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J. Jayez – Intro. sém. 1/ 42
Cours Introduction à la sémantique
Quantification généralisée
Jacques Jayez, ENS-LSH, L2C2
2008-2009, semestre 1, maj. octobre 2011
J. Jayez – Intro. sém. 2/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – I
◮ La situation s
A B C D
E F G H
J. Jayez – Intro. sém. 2/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – I
◮ La situation s
A B C D
E F G H
◮ [[triangle]]s = {A,D,F,H}, [[bleu]]s = {A,E,H}, etc.
J. Jayez – Intro. sém. 2/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – I
◮ La situation s
A B C D
E F G H
◮ [[triangle]]s = {A,D,F,H}, [[bleu]]s = {A,E,H}, etc.
◮ [[carrés]]s = {B,C}
J. Jayez – Intro. sém. 2/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – I
◮ La situation s
A B C D
E F G H
◮ [[triangle]]s = {A,D,F,H}, [[bleu]]s = {A,E,H}, etc.
◮ [[carrés]]s = {B,C}
◮ [[tous les carrés]]s = ?
J. Jayez – Intro. sém. 3/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – II
◮ Sens intuitif de la question : donner les propriétéssatisfaites par tous les carrés
J. Jayez – Intro. sém. 3/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – II
◮ Sens intuitif de la question : donner les propriétéssatisfaites par tous les carrés
◮ Réponse = être vert (plus précisément : {être vert}).
J. Jayez – Intro. sém. 3/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – II
◮ Sens intuitif de la question : donner les propriétéssatisfaites par tous les carrés
◮ Réponse = être vert (plus précisément : {être vert}).
◮ Certains QG correspondent à des ensembles depropriétés, celles qui sont vérifiées par le QG.
J. Jayez – Intro. sém. 3/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – II
◮ Sens intuitif de la question : donner les propriétéssatisfaites par tous les carrés
◮ Réponse = être vert (plus précisément : {être vert}).
◮ Certains QG correspondent à des ensembles depropriétés, celles qui sont vérifiées par le QG.
◮ tous les N = l’ensemble des propriétés vérifiées partous les N.
J. Jayez – Intro. sém. 4/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – III
◮ La situation s
A B C D
E F G H
J. Jayez – Intro. sém. 4/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – III
◮ La situation s
A B C D
E F G H
◮ [[tous les carrés]]s = {vert}[[un cercle]]s = {bleu, vert}
J. Jayez – Intro. sém. 5/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – IV
◮ Généralisation dans trois directions
J. Jayez – Intro. sém. 5/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – IV
◮ Généralisation dans trois directions
1. Avoir des QG à plusieurs places
J. Jayez – Intro. sém. 5/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – IV
◮ Généralisation dans trois directions
1. Avoir des QG à plusieurs places
◮ Par ex., au lieu de tous les N P, tous les P P ′
J. Jayez – Intro. sém. 5/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – IV
◮ Généralisation dans trois directions
1. Avoir des QG à plusieurs places
◮ Par ex., au lieu de tous les N P, tous les P P ′
◮ [[tous les]]s={〈carré,vert〉,〈rouge,triangle〉,〈jaune,triangle〉}, si on selimite aux propriétés simples et non triviales (pas detous les carrés sont des carrés).
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La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – V
◮ Généralisation dans trois directions
J. Jayez – Intro. sém. 6/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – V
◮ Généralisation dans trois directions
2. Avoir des propriétés complexes
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La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – V
◮ Généralisation dans trois directions
2. Avoir des propriétés complexes
◮ [[tous les]]s = {〈carré, vert〉, 〈triangle,bleu ∨ rouge ∨jaune〉, 〈triangle ∨ carré,bleu ∨ rouge ∨ jaune ∨vert〉, 〈vert, carré ∨ cercle〉, . . .}
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La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG – V
◮ Généralisation dans trois directions
2. Avoir des propriétés complexes
◮ [[tous les]]s = {〈carré, vert〉, 〈triangle,bleu ∨ rouge ∨jaune〉, 〈triangle ∨ carré,bleu ∨ rouge ∨ jaune ∨vert〉, 〈vert, carré ∨ cercle〉, . . .}
◮ Toutes les relations logiques (même inintéressantes)sont utilisables,par ex. [[un]]s = {〈vert, carré ∨ triangle〉}
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La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG
◮ Généralisation dans trois directions
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La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG
◮ Généralisation dans trois directions
3. Avoir une quantification plus raffinée que «tous les»ou «un».
J. Jayez – Intro. sém. 7/ 42
La notion de quantificateur généralisé
Notion de QG
◮ Généralisation dans trois directions
3. Avoir une quantification plus raffinée que «tous les»ou «un».
◮ [[au moins deux]]s = {〈triangle,bleu〉, 〈carré, vert〉,〈cercle,bleu ∨ vert〉,. . . }
J. Jayez – Intro. sém. 8/ 42
Définitions de base
Définitions de base – I
◮ Les QG les plus simples sont des fonctions qui pourchaque propriété disent si la propriété satisfait laquantification.
J. Jayez – Intro. sém. 8/ 42
Définitions de base
Définitions de base – I
◮ Les QG les plus simples sont des fonctions qui pourchaque propriété disent si la propriété satisfait laquantification.
Ex. : tous les carrés sera traité comme une fonction, quidans une situation donnée, s’applique ou pas àdifférentes propriétés.
J. Jayez – Intro. sém. 8/ 42
Définitions de base
Définitions de base – I
◮ Les QG les plus simples sont des fonctions qui pourchaque propriété disent si la propriété satisfait laquantification.
Ex. : tous les carrés sera traité comme une fonction, quidans une situation donnée, s’applique ou pas àdifférentes propriétés.
Dans la situation s
QG propriété évaluationtous les carrés vert oui
carrés ouibleus nonbleu ∨ vert oui
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Définitions de base
définitions de base – II
Définition 1
Un QG de type 〈1〉 est une fonction λx ind→eval.Q(x)
J. Jayez – Intro. sém. 9/ 42
Définitions de base
définitions de base – II
Définition 1
Un QG de type 〈1〉 est une fonction λx ind→eval.Q(x)
◮ Q représente la quantification. Pour chaque propriété(valeur de x ind→eval) Q va s’y appliquer ou pas.
