course note 1_skdk

Computer Based Control System Course Notes 1

1

COURSE NOTES 1COMPUTER BASED CONTROL SYSTEM

Materials :1. Basis Control System2. Conventional Control System

ACHMAD FANANY ONNILITA GAFFAR, ST., MT

JURUSAN TEKNOLOGI INFORMASIPOLITEKNIK NEGERI SAMARINDACOPYRIGHT@ 2013All rights reserved. Subject to change without prior notice


2

GAMBARAN UMUM COMPUTER BASED CONTROL SYSTEM

SISTEM FISIK PEMODELANMATEMATIS

MODELMATEMATIS

SISTEM FISIK

DESKRIPSIMODEL

MATEMATISDENGAN

DIAGRAM BLOK

MODEL OPENLOOP SYSTEM

MODIFIKASIOPEN TO

CLOSED LOOPSYSTEM

KARAKTERISTIKPERFORMANSI

SISTEM(SPESIFIKASI

RESPONSTRANSIENT)

ANALISISRESPONS

TRANSIENT

PENENTUANSPESIFIKASI

RESPONSTRANSIENT YANG

DIHARAPKAN

MODEL CLOSEDLOOP SYSTEM

DESAINFEEDBACK

CONTROL WITHCONTROLLER

SPESIFIKASIRESPONS

TRANSIENT

COMPUTERBASED

SIMULATION

OK ? IMPLEMENTASIHARDWARE

N YCOMPUTER

BASEDSIMULATION

SPESIFIKASIRESPONS

TRANSIENT

OK ?

N

Y

END

START

OR

CONVENTIONALCONTROL

INTELLIGENTCONTROL

ComputerBased Control

with ModelPlant

Computer BasedControl with Real

Plant


3

BAGIAN IKONSEP SISTEM KENDALI (KONTROL)DEFINISIControlled Variable dan Manipulated VariableControlled Variable (variabel terkendali) adalah kuantitas atau kondisi yangdiukur dan dikendalikan.Manipulated Variable (variabel termanipulasi) adalah kuantitas atau kondisihasil manipulasi controller (kontroler/pengendali) yang berdampak pada hargacontrolled variable. Biasanya, controlled variable adalah output dari sistem.Istilah control (pengendalian) terkait dengan aksi pengukuran nilai controlledvariable dari sistem dan menerapkan manipulated variable ke sistem untukmemperbaiki atau membatasi deviasi (simpangan) antara harga terukur(measured value) terhadap harga yang diharapkan (desired value).PlantSeperangkat peralatan, dapat terdiri dari beberapa bagian mesin yang bekerjabersama-sama, yang digunakan untuk melakukan suatu operasi tertentu.ProsesOperasi atau perkembangan alamiah yang berlangsung secara kontinyu yangditandai dengan suatu deretan perubahan kecil yang berurutan dengan carayang relatif tetap dan menuju ke suatu hasil atau keadaan akhir tertentu.SistemKombinasi dari beberapa komponen yang bekerja bersama-sama dan melakukansuatu sasaran tertentu. Definisi sistem tidak dibatasi hanya untuk fisik saja,tetapi juga dapat digunakan untuk menggambarkan gejala-gejala abstrak dandinamis.


4

Gangguan (disturbance)Sinyal yang cenderung mempunyai pengaruh yang merugikan pada harga outputsistem. Gangguan terdiri dari gangguan internal (dibangkitkan dari dalamsistem) dan eksternal (dari luar sistem).Feedback Control (Kontrol Umpan Balik)Suatu operasi yang dengan adanya beberapa gangguan, cenderung memperkecilselisih antara output sistem dan input referensi (atau suatu keadaan yangdiinginkan, yang secara sembarang diubah) dan bekerja berdasarkan selisihtersebut.Sistem Kendali (control system), sistem yang mengoperasikan, meregulasi, ataumenuntun suatu mesin, piranti, atau sistem yang lain dengan tujuan untukmelakukan fungsi pengendalian (control function).Fungsi Pengendalian, memaksa suatu sistem untuk berada pada keadaan /perilaku yang sesuai dengan yang diharapkan.Pengendali (controller), piranti yang melaksanakan fungsi pengendalian.Open-Loop Control System/OLCS (Sistem Kendali Kalang Terbuka)OLCS adalah sistem kendali yang mengabaikan perilaku sistem, diindikasikandengan tidak adanya feedback (umpan balik) dari sisi output ke sisi input.Berikut adalah beberapa contoh OLCS.

Gambar 1. Sistem Lampu Lalu Lintas

Gambar 2. Oven konvensional


5

Closed-Loop Control System/CLCS (Sistem Kendali Kalang Tertutup)CLCS atau disebut juga dengan Feedback Control System (FCS) adalah sistemkendali yang mempertimbangkan perilaku sistem. Perilaku sistem diobservasidengan menggunakan sensing device (perangkat pengindera), kemudian hasilnyadi-umpanbalik-kan ke sisi input untuk mengetahui seberapa baik perilaku sistemtelah mencapai performansi yang diharapkan.Berikut adalah beberapa contoh CLCS.

Gambar 3. Sistem Lampu Lalu Lintas dengan Feedback Control

Gambar 4. Sistem Pengendalian Ketinggian Air (Water Level)


6

BAGIAN IIPERSAMAAN MATEMATIS SEBAGAI MODELPersamaan matematis adalah pernyataan matematis yang biasanyadirepresentasikan dalam variabel dan konstanta. Sebagai contoh adalah sebagaiberikut :

2 1y x dimana y xdan adalah variabel, dan 1 adalah konstanta.Variabel y dapat dinyatakan sebagai fungsi x seperti berikut :2( ) 1y f x x yang menyatakan y adalah suatu fungsi matematis yang berubah terhadap x.Jika suatu fungsi berubah terhadap waktu ( )f t maka variabel tersebutmenyatakan dinamika suatu sistem terhadap waktu. Persamaan matematisseperti demikian disebut Model Matematis Sistem Dinamis.

Suatu model matematis dapat dinyatakan dalam dua domain (kawasan) yaitu : Domain Waktu, dinyatakan dengan variabel t dan biasanya berupaPersamaan Diferensial. Domain Frekuensi, dinyatakan dengan variabel s (variabel kompleks) danbiasanya berupa Persamaan Laplace.

Model matematis dalam domain waktu dapat dinyatakan dalam dua bentukwaktu, yaitu :a). Waktu Kontinyu.Pada Kenyataannya, waktu (t) berada pada interval 0 sampai dengan takberhingga, yang dinyatakan dengan : 0..t .Misalnya diketahui suatu persamaan : 2( ) 1y t t , maka grafik akan tampakseperti dalam Gambar 5.


7

Gambar 5. Grafik 2( ) 1y t t Dari Gambar 5 dapat diketahui bahwa untuk nilai t pada interval [0 .. 5] akanmenghasilkan y(t) pada interval [1 .. 26]b). Waktu DiskritWaktu diskrit adalah waktu kontinyu yang di sampling (cuplik) dengan periodesampling tertentu, yang dinyatakan dengan :

. /k nT n t T T adalah periode sampling, n adalah banyaknya sampling, k adalah waktu diskrit.Misalnya pada contoh di atas ditetapkan T = 1, maka k akan bernilai : 1, 2, 3, Jika pengamatan dilakukan pada t : [0 .. 5] maka dengan T yang sama diperoleh :/ 5 /1 5n t T sampling Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 6.


8

Gambar 6. Grafik 2( ) 1y k k dengan T = 1Jika ditetapkan T = 0.5 maka pada t : [0 .. 5] akan diperoleh :

/ 5 / 0.5 10n t T sampling Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 7.

Gambar 7. Grafik 2( ) 1y k k dengan T = 0.5Dari Gambar 6 dan 7 maka dapat diketahui bahwa jika 0T (mendekati nol)akan diperoleh grafik waktu kontinyu seperti dalam Gambar 5.


9

BAGIAN IIITRANSFORMASI LAPLACETransformasi Laplace merupakan metode operasional yang secara mudahdigunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear. DenganTranformasi Laplace, dapat mengubah fungsi-fungsi umum seperti fungsisinusoida, fungsi eksponensial, menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.Kelebihan transformasi Laplace adalah memungkinkan digunakannya teknikgrafis untuk meramal performansi sistem tanpa menyelesaikan persamaandiferensial sistem.Transformasi Laplace didefinisikan sebagai :

. .

0 0

( ) ( ) ( ) ( ).s t s tf t F s e dt f t f t e dt

Ldimana :

( )f t = fungsi waktu t sedemikian rupa sehingga (t) = 0 untuk t 0s = variabel kompleks ( + j )L = simbol operasional yang menunjukkan bahwa besaran yangdidahuluinya ditransformasi dengan integral Laplace .

0

s te dt

( )F s = transformasi Laplace dari (t)Transformasi Laplace Balik, adalah proses matematis untuk mengubah ekspresivariabel kompleks menjadi ekspresi waktu. Secara matematis didefinisikansebagai :

-1 ( ) ( )F s f tLMetode yang digunakan dalam melakukan Transformasi Laplace Balik adalahMetode Uraian Pecahan Parsial (MUPP). Pada dasarnya ( )F s adalah berupapersamaan polinomial ( )P s yang dapat diuraikan dalam bentuk pecahan parsialseperti berikut :

1 2( )( ) ( ) ( ) . . . ( )( ) n

B sP s P s P s P sA s


10

dimana ( )A s dan ( )B s adalah polinomial dalam s, dan derajat (pangkat tertinggi)( )B s lebih rendah dari derajat (pangkat tertinggi) ( )A s .

