cruz enrique borges hern andezyjos e luis...
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Regresion simbolica con slp′s.
Cruz Enrique Borges Hernandez y Jose Luis Montana 1 2
Departamento de Matematicas, Estadıstica y ComputacionUniversidad de Cantabria
7 de abril de 2011
This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License.
1Departamento de Matematicas Estadıstica y Computacion, Universidad de Cantabria, 39071 Santander,
Espana. {borgesce,montanjl}@unican.es2
Investigacion financiada por los proyectos MTM2004-01167, MTM2007-62799, TIN2007-67466-C02-02 ybecas FPU del Gobierno de Espana
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 1/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Indice General.
1 Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion.
2 SLP: Software para Regresion Simbolica.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 2/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Ajuste de una Curva a una Muestra.
x
y
f (x)
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 3/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Ajuste de una Curva a una Muestra.
x
y
f (x)
x0
x1
x2 x3x4 x5
x6x7
x8
x9
x10
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 3/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Ajuste de una Curva a una Muestra.
x
y
g(x)
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 3/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Si conoces el espacio de busqueda. . .
. . . y es un espacio vectorial3
Muestra sin errores =⇒ Interpolacion.
Muestra con errores =⇒ Mınimos Cuadrados.
. . . y NO es un espacio vectorial
Muestra sin errores =⇒ Interpolacion no lineal.
Muestra con errores =⇒ Descenso de Gradiente.
3de dimension finitaC.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 4/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Si conoces el espacio de busqueda. . .
. . . y es un espacio vectorial3
Muestra sin errores =⇒ Interpolacion.
Muestra con errores =⇒ Mınimos Cuadrados.
. . . y NO es un espacio vectorial
Muestra sin errores =⇒ Interpolacion no lineal.
Muestra con errores =⇒ Descenso de Gradiente.
3de dimension finitaC.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 4/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Si conoces el espacio de busqueda. . .
. . . y es un espacio vectorial3
Muestra sin errores =⇒ Interpolacion.
Muestra con errores =⇒ Mınimos Cuadrados.
. . . y NO es un espacio vectorial
Muestra sin errores =⇒ Interpolacion no lineal.
Muestra con errores =⇒ Descenso de Gradiente.
3de dimension finitaC.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 4/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Si conoces el espacio de busqueda. . .
. . . y es un espacio vectorial3
Muestra sin errores =⇒ Interpolacion.
Muestra con errores =⇒ Mınimos Cuadrados.
. . . y NO es un espacio vectorial
Muestra sin errores =⇒ Interpolacion no lineal.
Muestra con errores =⇒ Descenso de Gradiente.
3de dimension finitaC.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 4/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Si NO conoces el espacio de busqueda. . .
¿?
La fuerza bruta no es una opcion en un espacio de funciones.
Explorar el espacio de funciones: Regresion Simbolica.
Programacion Genetica.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 5/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Si NO conoces el espacio de busqueda. . .
¿?
La fuerza bruta no es una opcion en un espacio de funciones.
Explorar el espacio de funciones: Regresion Simbolica.
Programacion Genetica.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 5/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Si NO conoces el espacio de busqueda. . .
¿?
La fuerza bruta no es una opcion en un espacio de funciones.
Explorar el espacio de funciones: Regresion Simbolica.
Programacion Genetica.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 5/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Si NO conoces el espacio de busqueda. . .
¿?
La fuerza bruta no es una opcion en un espacio de funciones.
Explorar el espacio de funciones: Regresion Simbolica.
Programacion Genetica.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 5/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Regresion Simbolica mediante Programacion Genetica I.
Idea General
Emular los procesos de seleccion natural para explorar el espacio defunciones en busca de un optimo.
Poblacion de Individuos.
Mecanismos de Evolucion.
Mecanismo de Calificacion
Solo sobreviven los mejor calificados.
El Teorema de los Esquemas garantiza la convergencia haciaun optimo local.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 6/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Regresion Simbolica mediante Programacion Genetica I.
Idea General
Emular los procesos de seleccion natural para explorar el espacio defunciones en busca de un optimo.
Poblacion de Individuos.
Mecanismos de Evolucion.
Mecanismo de Calificacion
Solo sobreviven los mejor calificados.
El Teorema de los Esquemas garantiza la convergencia haciaun optimo local.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 6/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Regresion Simbolica mediante Programacion Genetica I.
Idea General
Emular los procesos de seleccion natural para explorar el espacio defunciones en busca de un optimo.
Poblacion de Individuos.
Mecanismos de Evolucion.
Mecanismo de Calificacion
Solo sobreviven los mejor calificados.
El Teorema de los Esquemas garantiza la convergencia haciaun optimo local.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 6/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Regresion Simbolica mediante Programacion Genetica I.
Idea General
Emular los procesos de seleccion natural para explorar el espacio defunciones en busca de un optimo.
Poblacion de Individuos.
Mecanismos de Evolucion.
Mecanismo de Calificacion
Solo sobreviven los mejor calificados.