J. Jayez – Intro. sém. 9/ 42
Définitions de base
définitions de base – II
Définition 1
Un QG de type 〈1〉 est une fonction λx ind→eval.Q(x)
◮ Q représente la quantification. Pour chaque propriété(valeur de x ind→eval) Q va s’y appliquer ou pas.
◮ Q a donc le type (ind → eval) → eval.
J. Jayez – Intro. sém. 9/ 42
Définitions de base
définitions de base – II
Définition 1
Un QG de type 〈1〉 est une fonction λx ind→eval.Q(x)
◮ Q représente la quantification. Pour chaque propriété(valeur de x ind→eval) Q va s’y appliquer ou pas.
◮ Q a donc le type (ind → eval) → eval.
◮ On a vu qu’il y avait une correspondance entrepropriétés et ensembles : P ↔ {x : P(x)}
J. Jayez – Intro. sém. 9/ 42
Définitions de base
définitions de base – II
Définition 1
Un QG de type 〈1〉 est une fonction λx ind→eval.Q(x)
◮ Q représente la quantification. Pour chaque propriété(valeur de x ind→eval) Q va s’y appliquer ou pas.
◮ Q a donc le type (ind → eval) → eval.
◮ On a vu qu’il y avait une correspondance entrepropriétés et ensembles : P ↔ {x : P(x)}
◮ Un QG «simple» (= de type 〈1〉) peut donc être vucomme une fonction des ensembles vers des valeursde vérité (vrai/faux) ou, plus généralement, desévaluations (eval).
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Définitions de base
Définitions de base – III
◮ Dans la pratique, pour le moment, on admet quepropriétés = ensembles.
J. Jayez – Intro. sém. 10/ 42
Définitions de base
Définitions de base – III
◮ Dans la pratique, pour le moment, on admet quepropriétés = ensembles.
◮ Un QG aura donc une définition de forme :QG P ssi Q(P) , P étant une propriété/ensemble et Qune certaine condition qui met en jeu QG et P.
J. Jayez – Intro. sém. 10/ 42
Définitions de base
Définitions de base – III
◮ Dans la pratique, pour le moment, on admet quepropriétés = ensembles.
◮ Un QG aura donc une définition de forme :QG P ssi Q(P) , P étant une propriété/ensemble et Qune certaine condition qui met en jeu QG et P.
◮ Quelques exemples
tous les étudiants P est vrai ssi étudiant ⊆ P
quelques étudiants P est vrai ssi étudiant ∩ P 6= ∅certains étudiants P est vrai ssi étudiant ∩ P 6= ∅deux étudiants P est vrai ssi |étudiant ∩ P| = 2la plupart des étudiants P est vrai ssi |étudiant ∩ P| > |étudiant|/2
J. Jayez – Intro. sém. 11/ 42
Définitions de base
Définitions de base – IV
◮ Ce qui peut être fait pour une place de propriété peutêtre fait pour plusieurs places.
J. Jayez – Intro. sém. 11/ 42
Définitions de base
Définitions de base – IV
◮ Ce qui peut être fait pour une place de propriété peutêtre fait pour plusieurs places.
◮ On aura donc des QG de forme 〈
n︷ ︸︸ ︷
1, . . . ,1〉, qui relientn propriétés.
J. Jayez – Intro. sém. 12/ 42
Définitions de base
Définitions de base – V
Définition 2
Un QG de type 〈
n︷ ︸︸ ︷
1, . . . ,1〉 est une fonction de formeλx ind→eval
1 . . . x ind→evaln .Q(x1 . . . xn)
J. Jayez – Intro. sém. 12/ 42
Définitions de base
Définitions de base – V
Définition 2
Un QG de type 〈
n︷ ︸︸ ︷
1, . . . ,1〉 est une fonction de formeλx ind→eval
1 . . . x ind→evaln .Q(x1 . . . xn)
◮ Quelques exemples
tous les P P ′ est vrai ssi P ⊆ P ′
quelques P P ′ est vrai ssi P ∩ P ′ 6= ∅certains P P ′ est vrai ssi P ∩ P ′ 6= ∅deux P P ′ est vrai ssi |P ∩ P ′| = 2la plupart des P P ′ est vrai ssi |P ∩ P ′| > |P|/2
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Quantification monadique
QG monadiques
◮ On n’a vu que des QG monadiques, dont les ar-guments sont des ensembles/propriétés : type 〈1〉,〈1,1〉, 〈1 . . .1〉.
J. Jayez – Intro. sém. 13/ 42
Quantification monadique
QG monadiques
◮ On n’a vu que des QG monadiques, dont les ar-guments sont des ensembles/propriétés : type 〈1〉,〈1,1〉, 〈1 . . .1〉.
◮ On va se restreindre aux 〈1,1〉.
J. Jayez – Intro. sém. 13/ 42
Quantification monadique
QG monadiques
◮ On n’a vu que des QG monadiques, dont les ar-guments sont des ensembles/propriétés : type 〈1〉,〈1,1〉, 〈1 . . .1〉.
◮ On va se restreindre aux 〈1,1〉.
◮ Forme générale : λP,P ′. Q(P,P ′)
J. Jayez – Intro. sém. 14/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – I
◮ Les propriétés de monotonie concernent ce qui sepasse quand on remplace les ensembles/propriétéspar des ensembles/propriétés plus généraux oumoins généraux.
J. Jayez – Intro. sém. 14/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – I
◮ Les propriétés de monotonie concernent ce qui sepasse quand on remplace les ensembles/propriétéspar des ensembles/propriétés plus généraux oumoins généraux.
◮ Ex. : tous les invités sont venus en voiture ⇒ tous
les invités-hommes sont venus en voiture et tous les
invités-femmes sont venus en voiture.
J. Jayez – Intro. sém. 14/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – I
◮ Les propriétés de monotonie concernent ce qui sepasse quand on remplace les ensembles/propriétéspar des ensembles/propriétés plus généraux oumoins généraux.
◮ Ex. : tous les invités sont venus en voiture ⇒ tous
les invités-hommes sont venus en voiture et tous les
invités-femmes sont venus en voiture.
Définition 3Monotonie croissante à droiteUn déterminant est dit monotone croissant à droite (MON↑)lorsque, pour toutes propriétés P et P ′, si la relation qu’ilimpose est vraie, elle reste vraie quand on remplace P ′ par unepropriété plus générale (= par un ensemble plus grand).
J. Jayez – Intro. sém. 15/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – II
◮ Ex. : tous les est MON↑.