Dalam melakukan Transformasi Laplace maupun Transformasi Laplace Balikdapat menggunakan Tabel Transformasi Laplace seperti berikut :No. ( ) ( )F s f tL -1( ) ( )f t F sL1. A

0 00

lim . ( )t

A A tt Fungsi Impuls

2. As

A Fungsi Step (Tangga)3. 2As A.t Fungsi Ramp4. nAs 1.( 1)! nA tn 5. A

s a.. a tA e Fungsi Eksponensial

6. 2( )As a . . atAt e7. ( )nAs a 1 .. .( 1)! n a tA t en 8. 1 ; ( )( ).( ) a bs a s b . .1 .( )( ) a t b te eb a 9. ; ( )( ).( )s a bs a s b . .1 .( )( ) a t b te eb a

10. 2 2s sin t Fungsi Sinusoidal11. 2 2( )s a . .sin ( . )a te t 12. 2 2ss cos (.t) Fungsi Cosinusoidal13. 2 2( )( )s as a . .cos ( . )a te t


11

No. Sifat dan Teorema Transformasi Laplace1. ( ) . ( ) (0)d f t s F s f

dt

L

2. 2 22 ( ) . ( ) . (0) (0)d f t s F s s f fdt L3. ( 2) ( 1)1 2( ) . ( ) . (0) . (0) . (0) (0)n n nn n nnd f t s F s s f s f s f fdt L TeoremaDiferensiasi4. 1( ) (0)( ) F s ff t dt

s s

L

5. 1 22 2( ) (0) (0)( ) F s f ff t dt dt s s s L6. 1 2( ) (0) (0) (0)... ( ) ( ) ...1

nn

n n n

F s f f ff t dts s s s

L Teorema Integrasi7. .[ . ( ) ] ( )a te f t F s a L Perkalian dengan faktor .a te8. .[ ( ) ] . ( )a sf t a e F s L Translasi fungsi (t) sejauh a

9. . ( . )tf a F a sa

L Perubahan skala ( t menjadi t/a )10. 0( ) lim ( ) lim . ( )t sf f t s F s Teorema harga Akhir11. (0) = 0(0) lim ( ) lim . ( )t sf f t s F s Teorema harga AwalCatatan Tambahan :a) Notasi Penulisan

( ) ( ) '( )d f t f t f tdt

; 22 ( ) ( ) ''( )d f t f t f tdt ; 33 ( ) ( ) '''( )d f t f t f tdt

1( ) ( )f t dt f t ; 2( ) ( )f t dt dt f t ;3( ) ( )f t dt dt dt f t Untuk 1(0) ( )f f t dt yang dihitung untuk t = 0b) Diferensiasi Parsial

. . .d U V U dV V dU . . .U V U dV V dU


12

Sifat Distributif Diferensial :

1 11 1 1 1. . ... . . ...

n n n nn n n n

d d d da t a t a a t a t adt dt dt dt

c) Perpangkatan polinomial

2 2 22. .t a t a t a

3 3 2 2 33. . 3. .t a t a t a t a

4 4 3 2 2 2 2 34. . 6. . 4. .t a t a t a t a t a

Untuk mencari Transformasi Laplace Balik dari ( )P s maka harus dicari akar-akar dari polinomial ( )A s yang memiliki tiga jenis kemungkinan akar-akarpolinomial seperti berikut :I. MUPP untuk P(s) yang mengandung akar-akar yang berbedaMisalnya diketahui persamaan Laplace seperti demikian :

1( ).( 2)

P ss s

Dengan MUPP maka persamaan di atas dipecah menjadi sebanyak penyebutnya,sehingga menjadi :

1 2( )( 2)

a aP ss s

Kemungkinan akar-akarnya adalah s = 0 ; (s + 2) = 0 s = -2Nilai a1 dan a2 dicari dengan cara :

1 00 0

1 1 1( ). . 1/ 2.( 2) ( 2) (0 2)s s s

a P s s ss s s

2 222

1 1( ).( 2) .( 2) 1/ 2.( 2)s ss

a P s s ss s s

Jadi didapatkan persamaan seperti berikut :

1/ 2 ( 1/ 2)( )( 2)

P ss s

Dengan menggunakan Tabel Transformasi Laplace didapatkan :

1 1 11/ 2 1/ 2( )2

P ss s

L L L 2.1( )2

tp t e untuk t 0


13

Catatan :Pada Tabel diketahui bahwa : 1 .1( )

a tes a

L ; 1 1 1s

L

II. MUPP untuk P(s) yang mengandung akar-akar yang samaMisalnya diketahui persamaan Laplace seperti demikian :2

3

2 3( )( 2)

s sP ss

Dengan MUPP maka persamaan di atas dipecah menjadi seperti demikian :3 2 1

3 2( ) ( 2) ( 2) ( 2)a a aP s

s s s

Akar berulangnya adalah s = -2. Nilai a3, a2, a1 dicari dengan cara :3 3 2

3 232

22 2 3( ).( 2) .( 2) 2 3( 2) sss

s sa P s s s s ss

= 3)2(2)2( 2 = 3 3 3 22 3

2 22

2 2 3( ).( 2) .( 2) 2 3( 2)s ss

d d s s da P s s s s sds ds s ds

= 222 ss = 2)2(2 = -2

2 23 3

1 2 2 32 2

1 1 2 2 3( ).( 2) .( 2)(3 1) ! (3 1) ! ( 2)s s

d d s sa P s s sds ds s

== 2 22 2

22

1 1 12 3 2 2 2 12! 2 2 sss

d ds s sds ds

Jadi didapatkan persamaan seperti berikut :

3 2

3 ( 2) 1( )( 2) ( 2) ( 2)

P ss s s

Dengan menggunakan Tabel Transformasi Laplace didapatkan :

1 1 1 13 2

3 2 1( )( 2) ( 2) ( 2)

P ss s s

L L L L

3 2 2 2 2. 23 3( ) . . 2. . .[ 2. 1]2 2

t t t tp t t e t e e e t t untuk t 0Catatan :


14

Pada Tabel diketahui bahwa : 1 ( 1) .1 1 .( ) ( 1)!

n a tn t es a n

L

III. MUPP untuk P(s) yang mengandung akar konjugasi kompleksTidak dibahas di sini


15

BAGIAN IVMODEL MATEMATIS SISTEM FISIKBeberapa sistem dinamik (mekanik, listrik, termal, hidrolik, ekonomi, biologi, dll)dapat dikarakterisasikan dengan persamaan diferensial. Respons sistem dinamikterhadap suatu masukan (atau suatu fungsi penggerak) didapatkan denganmenyelesaikan persamaan diferensial tersebut.Transfer Function (TF) merupakan perbandingan antara input dan output darisistem linear parameter konstan. Dalam bentuk Laplace, input berupa inputreferensi/fungsi penggerak, dan output berupa fungsi respons. Pangkat tertinggidari s pada penyebut TF menyatakan orde ke n dari sistem tersebut.Sebagai contoh rangkaian listrik seperti berikut :

Gambar 8. Rangkaian listrik sederhanaDari Gambar 8 dapat diketahui bahwa sumber tegangan ( )sv t memberi supplyarus ( )i t ke dalam rangkaian dengan beban berupa resistor 1R dan 2R . Adanyaarus yang mengalir dalam rangkaian akan menimbulkan beda potensial dimasing-masing resistor. Karena total beda potensial dalam rangkaian samadengan sumber tegangan ( )sv t maka dapat dinyatakan :

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( ). ( ) . ( )

. ( )

s R Rv t v t v tR i t R i tR R i t

(1)


16

Dari Pers.(1) dapat diperoleh : 1 2

1( ) . ( )si t v tR R

(2)

Karena : 2( ) ( )o Rv t v t maka :2( ) . ( )ov t R i t (3)Substitusi Pers.(2) ke Pers.(3) diperoleh :

2 21 2

2

1 2

1( ) . ( ) . . ( )

. ( )

o s

s

v t R i t R v tR R

R v tR R

Transfer Function dapat dinyatakan dengan :

2

1 2

( )( )

o

s

v t Rv t R R

(4)yang menyatakan perbandingan antara beda potensial pada R2 sebagai outputterhadap tegangan sumber sebagai input.Jika rangkaian pada Gambar 8 menjadi seperti dalam Gambar 9 maka persamaanrangkaian menjadi :

1( ) ( ) ( ) . ( ) ( ).s R Cv t v t v t R i t i t dtC (5)

1( ) ( ).Cv t i t dtC (6)

Gambar 9. Rangkaian RC-Seri sederhana


17

Untuk mempermudah penyelesaian, maka persamaan diferensial di atas perluditransformasi ke dalam bentuk Laplace. Dari Tabel Transformasi Laplacediketahui bahwa :1 ( )( ). F sf t dt

s LDengan ( ) ( )f t i t maka : 1 ( )( ). I si t dt

s L , sehingga dari Pers.(5) diperoleh :

1 1 1 1( ) . ( ) ( ).

1 ( )( ) . ( ) .

1 . . 1. ( ) . ( ). .

s

s

v t R i t i t dtC

I sV s R I sC s

R C sR I s I sC s C s

L L L

.( ) . ( ). . 1 sC sI s V s

R C s

(7)Dari Pers.(6) diperoleh :

1 1 1( ) ( ).

1 ( )( ) .

C

C

v t i t dtC

I sV sC s

L L

Karena : ( ) ( )o Cv t v t maka :1( ) . ( ).o

V s I sC s

(8)Substitusi Pers.(7) ke Pers.(8) diperoleh :1 .( ) . . ( ). . . 1

1 . ( ). . 1

o s

s

C sV s V sC s R C s

V sR C s


( ) 1( ) . . 1

o

s

V sV s R C s

(9)Pers.(9) adalah model matematis yang menyatakan perbandingan antara outputberupa tegangan pada bagian kapasitor terhadap input berupa supply tegangan.Pers.(9) memiliki pangkat tertinggi (orde) = 1, sehingga disebut Sistem Orde 1.


18

Jika rangkaian pada Gambar 9 menjadi seperti dalam Gambar 10 makapersamaan rangkaian menjadi :( ) ( ) ( ) . ( ) . ( )s R L

dv t v t v t R i t L i tdt

(10)( ) . ( )L

dv t L i tdt

(11)

Gambar 10. Rangkaian RL-Seri sederhanaDari Tabel Transformasi Laplace diketahui bahwa :

1 ( ) . ( )d f t s F sdt

L

Dengan ( ) ( )f t i t maka : 1 ( ) . ( )d i t s I sdt

L , sehingga dari Pers.(10) diperoleh :

1 1 1( ) . ( ) . ( )

( ) . ( ) . . ( ). . ( )

s

s

dv t R i t L i tdt

V s R I s L s I sR L s I s

L L L

1( ) . ( ). s

I s V sL s R

(12)Dari Pers.(11) diperoleh :

1 1( ) . ( )

( ) . . ( )

L

L

dv t L i tdt

V s L s I s

L L

Karena : ( ) ( )o Lv t v t maka :( ) . . ( )oV s L s I s (13)


19

Substitusi Pers.(12) ke Pers.(13) diperoleh :1( ) . . . ( )

.. . ( )

.

o s

s

V s L s V sL s R

L s V sL s R


( ) .( ) .

o

s

V s L sV s L s R

(14)Jika suatu motor DC diberi input tegangan maka akan menghasilkan outputberupa kecepatan putar rotor pada motor DC. Rangkaian equivalent motor DCditunjukkan dalam Gambar 11.