El Teorema de los Esquemas garantiza la convergencia haciaun optimo local.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 6/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Regresion Simbolica mediante Programacion Genetica I.
Idea General
Emular los procesos de seleccion natural para explorar el espacio defunciones en busca de un optimo.
Poblacion de Individuos.
Mecanismos de Evolucion.
Mecanismo de Calificacion
Solo sobreviven los mejor calificados.
El Teorema de los Esquemas garantiza la convergencia haciaun optimo local.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 6/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Regresion Simbolica mediante Programacion Genetica I.
Idea General
Emular los procesos de seleccion natural para explorar el espacio defunciones en busca de un optimo.
Poblacion de Individuos.
Mecanismos de Evolucion.
Mecanismo de Calificacion
Solo sobreviven los mejor calificados.
El Teorema de los Esquemas garantiza la convergencia haciaun optimo local.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 6/18
![Page 20: Cruz Enrique Borges Hern andezyJos e Luis Montana~paginaspersonales.deusto.es/cruz.borges/Papers/10Deusto.pdf · Si NO conoces el espacio de busqueda ... >? La fuerza bruta no es](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042204/5ea65f44e4c56f67d610ad4a/html5/thumbnails/20.jpg)
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Regresion Simbolica mediante Programacion Genetica II.
Crear Poblacion Inicial
Calificar Poblacion Inicial
Mientras no Fin
generaciones
Operadores GeneticosCalificar Nueva Poblacion
Validar Resultado
No Paralelizable
Poco interes en Paralelizar
Paralelizable
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 7/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
SLP: un Software para Regresion Simbolica.
Poblacion de slp.
Mecanismos evolutivos:Cruce y Mutacion adaptados.
Multiples mecanismos de calificacion:Error Cuadratico Medio y VC dimension.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 8/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
SLP: un Software para Regresion Simbolica.
Poblacion de slp.
Mecanismos evolutivos:Cruce y Mutacion adaptados.
Multiples mecanismos de calificacion:Error Cuadratico Medio y VC dimension.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 8/18
![Page 23: Cruz Enrique Borges Hern andezyJos e Luis Montana~paginaspersonales.deusto.es/cruz.borges/Papers/10Deusto.pdf · Si NO conoces el espacio de busqueda ... >? La fuerza bruta no es](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042204/5ea65f44e4c56f67d610ad4a/html5/thumbnails/23.jpg)
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
SLP: un Software para Regresion Simbolica.
Poblacion de slp.
Mecanismos evolutivos:Cruce y Mutacion adaptados.
Multiples mecanismos de calificacion:Error Cuadratico Medio y VC dimension.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 8/18
![Page 24: Cruz Enrique Borges Hern andezyJos e Luis Montana~paginaspersonales.deusto.es/cruz.borges/Papers/10Deusto.pdf · Si NO conoces el espacio de busqueda ... >? La fuerza bruta no es](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042204/5ea65f44e4c56f67d610ad4a/html5/thumbnails/24.jpg)
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
La estructura de datos slp I.
Propiedades
Grafo Acıclico Dirigido que codifica una aplicacion.
Reutiliza calculos ya hechos.
Equivalentes a Maquina de Turing.
Faciles de Evaluar.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 9/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
La estructura de datos slp I.
Propiedades
Grafo Acıclico Dirigido que codifica una aplicacion.
Reutiliza calculos ya hechos.
Equivalentes a Maquina de Turing.
Faciles de Evaluar.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 9/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
La estructura de datos slp I.
Propiedades
Grafo Acıclico Dirigido que codifica una aplicacion.
Reutiliza calculos ya hechos.
Equivalentes a Maquina de Turing.
Faciles de Evaluar.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 9/18
![Page 27: Cruz Enrique Borges Hern andezyJos e Luis Montana~paginaspersonales.deusto.es/cruz.borges/Papers/10Deusto.pdf · Si NO conoces el espacio de busqueda ... >? La fuerza bruta no es](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042204/5ea65f44e4c56f67d610ad4a/html5/thumbnails/27.jpg)
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
La estructura de datos slp I.
Propiedades
Grafo Acıclico Dirigido que codifica una aplicacion.
Reutiliza calculos ya hechos.
Equivalentes a Maquina de Turing.
Faciles de Evaluar.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 9/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
La estructura de datos slp II: representacion grafica.
Figura: f1 como arbol.
∗
∗
∗∗
+
∗
+
∗
+
x
f1 ≡
Figura: f1 como slp.
+
+
+
∗
∗
∗
x
f1 ≡
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 10/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
La estructura de datos slp III: codificacion.
