cs2624 - computer organization & architecture (coa) · • notasi floating point r: r m b e...

Floating PointFloating Point (1)(1)Floating Point Floating Point (1)(1)

Bilangan floating point (pecahan):Bilangan floating point (pecahan):

dndn-1dn-2...d2d1d0.d-1d-2d-3... =

dnrn+ dn-1rn-1 + dn-2rn-2 ...+ d2r2 + d1r1 + d0r0

+ d 1r-1 + d 2r-2 + d 3r-3 ...-1 -2 -3

Contoh :(a) 110 011012 = 1x22 + 1x21 + 0x20 + 0x2-1 + 1x2-2 +(a) 110,011012 = 1x2 + 1x2 + 0x2 + 0x2 + 1x2 +

1x2-3 + 0x2-4 + 1x2-5

= 4 + 2 + 0 + 0 + 1/4 + 1/8 + 0 + 1/32= 4 + 2 + 0 + 0 + 1/4 + 1/8 + 0 + 1/32= 6 + 0,25 + 0,125 + 0,03125 = 6,4062510

(b) 101 101 1 22 0 21 1 20 1 2 1 0 2 2 1 2 3(b) 101,1012 = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3

= 4 + 0 + 1 + ½ + 0 + 1/8

20090228 #1

= 5 + 0,5 + 0,125 = 5,62510


(( ) 0 375) 0 375 (d) 0 3(d) 0 3((cc) 0,375) 0,3751010 == ......22 (d) 0,3(d) 0,310 10 = = ......22

Jika akurasinya 5 digit, maka:

0,310 = 0,010012

20090228 #2


((ee) 0 3) 0 37755 (( ) 0) 0 984984((ee) 0,3) 0,377551010 == ......440,375

4

((gg) 0,) 0,9849841100 == ......1616(4 digit akurasi)0,984

X 41,500

X 165904984 +

X 42,000

15,744 X 164464

0,30,377551010 == 0,120,1244

(f) 1 234(f) 1 234

744 +11,904

X 165424(f) 1,234(f) 1,2345 5 = = ......1010

= 1x50 + 2x5-1 + 3x5-2 + 4x5-3

1 2 0 2 3 0 04 4 0 008

5424904 +

14,464X 16= 1 + 2x0,2 + 3x0,04 + 4x0,008

= 1 + 0,4 + 0,12 + 0,032

X 162784464 +

7 424

20090228 #3

= 1,552107,424

0,0,9849841010 == 0,FBE70,FBE71616

FFloatingloating PPoint Roint R (N t i Il i h)(N t i Il i h)FFloating loating PPoint Roint R (Notasi Ilmiah) (Notasi Ilmiah) (1)(1)

Di k t k t ik bil• Digunakan untuk merepresentasikan bilangan pecahan di dalam semua komputer

• Notasi floating point R::EBMR

M M tiM M ti

EBMR M = MantissaM = MantissaE = EksponenE = EksponenBB = Basis dari eksponen= Basis dari eksponen

•• B B ≠≠ basis bilanganbasis bilangangg•• Basis bilangan selalu bernilai Basis bilangan selalu bernilai 2 2 (biner), sementara (biner), sementara

basis eksponenbasis eksponen BB tidak harustidak harus 22

20090228 #4

basis eksponen basis eksponen B B tidak harustidak harus 22

FFloatingloating PPoint Roint R (N t i Il i h)(N t i Il i h)FFloating loating PPoint Roint R (Notasi Ilmiah) (Notasi Ilmiah) (2)(2)

•• Contoh :Contoh :•• Contoh :Contoh :(a) (a) 1.228,8 = 1,2288 x 101.228,8 = 1,2288 x 1033

M = 1 2288; E = +3; B = 10M = 1 2288; E = +3; B = 10M = 1,2288; E = +3; B = 10M = 1,2288; E = +3; B = 10(b) Tuliskan 1.228,8 dengan notasi ilmiah dan(b) Tuliskan 1.228,8 dengan notasi ilmiah dan

basis eksponen B = 8 !basis eksponen B = 8 !basis eksponen B = 8 !basis eksponen B = 8 !1.228,8 = 2,40 x 81.228,8 = 2,40 x 833 (caranya ?)(caranya ?)

