- D12.- B13.- E14.- D15.- B16.- D17.- B18.- D19.- 20.- C21.- D22.- B23.- C24.- A25.- Cálculo para ángulos notables 30°, 45° y 60°

respuestas

x0

yB(12,6)

Ax=12

r=

y=6

x2+y2=r2

r= (122+(6)2)

r= 144+36

r= 180

r= 22*32*5

r= (2)(3) 5

r= 6 √5

Funciones trigonométricas para el ángulo “ “:

A) sen= 1√5 •

66√5

= √5√5 = √5

5

B) cos= 2√5 *

126√5

= 2√5 =

√5√5

2√55

=

C) tan= 12

612

=

Funciones trigonométricas para el ángulo “ “:

A) sen= 2√5 =

126√5

= 2√5

√5√5

B) cos= 1√5 *

66√5

= 1√5 =

√55

√55

=

C) tan= 2126

=

2√55

=

Respuestas

tan =2

sen =cos √55

=

tan = 12

cos =cos 2√55

=

•

129

26. Razones trigonométricas para triámgulos rectángulos

200 mts

75°

B

A0

río

Rodrigo

x=?

25°r=?

Juan

Paula

1500 m

Rosa

tan 75°= y200

y=200 (tan75°)

y=200 (3.7320)

y=746.40mts200O B

y=75°

B

tan 25°=c.o.c.a.

tan 25°= 1500x

x= 15000.4663

x=3,216.81m

sen 25°= c.o.h.

sen 25°= 1500r

r= 1500sen 25°

x=3,549.45m

r= 15000.4226

Distancia de Rosa a Juan:

x=3,216.81 m

Distancia de usted a Juan:

R=3,549.45 m

27.

130

28.

x= 15000.1853

x=8,094.98m=8,095m

sen 10.5°=1500

r

r= 1500sen10.5°

r= 15000.1822

x=8,232.71=8,233m

Distancia horizontal:

x=8,095 m

Distancia de recorrido:

r=8,233 m

tan 10.5°=1500

x

x

1500

10.5°

r

x=?

r=?h=1,500 m

29.

cos =0.2142 =77°3’

7 m=cos -1 0.2142

=77.63°=77.38°

h=1.5(tan )h=1.5(tan 77.63°)h=1.5(4.5596)h=6.8 mts

h=6.8 mts

y=?

1.5m

1.5 m

7 m

y=?

131

30. Triángulo rectángulo.

a=4 b=?

C

c AB

62°30’

Calculo del cateto “c“

cos B= ca

c=a(cosB)

c=4(cosB)

c=4(cos 62.5°)

c=4(0.4617)

c= 1.846 ~ 1.85 cm

Área del triángulo

A= 14

(4)2 sen2(62.5°)

A= 14

a2 sen2 B

A= 14

(16) sen (62.5°)

A= 4(0.8191)

A=3.276=3.28 cm2

Datos:

a=4

<B=62°30’

b=?

c=?

<C=?

Respuestas

CATETO b=3.55 cm

CATETO c=1.85 cm

ANGULO C=27°30’

AREA A=3.28 cm2

Calculo de cateto “b“

TanB=

b=4(sen B)

b=(4 sen 62°30’)

b=4(sen 62.5°)

b=4(0.8870)

b=3.548=3.55 cm

ba

Calculo<C

TanC=

Tan C=

TanC=0.5211

<C=tan-1 0.5211

<C=27.52°=27°30’

cb1.853.55

132

31. Triángulo rectángulo

a=?b=12

C

C=15A

B

Respuestas

<B=38°39’

<C=51°21’

a=19.21 cm

Área=90 cm2

Aplicando el teorema de Pitágoras

x=x2+y2=r2

152+122=r2

r= 225+144

r= 369

r=19.209=19.2

Datos:

tan b=

tan b=

tan b=

<B = 38.66° = 38° 39’

bc1215

0.8

Calculo < C

cb

tan C=

1215

tan C=

tan C=1.25

<C= tan-1 1.25

<C= 51.34°=51°21’

Calculo de la hipotenusa A

Cálculo <C

sen B= ba

sen a= bsen b

sen a= 12sen 38.60°

sen a= 120.6247

A=19.209=19.21 cm

A= 14

a2 sen2 B

A= 14

(19.21)2 sen2(38.66°)

A= 14

(369.0241)2 sen77.32°

A=92.2560 (0.9756)