J. Jayez – Intro. sém. 15/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – II
◮ Ex. : tous les est MON↑.
◮ Tous les étudiants ont reçu une convocation par lettre
⇒ tous les étudiants ont reçu une convocation
J. Jayez – Intro. sém. 15/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – II
◮ Ex. : tous les est MON↑.
◮ Tous les étudiants ont reçu une convocation par lettre
⇒ tous les étudiants ont reçu une convocation
◮ Tous les invités sont arrivés en Porsche ⇒ tous les
invités sont arrivés en voiture.
J. Jayez – Intro. sém. 16/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – III
Définition 3Monotonie décroissante à droiteUn déterminant est dit monotone décroissant à droite (MON↓)lorsque, pour toutes propriétés P et P ′, si la relation qu’ilimpose est vraie, elle reste vraie quand on remplace P ′ par unepropriété moins générale (= par un ensemble plus petit).
J. Jayez – Intro. sém. 16/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – III
Définition 3Monotonie décroissante à droiteUn déterminant est dit monotone décroissant à droite (MON↓)lorsque, pour toutes propriétés P et P ′, si la relation qu’ilimpose est vraie, elle reste vraie quand on remplace P ′ par unepropriété moins générale (= par un ensemble plus petit).
◮ Ex. : aucun est MON↓.
J. Jayez – Intro. sém. 16/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – III
Définition 3Monotonie décroissante à droiteUn déterminant est dit monotone décroissant à droite (MON↓)lorsque, pour toutes propriétés P et P ′, si la relation qu’ilimpose est vraie, elle reste vraie quand on remplace P ′ par unepropriété moins générale (= par un ensemble plus petit).
◮ Ex. : aucun est MON↓.
◮ Aucun invité n’est arrivé en voiture ⇒ aucun invité
n’est arrivé en Porsche
J. Jayez – Intro. sém. 17/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – IV
◮ On définit les monotonies croissantes et décrois-santes à gauche de façon analogue (↑MON et ↓MON).
J. Jayez – Intro. sém. 17/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – IV
◮ On définit les monotonies croissantes et décrois-santes à gauche de façon analogue (↑MON et ↓MON).
◮ Ex. : tous les est ↓MON.
J. Jayez – Intro. sém. 17/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – IV
◮ On définit les monotonies croissantes et décrois-santes à gauche de façon analogue (↑MON et ↓MON).
◮ Ex. : tous les est ↓MON.
◮ Tous les étudiants paient des droits d’inscription ⇒tous les étudiants de première année paient des droits
d’inscription.
J. Jayez – Intro. sém. 17/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – IV
◮ On définit les monotonies croissantes et décrois-santes à gauche de façon analogue (↑MON et ↓MON).
◮ Ex. : tous les est ↓MON.
◮ Tous les étudiants paient des droits d’inscription ⇒tous les étudiants de première année paient des droits
d’inscription.
◮ certains est ↑MON.
J. Jayez – Intro. sém. 17/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – IV
◮ On définit les monotonies croissantes et décrois-santes à gauche de façon analogue (↑MON et ↓MON).
◮ Ex. : tous les est ↓MON.
◮ Tous les étudiants paient des droits d’inscription ⇒tous les étudiants de première année paient des droits
d’inscription.
◮ certains est ↑MON.
◮ certains étudiants de première année paient des droits
d’inscription ⇒ Certains étudiants paient des droits
d’inscription.
J. Jayez – Intro. sém. 18/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – V
Quelques déterminants courantsTests avec :Dét [ÉTUDIANTS DE PREMIÈRE ANNÉE/ÉTUDIANTS] [ONT RÉUSSI LEURS EXAMENS] etDét [INVITÉS] [SONT ARRIVÉS EN VOITURE/SONT ARRIVÉS EN PORSCHE].
Déterminant MON↑ MON↓ ↑MON ↓MON
tous les oui non non ouibeaucoup de oui non non nonla plupart des oui non non nonquelques oui non oui noncertains oui non oui nonun oui non oui nonpeu de non oui non nonaucun non oui non ouimoins de trois non oui non ouitrois au plus non oui non ouitrois au moins oui non oui nonplus de trois oui non oui nontrois exactement non non non nonA peu près vingt non non non non
J. Jayez – Intro. sém. 19/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – VI
◮ Il y a des QG un peu plus «exotiques».
J. Jayez – Intro. sém. 19/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – VI
◮ Il y a des QG un peu plus «exotiques».
◮ Exemple des exceptifs :tous sauf trois P P ′ est vrai ssi |P ∩ P ′| = |P| − 3.
J. Jayez – Intro. sém. 19/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – VI
◮ Il y a des QG un peu plus «exotiques».
◮ Exemple des exceptifs :tous sauf trois P P ′ est vrai ssi |P ∩ P ′| = |P| − 3.
◮ Tous les invités sauf trois sont arrivés en voiture 6⇒ /6⇐ Tous les invités sauf trois sont arrivés en Porsche
J. Jayez – Intro. sém. 19/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Monotonie
QG <1,1> – Monotonie – VI
◮ Il y a des QG un peu plus «exotiques».
◮ Exemple des exceptifs :tous sauf trois P P ′ est vrai ssi |P ∩ P ′| = |P| − 3.
◮ Tous les invités sauf trois sont arrivés en voiture 6⇒ /6⇐ Tous les invités sauf trois sont arrivés en Porsche
◮ Tous les étudiants sauf trois ont une carte d’étudiant
bleue 6⇒ / 6⇐ Tous les étudiants de première année
sauf trois ont une carte d’étudiant bleue
J. Jayez – Intro. sém. 20/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
QG <1,1> – Propriétés – I
Définition 4Un QG λP ,P ′.Q(P ,P ′) est conservatif =déf Q(P ,P ′) ssiQ(P ,P ∩ P ′).
J. Jayez – Intro. sém. 20/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
QG <1,1> – Propriétés – I
Définition 4Un QG λP ,P ′.Q(P ,P ′) est conservatif =déf Q(P ,P ′) ssiQ(P ,P ∩ P ′).
◮ Ex. : tous les ÉTUDIANTS ONT RÉUSSI LEUR EXAMEN ssitous les ÉTUDIANTS sont des ÉTUDIANTS ∩ ONT RÉUSSI
LEUR EXAMEN.