M = 2,4; E = +3; B = 8M = 2,4; E = +3; B = 8M 2,4; E +3; B 8M 2,4; E +3; B 8•• Basis eksponen ditentukan dan diBasis eksponen ditentukan dan di--set secara set secara hardwarehardware, ,

tidak bisa diubah oleh usertidak bisa diubah oleh user•• Contoh : Contoh :

PDPPDP--11 dan VAX11 dan VAX--11 11 B = 2B = 2IBMIBM 360 d 370360 d 370 B 16B 16IBMIBM--360 dan 370 360 dan 370 B = 16B = 16Burroughs BBurroughs B55500 500 B = 8B = 8

•• BilanganBilangan realreal dalam komputer direpresentasikan hanyadalam komputer direpresentasikan hanya

20090228 #5

•• Bilangan Bilangan realreal dalam komputer direpresentasikan hanya dalam komputer direpresentasikan hanya dengan nilai dengan nilai MM dan dan EE, , sehingga sehingga R = (R = (±±M, M, ±±E)E)

Floating Point:Floating Point: NormalisasiNormalisasi (1)(1)Floating Point:Floating Point: NormalisasiNormalisasi (1)(1)

B i t ikB i t ik fl tifl ti•• Bagaimana cara merepresentasikan Bagaimana cara merepresentasikan floating floating pointpoint secara normal ?secara normal ?1 228 81 228 8 1 2288 * 101 2288 * 1033 ??????1.228,81.228,8 = 1,2288 * 10= 1,2288 * 1033 ??????

= 0,12288 * 10= 0,12288 * 1044 ??????0 012288 * 100 012288 * 1055 ??????= 0,012288 * 10= 0,012288 * 1055 ??????

= ......= ...... ??????NNormalized formormalized form::•• NNormalized formormalized form::–– Agar tidak membingungkanAgar tidak membingungkan–– UntukUntuk memaksimalkan akurasimemaksimalkan akurasi dari representasi bilangandari representasi bilanganUntuk Untuk memaksimalkan akurasimemaksimalkan akurasi dari representasi bilangandari representasi bilangan–– MMenempatkan koma tepat dienempatkan koma tepat di sebelah kiri angka penting pertamasebelah kiri angka penting pertama–– Sebelum koma = 0, sesudah koma = bukan nol (jika bisa)Sebelum koma = 0, sesudah koma = bukan nol (jika bisa)–– Nilai mantissa M: (dalam desimal)Nilai mantissa M: (dalam desimal)

11 M

20090228 #6

1 MB

Floating Point:Floating Point: NormalisasiNormalisasi (2)(2)Floating Point:Floating Point: NormalisasiNormalisasi (2)(2)

Ak i jik ti 5 di itAk i jik ti 5 di it k hk h•• Akurasi: jika mantissa = 5 digit, Akurasi: jika mantissa = 5 digit, manakah yang manakah yang paling akurat ?paling akurat ?1 228 81 228 8 0 12288 * 100 12288 * 1044 ??????1.228,8 = 1.228,8 = 0,12288 * 100,12288 * 1044 ??????

= = 0,01228 * 100,01228 * 1055 ??????0 00122 * 100 00122 * 1066 ??????= = 0,00122 * 100,00122 * 1066 ??????

•• Contoh:Contoh: Normalisasikan !Normalisasikan !•• Contoh:Contoh: Normalisasikan !Normalisasikan !(a) 103,5(a) 103,51010 dengan B = 10 ?dengan B = 10 ?

103 5103 5 0 1035 100 1035 1033103,5103,51010 = 0,1035 x 10= 0,1035 x 1033

(b) (b) 0,0000111010,00001110122 dengan B = 2 ?dengan B = 2 ?0,0000111010,00001110122 = = 0,111010,1110122 xx 22--44

(c) (c) 10011,11010011,11022 x 2x 210 10 dengan B = 2 ?dengan B = 2 ?