Gambar 11. Rangkaian equivalent motor DCDari gambar di atas diketahui bahwa :

R : resistansi elektris motor DC, (Ohm)L : induktansi elektris motor DC, (H)i : arus pada motor DC, (A)e : Back-Electro Motive Force (B-EMF) dari motor (GGL), (Volt)J : momen inersia rotor DC, (Kg-m2/sec2)

LT : torsi beban motor DC, (N-m) : .LT D MT : torsi motor DC, (N-m) : .M MT K i

D : damping ratio/constant dari sistem mekanik motor, (N-m-sec/rad)MK : konstanta mekanis dari sistem mekanik motor DC, (N-m/A)EK : konstanta elektris B-EMF, (Volt-sec/rad)

: kecepatan sudut motor DC, (rad/sec)sv : tegangan DC referensi


20

Bagian elektris dari motor DC dinyatakan dengan :( ) ( ) ( ) ( )

. ( ) . ( ) . ( )

s R L

M

v t v t v t e tdR i t L i t K tdt

(15)

Dinamika motor DC dengan beban (bagian mekanik) dinyatakan dengan :. ( ) . ( ) . ( )

. ( ) . ( ) . ( )

M L M

M

dJ t T T K i t D tdtdJ t D t K i tdt

(16)Karena : E MK K K ( K =konstanta motor DC) maka Pers.(15) dan Pers.(16)menjadi :

( ) . ( ) . ( ) . ( )sdv t R i t L i t K tdt

(17). ( ) . ( ) . ( )dJ t D t K i tdt (18)Dalam bentuk Laplace, Pers.(17) dan Pers.(18) dinyatakan dengan :

( ) . ( ) . . ( ) . ( ). . ( ) ( ) . ( )

s

s

V s R I s L s I s K sL s R I s V s K s

1( ) . ( ) . ( )

. sI s V s K s

L s R

(19). . ( ) . ( ) . ( )J s s D s K I s

. . ( ) . ( )J s D s K I s (20)Substitusi Pers.(19) ke Pers.(20) diperoleh :

2

1. . ( ) . . ( ) . ( ).

. ( ) . ( ). .

s

s

J s D s K V s K sL s R

K KV s sL s R L s R

2

2

2 2

. . ( ) . ( ). .

. . . . .. ( ) . ( )

. .

. . . . . . . ( ) . ( )

s

s

s

K KJ s D s V sL s R L s R

L s R J s L s R D K Ks V sL s R L s R

J L s J R D L s D R K s K V s

2 2( )( ) . . . . . .s

s KV s J L s J R D L s D R K

(21)


21

Pers.(21) adalah model matematis motor DC yang menyatakan perbandinganoutput motor DC berupa kecepatan putar terhadap input berupa supplytegangan. Pers.(21) memiliki pangkat tertinggi (orde) =2, sehingga disebutSistem Orde 2.Induktor L sangat menentukan karakteristik dari motor DC. Akan tetapi dalamkomputasi mekanik seringkali diabaikan oleh karena sebagai berikut :

Motor yang biasanya digunakan di robotika atau aplikasi komputasimekanik lainnya memiliki induktansi yang kecil. Waktu respons yang dihasilkan oleh bagian elektrik lebih cepatdibandingkan dengan yang dihasilkan bagian mekanik, sehinggakecepatan sistem secara umum lebih dominan ditentukan oleh bagianyang lebih lambat (mekanik). Persamaan diferensial orde 1 lebih mudah diselesaikan dibandingkandengan persamaan diferensial orde 2.Dengan mengabaikan induktor ( L ) maka Pers.(19) dan (20) menjadi :

1( ) . ( ) . ( )sI s V s K sR

(22) . . ( ) . ( )J s D s K I s (23)Substitusi Pers.(22) ke (23) diperoleh :

2

1. . ( ) . . ( ) . ( )

. ( ) . ( )

s

s

J s D s K V s K sR

K KV s sR R

2

2

2

. . ( ) . ( )

. . . . ( ) . ( )

. . . . ( ) . ( )

s

s

s

K KJ s D s V sR R

J R s D R K Ks V sR R

J R s D R K s K V s

2( )( ) . . .s

s KV s J R s D R K

(24)Pers.(24) menunjukkan bahwa dengan mengabaikan induktor L , modelmatematis motor DC menjadi Sistem Orde 1.


22

BAGIAN VDIAGRAM BLOKDiagram blok adalah suatu penyajian bergambar dari fungsi yang dilakukan olehtiap komponen dan aliran sinyalnya, serta hubungan timbal balik antarkomponen-komponen tersebut.Blok fungsional atau blok adalah suatu simbol operasi matematiS pada sinyalinput blok yang menghasilkan output. Perhatikan gambar berikut.

( )G s( )X s ( )Y s

Gambar 12. Transfer Function dinyatakan dengan Diagram BlokAnak panah yang menuju blok menunjukkan input dan anak panah yangmeninggalkan blok menyatakan output. Anak panah dianggap sebagai sinyal.Dari Gambar 12 tampak bahwa :

( ) ( ). ( )Y s G s X s

Dasar Aljabar Diagram Blok Persamaan Blok( )G s( )X s ( )Y s ( ) ( ). ( )Y s G s X s

1( )G s( )X s ( )Y s

2 ( )G s( )Z s

1 2( ). ( )G s G s( )X s ( )Z s

1

2

2 1

( ) ( ). ( )( ) ( ). ( )

( ). ( ). ( )

Y s G s X sZ s G s Y s

G s G s X s

( )X s

( )Y s

( )Z s

( ) ( ) ( )Z s X s Y s


23

( )X s 1( )Y s( )Z s1( )G s

2 ( )G s

2 ( )Y s

1 2( ) ( )G s G s( )X s ( )Z s

1 1

2 2

1 2

1 2

1 2

( ) ( ). ( )( ) ( ). ( )( ) ( ) ( )

( ). ( ) ( ). ( )( ) ( ) . ( )

Y s G s X sY s G s X sZ s Y s Y s

G s X s G s X sG s G s X s

Tujuan utama aljabar diagram blok adalah untuk penyederhanaan diagram blok,memindah summing point (adder), atau memindah branch (cabang). Sebagaicontoh sebuah diagram blok ditunjukkan dalam Gambar 13.( )X s 1( )Y s

( )Z s( )G s

2 ( )Y s

Gambar 13. Contoh Blok Diagram dengan input X(s) dan output Z(s)Gambar 13 secara matematis dinyatakan dengan :

1

1 2

2

2

( ) ( ). ( )( ) ( ) ( )

( ). ( ) ( )

1( ). ( ) . ( )( )

Y s G s X sZ s Y s Y s

G s X s Y s

G s X s Y sG s

Hasil akhir dapat dinyatakan dengan diagram blok seperti yang ditunjukkandalam Gambar 14.( )X s ( )Z s

1( )G s

( )G s

2 ( )Y s

Gambar 14. Pemindahan summing point dari Gambar 9


24

Aturan penyederhanaan diagram blok


25

BAGIAN VIKENDALI UMPAN BALIK (FEEDBACK CONTROL)Penjelasan UmumSecara umum, sistem dinamik suatu sistem fisik digambarkan denganmenggunakan diagram blok seperti berikut :

Plant/Proses

Input Output

( )G s

TransferFunction

( )R s ( )C s

Gambar 15. Sistem dinamik suatu sistem fisik secara umumModel matematis sistem dinamik suatu sistem fisik adalah merupakanperbandingan antara Output terhadap Input. Secara matematis dinyatakandengan :

( ) ( )( )

C s G sR s

(25)dimana :( )C s : Continuous, sinyal respons (output)( )R s : Referrence, sinyal input referensi (input)( )G s : Gain, model matematis sistem dinamik (Transfer Function)

( ) 1G s : Plant/Proses bersifat konduktansi (konduktor)( ) 1G s : Plant/Proses bersifat amplifikasi (amplifier)( ) 1G s : Plant/Proses bersifat atenuasi (atenuator)

Sebagai contoh Gambar 11 dapat digambarkan dengan menggunakan Pers.(24)sebagai berikut :


26

2. . .K

J R s D R K ( )s( )sV s

Gambar 16. Diagram Blok Pers.(24)Dari Gambar 16 tampak bahwa :

2

( ) ( )( ) ( )

( ). . .

sR s V sC s s

KG sJ R s D R K

Kendali Umpan Balik (Feedback Control)Untuk menghasilkan sinyal respons output sesuai dengan yang diharapkanberdasarkan sinyal input referensi yang diberikan, maka diperlukan informasiaktual sinyal respons output. Hal ini dilakukan dengan meng-umpanbalik-kansisi output ke sisi input. Sinyal ini disebut dengan Sinyal Umpan Balik (FeedbackSignal), seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 17.( )G s

( )R s ( )C s

( )B sGambar 17. Sinyal Umpan BalikDari Gambar 17 tampak bahwa ( )B s adalah sinyal umpan balik dimana

( ) ( )B s C s .Sinyal umpan balik kemudian digunakan untuk mencari selisih terhadap sinyalinput referensi. Untuk mencari selisih, digunakan summing point (adder), ataudisebut juga dengan error detector. Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 18.


27

( )R s

( )B s

( )E s

Gambar 18. Error detectorDari Gambar 18 dapat diperoleh sinyal kesalahan (error signal) yang dinyatakandengan : ( ) ( ) ( )E s R s B s Sinyal error ini nantinya akan digunakan oleh Plant/Proses untuk menghasilkansinyal respons output berikutnya. Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 19.

( )R s

( )B s

( )E s( )G s

( )C s

Gambar 19. Feedback Control SystemGambar 19 disebut juga sebagai Sistem Kendali ber-umpan balik (FeedbackControl System).Dari Gambar 16 tampak bahwa sinyal output memiliki satuan rpm (radius perminute), sedangkan sinyal input memiliki satuan V (Volt). Karena memilikiperbedaan satuan maka untuk dapat diumpan balik, sinyal output harusdikonversi sedemikian rupa sehingga memiliki satuan yang sama dengan sinyalinput. Untuk melakukan konversi diperlukan Sensing Device.Untuk mengkonversi sinyal kecepatan putar ke sinyal tegangan diperlukansensing device berupa Tachometer. Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 20.


28

( )R s

( )B s

( )E s( )G s

( )C s

( )H sGambar 20. Feedback Control System dengan Sensing DeviceGambar 20 menunjukkan bahwa sensing device dimodelkan dengan ( )H s .Dengan menggunakan aljabar diagram blok, maka Gambar 20 dapatdisederhanakan sebagai berikut :

( ) ( ). ( )C s G s E s (26)( ) ( ). ( )B s H s C s (27)( ) ( ) ( )E s R s B s (28)Substitusi Pers.(27) ke (28) diperoleh :( ) ( ) ( ). ( )E s R s H s C s (29)Substitusi Pers.(29) ke (26) diperoleh :

( ) ( ). ( ) ( ). ( )( ). ( ) ( ). ( ). ( )

C s G s R s H s C sG s R s G s H s C s

( ) ( ). ( ) ( ). ( ). ( )( ) ( ). ( ). ( ) ( ). ( )( ). ( ) 1 . ( ) ( ). ( )

C s G s R s G s H s C sC s G s H s C s G s R sG s H s C s G s R s

( ) ( )( ) ( ). ( ) 1

C s G sR s G s H s

(30)Dengan Pers.(30) maka Gambar 16 menjadi seperti Gambar 21.