J. Jayez – Intro. sém. 20/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
QG <1,1> – Propriétés – I
Définition 4Un QG λP ,P ′.Q(P ,P ′) est conservatif =déf Q(P ,P ′) ssiQ(P ,P ∩ P ′).
◮ Ex. : tous les ÉTUDIANTS ONT RÉUSSI LEUR EXAMEN ssitous les ÉTUDIANTS sont des ÉTUDIANTS ∩ ONT RÉUSSI
LEUR EXAMEN.
◮ Si tous les étudiants ont réussi leur examen et si x
est un étudiant, alors c’est un étudiant et il a réussison examen (donc x ∈ ÉTUDIANTS ∩ ONT RÉUSSI LEUR
EXAMEN).
J. Jayez – Intro. sém. 21/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
QG <1,1> – Propriétés – II
◮ Inversement, si tous les étudiants sont des étudiantset ont réussi leur examen, alors tous les étudiantsont réussi leur examen.
J. Jayez – Intro. sém. 21/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
QG <1,1> – Propriétés – II
◮ Inversement, si tous les étudiants sont des étudiantset ont réussi leur examen, alors tous les étudiantsont réussi leur examen.
◮ La majorité des QG des langues naturelles sontconservatifs.
J. Jayez – Intro. sém. 21/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
QG <1,1> – Propriétés – II
◮ Inversement, si tous les étudiants sont des étudiantset ont réussi leur examen, alors tous les étudiantsont réussi leur examen.
◮ La majorité des QG des langues naturelles sontconservatifs.
Définition 5Un QG λP ,P ′.Q(P ,P ′) est symétrique =déf Q(P ,P ′) ssi Q(P ′,P).
◮ Quelques est symétrique.
J. Jayez – Intro. sém. 21/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
QG <1,1> – Propriétés – II
◮ Inversement, si tous les étudiants sont des étudiantset ont réussi leur examen, alors tous les étudiantsont réussi leur examen.
◮ La majorité des QG des langues naturelles sontconservatifs.
Définition 5Un QG λP ,P ′.Q(P ,P ′) est symétrique =déf Q(P ,P ′) ssi Q(P ′,P).
◮ Quelques est symétrique.
◮ Tous les n’est pas symétrique.
J. Jayez – Intro. sém. 22/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
Propriétés – III
◮ Problème des QG proportionnels
J. Jayez – Intro. sém. 22/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
Propriétés – III
◮ Problème des QG proportionnels
◮ beaucoup a une double interprétation.
J. Jayez – Intro. sém. 22/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
Propriétés – III
◮ Problème des QG proportionnels
◮ beaucoup a une double interprétation.
a. beaucoup de P P ′ = |P ∩ P ′| > n, n nombre quelconque(interprétation absolue)
J. Jayez – Intro. sém. 22/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
Propriétés – III
◮ Problème des QG proportionnels
◮ beaucoup a une double interprétation.
a. beaucoup de P P ′ = |P ∩ P ′| > n, n nombre quelconque(interprétation absolue)
b. Interprétation proportionnelle
J. Jayez – Intro. sém. 22/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
Propriétés – III
◮ Problème des QG proportionnels
◮ beaucoup a une double interprétation.
a. beaucoup de P P ′ = |P ∩ P ′| > n, n nombre quelconque(interprétation absolue)
b. Interprétation proportionnelle1. beaucoup de P P ′ = |P ∩P ′| > f (P), f étant une fonction
de mesure quelconque
J. Jayez – Intro. sém. 22/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
Propriétés – III
◮ Problème des QG proportionnels
◮ beaucoup a une double interprétation.
a. beaucoup de P P ′ = |P ∩ P ′| > n, n nombre quelconque(interprétation absolue)
b. Interprétation proportionnelle1. beaucoup de P P ′ = |P ∩P ′| > f (P), f étant une fonction
de mesure quelconque2. beaucoup de P P ′ = |P ∩ P ′| > f (P ′).
J. Jayez – Intro. sém. 23/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
Propriétés – IV
absolu Il y a beaucoup de français qui travaillent à l’étranger= «Le nombre de français qui travaillent à l’étrangerest élevé par rapport à un certain seuil»
J. Jayez – Intro. sém. 23/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
Propriétés – IV
absolu Il y a beaucoup de français qui travaillent à l’étranger= «Le nombre de français qui travaillent à l’étrangerest élevé par rapport à un certain seuil»
prop1 «Le nombre de français qui travaillent à l’étranger estélevé par rapport au nombre des français» = «Il y aune proportion importante de français qui travaillentà l’étranger».
J. Jayez – Intro. sém. 23/ 42
Quantification monadique
QG <1,1> – Propriétés
Propriétés – IV
absolu Il y a beaucoup de français qui travaillent à l’étranger= «Le nombre de français qui travaillent à l’étrangerest élevé par rapport à un certain seuil»
prop1 «Le nombre de français qui travaillent à l’étranger estélevé par rapport au nombre des français» = «Il y aune proportion importante de français qui travaillentà l’étranger».
prop2 «Le nombre de français qui travaillent à l’étranger estélevé par rapport au nombre de gens qui travaillentà l’étranger» = «Il y a une proportion importante degens qui travaillent à l’étranger qui sont français».
J. Jayez – Intro. sém. 24/ 42
Polarité
QG <1,1> – Monotonie – I
◮ Importance dans les langues d’éléments sensibles àla polarité
J. Jayez – Intro. sém. 24/ 42
Polarité
QG <1,1> – Monotonie – I
◮ Importance dans les langues d’éléments sensibles àla polarité
◮ Polarité = caractère monotone d’un environnement
J. Jayez – Intro. sém. 24/ 42
Polarité
QG <1,1> – Monotonie – I
◮ Importance dans les langues d’éléments sensibles àla polarité
◮ Polarité = caractère monotone d’un environnement
◮ Les phrases négatives : monotones décroissantes.
J. Jayez – Intro. sém. 24/ 42
Polarité
QG <1,1> – Monotonie – I
◮ Importance dans les langues d’éléments sensibles àla polarité
◮ Polarité = caractère monotone d’un environnement
◮ Les phrases négatives : monotones décroissantes.
◮ Les étudiants n’ont pas de carte d’étudiant ⇒ Les
étudiants n’ont pas de carte d’étudiant bleue
J. Jayez – Intro. sém. 24/ 42
Polarité
QG <1,1> – Monotonie – I
◮ Importance dans les langues d’éléments sensibles àla polarité
◮ Polarité = caractère monotone d’un environnement
◮ Les phrases négatives : monotones décroissantes.