20090228 #7

( )( ) ,, 22 gg10011,11010011,11022 xx 221010 = 0,10011110= 0,1001111022 xx 221515

Floating PointFloating Point: Normalisasi: Normalisasi (3)(3)Floating PointFloating Point: Normalisasi: Normalisasi (3)(3)

(d) (d) 0,0000110,00001122 x 8x 822 dengan B = 8 ?dengan B = 8 ?8 = 28 = 233 pergeseran per 3 bit !pergeseran per 3 bit !8 28 2 pergeseran per 3 bit !pergeseran per 3 bit !0,0000110,00001122 x 8x 822 = 0= 0000000,011,01122 xx 8811 == 00,011,01122 xx 8811

(e)(e) 0 000 000011 x 16x 1655 dengan B 16 ?dengan B 16 ?(e) (e) 0,000,00001122 x 16x 1655 dengan B = 16 ?dengan B = 16 ?16 = 216 = 244 pergeseran per 4 bit !pergeseran per 4 bit !0,0,0000001122 x 16x 1655 = = sudah normal !sudah normal !

(f)(f) 0 0000110 00001122 x 16x 1655 dengan B = 16 ?dengan B = 16 ?(f) (f) 0,0000110,00001122 x 16x 16 dengan B 16 ?dengan B 16 ?0,0000110,00001122 x 16x 1655 = 0= 000000000,,111122 xx 16164 4 == 00,11,1122 xx 161644

20090228 #8

RepresentasiRepresentasi MantissaMantissa dandan EksponenEksponenRepresentasiRepresentasi MantissaMantissa dandan EksponenEksponenM d l t i di k• Model representasi yang mana yang digunakan untuk merepresentasikan mantissa ?untuk merepresentasikan mantissa ?– Sign/magnitude, komplemen 1, komplemen 2 , atau

BCD dapat digunakan tergantung perancangBCD dapat digunakan, tergantung perancang komputerContoh:– Contoh: PDP-11 dan VAX-11 menggunakan sign/magnitude

M d l t i di k• Model representasi yang mana yang digunakan untuk merepresentasikan eksponen ?untuk merepresentasikan eksponen ?– Ke-4 model representasi dapat digunakan

Yang banyak digunakan: notasi bias atau notasi

20090228 #9

– Yang banyak digunakan: notasi bias atau notasi excess-n, n = 2m-1

ExcessExcess nn (1)(1)ExcessExcess--nn (1)(1)

Cara kCara konversi:onversi: e’ e +e’ e + 22mm--11•• Cara kCara konversi: onversi: e’ = e +e’ = e + 22mm--11

–– e’ = eksponen biase’ = eksponen bias–– e = eksponen sebenarnyae = eksponen sebenarnya–– e = eksponen sebenarnyae = eksponen sebenarnya–– mm = jumlah = jumlah bitbit

•• Contoh:Contoh:Contoh:Contoh:bilangan 8bilangan 8--bit (m = 8) bit (m = 8) n = n = 22mm--11 = 128= 128 excess 128excess 128ExcessExcess 128 dari128 dari 33 ==ExcessExcess--128 dari 128 dari ––331010 = ...= ...

––331010 + 128+ 1281010 = 125= 1251010 = 01111101= 0111110122

001010 = ...= ...22;; ––1001001010 = ...= ...22; 128; 1281010 = ...= ...22001010 ... ...22; ; 1001001010 ... ...22; 128; 1281010 ... ...22•• Range nilai eksponen E:Range nilai eksponen E:

––22mm--11 EE +(2+(2mm--11––1)1)22 E E +(2+(2 1)1)Untuk m = 8 bit: Untuk m = 8 bit: ––128 ... +127 128 ... +127 e’ = e’ = 0 ... 2550 ... 255

•• Sama dengan komplemen 2Sama dengan komplemen 2 dengan bit tanda yang dengan bit tanda yang didinegasikannegasikan

