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Definitions et generalitesLimite d’une suite reelle

Suites reelles monotones et consequencesSuites adjacentes

Suites extraitesSuite de Cauchy

Suite recurrente definie par une fonctionSuites geometriques et arithmetiques

Les suites reellescours MIP

Noureddine MOUSSAID

Faculte des Sciences et Techniques de MohammediaUniversite Hassan II de Casablanaca

2017–2018

Noureddine MOUSSAID Les suites reelles





DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees

Plan1 Definitions et generalites


2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs

3 Suites reelles monotones et consequences4 Suites adjacentes5 Suites extraites6 Suite de Cauchy7 Suite recurrente definie par une fonction8 Suites geometriques et arithmetiques

Suites arithmetiquesSuites geometriquesSuites arithmetico-geometrique







Definitions

DefinitionUne suite numerique d’elements reels est une application

u : IN→ IR

L’image u(n) est note un et appele terme general de la suite.

La suite est notee (un)n∈IN ou (un)n≥0.







Suites explicites

DefinitionUne suite numerique d’elements reels est une suite explicite si

un = ϕ(n)

ϕ etant une application de IN dans IR.

Example1 un = (−1)n

2 un =1− n1 + n

3 un = cos(nπ)Noureddine MOUSSAID Les suites reelles






Suites definies par recurrence

DefinitionSoit f une fonction de IR dans IR, et soit a un element de IR.On peut definir une suite (un)n≥0 de IR par :

La donnee de son terme initial u0 = a ;La relation de recurrence : ∀n ∈ IN, un+1 = f (un).

On dit alors que un est definie par recurrence.

Example1 u0 = 1 un+1 = 3un + 12 u0 = 1 un+1 = un +

√un







REMARQUE :Si f n’est definie que sur une partie D de IR, il faut verifier, pourassurer l’existence de la suite que :

a ∈ D ;pour tout n de IN : un ∈ D ⇒ un+1 ∈ D.







Suites bornees

DefinitionOn dit que un est majoree si et seulement si:

∃ M ∈ IR, ∀ n ∈ IN, un ≤ M

On dit que un est minoree si et seulement si:

∃ m ∈ IR, ∀ n ∈ IN, un ≥ m

On dit que un est bornee si et seulement si elle est a la foismajoree et minoree.

ATTENTION : M et m ne dependent pas de n.Noureddine MOUSSAID Les suites reelles






Example

1 un = 1 +1

2n + 1est une suite majoree par 2 et minoree par 1, donc bornee

2 un = en

est une suite minoree par 0 et non majoree, donc n’est pasbornee.






Definitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees et tableaux recaputilatifs












Limites d’une suite reelle

DefinitionOn dit que (un) tend vers +∞ (quand n tend vers +∞) si :

∀ A > 0, ∃ N ∈ IN, n ≥ N ⇒ un > A

On dit que (un) tend vers −∞ (quand n tend vers +∞) si :

∀ B > 0, ∃ N ∈ IN, n ≥ N ⇒ un < −B

On dit que (un) tend vers l (quand n tend vers +∞) si :

∀ ε > 0, ∃ N ∈ IN, n ≥ N ⇒ |un − l | < ε

On note limn→+∞

un = lNoureddine MOUSSAID Les suites reelles






REMARQUE :Une suite peut tres bien ne posseder aucune limite.C’est le cas de la suite dite alternee, de terme general (−1)n.







Suite convergente ou divergente

DefinitionSoit (un) une suite numerique.

On dit que (un) est convergente si elle admet une limitedans IR.Dans le cas contraire, on dit que (un) est divergente.







Example

1 un =1n

limn→+∞

un = 0

2 un = (−1)n limn→+∞

un n’existe pas

3 un =1− n1 + n

limn→+∞

un = −1

4 un = n2 limn→+∞

un = +∞







Example

Montrer a l’aide de la definition que limn→+∞

(1 +1n) = 1







Unicite de la limite

PropositionLa limite d’une suite, lorsqu’elle existe, est unique.