◮ Les étudiants n’ont pas de carte d’étudiant ⇒ Les
étudiants n’ont pas de carte d’étudiant bleue
◮ Les étudiants n’ont pas de carte d’étudiant ⇒ Les
étudiants de première année n’ont pas de carte
d’étudiant
J. Jayez – Intro. sém. 25/ 42
Polarité
Polarité – II
◮ Problème : la négation de phrase (ne pas) n’est ni undéterminant ni un GN.
J. Jayez – Intro. sém. 25/ 42
Polarité
Polarité – II
◮ Problème : la négation de phrase (ne pas) n’est ni undéterminant ni un GN.
◮ On peut élargir la notion de QG en considérantque la négation est un opérateur portant sur despropositions.
J. Jayez – Intro. sém. 25/ 42
Polarité
Polarité – II
◮ Problème : la négation de phrase (ne pas) n’est ni undéterminant ni un GN.
◮ On peut élargir la notion de QG en considérantque la négation est un opérateur portant sur despropositions.
Définition 6
Un opérateur de forme O(p) où p est une variable depropositions est monotone décroissant quand, si O(p) etp′ ⇒ p, alors O(p′).
J. Jayez – Intro. sém. 25/ 42
Polarité
Polarité – II
◮ Problème : la négation de phrase (ne pas) n’est ni undéterminant ni un GN.
◮ On peut élargir la notion de QG en considérantque la négation est un opérateur portant sur despropositions.
Définition 6
Un opérateur de forme O(p) où p est une variable depropositions est monotone décroissant quand, si O(p) etp′ ⇒ p, alors O(p′).
Ex. : p = les étudiants ont une carte d’étudiant
p′ = les étudiants ont une carte d’étudiant bleue
p′ ⇒ p
NEG(p) ⇒ NEG(p′)
J. Jayez – Intro. sém. 26/ 42
Polarité
Polarité – III
◮ Un élément à polarité négative (Negative Polarity Item
ou NPI en anglais) a besoin d’un opérateur monotonedécroissant.
J. Jayez – Intro. sém. 26/ 42
Polarité
Polarité – III
◮ Un élément à polarité négative (Negative Polarity Item
ou NPI en anglais) a besoin d’un opérateur monotonedécroissant.
◮ Variantes terminologiques : environnement oucontexte monotone décroissant
J. Jayez – Intro. sém. 26/ 42
Polarité
Polarité – III
◮ Un élément à polarité négative (Negative Polarity Item
ou NPI en anglais) a besoin d’un opérateur monotonedécroissant.
◮ Variantes terminologiques : environnement oucontexte monotone décroissant
Ex. : le moindre en français, any en anglais
J. Jayez – Intro. sém. 26/ 42
Polarité
Polarité – III
◮ Un élément à polarité négative (Negative Polarity Item
ou NPI en anglais) a besoin d’un opérateur monotonedécroissant.
◮ Variantes terminologiques : environnement oucontexte monotone décroissant
Ex. : le moindre en français, any en anglais
(1) a. Paul n’a pas lu le moindre livre
b. ?? Paul a lu le moindre livre
J. Jayez – Intro. sém. 26/ 42
Polarité
Polarité – III
◮ Un élément à polarité négative (Negative Polarity Item
ou NPI en anglais) a besoin d’un opérateur monotonedécroissant.
◮ Variantes terminologiques : environnement oucontexte monotone décroissant
Ex. : le moindre en français, any en anglais
(1) a. Paul n’a pas lu le moindre livre
b. ?? Paul a lu le moindre livrec. Paul didn’t read any bookd. ?? Paul read any book
J. Jayez – Intro. sém. 27/ 42
Polarité
Polarité – IV
◮ En général, les NPI sont bons dans les phrases néga-tives, les questions et les antécédents de structuresconditionnelles
J. Jayez – Intro. sém. 27/ 42
Polarité
Polarité – IV
◮ En général, les NPI sont bons dans les phrases néga-tives, les questions et les antécédents de structuresconditionnelles
(2) a. Est-ce que Paul a lu le moindre livre ?
b. Did Paul read any book ?
J. Jayez – Intro. sém. 27/ 42
Polarité
Polarité – IV
◮ En général, les NPI sont bons dans les phrases néga-tives, les questions et les antécédents de structuresconditionnelles
(2) a. Est-ce que Paul a lu le moindre livre ?
b. Did Paul read any book ?c. Si Paul a lu le moindre livre, je veux bien être
pendud. If Paul read any book, I’ll eat my hat
J. Jayez – Intro. sém. 27/ 42
Polarité
Polarité – IV
◮ En général, les NPI sont bons dans les phrases néga-tives, les questions et les antécédents de structuresconditionnelles
(2) a. Est-ce que Paul a lu le moindre livre ?
b. Did Paul read any book ?c. Si Paul a lu le moindre livre, je veux bien être
pendud. If Paul read any book, I’ll eat my hat
◮ Problème : comment fournir un traitement homogènepour la négation, l’interrogation et le si ?
J. Jayez – Intro. sém. 28/ 42
Polarité
Polarité – V
◮ Solution : considérer que les différents environne-ments correspondent à des ensembles de situations.
J. Jayez – Intro. sém. 28/ 42
Polarité
Polarité – V
◮ Solution : considérer que les différents environne-ments correspondent à des ensembles de situations.
◮ Paul a lu un livre = l’ensemble des situations où Paula lu un livre.
J. Jayez – Intro. sém. 28/ 42
Polarité
Polarité – V
◮ Solution : considérer que les différents environne-ments correspondent à des ensembles de situations.
◮ Paul a lu un livre = l’ensemble des situations où Paula lu un livre.
◮ Remarquer que ⊆ et ⇒ sont alignés :
J. Jayez – Intro. sém. 28/ 42
Polarité
Polarité – V
◮ Solution : considérer que les différents environne-ments correspondent à des ensembles de situations.
◮ Paul a lu un livre = l’ensemble des situations où Paula lu un livre.
◮ Remarquer que ⊆ et ⇒ sont alignés :
◮ {s : p1 est vrai dans s} ⊆ {s : p2 est vrai dans s} ssip1 ⇒ p2.
