crms calculus 2010 april 21, 2010

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1 The Mean Value Theorem

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Mean Value Theorem

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Page 1: CRMS Calculus 2010 April 21, 2010

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The Mean Value Theorem

Page 2: CRMS Calculus 2010 April 21, 2010

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Road Trip!

Page 3: CRMS Calculus 2010 April 21, 2010

3

5.7

5.7

5.72.3

2.3 5.7

yesyes

yesyes

yesno

yesyes

For 1≤x≤4, tangent slopes are positivebut steeper than secant.

For 4≤x≤5, tangent slopes are negative.

3.1

3.1

Page 4: CRMS Calculus 2010 April 21, 2010

4

yesno

yes

yesno

Slope of secant is negative.

Slope of tangents in (5, 7) are positiveand increasing

5.8

5.8

For continuity at an endpoint, only need to look at 1­sided limit (in this case left­hand limit as x approaches 5.

3

1, 2, 4, 73 and 5

6

If a function satisfies the hypotheses, then that is enough (sufficient) to make the function satisfy the conclusion.

But for a function that satisfies the conclusion, it is not necessary for the hypotheses to be satisfied.

Example: Problem 5: For [2, 8] the function is not continuous, but the conclusion is satisfied.

Page 5: CRMS Calculus 2010 April 21, 2010

5

f(x) is continuous on the closed interval [a, b] andf(x) is differentiable on the open interval (a, b)

there exists at least one x = c value such that

derivative at x = c = slope of the secant from a to b.

in the domain of f(x)

If two functions have the same derivative foreach x­value in (a, b), then the functions differby a constant.

Function f is a vertical translation of function g.

A constant function has a zero derivativefor each x­value in its domain.

Page 6: CRMS Calculus 2010 April 21, 2010

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Informal proof of Mean Value Theorem

Rotate f(x) in interval [a, b]and

Appy Rolle's Theorem

a bc

f ' (c) = 0

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1) f(x) is continuous on [0, 8].2) f(x) is differentiable on (0, 8)

(Note: f(x) is not differentiable at x = 0)