29

( )R s

( )B s

( )E s( )G s

( )C s

( )H s

( )( ). ( ) 1

G sG s H s

( )R s ( )C s

Gambar 21. Penyederhanaan diagram blok Feedback Control SystemPenggambaran Sistem Fisik dengan menggunakan Diagram BlokUntuk menggambarkan sistem fisik dengan menggunakan diagram blok,terdapat beberapa langkah sebagai berikut :

Tulis persamaan yang menggambarkan perilaku dinamik tiap komponen. Ubah persamaan tersebut ke dalam bentuk Transformasi Laplace, denganmenganggap semua syarat awal nol. Sajikan masing-masing persamaan dalam bentuk TL tersebut ke dalamsuatu blok. Hubungan seluruh elemen-elemen yang ada hingga membentuk diagramblok yang lengkap.

Sebagai ilustrasi akan digunakan contoh dalam Gambar 9 (rangkaian RC-Seri)yang dinyatakan ulang seperti berikut :

Dari rangkaian di atas, persamaan yang menyatakan hubungan antara input ( )sv t dan output ( )ov t adalah sebagai berikut :


30

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

. ( ) ( ) ( )

s R C R o

R s o

s o

v t v t v t v t v tv t v t v tR i t v t v t

( ) ( ) 1( ) ( ) . ( ) ( )s o s o

v t v ti t I s V s V sR R

(31)Pers.(31) dapat dinyatakan dalam diagram blok seperti berikut :( )sV s

( )oV s

( )E s 1R

( )I s

Pada sisi output diperoleh persamaan :1 1( ) ( ) ( ). ( ) . ( )

.o C ov t v t i t dt V s I s

C C s (32)Pers.(32) dapat dinyatakan dengan diagram blok seperti berikut :

( )I s 1.C s

( )oV s

Dengan menggabungkan kedua gambar di atas maka diperoleh :( )sV s ( )oV s( )E s 1

R1.C s

( )sV s ( )E s 1. .R C s

( )oV s

Gambar 22. Diagram blok Sistem Rangkaian RC- SeriDengan membandingkan Gambar 22 dengan Gambar 20 dapat diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) 1. .

s oR s V s C s V s

G s H sR C s

Dengan menggunakan Pers.(30) maka diperoleh :

1( )( ) 1. .

1( ) ( ) 1 . .. 1 1. .

s

o

V sC s R C sR s V s R C s

R C s

Tampak bahwa hasil di atas sama dengan Pers.(9).


31

BAGIAN VIIANALISIS RESPONS TRANSIENTPENGERTIAN UMUMAnalisis respons transient dilakukan untuk mengetahui spesifikasi responstransient suatu sistem. Spesifikasi respons transient adalah merupakankarakteristik performansi perilaku dinamis suatu sistem.Perbaikan performansi sistem dilakukan melalui desain sistem kendali yangtepat.Desain sistem kendali yang tepat salah satunya didasarkan pada spesifikasirespons transient yang diharapkan, melalui berbagai macam metode dan teknikyang diterapkan.Dalam menganalisis dan mendesain sistem kendali, harus mempunyai suatudasar perbandingan performansi berbagai sistem kendali. Dasar ini dapatdisusun dengan menetapkan sinyal-sinyal uji tertentu sebagai sinyal inputreferensi dan membandingkan respons berbagai sistem terhadap sinyal-sinyalini.Respons Transient dan Respons Steady State (Keadaan Tunak)Respons transient adalah respons sistem yang berlangsung dari keadaan awalhingga pertama kali mencapai kondisi steady state. Daerah respons sistem yangmengalami respons transient disebut daerah transient.Respons steady state adalah respons sistem yang berlangsung mulai daripertama kali mencapai kondisi steady state sampai mendekati waktu tak hingga.Daerah respons sistem yang mengalami respons steady state disebut daerahsteady state.Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 23.


32

Gambar 23. Daerah transient dan daerah steady stateSINYAL UJISinyal masukan uji (test input signals) yang biasa digunakan adalah :

Step function (fungsi Tangga satuan) Ramp function (fungsi Ramp) Acceleration function (fungsi Percepatan) Impulse function (fungsi Impuls) Sinusoide function (fungsi Sinusoida) dllSinyal-sinyal ini merupakan fungsi waktu yang paling sederhana. Jenis sinyalinput referensi yang akan digunakan untuk menganalisis karakteristik sistemtergantung dari bentuk input apa yang paling sering akan diberikan ke sistempada operasi normal. Jika input sistem kendali merupakan fungsi waktu yang berangsur-angsurberubah maka Fungsi Ramp dapat dijadikan sebagai sinyal uji yang cukupbaik. Jika sistem dikenai gangguan secara tiba-tiba, maka Fungsi Step dapatdijadikan sebagai sinyal uji yang baik. Untuk sistem yang dikenai sinyal-sinyal kejut, mak sinyal uji yang palingbaik adalah Fungsi Impuls.Desain sistem kendali yang didasarkan pada sinyal uji yang tepat biasanyamemiliki performansi sistem yang cukup memuaskan dalam hal memberikanrespon terhadap input sistem yang sebenarnya.


33

Respons Impuls, Step, dan Ramp Satuan pada Sistem Orde SatuSistem Orde 1 dinyatakan dengan :( )( ) . 1

C s AR s T s

(33)( )R s

. 1A

T s ( )C s

Gambar 24. Diagram Blok Sistem Orde 1dimana :A : penguatan linearT : konstanta waktu sistemMisalnya diketahui sistem 1 dan 2 :

1 2

1 1( ) ( )1 0.5 . 1

G s G ss s

Fungsi Impuls, Step, dan Ramp satuan yang digunakan ditunjukkan dalamGambar 25 (menggunakan Simulink Matlab).


34

t

u(t)

000

0

( ) lim , untuk 0 ( )t

Au t t t U s At

t0

A=1

(a). Fungsi Impuls Satuan( ) , untuk 0 ( ) Au t A t U s

s

(b). Fungsi Step Satuan2( ) . , untuk 0 ( )

Au t A t t U ss

(c). Fungsi Ramp SatuanGambar 25. Sinyal Uji


35

Respons Impuls, Step, dan Ramp Satuan pada Sistem Orde 1 ditunjukkan dalamGambar 26 (menggunakan Simulink Matlab).

(a). Respons Impuls Satuan pada Sistem Orde 1

(b). Respons Step Satuan pada Sistem Orde 1

(c). Respons Ramp Satuan pada Sistem Orde 1Gambar 26. Sinyal Uji pada Sistem Orde 1


36

BAGIAN VIIIKARAKTERISTIK PERILAKU DINAMIS SISTEM1. Pengaruh Karakteristik Redaman (Damping) Plant pada Respons TransientKarakteristik redaman (damping) dari Plant dianalisis berdasarkan Plant yangditinjau sebagai Sistem Orde 2, yang dinyatakan dengan :

2 2

2 2 2 2

( )( ) 2. . . 2. .

n n

n n n

C sR s s s s s

(34)dimana :

n : frekuensi alamiah tak teredam (baca : omega) : rasio redaman sistem (baca : setha) : atenuasi (baca : tho) . n

Kasus Redaman Kurang (Undamped) 0 1 Pada kasus ini, Transfer Function (TF) dinyatakan dengan :2 2

2 2

( )( ) 2. . . ( . . ).( . . )

n n

n n n d n d

C sR s s s s j s j

(35)

dimana 21d n frekuensi alamiah teredam.Dengan sinyal input referensi berupa fungsi step satuan, maka : ( ) 1/R s s ,sehingga :2 2

2 2 2 2

1( ) . ( ) .2. . . 2. . .

n n

n n n n

C s R ss s s s s

2 2 2

2 2

2. . . 2. . . 1( ) .2. . .

n n n

n n

s s s sC s

s s s

2 2 2

2 2 2 2

2. . . 2. . .1 1. .2. . . 2. . .

n n n

n n n n

s s s ss s s s s s

2 2

2. .12. . .

n

n n

ss s s

2 2 2 2

. .12. . . 2. . .

n n

n n n n

ss s s s s


37

. .1. . . . . . . . . .

n n

n d n d n d n d

ss s j s j s j s j

2 22 2

. .1( ). .

n n

n d n d

sC ss s s

(36)TL (Transformasi Laplace) Balik dua suku terakhir ( )C s dari Pers.(36)berdasarkan Tabel adalah sebagai berikut :

2 21 . cos .

( . )ntn

dn d

s e ts

L

2 21 sin .

( . )ntd

dn d

e ts

L

Karena 21d n , maka 2. 1n d Jadi, TL Balik dari Pers.(36) adalah :2

( ) 1 cos . sin .1

n nt td dc t e t e t

21 cos . sin .

1nt

d de t t

(37)Misalnya diketahui suatu Sistem Orde 2 sebagai berikut :2

2 2 2

( ) 1( ) 2. . . 1

n

n n

C sR s s s s s

(38)Dari Pers.(38) dapat diperoleh :

2 1 112. . 1 0.5 0 1

2.

n n

nn

Dengan sinyal uji berupa Fungsi Step Satuan diperoleh grafik respons sepertiyang ditunjukkan dalam Gambar 27 (menggunakan Simulink Matlab).


38

2

( ) 1 1( )( ) 1

C s R sR s s s s

t

c(t)

Gambar 27. Respons Step Satuan pada Sistem Orde 2 dengan 1, 0.5n Kasus Redaman Kritis (Damped) 1 Pada kasus ini, Transfer Function (TF) dinyatakan dengan :

2 2 2

2 2 2 2 2

( )( ) 2. . . 2. . ( )

n n n

n n n n n

C sR s s s s s s

(39)

Dengan sinyal input referensi berupa fungsi step satuan, maka : ( ) 1/R s s ,sehingga :

2

21( ) .n

n

C sss

(40)TL Balik dari Pers.(40) diperoleh :

( ) 1 (1 )nt nc t e t

(41)Misalnya diketahui suatu Sistem Orde 2 sebagai berikut :2

2 2 2 2

( ) 1 1( ) 2. . . 2. 1 ( 1)

n

n n

C sR s s s s s s

(42)Dari Pers.(42) dapat diperoleh :

2 1 122. . 2 1 1

2.

n n

nn



39

2

( ) 1 1( )( ) 2. 1

C s R sR s s s s

Gambar 28. Respons Step Satuan pada Sistem Orde 2 dengan 1, 1n

Kasus Redaman Lebih (Overdamped) 1 Pada kasus ini, Transfer Function (TF) dinyatakan dengan :

2 2

2 2 2 2

( )( ) 2. . . . 1 . . 1

n n

n n n n n n

C sR s s s s s

(43)Dengan sinyal input referensi berupa fungsi step satuan, maka : ( ) 1/R s s ,sehingga :

2

2 2

1( ) .. 1 . . 1

n

n n n n

C sss s

(44)TL Balik dari Pers.(44) diperoleh :

1 2. .