Proposition

Toute suite convergente est bornee.







REMARQUE :La reciproque est fausse comme le montre l’exemple de lasuite alternee de terme general (−1)n.







Proposition

Si un est une suite bornee et vn est une suite de limite nullealors

limn→+∞

unvn = 0







Example

1 un = sinn, vn =1n

, limn→+∞

unvn = limn→+∞

sinnn

= 0

2 un = n, vn =1n

, limn→+∞

unvn = limn→+∞

n.1n6= 0







Proposition

Soit un et vn deux suites reelles de limites respectives l et l ′.S’il existe un entier n0 tel que (n ≥ n0 → un ≤ vn), alors l ≤ l ′.







REMARQUES :L’inegalite devient large par passage a la limite.(n ≥ n0 → un < vn), alors l ≤ l ′

Cas particulier : Si (n ≥ n0 → un ≤ λ), alors l ≤ λ







Proposition

Soit un une suite numerique telle que limn→+∞

un = l .

1 Si a < l alors ∃ N > 0, n > N ⇒ a < un

2 Si b > l alors ∃ N > 0, n > N ⇒ b > un

3 Si a < l < b alors ∃ N > 0, n > N ⇒ a < un < b







Proposition

Soit un une suite numerique telle que limn→+∞

un = l .

1 Si il existe N tel que ∀ n > N, un < a alors l ≤ a2 Si il existe N tel que ∀ n > N, un > b alors l ≥ a3 Si il existe N tel que∀ n > N, a < un < b alors a ≤ l ≤ b







Theoreme des gendarmes

Proposition

Soit (un), (vn) et (wn) des suites reelles telles quevn ≤ un ≤ wn.

1 Si limn→+∞

vn = limn→+∞

wn = l alors limn→+∞

un = l

2 Si limn→+∞

vn = +∞ alors limn→+∞

un = +∞

3 Si limn→+∞

wn = −∞ alors limn→+∞

un = −∞

Example

Soit (un) une suite definie par un = E(n)n , calculer lim

n→+∞un







Suites telles que | un+1un|< l < 1

Proposition

Soit (un) une suite de reels non nuls. On suppose qu’il existeun reel tel que pour tout entier naturel n (ou seulement a partird’un certain rang) on ait :

| un+1

un|< l < 1, Alors lim

n→+∞un = 0.

Example

Soit (un) une suite definie par un = 1x3x5....(2n+1))1x4x7....x(3n+1) , calculer

limn→+∞

un







Addition

limn→+∞

un l l ±∞ ±∞lim

n→+∞vn l ′ ±∞ ±∞ ∓∞

limn→+∞

(un + vn) l + l ′ ±∞ ±∞ FI

F.I. : Forme Indeterminee







Produit

limn→+∞

un l l > 0 l < 0 0 ±∞ ±∞lim

n→+∞vn l ′ ±∞ ±∞ ±∞ ±∞ ∓∞

limn→+∞

(un × vn) l × l ′ ±∞ ∓∞ FI +∞ −∞







Quotient

limn→+∞

un l l 6= 0 0 l ±∞lim

n→+∞vn l ′ 6= 0 0 0 ±∞ ±∞

limn→+∞

un

vn

ll ′

±∞ FI 0 FI






Suite monotone

DefinitionSoit (un) une suite reelle.

1 (un) est dite croissante (resp. strictement croissante) ssi∀ n ∈ IN un+1 ≥ un (resp. ∀ n ∈ IN un+1 > un)

2 (un) est dite decroissante (resp. strictement decroissante)ssi ∀ n ∈ IN un+1 ≤ un (resp. ∀ n ∈ IN un+1 < un)






Monotonie et convergence

Proposition

Soit (un) une suite croissante.1 (un) est majoree⇔ (un) converge.2 (un) est non majoree⇒ lim

n→+∞un = +∞







Proposition

Soit (un) une suite decroissante.1 (un) est minoree⇔ (un) converge.2 (un) est non minoree⇒ lim

n→+∞un = −∞







Example

1 un =n∑

k=1

1n + k

2 un =n∑

k=1

1k






Suites adjacentes

DefinitionSoient (un)n et (vn)n deux suites reels. On dit que (un)n et (vn)nsont adjacentes si est seulement si

X (un) est croissante et (vn) est decroissante,X ∀n ≥ 0,un ≤ vn.X (un − vn))n tend vers 0 quand n tend vers +∞.






