CS3241: Computer Graphics

Where are we? All the objects are set up in the scene

And they are polygonal models A camera (view point) is set After all the transformation (including the 

ti  t f ti )perspective transformation) Transform all the polygon vertices into the screen coordinates

Keeping the z Values After Perspective Transformation

Transformation/Viewing

Scan Convert Algorithm But how do we know the order?

Sca Co e t go t

Wrong Drawing Order

Hidden Surface Removal (HSR)

Two Main ApproachesI. Control the drawing order of objects

Sort the order of polygons according to “depth” Draw polygons from furthest to nearest View dependent

The depth order changes when the viewpoint changes The depth order changes when the viewpoint changes

II. Draw objects in a random order Then for each pixel drawn by a new objectThen for each pixel drawn by a new object

If there is already some object drawn, decide if the new object should overwrite it or not

Various HSR Algorithms Type 1:

Depth SortingWeiler Atherton Algorithm Weiler‐Atherton Algorithm

Binary Space‐Partitioning (BSP) Tree Type 2:yp

Z‐buffer  Warnock's AlgorithmR i  (i   h  l   f    i ) Ray‐casting (in the lecture of ray tracing)

…. etc. All of them are performed after perspective transformation All of them are performed after perspective transformation

Except Ray‐casting

Type 1: Controlling Drawing Order However, sometime there is no possible  correct order:

P R

Q Q

P

S    h    b k  h   l So, we have to break the polygons

Type 1a: Depth Sort For every pairs of polygons, check

If their bounding boxes (2D) overlap each otherh l Compute their intersections/overlapping areas

(If there is no intersections, they are not affecting each other)

If not, these two polygons are not affecting each otherIf not, these two polygons are not affecting each other

A B A

B

A B

A B

B occludes A partially

A occludes B partially

A & B are non-overlapping

B occludes A completely

Type 1a:Depth Sort Weiler‐Atherton Algorithm  Computing intersections of polygons A generic polygon clipping algorithm (detail omitted) A generic polygon clipping algorithm (detail omitted) For two polygons and B, we can compute

the union of A and B the intersection of A and B A minus B B minus A B minus A

S t A  d S t B I t tiSet A and Set B Intersection

A ‐ BUnion

A  B

Type 1a: Depth Sort

Polygon A

Polygon B

Polygon A

Type 1a: Depth Sort

Polygon A

Polygon  A minus B

Polygon A

Polygon A in B

Type 1a: Depth Sort

Polygon B minus A

Polygon B in A

Type 1a: Depth Sorting Drawing order:

Determine which one to draw firstl “ ” l “ ” Polygon “A in B” or Polygon “B in A”

In this case, draw “A in B” first then draw “B in A” if polygon B is transparent

If B is not transparent, we can ignore or skip drawing “A in B” directly

Do not need to care about “A‐B” or “B‐A”Do not need to care about  A B  or  B A If they do not intersect other polygons in the screen

Type 1a: Depth Sorting Advantages

Handle transparency Especially good if p y g

The order is predictable No need for polygon clipping

Disadvantages Need special care for penetrating polygons

Computational expensivel   d   i i n polygons produce nC2 intersections

i.e. O(n2) And for each pair of polygon, we could

produce O(m2) if each polygon has m edgesp ( ) p yg g

Type 1b: Binary Space Partitioning Subdivide the entire space by a binary tree

Each internal node is a division of a partition/space Each leaf is a part of the space with only one polygon

Di id  i     Divide into two stepsI. PreparationII Rendering A

B

II. RenderingC

(Use a bird’s eye view for illustration)(Use a bird s eye view for illustration)

Type 1b: BSP‐tree Preparation Initialization

Let S = the entire space Pick any polygon, say Polygon A Let HA be the hyperplane that 

t i  A d di id  S i t  t  contains A and divides S into two subspace S1 and S2

A

B

C

HA

Type 1b: BSP‐tree Build a node by polygon A Break every polygon in S by HA

Build the two children of A by the two subspaces S1 and S2R   il  h   b   Repeat until the subspace contains only 1 polygon

A

B1

BC

HA

B2A

B1

Type 1b: BSP‐treeA

B1 B2

A

B1

BC1C2

HA

B2

C2

C1

Type 1b: BSP‐tree Renderingype b S t ee e de gA

B1 B2

Depending on the viewpoint p Start from the root

C1C2

For each node there is one polygon and two sub‐spaces in the two children

A

B1

B

the two children1. Draw the sub‐tree that does 

NOT contains pD  th   l   f th   d

HA

B2

C2

C1

2. Draw the polygon of the node3. Draw the sub‐tree that 

contains p

AType 1b: BSP‐treeB1 B2

For example, for the following viewpoints, their drawing order will be

C1C2

drawing order will be p1 : B1, A, C1, B2 , C2

p : C  B  C  A  B

A

B1

B

p2: C1, B2, C2, A, B1

p2

HA

B2

C2

C1

p1

Type 1b: BSP‐tree Advantage:

Once the tree is computed, the tree can handle all i i t  i   ffi i tviewpoints, i.e. efficient

Handle transparency Indeed  it’s a stand format ( BSP files) to store the  Indeed, it s a stand format (.BSP files) to store the environment for many games E.g. Quake, Half‐life, Call of Duty, etc

Disadvantages Cannot handle moving/changing environmentsP i   i  i  l Preprocessing time is long