J. Jayez – Intro. sém. 28/ 42
Polarité
Polarité – V
◮ Solution : considérer que les différents environne-ments correspondent à des ensembles de situations.
◮ Paul a lu un livre = l’ensemble des situations où Paula lu un livre.
◮ Remarquer que ⊆ et ⇒ sont alignés :
◮ {s : p1 est vrai dans s} ⊆ {s : p2 est vrai dans s} ssip1 ⇒ p2.
Ex. : avoir lu un livre d’histoire ⇒ avoir lu un livre.
J. Jayez – Intro. sém. 29/ 42
Polarité
Polarité – V
◮ Les interrogatives en est-ce que (questions dites«totales»)
J. Jayez – Intro. sém. 29/ 42
Polarité
Polarité – V
◮ Les interrogatives en est-ce que (questions dites«totales»)
◮ Toute réponse plus informative (vérifiée dans unensemble S de situations) implique toute réponsemoins informative (vérifiée dans un ensemble S′ ⊃ S
de situations).
J. Jayez – Intro. sém. 29/ 42
Polarité
Polarité – V
◮ Les interrogatives en est-ce que (questions dites«totales»)
◮ Toute réponse plus informative (vérifiée dans unensemble S de situations) implique toute réponsemoins informative (vérifiée dans un ensemble S′ ⊃ S
de situations).
◮ Est-ce que Paul a lu un livre ?
J. Jayez – Intro. sém. 29/ 42
Polarité
Polarité – V
◮ Les interrogatives en est-ce que (questions dites«totales»)
◮ Toute réponse plus informative (vérifiée dans unensemble S de situations) implique toute réponsemoins informative (vérifiée dans un ensemble S′ ⊃ S
de situations).
◮ Est-ce que Paul a lu un livre ?
Il a lu un livre d’histoire ⇒ Il a lu un livre
J. Jayez – Intro. sém. 30/ 42
Polarité
Polarité – VI
Définition 7
Un opérateur de question peut-être appliqué à uneproposition p (Ques(p)) =déf l’auteur de la question ignoresi p
J. Jayez – Intro. sém. 30/ 42
Polarité
Polarité – VI
Définition 7
Un opérateur de question peut-être appliqué à uneproposition p (Ques(p)) =déf l’auteur de la question ignoresi p
◮ Si a ignore si p, il ignore si p′ pour toute p′ ⇒ p.
J. Jayez – Intro. sém. 30/ 42
Polarité
Polarité – VI
Définition 7
Un opérateur de question peut-être appliqué à uneproposition p (Ques(p)) =déf l’auteur de la question ignoresi p
◮ Si a ignore si p, il ignore si p′ pour toute p′ ⇒ p.
◮ Pourquoi ? Si a savait que p′, il saurait aussi que p
puisque p′ ⇒ p.
J. Jayez – Intro. sém. 30/ 42
Polarité
Polarité – VI
Définition 7
Un opérateur de question peut-être appliqué à uneproposition p (Ques(p)) =déf l’auteur de la question ignoresi p
◮ Si a ignore si p, il ignore si p′ pour toute p′ ⇒ p.
◮ Pourquoi ? Si a savait que p′, il saurait aussi que p
puisque p′ ⇒ p.
◮ a sait que Paul a lu un livre d’histoire ⇒ a sait quePaul a lu un livre.
J. Jayez – Intro. sém. 31/ 42
Polarité
Polarité – VII
◮ Mais les questions dites «partielles» comme Qui a lu
un livre ?
J. Jayez – Intro. sém. 31/ 42
Polarité
Polarité – VII
◮ Mais les questions dites «partielles» comme Qui a lu
un livre ?
◮ Même mécanisme : si a ignore qui a lu un livre, ilignore qui a lu un livre d’histoire.
J. Jayez – Intro. sém. 31/ 42
Polarité
Polarité – VII
◮ Mais les questions dites «partielles» comme Qui a lu
un livre ?
◮ Même mécanisme : si a ignore qui a lu un livre, ilignore qui a lu un livre d’histoire.
◮ Les conditionnelles : on considère les situations quivérifient la relation conditionnelle.
J. Jayez – Intro. sém. 31/ 42
Polarité
Polarité – VII
◮ Mais les questions dites «partielles» comme Qui a lu
un livre ?
◮ Même mécanisme : si a ignore qui a lu un livre, ilignore qui a lu un livre d’histoire.
◮ Les conditionnelles : on considère les situations quivérifient la relation conditionnelle.
◮ Admettons que la relation conditionnelle est unesorte d’implication : si A, B ≈ A ⇒ B
J. Jayez – Intro. sém. 32/ 42
Polarité
Polarité – VIII
◮ Si A’ ⇒ B et A ⇒ A’, alors A ⇒ B.
J. Jayez – Intro. sém. 32/ 42
Polarité
Polarité – VIII
◮ Si A’ ⇒ B et A ⇒ A’, alors A ⇒ B.
Définition 8
Un opérateur de condition peut-être appliqué à deuxproposition p et p′ (Si(p,p′)) =déf p ⇒ p′.
J. Jayez – Intro. sém. 32/ 42
Polarité
Polarité – VIII
◮ Si A’ ⇒ B et A ⇒ A’, alors A ⇒ B.
Définition 8
Un opérateur de condition peut-être appliqué à deuxproposition p et p′ (Si(p,p′)) =déf p ⇒ p′.
◮ Si(p,p′) est considéré comme monotone décroissantpar rapport à p.
J. Jayez – Intro. sém. 33/ 42
Polarité
Polarité – IX
◮ Polarité forte et faible : Zwarts (1998).
J. Jayez – Intro. sém. 33/ 42
Polarité
Polarité – IX
◮ Polarité forte et faible : Zwarts (1998).
◮ Les locuteurs aiment en général moins (3-ab) que(3-aa).
J. Jayez – Intro. sém. 33/ 42
Polarité
Polarité – IX
◮ Polarité forte et faible : Zwarts (1998).
◮ Les locuteurs aiment en général moins (3-ab) que(3-aa).
(3) a. Aucune personne présente n’a levé le petit doigt
J. Jayez – Intro. sém. 33/ 42
Polarité
Polarité – IX
◮ Polarité forte et faible : Zwarts (1998).
◮ Les locuteurs aiment en général moins (3-ab) que(3-aa).