Suites adjacentes

TheoremSi les suites (un)n et (vn)n sont adjacentes, elles convergentvers la meme limite.






Suites extraites

DefinitionSoit (un) une suite numerique. On dit que (vn) est une suiteextraite (ou sous-suite) de (un) ssi il existe une application

ϕ : IN→ IN

strictement croissante telle que vn = uϕ(n)






Suites extraites

Example1 u2n u3n+1 un2 u6n+13 sont des suites extraites.2 u1/n u−n2−3n u−3n−1/2 ne sont pas des suites extraites.






Suites extraites

Proposition

Soit (un) une suite numerique telle que limn→+∞

un = l , alors toute

sous suite de (un) converge vers la meme limite l.

REMARQUE :Dans la pratique, pour montrer qu’une suite diverge, on utilisela contraposee de la proposition.

S’il existe deux sous-suites de (un) de limites differentes,alors la suite (un) diverge. un = (−1)n et un = cos(nπ/2)S’il existe une sous-suite de (un) divergente, alors la suite(un) diverge. un = (n)n






Suites extraites

Proposition

Soit (un) suite numerique1 Si (u2n) et (u2n+1) convergent vers la meme limite l alors

(un) converge vers la limite l.






Theoreme de Bolzano-weistrass

TheoremDe toute suite bornee on peut extraire une sous-suiteconvergente.






Critere de Cauchy

Definitionsoit (un) suite numerique, on dit que (un) est une suite deCauchy ssi

∀ ε > 0, ∃ N(ε) > 0, ∀ p,q > N(ε) |up − uq| < ε






Proposition

Pour montrer qu’une suite (Un)n∈IN est de Cauchy, il suffit demontrer qu’elle verifie l’assertion suivante:

∀ ε > 0, ∃ N(ε) > 0, ∀ n > N(ε), ∀ p > 0 |un+p − un| < ε

Proposition1 Toute suite de Cauchy est bornee.2 (un) est de Cauchy si et seulement si (un) est convergente.






Suites recurente

DefinitionSoit f : IR→ IR une fonction. Une suite recurrente est definiepar son premier terme et une relation permettant de calculerles termes de proche en proche :

u0 ∈ IR et un+1 = f (un) pour n ≥ 0.

La suite s’ecrit ainsi :u0, u1 = f (u0), u2 = f (u1) = f (f (u0)), u3 = f (u2) =f (f (f (u0))), . . .






Suites recurente : Cas d’une fonction croissante

Commencons par remarquer que pour une fonction croissante,le comportement de la suite (un) definie par recurrence estassez simple :

Si u1 ≥ u0 alors (un) est croissante.Si u1 ≤ u0 alors (un) est decroissante.







Proposition

Si f : [a,b]→ [a,b] une fonction continue et croissante, alorsquelque soit u0 ∈ [a,b], la suite recurrente (un) est monotone etconverge vers l ∈ [a,b] verifiant f (l) = l .







Afin de determiner la limite l de la suite (un) on doit la localiserpar:

♣ Determiner un intervalle [a,b] stable par f(f ([a,b]) ⊂ [a,b] qui contient les termes de lasuite.

♣ Determiner les points fixes de f .







Soit (un) la suite definie par

u0 = 1

un+1 =√

2 + un pour n ≥ 1.

♣ Montrer que la suite (un) est croissante et majoreepar 2.

♣ Calculer limn→+∞

un.