21 2

( ) 1 .2 1

s t s tn e ec t

s s

(45)dimana : 2 21 21 . 1 .n ns s Misalnya diketahui suatu Sistem Orde 2 sebagai berikut :

2

2 2 2

( ) 1( ) 2. . . 4. 1

n

n n

C sR s s s s s

(46)


40

Dari Pers.(46) dapat diperoleh :

2 1 142. . 4 2 1

2.

n n

nn


2

( ) 1 1( )( ) 4. 1

C s R sR s s s s

Gambar 29. Respons Step Satuan pada Sistem Orde 2 dengan 1, 1n

Perbandingan ketiga kasus redaman di atas ditunjukkan dalam Gambar 30(menggunakan Simulink Matlab).1n

0 1

1

1

Gambar 30. Perbandingan Respons Undamped, Damped, dan Overdampedpada Sistem Orde 2 dengan 1, 1n


41

2. Kestabilan Mutlak1. Tanpa adanya gangguan dari luar, sistem dikatakan stabil jika sinyaloutput berada dalam keadaan setimbang yang tetap. Gambar 31menunjukkan beberapa keadaan dimaksud.

Gambar 31. Sistem Stabil(a). Sinyal respons output berada dalam harga akhir yang sama(b). Sinyal respons output berada dalam harga akhir yang samasetelah mengalami over & under shoot(c). Sinyal respons output berosilasi dalam batas daerah yang cukup kecil2. Sistem dikatakan stabil jika setelah dikenai gangguan dapat kembali padakeadaan setimbang yang tetap.

Gambar 32. Sistem kembali setimbang setelah dikenai gangguan3. Sistem dikatakan tidak stabil jika berosilasi terus menerus dalam daerahbatas yang cukup besar atau membesar tanpa batas dari keadaansetimbangnya setelah dikenai gangguan.


42

Gambar 33. Sistem Tak Stabil(a). Respons output membesar tak hingga setelah dikenai gangguan(b). Respons output berosilasi terus menerus(c). Respons output berosilasi terus menerus dan membesar tak hingga3. Kestabilan RelatifKarena sistem kendali melibatkan penyimpan energi, maka output sistem ketikadikenai suatu input tidak dapat mengikuti input secara serentak, tetapimenunjukkan respon transien sebelum mencapai steady state. Respon transientsistem kendali sering menunjukkan osilasi teredam sebelum mencapai steadystate. Gambar 34 mengilustrasikan tentang kestabilan relatif dari 3 (tiga) sistemyang berbeda. Tampak bahwa respons dari sistem 1 cenderung lebih berosilasidibandingkan dengan respons dari sistem 2, sehingga sistem 2 lebih stabildibandingkan sistem 1.

Gambar 34. Respons transient dengan osilasi teredam(Respons sistem 3 relatif lebih stabil dibandingkan sistem 1 dan 2)


43

4. Spesifikasi Respons TransientSpesifikasi respons transient diilustrasikan dengan menggunakan kurva responsSistem Orde 2 seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 35.a). error steady state, essDari Gambar 23 tampak bahwa selisih antara harga akhir (final value) dari sinyalrespons output dengan harga sinyal input (input value) disebut sebagai errorsteady state / ess (kesalahan keadaan tunak).b). Delay time (waktu tunda), dtWaktu yang diperlukan respons untuk mencapai setengah harga akhir yangpertama kali.

Gambar 35. Kurva respons Sistem Orde 2 dengan sinyal uji berupa Sinyal Step Satuanc). Rise time (waktu naik), rtWaktu yang diperlukan respons untuk naik dari 10 hingga 90 %, 5 hingga 95 %,0 hingga 100 % dari harga akhirnya. Untuk sistem orde 2 redaman kurang,


44

biasanya digunakan waktu naik 0 hingga 100 %. Untuk sistem redaman lebih,digunakan waktu naik 10 hingga 90 %.d). Peak time (waktu puncak), ptWaktu yang diperlukan respons untuk mencapai puncak lewatan (overshoot)yang pertama kali. Waktu puncak pt sama dengan setengah periode osilasiteredam, yaitu : p

d

t

(47)e). (Persen) Maximum overshoot (lewatan maksimum), PMHarga puncak maksimum dari kurva respons yang diukur dari satu. Jika hargarespons steady state tidak sama dengan satu, maka biasa digunakan persenmaximum overshoot. Parameter ini didefinisikan sebagai :

( ) ( )% 100%

( )p

p

c t cM

c

(48)Besarnya (persen) maximum overshoot secara langsung menunjukkankestabilan relatif sistem.f). Settling time (waktu penetapan), stWaktu yang diperlukan kurva respons untuk mencapai kondisi steady state yangpertama kali dari kondisi awalnya, atau mencapai dan menetap dalam daerah disekitar harga akhir dengan toleransi 2% atau 5% dari harga akhir.Untuk Sistem Orde 1 biasanya menggunakan toleransi 2%, sedangkan SistemOrde 2 ke atas biasanya menggunakan toleransi 5%. Settling time terkaitdengan konstanta waktu terbesar dari sistem kendali. Kriteria persentasekesalahan yang akan digunakan ditentukan berdasarkan sasaran desain sistemyang diinginkan.Untuk pita toleransi 2% maka :

4 44.s n

t T

(49)Untuk pita toleransi 5% maka :


45

3 33.s n

t T

(50)CATATAN PENTING ..... !!!

Pada kenyataannya, sangatlah sukar untuk melakukan analisis responstransient secara matematis. Hal ini disebabkan oleh perlunya pemahamanyang cukup mendalam terhadap dasar matematis, terutama Kalkulus(diferensial, integral), Trigonometri, dan Transformasi Laplace. Analisis respons transient jauh lebih mudah dilakukan melaluipengamatan secara grafis. Walau hasilnya tidak dijamin tepat, akan tetapicukup mendekati hasil yang sesuai dengan yang diharapkan.

Sebagai ilustrasi digunakan contoh kasus Sistem Orde 2 dengan redaman kurang(undamped) seperti pada Pers.(38) sebagai berikut :2

2 2 2

( ) 1( ) 2. . . 1

n

n n

C sR s s s s s

dimana : 221 0.5 1 1 . 1 0.5 0.866n d n Dari Pers.(37) diperoleh :

2

0.5 . 1 .

2

( ) 1 cos . sin .1

0.51 . cos 0.866 sin 0.8661 0.5

ntd d

t

c t e t t

e t t

0.5 .( ) 1 . cos 0.866 0.577 sin 0.866tc t e t t (51)Error Steady State (ess)Pada kondisi steady state maka : t sehingga :

0.5 .( ) 1 . cos 0.866 0.577 sin 0.866

1 0 1

c e

Error steady state (ess) dinyatakan dengan : 1 1 0e r c


46

Melalui pengamatan pada grafik respons yang ditunjukkan dalam Gambar 27tampak bahwa ess dapat dianggap nol (sama dengan hasil perhitungan).Delay Time ( dt )Karena dt adalah waktu yang diperlukan respons untuk mencapai setengah hargaakhir yang pertama kali maka : 0.5dc t sehingga :

0.5 .

0.5 .

0.5 1 . cos 0.866 0.577 sin 0.866

. cos 0.866 0.577 sin 0.866 0.5

d

d

td d d

td d

c t e t t

e t t

Untuk memperoleh dt dari persamaan terakhir sangatlah sukar.Dengan melakukan zooming out pada grafik respons yang ditunjukkan dalamGambar 27 dapat diperoleh 1.3 sec.dt seperti ilustrasi dalam Gambar 36.

1.3Gambar 36. Hasil zoomng out pada grafik respons Gambar 27untuk pengamatan Delay Time, dtRise time, rtUntuk kasus redaman kurang digunakan 0 100 % harga akhirnya, sehingga 1rc t . Dari Pers.(49) diperoleh :

0.5 .

0.5 .

( ) 1 1 . cos 0.866 0.577 sin 0.866

. cos 0.866 0.577 sin 0.866 0

r

r

tr r r

tr r

c t e t t

e t t

Karena 0.5 . 0rte maka dari persamaan di atas diperoleh :


47

cos 0.866 0.577 sin 0.866 0

0.577 sin 0.866 cos 0.866

sin 0.866 1cos 0.866 0.577

r r

r r

r

r

t t

t t

tt

1 1

1tan 0.8660.577

1 1 1 1.tan . tan0.866 0.577 0.866 0.577

1 . 3.14 1.05 2.41 sec0.866

r

r

t

t

Dengan melakukan zooming out pada grafik respons yang ditunjukkan dalamGambar 27 dapat diperoleh 2.4 sec.rt seperti ilustrasi dalam Gambar 37(mendekati hasil perhitungan).

Gambar 37. Hasil zoomng out pada grafik respons Gambar 27untuk pengamatan Rise Time, rtPeak time, ptDari Pers.(47) diperoleh :

3.14 3.63 sec0.866p d

t Dengan melakukan zooming out pada grafik respons yang ditunjukkan dalamGambar 27 dapat diperoleh 3.6 secpt seperti ilustrasi dalam Gambar 38(mendekati hasil perhitungan).


48

1.163

Gambar 38. Hasil zoomng out pada grafik respons Gambar 27untuk pengamatan Peak Time, ptMaximum overshoot, PMOleh karena harga akhir respons steady state : 1c maka :

0.5 .

0.5 . 3.63

1

1 . cos 0.866 0.577 sin 0.866 1

. cos 0.866 3.63 0.577 sin 0.866 3.63

0.16284 . 1 0.577 0.00198

0.163

p

p p

tp p

M c t

e t t

e

Dengan pengamatan grafis, maka dari Gambar 38 dapat diperoleh 0.163pM (sesuai hasil perhitungan).Settling time, stWaktu penetapan st untuk pita toleransi 2 % dan 5 % dapat diukur berdasarkankonstanta waktu kurva selubung 1 1 . nT untuk harga yang berbeda.Untuk 0 0.9 (undamped), maka dari Pers.(49) diperoleh :

4 4 44 8 sec. 0.5 1s n

t T

toleransi 2%Dari Pers.(50) diperoleh :

3 3 33 6 sec. 0.5 1s n

t T

toleransi 5%


49

Dengan pengamatan grafis, untuk pita toleransi 2% zooming out dilakukanpada : 2% 2% . . 1 2% 1 . 0.98 0.98sc t c c c

Untuk pita toleransi 5% zooming out dilakukan pada : 5% 5% . . 1 5% 1 . 0.95 0.95sc t c c c Hasil zooming out ditunjukkan dalam Gambar 39. Dari Gambar 39 dapatdiperoleh untuk pita toleransi 2% : 8 secst dan untuk pita toleransi 5% :

6 secst (sama dengan hasil perhitungan).

2%

5%

Gambar 39. Hasil zoomng out pada grafik respons Gambar 27pada 2% 0.98sc t dan 5% 0.95sc t


50

BAGIAN IXAKSI PENGENDALIAN OTOMATIS (AUTOMATIC CONTROL ACTION)AKSI PENGENDALIAN DASARKontroler otomatis membandingkan harga aktual dari output plant dengan hargayang diinginkan, menentukan deviasi, dan menghasilkan suatu sinyal kendaliyang akan memperkecil deviasi sampai nol atau sampai suatu harga yang kecil.Cara kontroler otomatis menghasilkan sinyal kendali disebut aksi pengendalian.Di dalam Sistem Kendali Industri terdapat beberapa kontroler industri sebagaiberikut :1. Kontroler Dua Posisi (On-Off)2. Kontroler Proporsional (P)3. Kontroler Integral (I)4. Kontroler Proporsional Integral (PI)5. Kontroler Proporsional Derivative/Diferensial (PD)6. Kontroler Proporsional Integral Diferensial (PID)SISTEM KENDALI INDUSTRIGambar 40 mengilustrasikan Sistem Kendali Industri yang terdiri dari kontrolerotomatis, aktuator, plant dan sensor.