Figura: f1 como arbol.
f1 ≡
u1 := x ∗ xu2 := x ∗ xu3 := u1 ∗ u2
u4 := x ∗ xu5 := u4 ∗ xu6 := x ∗ xu7 := u6 + xu8 := u5 + u3
u9 := u8 ∗ u7
Figura: f1 como slp.
f1 ≡
u1 := x ∗ xu2 := u1 ∗ u1
u3 := u1 ∗ xu4 := u3 + xu5 := u4 + u1
u6 := u5 + u4
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 11/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Mecanismos evolutivos adaptados a slp′s I: cruce.Codificacion
Figura: Padre 1
Γ1 ≡
u1 := x + yu2 := u1 ∗ u1
u3 := u1 ∗ xu4 := u3 + u2
u5 := u3 ∗ u2
Figura: Hijo 1
Γs1 ≡
u1 := x + yu2 := u1 ∗ u1
u3 := x ∗ xu4 := u3 + yu5 := u4 ∗ x
Figura: Padre 2
Γ2 ≡
u1 := x ∗ xu2 := u1 + yu3 := u1 + xu4 := u2 ∗ xu5 := u1 + u4
Figura: Hijo 2
Γs2 ≡
u1 := x ∗ xu2 := x + yu3 := u2 ∗ xu4 := u2 ∗ xu5 := u1 + u4
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 12/18
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uc.png
Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Mecanismos evolutivos adaptados a slp′s II: cruce.Representacion grafica.
Figura: Padre 1
y
+
x
∗
+
∗
∗Γ1 ≡
Figura: Hijo 1
x
+
y
∗∗
+
∗Γs1 ≡
Figura: Padre 2
x y
∗
+ +
∗
+Γ2 ≡
Figura: Hijo 2
x
+
y
∗
∗∗
+Γs2 ≡
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 13/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Mecanismos de calificacion adaptados a slp′s.
Muestra sin ruido =⇒ Error Cuadratico Medio (mse).
Muestra con ruido =⇒ Dimension Vapnik-Chervonenkis (VC ).
mse =m∑i=1
(Γ(xi )− yi )2.
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Mecanismos de calificacion adaptados a slp′s.
Muestra sin ruido =⇒ Error Cuadratico Medio (mse).
Muestra con ruido =⇒ Dimension Vapnik-Chervonenkis (VC ).
VC = mse
1−
√√√√√hm
[1− ln
(√h
m
)]+
lnm
2m
−1
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 14/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Comparativa calificacion mse contra VC Ien muestras con ruido.
Calificacion media obtenida en 100 ejecuciones.
Funcion AIC BIC SRM
f1 1.62E+03 1.57E+03 3.58E-07f2 1.93E+01 2.11E+01 2.63E+00f3 1.62E+00 1.62E+00 1.50E+00f4 5.00E-01 5.00E-01 5.03E-01f5 4.60E-01 4.55E-01 1.66E-01g1 1.23E-01 1.79E-01 4.61E-02g2 2.03E-01 2.05E-01 1.36E-01g3 1.25E-01 1.25E-01 1.33E-01
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 15/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Comparativa calificacion mse contra VC IIen muestras con ruido.
Mejor calificacion obtenida en 100 ejecuciones.
Funcion AIC BIC SRM
f1 2.44E-07 2.40E-07 2.13E-07f2 3.47E+00 1.33E+00 8.29E-02f3 1.26E+00 1.26E+00 6.71E-01f4 4.44E-01 4.44E-01 3.87E-01f5 3.84E-01 2.15E-01 2.64E-02g1 2.94E-02 3.07E-02 1.33E-02g2 1.26E-01 1.15E-01 1.04E-01g3 3.21E-02 3.21E-02 1.85E-02
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 16/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
slp′s parametricos: ajuste de constantes.
slp′s con constantes parametricas.
Ajustar los valores de dichos parametros para minimizar elerror:
Algoritmo Evolutivo y Co-evolucion cooperativa heterogenea.Descenso de Gradiente.
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
slp′s parametricos: ajuste de constantes.
slp′s con constantes parametricas.
Ajustar los valores de dichos parametros para minimizar elerror:
Algoritmo Evolutivo y Co-evolucion cooperativa heterogenea.Descenso de Gradiente.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 17/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
slp′s parametricos: ajuste de constantes.
slp′s con constantes parametricas.
Ajustar los valores de dichos parametros para minimizar elerror:
Algoritmo Evolutivo y Co-evolucion cooperativa heterogenea.Descenso de Gradiente.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 17/18
![Page 39: Cruz Enrique Borges Hern andezyJos e Luis Montana~paginaspersonales.deusto.es/cruz.borges/Papers/10Deusto.pdf · Si NO conoces el espacio de busqueda ... >? La fuerza bruta no es](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042204/5ea65f44e4c56f67d610ad4a/html5/thumbnails/39.jpg)
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
slp′s parametricos: ajuste de constantes.
slp′s con constantes parametricas.
Ajustar los valores de dichos parametros para minimizar elerror:
Algoritmo Evolutivo y Co-evolucion cooperativa heterogenea.Descenso de Gradiente.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 17/18
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Ajuste de Curvas: Problemas de Regresion. SLP: Software para Regresion Simbolica.
Comparativa evolucion contra co-evolucion.
C.E. Borges, J.L. Montana Regresion simbolica con slp′s. 18/18