(3) a. Aucune personne présente n’a levé le petit doigt
b. Peu de personnes présentes ont levé le petitdoigt
J. Jayez – Intro. sém. 34/ 42
Polarité
Polarité – X
◮ Aucun = QG anti-additif.
(4) 1. Un QG Q de type 〈1,1〉 est anti-additif =df
Q(A ∪ B) ⇔ Q(A) ∩ Q(B).
2. Un QG Q de type 〈1,1〉 est anti-multiplicatif =df
Q(A ∩ B) ⇔ Q(A) ∪ Q(B).3. Un QG Q de type 〈1,1〉 est anti-morphique =df
Q est anti-additif et antimorphique
J. Jayez – Intro. sém. 35/ 42
Polarité
Polarité – XI
◮ Aucune personne n’a mangé ou bu ssi Aucune
personne n’a mangé et aucune personne n’a bu.
J. Jayez – Intro. sém. 35/ 42
Polarité
Polarité – XI
◮ Aucune personne n’a mangé ou bu ssi Aucune
personne n’a mangé et aucune personne n’a bu.
◮ Paul n’a pas levé le petit doigt : la négation estanti-morphique.
J. Jayez – Intro. sém. 35/ 42
Polarité
Polarité – XI
◮ Aucune personne n’a mangé ou bu ssi Aucune
personne n’a mangé et aucune personne n’a bu.
◮ Paul n’a pas levé le petit doigt : la négation estanti-morphique.
◮ Paul n’a pas mangé ou bu ssi Paul n’a pas mangé et
Paul n’a pas bu.
J. Jayez – Intro. sém. 35/ 42
Polarité
Polarité – XI
◮ Aucune personne n’a mangé ou bu ssi Aucune
personne n’a mangé et aucune personne n’a bu.
◮ Paul n’a pas levé le petit doigt : la négation estanti-morphique.
◮ Paul n’a pas mangé ou bu ssi Paul n’a pas mangé et
Paul n’a pas bu.
◮ Paul n’a pas mangé et bu ssi Paul n’a pas mangé ou
Paul n’a pas bu.
J. Jayez – Intro. sém. 36/ 42
Polarité
Polarité – XII
◮ Peu de est simplement MON↓.
(5) Lever le petit doigt doit être de préférencel’argument droit d’un QG anti-additif.
J. Jayez – Intro. sém. 37/ 42
Généralisation
Généralisation – I
◮ On peut avoir une définition tout à fait générale.
J. Jayez – Intro. sém. 37/ 42
Généralisation
Généralisation – I
◮ On peut avoir une définition tout à fait générale.◮ Modèle du deuxième ordre : les termes peuvent
dénoter des individus mais aussi des ensembles.
J. Jayez – Intro. sém. 37/ 42
Généralisation
Généralisation – I
◮ On peut avoir une définition tout à fait générale.◮ Modèle du deuxième ordre : les termes peuvent
dénoter des individus mais aussi des ensembles.◮ M = (A, I).
J. Jayez – Intro. sém. 37/ 42
Généralisation
Généralisation – I
◮ On peut avoir une définition tout à fait générale.◮ Modèle du deuxième ordre : les termes peuvent
dénoter des individus mais aussi des ensembles.◮ M = (A, I).◮ Convention : les termes t0 dénotent des individus, les
termes tn des ensembles. χ est une constante.
J. Jayez – Intro. sém. 37/ 42
Généralisation
Généralisation – I
◮ On peut avoir une définition tout à fait générale.◮ Modèle du deuxième ordre : les termes peuvent
dénoter des individus mais aussi des ensembles.◮ M = (A, I).◮ Convention : les termes t0 dénotent des individus, les
termes tn des ensembles. χ est une constante.◮ Si n 6= 0, [[Xn ]]M,g = g(X ) ∈ ℘(An).
J. Jayez – Intro. sém. 37/ 42
Généralisation
Généralisation – I
◮ On peut avoir une définition tout à fait générale.◮ Modèle du deuxième ordre : les termes peuvent
dénoter des individus mais aussi des ensembles.◮ M = (A, I).◮ Convention : les termes t0 dénotent des individus, les
termes tn des ensembles. χ est une constante.◮ Si n 6= 0, [[Xn ]]M,g = g(X ) ∈ ℘(An).◮ Si n 6= 0, [[χ]]M,g = I(χ) ∈ ℘(An).
J. Jayez – Intro. sém. 37/ 42
Généralisation
Généralisation – I
◮ On peut avoir une définition tout à fait générale.◮ Modèle du deuxième ordre : les termes peuvent
dénoter des individus mais aussi des ensembles.◮ M = (A, I).◮ Convention : les termes t0 dénotent des individus, les
termes tn des ensembles. χ est une constante.◮ Si n 6= 0, [[Xn ]]M,g = g(X ) ∈ ℘(An).◮ Si n 6= 0, [[χ]]M,g = I(χ) ∈ ℘(An).◮ Si n 6= 0, [[Fn(t1 . . . tk)]]M,g = l’élément B de ℘(An) tel que
〈[[t1]]M,g . . . [[tn ]]M,g,B〉 ∈ I(F).
J. Jayez – Intro. sém. 38/ 42
Généralisation
Généralisation – II
◮ Les conditions de satisfaction sont les conditionshabituelles.
J. Jayez – Intro. sém. 38/ 42
Généralisation
Généralisation – II
◮ Les conditions de satisfaction sont les conditionshabituelles.
◮ En particulier, M ,g |= ∃Xnφ =df il existe B ∈ ℘(An) telque M ,g(X
B ) |= φ.
J. Jayez – Intro. sém. 38/ 42
Généralisation
Généralisation – II
◮ Les conditions de satisfaction sont les conditionshabituelles.
◮ En particulier, M ,g |= ∃Xnφ =df il existe B ∈ ℘(An) telque M ,g(X
B ) |= φ.
◮ Attention : les fonctions peuvent avoir des ensemblescomme valeurs, mais . . .
J. Jayez – Intro. sém. 38/ 42
Généralisation
Généralisation – II
◮ Les conditions de satisfaction sont les conditionshabituelles.
◮ En particulier, M ,g |= ∃Xnφ =df il existe B ∈ ℘(An) telque M ,g(X
B ) |= φ.
◮ Attention : les fonctions peuvent avoir des ensemblescomme valeurs, mais . . .
◮ Un terme ne peut avoir l’extension d’une fonction(= I(f )) comme valeur que si c’est une fonction dupremier ordre (I(f ) ∈ An).