Gambar 40. Diagram Blok Sistem Kendali Industri


51

Kontroler otomatis terdiri dari error detector dan amplifier. Error detectormendeteksi sinyal kesalahan penggerak (actuating error signal), yang biasanyamempunyai tingkat daya yang sangat kecil. Amplifier berfungsi untukmemperkuat actuating error signal sehingga mempunyai tingkat daya yangcukup tinggi.Aktuator adalah piranti daya yang mengubah sinyal kendali (control signal)menjadi sinyal input yang diperlukan oleh plant.Sensor (elemen ukur /sensing device) adalah piranti yang mengubah variabeloutput menjadi besaran lain yang sesuai untuk dapat dibandingkan dengansinyal input referensi.Kontroler Proporsional (P)Pada kontroler P, hubungan antara output kontroler ( )u t dengan sinyalkesalahan penggerak ( )e t dinyatakan dengan :

( ) . ( )Pu t K e t (52)Dalam bentuk transformasi Laplace dinyatakan dengan :( )( ) P

U s KE s

(53)PK adalah penguatan/kepekaan proporsional.Dari Pers.(53) tampak bahwa kontroler P memiliki perilaku yang sama denganpenguat linear (linear amplifier). Apapun wujud mekanisme dan dayapenggeraknya, kontroler P pada dasarnya merupakan penguat denganpenguatan yang dapat diatur.Blok diagram kontroler ditunjukkan dalam Gambar 41.

( )R s

( )B s

( )E sPK

( )U s

Gambar 41. Kontroler P


52

Salah satu karakteristik dari kontroler P adalah adanya deviasi kontrol sisa.Deviasi kontrol sisa ( ( )rbe t ) adalah selisih antara input referensi ( ( )r t ) denganvariabel terkontrol ( b t ).Sebagai contoh ilustrasi akan digunakan dua sistem seperti berikut :1

2 2

1( ) Sistem Orde 111( ) Sistem Orde 2

1

G ss

G ss s

Dengan sinyal input referensi berupa fungsi step satuan ( ( ) 1 ( ) 1/r t R s s )maka grafik respons closed loop system ditunjukkan dalam Gambar 42.Jika kedua sistem diberi kontroler P dengan 2PK maka akan diperoleh responsoutput seperti dalam Gambar 43. Jika konstanta proporsional diperbesar hinggapada nilai yang cukup besar maka akan diperoleh respons output seperti dalamGambar 44. Perbandingan masing-masing respons output untuk tiap sistemditunjukkan dalam Gambar 45.Semua spesifikasi respons dalam Gambar 42, 43, 44, dan 45 diperoleh melaluipengamatan langsung secara grafis. Hasilnya ditunjukkan dalam Tabel 1.

Tabel 1. Perbandingan Sistem Orde 1 dan 2 untuk berbagai nilai KpSistem PK st ess pt PM Kurva respons- 3 0.5 - - Stabil2 2.5 0.33 - - StabilOrde1 20 0.35 0.05 - - Stabil- 6 0.5 2.4 0.15 Osilasi teredam2 9 0.33 1.9 0.25 Osilasi teredamOrde2 20 8.6 0.05 0.65 0.62 Osilasi teredamDari Tabel 1 dapat diperoleh beberapa hal berikut :

Kontroler P dapat memperkecil error steady state (ess), yang berdampakpula pada mengecilnya settling time ( st ). Dengan memperbesar konstanta proporsional ( PK ) maka ess akansemakin mendekati nol, tetapi tidak pernah bisa mencapai nol. Pada sistem orde tinggi (di atas orde 1), memperbesar konstantaproporsional dapat berakibat pada respons sistem yang lebih berosilasi.


53

(a). Respons Closed Loop System Orde 1

st

(b). Respons Closed Loop System Orde 2Gambar 42.Respons output closed loop system (Orde 1 dan 2)


54

(a). Respons Closed Loop System Orde 1. ess = 0.33, ts = 2.5 sec.

ess = 0.33

ts = 9

r(t)

c(t)

0.67

0.92MP = 0.25

tp = 1.9

(b). Respons Closed Loop System Orde 2Gambar 43.Respons output closed loop system (Orde 1 dan 2) dengan kontroler P dengan Kp = 2


55

ts = 0.35

r(t)

c(t)ess = 0.05

(a). Respons Closed Loop System Orde 1 (zoom out)

(b). Respons Closed Loop System Orde 2 (zoom out)Gambar 44.Respons output closed loop system (Orde 1 dan 2) dengan kontroler P dengan Kp = 20


56

r(t)c(t), Kp = 20

c(t), Kp = 2

c(t), tanpa kontroler


r(t)c(t), Kp = 20

c(t), Kp = 2

c(t), tanpa kontroler

(b). Respons Closed Loop System Orde 2Gambar 45.Respons output closed loop system (Orde 1 dan 2) tanpa dan dengan kontroler P dengan Kp = 1, 2, 20


57

Kontroler Integral (I)Pada kontroler I, hubungan antara output kontroler ( )u t dengan sinyalkesalahan penggerak ( )e t dinyatakan dengan :0

( ) . ( ) ( ) . ( ).t

I Id u t K e t u t K e t dtdt

(54)Dalam bentuk transformasi Laplace dinyatakan dengan :( )( )

IKU sE s s

(55)IK adalah konstanta integral. Gambar 46 menunjukkan Kontroler I.

( )R s

( )B s

( )E s IKs

( )U s

Gambar 46. Kontroler ISalah satu karakteristik dari kontroler I adalah dalam hal menyimpan energi(output kontroler diubah dengan laju yang sebanding dengan sinyal kesalahanpenggerak dengan harga ( )u t yang stasioner pada saat ( )e t nol), sehingga padasaat sinyal kesalahan penggerak nol, output kontroler integral tetap padaharganya yang terakhir. Oleh karena itu kontroler I cenderungmenghilangkan/memperkecil ess. Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 47.

Gambar 47. Kemampuan menyimpan energi dari Kontroler I


58

Sebagai contoh ilustrasi akan digunakan dua sistem seperti berikut :1

2 2


1

G ss

G ss s

Dengan sinyal input referensi berupa fungsi step satuan ( ( ) 1 ( ) 1/r t R s s )maka grafik respons closed loop system ditunjukkan dalam Gambar 42.Jika kedua sistem diberi kontroler I dengan 1IK maka akan diperoleh responsoutput seperti dalam Gambar 48. Jika konstanta proporsional diperbesar hinggapada nilai yang cukup besar maka akan diperoleh respons output seperti dalamGambar 49. Perbandingan masing-masing respons output untuk tiap sistemditunjukkan dalam Gambar 50.Semua spesifikasi respons dalam Gambar 42, 43, 44, dan 45 diperoleh melaluipengamatan langsung secara grafis. Hasilnya ditunjukkan dalam Tabel 2.

Tabel 2. Perbandingan Sistem Orde 1 dan 2 untuk berbagai nilai KISistem IK st ess pt PM Kurva respons- 3 0.5 - - Stabil1 9.5 0 3.7 0.16 Osilasi teredamOrde1 2 10.9 0 2.4 0.3 Osilasi teredam- 6 0.5 2.4 0.15 Osilasi teredam1 - - - 0.7 Osilasi terus menerusOrde2 2 - - - - Osilasi terus menerusdan membesarDari Tabel 2 dapat diperoleh beberapa hal berikut :

Kontroler I dapat memperkecil / menghilangkan ess. Kontroler I memperbesar settling time ( st ). Dengan memperbesar konstanta integral ( IK ) dapat berakibat padarespons sistem yang berosilasi tidak teredam, sehingga sistem menjaditidak stabil.


59


(b). Respons Closed Loop System Orde 2Gambar 48.Respons output closed loop system (Orde 1 dan 2) dengan kontroler I dengan KI = 1


60


(b). Respons Closed Loop System Orde 2Gambar 49.Respons output closed loop system (Orde 1 dan 2) dengan kontroler I dengan KI = 2


61


(b). Respons Closed Loop System Orde 2Gambar 50.Respons output closed loop system (Orde 1 dan 2) tanpa dan dengan kontroler I dengan KI = 1, 2


62

Kontroler Proporsional + Integral (PI)Pada kontroler PI, hubungan antara output kontroler ( )u t dengan sinyalkesalahan penggerak ( )e t dinyatakan dengan :0

0

( ) . ( ) . ( ).

. ( ) . ( ).

t

P I

tI

PP

u t K e t K e t dt

KK e t e t dtK

(56)0

1( ) . ( ) . ( ).t

PI

u t K e t e t dtT

(57)Bentuk transformasi Laplace Pers.(56) dinyatakan dengan :

( )( )

IP

KU s KE s s

(58)Bentuk alternatif dari Pers.(57) dinyatakan dengan :( ) 1. 1( ) .P I

U s KE s T s

(59)IT adalah waktu integral. Gambar 51 menunjukkan Kontroler PI.

( )R s

( )B s

( )E sPK

( )U s

IKs

( )R s

( )B s

( )E s ( )U s

1.IT s

PK

Gambar 51. Kontroler PI : (a). menggunakan Pers.(58). (b). Menggunakan Pers.(59)Pada kontroler ini, bagian proporsional akan mengantisipasi kelambatanrespons yang ditimbulkan oleh bagian integral. Sedangkan bagian integral akanmengantisipasi terjadinya deviasi kontrol sisa yang ditimbulkan oleh bagianproporsional. Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 52.


63

Gambar 52. Respons output Kontroler PI dengan input fungsi step satuan(a). Bagian proporsional bekerja lebih dulu, kemudian bagian integral sehingga menutupikelemahan kontroler integral yang memperlambat respons(b). Kemampuan menyimpan dari kontroler integral menutupi kelemahan kontrolerproporsional yang menyebabkan deviasi kontrol sisa (ess tidak pernah nol)Sebagai contoh ilustrasi akan digunakan dua sistem seperti berikut :

1

2 2


1

G ss

G ss s

Dengan sinyal input referensi berupa fungsi step satuan ( ( ) 1 ( ) 1/r t R s s )maka grafik respons closed loop system ditunjukkan dalam Gambar 42.Jika Sistem 1 diberi kontroler PI dengan 2, 1P IK K maka akan diperolehrespons output seperti dalam Gambar 53(a).Jika Sistem 2 diberi kontroler PI dengan 2, 1P IK K maka akan diperolehrespons output seperti dalam Gambar 54(a).Semua spesifikasi respons dalam Gambar 53 dan 54 diperoleh melaluipengamatan langsung secara grafis. Hasilnya ditunjukkan dalam Tabel 3.