20090228 #10

g pg p g y gg y g gg

ExcessExcess nn (2)(2)ExcessExcess--nn (2)(2)

A f t k i d i k k k bi ?• Apa manfaat konversi dari eksponen ke eksponen bias ?– Mempermudah atau mempercepat perbandingan 2 buah bilangan

Contoh eksponen bias untuk m = 5 bitContoh eksponen bias untuk m = 5 bit

20090228 #11COA/Endro Ariyanto/

Berapa Berapa jumlah bitjumlah bit untuk untuk pp jjMantissaMantissa dandan Eksponen ?Eksponen ? (1)(1)

M ki b k j l h di it ti ki i i• Makin banyak jumlah digit mantisa semakin presisi• Makin banyak digit eksponen cakupan (range) g g

bilangan yang dapat direpresentasikan makin lebar• Makin besar basis bilangan B cakupan bilanganMakin besar basis bilangan B cakupan bilangan

makin lebarContoh:– Contoh: Dengan 6 digit eksponen cakupan signed eksponen = –32

hingga +31hingga +31 Jika B = 2 cakupan bilangannya 2–32 hingga 2+31

Jika B = 16 cakupan bilangannya 16–32 hingga 16+31 atau Jika B 16 cakupan bilangannya 16 hingga 16 atau 2–128 hingga 2+124 !!!

20090228 #12


M ki b b i bil B k i• Makin besar basis bilangan B akurasi berkurang– Contoh bentuk normal dari 7,510 dengan 4 bit mantissa: 7,510 = 111,12 7,510 111,12

Dengan basis eksponen 2: 111 12 = 0 1111 x 23 = 7 510 111,12 = 0,1111 x 2 = 7,510

Dengan basis eksponen 16: 111 1 = 0 0111 x 161 = 7 0 (jauh berbeda !!) 111,12 = 0,0111 x 161 = 7,010 (jauh berbeda !!)

• Pilihan penggunaan basis eksponen ditentukan l h k l bih di i k (l boleh aspek mana yang lebih dipentingkan (lebar

cakupan atau akurasi)

20090228 #13


• Biasanya setiap sistem komputer mempunyai• Biasanya setiap sistem komputer mempunyai lebih dari satu format floating point

• Contoh jumlah bit untuk PDP 11 dan VAX 11:• Contoh jumlah bit untuk PDP-11 dan VAX-11:

• Format F:• Format F:– 24 bit mantissa akurasi 7 angka desimal (223 = 8388608)

– 8 bit eksponen eksponen desimal 10±38

20090228 #14

– 8 bit eksponen eksponen desimal 10

COA/Endro Ariyanto/


F t D (d bl i i )• Format D: (double precision)– 56 bit mantissa akurasi 16 angka desimal

• Format H: – 113 bit mantissa akurasi 34 angka desimal– Cakupan bilangan: –10480 R +10480

• Floating point overflow: fatal error !!fatal error !!– Terjadi jika bilangan yang akan disimpan lebih besar dari

eksponen positifMi l bil ½ 2200 k di i d ti bil F– Misal bilangan ½ x 2200 akan disimpan pada tipe bilangan F

• Floating point underflow: di-reset ke nol !– Terjadi jika bilangan yang akan disimpan lebih kecil dari

eksponen negatifMisal bilangan ½ x 2–200 akan disimpan pada tipe bilangan F

20090228 #15

– Misal bilangan ½ x 2–200 akan disimpan pada tipe bilangan F

COA/Endro Ariyanto/


• Karakteristik floating point beberapa komputer


B iB i BitBit bitbit Floating PointFloating Point didi ??BagaimanaBagaimana BitBit--bit bit Floating PointFloating Point disusundisusun ??

f• Komponen bilangan floating point : – sign (sebuah bit, terletak paling kiri / MSB)– mantissa (terletak sesudah eksponen)mantissa (terletak sesudah eksponen)– eksponen (terletak antara bit sign dan bit-bit mantissa)

• Distribusi bit floating point pada PDP-11 dan VAX-11:

• Distribusi bit floating point pada IBM 370:


O ti iO ti i BitBit bitbit Floating PointFloating Point (1)(1)OptimasiOptimasi BitBit--bit bit Floating PointFloating Point (1)(1)

• Optimasi: lebih efisien, cepat, akurat• Fakta untuk B 2:• Fakta untuk B = 2:

– Setelah normalisasi nilai mantissa selalu ½– Bit paling kiri (MSB) mantissa selalu 1

M k• Maka:– Bit MSB mantissa tidak perlu disimpanBit MSB mantissa tidak perlu disimpan– Lebih akurat 1 digit– Mantissa 100...0 ditulis menjadi 100...0X



C t hContoh:(a) Bagaimana nilai –3/16 desimal disimpan ke dalam

format F PDP-11 ?format F PDP-11 ?(1) Normalisasi: –3/16 = –3/4 x 2–2

(2) Nilai eksponen bias: e’ = e + 2m-1(2) Nilai eksponen bias: e = e + 2e’ = –2 + 28-1 = –2 + 128 = 12610e’ = 011111102e 011111102

(3) Nilai mantissa dalam notasi sign/magnitude:–3/4 = 1 | 11000...0 (sebanyak 23 bit)3/4 1 | 11000...0 (sebanyak 23 bit)

(4) Buang bit MSB mantissa: –3/4 = 1 | 1000...0(5) Hasil lengkap:( ) g p

= 10111111010000000000000000000000= 277200000008

20090228 #19

8

COA/Endro Ariyanto/


(b) B i il i 200 0 d i l di i k d l(b) Bagaimana nilai +200,0 desimal disimpan ke dalam format F PDP-11 ?(1) Normalisasi: +200 = +200/256 x 28(1) Normalisasi: +200 = +200/256 x 28

= 25/32 x 28

(2) Nilai eksponen bias: e’ = e + 2m-1(2) Nilai eksponen bias: e = e + 2e’ = 8 + 28-1 = 8 + 128 = 13610e’ = 100010002e 100010002

(3) Nilai mantissa dalam notasi sign/magnitude:+25/32 = 0 | 1100100...025/32 0 | 1100100...0

(4) Buang bit MSB mantissa: +25/32 = 0 | 100100...0(5) Hasil lengkap:( ) g p

= 01000100010010000000000000000000= 104220000008

20090228 #20

8

COA/Endro Ariyanto/


( ) Jik t i i t l d PDP 11 d f t F d l h(c) Jika representasi internal pada PDP-11 dengan format F adalah 277340000008, angka desimal berapakah yang sedang disimpan ?(1) Ubah ke biner sebanyak 32 bit:( ) y

277340000008 = 101111110111000000000000000000002

(2) Tentukan bilangan positif atau negatif:(2) Tentukan bilangan positif atau negatif:MSB = 1 bilangan negatif

(3) Cari nilai eksponen:( ) pEksponen bias (e’) = 011111102 = 12610Eksponen sebenarnya = 126 - 28-1 = 126–128 = –2

(4) Tambahkan bit MSB mantissa:(4) Tambahkan bit MSB mantissa:101111110111100000000000000000002

(5) Cari nilai mantissa:( )Mantissa = 11110000...0

= ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 = 15/16(6) Nilai desimalnya = 15/16 x 2–2

20090228 #21

(6) Nilai desimalnya = –15/16 x 2 2

= –15/64 = –0,234375COA/Endro Ariyanto/

PustakaPustakaPustakaPustaka[HTT02] htt // iki di / iki/[HTT02] http://en.wikipedia.org/wiki/[SCH85] Schneider, Michael G. 1985. “The Principle of

Computer Organization” 1st edition John Wiley &Computer Organization . 1st edition. John Wiley & Sons. Canada.

[TAN99] Tanenbaum, Andrew S. 1999. “Structured [ ] ,Computer Organization”. 4th edition. Prentice Hall.

20090228 #22

cs2624 - computer organization & architecture (coa) · • notasi floating point r: r m b e...

Documents