J. Jayez – Intro. sém. 39/ 42
Généralisation
Généralisation – III
◮ Extension (non définie pour les variables).−→U est de
forme 〈u1 . . .un〉, avec ui de forme x ou Xn.
J. Jayez – Intro. sém. 39/ 42
Généralisation
Généralisation – III
◮ Extension (non définie pour les variables).−→U est de
forme 〈u1 . . .un〉, avec ui de forme x ou Xn.
◮ Eg(c) = I(c), Eg(χ) = I(χ), Eg(f ) = I(f ), Eg(F ) = I(F ).
J. Jayez – Intro. sém. 39/ 42
Généralisation
Généralisation – III
◮ Extension (non définie pour les variables).−→U est de
forme 〈u1 . . .un〉, avec ui de forme x ou Xn.
◮ Eg(c) = I(c), Eg(χ) = I(χ), Eg(f ) = I(f ), Eg(F ) = I(F ).
◮ Eg(φ(−→U )) = {
−→B : M,g
(−→U−→B)|= φ}.
Invariant par rapport à g, Eg(φ(−→x )) = Eh(φ(
−→x )).
J. Jayez – Intro. sém. 39/ 42
Généralisation
Généralisation – III
◮ Extension (non définie pour les variables).−→U est de
forme 〈u1 . . .un〉, avec ui de forme x ou Xn.
◮ Eg(c) = I(c), Eg(χ) = I(χ), Eg(f ) = I(f ), Eg(F ) = I(F ).
◮ Eg(φ(−→U )) = {
−→B : M,g
(−→U−→B)|= φ}.
Invariant par rapport à g, Eg(φ(−→x )) = Eh(φ(
−→x )).
(6) Un QG de type 〈n1 . . .nk〉 correspond à une relationde type ensembliste ℘(An1)× . . .× ℘(Ank ) (unensemble de k-uplets de relations).Eg(Q
〈n1...nk〉) ⊆ ℘(An1)× . . . × ℘(Ank ) et
M,g |= Q〈n1...nk〉(φ1(−→U ) . . . φk(
−→U )) = df
〈Eg(φ1(−→U )), . . . , Eg(φk(
−→U ))〉 ∈ Eg(Q
〈n1...nk〉).
J. Jayez – Intro. sém. 40/ 42
Généralisation
Un ex. de QG 〈1,2〉 – I
◮ QG réciproque : l’un l’autre.
J. Jayez – Intro. sém. 40/ 42
Généralisation
Un ex. de QG 〈1,2〉 – I
◮ QG réciproque : l’un l’autre.
◮ Les pays se sont prêté de l’argent les uns aux autres.
J. Jayez – Intro. sém. 40/ 42
Généralisation
Un ex. de QG 〈1,2〉 – I
◮ QG réciproque : l’un l’autre.
◮ Les pays se sont prêté de l’argent les uns aux autres.
◮ Analyse de Peters & Westerståhl (2006) :∀x ,y(pays(x) & pays(y) ⇒ pa(x ,y).
J. Jayez – Intro. sém. 40/ 42
Généralisation
Un ex. de QG 〈1,2〉 – I
◮ QG réciproque : l’un l’autre.
◮ Les pays se sont prêté de l’argent les uns aux autres.
◮ Analyse de Peters & Westerståhl (2006) :∀x ,y(pays(x) & pays(y) ⇒ pa(x ,y).
(7) E(l’un-l’autre〈1,2〉) = {〈X ,Y 〉 : X ⊆ A & Y ⊆A2 & ∀x ,y ∈ X(〈x ,y〉 ∈ Y )}.
J. Jayez – Intro. sém. 41/ 42
Conclusion
Conclusion
◮ On n’a vu pour l’instant que des notions élémentaires.
J. Jayez – Intro. sém. 41/ 42
Conclusion
Conclusion
◮ On n’a vu pour l’instant que des notions élémentaires.◮ Il manque notamment deux choses :
J. Jayez – Intro. sém. 41/ 42
Conclusion
Conclusion
◮ On n’a vu pour l’instant que des notions élémentaires.◮ Il manque notamment deux choses :
1. Une sémantique «propre» pour le lien entre propriétéset ensembles,
J. Jayez – Intro. sém. 41/ 42
Conclusion
Conclusion
◮ On n’a vu pour l’instant que des notions élémentaires.◮ Il manque notamment deux choses :
1. Une sémantique «propre» pour le lien entre propriétéset ensembles,
2. Des outils pour composer les bouts de dénotationconstruits de manière isolée
J. Jayez – Intro. sém. 42/ 42
Conclusion
Références
◮ Francis Corblin (2002). Représentation du discours et
sémantique formelle. Paris : Presses Universitaires deFrance.Spécialement le chapitre 4.
J. Jayez – Intro. sém. 42/ 42
Conclusion
Références
◮ Francis Corblin (2002). Représentation du discours et
sémantique formelle. Paris : Presses Universitaires deFrance.Spécialement le chapitre 4.
◮ Un chapitre du cours de Barbara Partee :http://people.umass.edu/partee/MGU_2005/MGU053.pdf
J. Jayez – Intro. sém. 42/ 42
Conclusion
Références
◮ Francis Corblin (2002). Représentation du discours et
sémantique formelle. Paris : Presses Universitaires deFrance.Spécialement le chapitre 4.
◮ Un chapitre du cours de Barbara Partee :http://people.umass.edu/partee/MGU_2005/MGU053.pdf
◮ Complet mais difficile :Stanley Peters & Dag Westerståhl (2006). Quantifiers
in Logic and Language. Oxford : Oxford UniversityPress.
J. Jayez – Intro. sém. 42/ 42
Conclusion
Références
◮ Francis Corblin (2002). Représentation du discours et
sémantique formelle. Paris : Presses Universitaires deFrance.Spécialement le chapitre 4.
◮ Un chapitre du cours de Barbara Partee :http://people.umass.edu/partee/MGU_2005/MGU053.pdf
◮ Complet mais difficile :Stanley Peters & Dag Westerståhl (2006). Quantifiers
in Logic and Language. Oxford : Oxford UniversityPress.
◮ Frans Zwarts (1998). Three types of polarity. In F.Hamm et E. Hinrichs (éds.),Plurality and Quantifica-
tion, Kluwer Academic Publishers, 177-238.