64

(a). Respons Closed Loop System Orde 1 menggunakan kontroler PI dengan KP =2, KI = 1

ts = 9.5

ess = 0r(t)

c(t)

MP = 0.16

tp = 3.7

1.16

(b). Respons closed loop Sistem Orde 1 menggunakankontroler P dengan KP = 2 (c). Respons closed loop Sistem Orde 1 menggunakankontroler I dengan KI = 1Gambar 53.Respons output closed loop Sistem Orde 1 dengan kontroler P , I, dan PI


65

(a). Respons Closed Loop System Orde 2 menggunakan kontroler PI dengan KP =2, KI = 1

(b). Respons closed loop Sistem Orde 2 menggunakankontroler P dengan KP = 2 (c). Respons closed loop Sistem Orde 2 menggunakankontroler I dengan KI = 1Gambar 54.Respons output closed loop Sistem Orde 2 dengan kontroler P , I, dan PI


66

Tabel 3. Perbandingan Sistem Orde 1 dan 2 untuk berbagai kontroler P, I, dan PISistem PK IK st ess pt PM Kurva respons2 - 2.5 0.33 - - Stabil- 1 9.5 0 3.7 0.16 StabilOrde1 2 1 8 0 - - Stabil2 - 9 0.33 1.9 0.25 Osilasi teredam- 1 - - - 0.7 Osilasi terusmenerusOrde2 2 1 12.8 0 2.07 0.25 StabilDari Tabel 3 dapat diperoleh beberapa hal berikut :

Waktu integral ( /I I PT K K ) mengatur aksi kendali integral. Kp mempengaruhi bagian proporsional dan integral dari aksi kendalinya. Dengan adanya bagian I, kelemahan bagian P yang selalu menghasilkaness dapat diperkecil/dihilangkan. Dengan adanya bagian P, menyebabkan sistem stabil. Hal ini juga untukmenutupi kelemahan bagian I yang menyebabkan ketidakstabilan sistempada saat digunakan bersama di plant dengan konstanta waktu sistemyang cukup besar. Kelemahan kontroler PI adalah menyebabkan respon menjadi lambatkarena adanya bagian I.


67

Kontroler Proporsional + Derivatif / Diferensial (PD)Pada kontroler PD, hubungan antara output kontroler ( )u t dengan sinyalkesalahan penggerak ( )e t dinyatakan dengan :( ) . ( ) . ( )

. ( ) . ( )

P D

DP

P

du t K e t K e tdt

K dK e t e tK dt

(60)( ) . ( ) . ( )P D

du t K e t T e tdt


( ) .( ) P D

U s K K sE s

(62)Bentuk alternatif lain dari Pers.(61) dinyatakan dengan :

( ) . 1 .( ) P D

U s K T sE s

(63)DT adalah waktu diferensial. Gambar 55 menunjukkan Kontroler PD.

( )R s

( )B s

( )E sPK

( )U s

.DK s

( )R s

( )B s

( )E s ( )U s

.DT s

PK

Gambar 55. Kontroler PD : (a). Menggunakan Pers.(62). (b). Menggunakan Pers.(63)Kontroler D tidak dapat digunakan sendirian, karena hanya efektif selamaperiode transient (bersifat mendahului). Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 56.


68

e(t)

0

1

t21

2

e(t)

0

1

t21

2

3

BagianProporsional

Aksi kontrolerPD

TD

Gambar 56. Respons output Kontroler PD dengan input fungsi ramp satuanSebagai contoh ilustrasi akan digunakan dua sistem seperti berikut :

1 2 2

1 1( ) Sistem Orde 1 ( ) Sistem Orde 21 1

G s G ss s s

Dengan sinyal input referensi berupa fungsi step satuan ( ( ) 1 ( ) 1/r t R s s )maka grafik respons closed loop system ditunjukkan dalam Gambar 42.Jika Sistem 1 diberi kontroler PD dengan 20, 1P DK K maka akan diperolehrespons output seperti dalam Gambar 57(a).Dari Gambar 57(a) dan 57(b) tampak bahwa untuk Sistem Orde 1, responssistem yang dihasilkan dengan kontroler PD hampir sama dengan jikamenggunakan kontroler P, kecuali pada st . Kecilnya ess dipengaruhi oleh bagianproporsional yang cukup besar.Gambar 57(c) menunjukkan bahwa dengan membuat 1DK maka responssistem akan berupa sinyal impuls. Dengan 20, 2P DK K pada Sistem Orde 1maka pada arah forward (maju) :

1( ) 2 2 . 21

G s ss

konstantaDari tabel transformasi Laplace diperoleh bahwa transformasi Laplace balik darisuatu konstanta akan berupa fungsi impuls.


69

(a). Respons Closed Loop System Orde 1 menggunakan kontroler PD dengan KP =20, KD = 1 (zoom out)

(b). Respons closed loop Sistem Orde 1 menggunakankontroler P dengan KP = 20 (zoom out) (c). Respons closed loop Sistem Orde 1menggunakan kontroler PD dengan KP = 2, KD = 2(sinyal impuls)Gambar 57.Respons output closed loop Sistem Orde 1 dengan kontroler P dan PDJika Sistem 2 diberi kontroler PD dengan 20, 1P DK K maka akan diperolehrespons output seperti dalam Gambar 58(a).Semua spesifikasi respons dalam Gambar 57 dan 58 diperoleh melaluipengamatan langsung secara grafis.


70

(a). Respons Closed Loop System Orde 2 menggunakan kontroler P dengan KP =20, KD = 1 (zoom out)

(b). Respons closed loop Sistem Orde 2 menggunakankontroler P dengan KP = 20 (zoom out) (c). Respons closed loop Sistem Orde 2 menggunakankontroler PD dengan KP =20, KD = 2 (zoom out)Gambar 58.Respons output closed loop Sistem Orde 2 dengan kontroler P , dan PDDari Gambar 58(a) dan 58(b) tampak bahwa respons Sistem Orde 2 dengankontroler PD hampir sama dengan respons Sistem Orde2 dengan kontroler P.Perbedaan yang paling mendasar adalah maximum overshoot ( PM ) dari responsyang menggunakan kontroler PD jauh lebih kecil dibandingkan dengan hanyakontroler P, serta settling time ( st ) yang lebih kecil juga. Gambar 58(c)


71

menunjukkan bahwa dengan memperbesar KD akan berdampak padamengecilnya PM dan st .Kontroler Proporsional + Integral + Derivatif / Diferensial (PID)Pada kontroler PID, hubungan antara output kontroler ( )u t dengan sinyalkesalahan penggerak ( )e t dinyatakan dengan :

0

0

( ) . ( ) . ( ) . ( ).

. ( ) . ( ) . ( ).

t

P D I

tD I

PP P

du t K e t K e t K e t dtdt

K KdK e t e t e t dtK dt K

(64)0

1( ) . ( ) . ( ) . ( ).t

P DI

du t K e t T e t e t dtdt T


( ) .( )

IP D

KU s K K sE s s

(66)Bentuk alternatif lain dari Pers.(65) dinyatakan dengan :( ) 1. 1 .( ) .P D I

U s K T sE s T s

(67)Gambar 59 menunjukkan Kontroler PID.

( )R s

( )B s

( )E s

PK

( )U s

.DK s

( )R s

( )B s

( )E s ( )U s

.DT s

PKIKs

1.IT s

Gambar 59. Kontroler PID : (a). Menggunakan Pers.(66). (b). Menggunakan Pers.(67)


72

Pada kontroler ini : Dengan adanya bagian P, kelemahan bagian D yang cenderungmenyebabkan sistem tidak stabil dapat dikompensasi. Dengan adanya bagian I, kelemahan P yang selalu menghasilkan ess dapatdiperkecil. Kelemahan bagian I yang menyebabkan respon menjadi lambatdikompensasi oleh bagian D. Bagian D memiliki kelebihan dalam halmendahului sehingga dapat mempercepat respon sistem. Hal inididasarkan pada kondisi saat sinyal kesalahan penggerak bergerak darinol hingga sedikit di atas nol, respon keluaran kontroler D melonjaksangat cepat pada harga tak hingga, hingga mencapai nol kembali padasaat sinyal kesalahan penggerak mulai konstan. Kelemahan dari bagian D adalah dapat memperkuat sinyal desing (noise)sehingga menimbulkan pengaruh saturasi pada aktuator (sistem tidakstabil). Kontroler D hanya bekerja secara efektif selama periode transient.

Sebagai contoh ilustrasi akan digunakan dua sistem seperti berikut :1 2 2

1 1( ) Sistem Orde 1 ( ) Sistem Orde 21 1

G s G ss s s

Dengan sinyal input referensi berupa fungsi step satuan ( ( ) 1 ( ) 1/r t R s s )maka grafik respons closed loop system ditunjukkan dalam Gambar 42.Berikut akan diilustrasikan perbandingan antara kontroler P, I, PI, PD, dan PIDpada kedua sistem di atas. Konstanta yang digunakan adalah :

2 1 1P I DK K K Perbandingan respons sistem yang dihasilkan oleh Sistem 1 yang diberikontroler P, I, PI, PD, dan PID ditunjukkan dalam Gambar 60.Perbandingan respons sistem yang dihasilkan oleh Sistem 2 yang diberikontroler P, I, PI, PD, dan PID ditunjukkan dalam Gambar 61.Dari Gambar 60 dan 61 tampak bahwa respons sistem yang dihasilkan olehkontroler PID jauh lebih baik dibandingkan kontroler yang lain.


73

Gambar 60. Perbandingan respons Sistem Orde 1 dengan kontroler P, I, PI, PD, dan PID

P

I

PI

PD

PID

Gambar 61. Perbandingan respons Sistem Orde 2 dengan kontroler P, I, PI, PD, dan PIDCatatan :Kontroler PID bekerja dengan optimal pada saat digunakan untuk sistem di atasorde 1.


74

BAGIAN XDESAIN SISTEM KENDALIPersyaratan Umum Sistem KendaliSistem kendali yang didesain harus memenuhi beberapa hal berikut :1. Harus memenuhi syarat kestabilan mutlak (respons steady state harusberada pada keadaan yang setimbang). Secara matematis dinyatakan :

konvergenc (stabil) divergenc (tidak stabil)2. Harus memenuhi syarat kestabilan relatif (respons sistem menunjukkanperedaman yang layak atau memenuhi kriteria yangditetapkan). sangat kecilPM3. Respons sistem harus cukup cepat atau memenuhi kriteria yangditetapkan. sangat kecilst4. Error steady state harus diperkecil hingga nol atau hingga pada hargayang dapat ditoleransi. sangat kecilsse

Pendekatan dasar dalam Desain Kendali1. Mengetahui spesifikasi/indeks performansi (IP), dinamika plant yang ada,dan dinamika komponen yang digunakan.2. Merumuskan persoalan desain dalam bentuk model matematis.3. Mensimulasikan model matematis pada komputer untuk menguji perilakusistem yang diperoleh dalam bentuk respons terhadap berbagai sinyaldan gangguan.4. Proses desain dan analisisnya dilakukan berulang-ulang hingga diperolehmodel sistem yang memuaskan.5. Berdasarkan hasil simulasi kemudian dibuat sistem fisik prototype.6. Pengujian pada prototype dilakukan berulang-ulang hingga mendapatkanhasil yang memuaskan.