A=90.000190 cm2

133

32. Triángulo rectángulo

Cálculo del cateto C:

tan c=cb

c=b (tan C)c=25 (tan15° 30´)c=25 (tan 15.5°)c=25 (0.2773)

c=6.9325 = 6.93 cm

Cálculo de la hipotenusa a:

cos c=ba

a= bcos c

a= 25cos 15.5°

250.9636

= = 25.94

A=25.94

Cálculo del ángulo B:

tan b=bc

tan b= 256.9

Tan B=3.6232

< B = tan-1 3.6232

< B = 74.57° = 74°30’

Cálculo del area:

A= 14

a2 sen 2 C

A= 14

(25.94)2 sen2(15.5°)

A= 14

(672.8836) sen31°

A=168.2209 (0.5150)

A=86.63 cm2

Resultados

c=6.93 cma=25.94 cm<B =74°30’Área=A=86.63 cm3

134

Identidades TrigonométricasTeorema de Pitagoras

33. V34. F35. V36. V37. F38. V39. V40. F41. V42. F43. V44. V45. F46. V47. V48. V49. V

135135


I.- Según los triángulos oblicuángulos identifi ca los datos que te proporcionan e indica según estos que Ley debes aplicar para encontrar los datos faltantes.

Ladosa = 26b = 34.36c= 34.37

1)

Aplicar la ley de coseno

2)

Lados Ángulosb = 120.8 B = 35° C = 61°

Aplicar la ley de seno

3)Lados Ángulosa = 38.1 B = 8°b = 27.9

Aplicar la ley de seno

4)

Lados Ángulosa = 15.2 C = 106°b = 5.44

Aplicar la ley de coseno

4respuestas

136136136


( 4 ) Dos ángulos y un lado o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

( 5 ) Cuando se conocen los tres lados ó cuando se conocen sólo dos lados y el ángulo entre ellos. ( 1 ) Triángulo Oblicuángulo.

( 2 ) Ley de Seno. ( )4.- La ley de seno se utili-

za si se conoce:

5.- La ley de coseno se utiliza si se conocen:

6.-Según los datos, trián-gulo que aplica la ley de coseno.

III.- Selecciona la respuesta correcta de las siguientes preguntas

1.- D) Acutángulo

2.- D) Obtusángulo

3.- D) Ley de senos

4.- C) Ley de cosenos

II.- Relaciona las siguientes columnas

1.- Es un triángulo que no presenta ángulo rec-to, puede ser acutángu-lo u obtusángulo.

2.- En cualquier trián-gulo, las longitudes de los lados son propor-cionales a los senos de los ángulos opuestos.

3.- En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman.

( 3 ) Ley de Coseno.

( 6 )

A

B

b=?

a=94C

c=49

A

b

C B

c

a=40

36°

73°

137137

Quiero saber más

10.- D) En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cua-drados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman.

11.- B) 196 m

12.- A) Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 180 m de longitud. Calcula el ángulo más pequeño entre los lados.

13.- D) 77.25˚

14.- A) 46.75˚

15.- A) 29.87˚ IV.- Dibuja en tu cuaderno los triángulos oblicuángulos con los datos que se te proporcionan a continuación y resuelve utilizando la Ley de Seno ó Coseno según los datos.

1. a = 24.78, B = 20.74º, C = 26.26°2. c = 66.07, A = 73.68°, C = 67.37°3. b = 76.07, A = 73.52°, C = 32.78°4. b = 30.51, c = 39.47, B = 48°5. A = 82.81°, B = 41.40º, C = 55.79°6. b = 61.50, A = 29.24°, B = 45.26°7. c = 49.98, A = 52.40°, C = 29.5°8. c = 12.01, A = 24.33°, C = 20.67°9. a = 19.84, b = 52.80, A= 19°10. c = 13.74, A= 70.84°, B = 49.14°

V.- Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas aplicados y compara con tus compañeros los resultados.

1.- d = 109.28 m

2.- Longitud del tercer lado es 142.93 m

5.- D) En cualquier triángulo oblicuángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de lo ángulos opuestos.

6.- B)

7.- D) Ley de cosenos

8.- B) 81 m

9.-A) b = 2784.71 m c = 2383.35 m

Matemáticas IICuadernillo de Procedimientos para el AprendizajeDerechos ReservadosNúmero de registro en trámite2007 Secretaría de Educación Pública/Dirección General del Bachillerato

cuad mate ii

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