Type 2a: Z‐buffer Algorithm When we draw a pixel on the screen

It is from a pixel by the scan conversion algorithm We may store the color onto the color buffer (memory) We may store the color onto the color buffer (memory) The choices are:

To overwrite the original values already there, or Do not write anything, i.e. ignoring the current pixel

The main idea of z‐buffer algorithm: Allocate another buffer to store the z values of all the  Allocate another buffer to store the z values of all the pixel drawn

Note: When we perform all the transformation, we keep the z values of the vertices of all polygons

Keeping the z Values After Perspective Transformation

Type 2a: Z‐buffer Algorithm For every pixel, every polygon will (usually) have a different z values

Z

COP

Z2

Z1

Z‐buffer Algorithm// initialization

for (y = 0; y < YMAX; y++) {for (x = 0; x < XMAX; x++) {

WritePixel (x, y, BACKGROUND_VALUE );WriteZ (x,y, BACKGROUND_Z );

}}// going through each polygon

for (each polygon) {for (each pixel in polygon’s projection) {

pz = polygon’s z-value at pixel coords (x,y);if (pz < ReadZ(x,y){ /* new point is not farther */

WriteZ (x, y, pz);WritePixel (x,y, polygon’s color at (x,y));

}}

}

9 9 9 9 9 9 9 9 99 9 9 9 9 9 9 9 9

5 5 5 5 5 5 5 55 5 5 5 5 5 5

5 5 5 5 5 5 5 5 95 5 5 5 5 5 5 9 99 9 9 9 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9 9 9 99 9 9 9 9 9 9 9 99 9 9 9 9 9 9 9 9

5 5 5 5 5 5 55 5 5 5 5 55 5 5 5 55 5 5 5+ =

5 5 5 5 5 5 5 9 95 5 5 5 5 5 9 9 95 5 5 5 5 9 9 9 95 5 5 5 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9 9 9 99 9 9 9 9 9 9 9 99 9 9 9 9 9 9 9 9

5 5 55 55

5 5 5 9 9 9 9 9 95 5 9 9 9 9 9 9 95 9 9 9 9 9 9 9 9

Initial Screen z‐buffer(Let 9 be the maximum z value)

5 5 5 5 5 5 5 5 95 5 5 5 5 5 5 9 95 5 5 5 5 5 9 9 9 2 3 4 5 6 7 8

5 5 5 5 5 5 5 5 95 5 5 5 5 5 5 9 92 3 4 5 5 5 8 9 9

5 5 5 5 5 9 9 9 95 5 5 5 9 9 9 9 95 5 5 9 9 9 9 9 9

2 3 4 5 6 7 82 3 4 5 6 7 8

+ 2 3 4 5 5 7 8 9 92 3 4 5 6 7 8 9 95 5 5 9 9 9 9 9 9

=

5 5 9 9 9 9 9 9 95 9 9 9 9 9 9 9 9

5 5 9 9 9 9 9 9 95 9 9 9 9 9 9 9 9

Type 2a: Z‐buffer Algorithm Advantages

No pre‐sorting is necessary,  no explicit intersection/object‐object comparisons are required, i.e.

Fast and simple Fast and simple Handles cyclic and penetrating polygons Can make use of ∆z to speed up in the incremental SCA

Disadvantagesg Can handle only opaque objects

Well… can somehow fix it partially… A single point sampling process, i.e. severe aliasing.

E g  two polygons on the same plane but with different shapes E.g. two polygons on the same plane but with different shapes Problem in a sub‐pixel level

The z‐buffer's finite precision does not provide adequate resolution for scene with small objects separated far apart (in z) and for intersections of distant objects. (i.e. 2 pts close together may become touching each other due to rounding ) ( .e. pts c ose toget e ay beco e touc g eac ot e due to ou d g )

Type 2b: Warnock's Algorithm Subdivide the screen until

The area only contains one l  polygon, or

The area is one pixel big For the one pixel big area For the one pixel big area

Determine which polygon to draw by intersecting a line to all the polygons in that pixel

Speed‐up Enhancements1. Skipping (eliminating) objects outside the view frustum

Many many methods…k f ll2. Back face culling

For each polygon, define one side is “outside” and the other “inside”inside

Only draw the polygon if the “outside” face is facing the eye by testing if the dot product of the two vectors V and N is greater than zero V: eye position minus a point on the polygon N: normal vector of the polygon

N N: normal vector of the polygon

V

Polygon ygNormal

Back Face Culling

OpenGL Z‐buffer (depth buffer)

Setup:glEnable(GL DEPTH TEST);glEnable(GL_DEPTH_TEST); glDepthMask(GL_TRUE);

Every time clearing the screenglClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

Back face culling Setup SetupglEnable(GL_CULL_FACE);

glCullFace(GL_FRONT); or     glCullFace(GL_BACK);

Th  d   ll  l  i     i l k i       l k i   d Then draw all polygons in an anti‐clockwise or a clockwise order

Outline Effect A polygonal model Draw the outline

The division between polygon being “backfaceculled” and not culledculled  and not culled

Conclusion This all COMPUTATIONAL GEOMETRY! Z‐buffer is not superior, 

but most “user friendly”y Most suitable for hardware implementation

Other algorithms are more suitable for software implementationp

Performance depends on  The number of polygons Size of the output Size of the output

Those who are interested: Quake’s  HSR techniques:

http://downloads gamedevnet/pdf/gpbb/gpbb66 pdf http://downloads.gamedev.net/pdf/gpbb/gpbb66.pdf