75

Secara umum, diagram blok Sistem Kendali ideal ditunjukkan dalam Gambar 62.

Gambar 62. Diagram blok Sistem Kendali Ideal

Gambar 63. Diagram blok Sistem Kendali Berbasis KomputerPemodelan matematis suatu sistem fisik dapat pula dilakukan denganmenggunakan System Identification Toolbox Matlab. Hal ini diilustrasikan dalamGambar 64.

Gambar 64. Pembuatan Model Matematis melalui Proses Identifikasi SistemMenggunakan System Identification Toolbox Matlab


76

CONTOH DESAIN :STUDI KASUS PENGENDALIAN PROPELLER (BALING-BALING) YANGDIGERAKKAN DENGAN MOTOR DC (Pendekatan Orde 1)1. Mengetahui spesifikasi/indeks performansi (IP), dinamika plant yang ada, dandinamika komponen yang digunakan.Pada langkah awal ini, problem fisik dinyatakan dalam model sistem yang sesuaidengan problem dimaksud. Propeller (baling-baling) yang digerakkan denganmenggunakan motor DC dapat digambarkan seperti berikut :

Gambar 65. Rangkaian equivalent penggerak Propeller menggunakan motor DCDari gambar di atas diketahui bahwa :

R : resistansi elektris motor DC, (Ohm)L : induktansi elektris motor DC, (H)i : arus pada motor DC, (A)e : Back-Electro Motive Force (B-EMF) dari motor (GGL), (Volt)J : momen inersia rotor DC, (Kg-m2/sec2)

LT : torsi beban motor DC, (N-m) : .LT D MT : torsi motor DC, (N-m) : .M MT K i

D : damping ratio/constant dari sistem mekanik motor, (N-m-sec/rad)MK : konstanta mekanis dari sistem mekanik motor DC, (N-m/A)EK : konstanta elektris B-EMF, (Volt-sec/rad)M : kecepatan sudut motor DC, (rad/sec)P : kecepatan sudut propeller, (rad/sec)

sv : tegangan DC referensi


77

2. Merumuskan persoalan desain dalam bentuk model matematis.Jika dianggap berat propeller cukup kecil sehingga faktor beban propeller dapatdiabaikan, maka dapat dinyatakan :P M Dari Pers.(21) diperoleh :

2 2( )( ) . . . . . .s

s KV s J L s J R D L s D R K

Dengan mengabaikan faktor induktansi pada motor DC maka dari Pers.(24)diperoleh : 2

( )( ) . . .s

s KV s J R s D R K

Karena diketahui :

R : 0.5 OhmJ : 7.5 X 10-5 Kg-m2/sec2D : 10-6 N-m-sec/radK : 5 X 10-3

maka diperoleh :

2

3

25 6 3

3

25 3

( )( ) . . .

5 10

7.5 10 0.5 . 10 0.5 5 10

5 10

3.75 10 . 5 10

s

s KV s J R s D R K

s

s

( ) 200( ) 1.5 1s

sV s s

(68)Dari Pers.(68) tampak bahwa model matematis pengendalian kecepatan putarpropeller (rpm) dengan input berupa tegangan (volt) memiliki penguatan linearsebesar : 200A . Ini berarti bahwa setiap 1 V input sebanding dengan 200 rpmoutput, yang dinyatakan dengan :1 200V rpm


78

3. Mensimulasikan model matematis pada komputer untuk menguji perilakusistem yang diperoleh dalam bentuk respons terhadap berbagai sinyal dangangguan.Untuk mengamati respons open loop dari Pers.(68) digunakan model simulinkmatlab seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 66.

Gambar 66. Model simulink respons open loop Pers.(68)Dari Gambar 66 diketahui bahwa sinyal respons output berupa kecepatan putar(rpm). Untuk dapat diperbandingkan dengan sinyal input yang berupa sinyaltegangan satuan maka sinyal respons output perlu diubah menjadi sinyal rpmsatuan, yaitu : 1/ 1/ 200A .

Gambar 67. Respons open loop system dari Pers.(68)Dari Gambar 67 dapat diketahui bahwa untuk pita toleransi 2% diperoleh :

2% 2%0.98 196

5.8 seco s s

s

v t t

t

Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 68.


79

vs(t)

(t)

vo(t) t

ts

Gambar 68. Zoom out respons open loop system dari Gambar 67Dari Pers.(68) dapat diketahui bahwa sistem kendali kecepatan putar motor DCadalah Sistem Orde 1. Dari Model Sistem Orde 1 yang dinyatakan dengan Pers.(33)maka dari Pers.(68) diperoleh :

200 1.5 secA T Jika diasumsikan ( ) ( ), ( ) ( )s ov t r t v t c t maka menggunakan sinyal uji berupafungsi step satuan ( ( ) 1 ( ) 1/r t R s s ) maka untuk pita toleransi 2%diperoleh Harga Akhir :

2%2%. 1 2%

1 0.98 0.98sc t c c c

Sedangkan settling time ( st ) untuk pita toleransi 2% diperoleh dari Pers.(49)sebagai berikut : 4. 4 1.5 6 secst T Tampak bahwa hasil pengamatan grafik mendekati hasil perhitungan.

Untuk mengamati respons closed loop dari Pers.(68) digunakan model simulinkmatlab seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 69.


80

Gambar 69. Model simulink respons closed loop Pers.(68)Dari Gambar 69 tampak terdapat piranti di sisi feedback, yang mengubah sinyalkecepatan putar menjadi sinyal tegangan. Piranti dimaksud adalah berupatachometer, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 70.

Gambar 70. TachometerTachometer dapat dimodelkan dengan :

( )( ) T

V s Ks

dimana KT adalah konstanta penguatan linear tachometer.Untuk memperoleh respons closed loop satuan maka model simulink yangdigunakan ditunjukkan dalam Gambar 71.

Gambar 71. Model simulink respons closed loop Pers.(68) dengan respons rpm satuan (vo)Respons closed loop system ditunjukkan dalam Gambar 72.


81

ts

ess = 0.5

r(t)

c(t)

Gambar 72. Respons closed loop sistem yang dinyatakan dengan Pers.(68)4. Proses desainSebelum melakukan tahap desain, terlebih dahulu perlu ditetapkan IP (IndeksPerformansi) berdasarkan hasil analisis respons transient pada tahap sebelumnya.Dari Gambar 72 diperoleh performansi respons transient closed loop system adalahsebagai berikut :

st =3 sec ess = 0.5 No overshootIP yang direncanakan adalah :st =0.1 sec ess 0 No overshootTahap 1 :Pada tahap awal dicoba untuk menambahkan kontroler P pada model closed loopsystem seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 71. Konstanta KP diatur sedemikianrupa sehingga diperoleh settling time : st =0.1 sec. Pita toleransi yang digunakanadalah 2%. Dengan melakukan beberapa kali pengaturan maka diperoleh hasilseperti yang ditunjukkan dalam Gambar 73 dengan KP = 74.

Gambar 73. Respons closed loop sistem dari Pers.(68) menggunakan kontroler P dengan KP = 74(zoom out)


82

Tahap 2 :Pada tahap ini akan digunakan kontroler PI dengan konstanta KP dan KI sebagaiberikut : KP = 74 KI = 74 KP = 74 KI = 54 KP = 54 KI = 34Respons sistem ditunjukkan dalam Gambar 74.

Gambar 74. Respons closed loop sistem dari Pers.(68) menggunakan kontroler PIdengan beberapa nilai KP dan KI (zoom out)Dari Gambar 74 tampak bahwa st yang telah ditetapkan dari IP (indeksperformansi) berada di antara kurva respons yang dihasilkan oleh

74, 54P IK K dan 54, 34P IK K . Dengan mengatur ulang KP dan KI makadiperoleh respons sistem seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 75.

Toleransi 2%

r(t)

KP = 60, KI = 35

ts

KP = 74

Gambar 75. Respons closed loop sistem dari Pers.(68) menggunakan kontroler P dan PI(zoom out)


83

Gambar 75 menunjukkan perbandingan respons sistem yang dihasilkan olehkontroler P (KP = 74) dan kontroler PI (KP = 60, KI = 35).Tampak bahwa dengan kontroler PI, 0ess dibandingkan dengan kontroler P.Tahap 3 :Jika digunakan kontroler PID dengan konstanta KP = 60, KI = 35 dan KD = 0.03maka akan diperoleh kurva respons yang mendekati kurva respons yangdihasilkan oleh kontroler PI. Dengan mengubah KI = 39 maka diperoleh responssistem seperti dalam Gambar 76.

Gambar 76. Respons closed loop sistem dari Pers.(68) menggunakan kontroler PID (zoom out)Dari Gambar 76 tampak bahwa ketiga kontroler P, PI dan PID menghasilkanrespons sistem yang telah memenuhi kriteria IP yang telah ditetapkan. Hanyasaja kontroler PID menghasilkan ess yang jauh lebih mendekati noldibandingkan dengan kontroler P dan PI.Hasil akhir desain dalam model simulink matlab ditunjukkan dalam Gambar 77.


84

Gambar 77. Model Simulink Pengendalian Kecepatan Putar Propellermenggunakan Kontroler PID5. Desain Sistem Kendali berbasis KomputerDari langkah 4 misalnya diputuskan untuk menggunakan kontroler PID, maka tahapselanjutnya adalah membangun sistem kendali berbasis komputer. Dalam hal ini,hasil tahap 4 langsung diterapkan ke sistem fisik dengan komputer sebagai pirantipendukung. Hal ini ditunjukkan dalam Gambar 78.

Gambar 78. Model Sistem Kendali Kecepatan Putar Propeller berbasis KomputerDari Gambar 78 dapat diketahui bahwa fungsi pengendalian dilakukanmenggunakan komputer dengan menerapkan kontroler PID yang sudah didesain.Komputer dihubungkan dengan plant fisik. Sinyal input referensi ( ( )rv t )dibangkitkan oleh komputer. Sedangkan tegangan aktual ( ( )av t ) akan digunakansebagai sinyal feedback.


85

Dengan model seperti demikian, perilaku performansi respons transient sistemfisik dengan kontroler berbasis komputer, langsung dapat diamati melaluidisplay komputer.6. Pengujian Hasil Desain Sistem Kendali berbasis KomputerDari hasil tahap 5, pengujian dapat dilakukan berulang-ulang untuk mengamatiperilaku respons sistem fisik apakah sudah sesuai dengan yang diharapkan.

course note 1_skdk

Documents