Suites recurente : Cas d’une fonction decroissante

Si f : [a,b]→ [a,b] est une fonction continue et decroissante.Soit U0 ∈ [a,b] et la suite recurrente (Un) definie parUn+1 = f (Un).Alors

g = f ◦ f est croissante.On definit deux nouvelles suites (Vn) et (Wn) par:

V0 = U0, Vn+1 = g(Vn) ⇒ Vn = U2n, (1)

W0 = U1, Wn+1 = g(Wn) ⇒Wn = U2n+1. (2)







1 Si les deux suites (Vn) et (Wn) sont convergentes vers lameme limitel = f ◦ f (l), alors la suite (Un) converge aussi vers l .

2 Sinon, la suite (Un) diverge.

Remarque:La sous-suite (u2n) converge vers une limite l verifiantf ◦ f (l) = l .La sous-suite (u2n+1) converge vers une limite l ′ verifiantf ◦ f (l ′) = l ′.

Il se peut que l= l ′ ou l 6= l ′.Noureddine MOUSSAID Les suites reelles






Remarque:Pour etudier la convergence d’une suite recurrenteUn+1 = f (Un), on suit les etapes suivantes:

Determiner un intervalle stable par f pour deduire que lasuite est bien definie.Etudier la monotonie de la fonction f .Determiner les points fixes de f .







Exercice:On considere la suite (Un) definie par{

U0 = 1Un+1 = 1 + 1

Un∀n ∈ N

1 Etudier la monotonie des deux sous-suites (U2n)n et(U2n+1)n.

2 Montrer que ∀n ∈ IN,

U2n ≤ U2n+1.

3 Determiner un intervalle [a,b] tel que ∀n ∈ IN, Un ∈ [a,b].Verifier que f ([a,b]) ⊂ [a,b].

4 Deduire la convergence de la suite (Un)n.Noureddine MOUSSAID Les suites reelles






Suite arithmetique

DefinitionOn dit que un est une suite arithmetique, de raison r ∈ IR et depremier terme u0, si un verifie la relation de recurrence :

un+1 = un + r .







Terme general d’une suite arithmetique

On a :un = u0 + nr .

D’une maniere generale, on a :

un = up + (n − p)r .







Somme des n premiers termes d’une suitearithmetique

Soit un une suite arithmetique de raison r et de premier termeu0, on note Sn la somme des n premiers termes. On a :

Sn = n(u0 + un−1

2).







Limite d’une suite arithmetique

PropositionLa suite un = u0 + nr

1 Diverge vers +∞ si et seulement si r > 0.2 Diverge vers −∞ si et seulement si r < 0.







Suite geometrique

DefinitionOn dit que un est une suite geometrique, de raison q ∈ IR et depremier terme u0, si un verifie la relation de recurrence :

un+1 = qun.







Terme general d’une suite geometrique

On a :

un = qnu0.

D’une maniere generale, on a :

un = q(n−k)uk .







Somme des n premiers termes d’une suitegeometrique

Soit un une suite geometrique de raison q et de premier termeu0, on note Sn la somme des n premiers termes.

Sn = u01− qn

1− q.

En particulier, on a:

n−1∑k=m

qk = qmn−1−m∑

k=0

qk = qm 1− qn−m

1− q.







Limite d’une suite geometrique

Proposition

La suite un = qnu0

1 Converge vers 0 si et seulement si |q| < 1.2 Converge vers u0 si et seulement si q = 1.3 Diverge vers +∞ si et seulement si q > 1.4 Ne possede pas de limite si et seulement si q ≤ −1.







Suites arithmetico-geometrique

DefinitionOn dit que un est une suite arithmetico-geometrique, toute suitede la forme un+1 = aun + b.

1 Si b = 0 c’est une suite geometrique de raison a.2 Si a 6= 1, alors la suite vn = (un − b

1−a) est une suitegeometrique de raison a .

3 Si a = 0 c’est une suite constante .


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